Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko. EPR paradoks. Avtor: Vasja Susič. Mentorica: dr. Andreja Šarlah.

Transcript

1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko EPR paradoks Avtor: Vasja Susič Mentorica: dr. Andreja Šarlah Februar 2010 Povzetek Seminar pričnemo z obravnavo članka Einsteina, Podolskega in Rosena iz leta 1935, kjer prvič predstavijo EPR paradoks: kompletnost kvantne mehanike in lokalni realizem skupaj implicirata nekonsistentno teorijo. V nadaljevanju na kratko povzamemo Schrödingerjev odgovor, ki ga je objavil v seriji treh člankov. Zaradi zgodovinske pomembnosti nato predstavimo Bohmov predlog EPR eksperimenta za Bellovo stanje, za katerega je Bell za skrite spremenljivke kasneje izpeljal svoje neenačbe. Seminar vsebuje tudi izpeljavo Heisenbergove neenačbe sklepanja kot kriterija za paradoks ter predstavitev aktualnih eksperimentalnih dosežkov pri merjenju njenih kršitev.

2 Vasja Susič EPR paradoks 2(18) Kazalo Uvod 2 1 Teoretično in zgodovinsko ozadje Originalni EPR članek kompletnost in lokalni realizem Schrödinger in kvantna prepletenost Bohm in Bell Meritve paradoksa EPR Od miselnega k pravemu eksperimentu Eksperimentalni kriteriji za EPR paradoks Eksperimenti in njihovi rezultati Zaključek 17 Literatura 18 Uvod Kvantna mehanika je ena od dveh velikih teorij 20. stoletja. Kljub njenim napovedim, ki so se eksperimentalno izkazale kot zelo dobre, so v 30-ih letih 20. stoletja mnogi imeli številne pomisleke o njeni pravilnosti. Med bolj znanimi kritiki je bil Albert Einstein, ki je videl problem že v sami formulaciji teorije, namreč zaradi njene inherentne naključnosti. Menil je, da se za kvantno mehaniko skriva fundamentalnejša teorija, ki je po svoji naravi deterministična, in da je kvantno mehaniko zato potrebno dopolniti, če želimo dobiti celovito sliko sveta. Leta 1935 so Albert Einstein, Boris Podolsky in Nathan Rosen izdali članek, v katerem so želeli dokazati, da kvantna mehanika ni kompletna in da jo je potrebno razširiti [1]. Bili so namreč zagovorniki pogleda na svet, ki mu pravimo realizem, po katerem so vse fizikalne količine sistema določene neodvisno od tega, ali jih izmerimo ali ne. To je bilo v nasprotju s prevladujočo interpretacijo kvantne mehanike (ortodoksni pogled), po kateri fizikalne količine v resnici niso določene vnaprej, ampak zavzamejo konkretne vrednosti šele pri njihovi meritvi. Možno bi bilo, da eksperimentalnih razlik med obema pogledoma ne bi bilo, in zato izbira pravega ne bi imela praktičnega pomena; potem bi to bilo zgolj filozofsko vprašanje, kot trdi agnostični pogled. Nasprotno se je z objavo omenjenega članka prvič izkazalo, da temu ni tako. V članku so avtorji predlagali miselni poskus, iz katerega je razvidno, da četudi delcu ne moremo hkrati izmeriti njegove pozicije in gibalne količine, ne da bi vsaj eno od njiju zmotili, mora delec še vedno imeti ti dve količini vnaprej določeni: valovna funkcija obeh informacij ne more vsebovati, zato je potrebno teorijo razširiti. S tem je bil navidez podprt realizem. A v svoji argumentaciji so avtorji implicitno predpostavili, da na fizikalni sistem ne moremo vplivati na daljavo (če je le-ta dovolj oddaljen in izoliran), kar se s stališča klasične fizike zdi smiselno, a se je v kvantni mehaniki izkazalo kot neupravičeno. Kljub neutemeljeni predpostavki pa je bil članek zgodovinskega pomena: pokazal je, da se je potrebno odpovedati kompletnosti kvantne mehanike, ali pa se je potrebno sprijazniti, da gibalna količina in

3 Vasja Susič EPR paradoks 3(18) pozicija delca ne moreta biti hkrati določeni. Kvantna mehanika torej ne more biti hkrati kompletna in realistična. Tej nezdružljivosti pravimo tudi Einstein-Podolsky-Rosen paradoks oziroma na kratko EPR paradoks. Medtem ko so prvotni avtorji zavračali kompletnost, pa dandanes vse kaže, da je realizem tisti, ki se mu moramo odpovedati in je torej potrebno sprejeti ortodoksni pogled. V seminarju si bomo poleg originalnega EPR članka ogledali odgovor Erwina Schrödingerja, ki je bil objavljen v seriji treh člankov [2]. Schrödinger je v njem zagovarjal kvantno mehaniko in ortodoksni pogled, da vnaprejšnja določenost pozicije in gibalne količine ni nujna. V teh člankih je tudi prvič omenjen koncept kvantne prepletenosti, ki je tesno povezan z EPR paradoksom. V sklopu teoretičnega ozadja si bomo ogledali tudi Bohmov predlog diskretnega EPR eksperimenta, kjer argumente EPR paradoksa lahko uporabimo za singletno stanje spinov dveh delcev. V vsakem seminarju o EPR paradoksu je seveda tudi nujna vsaj omemba Bellovih neenačb, ki so neke vrste nadaljevanje EPR argumentacije, kjer skušamo razširiti kvantno mehaniko s skritimi spremenljivkami. V drugem delu seminarja se posvetimo eksperimentalnemu preverjanju EPR paradoksa. Na kratko opišemo prehod iz miselnega eksperimenta na praktično izvedljiv poskus. Na področju EPR tematike so sicer še posebej priljubljene Bellove neenačbe, a v tem seminarju se bomo raje usmerili k poskusom, ki direktno realizirajo prvotno zamišljen EPR eksperiment brez Bellovih neenačb. Sledili bomo aktualnemu pregledu tega področja, kot je predstavljeno v pred kratkim objavljenem članku Colloquium: The Einstein Podolsky Rosen Paradox: From concepts to applications [3]. Slika 1: Trojica EPR: Albert Einstein ( ) [4], Boris Podolsky ( ) [5] in Nathan Rosen ( ) [6]. 1 Teoretično in zgodovinsko ozadje 1.1 Originalni EPR članek kompletnost in lokalni realizem Celotna z EPR paradoksom povezana tematika izhaja iz članka z naslovom Can Quantum- Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?, ki so ga Albert Einstein, Boris Podolsky in Nathan Rosen objavili leta 1935 v reviji Physical Review [1].

4 Vasja Susič EPR paradoks 4(18) Zato bomo seminar začeli z vsebino tega zgodovinskega članka, ki je bil gonilo za vsa nadaljna raziskovanja tega področja. Pri oceni uspešnosti fizikalne teorije si je po mnenju avtorjev članka potrebno zastaviti naslednji vprašanji: 1. Ali je dana teorija pravilna? Zahtevamo namreč skladnost teorije z eksperimenti. 2. Ali je opis, dan s teorijo, kompleten? Avtorji se v definicijo kompletnosti ne spuščajo; kot potrebni pogoj zahtevajo, da za vsak element realnosti lahko najdemo ustrezen element v teoriji. Z drugimi besedami: da smo z našo teorijo res opisali, vse kar je. Za potrebe tega seminarja naj bo omenjeni pogoj za kompletnost tudi zadosten. Avtorji prav tako operirajo s konceptom imenovanim realizem, za katerega navedejo naslednji kriterij kot zadostni pogoj: če lahko vrednost neke fizikalne količine predvidimo z gotovostjo (verjetnostjo 1) na način, da merjeni sistem ne zmotimo, potem obstaja element realnosti, ki ustreza tej fizikalni količini. Temu konceptu se denimo klasična mehanika podreja, avtorji pa so bili o tem prepričani tudi za kvantno mehaniko. Bralca najprej na hitro spomnimo, kako je kvantna mehanika formulirana: tu bomo našteli lastnosti, ki so relevantne za nadaljno diskusijo o članku. Kvantno opišemo sistem z valovno funkcijo Ψ, pri kateri je število prostostnih stopenj odvisno od sistema, vedno pa so njena kodomena kompleksna števila C. Množica možnih stanj za sistem tvori funkcijski prostor, ki je Hilbertov (vektorski prostor s skalarnim produktom, ki je poln v normi, ki jo skalarni produkt naravno porodi; operaciji seštevanja in množenja s skalarjem sta za funkcije definirani po točkah ). V interpretaciji kvantne mehanike navedemo, da so fizikalne količine v tej teoriji hermitski operatorji ( =  ), ki so (gosto) definirani na Hilbertovem prostoru valovnih funkcij in imajo za svojo kodomeno isti Hilbertov prostor. Lastno stanje operatorja  : H H je taka valovna funkcija Ψ, da velja ÂΨ = A Ψ, kjer A C. Ker je  hermitksi operator, je A R. Eden od postulatov kvantne mehanike zahteva, da pri merjenju fizikalne količine, ki je v teoriji predstavljena z operatorjem Â, lahko izmerimo le eno od lastnih vrednosti operatorja Â, meritev pa poleg tega povzroči tudi kolaps valovne funkcije: valovna funkcija se projecira na lastni podprostor izmerjene lastne vrednosti in nato renormalizira. Po zgoraj povedanem dana fizikalna količina ustreza kriteriju realizma, če se sistem nahaja v enem od lastnih stanj ustreznega operatorja: projekcija na lastnem podprostoru deluje enako kakor identiteta. Stanjem, ki niso lastna za dani operator, pa s stališča, ki ga privzamejo avtorji članka, ne moremo direktno izmeriti pripadajoče fizikalne količine, ker z meritvijo sistem zmotimo (in ga prisilimo v eno od lastnih stanj, s čimer uničimo informacijo o prvotnem stanju). Hkratno poznavanje dveh fizikalnih količin, katerih pripadajoča operatorja  in ˆB ne komutirata ([Â, ˆB] =  ˆB ˆB 0), ni možno: lastna funkcija enega od operatorjev ni lastna funkcija drugega, zato bi morali z direktno meritvijo obeh stanje sistema spremeniti. Avtorji EPR članka so napravili naslednjo logično analizo: velja (a) (b), kjer (a) Kvantna mehanika, formulirana z valovno funkcijo, ni kompletna. (b) Če operatorja dveh količin ne komutirata, potem za ti dve količini kriterij realizma hkrati ne more biti izpolnjen. To res velja, kajti če (b) ni res, torej če je kriterij realizma za količini z nekomutirajočima operatorjema hkrati izpolnjen, bi informacijo o obeh količinah morala vsebovati valovna

5 Vasja Susič EPR paradoks 5(18) funkcija Ψ, kar pa ni res torej teorija ni kompletna. Kot primer pomanjkanja informacije si lahko ogledamo ravni val ψ(x) = e ip 0x/. (1) Ta ima informacijo o gibalni količini, ker ˆp x ψ = i x ψ = p 0 ψ, a nima informacije o prostorski koordinati, ker ˆxψ = xψ x 0 ψ za vse x 0 R. Pomembno je še, da imata izbrani količini nekomutirajoča operatorja [ˆx,ˆp] = i I ˆ0. Z dokazom, da je tudi za nekomutirajoča operatorja kriterij realizma lahko hkrati izpolnjen, torej z dokazom (b), bi ob upoštevanju (a) (b) dobili logično posledico, da velja (a): kvantna mehanika ni kompletna. To je zaključek, do katerega pridejo avtorji v originalnem EPR članku, s tem da dokažejo negacijo trditve (b) na sledeči način. Zamislimo si miselni eksperiment, pri katerem imamo dva sistema, označimo ju z A in B, katerih stanje ob t = 0 poznamo, za čase t med 0 in t 0 sistema interagirata, za t > t 0 pa ni več interakcije med sistemoma (slika 2). Valovno funkcijo Ψ celotnega sistema A + B lahko določimo s Schrödingerjevo enačbo; denimo, da jo določimo ob nekem dovolj poznem času t 1, tako da t 1 > t 0. Denimo, da sta Û in ˆV operatorja za dve fizikalni količini, ki ju želimo meriti za sistem; lastne vrednosti operatorjev uredimo in jih označimo z U n in V n, kjer n teče po naravnih številih, pripadajoče lastne funkcije pa z u n in v n (te sestavljajo kompleten sistem). Skupno valovno funkcijo Ψ lahko razvijemo tako po eni kot po drugi bazi prostora. Dobimo Ψ(x A,x B ) = ψ n (x A ) u n (x B ) = n=1 ϕ n (x A ) v n (x B ). (2) Tu smo z x A označili prostostne stopnje sistema A, z x B pa prostostne stopnje sistema B. Do razvoja v enačbi (2) smo prišli tako, da smo x A fiksirali (gledamo pri dani konfiguraciji sistema A), nato pa valovno funkcijo, ki je odvisna le še od x B, razvijemo po izbrani bazi (sistema B). Tako so ψ in ϕ koeficienti razvoja, ki pa se s konfiguracijami sistema A lahko spreminjajo (zato so to funkcije spremenljivk x A ). Z merjenjem količine Û ali ˆV sistema B dobimo le en člen v zapored prvi in drugi vsoti enačbe (2): npr. Ψ(x A,x B ) = ψ k (x A )u k (x B ) in Ψ(x A,x B ) = ϕ l (x A )v l (x B ). Tu sta pripadajoča faktorja ψ k (x A ) in ϕ l (x A ) kar valovni funkciji sistema A (potrebna je sicer še renormalizacija). Lahko se zgodi, da so funkcije ψ k in ϕ l (za vse k,l N) zaporedoma lastne funkcije nekih operatorjev ˆP in ˆQ za sistem A, kjer [ ˆP, ˆQ] ˆ0. Z merjenjem Û ali ˆV sistema B lahko potemtakem posredno določimo vrednosti količin nekomutirajočih operatorjev ˆP in ˆQ za sistem A: z meritvijo pri B lahko ustrezno količino pri A določimo z gotovostjo, tako da ta določitev ne vpliva na sam sistem A, ker je po predpostavki sistem A izoliran od sistema B. Količini za ˆP in ˆQ potemtakem obe zadoščata kriteriju realizma, s čimer kršimo trditev (b): ravno to smo pa tudi želeli pokazati. Poudariti je še potrebno, da pri merjenju dveh količin sistema B z različnima projekcijama dobimo dve različni valovni funkciji za A: avtorji so sklepali, da lahko danemu stanju ustreza več valovnih funkcij. Prepričajmo se, da do opisane situacije z operatorji Û, ˆV, ˆP in ˆQ res lahko pride. Naj bo valovna funkcija ob času t 1 n=1 Ψ(x A,x B ) = e i(x B x A x 0 )p/ dp = 2π δ(x x A x 0 )δ(x x B ) dx. (3)

6 Vasja Susič EPR paradoks 6(18) Slika 2: Shema EPR eksperimenta, ko za 0 < t < t 0 sistema A in B interagirata, nato pa ju za t > t 0 med seboj ločimo. Če pri B merimo Û ali ˆV, bi lahko ob predpostavki lokalnosti določili ˆP ali ˆQ za sistem A, ne da bi ta sistem zmotili. Sistem A bi imel potemtakem ostro določena P in Q, četudi njuna operatorja ne komutirata. Tu smo uporabili razvoj po dveh zveznih spektrih (zato integrali in ne vsote); Û = ˆp B = i xb, ˆV = ˆxB, ˆP = ˆpA, ˆQ = ˆxA, ter po vrsti ustrezne lastne funkcije u p (x B ) = e ixbp/, v x (x B ) = δ(x x B ), ψ p (x A ) = e i(x A x 0 )p/, ϕ x (x A ) = 2π δ(x x A x 0 ). Z δ smo označili Diracovo delta funkcijo, z x 0 pa neko konstanto; normalizcije valovnih funkcij nas tu ne bodo skrbele. Res velja, da Ψ = ψ p u p dp = ϕ x v x dx, ter [ˆx A,ˆp A ] ˆ0. Ta primer opisuje situacijo, ko sta podsistema A in B kar dva delca, ki imata gibalni količini po vrsti p in p (letita v nasprotnih smereh), razdalja med njima pa je x 0 (slika 3). Slika 3: Zvezni EPR eksperiment: delca A in B, ki imata v danem trenutku popolnoma korelirano pozicijo in popolnoma antikorelirano gibalno količino. Za konec analize EPR članka naj še omenimo, da zahteva, da fizikalni količini sistema A hkrati zadoščata kriteriju realizma, še ne pomeni, da ju lahko določimo hkrati (potem bi morali tudi hkrati izmeriti količini sistema B, kar pa ni nujno mogoče). Omenjena zahteva pomeni le, da sta v danem trenutku obe količini sistema A ostro določeni, in lahko katerokoli od obeh z gotovostjo določimo, ne da bi zmotili sistem A vsako izbrano količino lahko določimo, ne moremo pa nujno določiti več količin hkrati. Avtorji članka možnost strožje oblike realizma, kjer zahtevamo, da lahko vse fizikalne količine danega nabora z gotovostjo in brez motnje določimo hkrati, za kvantno mehaniko zavržejo na podlagi naslednjega razmisleka: fizikalni količini nekomutirajočih operatorjev nikoli ne moremo določiti hkrati, zato tudi ne moreta biti del istega nabora. Naša izbira, kaj merimo pri B, bi tako vplivala na to, katera količina pri A je ostro določena in katera ne, kar pa je po mnenju avtorjev absurdno. Popravljeni pogoj (b ), ko v (b) zamenjamo realizem s strogi realizem, bi bil vedno izpolnjen, zato bi trivialno tudi veljala disjunkcija (a) (b ). Sklep članka EPR, da kvantna mehanika ni kompletna, se je izkazal kot vprašljiv. Disjunkcija (a) (b) logično velja, ampak pri dokazu negacije (b)-ja so avtorji implicitno

7 Vasja Susič EPR paradoks 7(18) predpostavili, da sistema A in B res lahko izoliramo, tako da meritve pri B ne vplivajo na A, in količine pri A res določamo, ne da bi zmotili ta sistem. Predpostavki, da lahko merjenje sistema B povzroči spremembo na sistemu A le, če sta sistema v neposrednem stiku (ko je med njima interakcija), pravimo lokalnost. EPR članek je torej v resnici pokazal, da ob predpostavki lokalnosti hkratna veljavnost kompletnosti kvantne mehanike in realizma vodi do protislovja. Zavreči torej moramo kompletnost kvantne mehnike ali pa lokalni realizem, tj. lokalnost in realizem). To je zgodovinsko gledano sprožilo številne dvome o veljavnosti lokalnega realizma (in ne kompletnosti, kot so upali avtorji), ki se ga je pred objavo tega članka običajno implicitno privzemalo. 1.2 Schrödinger in kvantna prepletenost Leta 1935 in 1936 je Erwin Schrödinger napisal zaporedje treh člankov, v katerih je opisal takratno stanje v kvantni mehaniki [2]. V teh člankih je Schrödinger med drugim komentiral EPR paradoks, znani so pa tudi zaradi prve omembe koncepta Schrödingerjeve mačke. V tem podrazdelku bomo povzeli način razmišljanja Schrödingerja, ki se povsem razlikuje od načina avtorjev EPR; v tem članku je bil tudi prvič omenjen koncept kvantne prepletenosti, ki je tesno povezan z EPR eksperimentom. Po mnenju Schrödingerja si je valovno funkcijo potrebno predstavljati kot katalog pričakovanj za fizikalni sistem; ta katalog vsebuje verjetnosti nahajanja za različna lastna stanja operatorjev. Časovni razvoj valovne funkcije med meritvami enolično določa Schrödingerjeva enačba katalog pričakovanj se s časom spreminja. Če na sistemu opravimo meritev, pride v trenutku do spremembe valovne funkcije; sprememba je odvisna od izmerjene vrednosti, zato je ne moremo predvideti vnaprej (ne vemo vnaprej, na kateri podprostor bomo Ψ projecirali). Razumevanje meritve kvantnega sistema je po Schrödingerju ključno, saj se moramo prav na tej točki odpovedati realizmu. Ko merimo določeno fizikalno količino kvantnega sistema, nismo izmerili njene prave vrednosti, temveč pred meritvijo ta fizikalna količina sploh ni imela določene vrednosti. Ta količina dobi vrednost šele po opravljeni meritvi, kar pa v skladu s principom ponovljivosti lahko preverimo z naknadnimi meritvami te količine, ki bi nam vrnile isto vrednost (če vmes nič ni zmotilo našega sistema). Koncept vnaprej določenih fizikalnih količin, kot ga pozna realizem, tako po mnenju Schrödingerja ni aplikabilen na kvantno mehaniko. S stališča klasične fizike valovna funkcija nima vseh informacij o sistemu, saj količin z nekomutirajočimi operatorji ne moremo izmeriti hkrati. To dejstvo je vgrajeno v kvantno teorijo že na matematičnem nivoju, zato se moramo hkratnemu poznavanju vseh količin odpovedati. Namesto tega gledamo na valovno funkcijo kot katalog, ki nam da najboljše možno poznavanje nekega sistema to poznavanje je maksimalno. Sprememba valovne funkcije takoj po meritvi odraža novo pridobljeno informacijo o sistemu; nova valovna funkcija ne vsebuje vseh informacij, ki jih je stara, a hkrati je količina informacij za novo stanje tudi maksimalna. To pomeni, da nekatere resnične izjave za staro valovno funkcijo niso več resnične za novo, torej se je z meritvijo stanje sistema moralo spremeniti. Poleg tega Schrödinger trdi, da vsakemu fizikalnemu stanju ustreza natanko ena valovna funkcija, sicer nam poznavanje valovne funkcije ne bi dalo maksimalnega poznavanja tega stanja. Z zgornjim pristopom zdaj lahko analiziramo, kaj bi se intuitivno lahko dogajalo pri EPR eksperimentu. Najprej sta sistema A in B ločena, kar pomeni, da imamo lahko valovno funkcijo (katalog pričakovanj) za vsakega od obeh sistemov. Ko pa sistema med

8 Vasja Susič EPR paradoks 8(18) seboj interagirata, moramo preiti na skupno valovno funkcijo, ki je zaradi interakcije ne moremo več razbiti na valovni funkciji podsistemov temu rečemo kvantna prepletenost. Četudi nato sistema A in B ločimo, imamo še vedno le skupno valovno funkcijo, ki pa nam podaja maksimalno (v principu možno) poznavanje skupnega sistema. Pri tem izgubimo poznavanje posameznih delov tega sistema na račun informacij, ki povezujejo količine enega in drugega sistema (korelacije količin med sistemoma). Z meritvami sistema B lahko preko teh informacij posredno tudi določimo stanje sistema A. Matematično rečemo, da je valovna funkcija Ψ(x A,x B ) separabilna, kadar jo lahko zapišemo kot direktni produkt funkcij za podsistema A in B, v Diracovem zapisu Ψ = ψ A ϕ B. (4) Stanje je prepleteno, če ni separabilno. Skupna valovna funkcija se torej nahaja v Hilbertovem prostoru H = H A H B, kjer sta H A in H B po vrsti Hilbertova prostora stanj za podsistema A in B. V skupnem prostoru H imamo poleg separabilnih stanj torej tudi njihove linearne kombinacije. Matematični proces, kako s pomočjo poznavanja prepletene valovne funkcije in meritve pri B določimo A, je opisan že v razdelku 1.1 ostane le en (renormaliziran) člen v enačbi (2). Fenomen prepletenosti in skupne valovne funkcije je Schrödinger povzel z naslednjimi besedami: maksimalno poznavanje celotnega sistema ne pomeni nujno maksimalnega poznavanja njegovih posameznih delov. Koncept prepletenosti nam omogoči tudi boljše intuitivno razumevanje meritve. Po Schrödingerju merjeni sistem in merilni instrument skupaj sestavljata sistem. Pred meritvijo je stanje celotnega sistema separabilno, a pri opravljanju meritve obe komponenti sistema interagirata. Zato dobimo prepleteno stanje merjenca in merilne naprave. Šele ko mi pogledamo zabeleženo vrednost na merilni napravi, smo oba sistema ločili (razpletli). Intuitivno si seveda predstavljamo, da s tem miselnim dejanjem nismo na daljavo vplivali na merjeni objekt, katerega stanje zdaj poznamo. Kolaps valovne funkcije objekta pri meritvi je torej v resnici konstrukcija nove valovne funkcije po obdobju, ko sta objekt in merilna naprava interagirala; v času interakcije merjeni objekt ni imel lastne valovne funkcije (obstajalo je le prepleteno stanje z merilno napravo). 1.3 Bohm in Bell Zvezni EPR paradoks z dvema gibajočima se delcema je presegal eksperimentalne zmožnosti časa, v katerem je izšel originalni EPR članek. Alternativno izvedbo EPR eksperimenta si je zamislil David Bohm leta Eksperiment, znan pod imenom EPR Bohmov eksperiment, bi ponovno vključeval dva delca, a tokrat nas ne bi zanimali pozicija in gibalna količina teh delcev, temveč spin v smereh glavnih osi izbranega koordinatnega sistema (slika 4). Delca bi imela spin 1/2 in bi bila v singletnem prepletenem stanju. Skupno valovno funkcijo tega stanja (oziroma njen spinski del) imenujemo EPR-Bohmovo stanje, še bolj pogosto pa Bellovo stanje, ker je za to stanje John Bell izpeljal svoje slavne neenačbe, ki jih bomo zgolj omenili na koncu tega razdelka. Bellovo stanje zapišemo kot Ψ Bell = 1 ( ) 1/2 A z 1/2 B z 1/2 A z 1/2 B z. (5) 2

9 Vasja Susič EPR paradoks 9(18) Zgoraj smo z A z in B z po vrsti označili lastna stanja operatorjev spina ŜA z in ŜB z za delca A in B, tako da smo v ketu zapisali lastno vrednost stanja. Za komponente operatorja spina ˆ S velja, da je njihov medsebojni komutator [ Ŝ k,ŝl] = iɛ klm Ŝ m, kjer je i imaginarna enota, k,l,m {1,2,3}, ɛ klm Levi Civita antisimetrični tenzor, osi x,y in z pa smo po vrsti zaznamovali s številkami 1,2,3. Za nas bo na tem mestu pomembno predvsem to, da komutator operatojev spina v poljubnih dveh različnih smereh ni enak ˆ0. To pomeni, da lahko naenkrat izmerimo le spin v eni smeri. Slika 4: Diskretni EPR-Bohm eksperiment: delca A in B sta v singletnem stanju. Delcu A bi lahko določili spin v eni od smeri osi koordinatnega sistema, če bi izmerili to komponento delcu B. Poglejmo, kako bi se Bellovo stanje izrazilo z bazo lastnih stanj obeh delcev še v smereh x in y. Aktivna rotacija spina posameznega delca se lahko izrazi z Ûa = e iα n ˆ S/, kjer je n smer osi in α kot vrtenja okoli te osi (v pozitivni smeri po pravilu desnega vijaka). Po razvoju eksponentne funkcije v Taylorjevo vrsto dobimo rezulat Û a = cos(ϕ/2)î i( n ˆ σ) sin(ϕ/2), (6) kjer smo s ˆ σ označili trojico Paulijevih matrik. Mi želimo pasivno rotacijo, saj želimo znana lastna stanja za Ŝz zapisati v drugi bazi: to dobimo s transformacijo α α, kar pri enačbi (6) povzroči prištevanje drugega člena. V naših primerih želimo zavrteti z os v smer x ali y osi, kar se zgodi pri α x = α y = π/2, n x = (0,1,0), n y = ( 1,0,0). Ko oboje vstavimo v enačbo za pasivno rotacijo, dobimo ( ax b x ( ay b y ) = (Î + iˆσ 2)/ 2 ) = (Î iˆσ 1)/ 2 ( az b z ( az b z ) ) 1/2 z = 1 2 ( 1/2 x 1/2 x ), (7) 1/2 z = 1 2 ( 1/2 x + 1/2 x ), (8) 1/2 z = 1 2 ( 1/2 y i 1/2 y ), (9) 1/2 z = 1 2 ( i 1/2 y + 1/2 y ). (10) Dobljene vrednosti vstavimo za oba delca v enačbo (5), ter dobimo za Bellovo stanje v novih bazah

10 Vasja Susič EPR paradoks 10(18) Ψ Bell = 1 ( ) 1/2 A x 1/2 B x 1/2 A x 1/2 B x, (11) 2 Ψ Bell = 1 ( ) 1/2 A y 1/2 B y 1/2 A y 1/2 B y. (12) 2 Vidimo, da je Bellovo stanje singletno, ne glede na to, v kateri od treh smeri osi ga zapišemo. Pri EPR Bohm eksperimentu bi merili komponento spina delca B v smeri x, y ali z, s tem bi pa lahko določili komponento spina delca A za isto os (vrednost spina za A bi bila v dani smeri ravno nasprotna kot za B, kot vidimo iz enačb (5), (11) in (12)). Ob predpostavki lokalnosti, bi meritev izvedli, ne da bi delec A zmotili, kar pomeni da bi v skladu z realizmom imel delec A že vnaprej določene komponente spina v vseh treh smereh, četudi valovna funkcija take informacije ne more vsebovati kvantna mehanika ne bi bila kompletna. Z zgornjim argumentom smo se prepričali, da gre tu res za izvedbo EPR eksperimenta. Leta 1964 je John S. Bell objavil svoj članek [7], v katerem je pokazal, da kvantna mehanika za Bellovo stanje napove drugačne rezultate kot teorije z lokalnimi skritimi spremenljivkami. Slednje so take teorije, ki bi po predlogu EPR skušale dopolniti kvantno teorijo, tako da bi naključnost kvantne mehanike odpravili z uvedbo novih spremenljivk (fizikalnih količin): te bi bile tisti v kvantni mehaniki manjkajoči elementi realnosti, ki bi deterministično določili razvoj sistema. Glavni rezultat Bellovega članka so bile tako imenovane Bellove neenačbe, ki bi veljale v primeru teorije s skritimi spremenljivkami če bi jih eksperimentalno kršili, bi s tem lahko zavrgli teorije z lokalnimi skritimi spremenljivkami in posledično tudi lokalni realizem. 2 Meritve paradoksa EPR 2.1 Od miselnega k pravemu eksperimentu Predlagani zvezni EPR eksperiment iz originalnega EPR članka je bil po svoji naravi miselni eksperiment. Z merjenjem gibalne količine delca B bi poznali gibalno količino delca A, ista implikacija velja tudi za ustrezni poziciji. A v praksi z meritvami omenjenih količin zgolj za delec B ne bi mogli narediti nikakršnega zaključka. Sklepanje, kakšna je vrednost količin delca A, mora biti v praksi podprta še z meritvami teh količin. Ker meritvi pri A in B v praksi ne moremo izvesti istočasno, zahtevamo, da je pri danem δt obeh meritev razdalja med delcema dovolj velika: želimo, da sta delca kavzalno nepovezana. Kavzalnost je princip, da lahko na dani dogodek vplivajo le tisti dogodki, ki so znotraj svetlobnega stožca, ki izvira iz prvotnega dogodka in se širi nazaj v času. Še drugače rečeno: na dani dogodek lahko vplivajo le tisti, ki so se časovno zgodili pred njim, in še to dovolj blizu, da je svetloba lahko pripotovala od enega do drugega. To je v skladu s teorijo relativnosti, kjer se informacije ne morejo širiti hitreje kot svetloba. V realnih eksperimentih EPR paradoksa zato zahtevamo, da sta delca kavzalno ločena, da delec B ne more sporočiti rezultata naše meritve delcu A, preden uspemo izvesti meritev še na slednjem. Eksperimentalni pogoj dovolj velike oddaljenosti, da sta sistema kavzalno nepovezana, lahko zapišemo z enačbo L > c( t A t B + t), (13)

11 Vasja Susič EPR paradoks 11(18) kjer smo z L označili razdaljo med sistemoma, s c svetlobno hitrost, s t A in t B časa letov obeh sistemov (do trenutka začetka obeh meritev), z t pa trajanje meritve posameznega sistema. Pomembno je ločiti tri vrste eksperimentov, povezanih z EPR tematiko, ki demonstrirajo različne fenomene: 1. Kvantna prepletenost: z eksperimenti, za katere pravimo, da demonstrirajo kvantno prepletenost, preverjamo prepletenost dveh sistemov da z interakcijo med sistemoma A in B res pride do prepletenega stanja, ki ga lahko opišemo zgolj s skupno valovno funkcijo. Eksperimentalno tu preverjamo korelacije med sistemoma A in B. Pri EPR Bohmovemu eksperimentu bi tako na primer preverjali, ali je spin delca A res vedno nasproten spinu delca B. Oba sistema sta kavzalno ločena, da delec B ne more sporočiti rezultata naše meritve delcu A: s tem preverjamo, da pride do kolapsa skupne valovne funkcije po vsem prostoru hkrati. Pogosto rečemo, da kvantna prepletenost kaže na nelokalnost, saj z meritvijo sistema B lahko v trenutku vplivamo na sistem A, četudi je ta na drugem koncu vesolja ( vplivanje na daljavo ). A ne smemo pozabiti, da izmerjene korelacije še vedno ne izključujejo možnosti, da sta bili merjeni količini obeh sistemov v resnici že ves čas določeni (kvantna mehanika tega ne predvidi, zato ne bi bila kompletna). 2. Merjenje EPR paradoksa: tako pravimo eksperimentom, ki z meritvami demonstrirajo nekonsistentnost lokalnega realizma in kompletnosti kvantne mehanike, torej eksperimentalno demonstrirajo EPR paradoks. V seminarju še nismo opisali, kakšne meritve bi bilo za tovrstno demonstracijo v praksi potrebno napraviti: to je predmet naslednjih podrazdelkov. Uspešna izvedba eksperimenta z EPR paradoksom bi implicirala tudi kvantno prepletenost, saj brez slednje določanje količin A z merjenjem pri B ni več možno (to pa je ravno osrednja ideja EPR). Demonstracija EPR paradoksa tako da močnejšo trditev kot sama kvantna prepletenost, a jo je eksperimentalno težje preveriti. 3. Merjenje Bellovega teorema: ti eksperimenti skušajo dobiti zbirko meritev, ki krši Bellove neenačbe oziroma njihove posplošitve (idejo Bellovega članka lahko apliciramo tudi na druge primere, ne samo na Bellovo stanje in merjenje spinov). Kršenje Bellovih neenačb bi zavrglo teorije s skritimi spremenljivkami, kar pa bi posredno demonstriralo tudi EPR paradoks in kvantno prepletenost. Morebitni ugodni rezultati teh eksperimentov bi tako od vseh treh vrst imeli največje posledice, a se eksperimentalno izkaže, da je Bellove neenačbe tudi najtežje kršiti. Na tem mestu bomo povzeli rezultate eksperimentov tipa 1 in 3. Za kvanto prepletenost je bilo leta 2008 določeno, da ustrezne korelacije meritev sisemov A in B veljajo pri zelo velikih medsebojnih razdaljah, relativno glede na časovni razmak obeh meritev: morebitni signal, ki bi ga sistem B poslal, bi moral potovati s faktorjem vsaj 10 4 svetlobne hitrosti [8]. Eksperimenti, ki želijo potrditi kršenje Bellovih neenačb, so sicer med najbolj popularnimi. Večinoma opravljajo meritve na paru prepletenih fotonov, ki letita vsak v svojo smer. Največja eksperimentalna težava so pri teh poskusih detektorji fotonov, ki posamezen foton zaznajo le z verjetnostjo okoli 5%. Tovrstni eksperimenti zato za zdaj ne morejo ovreči vseh možnih teorij s skritimi spremenljivkami, a so že uspeli zavreči večino najbolj zanimivih, zato vse kaže, da predpostavka lokalnega realizma ne velja ([3], str. 1732).

12 Vasja Susič EPR paradoks 12(18) Preostanejo le še eksperimenti tipa 2, torej merjenje EPR paradoksa, ki si jih bomo v tem seminarju ogledali nekoliko podrobneje. 2.2 Eksperimentalni kriteriji za EPR paradoks V tem podrazdelku si bomo ogledali predvsem primere, ko merimo zvezni spremenljivki x in p, torej zvezni EPR eksperiment (podrazdelek temelji na [3]). V miselnem poskusu imamo opravka z idealiziranim primerom, ko sta poziciji in gibalni količini delcev A in B eksaktno korelirani (z določitvijo količine delca A lahko eksaktno določimo to isto količino delcu B). V praksi tega seveda ni možno doseči, saj so naše meritve vedno obremenjene z napakami, poleg tega pa za dano stanje delca B v separabilnem skupnem stanju ni nujno, da najdemo delec A v lastnem stanju (izmerimo potem le eno od več možnih lastnih vrednosti). Zato je potrebno razširiti koncept lokalnega realizma na stohastični primer, kjer elementi realnosti niso točne vrednosti, ki bi jih izmerili z gotovostjo in ne da bi sistem zmotili, ampak verjetnostne porazdelitve: različne vrednosti pri merjenju pričakujemo z različno pogostostjo. S teoretičnega vidika so te porazdelitve seveda povsem določene s stanjem skupnega sistema, torej sledijo iz valovne funkcije. V primeru diskretnih spremenljivk bi te porazdelitve na primer imele ostre vrhove pri točno določenih lastnih vrednostih. V praksi povsem eksaktna meritev porazdelitve seveda ni možna, zato eksperimentalno pričakujemo, da se ostri vrhovi nekoliko razširijo zaradi merskih napak. Naj x A, x B, p A in p B označujejo izmerjene vrednosti ustreznih količin sistema A ali B, kot smo določili že v razdelku 1.1. Recimo, da smo za delec B izmerili x B in iz tega sklepamo, kaj bi izmerili za x A pri A. To oceno, ki je seveda odvisna od izmerjene vrednosti pri B, označimo z x o A (x B). Potem definiramo povprečno napako sklepanja o vrednosti x A za dane ocene x o A kot RMS ( root mean square, koren povprečja odstopanj) ustrezne porazdelitve, tako da velja δ 2 s(x A ) = ( x A x o A(x B )) 2P (xa,x B ) dx A dx B. (14) Z δ 2 s smo označili varianco sklepanja količine za tem simbolom, s P (x A,x B ) pa smo označili verjetnostno gostoto, da stanje sistema A + B najdemo blizu vrednosti x A in x B. Kot najboljša ocena za x o A pri dani izmerjeni vrednosti x B se izkaže pričakovana vrednost x A za pogojno verjetnostno porazdelitev P (x A x B ). Namreč pogojna varianca sklepanja, izražena kot δ 2 s(x A x B ) = ( x A x o A(x B )) 2P (xa x B ) dx A, (15) se za x o A (x B) = x A P (x A x B ) dx A spremeni v običajno varianco δ 2 (x A x B ) pogojne verjetnostne porazdelitve P (x A x B ). Kar se tiče notacije, naj omenimo še, da pogojne porazdelitve zaznamujemo z, kjer levo od te črte stojijo tekoče spremenljivke, desno pa tiste spremenljivke, katerih vrednosti smo fiksirali. Na primer P (x A x B ) pomeni verjetnostno porazdelitev P (x A,x B ), v kateri smo vrednost x B fiksirali, nato pa dobljeno funkcijo ene spremenljivke še renormalizirali, da pri izbranem x B velja P (x A x B ) dx A = 1. Nadalje definiramo še minimalno varianco sklepanja, tako da za vsak x B vzamemo za x o A optimalne

13 Vasja Susič EPR paradoks 13(18) ocene, in sicer pričakovane vrednosti ustrezne pogojne porazdelitve, ter pogojne variance ustrezno utežene seštejmo po vseh možnih rezultatih x B, torej V x A B = δ 2 (x A x B )P 0 (x B ) dx B. (16) Dogovorimo se, da bomo zaradi boljše preglednosti označevali porazdelitve, ki niso odvisne od spremenljivke x A, temveč zgolj od različnih možnosti za spremenljivko x B sistema B, z ničlo v indeksu, torej s P 0. Za splošno varianco sklepanja velja δs(x 2 A ) VA B x, saj nismo nujno vzeli optimalnih ocen za x o A. Kar smo do zdaj definirali za operator ˆx, lahko analogno definiramo tudi za operator ˆp, če v definicijah tega podrazdelka zamenjamo v vseh enačbah simbol x s simbolom p. Zdaj pa predpostavimo lokalni realizem. Potem se za merjenjem količine x A skriva spremenljivka µ x A : to je tisti element realnosti, katerega vrednost določi verjetnostno porazdelitev meritev vrednosti x A (v nestohastičnem lokalnem realizmu bi ta element realnosti določil eno samo vrednost x A, ki bi jo pri dani vrednosti µ x A z gotovostjo izmerili). Analogno naj µ p A predstavlja element realnosti, ki določa verjetnostno porazdelitev meritev količine p A. Po predpostavki realizma mora imeti delec A obe vrednosti µ x A in µp A določeni, četudi ju z meritvami porazdelitev eksperimentalno ne moremo določiti hkrati. Za vrednosti spremenljivke µ x A so primerne vrednosti x B, saj le te prav tako podajajo verjetnostne porazdelitve za x A : s poznavanjem x B vemo porazdelitev meritev x A, zato poznamo tudi vrednost µ x A (a zaradi lokalnosti z meritvijo x B ne vplivamo na vrednost µ x A ). Zato je tudi verjetnostna porazdelitev primerov, da ima delec A vrednost µx A enaka porazdelitvi rezultatov za x B s tem argumentom dobimo P (x A x B ) = P (x A µ x A ) ter P 0 (x B ) = P 0 (µ x A ). Ker ima sistem A hkrati določena oba elementa realnosti µx A in µp A (realizem), lahko govorimo o skupni verjetnostni porazdelitvi P (µ x A,µ p A ), ki je odvisna od obeh elementov (ta skupna porazdelitev je glavni razlog, zakaj smo vpeljali elemente µ A ). Omenimo še, da bomo po dogovoru bolj zavoljo preglednosti kot korektnosti označevali na novo vpeljane verjetnostne porazdelitve, ki so odvisne od spremenljivk µ x A in/ali µp A, z vijugo nad P -jem. Z zgoraj ugotovljenimi lastnostmi teh porazdelitev lahko zapišemo minimalno varianco sklepanja s spremenljivko µ x A namesto z x B kot V x A B = δ 2 (x A µ x A) P 0 (µ x A) dµ x A = δ 2 (x A µ x A) P 0 (µ x A,µ p A ) dµx A dµ p A. (17) V kvantni mehaniki je dobro poznan Heisenbergov princip nedoločenosti, Heisenbergova neenačba: za operatorja  in ˆB velja za poljubno stanje Ψ neenakost oz. δâδ ˆB 1 2 [Â, ˆB]. (18) V enačbi (18) smo označili pričakovane vrednosti operatorjev z  = Ψ Â Ψ, ter Â2 nedoločenosti z δâ =  2. V primeru ˆx =  in ˆp = ˆB bi dobili dobro znano enačbo δˆxδˆp /2 oziroma δˆxδˆp 1, če produkt merimo v enotah /2. Zdaj poleg lokalnega realizma, ki omogoča uvedebo µ x A in µp A, predpostavimo še kompletnost kvantne mehanike situacijo z elementi realnosti µ A lahko opišemo z valovnimi funkcijami. Potem

14 Vasja Susič EPR paradoks 14(18) običajna Heisenbergova neenačba δx A δp A 1 implicira neenačbo δ(x A µ x A ) δ(p A µ p A ) 1, saj se v vsaki valovni funkciji skriva porazdelitveni opis s spremenljivkama µ x A in µp A, ki sta za dano valovno funkcijo natanko določeni. Potem po definiciji pričakovane vrednosti in pravkar izpeljani neenakosti sledi δ(x A µ x A) δ(p A µ p A ) 2 = δ(x A µ x A) δ(p A µ p A ) 2 δ(x A µ x A) δ(p A µ p A ) P 0 (µ x A,µ p A ) dµx A dµ p A, (19) 1 P 0 (µ x A,µ p A ) dµx A dµ p A, (20) δ(x A µ x A) δ(p A µ p A ) 2 1. (21) Nadalje lahko upoštevamo po vrsti Cauchy Schwarzovo neenakost, zapis minimalne variance sklepanja v enačbi (17) skupaj z definicijo pričakovane vrednosti operatorja, ter možno neoptimalno izbiro ocen x o A, ter dobimo 1 δ 2 (x A µ x A) δ 2 (p A µ p A ) = V x A BV p A B δ2 s(x A )δ 2 s(p A ). (22) Ob predpostavkah kompletnosti in lokalnega realizma smo torej dobili neenakost δ s (x A )δ s (p A ) 1 (korenjena neenačba (22)). Ker smo to neenačbo izpeljali iz Heisenbergove neenačbe, a velja za povrečne napake sklepanja, ji pravimo tudi Heisenbergova neenačba sklepanja. Morebitna eksperimentalna potrditev negacije te enačbe, torej zveze δ s (x A )δ s (p A ) < 1, (23) bi demonstrirala EPR paradoks. Analogni postopek, kot smo ga v tem podrazdelku izvedli za količini x in p, bi lahko ponovili in izpeljali neenačbo za poljubni količini z nekomutirajočima operatorjema. Ugotovili smo torej, da se splača meriti pogojni verjetnosti P (x A x B ) ter P (p A p B ), tako da bi vedno pripravili enako stanje dveh delcev, nato pa pomerili količino delcu B in takoj nato isto količino (kavzalno ločenemu) delcu A, ter naredili statistiko meritev. Nato bi z izračunom povprečnih napak iz izmerjene statistike po metodi RMS preverili, ali smo zadostili kriteriju v enačbi (23). V praksi se izkaže, da merjenje pogojnih verjetnosti ni najbolj ugodno, zato se pogosto uporablja linearni kriterij ε 2 δ 2 (x A gx B )δ 2 (p A + g p B ) < 1, (24) ki ga je z nekoliko truda moč izpeljati iz kriterija v enačbi (23) ([3], str. 1734). Pri tem kriteriju sta g,g R (poljubni), prednost je pa ta, da ni potrebno meriti pogojnih porazdelitev (ni več napak sklepanja). Tu le pripravimo dano prepleteno stanje, opravimo meritev ustrezne linearne kombinacije, ter ta postopek ponavljamo in si beležimo statistiko. Seveda zahtevamo, da sta ustrezni meritvi delcev A in B (ki ju seštejemo/odštejemo) časovno dovolj blizu, da ne moreta biti kavzalno povezani. Za konec razdelka navedimo še en kriterij. V enačbo (24) vstavimo g = g = 1, ter upoštevamo neenakost ab (a 2 +b 2 )/2 (kvadrirana neenakost med geometrijsko in kvadratno

15 Vasja Susič EPR paradoks 15(18) sredino) za a = δ(x A x B ) in b = δ(p A + p B ). Iz neenačbe δ 2 (x A x B ) + δ 2 (p A + p B ) 2 zaradi δ(x A x B )δ(p A + p B ) < (δ 2 (x A x B ) + δ 2 (p A + p B ))/2 sledi neenačba (24) in s tem posledično tudi EPR paradoks. S simbolom D definiramo količino D ( ) δ 2 (x A x B ) + δ 2 (p A + p B ) /4. (25) To je še posebej praktičen parameter, saj D < 1/2 demonstrira EPR paradoks (je zadostni pogoj zanj), za D < 1 pa se izkaže, da je to dovoljšnja korelacija za kvantno prepletenost ([3], str. 1739), ki je manj strog kriterij od EPR paradoksa. 2.3 Eksperimenti in njihovi rezultati V praksi se eksperimentalno preverja EPR paradoks s kriterijem v enačbi (24) ali (25), oziroma njunih analogov za situacijo z drugimi fizikalnimi količinami. Običajno se eksperimentalno meri enega od naslednjih naborov količin: (a) pozicijo in gibalno količino (zvezni EPR eksperiment), (b) spin v različnih smereh (EPR Bohmov eksperiment), (c) polarizacije fotonov v dveh različnih smereh, (d) različne fazne amplitude elektromagnetnega valovanja. Kot zanimivost si bomo podrobneje ogledali eksperimentalno postavitev tipa (d), ker je le-ta največkrat uporabljena v praksi (slika 5). Za medij, v katerem pripravimo prepleteno stanje, uporabimo nelinearen kristal, tj. tak kristal, v katerem električna polarizacija P ni linearno odvisna od jakosti električnega polja E (v izrazu za P nastopajo poleg tenzorja drugega reda tudi tenzorji višjih redov). Če na ustrezen kristal svetimo z laserjem frekvence ω A + ω B, dobimo dve ločeni polji s frekvencama ω A in ω B, ki sta prepleteni in se razširjata iz kristala v različnih smereh. Vsako od valovanj vodimo v detektor, ki uporablja homodinski princip merjenja, kar bomo zdaj opisali v par stavkih. V detektorju se nahaja interferometer, kjer valovanje sistema A interferira z valovanjem ločenega vira s konstantno amplitudo (na sliki označeno z LO A ), pri čemer imata obe valovanji frekvenco ω A. Polpropustno zrcalo v interferometru je posrebreno tako, da sta odbiti in prepuščeni del valovanja iz EPR vira enaki, za valovanji iz lokalnega oscilatorja pa pride do fazne razlike π. Na preostalih krakih interferometra sta postavljeni fotodiodi, s katerima merimo vpadli energijski tok (oziroma njegovo časovno povprečje). Izkaže se, da je razlika tokov na obeh fotodiodah homodinskega detektorja premo sorazmerna ustrezni fazni amplitudi valovanja iz EPR vira. Slednji pojem potrebuje dodatno pojasnilo. Lokalno polje v homodinskem detektorju ima lahko različne faze θ glede na polje iz EPR vira. Za fazi θ = 0 in θ = π/2 definiramo po vrsti fazni amplitudi kot ˆX A = â + â in ŶA = i(â â), kjer je â bozonski operator polja iz EPR vira. Operatorja ˆX A in ŶA bosta opazljivki našega eksperimenta (res sta ta operatorja hermitska); zanju bi z izračunom komutatorja lahko iz neenačbe (18) izpeljali Heisenbergovo neenačbo za ta konkretni primer, nato pa posledično še kriterij podoben enačbi (24), kjer bi količina ˆX nastopala namesto ˆx, Ŷ pa namesto ˆp. Prej smo omenili, da je razlika tokov na fotodiodah homodinskega detektorja sorazmerna faznima amplitudama, torej količinama X ˆ A za θ = 0 in

16 Vasja Susič EPR paradoks 16(18) Slika 5: Eksperiment tipa (d): merjenje faznih amplitud dveh elektromagnetnih polj, ki smo ju med seboj prepletli. Za fazi lokalnih polj, ki sta pri posamezni izbiri na homodinskih detektorjih (kvadratna okvirčka) za A in B enaki, izberemo θ 1 = 0 in θ 2 = π/2. Vir: narisano po [3], str ˆ Y A za θ = π/2. Iz EPR vira torej izhajata dve polji, za kateri s homodinskima detektorjema izmerimo njuni fazni amplitudi. Signal polja B nato pomnožimo z nekim realnim faktorjem g in ga prištejemo ali odšejemo signalu iz detektorja za polje A. Z merjenjem fluktuacij kombiniranega signala pri dveh različnih zamikih θ tako lahko preverjamo neenakost δ 2 (X A gy A )δ 2 (X B + g Y B ) < 1, in s tem EPR paradoks. Ker sta g in g poljubna, ju empirično izberemo tako, da so eksperimentalno fluktuacije čim manjše (da čimlažje dosežemo želeno neenakost). Za konec si oglejmo še rezultate eksperimentov, ki so skušali meriti EPR paradoks. Spomnimo se, da sta zadostna pogoja za demonstracijo paradoksa ε 2 < 1 ali D < 0,5 (enačbi (24) in (25)). Rezultati so prikazani na sliki 6, kjer so razvrščeni po letih izvedbe. Mnogi eksperimenti so že dosegli območje EPR paradoksa; do zdaj je najboljši dosežen eksperimentalni rezultat ε 2 = 0,58. Včasih je možno napraviti oceno ε 2 tudi iz meritev, ki ne merijo direktno povprečnih odklonov porazdelitev; te ocene običajno vsebujejo dodatne predpostavke, zato so manj zanesljive kot direktne meritve. Najnižja ocenjena vrednost za tovrstne eksperimente je ɛ 2 = 0,42. Na sliki so ocenjeni rezultati označeni s kolobarji namesto s polnimi krogi. Iz prikazanih rezultatov lahko zaključimo, da je bil EPR paradoks tudi eksperimentalno demonstriran, ker rezultati poskusov ovržejo kompletno realistično teorijo kvantne mehanike.

17 Vasja Susič EPR paradoks 17(18) Slika 6: Zgodovina EPR eksperimentov: eksperimenti, kjer so določili ε 2 (zgoraj) in D (spodaj). Zadostni pogoj za EPR paradoks je ε 2 < 1 in D < 0,5, tip posameznega eksperimenta pa označuje barva. S kolobarjem so označeni eksperimenti, kjer so le ocenili vrednost na podlagi dodatnih predpostavk. Vir: narisano po [3], str Zaključek EPR paradoks se je skupaj s kvantno prepletenostjo izkazal kot ena pomembnejših tem pri razumevanju kvantne mehanike, še posebej njenih neklasičnih napovedi. Eksperimentalni podatki kažejo, da inherentna nezdužljivost kvantne mehanike kot kompletne teorije in lokalnega realizma dejansko obstaja. Čeprav se eksperimentalno paradoks pogosto preverja s kršenjem Bellovh neenačb, so direktni EPR eksperimenti kljub temu pomembni, saj je v praksi demonstracija kršitev Bellovih neenačb bistveno težja. Fenomena nelokalnosti in kvantne prepletenosti, katerih izvor lahko izsledimo prav v seriji člankov povezanih z EPR paradoksom, sta gonilo mnogih predlogov tehnološih aplikacij. Področje kvantne kriptografije je na primer pogojeno z razumevanjem omenjenih konceptov. Kot eksperimentalni izziv za same EPR eksperimente pa se v prihodnosti kaže zanimanje za kavzalno čimbolj ločene sisteme, ter merjenje prepletenih stanj z objekti, ki bi se bližali makroskopski skali.

18 Vasja Susič EPR paradoks 18(18) Literatura [1] A. Einstein, B. Podolsky in N. Rosen, Phys. Rev. 47, 777 (1935). Dostopno na: 1 ( ). [2] E. Schrödinger, Naturwiss. 23, 807 (1935). E. Schrödinger, Proc. Cambridge Philos. Soc. 31, 555 (1935). E. Schrödinger, Proc. Cambridge Philos. Soc. 32, 446 (1936). Prevod vseh treh dostopen na: ( ). [3] M. D. Reid et al., Rev. Mod. Phys 81, 1727 (2009). [4] [slika] Einstein1921 by F Schmutzer 4.jpg ( ). [5] [slika] ( ). [6] [slika] ( ). [7] J. S. Bell, Physics (Long Island City, N.Y.) 1, 195 (1964). [8] D. Salart et al., Nature 454, 861 (2008). Dostopno tudi na: ( )