UNIVERZITET U BEOGRADU MEHANIKA ROBOTA. MEHANIKA ROBOTA - Vukman Čović, Mihailo Lazarević. Vukman Čović Mihailo Lazarević ISBN

Transcript

1 MEHANIKA ROBOTA - Vukman Čovć, Mhalo Lazarevć UNIVERZITET U BEOGRADU ISBN MEHANIKA ROBOTA Vukman Čovć Mhalo Lazarevć Mašnsk fakultet Beograd, 008

2 UNIVERZITET U BEOGRADU MEHANIKA ROBOTA Vukman Čovć Mhalo Lazarevć Mašnsk fakultet Beograd, 008

3 Dr Vukman Čovć, redovn profesor Mašnskog fakulteta Unverzteta u Beogradu Dr Mhalo P. Lazarevć, vanredn profesor Mašnskog fakulteta Unverzteta u Beogradu MEHANIKA ROBOTA I zdanje Recenzent Prof. dr Josf Vukovć, Mašnsk fakultet, Beograd Prof. dr Mroslav Veskovć, Mašnsk fakultet, Kraljevo Izdavač: MAŠINSKI FAKULTET Unverzteta u Beogradu, Ul. Kraljce Marje 16, 1100 Beograd 35 tel. (011) fax. (011) Za zdavača: u f. dekana Prof. dr Mlorad Mlovančevć Glavn odgovorn urednk: Prof. dr Aleksandar Obradovć Odobreno za štampu odlukom Dekana Mašnskog fakulteta u Beogradu br. 116 /08 od godne Beograd, 008 Traž: 00 prmeraka Štampa: PLANETA PRINT Ruzveltova 10, Beograd tel/fax: (011) Zabranjeno preštampavanje fotokopranje. Sva prava zadržava zdavač autor.

4 Sadržaj Uvod u mehanku robota Određvanje položaja sstema kruth tela Određvanje položaja krutog tela Određvanje broja stepen slobode kretanja za slučaj osnovnh kretanja krutog tela Opšte kretanje krutog tela Sferno kretanje krutog tela Obrtanje krutog tela oko nepomčne ose Ravno kretanje krutog tela Translatorno kretanje krutog tela Pravolnjska translacja Ortogonalne transformacje koordnata Defncja ortogonalnh matrca transformacja...1. Dualn objekt Vektorsk prozvod dualn objekat Dualn objekat promena koordnatnog sstema Veze zmeđu ugaone brzne, ugaonog ubrzanja matrce transformacje u slučaju sfernog kretanja tela Teorja konačnh rotacja Ojler-Dalamberova teorema Rodrgova matrca transformacje Rodrgova matrca zražena preko vektora konačne rotacje Slaganje konačnh rotacja Osobne vektora konačne rotacje Teorema o nverzj redosleda konačnh rotacja Ostale značajne osobne konačnh rotacja...46

5 3.6 Veza zmeđu vektora konačne rotacje vektora ugaone brzne ugaonog ubrzanja Slaganje konačnh rotacja pr sfernom kretanju krutog tela Alternatvn postupak slaganja konačnh rotacja Hamlton - Rodrgov parametr Matrca transformacje koordnata za slučaj sfernog kretanja krutog tela čj položaj određuju Ojlerov uglov Knematka otvorenog knematčkog lanca Uvodne napomene Složena matrca transformacje Izvod vektora vezanog za segment ( V ) po generalsanoj koordnat Brzna centra nercje krutog tela ( V ) Ubrzanje centra nercje krutog tela ( V ) Ugaona brzna krutog tela ( V ) Ugaono ubrzanje krutog tela ( V ) Spoljašnje unutrašnje koordnate robotskog sstema Jakobjan matrca transformacje unutrašnjh u spoljašnje koordnate robotskog sstema Opšte napomene Slučaj pozconranja Slučaj orjentacje Neke specfčnost knematčkh zadataka robotskh sstema Drektn nverzn knematčk zadatak Drektn knematčk zadatak Inverzn knematčk zadatak Numerčko rešenje nverznog knematčkog zadatka Redundantn robotsk sstem Osnove redundantnh robotskh sstema Pojam redundanse Razrešenje prethodno ustanovljene redundanse u mehanc robota...115

6 6. Rešenje redundanse prmenom optmzacje krterjuma po generalsanm koordnatama Rešenje redundanse prmenom optmzacje krterjuma po generalsanm brznama Rešenje redundanse prmenom optmzacje krterjuma po ubrzanjma Dnamka robota - osnovne postavke, zakon Nek element geometrje masa Gustna krutog tela Masa Centar nercje (sredšte masa) tela sstema tela Tenzor nercje tela (V) Transformacja tenzora nercje pr rotacj koordnatnog sstema Kolčna kretanja krutog tela. Zakon o promen kolčne kretanja krutog tela Knetčka energja robotskog sstema Dferencjalne jednačne kretanja robotskog sstema Kovarjantn oblk dferencjalnh kretanja robotskog sstema Generalsane sle robotskog sstema Generalsane sle od sla teže robotskog sstema Generalsane sle od sla u oprugama Generalsane sle od sla vskoznog trenja Generalsane sle od sstema pogonskh sla Kontravarjantn oblk dferencjalnh jednačna kretanja robotskog sstema Prncp dealnost veza robotskog sstema Dferencjaln prncp za sstem kruth tela Langranž-Dalamberov prncp Žurdenov prncp Gausov prncp...168

7 10. O razlčtm metodama za formranje dferencjalnh jednačna kretanja sstema kruth tela Opšt zakon mehanke dferencjalne jednačne kretanja Dalamberov prncp dferencjalne jednačne kretanja Langranž-Dalamberov prncp dferencjalne jednačne kretanja Žurdenov Gausov prncp dferencjalne jednačne kretanja Robotsk sstem u oblku zatvorenog knematčkog lanca lanca sa grananjem Zatvoren knematčk lanac Slučaj kada segmente ( ) r Slučaj kada segmente ( ) r V ( j ) V ( j ) V povezuje przmatčn zglob V povezuje clndrčn zglob Dferencjalne jednačna kretanja zatvorenog knematčkog lanca Knematčk lanac sa grananjem Uvod u teorju upravljanja robotskm sstemma Osnovna postavka problema Upravljanje.Dopustvo upravljanje Clj upravljanja. Funkcja clja. Krterjum upravljvost Nek prmer formranja algortma upravljanja robotskm sstemom Uvod u teorju optmalnog upravljanja robotskm sstemma Optmalno upravljanje, nestaconarn sstem sa slobodnm desnm krajem trajektorje... Lteratura...9

8 PREDGOVOR Udžbenk Mehanka robota napsan je prema programu stomenog predmeta na dplomskm studjama Mašnskog fakulteta u Beogradu. Godnama unazad predmet mehanka robota bo je predavan na Mašnskom fakultetu na smerovma Automatsko upravljanje Inžnjersko mašnstvo. Glavn deo kursa Mehanka robota bo je dovršen još godne rukopsom prvog autora ove knjge. U međuvremenu, na katedr za Mehanku Mašnskog fakulteta u Beogradu odbranjene su dve doktorske dsertacje na temu mehanke upravljanja robotskm sstemma. U prvoj od njh (autor Saša Markovć) uz nz novh rezultata z oblast Mehanke robota sačnjen su program za automatsko formranje dferencjalnh jednačna kretanja robotskh sstema u najopštjem oblku. Takođe, ta doktorska dsertacja sadržala je najkompletnje rešenje nverznog zadatka mehanke robota u poređenju sa svm do tada poznatm rešenjma objavljenm u naučnm časopsma monografjama. U drugoj od njh (drug autor ove knjge) data je scrpna analza optmalnog upravljanja kretanjem robotskh sstema, specjalno upravljanja redundantnm robotskm sstemma. Rezultat obe dsertacje našl su mesto o ovoj knjz. Glavn rezultat ove knjge zložen su matematčkm formalzmom koj dopušta jednostavno formranje kompjuterskh programa, kako je dosledno prkazano u knjz Zbrka zadataka z mehanke robota (drug autor ove knjge). Autor su uveren da će objavljvanjem ove knjge konačno bt zatvoreno ptanje koje je godnama blo aktuelno u krugovma naučnka koj su se bavl robotkom. Name, godnama se u pomenutm krugovma dskutovalo o prednostma manama razlčth postupaka za formranje dferencjalnh jednačna kretanja sstema tela (specjalno robotskh sstema). U ovoj knjz je pokazano da se sve poznate metode svode na problem formranja metrčkog tenzora sstema tela određvanje generalsanh sla sstema sla koje deluju na robotsk sstem. Sa te tačke gledšta, sve metode za formranje dferencjalnh jednačna kretanja sstema tela potpuno su ravnopravne. Autor se nadaju da je knjga napsana dovoljno rgorozno pr tome dovoljno prosto da studente uver da tako komplkovana materja, poput one koju sačnjava Analtčka mehanka, može da se prepust programerma čj će program zahtevat da njhov korsnk poznaje u opštm crtama glavne rezultate knjge a da mu se pr tome otvara mogućnost za svestranu dnamčku analzu tehnčkh objekata. Dr Josfu Vukovću, profesoru Mašnskog fakulteta u Beogradu, u penzj dr Mroslavu Veskovću, profesoru Mašnskog fakulteta u Kraljevu autor su zahvaln na korsnm sugestjama, savetma trudu oko rezencje knjge. Autor zražavaju zahvalnost mladom koleg Radomru Matejću, na tehnčkoj pomoć oko zrade korca knjge, stalnoj podršc nteresovanju da ova knjga dobje završnu formu. Autor su svesn da se u knjz mogu pojavt neke manje greške, pa se unapred zahvaljuju svm čtaocma koj će ukazat na njh kao na ostale uočene nedostatke. U Beogradu, Autor

9 Uvod u mehanku robota Može se reć da robotka ma svoje početke još u srednjem veku, u doba renesanse. Oko 1500 godne, Leonardo da Vnč zrado je mehančkog lava u čast Luja XII. Kada je kralj ušao u dvoranu za prjem u Mlanu, lav se pokrenuo, rastvoro grudn koš kralju pokazao grb Francuske. Takv mehančk automat postal su aktueln tokom sledećh četr veka. Tek početkom XX veka reč robot je ušla u englesk jezk kada je 193 godne prevedena češka drama RUR (Rossumov unverzaln robot) flozofa Karela Čapeka. Izraz robot zveden je od češke reč robota koja znač prslan rad. Iako b tvorevne u dram danas pre ble nazvane androdma nego robotma, ta je pogrešna upotreba reč do danas ostala unverzalna. U šroj lteratur se može nać da se robot tumač kao čovekolk automat, poslušan ntelgentan al bezlčna mašna l automatzovan uređaj koj obavlja funkcje koje su občno namenjene čoveku (vd [1]). Precznje određenje robota se može nać u stručnoj lteratur koja se odnos na ovu problematku, pr čemu se uočava da robot predstavljaju složene ssteme, tako da IFR (Internatonal Federaton of Robotcs) defncja ndustrjskh robota, koja važ od godne, glas: Automatsk upravljana, reprogramblna, multfunkconalna, manpulacona mašna sa tr l vše reprogramblnh osa, fksrana za postolje l moblna, koja se korst u procesma ndustrjske automatzacje. Ova knjga bav se u svom većem delu mehankom robota. Upravljanje robotma u knjz je dato u ogrančenom obmu. Kompleksnm zlaganjem najvažnjh segmenata dnamke sstema tela, sa posebnm naglaskom na zadatke mehanke specfčne za robotske ssteme, stvaraju se uslov da se metode zložene u knjz prmene na ostale segmente tehnke. Posebno stčemo da se metodologja formranja rešavanja dferencjalnh jednačna kretanja sstema tela, zložena ovde, može da prmen u oblast složenh mehanzama u mašnstvu, transportnh mašna uređaja, drumskh šnskh vozla vazduhoplova (detaljnje u []). Iz toga razloga ovde će robotsk sstem, kao mehančk sstem, bt predstavljen sstemom tela pr čemu konačan broj tela u sstemu nje ogrančen. Razmatran sstem tela je u opštem slučaju vezan, al se razmatranje veza pojednostavljuje njhovom dekompozcjom, čme se dobja slučaj karakterstčan za robotske ssteme. Na taj načn tehnčk objekt 1

10 Mehanka robota sa složenjm vezama od onh koje se javljaju u robotskm sstemma, dekompozcjm veza se svode na mehančke objekte ekvvalentne robotskm sstemma čj su element (tela) formraju knematčke parove V klase. Na prmer, u slučaju sfernog kretanja krutog tela, sfern zglob se dekomponuje na tr clndrčna, uvode se u razmatranje tr tela od kojh dva (sl. u.1, tela ( V1 ) ( V ) ) maju zanemarljvu masu. Treće telo ma geometrju masa dentčnu geometrj masa orgnalnog tela, [3]. Ovakav model mehančkog sstema, sa napomenom da sva tr tela maju zadatu geometrju masa, javlja se u slučaju robota sa tr rotacona stepena slobode kretanja (takozvana RRR robotska struktura), sl. u.. Slka u.1 Slka u. Pomenuta dekompozcja dovod do razlaganja složenog oblka kretanja tela na nz kretanja koj predstavljaju translacju l roracju u apsolutnom l relatvnom kretanju. U navedenom prmeru sfernog kretanja dekompozcjom sfernog na tr clndrčna zgloba, sferno kretanje se dekomponuje na tr

11 Mehanka robota rotacona jedno apsolutno dva relatvna. Metod dekompozcje (u prmeru koj sled dekompozcja kretanja) može da se prmen na opšte kretanje krutog tela (odsustvuju veze). U tom slučaju takvo kretanje se modelra sstemom od šest tela pr čemu prvh pet tela maju samo geometrjske odlke (masa th tela se zanemaruje). Šesto telo ma geometrju masa dentčnu orgnalnom telu. Ovakav sstem šest tela vezan je na sledeć načn (navodmo jedan z nza mogućh prmera): treće telo u odnosu na drugo, drugo telo u odnosu na prvo prvo u odnosu na nepomčno postolje vrše pravolnjske translacje posredstvom przmatčnh zglobova međusobno ortogonalnh osa. Šesto telo u odnosu na peto, peto u odnosu na četvrto četvrto u odnosu na treće vrše čste rotacje taj deo sstema odgovara onome sa sl.u.1 (treba mat u vdu ovakvu zamenu u numeracj tela: ( V1 ) ( V4 ), ( V ) ( V5 ), ( V3 ) ( V6 )). Najčešće veze koje ogrančavaju kretanja sstema, na prmeru veze tela ( V 1) ( V ), prkazane su u donjoj tabel, [4]. Svaka veza koja dopušta vše od jednog stepena slobode kretanja tela ( V ) u odnosu na telo ( V 1) (klasa knematčkog para je nža od V-te) dekomponuje se na odgovarajuć broj veza sa jednm stepenom slobode kretanja. klasa broj knem. stepen para slobode V 1 IV III 3 Tabela 1 Osnovn oblk sstema tela čje kretanje proučavano je otvoren knematčk lanac. Ovaj lanac predstavlja sstem od n tela (sl.u.3) numersanh ndeksma 3

12 Mehanka robota koj uzmaju vrednost od 1 do n. Pr tome tela ( V 1) ( V ) čne knematčk par V klase koj dopušta l pravolnjsku translacju l rotacju tela ( V ) u odnosu na telo ( V 1). U slčaju =1 pojavljuje se telo ( V 0) koje predstavlja deo prostora za koj je vezan nercjaln sstem referencje (postolje). Slka u.3 Lanac tela može bt otvoren, al sa grananjem (sl.u.4). Tada se kaže da sstem tela ma mehančk model sa strukturom topološkog drveta, [5]. Sstem tela može da bude u oblku zatvorenog knematčkog lanca (sl.u.5). Kod otvorenog knematčkog lanca put zmeđu dva prozvoljna tela, koj prolaz kroz tela sstema, je jednstven. Kod zatvorenog knematčkog lanca to nje uvek slučaj. Na prmer, postoje dva razlčta puta (vd sl.u.5) zmeđu tela ( V 1) tela ( V 10). Zatvoren knematčk lanac se uvek može uklanjanjem veze transformsat u otvoren, pr čemu uklonjenu vezu treba nadomestt relacjama koje predstavljaju matematčku formalzacju uklonjene veze. Te relacje nazvaju se jednačnama veza. U ovom kursu proučavaju se samo takv sstem tela čje kretanje ogrančavaju holonomne skleronomne veze. Slka u.4 4

13 Mehanka robota Slka u.5 Pod robotskm sstemom podrazumevaćemo sstem tela koj obrazuju knematčke parove V klase, pr čemu nećemo ogrančavat broj tela koja sačnjavaju sstem. Konfguracju robotskog sstema određuje skup generalsanh koordnata (q 1,...,q n ) koj se u slučaju otvorenog knematčkog lanca po pravlu poklapa sa skupom nezavsnh (Lagranževh) koordnata. U slučaju zatvorenog knematčkog lanca nje moguće uvek eksplctno zrazt zavsne generalsane koordnate preko nezavsnh. U tom slučaju skup (q 1,...,q n ), osm nezavsnh, sadrž onolk broj zavsnh generalsanh koordnata kolk je broj nezavsnh jednačna veza koje nsu skoršćene za elmnacju zavsnh koordnata. Te veze se javljaju kao posledca transformacje zatvorenog u otvoren knematčk lanac. Specjalno, kod ovako odabranog mehančkog modela robotskog sstema sve generalsane koordnate određuju relatvna kretanja prozvoljnog tela ( V ) u odnosu na telo ( V 1). Telo koje ulaz u sastav robotskog sstema nazvamo robotsk segment l, kraće, segment. Nadalje, segmente ćemo smatrat krutm telma. Prozvoljnu konfguracju robotskog sstema određujemo u odnosu na referentnu konfguracju u kojoj su sve generalsane koordnate jednake nul. Prozvoljnom segmentu ( V ) prdružćemo lokaln ortogonaln Dekartov koordnatn sstem C ξ η ζ, (sl.u.6) gde je C sredšte masa segmenta ( V ). Slka u.6 5

14 Mehanka robota U referentnoj konfguracj (označena sa (0)) važ C(0) ξ(0) Ox, C(0) η(0) Oy, C(0) ζ (0) Oz, gde je Oxyz nercjaln sstem referencje, (sl.u.7). Ovakva konvencja omogućuje da se matrce transformacja koordnata vektora l tenzora određuju drektno kao prozvod Rodrgovh matrca transformacja koje se formraju na relatvno jednostavan načn. Ta čnjenca omogućava da se formulše prost metod za formranje dferencjalnh jednačna kretanja robotskog sstema. Specjalno, pomenut metod dopušta znalaženje jednostavnh programa za automatsko formranje rešavanje dferencjalnh jednačna kretanja robotskog sstema [3],[6]. Ako u referentnoj konfguracj nje spunjen pomenut uslov o paralelnost odgovarajućh koordnatnh osa, jednostavnom transformacjm Rodrgove matrce dobjaju se stvarne matrce transformacja koordnata. U ovom slučaju u ostalm elementma metod formranja dferencjalnh jednačna kretanja ostaje nezmenjen. Slka u.7 6

15 . Ortogonalne transformacje koordnata Mehanka robota.1. Defncja ortogonalnh matrca transformacja Razmotrmo dva pravougla Dekartova koordnatna sstema: nepomčn sstem Oxyz pokretn sstem Oξηζ vezan za kruto telo ( V ) (sl..1). Jednčn vektor, j, k orjentšu ose Ox, Oy, Oz koordnatnog sstema Oxyz, a jednčn vektor λ, µ, ν orjentšu ose Oξ, Oη, Oζ koordnatnog sstema Oξηζ. Očgledno je da sfernm kretanjem koordnatn sstem Oxyz možemo dovest do poklapanja sa koordnatnm sstemom Oξηζ. Slka.1 Vektor položaja r prozvoljne tačke M sa koordnatama ( x, y, z ) odnosno ( ξ, η, ζ ), može se napsat u oblku r = x + yj + zk, (.1) l r = ξλ + ηµ + ζν. (.) Projektovanjem vektorske jednačne (.) na ose koordnatnog sstema Oxyz, dobjamo vezu zmeđu koordnata tačke M u sledećoj form x = ξλ + ηµ + ζν, y = ξλ j + ηµ j + ζν j, (.3) z = ξλ k + ηµ k + ζν k, 1

16 Mehanka robota l, u matrčnom zapsu gde je x y = z [ A] [ A] ξ η, (.4) ζ λ µ ν = λ j µ j ν j. (.5) λ k µ k ν k 3 3 Matrca [ A] R predstavlja matrcu transformacje koordnata tačke M z koordnatnog sstema Oξηζ u koordnatn sstem Oxyz. Ako matrcu transformacje (.5) napšemo u oblku [ A ] = α11 α1 α13 α1 α α3, (.6) α α α jasno je da velčne α j (, j = 1,, 3 ) predstavljaju kosnuse uglova zmeđu dve odgovarajuće ose pokretnog nepokretnog koordnatnog sstema. Tako je, na prmer, α1 = λ j= cos ( λ, j). (.7) Pošto kolone matrce [A] predstavljaju koordnate jednčnh vektora λ, µ, ν zražene u nepokretnom koordnatnom sstemu Oxyz: λ = α11 + α1j + α31k, µ = α1 + α j + α3k, (.8) ν = α + α j + α k, [ ] sled da je det A = ( λ µ ) ν = 1. (.9) Samm tm, matrca transformacje [A] je nesngularna. Element matrce [A] nsu međusobno nezavsn jer, na osnovu (.8) uslova ortogonalnost normranost vektora λ, µ, ν, zmeđu koefcjenata α j postoje sledeće veze

17 f f f f f f = α + α + α 1 = 0, 3 = α + α + α 1 = 0, 3 33 = α + α + α 1 = 0, = α α + α α + α α = 0, = α α + α α + α α = 0, = α α + α α + α α = Mehanka robota (.10) Pokazuje se da drugh relacja oblka (.10) nezavsnh od (.10) nema da je ( k = 1,...,6; α = 1,,3 ): 6 9 f [ ] 6, [ ], [ ] k f k f k rank E = E R E =, (.11) α1α αα α3α odakle sled da su samo tr koordnate matrce transformacje (.6) nezavsne. Očgledno je da te tr koordnate ne mogu da se nalaze u stoj kolon l stoj vrst. Nesngularnost matrce [A] dozvoljava da se odred transformacja nverzna transformacj (1.4) gde je ξ η = ζ x z [ A] 1 y, 1 [ A][ A] = [ I ] ([ ] 3 3 I R (.1) - jednčna matrca). (.13) Ako se vektorska jednačna (.1) projektuje na ose koordnatnog sstema Oξηζ, dobjaju se relacje ξ = xλ + yλ j + zλ k, η = xµ + yµ j + zµ k, (.14) ζ = xν + yν j + zν k, l, u matrčnoj form gde je ξ η = ζ [ B] x y, (.15) z 3

18 Mehanka robota 4 λ λ j λ k ν ν j ν k [ B] = µ µ j µ k. (.16) Matrca [ B] R 3 3 predstavlja matrcu transformacje koordnata tačke M z koordnatnog sstema Oxyz u koordnatn sstem Oξηζ. Iz (.5) (.16) sled da je [ ] [ ] T T B A [ A] [ B]. = = (.17) Prva relacja u (.17) omogućava da se zraz (.15) napše u oblku ξ η = ζ x [ A] T y, (.18) z što u kombnacj sa relacjom (.1) daje x ([ ] 1 T A [ A] ) y = 0. (.19) z Pošto koordnate x, y, z maju prozvoljnu vrednost, zvod se zaključak da važ odnosno 1 [ A] [ A] = (.0) T, [ ] [ ] T T B A [ A] [ B]. = = (.1) Prema relacj (.1), lako se pokazuje da je 1 T 1 [ A][ A] [ B] [ B] [ B] [ B] T. = = (.) Transformacja (.4) sa osobnama (.9) (.0) nazva se ortogonalna transformacja. Transformacja nverzna ortogonalnoj, u skladu sa (.), takođe je ortogonalna... Dualn objekt Vektoru a koj se u pravouglom Dekartovom koordnatnom sstemu zražava u oblku { a} a1 = a, (.3) a 3

19 može se prdružt matrca d [ ] Mehanka robota 0 a3 a a = a3 0 a 1. (.4) a a1 0 a [ a d ] nazvaju se dualnm objektma pr čemu je [ a d ] dualn a je dualn Velčne { } objekat (drugog reda) objekta { a } (prvog reda). Važ obrnuto: { } objekat objekta [ a d ]. Jasnoće rad, dualnm objektom nazvaćemo sključvo velčnu [ a d ] koja je, očgledno, antsmetrčna: T d d [ a ] [ a ] Uočmo da je d [ ] =. (.5) a3 a a1a a1a 3 = a3a1 a3a a1 a a a a a a a a što se može napsat u oblku d [ ], (.6) a1 a1a a1a a = aa1 a aa3 ( a1 + a + a3 ) 0 1 0, (.7) a a1 a3a a 3 odakle se neposredno dobja a d [ a ] = a ( a a a ) a [ I ] a 3, (.8) odnosno d [ ] a = { a}( a) a [ I ], (.9) gde je [ I] R jednčna matrca, a a a a = =. Daljm stepenovanjem dualnog objekta celm poztvnm brojem, dobja se jer je 3 d d [ a ] a [ a ] =, (.30) 5

20 Mehanka robota a1 a a = a a = 0. a d d [ ]{ } [ ] Takođe je d d [ a ] = a [ a ] d d d 4 d [ a ] = a [ a ] [ a ] = a [ a ] 6 d 4 d [ a ] = a [ a ] 7 6 d d [ a ] = a [ a ] tako da važ sledeća opšta formula 1 1 d d [ a ] = a [ a ] d 1 d [ ] [ ],,, ( 1), a = ( 1) a a, = 1,,3,... Specjalno, ako je a = e, gde je e jednčn vektor, dobja se 1 1 d d [ e ] = [ e ] ( 1), d 1 d [ ] [ ] e = ( 1) e, = 1,,3,..., (.31) (.3) (.33) (.34)..1. Vektorsk prozvod dualn objekat Neka je dat vektor b čje su koordnate u odnosu na sstem Oxyz { b} sled da je 6 b1 = b. (.35) b 3 Vektorsk prozvod vektora (.3) (.35) bće Pošto je ab3 a3b a b = a3b1 a1b 3. (.36) a 1b ab 1 { } ab3 a3b a b = a3b1 a1b 3, (.37) a 1b ab 1 d [ ]{ }

21 d { a b} = [ a ]{ b} Mehanka robota. (.38) Vektorsk prozvod je antsmetrčan a b = b a, (.39) tako da je d a b = b a { } [ ]{ }, (.40) odnosno, na osnovu relacja (.38) (.40): d d a b = b a. (.41) [ ]{ } [ ]{ }... Dualn objekat promena koordnatnog sstema Neka su projekcje dva prozvoljna vektora a b na ose koordnatnh sstema Oxyz Oξηζ (sl..1) ax aξ b b x ξ a = ay a = aη b = by b = bη. (.4) az aζ bz bζ { }, { }, { }, { } Projekcjama vektora a odgovaraju dualn objekt 0 az ay 0 aζ aη a = az 0 ax, a = aζ 0 aξ. (.43) ay ax 0 aη aξ 0 d d [ ] [ ] Uvedmo vektor c defnsan kao vektorsk prozvod c = a b, (.44) čje su projekcje c c x ξ c = cy c = cη, (.45) cz cζ { }, { } na ose koordnatnh sstema Oxyz Oξηζ, respektvno, na osnovu formule (.4) vezane relacjom c = A c. (.46) { } [ ]{ } Pošto je d { c} = [ a ]{ b}, d d 1 d T c = a b = a A b = a A b, { } [ ]{ } [ ][ ] { } [ ][ ] { } (.47) 7

22 Mehanka robota prema (.46) sled da je d d* T a b = A a A b, l 8 [ ]{ } [ ][ ][ ] { } * T d d ([ a ] [ A][ a ][ A] ){ b} (.48) = 0. (.49) Pošto je vektor b zabran prozvoljno, prostče da je [ a ] [ A][ a ][ A] d d* T =. (.50) Relacja (.50) defnše transformacju dualnog objekta z koordnatnog sstema Oξηζ u koordnatn sstem Oxyz. Lako se može pokazat da je relacj (.50) ekvvalentna relacja d T d [ a ] [ A] [ a ][ A] =, (.51) koja defnše transformacju dualnog objekta z koordnatnog sstema Oxyz u koordnatn sstem Oξηζ..3. Veze zmeđu ugaone brzne, ugaonog ubrzanja matrce transformacje u slučaju sfernog kretanja tela Neka je koordnatn sstem Oxyz (sl..1) nepokretan, a koordnatn sstem Oξηζ vezan za kruto telo ( V ). Uočmo tačku M krutog tela ( V ) čje su koordnate u dva navedena koordnatna sstema ( x, y, z ) odnosno ( ξ, η, ζ ). Dferencranjem zakona transformacje koordnata (.4) po vremenu dobja se x d A y = dt z [ ] ξ η. (.5) ζ Pr dferencranju smo uzel u obzr da su koordnate tače M u lokalnom koordnatnom sstemu vezanom za telo ( ) V konstantne: ξ, η, ζ = const. (.53) Element matrce na levoj stran jednakost (.5) predstavljaju projekcje brzne tačke M na ose nepomčnog koordnatnog sstema Oxyz, tako da je { v} vx d A = vy = dt v z [ ] ξ η. (.54) ζ Ako Ojlerov obrazac za brznu tačke M (vd [7]) v = ω OM, (.55)

23 4. Knematka otvorenog knematčkog lanca Mehanka robota 4.1 Uvodne napomene Razmotrmo otvoren knematčk lanac ( V1 ),( V ),...,( V n) bez grananja pr čemu je prvo kruto telo ( V 1) u lancu (sl. 4.1) u vez sa nepomčnm postoljem. Neka dva susedna tela ( V 1) ( V ) lanca, vezana zglobom () čne knematčk V u odnosu par V te klase koj dozvoljava l pravolnjsku translacju tela ( ) na telo ( V 1) l obrtanje tela ( V ) u odnosu na osu vezanu za telo ( V 1). Uvodmo sledeće matrce n { } { } 1 n 1 ξ R, ξ R, (4.1) čj se element ξ ( = 1 ) odnosno ( 1 ),,...,n ξ =,,...,n odredjuju na sledeć načn. U slučaju da zglob () dozvoljava pravolnjsku translacju tela ( V ) u odnosu na telo ( V 1) važće ( ( V0 ) -nepomčno postolje) ξ = 1, ξ = 0. (4.) U slučaju da zglob () dozvoljava rotacju tela ( V ) u odnosu na osu vezanu za telo ( V 1) važće ξ = 0, ξ = 1. (4.3) Očgledno je da su zadavanjem elemenata jedne od matrca (4.1) odredjen element druge matrce jer uvek važ ξ + ξ = 1 = 1,,...,n. (4.4) Zglob () za koj je ξ = 1 nazva se przmatčn a zglob () za koj je ξ = 1- clndrčn. U clju odredjvanja konfguracja knematčkog lanaca uvodmo nepomčn pravougl Dekartov koordnatn sstem Oxyz (sl. 4.1) n lokalnh koordnatnh sstema, takodje pravouglh Dekartovh. Na prmer, lokaln koordnatn sstem Cξηζ vezan je za telo ( V ) ( = 1,,..., n), tačka C predstavlja centar nercje tela ( V ). U nekoj konfguracj otvorenog knematčkog lanca odgovarajuće ose lokalnh koordnatnh sstema paralelne 59

24 Mehanka robota Slka 4.1 su odgovarajućm osama nepokretnog koordnatnog sstema. Tu konfguracju nazvamo referentnom u njoj občno uzmamo da su koordnate koje odredjuju konfguracju lanca jednake nul (ako to nje obavezno). Za tu konfguracju, koju ćemo označavat sa (0), dakle važ C ξ Ox, C η Oy, C ζ Oz, = 1,,..., n, (4.5) (0) (0) (0) gde Cξ(0) η(0) ζ (0) predstavlja lokaln koordnatn sstem tela ( V ) u referentnoj konfguracj. 4. Složena matrca transformacje Razmotrmo u otvorenom knematčkom lancu bez grananja na koj načn se transformšu koordnate vektora τ = A B, A, B ( V ), date u lokalnom j j j j j j koordnatnom sstemu C jξ jη jζ j, na koordnate date u lokalnom koordnatnom sstemu Ckξkηkζ k vezanom za segment ( V k ), k < j, sl. 4.. Slka 4. Očgledno je da će u slučaju przmatčnog zgloba zmeđu segmenata ( V j ) ( V ) odgovarajuće koordnate pomenutog vektora, date u koordnatnom j 1 sstemu C j 1ξ j 1η j 1ζ j 1, bt jednake koordnatama toga vektora u 60

25 Mehanka robota koordnatnom sstemu C jξ jη jζ j. Name, ako su u koordnatnom sstemu C jξ jη jζ j te koordnate su date sa j { τ } ( j) ξ j =, (4.6) ( j) ζ j ( ) ( j) j η j u koordnatnom sstemu C ξ 1η 1ζ 1 važće { } j 1 j j j ( j 1) ( j) ξ j ξ j ( j 1) ( j 1) ( j) τ j = η j = η j. (4.7) ( j 1) ( j) ζ j ζ j U slučaju clndrčnog zgloba zmeđu segmenata ( V ) ( 1) očgledno je da su pre rotacje za ugao q koordnate vektora k Vk τ j u lokalnom koordnatnom sstemu C j 1ξ j 1η j 1ζ j 1 jednake odgovarajućm koordnatama toga vektora u lokalnom koordnatnom sstemu C jξ jη jζ j, (u tom koordnatnom sstemu date ( j) j su konstantnm vektorom { τ }). Jednom konačnom rotacjom za ugao q te koordnate u lokalnom koordnarnom sstemu C j 1ξ j 1η j 1ζ j 1 prevodmo na ( j 1) oblk { τ }. To prkazujemo na sledeć načn j ( j) ( j 1) ξ j ξ j q ( j) ( j 1) η j η j, (4.8) ( j) ( j 1) ζ j ζ j l, uzmajuć u obzr osobne Rodrgove matrce transformacje ( j 1) ( j) ξ j ξ j ( j 1) r ( j) η j = Aj η j. ( j 1) ( j) ζ j ζ j Ako se Rodrgova matrca transformacje napše u oblku j d j d Aj = I + ξ j (1 cos q ) e j + sn q e j r [ ] [ ] (4.9) (4.10) Tada će zraz (4.9) važt za slučaj przmatčnog za slučaj clndrčnog zgloba zmeđu segmenata V ) V ). Razmatranjem analognm prethodnom ( j ( j 1 61

26 Mehanka robota 6. Redundantn robotsk sstem 6.1 Osnove redundantnh robotskh sstema Pojam redundanse, tpov redundanse U zadacma gde je zražen zahtev za što većom pouzdanošću veštnom u toku zvođenja samh zadataka često se korst redundansa *. Obezbeđvanje dovoljno sposobnost u clju pouzdanog l kvaltetnog obavljanja datog zadatka jeste jedna od najneophodnjh karakterstka složenh sstema. Takva potencjalna rezerva nazva se redundansom. Bomehančk prmer redundanse jeste ruka čoveka koja se može opsat pojednostavljenm modelom sa 7 stepen slobode, odnosno zajedno sa celom šakom, ruka čoveka ma oko 50 stepen slobode, [13]. Ovo omogućava zuzetnu fleksblnost, pouzdanost kao značajnu veštnu koja je ostvarena uvežbavanjem određene grupe pokreta u obavljanju zuzetno složenh zadataka. Koršćenjem analogje sa ljudskom rukom kod koje su se uočle prednost koršćenja redundanse stvorena je osnova za uvođenje redundantnh struktura u postojeće robotske konfguracje. Tme je omogućeno da robot postane sposobnj za zvršavanje šrokog spektra zadataka, poveća fleksblnost, smanj troškove angažovanh resursa, u značajnoj mer poveća veštnu kretanja u radnom prostoru koj može oblovat mnogobrojnm preprekama, odnosno poboljša optmalnost uočenh velčna u odnosu na zadate optmzacone krterjume, [14]. Sama redundantnost robota je defnsana egzaktno u poglavlju knjge koj se odnos na knematku poslednjeg robotskog segmenta, (vd st. 9 dalje). Ovde je prkazan na slc 6.1 jedan prmer redundantnog robotskog mehanzma sa 7 stepen slobode. U clju precznjeg opsa redundanse može se razlkovat vše tpova redundans prmenjenh kod robota. Jedna od mogućh podela redundanse jeste podela na: - Projektovanu redundantnost ako mehanzam manpulaconog robota ma však stepen slobode u odnosu na hvataljku n > m. U clju realzovanja postavljenog manpulaconog zadatka gde postoje dopunsk zahtev praktčno je nemoguće zbeć prmenu redundantnog robota. Dopunsk zahtev se odnose najčešće na zaoblaženje prepreka u radnom prostoru vrha robota, povećanje radnog prostora (dohvatljvost) robota, postzanje brzna velkog ntezteta koršćenjem takozvanh paralelnh stepen slobode, zbegavanje neželjenh sngularteta u određenm položajma robota. * Engl. redundance - suvšan, prekomeran 111

27 Mehanka robota Slka parametarsku redundantnost koja se prmenjuje u clju poboljšanja nekh od parametara koj određuju zvođenje manpulaconog zadatka. Tu takođe postoj však stepen slobode robota u odnosu na hvataljku on se korste sada za poboljšanje uočenh parametara koj karakteršu zvođenje manpulaconog zadatka. Poboljšanja se realzuju prmenom razlčth optmzaconh krterjuma po uočenm parametrma. Ovde se, na prmer, prevashodno msl na sledeće parametre: vreme zvršenja manpulaconog zadatka; utrošak energje u toku zvršenja manpulaconog zadatka; knematčk parametr koj karakteršu kvaltet realzacje manpulaconog zadatka (odstupanje stvarne trajektorje hvataljke od zadate trajektorje, odstupanje stvarne brzne (ubrzanja) hvataljke od zadate brzne (ubrzanja). Međutm, prethodne osobne redundantnog robota ne mogu uvek doć do zražaja, jer se nalaz na poteškoće prlkom koršćenja sth, najčešće u realzacj upravljanja takvm robotma, u realzacj trajektorje odnosno prlkom samog projektovanja konstrusanja samh redundantnh robota. Druga moguća podela redundanse data je na sledeć načn. Kod robota koj ma knematčku redundansu moguće je uz očuvanje položaja hvataljke robota menjat položaj segmenata mehanzma, l unutrašnju strukturu robota. Jedan prmer je ruka čoveka koja drž nek nepokretan predmet u šac. Ona je u mogućnost da oko uočenog položaja šake zauzme prozvoljan položaj jer ma sedam stepen slobode. Važno je stać da knematčku redundansu karakterše osobna kauzalnost (uzročnost) koja pruža opštu postavku problema koj se kasnje rešava tokom kretanja. Knematčka redundansa je u robotc omogućla da se zbegnu grančn položaj zglobova povećanjem manpulablnost kretanja robota prlkom zbegavanja prepreka, povećanje brzna kretanja, zbegavanje sngularteta u prostoru unutrašnjh koordnata kako u faz planranja 11

28 Mehanka robota trajektorje vrha hvataljke tako njenog realzovanja. Takođe, ona pruža povećanje precznost pozconranja praćenja trajektorje, optmzacja utroška energetskh resursa aktuatora, odnosno poboljšanje ukupnh mehančkh karakterstka robota. Pr tome, knematčk redundantan robot ma vše stepen slobode nego što je broj koordnata njegovog radnog prostora tako da za zadato kretanje hvataljke u radnom prostoru daje beskonačno mnogo rešenja u prostoru unutrašnjh koordnata. U clju dobjanja jednstvenog rešenja prethodno defnsanog matematčk neodređenog problema postoje dva generalna prstupa. Prv prstup je da se uvedu dodatne jednačne koje će odgovarat nekm fzčkm ogrančenjma sredne tako da postavljen problem postane jednstveno rešv. Drug prstup predlaže uvođenje optmzacje kretanja po nekom od krterjuma optmalnost, prmer zvođenje pokreta za mnmalno vreme, mnmzacja knetčke energje, pogonskog momenta, potencjalne energje, mnmmalno odstupanje stvarne trajektorje od željene td. Ako je neophodno da robot ostvar dopunske pogone u zglobovma robota, onda je potrebno obezbedt st sa rezervnom strukturom pogonskh mehanzama tako da robot ma sada tzv. redundantne pogone. U tom slučaju kažemo da redundantn robot poseduje aktuatorsku redundansu koja je karakerstčna za ssteme zatvorenh knematčkh lanaca, kao što su na prmer mehanzm za hodanje. Ovakav vd redundanse ne zavs od unutrašnje strukture robota odnos se na određvanje sla momenata u pogonskom elementu robota. Za razlku od knematčke redundanse za aktuatorsku redundansu ne važ osobna kauzalnost (tj. ako je poznata sla u trenutku t = t 0, ne može se upotrebt za određvanje sle u blo kom sledećem trenutku) pa kao takva ona predstavlja lokaln problem koj se rešava u zavsnost od potrebe. Ako je neophodno da se robot prlagod nepoznatoj sredn jedna od osobna koju je potrebno da ma robot jeste fleksblnost. Ona je omogućena ako robot ma prstup nformacjama sa redundantnog (prošrenog) skupa senzora koj omogućavaju robotu da bolje shvate vde srednu što će omogućt efkasnje prlagođavanje u skladu sa zahtevma postavljenog zadatka. Na taj načn senzorska redundansa omogućava povećanje pouzdanost tačnost merenja, tme što se nformacja o krtčnom parametru stanja robota dobja kombnacjom podataka sa skupa senzora. U clju sagledavanja značaja prmene redundantnh robota, bće naveden nek od rezultata koj su postgnut do sada u ovoj oblast, gde se mogu uočt najčešće zastupljen prstup prmene redundanse, kako u ndustrjskoj, tako u medcnskoj robotc, [15]. Većna složenh zadataka može se svest na problem pozconranja sa potpunom orjentacjom koje može robot sa šest stepen slobode uspešno da zvrš. Međutm, kod nekh manpulaconh zadataka postavljaju se dopunsk zahtev tako da se mora prment redundantn robot. Na prmer, dopunsk zahtev se postavljaju ako je potrebno zaobć prepreku, 113

29 Mehanka robota postć velke brzne l povećat radn prostor (dohvatljvost) robota, l zbeć sngularne tačke. Nadalje, navode se nek od mogućh dopunskh zahteva. Zaoblaženje prepreke - ako se pojav prepreka prlkom zvršenja manpulaconog zadatka, gde se sa všeg nova upravljanja dobjaju željen podac o preprec; na prmer, prenos tečnost u posud, u clju zaoblaženja prepreke robot mora mat jedan l vše dodatnh stepen slobode da b se sprečlo prospanja sadržaja posude dakle, mora se očuvat orjentacja hvataljke. Postzanje velkh brzna - nekada je potrebno povećat brznu obavljanja manpulaconog zadatka što se postže dodatnm (paralelnm) stepenma slobode. Pr tome se postže veća brzna uz očuvanje postojeće orjentacje hvataljke praćenjem zadate trajektorje. Povećanje radnog prostora - ako se u faz snteze praćenja željene trajektorje uoč da postojeć robot ma nedovoljn opseg dohvatljvost što će kao posledcu mat nemogućnost realzacje manpulaconog zadatka onda je potrebno dodat na prmer, još jedan stepen slobode u clju povećanja dohvatljvost robotskog manpulatora. Izbegavanje sngularnh tačaka - u blzn sngularnh tačaka za zadatu promenu vektora spoljašnjh koordnata q odrazće se u velkoj promen unutrašnjh koordnata q. Pr tome takva promena vektora q uzrokovaće velke greške u praćenju zadate trajektorje. Na taj načn dobće se greška tpa zasćenja jer aktuator ne mogu realzovat takvu promenu usled ogrančenh ampltuda ulaznh promenljvh u aktuatoru. Dodavanjem potrebnog broja stepen slobode omogućo b se prolaz hvataljke kroz sngularnu tačku bez neželjenh efekata. Prmena u clju poboljšanja optmzacje nekh od parametara koj određuju zvođenje manpulaconog zadatka - ovde se však stepen slobode korst u clju poboljšavanja pojednh parametara koj se odnose na zvođenje manpulaconog zadatka. U tu svrhu korst se teorja optmzacje gde je krterjum performanse najčešće dat kao: za mnmalno vreme zvest manpulacon zadatak; mnmzovat utrošak energje koj je potreban za obavljanje datog postavljenog zadatka; mnmzovat pogonske momente; u praćenju željene trajektorje mnmzovat odstupanje stvarne trajektorje koju opsuje vrh hvataljke od zadate q( t) = q( t) qzad ( t), t [0, T ] ; mnmzovat odstupanje ntezteta stvarne brzne vrha hvataljke od ntezteta zadate brzne na vremenskom ntervalu kretanja, q ( t) = q ( t) q ( t), t [0, T]. Prethodne postavljen zahtev u smslu optmzacje važe za sve klase manpulaconh zadataka. Takođe, može se zvršt optmzacja parametara koj maju lokaln karakter prema uzroku koj dovod do slabjeg kvalteta zvršenja operacje kao što je delovanje spoljašnjh sla u manpulaconm zadacma gde one postoje; prmer manpulacon zadatak zavarvanja. zad 114

30 Mehanka robota 6.1. Razrešenje prethodno ustanovljene redundanse u mehanc robota Zahvaljujuć postojanju kvaltetne rezerve (redundanse) u mehanc robota je razvjen čtav nz nteresantnh prstupa za razrešenje redundanse. Važno je ovde stać da osnovn problem koj se javlja u prmen redundanse jeste da se ona u opštem slučaju ne može zdvojt kao konkretn deo robota, jer u prethodnom zlaganju pod redundansom se podrazumevao pojam koj daje nov kvaltet datom robotu. Prema tome, u zavsnost od manpulaconog zadatka konfguracje robota određvaće se onaj deo robota koj će čnt redundansu. Stoga je lako uočt da manpulacon robot može bt redundantan za dat manpulacon zadatak a da ne mora bt za drug postavljen zadatak. U razrešenju problema redundanse zdvojla su se dva prstupa: dekompozcja robota na brz spor sstem [16] zdvajanje redundanse na osnovu prethodne defncje zadatka sa stepenom prvenstva. U clju razrešenja redundanse odnosno, dobjanje nverznog knematčkog modela redundantnog robota došlo se, može se reć, do dva uopštena postupka: prv bazra na prmen lokalnog optmalnog upravljanja, a drug na prmen globalnog optmalnog upravljanja, [17]. Ako je potrebno on-lne upravljanje gde ne postoje zahtev za globalnom optmalnošću opravdano je u tm stuacjama korstt lokalno optmalno upravljanje. Pr tome sam postupak zračunavanja optmalnog upravljanja predstavlja jednostavan numerčk zadatak. Ako je postavljen zahtev za globalnom optmalnošću manpulaconog zadatka, onda se generše globalno optmalno upravljanje koje zahteva angažovanje dosta vremena zbog numerčkh zračunavanja tako da se ono korstt u off-lne aplkacjama. Takođe, prlkom određvanja opšte strategje upravljanja redundantnm robotma javljaju se poteškoće. Na prmer, upravljanje knematčkm redundantnm robotma je usložnjeno to na taktčkom nvou (koordnaconom) koje je posledca postojanja uvećanog broja stepen slobode u odnosu na broj stepen slobode postavljenog zadatka. I pored poteškoća u clju upravljanja redundansom knematčkh redundantnh robota sa potencjalno velkm kvaltetnm prednostma, razvl su se nekolko razlčth prstupa u kojma se redundansa može razmatrat sa razlčth tačaka gledšta. Tako na prmer, redundansa se može razmatrat sa knematčke tačke gledšta u sledećm slučajevma: povećanje manevarskh sposobnost, povećanje radnog prostora, zbegavanje prepreka u radnom prostoru, zbegavanje sngularteta, zbegavanje ogrančenja po unutrašnjm koordnatama zglobova, zbegavanje ogrančenja po unutrašnjm brznama zglobova. Ako se uzme u obzr dnamka redundantnog robotskog manpulatora, tada redundansu možemo posmatrat sa dnamčke tačke gledšta koja tada omogućava: povećanje dnamčkh sposobnost, mnmzacju pogonskh momenata, smanjenje utroška energetskh resursa kao mnmzacju vremena potrebnog za zvođenje željenog kretanja. Pored 115

31 Mehanka robota navedena dva prstupa u razmatranju redundanse, postoje slučajev kada nje moguće jasno zdvojt redundansu, odnosno gde je btan kvaltet upravljanja redundansom. U takvm slučajevma redundansu je opravdano razmatrat sa upravljačke tačke gledšta. Na prmer, to su slučajev gde se traž tačnost odnosno precznost zadatog pokreta, zadac sa stepenom prvenstva, prmena koncepta dstrburanog pozconranja, pojava algortamskh sngularteta td. U daljem tekstu predstavljen su postupc razrešenja redundanse prevashodno sa knematčke tačke gledšta to na nvou generalsanh koordnata, generalsanh brzna ubrzanja prmenom postupka optmzacje, [10], [18], [19]. 6. Rešenje redundanse prmenom optmzacje krterjuma po generalsanm koordnatama gde je 116 Neka je poznat knematčk model koj dat je sledećm zrazom 1 n q ( t) = f ( q, q,..., q ), = 1,,..., m, (6.1) 1 m { } ( ) T q = q, q,..., q, m 6. (6.) Generalno postoje dva načna da se reš redundantn knematčk problem. Prv načn se sastoj u tome da se uvede l = n m dopunskh veza zmeđu 1 generalsanh koordnata ( q, q,..., q ) tj., v 1 n n f ( q, q,..., q ) = 0, v = 1,,..., l = n m. (6.3) Sada je sstem zatvoren moguće je rešt dat sstem algebarskh jednačna, odnosno rešt nverzn knematčk problem za dat robotsk sstem. Tako je sada λ λ 1 n q ( t) = f ( q, q,..., q ), λ = 1,,..., m, (6.4) λ 1 n 0 = f ( q, q,..., q ), λ = m + 1, m +,..., n. (6.5) Jedan od načna rešavanja prethodnog problema jeste lnearzacja u okoln radne tačke tj.: l n f q α ( t) = q, = 1,,..., m α q, (6.6) α = 1 f { q ( t) } = { q} [ JOS ( q) ]{ q}, 1,,..., m, 1,,..., n q α = = α =, (6.7) dferencranjem zraza (6.3) po vremenu:

32 Mehanka robota 7.3 Knetčka energja robotskog sstema Razmatramo robotsk sstem sa n segmenata V ),( V ),...,( V ) koj ma ( 1 n oblk otvorenog knematčkog lanca bez grananja. Dferencjal knetčke energje robotskog segmenta V ), mase m, znos (vd sl. 7.6) ( de k( ) dm vm Slka =, (7.9) gde je brzna unutrašnje tačke M elementarne zapremne dv, kojoj odgovara elementarna masa dm, jednaka ( C -centar nercje segmenta ( V ), ω - ugaona brzna segmenta ( V ) ): v = v = v + ω ρ. (7.93) M C Knetčka energja segmenta znos 1 Ek ( ) = ( vc + ω ρ ) ( vc + ω ρ ) dm. (7.94) ( V ) Poslednj zraz može da se dovede na oblk 1 1 Ek ( ) = vc dm + ( ) + ( ) ( ) vc ω ρdm ω ρ ω ρ dm, ( V ) ( V ) ( V ) koj se, prema (7.5) (7.7) (u zrazu (7.7) : A C sledeć načn: (7.95) ), dalje transformše na 139

33 Mehanka robota 140 E k ( ) 1 = mv C + 1 ( ω ρ ) ( ω ρ ) dm ( V ) (7.96) Kako je d ( ω ρ ) ( ω ρ ) = ( ω ρ ) { ω ρ} = ( ω ) ρ { ω}, (7.97) sled da se (7.96) može napsat u form: 1 1 E m v J ( ω ) { ω } k ( ) = C + C, (7.98) gde je J ] tenzor nercje segmenta V ). Uzmajuć u obzr poznate relacje [ C (vd (4.35) (4.74)): n C = α ( ) α = 1 n = Ω α ( ) qα α = 1 ( v T q α, (4.7) ω zraz (7.98) dobja oblk, (4.63) E m T q T q q q, l n n n n 1 1 k ( ) α ( ) β ( ) α = J α β α C β ( ) β + Ω Ω α = 1 β = 1 α = 1 β = 1 E k = 1 n n a αβ ( ) α = 1β = 1 (7.99) α β q q, (7.100) gde je aαβ ( ) = m ( Tα ( ) ){ Tβ ( ) } + ( Ω ( ) ) α J C { Ω ( )} β. (7.101) Knetčka energja robotskog sstema znos l n E k = E k ( ), (7.10) E k = = 1 1 n n n α = 1β = 1= 1 a αβ ( ) α β q q. (7.103) Očgledno, knetčka energja razmatranog sstema (to je slučaj sa mehančkm sstemma koj su podvrgnut skleronomnm vezama) predstavlja homogenu 1 n kvadratnu formu generalsanh brzna q, q,..., q. Prema (7.9) (7.94) sled

34 Mehanka robota 11. Robotsk sstem u oblku zatvorenog knematčkog lanca lanca sa grananjem 11.1 Zatvoren knematčk lanac Razmotrmo zatvoren knematčk lanac (sl.11.1) sa r kruth segmenata, [9-34]. Relatvno kretanje segmenta V ) u odnosu na segment V ) ( α ( α 1 α određeno je koordnatom q čja je poztvna orjentacja defnsana vektorom e (vd [41]). Izuzetak od ovog pravla u redosledu odnos se na segment V ) α - taj segment vrš relatvno kretanje u odnosu na segment ( V r ). Osa u odnosu na koju segment ( V j ) vrš translatorno (obrtno) kretanje u odnosu na ( V r ) orjentsana je vektorom e r+ 1. Deo mehančkog sstema koj se nalaz povezan u zatvoren knematčk lanac orjentsan je kružnom strelcom (vd sl.11.1) koja označava u odnosu na koje kruto telo posmatrano telo vrš relatvno kretanje: U tom delu mehančkog sstema prenosno kretanje vrš prvo telo na koje se nalaz pr kretanju od posmatranog tela u smeru suprotnom od smera pomenute kružne strelce. ( j Slka Neka se posmatran knematčk lanac nalaz u referentnoj konfguracj. Uočmo na telu ( V r ) tr tačke M1, M M 3 a na telu ( V j ) takođe tr tačke M 1, M M 3, pr čemu važ (oznaka (0) odnos se na referentnu konfguracju) 179

35 Mehanka robota M α (0) = M α (0), α = 1,,3, osm toga (vd sl. 11.) M = O 1(0) r+ 1(0) ( ) M, M l, 1(0) (0) r+ 1 (0) ( ) M ', M ' l, 1(0) (0) r+ 1 (0), Slka. 11. (11.1) gde je l ) osa zgloba koj povezuje V ) V ), pr čemu je očgledno da važ ( r+ 1 ( lr+ 1) ( ) ( l 0 r + 1) ( 0 ) ( j. (11.) Neka, osm toga, važ M M M M 1(0) 3(0) 1(0) (0) ( r. (11.3) Za otvoren lanac (konfguracja u odsustvu zgloba r + 1) uvodmo vektore M1M = p, M1 M = p, (11.4) M M = q, M M = q, pr čemu je p = q = p = q = 1, p = e r +. (11.5) 1 U toj konfguracj bće očgledno spunjen uslov (u prvoj faz razmatranja pretpostavćemo da segment V ) V ) mogu da zauzmu položaj kao da ( j ( r zgloba r + 1 nema, pa se, u drugoj faz, postavljaju uslov kojma praktčno ponovo zatvaramo lanac ov uslov bće skazan jednačnama veza): 180

36 Mehanka robota n n n l ν β β γ f αβ βγ, α α λν α β = 1 γ = 1 β = 1 ν = 1 q a q + Γ q q Q + = 0, α = 1,..., n, (11.100) koje sa (11.85) sačnjavaju potpun skup dferencjalnh algebarskh jednačna za određvanje nepoznath funkcja q α α = q (t) λ = (t). O određvanju ν λ ν generalsanh sla koordnata metrčkog tenzora blo je ranje reč. 11. Knematčk lanac sa grananjem * Da b se proces formranja dferencjalnh jednačna kretanja robotskog sstema automatzovao potrebno je, posle otvaranja zatvorenh delova knematčkog lanca formranja strukture topološkog drveta, da se zvrš numeracja segmenata knematčkog lanca na sledeć načn. Najpre se ustanov, polazeć od segmenta koj vrš pravolnjsku translacju l rotacju u odnosu na nepomčno postolje, nz segmenata koj će formrat stablo topološkog drveta. Posle toga se formraju prve grane topološkog drveta, polazeć od segmenata koj su zglobom vezan za segmente stabla. Zatm se formraju druge grane, polazeć od segmenata vezanh za prve grane stabla. Postupak se nastavlja dalje, u zavsnost od složenost robotskog sstema formranjem trećh grana, td. Numeracja segmenata počnje od segmenta ( V 1) zglobom vezanm za postolje to na takav načn da je ndeks kojm je numersan blo koj segment, V prema vrhu stabla l grane, već od ndeksa segmenta koj na putu od ( ) 1 mu prethod na tom putu. Razmotrmo deo otvorenog knematčkog lanca sa strukturom topološkog drveta (vd sl. 11.3). Kao što je već rečeno, kruto telo koje se nalaz u podnožju stabla vezano je clndrčnm (przmatčnm) zglobom za nepomčno postolje V njemu prpada koordnatn početak O nercjalnog označeno je sa ( ) 1 koordnatnog sstema Oxyz. Ustanovmo drektan put ( l 1) zmedju tela ( V 1) tela ( V q). Taj put prolaz samo jednom kroz tela koja se na njemu nalaze. Kako je rečeno, ndeks tela na tom putu su u rastućem poretku: ( V1 ),( V ),...,( V ),( V ),( V + 1),...,( V ). Dalje, ustanovmo drektan put ( l ) zmedju tela ( ) 1 j p1 p1 q1 V tela ( V q ). Taj put, takođe, prolaz samo jednom kroz tela koja se na njemu nalaze. Indeks tela na tom putu su, takođe, u rastućem poretku: ( V1 ),( V ),...,( Vj ),( Vp ),( V p + 1),...,( Vq ). Ponavljajuć taj postupak dolazmo do drektnog puta ( l s ) zmedju tela ( V 1) tela ( V q s ). Indeks tela na tom putu su u rastućem poretku: ( V1 ),( V ),...,( V ),( V ),( V + 1),...,( V ). Na j ps ps qs * Preuzeto z [35], z dela monografje koj je napsao V. Čovć. 194

37 Mehanka robota telu ( V j ), na kome se vrš grananje knematčkog lanca (to jest, to telo je zglobovma vezano za vše od dva tela) defnsan su vektor položaja ρ = O O, r = 1,,..., s (11.101) jp j p r koj određuju vektor položaja r ρ na sledeć načn ( ρ - vektor položaja koj jj fgurše u zrazu za vektor položaja centra nercje segmenta ( V ) ): ρ jj = ρ jp ako ( V ) ( 1 l1 ), ρ = ρ ako ( V ) ( l ), jj jp ρ = ρ ako ( V ) ( l ), jj jp s s pr čemu je numeracja zvedena tako da važ jj (11.10) j < p1 < q1 < p < q <... < ps < qs. (11.103) Indeks koj fgurše u (11.10) odnos se na telo ( V ) (tj. na put od ( V 1) do ( V ) ). Slka 11.3 Izložen postupak lustrujmo sledećm prmerom. Neka je (RS) dat u oblku zatvorenog knematčkog lanca koj sačnjava skup od segemenata, slka Pretvormo posmatran lanac prekdanjem na mestma a-a,b-b c-c, u lanac sa strukturom topološkog drveta (vd sl. 11.5). Uvedmo matrce 1 { } η( ) R, = 1,,..., (11.104) 195

38 Mehanka robota na sledeć načn. Element matrce η k( ) jednak je jednc ako se na drektnom putu od segmenta ( V ) do segmenta ( V 1) nalaz segement ( V k ). Ukolko se ( V k ) ne nalaz na tom putu pomenut element bće jednak nul. Sve pomenute matrce su šematsk prkazane u tabel Vektor položaja centra nercje 196 Slka 11.4 k OC = r = ηk ( ) ( ρkk + ξkek q ) + ρ k= 1 odakle je α ( ) C prozvoljnog segmenta dat je zrazom. (11.105) k Tα ( ) = ηα ( ) ξα eα ηk( ) ( ρkk + ξkek q ) + ρ + ηα ( ) ξα eα α, k = α T = 0 α >. (11.106) Takodje, u slučaju vektora V, važće τ = ηα ( ) ξα eα τ α, α q (11.107) τ = 0 α >. α q τ, čj su početak kraj vezan za segment ( )

39 Mehanka robota 1. Uvod u teorju upravljanja robotskm sstemma 1.1 Osnovna postavka problema Evdentno je da zadatak upravljanja datm mehančkm objektma (robotskm sstemma) predstavlja zazovan, složen zahtevan zadatak. Pr tome, robotsk sstem predstavlja jedan nelnearn všestruko prenosn nestaconarn dnamčk sstem. Strukturno posmatrano, jedan ovakav sstem se sastoj z upravljačkog sstema, koj je občno dgtalnog tpa, objekta, gde se pod objektom ovde podrazumeva robotsk mehanzam zajedno sa aktuatorma. Upravljanje radom uočenog sstema treba da obezbed da se stvarno ponašanje l podudara l da bude dovoljno blsko zadatom željenom ponašanju tog sstema, [44],[45]. Upravljanje se može zabrat z nekog všečlanog skupa dopustvh ostvarljvh upravljanja (vd 1.). U toku rada na sntez upravljačkog sstema dobjaju se razne varjante sstema koje spunjavaju uslove zadatka. Imajuć u vdu ekonomske, energetske druge uslove zadatka, na osnovu utvrđenh merla, poređenjem varjant potrebno je pronać sstem koj u zadatom smslu nabolje zvršava postavljen zadatak, koj je optmalan u tom smslu. Posebno, teorja optmalnog upravljanja je nastala sntezom mnogh stražvanja koja su se, u svom začetku, razvjale kao zasebne grane u specjalnm tehnčkm dscplnama, pr čemu je centralno mesto u koršćenm metodama zauzmao klasčn varjacon račun, [46]. Zadatak upravljanja robotskm sstemom se može skazat na sledeć načn: neophodno je obezbedt takvu promenu upravljačkh velčna tako da završn uređaj robotskog sstema ostvar zahtevano kretanje u prostoru. Samo projektovanje sstema upravljanja može se pojednostavljeno predstavt u tr faze: upoznavanje sa fzčkm sstemom koj se razmatra, modelranje, specfkacja upravljačkh zahteva (stablnost, regulacja (pozcono upravljanje), praćenje trajektorja, (upravljanje kretanjem), optmzacja). Pr tome, jedna od najvažnjh osobna u upravljačkom sstemu jeste stablnost stog (gde se najčešće prmenjuje tzv. Lyapunov-ska teorja stablnost ulazno zlazna (nput output ) teorja stablnost). Takođe, ptanje određvanja egzaktnog modela predstavlja vrlo značajan zadatak u okvru projektovanja upravljačkog sstema robota. Pr tome, svak sastavn deo robotskog sstema (mehančk sklop, senzor, aktuator, upravljačk sstem (regulator)) može se uspešno modelovat na osnovu kataloškh podataka, u matematčkom oblku l u funkconalnom oblku. Postoje u praks ogrančenja u postupku modelranja to realnm mogućnostma sa jedne strane potrebama sa druge strane. Model se mogu podelt prema vše krterjuma tako da uočavamo: eksterne (na osnovu mesta modela u hjerarhjskom upravljanju) nterne (sama struktura modela - lnearn/nelnearn, staconarn/nestaconarn 00

40 Mehanka robota td.), po načnu realzacje: parametarske (konvenconaln analtčk numerčk model, standarndna lnearna regresja, sgmodalne neuronske mreže) neparametarske (metoda n najblžh suseda, lokalno težnska regresja teratvno upravljanje, td.). Slka 1.1 Ukolko robotsk sstem ma n stepen slobode (na prmer, dat u vdu otvorenog q,q,,,,...,n knematčkog lanca bez grananja), pokazuje se da ( ) = 1 3 određuju jednoznačno stanje robotskog sstema u datom trenutku vremena, tako da robotsk sstem, prema tome, ma n velčna stanja, (sl.1.1). Matematčk model robotskog sstema sa n stepen slobode se može predstavt sledećom vektorskom dferencjalnom jednačnom [ ] [ ] a c β g a( q) q + b( q, q ) q = Q, Q = Q +Q +Q +Q, (1.1) odnosno u kondezovanom oblku [ ( )] ( ) a (,, ) a q q+c q,q = Q q q t, (1.) n n gde su q R, q R - vektor generalsanh koordnata robotskog sstema, odnosno vektor generalsanh brzna robotskog sstema respektvno; g n c n β n a n Q R, Q R, Q R, Q R - generalsane sle od sla teže, od sla u oprugama, sla vskoznog trenja, sstema pogonskh sla respektvno. Sa n n b( q,q ) R označena je matrca čj su element određen sledećm zrazom n β αβ, γ β = 1 b ( q, q ) = Γ q, γ, α = 1,,... n. (1.3) γα Jednačnu (1.1) možemo predstavt na sledeć načn q d q = 1 a. (1.4) dt q a( q) { Q ( q, q, t) c( q, q )} 01

41 Mehanka robota Ako se uvede vektor stanja (, ) 0 T x = q q, vektor upravljanja u = Q ( q,q,t ) onda se odgovarajuća vektorska jednačna stanja datog robotskog sstema može napsat u sledećem oblku (takođe, vd odgovarajuće prmere u zbrc [4]): x = A( x ) + B( x) u, (1.5) gde su q 0 A( x) = 1, B( x) = 1. (1.6) [ a( q) ] c( q, q ) [ a( q) ] Ako se uzme u obzr odgovarajuć knematčk model robotskog sstema tj. ( ) q = f q, (1.7) [ / ] ( ) q = f q q = J q q, (1.8) T T y = y1, y = q, q uvede vektor zlaza [ ] moguće je defnsat tzv. jednačnu zlaza robotskog sstema u sledećem oblku y = C( x), (1.9) C x = f q J q q. Takođe, nekada je potrebno u clju prmene savremenh metoda optmzacje na kretanje posmatranog mehančkog sstema prkazat st u oblku sstema dferencjalnh jednačna prvog reda u tzv. normalnom oblku odnosno odgovarajućh kanonskh jednačna. Name, u delu 8.3 prkazane su dferencjalne jednačne kretanja robotskog sstema u kontravarjanntom oblku gde je matrca ( ) ( ) [ ( )] kao (8.100) n n δ δ αβ α β δ α = 1β = 1 q + Γ q q = Q, α, β, δ = 1,,... n, gde su (8.99) Q δ n γδ = a Q, γ= 1 γ odgovarajuć Krstofelov smbol druge vrste (8.101) Γ δ αβ = n γ= 1 a γδ Γαβ, γ, αβ pr čemu velčne a predstavljaju kontravarjantne koordnate osnovnog metrčkog tenzora. Sstem (8.100) od n dferencjalnh jednačna drugog reda može se zament sa sstemom od n dferencjalnh jednačna prvog reda u normalnom oblku T a

42 1 x = q δ Mehanka robota n n δ δ α β δ, (1.10) x = q = Γ q q + Q,, α, β, δ = 1,,... n αβ α = 1β = 1 gde su za velčne stanja uzete generalsane koordnate x1 = q,, δ = 1,,..., n δ generalsane brzne x = q,, δ = 1,,... n. Ove jednačne su u najvećem broju slučajeva autonomne (desne strane ne zavse eksplctno od vremena) tako da se u tom slučaju početn trenutak t 0 može prozvoljno zabrat. Dferencjalne jednačne kretanja robotskog sstema se mogu dat u kanonskom oblku kao sstem od n tzv. Hamltonovh jednačna H H q =, p Q, 1,,..., n p = q + =, (1.11) gde q (generalsane koordnate), p (generalsan mpuls) predstavljaju Hamltonove fazne promenljve (velčne stanja). U rešavanju pojednh praktčnh zadataka kanonske jednačne su se pokazale podesnje od Langraževh jednačna druge vrste zbog očuvanja kovarjantnog karaktera poslednjh n jednačna u zrazu (1.11). Pr tome su L p =, = 1,,... n q gde je sa L označen Langranžjan sstema δ (1.1) L( q,q ) = E ( q,q ) Π( q). (1.13) k Sa Q, = 1,.., n označene su nekonzervatvne upravljačke sle; Q = Q( u1, u,..., u m ), Π ( q) predstavlja potencjalnu energju robotskog manpulatora od dejstva gravtaconh sla; sa Ek ( q,q ) je označena knetčka energja robotskog sstema. Hamltonan H ( p,q ) koj predstavlja Ležandrovu transformacju Langranžjana L, dat je u form T ( ) H ( q, p)= p q - L q,q. (1.14) Upravljačk sstem robota je uopšteno gledano, hjerarhjsk organzovan, pr čemu svak vš nvo prprema zadatak upravlja radom nžeg nvoa,(sl.1.). Najnž nvo predstavlja aktuatorsk (zvršn) nvo koga čne servoupravljačk aktuator. Naredn nvo hjerarhjskog upravljanja predstavlja taktčk nvo upravljanja gde se razmatraju uočavaju veze zmedju pojednh delova robotskog sstema vrš planranje odnosno raspodela kretanja na podssteme zglobova. Na ovom nvou se rešava tzv. nverzn zadatak knematke tako da se q t često se ovo upravljanje nazva knematčko određuju kretanja zglobova ( ) upravljanje. Sledeć, vš nvo upravljanja jeste strategjsk nvo gde se vrš 03

43 Mehanka robota planranje kretanja robotskog sstema. Pr tome zadac koj se defnšu na ovom nvou su opsne prrode, pr čemu se zadatak rasčlanjuje na elementarne funkconalne pokrete. U zavsnost od organzacje ovog nvoa razlkujemo nadgledano upravljanje (realzacja se odvja pod stalnm nadzorom) nenadgledano upravljanje (bez nadzora tokom zvršenja). Najvš nvo upravljanja je još uvek bez unverzalno prhvaćenog nazva odnos se na prhvatanje zadatka uz sposobnost logčkog rasudjvanja da analzra sam zadatak odred odgovarajuće operacje za zvršenje postavljenog zadatka. Najčešće ovaj nvo sadrž elemente veštačke ntelgencje tj. odgovarajuć ekspertsk sstem, l neuronske mreže, prmena faz logke, genetskh algortama. Tme se omogućava da na ovom nvou sstem upravljanja ma odgovarajuće karakterstke koje su btne na ovom nvou: manpulacja velkm bazama znanja, smbolčko procesranje, sposobnost paralelnog procesranja td. Slka 1. Na aktuatorskom nvou upravljanja uočavaju se dva osnovna tpa upravljanja to upravljanje od tačke do tačke (pont-to-pont control) upravljanje kontnualnm kretanjem (contnuous path control). Prvm tpom upravljanja rešavaju se na prmer, sledeć zadac: tačkasto zavarvanje, prenošenje materjala td. gde se robotskom sstemu zadaju nz razlčth položaja u koje on mora redom da dođe,(sl.1.3), [47],[48]. 04 Slka 1.3 Zadatke farbanja, psanja, šavnog zavarvanja realzujemo prmenom upravljanja kontnualnm kretanjem gde robotsk sstem tj. završn uređaj treba