Κεφάλαιο 5. Γραμμικές Βαθμωτές ΔΕ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 5. Γραμμικές Βαθμωτές ΔΕ"

Transcript

1 Κεφάλαιο 5 Γραμμικές Βαθμωτές ΔΕ Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με τη θεωρία όσο και με τη μεθοδολογία επίλυσης βαθμωτών γραμμικών ΔΕ 2ης και n-στής τάξης. Θα μελετήσουμε, ως επί το πλείστον, γραμμικά προβλήματα. Η θεωρία καθώς και η μεθοδολογία επίλυσης των εξισώσεων δεύτερης τάξης, δύναται στις περισσότερες των περιπτώσεων να γενικευθούν στις εξισώσεις n-στής τάξης. Στην περίπτωση των βαθμωτών ΔΕ 1ης-τάξης, είχαμε δεί πώς επιλύεται το γραμμικό ΠΑΤ και πως η λύση του εν τέλει λαμβάνει κλειστή μορφή. Δυσκολίες είχαμε στην επίλυση τόσο μη γραμμικών όσο και γραμμικών προβλημάτων. Όπως θα δούμε στη συνεχεία οι δυσκολίες στην επίλυση βαθμωτών ΔΕ ανώτερης τάξης αρχίζουν ήδη από τις γραμμικές δεύτερης τάξης, όπου αν κάποια από αυτές επιλύεται, τότε αυτό αποτελεί πράγματι ένα ευχάριστο ατύχημα. Υπάρχει πλειάδα περιωνύμων γραμμικών ΔΕ, αναφέρουμε μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα: (i) Αρμονική ταλάντωση y + ω 2 y = 0 (ii) Εξίσωση Chebyshev (1 x 2 )y xy + a 2 y = 0 (iii) Εξίσωση Legendre (1 x 2 )y 2xy + a(a + 1)y = 0 (iv) Εξίσωση Bessel x 2 y + xy + (x 2 ν 2 )y = 0 (v) Εξίσωση Airy y xy = 0 (vi) Εξίσωση Hermite y 2xy + λy = 0 (vii) Εξίσωση Euler x n y (n) + a n 1 x n 1 y (n 1) + + a 1 xy (1) + a 0 y = 0 Θα ξεκινήσουμε την παρουσίαση της θεωρίας ΔΕ 2ης-τάξης της μορφής P 0 (x)y + P 1 (x)y + P 2 (x)y = F (x). Τέτοιες εξισώσεις καλούνται γραμμικές. Όπως και στις ΔΕ 1ης-τάξης (A) καλούνται ομογενείς αν F 0 ή μη ομογενείς αν F 0. Στο Εδάφιο 5.1 θα αναφερθούμε στην θεωρία των ομογενών γραμμικών ΔΕ και θα την γενικεύσουμε για ΔΕ n-τάξης. Στο Εδάφιο θα ασχοληθούμε με ΔΕ 2ής-τάξης με σταθερούς συντελεστές ay +by + cy = 0, όπου a, b, και c είναι σταθεροί (a 0). Στο Εδάφιο θα μελετήσουμε τη γενική θεωρία ΔΕ n-οστής τάξης με σταθερούς συντελεστές Εδάφιο 5.3 παρουσιάζουμε τη θεωρία των μη ομογενών ΔΕ 2ης-τάξης και τη μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών στο εδάφιο για την επίλυση ΔΕ της μορφής ay + by + 117

2 118 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΩΤΕΣ ΔΕ cy = F (x), όπου a, b, και c είναι σταθεροί και F έχει συγκεκριμένη μορφή που προέρχεται από τις εφαρμογές. Στο εδάφιο 5.4 θα ασχοληθούμε με τον υποβιβασμό τάξης, μια τεχνική που βασίζεται στην ιδέα της μεταβολής των παραμέτρων, και μας επιτρέπει να βρούμε την γενική λύση μιας μη ομογενούς ΔΕ 2ης-τάξης όταν γνωρίζουμε μια μη τετριμμένη λύση της αντίστοιχης ομογενούς ΔΕ. Στο εδάφιο 5.5 θα μελετήσουμε την μέθοδο μεταβολής των παραμέτρων, και μας επιτρέπει να βρούμε την γενική λύση μιας μη ομογενούς ΔΕ 2ης-τάξης όταν γνωρίζοτμε δύο μη τετριμμένες λύσεις της αντίστοιχης ομογενούς ΔΕ και θα επεκτείνουμε την μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών και της μεταβολής των παραμέτρων για γραμμικές ΔΕ n- στής τάξης. Στο εδάφιο 5.6 θα παρουσιάσουμε φυσικές εφαρμογές των ΔΕ 2ης-τάξης από μηχανικές και ηλεκτρικές ταλαντώσεις. 5.1 Ομογενείς Γραμμικές ΔΕ Ομογενείς Γραμμικές ΔΕ 2ης-τάξης Μια ΔΕ 2ης-τάξης καλείται γραμμική, αν δύναται να γραφεί στη μορφή y + p(x)y + q(x)y = f(x). (5.1) Θα λέμε τη συνάρτηση f συνάρτηση εξαναγκασμού, δίοτι στις φυσικές εφαρμογές όπως θα δούμε στο εδάφιο 5.6 σχετίζεται με τη δύναμη που ασκείται σε φυσικά προβλήματα τα οποία μαθηματικά περιγράφονται με ΔΕ. Θα λέμε ότι η ΔΕ (5.1) είναι ομογενής, αν f 0 ή μη ομογενής αν f 0. Συνεπώς επειδή οι ορισμοί είναι παρόμοιοι με αυτούς που παρουσιάστηκαν στο εδάφιο 2.1 για γραμμικές ΔΕ 1ης τάξης y + p(x)y = f(x), (5.2) είναι φυσικό να περιμένουμε ομοιότητες στον τρόπο επίλυσης των (5.1) και (5.2). Όμως, η επίλυση της ΔΕ (5.1) είναι πιο δύσκολο θέμα από την επίλυση της (5.2). Για παράδειγμα, αφού το Θεώρημα μας παρέχει ένα τύπο για την επίλυση της ΔΕ (5.2) στην περίπτωση που f 0 και το Θεώρημα δίνει τον αντίστοιχο τύπο για την μη ομογενή ΔΕ (f 0), δεν υπάρχουν γενικοί τύποι για την επίλυση της ΔΕ (5.1). Θα πρέπει, λοιπόν, να είμαστε χαρούμενοι αν βρούμε εναν αντίστοιχο γενικό τύπο για τις ΔΕ 2ης-τάξης. Στο εδάφιο 2.1 θεωρήσαμε πρώτα την ομογενή ΔΕ y + p(x)y = 0 και εν συνεχεία, με χρήση μιας μη τετριμμένης λύσης της ομογενούς ΔΕ προσδιορίσαμε μια λύση της μη

3 5.1. ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΕ 119 ομογενούς. y + p(x)y = f(x). Στην περίπτωση των ΔΕ 2ης-τάξης η διαδικασία δεν είναι τόσο απλή και χρειάζεται να λύσουμε την ομογενή ΔΕ y + p(x)y + q(x)y = 0 (5.3) με σκοπό να λύσουμε την μη ομογενή (5.1). Το παρόν εδάφιο επικεντρώνεται στην επίλυση της ΔΕ (5.3). Το επόμενο Θεώρημα μας δίνει επαρκείς συνθήκες για την ύπαρξη και μοναδικότητα των λύσεων ΠΑΤ (5.3). Θεώρημα Υποθέτουμε ότι p και q είναι συνεχείς συναρτήσεις σε ανοικτό διάστημα (a, b), έστω x 0 εσωτερικό του (a, b), και k 0, k 1 αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί. Τότε το ΠΑΤ y + p(x)y + q(x)y = 0, y(x 0 ) = k 0, y (x 0 ) = k 1 έχει μοναδική λύση στο (a, b). Λόγω ότι η y 0 είναι μια προφανής λύση του (5.3) θα τη λέμε τετριμμένη λύση. Οποιαδήποτε άλλη λύση καλείται μη τετριμμένη. Υπο τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος 5.1.1, η μόνη λύση του ΠΑΤ y + p(x)y + q(x)y = 0, y(x 0 ) = 0, y (x 0 ) = 0 στο (a, b) είναι η τετριμμένη λύση. Στα επόμενα παράδειγματα, δεν θα πρέπει να επικεντρωθείται στον τρόπο επίλυσης των ΔΕ (αφού θα το συζητήσουμε αναλυτικά στη συνέχεια). Παράδειγμα Εστω ω είναι θετική σταθερά. Οι συντελεστές του y και y στην y + ω 2 y = 0 (5.4) είναι οι σταθερές συναρτήσεις p 0 και q ω 2, που είναι συνεχείς στο (, ). Συνεπώς το Θεώρημα συνεπάγεται ότι κάθε ΠΑΤ για την (5.4) έχει μοναδική λύση στο (, ). (αʹ) Επιβεβαιώστε ότι y 1 = cos ωx και y 2 = sin ωx είναι λύσεις της (5.4) στο (, ). (βʹ) Επιβεβαιώστε ότι αν c 1 και c 2 είναι αυθαίρετες σταθερές τότε y = c 1 cos ωx + c 2 sin ωx είναι λύση της (5.4) στο (, ). (γʹ) Να λυθεί το ΠΑΤ y + ω 2 y = 0, y(0) = 1, y (0) = 3. (5.5) Λύση (α) Αν y 1 = cos ωx, τότε y 1 = ω sin ωx και y 1 = ω 2 cos ωx = ω 2 y 1, οπότε y 1 + ω 2 y 1 = 0. Αν y 2 = sin ωx τότε, y 2 = ω cos ωx και y 2 = ω 2 sin ωx = ω 2 y 2, οπότε y 2 + ω 2 y 2 = 0.

4 120 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΩΤΕΣ ΔΕ (β) Αν τότε και οπότε y = c 1 cos ωx + c 2 sin ωx (5.6) y = ω( c 1 sin ωx + c 2 cos ωx) (5.7) y = ω 2 (c 1 cos ωx + c 2 sin ωx), y + ω 2 y = ω 2 (c 1 cos ωx + c 2 sin ωx) + ω 2 (c 1 cos ωx + c 2 sin ωx) = c 1 ω 2 ( cos ωx + cos ωx) + c 2 ω 2 ( sin ωx + sin ωx) = 0 για όλα x. Συνεπώς, y = c 1 cos ωx + c 2 sin ωx είναι λύση της (5.4) στο (, ). (γ) Για να λύσουμε την (5.5), πρέπει να επιλέξουμε c 1 και c 2 στην (5.6), έτσι ώστε y(0) = 1 και y (0) = 3. Θέτοντας x = 0 στην (5.6) και (5.7) έχουμε ότι c 1 = 1 και c 2 = 3/ω. Οπότε y = cos ωx + 3 sin ωx ω είναι μοναδική λύση της (5.5) στο (, ). Το Θεώρημα συνεπάγεται ότι αν k 0 και k 1 είναι αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί, τότε το ΠΑΤ P 0 (x)y + P 1 (x)y + P 2 (x)y = 0, y(x 0 ) = k 0, y (x 0 ) = k 1 (5.8) έχει μοναδική λύση στο (a, b) το οποίο περιέχει x 0, έτσι ώστε οι P 0, P 1, και P 2 είναι συνεχείς και P 0 δεν μηδενίζεται στο (a, b). Μπορούμε να γράψουμε τη ΔΕ (5.8) ως y + P 1(x) P 0 (x) y + P 2(x) P 0 (x) y = 0 και εφαρμόζουμε το Θεώρημα με p = P 1 /P 0 και q = P 2 /P 0. Αφήνουμε στον αναγνώστη την επίλυση του παρακάτω παραδείγματος. Παράδειγμα Η ΔΕ x 2 y + xy 4y = 0 (5.9) έχει τη μορφή (5.8), με P 0 (x) = x 2, P 1 (x) = x, και P 2 (x) = 4, όλες συνεχείς συναρτήσεις στο (, ). Όμως P (0) = 0 πρέπει να θεωρήσουμε λύσεις της (5.9) στο (, 0) και (0, ). Επίσης P 0 δεν έχει ρίζες σε αυτά τα διαστήματα, το Θεώρημα συνεπάγεται ότι το ΠΑΤ x 2 y + xy 4y = 0, y(x 0 ) = k 0, y (x 0 ) = k 1 έχει μοναδική λύση στο (0, ) αν x 0 > 0, ή στο (, 0) αν x 0 < 0. (αʹ) Δείξτε ότι y 1 = x 2 είναι λύση της (5.9) στο (, ) και y 2 = 1/x 2 είναι λύση της (5.9) στο (, 0) και (0, ).

5 5.1. ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΕ 121 (βʹ) Δείξτε ότι αν c 1 και c 2 είναι οποιαδήποτε σταθερές y = c 1 x 2 + c 2 /x 2 είναι λύση της (5.9) στο (, 0) και (0, ). (γʹ) Λύστε το ΠΑΤ (δʹ) Λύστε το ΠΑΤ x 2 y + xy 4y = 0, y(1) = 2, y (1) = 0. (5.10) x 2 y + xy 4y = 0, y( 1) = 2, y ( 1) = 0. (5.11) Η Γενική Λύση της Ομογενούς ΔΕ 2ης τάξης Αν y 1 και y 2 ορίζονται στο διάστημα (a, b) και c 1, c 2 είναι αυθαίρετες σταθερές τότε y = c 1 y 1 + c 2 y 2 είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των y 1 και y 2. Για παράδειγμα, y = 2 cos x+7 sin x είναι γραμμικός συνδυασμός των y 1 = cos x και y 2 = sin x, με c 1 = 2 και c 2 = 7. Με το επόμενο θεώρημα διατυπώνουμε τα αποτελέσματα των Παραδειγμάτων 5.1.1, και Θεώρημα Αν y 1 και y 2 είναι λύσεις της ομογενούς ΔΕ στο (a, b), τότε κάθε γραμμικός συνδυασμός των y 1 και y 2 είναι, επίσης, λύση της ΔΕ (5.12) στο (a, b). y + p(x)y + q(x)y = 0 (5.12) y = c 1 y 1 + c 2 y 2 (5.13) Απόδειξη τότε Οπότε Αν y = c 1 y 1 + c 2 y 2 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 και y = c 1 y 1 + c 2 y 2. y + p(x)y + q(x)y = (c 1 y 1 + c 2 y 2) + p(x)(c 1 y 1 + c 2 y 2) + q(x)(c 1 y 1 + c 2 y 2 ) = c 1 (y 1 + p(x)y 1 + q(x)y 1 ) + c 2 (y 2 + p(x)y 2 + q(x)y 2 ) = c c 2 0 = 0, αφού y 1 και y 2 είναι λύσεις της (5.12). Θα λέμε ότι το {y 1, y 2 } είναι ένα θεμελιώδες σύνολο λύσεων της (5.12) στο (a, b) αν κάθε λύση της (5.12) στο (a, b) δύναται να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των y 1 και y 2 όπως

6 122 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΩΤΕΣ ΔΕ στην (5.13). Σε αυτή την περίπτωση θα λέμε ότι η (5.13) είναι γενική λύση της (5.12) στο (a, b). Γραμμική Ανεξαρτησία Πρέπει να καθορίσουμε τις ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε το σύνολο {y 1, y 2 } λύσεων της (5.12) να είναι ένα θεμελιώδες σύνολο. Θα λέμε ότι δύο λύσεις y 1 και y 2 ορισμένες στο διάστημα (a, b) είναι γραμμικά ανεξάρτητες στο (a, b), αν η καθεμία δεν είναι πολλαπλάσιο της άλλης. Θεώρημα Υποθέτουμε ότι p και q είναι συνεχείς στο (a, b). Τότε το σύνολο {y 1, y 2 } λύσεων της y + p(x)y + q(x)y = 0 (5.14) στο (a, b) είναι ένα θεμελιώδες σύνολο, αν και μόνο αν {y 1, y 2 } είναι γραμμικά ανεξάρτητες στο (a, b). Ας εφαρμόσουμε το Θεώρημα στις λύσεις των Παραδειγμάτων 5.1.1, and Παράδειγμα (αʹ) Αφού cos ωx/ sin ωx = cot ωx δεν είναι σταθερά από το Θεώρημα έχουμε ότι y = c 1 cos ωx + c 2 sin ωx είναι η γενική λύση της ΔΕ y + ω 2 y = 0 στο (, ). (βʹ) Αφού x 2 /x 2 = x 4 δεν είναι σταθερά, από το Θεώρημα έχουμε ότι y = c 1 x 2 + c 2 /x 2 είναι η γενική λύση της x 2 y + xy 4y = 0 στο (, 0) και (0, ). Η ορίζουσα Wronski και ο τύπος του Abel Θα αποδείξουμε το θεώρημα 5.1.3, αλλά πριν ας δούμε τι πρέπει να ικανοποιεί το {y 1, y 2 } ώστε να είναι θεμελιώδες σύνολο λύσεων της (5.14) στο (a, b). Έστω x 0 είναι ένα αυθαίρετο εσωτερικό σημείο του (a, b), και υποθέτουμε ότι y είναι μια αυθαίρετη λύση της (5.14) στο (a, b). Τότε, η y είναι μοναδική λύση του ΠΑΤ y + p(x)y + q(x)y = 0, y(x 0 ) = k 0, y (x 0 ) = k 1 ; (5.15) όπου, k 0 και k 1 προκύπτουν από τις y και y για x 0. Επιπλέον, k 0 και k 1 μπορεί να είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί από το Θεώρημα 5.1.1, δηλ. η (5.15) έχει μια λύση που δεν εξαρτάται από την επιλογή των k 0 και k 1. Συνεπώς {y 1, y 2 } είναι ένα θεμελιώδες σύνολο λύσεων της (5.14) στο (a, b) αν και μόνο αν είναι δυνατόν να γράψουμε τη λύση του ΠΑΤ (5.15) ως y = c 1 y 1 + c 2 y 2, το οποίο είναι ισοδύναμο να απαιτήσουμε το σύστημα c 1 y 1 (x 0 ) + c 2 y 2 (x 0 ) = k 0 c 1 y 1(x 0 ) + c 2 y 2(x 0 ) = k 1 (5.16) έχει μια λύση (c 1, c 2 ) για κάθε επιλογή (k 0, k 1 ). Επιλύοντας το σύστημα (5.16), έχουμε

7 5.1. ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΕ 123 c 1 = c 2 = y 2(x 0 )k 0 y 2 (x 0 )k 1 y 1 (x 0 )y 2(x 0 ) y 1(x 0 )y 2 (x 0 ) y 1 (x 0 )k 1 y 1(x 0 )k 0 y 1 (x 0 )y 2(x 0 ) y 1(x 0 )y 2 (x 0 ), (5.17) ανεξάρτητα από την επιλογή των k 0 και k 1, και επιπλέον οι συναρτήσεις y 1 και y 2 πρέπει να ικανοποιούν την y 1 (x 0 )y 2(x 0 ) y 1(x 0 )y 2 (x 0 ) 0. (5.18) Θεώρημα Υποθέτουμε p και q είναι συνεχείς στο (a, b),, y 1 και y 2 είναι λύσεις της ΔΕ στο (a, b), και ορίζουμε Έστω x 0 ένα σημείο εσωτερικό στο (a, b). Τότε y + p(x)y + q(x)y = 0 (5.19) W (y 1, y 2 ) = y 1 y 2 y 1y 2. (5.20) W (x) = W (x 0 )e x x 0 p(t) dt, a < x < b. (5.21) η W δεν έχει ρίζες στο (a, b) ή W 0 στο (a, b). Απόδειξη Διαφορίζοντας την (5.20), έχουμε Οι y 1 και y 2 ικανοποιούν την (5.19), Αντικαθιστώντας στην (5.22) έχουμε W = y 1y 2 + y 1 y 2 y 1y 2 y 1y 2 = y 1 y 2 y 1y 2. (5.22) y 1 = py 1 qy 1 and y 2 = py 2 qy 2. W = y 1 ( py 2 + qy 2 ) + y2 ( py 1 + qy 1 ) = p(y 1 y 2 y 2 y 1) q(y 1 y 2 y 2 y 1 ) = p(y 1 y 2 y 2 y 1) = pw. Οπότε W + p(x)w = 0; δηλ, W είναι λύση του ΠΑΤ y + p(x)y = 0, y(x 0 ) = W (x 0 ). Αφήνουμε ως άσκηση στον αναγνώστη να επιβεβαιώσει τη σχέση (5.21). Αν W (x 0 ) 0, η (5.21) συνεπάγεται ότι W δεν έχει ρίζες στο (a, b). Αν W (x 0 ) = 0, η (5.21) δίνει ότι W (x) = 0 για όλα τα x στο (a, b). Η συνάρτηση W (y 1, y 2 ) που ορίστηκε στη (5.20) καλείται ορίζουσα Wronski των {y 1, y 2 }. Η σχέση (5.21) καλείται τύπος του Abel.

8 124 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΩΤΕΣ ΔΕ Η ορίζουσα Wronski των {y 1, y 2 } μπορεί συνήθως να γραφτεί y 1 y 2 W (y 1, y 2 ) = y 1 y 2. Οι σχέσεις (5.17) για c 1 και c 2 μπορούν να γραφούν c 1 = 1 k 0 y 2 (x 0 ) και c W (x 0 ) k 1 y 2(x 2 = 1 0 ) W (x 0 ) y 1 (x 0 ) k 0 y 1(x 0 ) k 1. Παράδειγμα Επιβεβαιώστε τον τύπο του Abel για τις ακόλουθες ΔΕ με τις αντίστοιχες λύσεις από τα Παραδείγματα 5.1.1, and 5.1.2: (αʹ) y + ω 2 y = 0; y 1 = cos ωx, y 2 = sin ωx (βʹ) x 2 y + xy 4y = 0; y 1 = x 2, y 2 = 1/x 2 Λύση (α) Αφού p 0, μπορούμε να επιβεβαιώσουμε τον τύπο του Abel δείχνοντας ότι η W είναι σταθερή, πράγματι cos ωx sin ωx W (cos x, sin x) = W (x) = ω sin ωx ω cos ωx = cos ωx(ω cos ωx) ( ω sin ωx) sin ωx = ω(cos 2 ωx + sin 2 ωx) = ω για όλα x. (β) Υπολογίζοντας την ορίζουσα Wronski των y 1 = x 2 και y 2 = 1/x 2 έχουμε W (x 2, 1/x 2 x 2 1/x 2 ) = ( 2x 2/x 3 = 2x ) ( ) 1 x2 2x = 4 3 x 2 x. (5.23) Για να επιβεβαιώσουμε τον τύπο του Abel γράφουμε τη ΔΕ y + 1 x y 4 x 2 y = 0 όπου p(x) = 1/x. Αν x 0 και x είναι στο (, 0) ή στο (0, ) τότε x x ( ) dt x p(t) dt = x 0 t = ln, x 0 x 0

9 5.1. ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΕ 125 ο τύπος του Abel γίνεται W (x) = W (x 0 )e ln(x/x0) = W (x 0 ) x 0 ( ) x 4 (x0 ) = από (5.23) x = 4 x, το οποίο ταυτίζεται με (5.23). Το επόμενο Θεώρημα συμπληρώνει την απόδειξη του Θεωρήματος x 0 Θεώρημα Υποθέτουμε ότι p και q είναι συνεχείς συναρτήσεις στο ανοικτό διάστημα (a, b), έστω y 1 και y 2 είναι λύσεις της ΔΕ y + p(x)y + q(x)y = 0 (5.24) στο (a, b), και W = y 1 y 2 y 1y 2. Τότε y 1 και y 2 είναι γραμμικά ανεξάρτητες στο (a, b), αν και μόνο αν η W δεν έχει ρίζες στο (a, b). Απόδειξη Πρώτα αποδεικνυούμε ότι W (x 0 ) = 0 για κάποιο x 0 στο (a, b), τότε y 1 και y 2 είναι γραμμικά εξαρτημένες λύσεις στο (a, b). Έτσω I είναι ένα υποδιάστημα του (a, b) στο οποίο η y 1 δεν έχει ρίζες. (Εαν δεν υπάρχει τέτοιο υποδιάστημα, y 1 0 στο (a, b), οπότε y 1 και y 2 είναι γραμμικά ανεξάρτητες και έχουμε τελειώσει την απόδειξη.) Τότε y 2 /y 1 ορίζεται στο I, και ( y2 ) = y 1y 2 y 1y 2 y 1 y1 2 = W. (5.25) y1 2 Ομως, αν W (x 0 ) = 0, από το Θεώρημα έχουμε ότι W 0 στο (a, b). Οπότε η (5.25) δίνει (y 2 /y 1 ) 0, οπότε η y 2 /y 1 = c (σταθερή) στο I. Αυτό αποδεικνύει ότι y 2 (x) = cy 1 (x) για όλα x στο I. Όμως θέλουμε να δείξουμε ότι y 2 = cy 1 (x) για όλα x στο (a, b). Έστω Y = y 2 cy 1.Τότε Y είναι μια λύση της (5.24) στο (a, b) τέτοια ώστε Y 0 στο I, και συνεπώς Y 0 στο I. Συνακόλουθα, αν x 0 έχει επιλεγεί αυθαίρετα στο I, τότε Y είναι μια λύση του ΠΑΤ y + p(x)y + q(x)y = 0, y(x 0 ) = 0, y (x 0 ) = 0, η οποία συνεπάγεται ότι Y 0 στο (a, b), ακολουθώντας το Θεώρημα Έτσι, y 2 cy 1 0 στο (a, b), η οποία συνεπάγεται ότι y 1 και y 2 δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητα στο (a, b). Τώρα υποθέτουμε ότι η W δεν έχει ρίζες στο (a, b). Τότε y 1 δεν μπορεί να είναι ταυτοτικά μηδέν (a, b) και το I είναι υποδιάστημα του (a, b) στο y 1 δεν έχει ρίζες. Από την (5.25) έχουμε ότι y 2 /y 1 δεν είναι σταθερή στο I, y 2 δεν ειναι πολλαπλάσια της y 1 στο (a, b).

10 126 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΩΤΕΣ ΔΕ Παρομοίως, αποδεικνύουμε ότι η y 1 δεν είναι πολλαπλάσια της y 2 στο (a, b), διότι ( y1 ) = y 1y 2 y 1 y 2 y 2 y 2 2 = W y 2 2 σε κάθε υποδιάστημα του (a, b) όπου η y 2 δεν έχει ρίζες. Μπορούμε να συμπληρώσουμε την απόδειξη του Θεωρήματος Από το Θεώρημα 5.1.5, δύο λύσεις y 1 και y 2 της (5.24) είναι γραμμικά ανεξάρτητες στο (a, b) αν και μόνο αν η W δεν έχει ρίζες στο (a, b). Από το Θεώρημα και τα συνακόλουθα σχόλια, το σύνολο {y 1, y 2 } είναι ένα θεμελείωδες σύνολο της (5.24) αν και μόνο αν η W δεν έχει ρίζες στο (a, b). Συνεπώς {y 1, y 2 } είναι θεμελειώδες σύνολο λύσεων για την (5.24) στο (a, b) αν και μόνο αν {y 1, y 2 } είναι γραμμικά ανεξάρτητα στο (a, b). Το επόμενο θεώρημα συγκεντρώνει τις βασικές έννοιες που αναπτύξαμε στο εδάφιο. Θεώρημα Υποθέτουμε ότι p και q είναι συνεχείς σε ανοικτό διάστημα (a, b) και y 1, y 2 είναι λύσεις της ΔΕ y + p(x)y + q(x)y = 0 (5.26) στο (a, b). Οι επόμενες προτάσεις είναι ισοδύναμες; (αʹ) Η γενική λύση της (5.26) στο (a, b) δίνεται από y = c 1 y 1 + c 2 y 2. (βʹ) {y 1, y 2 } αποτελεί θεμελιώδες σύνολο λύσεων για τη ΔΕ (5.26) στο (a, b). (γʹ) {y 1, y 2 } είναι γραμμικά ανεξάρτητες στο (a, b). (δʹ) Η ορίζουσα Wronskin του {y 1, y 2 } είναι μη μηδενική σε εσωτερικό σημείο του (a, b). (εʹ) Η ορίζουσα Wronskin του {y 1, y 2 } είναι μη μηδενική σε όλα τα σημεία του (a, b). Εφαρμόζοντας το θεώρημα για τη ΔΕ P 0 (x)y + P 1 (x)y + P 2 (x)y = 0 στο διάστημα (a, b) όπου P 0, P 1, και P 2 είναι συνεχείς και P 0 δεν έχει ρίζες. Αφήνουμε στον αναγνώστη την απόδειξη του επόμενου θεωρήματος. Θεώρημα Υποθέτουμε c (a, b) και α, β R μη μηδενικοί, και ισχύον οι υποθέσεις του Θεωρήματος 5.1.6, επιπλέον υπθέτουμε ότι y 1 και y 2 είναι λύσεις της ΔΕ (5.26) έτσι ώστε αy 1 (c) + βy 1(c) = 0 and αy 2 (c) + βy 2(c) = 0. (5.27) Τότε {y 1, y 2 } δεν είναι γραμμικώς ανεξάρτητο στο (a, b). (Συχνά όταν γνωρίζουμε μια μη τετριμμένη λύση της ΔΕ y + p(x)y + q(x)y = 0, με χρήση του τύπου Abel μπορούμε να βρούμε μια δεύτερη γραμμικά ανεξάρτητη.) Υποθέτουμε ότι p και q είναι συνεχείς συναρτήσεις και y 1 είναι μια λύση της ΔΕ y + p(x)y + q(x)y = 0 (5.28) y 1 0 στο (a, b). Έστω P (x) = p(x) dx είναι οποιαδήποτε παράγουσα της p στο (a, b). Αποδεικνύεται ότι

11 5.1. ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΕ 127 (αʹ) αν K είναι μια αυθαίρετη μη μηδενική σταθερά και η y 2 ικανοποιεί την σχέση y 1 y 2 y 1y 2 = Ke P (x) (5.29) στο (a, b), τότε η y 2 ικανοποιεί επίσης τη ΔΕ (5.28) στο (a, b), και {y 1, y 2 } αποτελεί θεμελιώδες σύνολο λύσεων της (5.28) στο (a, b). (x) (βʹ) Από το (α) προκύπτει ότι αν y 2 = uy 1 όπου u e P = K y1(x), τότε {y 1, y 2 2 } αποτελεί θεμελιώδες σύνολο λύσεων της (5.28) στο (a, b). Επίσης όταν μας δίνεται το θεμελιώδες σύνολο λύσεων {y 1, y 2 } μιας ΔΕ μπορούμε να προσδιορίσουμε τη ΔΕ χρησιμοποιώντας την ορίζουσα Wronski. Πιο συγκεκριμένα υ- ποθέτουμε ότι y 1 και y 2 είναι διπλά διαφορίσιμες συναρτήσεις στο (a, b) και η ορίζουσα Wronski W των {y 1, y 2 } δεν έχει ρίζες στο (a, b) τότε η εξίσωση: 1 W είναι ισοδύναμη με την (5.28) στο (a, b). y y 1 y 2 y y 1 y 2 y y 1 y 2 = 0 (5.30) Ομογενείς Γραμμικές ΔΕ n-οστής τάξης Μια ΔΕ n-οστής τάξης καλείται γραμμική αν μπορεί να γραφεί στην μορφή y (n) + p n 1 (x)y (n 1) + + p 0 (x)y = f(x). (5.31) Θα επεκτείνουμε τη θεωρία των ΔΕ 2ης τάξης για ΔΕ ανώτερης τάξης χωρίς αποδείξεις. Μπορούμε να γράψουμε τη ΔΕ ως P n (x)y (n) + P n 1 (x)y (n 1) + + P 0 (x)y = F (x), (5.32) η οποία μπορεί να γραφεί στη μορφή (5.31) σε κάθε διάστημα όπου P n δεν έχει ρίζες, με p n = P n 1 /P n,, p 0 = P 0 /P n και f = F /P n. Για διευκόλυνση θα γράφουμε το αριστερό μέρος της (5.32) ως Ly, δηλ. Ly = P n y (n) + P n 1 y (n 1) + + P 0 y. Θα λέμε ότι η ΔΕ είναι Ly = F είναι κανονική στο (a, b) αν P 0, P 1,, P n και F είναι συνεχείς στο (a, b) και P n δεν μηδενίζεται σε εσωτερικό σημείο του (a, b), τότε η Ly = F μπορεί να γραφεί στη μορφή (5.31) με p 1,, p n και f συνεχείς στο (a, b). Το επόμενο Θεώρημα αποτελεί γενίκευση του Θεωρήματος Θεώρημα Υποθέτουμε ότι Ly = F είναι κανονική στο (a, b), και x 0 εσωτερικό σημείο

12 128 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΩΤΕΣ ΔΕ στο (a, b), και k 0, k 1,, k n 1 αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί σταθεροί. Τότε το ΠΑΤ Ly = F, y(x 0 ) = k 0, y (x 0 ) = k 1,..., y (n 1) (x 0 ) = k n 1 έχει μοναδική λύση στο (a, b). Ομογενείς ΔΕ Η ΔΕ. (5.32) θα λέγεται ομογενής, αν F 0 και μη ομογενής σε διαφορετική περίπτωση. Κάθε μη μηδενική λύση της ΔΕ θα λέγεται μη τετριμμένη λύση. Αν y 1, y 2,, y n ορίζονται στο (a, b) και c 1, c 2,, c n είναι σταθερές τότε y = c 1 y 1 + c 2 y c n y n (5.33) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των {y 1, y 2..., y n }. Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι αν y 1, y 2,, y n είναι λύσεις της ΔΕ Ly = 0στο (a, b), τότε οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός είναι επίσης λύση {y 1, y 2,..., y n }. (Βλέπε το Θεώρημα ) Θα λέμε ότι {y 1, y 2,..., y n } είναι ένα θεμελιώδες σύνολο λύσεων της Ly = 0 στο (a, b) αν κάθε λύση της Ly = 0 στο (a, b) μπορεί να γραφεί σαν γραμμικός συνδυασμός των {y 1, y 2,..., y n }, όπως στην (5.33). Σε αυτή την περίπτωση θα λέμε ότι η (5.33) είναι γενική λύση της Ly = 0 στο (a, b). Θα λέμε ότι το {y 1, y 2,..., y n } είναι γραμμικά ανεξάρτητο στο (a, b) αν οι μόνες σταθερές c 1, c 2,, c n τέτοιες ώστε c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x) = 0, a < x < b, (5.34) είναι c 1 = c 2 = = c n = 0. Αν η (5.34) ισχύει για κάποιο σύνολο σταθερών c 1, c 2,, c n οι οποίες δεν είναι όλες μηδέν, τότε το {y 1, y 2,..., y n } καλείται γραμμικά εξαρτημένο στο (a, b) Το επόμενο Θεώρημα είναι ανάλογο του Θεωρήματος Θεώρημα Αν η ΔΕ Ly = 0 είναι κανονική στο (a, b), τότε το σύνολο {y 1, y 2,..., y n } των n-λύσεων της Ly = 0 στο (a, b) είναι ένα θεμελιώδες σύνολο, αν και μόνο αν είναι γραμμικά ανεξάρτητο στο (a, b). Παράδειγμα Η ΔΕ x 3 y x 2 y 2xy + 6y = 0 (5.35) είναι κανονική και δέχεται λύσεις τις y 1 = x 2, y 2 = x 3, και y 3 = 1/x στο (, 0) και (0, ). Εύκολα αποδεικνύεται (αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη) ότι το σύνολο {y 1, y 2, y 3 } είναι γραμμικά ανεξάρτητο στο (, 0) και (0, ) και μπορούμε να γράψουμε τη γενική λύση της (5.35) στο (, 0) και (0, ) στη μορφή (5.33). Ορίζουσα Wronski

13 5.1. ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΕ 129 Υποθέτουμε ότι n λύσεις {y 1, y 2,..., y n } μιας nt-τάξης ΔΕ Ly = 0 είναι γραμμικά ανεξάρτητες στο (a, b) στο οποίο η ΔΕ είναι κανονική. Αν c 1, c 2,, c n είναι σταθερές τέτοιες ώστε c 1 y 1 + c 2 y c n y n = 0, a < x < b, παραγωγίζοντας την προηγούμενη σχέση n 1-φορές οδηγούμαστε σε ένα n nσύστημα εξισώσεων c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x)+ +c n y n (x) = 0 c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x)+ +c n y n(x) = 0. c 1 y (n 1) 1 (x) + c 2 y (n 1) 2 (x)+ +c n y n (n 1) (x) = 0 (5.36) για τις c 1, c 2,, c n. Για σταθερό x, η ορίζουσα του συστήματος είναι W (x) = y 1 (x) y 2 (x) y n (x) y 1(x) y 2(x) y n(x) y (n 1) 1 (x) y (n 1) 2 (x) y n (n 1) η οποία λέγεται ορίζουσα Wronski των {y 1, y 2,..., y n }. Αν W (x) 0 για κάποιο x στο (a, b) τότε το σύστημα (5.36) έχει την τετριμμένη λύση c 1 = c 2 = = c n = 0, και το Θεώρημα συνεπάγεται ότι (x). y = c 1 y 1 + c 2 y c n y n είναι η γενική λύση της ΔΕ Ly = 0 στο (a, b). Το επόμενο Θεώρημα αποτελεί γενίκευση του Θεωρήματος Θεώρημα Υποθέτουμε ότι η n-οστής τάξης ομογενής ΔΕ P n (x)y (n) + P n 1 (x)y n P 0 (x)y = 0 (5.37) είναι κανονική στο (a, b), έστω y 1, y 2,, y n είναι λύσεις της (5.37) στο (a, b), και x 0 (a, b). Τότε η ορίζουσα Wronski των {y 1, y 2,..., y n } δίνεται από { x } P n 1(t) W (x) = W (x 0 ) exp x 0 P 0 (t) dt, a < x < b. (5.38) Συνεπώς, είτε η W δεν έχει ρίζες στο (a, b) ή W 0 στο (a, b). Ο τύπος (5.38) είναι γνωστός και ως τύπος Abel. Το επόμενο θεώρημα είναι ανάλογο του Θεωρήματος

14 130 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΩΤΕΣ ΔΕ Θεώρημα Θεωρούμε την κανονική ΔΕ Ly = 0 στο (a, b) και y 1, y 2,, y n είναι n λύσεις της Ly = 0 στο (a, b). Οι επόμενες προτάσεις είναι ισοδύναμες: (αʹ) Η γενική λύση της Ly = 0 στο (a, b) δίνεται από y = c 1 y 1 + c 2 y c n y n. (βʹ) {y 1, y 2,..., y n } αποτελεί θεμελιώδες σύνολο λύσεων της ΔΕ Ly = 0 στο (a, b). (γʹ) {y 1, y 2,..., y n } είναι γραμμικά ανεξάρτητα στο (a, b). (δʹ) Η ορίζουσα Wronski των {y 1, y 2,..., y n } είναι μη μηδενική σε κάποιο εσωτερικό σημείο του (a, b). (εʹ) Η ορίζουσα Wronski των {y 1, y 2,..., y n } είναι μη μηδενική σε όλα τα σημεία του (a, b). Παράδειγμα Στο Παράδειγμα είδαμε ότι οι λύσεις y 1 = x 2, y 2 = x 3, and y 3 = 1/x της x 3 y x 2 y 2xy + 6y = 0 είναι γραμμικά ανεξάρτητες στο (, 0) και (0, ). Το επιβεβαιώνουμε αυτό υπολογίζοντας την ορίζουσα Wronski των {y 1, y 2, y 3 }. Λύση Πράγματι, αν x 0, τότε x 2 x 3 1 x W (x) = 2x 3x 2 1 x x x 3 Συνεπώς, W (x) 0 στο (, 0) και (0, ). = 12x 5.1 Ασκήσεις προς επίλυση 1. (αʹ) Δείξτε ότι y 1 = 1/(x 1) και y 2 = 1/(x + 1) είναι λύσεις της ΔΕ (x 2 1)y + 4xy + 2y = 0 (A) στο (, 1), ( 1, 1), και (1, ). Ποια είνα η γενική λύση της (A) σε καθένα από τα υποδιαστήματα; (βʹ) Να λυθεί το ΠΑΤ (x 2 1)y + 4xy + 2y = 0, y(0) = 5, y (0) = 1. Σε ποιό διάστημα ισχύει η λύση; Σεχδιάστε τη λύση. (γʹ) Επιβεβαιώστε τον τύπο του Abel για y 1 και y 2, με x 0 = 0.

15 5.1. ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΕ Υπολογίστε την ορίζουσα Wronski για καθένα από τα παρακάτω σύνολα συναρτήσεων: (a) {1, e x } (b) {e x, e x sin x} (c) {x + 1, x 2 + 2} (d) {x 1/2, x 1/3 } (e) { sin x x, cos x x } (f) {x ln x, x2 ln x } (g) {e x cos x, e x sin x} 3. Υπολογίστε την ορίζουσα Wronski για το σύνολο λύσεων {y 1, y 2 } των παρακάτω ΔΕ (αʹ) y + 3(x 2 + 1)y 2y = 0, με W (π) = 0. (βʹ) (1 x 2 )y 2xy + α(α + 1)y = 0, με W (0) = 1. ( Εξίσωση Legendre.) (γʹ) x 2 y + xy + (x 2 ν 2 )y = 0, με W (1) = 1. ( Εξίσωση Bessel.) Στις Ασκήσεις 4 17 βρείτε μια δεύτερη γραμμικά ανεξάρτητη λύση y 2 της y y 2y 3y = 0; y 1 = e 3x 5. y 6y + 9y = 0; y 1 = e 3x 6. y 2ay + a 2 y = 0 (a = μη μηδενική σταθερά); y 1 = e ax 7. x 2 y + xy y = 0; y 1 = x 8. x 2 y xy + y = 0; y 1 = x 9. x 2 y (2a 1)xy + a 2 y = 0 (a = μη μηδενική σταθερά; x > 0; y 1 = x a 10. 4x 2 y 4xy + (3 16x 2 )y = 0; y 1 = x 1/2 e 2x 11. (x 1)y xy + y = 0; y 1 = e x 12. x 2 y 2xy + (x 2 + 2)y = 0; y 1 = x cos x 13. 4x 2 (sin x)y 4x(x cos x + sin x)y + (2x cos x + 3 sin x)y = 0; y 1 = x 1/2 14. (3x 1)y (3x + 2)y (6x 8)y = 0; y 1 = e 2x 15. (x 2 4)y + 4xy + 2y = 0; y 1 = 1 x (2x + 1)xy 2(2x 2 1)y 4(x + 1)y = 0; y 1 = 1 x 17. (x 2 2x)y + (2 x 2 )y + (2x 2)y = 0; y 1 = e x 18. Να προσδιορίσετε την ομογενή γραμμική ΔΕ για την οποία οι παρακάτω συναρτήσεις αποτελούν ένα θεμελιώδες σύνολο λύσεων σε κάποιο διάστημα. (a) e x cos 2x, e x sin 2x (b) x, e 2x (c) x, x ln x (d) cos(ln x), sin(ln x) (e) cosh x, sinh x (f) x 2 1, x (αʹ) Υπολογίστε την ορίζουσα Wronski W των {e x, xe x, x 2 e x }. Βρείτε την τιμή W (0).

16 132 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΩΤΕΣ ΔΕ (βʹ) Επιβεβαιώστε ότι οι y 1, y 2, και y 3 ικανοποιούν τη ΔΕ y 3y + 3y y = 0. (γʹ) Με χρήση της W (0) από (α) και τον τύπο του Abel να προσδιορίσετε την W (x). (δʹ) Ποια είναι η γενική λύση της ΔΕ του (β). 20. Υπολογίστε την ορίζουσα Wronski για τα παρακάτω σύνολα συναρτήσεων: (a) {1, e x, e x } (b) {e x, e x sin x, e x cos x} (c) {2, x + 1, x 2 + 2} (d) x, x ln x, 1/x} (e) {1, x, x2 2!, x3 3!,, xn n! } (f) {ex, e x, x} 21. Να προσδιορίσετε την ομογενή γραμμική ΔΕ για την οποία οι παρακάτω συναρτήσεις αποτελούν ένα θεμελιώδες σύνολο λύσεων σε κάποιο διάστημα. (a) {x, x 2 1, x 2 + 1} (b) {e x, e x, x} (c) {e x, xe x, 1} (d) {x, x 2, e x } (e) {x, x 2, 1/x} (f) {x + 1, e x, e 3x } (g) {x, x 3, 1/x, 1/x 2 } (h) {x, x ln x, 1/x, x 2 } (i) {e x, e x, x, e 2x } (j) {e 2x, e 2x, 1, x 2 } 5.2 Ομογενείς ΔΕ με Σταθερούς Συντελεστές Ομογενείς ΔΕ 2ης τάξης με Σταθερούς Συντελεστές Αν a, b, και c είναι πραγματικοί αριθμοί και a 0, τότε η ΔΕ ay + by + cy = F (x) καλείται ΔΕ με σταθερούς συντελεστές. Θεωρούμε την ομογενή ΔΕ ay + by + cy = 0. (5.39) όλες οι λύσεις της (5.39) ορίζονται στο (, ). Στην προσπάθεια μας να προσδιορίσουμε λύσεις της (5.39), παρατηρούμε ότι, από τις γνωστές συναρτήσεις, η εκθετική y = e rx όπου r είναι σταθερά, είναι η μόνη που έχει την ιδιότητα, οι παράγωγοι της να είναι πολλαπλάσια αυτής. Αυτό το γεγονός μας προτρέπει να προσπαθήσουμε τη y = e rx ως πιθανή λύση της (5.39), για κατάλληλη τιμή του r. Αντικαθιστώντας το e rx στη ΔΕ (5.39), προκύπτει ay + by + cy = ar 2 e rx + bre rx + ce rx = (ar 2 + br + c)e rx. (5.40) Επομένως, για να έχουμε μη τετριμμένη λύση της (5.39), θα πρέπει να ισχύει p(r) = ar 2 + br + c

17 5.2. ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΕ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ 133 το οποίο καλείται χαρακτηριστικό πολυώνυμο της (5.39), και η σχέση p(r) = 0 καλείται χαρακτηριστική εξίσωση. Από (5.40) είναι φανερό ότι η y = e rx είναι λύση της ΔΕ (5.39) αν και μόνο αν p(r) = 0. Οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου δίνονται από Περίπτωση 1. Απλές ρίζες r 1,2 = b ± b 2 4ac. (5.41) 2a Αν b 2 4ac > 0, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει δύο ρίζες r 1,2 πραγματικές και άνισες και η γενική λύση θα είναι αφού y(x) = c 1 e r 1x + c 2 e r 2x, x R W [e r 1x, e r 2x ] = (r 2 r 1 )e (r 1+r 2 )x 0 δηλαδή οι e r 1x, e r 2x είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Παράδειγμα (αʹ) Να βρεθεί η γενική λύση της ΔΕ y + 6y + 5y = 0. (5.42) (βʹ) Να λυθεί το ΠΑΤ y + 6y + 5y = 0, y(0) = 3, y (0) = 1. (5.43) Λύση (α) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της (5.42) είναι p(r) = r 2 + 6r + 5 = (r + 1)(r + 5). Αφού p( 1) = p( 5) = 0, y 1 = e x και y 2 = e 5x είναι λύσεις της (5.42). και W [y 1, y 2 ] 0, η γενική λύση της ΔΕ (5.42) δίνεται από y = c 1 e x + c 2 e 5x. (5.44) (β) Θα προσδιορίσουμε τις σταθερές c 1 και c 2 στην (5.44) έτσι ώστε η y να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες (5.43). Παραγωγίζοντας την (5.44) έχουμε y = c 1 e x 5c 2 e 5x. (5.45) θέτοντας τις αρχικές συνθήκες y(0) = 3, y (0) = 1 στις (5.44) και (5.45) έχουμε c 1 + c 2 = 3 c 1 5c 2 = 1.

18 134 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΩΤΕΣ ΔΕ Επιλύοντας το σύστημα, έχουμε c 1 = 7/2, c 2 = 1/2. Επομένως η λύση της (5.43) είναι y = 7 2 e x 1 2 e 5x. Περίπτωση 2. Διπλή Ρίζα Αν b 2 4ac = 0, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει διπλή ρίζα r = r 1 = r 2 = b 2a. Προφανώς, μια λύση είναι η e rx. Για την εύρεση της άλλης γραμμικά ανεξάρτητης λύσης εργαζόμαστε ως εξής: Αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχειμια αυθαίρετη διπλή ρίζα r 1, τότε p(r) = a(r r 1 ) 2 = a(r 2 2r 1 r + r 2 1). Συνεπώς ar 2 + br + c = ar 2 (2ar 1 )r + ar 2 1, δηλαδή b = 2ar 1 και c = ar 2 1. Οπότε ay +by +cy = 0 μπορεί να γραφεί a(y 2r 1 y + r 2 1y) = 0. Αφού a 0 έχει τις ίδιες λύσεις με την y 2r 1 y + r 2 1y = 0. (5.46) Αφού p(r 1 ) = 0, τότε y 1 = e r 1x είναι λύση της ay + by + cy = 0, και της ΔΕ (5.46). Αναζητούμε μια δεύτερη λύση της (5.46) της μορφής y = ue r 1x, οπότε y = u e r 1x + rue r 1x and y = u e r 1x + 2r 1 u e r 1x + r 2 1ue r 1x, y 2r 1 y + r 2 1y = e rx [ (u + 2r 1 u + r 2 1u) 2r 1 (u + r 1 u) + r 2 1u ] = e r 1x [ u + (2r 1 2r 1 )u + (r 2 1 2r r 2 1)u ] = u e r 1x. Συνεπώς, η y = ue r 1x είναι λύση της (5.46) αν και μόνο αν u = 0, που είναι ισοδύναμο με την u = c 1 + c 2 x, όπου c 1 και c 2 είναι σταθερές. Κάθε συνάρτηση της μορφής y = e r 1x (c 1 + c 2 x) (5.47) είναι λύση της ΔΕ (5.46). Θέτοντας c 1 = 1 και c 2 = 0 οδηγούμαστε στην ήδη γνωστή λύση y 1 = e r 1x. Θέτοντας c 1 = 0 και c 2 = 1 προκύπτει μια δεύτερη λύση y 2 = xe r 1x, για τις οποίεςw [y 1, y 2 ] 0, δηλαδή το {y 1, y 2 } είναι θεμελιώδες σύνολο λύσεων για την (5.46), και η (5.47) είναι η γενική λύση. Θεώρημα Αν r = r 1 = r 2 = b είναι ρίζα πολλαπλότητας 2 για το χαρακτηριστικό 2a πολυώνυμο p(r) = ar 2 + br + c, τότε η συνάρτηση xe r1x είναι μια λύση της ΔΕ (5.39), γραμμικά ανεξάρτητη της e r1x. Ας δούμε ένα παράδειγμα. Παράδειγμα 5.2.2

19 5.2. ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΕ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ 135 (αʹ) Να βρεθεί η γενική λύση της ΔΕ y + 6y + 9y = 0. (5.48) (βʹ) Να λυθεί το ΠΑΤ y + 6y + 9y = 0, y(0) = 3, y (0) = 1. (5.49) Λύση (α) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της (5.48) είναι p(r) = r 2 + 6r + 9 = (r + 3) 2, με διπλή ρίζα r 1 = 3. Οπότε y 1 = e 3x είναι μια λύση της (5.48). Εφαρμόζοντας την παραπάνω διαδικασία, μια δεύτερη γραμμικά ανεξάρτητη λύση είναι y 2 = xe 3x και η γενική λύση γράφεται ως εξής: (β) Παραγωγίζοντας την (5.50), έχουμε y(x) = e 3x (c 1 + c 2 x). (5.50) y = 3e 3x (c 1 + c 2 x) + c 2 e 3x. (5.51) θέτοντας τις αρχικές συνθήκες y(0) = 3, y (0) = 1 στην (5.50) και (5.51) προκύπτει c 1 = 3 και c 2 = 8. Οπότε η λύση της (5.49) είναι y = e 3x (3 + 8x). Περίπτωση 3. Μιγαδικές Ρίζες Αν b 2 4ac < 0, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει μιγαδικές ρίζες r 1 = b + i 4ac b 2 2a οι οποίες ισοδύναμα γράφονται, r 2 = b i 4ac b 2, 2a r 1 = λ + iω, r 2 = λ iω, (5.52) με λ = b 4ac b 2a, ω = 2. 2a τότε η γενική λύση θα είναι η μιγαδική συνάρτηση y(x) = a 1 e (λ+iω)x + a 2 e (λ iω)x, Επειδή είναι μιγαδικές λύσεις, είναι επιθυμητό να τις εκφράσουμε ως πραγματικές. Παρατηρούμε ότι, αφού οι e (λ+iω)x, e (λ iω)x είναι λύσεις της (5.39), τότε το άθροισμα και η διαφορά αυτών θα είναι επίσης λύσεις αυτής. Έτσι, με την χρήση του τύπου Euler

20 136 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΩΤΕΣ ΔΕ e (λ+iω)x = e λx (cosβx + isinβx) προκύπτει e (λ+iω)x + e (λ iω)x = 2e λx cosβx, e (λ+iω)x e (λ iω)x = 2ie λx sinβx Επομένως, παραλείποντας τους σταθερούς πολλαπλασιαστές 2, 2i οι συναρτήσεις y 1 (x) = e λx cosβx, y 2 (x) = e λx sinβx) είναι πραγματικές λύσεις της ΔΕ (5.39). Άρα η γενική λύση της (5.39) δίδεται από την πραγματική συνάρτηση y = e λx (c 1 cos ωx + c 2 sin ωx) (5.53) Τα παραπάνω αποτελούν ειδική περίπτωση ενός γενικότερου αποτελέσματος για τις γραμμικές ΔΕ, που εξαρτάται μόνο από το γεγονός ότι, οι συντελεστές της ΔΕ είναι πραγματικές συναρτήσεις, ανεξάρτητα αν είναι σταθερές ή όχι. Πιο συγκεκριμένα έχουμε: Θεώρημα Έστω οι πραγματικές συνεχείς συναρτήσεις A, B, C, ορισμένες στο διάστημα (a, b). Έστω, y(x) = u(x) + iv(x), μια μιγαδική λύση της ΔΕ Ay + By + Cy = 0, x (a, b), (5.54) όπου u, v είναι πραγματικές συναρτήσεις. Τότε, οι u, v είναι, επίσης, λύσεις της ΔΕ (5.54). Ας δούμε ένα παράδειγμα. Παράδειγμα (αʹ) Να βρεθεί η γενική λύση της ΔΕ y + 4y + 13y = 0. (5.55) (βʹ) Να λυθεί το ΠΑΤ y + 4y + 13y = 0, y(0) = 2, y (0) = 3. (5.56) Λύση (α) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της (5.55) p(r) = r 2 +4r+13 = r 2 +4r+4+9 = (r + 2) με ρίζες μιγαδικές συζυγείς r 1 = 2 + 3i και r 2 = 2 3i. Εφαρμόζοντας την θεωρία, έχουμε οτι η γενική λύση της ΔΕ (5.55) δίνεται από y = e 2x (c 1 cos 3x + c 2 sin 3x) (5.57) (β) Εφαρμόζοντας τη συνθήκη y(0) = 2 στην (5.57), έχουμε c 1 = 2. Παραγωγίζοντας την (5.57) προκύπτει y = 2e 2x (c 1 cos 3x + c 2 sin 3x) + 3e 2x ( c 1 sin 3x + c 2 cos 3x),

21 5.2. ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΕ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ 137 και εφαρμόζοντας τη δεύτερη αρχική συνθήκη y (0) = 3 προκύπτει 3 = 2c 1 + 3c 2 = 4 + 3c 2, δηλαδή c 2 = 1/3. Συνεπώς η λύση του ΠΑΤ (5.56) είναι y = e 2x (2 cos 3x + 1 sin 3x). 3 Σύνοψη Το επόμενο θεώρημα συνοψίζει τα αποτελέσματα για την επίλυση ομογενών ΔΕ 2ης τάξης. Θεώρημα Έστω p(r) = ar 2 + br + c το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της ΔΕ ay + by + cy = 0. (5.58) Τότε: (αʹ) Αν p(r) = 0 έχει απλές πραγματικές ρίζες r 1 και r 2, τότε η γενική λύση της ΔΕ (5.58) είναι y = c 1 e r 1x + c 2 e r 2x. (βʹ) Αν p(r) = 0 έχει διπλή ρίζα r 1, τότε η γενική λύση της ΔΕ (5.58) είναι y = e r 1x (c 1 + c 2 x). (γʹ) Αν p(r) = 0 έχει μιγαδικές συζυγείς ρίζες r 1 = λ + iω και r 2 = λ iω (όπου ω > 0), τότε η γενική λύση της ΔΕ (5.58) είναι y = e λx (c 1 cos ωx + c 2 sin ωx). Παρατήρηση: (αʹ) Υποθέτουμε ότι y είναι η λύση της ομογενούς ΔΕ με σταθερούς συντελεστές ay + by + cy = 0. (5.59) Έστω z(x) = y(x x 0 ), όπου x 0 είναι αυθαίρετος πραγματικός αριθμός, τότε az + bz + cz = 0. (βʹ) Έστω z 1 (x) = y 1 (x x 0 ) και z 2 (x) = y 2 (x x 0 ), όπου {y 1, y 2 } είναι θεμελιώδες σύνολο λύσεων της (5.59). Τότε {z 1, z 2 } είναι, επίσης, θεμελιώδες σύνολο λύσεων της (5.59). (γʹ) Το Θεώρημα εφαρμόζεται και στην επίλυση του ΠΑΤ ay + by + cy = 0, y(0) = k 0, y (0) = k 1, όπου η αρχική συνθήκη ορίζεται στο x 0 = 0. Αλλά και στην περίπτωση ay + by + cy = 0, y(x 0 ) = k 0, y (x 0 ) = k 1, (5.60)

22 138 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΩΤΕΣ ΔΕ όπου x 0 0, ο προσδιορισμός των σταθερών στις y = c 1 e r 1x + c 2 e r 2x, y = e r 1x (c 1 + c 2 x), or y = e λx (c 1 cos ωx + c 2 sin ωx) είναι εφικτός με την κατάλληλη αλλαγή της ανεξάρτητης μεταβλητής, ώστε οι αρχικές συνθήκες να μεταφερθούν στο x 0 = Ομογενείς Γραμμικές ΔΕ n-οστής τάξης με σταθερούς συντελεστές Η Γραμμική βαθμωτή n-οστής τάξης ΔΕ εμφανίζεται συνήθως στη μορφή: a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 0 y = F (x) όπου a 0, a 1,, a n είναι σταθερές και a n 0. Σε αυτό το εδάφιο θα θεωρήσουμε ομογενή ΔΕ a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 0 y = 0. (5.61) Η ΔΕ (5.61) είναι κανονική στο (, ), τα θεωρήματα του εδαφίου εφαρμόζονται για (a, b) = (, ). Όπως στο εδάφιο 5.2.1, το πολυώνυμο p(r) = a n r n + a n 1 r n a 0 (5.62) καλείται χαρακτηριστικό πολυώνυμο της (5.61). Η μέθοδος που αναπτύξαμε στο εδάφιο για n = 2, μπορεί να επεκταθεί και στην περίπτωση που το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι n-οστού βαθμού, αλλά η όλη διαδικασία είναι αρκετά πολύπλοκη και στο σημείο αυτό θα παρουσιάσουμε έναν διαφορετικό τρόπο αντιμετώπισης. Αν k είναι θετικός ακέραιος, με το σύμβολο D k ορίζουμε τον k-τάξης διαφορικό τελεστή, δηλαδή D k y = y (k). Αν είναι ένα αυθαίρετο πολυώνυμο, ορίζουμε q(r) = b m r m + b m 1 r m b 0 έτσι ώστε q(d) = b m D m + b m 1 D m b 0 q(d)y = (b m D m + b m 1 D m b 0 )y = b m y (m) + b m 1 y (m 1) + + b 0 y όπου y είναι συνάρτηση με m παραγώγους, καλούμε το L := q(d) πολυωνυμικό τελεστή. Με p όπως ορίστηκε στην (5.62), η (5.61) μπορεί να γραφεί Ly = p(d)y = 0. p(d) = a n D n + a n 1 D n a 0,

23 5.2. ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΕ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ 139 Η πρώτη παρατήρηση σχετικά με τις ανωτέρω εξίσωσεις είναι ότι αφήνουν τις εκθετικές συναρτήσεις σχεδόν αναλλοίωτες. Πράγματι, αν r είναι σταθερά, L(e rx = a 0 D n (e rx ) + a 1 D n 1 (e rx ) + + a n 1 D(e rx ) + a n e rx = a 0 r n e rx + a 1 r n 1 e rx + + a n 1 re rx + a n e rx = (a 0 r n + a 1 r n a n )e rx = p(r)e rx Έχουμε το πρώτο συμπέρασμα. Πρόταση Η συνάρτηση e rx αποτελεί λύση της (5.61),αν και μόνο η τιμή r αποτελεί ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου (5.62). Ιδιαιτέρως στην περίπτωση όπου L = ad 2 + bd + c έχουμε αναπτύξει στο εδάφιο την σχετική μεθοδολογία, στο σημείο αυτό θα δώσουμε μια διαφορετική προσέγγιση για να κατανοήσουμε την μέθοδο στην περίπτωση που το πολυώνυμο είναι n-βαθμού. Αν r 1, r 2 (r 1 r 2 ) αποτελούν ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου p(r) = ar 2 + br + c, τότε το { e r 1t, e r 2t } αποτελεί θεμελιώδες σύνολο λύσεων της Ly = 0. Ας εξετάσουμε τη περίπτωση που το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει πραγματικές ρίζες ( > 0) με r 1 + r 2 = b a, r 1r 2 = c a ay + by + cy = 0 y (r 1 + r 2 )y + r 1 r 2 y = 0 (y r 2 y) r 1 (y r 2 y) = 0 (y r 2 y) = c 1 e r 1x e r2x (y r 2 y) = c 1 e (r 1 r 2 )x (e r2x y) = c 1 e (r 1 r 2 )x e r2x y = c e(r 1 r 2 )x + c 2 r 1 r 2 y = c 1 e r1x + c 2 e r 2x Παρομοίως, στην περίπτωση όπου = 0 και r = β 2a, r2 = γ a έχουμε: ay + by + cy = 0 y 2ry + r 2 y = 0 (y ry) r(y ry) = 0 (y ry) = c 1 e rx e rx (y ry) = c e rx y = c 1 x + c 2 y = (c 1 x + c 2 )e rx Τέλος, στην περίπτωση των μιγαδικών ριζών τα πράγματα περιπλέκονται. Εάν θεωρείται δεδομένη η γνώση της εκθετικής μιγαδικών e zx, z C και των ιδιοτήτων της, τότε με παρόμοια διαδικασία θα καταλήγαμε στη γενική λύση. Στο ίδιο αποτέλεσμα όμως μπορούμε να καταλήξουμε και αποφεύγοντας τη χρήση των μιγαδικών. Ας παρατηρήσουμε, μελετώντας την διαδικασία την οποία ακολουθήσαμε στις δυο προηγούμενες περιπτώσεις, ότι καταλήξαμε στην γενική λύση αφού προηγουμένως παραγοντοποιήσαμε τον διαφορικό

24 140 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΩΤΕΣ ΔΕ τελεστή: L = ad 2 + bd + c = a(d r 1 )(D r 2 ), ή a(d r) 2 όπου D = d dx. Είναι άραγε δυνατόν να επιτευχθεί το ίδιο στην περίπτωση των μιγαδικών ιδιοτιμών. Συγκεκριμένα: Υπάρχουν συναρτήσεις g, h, ώστε Το οποίο σημαίνει ότι: Άρα, θα είχαμε: ad 2 + bd + c = a(d g(x))(d h(x)); (D g)(d h)y = (D g)(y hy) = (y hy) g(y hy) = y (g + h)y + (gh h )y. D 2 (g + h)d + ( h + gh) = D 2 + b a D + c a, ή ισοδύναμα g + h = b a και h + gh = c a, Το ανωτέρω σύστημα μετά την αντικατάσταση g = b a h στη δεύτερη εξίσωση καταλήγει στην βαθμωτή ΔΕ πρώτης τάξης: ( h = h 2 + b a h + c ) a (5.63) της οποίας δεν αναζητούμε την γενική λύση αλλά κάποια λύση h. Σημειωτέον ότι στις δύο προηγούμενες περιπτώσεις μια τέτοια λύση είναι η σταθερά, ενώ στην περίπτωση ( < 0) καμία πραγματική σταθερά δεν μπορεί να αποτελέσει λύση διότι h 2 + b a h + c ( a = h + b ) 2 4ac b2 + a 4a 2 4ac b2 4a 2 > 0. Η γενική λύση της (5.63), η οποία επιλύεται ως ΔΕ χωριζομένων μεταβλητών, είναι η h = b ( ) 4ac b 2a + 2 4ac b 2 tan (x + c). 2a 2a

25 5.2. ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΕ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ 141 Επιλέγουμε την h για c = 0, οπότε η g θα ισούται προς g = b ( ) 4ac b 2a + 2 4ac b 2 tan x. 2a 2a ή απλούστερα όπου g = ξ + η tan(ηx) και h = ξ η tan(ηx) ξ = b 4ac b 2 και η = 2a 2a Άρα, ο τελεστής L πράγματι παραγοντοποιείται και έχουμε τις ακόλουθες ισοδυναμίες όπου οι σταθερές διατηρούν τα ίδια σύμβολα όχι όμως απαραιτήτως και τις ίδιες τιμές. Έστω, έχουμε: Όμως Ly = 0 (D g)((d h)y) = 0 (D h)y = ce x (e ) x χ h(s)ds y = ce 2η x χ (g(s) h(s))ds χ tan(ηs)ds e 2η x χ tan(ηs)ds = ce 2 log cos(ηx) = csec 2 (ηx) Συνεπώς, οι ανωτέρω ισοδυναμίες συνεχίζονται ως εξής: e x x χ (ξ η tan(ηs))ds y = c 1 sec 2 (ηs)ds + c 2 y = e ξx+log cos(ηx) (c 1 tan(ηx) + c 2 ) y = e ξx cos(ηx)(c 1 tan(ηx) + c 2 ) y = e ξx (c 1 sin(ηx) + c 2 cos(ηx)) η οποία είναι και η μορφή που παρουσιάσαμε στο προηγούμενο εδάφιο. Θεώρημα Έστω a n,, a 0 πραγματικές σταθερές, a 0 0και ο γραμμικός τελεστής χ L = a n D n + + a 1 D + a 0 όπου D = d dx ενώ p(r) = a n r n + a 1 r + a 0 το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του τελεστή. Αν το p(r) έχει ως ρίζες: (αʹ) πραγματικές r 1, r k με πολλαπλότητες µ 1, µ k αντιστοίχως και (βʹ) μιγαδικές α 1 ±iβ 1,, α λ ±iβ λ με πολλαπλότητες µ k+1,, µ k+λ αντιστοίχως, όπου µ 1, µ k + 2 (µ k+1,, µ k+λ ) = n

26 142 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΩΤΕΣ ΔΕ Τότε η γενική λύση της ΔΕ Ly = 0 a n y (n) + a 1 y (1) + a 0 y = 0 είναι η y(x) = k λ p ϱ (x)e rϱx + e ασx (q 1,σ (x)cosβ ϱ x + q 2,σ (x)sinβ ϱ x), (5.64) ϱ=1 σ=1 όπου p ϱ πολυώνυμα βαθμού το πολύ µ ϱ 1, ενώ q 1,σ, q 2,σ πολυώνυμα βαθμού το πολύ µ k+σ 1. Τα επόμενα Θεωρήματα είναι συνέπεια του Θεωρήματος Θεώρημα Αν m θετικός ακέραιος, τότε είναι θεμελιώδες σύνολο λύσεων για τη ΔΕ {e ax, xe ax,..., x m 1 e ax } (5.65) (D a) m y = 0. (5.66) Θεώρημα Αν ω 0 και m είναι θετικός ακέραιος, τότε {e λx cos ωx, xe λx cos ωx,..., x m 1 e λx cos ωx, e λx sin ωx, xe λx sin ωx,..., x m 1 e λx sin ωx} είναι θεμελιώδες σύνολο λύσεων για τη ΔΕ [(D λ) 2 + ω 2 ] m y = 0. Ας δούμε μερικά παραδείγματα ως εφαρμογή των παραπάνω. Παράδειγμα (αʹ) Να βρεθεί η γενική λύση της ΔΕ (βʹ) Να λυθεί το ΠΑΤ y 6y + 11y 6y = 0. (5.67) y 6y + 11y 6y = 0, y(0) = 4, y (0) = 5, y (0) = 9. (5.68) Λύση (α) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο για τη ΔΕ (5.67) είναι p(r) = r 3 6r r 6 = (r 1)(r 2)(r 3).

27 5.2. ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΕ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ 143 Συνεπώς {e x, e 2x, e 3x } είναι ένα θεμελιώδες σύνολο λύσεων για τη ΔΕ (5.67), διότι η ορίζουσα Wronski είναι e x e 2x e 3x W (x) = e x 2e 2x 3e 3x e x 4e 2x 9e 3x = e6x = 2e6x 0. Συνεπώς, η γενική λύση της (5.67) γράφεται ως y = c 1 e x + c 2 e 2x + c 3 e 3x. (5.69) (β) Για τον καθορισμό των σταθερών c 1, c 2 και c 3 στην (5.69) πρέπει η y να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες (5.68), καταλήγουμε στο γραμμικό σύστημα c 1 + c 2 + c 3 = 4 c 1 + 2c 2 + 3c 3 = 5 c 1 + 4c 2 + 9c 3 = 9. η λύση του οποίου είναι c 1 = 4, c 2 = 1, c 3 = 1. Η λύση του ΠΑΤ (5.68) είναι y = 4e x e 2x + e 3x Παράδειγμα Να βρεθεί η γενική λύση της ΔΕ y y + y y = 0. (5.70) Λύση Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο που αντιστοιχεί στη ΔΕ (5.70) είναι r 3 r 2 + r 1 = 0 (r 1)(r 2 1) = 0 Συνεπώς, η ΔΕ (5.70) γράφεται στην ισοδύναμη τελεστική μορφή (D 1)(D 2 + 1)y = 0, το οποίο σημαίνει ότι κάθε λύση της (D 2 +1)y = 0 είναι λύση της (5.70). Οπότε y 1 = cos x και y 2 = sin x είναι λύσεις της (5.70). Ομοίως, μπορούμε να γράψουμε την (5.70) ως (D 2 + 1)(D 1)y = 0, που σημαίνει ότι κάθε λύση της (D 1)y = 0 είναι λύση της (5.70). Συνεπώς, η y 3 = e x είναι λύση της (5.70).

28 144 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΩΤΕΣ ΔΕ Η ορίζουσα Wronski των {e x, cos x, sin x} είναι cos x sin x e x W (x) = sin x cos x e x cos x sin x e x. Αφού W (0) = 2 0, το {cos x, sin x, e x } είναι θεμελιώδες σύνολο λύσεων και η είναι η γενική λύση της (5.70). y = c 1 cos x + c 2 sin x + c 3 e x Παράδειγμα Βρείτε την γενική λύση της ΔΕ y (4) 16y = 0. (5.71) Λύση Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της (5.71) είναι p(r) = r 4 16 = (r 2 4)(r 2 + 4) = (r 2)(r + 2)(r 2 + 4). Οπως εργαστήκαμε στο Παράδειγμα 5.2.5, μπορεί να αποδειχθεί ότι η (5.71) μπορεί να γραφεί ως (D 2 + 4)(D + 2)(D 2)y = 0 ή ή (D 2 + 4)(D 2)(D + 2)y = 0 (D 2)(D + 2)(D 2 + 4)y = 0. Οπότε η y είναι λύση της (5.71), αν είναι και λύση καθεμίας από τις παρακάτω ΔΕ (D 2)y = 0, (D + 2)y = 0, (D 2 + 4)y = 0. Δηλ., {e 2x, e 2x, cos 2x, sin 2x} είναι το θεμελιώδες σύνολο λύσεων της (5.71), διότι η ορίζουσα Wronski είναι e 2x e 2x cos 2x sin 2x W (x) = 2e 2x 2e 2x 2 sin 2x 2 cos 2x 4e 2x 4e 2x 4 cos 2x 4 sin 2x. 8e 2x 8e 2x 8 sin 2x 8 cos 2x Αφού W (0) = 512, και είναι η γενική λύση της ΔΕ (5.71). y 1 = c 1 e 2x + c 2 e 2x + c 3 cos 2x + c 4 sin 2x

29 5.2. ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΕ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ 145 Παράδειγμα Να βρεθεί η γενική λύση της ΔΕ y + 3y + 3y + y = 0. (5.72) Λύση Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της (5.72) είναι p(r) = r 3 +3r 2 +3r +1 = (r +1) 3. Η ΔΕ (5.72) μπορεί να γραφεί σε ισοδύναμη μορφή (D + 1) 3 y = 0, από το Θεώρημα έχουμε ότι η γενική λύση της (5.72) είναι y = e x (c 1 + c 2 x + c 3 x 2 ). Παράδειγμα Να βρεθεί η γενική λύση της ΔΕ y (4) + 4y + 6y + 4y = 0. (5.73) Λύση Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της (5.73) είναι p(r) = r 4 + 4r 3 + 6r 2 + 4r = r(r 3 + 4r 2 + 6r + 4) = r(r + 2)(r 2 + 2r + 2) = r(r + 2)[(r + 1) 2 + 1]. Η ΔΕ (5.73) μπορεί να γραφεί σε ισοδύναμη μορφή [(D + 1) 2 + 1](D + 2)Dy = 0. Τα θεμελιώδη σύνολα λύσεων των [ (D + 1) ] y = 0, (D + 2)y = 0, και Dy = 0. δίνονται από {e x cos x, e x sin x}, {e 2x }, και {1}, αντίστοιχα. Συνεπώς η γενική λύση της (5.73) είναι y = e x (c 1 cos x + c 2 sin x) + c 3 e 2x + c 4. Εξισώσεις Euler Ονομάζονται οι γραμικές ΔΕ της μορφής a n x n y (n) + a n 1 x n 1 y (n 1) + a 0 y (0) = 0, όπου a 0, a 1,..., a n πραγματικές σταθερές και a n 0. Ιδιαιτέρως, στην περίπτωση της 2ης-τάξης λαμβάνουν την μορφή ax 2 y + bxy + cy = 0, (5.74) όπου a, b, c πραγματικές σταθερές και a 0. Οι ανωτέρω εξισώσεις έχουν πεδίο ορισμού των λύσεων τους το R ή το R +. Οι εξισώσεις Euler μ ένα απλούστατο μετασχηματισμό

30 146 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΩΤΕΣ ΔΕ ανάγονται στις γραμμικές με σταθερούς συντελεστές. Συγκεκριμένα αν θέσουμε { z(log x) x > 0, y(x) = z(log( x))) x < 0 τότε για x > 0 (και παρομοίως για x < 0) θα έχουμε: και και τελικά y (x) = dz(log x)) dx (log x) = z x y (x) = z (log x) z (log x) x 2 ax 2 y + bxy + cy = az (log x) + (b a)z (log x) + cz(log x). Έχουμε τελικά ότι η (5.74) είναι ισοδύναμη με την az (log x) + (b a)z (log x) + cz(log x) = 0. την οποία γνωρίζουμε πως να αντιμετωπίσουμε. Η παραπάνω διαδικασία μπορεί πολύ απλά να γενικευθεί στην περίπτωση της ΔΕ n-οστής τάξης, αλλά και ακόμη γενικότερα της ΔΕ a n (x x 0 ) n y (n) + a n 1 (x x 0 ) n 1 y (n 1) + a 0 y (0) = 0, όπου ο μετασχηματισμός θα είναι y(x) = { z(log(x x0 )) x > x 0, z(log(x 0 x)) x < x 0. Παράδειγμα Να βρεθεί η γενική λύση της ΔΕ x 2 y + xy x = 0. (5.75) Λύση Λόγω του μετασχηματισμού y(x) = z(log x) λαμβάνουμε την ακόλουθη ΔΕ με άγνωστη συνάρτηση z: z z = 0. με γενική λύση z(x) = c 1 e x + c 2 e x Όμως y(x) = z(log x), άρα η γενική λύση θα έχει τη μορφή y(x) = c 1 x + c 2 1 x. Παράδειγμα Να βρεθεί η γενική λύση της ΔΕ x 2 y + xy + x = 0. (5.76)

31 5.2. ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΕ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ 147 Λύση Λόγω του μετασχηματισμού y(x) = z(log x) για x > 0 λαμβάνουμε την ακόλουθη ΔΕ με άγνωστη συνάρτηση z: z + z = 0. η οποία έχει γενική λύση z(x) = c 1 cosx + c 2 sinx. Όμως y(x) = z(log x), άρα η γενική λύση θα έχει την μορφή y(x) = c 1 cos(log x) + c 2 sin(log(x)). Αναλόγως εργαζόμαστε στην περίπτωση x < 0 και λαμβάνουμε: y(x) = c 1 cos(log( x)) + c 2 sin(log( x)). Παράδειγμα Να βρεθεί η γενική λύση της ΔΕ x 3 y (3) + xy (1) y = 0. (5.77) Λύση Έχουμε y(x) = z(log x) y (x) = z (log x) 1 x y (x) = z (log x) 1 x 2 z (log x) 1 x 2 y (x) = z (log x) 1 x 3 3z (log x) 1 x 3 + 2z (log x) 1 x 3 οπότε έχουμε z 3z + 3z z = (D 1) 3 z Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι p(r) = (r 1) 3 και ως εκ τούτου η γενική λύση για το z θα είναι z(x) = e x ( c 1 + c 2 x + c 3 x 2) συνεπώς δοθέντος του y(x) = z(log x) θα έχουμε: y(x) = x ( c 1 + c 2 log x + c 3 (log x) 2). 5.2 Ασκήσεις προς επίλυση Στις Ασκήσεις 1-24 να βρεθεί η γενική λύση των ΔΕ 1. y + 5y 6y = 0 2. y 4y + 5y = 0 3. y + 8y + 7y = 0 4. y 4y + 4y = 0

32 148 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΩΤΕΣ ΔΕ 5. y + 2y + 10y = 0 6. y + 6y + 10y = 0 7. y 8y + 16y = 0 8. y + y = 0 9. y 2y + 3y = y + 6y + 13y = y + 4y + 10y = y 3y y = y 3y + 3y y = y (4) + 8y 9y = y y + 16y 16y = y + 3y 2y 3y = y + 5y + 9y + 5y = y 8y + 5y y = y + 27y + 9y + y = y (4) + y = y (4) 16y = y (4) + 12y + 36y = y (4) 72y + 81y = y (4) + 5y + 7y + 5y + y = 0 Στις Ασκήσεις να λυθεί το ΠΑΤ. 25. y + 14y + 50y = 0, y(0) = 2, y (0) = y y y = 0, y(0) = 10, y (0) = y + y y = 0, y(0) = 1, y (0) = y 4y 3y = 0, y(0) = 13 12, y (0) = y 12y + 9y = 0, y(0) = 3, y (0) = y + 3y + 2y = 0, y(1) = 1, y (1) = y 6y 7y = 0, y(2) = 1 3, y (2) = y 14y + 49y = 0, y(1) = 2, y (1) = y + 6y + y = 0, y(2) = 2, y (2) = 14 3 Στις Ασκήσεις να λυθούν οι ΔΕ και να βρεθεί το πεδίο ορισμού των λύσεων αυτών. 34. x 2 y xy + y = x 2 y + 2xy + y = x 2 y + xy + y = x 2 y + xy y = 0

33 5.3. ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΩΤΕΣ ΔΕ (x 1) 2 y + 4(x 1)y + y = (2x + 1) 2 y (4x + 2)y 4y = Μη Ομογενείς Γραμμικές Βαθμωτές ΔΕ Μη Ομογενείς ΔΕ 2ης-τάξης Στο εδάφιο αυτό θα θεωρήσουμε μη ομογενείς ΔΕ 2ης-τάξης της μορφής y + p(x)y + q(x)y = f(x), (5.78) όπου ο όρος μη ομογένειας f δεν είναι ταυτοτικά μηδέν. Το επόμενο Θεώρημα, που αποτελεί μια επέκταση του Θεωρήματος 5.1.1, μας δίνει τις ικανές συνθήκες για την ύπαρξη και μοναδικότητα των λύσεων ενός ΠΑΤ με ΔΕ την (5.78). Για την απόδειξη παραπέμπουμε στη βιβλιογραφία. Θεώρημα Θεωρούμε p, q και f συνεχείς συναρτήσεις σε ένα ανοικτό διάστημα (a, b), έστω x 0 σημείο του (a, b), και k 0, k 1 αυθαίρετες πραγματικές σταθερές. Τότε το ΠΑΤ έχει μοναδική λύση στο (a, b). y + p(x)y + q(x)y = f(x), y(x 0 ) = k 0, y (x 0 ) = k 1 Για την εύρεση της λύσης της ΔΕ (5.78) στο διάστημα (a, b) όπου p, q, και f είναι συνεχείς, είναι αναγκαίο να βρούμε την γενική λύση της αντίστοιχης ομογενούς ΔΕ y + p(x)y + q(x)y = 0 (5.79) στο (a, b). Καλούμε την (5.79) αντίστοιχη ομογενή για την (5.78). Το επόμενο Θεώρημα παρουσιάζει έναν τρόπο εύρεσης της λύσης της ΔΕ (5.78), εάν γνωρίζουμε μια λύση y p της (5.78) και το θεμελιώδες σύνολο λύσεων της (5.79). Η y p καλείται ειδική λύση της (5.78) και είναι μια οποιαδήποτε λύση που μπορούμε να βρούμε. Θεώρημα Θεωρούμε p, q, και f συνεχείς συναρτήσεις στο (a, b). Έτσω y p είναι μια ειδική λύση της ΔΕ y + p(x)y + q(x)y = f(x) (5.80) στο (a, b), και {y 1, y 2 } είναι το θεμελιώδες σύνολο λύσεων της αντίστοιχης ομογενούς ΔΕ y + p(x)y + q(x)y = 0 (5.81) στο (a, b). Τότε y είναι λύση της (5.80) στο (a, b) αν και μόνο αν όπου c 1 και c 2 είναι σταθερές. y = y p + c 1 y 1 + c 2 y 2, (5.82)

Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης

Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Κεφάλαιο 2 Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης και θα διατυπώσουμε χωρίς απόδειξη βασικά θεωρήματα αυτών. Το εδάφιο 2.1 ασχολείται με γραμμικές

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι

Διαβάστε περισσότερα

1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS

1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS 1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS Γραμμικές μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξης λέγονται οι εξισώσεις τύπου y + p(x)y + g(x)y = f(x) (1.1) Οταν f(x) = 0 η εξίσωση y + p(x)y +

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! ookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές εξισώσεις 302.

Διαφορικές εξισώσεις 302. Διαφορικές εξισώσεις 32. Μαθηματικό Αθήνας Συλλογή ασκήσεων 1 Λύτες: Βουλγαρίδου Εύα Ορμάνογλου Στράβων Παπαμικρούλη Ελένη Παπανίκου Μυρτώ Καθηγητές: Αθανασιάδου - Μπαρμπάτης Επιμέλεια L A TEX: Βώβος Μάριος

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης Κεφάλαιο 5 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης Στο κεφάλαιο περιέχεται μία συνοπτική επισκόπηση των γραμμικών Δ.Ε. ανώτερης τάξης, όπου επεκτείνονται με φυσικό και αναμενόμενο τρόπο οι μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του τρίτου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις. Αν προκύψει αλγεβρική σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές x, y η οποία δεν λύνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις

Διαφορικές Εξισώσεις ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ M. ΡΟΘΟΣ Αναπλ. Καθηγητής ΑΠΘ ΧΡΥΣΟΒΑΛΑΝΤΗΣ Α. ΣΦΥΡΑΚΗΣ Διδάκτωρ Μαθηματικός Διαφορικές Εξισώσεις Διαφορικές Εξισώσεις Συγγραφή Βασίλειος M. Ρόθος & Χρυσοβαλάντης Α. Σφυράκης Κριτικός αναγνώστης

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

a (x)y a (x)y a (x)y' a (x)y 0

a (x)y a (x)y a (x)y' a (x)y 0 Γραμμικές Διαφορικές εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Έστω ότι έχουμε μια γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης n a (x) a (x) a (x)' a (x) f (x) () (n) (n) n n 0 όπου a i(x),i 0,...,n και f(x) είναι συνεχείς συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Βασικά θεωρήματα για τις γραμμικές Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση με Σειρές Γραμμικών ΔΕ 2ης τάξης

Επίλυση με Σειρές Γραμμικών ΔΕ 2ης τάξης Κεφάλαιο 6 Επίλυση με Σειρές Γραμμικών ΔΕ 2ης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματευόμαστε μιας δεύτερης τάξη ΔΕ που συναντάμε σε πολλές εφαρμογές, αλλά δεν μπορούν να λυθούν σε κλειστή μορφή. Μερικά παραδείγματα:

Διαβάστε περισσότερα

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8 Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θεωρούμε τη γενιϰή ομογενή γραμμιϰή διαφοριϰή εξίσωση τάξης n N στην ϰανονιϰή μορφή της

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα Αʹ. Ασκησεις. Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός.

Παράρτημα Αʹ. Ασκησεις. Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός. Παράρτημα Αʹ Ασκησεις Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός. Άσκηση 1. Συμβατικά στην περιοχή του ηλεκτρομαγνητικού ϕάσματος μακρινό υπέρυθρο (far infrared, FIR) έχουμε μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΑΣ 3: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 4 ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Να ταξινομηθούν οι πιο κάτω ΣΔΕ με βάση τα εξής: τάξη, γραμμική ή μή Να δοθούν επίσης οι ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Για κάθε μία από τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις πείτε αν είναι γραμμική ή όχι και προσδιορίστε την τάξη της. α. y + y +

Διαβάστε περισσότερα

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει Πρόβλημα 22. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Laplace u + u = 0, 1 < < 1, 1 < < 1, u(, 1) = f(), u(, 1) = 0, u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0. α) Σωστό ή λάθος; Αν f( ) = f() είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκσεις - 26/0/207 Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 203: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 2017 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΣ 203: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 2017 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΣ 3: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να ταξινομηθούν οι πιο κάτω ΣΔΕ με βάση τα εξής: τάξη, γραμμική ή μή. Να δοθούν επίσης οι ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές. 3 d

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

f(y) dy = b a dy = b a x f(x) dx = b a dx = x 2 = b2 a 2 2(b a) b a dx = = (a2 + ab + b 2 )(b a) 3(b a)

f(y) dy = b a dy = b a x f(x) dx = b a dx = x 2 = b2 a 2 2(b a) b a dx = = (a2 + ab + b 2 )(b a) 3(b a) Κεφάλαιο 11 Συνεχείς κατανομές και ο Ν.Μ.Α. Στο προηγούμενο κεφάλαιο ορίσαμε την έννοια της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, και είδαμε τις βασικές της ιδιότητες. Εδώ θα περιγράψουμε κάποιους ιδιαίτερους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης

Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης 17 Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης επισκοπηση Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε τις διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης. Εξισώσεις σαν αυτές ανακύπτουν σε πολλές εφαρμογές στις φυσικές επιστήμες και στις

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 28 Δεκεμβρίου 211 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Ορισμοί.........................................

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Διαφορική Εξίσωση 2 ου βαθμού

Γραμμική Διαφορική Εξίσωση 2 ου βαθμού //04 Γραμμική Διαφορική Εξίσωση ου βαθμού, με τη βοήθεια του αορίστου ολοκληρώματος, της χρήσιμης γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτου βαθμού af ( ) f ( ) cf ( ) g( ), ac,, σταθεροί πραγματικοί αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim

= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση 1. Να λυθεί η εξίσωση: 4 1 + 3i. Λύση. Επειδή 1 + 3i e πi/3, οι λύσεις της εξίσωσης 4 1 + 3i

Διαβάστε περισσότερα

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0 Τρόποι Κατασκευής Εάν οι ιδιοσυναρτήσεις του διαφορικού τελεστή L αποτελούν ένα ορθοκανονικό L ( ) ( ) (7) και πλήρες σύστημα συναρτήσεων ( ) m( ), m (8) και εάν τότε η εξίσωση Gree ( ) ( ) ( ) (9) z ()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017 Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής.

Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 55 Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Η δισδιάστατη γραμμική δυναμική ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από ένα σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία με υλικό από το ΕΑΠ που με βοήθησε

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία με υλικό από το ΕΑΠ που με βοήθησε

Διαβάστε περισσότερα

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Μετασχηματισμός Laplace. 7.1 Εισαγωγή στον μετασχηματισμό Laplace

Κεφάλαιο 7. Μετασχηματισμός Laplace. 7.1 Εισαγωγή στον μετασχηματισμό Laplace Κεφάλαιο 7 Μετασχηματισμός Laplace Σε αυτο το κεφάλαιο θα μελετήσουμε τη μέθοδο του μετασχηματισμού Laplace, η οποία αποτελεί μία από τις βασικές τεχνικές μαθηματικών προβλημάτων: μετασχηματίζει δύσκολα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα . Σκοποί

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Περιεχόμενα 1 Γενικά. 1 1.1 Μερικές διαφορικές εξισώσεις............................ 1 1.2 Διαφορικοί τελεστές................................. 2 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων

Γραμμικά Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 8 Γραμμικά Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε συστήματα διαφορικών εξισώσεων με περισσότερες από μία άγνωστες συναρτήσεις. Τέτοια συστήματα εμφανίζονται σε πολλά φυσικά

Διαβάστε περισσότερα

Σειρές Fourier και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών

Σειρές Fourier και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών Κεφάλαιο 9 Σειρές Fourier και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε αναπτύγματα συναρτήσεων σε σειρές Fourier και την εφαρμογή τους στην επίλυση προβλημάτων συνοριακακών τιμών (ΠΣΤ)

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. 0.1 Υλη του Μαθήµατος : Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία... 4

Περιεχόµενα. 0.1 Υλη του Μαθήµατος : Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία... 4 Περιεχόµενα 0.1 Υλη του Μαθήµατος :.................................... 1 0.2 Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία................................ 4 1 Βασικές Εννοιες 6 1.1 Εισαγωγικές-Θεµελιώδεις Εννοιες.............................

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6 η : Μερική Παράγωγος ΙΙ Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 0 ΘΕΜΑΤΑ Α Θέµα ο. Να βρεθεί (α) η γενική λύση yy() της διαφορικής εξίσωσης y' y + καθώς και (β) η µερική λύση που διέρχεται από το σηµείο y(/). (γ) Από ποια σηµεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

f (x) dx = f (x) + c a f (x) f (x) cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c 1 sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c

f (x) dx = f (x) + c a f (x) f (x) cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c 1 sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c Ασκήσεις στα Μαθηματικά Ι Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ Μουτάφη Ευαγγελία Θεσσαλονίκη 208-209 Ορισμοί ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αντιπαράγωγος συνάρτησης Εστω συνάρτηση f : R, R διάστημα. Αν για τη συνάρτηση F :

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.

Διαβάστε περισσότερα

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2) Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΤΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΤΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Σάμος 2017 Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΤΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η Διπλωματική Εργασία παρουσιάστηκε ενώπιον του Διδακτικού

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία που με βοήθησε να ανταπεξέλθω στο

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι:

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: n N {0}, ( ) + n = = n + ( ) και ( ) + ( ) = (**) Ονομάζουμε επικεφαλής συντελεστή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου f, τον συντελεστή f(i)

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

α. y = y x 2 β. x + 5x = e x γ. xy (xy + y) = 2y 2 δ. y (4) + xy + e x = 0 η. x 2 (y ) 4 + xy + y 5 = 0 θ. y + ln y + x 2 y 3 = 0 d 3 y dy + 5y

α. y = y x 2 β. x + 5x = e x γ. xy (xy + y) = 2y 2 δ. y (4) + xy + e x = 0 η. x 2 (y ) 4 + xy + y 5 = 0 θ. y + ln y + x 2 y 3 = 0 d 3 y dy + 5y Ασκήσεις στα Μαθηματικά ΙΙΙ Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ Μουτάφη Ευαγγελία Θεσσαλονίκη 2018-2019 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Στις παρακάτω Δ.Ε. να προσδιορίσετε: α) την ανεξάρτητη και την εξαρτημένη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα