ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ, ΧΗΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ, ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΡΥΘΜΙΣΗΣ ΤΩΝ ΧΗΜΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Β ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ, ΧΗΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Καθηγητής Κων/νος Κυπαρισσίδης ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ, 2011

2 ΚEΦAΛAIO 1 Εισαγωγή: Βασικές Αρχές Η μελέτη της δυναμικής απόκρισης των φυσικών, χημικών και βιολογικών συστημάτων αποτελεί αναπόσπαστο μέρος της επιστήμης του χημικού μηχανικού. Οι χημικοί μηχανικοί είναι υπεύθυνοι για το σχεδιασμό και τη βέλτιστη λειτουργία των βιομηχανικών διεργασιών σύμφωνα με τους περιορισμούς που καθορίζονται από παράγοντες όπως: Προδιαγραφές προϊόντων Ασφάλεια λειτουργίας της βιομηχανικής εγκατάστασης Λειτουργικοί και κατασκευαστικοί περιορισμοί Κανονισμοί προστασίας του περιβάλλοντος Οικονομικοί, κλπ. Η ικανοποίηση όλων των παραπάνω προδιαγραφών και λειτουργικών περιορισμών προϋποθέτει συνεπάγεται τη συνεχή μέτρηση και αξιολόγηση ορισμένων μεταβλητών της διεργασίας (π.χ., θερμοκρασιών, πιέσεων, χημικής σύστασης, κλπ.) και τον κατάλληλο χειρισμό ορισμένων επιλεγμένων μεταβλητών ελέγχου. Στο μάθημα της «Δυναμικής Ανάλυσης των Φυσικών, Χημικών και Βιολογικών Συστημάτων» μελετάμε τη δυναμική συμπεριφορά των διεργασιών (π.χ., χημικών και βιολογικών αντιδραστήρων, αποστακτικών στηλών, εναλλακτών θερμότητας, κλπ.). Η χρονική απόκριση ενός δυναμικού συστήματος είναι δυνατό να αναλυθεί με τη βοήθεια ενός μαθηματικού μοντέλου (προτύπου) που συνήθως αποτελείται από ένα σύστημα διαφορικών και αλγεβρικών εξισώσεων. Η αναλυτική ή συνήθως αριθμητική επίλυση του δυναμικού μοντέλου επιτρέπει τη μελέτη της μεταβατικής συμπεριφοράς του συστήματος (transient behaviour), δηλαδή την ανάλυση της χρονικής απόκρισης του συστήματος συναρτήσει των μεταβολών στις μεταβλητές εισόδου, καθώς και τη μετάβαση ενός ευσταθούς δυναμικού συστήματος από μία αρχική μόνιμη κατάσταση σε μία νέα τελική κατάσταση. 1

3 2 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων 1.1 Δυναμικό Μοντέλο Διεργασίας Στην Εικόνα 1.1 παρουσιάζεται μία φυσική διεργασία θέρμανσης ενός ρευστού. Θεωρούμε ότι στο εσωτερικό της εμβαπτισμένης θερμαντικής σπείρας κυκλοφορεί κορεσμένος ατμός. Για να αναλύσουμε τη δυναμική απόκριση της διεργασίας, διατυπώνουμε αρχικά τα δυναμικά ισοζύγια μάζας και ενέργειας για το ρευστό στο δοχείο. Δυναμικό ισοζύγιο μάζας Ο ρυθμός συσσώρευσης της μάζας (Μ=ρV, kg) στο δοχείο θα ισούται με τη διαφορά των μαζικών παροχών των ρευμάτων εισόδου ( m in = ρoqo, kg/s) και εξόδου ( m out = ρq, kg/s). Συνεπώς, ( ) d ρv dt = ρ q(t) ρq(t) (1.1) ο o όπου ρ (kg/m 3 ) και q (m 3 /s) συμβολίζουν αντίστοιχα την πυκνότητα και την ογκομετρική παροχή του ρευστού. Εάν θεωρήσουμε ότι η πυκνότητα του ρευστού παραμένει σταθερή (ρ = ρ ο ), τότε η εξίσωση (1.1) γράφεται: dv q o (t) q(t) dt = ; ( ) o dh V t = 0 = V ή A q o(t) q(t) dt = (1.2) q st (t), Εικόνα 1.1: Θέρμανση ρευστού σε δοχείο συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης.

4 Εισαγωγή: Βασικές Αρχές 3 όπου Α (m 2 ) είναι η διατομή του δοχείου, h(t) (m) η στάθμη του ρευστού στο δοχείο και V ο (m 3 ) είναι ο όγκος του ρευστού στο δοχείο σε χρόνο t=0. Δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας Εάν θεωρήσουμε ότι η πυκνότητα, ρ, και η ειδική θερμότητα, C p (kj/(kg.k)), του ρευστού παραμένουν αμετάβλητες ως προς το χρόνο, τότε το δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας για το ρευστό γράφεται: d(tv) ρcp = q o(t)ρc p(t o(t) T r) q(t)ρc p(t(t) T r) + q st(t) ; T(t = 0) = To (1.3) dt όπου T r είναι μία θερμοκρασία αναφοράς και q st (t) (kj/s) είναι ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας από τη θερμαντική σπείρα στο ρευστό του δοχείου. Συνεπώς, εάν γνωρίζουμε τις τιμές των μεταβλητών q o (t), q(t), T o (t) και q st (t) και τις αρχικές τιμές V o και T o, είναι δυνατό να υπολογίσουμε τη χρονική εξέλιξη των μεταβλητών V(t) και Τ(t) από την αριθμητική επίλυση των διαφορικών εξισώσεων (1.2) και (1.3). 1.2 Ταξινόμηση των Μεταβλητών Γενικά, οι διάφορες μεταβλητές σε ένα δυναμικό σύστημα (βλέπε Εικόνα 1.2) μπορούν να ταξινομηθούν σε μεταβλητές: Eισόδου (input variables): u(t), d(t) και d (t) Eξόδου (output variables): y(t) και z(t) Kατάστασης (state variables): x(t) Εικόνα 1.2: Σχηματική απεικόνιση των μεταβλητών εισόδου, εξόδου και κατάστασης.

5 4 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Οι μεταβλητές εισόδου προσδιορίζουν την επίδραση του εξωτερικού περιβάλλοντος επί του δυναμικού συστήματος και διακρίνονται σε: Διαταραχές (disturbances). Οι τιμές τους καθορίζονται από τυχαίους παράγοντες και καταστάσεις (π.χ., η θερμοκρασία του περιβάλλοντος χώρου, η σύσταση ενός ρεύματος τροφοδοσίας, κλπ.). Οι διαταραχές επιπλέον διακρίνονται σε μετρούμενες (measured), d(t), και μη μετρούμενες (unmeasured), d (t). Οι πρώτες μπορούν να μετρηθούν και συνεπώς να αξιολογηθούν. Μεταβλητές ελέγχου ή χειρισμού (control or manipulated variables), u(t). Οι τιμές τους καθορίζονται από κάποιο χειριστή ή έναν αναλογικό/ ψηφιακό ελεγκτή. Οι μεταβλητές εξόδου υποδηλώνουν την επίδραση του δυναμικού συστήματος επί του εξωτερικού περιβάλλοντος. Οι μεταβλητές αυτές διακρίνονται σε: Mετρούμενες μεταβλητές εξόδου (measured output variables), y(t), εάν οι τιμές τους δύνανται άμεσα να μετρηθούν και συνεπώς να αξιολογηθούν. Mη μετρούμενες μεταβλητές εξόδου (unmeasured output variables), z(t). Οι μεταβλητές αυτές δε μετρώνται και συνεπώς δεν μπορούν να αξιολογηθούν. Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι ελέγχουμε συνήθως εκείνες τις μεταβλητές εξόδου τις τιμές των οποίων μπορούμε να μετρήσουμε και επομένως να αξιολογήσουμε. Στην περίπτωση αυτή οι μετρούμενες μεταβλητές εξόδου ονομάζονται και ελεγχόμενες ή ρυθμιζόμενες μεταβλητές (controlled variables). Τέλος, οι μεταβλητές κατάστασης, x(t), χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν την εσωτερική δυναμική κατάσταση του συστήματος και ταυτίζονται με τις εξαρτημένες μεταβλητές του μαθηματικού μοντέλου προσομοίωσης του δυναμικού συστήματος. Παράδειγμα 1.1: Κατάταξη των μεταβλητών σε ανοικτό δυναμικό σύστημα Με βάση τους παραπάνω ορισμούς να κατατάξετε τις διάφορες μεταβλητές της διεργασίας της Εικόνας 1.1 σε μεταβλητές εισόδου, εξόδου και κατάστασης. Λύση: Οι μεταβλητές, που σημειώνονται στη διεργασία της Εικόνας 1.1, είναι οι ακόλουθες έξι (ή επτά): q o (t), T o (t), q(t), T(t), q st (t), V(t) (ή h(t)). Οι μεταβλητές αυτές μπορούν να ταξινομηθούν σε: Mεταβλητές εισόδου: q o (t), T o (t), q st (t)

6 Εισαγωγή: Βασικές Αρχές 5 Mεταβλητές εξόδου: q(t), T(t) 1 Mεταβλητές κατάστασης: T(t) 1 και V(t) (ή h(t)) Παρατήρηση 1: Μία μεταβλητή κατάστασης μπορεί επίσης να χαρακτηριστεί και ως μεταβλητή εξόδου Ελεγχόμενο Δυναμικό Σύστημα Ο έλεγχος της δυναμικής λειτουργίας μιας διεργασίας συνεπάγεται τη μέτρηση και ρύθμιση ορισμένων επιλεγμένων μεταβλητών εξόδου. Συνήθως, σε μια φυσική/ χημική διεργασία ελέγχουμε τη θερμοκρασία, την πίεση, τη συγκέντρωση ή τη στάθμη ενός ρευστού. Οι μεταβλητές αυτές ονομάζονται ελεγχόμενες ή ρυθμιζόμενες μεταβλητές. Ο καθορισμός των τιμών των ελεγχόμενων μεταβλητών εξόδου γίνεται με τη βοήθεια των μεταβλητών εισόδου-ελέγχου ή χειρισμού, που συνήθως είναι η παροχή κάποιου ψυκτικού ή θερμαντικού μέσου, η παροχή ή η συγκέντρωση ενός ρεύματος, η ισχύς μιας Εικόνα 1.3: Παραδείγματα συστημάτων αυτομάτου ελέγχου: (α) έλεγχος στάθμης υγρού και (β) έλεγχος θερμοκρασίας σε εναλλάκτη.

7 6 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων ηλεκτρικής αντίστασης, κλπ. Στην Εικόνα 1.3(α) παρουσιάζεται μια τυπική διάταξη αυτομάτου ελέγχου της στάθμης του υγρού σε μια κυλινδρική δεξαμενή. Ένα άλλο παράδειγμα αυτομάτου ελέγχου της θερμοκρασίας του θερμού ρεύματος ενός εναλλάκτη θερμότητας δίνεται στην Εικόνα 1.3(β). Γενικά, παρατηρούμε ότι ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου αποτελείται από τα ακόλουθα στοιχεία: Τη φυσική ή/και χημική διεργασία (π.χ., εναλλάκτης θερμότητας, χημικός αντιδραστήρας, κλπ.) Το μετρητικό στοιχείο (π.χ., θερμοστοιχείο, μετρητικό στάθμης, κλπ.) Τον αναλογικό/ψηφιακό ελεγκτή Το τελικό στοιχείο ελέγχου (π.χ., αυτόματη βάνα) Διάφορους μετατροπείς και μεταφορείς σημάτων και πληροφοριών Παράδειγμα 1.2: Κατάταξη μεταβλητών σε ελεγχόμενη διεργασία Θεωρούμε ότι η θερμοκρασία και η στάθμη του ρευστού της διεργασίας της Εικόνας 1.4 ελέγχονται με τη βοήθεια των ελεγκτών θερμοκρασίας TC (temperature controller) και στάθμης LC (level controller). Nα κατατάξετε εκ νέου τις διάφορες μεταβλητές που σημειώνονται στην Εικόνα 1.4 σε μεταβλητές εισόδου, εξόδου και κατάστασης. Λύση: Οι μεταβλητές της διεργασίας μπορούν τώρα να ταξινομηθούν σε: q st (t) Εικόνα 1.4: Έλεγχος της θερμοκρασίας και της στάθμης σε δοχείο συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης.

8 Εισαγωγή: Βασικές Αρχές 7 Mεταβλητές εισόδου: q ο (t), T ο (t), q st (t), q(t) 1 Διαταραχές: Ελέγχου: q ο (t), T ο (t) q st (t), q(t) 1 Mεταβλητές εξόδου: : T(t), h(t) 2 Mεταβλητές κατάστασης: T(t), h(t) 2 Παρατήρηση 1: Παρατηρούμε ότι ο κύριος χαρακτηρισμός της μεταβλητής q(t) άλλαξε από μεταβλητή εξόδου (βλέπε Παράδειγμα 1.1) σε μεταβλητή εισόδου-ελέγχου. Αυτό οφείλεται στην τοποθέτηση του ελεγκτή στάθμης (LC), σκοπός του οποίου είναι να ελέγχει τη στάθμη του ρευστού στο δοχείο με κατάλληλη μεταβολή της παροχής του ρεύματος εξόδου, q(t). Παρατήρηση 2: Μία μεταβλητή κατάστασης μπορεί να χαρακτηρισθεί και ως μεταβλητή εξόδου και συγκεκριμένα, ως μετρούμενη/ ρυθμιζόμενη μεταβλητή Βαθμοί Ελευθερίας ενός Δυναμικού Συστήματος Γενικά, ένα φυσικό, χημικό ή βιολογικό σύστημα θα χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό μεταβλητών, V. Προκειμένου να αναλύσουμε τη δυναμική συμπεριφορά ενός συστήματος είναι απαραίτητο να διατυπώσουμε τις κατάλληλες διαφορικές και αλγεβρικές εξισώσεις, που περιγράφουν για παράδειγμα τη διατήρηση της μάζας, των γραμμομορίων, της ενέργειας, της ορμής, κλπ. στο σύστημα. Όμως, για την επίλυση (συνήθως αριθμητική) του δυναμικού μαθηματικού μοντέλου ενός συστήματος θα πρέπει οι βαθμοί ελευθερίας, F, να είναι μηδέν. Ο αριθμός αυτός, F, ισούται με τη διαφορά του συνολικού αριθμού των μεταβλητών του συστήματος, V, και του αριθμού των εξισώσεων (π.χ., ανεξάρτητων διαφορικών και αλγεβρικών), E, που είναι δυνατό να διατυπώσουμε μεταξύ των μεταβλητών στο σύστημα: F= V E (1.4) Εάν F = 0, τότε είναι δυνατή η επίλυση των E εξισώσεων που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος και, συνεπώς, να προσδιορίσουμε τη χρονική μεταβολή των V μεταβλητών. Eάν F>0, σημαίνει ότι έχουμε περισσότερες μεταβλητές από εξισώσεις και επομένως, η επίλυση του μαθηματικού μοντέλου του συστήματος δεν είναι δυνατή. Στην περίπτωση αυτή, χρειάζεται να προσδιορίσουμε F επιπλέον εξισώσεις ή διαφορετικά να ορίσουμε τις τιμές F μεταβλητών. Tέλος, εάν F<0, σημαίνει ότι διαθέτουμε περισσότερες εξισώσεις από αγνώστους και συνεπώς, θα πρέπει να επιλέξουμε (E- F ) ανεξάρτητες εξισώσεις, έτσι ώστε το σύστημα που προκύπτει να επιλύεται μονοσήμαντα.

9 8 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Παράδειγμα 1.3: Υπολογισμός των βαθμών ελευθερίας σε ανοικτό δυναμικό σύστημα Να υπολογίσετε τους βαθμούς ελευθερίας, F, του ανοικτού δυναμικού συστήματος του Παραδείγματος 1.1 (βλέπε Εικόνα 1.1). Λύση: Aριθμός Mεταβλητών: V = 6, q ο (t), T ο (t), q(t), T(t), q st (t), h(t) και (V(t)=Ah(t)) Aριθμός Eξισώσεων: E = 2, Δύο διαφορικές εξισώσεις: (1.2) και (1.3) Παράμετροι (οι τιμές τους είναι ανεξάρτητες του χρόνου): A, ρ, C p, T r Bαθμοί ελευθερίας: F = V E = 6 2 = 4 Συνεπώς, θα πρέπει να ορίσουμε τις τιμές τεσσάρων μεταβλητών, έτσι ώστε να είναι δυνατή η μαθηματική επίλυση του δυναμικού μοντέλου της διεργασίας. Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να ορίσουμε τις τιμές των μεταβλητών q ο (t), T ο (t), q(t) και q st (t) και να υπολογίσουμε τις τιμές των h(t) και T(t) από την αριθμητική επίλυση του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων (1.2) και (1.3). Παράδειγμα 1.4: Υπολογισμός των βαθμών ελευθερίας σε ελεγχόμενη διεργασία Να υπολογίσετε το συνολικό αριθμό των εξισώσεων και τους βαθμούς ελευθερίας, F, της ελεγχόμενης διεργασίας του Παραδείγματος 1.2 (βλέπε Εικόνα 1.4) Λύση: Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή, εκτός των δυναμικών ισοζυγίων μάζας και ενέργειας (1.2) και (1.3), μπορούμε να διατυπώσουμε δύο ακόμη εξισώσεις που αναφέρονται στη λειτουργία των ελεγκτών στάθμης και θερμοκρασίας. LC : q(t) = f 1 (h(t)) (1.5) TC : q st (t) = f 2 (T(t)) (1.6) Συνεπώς, ο αριθμός των εξισώσεων, Ε, θα είναι ίσος με τέσσερα και οι βαθμοί ελευθερίας: F = (6 4) = 2. Έτσι λοιπόν, εάν γνωρίζουμε τις χρονικές μεταβολές των μεταβλητών q ο (t) και Τ ο (t) είναι δυνατό να υπολογίσουμε τις χρονικές μεταβολές των μεταβλητών h(t) και T(t) από την αριθμητική επίλυση του μαθηματικού μοντέλου (βλέπε εξισώσεις (1.2), (1.3), (1.5) και (1.6)) στην ελεγχόμενη διεργασία.

10 Εισαγωγή: Βασικές Αρχές 9 Παρατήρηση: Η ύπαρξη ενός βρόχου ρύθμισης ελαττώνει τους βαθμούς ελευθερίας του δυναμικού συστήματος κατά ένα γιατί εισάγει μία επιπλέον εξίσωση. Παράδειγμα 1.5: Προσδιορισμός των βαθμών ελευθερίας σε ελεγχόμενη διεργασία Δίνεται η φυσική διεργασία της Εικόνας 1.5. Η διεργασία περιλαμβάνει ένα δοχείο συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης, έναν ελεγκτή θερμοκρασίας ΤC και έναν ελεγκτή στάθμης LC. q c (t): είναι η παροχή του ψυχρού ρεύματος στο δοχείο ανάμιξης, m 3 /s T c : είναι η θερμοκρασία του ψυχρού ρεύματος, C (σταθερή) q h (t): είναι η παροχή του θερμού ρεύματος στο δοχείο ανάμιξης, m 3 /s T h : είναι η θερμοκρασία του θερμού ρεύματος, C (σταθερή) q d (t): είναι η παροχή του ρεύματος διαταραχής, m 3 /s T d (t): είναι η θερμοκρασία του ρεύματος διαταραχής, C q(t): είναι η ογκομετρική παροχή στην έξοδο του δοχείου, m 3 /s T(t): είναι η θερμοκρασία του ρεύματος εξόδου, C h(t): είναι η στάθμη του ρευστού στο δοχείο, m Δίνεται επίσης η ακόλουθη αλγεβρική εξίσωση για το ρεύμα εκροής, q(t), συναρτήσει του ύψους του ρευστού στο δοχείο, h(t): Εικόνα 1.5: Έλεγχος της θερμοκρασίας και της στάθμης σε διεργασία συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης.

11 10 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων q(t) = kh(t) 1/2 Να ταξινομήσετε τις διάφορες μεταβλητές της διεργασίας σε μεταβλητές εισόδου (διαταραχές, ελέγχου), εξόδου και μεταβλητές κατάστασης. Να υπολογίσετε τους βαθμούς ελευθερίας, F, και να προσδιορίσετε τις μεταβλητές εκείνες, τις τιμές των οποίων θα πρέπει να γνωρίζουμε για να είναι δυνατή η επίλυση του μαθηματικού μοντέλου της διεργασίας. Λύση: Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος, ο συνολικός αριθμός των μεταβλητών της διεργασίας είναι: V=7 (q c (t), q h (t), T d (t), q d (t), q(t), T(t), h(t)). Οι μεταβλητές αυτές διακρίνονται σε: Μεταβλητές εισόδου: q c (t), q h (t), T d (t), q d (t) Διαταραχές: T d (t), q d (t) Ελέγχου: q c (t), q h (t) Μεταβλητές εξόδου: q(t), T(t), (h(t)) Μεταβλητές κατάστασης: T(t), h(t) Παράμετροι: Τ c, Τ h, Α, ρ, C p, Τ r Παρατηρούμε ότι οι ρυθμιζόμενες μεταβλητές T(t) και h(t) είναι και μεταβλητές κατάστασης. Ο συνολικός αριθμός των διαφορικών και αλγεβρικών εξισώσεων, που μπορούμε να διατυπώσουμε για το δυναμικό σύστημα, είναι Ε=5. Συγκεκριμένα έχουμε: Ένα διαφορικό ισοζύγιο μάζας για το ρευστό στο δοχείο Ένα διαφορικό ισοζύγιο ενέργειας για το ρευστό στο δοχείο Μία εξίσωση για τον έλεγχο της θερμοκρασίας του ρευστού Μία εξίσωση για τον έλεγχο της στάθμης του ρευστού στο δοχείο Μία αλγεβρική εξίσωση του ρεύματος εκροής, q(t), συναρτήσει του h(t) Συνεπώς, οι βαθμοί ελευθερίας της διεργασίας είναι: F = V E = 7 5 = 2 Επομένως, χρειάζεται να γνωρίζουμε τις τιμές των δύο διαταραχών T d (t) και q d (t) για να είναι δυνατή η αριθμητική επίλυση του δυναμικού μοντέλου της διεργασίας.

12 Εισαγωγή: Βασικές Αρχές Τύποι Ελεγκτών Σκοπός του αυτομάτου ελέγχου των δυναμικών συστημάτων είναι ο σχεδιασμός κατάλληλων βρόχων ρύθμισης έτσι ώστε: Nα διατηρήσουμε τις τιμές των επιλεγμένων μεταβλητών εξόδου, y(t), σε κάποιες επιθυμητές τιμές αναφοράς (set points), y sp, παρά την ύπαρξη των διαταραχών, d(t) και d (t): Pυθμιστικός έλεγχος (regulatory control). Nα σταθεροποιήσουμε τη λειτουργία ενός ασταθούς ανοικτού δυναμικού συστήματος (open-loop unstable system): Σταθεροποιητικός έλεγχος (stabilizing control). Nα βελτιώσουμε τη λειτουργία ενός δυναμικού συστήματος, εξαναγκάζοντας ορισμένες επιλεγμένες μεταβλητές εξόδου, y(t), να ακολουθήσουν καθορισμένες επιθυμητές μεταβολές των σημάτων αναφοράς, y sp (t): Bέλτιστος ή καθοδηγητικός έλεγχος (optimizing or servo control). Για την ικανοποίηση των παραπάνω στόχων του αυτομάτου ελέγχου των συστημάτων, χρησιμοποιούμε διάφορους τύπους ελεγκτών που μπορούν να διακριθούν σε: Ελεγκτές πρόδρασης (feedforward controllers). Ελεγκτές ανάδρασης (feedback controllers). Ελεγκτές πρόδρασης/ ανάδρασης (feedforward/ feedback controllers). Οι ελεγκτές μπορούν περαιτέρω να διακριθούν σε: Ελεγκτές μιας μεταβλητής εισόδου - μιας μεταβλητής εξόδου (MEME), (single input - single output, SISO) Ελεγκτές πολλών μεταβλητών εισόδου- πολλών μεταβλητών εξόδου (ΠEΠE), (multiple input - multiple output, MIMO) Aναλογικούς (analog controllers) και ψηφιακούς ελεγκτές (digital controllers) Προσαρμοστικούς ελεγκτές (adaptive controllers), κλπ Έλεγχος Πρόδρασης Στον έλεγχο πρόδρασης είναι απαραίτητη η γνώση των ποσοτικών σχέσεων που συνδέουν τις μεταβλητές εισόδου με τις μεταβλητές εξόδου του δυναμικού συστήματος: y(t) = f(u(t), d(t)) (1.7) Συγκεκριμένα, στον έλεγχο πρόδρασης μετράμε τις τιμές των διαταραχών και μεταβάλλουμε τις τιμές των μεταβλητών ελέγχου, έτσι ώστε το καθαρό αποτέλεσμα των

13 12 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Εικόνα 1.6: Έλεγχος πρόδρασης. μεταβολών των d(t) και u(t) επί της διεργασίας να είναι η διατήρηση των μεταβλητών εξόδου στις επιθυμητές τους τιμές, y(t) = y sp. Προκειμένου λοιπόν, να διατηρήσουμε τις μεταβλητές εξόδου, y(t), στις επιθυμητές τιμές, y sp, επιλύουμε την εξίσωση (1.7) ως προς u(t) για δεδομένες τιμές των μετρούμενων διαταραχών, d(t), θεωρώντας ότι y(t) = y sp. Στην Εικόνα 1.6 παρουσιάζεται μια τυπική διάταξη ελέγχου πρόδρασης. Παράδειγμα 1.6: Έλεγχος της θερμοκρασίας με ελεγκτή πρόδρασης Να προσδιορίσετε το νόμο ρύθμισης του ελεγκτή πρόδρασης στην ελεγχόμενη διεργασία που περιγράφεται στην Εικόνα 1.7. m, m, q st (t) Εικόνα 1.7: Έλεγχος της θερμοκρασίας του ρευστού στο δοχείο με τη βοήθεια ελεγκτή πρόδρασης.

14 Εισαγωγή: Βασικές Αρχές 13 Λύση: Έστω T o (t), T(t) και T sp είναι η μετρούμενη θερμοκρασία του ψυχρού ρεύματος (διαταραχή), η θερμοκρασία του ρευστού στο δοχείο και η επιθυμητή τιμή της θερμοκρασίας του ρευστού, αντίστοιχα. q st (t) είναι η μεταβλητή ελέγχου. Ο νόμος ρύθμισης του ελεγκτή πρόδρασης προσδιορίζεται εύκολα από την επίλυση του ισοζυγίου ενέργειας της διεργασίας στη μόνιμη κατάσταση, δηλαδή T(t) = T. Έτσι, θέτοντας (dt/dt) = 0 στην εξίσωση (1.3), λαμβάνουμε: sp ( ) q (t) = C m T T (t) (1.8) st p sp o Έλεγχος Ανάδρασης Στην Εικόνα 1.8, παρουσιάζεται ένα τυπικό σύστημα ελέγχου ανάδρασης. Tο μετρούμενο σήμα εξόδου, y(t), συγκρίνεται με το σήμα αναφοράς, y sp. Aπό τη σύγκριση αυτή υπολογίζεται το σφάλμα ε(t) = y sp y(t). Ακολούθως, υπολογίζονται οι νέες τιμές των μεταβλητών ελέγχου, u(t), έτσι ώστε οι μεταβλητές εξόδου να πλησιάσουν τις επιθυμητές τιμές, y sp, δηλαδή ε (t) 0. Συνεπώς, ο έλεγχος ανάδρασης προϋποθέτει την άμεση μέτρηση ή έμμεση εκτίμηση των ρυθμιζόμενων μεταβλητών εξόδου. Aντίθετα με τον έλεγχο πρόδρασης, στον έλεγχο ανάδρασης η διορθωτική αλλαγή στις τιμές των μεταβλητών ελέγχου επιβάλλεται μετά την είσοδο και επίδραση των διαταραχών επί του συστήματος, που έχει ως αποτέλεσμα την απόκλιση των ελεγχόμενων μεταβλητών Εικόνα 1.8: Έλεγχος ανάδρασης.

15 14 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων από τις επιθυμητές τους τιμές. Aνάλογα με την τιμή (θετική ή αρνητική) του σφάλματος, ε(t), ο ελεγκτής υπολογίζει τις νέες τιμές των μεταβλητών ελέγχου, u(t), που οδηγούν τις ελεγχόμενες μεταβλητές, y(t), στις επιθυμητές τους τιμές, y sp.τυπικά συστήματα ελέγχου ανάδρασης παρουσιάζονται στις Εικόνες 1.3, 1.4 και 1.5. Mια σημαντική διαφορά μεταξύ του ελέγχου πρόδρασης και του ελέγχου ανάδρασης είναι ότι στη δεύτερη περίπτωση δεν είναι απαραίτητη η γνώση των ποσοτικών σχέσεων μεταξύ των μεταβλητών εισόδου και εξόδου Συνδυασμένος Έλεγχος Πρόδρασης / Ανάδρασης Στην περίπτωση αυτή η συνολική μεταβολή στις αντίστοιχες μεταβλητές ελέγχου υπολογίζεται από τη συνδυασμένη δράση των νόμων πρόδρασης και ανάδρασης (βλέπε Εικόνα 1.9). Είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι ο έλεγχος μιας διεργασίας με τη βοήθεια ενός σύνθετου ελεγκτή πρόδρασης / ανάδρασης είναι αποτελεσματικότερος και χρησιμοποιείται ευρύτατα στη βιομηχανία. Εικόνα 1.9: Έλεγχος πρόδρασης/ ανάδρασης Έλεγχος Συστοιχίας Ένα μειονέκτημα του συμβατικού ελέγχου ανάδρασης είναι ότι η διορθωτική αλλαγή στη μεταβλητή ελέγχου επιβάλλεται μετά την είσοδο και δράση των διαταραχών, δηλαδή μετά τη μέτρηση της απόκλισης της ρυθμιζόμενης μεταβλητής από το σήμα αναφοράς.

16 Εισαγωγή: Βασικές Αρχές 15 Αντίθετα, ο έλεγχος πρόδρασης προσφέρει μεγάλες βελτιώσεις σε σχέση με τον έλεγχο ανάδρασης ιδιαίτερα για διεργασίες που έχουν μεγάλες χρονικές σταθερές ή χρονικές καθυστερήσεις. Όμως, ο έλεγχος πρόδρασης προϋποθέτει την ακριβή μέτρηση όλων των διαταραχών και την ύπαρξη ενός μαθηματικού μοντέλου για τον υπολογισμό της τιμής της μεταβλητής ελέγχου συναρτήσει των τιμών των διαταραχών και της επιθυμητής τιμής της ρυθμιζόμενης μεταβλητής. Μια εναλλακτική προσέγγιση, η οποία βελτιώνει σημαντικά τη δυναμική απόκριση της διεργασίας σε μεταβολές των διαταραχών, είναι η χρησιμοποίηση μίας δευτερεύουσας μέτρησης και ενός δευτερεύοντος ελεγκτή ανάδρασης. Η δευτερεύουσα μέτρηση επιλέγεται έτσι ώστε ο δευτερεύων ελεγκτής να μπορεί να αναγνωρίζει νωρίτερα από την κύρια ρυθμιζόμενη μεταβλητή, το χρόνο εμφάνισης της διαταραχής χωρίς να είναι απαραίτητη η μέτρησή της. Η προσέγγιση αυτή χρησιμοποιεί δύο βρόχους ανάδρασης και ονομάζεται έλεγχος συστοιχίας. Τα βασικά λειτουργικά χαρακτηριστικά μιας ρυθμιστικής διάταξης συστοιχίας είναι: 1. Το σήμα εξόδου του κύριου ελεγκτή (master controller) εισάγεται ως σήμα αναφοράς στο δευτερεύοντα ελεγκτή (slave controller). 2. Ο δευτερεύων ελεγκτής λειτουργεί στο εσωτερικό του κύριου βρόχου ελέγχου. Ο έλεγχος συστοιχίας είναι ιδιαίτερα χρήσιμος στις περιπτώσεις που οι διαταραχές άμεσα σχετίζονται με τη μεταβλητή ελέγχου ή όταν το τελικό στοιχείο ελέγχου χαρακτηρίζεται από μη γραμμική συμπεριφορά. Στην Εικόνα 1.10 παριστάνεται μια ρυθμιστική διάταξη Εικόνα 1.10: Έλεγχος της θερμοκρασίας με ρυθμιστική διάταξη συστοιχίας.

17 16 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων συστοιχίας που χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της θερμοκρασίας ενός χημικού αντιδραστήρα συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης. Στην περίπτωση αυτή, η κύρια μέτρηση είναι η θερμοκρασία του αντιδρώντος μίγματος, η οποία χρησιμοποιείται από τον κύριο ελεγκτή της διεργασίας, TC1 (master controller). Ο δευτερεύων ελεγκτής, TC2 (slave controller) χρησιμοποιεί τη θερμοκρασία του μανδύα (δευτερεύουσα μέτρηση) για να ρυθμίσει τελικά την παροχή του συμπληρωματικού ρεύματος του ψυκτικού που εισέρχεται στο μανδύα ψύξης. 1.4 Σχεδιαστικά Στοιχεία ενός Συστήματος Αυτομάτου Ελέγχου Προκειμένου να σχεδιάσουμε μια νέα διάταξη αυτομάτου ελέγχου θα πρέπει να επιλέξουμε τις μεταβλητές εξόδου που θα μετρήσουμε / ρυθμίσουμε, τις μεταβλητές ελέγχου (χειρισμού) και τον τύπο του ελεγκτή (π.χ., πρόδρασης, ανάδρασης, κλπ.). Επιλογή των μετρούμενων/ρυθμιζόμενων μεταβλητών: Το πρώτο ερώτημα, που θα πρέπει να απαντήσουμε, αναφέρεται στη βέλτιστη επιλογή των μετρούμενων/ ρυθμιζόμενων μεταβλητών εξόδου. Συνήθως, μετράμε τις μεταβλητές εκείνες που αντιπροσωπεύουν τους στόχους της ρύθμισης. Οι μετρήσεις αυτές ονομάζονται πρωτεύουσες μετρήσεις. Στο παράδειγμα 1.2 (βλέπε Εικόνα 1.4) οι μετρούμενες μεταβλητές είναι η θερμοκρασία, T(t), και το ύψος του ρευστού στο δοχείο, h(t), αφού οι στόχοι ρύθμισης είναι να διατηρήσουμε τη θερμοκρασία και τη στάθμη του ρευστού στο δοχείο στις επιθυμητές τους τιμές Τ sp και h sp, αντίστοιχα. Πολλές φορές οι ρυθμιζόμενες μεταβλητές εξόδου δεν μπορούν άμεσα να μετρηθούν και συνεπώς να αξιολογηθούν. Στις περιπτώσεις αυτές μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δευτερεύουσες μετρήσεις που έμμεσα σχετίζονται με τις μη μετρούμενες μεταβλητές εξόδου. Παράδειγμα 1.7: Άμεση μέτρηση και έλεγχος της σύστασης, x D, σε αποστακτική κολώνα Στο παράδειγμα της Εικόνας 1.11, μετράμε άμεσα τη σύσταση, x D (t), του ρεύματος D στην αποστακτική κολώνα (που είναι η ρυθμιζόμενη μεταβλητή) και μεταβάλλουμε το ρεύμα επαναρροής R(t) (που είναι η μεταβλητή ελέγχου).

18 Εισαγωγή: Βασικές Αρχές 17 Εικόνα 1.11: Άμεση μέτρηση και έλεγχος της σύστασης, x D (t). Παράδειγμα 1.8: Έμμεση μέτρηση και ρύθμιση της σύστασης, x D, σε αποστακτική κολώνα Επειδή η άμεση μέτρηση της σύστασης x D (t) του ρεύματος D δεν είναι πάντα εφικτή ή οικονομικά συμφέρουσα, μπορούμε εναλλακτικά να μετρήσουμε τις θερμοκρασίες (Τ 1, Τ 2, Τ 3, κλπ.) που έμμεσα σχετίζονται με τη σύσταση x D, και να ρυθμίσουμε τη ροή του ρεύματος επαναρροής, R(t) (βλέπε Εικόνα 1.12). Εικόνα 1.12: Έμμεση μέτρηση και έλεγχος της σύστασης, x D (t).

19 18 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Eπιλογή των μεταβλητών ελέγχου ή χειρισμού: Πολλές φορές, για τον έλεγχο μίας και μόνο μεταβλητής εξόδου είναι δυνατό να διατίθενται περισσότερες από μία μεταβλητές ελέγχου. Έτσι το ερώτημα, που συνήθως τίθεται, αναφέρεται στη βέλτιστη επιλογή της μεταβλητής ελέγχου από ένα σύνολο δυνατών μεταβλητών. Άλλες φορές, μία και μόνο μεταβλητή ελέγχου ή χειρισμού διατίθεται για τον έλεγχο περισσότερων της μίας μεταβλητών εξόδου. Στην περίπτωση αυτή, θα πρέπει να επιλέξουμε μια μετρούμενη/ελεγχόμενη μεταβλητή από ένα σύνολο δυνατών μεταβλητών εξόδου, έτσι ώστε ο έλεγχος της διεργασίας να είναι ο καλύτερος δυνατός. Πολλές δυνατές μεταβλητές εξόδου Μία μεταβλητή ελέγχου ή χειρισμού Τέλος, ο έλεγχος της διεργασίας μπορεί να απαιτεί την ταυτόχρονη ρύθμιση πολλών μεταβλητών εξόδου με τη βοήθεια ενός συνόλου μεταβλητών ελέγχου-χειρισμού. Και στις τρεις περιπτώσεις, η επιλογή των κατάλληλων βρόχων ρύθμισης, δηλαδή των ζευγών των μεταβλητών εισόδου-εξόδου (μεταβλητή ελέγχου και ρυθμιζόμενη μεταβλητή) βασίζεται στην ικανοποίηση ενός αριθμού κριτηρίων όπως, για παράδειγμα, δυνατότητα μέτρησης μιας μεταβλητής εξόδου, οικονομικό κόστος της μέτρησης και ρύθμισης μιας μεταβλητής, ευαισθησία της ελεγχόμενης μεταβλητής εξόδου σε μεταβολές μιας υποψήφιας μεταβλητής ελέγχου, βαθμός αλληλεπίδρασης των μεταβλητών εξόδου σε μεταβολές μιας υποψήφιας μεταβλητής ελέγχου, κλπ. Παράδειγμα 1.9: Επιλογή μεταβλητής ελέγχου ή χειρισμού Ο έλεγχος της στάθμης στο δοχείο της Εικόνας 1.13 μπορεί να γίνει είτε με το χειρισμό της μεταβλητής εισόδου q ο (t) ή με το χειρισμό της μεταβλητής q(t). Και στις δύο περιπτώσεις ο ελεγκτής είναι του τύπου ανάδρασης.

20 Εισαγωγή: Βασικές Αρχές 19 Εικόνα 1.13: Επιλογή μεταβλητής ελέγχου. (Μία μετρούμενη και ελεγχόμενη μεταβλητή διαφορετικές μεταβλητές χειρισμού). Παράδειγμα 1.10: Επιλογή του τύπου ελεγκτή Στο παράδειγμα της Εικόνας 1.14, ο έλεγχος της θερμοκρασίας στο δοχείο μπορεί να γίνει είτε με τη βοήθεια ενός ελεγκτή πρόδρασης (μέτρηση της διαταραχής T o (t) και χειρισμός της παροχής του κορεσμένου ατμού και συνεπώς του ρυθμού μεταφοράς θερμότητας, q (t)) ή με τη βοήθεια ενός ελεγκτή ανάδρασης (μέτρηση της θερμοκρασίας T(t) και st χειρισμού της παροχής του ατμού). q st (t) Εικόνα 1.14: Επιλογή τύπου ελεγκτή. (Διαφορετικές μετρούμενες μεταβλητές ίδια μεταβλητή χειρισμού).

21 20 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Τι πρέπει να γνωρίζω Ποιος είναι ο σκοπός του μαθήματος της Δυναμικής Ανάλυσης των Συστημάτων ; Τι είναι δυναμικό μοντέλο (πρότυπο) ενός δυναμικού συστήματος; Τι είναι μεταβλητές εισόδου, εξόδου και κατάστασης; Τι είναι διαταραχές, μεταβλητές ελέγχου (χειρισμού) ή χειριζόμενες μεταβλητές; Τι είναι ελεγχόμενες ή ρυθμιζόμενες μεταβλητές; Ποιος είναι ο σκοπός του ελέγχου των συστημάτων; Τι είναι ρυθμιστικός έλεγχος; Τι είναι σταθεροποιητικός έλεγχος; Τι είναι βέλτιστος ή καθοδηγητικός έλεγχος; Τι είναι βαθμοί ελευθερίας; Πότε η επίλυση ενός μαθηματικού μοντέλου είναι δυνατή; Μπορεί μια μεταβλητή κατάστασης να είναι μετρούμενη και ταυτόχρονα ελεγχόμενη/ ρυθμιζόμενη μεταβλητή; Πότε ένα δυναμικό σύστημα ονομάζεται ανοικτό και πότε κλειστό ; Τι είναι έλεγχος πρόδρασης; Τι είναι έλεγχος ανάδρασης; Τι είναι έλεγχος πρόδρασης/ ανάδρασης; Τι είναι έλεγχος συστοιχίας; Ποια είναι τα βασικά στοιχεία ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου; Πότε μια μέτρηση ονομάζεται πρωτεύουσα και πότε δευτερεύουσα; Ποια είναι τα κριτήρια επιλογής των μετρούμενων/ ρυθμιζόμενων μεταβλητών σε μια ελεγχόμενη διεργασία; Πως επιλέγονται οι μεταβλητές ελέγχου (χειρισμού) σε μια διεργασία;

22 Εισαγωγή: Βασικές Αρχές 21 Ασκήσεις Άσκηση 1.1: Δίνεται η ακόλουθη φυσική διεργασία θέρμανσης του νερού: m(t) s m o, m o : είναι η σταθερή μαζική παροχή του νερού στην πρώτη δεξαμενή, kg/min Μ 1 : είναι η σταθερή μάζα του νερού στην πρώτη δεξαμενή, kg Μ 2 : είναι η σταθερή μάζα του νερού στη δεύτερη δεξαμενή, kg m(t) s : είναι η χρονικά μεταβαλλόμενη μαζική παροχή του ατμού, kg/min T o (t): είναι η θερμοκρασία του νερού στην είσοδο της πρώτης δεξαμενής, C T 1 (t), T 2 (t): είναι η θερμοκρασία του νερού στην πρώτη και δεύτερη δεξαμενή αντίστοιχα, C α) Να ταξινομήσετε τις διάφορες μεταβλητές της διεργασίας σε μεταβλητές εισόδου (ελέγχου, διαταραχές), εξόδου και κατάστασης. β) Ποιος είναι ο ολικός αριθμός των μεταβλητών της διεργασίας; Ποιος είναι ο αριθμός των διαφορικών και αλγεβρικών εξισώσεων που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος; Ποιοι είναι οι βαθμοί ελευθερίας, F, της διεργασίας; Άσκηση 1.2: Δίνεται η ακόλουθη φυσική διεργασία ψύξης ενός ρευστού: q o : είναι η σταθερή ογκομετρική παροχή του θερμού ρεύματος στην είσοδο του δοχείου πλήρους ανάμιξης, m 3 /s V: είναι ο σταθερός όγκος του ρευστού στο δοχείο, m 3 Τ ο : είναι η σταθερή θερμοκρασία εισόδου του θερμού ρεύματος, K ρ: η σταθερή πυκνότητα του θερμού ρεύματος, kg/m 3 C p : η σταθερή ειδική θερμότητα του θερμού ρεύματος, kj/(kg.k) q c : είναι η σταθερή παροχή του ψυκτικού, m 3 /s

23 22 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων q(t) ρ c : είναι η σταθερή πυκνότητα του ψυκτικού, kg/m 3 C pc : είναι η σταθερή ειδική θερμότητα του ψυκτικού, kj/(kg.k) Τ cin (t): είναι η χρονικά μεταβαλλόμενη θερμοκρασία εισόδου του ψυκτικού, K T cout (t): είναι η χρονικά μεταβαλλομένη θερμοκρασία του ψυκτικού στην έξοδο της ψυκτικής σπείρας, K Τ(t): είναι η χρονικά μεταβαλλόμενη θερμοκρασία του θερμού ρεύματος στην έξοδο του δοχείου πλήρους ανάδευσης, K q (t) : είναι ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας από το θερμό ρευστό στο ρευστό που κυκλοφορεί στην ψυκτική σπείρα, kj/s Υποθέτουμε ότι το ρευστό στο δοχείο αναδεύεται πλήρως και δεν υπάρχουν θερμικές απώλειες από το δοχείο στο περιβάλλον. Όλες οι φυσικές ιδιότητες του συστήματος παραμένουν σταθερές. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι το ρευστό που κυκλοφορεί στην ψυκτική σπείρα βρίσκεται σε ψευδο-μόνιμη κατάσταση και ότι ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας από το θερμό ρεύμα στο ψυχρό ρεύμα δνεται από τη σχέση: (T(t) T cin (t)) + (T(t) T cout (t)) q(t) = UA(ΔΤ) ln UA 2 όπου UA είναι το γινόμενο του ολικού συντελεστή μεταφοράς θερμότητας επί την επιφάνεια εναλλαγής. α) Να ταξινομήσετε τις διάφορες μεταβλητές της διεργασίας σε μεταβλητές εισόδου, εξόδου και κατάστασης.

24 Εισαγωγή: Βασικές Αρχές 23 β) Ποιος είναι ο ολικός αριθμός των μεταβλητών της διεργασίας; Ποιος είναι ο αριθμός των διαφορικών και αλγεβρικών εξισώσεων που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος; Ποιοι είναι οι βαθμοί ελευθερίας, F, της διεργασίας; Άσκηση 1.3: Δίνεται ο ακόλουθος χημικός αντιδραστήρας συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης: q o(t): είναι η ογκομετρική παροχή στον αντιδραστήρα, m 3 /s C Aο (t): είναι η συγκέντρωση του αντιδρώντος Α στην τροφοδοσία, kmol/m 3 q(t): είναι η συνολική ογκομετρική παροχή στην έξοδο του αντιδραστήρα, m 3 /s q(t): e είναι η ογκομετρική παροχή του ρεύματος εξόδου, m 3 /s q(t): r είναι η ογκομετρική παροχή του ρεύματος ανακύκλωσης, m 3 /s C A (t): είναι η συγκέντρωση στην έξοδο του αντιδραστήρα, kmol/m 3 h(t): είναι η στάθμη του ρευστού στον αντιδραστήρα, m Δίνεται ότι το ρεύμα εκροής q(t) είναι ανάλογο της στάθμης, h(t), του ρευστού στον αντιδραστήρα: q(t) = bh(t) και q(t)= r 0,5q(t) α) Να ταξινομήστε τις διάφορες μεταβλητές της διεργασίας σε μεταβλητές εισόδου, εξόδου και κατάστασης. β) Υπολογίστε τους βαθμούς ελευθερίας F της διεργασίας και να προσδιορίστε τις μεταβλητές εκείνες, τις μεταβολές των οποίων θα πρέπει να γνωρίζουμε, για να είναι δυνατή η αριθμητική επίλυση του μαθηματικού μοντέλου.

25 24 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Άσκηση 1.4: Δίνεται η ακόλουθη διεργασία ελέγχου της θερμοκρασίας ενός αντιδραστήρα συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης στον οποίο επιτελείται μία ενδόθερμη χημική αντίδραση (A προϊόν). q st (t) q: είναι η σταθερή ογκομετρική παροχή του αντιδρώντος μίγματος, m 3 /s C Ao : είναι η σταθερή συγκέντρωση του Α στην τροφοδοσία, kmol/m 3 T i (t): είναι η θερμοκρασία του αντιδρώντος στην είσοδο του εναλλάκτη προθέρμανσης, ( o C) T o (t): είναι η θερμοκρασία του αντιδρώντος στην έξοδο του εναλλάκτη προθέρμανσης, ( o C) T(t): είναι η θερμοκρασία του αντιδρώντος μίγματος στην έξοδο του αντιδραστήρα, ( o C) C A (t): είναι η συγκέντρωση του Α στην έξοδο του αντιδραστήρα, kmol/m 3 q(t): s st είναι η μαζική παροχή του κορεσμένου ατμού στη θερμαντική σπείρα, kg/s q (t): είναι ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας από τη θερμαντική σπείρα στο αντιδρών μίγμα, kj/s α) Να προσδιορίσετε τον τύπο του ελεγκτή (π.χ., πρόδρασης, ανάδρασης). Να ταυτοποιήσετε τη μεταβλητή ελέγχου (χειρισμού) και την ελεγχόμενη/ ρυθμιζόμενη μεταβλητή στο βρόχο ρύθμισης. Επίσης, να ταυτοποιήσετε το μετρητικό στοιχείο, τον ελεγκτή, το τελικό στοιχείο ρύθμισης, κλπ. β) Να ταξινομήσετε τις διάφορες μεταβλητές της διεργασίας σε μεταβλητές εισόδου (ελέγχου, διαταραχές), εξόδου και κατάστασης.

26 Εισαγωγή: Βασικές Αρχές 25 γ) Ποιος είναι ο ολικός αριθμός των μεταβλητών της διεργασίας; Ποιος είναι ο αριθμός των διαφορικών και αλγεβρικών εξισώσεων που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος; Ποιοι είναι οι βαθμοί ελευθερίας, F, της διεργασίας; Άσκηση 1.5: Δίνεται η ακόλουθη διεργασία ελέγχου της θερμοκρασίας ενός ρευστού σε δοχείο συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης: V: είναι ο σταθερός όγκος του ρευστού στο δοχείο, m 3 q: είναι η σταθερή ογκομετρική παροχή, m 3 /min T sp : είναι η θερμοκρασία αναφοράς του ρυθμιστή TC1, ( o C) Τ co : είναι η σταθερή θερμοκρασία του ψυκτικού στην είσοδο του μανδύα, ( o C) q(t): c είναι η χρονικά μεταβαλλόμενη παροχή του ψυκτικού μέσου, m 3 /s Τ c (t): είναι η χρονικά μεταβαλλόμενη θερμοκρασία του ψυκτικού στην έξοδο του μανδύα, ( o C) Τ o (t): είναι η χρονικά μεταβαλλόμενη θερμοκρασία του ρευστού στην τροφοδοσία, ( o C) Τ(t): είναι η χρονικά μεταβαλλόμενη θερμοκρασία στην έξοδο του δοχείου, ( o C) α) Να προσδιορίσετε τον τύπο του ελεγκτή (π.χ., πρόδρασης, ανάδρασης, συστοιχίας) β) Να ταξινομήσετε τις διάφορες μεταβλητές της διεργασίας σε μεταβλητές εισόδου (ελέγχου, διαταραχές), εξόδου και κατάστασης. γ) Ποιος είναι ο ολικός αριθμός των μεταβλητών της διεργασίας; Ποιος είναι ο αριθμός των διαφορικών και αλγεβρικών εξισώσεων που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος; Ποιοι είναι οι βαθμοί ελευθερίας, F, της διεργασίας;

27 KEΦAΛAIΟ 2 Χαρακτηριστικοί Χρόνοι Διεργασιών Η δυναμική συμπεριφορά ενός φυσικού/χημικού συστήματος προσδιορίζεται από την αλληλεπίδραση των φυσικών φαινομένων μεταφοράς ορμής, μάζας, θερμότητας και των χημικών αντιδράσεων. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγεται η έννοια του χαρακτηριστικού χρόνου ή της χαρακτηριστικής χρονικής σταθεράς. Οι χαρακτηριστικοί χρόνοι, που συχνά συναντώνται στην δυναμική ανάλυση των φυσικών και χημικών συστημάτων, είναι: ο χρόνος παραμονής, ο χρόνος μεταφοράς μάζας, ο χρόνος μεταφοράς θερμότητας και ο χρόνος χημικής αντίδρασης. Οι χαρακτηριστικοί χρόνοι υπολογίζονται συναρτήσει των σχεδιαστικών και λειτουργικών παραμέτρων της διεργασίας και των φυσικών/χημικών ιδιοτήτων του ομογενούς ή ετερογενούς συστήματος. Οι χαρακτηριστικοί χρόνοι εμφανίζονται στα μαθηματικά μοντέλα προσομοίωσης των διεργασιών και αποτελούν τα βασικά δομικά στοιχεία που χρησιμοποιούμε για να διερευνήσουμε τη δυναμική συμπεριφορά των συστημάτων. Συνεπώς, η γνώση και υπολογισμός των χαρακτηριστικών χρόνων ενός συστήματος μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε τη χρονική εξέλιξη των αντίστοιχων φυσικών/χημικών φαινομένων που λαμβάνουν χώρα στο δυναμικό σύστημα. Στα επόμενα κεφάλαια θα γίνει φανερό ότι οι χαρακτηριστικοί χρόνοι προσδιορίζουν πλήρως τη δυναμική συμπεριφορά ενός φυσικού, χημικού ή βιολογικού συστήματος. 2.1 Χαρακτηριστικός Χρόνος Παραμονής Η πλειονότητα των βιομηχανικών φυσικών και χημικών διατάξεων είναι συνεχούς λειτουργίας. Πρώτες ύλες και προϊόντα σε υγρή, αέρια ή στερεά κατάσταση μεταφέρονται διά μέσου των φυσικών και χημικών συσκευών (π.χ., αντιδραστήρες, μονάδες διαχωρισμού, κ.α.), με αυστηρά καθορισμένο τρόπο. Κατά συνέπεια, τα πρότυπα ροής και 26

28 27 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Εικόνα 2.1: Μονοπάτια διέλευσης των στοιχειωδών όγκων ενός ρευστού. ανάμιξης σε κάθε συσκευή είναι καθοριστικά στοιχεία για την κατανόηση της λειτουργίας μιας φυσικής/χημικής διεργασίας. Τα πρότυπα ροής σχετίζονται άμεσα ή έμμεσα με τη διακίνηση των στοιχειωδών διαφορικών όγκων της τροφοδοσίας διά μέσου μιας συσκευής. Μια εύχρηστη και σύντομη περιγραφή του μεγέθους και χαρακτηριστικού χρόνου λειτουργίας μιας συσκευής βασίζεται στην έννοια του μέσου χρόνου παραμονής των στοιχειωδών όγκων του ρευστού στη συσκευή. Είναι φανερό ότι οι στοιχειώδεις όγκοι ενός ρευστού που εισέρχονται σε μια συσκευή συνεχούς λειτουργίας ακολουθούν διαφορετικά μονοπάτια διέλευσης (βλέπε Εικόνα 2.1). Αυτό σημαίνει ότι κάθε στοιχειώδης όγκος του ρευστού θα χαρακτηρίζεται από έναν διαφορετικό χρόνο παραμονής. Ο μέσος χρόνος παραμονής (mean residence time) αντιπροσωπεύει τη μέση τιμή όλων των χρόνων παραμονής των στοιχειωδών όγκων του ρευστού στη συσκευή και υπολογίζεται από την πρώτη ροπή της κατανομής των χρόνων παραμονής (residence time distribution) στη συσκευή. Στο παρόν κεφάλαιο, θεωρούμε ότι οι συνεχείς διεργασίες είναι είτε πλήρους ή μηδενικής ανάμιξης, που αποτελούν τις δύο ακραίες ιδανικές περιπτώσεις ανάμιξης σε μια πραγματική διεργασία. Αυτό γίνεται ώστε να αποφύγουμε τη χρησιμοποίηση της κατανομής των χρόνων παραμονής. Στα συστήματα πλήρους ανάμιξης, όλες οι φυσικές ιδιότητες και μεταβλητές που χαρακτηρίζουν την κατάσταση του ρευστού στο σύστημα είναι ανεξάρτητες των χωρικών συντεταγμένων. Αντίθετα, στις διεργασίες μηδενικής ανάμιξης ένας στοιχειώδης όγκος του ρευστού κινείται διαμέσου του χώρου της συσκευής χωρίς να αναμιγνύεται με τους γειτονικούς στοιχειώδεις όγκους του διερχόμενου ρευστού. Για ιδανικά συστήματα συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ή μηδενικής ανάμιξης, ο μέσος χρόνος παραμονής μιας υγρής ή αέριας φάσης θα δίνεται από το λόγο του όγκου/μάζας της φάσης στη συσκευή προς την ογκομετρική/μαζική παροχή της φάσης. Με βάση τον παραπάνω ορισμό, για το πλήρως αναδευόμενο δοχείο της Εικόνας 2.2, ο χαρακτηριστικός χρόνος παραμονής του ρευστού, t r (χρόνος), ορίζεται ως:

29 Χαρακτηριστικοί Χρόνοι Διεργασιών 28 Εικόνα 2.2: Σχηματική παράσταση δοχείου συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης. ( XXΠ) = tr = V q (2.1) όπου q (m 3 /s) είναι η ογκομετρική παροχή του ρευστού και V (m 3 ) ο όγκος του υγρού στο δοχείο. Αντίθετα με την προηγούμενη περίπτωση, η ροή ενός υγρού ή αερίου σε κυλινδρικό αγωγό υπό συνθήκες τυρβώδους ροής χαρακτηρίζεται από απουσία ανάμιξης στην κατεύθυνση του πεδίου ροής. Στην περίπτωση αυτή, το προφίλ της ταχύτητας θα είναι ανεξάρτητο της ακτινικής απόστασης. Έτσι, οι στοιχειώδεις όγκοι του ρευστού, που εισέρχονται στον αγωγό, κινούνται κατά μήκος του αγωγού εμβολικά χωρίς να αναμειγνύονται με τους γειτονικούς στοιχειώδεις όγκους του ρευστού. Μια τέτοια διεργασία καλείται διεργασία εμβολικής ροής (plug flow) και παρουσιάζεται στην Εικόνα 2.3. O αντίστοιχος χρόνος παραμονής ορίζεται ως ο λόγος του όγκου του ρευστού στον αυλό πd 2 L/4 (m 3 ) προς την ογκομετρική παροχή πd 2 u/4 (m 3 /s) του ρευστού ή ισοδύναμα ως ο λόγος του μήκους του αυλού L (m) προς την ταχύτητα του ρευστού, u (m/s). Εικόνα 2.3: Σχηματική παράσταση διεργασίας εμβολικής ροής (PFR).

30 29 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων ( XXΠ) 2 = πd L4 t V L r = q = 2 πd u4 = u (2.2) Τα παραπάνω δύο μοντέλα ανάμιξης πολλές φορές απαντώνται συνδυασμένα ή σε αλληλεπίδραση το ένα με το άλλο. Αυτό συμβαίνει στο παράδειγμα του αντιδραστήρα υγρού - αερίου που παρουσιάζεται στην Εικόνα 2.4. Στην περίπτωση αυτή, τα αντιδρώντα συστατικά A και B εισέρχονται στον αντιδραστήρα, αντίστοιχα, με τα ρεύματα υγρής και αέριας τροφοδοσίας. H αντίδραση λαμβάνει χώρα στην υγρή φάση και το προϊόν C εξέρχεται με την υγρή φάση του ρεύματος εκροής. Στη διεργασία αυτή ορίζουμε δύο χρόνους παραμονής, ένα για κάθε φάση. O μέσος χρόνος παραμονής κάθε φάσης θα ισούται με το λόγο του όγκου που καταλαμβάνει η συγκεκριμένη φάση στον αντιδραστήρα προς την αντίστοιχη ογκομετρική παροχή της φάσης. Όσον αφορά την κατάσταση ανάμιξης του συστήματος, θεωρούμε ότι η υγρή φάση βρίσκεται σε πλήρη ανάμιξη λόγω της λειτουργίας του συστήματος ανάδευσης. Συνεπώς, ο μέσος χρόνος παραμονής της υγρής φάσης θα ισούται με: t V 1 r,1 = (2.3) q1 όπου V l (m 3 ) είναι ο όγκος που καταλαμβάνει η υγρή φάση στο διφασικό αντιδραστήρα. Αντίθετα, η αέρια φάση (φυσαλίδες) θεωρούμε ότι κινείται διά μέσου της υγρής φάσης υπό μορφή εμβολικής ροής. Συνεπώς, ο χαρακτηριστικός χρόνος παραμονής της αέριας φάσης στον αντιδραστήρα θα δίνεται από τη σχέση: A( l) + B(g) C( l) Εικόνα 2.4: Σχηματική παράσταση αντιδραστήρα υγρού αερίου.

31 Χαρακτηριστικοί Χρόνοι Διεργασιών 30 tr,g = Vg h q = g u (2.4) g όπου V g (m 3 ) είναι ο όγκος της αέριας φάσης (Β) στο διφασικό αντιδραστήρα και (m/s) είναι η μέση ταχύτητα κίνησης της αέριας φάσης δια μέσου της υγρής φάσης στον αντιδραστήρα. u g 2.2 Χαρακτηριστικός Χρόνος Μεταφοράς Μάζας Θεωρούμε ότι ο αντιδραστήρας της Εικόνας 2.4 λειτουργεί κάτω από τέτοιες συνθήκες, έτσι ώστε η συγκέντρωση του B στην υγρή φάση να είναι σταθερή. Ακολούθως, θεωρούμε μια φυσαλίδα του αντιδρώντος συστατικού Β διαμέτρου d b (m) και συγκέντρωσης C Bg (kmol/m 3 ), όπως φαίνεται στην Εικόνα 2.5. Θεωρούμε ότι ο ρυθμός μεταφοράς μάζας του αντιδρώντος Β από τη φυσαλίδα στην υγρή φάση, R m (kmol/s), δίνεται από τη σχέση: 2 m m b Bg B1 R = k πd (C C ) (2.5) όπου k m (m/s) είναι ο συντελεστής μεταφοράς μάζας του αντιδρώντος Β. Η αριθμητική τιμή του k m θα εξαρτάται από τις υδροδυναμικές συνθήκες στον αντιδραστήρα και τις φυσικές ιδιότητες (π.χ., πυκνότητα, ιξώδες, κλπ.) των δύο φάσεων. Για να απλοποιήσουμε ακόμη περισσότερο την ανάλυσή μας, υποθέτουμε ότι η αντίδραση γίνεται απείρως γρήγορα κοντά στη διεπιφάνεια του οριακού στρώματος αερίου - υγρού, έτσι ώστε η συγκέντρωση του Β στην υγρή φάση να είναι C 0. Για να εκτιμήσουμε το ρυθμό μεταφοράς του B από τη φυσαλίδα στην υγρή φάση, εισάγουμε το χαρακτηριστικό χρόνο μεταφοράς μάζας (ΧΧΜΜ), t m. Ο ΧΧΜΜ ορίζεται ως ο λόγος του συνολικού αριθμού των γραμμομορίων του B στη φυσαλίδα σε χρόνο t = 0 προς τον αρχικό ρυθμό μεταφοράς του Β από τη φυσαλίδα στην υγρή φάση. Bl CBl 0 Εικόνα 2.5: Σχηματική παράσταση μιας φυσαλίδας του αερίου αντιδρώντος B.

32 31 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων ( XXMM) 3 (1 6)πd b C Bg t = 0 b m 2 kmπd b(c k Bg C Bl) m t= 0 = t = = d 6 (2.6) H εξίσωση (2.6) μπορεί να ερμηνευτεί ως εξής: Ο χαρακτηριστικός χρόνος μεταφοράς μάζας, t m, είναι ο χρόνος που απαιτείται για να διανύσουν τα μόρια του συστατικού B απόσταση d b /6 (m) κινούμενα με μια γραμμική ταχύτητα k m (m/s). O χρόνος αυτός θα ήταν ακριβώς ο ίδιος για όλα τα μόρια του B εάν ο αρχικός ρυθμός μεταφοράς μάζας, R m, παρέμενε σταθερός καθ όλη τη διάρκεια της αντίδρασης. Για να υπολογίσουμε τον πραγματικό χρόνο, που απαιτείται για την μεταφορά μιας ποσότητας του Β από την αέρια στην υγρή φάση, πρέπει να επιλύσουμε το δυναμικό ισοζύγιο διατήρησης των γραμμομορίων του συστατικού B στη φυσαλίδα. Η διαφορά του αριθμού των γραμμομορίων του Β στη φυσαλίδα τις χρονικές στιγμές (t+δt) και (t) ισούται με το γινόμενο του ρυθμού μεταφοράς των γραμμομορίων του B από την αέρια στην υγρή φάση επί το χρονικό διάστημα (δt). Συνεπώς, η μαθηματική διατύπωση του δυναμικού ισοζυγίου διατήρησης των γραμμομορίων του Β έχει ως εξής: 1 1 ( ) ( ) B B 6 b Bg t+ δt 6 b Bg t m b Bg N (t + δt) N (t) = πd C (t) πd C (t) = k πd C (t)δt (2.7) Διαιρώντας όλους τους όρους της εξίσωσης (2.7) με δt και παίρνοντας το όριο της σχέσης που προκύπτει καθώς το δt τείνει στο μηδέν, λαμβάνουμε την ακόλουθη διαφορική μορφή του ισοζυγίου γραμμομορίων για το συστατικό Β: d πdc b Bg = k m πd b C Bg (t) dt 6 (2.8) Εάν θεωρήσουμε τώρα ότι το μέγεθος της φυσαλίδας παραμένει σταθερό, τότε η παραπάνω εξίσωση γράφεται ως εξής: dc Bg tm = C Bg(t) ; C Bg (t = 0) = C Bg (0) (2.9) dt Από την αναλυτική επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (2.9) (π.χ., με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace) λαμβάνουμε την ακόλουθη εξίσωση που περιγράφει τη μεταβολή της συγκέντρωσης του Β στη φυσαλίδα συναρτήσει του χρόνου: Bg Bg tt m C (t) = C (0)e (2.10)

33 Χαρακτηριστικοί Χρόνοι Διεργασιών 32 Από την εξίσωση (2.10), μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τις τιμές της συγκέντρωσης του Β, C Bg (t), στις χρονικές στιγμές: t = 0, t m, 2t m, 3t m και 4t m. t t = 0 : C (0) C (0) m Bg Bg t tm = 1 : C Bg(t m) C Bg(0) 1 = e = 0,368 0 = e = 1 t t = 2 : C (2t ) C (0) = e = 0,135 m Bg m Bg t t = 3 : C (3t ) C (0) m Bg m Bg 2 3 = e = 0, 050 t tm = 4 : C Bg(4t m) C Bg(0) 4 = e = 0, 018 Είναι φανερό ότι σε τέσσερις περίπου χρονικές σταθερές t 4t, η συγκέντρωση του Β, C Bg (t), θα είναι περίπου ίση με το μηδέν. Στην Εικόνα 2.6 παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της αδιάστατης συγκέντρωσης του Β, C Bg (t) / C Bg (0), ως προς τον αδιάστατο χρόνο t/t m. Ακολούθως, υπολογίζουμε την αρχική κλίση της αδιάστατης δυναμικής απόκρισης C Bg (t)/c Bg (0) σε χρόνο t = 0: m ( Bg Bg ) d C (t) C (0) d(t t ) m t= 0 = 1 Παρατηρούμε ότι η αρχική κλίση της εφαπτομένης είναι ίση με 1. Επίσης, η εφαπτομένη τέμνει τον άξονα του αδιάστατου χρόνου στο σημείο C Bg (t) C Bg (0) κλίση = (t / t m ) Εικόνα 2.6: Γραφική απεικόνιση της μεταβολής της αδιάστατης συγκέντρωσης του Β ως προς τον αδιάστατο χρόνο, t/t m.

34 33 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Είναι σημαντικό να τονίσουμε τη σημασία του χαρακτηριστικού χρόνου στην ανάλυση της δυναμικής συμπεριφοράς ενός συστήματος. Συγκεκριμένα, όπως προκύπτει από την παραπάνω ανάλυση, ο συνολικός χρόνος που απαιτείται για τη μεταφορά όλων των μορίων του B από τη φυσαλίδα στην υγρή φάση θα είναι περίπου ίσος με τέσσερις φορές την τιμή του t m (δηλαδή, t 4t m ). Συνεπώς, ο ΧΧΜΜ της διεργασίας προσδιορίζει πλήρως τη χρονική εξέλιξη του φαινομένου. Έστω t 1/2 είναι ο χρόνος που απαιτείται για τον υποδιπλασιασμό της αρχικής συγκέντρωσης του Β, (π.χ., C Bg (t 1/2 ) = C Bg (0)/2). Ο χρόνος ημιζωής, t 1/2, υπολογίζεται εύκολα από την εξίσωση (2.10): t12 = tm ln 2 = 0, 693tm (2.11) Επιστρέφοντας τώρα στον αντιδραστήρα υγρού αερίου, παρατηρούμε ότι αν ο αντικειμενικός μας σκοπός είναι η μεταφορά και αντίδραση με το A όλης της ποσότητας του B, τότε ο χαρακτηριστικός χρόνος παραμονής του αερίου (XΧΠA) θα πρέπει να είναι τουλάχιστον της ίδιας τάξης μεγέθους με τον χαρακτηριστικό χρόνο μεταφοράς μάζας (XXMM). Αν ο XΧΠA είναι πολύ μεγαλύτερος από το XXMM, τότε λέμε ότι ο αντιδραστήρας είναι υπερσχεδιασμένος (over-designed). Κατά συνέπεια πιθανές μεταβολές στην ταχύτητα τροφοδοσίας του αερίου ή στη συγκέντρωση του B απορροφώνται εύκολα από το σύστημα και δεν επηρεάζουν σημαντικά τη συγκέντρωση του αερίου B στην έξοδο του αντιδραστήρα. Συμπερασματικά, "O υπερσχεδιασμός αυξάνει το κόστος κατασκευής και λειτουργίας μιας εγκατάστασης, αλλά εξομαλύνει την επίδραση των διαταραχών στις μεταβλητές εξόδου με αποτέλεσμα οι απαιτήσεις σε συστήματα ελέγχου να είναι μικρότερες". Το τελευταίο αποτέλεσμα αποδεικνύει την αδιάρρηκτη σχέση μεταξύ σχεδιασμού και δυναμικής συμπεριφοράς των συστημάτων. 2.3 Χαρακτηριστικός Χρόνος Θέρμανσης Θεωρούμε τώρα ένα θερμικά μονωμένο και καλώς αναδευόμενο κλειστό δοχείο, που περιέχει κάποιο ρευστό όγκου V(m 3 ) στην αρχική θερμοκρασία T ο. Στο δοχείο βρίσκεται εμβαπτισμένη μια θερμαντική σπείρα. Τη χρονική στιγμή μηδέν, τροφοδοτούμε τη σπείρα με κορεσμένο ατμό θερμοκρασίας T s, ο οποίος συμπυκνούμενος παρέχει την απαραίτητη θερμότητα για την ανύψωση της θερμοκρασίας του υγρού (βλέπε Εικόνα 2.7). Μετά από ορισμένο χρόνο, η θερμοκρασία του ρευστού θα προσεγγίσει ασυμπτωτικά τη θερμοκρασία του κορεσμένου ατμού. Αλλά, τι εννοούμε όταν λέμε "ορισμένο" χρόνο;

35 Χαρακτηριστικοί Χρόνοι Διεργασιών 34 T(t = 0) = T t o lim T(t) T s Εικόνα 2.7: Κλειστό δοχείο θέρμανσης ρευστού. H απάντηση δίνεται με τη βοήθεια του χαρακτηριστικού χρόνου θέρμανσης (characteristic heating time). Ο ΧΧΘ ορίζεται ως ο λόγος της θερμότητας που απαιτείται για να αυξηθεί η θερμοκρασία του υγρού στο δοχείο από Τ ο σε Τ s προς τον αρχικό ρυθμό μεταφοράς θερμότητας από τη θερμαντική σπείρα στο ρευστό: ( XX ) ( ) ( ) VρC T T VρC Θ = t h = = UA Ts T o UA t = 0 p s o p (2.12) όπου C p (kj/(kg K)) και ρ (kg/m 3 ) είναι η ειδική θερμότητα και πυκνότητα του υγρού αντίστοιχα. A(m 2 ) είναι η επιφάνεια εναλλαγής της θερμαντικής σπείρας και U (kj/(m 2 s K)) είναι ο ολικός συντελεστής μεταφοράς θερμότητας. Εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας στο κλειστό δοχείο της Εικόνας 2.7, λαμβάνουμε το ακόλουθο διαφορικό ισοζύγιο, που διέπει τη χρονική μεταβολή της θερμοκρασίας του ρευστού στο δοχείο. ( p ) d VρC T dt ( T(t) ) = UA T ; T(0) = To (2.13) s Υποθέτοντας ότι ο όγκος του ρευστού, V, η πυκνότητα, ρ, και η ειδική θερμότητα, C p, δεν μεταβάλλονται με το χρόνο, η εξίσωση (2.13) γράφεται ως εξής: dt t T T(t) h s dt = ; o T(0) = T (2.14)

36 35 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Για μεγάλους χρόνους, η μεταβολή της θερμοκρασίας ως προς το χρόνο θα είναι ίση με μηδέν (dt/dt = 0) και συνεπώς, lim T(t) T (2.15) t s Από την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (2.14), με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace, λαμβάνουμε την ακόλουθη αναλυτική λύση: o s o tth T(t) T = (T T )(1 e ) (2.16) Η γραφική παράσταση της μεταβολής της αδιάστατης θερμοκρασίας ( T( t) To) ( Ts To) συναρτήσει του χρόνου παρουσιάζεται στο διάγραμμα της Εικόνας 2.8. Εύκολα μπορούμε να υπολογίσουμε ότι στους χρόνους t h, 2t h, 3t h, και 4t h, η θερμοκρασία στο δοχείο έχει "διανύσει" αντίστοιχα το 63%, 86%, 95% και 98% της συνολικής θερμοκρασιακής διαφοράς, (T s T ο ). Παρατηρούμε επίσης ότι η εφαπτομένη της αδιάστατης απόκρισης της θερμοκρασίας σε χρόνο t=0 έχει κλίση ίση με (1/t h ) και τέμνει την ευθεία γραμμή Y(t) = 1 στο σημείο που αντιστοιχεί σε χρόνο t = t h. Ας υποθέσουμε τώρα ότι επιθυμούμε να αυξήσουμε τη θερμοκρασία του ρευστού στο δοχείο από T ο στη θερμοκρασία T f. Ο χρόνος t a, που απαιτείται για να φθάσει η θερμοκρασία του ρευστού στην τελική τιμή T f, υπολογίζεται από την εξίσωση (2.16): (T(t)-T o ) (T s -T o ) 1.0 κλίση = t h t h 2t h 3t h 4t t h Εικόνα 2.8: Μεταβολή της αδιάστατης θερμοκρασίας του ρευστού συναρτήσει του χρόνου.

37 Χαρακτηριστικοί Χρόνοι Διεργασιών 36 1 ( ) t a = t h ln 1 a (2.17) όπου a = (T f T ο ) / (T s T ο ). Σημειώνεται ότι για a=0,632 ο χρόνος t a θα είναι ίσος με το χαρακτηριστικό χρόνο της διεργασίας, t h. Όπως θα δούμε στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου, η έννοια του χαρακτηριστικού χρόνου θέρμανσης (XXΘ) είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την κατανόηση της δυναμικής συμπεριφοράς των φυσικών και χημικών συστημάτων αφού η εναλλαγή θερμότητας εμφανίζεται συχνά στα μαθηματικά μοντέλα δυναμικής προσομοίωσης των διεργασιών. Η σχέση (2.12) χρησιμοποιείται επίσης για να ορίσουμε το χαρακτηριστικό χρόνο ψύξης (ΧΧΨ) ενός ρευστού. Η σημασία του ΧΧΨ είναι αντίστοιχη με εκείνη του ΧΧΘ, αφού μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε το χρόνο ψύξης μιας ποσότητας ενός ρευστού και συνεπώς τη χρονική εξέλιξη της διεργασίας. 2.4 Χαρακτηριστικός Χρόνος Χημικής Αντίδρασης Θεωρούμε τον αντιδραστήρα ασυνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης που απεικονίζεται σχηματικά στην Εικόνα 2.9. Η λειτουργία του αναδευτήρα εξασφαλίζει την πλήρη ανάμιξη του αντιδρώντος μίγματος. Τις περισσότερες φορές επιθυμούμε να διατηρήσουμε το αντιδρών μίγμα σε μια σταθερή θερμοκρασία (ισοθερμοκρασιακή λειτουργία) ανεξάρτητα από το ρυθμό που εκλύεται ή απορροφάται θερμότητα από το αντιδρών μίγμα. Για το σκοπό αυτό, στον εξωτερικό μανδύα του αντιδραστήρα κυκλοφορεί κάποιο ψυκτικό ή θερμαντικό μέσο, του οποίου ελέγχουμε την παροχή του με τη βοήθεια κάποιου ελεγκτή. Θεωρούμε ότι στον αντιδραστήρα επιτελείται η ακόλουθη μη αντιστρεπτή χημική αντίδραση: A B+ C ; r A n A = kc (kmol/(m 3 s)) (2.18) C A (t), C B (t) και C C (t) είναι οι αντίστοιχες συγκεντρώσεις σε (kmol/m 3 ) των αντιδρώντων προϊόντων της αντίδρασης τη χρονική στιγμή t. O χαρακτηριστικός χρόνος χημικής αντίδρασης (ΧΧΧΑ) ορίζεται ως ο λόγος του αρχικού αριθμού των γραμμομορίων του A στον αντιδραστήρα, (Ν Α (t=0)=vc A (t=0) δια της αρχικής εκτατικής ταχύτητας της αντίδρασης, Vr A (t=0).

38 37 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Εικόνα 2.9: Αντιδραστήρας ασυνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης. ( XXXA) VCA t= 0 C A (t = 0) C = tα = = = Vr r (t = 0) r A t = 0 A Ao Ao (2.19) όπου r Ao (kmol/(m 3.s)) είναι η ταχύτητα κατανάλωσης του A στη θερμοκρασία λειτουργίας του αντιδραστήρα σε χρόνο t = 0 και C Ao (kmol/m 3 ) είναι η συγκέντρωση του Α σε χρόνο t=0. Είναι σημαντικό να τονίσουμε στο σημείο αυτό ότι για τη διασφάλιση της ισοθερμοκρασιακής λειτουργίας του αντιδραστήρα, ο χαρακτηριστικός χρόνος θέρμανσης (ψύξης) του αντιδρώντος μίγματος θα πρέπει να είναι πολύ μικρότερος από τον χαρακτηριστικό χρόνο χημικής αντίδρασης. Θεωρούμε τώρα ότι η ταχύτητα της χημικής αντίδρασης ακολουθεί ένα εκθετικού τύπου κινητικό μοντέλο της μορφής: n A knca r = (2.20) Η κινητική σταθερά της αντίδρασης, k n, θεωρούμε ότι ακολουθεί τη γνωστή εκθετική συνάρτηση Arrhenius ως προς τη θερμοκρασία. k n(t) k exp E RT = no (2.21)

39 Χαρακτηριστικοί Χρόνοι Διεργασιών 38 E (kj/kmol) είναι η ενέργεια ενεργοποίησης και R (kj/(kmol K)) η παγκόσμια σταθερά των αερίων. Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (2.20) και (2.21) στην εξίσωση (2.19) λαμβάνουμε: n 1 ( ) t = 1 k C (2.22) α n Ao Συνεπώς, για αντιδράσεις μηδενικής (n=0), πρώτης (n=1) και δεύτερης τάξης (n=2), λαμβάνουμε: t CAo k = 1 k 1 k C α 1 o ( 2 Ao) ; n = 0 ; n = 1 ; n = 2 (2.23) Όπως θα δούμε στο Kεφάλαιο 3, η μαθηματική διατύπωση του δυναμικού ισοζυγίου γραμμομορίων του A στον αντιδραστήρα ασυνεχούς λειτουργίας έχει την ακόλουθη μορφή: ( ) d VC dt A = Vr = Vk C (t) ; C A(t = 0) = CAo (2.24) n A n A Aν θεωρήσουμε ότι ο όγκος του αντιδρώντος μίγματος, V, δεν μεταβάλλεται με το χρόνο, η διαφορική εξίσωση (2.24) μπορεί να επιλυθεί αναλυτικά για διάφορες τιμές του εκθέτη n. Συνεπώς, η χρονική μεταβολή της συγκέντρωσης του A για n = 0, 1 και 2 θα δίνεται από τις ακόλουθες σχέσεις: CAo kot C A(t) = CAoexp( k1t) CAo 1 k2caot ( + ) Ao Ao Ao ( α ) = C 1 t t ( α ) = C exp t t ( α ) = C 1+ t t ; n = 0 ; n = 1 ; n = 2 (2.25) Η γραφική παράσταση της αδιάστατης συγκέντρωσης C A (t)/c Ao ως προς το χρόνο t για διάφορες τιμές του n παρουσιάζεται στην Εικόνα Παρατηρούμε ότι στο χαρακτηριστικό χρόνο t α, η ποσότητα του A που έχει αντιδράσει θα είναι αντίστοιχα 100%, 63% και 50% για μηδενικής, πρώτης και δεύτερης τάξης αντιδράσεις. Συμπερασματικά, ο χαρακτηριστικός χρόνος χημικής αντίδρασης μας δίνει ένα μέτρο εκτίμησης της ταχύτητας μιας χημικής αντίδρασης.

40 39 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων C A (t) 1.0 C Ao 0.5 n = 1 n = 2 n = t a 2t a 3t a 4t t a Εικόνα 2.10: Μεταβολή της αδιάστατης συγκέντρωσης του Α συναρτήσει του χρόνου για αντιδράσεις μηδενικής, πρώτης και δεύτερης τάξης. Παράδειγμα 2.1: Χαρακτηριστικοί χρόνοι σε αντιδραστήρα συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης Θεωρούμε ότι ο αντιδραστήρας συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης της Εικόνας 2.11, φέρει μια ψυκτική σπείρα για την απομάκρυνση της θερμότητας που εκλύεται κατά την εξώθερμη χημική αντίδραση ( A B). Εικόνα 2.11: Mη ισοθερμοκρασιακή λειτουργία ενός CSTR. Για το σύστημα της Εικόνας 2.11 δίνονται οι παρακάτω τιμές των λειτουργικών, σχεδιαστικών, φυσικών και κινητικών παραμέτρων:

41 Χαρακτηριστικοί Χρόνοι Διεργασιών 40 Αντιδραστήρας Σύμβολο Διαστάσεις Tιμή Μέση τιμή ογκομετρικής παροχής q m 3 /min 0,2 Oγκος αντιδρώντος μίγματος V m 3 1 Πυκνότητα αντιδρώντος μίγματος ρ kg/m Eιδική θερμότητα αντιδρώντος μίγματος C p kj/(kg K) 1 Κινητική σταθερά της αντίδρασης k min -1 0,3 Εναλλάκτης Σύμβολο Διαστάσεις Tιμή Aκτίνα αυλού r c m 0,03 Mήκος αυλού L c m 12 Πυκνότητα ψυκτικού μέσου ρ c kg/m Eιδική θερμότητα ψυκτικού μέσου C pc kj/(kg K) 2 Μέση τιμή ογκομετρικής παροχής ψυκτικού q c m 3 /min 0,15 Ολικός συντελεστής μεταφοράς θερμότητας U kj/(m 2 K min) 150 Λύση: Όπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο, μπορούμε εύκολα να διατυπώσουμε τα αντίστοιχα δυναμικά ισοζύγια μάζας και ενέργειας για το αντιδρών μίγμα στο χημικό αντιδραστήρα. Το ίδιο ισχύει και για τον εναλλάκτη θερμότητας. Το συνολικό μαθηματικό μοντέλο του συστήματος θα περιλαμβάνει τα ισοζύγια των δύο επιμέρους υποσυστημάτων, αντιδραστήρα και εναλλάκτη. Η τελική διατύπωση των ισοζυγίων (π.χ., στατική ή δυναμική) μπορεί να γίνει με συγκριτική μελέτη των χαρακτηριστικών χρόνων κάθε υποσυστήματος. Συνεπώς, είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε τους χαρακτηριστικούς χρόνους παραμονής και θέρμανσης στον αντιδραστήρα και στον εναλλάκτη με βάση τα αριθμητικά δεδομένα του προβλήματος. Aντιδραστήρας Xαρακτηριστικός Xρόνος Παραμονής Aντιδραστήρα (ΧΧΠΑ): V 3 (XXΠA) = t r = = 1 m q 3 0, 2 m min = 5 min Xαρακτηριστικός Xρόνος Ψύξης Aντιδραστήρα (ΧΧΨΑ): (XXΨA) = VρC p UΑ = x1 = 2,95 min 150 2, 26

42 41 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων όπου A = 2πr c L c = 2π 0,03 m 12 m = 2,26 m 2 Eναλλάκτης Χαρακτηριστικός Χρόνος Παραμονής Εναλλάκτη (ΧΧΠΕ): (XXΠE) = t r,e = 2 c πr L q c c = 2 π 0, = 0,23 min 0,15 Χαρακτηριστικός Χρόνος Θέρμανσης Εναλλάκτη (ΧΧΘΕ): (XXΘE) = t h,e = Vcρ ccpc UΑ = 2 (πrc L c)ρccpc U Α = 0,26 min Από τη σύγκριση των παραπάνω χαρακτηριστικών χρόνων, παρατηρούμε ότι ο χρόνος παραμονής του ψυκτικού μέσου στον εναλλάκτη είναι μικρότερος από τον αντίστοιχο χρόνο παραμονής του αντιδρώντος μίγματος στον αντιδραστήρα. Αυτό σημαίνει ότι η δυναμική απόκριση του εναλλάκτη θα είναι μια τάξη μεγέθους πιο γρήγορη από εκείνη του αντιδραστήρα. Παρόμοια, ο (ΧΧΘΕ) είναι συγκριτικά μικρότερος του (ΧΧΨΑ). Ακολούθως, ορίζουμε τον αριθμό Damköhler, Da, για τον αντιδραστήρα. ( ) ( XXXA) ( ) r XXΠΑ Vq t Da = = C r (C,T ) = t (2.26) Aο Aο Aο ο α Ο αριθμός Da ισούται με το λόγο του χαρακτηριστικού χρόνου παραμονής του αντιδρώντος μίγματος στον αντιδραστήρα (ΧΧΠΑ) προς τον χαρακτηριστικό χρόνο χημικής αντίδρασης (XXXA). Η συνήθης τιμή του αριθμού Da είναι περίπου ίση με τη μονάδα. Συνεπώς, εάν η τιμή του αριθμού Da είναι πολύ μεγάλη (Da>>1, δηλαδή ο χρόνος παραμονής στον αντιδραστήρα είναι πολύ μεγαλύτερος από το χαρακτηριστικό χρόνο της χημικής αντίδρασης), τότε ο βαθμός μετατροπής του αντιδρώντος συστατικού στον αντιδραστήρα θα είναι ίσος με 100%. Αντίθετα, εάν η τιμή του αριθμού Da είναι πολύ μικρή (Da 0, δηλαδή η τιμή του ΧΧΧΑ είναι συγκριτικά μεγαλύτερη από την τιμή του ΧΧΠΑ) ο βαθμός μετατροπής του αντιδρώντος συστατικού στον αντιδραστήρα θα είναι χαμηλός.

43 Χαρακτηριστικοί Χρόνοι Διεργασιών 42 Τι πρέπει να γνωρίζω Πώς ορίζεται ο χαρακτηριστικός χρόνος παραμονής σε δοχείο πλήρους ανάμιξης και συνεχούς λειτουργίας; Πώς ορίζεται ο χαρακτηριστικός χρόνος παραμονής σε αυλό εμβολικής ροής (ιδανικό σύστημα μηδενικού βαθμού ανάμιξης); Πώς ορίζεται ο χαρακτηριστικός χρόνος μεταφοράς μάζας; Τι είναι χρόνος ημιζωής; Τι είναι χαρακτηριστικός χρόνος θέρμανσης / ψύξης και πώς ορίζεται; Σε πόσες περίπου χρονικές σταθερές, ένα δυναμικό σύστημα πρώτης τάξης φθάνει σε μόνιμη κατάσταση μετά την επιβολή μιας βηματικής μεταβολής στη μεταβλητή εισόδου; Τι είναι χαρακτηριστικός χρόνος χημικής αντίδρασης και πώς ορίζεται; Πώς ορίζεται ο αριθμός Damköhler, Da, και ποια είναι η φυσική του σημασία; Να υπολογίσετε το βαθμό μετατροπής σε έναν αντιδραστήρα συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης για τις τιμές του αριθμού Da (0 και 10 3 ). Τι είναι υπερσχεδιασμός και τι είναι υποσχεδιασμός μιας συσκευής και πώς συνδέονται με τις χαρακτηριστικές χρονικές σταθερές του συστήματος; Πότε λέμε ότι η δυναμική συμπεριφορά μιας διεργασίας είναι γρήγορη και πότε αργή; Πώς συνδέεται η δυναμική συμπεριφορά μιας διεργασίας με τις τιμές των λειτουργικών, σχεδιαστικών, φυσικών και κινητικών παραμέτρων της διεργασίας;

44 43 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Ασκήσεις Άσκηση 2.1: Με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace, να επιλύσετε την διαφορική εξίσωση (2.9). Άσκηση 2.2: Με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace, να επιλύσετε την διαφορική εξίσωση (2.14). Άσκηση 2.3: Να επιλύσετε την διαφορική εξίσωση (2.24) για n = 0, 1 και 2. Υποθέτουμε ότι ο όγκος του αντιδρώντος μίγματος V παραμένει σταθερός. Άσκηση 2.4: Θεωρούμε ότι η αντίδραση πρώτης τάξης A P, (r Α = kc Α ) προχωρεί ισοθερμοκρασιακά στον αντιδραστήρα συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης της Εικόνας Θεωρούμε ότι ο όγκος του αντιδρώντος μίγματος παραμένει σταθερός. Στην περίπτωση αυτή, το δυναμικό ισοζύγιο γραμμομορίων για το αντιδρών συστατικό Α δίνεται από την ακόλουθη διαφορική εξίσωση: dc dt ( ) A V qο C Ao (t) C A (t) VkC A (t) = ; C A (t = 0) = 0 Να ορίσετε τις χαρακτηριστικές χρονικές σταθερές της διεργασίας (ΧΧΠΑ, t r, και ΧΧΧΑ, t α ) και να υπολογίσετε με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace τη χρονική εξέλιξη της συγκέντρωσης του Α στον αντιδραστήρα συναρτήσει των t r και t α. Άσκηση 2.5: Δίνεται το παρακάτω δοχείο θέρμανσης συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης: V: είναι ο όγκος του ρευστού στο δοχείο, σταθερός. q o : είναι η ογκομετρική παροχή στο δοχείο, σταθερή. C p : είναι η ειδική θερμότητα του ρευστού, σταθερή. ρ: είναι η πυκνότητα του ρευστού, σταθερή. U: είναι ο ολικός συντελεστής μεταφοράς θερμότητας μεταξύ του ρευστού στο δοχείο και του ρευστού στο μανδύα, σταθερός. Α: είναι η επιφάνεια εναλλαγής της θερμότητας μεταξύ των δύο ρευστών. M Hg : είναι η συνολική μάζα του υδραργύρου στο θερμόμετρο, σταθερή. C p,hg : είναι η ειδική θερμότητα του υδραργύρου.

45 Χαρακτηριστικοί Χρόνοι Διεργασιών 44 h: είναι ο εξωτερικός συντελεστής μεταφοράς θερμότητας του θερμομέτρου. A m : είναι η εξωτερική επιφάνεια εναλλαγής θερμότητας του θερμομέτρου. Ένα ψυχρό ρεύμα σταθερής παροχής, q o, εισέρχεται στο δοχείο σε θερμοκρασία Τ o (t) και εξέρχεται σε θερμοκρασία T(t). Θεωρούμε ότι η θερμοκρασία του ρευστού στον εξωτερικό μανδύα του δοχείου παραμένει σταθερή, Τ j. Για να μετρήσουμε τη θερμοκρασία του ρευστού στο δοχείο, χρησιμοποιούμε ένα θερμόμετρο υδραργύρου. Υποθέτουμε ότι η δυναμική συμπεριφορά του ρευστού και του θερμομέτρου μπορεί να περιγραφούν από το ακόλουθο σύστημα των διαφορικών εξισώσεων. Δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας ρευστού dt VρCp = qoρcp T o(t) T(t) + UA Tj T(t) dt ( ) ( ) Δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας θερμομέτρου dtm VHgρHgCp,Hg = ham T(t) T m(t) dt ( ) α) Να δείξετε ότι το παραπάνω σύστημα των διαφορικών εξισώσεων μπορεί να γραφεί ισοδύναμα ως εξής: dt dtm τ1 + T(t) = K1T o(t) + K2Tj ; τ2 + T m(t) = T(t) dt dt

46 45 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων β) Να προσδιορίσετε τις χρονικές σταθερές τ 1 και τ 2 των δύο επιμέρους διεργασιών (π.χ., δοχείου θέρμανσης και θερμομέτρου υδραργύρου) συναρτήσει των χαρακτηριστικών χρόνων παραμονής του ρευστού στο δοχείο, t r = (V/q ο ), θέρμανσης του ρευστού στο δοχείο, t h = (VρC p /UA), θέρμανσης του θερμομέτρου, t h,hg =( V ρ C / ha m ) καθώς και τις αντίστοιχες τιμές των σταθερών Κ 1 και Κ 2. Hg Hg p, Hg Άσκηση 2.6: Δίνεται ένας αντιδραστήρας συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης. Ο αντιδραστήρας φέρει εξωτερικό μανδύα ψύξης. Θεωρούμε ότι μια εξώθερμη χημική αντίδραση πρώτης τάξης (r A = kc A ) λαμβάνει χώρα στον αντιδραστήρα. Οι σχεδιαστικές εξισώσεις του αντιδραστήρα στη μεταβατική κατάσταση είναι: Δυναμικό ισοζύγιο γραμμομορίων dc dt ( ) -E RT A V = qo C Ao(t) C A(t) Vkoe C A(t) Δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας όπου, dt VρCp = qoρcp To T(t) V ΔHr,Τ r Α A UA T(t) T c(t) dt ( ) ( ) ( ) q o : είναι η ογκομετρική παροχή του αντιδρώντος, m 3 /min (σταθερή) V: είναι ο σταθερός όγκος του ρευστού στο δοχείο, m 3 Τ ο : είναι η θερμοκρασία του ρεύματος τροφοδοσίας, Κ (σταθερή) ρ: είναι η πυκνότητα του αντιδρώντος μίγματος, kg/m 3 (σταθερή) C p : είναι η ειδική θερμότητα του αντιδρώντος μίγματος, kj/(kg.k) (σταθερή) C A (t): είναι η χρονικά μεταβαλλόμενη συγκέντρωση του Α, kmol/m 3 C Ao (t): είναι η χρονικά μεταβαλλόμενη συγκέντρωση του Α στην τροφοδοσία, kmol/m 3 Τ c (t): είναι η χρονικά μεταβαλλόμενη θερμοκρασία του ψυκτικού στο μανδύα, Κ Τ(t): είναι η χρονικά μεταβαλλόμενη θερμοκρασία του αντιδρώντος μίγματος, Κ k o : είναι η κινητική σταθερά της αντίδρασης E: είναι η ενέργεια ενεργοποίησης, kj/kmol R: είναι η παγκόσμια σταθερά των αερίων, kj/(kmol.k) -(ΔΗ r,τ ) Α : είναι ο θερμοτονισμός της αντίδρασης, kj/kmol του Α (σταθερός) r A : είναι η ταχύτητα της χημικής αντίδρασης, kmol/(m 3.s)

47 Χαρακτηριστικοί Χρόνοι Διεργασιών 46 U: είναι ο ολικός συντελεστής μεταφοράς θερμότητας, kj/(m 2.s.K) (σταθερός) A: είναι η επιφάνεια εναλλαγής της θερμότητας, m 2 (σταθερή) Να προσδιορίσετε όλες τις χαρακτηριστικές χρονικές σταθερές της διεργασίας και να επαναδιατυπώσετε τα δυναμικά ισοζύγια γραμμομορίων και ενέργειας συναρτήσει των παρακάτω αδιάστατων αριθμών και χαρακτηριστικών χρονικών σταθερών. C(τ) = C (t) C, είναι η αδιάστατη συγκέντρωση A Aos Θ(τ) = T(t) T os, είναι η αδιάστατη θερμοκρασία του αντιδρώντος μίγματος Θo = To Tos, είναι η αδιάστατη θερμοκρασία του ρεύματος τροφοδοσίας Θ (τ) = T (t) T, είναι η αδιάστατη θερμοκρασία του ψυκτικού στο μανδύα c c os τ = tt r, είναι ο αδιάστατος χρόνος t r = V q, είναι ο μέσος χρόνος παραμονής του ρευστού στον αντιδραστήρα r o Da = t k, είναι ο αδιάστατος αριθμός Damköhler s ks = koexp( γ), είναι η κινητική σταθερά της αντίδρασης σε συνθήκες μόνιμης κατάστασης, όπου γ = ERT os β = (ΔH r,t) AC Aos (ρcpt os), είναι η αδιάστατη αδιαβατική ανύψωση της θερμοκρασίας U= UAt r (ρcpv) = tr th, είναι ο αδιάστατος ολικός συντελεστής μεταφοράς θερμότητας όπου T os και C Aos είναι η θερμοκρασία και η συγκέντρωση του αντιδρώντος Α του ρεύματος εισόδου στη μόνιμη κατάσταση.

48 ΚEΦAΛAIO 3 Mαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων Η ποσοτική περιγραφή των φυσικών και χημικών φαινομένων που λαμβάνουν χώρα σε μια διεργασία και η διατύπωση του αντίστοιχου μαθηματικού μοντέλου μπορεί να γίνει σε τρεις διαφορετικές κλίμακες μεγέθους: τη μοριακή/ατομική κλίμακα, τη μικροσκοπική κλίμακα και τη μακροσκοπική κλίμακα. Στη μοριακή/ατομική κλίμακα είναι δυνατή η μελέτη των δυναμικών αλληλεπιδράσεων μεταξύ των μορίων του συστήματος με τη βοήθεια της κβαντικής μηχανικής, της στατιστικής μηχανικής ή της κλασικής μηχανικής. Αντίθετα, στο μικροσκοπικό επίπεδο, θεωρούμε ότι το σύστημα συμπεριφέρεται σαν ένα συνεχές μέσο, αγνοώντας τις μοριακές αλληλεπιδράσεις. Λαμβάνοντας υπόψη τις χωρικές και χρονικές μεταβολές (spatial and time gradients) των μεταβλητών του συστήματος, διατυπώνουμε τα ισοζύγια μάζας, γραμμομορίων, ορμής και ενέργειας σε ένα διαφορικό όγκο του συστήματος. Τέλος, στη μακροσκοπική κλίμακα θεωρούμε ότι οι μεταβλητές του συστήματος εξαρτώνται μόνο από το χρόνο, δηλαδή είναι ανεξάρτητες των χωρικών συντεταγμένων. Στην περίπτωση αυτή, τα δυναμικά ισοζύγια διατυπώνονται για ολόκληρο τον όγκο του συστήματος. Στο παρόν κεφάλαιο αναπτύσσονται κατάλληλα μικροσκοπικά και μακροσκοπικά μαθηματικά μοντέλα που περιγράφουν τη διατήρηση της μάζας, των γραμμομορίων και της ενέργειας σε ένα φυσικό/χημικό σύστημα. Η αναλυτική ή αριθμητική επίλυση του μαθηματικού μοντέλου μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε ποσοτικά τις επιδράσεις των μεταβλητών εισόδου επί των μεταβλητών εξόδου του συστήματος και να αναλύσουμε την επίδραση των λειτουργικών και σχεδιαστικών παραμέτρων του συστήματος στη δυναμική συμπεριφορά του. O έλεγχος της αξιοπιστίας ενός μαθηματικού μοντέλου γίνεται με απευθείας σύγκριση των προβλέψεων του μοντέλου με πειραματικά δεδομένα που συλλέγονται από τη διεργασία. Συνεπώς, όσο καλύτερη είναι η συμφωνία των 47

49 48 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων προβλέψεων του μοντέλου με τις πειραματικές μετρήσεις, τόσο πιο αξιόπιστο είναι το μαθηματικό μοντέλο. 3.1 Ταξινόμηση των Μαθηματικών Μοντέλων Γενικά, τα μαθηματικά μοντέλα των φυσικών και χημικών διεργασιών μπορούν να ταξινομηθούν στις ακόλουθες κατηγορίες: Χωρικά ανεξάρτητα (lumped systems) και χωρικά εξαρτημένα μοντέλα (distributed systems). Μοντέλα μόνιμης (steady state) και δυναμικής (non-steady state) κατάστασης. Γραμμικά (linear) και μη γραμμικά (non-linear) μοντέλα Χωρικά Ανεξάρτητα και Εξαρτημένα Συστήματα Οι διάφορες φυσικοχημικές διεργασίες μπορούν να ταξινομηθούν, με βάση τα πρότυπα ανάμιξης, σε διεργασίες πλήρους ανάμιξης και σε διεργασίες μηδενικής ανάμιξης. Ένα φυσικό/χημικό σύστημα θεωρείται πλήρως αναμίξιμο εάν οι φυσικές ιδιότητες καθώς και οι μεταβλητές κατάστασης του συστήματος είναι ανεξάρτητες των χωρικών συντεταγμένων (x,y,z). Τέτοια συστήματα ονομάζονται χωρικά ανεξάρτητα συστήματα. Η δυναμική τους κατάσταση περιγράφεται από κανονικές διαφορικές εξισώσεις ως προς το χρόνο, η δε μόνιμη κατάστασή τους περιγράφεται από αντίστοιχες αλγεβρικές εξισώσεις. Ένα φυσικό/χημικό σύστημα ονομάζεται χωρικά εξαρτημένο ή κατανεμημένο (distributed system) εάν οι φυσικές ιδιότητες καθώς και οι μεταβλητές κατάστασης του συστήματος μεταβάλλονται με τις χωρικές συντεταγμένες (x,y,z). Στην περίπτωση αυτή, οι κατανεμημένες μεταβλητές του συστήματος θα εξαρτώνται από δύο τουλάχιστον ανεξάρτητες μεταβλητές (π.χ., χρόνος και απόσταση). Συνεπώς, η δυναμική κατάσταση του συστήματος θα περιγράφεται από μερικές διαφορικές εξισώσεις, η δε μόνιμη κατάσταση του συστήματος από αντίστοιχες κανονικές ή μερικές διαφορικές εξισώσεις. Το κλειστό σύστημα θέρμανσης, το οποίο αναλύσαμε διεξοδικά στο υποκεφάλαιο 2.3, είναι χαρακτηριστικό παράδειγμα ενός χωρικά ανεξάρτητου συστήματος πλήρους ανάμιξης. Το επόμενο παράδειγμα, μεταφοράς θερμότητας σε μεταλλικό πτερύγιο, αναφέρεται σε ένα χωρικά εξαρτημένο δυναμικό σύστημα.

50 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 49 Παράδειγμα 3.1: Κατανεμημένο σύστημα μεταφοράς θερμότητας Θεωρούμε το μεταλλικό πτερύγιο της Εικόνας 3.1. Θεωρούμε επίσης ότι η βάση του πτερυγίου βρίσκεται σε σταθερή θερμοκρασία, T w, η οποία είναι υψηλότερη της θερμοκρασίας του περιβάλλοντος, T a. Θερμότητα μεταφέρεται δια αγωγής από τη θερμή βάση του μεταλλικού πτερυγίου στο ελεύθερο ψυχρό άκρο του. Ταυτόχρονα, θερμότητα απομακρύνεται από την εξωτερική επιφάνεια του πτερυγίου στο περιβάλλον. Εάν η θερμοκρασία του μεταλλικού πτερυγίου σε χρόνο t = 0 είναι ίση με T a, να υπολογίσετε τη χωρο-χρονική μεταβολή της θερμοκρασίας του πτερυγίου. Λύση: Θεωρούμε ότι ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας του μεταλλικού πτερυγίου, k (kj/(m s K)), ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας από την εξωτερική επιφάνεια του πτερυγίου στο περιβάλλον, h (kj/(m 2 s K)), η πυκνότητα, ρ (kg/m 3 ), και η ειδική θερμότητα του πτερυγίου, C p (kj/(kg K)), δε μεταβάλλονται χωρικά και χρονικά. Εάν υποθέσουμε επιπλέον ότι η μεταβολή της θερμοκρασίας είναι ανεξάρτητη των χωρικών μεταβλητών y και z, τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι η χωρο-χρονική μεταβολή της θερμοκρασίας στο μεταλλικό πτερύγιο θα δίνεται από την ακόλουθη μερική διαφορική εξίσωση: T k 2T hp = 2 (T T a ) t ρcp x AρC p (3.1) όπου P (m) και Α (m 2 ) είναι αντίστοιχα η περίμετρος και η διατομή του μεταλλικού πτερυγίου. Εικόνα 3.1: Μονοδιάστατη μεταφορά θερμότητας σε μεταλλικό πτερύγιο.

51 50 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Για την επίλυση της μερικής διαφορικής εξίσωσης (3.1), είναι απαραίτητη η διατύπωση των ακόλουθων αρχικών και οριακών συνθηκών: T(0,x) = T a, T(t,0) = Tw, ( T/ x) = 0 (3.2) x= L Στη μόνιμη κατάσταση, η μεταβολή της θερμοκρασίας ως προς το χρόνο θα είναι ίση με μηδέν ( T t = 0). Συνεπώς, η εξίσωση (3.1) γράφεται: 2 dt hp (T T ) 0 2 a dx ka = (3.3) Δηλαδή, η μόνιμη κατάσταση του κατανεμημένου συστήματος της Εικόνας 3.1 θα περιγράφεται από μία κανονική διαφορική εξίσωση Μοντέλα Μόνιμης και Δυναμικής Κατάστασης Στη μόνιμη κατάσταση (steady state) όλοι οι όροι συσσώρευσης που εμφανίζονται στα δυναμικά ισοζύγια μάζας, ορμής, ενέργειας, κλπ., θα είναι ίσοι με μηδέν. Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα παραμένει αμετάβλητο ως προς το χρόνο (time invariant) και συνεπώς οι τιμές όλων των μεταβλητών του συστήματος θα είναι ανεξάρτητες του χρόνου. Όπως αναφέραμε στην προηγούμενη ενότητα, η μόνιμη κατάσταση των χωρικά ανεξάρτητων συστημάτων θα περιγράφεται από αλγεβρικές εξισώσεις, αφού όλες οι χρονικές παράγωγοι των μεταβλητών του συστήματος θα είναι ίσες με μηδέν (π.χ., dm/dt = 0, dc A /dt = 0, dt/dt = 0, κλπ.). Αντίθετα, η μόνιμη κατάσταση των χωρικά εξαρτημένων συστημάτων θα περιγράφεται από αντίστοιχες κανονικές ή μερικές διαφορικές εξισώσεις συναρτήσει των χωρικών μεταβλητών του συστήματος. Στη μεταβατική κατάσταση (transient behavior), οι εξαρτημένες μεταβλητές του συστήματος μεταβάλλονται με το χρόνο και συνεπώς οι αντίστοιχες τιμές των χρονικών παραγώγων τους θα είναι διαφορετικές του μηδενός Γραμμικά και Μη Γραμμικά Μοντέλα Τα μαθηματικά μοντέλα που περιγράφουν τη δυναμική ή τη μόνιμη κατάσταση ενός συστήματος μπορούν επίσης να διακριθούν σε γραμμικά και μη γραμμικά. Έστω u και y είναι αντίστοιχα τα διανύσματα των μεταβλητών εισόδου και εξόδου ενός συστήματος. Γενικά, μπορούμε να διατυπώσουμε την ακόλουθη σχέση μεταξύ των u και y:

52 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 51 y = Hu (3.4) όπου Η είναι ένας γραμμικός ή μη γραμμικός τελεστής που προσδιορίζει τη μαθηματική εξάρτηση του y από το u. Εάν ο τελεστής Η είναι γραμμικός, τότε θα ισχύουν οι αρχές της υπέρθεσης (superposition) και αναλογίας (proportionality). Δηλαδή, κατ αντιστοιχία, H(y 1 + y 2 ) = H(y 1 ) + H(y 2 ) (3.5) H(cy) = ch(y) (3.6) όπου c είναι κάποια σταθερά. Για παράδειγμα, οι τελεστές (d / dx), (d 2 /dx 2 ), (d 2 /dx 2 + d 2 /dy 2 + d 2 /dz 2 ) είναι γραμμικοί. Αντίθετα, ο τελεστής (d / dx) 2 είναι μη γραμμικός διότι για τον τελευταίο δεν ισχύει η αρχή της υπέρθεσης dy dy dy dy + + dx dx dx dx (3.7) Συνεπώς, μια κανονική διαφορική εξίσωση θα είναι γραμμική, εάν η εξαρτημένη μεταβλητή και όλες οι παράγωγοί της βρίσκονται υψωμένες στην πρώτη δύναμη. Για παράδειγμα, η μη ομογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης (3.8) είναι γραμμική. 2 dy dy ao + a a2y(t) = bou(t) (3.8) dt dt Για γραμμικές διαφορικές εξισώσεις θα ισχύει η αρχή της υπέρθεσης. Δηλαδή, εάν y 1 (t) είναι η λύση της εξίσωσης (3.8), για μια μεταβολή u 1 (t), και y 2 (t) η λύση της εξίσωσης, για μια μεταβολή u 2 (t), τότε το άθροισμα y(t) = y 1 (t) + y 2 (t) θα είναι λύση της εξίσωσης (3.8), για τη συνδυασμένη μεταβολή u(t) = u 1 (t) + u 2 (t). Εάν η εξαρτημένη μεταβλητή ή/και οι παράγωγοί της βρίσκονται υψωμένες σε δύναμη διαφορετική της πρώτης (π.χ., y 1/2, y 2, e y, (dy/dt) 2, κλπ.), η αντίστοιχη διαφορική εξίσωση ονομάζεται μη γραμμική. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις: 2 dy dt + a 1 y ½ = 0, dy dt + a 1 e y = 0, dy dt + a 1 y 2 = 0 είναι μη γραμμικές, ομογενείς διαφορικές εξισώσεις.

53 52 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων H Θεμελιώδης Aρχή της Mαθηματικής Προσομοίωσης Η δυναμική προσομοίωση των συστημάτων χημικής μηχανικής βασίζεται στην εφαρμογή των ισοζυγίων διατήρησης μάζας, γραμμομορίων, ενέργειας και ορμής στο υπό μελέτη σύστημα. Η γενική διατύπωση της θεμελιώδους αρχής διατήρησης της ποσότητας P σε έναν διαφορικό όγκο ελέγχου ΔV (όπου P μπορεί να είναι: η μάζα του συστήματος, m = ρδv, τα γραμμομόρια ενός συστατικού, Ν Α = C A ΔV, η ενθαλπία, H = ρδvc p T, κλπ.) παρουσιάζεται στην Εικόνα 3.2. Η αντίστοιχη μαθηματική διατύπωση του μικροσκοπικού δυναμικού ισοζυγίου διατήρησης της ποσότητας Ρ στο διαφορικό όγκο ελέγχου ΔV γράφεται ως εξής: P t ΔV = F F + R P,in ΔV P,out ΔV P ΔV (3.9) O πρώτος όρος της εξίσωσης (3.9) αναφέρεται στο ρυθμό συσσώρευσης της ποσότητας P στον όγκο ελέγχου ΔV. Ο δεύτερος και τρίτος όρος αναφέρονται αντίστοιχα στους ρυθμούς εισροής, F p,in, και εκροής, F p,out, της ποσότητας Ρ στον και από τον όγκο ελέγχου ΔV, αντίστοιχα. Τέλος, ο ρυθμός παραγωγής ή κατανάλωσης της ποσότητας P, R p, μπορεί να οφείλεται είτε σε κάποια χημική αντίδραση ή στη φυσική μεταφορά της ποσότητας Ρ (π.χ., μάζας, θερμότητας, γραμμομορίων) στον (από τον) όγκο ελέγχου ΔV. P t Εικόνα 3.2: Διαφορικό ισοζύγιο διατήρησης της ποσότητας P στον όγκο ΔV.

54 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 53 Για διεργασίες πλήρους ανάμιξης (δηλαδή χωρικά ανεξάρτητα συστήματα), ο διαφορικός όγκος ελέγχου ΔV αντικαθίσταται με τον όγκο V του ρευστού στη συσκευή. Στη συνέχεια δίνονται μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα μαθηματικής προσομοίωσης απλών φυσικών και χημικών συστημάτων που συχνά εμφανίζονται στη χημική μηχανική. 3.2 Δυναμική Προσομοίωση Χωρικά Ανεξάρτητων Συστημάτων Μεταβολή της Στάθμης Υγρού σε Κυλινδρικό Δοχείο Δίνεται το κυλινδρικό δοχείο της Εικόνας 3.3. q o (t) και q(t) είναι αντίστοιχα ο ρυθμός εισροής του ρευστού στο δοχείο και ο ρυθμός εκροής του ρευστού από το δοχείο. Η δυναμική κατάσταση του συστήματος (δηλαδή, η χρονική μεταβολή της στάθμης του ρευστού στο δοχείο) θα περιγράφεται από το ακόλουθο ισοζύγιο διατήρησης της μάζας του ρευστού στο δοχείο. Δυναμικό ισοζύγιο μάζας d(ρv) dt = q(t)ρ (t) q(t)ρ(t) (3.10) o o Εάν η πυκνότητα του ρευστού είναι σταθερή (ρ ο = ρ), τότε το δυναμικό ισοζύγιο μάζας (3.10) μετατρέπεται σε ένα ισοδύναμο δυναμικό ισοζύγιο διατήρησης του όγκου της υγρής φάσης στο δοχείο: dv dt = q o(t) q(t) (3.11) Εικόνα 3.3: Μεταβολή της στάθμης υγρού σε κυλινδρικό δοχείο.

55 54 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Έστω V(t) = Ah(t), όπου Α είναι η διατομή της κυλινδρικής δεξαμενής. Τότε η εξίσωση (3.11) γράφεται: d(ah) dt = q o (t) q(t) ή A dh dt + q(t) = q o (t) (3.12) Μερικές φορές, ο ρυθμός εκροής, q(t), εξαρτάται γραμμικά από το ύψος, h(t), του ρευστού στη δεξαμενή, δηλαδή q(t) = h(t) R. Στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση (3.12) γράφεται: Α dh dt + h(t) R = q ο(t) ή τ dh dt + h(t) = K p q ο (t) (3.13) όπου τ = AR (χρόνος) είναι η χαρακτηριστική χρονική σταθερά και K p = R είναι η σταθερά ενίσχυσης (gain) ή κέρδος της διεργασίας Συνεχής Διεργασία Πλήρους Ανάμιξης Θεωρούμε την ισοθερμοκρασιακή διεργασία συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης της Εικόνας 3.4. Στο δοχείο εισάγονται τα ρεύματα 1 και 2 με αντίστοιχες συγκεντρώσεις C Α1 (t) και C A2 (t). Το ρεύμα εξόδου θα έχει μία συγκέντρωση, C Α (t). Η μεταβατική συμπεριφορά του συστήματος θα περιγράφεται από τα δυναμικά ισοζύγια διατήρησης της μάζας και των γραμμομορίων για το συστατικό Α. Δυναμικό ισοζύγιο μάζας d(ρv) dt = ρ (t)q (t) + ρ (t)q (t) ρ(t)q(t) (3.14) Εικόνα 3.4: Συνεχής διεργασία πλήρους ανάμιξης.

56 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 55 Aν υποθέσουμε ότι η πυκνότητα όλων των ρευμάτων είναι σταθερή (ρ 1 = ρ 2 = ρ), τότε το δυναμικό ισοζύγιο μάζας μετατρέπεται σε ένα ισοδύναμο δυναμικό ισοζύγιο διατήρησης του όγκου του ρευστού στο δοχείο: dv = q 1 (t) + q 2 (t) q(t) (3.15) dt Ακολούθως, διατυπώνουμε το δυναμικό ισοζύγιο γραμμομορίων για το συστατικό A. Σύμφωνα με την εξίσωση (3.9), η διατήρηση του αριθμού των γραμμομορίων του Α N (t) = C (t)v(t)) στο σύστημα θα δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση: ( A A Δυναμικό ισοζύγιο γραμμομορίων d(vc A ) dt = q (t)c (t) + q (t)c (t) q(t)c (t) (3.16) 1 A1 2 A2 A Παραγωγίζοντας κατά μέρη το γινόμενο των μεταβλητών V(t)C A (t) και αντικαθιστώντας στην εξίσωση που προκύπτει τη μεταβολή του όγκου (dv/dt) από την εξίσωση (3.15), λαμβάνουμε: dc dt ( ) ( ) A V q 1(t) C A1(t) C A(t) q 2(t) C A2(t) C A(t) = + (3.17) Σύμφωνα λοιπόν με τα παραπάνω, μπορούμε να διατυπώσουμε τα ακόλουθα δύο ισοδύναμα δυναμικά μοντέλα για τη φυσική διεργασία της Εικόνας 3.4. Μοντέλο I: dv = q 1 (t) + q 2 (t) q(t) (3.15) dt d(vc A ) dt = q (t)c (t) + q (t)c (t) q(t)c (t) (3.16) 1 A1 2 A2 A Μοντέλο ΙΙ: dv = q 1 (t) + q 2 (t) q(t) (3.15) dt dc dt ( ) ( ) A V q 1(t) C A1(t) C A(t) q 2(t) C A2(t) C A(t) = + (3.17)

57 56 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Αν τώρα υποθέσουμε ότι το ρεύμα εκροής, q(t), ρυθμίζεται έτσι ώστε ο όγκος V του ρευστού στο δοχείο να παραμένει σταθερός (δηλαδή, dv dt = 0), τότε είναι δυνατό να διατυπώσουμε το ακόλουθο απλουστευμένο δυναμικό μοντέλο για τη διεργασία. Μοντέλο IIΙ: 0 = q 1(t) + q 2(t) q(t) ή q(t) = q 1(t) + q 2(t) (3.18) dc dt ( ) ( ) A V q 1(t) C A1(t) C A(t) q 2(t) C A2(t) C A(t) = + (3.17) Στην περίπτωση αυτή, η στάθμη του ρευστού στο δοχείο ελέγχεται με τη βοήθεια της μεταβλητής q(t). Συνεπώς, ο χαρακτηρισμός των μεταβλητών της διεργασίας με βάση τα δυναμικά μοντέλα Ι ή ΙΙ και ΙΙΙ έχει ως εξής: Μοντέλο Ι ή ΙΙ Μοντέλο ΙΙΙ Μεταβλητές εισόδου: q 1 (t), q 2 (t), C A1 (t), C A2 (t) q 1 (t), q 2 (t), C A1 (t), C A2 (t), q(t) Μεταβλητές εξόδου: q(t), C A (t) C A (t), (q(t)) Μεταβλητές κατάστασης: V(t), C A (t) C A (t) Στο μοντέλο IΙI το ρεύμα εκροής, q(t), αναφέρεται ως μεταβλητή εισόδου ελέγχου επειδή χρησιμοποιείται για τη ρύθμιση της στάθμης του ρευστού στο δοχείο. Παρατηρούμε ότι ο κύριος χαρακτηρισμός μιας μεταβλητής δεν εξαρτάται μόνον από τη φυσική ροή των ρευμάτων εισόδου και εξόδου στη διεργασία, αλλά και από την ύπαρξη ή όχι σχετικών διατάξεων ελέγχου Θερμική Διεργασία Συνεχούς Λειτουργίας και Πλήρους Ανάμιξης Θεωρούμε τη διεργασία θέρμανσης/ψύξης της Εικόνας 3.5. Στο δοχείο εισάγονται τα ρεύματα 1 και 2 σε θερμοκρασίες Τ 1 (t) και Τ 2 (t), αντίστοιχα. Η δυναμική κατάσταση του συστήματος θα περιγράφεται από τα ισοζύγια διατήρησης της μάζας και της ενέργειας για το ρευστό στο δοχείο. Δυναμικό ισοζύγιο μάζας d(ρv) = ρ 1(t)q 1(t) + ρ 2(t)q 2(t) ρ(t)q(t) (3.19) dt

58 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 57 Εικόνα 3.5: Διεργασία θέρμανσης/ψύξης συνεχούς λειτουργίας. Aν πάλι δεχθούμε ότι η πυκνότητα όλων των ρευμάτων παραμένει σταθερή, τότε η παραπάνω εξίσωση γράφεται: dv = q 1 (t) + q 2 (t) q(t) (3.20) dt Δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας (ενθαλπίας) d (ρvc p T) = ρ 1 q(t)c 1 p1 (T(t) 1 T) r + ρ 2 q 2 (t)c p2 (T 2 (t) T r ) ρq(t)c p (T(t) T r ) (3.21) dt όπου T r είναι μια θερμοκρασία αναφοράς. Εάν θεωρήσουμε τώρα ότι η πυκνότητα, ρ, και η ειδική θερμότητα, C p, παραμένουν σταθερές, τότε η εξίσωση (3.21) απλοποιείται ως εξής: d(vt) dt = q (t)(t (t) T ) + q (t)(t (t) T ) q(t)(t(t) T ) (3.22) 1 1 r 2 2 r r Παραγωγίζοντας κατά μέρη το γινόμενο των μεταβλητών V(t)T(t) και αντικαθιστώντας στην εξίσωση που προκύπτει την παράγωγο (dv/dt) από την εξίσωση (3.20), λαμβάνουμε: dt V = q 1(t)(T 1(t) T) + q 2(t)(T 2(t) T) T r(q 1(t) + q 2(t) q(t)) (3.23) dt Σύμφωνα λοιπόν με τις παραδοχές του προβλήματος, μπορούμε να διατυπώσουμε τα ακόλουθα δυναμικά μοντέλα για τη διεργασία:

59 58 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Mοντέλο I: dv = q 1 (t) + q 2 (t) q(t) (3.20) dt d(vt) dt = q (t)(t (t) T ) + q (t)(t (t) T ) q(t)(t(t) T ) (3.22) 1 1 r 2 2 r r Mοντέλο ΙΙ: dv = q 1 (t) + q 2 (t) q(t) (3.20) dt dt V = q 1(t)(T 1(t) T(t)) + q 2(t)(T 2(t) T(t)) T r(q 1(t) + q 2(t) q(t)) (3.23) dt Αν τώρα υποθέσουμε ότι το ρεύμα εκροής, q(t), ρυθμίζεται έτσι ώστε ο όγκος V του ρευστού στο δοχείο να παραμένει σταθερός (δηλαδή, dv dt = 0), τότε είναι δυνατό να διατυπώσουμε το ακόλουθο απλουστευμένο δυναμικό μοντέλο για τη διεργασία. Mοντέλο IΙI: 0 = q 1(t) + q 2(t) q(t) (3.24) dt V = q 1(t)(T 1(t) T(t)) + q 2(t)(T 2(t) T(t)) (3.23) dt Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση τα μοντέλα I και ΙΙ είναι ισοδύναμα (το ένα αποτελεί μετασχηματισμό του άλλου) Αντιδραστήρας Συνεχούς Λειτουργίας και Πλήρους Ανάμιξης (CSTR) Θεωρούμε ότι η χημική αντίδραση A B προχωρεί ισοθερμοκρασιακά σε έναν αντιδραστήρα συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης. Θεωρούμε επίσης ότι η ταχύτητα της αντίδρασης ακολουθεί ένα εκθετικού τύπου κινητικό μοντέλο, r A = k C, kmol/(m 3 s). Στην περίπτωση αυτή, η δυναμική συμπεριφορά του αντιδραστήρα θα περιγράφεται από τα ακόλουθα μακροσκοπικά ισοζύγια διατήρησης της μάζας και του αριθμού των γραμμομορίων για τα συστατικά Α και Β. n A

60 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 59 Εικόνα 3.6: Αντιδραστήρας συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης. Δυναμικό ισοζύγιο μάζας d(ρv) dt = ρ (t)q (t) ρ(t)q(t) (3.25) o o Εάν υποθέσουμε ότι η πυκνότητα παραμένει σταθερή (ρ = ρ ο ), τότε η εξίσωση (3.25) γράφεται: dv = q o (t) q(t) (3.26) dt Δυναμικά ισοζύγια γραμμομορίων d (C n A V) = q o (t)c Ao (t) q(t)c A (t) V(t)kC A (t) (3.27) dt d (C n B V) = q o (t)c Bo (t) q(t)c B (t) + V(t)kC A (t) (3.28) dt Είναι φανερό ότι μεταξύ των C A (t), C B (t) και ρ θα ισχύει η ακόλουθη σχέση: VCAM A + VCBM B = Vρ (3.29) όπου Μ Α και Μ Β είναι αντίστοιχα τα μοριακά βάρη των συστατικών Α και Β. Συνεπώς, ο ελάχιστος αριθμός των διαφορικών εξισώσεων που απαιτούνται για να περιγράψουμε τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος είναι δύο. Έτσι, επιλέγουμε είτε τις εξισώσεις (3.26) και (3.27) ή τις εξισώσεις (3.26) και (3.28).

61 60 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Παραγωγίζοντας κατά μέρη το γινόμενο των μεταβλητών C A (t)v(t) στην εξίσωση (3.27) και αντικαθιστώντας στην εξίσωση που προκύπτει την παράγωγο (dv/dt) από την εξίσωση (3.26), λαμβάνουμε: ή dc dt ( ) n A V(t) q o(t) C Ao(t) C A(t) V(t)kC A (t) = (3.30) dc dt A n V(t) q o(t)c A(t) V(t)kC A (t) q o(t)c Ao(t) + + = (3.31) Θεωρούμε τώρα ότι η ογκομετρική παροχή στον αντιδραστήρα, q o, παραμένει σταθερή και είναι ίση με το ρεύμα εκροής (q o = q). Συνεπώς, ο όγκος V του αντιδρώντος μίγματος θα είναι σταθερός. Για n = 1, η διαφορική εξίσωση (3.31) γράφεται εναλλακτικά ως εξής: ή V dc q A o + C A(t) = C Ao(t) qo + Vk dt qo + Vk (3.32) dc dt A τ C A(t) KpC Ao(t) + = (3.33) όπου τ και K p είναι αντίστοιχα η χαρακτηριστική χρονική σταθερά και η σταθερά ενίσχυσης της διεργασίας: τ = 1 t = 1 1 r + tα tt r α t + t r α tα ; K p = t + t r α (3.34) Οι σταθερές τ και K p εξαρτώνται από το χαρακτηριστικό χρόνο παραμονής του ρευστού στον αντιδραστήρα (t r = V/q ο ) και το χαρακτηριστικό χρόνο της χημικής αντίδρασης πρώτης τάξης (t α = 1/k). Έτσι, εάν t r = 5 min και t α = 5 min, η χαρακτηριστική χρονική σταθερά τ θα είναι ίση με τ = 25/10 = 2,5 min και η σταθερά ενίσχυσης της διεργασίας θα είναι ίση με Κ p = 5/10 = 0,5. Παρατηρούμε ότι η χαρακτηριστική χρονική σταθερά του αντιδρώντος συστήματος, τ, είναι μικρότερη από τη χαρακτηριστική χρονική σταθερά της διεργασίας χωρίς χημική αντίδραση, t r, που σημαίνει ότι η δυναμική απόκριση του αντιδρώντος συστήματος θα είναι πιο γρήγορη από την απόκριση του μη αντιδρώντος συστήματος. Επιπλέον, η σταθερά ενίσχυσης του αντιδρώντος συστήματος, K p, είναι μικρότερη εκείνης του μη αντιδρώντος συστήματος, με αποτέλεσμα οι διαταραχές που

62 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 61 εισέρχονται στο αντιδρών σύστημα (π.χ., μεταβολές στη συγκέντρωση του Α, C Ao (t)) να αποσβένονται ευκολότερα λόγω της χημικής αντίδρασης (δηλαδή, της κατανάλωσης του Α) Mη Ισοθερμοκρασιακή Λειτουργία Αντιδραστήρα Συνεχούς Ροής και Πλήρους Ανάμιξης Θεωρούμε ότι η χημική αντίδραση A B ( r A n A = kc ) επιτελείται μη ισοθερμοκρασιακά σε έναν αντιδραστήρα συνεχούς ροής και πλήρους ανάμιξης (continuous stirred tank reactor). Θεωρούμε επίσης ότι ο αντιδραστήρας φέρει έναν εξωτερικό μανδύα ψύξης/ θέρμανσης διαμέσου του οποίου κυκλοφορεί κάποιο ψυκτικό/θερμαντικό μέσο. Για να περιγράψουμε τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος θα πρέπει να διατυπώσουμε τα ακόλουθα δυναμικά ισοζύγια για το αντιδρών μίγμα και το ψυκτικό/θερμαντικό μέσο: i) Δυναμικό ισοζύγιο μάζας για το αντιδρών μίγμα ii) Δυναμικό ισοζύγιο διατήρησης των γραμμομορίων για το συστατικό Α iii) Δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας για το αντιδρών μίγμα iv) Δυναμικό ισοζύγιο μάζας για το ψυκτικό/θερμαντικό μέσο του μανδύα v) Δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας για το ρευστό του μανδύα Με βάση την προηγούμενη ανάλυση και τις παραδοχές του παραδείγματος (3.2.4), τα ισοζύγια όγκου και γραμμομορίων για το αντιδρών μίγμα γράφονται ως εξής: Εικόνα 3.7: Αντιδραστήρας συνεχούς ροής και πλήρους ανάμιξης με εξωτερικό μανδύα ψύξης/θέρμανσης.

63 62 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Δυναμικό ισοζύγιο όγκου dv = q o (t) q(t) (3.35) dt Δυναμικό ισοζύγιο γραμμομορίων dca n V(t) = q o(t) ( C Ao(t) C A(t) ) V(t)kC A (t) (3.36) dt Σύμφωνα με τη γενικευμένη εξίσωση (3.9), το μακροσκοπικό δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας για το αντιδρών μίγμα στον αντιδραστήρα διατυπώνεται ως εξής: Δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας d (ρvh) = ρ o (t)q o (t)h o (t) ρ(t)q(t)h(t) + Q R (t) + Q M (t) (3.37) dt όπου Η(kJ/kg) είναι η ενθαλπία του αντιδρώντος μίγματος και Q M Q (t)(kj/s) και (t)(kj/s) είναι ο ρυθμός παραγωγής/κατανάλωσης ενέργειας λόγω χημικής αντίδρασης και ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας μεταξύ του αντιδρώντος μίγματος και του ψυκτικού/θερμαντικού μέσου στο μανδύα, αντίστοιχα. Για αντιδράσεις στην υγρή φάση και μικρές μεταβολές της πίεσης, η μεταβολή της ενθαλπίας θα δίδεται από τη σχέση ΔΗ = C p ΔΤ. Εάν υποθέσουμε ότι η πυκνότητα ρ (kg/m 3 ) και η ειδική θερμότητα C p (kj/(kg K)) παραμένουν σταθερές, τότε η εξίσωση (3.37) γράφεται: R d ρc p (VT) = q o(t)ρc p(t o(t) T r) q(t)ρc p(t(t) T r) + Q R(t) + Q M(t) (3.38) dt Ο ρυθμός παραγωγής/ κατανάλωσης ενέργειας λόγω χημικής αντίδρασης θα δίνεται από τη σχέση: Q (t) (ΔH ) r V(t) (ΔH ) kc (t)v(t) (3.39) n R = r,t A A = r,t A A όπου (ΔH r,t ) A (kj/kmol) είναι ο θερμοτονισμός της χημικής αντίδρασης. Σημειώνεται ότι η αριθμητική τιμή του θερμοτονισμού της αντίδρασης θα είναι θετική για εξώθερμες χημικές αντιδράσεις και αρνητική για ενδόθερμες αντιδράσεις. Εάν υποθέσουμε ότι η θερμοκρασία του ψυκτικού/θερμαντικού μέσου στο μανδύα εξαρτάται μόνο από το χρόνο

64 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 63 (δηλαδή η θερμοκρασία του ρευστού στο μανδύα δε μεταβάλλεται με την απόσταση) τότε ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας, Q (t), θα δίνεται από τη σχέση (3.40). M Q (t) = UA(T(t) T (t)) (3.40) M c όπου U (kj/(m 2 sec K)) είναι ο ολικός συντελεστής μεταφοράς θερμότητας και Α (m 2 ) είναι η επιφάνεια που διατίθεται για την εναλλαγή θερμότητας. Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (3.39) και (3.40) στην εξίσωση (3.38) και θεωρώντας ότι ο όγκος του ρευστού στον αντιδραστήρα παραμένει σταθερός (π.χ., q o (t) = q(t)) λαμβάνουμε: n q(t) (ΔΗ o r,t) AkC A (t) UA = (T o(t) T(t)) (Τ(t) T c(t)) (3.41) p p dt dt V ρc VρC Ακολούθως, θεωρώντας ότι ο εξωτερικός μανδύας του αντιδραστήρα συμπεριφέρεται ως ένα χωρικά ανεξάρτητο σύστημα πλήρους ανάμιξης και η πυκνότητα και η ειδική θερμότητα του ψυκτικού μέσου παραμένουν σταθερές, τότε μπορούμε να διατυπώσουμε τα ακόλουθα δυναμικά ισοζύγια όγκου και ενέργειας για το ψυκτικό μέσο: Δυναμικό ισοζύγιο όγκου dv dt c = q (t) q (t) (3.42) co c Δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας d(vct c) ρccpc = q co(t)ρcc pc(t co(t) T r) q c(t)ρcc pc(t c(t) T r) + dt UA(T(t) T (t)) c (3.43) Εάν ο όγκος του ρευστού στο μανδύα, V c, παραμένει σταθερός (δηλαδή dv c /dt = 0), τότε η εξίσωση (3.43) απλοποιείται ως εξής: dtc q (t) UA dt V V ρ C co = (T co(t) T c(t)) + (T(t) T c(t)) (3.44) c c c pc Συνεπώς, το δυναμικό μοντέλο του αντιδραστήρα για V και V c σταθερά, θα περιγράφεται από τις εξισώσεις (3.36), (3.41) και (3.44).

65 64 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων 3.3 Δυναμική Προσομοίωση Χωρικά Εξαρτημένων Συστημάτων Εμβολική Ροή σε Κυλινδρικό Αγωγό Θεωρούμε ότι η ροή στον κυλινδρικό αυλό της Εικόνας 3.8 είναι εμβολική, δηλαδή η ταχύτητα του ρευστού, u, είναι ανεξάρτητη της ακτινικής απόστασης. Στη μεταβατική κατάσταση, οι μεταβλητές u(t,z) και ρ(t,z) θα εξαρτώνται από την απόσταση, z, και το χρόνο, t. Ακολούθως, σύμφωνα με τη γενικευμένη εξίσωση (3.9), διατυπώνουμε το διαφορικό ισοζύγιο μάζας για το ρευστό στο στοιχειώδη όγκο ΔV = Sδz. Δυναμικό ισοζύγιο μάζας ( Sρδz) = ( usρ) ( usρ) t z z+ δz (3.45) όπου S είναι η διατομή του αυλού. Με τη βοήθεια της ανάπτυξης σε σειρά Taylor, ο όρος (usρ) z + δz γράφεται προσεγγιστικά ως εξής: usρ usρ + usρ δz (3.46) z+ δz z z ( ) ( ) ( ) Αντικαθιστώντας την εξίσωση (3.46) στην εξίσωση (3.45) και διαιρώντας όλους τους όρους με Sδz, λαμβάνουμε τη γνωστή μονοδιάστατη εξίσωση συνεχείας: ρ + ( ρu) = 0 t z (3.47) Εάν η πυκνότητα του ρευστού είναι ανεξάρτητη του χρόνου (δηλαδή, ρ t = 0) και η ροή ασυμπίεστη, τότε η ταχύτητα του ρευστού, u(t), θα είναι ανεξάρτητη της απόστασης z. Εικόνα 3.8: Εμβολική ροή σε κυλινδρικό αγωγό.

66 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 65 Στην περίπτωση αυτή, η μονοδιάστατη εξίσωση συνεχείας διατυπώνεται ως εξής: u z = 0 (3.48) Μεταβολή της Θερμοκρασίας Ρευστού σε Κυλινδρικό Αγωγό Θεωρούμε τη φυσική διεργασία μεταφοράς θερμότητας της Εικόνας 3.9. Στο δοχείο συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης εισάγεται ένα ρευστό με σταθερή παροχή, q o, και σε θερμοκρασία Τ ο (t), που ακολούθως ψύχεται στη θερμοκρασία T(t). Η ψύξη του ρευστού στο δοχείο επιτυγχάνεται με τη βοήθεια του ψυκτικού μέσου που κυκλοφορεί δια μέσου της ψυκτικής σπείρας που είναι εμβαπτισμένη στο δοχείο. Για να περιγράψουμε τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος θα πρέπει να διατυπώσουμε δύο δυναμικά ισοζύγια ενέργειας: ένα μακροσκοπικό ισοζύγιο για το ρευστό στο δοχείο και ένα μικροσκοπικό ισοζύγιο για το ψυκτικό μέσο στην ψυκτική σπείρα. Με βάση τις προηγούμενες αναλύσεις, το μακροσκοπικό δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας για το ρευστό στο δοχείο πλήρους ανάμιξης θα δίνεται από την ακόλουθη διαφορική εξίσωση: L ( ) ( ) dt VρC = q ρc T (t) T(t) πd U T(t) T (t,z) dz (3.49) p o p o c dt 0 όπου D (m) είναι η διάμετρος της ψυκτικής σπείρας και U (kj/(m 2 s K)) ο ολικός τοπικός Εικόνα 3.9: Φυσική διεργασία μεταφοράς θερμότητας.

67 66 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων συντελεστής μεταφοράς θερμότητας από το ρευστό του δοχείου προς το ρευστό που κυκλοφορεί στον κυλινδρικό αγωγό. Είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι ο ολικός ρυθμός εναλλαγής της θερμότητας μεταξύ ενός πλήρως αναμίξιμου ρευστού και ενός ρευστού του οποίου η θερμοκρασία μεταβάλλεται χωρο-χρονικά, θα δίνεται από το χωρικό ολοκλήρωμα του τοπικού ρυθμού μεταφοράς θερμότητας ( q loc(t,z)= πdu(t(t) T (t,z))dz ). c Ακολούθως, σύμφωνα με τη γενικευμένη εξίσωση (3.9), διατυπώνουμε το μικροσκοπικό δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας για το ρευστό στο στοιχειώδη όγκο ΔV = Sδz του ρευστού στον κυλινδρικό αγωγό (βλέπε Εικόνα 3.10): πd 2 πd 2 πd 2 δzρ ccpctc = ucρ ccpctc ucρ ccpctc t 4 4 z 4 z+ δz ( ) + πdδzu T(t) T (t, z) c (3.50) Διαιρώντας όλους τους όρους της εξίσωσης (3.50) με δz και λαμβάνοντας το όριο της νέας εξίσωσης για δz 0, προκύπτει η ακόλουθη μερική διαφορική εξίσωση: 2 2 πd πd c pc c = c c pc c + c ρ C T u ρ C T πdu T(t) T (t, z) t 4 z 4 ( ) (3.51) Θεωρώντας ότι η ταχύτητα του ρευστού δε μεταβάλλεται κατά μήκος του αυλού (σταθερή πυκνότητα, ασυμπίεστη ροή) και η ειδική θερμότητα του ρευστού παραμένει χρονικά και χωρικά αμετάβλητη, λαμβάνουμε την ακόλουθη διατύπωση του δυναμικού ισοζυγίου ενέργειας του ρευστού στον κυλινδρικό αγωγό: Tc T 4U = + t z Dρ C ( ) c u c(t) T(t) T c(t,z) c pc (3.52) Εικόνα 3.10: Δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας του ρευστού στο διαφορικό όγκο ΔV=Sδz.

68 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 67 Προκειμένου να διερευνήσουμε τη σημασία των διαφόρων όρων στην εξίσωση (3.52) και να προσδιορίσουμε τις χαρακτηριστικές χρονικές σταθερές της διεργασίας, εισάγουμε τις ακόλουθες αδιάστατες μεταβλητές: θ(τ) = T(t) T cos, θ c(τ,l) = T c(t,z) Tcos (3.53) T cos είναι η θερμοκρασία του ψυκτικού στην είσοδο του αυλού στη μόνιμη κατάσταση. Oι άλλες αδιάστατες μεταβλητές ορίζονται ως εξής: l = z / L, τ = t/t r, u(τ) = u c(t) ucs (3.54) όπου L είναι το μήκος του αυλού. t r είναι ο χαρακτηριστικός χρόνος παραμονής του ρευστού στον εναλλάκτη (t r = L/u cs ) και u cs είναι η ταχύτητα του ρευστού στον κυλινδρικό αγωγό στη μόνιμη κατάσταση. Μετά από κατάλληλη μαθηματική επεξεργασία, η εξίσωση (3.52) μετασχηματίζεται στην παρακάτω αδιάστατη μορφή: θc τ θ = + l ( ) c u(τ) N1 θ(τ) θ c(τ,l) (3.55) όπου Ν 1 είναι ο λόγος του χαρακτηριστικού χρόνου παραμονής του ρευστού στον αυλό, t r, προς το χαρακτηριστικό χρόνο θέρμανσης του ψυκτικού μέσου, t h : N t Lu r cs l = t = = 2 h DucsρcC (3.56) pc ( LπD ρccpc 4) ( πdlu) Η μεταβολή της θερμοκρασίας του ρευστού στον κυλινδρικό αγωγό θα εξαρτάται από την τιμή του αδιάστατου αριθμού N 1. Για παράδειγμα, εάν η τιμή του N 1 είναι πολύ μικρή (N 1 0), δηλαδή ο χρόνος παραμονής του ρευστού στον εναλλάκτη είναι σημαντικά μικρότερος από το χαρακτηριστικό χρόνο θέρμανσης, τότε η θερμοκρασία του ρευστού στην έξοδο του εναλλάκτη θα είναι περίπου ίση με τη θερμοκρασία του ρευστού στην είσοδό του, δηλαδή T c (t, L) T c (t, 0). Αντίθετα, εάν (N 1 ), δηλαδή ο χρόνος παραμονής του ρευστού στον κυλινδρικό αγωγό είναι πολύ μεγαλύτερος από το χαρακτηριστικό χρόνο θέρμανσης, τότε η θερμοκρασία του ρευστού στην έξοδο του αγωγού Τ c (t, L) θα πλησιάζει τη θερμοκρασία του ρευστού στο δοχείο πλήρους ανάμιξης, T(t). Γενικά επιδιώκουμε ο αριθμός N 1 να είναι περίπου ίσος με 1, δηλαδή t r t h. Για λόγους όμως ασφαλείας, σχεδιάζουμε τον κυλινδρικό αγωγό έτσι ώστε N 1 >1 (υπερσχεδιασμός, overdesign). Θα πρέπει να τονίσουμε ότι η δυναμική συμπεριφορά του συστήματος είναι 4UL

69 68 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων πιο ενδιαφέρουσα σε περιπτώσεις μικρού συντελεστή ασφαλείας. Σημειώνεται ότι όσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής ασφαλείας ενός συστήματος, τόσο αυξάνεται το κόστος κατασκευής και λειτουργίας του συστήματος. Στην περίπτωση αυτή, ο έλεγχος της δυναμικής λειτουργίας του συστήματος είναι λιγότερο απαιτητικός. Αντίθετα, όσο μικρότερος είναι ο συντελεστής ασφαλείας, τόσο μεγαλύτερη είναι η ανάγκη αυστηρότερου ελέγχου της δυναμικής λειτουργίας του συστήματος Αντιδραστήρας Εμβολικής Ροής (PFR) Θεωρούμε ότι η χημική αντίδραση A B προχωρεί ισοθερμοκρασιακά σε έναν αντιδραστήρα εμβολικής ροής (βλέπε Εικόνα 3.11). Θεωρούμε επίσης ότι η ταχύτητα της n χημικής αντίδρασης ακολουθεί ένα εκθετικού τύπου κινητικό μοντέλο, r = kc, kmol/(m 3 s). Σύμφωνα με τη γενικευμένη εξίσωση (3.9), το δυναμικό ισοζύγιο γραμμομορίων για το συστατικό Α στο διαφορικό όγκο ΔV = Sδz, θα δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση: A A n ( ) = ( + ) ( + ) SδzC usc SN usc SN kc Sδz (3.57) A A A z A A z δz A t + όπου S είναι η εσωτερική διατομή του αυλού. Παρατηρούμε ότι η συνολική γραμμομοριακή παροχή στο διαφορικό όγκο ελέγχου ΔV θα εξαρτάται από την ταχύτητα και συγκέντρωση του ρευστού (π.χ., usc A ) και τη συνεισφορά του όρου μοριακής/ ( A A A ). τυρβώδους διάχυσης N = D ( C z ) ( usca ) z ( usca ) z + δz ( A) S N z C A = S DA z z S D A C z A z+ δz Εικόνα 3.11: Αντιδραστήρας εμβολικής ροής.

70 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 69 Όπου D A (m 2 /s) είναι ο φαινομενικός συντελεστής μοριακής/ τυρβώδους διάχυσης του συστατικού Α και D (m) η εσωτερική διάμετρος του αυλού. Ακολούθως, με τη βοήθεια της ανάπτυξης σε σειρά Taylor μίας μη γραμμικής συνάρτησης, η συνολική γραμμομοριακή παροχή του Α στην έξοδο του διαφορικού όγκου ΔV, ( ) usca + SN A γράφεται προσεγγιστικά ως εξής: z+ δz CA ( A A) ( A A) A A usc + SN usc + SN + usc S D δz z+ δz z z z (3.58) Αντικαθιστώντας την εξίσωση (3.58) στην εξίσωση (3.57) και διαιρώντας όλους τους όρους με το γινόμενο Sδz, λαμβάνουμε την ακόλουθη διατύπωση του δυναμικού γραμμομοριακού ισοζυγίου για το αντιδρών Α: ( uca ) CA CA n + DA = kc A (t,z) t z z z (3.59) Θεωρώντας αμελητέα τη συνεισφορά του όρου της μοριακής/ τυρβώδους διάχυσης, η εξίσωση (3.59) απλοποιείται ως εξής: C t A ( uc ) A n + = kc A (t, z) z (3.60) Στη μόνιμη κατάσταση ( CA t = 0), η μερική διαφορική εξίσωση (3.60) γράφεται: (uc A ) z = kc n A (z) ή dfa dv n A = kc (V) (3.61) όπου F( A = SuC A) είναι η γραμμομοριακή παροχή του Α. Η εξίσωση (3.61) είναι η βασική σχεδιαστική εξίσωση που διέπει τη λειτουργία των αντιδραστήρων εμβολικής ροής (PFR) στη μόνιμη κατάσταση Mη Ισοθερμοκρασιακή Λειτουργία ενός PFR Θεωρούμε ότι η χημική αντίδραση A B A n A (r = kc ) επιτελείται μη ισοθερμοκρασιακά στον αυλωτό αντιδραστήρα της Εικόνας Σύμφωνα με την προηγούμενη ανάλυση, το δυναμικό ισοζύγιο γραμμομορίων για το αντιδρών Α θα δίνεται από τη εξίσωση (3.60).

71 70 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων ( us1ρcpt) Sq = Sλ( T z) ( usρ c 2 ccpctc) z 1 z 1 z z ( us1ρcpt) z+ δz S1λ ( T z) z+ δz ( usρ c 2 ccpct c) z+ δz Εικόνα 3.12: Αυλωτός αντιδραστήρας με εξωτερικό μανδύα ψύξης/ θέρμανσης. Ακολούθως, θεωρούμε το διαφορικό στοιχείο ελέγχου ΔV 1 = S 1 δz, όπου S 1 είναι η διατομή του εσωτερικού κυλινδρικού αγωγού (βλέπε Εικόνα 3.12). Ο συνολικός ρυθμός ροής της θερμότητας στο διαφορικό όγκο ΔV 1 θα εξαρτάται από την ταχύτητα και την ενθαλπία του ρευστού (us 1 ρc p T, kj s) και το ρυθμό μεταφοράς της θερμότητας λόγω ( Sq 1 z Sλ 1 T z, kj s) αγωγής = ( ), όπου λ είναι ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας του ρευστού. Ο ρυθμός εναλλαγής της θερμότητας μεταξύ των δύο ρευστών στους διαφορικούς όγκους ΔV 1 και ΔV 2 θα είναι ίσος με πd1δzu 1(T T c) (kj/s), όπου U 1 είναι ο ολικός τοπικός συντελεστής μεταφοράς θερμότητας μεταξύ του αντιδρώντος μίγματος και του ψυκτικού/ θερμαντικού μέσου στο μανδύα. Τέλος, ο ρυθμός παραγωγής/ κατανάλωσης θερμότητας λόγω χημικής αντίδρασης θα ισούται με ( ΔH ) r ΔV, r,t A A 1 (kj/s). Συνεπώς, σύμφωνα με τη γενικευμένη εξίσωση (3.9), ο ρυθμός συσσώρευσης της θερμότητας στο διαφορικό όγκο ΔV 1 θα δίνεται από το ακόλουθο ισοζύγιο ενέργειας: ( ) ( ) ( ) ( ) n S1δzρCpT usρc 1 pt qs z 1 usρc z 1 pt qs z 1 ΔH z δz r,t kc A ASδz 1 t = ( ) πd δzu T T 1 1 c (3.62)

72 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 71 Με τη βοήθεια της ανάπτυξης σε σειρά Taylor, ο μη γραμμικός όρος ( + ) γράφεται προσεγγιστικά ως εξής: ( ) ( ) ( ( ) ) 1 p + z 1 1 p + z δz z 1 + T + z 1 p 1 us ρc T qs + 1 p z 1 z δz us ρc T q S usρc T q S usρc T λ S δz (3.63) z z z Αντικαθιστώντας την εξίσωση (3.63) στην εξίσωση (3.62) και διαιρώντας όλους τους όρους με S 1 δz (=πd 2 1 δz/4), λαμβάνουμε το ακόλουθο διαφορικό ισοζύγιο ενέργειας για το αντιδρών μίγμα στον αυλωτό αντιδραστήρα: T n 1 ( ρcpt) + ( uρcpt) λ = ( ΔHr,T) kca ( T(t,z) T c(t,z) ) 4U t z z A z D1 (3.64) Εάν θεωρήσουμε ότι η πυκνότητα, ρ, η ειδική θερμότητα, C p, και η ταχύτητα, u, του ρευστού παραμένουν χρονικά και χωρικά αμετάβλητες και ότι η συνεισφορά του όρου της μεταφοράς θερμότητας δια αγωγής είναι αμελητέα, τότε η εξίσωση (3.64) απλοποιείται ως εξής: T T 4U ρc + uρc = ΔH kc T(t,z) T (t,z) n 1 ( ) ( ) p p r,t A A c t z D1 (3.65) Εάν η συνεισφορά του πρώτου όρου στην εξίσωση (3.65) είναι σχετικά μικρή (δηλαδή, ρc p ( T t) 0), τότε η εξίσωση (3.65) γράφεται: T 4U uρc = ΔH kc T(t,z) T (t,z) n 1 ( ) ( ) p r,t A A c z D1 (3.66) Θεωρώντας ότι η συσσώρευση θερμότητας στο μεταλλικό τοίχωμα του αυλωτού αντιδραστήρα είναι αμελητέα, μπορούμε να δείξουμε ότι το δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας του ψυκτικού/ θερμαντικού μέσου, που ρέει στον εξωτερικό μανδύα του αντιδραστήρα σε αντιρροή ως προς τη ροή του αντιδρώντος μίγματος, θα δίνεται από την εξίσωση (3.67). T T πd U ρ C u ρ C = T(t,z) T (t,z) ( ) c c 1 1 c pc c c pc c t z S2 (3.67) όπου S 2 = πd e 2 /4 είναι η επιφάνεια της δακτυλιοειδούς διατομής του εξωτερικού μανδύα διά μέσου του οποίου κυκλοφορεί το ψυκτικό/θερμαντικό μέσο e = D (D D ) D είναι η ισοδύναμη διάμετρος του εξωτερικού μανδύα. Σημειώνεται ότι στην περίπτωση

73 72 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων που η ροή του ψυκτικού/θερμαντικού μέσου έχει την ίδια κατεύθυνση με εκείνη του αντιδρώντος μίγματος (περίπτωση ομορροής), τότε το μείον του δεύτερου όρου στο αριστερό μέρος της εξίσωσης (3.67) θα πρέπει να αλλάξει σε συν. 3.4 Δυναμική Προσομοίωση Φυσικών και Χημικών Συστημάτων Συστοιχία Τριών Αντιδραστήρων CSTR στη Σειρά Θεωρούμε ότι η στοιχειώδης αντίδραση A B πρώτης τάξης ( r A = kc A ) προχωρεί ισοθερμοκρασιακά σε μία συστοιχία τριών αντιδραστήρων συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης (CSTR) διατεταγμένων σε σειρά (βλέπε Εικόνα 3.13). Θεωρούμε επίσης ότι η πυκνότητα του αντιδρώντος μίγματος παραμένει σταθερή. Η δυναμική συμπεριφορά του συστήματος θα περιγράφεται από τα ακόλουθα δυναμικά ισοζύγια όγκου του ρευστού και γραμμομορίων στους τρεις αντιδραστήρες. Δυναμικό ισοζύγιο όγκου του ρευστού στον i αντιδραστήρα dvi q i 1 (t) q i (t) dt = ; i = 1, 2, 3 (3.68) Δυναμικό ισοζύγιο γραμμομορίων στον i αντιδραστήρα ( ) d VC i dt Ai = q (t)c (t) q (t)c (t) V (t)k C (t) ; i = 1, 2, 3 (3.69) i 1 Ai 1 i Ai i i Ai Εάν υποθέσουμε ότι όλες οι ογκομετρικές παροχές είναι ίσες, δηλαδή ισχύει Εικόνα 3.13: Συστοιχία τριών αντιδραστήρων συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης.

74 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 73 q o(t) = q 1(t) = q 2(t) = q 3(t) = q(t), τότε οι όγκοι V 1, V 2 και V 3 θα παραμένουν σταθεροί και τα δυναμικά ισοζύγια γραμμομορίων του Α στους τρεις αντιδραστήρες απλοποιούνται ως εξής: dca1 V1 = q(t) ( C Ao(t) C A1(t) ) V1k 1C A1(t) (3.70) dt dca2 V2 = q(t) ( C A1(t) C A2(t) ) V2k 2C A2(t) (3.71) dt dca3 V3 = q(t) ( C A2(t) C A3(t) ) V3k 3C A3(t) (3.72) dt όπου k i είναι η κινητική σταθερά Arrhenius της αντίδρασης υπολογισμένη στη θερμοκρασία λειτουργίας του i αντιδραστήρα της συστοιχίας (π.χ., Τ 1, Τ 2, Τ 3 ). Εναλλακτικά, το παραπάνω σύστημα των εξισώσεων γράφεται ως εξής: dca A1 Ao dt + τ = 1 τ1 k C (t) C (t) ; C A1(t = 0) = CA1o (3.73) dca A2 A1 dt + τ = 2 τ2 k C (t) C (t) ; C A2(t = 0) = CA2o (3.74) dca A3 A2 dt + τ = 3 τ3 k C (t) C (t) ; C A3(t = 0) = CA3o (3.75) όπου τ i = (V i /q) είναι ο χαρακτηριστικός χρόνος παραμονής του ρευστού στον i αντιδραστήρα. Συνεπώς, εάν γνωρίζουμε τη χρονική μεταβολή του C Ao (t), τότε από την επίλυση των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων (3.73)-(3.75) είναι δυνατό να προσδιορίσουμε τις χρονικές μεταβολές των συγκεντρώσεων C A1 (t), C A2 (t) και C A3 (t) Αδιάστατο Δυναμικό Μοντέλο ενός CSTR Θεωρούμε ότι η χημική αντίδραση A B προχωρεί μη ισοθερμοκρασιακά σε έναν αντιδραστήρα συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης (βλέπε Παράδειγμα 2.2, Κεφάλαιο 2). Θεωρούμε επίσης ότι η ταχύτητα της χημικής αντίδρασης ακολουθεί ένα n εκθετικού τύπου κινητικό μοντέλο, r = kc. Για να περιγράψουμε τη δυναμική A συμπεριφορά του συστήματος αντιδραστήρας-εναλλάκτης χρειάζεται να διατυπώσουμε τα A

75 74 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων ακόλουθα δυναμικά ισοζύγια μάζας, γραμμομορίων και ενέργειας. Για απλοποίηση θεωρούμε ότι η πυκνότητα και η ειδική θερμότητα του αντιδρώντος μίγματος παραμένουν σταθερές. Δυναμικό ισοζύγιο όγκου του αντιδρώντος ρευστού dv = q o (t) q(t) (3.76) dt Δυναμικό ισοζύγιο γραμμομορίων του αντιδρώντος συστατικού Α ( ) d VC dt A = q (t)c (t) q(t)c (t) V(t)r (t) (3.77) o Ao A A Δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας αντιδρώντος μίγματος d ( VρC p T ) = q(t)ρc o p( T o (t) T r) q(t)ρc p( T(t) T r) ( ΔH r,t) r A A (t)v(t) dt L c ( c ) (3.78) 0 πd U T(t) T (t,z) dz Ο τελευταίος όρος, στην εξίσωση (3.78), αναφέρεται στο ρυθμό μεταφοράς θερμότητας μεταξύ του αντιδρώντος μίγματος και του ρευστού στη θερμαντική/ψυκτική σπείρα. Σύμφωνα με την προηγηθείσα ανάλυση της δυναμικής συμπεριφοράς της θερμοκρασίας σε κυλινδρικό αγωγό (βλέπε ενότητα 3.3.2), το δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας του ρευστού στον αυλό θα δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση: Δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας στον αυλωτό εναλλάκτη Tc T 4U = + t z D ρ C ( ) c u(t) c T(t) T(t,z) c c c pc (3.79) Το σύστημα των εξισώσεων (3.76)-(3.79) αποτελεί το μαθηματικό μοντέλο του αντιδραστήρα-εναλλάκτη, χωρίς την παραδοχή ότι η δυναμική συμπεριφορά του εναλλάκτη είναι ταχύτερη από εκείνη του αντιδραστήρα. Προκειμένου να διερευνήσουμε τις επιδράσεις των σχεδιαστικών και λειτουργικών παραμέτρων του συστήματος στη δυναμική συμπεριφορά του, ορίζουμε τις ακόλουθες αδιάστατες μεταβλητές:

76 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 75 C(τ) = C (t) C A θ(τ) = T(t) T os Aos θ (τ, 1) = T (t, z) T c c os τ = tt rs ; ; ; C(τ) = C (t) C o Ao Aos θ (τ) = T (t) T o o os θ (τ, 0) = T (t, 0) T t c c os rs = V q os ; ; Q(τ) = q (t) q o u(τ) = u (t) u l= z L c os cs Εάν υποθέσουμε ότι ο όγκος του αντιδρώντος μίγματος διατηρείται σταθερός, δηλαδή ισχύει q o (t)=q(t), και η ταχύτητα του ρευστού στην ψυκτική/θερμαντική σπείρα δε μεταβάλλεται με το μήκος του αυλού (ασυμπίεστη ροή), τότε εύκολα οι εξισώσεις (3.77), (3.78) και (3.79) μετασχηματίζονται στις ακόλουθες αδιάστατες εξισώσεις: dc Q(τ) C (τ) C(τ) DaR C, θ ( ) ( ) o dτ = (3.80) l ( ) ( ) ( ) dθ Q(τ) θ (τ) θ(τ) βdar C, θ N θ(τ) θ (τ,l) dl dτ = + (3.81) o 1 c 0 θc θc E1 = u(τ) + N2 θ(τ) θ c(τ,l) τ l ( ) (3.82) Παρατηρούμε ότι στις εξισώσεις (3.80)-(3.82) του αδιάστατου δυναμικού μοντέλου εμφανίζονται οι αδιάστατοι αριθμοί Da, β, N 1, N 2 και Ε 1. Στη συνέχεια, εξετάζουμε τη φυσική σημασία τους. Όπως αναφέραμε και στο Κεφάλαιο 2, ο αδιάστατος αριθμός Damköhler, Da, ισούται με το λόγο του χαρακτηριστικού χρόνου παραμονής του αντιδρώντος μίγματος (ΧΧΠΑ) ως προς το χαρακτηριστικό χρόνο της χημικής αντίδρασης (ΧΧΧΑ). Δηλαδή, ( XXΠA) ( ) ( Vqos ) ( ) Da = = (3.83) XXXA C r Aos Aos Θεωρώντας ότι η ταχύτητα της χημικής αντίδρασης ακολουθεί ένα εκθετικού τύπου κινητικό μοντέλο n-τάξης, τότε η αδιάστατη ταχύτητα της χημικής αντίδρασης, R(C, θ), ορίζεται ως εξής: R(C, θ) r (C,T) A A n = = g(θ)c (τ), r Aos(C Aos,T os) n A koexp( E RT)CA r = (3.84)

77 76 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων g(θ) = exp(γ γ/θ), γ = E/(R T os ) (3.85) Δηλαδή, η αδιάστατη ταχύτητα της αντίδρασης ισούται με το λόγο της πραγματικής ταχύτητας της αντίδρασης στις συνθήκες (C A (t), T(t)), ως προς την ταχύτητα της αντίδρασης στη συγκέντρωση και στη θερμοκρασία αναφοράς ( C Aos,T os ). Ακολούθως, ορίζουμε την αδιάστατη αδιαβατική μεταβολή της θερμοκρασίας β: β (Αδιαβατική μεταβολή της θερμοκρασίας) ( ΔΗr,T ) VCAos ( VρCp ) A = = (3.86) (Θερμοκρασία αναφοράς) Tos Αντίστοιχα, oι αδιάστατοι αριθμοί N 1 και N 2 ορίζονται από τις σχέσεις (3.87) και (3.88). N N ( ) ( ) ( os ) ( ) XXΠA Vq πd UL c 1 = = = (3.87) XXΨA VρCp πdcul ρcpqos 2 ( ) ( XXΘE) ( ) = XXΠE = Lucs = 4UL D u ρ C (3.88) 2 ( π( Dc 4) LρcCpc) ( πdcul) Τέλος, ο αδιάστατος αριθμός Ε 1 ορίζεται από τη σχέση: E 1 ( XXΠE) ( XXΠA) ( Lucs ) ( V q ) os c cs c pc = = (3.89) Ο αδιάστατος αριθμός Ε 1 αποτελεί μέτρο σύγκρισης των χρόνων παραμονής του αντιδρώντος μίγματος και του ψυκτικού/θερμαντικού μέσου. Έτσι, εάν ο χρόνος παραμονής του ρευστού στον αυλωτό εναλλάκτη είναι πολύ μικρός (δηλαδή Ε 1 <<1), μπορούμε να αγνοήσουμε τη συνεισφορά του όρου Ε 1 ( θc τ) στην εξίσωση (3.82), και συνεπώς το ισοζύγιο ενέργειας του ρευστού στον αυλό στην ψευδομόνιμη κατάσταση γράφεται: θ = + l ( ) c 0 u(τ) N2 θ(τ) θ c(τ,l) (3.90) Είναι φανερό ότι η θερμοκρασία θ c(τ,l) του ψυκτικού στον αυλωτό εναλλάκτη θα εξαρτάται έμμεσα από το χρόνο, λόγω της χρονικής μεταβολής της αδιάστατης θερμοκρασίας θ(τ). Από την ολοκλήρωση της εξίσωσης (3.90), λαμβάνουμε την ακόλουθη αναλυτική λύση για την αδιάστατη θερμοκρασία του ρευστού, θ c(τ,l), στον αυλό.

78 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 77 ( ) ( ) θ (τ, l) = θ(τ) + θ (τ, 0) θ(τ) exp N l u(τ) (3.91) c c 2 Από την εξίσωση (3.91) εύκολα προκύπτει ότι οι θερμοκρασίες του ψυκτικού/ θερμαντικού μέσου στην είσοδο και στην έξοδο του αυλού θα δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις (3.92) και (3.93): θ c (τ, 0) ; l = 0 (ή z = 0) (3.92) θ c (τ, 1) = θ(τ) + (θ c (τ, 0) θ(τ)) exp( Ν 2 / u(τ)) ; l = 1 (για z = L) (3.93) Ακολούθως, με τη βοήθεια της αναλυτικής λύσης (3.91), εύκολα υπολογίζεται το χωρικό ολοκλήρωμα στην εξίσωση (3.81): l N2 u(τ) 0 ( θ(τ) θ (τ, l) ) dl ( θ (τ, 0) θ(τ) ) = c c 1 e N 2 u(τ) ( θ (τ, 0) θ(τ) ) g( N u(τ) ) = c 2 (3.94) Τελικά, από τις εξισώσεις (3.80), (3.81) και (3.94) διατυπώνουμε το ακόλουθο αδιάστατο δυναμικό μαθηματικό μοντέλο για τον αντιδραστήρα: dc dτ dθ dτ = Q(τ)(C o (τ) C(τ)) Da R(C, θ) (3.95) = Q(τ) (θ ο (τ) θ(τ)) + β Da R(C, θ) + N 1 (θ c (τ, 0) θ(τ)) g(n 2, u(τ)) (3.96) Σημειώνεται ότι το παραπάνω μαθηματικό μοντέλο έχει προέλθει από το λεπτομερές μοντέλο (3.80)-(3.82), με την παραδοχή ότι Ε 1 <<1. Προκειμένου να διερευνήσουμε περαιτέρω τη φυσική σημασία της εξίσωσης (3.94), ορίζουμε τη μέση λογαριθμική θερμοκρασιακή διαφορά (Δθ) ln του ρευστού στον αυλωτό εναλλάκτη: ( Δθ) ln ( θ c(τ,0) θ(τ) ) ( θ c(τ,1) θ(τ) ) ( ) ( ) Δθ Δθ ln Δθ Δθ ln θ (τ,0) θ(τ) θ (τ,1) θ(τ) 1 2 = = ( 1 2) c c (3.97) Σημειώνεται ότι η μέση αδιάστατη λογαριθμική θερμοκρασιακή διαφορά ίση με την αντίστοιχη διαστατική θερμοκρασιακή διαφορά (Δθ) ln θα είναι (ΔT) ln, αφού όλες οι

79 78 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων αδιάστατες θερμοκρασίες στην εξίσωση (3.97) είναι διαιρεμένες με την ίδια σταθερή θερμοκρασία Τ os (βλέπε σχετικούς ορισμούς των αδιάστατων θερμοκρασιών, θ c και θ). Αντικαθιστώντας την εξίσωση (3.93) στην εξίσωση (3.97) λαμβάνουμε: ( Δθ) = ( θ (τ,0) θ(τ) ) ( θ (τ,0) θ(τ) ) exp( N u(τ) ) ln exp( N u(τ) ) ln c c 2 2 N u(τ) ( θ (τ,0) θ(τ) 2 )( 1 e ) ( N u(τ) ) = (3.98) c 2 Παρατηρούμε ότι το παραπάνω αποτέλεσμα είναι ταυτόσημο με την αναλυτική λύση του χωρικού ολοκληρώματος της εξίσωσης (3.94). Αυτό σημαίνει ότι ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας από το ρευστό του αντιδραστήρα στο ρευστό του αυλωτού εναλλάκτη θα δίνεται από το γινόμενο του αδιάστατου αριθμού Ν 1 επί τη μέση λογαριθμική θερμοκρασιακή διαφορά (Δθ) ln (βλέπε εξισώσεις (3.97) και (3.98)). Κατά συνέπεια, η θερμοκρασιακή διαφορά (Δθ) ln προσδιορίζει το ρυθμό μεταφοράς της θερμότητας μεταξύ ενός πλήρως αναμίξιμου ρευστού και ενός μη αναμίξιμου ρευστού. Ακολούθως, με βάση τον ορισμό της μέσης αριθμητικής θερμοκρασιακής διαφοράς, (Δθ) m = (Δθ 1 +Δθ 2 )/2, διατυπώνουμε το μακροσκοπικό ισοζύγιο ενέργειας για το ρευστό στον αυλωτό εναλλάκτη στην ψευδομόνιμη κατάσταση: 2 ( ) + ( ) = [ ] πdclu θ c (τ,0) θ(τ) θ c(τ,1) θ(τ) 2 πdc ucρccpc θ c (τ,0) θ c(τ,1) 4 (3.99) Από την επίλυση της παραπάνω εξίσωσης ως προς (Δθ) m λαμβάνουμε: 2 ( θ (τ,0) θ(τ) ) + ( θ (τ,1) θ(τ) ) ( πdc 4) LρcCpc ( πdclu) c c ( ) cs ( θ (τ,1) ) = u(τ) θ c(τ,0) 2 L u = u(τ) ( θ (τ,0) θ(τ) ) ( θ (τ,l) θ(τ) ) (3.100) c c N 2 Επιλύοντας την παραπάνω εξίσωση ως προς τη θερμοκρασιακή διαφορά ( θ (τ,0) θ(τ) ) και αντικαθιστώντας τη σχέση που προκύπτει στον ορισμό της τελικά: c (Δθ) m, λαμβάνουμε c ( 2u(τ) N2 ) ( ) ( ) c + (Δθ) m = θ (τ,0) θ(τ) 1 2u(τ) N 2 (3.101)

80 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 79 Είναι γνωστό ότι ο εκθετικός όρος exp(-x) για μικρές τιμές της μεταβλητής x (x<<1), μπορεί να γραφεί προσεγγιστικά με τη βοήθεια της ανάπτυξης σε σειρά Taylor, ως εξής: exp( x 2) 1 x 2 exp( x) = exp( + x 2) 1+ x 2 (3.102) Συνεπώς, εάν ο χαρακτηριστικός χρόνος θέρμανσης του ρευστού στον αυλωτό εναλλάκτη είναι πολύ μεγαλύτερος από το χαρακτηριστικό χρόνο παραμονής του ρευστού, τότε ο εκθετικός όρος exp( N 2 /u(τ)) στην εξίσωση (3.98) μπορεί να γραφεί προσεγγιστικά ως εξής: exp 2 ( ) ( ) N 1 N 2 2 2u(τ) u(τ) 1+ N 2u(τ) (3.103) Αντικαθιστώντας την εξίσωση (3.103) στην εξίσωση (3.98) λαμβάνουμε: ( ) ( ) u(τ) 1 N2 2u(τ) (Δθ) ln = 1 ( θ c(τ,0) θ(τ) ) N = 1+ N 2u(τ) 2 2 2u(τ) N ( θ (τ,0) θ(τ) ) 2 = c 1+ 2u(τ) N2 (3.104) Από τη σύγκριση των εξισώσεων (3.101) και (3.104) προκύπτει ότι για (Ν 2 /u(τ))<<1, η μέση λογαριθμική θερμοκρασιακή διαφορά (Δθ) ln θα είναι προσεγγιστικά ίση με τη μέση αριθμητική διαφορά (Δθ) m Εξατμιστήρας μιας Βαθμίδας Θεωρούμε τον εξατμιστήρα μιας βαθμίδας που σχηματικά παρουσιάζεται στην Εικόνα Έστω q (t)(kj/s) είναι ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας από τον κορεσμένο ατμό, st που κυκλοφορεί στη θερμαντική σπείρα, στην υγρή φάση του εξατμιστήρα. W(t) (kg/s) είναι ο ρυθμός εξάτμισης της υγρής φάσης. q(t)(m 3 o /s) και Τ ο (t) ( C) είναι αντίστοιχα η ογκομετρική παροχή και θερμοκρασία της υγρής τροφοδοσίας στον εξατμιστήρα συνεχούς λειτουργίας. q (t) και T(t) v v είναι αντίστοιχα η ογκομετρική παροχή και θερμοκρασία της αέριας φάσης στην έξοδο του εξατμιστήρα. V l (t) και V v (t) είναι οι όγκοι της υγρής και sat αέριας φάσης στον εξατμιστήρα. P (t) είναι η πίεση ισορροπίας (π.χ., η τάση ατμών στη θερμοκρασία της υγρής φάσης Τ l (t)) και P v (t) η πίεση των ατμών στην αέρια φάση. v

81 80 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων W v ( t) q (t) st Εικόνα 3.14: Σχηματική αναπαράσταση ενός εξατμιστήρα μιας βαθμίδας. Προκειμένου να διατηρήσουμε τη στάθμη της υγρής φάσης στον εξατμιστήρα σε κάποια επιθυμητή τιμή, μεταβάλλουμε την παροχή του ρεύματος q(t), o με τη βοήθεια του ελεγκτή στάθμης. Επίσης, για να διατηρήσουμε την πίεση P v (t) σε κάποια επιθυμητή τιμή, μεταβάλλουμε την παροχή του ατμού στη θερμαντική σπείρα, με τη βοήθεια του ελεγκτή πίεσης (και συνεπώς ρυθμίζουμε τον ρυθμό εξάτμισης της υγρής φάσης). Τέλος, θεωρούμε ότι οι απώλειες θερμότητας από τον εξατμιστήρα στο περιβάλλον είναι ασήμαντες και η θερμοχωρητικότητα του τοιχώματος του εξατμιστήρα είναι αμελητέα. Ακολούθως, για να περιγράψουμε τη δυναμική λειτουργία του εξατμιστήρα, διατυπώνουμε τρία εναλλακτικά μαθηματικά μοντέλα αυξανόμενης πολυπλοκότητας. Μοντέλο I (Απλό) Αρχικά θεωρούμε ότι η δυναμική συμπεριφορά τόσο της υγρής, όσο και της αέριας φάσης είναι πολύ γρήγορη. Αυτό σημαίνει ότι ο εξατμιστήρας λειτουργεί στην ψευδομόνιμη κατάσταση, δηλαδή όλοι οι όροι συσσώρευσης (π.χ., μάζας, ενέργειας) θα είναι ίσοι με μηδέν. Στην περίπτωση αυτή, το στατικό ισοζύγιο ενέργειας στον εξατμιστήρα γράφεται: ρvq v(t)(hv H o) = q st(t) (3.105)

82 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 81 όπου Η ο και Η v (kj/kg) είναι αντίστοιχα οι ενθαλπίες των ρευμάτων στην είσοδο και στην έξοδο του εξατμιστήρα. Μοντέλο II (Ενδιάμεσο) Θεωρούμε ότι η μάζα της αέριας φάσης είναι πολύ μικρή (και συνεπώς η δυναμική συμπεριφορά της είναι πολύ γρήγορη). Θεωρούμε επίσης ότι εξατμίζονται μόνο μικρές ποσότητες της υγρής φάσης. Στην περίπτωση αυτή, η πίεση P v (t) και η θερμοκρασία Τ v (t) sat της αέριας φάσης θα είναι αντίστοιχα ίσες με την τάση των ατμών P (t) και τη θερμοκρασία Τ l (t) της υγρής φάσης: P v (t) = sat P (t), T v (t) = T l (t) (3.106) Επειδή ο ρυθμός συσσώρευσης μάζας στην αέρια φάση είναι ίσος με μηδέν (λόγω της υπόθεσης της μικρής μάζας της αέριας φάσης), ο ρυθμός εξάτμισης της υγρής φάσης θα δίνεται από την ακόλουθη σχέση: W(t) = ρ (t)q (t) (3.107) v v v Εάν τώρα θεωρήσουμε ότι οι τιμές των πυκνοτήτων ρ o και ρ l και των ειδικών θερμοτήτων C po και Cp l παραμένουν σταθερές, τότε μπορούμε να διατυπώσουμε τα ακόλουθα δυναμικά ισοζύγια μάζας και ενέργειας για την υγρή φάση στον εξατμιστήρα. Ισοζύγιο μάζας της υγρής φάσης dvl ρ q(t) ρ q (t) (3.108) dt ρ l = o o v v Ισοζύγιο ενέργειας της υγρής φάσης d(v T ) Cpl = q o(t)ρocpo T o(t) Tr W v(t) Cp T (t) Tr + λv + dt l l q (t) (3.109) st l l ρ l ( ) ( ) όπου λ v (kj/kg) είναι η λανθάνουσα θερμότητα εξάτμισης της υγρής φάσης. Η πυκνότητα των ατμών στην αέρια φάση μπορεί να υπολογισθεί από την ακόλουθη καταστατική εξίσωση: ρ (t) = (MW)P (t) RT (t) (3.110) v v v

83 82 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων όπου MW είναι το μοριακό βάρος του συστατικού που εξατμίζεται. Η τάση των ατμών sat P (t) στη θερμοκρασία της υγρής φάσης Τ l μπορεί να υπολογιστεί από τη γνωστή εξίσωση Antoine: α + α sat 2 = 1 + T(t) l ln P (t) α 3 (3.111) όπου α 1, α 2 και α 3 είναι χαρακτηριστικές σταθερές του συστατικού. Επιπλέον των παραπάνω διαφορικών και αλγεβρικών εξισώσεων, μπορούμε να διατυπώσουμε δύο ακόμα εξισώσεις, που αναφέρονται αντίστοιχα στη λειτουργία των ελεγκτών πίεσης και στάθμης: q (t) = f (P ) ; q(t) st 1 v o 2 = f(v) (3.112) l Ο συνολικός αριθμός των μεταβλητών του συστήματος είναι ίσος με 11 (δηλαδή, q(t), o sat T(t), q (t), P (t), V (t), T (t), W(t) o st l l v, P(t), T(t), ρ (t) και q (t)). Από την v v v v παραπάνω διατύπωση του δυναμικού μοντέλου του εξατμιστήρα προκύπτει ότι ο συνολικός αριθμός των ανεξάρτητων διαφορικών και αλγεβρικών εξισώσεων, που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος, είναι ίσος με 9. Συνεπώς, εάν γνωρίζουμε τις χρονικές μεταβολές των μεταβλητών T(t), q(t) και τις τιμές των ρ o o o, ρ l, C po, Cp l, λ v και T, r είναι δυνατό από την επίλυση του μαθηματικού μοντέλου (3.106)- (3.112) να προσδιορίσουμε τη χρονική μεταβολή των υπολοίπων εννέα μεταβλητών του δυναμικού συστήματος. Μοντέλο III (Σύνθετο) Στο μοντέλο ΙΙΙ, λαμβάνουμε επίσης υπόψη μας τη δυναμική συμπεριφορά της αέριας φάσης. Συνεπώς, οι όροι συσσώρευσης μάζας και ενέργειας στην αέρια φάση θα είναι διαφορετικοί του μηδενός. Στην περίπτωση αυτή, ο ρυθμός εξάτμισης της υγρής φάσης, W(t) v (kg/s), υπολογίζεται από την ακόλουθη σχέση: sat ( ) W (t) = k P (t) P (t) (3.113) v m v όπου sat P (t) είναι η τάση των ατμών στη θερμοκρασία της υγρής φάσης. P(t) είναι η v πίεση στην αέρια φάση και k m είναι ο συντελεστής μεταφοράς μάζας από την υγρή στην

84 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 83 αέρια φάση. Ακολούθως, διατυπώνουμε τα ακόλουθα δυναμικά ισοζύγια μάζας και ενέργειας για τις δύο φάσεις. Ισοζύγια μάζας και ενέργειας στην υγρή φάση dv l = ρ q(t) W(t) (3.114) dt ρ l o o v d(v T ) Cpl = q o(t)ρocpo T o(t) Tr W v(t) Cp T (t) Tr + λv + dt l l q (t) (3.115) st l l ρ l ( ) ( ) Ισοζύγια μάζας και ενέργειας στην αέρια φάση d(ρvv) v dt = W(t) ρ (t)q (t) (3.116) v v v d(ρvvt) v v Cpv = W v(t) Cp ( T(t) Tr ) + λv dt l l ( ) + + ( ) q v(t)ρv Cpl T(t) l Tr λv Cpv T v(t) T l(t) (3.117) Ο συνολικός όγκος των δύο φάσεων θα παραμένει σταθερός, είναι ο γεωμετρικός όγκος του δοχείου. V (t) + V (t) = V, όπου V l v Στην περίπτωση αυτή, ο συνολικός αριθμός των μεταβλητών του συστήματος είναι ίσος με sat 12 (δηλαδή, q(t), T(t), q (t), P (t), V (t), T (t), W(t) o o st l l v, V(t), P(t), T(t), v v v ρ (t) και v q (t)). Ο δε συνολικός αριθμός των διαφορικών και αλγεβρικών εξισώσεων v που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος είναι ίσος με 10 (δηλαδή, οι εξισώσεις (3.110)-(3.117) και η εξίσωση διατήρησης του συνολικού όγκου V). Συνεπώς, εάν γνωρίζουμε τις χρονικές μεταβολές των μεταβλητών T o (t) και q(t) και τις τιμές των o ρ o, ρ l, C po, Cp l, C pv, λ v και T, r είναι δυνατό από την επίλυση του μαθηματικού μοντέλου της διεργασίας να προσδιορίσουμε τη χρονική εξέλιξη των υπολοίπων δέκα μεταβλητών του συστήματος Αποστακτική Στήλη - Iδανικό Δυαδικό Μίγμα Θεωρούμε ότι ένα ιδανικό δυαδικό μίγμα διαχωρίζεται στην αποστακτική στήλη της Εικόνας Προκειμένου να διατυπώσουμε το δυναμικό μοντέλο της διεργασίας

85 84 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Εικόνα 3.15: Σχηματικό διάγραμμα αποστακτικής στήλης. κάνουμε τις ακόλουθες παραδοχές. Η αποστατική στήλη λειτουργεί με αποτελεσματικότητα 100%. Oι ατμοί που αφήνουν το "n" πάτωμα της στήλης βρίσκονται σε ισορροπία με την υγρή φάση στο "n" πάτωμα. Δηλαδή, ισχύει η ακόλουθη σχέση μεταξύ των y n (t) και x n (t): y n(t) = α x n(t) [1 + (α 1)x n(t)] (3.118)

86 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 85 όπου x n (t) είναι το μοριακό κλάσμα του πτητικού συστατικού στην υγρή φάση στο n- πάτωμα και y n (t) είναι το μοριακό κλάσμα του πτητικού συστατικού στην αέρια φάση. Θεωρούμε ότι η σχετική πτητικότητα α παραμένει σταθερή και οι μοριακές θερμότητες εξάτμισης των δύο συστατικών είναι περίπου ίσες. Δηλαδή, όταν ένα γραμμομόριο των ατμών συμπυκνώνεται, ένα γραμμομόριο της υγρής φάσης εξατμίζεται. Θεωρούμε ότι η υγρή τροφοδοσία F(t) (mol/s), που εισάγεται στο N s πάτωμα, έχει σύσταση x F(t) και βρίσκεται στη θερμοκρασία κορεσμού. Oι ατμοί που αφήνουν την κορυφή της αποστακτικής στήλης υγροποιούνται πλήρως στο συμπυκνωτή. Η σύσταση x D(t) των ρευμάτων εξόδου, D(t), και επαναρροής, R(t), είναι διαφορετική από τη σύσταση y N T (t) του ρεύματος V(t), που απομακρύνεται από την κορυφή της στήλης. Στον εξατμιστήρα, ο ατμός (αέρια φάση) παράγεται με ρυθμό V(t) (mol/s). Η υγρή φάση στη βάση της αποστακτικής στήλης έχει σύσταση x B(t). Τέλος, το ρεύμα εξόδου που απομακρύνεται από τη βάση της στήλης, B(t) (mol/s), έχει σύσταση x B (t). Θεωρούμε ότι η αποστακτική στήλη έχει N T δίσκους (πατώματα). Η υγρή φάση σε κάθε πάτωμα της στήλης θεωρείται πλήρως αναμίξιμη. Οι απώλειες θερμότητας και οι θερμοκρασιακές διαφορές από πάτωμα σε πάτωμα θεωρούνται ασήμαντες. Οι γραμμές λειτουργίας στο διάγραμμα των McCabe Thiele, στη μόνιμη κατάσταση, είναι ευθείες. Η συσσώρευση της μάζας του ατμού (holdup) είναι μικρή. Τέλος, με τη βοήθεια κατάλληλων ελεγκτών, η στάθμη του υγρού στη βάση της αποστακτικής στήλης, η πίεση των ατμών και η στάθμη του υγρού στη δεξαμενή επαναρροής διατηρούνται σε επιθυμητές τιμές. Σύμφωνα με τις παραπάνω παραδοχές, η ογκομετρική παροχή των ατμών διαμέσου όλων των πατωμάτων στην αποστακτική στήλη θα είναι σταθερή: V(t) = V 1(t) = V 2(t) =... = V N T (t) (3.119) όπου V(t) είναι ο ρυθμός παραγωγής των ατμών στον εξατμιστήρα. Σημειώνεται ότι, λόγω της υπόθεσης της ίσης μοριακής ενθαλπίας εξάτμισης των δύο συστατικών, η διατύπωση του ισοζυγίου ενέργειας σε κάθε πάτωμα της αποστακτικής στήλης δεν είναι απαραίτητη (δηλαδή, η διεργασία λειτουργεί ισοθερμοκρασιακά). Η γραμμομοριακή παροχή της υγρής φάσης, L n (t) (mol/s), θα εξαρτάται από τα ρευστομηχανικά χαρακτηριστικά του πατώματος, δηλαδή η παροχή συνάρτηση της αντίστοιχης ποσότητας M n (t) (mol) της υγρής φάσης. L n (t) θα είναι

87 86 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων L (t) = f(m ) (3.120) n n Τέλος, θεωρούμε ότι η δυναμική συμπεριφορά του συμπυκνωτή και του εξατμιστήρα είναι πολύ γρήγορη, δηλαδή οι αντίστοιχοι όροι συσσώρευσης θα είναι ίσοι με μηδέν. Σύμφωνα με τις παραπάνω υποθέσεις, μπορούμε να διατυπώσουμε τα ακόλουθα δυναμικά ισοζύγια για το συνολικό αριθμό των γραμμομορίων και τον αριθμό των γραμμομορίων του πτητικού συστατικού στην υγρή φάση σε κάθε πάτωμα της αποστακτικής στήλης: Δεξαμενή επαναρροής dm D = + (3.121) dt Γραμμομορίων: V(t) ( R(t) D(t) ) d(m x ) dt D D Συστατικού: ( ) = V(t)y (t) R(t) + D(t) x (t) (3.122) NT N T πάτωμα στην κορυφή της αποστακτικής στήλης Γραμμομορίων: dm dt NT d(m x ) NT D = R(t) L (t) (3.123) NT NT Συστατικού: R(t)x D(t) L N (t)x N (t) V(t) ( y N (t) y N (t)) n πάτωμα της αποστακτικής στήλης Γραμμομορίων: dt dmn L n+ 1 (t) L n (t) dt d(m x ) = + (3.124) T T T 1 T = (3.125) n n Συστατικού: L (t)x (t) L (t)x (t) V(t) ( y (t) y (t)) N s " πάτωμα τροφοδοσίας Γραμμομορίων: dm = + (3.126) n+ 1 n+ 1 n n n 1 n dt dt Ns d(mn x s N ) s Συστατικού: = L (t) L (t) + F(t) (3.127) Ns+ 1 Ns = L (t)x (t) L (t)x (t) + Ns 1 Ns 1 Ns N dt + + s ( ) V(t) y (t) y (t) + F(t)x (t) (3.128) Ns 1 Ns F n = 1 πάτωμα της αποστακτικής στήλης dm1 Γραμμομορίων: = L(t) 2 L(t) 1 (3.129) dt d(m x ) = B 1 (3.130) dt 1 1 Συστατικού: L (t)x (t) L (t)x (t) V(t) ( y (t) y (t))

88 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 87 Βάση της αποστακτικής στήλης Γραμμομορίων: dmb L 1 (t) V(t) B(t) dt d(mbx B) Συστατικού: dt = (3.131) = L (t)x (t) + V(t)y (t) B(t)x (t) (3.132) 1 1 B B Ελεγκτές στάθμης και σύστασης Για να διατηρήσουμε τις στάθμες της υγρής φάσης στο συμπυκνωτή και στη βάση της αποστακτικής στήλης σε επιθυμητές τιμές, χρησιμοποιούμε τους ελεγκτές στάθμης, που αποτυπώνονται στην Εικόνα D(t) = f 1(M D) ; B(t) = f 2(M B) (3.133) Παρόμοια, για να διατηρήσουμε τις συστάσεις x D(t) και x B(t) σε επιθυμητές τιμές ρυθμίζουμε τις ροές των ρευμάτων επαναρροής, R(t) και παραγωγής ατμών στον εξατμιστήρα, V(t). R(t) = f 3(x D) ; V(t) = f 4(x B) (3.134) Από την παραπάνω διατύπωση του δυναμικού μοντέλου της αποστακτικής στήλης, προκύπτει ότι ο συνολικός αριθμός των μεταβλητών είναι ίσος με 4NT Συγκεκριμένα, εμφανίζονται οι ακόλουθες μεταβλητές. Οι γραμμομοριακές συστάσεις της υγρής και της αέριας φάσης στα πατώματα, ( x n(t), y n(t)) Οι γραμμομοριακές παροχές της υγρής φάσης, Οι γραμμομοριακές ποσότητες της υγρής φάσης στα L n (t) στα N T N T πατώματα N T πατώματα, M n (t) Η γραμμομοριακή ποσότητα της υγρής φάσης στη δεξαμενή επαναρροής, M D(t) 1 Η γραμμομοριακή σύσταση της υγρής φάσης στη δεξαμενή επαναρροής, x D(t) 1 Οι γραμμομοριακές παροχές των ρευμάτων R(t) και D(t) 2 Οι γραμμομοριακές παροχές της αέριας και υγρής φάσης,v(t) και B(t) 2 Η γραμμομοριακή ποσότητα της υγρής φάσης στη βάση της αποστακτικής, M B(t) 1 Οι γραμμομοριακές συστάσεις της υγρής και της αέριας φάσης στη βάση της αποστακτικής, ( x B(t), y B(t)) 2 Η γραμμομοριακή σύσταση, x F(t) και η γραμμομοριακή παροχή, F(t) του ρεύματος τροφοδοσίας 2 2N T N T N T 4N T +11

89 88 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Ο συνολικός αριθμός των διαφορικών και αλγεβρικών εξισώσεων που περιγράφουν τη δυναμική του συστήματος είναι ίσος με 4NT + 9. Συγκεκριμένα, έχουμε διατυπώσει τις ακόλουθες εξισώσεις: N T διαφορικές εξισώσεις διατήρησης του συνολικού αριθμού των γραμμομορίων στα N T πατώματα ((3.123) και (3.125)) N T διαφορικές εξισώσεις γραμμομοριακής σύστασης ((3.124) και (3.126)) στα N T πατώματα N T N T +1 αλγεβρικές εξισώσεις ισορροπίας (Ν Τ πατωμάτων και βάση στήλης) (3.118) N T +1 Ν Τ υδραυλικές αλγεβρικές εξισώσεις (3.120) στα N T πατώματα N T Δύο διαφορικές εξισώσεις γραμμομορίων και συστατικού για τη δεξαμενή επαναρροής (3.121)-(3.122) 2 Δύο διαφορικές εξισώσεις γραμμομορίων και συστατικού για τη βάση της αποστακτικής στήλης (3.131)-(3.132) 2 Δύο ελεγκτές στάθμης (3.133) 2 Δύο ελεγκτές σύστασης (3.134) 2 N T 4N T +9 Συνεπώς, εάν γνωρίζουμε τη χρονική μεταβολή των x F(t) και F(t), από την επίλυση του μαθηματικού μοντέλου (εξισώσεις (3.118)-(3.134)), είναι δυνατό να προσδιορίσουμε τη δυναμική συμπεριφορά όλων των μεταβλητών στην αποστακτική στήλη.

90 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 89 Τι πρέπει να γνωρίζω Να διατυπώσετε τις διαφορές μεταξύ των μικροσκοπικών και μακροσκοπικών δυναμικών μοντέλων. Πότε ένα μοντέλο ονομάζεται χωρικά εξαρτημένο και πότε χωρικά ανεξάρτητο; Τι είδους πληροφορίες μας δίνουν τα μαθηματικά μοντέλα μόνιμης και δυναμικής κατάστασης; Πότε ένα μαθηματικό μοντέλο λέγεται ότι είναι γραμμικό; Ποια είδη διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τη δυναμική συμπεριφορά των διεργασιών πλήρους ανάμιξης και μηδενικής ανάμιξης; Να διατυπώσετε τη θεμελιώδη αρχή της μαθηματικής προσομοίωσης των δυναμικών συστημάτων για χωρικά ανεξάρτητα και χωρικά εξαρτημένα δυναμικά συστήματα. Να διατυπώσετε τις διάφορες μορφές του δυναμικού ισοζυγίου μάζας για την κυλινδρική δεξαμενή της Εικόνας 3.3. Να διατυπώσετε τα δυναμικά ισοζύγια μάζας και γραμμομορίων για τη συνεχή διεργασία ανάμιξης της Εικόνας 3.4. Να διατυπώσετε τα δυναμικά ισοζύγια μάζας, γραμμομορίων και ενέργειας για το μη ισοθερμοκρασιακό αντιδραστήρα συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης της Εικόνας 3.7. Να διατυπώσετε τα δυναμικά ισοζύγια ενέργειας για τη θερμική διεργασία του αυλωτού εναλλάκτη δοχείου πλήρους ανάμιξης της Εικόνας 3.9. Ποια είναι η σημασία του αδιάστατου αριθμού N 1 = (4UL)/(DucsρcC pc) ; Να διατυπώσετε τα ισοζύγια γραμμομορίων και ενέργειας για τον αυλωτό χημικό αντιδραστήρα της Εικόνας Πώς ορίζεται η μέση λογαριθμική θερμοκρασιακή διαφορά; Να αποδείξετε την εξίσωση (3.98). Πώς ορίζεται η μέση αριθμητική θερμοκρασιακή διαφορά; Να αποδείξετε την εξίσωση (3.101). Πότε η μέση λογαριθμική θερμοκρασιακή διαφορά είναι προσεγγιστικά ίση με τη μέση αριθμητική θερμοκρασιακή διαφορά; Ποιός είναι ο ορισμός και η φυσική σημασία των αδιάστατων αριθμών, Da, β, Ν 1, Ν 2, και Ε 1 (βλέπε Ενότητα ).

91 90 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Ασκήσεις Άσκηση 3.1: Να αποδείξετε ότι το αδιάστατο δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας του ρευστού στον αυλωτό εναλλάκτη θερμότητας της Εικόνας 3.10, δίνεται από την εξίσωση (3.55). Άσκηση 3.2: Να διατυπώσετε το δυναμικό διαφορικό ισοζύγιο ενέργειας για το ψυκτικό/ θερμαντικό μέσο που ρέει στον εξωτερικό μανδύα του αυλωτού αντιδραστήρα (βλέπε Εικόνα 3.12). Ποιες παραδοχές θα πρέπει να ικανοποιούνται, για να ισχύει η εξίσωση (3.67); Άσκηση 3.3: Δίνεται ο αντιδραστήρας συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης του παραδείγματος 2.2 (Κεφάλαιο 2). α) Να αποδείξετε ότι το δυναμικό μοντέλο του αντιδραστήρα εναλλάκτη περιγράφεται από τις εξισώσεις (3.76)-(3.79). β) Να αποδείξετε ότι το αδιάστατο μαθηματικό μοντέλο του αντιδραστήρα εναλλάκτη δίνεται από τις εξισώσεις (3.80)-(3.82). γ) Να αποδείξετε ότι, στην ψευδομόνιμη κατάσταση, η θερμοκρασία του ρευστού στον αυλωτό εναλλάκτη δίνεται από την εξίσωση (3.91). Άσκηση 3.4: (Θέμα εξετάσεων Μαρτίου 2004) Με βάση τα δεδομένα της Άσκησης 1.1 (Κεφάλαιο 1) να διατυπώσετε τις διαφορικές και αλγεβρικές εξισώσεις που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Άσκηση 3.5: Με βάση τα δεδομένα της Άσκησης 1.2 (Κεφάλαιο 1) να διατυπώσετε τις διαφορικές και αλγεβρικές εξισώσεις που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Άσκηση 3.6: (Θέμα εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2003) Με βάση τα δεδομένα της Άσκησης 1.3 (Κεφάλαιο 1) να αναγράψετε το δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας για το θερμό ρεύμα, καθώς επίσης το ισοζύγιο ενέργειας (στην ψευδομόνιμη κατάσταση) για το ψυκτικό μέσο στη σπείρα. Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας, q(t), μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της παροχής του ψυκτικού, q c, σύμφωνα με την εξίσωση: 1 q(t) = T(t) T cin (t) UA 2ρcCpcq c [ ]

92 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 91 Άσκηση 3.7: Με βάση τα δεδομένα της Άσκησης 1.4 (Κεφάλαιο 1) να διατυπώσετε τις διαφορικές και αλγεβρικές εξισώσεις που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Άσκηση 3.8: (Θέμα εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2004) Δίνεται το ακόλουθο κυλινδρικό δοχείο: Λόγω της περιοδικής λειτουργίας του εμβόλου της αντλίας, η παροχή στο δοχείο δίνεται από την ακόλουθη συνάρτηση: q(t) o = qos + αsin(ωt), όπου q os είναι η παροχή του ρευστού στη μόνιμη κατάσταση και ω η γωνιακή συχνότητα της ημιτονοειδούς περιοδικής μεταβολής της παροχής. Για απλοποίηση, θεωρούμε ότι η ροή στον αγωγό εξόδου είναι γραμμική, δηλαδή ακολουθεί το Νόμο του Poiseuille: q(t) = 4πRΔP(t)/ (8μL) όπου R, L και μ είναι αντίστοιχα η ακτίνα, το μήκος του κυλινδρικού αγωγού και το ιξώδες του ρευστού. Η πτώση πίεσης στον αγωγό υπολογίζεται από τη σχέση: ΔP(t) = ρgh(t), όπου ρ είναι η πυκνότητα (σταθερή) και h(t) το ύψος του ρευστού στο δοχείο. α) Να ταξινομήσετε τις διάφορες μεταβλητές της διεργασίας σε μεταβλητές εισόδου, εξόδου και κατάστασης και να προσδιορίσετε τους βαθμούς ελευθερίας του δυναμικού συστήματος. β) Να αναγράψετε το δυναμικό ισοζύγιο διατήρησης της μάζας και να προσδιορίσετε τη χρονική σταθερά (τ) και τη σταθερά ενίσχυσης (K p ) της διεργασίας συναρτήσει των παραμέτρων του συστήματος. Άσκηση 3.9: (Θέμα εξετάσεων Ιουνίου 2004) Δίνεται το ακόλουθο δυναμικό σύστημα:

93 92 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων q m(t) C A (t): είναι η συγκέντρωση του αντιδραστηρίου Α, kmol/m 3 T(t): είναι η θερμοκρασία του αντίστοιχου ρεύματος, C q(t): είναι η παροχή του αντίστοιχου ρεύματος, m 3 /s q c : είναι η σταθερή ογκομετρική παροχή του ψυκτικού/θερμαντικού μέσου που κυκλοφορεί στη σπείρα, m 3 /s T co : είναι η θερμοκρασία του ψυκτικού/θερμαντικού μέσου στην είσοδο της σπείρας, C q (t): είναι ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας από (προς) το αντιδρών μίγμα προς m (από) το ψυκτικό (θερμαντικό) μέσο, kj/s Στον αντιδραστήρα επιτελείται κάποια χημική αντίδραση. Κάνοντας τις απαραίτητες (αιτιολογημένες) παραδοχές, να απαντήσετε τα ακόλουθα ερωτήματα: α) Να ταξινομήσετε τις διάφορες μεταβλητές του συστήματος σε μεταβλητές εισόδου, εξόδου και κατάστασης. β) Να αναγράψετε τα απαραίτητα δυναμικά ισοζύγια μάζας, γραμμομορίων και ενέργειας για το αντιδρών μίγμα και θερμαντικό/ ψυκτικό μέσο στον εναλλάκτη. Να ορίσετε τις αρχικές τιμές των μεταβλητών κατάστασης. γ) Να υπολογίσετε τους βαθμούς ελευθερίας του δυναμικού συστήματος και να επιλέξετε τις τιμές των μεταβλητών που θα πρέπει να γνωρίζουμε για να είναι δυνατή η επίλυση του προβλήματος. δ) Εάν q (t) = q (t) και ο χρόνος παραμονής του ρευστού στον εναλλάκτη είναι πολύ 1 2 μικρός (δηλαδή T/ t 0), να διατυπώσετε το απλοποιημένο δυναμικό μοντέλο της c

94 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 93 διεργασίας. Στην περίπτωση αυτή να εκφράσετε το ρυθμό μεταφοράς θερμότητας, q (t), συναρτήσει των θερμοκρασιών εισόδου και εξόδου στον εναλλάκτη. m Άσκηση 3.10: (Θέμα εξετάσεων Φεβρουαρίου 2004) Δίνεται η ακόλουθη φυσική διεργασία: q(t): 1 είναι η ογκομετρική παροχή στην πρώτη δεξαμενή, m 3 /s q(t): 2 είναι η ογκομετρική παροχή στη δεύτερη δεξαμενή, m 3 /s φ 1(t): είναι το ρεύμα εκροής από την πρώτη δεξαμενή, m 3 /s φ 2(t) : είναι το ρεύμα εκροής από τη δεύτερη δεξαμενή, m 3 /s φ 3(t): είναι το ρεύμα ανακύκλωσης, m 3 /s φ 4(t) : είναι το ρεύμα που απομακρύνεται, m 3 /s h(t): 1 είναι η στάθμη του ρευστού στην πρώτη δεξαμενή, m h 2(t): είναι η στάθμη του ρευστού στη δεύτερη δεξαμενή, m Δίνονται ακόμη οι ακόλουθες σχέσεις: φ 1(t) = α1h(t) 1 ; φ 2(t) = α2h 2(t) ; φ 3(t) = α3h(t) 3 ; φ 4(t) = α4h 4(t) όπου α 1, α 2, α 3 και α 4 είναι γνωστές σταθερές.

95 94 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων α) Να προσδιορίσετε τις μεταβλητές εισόδου, εξόδου και κατάστασης και να υπολογίσετε τους βαθμούς ελευθερίας της διεργασίας. β) Να αναγράψετε τα δυναμικά ισοζύγια μάζας για τη διεργασία (θεωρούμε ότι η πυκνότητα παραμένει σταθερή. Α 1 και Α 2 είναι οι αντίστοιχες διατομές των δύο κυλινδρικών δεξαμενών). Να αναγράψετε τα αντίστοιχα ισοζύγια μάζας στη μόνιμη κατάσταση. Ακολούθως, να διατυπώσετε τα αντίστοιχα δυναμικά ισοζύγια συναρτήσει των μεταβλητών απόκλισης. Τέλος, να μετασχηματίσετε τις διαφορικές εξισώσεις σε αντίστοιχες αλγεβρικές εξισώσεις με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace. Άσκηση 3.11: (Θέμα εξετάσεων Φεβρουαρίου 2003) Δίνεται η διεργασία ανάμιξης της παρακάτω εικόνας. Το πρώτο ρεύμα εισάγεται στο δοχείο σταθερού όγκου V με σταθερή ογκομετρική παροχή q(m 3 1 /s). Το δεύτερο ρεύμα περιέχει κάποιο συστατικό σε συγκέντρωση C Af (t). Ένα μέρος του δευτέρου ρεύματος, δηλαδή (1 ρ) q 2, εισάγεται στο δοχείο ανάμιξης, ενώ το υπόλοιπο ρ q 2 αναμειγνύεται απευθείας με το ρεύμα εξόδου q 3. Να αναγράψετε το δυναμικό ισοζύγιο γραμμομορίων για τη συγκέντρωση του συστατικού Α, C A (t), στο δοχείο ανάμιξης και την αλγεβρική εξίσωση που περιγράφει τη μεταβολή της συγκέντρωσης του Α, C Αe (t), στο ρεύμα εξόδου της διεργασίας. Άσκηση 3.12: (Θέμα εξετάσεων Ιανουαρίου 2000) Θεωρούμε ότι οι χημικές αντιδράσεις (A B C) επιτελούνται σε έναν αντιδραστήρα συνεχούς λειτουργίας και πλήρους

96 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 95 ανάμιξης. Ο αντιδραστήρας λειτουργεί ισοθερμοκρασιακά και ο όγκος του αντιδρώντος μίγματος παραμένει σταθερός. Θεωρούμε ότι οι ταχύτητες των δύο αντιδράσεων ακολουθούν εκθετικού τύπου κινητικά μοντέλα: k1 k2 A B C ; 2 A k1ca r =, 1/2 B = k2cb r α) Να αναγράψετε τα δυναμικά ισοζύγια γραμμομορίων για τα αντιδρώντα Α και Β. β) Να διατυπώσετε το αδιάστατο δυναμικό μοντέλο της διεργασίας με τη βοήθεια των ακόλουθων αδιάστατων μεταβλητών και αριθμών: C (t) C (t) C (t) C (t) x (t) = ; x (t) = ; u (t) = ; u (t) = A B Ao Bo 1 CAos 2 CAos 1 CAos 2 CAos -1/2 a1 = 1 Aos r a2 = 1 Aos r = r D k C t ; D k C t ; τ t/t όπου t r = (V/q) είναι ο μέσος χρόνος παραμονής του ρευστού στον αντιδραστήρα, q η σταθερή ογκομετρική παροχή και V ο σταθερός όγκος του αντιδρώντος μίγματος. Άσκηση 3.13: (Θέμα εξετάσεων Ιουλίου 1998) Δίνεται η ακόλουθη διεργασία ψύξης του θερμού ρευστού που εισέρχεται στο δοχείο πλήρους ανάδευσης. Εάν U: είναι ο ολικός συντελεστής μεταφοράς θερμότητας, J/(m 2 s K)) (σταθερός) Α: είναι η επιφάνεια που διατίθεται για την εναλλαγή της θερμότητας, m 2 C p, C p,c : είναι αντίστοιχα η ειδική θερμότητα του θερμού και ψυχρού ρεύματος, J/(kg K) (σταθερή) V: είναι ο όγκος του δοχείου πλήρους ανάμιξης, m 3 (σταθερός) V c : είναι ο όγκος του ρευστού στο μανδύα, m 3 (σταθερός)

97 96 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων α) Να ταξινομηθούν όλες οι μεταβλητές της διεργασίας σε μεταβλητές εισόδου, εξόδου και κατάστασης. β) Να αναγραφούν οι διαφορικές εξισώσεις ενέργειας για το ρευστό στο δοχείο ανάμιξης και για το ψυκτικό στο μανδύα. (Παραδοχή: Θεωρούμε ότι το ρευστό στο μανδύα μπορεί να προσεγγισθεί με ένα ισοδύναμου όγκου δοχείο πλήρους ανάμιξης). Άσκηση 3.14: (Θέμα εξετάσεων Σεπτεμβρίου 1999) Δίνεται το ακόλουθο δυναμικό σύστημα: Υποθέτουμε ότι τα ρεύματα q (t) και q(t) εξαρτώνται γραμμικά από τις αντίστοιχες στάθμες h 1 (t) και h 2 (t) του υγρού στις δύο κυλινδρικές δεξαμενές σύμφωνα με τις σχέσεις: q (t) = (h 1 (t) h 2 (t))/ R 1 ; q(t) = h 2 (t)/ R 2 α) Να διατυπώσετε τα δυναμικά ισοζύγια μάζας στα δύο κυλινδρικά δοχεία και να προσδιορίσετε τις χαρακτηριστικές χρονικές σταθερές της διεργασίας.

98 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 97 β) Να δείξετε ότι το δυναμικό μοντέλο του συστήματος μπορεί να γραφεί υπό την ακόλουθη διανυσματική μορφή: i H = AH+ BQ T T, H = [(h 1(t) h 1s), (h 2(t) h 2s) ] και Q = [(q 1(t) q 1s), (q 2(t) q 2s) ] και να προσδιορίσετε τα στοιχεία των πινάκων Α και Β συναρτήσει των σχεδιαστικών παραμέτρων της διεργασίας R 1, A 1, R 2 και A 2. Άσκηση 3.15: (Θέμα εξετάσεων Σεπτεμβρίου 1997) Δίνεται ο αντιδραστήρας συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης της παρακάτω εικόνας. Στον αντιδραστήρα επιτελείται η ακόλουθη αντίδραση εστεροποίησης: k k2 C H OH CH COOH C H COOCH H O (A) (B) (C) (D) Θεωρούμε ότι η ταχύτητα της αντίδρασης ακολουθεί ένα εκθετικού τύπου κινητικό μοντέλο: r A = k 1 C A C B k 2 C C C D. Στον αυλωτό εναλλάκτη κυκλοφορεί ατμός, ο οποίος συμπυκνώνεται σε θερμοκρασία Τ s. Για απλοποίηση, θεωρούμε ότι η θερμοκρασία του συμπυκνώματος δε μεταβάλλεται με την απόσταση.

99 98 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων C i : είναι οι γραμμομοριακές συγκεντρώσεις των Α, Β, C και D, kmol/m 3 F A, F B : είναι αντίστοιχα οι γραμμομοριακές παροχές των αντιδραστηρίων Α και Β στην είσοδο, kmol/s F ο : είναι η ολική γραμμομοριακή παροχή του αντιδρώντος μίγματος στην έξοδο του αντιδραστήρα, kmol/s k 1, k 2 : είναι οι κινητικές σταθερές της αντίδρασης, m 3 /(kmol s) Η Α, Η Β : είναι αντίστοιχα οι μοριακές ενθαλπίες των ρευμάτων εισόδου, kj/kmol H ο : είναι η ολική ενθαλπία του ρεύματος εξόδου, kj/kmol (ΔH r,τ ): είναι ο θερμοτονισμός της αντίδρασης, kj/kmol h: είναι η στάθμη του ρευστού στον αντιδραστήρα, m V: είναι ο όγκος του αντιδρώντος μίγματος, m 3 L: είναι το μήκος του αυλωτού εναλλάκτη, m A i : είναι η εσωτερική επιφάνεια του αυλωτού εναλλάκτη, m 2 Α ο : είναι η εξωτερική επιφάνεια του αυλωτού εναλλάκτη, m 2 d i, d ο : είναι αντίστοιχα η εσωτερική και η εξωτερική διάμετρος του αυλού, m h i, h ο : είναι αντίστοιχα ο εσωτερικός και εξωτερικός συντελεστής μεταφοράς θερμότητας του αυλωτού εναλλάκτη, kj/(m 2 s K) S: είναι η μαζική παροχή του ατμού, kg/s Τ s : Τ w : είναι η θερμοκρασία του συμπυκνώματος, K είναι η θερμοκρασία του μεταλλικού τοιχώματος του εναλλάκτη, K λ: είναι η θερμότητα συμπύκνωσης, kj/kg ρ: είναι η πυκνότητα του αντιδρώντος μίγματος, kg/m 3 ρ w : είναι η πυκνότητα του μεταλλικού τοιχώματος του εναλλάκτη, kg/m 3 C p : είναι η ειδική θερμότητα του αντιδρώντος μίγματος, kj/(kg K) C pw : είναι η ειδική θερμότητα του μεταλλικού τοιχώματος, kj/(kg K) α) Να αναγράψετε τα δυναμικά ισοζύγια γραμμομορίων για τα συστατικά Α, Β, C και D. β) Να αναγράψετε τα ισοζύγια ενέργειας για το αντιδρών μίγμα, τον ατμό και το μεταλλικό τοίχωμα του εναλλάκτη. γ) Για τη διεργασία που περικλείεται από τη διακεκομμένη γραμμή, να προσδιορίσετε τις μεταβλητές εισόδου, εξόδου και κατάστασης. Ποιες είναι οι διαταραχές και ποιες οι μεταβλητές ελέγχου; Ποιοι είναι οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος;

100 Μαθηματική Προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών Συστημάτων 99 Άσκηση 3.16: Δίνεται ο εναλλάκτης του τύπου αυλού-κελύφους (βλέπε παρακάτω εικόνα). Η θερμοκρασία του συμπυκνωμένου ατμού στον εξωτερικό μανδύα του αυλού παραμένει σταθερή, T. c Τέτοιου είδους συμπεριφορά παρατηρείται όταν καθαρός ατμός συμπυκνώνεται στον εξωτερικό μανδύα του κυλινδρικού αγωγού και η θερμοκρασία της συμπυκνωμένης υγρής φάσης παραμένει σταθερή και ανεξάρτητη της χωρικής απόστασης z. Έστω ότι S (m 2 ) είναι η διατομή του κυλινδρικού αγωγού, ρ (kg/m 3 ) είναι η πυκνότητα και C p (kj/(kg K)) είναι η ειδική θερμότητα υπό σταθερή πίεση του ρευστού. h 1 και h 2 (W/(m 2 K)) είναι αντίστοιχα ο εσωτερικός και εξωτερικός συντελεστής μεταφοράς θερμότητας του κυλινδρικού αγωγού και A 1 και A 2 (m 2 ) είναι η εσωτερική και η εξωτερική επιφάνεια του μεταλλικού τοιχώματος του αυλού, αντίστοιχα. Τ(t, z), T c είναι η θερμοκρασία του ρευστού και η θερμοκρασία του συμπυκνωμένου ατμού, αντίστοιχα. Τέλος, M w C pw (kj/k) είναι η θερμοχωρητικότητα του μεταλλικού τοιχώματος. Θεωρούμε επίσης ότι η ροή του ρευστού είναι εμβολική (plug flow), δηλαδή η ταχύτητα του ρευστού, u (m/s), είναι ανεξάρτητη της ακτινικής απόστασης. Επίσης, θεωρούμε ότι η θερμοκρασία του μεταλλικού τοιχώματος, T w (t), είναι ανεξάρτητη της απόστασης και το θερμικό φορτίο του συμπυκνωμένου υμένα του ατμού είναι αμελητέο. α) Με βάση τις παραπάνω απλουστευτικές παραδοχές, να δείξετε ότι τα δυναμικά ισοζύγια ενέργειας για το ρευστό και το μεταλλικό τοίχωμα του αυλού, γράφονται ως εξής: ρcps T + ρc T psu = h1a1 T w(t) T(t,z) t z ( ) ; T(t,0) o = T (t) και T(0,z) = T o (z)

101 100 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων dtw MwCpw = h2a2( Tc T w(t) ) h1a1( T w(t) T(t,z) ) ; T w(0) = Two dt β) Να διατυπώσετε τις αντίστοιχες εξισώσεις στη μόνιμη κατάσταση και να δείξετε ότι το θερμοκρασιακό προφίλ του ρευστού στον αυλό στη μόνιμη κατάσταση, T(z), s δίνεται από την ακόλουθη σχέση: (Tc T s) hahaz = exp (Tc T so ) ρcpsu(ha s 1 1 ha) όπου T so είναι η θερμοκρασία του ρευστού στην είσοδο του αυλού (z = 0) στη μόνιμη κατάσταση. γ) Με την εισαγωγή των κατάλληλων αδιάστατων μεταβλητών, να επαναδιατυπώσετε το αδιάστατο δυναμικό μοντέλο του εναλλάκτη και να προσδιορίσετε όλες τις χαρακτηριστικές χρονικές σταθερές του δυναμικού συστήματος.

102 KEΦAΛAIO 4 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων Όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, η δυναμική συμπεριφορά πολλών φυσικών, χημικών και βιολογικών διεργασιών πλήρους ανάμιξης περιγράφεται από ένα σύστημα μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων της γενικής μορφής: x (t) = ƒ( x (t), u (t), d (t), α(t)) (4.1) όπου 1 2 n T x (t) = (x (t), x (t),..., x (t)) είναι το διάνυσμα (nx1) των μεταβλητών κατάστασης, μεταβλητών χειρισμού, των διαταραχών και παραμέτρων. 1 2 m T u (t) = (u (t), u (t),..., u (t)) είναι το διάνυσμα (mx1) των 1 2 l T d (t) = (d (t), d (t),..., d (t)) είναι το διάνυσμα (lx1) 1 2 p T α (t) = (α (t), α (t),..., α (t)) είναι το διάνυσμα (px1) των Γενικά, το διάνυσμα ƒ θα αποτελείται από "n" μη γραμμικές πεπλεγμένες συναρτήσεις των μεταβλητών κατάστασης, χειρισμού, διαταραχών και παραμέτρων του δυναμικού συστήματος. Τέλος, T T x = x = 1 2 n είναι το διάνυσμα (nx1) ( ) (d dt) (dx dt, dx dt,, dx dt) των πρώτων παραγώγων των μεταβλητών κατάστασης. Για την επίλυση του δυναμικού μοντέλου (4.1), οι τιμές των μεταβλητών κατάστασης, συνήθως σε χρόνο t = t, πρέπει να είναι γνωστές: o o o 1 o 2 o n o T x(t ) = x = (x (t ), x (t ),..., x (t )) (4.2) Είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι μία ή περισσότερες παράμετροι του δυναμικού μοντέλου μιας διεργασίας μπορεί να μεταβάλλονται με το χρόνο. Για παράδειγμα, ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας ενός θερμικού εναλλάκτη μπορεί να μεταβάλλεται χρονικά, λόγω του σχηματισμού στερεών επικαθίσεων στα τοιχώματα του εναλλάκτη. 101

103 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 102 Συνεπώς, εάν γνωρίζουμε τις αρχικές τιμές των μεταβλητών κατάστασης, x o, και τις χρονικές μεταβολές των u (t), d (t) και α (t), είναι δυνατό να προσδιορίσουμε, από την επίλυση του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων (4.1), τη χρονική μεταβολή των μεταβλητών κατάστασης, x (t). Εάν το δυναμικό σύστημα είναι ευσταθές και οι τιμές όλων των μεταβλητών εισόδου και παραμέτρων παραμένουν χρονικά αμετάβλητες, τότε οι μεταβλητές κατάστασης θα τείνουν σε αντίστοιχες μόνιμες τιμές. Στην περίπτωση αυτή, όλες οι χρονικές παράγωγοι T των μεταβλητών κατάστασης θα είναι ίσες με μηδέν, δηλαδή x = (0, 0,, 0), και η μόνιμη κατάσταση του συστήματος (4.1) θα περιγράφεται από ένα σύνολο μη γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων της μορφής: 0 ƒ( x, u, d, α ) (4.3) = s s s s Η διατύπωση του μαθηματικού μοντέλου ενός συστήματος στο πεδίο του χρόνου αποτελεί το βασικό εργαλείο της δυναμικής ανάλυσης, βελτιστοποίησης και ελέγχου των συστημάτων. Τα κύρια πλεονεκτήματα των δυναμικών μοντέλων κατάστασης είναι τα ακόλουθα: 1. Τα μοντέλα κατάστασης μπορούν να περιγράψουν γραμμικά και μη γραμμικά δυναμικά συστήματα. 2. Τα μοντέλα κατάστασης μας παρέχουν μία πληρέστερη περιγραφή του δυναμικού συστήματος αφού, σε αντίθεση με τα μοντέλα εισόδου εξόδου (π.χ., γενικευμένης διαφορικής εξίσωσης) είναι δυνατός ο χρονικός υπολογισμός όλων των εσωτερικών μεταβλητών του συστήματος. 3. Η αριθμητική επίλυση των δυναμικών μοντέλων κατάστασης στο πεδίο του χρόνου είναι σχετικά εύκολη με τη βοήθεια του ηλεκτρονικού υπολογιστή. 4. Τέλος, με τη βοήθεια των μοντέλων κατάστασης, είναι δυνατή η μελέτη των θεμελιωδών προβλημάτων (για παράδειγμα, ευστάθειας (stability), παρατηρησιμότητας (observability), ελεγξιμότητας (controllability), αποσύζευξης (decoupling), κλπ.) των γραμμικών δυναμικών συστημάτων. Στο παρόν κεφάλαιο εξετάζονται τέσσερα είδη μαθηματικών διατυπώσεων, που συνήθως χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τη δυναμική συμπεριφορά ενός γραμμικού συστήματος: i) γραμμικά δυναμικά μοντέλα κατάστασης, ii) γενικευμένες γραμμικές διαφορικές εξισώσεις (n,m)-τάξης, iii) συναρτήσεις μεταφοράς και iv) μοντέλα παλμικής απόκρισης. Τέλος, παρουσιάζονται οι διάφορες μέθοδοι επίλυσης και μετασχηματισμού τους στο πεδίο του χρόνου.

104 103 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων 4.1 Γραμμικά Δυναμικά Μοντέλα Κατάστασης Η δυναμική συμπεριφορά ενός γραμμικού φυσικού, χημικού ή/και βιολογικού συστήματος συχνά περιγράφεται από ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης-τάξης της ακόλουθης γενικής μορφής: x (t) = a x (t) + a x (t) + + a x (t) + b u (t) + + b u (t) n n m m x (t) = a x (t) + a x (t) + + a x (t) + b u (t) + + b u (t) n n m m (4.4) x (t) = a x (t) + a x (t) + + a x (t) + b u (t) + + b u (t) n n1 1 n2 2 nn n n1 1 nm m όπου x(t) και u(t) είναι, αντίστοιχα, τα διανύσματα των μεταβλητών κατάστασης και εισόδου (χειρισμού και διαταραχές) και a ij και b ik είναι σταθεροί συντελεστές. Το παραπάνω σύστημα των συζευγμένων γραμμικών διαφορικών εξισώσεων μπορεί να γραφεί εναλλακτικά ως εξής: ή dx1 dt a11 a12 a1n x1 b11 b12 b1m u1 dx2 dt a21 a22 a 2n x 2 b21 b22 b 2m u 2 = + dx dt a a a x b b b u n n1 n2 nn n n1 n2 nm m (4.5) x (t) = Ax(t) + Bu(t), x(t = 0) = x o (4.6) όπου η έντονη γραφή υποδηλώνει διάνυσμα ή πίνακα. Η εξίσωση (4.6) συνήθως καλείται εξίσωση κατάστασης (state equation) του δυναμικού συστήματος. Οι πίνακες Α και Β περιέχουν τους σταθερούς συντελεστές του δυναμικού συστήματος και έχουν διαστάσεις (nxn) και (nxm), αντίστοιχα. y (t), ενός γραμμικού δυναμικού συστήματος (βλέπε Κεφάλαιο 1) Οι μεταβλητές εξόδου, συνδέονται συνήθως με τις μεταβλητές κατάστασης, u (t), μέσω της ακόλουθης εξίσωσης εξόδου (output equation): x (t), και τις μεταβλητές εισόδου, y(t) = Cx(t) + Eu(t) (4.7)

105 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 104 όπου T y (t) = (y (t), y (t),, y (t)) είναι το διάνυσμα (rx1) των μεταβλητών εξόδου και 1 2 r C και E είναι σταθεροί πίνακες διαστάσεων (rxn) και (rxm), αντίστοιχα. Συνεπώς, οι εξισώσεις (4.6) και (4.7) αποτελούν τη μαθηματική διατύπωση ενός γραμμικού, δυναμικού συστήματος πολλών μεταβλητών εισόδου και πολλών μεταβλητών εξόδου (ΠΕΠΕ). Τέλος, σημειώνεται ότι πολλές φορές οι συντελεστές (π.χ., a ij, b ik, κλπ.) του δυναμικού συστήματος μπορεί να μεταβάλλονται χρονικά. Στην περίπτωση αυτή, οι πίνακες Α(t), B(t), C(t) και E(t) εξαρτώνται από το χρόνο Eπίλυση των Oμογενών Διαφορικών Eξισώσεων στο Πεδίο του Χρόνου Έστω η γραμμική ομογενής διαφορική εξίσωση πρώτης-τάξης: x(t) = ax(t), x(0) = xo (4.8) όπου a είναι ένας σταθερός συντελεστής. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι η λύση της εξίσωσης (4.8) θα δίδεται από την ακόλουθη χρονική συνάρτηση: x(t) = b + b t + b t + + b t + (4.9) 2 k o 1 2 k όπου b o, b 1,..., b k,... είναι σταθεροί συντελεστές. Aντικαθιστώντας την εξίσωση (4.9) στην εξίσωση (4.8) λαμβάνουμε: ( ) b+ 2bt+ 3bt + + kbt + = a b + bt+ bt + + bt + (4.10) 2 k 1 2 k k o 1 2 k Από την τελευταία εξίσωση, προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις: b = ab 1 o 1 1 b ab a b = 1 = o 1 1 b ab a b k k! k k = k 1 = o (4.11) H τιμή του b o υπολογίζεται από την αρχική τιμή του x(t=0), δηλαδή x(0) = b o. Συνεπώς, η γενική λύση της εξίσωσης (4.8) γράφεται: k k 2 2 k k at 1 1 a t x(t) = (1 + at + a t + + a t + )x(0) = x(0) = e x(0) (4.12) 2! k! k! k= 0

106 105 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Έστω τώρα το ομογενές σύστημα των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων: x (t) = Ax(t), x(0) = x o (4.13) όπου A είναι ένας πίνακας διαστάσεων (nxn) με σταθερούς συντελεστές. H γενική λύση της εξίσωσης (4.13) θα δίδεται από την εξίσωση (4.14): 2 k () t o 1t 2t kt x = b + b + b + + b + (4.14) όπου b o, b 1,..., b k,... είναι διανύσματα με σταθερούς συντελεστές. Aντικαθιστώντας την εξίσωση (4.14) στην εξίσωση (4.13) λαμβάνουμε: ( ) b + 2b t+ 3b t + + kb t + = A b + b t+ b t + + b t + (4.15) 2 k 1 2 k k o 1 2 k Από την τελευταία εξίσωση, προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις: b 1 = Abo 1 1 b Ab A b = 1 = o 1 1 b Ab A b k k! k k = k 1 = o (4.16) H τιμή του διανύσματος b o υπολογίζεται από τις αρχικές τιμές x(0) = b o. Συνεπώς, η εξίσωση (4.14) γράφεται: k k 2 2 k k A At 1 1 t x(t) = ( I+ At + A t + + A t + ) x(0) = x(0) = e x(0) (4.17) 2! k! k! O τετραγωνικός πίνακας e At ονομάζεται "εκθετικός πίνακας". Η παράγωγος του εκθετικού πίνακα e At υπολογίζεται από την ακόλουθη εξίσωση: k= 0 d (e At ) e At e At = A = A (4.18) dt Ο εκθετικός πίνακας e At έχει επίσης τις ακόλουθες ιδιότητες: A(t+ s) At As e = e e (4.19) Εάν s = t, τότε η εξίσωση (4.19) γράφεται:

107 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 106 At -At A(t t) A 0 e e = e = e = I (4.20) όπου Ι(nxn) είναι ένας μοναδιαίος τετραγωνικός πίνακας. Επίσης, εάν οι τετραγωνικοί πίνακες Α και Β ικανοποιούν την αντιμεταθετική ιδιότητα, δηλαδή ΑΒ = ΒΑ, τότε θα ισχύει: ( A+ B) t At Bt e = e e (4.21) H λύση του συστήματος των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων (4.13) μπορεί να γραφεί συναρτήσει του πίνακα μεταβατικής κατάστασης (state transition matrix), Φ(t), ως εξής: () t = () t ( 0) x Φ x (4.22) Φ(t) είναι ένας τετραγωνικός πίνακας διαστάσεων (nxn) και αποτελεί τη μοναδική λύση της εξίσωσης (4.23): () t = AΦ() t, ( ) Φ Φ 0 = I (4.23) Παραγωγίζοντας την εξίσωση (4.22), λαμβάνουμε: () t = () t ( 0) = () t ( 0) = ( t) x Φ x AΦ x Ax (4.24) Τέλος, από τη σύγκριση των εξισώσεων (4.17) και (4.22) προκύπτει ότι ο πίνακας μεταβατικής κατάστασης ισούται με τον εκθετικό πίνακα: t () t = e A Φ (4.25) Στον Πίνακα 4.1 παρουσιάζονται μερικές από τις ιδιότητες του μεταβατικού πίνακα Φ(t). Πίνακας 4.1: Ιδιότητες του πίνακα μεταβατικής κατάστασης. Φ(0) = e A 0 = I Φ(t) = e At = (e -At ) -1 = (Φ(-t)) 1 ή Φ -1 (t) = Φ(-t) Φ(t 1 + t 2 ) = e A(t 1+t 2 ) = e At 1 e At 2 = Φ(t 1 ) Φ(t 2 ) = Φ(t 2 ) Φ(t 1 ) [Φ(t)] n = Φ(nt) Φ 2 (t 2 t ο ) = Φ(t 2 t 1 ) Φ(t 1 t o ) = Φ(t 2 t 1 ) Φ -1 (t ο t 1 )

108 107 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Eπίλυση των Oμογενών Διαφορικών Eξισώσεων στο Πεδίο Laplace Έστω η ομογενής γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης-τάξης (4.8). Μετασχηματίζοντας κατά Laplace την εξίσωση (4.8), λαμβάνουμε: sx(s) x(0) = ax(s) (4.26) Η χρονική απόκριση της x(t) υπολογίζεται από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της x(s) (βλέπε παράρτημα Α): x(0) = { } = = (s a) 1 1 at x(t) L x(s) L e x(0) (4.27) Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα της εξίσωσης (4.27) είναι το ίδιο με εκείνο που προκύπτει από την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (4.8) στο πεδίο του χρόνου (βλέπε εξίσωση (4.12)). Έστω, το ομογενές σύστημα των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων (4.13). Μετασχηματίζοντας κατά Laplace την εξίσωση (4.13) και επιλύοντας την εξίσωση που προκύπτει ως προς x(s), λαμβάνουμε: ή s x(s) x(0) = Ax (s) (4.28) 1 (s) (s ) x = I A x (0) ; ( ) 1 adj(s ) si A = I A si A (4.29) Η χρονική απόκριση του διανύσματος x(t) θα δίνεται από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace του x(s): { } { } x(t) = L x(s) = L (s I A) x (0) (4.30) Ακολούθως, αναπτύσσουμε τον αντίστροφο πίνακα ( s ) 1 μεταβλητή s: k 1 ( ) ( ) k= 0 I A σε σειρά Taylor ως προς τη I A A si A = s( I s A) = s I s A = s (s A) = (4.31) 2 3 s s s 2

109 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 108 Αν και η ανάπτυξη της συνάρτησης ( si A) 1 σε σειρά Taylor προϋποθέτει ότι όλες οι 1 ιδιοτιμές του πίνακα s A έχουν μέγεθος μικρότερο του 1 (δηλαδή για ικανά μεγάλες τιμές του s), το αποτέλεσμα (4.31) ισχύει για όλες τις τιμές του s εκτός από εκείνες που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές του πίνακα Α. Συνεπώς, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace του πίνακα ( ) 1 την ακόλουθη χρονική συνάρτηση του πίνακα Α: 1 {( ) } 2 2 k k k k 1 A t A t A t At k= 0 si A θα δίνεται από L si A = I+ At = = e (4.32) 2! k! k! Η αναλυτική λύση του ομογενούς συστήματος των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων (4.13) υπολογίζεται εύκολα από τις εξισώσεις (4.30) και (4.32): x At () t e x( 0) = (4.33) Μέθοδοι Υπολογισμού του Εκθετικού Πίνακα Ο εκθετικός πίνακας exp( A t) μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια διαφόρων αναλυτικών και αριθμητικών μεθόδων. Στη συνέχεια, εξετάζονται τρεις μέθοδοι, που συχνά χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του εκθετικού πίνακα. Η πρώτη μέθοδος βασίζεται στο θεώρημα των Caley Hamilton. Έστω, n n 1 n n 1 n P(λ) = A λi = λ + a λ + a λ + + a λ + a = 0 (4.34) είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του τετραγωνικού πίνακα Α (nxn). Σύμφωνα με το θεώρημα των Caley Hamilton, ο πίνακας Α θα ικανοποιεί το δικό του χαρακτηριστικό πολυώνυμο, δηλαδή θα ισχύει: n n 1 n n 1 n P( A) = A + a A + a A + + a A+ a I = 0 (4.35) Διευρύνοντας το παραπάνω αποτέλεσμα, είναι δυνατό να δείξουμε ότι για οποιοδήποτε μορφή πολυωνυμικής συνάρτησης του λ, f(λ), η αντίστοιχη πολυωνυμική συνάρτηση του πίνακα Α μπορεί πάντοτε να γραφεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός των πινάκων 2 n 1 {, I A, A,, A }, δηλαδή

110 109 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων o 1 n 1 n 1 f( A) = β I+ β A+ + β A (4.36) όπου β i είναι κατάλληλοι συντελεστές. Εάν ο πίνακας Α έχει "n" διακεκριμένες ιδιοτιμές, τότε οι συντελεστές β i στην εξίσωση (4.36) υπολογίζονται εύκολα από την επίλυση του ακόλουθου συστήματος των γραμμικών εξισώσεων: f(λ ) = h(λ ), i= 1, 2,, n (4.37) i i όπου λ i είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α και h(λ) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού (n 1) : o 1 n 1 n 1 h(λ) = β + β λ+ + β λ (4.38) Παράδειγμα 4.1: Yπολογισμός του εκθετικού πίνακα: Περίπτωση διακεκριμένων ιδιοτιμών Να υπολογίσετε τον εκθετικό πίνακα Λύση: t e A για 0 1 A = 2 3. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α είναι: A λ I = (λ + 1)(λ + 2) = 0. Συνεπώς, οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι λ = 1 και λ = 2. Σύμφωνα με την εξίσωση (4.36), ο εκθετικός πίνακας θα είναι γραμμικός συνδυασμός των πινάκων { I, A }, δηλαδή At f( A) = e = β I+ β A o 1 Οι συναρτήσεις f(λ) και h(λ) θα δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: λt f(λ) = e ; h(λ) = βo + β1λ Ακολούθως, από την εφαρμογή της εξίσωσης (4.37) για λ1 = 1 και λ2 = 2, λαμβάνουμε: f ( 1) = h( 1) ; t e = β β o 1 f ( 2) = h( 2) ; 2t e = β 2β o 1

111 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 110 Από την επίλυση του συστήματος των δύο παραπάνω εξισώσεων υπολογίζουμε τις τιμές των β o και β 1: o t 2t β = 2e e και 1 t β = e e 2t Έτσι σύμφωνα με την εξίσωση (4.36), ο εκθετικός πίνακας t e A ισούται με: t 2t t 2t t t 2t t 2t 2e e e e A e = (2e e ) I+ (e e ) A = t 2t t 2t 2e + 2e e + 2e Εάν ο πίνακας Α έχει επαναλαμβανόμενες ιδιοτιμές, τότε, για τον υπολογισμό των συντελεστών β i στην εξίσωση (4.36), απαιτείται να λάβουμε υπόψη και τις παραγώγους των συναρτήσεων f(λ) και h(λ). Έστω, m i= 1 ni i P(λ) = (λ λ ) είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α και n i είναι η πολλαπλότητα της ιδιοτιμής λ i. Ο συνολικός αριθμός των ιδιοτιμών θα είναι ίσος με n = (n1+ n2 + + n m). Ακολούθως, ορίζουμε το πολυώνυμο h(λ), βαθμού (n 1) (βλέπε εξίσωση (4.38)). Οι συντελεστές β i στην εξίσωση (4.38) υπολογίζονται από την επίλυση του ακόλουθου συστήματος των "n" εξισώσεων: όπου, () l () l i = f (λ ) h (λ ) i, i l = 0, 1,, (n 1) και i= 1, 2,, m (4.39) () l l l i = f (λ ) d f(λ) dλ = λ λi και () l l l i = h (λ ) d h(λ) dλ = λ λi (4.40) Παράδειγμα 4.2: Yπολογισμός του εκθετικού πίνακα: Περίπτωση επαναλαμβανόμενων ιδιοτιμών Να υπολογίσετε τον εκθετικό πίνακα t e A για A =

112 111 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Λύση: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α είναι: 2 A λ I = (λ 1) (λ 2) = 0. Συνεπώς, οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι λ1 = 1 με πολλαπλότητα 2 και λ2 = 2. Σύμφωνα με την εξίσωση (4.36), ο εκθετικός πίνακας θα είναι γραμμικός συνδυασμός των πινάκων 2 {, I A, A }, δηλαδή At 2 o 1 2 f( A) = e = β I+ β A+ β A Συνεπώς, οι συναρτήσεις f(λ) και h(λ) θα δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: λt f(λ) = e ; h(λ) = β + β λ+ β λ o Ακολούθως, από την εφαρμογή της εξίσωσης (4.39) για λ1 = 1 και λ2 = 2, λαμβάνουμε: f(1) = h(1) : t e = β + β + β o 1 2 f(1) = h(1) : t te = β + 2β 1 2 f (2) = h(2) : 2t e = β + 2β + 4β o 1 2 Από την επίλυση του συστήματος των τριών παραπάνω αλγεβρικών εξισώσεων, υπολογίζουμε τους συντελεστές β o, β 1 και β 2 : o t 2t β = 2te + e, 1 t t 2t β = 3te + 2e 2e και 2 2t t t β = e e te Συνεπώς, ο εκθετικός πίνακας θα είναι ίσος με: At t 2t t t 2t 2t t t 2 e = ( 2te + e ) I+ (3te + 2e 2e ) A+ (e e te ) A = t 2t t 2t 2e e 0 2e 2e t = 0 e 0 2t t 2t t e e 0 2e e

113 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 112 Παράδειγμα 4.3: Υπολογισμός του εκθετικού πίνακα exp( A ˆ t) Δίνεται ο ακόλουθος πίνακας Jordan: λ ˆ 0 λ1 1 0 A = 0 0 λ λ1 Να υπολογίσετε τον εκθετικό πίνακα Λύση: exp( A ˆ t). Aˆ λi λ λ 1. Ακολούθως, Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Â είναι = ( ) 4 ορίζουμε τη συνάρτηση λt f(λ) = e και τη συνάρτηση h(λ) τρίτου βαθμού: 2 3 o h(λ) = β + β (λ λ ) + β (λ λ ) + β (λ λ ) Από τις εξισώσεις (4.39) και (4.40) προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις για τους άγνωστους συντελεστές, β i : f(λ βo = f(λ 1), β1 = f(λ 1) f (λ 1) 1), β2 =, β3 = 2! 3! Σύμφωνα με την εξίσωση (4.36) και τον παραπάνω ορισμό της συνάρτησης h(λ), ο πίνακας Â θα ικανοποιεί την ακόλουθη εξίσωση: ˆ f(λ ) ˆ f (λ ) ˆ f (λ ) f( A) = f(λ ˆ 1) I+ ( A λ I) + ( A λ I) + ( A λ I ) 1! 2! 3! Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις τιμές των πινάκων ˆ k ( A λ I ) όπου k = 1, 2, ˆ ( A λ I ) =, ˆ ( A λ I ) =, ˆ ( A λ I ) = Εάν λt f(λ) = e, τότε οι συντελεστές β i θα δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις:

114 113 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων βo λ1t λ t = e, β = te, β = te 2!, β = te 3! λ t 3 3 λ t Συνεπώς, σύμφωνα με την εξίσωση (4.36), ο εκθετικός πίνακας exp( A ˆ t) θα ισούται: λ1t λ1t 2 λ1t 3 λ1t e te t e 2! t e 3! λ1t λ1t 2 λ1t ˆ ˆ A t 0 e te t e 2! f( A ) = e = λ1t λ1t 0 0 e te λ1t e Συνεπώς, εάν γνωρίζουμε τον εκθετικό πίνακα υπολογίσουμε τον εκθετικό πίνακα t e A από τη σχέση: ˆ t e A, τότε μπορούμε εύκολα να e At 1 Aˆ t = Ω e Ω όπου Ω είναι ο πίνακας μετασχηματισμού του πίνακα Α στον ισοδύναμο πίνακα τύπου Jordan, Â (βλέπε ενότητα ). Η δεύτερη μέθοδος υπολογισμού του εκθετικού πίνακα βασίζεται στον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace του πίνακα ( si ) 1. A Παράδειγμα 4.4: Yπολογισμός του αντίστροφου πίνακα ( ) 1 si A Για τον πίνακα Α του παραδείγματος 4.1, να υπολογίσετε τον εκθετικό πίνακα βοήθεια του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace του πίνακα ( si A) 1. t e A με τη Λύση: Αρχικά, υπολογίζουμε τον πίνακα ( si A ) : s 1 s = s 0 1 = s + 3 ( I A) Ακολούθως, υπολογίζουμε τον αντίστροφο πίνακα ( ) 1 si A (βλέπε εξίσωση (4.29)):

115 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 114 s ( ) ( s 1)( s 2) ( s 1)( s 2) adj si A 1 s = = = si A ( s+ 1)( s+ 2 ) 2 s 2 s ( s+ 1)( s+ 2) ( s+ 1)( s+ 2) ( si A) Τέλος, με τη βοήθεια του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace, υπολογίζουμε τον t εκθετικό πίνακα e A. 1 {( I A) } t 2t t 2t At 1 2e e e e e = L s = t 2t t 2t 2e + 2e e + 2e Η επαλήθευση του παραπάνω αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του ακόλουθου προγράμματος σε MATLAB. Τέλος, ο εκθετικός πίνακας exp( A t) μπορεί να υπολογισθεί εύκολα από την ακόλουθη συγκλίνουσα, άπειρη σειρά του πίνακα Α: e 2 2 k k At A t A t = I+ At+ + = (4.41) 2! k! k= 0 Ο υπολογισμός της σειράς συνεπάγεται μόνο πολλαπλασιασμούς και προσθέσεις και γρήγορα συγκλίνει στην τελική της τιμή. Ο παραπάνω υπολογισμός του εκθετικού πίνακα προσφέρεται ιδιαίτερα για υπολογισμούς σε υπολογιστή. Ο ακόλουθος αλγόριθμος σε t MATLAB υπολογίζει τον εκθετικό πίνακα e A του παραδείγματος 4.2, για t=1:

116 115 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Στο παραπάνω πρόγραμμα, με Ε συμβολίζεται το μερικό άθροισμα της σειράς και F είναι ο επόμενος όρος που προστίθεται στο Ε. Ο αλγόριθμος τερματίζεται όταν η απόλυτη τιμή του αθροίσματος E+ F E προσεγγιστικά πλησιάζει το μηδέν Eπίλυση των Mη Ομογενών Διαφορικών Eξισώσεων στο Πεδίο του Χρόνου Έστω η γραμμική, μη ομογενής διαφορική εξίσωση πρώτης-τάξης: ή () () = () x t ax t bu t, x(0) = xo (4.42) () = () + () x t ax t bu t (4.43) Αρχικά, πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέρη της εξίσωσης (4.42) με τον εκθετικό όρο e -at at d at at e [x () t ax() t ] = [e x() t ] = e bu() t (4.44) dt Ακολούθως, ολοκληρώνουμε την εξίσωση (4.44) από 0 σε t: at aτ () ( ) () t e x t = x 0 + e bu τ dτ (4.45) 0 Τελικά, η αναλυτική λύση της εξίσωσης (4.42) γράφεται:

117 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 116 at ( τ) x t = e x 0 + e bu τ dτ (4.46) at () ( ) t 0 ( ) Έστω τώρα το σύστημα των γραμμικών, μη ομογενών διαφορικών εξισώσεων: () t = () t + () t x Ax Bu, x(0) = xo (4.47) Ακολούθως, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης (4.47) με τον εκθετικό πίνακα e -At : At d At At e [ x () t Ax() t ] = [e x() t ] = e Bu() t (4.48) dt Oλοκληρώνοντας την εξίσωση (4.48) από 0 σε t, λαμβάνουμε: ( t τ) x t = e x 0 + e A Bu τ dτ (4.49) () A t ( ) t 0 ( ) Εναλλακτικά, συναρτήσει του πίνακα μεταβατικής κατάστασης, Φ(t), η εξίσωση (4.49) γράφεται: () = () ( ) + ( ) () t x t Φ t x 0 Φ t τ Bu τ dτ (4.50) Επίλυση των Μη Ομογενών Διαφορικών Εξισώσεων στο Πεδίο Laplace Έστω η μη ομογενής, γραμμική διαφορική εξίσωση (4.42). Μετασχηματίζοντας κατά Laplace την εξίσωση (4.42), λαμβάνουμε: sx ( s) x ( 0) = ax ( s) + bu ( s) (4.51) Ακολούθως, επιλύουμε την εξίσωση (4.51) ως προς x(s): ( ) x s x( 0) b ( s a) ( s a) = + ( ) u s (4.52) Η χρονική απόκριση της μεταβλητής x(t) δίνεται από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της x(s), δηλαδή

118 117 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων 1 1 x(0) b 1 x(0) 1 b x(t) = L { x(s) } = L + u(s) = L + L u(s) (s a) (s a) (s a) (s a) (4.53) Με τη βοήθεια του θεωρήματος της συνέλιξης (βλέπε παράρτημα Α του βιβλίου), τελικά λαμβάνουμε: t at a(t τ) x(t) = e x(0) + e bu(τ)dτ (4.54) 0 Παρατηρούμε ότι το τελευταίο αποτέλεσμα είναι το ίδιο με εκείνο που προέκυψε (βλέπε εξίσωση (4.46)) από την ολοκλήρωση της εξίσωσης (4.42) στο πεδίο του χρόνου. Έστω τώρα το σύστημα των γραμμικών μη ομογενών διαφορικών εξισώσεων (4.47). Μετασχηματίζοντας κατά Laplace την εξίσωση (4.47), λαμβάνουμε: ή s x(s) x(0) = Ax(s) + Bu (s) (4.55) ( ) ( ) 1 1 x(s) = s I A x(0) + s I A Bu (s) (4.56) Ακολούθως, υπολογίζουμε τη χρονική απόκριση του 1 μετασχηματισμό Laplace, L { (s)} (βλέπε παράρτημα Α). x (t) από τον αντίστροφο x και την εφαρμογή του θεωρήματος της συνέλιξης 1 1 { } { } ( ) ( ) 1 1 x(t) = L x(s) = L s I A x(0) + s I A Bu(s) t t ( t τ) e A x(0) e Bu(τ)dτ = + A 0 (4.57) Ομοίως, παρατηρούμε ότι το τελευταίο αποτέλεσμα είναι το ίδιο με εκείνο που προέκυψε από την ολοκλήρωση της εξίσωσης (4.47) στο πεδίο του χρόνου (βλέπε εξίσωση (4.49)). Παράδειγμα 4.5: Eπίλυση ενός μη ομογενούς συστήματος γραμμικών διαφορικών εξισώσεων Δίνεται το σύστημα των γραμμικών μη ομογενών διαφορικών εξισώσεων:

119 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 118 x x 1(t) 0 x 1(0) 0 u(t) x = = x (t) 1, x (0) Εάν η μεταβλητή εισόδου u(t) μεταβάλλεται βηματικά, u(t) = 1H(t), να υπολογίσετε τις χρονικές αποκρίσεις των x 1 (t) και x 2 (t). Λύση: Σύμφωνα με το παράδειγμα 4.1, ο εκθετικός πίνακας e At είναι: e At t 2t t 2t 2e e e e = t 2t t 2t 2e + 2e e + 2e Συνεπώς, από την εφαρμογή της εξίσωσης (4.49) λαμβάνουμε: t ( t τ) 2t ( τ) ( t τ) 2t ( τ) t 2e e e e 0 A x(t) = e x (0) + 1dτ ( t τ) 2t ( τ) ( t τ) 2t ( τ ) 2e + 2e e + 2e 1 0 t ( t τ) 2t ( τ) t 2t 0 e e 1 2 e + 1 2e = + dτ = 0 ( t τ) 2t ( τ) t 2t e + 2e e e 0 Εναλλακτικά, το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων του παραδείγματος 4.5 μπορεί να επιλυθεί αριθμητικά με τη βοήθεια του παρακάτω προγράμματος σε MATLAB.

120 119 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Ομογενή Συστήματα με Χρονικά Μεταβαλλόμενους Συντελεστές Έστω η ομογενής διαφορική εξίσωση πρώτης-τάξης: x(t) = a(t)x(t), x(0) = xo (4.58) όπου a(t) είναι ο χρονικά μεταβαλλόμενος συντελεστής της διαφορικής εξίσωσης. Η λύση της διαφορικής εξίσωσης (4.58) θα δίνεται από την ακόλουθη αναλυτική σχέση: t x(t) = exp a(t)dt x 0 0 ( ) (4.59) Θεωρούμε τώρα το ομογενές σύστημα των διαφορικών εξισώσεων:, x( 0) xo x(t) = A(t) x(t) = (4.60) όπου Α(t) είναι ένας πίνακας διαστάσεων (nxn) με χρονικά μεταβαλλόμενους συντελεστές a ij (t). Η λύση του ομογενούς συστήματος των διαφορικών εξισώσεων (4.60), κατ επέκταση της λύσης (4.59), μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

121 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 120 t x(t) = exp A(τ)dτ x (0) (4.61) 0 Για να υπολογίσουμε τον εκθετικό πίνακα χρησιμοποιούμε την ακόλουθη άπειρη σειρά (βλέπε εξίσωση (4.41)): t t 1 t t exp A (τ)dτ = I + A (τ)dτ + (τ)dτ (s)ds + 2! A A (4.62) Γενικά, η εξίσωση (4.61) δεν αποτελεί λύση της εξίσωσης (4.60), επειδή οι πίνακες Α(t) t και exp (τ)dτ A 0 δεν ικανοποιούν πάντα την αντιμεταθετική ιδιότητα, δηλαδή d dt t t t exp A (τ)dτ = A (t)exp A (τ)dτ exp A (τ)dτ A (t) (4.63) Συνεπώς, απαιτείται μια άλλη μέθοδος επίλυσης της εξίσωσης (4.60). Θεωρούμε ότι για κάθε διάνυσμα αρχικής κατάστασης x i(t o) υπάρχει μια μοναδική λύση x i (t), όπου i= 1, 2,, n. Ακολούθως, σχηματίζουμε τον τετραγωνικό πίνακα 1 2 n X= { x, x,, x }. Επειδή κάθε x i (t) ικανοποιεί την εξίσωση (4.60), ο πίνακας Χ(t) θα ικανοποιεί την εξίσωση: X (t) = A(t) X(t) (4.64) Εάν ο πίνακας X (t o) είναι μη μηδενικός, δηλαδή τα διανύσματα των "n" αρχικών καταστάσεων είναι γραμμικά ανεξάρτητα, τότε ο πίνακας Χ(t) ονομάζεται βασικός πίνακας (fundamental matrix) της εξίσωσης (4.60). Επειδή τα διανύσματα των αρχικών καταστάσεων επιλέγονται αυθαίρετα (το μόνο κριτήριο επιλογής τους είναι να είναι γραμμικά ανεξάρτητα), ο βασικός πίνακας δεν είναι μοναδικός. Παράδειγμα 4.6: Eπίλυση ομογενούς συστήματος διαφορικών εξισώσεων με χρονικά μεταβαλλόμενους συντελεστές Να υπολογίσετε το βασικό πίνακα Χ(t) του ομογενούς συστήματος:

122 121 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων 0 0 x (t) = (t) t 0 x Λύση: Η λύση της εξίσωσης x(t) 1 = 0 για to = 0 είναι x(t) 1 = x(0) 1. Ομοίως, η λύση της εξίσωσης x 2(t) = tx 1(t) = tx 1(0) είναι: t 2 2 = = x (t) τx (0)dτ x (0) 0,5t x (0) x (0) Συνεπώς, εάν το διάνυσμα x(0) των αρχικών τιμών είναι: x(0) 1 1 x(0) = = x (t) = 1 2 x 2(0) 0 0,5t Εάν το διάνυσμα αρχικών τιμών x(0) είναι: x(0) x(0) = (t) 2 x 2(0) = = 2 x 0,5t + 2 Επειδή τα δύο διανύσματα των αρχικών τιμών είναι γραμμικά ανεξάρτητα, ο βασικός πίνακας Χ(t) γράφεται: 1 1 X (t) = 2 2 0,5t 0,5t + 2 Μια σημαντική ιδιότητα του βασικού πίνακα είναι ότι ο Χ(t) είναι μη μηδενικός για όλες τις τιμές του t. Για παράδειγμα, η ορίζουσα του πίνακα Χ(t) είναι ίση με: 2 2 0,5t + 2 0,5t = 2, δηλαδή είναι μη μηδενική για όλες τις τιμές του t. Έστω Χ(t) είναι ένας βασικός πίνακας του ομογενούς συστήματος των διαφορικών εξισώσεων x (t) = A(t) x(t). Τότε, ο πίνακας o 1 Φ(t,t ) = X(t) X (t ) (4.65) o

123 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 122 ονομάζεται πίνακας μεταβατικής κατάστασης (state transition matrix) του συστήματος των ομογενών διαφορικών εξισώσεων και είναι επίσης μοναδική λύση της εξίσωσης: t (t,t ) = (t) (t,t ) o o Φ A Φ ; o o Φ(t,t ) = I (4.66) Από τον παραπάνω ορισμό του πίνακα μεταβατικής κατάστασης προκύπτουν οι ακόλουθες ιδιότητες του πίνακα Φ: Φ(t,t) = I (4.67) o = o = o = o Φ (t,t ) [ X(t) X (t )] X(t ) X (t) Φ (t,t) (4.68) (t,t ) = (t,t ) (t,t ) Φ o Φ 1 Φ 1 o για κάθε t, o t και t 1 (4.69) Παράδειγμα 4.7: Υπολογισμός του πίνακα μεταβατικής κατάστασης Να υπολογίσετε τον πίνακα Λύση: Φ (t,t o) για το παράδειγμα 4.6. Σύμφωνα με τα αποτελέσματα του παραδείγματος 4.6, οι πίνακες X (t) και X 1 (t) είναι: 1 1 X (t) = 2 2, 0,5t 0,5t + 2 X 2 1 0, 25t + 1 0,5 (t) = 2 0, 25t 0,5 Συνεπώς, ο πίνακας μεταβατικής κατάστασης, σύμφωνα με την εξίσωση (4.65), είναι: Φ (t,t ) 1 1 0, 25t 1 0, ,5(t t ) 1 2 o + o = = ,5t 0,5t + 2 0, 25t o 0,5 o Είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι ο πίνακας Φ (t,t o) ικανοποιεί τις εξισώσεις (4.67)-(4.69) Μη Ομογενή Συστήματα με Χρονικά Μεταβαλλόμενους Συντελεστές Ακολούθως, θεωρούμε τη γενική εξίσωση κατάστασης: x (t) = A(t) x(t) + B(t) u(t), x(t o) = x o (4.70)

124 123 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων όπου οι συντελεστές των πινάκων Α(t) και B(t) είναι συνεχείς συναρτήσεις του χρόνου. Η λύση της εξίσωσης κατάστασης (4.70) θα δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση: t x(t) = Φ(t,t ) x + Φ(t,τ) B(τ) u(τ)dτ = Φ(t,t )[ x + Φ(t,τ) B(τ) u (τ)dτ] (4.71) o o o o o to to όπου Φ(t,τ) είναι ο πίνακας μεταβατικής κατάστασης του ομογενούς συστήματος (4.60). Αρχικά, αποδεικνύουμε ότι η λύση (4.71) ικανοποιεί την αρχική συνθήκη x(0) = x. Για t = t o, η εξίσωση (4.71) γράφεται: t o to x(t ) = Φ(t,t ) x + Φ(t,τ) B(τ) u(τ)dτ = Ix + 0=x (4.72) o o o o o o to Ακολούθως, παραγωγίζουμε την εξίσωση (4.71): d x(t) o o dt t t t = Φ(t,t ) x + Φ(t,τ) B(τ) u (τ)dτ (4.73) to Από τις εξισώσεις (4.66), (4.67)-(4.71) και τον υπολογισμό της παραγώγου του ολοκληρώματος στην εξίσωση (4.73) λαμβάνουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα: t x (t) = A(t) Φ(t,t o) xo + [ Φ(t,τ) B(τ) u(τ)]dτ + Φ(t,t) B(t) u(t) = t to t A(t) Φ(t, t o) xo + Φ(t, τ) B(τ) u(τ)dτ + B(t) u(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t) to (4.74) Άρα, η εξίσωση (4.71) είναι λύση της εξίσωσης (4.70). Παρατηρούμε ότι ο υπολογισμός της χρονικής απόκρισης του x(t) προϋποθέτει ότι ο πίνακας μεταβατικής κατάστασης Φ (t,t o) δύναται να υπολογιστεί από την επίλυση της εξίσωσης (4.60) ή (4.66). Εάν ο πίνακας Α(t) είναι του τύπου κάτω ή άνω τριγωνικός, για παράδειγμα: x 1(t) a 11(t) 0 x 1(t) = x (t) a (t) a (t) x (t) (4.75)

125 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 124 τότε οι εξισώσεις x(t) 1 = a 11(t)x(t) 1 και x 2(t) = a 22(t)x 2(t) + a 12(t)x 1(t) μπορούν να επιλυθούν διαδοχικά και συνεπώς είναι δυνατός ο υπολογισμός του πίνακα Φ (t,t o) (βλέπε εξίσωση (4.65) και παραδείγματα 4.6 και 4.7). Εάν ο πίνακας Α(t) είναι διαγώνιος ή σταθερός, οι πίνακες Α(t) και ικανοποιούν την αντιμεταθετική ιδιότητα, t A (τ)dτ θα to t t A(t) A(τ)dτ = A(τ)dτ A (t) (4.76) to to για όλα τα t o και t. Τότε, η λύση της εξίσωσης (4.66) θα έχει την ακόλουθη μορφή: k t t 1 Φ(t,t o) = exp A(τ)dτ = A (τ)dτ (4.77) k! to k= 0 to Τέλος, εάν ο πίνακας Α(t) έχει σταθερούς συντελεστές, η εξίσωση (4.77) γράφεται: ( ) Φ(t,τ) = exp A(t τ) = Φ (t τ) (4.78) Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, ο υπολογισμός του πίνακα δύσκολος. Φ (t,τ) είναι ιδιαίτερα 4.2 Δυναμικά Μοντέλα Εισόδου Εξόδου Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις (n, 0)-Τάξης Η δυναμική συμπεριφορά πολλών συστημάτων μιας μεταβλητής εισόδου και μιας μεταβλητής εξόδου (ΜΕΜΕ) συχνά περιγράφεται από μία γραμμική, μη ομογενή διαφορική εξίσωση (n, 0) τάξης: ( n) ( n 1) ( 1) y (t) + a y (t) + + a y (t) + a y(t) = b u(t) (4.79) n 1 1 o o όπου y (n) (t) είναι η "n" χρονική παράγωγος της μεταβλητής εξόδου y(t) (δηλαδή ( n) n n y (t) = d y dt ) και u(t) είναι η μεταβλητή εισόδου ή συνάρτηση εξαναγκασμού

126 125 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων μηδενικής τάξης, m = 0. Τέλος, a o, a 1,, a n 1 και b o είναι σταθεροί συντελεστές. Τα μοντέλα αυτά ονομάζονται μοντέλα εισόδου εξόδου (input output models). ( 1) ( 2) ( n 1) Είναι φανερό ότι εάν γνωρίζουμε τις αρχικές τιμές των y(0), y (0), y (0),, y (0) της μεταβλητής εξόδου και τη χρονική μεταβολή της μεταβλητής εισόδου, u(t) για t 0, τότε, από την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (4.79), είναι δυνατό να προσδιορίσουμε τη χρονική μεταβολή της μεταβλητής εξόδου, y(t). Σημειώνεται ότι, αντίθετα με τα μοντέλα κατάστασης, τα μοντέλα εισόδου εξόδου δε μας δίνουν καμία πληροφορία σχετικά με την εσωτερική κατάσταση (δηλαδή τις μεταβλητές κατάστασης) του δυναμικού συστήματος. Η επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (4.79) μπορεί εύκολα να πραγματοποιηθεί στο πεδίο του χρόνου, εάν μετασχηματίσουμε την εξίσωση σε ένα ισοδύναμο μοντέλο κατάστασης. Για το σκοπό αυτό εισάγουμε τις ακόλουθες βοηθητικές μεταβλητές: () 1 ( n 1) x (t) = y(t), x (t) = y (t),, x (t) = y (t) (4.80) 1 2 n Αποδεικνύεται εύκολα ότι η εξίσωση (4.79) μπορεί να μετασχηματιστεί στο ακόλουθο σύστημα των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης-τάξης: x (t) = x (t) 1 2 x (t) = x (t) 2 3 x (t) = a x (t) a x (t) + b u(t) n o 1 n 1 n o (4.81) Εναλλακτικά, το παραπάνω σύστημα των διαφορικών εξισώσεων (4.81) γράφεται υπό μορφή εξίσωσης κατάστασης ως εξής: x (t) = Ax(t) + bu(t) (4.82) όπου x(t) x 2(t) x(t) =, A=, b= x n 1(t) x (t) a a a a b n o 1 2 n 1 o (4.83) Συνεπώς, η μεταβλητή εξόδου y(t) θα δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση:

127 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 126 y(t) = Cx (t), C = [ 1 0 0] (4.84) Η εξίσωση κατάστασης (4.82) λέγεται ότι είναι σε κανονική μορφή. Συγκεκριμένα, παρατηρούμε ότι αν στον πίνακα Α αφαιρέσουμε την πρώτη στήλη και την τελευταία γραμμή προκύπτει ένας μοναδιαίος πίνακας διαστάσεων (n 1)(n 1). Επίσης, τα στοιχεία της τελευταίας γραμμής του πίνακα Α είναι οι συντελεστές της διαφορικής εξίσωσης (4.79). Είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι οι μεταβλητές κατάστασης, που προκύπτουν από την εφαρμογή των δυναμικών ισοζυγίων διατήρησης της μάζας, των γραμμομορίων, της ενέργειας, κλπ. σε ένα φυσικό/χημικό σύστημα (βλέπε Κεφάλαιο 3), έχουν σαφή φυσική σημασία αφού αναφέρονται στη μάζα, στον αριθμό των γραμμομορίων, στη θερμοκρασία, κλπ. του συστήματος. Οι μεταβλητές αυτές καλούνται φυσικές μεταβλητές κατάστασης. Αντίθετα, οι μεταβλητές που ορίζονται από τις σχέσεις (4.80), δηλαδή κάθε μεταβλητή κατάστασης είναι η παράγωγος της προηγούμενης, ονομάζονται μεταβλητές φάσης. Γενικά, ως μεταβλητές φάσης επιλέγονται οι μεταβλητές εκείνες που μπορούν να μετρηθούν ή/και συνδέονται άμεσα με τη φυσική κατάσταση του συστήματος. Για παράδειγμα, σε ένα θερμικό σύστημα η θερμοκρασία, T(t), και η χρονική παράγωγός της, (dt/dt), μπορεί να είναι δυο επιθυμητές μεταβλητές φάσης (π.χ., x1 () t T() t = και x2 () t = dt dt ) επειδή η πρώτη συνδέεται άμεσα με την εσωτερική ενέργεια του συστήματος, η δε δεύτερη με το ρυθμό συσσώρευσης της ενέργειας. Όμως, η φυσική σημασία των μεταβλητών φάσης που αντιστοιχούν στη δεύτερη, τρίτη κλπ. παράγωγο της μεταβλητής εξόδου, δεν είναι πάντα εύκολο να προσδιοριστεί. Το δυναμικό μοντέλο κατάστασης, εξισώσεις (4.82)-(4.84), που προκύπτει από το μετασχηματισμό της εξίσωσης (4.79), καλείται υλοποίηση/ πραγματοποίηση (realization) του μοντέλου εισόδου εξόδου. Στην περίπτωση που η διαφορική εξίσωση εισόδου εξόδου δεν περιλαμβάνει τις παραγώγους της μεταβλητής εισόδου, τότε η ύπαρξη και η μοναδικότητα της λύσης που προκύπτει από την επίλυση του μετασχηματισμένου μοντέλου κατάστασης (4.82)-(4.84), είναι δεδομένη. Σημειώνεται όμως, ότι η επιλογή των βοηθητικών μεταβλητών φάσης (βλέπε εξίσωση (4.80)) δεν είναι μοναδική. Παράδειγμα 4.8: Μετασχηματισμός μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης (3, 0)-τάξης σε ένα ισοδύναμο σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων Δίνεται η ακόλουθη γραμμική, μη ομογενής διαφορική εξίσωση (3, 0)-τάξης:

128 127 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων (3) (2) (1) y (t) + 6y (t) + 11y (t) + 6y(t) = 6u(t) Να μετασχηματίσετε το μοντέλο εισόδου - εξόδου σε ένα ισοδύναμο μοντέλο κατάστασης. Λύση: Αρχικά, εισάγουμε τις ακόλουθες τρεις βοηθητικές μεταβλητές κατάστασης: () 1 ( 2) x (t) = y(t), x (t) = y (t), x (t) = y (t) Με βάση τις νέες μεταβλητές φάσης, η αρχική διαφορική εξίσωση (3,0)-τάξης μετασχηματίζεται στο ακόλουθο ισοδύναμο σύστημα των τριών γραμμικών διαφορικών εξισώσεων: x (t) = x (t) 1 2 x (t) = x (t) 2 3 x (t) = 6x (t) 11x (t) 6x (t) + 6u(t) Συνεπώς, το ισοδύναμο μοντέλο κατάστασης διατυπώνεται ως εξής: x x 1(t) 0 x = x (t) + 0 u(t) x 3 x 3(t) Η μεταβλητή εξόδου, y(t), θα δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση: y(t) = Cx (t), C = [ 1 0 0] Προκειμένου να αποδείξουμε ότι οι μεταβλητές φάσης που επιλέχθηκαν με βάση την εξίσωση (4.80) δεν είναι μοναδικές, ορίζουμε τις ακόλουθες νέες μεταβλητές φάσης: z(t) = z(t) + 3u(t) 1 1 z (t) = 2z (t) 6u(t) 2 2 z (t) = 3z (t) + 3u(t) 3 3 Με βάση τις νέες μεταβλητές φάσης, η αρχική διαφορική εξίσωση μετατρέπεται στο ακόλουθο ισοδύναμο μοντέλο κατάστασης:

129 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 128 z z 1(t) 3 z = z (t) 6 + u(t) z z (t) z(t) 1 y(t) z 2(t) z(t) 3 ; = [ ] Όπως θα δείξουμε στο παράδειγμα 4.13 του παρόντος κεφαλαίου, οι νέες μεταβλητές φάσης z(t) προκύπτουν από το μετασχηματισμό των αρχικών μεταβλητών φάσης, x(t), σύμφωνα με την εξίσωση x = Ωz, όπου Ω είναι ένας κατάλληλα επιλεγμένος, μη μηδενικός τετραγωνικός πίνακας. Ο αναγνώστης μπορεί εύκολα να αποδείξει ότι και στις δύο περιπτώσεις μετασχηματισμού της αρχικής διαφορικής εξίσωσης, η αναλυτική λύση για τη χρονική απόκριση της y(t) είναι ίδια Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις (n, m)-tάξης Θεωρούμε τη γραμμική διαφορική εξίσωση (n, m)-τάξης: ( n) ( n 1) ( m) ( m 1) y (t) + a y (t) + + a y(t) = b u (t) + b u (t) + + b u(t) (4.85) n 1 o m m 1 o όπου y (n) (t) είναι η "n" χρονική παράγωγος της μεταβλητής εξόδου και u (m) (t) είναι η "m" χρονική παράγωγος της μεταβλητής εισόδου. Οι συντελεστές a o, a 1,, an 1 και b, b,, b είναι πραγματικοί αριθμοί. Έστω οι αρχικές συνθήκες της διαφορικής o 1 m εξίσωσης είναι: y (k) (0) = 0 για k = 0, 1, 2,, (n-1) και n=m. Προκειμένου να μετασχηματίσουμε τη διαφορική εξίσωση (4.85) σε ένα ισοδύναμο μοντέλο κατάστασης, αρχικά ορίζουμε τις ακόλουθες μεταβλητές φάσης: x (t) = x (t) 1 2 x (t) = x (t) 2 3 ( n) ( n 1) x (t) = a x (t) a x (t) a x (t) + b u (t) + b u (t) + + b u(t) n o n 1 n n n 1 o (4.86) Αξίζει να σημειωθεί ότι η επίλυση του παραπάνω μοντέλου κατάστασης, για τη μεταβλητή εξόδου y(t) = x 1 (t), δε δίνει πάντα την ίδια λύση με εκείνη του μοντέλου εισόδου-εξόδου (εξίσωση (4.85)). Το κύριο πρόβλημα στην παραπάνω υλοποίηση οφείλεται στην ύπαρξη των παραγώγων της μεταβλητής εισόδου στην εξίσωση ορισμού της παραγώγου x n. Συνεπώς, θα πρέπει να ορίσουμε τις μεταβλητές φάσης με τέτοιο τρόπο ώστε οι χρονικές παράγωγοι της μεταβλητής εισόδου να μην εμφανίζονται στην εξίσωση κατάστασης. Για το σκοπό αυτό, εισάγουμε τις ακόλουθες νέες μεταβλητές φάσης:

130 129 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων x (t) = y(t) β u(t) 1 o (1) (1) (1) 2 = o 1 = 1 1 x (t) y (t) β u (t) β u(t) x (t) β u(t) (2) (2) (1) (1) 3 = o 1 2 = 2 2 x(t) y (t) β u (t) β u (t) β u(t) x (t) β u(t) (n 1) (n 1) (1) (1) n = o n 2 n 1 = n 1 n 1 x (t) y (t) β u (t) β u (t) β u(t) x (t) β u(t) (4.87) όπου οι συντελεστές β ο, β 1,..., β n υπολογίζονται από τις ακόλουθες σχέσεις: β o = b n β = b a β 1 n 1 n 1 o β = b a β a β 2 n 2 n 1 1 n 2 o β = b a β a β a β 3 n 3 n 1 2 n 2 1 n 3 o β = b a β a β a β n o n 1 n o o (4.88) Με βάση τις νέες μεταβλητές φάσης, η εξίσωση (4.85) μετασχηματίζεται στο ακόλουθο ισοδύναμο μοντέλο κατάστασης: x x 1(t) β1 x x 2(t) β 2 = + u(t) x n x n 1(t) β n 1 x n ao a1 a2 an 1 x n(t) βn (4.89) Συνεπώς, η μεταβλητή εξόδου y(t) θα δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση: x(t) 1 x 2 (t) y(t) = [ 1 0] + β ou(t) x n (t) (4.90) Οι αρχικές συνθήκες των μεταβλητών φάσης, x(0), προσδιορίζονται από τις εξισώσεις (4.87). Σημειώνεται ότι στην υλοποίηση (4.87), η ύπαρξη και η μοναδικότητα της λύσης του μοντέλου κατάστασης (βλέπε εξίσωση (4.89)-(4.90)) μπορεί να αποδειχθεί. Όμως, όπως και στην περίπτωση μετασχηματισμού της εξίσωσης (4.79), η επιλογή των μεταβλητών φάσης δεν είναι μοναδική.

131 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 130 Παράδειγμα 4.9: Μετασχηματισμός μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης (3, 1)-τάξης σε ένα ισοδύναμο σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων Δίνεται η γραμμική, μη ομογενής διαφορική εξίσωση (3, 1)-τάξης: (3) (2) (1) (1) y (t) + 18y (t) + 192y (t) + 640y(t) = 160u (t) + 640u(t) Να μετασχηματίσετε την παραπάνω εξίσωση σε ένα ισοδύναμο μοντέλο κατάστασης. Λύση: Σύμφωνα με την εξίσωση (4.87), εισάγουμε τις ακόλουθες τρεις μεταβλητές φάσης: x (t) = y(t) β u(t) 1 o (1) (1) (1) 2 = o 1 = 1 1 x (t) y (t) β u (t) β u(t) x (t) β u(t) (2) (2) (1) (1) 3 = o 1 2 = 2 2 x (t) y (t) β u (t) β u (t) β u(t) x (t) β u(t) όπου a o = 640, a 1 = 192, a 2 = 18 και b 3 = 0, b 2 = 0, b 1 = 160, b o = 640. Ακολούθως, από την εξίσωση (4.88), υπολογίζουμε τους συντελεστές β ο, β 1, β 2 και β 3 : β = b = 0 o 3 β = b a β = o β = b a β a β = o β = b a β a β a β = o o o Τελικά, σύμφωνα με τις εξισώσεις (4.89) και (4.90), το ισοδύναμο μοντέλο κατάστασης γράφεται: x x 1(t) 0 x = x (t) u(t) x 3 x 3(t) x(t) 1 y(t) = [ ] x 2(t) x(t) 3

132 131 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων 4.3 Μοντέλα Συναρτήσεων Μεταφοράς Συνάρτηση Μεταφοράς Όπως είδαμε στις ενότητες (4.2.1) και (4.2.2), η δυναμική συμπεριφορά πολλών συστημάτων μιας μεταβλητής εισόδου και μιας μεταβλητής εξόδου (ΜΕΜΕ) περιγράφεται από μια γραμμική διαφορική εξίσωση (n, m)-τάξης, εξίσωση (4.85). Εάν οι αρχικές τιμές των χρονικών παραγώγων των μεταβλητών y(t) και u(t), είναι:, (n 1) και (k) y (0) = 0 για k = 0, 1, 2, (i) u (0) = 0 για i = 0, 1, 2,, (m 1), τότε από το μετασχηματισμό κατά Laplace της διαφορικής εξίσωσης (4.85) λαμβάνουμε την ακόλουθη αλγεβρική εξίσωση: ή n n 1 m m 1 + n o = m + m o y(s)(s a s a s a ) u(s)(b s b s b s b ) (4.91) m m 1 m + m o n n 1 s + an 1s + + a1s + ao b s b s b s b y(s) = u(s) = G(s)u(s) (4.92) Δηλαδή, η μετασχηματισμένη μεταβλητή εξόδου, y(s), θα δίνεται από το γινόμενο της συνάρτησης μεταφοράς, G(s), και της μετασχηματισμένης μεταβλητής εισόδου, u(s). Συνεπώς, η συνάρτηση μεταφοράς, G(s), ενός δυναμικού συστήματος ΜΕΜΕ δίνεται από το λόγο των πολυωνύμων b(s) και a(s), δηλαδή G(s) = b(s) a(s). Γενικά, η τάξη του πολυωνύμου του παρονομαστή θα είναι μεγαλύτερη από την τάξη του πολυωνύμου του αριθμητή, n > m. Έστω z 1, z 2,,zm είναι οι ρίζες (μηδενικά) του πολυωνύμου του αριθμητή, b(s), και p, 1 p, 2,pn οι ρίζες (πόλοι) του πολυωνύμου του παρονομαστή, a(s). Με βάση τα μηδενικά και τους πόλους της G(s), η συνάρτηση μεταφοράς (4.92) γράφεται εναλλακτικά ως εξής: G(s) b (s z )(s z ) (s z ) m 1 2 m = = (s p 1)(s p 2) (s p n) b m (s z ) j1 = m n (s p ) i= 1 j i (4.93) Πίνακας Συναρτήσεων Μεταφοράς Η δυναμική συμπεριφορά πολλών φυσικών, χημικών και βιολογικών συστημάτων συχνά περιγράφεται από το ακόλουθο μοντέλο κατάστασης:

133 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 132 x (t) = Ax(t) + Bu(t) + Dd(t), x(0) = 0 (4.94) y(t) = Cx(t) + Eu (t) (4.95) όπου x(t), u(t), d(t) και y(t) είναι τα αντίστοιχα διανύσματα κατάστασης, ελέγχου/ χειρισμού, διαταραχών και εξόδου του πολυμεταβλητού δυναμικού συστήματος. Α, B, D, C και E είναι αντίστοιχα πίνακες διαστάσεων (nxn), (nxm), (nxl), (rxn) και (rxm). Η παραπάνω διατύπωση είναι γνωστή ως μοντέλο κατάστασης χώρου (state-space model). Ακολούθως, μετασχηματίζουμε κατά Laplace τις εξισώσεις (4.94)-(4.95): s x(s) x(0) = Ax(s) + Bu(s) + Dd (s) (4.96) y(s) = Cx(s) + Eu (s) (4.97) Eπιλύοντας την εξίσωση (4.96) ως προς x(s), λαμβάνουμε: 1 ( ) [ ] x(s) = s I A Bu(s) + Dd (s) (4.98) Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε την εξίσωση (4.98) στην εξίσωση (4.97): 1 ( ) [ ] y(s) = C s I A Bu(s) + Dd(s) + Eu (s) (4.99) Εάν D=0, τότε η εξίσωση (4.99) γράφεται: ( ) 1 y (s) = s + (s) = (s) (s) C I A B E u G u (4.100) Ο πίνακας G(s) ονομάζεται πίνακας συναρτήσεων μεταφοράς (transfer matrix). Τα επιμέρους στοιχεία του πίνακα G(s) είναι οι συναρτήσεις μεταφοράς, G ij (s), που συνδέουν την "i" έξοδο, y(s), i του συστήματος με την "j" είσοδο, u(s). j Δηλαδή, y 1(s) G 11(s) G 12(s) G 1m(s) u 1(s) y 2(s) G 21(s) G 22(s) G 2m(s) u 2(s) = y (s) G (s) G (s) G (s) u (s) r r1 r2 rm m (4.101)

134 133 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Οι επιμέρους συναρτήσεις μεταφοράς, G ij (s), θα έχουν τη γενική μορφή της εξίσωσης (4.92). Είναι σημαντικό να σημειώσουμε ότι όλες οι συναρτήσεις μεταφοράς, G ij (s), θα έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο στον παρονομαστή τους, a(s) = si A. Αυτό σημαίνει ότι οι ρίζες (πόλοι) όλων των συναρτήσεων μεταφοράς, G ij (s), θα είναι ταυτόσημες με τις ιδιοτιμές του πίνακα Α. Παράδειγμα 4.10: Δυναμική απόκριση πολυμεταβλητού συστήματος σε παλμική και βηματική αλλαγή της μεταβλητής εισόδου Δίνεται το ακόλουθο σύστημα των γραμμικών, μη ομογενών διαφορικών εξισώσεων: x(t) = x(t) 2x(t) + u(t) x (t) = x (t) 3x (t) ; ; x(t= 0) = 0 1 x (t = 0) = 0 2 ; ; y(t) = x(t) 1 1 y(t) = x(t) 2 2 Να υπολογίσετε τον πίνακα συναρτήσεων μεταφοράς, G(s), και την απόκριση, y(t), του δυναμικού συστήματος σε (i) μοναδιαία παλμική μεταβολή της μεταβλητής εισόδου, u(t) = 1δ(t) και (ii) μοναδιαία βηματική μεταβολή της μεταβλητής εισόδου, u(t) = 1H(t). Λύση: Αρχικά, μετασχηματίζουμε κατά Laplace το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων και, ακολούθως, υπολογίζουμε το μετασχηματισμένο διάνυσμα των μεταβλητών κατάστασης, x(s) (βλέπε επίσης εξίσωση (4.98)). ( ) 1 x(s) = si A B u(s), όπου 1 2 A = 1 3 και 1 B = 0 Στη συνέχεια, υπολογίζουμε τον αντίστροφο πίνακα ( s ) 1 I A. ( si A) ( I A) s s+ 1 2 adj s = 0 s = = s 3 + si A s+ 3 2 s s s + 4s+ 5 s + 4s+ 5 = = s s s+ 3 s + 4s+ 5 s + 4s+ 5

135 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 134 Σύμφωνα με την εξίσωση (4.100), για C = I και E = 0, ο πίνακας συναρτήσεων μεταφοράς, G(s), του δυναμικού συστήματος είναι: s s + 4s+ 5 G(s) = ( si A) B = 1 2 s + 4s+ 5 Παρατηρούμε ότι οι ρίζες (πόλοι) των δύο επιμέρους συναρτήσεων μεταφοράς είναι ίδιες με τις ιδιοτιμές του πίνακα Α και υπολογίζονται από την εξίσωση si A = 0. Συνεπώς, από την εξίσωση (4.100), προκύπτει η ακόλουθη σχέση μεταξύ των μετασχηματισμένων μεταβλητών κατάστασης, εξόδου και εισόδου: s s + 4s+ 5 x 2 1(s) y 1(s) s 4s 5 = = u(s) x 2(s) y 2(s) 1 2 Ακολούθως, για μοναδιαία παλμική μεταβολή της μεταβλητής εισόδου, u(s) = 1, υπολογίζουμε τις μετασχηματισμένες μεταβλητές εξόδου, y(s) 1 και y 2(s): s+ 3 y(s) 1 = 2 s + 4s+ 5, y(s) 2 = 2 1 s + 4s+ 5 Με τη βοήθεια του αντιστρόφου μετασχηματισμού Laplace (βλέπε Παράρτημα Α), υπολογίζουμε τις χρονικές αποκρίσεις των μεταβλητών εξόδου, y 1 (t) και y 2 (t): 1 2 2t 2t 2t [ ] [ ] y (t) = e sin(t) + cos(t) = e 3sin(t) 2,24sin(t 0,464) y(t) = e sin(t) Παρόμοια, για μοναδιαία βηματική μεταβολή του σήματος εισόδου, u(s) = 1/s, υπολογίζουμε τις χρονικές αποκρίσεις των y 1 (t) και y 2 (t): 1 2 2t 2t 2t [ ] [ ] y (t) = 0,6 e 0,6cos(t) + 0,2sin(t) = 0,6 + e sin(t) 1,34sin(t + 0,464) 2t [ ] [ ] y (t) = 0,2 e 0,2cos(t) + 0,4sin(t) = 0,2 0,447e sin(t + 0,464) Τα παραπάνω αποτελέσματα μπορούν εύκολα να επαληθευτούν με τη βοήθεια του ακόλουθου προγράμματος σε MATLAB.

136 135 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων

137 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων Μοντέλα Παλμικής Απόκρισης Το μοντέλο της στιγμιαίας παλμικής απόκρισης χρησιμοποιείται συχνά για να περιγράψουμε στο πεδίο του χρόνου τη δυναμική συμπεριφορά ενός συστήματος. Η διατύπωση αυτή ισχύει για μια περιορισμένη κατηγορία γραμμικών δυναμικών συστημάτων και, συγκεκριμένα, για συστήματα με σταθερούς συντελεστές και μηδενικές αρχικές συνθήκες. Γενικά, η παλμική απόκριση ενός γραμμικού δυναμικού συστήματος, g(t), αναφέρεται στη χρονική μεταβολή της μεταβλητής εξόδου σε μία μοναδιαία παλμική μεταβολή της συνάρτησης εισόδου. Σύμφωνα με την εξίσωση (4.92), για ένα γραμμικό δυναμικό σύστημα μιας μεταβλητής εισόδου μιας μεταβλητής εξόδου (ΜΕΜΕ) ισχύει η ακόλουθη σχέση μεταξύ των μετασχηματισμένων μεταβλητών y(s) και u(s): y(s) = G(s)u(s) (4.102) Συνεπώς, η χρονική απόκριση y(t) του δυναμικού συστήματος θα δίνεται από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της y(s). Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace του γινομένου δύο συναρτήσεων μεταφοράς θα δίνεται από το ολοκλήρωμα συνέλιξης των δύο συναρτήσεων στο πεδίο του χρόνου (βλέπε Παράρτημα A), δηλαδή { } { } 1 1 t y(t) = L y(s) = L G(s)u(s) = g(t τ)u(τ) dτ (4.103) 0 Εάν λοιπόν το σήμα εισόδου είναι ένας μοναδιαίος παλμός, δηλαδή u(t)=1δ(t) και u(s)=1, τότε η εξίσωση (4.103) γράφεται: 1 { } t y(t) = L G(s) = g(t τ)δ(τ) dτ = g(t) (4.104) 0 Αυτό σημαίνει ότι για γραμμικά δυναμικά συστήματα με σταθερούς συντελεστές, η συνάρτηση μεταφοράς, G(s), και η παλμική απόκριση, g(t), αποτελούν ουσιαστικά την ίδια περιγραφή του δυναμικού συστήματος, η πρώτη στο πεδίο Laplace και η δεύτερη στο πεδίο του χρόνου. Συνεπώς, η εξίσωση (4.104) συνδέει με πολύ απλό τρόπο τις δύο περιγραφές του δυναμικού συστήματος. Πράγματι, αν η G(s) είναι γνωστή τότε η παλμική 1 απόκριση μπορεί εύκολα να υπολογισθεί από τη σχέση: g(t) L { G(s) } =. Αντίστροφα, αν η g(t) είναι γνωστή, τότε η συνάρτηση μεταφοράς υπολογίζεται από το μετασχηματισμό Laplace της g(t): G(s) L{ g(t) } =. Γενικά, η μεταβλητή εξόδου, y(t), ενός δυναμικού

138 137 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων συστήματος υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα συνέλιξης της παλμικής απόκρισης g(t τ) και του σήματος εισόδου, u(τ), σύμφωνα με την εξίσωση (4.103). Η παραπάνω διατύπωση (βλέπε εξίσωση (4.103)) για δυναμικά συστήματα ΜΕΜΕ μπορεί να γενικευτεί και για γραμμικά δυναμικά συστήματα πολλών μεταβλητών εισόδου πολλών μεταβλητών εξόδου (ΠΕΠΕ), δηλαδή όπου 1 { } t y(t) = L G(s) u(s) = G(t,τ) u (τ) dτ (4.105) 0 G(t,τ) g 11(t,τ) g 12(t,τ) g 1m (t,τ) g 21(t,τ) g 22(t,τ) g 2m(t,τ) = g r1(t,τ) g r2(t,τ) g rm (t,τ) (4.106) g ij(t,τ) είναι η χρονική απόκριση της "i" μεταβλητής εξόδου σε μία μοναδιαία παλμική μεταβολή της "j" μεταβλητής εισόδου και μηδενικές μεταβολές όλων των άλλων μεταβλητών εισόδου. Ο πίνακας G(t,τ) ονομάζεται πίνακας παλμικής απόκρισης του συστήματος. 4.4 Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Θεωρούμε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων: Ax = y (4.107) n Ο τετραγωνικός πίνακας Α (nxn) προβάλλει το διάνυσμα x στο χώρο R, στο n διανυσματικό χώρο R του y. Στη συνέχεια επιλέγουμε μια βάση "n" ανεξάρτητων n διανυσμάτων { q1, q2,, qn} στο n-διάστατο πραγματικό γραμμικό χώρο R. Αποδεικνύεται ότι με βάση το νέο σύνολο των διανυσμάτων { q1, q2,, qn} ο αρχικός πίνακας Α μπορεί να μετατραπεί σε έναν ισοδύναμο πίνακα A του οποίου η "i" στήλη δίνεται από το γινόμενο Aq i. Ακολούθως, ορίζουμε τα νέα διανύσματα x και y σύμφωνα με τον ακόλουθο μετασχηματισμό: x= Qx, = y Qy ; Q= [ q q q ] 1 2 n (4.108)

139 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 138 όπου Q είναι ένας μη μηδενικός πίνακας διαστάσεων (nxn). Αντικαθιστώντας τα νέα διανύσματα στην εξίσωση (4.107) λαμβάνουμε: AQx = Qy ή 1 1 Q AQx = Q Qy ή Ax = y (4.109) Από την εξίσωση (4.109) προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις: 1 A= Q AQ ή 1 A= QAQ (4.110) Ο μετασχηματισμός του πίνακα Α στον πίνακα A καλείται μετασχηματισμός ομοιότητας (similarity transformation) και οι πίνακες Α και A λέγονται όμοιοι (similar). Από την εξίσωση (4.110) προκύπτει η ακόλουθη σχέση: ή AQ = QA (4.111) [ ] = [ ] = [ ] A q q q Aq Aq Aq q q q A (4.112) 1 2 n 1 2 n 1 2 n Η τελευταία εξίσωση φανερώνει ότι οι στήλες του πίνακα A είναι πράγματι διατυπώσεις του όρου {,,, }. Aq i ως προς τα διανύσματα βάσης q1 q2 qn Έστω ο πίνακας Α διαστάσεων (nxn). Εάν υπάρχει ένα διάνυσμα b έτσι ώστε τα "n" 2 n 1 διανύσματα b, Ab, A b,, A b να είναι γραμμικά ανεξάρτητα και εάν n n 1 = β1 + β2 + + βn A b b Ab A b (4.113) τότε, ο μετασχηματισμός του πίνακα Α σε έναν ισοδύναμο A, ως προς τη βάση των 2 n 1 διανυσμάτων { b, Ab, A b,, A b}, θα έχει την ακόλουθη μορφή: A β β = β β n (4.114) Ο πίνακας A ονομάζεται συνοδός πίνακας (companion matrix).

140 139 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Διαγώνιοι Πίνακες και Πίνακες Τύπου Jordan Κάθε τετραγωνικός πίνακας Α (nxn) χαρακτηρίζεται από "n" ιδιοτιμές (πραγματικές, μιγαδικές, ή/και ίσες) λ 1, λ 2,, λn, που υπολογίζονται από την επίλυση του ακόλουθου χαρακτηριστικού πολυωνύμου: n n 1 n 2 ( ) ( 1 2 n 1 n) A λi = P λ = λ + α λ + α λ + + α λ+ α = 0 (4.115) Τα δεξιά ιδιοδιανύσματα ή χαρακτηριστικές στήλες, από την επίλυση της ακόλουθης εξίσωσης: ( ) λ i i ω i, του πίνακα Α προσδιορίζονται A I ω = 0, i= 1, 2,, n (4.116) Επειδή η ορίζουσα της εξίσωσης (4.115) είναι εξ ορισμού ίση με μηδέν, τα ιδιοδιανύσματα υπολογίζονται με την ασάφεια μιας σταθεράς. Επίσης, μπορούμε να προσδιορίσουμε τα αριστερά ιδιοδιανύσματα ή τις χαρακτηριστικές T γραμμές, ψ j, του πίνακα Α, από την επίλυση της ακόλουθης εξίσωσης: T j ( λ j ) ψ A I = 0, j = 1, 2,, n (4.117) Εάν οι "n" ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι διακεκριμένες, δηλαδή λi λ, και ο πίνακας Α j δεν είναι συμμετρικός, τότε τα δεξιά και αριστερά ιδιοδιανύσματα τις ακόλουθες ιδιότητες: 1. Τα δεξιά ( ω1, ω2,, ωn) και αριστερά T T T 1 2 n ω i και T ψ j θα έχουν ( ψ, ψ,, ψ ) ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στις διακεκριμένες ιδιοτιμές λ 1, λ 2,, λn, είναι γραμμικά ανεξάρτητα. 2. Τα ιδιοδιανύσματα ω i και T ψ j έχουν την ιδιότητα της ορθογωνικότητας, δηλαδή T T ψω j i = 0, i j. Αυτό σημαίνει ότι κάθε διάνυσμα του συνόλου των ιδιοσειρών { ψ j } θα είναι ορθογώνιο ως προς τις ιδιοστήλες { ω i }, εκτός από την ιδιοστήλη που αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοτιμή (π.χ., i = j ). Εάν τα ιδιοδιανύσματα ω j και T ψ j ικανοποιούν επίσης τη σχέση: ορθοκανονικά. T j j = 1 ψω, τότε λέγεται ότι τα διανύσματα είναι

141 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων Το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα, ω i, υπολογίζεται από τη σχέση ωi = ωi ω i, όπου ω i είναι το μέτρο του διανύσματος ω i, δηλαδή το μέτρο του του ω i, δηλαδή ωi = kω i. ω i είναι ίσο με 1. Το ιδιοδιάνυσμα 12 n = ij j1 = ωi ω. Συνεπώς, ω i είναι ένα σταθερό πολλαπλάσιο Ακολούθως, ορίζουμε τους πίνακες Ω και Ψ των χαρακτηριστικών στηλών, χαρακτηριστικών γραμμών, T ψ j, του πίνακα Α ω i, και [ ] Ω= ω ω ω, 1 2 n T ψ 1 T ψ2 Ψ = T ψ n (4.118) έτσι ώστε οι πίνακες Ω και Ψ να έχουν τις εξής ιδιότητες: ΨΩ = ΩΨ = I και 1 Ω= Ψ, 1 Ψ= Ω (4.119) Εάν οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι όλες διακεκριμένες (λi λ j), τότε, ο πίνακας Α δύναται εύκολα να μετασχηματισθεί σε ένα διαγώνιο πίνακα Λ, με τη βοήθεια των πινάκων 1 1 Ω και Ω: [ ] Ω AΩ= Λ= diag λ λ λ (4.120) 1 2 n όπου λ 1, λ 2,, λn είναι οι "n" διακεκριμένες ιδιοτιμές του Α. Αυτό σημαίνει ότι οι ιδιοτιμές του τετραγωνικού πίνακα Α παραμένουν αμετάβλητες κάτω από το γραμμικό μετασχηματισμό x = Ωz, δηλαδή οι χαρακτηριστικές εξισώσεις A λi = 0 και 1 Ω AΩ λi = 0 είναι ταυτόσημες. Το τελευταίο αποδεικνύεται εύκολα με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των οριζουσών: ( ) Ω AΩ λi = Ω AΩ λω Ω = Ω A λi Ω = Ω A λi Ω 1 = Ω Ω A λi = A λi (4.121)

142 141 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Παράδειγμα 4.11: Υπολογισμός των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Δίνεται ο τετραγωνικός πίνακας Α, διαστάσεων (3x3) (βλέπε επίσης παράδειγμα 4.8): A = Να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές του πίνακα Α, τον πίνακα των ιδιοδιανυσμάτων, Ω, και το διαγώνιο πίνακα, Λύση: 1 Λ= Ω AΩ. Οι ιδιοτιμές του πίνακα Α θα δίνονται από τις ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου A λi = 0, δηλαδή λ A λ I = 0 λ 1 = λ 6λ 11λ 6 = (λ + 1)(λ + 2)(λ + 3) = ( λ 6) Από την επίλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης προκύπτουν οι ακόλουθες λύσεις: λ1 = 1, λ2 = 2 και λ3 = 3. Ακολούθως, από την εξίσωση (4.116) και για λ1 = 1, λαμβάνουμε: Aω = λ ω ή ω ω ω 21 = ω ω ω Από το παραπάνω σύστημα των γραμμικά εξαρτημένων εξισώσεων, υπολογίζουμε με την ασάφεια μιας σταθεράς, C( = ω 11), τα στοιχεία του δεξιού ιδιοδιανύσματος, ω 1: ω ω 11 ω 11 1 = ω ω ω 1 = = ω 13 ω Παρόμοια, για τις ιδιοτιμές λ2 = 2 και λ3 = 3, υπολογίζουμε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα ω 2 και ω 3 :

143 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 142 Aω = λ ω ή ω ω ω 22 = 2 ω ω ω = ω 2 4 και ω 2 12 Aω = λ ω ή ω ω ω 23 = 3 ω ω ω = ω 3 9 και ω 3 13 Εάν υποθέσουμε ότι ω11 = ω12 = ω13 = 1, τότε οι πίνακες Ω και 1 Ω γράφονται: Ω = 1 2 3, Ω 1 3 2,5 0,5 = ,5 0,5 Σύμφωνα με την εξίσωση (4.120), ο διαγώνιος πίνακας Λ (τα διαγώνια στοιχεία του οποίου αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές του πίνακα Α) υπολογίζονται από το γινόμενο 1 Ω AΩ : 3 2,5 0, Ω AΩ= = = Λ 1 1,5 0, Τα αποτελέσματα του παραδείγματος 4.11 μπορούν να επαληθευτούν εύκολα με τη βοήθεια του ακόλουθου προγράμματος σε MATLAB. Σημειώνεται ότι η επίλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης (4.115) δεν είναι πάντα αξιόπιστη, ιδιαίτερα στην περίπτωση πολλαπλών ριζών. Ως εκ τούτου, στο περιβάλλον MATLAB, οι ιδιοτιμές ενός πίνακα υπολογίζονται άμεσα με τη μέθοδο μετασχηματισμού

144 143 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων ομοιότητας (similarity transformation). Συγκεκριμένα, οι εντολές r = eig(a) ; poly(r) χρησιμοποιούνται για να υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές ενός πίνακα: n (λ λ ). i= 1 i λ i και τη χαρακτηριστική εξίσωση Παράδειγμα 4.12: Υπολογισμός των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός πίνακα: Περίπτωση συζυγών μιγαδικών ριζών Δίνεται ο ακόλουθος πίνακας A = Να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές του πίνακα Α, τον πίνακα των ιδιοδιανυσμάτων Ω και τον πίνακα Λύση: 1 Ω AΩ. Από την επίλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης A λ I = (λ + 1)(λ 4λ + 13) = 0, 2 υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές του πίνακα Α: λ1 = 1, λ2 = 2+ 3j και λ3 = 2 3j. Ακολούθως, με τη βοήθεια των εντολών σε MATLAB A = [ ; ; 0 1 0] [ Q, D] = eig(a) υπολογίζονται οι πίνακες Ω ( = Q) και Λ (= D): 1 0,1432 0,2148j 0, ,2148j Ω = 0 0,9309 0,9309, 0 0,1432 0,2148j 0, ,2148j Λ = Ω AΩ = j j Παρατήρηση: Στον πίνακα Ω, τα στοιχεία όλων των στηλών είναι κανονικοποιημένα και συνεπώς το μέτρο όλων των ιδιοδιανυσμάτων είναι ω i = 1. Εάν ο πίνακας Α έχει επαναλαμβανόμενες ιδιοτιμές, τότε η διαγωνιοποίηση του πίνακα Α μπορεί να μην είναι εφικτή. Στην περίπτωση αυτή, ο πίνακας Α μπορεί να μετασχηματιστεί σε πίνακα τύπου Jordan. Γενικά, ένα διάνυσμα ω ονομάζεται γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα τάξης "n" εάν

145 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 144 n ( A λ I) ω = 0 και n 1 ( A λ I) ω 0 (4.122) Εάν n = 1, τότε ( A λ I) ω = 0, όπου ω 0 είναι ένα σύνηθες ιδιοδιάνυσμα. Θεωρούμε τώρα ότι ο πίνακας Α, διαστάσεων (4x4), έχει μία μόνο ιδιοτιμή πολλαπλότητας 4. Θεωρούμε επίσης ότι η τάξη του πίνακα ( A λ I ) είναι ίση με τρία. Στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση: ( A λ I) ω = 0 θα έχει μία μόνο ανεξάρτητη λύση. Δηλαδή, ο πίνακας Α θα έχει ένα μόνο ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Συνεπώς, στην περίπτωση αυτή χρειαζόμαστε n 1= 3 επιπλέον γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα. Έτσι, ορίζουμε την ακόλουθη σειρά των γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων: ω 4 = ω ω = ( A λ I) ω = ( A λ I) ω 3 4 ω = ( A λ I) ω = ( A λ I) ω 2 3 ω = ( A λ I) ω = ( A λ I) ω (4.123) Είναι εύκολο να αποδείξει κανείς ότι τα ιδιοδιανύσματα ω1, ω2, ω 3 και ω 4 έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες: ( A λ I) ω = 0, 1 2 ( A λ I) ω = 0, 2 3 ( A λ I) ω = 0 και 3 ( A λ I) ω = και είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Με βάση τους παραπάνω ορισμούς των ω1, ω2, ω 3 και ω 4, ο μετασχηματισμός του πίνακα Α σε έναν πίνακα τύπου Jordan, ακόλουθη μορφή: Â, έχει την λ ˆ 1 0 λ 1 0 A = Ω AΩ = (4.124) 0 0 λ λ Παρατηρούμε ότι ο πίνακας Jordan έχει για διαγώνια στοιχεία την επαναλαμβανόμενη ιδιοτιμή λ και στην υπερδιαγώνιο τα στοιχεία με τιμή 1. Συμπερασματικά, εάν ο πίνακας Α έχει μόνο διακεκριμένες ιδιοτιμές (πραγματικές ή συζυγείς), τότε με την εντολή σε MATLAB: [ Q, D] = eig(a), μπορούμε να υπολογίσουμε τον πίνακα των ιδιοδιανυσμάτων Ω = Q και το διαγώνιο πίνακα Λ = D. Εάν ο πίνακας

146 145 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων έχει επαναλαμβανόμενες ρίζες, με την εντολή σε MATLAB: [ Q, D] = jordan(a), υπολογίζουμε το μη μηδενικό πίνακα Q, ο οποίος μετασχηματίζει τον αρχικό πίνακα Α σε έναν ισοδύναμο πίνακα τύπου Jordan, ˆ 1 A= Q AQ Μετασχηματισμός της Εξίσωσης Κατάστασης σε Κανονική Μορφή Πολλές φορές είναι επιθυμητό να μετασχηματίσουμε το γραμμικό σύστημα των "n" συζευγμένων διαφορικών εξισώσεων (4.6) σε ένα ισοδύναμο σύστημα "n" ανεξάρτητων μεταξύ τους διαφορικών εξισώσεων πρώτης-τάξης. Για το σκοπό αυτό, ορίζουμε ένα νέο σύνολο μεταβλητών κατάστασης: z 1(t), z 2(t),, z n(t), το οποίο αποτελεί γραμμικό συνδυασμό των αρχικών μεταβλητών κατάστασης: x 1(t), x 2(t),, x n(t). Έστω ότι το νέο διάνυσμα z(t) δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση: 1 z(t) = Ω x (t) ή x(t) = Ωz (t) (4.125) όπου Ω είναι ο πίνακας των δεξιών ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα Α. Αντικαθιστώντας την εξίσωση (4.125) στην εξίσωση (4.6) λαμβάνουμε: x = Ωz = AΩz(t) + Bu(t), x(0) = Ωz (0) (4.126) Ακολούθως, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης (4.126) με τον πίνακα 1 Ω : ή Ω Ωz = Ω AΩz(t) + Ω Bu(t) (4.127) z = Az(t) + Bu(t), 1 z(0) = Ω x (0) (4.128) 1 όπου A = Ω AΩ και 1 B = Ω B. Η εξίσωση (4.128) αποτελεί μια ισοδύναμη απλοποιημένη διατύπωση του αρχικού μοντέλου κατάστασης (βλέπε εξίσωση (4.6)). Εάν οι ιδιοτιμές λ 1, λ 2,, λn του πίνακα Α είναι διακεκριμένες και πραγματικές και 1 u(t) ( = Ω Bu (t)) είναι το μετασχηματισμένο διάνυσμα των μεταβλητών εισόδου, τότε η εξίσωση (4.128) γράφεται ισοδύναμα ως εξής: ή z = Λz(t) + u(t) ; 1 Λ = Ω AΩ = diag(λ, λ,, λ ) (4.129) 1 2 n

147 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων 146 z(t) = λ z(t) z(t) = λ z(t) z (t) = λ z (t) + n n n + + u(t) 1 u (t) 2 u (t) n,,, ( ) z 0 = z 1 1o ( ) z 0 = z 2 2o n ( ) z 0 = z no (4.130) Παρατηρούμε ότι οι παραπάνω εξισώσεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και συνεπώς μπορούν να επιλυθούν χωριστά η μία από την άλλη. Αυτό σημαίνει ότι η δυναμική ανάλυση του αρχικού πολυμεταβλητού συστήματος, ανάγεται στη μελέτη "n" ανεξάρτητων διαφορικών εξισώσεων πρώτης-τάξης. Αντίστοιχα, η λύση του μετασχηματισμένου συστήματος των ασύζευκτων γραμμικών διαφορικών εξισώσεων (4.129) ή (4.130) θα δίνεται από τις ακόλουθες εξισώσεις: ή ( t τ) z t = e z 0 + e A u τ dτ (4.131) () A ˆ t ( ) λ1t () ( ) t 0 ˆ ( ) λ1( t τ) z t = e z 0 + e u τ dτ t λ2t () ( ) ( ) λ2( t τ) z t = e z 0 + e u τ dτ λnt () ( ) ( ) λn ( t τ) z t = e z 0 + e u τ dτ n n n 0 t t ( ) (4.132) Παρατηρούμε ότι οι μετασχηματισμένες μεταβλητές κατάστασης { z (t), z (t),, z (t)} 1 2 n υπολογίζονται ανεξάρτητα η μία από την άλλη. Είναι φανερό ότι, στην περίπτωση αυτή, ο υπολογισμός του διανύσματος z(t) είναι σημαντικά ευκολότερος από τον υπολογισμό του διανύσματος x(t) από την εξίσωση (4.49). Εάν η εξίσωση κατάστασης περιγράφεται από τις εξισώσεις (4.82)-(4.83) και ο πίνακας Α έχει "n" διακεκριμένες ιδιοτιμές, τότε μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι ο μετασχηματισμός x = Ωz, όπου

148 147 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων λ1 λ2 λ n Ω = λ 1 λ 2 λ n n 1 n 1 n 1 λ 1 λ 2 λn (4.133) μετατρέπει το αρχικό σύστημα των συζευγμένων διαφορικών εξισώσεων (4.82), σε ένα σύστημα n ασύζευκτων γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης-τάξης της μορφής: z = Ω AΩz(t) + Ω bu = Λz + Ω bu ; = diag ( λ 1, λ 2,, λn) Λ (4.134) Παράδειγμα 4.13: Αποσύζευξη ενός συστήματος "n" εξαρτημένων γραμμικών διαφορικών εξισώσεων Να μετασχηματίσετε το μοντέλο κατάστασης του παραδείγματος 4.8 σε ένα ισοδύναμο σύστημα "n" ανεξάρτητων (ασύζευκτων) γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Λύση: Σύμφωνα με την ανάλυση του παραδείγματος 4.8, το μοντέλο κατάστασης έχει την ακόλουθη μορφή: x(t) x(t) 1 0 x 2(t) x 2(t) 0 = + u(t) x(t) x(t) 3 6 Όπως δείξαμε στο παράδειγμα 4.11, οι πίνακες Ω και 1 Ω είναι: Ω = 1 2 3, Ω 1 3 2,5 0,5 = ,5 0,5 Συνεπώς, με τη βοήθεια του μετασχηματισμού συζευγμένων διαφορικών εξισώσεων γράφεται: 1 z(t) = Ω x (t), το αρχικό σύστημα των 1 1 (t) z = Ω AΩz(t) + Ω bu(t) όπου,

149 Δυναμική Ανάλυση των Γραμμικών Συστημάτων Λ = Ω AΩ = ; Ω b = 6 3 Επομένως, το αρχικό σύστημα των τριών συζευγμένων διαφορικών εξισώσεων μετασχηματίζεται στις ακόλουθες τρεις ασύζευκτες γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης-τάξης, οι οποίες επιλύονται ανεξάρτητα: z 1 = z 1(t) + 3u(t) z 2 = 2z 2(t) 6u(t) z = 3z (t) + 3u(t) 3 3 Σημειώνεται ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση (δηλαδή, που ο πίνακας Α βρίσκεται υπό κανονική μορφή), ο υπολογισμός του πίνακα των δεξιών ιδιοδιανυσμάτων, Ω, γίνεται εύκολα με τη βοήθεια της εξίσωσης (4.133). Έτσι, δεν απαιτείται να υπολογίσουμε τα ιδιοδιανύσματα ω i από την επίλυση της εξίσωσης (4.116) (βλέπε παράδειγμα 4.11). Εναλλακτικά η επίλυση του παραπάνω παραδείγματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του ακόλουθου προγράμματος σε MATLAB. Ας υποθέσουμε τώρα ότι ο πίνακας Α διαστάσεων (2x2) έχει ένα ζεύγος συζυγών μιγαδικών ιδιοτιμών ( λ 1 = α+ jβ και λ2 = α jβ ). Στην περίπτωση αυτή, οι δύο νέες μεταβλητές z(t) 1 και z(t), 2 καθώς και οι αντίστοιχες μεταβλητές εισόδου u(t) 1 και u 2(t) θα είναι επίσης μιγαδικές, δηλαδή θα ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: