1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ 2. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ 2. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια."

Transcript

1 Κεφάλαιο 11: ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΥΓΩΝΑ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Δύο καοικά οκτάγωα είαι όμοια.. * Δύο καοικά πολύγωα με το ίδιο αριθμό πλευρώ είαι όμοια.. * Έα κυρτό πολύγωο που έχει όλες του τις γωίες ίσες είαι καοικό.. * Έα κυρτό πολύγωο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες είαι καοικό. 5. * Η γωία εός καοικού -γώου και η κετρική του γωία είαι συμπληρωματικές. 6. * Η γωία εός καοικού -γώου και η κετρική του γωία είαι ίσες μεταξύ τους. 7. * Δύο κυκλικοί τομείς του ίδιου κύκλου ή ίσω κύκλω που ατιστοιχού σε ίσα τόξα, έχου ίσα εμβαδά. 8. * Το εμβαδό εός κυκλικού δίσκου είαι ατιστρόφως αάλογο της ακτίας του. 9. * Ο λόγος τω μηκώ δύο κύκλω είαι ίσος με το λόγο τω ακτίω τους. 10. * Ο λόγος τω εμβαδώ δύο κύκλω είαι ίσος με το λόγο τω ακτίω τους. 11. * Α φ φ είαι μία από τις ίσες γωίες εός καοικού -γώου, τότε o o 180 = * Η κετρική γωία εός καοικού -γώου δίεται από το τύπο ω = 60o. 1. * Ακτία εός καοικού πολυγώου λέγεται κάθε ακτία του εγγεγραμμέου κύκλου του. 1. * Ο περιγεγραμμέος και εγγεγραμμέος κύκλος κάθε καοικού πολυγώου είαι ομόκετροι κύκλοι. 15. * Η πλευρά εός τετραγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο, ισούται με τη ακτία του περιγεγραμμέου κύκλου. 16. * Το απόστημα εός καοικού εξαγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ισούται με τη πλευρά του εξαγώου. 17. * Το απόστημα εός ισοπλεύρου τριγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ισούται με το μισό της ακτίας του περιγεγραμμέου κύκλου. 18. * Η κετρική γωία εός καοικού πολυγώου είαι ίση με τη γωία που σχηματίζου τα αποστήματα δύο διαδοχικώ πλευρώ του. 19. * Η γωία εός καοικού πολυγώου και η κετρική του γωία είαι παραπληρωματικές. 0. * Δύο πολύγωα με το ίδιο αριθμό πλευρώ είαι όμοια. 1. * ε δύο όμοια καοικά πολύγωα, ο λόγος ομοιότητάς τους ισούται με το τετράγωο του λόγου τω ακτίω του.

2 . * Έα περιγεγραμμέο σε κύκλο πολύγωο με όλες τις πλευρές ίσες είαι καοικό.. * Δύο κυκλικοί τομείς του ίδιου κύκλου έχου ίσα εμβαδά.. * Ο τύπος α = R - λ συδέει τη πλευρά λ, το απόστημα α και τη ακτία R του περιγεγραμμέου κύκλου καοικού -γώου. 5. * Ο λόγος του μήκους κύκλου προς το μήκος της διαμέτρου του ισούται με π. 6. * Το μήκος κύκλου ακτίας 1 είαι π. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Εά το απόστημα καοικού πολυγώου, εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R, είαι R, η πλευρά του είαι Α. R Β. R Γ. R Δ. R Ε. R. * Εά η πλευρά καοικού πολυγώου, εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R, είαι R, το απόστημά του είαι Α. R Β. R Γ. R Δ. R Ε.R. * Εά το απόστημα καοικού πολυγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R, είαι R πλευρά του είαι Α. R Β. R Γ. R Δ. R Ε. R. * Η σχέση, που συδέει τα στοιχεία α και λ (αποστήματος και πλευράς) καοικού -γώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R είαι Α. α α + λ = R Β. α + λ = R λ + = R Γ. α λ + = R Δ. α λ 5. * Το καοικό πολύγωο, που η εξωτερική του γωία είαι ορθή, είαι Α. ισόπλευρο τρίγωο Β. τετράγωο Γ. καοικό πετάγωο Δ. καοικό εξάγωο Ε. καοικό δεκάγωο 6. * Το καοικό πολύγωο, που η εξωτερική του γωία είαι αμβλεία, είαι Α. ισόπλευρο τρίγωο Β. τετράγωο Γ. πετάγωο Δ. εξάγωο Ε. οκτάγωο + = R Ε. η 7. * Εά η κετρική γωία καοικού πολυγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R, είαι 60 ο, τότε η πλευρά του (συαρτήσει του R) είαι Α. R Β. R Γ. R Δ. R Ε. R

3 8. * Α φ είαι μία από τις ίσες γωίες εός καοικού -γώου τότε φ ισούται με Α Β. 180 Γ. 60 Δ * Α Ρ η περίμετρος εός καοικού -γώου, τότε το εμβαδό του Ε είαι Ε. 60 Α. 1 λ α Β. 1 P α Γ. 1 P λ Δ. 1 P λ Ε. 1 P λ 10. * Η πλευρά λ 6 καοικού εξαγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R είαι Α. R Β. R Γ. R Δ. R 11. * Η πλευρά λ τετραγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R είαι Ε. R Α. 1 R Β. R Γ. R Δ. R Ε. 1 R 1. * Η πλευρά λ ισοπλεύρου τριγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R είαι Α. R Β. R Γ. R Δ. 1 R Ε. R 1. * Το καοικό πολύγωο του οποίου η πλευρά λ ισούται με τη ακτία R του περιγεγραμμέου κύκλου είαι Α. τρίγωο Β. τετράγωο Γ. Πετάγωο Δ. εξάγωο Ε. δεκάγωο 1. * Το καοικό πολύγωο του οποίου το απόστήμα α ισούται με το μισό της πλευράς λ είαι: Α. τρίγωο Β. τετράγωο Γ. πετάγωο Δ. εξάγωο Ε. δεκάγωο 15. * Το μήκος S τόξου μ μοιρώ που αήκει σε κύκλο ακτίας R είαι Α. πrμ 180 Β. πr μ 180 Γ. πrμ * Το εμβαδό Ε κυκλικού δίσκου (0, R) είαι Δ. πrμ 180 Α. πr B. πr Γ. π R Δ. π R E. π Ε. πr μ * Η κετρική γωία καοικού εξαγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο είαι Α. 0 Β. 5 Γ. 60 Δ. 90 Ε * Η κετρική γωία ισοπλεύρου τριγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο είαι Α. 0 Β. 5 Γ. 60 Δ. 90 Ε * Η γωία καοικού πεταγώου είαι Α. 0 Β. 5 Γ. 60 Δ. 108 Ε * Η γωία καοικού δεκαγώου είαι Α. 0 Β. 5 Γ. 10 Δ. 1 Ε * Το καοικό πολύγωο με γωία 108 είαι Α. τετράγωο Β. πετάγωο Γ. εξάγωο Δ. οκτάγωο Ε. δεκάγωο. * Το καοικό πολύγωο εγγεγραμμέο σε κύκλο ακτίας R με κετρική γωία είαι Α. εξάγωο Β. οκτάγωο Γ. δεκάγωο Δ. δωδεκάγωο Ε. 15γωο. * Το απόστημα α ισοπλεύρου τριγώου, εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R είαι

4 Α. 1 R Β. R Γ. 1 R Δ. R Ε. R. * Το απόστημα α τετραγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R είαι Α. R Β. 1 R Γ. 1 R Δ. 1 R Ε. R 5. * Το εμβαδό Ε μ εός κυκλικού τομέα μ μοιρώ είαι A. πrμ 60 Β. πr μ 60 Γ. πr μ 180 Δ. πrμ 180 Ε. πrμ * Το γραμμοσκιασμέο τμήμα του σχήματος είαι Α. ημικύκλιο Β. μηίσκος Γ. τεταρτοκύκλιο Δ. κυκλικός τομέας Ε. κυκλικό τμήμα 7. * Το μήκος κύκλου ακτίας R είαι Α. πr B. πr Γ. πr Δ. πr Ε. πr 8. * Δύο πολύγωα είαι όμοια ότα Α. έχου το ίδιο αριθμό πλευρώ Β. είαι εγγεγραμμέα στο ίδιο κύκλο Γ. είαι καοικά και έχου το ίδιο αριθμό πλευρώ Δ. είαι περιγεγραμμέα σε ομόκετρους κύκλους Ε. έχου το ίδιο αριθμό γωιώ 9. * Έα πολύγωο εγγεγραμμέο σε κύκλο Α. είαι καοικό. B. είαι όχι απαραίτητα καοικό. Γ. έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Δ. έχει όλες τις κετρικές γωίες του ίσες. Ε. έχει όλες τις γωίες του ίσες. 0. * Α έα καοικό πολύγωο είαι εγγεγραμμέο σε κύκλο (0, R) και το απόστημά του α ισούται με το R, τότε το πολύγωο είαι Α. τρίγωο Β. τετράγωο Γ. εξάγωο Δ. οκτάγωο Ε. δεκάγωο 1. * Έα πολύγωο το οποίο είαι εγγεγραμμέο και ταυτόχροα περιγεγραμ-μέο σε δύο ομόκετρους κύκλους είαι Α. ισοσκελές τρίγωο. Β. ισοσκελές τραπέζιο. Γ. τυχό τετράπλευρο. Δ. καοικό. Ε. καέα από τα παραπάω.. * ε έα καοικό πολύγωο με άρτιο (μ) πλήθος πλευρώ η κετρική του γωία ω είαι 5

5 Α. 6 0 Ε. καέα από τα παραπάω. Β. 60 µ + Γ. 60 μ + Δ. 180 μ. * Κάθε καοικό πολύγωο που μπορεί α χωριστεί σε διαδοχικά ισόπλευρα και ίσα τρίγωα με κοιή κορυφή το κέτρο του πολυγώου είαι Α. τετράγωο Β. πετάγωο Γ. εξάγωο Δ. δεκάγωο Ε. καέα από τα παραπάω Ερωτήσεις συμπλήρωσης 1. * Εά το απόστημα α καοικού πολυγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο, ακτίας R ισούται με R, η πλευρά λ ισούται με... και το πλήθος τω πλευρώ του πολυγώου είαι.. * Εά το απόστημα α καοικού πολυγώου, εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R ισούται με R, η πλευρά του λ ισούται με...και το πλήθος τω πλευρώ του πολυγώου είαι.. * Εά το απόστημα α καοικού πολυγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R ισούται με R, η πλευρά του λ ισούται με... και το πλήθος τω πλευρώ του πολυγώου είαι.. * Εά η πλευρά λ καοικού πολυγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R ισούται με R το απόστημά του α ισούται με... και το πλήθος τω πλευρώ του πολυγώου είαι. 5. * Να συμπληρωθεί ο πίακας: Καοικό πολύγωο Κετρική γωία (ω ) τρίγωο τετράγωο οκτάγωο δεκάγωο εικοσάγωο 6. * Να συμπληρωθεί ο πίακας: σε μοίρες Κετρική γωία (ω ) καοικού πολυγώου σε μοίρες * Να συμπληρωθεί ο πίακας: : πλήθος πλευρώ καοικού πολυγώου 6 8. * Να συμπληρωθεί ο πίακας: λ : πλευρά καοικού -γώου Γωία (φ ) καοικού πολυγώου σε μοίρες 6 Γωία πολυγώου (φ ) σε μοίρες Πλήθος πλευρώ () καοικού πολυγώου α : απόστημα καοικού -γώου Ε : εμβαδό καοικού -γώου Είδος καοικού πολυγώου

6 * Να συμπληρωθεί ο πίακας: : πλήθος πλευρώ καοικού α : απόστημα καοικού λ : πλευρά καοικού Ε : εμβαδό καοικού πολυγώου πολυγώου πολυγώου πολυγώου = 5cm = 1cm = 6 10cm 10. * Να συμπληρωθεί ο πίακας: Ακτία R κύκλου Μήκος L κύκλου Εμβαδό Ε κύκλου 0π 0πα α α 15πα 7π 11. * Να συμπληρωθεί ο πίακας: Ακτία R Γωία μ μοιρώ Μήκος τόξου S Eμβαδό E κύκλου κυκλ. τομέα κυκλ. τομέα 8 16π 9 9π 5 5α π α 1 α * Να συμπληρωθεί ο πίακας: Τόξο μ μοιρώ Ερωτήσεις ατιστοίχισης Μήκος τόξου πr πr 7

7 1. * Ατιστοιχίστε κάθε έα καοικό πολύγωο της στήλης (Α) με το εμβαδό του στη στήλη (Β). τήλη Α Καοικά πολύγωα εγγεγραμμέα σε κύκλο ακτίας R 1.τρίγωο.τετράγωο.εξάγωο τήλη Β Εμβαδά κα. πολυγώω συαρτήσει του R α) R β) R γ) R δ) R ε) R. * Ατιστοιχίστε κάθε πλευρά καοικού πολυγώου της στήλης (Α) με το ατίστοιχο απόστημά του, στη στήλη (Β). τήλη Α Πλευρά λ καοικού πολυγώου συαρτήσει του R 1. R. R τήλη Β Απόστημα α κα. πολυγώου συαρτήσει του R α) R β) R γ) R. R δ) R ε) R. * Ατιστοιχίστε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με το ατίστοιχο στοιχείο της στήλης (Β). τήλη Α Κετρική γωία ω καοικού πολυγώου o.90 o.10 o τήλη Β Πλευρά λ καοικού πολυγώου (συαρτήσει του R) α) R β) R γ) R δ) R ε) R 8

8 . * Ατιστοιχίστε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με το ατίστοιχο στοιχείο της στήλης (Β). τήλη Α Ακτία κύκλου 1.α. α τήλη Β Εμβαδό κύκλου α) πα β) πα γ) πα. α δ) πα ε) πα 5. * τη στήλη (Α) ααγράφοται το μέτρο μ μοιρώ τόξου και η ακτία του κύκλου του, R. τη στήλη (Β) ααγράφεται το μήκος του S. Ατιστοιχίστε κάθε τόξο της στήλης (Α) με το μήκος του στη στήλη (Β). τήλη Α 1. μ = 60 ο R = 1. μ = 0 ο R = τήλη Β α) S = π β) S = π γ) S = π δ) S = π.μ = 90 ο R =. μ = 10 ο R = ε) S = π 6 στ) S = π Ερωτήσεις αάπτυξης 1. ** ε κύκλο ακτίας R = cm είαι περιγεγραμμέο ισόπλευρο τρίγωο. Να υπολογίσετε: α) Τη πλευρά του. β) Το εμβαδό του.. ** Υπάρχει καοικό πολύγωο εγγεγραμμέο σε κύκλο ακτίας R του οποίου η κετρική γωία είαι 16 ; Δικαιολογήστε τη απάτησή σας.. ** Τετράγωο ΑΒΓΔ είαι εγγεγραμμέο σε κύκλο (0, R) και η ημιπερίμετρός του είαι 80 cm. Να υπολογιστού: α) Η ακτία R του κύκλου. β) Ο λόγος εμβαδό τετραγώου εμβαδό κύκλου. ** Τετράγωο ΑΒΓΔ είαι εγγεγραμμέο σε κύκλο (0, R).. 9

9 Γωρίζοτας (βλέπε το σχήμα της άσκησης ), ότι ΑΓ - ΑΒ = 1 cm, α υπολογιστού: α) Η ακτία του κύκλου. β) Το εμβαδό του κύκλου. 5. ** Α είαι λ +λ = 96 cm όπου λ και λ πλευρές τω εγγεγραμμέω σε κύκλο (0, R) τετραγώου και ισοπλεύρου τριγώου, α υπολογιστού: α) Η ακτία R του κύκλου. β) Τα αποστήματα α και α τω αωτέρω καοικώ πολυγώω. 6. ** Να αποδείξετε ότι τα μέσα τω πλευρώ εός καοικού εξαγώου είαι κορυφές επίσης καοικού εξαγώου. 7. ** Ο λόγος τω αποστημάτω δύο καοικώ οκταγώω είαι. Να υπολογιστού: α) Ο λόγος τω περιμέτρω τους. β) Ο λόγος τω εμβαδώ τους. 8. ** Καοικού πολυγώου, η ακτία R είαι 8 cm και το απόστημά του α είαι cm. Να υπολογιστού: α) Η πλευρά του λ. β) Η κετρική του γωία ω σε μοίρες. γ) Το πλήθος τω πλευρώ του. 9. ** Δίεται καοικό εξάγωο ΑΒΓΔΕΖ και ισόπλευρο τρίγωο ΑΓΕ. Να υπολογιστού: α) Η πλευρά ΑΓ, α γωρίζουμε ότι ΑΒ = 6 cm. β) Ο λόγος (ABΓΔΕΖ) (AΓΕ) τω εμβαδώ τους. 10. ** Δίεται κύκλος (0, R) και το εγγεγραμμέο τετράγωο ΑΒΓΔ. Προεκτείουμε τη πλευρά ΑΒ και πάω στη προέκταση παίρουμε τμήμα ΒΕ = ΒΑ. Να δείξετε ότι: α) ΑΓ = ΓΕ β) Το ευθύγραμμο τμήμα ΕΓ είαι εφαπτόμεο του κύκλου (0, R) στο σημείο Γ. γ) Να υπολογιστεί το εμβαδό του τριγώου ΑΓΕ (συαρτήσει του R). 11. ** ε κύκλο ακτίας R παίρουμε τα διαδοχικά τόξα AB o = 60, Γ B o = 90, ΓΔ = 10 o. α) Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είαι ισοσκελές τραπέζιο. β) Να υπολογίσετε τις πλευρές του. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του. Δ Α Β Γ 1. ** ε κύκλο ακτίας R το ΑΒΓΔ είαι εγγεγραμμέο τετράγωο και το Α Β Γ Δ περιγεγραμμέο τετράγωο. α) Να εκφραστού οι πλευρές λ και λ τω δύο τετραγώω συαρτήσει της ακτίας R. 50

10 β) Να βρεθεί ο λόγος τω εμβαδώ τους E. E 1. ** Δύο ίσα καοικά εξάγωα έχου μία πλευρά κοιή μήκους λ (τα εξάγωα δε ταυτίζοται). Να υπολογίσετε τη απόσταση τω κέτρω τους συαρτήσει του λ. 1. ** ε κύκλο ακτίας R = cm εγγράφοται ισόπλευρο τρίγωο και καοικό εξάγωο. Να υπολογιστού: α) Το εμβαδό του καοικού εξαγώου ΑΒΓΔΕΖ. β) Το εμβαδό τω τριώ γραμμοσκιασμέω μερώ. 15. ** ε κύκλο ακτίας R εγγράφουμε καοικό πολύγωο, με κετρική γωία ίση με τα μιας ορθής. α) Ποιο είαι το πλήθος τω πλευρώ του καοικού αυτού πολυγώου; β) Να βρείτε το εμβαδό του πολυγώου αυτού (συαρτήσει του R). 16. ** ε κύκλο ακτίας R είαι εγγεγραμμέο καοικό εξάγωο. Να βρεθού: α) Το εμβαδό του εξαγώου (συαρτήσει του R). β) Το εμβαδό του μέρους του κύκλου που βρίσκεται έξω από το εξάγωο. 17. ** Κύκλος είαι εγγεγραμμέος σε τετράγωο πλευράς α. Να υπολογίσετε: α) Το εμβαδό του κύκλου (συαρτήσει του α). β) Το εμβαδό του μέρους του τετραγώου, που βρίσκεται εκτός του κύ-κλου. 18. ** έα κύκλο με ακτία R = 6 cm εγγράφουμε τετράγωο και στο τετράγωο εγγράφουμε έο κύκλο. Να υπολογιστού: α) Το εμβαδό του τετραγώου. β) Ο λόγος τω εμβαδώ τω δύο κύκλω. 19. ** Κύκλος ακτίας R διαιρείται σε δύο κυκλικά τμήματα από τη πλευρά ΑΒ ισοπλεύρου τριγώου που είαι εγγεγραμμέο σ αυτό. Να υπολογιστού: α) Το μήκος του μικρότερου τόξου ΑΒ. β) Το εμβαδό του κυκλικού τομέα ΑΟΒ. 0. ** Δύο ίσοι τεμόμεοι κύκλοι (Ο, R) και (Ο, R) έχου διάκετρο ίση με R και κοιή χορδή ΑΒ. Να βρεθού: α) Το εμβαδό του κυκλικού τομέα ΑΟΒ. β) Το εμβαδό του κοιού μέρους τω δύο κύκλω. 1. ** ε κύκλο ακτίας R η χορδή ΑΒ ατιστοιχεί στη πλευρά λ εγγεγραμμέου τετραγώου και χωρίζει το κύκλο σε δύο κυκλικά τμήματα. Να βρεθού: α) Το εμβαδό του μικρότερου κυκλικού τμήματος του κύκλου. β) Το εμβαδό του μεγαλύτερου κυκλικού τμήματος. 51

11 . ** Κύκλος με ακτία R είαι εγγεγραμ-μέος σε τετράγωο ΑΒΓΔ. Με κέτρο τη κορυφή Α του τετραγώου ΑΒΓΔ και ακτία τη διαγώιό του ΑΓ γράφουμε κύκλο. Να υπολογιστού: α) Το εμβαδό του τετραγώου ΑΒΓΔ α είαι γωστή η ακτία R. β) Ο λόγος τω εμβαδώ τω δύο κύκλω.. ** ε τετράγωο πλευράς α εγγράφουμε και περιγράφουμε δύο κύκλους. Να υπολογιστού: α) Το εμβαδό του εσωτερικού κύκλου. β) Ο λόγος τω εμβαδώ τω δύο κύκλω.. ** Να δειχθεί ότι το εμβαδό κύκλου, που έχει διάμετρο τη υποτείουσα ορθογωίου τριγώου είαι ίσο με το άθροισμα τω εμβαδώ τω δύο άλλω κύκλω, που έχου διαμέτρους τις κάθετες πλευρές του ορθογωίου τριγώου. 5. ** ε κύκλο (0, R) θεωρούμε δύο κάθετες ακτίες του ΟΑ και ΟΒ. Με διάμετρο τη ΑΒ γράφουμε εκτός του κύκλου ημικύκλιο. Να υπολογιστού: α) Το εμβαδό του τριγώου ΑΟΒ. β) Το εμβαδό του γραμμοσκιασμέου μηί-σκου ΟΑΒ. 6. ** Να δείξετε ότι η διχοτόμος της γωίας ΑΒΕ εός καοικού πεταγώου ΑΒΓΔΕ είαι κάθετη στη πλευρά ΒΓ. 7. ** Να δείξετε ότι κάθε διαγώιος καοικού πεταγώου είαι παράλληλη προς μία πλευρά του. 8. ** Δίεται καοικό εξάγωο περιγεγραμμέο σε κύκλο ακτίας cm. Να υπολογίσετε: α) τη πλευρά του β) το απόστημά του γ) το εμβαδό του. 9. ** Δίεται ισόπλευρο τρίγωο ΑΒΓ πλευράς λ = 9 cm εγγεγραμμέο σε κύκλο, ακτίας R. Να υπολογιστού: α) Το μήκος του κύκλου. β) Το εμβαδό τω τριώ κυκλικώ τμημάτω που βρίσκοται έξω από το τρίγωο. 0. ** Δίεται κύκλος με διάμετρο ΑΒ = 6α. Διαιρούμε τη διάμετρο ΑΒ σε τρία ίσα τμήματα ΑΓ = ΓΔ = ΔΒ. Με διαμέτρους τις ΑΓ, ΓΔ και ΔΒ γράφουμε τρεις ίσους κύκλους. Να υπολογισθού: α) Το εμβαδό του κύκλου με διάμετρο τη ΑΒ. 5

12 β) Το εμβαδό καθεός τω τριώ ίσω κύκλω. γ) Το λόγο του αθροίσματος τω εμβαδώ τω τριώ ίσω κύκλω προς το εμβαδό του κύκλου (Ο,ΟΑ). δ) Το εμβαδό του γραμμοσκιασμέου χωρίου που βρίσκεται έξω από τους τρεις κύκλους. 1. ** Με διάμετρο τη πλευρά ΒΓ = α ισοπλεύρου τριγώου ΑΒΓ γράφουμε ημικύκλιο που τέμει τις πλευρές του τριγώου στα σημεία Δ και Ε. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωα ΟΒΔ και ΟΕΓ είαι ισόπλευρα. β) Να υπολογιστεί το εμβαδό του κυκλικού τομέα ΟΔΖΒ. γ) Να υπολογισθού τα εμβαδά τω δύο γραμμοσκιασμέω κυκλικώ τμημάτω.. ** Δείξτε ότι ο λόγος τω εμβαδώ του περιγεγραμμέου και του εγγεγραμ-μέου ισοπλεύρου τριγώου στο κύκλο (Ο, R) είαι 1.. ** Να αποδειχθεί: α) ότι τα συγκεκριμέα αποστήματα α και α 6 καοικού τριγώου και εξαγώου που είαι εγγεγραμμέα στο ίδιο κύκλο ακτίας R είαι μεταξύ τους κάθετα (βλ. διπλαό σχήμα) και β) ότι τα τρίγωα ΑΟΒ και ΟΒΔ είαι ισεμ-βαδικά.. ** Να αποδειχτεί ότι το εμβαδό Ε κυκλικής στεφάης που σχηματίζεται μεταξύ τω δύο κύκλω ακτίω R και ρ (με R > ρ), ισούται (OA) με π. ρ 5. ** Καοικού εξαγώου ΑΒΓΔΕΖ οι πλευρές ΑΒ,ΓΔ τέμοται στο Ο. Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώου ΟΑΔ συαρτήσει της ακτίας R του περιγεγραμμέου στο εξάγωο κύκλου. 6. ** Το εμβαδό ισόπλευρου τριγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο είαι 1 cm. Α στο ίδιο κύκλο εγγράψουμε τετράγωο, α βρεθού: α) Η πλευρά του λ β) Το απόστημα του α γ) Το εμβαδό του Ε 7. ** Μέσα σ έα χωράφι σχήματος τετραγώου κατασκευάσαμε το μεγαλύτερο κυκλικό αλώι που ήτα δυατό ακτίας 0 m. α) Ποιο ήτα το μήκος της πλευράς του τετραγωικού χωραφιού; β) Ποια είαι η αξία του χωραφιού α στη περιοχή αυτή η γη κοστίζει δρχ./m ; γ) Πόσο είαι το εμβαδό του χωραφιού που είαι έξω από το κυκλικό αλώι; 8. ** Η διάμετρος τροχού ποδηλάτου είαι 0.50 m. Πόσες στροφές θα κάει σε μία διαδρομή 1 Km; 9. ** το εσωτερικό κυκλικού πάρκου ακτίας 6 m θέλουμε α κάουμε μια διακοσμητική πλακόστρωση σχήματος τετραγώου με το μεγαλύτερο δυατό εμβαδό. 5

13 α) Α τα διακοσμητικά πλακάκια έχου εμβαδό 0.09 m, πόσα θα χρειαστού για τη διακόσμηση αυτή; β) το μέρος του πάρκου που δε θα πλακοστρωθεί θέλουμε α φυτέψουμε γκαζό του οποίου το κόστος είαι.000 δρχ. αά m. Πόσο θα κοστίσει το γκαζό; 1ο χέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή Διδακτική εότητα: Καοικά Πολύγωα - Μέτρηση κύκλου ΘΕΜΑ 1ο Α. ε κύκλο (O, R) είαι εγγεγραμμέο τετράγωο. Να υπολογίσετε συαρτήσει της ακτίας R α) τη πλευρά του β) το απόστημά του. Β. ε κύκλο (O,R) είαι εγγεγραμμέο τετράγωο. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίακας (λ η πλευρά του, α το απόστημά του και Ε το εμβαδό του) 5

14 R λ α Ε 5 6 ΘΕΜΑ ο Με διάμετρο τη πλευρά ΒΓ = α ισοπλεύρου τριγώου ΑΒΓ γράφουμε ημικύκλιο προς το ίδιο μέρος του τριγώου στα σημεία Δ και Ε. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωο ΟΒΔ και ΟΕΓ είαι ισόπλευρα. β) Nα υπολογισθεί το εμβαδό του κυκλικού τομέα ΟΔΖΒ. γ) Να υπολογισθού τα εμβαδά τω δύο κυκλικώ τμημάτω που βρίσκοται έξω από το τρίγωο. ο χέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή Διδακτική εότητα: Καοικά Πολύγωα - Μέτρηση κύκλου ΘΕΜΑ 1ο Α. ε κύκλο (O, R) είαι εγγεγραμμέο ισόπλευρο τρίγωο. Να υπολογίσετε συαρτήσει της ακτίας R. α) τη πλευρά του β) το απόστημά του Β. ε κύκλο (O,R) είαι εγγεγραμμέο ισόπλευρο τρίγωο. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίακας. (λ η πλευρά του, α το απόστημά του και Ε το εμβαδό του). ΘΕΜΑ ο R λ Ε Κύκλος είαι εγγεγραμμέος σε τετράγωο πλευράς α. Να υπολογίσετε: α) Το εμβαδό του κύκλου (συάρτηση του α) β) Το εμβαδό του μέρους του τετραγώου, που βρίσκεται εκτός του κύκλου. 55

3. * Εάν το απόστηµα κανονικού πολυγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας Γ. R 2. R 3

3. * Εάν το απόστηµα κανονικού πολυγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας Γ. R 2. R 3 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Εά το απόστηµα καοικού πολυγώου, εγγεγραµµέου σε κύκλο ακτίας R, είαι R, η πλευρά του είαι Α. R Β. R Γ. R. R Ε. R. * Εά η πλευρά καοικού πολυγώου, εγγεγραµµέου σε κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του.

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. 2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 327 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Κατασκευή καοικώ πολυγώω Η διαδικασία κατασκευής εός καοικού πολυγώου µε πλευρές (καοικό -γωο) ακολουθεί τα εξής βήματα: 1ο Βήμα: 3 Υπολογίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ. Τύποι - Βασικές έννοιες

ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ. Τύποι - Βασικές έννοιες ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Τύποι - Βασικές έοιες Έα κυρτό πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές ίσες και όλες τις γωίες ίσες µεταξύ τους. Κάθε καοικό πολύγωο είαι εγγράψιµο και περιγράψιµο σε δύο οµόκετρους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ.

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 1 Νοεμβρίου 016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: ( ) ( 5) ( ) 3 3 3 0 15 8 3 Α= + + 3 5 3 9 Πρόβλημα Δίεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ

3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΘΕΩΡΙΑ. Οµασία: Έα πλύγω µε κρυφές θα τ λέµε -γω µε εξαίρεση τ πλύγω µε τέσσερις κρυφές πυ θα τ λέµε τετράπλευρ. 2. Καικό πλύγω: Έα πλύγω λέγεται καικό ότα όλες ι πλευρές τυ είαι

Διαβάστε περισσότερα

φ = 2ω = = 2 2(ν 2) + 4 = 2 + 4

φ = 2ω = = 2 2(ν 2) + 4 = 2 + 4 Γιατί οι μέλισσες κάου εξαγωικές τις κηρήθρες τους ; Χριστία Δασκαλάκη Α.Μ. 99 Ημερομηία παράδοσης 9-10-014 Θεωρούμε έα καοικό -γωο και σημειώουμε μια γωία του καθώς και τις γωίες του ισοσκελούς τριγώου

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! taexeiola.blogspot.com 6 ο ΥΜΝΑΣΙΟ ΡΟΔΟΥ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΑΞΗ Β' ΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΡΟΔΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο Γυμνάσιο

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο Γυμνάσιο ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο υμάσιο 164 1 α. Τι λέμε -οστή δύαμη εός αριθμού α; β. Ορισμοί και ιδιότητες τω δυάμεω. Κατασκευάστε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ α. ράψτε το πυθαγόρειο θεώρημα και τη σχέση που το εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπάρχουν κανονικά πολύγωνα των οποίων οι εξωτερικές γωνίες είναι αµβλείες ; Απάντηση Ναι. Είναι το ισόπλευρο τρίγωνο

1. Υπάρχουν κανονικά πολύγωνα των οποίων οι εξωτερικές γωνίες είναι αµβλείες ; Απάντηση Ναι. Είναι το ισόπλευρο τρίγωνο .. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 37 38 Ερωτήσεις Κτόησης. Υπάρχου κοικά πολύγω τω οποίω οι εξωτερικές γωίες είι βλείες ; Απάτηση Νι. Είι το ισόπλευρο τρίγωο. Ποιο είι το πόστη κοικού πολυγώου περιγεγρέου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γεωμετρίας Β Λυκείου. // ) και BE

ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γεωμετρίας Β Λυκείου. // ) και BE ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ 06-7 Επειδή το ζητήσατε κορίτσια μου: Α. ΘΕΩΡΙΑ Τα κεφάλαια: ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γεωμετρίας Β Λυκείου 9 ο Μετρικές σχέσεις, 0 ο Εμβαδά, ο Μέτρηση Κύκλου, την διδαχθείσα ύλη Β.

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α). Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το γινόμενο των προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005)

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005) η Εργασία 005-006 (Καταληκτική ημερομηία αποστολής 5//005) Άσκηση (0 μοάδες). (α) Δείξτε αλγεβρικά πώς βρίσκοται δύο διαύσματα A και B, εά είαι γωστά το άθροισμά τους S και η διαφορά τους D (β) Βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ( Κανονικά πολύγωνα ) Δραστηριότητα 1 : Θεωρούμε ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ ( τυχαίο μήκος ) και πάνω σε σ αυτόν παίρνουμε 5 διαδοχικά ίσα τόξα τα: AB, B Γ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ. Στην συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΘΕΜΑ 1 ο (α) Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους, ίσα αποστήµατα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές. (β) Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 03 Μαθηματικών

ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 03 Μαθηματικών ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ 9 ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 3 Μαθηματικώ Ερώτημα Ο Εισαγωγή ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΙΚΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ. Το συγκεκριμέο ερώτημα θα μπορούσε α έχει ισοδύαμα τη μορφή: «Να προτείετε σχέδιο μαθήματος,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα στον ορισμό τη επίκεντρης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι τέλεια, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (1 + i) v - (1 - i) v. 15. Αν z μιγαδικός και f (ν) = i

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι τέλεια, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (1 + i) v - (1 - i) v. 15. Αν z μιγαδικός και f (ν) = i Να βρεθού οι πραγματικοί αριθμοί κ,λ για τους οποίους οι μιγαδικοί = 4 κ + λ + 7 κ και w = 7 (λ ) α είαι ίσοι Να βρεθού οι κ, λr ώστε ο = (8κ + κ) + 4λ + ( ) α είαι ίσος με το μηδέ Να βρείτε για ποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΕΤΡΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ Για α υπολογίσουμε δυάμεις με ακέραιο εκθέτη σε παράσταση με i χρησιμοποιούμε γωστές ταυτότητες και έχουμε υπόψη ότι: i. v v- = με ακέραιο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 34 1ο ΣΧΕ ΙΟ ιδακτική ενότητα: Πυθαγόρειο Θεώρηµα ΘΕΜΑ 1ο Α. (1,5 µονάδες) Αν στο διπλανό σχήµα το Α είναι ύψος του τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ και Ε ΑΒ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Σελίδα 37 Στο παρακάτω σχήμα σχεδιάστε την διάμεσο ΑΜ, την διάμεσο ΒΛ και την διάμεσο ΓΝ. Τι παρατηρείτε; Να κατασκευάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ λ + λ = + = + = = = λ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ λ + λ = + = + = = = λ. ΚΦΑΛΑΙΟ 11. Παραθέτουμε για εύκολη αναφορά το πινακάκι με την αντιστοιχία χορδών-αποστημάτων-τόξων που χρειάζεται σε όλες σχεδόν τις παρακάτω ασκήσεις Κανονικό εξάγωνο Πλευρά λν Χορδή λ = Απόστημα α =

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ 3 ο. Μέτρηση κύκλου.

Κεφ 3 ο. Μέτρηση κύκλου. Μαθηματικά Β Γυμνασίου Κεφ 3 ο. Μέτρηση κύκλου. Μέρος Α Θεωρία. 1. Ποια γωνία λέγετε εγγεγραμμένη σε κύκλο; 2. Ποιο είναι το αντίστοιχο τόξο εγγεγραμμένης γωνίας; 3. Με τι είναι ίση κάθε εγγεγραμμένη γωνία

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανάληψη Γεωμετρίας Β Λυκείου

Μεθοδική Επανάληψη Γεωμετρίας Β Λυκείου Μεθοδική Επανάληψη Γεωμετρίας Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr 8ο Κεφάλαιο: Ομοιότητα. Πότε δύο ευθύγραμμα σχήματα λέγονται όμοια; Τι ονομάζεται λόγος ομοιότητας αυτών; Με τι ισούται ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. β) Το Ε ΑΒΓ = 3Ε ΒΟΓ = 3 ΒΓ ΟΗ = = 2. Η κεντρική γωνία ω του κανονικού ν-γώνου δίδεται από τον τύπο:

Ερωτήσεις ανάπτυξης. β) Το Ε ΑΒΓ = 3Ε ΒΟΓ = 3 ΒΓ ΟΗ = = 2. Η κεντρική γωνία ω του κανονικού ν-γώνου δίδεται από τον τύπο: ρωτήσεις ανάπτυξης. α) πό το ορθογώνιο τρίγωνο, έχουµε: - () λλά R, R, αφού η γωνία 0. () γίνεται: (R) - R R - R R Άρα R cm H πλευρά α του ισοπλεύρου τριγώνου είναι α 6 cm. β) Το 6 7 cm. B A H O. κεντρική

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και σημείο Ρ εκτός αυτού. Φέρουμε την εφαπτομένη ΡΑ ώστε

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και σημείο Ρ εκτός αυτού. Φέρουμε την εφαπτομένη ΡΑ ώστε ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 93 Α. Να αποδείξετε ότι: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν Α ΒΓ, Ε ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΟΥ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΟΥ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ : Μήκος κύκλου: L = Εμβαδόν κύκλου: Ε = ( όπου π = 3,14) Γνωρίζοντας ότι σε γωνία 360 0 αντιστοιχεί κύκλος με μήκος L και εμβαδόν Ε έχουμε : α) ημικύκλιο

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι ονομάζουμε μονώνυμο;. Τι ονομάζουμε ρητή αλγεβρική παράσταση; 3. Ποιες τιμές δεν μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 1. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 8cm και η γωνία Β = 64 0. Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΑΓ. 2. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 9cm και εφγ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα