4. * Αν α, β, γ, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε β - α = γ - β. Σ Λ

Transcript

1 Κεφάλαιο 3ο: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. * Ο ιοστός όρος α μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά ω είαι α = α + ( - ) ω. Σ Λ (α + α ). * Το άθροισμα τω πρώτω όρω μιας αριθμητικής προόδου είαι S =. Σ Λ 3. * Το άθροισμα τω πρώτω όρω μιας αριθμητικής προόδου είαι ω. Σ Λ. * Α α, β, γ, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε β - α = γ - β. Σ Λ ( + ) 5. * Ισχύει ότι =. Σ Λ [ ] α + ( ) S = 6. * Η ακολουθία,, 8,... είαι αριθμητική πρόοδος. Σ Λ 7. * Στη αριθμητική πρόοδο, 7,, 7,... η διαφορά ω είαι 5. Σ Λ 7. * Η ακολουθία (α ) με α + = α + 3 είαι αριθμητική πρόοδος. Σ Λ (3-3) 8. * Σε μία αριθμητική πρόοδο με α = 5 και ω = - 3 είαι S =. Σ Λ 9. * Η αριθμητική πρόοδος 3, 7,,... έχει άθροισμα πρώτω όρω S = -. Σ Λ 0.* Η αριθμητική πρόοδος - 5, - 8, -,... έχει ιοστό όρο α = Σ Λ. * Σε μια αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο α = - 3 και διαφορά ω = 5 ο ιοστός όρος είαι α = Σ Λ.* Οι αριθμοί 7,, 5 είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Σ Λ 3.* Οι αριθμοί 7,, 8 είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Σ Λ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Η ακολουθία είαι μια συάρτηση με πεδίο ορισμού το σύολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. * Η γραφική παράσταση μιας ακολουθίας είαι Α. Μια ευθεία γραμμή Β. Μια παραβολή Γ. Μια υπερβολή Δ. Μεμοωμέα σημεία του επιπέδου με τετμημέες φυσικούς αριθμούς Ε. Μια τυχαία γραμμή στο επίπεδο 3. * Ο γεικός όρος της ακολουθίας α = είαι Α. α = 5 + Β. α = 0 Γ. α = 0 Δ. α = Ε. α = + α. * Ο γεικός όρος της ακολουθίας = ( ) + ( ) είαι 9

2 Α. α = 0 Β. α = Γ. α = Δ. α = Ε. α = 5. * Ο 3 ος όρος της ακολουθίας α + = α + 3, α = είαι Α. - 6 Β. - Γ. Δ. 7 Ε. + α 6. * Η γραφική παράσταση της ακολουθίας ( ) ( ) = + + είαι σημεία με τετμημέες θετικούς ακεραίους της ευθείας Α. y = 0 Β. y = Γ. y = Δ. y = 3 Ε. y = 7. * Aπό τις παρακάτω ακολουθίες αριθμητική πρόοδος είαι η Α. 3, 6, 8, 0,,... Β.,, 8, 6, 3,... Γ. -3,, 5, 9, 3,... Δ. -3, 0, 3, 6,... Ε.,,,, * Σε μια αριθμητική πρόοδο είαι α = 3 και α 5 = 3. Τότε η διαφορά ω είαι ίση με Α. 3 Β. Γ. 5 Δ. Ε * Σε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 0 = και ω = 3. Τότε α είαι ίσο με Α. 5 Β. Γ. - Δ. 6 Ε * Σε μια αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο α = 3 και διαφορά ω = έχουμε α = 35. Τότε το πλήθος τω όρω της είαι Α. 7 Β. 3 Γ. 3 Δ. 9 Ε. 8. * Σε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 8 = 0 και α 0 = 0. Τότε o ος όρος της είαι ίσος με Α. 5 Β. Γ. 0 Δ. 9 Ε. 0. * Σε μια αριθμητική πρόοδο είαι α = και ω = 3. Τότε οι θετικοί της όροι είαι Α. Β. 3 Γ. Δ. 5 Ε. όλοι οι όροι της 3. * Ο 0 ος όρος της αριθμητικής προόδου : 0, 7,, είαι Α. - Β. - 0 Γ. - 7 Δ Ε. 0. * Σε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 7 = και ω =. Τότε δε είαι όρος της ο Α. 5 Β. Γ. 5 Δ. Ε. 5. * Η ακολουθία με γεικό όρο α = 3 + είαι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω ίση με Α. 5 Β. Γ. - Δ. 3 Ε * Σε μια αριθμητική πρόοδο είαι α = 8 και ω = 3. Τότε ο ιοστός της όρος είαι ίσος με Α. α = Β. α = Γ. α = Δ. α = Ε. α = + 7. ** Έας μαθητής ύψους,7 m στέκεται μπροστά σε μια σκάλα, κάθε σκαλοπάτι της οποίας έχει ύψος 8 cm. α) Το πρώτο σκαλοπάτι της σκάλας, που βρίσκεται σε μεγαλύτερο ύψος από το μαθητή, είαι το Α. όγδοο Β. δέκατο Γ. εδέκατο Δ. δωδέκατο Ε. εικοστό β) Δε υπάρχει σκαλοπάτι που α βρίσκεται σε ύψος από το έδαφος Α. 36 cm Β. 5 cm Γ. 7 cm Δ., m Ε.,56 m 8. ** Α σε μια αριθμητική πρόοδο είαι α = x και α 6 = y, τότε η διαφορά ω είαι ίση με 0

3 Α. x + y x y x y x y Β. Γ. y Δ. Ε. 9. * Η διαφορά της αριθμητικής προόδου : α + β, α, α β, είαι Α. α Β. β Γ. β Δ. α Ε. β 0. * Από τις παρακάτω τριάδες δε αποτελείται από διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου η Α. 5, 0, 35 Β. - 5, 0, 5 Γ. 5, 0, - 5 Δ. 5, -0, -5 Ε. - 5, 0, 35. * Α οι αριθμοί 3k, k +, k - είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε ο k είαι ίσος με Α. Β. Γ. 5 Δ.,5 Ε.,5. * Α τρεις ακέραιοι αριθμοί είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, έχου άθροισμα και γιόμεο 80, τότε αυτοί είαι Α., 0, Β. 5, 7, 9 Γ., 7, 0 Δ., 7, 3 Ε. -, 7, * Α οι αριθμοί x y z είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε ισχύει Α. y = x + z Β. z = x + y Γ. z = x + y Δ. z y y x Ε. z x = y. * Α οι γ, α + β, α β είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε Α. Β. γ = β α Γ. γ = α + β Δ. γ = α + 3β Ε. γ = α + β 5. * Α οι αριθμοί,, είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε α β γ Α. Δ. α = β + γ Β. β = + Ε. α γ = β α + γ = + β α γ Γ. = + β α γ 6. * Σε μια αριθμητική πρόοδο τα αθροίσματα S 6 = 93 και S 5 = 90. Τότε ισχύει Α. ω = 3 Β. α = 3 Γ. α 5 = 3 Δ. α 6 = 3 Ε. S = 3 7. * Τα πολλαπλάσια του 3 μεταξύ του 5 και του 35 είαι Α. 3 Β. 5 Γ. 8 Δ. 0 Ε. 30 x 8. * Μια ακολουθία α, α, α 3,, α είαι αριθμητική πρόοδος α και μόο α Α. η διαφορά δυο οποιωδήποτε όρω της είαι σταθερός πραγματικός αριθμός Β. η διαφορά μεταξύ πρώτου και τελευταίου όρου της είαι σταθερός αριθμός Γ. οι διαφορές τω διαδοχικώ όρω της είαι ίσοι πραγματικοί αριθμοί Δ. οι διαφορές τω διαδοχικώ όρω της είαι ίσοι θετικοί πραγματικοί αριθμοί Ε. το άθροισμα τω όρω της είαι σταθερός πραγματικός αριθμός. 9. * Σε κάθε αριθμητική πρόοδο με διαφορά ω, το άθροισμα δυο όρω της που ισαπέχου από τα άκρα της είαι Α. Πολλαπλάσιο της διαφοράς ω. Β. Παίρει τιμές που εξαρτώται από τη τάξη τω όρω αυτώ. Γ. Ίσο με το πλήθος. Δ. Ίσο με το άθροισμα τω άκρω όρω της προόδου. Ε. Ίσο με το αριθμητικό μέσο της.

4 30. * Από τις επόμεες τετράδες δε αποτελείται από διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου η Α., 5, 8, Β. - 3, - 9, - 5, - Γ. 8, 8, 38, 58 Δ. - 6, -,, 9 Ε. -, -, 0, 3. * Α οι α, β, γ, δ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε ποια από τις παρακάτω απατήσεις δε είαι πάτα σωστή; Α. β + γ = α + δ Β. α + γ = β Γ. β + δ = γ Δ. δ γ = β α Ε. α + β + γ = δ 3. * Ο 5 είαι ο αριθμητικός μέσος τω αριθμώ Α. 5 και 0 Β. -5 και -5 Γ. -9 και - Δ. 9 και Ε. 9 και * Οι διάφοροι του μηδεός πραγματικοί αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Ποια από τις παρακάτω τριάδες δε αποτελείται από διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου; Α. γ, β, α Β. α, β, γ Γ. α, β, γ Δ.,, Ε. γ, β, α α β γ * Α σε μια αριθμητική πρόοδο έχουμε α = 5 και ω = 5 της είαι Α. 8 Β. 3 Γ. 50 Δ. 0 Ε. 89, τότε το άθροισμα τω πρώτω όρω 35. * Σε κάθε αριθμητική πρόοδο η διαφορά ω είαι Α. θετικός ρητός Β. σταθερός ακέραιος Γ. 0 Δ. ίσος με Ε. σταθερός πραγματικός 36. * Α οι αριθμοί x, y, z είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε Α. x = y + z Β. z = x + y Γ. y = x + z Δ. y = x + z Ε. y = x z 37. * Σε μια αριθμητική πρόοδο το άθροισμα S τω πρώτω όρω της είαι ω Β. ( α + α ) Γ. ( α + α ) ω α α Ε. ( α + ω ) 38. * Σε μια αριθμητική πρόοδο το άθροισμα S τω πρώτω όρω της είαι Α. ( α α ) Δ. ( ) [ ] Δ. [ α ( ) ω ] Ερωτήσεις συμπλήρωσης Α. α + ( ) Β. [ α + ω ] Γ. + ( ) + Ε. ( α ω ) + [ α ω ]. * Να γράψετε τους όρους που λείπου στις παρακάτω αριθμητικές προόδους α) 5, 8,,, 7,,, 6. β) 7,,, 5.

5 γ) k, k + 3,, k + 9,. δ) x,, 5x +, 7x + 3,,.. * Να συμπληρώσετε το πίακα με τους όρους που λείπου στις παρακάτω ακολουθίες. Ακολουθία με ααδρομικό τύπο α α α 3 α α 5 α) α + = α + 3 β) α + = α * Να γράψετε τους όρους που λείπου στις παρακάτω αριθμητικές προόδους α) 5 3 β) γ) 8 3 δ) ** Να γράψετε τους όρους που λείπου στις παρακάτω αριθμητικές προόδους α) 0 70 β) 0 70 γ) 0 70 δ) ** Να γράψετε τους όρους που λείπου έτσι ώστε κάθε γραμμή α είαι αριθμητική πρόοδος α) x + y x - y β) x - y x + y γ) x - 3y x + 3y δ) x + 3y x - 3y Ερωτήσεις ατιστοίχισης. * Συδέστε κατάλληλα κάθε ακολουθία της στήλης Α του πίακα (Ι) με το ατίστοιχο όρο της, που υπάρχει στη στήλη Β. Στήλη Α ( ). α = Στήλη Β Α. α =, α 3 = α = +. ( ) 3. α = 3. α = 3 8 Β. α = 3, α = 5 3 Γ. α = 8, α = 7 3 Δ. α =, α = 3 Ε. α =, α = 0 ΣΤ. α 3 =, α = 3 3. * Συδέστε κατάλληλα κάθε ακολουθία της στήλης Α του πίακα (Ι) με το 5 ο της όρο, που υπάρχει στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Α. 3

6 .,, 8, Β. Γ.. 8,,, 3. 0, 7,,. 7, 9, 3, Δ. Ε. 5 ΣΤ * Συδέστε κατάλληλα κάθε αριθμητική πρόοδο της στήλης Α του πίακα (Ι) με το ιοστό όρο της, που υπάρχει στη στήλη Β. Στήλη Α. α =, ω = 3 Στήλη Β Α. α = Β. α = 5 0. α =, ω = 3 Γ. α = 3 3. α = 0, ω = Δ. α = Ε. α = 6 +. * Να ατιστοιχίσετε σε κάθε αριθμητική πρόοδο της στήλης Α του πίακα (Ι) το άθροισμα S τω πρώτω όρω της, που υπάρχει στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β. α =, ω 3 = Α. S = Β. ( ) S = +. α =, ω = 3 3. α = 0, ω = 3 + Γ. S = Δ. ( 6) S = Ε. ( ) S =

7 5. ** Συδέστε κατάλληλα κάθε αριθμητική πρόοδο της στήλης Α του πίακα (Ι) με τη διαφορά της, που υπάρχει στη στήλη Β. Στήλη Α. α = α + 3 Στήλη Β Α. Β. -. α 7 = α 6 Γ. 3. α + = α + 3 Δ. - Ε. 3. α + = α ΣΤ ** Να ατιστοιχίσετε σε κάθε τριάδα διαδοχικώ όρω αριθμητικής προόδου της στήλης Α του πίακα (Ι), τη τιμή που πρέπει α πάρει το x της στήλης Β, συμπληρώοτας το πίακα (ΙΙ). Πίακας (Ι) Στήλη Α., x +, Στήλη Β Α. x = 5 Β. x = x, 5, Γ. x = 3., 9 + x, 0 + x Δ. x = 6 Ε. x = 0 5

8 Ερωτήσεις αάπτυξης. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους τω παρακάτω ακολουθιώ: α) α = + γ) α = 3 β) = + ( ) ( ) α + + δ) α = 0, α + = 3 + 3α +. * Σε μια αριθμητική πρόοδο είαι α = 6 και α = 9. Να βρείτε α) τη διαφορά ω και β) το 0 ο όρο της προόδου. 5. ** Σε μια αριθμητική πρόοδο είαι α = 3 και ω = 7. α) Να βρείτε το πλήθος τω πρώτω όρω της προόδου που δίου άθροισμα ίσο με 679. β) Ποιος θα είαι ο τελευταίος όρος α σ αυτή τη περίπτωση; 6. ** Σε μια αριθμητική πρόοδο το άθροισμα τω 0 πρώτω όρω της είαι S 0 = 60 και το άθροισμα τω πρώτω όρω της S =. Να βρείτε τη διαφορά ω και το ο όρο της. 7. ** Να βρείτε τη αριθμητική πρόοδο στη οποία α) το άθροισμα του ου και του 5 ου όρου είαι -, εώ το άθροισμα του ου και του 6 ου είαι β) το άθροισμα του ου και του ου όρου είαι 7, εώ το γιόμεο τω ίδιω όρω είαι ** Να βρείτε τη αριθμητική πρόοδο της οποίας το άθροισμα τω 3 πρώτω της όρω είαι ίσο με -3 και άθροισμα τω 5 πρώτω όρω ίσο με ** Να βρείτε το άθροισμα τω πρώτω όρω της αριθμητικής προόδου με α 6 = 8, α =. 0. ** Να βρείτε τη αριθμητική πρόοδο α ο ος και ο 7 ος όρος έχου γιόμεο 00 και οι μεταξύ τους όροι έχου άθροισμα 50. ** Σε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 9 = 5 και S = 65. α) Να βρείτε το 5 ο όρο της προόδου και β) το άθροισμα τω 0 πρώτω όρω της.. ** α) Να βρείτε τη αριθμητική πρόοδο α α 3 = και α 6 = 3 β) Πόσοι πρώτοι όροι της έχου άθροισμα που δε υπερβαίει το 0; 3. ** Να βρείτε τη αριθμητική πρόοδο στη οποία ο ος και ο 8 ος όρος της έχου άθροισμα 8, εώ το άθροισμα τω κύβω τω όρω αυτώ είαι * Να αποδείξετε ότι για κάθε α β γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 5. * Α οι αριθμοί,, R οι αριθμοί ( ) α + β α + β, και ( α β ),, είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, α δείξετε ότι το β + γ γ + α α + β ίδιο ισχύει και για τους α, β, γ. 6

9 6. ** α) Α οι αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου δείξτε ότι: α β = β γ. β) Α οι αριθμοί β + γ α γ + α β α + β γ,, είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και α β γ α + β + γ 0, δείξτε ότι οι,, είαι επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. α β γ 7. ** Να βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, οι οποίοι έχου άθροισμα 33 και γιόμεο ** Να βρείτε τέσσερις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, οι οποίοι έχου άθροισμα 6 και γιόμεο άκρω όρω ** Να βρείτε πόσα πολλαπλάσια του 7 περιέχοται μεταξύ του 5 και του ** Να βρείτε το πλήθος και το άθροισμα α) τω διψήφιω περιττώ αριθμώ β) τω διψήφιω αρτίω αριθμώ γ) τω διψήφιω φυσικώ αριθμώ δ) τω διψήφιω πολλαπλασίω του.. ** α) Ποιο είαι το άθροισμα τω 7 πρώτω όρω της προόδου: 3, 5, 7, 9,... ; β) Πόσους διαδοχικούς πρώτους όρους της προόδου αυτής πρέπει α προσθέσουμε, για α πάρουμε άθροισμα 99;. ** Μεταξύ τω αριθμώ και 3 α παρεμβάλετε άλλους αριθμούς, ώστε α δημιουργηθεί μια αριθμητική πρόοδος με όρους. 3. ** Πόσους αριθμούς πρέπει α παρεμβάλουμε μεταξύ του 5 και του 50 ώστε ο τελευταίος από τους αριθμούς αυτούς α είαι 3πλάσιος από το δεύτερο και όλοι οι αριθμοί α είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου;. ** Να βρείτε τις γωίες εός ορθογωίου τριγώου, α γωρίζετε ότι είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 5. ** Σε μια ευθεία θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε ώστε τα μήκη τω ευθυγράμμω τμημάτω ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΕ α είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Α ΑΓ = 6 cm και ΓΕ = cm α βρείτε τα μήκη τω ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΕ. 6. ** Να βρείτε το άθροισμα τω πρώτω όρω της ακολουθίας:, - 3, 5, - 7, 9, -, ** Στις προόδους ( α ) :7,, 5,... και ( β ) :6,, 6,... εμφαίζοται κοιοί όροι (όπως ο ). α) Να βρείτε το επόμεο κοιό τους όρο. β) Να βρείτε το άθροισμα τω 0 πρώτω κοιώ όρω τους. 8. ** Να βρείτε τα αθροίσματα: α) ( + 3 ) και β) ( 3 + ) 9. ** Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) = 65. β) x = 80 με x >

10 30. ** Ο ιοστός όρος μιας ακολουθίας είαι α = 3 +. α) Να βρείτε το επόμεο όρο α + β) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είαι αριθμητική πρόοδος γ) Να βρείτε το άθροισμα τω 30 πρώτω όρω της δ) Να βρείτε τη τάξη του όρου της που είαι ίσος με 6 (Μπορού α γίου και αάλογα προβλήματα για α α = ή α = + 9 κ.λ.π.) = ή 3. *** Μιας ακολουθίας το άθροισμα τω πρώτω όρω της είαι S = 3 +. α) Να βρείτε το άθροισμα τω (-) πρώτω όρω της β) Να βρείτε το ιοστό της όρο γ) Να βρείτε το όρο α + δ) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είαι αριθμητική πρόοδος ε) Να βρείτε τη τάξη του όρου της που είαι ίσος με 00 (Μπορού α γίου και αάλογα προβλήματα για S = + 3 S = 3 ή S = + κ.λ.π.) ( ) 3. *** Να βρείτε τη αριθμητική πρόοδο της οποίας το άθροισμα τω πρώτω όρω, για κάθε φυσι- + κό αριθμό, είαι S =. 33. ** Να βρείτε τη αριθμητική πρόοδο της οποίας το άθροισμα τω πρώτω όρω, για κάθε φυσικό αριθμό, είαι S =. 3. ** Έας αγρότης, για μια γεώτρηση στο κτήμα του, συμφώησε τα εξής με το ιδιοκτήτη του γεωτρύπαου: το σκάψιμο του πρώτου μέτρου θα στοιχίσει.000 δρχ. και για κάθε επί πλέο μέτρο το κόστος σκαψίματος θα είαι κατά 500 δρχ. μεγαλύτερο από το κόστος σκαψίματος του προηγουμέου μέτρου.συμπληρώστε το πίακα: Ι. i) Βάθος ο m ο m ο m Κόστος μέτρου.000 δρχ..500 δρχ δρχ. Κόστος γεώτρησης.000 δρχ..500 δρχ. ii) Το βάθος στο οποίο το κόστος του μέτρου υπερβαίει τις δρχ. είαι Α. 3 m Β. 5 m Γ. 6 m Δ. 7 m Ε. 8 m iii) Το βάθος στο οποίο το κόστος της γεώτρησης δε υπερβαίει τις δρχ. είαι Α. m Β. 0 m Γ. 8 m Δ. 7 m Ε. 6 m iv) Με δρχ. η γεώτρηση θα φθάσει σε βάθος Α. m Β. 5 m Γ. 6 m Δ. 8 m Ε. 0 m ΙΙ. i) Πόσο κοστίζει το 5 ο μέτρο της γεώτρησης αυτής; ii) Πόσο κοστίζει συολικά η γεώτρηση α φθάσει τα 60 m βάθος; iii) Έας δεύτερος αγρότης κάει μια γεώτρηση του ίδιου βάθους και 8 ή

11 πληρώει δρχ. για κάθε μέτρο της. Πόσα μέτρα είαι το βάθος τω γεωτρήσεω α ξέρουμε ότι ο πρώτος έδωσε λιγότερα χρήματα; 35. ** Έα κερί καίγεται με σταθερό ρυθμό. Στο τέλος της ης ώρας είχε ύψος 36 cm, στο τέλος της ης 33 cm, στο τέλος της 3 ης 30 cm κ.λπ. ii) I. i) Οι τιμές του ύψους του κεριού στο τέλος κάθε ώρας αποτελού αριθμητική πρόοδο με διαφορά ω = 3 Σ Λ Οι τιμές του ύψους του κεριού στο τέλος κάθε ώρας αποτελού αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο α = 36 Σ Λ iii) Το ύψος του κεριού στο τέλος κάθε ώρας θα είαι πολλαπλάσιο του 3 Σ Λ iv) Στο τέλος της 5 ης ώρας το ύψος του κεριού θα είαι μικρότερο από 0 μέτρα Σ Λ v) Μετά από 5 ώρες το κερί δε θα έχει λειώσει τελείως Σ Λ II. i) Ποια από τις παρακάτω τριάδες είαι ύψη του κεριού στο τέλος τριώ διαδοχικώ ωρώ: Α., 3, 5 Β. 8, 0, Γ., 5, 6 Δ. 5,, 7 Ε. 5, 8, ii) Στο τέλος της 6 ης ώρας το ύψος του κεριού θα είαι Α. 5 cm Β. 0 cm Γ. 8 cm Δ. cm Ε. cm iii) Το ύψος του κεριού θα γίει μικρότερο από 8 cm στο τέλος της Α. ης ώρας Β. 6 ης ώρας Γ. 8 ης ώρας Δ. 0 ης ώρας Ε. ης ώρας iv) Το κερί δε θα έχει λειώσει τελείως μετά από Α. 5 ώρες Β. 0 ώρες Γ. 8 ώρες Δ. 5 ώρες Ε. ώρες v) Το ύψος που θα έπρεπε α έχει το κερί, για α λειώσει τελείως μετά από ώρες είαι Α. 59 cm Β. 66 cm Γ. 68 cm Δ. 69 cm Ε. 7 cm III. α) Πόσο θα είαι το ύψος του στο τέλος της 8 ης ώρας; β) Στο τέλος ποιας ώρας θα έχει ύψος 9 cm; γ) Πόσο ήτα το ύψος τη στιγμή που το αάψαμε; δ) Πόσες ώρες θα μείει ααμμέο; 36. ** Σ έα ουραοξύστη 7 ορόφω, τα γραφεία του ιδίου ορόφου έχου το ίδιο εοίκιο. Κάθε γραφείο του πρώτου ορόφου εοικιάζεται δρχ. το μήα. Κάθε γραφείο εός ορόφου εοικιάζεται δρχ. το μήα ακριβότερα από έα γραφείο του προηγουμέου ορόφου. α) Ποιο είαι το μηιαίο εοίκιο εός γραφείου του πέμπτου ορόφου; β) Πόσο ακριβότερο είαι έα γραφείο του 5 ου ορόφου από έα του 7 ου ορόφου; γ) Σε ποιους ορόφους το εοίκιο ξεπερά τις δρχ. το μήα; δ) Α το πλήθος τω γραφείω εός ορόφου είαι μικρότερο κατά από το πλήθος τω γραφείω του αμέσως προηγουμέου ορόφου και ο 7 ος όροφος έχει γραφεία, πόσα γραφεία έχει ο πρώτος όροφος; 37. ** Α. Οι μαθητές εός σχολείου θέλησα α γραφτού στο βιβλίο Γκίες κάοτας ρεκόρ στο σχηματισμό της υψηλότερης αθρώπιης πυραμίδας που θα ισορροπούσε για έα λεπτό. Μπήκα 9

12 λοιπό σε σειρές ως εξής: στη κορυφή έα άτομο, στη επόμεη σειρά δύο, στη αμέσως πιο κάτω σειρά τρεις κ.λ.π. Έτσι κατάφερα συολικά 5 μαθητές α κάου το ρεκόρ. α) Πόσες σειρές είχε η πυραμίδα που σχημάτισα; β) Πόσοι τουλάχιστο μαθητές θα χρειαστού ώστε α σπάσει το ρεκόρ αυτό, α σχηματίσου με παρόμοιο τρόπο μια έα πυραμίδα; Β. Έα μήα μετά οι μαθητές εός γειτοικού σχολείου σχημάτισα με όμοιο τρόπο μια πυραμίδα υψηλότερη κατά 3 σειρές και έσπασα το ρεκόρ. α) Πόσοι συολικά ήτα μαθητές αυτοί; β) Α οι μαθητές που παίρου μέρος στο σχηματισμό της πυραμίδας δε ξεπερού τους 0, πόσες σειρές μπορού α σχηματίσου; 38. ** Μια ομάδα 3 στρατιωτώ παρατάσσεται σε τριγωικό σχήμα ώστε: στη πρώτη σειρά μπαίει έας στη δεύτερη τρεις, στη τρίτη πέτε κ.λ.π. α) Πόσοι θα είαι στη η σειρά; β) Πόσες σειρές σχηματίστηκα συολικά; 39. ** Έα κολιέ αξίας δρχ. αποτελείται από 33 διαμάτια Το μεσαίο διαμάτι είαι και το ακριβότερο. Τα υπόλοιπα διαμάτια είαι τοποθετημέα κατά σειρά αξίας, ώστε κάθε διαμάτι μέχρι το μεσαίο α αξίζει.000 δρχ. λιγότερο από το επόμεό του και στη συέχεια, από το μεσαίο και πέρα, κάθε διαμάτι α αξίζει.500 δρχ. λιγότερο από το προηγούμεό του. Α. α) Πόσες δρχ. φθηότερο από το μεσαίο διαμάτι είαι το πρώτο; β) Πόσες δρχ. φθηότερο από το μεσαίο διαμάτι είαι το τελευταίο; Β. Πόσες δρχ. είαι η αξία του μεσαίου διαματιού; 0. ** Α. Σε μια αμφιθεατρική αίθουσα θεάτρου με 0 σειρές καθισμάτω, το πλήθος τω καθισμάτω κάθε σειράς σχηματίζει αριθμητική πρόοδο. Η η σειρά έχει 6 καθίσματα και η 7η 8 καθίσματα. α) Πόσα καθίσματα έχει η 0η σειρά; β) Πόσα καθίσματα υπάρχου από τη η έως τη και τη 0η σειρά; Β. Α στη η σειρά της αίθουσας αυτής υπάρχου 6 κεά καθίσματα, στη η υπάρχου 9 κεά καθίσματα, στη 3η κ.λ.π. α) από ποια σειρά και πέρα θα υπάρχου μόο κεά καθίσματα; β) Πόσοι θα είαι οι θεατές;. ** Κατά τη διάρκεια έργω συτήρησης του οδοστρώματος εός τμήματος της εθικής οδού, είχα τοποθετηθεί ειδικοί φωτειοί σηματοδότες (σχήματος βέλους) που εμπόδιζα τη κυκλοφορία σε 30

13 εκείο το τμήμα του δρόμου. Οι σηματοδότες αυτοί ήτα τοποθετημέοι αά 0 m. Μόλις τελείωσα τα έργα, έας εργάτης που βρισκότα στο πρώτο σηματοδότη, πήρε ετολή α μεταφέρει όλους τους σηματοδότες δίπλα στο τελευταίο. Όμως, λόγω του μεγάλου βάρους του σηματοδότη, ο εργάτης μπορούσε α μεταφέρει μόο έα κάθε φορά. Ότα τελείωσε τη μεταφορά, είχε καλύψει συολικά, km. α) Πόσες φορές έκαε τη διαδρομή από το πρώτο έως το τελευταίο σηματοδότη; β) Πόσες φορές έκαε τη διαδρομή από το δεύτερο έως το τελευταίο σηματοδότη; γ) Πόσοι ήτα οι σηματοδότες; 3. ** Έας αθλητής μετά τη αποθεραπεία του από έα ατύχημα, άρχισε τη Δευτέρα 9 Φεβρουαρίου 996 έες προποήσεις. Αάμεσα στις άλλες ασκήσεις έπρεπε α κάει και κάμψεις (push ups) καθημεριά (ακόμα και τα Σάββατα και τις Κυριακές), σύμφωα με το παρακάτω πρόγραμμα: Ημέρα Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη... Αριθμός Κάμψεω μέχρι α φθάσει το αριθμό τω 0 κάμψεω. Έπειτα θα συέχιζε με 00 κάμψεις κάθε ημέρα εκτός Κυριακής. α) Πόσες κάμψεις θα έκαε τη Τετάρτη της επόμεης εβδομάδας; β) Μετά από πόσες μέρες έφθασε τις 0 κάμψεις; γ) Ποια ήτα η ημερομηία της πρώτης Κυριακής που σταμάτησε τις κάμψεις;. Έα παιδί παίζοτας με κύβους του cm 3 έφτιαξε μια τετραγωική πυραμίδα με 3 πατώματα. Το ο πάτωμα (η βάση) έχει επιφάεια 5 cm, το ο (το μεσαίο) έχει επιφάεια 9 cm και το 3ο (η κορυφή) αποτελείται από έα μόο κύβο. Α το παιδί έφτιαχε μια παρόμοια πυραμίδα με 0 πατώματα, α) πόσους κύβους θα περιείχε η βάση της; β) πόσους κύβους θα είχε χρησιμοποιήσει; γ) Α είχε στη διάθεσή του 0 κύβους, πόσα πατώματα θα είχε η πυραμίδα του; ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 7. * Ο ιοστός όρος α μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ είαι α = α λ -. Σ Λ 8. * Το άθροισμα τω πρώτω όρω μιας γεωμετρικής προόδου με λ είαι 3

14 S = α λ -. λ - Σ Λ 9. * Το άθροισμα τω απείρω όρω μιας γεωμετρικής προόδου με λ < είαι S = α. Σ Λ 0.* Α α, β, γ, διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε α β = β γ. Σ Λ.* Η ακολουθία, 5, 8,... είαι γεωμετρική πρόοδος. Σ Λ.* Στη γεωμετρική πρόοδο 00, 50, 5,... ο λόγος λ είαι. Σ Λ 3.* Στη γεωμετρική πρόοδο 8, -9, 9, ο λόγος λ είαι. Σ Λ.* Η ακολουθία (α ) με α + = 3α είαι γεωμετρική πρόοδος. Σ Λ 5.* Η γεωμετρική πρόοδος, 8, 6, 3,... έχει S = ( - ). Σ Λ 6.* Η γεωμετρική πρόοδος 00, 50, 5,... έχει άθροισμα απείρω όρω S = 00. Σ Λ 7.* Η γεωμετρική πρόοδος 3, 6,,... έχει άθροισμα απείρω όρω S = 6. Σ Λ 8.* Η γεωμετρική πρόοδος -,, - 8, 6,... έχει άθροισμα απείρω όρω S =. Σ Λ 9.* Σε μία γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο α = 0 και λόγο λ = είαι S = 0. 0.* Η γεωμετρική πρόοδος, 6, 8,... έχει ιοστό όρο α = 3 -. Σ Λ.* Σε μια γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο α = και λόγο λ = ο ιοστός όρος α = +. Σ Λ.* Οι αριθμοί 7,, είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Σ Λ 3.* Οι αριθμοί 3, 6, είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Σ Λ λ - Σ Λ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Από τις παρακάτω ακολουθίες είαι γεωμετρική πρόοδος η Α. 0, 0, 30, Β. 5, 5, 5, Γ. 3, 6, 9, Δ., 0, 00, Ε. - 5, 0, 5,. * Α σε μία γεωμετρική πρόοδο α = και λ = 3, αυτή είαι Α., 7, 0, 3, Β., 3, 6, Γ.,, 36, Δ. 3,, 8, Ε., 3, 9, 3. * Α 7, -, 63, μια γεωμετρική πρόοδος, τότε ο λ είαι Α. 3 Β. - Γ. Δ. -3 Ε. 3. * Ο ος όρος της γεωμετρικής προόδου,,...είαι Α. Β. Γ Δ. Ε * Α σε μία γεωμετρική πρόοδο είαι α = 5, λ =, τότε ο α 5 είαι Α. - 5 Β. 5 Γ. 0 Δ. 80 Ε * Α σε μία γεωμετρική πρόοδο είαι α = 3 και α = 375, τότε ο λ είαι Α. 378 Β. 37 Γ. 0 Δ. 5 Ε * Α σε μία γεωμετρική πρόοδο είαι λ = και α 6 = 8, τότε ο α είαι 3

15 Α Β. Γ. 600 Δ Ε * Α σε μία γεωμετρική πρόοδο είαι α =, λ = 3 και α = 6, τότε η τάξη του όρου α είαι Α. Β. Γ. 3 Δ. Ε * Α σε μια γεωμετρική πρόοδο είαι α = x και α 6 = y (όπου x, y ομόσημοι), τότε έχουμε x y x y Α. λ = Β. λ = y y Γ. λ = Δ. λ = x x 0. * Ο λόγος της γεωμετρικής προόδου α β, α,... είαι Α. α Β. β Γ. α β Δ. β α Ε. λ = β Ε. α. * Α σε μια γεωμετρική πρόοδο α 5 = 8 και α 7 = 9, τότε το α 3 είαι Α. - Β. Γ. Δ. 36 Ε.. * Α τρεις θετικοί ακέραιοι αριθμοί αποτελού διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου και έχου άθροισμα 65, τότε αυτοί είαι Α. 5, 5, 5 Β. 7,, 36 Γ. -, -, - 6 Δ. 5, 5, 5 Ε.,, 3 3. * Ο αριθμός 6 είαι γεωμετρικός μέσος τω αριθμώ x y Α. και 8 Β. - και - 3 Γ. 3 και Δ. και 0 Ε. 5 και 7. * Α οι αριθμοί x -, x, x + αποτελού διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, ο x ισούται με Α. - Β. 3 Γ. Δ. 0 Ε. 5. * Α οι x -, x +, x + 5 είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε Α. x = Β. x = - Γ. x = Δ. x = 3 Ε. x 0 6. ** Α οι θετικοί αριθμοί β α, γ, α β είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε Α. γ = β Β. γ = β Γ. γ = α Δ. γ = α Ε. γ = αβ 7. * Α οι αριθμοί x, y, z είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε z z x y x z Α. y = Β. x = Γ. = Δ. = Ε. y = x y y z y y x z 8. * Α οι γ, α β 3, α β είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε Α. γ = α β Β. γ = α β - Γ. γ = β 5 Δ. γ = α β 5 Ε. γ = β - 9. * Α οι α, β, γ, δ είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε από τις παρακάτω απατήσεις δε είαι πάτα σωστή η 33

16 Α. β γ = α δ Β. Α γ = β Γ. β δ = γ Δ. γ δ = α β Ε. α β γ = δ 0. * Α σε μία γεωμετρική πρόοδο είαι α = 3, λ =, τότε ο ιοστός όρος της είαι Α. α = 3 - Β. α = 3 - Γ. α = Δ. α = 3 + Ε. α = 3. * Α α = 3 και α + = α, τότε ο ιοστός όρος της γεωμετρικής προόδου είαι Α. α = - Β. α = α - Γ. α = 3 Δ. α = 3 - Ε. α = 7.* Α μία γεωμετρική πρόοδος έχει α = 5 -, τότε αυτή έχει Α. α = 0, λ = Δ. α = 3, λ = Ε. α =, λ = 5 Β. α = 5, λ = Γ. α =, λ = 5 3. * Στη γεωμετρική πρόοδο -,, -,... το άθροισμα τω 6 πρώτω όρω της είαι Α. - Β. - 6 Γ. 8 Δ. Ε * Α α = 8 και λ = 3, τότε το S είαι Α. 70 Β Γ. 30 Δ. 80 Ε * Α α = 7 και S = 80, τότε το λ είαι Α. 5 Β. - Γ. /7 Δ. 7 Ε * Σε μία γεωμετρική πρόοδο α είαι α =, λ =, S =560, τότε ο είαι 3 Α. Β. - 8 Γ. Δ. 6 Ε. 7. * Α σε μία γεωμετρική πρόοδο α = 5 και λ =, τότε το S είαι Α. S =5 ( - ) Β. S =5 Γ. S =5 + Δ. S =5 ( + 3) Ε. S =5-8. * Για α είαι μία ακολουθία α, α,... α γεωμετρική πρόοδος πρέπει Α. η διαφορά δύο διαδοχικώ όρω α είαι σταθερή Β. το πηλίκο δύο οποιοδήποτε όρω α είαι σταθερό 0 Γ. το πηλίκο τω διαδοχικώ όρω της α είαι σταθερό 0 Δ. η απόλυτη τιμή της διαφοράς δύο διαδοχικώ όρω της α είαι σταθερή Ε. το γιόμεο τω διαδοχικώ όρω της α είαι σταθερό 9. * Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο ο λόγος λ είαι Α. θετικός Β. Γ. ακέραιος Δ. ίσος με Ε. σταθερός πραγματικός * Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο ισχύει Α. α = α + α 3 Β. α = α λ Γ. α = α 3 + λ Δ. α = α 3 λ Ε. α = α α 3 3. * Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο ισχύει Α. α = α λ Β. α = α λ - Γ. α = α λ Δ. α = α - λ Ε. α = (α λ) 3. * Σε μια γεωμετρική πρόοδο με λ το άθροισμα S τω πρώτω όρω της είαι Α. α λ λ Β. α λ λ α Γ. α λ 3

17 α Δ. α λ Ε. α α λ 33. * Ο τύπος του αθροίσματος τω όρω S = α λ μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ χρη- λ σιμοποιείται Α. σε οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδο Β. σε γεωμετρική πρόοδο με λ Γ. μόο σε γεωμετρική πρόοδο με α > 0 και λ < Δ. μόο σε γεωμετρική πρόοδο με α > 0 και λ > Ε. μόο σε γεωμετρική πρόοδο με α < 0 και λ < 3. * Σε μια γεωμετρική πρόοδο έχουμε S = α και S 5 = β. Τότε ισχύει Α. λ = α β Δ. α 5 = β λ α Β. α 5 = α β Ε. α 5 = β - α Γ. α = β λ α Ερωτήσεις συμπλήρωσης. * Να συμπληρώσετε τους όρους που λείπου στις παρακάτω γεωμετρικές προόδους: α) β) γ) δ) ** Να γράψετε τους όρους που λείπου στις παρακάτω γεωμετρικές προόδους: α)... 8 β) γ) ** Να γράψετε τους όρους που λείπου ώστε οι παρακάτω γραμμές α είαι γεωμετρικές πρόοδοι (όπου x και y θετικοί): x α) x y y 35

18 β)... x y... γ)... δ) x 3 y x y x y x y x y 3. ** α) Στη πρόοδο α, α,..., α 7 ο όρος που ισαπέχει με το α 3 από τα άκρα είαι ο... εώ αυτός που ισαπέχει με το α 3 είαι ο... β) Στη πρόοδο α, α,..., α 999 ο μεσαίος όρος είαι ο... Ερωτήσεις ατιστοίχισης. * Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο της στήλης Α του πίακα (Ι), α ατιστοιχίσετε τους ιοστούς όρους, που υπάρχου στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β. 3,, 8, , -5,, , 8,,... 3 Α. α = 3 Β. α = 3 - Γ. α = 3 - Δ. α = - 0 Ε. α = 3. * Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο της στήλης Α του πίακα (Ι), α ατιστοιχίσετε το άθροισμα τω πρώτω όρω, που υπάρχου στη στήλη Β. 36

19 Στήλη Α. 5, 5, 5,... Στήλη Β Α. S = B. S = 8 (3 - ). 8, 6,, , -,,... 5 Γ. S = 5 (3 - ) Δ. S = 5 5 Ε. S =

20 3. * Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο με λ < της στήλης Α του πίακα (Ι), α ατιστοιχίσετε το άθροισμα S τω άπειρω όρω της, που γράφεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Α. S =. 7, 9, 3, B. S =.,,, Γ. S = 3.,,, Δ. S = 7 Ε. S = 6 3. * Σε κάθε τριάδα όρω γεωμετρικής προόδου της στήλης Α του πίακα (Ι), α ατιστοιχίσετε τη ακέραιη θετική τιμή του x, της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β Α. x = - 8. x +, x, 7x + 5 B. x =. x, x - 3, x + 3 Γ. x = Δ. x = Ερωτήσεις αάπτυξης. * Να σχηματίσετε τις γεωμετρικές προόδους με: α) α = 5 και λ = 3 β) α = 3 και λ = γ) α = - 0 και λ =. * Ποιο αριθμό πρέπει α προσθέσουμε στους αριθμούς, 6, 58 για α γίου τρεις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου; 3. * α) Α α = και λ = α βρείτε το α6 β) Α α 6 = 8 και λ = α βρείτε το α 3 γ) Α α = 9 και α 5 = α βρείτε το λ δ) Α α = και λ = 3 και α = 6 α βρείτε το. * Να βρείτε μία γεωμετρική πρόοδο, α α = - 6 και α 8 = * Α σε μία γεωμετρική πρόοδο είαι α 3 = και α 8 = 38, α βρείτε το αριθμό λ. 6. * Α σε μία γεωμετρική πρόοδο είαι α = 8 και λ = α) α βρείτε το άθροισμα τω τεσσάρω πρώτω όρω της S και 38

21 7. ** Στη γεωμετρική πρόοδο α) με α =, α = και λ = α βρείτε το πλήθος 6 β) με α = 8, α 5 = α βρείτε το λόγο λ 8. ** Να βρείτε το γεικό όρο α α) α -α =,α + α 3=6 β) α = και α Χα 8 = α 6 9. ** α) Α σε μία γεωμετρική πρόοδο είαι α = 3 α 6 = 7 και α = 977, α βρείτε το. β) Να βρεθεί το πλήθος τω όρω μιας γεωμετρικής προόδου (α ), α έχουμε: α =, α = 97 και S = ** Να βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, οι οποίοι α έχου άθροισμα και γιόμεο 6.. ** Να βρείτε τέσσερις διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, οι οποίοι α έχου γιόμεο 6 και άθροισμα μεσαίω όρω 5.. ** Να βρείτε τέσσερις διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, οι οποίοι α έχου γιόμεο 65 και το τετράγωο του τρίτου είαι τετραπλάσιο του γιομέου τω δύο άκρω όρω. 3. ** Να βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, α γωρίζουμε ότι το άθροισμα τω δύο πρώτω είαι 0 και το άθροισμα τω δύο τελευταίω είαι 5.. ** Να βρείτε τη γεωμετρική πρόοδος α ο έκτος όρος είαι τετραπλάσιος του τέταρτου όρου της και το άθροισμα του δεύτερου και του πέμπτου όρου της είαι ** Να βρείτε τέσσερις διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, α ξέρετε ότι ο δεύτερος είαι μεγαλύτερος από το πρώτο κατά 3 και ο τρίτος μικρότερος από το τέταρτο κατά. 6. ** Δίεται η γεωμετρική πρόοδος, 3, 9, 7, 8. α) Να βρείτε τα γιόμεα α α 5, α α, α 3 β) Να γεικεύσετε το συμπέρασμά σας γ) Ισχύει = 6. Η ακολουθία,, 6, είαι γεωμετρική πρόοδος; δ) Τι συμπεραίετε για το ατίστροφο του συμπεράσματος του (β); 7. ** α) Ποιο είαι το άθροισμα τω 6 πρώτω όρω της: -,, -, 8,...; β) Πόσους διαδοχικούς πρώτους όρους πρέπει α προσθέσουμε, για α πάρουμε άθροισμα 85; 8. ** Να βρείτε το S στη γεωμετρική πρόοδο με α 0 = 8, α 7 =. 9. ** Να βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο με S = 30 και α 5 + α 6 + α 7 + α 8 = 80.. ** Μια γεωμετρική πρόοδος α, α, α 3,... έχει λ <. α) Να αποδείξετε ότι α, α, α 3,... είαι και αυτή γεωμετρική πρόοδος, α βρείτε το λόγο της και α δείξετε ότι είαι απολύτως μικρότερος του. 39

22 5. ** Να βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο (α ), εά α) S S 0 5 = 3, α = β) S 3 = 6 και η διαφορά α - α = *** Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x = 06 β) + x + x +... = 5 με 0 < x < π π γ) + συx + συ x +... = με < x < 9. ** Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο, α α μ και α k είαι οι όροι της τάξεως μ και κ ατίστοιχα, α δείξετε ότι ισχύει: α μ = λ μ-k α k, μ, k Ν 30. ** α) Σε μια γεωμετρική πρόοδο έχουμε α + α = α +α 3. Να βρεθεί ο λόγος της. β) Α α, β, γ, δ είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, α απλοποιήσετε τη παράσταση: Π = (α - γ) + (β - γ) + (β - δ) - (α - δ) 3. ** Δίεται η ακολουθία με γεικό όρο α = 3. α) Να βρείτε το όρο α +. β) Να αποδείξετε ότι αυτή είαι γεωμετρική πρόοδος και α βρείτε το λόγο λ και το πρώτο της όρο α. γ) Ποιος όρος της είαι ίσος με 307; 3. ** Δίεται η ακολουθία με S = (3 - ) α) Να βρείτε το S - β) Να βρείτε το α γ) Να βρείτε το α + δ) Να αποδείξετε ότι αυτή είαι γεωμετρική πρόοδος και α βρείτε το λ και το α. ε) Πόσους όρους της πρέπει α πάρουμε, για α έχουμε άθροισμα 8; 33. ** Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωο ΑΚ Λ είαι ισόπλευρο πλευράς α. A Κ είαι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος Α Κ Κ 3 Λ 3 Λ είαι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος Α Λ Κ 3 είαι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος Α Κ Κ Λ Λ 3 είαι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος Α Λ Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίακες: K Λ α) Τρίγωο Πλευρά Περίμετρος ΑΚ Λ α = α Π = ΑΚ Λ α = Π = ΑΚ 3 Λ 3 α 3 = Π 3 = ΑΚ Λ α = Π = 0

23

24 β) Εφαρμογή Τρίγωο Πλευρά Περίμετρος ΑΚ Λ α = 8 μέτρα Π = ΑΚ Λ α = Π = ΑΚ 3 Λ 3 α 3 = Π 3 = ΑΚ ρ Λ ρ α ρ = Π ρ < και Π ρ+ μέτρο M M ΑΚ 8 Λ 8 α 8 = Π 8 = 3. ** Δίεται ισόπλευρο τρίγωο ΑΒΓ πλευράς α. Σχηματίζουμε το τρίγωο Α Β Γ, όπου Α, Β, Γ τα μέσα τω πλευρώ του Α Β Γ. Σχηματίζουμε το τρίγωο Α 3 Β 3 Γ 3, όπου Α 3, Β 3, Γ 3 τα μέσα τω πλευρώ του Α Β Γ. Β Α Γ Α 3 Β Β 3 Γ 3 Α Γ Η διαδικασία αυτή συεχίζεται επ άπειρο. Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα: Πλευρά Εμβαδό Περίμετρος Α Β Γ α = α Ε = Π = Α Β Γ α = Ε = Π = Α 3 Β 3 Γ 3 α 3 = Ε 3 = Π 3 = A 0 B 0 Γ 0 α 0 = Ε 0 = Π 0 = Αθροίσματα S απείρω όρω S πλ = S Ε = S Π = C 35. ** Στο διπλαό σχήμα ο κύκλος c έχει ακτία R και κέτρο το R R σημείο Κ. Οι ομόκετροί του κύκλοι c και c 3 έχου ακτία και ατιστοίχως. Α συεχίσουμε με τη ίδια διαδικασία α κατασκευάζουμε κύκλους (κάθε επόμεος α είαι ομόκετρος του προηγούμεου του και α έχει τη μισή ακτία απ αυτό). i) Nα βρείτε, συαρτήσει του R, τη ακτία τω c 5, c 6 ii) Να βρείτε το μήκος του κύκλου c 7 C 3 C iii) Να βρείτε το εμβαδό του κύκλου c iv) Να βρείτε το άθροισμα τω εμβαδώ τω 5 πρώτω κύκλω v) Να βρείτε το άθροισμα τω εμβαδώ τω απείρω κύκλω που σχηματίζοται με το παραπάω τρόπο.

25 36. ** Έας ασθεής παίρει δόση τω 0 mg εός φαρμάκου κάθε ωρο. Στο χροικό αυτό διάστημα διασπάται το της ποσότητας του φαρμάκου που βρίσκεται στη αρχή του ώρου στο αίμα του ασθεούς εώ το υπόλοιπο παραμέει στο αίμα του ασθεούς. α) Να βρείτε τη ποσότητα του φαρμάκου που έχει στο αίμα του ο ασθεής μόλις πάρει τη η δόση του φαρμάκου. β) Να βρείτε τη ποσότητα του φαρμάκου που έχει στο αίμα του ο ασθεής στο τέλος του πρώτου ώρου. γ) Α είαι γωστό ότι, ότα η ποσότητα του φαρμάκου στο αίμα του ασθεούς υπερβεί τα 50 mg, παρουσιάζοται επικίδυες παρεέργειες, δείξτε ότι ο ασθεής δε κιδυεύει ακόμη και με ισόβια λήψη του φαρμάκου. δ) Ποια είαι η ποσότητα της επικίδυης δόσης. 37. ** Έα αυτοκίητο κοστίζει σήμερα δρχ. Είαι γωστό ότι στο τέλος κάθε χρόου χάει το 0 Ι. Τότε της αξίας που έχει στη αρχή του χρόου. i) Η αξία του αυτοκιήτου στο τέλος του πρώτου χρόου είαι δρχ. Σ Λ ii) Οι αξίες στο τέλος κάθε χρόου είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με λόγο 0 iii) Μετά τη συμπλήρωση χρόω από τη αγορά του η αξία του αυτοκιήτου μειώθηκε κατά δρχ. Σ Λ iv) Η αξία του είαι μεγαλύτερη από δρχ. στο τέλος του 5 ου χρόου από τη αγορά του Σ Λ v) Η αξία του είαι μικρότερη από δρχ. στο τέλος του 8 ου χρόου από τη αγορά του Σ Λ ΙΙ. i) Η αξία του αυτοκιήτου στη αρχή του 3 ου χρόου από τη αγορά του είαι: Α δρχ. Β δρχ. Γ δρχ. Δ δρχ. Ε δρχ. ii) Με τη συμπλήρωση 3 χρόω από τη αγορά του η αξία του μειώθηκε κατά Α δρχ. Β δρχ. Γ δρχ. Δ δρχ. Ε δρχ. iii) Η αξία του αυτοκιήτου γίεται μικρότερη από δρχ. στο τέλος του Α. 3 ου χρόου Β. ου χρόου Γ. 5 ου χρόου Δ. 6 ου χρόου Ε. 7 ου χρόου 38. ** α) Να συγκρίετε το αριθμητικό και το γεωμετρικό μέσο τω αριθμώ:, 8. β) Δείξτε ότι η σχέση που θα βρείτε ισχύει γεικά για κάθε ζεύγος θετικώ x, y. Σ Λ 3

26 39. ** Α α, β, γ αποτελού διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου τότε α αποδείξετε ότι οι, α - β, α - γ α + β αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. 0. ** Να βρείτε τρεις ακέραιους αριθμούς, για τους οποίους ισχύου τα εξής: i) είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ii) α αυξηθεί ο δεύτερος κατά 8, η πρόοδος γίεται αριθμητική iii) α αυξηθεί και ο τρίτος κατά 6, γίεται πάλι γεωμετρική.. ** Να βρείτε τρεις αριθμούς για τους οποίους ισχύου τα εξής: i) είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ii) έχου άθροισμα 5 iii) α σ αυτούς προσθέσουμε τους αριθμούς,, 9 ατίστοιχα θα γίου διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.. ** Να βρείτε τρεις ακέραιους αριθμούς για τους οποίους ισχύου τα εξής: i) είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ii) ελαττώοτας το τρίτο κατά γίοται διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου iii) ελαττώοτας το δεύτερο και το τρίτο της αριθμητικής προόδου κατά σχηματίζεται πάλι γεωμετρική πρόοδος. 3. ** Να βρείτε τέσσερις ακέραιους αριθμούς για τους οποίους ισχύου τα εξής: i) οι τρεις πρώτοι είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ii) οι τρεις τελευταίοι είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου iii) το άθροισμα τω άκρω όρω είαι και τω μεσαίω. 5. ** Ο Πέτρος γιορτάζοτας τα α γεέθλιά του, ζήτησε από τους γοείς του για δώρο και κάθε επόμεα γεέθλια α του αυξάου το ποσό κατά μέχρι α γιορτάσει τα χρόια του. Ο πατέρας του ατιπρότειε τα εξής: Θα σου δώσω τώρα 500 δρχ. και κάθε επόμεα γεέθλιά σου θα σου διπλασιάζω το προηγούμεο ποσό. Ο Πέτρος σκέφτηκε λίγο και απέρριψε τη πρόταση του πατέρα του πιστεύοτας ότι ότα θα γιορτάζει τα 8 α γεέθλιά του με τη δική του πρόταση θα πάρει περισσότερα χρήματα. α) Δικαιολογήσετε γιατί συμφωείτε ή διαφωείτε με τη άποψη του Πέτρου. β) Πόσα χρήματα θα πάρει με τη δική του πρόταση έως και τα α γεέθλιά του και πόσα θα έπαιρε με τη πρόταση του πατέρα του;