باشند و c عددی ثابت باشد آنگاه تابع های زیر نیز در a پیوسته اند. به شرطی که g(a) 0 f g

Transcript

1 تعریف : 3 فرض کنیم D دامنه تابع f زیر مجموعه ای از R باشد a D تابع f:d R در نقطه a پیوسته است هرگاه به ازای هر دنباله از نقاط D مانند { n a{ که به a همگراست دنبال ه ){ n }f(a به f(a) همگرا باشد. محتوی این تعریف این است که پیوستگی تابع در یک نقطه هم ارز این است که با دقیق تر کردن ورودی می توان به خروجی های دلخواه دقیق دست یافت. به کمک تعریف پیوستگی تابع در یک نقطه براساس همگرایی دنباله ها می توان پیوستگی مجموع حاصل ضرب و خارج قسمت دو تابع پیوسته را نتیجه گرفت. قضیه : فرض کنیم بازه D اشتراک دامنه تابع های f و g باشد و f و g هر دو در نقطه a پیوسته باشند و c عددی ثابت باشد آنگاه تابع های زیر نیز در a پیوسته اند. الف) f+g ب) f-g پ) cf ت) f.g ث) به شرطی که g(a) 0 f g برهان : همه حکم ها به سادگی از حکم های مشابه برای محاسبه حد مجموع و حاصل ضرب و خارج قسمت در قضیه () نتیجه می شوند. برای نمونه قسمت (ث) را ثابت می کنیم. به ازای هر دنباله دلخواه { n { از نقاط D که همگرا به a است داریم: lim f( n ) = f(a) و lim g( n ) = g(a) n + f( ) f(a) n + n lim = g(a) 0 n + g( n ) g(a) بنابراین پس طبق تعریف (3) تابع f g در نقطه a پیوسته است. نکته : عکس این قضیه همواره درست نیست. مثال : تابع های g() در 0= حد ندارند و بنابراین در 93 0 = گویا گنگ گویا = f() و گنگ 0 (f.g)()=0 R پیوسته نیستند. ام ا برای هر 0=

2 و این تابع ثابت در هر نقطه اش حد آن با مقدار تابع در آن نقطه برابر است پس در تمام نقاط از جمله 0= پیوسته است. فعالیت دو تابع مثال بزنید که هر دو در نقطه a ناپیوسته باشند ولی مجموع آنها در a پیوسته باشد. تابع هایی مانند تابع چند جمله ای و یا تابع کسری گویا در هر نقطه از دامنه حد تابع با مقدار تابع در آن نقطه برابر است و این خود ایده ای است برای بیان قضیه زیر قضیه : الف) هر چند جمله ای همه جا پیوسته است یعنی روی ( +, -)=R پیوسته است. ب) هر تابع گویا در هر نقطه از دامنه اش پیوسته است. برهان : الف) هر چند جمله ای تابعی است به شکل P() = a n n +a n- n- + + a +a 0 که در آن a 0 و a و و -n a و a n عددهایی ثابت اند می دانیم lim a = a 0 0 c lim c m m = c m=,,3,, n این تساوی به معنی آن است که تابع f()= m تابعی است پیوسته در نتیجه بنابر قسمت (پ) قضیه () m g()=a نیز تابعی است پیوسته. چون P() مجموع تابع هایی پیوسته نظیر g()=a m و تابعی ثابت است بنابر قسمت الف قضیه () نتیجه می شود تابع چند جمله ای در R پیوسته است. P() ب) هر تابع گویا تابعی است به شکل = f() که در آن P() و Q() چند جملهایاند و Q() دامنه f مجموعه Q() 0{ D=} R است. از طرفی بنابر قسمت الف قضیه () P() و Q() در همهجا پیوستهاند در نتیجه طبق قسمت (ث) قضیه () تابع f در تمام نقاط دامنهاش پیوسته است. حساب دیفرانسیل و انتگرال 94

3 روی چه بازه هایی پیوسته است f() = مثال : تابع حل : دامنه f مجموعه }+, D=IR-}- بنابراین طبق قضیه () تابع f به جز در نقاطی که مخرج آن صفر می شود همه جا پیوسته است در نتیجه تابع روی بازه های زیر پیوسته است. (,+ ) و (-,) و (-,-) تمرین در کالس روی چه بازه هایی پیوسته است + f() = تابع 3 lim sin = sin a و lim cos = cosa a a پیوستگی توابع مثلثاتی در حدهای مثلثاتی ثابت شده است که بنابراین طبق تعریف پیوستگی تابع در نقطه a تابع های f()=sin و g()=cos در هر نقطه a cot cos sin sin پیوستهاند در نتیجه تابع = tan بجز در نقاطی که cos=0 پیوسته است و تابع = cos بجز در نقاطی که sin=0 پیوسته است. π توضیح : در نقاطی cos=0 که kπ+ (k z) = و در نقاطی sin=0 که (k z) =kπ (0)f را چنان تعریف کنید که تابع f در 0= پیوسته sin f() = cos مثال : فرض کنید باشد. sin ( cos )( + cos ) lim f () = lim = lim حل : 0 0 cos 0 ( cos ) وقتی به صفر میل می کند داریم (-cos) 0 پس 95 lim f () = lim( + cos ) = + = 0 0 با انتخاب =(0)f تابع f در صفر پیوسته می شود.

4 تمرین در کالس در چه نقاطی پیوسته است tan f() = + sin تابع به این ترتیب با اتکا به قضیه () می توان با عملیات جبری از تابع های پیوسته داده شده تابع های پیوسته جدیدی ساخت و عالوه بر این روش دیگر برای تولید تابع های پیوسته ترکیب تابع های پیوسته است. این کار بنابر قضیه زیر میسر است. limf(g()) = f(b) a آنگاه قضیه : 3 اگر تابع f در b پیوسته باشد و lim g() = b a به عبارت دیگر g()) lim f (g()) = f (lim a a در حقیقت قضیه (3) بیانگر آن است که وقتی به a نزدیک شود g() به b نزدیک می شود و چون f در b پیوسته است وقتی g() به b میل میکند آن وقت f(b) limf(g()) = a همچنین در این قضیه می توان نماد حد را به درون نماد تابع ب رد به شرطی که تابع پیوسته باشد و حد وجود داشته باشد. به عبارت دیگر در این قضیه تعویض و جابه جا کردن نماد»f«با نماد»lim«مجاز است. بنابراین طبق قضیه (3) a مثال : میدانیم تابع f()= همهجا پیوسته است. و lim g() = b داریم: limf(g()) = f(limg()) = f(b) = b a a از قضیه (3) نتیجه می گیریم که ترکیب دو تابع پیوسته خود تابعی پیوسته است. و به بیان دقیق تر اگر تابع g در نقطه a و تابع f در g(a) پیوسته باشد آنگاه تابع fog در نقطه a پیوسته است. = همه جا پیوسته است. 3 مثال : نشان دهید تابع + + حساب دیفرانسیل و انتگرال 96

5 حل : مخرج کسر زیر رادیکال همواره مخالف صفر است (0<-4= ) بنابراین تابع گویای g() = + + از طرفی تابع = 3 همه جا پیوسته است. ( a lim f () = 3 a ) همواره پیوسته است f() = (g()) f همه جا پیوسته است پس ترکیب دو تابع پیوسته f و g یعنی تابع همان طور که در مقدمه پیوستگی تابع گفته شد تابع هایی وجود دارد که در یک یا چند نقطه از دامنه شان پیوسته اند ولی اطالق کلمه پیوسته به آنها دور از ذهن به نظر می رسد. f() = مثال : تابع f:r R را به صورت زیر تعریف میکنیم. گویا گنگ نقاطی از تابع f را تعیین کنید که تابع در آن نقاط پیوسته باشد. حل : می دانید که در هر بازه باز از اعداد حقیقی هم اعداد گویا وجود دارد و هم اعداد گنگ بنابراین نقاط تابع f یا روی خط = (وقتی که گویا باشد) و یا روی خط =- (وقتی که اصم باشد) قرار دارند. با مشاهده نمودار به صورت نقطه چین تابع در شکل 3 هر چقدر به نقطه ( و ) نزدیک تر شویم 0 = = 97 شکل 3

6 نقطه چین ها به هم متراکم تر خواهند شد و به نظر می رسد که تابع در = حد دارد و برای اثبات درستی حدس خود از تعریف حد به شرح زیر استفاده می کنیم. فرض کنیم { n a{ دنباله ای دلخواه از اعداد حقیقی باشد به طوری که n a( n ) a کافی f و تابع limf() = = f( ) در نتیجه lim f (a n ) یا = lim f (a n ) است ثابت کنیم = 0 n n در نقطه = پیوسته است. و اما به ازای مقادیری از جمالت دنباله { n a{ که گویا باشند داریم - n. f)a n a = -) و به ازای مقادیری از جمالت دنباله { n a{ که گنگ باشند داریم f)a n (- = -a n - = -a n = a n - a n نتیجه میگیریم و چون { n a{ همگرا به عدد است یا - 0 lim f (a ) = lim a = 0 n n n n بنابراین دنباله )} n { f (a به f)(= همگراست. تمرین در کالس در نقطه 0= پیوسته است. f() = 0 گویا گنگ ثابت کنید تابع حساب دیفرانسیل و انتگرال 98

7 مسا ئل نقاط ناپیوستگی تابع f را پیدا کنید., > f() =, تابع 3 + 8, 0 a, = 0 که تابع در 0= پیوسته باشد. 3 به ازای چه مقدار a تابع = )( fداده شده است. مقدار a را چنان انتخاب کنید, 0 f() = a, = 0 در 0= پیوسته است. 4 عددهای a و b را چنان انتخاب کنید که تابع f در نقطه 0= پیوسته باشد. a + [], < 0 f() = b, = 0 sin, > 0 cos ] π [ مشخص کنید. 6 نقاط پیوستگی تابع ] f () = [ sin را در بازه 5, π تابع ] [ = f() در چه نقاطی ناپیوسته است 7 اگر تابع f در نقطه ای پیوسته باشد ثابت کنید تابع f نیز در آن نقطه پیوسته است. آیا عکس این مطلب نیز درست است 8 دو تابع مثال بزنید که هر دو در یک نقطه ناپیوسته باشند ولی مجموع آنها در آن نقطه پیوسته باشد. 9 دو تابع مثال بزنید که هر دو در یک نقطه ناپیوسته باشند ولی ضرب آنها در آن نقطه پیوسته باشد. 0 با برهان خلف ثابت کنید: اگر تابع f در نقطه a پیوسته و تابع g در نقطه a ناپیوسته باشد آنگاه f+g در a ناپیوسته است. 99

8 با استفاده از قضایای حد و پیوستگی ثابت کنید تابع f() = [] sinπ روی R پیوسته است. تابع ] f()=[ روی بازه (k+,] پیوسته است بزرگ ترین مقدار k را بیابید. 3 تابع در چند نقطه از دامنه اش ناپیوسته است 4, = f() = +, 4 تابع f() = 3 + π = + در چند نقطه از دامنه اش پیوسته است 5 نمودار تابع ([] f() [] sin( را در بازه [,5] رسم کرده و مشخص کنید تابع در چند نقطه از این بازه ناپیوسته است. را روی R بررسی کنید., f() =, < 6 پیوستگی تابع 7 عددهای a و b را چنان انتخاب کنید که تابع (-+ f()=( -b+a)sgn( روی R پیوسته باشد. sgn) تابع عالمت است) 00 3 ویژگیهای مهم تابعهای پیوسته بیشتر ویژگیهای تابعهای پیوسته ناشی از این خصوصیت شهودی آنها است که نمودار تابع پیوسته بر یک بازه به صورتی ملموس دارای اتصال و یکپارچگی است. اکنون فرض کنید تابع f بر بازه [a,b] پیوسته باشد. و مقدار آن در a مثبت و مقدار آن در b منفی باشد باید A حداقل در یک نقطه از این بازه مانند c مقدار صفر را b اختیار کند. 0 a c چون تابع f بر بازه [a,b] پیوسته است (هموار و B شکل 4 یکپارچه است) ناچار است در گذر از نقطه A(a,f(a)) باالی محور به نقطه B(b,f(b)) پایین محور حداقل در یکجا محور را قطع کند. (شکل 4 را ببینید) حساب دیفرانسیل و انتگرال

9 طبق این ویژگی»اتصال و یکپارچگی«تابع قضیه زیر را بیان می کنیم. قضیه 4 : (قضیه بولزانو) اگر تابع f در بازه بسته [a,b] پیوسته و 0< ( f(a)f(bآنگاه حداقل یک عدد مانند c در بازه باز (a,b) وجود دارد که 0= f(c) مثال : با استفاده از قضیه بولزانو ثابت کنید معادله 0=3-+ 4 ریشه ای در بازه (,) دارد. حل : تابع 3-+ f()= 4 را درنظر می گیریم, می دانیم که تابع چند جمله f که در هر نقطه از R یا بازه ( +, -) پیوسته است پس در بازه [,] نیز پیوسته است از طرفی 0<()f ()f (چرا ) بنابراین طبق قضیه بولزانو دست کم یک عدد c در بازه باز (,) وجود دارد که f(c)=0 یعنی c ریشه معادله +-3=0 4 است. تمرین در کالس نشان دهید معادله -cos=0 ریشه ای در بازه (0,) دارد. مثال : اگر تابع f در بازه [a,b] پیوسته و k عددی بین f(a) و f(b) (f(a)>f(b)) و.g()=f()-k نشان دهید وجود دارد c (a,b) که g(c)=0 حل : طبق فرض داریم g(a)=f(a)-k>0 و g(b)=f(b)-k>0 و تابع g در بازه [a,b] پیوسته است. (چرا ) پس بنابر قضیه بولزانو وجود دارد c (a,b) که g(c)=0 و یا f(c)=k ایده مثال فوق قضی ه مقدار میانی است که در زیر بیان می شود. قضیه ٥ : (قضیه مقدار میانی): فرض کنیم f روی بازه بسته [a,b] پیوسته باشد و k عددی بین f(a) و f(b) باشد در این صورت حداقل یک عدد مانند c در بازه [a,b] وجود دارد که.f(c)=k قضیه مقدار میانی می گوید که برای تابع پیوسته f اگر همه مقادیر بین a و b را بگیرد f() باید همه مقادیر بین f(a) و f(b) را بگیرد. به عنوان مثال ساده ای از این قضیه قد افراد را درنظر بگیریم. فرض کنید قد پسر بچه ای در 3 سالگی 50 سانتی متر و در 4 سالگی 65 سانتی متر باشد پس به ازای هر قد h سانتی متر بین 50 سانتی متر و 65 سانتی متر باید زمانی چون t باشد که قدش درست h سانتی متر بوده است. این امر معقول به نظر می رسد زیرا می دانیم رشد افراد پیوسته است و قد نمی تواند جهشی ناگهانی داشته باشد قضیه مقدار میانی وجود حداقل یک عدد c در بازه بسته [a,b] 0

10 f(b) = k را تضمین می کند البته ممکن است بیش از یک عدد مانند c که f(c)=k وجود داشته باشد (شکل 5 را ببنید) f(a) 0 a c c c 3 b شکل 5 تعبیر هندسی قضیه مقدار میانی: شکل باال نشان می دهد خط افقی k= بین خط های (a) =f و (b) =f می باشد. چون نمودار f بدون بریدگی و مانند یک ریسمان به هم پیوستگی و یکپارچگی دارد برای رفتن از نقطه ((a) (a,f به نقطه ((b) (b,f باید خط =k را قطع کند و در شکل باال خط =k نمودار f را در سه نقطه c و c و c 3 قطع کرده است. مثال : نشان دهید که خط = نمودار تابع f()=(-) (3-) + را قطع میکند. حل : چون تابع چند جملهای f در بازه ( +, -) پیوسته است پس f در بازه [,3] نیز پیوسته است. از طرفی =()f و 3= (3)f بنابراین طبق قضیه مقدار میانی خط = که بین خطوط = و 3= قرار دارد نمودار f را قطع میکند. تمرین در کالس در بازه [,-] مقدار 5 را می تواند داشته باشد 3 f () = + sin π آیا تابع 4 پیوستگی تابع وارون یک تابع پیوسته فرض کنیم f:d R تابع باشد و B=}f(): D{ مجموعه مقادیر f باشد (D دامنه f) اگر f یک به یک باشد به ازای هر عضو B مانند یک و فقط یک در D وجود دارد که f()= به این ترتیب تابعی مانند f - B: R تعریف می شود که f - ()= تابع - f را وارون f حساب دیفرانسیل و انتگرال 0

11 مینامیم و دو حکم زیر درستاند. الف) به ازای هر f - (f())= D ب) به ازای هر f (f - ())= B همانطور که در حسابان آموزش داده شده است بهخاطر اینکه - f نقش و نسبت به f را عوض میکند نمودار - f قرینه نمودار f نسبت به خط = است (شکل 6 را ببینید). در این شکل نمودارهای f()=sin و () f - ()=sin - که نسبت به خط = قرینهاند π π دیده میشوند. تابع f دربازه ], [ یک به یک و صعودی است همچنین تابع - f در بازه [,-] یک به یک و صعودی میباشد و در شکل 7 نمودارهای f()=cos و () f - ()=sin - که نسبت به خط = قرینهاند دیده میشوند. تابع f در بازه [π,0] یک به یک و نزولی است. همچنین تابع - f در بازه [,-] یک به یک و نزولی میباشد. تمرین در کالس نمودار و دامنه تابع وارون توابع زیر را در صفحه مختصات رسم کنید. 03 = π π f o π π f الف) < f()=tan < ب) g()=cot 0>>π π π شکل 6 نمودار f و نمودار - f نسبت به = قرینه اند = f π o π π π f شکل 7 نمودار f و نمودار - f )نقطهچین( نسبت به = قرینهاند در مثال های باال مشاهده می شود وقتی تابع f یک به یک و پیوسته است تابع وارون آن نیز یک به یک و پیوسته است و این خود ایده ای است برای بیان قضیه زیر که کاربرد مهم ی از قضیه مقدار میانی است.

12 قضیه : 6 فرض کنیم f تابعی یک به یک و پیوسته باشد که دامنه آن بازه بسته D است. اگر - f با دامنه B تابع وارون f باشد آنگاه تابع - f در هر نقطه از B پیوسته است. 3 مثال : میدانیم وارون تابع f()= 3 تابع f () = است. چون تابع f تابعی است یک به یک پیوسته پس تابع = 3 نیز یک به یک و پیوسته است. π π همچنین تابع f()=sin با دامنه ], [ = D یک به یک و پیوسته است. پس طبق قضیه (6) تابع () f - ()=sin - با دامنه [,-]=B یک به یک و پیوسته است. مسا ئل, < < = f() تابع - f در چند نقطه از دامنهاش ناپیوسته فرض کنید 4, 3 < < 4 است نمودار - f را رسم کنید. نشان دهید که معادله 0=-- 3 در بازه [,] جواب دارد. 3 نشان دهید معادله 0= در بازه [,0-] دارای جواب است. 4 ثابت کنید معادله 0=++ sin- حداقل دو ریشه در بازه [π,π-] دارد. 5 ثابت کنید که اگر P() یک چند جملهای از درجه فرد باشد آنگاه معادله 0= P() حداقل دارای یک ریشه حقیقی است. ٥ حدهای نامتناهی )حد بی نهایت( میدانید در عبارت () lim f () = L a L عددی است حقیقی و چنین حدهایی را اصطالحا حدود متناهی نیز مینامند. اکنون عبارت () را برای وقتی + یا - جایگزین L میشوند تعریف میکنیم. این تعریفها به لحاظ منطقی همان تعریف قبلی حد هستند با این تفاوت که نشانه نزدیکی ( f(ها به + بزرگ شدن دلخواه آنها است و نیز نشانه نزدیکی ( f(ها به - کوچکتر شدن دلخواه آنها است و در حقیقت نمادگذاری سودمندی برای توصیف رفتار توابعی است که مقادیرشان به دلخواه بزرگ یا کوچک میشوند. حساب دیفرانسیل و انتگرال 04

13 هرگاه رفتار تابع = ( ) f() را در نزدیکی یک بررسی نماییم (شکل 8) به این نتیجه می رسیم که وقتی با مقادیر بزرگ تر و یا کوچک تر از به نزدیک می شود (-) با بدون هیچ محدودیتی افزایش مییابد و یا ( ) مقادیر مثبت به صفر نزدیک خواهد شد و مقدار + میل میکند) به شرطی که ( f(به ) را میتوان از هر عدد مثبتی بزرگتر کرد f() = ( ) را به اندازه کافی به نزدیک کنیم. به عنوان مثال اگر بخواهیم و یا بزرگ تر از باشد ( ) ( ) < داریم: ( ) > < 000 < < ( ) < > ( ) f( n ) 0< آنگاه: یعنی اگر < 000 = N>0 و یا و یا δ n +δ شکل 8 یعنی اگر بخواهیم f() بزرگ تر از عدد باشد کافی است در همسایگی محذوف و بهشعاع قرار گیرد. 000 بنابراین در یک همسایگی محذوف f() میتواند از هر عدد مثبتی بزرگتر شود. در این وضعیت گفته میشود وقتی به میل کند f() به + میل میکند و از نمادگذاری + = () lim f a استفاده میکنیم. برای درک بهتر مطلب باال را روی نمودار تابع توضیح میدهیم. (در مثال باال =N و δ= ( 000 برای هر خط افقی =N>0 یک همسایگی محذوف و به شعاع 0<δ ایجاد میشود که به 05

14 } n است n مقدار جمله nام دنباله { f( n است ) N<( که در این همسایگی صدق کند n D f ازای هر که به همگراست). اکنون به صورت رسمی به تعریف حد نامتناهی (حد بی نهایت) می پردازیم. تعریف : فرض کنیم تابع D زیر مجموعه ای از R و f:d R یک تابع باشد در این صورت گوییم حد تابع f در a + است و می نویسیم + = lim f () a n هرگاه به ازای هر lim f ( ) n + دنباله از نقاط دامنه f مانند { n } که همگرا به a است و n a + = مثال : به کمک تعریف ثابت کنید: lim = + 0 حل : به ازای هر دنباله { n ) n (0 { همگرا به صفر دنباله }( n }f( واگرا به + است (چرا ) اگر رفتار تابع = ( ) f() را در نزدیکی بررسی نماییم (شکل 9 ) به این نتیجه می رسیم که وقتی با مقادیر بزرگ تر و یا کوچک تر از به نزدیک می شود مقدار هیچ محدودیتی و با مقادیر منفی کاهش می یابد. و یا f() را می توان از هر عدد منفی کوچک تر کرد f()) به - میل می کند) به شرطی که به اندازه کافی به نزدیک شود. این وضعیت تابع را در مجاورت = روی نمودار تابع توضیح می دهیم. فرض کنید N یک عدد مثبت دلخواه است با رسم هر خط افقی =-N در شکل روبه رو یک همسایگی محذوف و به شعاع n که در این D f 0<δ ایجاد می شود که برای هر f( n همسایگی صدق کند N-<( { n است که به n مقدار جمله nام دنباله { ) همگراست) اکنون به صورت رسمی به تعریف حدنامتناهی (حد منهای بی نهایت) می پردازیم. = N بدون ( ) f() f( n ) δ n +δ حساب دیفرانسیل و انتگرال شکل 9 06

15 تعریف : فرض کنید D زیرمجموعه ای از R (مجموعه اعداد حقیقی) دامنه تابع f باشد. گوییم حد تابع f در a - است و می نویسیم = lim f () a n اگر به ازای هر دنباله از نقاط lim f ( ) n + دامنه f مانند { n } که همگرا به a است و n a = lim ( ) = مثال : به کمک تعریف () ثابت کنید حل : برای هر دنباله دلخواه { n { که همگرا به است و n داریم = = lim f ( n ) lim n + n + ( n ) زیرا وقتی دنباله { n { به همگرا باشد دنباله { (- n ){ با مقادیر مثبت به صفر همگراست بنابراین دنباله }( n }f( به - واگراست. + = () lim f + a 4 + = () lim f a lim f () + a lim f () = a عبارت های = 3 مشابه تعریف های و قابل تعریف هستند. به عنوان مثال عبارت () به معنی آن است که: اگر lim f () + a n آنگاه = lim f ( ) n + به ازای هر دنباله { n } همگرا به a که n >a = تمرین در کالس عبارت های و 3 و 4 را مشابه تعریف و تعریف کنید. 6 حد توابع کسری و مجانب قائم با توجه به تعریف و مثال های حدهای مثبت بی نهایت و منفی بی نهایت مشخص می شود که در یک تابع کسری وقتی به a میل کند و حد مخرج کسر صفر و حد صورت کسر عددی مخالف صفر باشد حد تابع کسری + یا - است و این خود یک ایده ای است برای مطرح کردن قضیه مه م صفحه بعد 07

16 lim g() و =0 lim f () a a قضیه : فرض کنید: 0 L = الف) اگر 0< L و g() در یک همسایگی محذوف a مثبت باشد آنگاه: ب) اگر 0< L و g() در یک همسایگی محذوف a منفی باشد آنگاه: پ) اگر 0<L و g() در یک همسایگی محذوف a منفی باشد آنگاه: ت) اگر 0<L و g() در یک همسایگی محذوف a مثبت باشد آنگاه: f() = + lim a g() f() lim = g() a f() lim =+ g() a f() lim = g() a توضیح اینکه این قضیه برای حدود یک طرفه (چپ یا راست) نیز برقرار است. برای اینکه به کاربرد قضیه () در محاسبه حدود نامتناهی بیشتر آشنا شویم به مثال های زیر توجه کنید. مثال : حدهای نامتناهی زیر را مشخص کنید. + + lim + ب) 3 4 lim 0 + lim الف) حل : الف) وقتی 0 حد صورت کسر یک و حد مخرج کسر صفر است و مخرج کسر یعنی در یک همسایگی محذوف صفر مثبت است بنابراین طبق قسمت الف قضیه () داریم: 0 + = + ب) وقتی با مقادیر کوچک تر از به میل کند حد صورت کسر 3 است و حد مخرج کسر یعنی (-)(+4) صفر است و مخرج کسر به ازای < مثال در بازه باز (,δ-) منفی است بنابراین طبق قسمت ب قضیه () داریم: + + lim = حساب دیفرانسیل و انتگرال 08

17 تمرین در کالس حدهای زیر را حدس زده و با استفاده از قضیه () جواب حد را پیدا کنید. lim cot lim tan π 3 [] lim lim ( ) () lim f و = () lim f و a و = () lim f و = () lim f a مجانب قائم تابع: به توصیف عبارت های + = در شکل a + a و + = () lim f a lim f () = + + a 30 توجه می کنیم. 0 a 0 a a 0 limf() =+ limf() = limf() =+ a a a + 0 a 0 a 0 a limf() =+ limf() = limf() = a a + a 09 شکل 30

18 در نمودارهای شکل 30 دیده می شود که تابع f در =a تعریف نشده است و وقتی از هر دو طرف و یا از طرف راست و یا از طرف چپ به a میل کند f() بی کران افزایش یا کاهش می یابد و این خود ایده ای است برای مطرح کردن مجانب قائم تابع که در رسم نمودارها بسیار مفید است. تعریف : 3 خط =a را مجانب قائم نمودار تابع f مینامند هرگاه حداقل یکی از حکمهای زیر درست باشد. 4 + = () lim f a lim f () a 5 = 3 + = () lim f a lim f () a 6 = lim f () = + + a lim f () = + a مثال خط =a مجانب قائم هر یک از شش حالت نشان داده شده در شکل 30 است. است زیرا + = () lim f مثال : خط = مجانب قائم تابع = f() ( ) 0 تمرین در کالس مجانب های تابع = = + f() را در صورت وجود به دست آورید. مجانبهای قائم تابعهای زیر را بهدست آورید. + ب) g()=tan -π π الف) = f() 7 حد در بی نهایت و مجانب افقی تاکنون برای بررسی رفتار تابع f در نزدیکی نقطه مانند =a از»حد«استفاده کرده ایم و در آنجا را به سمت a میل می دادیم حساب دیفرانسیل و انتگرال 0

19 ام ا هرگاه تابع f در بازه هایی مانند ) +,c( و یا )c, -( تعریف شده باشد عالقه مندیم که بدانیم اگر به دلخواه بزرگ )مثبت( و یا کوچک )منفی( می شود و به بیان دیگر وقتی به سمت + و یا به سمت - میل می کند چه بر سر f)( می آید. دانستن رفتار انتهایی تابع برای رسم نمودار آن بسیار مفید است. تعریف : ٤ فرض کنید f تابعی باشد که در بازه ای مانند ) +,c( تعریف شده و L عددی حقیقی باشد. می گوییم حد تابع f وقتی به + میل می کند برابر L است و می نویسیم lim f () = L + هرگاه به ازای هر دنباله از نقاط دامنه f مانند { n { واگرا به + دنباله }) n }f) به L همگرا باشد. تمرین در کالس تعریف مشابه برای حد در منفی بی نهایت را فرمول بندی کنید. مثال : ثابت کنید اگر r یک عدد گویای مثبت باشد آنگاه: f( n ) = ( n ) = lim + r r lim r = ب( 0 r lim + = الف( 0 حل : الف( برای هر دنباله دلخواه { n { که واگرا به + است داریم: دنباله }) n }f) همگرا به صفر است )چرا ( پس 0 ب( برای هر دنباله دلخواه { n { که واگرا به - است داریم: n )چرا ( بنابر این 0 f( n ) = ( ) n r lim r = lim f () a و =0 ) ( lim f n + تذکر: قوانینی که در مورد ثابت کردیم در مورد حد در بی نهایت نیز برقرارند

20 آنگاه: lim f () + = و L lim f () L + مثال اگر = lim (f() ± g()) = L± L lim f()g() L L + + f() L lim 4 c یک عدد ثابت lim cf () = cl 3 + g() L + = = (L 0) 5 lim c c این قوانین برای وقتی که به - میل کند نیز برقرارند. = + بدیهی است که نتایج قضیه های و و 3 بخش دو م با تغییرات جزئی در مورد حد در بی نهایت lim را حساب کنید نیز برقرارند. (چرا ) مثال : مقدار حل : وقتی بزرگ می شود بدیهی است که صورت و مخرج کسر هر دو بزرگ می شوند در نتیجه معلوم نیست چه بر سر مقادیر این کسر می آید بنابراین از معلومات جبری مان کمک می گیریم و تابع کسری را به شکل دیگری می نویسیم. ابتدا صورت و مخرج را بر بزرگ ترین توانی از که در مخرج وجود دارد تقسیم می کنیم (چون مقدارهای بزرگ برای محاسبه این حد به کار می روند پس می توان فرض کرد 0 ) در این کسر بزرگ ترین توان در مخرج است در نتیجه: lim = lim = lim = = 5 lim ( + + ) + lim ( 3 ) + lim + 5 lim + lim lim 3 lim = = حساب دیفرانسیل و انتگرال

21 ) lim ( + را حساب کنید. مثال : + و هر دو بزرگاند و بسیار دشوار است که بدانیم چه حل : وقتی بزرگ است + بر سر تفاضل آنها میآید لذا ابتدا از جبرمقدماتی استفاده میکنیم و تابع را به شکل دیگری مینویسیم. برای این کار صورت و مخرج را (میتوانیم فرض کنیم که مخرج تابع است) در مزدوج صورت یعنی + ( + )( + + ) lim ( ) = lim + ( + + ) + = lim = lim ( =, > 0) lim = ) ( ضرب میکنیم = = + 0+ تمرین در کالس lim cos پ) را پیدا کنید. lim f () + lim مطلوبست محاسبه: ب) آنگاه + 3 < f() < lim الف) اگر به ازای هر 0< 3

22 مجانب افقی نمودار تابع = f() به شکل 3 است. در نمودار تابع f وقتی با مقادیر مثبت بیکران افزایش و یا با مقادیر منفی بیکران کاهش یابد f() به ترتیب با مقادیر مثبت یا منفی به صفر نزدیک میشود و به عبارت دیگر نمودار تابع در بینهایت دور مثبت یا منفی به خط افقی 0= بسیار نزدیک میشود و این توصیف خود ایدهای است برای تعریف مجانب افقی. f() 0 = شکل 3 نمودار lim f () L تعریف : ٥ خط =L را مجانب افقی نمودار تابع f می نامند به شرطی که = lim f () L + یا = مثال : خط = مجانب افقی تابع است زیرا = + f() است که در شکل 3 نشان داده شده lim ( + ) + = = 0 شکل 3 پرسش: خط مجانب قائم تابع + = حساب دیفرانسیل و انتگرال را به دست آورید. 4

23 تمرین در کالس مجانب های افقی تابع های زیر را به دست آورید. + = = + 3 sin = 8 حد بی نهایت در بی نهایت و مجانب مایل در تابع f()= 3 وقتی بزرگ می شود 3 هم بزرگ می شود مثال در واقع می توانیم با بزرگ گرفتن به اندازه کافی 3 را به هر اندازه دلخواه بزرگ کنیم و lim f () + می نویسیم + = و به طور مشابه وقتی کوچک منفی می شود 3 هم کوچک منفی می شود و می نویسیم lim 3 = درستی این حکم های حدی را می توان به صورت شهودی از روی نمودار تابع f()= 3 حدس زد. 0 نمودار f() = اکنون به صورت رسمی به تعریف حد بی نهایت در بی نهایت می پردازیم. 5

24 تعریف 6 : مینویسیم + = () lim f هرگاه به ازای هر دنباله از نقاط دامنه f مانند + { n } واگرا به + دنباله ){ n }f( واگرا به + باشد. lim f () + و = lim f () تمرین در کالس با توجه به تعریف 6 نمادهای = () lim f و + = را بهطور مشابه تعریف کنید. (c عدد ثابت منفی) مثال : به کمک تعریف ثابت کنید: = c lim حل : به ازای هر دنباله دلخواه { n { از دامنه تابع f()=c که واگرا به - است داریم f ( ) = c n n میدانید که دنباله }( n f{ ) واگرا به - است (0<c و دنباله {n } واگرا به + است) lim c = بنابراین lim ( + ) = lim ( + ) ) lim ( + را محاسبه کنید. مثال : = lim ( + + ) = + حل : تذکر مهم: همواره نمی توان از قاعده های حدگیری برای حدهای نامتناهی استفاده کرد. زیرا + و یا - عدد نیستند. 3 3 مثال نوشتن اینکه lim = lim lim = غلط است ( - + را نمی توان تعریف کرد) با این وجود می توان نوشت 3 lim = lim ( ) = + + حساب دیفرانسیل و انتگرال 6

25 زیرا و - هر دو به دلخواه بزرگ میشوند در نتیجه حاصلضرب آنها نیز بزرگ میشود و یا نوشتن اینکه: + lim ( + ) lim = = lim ( ) غلط است ) را نمیتوان تعریف کرد) و برای محاسبه این حد مینویسیم (صورت و مخرج کسر بر 0< تقسیم شده است) + + lim = lim = مجانب مایل: خط L به معادله (0 m) =m+b و تابع =f() را درنظر می گیریم. چنانچه فاصله نقطه متغیر (() A(, f تا خط مستقیم L وقتی + یا - به صفر نزدیک شود (قسمت های الف و ب در شکل 3 را ببینید) آنگاه خط L مجانب مایل نمودار f نامیده می شود. A H A f H 0 0 )الف( )ب( شکل 33 تبصره : به بیان نادقیق اگر نمودار تابع f در دور دست ها ( + یا -) به خط نامتناهی L به دلخواه نزدیک شود خط L یک مجانب f خواهد بود. تعریف : خط 0 m =m+b مجانب مایل نمودار تابع f است هرگاه حداقل یکی از شرایط زیر برقرار باشد. 7 ب) =0 b)] lim [f () (m + الف) =0 b)] lim [f () (m + +

26 3 3 + = f() را (در صورت وجود) بهدست آورید. مثال : مجانب مایل تابع حل : چون درجه صورت یعنی 3 بزرگتر از درجه مخرج کسر است ابتدا عبارت صورت را ± ± 4 ± f() = بر مخرج تقسیم می کنیم. در نتیجه 5 3 4)] ( lim [f() (همین نتیجه برای چون = 0 lim (چرا ) پس = حالت - نیز درست است) بنابراین خط =-4 مجانب مایل تابع f میباشد. پرسش: با توجه به راه حل مثال باال آیا میتوان نتیجه گرفت یک تابع کسری گویا با چه شرایطی مجانب مایل دارد و سپس راه حلی کوتاه برای محاسبه مجانب مایل تابع کسری گویا بیان کنید. مسأله: فرض کنید خط =m+b مجانب مایل تابع =f() است. مقادیر m و b را حساب کنید. فاصله نقطه متغیر A(,f()) تا خط -m-b=0 را بهدست آورید. اگر h() فاصله نقطه A(,f()) تا خط -m-b=0 باشد. مقادیر m و b lim h() یا =0 lim h() + را چنان تعیین کنید که 0= پس از انجام فعالیت باال نتیجه می گیریم که اگر خط =m+b مجانب مایل تابع f() m lim + یا = + f() m lim =f() باشد آنگاه: = b = lim [f () m] یا b = lim [f () m] فعالیت a+ b+ c d = a + b M( از خط a+b+c=0 برابر است با, فاصله نقطه ) حساب دیفرانسیل و انتگرال 8

27 مثال : معادله مجانب مایل تابع + 3 f() = + را وقتی + بهدست آورید. حل : بنابر دستورالعملهای باال داریم f() m = lim = lim = lim ( + + ) = b = lim (f () m) = lim ( ) b = lim ( + 3 ) = lim = بنابراین خط =3 مجانب مایل تابع است. تمرین در کالس در مثال باال معادله مجانب مایل را وقتی - به دست آورید. مسائل مجانب ها: الف) معادله مجانب های مایل و افقی تابع های زیر را به دست آورید. 3 = = + 3 = + + = ب) اندازه زاویه بین دو خط مجانب مایل تابع = + 4 را حساب کنید. 9

28