ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Προθεσµία παράδοσης 6/5/08

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 7-8 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Προθεσµία παράδοσης 6/5/8 5//8 Άσκηση Α) Από τον νόµο µετατόπισης του Wien (σχέση (.6) σελ. 5 του βιβλίου των Serwy-Moses-Moyer) έχουµε λ x Τ K, T9+7, > λ x 9 µ Β) Η ολική ισχύς που ακτινοβολείται ανά µονάδα επιφάνειας είναι f σ W - K - (9+7) 69.5 W/. E E df T Κάθε φέτα έχει εµβαδό. επιφάνειες.. Άρα η ολική επιφάνεια έχει εµβαδό και εποµένως στούς 9 o C το σώµα αποδίδει x 69.5 W 9 W (συγκρίσιµη µε µια ηλεκτρική θερµάστρα). Γ) Η ζητούµενη ένταση ακτινοβολίας (ισχύς ανά µονάδα επιφάνειας) είναι όπου u( f, T) 8π hf f c x, f ( ) E u f T df hf kt c e η φασµατική πυκνότητα ενέργειας και f, f τα όρια ολοκλήρωσης συχνοτήτων µε f< f. Από τη σχέση f c / λ f c / λ και f c / λ όπου λ λx λx (+.6).6.µ και λ λx (.6).λx.6µ τα όρια ολοκλήρωσης µηκών κύµατος. Κάνοντας χρήση των σχέσεων f c / λ και λ λ, µετασχηµατίζουµε την συνάρτηση u ως προς λ και βρίσκουµε df c / d λ λ.6λx c c 8π hc c x ( ) 5 hc λ λ λ ktλ.λx. E u f, T c / λ dλ dλ u( λ, T ) dλ e Η γραφική παράσταση της συνάρτησης c / u( λ, T ) ως προς λ φαίνεται στο σχήµα. Προσεγγίζουµε το ολοκλήρωµα περί την κορυφή µε δύο τραπέζια εκατέρωθεν του µεγίστου: λx.6λx c u(, T ) d u(, T ) d λ λ+ λ λ.λx λx και αντικαθιστώντας βρίσκουµε E (7.+97.)W/. W/. x Τούτο σηµαίνει ότι η µισή περίπου ισχύς παρέχεται στην ως άνω περιοχή του λ x.

2 Άσκηση Για να έχουµε την εµφάνιση φωτοηλεκτρικού φαινοµένου θα πρέπει f>f c λ<λ c, όπου f c, λ c είναι η συχνότητα και το µήκος κύµατος κατωφλίου αντίστοιχα. Φ, όπου Φ το έργο εξόδου (σχέση (.), σελ. 67 του βιβλίου h h c των Serwy, Moses, Moyer) Από την τελευταία προκύπτει ότιλ c. Φ Γνωρίζουµε ότι fc Από τα δεδοµένα της άσκησης προκύπτει το µήκος κύµατος κατωφλίου για τα µέταλλα: Li: λ c 5n Be: λ c 8n Hg: λ c 76n Όπως παρατηρούµε µόνο το Li ικανοποιεί την απαραίτητη συνθήκη για την εµφάνιση του φωτοηλεκτρικού φαινοµένου. Η µέγιστη κινητική ενέργεια των φωτοηλεκτρονίων θα δίνεται από τη σχέση (.) σελ. 67 του βιβλίου των Serwy, Moses, Moyer: ( 6.66x J s) ( x 8 s) h c 9 Κ x ΦLi K.eVx.6x J/eV 9 λ x Κ x.9x -9 J.86eV Άσκηση H ενέργεια του αρµονικού ταλαντωτή δίνεται από p E + kx Υπολογίζοντας τη µέση τιµή έχουµε p E + k x () Από τον ορισµό της αβεβαιότητας και χρησιµοποιώντας x p βρίσκουµε Αντικαθιστώντας στην () ( x) x x x x ( x) ( p) p p p p ( p) ( ) p E + k( x) () Χρησιµοποιώντας την ταυτότητα η () συνεπάγεται ( ) + + ( ) () p k ħ E k( x) ( p)( x) ω

3 Όπου χρησιµοποιήσαµε τη σχέση αβεβαιότητας ( x)( p) ħ () Εναλλακτικά µπορούµε να ελαχιστοποιήσουµε την () ως προς ( x) αντικαταστήσουµε το ( p) από την () και καταλήγουµε στο ίδιο αποτέλεσµα. αφού Άσκηση Ακολουθούµε τα ίδια βήµατα µε την εύρεση κατά Bohr του φάσµατος του ατόµου του Υδρογόνου h nh Α) Από την κβάντωση της στροφορµής έχουµε L υ r n υ π π r όπου n,, Για να κινείται το σώµα σε κυκλική τροχιά η ελκτική δύναµη πρέπει να παίζει το ρόλο της κεντροµόλου εποµένως Β) υ υ n h n h F + Dr r r n r D π r D π D E K+ U υ + Dr Dr + Dr Dr n h D D ħ n, n,, π D Γ) Οι δυνατές ενέργειες των φωτονίων είναι E E E ( n n ) D ħ, n > n και τα αντίστοιχα µήκη κύµατος if i f i f i f hc hc π c λ, n > n Eif D ( ni n f ) D ( ni n f ) ħ if i f Άσκηση 5 Α) ψ Α Ο x Β) Πρέπει να ισχύει:

4 + ψ ( x) dx ψ ( x) dx+ ψ ( x) dx Αναπτύσσοντας τα ολοκληρώµατα, παίρνουµε: A x ( ) ( ) A x d x + d x A A x d x + ( x) d x ( ) A x A ( x ) + ( ) A x ( x ) + ( ) A + A Γ) Είναι η θέση x (για την οποία µεγιστοποιείται το ψ(x) ) A α α ) P(, ) Ψ dx α P(, ) όπως είναι αναµενόµενο γιατί η κυµατοσυνάρτηση µηδενίζεται για x>. P(, ) / το οποίο είναι επίσης σωστό γιατί όταν η κυµατοσυνάρτηση είναι συµµετρική ως προς το σηµείο x. Ε) α α x x Ψ dx A x dx x ( x) dx α + ( α) x x x x + + α ( α) ( ) ( ) + + ( + ) ( ) ( )

5 Άσκηση 6 α) Η κυµατοσυνάρτηση είναι λύσης της V( x) εξίσωσης του Schoedinger ψ ( ) ψ () dx ħ d E U L x Στην περιοχή < x< L, U V και καθώς -V E>V E+ V > ορίζουµε K ( E+ V ) ħ και η () παίρνει τη µορφή µε γενική λύση Στην περιοχή x ψ ( x) Kψ ( x) ψ Asin Kx+ B cos Kx > L το δυναµικό µηδενίζεται και καθώς E< η () γράφεται ως ψ ( x) kψ ( x) µε E k >. Η γενική λύση είναι ħ k x k x ψ C e + D e Οι οριακές συνθήκες είναι ψ () καθώς το δυναµικό απειρίζεται στο x και κατά συνέπεια B. Επίσης η κυµατοσυνάρτηση πρέπει να είναι πεπερασµένη στο x + και άρα C. Η κυµατοσυνάρτηση είναι λοιπόν της µορφής ψ Asin K x,< x< L k x ψ D e, x> L Η συνέχεια της κυµατοσυναρτήσεως και της παραγώγου της στο x ψ ( L) ψ ( L) Asin K L D e k L ψ ( L) ψ ( L) A K cos K LD k e k L () L συνεπάγονται όπου η πρώτη σχέση µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό της σταθεράς D συναρτήσει της A, kl D Ae sin KL. β) ιαιρώντας τις δύο σχέσεις () κατά µέλη παίρνουµε sin KL K tn K L K cos KL k k που είναι και η ζητούµενη εξίσωση που ικανοποιούν οι τιµές της ενέργειας µε Κ και k όπως ορίστηκαν παραπάνω. 5

6 Άσκηση 7 A) Η αβεβαιότητα της θέσης δίνεται από x x x Σύµφωνα µε τη σχέση (5.6) και το Παράδειγµα 5.9 του βιβλίου των Serwy-Moses- Moyer η κυµατοσυνάρτηση του αρµονικού ταλαντωτή στη βασική κατάσταση είναι Συνεπώς ω ψ πħ x / e ωx ħ + dx xψ καθώς πρόκειται για ολοκλήρωµα περιττής συνάρτησης σε συµµετρικά όρια. Επίσης Εποµένως + / + ω x / ħ ω x dx x ψ dx x e πħ + y dy y e ħ ħ π ħ π ω π ω ω x x Από την εκφώνηση γνωρίζουµε ότι x d. ħ ħ Άρα: d ω ω d Β) Η µέση τιµή της δυναµικής ενέργειας δίνεται από V k x ω x ω ħ ħ ħ ω ω 8d ħω ħ Γ) Η ενέργεια του ταλαντωτή στη βασική του κατάσταση είναι E d ħ ħ ħ E T+ V T E V E V d 8d 8d Άσκηση 8 Α) Ζητείται η πιθανότητα διελεύσεως Τ όταν L5 Α ο και Α ο ενώ Ε.5 ev. Το ύψος του φραγµού είναι U Φ 5eV. Με βάση τα δεδοµένα χρησιµοποιούµε την (6.9) του βιβλίου των Serwy-Moses- Moyer έχουµε kδ T ( E) + ( kδ) e L / δ () 6

7 E ħ όπου kδ και δ U E ( U E) Με τα δεδοµένα, η () γράφεται E E T 6 e Φ Φ Φ Υπολογίζουµε τον εκθέτη ( ) L E ħ 6 ( Φ E) c ( Φ E).5 ev(5.5)ev 6.L L L L ħ ħc 97.eVin n και συνεπώς L / n 6. L / n T ( L) 6 e e Έτσι έχουµε 6..5n / n T (5 A ) T (.5n) e. και 6. n / n 7 T ( A ) T (n) e.69 Β) Αποµακρυνόµενοι κατά απόσταση ακόµη 5 µονοατοµικών στρωµάτων η πιθανότητα µειώνεται κατά 8 φορές. Άσκηση 9 Σύµφωνα µε τις σχέσεις (.8) και (.9) του βιβλίου των Serwy-Moses-Moyer οι ακτίνες r και r του µοντέλου του Bohr είναι: r α ο και r α ο Σύµφωνα µε τη σχέση (7.6) του ιδίου βιβλίου η πυκνότητα πιθανότητας είναι r r / αo αo αο P(r) R r e r Συνεπώς η πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σε σφαιρικό φλοιό µεταξύ των ακτίνων r α ο και r α ο είναι α α r / α αo α α α Π R r dr r e dr α α r / α r / αo z r e dr d e dz z e 5 α α α α r r α ιόπου θέσαµε z r / α. Χρησιµοποιώντας το δοθέν ολοκλήρωµα z Π e ( z z z z ) e ( ) e ( ) e 8e % Άσκηση Για το µέτρο της στροφορµής σύµφωνα µε τη σχέση (7.) του βιβλίου των Serwy- Moses-Moyer και την εκφώνηση θα έχουµε 7

8 π.77 ( + ).77 J s ( + ) ħ 6.66 Επιλύοντας τη δευτεροβάθµια βρίσκουµε 5 που απορρίπτεται και που είναι η αποδεκτή λύση. Για οι δυνατές τιµές του µαγνητικού κβαντικού αριθµού είναι, ±, ±, ±, ± και οι ζητούµενες γωνίες δίνονται από τη σχέση (7.5) του βιβλίου των Serwy-Moses-Moyer Lz cosθ L ( + ) Έτσι έχουµε cosθ θ 5. 5 cosθ + θ. cosθ + + θ 7. 5 cosθ + θ. cosθ θ 9 + cosθ + θ cosθ + + θ cosθ + θ cosθ + + θ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ) Το φάσµα του ατόµου του υδρογόνου δίνεται από e.6 En ev 8ε n h n ενώ των ιόντων του ηλίου Ζ Z e.6 E n ev 8ε n h n Τα µήκη κύµατος της εκπεµπόµενης ακτινοβολίας για το υδρογόνο δίνονται από E En R λ hc n n 8

9 και για το ιόν του ηλίου και τα αντίστοιχα επίπεδα E E n R λ n h c n Εποµένως λn λ n n n Παρατηρούµε ότι καθώς τα n,, n, είναι ακέραιοι η ισότητα ισχύει για παράδειγµα όταν n n, και εποµένως προκαλείται η οµοιότητα στα φάσµατα. Βέβαια στην πράξη υπάρχει µια µικρή διαφορά λόγω της διαφορετικής ανηγµένης µάζας. ) Σύµφωνα µε τον de Brogie τα ηλεκτρόνια εκτός από σωµατίδια µάζας e συµπεριφέρονται και ως κύµατα µε µήκος κύµατος λ h / p, όπου p η ορµή των ηλεκτρονίων. Εποµένως τα ηλεκτρόνια θα εµφανίζουν κυµατικά φαινόµενα όπως αυτό της περίθλασης όταν προσπίπτουν σε επιφάνειες µε ασυνέχειες της τάξης του λ. Ο κρύσταλλος δρα σαν φράγµα περίθλασης µε απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών σχισµών (εδώ ατόµων) ίση µε. Από τα φράγµατα περίθλασης γνωρίζουµε ότι το πρώτο µέγιστο συµβολής (εκτός από το κεντρικό θ ) προκύπτει από τη σχέση: sinθ λ η οποία µας δίνει λ. Å. Η κινητική ενέργεια είναι p h (6.66 ) J s K K λ 9.95 (. ) kg e K e J ev ) (Α) Η µεταβολή του µήκους κύµατος ενός φωτονίου λόγω σκέδασής του από ηλεκτρόνιο (φαινόµενο Copton) δίνεται από τη σχέση h λ λ λ ( cos θ ) () ec ίνεται ότι λ λ λ λ και από την () θέτοντας θ 6 βρίσκουµε h 6.66 J s λ. 8 ec kg /s (Β) Η αρχική ενέργεια του φωτονίου είναι h () h E pc c E c ec λ h / c e 8 kg E 9.95 (.9979 ).67 J MeV s ) Η ολική ενέργεια του σωµατιδίου είναι E E + E+ E, όπου οι επιµέρους ενέργειες δίνονται από 9

10 π ħ π ħ E n n, n,,,... Lx L π ħ π ħ π ħ π ħ E n n n E n n n n,,,,... ( + + ) Ly L L L π ħ π ħ E n n, n,,,... Lz L Από την τελευταία σχέση µπορούµε να υπολογίσουµε την ενέργεια και τον εκφυλισµό των καταστάσεων του σωµατιδίου. Οι έξι πρώτες δίνονται στον πίνακα: n n n n εκφυλισµός 6 Μη εκφυλισµένη 9 ιπλός Μη εκφυλισµένη ιπλός 7 ιπλός 8 Μη εκφυλισµένη 5) Με βάση τη σχέση.7 από το βιβλίο των Serwy-Moses-Moyer, µπορούµε να υπολογίσουµε την µέγιστη κινητική ενέργεια K που µπορεί να έχει ένα σωµάτιο α ώστε να σκεδαστεί ελαστικά από έναν πυρήνα αργύρου (Ζ 7) ( Ze)( e) K k, r 7 N όπου k c η σταθερά Couo και r η απόσταση πλησιέστερης A s προσέγγισης του σωµατιδίου α στον πυρήνα. Θέτοντας όπου r την ακτίνα ενός πυρήνα αργύρου, βρίσκουµε 9 ( Ze)( e) (.6 ) N C K k (.9979 ) 5 r 5.7 A s K.8 J K.7 MeV Παρατηρούµε ότι η ενέργεια των 5 MeV που έχουν τα σωµατίδια α είναι µεγαλύτερη από το Κ, συνεπώς δεν ακολουθούν τον νόµο (sin φ/ ) του Rutherford διότι µπορεί να εισχωρήσουν στον πυρήνα.