הטכניון, חיפה / מרץ 1996

Transcript

1 4 "מחר 98" - פרוייקט חלוץ באצבע הגליל מודל לקידום החינוך המתמטי בבי"ס העל יסודי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל מוסד הטכניון למחקר ופיתוח המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים הנושא: פרויקטים לתלמידים - מבוא הוכן ע"י: צוות מתמטיקה, "מחר 98". תקציר: בחומר מבוא לתיק "פרוייקטים לתלמידים": מהו פרוייקט במתמטיקה, חשיבות הפעלת תלמידים בפרוייקטים, היערכות בית-ספרית להפעלת פרוייקטים במתמטיקה לתלמידים, אפיון אוסף הפרוייקטים המופיע בתיק הפרוייקטים, והצעה לאופן השימוש בתיק הפרוייקטים. כמו כן מובאת טבלה של ההצעות לפרוייקטים ותקציר של כל אחד מהם. בתקציר המלצה על אוכלוסיית יעד, המלצה לגבי שימוש במחשב בפרוייקטים המתאימים, ומידע על תחומי התוכן המתמטי הקשורים בפרוייקט. חומר זה מהווה חלק מחוברת "לעשות מתמטיקה - פרוייקטים לתלמידים". מילות מפתח: פרוייקט, חטיבת ביניים, חטיבה עליונה, חקירה רב-כיוונית, בניית מודלים, הערכת פרוייקט, אלגברה, פונקציות, גיאומטריה, הנדסה, גיאומטרית המישור, הנדסת המישור, הנדסת המרחב, מדידות, אנליזה, סטטיסטיקה, הסתברות, קומבינטוריקה, תורת המספרים, הנדסה אנליטית, לוגיקה, טופולוגיה, תורת הגרפים, מחשב, שיטת חקר. החומר פותח במסגרת: פרויקט, הטכניון, מרץ.1996 החומר מכיל בנוסף לעמוד הפתיחה: 19 עמודים. "פרוייקטים במתמטיקה רשימת שמות הפרוייקטים"

2 1 פרוייקטים במתמטיקה - טבעם ומטרתם ד"ר אורית זסלבסקי מהו פרוייקט במתמטיקה? משמעות המונח "פרוייקט במתמטיקה", בעיני, היא משימה או אוסף של משימות מתמטיות, הדורשות התמקדות ממושכת מעבר לשעות הלימוד הרגילות ושעורי הבית השוטפים. התעניינותו של התלמיד. משימות אלה צריכות להתאים ליכולתו ולתחום רצוי שהמשימות תזמנה לתלמידים מצבים של חקירה רב-כיוונית והעמקה (תוך ניצול מירבי של המחשב ככלי חקירה וחשיבה) העלאת השערות, בדיקתן, הוכחתן או הפרכתן. מרכיב של בניית מודלים פיסיים, מסקנות מהם. חיפוש במקורות, פרוייקט יכול לכלול גם ו/או איסוף נתונים בפועל ועיבודם תוך ניתוח והסקת תלמידים יכולים לעבוד על פרוייקט באופן אישי או שיתופי - עם חבריהם, מוריהם או הוריהם. פרוייקט יכול להתאים לרמות שונות של ידע ויכולת, ובפירוש אינו מיועד רק לתלמידים מצטיינים. ברוב המקרים אותו פרוייקט ניתן לביצוע בגילים שונים ובמידה שונה של העמקה. כאשר הפרוייקט מבוצע ע"י קבוצה ניתן לחלק את המשימות בין חברי הקבוצה, כך שכל חבר בקבוצה יוכל לתרום בהתאם לכישוריו האישיים. פרוייקט במתמטיקה יכול לקשר בין ההתנסויות והעיסוקים של התלמידים מחוץ לכותלי בית הספר וחומר הלימוד במתמטיקה. קשר זה הנו חיוני ביותר לפיתוח ההבנה של חומר הלימוד וליצירת מוטיבציה ללימוד מתמטיקה. פרוייקטים במתמטיקה מזמנים אפשרויות לקשר מפרה בין המתמטיקה למקצועות אחרים הנלמדים בבית הספר. למשל, מדעי הטבע, אומנויות ובמיוחד לשון והבעה בכתב. הרחבה של שני הנושאים האחרונים מופיעה במאמר המצורף של (1995). McConnell חשוב שכל פרוייקט יסתיים בעבודה הניתנת להצגה בדוכן תצוגה במסגרת כיתתית, בית-ספרית או ביריד אזורי. חשיבות הפעלת תלמידים בפרוייקטים למעורבות של תלמידים באופן פעיל בעבודה על פרוייקטים במתמטיקה והצגתם במסגרות שונות, יכולות להיות השלכות בעלות ערך בכיוונים הבאים: הגברת העניין בלימוד המתמטיקה; יצירת הזדמנויות להצלחה במתמטיקה; העמקה והעשרה מקצועית במתמטיקה; שינוי דגשים בלמידת המתמטיקה ובהערכתה; פיתוח יחס חיובי למתמטיקה וקירובה לעולם התלמיד; פיתוח יצירתיות וכלים לפתרון בעיות; פרוייקטים במתמטיקה טבעם ומטרתם / ד"ר אורית זסלבסקי

3 2 התנסות בלמידה חווייתית רבת עוצמה; עידוד האחריות והיזמה האישית של התלמידים; שיתוף פעולה בין מורים, תלמידים והורים בתהליך הלמידה; העלאת קרנה של המתמטיקה בעיני התלמידים, ציבור המורים, חברי ההנהלה והקהילה. הרחבה על ההשלכות החיוביות של עבודת תלמידים בפרוייקטים במתמטיקה, ניתן למצוא במאמרם המצורף של.(1995) Rudnick ו- Krulik היערכות בית-ספרית להפעלת פרוייקטים במתמטיקה לתלמידים אופן ההפעלה של הפרוייקטים לתלמידים והיקף ההפעלה יכולים להיות שונים מבית-ספר אחד למשנהו. חשוב שכל בית ספר יגבש לו דרך כיצד להפעיל תלמידים בפרוייקטים במתמטיקה. מעבר לתרומה הישירה ללימוד בכלל וללימוד מתמטיקה בפרט, יש כאן הזדמנות ליצור תחושה של "גאוות יחידה" ורצון לייצג את בית-הספר בכבוד. הצגת הפרוייקטים יכולה להיעשות ביריד בית-ספרי המשלב פעילויות במקצועות שונים ומשתף את בני משפחות התלמידים, או ביריד מתמטי אזורי בו יחידים וקבוצות מבתי-ספר שונים מייצגים את בית ספרם באמצעות הפרוייקטים שלהם. על מנת להיערך להפעלת הפרוייקטים לתלמידים יש לתת את הדעת לשאלות אחדות, כגון: איך לבנות שיתוף פעולה בין הגורמים השונים בביה"ס: ההנהלה, מרכז המקצוע, צוות מורי המתמטיקה, מורים ממקצועות אחרים, התלמידים והוריהם? לאילו כיתות להציע לעבוד על פרוייקטים במתמטיקה? האם כיתות שלמות יעבדו בפרוייקטים או רק בודדים שיגלו עניין? האם לתת לתלמידים בכיתה את אותו הנושא או לכל אחד נושא משלו? איך להעריך עבודה של תלמיד על פרוייקט במתמטיקה? איזו עזרה ניתן להושיט לתלמידים שיעבדו על פרוייקט? האם לפנות זמן להנחיה על חשבון שעורי המתמטיקה או בזמן אחר? מהו ההיקף הרצוי של פרוייקט? האם לתת בשנה פרוייקט אחד או יותר? האם עבודה על פרוייקט במתמטיקה תהיה חובה או רשות? בהכנת הדיון בבעיות הנ"ל ניתן להיעזר רבות בניסיונם של אחרים, כפי שהוא מופיע במאמר המצורף של McConnell.(1995) פרוייקטים במתמטיקה טבעם ומטרתם / ד"ר אורית זסלבסקי

4 3 אוסף ההצעות לפרוייקטים עד כה עיבד צוות הפרוייקט אוסף של יותר מ- 50 הצעות לפרוייקטים במתמטיקה לתלמידים. ההצעות מגוונות מן הבחינות הבאות: התכנים המתמטיים והקשר שלהם לתכנית הלימודים, רמות הקושי, סוגי הפעילויות, מידת הפתיחות של הפעילויות, מידת הפירוט בהנחיות למורה, וכיו"ב. אלה הן הצעות בלבד, וכל יזמה להציע משימות אחרות תבורך. מרבית הפרוייקטים כוללים דפים המיועדים לתלמיד, דפי "הערות למורה" המכילים הדרכה, עצות והצעות וכן תשובות לבעיות המרכזיות המופיעות בפרוייקט. (דפי "הערות למורה" מודפסים על נייר צבעוני כדי להבדילם מדפי הפרוייקט לתלמיד.) אוסף ההצעות לפרוייקטים מקובץ בקלסר לפי סדר אלף-ביתי של שמות הפרוייקטים, ולכל פרוייקט ניתן מספר סידורי. את הקלסר פותח פרק המבוא (מודפס על נייר בצבע בז') שמטרתו להנחות את המורה המעוניין להפעיל את תלמידיו בביצוע פרוייקטים במתמטיקה. בפרק המבוא נמצאים מלבד מאמר פתיחה זה: - רשימה בסדר אלף-ביתי של הפרוייקטים. - אוסף תקצירים של ההצעות לפרוייקטים במתמטיקה (מופיע בסדר אלף - ביתי). - טבלה של ההצעות לפרוייקטים המספקת נתוני מידע שונים על כל פרוייקט בנפרד, והמאפשרת לבדוק קשרים שונים בין הפרוייקטים. - שני מאמרים מתורגמים מאנגלית העוסקים בפרוייקטים במתמטיקה. - רשימת מקורות: המקורות בהם נעזרו חברי צוות הפרוייקט בהכנת ההצעות לפרוייקטים, וכן מקורות נוספים המכילים הצעות לפרוייקטים שונים במתמטיקה. הצעה לאופן השימוש בקלסר: רשימת שמות הפרוייקטים נותנת מידע ראשוני, אותו ניתן להרחיב ע"י עיון ברשימת התקצירים. הטבלה מספקת מידע נוסף על כל פרוייקט בנפרד, ומאפשרת אף לבדוק קשרים שונים בין הפרוייקטים ולסווגם לפי קריטריונים מסוימים. למשל: הפרוייקטים שבהם למחשב תפקיד מרכזי, פרוייקטים המתאימים בעיקר לחט"ב, וכו'... לאחר עיון ברשימות ובטבלה ניתן לבחור את ההצעות לפרוייקטים שבהן מעוניינים. בפרוייקטים שנבחרו לביצוע יש לצלם את הדפים לתלמיד לפי המספר הדרוש ולהחזיר את הדפים המקוריים לקלסר לשם שימוש חוזר. (מספר הפרוייקט, המופיע על שער הפרוייקט ובתחתית כל עמוד, אמור להקל על החזרת הפרוייקט למקומו בקלסר.) בשער של כל הצעה לפרוייקט מופיע שם חבר הצוות אשר פיתח, עיבד או תירגם את ההצעה לפרוייקט. לשם קבלת ייעוץ נוסף על זה המופיע ב"הערות למורה" או לשם החלפת ניסיון, ניתן תמיד להתקשר אל חבר הצוות דרך הרשת או דרך משרד הפרוייקט. מורים המעוניינים לתרום לאוסף ההצעות הצעות משלהם, מוזמנים לשלוח את ההצעה (מודפסת ב- word בצירוף הדיסקט או להעבירה דרך הרשת) למשרד הפרוייקט. הצעות מתאימות יצורפו לקלסר ויופצו בין בתי הספר השונים תוך ציון שם המורה מחבר ההצעה. אנו מצפים לתגובותיכם ולהצעותיכם. פרוייקטים במתמטיקה טבעם ומטרתם / ד"ר אורית זסלבסקי

5 4 הצעות לפרוייקטים במתמטיקה לתלמידים רשימת שמות הפרוייקטים אימוני כדור ארבעה מעגלים באלומה אחת בידודים בעיות התחלקות מספרים גודזילה: עובדה או דמיון? גרפים מכוונים האינסוף המסתורי הוכחה ללא מילים הוכחות, הדגמות והרחבות של משפט פיתגורס החלטות באמצעות סטטיסטיקה החשבון המודולרי הליכה אקראית ומשולש פסקל המרחק הקטן ביותר הסתברות - לכמת את המקריות הקו של אוילר הרחבת מושג הממד הרכבה עצמית של פונקציות התרת בעיות באלגברה בדרך גרפית חיבור הניגודים יוצר עולם חלוקה וצביעה של מצולע חקירת משולשי מספרים טופולוגיה ישר סימפסון מחלקי זוויות - משפט מורלי מחקר זוטא על שטחים והיקפים מכונות קסם מסוללים מספרים מצולעים מספרים ראשוניים מעגל תשע הנקודות מציאת מקומות גאומטריים בעזרת אנימציה מקומות גאומטריים הנוצרים ע"י נקודות מיוחדות של פונקציות מרובע ומעגל - משפט מונז' משולש בעל היקף מינימלי חסום במשולש נתון משולשים מדהימים משושה בעל צלעות נגדיות מקבילות משושה החוסם מעגל (המשך בעמוד הבא) "פרוייקטים במתמטיקה רשימת שמות הפרוייקטים"

6 5 משושה ומעגל - משפט פסקל מתמטיקה "באוויר החופשי" נקודה, מעגל וקטרים נקודת פרמה במשולש עקומה פתולוגית פונקציות הרמוניות ומשוואות טריגונומטריות פרדוקסים במתמטיקה פתרון בעיות לוגיות בעזרת מטריצות צביעת מפות קסם בקלפים ריבועי קסם ריצוף - פסיפס גאומטרי רשתות שיגעון נקודת האמצע שלד המגדל שלושה מעגלים באלומה אחת שלושה מעגלים נחתכים "פרוייקטים במתמטיקה רשימת שמות הפרוייקטים"

7 6 הצעות לפרוייקטים במתמטיקה לתלמידים - תקצירים 1. אימוני כדור סביב בעיה של מאמן נבחרת כדורסל מוצעות פעילויות חקירה, המתקשרות למכנה משותף מינימילי ולמחלק משותף מקסימלי של שני מספרים. מתאים לתלמידי חט"ב וחט"ע. ניתן לשלב בכל מקום בתכנית הלימודים. מילות מפתח: פרוייקט, תורת המספרים, מכנה משותף מינימלי, מחלק משותף מקסימלי, מספרים זרים, משפטי התחלקות. 2. ארבעה מעגלים באלומה אחת גילוי וחקירה במחשב של המשפט: אם ארבעה ישרים יוצרים ארבעה משולשים, אזי לכל המעגלים החוסמים את המשולשים האלה יש נקודה משותפת. מתאים לתלמידים מכיתה ט' ומעלה. מילות מפתח: פרוייקט, גאומטריה אוקלידית בשילוב מחשב - "הנדסה בתנועה", מעגל, משולש, מעגל חוסם משולש, נקודת חיתוך של ישרים, הוכחה דידוקטיבית. 3. בידודים חקירת בעיות קומבינטוריות פשוטות, ופיתוח אסטרטגיות שונות לספירת מספר הפתרונות האפשריים לבעיה נתונה. הבעיות קשורות לתכונות של "בידודים" - מערכים מיוחדים של מספרים שלמים המבודדים את המספרים העוקבים זה מזה. מתאים לתלמידים בחט"ב ובחט"ע. אין צורך בידע מוקדם. מילות מפתח: פרוייקט, קומבינטוריקה, סיבוב, שיקוף, אסטרטגית פתרון. 4. בעיות התחלקות מספרים התלמידים נחשפים למשפטי התחלקות ולומדים ליישמם לבעיות שונות הקשורות למספרים. ההוכחות למשפטים בסיסיים נתונות בחלקן ועל התלמיד להשלימן. חלק מהמשפטים אינו מוכח - והתלמידים מתבקשים להוכיחם בעזרת ההוכחות למשפטים הבסיסיים. מתאים לתלמידים מכיתה ט' ומעלה. דרוש ידע בפרוק לגורמים ובנוסחאות הכפל המקוצר. מילות מפתח: פרוייקט, תורת המספרים: משפטי התחלקות, מספרים טבעיים, מספרים זוגיים. אלגברה: פירוק לגורמים, נוסחאות הכפל המקוצר. הוכחה, הוכחה בדרך השלילה. 5. גודזילה: עובדה או דמיון? חקירת תכונות של צורות דומות, בדיקת קשרים בין יחס השטחים של שתי צורות דומות, לבין יחס הצלעות שלהן ובין יחס הנפחים שלהן. כן נחקרים קשרים בין יחס שטחי הפנים לבין יחס הנפחים ויחס המשקלים של גופים דומים. אפשר לשלב חקירה בעזרת מחשב. מתאים לתלמידי חט"ב וחט"ע. אין צורך בידע מוקדם. מילות מפתח: גאומטריה אוקלידית, דימיון, יחסים: אורך-שטח-נפח-משקל, בניית דגמים, המחשה.

8 7 6. גרפים מכוונים באמצעות בעיות מחיי היום-יום הקשורות לתקשורת ולמשחקי כדורסל וכדורגל, לומדים התלמידים לייצג קשרים בעזרת גרף מכוון, זוגות סדורים ומטריצה, ולנתח את המידע בכל אחד מהייצוגים הללו. מתאים לתלמידים בחט"ב ובחט"ע. מילות מפתח: פרוייקט, לוגיקה, תורת הגרפים, גרפים מכוונים, זוגות סדורים, מטריצה, טרנסיטיביות, סימטריות, רפלקסיביות. 7. האינסוף המסתורי אוסף של פעילויות שונות המתארות פרדוקסים הקשורים למושג האינסוף ודרכי יישובם. הטיפול בפרדוכסים אלה יש בו כדי להעמיק את ההבנה של מושג האינסוף. מתאים במיוחד לתלמידים בחט"ע, אך תלמידים מעוניינים בחט"ב יוכלו להנות ממנו כיוון שאינו דורש ידע מוקדם באנליזה. מילות מפתח: פרוייקט, פרדוקס, אלגברה: אינסוף, גבול, סדרה גאומטרית אינסופית מתכנסת, מתבדרת. הנדסה אוקלידית: היקף-שטח. לוגיקה: קבוצות, קבוצה אינסופית, גודל קבוצה אינסופית. 8. הוכחה ללא מילים אוסף הפעילויות מאפשר לתלמידים להכיר הצגות ויזואליות, ללא מלים כמעט, של הוכחות למשפטים ולטענות מתמטיות, העוסקות בתבניות וביחסים בין מספרים וצורות. ההצגה הויזואלית מאפשרת הסקת מסקנות באופן אינטואיטיבי, תוך המלצה לבנות דגמים להצגת ההוכחות. מתאים לתלמידי חט"ב וחט"ע. אין צורך בידע מוקדם. מילות מפתח: פרוייקט, הוכחות ויזואליות, סכומי סדרות של מספרים טבעיים. גאומטריה: שטחים: משולש, מלבן, טרפז, נפח: גליל, חרוט, כדור. אלגברה: +b) 2.a 2 b 2,(a + b) 3,(a 9. הוכחות, הדגמות והרחבות של משפט פיתגורס בפרוייקט מוצגים תשעה שרטוטים גאומטריים שונים שבעזרתם ניתן להוכיח את משפט פיתגורס. התלמידים מתבקשים להשלים את ההוכחות וההדגמות תוך עידוד לבנות דגם הממחיש את הבנייה וההוכחה. לשרטוטים מתלווה רשימת רמזים העוזרים בהוכחות השונות. מתאים לתלמידים מכיתה ט' ומעלה. מילות מפתח: פרוייקט, גאומטריה אוקלידית, משפט פיתגורס, הוכחות שונות למשפט, בניית דגמים, היסטוריה של המתמטיקה. 10. החלטות באמצעות סטטיסטיקה סביב נתונים על שחקני כדורסל (של ה- (NBA מתנסים התלמידים בקביעות, כגון: מיהו שחקן הציר הטוב ביותר? באיזו מידה תוצאות של שחקן מסוים הן עקביות? ועוד. את קביעותיהם הם מבססים על פירושים שניתן לתת לגרפים שונים המתארים את הנתונים. כך הם לומדים שגרפים שונים טומנים בחובם מידע מסוג שונה על אותם הנתונים. מתאים לתלמידים בחט"ב ובחט"ע. אין צורך בידע מוקדם. מילות מפתח: פרוייקט, סטטיטיקה: ניתוח נתונים, שיטות לדירוג, שקלול, חציון, רבעון תחתון, רבעון עליון. בוקספלוט, גרף פיזור, מטריצה של גרפי פיזור, נוסחת המרחק, גרף במערכת צירים תלת-ממדית.

9 8 11. החשבון המודולרי מטרת הפעילות לבנות עולם מספרים, בעל מבנה מתמטי עם חוקים והגדרות, בעזרת מספר סופי של מספרים. זהו חשבון מודולרי. מתאים לתלמידי חט"ב וחט"ע. אין צורך בידע מוקדם. מילות מפתח: פרוייקט, תורת המספרים, בסיסי ספירה, מודולו, מחלקת שארית, מספרים חופפים, לוחות: חיבור, חיסור, כפל, חילוק. 12. הליכה אקראית ומשולש פסקל בפרוייקט הצעות לפעילויות חקירה שונות, הקשורות למשולש פסקל ולייצוגים שונים למשולש פסקל. הפרוייקט בנוי באופן מודולרי. מתאים לתלמידי חט"ב וחט"ע. מילות מפתח: פרוייקט, תורת המספרים, קומבינטוריקה, מסלולים, משולש פסקל, ייצוגים שונים של משולש פסקל. משולש פסקל ונוסחת הבינום. 13. המרחק הקטן ביותר נקודת חיתוך הגבהים במשולש היא הנקודה שסכום המרחקים שלה מצלעות המשולש הוא מינימלי. דרך בעיה מעשית מתפתחת חקירה המוליכה לתכונה זו. מתאים לתלמידים מכיתה ח' ומעלה. דרוש ידע בגאומטריה - על משולשים. מילות מפתח: גאומטריה אוקלידית, מרחק מנקודה לקטע, המרחק המינימלי: במשולש שווה צלעות, בריבוע, במלבן, במקבילית, במצולעים משוכללים, המרחק המקסימלי, הוכחות. 14. הסתברות - לכמת את המקריות באמצעות ניסויים אמפיריים והשוואה בין תוצאות הניסויים בפועל לבין תחזית מוקדמת שלהם, עומדים התלמידים על ההבדל בין הסתברות לסיכוי, ועל מגבלות ההסתברות ככלי ניבוי. מתאים בעיקר לתלמידי חט"ב. מילות מפתח: פרוייקט, הסתברות, סיכוי, ניבוי, חישוב הסתברויות, הסתברות ניסוית והסתברות תיאורטית, דיאגרמת "עץ". 15. הקו של אוילר הקו העובר דרך שלוש מן הנקודות המיוחדות במשולש, מזמן מגוון רב של שאלות הרחבה: חקירת מקרים פרטיים, הרחבה לצורות מישוריות אחרות ולגופים במרחב. יתרונן של שאלות אלה שהן בנויות בתוך תכנית הלימודים, ואפשר לתקוף אותן מתחומי מתמטיקה שונים, כמו, גאומטריה, הנדסה אנליטית, ווקטורים. מתאים לתלמידים בחט"ב ובחט"ע. מילות מפתח: פרוייקט, גאומטריה אוקלידית: נקודות מיוחדות במשולש, הוכחות, הקו של אוילר. אלגברה: פונקציה קווית, משוואת הקו הישר. גאומטריה אנליטית: מרכז המעגל החוסם, נקודת מרכז הכובד. ווקטורים: נקודות מיוחדות בגופים תלת-ממדים. שילוב מחשב: "גאומטריה בתנועה". בניית דגמים.

10 9 16. הרחבת מושג הממד פרוייקט זה מתמקד בחקירה ובדיון בשאלה: מהו ממד וכיצד ניתן להרחיבו לממד שבור? החקירה מכילה חקירת ממדים של צורות וגופים מוכרים, וכן בנייה של צורות בעלות ממדים "שבורים" - פרקטלים. מתאים לתלמידים בחט"ב ובחט"ע. מילות מפתח: פרוייקט, אלגברה, הנדסה: אורך, שטח, נפח. פרקטלים: גורם קנה-מידה, ממד, ממד שבור. שימוש במחשבון. 17. הרכבה עצמית של פונקציות עבור פונקציה f(x) המוגדרת בכל ציר ה- x נתבונן בפונקציה המורכבת: f(f(f(f(f(f(f(...f(x))))))))),g(x) = כאשר מספר ההרכבות די גדול, ניתקל בתופעה המפתיעה שלשתי פונקציות דומות למשל, f(x) = sinx ו-,f(x) = cosx הצורה הגרפית של g(x) שונה לגמרי. מפתיע גם שלפונקציות f(x) חלקות מאד, מתקבל לפעמים גרף כאוטי של.g(x) המטרה העיקרית של הפרוייקט היא לחקור בעזרת המחשב סיבות לתופעות האלה, ולגלות אפשרות לחזות את צורת הגרף של g(x) על בסיס הגרף של.f(x) מתאים לתלמידים בחט"ע. מילות מפתח: פרוייקט, שילוב מחשב, אלגברה: פונקציות, הרכבת פונקציות, הרכבה חוזרת של פונקציה עם עצמה, גרף ההרכבה, חקירה בשילוב מחשב - מתמטיקס, נקודות שבת, פונקציה קווית, פונקציות טריגונומטריות. 18. התרת בעיות באלגברה בדרך גרפית כל תוכנה גרפית מאפשרת למצוא שורשים ממשיים של משוואות. האם ניתן למצא באיזשהו אופן גם שורשים מרוכבים של משוואה, על בסיס התמונה הגרפית שלה? מטרת הפרוייקט להראות שיש פתרון חיובי לבעיה זו, לפחות עבור משוואות ממעלה שנייה ושלישית. התוצאות הנלוות של החקירה הן: 1. פיתוח שיטה של פרוק כל פולינום ממעלה שלישית לגורמים בלתי פריקים, בדרך גרפית ללא שימוש בפעולות אלגבריות; 2. מציאת תבנית פונקציה ריבועית על בסיס הצגתה הגרפית. החקירה מבוססת על שימוש במחשב. מתאים בעיקר לתלמידים בחט"ע. מילות מפתח: פרוייקט, אלגברה, חקירה בשילוב מחשב, שורשים, משוואה (מעלה ראשונה, שנייה ושלישית), שורשים מרוכבים, גרף משוואה, פירוק פולינום ממעלה שלישית בדרך גרפית, זיהוי תבנית פונקציה ריבועית לפי הצגתה הגרפית, משיק. 19. חיבור הניגודים יוצר עולם הצגת פונקציות כסכום מחוברים בעלי תכונות נגדיות. הפונקציה sin(x) מחליפה סימן אינסוף פעמים, והיא גם מאד לא מונוטונית, כי יש לה אינסוף נקודות קיצון. האם ניתן להציג פונקציה מסוג זה כסכום שני מחוברים שכל אחד אינו מחליף סימן אף פעם? האם ניתן להציג אותה כסכום שתי פונקציות מונוטוניות? מטרת הפרוייקט לטפל בדוגמאות קונקרטיות, ולפתח שיטות כלליות להתרת הבעיות האלה. החקירה מבוססת על שימוש במחשב. מתאים בעיקר לתלמידים בחט"ע. מילות מפתח: פרוייקט, אלגברה: חקירה בשילוב מחשב, פונקציה חיובית, פונקציה שלילית. אנליזה: פונקציה גזירה, עולה, יורדת, פונקציה זוגית ואי-זוגית, פונקציית הנגזרת והפונקציה הקדימה, סכום של פונקציות.

11 חלוקה וצביעה של מצולע גילוי וחקירה במחשב של המשפט: מחברים נקודה, הנמצאת בתוך מצולע החוסם מעגל, ע"י קטעים עם כל הקודקודים של המצולע, ונקודות ההשקה של המעגל עם המצולע. את המשולשים שנוצרו צובעים בצבעים כחול ואדום לסרוגין. אזי, מכפלת השטחים של המשולשים האדומים שווה למכפלת השטחים של המשולשים הכחולים. מתאים לתלמידים מכיתה ט' ומעלה. מילות מפתח: פרוייקט, שילוב מחשב, גאומטריה אוקלידית: משולש חסום, נקודות השקה, קדקודים, שטח משולש, מרובע חוסם, מחומש חוסם, תכונת המצולעים החוסמים מעגל - משפט, הוכחה. 21. חקירת משולשי מספרים חקירת חוקיות ותכונות של משולשים שונים של מספרים, כולל משולש פסקל ומשולש הבנוי מסדרת פיבונצ'י. אפשר להגיע לתכונות שונות של סדרות ואף להוכחות אלגבריות. מתאים לתלמידים בחט"ב ובחט"ע. מילות מפתח: פרוייקט, תורת המספרים, אלגברה, מספרים טבעיים, סדרות, משולש פיבונצ'י, משולש פסקל, כתיב חזקות. 22. טופולוגיה הפרוייקט עוסק בהצגת ענף הטופולוגיה, ובנוי על חקירה עצמית של התלמידים תוך הפניה למקורות. יש התייחסות לתכונות של טבעת מביוס, ולכך שמבחינה טופולוגית בייגלה וספל קפה זהים, כשם שמעגל ומשולש זהים. מתאים בעיקר לתלמידי חט"ע. מילות מפתח: פרוייקט, טופולוגיה, טבעת מביוס, חד-צדדיות, עקום פשוט סגור, בעיית ארבעת הצבעים, חד-חד ערכיות, רציפות, טרנספורמציות טופולוגיות, הומומורפיזם, תכונות טופולוגיות. 23. ישר סימפסון גילוי וחקירה במחשב של המשפט: אם מנקודה כלשהי על המעגל החוסם משולש נעביר אנכים לצלעות המשולש, אזי נקודות החיתוך של האנכים עם הצלעות או עם המשכיהן נמצאות על ישר אחד הנקרא ישר סימפסון. מתאים לתלמידים מכיתה ט' ומעלה. מילות מפתח: פרוייקט, גאומטריה אוקלידית, משולב מחשב - "הנדסה בתנועה", משולש חסום במעגל, אנך לצלע, משפט ישר סימפסון, הוכחה. 24. מחלקי זוויות - משפט מורלי גילוי וחקירה במחשב של משפט מורלי: במשולש ABC מכל קודקוד מעבירים שלוש קרניים המחלקות את הזווית הפנימית בקודקוד זה לשלושה חלקים שווים. עבור כל זוג קרניים הקרובות לאותה צלע של המשולש מוצאים נקודת חיתוך. אזי, שלוש הנקודות שמתקבלות יוצרות משולש שווה צלעות. מתאים לתלמידים מכיתה ח' ומעלה. מילות מפתח: פרוייקט, גאומטריה אוקלידית, משולב מחשב - "הנדסה בתנועה", חוצי זוויות במשולש, חוצה זווית חיצונית במשולש, משולש ש"ש, ש"צ, קטעים מיוחדים במשולש, חלוקת זווית ל- 3 ו- 4 חלקים שווים, משפט מורלי, הוכחה.

12 מחקר זוטא על שטחים והיקפים הפעילויות עוסקות בחקירת קשרים בין היקף לשטח של צורות, הבנויות מריבועים חופפים. החלק הראשון של הפעילויות עוסק בהיקף מינימלי ומקסימלי של צורות בעלות שטח נתון (K). החלק השני עוסק בשטח מקסימלי ומינימלי של צורות בעלות היקף קבוע (P). אפשר להגיע לרמות שונות של הכללה. מתאים לתלמידים בחט"ב ובחט"ע. אין צורך בידע מוקדם. מילות מפתח: פרוייקט, גאומטריה אוקלידית, היקף מינימלי ומקסימלי לשטח קבוע, שטח מקסימלי ומינימלי להיקף קבוע. אלגברה, תבניות להיקף ושטח. 26. מכונות קסם הפעילויות עוסקות ביצירת "מכונות קסם", שהן סדרה של פעולות אלגבריות המוליכות לתוצאות מענינות כגון: מספר קבוע או לולאה (לולאה הנה סדרת מספרים מחזורית). קשור לנושא של תבניות מספר. מתאים לתלמידי חט"ב וכן לתלמידים מסוימים בחט"ע. מילות מפתח: פרוייקט, אלגברה, תבניות מספר, חזקה, שורש, סדר פעולות החשבון, חוק הפילוג, סדרות, לולאה, סדרות מחזוריות. 27. מסוללים דגמים של מסלולים מיוחדים שמקורם במחקר על דרכי ההזנה של תולעים פריהסטוריות נקראים "מסוללים" ומהווים כר נרחב לבניות מרהיבות ולחקירה: מתי מסולל נסגר? אילו מסוללים הנם סימטריים? מה ההבדל בין מסוללים על רשת של ריבועים לבין מסוללים על רשת של משולשים שווי צלעות? מתאים לתלמידים בכל הגילים. אין צורך בידע מוקדם. מילות מפתח: פרוייקט, גאומטריה אוקלידית: משולש, ריבוע, זווית סיבוב, סימטריה, משולב מחשב-לוגו. 28. מספרים מצולעים מספרים מצולעים הם מספרים שניתן להציג בעזרת נקודות המסודרות כמצולעים. המשימות עוסקות בחקירת סוגים שונים של חוקיות הקשורה למספרים מצולעים (מספרים משולשים, ריבועיים, מחומשים, ועוד) ולקשרים בין מספרים מצולעים שונים. ניתן להגיע להכללת החוקים לתבניות, ולעסוק גם בפישוט תבניות ובפרוק לגורמים. בדרך זו תלמיד יכול לבנות הבנה אינטואיטיבית של סדרה חשבונית. מתאים לתלמידים בחט"ב ובחט"ע. מילות מפתח: פרוייקט, תורת המספרים, מספרים מצולעים: משולשים, מרובעים, מחומשים... אלגברה: תבניות פסוק, פירוק לגורמים, סדרה חשבונית, אינדוקציה מתמטית. 29. מספרים ראשוניים פעילויות חקירה של תכונות המספרים הראשוניים וקשרים ביניהם. בפרט: נפת ארטוסטנס, מספרים ראשוניים תאומים, מספרי מרסן, השערת גולדבאך. ניתן לשלב מחשב לצורך החקירה. מתאים בעיקר לתלמידים בחט"ב אבל גם לאלה בחט"ע. מילות מפתח: פרוייקט, תורת המספרים, מספרים ראשוניים, נפת ארטוסטנס, מספרים ראשוניים תאומים, מספרי מרסן, השערת גולדבך, שילוב מחשב, אלגברה: תבניות מספר, אחוזים, גרפים, עצרת, חזקות.

13 מעגל תשע הנקודות ההצעה לפרוייקט מסתמכת על המשפט: בכל משולש נקודות האמצע של כל הצלעות, נקודות האמצע של כל הקטעים המחברים את נקודת חיתוך הגבהים עם הקודקודים, ונקודות חיתוך הגבהים עם הצלעות - כל הנקודות האלה נמצאות על מעגל אחד הנקרא מעגל תשע הנקודות. החקירה תיעשה באמצעות מחשב בתוכנה "הנדסה בתנועה". מתאים לתלמידים מכיתה ט' ומעלה. דרוש ידע בגאומטריה, בעיקר הפרק על המעגל. מילות מפתח: פרוייקט, גאומטריה אוקלידית, שילוב מחשב - "הנדסה בתנועה", נקודות וקטעים מיוחדים במשולש, מעגל, מקום גאומטרי, משפט מעגל 9 הנקודות, הוכחה. 31. מציאת מקומות גאומטריים בעזרת אנימציה בפרוייקט שתי חקירות: א.מציאת מקום גאומטרי של אמצעי קטעים המחברים נקודה עם מעגל, כאשר הנקודה נעה במישור. ב. מציאת המקום הגאומטרי של נקודה בסולם המחליק לאורך קיר. בניית המקום הגאומטרי נעשית באנימציה במחשב. ההוכחות בעזרת גאומטריה אוקלידית או גאומטריה אנליטית. מתאים בעיקר לתלמידים בחט"ע. מילות מפתח: פרוייקט, גאומטריה אוקלידית, גאומטריה אנליטית, מקומות גאומטריים, שילוב מחשב, "הנדסה בתנועה", מעגל ונקודה במישור, קטע אמצעים במשולש, משפטים, הוכחות, דמיון משולשים. 32. מקומות גאומטריים הנוצרים ע"י נקודות מיוחדות של פונקציות בניית משפחה פרמטרית של פולינומים בעלי תכונות נתונות. מציאת המקום הגאומטרי שיוצרות נקודות הקיצון. אפשרות להכללה לפולינומים מסדר גבוה. העלאת ההשערות ובדיקתן בעזרת המחשב. מתאים לתלמידים בחט"ע. מילות מפתח: פרוייקט, שילוב מחשב, אלגברה: פולינומים, משפחה פרמטרית של פונקציות, חשבון דיפרנציאלי, גאומטריה אנליטית, מקום גאומטרי של נקודות קיצון. 33. מרובע ומעגל - משפט מונז' גילוי וחקירה של משפט מונז': אם במצולע החסום במעגל נעביר דרך נקודת אמצע של כל צלע אנך לצלע נגדית, אזי כל האנכים ייחתכו בנקודה אחת. החקירה תיעשה באמצעות מחשב בתוכנה "הנדסה בתנועה". מתאים לתלמידים מכיתה ט' ומעלה. דרוש ידע בגאומטריה, בעיקר הפרק על המעגל. מילות מפתח: פרוייקט, שילוב מחשב - "הנדסה בתנועה", גאומטריה אוקלידית, מעגל, מרובעים, מרובע חסום במעגל, מרובע האמצעים, משפט מונז', נקודת מונז', הוכחה. 34. משולש בעל היקף מינימלי חסום במשולש נתון בעזרת חקירה שיטתית של מקרים אנלוגיים פשוטים יותר (כגון: מציאת נקודה על ישר כך שסכום מרחקיה משתי נקודות נתונות הוא מינימלי) התלמידים בונים משולש בעל היקף מינימלי החסום במשולש נתון. מתאים לתלמידים מכיתה ט' ומעלה. מילות מפתח: פרוייקט, שילוב מחשב, "הנדסה בתנועה", גאומטריה אוקלידית, סכום מרחקים מינימלי, משולש חסום במשולש.

14 משולשים מדהימים פעילויות חקירה המוליכות לגילוי של משפטים בהנדסה הקשורים למשולשים: משפט מורלי (נקודות החיתוך של הישרים, המחלקים כל זווית במשולש לשלוש זוויות שוות, הם קודקודים של משולש שווה צלעות); "משולש נפוליון"; ועוד. אפשר להגיע לגילויים המיוחדים ע"י בנייה מדויקת בעזרת סרגל ומחוגה, או בעזרת תוכנת המחשב "הנדסה בתנועה". מתאים לתלמידים בחט"ב (בכיתות ח' ומעלה) ובחט"ע. מילות מפתח: פרוייקט, גאומטריה אוקלידית, משפט מורלי, חלוקת זווית לשלושה חלקים שווים, קווים מקבילים, מקבילית, תיכונים במשולש, "משולש נפוליאון החיצוני", הוכחה. 36. משושה בעל צלעות נגדיות מקבילות גילוי וחקירה במחשב של המשפט: במשושה קמור בעל צלעות נגדיות מקבילות, כל הקטעים, המחברים את נקודות האמצע של הצלעות הנגדיות, נחתכים בנקודה אחת. מתאים לתלמידים מכיתה ט' ומעלה. מילות מפתח: פרוייקט, גאומטריה אוקלידית, שילוב מחשב, "הנדסה בתנועה", משולש, מצולעים, משושה משוכלל, מצולעים בעלי מספר זוגי של צלעות, משושה חסום וחוסם מעגל, משושה בעל צלעות נגדיות מקבילות. 37. משושה החוסם מעגל גילוי וחקירה במחשב של משפט בריאנשון: בכל משושה ABCDEF החוסם מעגל, האלכסונים המחברים קודקודים נגדיים,AD) (CF,BE נחתכים בנקודה אחת. מתאים לתלמידים מכיתה ט' ומעלה. מילות מפתח: פרוייקט, שילוב מחשב, "הנדסה בתנועה", משפט בריאנשון, משושה חוסם וחסום במעגל, נקודת חיתוך האלכסונים המחברים קדקודים נגדיים במשושה, משפט, הוכחה. 38. משושה ומעגל - משפט פסקל גילוי וחקירה של משפט פסקל: בכל משושה החסום במעגל, נקודות החיתוך של צלעות נגדיות (במקרה ואינן מקבילות) נמצאות על ישר אחד. החקירה תיעשה באמצעות מחשב בתוכנה "הנדסה בתנועה". מתאים לתלמידים מכיתה ט' ומעלה. דרוש ידע בגאומטריה, בעיקר הפרק על המעגל. מילות מפתח: פרוייקט, שילוב מחשב, "הנדסה בתנועה", גאומטריה אוקלידית, מעגל, מצולעים, משושה חסום במעגל, מצולעים חסומים במעגל, משפט פסקל, הוכחה. 39. מתמטיקה ב"אוויר החופשי" פעילויות אלה מכוונות לבנייה בפועל של: עפיפון מיוחד, מכשיר דיאמטר לגילוי π, וללימוד שיטות למדידת גבהים של גופים גבוהים מאוד. מדובר בעיקר בפעילות מחוץ לכיתה. מתאים לתלמידי חט"ב וחט"ע. רצוי להכיר תכונות של משולשים דומים. מילות מפתח: פרוייקט, גאומטריה אוקלידית, בניית מודלים, המחשה, π, קוטר, היקף,,2πR משולש ישר-זווית, מדידת גבהים, דמיון משולשים, טנגס הזווית.

15 נקודה, מעגל וקטרים ההצעה לפרוייקט מסתמכת על המשפט: אם מעגל מחולק לחלקים שווים ע"י n קטרים, אז ההטלים של נקודה (כלשהי) הנמצאת בתוך המעגל על הקטרים מהווים קודקודים של מצולע משוכלל. החקירה תיעשה באמצעות מחשב בתוכנה "הנדסה בתנועה". מתאים לתלמידים מכיתה ט' ומעלה. דרוש ידע בגאומטריה, בעיקר הפרק על המעגל. מילות מפתח: פרוייקט, משוכלל, משפט, הוכחה. 41. נקודת פרמה במשולש שילוב מחשב, "הנדסה בתנועה", מעגל, קוטר, זווית מרכזית, היקפית, היטל, חיפוש וגילוי של נקודת פרמה במשולש: נקודה במישור המשולש, כך שסכום המרחקים מנקודה זאת עד קדקודי המשולש יהיה מינימלי. על התלמידים לחקור סוגים שונים של משולשים בעזרת המחשב. הרחבה אפשרית לריבועים. החקירה תיעשה באמצעות התוכנה "הנדסה בתנועה". מתאים לתלמידים מכיתה ח' ומעלה. מילות מפתח: פרוייקט, שילוב מחשב, "הנדסה בתנועה", גאומטריה אוקלידית, משולשים, נקודת פרמה, סכום מרחקים מינימלי, ריבוע, רשת, צומת, סכום מרחקים מינימלי. 42. עקומה פתולוגית מצולע בנייה בעזרת המחשב של עקומות פתולוגיות, שהן למעשה הפרקטלים של קוך. בכל העקומות קיים פרדוקס שהיקפן שואף לאינסוף ושטחן חסום. חישוב הגבול של ההיקף והשטח יכול להיעשות גם באמצעות הגיליון האלקטרוני. מתאים בעיקר לתלמידים בחט"ע מילות מפתח: פרוייקט, שילוב מחשב, "הנדסה בתנועה", גאומטריה אוקלידית, מצולעים, אנליזה, פרקטל, פרקטל פתית שלג, היקף, שטח, סדרות, גבול, סדרה הנדסית יורדת, התכנסות, התבדרות, עקומה פתולוגית, פרקטלים תלת- ממדיים. 43. פונקציות הרמוניות ומשוואות טריגונומטריות לפונקציה טריגונומטרית מהצורה:, כאשר,a,b q מספרים ממשיים קבועים, f ( x) = acos( qx) + bcos( qx) קוראים פונקציה הרמונית. ניתן להביא כל פונקציה הרמונית, ע"י פעולות אלגבריות לצורה, כאשר f ( x) = Acos q( x ϕ).a, b, q ϕמספרים,,q A קבועים התלויים ב- לצורה זו קוראים צורה קנונית של פונקציה הרמונית. הבאת f(x) לצורה הקנונית מקלה על התרת המשוואות הטריגונומטריות מסוג: a cos( qx) + bcos( qx) = c c עם קבוע. מטרת הפרוייקט לפתח ולהציג שיטה המאפשרת להביא פונקציה הרמונית לצורה קנונית בעזרת המחשב בדרך גרפית, ללא שום פעולות אלגבריות, ובמקביל לפתח ולהציג שיטה גרפית להתרת משוואות טריגונומטריות כאלה. מתאים לתלמידים בחט"ע. מילות מפתח: פרוייקט, שילוב מחשב, אלגברה, טריגונומטריה, פונקציות, משפחות פרמטריות של פונקציות טריגונומטריות, מתיחה, כיווץ, מחזוריות, פונקציות, פונקציות הרמוניות, צורה קנונית של פונקציה הרמונית, גרפים, פתרון גרפי.

16 פרדוקסים במתמטיקה בפרוייקט בודקים את הגדרת המילה פרדוקס ושימושיה השונים. נעשית אבחנה בין סוגים שונים של פרדוקסים על ידי ניתוח של דוגמאות שונות של פרדוקסים. התלמידים מתנסים בחיבור פרדוקסים. מתאים לתלמידי חט"ב וחט"ע. אין צורך בידע מוקדם. מילות מפתח: פרוייקט, לוגיקה, פרדוקס, סוגי פרדוקסים. 45. פתרון בעיות לוגיות בעזרת מטריצות באמצעות דוגמאות לומדים התלמידים להתמודד באופן שיטתי (בעזרת טבלה-מטריצה) בפתרון בעיות לוגיות שונות. גישה זו יכולה לעורר אצל תלמידים עניין להכיר תחומים נוספים שבהם ניתן להשתמש במטריצות. מתאים לתלמידים בחט"ב ובחט"ע. אין צורך בידע מוקדם. מילות מפתח: פרוייקט, לוגיקה, מטריצות, פתרון בעזרת מטריצה, מטריצה בעלת 3 כניסות, ייצוג בעיה לוגית ע"י מטריצה. 46. צביעת מפות עיסוק בצביעת מפות תוך הגבלות מסוימות, כמו, מספר מינימלי של צבעים. התלמידים לומדים תוך כדי עבודתם להתייחס לנתונים המיוחדים של הבעיה, ולהבחין בבעיות חדשות העולות כתוצאה משינוי נתונים. זאת תוך יצירת קשרים בין גאוגרפיה למתמטיקה. ניתן לביצוע בדרגות שונות של קושי והעמקה. מתאים לתלמידי חט"ב וחט"ע. אין צורך בידע קודם, למעט השימוש באטלס. מילות מפתח: פרוייקט, טופולוגיה, צביעת מפות במספר מינימלי של צבעים, גאוגרפיה. 47. קסם בקלפים הפרוייקט משלב אתגר מחשבתי עם פעילות חברתית מהנה, ומבליט את כוחה של המתמטיקה להסביר תהליכים מסובכים. פעילויות אלה מעודדות המשך חקירה ולמידה של אלגברה תוך הנאה והנעה. עזרים דרושים: חפיסת קלפים. מתאים לתלמידים בחט"ב ובחט"ע. דרוש ידע בסיסי באלגברה. מילות מפתח: פרוייקט, אלגברה, תבניות מספר, תבניות פסוק, פתרון בעיות. 48. ריבועי קסם חקירת תכונות של ריבועי קסם והתנסות בבנייה של ריבועים מסוגים שונים, כולל כאלה עם אילוצים נוספים על המקובל. ניתן לחקור בכלים אלגבריים ובלעדיהם. מתאים לתלמידים בחט"ב ובחט"ע. מילות מפתח: פרוייקט, אלגברה, תורת המספרים, ריבועי קסם, סיבוב ושיקוף של ריבועי קסם, לו-שו, ריבוע קסם שטני, טבעת קסם, קוביית קסם, ריבועי קסם ושברים מחזוריים.

17 ריצוף - פסיפס גאומטרי הפעילויות עוסקות בריצוף שטחים בעזרת צורה גאומטרית אחת או מספר צורות החוזרות על עצמן. פעילויות אלה יכולות להתקשר ללימוד הפרק על מצולעים ולחישובי שטח. ניתן לבצע את הפרוייקט ברמות שונות. אפשר לשלב שימוש במחשב, וכן בניית פריטים מקרטון ומקלקר. מתאים לתלמידי חט"ב וחט"ע. מילות מפתח: פרוייקט, גאומטריה אוקלידית, משולשים, מצולעים, ריצופים, בניית מודלים, מצולעים משוכללים וריצופים, ריצוף חצי-משוכלל, ריצוף שאינו משוכלל. 50. רשתות פרוייקט זה מטפל בנושאים מתוך תורת הגרפים. התלמידים חוקרים תכונות של גרפים שונים, ובודקים מהם התנאים המאפשרים לשרטט גרף במשיכת קולמוס אחת מבלי לעבור על קו פעמיים. הם מגיעים לכך מתוך משחק ("נבטים"). חקירת מקרים במישור מלווה בהשוואה עם מקרים דומים במרחב. מתאים לתלמידים בחט"ב ובחט"ע מילות מפתח: פרוייקט, תורת הגרפים, גאומטריה, אלגברה, המשחק נבטים, בעיית שבעת הגשרים, ליאונרד אוילר, כללי אוילר לגרפים, רשתות, רשתות דו-ממדיות, רשתות תלת-ממדיות, קובייה, טטרהדרון, אוקטהדרון, קיובוקטהדרון. 51. שיגעון נקודת האמצע הפעילות עוסקת בגילוי של תכונות מצולעים, הנוצרים מחיבור נקודות האמצע של צלעות של מרובעים ושל משולשים. תוך כדי הפעילות עוסקים בתהליך אינסופי של יצירת משולשים המוביל למושג הגבול. מתאים לתלמידי חט"ב וחט"ע המכירים תכונות של מצולעים שונים (בפרט תכונות של מרובעים ומשולשים) יודעים לחשב שטח מקבילית ושטח משולש, ומכירים את משפט הדמיון השני (ז.ז.ז). מילות מפתח: פרוייקט, גאומטריה אוקלידית, מרובעים, שטח משולש, שטח מרובעים, נקודות האמצע במרובעים, שטח מרובע האמצעים, מצולעים, דמיון משולשים, שילוב מחשב, "הנדסה בתנועה", קטע האמצעים במשולש, אלגברה: טורים אינסופיים מתכנסים, סכום סדרה גאומטרית סופית. 52. שלד המגדל פעילות זו מציגה מגדלים בגבהים שונים הבנויים מקוביות. נשאלות שאלות בקשר למגדלים אלה, כגון: מהו מספר הקוביות במגדל? מהו שטח הפנים שלו? תוך כדי הפעילות יכולים התלמידים לפתח ראייה מרחבית ולהגיע להבנה אינטואיטיבית של סדרה חשבונית. מתאים לתלמידי חט"ב וחט"ע. אין צורך בידע מוקדם. מילות מפתח: פרוייקט, גאומטריה מרחבית, נפח, שטח פנים, ראייה מרחבית, אלגברה: סדרות, סדרה חשבונית, תבניות פסוק. בניית מודלים.

18 שלושה מעגלים באלומה אחת גילוי וחקירה במחשב של המשפט: במשולש ABC על הישרים AB,CA,BC בוחרים נקודות A 1 B 1 C,A 1 BC 1,AB 1 השונות מקודקודי המשולש. אזי, שלושת המעגלים החוסמים את המשולשים C 1 C 1, B 1,A 1 נחתכים בנקודה אחת. מתאים לתלמידים מכיתה ט' ומעלה. מילות מפתח: פרוייקט, שילוב מחשב, גאומטריה אוקלידית, "הנדסה בתנועה", משולשים, מעגל, מעגל חוסם משולש, ניסוח משפט, הוכחה. 54. שלושה מעגלים נחתכים גילוי וחקירה במחשב של המשפט: אם במישור נמצאים שלושה מעגלים שכל שניים מהם חותכים זה את זה, ודרך נקודות החיתוך של כל זוג מעגלים מעבירים ישר, אזי כל שלושת הישרים או נחתכים בנקודה אחת או שהם מקבילים. מתאים לתלמידים מכיתה ט' ומעלה. מילות מפתח: פרוייקט, שילוב מחשב, "הנדסה בתנועה", גאומטריה אוקלידית, מעגל, מעגלים נחתכים, ניסוח משפט, הוכחה.