ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ, ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΡΥΘΜΙΣΗΣ ΤΩΝ ΧΗΜΙΚΩΝ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ, ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΡΥΘΜΙΣΗΣ ΤΩΝ ΧΗΜΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Β ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σημειώσεις από τις παραδόσεις καθ. Κ. Κυπαρισσίδης ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ, 007

2 Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή και σφραγίδα του συγγραφέα. Απαγορεύεται η μερική ή ολική ανατύπωση των σημειώσεων με οποιοδήποτε μέσο, χωρίς την έγγραφη συγκατάθεση του συγγραφέα.

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΡΥΘΜΙΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΣΥΧΝΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LAPLACE ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ:

4 ΚEΦAΛAIO Γενικές Αρχές Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου Η μελέτη της δυναμικής και ρύθμισης των συστημάτων (π.χ., μηχανολογικών, ηλεκτρικών, υδραυλικών, θερμικών, κλπ.) αποτελεί αναπόσπαστο μέρος της επιστήμης του μηχανικού. Η δυναμική συμπεριφορά ενός συστήματος είναι δυνατό να διερευνηθεί με τη βοήθεια ενός μαθηματικού μοντέλου (προτύπου) που συνήθως αποτελείται από ένα σύστημα διαφορικών και αλγεβρικών εξισώσεων. Η αναλυτική ή αριθμητική επίλυση του δυναμικού μοντέλου ενός συστήματος επιτρέπει τη μελέτη της μεταβατικής συμπεριφοράς του συστήματος (transient behaviour), δηλαδή τη χρονική μετάβασή του από μία αρχική κατάσταση σε μία νέα τελική κατάσταση. Στο Σχήμα. παριστάνεται σχηματικά μια μη-ρυθμιζόμενη διεργασία (ανοιχτός βρόχος, open loop) και σημειώνονται οι μεταβλητές εισόδου, u(t) και d(t) και εξόδου, y(t). d(t) u(t) ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ y(t) Σχήμα.: Σχηματική παράσταση ανοιχτού δυναμικού συστήματος. Συμπερασματικά, σκοπός της δυναμικής ανάλυσης των συστημάτων είναι ο ποσοτικός υπολογισμός των επιδράσεων των μεταβλητών εισόδου (u(t) και d(t)) επί των μεταβλητών εξόδου (y(t)) και η ανάλυση της μεταβατικής συμπεριφοράς του συστήματος συναρτήσει του χρόνου.

5 Ρύθμιση Συστημάτων. Δυναμικό Μοντέλο Διεργασίας Στο Σχήμα. απεικονίζεται μία φυσική διάταξη θέρμανσης ενός ρευστού. Για να περιγράψουμε τη δυναμική συμπεριφορά της διεργασίας, αρχικά διατυπώνουμε τα δυναμικά ισοζύγια μάζας και ενέργειας για το ρευστό στο δοχείο. q o (t), m 3 /s T o (t), o C V(t) ή h(t) T(t) q st (t) kj/s q(t), m 3 /s T(t), o C κορεσμένος ατμός Σχήμα.: Θέρμανση ρευστού σε δοχείο συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης. Δυναμικό ισοζύγιο μάζας Ο ρυθμός συσσώρευσης της μάζας (Μ = ρv) στο δοχείο θα ισούται με τη διαφορά των μαζικών παροχών των ρευμάτων εισόδου ( ṁ in = ρ o q o ) και εξόδου ( ṁ out = ρq). Συνεπώς, d( ρv) = ρ οq o ρq (.) dt Εάν θεωρήσουμε ότι η πυκνότητα του ρευστού παραμένει σταθερή (ρ = ρ ο ), τότε η εξίσωση (.) γράφεται: dv dh = q o q ή A = q o q ; V(t = 0) = Vo (.) dt dt όπου Α είναι η διατομή του δοχείου και h(t) η στάθμη του ρευστού στο δοχείο. V ο είναι ο όγκος του ρευστού στο δοχείο σε χρόνο t=0. Δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας Εάν θεωρήσουμε ότι η πυκνότητα, ρ, και η ειδική θερμότητα, C p, του ρευστού παραμένουν αμετάβλητες ως προς το χρόνο, τότε το δυναμικό ισοζύγιο ενέργειας για το ρευστό γράφεται:

6 Γενικές Αρχές Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 3 d(tv) ρc p = ρcpq o(to T) r ρcq(t p T) r + q st ; T(t = 0) = To (.3) dt όπου T r είναι κάποια θερμοκρασία αναφοράς και q (t) είναι ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας από τη θερμαντική σπείρα στο ρευστό του δοχείου. Συνεπώς, εάν γνωρίζουμε τις τιμές των μεταβλητών q o (t), q(t), T o (t) και q (t) και τις αρχικές τιμές των V o και T o, είναι δυνατό να υπολογίσουμε τη χρονική μεταβολή των V(t) και Τ(t) από την αριθμητική επίλυση των διαφορικών εξισώσεων (.) και (.3). st st.. Αρχές της Ρύθμισης Ο έλεγχος της δυναμικής λειτουργίας ενός συστήματος συνεπάγεται τη μέτρηση και ρύθμιση ορισμένων επιλεγμένων μεταβλητών του συστήματος. Οι μεταβλητές αυτές ονομάζονται ρυθμιζόμενες μεταβλητές και ρυθμίζονται με τη βοήθεια των μεταβλητών ελέγχου (ή μεταβλητών ρύθμισης), που συνήθως είναι η παροχή κάποιου ψυκτικού ή θερμαντικού μέσου, η δύναμη /ροπή, η τάση διέγερσης, η ισχύς μιας ηλεκτρικής αντίστασης, κλπ. Μια τυπική διάταξη ρύθμισης της στάθμης του υγρού σε μια δεξαμενή απεικονίζεται στο Σχήμα.3(α). Ένα άλλο παράδειγμα ρύθμισης της θερμοκρασίας του θερμού ρεύματος ενός εναλλάκτη θερμότητας απεικονίζεται στο Σχήμα.3 (β). Παρατηρούμε ότι ένα σύστημα ρύθμισης αποτελείται από τα ακόλουθα στοιχεία: q ο (t) Μετρητικό στάθμης Ελεγκτής (α) h(t) q(t) Μετρητικό θερμοκρασίας Ελεγκτής (β) Θερμό Τ(t) Ψυχρό Σχήμα.3: Παραδείγματα συστημάτων ρύθμισης: (α) έλεγχος στάθμης υγρού και (β) έλεγχος θερμοκρασίας σε εναλλάκτη.

7 4 Ρύθμιση Συστημάτων Το φυσικό σύστημα (π.χ., εναλλάκτης θερμότητας, εργαλειομηχανή, μηχανικό όχημα, ρομποτικός βραχίονας, σύστημα μάζας ελατηρίου, κινητήρας συνεχούς ρεύματος, κλπ.) Το μετρητικό στοιχείο, αισθητήρας (π.χ., θερμοστοιχείο, μετρητικό στάθμης, ταχύμετρο, κλπ.) Τον αναλογικό/ψηφιακό ελεγκτή Το τελικό στοιχείο ρύθμισης (π.χ., αυτόματη βάνα) Διάφορους μετατροπείς και μεταφορείς σημάτων και πληροφοριών Σκοπός της ρύθμισης των συστημάτων είναι η επιλογή και ο σχεδιασμός κατάλληλων βρόχων ρύθμισης έτσι ώστε: Nα διατηρήσουμε τις μεταβλητές εξόδου, ρυθμιζόμενες μεταβλητές, y(t), στη ρυθμιζόμενη διεργασία (controlled system) σε κάποιες επιθυμητές τιμές αναφοράς (set points), y sp, παρά την ύπαρξη διαταραχών, d(t): Pυθμιστικός έλεγχος (regulatory control). Nα σταθεροποιήσουμε στο κλειστό σύστημα (closed loop) τη λειτουργία ενός ασταθούς συστήματος: Σταθεροποιητικός έλεγχος (stabilizing control). Nα βελτιστοποιήσουμε στο κλειστό σύστημα τη λειτουργία ενός συστήματος, εξαναγκάζοντας τις μεταβλητές εξόδου, y(t), να ακολουθήσουν τις επιθυμητές μεταβολές των σημάτων αναφοράς, y sp (t): Bέλτιστος ή καθοδηγητικός έλεγχος (optimizing or servo control).. Ταξινόμηση των Μεταβλητών ενός Συστήματος Οι διάφορες μεταβλητές ενός συστήματος (βλέπε Σχήμα.4) μπορούν να ταξινομηθούν σε μεταβλητές: Eισόδου (input variables): Eξόδου (output variables): u(t), d(t) και d (t) y(t) και z(t) Kατάστασης (state variables): x(t) d(t) d (t) u(t) ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ x(t) y(t) z(t) Σχήμα.4: Γενική απεικόνιση των μεταβλητών εισόδου εξόδου.

8 Γενικές Αρχές Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 5 Οι μεταβλητές εισόδου προσδιορίζουν την επίδραση του εξωτερικού περιβάλλοντος επί του συστήματος και διακρίνονται σε: Διαταραχές (disturbances). Οι τιμές τους καθορίζονται από τυχαίους παράγοντες και καταστάσεις (π.χ., η θερμοκρασία του περιβάλλοντος χώρου, κλπ.). Οι διαταραχές διακρίνονται σε μετρούμενες (measured), d(t), και μη-μετρούμενες (unmeasured), d (t). Οι πρώτες μπορούν να μετρηθούν και συνεπώς να αξιολογηθούν. Μεταβλητές ελέγχου ή ρύθμισης, (control variables) ή χειριζόμενες μεταβλητές (manipulated variables), u(t). Οι τιμές τους καθορίζονται από ένα χειριστή ή από κάποιο νόμο ρύθμισης (π.χ., αναλογικό ή ψηφιακό ελεγκτή). Οι μεταβλητές εξόδου φανερώνουν την επίδραση του συστήματος στο περιβάλλον και συνήθως χρησιμοποιούνται για την αξιολόγηση του συστήματος. Οι μεταβλητές αυτές διακρίνονται σε: Mετρούμενες μεταβλητές εξόδου (measured output variables), y(t), εάν οι τιμές τους δύνανται άμεσα να μετρηθούν. Mη-μετρούμενες μεταβλητές εξόδου (unmeasured output variables), z(t), μεταβλητές που δεν δύνανται να μετρηθούν. Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι ρυθμίζουμε συνήθως εκείνες τις μεταβλητές εξόδου που μπορούμε να μετρήσουμε και επομένως να αξιολογήσουμε. Στην περίπτωση αυτή οι μετρούμενες μεταβλητές εξόδου ονομάζονται και ρυθμιζόμενες μεταβλητές (controlled variables). Τέλος, οι μεταβλητές κατάστασης, x(t), χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος και ταυτίζονται με τις εξαρτημένες μεταβλητές του δυναμικού μοντέλου προσομοίωσης του συστήματος. Παράδειγμα.: Κατάταξη των μεταβλητών ενός συστήματος θέρμανσης Με βάση τους παραπάνω ορισμούς να κατατάξετε τις διάφορες μεταβλητές του συστήματος θέρμανσης του Σχήματος. σε μεταβλητές εισόδου, εξόδου και κατάστασης. Λύση Οι μεταβλητές του συστήματος θέρμανσης του Σχήματος. είναι: q o (t), T o (t), q(t), T(t), q (t), V(t) ή h(t). Οι μεταβλητές αυτές μπορούν να ταξινομηθούν σε: st Mεταβλητές εισόδου: q o (t), T o (t), q st (t) Mεταβλητές εξόδου: q(t), T(t) Mεταβλητές κατάστασης: T(t) και V(t) ή h(t) Παρατήρηση : Μία μεταβλητή κατάστασης μπορεί να είναι και μεταβλητή εξόδου.

9 6 Ρύθμιση Συστημάτων Παράδειγμα.: Κατάταξη μεταβλητών σε ρυθμιζόμενο σύστημα Θεωρούμε ότι η θερμοκρασία και η στάθμη του ρευστού στο δοχείο του Σχήματος.5 ρυθμίζονται με τη βοήθεια των ελεγκτών θερμοκρασίας TC (temperature controller) και στάθμης LC (level controller). Nα κατατάξετε εκ νέου τις διάφορες μεταβλητές που σημειώνονται στο Σχήμα.5 σε μεταβλητές εισόδου, εξόδου και κατάστασης. q o (t), T ο (t) LC + h sp Τ sp + TC T m (t) T(t) q st (t) h(t) q(t), T(t) κορεσμένος ατμός Σχήμα.5: Ρύθμιση της θερμοκρασίας και της στάθμης σε δοχείο συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης. Λύση Οι μεταβλητές του συστήματος μπορούν να ταξινομηθούν σε: Mεταβλητές εισόδου - Διαταραχές : q ο (t), T ο (t) : q ο (t), T ο (t), q st (t), q(t) - Ελέγχου : q st (t), q(t) Mεταβλητές εξόδου : T(t), (V(t) ή h(t)) Mεταβλητές κατάστασης : T(t), V(t) ή h(t) Παρατήρηση : Παρατηρούμε ότι ο κύριος χαρακτηρισμός της μεταβλητής q(t) άλλαξε από μεταβλητή εξόδου (βλέπε παράδειγμα.) σε μεταβλητή εισόδου. Αυτό οφείλεται στην τοποθέτηση του ελεγκτή LC, σκοπός του οποίου είναι να ρυθμίζει τη στάθμη του ρευστού στο δοχείο με κατάλληλη μεταβολή της παροχής του ρεύματος εξόδου, q(t). Παρατήρηση : Μία μετρούμενη/ρυθμιζόμενη μεταβλητή κατάστασης μπορεί να χαρακτηρισθεί και ως μεταβλητή εξόδου.

10 Γενικές Αρχές Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 7.3 Τύποι Pύθμισης Όπως θα αναλύσουμε στη συνέχεια, η ρύθμιση κλειστού βρόχου (closed loop control) διακρίνεται σε: Pύθμιση πρόδρασης (Feedforward control) Pύθμιση ανάδρασης (Feedback control) Pύθμιση πρόδρασης/ ανάδρασης (Feedforward/ Feedback) Ρύθμιση συστοιχίας (Cascade control).3. Pύθμιση Πρόδρασης Στη ρύθμιση πρόδρασης είναι απαραίτητη η γνώση των ποσοτικών σχέσεων που συνδέουν τις μεταβλητές εισόδου με τις μεταβλητές εξόδου της διεργασίας: y(t) = f(u(t), d(t)) (.4) Στη ρύθμιση πρόδρασης μετράμε τις τιμές των διαταραχών και μεταβάλλουμε τις τιμές των μεταβλητών ελέγχου, έτσι ώστε το καθαρό αποτέλεσμα των δράσεων των d(t) και u(t) επί της διεργασίας να είναι η διατήρηση των μεταβλητών εξόδου στις επιθυμητές τους τιμές, y(t) = y sp. Προκειμένου, λοιπόν, να διατηρήσουμε τις μεταβλητές εξόδου, y(t), στις επιθυμητές τιμές, y sp, επιλύουμε την εξίσωση (.4) ως προς u(t) για δεδομένες τιμές των μετρούμενων διαταραχών, d(t), θεωρώντας ότι y(t) = y sp. Στο Σχήμα.6 παρουσιάζεται μια τυπική διάταξη ρύθμισης πρόδρασης. u(t) ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ y(t) Ελεγκτής πρόδρασης d(t) Σχήμα.6: Pύθμιση πρόδρασης. Παράδειγμα.3: Έλεγχος της θερμοκρασίας με ελεγκτή πρόδρασης Για τη διεργασία του Σχήματος.7 να σχεδιάσετε ένα ελεγκτή πρόδρασης και να προσδιορίσετε το νόμο ρύθμισης.

11 8 Ρύθμιση Συστημάτων Ψυχρό ρεύμα Μέτρηση της θερμοκρασίας m,kg/s Τ o (t), C q st (t) m,t(t) Νόμος ρύθμισης πρόδρασης κορεσμένος ατμός Σχήμα.7: Έλεγχος της θερμοκρασίας ρευστού με ελεγκτή πρόδρασης. Λύση Έστω T o (t), T(t) και T sp είναι αντίστοιχα η μετρούμενη θερμοκρασία του ψυχρού ρεύματος (διαταραχή), η θερμοκρασία του ρευστού στο δοχείο και η επιθυμητή τιμή της θερμοκρασίας του ρευστού. q st (t) είναι η μεταβλητή ελέγχου. Από την επίλυση του ισοζυγίου ενέργειας της διεργασίας στη μόνιμη κατάσταση μπορεί να προσδιορισθεί ο νόμος ρύθμισης πρόδρασης. Από την εξίσωση (.3), θεωρώντας ότι (dt/dt) = 0 και qo = q = σταθερό, λαμβάνουμε: 0 = ρc p q(t o (t) T sp ) + q st (t) ή q st (t) = ρc p q(t sp T o (t)) (.5).3. Pύθμιση Ανάδρασης Ένα τυπικό σύστημα ρύθμισης ανάδρασης παρουσιάζεται στο Σχήμα.8. Tο μετρούμενο σήμα εξόδου, y(t), συγκρίνεται με το σήμα αναφοράς, y sp. Aπό τη σύγκριση αυτή υπολογίζεται το σφάλμα ε(t) = y sp - y(t), με βάση την τιμή του οποίου υπολογίζονται οι νέες τιμές των μεταβλητών ελέγχου, έτσι ώστε οι μεταβλητές εξόδου να προσεγγίσουν τις επιθυμητές τιμές, y sp. Η ρύθμιση ανάδρασης προϋποθέτει την άμεση μέτρηση ή έμμεση εκτίμηση όλων των μεταβλητών εξόδου που θέλουμε να ρυθμίσουμε. Aντίθετα με τη ρύθμιση πρόδρασης, στη ρύθμιση ανάδρασης η διορθωτική αλλαγή στις τιμές των μεταβλητών ελέγχου επιβάλλεται μετά την είσοδο και δράση των διαταραχών επί της διεργασίας που έχει ως αποτέλεσμα την απόκλιση των ρυθμιζόμενων μεταβλητών από τις επιθυμητές τους τιμές. Aνάλογα με την τιμή (θετική ή αρνητική) του σφάλματος, ε(t), ο ελεγκτής υπολογίζει τις νέες τιμές των μεταβλητών ελέγχου, u(t), που οδηγούν τις ρυθμιζόμενες μεταβλητές, y(t), στις επιθυμητές τους τιμές, y sp.τυπικά συστήματα ρύθμισης ανάδρασης παρουσιάζονται στα Σχήματα.3 και.5.

12 Γενικές Αρχές Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 9 d(t) u(t) Νόμος ρύθμισης ανάδρασης ε(t) = y sp y(t) ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ y(t) y sp + y(t) Σχήμα.8: Pύθμιση ανάδρασης. Mια σημαντική διαφορά μεταξύ της ρύθμισης πρόδρασης και της ρύθμισης ανάδρασης είναι ότι στη δεύτερη περίπτωση δεν είναι απαραίτητη η γνώση των ποσοτικών σχέσεων μεταξύ των μεταβλητών εισόδου και εξόδου..3.3 Pύθμιση Πρόδρασης / Ανάδρασης Στην περίπτωση αυτή η συνολική μεταβολή στις μεταβλητές ελέγχου υπολογίζεται από τη συνδυασμένη δράση των ρυθμιστών πρόδρασης και ανάδρασης (βλέπε Σχήμα.9). Ο συνδυασμένος έλεγχος μιας διεργασίας με ρύθμιση πρόδρασης / ανάδρασης είναι αποτελεσματικότερος και χρησιμοποιείται ευρύτατα στη βιομηχανία. d(t) Νόμος ρύθμισης πρόδρασης Νόμος ρύθμισης ανάδρασης u(t) ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ y(t) ε(t) y sp + y(t) Σχήμα.9: Pύθμιση πρόδρασης/ ανάδρασης.

13 0 Ρύθμιση Συστημάτων.3.4 Ρύθμιση Συστοιχίας Ένα μειονέκτημα της συμβατικής ρύθμισης ανάδρασης είναι ότι η διορθωτική αλλαγή στη μεταβλητή ελέγχου επιβάλλεται μετά την είσοδο και δράση των διαταραχών, δηλαδή μετά τη μέτρηση της απόκλισης της ρυθμιζόμενης μεταβλητής από το σήμα αναφοράς. Αντίθετα, η ρύθμιση πρόδρασης προσφέρει μεγάλες βελτιώσεις σε σχέση με τη ρύθμιση ανάδρασης ιδιαίτερα για διεργασίες που έχουν μεγάλες χρονικές σταθερές ή χρονικές καθυστερήσεις. Όμως, η ρύθμιση πρόδρασης προϋποθέτει την ακριβή μέτρηση όλων των διαταραχών και την ύπαρξη ενός μαθηματικού μοντέλου για τον υπολογισμό της τιμής της μεταβλητής ελέγχου συναρτήσει των τιμών των διαταραχών και της επιθυμητής τιμής της ρυθμιζόμενης μεταβλητής. Μια εναλλακτική προσέγγιση, η οποία βελτιώνει σημαντικά τη δυναμική απόκριση της διεργασίας σε μεταβολές των διαταραχών, είναι η χρησιμοποίηση μίας δευτερεύουσας μέτρησης και ενός δευτερεύοντος ελεγκτή ανάδρασης. Η δευτερεύουσα μέτρηση επιλέγεται έτσι ώστε ο δευτερεύων ελεγκτής να μπορεί να αναγνωρίζει ενωρίτερα από την κύρια ρυθμιζόμενη μεταβλητή, το χρόνο εμφάνισης της διαταραχής χωρίς να είναι απαραίτητη η μέτρησή της. Η προσέγγιση αυτή χρησιμοποιεί δύο βρόχους ανάδρασης και ονομάζεται ρύθμιση συστοιχίας. Τα βασικά λειτουργικά χαρακτηριστικά μιας ρυθμιστικής διάταξης συστοιχίας είναι:. Το σήμα εξόδου του κύριου ελεγκτή (master controller) εισάγεται ως σήμα αναφοράς στον δευτερεύοντα ελεγκτή (slave controller).. Ο δευτερεύων βρόχος ρύθμισης λειτουργεί στο εσωτερικό του κύριου βρόχου ρύθμισης. Τροφοδοσία ΤΤ + ΤC Τ sp LC T(t) ΤΤ + ΤC Έξοδος ψυκτικού Προϊόν Αντλία Συμπληρωματική παροχή ψυκτικού Σχήμα.0: Έλεγχος της θερμοκρασίας με ρυθμιστική διάταξη συστοιχίας.

14 Γενικές Αρχές Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου Η ρύθμιση συστοιχίας είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στις περιπτώσεις που οι διαταραχές άμεσα σχετίζονται με τη μεταβλητή ελέγχου ή όταν το τελικό στοιχείο ρύθμισης χαρακτηρίζεται από μη-γραμμική συμπεριφορά. Στο Σχήμα.0 απεικονίζεται μια ρυθμιστική διάταξη συστοιχίας που χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της θερμοκρασίας ενός χημικού αντιδραστήρα συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης. Στην περίπτωση αυτή, η κύρια μέτρηση είναι η θερμοκρασία του αντιδρώντος μίγματος, η οποία χρησιμοποιείται από τον κύριο ελεγκτή της διεργασίας, TC (master controller). Ο δευτερεύων ελεγκτής, TC (slave controller) χρησιμοποιεί τη θερμοκρασία του μανδύα (δευτερεύουσα μέτρηση) για να ρυθμίσει τελικά την παροχή του συμπληρωματικού ρεύματος του ψυκτικού που εισέρχεται στο μανδύα ψύξης..4 Σχεδιαστικά Στοιχεία ενός Συστήματος Pύθμισης Προκειμένου να σχεδιάσουμε μια νέα ρυθμιστική διάταξη θα πρέπει να επιλέξουμε τις μεταβλητές εξόδου που θα μετρήσουμε / ρυθμίσουμε, τις μεταβλητές ελέγχου, και τον τύπο του ελεγκτή (π.χ. πρόδρασης, ανάδρασης, συστοιχίας, κλπ.). Επιλογή της μετρούμενης μεταβλητής. Το πρώτο ερώτημα, που θα πρέπει να απαντήσουμε, αναφέρεται στη βέλτιστη επιλογή των μετρούμενων μεταβλητών εξόδου. Συνήθως, μετράμε τις μεταβλητές εκείνες που αντιπροσωπεύουν τους στόχους της ρύθμισης. Οι μετρήσεις αυτές ονομάζονται πρωτεύουσες μετρήσεις. Πολλές φορές οι ρυθμιζόμενες μεταβλητές εξόδου δεν μπορούν άμεσα να μετρηθούν και συνεπώς να αξιολογηθούν. Στις περιπτώσεις αυτές μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δευτερεύουσες μετρήσεις που έμμεσα σχετίζονται με τις μη-μετρούμενες μεταβλητές εξόδου. Eπιλογή της μεταβλητής ελέγχου. Πολλές φορές, για τη ρύθμιση μίας και μόνο μεταβλητής εξόδου είναι δυνατό να διατίθενται περισσότερες από μία μεταβλητές ελέγχου. Έτσι το ερώτημα, που συνήθως τίθεται, αναφέρεται στη βέλτιστη επιλογή της μεταβλητής ελέγχου από ένα σύνολο δυνατών μεταβλητών. Μία ρυθμιζόμενη μεταβλητή Πολλές μεταβλητές ελέγχου

15 Ρύθμιση Συστημάτων Παράδειγμα.4: Επιλογή μεταβλητής ελέγχου Ο έλεγχος της στάθμης στο δοχείο του Σχήματος. μπορεί να γίνει είτε με τη ρύθμιση της μεταβλητής εισόδου q ο (t) ή με τη ρύθμιση της μεταβλητής q(t). Και στις δύο περιπτώσεις ο ελεγκτής είναι του τύπου ανάδρασης. q ο (t) + LC h sp LC + h sp h(t) q(t) Σχήμα.: Έλεγχος της στάθμης ρευστού: Ίδια μετρούμενη / ρυθμιζόμενη μεταβλητή - διαφορετικές μεταβλητές ελέγχου. Επιλογή της ρυθμιζόμενης μεταβλητής. Άλλες φορές, μία και μόνο μεταβλητή ελέγχου διατίθεται για τη ρύθμιση περισσότερων της μίας μεταβλητών εξόδου. Στην περίπτωση αυτή, θα πρέπει να επιλέξουμε μια μετρούμενη / ρυθμιζόμενη μεταβλητή από ένα σύνολο δυνατών μεταβλητών, έτσι ώστε η ρύθμιση της διεργασίας να είναι η καλύτερη δυνατή. Πολλές μεταβλητές εξόδου Μία μεταβλητή ελέγχου Eπιλογή ρυθμιστικής διάταξης. Τέλος, θα πρέπει να επιλέξουμε τον τύπο του ελεγκτή (π.χ., πρόδρασης, ανάδρασης, κλπ.) σε συνδυασμό με τη μετρούμενη / ρυθμιζόμενη μεταβλητή και τη μεταβλητή ελέγχου στη ρυθμιστική διάταξη. Παράδειγμα.5: Επιλογή ρυθμιστικής διάταξης Στο παράδειγμα του Σχήματος., η ρύθμιση της θερμοκρασίας στο δοχείο μπορεί να γίνει είτε με τη βοήθεια ενός ελεγκτή πρόδρασης (μέτρηση της διαταραχής T o (t) και ρύθμιση της παροχής του κορεσμένου ατμού και συνεπώς του ρυθμού μεταφοράς θερμότητας, q (t)) ή με τη βοήθεια ενός ελεγκτή ανάδρασης (μέτρηση της θερμοκρασίας T(t) και ρύθμιση της παροχής του ατμού). st

16 Γενικές Αρχές Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 3 q o, Τ ο (t) T sp FF FForward Controller T sp FB + FBack Controller T(t) q st (t) q st (t) h(t) q o, T(t) κορεσμένος ατμός Σχήμα.: Ρύθμιση της θερμοκρασίας: Διαφορετικές μετρούμενες/ρυθμιζόμενες μεταβλητές ίδια μεταβλητή ελέγχου..5 Ελεγκτές, Μετρητικά και Τελικά Στοιχεία Ρύθμισης Στις προηγούμενες ενότητες έγινε μια πρώτη αναφορά στο σύστημα ρύθμισης με ανάδραση. Στη συνέχεια γίνεται η περιγραφή των βασικών λειτουργικών στοιχείων ενός συστήματος ανάδρασης και των χαρακτηριστικών τύπων ελεγκτών ανάδρασης που συνήθως χρησιμοποιούνται για τη ρύθμιση ενός συστήματος..5. Η Έννοια της Ρύθμισης Ανάδρασης Έστω το δυναμικό σύστημα που φαίνεται στο Σχήμα.3(α). Το σύστημα έχει μια έξοδο y(t), μια πιθανή διαταραχή d(t) και μια διαθέσιμη ρυθμίζουσα μεταβλητή u(t). Η διαταραχή d(t) (γνωστή ως φορτίο διεργασίας ή μεταβλητή εισόδου) μεταβάλλεται με τρόπο που δεν μπορεί να προβλεφθεί και στόχος της ρύθμισης είναι η διατήρηση της τιμής της μεταβλητής εξόδου y(t) στην επιθυμητή τιμή y sp του σήματος αναφοράς. Η δράση της ρύθμισης ανάδρασης ακολουθεί τα παρακάτω βήματα (βλ. Σχήμα.3(β)):. Μετράμε την τιμή της μεταβλητής εξόδου (π.χ. θερμοκρασία, πίεση, γραμμική ταχύτητα, γωνιακή ταχύτητα, τάση) χρησιμοποιώντας το κατάλληλο μετρητικό στοιχείο. Έστω ότι y m (t) είναι η τιμή που δείχνει το αισθητήριο.. Συγκρίνουμε την τιμή της ένδειξης y m (t) με την επιθυμητή τιμή y sp (σημείο αναφοράς, set point) της μεταβλητής εξόδου. Έστω ότι η απόκλιση (σφάλμα), είναι ε(t) = y sp y m (t).

17 4 Ρύθμιση Συστημάτων d(t) u(t) Δυναμικό Σύστημα (α) y(t) D(s) Y sp (s) Ε(s) C(s) Ελεγκτής Τελικό στοιχείο U(s) Δυναμικό Y(s) + - ρύθμισης Σύστημα Y m (s) Μετρητικό στοιχείο (β) Σχήμα.3: (α) Δυναμικό σύστημα ανοιχτού βρόχου, (β) Σύστημα ρύθμισης ανάδρασης κλειστού βρόχου. 3. Η τιμή της απόκλισης ε(t) τροφοδοτείται στον ελεγκτή. Αυτός με τη σειρά του μεταβάλλει την τιμή της μεταβλητής ελέγχου u(t) με τέτοιο τρόπο, ώστε να ελαττωθεί το μέγεθος της απόκλισης ε(t). Η διάταξη του Σχήματος.3(α) είναι γνωστή ως ανοιχτός βρόχος, σε αντιδιαστολή με το σύστημα ρύθμισης ανάδρασης του Σχήματος.3(β) που καλείται κλειστός βρόχος. Η προέλευση του όρου κλειστός βρόχος είναι προφανής από το Σχήμα.3(β)..5. Παραδείγματα Συστημάτων Ρύθμισης με Ανάδραση Παρακάτω αναφέρονται μερικά τυπικά συστήματα ρύθμισης με ανάδραση που απαντώνται στη βιομηχανία.. Ρύθμιση στάθμης υγρού: Στο Σχήμα.3(α) παρουσιάζεται ένα σύστημα ανάδρασης, που χρησιμοποιείται για τη ρύθμιση της στάθμης ενός ρευστού σ ένα κυλινδρικό δοχείο.. Ρύθμιση θερμοκρασίας: Το σύστημα του Σχήματος.3(β) ρυθμίζει τη θερμοκρασία του θερμού ρεύματος του εναλλάκτη σε κάποια επιθυμητή τιμή, T sp. 3. Ρύθμιση ροής: To σύστημα ανάδρασης του Σχήματος.4(α) ρυθμίζει την παροχή F(t) στην επιθυμητή τιμή F sp. 4. Ρύθμιση πίεσης: Το σύστημα ρύθμισης ανάδρασης του Σχήματος.4(β) ρυθμίζει την πίεση του αερίου στο δοχείο στην επιθυμητή τιμή P sp. Άλλα τυπικά συστήματα ρύθμισης παρουσιάζονται στα Σχήματα.5,.6 και.7.

18 Γενικές Αρχές Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 5 (α) (β) Σχήμα.4: Παραδείγματα συστημάτων ανάδρασης: (α) ρύθμιση ροής, (β) ρύθμιση πίεσης. (α) (β) (γ) Σχήμα.5: (α) Σύστημα ελέγχου και οδήγησης μαγνητικού δίσκου, (β) Τυπικό σύστημα ελέγχου θερμοκρασίας, (γ) Σύστημα ελέγχου έντασης (εφελκυσμού) ρολών χαρτιού.

19 6 Ρύθμιση Συστημάτων (α) (β) Σχήμα.6: (α) Σύστημα ελέγχου διαδικασίας κατασκευής χαρτιού, (β) Σύστημα ελέγχου μηχανισμού αρπαγής ρομποτικού βραχίονα.

20 Γενικές Αρχές Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 7 Σχήμα.7: Σύστημα αυτόματης παρακολούθησης χειρουργικής επέμβασης ματιού με λέιζερ. Από τα παραπάνω παραδείγματα προκύπτει ότι τα βασικά στοιχεία ενός κυκλώματος ρύθμισης ανάδρασης είναι τα εξής: Το δυναμικό σύστημα: Οι συσκευές ή/και διατάξεις τις οποίες επιθυμούμε να ρυθμίσουμε (π.χ. δοχεία ανάμιξης, εναλλάκτες θερμότητας, εργαλειομηχανές, κινητήρες, ρομποτικοί βραχίονες, κλπ.). Όργανα μέτρησης: Διάφορα όργανα για τη μέτρηση και την αξιολόγηση των μεταβλητών εξόδου. Για παράδειγμα θερμοζεύγη (για τη θερμοκρασία), διαφράγματα πίεσης (για τη μέτρηση της πίεσης ή της στάθμης υγρού), ταχόμετρο (για τη μέτρηση της περιστροφικής ταχύτητας), ταχύμετρο, ποτενσιόμετρο, κλπ. Μετατροπείς και γραμμές μεταφοράς σημάτων: Χρησιμοποιούνται για να μεταφέρουν το μετρούμενο σήμα από το όργανο μέτρησης στον ελεγκτή, το σήμα του ελεγκτή στο τελικό στοιχείο ρύθμισης, κλπ. Αυτές οι γραμμές μπορεί να είναι είτε πνευματικές (πεπιεσμένος αέρας ή υγρό) ή αναλογικές (ηλεκτρικές) Ελεγκτής: Περιλαμβάνει επίσης τη λειτουργία του συγκριτικού στοιχείου. Είναι συνήθως μια αναλογική ή ψηφιακή διάταξη που προσδιορίζει το νόμο μεταβολής της ρυθμίζουσας μεταβλητής. Απαιτεί τον ορισμό της επιθυμητής τιμής (set point). Τελικό στοιχείο ρύθμισης: Είναι η συσκευή / διάταξη (π.χ., αντλία, κινητήρας, θερμαντική σπείρα, ρυθμιστική βάνα) που δέχεται το σήμα του ελεγκτή και ανάλογα προσαρμόζει την τιμή της μεταβλητής ελέγχου.

21 8 Ρύθμιση Συστημάτων.5.3 Συναρτήσεις Μεταφοράς των Στοιχείων ενός Βρόχου Ρύθμισης Κάθε ορθογώνιο στο διάγραμμα του Σχήματος.3(β) αντιπροσωπεύει μια συνάρτηση μεταφοράς που συνδέει το μετασχηματισμένο σήμα εξόδου, Υ(s), με το μετασχηματισμένο σήμα εισόδου, U(s). Τα σήματα εισόδου και εξόδου μπορούν να έχουν τελείως διαφορετικές ιδιότητες ή να εκφράζονται σε διαφορετικές μονάδες. U(s) G(s) Y(s) Για γραμμικά στοιχεία, των οποίων η δυναμική τους συμπεριφορά περιγράφεται από γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, το μετασχηματισμένο σήμα εξόδου, Y(s), θα δίνεται από τη σχέση: Υ(s) = G(s) U(s) (.6) όπου G(s) είναι η συνάρτηση μεταφοράς του δυναμικού στοιχείου.στον Πίνακα. δίνονται οι συναρτήσεις μεταφοράς τυπικών δυναμικών στοιχείων που συχνά χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τη δυναμική συμπεριφορά μιας βαθμίδας (π.χ. ενός στοιχείου). Πίνακας.: Συναρτήσεις μεταφοράς τυπικών δυναμικών στοιχείων. Σύστημα Συνάρτηση G(s) Ενίσχυση /Κέρδος (gain) Παραγωγικό (derivative) Ολοκληρωτικό (integrator) /s ης τάξης (καθυστέρησης, lag) /(τs+) ης τάξης (προπορείας, lead) τs+ Σύστημα ης τάξης J < (υποαποσβεσμένο) Κ p s τs + τζs+ J = (κρίσιμα αποσβεσμένο) (τs+ ) J > (υπεραποσβεσμένο) Στοιχείο νεκρού χρόνου Σύστημα προπορείας-καθυστέρησης (lead - lag) (τs+ )(τ s+ ) d e τ s τzs+ τ s+ p

22 Γενικές Αρχές Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 9 D(s) G d (s) Y sp (s) + E(s) G c (s) G f (s) G p (s) + + Y(s) Y m (s) G m (s) Σχήμα.8: Γενικό διάγραμμα βαθμίδων κλειστού κυκλώματος: G p (s): είναι η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος, G d (s): είναι η συνάρτηση μεταφοράς της διαταραχής, G c (s): είναι η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή, G f (s): είναι η συνάρτηση μεταφοράς του τελικού στοιχείου ρύθμισης, G m (s): είναι η συνάρτηση μεταφοράς του μετρητικού στοιχείου. Καθένα από τα επιμέρους στοιχεία του κλειστού βρόχου.3(β) μπορεί να αναλυθεί σαν ένα φυσικό σύστημα που έχει μια (ή περισσότερες) μεταβλητή(ές) εισόδου και μια (ή περισσότερες) μεταβλητή(ές) εξόδου. Συνεπώς, η συμπεριφορά τους μπορεί να περιγραφεί από μια διαφορική εξίσωση ή, ισοδύναμα, από μια συνάρτηση μεταφοράς. Στο Σχήμα.8 παρουσιάζεται το γενικό διάγραμμα βαθμίδων του κυκλώματος ανάδρασης. Στη συνέχεια αυτού του κεφαλαίου θα δούμε με περισσότερες λεπτομέρειες τη δυναμική συμπεριφορά αυτών των επιμέρους μηχανολογικών στοιχείων ενός κλειστού βρόχου ρύθμισης..6 Όργανα Μέτρησης Αισθητήρες Η επιτυχής λειτουργία ενός ελεγκτή ανάδρασης εξαρτάται σε πολύ μεγάλο βαθμό από την καλή μέτρηση της ρυθμιζόμενης μεταβλητής εξόδου και τη μεταφορά της μέτρησης στο ρυθμιστή. Η πρώτη προϋπόθεση υπονοεί ότι απαιτείται μετρητική συσκευή μεγάλης ακρίβειας, ενώ η δεύτερη καθιστά απαραίτητη την ύπαρξη καλών και αποτελεσματικών γραμμών μεταφοράς σήματος. Υπάρχει μεγάλος αριθμός και ποικιλία μετρητικών οργάνων στο εμπόριο. Για περισσότερες λεπτομέρειες ο αναγνώστης μπορεί να συμβουλεύεται τις διάφορες βιβλιογραφικές αναφορές ή τα τεχνικά φυλλάδια των κατασκευαστών. Στον Πίνακα. παρουσιάζονται τυπικά μετρητικά όργανα που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση των διαφόρων μεταβλητών (π.χ. θερμοκρασίας, πίεσης, παροχής, κλπ).

23 0 Ρύθμιση Συστημάτων Πίνακας.: Τυπικά μετρητικά όργανα που χρησιμοποιούνται για τη ρύθμιση διεργασιών. Μετρούμενη μεταβλητή.5 Θερμοκρασία Πίεση Ροή Στάθμη υγρού Σύσταση Μετρητικό όργανο Θερμοζεύγη Θερμόμετρα αντίστασης Διμεταλλικά θερμόμετρα Πυρόμετρα ακτινοβολίας Μανόμετρα Στοιχεία σωλήνα Bourdon Στοιχεία διαφράγματος Μετρητές παραμόρφωσης Πιεζοηλεκτρικά στοιχεία Δίσκος με οπή (orifice meter) Ακροφύσιο ροής Venturi Σωλήνας ροής Dahl Ροόμετρα τύπου τουρμπίνας Ανεμομετρία θερμού σύρματος Μηχανικοί πλωτήρες Μετρητής υδροστατικής πίεσης Μέτρηση αγωγιμότητας Χρωματογραφικοί αναλυτές Αναλυτές υπέρυθρου και υπεριώδους Θολομετρικοί αναλυτές Ποτενσιόμετρα Αγωγιμόμετρα Ταλαντομετρικοί αναλυτές Πεχάμετρα Πολαρογραφικοί αναλυτές Θερμιδόμετρα Παρατηρήσεις - Σχόλια Ευρεία χρήση, ιδιαίτερα για σχετικά χαμηλές θερμοκρασίες Για υψηλές θερμοκρασίες Με πλωτήρες ή μετατοπιζόμενα στελέχη Αρχή λειτουργίας βασιζόμενη στην ελαστική παραμόρφωση των υλικών Μετατροπή πίεσης σε ηλεκτρικό σήμα Μέτρηση πτώσης πίεσης Μέθοδος υψηλής ακρίβειας Μετατροπείς σήματος διαφόρων τύπων Μέθοδοι ενδεικνυόμενες για διφασικά συστήματα Μεγάλοι χρόνοι ανάλυσης Ενδεικνυόμενοι για μίγματα χημικών ουσιών.6. Μετρητικά Θερμοκρασίας Τα πιο συνηθισμένα όργανα μέτρησης της θερμοκρασίας είναι τα θερμοστοιχεία και τα θερμόμετρα αντίστασης. Το σήμα εξόδου του μετρητικού είναι συνήθως ηλεκτρικό. Ανεξάρτητα από τις κατασκευαστικές διαφορές τους, η βασική δυναμική συμπεριφορά τους μπορεί να εξεταστεί με βάση τα διαγράμματα θερμοκρασίας που φαίνονται στα Σχήματα.9(α) και (β). Το αισθητήριο της θερμοκρασίας συνήθως βρίσκεται εμβαπτισμένο στο ρευστό του θερμοδοχείου. Στην πρώτη περίπτωση (Σχήμα.9α) θεωρούμε ότι η κύρια αντίσταση στη μεταφορά θερμότητας βρίσκεται έξω από το περίβλημα του θερμοδοχείου. Σε μια τέτοια περίπτωση έχουμε απλή χωρητικότητα με αντίσταση και η δυναμική συμπεριφορά του θερμοστοιχείου προσομοιάζεται με σύστημα πρώτης τάξης: dtm τp + Tm = KmT(t) ; dt G (s) = m Km τs+ (.7)

24 Γενικές Αρχές Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου ρευστό θερμοδοχείου θερμοκρασία ρευστού, Τ(t) τοίχωμα θερμοδοχείου θερμοκρασία θερμοστοιχείου, Τ m (t) τοίχωμα θερμοδοχείου θερμοστοιχείο θερμοδοχείο θερμοστοιχείο αντίσταση εξωτερικού οριακού στρώματος, h αντίσταση εξωτερικού οριακού στρώματος, h αντίσταση εσωτερικού στρώματος, h 0 (α) (β) Σχήμα.9: Θερμοστοιχεία με: (α) Εξωτερική αντίσταση, (β) Εσωτερική και εξωτερική αντίσταση στη μεταφορά θερμότητας. Στη δεύτερη περίπτωση (Σχήμα.9β) έχουμε σημαντική αντίσταση στη μεταφορά θερμότητας μέσα και έξω από το τοίχωμα του θερμοδοχείου. Αυτό είναι ισοδύναμο με δύο χωρητικότητες σε σειρά και η ένδειξη του θερμοστοιχείου θα ακολουθεί συμπεριφορά συστήματος δεύτερης τάξης: dt m dt m m m τ + ζτ + T = K T(t) (.8) dt dt ή G (s) = m K m τ s + τζs+ (.8α) Οι παράμετροι τ και ζ εξαρτώνται από τα κατασκευαστικά χαρακτηριστικά και υλικά του μετρητικού θερμοκρασίας (π.χ. θερμοστοιχείο, περίβλημα, θερμική αγωγιμότητα). Είναι φανερό ότι η δυναμική απόκριση ενός θερμοζεύγους που περιγράφεται από την εξίσωση (.8) θα είναι γενικά βραδύτερη από εκείνη ενός θερμοζεύγους που περιγράφεται από την εξίσωση (.7)..6. Γραμμές Μεταφοράς και Μετατροπείς Σημάτων Χρησιμοποιούνται, για παράδειγμα, για τη μεταφορά του σήματος του μετρητικού οργάνου στον ελεγκτή και του σήματος εξόδου του ελεγκτή στο τελικό στοιχείο ρύθμισης. Υπάρχουν δύο τύποι γραμμών μεταφοράς: οι πνευματικές και οι ηλεκτρικές. Οι μετατροπείς σημάτων χρησιμοποιούνται για τη μετατροπή ενός σήματος από μια κλίμακα σε μια άλλη επιθυμητή, π.χ.

25 Ρύθμιση Συστημάτων Σήμα εισόδου C, mv, V, κλπ. Σήμα εξόδου ma, V, psig, κλπ. Η απόκριση τέτοιων στοιχείων είναι συνήθως πολύ γρήγορη κι έτσι η δυναμική τους πολύ συχνά αγνοείται. Αυτό που κύρια μας ενδιαφέρει είναι το κέρδος / ενίσχυση της μετατροπής (Gain) η οποία δίνεται από την παρακάτω σχέση: Κέρδος = (Δυνατή περιοχή μεταβολής σήματος εξόδου) (Δυνατή περιοχή μεταβολής σήματος εισόδου) Παράδειγμα.6: Υπολογισμός της σταθεράς κέρδους Όταν η θερμοκρασία του σήματος εισόδου μεταβάλλεται από 00 σε 00 C η πίεση ( σήμα εξόδου στην έξοδο του μετατροπέα) αλλάζει από 5 σε 3 psig. Να υπολογίσετε το κέρδος του στοιχείου μετατροπής, K m. Λύση C 5 3 psig K m 5 3 psig Km = = 0, C Η έννοια του χρόνου μεταφοράς ή νεκρού χρόνου (transportation time, dead time) αναλύεται στο ακόλουθο παράδειγμα του Σχήματος.0. Α L Β u T(t) T (t) TC + - TT T sp Σχήμα.0: Στοιχείο νεκρού χρόνου. Η θερμοκρασία του δοχείου μετράται στο σημείο Α μετά μια χρονική καθυστέρηση τ d =(L/u), όπου L είναι η απόσταση του αγωγού μεταφοράς μεταξύ των σημείων Α και Β και u είναι η μέση ταχύτητα του ρευστού. Στο Σχήμα.0 παρουσιάζεται η χρονική εξέλιξη των

26 Γενικές Αρχές Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 3 δύο θερμοκρασιών T(t) και Τ (t). Παρατηρούμε ότι η Τ (t) είναι χρονικά μετατοπισμένη ως προς την Τ(t), δηλαδή: T(t) = T(t τ d) (.9) Μετασχηματίζοντας κατά Laplace την εξίσωση (.9) λαμβάνουμε: τds = (.0) T(s) e T(s).6.3 Τελικό Στοιχείο Ρύθμισης Είναι τα μηχανολογικά μέρη των κυκλωμάτων ρύθμισης δια μέσου των οποίων εφαρμόζεται στο δυναμικό σύστημα η ρυθμιστική δράση. Αυτά δέχονται το σήμα εξόδου του ελεγκτή (σήμα ενεργοποίησης) και ακολούθως προσαρμόζουν την τιμή της μεταβλητής ελέγχου. διάφραγμα στέλεχος ελατήριο Σχήμα.: Πνευματική βάνα του τύπου: (α) Air-to-close (β) Air-to-open. Ένα συνηθισμένο τελικό στοιχείο ρύθμισης είναι η πνευματική βάνα που λειτουργεί συνήθως με αέρα. Η μεταβαλλόμενη παροχή του αέρα στη βάνα έχει ως αποτέλεσμα τη μετακίνηση ενός μηχανικού εμβόλου που είναι προσαρμοσμένο στο κινητό διάφραγμα της βάνας. Καθώς η πίεση του αέρα (έξοδος του ελεγκτή) στο διάφραγμα αυξάνεται, το στέλεχος μετακινείται προς τα κάτω με αποτέλεσμα η ροή του ρευστού δια μέσου της βάνας να ελαττώνεται (ή να αυξάνεται). Μια τέτοια βάνα είναι γνωστή ως air-to-close ρυθμιστική βάνα (Σχήμα.α). Αν η παροχή του αέρα στο διάφραγμα διακοπεί, η βάνα θα παραμείνει ανοιχτή αφού το ελατήριο θα σπρώξει το στέλεχος και το έμβολο προς τα πάνω. Υπάρχουν πνευματικές βάνες με αντίστροφη δράση (air-to-open) (Σχήμα.β). Οι περισσότερες εμπορικές βάνες μετακινούνται από τη θέση τελείως ανοιχτή μέχρι τη θέση τελείως κλειστή καθώς η πίεση του αέρα στο διάφραγμα μεταβάλλεται από 3 σε 5 psig. Το μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει τη δυναμική συμπεριφορά μιας πνευματικής ρυθμιστικής βάνας είναι συνήθως δεύτερης τάξης. Ωστόσο, η απόκριση των περισσοτέρων

27 4 Ρύθμιση Συστημάτων μικρών ή μεσαίου μεγέθους βανών σε μεταβολές του πνευματικού σήματος είναι τόσο γρήγορη ώστε η δυναμική τους μπορεί να αγνοηθεί ή να προσεγγιστεί με συνάρτηση μεταφοράς πρώτης τάξης. Στη δεύτερη περίπτωση η συνάρτηση μεταφοράς που συσχετίζει το σήμα εξόδου του ελεγκτή (δηλαδή το σήμα εισόδου στη βάνα) με τη ροή του ρευστού μέσω της βάνας είναι: K F(s) = v P(s) (.) τ s + v.7 Τύποι Ελεγκτών Ανάδρασης Μεταξύ της συσκευής μέτρησης και του τελικού στοιχείου ρύθμισης υπάρχει ο ελεγκτής (controller). Η δράση του συνίσταται στο να δέχεται το σήμα εξόδου, y m (t), του μετρητικού στοιχείου και, αφού το συγκρίνει με το σημείο αναφοράς y sp, να παράγει ένα σήμα p(t) που ακολούθως στέλνεται στο τελικό στοιχείο ρύθμισης έτσι ώστε τελικά η μεταβλητή εξόδου y(t) να επιστρέψει στην επιθυμητή τιμή της y sp. Το σφάλμα ε(t) = y sp (t) y(t) αποτελεί το σήμα εισόδου του ελεγκτή, ενώ η έξοδός του είναι το σήμα p(t). Το σήμα εξόδου ενός ελεγκτή ανάδρασης μπορεί να είναι ένα πνευματικό (πεπιεσμένος αέρας, psig) ή ηλεκτρικό (ma, V). Υπάρχουν τρεις βασικοί τύποι ελεγκτών ανάδρασης: () Αναλογικοί (proportional). () Αναλογικοί ολοκληρωτικοί (proportional integral), και (3) Αναλογικοί ολοκληρωτικοί διαφορικοί (proportional integral derivative). Ο νόμος ρύθμισης που συνδέει το σήμα εισόδου, ε(t), με το σήμα εξόδου του ελεγτή, p(t), για κάθε τύπο ρύθμισης δίνεται στον Πίνακα.3. Οι κατασκευαστικές λεπτομέρειες ενός ελεγκτή μπορεί να διαφέρουν, αλλά η αρχή λειτουργίας τους βασικά είναι η ίδια. Πίνακας.3: Συνήθεις Τύποι Ελεγκτών. Αναλογικός (Ρ) p(t) = ps + Kcε(t) Αναλογικός ολοκληρωτικός (ΡΙ) p(t) = ps + Kc ε(t) + ε(t)dt τ I dε(t) Αναλογικός ολοκληρωτικός διαφορικός (ΡΙD) p(t) = ps + Kcε(t) + ε(t)dt τd τ + I dt

28 Γενικές Αρχές Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 5.7. Αναλογικός Ελεγκτής Στην περίπτωση αυτή, το σήμα εξόδου του ελεγκτή είναι ανάλογο του σφάλματος ε(t): p(t) K ε(t) p = c + s sp sp ε(t) = y y(t) = Y Y(t) (.) όπου K c είναι η αναλογική ενίσχυση του ελεγκτή και συνήθως είναι ένας αδιάστατος αριθμός (π.χ., ma/ma, %κλίμακα/%κλίμακα). Η αναλογική ενίσχυση ορίζεται ως εξής: K c Ζώνη (ή ποσοστό) δυνατής ρύθμισης σήματος εξόδου Ζώνη (ή ποσοστό) δυνατής ρύθμισης σήματος εισόδου οι περισσότεροι ελεγκτές έχουν μια περιοχή μεταβολής του K c από 0. ως 00 p s είναι το σήμα πόλωσης του ελεγκτή (δηλαδή το σήμα εξόδου όταν ε = 0). Ο αναλογικός ελεγκτής χαρακτηρίζεται από την τιμή της αναλογικής ενίσχυσης K c ή, ισοδύναμα, από την αναλογική ζώνη (proportional band) ΡΒ. Η αναλογική ζώνη αναφέρεται στο εύρος μεταβολής του σφάλματος όταν το σήμα εξόδου του ελεγκτή μετακινείται από το ένα άκρο της κλίμακάς του στο άλλο. Συνήθως, ΡΒ 500. Η αναλογική ζώνη συνδέεται με την αναλογική ενίσχυση σύμφωνα με τη σχέση: Ζώνη ρύθμισης σήματος εισόδου 00 (P.B.)% = 00 Ζώνη δυνατής ρύθμισης σήματος εξόδου = K (.3) c Είναι προφανές ότι όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της σταθεράς K c ή ισοδύναμα, όσο μικρότερη είναι η τιμή της αναλογικής ζώνης, τόσο μεγαλύτερη είναι η ευαισθησία του σήματος εξόδου του ελεγκτή στις αποκλίσεις του ε(t). Ακολούθως, ορίζουμε την απόκλιση P(t) του σήματος εξόδου του ελεγκτή: P(t) = p(t) p s (.4) Συνεπώς, η εξίσωση (.) γράφεται: P(t) = K c ε(t) (.5) Ακολούθως, με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace, υπολογίζεται η συνάρτηση μεταφοράς του αναλογικού ελεγκτή. P(s) G c (s) = = K c (.6) E(s)

29 6 Ρύθμιση Συστημάτων Ο αναλογικός ελεγκτής μπορεί να είναι: Αντίστροφης δράσης: K c >0, ή Άμεσης δράσης: K c <0. y(t) y sp -ε ε(t) = y sp - y(t) +ε(t) t y(t) y sp -ε ε(t) = y sp - y(t) +ε(t) t p(t) p(t) p s t p s t (α) (β) Σχήμα.: Μεταβολή του σήματος εξόδου, p(t) ενός ελεγκτή αντίστροφης δράσης (α) και άμεσης δράσης (β), συναρτήσει της μεταβολής του σφάλματος Ε(t)..7. Αναλογικός Ολοκληρωτικός Ελεγκτής (ΡΙ) Ο αναλογικός ολοκληρωτικός ελεγκτής είναι επίσης γνωστός ως αναλογικός ελεγκτής με επαναφορά (proportional-plus-reset controller). Ο ΡΙ ελεγκτής έχει τη δυνατότητα να εξαλείφει (μηδενίζει) τη μόνιμη απόκλιση (offset) που παρατηρείται σε συστήματα αναλογικής ρύθμισης. Το σήμα εξόδου του ΡΙ-ελεγκτή σχετίζεται με το σφάλμα σύμφωνα με την εξίσωση: Kc p(t) = ps + Kcε(t) + ε(t)dt τ (.7) I όπου τ Ι είναι η ολοκληρωτική χρονική σταθερά ή χρόνος επαναφοράς. Ο χρόνος επαναφοράς είναι μια επιλεγμένη παράμετρος και συνήθως αναφέρεται σε λεπτά ανά επανάληψη. Η χρονική σταθερά τ i λαμβάνει τιμές στην περιοχή: 0, τ Ι 50 min. Μερικοί κατασκευαστές δίνουν την τιμή του αντίστροφου της χρονικής σταθεράς (π.χ., /τ Ι ) (επαναλήψεις ανά λεπτό) που είναι γνωστό ως ταχύτητα επαναφοράς (ρυθμός ολοκληρωτικής δράσης ή reset time). Η ύπαρξη της ολοκληρωτικής δράσης έχει ως αποτέλεσμα τη συνεχή μεταβολή του σήματος εξόδου του ελεγκτή p(t) έως ότου το σφάλμα ε(t) να γίνει ίσο με μηδέν (y(t) y sp ). Από την εξίσωση (.7), λαμβάνουμε:

30 Γενικές Αρχές Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 7 Kc P(t) = Kcε(t) + ε(t)dt τ (.8) I Με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace, είναι εύκολο να δείξουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός αναλογικού ολοκληρωτικού ελεγκτή δίνεται από την παρακάτω σχέση: G(s) c = Kc+ τ s I (.9) Η έξοδος ενός ΡΙ-ελεγκτή για μια βηματική μεταβολή του σφάλματος ε(t) απεικονίζεται στο Σχήμα.3. Ο ολοκληρωτικός όρος ενός ελεγκτή αναγκάζει την έξοδό του να μεταβάλλεται για όσο χρόνο το σφάλμα είναι μη-μηδενικό. Συχνά το σφάλμα δεν μπορεί να μηδενισθεί γρήγορα με αποτέλεσμα την αύξηση της τιμής του ολοκληρωτικού όρου και τον κορεσμό της ρυθμιστικής δράσης. Η κατάσταση αυτή αναφέρεται και ως ολοκληρωτικός κορεσμός (integral windup). Σ αυτή την περίπτωση, ακόμα και αν το σφάλμα μηδενιστεί, η ρυθμιστική δράση παραμένει κορεσμένη. Ένας ΡΙ ελεγκτής χρειάζεται ειδικές προστατευτικές λειτουργίες για να αντιμετωπίσει τον ολοκληρωτικό κορεσμό. ε(t) Σφάλμα ΡΙ δράση Ι - δράση K c ε K c ε Ρ - δράση Έξοδος p s τ Ι Σχήμα.3: Απόκριση ενός ΡΙ ελεγκτή σε βηματική μεταβολή του σφάλματος.

31 8 Ρύθμιση Συστημάτων.7.3 Αναλογικός Παραγωγικός Ελεγκτής (PD) Για ένα παραγωγικό ελεγκτή (D) το σήμα εξόδου θα δίνεται από τη σχέση: dε(t) p(t) = ps + KcτD (.0) dt Με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace, η εξίσωση (.0) γράφεται: P(s) = τ sε(s) (.) D Κατά συνέπεια, για έναν αναλογικό παραγωγικό ελεγκτή (PD) θα ισχύει: P(s) = K(+ τ s)ε(s) (.) c D Τα βασικά χαρακτηριστικά ενός παραγωγικού ελεγκτή είναι: Βελτιώνει τη δυναμική απόκριση (ευστάθεια) ενός κλειστού βρόχου ρύθμισης. Προβλέπει την πορεία της διεργασίας ελέγχοντας την παράγωγο του σφάλματος, dε/dt. Η ύπαρξη θορύβου στη μέτρηση του σήματος εξόδου δημιουργεί προβλήματα στη λειτουργία του ελεγκτή, λόγω εσφαλμένου υπολογισμού της παραγώγου dε/dt. Συνήθως, η παραγωγική δράση προσομοιάζεται με τη βοήθεια μιας συνάρτησης μεταφοράς του τύπου προπορείας καθυστέρησης (lead lag element): τds+ P(s) = ε(s) όπου > α > ατ s+ 6 0 D Στο Σχήμα.4 απεικονίζεται το σήμα εξόδου ενός PD-ελεγκτή για μία επικλινή μεταβολή του σφάλματος ε(t). ε(t) ε(t) = 0 ε(t) p(t) PD t PD-δράση Ρ-δράση D-δράση p s τ D Σχήμα.4: Απόκριση ενός ελεγκτή σε γραμμική μεταβολή σφάλματος E(t).

32 Γενικές Αρχές Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου Αναλογικός Ολοκληρωτικός Διαφορικός Ελεγκτής (PID) Η εξίσωση λειτουργίας ενός PID ελεγκτή δίνεται από τη σχέση: K dε p(t) = K ε(t) + ε(t)dt+ K τ + p (.3) c c c D s τi dt Χάρη στην παρουσία του διαφορικού όρου (dε/dt) ο PID ελεγκτής προβλέπει ποιο θα είναι το σφάλμα στο άμεσο μέλλον και εφαρμόζει μια ρυθμιστική δράση ανάλογη με την τρέχουσα ταχύτητα μεταβολής του σφάλματος. Λόγω της ιδιότητας αυτής, η διαφορική δράση του ελεγκτή αναφέρεται μερικές φορές και ως προβλεπτικός έλεγχος. Τα σοβαρότερα μειονεκτήματα της διαφορικής δράσης είναι τα παρακάτω:. Στην περίπτωση απόκρισης με σταθερό μη-μηδενικό σφάλμα, δε δίνει καμία ρυθμιστική δράση αφού dε/dt = 0.. Στην περίπτωση απόκρισης με θόρυβο αλλά με σχεδόν μηδενικό σφάλμα μπορεί να υπολογίσει μεγάλες τιμές για την παράγωγο dε/dt και έτσι να δώσει μεγάλη ρυθμιστική δράση παρόλο που αυτή δεν απαιτείται. Από την εξίσωση (.3) με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace λαμβάνουμε: P(s) = Kc+ + τds ε(t) τis (.4) Συνεπώς, η συνάρτηση μεταφοράς ενός PID ελεγκτή θα δίνεται από τη σχέση: G(s) c = Kc+ + τds τis (.5) Παράδειγμα.7 Κατασκευή του λειτουργικού διαγράμματος συστήματος ρύθμισης Δίνεται η ακόλουθη διεργασία θέρμανσης. Να υπολογίσετε τις συναρτήσεις μεταφοράς των επί μέρους στοιχείων του συστήματος ρύθμισης και να κατασκευάσετε το αντίστοιχο διάγραμμα βαθμίδων. Λύση Προκειμένου να κατασκευάσουμε το διάγραμμα βαθμίδων της διεργασίας θα πρέπει να προσδιορίσουμε τις συναρτήσεις μεταφοράς των διεργασιών G p (s), G m (s), G c (s), G v (s).

33 30 Ρύθμιση Συστημάτων TT ṁ, (σταθερή) T o (t) T m (t) TC T sp q st (t) ṁ, T(t) κορεσμένος ατμός, q st (t) τελικό στοιχείο ρύθμισης Σχήμα.5: Ρύθμιση θερμοκρασίας Συνάρτηση μεταφοράς της διεργασίας, G p (s): Ισοζύγιο μάζας: dv = 0, m in = m out (.6) dt Ισοζύγιο ενέργειας: dt ρcpv = mc p(to T) α mc p(t T) α + q st (t) (.7) dt όπου Τ α είναι η θερμοκρασία αναφοράς. Στη μόνιμη κατάσταση: dt/dt = 0 και η εξίσωση (.7) γίνεται: mc (T T) mc (T T) + q = 0 (.8) p os α p s α st,s Αφαιρώντας την εξίσωση (.8) από την εξίσωση (.7) λαμβάνουμε: d(t T) s ρcpv = q st q st,s + mc p[(to T os) (T T)] s (.9) dt Ακολούθως, εισάγουμε τις μεταβλητές απόκλισης: T(t) T = Θ (t) ; T(t)-T = Θ(t) ; q (t) -q = Q(t) (.30) o os o s st st,s

34 Γενικές Αρχές Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 3 Έτσι, η εξίσωση (4) γράφεται: ρc dθ V = Q + mc p (Θο Θ) ; Θ(t = 0) 0 dt (.3) p = Με τη βοήθεια των μετασχηματισμών Laplace η εξίσωση (.3) γίνεται: ή ρc p V Θ(s) = Q(s) + mc [Θ (s) Θ(s)] (.3) s p ο ρv Q(s) Θ(s) s + = m mc p + Θ ο (s) (.33) Η εξίσωση (.33) λαμβάνει τελικά τη μορφή: Θ(s) Q(s) mc ( τs + ) = + Θ (s) p ο (.34) όπου ρv gr/cm * cm τ = m gr/sec 3 3 είναι η χαρακτηριστική χρονική σταθερά της διεργασίας. Διάγραμμα βαθμίδων για το δοχείο θέρμανσης: Η εξίσωση (.34) έχει τη γενική μορφή: Υ(s) = G p (s)u(s) + G d (s)d(s) (.35) G p (s) : είναι η συνάρτηση μεταφοράς της διεργασίας, /(τs+) U(s) : μεταβλητή ρύθμισης, Q (s) G d (s) : είναι η συνάρτηση μεταφοράς της διαταραχής, (mc p ) ( τs + ) D(s) : είναι η διαταραχή, Θ ο (s) Συνεπώς, (mcp ) Θ(s) = Q(s) + ( τs + ) ( τs + ) Θ ο (s) (.36) Το λειτουργικό διάγραμμα βαθμίδων της εξίσωσης (.36) παρουσιάζεται στα Σχήματα.6 (α) και (β):

35 3 Ρύθμιση Συστημάτων Q (s) mc p ( τs + ) + + Θ(s) (α) Θ o (s) ( τs + ) Θ o (s) ṁ C p (β) Q (s) + + mc p ( τs + ) Θ(s) Σχήμα.6: Λειτουργικό διάγραμμα βαθμίδων Εάν Θ ο = 0 τότε Θ mc (s) = p Q(s ) ( τ s + ) (.37) Εάν Q = 0 τότε Θ( s) = Θο (s) ( τs + ) (.38) Συνάρτηση μεταφοράς στοιχείου μέτρησης, G m (s): Σύμφωνα με το υποκεφάλαιο.6. η συνάρτηση μεταφοράς του θερμοστοιχείου μπορεί να προσεγγιστεί με την εξίσωση (.7): Θ m K (s) = m Θ(s) ( τ s + ) (.39) m όπου Θ m ( s) = Tm Tms ; = T Ts Θ (.40) όπου τ m είναι η χρονική σταθερά του θερμοστοιχείου και Κ m η ενίσχυσή του (gain). Συνάρτηση μεταφοράς ελεγκτή, G c (s): Ανάλογα με τον τύπο ρύθμισης (PD, PI, PID) η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή θα δίνεται από τις σχέσεις (.6), (.9) και (.5), αντίστοιχα.

36 Γενικές Αρχές Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 33 Συνάρτηση μεταφοράς τελικού στοιχείου ρύθμισης, G f (s): Η συνάρτηση μεταφοράς του τελικού στοιχείου ρύθμισης (δηλαδή της βάνας) μπορεί να περιγραφεί από μια συνάρτηση μεταφοράς πρώτης τάξης της μορφής: F(s) = st Kf τ s+ f P(s) t (.4) όπου τ f είναι η χρονική σταθερά της βάνας και Κ f το κέρδος (gain). Εάν ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας Q st (s) είναι ανάλογος της παροχής ατμού, F(s) st, τότε θα ισχύει: KF(s) (.4) και Q st(s) = s st Το διάγραμμα βαθμίδων για κλειστό σύστημα ρύθμισης (.3) παρουσιάζεται στο Σχήμα.7. Σχήμα.7: Διάγραμμα βαθμίδων.

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μεταβατική Απόκριση Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζεται η δυναμική συμπεριφορά ενός συστήματος σ ένα κλειστό κύκλωμα (κύκλωμα ρύθμισης ανάδρασης), όταν μεταβάλλεται: (i) η τιμή της διαταραχής D ή (ii) η επιθυμητή τιμή του σημείου αναφοράς Y sp.. Συνάρτηση Mεταφοράς Kλειστού Bρόχου Έστω η γενική μορφή κλειστού κυκλώματος που φαίνεται στο σχήμα.. Σύμφωνα με το διάγραμμα βαθμίδων του σχήματος., το μετασχηματισμένο σήμα εξόδου του συστήματος θα δίνεται από τη σχέση: Y(s) = G p (s)u(s) + G d (s)d(s) (.) Για το στοιχείο μέτρησης: Y m (s) = G m (s)y(s) (.) Για το ελεγκτή: E(s) = Y sp (s) Y m (s) (.3) P(s) = G c (s)e(s) (.4) Για το τελικό στοιχείο ρύθμισης: U(s) = G v (s)p(s) (.5) 34

38 Μεταβατική Απόκριση Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 35 όπου G p, G d, G m, G c και G v είναι οι συναρτήσεις μεταφοράς μεταξύ των αντίστοιχων μεταβλητών εισόδου και εξόδου. D(s) G d(s) Y sp (s) + E(s) G c(s) Ελεγκτής P(s) G v(s) Τελικό στοιχείο ρύθμισης U(s) G p(s) Y(s) Υ m (s) G m(s) Μετρητικό στοιχείο Σχήμα.: Γενικό διάγραμμα βαθμίδων ενός κλειστού κυκλώματος ρύθμισης. Το σχήμα. δείχνει το γενικό διάγραμμα βαθμίδων ενός κλειστού κυκλώματος ρύθμισης και δεν είναι τίποτα άλλο παρά μια συμβολική αναπαράσταση των εξισώσεων (.) - (.5). Να σημειωθεί ότι υπάρχει η άμεση αντιστοιχία μεταξύ του διαγράμματος του σχήματος. και αυτού του σχήματος.β. D(s) D(s) G d (s) G L (s) Y sp (s) E(s) + G f (s) + + Y(s) Y sp (s) G sp (s) + + Y(s) Y m (s) G m (s) (α) (β) Σχήμα.: Απλοποιημένα διαγράμματα βαθμίδων. Το τμήμα του διαγράμματος βαθμίδων που βρίσκεται μεταξύ του συγκριτικού στοιχείου και της ρυθμιζόμενης μεταβλητής και περιλαμβάνει τις συναρτήσεις μεταφοράς G c, G v και G p αποτελεί το προς τα εμπρός μονοπάτι (forward path), ενώ το τμήμα που περιλαμβάνει τη συνάρτηση μεταφοράς G m αποτελεί το προς τα πίσω μονοπάτι ή μονοπάτι ανάδρασης (feedback path) μεταξύ της ρυθμιζόμενης μεταβλητής εξόδου και του συγκριτικού

39 36 Ρύθμιση Συστμάτων στοιχείου. Αν G f = G c G v G p, τότε το διάγραμμα βαθμίδων. μπορεί να απλοποιηθεί στο ισοδύναμο του διαγράμματος. (α). Μετά από απλές μαθηματικές πράξεις, από τις παραπάνω εξισώσεις (.)-(.5) προκύπτει: U(s) = G v (s)p(s) = G v (s)g c (s)e(s) (.6) = G v (s)g c (s)[y sp (s) - Y m (s)] (.7) = G v (s)g c (s)[y sp (s) - G m (s)y(s)] (.8) Αντικαθιστώντας την εξίσωση (.8) στην (.) λαμβάνουμε: Υ(s) = G p (s){g v (s)g c (s)[y sp (s) - G m (s)y(s)]} + G d (s)d(s) (.9) και επίλυση της τελευταίας ως προς Y(s) δίνει: Gp( s)gv( s)gc( s) Y(s) = + G (s)g (s)g (s)g (s) Y s) + G d (s) + G (s)g (s)g (s)g s) D(s) sp ( ( p v c m p v c m (.0) Η εξίσωση (.0) δίνει την απόκριση κλειστού κυκλώματος του συστήματος σε ταυτόχρονες μεταβολές του σήματος αναφοράς, Y sp, και της διαταραχής, D. Ας σημειωθεί ότι αυτή αποτελείται από δύο όρους. Ο πρώτος όρος δείχνει την επίδραση που έχει στη μεταβλητή εξόδου μια μεταβολή του σημείου αναφοράς, ενώ ο δεύτερος όρος δείχνει την επίδραση της διαταραχής στη μεταβλητή εξόδου. Οι αντίστοιχες συναρτήσεις μεταφοράς, G sp (s) και G L (s), είναι γνωστές σαν συναρτήσεις μεταφοράς κλειστού κυκλώματος. Ειδικά, GGG p v c + G GGG p v c m Gf = Gsp (.) + GG f m είναι η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού κυκλώματος για μεταβολή του σημείου αναφοράς και η G d Gd = GL (.) + GGGG + GG p v c m f m είναι η συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού κυκλώματος για μεταβολή της διαταραχής. Το σχήμα.(β) δείχνει ένα απλοποιημένο διάγραμμα βαθμίδων ισοδύναμο με αυτό του σχήματος.(α).

40 Μεταβατική Απόκριση Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 37 Για κάθε σύστημα ρύθμισης ανάδρασης διακρίνονται δύο τύποι προβλημάτων ρύθμισης: Το πρόβλημα καθοδηγητικού ελέγχου (servo problem) και το πρόβλημα ρυθμιστικού ελέγχου (regulator problem). Πρόβλημα καθοδηγητικού ελέγχου: Η διαταραχή δεν μεταβάλλεται (δηλ. D = 0), ενώ το σήμα αναφοράς υφίσταται κάποια μεταβολή. Ο ελεγκτής ανάδρασης ενεργεί έτσι ώστε να ακολουθήσει όσο το δυνατό πιο κοντά την τιμή του Y sp που μεταβάλλεται. Στην περίπτωση αυτή, Υ(s) = G sp (s)y sp (s) (.3) Πρόβλημα ρυθμιστικού ελέγχου: Το σημείο αναφοράς παραμένει το ίδιο (δηλ. Y sp = 0), ενώ η διαταραχή αλλάζει. Τότε, Υ(s) = G L (s)d(s) (.4) και ο ελεγκτής ανάδρασης προσπαθεί να εξαλείψει την επίδραση των μεταβολών της διαταραχής και να διατηρήσει την τιμή του Υ στο επιθυμητό σημείο αναφοράς, Y sp. Από τις εξισώσεις (.) και (.) είναι εύκολο να δούμε ότι οι ολικές συναρτήσεις μεταφοράς κλειστού κυκλώματος G sp και G L εξαρτώνται όχι μόνο από τη δυναμική του συστήματος, αλλά επίσης από τη δυναμική του μετρητικού, του ελεγκτή και του τελικού στοιχείου ρύθμισης... Κανόνες για τον Προσδιορισμό της Συνάρτησης Μεταφοράς Μπορούμε ήδη να διατυπώσουμε τον παρακάτω κανόνα για την εύρεση της συνάρτησης μεταφοράς μεταξύ δύο οποιωνδήποτε μεταβλητών (εισόδου-εξόδου) σ ένα σύστημα κλειστού βρόχου: Ακολουθείστε τη ροή του σήματος αρχίζοντας από τη μεταβλητή εισόδου (που μπορεί να είναι οποιαδήποτε μεταβλητή της οποίας την επίδραση εξετάζουμε) και τελειώνοντας στη μεταβλητή εξόδου ( η οποία επίσης μπορεί να είναι οποιαδήποτε μεταβλητή του συστήματος όχι απαραίτητα η Y(s)). Το γινόμενο των συναρτήσεων μεταφοράς στη σειρά που συναντάμε είναι όπως αναφέραμε παραπάνω η συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου, Π f. Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου βρίσκεται αν διαιρέσουμε τη συνάρτηση ανοιχτού βρόχου δια του γινομένου όλων των συναρτήσεων μεταφοράς του βρόχου, Π l συν ένα. Π f Y(s) = + Π X(s) l (.5)

41 38 Ρύθμιση Συστμάτων όπου Π f είναι το γινόμενο όλων των συναρτήσεων μεταφοράς που παρεμβάλλονται μεταξύ των σημάτων εισόδου X(s), και εξόδου Y(s) και Π l είναι το γινόμενο όλων των συναρτήσεων μεταφοράς στο κλειστό κύκλωμα (δηλαδή Π l =G c G v G p G m ). H σχέση.5 ισχύει για συστήματα με αρνητική ανάδραση (negative feedback control systems) όπως είναι τα περισσότερα φυσικοχημικά συστήματα ρύθμισης που εξετάζουμε. Για συστήματα ρύθμισης με θετική ανάδραση (positive feedback systems) η εξίσωση (.5) θα πρέπει να τροποποιηθεί σύμφωνα με την εξίσωση (.6). Π f Y(s) = - Π X(s) l (.6) Παράδειγμα.: Υπολογισμός συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις μεταφοράς στο παρακάτω κλειστό κύκλωμα μεταξύ των σημάτων εισόδου-εξόδου (Y sp, Y), (D, Y), και (D, Y m ). D (s) + + D D (s) Y sp (s) + - E G c G + G + G 3 Y(s) Y m (s) G m G m Λύση Από την εφαρμογή της εξίσωσης (.5), λαμβάνουμε τις ακόλουθες σχέσεις: Y(s) Y (s) sp c 3 = ; + G G G G c G G G 3 G G m G m Y(s) G G 3 = ; D (s) +G Ym (s) G 3G mg = D (s) +G m G=G c G G G 3 G m G m, είναι η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού κυκλώματος, και + G(s) = 0 είναι η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού κυκλώματος. Παράδειγμα.: Υπολογισμός συνάρτησης μεταφοράς συστήματος ρύθμισης συστοιχίας Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση μεταφοράς κλειστού κυκλώματος που συνδέει το σήμα εξόδου, Υ, με το σήμα αναφοράς, Υ sp, για την περίπτωση ρύθμισης συστοιχίας.

42 Μεταβατική Απόκριση Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 39 U U R G c - G c G G G 3 C G m G m Λύση Πρώτα απλοποιούμε το κλειστό κύκλωμα αντικαθιστώντας τον εσωτερικό βρόχο με την ισοδύναμη συνάρτηση G α. Υsp + - G c GG G = c α + G GG G G 3 c m Y G m Ακολούθως, προσδιορίζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς κλειστού κυκλώματος: Y = GcGαGG 3 + G G G GG Y m c α 3 sp Ας δούμε τώρα τις γενικές αρχές ρύθμισης θεωρώντας το ακόλουθο γενικό διάγραμμα βαθμίδων: Y sp (s) + D G d E(s) G c (s) G v (s) G p (s) D i G di + G dn D N Y(s) Y m (s) G m Σχήμα.3: Γενικευμένο διάγραμμα βαθμίδων (περίπτωση Ν-διαταραχών). Η απόκριση κλειστού κυκλώματος του συστήματος, Υ(s), θα δίνεται από την εξίσωση (βλέπε επίσης εξίσωση (.0)):

43 40 Ρύθμιση Συστμάτων G N p (s)g c (s)g v (s) G di (s)di (s) Y (s) = Ysp (s) + (.7) + G(s) + G(s) i G(s) είναι η συνάρτηση μεταφοράς του ανοικτού κυκλώματος και δίνεται από τη σχέση: G(s) = G c (s) G v (s) G p (s)g m (s) (.8) E(s) = Y sp (s) - Y m (s) (.9) Εάν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς του μετρητικού στοιχείου είναι ίση με τη μονάδα, G m (s)=, τότε η εξίσωση (.9) γίνεται: E(s) = Υ sp (s) - Y(s) (.0) Αντικαθιστώντας την εξίσωση (.7) στην εξίσωση (.0), λαμβάνουμε: E(s) = N +G(s) Y (s) - D s)g(s) sp (.) + G(s) i ( Ο γενικός σκοπός της ρύθμισης είναι να διατηρήσουμε το σήμα εξόδου όσο το δυνατό πιο κοντά στο σήμα αναφοράς παρά την ύπαρξη διαταραχών δηλαδή Υ(s) Y sp (s). Aυτό σημαίνει Ε(s) 0. Eάν το κλειστό σύστημα παραμένει σταθερό, καθώς η ενίσχυση K c του ελεγκτή αυξάνεται τότε θα ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις. lim +G () s ; E(s) 0 K c c K c (.) Όμως, για τα περισσότερα συστήματα ρύθμισης υπάρχει μια ανώτατη τιμή του Κ c (προτού το σύστημα γίνει ασταθές). Η συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού κυκλώματος (G=G c G v G p G m ), μπορεί εναλλακτικά να γραφεί ως: (s z ) m j β0 + βs β ms j G(s) = G c (s)g v (s)g p (s)g m (s) = = α ;m < n n n α 0 + αs α ns (s p ) m i i (.3) z j είναι τα μηδενικά (δηλαδή οι ρίζες) του πολυωνύμου του αριθμητή, και p i είναι οι πόλοι (δηλαδή οι ρίζες) του πολυωνύμου του παρανομαστή G(s). Παίρνουμε τώρα την χαρακτηριστική εξίσωση του κλειστού κυκλώματος +G(s) = 0

44 Μεταβατική Απόκριση Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 4 n n m 0 n 0 m i i (α + α s +...+α s ) + (β + β s +...+β s ) = (s P) = 0 (.4) όπου P i είναι οι πόλοι της χαρακτηριστικής εξίσωσης του κλειστού κυκλώματος. Εαν υποθέσουμε ότι D i = 0 (i =,, N) και G m (s) =, από τις εξισώσεις.7,.3 και.4 λαμβάνουμε: α m (s z ) j j G(s) j= j= = = = α n m n sp (s) + G(s) (s pi) + α (s z j) (s Pi) i= j= i= Y(s) Y m (s z ) (.5) Η αστάθεια ή ευστάθεια του κλειστού κυκλώματος θα εξαρτάται από τους πόλους, P i, της χαρακτηριστικής εξίσωσης +G(s) = 0. Εαν οι πόλοι P i βρίσκονται στο αριστερό μέρος του (Re-Im) επιπέδου, το κλειστό κύκλωμα θα είναι ευσταθές. Θα πρέπει να τονίσουμε ότι η θέση των πόλων, P i, εξαρτάται από τις παραμέτρους του ελεγκτή (π.χ., K c, τ i και τ D ). Έτσι, καθώς μεταβάλλονται οι τιμές των παραμέτρων του ελεγκτή (π.χ. το K c ), οι πόλοι P i της χαρακτηριστικής εξίσωσης μεταβάλλονται ως εξής: Κ c 0 ; P i p i (οι πόλοι του Κ.Κ. τείνουν στους πόλους του Α.Κ.) K c ; ; P i z j (οι πόλοι του Κ.Κ. τείνουν στα αντίστοιχα μηδενικά Α.Κ.) Παράδειγμα.3: Προσδιορισμός των συναρτήσεων μεταφοράς κλειστού κυκλώματος Έστω το σύστημα ρύθμισης της θερμοκρασίας για το δοχείο θέρμανσης του σχήματος.6. Η θερμοκρασία Τ είναι η ρυθμιζόμενη μεταβλητή εξόδου, ενώ η θερμοκρασία εισόδου, Τ ο, αποτελεί τη διαταραχή και ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας q, τη ρυθμίζουσα μεταβλητή. Οι συναρτήσεις μεταφοράς για κάθε βαθμίδα του κυκλώματος ανάδρασης περιγράφονται με λεπτομέρεια στο παράδειγμα.3. Σύστημα: Αν Θ, Θ ο και Q είναι οι αντίστοιχες μεταβλητές απόκλισης των Τ, Τ ο και q, τότε η απόκριση της θερμοκρασίας θα δίνεται από την εξίσωση: Θ(s) k p = Q(s) + Θ o (s) (.6) (τs + ) (τs + ) όπου K = (/ mc ) είναι η ενίσχυση του συστήματος. p p

45 4 Ρύθμιση Συστμάτων Όργανο μέτρησης θερμοκρασίας (θερμοζεύγος): Έστω ότι η απόκριση του θερμοζεύγους είναι πολύ γρήγορη και επομένως η δυναμική του μπορεί να αγνοηθεί. Έτσι, Θ m (s) = K m Θ(s) (.7) Θ ο (s) τs + Θ sp (s) Ε(s) P(s) Q(s) K v Κ c τ v s + K p τ s Θ(s) Ελεγκτής Τελικό στοιχείο ρύθμισης K m Σχήμα.4: Διάγραμμα βαθμίδων του κλειστού κυκλώματος ρύθμισης της θερμοκρασίας. Αναλογικός Ελεγκτής: Έστω ότι Θ SP είναι το σημείο αναφοράς. Τότε: Ε(s) = Θ sp (s)- Θ m (s) (.8) και η έξοδος του αναλογικού ελεγκτή προς το τελικό στοιχείο ρύθμισης είναι: P(s) = K c E(s) (.9) Ρυθμιστική βάνα: Υποθέτουμε δυναμική πρώτης τάξης, έτσι έχουμε: K V Tst (s) = P(s) (.30) τ s+ V Το σχήμα.4 δείχνει το διάγραμμα βαθμίδων του κλειστού κυκλώματος ρύθμισης της θερμοκρασίας του παραδείγματος.3. Εύκολα βρίσκεται ότι η απόκριση του κλειστού κυκλώματος θα είναι: Θ(s) = G sp (s)θ sp (s) + G L (s)θ ο (s) (.3) όπου οι συναρτήσεις μεταφοράς του κλειστού κυκλώματος G SP και G L ορίζονται ως εξής:

46 Μεταβατική Απόκριση Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 43 και G G sp L k p k c k v (τs + )(τ vs + ) (s) = (.3) k pk ck vk m + (τs + )(τ s + ) v (τs + ) (s) = (.33) k pk ck vk m + (τs + )(τ s + ) v Παρατήρηση: Για τον ευκολότερο υπολογισμό των ολικών συναρτήσεων μεταφοράς για κάθε κλειστό κύκλωμα ρύθμισης, μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι εξής κανόνες:. O παρονομαστής των ολικών συναρτήσεων μεταφοράς για μεταβολές της διαταραχής και του σημείου αναφοράς είναι ο ίδιος και δίνεται από τη σχέση: + G p (s)g v (s)g m (s)g c (s) για την περίπτωση αρνητικής ανάδρασης.. Ο αριθμητής της ολικής συνάρτησης μεταφοράς κλειστού κυκλώματος είναι το γινόμενο των συναρτήσεων μεταφοράς που βρίσκονται στο μονοπάτι που συνδέει τη μεταβλητή εισόδου (π.χ. σημείο αναφοράς ή διαταραχή) με τη μεταβλητή εξόδου. Η επαλήθευση των δύο παραπάνω κανόνων γίνεται με τον υπολογισμό των ολικών συναρτήσεων μεταφοράς κλειστού κυκλώματος G sp και G L (εξίσωση (.3) και (.33)).. Επίδραση της Αναλογικής Δράσης στην Απόκριση ενός Δυναμικού Συστήματος Κλειστού Βρόχου Θα εξετασθεί τώρα το πώς η απόκριση ενός μη ρυθμιζόμενου συστήματος μεταβάλλεται, όταν ένας απλός ελεγκτής ανάδρασης (π.χ. αναλογικός, ολοκληρωτικός ή διαφορικός) χρησιμοποιείται για τη ρύθμιση του συστήματος. Στην παρούσα ενότητα εξετάζεται η επίδραση του αναλογικού ελεγκτή σε συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης. Η επίδραση της ολοκληρωτικής και της διαφορικής δράσης θα μελετηθούν στα δύο επόμενα υποκεφάλαια.

47 44 Ρύθμιση Συστμάτων.. Συστήματα Πρώτης Τάξης κάτω από Αναλογική Ρύθμιση Η απόκριση ενός συστήματος πρώτης τάξης κάτω από αναλογική ανάδραση και για την περίπτωση G m (s) = G v (s) =, θα δίνεται από την εξίσωση (.34). Y(s) = Gp() skc +G sk Y s)+ Gd () s +G sk D(s) sp ( () () p c p c (.34) D(s) k d τ s + Y sp + - Κ c k p τ s + + Y(s) G m(s) Σχήμα.5: Σύστημα πρώτης τάξης κάτω από αναλογική ρύθμιση. Αντικαθιστώντας τις συναρτήσεις μεταφοράς των G p και G d : G s) = K p p ( ; G s) = K d d( (.35) τ s+ τ s+ p στην εξίσωση (.34), λαμβάνεται η απόκριση κλειστού κυκλώματος: p KK p c Y(s) = s++kk Y s)+ Kd s++kk D(s) sp ( (.36) τp p c τ p p c ή όπου Y(s) = K p s+ Y s)+ K d s+ D(s) sp ( (.37) τ τ p p τ τ = + K p ; p K c K K K K p c p p = = ; K d = + K pk c /K c + K p Kd +KK p c (.38) Οι παράμετροι K p και K d είναι γνωστές ως στατικές ενισχύσεις κλειστού κυκλώματος. Από την εξίσωση (.37) προκύπτουν τα ακόλουθα συμπεράσματα για την απόκριση ενός συστήματος πρώτης τάξης κάτω από αναλογική ενίσχυση:

48 Μεταβατική Απόκριση Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 45. Το σύστημα πρώτης τάξης (στο ανοικτό κύκλωμα) παραμένει πρώτης τάξης ως προς τις μεταβολές της διαταραχής και του σημείου αναφοράς στο κλειστό κύκλωμα.. Η χρονική σταθερά ελαττώνεται (δηλ. τ < τ), πράγμα που σημαίνει ότι η απόκριση του κλειστού κυκλώματος σε μεταβολές της διαταραχής ή του σημείου αναφοράς είναι ταχύτερη από αυτή του ανοικτού. 3. Οι στατικές ενισχύσεις ελαττώνονται. Για να γίνει καλύτερα κατανοητή η επίδραση του αναλογικού ελεγκτή, θα εξετασθεί η απόκριση κλειστού κυκλώματος σε μοναδιαίες βηματικές μεταβολές του σημείου αναφοράς (servo problem) και της διαταραχής (regulator problem). Για το πρόβλημα καθοδήγησης θεωρούμε μια μοναδιαία βηματική μεταβολή του σήματος αναφοράς, Y ( sp s) =/s και D(s) = 0. Η εξίσωση (.37) γίνεται: K p Y(s) = τ s +s (.39) Λαμβάνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της εξίσωσης (.39) προκύπτει: t / τ p Y(t) = K ( e ), K p (καθώς K c ) (.40) p Το σχήμα.6(α) δείχνει την απόκριση κλειστού κυκλώματος σε μοναδιαίες βηματικές μεταβολές του σημείου αναφοράς. Παρατηρεί κανείς ότι: Η τελική απόκριση, (για t ), δεν φτάνει το νέο επιθυμητό σημείο αναφοράς. Υπάρχει πάντοτε μία διαφορά μεταξύ του σήματος αναφοράς και της τελικής τιμής της Υ(t) που καλείται απόκλιση (offset) και είναι ίση με: Μόνιμη Απόκλιση Νέα τιμή του σήματος αναφοράς Τελική τιμή της απόκρισης = = (y y ) (y(t ) y ) sp+ sp sp KK p c = - K p= = +KK +KK p c p c Η απόκλιση είναι χαρακτηριστικό αποτέλεσμα της αναλογικής ρύθμισης και ελαττώνεται καθώς η σταθερά Κ C αυξάνεται. Θεωρητικά η μόνιμη απόκλιση θα τείνει στο μηδέν καθώς το Κ c. Για το πρόβλημα του ρυθμιστικού ελέγχου, θέτουμε Y(s) = 0 και θεωρούμε μια μοναδιαία βηματική μεταβολή της διαταραχής, (δηλ. D(s) = / s). Τότε από την εξίσωση (.37) λαμβάνουμε:

49 46 Ρύθμιση Συστμάτων K d Y(s) = (.4) τ s+ s p Λαμβάνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της εξίσωση (.4) προκύπτει: t / τ p Y(t) = K ( e ) (.4) d Y(t) Y sp (t) Y(t) Κ d D(t) χωρίς ρύθμιση 0 Y(t) Offset = + KK p c t 0 με ρύθμιση Κ d Οffset t (α) (β) Σχήμα.6: Αποκρίσεις κλειστού κυκλώματος συστημάτων σε (α) μοναδιαία βηματική μεταβολή του σημείου αναφοράς (β) μοναδιαία βηματική μεταβολή της διαταραχής. Το σχήμα.6(β) δείχνει την απόκριση συστήματος πρώτης τάξης σε μοναδιαία βηματική μεταβολή της διαταραχής. Παρατηρεί κανείς πάλι ότι ο αναλογικός ελεγκτής δεν μπορεί να επαναφέρει την απόκριση στο επιθυμητό επίπεδο (σημείο αναφοράς). Αντίθετα εμφανίζεται πάντοτε μια μόνιμη απόκλιση: Μόνιμη Απόκλιση Σημείο αναφοράς Τελική τιμή της απόκρισης = = (y y ) (y(t ) y ) sp sp sp Kd = 0-K d= + KK p c Από το σχήμα.6(β) παρατηρούμε ότι παρόλο που η αναλογική δράση δεν μπορεί να επαναφέρει την απόκριση του συστήματος στο σημείο αναφοράς και εισάγει πάντα κάποια αναπόφευκτη απόκλιση, ωστόσο η απόκριση είναι πολύ πιο κοντά στο σημείο αναφοράς απ εκείνη χωρίς ρυθμιστική δράση. Επιπλέον, καθώς η αναλογική σταθερά Κ c αυξάνεται, η απόκλιση ελαττώνεται και, θεωρητικά η μόνιμη απόκλιση τείνει στο μηδέν καθώς η αναλογική ενίσχυση, Κ c.

50 Μεταβατική Απόκριση Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 47 Παρατηρήσεις:. Αν και η απόκλιση ελαττώνεται καθώς Κ c, πολύ μεγάλες τιμές της αναλογικής ενίσχυσης Κ c μπορεί σε ορισμένες περιπτώσεις να οδηγήσουν σε αστάθεια το σύστημα στο κλειστό κύκλωμα, όπως θα δούμε αργότερα.. Αν G m = K m και G v = K v, είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι οι μόνιμες αποκλίσεις γίνονται: Για μοναδιαία βηματική μεταβολή του σημείου αναφοράς: Απόκλιση = - KKK p c v +KKKK p c v m Για μοναδιαία βηματική μεταβολή της διαταραχής: Απόκλιση = - Kd +KKKK p c v m.. Συστήματα Δεύτερης Τάξης κάτω από Αναλογική Ρύθμιση Η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος δεύτερης τάξης θα δίνεται από την εξίσωση (.43): K p G p (s) = (.43) τ s + ζτs + Αντικαθιστώντας την εξίσωση (.43) στην εξίσωση (.34) και υποθέτοντας ότι για το πρόβλημα καθοδήγησης ισχύει D(s) =0, τότε λαμβάνουμε την εξίσωση (.44): Y(s) = τ s K p Y + ζ τ s + sp (s) (.44) τ = τ ; ζ = +Κ P K c ζ ; +Κ P K c K K K p c p p = = (.45) + K pk c / K c + K p K Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι η απόκριση ενός συστήματος δεύτερης τάξης κάτω από αναλογική ρύθμιση έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Το σύστημα στο κλειστό κύκλωμα παραμένει δεύτερης τάξης. Ελαττώνεται η στατική ενίσχυση κλειστού κυκλώματος.

51 48 Ρύθμιση Συστμάτων Ελαττώνεται η φυσική περίοδος και ο συντελεστής απόσβεσης. Αυτό σημαίνει ότι ένα υπεραποσβεσμένο σύστημα, κάτω από αναλογική ρύθμιση και με κατάλληλη τιμή του Κ c,, μπορεί να γίνει υποαποσβεσμένη (ταλαντωτική). Θεωρούμε μια μοναδιαία βηματική μεταβολή του σημείου αναφοράς (δηλ. Υ(s) = /s). Τότε η εξίσωση (.44) γίνεται: K p Y(s) = τ s + ζτ s+ s (.46) Παρατηρούμε ότι ανάλογα με την τιμη του ζ, η χρονική απόκριση του συστήματος στο κλειστό κύκλωμα μπορεί να δίνεται από τις εξισώσεις ( ):. ζ >: Δύο πραγματικές αρνητικές ρίζες t ζ t τ ζ τ ζ t/τ Y(t) = K{ p e [cosh( ζ ) + sinh( ζ )]} (.47) Η απόκριση αυτή ονομάζεται υπεραποσβεσμένη (overdamped). ζ =: Δύο ίσες πραγματικές, αρνητικές ρίζες (s =s =-/τ) Λαμβάνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της εξίσωσης (.46) t t/ τ Y(t) = K p{ (+ )e } (.48) τ Η απόκριση αυτή ονομάζεται κρίσιμα αποσβεσμένη (critically damped). 3. 0<ζ <: Δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες = + (.49) ζ t/τ Y(t) K{ p (/ ζ )e sin( ζ t/τ} φ)} όπου ζ φ= tan ( ) (.50) ζ Η απόκριση αυτή ονομάζεται κρίσιμα υποαποσβεσμένη (overdamped). Ανεξάρτητα από τη συγκεκριμένη τιμή του ζ, η τελική τιμή της Y(t) δίνεται από το θεώρημα της τελικής τιμής:

52 Μεταβατική Απόκριση Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 49 Y(t ) = lim[sy(s)] = K s 0 p K pk c = + K K p c (.5) Συνεπώς, παρατηρείται και πάλι η ύπαρξη μόνιμης απόκλισης της τελικής τιμής της απόκρισης από το σήμα αναφοράς. Απόκλιση = (Νέα τιμή σήματος αναφοράς) - (Τελική τιμή της απόκρισης)= K pk c =- + K K p c = + K p K c (.5) Η μόνιμη απόκλιση θα τείνει στο μηδέν καθώς το Κ c. Παρατηρήσεις:. Αν ζ >, η υπεραποσβεσμένη απόκριση του κλειστού κυκλώματος είναι πολύ αργή. Γι αυτό, προτιμάμε να αυξήσουμε την τιμή του Κ c έτσι ώστε να γίνει ζ <. Στην περίπτωση αυτή το κλειστό κύκλωμα αντιδρά γρηγορότερα αλλά η απόκριση γίνεται ταλαντωτική. Επίσης αύξηση του Κ c συνεπάγεται μείωση της μόνιμης απόκλισης.. Η αύξηση της ταχύτητας απόκρισης του συστήματος και η ελάττωση της απόκλισης, που είναι δυο πολύ επιθυμητά χαρακτηριστικά, προκύπτουν με αντάλλαγμα υψηλότερες υπερβάσεις και αποκρίσεις που ταλαντώνονται για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα. Στο σχήμα.7 φαίνεται η επίδραση της αναλογικής σταθεράς στην απόκριση συστήματος δεύτερης τάξης. Σχήμα.7: Επίδραση της αναλογικής σταθεράς στην απόκριση κλειστού κυκλώματος συστήματος δεύτερης τάξης κάτω από αναλογική ρύθμιση.

53 50 Ρύθμιση Συστμάτων Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να βελτιώσουμε την ταχύτητα της απόκρισης κλειστού κυκλώματος με αντάλλαγμα υψηλότερες υπερβάσεις και αποκρίσεις που ταλαντώνονται για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα. Το σχήμα.8 δείχνει πολύ καθαρά την επίδραση της αναλογικής ενίσχυσης στην απόκριση του συστήματος. Σχήμα.8: Επίδραση της αναλογικής ενίσχυσης στην απόκριση ενός συστήματος πρώτης τάξης κάτω από απλή ολοκληρωτική ρύθμιση.. Από την εξίσωση (.56) φαίνεται ότι καθώς το τι ελαττώνεται, ελαττώνεται και ο συντελεστής απόσβεσης ζ. Στο σχήμα.9 φαίνεται ποιοτικά η επίδραση της ολοκληρωτικής χρονικής σταθεράς τι στην απόκριση του συστήματος. Σχήμα.9: Επίδραση της ολοκληρωτικής σταθεράς στην απόκριση κλειστού κυκλώματος συστήματος πρώτης τάξης κάτω από απλή ολοκληρωτική ρύθμιση. Γενικά, αύξηση της ολοκληρωτικής δράσης (δηλαδή αύξηση του Κ c ή/και ελάττωση του τ Ι ) κάνει την απόκριση του κλειστού κυκλώματος ταχύτερη αλλά όπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο μπορεί να οδηγήσει σε αστάθεια του συστήματος στο κλειστό κύκλωμα.

54 Μεταβατική Απόκριση Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 5.3 Επίδραση της Ολοκληρωτικής Ρυθμιστικής Δράσης Σ αυτή την ενότητα επαναλαμβάνεται η ανάλυση που έγινε στην προηγούμενη, αλλά για την περίπτωση του ολοκληρωτικού ελεγκτή. Συγκεκριμένα εξετάζεται η επίδραση της ολοκληρωτικής δράσης στο κλειστό κύκλωμα ανάδρασης για συστήματα πρώτης τάξης και για μεταβολή του σημείου αναφοράς. Για την περίπτωση μεταβολής του σήματος αναφοράς θεωρούμε D(s) = 0, συνεπώς η εξίσωση (.0) γίνεται: GGG p v c Y(s) = +GGGG p v c m Y (s) sp (.53) Για απλοποίηση, θεωρούμε ότι G m (s) = G v (s) =. Για ένα σύστημα πρώτης τάξης ισχύει: G p = K p τ s+ p και για απλή ολοκληρωτική δράση η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή θα δίνεται από τη σχέση: G K c = c τ s Ι Από την αντικατάσταση των G m, G p, G c, G v στην εξίσωση (.53) προκύπτει: K p K τ s + c τ s I Y(s) = p Y K p + K c τ ps + τ Is sp (s) (.54) ή όπου Y(s) = τ s + ζτs + Y sp (s) (.55) τ Iτ p τ = K pk c / ; / τ I ζ = (.56) τ pk pk c

55 5 Ρύθμιση Συστμάτων Από την εξίσωση (.55) παρατηρούμε ότι η ολοκληρωτική δράση έχει σαν αποτέλεσμα την αύξηση της τάξης του συστήματος. Δηλαδή το σύστημα πρώτης τάξης κάτω από ολοκληρωτική ρύθμιση συμπεριφέρεται στο κλειστό κύκλωμα σαν σύστημα δεύτερης τάξης και συνεπώς μπορεί να έχει τελείως διαφορετικά δυναμικά χαρακτηριστικά. Επιπλέον, η αύξηση της τάξης ενός συστήματος κάνει την απόκριση του πιο αργή. Ας εξετάσουμε τώρα τη δυναμική συμπεριφορά του κλειστού κυκλώματος όταν το σήμα αναφοράς μεταβάλλεται βηματικά Y sp (s) = /s. Από την εξίσωση (.55) προκύπτει: Y(s) = (τ s + ζτs +)s (.57) Η χρονική απόκριση Υ(t) θα εξαρτάται από την τιμή του συντελεστή απόσβεσης ζ (βλέπε εξισώσεις ( )). Η τελική τιμή της απόκρισης μπορεί να βρεθεί από την εφαρμογή του θεωρήματος της τελικής τιμής: Y(t ) = lim [sy(s)] = lim s 0 s 0 τ s = + ζτs + (.58) Απόκλιση = (Νέα τιμή του σήματος αναφοράς) - (Τελική τιμή της απόκρισης) = - = 0 Παρατηρούμε ότι η ολοκληρωτική δράση εξαλείφει τη μόνιμη απόκλιση. Ο αναγνώστης μπορεί να επαληθεύσει το γεγονός ότι και στην περίπτωση της μεταβολής της διαταραχής η ολοκληρωτική δράση αυξάνει την τάξη του συστήματος κατά ένα στο κλειστό κύκλωμα και εξαλείφει την επίδραση της διαταραχής, συνεπώς διατηρεί την απόκριση Y(t) στο σήμα αναφοράς Υ sp. Παρατηρήσεις:. Η εξίσωση (.57) δείχνει ότι η μορφή της απόκρισης κλειστού κυκλώματος (π.χ. υπεραποσβεσμένη, κρίσιμα αποσβεσμένη ή υποαποσβεσμένη) θα εξαρτάται από την τιμή του συντελεστή απόσβεσης δηλαδή από τις τιμές της αναλογικής σταθεράς του ελεγκτή Κ c και της ολοκληρωτικής σταθεράς τ Ι. Άρα, η εύρεση των κατάλληλων τιμών των παραμέτρων Κ c και τ Ι είναι ένα σημαντικό πρόβλημα και θα συζητηθεί στα επόμενα κεφάλαια. Παρατηρούμε ότι καθώς το Κ c αυξάνει ή το τ I ελαττώνεται, ο συντελεστής απόσβεσης ζ ελαττώνεται (βλέπε εξίσωση.56). Συνεπώς, η απόκριση από αργή υπεραποσβεσμένη μπορεί να γίνει ταχύτερη αλλά ταλαντωτική.

56 Μεταβατική Απόκριση Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου 53.4 Επίδραση της Παραγωγικής Ρυθμιστικής Δράσης Για απλή παραγωγική δράση, η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή θα είναι: G = K τ s c c D Υποθέτοντας και πάλι, χάριν απλότητας, ότι G m = G v =, η απόκριση κλειστού κυκλώματος σε μεταβολή του σήματος αναφοράς για συστήματα πρώτης τάξης κάτω από απλή διαφορική δράση θα δίνεται από τη σχέση: K p K cτ Ds τ Ps + Y(s) = Y K p + K cτ Ds τ s + P sp (s) (.59) Y(s) = (τ p K pk cτ Ds Y + K K τ )s + c c D sp (s) (.60) Η εξίσωση (.60) οδηγεί στις ακόλουθες παρατηρήσεις σχετικά με την επίδραση της παραγωγικής δράσης στην απόκριση κλειστού κυκλώματος ενός συστήματος:. Η παραγωγική ρύθμιση δε μεταβάλλει την τάξη του συστήματος στο κλειστό κύκλωμα. Στο παραπάνω παράδειγμα η τάξη του συστήματος στο κλειστό κύκλωμα θα παραμείνει σταθερή (π.χ. πρώτης).. Από την εξίσωση (.60) είναι προφανές ότι η φαινομενική χρονική σταθερά του συστήματος στο κλειστό κύκλωμα αυξάνεται από τ p σε (τ + K K τ ). Αυτό σημαίνει p p c D ότι η απόκριση του ρυθμιζόμενου συστήματος θα είναι βραδύτερη από αυτή του αρχικού συστήματος πρώτης τάξης. 3. Επιπλέον, καθώς το τ D αυξάνεται, η στατική ενίσχυση του κλειστού βρόγχου αυξάνεται..4. Επίδραση της Παραγωγικής Ρυθμιστικής Δράσης σε Σύστημα Δεύτερης Τάξης Υποθέτοντας πάλι ότι G m = G v =, η απόκριση του κλειστού κυκλώματος για την περίπτωση μεταβολής του σήματος αναφοράς για ένα σύστημα δεύτερης τάξης θα είναι: Y(s) = K p K τ s c D τ s + ζτs + Y K p + K cτds τ s + ζτs + sp (s) (.6)

57 54 Ρύθμιση Συστμάτων Y(s) = τ s K p K c τ + (ζτ + K p D s K c τ D Y )s + sp (s) (.6) Από την τελευταία εξίσωση παρατηρούμε ότι η φυσική περίοδος της απόκρισης κλειστού κυκλώματος παραμένει η ίδια ενώ ο νέος συντελεστής απόσβεσης ζ αυξάνεται, όπως προκύπτει από την εξίσωση (.63): ζ τ = ζτ +Κ p K c τ D (.63) Άρα η απόκριση κλειστού κυκλώματος γίνεται βραδύτερη και αποσβεσμένη και μάλιστα όσο περισσότερο αυξάνονται οι τιμές των Κ c και τ D. Η ελάττωση της ταχύτητας της απόκρισης και η αύξηση της απόσβεσης δείχνουν ότι η διαφορική δράση βελτιώνει την ευστάθεια του ρυθμιζόμενου συστήματος στο κλειστό κύκλωμα..5 Επίδραση Συνδυασμένων Ρυθμιστικών Δράσεων Παρόλο που η αναλογική ρύθμιση μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνη της, αυτό δεν συμβαίνει σχεδόν ποτέ με την ολοκληρωτική ή την παραγωγική ρυθμιστική δράση. Οι δύο τελευταίες δράσεις συνήθως χρησιμοποιούνται σε συνδυασμό με την αναλογική ρύθμιση. Ο αναλογικός - ολοκληρωτικός (ΡΙ) και ο αναλογικός - ολοκληρωτικός - παραγωγικός (ΡΙD) είναι συνηθισμένοι τύποι ελεγκτών που χρησιμοποιούνται στην πράξη..5. Επίδραση της ΡΙ ρύθμισης Ο συνδυασμός της αναλογικής και της ολοκληρωτικής ρύθμισης έχει τα ακόλουθα αποτελέσματα στην απόκριση κλειστού κυκλώματος:. Η τάξη του συστήματος ανοικτού κυκλώματος αυξάνεται στο κλειστό κύκλωμα (επίδραση της ολοκληρωτικής δράσης).. Η μόνιμη απόκλιση εξαλείφεται (επίδραση της ολοκληρωτικής δράσης). 3. Καθώς το Κ c αυξάνει, η απόκριση Υ(t) στο κλειστό κύκλωμα σε μεταβολές του σημείου αναφοράς γίνεται γενικά ταχύτερη και περισσότερο ταλαντωτική. Μεγάλες τιμές του Κ c κάνουν την απόκριση πολύ ευαίσθητη και μπορεί να οδηγήσουν σε αστάθεια. 4. Καθώς το τ Ι ελαττώνεται, για σταθερό Κ c η απόκριση γίνεται ταχύτερη αλλά περισσότερο ταλαντωτική.

58 Μεταβατική Απόκριση Συστημάτων Αυτόματου Ελέγχου Επίδραση της ΡΙD Ρύθμισης Ο συνδυασμός των τριών ρυθμιστικών δράσεων οδηγεί σε απόκριση κλειστού κυκλώματος που έχει γενικά τα ίδια ποιοτικά δυναμικά χαρακτηριστικά με εκείνα που προκύπτουν από την ΡΙ ρύθμιση. Παρακάτω θα περιγραφεί το κύριο όφελος από τη παραγωγική ρυθμιστική δράση. Η απόκριση κλειστού κυκλώματος μπορεί να επιταχυνθεί αν αυξηθεί η τιμή της σταθεράς Κ c του ελεγκτή. Όμως, μεγάλες τιμές του Κ c είναι δυνατό να δώσουν ταλαντωτική απόκριση ή/και να οδηγήσουν σε αστάθεια το κλειστό κύκλωμα. Η εισαγωγή της παραγωγικής δράσης έχει σταθεροποιητική επίδραση στο κλειστό κύκλωμα. Έτσι, μπορεί να επιτευχθεί ικανοποιητική ταχύτητα απόκρισης με επιλογή της κατάλληλης τιμής του K c, ενώ συγχρόνως οι υπερβάσεις και οι λόγοι απόσβεσης θα παραμένουν χαμηλοί. Το σχήμα.0 δείχνει την επίδραση της παραγωγικής δράσης στην απόκριση ενός ρυθμιζόμενου συστήματος. Παρατηρείται ότι παρόλο που η αύξηση του K c οδηγεί σε ταχύτερες αποκρίσεις η υπέρβαση παραμένει σχεδόν ίδια και ο χρόνος επίτευξης της μόνιμης κατάστασης ελαττώνεται. Και τα δύο φαινόμενα είναι αποτέλεσμα της παραγωγικής ρυθμιστικής δράσης. Σχήμα.0: Επίδραση της αναλογικής σταθεράς στην απόκριση κλειστού κυκλώματος συστημάτων πρώτης τάξης με την ΡΙD ρύθμιση.

59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ευστάθεια Συστημάτων Ρύθμισης 3. Η Έννοια της Ευστάθειας Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε ένα από τα βασικά προβλήματα της ανατροφοδότησης: το πρόβλημα της ευστάθειας. Είναι γνωστό ότι ένα φυσικό σύστημα που παρουσιάζεται σαν ευσταθής χωρίς ρύθμιση, είναι δυνατό να δώσει ένα ασταθές σύστημα αν δεν επιλεγεί το κατάλληλο σύστημα ρύθμισης. Κατ αρχήν θα πρέπει να διευκρινίσουμε τι εννοούμε με τον όρο ευσταθές σύστημα. Ένα σύστημα λέγεται ευσταθές όταν μετά την επιβολή μιας παροδικής διαταραχής (π.χ. παλμικής) η έξοδος επανέρχεται με την πάροδο του χρόνου στην αρχική της τιμή. Χαρακτηριστική μορφή απόκρισης ευσταθών συστημάτων δίνεται στο σχήμα 3.(α) και 3.(β). Για να είναι ένα σύστημα ευσταθές πρέπει όλες οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης (πόλοι του συστήματος) να βρίσκονται αριστερά από τον άξονα των φανταστικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο, να έχουν δηλαδή αρνητικό πραγματικό μέρος. Αυτό ισχύει για τις καμπύλες α και β του σχήματος 3., όπου η μεν καμπύλη α είναι χαρακτηριστική συστήματος με πραγματικές ρίζες, ενώ η καμπύλη β είναι χαρακτηριστική συστήματος που περιλαμβάνει και μιγαδικές ρίζες (σύστημα με υποαπόσβεση). Η καμπύλη γ είναι χαρακτηριστική συστήματος που περιλαμβάνει ένα πόλο στην αρχή των αξόνων (σημείο s = 0), οπότε μετά μια αιφνίδια και στιγμιαία (παλμική) διαταραχή η ισορροπία αποκαθίσταται σε μια νέα τιμή. Το σχήμα 3.(δ) είναι χαρακτηριστικό συστήματος που περιλαμβάνει και πόλους στον άξονα των φανταστικών αριθμών (σημείο s = ± jω). Τα συστήματα των σχημάτων 3.(γ) και 3.(δ) λέγονται οριακά ευσταθή. 56

60 Ευστάθεια Συστημάτων Ρύθμισης 57 Ένα σύστημα είναι ασταθές όταν έστω και ένας πόλος του βρίσκεται στο δεξί μισό του πεδίου s. Ο πόλος αυτός δίνει ένα εκθετικό όρο (e at ), ο οποίος όσο μικρό συντελεστή και αν έχει, αυξάνει εκθετικά με το χρόνο, με τελική τιμή της Υ(t) το άπειρο. Σχήμα 3.: Χαρακτηριστικές καμπύλες απόκρισης σε παλμική διαταραχή διαφόρων συστημάτων: α & β ευσταθή συστήματα-ρίζες με αρνητικό πραγματικό μέρος, γ & δ οριακά συστήματα-ρίζες με μηδενικό πραγματικό μέρος, και ε & ζ ασταθή συστήματα-ρίζες με θετικό πραγματικό μέρος. Το σχήμα 3.(ε) παριστάνει σύστημα με πραγματική θετική ρίζα (ή ρίζες) ενώ το σχήμα 3.(ζ) παριστάνει σύστημα με συζυγείς μιγαδικές ρίζες με πραγματικό θετικό μέρος.

61 58 Ρύθμιση Συστημάτων Σε ένα σύστημα ρύθμισης οι τιμές που παίρνουν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης εξαρτώνται από τις παραμέτρους του ελεγκτή. Θεωρούμε τώρα ένα σύστημα τρίτης τάξης κάτω από αναλογική ρύθμιση, σύμφωνα με το σχήμα 3.. D(s) k d ( τ s +) d Y sp (s) + - k c k ( τ s+ )( τ s+ )( τ s+ ) 3 p + + Y(s) Σχήμα 3.: Διεργασία τρίτης τάξης κάτω από αναλογική ρύθμιση. Σύμφωνα με όσα αναπτύχθηκαν στο Κεφάλαιο, η χαρακτηριστική εξίσωση του κλειστού κυκλώματος του σχήματος 3., θα έχει την εξής μορφή: K K + ( τ p c s + ) + ( τ s + ) + ( τ s + ) = 3 0 (3.) όπου Κ παριστάνει την ολική ενίσχυση του σήματος όταν αυτό διέρχεται από το ρυθμιστικό βρόχο την οποία και μπορούμε να μεταβάλλουμε εκλέγοντας την κατάλληλη τιμή της αναλογικής ενίσχυσης, Κ c. Για μικρές τιμές του Κ το σύστημα έχει τρεις πραγματικές ρίζες και παρουσιάζει υπεραπόσβεση, δηλαδή μετά την επιβολή μιας παλμικής επανέρχεται στην ισορροπία χωρίς ταλαντώσεις. Για μεγαλύτερες τιμές του Κ το σύστημα αρχίζει να παρουσιάζει ταλαντώσεις, που σημαίνει ότι υπάρχουν δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Όσο αυξάνει το Κ, οι ταλαντώσεις γίνονται εντονότερες, δηλαδή μικραίνει ο λόγος του πραγματικού προς το φανταστικό μέρος των ριζών. Η κρίσιμη τιμή του Κ, δηλαδή η τιμή πάνω από την οποία το σύστημα γίνεται ασταθές, αντιστοιχεί σε ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης πάνω στον άξονα των φανταστικών αριθμών, οπότε το σύστημα βρίσκεται στο όριο ευστάθειας και παρουσιάζει ταλαντώσεις σταθερού εύρους. Η κρίσιμη τιμή μπορεί να υπολογιστεί αν γράψουμε την εξίσωση (3.) υπό τη μορφή: 3 τττ 3s + ( ττ + ττ 3 + ττ 3) s + ( τ + τ + τ3) s+ + K = 0 (3.) Η κρίσιμη τιμή της Κ (π.χ. Κ max ) υπολογίζεται από την εξίσωση (3.) για s = iω.

62 Ευστάθεια Συστημάτων Ρύθμισης 59 3 τττ 3iω ( ττ + ττ 3 + ττ 3) ω + ( τ+ τ + τ3) iω + + Kmax = 0 (3.3α) ή 3 i[ τττω 3 + ( τ + τ + τ3) ω] ( ττ + ττ 3 + ττ 3) ω + + Kmax = 0 (3.3β) Από την εξίσωση (3.3β) εύκολα προκύπτουν οι σχέσεις: ω ( ττ + ττ 3 + ττ 3) + + K max = 0 (3.4) και 3 τττω + ( τ + τ + τ ) ω = (3.5) Επιλύοντας τις εξισώσεις (3.4) και (3.5) ως προς ω c και Κ max, λαμβάνουμε: + K max ω c= ττ + ττ + ττ 3 3 / (3.6) και τ τ 3 + = K max τ τ τ / τ τ / τ 3 (3.7) Το Κ max είναι μεγαλύτερο όταν οι σταθερές χρόνου είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Όταν οι σταθερές χρόνου είναι ίσες, τότε το Κ max γίνεται ίσο με 8. Τα προβλήματα που αντιμετωπίζονται συνήθως στη ρύθμιση είναι δύο τύπων. Στον πρώτο τύπο ζητείται να προσδιοριστεί αν ένα δεδομένο σύστημα με γνωστές όλες τις παραμέτρους είναι ευσταθές. Στην περίπτωση αυτή μπορεί να εφαρμοστεί ένα από τα κριτήρια ευστάθειας που θα αναπτύξουμε παρακάτω. Στη δεύτερη περίπτωση ζητείται να προσδιοριστεί η περιοχή, μέσα στην οποία μπορεί να μεταβληθεί μια ή περισσότερες παράμετροι του συστήματος, ώστε αυτό να παραμένει ευσταθές, πρέπει δηλαδή στην περίπτωση αυτή να προσδιοριστεί η περιοχή ευστάθειας του συστήματος. 3. Η Χαρακτηριστική Εξίσωση Έστω η γενική περίπτωση ρύθμισης με ανάδραση που απεικονίζεται στο σχήμα.. Η απόκριση του κλειστού κυκλώματος για ένα τέτοιο σύστημα δίνεται από την εξίσωση (.0): GGG p v c Ys GGGG Y s Gd () = GGGG Ds sp () + () (3.8) + + p v c m p v c m

63 60 Ρύθμιση Συστημάτων ή ισοδύναμα Ys () = G Y () s + GDs () (3.9) sp sp L Η ευστάθεια της απόκρισης του κλειστού κυκλώματος θα καθοριστεί από τους πόλους των συναρτήσεων μεταφοράς G sp και G L. Αυτοί οι πόλοι είναι κοινοί και για τις δύο συναρτήσεις μεταφοράς (επειδή ο παρονομαστής είναι κοινός) και δίνονται από τη λύση της χαρακτηριστικής εξίσωσης: + GGGG p v c m = 0 (3.0) Έστω ότι P, P,, P n είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης (3.0): + GGGG = ( s P)( s P )...( s P ) = 0 (3.) p v c m n Μπορούμε να διατυπώσουμε το παρακάτω κριτήριο για την ευστάθεια του κλειστού κυκλώματος: Ένα σύστημα ρύθμισης με ανάδραση είναι ευσταθές αν όλες οι ρίζες (πόλοι) της χαρακτηριστικής εξίσωσης έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος (δηλαδή βρίσκονται στα αριστερά του φανταστικού άξονα). Αν έστω και μια ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης βρίσκεται επάνω ή στα δεξιά του φανταστικού άξονα (δηλαδή έχει πραγματικό μέρος θετικό ή μηδέν) το σύστημα ανάδρασης είναι ασταθές. Το κριτήριο ευστάθειας που διατυπώθηκε παραπάνω διασφαλίζει την ευσταθή απόκριση ενός συστήματος ανάδρασης ανεξάρτητα από το αν οι μεταβολές συμβαίνουν στο σημείο αναφοράς ή στη διαταραχή. Ο λόγος είναι ότι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι οι κοινοί πόλοι των δύο συναρτήσεων μεταφοράς, G sp και G L που καθορίζουν την ευστάθεια του κλειστού κυκλώματος ως προς μεταβολές στο σήμα αναφοράς ή στη διαταραχή αντίστοιχα. Παράδειγμα 3. Σταθεροποίηση ενός ασταθούς συστήματος με P ρύθμιση. Για το σύστημα ρύθμισης του σχήματος 3.3 να προσδιορίσετε την τιμή της αναλογικής ενίσχυσης, Κ c, για την οποία το ασταθές σύστημα G p (s) = 0/(s-) γίνεται ευσταθής στο κλειστό κύκλωμα. Λύση Σύμφωνα με το σχήμα 3.3, έχουμε: G 0 = G = G = G = K s p v m c c

64 Ευστάθεια Συστημάτων Ρύθμισης 6 D(s) G d = 5 s Y sp (s) + - G c = K c v= G p = 0 s + + Y(s) G m = Σχήμα 3.3: Διάγραμμα βαθμίδων ενός κυκλώματος ρύθμισης. Άρα η αντίστοιχη χαρακτηριστική εξίσωση είναι: + GGGG = 0 + K s = 0 p v c m c με ρίζα P= 0 K c Άρα το κλειστό σύστημα θα είναι ευσταθές αν P < 0, δηλαδή Κ c > /0. Παράδειγμα 3.: Αποσταθεροποίηση ενός ευσταθούς συστήματος με PI ρύθμιση. Έστω το σύστημα δεύτερης τάξης με την παρακάτω συνάρτηση μεταφοράς: G ()= s p s + s + Το σύστημα έχει δύο μιγαδικούς πόλους με αρνητικό πραγματικό μέρος: P = + j και P = j Άρα σύμφωνα με το κριτήριο που αναφέραμε, το σύστημα στο ανοικτό κύκλωμα θα είναι ευσταθής. Εισάγεται ένας PI ελεγκτής. Έστω ότι το όργανο μέτρησης και το τελικό στοιχείο ρύθμισης έχουν τις παρακάτω συναρτήσεις μεταφοράς: G () s = G () s = m v

65 6 Ρύθμιση Συστημάτων Η αντίστοιχη χαρακτηριστική εξίσωση είναι: + GGGG = + s p v c m c K = s s Για Κ c = 00 και τ I = 0., η παραπάνω εξίσωση δίνει: τ I 3 s + s + 0s = 0 με ρίζες και.59 ±.5i. Το σύστημα είναι ασταθές σε κλειστό κύκλωμα επειδή οι δύο μιγαδικές ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης έχουν θετικό πραγματικό μέρος. 3.3 Κριτήρια Ευστάθειας Hurwitz και Routh H χαρακτηριστική εξίσωση ενός συστήματος έχει γενικά τη μορφή πολυωνύμου: n n α s + α s α = 0 (3.) o n Αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα σύστημα ευσταθές είναι όλοι οι συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης να έχουν το ίδιο πρόσημο. Εαν οι συντελεστές είναι ετερόσημοι τότε το σύστημα είναι ασταθές. Ακόμη όμως και συστήματα με ομόσημους όλους τους συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι δυνατό να είναι ασταθή. Τα κριτήρια Hurwitz και Routh μας επιτρέπουν να ελέγξουμε την ευστάθεια ενός κλειστού κυκλώματος χωρίς να υπολογίσουμε αναλογικά τους πόλους της χαρακτηριστικής εξίσωσης Κριτήριο Ευστάθειας Hurwitz Το κριτήριο ευστάθειας Hurwitz είναι ένας τρόπος ελέγχου της ευστάθειας ενός συστήματος από τις τιμές των συντελεστών της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Από τους συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης (3.) σχηματίζεται η ορίζουσα Hurwitz n τάξης που έχει τη μορφή: n α α α 3 5 α α α o 0 α = 0 αo α 3 α α α n (3.)

66 Ευστάθεια Συστημάτων Ρύθμισης 63 Από την ορίζουσα αυτή προκύπτουν όλες οι ελάσσονες ορίζουσες Hurwitz Δ i, όπου I =,,, n-: = α α α = = αα αα o 3 α α 3 o 3 = α α 0 o α α α 3 α α α =α α α 3 +α o α α 5 α o α 3 α 4 α Η συνθήκη ευστάθειας Hurwitz διατυπώνεται ως εξής: Για να είναι ένα σύστημα με θετικούς συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης, ευσταθές πρέπει όλες οι ορίζουσες Hurwitz να είναι μεγαλύτερες του μηδενός. Δ i > 0 για i =,,..., n (3.3) ή εναλλακτικά οι ιδιοτιμές του πίνακα Δn να είναι θετικές, δηλαδή: Δ n λι = 0, λ i > 0 για i =,,, n. (3.4) Παράδειγμα 3.3: Προσδιορισμός της ευστάθειας με το κριτήριο Hourwitz Έστω ένα σύστημα με χαρακτηριστική εξίσωση: 0s 3 + 4s + 4s + = 0 Να βρεθεί αν το σύστημα είναι ευσταθές. Λύση Οι ορίζουσες Hurwitz είναι: Δ = Δ = = 4 4 0> 0 0 4

67 64 Ρύθμιση Συστημάτων Δ = 4 > 0 Επειδή δε και η Δ 3 = α 3 Δ > 0, το σύστημα είναι ευσταθές Κριτήριο Ευστάθειας Routh Για συστήματα ανώτερης τάξης ο υπολογισμός των οριζουσών Hurwitz είναι επίπονος, γι αυτό χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των οριζουσών, μπορούμε να φέρουμε την ορίζουσα Δ n- σε διαγώνια μορφή, δηλαδή μορφή όπου όλα τα στοιχεία αριστερά της διαγωνίου α α n να είναι μηδέν. Η τιμή της ορίζουσας αυτής είναι ίση με το γινόμενο των διαγώνιων ενώ η τιμή της ελάσσονας ορίζουσας Δ i είναι ίση με το γινόμενο των διαγώνιων στοιχείων μέχρι τη σειρά i. Για απλοποίηση των υπολογισμών ο Routh πρότεινε τη χρήση του παρακάτω πίνακα: Πίνακας Routh Στήλες Σειρές a o a a 4 a 6 a a 3 a 5 a 7 3 b b b 3 4 c c c 3 5 d d 6 e e 7 f 8 g όπου οι τιμές των b, b, b 3, c, c, συντελεστών υπολογίζονται από τις σχέσεις: b aa aa aa aa o 3 4 o 5 6 o 7 = b = b3 = a a a aa aa c ba ab = c b b ba ab = κλπ. Οι κανόνες ευστάθειας Routh διατυπώνονται ως εξής: Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για να έχουν όλες οι ρίζες της + G(s) = 0 αρνητικό πραγματικό μέρος (δηλαδή το σύστημα να είναι ευσταθές) είναι: όλοι οι συντελεστές της πρώτης στήλης του πίνακα Routh (a o, a, b, c, ) να είναι θετικοί διάφοροι του μηδενός.

68 Ευστάθεια Συστημάτων Ρύθμισης 65 Αν μερικοί όροι της πρώτης στήλης είναι αρνητικοί, ο αριθμός των ριζών με θετικό πραγματικό μέρος είναι ίσος με τον αριθμό αλλαγής προσήμων στην πρώτη στήλη. Εάν υπάρχει ένα ζεύγος καθαρά φανταστικών ριζών και όλες οι άλλες ρίζες έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος, τότε όλοι οι όροι της n γραμμής θα είναι 0. Για να βρούμε τις δύο φανταστικές ρίζες χρησιμοποιούμε την ακόλουθη εξίσωση: Cs + D = 0 (3.5) όπου C και D είναι τα στοιχεία της n- γραμμής και λαμβάνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά. Παράδειγμα 3.4: Προσδιορισμός της ευστάθειας με το κριτήριο Routh Να προσδιοριστούν οι συνθήκες που πρέπει να πληρούν οι συντελεστές χαρακτηριστικής εξίσωσης 4ης τάξης ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές. Λύση Η χαρακτηριστική εξίσωση έχει τη μορφή: a o s 4 + a s 3 + a s + a 3 s + a 4 = 0 Από αυτή κατασκευάζουμε τον πίνακα Routh: a o a a 4 a a b b 4 c 0 5 d aa aa o 3 όπου: b a = b = a4 c 3 o ba ab (a a aa)a a a = = b aa aa o 3 Οι συνθήκες για να είναι το σύστημα ευσταθές είναι:. a a a o a 3 > 0. (a a a o a 3 ) a 3 > a a 4

69 66 Ρύθμιση Συστημάτων Παράδειγμα 3.5 Να προσδιοριστεί η ευστάθεια συστήματος με χαρακτηριστική εξίσωση: s 4 + 6s 3 + s + 6s + 30 = 0 Λύση Ο πίνακας Routh είναι: Εξετάζοντας τα στοιχεία της πρώτης στήλης:, 6, 0, -, 30, παρατηρούμε ότι υπάρχουν δύο αλλαγές σημείου, άρα δύο ρίζες βρίσκονται στο δεξί ημιεπίπεδο του μιγαδικού επιπέδου και το σύστημα είναι ασταθές. Παράδειγμα 3.6 Να ευρεθούν τα όρια μεταβολής του Κ ώστε να είναι ευσταθές το σύστημα που έχει χαρακτηριστική εξίσωση: s 3 + 6s + s + (6 + Κ) = 0 Λύση Ο πίνακας Routh για το σύστημα είναι: Κ 3 b 0 4 c 0 b 6 6+ K = = 60 K ; K b 0 c = = 6+ K b Για να είναι το σύστημα ευσταθές πρέπει: b > 0 και c > 0 60 Κ > 0 και 6 + Κ > 0 Κ < 60 και Κ > 6

70 Ευστάθεια Συστημάτων Ρύθμισης 67 Για αυτές τις τιμές του Κ το σύστημα θα είναι ευσταθές. Για να έχουμε δύο φανταστικές ρίζες πρέπει το στοιχείο της n σειράς να είναι μηδέν, δηλαδή Κ = 60. Οι δύο φανταστικές ρίζες βρίσκονται από την εφαρμογή της εξίσωσης (3.5): Cs + D = 0 ; 6s + 66 = 0 ; s =± i Παράδειγμα 3.7: Ανάλυση ευστάθειας με το κριτήριο Routh Έστω το σύστημα ανάδρασης του Παραδείγματος 3.. Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: s 3 + s + (+K c )s + K τ Ι c = 0 Μπορούμε τώρα να σχηματίσουμε τον πίνακα Routh: Σειρά +K c Kc 3 ( K) c K c /τι 4 Kc τ Ι τ + 0 Τα στοιχεία της πρώτης στήλης είναι: Ι (+ K) K /τ K,,, τ c c Ι c Ι Όλα είναι πάντα θετικά εκτός από το τρίτο, που μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό, ανάλογα με τις τιμές των K c και τ Ι. Αν K c = 00 και τ Ι = 0., το τρίτο στοιχείο γίνεται 398 < 0, πράγμα που σημαίνει ότι το σύστημα είναι ασταθές. Υπάρχουν δύο αλλαγές προσήμου στα στοιχεία της πρώτης στήλης. Άρα, υπάρχουν δύο ρίζες με θετικά πραγματικά μέρη (βλέπε Παράδειγμα 3.). Αν K c = 0 και τ Ι = 0.5, το τρίτο στοιχείο ισούται με + > 0 και το σύστημα είναι ευσταθές αφού όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης είναι θετικά. Γενικά το σύστημα θα είναι ευσταθές αν τα K c και τ Ι. ικανοποιούν την συνθήκη:

71 68 Ρύθμιση Συστημάτων (+K c ) > K τ Ι c Παράδειγμα 3.8: Κρίσιμες συνθήκες ευστάθειας για ένα κύκλωμα ανάδρασης Ας επιστρέψουμε στο Παράδειγμα 3.7 και έστω ότι τ Ι = 0.. Τότε το τρίτο στοιχείο της πρώτης στήλης του πίνακα Routh γίνεται: [ ( + Κ c ) 0Κ c ] / Η τιμή του K c που μηδενίζει το τρίτο στοιχείο είναι: K c = 0.5 Και αποτελεί την κρίσιμη συνθήκη για το σύστημα ΡΙ ρύθμισης με ανάδραση. Άρα, σύμφωνα με το κριτήριο Routh Hurwitz έχουμε: Αν Κ c < 0.5, όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα Routh είναι θετικά και το σύστημα είναι ευσταθές (δηλαδή όλες οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης βρίσκονται αριστερά του φανταστικού άξονα). Αν Κ c > 0.5, το τρίτο στοιχείο της πρώτης στήλης του πίνακα Routh γίνεται αρνητικό. Έχουμε δύο αλλαγές προσήμου στα στοιχεία της πρώτης στήλης. Άρα, δύο ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης θα βρίσκονται δεξιά του φανταστικού άξονα. Από τα παραπάνω είναι προφανές ότι καθώς το K c αυξάνει, δύο ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης μετακινούνται προς τον φανταστικό άξονα και όταν K c = 0.5 θα έχουμε δύο ρίζες στον φανταστικό άξονα. Παρατήρηση: Οι δύο καθαρά φανταστικές ρίζες μπορούν να βρεθούν από τη λύση της εξίσωσης (3.5): s + K c / τ Ι = 0 δηλαδή s / 0. = 0 ; s, = ± i.58

72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Γεωμετρικός τόπος των πόλων Οι θέσεις των πόλων της χαρακτηριστικής εξίσωσης ενός συστήματος αυτόματου ελέγχου στο μιγαδικά επίπεδο καθορίζουν την ευστάθειά του και επηρεάζουν τη μεταβατική του απόκριση. Γι αυτό, ο προσδιορισμός των πόλων ενός συστήματος είναι ένα πρόβλημα που έχει ιδιαίτερη σημασία. Ένα από τα κύρια προβλήματα σχεδίασης συστημάτων αυτόματου ελέγχου είναι ο προσδιορισμός των παραμέτρων ενός ελεγκτή έτσι ώστε οι πόλοι του κλειστού συστήματος να καταλαμβάνουν νέες επιθυμητές θέσεις στο μιγαδικό επίπεδο. Ο ελεγκτής σε μία πολύ απλή του μορφή (αναλογικός ελεγκτής) θα έχει μια παράμετρο, τη σταθερά ενίσχυσης, K c. Η μεταβολή της σταθεράς K c, έχει ως αποτέλεσμα τη μετατόπιση της θέσης των πόλων του κλειστού συστήματος στο μιγαδικό επίπεδο. Ο γεωμετρικός τόπος των πόλων (γ.τ.π.) της χαρακτηριστικής εξίσωσης του κλειστού συστήματος, που διαγράφεται στο επίπεδο του s καθώς το K c μεταβάλλεται, αποτελεί το θέμα μελέτης του παρόντος κεφαλαίου. 4. Διερεύνηση της Χαρακτηριστικής Εξίσωσης Η χαρακτηριστική εξίσωση του κλειστού συστήματος του σχήματος. δίνεται από τη σχέση: + G(s) = 0 ; G(s) = G(s)G c p(s)g v(s)g m(s) (4.) H συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού κυκλώματος G(s) είναι το γινόμενο όλων των συναρτήσεων μεταφοράς στο κλειστό κύκλωμα και γράφεται εναλλακτικά ως εξής: 69

73 70 Ρύθμιση Συστημάτων m (s z j) (s z)(s z )...(s z m ) j= G (s) = C = C (4.) n (s p)(s p)...(s pn ) (s p ) i= όπου z i είναι τα μηδενικά και p i οι πόλοι της G(s). Η σταθερά C συνδέεται με τη σταθερά ενίσχυσης του ανοικτού βρόχου σε μόνιμη κατάσταση, Κ, σύμφωνα με τη σχέση: i m ( zi ) K C (4.3) = n ( p ) i Η σταθερά C όπως και η Κ εξαρτώνται από την αναλογική ενίσχυση Κ c του ελεγκτή. Αντικαθιστώντας την εξίσωση (4.) στην εξίσωση (4.) λαμβάνουμε: n m n i (s P i) = 0 i= j= i= s p ) + C (s zj) = C ( (4.4) όπου P i είναι οι πόλοι (ρίζες) της χαρακτηριστικής εξίσωσης στο κλειστό κύκλωμα. Για K c =0 (σύστημα ανοικτού κυκλώματος) η σταθερά C=0 και οι ρίζες της (4.4) συμπίπτουν με τους πόλους της G(s). Για K c οι ρίζες της (4.4) τείνουν προς τις μηδενικές θέσεις της G(s) ανοικτού κυκλώματος. Για να υπολογισθούν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης για ενδιάμεσες τιμές του K c, θα πρέπει να επιλυθεί η (4.4) για κάθε τιμή του K c. Η επίλυση της (4.4) δεν είναι εύκολη, επειδή η χαρακτηριστική εξίσωση είναι συνήθως ανώτερη του 3ου βαθμού. Για την εύρεση του γεωμετρικού τόπου των ριζών της εξίσωσης (4.4) για διάφορες τιμές του Κ c χρησιμοποιείται η ακόλουθη μέθοδος. Η εξίσωση (4.) γράφεται υπό τη μορφή: (s z )(s z )...(s z C (s p )(s p )...(s p n ) = ) m (4.5) Από τη θεωρία των μιγαδικών αριθμών γνωρίζουμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός (α+ib) μπορεί να γραφεί εναλλακτικά συναρτήσει του μέτρου του και της γωνίας φ ως εξής: α + ib = r(cos φ + isin φ) (4.6)

74 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων 7 όπου / r = (a + b) και φ = arctan(b / a) (4.7) Εάν α είναι ένας αρνητικός πραγματικός αριθμός και b=0, η εξίσωση (4.6) γίνεται: a = a (cosπ + isin π) (4.8) Εάν α είναι θετικός αριθμός τότε, η εξίσωση (4.6) γράφεται: a = a (cos0 + isin 0) (4.9) Για να ισχύει λοιπόν η εξίσωση (4.5) σύμφωνα με τη διατύπωση των εξισώσεων (4.8) και (4.9), πρέπει το αριστερό μέρος της (4.5) να παριστά διάνυσμα με μέτρο και γωνία (ρ+)π για C ή (K c ) (0,+ ) και γωνία ρπ για C ή (K c ) (-,0): m j= C n i= s z s p j i =, < C < + (4.0) m n = = (ρ + )π,c > 0 ( s z j) (s pi) = (4.) j i ρπ,c< 0 για ρ = 0, ±, ±,... Η θέση των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης βρίσκεται από τις εξισώσεις (4.0) και (4.) με τη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων. Η εξίσωση (4.) ονομάζεται κριτήριο των γωνιών, είναι ανεξάρτητη του Κ c και χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του γεωμετρικού τόπου των ριζών. Για να ανήκει δηλαδή ένα σημείο στον τόπο θα πρέπει να ικανοποιεί το κριτήριο γωνιών. Αφού κατασκευασθεί ο τόπος, η συγκεκριμένη θέση των ριζών για κάθε τιμή Κ c βρίσκεται στη συνέχεια με τη βοήθεια της εξίσωσης (4.0), που ονομάζεται κριτήριο του μέτρου. Παράδειγμα 4. Χρήση των κριτηρίων του μέτρου και των γωνιών. Θεωρούμε ένα σύστημα ρύθμισης με συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου: Kc(τds + ) G(s) = (4.) (τ s + )(τ s + )(τ s + ) 3

75 7 Ρύθμιση Συστημάτων ή όπου C(s + / τd ) G(s) = (4.3) (s + / τ )(s + / τ )(s + / τ ) C = K c τd τ τ τ 3 3 Οι πόλοι της συνάρτησης G(s) είναι: s = -/τ, s = -/τ, s 3 = -/τ 3 και η μηδενική θέση z = - /τ d. H χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος ρύθμισης G(s) + =0 είναι τρίτου βαθμού, υπάρχουν επομένως για κάθε τιμή K c τρεις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Στο σχήμα 4. σημειώνονται οι πόλοι και η μηδενική θέση της G(s). Για να αποτελεί το σημείο s o (σχήμα 4.) σημείο του τόπου ριζών, θα πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση (4.) για C >0, δηλαδή: ψ 3 + φ φ φ = (ρ )π (4.4) Im s o α 3 α α τ 3 β τ d ψ φ 3 φ φ τ Περιοχές του τόπου τ Re Σχήμα 4.: Χρήση του κριτηρίου γωνιών για τον προσδιορισμό του τόπου ριζών. Μετατοπίζοντας τη θέση του s o στο (Im-Re) επίπεδο μπορούμε να προσδιορίσουμε τα σημεία εκείνα που ικανοποιούν το κριτήριο γωνιών, δηλαδή να προσδιορίσουμε το (γ.τ.π.). Για να υπολογίσουμε την τιμή του Κ c ή C για την οποία το σημείο s o αποτελεί μέρος του γ.τ.π., χρησιμοποιούμε το κριτήριο του μέτρου, δηλαδή την εξίσωση (4.0). C α β α α 3 = (4.5)

76 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων 73 όπου α, α, α 3 είναι τα διανύσματα που ορίζονται από τα σημεία (-/τ, s o ), (-/τ, s o ) και (-/τ 3, s o ) αντίστοιχα και β το διάνυσμα που ορίζεται από τη μηδενική ρίζα της G(s) προς το σημείο s o. 4. Κανόνες για τον Προσδιορισμό του Γεωμετρικού Τόπου των Πόλων Ο προσδιορισμός του (γ.τ.π.) ενός συστήματος αυτόματου ελέγχου αρνητικής ανάδρασης απλοποιείται πολύ αν χρησιμοποιηθούν οι ακόλουθοι κανόνες:. Ο αριθμός των κλάδων του (γ.τ.π.) ισούται με τον αριθμό των πόλων της G(s).. Κάθε κλάδος ξεκινάει από ένα πόλο της G(s) και καταλήγει σε μία μηδενική θέση της G(s). Για όλα τα φυσικά συστήματα ο αριθμός των μηδενικών θέσεων είναι μικρότερος ή ίσος με τον αριθμό των πόλων αφού m n. όταν m < n, τότε n-m κλάδοι του τόπου καταλήγουν σε μηδενικά τοποθετημένα στο άπειρο των n-m ασυμπτώτων. Στην περίπτωση ενός πόλου πολλαπλότητας q, q κλάδοι ξεκινούν από τον πόλο αυτό του γ.τ.π.. 3. Οι τόποι είναι συμμετρικοί ως προς τον άξονα των πραγματικών αριθμών. 4. Ένα σημείο του άξονα των πραγματικών αριθμών ανήκει στο (γ.τ.π.) όταν ο αριθμός των μηδενικών και πόλων δεξιά του υπόψη σημείου είναι περιττός. Στο παράδειγμα του σχήματος 4. το μέρος του (γ.τ.π.) στον άξονα των πραγματικών αριθμών βρίσκεται μεταξύ των δύο πόλων -/τ και -/τ και μεταξύ της μηδενικής θέσης στο -/τ d και του πόλου στο -/τ Aσύμπτωτοι: Οι (n-m) κλάδοι του (γ.τ.π.) καταλήγουν σε μηδενικές θέσεις που βρίσκονται στο ± άπειρο των ασύμπτωτων του γ.τ.π., που ξεκινούν ακτινωτά από το κέντρο βάρους του (γ.τ.π.). Οι ασύμπτωτες αυτές σχηματίζουν μεταξύ τους γωνίες ίσες με την τιμή π/(n-m), ενώ σχηματίζουν με τη θετική κατεύθυνση του άξονα των πραγματικών αριθμών γωνίες: ( k + )π /(n m) όπου k = 0,,,...,n m (4.6) Η σχετική θέση των ασύμπτωτων για n-m=,, 3 και 4 δίνεται στο σχήμα 4.. Το σημείο στον άξονα των πραγματικών αριθμών απ όπου ξεκινούν οι ασύμπτωτοι ονομάζεται κέντρο βάρους, γ, και υπολογίζεται από τη σχέση: γ n m = pi z j i = j= /(n m) (4.7)

77 74 Ρύθμιση Συστημάτων 80 n-m= Re n-m= Re (α) Μία ασύμπτωτος, n-m= (β) Δύο ασύμπτωτοι, n-m= n-m= Re n-m=4 Re (γ) Τρεις ασύμπτωτοι, n-m=3 (δ) Τέσσερις ασύμπτωτοι, n-m=4 Σχήμα 4.: Σχετική θέση ασύμπτωτων. 6. Οι κλάδοι απομακρύνονται ή πλησιάζουν τον άξονα των πραγματικών αριθμών σχηματίζοντας μαζί του ορθή γωνία (± π/). Το σημείο απομάκρυνσης ή άφιξης των κλάδων από (στον) άξονα των πραγματικών αριθμών, s o, υπολογίζεται από τη σχέση: n = m i= so pi j= so z j (4.8) όπου s o είναι η αριθμητική τιμή του σημείου απομάκρυνσης (άφιξης). Αν υπάρχει ένα ζευγάρι συζυγών μιγαδικών πόλων, η εξίσωση (4.8) μπορεί να γραφεί εναλλακτικά ως: n + (s α) i= (so pi) (s α) + b j= (so zj) = m (4.9) όπου p, = α ± ib είναι το ζεύγος των μιγαδικών πόλων. Αν υπάρχει ένα ζευγάρι συζυγών μιγαδικών μηδενικών, η εξίσωση (4.8) γίνεται αντίστοιχα, n i= (s = (s α) m o pi) (s α) + b j= (so z j) + (4.0) όπου z, = α + ib είναι το ζεύγος των μιγαδικών μηδενικών.

78 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων Οι κλάδοι που ξεκινούν από έναν απλό πόλο ή φτάνουν σε ένα απλό μηδενικό στον άξονα των πραγματικών αριθμών σχηματίζουν γωνία 0 ή π με τη θετική φορά του άξονα Re. Οι κλάδοι που ξεκινούν από έναν πόλο, p k, πολλαπλότητας q σχηματίζουν με τη θετική κατεύθυνση του άξονα Re τις ακόλουθες γωνίες: θ m n = (ρ + )π + (pk z j) (pk pi) (4.) q j= i= i k για ρ = 0,,,..., q-. Αντίστοιχη σχέση ισχύει για τον προσδιορισμό των γωνιών που σχηματίζουν οι κλάδοι του γ.τ.π. με τη θετική κατεύθυνση του άξονα Re, στην περίπτωση που q κλάδοι πλησιάζουν τη μηδενική θέση z k πολλαπλότητας q: φ n m = (ρ + )π + (zk pi) (zk zj) (4.) q i= j= j k Παράδειγμα 4.: Προσδιορισμός του γεωμετρικού τόπου των πόλων Δίνεται η ακόλουθη συνάρτηση μεταφοράς G(s): G(s) = (τ s K + )(τ s + )(τ s c 3 + ) ή G(s) = (s C p)(s p )(s p 3 ) όπου p i = ; C = τ i τ K τ c τ 3 Αν τ =, τ = 0.5, τ 3 = 0.33, να κατασκευάσετε τον λεπτομερή γεωμετρικό τόπο των πόλων. Οι πόλοι της G(s) θα είναι: p = -, p = -, p 3 = -3. Οπότε η G(s) γράφεται εναλλακτικά: G(s) = (s + )(s C + )(s + 3) Ακολούθως, εφαρμόζουμε τους κανόνες (-7) για τον προσδιορισμό του (γ.τ.π.).

79 76 Ρύθμιση Συστημάτων. n=3. Άρα ο (γ.τ.π.) θα έχει τρεις κλάδους.. n-m=3. Άρα θα υπάρχουν τρία μηδενικά τοποθετημένα στο άπειρο αντίστοιχων ασυμπτώτων. Οι κλάδοι του (γ.τ.π.) θα εκκινούν από τους πόλους της G(s) και θα καταλήγουν ασυμπτωτικά στα μηδενικά που είναι τοποθετημένα στο ± άπειρο των τριών ασύμπτωτων. 3. Ο τόπος είναι συμμετρικός ως προς τον Re άξονα. 4. Μέρος του Re ανήκει στον γ.τ.π.. Συγκεκριμένα τα διαστήματα [, ], [, 3] ανήκουν στο (γ.τ.π.). 5. Υπάρχουν τρεις ασύμπτωτες (n-m=3) που σχηματίζουν με τη θετική κατεύθυνση του άξονα Re τις ακόλουθες γωνίες: ( k + )π 3 ; Για π k = 0, φ =, k =, φ = π, k =, φ3 3 = 5π 3 Το κέντρο βάρους γ του (γ.τ.π.) είναι: γ = n p m i i= j= n m z j ( 3) = = 3 6. Το σημείο απομάκρυνσης των κλάδων από τον πραγματικό άξονα βρίσκεται από την επίλυση της εξίσωσης (4.8), με τη μέθοδο δοκιμής και σφάλματος. 0 = + + s+ s+ s+ 3 ; s o =.4 Για να βρούμε τα σημεία που οι κλάδοι του (γ.τ.π.) τέμνουν τον άξονα των φανταστικών αριθμών και την αντίστοιχη τιμή του Κ c εφαρμόζουμε το κριτήριο Routh. H χαρακτηριστική εξίσωση του κλειστού κυκλώματος είναι: s 3 + 6s + s + C + 6 = 0 Ακολούθως κατασκευάζουμε τη στήλη του Routh: n n C b 6 ( ) ( C+ 6) b = = 0 6 Kc C = 60 = 60 Kc = s + (6+ C) = 0 s=± i

80 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων 77 Άρα για K c,max =0 η χαρακτηριστική εξίσωση θα έχει δύο καθαρά φανταστικούς πόλους στις θέσεις ± i. Ο λεπτομερής (γ.τ.π.) σχεδιάζεται στο σχήμα 4.. Im + i Re i Σχήμα 4.: Κατασκευή του γεωμετρικού τόπου των πόλων. Παράδειγμα 4.3 Προσδιορισμός του γ.τ.π. συστήματος αυτόματου ελέγχου Να κατασκευάσετε το (γ.τ.π.) του ακόλουθου συστήματος ρύθμισης συναρτήσει του Κ c. Y sp + - K ( c + s+ 3 3s ) ( 0s+ )( 0s+ ) Y(s) 0,5s + Υπολογίζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού κυκλώματος G(s): C(s z)(s z) G(s) = s(s p )(s p )(s p 3 ) όπου C = K c /50 ; z = -0,5, z = - και p = -0,05, p = -0,, p 3 = -, p 4 = 0. Πρώτα τοποθετούμε τους πόλους και τα μηδενικά της G(s) στο επίπεδο (Re-Im). Ακολούθως εφαρμόζουμε τους κανόνες (-7) προσδιορισμού του (γ.τ.π.).

81 78 Ρύθμιση Συστημάτων. Αριθμός κλάδων, n=4.. Αριθμός ασυμπτώτων, n-m = 4- =. 3. Ο (γ.τ.π.) είναι συμμετρικός ως προς τον άξονα Re. 4. Ο άξονας Re είναι μέρος του τόπου. Συγκεκριμένα τα διαστήματα [-, -], [-0.5, -0.] και [-0.05, 0] ανήκουν στο (γ.τ.π.). 5. Οι γωνίες ασυμπτώτων είναι: π 3, π. Το κέντρο βάρους του (γ.τ.π.) είναι: γ = Το σημείο αναχώρησης των κλάδων είναι: = + so = 0.05,0.0 s s+ s+ 0. s s+ 0.5 s+ [ ] Εφαρμόζοντας τη μέθοδο Routh, βρίσκουμε ότι υπάρχουν δύο τιμές του Κ c, για τις οποίες ο τόπος ριζών τέμνει τον Im άξονα. Αυτές είναι: K c = 0,6 K c = 360 s = ± 0, i s = ±, i άρα για 0,6 < K c < 360 το σύστημα θα είναι ασταθές. Im Re Σχήμα 4.3: Κατασκευή του γεωμετρικού τόπου των πόλων. Μερικά τυπικά παραδείγματα γεωμετρικών τόπων των πόλων δίνονται στον πίνακα 4..

82 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων 79 Πίνακας 4.: Τυπικά παραδείγματα γεωμετρικών τόπων των πόλων.

83 80 Ρύθμιση Συστημάτων 4.3 Εφαρμογή του Γεωμετρικού Τόπου των Πόλων στη Ρύθμιση 4.3. Διεργασία δεύτερης τάξης κάτω από αναλογική ρύθμιση Η συνάρτηση ανοικτού κυκλώματος G(s) για σύστημα δεύτερης τάξης με αναλογική ρύθμιση, έχει την ακόλουθη μορφή: G(s) = K C = (τ s + )(τ s + ) (s + / τ )(s / τ ) (4.3) + Όπως φαίνεται από το σχήμα 4.4, ο τόπος των πόλων δεν περνά στο δεξιό μισό μέρος του μιγαδικού επιπέδου για οποιαδήποτε τιμή του C. Για μικρές τιμές C (ή Κ c ) υπάρχουν δύο πραγματικές ρίζες, η απόκριση του συστήματος θα είναι υπεραποσβεσμένη. Για μεγαλύτερες τιμές του C οι κλάδοι του γ.τ.π. αφήνουν τον άξονα των πραγματικών αριθμών, εμφανίζονται δηλαδή δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες και η απόκριση αρχίζει να ταλαντώνεται. Συνεπώς, η συχνότητα των ταλαντώσεων αυξάνεται καθώς αυξάνεται η τιμή του K c. Im Re τ τ Σχήμα 4.4: Γεωμετρικός τόπος των πόλων συστήματος δεύτερης τάξης κάτω από αναλογική ρύθμιση Αναλογική και ολοκληρωτική ρύθμιση Η συνάρτηση ανοικτού κυκλώματος στην περίπτωση αυτή είναι: G(s) K( + / τ is) C(s + / τ i ) = = (4.4) (τ s + )(τ s + ) s(s + / τ )(s + / τ ) Προστίθεται δηλαδή ένας πόλος στη θέση s=0 και ένα μηδενικό στη θέση -/τ i. Επομένως η μορφή που θα πάρει ο γ.τ.π. εξαρτάται από την τιμή του τ i.

84 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων 8 Σχήμα 4.5: Τόπος ριζών διεργασίας δεύτερης τάξης κάτω από αναλογική + ολοκληρωτική ρύθμιση. Στο σχήμα 4.5 δίνονται οι χαρακτηριστικές μορφές του (γ.τ.π.) για τρεις διαφορετικές περιπτώσεις του τ i : (α) (β) (γ) Όταν Όταν Όταν < < ή τ i > τ > τ τ τ τ i < < ή τ > τ i > τ τ τ τ i < < ή τ > τ > τ i τ τ τ i Όπως φαίνεται στο σχήμα 4.5(α), για μεγάλες τιμές του τ i το σύστημα παραμένει ευσταθές για όλες τις τιμές του Κ c. Παρατηρούμε εν τούτοις ότι ο γεωμετρικός τόπος των πόλων έχει μετατοπιστεί προς τα δεξιά του μέσου των πόλων στο - /τ και - /τ, δηλαδή η απόσβεση των ταλαντώσεων θα είναι ασθενέστερη στην περίπτωση που έχουμε ασθενείς μιγαδικές ρίζες (μικρότερο πραγματικό μέρος ριζών) σε σύγκριση με την απόσβεση συστήματος με αναλογική ρύθμιση (σχήμα 4.4). Στην περίπτωση που τ < τ i < τ, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.5(β), ο τόπος έχει μετατεθεί δεξιά μεταξύ των πόλων μηδέν και -/τ. Επομένως αν και το σύστημα παραμένει ευσταθές για όλες τις τιμές του Κ c, εν τούτοις η απόκριση θα ταλαντώνεται εντονότερα.

85 8 Ρύθμιση Συστημάτων Στην τρίτη περίπτωση μικρών τιμών του τ i, οι ασύμπτωτοι του γ.τ.π. μπορεί να περάσουν στο δεξιό μέρος του (Im-Re) επιπέδου. Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα για Κ c μεγαλύτερο από μια ορισμένη τιμή γίνεται ασταθές. (σχήμα 4.5(γ)) Αναλογική και διαφορική ρύθμιση Η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού κυκλώματος για διεργασία δεύτερης τάξης κάτω από αναλογική-διαφορική ρύθμιση είναι: G(s) K( + / τ ds) C(s + / τ d ) = = (4.5) (τ s + )(τ s + ) (s + / τ )(s + / τ ) Προστίθεται δηλαδή μια μηδενική θέση στο s = -/τ d. Im Im Im Re Re Re Σχήμα 4.6: Σύστημα δεύτερης τάξης κάτω από αναλογική-διαφορική ρύθμιση. (α) τ d < τ < τ, (β) τ < τ d < τ, (γ) τ < τ < τ d. H μορφή του τόπου εξαρτάται και πάλι από τη σχετική θέση των τ, τ, και τ d. Οι τρεις χαρακτηριστικές περιπτώσεις έχουν σχεδιαστεί στο σχήμα 4.6 (α, β, και γ). Όπως φαίνεται από το σχήμα 4.6(α), έστω και για μικρές τιμές τ d, το σύστημα παρουσιάζεται πιο ευσταθές σε σχέση με την περίπτωση της αναλογικής ρύθμισης, αφού ο τόπος ριζών κάμπτεται και επιστρέφει στον άξονα των πραγματικών αριθμών για μεγάλες τιμές του K c. Όπως φαίνεται από τους τόπους 4.6(β) και 4.6(γ), για μεγαλύτερες τιμές τ d το σύστημα είναι υπεραποσβεσμένο για όλες τις τιμές του K c Αναλογική + Ολοκληρωτική + Διαφορική ρύθμιση Η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού κυκλώματος δίνεται στην περίπτωση αυτή από τη σχέση:

86 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων 83 G(s) K( + τ ds + / τ is) C(s + / τ ds + / τ dτi ) = = (4.6) (τ s + )(τ s + ) s(s + / τ )(s + / τ ) Προστίθεται δηλαδή ένας πόλος στη θέση s = 0 και δύο μηδενικές θέσεις, που μπορεί να έχουν πραγματικές ή μιγαδικές τιμές, ανάλογα με τη σχετική τιμή των τ i και τ d. Για 4 τ d > τ i, το πολυώνυμο του αριθμητή της G(s) θα έχει δύο μιγαδικά μηδενικά. Αντίθετα, για 4 τ d < τ i τα μηδενικά του πολυωνύμου του αριθμητή της G(s) θα είναι αρνητικά πραγματικά. Οι αντίστοιχοι (γ.τ.π.) φαίνονται στο σχήμα 4.7 (α και β). Im Im Re Re Σχήμα 4.7: Σύστημα δεύτερης τάξης κάτω από αναλογική + ολοκληρωτική + διαφορική ρύθμιση. (α) δύο συζυγείς μιγαδικές μηδενικές θέσεις (4τ d > τ i ), (β) δύο άνισες πραγματικές μηδενικές θέσεις (4τ d > τ i ). 4.4 Συστήματα Ρύθμισης με Θετική Ανάδραση Για συστήματα ρύθμισης με θετική ανάδραση, η σταθερά ενίσχυσης Κ (βλέπε εξίσωση 4.3) στη μόνιμη κατάσταση θα είναι αρνητική. Έτσι για να προσδιορίσουμε το (γ.τ.π.) της χαρακτηριστικής εξίσωσης συστημάτων θετικής ανάδρασης θα πρέπει να τροποποιήσουμε τους κανόνες 4, 5 και 7 της ενότητας 4. ως εξής: Κανών 4: Ένα σημείο του άξονα των πραγματικών αριθμών ανήκει στο (γ.τ.π.) όταν ο αριθμός των μηδενικών και πόλων δεξιά του υπόψη σημείου είναι άρτιος ή μηδέν. Κανών 5: Οι ασύμπτωτες σχηματίζουν με τη θετική φορά του άξονα Re γωνίες που δίνονται από την εξίσωση: kπ n m όπου k = 0,,,, n m (4.7)

87 84 Ρύθμιση Συστημάτων Κανών 7: Οι γωνίες αναχώρησης/άφιξης των κλάδων από ένα πόλο/μηδενικό θα υπολογίζονται από τις εξισώσεις (4.) και (4.) μετά από αντικατάσταση του όρου (ρ+)π με τον όρο ρπ. Όλοι οι άλλοι κανόνες (,, 3 και 6) εφαρμόζονται όπως διατυπώθηκαν για τα συστήματα αρνητικής ανάδρασης Ρύθμιση διεργασιών με νεκρό χρόνο Θεωρούμε το ακόλουθο σύστημα ρύθμισης: Y sp + - K c ( τ s+ )( τ s+ ) Y(s) e τs Η συνάρτηση μεταφοράς της βαθμίδας νεκρού χρόνου είναι G m (s) = e -τs. Για να κατασκευάσουμε το (γ.τ.π.), η εκθετική συνάρτηση μεταφοράς γράφεται σύμφωνα με την προσέγγιση κατά Pade ως εξής: e + τs / τs / s s τ s = + / / τ τ (4.8) Η προσέγγιση (4.8) θα ισχύει για μικρές τιμές του νεκρού χρόνου. Η εμφάνιση του αρνητικού προσήμου στην εξίσωση (4.8) συνεπάγεται την εισαγωγή θετικής ανάδρασης. έτσι, η χαρακτηριστική εξίσωση του κλειστού κυκλώματος γίνεται: K c (s / τ) = 0 (4.9) (τ s + )(τ s + )(s + / τ) Συνεπώς, για να κατασκευάσουμε το (γ.τ.π.) της χαρακτηριστικής εξίσωσης, θεωρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού κυκλώματος, G(s) K c (s / τ) = (4.30) (τ s + )(τ s + )(s + / τ) και ακολούθως εφαρμόζουμε τους τροποποιημένους κανόνες (-7) προσδιορισμού του (γ.τ.π.). Εάν υποθέσουμε ότι τ =, τ = και τ=0.5 τότε μπορούμε να δείξουμε ότι ο (γ.τ.π.) θα δίνεται όπως στο σχήμα 4.8.

88 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων 85 Παρατηρούμε ότι η ύπαρξη νεκρού χρόνου εισάγει ένα θετικά μηδενικά στο δεξιό μέρος του επιπέδου (Im-Re). Αυτά έχει σαν αποτέλεσμα την αποσταθεροποίηση της ευσταθούς διεργασίας για μεγάλες τιμές της αναλογικής ενίσχυσης K c. Σχήμα 4.8: Κατασκευή του (γ.τ.π.) διεργασίας με νεκρό χρόνο Διεργασίες με αντίστροφη απόκριση Μερικές φορές, διεργασίες στο ανοικτά κύκλωμα παρουσιάζουν αντίστροφη απόκριση (inverse response) σε βηματική μεταβολή της μεταβλητής εισόδου. Στο σχήμα 4.9 σχεδιάζεται η απόκριση μιας κανονικής διεργασίας δεύτερης τάξης σε βηματική μεταβολή και η απόκριση μιας διεργασίας δεύτερης τάξης με αντίστροφη απόκριση. Σχήμα 4.9: Απόκριση διεργασίας δεύτερης τάξης (α) και αντίστροφη απόκριση διεργασίας δεύτερης τάξης (β). Η αντίστροφη απόκριση οφείλεται στην ύπαρξη θετικών μηδενικών. Έτσι, η συνάρτηση μεταφοράς της διεργασίας του σχήματος 4.9(α) θα δίνεται από τη σχέση:

89 86 Ρύθμιση Συστημάτων G p (s) = K p (τ s + )(τ s + ) (4.3) ενώ η συνάρτηση μεταφοράς της διεργασίας αντίστροφης απόκρισης του σχήματος 4.9(β) θα δίνεται από τη σχέση: G p (s) K p ( τs + ) = (4.3) (τ s + )(τ s + ) Για την κατασκευή του (γ.τ.π.) διεργασιών με θετικά μηδενικά, ακολουθούμε τους τροποποιημένους κανόνες (-7) των συστημάτων θετικής ανάδρασης. Παράδειγμα 4.4 Να κατασκευάσετε το (γ.τ.π.) της συνάρτησης μεταφοράς ανοικτού κυκλώματος: G(s) = ( 3s + )K c + (s + )(5s + ) Η χαρακτηριστική εξίσωση του κλειστού κυκλώματος είναι: 5s + (6 3K c )s+ + Kc = 0 Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ότι για K c > το σύστημα στο κλειστό κύκλωμα θα είναι ασταθές. Ακολουθώντας τους τροποποιημένους κανόνες (-7) κατασκευής του (γ.τ.π.), λαμβάνουμε το (γ.τ.π.) του σχήματος 4.0.

90 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων 87 Σχήμα 4.0: Κατασκευή του (γ.τ.π.) διεργασίας με αντίστροφη απόκριση. 4.5 Ρύθμιση Ασταθών Διεργασιών Διεργασίες που έχουν θετικούς πόλους στο επίπεδο (Im-Re) θα είναι ασταθείς στο ανοικτό κύκλωμα. Οι ασταθείς διεργασίες είναι δυνατό να γίνουν ευσταθείς στο κλειστό κύκλωμα κάτω από κατάλληλη επιλογή των παραμέτρων του ελεγκτή Ασταθής διεργασία πρώτης τάξης Έστω η ασταθής διεργασία πρώτης τάξης: G K p (s) = ; s / τ (4.33) τs p = Η διεργασία (4.33) μπορεί να γίνει ευσταθής κάτω από αναλογική ρύθμιση. Y sp + - K c K p τ s Y(s) Η χαρακτηριστική εξίσωση του κλειστού κυκλώματος είναι: K p K c K c K p + G(s) = 0 = + ; s = (4.34) τs τ Έτσι, για K c > /K p το σύστημα θα είναι ευσταθές γιατί θα έχει ένα πόλο στο αριστερό μέρος του μιγαδικού επιπέδου. Στο σχήμα 4. σχεδιάζεται ο (γ.τ.π.) της διεργασίας. K c > K p Im Kc = K K = τ p Re

91 88 Ρύθμιση Συστημάτων Σχήμα 4.: Κατασκευή του (γ.τ.π.) ασταθούς διεργασίας πρώτης τάξης Ασταθής διεργασία δεύτερης τάξης Δίνεται η ασταθής διεργασία δεύτερης τάξης: G p (s) = K p (τ s + )(τ s ) (4.35) Η διεργασία μπορεί να γίνει ευσταθής κάτω από αναλογική ρύθμιση. Η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού κυκλώματος θα είναι: τ τ s + (τ τ)s + K ck p = 0 (4.36) Σχηματίζουμε τη στήλη Routh : 3 τ τ K c K p - τ -τ 0 K c K p - Παρατηρούμε ότι το σύστημα θα είναι ευσταθές στο κλειστό κύκλωμα εάν ικανοποιούνται οι σχέσεις: τ > τ και K > / K Στην περίπτωση αυτή ο (γ.τ.π.) θα είναι: c p K c τ > K p Im Kc = K K = + τ p Re Σχήμα 4.: Κατασκευή του (γ.τ.π.) ασταθούς διεργασίας δεύτερης τάξης.

92 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων Παράδειγμα 4.5 Έστω το ακόλουθο σύστημα ρύθμισης που φαίνεται του Σχήματος 4.3. Αυτό το σύστημα μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από μια διαδικασία με αμελητέα καθυστέρηση, ένα υποαποσβεσμένο στοιχείο μέτρησης δεύτερης τάξης και ένας ελεγκτής PD. R + K(+ τ s) K p = 0. c D C 0.s Σχήμα 4.3: Σύστημα ρύθμισης του παραδείγματος s + Η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού κυκλώματος είναι: 0.K c (+ τ Ds) = 0.s + 0.8s + G Αν μετασχηματίσουμε αυτήν την εξίσωση στην τυπική μορφή του ΚΝ/D προκύπτει: όπου K(s z) G = (4.37) (s p )(s p ) Κ = K c τ D z = τ D p = + j ; = j p Το σύστημα του σχήματος 4.3 μπορεί να προσεγγίσει τον έλεγχο του ρυθμού ροής. Σε αυτήν την περίπτωση το K p θα αναπαριστά μια βαλβίδα που δεν έχει καθόλου δυναμική καθυστέρηση. Το στοιχείο ανάδρασης θα αναπαριστά μια συσκευή μέτρησης ροής, όπως ένα μανόμετρο υδραργύρου τοποθετημένο διαμήκους ενός orifice plate (πλάκα ακροφυσίου?). Τα μανόμετρα υδραργύρου είναι γνωστά γιατί έχουν υποαποσβεσμένη δυναμική δεύτερης τάξης.

93 90 Ρύθμιση Συστημάτων Σχήμα 4.4: Γεωμετρικός τόπος των πόλων για το παράδειγμα Σημειώστε ότι ο δευτεροβάθμιος όρος στον παρονομαστή της εξίσωσης (4.37) συνεισφέρει δύο πόλους οι οποίοι είναι συζυγείς μιγαδικοί. Πρέπει να σχεδιαστεί ο γεωμετρικός τόπος των πόλων για μεταβολή του Κ, για τ 3. Για να πάρουμε τον γεωμετρικό τόπο των D = πόλων ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία:. Σχεδιάζουμε τους πόλους ανοικτού κυκλώματος p = + j και = j καθώς και το μηδενικό ανοικτού κυκλώματος z = 3 στο σχήμα 4.4. p Παράδειγμα 4.6. Έστω κύκλωμα εναλλάκτη θερμότητας ελέγχου θερμοκρασίας που παρουσιάζεται στο σχήμα 4.5. To set (s) C R(s) E(s) M(s).0 K c % + % % F s (s) 50 3s + kg/s 3s + T o (s) C T o T % (s).0 0s + Σχήμα 4.5: Σύστημα ρύθμισης του κυκλώματος εναλλάκτη θερμότητας ελέγχου θερμοκρασίας ελεγκτής Ρ.

94 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων 9 Χαρακτηριστική εξίσωση 0.8K c + = 0 (0s + )(30s + )(3s + ) 0.8K c OLTF = + (0s + )(30s + )(3s + ) Όπως υποδεικνύει η εξίσωση (7-) η OLTF μπορεί επίσης να γραφεί ως εξής: OLTF = s + 0 K s + ' 30 s + 3 με πόλους:,, ; n = μηδενικά: κανένα; m = 0 όπου: K' 0.8 Kc = (0)(30)(3) = K c Το σχήμα 4.6 δείχνει την θέση των πόλων ( ) στο επίπεδο s. Σχήμα 4.6: Γεωμετρικός τόπος των πόλων βρόχου ελέγχου ενός εναλλάκτη θερμότητας.

95 9 Ρύθμιση Συστημάτων Ο κανόνας υποδεικνύει ότι ο αρνητικός πραγματικός άξονας μεταξύ των πόλων /30 και /0 και από τον πόλο /3 έως το είναι μέρος του γεωμετρικού τόπου. Από τον κανόνα είναι γνωστό ότι οι γεωμετρικοί τόποι θα ξεκινούν από τους πόλους του OLTF: -/0, -/30, και /3. Από τη στιγμή που υπάρχουν τρεις πόλοι, n = 3, ο κανόνας 3 υποδεικνύει ότι υπάρχουν τρεις τόποι ή κλάδοι. Από τη στιγμή που δεν υπάρχουν μηδενικά, m = 0, ο κανόνας 4 υποδεικνύει ότι όλοι οι τόποι θα προσεγγίζουν το άπειρο καθώς αυξάνεται το K c. Ο κανόνας 5 μας επιτρέπει να πάρουμε το κέντρο βάρους από το οποίο πρέπει να περνάνε οι ασύμπτωτες και να πάρουμε τις γωνίες τους με τον θετικό πραγματικό άξονα. Από τη στιγμή που υπάρχουν τρεις κλάδοι που τείνουν στο άπειρο, πρέπει επίσης να υπάρχουν τρεις ασύμπτωτες. Από την εξίσωση (7-4) λαμβάνουμε: CG = = 0.55 και από την εξίσωση (7-5) βρίσκουμε: (0) () φ =,, () 3 φ = 60, 80, 300 Οι ασύμπτωτες και οι γωνίες παρουσιάζονται στο σχήμα 4.7. Μία από τις ασύμπτωτες βρίσκεται πάνω στον πραγματικό άξονα, φ = 80, και κατευθύνεται από το κέντρο βάρους στο μείον άπειρο. Οι άλλες δύο ασύμπτωτες απομακρύνονται από τον πραγματικό άξονα προς τη μιγαδική περιοχή του επιπέδου s. Οι ασύμπτωτες αυτές διασταυρώνονται με τον φανταστικό άξονα, υποδεικνύοντας την πιθανότητα αστάθειας από τη στιγμή που οι τόποι θα προσεγγίσουν το άπειρο κατά μήκος αυτών των ασύμπτωτων. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα 6 μπορούν να υπολογιστούν τα breakaway σημεία (? Σημεία διαχωρισμού των κλάδων). Εφαρμόζοντας την εξίσωση (7-6) λαμβάνουμε: s s s + 3 = 0

96 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων 93 από την οποία οι δύο δυνατότητες είναι 0.47 και Το μόνο αποδεκτό σημείο διαχωρισμού είναι το επειδή βρίσκεται στην περιοχή του πραγματικού άξονα όπου οι δύο τόποι κατευθύνονται ο ένας προς τον άλλον. Πριν σχεδιαστεί ο τελικός γεωμετρικός τόπος των πόλων, εξυπηρετεί να ξέρουμε που τέμνουν οι τόποι τον φανταστικό άξονα. Αυτό μας παρέχει ακόμα ένα σημείο από το οποίο θα περνάνε οι γεωμετρικοί τόποι που θα σχεδιάσουμε και ενισχύει την ακρίβεια του διαγράμματος. Αυτό το σημείο είναι η κρίσιμη γωνιακή συχνότητα, ω u, και βρίσκεται εύκολα εφαρμόζοντας τη μέθοδο άμεσης αντικατάστασης. Η εφαρμογή αυτής της μεθόδου σε αυτό το πρόβλημα δίνει σαν αποτέλεσμα ω u = ±0.. Η ενίσχυση του ελεγκτή που παράγει αυτήν την κατάσταση σταθερότητας υπό συνθήκες μπορεί επίσης να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο άμεσης αντικατάστασης. Αυτή η τιμή είναι Κ cu = 4.0. Το σχήμα 4.6 δείχνει τον πλήρη γεωμετρικό τόπο των πόλων. Αυτό το παράδειγμα έδειξε ότι είναι σχετικά απλό να σχεδιαστεί ο γεωμετρικός τόπος των πόλων και ότι δεν είναι απαραίτητο να βρεθεί καμία ρίζα του συστήματος. Οι τόποι μεταξύ του σημείου διαχωρισμού και της crossover συχνότητας έχουν σχεδιαστεί με το χέρι. Αυτό είναι συνήθως αρκετό για τις περισσότερες ρυθμίσεις διαδικασιών. Για ευκολία μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα σχεδιαστικό όργανο που λέγεται spirule. Το spirule χρησιμοποιείται κυρίως από ηλεκτρολόγους μηχανικούς. Το διάγραμμα του σχήματος 4.6 δείχνει μια άλλη χρήση του γεωμετρικού τόπου. Υποθέστε ότι θέλουμε να συντονίσουμε το ελεγκτή ανάδρασης έτσι ώστε η απόκριση του συστήματος ρύθμισης κλειστού βρόχου να είναι ταλαντωτική με λόγο απόσβεσης 0.707, ξ = Στο κεφάλαιο 4 ορίσαμε το λόγο απόσβεσης σαν μια παράμετρο ενός συστήματος δεύτερης τάξης. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον ορισμό απόδοσης (performance specification), ξ, θεωρούμε ότι είτε η διεργασία είναι δεύτερης τάξης ή ότι υπάρχουν δύο χρονικές σταθερές οι οποίες είναι πολύ μεγαλύτερης διάρκειας από τις υπόλοιπες. Αυτές οι δύο χρονικές σταθερές θα κυριαρχήσουν τη δυναμική της διεργασίας και θα παρέχει τις ρίζες που βρίσκονται στη μακρύτερη απόσταση στα δεξιά (πλησιέστερα στον φανταστικό άξονα). Αυτές οι δύο ρίζες αναφέρονται σαν κυρίαρχες ρίζες. Συντονισμός ενός ελεγκτή ανάδρασης για τον παραπάνω ορισμό σημαίνει ότι οι δύο κυρίαρχες ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση: τ s + τξs + = 0 με ξ = Αυτές οι ρίζες είναι:

97 94 Ρύθμιση Συστημάτων s,s * = ξ = τ τ ξ i Αυτές οι ρίζες φαίνονται γραφικά στο σχήμα 4.8. Από αυτό το σχήμα μπορεί να προσδιοριστεί το εξής: θ = cos ξ Σχήμα 4.7: Ρίζες s και s * συστήματος δεύτερης τάξης Τότε, για ξ = θ = cos = 45 Το σχήμα 4.8 δείχνει πως να βρίσκουμε τις ρίζες, s και s *, του συστήματος με αυτόν τον παράγοντα απόσβεσης. Σε αυτήν την περίπτωση οι ρίζες χονδρικά βρίσκονται στα 0.06 = 0.06i. Πρέπει τώρα να υπολογιστεί η ενίσχυση του ελεγκτή που αποδίδει αυτή τη συμπεριφορά κλειστού βρόχου. Χρησιμοποιείται το κριτήριο του μεγέθους. Για να γίνει αυτό πρέπει να μετρηθεί η απόσταση μεταξύ της ρίζας s και κάθε πόλου και του μηδέν. Αυτή η μέτρηση γίνεται απλά με ένα χάρακα (χρησιμοποιώντας την ίδια κλίμακα μεγέθους με τον άξονα) ή με τη χρήση του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Η τελευταία μέθοδος είναι προτιμότερη γιατί ελαχιστοποιεί τα σφάλματα μέτρησης. Για αυτό το σύστημα το κριτήριο μεγέθους είναι: s p K' s p s p 3 =

98 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων 95 Σχήμα 4.8: Χρήση του γεωμετρικού τόπου για συντονισμό ελεγκτή. Από τη στιγμή που ο πρώτος πόλος λαμβάνει χώρα στο p = i, η απόσταση s p υπολογίζεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα να είναι: s p = ( ) + (0.06 0) = Ομοίως: s p = ( ) + (0.06 0) = 0.07 τότε: s p3 = ( ) + (0.06 0) = 0.76 K ' = και αφού: K ' = Κ c η ενίσχυση του ελεγκτή είναι: Κ c =.475 Αυτή η ενίσχυση θα αποδώσει μια ταλαντωτική απόκριση του βρόχου ρύθμισης με παράγοντα απόσβεσης

99 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Συχνοτική Ανάλυση Αν σε ένα γραμμικό σύστημα επιβάλουμε μια περιοδική διαταραχή ημιτονοειδούς μορφής, τότε θα διαπιστώσουμε ότι η έξοδος μετά την αποκατάσταση μόνιμης κατάστασης - την απόσβεση δηλαδή των εκθετικών όρων - είναι πάλι ημιτονοειδής και έχει την ίδια συχνότητα αλλά διαφορετικό εύρος και γωνία φάσης με την είσοδο. Ο λόγος ευρών εξόδου/εισόδου και η διαφορά φάσης είναι χαρακτηριστικά για κάθε σύστημα και εξαρτώνται από τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος. Στις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές ο θεωρητικός προσδιορισμός της συνάρτησης μεταφοράς από τα φυσικά χαρακτηριστικά της διεργασίας δεν είναι πάντα δυνατός. Μετρώντας όμως το λόγο ευρών και τη διαφορά φάσης για διάφορες συχνότητες διαταραχής μπορούμε από πειραματικά δεδομένα να καταλήξουμε σε συμπεράσματα για τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Η συχνοτική ανάλυση είναι ένα εργαλείο χρήσιμο για το σχεδιασμό ρυθμιστών ανάδρασης. Συγκεκριμένα, με τη βοήθεια της συχνοτικής ανάλυσης μπορούμε:. Να μελετήσουμε την ευστάθεια του κλειστού κυκλώματος, χρησιμοποιώντας τα διαγράμματα Bode ή Nyquist της συνάρτησης μεταφοράς του ανοικτού κυκλώματος.. Να επιλέξουμε τις πλέον κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους ενός ρυθμιστή. 5. Προσδιορισμός του Λόγου των Ευρών και της Γωνίας Διαφοράς Φάσης Εάν μια διεργασία υποβληθεί σε μία ημιτονοειδή μεταβολή του σήματος εισόδου U(t) = Asin(ωt), το σήμα εξόδου στη μόνιμη κατάσταση θα χαρακτηρίζεται από ένα διαφορετικό εύρος Α και θα καθυστερεί ή θα προπορεύεται του σήματος εισόδου κατά τη γωνία φ (σχήμα 5.). 96

100 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων 97 Σχήμα 5.: Απόκριση μιας διεργασίας σε ημιτονοειδή μεταβολή του σήματος εισόδου. Από τις πειραματικές τιμές των σημάτων U(t) και Υ(t), υπολογίζεται ο λόγος του εύρους του σήματος εξόδου ως προς το εύρος του σήματος εισόδου: Λ.Ε. = Α / Α (5.) ενώ η γωνία διαφοράς φάσης θα δίνεται από τη σχέση: φ = (Τ x / T)π, radian ή φ = (Τ x / T) 360 o (5.) Εάν η συνάρτηση μεταφοράς της διεργασίας G(s) είναι γνωστή τότε είναι δυνατό να υπολογίσουμε θεωρητικά το λόγο των ευρών, Λ.Ε., και τη γωνία φ από τη G(iω): G(iω) = Re [G(iω)] + i Im [G(iω)] (5.3) Ο λόγος των ευρών θα δίνεται από το μέτρο της G(iω): Λ.Ε. = G(i ω ) = [Re G(i ω)] + [ ImG(i ω)] (5.4) και η γωνία διαφοράς φάσης από το όρισμα της G(iω): φ = G(iω) = arg G(iω) = arctan ImG(i ω ) (5.5) ReG(i ω)

101 98 Ρύθμιση Συστημάτων Ο λόγος των ευρών και η γωνία φ θα μεταβάλλονται συναρτήσει της γωνιακής συχνότητας ω (ω = π / Τ, radians/χρόνος ή ω = 360 / Τ, βαθμοί/χρόνος). Υπάρχουν τρεις διαφορετικοί τρόποι γραφικών παραστάσεων των G(i ω ) και φ συναρτήσει της γωνιακής συχνότητας ω. Οι γραφικές αυτές παραστάσεις είναι γνωστές με τα ονόματα διαγράμματα Bode, Nyquist και Nichols. Παράδειγμα 5.: Έστω η διεργασία πρώτης τάξης G(s) = στη μόνιμη κατάσταση. Λύση: Aπό τη G(s) παίρνουμε τη G(iω) για s = iω.. Προσδιορίστε τη συχνοτική απόκριση της τs + G(iω) = i ωτ + ή G(iω) = iωτ + ωτ Ακολούθως υπολογίζουμε από τη μιγαδική συνάρτηση G(iω) το μέτρο της: Λ.Ε. = Gi ( ω ) = ( ωτ +) και το όρισμά της (γωνία διαφοράς φάσης): φ = G(iω) = tan - (-ωt) = arctan (-ωt) Η απόκριση Υ(t) της διεργασίας στη μόνιμη κατάσταση (δηλαδή μετά την απόσβεση των εκθετικών όρων), θα δίνεται από τη σχέση: Υ(t) = A ωτ + sin (ωt + φ) 5. Διάγραμμα Bode 5.. Διεργασίες πρώτης και δεύτερης τάξης Για διεργασία πρώτης τάξης G(s) = / (τs + ), το μέτρο Gi ( ω ) και η γωνία φ θα δίνονται από τις εξισώσεις (5.6) και (5.7):

102 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων 99 Λ.Ε. = G (iω) = ω τ + (5.6) φ = G(iω) = tan - (-ωt) (5.7) 0 0 Λ.Ε. Κ p Ασύμπτωτος χαμηλής συχνότητας db Πραγματική καμπύλη Ασύμπτωτος υψηλής συχνότητας 0 0, -0 0, φ ,0 0, 0 ωτ 00 Σχήμα 5.: Διάγραμμα Bode διεργασίας πρώτης τάξης. Από την εξίσωση (5.6) λαμβάνουμε: log (Λ.Ε.) = - log (ω τ + ) (5.8) Από την ασυμπτωτική ανάλυση των εξισώσεων (5.7) και (5.8) προκύπτουν τα εξής αποτελέσματα: (i) Για ωτ 0 ; Λ.Ε. και φ = 0 0 (ii) Για ωτ ; log (Λ.Ε.) - log (ωτ) και φ = -90 0

103 00 Ρύθμιση Συστημάτων (iii) Για ω c = τ ; Λ.Ε. = = 0,707 και φ = Το διάγραμμα Bode της G(iω) δίνεται στο σχήμα 5. (Decibels = 0 log (Λ.Ε.)). Παρόμοια μπορούμε να δείξουμε ότι το διάγραμμα Bode μιας διεργασίας δεύτερης τάξης θα είναι: 0 5 Λ.Ε. Κp 0,5 ζ=0, 0,3 0,5 0,8 (α) 0, 0,05,0 0,0 0, 0, φ -45 0,8 0,3 0,5 ζ=0, (β), , 0,5 5 ωτ 0 Σχήμα 5.3: Διάγραμμα Bοde της διεργασίας: Gs ()= τ s. + τζs+ 5.. Διεργασία νεκρού χρόνου Έστω η διεργασία νεκρού χρόνου: G(s) = e -τs, (5.9) G(iω) = e -iωτ = cos(ωτ) - isin(ωτ) (5.0) Έτσι, σύμφωνα με τις εξισώσεις (5.4) και (5.5) ο λόγος των ευρών και η γωνία φ θα είναι:

104 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων 0 Λ.Ε. = ; φ = -ωτ (5.) Η μεταβολή της γωνίας φ συναρτήσει της γωνιακής συχνότητας φαίνεται στο σχήμα (5.4). Σχήμα 5.4: Μεταβολή της φ συναρτήσει της ωτ. Ο λόγος των ευρών δεν μεταβάλλεται αλλά παραμένει ίσος με τη μονάδα. Η γωνία φάσης αυξάνεται καθώς αυξάνει η γωνιακή συχνότητα ω Διάγραμμα Bode P- Ρυθμιστή Η συνάρτηση μεταφοράς του Ρ- ρυθμιστή είναι: G(s) = K c ; G(iω) = K c (5.) Έτσι σύμφωνα με τις εξισώσεις (5.4) και (5.5) έχουμε: Λ.Ε. = K c ; φ = 0 για 0<ω< (5.3) 5..4 Διάγραμμα Bode PΙ - Ρυθμιστή Η συνάρτηση μεταφοράς του ΡΙ- ρυθμιστή είναι: G(s) = K c (+ τ i s ) (5.4) O λόγος των ευρών υπολογίζεται όπως είναι γνωστό από το μέτρο της G(s) αν γίνει η αντικατάσταση s = iω:

105 0 Ρύθμιση Συστημάτων Λ.Ε. = G(i ω) = Kc+ = Kc + ωτ ( ωτ ) i i (5.5) Η γωνία διαφοράς φάσης φ δίνεται από το όρισμα της G(iω): φ = G(iω) = tan - ( ωτ i ) (5.6) Στο σχήμα 5.5 φαίνεται το διάγραμμα Bode για ένα PI - ρυθμιστή. Σχήμα 5.5: Διάγραμμα Bode για PI ρυθμιστή Διάγραμμα Bode PD - Ρυθμιστή Η συνάρτηση μεταφοράς του PD - Ρυθμιστή είναι: G(s) = K c (+τ D s) (5.7) Όμοια με την παραπάνω ανάλυση, ο λόγος των ευρών για τον PD ρυθμιστή είναι: Λ.Ε. = G(i ω) = K c + τ D ω (5.8) και η γωνία διαφοράς φάσης: φ =tan - ( τ D ω) (5.9)

106 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων 03 Στο σχήμα 5.6 φαίνεται το διάγραμμα Bode ενός PD - ρυθμιστή. Παρατηρούμε ότι η γωνία φάσης προπορεύεται του σήματος εισόδου αφού οι τιμές της φ μεταβάλλονται από 0 σε 90 ο για 0 < ω <. Σχήμα 5.6: Διάγραμμα Bode για PD ρυθμιστή. 5.3 Κανόνες Σχεδιασμού Διαγραμμάτων Bode Έστω ότι η G(s) δίνεται από το γινόμενο των συναρτήσεων μεταφοράς Ν διεργασιών στη σειρά: G(s) = G (s)g (s).g N (s) (5.0) Κανόνας : Μέτρο της G(iω) Το μέτρο της Gi ( ω ) δηλαδή ο λόγος των ευρών θα δίνεται από τη σχέση (5.): ή G = G G... G N (5.) log (Λ.Ε.) = log (Λ.Ε.) + + log (Λ.Ε.) Ν = log( ΛΕ..) i N i= 0 (5.)

107 04 Ρύθμιση Συστημάτων Κανόνας : Γωνία φ Η συνολική γωνία διαφορά φάσης φ, θα δίνεται από το άθροισμα των επιμέρους γωνιών, φ i. φ = φ + φ + + φ Ν = ϕ i i N (5.3) Παράδειγμα 5.: Δίνεται η G(s) =. Να κατασκευαστεί το διάγραμμα Βode. (s + )(s + 5) Η συνάρτηση μεταφοράς της διεργασίας γράφεται: / 5 Gs () = = G() s G() s G3 () s ( s+ )( s/ 5+ ) όπου G (s) = /5, G (s) = /(s+), G 3 (s) = /(s/5+) Έτσι, σύμφωνα με την εξίσωση (5.), λόγος των ευρών είναι: Λ.Ε. = G(i ) ω G (i ) ω G(i ) 3 ω = 5 ω + ( ω 5) + log (Λ.Ε.) = log (Λ.Ε.) + log (Λ.Ε.) + log (Λ.Ε.) 3 ή log (Λ.Ε.) = log (/5) - log (ω + ) - log ω + 5 και η συνολική γωνία φάσης φ = φ + φ + φ 3 = 0 + tan - (-ωτ) + tan - (-ω/5) Το διάγραμμα Βode της G(iω) φαίνεται στο σχήμα 5.7.

108 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων 05 Σχήμα 5.7: Διάγραμμα BODE της διεργασίας /(s+)(s+5) Εναλλακτική μέθοδος υπολογισμού του μέτρου Gi ( ω ) και της γωνίας φ Έστω η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού κυκλώματος G(s): G (s)g (s)...g (s) G(s) = m G (s)g (s)...g (s) (5.4) n ή G (iω)g (iω)...g (iω) G(iω) = m G (iω)g (iω)...g (iω) (5.5) Το μέτρο της G(iω) θα είναι: n G(iω) = G(iω) G (iω)...g m (iω) G (iω) G (iω)...g (iω) (5.6) n η δε γωνία διαφοράς φάσης θα δίνεται από την εξίσωση (5.7).

109 06 Ρύθμιση Συστημάτων m φ = G i (iω) - i= n i= G i (iω) (5.7) Παράδειγμα 5.3: Να υπολογίσετε το μέτρο και τη γωνία φ της συνάρτησης μεταφοράς Gs () = ( 0s+ )( 5. s+ ). Λύση: Σύμφωνα με την εξίσωση (5.5) έχουμε: G () s ; G () s = ( 0s+ ) ; G () s = ( 5. s+ ) και G = ; ψ = 0 / = ( 0 ω + ) ; ϕ = tan ( 0ω ) G G Συνεπώς, / = ( 5. ω + ) ; ϕ = tan ( 5. ω ) Λ.Ε. = Gi ( ω) = / ( 0 ω + ) ( 5. ω + ) / φ = Gi ( ω) = tan 0 ( 0ω) tan ( 5. ω) Παράδειγμα 5.4: Να κατασκευάσετε το διάγραμμα Bode της G(s) για το σύστημα ρύθμισης του σχήματος 5.8. R + + K c (+τ D s) - + (s+) K C = 0 τ D = / s + 0 C B s - e 0 Σχήμα 5.8: Σύστημα ρύθμισης παραδείγματος 5.4.

110 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων 07 Η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού κυκλώματος είναι: s /0 0(0.5s + )e G(s) = s (s + ) ( + ) 0 Σύμφωνα με τη διατύπωση της εξίσωσης (5.5) έχουμε: G(s) = 0 ; G (s) = (0.5s+ ) ; G(s) = e 3 s/0 G(s) = (s+ ) ; G (s) = (s+ ) ; G(s) = 0.s+ 3 Πρώτα υπολογίζουμε το μέτρο και τη γωνία φάσης των παραπάνω συναρτήσεων: G = 0 ; ψ = 0 G = (0.5 ω + ) / ; ψ = tan (0.5ω) G = ; ψ 3 3 = 0.ω G = (ω + ) / ; φ = tan (ω) G = (ω + ) / ; φ = tan (ω) G 3 = (0. ω + ) / ; φ 3 = tan (0.ω) Συνεπώς το μέτρο της Gi ( ω ) θα είναι: G / 0(0.5 ω + ) = (ω + )(0. ω + ) / και η γωνία φάσης, φ: φ = tan * (0.5ω) 0.ω tan (ω) tan (0.ω) *Προσοχή: Ο όρος 0.ω υπολογίζεται σε ακτίνια και θα πρέπει να γίνει η κατάλληλη μετατροπή του σε βαθμούς. Το διάγραμμα Bode της διεργασίας παρουσιάζεται στο σχήμα 5.9.

111 08 Ρύθμιση Συστημάτων Σχήμα 5.9: Διάγραμμα Bode του παραδείγματος 5.4.

112 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων Κριτήριο Ευστάθειας Bode Όπως έχουμε αναπτύξει στα προηγούμενα ένα σύστημα είναι ευσταθές όταν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης βρίσκονται αριστερά του άξονα των φανταστικών αριθμών, οριακά ευσταθές όταν οι ρίζες είναι πάνω στον άξονα των φανταστικών αριθμών και ασταθές όταν οι ρίζες είναι δεξιά από τον άξονα των φανταστικών αριθμών. Δηλαδή η συνθήκη για να είναι ένα σύστημα οριακά ευσταθές είναι να έχει ρίζες πάνω στον άξονα των φανταστικών αριθμών Im, δηλαδή να ισχύει η σχέση: + Gi ( ω ) = 0 (5.8) ή o Gi ( ω ) = Gi ( ω ) = 80 (5.9) Το κριτήριο ευστάθειας Bode διατυπώνεται ως εξής: Ένα σύστημα είναι ευσταθές αν στη γωνιακή συχνότητα στην οποία η διαφορά φάσεως είναι -80 ο λόγος ευρών είναι μικρότερος της μονάδας. Το κριτήριο Bode δεν είναι γενικό, αλλά εφαρμόζεται μόνο σε συστήματα όπου το μέτρο και η γωνία φ ελαττώνονται συνεχώς, όσο αυξάνει το ω Περιθώριο ενίσχυσης και περιθώριο φάσης Καλούμε περιθώριο ενίσχυσης (gain margin) το αντίστροφο του λόγου ευρών που αντιστοιχεί στην κρίσιμη συχνότητα ω (δηλαδή τη συχνότητα για την οποία η γωνία φ γίνεται -80 ): Περιθώριο ενίσχυσης = A (5.30) όπου Α παριστάνει τον λόγο ευρών στη συχνότητα, στην οποία φ = -80. Για να είναι ένα σύστημα ευσταθές, θα πρέπει το περιθώριο ενίσχυσης να είναι μεγαλύτερο από τη μονάδα. Συνήθως εκλέγουμε περιθώριο ενίσχυσης με τιμή μεγαλύτερη ή ίση του.7. Αντίστοιχο προς το περιθώριο ενίσχυσης είναι το περιθώριο φάσης (phase margin). Αν στο σημείο, όπου Λ.Ε.=, η διαφορά φάσης είναι φ τότε το περιθώριο φάσης ορίζεται ως: o Περιθώριο φάσης = φ ( 80 ) (5.3) Συνήθως εκλέγουμε περιθώριο φάσης με τιμή μεγαλύτερη ή ίση των 30. Στο σχήμα 5.0 σχεδιάζονται τα περιθώρια ενίσχυσης και φάσης.

113 0 Ρύθμιση Συστημάτων Σχήμα 5.0: Προσδιορισμός του περιθωρίου ενίσχυσης και περιθωρίου φάσης με τη βοήθεια του διαγράμματος Bode. Με βάση το διάγραμμα Bode της G(iω) ανοικτού κυκλώματος μπορούμε να κάνουμε τις ακόλουθες παρατηρήσεις σχετικά με την ευστάθεια του κλειστού κυκλώματος ρύθμισης:. Ευσταθείς διεργασίες πρώτης και δεύτερης τάξης είναι πάντα ευσταθείς στο κλειστό κύκλωμα κάτω από αναλογική ρύθμιση επειδή η διαφορά φάσης δεν υπερβαίνει ποτέ τις 80.. Η εισαγωγή ολοκληρωτικής ρύθμισης έχει σαν αποτέλεσμα την ελάττωση του περιθωρίου ενίσχυσης και την ελάττωση του περιθωρίου φάσης. Κατά συνέπεια, το σύστημα γίνεται περισσότερο ασταθές, ιδιαίτερα για μικρές τιμές του τ i. 3. Η εισαγωγή διαφορικής ρύθμισης εισάγει μία θετική διαφορά φάσης (προπορεία) και αυξάνει την ευστάθεια του συστήματος αυξάνοντας το περιθώριο φάσης. Παράδειγμα 5.5: Να υπολογίσετε την τιμή του Κ c με τη βοήθεια των κριτηρίων Bode, περιθωρίου ενίσχυσης και περιθωρίου φάσης για την οποία το σύστημα ρύθμισης του σχήματος 5.8 είναι ευσταθές. Λύση: Στο προηγούμενο παράδειγμα 5.4 δείξαμε ότι το μέτρο της G (iω) ισούται με: / K c (0.5 ω + ) G = (i) / (ω + )(0. ω + )

114 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων η δε γωνία φάσης θα δίνεται από τη σχέση (ii): φ = tan (0.5ω) 0.ω tan (ω) tan (0.ω) (ii) Εφαρμόζοντας το κριτήριο ευστάθειας Bode από τη σχέση (ii) για φ = -80, υπολογίζουμε πρώτα την κρίσιμη γωνία ω co 8 rad/min. Ακολούθως αντικαθιστούμε την τιμή της ω co στην εξίσωση του μέτρου (i) και προσδιορίζουμε την τιμή του K c,max (το κλειστό κύκλωμα γίνεται οριακά ευσταθές). / K c,max (4 + ) = ; K / c, max 0 (iii) (8 + )(0.8 + ) Η τιμή του K c,max μπορεί εναλλακτικά να υπολογισθεί με τη βοήθεια του διαγράμματος Bode του σχήματος 5.9. Από το διάγραμμα φάσης-γωνιακής συχνότητας υπολογίζουμε την κρίσιμη συχνότητα που αντιστοιχεί σε γωνία φάσης Για το συγκεκριμένο παράδειγμα παρατηρούμε ότι η κρίσιμη συχνότητα είναι ω co = 8 rad/min. Ακολούθως από το διάγραμμα του λόγου των ευρών υπολογίζουμε για ω co = 8 rad/min την τιμή του Λ.Ε./K c, που είναι περίπου ίση με 0.055, δηλαδή: Λ.Ε (iv) K c Σύμφωνα με το κριτήριο του Bode στην κρίσιμη συχνότητα θα ισχύει Λ.Ε.= και από την εξίσωση (iv) υπολογίζουμε την κρίσιμη τιμή του K c,max 8. Από την εφαρμογή του περιθωρίου ενίσχυσης εύκολα προκύπτει η τιμή του K c K c,max /.7. Τέλος, από την εφαρμογή του περιθωρίου ενίσχυσης, υπολογίζουμε πρώτα την τιμή της γωνιακής συχνότητας, ω, που ικανοποιεί την εξίσωση (ii) για φ = -50 και ακολούθως υπολογίζουμε την τιμή του K c από την εξίσωση (i). Από την εφαρμογή του κριτηρίου του περιθωρίου ενίσχυσης, βρίσκουμε ω c 5 rad/min και Κ c. 5.5 Διάγραμμα Nyquist Εάν η αναλυτική μορφή της G(s) είναι γνωστή, η G(iω) μπορεί να προσδιορισθεί με αντικατάσταση της s = iω από τη σχέση: G (iω) = ReG(iω) + iimg(iω) (5.3)

115 Ρύθμιση Συστημάτων Η ταυτόχρονη απεικόνιση του μέτρου G (iω) και της γωνίας φ = G(iω) στο επίπεδο των μιγαδικών αριθμών για διάφορες τιμές του ω μπορεί να γίνει με τη βοήθεια της G(iω) σε πολικές συντεταγμένες: i G(iω) = G(iω) e = G(iω) (cos + isin ) (5.33) Το πολικό διάγραμμα απεικόνισης της G(iω) αναφέρεται συχνά και σαν τόπος συχνοτικής απόκρισης ή διάγραμμα Nyquist. Παράδειγμα 5.6: Έστω η διεργασία G(s) = G(iω).. Να κατασκευάσετε το πολικό διάγραμμα Nyquist της s + Το μέτρο και η γωνία φ της G(iω) θα δίνονται από τις σχέσεις: Λ.Ε. = G(iω) = ; φ = G(iω) = -tan - (ω) (5.34) (ω) + Για ω 0 ; G (iω) = ; φ = 0 0 Για ω ; G(iω) ; φ = Για ω = / ; G (iω) = ; φ = Η ταυτόχρονη γραφική απεικόνιση των παραπάνω σχέσεων φαίνεται στο σχήμα 5.. Σχήμα 5.: Διάγραμμα Nyquist του παραδείγματος 5.6.

116 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων Διεργασία πρώτης τάξης (Καθυστέρηση) Έστω η διεργασία πρώτης τάξης με καθυστέρηση: G(s) = K p τs + (5.35) Το μέτρο και η γωνία φ της G(iω) θα δίνονται από τις σχέσεις: Λ.Ε. = G(i ω) = K p ( τω ) + ; φ = G(iω) = -tan - (ωτ) (5.36) Το διάγραμμα Nyquist της διεργασίας πρώτης τάξης συναρτήσει του K p φαίνεται στο σχήμα 5.. Σχήμα 5.: Διάγραμμα Niquist διεργασίας πρώτης τάξης Διεργασία πρώτης τάξης (Προπορεία): Έστω η διεργασία πρώτης τάξης με προπορεία: G(iω) = (τs + ) (5.37) Το μέτρο και η γωνία φ της G(iω) θα δίνονται από τις σχέσεις: Λ.Ε. = G(i ω) = + ωτ ; φ = G(iω) = tan - (ωτ) (5.38) Η γραφική απεικόνιση των Gi ( ω ) και φ φαίνεται στο σχήμα 5.3.

117 4 Ρύθμιση Συστημάτων Σχήμα 5.3: Διάγραμμα Niquist διεργασίας πρώτης τάξης με προπορεία Νεκρός χρόνος Έστω η διεργασία νεκρού χρόνου: G(s) = e -τ s -τdiω D ; G(iω) = e (5.39) Το μέτρο και η γωνία φ της G(iω) θα δίνονται από τις σχέσεις: Λ.Ε. = G(i ω ) = ; φ = - ωτ D (5.40) Η γραφική απεικόνιση των G (iω) και φ φαίνεται στο σχήμα 5.4. Σχήμα 5.4: Διάγραμμα Niquist διεργασίας νεκρού χρόνου.

118 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων Διεργασία πρώτης τάξης με νεκρό χρόνο Έστω η διεργασία πρώτης τάξης με νεκρό χρόνο: G(s) = K e -τ D p τs + s (5.4) Το μέτρο και η γωνία φ της G(iω) θα δίνονται από τις σχέσεις: G(i ω ) Kp - = ; ϕ = tan ( ωτ) - τ Dω (5.4) + ωτ Η γραφική απεικόνιση των Gi ( ω ) και φ φαίνεται στο σχήμα 5.5. Σχήμα 5.5: Διάγραμμα Niquist διεργασίας πρώτης τάξης με νεκρό χρόνο Ολοκληρωτής Έστω ο ολοκληρωτής: G(s) = s ; G(iω) = = i (5.43) iω ω Το μέτρο και η γωνία φ της G(iω) θα δίνονται από τις σχέσεις: - / ω π G(iω) = ; θ = tan ( ) = (5.44) ω 0 Η γραφική απεικόνιση των G (iω) και φ φαίνεται στο σχήμα 5.6.

119 6 Ρύθμιση Συστημάτων Σχήμα 5.6: Διάγραμμα Niquist διεργασίας με ολοκληρωτή Διεργασία πρώτης τάξης και ολοκληρωτής Έστω η διεργασία πρώτης τάξη με ολοκληρωτή: Kp G(s) = s( τs+) ; Kp G(i ω)= (i ω) ( τω i +) (5.45) Το μέτρο και η γωνία φ της G(iω) θα δίνονται από τις σχέσεις: G(i ω) K p = ω τω + ; φ = -π/ - tan - (ωτ) (5.46) Η γραφική απεικόνιση των Gi ( ω ) και φ φαίνεται στο σχήμα 5.7. Σχήμα 5.7: Διάγραμμα Niquist διεργασίας πρώτης τάξης με ολοκληρωτή.

120 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων Διεργασία δεύτερης τάξης Έστω η διεργασία δεύτερης τάξης: G(s)= τ s K p + τζs+ (5.47) Το μέτρο και η γωνία φ της G(iω) θα δίνονται από τις σχέσεις: K p - ζτω G(i ω) = ; φ =tan (5.48) ( - τ ω ) + 4ζ τ ω - τ ω Για ω 0, G = K p ; φ= 0 (5.49) K p Για ω /τ, G = ; φ =- π/ (5.50) ζ Για ω, G 0 ; φ =- π (5.5) Η γραφική απεικόνιση των G (iω) και φ φαίνεται στο σχήμα 5.8. Σχήμα 5.8: Διάγραμμα Niquist διεργασίας δεύτερης τάξης. 5.6 Κριτήριο Ευστάθειας Nyquist Στην ενότητα 5.4 εξετάσαμε την ευστάθεια των συστημάτων με τη βοήθεια του κριτηρίου του Bode, που διατυπώθηκε ως εξής: Για να είναι ένα σύστημα ευσταθές πρέπει στη

121 8 Ρύθμιση Συστημάτων συχνότητα όπου η διαφορά φάσης είναι - 80 ο λόγος ευρών να μην υπερβαίνει τη μονάδα. Δηλαδή: Όταν φ = - 80 να είναι G (iω) < (5.5) Αν εφαρμόσουμε το κριτήριο αυτό στην καμπύλη G(iω), παρατηρούμε ότι για να είναι ένα σύστημα ευσταθές, η καμπύλη G(iω) δεν πρέπει να διέρχεται αριστερά του σημείου - στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Αν η καμπύλη G(iω) τέμνει τον άξονα των αρνητικών πραγματικών αριθμών μεταξύ 0 και -, τότε στο σημείο εκείνο τομής η γωνία φάσης θα είναι φ = - 80 και το μέτρο G (iω) <, και επομένως το σύστημα θα είναι ευσταθές. Αν η καμπύλη G(iω) τέμνει τον άξονα των πραγματικών αριθμών σε σημείο G(iω) < - έτσι ώστε G (iω) > για φ = - 80 τότε το σύστημα θα είναι ασταθές. Παράδειγμα 5.7: Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση: K G(s)= (s +) 3 Tο διάγραμμα G(iω) της συνάρτησης για διάφορες τιμές Κ δίνεται στο σχήμα 5.9. Σχήμα 5.9: Διάγραμμα G(iω) της συνάρτησης Κ/(s+) 3. (α) Κ = ευσταθές σύστημα; (β) Κ = 4 ευσταθές σύστημα; (γ) Κ = 8 οριακά ευσταθές; (δ) Κ = ασταθές σύστημα.

122 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων 9 Για Κ = και Κ = 4 η καμπύλη περνάει δεξιά από το σημείο - χωρίς να το περιβάλλει, επομένως το σύστημα είναι ευσταθές. Για Κ = 8 η καμπύλη περνάει από το σημείο - δηλαδή το σύστημα είναι οριακά ευσταθές. Για τιμές Κ μεγαλύτερες του 8 η καμπύλη περιβάλλει το σημείο - δηλαδή υπάρχει μία τιμή ω, για την οποία η διαφορά φάσης είναι - 80 και ο λόγος ευρών μεγαλύτερος από τη μονάδα, επομένως το σύστημα είναι ασταθές. Η καμπύλη G(iω) δεν αλλάζει τη γενική της μορφή όταν αλλάζει η τιμή της σταθεράς ενίσχυσης Κ. Απλώς κάθε σημείο της πολλαπλασιάζεται επί τη σταθερά Κ δηλαδή η καμπύλη εκτείνεται. Γι αυτό δεν είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε μία σειρά καμπυλών G(iω) για διάφορες τιμές Κ όπως κάναμε στο σχήμα 5.9 για να βρούμε την κρίσιμη τιμή Κ, πέρα από την οποία το σύστημα γίνεται ασταθές. Αν σχεδιάσουμε την καμπύλη G(iω) για Κ =, τότε μπορούμε να έχουμε την καμπύλη για κάθε τιμή Κ αν αλλάξουμε την κλίμακα των αξόνων διαιρώντας την κλίμακα δια Κ. Επομένως η οριακή τιμή Κ προσδιορίζεται ως το αντίστροφο του σημείου, όπου η καμπύλη G(iω) για Κ = τέμνει τον άξονα των πραγματικών αριθμών. Η διατύπωση αυτή του κριτηρίου Nyquist είναι απλουστευμένη και μπορεί να εφαρμοστεί στη μορφή αυτή μόνο αν η συνάρτηση μεταφοράς δεν περιέχει ασταθείς ή ολοκληρωτικούς παράγοντες, δηλαδή ρίζες στο δεξιό ήμισυ του πεδίου s ή στη θέση s = 0. Όταν υπάρχουν ασταθείς ή ολοκληρωτικοί παράγοντες η καμπύλη G(iω) έχει τέτοια μορφή ώστε δεν είναι φανερό αν περιβάλλει ή όχι το σημείο -. Για να ελέγξουμε την ευστάθεια του συστήματος τότε, απεικονίζουμε το διάνυσμα G(iω) τόσο για θετικές όσο και για αρνητικές τιμές ω. Οι αρνητικές τιμές ω δίνουν τόπο κατοπτρικό ως προς τον άξονα των πραγματικών αριθμών του τόπου G(iω) για θετικές τιμές ω, όπως φαίνεται στο σχήμα 5.0(α) (διακεκομμένη γραμμή). Το πλήρες διάγραμμα G(iω) κατασκευάζεται αν δώσουμε στο s τιμές από - iω σε + iω όπου το ω μεταβάλλεται μεταξύ - και + και κλείσουμε τον κύκλο από + i έως - i ώστε να περιλαμβάνει όλο το δεξιό ήμισυ του πεδίου s όπως φαίνεται στο σχήμα 5.0(β). Αν υπάρχουν ρίζες της G(s) στη θέση s = 0 ή σε άλλο σημείο πάνω στον φανταστικό άξονα αφήνουμε έξω το σημείο αυτό σχηματίζοντας ένα ημικύκλιο μικρής ακτίνας δ γύρω από το σημείο s=0 από το μέρος των θετικών πραγματικών τιμών s. Στο πεδίο s ορίζουμε τη θετική φορά περιστροφής (σχήμα 5.0(β)) και η αντίστοιχη φορά σημειώνεται πάνω στο διάγραμμα της G(iω) όπως στο σχήμα 5.0(α). Από τη θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων προκύπτει ότι: Ζ = N + P (5.53)

123 0 Ρύθμιση Συστημάτων όπου Ζ Ν P είναι ο αριθμός των πόλων της + G(s) με θετικό πραγματικό μέρος, ο αριθμός περιστροφών του διαγράμματος G(iω) γύρω από το σημείο -, και οι πόλοι της G(s) με θετικό πραγματικό μέρος. Σχήμα 5.0: Πλήρες διάγραμμα Nyquist της συνάρτησης Κ/(s+) 3 για Κ = 4 - ευσταθές σύστημα - και Κ = - ασταθές σύστημα - (α) Πεδίο G(iω), (β) Πεδίο s. Το κριτήριο για να είναι ένα σύστημα κλειστού βρόχου ευσταθές είναι: Z = 0 ή N + P = 0 (5.54) Όταν η G(s) δεν έχει ασταθείς πόλους (P = 0) για να είναι το σύστημα κλειστού βρόχου ευσταθές πρέπει το διάγραμμα της G(iω) να μην περιβάλλει το - (δηλαδή να είναι Ν=0). Όταν η G(s) έχει ασταθείς πόλους για να είναι το σύστημα κλειστού βρόχου ευσταθές, το διάγραμμα G(iω) πρέπει να περιβάλλει το σημείο - κατά την αρνητική φορά περιστροφής τόσες φορές όσοι είναι οι ασταθείς πόλοι της G(s). Στο σχήμα 5. σχεδιάζονται τα διαγράμματα Nyquist τεσσάρων συναρτήσεων και ελέγχεται η ευστάθεια της διεργασίας στο κλειστό κύκλωμα. Παρατήρηση: η τιμή του Ν είναι θετική για δεξιόστροφες περιστροφές και αρνητική για αριστερόστροφες περιστροφές.

124 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων Σχήμα 5.: Έλεγχος ευστάθειας με το θεώρημα Nyquist N=Z-P Παράδειγμα 5.8: Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς: G (s) = K c /8 (s +) 3. Nα κατασκευάσετε το διάγραμμα Nyquist και να προσδιορίσετε την τιμή του K c,max για την οποία το κλειστό σύστημα είναι οριακά ευσταθές. Η διεργασία στο ανοικτό κύκλωμα είναι ευσταθής, δηλαδή P=0. Η απεικόνιση της G(iω) = K c / 8 ( + iω) 3 για διάφορες τιμές του - < ω < δίνεται στα επόμενα σχήματα.

125 Ρύθμιση Συστημάτων Η απεικόνιση του ημικυκλίου C R στο επίπεδο G(iω) θα είναι στο σημείο 0. s = Re iθ R και - π/< θ< π / G(s)= K c / 8 i (Re θ +) 3 ; limg(s) = lim K c 8R e R R 3-3θi 0 Η συνολική απεικόνιση της G(iω) δίνεται στο σχήμα 5.. Σχήμα 5.: Διάγραμμα Nyquist της G(iω).

126 Γεωμετρικός Τόπος των Πόλων 3 (i) Εάν Α: (0, -) τότε το (Κ.Κ) θα είναι ευσταθές (ii) Εάν Β: (0, -) τότε το (Κ.Κ) θα είναι ασταθές αφού Ζ = = Ν (iii) Στο σημείο οριακής ευστάθειας G(iω) = - + 0i s 3 K / 8 c = + 0i + 3s + 3s+ s = iω ; ω = 3, K 64 c c =

127 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μετασχηματισμοί Laplace Ο μετασχηματισμός Laplace μας επιτρέπει να μετατρέψουμε γραμμικές διαφορικές με σταθερούς συντελεστές και ολοκληρωτικοδιαφορικές εξισώσεις σε αλγεβρικές εξισώσεις, των οποίων η επίλυση είναι ευκολότερη. Ο μετασχηματισμός Laplace είναι ένας τελεστής, ο οποίος μετασχηματίζει μία συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, συνήθως ως προς το χρόνο, σε μία συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής s σύμφωνα με τον ακόλουθο ορισμό: st L{f (t)} = F(s) = e f (t)dt (Α.) 0 όπου L συμβολίζει το μετασχηματισμό Laplace και F(s) τη συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής s = σ + iω, i =. Ο μετασχηματισμός Laplace της f(t) υπάρχει όταν το αόριστο ολοκλήρωμα (Α.) συγκλίνει. Το τελευταίο θα ισχύει εάν η συνάρτηση f(t) είναι φραγμένη, δηλαδή για κάποιες πεπερασμένες θετικές τιμές των Μ και σ ικανοποιείται η ακόλουθη ανισότητα: 0 f (t) e σt dt M Επομένως, ο μετασχηματισμός Laplace της t e δεν υπάρχει αφού η συνάρτηση f(t) = δεν ικανοποιεί την παραπάνω ανισότητα. Αντίθετα, η συνάρτηση μετασχηματιστεί κατά Laplace. t e t e μπορεί να Έστω ότι L{f(t)} = F(s). Τότε ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s) είναι επίσης ένας γραμμικός ολοκληρωτικός μετασχηματισμός που ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα των Fourier Mellin ως εξής: Α.

128 Α. Ρύθμιση Συστημάτων L - {F(s)} = c+ iω lim e st F(s)ds ω c iω πi = f(t) (Α.) όπου L - συμβολίζει τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, και c είναι μια πραγματική σταθερά. Α. Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Laplace Στη συνέχεια, παρουσιάζονται οι σημαντικότερες ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace. Γραμμικότητα. Ο μετασχηματισμός Laplace του γραμμικού αθροίσματος δύο συναρτήσεων f (t) και f (t) ισούται με το γραμμικό άθροισμα των μετασχηματισμένων συναρτήσεων F (s) και F (s). Συγκεκριμένα, L{ α f (t) f (t)} { f (t) f (t)}e st + α = α + α dt = αf (s) + αf (s) 0 (Α.3) Μετασχηματισμός Laplace πρώτης παραγώγου. Ο μετασχηματισμός Laplace της πρώτης παραγώγου της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση: d(f (t) df L = e st dt dt = sf(s) f (0) (Α.4) dt 0 όπου f(0) είναι η αρχική τιμή της συνάρτησης. Απόδειξη: Με τη βοήθεια του τύπου ολοκλήρωσης κατά παράγοντες λαμβάνουμε: b f (x)g (x)dx = f (x)g(x) a f a df (t) L = dt b b a (x)g(x)dx df = e st dt f (t)e st f (t) dt f(0) s f(t)e stdt sf(s) f(0) = + = 0 d dt ( e st ) dt = Μετασχηματισμός Laplace παραγώγου n-τάξης. Ο μετασχηματισμός Laplace της n- παραγώγου της συνάρτησης f(t) είναι:

129 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace Α.3 d n f (t) = s dt n L n n n () (n ) (n ) F(s) s f (0) s f (0)... sf (0) f (0) (Α.5) όπου f (n) (0) είναι η τιμή της n-παραγώγου της συνάρτησης f(t) για t=0. Μετασχηματισμός Laplace του ολοκληρώματος μιας συνάρτησης. Ο μετασχηματισμός t Laplace του ορισμένου ολοκληρώματος f (t )dt δίνεται από τη σχέση: 0 t L f (t )dt = F(s) (Α.6) 0 s Απόδειξη: Από τον ορισμό (Α.) έχουμε: t t t st d L f(t )dt e f(t )dt dt st ( e = = ) f(t )dt dt = s dt t t st st st d e f(t )dt e f(t )dt dt e f(t)dt F(s) s + = = s dt s s Μετατόπιση στο πεδίο του χρόνου. Έστω οι χρονικές συναρτήσεις f(t) και f(t-τ). Η f(t τ) θα είναι ίση με την προς τα δεξιά χρονικά μετατοπισμένη συνάρτηση f(t), όπου τ είναι η χρονική σταθερά μετατόπισης (βλέπε Σχήμα Α.). Ο μετασχηματισμός Laplace της μετατοπισμένης συνάρτησης f(t-τ) θα δίνεται από την ακόλουθη σχέση: sτ L{f (t τ)} = e F(s) (Α.7) f(t), f(t-τ) f(t) f(t-τ) Σχήμα Α.: τ Μετατόπιση συνάρτησης στο πεδίο του χρόνου. t

130 Α.4 Ρύθμιση Συστημάτων Απόδειξη: Αν θέσουμε t' = t τ, θα έχουμε L { f (t τ )} = f (t τ)e st dt = e sτ f (t')e st ' dt' 0 Όμως, για t'<0 ισχύει: f(t')=0. Συνεπώς, { } = sτ L f(t τ) e F(s) τ Μετατόπιση στο πεδίο της μιγαδικής μεταβλητής. Αντίστοιχα, για τη μετατόπιση στο μιγαδικό επίπεδο θα ισχύει: L{e at f (t)} = F(s + a) (Α.8) Απόδειξη: Από τον ορισμό (Α.) έχουμε: L{e at f (t)} = f (t)e at e st dt = f (t)e 0 0 (s+ a)t dt = F(s + a) Αλλαγή χρονικής κλίμακας. Μια άλλη ιδιότητα του μετασχηματισμού Laplace είναι εκείνη που σχετίζεται με την αλλαγή της κλίμακας χρόνου. Η συνάρτηση f(at) διαφέρει από την f(t) στην κλίμακα χρόνου κατά a μονάδες. Για τις δύο αυτές συναρτήσεις ισχύει η σχέση: L{f(at)} = a F s a (Α.9) Απόδειξη: Από τον ορισμό (Α.) έχουμε: st a 0 0 s (at) a L{f(at)} = f(at)e dt = f(at)e d(at) Αν εφαρμόσουμε το μετασχηματισμό λ = at, θα έχουμε 0 s λ a s L{f(at)} = L{f(λ)} = f(λ)e d(λ) F a = a a Το θεώρημα της αρχικής τιμής. Το θεώρημα αυτό αναφέρεται στη συμπεριφορά μιας συνάρτησης f(t) καθώς t 0, γι αυτό ονομάζεται θεώρημα της αρχικής τιμής. Με την προϋπόθεση ότι η πρώτη παράγωγος f () (t) μπορεί να μετασχηματισθεί κατά Laplace, το θεώρημα αυτό διατυπώνεται ως εξής:

131 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace Α.5 limf(t) = limsf(s) (Α.0) t 0 s Απόδειξη: Από την εξίσωση (Α.4) παρατηρούμε ότι το όριο του ολοκληρώματος 0 df e dt st dt για t 0 θα είναι ίσο με μηδέν. Αντίστοιχα, το όριο του τρίτου μέρους στην εξίσωση (Α.4) για s είναι: lim[sf(s) f(0)] = 0 ή s limf(t) = limsf(s) t 0 s Το θεώρημα της τελικής τιμής. Το θεώρημα αυτό αναφέρεται στη συμπεριφορά της συνάρτησης f(t) καθώς t, γι αυτό και ονομάζεται θεώρημα της τελικής τιμής. Με την προϋπόθεση ότι η f () (t) μπορεί να μετασχηματισθεί κατά Laplace και ο παρονομαστής της ρητής συνάρτησης sf(s) δεν έχει ρίζες στον άξονα των φανταστικών αριθμών ή στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο, το θεώρημα αυτό διατυπώνεται ως εξής: limf(t) = limsf(s) (Α.) t s 0 Απόδειξη: Υπολογίζουμε πρώτα το όριο του δεύτερου όρου στην εξίσωση (Α.4) για t και s 0. t () st () () lim f (t)e dt = f (t)dt = lim f (λ)dλ = lim[f(t) f(0)] = limf(t) f(0) s 0 t t t Ακολούθως, υπολογίζουμε το όριο του τρίτου μέρους στην εξίσωση (Α.4). lim[sf(s) f(0)] = limsf(s) f(0) s 0 s 0 Εξισώνοντας τα δύο παραπάνω αποτελέσματα, λαμβάνουμε τη σχέση (Α.). Παρατήρηση: Τα θεωρήματα της αρχικής και της τελικής τιμής επιτρέπουν τον προσδιορισμό της αρχικής και τελικής τιμής της συνάρτησης f(t), χωρίς να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της F(s). Πολλαπλασιασμός συνάρτησης επί t. Στην περίπτωση αυτή, ισχύει η σχέση: d L{tf(t)} = F(s) (Α.) ds Απόδειξη. Διαφορίζοντας την εξίσωση (Α.) ως προς s λαμβάνουμε:

132 Α.6 Ρύθμιση Συστημάτων d F(s) ds = 0 tf (t)e st dt = = L{tf(t)} που είναι ακριβώς η εξίσωση (Α.). Στη γενική περίπτωση, θα ισχύει η σχέση: n L{t n d f(t)} = ( ) n F(s) (Α.3) ds n Διαίρεση συνάρτησης δια t. Στην περίπτωση αυτή, ισχύει η σχέση: f(t) L = F(s)ds t (Α.4) s Απόδειξη. Αν ολοκληρώσουμε την (Α.) από s έως προκύπτει: F(s)ds= f(t)e σtdt dσ = f(t)e σtdσ dt s s 0 0 s f(t) σt f(t) st f(t) = de dt e dt L t = = t t 0 s 0 Α. Μετασχηματισμοί Laplace Βασικών Συναρτήσεων Μοναδιαία βηματική συνάρτηση. Η γραφική παράσταση της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης παρουσιάζεται στο Σχήμα Α.Α. f(t) 0 t Σχήμα Α.: Μοναδιαία βηματική συνάρτηση.

133 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace Α.7 Η μαθηματική διατύπωση της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης είναι: f(t) = 0, t < 0 H (t) = (Α.5), t > 0 Ο μετασχηματισμός Laplace της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης (Α.5) εύκολα υπολογίζεται από την εφαρμογή της εξίσωσης (Α.): st st st L{H(t)} = e H(t)dt = e dt = e = s s (Α.6) Ανάλογα, ο μετασχηματισμός Laplace της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης που εφαρμόζεται την χρονική στιγμή t o >0, είναι: L{H(t st t )} e o 0 = (Α.7) s Γενικά, εάν f(t) είναι μια βηματική συνάρτηση μεγέθους a, 0, t< t f(t) = aη(t t o) = a, t > t o o (Α.8) τότε, η μετασχηματισμένη κατά Laplace συνάρτηση F(s) θα είναι: a L{f(t)} = e st o (Α.9) s Μοναδιαία συνάρτηση πύλης. Η γραφική παράσταση της μοναδιαίας συνάρτησης πύλης παρουσιάζεται στο Σχήμα Α.3. f(t) b E = b* = b t=0 t=b t Σχήμα Α.3: Μοναδιαία συνάρτηση πύλης.

134 Α.8 Ρύθμιση Συστημάτων Η αλγεβρική έκφραση της μοναδιαίας συνάρτησης πύλης είναι: f (t) 0, t < 0 = / b, 0 < t < b = H(t) H(t b) (Α.0) b b 0, t > b Συνεπώς, ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης (Α.0) είναι: sb st sb e b b (Α.) bs bs b s 0 L{f(t)} = H(t) H(t b) e dt = e = Συνάρτηση μοναδιαίου στιγμιαίου παλμού. Η συνάρτηση Dirac δέλτα, δ(t), ορίζεται από το όριο της μοναδιαίας συνάρτησης πύλης για b 0. Η γραφική παράσταση της μοναδιαίας παλμικής συνάρτησης δίνεται στο Σχήμα Α.4. δ(t) t = 0 t Σχήμα Α.4: Μοναδιαία παλμική συνάρτηση. Η αλγεβρική διατύπωση της μοναδιαίας παλμικής συνάρτησης είναι:, t = 0 δ (t) = (Α.) 0, t 0 Το ολοκλήρωμα της δ(t) όταν ο χρόνος μεταβάλλεται από σε +, είναι: + ε δ(t)dt = δ(t)dt = (Α.3) ε Ο μετασχηματισμός Laplace της δ(t) εύκολα προκύπτει από την εξίσωση (Α.) για b 0. Συνεπώς, υπολογίζοντας το όριο της εξίσωσης (Α.) για b 0, λαμβάνουμε:

135 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace Α.9 sb sb e d( e )/db se L{ δ (t)} = lim = lim = lim = (Α.4) b 0b s b 0 d(sb) db b 0 s sb Επικλινής συνάρτηση με κλίση a. Η γραφική παράσταση της επικλινούς συνάρτησης δίνεται στο Σχήμα Α.5. f(t) 0 φ tanφ = a t Σχήμα Α.5: Επικλινής συνάρτηση. Η αλγεβρική έκφραση της επικλινούς συνάρτησης με κλίση a είναι: f(t) = ath(t) (Α.5) Συνεπώς, ο μετασχηματισμός Laplace της επικλίνους συνάρτησης είναι: st a L {f (t)} = L{atH(t)} = ate dt = s 0 (Α.6) Πολυωνυμική συνάρτηση ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή. Έστω f(t) είναι μια εκθετική συνάρτηση ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή t, της μορφής: f(t) = a t n (Α.7) όπου n είναι κάποιος ακέραιος θετικός αριθμός. Ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης (Α.7) είναι: L{at n an! } = (Α.8) s n + Hμιτονοειδής Συνάρτηση. Έστω f(t) είναι μια ημιτονοειδής συνάρτηση με πλάτος a. f(t) = asin(ωt) (Α.9)

136 Α.0 Ρύθμιση Συστημάτων Εύκολα αποδεικνύεται ότι ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης (Α.9) είναι: L{asin(ωt)} = s aω + ω (Α.30) Έστω η συνημιτονοειδής συνάρτηση με πλάτος a. f(t) = acos(ωt) (Α.3) Ο αντίστοιχος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης (Α.3) θα είναι: L{acos(ωt)} = s as + ω (Α.3) Εκθετική συνάρτηση. Έστω η εκθετική συνάρτηση at f (t) = e (Α.33) Ο μετασχηματισμός Laplace της εκθετικής συνάρτησης είναι: L{e at } = e at e st dt = e (s+ a)t = (Α.34) s + a s + a 0 0 Στον Πίνακα Α. παρουσιάζονται οι μετασχηματισμοί Laplace, F(s), τυπικών χρονικών συναρτήσεων, f(t). Στον Πίνακα Α. παρουσιάζονται οι μετασχηματισμοί Laplace των διαφορικών όρων (df/dt) και (d f/dt ) καθώς και των γινομένων τους με την ανεξάρτητη μεταβλητή t (και t ). Οι μετασχηματισμοί αυτοί μας επιτρέπουν να επιλύσουμε ορισμένες κατηγορίες γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με μη-σταθερούς συντελεστές.

137 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace Α. Πίνακας Α.: Μετασχηματισμοί Laplace τυπικών χρονικών συναρτήσεων, f(t). F(s) f(t). /s Η(t) Α. /s t 3. /s n t n /(n )! αt e s + α τs + 6. (s + α) 7. n (s + α) (n =,,...) e τ t/τ te αt t n e αt (n )! 8. (s + α)(s + b) (e αt e bt ) (b α) 9. s (s + α)(s + b) 0. b s + b. b s b Α. s s + b 3. s s b 4. b (s + α) + b 5. s + α (s + α) + b 6. Γ(k) (k 0) sk bt αt (be (b α) sin bt sinh bt cos bt cosh bt e αt sin bt αe e αt cos bt t k ) Γ (k) 7. (k 0) k t (s + α) k t e α 8. f(s+α) e f (t) 9. e bs f (s) f(t-b); και f(t) = 0 για t<b αt

138 Α. Ρύθμιση Συστημάτων Πίνακας Α.: Μετασχηματισμοί διαφορικών και γινομένων. f(t) L{f(t)} = F(s) f(t) L{f(t)} = F(s) df dt sf(s) f(0) t df dt df(s) s ds + df(s) ds df dt s F(s) sf(0) f (0) t df dt s df(s) ds sf(s) + f(0) t df dt s df(s) ds F(s) t df dt s df(s) ds + 4s df(s) ds + F(s) Παράδειγμα Α.: Εφαρμογή του μετασχηματισμού Laplace στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων Άσκηση : Να μετασχηματίσετε κατά Laplace την ακόλουθη ολοκληρωτική-διαφορική εξίσωση: dy + 3y(t) = a y(t )dt dt t 0 y(0) = y ; o Λύση Από την εφαρμογή των ιδιοτήτων των μετασχηματισμών Laplace (βλέπε εξισώσεις Α.4 και Α.6) λαμβάνουμε: a sy(s) y(0) + 3Y(s) = Y(s) s και Y(s) = sy(0) s + 3s a Άσκηση : Να μετασχηματίσετε κατά Laplace την ακόλουθη διαφορική εξίσωση: dy 3 dy dy y(t) = 4u(t) ; y(0) = y'(0) = y''(0) = 0 dt dt dt Λύση Από την εφαρμογή της εξίσωσης (Α.5), λαμβάνουμε: sy(s) 3 s y(0) s y(0) y(0) + (s Y(s) sy(0) y(0) ) + 3(sY(s) y(0)) + Y(s) = 4U(s)

139 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace Α.3 Y(s) = 4U(s) s3+ s + 3s+ Παράδειγμα Α.: Εφαρμογή του θεωρήματος της αρχικής τιμής Να υπολογίσετε την αρχική τιμή της συνάρτησης f(t), από τη μετασχηματισμένη συνάρτησή της F(s): (s )(s+ ) F(s) = s(s+ 3)(s 4) Λύση Σύμφωνα με το θεώρημα της αρχικής τιμής, η αρχική τιμή της συνάρτησης f(t=0) υπολογίζεται ως εξής: s(s )(s+ ) s s limf(t) = limsf(s) = lim = lim = lim = s(s+ 3)(s 4) s s s s t 0 s s s s Παράδειγμα Α.3: Εφαρμογή του θεωρήματος της τελικής τιμής Θεωρούμε μια διεργασία πρώτης τάξης στην οποία εισάγεται μια βηματική μεταβολή μεγέθους a. Όπως θα δούμε στο Κεφάλαιο 5, η μετασχηματισμένη μεταβλητή εξόδου, Y(s), της διεργασίας θα δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση: Kp a Y(s) = τs+ s Να υπολογίσετε την τελική τιμή της y(t) για t. Λύση Η τελική τιμή της y(t) για τιμής. t προκύπτει από την εφαρμογή του θεωρήματος της τελικής Ka p lim(y(t)) = lim(sy(s)) = lim = Ka p τs+ t s 0 s 0 Παράδειγμα Α.4: Μετασχηματισμός Laplace περιοδικής συνάρτησης Δίνεται η περιοδική συνάρτηση f(t), η οποία ισούται με το άθροισμα των χρονικά μετατοπισμένων συναρτήσεων f (t), f (t T), κλπ.

140 Α.4 Ρύθμιση Συστημάτων f(t) = f (t)h(t) + f (t T)H(t T) + f (t T)H(t T) + όπου Τ είναι η περίοδος της συνάρτησης f (t). Να υπολογίσετε το μετασχηματισμό Laplace της f(t). Λύση Σύμφωνα με την εξίσωση (Α.7), ο μετασχηματισμός Laplace της παραπάνω συνάρτησης θα είναι: L{f(t)} = F (s) + F (s)e -st + F (s)e -st + = F (s)( + e -st + e -st F(s) + ) = e st Α.3 Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης Y(s) δίνεται από τη σχέση (Α.). Επειδή όμως ο υπολογισμός του ολοκληρώματος (Α.) είναι συνήθως δύσκολος και χρονοβόρος, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της Y(s) υπολογίζεται με τη βοήθεια κατάλληλων μεθόδων που θα αναλύσουμε στη συνέχεια. Συγκεκριμένα, στην περίπτωση που η Y(s) είναι μια ρητή συνάρτηση (και αυτή είναι η περίπτωση που θα μας απασχολήσει), τότε η συνάρτηση Y(s) δύναται να αναλυθεί σε άθροισμα μερικών κλασμάτων. Ακολούθως, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Y(s) υπολογίζεται εύκολα με τη βοήθεια των αποτελεσμάτων του Πίνακα Α.. Επομένως, κύριος σκοπός μας είναι η ανάπτυξη μιας ρητής συνάρτησης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων. Για το σκοπό αυτό, θεωρούμε τη ρητή συνάρτηση: b(s) b s + b s bs+ b Y(s) = = a(s) as a s... as a m m m m 0 n n n + n ; όπου n>m (Α.35) Έστω z, z,, z m και p, p,, p n είναι οι ρίζες των πολυωνύμων b(s) και a(s), αντίστοιχα. Συνεπώς, η εξίσωση (Α.35) γράφεται: b(s) b m (s z)(s z )...(s z m) Y(s) = = a(s) a n (s p)(s p )...(s p n) (Α.36) Εάν οι ρίζες p, p,, p n είναι διακεκριμένες, τότε η εξίσωση (Α.36) αναλύεται στους ακόλουθους όρους:

141 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace Α.5 b(s) k k k Y(s) = = n a(s) (s p) (s p ) (s p ) n (Α.37) Ακολούθως, υπολογίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της εξίσωσης (Α.37): k k kn L {Y(s)} L L... L = (s p) (s p ) (s p ) n (Α.38) Τελικά, με τη βοήθεια του Πίνακα Α. λαμβάνουμε: tp tp tp y(t) L {Y(s)} ke ke... kne = = n (Α.39) Α.3. Προσδιορισμός των Συντελεστών k, k,, k n Πραγματικές ρίζες: Στην περίπτωση που οι ρίζες του πολυωνύμου του παρονομαστή, a(s), είναι πραγματικές και διακεκριμένες, τότε οι συντελεστές k i στην εξίσωση (Α.37) υπολογίζονται από την ακόλουθη σχέση για i =,,, n. b(s) b(s) k i = (s p) i = a(s) a (s p)(s p ) (s p) (s p ) s= p i n i n (s p) i s= p i (Α.40) Παράδειγμα Α.5: Υπολογισμός της L - {Y(s)}: Περίπτωση πραγματικών διακεκριμένων ριζών Να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της ακόλουθης συνάρτησης: s s 6 s s 6 Y(s) = = s3 s s+ (s )(s+ )(s ) Λύση Από την εφαρμογή της σχέσης (Α.37) λαμβάνουμε: s s 6 k k k Y(s) = = (s )(s+ )(s ) s s+ s Ακολούθως, σύμφωνα με την εξίσωση (Α.40), υπολογίζουμε τους συντελεστές k, k και k 3.

142 Α.6 Ρύθμιση Συστημάτων k = (s s 6) (s ) (s+ )(s ) (s ) s= 6 = = 3 ( ) k (s s 6) = (s )(s+ ) (s ) (s+ ) s= + 6 = = ( )( 3) 3 k 3 (s s 6) = (s )(s+ )(s ) (s ) s= = = ()(3) 3 Συνεπώς, y(t) = 3e e 4 e 3 3 t t t Μιγαδικές ρίζες: Εάν το πολυώνυμο του παρονομαστή της Y(s) (βλέπε εξίσωση Α.36) έχει ένα ζευγάρι συζυγών μιγαδικών ριζών, (π.χ., p και p ), τότε η Y(s) αναλύεται ως εξής: b(s) ks + k k3 k Y(s) = = n a(s) (s p)(s p ) (s p) (s p ) 3 n (Α.4) Ο υπολογισμός των k και k μπορεί να γίνει από την ακόλουθη σχέση: b(s) (s p)(s p ) = (k s + k ) (Α.4) a(s) = s p s= p Θεωρούμε τώρα το ζεύγος των συζυγών μιγαδικών ριζών p = α+ βi και p = α βi. Συνεπώς, η συνεισφορά των ριζών p και p στη χρονική απόκριση της y(t) θα είναι : ks+ k ks+ k ks+ k = = = (s p)(s p ) [s ( α+ βi)][s ( α βi)] (s + α) + β k(s + α) k α+ k k(s + α) k k α = = + (s + α) + β (s + α) + β (s + α) + β (Α.43) Ακολούθως, με τη βοήθεια του Πίνακα Α., υπολογίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace του τελευταίου αθροίσματος.

143 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace Α.7 ks k αt k kα L + ke αt cos(βt) e = + sin(βt) (s p)(s p ) β (Α.44) Παράδειγμα Α.6: Υπολογισμός της L - {Y(s)}: Περίπτωση συζυγών μιγαδικών ριζών Να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της ακόλουθης συνάρτησης: Λύση Y(s) = s+ s s+ 5 Οι ρίζες του πολυωνύμου του παρονομαστή είναι p = + i, p = i. Στην περίπτωση αυτή, -α = και β = Α. Ακολούθως, από την εφαρμογή της εξίσωσης (Α.4), υπολογίζουμε τους συντελεστές k και k Α. s+ (s s+ 5) (s p)(s p ) s= p = ks+ k s= p Άρα, k = και k =. Αντικαθιστώντας τις τιμές των k, k, -α και β στην εξίσωση (Α.44) λαμβάνουμε: t y(t) = e cos(t) + esin(t) t Εναλλακτικά, η μετασχηματισμένη συνάρτηση Y(s) γράφεται: s+ Y(s) = [s (+ i)][s ( i)] και σύμφωνα με την εξίσωση (Α.39) λαμβάνουμε: y(t) = ke + ke (+ i)t ( i)t Ακολούθως, από την εφαρμογή της εξίσωσης (Α.40) υπολογίζουμε τους συντελεστές k και k Α. k s+ + i (+ i) + i i i i = = = = = = (s ( i)) + i + i 4i i i s=+ i Παρόμοια, υπολογίζεται η τιμή του συντελεστή k,

144 Α.8 Ρύθμιση Συστημάτων k s+ + i = = (s (+ i)) s= i Συνεπώς, t y(t) i e( + i)t + = + i e ( i)t = e (( i)e it + (+ i)e it ) Σύμφωνα με την ταυτότητα του Euler θα ισχύει: iα e = cosα + isin α Τελικά, η χρονική συνάρτηση y(t) γράφεται: t t o = + = +, φ = tan () = 45 y(t) e(cost sint) e sin(t φ) Παρατήρηση: Στην παραπάνω εξίσωση χρησιμοποιήθηκε η τριγωνομετρική ταυτότητα: αcosb+ αsinb= αsin(b + φ) ; α = (α + α ) ; φ = tan (α /α ) Επαναλαμβανόμενες ρίζες: Στην περίπτωση που το πολυώνυμο a(s) έχει μία επαναλαμβανόμενη ρίζα τάξης r, τότε οι συντελεστές k, k, k r υπολογίζονται ως εξής: b(s) k k k k k Y(s) = a(s) = (s p) + (s p) + + (s p) + + (s p ) + (s p ) r r n n r r n n (Α.45) b(s) k (s p) a(s) r r = (Α.46) s= p d b(s) k r = (s p) dsa(s) r s= p (Α.47) dr b(s) r k = (s p) r (r )! ds a(s) s= p (Α.48) Από τον Πίνακα Α., εύκολα υπολογίζεται ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace του όρου /(s p ) n,

145 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace Α.9 L n = (s p) n t e (n )! pt (Α.49) Παράδειγμα Α.7: Υπολογισμός της L - {Y(s)}: Επαναλαμβανόμενες ρίζες Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της Y(s) = s + s+ 3 (s+ ) 3 Λύση Σύμφωνα με τα ανωτέρω, η Υ(s) γράφεται: k3 k k Y(s) = + + (s+ ) 3 (s+ ) (s+ ) Υπολογισμός των k, k, k 3 : k k k Άρα, 3 s + s+ 3 = 3 (s+ ) = s + s+ 3 = + 3= 3 s= (s+ ) s= d (s + s+ 3) = (s+ ) 3 = s+ = 0 ds (s+ ) 3 s= d (s + s+ 3) = 3 s= (s ) 3 + = = (3 )! ds (s+ ) s= y(t) = t L {Y(s)} L L e e (t )e (s+ ) s+! = t t t + = + = Θεώρημα Συνέλιξης Πολλές φορές, μια συνάρτηση F(s) μπορεί να γραφεί ισοδύναμα ως γινόμενο δύο συναρτήσεων, δηλαδή των G(s) και H(s). F(s) = G(s)H(s) (Α.50)

146 Α.0 Ρύθμιση Συστημάτων Εάν οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί Laplace των G(s) και Η(s) είναι g(t) και h(t) αντίστοιχα, τότε ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s), δηλαδή η f(t), δύναται να υπολογισθεί με τη βοήθεια του ολοκληρώματος της συνέλιξης: f(t) = L - {F (s)} = L - {G(s)H(s)} = t 0 0 t g(τ)h(t τ)dτ = g(t τ)h(τ)dτ (Α.5) Οι δύο παραπάνω ισοδυναμες διατυπώσεις του θεωρήματος υποδηλώνουν ότι το ολοκλήρωμα της συνέλιξης είναι συμμετρικό. Παράδειγμα Α.8: Εφαρμογή του θεωρήματος συνέλιξης Με τη βοήθεια του θεωρήματος συνέλιξης να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της F(s): Λύση F(s) = s (s+ ) Θεωρούμε ότι G(s) = /(s ) και H(s) = /(s+) Α. αντίστροφοι μετασχηματισμοί Laplace των G(s) και H(s) είναι: Σύμφωνα με τον Πίνακα Α., οι g(t) = L - {/s } = t ; h(t) = L - {/(s+) } = te t Συνεπώς, σύμφωνα με την εξίσωση (Α.5) έχουμε: f(t) = t (t τ) τ(t τ)e dτ = te t 0 t t τ t τ τe dτ e τedτ 0 0 = t τ t t τ t τ t t te e(τ ) e τ e e (τ ) = (t ) + (t + )e Α.4 Θεώρημα Heaviside Θεωρούμε τη ρητή συνάρτηση Laplace, Y(s): b(s) Y(s) = (Α.5) a(s)

147 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace Α. όπου τα b(s) και a(s) είναι πολυώνυμα του s. Η τάξη του πολυωνύμου a(s) είναι μεγαλύτερη εκείνης του πολυωνύμου b(s). Eπιθυμούμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της Y(s). Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: Πραγματικές διακεκριμένες ρίζες: Στην περίπτωση αυτή, η Y(s) γράφεται υπό τη μορφή, b(s) b(s) Y(s) = = a(s) a(s)(s p) i i (Α.53) όπου a(s) i είναι το πηλίκο a(s) / (s-p i ). Η συνεισφορά της ρίζας p i στη συνολική χρονική απόκριση της y(t) θα είναι: b(s) y (t) e pi pt i i = a(s) ή y pt i p (t) i i da(s)/ds e s = pi s = pi b(p ) = (Α.54) Επαναλαμβανόμενη ρίζα πολλαπλότητας r: Στην περίπτωση αυτή, η Y(s) γράφεται: b(s) b(s) φ(s) Y(s) = = = a(s) a(s)(s p) (s p) r i i i r (Α.55) Η συνεισφορά της ρίζας p i πολλαπλότητας r στη y(t) θα είναι: dr φ/dsr dr φ/dsr t dφ/ds tr tr y p (t) = φ(p i i) e (r )! (r )!!! pi pi p (r )! (r )! i pt i = e pt i r dr jφ/dsr j t(j) (Α.56) j = (r j)! (j )! p i Μιγαδικές ρίζες: Για συζυγείς μιγαδικές ρίζες α ± iβ (όπου β είναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός), ο τετραγωνικός όρος [(s + α) + β ] εμφανίζεται στον παρονομαστή της Y(s), δηλαδή b(s) b(s) ψ(s) Y(s) = = = a(s) a(s)[(s + α) + β ] (s + α) + β i (Α.57) Η συνεισφορά των μιγαδικών ριζών α ± iβ στη y(t) θα δίνεται από την εξίσωση (Α.58):

148 A. Ρύθμιση Συστημάτων e αt y (t) (ψ cosβt ψ sin βt) β α± iβ = i + r (Α.58) όπου ψ r και ψ i είναι το πραγματικό και το μιγαδικό μέρος της ψ( s) για s =-α+iβ. Παράδειγμα Α.9: Εφαρμογή του θεωρήματος Heaviside. Άσκηση : Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = s+ 5 s + 5s+ 4 Λύση Όλες οι ρίζες του πολυωνύμου a(s) είναι πραγματικές και διακεκριμένες. s+ 5 k k Y(s) = = + (s+ )(s+ 4) s+ s+ 4 Συνεπώς, k s = = = s s= ; k s = = = s s= 4 4 yt ()= e t e 3 3 4t Άσκηση : Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = s+ s (s + 4s+ 5) Λύση Το πολυώνυμο a(s) έχει μία ρίζα με πολλαπλότητα δύο (p = p = 0) και ένα ζευγάρι συζυγών μιγαδικών ριζών (p 3 = + i, p 4 = i). Συνεπώς, η Y(s) αναλύεται στους ακόλουθους όρους: s+ k k k k Y(s) = = + + +, s (s 4s 5) s s (s p) (s p ) k = φ(s) = s s= 0 s+ s (s + 4s + = = = 0, 5) s = 0

149 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace Α.3 dφ(s) d s+ k = = = 0,04! ds s= 0 ds (s + 4s+ 5) s= 0 ψ(s) = s+ s (s + 4s+ 5) (s p )(s p ) 3 4 s+ = s και α=, β= Συνεπώς, η συνεισφορά του ζεύγους των μιγαδικών ριζών στη y(t) θα δίνεται από την ακόλουθη σχέση: y a+ ib t e () t = ( ψicost+ ψ r sin t) όπου ψ r και ψ i είναι το πραγματικό και μιγαδικό μέρος της ψ(s). ψ( s) s i i = + = + + = s 4 4i 3 4i + i + i = (i )(3+ 4i) 7 i = (3 4i)(3+ 4i) 5 7 ψr = = 0,8 ; ψi = = 0, Συνεπώς, με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα, η y(t) είναι: y(t) = 0,04 + 0,t 0,04e t t cos t 0,8e sin t Άσκηση 3: Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = s(s3+ 6s + s+ 6) Λύση Όλες οι ρίζες του πολυωνύμου του παρονομαστή της Y(s) είναι πραγματικές και διακεκριμένες. k k k3 k4 Y(s) = = s(s+ )(s+ )(s+ 3) s s+ s+ s+ 3 Σύμφωνα με την εξίσωση (Α.54) υπολογίζουμε τους συντελεστές k, k, k 3 και k 4. k k = = (s+ )(s+ )(s+ 3) 6 s= 0 = = = ss ( + )( s+ 3) ( )( )( ) s=

150 A.4 Ρύθμιση Συστημάτων k k 3 4 Συνεπώς, = = = ss ( + )( s+ 3) ( )( )( ) s= = = = ss ( + )( s+ ) ( 3)( )( ) 6 s= 3 yt ()= e + e e 6 6 t t 3t Άσκηση 4: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: dy 5 + 4y = Ht (), y( 0) = dt Λύση Λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης, προκύπτει: 5sY(s) 5y(0) + 4Y(s) = s 5s+ 5s+ k k Y(s) = = = + s(5s+ 4) 5s(s+ 0,8) s s+ 0,8 5s+ k = = = 0,5 5(s+ 0,8) s= 0 5s + ; k = = 0, 5 5s s= 0,8 Συνεπώς, 0,8t y(t) = 0,5(+ e ) Άσκηση 5: Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = 3 s + 3s+ 6 Λύση Το πολυώνυμο του παρονομαστή έχει ένα ζεύγος συζυγών μιγαδικών ριζών,,5± i 5 /. 3 3 ψ(s) Y(s) = = = s + 3s+ 6 (s+,5) + 0,5 5 (s + α) + β ( ),

151 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace Α.5 όπου α =,5, β = 0,5 5. Επειδή ψ(s) = 3, προκύπτει ότι ψ r = 3 και ψ i = 0. Συνεπώς, σύμφωνα με την εξίσωση (Α.58), λαμβάνουμε:,5t,5t e 6e y(t) = (ψicos(0,5 5t) + ψrsin(0,5 5t)) = sin(0,5 5) 5 5 Άσκηση 6: Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: 0 Y(s) = (s+ 4)(s+ ) 3 Λύση Η a(s) έχει μία ρίζα με πολλαπλότητα ένα και μία ρίζα με πολλαπλότητα τρία. 0 k3 k k k4 Y(s) = = (s+ 4)(s+ ) 3 (s+ ) 3 (s+ ) s+ s+ 4 0 k3 = φ(s) = 5 s= s+ 4 = s= ; k dφ(s) d 0 5 = = =! ds dss+ 4 s= s= k dφ(s) d 0 5 = = =!! s 4 4 ds ds + s= s= ; k 0 = ( s + ) 4 3 s= 4 5 = 4 Συνεπώς, σύμφωνα με τις εξισώσεις (Α.56) και (Α.54) λαμβάνουμε: y(t) = 5 t e 5 te + 5 e 5 e 4 4 t t t 4t Άσκηση 7: Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = s + 9s+ 9 s3 + 7s + 4s+ 8 Λύση Όλες οι ρίζες είναι πραγματικές και διακεκριμένες. Επομένως, s + 9s+ 9 s + 9s+ 9 s3+ 7s + 4s+ 8 (s+ )(s+ )(s+ 4) Y(s) = = k s + 9s+ 9 = ( s+ )( s+ 4) s= 9 9 = + = 3 3 k k k 3 = + + s + s + s + 4

152 A.6 Ρύθμιση Συστημάτων k Συνεπώς, s + 9s+ 9 5 = = (s+ )(s+ 4) s= ; k 3 s + 9s+ 9 = = (s+ )(s+ ) 6 s= 4 5 y(t) = e e e 3 6 t t 4t Άσκηση 8: Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: e 0,5s s s 6s+ 3 ss s+ Y(s) = Λύση Η Υ(s) γράφεται, e 0,5s s Υ(s) = (s 3) + (s ) + Σύμφωνα με τον Πίνακα Α., έχουμε: L = (s 3) + 3t sin(t)e και L s ( s ) + te t = cos( ) Από την εφαρμογή του θεωρήματος της χρονικής μετατόπισης συνάρτησης, λαμβάνουμε: L e (s 3) και τελικά, 0,5s + = sin((t 0,5))e 3(t 0,5) H(t 0,5) 3(t 0.5) t y(t) = sin((t 0,5))e H(t 0,5) cos(t)e Άσκηση 9: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: Λύση d y dy dx y = 3 + x ; y(0)=0, y (0)=0 και x(t)= e dt dt dt 3t Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης x(t) είναι: dx(t)/dt = 3e 3t

153 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace Α.7 Ακολούθως, λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης, προκύπτει: 7 sy(s) + 4sY(s) + 4Y(s) = s+ 3 7 k k 3 = s+ s+ 3 Y(s) = (s 3)(s ) (s+ ) k k 7 = s+ 3 s= = 7 ; k = d 7 = 7 ds ( s+ 3) s= ; k 7 = ( s + ) 3 s= 3 = 7 Συνεπώς, t t 3t y(t) = 7te + 7e 7e Άσκηση 0: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: d y dy y = H(t), y(0)=0 y (0)=0 dt dt Λύση Λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης, προκύπτει: sy(s) + 3sY(s) + Y(s) = s Y(s) k k k 3 s(s + 3s+ ) s(s+ )(s+ ) s s+ s+ = = = + + k = ( s+ )( s+ ) s= 0 = ; k = = = ss ( + ) ( )( ) s= k ; 3 = = s(s+ ) s= Συνεπώς, yt ()= e t + e t Άσκηση : Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: 3 dy dy + = 0, y(0) = y (0) = 0, y (0) = 3 dt dt

154 A.8 Ρύθμιση Συστημάτων Λύση Λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης, προκύπτει: sy(s) 3 + sy(s) = Y(s) = s(s + ) Το πολυώνυμο του παρονομαστή έχει μια πραγματική ρίζα στη θέση s = 0 και ένα ζεύγος συζυγών μιγαδικών ριζών, 0 ± i. Άρα, y(t) = y o (t) + y -0±li (t) y 0t o(t) = e = s + s= 0 0t i i r y ± (t) = e [ψ cost+ ψ sint] όπου ψ(s) = /s και ψ(i) = /i = i ψ r = 0, ψ i = -.. Συνεπώς, y(t) = cost Άσκηση : Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = s3+ s + 9s+ 7 (s+ )(s+ ) Λύση Διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή λαμβάνουμε: s+ 3 Y(s) = s+ + (s + )(s + ) όπου (s+ 3)(s+ ) k = (s )(s ) = + + s = k = k s s + s + ; (s+ 3)(s+ ) k = (s )(s ) = + + s = Ο μετασχηματισμός Laplace της δ(t) είναι, ενώ της dδ(t)/dt είναι s. Επομένως, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της Y(s) είναι: d t y(t) = δ(t) + δ(t) + e e dt t

155 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace Α.9 Τι πρέπει να γνωρίζω Τι είναι μετασχηματισμός Laplace. Ποιές κατηγορίες διαφορικών εξισώσεων επιλύονται με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace. Ποια είναι η ιδιότητα της γραμμικότητας. Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της παραγώγου n-τάξης, d n f/dt n. Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της χρονικά μετατοπισμένης συνάρτησης f(t T). Ποιο είναι το θεώρημα της αρχικής τιμής. Ποιο είναι το θεώρημα της τελικής τιμής. Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace βηματικής συνάρτησης μεγέθους α. Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της μοναδιαίας συνάρτησης πύλης. Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Dirac, δ(t). Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της επικλινούς συνάρτησης f(t) = αt. Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της εκθετικής συνάρτησης f(t) = e -αt. Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της ημιτονοειδούς (αsinωt) και συνημιτονοειδούς συνάρτησης (αcosωt). Πως υπολογίζεται ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της ρητής συνάρτησης Y(s) για τις περιπτώσεις (i) διακεκριμένων πραγματικών ριζών, (ii) επαναλαμβανόμενων ριζών και (iii) συζυγών μιγαδικών ριζών. Διατυπώστε το θεώρημα της συνέλιξης. Διατυπώστε το θεώρημα Heaviside για διακεκριμένες πραγματικές ρίζες, επαναλαμβανόμενες και συζυγείς μιγαδικές.

156 A.30 Ρύθμιση Συστημάτων Ασκήσεις Άσκηση Α.: Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των παρακάτω περιοδικών συναρτήσεων: f(t) b f(t) b a a t a a t (α) f(t) b (β) a a 3a 4a t - b Άσκηση Α.: Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης (γ) f(t) e cos0t t 6e = t 4 + (t 0) για t >0 Άσκηση Α.3: Να αποδείξετε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s), F(s) = s (s+ ) είναι: f(t) = t + ( + t)e t με τη βοήθεια του θεωρήματος Heaviside. Άσκηση Α.4: Να αποδείξετε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s), F(s) = (s+ a)(s+ b) είναι: f(t) = e at + (b a) e bt (a b)

157 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace Α.3 Άσκηση Α.5: Να αποδείξετε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s), s + 3s 4 F(s) = (s )(s + s+ ) είναι: f(t) = e t + e t cos(t) + e t sin(t) Άσκηση Α.6: (α) Με τη βοήθεια του ολοκληρώματος συνέλιξης να δείξετε ότι ο F(s) αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Y(s) =, δίνεται από το G(s) ολοκλήρωμα του Volterra, y(t) = f(t) + t 0 y(u)g(t u)du (β) Με βάση την απόδειξη του ερωτήματος (α) να δείξετε ότι η λύση του ολοκληρώματος Volterra y(t) = sin(t) + t 0 sin[(t u)]y(u)du είναι: y(t) = 3sin(t) sin( t) Άσκηση Α.7: Να δείξετε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων: (α) s(s+ ) 3 s, (β) (s + )(s + 4) είναι: (α) f(t) = e t (t+) t e t και (β) f(t) = [cos(t) cos(t)] 3 Άσκηση Α.8: Να υπολογίσετε την αρχική και τελική τιμή της y(t) από την ακόλουθη μετασχηματισμένη συνάρτηση, Y(s): Y(s) = s3 4s + 5 s 3(s + s+ ) Άσκηση Α.9: Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων: (α) (s+ )(s+ )(s+ 3) (β) (s+ a)(s+ b) (γ) s+ s(s + 4)

158 A.3 Ρύθμιση Συστημάτων (δ) [(s+ a) + b ] (ε) e s s + (στ) e s st Άσκηση Α.0: Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων: (α) Y(s) = 0 (s+ 0)(s + s+ ), (β) Y(s) = (s + s ) s(s + 3s+ ) (γ) Y(s) = s+ 3 s + 3s+ s+ 4 Άσκηση Α.: Να μετασχηματισμού Laplace: επιλύσετε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις με τη βοήθεια του (α) (β) (γ) dy 3 dy dy dt3 dt dt y= H(t), y(0) = y(0) = y(0) = 0 dy dy 3 + y= e t, y(0) dt dt dy 3 dy dy dx = y(0) = y= x ; y(0) = y(0) = 0, y(0) =, όπου x(t) = 5sint. dt3 dt dt dt β + β Άσκηση Α.: (α) Να αποδείξετε ότι η y(t) AL {( s) s } Kummer: = είναι λύση της εξίσωσης dy dy t + ( t) + βy= 0 dt dt όπου Α και β είναι κάποιες σταθερές. (β) Να δείξετε ότι στην περίπτωση που β = y(t) = A(t ) και για την περίπτωση που β = t y(t) = A t +!

159 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Μεταβατική Απόκριση Συστημάτων Δεύτερης Τάξης Β. Μεταβατική Απόκριση Συστημάτων Δεύτερης Τάξης Στη συνέχεια, εξετάζουμε τη δυναμική απόκριση ενός δυναμικού συστήματος δεύτερης τάξης σε πρότυπες μεταβολές (π.χ., στιγμιαία παλμική, βηματική και ημιτονοειδής) του σήματος εισόδου. Β... Απόκριση σε Στιγμιαία Παλμική Μεταβολή Θεωρούμε ότι η στιγμιαία παλμική μεταβολή U(t) = α δ(t) εισέρχεται σε μια διεργασία δεύτερης τάξης, Y(s) = (Κ p /τ ) (s s)(s s) U(s) (B.) Σύμφωνα με το Παράρτημα Α, ο μετασχηματισμός Laplace του παλμικού σήματος εισόδου είναι: U(t) = α δ(t), U(s) = α (B.) Αντικαθιστώντας την εξίσωση (B.) στην εξίσωση (B.) λαμβάνουμε: (Kpα/τ ) Y(s) = (s s)(s s) (B.3) Η χρονική απόκριση της διεργασίας δεύτερης τάξης σε παλμική μεταβολή υπολογίζεται από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της εξίσωσης (B.3) με τη βοήθεια του θεωρήματος Heaviside. Ανάλογα με την τιμή του συντελεστή απόσβεσης ζ, οι ρίζες s και s θα είναι πραγματικές αρνητικές για ζ>, αρνητικές και ίσες για ζ=, και συζυγείς μιγαδικές με Β.

160 Β. Ρύθμιση Συστημάτων αρνητικό πραγματικό μέρος για 0<ζ<. Συνεπώς, η χρονική απόκριση Y(t) θα δίνεται από τις ακόλουθες τρεις αναλυτικές λύσεις: Περίπτωση : Υπεραποσβεσμένη απόκριση (ζ>) ή ζ ζ ζ ζ + t + τ τ τ τ p t (Kpα/ τ ) e (K α/ τ ) e Y(t) = + ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ τ τ τ τ τ τ τ τ t ζ τ t ζ ζt τ ζt p K τ pα τ K α e e t Y(t) = e = e sinh ζ τ ζ τ ζ τ (B.4) όπου η υπερβολική συνάρτηση sinhθ ορίζεται ως εξής: sinhθ = ½ (e θ e θ ) (B.5) Περίπτωση : Κρίσιμα αποσβεσμένη απόκριση (ζ = ) t τ Kpα Y(t) = te (B.6) τ τy(t) K p α 0,6 ζ=0,3 0,4 ζ= 0, ζ=,5 0,0 κλίση:+ -0, (t/τ) 0 Σχήμα Β.: Απόκριση διεργασίας δεύτερης τάξης σε παλμική μεταβολή, τ=.

161 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: Μεταβατική Απόκριση Συστημάτων Δεύτερης Τάξης Β.3 Περίπτωση 3: Υποαποσβεσμένη απόκριση (0<ζ<) ζt p τ K α t Y(t) = e sin ζ τ ζ τ (B.7) Οι γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων (B.4), (B.6) και (B.7) παρουσιάζονται στο Σχήμα Β.. Παρατηρούμε ότι η κλίση της αδιάστατης απόκρισης (Y(t)τ/ K p α) ως προς τον αδιάστατο χρόνο (t/ τ) για t = 0, θα είναι ίση με. Τέτοια απόκριση δεν παρατηρήσαμε για συστήματα πρώτης τάξης. Για 0<ζ<, η απόκριση Y(t) θα είναι φθίνουσα ταλαντωτική. Στην περίπτωση αυτή, η τιμή της αποσβεσμένης ταλαντωτικής απόκρισης στο πρώτο μέγιστο θα αυξάνεται καθώς η τιμή του ζ ελαττώνεται. Β... Απόκριση σε Βηματική Μεταβολή Θεωρούμε ότι η μεταβλητή εισόδου μεταβάλλεται βηματικά, δηλαδή U(t) = αh(t), U(s) = α/s (B.8) Αντικαθιστώντας την εξίσωση (B.8) στην εξίσωση (B.) λαμβάνουμε: (Κα/τ) p Y(s) = (s s)(s s)s (B.9) H χρονική απόκριση, Y(t), της διεργασίας δεύτερης τάξης σε βηματική μεταβολή της U(t) θα δίνεται από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της εξίσωσης (B.9). Συγκεκριμένα, διακρίνουμε τις ακόλουθες τρεις περιπτώσεις. Περίπτωση : Υπεραποσβεσμένη απόκριση (ζ>) Για ζ>, η Y(s) θα έχει δύο πραγματικές αρνητικές ρίζες και μία ρίζα στη θέση s = 0. Αντικαθιστώντας τις ρίζες s και s από τις εξισώσεις s ζ s ζ ζ = +, τ τ ζ = στην εξίσωση (B.9), υπολογίζουμε, με τη βοήθεια του θεωρήματος τ τ Heaviside, τη χρονική απόκριση της Y(t). t ζ t ( ) ( ) ζt/τ Υ(t) = Kpα e cosh ζ + sinh ζ τ ζ τ (B.0)

162 Β.4 Ρύθμιση Συστημάτων Η απόκριση αυτή ονομάζεται υπεραποσβεσμένη (overdamped). Η γραφική παράσταση της εξίσωσης (B.0) απεικονίζεται στο Σχήμα Β.. Παρατηρούμε ότι όσο η τιμή του συντελεστή απόσβεσης ζ αυξάνεται, η διεργασία αποκρίνεται βραδύτερα. Σημειώνεται ότι για t = 0, η κλίση της αδιάστατης απόκρισης (Y(t)/K p α) θα είναι ίση με μηδέν. Περίπτωση : Κρίσιμα αποσβεσμένη απόκριση (ζ = ) Για ζ =, η Υ(s) θα έχει δύο ίσες πραγματικές, αρνητικές ρίζες (s = s = - / τ ) και μία ρίζα στη θέση s = 0. Υπολογίζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της εξίσωσης (B.9), για την περίπτωση αυτή, λαμβάνουμε: Y(t) = K p α [ - ( + t τ ) e- t/τ ] (B.) Η απόκριση αυτή ονομάζεται κρίσιμα αποσβεσμένη (critically damped). Η γραφική παράσταση της εξίσωσης (B.) φαίνεται στο Σχήμα Β.. Περίπτωση 3: Υποαποσβεσμένη απόκριση (0<ζ<) Για 0<ζ<, η Y(s) θα έχει δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες και μια ρίζα στη θέση s=0. Στην περίπτωση αυτή, η χρονική απόκριση της διεργασίας θα δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση: Y(t) K p α ζ = ζ = 0,5 ζ = (t/τ) Σχήμα Β.: Yπεραποσβεσμένη (ζ>) και κρίσιμα αποσβεσμένη (ζ=) απόκριση, τ =.

163 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: Μεταβατική Απόκριση Συστημάτων Δεύτερης Τάξης Β.5 ζt / τ t ζ t Y(t) = K + p α e cos ζ sin ζ (B.) τ ζ τ ή την ισοδύναμή της μορφή ζt / τ t Y(t) = K p α e sin ζ + φ (B.3) ζ τ όπου φ = tan ( ζ / ζ) (B.4) Η απόκριση αυτή ονομάζεται υποαποσβεσμένη (underdamped). Η γραφική παράσταση της Y(t) (βλέπε εξισώσεις (B.) ή (B.3)) παρουσιάζεται στο Σχήμα Β.3 για δύο διαφορετικές τιμές του συντελεστή απόσβεσης ζ (=0, και 0,5). Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή, το εύρος της ταλαντωτικής απόκρισης ελαττώνεται με το χρόνο. Συγκεκριμένα, η υποαποσβεσμένη απόκριση της Y(t) χαρακτηρίζεται από τις ακόλουθες παραμέτρους. Α: (= Κ p α) είναι η τιμή της χρονικής απόκρισης Υ(t) στη νέα μόνιμη κατάσταση. Β: (=Y(t p ) K p α) είναι το εύρος της υποαποσβεσμένης απόκρισης στο πρώτο μέγιστο. Y(t p ) είναι η τιμή της υποαποσβεσμένης ταλαντωτικής απόκρισης Y(t) στο πρώτο μέγιστο. C: είναι το εύρος της υποαποσβεσμένης ταλαντωτικής απόκρισης Y(t) στο δεύτερο μέγιστο. Y(t) ζ = 0, K p α B ζ = 0,5 C +% -% A t s t r t p t Σχήμα Β.3: Υποαποσβεσμένη απόκριση (0<ζ<), τ =.

164 Β.6 Ρύθμιση Συστημάτων Παραγωγίζοντας την εξίσωση (B.) ή (B.3) ως προς t και εξισώνοντας το τελικό αποτέλεσμα με μηδέν προκύπτει η ακόλουθη σχέση: sin(ωt) = 0, ω = ζ τ όπου ω (radians/χρόνος) είναι η γωνιακή συχνότητα της ταλαντωτικής απόκρισης. Συνεπώς, η Υ(t) θα έχει διαδοχικά μέγιστα στις χρονικές στιγμές t: (π/ω), (3π/ω), κλπ. Χρόνος ανύψωσης (rise time) Ο χρόνος στον οποίο η απόκριση Y(t) φθάνει την τελική της τιμή K p α για πρώτη φορά, ονομάζεται χρόνος ανύψωσης και υπολογίζεται από την εξίσωση (B.) ή (B.3) για Y(t r )=K p α (βλέπε Σχήμα Β.3). τ t r = (π φ), φ= tan ( ζ /ζ) ζ (B.5) Υπέρβαση (overshoot) Ο λόγος (Β/Α) ονομάζεται υπέρβαση και υπολογίζεται από την εξίσωση (B.) ή (B.3) στη χρονική στιγμή t p = (π/ω). Β = exp Α πζ ζ (B.6) Λόγος ελάττωσης των ταλαντώσεων (decay ratio) Ο λόγος (C/Β) ονομάζεται λόγος ελάττωσης των ταλαντώσεων και υπολογίζεται από την εξίσωση (B.) ή (B.3) για τις χρονικές στιγμές (π/ω) και (3π/ω). C πζ = exp Β ζ = (Yπέρβαση) (B.7) Χρόνος αποκατάστασης (settling time) Τέλος, ο χρόνος t s, στον οποίο η διακύμανση της αποσβεσμένης ταλαντωτικής απόκρισης γίνεται μικρότερη μιας καθορισμένης τιμής (π.χ., ±0,0 της τελικής τιμής της Y(t)), ονομάζεται χρόνος αποκατάστασης της μόνιμης απόκρισης. Εάν η ζώνη ανοχής είναι ±%,

165 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: Μεταβατική Απόκριση Συστημάτων Δεύτερης Τάξης Β.7 ο χρόνος αποκατάστασης της νέας ισορροπίας θα είναι περίπου ίσος με τέσσερις φορές τη φαινομενική χρονική σταθερά του συστήματος: t s 4τ α = 4(τ/ζ) = 4/(ζω n ) (B.8),0 ( ω / ω ) = ζ n 0,5 Β πζ = exp Α ζ 0,0 0,5 ζ,0 Σχήμα Β.4: Μεταβολή των λόγων (Β/Α) και (ω/ω n ) συναρτήσει του ζ. Για ζ = 0, η χρονική απόκριση του συστήματος θα είναι περιοδική. Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα θα έχει δύο καθαρά φανταστικές ρίζες και η φυσική γωνιακή συχνότητα της περιοδικής, ημιτονοειδούς απόκρισης Y(t) θα είναι ίση με ω n = /τ. Οι γραφικές παραστάσεις της υπέρβασης (εξίσωση (B.6)) και του λόγου (ω/ω n ) παρουσιάζονται στο Σχήμα Β.4. Παρατηρούμε ότι όσο αυξάνεται η τιμή του συντελεστή απόσβεσης ζ, ο λόγος (Β/Α) ελαττώνεται. Παράδειγμα Β.: Αναλυτική λύση της εξίσωσης (6.68) για 0<ζ< Δίνεται η ακόλουθη συνάρτηση μεταφοράς μιας διεργασίας δεύτερης τάξης: Υ(s) = ωn + n + n s ζω s ω U(s) Εάν ο συντελεστής απόσβεσης είναι 0<ζ<, να αποδειχθεί με τη βοήθεια του θεωρήματος Heaviside ότι η χρονική απόκριση Y(t) της διεργασίας σε μια μοναδιαία βηματική μεταβολή U(s) = /s, δίνεται από την εξίσωση (B.) ή την ισοδύναμή της (B.3).

166 Β.8 Ρύθμιση Συστημάτων Να αποδειχθεί ότι ο χρόνος ανύψωσης, t r, δίνεται από τις σχέσεις (B.5). Να αποδείξετε ότι ο χρόνος t p, στον οποίο εμφανίζεται το πρώτο μέγιστο της χρονικής απόκρισης της Y(t) ισούται με t p = π / ω n ζ, η δε μέγιστη τιμή της Y(t p ) ισούται με Υ(t p )=+exp(-πζ / ζ ). Να δειχθεί ότι η υπέρβαση (Β/Α) δίνεται από τη σχέση (B.6). Τέλος, να αποδειχθεί ότι ο τελικός χρόνος αποκατάστασης της μόνιμης κατάστασης για μια ζώνη ανοχής ±% από την τελική τιμή της Y(t), δίνεται από τη σχέση (B.8). Λύση Όπως γνωρίζουμε, η φυσική γωνιακή συχνότητα ω n είναι ίση με /τ, όπου τ είναι η φυσική περίοδος της διεργασίας. Συνεπώς, η συνάρτηση μεταφοράς της διεργασίας γράφεται: Υ(s) = ωn + n + n s ζω s ω U(s) = τ s + ζτs+ U(s) (i) Παρατηρούμε ότι η εξίσωση (i) έχει την ίδια μορφή με την εξίσωση (6.4) για Κ p =. Για μια μοναδιαία βηματική μεταβολή του σήματος εισόδου και για 0<ζ<, η εξίσωση (i) γράφεται: Υ(s) = /τ s[(s + ζ / τ) + ( ζ /τ)] (ii) Δηλαδή, η Y(s) θα έχει μια ρίζα στη θέση s = 0 και δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες με αρνητικό πραγματικό μέρος, ζ/τ ± i( ζ / τ). Συνεπώς, σύμφωνα με το θεώρημα Heaviside, η χρονική απόκριση της Y(t) θα δίνεται από την εξίσωση (iii). Υ(t) = Y o (t) + Y ζ / τ± i ζ /τ (t) (iii) Η συνεισφορά της ρίζας s = 0 στην εξίσωση (iii) υπολογίζεται εύκολα με τη βοήθεια του θεωρήματος Heaviside (βλέπε εξίσωση (Α.70)). Υ o (t) = Y(s) / τ s= 0= s = s[(s + ζ / τ) + ( ζ /τ)] s= 0 (iv) Η συνεισφορά του ζεύγους των συζυγών μιγαδικών ριζών στην εξίσωση (iii) υπολογίζεται από τις εξισώσεις (Α.73) Α.74) (βλέπε Παράρτημα Α).

167 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: Μεταβατική Απόκριση Συστημάτων Δεύτερης Τάξης Β.9 αt Y e α± iβ(t) = (ψicosβt + ψrsin βt) (v) β όπου α = ζ/τ, β = s = α + iβ. ζ /τ. ψ r και ψ i είναι το πραγματικό και μιγαδικό μέρος της ψ(s) για Ψ(s) α+ iβ α+ iβ /τ ζ ζ = = i (vi) s τ τ Αντικαθιστώντας τα αποτελέσματα των εξισώσεων (iv vi) στην εξίσωση (iii), λαμβάνουμε: Υ(t) = e ζt/τ [cos(ωt) + ζ ζ sin(ωt)], ω = ζ τ (vii) Με τη βοήθεια της τριγωνομετρικής ταυτότητας, η εξίσωση (vii) γράφεται: Υ(t) = e ζt τ ζ sin(ωt + φ), = (viii) φ tan ( ζ /ζ) Ακολούθως, από την εξίσωση (viii) υπολογίζουμε το χρόνο στον οποίο η τιμή της Y(t) γίνεται για πρώτη φορά ίση με Y(t r ) = K p α =. Υ(t r ) = = e ζt r τ ζ sin(ωt r + φ) ή sin(ωt r + φ) = 0 (ix) Το τελευταίο αποτέλεσμα θα ισχύει για όλους τους χρόνους t r που ικανοποιούν την εξίσωση ωt r + φ = kπ ή t r = (kπ φ) ω (x) Από την εξίσωση (x), για k =, υπολογίζουμε το χρόνο ανύψωσης, t r t r = (π φ) (π φ) τ(π φ) = = ω ω ζ ζ n (xi) Για να υπολογίσουμε το χρόνο t p στον οποίο η Y(t) εμφανίζει το πρώτο της μέγιστο, παραγωγίζουμε την εξίσωση (vii) ή (viii) ως προς t και εξισώνουμε το τελικό αποτέλεσμα με μηδέν.

168 Β.0 Ρύθμιση Συστημάτων ζt/τ dy = 0= sin(ωt) e dt τ ζ ή sin(ωt) = 0 (xii) Από την εξίσωση (xii), υπολογίζουμε τους χρόνους (kπ/ω), όπου k =,, 3,..., που αντιστοιχούν στα διαδοχικά μέγιστα της Y(t). Συνεπώς, για k = υπολογίζεται ο χρόνος στον οποίο εμφανίζεται το πρώτο μέγιστο της χρονικής απόκρισης Y(t), t p = π πτ π ω = ζ = ω ζ n (xiii) Ακολούθως, αντικαθιστώντας την τιμή του t p στην εξίσωση (vii), λαμβάνουμε: Υ(t p ) = ζ e (cosπ+ sin π ) = + e ζ πζ/ ζ πζ/ ζ (xiv) Ο λόγος (Β/Α), εύκολα υπολογίζεται από την εξίσωση (xiv), λαμβάνοντας υπόψη ότι Y(t p ) = + Β = + exp( πζ / υπέρβαση. ( ) (B/A) = exp πζ/ ζ ζ ). Έτσι, προκύπτει η ακόλουθη σχέση για την Είναι εύκολο να δείξουμε ότι οι εξισώσεις ζt/ τ ± e ζ προσδιορίζουν τις δύο εκθετικές καμπύλες των ακρότατων (π.χ., των διαδοχικών μεγίστων και ελαχίστων) της ταλαντωτικής απόκρισης της Y(t). Συνεπώς, ο τελικός χρόνος αποκατάστασης της νέας ισορροπίας, t s, για μια ζώνη ανοχής ±% από την τελική τιμή της Y(t), θα δίνεται από την ακόλουθη σχέση: ζt / τ Υ(t s ) =,0 = + e s ζ (xv) Γενικά, η ταχύτητα με την οποία θα αποσβένεται το εύρος της ημιτονοειδούς απόκρισης της Y(t) θα εξαρτάται από την τιμή της φαινομενικής χρονικής σταθεράς, τ α = (τ/ζ) = (/ζω n ) του συστήματος. Έτσι, εάν γνωρίζουμε τις τιμές των ζ και τ, από την εξίσωση (xv) μπορούμε να υπολογίσουμε τον χρόνο t s, που απαιτείται για την αποκατάσταση της νέας ισορροπίας. Για 0<ζ<0,9 και για μια ζώνη ανοχής ±%, ο χρόνος t s θα είναι περίπου ίσος με τέσσερις φορές τη φαινομενική χρονική σταθερά του συστήματος. Δηλαδή, t s 4τ α = 4(τ/ζ).

169 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: Μεταβατική Απόκριση Συστημάτων Δεύτερης Τάξης Β. Παράδειγμα Β.: Προσδιορισμός της υποαποσβεσμένης χρονικής απόκρισης διεργασίας δεύτερης τάξης Δίνεται η ακόλουθη συνάρτηση μεταφοράς μιας διεργασίας δεύτερης τάξης: Υ(s) = 8s + 4s+ U(s) Να δείξετε ότι η χρονική απόκριση της διεργασίας θα είναι υποαποσβεσμένη. Για μια βηματική μεταβολή του σήματος εισόδου U(t) = H(t), να υπολογίσετε τη χρονική απόκριση Y(t) με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace. Ποια είναι η τιμή της υπέρβασης; Λύση Αρχικά, διαιρούμε όλους τους όρους του πολυωνύμου του παρονομαστή της G(s) με το δύο. 0,5 Υ(s) = 4s + s+ U(s) Από τη σύγκριση της παραπάνω εξίσωσης με την εξίσωση προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις για τις παραμέτρους τ και ζ. G(s) = K p τ s + τζs+ τ = 4 και ζ = /τ = 0,5 Συνεπώς, η χρονική απόκριση της διεργασίας θα είναι υποαποσβεσμένη γιατί ζ = 0,5. Ακολούθως, για τη βηματική μεταβολή U(s) = /s, υπολογίζουμε την Υ(s). 0,5 0,5 Υ(s) = = s(4s + s+ ) s((s+ 0,5) + (0,433) ) Οι ρίζες/ πόλοι της Y(s) είναι: s = 0, s και s 3 = -0,5 ± i0,433. Συνεπώς, ακολουθώντας την ανάλυση του παραδείγματος Β., υπολογίζουμε με τη βοήθεια του θεωρήματος Heaviside τη χρονική απόκριση Y(t). Y(t) = e 0,5t (cos(0,433t) + 0,577sin(0,433t)) Από την εξίσωση (B.6), εύκολα υπολογίζεται η τιμή της υπέρβασης (Β/Α). B πζ = exp A ζ = 0,63

170 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200