חשבון אינפיניטסימלי (2)

Transcript

1 חשבון אינפיניטסימלי (2) איתי שפירא 30 ביוני 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית

2 תוכן עניינים 1 מבוא והשלמות כלל לופיטל חקירת פונקציות קבוצות בנות מנייה גבול עליון וגבול תחתון רציפות במידה שווה מידה אפס טורים מבוא לטורים טורים חיוביים טורים כלליים והתכנסות בהחלט משפט רימן ותמורות על טורים מכפלת טורים

3 תוכן עניינים 2.6 טורי מכפלה פולינום טיילור פולינומים פולינומי טיילור מקלורן הערכת השארית לסדר טיילור מסוים הערכת השארית של פולינום טיילור בנקודה פונקציות קדומות ואינטגרלים לא מסוימים פונקציות קדומות שיטות אינטגרציה אינטגרציה של פונקציות רציונליות האינטגרל המסוים סכומי רימן סכומי דרבו מרחב הפונקציות האינטגרבליות הקשר בין רציפות ואינטגרבליות ומשפט לבג המשפט היסודי של החדו"א אינטגרלים לא אמיתיים סדרות וטורי פונקציות 143 3

4 תוכן עניינים 6.1 התכנסות נקודתית התכנסות במ"ש תכונות של התכנסות במ"ש טורי חזקות משפט אבל פונקציות אנליטיות פונקציות בעלות השתנות חסומה מבוא משפט ז'ורדן בחנים 180 4

5 פרק 1 מבוא והשלמות הקורס התחיל בהשלמות לאינפי 1 וגם בהמשך הקורס נעשו השלמות נוספות. עברנו על שישה נושאים: כלל לופיטל, חקירת פונקציות (שנלמד רק בתרגול), קבוצות בנות מנייה, גבולות עליונים, רציפות במידה שווה ) למדנו באמצע הקורס ב 07.05). והצגת המושג מידה אפס (שהוזכר בהקשר של אינטגרלים). 1.1 כלל לופיטל המרקיז דה לופיטל Hôpitl) L) 1 היה אציל צרפתי במאה ה 17. מהראשונים לפתח אנליזה אך מזוהה כמעט רק אם כלל לופיטל. חברו של ברנולי, 1 לופיטל זוהה בתקופתו כ : L Hospitl לא ברור איך הגיעו לכתיב הזה. s שקטה בצרפתית הוחלפה ב ô. 5

6 1.1. כלל לופיטל f(x) lim אם: x g(x) כלל לופיטל: תהי R ופונקציות.f, g מתקיים = L lim f(x) = lim g(x) = 0.1 x x גזירות בסביבה מנוקבת של,f g 2. x U g (x) 0.3 f lim (x) x g (x) = L.4.lim x הערת סימן: גבול חד צדדי של הפונקציה f(x) ב יסומן: f(x) הערות: כלל לופיטל הוא למעשה אוסף של עשרות משפטים עם ויראציות שונות:. lim x x 0 1. המשפט נכון גם אם במקום 1 נחליף את הדרישה ל ± = g(x) 2. המשפט נכון גם כאשר מחליפים את L ב ±. 3. המשפט נכון גם כאשר מחליפים את ב ±. אבל אז נאלץ לדרוש גזירות בקרן g (x) 0 x [α, ) הוכחה: היות לכל.(, α] או לחלופין α R עבור [α, ) נקבל ממשפט רול כאמור שקיים α < β R כך שלכל x > β מתקיים > 0.g(x) f(x) קודם כל מוגדרת. ללא הגבלת הכלליות, נניח ש g(x).0 < t < 1 β מכאן:.F (t) = f( 1 t ) ו G(t) = g( 1 t ) ונסמן: t = 1 x מכאן לכל x > β המנה: > 0.β נגדיר: הפונקציות,G T מוגדרות וגזירות בסביבה ימנית של 0. מכאן מכלל לופיטל נקבל את הדרוש: f(x) lim x g(x) = lim F (t) t 0 G(t) = lim F (t) t 0 G (t) = lim f ( 1 t ) ( 1 t ) 2 t 0 g ( 1 t ) ( 1 t ) = lim f (x) 2 x g (x) = L 4. המשפט נכון גם אם מדברים רק על גבולות חד צדדים. הוכחה: נניח תחילה שהתנאים מתקיימים בסביבה ימנית של ובפרט קיימת > 0 h כך ש 0 (x) g לכל h).x (, + ניתן להניח ש = 0 f() g() = כך ש f וגם g רציפות בקטע.[, + h] = I נשים לב ש g(x) גזירה ב I פרט אולי ל x =, + h ולכן: 6

7 1.1. כלל לופיטל g. (x) באותו קטע פתוח; אחרת הייתה קיימת נקודה, ממשפט רול, כך ש = 0 g(x) 0 לכן על פי משפט קושי לנגזרות לכל (h x,) + קיימת נקודה (x c,) כך ש f(x) f(x) f() = g(x) g(x) f() = f (c) g (c) לכל h) x (, מותאמת לפי המשוואה הנ"ל x) c (, ומכאן: f(x) lim x g(x) = lim f (c) c g (c) ובאותו אופן אפשר להגדיר כך סביבה שמאלית. כנדרש. f(x) lim לפני שנדע אם גבול x g(x) = lim f (x) x g (x) הערה: בדוגמאות ובתרגילי בית, לרוב נכתוב: מנת הנגזרות קיים. אבל זה צעד שתקף בהתנייה: אם הגבול אכן קיים, אזי מותר להשתמש בכלל לופיטל ועל כן השיווין מתקיים. בשיעור סימנו: =?. כאן אני לא אעשה את זה. דוגמאות? lim המונה והמכנה גזירות ב R, שואפות לאפס שתיהן, sin(x) 1. האם קיים הגבול: lim מכאן נוכל להשתמש x 0 e x cos(x) x 0 e x 1 המכנה לא מתאפס בסביבה של 0 ומתקיים: = 1 e lim x 1 x 0 sin(x) בכלל לופיטל ולקבל: = 1 f(x) = x 2 sin 1 x ו g(x) = sin x ו = 0 נקבל: x 2 sin 1 x lim x 0 sin x 0 0 = lim x 0 2x sin 1 x cos( 1 x ) cos(x) 2. ניקח: ולא הגענו לשום דבר מועיל היות ולביטוי זה אין גבול. השוויון כאן אפוא לא נכון, כי כלל לופיטל לא תופס כאן. חישוב ישיר, לעומת זאת, יעבוד כאן: x 2 sin 1 x lim x 0 sin x = lim x x 0 sin x (x sin 1 x ) = 0 מכאן נסיק שני דברים: כלל לופיטל הוא רק מכיוון אחד: אי קיום הגבול של מנת הנגזרות איננו גורר אי קיום הגבול וכן כלל לופיטל, על אף שהוא כלי חזק מאד, לא sin x x lim 0 0 = cos x x 0 tn x x 1 cos 2 x 1 = lim x 0 תמיד אפקטיבי גם אם תנאיו מתקיימים. 3. אפשר להשתמש בלופיטל כמה פעמים: sin x 2 cos x sin x = lim 1 x 0 2 cos x = 1 2 7

8 1.2. חקירת פונקציות 4. כלל לופיטל יכול להתקיים אבל לא לעזור: lim x x x2 + 1 = lim = lim x2 + 1 x x x x x2 + 1 מתרגיל זה יכולנו להסיק בטעות, אחרי השווין הראשון, שהגבול של הפונקציה המבוקשת שווה לגבול ההופכי שלה, ועל כן חייב להיות 1 מאריתמטיקה. זו הסקה לא נכונה, כי כאמור השיווין הכתוב לעיל הוא מותנה, וכל עוד לא ידוע שהגבול קיים הוא לא תקף. ידי:.lim זה גבול מהצורה 0 0. נסביר ראשית מדוע גם זה x 0 5. ננסה לחשב את הגבול x x מקרה אי וודאות. עבור < α R 0 ו β R הגדרנו באינפי א' את הסמל β על R פונקציית האקספוננט רציפה ב.x x = e x ln x מכאן הרי ש. β = e b ln α lim אז נקבל ש x 0 ולכן נובע ממשפט ההצבה שאם נדע ש x ln x = L lim x x = lim e x ln x = e lim x ln x x 0 = e L x 0 x 0 lim הוא מקרה אי ודאות מהצורה 0. אבל כאן לופיטל יעזור: x 0 גם ln(x) x ln x lim x ln x = lim = lim x 0 x 0 x 1 x 0 = lim x 0 x = 0.lim אנחנו עושים הנחות כאן: כל סימני השיווין כולל ה ( ) שנשען x 0 ולכן: = 1 x x על אריתמטיקה, וכן לופיטל כפי שהוסבר, מניחים קיום של גבול, אותו הוכחנו רק בסוף. ההצדקה לך היא רק מטעמי קיצור. 1.2 חקירת פונקציות כאשר נתונה לנו פונקציה, אנחנו רוצים לדעת כיצד היא מתנהגת. כאן נלמד איך לארגן באופן מעשי את החקירה על מנת להיות מסוגלים לצייר קירוב טוב של גרף הפונקציה ולהבין את התנהגותה. נחקור פונקציה לפי הסעיפים הבאים: 8

9 1.2. חקירת פונקציות תחום הגדרה וסימטריה הגדרה: נאמר ש R היא נקודה פנימית של קטע D אם I כאשר I קטע פתוח וגם.I D נאמר ש R היא נקודה מבודדת של D אם יש קטע פתוח סביב שחותך את D רק בנקודה. נאמר ש R היא בקצה או בשפה של התחום D אם לא נקודה פנימית וכל קטע פתוח סביב מכילה נקודה ב D. הערה: נסמן ± את תחום ההגדרה כקצה של D במידה ו D לא חסומה מלעיל או מלרע. דוגמה נגדיר:.D = ( 2, 1) {0} [1, ] הוא: f תחום ההגדרה של.f(x) = x 3 x 2 (x+1)(x+2) הנקודה = 0 x היא נקודה מבודדת של D. לא כל הקצוות של D שייכים ל D. הגדרה: נאמר ש D סימטרית סביב = 0 x אם. D = D אם D סימטרית נאמר ש f(x) = f( x) מתקיים x D פונקציה זוגית אם לכל f.1.x D לכל f(x) = f( x) פונקציה אי זוגית אם f.2 הגדרה: נאמר ש D R אינווריאנטית ביחס להזהה במספר T R אם.D + T D נאמר ש f : D R היא פוקנציה מחזורית עם מחזור > 0 T אם תחום הגדרתה D אינווריאנטי ביחס להזזה במספר T ולכל x D מתקיים f(x).f(x + T ) = אם קיים > 0 T מינימלי כך ש f מחזורית עם מחזור T T, ייקרא המחזור המינימלי. הערה: סימטריה מאפשרת לצמצמם את תחום חקירת הפונקציה לתחום יסודי ואז להפעיל את ההעתקה המתאימה. 9

10 1.2. חקירת פונקציות גבולות הפונקציה בקצוות תחום ההגדרה הרעיון הוא למצוא כשלב שני את הגבולות f(x) lim במובן הרחב או f(x) lim f(x), lim x x b x ± כאשר, b קצוות הקטע D. כדאי גם לבדוק מה קורה בנקודות מבודדות של D תחומי רציפות לבדוק את רציפות הפונקציה ב D ורציפות מימין ומשמאל בקצוות הקטע בהתאמה. נקודה מבודדת לא יכולה להיות נקודה רציפה של הפונקציה אסימפטוטות אנכיות לצירים, אסימפטוטות משופעות ב ± הגדרה: לפונקציה f יש אסימפטוטה אנכית ב x 0 אם ± = f(x). lim x x +/ 0 נאמר שהישר y(x) = x + b הוא אסימפטוטה משופעת ב לגרף הפונקציה, אם. lim f(x) (x + b) = 0 x המילה אסימפטוטה באה מיוונית עתיקה, מהמאה ה 3 לפה"ס, ומשמעותה 'לא נופולות ביחד'. הערה: אסימפטוטה אופקית היא מקרה פרטי של משופעת עבור = 0. טענה: הישר y = x + b הוא אסימפטוטה משופעת לגרף של f ב אם ורק אם קיימים הגבולות הבאים: f(x) lim x x =.1 lim (f(x) x) = b.2 x הוכחה מידית מאריתמטיקה של גבולות. משופעות בעזרת חישובי גבולות עובדה זו מאפשרת לנו למצוא אסימפטוטות f(x) lim קיים והגבול lim f(x) x לא קיים. לפונקציה f תהיה x x x הערה: ייתכן שהגבול אסימפטוטה אם ורק אם שני הגבולות קיימים. דוגמה:.f(x) = x + ln x 10

11 1.2. חקירת פונקציות תחומי גזירות הכוונה למצוא תחום גזירות, פונקציית הנגזרת כולל גבולות בקצוות תחום ההגדרה ונקודות ההתאפסות של הנגזרת. בנוסף צריך למצוא את הנגזרת השנייה אם קיימת והנקודות בהן היא מתאפסת. אחר כך לחלק את תחום הגזירות לקטעים לפי הסימן של הנגזרת הראשונה והשנייה. בתרגול סימנו שלב זה כשלושה שלבים שונים אקסטרמום הגדרה: נקודה תקרא חשודה לקיצון מקומי של f אם היא נקודה פנימית אחת משני התנאים: והיא מקיימת 1. נקודות בהן הנגזרת מתאפסת. נקרא להן נקודות קריטיות 2. נקודות בהן f לא גזירה, נקרא להן נקודות סינגולריות הערה: הנקודות החשודות לקיצון גלובלי הן הנקודות החשודות לקיצון מקומי ובנוסף נקודות הקצה של התחום D השייכות ל D. נקודה מבודדת, לפי הגדרת האקסטרמה, לא יכולה להיות בשום מקרה נקודת קיצון קעירות וקמירות הגדרה: תהי f : D R פונקציה נתונה ויהיו, b R כך ש.(, b) D נאמר ש f קמורה (convex) ב b) (, אם 0 (x) f עבור כל b).x (, נאמר ש f קעורה,concve) כמו קערה רק הפוך) אם 0 (x) f עבור כל b).x (, נאמר ש x 0 D היא נקודת פיתול של f אם היא נקודה פנימית של D וקיים > 0 δ כך שמתקיימות אחת מהפאשרויות הבאות: או שבסביבה f δ, קמורה בסביבה ימנית וקעורה בסביבה שמאלית, או להפך. אם f גזירה פעמיים בסביבה של נקודת הפיתול x 0 אז f מחליפה סימן בנקודה x. 0 כלומר הנקודות החשודות לנקודות פיתול הן נקודות פנימיות בהן הפונקציה גזירה פעמיים עם נגזרת 11

12 1.3. קבוצות בנות מנייה שנייה אפס ונקודות פנימיות בהן f גזירה רק פעם אחת או לא גזירה כלל. הערה: אם f גזירה בנקודת הפיתול x 0 אזי הגרף של f חוצה את המשיק לגרף בנקודה. הערה: נקודת פיתול לא חייבת להיות נקודה קריטית של הפונקציה, למשל = 0 x היא נקודת פיתול של.x 3 + x 1.3 קבוצות בנות מנייה קבוצה אינסופית הגדרה: קבוצה A תקרא אינסופית אם קיימת פונקציה f : A S עם S A כך ש f חח"ע ועל. קבוצה תקרא סופית אם איננה אינסופית. משפט: קבוצה A סופית אם ורק אם קיים N N כך שיש פונקציה חח"ע ועל A f :.{n N n N} קבוצה בת מנייה הגדרה: אומרים שקבוצה אינסופית A היא בת מנייה (countble) אם קיימת פונקציה חח"ע ועל.f : A N הערה: באופן שקול, A בת מנייה אם ניתן לסדר את איבריה כסדרה. דהיינו, n A = }.f : N A או במילים אחרות קיימת העתקה חח"ע.n N} = {f(n) n N} טענה: אם A קבוצה בת מנייה ו B A אינסופית, אזי גם B בת מנייה. הוכחה: נסדר את A כסדרה הכוללת את כל איבריה, דבר האפשרי מהיותה קבוצה בת מניייה. ניצור ת"ס המורכבת רק מאיברי B על ידי מחיקת איברים שאינם ב B. זאת תהיה סדרה כי B אינסופית. מכאן B היא בת מנייה. משפט: לכל, b R עם, < b הקטע b] [, איננו בן מנייה. 12

13 1.3. קבוצות בנות מנייה הוכחה: נניח בשלילה ש [b,] בן מנייה. אזי ניתן לסדר את כל איבריו בסדרה, 1=n x). n ), b דהיינו הקטעים: 3 נסתכל על חלוקה של הקטע [b,] לשלושה קטעים באורך של,]. 2+b נשים לב שבאחד מהקטעים x 1 לא יכולה להימצא, 3 ], [ 2+b 3, 2b+ 3 ], [ 2b+ 3, b] קרי היא לא יכולה להימצא בשלושתם (היא כן יכולה להיות בשניים מהקטעים כי היא יכולה ליפול בדיוק על אחת מנקודות החיתוך של הקטעים). נסמן את הקטע שלא מכיל את x, 1 בתור: ] 1 ]. 1, b באופן דומה ניתן לחלק גם את הקטע הנ"ל לשלושה חלקים שווים, שלפחות אחד מהם, נסמנו: ] 2 ] 2, b איננו מכיל את x 2 וגם לא את x. 1 באופן רקרוסיבי נוכל להמשיך ולקבל סדרת קטעים שכל קטע מוכל בקטע הקודם לו, ואורך הקטע מאופיין על ידי הנוסחה: L. n = b סדרה זו שואפת לאפס. מכאן אנחנו עומדים בתנאי הלמה של קנטור ובמקביל 3 n מתקיים: וכן לכל n, 0 N מתקיים: { n n n 0 } [ n, b n ] = מכאן על פי הלמה של קנטור, קיימת נקודה [b c,] כך ש {c} = [ n, b n ] n=1 n N לכן לכל.x n אבל היות ו ] n x n [ n, b לכל n N בפרט, ] n n=1 [ n, b מתקיים:.x n c אבל.c R סתירה. כנדרש. איחוד של קבוצות בנות מנייה היא קבוצה בת מנייה נתחיל עם טענה פשוטה יותר: היא קבוצה בת מנייה. טענה: תהי n=1 (A n ) סדרה של קבוצות סופיות. אזי n=1 A n הוכחה: מיידית: לכל n N יש ב A n מספר איברים סופי. נסמנו: k. n מכאן נוכל לסדר את כל איברי האיחוד על ידי כך שנסדר קודם את k 1 האיברים של A 1 ואחר כך A 2 וכו'. וכעת למשפט המרכזי: היא קבוצה בת מנייה. משפט: תהי n=1 (A n ) סדרת קבוצת בנות מנייה, אזי n=1 A n 13

14 1.3. קבוצות בנות מנייה הוכחה: מה שצריך לעשות זה למצוא אלגורתים שיסדר את איברי האיחוד בקבוצה. נסמן: A 1 = { 11, 12, 13,...} A 2 = { 21, 22, 2,3...} A 3 = { 31, 32, 3,3,...}. נעבוד בשיטה הנקראת האלכסון של קנטור: ניתן לסדר את כל האיברים בסדרה באמצעות A n = { 11, 12, 21, 13, 22, 31, 14, 23, 32, 41,...} האלכסונים: קרי מתחילים עם, 11 ואז בצעד ה n, מתחילים עם 1n ומצרפים לסדרה את כל ה i,j כך ש.i + j = n ( n A n = n=1 n=2 k+l=n ) { kl } באופן שקול אפשר לכתוב: ולכן הטענה נובעת מהטענה הקודמת כאיחוד של קבוצות סופיות. כנדרש. טענה: Q היא בת מנייה. Q ( { p q q=1 p Z הוכחה: נשים לב ש p Z, q N}) (1.1) { p q } = {0 q, 1 q, 1 q, 2 q, 2 q,...} p Z ואז היות ולכל q, N האיחוד הינו: וזו קבוצה בת מנייה כי Z קבוצה בת מנייה, ולכן משוואה?? היא איחוד בן מנייה (איחוד של N קבוצות) של קבוצות בנות מנייה ועל כן בן מנייה בעצמו מהמשפט האחרון, כנדרש. מסקנה: אם 1=k A) k ) היא סדרת קבוצות שכל אחת מהן היא או סופית או בת מנייה, אזי n=1a n היא קבוצה סופית או בת מנייה. 14

15 1.4. גבול עליון וגבול תחתון 1.4 גבול עליון וגבול תחתון הגדרת הגבול העליון והתחתון נמשיך עם ההשלמה של אינפי א ונחזור לסדרות. נגדיר: הגדרה: תהי n=1 ( n ) סדרה חסומה, ותהי A קבוצת כל הגבולות החלקיים של n=1.( n ) מכאן נגדיר את הגבול העליון ו הגבול התחתון של 1=n ) n ) בהתאמה: lim sup n = sup A n lim inf n n = inf A הערה: ע"פ A.,BW בנוסף היות ו 1=n ) n ) חסומה, אזי גם A חסומה. לכן מאקסיומת השלמות המושג מוגדר היטב. דוגמאות: lim sup n נקבל שאוסף הג"חים: 1} { 1, ו = 1 n = ( 1) n + 1 n 1. עבור הסדרה n ו 1 = n.lim inf n 2. נסדר ונגדיר כסדרה את הקבוצה (1,0) Q. זו סדרה חסומה. אוסף הגבולות החלקיים הוא: 1].[0, מכאן: = 1 n lim sup ו = 0 n.lim inf n n משפט האיפיון של הגבול העליון משפט: לקבוצת הגבולות החלקיים A של הסדרה החסומה 1=n ) n ) יש מקסימום ומינימום, lim sup n = mx A = inf (sup{ n, n+1,...}) n n lim inf n = min A = sup(inf{ n, n+1,...}) n n ויתר על כן: 15

16 1.4. גבול עליון וגבול תחתון הערה: ניסוח שקול לחלק השני של הטענה: תהי 1=n ) n ) אזי סדרת הסופרימה של זנבות lim sup n = היא סדרה מונוטונית יורדת ומתקיים: (sup{ n n k}) k=1 הסדרה, n.lim inf n וכנ"ל לגבי. lim sup{ n n k} n k הוכחה: ללא הגבלת הכלליות נראה עבור הגבול העליון. די להראות את זה שכן נוכל להתבונן אחר כך בסדרת הנגדי. כדי להראות את הגבול העליון די להראות ש inf n (sup{ n, n+1,...}) הוא ג"ח של הסדרה והוא חסם מלמעלה של A (ואז הוא מקסימום). נסמן:...}, n+1 b n = sup{ n, הסופרימום של הזנב ה nי. אזי ברור ש b n+1 b n לכל ;n N קרי ש n=1 (b n ) מונוטונית לא עולה. מצד שני n=1 (b n ) חסומה מלמטה, למשל על ידי n=1.inf( n ) לכן n=1 (b n ) מתכנסת, וגם: lim b n = inf b n := b n היות ולכל b n,n N הוא הסופרימום של סדרת הזנב:,( k ) k=n נובע שלכל,n N קיים b n 1 n k n מהגדרת הסופרימום (ה kn הזה הוא איבר b n כך ש n k n N. lim זאת x k n של הזנב) בצורה כזו אפשר לבנות סדרה לכל kn n, N כך ש = b לאו דווקא ת"ס של 1=n ) n ) כי זו לאו דווקא סדרת אינדקסים עולה ממש. אבל היות ו k n n לכל n N אז ברור שבסדרה n=1 (k n ) יש אינסוף טבעיים שונים נוכל לבנות ת"ס של 1=n k) (n שתהיה גם ת"ס של 1=k ) nk ) כך ש n k סדרה עולה ממש. מירושה היא.b A ולכן lim n k תקיים: = b k הערה: מהוכחה רואים שדי להניח שהסדרה 1=n ) n ) מלמעלה ולא שואפת למינוס אינסוף כדי להבטיח את mx A בדוגמה, די להניח שהסדרה חסומה מלמטה ולא שואפת לאינסוף כדי להבטיח את קיום.min A דוגמה.( n ) n=1 = sin( π 2 מאחר של sin מחזור של,2π אם עבור n n, קיים תהי הסדרה (n 2 pi נקבל שתנאי pi sin( אם נכפול ב 2 n) = sin( π 2 n ) אז pi 2 n = pi 2 n + 2πk כך ש k N 16

17 1.4. גבול עליון וגבול תחתון זה שקול לכך שקיים k N כך ש n = n + 4k או פשוט ש n ו n שקולים מודולו.4 לכן כדי לחשב את n נקבל ש sin 0 n 0 mod 4 0 n 0, 2 mod 4 sin pi 2 n 1 mod 4 n = = 1 n 1 mod 4 sin π n 2 mod 4 1 n 3 mod 4 sin 3π 2 n 3 mod 3 וקיבלנו שלושה גבולות חלקיים: 1} { 1, 0, = A ולכן 1 = n lim inf ו = 1 n.lim sup n n גבול עליון במובן הרחב הגדרה: תהי n=1 ( n ) סדרה לא חסומה מלמעלה, אזי נגדיר: = n.lim sup אם n הסדרה לא חסומה מלמטה אזי נגדיר: = n.lim inf n הערה: ראינו שאם 1=n ) n ) לא חסומה מלמעלה אזי אפשר לבנות ת"ס שמתבדרת לאינסוף (למשל עשינו את זה בהוכחה של וויראשטראס הראשון) לכן ההגדרה עושה שכל. הערה: אם n=1 ( n ) מתכנסת, אזי.lim inf n = lim n = lim sup n במקרה שהגבול n n n אמיתי, זה נובע ישירות מהיותה של קבוצת הג"ח בעלת איבר אחד. במקרה הרחב, זו פשוט הגדרה איפיון הגבול העליון בלשון ε איפיון הגבול העליון: תהי n=1 ( n ) סדרה חסומה ו.A R אזי lim sup n = A אם n ורק אם: לכל,ε מחד: n > A ε באופן שכיח, מנגד n < A + ε מתקיים כמעט תמיד. lim inf אם ורק אם לכל > 0,ε n < A + ε באופן שכיח איפיון הגבול התחתון: n n = A וגם n > A ε כמעט תמיד. הוכחה: מכיוון אחד ( = ) נניח ש.lim sup n = A מאחר ש A הוא הגבול החלקי n lim n k ולכן לכל > 0 ε קיים K N כך = A עם ( nk ) k=1 העליון הרי שקיימת ת"ס k 17

18 1.4. גבול עליון וגבול תחתון שלכל n > K מתקיים nk > A ε ובפרט ישנם אינסוף ים n עבורם, n > A ε ולכן תכונה זו שכיחה. נניח בשלילה שקיים > 0 0 ε כך שלא מתקיים n < A + ε כמעט תמיד כלומר ישנם אינסוף איברים מהסדרה עבורם n A + ε ולכן קיימת ת"ס של n=1 ( n ) שהיא חסומה מלעיל על ידי החסם של 1=n ) n ) ומלרע על ידי A + ε מכאן ל"ס זו ישנה ת"ס המתכנסת לגבול A + ε 0 L וזאת בסתירה לכך ש A ג"ח עליון של n=1.( n ) מכיוון שני, ) = ( נניח שלכל > 0 ε הטענה n > A ε מתקיימת באופן שכיח n < A + ε מתקיים כמעט תמיד. נבנה ת"ס של n=1 ( n ) באופן הבא: ניקח = 1 1 n ולכל k N 2 קיים m N עם התכונות: n k=1 < m A 1 k < m < A + 1 k ונגדיר.n k = m קיים m כזה לכל k N מאחר שלכל ε התכונה A ε < n < A + ε שכיחה. מכאן ע"פ סנדוויץ A ג"ח של 1=n ). n ) כעת נניח בשלילה שקיים ל 1=n ) n ) ת"ס n < A + ε = 1 2 (A + A ) יתקיים ε = A A 2 המתכנסת ל A.A < הרי שעבור > 0 מתקיימת כמעט תמיד, בסתירה לנתון. מכאן של 1=n ) n ) אין ת"ס עם גבול הגדול מ A ועל כן.lim sup n = A כנדרש. n טענה: תהיינה n=1 ( n ) ו n=1 (b n ) סדרות חסומות כך שלכל n N מתקיים.b n n.lim sup n אזי: b n lim sup n n נניח בשלילה ש b < ונסמן:.lim sup b n lim sup n ו = b הוכחה: נסמן: = n n = 1 2.c היות ו c > b מהטענה הקודמת מתקיים כמעט תמיד ש.b n < c מנגד, ( + b) היות ו c < מתקיים באופן שכיח.c < n אבל הנחנו ש, n b n לכן באופן שכיח מתקיים:.c < n b n סתירה משפט הסנדוויץ המורחב טענה: תהיינה n=1 (b n ) n=1,( n ) ו n=1 (c n ) סדרות כך ש n b n c n כמעט תמיד. lim n b n = c אזי c N וגם lim inf n = c = lim sup c n n n ε לכל > 0 n > c ε לכן לפי איפיון הגבול התחתון מתקיים lim inf הוכחה :1 c n n = 18

19 1.5. רציפות במידה שווה כמעט תמיד. lim sup c n = c לכן לפי איפיון הגבול העליון לכל > 0 ε מתקיים c n < c + ε n כמעט תמיד. לכן לכל > 0 ε מתקיים כמעט תמיד: ε < n b n c n + ε = b n c < ε הוכחה :2 מתקיים n b n c n כמעט תמיד לכן c = lim inf n lim sup n lim inf c n lim sup c n = c n n n n. lim n b n = c וממשפט הסנדוויץ נקבל lim n c n = c = lim לכן n n 1.5 רציפות במידה שווה להלן הסיכום מאינפי 1: הגדרה: תהי f מוגדרת ב A. D f נאמר ש f רציפה במידה שווה ב A אם ε > 0 δ > 0 x, y A ( x y < δ = f(x) f(y) < ε) רציפות במ"ש גוררת רציפות משפט: תהי f מוגדרת ב A. אם f רציפה במידה שווה ב A, אז היא רציפה ב A. הוכחה: תהי, A ונראה ש f רציפה ב f. רציפה במ"ש ולכן לפי ההגדרה לכל > 0 ε קיים > 0 δ כך שאם x < δ אז f(). f(x) שזה בדיוק הגדרת הרציפות. דוגמה טענה: sin x רציפה במ"ש ב R יהי > 0.ε ניקח δ = ε ואז אם : x y < δ sin x sin y = 2 sin x y 2 cos x + y 2 2 sin x y 2 2 x y = x y < ε 2 19

20 1.5. רציפות במידה שווה משפט קנטור היינה משפט קנטור היינה: אם f רציפה ב [b,], אז היא רציפה במ"ש ב [b,]. הוכחה: נניח בשלילה ש f לא רציפה במידה שווה. אז קיים > 0 ε כך שלכל > 0 δ קיימים x, y D f כך ש x y < δ וגם. f(x) f(y) ε נסמן: x x = ו x.y = התנאי נכון לכל > 0 δ אזי לכל n קיימים x n, x n המקיימים x n x n < 1 n וגם. f(x n f(x n) ε נתבונן בסדרה 1=n x). (n זו סדרה חסומה. לכן לפי בולצאנו ווירשטראס יש לה תת סדרה (x n k המתכנסת ל b].x 0 [, עבור אותה סדרת אינקסים n k נתבונן ) k=1 מתכנסת: x n k מתכנסת ל x n k ממשפט הסנדוויץ מתקיים x n k < 1 n k.x n k היות ו בסדרה.f(x 0 ) גם מתכנסת ל f(x n k f(x n k מתכנסת ל ) 0 f(x וגם ) f.x 0 רציפה ולכן: ) f(x n k מתכנסת לאפס. אבל זו סתירה ל ) f(x n k מאריתמטיקה של גבולות מתקיים: ). f(x n k ) f(x n k ) ε שקילות היינה לרציפות במ"ש טענה: f רציפה במ"ש אם ורק אם לכל > 0 ε ולכל שתי סדרות n=1 (x n ) ו n=1 (y n ) המקיימות את המקיימות את התנאים הבאים: n N x n, y n D.1 lim (x n y n ) = 0.2 n מתקיים: f(x n ) f(y n ) < ε כמעט תמיד הוכחה: באופן שקול, נוכיח את המשפט עבור שלילית שתי הטענות. מכיוון אחד, תהי f פונקציה שאיננה רציפה במ"ש ב D. אזי קיים > 0 0 ε כך שלכל > 0 δ קיימים x, y D כך ש x y < δ ו. f(x) f(y) ε מכאן נבנה באופן אינדוקטיבי את שתי הסדרות הבאה:.1 האיבר הראשון: עבור ε 0 זה, ועבור = 1 δ קיימים x, y D כך ש < 1 y x 20

21 1.5. רציפות במידה שווה וגם. f(x ) f(y ) ε 0 ניקח: x = x 1, y = y 1 2. נניח ש x n ו y n הם האיברים ה nים בסדרה, נבחר את האיבר ה + 1 n בצורה x y < 1 כך ש n+1 x, y D קיימים δ = 1 n+1 הבאה: לכל > 0 δ בפרט וגם. f(x ) f(y ) ε 0 נבחר: n+1 x = x ו n+1 y = y f(x n ) ו n N מכאן קיבלנו את הסדרות n=1 (x n ) ו n=1 (y n ) כך ש x n, y n D.f(y n) ε 0 בנוסף, לכל n N מתקיים: x n y n < 1 n 0 מכאן ממשפט הסנדוויץ:, lim כנדרש צד אחד. n x n y n ולכן = 0 lim n x n y n = 0 מכיוון השני, נניח n=1 (x n ) ו n=1 (y n ) סדרות המקיימות את התנאי בשאלה עבור,ε 0 קרי:. n N f(x n ) f(y n ) ε 0 יהי > 0.δ אזי עבור > 0 δ זה, היות ו, lim קיים n N כך ש.x n y n < δ אבל עבור אותו n N יתקיים גם: n x n y n = 0 0 ) n f(x n ) f(y מהנתון. על כן מצאנו > 0 ε כך שלכל > 0 δ קיימים x, y D כך ש x y < δ וגם f(x) f(y) ε ועל כן f לא רציפה במ"ש כנדרש תנאי מספיק להתכנסות במ"ש באינסוף פונקציות רציפות אינן בהכרח רציפות בקטע לא חסום מהצורה (,). נראה תנאי מספיק לרציפות במ"ש כזו: טענה: תהי f : [0, ) R רציפה כך ש = 0 x. lim f(x) אז f רציפה במ"ש ב x [0, ) הוכחה: יהי > 0.ε צריך להראות שקיים > 0 δ כך שלכל ) [0, y x, מתקיים:. x y < δ = f(x) f(y) < ε קיים N R כך שלכל x > N מתקיים:. f(x) x < ε 3 ניקח,δ = ε 3 ואז לכל ) [N, x, y אם x y < δ אז: f(x) f(y) f(x) x + x y + f(y) y < ε לכן f רציפה במ"ש ב (,N]. בנוסף, f רציפה ב (1 + N,0] לכן רציפה שם במ"ש מקנטור היינה, ולכן מאיחוד של קטעים לא זרים שבהם f רציפה במ"ש נקבל ש f רציפה במ"ש ב (,0]. 21

22 1.6. מידה אפס 1.6 מידה אפס הגדרה השתמשנו במושג באינטגרלים. הגדרה: נאמר שקבוצה E R היא בעלת מידה אפס אם לכל > 0 ε קיימת סדרת קטעים המכסה את E שסכום אורכיהם קטן מ ε. הערות:..1 כלומר יש סדרה n=1 (α n, β n ) כך ש n=1 E ומתקיים: n=1 (β n α n ) < ε 2. הקבוצה הריקה, כל קבוצה עם מספר סופי של איברים וכל קבוצה בת מנייה הם קבוצות ממידה אפס. אבל ישנן קבוצות לא בנות מנייה שהינם ממידה אפס לדוגמה קבוצת קנטור. דוגמה E ומכאן: אם E בת מנייה, אזי: n=1 E = ( n ) אזי: ) n 1 n=1 ( n ε2 n 1, n + ε2 ( n + ε2 n 1 n + ε2 n 1 ) = n 2 n < ε n=1 n=1 מסקנה מאינפי I: פונקציה מונוטונית גזירה בכל נקודה פרט לקבוצה ממידה אפס. הגדרה: עבור S R מגדירים: S = inf I n כאשר עבור קטע (β I =,α) נסמן: I = β α וה inf הוא עבור כל הכיסויים של S על ידי איחודים בני מנייה של קטעים פתוחים: S 22 n=1 n=1 I n

23 1.6. מידה אפס קל לראות שעבור קבוצות ממידה אפסה מתקבל: = 0 S. הסימון: S עבור S כלשהו, נקרא המידה החיצונית של לבג של S. עבור כל קטע I, המידה החיצונית של לבג של I שווה לאורכו כמעט תמיד עבור ממשיים הגדרה: תהי קבוצת טענות (x) P. נאמר ש P מתקיימת כמעט תמיד או כמעט בכל מקום everywhere) (.e, lmost אם לתת הקבוצה בהן P לא מתקיימת יש מידה אפס. 23

24 פרק 2 טורים למדנו טורים מה עד לחופש פסח ב למדנו חמישה פרקים: מבוא לטורים, טורים חיוביים, טורים כלליים והתכנסות בהחלט, משפט רימן ותמורות על טורים ומכפלת טורים. 2.1 מבוא לטורים סכומים אינסופיים הגדרה: בהינתן A קבוצת מספרים ממשיים אי שליליים מגדירים: := sup{ i n N, i A} A כאשר בסכומים הסופיים הסכימה היא של איברים שונים של A ואם הסכום לא חסום, נאמר:. הערה: לפעמים קבוצות מכילות שני איברים ששונים לפי הגדרת הקבוצה אך ערכם הממשים זהה. כדי לשמור על הגדרה עקבית של המונח "איברים שונים" אנחנו נעשה הפרדה מושגית 24

25 2.1. מבוא לטורים בין איברים שונים לבין מספרים שונים. לדוגמה: A ואכן עבור קבוצה סופית אי שלילית, A.1 עבור 1} {0, 1, = A נקבל: = 2. A = n באורך,n מתקיים: i.2 עבור 1]} [ 1, x.a = {x 2 גם בדוגמה זו, כמו בראשונה, 0 מופיע פעם אחת וכל איבר אחד בקבוצה מופיע פעמיים. דוגמאות.1 עבור 1} {0, 1, = A נקבל: = sup{0, 1, 2, 0 + 1, 1 + 1, } = 2 A.2 עבור 3} {1, 2, = A נקבל: = sup{1, 2, 3, 1 + 2, 1 + 3, 2 + 3, } = 6 A וכאמור סכום אינסופי מתלכד עם סכום כל האיברים בקבוצה סופית.3 ניקח: N} A = {2 n n ניתן להראות, כפי שנעשה בהמשך: = A n A = 1 וזה טור גיאומטרי לכן:. lim n 2 n A היות ולכל M, R מצפיפות הממשיים, ניקח.4 עבור 1] [0, = A נקבל = + 2 2[M] איברים ב,A נסמן x i כך שלכל + 2 2[M].x i > 1 2 :i ואז: A 2[M]+2 x i > 1 (2[M] + 2) = [M] + 1 > M 2.A = [0, 1] Q גם עבור A מהוכחה הנ"ל, נקבל: = הקשר בין טורים לקבוצות בנות מנייה A אזי 0} { A היא סופית או בת מנייה טענה: אם < 25

26 2.1. מבוא לטורים. A = { A 0} הערה: לכל קבוצה A של איברים ב (,0] מתקיים ש: לכן מספיק להניח שכל איברי A מקיימים 0. A. נתבונן בקבוצה: 0}.A = { A אזי הוכחה: תהי A כך ש < מההערה A = A. מספיק להוכיח ש A בת מנייה או סופית.. > 1 n דהיינו אפשר לכל A, מתקיים > 0 ולכן מארכימדיות קיים n N עם להגיד:. { A > 1 n } := A n ומכאן נטען ש ( ) A = > 1 n 0 ולכן מתקיים: הוכחה ל :( ) מכיוון אחד, לכל A קיים n 0 N כך ש n, N ההכלה מהכיוון השני היא טרוויאלית שכן לכל A. n=1 A n ו A n0 n=1 A n הקבוצה A n מורכבת רק מאיברי A, ולכן ( ) מתקיים. ( ) n N A #A n 1 n מכאן נטען: כאשר # מתייחס למספר האיברים ב A. n לכל n N יש מספר סופי של איברים ב 1 n #A לכן בוודאי גם n גדול מ A n ורק הסכום של n/1, וב ( ) כולם גדולים מ A, n #A n n A <. A מכאן, על ידי מניפולציה של ( ): ולכן לכל A n n, N סופית, ולכן A היא איחוד בן מנייה של קבוצות סופיות (מ ( )) ולכן נובע שהיא קבוצה סופית או בת מנייה סידור איברי הקבוצה לא משנה את הסכום משפט: אם ) A קבוצה בת מנייה ( של מספרים ב (,0] אזי עבור כל סידור של איברי A A = lim n כסדרה, מתקיים: n=1 n 26

27 2.1. מבוא לטורים.b n = N כמו n=1 n A מתקיים: N N שלכל A הוכחה: ברור מהגדרת כן N+1 b N+1 = b N + לכן b n מונוטונית לא יורדת. נניח תחילה ש < A אזי לכל n מהגדרת הסופרימום. עבור āi > A ε כך ש ā 1, ā 2,..., n קיימים ε > 0 b n > A ε ולכן גם:.(ā 1, ā 2,..., n ) { 1,..., N } מספיק גדול, מתקיים ש N = n. lim b עבור המקרה האינסופי, n A מכאן רואים ש. b N A ומכאן < ε ā, 1,,... ולכן עבור N מספיק גדול רואים ש באופן זהה, לכל M R קיימים n > M.(b n ) n=1 = A נובע לכן ש (b n) ממונוטונית של n=1.b n > M N=1 (S N ) נקראת סדרת הגדרת טורים = N הגדרה: תהי n=1 ( n ) סדרה ממשית. הסדרה n=1 n הסכומים החלקיים של n=1.( n ) N. lim N נקרא טור (series) ומוגדר להיות n=1 n הביטוי n=1 n הערה: כלומר טור הוא גבול סדרת הסכומים החלקיים של 1=n ). n ) לרוב נרשום טור ללא איזכור מפורש של הסדרה n=1.( n ) n=1 n דוגמאות ואם > 0 c.1 יהי.c R נגדיר:.S n = n c ומכאן אם = 0 c נקבל = 0 n n=1. ו = n n=1 או < 0 c בהתאמה: = n n=1 מתכנס? נתבונן באיבר הכללי של הסכומים החלקיים: = n S k=1 1.2 האם 3 k n. ומכאן הטור מתכנס. באופן כללי, כל טור הנדסי עם k=1 1 כאשר q הוא היחס בין שני 1 1 q = 1 3 k 3 (1 1 3 n ) 2/3 1 2 < 1 q ייתכנס, כפי שראינו באינפי א, ויתכנס ל איברים ו 1 האיבר הראשון.. קל לראות שטור זה לא מתכנס, היות ו.3 נתבונן בטור: k=1 ( 1)k 0 n is even S n = 1 else 27

28 2.1. מבוא לטורים S n = k=1 1 k(k + 1) = n k=1. נשים לב שמתקיים: k=1 1 k(k+1) ( 1 k 1 ) = 1 1 k + 1 n נתבונן ב ייתכנס? מדובר בטור הנדסי עם q = e x על.5 לאילו ערכים x R הטור n=1 e nx כן הטור יתכנס אם ורק אם < 1 x e x = e קרי < 0.x תכונות בסיסיות ניתן להפיק מידע על טורים בעזרת הכלים שפיתחנו על סדרות, שכן התכנסות של טור הוגדרה במונחים של התכנסות סדרות. טור מתכנס רק אם הסדרה אפסה. lim מתכנס, אזי = 0 n n משפט: אם n=1 n הוכחה: לכל k N מתקיים: k+1. k = S k S נסמן את סכום הטור ב L ואז מאריתמטיקה של גבולות של סדרות ומהיותה של 1+k S זנב של S k נקבל = n lim n lim כנדרש. n S n lim n S n 1 = 0 הערה: היות של 1=n ) n ) סדרה מתכנסת, לא גורר את התכנסות הטור ומדובר בתנאי. הכרחי ולא מספיק. לדוגמה: 1 n n = סדרה אפסה, אך: = n 1 n=1 הערות: 1. עבור קבוצות הטורים המתכנסים, ההעתקה מהטורים לגבולם היא לינארית, מהיותה של סדרת הגבולות החלקיים מתכנסת ומאריתמטיקה של גבולות. 2. לרוב לא נדע לחשב את גבול הטור, אך כן נדע להכריע בשאלת ההתכנסות.. lim n (1 1 מתכנס? לא, היות ו 0 1 e n+1 )n = n=1 (1 1 דוגמה: האם 1+n n( 28

29 2.2. טורים חיוביים קריטריון קושי לטורים מתכנס אם ורק אם משפט קריטריון קושי לטורים: הטור 1=n n ε > 0 N N N < n, k N n+k i=n+1 i < ε n+k ומכאן i=n+1 i = k i n הוכחה: מיידי: מתקיים: n i = S k S השקילות נובעת ממשפט קושי עבור סדרות. זנב של טור הוא הטור הגדרה: תהי n=1 ( n ) סדרה ו.N N ה N זנב של הטור n=1 n. או באופן שקול: n=1+n n n=1 n+n מתכנס מתכנס אם ורק אם n=1 n+n טענה: יהי n=1 n.n N N מתכנס, אז נוסיף את הטור המוגדר על ידי + n 1=n הוכחה: מיידי: אם 1=n n+n מתכנס אז נוכל ונקבל מאריתמטיקה של טורים טור מתכנס. אם 1=n n n=n+1 0 להוסיף את הנגדי של הטור הקודם וסיימנו. 2.2 טורים חיוביים כאמור לרוב לא נדע איך לחשב את הטור אלא רק לדעת אם הוא מתכנס. מתברר שעבור טורים חיוביים ההכרעה בשאלת ההתכנסות קלה יותר ועל כן ננסח מכאן טענות שיעזרו להכריע בשאלת ההתכנסות. 29

30 2.2. טורים חיוביים חסימות סדרת הסכומים החלקיים מתכנס, אם ורק אם סדרת הסכומיים משפט: תהי n=1 ( n ) סדרה חיובית. אזי n=1 n S N = N חסומה. החלקיים n=1 n מתכנס אז לפי הגדרה L R lim S N = L לכן בפרט S N N הוכחה: אם n=1 n חסומה. מכיוון שני, נניח S N חסומה. S N סדרה מונוטונית עולה היות ו 1=n ) n ) חיובית, לכן היא מונוטונית עולה וחסומה מלמעלה ולכן מתכנסת, ועל כן לפי הגדרה 1=n n מתכנס מבחני ההשוואה הבסיסים מבחן ההשוואה מבחן ההשוואה: תהיינה n=1 ( n ) ו n=1 (b n ) סדרות חיוביות כך ש n b n כמעט תמיד, מתכנס. מתכנס אז n=1 n אז אם n=1 b n מתכנס, אז S, bn סדרת הסכומים החלקיים של b n מתכנסת ובפרט הוכחה: אם n=1 b n חסומה. קיים N N כך שלכל n > N מתקיים n b n ובפרט: n n=n+1 חסום ולכן מתכנס. חסום ולכן גם n=1 n. ומכאן n=n+1 n n=n+1 b n S bn הערה: קל לראות שזה נכון גם אם הסדרות חיוביות כמעט תמיד. טורים מתכנסים חיוביים, אזי ו n=1 b n טור מכפלת הסדרות של טורים מתכנסים מסקנה ממבחן ההשוואה: יהי 1=n n מתכנס. n=1 nb n הוכחה: n=1 ( n ) אפסה אזי קיים < M R 0 כך שלכל n N מתקיים n < M ומכאן: M מתכנס כמכפלה בסקלר של n=1 b n. n=1 nb n < n=1 Mb n = M n=1 b n מתכנס, כנדרש. טוב מתכנס, לכן ממבחן ההשוואה 1=n nb n 30

31 2.2. טורים חיוביים הערות: ייתכנס ו n=1 ( n ) תהיה חסומה עבור סדרות 1. למעשה מספיק לדרוש ש 1=n b n חיוביות..2 היות ו n=1 ( n ) אפסה היא קטנה מ 1 כמעט תמיד ולכן n b n < b n כמעט תמיד וגם כך היה ניתן להשתמש במבחן ההשוואה. מבחן ההשוואה הגבולי טורים חיוביים וקיימים < u, v R 0 ו n=1 b n מבחן ההשוואה הגבולי: אם 1=n n מתכנס. מתכנס אם ורק אם n=1 b n n=1 n כמעט תמיד, אז v < n b n כך ש < u lim n תנאי המשפט מתקיימים. n bn הערה: בפרט אם > 0 L = הוכחה: מההנחה מתקיים ש < vb n < n < ub n 0 כמעט תמיד. מכאן אם n=1 b n מתכנס. באותו מתכנס ולכן על פי מבחן ההשוואה גם 1=n n מתכנס, אז גם 1=n ub n מתכנס, כנדרש. מתכנס ולכן גם n=1 b n האופן אם n=1 ( n ) מתכנס, גם n=1 vb n דוגמה 1. אינטואיטיבית הטור לעיל מתקרב לטור ההרמוני n=1 := נתבונן בטור n (1+ n 1 ) n=1 n כאשר n שואף לאינסוף, ועל כן נצפה שיתבדר. על מבחן ההשוואה הגבולי: 1 ( ) n (1+ n 1 ) n ( 1 n ) = n = 1 n n 1 (1+ 1 n ) n v < n והיות והטור ההרמוני מתבדר גם הטור n 1 לכן בפרט קיימים < v < u 0 עם < u לעיל מתבדר. 31

32 2.2. טורים חיוביים מבחן המנה n+1 כמעט תמיד n < bn+1 b n טורים חיוביים. אם ו n=1 b n מבחן המנה: יהיו 1=n n מתכנס. מתכנס גם n=1 n אז אם n=1 b n הוכחה: יהי N האינדקס ממנו מתקיים התנאי במשפט. באינדוקציה אפשר להראות שלכל :k N N+K N+1 < b N+k b N+1 אז גם ולכן: N+1 b N+1 N+K < b N+k מכאן על פי מבחן ההשוואה אם n=1 b n מתכנס, כנדרש. n=1 n מבחן ד'למבר n+1 כמעט תמיד אזי n מבחן ד'למבר: Alembert) :(D יהי n=1 ( n ) חיובית. אם < q מתכנס אם < 1 q ומתבדר אם 1 q n=1 n הוכחה: נניח ש < 1.q באינדוקציה קל להראות ש n < q n הטור n=1 qn מתכנס (הצד הזה נשים לב הוא מקרה הנדסי לכן מתכנס ולכן ממבחן ההשוואה 1=n n פרטי של מבחן המנה עבור.(b n = q n מכיוון שני, אם 1 q אזי הסדרה n=1 ( n ) מתבדר. מונוטונית עולה כמעט תמיד בפרט לא אפסה. על כן 1=n n lim sup אזי n n+1 n = R ו lim inf n n+1 n מסקנה: אם קיימים < r, R R 0 כך ש = r מתבדר. מתכנס. אם > 1 r אזי n=1 n אם < 1 R הטור n=1 n lim sup n n+1 n הוכחה: על פי שקילות האיפיון לגבול עליון ותחתון (ראה עמוד??) אם = n < R + ε = R + 1 R 2 = 1+R 2 ε = 1 R מתקיים < 1 lim inf באופן דומה מתקיים n n+1 n 2 < 1 R אזי לכל > 0 ε בפרט כמעט תמיד, לכן מד'לאמבר הטור מתכנס. אם > 1 r = n+1 כמעט תמיד ולכן הטור מתבדר. n > q 1 דוגמה: 32

33 2.2. טורים חיוביים. נשים לב ש: n=1 2n n! n+1 n = 2 n n מקיים: = 0.5 n 1=n 0.5n כמעט תמיד, והיות ו n+1 n לכן בפרט מתקיים: < 0.5 מתכנס. ועל כן נקבל ממבחן המנה ש 1=n n מבחן קושי להתכנסות טורים חיוביים חיובי אזי מבחן קושי להתכנסות: יהי 1=n n מתכנס.1 אם קיים < 1 q < 0 כך ש n n < q כמעט תמיד, אזי n=1 n 2. אם 1 n n באופן שכיח אז הטור מתבדר. הערה: קריטריון קושי איננו מבחן קושי. הוכחה:.1 על פי ההנחה לכל n > N מתקיים ש n n < q לכן n < q n והיות ו < 1 q < 0 טור גיאומטרי לכן מתכנס, והיות ו n=1 qn n=1 n < מתקיים: n=1 qn מתכנס, כנדרש. נקבל ממבחן השוואה ש 1=n n.2 אם > 1 n n טענה שכיחה, אז 1 n שכיחה ובפרט זה אומר בפרט 0 n lim n מתבדר. ולכן n=1 n טור חיובי אזי: מסקנה: יהי n=1 n n lim אזי הטור מתכנס. n < 1.1 n מתבדר. n=1 n אז lim sup n 2. אם הגבול העליון מקיים > 1 m n n lim אזי אם < 1 c הטור מתכנס אם > 1 c הטור.3 אם קיים הגבול n = c n מתבדר. 33

34 2.2. טורים חיוביים הערות: אבל n lim n 1 lim נקבל מקרי אי וודאות. לדוגמה: = 1 n n מתכנס. n=1 n 2 ומתקיים: lim n n.1 אם = 1 n n n 2 וגם = 1 n=1 n 1 = עם 2n = 4 n ו. 2n 1 = 2 n עבור טור כזה, מבחן קושי מראה.2 יהי n=1 n בקלות רבה שהטור מתכנס אבל מבחן דלאמבר לא אומר כלום. ( מתכנס? מתקיים: n=1 n n+1 n n n = ( n + 1 )n n e 1 ) n 2 דוגמה := האם הטור n=1 n לכן בפרט קיים < 1 q < 0 כך ש n n < q כמעט תמיד ולכן הטור מתכנס. עבור 0 β מתכנס אם > 1 β ומתבדר אם 1.β טענה: הטור 1=n n β, הטור ההרמוני, מתבדר, ממבחן השוואה לכל 1 β 0 הוכחה: היות ו 1 n 1=n הטור מתבדר. עבור > 1 β ולכל m R נתבונן בת"ס הבאה של סדרת הסכומים החלקיים: 2 m 1 n=1 n = 1 n β + n=1 3 n β + n= n β + n β n=4 n=8 2 m 1 n=2 m 1 n β β m β (2 m 1 ) β β β (2 m 1 ) 1 β m 1 = 1 + (2 1 β ) n 1 + (2 1 β ) n n=1 n=1 היות ו > 1 β אז < 1 β 1 2 ולכן קיבלנו טור הנדסי עם מכפיל שקטן מ 1 לכן מתכנס, מתכנס כי סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה, כנדרש. ומכאן הטור 1=n n β מתכנס. n=1 1 עדיין מתבדר, אבל n) 2 n(ln n=1 1 n ln n הערה: אפשר להראות ש למעשה ניתן להראות ממה שעשינו שמתקיים: 34

35 2.2. טורים חיוביים מבחן העיבוי מתכנס מבחן העיבוי או מבחן הדילול: תהי 1=n ) n ) יורדת וחיובית, אז הטור 1=n n מתכנס. אם ורק אם הטור המעובה 1=n 2n 2 n טור מתכנס, לכן חסום. הוכחה: יהי n=1 n נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים של 2 k 2 k = n 2 n k=1 2 k 2 k סדרה חיובית : n=1 2n 2 n ( ) + 2( ) + 2( ) ( 2 n n) 2 ( ) סדרה יורדת. n גם היא חסומה, והיות ו לכן סדרת הסכומים החלקיים k=1 2k 2 k נקבל שסדרת הסכומים החלקיים מונוטונית וחסומה ולכן הטור מתכנס. מתכנס ולכן חסום. נתבונן בסדרת הגבולות החלקיים מכיוון שני, נניח ש n=1 2k 2 k נתבונן בתת סדרה של n=1,(s np ) p=1,(s n ) המוגדרת על ידי = p n 2 p 1 k=1.s n = n k=1 n :2 p 1 k = 1 + ( ) + ( ) + ( ) ( 2 p p 1 ) 1 + ( ) + ( ) + ( ) ( 2 p p 1) p 2 k 1 2 k 1 k=1 p סדרה מתכנסת לכן חסומה נקבל משיקולים זהים למקודם והיות ו k 1 k=1 2k 1 2 ש 1=p S) np ) חסומה לכן 1=n S) n ) גם חסומה (סדרה מונוטונית) ולכן מתכנסת ומכאן מתכנס. כנדרש. n=1 n k=1 k 35

36 2.3. טורים כלליים והתכנסות בהחלט דוגמה מתכנס? n=2 1 האם n ln n יורדת וחיובית ונוכל להשתמש במבחן העיבוי וייתקיים: 1 n ln n n=2 2 n 2 n ln 2 n = 1 n ln 2 = 1 ln 2 n=2 n=2 1 n לכן הטור המעובה מתבדר ולכן הטור לעיל מתבדר. 2.3 טורים כלליים והתכנסות בהחלט עד כה הצלחנו לספק משפטים שיעזרו לנו בהכרעת שאלת ההתכנסות עבור טורים מתכנסים. כעת ננסה לעשות הרחבה לטורים כלליים. אם טור כלשהו הוא חיובי כמעט תמיד, אזי קיים זנב שלו שחיובי ונוכל לחזור להשתמש במשפטים על הטורים החיוביים ולחבר באופן סופי את האיברים החסרים. אם טור שלילי כמעט תמיד אזי מכפלה שלו בסקלר (1 ) תניב טור חיובי כמעט תמיד, ונוכל להתמודד. מכאן עניינו בתת פרק זה הוא להתעסק אם טורים שליליים וחיוביים באופן שכיח. נעבור על חמישה נושאים: משפט לייבניץ, מושג ההתכנסות בהחלט, מבחן דירכלה, מבחן אבל ומשפט רימן משפט לייבניץ גוטפריד וילהלם לייבניץ (Leibniz) היה פילוסוף ומתמטיקאי במחצית השנייה של המאה ה 17. מהאינטלקטואלים החשובים והמשפיעים ביותר בכל הזמנים, שהשפיע על כמעט כל המדענים והפילוסופים שבאו אחריו. גרמני סקסוני, בן אצולה וסלב עוד בתקופתו אם כי עיקר תהילתו כפי שמונצחת היום הובנה רק מאות שנים אחרי מותו. בתחילת סמסטר א' צויין 300 שנה בדיוק למותו. 36

37 2.3. טורים כלליים והתכנסות בהחלט משפט לייבניץ משפט לייבניץ: תהי 1=n ) n ) סדרת מספרים אי שלילים שיורדת מונוטונית לאפס. אזי: מתכנס..1 הטור n=1 ( 1)n+1 n אז s אם n=1 ( 1)n+1 n = s.3 ה m זנב של הטור,,r m מקיים ש m+1 r m כלומר: n n=m+1 ( 1)n. m+1 הערות: טור לייבניץ..1 אם n=1 ( n ) יורדת, חיובית ואפסה, נאמר ש n=1 ( 1)n+1 n כדי שהאיבר הראשון בטור יהיה חיובי. הבחירה.2 הגדרנו את הטור n=1 ( 1)n+1 n היא מטעמי נוחות ואין לכך חשיבות היות והכפלת הטור ב (1 ) לא תשנה את שאלת ההתכנסות. 3. כיוון שהסדרה בהגדרה יורדת ואי שלילית, אם היא מתאפסת אזי היא אפס כמעט תמיד. מקרה זה לא מעניין אותנו ולכן נתעסק רק בסדרה מונוטונית יורדת וחיובית ממש מתכנס כי זהו טור לייבניץ. באמצעות טור זה נמחיש.4 לדוגמה הטור 1 n n=1 ( 1)n בציור את האינטואציה שמאחורי משפט לייבניץ: 37

38 2.3. טורים כלליים והתכנסות בהחלט הוכחה: תהי 1=n ) n ) סדרה מונוטונית, אי שלילית ואפסה. תהי S n סדרת הסכומים החלקיים של הטור לייבניץ. למה :1 ת"ס של האיבריים הזוגיים n=1 (S 2n ) עולה ות"ס n=1 (S 2n 1 ) יורדת. k N S 2n S 2(n 1) = 2 ( 1) k+1 k 2n 2 k=1 k=1 k=1 k=1 הוכחה: ( 1) k+1 k = 2n + 2n 1 0 2n 1 2n 3 k N S 2n 1 S 2(n 1) 1 = ( 1) k+1 k ( 1) k+1 k = 2n 1 2n 2 0 ( ) n=1 ( n ) מונוטונית יורדת.. n, m N למה 2m 1 :2 S 2n < S הוכחה: יהיו.n, m N ניקח.mx{m, n} < k N מלמה 1 נקבל: S 2n < S 2k וגם 2k 1.S 2m 1 > S מכאן אם לכל k N מתקיים: S 2k 1 S 2k סיימנו כי יתקיים:.S 2m 1 > S 2k 1 S 2k > S 2n ואמנם: S 2n = S 2n 1 + ( 1) 2n+1 2n = S 2n 1 2n S 2n 1 כנדרש בלמה 2. מכאן על פי למה 1 נקבל ש 1=n S) 2n ) מונוטונית עולה ולפי למה 2 היא חסומה מלמעלה למשל על ידי S 1 = 1 ולכן מתכנסת. נסמן את גבולה ב S. באותו אופן 1=n S) 1 2n ) מונוטונית יורדת וחסומה מלמטה למשל על ידי S, 2 נסמן את גבולו ב T. אבל מתקיים: T S = lim n S 2n 1 lim n S 2n = lim n (S 2n 1 S 2n ) = lim n ( ( 1)2n+1 2n = lim n 2n = 0 = T = S וראינו באינפי 1 שאם סדרת הזוגיים והאי זוגיים מתכנסים ומתכנסים לאותו גבול אז הסדרה מתכנס, כנדרש בסעיף 1. מתכנסת, לכן S n מתכנסת לכן n=1 ( 1)n+1 n 38

39 2.3. טורים כלליים והתכנסות בהחלט עבור סעיף 2, נשים לב שלכל איבר בסדרה 1=n S) 1 2n ) גדול או שווה ל S גבול הטור כי זו סדרה יורדת שגבולה גם הוא.S בפרט.S S 1 = 1 מצד שני, S S 2n לכל n N כי S 2n עולה ומתכנסת ל.S מכאן מתקיים: 0 2 S S 2 = 1 לכן S 1,0 כנדרש בסעיף 2.. מתקיים: עבור סעיף 3, נתבונן ב m זנב של הטור: n=m+1 1+n(1 ) n r m = ( 1) n+1 n = ( 1) m ( 1) n+1 m+n (2.1) n=m+1 ( ) החלפת אינדקסים וגם: אם m זוגי, אז האיבר הראשון בטור השמאלי שלילי ואחרת n=1 חיובי. הטור הימני במשוואה?? הוא טור לייבניץ כי 1=n ) m+n ) אפסה כזנב של אפסה ומונוטונית יורדת. לכן ממשפט לייבניץ סעיף 1 שהוכחנו קודם נקבל ש m+n 1=n 1+n(1 ) m ( 1) ואחרת: n=1 ( 1)n+1 m+n = r m m+1 זוגי נקבל: m מכאן אם m+1 r m או r m m+1 כך או כך:. ( 1) m n=1 ( 1)n+1 m+n = r m m+1 m+1 לכן m+1 r m כנדרש. דוגמאות לטורי לייבניץ הוא טור.1 לכל סדרה מונוטנית השואפת לאפס n=1 ( n ) הטור n=1 ( 1)n n מתכנס. כי הוא מכפלה ב (1 ) של טור לייבניץ. על כן נאמר שגם טור כזה הוא טור לייבניץ ומכאן אין הבדל מושגי בלהעלות את (1 ) בחזקת n או בחזקת + 1 n בטורי לייבניץ., הטור ההרמוני המתחלף, מתכנס. n=1 ( 1)n+1 n 1.2. היות ו tn 1 n מונוטונית יורדת ואפסה נקבל שגם טור זה הוא n=1 ( 1)n tn 1 n.3 טור לייבניץ. מתכנס? נשים לב שהחל ממקום מסוים הסדרה n=2 ( 1)n n n ln n 4. האם הטור (c n ) היא מונוטונית יורדת. הסדרה n=1 b n = n n המוגדרת על ידי (b n ) n=1 המוגדרת על ידי = 1 n c מונוטונית יורדת ושואפת לאפס לכן גם המכפלה ln n n = b n c n = n n מונוטונית יורדת כמעט תמיד לכן ממשפט לייבניץ עבור הזנב ln n 39 המתאים, הזנב מתכנס לכן הטור מתכנס.

40 2.3. טורים כלליים והתכנסות בהחלט קירוב הגבול באמצעות משפט לייבניץ לטורי לייבניץ יש קריטריון פשוט להערכת מספר האיברים שיש לקחת בטור בשביל לקבל טור לייבניץ. אזי מתקיים לכל m N קירוב טוב לגבול. יהי 1=n 1+n(1 ) n = m r אבל היות והזנב של טור מתכנס מקיים: ש m+1 n=m+1 ( 1)n+1 n נקבל ש n=1 ( 1)n+1 n m n=1 ( 1)n+1 n = n=m+1 ( 1)n+1 n m r m := ( 1) n+1 n ( 1) n+1 n = L S m m+1 n=1 n=1 היות ו 1=n ) n ) אפסה, קיבלנו שלכל קירוב של סדרת הסכומים החלקיים שנרצה נוכל לדעת כמה איברים לסכום. בהתאם לזוגיות של m נוכל גם לדעת האם הקירוב שלנו שוגה מלמעלה או מלמטה. אם הסדרה 1=n ) n ) גם יורדת ממש אז נקבל לעיל אי שווין חזק. דוגמה: הטור L. מתכנס כי הוא טור לייבנץ נסמן את הגבול ב n = (1 ) 1+n n=1 n נמצא קירוב רציונלי ל L עדי כדי 10, 2 כלומר דיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה. היות = L S 99 < מספיק שניקח את הסכום של 99 איברים. 100 ועבור = 99 m נקבל: מדובר בחישוב נומרי, ומתקיים: 99 n=1 ( 1) n+1 1 n = לקחנו = 99 N איברים לכן ההערכה שלנו היא מלמעלה. יש שיטות שמאפשרות להאיץ התכנסות של טורים בשביל שיהיה אפשר לקבל קירובים נומריים יעילים יותר לגבול. כך או כך, במקרה לעיל אנחנו יכולים להגיד בוודאות ש ( , ) L התכנסות בהחלט מתכנס מתכנס. אם n=1 n מתכנס בהחלט אם n n=1 הגדרה: נאמר ש 1=n n מתכנס בתנאי. איננו, נאמר ש n=1 n אבל n n=1 כאמור טורים שליליים באופן שכיח מסבכים מאד את התמונה. המושג של התכנסות בהחלט יחד עם משפט לייבניץ ייתנו לנו, במקרים מסוימים, להשתמש בכלים שפיתחנו עבור טורים חיוביים גם עבור המקרים הכללים. 40

41 2.3. טורים כלליים והתכנסות בהחלט התכנסות בהחלט גוררת התכנסות מתכנס בהחלט אז הוא מתכנס. טענה: אם n=1 n ( ) n = n ( n n ) n=1 n=1 הוכחה: מחד מתקיים: מתכנס מהנתון ו n n n 2 0 לכל n N מתכונות מאידך, הטור n n=1 מתכנס. ולכן הטור n=1 n הערך המוחלט, לכן לפי מבחן ההשוואה ) n n=1 ( n כנדרש. הוכחה אחרת: בהינתן > 0,ε קיים N N כך שלכל m > N מתקיים ש := m r m+k n=m+1. אזי לכל k N ו m > N מתקיים ש : n=m+1 n < ε n m+k n=m+1 n n=m+1 n = r m < ε מכאן שהטור מתכנס על פי קריטריון קושי. כנדרש. דוגמאות n=1 ( 1)n n (1 ) n מתכנס בהחלט היות וזה טור לייבניץ הוא מתכנס ו = 2 n=1 n 1. הטור 2 שמתכנס גם הוא. n=1 n 2 2. באופן כללי, כל טור חיובי מתכנס גם מתכנס בהחלט. ( 1) מתכנס בתנאי. n n=1 n 3. הטור ולכן ממבחן השוואה לטורים אי sin n n 1 2 n. מתקיים: 2 n=1 sin n n 4. נתבונן בטור 2 שליליים מתכנס, לכן הטור לעיל מתכנס בהחלט. sin n n 2 הוא אי שלילי ועל כן ניתן להשתמש עבורו נקבל ש n n=1 בהינתן טור n=1 n n במבחני ההתכנסות עבור טורים אי שליליים. למשל אם < 1 n lim sup אזי כמסקנה n מתכנס בהחלט. מתכנס ולכן n=1 n מתנאי קושי נקבל ש n 1=n 41

42 2.3. טורים כלליים והתכנסות בהחלט בנוסף, במקרים מסוימים, קריטריונים להתבדרות טורים חיוביים שמבוססים על להראות שהאיבר הכללי לא שואף לאפס עובדים, באופן מותאם, גם לטורים כלליים. למשל, אם n 1 n lim sup נקבל לא רק שהטור לא מתכנס בהחלט כמסקנה ישירה של קריטריון n קושי, אלא גם ש n לא שואף לאפס ולכן גם n לא שואף לאפס. על כן הטור 1=n n לא מתכנס בכלל. דוגמה נתבונן בקבוצת הטורים: ועל כן: lim n n = αn אזי: n n+1 n =. נסמן ב n=1 αn n α n+1 n α (n + 1) α n מתכנס בהחלט. 1. אם < 1 α על פי קריטריון דלמבר נקבל ש 1=n n מתבדר, אך מעבר לכך: 1=n ) n ( לא אפסה ועל.2 אם > 1 α נקבל ש n n=1 מתבדר. כן n=1 ( n ) לא אפסה, והטור n=1 n 3. אם = 1 α אז עבור = 1 α נקבל את הטור ההרמוני שמתבדר ועבור 1 = α נקבל מלייבניץ שהטור מתכנס אך בתנאי מבחן דירכלה לפני שנציג את מבחן דירכלה נעבור על כמה עניינים טכניים. הטרנספורמציה של אבל נילס הנריק אבל (Abel) היה מתמטיקאי נוורגי בתקופת המעבר מהאיחוד הדני נוורגי לנוורגי השוודי, בתחילת המאה ה 19. מאבות האלגברה המודרנית, מפורסם מפתרון הבעיה של משוואות פולינומיות במעלה שגדולה מ 3. מת בגיל

43 2.3. טורים כלליים והתכנסות בהחלט B k = k הטרנספורמציה של אבל: יהיו 1,..., m R ו.b 1,..., b m R נסמן ב n=1 b n m m 1 i b i = m b m B i ( i+1 i ) לכל.m > k N אזי: הערה: הלמה הזו מסתירה זהות אלגברית פשוטה והיא הגרסה הדיסקרטית של אינטגרל בחלקים. להמחשה עבור המקרים הראשונים: m = 1 1 b 1 = 1 b 1 0 m = 2 1 b b 2 = 2 (b 1 + b 2 ) b 1 ( 2 1 ) m = 3 1 b b b 3 = 3 (b 1 + b 2 + b 3 ) b 1 ( 2 1 ) (b 1 + b 2 )( 3 2 ) הוכחה: נסמן = 0 0.B אז לכל i m 1 מתקיים: i 1 b i = B i B ועל כן: m m m m m m 1 i b i = i (B i B i 1 ) = i B i i B i 1 = i B i i+1 B i m 1 = m B m + ( i B i i+1 B i ) = m B m m 1 B i ( i+1 i ) ( ) החלפת אינדקסים והעובדה ש = 0 0 B. כנדרש. מסקנה מסכימת אבל.m > k N לכל B k = k טענה: יהיו 1,..., m R ו.b 1,..., b m R נסמן ב n=1 b n. m אזי: ) 1 ib i L(2 m + הוכחה: מכך שהסדרה n=1 ( n ) m מונוטונית נובע ש i i+1 בעל סימן זהה לכל i N 1 m פשוט כי זה טור טלסקופי. i+1 i = m 1 ולכן 1 ( i 1 i = m 43

44 2.3. טורים כלליים והתכנסות בהחלט m m 1 i b i = m b m + ( i i+1 )B i m b m + m 1 B i i+1 i ומכאן נקבל: ( m 1 ) L m + i+1 i = L( m + m 1 ) L(2 m + 1 ) כנדרש. טור חסום אם סדרת הסכומים החלקיים שלו היא סדרה חסומה. הגדרה: נאמר ש 1=n n הערות: 1. טור מתכנס הוא חסום כי סדרת הגבולות החלקיים שלו מתכנסת לכן חסומה חסום אך לא מתכנס.2 הטור n=1 ( 1)n 3. כל טור חסום חיובי כמעט תמיד או שלילי כמעט תמיד מתכנס. מבחן דירכלה מבחן דירכלה מכליל את משפט ההתכנסות לטורי לייבניץ. חסום והסדרה n=1 ( n ) אפסה ומונוטונית, אזי n=1 nb n מבחן דירכלה: אם 1=n b n מתכנס. טור חסום ו n=1 ( n ) אפסה n=1 b n = לייבניץ נובע מדירכלה: עבור 1=n n(1 ) מתכנס לפי מבחן דירכלה ועל כן הוכחנו את משפט ומונוטונית נקבל ש n=1 ( 1)n n לייבניץ. כלומר לייבניץ נובע מדירכלה. חסום ו 1=n b) n ) מונוטונית יורדת אפסה. נסמן ב הוכחה מהתרגול: נניח ש 1=n n חסום,. היות ו n=1 n n=1 n את סדרת הסכומים החלקיים של הטור (A n ) n=1 44

45 2.3. טורים כלליים והתכנסות בהחלט מקיים את קיים > 0 A כך שלכל n N מתקיים:. A n < A נראה שהטור n=1 nb n תנאי קושי ולכן מתכנס. 1=n b) n ) אפסה ומונוטונית בפרט מקיימת את תנאי קושי לכן קיים. b m+1 b n+1 = b m+1 b n+1 < ε בנוסף 3A. b n+1 < ε ניקח } 2.N = mx{n 1, N יהיו 3A k=m+1 k b k = = = k=m+1 k=m+1 k=m+1 ( n k=m+1 (( n A (A k A k 1 )b k = A k b k n 1 k=m N 1 N כך שלכל n > m > N מתקיים: קיים N 2 N כך שלכל n > N 2 מתקיים: k=m+1 A k b k+1 = A k b k k=m+1 N < m < n טבעיים, אז: k=m+1 A k b k A k (b k b k+1 ) A m b m+1 + A n b n+1 k=m+1 ) A k b k b k+1 + A b m+1 + A b n+1 b n+1<b n = A ( b m+1 + b n+1 + ) ) b k b k+1 + b m+1 + b n+1 k=m+1 b k b k+1 ) = A(b m+1 b n+1 + b m+1 + b n+1 ) < A ε A = ε A k 1 b k k=m+1 A k b k+1 A m b m+1 + A n b n+1. לפי הנתון > M הוכחה מהוכמן: תהי ) n T) סדרת הסכומים החלקיים של 1=n b n מתכנס על ידי שימוש בתנאי קושי. n=1 nb n נראה שהטור.0 n N T n < M יהי > 0.δ היות ו n=1 ( n ) יורדת ואפסה, קיים N N כך שלכל n > N מתקיים B k = n+k אז l=n+1 b l נשים לב שאם נגדיר.k N ומספר n > N נקבע.0 < n < δ מתקיים: B k = T n+k T n ולכן גם B k T n+k + T n < 2M ומהלמה האחרונה: n+k j=n+1 j b j = k n+i b n+i < 2M(2 n+k + n+1 ) < 2M(2δ + δ) = 6Mδ = δ וסיימנו. ε 6M בהינתן > 0 ε נבחר: 45

46 2.3. טורים כלליים והתכנסות בהחלט דוגמה n=1 ( 1) n(n+1) 2 +1 n = האם הטור הבא מתכנס: הוא טור חסום (ערך מקסימלי 2 ומינימלי n(n+1) n=1 כן, ממבחן דירכלה: הטור (1 ) ) ו 1 n מונוטונית אפסה ולכן הטור לעיל מתכנס ממבחן דירכלה מבחן אבל מבחן דירכלה דרש סדרה מונוטונית ואפסה 1=n ) n ) וטור חסום 1=n b). n ) מה יקרה אם נחליף את הדרישה ונדרוש 1=n ) n ) חסומה ו 1=n b) n ) מתכנס? זה בדיוק מבחן אבל. נראה שמקרה זה הוא מקרה פרטי של דירכלה. מתכנס. אז הטור n=1 nb n מבחן אבל: תהי n=1 ( n ) מונוטונית וחסומה ויהי n=1 b n מתכנס. הוכחה: כיוון ש n=1 ( n ) מונוטונית חסומה, היא מתכנס ל. R מכאן לכל :N N S n = N n b n = n=1 N ( n + )b n = n=1 N N ( n )b n + b n המחובר השני במשוואה האחרונה הוא הכפלה של טור מתכנס בסקלר לכן מתכנס. המחובר מתכנס לכן חסום. השני מתכנס לפי דירכלה כי ( ) n אפסה ומונוטונית ו 1=n b n n=1 n=1 כנדרש. 46

47 2.4. משפט רימן ותמורות על טורים 2.4 משפט רימן ותמורות על טורים הכנסת סוגריים דוגמה נתחיל עם דוגמה פשוטה: נתבונן בסדרה 1+n n = (1 ) ובטור עליה. זה טור מתבדר, למשל כי n=1 ( n ) לא אפסה. לעומת זאת, אם נתבונן בת"ס לסדרת הגבולות החלקיים S 2n = 2n בה מספר זוגי של איברים על כן = 0 2n S. אבל טור k=1 ( 1)n+1 נקבל:,S 2n זה מתקבל בדיוק עם "הכנסת סוגריים" בצורה הבאה: + 1) (1 = 1... = n S, מתכנס, יצרה טור חדש n=1 b n = ).(1 "הכנסת הסוגריים" לטור n=1 n שכל אחד מאיבריו הוא סכום של כמה איברים עוקבים מהסדרה 1=n ). n ) במקרה הזה, הטור החדש מוגדר על ידי b. k = 1 2k + 2k מכאן ברור שהכנסת הסוגריים שינתה באופן מהותי את הטור. מכאן ננסה לפרמל את הרעיון של הכנסת סוגריים. הגדרה של הכנסת סוגריים הגדרה: יהי n=1 ( n) טור ו k=0 (n k ) סדרת אינדקסים עולה ממש עם = 0 0.n הטור n j j=1 i=n j 1+1 i במקומות ה k=0.(n k ) נקרא הטור המתקבל מהכנסת סוגריים לטור 1=n n הדוגמה האחרונה הייתה למעשה לא יותר מלהתבונן בת"ס של סדרת הגבולות החלקיים של טור לא מתכנס במובן הרחב (הכיוון ההפוך לא נכון: ברור שלא כל תת סדרה של סדרת הגבולות החלקיים היא הכנסת סוגריים של הטור) כמו בסדרות, לא מפתיע לראות שאפשר לקבל בדוגמה זו תתי סדרות מתכנסות. ומכאן לא קשה לנחש מה יקרה אם הטור כן ייתכנס, כפי שנראה בטענות הבאות. אבל נמשיך עם טענת עזר להמשך: 47

48 2.4. משפט רימן ותמורות על טורים סדרת הסכומים החלקיים של טור סוגריים המתקבל ממנו על ידי הכנסת סוגריים במקומות ה ו n=1 b n טענה: יהי n=1 n ו n=1 b n n=1 n סדרות הסכומים החלקיים של (T n ) ו n=1 (S n ) תהי n=1.(n k ) k=0 בהתאמה. אזי T k = S nk T p = p b i = k=1 p n k k=1 i=n k 1 +1 הוכחה: i = ( n1 ) + ( n n2 )... + ( np np ) = n1 + n n np np = n p i = S np ( ) אותו דבר כמו השורה הקודמת רק בלי סוגריים. כנדרש. משפטי הירושה לטורים מתכנסים שני המשפטים הבאים נובעים ישירות מהטענה הקודמת, אציג הוכחה רק לאחד: מתכנס במובן הרחב ל S, אז כל טור המתקבל ממנו על ידי הכנסת טענה: אם n=1 n סוגריים הוא טור מתכנס שסכומו S וב k=1 (T k ) הוכחה: נסמן ב 1=n S) n ) את סדרת הסכומים החלקיים של הטור 1=n n את סדרת הסכומים החלקיים של הטור המתקבל ממנו על ידי הכנסת סוגריים במקומות (T k ) k=1 ) k.(n אם הטור המקורי מתכנס ל S אזי. lim S n = S לפי הלמה, n ה 1=k היא תת סדרה של 1=n S) n ) ולכן ממשפט הירושה של סדרות מתקיים lim T k = S ולכן n. כנדרש. n=1 b n = S טענה: טור חסום מתכנס אם ורק אם אחרי כל הוספה שהיא של סוגריים נקבל טור המתכנס לאותו הגבול אז ראינו שהכנסת סוגריים יכולה ליצור טור מתכנס מטור לא מתכנס ושכל הכנסת סוגריים של טור מתכנס יוצרת טור שמתכנס לאותו הגבול. יש תנאים שבהם הכיוון ההפוך של המשפט נכון. תנאים אלה דורשים שהסוגריים יוכנסו באופן "זהיר" וזה מה שנציג עכשיו. 48

49 2.4. משפט רימן ותמורות על טורים הכנסת סוגריים במקומות שווי סימן טור מתכנס ונניח שהוא התקבל על ידי הכנסת סוגריים בטור 1=n n טענה: יהי n=1 b n מתכנס n=1 n שווי סימן. אז הטור nk,..., כך ש nk+1 1 (n k ) k=0 במקומות ה ולאותו גבול. ו n=1 b n הוכחה: נסמן ב n=1 (S n ) ו n=1 (T n ) את הסכומים החלקיים של n=1 n lim (אפשר להכליל למובן הרחב בצורה דומה). צ"ל: נסמן: n T k = T R k > כך שלכל K 0 K 0 N על כן קיים T מתכנסת ל (S nk ) k=1 בהתאמה.. lim n S n = T יהי > 0 ε. ידוע ש מתקיים. S nk T < ε לכל i יש k(i) יחיד כך ש k(i)+1 1 n k(i) i n ומתקיים.S i = S nk(i) 1 + i לכל j=n k(i) j אינקסים עולה ממש) וכמו כן (סדרת lim i k(i) = S i T S nk(i) 1 T + i j=n k)(i) j i גדול מספיק מתקיים k(i) > K 0 ואז: < ε + i j=n k)(i) j מתכנס) וגם = 0 k(i), lim b לכל i גדול מספיק מתקיים i היות ו = 0 k n=1 b k) lim b n וסיימנו. i j=n k)(i) j < ε גדול מספיק מתקיים ש i לכן לכל. b k(i) < ε דוגמה חסום n=1 ( 1)[ n] n] [ ( 1). האם n=1 n : נבדוק את התכנסות הטור: 1=n n ונוכל להשתמש בדירכלה? לא. נשים לב שסימני הטור מתחלפים בטבעיים מהצורה k 2 והמרווחים בין טבעיים אלה הולכים וגדלים. ננסה להוסיף סוגריים סביב איברים שווי סימן. נגדיר: 1) (k.n k = מתקיים: = 0 0.n מכאן הוספת סוגריים ל n=1 n 49 b k = n k i=n k 1 +1 i = (k+1) 2 1 = ( 1) k 1 n i=k 2 (k+1) 2 1 i=k 2 n ( 1)[ ] n k=0 (n k ) יניב: במקומות ה k = ( 1)[ 2 ] k ( 1) (k+1) (k + 1) 2 1

50 2.4. משפט רימן ותמורות על טורים מתכנס. נראה שזה טור לייבניץ. נתחיל בלהראות ש מכאן מספיק להראות ש 1=n b n 0 b n = ( 1)k (k+1) i i=k 2 (k+1) k 2 2k + 1 k 2 i=k 2 n=1 (b n ) אפסה ואמנם: k 0 לכן בפרט 1=n b) n ) אפסה. באופן דומה אפשר להראות שהסדרה מונוטוית יורדת כמעט תמיד ואז קיבלנו טור לייבניץ לכן מתכנס, לכן הטור המקורי מתכנס, כנדרש. הוספת סוגריים באורך חסום טענה: תהי 0=j n) j ) סדרה מונוטונית עולה ממש של טבעיים עם = 0 0 n. נניח שקיים מתכנס j=1 b j אזי lim n n אם = 0.n j n j 1 < M מתקיים: j כך שלכל M N מתכנס, וסכום זהה. אם ורק אם 1=i i הערה: כלומר אם האיבר הכללי של הטור שואף לאפס, אזי הוספת סוגריים שאורכם חסום אינה משנה את התכנסות או התבדרות הטור. מתכנס. מתכנס אזי ממשפט הירושה n=1 b n הוכחה: מכיוון אחד, נניח ש 1=n n, lim S n נראה ש. lim S n = L יהי > 0.ε נתון ש n k מכיוון שני, נניח ש = L k S nk L < ε 2 lim S n k ולכן = L כמעט תמיד. בנוסף i < ε k 2M = 0 i lim מתקיים: i כמעט תמיד. לכן שתי הטענות מתקיימות כמעט תמיד ומכאן קיים N עבורו והלאה שתי ( S n L = 1 S nk0 הטענות מתקיימות. לכל n > N קיים k 0 N כך ש n k0 1 n n k0 ואז: n k0 i=n+1 ) i L 2 S nk0 L + n k0 i=n+1 i 3 < ε 2 + M ε 2M = ε (1) nk0 S הוא הסכום עד האיבר ה n k0 עם n, k0 > n אז אנחנו צריכים להחסיר מהסכום את כל האיברים בין n ל n. k0 (2) אי שיווין המשולש (3) הרעיון בלקחת את n, k0 האיבר הראשון ב j=0 (n j ) עם n k0 1 n n k0 הוא כדי לנצל את התכונה של סוגריים באורך חסום בה אנחנו משתמשים עכשיו. כנדרש. 50

51 2.4. משפט רימן ותמורות על טורים פירוק של טור לסכומים חיוביים מכאן והלאה נעבור לדבר על משפט רימן. כדי להוכיח את משפט רימן נצטרך להשתמש בכמה טענות עזר אותן נציג עכשיו. פירוק להפרש חיוביים נסמן: סימון: בהינתן n=1 n p n = n + n 2 q n = n n 2 הערות:.1 למעשה הגדרנו: 0}, n p n = mx{ ו 0} mx{,.q n = n n 0 p n = 0 else 2. או בצורה שקולה: 0 n 0 p n = n else.3 מתקיים:. n N n = p n q n.4 מתקיים: 0 n n N q n, p f (x) = ו f + (x) = f(x) f(x) 2 5. באופן כללי אם f פונקציה ממשית מגדירים: f(x) f(x). זו לא הצגה יחידה של f כהפרש של פונקציות חיוביות אבל זה הפירוק 2 לחיוביים כך ש + f ו f מינימליים. שקילות התכנסות בהחלט לפי הפירוק לחיוביים ו n=1 q n מתכנס בהחלט אם ורק אם הטורים החיוביים 1=n p n משפט: n=1 n. n=1 n = n=1 p n מתכנסים ומתקיים: n=1 q n 51

52 2.4. משפט רימן ותמורות על טורים מתכנס בהחלט. לכל n N מתקיים: n p 0 הוכחה: מכיוון אחד, נניח ש 1=n n וממבחן השוואה נקבל ש n=1 n לפי הגדרה. מהתכנסות 0 q n n וגם n מתכנסים. כנדרש. בנוסף מהשיווין n = p n q n נקבל: ו n=1 p n n=1 q n S n = k = k=1 p k q n = k=1 p k k=1 k=1 n q k p n n=1 n=1 מתכנסים. נקבל: ו n=1 p n מכיוון שני, נניח ש 1=n q n q n n = 2 n n + n 2 = n + n 2 + n n 2 = p n + q n ומאריתמטיקה של טורים מתכנסים ש ו n=1 q n על כן נובע שמהתכנסות 1=n p n מתכנס, כנדרש. מתכנס. ומפה n=1 n n=1 n טור הפירוק לחיוביים של מתכנס בתנאי n=1 p n = מתכנס בתנאי, אז = n n=1 q טענה: אם n=1 n לא או n=1 q n מתכנס בתנאי אז מהטענה הקודמת 1=n p n הוכחה: אם n=1 n מתכנסים. נשים לב שמכיוון ש p n ו q n אי שליליות, אזי אם אחד מהם חסום הוא מתכנס (טור חיובי, מונוטוני עולה). על כן הם מתכנסים למספר ממשי או מתבדרים לאינסוף. היות ו 1=n ) n ) היא הפרש הסדרות p n ו q n לא ייתכן שאחד הטורים מתכנס למספר ממשי מתבדר לאינסוף או והשני לאינסוף כי אז מאריתמטיקה של גבולות היה נובע ש 1=n n מינוס אינסוף, בסתירה להיותו טור מתכנס. כנדרש. 52

53 2.4. משפט רימן ותמורות על טורים שינוי סדר דוגמה הוא טור לייבניץ לכן מתכנס. נסמן את גבולו ב L. ראינו קודם הטור n=1 ( 1)n+1 1 n לכן ש ( , ) L, בפרט > 0 L. נעשה את החישובים הבאים: ( 1) n+1 ( 2L = 2 = n ) n=1 = ? = = L לכן אם =? היה נכון היינו מקבלים 2L = L והיות ו 0 L נקבל = 1.2 =? שהתקבל מקומוטטיביות, פשוט לא נכון אם כך. ההגדרה של שינוי סדר בטור מעט יותר מסובכת מההגדרה של הכנסת סוגריים. אם ( n k כאשר k=1 (n k ) סדרת אינדקסים ) סדרה, אז שינוי סדר שלה מהצורה k=1 ( n) n=1 לאו דווקא עולה כך שכל איבר של 1=n ) (n מופיעה פעם אחת בדיוק ב 1=k ) nk ) ולהפך, הוא מה שאנחנו רוצים לבטא. מכאן: תמורה על טור 1=k n) k ) שאיבריה טבעיים נקראת תמורה (permuttion) של הטבעיים אם הגדרה: סדרה. k N!k N n k = i באופן שקול: תמורה היא פונקציה חח"ע ועל של הטבעיים. מסמנים את אוסף כל התמורות ב Sym N = {σ : N N σ is bijection} דוגמאות: k 1 n N 2n = k = k n היא תמורה. שכן בדיקה מראה ש k + 1 else 1. ההעתקה: 53

54 2.4. משפט רימן ותמורות על טורים n k טבעי אם k טבעי. אם k זוגי אז n k 1 = k ואם k אי זוגי אז.n k+1 = k לכן לכל i N קיים k N כך ש.n k = i בנוסף אם n k = n m אז.k = m.2 עבור n k = 2k נקבל ש k=1 (n k ) איננה תמורה שכן אין אף מספר טבעי k N כך ש = k 1.3 אם 10 n n k = 1 + אזי באמת לכל > 0 i יש k כך ש n k = i אבל k=1 (n k ) לא תמורה כי = 2 11.n 9 = n שינוי סדר בעזרת מושג התמורה נוכל לנסח את רעיון שינוי הסדר של סדרה באופן הבא: הגדרה: אם 1=n ) (n סדרה, נאמר שהסדרה 1=k b) k ) מתקבלת ממנה על ידי שינוי סדר.b k = nk אם (n k ) k=1 לפי התמורה בוחרים σ תמורה חח"ע ועל על הטבעיים ומסתכלים על הערה: כלומר בהינתן 1=n n n=1 σ(n) דוגמאות: מתקבל ממנו n=1 ( 1)n הטור..1 נתבונן בטור עם האיברים: n+1 n = ( 1) k 1 n N 2n = k.n k = בעזרת התמורה k + 1 else 1+n (1 ) אפשר לקבל את הטור n=1 n 2. מהטור (החיובי הראשון שלא היה ועוד פעמיים השלילים הראשונים שעוד לא היו) באופן הבא: 2m + 1 k = 3m + 1 n k = 2m else 54

55 2.4. משפט רימן ותמורות על טורים. k 1 n=1 2n 1 3. עבור הטור הקודם, נתבונן בתמורה הבאה: תחילה נבחר k כך ש > 1. נרשום את k האיברים החיוביים n=1 1 2n אז נרשום את האיברי השלילי 2n 1 k ונרשום בטור החדש n=k+1 קיים אחד כזה היות ו = הראשונים מהטור, כלומר את: 1 הראשון. כעת נרשום k כך שהסכום > 1 1 2n את האיברים ואחריהם את האיבר השלילי הראשון בטור המקורי שלא בחרנו עדיין }{{ 3 } > } {{ } > נמשיך כך ונקבל: טור זה מתבדר לאינסוף, למרות שהטור המקורי כן מתכנס (ואפילו ראינו שהגבול שלו (.L ( , ) מקיים L 4. מהדוגמה הקודמת, אם נסמן את הגבול ב L, נמצא תמורה כך שהטור החדש מתכנס ל 2/L. נשנה את הסדר כך שלאחר כל מחובר חיובי יופיעו שני מחוסרים. פורמלית, אנחנו מחלקים את הטבעיים לשלוש קבוצות זרות: A 1 = {2n 1 n N} A 2 = {4n 2 n N} A 3 = {4n n N} כלומר הקבוצה הראשונה A 1 היא כל האי זוגיים, המופיעים בסימן חיובי, והשתיים הנותרות הן פיצול של הזוגיים לפי שארית החלוקה ב 4. התמורה σ שתחבר תהיה זו שלוקחת לפי הסדר הבא: איבר מ A, 1 איבר מ A 2 ואז איבר מ A 3 וחוזר חלילה. σ(n) = 2( n+2 4( n+1 3 ) 1 n 1 mod 3 3 ) 2 n 2 mod 3 = 1, 2, 4, 3, 6, 8, 5, 10, 12, 7,... 4n 3 n 0 mod 3 כלומר: קל לראות שזהו העתקה חח"ע ועל כי היא עוברת על כל איבר בקבוצות A 2 A, 1 ו N. פעם אחת, וזו חלוקה ממצה כל כל A 3, המתקבל על ידי הסידור σ נתבונן ב S. n כעת נתבונן בתת כעת לטור σ(n) n=1 55 3k n=1 σ(n) = k n=1 ( 1 2n 1 1 4n 2 1 ) 4n הסדרה S, 3k קרי:

56 2.4. משפט רימן ותמורות על טורים סדרה זו התקבלה על ידי הוספת סוגריים באורך חסום לסדרה 1=n ) n ) ( אפסה ולכן 1 n=1 2n 1 1 4n 2 מתכנסת יחד עם הטור המקורי. מכאן קיבלנו את הטור: ) 1 ומתקיים: 4n n=1 ( 1 2n 1 1 4n 2 1 ) = 4n n=1 1 4n 2 1 4n = 1 2 n=1 1 2n 1 1 2n 1 מתקבל מהטור המקורי על ידי הכנסת סוגריים בזוגות, ולכן n=1 2n 1 1 הטור 2n מתכנס ל L ולכן הטור שלנו מתכנס ל 2/L, כנדרש. הסכום של טור מתכנס בהחלט לא תלוי בסדר האיברים מתכנס בהחלט אזי לאותו סכום יתכנס גם כל טור המתקבל ממנו משפט: אם n=1 n על ידי שינוי סדר האיברים. הערה: באופן עקרוני הטענה הזו נובעת מטענה קודמת, על הפירוק לחיוביים והיותם של טורים חיוביים שעבורם הסדר לא משנה, אך נוכיח את ההוכחה ו n=1 p n n=1 q n n=1 במלואה באופן בלתי תלוי. בנוסף נראה הוכחה אחת מהכיתה ואחת מהוכמן. n = p n q n = n=1 n=1 מתכנס בהחלט אז הוכחה מהכיתה: אם 1=n n n N p n n N q n = n N n 0 n + n N n<0 n ( ) סכום של חיוביים לא תלוי בסדר. היות וברור שהסכומים באגף ימין לא תלויים בסדר האיברים לפי הגדרה נובע שהטור לא תלוי בסדר האיברים. כנדרש. n=1 n. n=1 n סדרת הסכומים החלקיים של (S n ) ו n=1 S = הוכחה מהוכמן: נסמן 1=n n תהי k=1 (n k ) תמורה, b k = nk ו n=1 (T n) סדרת הסכומים החלקיים של k=1.(b k ) עלינו. lim נתבונן בהפרש n S n T n לשם כך מספיק להראות ש = 0 lim להראות ש k T n = S 56 S N T N = N N n b k = n=1 k=1 N N n n=1 k=1 nk הזה:

57 2.4. משפט רימן ותמורות על טורים יהי.k N לכל N מספיק גדול האיברים 1,..., k מופיעים בין האיברים n1,..., nk ולכן כל איבר i עבור i k 1 מופיע פעמיים באגף ימין של השיווין לעיל, פעם אחת בסימן חיובי ופעם אחת בשלילי ושתי ההופעות מבטלות זו את זו. לכן לכל N מספיק גדול מתקיים: S N T N = n k<n N n m 1 m N,n m>k nm n k<n N n + m 1 m N,n m>k מתכנס (התכנסות. היות ו n n=1 כאשר r k הוא ה k זנב של הטור n 1=n ( ומכיוון ש = 0 m lim r (הוכח בתרגיל 3 שאלה (4 קיים k N כך m בהחלט של n=1 n ש r k < 1 2 ε עבור אותו k קיבלנו שלכל N מספיק גדול:. S n T n < 2r k < ε כנדרש. nm r k + r k הערה: אפשר לראות בהוכחה שלא רק שהתכנסות בהחלט היא תנאי מספיק, אלא היא תנאי ההכרחי לכך שהטור לא רגיש לסדר. אם טור מתכנס בתנאי אז חוק החילוף נכשל לחלוטין, כפי שנראה בהמשך במשפט רימן. מסקנה: בטורים חיוביים כמעט תמיד או שליליים כמעט תמיד, תמורה על טור לא משנה את שאלת ההתכנסות ולא את סכומו משפט רימן ברנהרד רימן (Riemnn) היה מתמטיקאי גרמני בסוף הרייך הראשון. מחשובי המתמטיקאים במאה ה 19 בפרט באנליזה. הרחיב את אופקי המתמטיקה בכמעט כל תחום שהתקיים בזמנו. היה חבר של דירכלה וגאוס ויחד עם האחרון היה מפורסם שפיתח גיאומטריה לא אוקלידית. השערת רימן היא ההשערה הפתוחה המפורסמת ביותר במתמטיקה. משפט רימן טור המתכנס בתנאי אזי לכל s R או ± = s, אפשר לסדר משפט רימן: יהי 1=n n איברי הטור באופן כזה שהטור המסודר מחדש ישאף ל s. יתר על כן, אפשר את איברי הטור כך שלא ייתכנס בכלל. הרעיון של ההוכחה: עבור s R חיובי ממש: נסדר את איברי הטור באופן הבא: קודם 57

58 2.4. משפט רימן ותמורות על טורים נבחר מספיק איברים חיוביים כדי שסכומם יהיה מעט גדול יותר מ S, אח"כ נבחר מספיק איברים שליליים כך שהסכום הכולל עד כה יהיה מעט קטן מ S, שוב נבחר חיוביים כך שהסכום הכולל יהיה מעט גדול מ S וכן הלאה. הסכום "יתנדד" מסביב ל S היות והאיבר הכללי שואף לאפס. הוכחת משפט רימן עבור המקרה הממשי: יהי s R עם > 0 s. ההוכחה עבור s שלילי או אפס דומה. נניח ש 0 n לכל.n N נסמן: ) n p n = 1 2 ( n + ו ) n.q n = 1 2 ( n היות והטור. n=1 p n = מתכנס בתנאי ראינו ש = n n=1 q עלינו למצוא תמורה כך שהתמורה על הטור תתכנס ל S. ניתן למצוא שתי סדרות של n 1 = min{n N n l=1 p l > באופן הבא: יהי (m k ) ו m=1 (n k ) k=1 מספרים טבעיים 1 1 l=1 n 1 p l s < l=1 p l {s. אזי ברור ש A 1 = n 1 אזי: נסמן ב l=1 p l 0 < A 1 s < P n1.m 1 = min{n N A 1 m אזי: נגדיר: s} l=1 q n < m 1 m 1 1 A 1 q l < s A 1 l=1 l=1 q l n 2 = min{n N כעת יהי.0 < s A 2 < q אזי m1 A 2 = A 1 m 1 נסמן ב l=1 q l A 2 + n באופן דומה למה שראינו קודם, מתקיים: l=n 1+1 p l > s} A l=n 1+1 p l sa 2 + n 2 l=n 1+1 p l.a 3 = A 2 + n 2 נסמן: l=n 1+1 p l k=1 (n k) ו k=1 (m k ) מוגדרות היטב באופן אינדוקטיבי היות והטור באופן הזה, הסדרות מתכנס בתנאי על כן יש הטענות 0 n p ו 0 n q נכונות באופן שכיח. n=1 n 58

59 2.4. משפט רימן ותמורות על טורים עבור > 1 k אפשר לסכם את ההגדרה הרקרוסיבית של הסדרות באופן הבא: n k+1 = min{n N A 2k + n k+1 = min{m N A 2k+1 l=n k +1 m A 2k = A 2k 1 l=m k +1 m k A 2k+1 = A 2k + p l > s} q l < s} l=m k 1 q n n k l=n k 1 p l σ 3 = A 3 A 2 =,σ 2 = A 2 A 1 = m 1 l=1 q l ונסמן ב σ 1 = A 1 = n נסמן: l=1 p l σ 2k = A 2k A 2k 1 = σ 2k+1 = A 2k+1 A 2k = n 2 וכן הלאה כך של > 1 k מתקיים: l=m 1+1 p l m k l=m k+1 ( q l ) n k l=n k+1 p l = (p p n1 ) (q q m1 ) + (p n p n2 )... }{{}}{{}}{{} σ 1 σ 2 σ 3 n=1 ואז: הוא טור המתקבל מהכנסת סוגריים ותמורה על איברי הטור. וכן כלומר הטור k=1 σ k. n=1 σ n היא סדרת הסכומים החלקיים של (A n ) כלומר n=1. n מתקיים: l=1 σ l = A n. lim היות היות ועל פי הבנייה: } n < A n S < mx{p n, q,0 אז מסנדוויץ n A n = S והוכחנו שאם בסוגריים יש את אותו סימן נקבל שאפשר לפתוח סוגריים וקיבלנו תמורה על הטור שמתכנס ל s, כנדרש. הערה: בבנייה האחרונה, כאשר בנינו סכום של p ים n ו qים n חלקם אפסים וצריך "לזרוק" אותם כדי לקבל משהו שהוא בדיוק סידור של איברי הטור המקורי. בדומה לכך, אם בטור המקורי יש איברים שהם אפסים ניתן למחוק אותם ולבצע סידור כפי שעשינו ואז להוסיף אותם מחדש בלי לשנות את את התנהגות הטור (למשל אם יש אינסוף אפסים בטור המקורי ניתן להוסיף אותם בכל המקומות הזוגיים למשל). k=1 (n k ) ו עבור המקרה האינסופי: אם = S נבצע תהליך דומה למעט שנגדיר את 59

60 2.4. משפט רימן ותמורות על טורים k=1 (m k ) באופן הבא: n k+1 = min{n N A 2k + p l > k} m k+1 = min{n N A 2k+1 = q l < k} l=n k +1 l=m k +1 להמחשה בדוגמה דומה: ראה דוגמה 3 בעמוד??. עבור אי התכנסות: לבסוף כדי לקבל סידור שבו לסדרת הסכומים החלקיים אין גבול במובן n k+1 = min{n N A 2k + m k+1 = min{n N A 2k+1 הרחב, נבצע תהליך דומה למעט שנגדיר: l=n k +1 l=m k +1 p l > 1} q l < 1} אין גבול במובן הרחב. כנדרש. כך שלסדרת הגבולות החלקיים של הטור 1=n σ n דוגמה: כינוס הסדרה ההרמונית המתחלפת ל e e:. נסדר את איבריו כך שנקבל טור שמתכנס ל (1 ) 1+n n=1 n A 1 = A 2 = 1 2 A 3 = A 1 + A 2 + A נתבונן ב A 4 = 1 4 A 5 = A A A 6 = 1 6 A 7 = A A

61 2.5. מכפלת טורים 2.5 מכפלת טורים B. = N ניתן להציג את המכפלה n=1 b n ו A = N נתבונן בשני סכומים סופיים 1=n n ( N ) ( N ) AB = i b j j=1 = 0 i,j N i b j AB כסכום: אגף ימין הוא סכום כל הזוגות i b j כאשר {N,i. j,1},... באופן מפורט יותר: ( N ) ( N ) AB = i b j = j=1 N ( N ) N N i b j = i b j = j=1 j=1 0 i,j N i b j בהקבלה למקרה הסופי אפשר לצפות שכאשר כופלים יחד שני טורים מתכנסים המכפלה AB תהיה שווה למכפלת הגבולות. אולם שלא כמו במקרה של סכומים סופיים, כאן לסדר הסכימה עלול להיות חשיבות, כפי שראינו במשפט רימן. בפרק זה נבחן מתי וכיצד AB מתקבל מסכימת האיברים i b j בצורות שונות משפט קושי על מכפלת טורים המתכנסים בהחלט, ל A ו B ו n=1 b n משפט קושי על מכפלת טורים: יהיו 1=n n בהתאמה. כל טור המורכב מכל המכפלות מהצורה i b j המוסדרות בסדר כלשהו מתכנס בהחלט וסכומו שווה ל A. B כאשר w n עובר על כל המכפלות i b j הוכחה: נסמן את טור המכפלות ב 1=n w n n חסומה, כי זהו בסדר כלשהו. מספיק להראות שסדרת הסכומים החלקיים של l 1=l w בהינתן n N יהי m N האינדקס המקסימלי מבין האינדקסים i ו j ( m w l l=1 l=1 )( m l j=1 ) ( b l n=1 טור חיובי. המופיעים ב.w 1,..., w n אזי: )( ) n b n ( ) לא משנה מה סדר הסכימה ב w, l אגף ימין כולל בודאי את כל המחוברים של אגף שמאל ועוד כמה איברים חיוביים. ( ) הטורים האלה חיוביים לכן סדרת הסכומים החלקיים 61 n=1 מונוטונית עולה ולא גדולה מהטור.

62 2.5. מכפלת טורים לכן לכל n N סדרת הסכומים החלקיים של l w חסומה לכן מתכנסת ולכן n 1=n מתכנס בהחלט. n=1 b n מספיק להראות את התכנסות לטור לגבול זה עבור כדי להראות ש n=1 w n = A B סידור אחד כלשהו, היות וזה טור מתכנס בהחלט שסדר הסכימה בו לא רלוונטי. נניח שאיברי הטור הם בסדר הבא: לכל 1,N N 2 האיברים הראשונים של w 1,.., w l הם סידור של האיברים N}.{ i b j 0 i, j < לדוגמה: 1 b b b b b b b 1... מכאן: w l = n 2 ( n )( n ) i b j = l b l A B l=1 0<i,j N l=1 l=1 וקיבלנו שת"ס של סדרת הסכומים החלקיים מתכנסת ל A B ולכן הסדרה המתכנסת עצמה מתכנסת ל A. B כנדרש. מסקנה מתכנסים בהחלט מתקיים: ו n=1 b n עבור n=1 n ( )( ) i b j = i b j = i b j j=1 j=1 או i,j N ib j ולמעשה כל כתיב בסגנון לגיטימי היות וזה i,j=1 ib j j=1 ולכן ניתן לכתוב: טור מתכנס בהחלט ששאלת ההתכנסות לא תלוי בסדר שלו משפט מרטנס מתכנסים ל A ו B בהתאמה, ו n=0 b n משפט מרטנס: נניח שהטורים 0=n n מתכנס, מתכנס בהחלט. נסמן:.d n = i+j=n ib j אזי: n=0 d n כאשר n=0 n וגבולו הוא.A B הערה: ההתחלת הסכום מ 0 היא מטעמי נוחות. 62

63 2.5. מכפלת טורים D n = A n = k B n = k=0 b k D n = k=0 הוכחה: לכל n N נסמן: k=0 d k ומכאן נוכל לכתוב: d k = ( 0 b 0 ) + ( 0 b b 0 ) + ( 0 b b b 0 ) ( 0 b n + 1 b n n b 0 ) k=0 = 0 B n + 1 B n B n n B 0 ( ) דיסטריבוטיביות של סכום סופי. מכאן נסמן.β n = B n B נקבל: D n = 0 (B + β n ) + 1 (B + β n 1 ) n (B + β 0 ) על ידי פתיחת סוגריים וקיבוץ מחדש נקבל: D n = A n B + ( 0 β n + 1 β n n β 0 ) נסמן:.w n = 0 β n n β 0 כיוון ש,A n B A B מספיק להוכיח ש 0 n,w כי אז.D n AB נשים לב שהסדרות 1=n ) n ) ו 1=n β) n ) אפסות לכן חסומות, מכאן יהיה M חסם משותף שלהן. לכל k n 0 מתקיים: w n 0 β n k β n k + k+1 β n k n β 0 M( β n β n k ) + M( k n ) }{{} r k מתכנס בהחלט. לכן בהינתן > 0 ε אפשר לבחור אנחנו יודעים ש r k אפסה כי 1=n n k כך ש M rk < ε 0 ואז לכל n > k מתקיים: w n M( β n β n k ) + ε מצד שני, מכיוון ש k קבוע, מתקיים: lim β n β n k = 0 n ולכן כמעט תמיד מתקיים: M( β n β n k ) < ε ולכן כמעט תמיד w n 2ε 63 מכאן ש 0 n.w כנדרש.

64 2.5. מכפלת טורים סידור ומכפלת קושי ) ( נקרא, הטור n=1 i+j=n ib j ו n=1 b n הגדרה: עבור שני טורים 1=n n גם מכפלת קושי של הטורים, וסדר המכפלות i b j שמתאים לו נקרא סידור קושי של איברי הטור i b j. מתכנס בהחלט, אזי ראינו במשפט מרטנס שמכפלת אם הטורים מתכנסים ו 1=n n ) ( לכל סידור קושי, מתכנס. מכאן: קושי n=1 i+j=n ib j, מתכנס בהחלט ו n=1 b n ניסוח אלטרנטיבי למשפט מרטנס: עבור שני טורים ) 1=n n )( (. מתכנס אזי מכפלת קושי של הטורים שלהם מתכנסת ל n=1 n n=1 b n דוגמה =.e(x) זה מוגדר היטב היות וזה טור n=0 xn n! לכל x נגדיר את e(x) על ידי ) מתכנס ולמעשה )( זה טור ( מתכנס בהחלט. יהי,x. y R נתבונן ב = e(x)e(y), מכפלה של שני טורים המתכנסים בהחלט. אזי אנחנו עומדים ( e(x)e(y) = = = n=0 n=0 1 n! x n )( n! n=0 j=0 y n ) n! = n=0 i+j=n n! j!(n j)! xn j y j = (x + y) n = e(x + y) n! n=0 n=0 n=0 xn n! n=0 y n n! בתנאי משפט מרטנס ולכן מתקיים: x i y j i!j! 1 n! j=0 1 = n! n=0 ( ) n x n j y j j i+j=n n! i!j! xi y j ( ) משפט קושי הסדר לא משנה במכפלה של שני טורים מתכנסים בהחלט. 64

65 2.6. טורי מכפלה 2.6 טורי מכפלה הגדרה: תהי 1=n ) n ) סדרה חיובית. טור מכפלות מוגדר להיות: n lim k n k=1. ונסמן n=1 n k lim n מתכנסת אם קיים 0 L כך ש = n n=1 נאמר שהמכפלה האינסופית 1=n n L תנאי הכרחי להתכנסות המכפלה מתכנס, אז: = 1 n lim n טענה: אם n=1 n k P n+1 = אזי:. lim n הוכחה: מהנחת ההתכנסות, קיים 0 L כך ש n=1 n = L ( n ) n ולכן n=1 n+1 1 לכן: L = L n+1 ומאריתמטיקה של גבולות: P n n+1 מתכנס ל 1. הקשר בין טורים למכפלות מתכנסת אם ורק אם n 1 n=1 יהי n סדרה הגדולה מ 1 תמיד. אזי המכפלה 1=n n מתכנס. מתכנס אם ורק הוכחה: נסמן:. n = 1 + ε n מכיוון ש > 1 n הרי ש n=1 ε n אם סדרת הסכומים החלקיים שלו מתכנסת. מכיוון ש > 1 n + ε 1 הרי שהמכפלה P n = n חסומה מלמעלה. מתכנסת אם ורק אם k) k=1 (1 + ε n=1 (1 + ε n) נעזר באי שיווין הבא: x > 1 e x 1+x 1 + x e x 65

66 2.6. טורי מכפלה מהאי שיווין + x e x 1 נקבל: + ε n e εn.1 ולכן: P n = (1 + ε k ) k=1 n k=1 e εn = e n k=1 εn = e Sn מכאן אם 1=n S) n ) חסומה אז P n חסומה ולכן אם S n מתכנסת אז P n מתכנס. מכיוון P n = + ε n e εn 1 ואז: 1+εn n k=1 + x e x 1 מקבלים ש שני, מהאי שיווין x+1 (1 + ε k ) n k=1e ε k 1+ε k = e n k=1 ε k 1+ε k ובאופן דומה נקבל את הדרוש. מסקנה: מהמשפט האחרון. כל התורה שלמדנו על טורים מספיקה כדי לכסות את כל הנושא של מכפלות 66

67 פרק 3 פולינום טיילור טיילור התחלנו בשיעור הראשון לפני פסח ב ואחרי פסח ב וסיימנו ב יש עניין מהותי ביכולת לחשב את ערכן של פונקציות. לעומת זאת לא תמיד ניתן לתת תשובה מדויקת וגם קירוב הוא לא מיידי (למשל.(sin 1 לכן, חיפשו ומצאו דרכים לקרב פונקציות ע"י פונקציות אחרות יותר קלות לחישוב למשל פולינומים. פולינומים הם נוחים לחישוב כי נחוץ רק מספר סופי של פעולות אללגבריות על מנת לחשב אותם. בפרק זה נתעניין בקירוב של פונקציות ממשיות על ידי פולינומים והצגתן כטורי חזקות שהם פולינומים מוכללים. 3.1 פולינומים הגדרה k R כש p(x) = d הגדרה: פולינום הוא פונקציה שניתן לרשום אותה בצורה 0=k kx k לכל.k d אם 0 d נסמן p(x) d = deg ונאמר דרגת הפולינום. 67

68 3.1. פולינומים חשבון אינפיניטסימלי (2) תשע"ז נגזרת הפולינומים אזי: p(x) = d ראינו שכל פולינום גזיר אינסוף פעמים באינפי א. באןפן ספיציפי, אם 0=k kx k p (x) = p (x) = d k k x k 1 k=1 d k(k 1) k x k 2 k=2 באופן כללי לכל n: N מתקיים: d k! p (n) k=n (k n)! (x) = kx k n n d 0 n > d אפשר להסתכל על זה גם ככה: נתבונן במרחב הפולינום [X] P. גזירה היא העתקה לינארית ויתרה מכך גזירה n פעמים היא העתקה לינארית. נתבונן בבסיס הסטדנרטי P (x) spn(x d, x d 1,..., x 2, x, 1),d עבור פולינום מדרגה.(x d, x d 1,..., x 2, x, 1) d נקבל שהעתקה הגזירה n פעמים ניתן להצגה על ידי המטריצה: המוגדר על ידי: n=0 nx n d d (d 1) d 1 d(d 1) d (d 2) d 2 (d 2)(d 1) d d(d 1)(d 2) d (n + 1)! n n! n פונקציה קדומה של פולינום היא פולינום טענה: פונקציה קדומה של פולינום היא פולינום 68

69 3.2. פולינומי טיילור מקלורן d 1, זה פולינום. נגזור ונקבל: n=0 n+1 nx n+1 ניקח:.P (x) = d הוכחה: יהי n=0 nx n ( d n=0 ) 1 n + 1 nx n+1 = d n x n = P (x) n=0 כנדרש. מסקנה: נניח ש f גזירה d פעמים ו 1+d f פונקציית האפס, אז f היא פולינום והיא נתונה f n (x) = f d (x) = d k=n d k=n=d f(x) = d f k (0) k=0 n! על ידי הנוסחה: x k k! (k n)! kx k n f d 1 (x) = (d 1)! d 1 + d! d x הוכחה: עבור גזירה n פעמים נקבל: לכן בפרט: k! (k n)! k x k n = d! d = f d (0) = d! d = f d 1 (0) = (d 1)! d 1 f d 2 (x) = (d 2)! d 2 + (d 1)! d 1 x + d! 2! d 2x 2 = f d 1 (0) = (d 2)! d f k (x) = k! 0! k + (k + 1)! k x + 1! (k + 2)! x ! P (x) = d k=0. d! (d k)! dx d k = f k (0) = k k! ולכן ניתן להציג את הפולינום (x) P בתור: f k (0) x k k! 3.2 פולינומי טיילור מקלורן תהי f פונקציה ונניח שנתונים לנו הערכים שלה ושל n הנגזרות הראשונות שלה ב 0. אנחנו מחפשים פונקציה P אשר מקרבת את f בצורה טובה בסביבה של 0. מתקבל על הדעת 69

70 3.2. פולינומי טיילור מקלורן שערכי הנגזרות של P באפס יתלכדו עם הנגזרות של f באפס. פונקציה שמקיימת: כלומר אנחנו מחפשים i n p i (0) = f i (0) נניח ש = 0 1+n P לכל x. R אזי לפי הדיון הקודם, ישנה רק פונקציה P אחת שעומדת בדרישות אלה. היא פולינום כי = 0 1+n P והמקדמים שלה נקבעים על ידי הנגזרות של f ב 0 לפי הנוסחה.p n (0) = n! n מכאן: פולינום מקלורן הגדרה הגדרה: תהי f פונקציה גזירה n פעמים ב 0. פולינום מקלורן מסדר n של f הוא הפולינום P n (x) = k=0 f k (0) x k k! P n הנתון על ידי: דוגמאות.p(x) = d יהי.n d מאחר ו p (k) (0) = k! k נקבל ש.1 יהי k=0 kx k P n (x) = k=0 k! k x k = k! k x k k=0 ואז עבור n d נקבל: p(x).p n (x) =.2 ניקח.f(x) = e x לכל n N מתקיים.f n (x) = e x לכן = 1 (0) n f לכל n N P n (x) = k=0 x k k! ומכאן: 70

71 3.2. פולינומי טיילור מקלורן.3 נתבונן בפונקציה.f(x) = sin x לפי כלל הגזירה שלה מתקיים,(sin x) = cos x ומכאן יינבע: sin x n 0 mod 4 cos x n 1 mod 4 sin (n) (x) = sin x n 2 mod 4 cos x n 3 mod 4 0 n 0 mod 4 1 n 1 mod 4 sin (n) (0) = 0 n 2 mod 4 1 n 3 mod 4 ולכן: מכאן: P n (x) = k=0 f k (0) x k = k! k=0 ( 1) k (2k + 1)! x2k+1 f (x) = (x + 1) 1 = f (0) = 1 f 2 (x) = (x + 1) 2 = f 2 (0) = 1 f 3 (x) = 2(x + 1) 3 = f 3 (0) = 2 f 4 (x) = 6(x + 1) 4 = f 4 (0) = 6.4 ניקח: x).f(x) = ln(1 + מתקיים: f n (x) = ( 1) n+1 (n 1)!(x + 1) n = f n (0) = ( 1) n+1 (n 1)! P n (x) = k=0 f k (0) x k = k!. ( 1) k=0 k+1 xk k ומכאן: 71

72 3.3. הערכת השארית לסדר טיילור מסוים פולינום טיילור ניתן להכליל את מה שעשינו עד כה אם נחליף את הנקודה 0 בנקודה שרירותית x. 0 כעת אנו מתבוננים בפונקציה f הגזירה n פעמים ב x. 0 R מכאן: הגדרת פולינום טיילור הגדרה: תהי f גזירה n פעמים בנקודה x. 0 פולינום טיילור מסדר n של f סביב x 0 הוא הפולינום: P n (x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! הערות 1. נאמר שאנחנו מפתחים (develop) את f לפולינום טיילור סביב x פולינום מקלורן הוא מקרה פרטי של טיילור עבור = 0 0 x. מצד שני, טיילור מהווה בעצמו סוג של מקלורן: עבור פונקציה f(x) נגדיר ) 0.f(x + x פולינום טיילור של.f(x + x 0 ) הוא פולינום מקלורן עבור מסביב ל x 0 f(x) 3. הסימון P n אינו מעיד על הנקודה x 0 עצמה או על f. 3.3 הערכת השארית לסדר טיילור מסוים הגדרנו את פולינום טיילור בתקווה שיהיה קירוב טוב לפונקציה שהתחלנו ממנה. נשאל: 1. עבור n, N עד כמה הפולינום P n מקרב את f? כלומר עבור n קבוע, כמה קרוב הפולינום לפונקציה בסביבה של x? 0 2. עבור נקודה קבועה x R האם סדרת הקירובים (x) P n מתקרבת לערך f(x) כאשר מגדילים את n? כלומר עבור נקודה מסוימת, האם הקירוב נעשה גדול יותר שמגדילים 72

73 3.3. הערכת השארית לסדר טיילור מסוים את הסדר? השאלה הראשונה מעריכה את השארית לסדר טיילור מסוים, כפונקציה של x. השאלה השנייה מעריכה את השארית עבור x מסוים כאשר הסדר של פיתוח טיילור משתנה.. lim n R n(x) ושאלה שנייה שואלת: lim x x 0 שאלה ראשונה שואלת לגבי (x) R n נראה שהתשובה לשאלה הראשונה היא כן ולשנייה לא. בתת פרק זה נבחן את השאלה הראשונה, ואחר כך על השנייה. אנחנו שארית טיילור שארית טיילור הגדרה: אם f גזירה n פעמים ב x 0 אזי שארית טיילור (reminder) מסדר n של הפונקציה f היא הפונקציה: R n := f P n הערה: באופן כללי R n היא פונקציה של שלושה משתנים: נקודת הפיתוח, x; 0 הנקודה המקורבת x והסדר n. מכאן ככל ש (x) R n קטן יותר בערך מוחלט נוכל לומר ש P n קירוב טוב יותר. במונחים של שארית טיילור, שתי השאלות ששאלנו הן: מהו הערך ) 0 R n x) עבור n? N ושנית,? lim האם ) 0 R n (x מונוטונית יורדת ב,n ובפרט האם = 0 ) 0 n R n(x פונקציה אפסית הגדרה: עבור n N ונקודה x, 0 R נאמר שהפונקציה α(x) היא אפסית מסדר n אם מתקיים α(x) = (x x 0 ) n α (x) + x 0 עבור α רציפה ב x 0 עם = 0 ) 0.α (x במקרה זה נאמר ש α היא ) n.o(x אם כן, α אפסית מסדר n אם ורק אם בסביבת x 0 היא שואפת ל 0 מהר יותר מ x. n הרעיון כאן הוא לתת מדד ל'מהירות' ההתכנסות של הפונקציה. אם פונקציה f היא ) n o(x f(x) x. lim כלומר f שואפת ל x 0 מהר יותר מהשאיפה של 0 x x (x x 0 0) n 73 = lim אזי: = 0 (x) n α

74 3.3. הערכת השארית לסדר טיילור מסוים x) x 0 ) n לאפס. נשים לב שאם α אפסית מסדר n אז בפרט α רציפה ב x. 0 מבחינה גיאומטרית זה אומר ש α שטוחה יותר מ x) x 0 ) n בסביבה של x. 0 גבול השארית טענה: (x) R n אפסית ב x 0 מסדר n. או באופן שקול: lim x x 0 R n (x) (x x 0 ) n = 0 R n(x) (x x 0) n הוכחה: נראה ש = 0 lim, ומכאן לפי הגדרה (x) R n אפסית מסדר n. לפי x x 0 הגדרה f.r n (x) = f P n ו P n גזירות n פעמים ב x 0 לכן (x) R n גזירה n פעמים. lim x x 0 R n (x) (x x 0 ) n = lim f n 1 (x) Pn n 1 x x 0 n!(x x 0 ) = 1 n! (x) נפעיל את לופיטל 1 n פעמים ונקבל: = 1 f n 1 (x) (f n 1 (x 0 ) + f n (x 0 )(x x 0 )) lim n! x x 0 x x 0 f n 1 (x) lim f n (x 0 ) = 1 x x 0 x x 0 n! (f n (x 0 ) f n (x 0 )) = 0 Pn ( ) בתנאי שהגבול קיים, גזירה 1 n פעמים של P n נותנת: + ) 0 n 1 (x) = f n 1 (x.f n (x 0 )x כנדרש. מכאן קיבלנו תשובה לשאלה הראשונה הקירוב (x) P n כן נעשה מדויק יותר ככל שמתקרבים ל x, 0 אבל לאו דווקא באופן מונוטוני. יחידות פיתוח טיילור ראינו שלכל f גזירה n פעמים, פולינום טיילור של f נבדל מ f בפונקציה אפסית מסדר n, דהיינו מתקיים: f(x) = P n (x)+r n (x) = P n (x)+α(x)(x x 0 ) n כאשר = α(x) lim x x 0 0. מכאן: טענה: תהי f גזירה n פעמיים ב x. 0 R יהי n. N פיתוח טיילור עד סדר n הוא הפולינום היחיד המקיים שקיימת α(x) שהיא ) n o(x כך ש ) n f(x) = P n (x) + o(x הוכחה: טענת עזר: אם,p q פולינומים שונים ממעלה n לכל היותר אזי q(x) p(x) 74

75 3.3. הערכת השארית לסדר טיילור מסוים.q(x) = n היות ו p q קיים k=0 b kx k ו p(x) = n k=0 kx k הוכחה: נסמן o(x n ).p(x) q(x) = n לכן: k=m ( k b m )x k ואז:. m b m כך ש n m N {0} p(x) q(x) x m = n ( k b k )x k n = x m n ( k b k )x k m k=m k=m הסכום באגף ימין הוא פולינום שאינו מתאפס ב 0 כי m b m לכן הגבול הוא או n n b ובכל מקרה לא אפס. מכאן, ראינו ש ) n.f(x) P n (x) = o(x יהי (x) Q(x) P n פולינום מדרגה n ונניח בשלילה ש ) n.f(x) Q(x) = o(x נקבל ש: P n (x) Q(x) = (P n f) + (f Q n ) וקיבלנו שני מחוברים שהם ) n o(x לכן מאריתמטיקה של גבולות הם ) n o(x בסתירה לטענת העזר, כנדרש. מסקנה: קיבלנו הוכחה אחרת לכך שפולינום טיילור בסדר n של פולינום מסדר n הוא הפולינום עצמו מתקיים: q(x) q(x) 0 lim x 0 x n = lim ומיחידות זה פולינום טיילור. = 0 n x 0 x דוגמה אפריורית, אנחנו לא יודעים לתת חסם כלשהו ל (x) R. n בחלק הבא ננסה לעשות את זה. = 1 f(x) בקטע (1,1 ). נפתח את טור טיילור עבור 1 x 75 P n (x) = k=0 f k (0) x k = k! k=0 k! k!(1 f(0)) k+1 xk = אבל לפעמים כן נוכל: נתבונן ב :x 0 בנקודה = 0 f היא סדרה הנדסית מתכנסת שסכומה החלקי ידוע, וקיבלנו: נשים לב ש 0=k xk. lim k=0 R n (x) = 1 1 x P n(x) = 1 1 x 1 xn 1 x = xn+1 1 x x 0 ( x n+1 1 x ) x n = lim x 0 x ובאמת קיבלנו שהשארית היא ) o(xn ומתקיים: = 0 x 1 x k

76 3.3. הערכת השארית לסדר טיילור מסוים חישוב גבולות באמצעות פולינום טיילור שימוש נוסף של פולינומי טיילור יכול להיות חישוב גבולות שבתחילה נראים קשים. התכונה R. lim n(x) x x (x ) השימושית היא שלכל n N מתקיים: = 0 n 0 חישוב גבולות x sin x. lim מכלל לופיטל נקבל: x 0 x 2 x sin x. lim אבל מהמשפט שהוכחנו נוכל לחשב בצורה x 0 x 2 sin x = נראה איך ניתן ליישם את המשפטים שלמדנו. נחשב את: 1 cos x sin x = lim x 0 2x = lim x 0 2 = 0 פשוטה יותר: נפתח את f(x) = sin x מסביב ל 0 עם = 2 n. נקבל: 3 k=0 sin k (0) x k = 0 + x + 0x 2 + R 2 (x) = x + o(x 2 ) k! cos(x) sin(x) x. lim מתקיים: x 0 sin 3 (x) cos(x) sin(x) x lim x 0 sin 3 = lim (x). x sin x x = x (x+o(x2 ) 2 x = o(x2 ) x 2 x מכאן: 0 2 ניתן דוגמה מורכבות יותר: נבחן את הגבול: sin(x) = x x R 4(x) := x x3 6 + β(x) sin(x) = x R 2 (x) := x + γ(x) cos(x) = 1 x R 3(x) := 1 x2 2 + α(x) α(x) β(x) γ(x) lim x 0 x 3 = lim lim x 0 x 0 x 4 = lim x 0 x 2 = 0 (1 x 2 2 x 0 (x x 3 6 = lim x3 x 0 + α(x))(x x3 6 + β(x)) (x + γ(x)) x5 12 x 3 = lim x 0 x 3 ( 2 3 ) + x α(x) x 3 מתכונות השארית, נקבל: ומכאן נקבל: x3 x2 ) + α(x)(x 6 )β(x)(1 2 + α(x)) x (x + γ(x)) 3 (x x3 6 ) + β(x) x (1 x α(x)) = 2 (1 + γ(x) x )3 3 76

77 3.3. הערכת השארית לסדר טיילור מסוים פולינום טיילור של מכפלה מונומים הגדרה: כל ) n v spn(x עבור n כלשהו, נקרא מונום.(Monomil) m סכום המונומים עבור.deg(n) עם Q(x) = n הגדרה: בהינתן פולינום i=0 c i(x ) i.[q(x)] m = m הוא: i=0 c i(x ) i דוגמה ניקח: + 8 7x Q(x) = x 3 + ואז: [Q(x)] 3 = x 3 + 7x + 8 [Q(x)] 2 = 7x + 8 [Q(x)] 1 = 7x + 8 [Q(x)] 0 = 8 טיילור של מכפלה טענה: אם (x) p m ו (x) p n הם פולינומי טיילור מסדר m, n עם m < n בהתאמה, אז: p m (x) = [p n (x)] m הוכחה: זה נובע ישירות מהגדרת פולינום טיילור וסכום המונומים. טענה: יהיו f, g גזירות n פעמים ב. יהיו (x) p n ו (x) q n פולינומי טיילור מסדר n של f ו g בהתאמה סביב. אזי f(x)g(x) h(x) = גזירה n פעמים בנקודה ופולינום טיילור שלה מסדר n סביב הוא: t n (x) = [p n (x)q n (x)] n.t n = p n (x)q n (x) = 2n הוכחה: ברור ש h גזירה n פעמים. נסמן: i=0 c i(x ) i 77

78 3.4. הערכת השארית של פולינום טיילור בנקודה h(x) t. lim על פי ההנחה: n(x) x (x ) מיחידות פולינום טיילור, מספיק להראות ש = 0 n f(x) p n (x) g(x) q n (x) lim x (x ) n = 0 lim x (x ) n = 0 h(x) t n (x) f(x)g(x) t n (x) lim x (x ) n = lim x (x ) n נכתוב: = lim x [f(x)g(x) f(x)q n (x)] + [f(x)q n (x) p n (x)q n (x)] + [p n (x)q n (x) t n (x)] (x ) n f(x)g(x) f(x)q n (x) = lim x (x ) n + f(x)q n(x) p n (x)q n (x) (x ) n + p n(x)q n (x) t n (x) (x ) n מכאן מספיק להראות שהגבול של כל מחובר הוא אפס: f(x)g(x) f(x)q n (x) lim x (x ) n = lim f(x) g(x) q n(x) x (x ) n = f() 0 = 0 f(x)q n (x) p n (x)q n (x) lim x (x ) n = lim q n (x) f(x) p n(x) x 0 (x ) n = g() 0 = 0 p n (x)q n (x) t n (x) p n (x)q n (x) [p n (x)q n (x)] n (x ) n = lim x (x ) n = lim x 2n i=0 c i(x ) i [ 2n i=0 c i(x ) i ] n (x ) n = ועכשיו נשתמש בנתון: 2n i=n+1 c i(x ) i (x ) n = 0 כנדרש. הערה: נשים לב ש 1+n p] n (x)q n [(x) הוא אינו בדר"כ פולינום טיילור מסדר 1+n של.h(x) לדוגמה: f(x) = g(x) = 1 + x + x 2 ו = 0. קל לראות ש p 1 (x) = q 1 (x) = 1 + x ואכן מתקיים: + 1 2x [p 1 (x)q 1 (x)] 1 = [x 2 + 2x + 1] 1 = הוא פולינום טיילור מסדר 1 של f(x)g(x) = 1 + 2x + 3x 2 + 2x 3 + x 4 אבל: [p 1 (x)q 1 (x)] 2 = [1 + 2x + x 2 ] 2 = 1 + 2x + x x + 3x הערכת השארית של פולינום טיילור בנקודה המטרה שלנו כעת היא לתת הערכה לגובה השארית של פולינום טיילור בנקודה כלשהי. אנחנו יודעים ש (x) R n שואף לאפס כאשר x מתקרב ל x, 0 נקודת הפיתוח, בקצב של 78

79 3.4. הערכת השארית של פולינום טיילור בנקודה ) n.o(x אך כאמור אנחנו לא יודעים להעריך את גובה השגיאה. כאמור השגיאה היא פונקציה (x R(n, הן של סדר הפיתוח והן של מרחק הנקודה הקונקרטית מנקודת הפיתוח. מכאן והלאה ננסה לאפיין את פונקציית השגיאה צורת לאגרנז' לשארית טיילור שארית לאגרנז': תהי f גזירה n פעמים בקטע סגור I שקצותיו הם x ו x, 0 ונניח ש f n גזירה בפנים של I ורציפה ב I. אם P n ו R n הם פולינום טיילור ושארית טיילור מסדר n מסביב ל x, 0 אזי קיימת נקודה בפנים של I כך ש R n (x) = f n+1 (c) (n + 1)! (x x 0) n+1 הוכחה: מתקיים: R n = f P n וכן ) 0 P k n (x 0 ) = f k (x לכל {0} N.n k בפרט R n.i = [x 0, x] ללא הגבלת הכלליות נניח ש.n k N {0} לכל R k n(x 0 ) = 0 ו 1+n x) x 0 ) רציפות ב I וגזירות בפנים I על כן על פי משפט קושי (אינפי 1) קיים R n (x) R n (x 0 ) R n (x) (x x 0 ) n+1 = (x x 0 ) n+1 = R n(c 1 ) (n + 1)(c 1 x 0 ) n x) c 1 (x 0, כך ש מכאן על פי קושי קיימת נקודה ) 2 c 2 (x 0, c כך ש R n(c 1 ) (n + 1)(c 1 x 0 ) n+1 = Rn(c 2 2 ) (n + 1)n(c 2 x 0 ) n 1 נחזור על השיקול 1 n פעמים ונסיק שקיים x) c (x 0, כך ש R n (x) (x x 0 ) n+1 = Rn+1 (c) (n + 1)! R n (x) = (x x 0 ) n+1 Rn+1 (c) (n + 1)! = f n+1 (c) (n + 1)! (x x 0) n+1 ולכן: כנדרש. 79

80 3.4. הערכת השארית של פולינום טיילור בנקודה מסקנה: הרחבה של טיילור f(x) = P n (x) + R n (x) = k=0 לפונקציה f העומדת בתנאי טיילור, נקבל: f k (x 0 ) (x x 0 ) k + f n+1 (c) k! (n + 1)! (x x 0) n+1 נשים לב שלא מדובר כאן בשיווין בין f לפולינום מדרגה + 1 n שכן שארית לאגרנז' היא פונקציה של c. דוגמאות: חישוב האקספוננט, סינוס וקוסינוס.P n (x) = n בנוסף, לכל x R ולכל k=0 xk k!.1 עבור f(x) = e x ו = 0 0 x נקבל: בפרט k N מתקיים f k (x) = e x לכן שארית טיילור לפי לגרנז' מקיימת: R n (x) = e c (n + 1)! xn+1 for 0 < c < x. R n (x) d xn+1 n! נסמן } x.d = mx{1, e כך ש e c d ונקבל:. lim P n וקיבלנו: n(x) = lim x x k=0 xk k! = 0 n(x). lim R או באופן שקול: x x R e x = n=0 x n n! מכאן נוכל לחשב את.e אנחנו יודעים מאינפי 1 ש 3 e <.2 מתקיים: = (1) n P (1) n.e 1 + R n (1) = e + R מכאן היות ו 3 e < 2 נקבל: 2 (n + 1)! R 3 n(1) (n + 1)! אם נרצה ש < (1) n R מספיק ש > )! + (n ועל כן מספיק = 6.n e = P 6 (1) ± = ± = 2 + ± = ± = ± נקבל: 80

81 3.4. הערכת השארית של פולינום טיילור בנקודה.2 ניקח.f(x) = sin x נפתח את טיילור מסביב ל = 0 0 x ונקבל: = (x) P n k N ולכן לכל x R לכל sin k (x) נשים לב ש 1. n k=0 R n (x) = sinn+1 (c) x n+1 x n+1 (n + 1)! (n + 1)! x = lim n P n(x) = ( 1) k (2k+1)! x2k+1 שארית טיילור מצורת לארגרנז': lim וקיבלנו ש ובפרט מתקיים = 0 n(x) n R k=0 ( 1) k (2k + 1)! x2k+1 cosx = 3. באופן דומה לסעיף הקודם אפשר להראות ש k=0 ( 1) n (2k)! x2k דוגמה ממבחן תהי f : ( 2, 2) R גזירה שלוש פעמים וכל נגזורתיה רציפות. נניח = 0,f(0) f (0) = f (c) 3! 0 ו = 2 (0).f נכון או לא נכון: קיימת נקודה < 1 c < 0 כך ש 1 f(1) = נכון. הוכחה: f גזירה פעמיים בנקודה = 0 0 x ולכן אנחנו עומדים בתנאי משפט טיילור f(x) = 2 k=0 f k (0) x k + R n = x 2 + R n k! ומתקיים: f 2 גזירה כי f גזירה שלוש פעמים בפרט ב [ 1,0] ולכן אנחנו עומדים בתנאי משפט לגרנז' x בפרט זה נכון עבור = 1. c (0, 1) f(x) = x 2 + f 3 (c) 3! לשארית טיילור ומתקיים: x 3 ויתקיים: f(1) = 1 + f (c) 3! = f(1) 1 = f (c) 3! 81

82 3.4. הערכת השארית של פולינום טיילור בנקודה צורת קושי לשארית טיילור הגדרה: תהי f גזירה + 1 n פעמים בקטע הסגור I שקצותיו x ו.x 0 אם P n ו R n הם פולינום טיילור ושארית טיילור מסדר n של f סביב x, 0 אזי קיימת נקודה c בפנים של I R n (x) = f n+1 (c) (x c) n (x x 0 ) n! כך ש או באופן שקול קיים (1,0) θ כך ש R n (x) = f n+1 (x 0 + θ(x 1 x 0 )) (1 θ) n (x x 0 ) n+1 n! הוכחה: בהוכחה של שארית לאגארנז' השתמשנו במשפט קושי על המנה (x)/(x R n 1+n x. 0 ) כאן הרעיון דומה רק שנתיחס ל x כנקודה קבועה ונחשוב על R n כפונקציה של הנקודה x 0 סביבה פיתחנו את f לפולינום טיילור. כדי להדגיש את התלות בשני הפרמטרים נשתמש בסימון כללי יותר לפולינום טיילור ולשארית: נרשום (t P n,x) עבור הערך בנקודה t של פולינום טיילור מסדר n של f כשמפתחים אותו סביב s, כלומר: P n (x, t) = k=0 f k (s) (t s) k k! מכאן נגדיר: φ(s) = R n (s, x) = f(x) ( k=0 f k (s) (x s) k ) k! כלומר φ(s) הוא מידת השגיאה בנקודה x בין f לפולינום טיילור מסדר n סביב s. כאשר x = s אזי השגיאה היא אפס. לכן אם מניחים ש φ גזירה אפשר להעריך את ) 0 φ(x באופן הבא: לפי משפט לגרנז', קיימת נקודה בין x 0 ל x 0 כך ש x) φ(x 0 ) φ(x) = φ (c)(x 0 אבל = 0 φ(x) וגם ) 0 R n (x 0 ) = R n (x 0, x) = φ(x לכן: ( ) R n (x) = φ (c)(x 0 x) נגזור ונקבל: k N s (x, x 0 ) (x 0, x) d ds ( 1 k! f k (s)(x s) k ) = 1 k! f k+1 (s)(x s) k 1 ((k 1)! f k (s)(x s) k 1 82

83 3.4. הערכת השארית של פולינום טיילור בנקודה d ds ( 1 k! f k (s)(x s) k ) = d ds (f(s) 1) = f (s) עבור = 0 k נקבל: φ (s) = d ds ( n k=0 = f (s) + f k (s) (x s) k ) k! k=0 = f n+1 (s) (x s) n n! ( 1 k! f k+1 (s)(x s) k R n (x) = f n+1 (c) (x c)(x x 0 ) n! ונקבל טור טלסקופי: 1 (k 1)! )f k (s)(x s) k 1 ) נציב ב ( ) ונקבל: כנדרש עבור הביטוי הראשון. כדי לקבל את הביטוי השני, נחלק ונכפיל את הראשון ב R n (x) = f n+1 ( ) n (c) x c (x x 0 ) n+1 n! x x 0 (x x 0 ) n ונקבל: θ = x c 1 וסיימנו. כנדרש. x x 0 נסמן הערה: נשים לב ש,c θ במשפט תלויים ב x וב n אף שזה לא מופיע מפורש בסימן. אפשר להסיק מכאן את נוסחת לגרנז' באותה שיטה כמו בהוכחה האחרונה. נסמן: = ψ(s) n+1 (x 1 s) ונשים לב ש ψ גזירה ואינה מתאפסת ב x 0 וש 0 ) 0 ψ(x 1 ) ψ(x ולכן φ(x 0 ) φ(x 1 ) ψ(x 0 ) ψ(x 1 ) = φ (c) ψ (c) לפי משפט קושי קיימת נקודה c בין x 0 ל x 1 כך ש ואם נציב = 0 ) 1 φ(x ואת הביטויים השונים עבור ψ,φ,ψ נקבל את צורת לארגנז' צורת שלוימילך רוש לשארית טיילור ראינו שצורת לאגרנז' היא מקרה פרטית של צורת קושי לשארית טיילור. ששניהם מקרה פרטית של צורה רחבה בהרבה. עכשיו נראה 83

84 3.4. הערכת השארית של פולינום טיילור בנקודה שארית שלוימילך רוש: תהי פונקציה f גזירה n פעמים בקטע סגור I כך ש f n גזירה בקטע הפתוח I ורציפה בקטע הסגור. אזי: p > 0 0 < θ < 1 R n (x) = f n+1 (x 0 + θ(x x 0 )) (1 θ) n+p 1 (x x 0 ) n+1 p n! נתבונן ב f(x) המוגדרת ב h] I = [x 0, x 0 + נניח ש f גזירה n פעמים בקטע I ו f n R n (x) = f(x) P n,f,x0 = f(x) רציפה בקטע הסגור I וגזירה בקטע הפתוח I. k=0 f k (0) (x x 0 ) k k! מתקיים: יהי h).x (x 0, x 0 + יהי x).z (x 0, ראינו קודם שהשארית היא פונקציה של שלושה משתנים: הסדר, נקודת הבסיס x 0 ו x. כדי לבחון את השארית בנקודה כלשהי עבור פיתוח בסיס מסוים וסדר, נגדיר פונקציה חדשה שתהיה השארית כאשר אנחנו משנים את φ(z) = f(x) k=0 f k (z) (x z) k k! נקודת הפיתוח, קרי: φ(z) רציפה ב x] [x 0, ומקבלת בקצוות: ( ) φ(x) = f(x) f(x) = 0 φ(x 0 ) = R n (x) כלומר השארית עבור בנקודה x כאשר נקודת הפיתוח היא x בעצמה, היא אפס; והשארית בנקודה x כאשר נקודת הפיתוח היא x 0 היא כאמור שארית טיילור, (x) φ(x) R. n גזירה 84

85 3.4. הערכת השארית של פולינום טיילור בנקודה בקטע הפתוח (x x) 0, כי (z) f n גזירה שם, ומתקיים (גוזרים לפי z): ( (φ(z)) f (k) ) (z) = f(x) f(z) (x z) k k! k=1 ( f = f k+1 (z) (z) (x z) k f k ) (z) k(x z) k 1 k! k! k=1 ( f = f k+1 (z) (z) (x z) k f k ) (z) (x z)k 1 k! (k 1)! k=1 ( n f k ) (z) = (x z)k 1 (k 1)! k=1 ( n f k ) (z) = (x z)k 1 (k 1)! k=1 ( n f k ) (z) = (x z)k 1 (k 1)! k=1 ) ( n = k=1 f k (z) (x z)k 1 (k 1)! ( f (z) + ( n k=0 ( n+1 k=1 ( n k=1 k=1 f k+1 ) (z) (x z) k k! f k+1 ) (z) (x z) k k! f k ) (z) (x z)k 1 (k 1)! ) f k (z) (x z)k 1 (k 1)! f n+1 (z) n! וקיבלנו ביטוי של השארית ב x, כפונקציה של נקודת הפיתוח z: ( ) φ (z) = f n+1 (z) (x z) n n! (x z) n = f n+1 (z) (x z) n n! תהי ψ(z) פונקציה כלשהי כך שהיא רציפה ב x] [x 0, וגזירה ב x) (x 0, ומקיימת 0 (z) ψ לכל (x z. x) 0, אזי על פי משפט קושי מאינפי 1: ( ) c (x 0, x) φ(x) φ(x 0 ) ψ(x) ψ(x 0 ) = φ (c) ψ (c) R n (x) = R n (x) 0 = φ(x 0 ) φ(x) = (ψ(x) ψ(x 0 ) φ (c) ψ (c) מכאן: = ψ(x) ψ(x 0 ) ψ (c) מכאן לכל פונקציה ψ(z) שרציפה בקטע, גזירה בקטע הסגור ומשמרת סימן, קיבלנו ביטוי לשארית. זו ביטוי כללי בהרבה ממה שראינו בשארית קושי ושארית לאגרנז'. מכאן אפשר 85 להציב פונקציות קונקרטיות במקום ψ ולקבל ביטויים נוחים. מכאן: f n+1 (c) (x z) n n!

86 3.4. הערכת השארית של פולינום טיילור בנקודה 1. עבור φ(z) = (x z) p עבור > 0 p כלשהי. נראה ש ψ מקיימת את שלושת הדרישות: היא רציפה, גזירה ו p 1 0 ψ (z) = p(x z) לא מתאפס ב x).z (x 0, ומכאן R n (x) = (x x 0) p f n+1 (c) p(x c) p (x c) n = f n+1 (c) (x c) n p (x x 0 ) p n! p n! נובע:.2 הסעיף הקודם, אם נרשום: ) 0 c = x 0 + θ(x x כך ש < 1 θ < 0 אזי x 0 < c < x ונוכל להציב במשוואה הקודמת כדי לקבל: R n (x) = f n+1 (x 0 + θ(x x 0 )) (1 θ) n+p 1 (x x 0 ) n+1 p n! כנדרש. קושי ולגרנז' נגזר משלוימילך רוש אם נציב בשלוימילך רוש + 1 n p = ונסמן: ) 0 c = x 0 + θ(x x נקבל: R n (x) = f n+1 (x 0 + θ(c)) (x x 0 ) n+1 p n! וקיבלנו את צורת לאגרנז'. אם נציב = 1 p: R n (x) = f n+1 (x 0 + θ(x x 0 )) (1 θ) n (x x 0 ) n+1 p n! וקיבלנו את צורת קושי. פונקציה גזירה שטיילור לא מקרב אותה עד כה ראינו שניתן לקבל הערכות לשגיאה ושבאמצעות הערכה זו ראינו שניתן לחסום את השארית ולהוכיח שהשגיאה שואפת לאפס כאשר n שואף לאינסוף. האם תמיד זה יהיה המצב? כלומר האם התשובה לשאלה השנייה ששאלנו לעיל היא כן? התשובה היא לא. אין כל הבטחה שפולינום טיילור ייתן קירוב טוב של הפונקציה שלנו, אפילו בסביבות קטנות יחסית של הנקודה סביבה פיתחנו אותה ואפילו לא עבור n. 86

87 3.4. הערכת השארית של פולינום טיילור בנקודה e 1 x 2 x 0 f(x) = 0 x = 0 נגדיר: f : R R על ידי: f(x) f(0) lim = lim x 0 x 0 x 0 e 1 x 2 x = lim x 0 1 x e 1 x 2 = lim x 0 נראה שהפונקציה גזירה ב = 0 x: x 2 2x 3 e x 2 x = lim = 0 x 0 2e x 2 אפשר להראות מכאן שלכל n N הנגזרת ה f n של הפונקציה מקיימת: = 0 (0) n f, ולכן פולינום טיילור של הפונקציה לעיל הוא פולינום האפס. אבל הפונקציה איננה שווה לאפס לכל 0 x. מכאן שפולינום טיילור לא מקרב טוב יותר את הפונקציה כאשר n, ויתרה מכך (x) R n לכל x R קבוע כפונקציה של.n השוואת שארית לאגרנז' וקושי מכיוון שיש לנו נוסחאות שונות עבור השארית, שאלה טבעית היא: באיזה נוסחה כדאי לבחור? לא ניתן לדעת מראש את התשובה על שאלה זו מכיוון שאיננו יודעים מהי הנקודה שעלינו להציב בכל אחת מהשאריות. הדוגמה הבאה תמחיש שיש לבדוק כל מקרה לגופו. תהי: f : ( 1, ) R פונקציה המוגדרת על ידי x).f(x) = ln(1 + פולינום טיילור.P n,f,0 (x) = n משארית xk k=1 ( 1)k 1 k מסדר n של ln(1+x) f(x) = סביב אפס היא: R n (x) = f n+1 ( ) n+1 (c) (n + 1)! xn+1 = ( 1)n x n c לגרנז': מכאן, אם 1 x < 0 אזי בפרט < 1 c < 0 ולכן < x < 1 < 1 + c 0 ונקבל ש 0 < x < 1 2 < 1 + c 1 ולכן 2 < x < c 1 אזי < 0 2 < x אם < 0. x 1+c = x 1+c < 1. lim R n(x) = 0 מתקיים: x ( 1 n 2, 1) לכן עבור. x 1+c ואז גם: < 1 1 ( 1, x עדיין מתקיים n(x) lim R למרות שאי אפשר להסיק את n 2 נראה שגם עבור ) 2 3 =.x במקרה זה מתקיים: זה משארית לגרנז': נגדים עבור 2 3 < c < 0 = 1 3 < 1 + c = 0 < c < 3 = x c + 1 < 2 87

88 3.4. הערכת השארית של פולינום טיילור בנקודה זהו החסם הכי טוב שאפשר לקבל, אבל אי אפשר להסיק ממנו שהשארית שואפת לאפס.. x לכן: לעומת זאת, על פי שארית קושי: R n (x) = f n+1 ( ) n (d) (x d) n x = ( 1)n x d x n! 1 + d 1 + d 1 θ 1+θx x ( 1, 1) R n (x) = 1 x d 1 + d 1 + d θ = d x ואז < 1 θ <,0 ולכן: x d 1 + d = x θx 1 + θx = x 1 θ 1 + θx מכאן אם נסמן: 1 θ <,0 היות ו + x)θ (1 <.0 מכאן: x < 1+θx כעת מתקיים: < 1 n x d x n x = d x n+1 x n+1 1 x n 0 88

89 פרק 4 פונקציות קדומות ואינטגרלים לא מסוימים 4.1 פונקציות קדומות הגדרה: פונקציה גזירה (x) F תקרא פונקציה קדומה של f(x) בקטע I אם לכל x I מתקיים f(x) F (x) = יחידות הפונקציה הקדומה משפט: תהי (x) F פונקציה קדומה של f ב I. אזי G(x) פונקציה קדומה של f(x) אם c R ורק אם G(x) F (x) + c = הוכחה: מצד אחד ) = ( אם קיים c R כזה אז מכללי גזירה f(x) G (x) = F (x) = לכן G פונקציה קדומה. מצד שני, ) = ( נניח G פונקציה קדומה, אזי (x).g (x) = F נגדיר: (x) H(x).H(x) = G(x) F גזירה ונגזרתה לכל x I היא.0 לכן H פונקציה קבועה מלגרנז' מאינפי א' ולכן c R H(x) = c ולכן G(x).F (x) + c = 89

90 4.1. פונקציות קדומות האינטגרל הלא מסוים הגדרה: תהי f פונקציה המוגדרת בקטע I R ותהי F הפונקציה הקדומה שלה. האינטגרל הלא מסוים של f בקטע I מוגדר להיות הקבוצה R}.{F (x) + c c נסמן: f(x)dx = {F (x) + c c R} אזי הערות: 0 x > 0 = f(x) אין פונקציה 1 x 0 1. לא לכל פונקציה יש פונקציה קדומה, למשל ל קדומה, אחרת נקבל סתירה למשפט דארבו. 2. בניגוד לנגזרות, פונקציה קדומה של אלמנטרית לאו דווקא אלמנטרית, למשל צפיפות.φ (x) = e x2 הפונקציה הנורמלית: אריתמטיקה של האינטגרל הלא מסוים כמסקנה מיידית ממשפטי הנגזרות ומשפט פלוסי נסיק: משפט: תהי f ו g פונקציות בעלות פונקציה קדומה. אזי: c R cf(x)dx = c f(x)dx.1 f(x) + g(x)dx = f(x)dx + g(x)dx.2 הוכחה: מיידי מכללי גזירה. מסקנה: העתקה ממרחב הרציפות לרציפות של פונקציה לפונקציה הקדומה שלה היא העתקה לינארית. 90

91 4.2. שיטות אינטגרציה אינטרגרליים מידיים מיחידות האינטגרל עד הזזה בקבוע, ומחוקי הגזירה שלמדנו באינפי א' נוכל למצוא מיידית אינטגרלים מסויימים, הנה רשימה של כמה מהם: cos xdx = sin x + c.1 sin xdx = cos x + c.2 n i=0 ix i dx = n ix i+1 i=0 i+1.3 (1 + x 2 ) 1 dx = rctn +c.4 (1 x 2 ) 0.5 dx = rcsin +c.5 e x dx = e x + c שיטות אינטגרציה אינטגרציה על ידי פירוק שיטת האינטגרליים המידיים מעבירה את הפונקציה,f(x) לצירוף לינארי של פונקציות שלהם f(x)dx = = f(x) ונקבל: x4 x 2 +1 אחנו יודעים לקחת אינטגרל. דוגמה: נתבונן ב x 4 x dx = (x x )dx = 1 3 x3 x + rctn x + c אינטגרציה בחלקים מכלל לייבניץ לגזרה, מתקיים: fg (f g) = f g + ולכן מהעברת האגפים: f g dx = f g f gdx 91

92 4.2. שיטות אינטגרציה לשיטה המחשבת אינטגרלים באמצעות נוסחה זו נקרא אינטגרציה בחלקים. שיטה זו אפקטיבית אם הפונקציה שלפנינו היא מכפלה של שתי פונקציות: אחת שאנחנו יודעים לקחת לה אינטגרל והשנייה שאנחנו יודעים לגזור (שזה לרוב יהיה המצב). דוגמאות.1 נחשב את האינטגרל של xe x dx = xe x e x dx = xe x e x + c :xe x. x 2 cos dx = x 2 sin x.2 נחשב את האינטגרל של :x 2 cos x ( ) 2x sin xdx = x 2 sin x 2 x cos x cos xdx = x 2 sin x + 2x cos x 2 sin x + c rctn dx = 1 rctn dx = x rctn 3. נחשב אינטגרל ל :rctn x 1 + x 2 dx = x rctn 1 2 ln(1 + x2 ) + c.4 נחשב אינטגרל ל :e x cos xdx e x cos xdx = e x cos x + e x sin xdx = e x cos x + e x sin x e x cos dx = 2 e x cos dx = e x cos x + e x sin x + c = e x cos dx = ex (sin x + cos x) אינטגרציה בהצבה באופן דומה למה שנעשה עד כה, שיטה זו מבוססת על כלל השרשרת: = (g(f(x)) (x) g. (f(x))f מכאן, תהי (x) F קדומה ל f ב I ותהי φ(t) פונקציה גזירה הפיכה על קטע J כך ש Im(φ) I אזי: f(φ(t))φ (t)dt = F (φ(t)) + c 92 משוואה זו במונחי t ולכן כדי לקבל את הפתרון במונחי x, נציב: φ(t) x. =

93 4.2. שיטות אינטגרציה דוגמאות.1 נתבונן ב.f(x) = sin 2 x cos x נציב: φ(x) = sin x ו φ (x) = cos x ואז נקבל: sin 2 x cos xdx = (φ(t)) 2 φ (t)dt = 1 3 φ(t)3 = 1 3 sin3 x.2 נחשב את האינטגרל של.2xe x2 נציב: φ(t) = t 2 ו φ (t) = 2t ונקבל: 2xe x2 dx = e φ(t) φ (t)dt = e φt + c = e x2 + c : נציב e x = t (נעבור לסימונים האלה): e x e 2x + 1 dx = e x e 2x נחשב את האינטגרל של 1 t dt = rctn t + c = rctn ex + c x t= x dx = x + 1 :x ל > 0 x x+1 4. נחשב אינטגרל ל 2t 2 t dt = 2t 2 rctn t + c = 2 x 2 rctn x + c.5 נחשב sin 6 θ cos 5 θdθ. נשתמש בהצבה.u = sin θ נקבל: sin 6 θ cos 5 θdθ = sin 6 θ(1 cos 2 θ) 2 cos θdθ = u 6 (1 u 2 ) 2 du = u 10 2u 8 + u 6 du = u u9 9 + u7 7 + c = 1 7 sin7 θ 2 9 sin9 θ sin1 1θ + c נשים לב שבדוגמה הזו גזירה תניב ביטוי שלא ברור לחלוטין שמדובר בפונקציה המקורית, אלא צריך להשתמש בזהויות טריגונומטריות. בנוסף נשים לב שהצבה של sin(θ) u = או cos(θ) u = עובדות באופן כללי יותר לאינטגרליים מהצורה sin m (θ) cos n (θ)dθ כאשר לפחות אחד מ m או n אי זוגי. 93

94 4.3. אינטגרציה של פונקציות רציונליות 4.3 אינטגרציה של פונקציות רציונליות באמצעות משפטי גזירה, הראנו באינפי 1 שניתן לאפיין בצורה ברורה את פונקציה הגזירה עבור מרחב הפונקציות האלמנטריות הגזירות, בהנחה שיודעים את הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות הבסיסיות. עבור אינטגרלים, למעט מרחב הפולינום, ראינו שאין דרך ברורה לבצע אינטגרציה. יחד עם זאת, עבור משפחה נוספת, פונקציות רציונליות, נראה עכשיו שניתן למצוא אלגורתים למציאת האינטגרל. כזכור, פונקציה רציונלית f(x) היא פונקציה מהצורה:.p, q R[X] עבור f(x) = P (x) Q(x) שלב א אם deg P deg Q אזי קיימים R[X] q, s כך ש S(x) P (x) = Q(x)F (x) + עם, כאשר האינטגרל F (x)dx P (x) Q(x) dx = F (x)dx + S(x) Q(x) dx ולכן: deg S < deg Q הוא אינטגרל של פולינום שאפשר לחשב. מכאן והלאה אפשר להניח שהדרגה של המונה קטנה מהדרגה של המכנה. שלב ב נתבונן ב S(x) עבור.deg S < deg Q אם קיים k R כך ש (x),s(x) = kq אזי: Q(x) S(x) Q(x) dx = k Q (x) dx = k ln Q(x) Q(x) שלב ג אחרת, ננסה לנסות ולפרק את S(x) לסכום של פונקציות רציונליות פשוטות יותר. Q(x) משפט: פירוק לשברים חלקיים: אם Q 1, Q 2 זרים, כלומר לא קיים פולינום מדרגה גדולה או שווה ל 1 שמחלק את שניהם, אזי עבור כל S כך ש deg S < deg Q קיימים R[X] P 1, P 2 עם deg P 1 < deg Q 1 ו deg, P 2 < deg Q 2 כך ש (x).s(x) = P 1 (x)q 2 (x)+p 2 (x)q 1 94

95 4.3. אינטגרציה של פונקציות רציונליות כעת חוזרים על התהליך עבור כל Pi(x) ועוצרים כאשר לא מצליחים לפרק את הפולינומים Q(x) שבמכנה. הפולינומים שנתקעים איתם בסוף, נקראים פולינום אי פריקים. ישנו משפט שקובע כי פולינומים כאלה הם מדרגה 1 או מדרגה 2 עם דיסקרימיננטה שלילית (וראינו אותו באלגברה לינארית הרי כל פולינום מדרגה אי זוגית בעל שורש לכן פריק). כך, תוך הסתכמות על לינאריות האינטגרל, אנחנו מפרקים את הבעיה לסכום של בעיות יותר פשוטות. 95

96 פרק 5 האינטגרל המסוים למדנו את הפרק על האינטגרל המסוים מה 25.04, בשבוע של החזרה מפסח, עד לחודש אחרי ב היו שישה נושאים: סכומי רימן, סכומי דרבו, מרחב הפונקציות האינטגרבליות (תכונות של פונקציות אינטגרבליות), משפט לבג, המשפט היסודי ואינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל המסוים של פונקציה ממשית בקטע [b,] הוא מספר המתאר את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לבין ציר ה x בקטע [b,]. החלק הראשון של הפרק מוקדש להגדרת האינטגרל, הכוללת למעשה סוג חדש של גבול ולחקירת תכונותיו. הגדרת האינטגרל מונעת על ידי בעיה גאומטרית אך מסתבר שבמובן מסוים חישוב האינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לגזירה. זה תוכנו של אחד המשפטים החשובים באינפי, המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי. משפט זה מאפשר לחשב אינטגרל מסוים של פונקציה f בתנאי שיודעים למצוא פונקציה קדומה לה. 96

97 5.1. סכומי רימן 5.1 סכומי רימן חלוקה הגדרה: חלוקה P של הקטע [b,] היא קבוצה סופית של נקודות מהקטע הכוללת את הקצוות ו.b נהוג לסמן: b}.p = {x 0,..., x n = x 0 < x 1 <... < x n = λ(p) := dim(p) = (P ) := פרמטר החלוקה (או קוטר החלוקה) מוגדר להיות: mx (x i x i 1 ),...,n הערה: נסמן: i 1 i = x i x הגדרה: יהי [b,] קטע ויהיו,P Q חלוקות של [b,]. הקבוצה Q נקראת עידון (refinement) של P אם כל נקודת חלוקה ב P היא גם נקודת חלוקה ב Q, דהיינו: P Q הערה: אפשר לראות ש Q היא עידון של P אם ורק אם כל קטע חלוקה של Q מוכל באחד מקטעי החלוקה של P סכומי רימן הגדרה: תהי f מוגדרת ב b].[, בהינתן חלוקה } n p = {x 0,..., x של b],[, סכום רימן של f עבור P הוא כל ביטוי מהצורה: S = f(t i )(x i x i 1 ) = i f(t i ) עבור ] i t i [x i 1, x כלשהו. 97

98 5.1. סכומי רימן אינטגרבליות לפי רימן הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע סגור [b,]. נאמר כי f אינטגרבילית רימן בקטע זה, אם קיים I R כך שלכל > 0 ε קיים > 0 δ כך שלכל סכום רימן S של f עבור כל חלוקה P ב b] [, אם λ(p ) < δ אז. S I < ε בהצרנה אם P קבוצת החלוקות: I R ε > 0 δ > 0 p P λ(p ) < δ = i f(t i ) I < ε יחידות אינטגרל רימן משפט יחידות האינטגרל: תהי f מוגדרת ב [b,] אינטגרבילית רימן. אם קיים I R שמקיים את ההגדרה, אזי I הוא יחיד. הערה: מכאן, אם f אינטגרבילית רימן בקטע [b,] נאמר ש I הוא האינטגרל המסוים של f ב [b,]. זה מוגדר היטב מהמשפט האחרון. הוכחה: נניח ו L ו K מקיימים את ההגדרה של אינטגרבליות רימן. נניח בשלילה ש,L k אזי קיים m R כך ש > 0 m. L K > יהי > 0 K δ L, δ שמקיימים שלכל. S K < ו M 2 S I < M 2 סכום רימן של f עבור חלוקה P עם λ(p ) < δ מתקיים: יהי S סכום רימן של f עבור חלוקה P כך ש } M.λ(P ) < min{δ K, δ אזי: L K = L S + S K S L + S K < M 2 + M 2 = M סתירה, כנדרש. קריטריון קושי לאינטגרבליות רימן משפט: קריטריון קושי לאינטגרבליות רימן: f אינטגרבילית רימן על [b,] אם ורק אם לכל > 0 ε קיים > 0 δ כך שלכל זוג סכומי רימן S,S של f עבור כל חלוקה של f מתקיים: λ(p) < δ = S S < ε 98

99 5.1. סכומי רימן הוכחה: ) = ( נניח ש f אינטגרבילית רימן. יהי I האינטגרל. יהי > 0.ε קיים > 0 δ כך שאם S ו S סכומי רימן של f עבור חלוקות עם λ(p) < δ אזי: ε/2. S I, S I < לכן:. S S S I + S I < ε ) = :( נגדיר סדרת מספרים n=1 (S n ) באופן הבא: לכל n N נתבונן בחלוקה הבאה של [b,] ל n חלקים שווים: P n := {x k = + (b )k n 0 k n} + (b )k מונוטונית ב k וכן עבור k = n נקבל b ו n זו חלוקה כי זו קבוצה סופית,.λ(P ) = 1 n תהי ]} i P := {t i t i [x i 1, x בחירה = 0 k נקבל. מכאן מתקיים:.S n = n יהי של נקודות כלשהן. אזי הסדרה n=1 (S n ) מוגדרת על ידי: f(t i) i > 0 ε. מקריטריון קושי קיים > 0 δ כך שלכל סכומי רימן S,S עם פרטמטר חלוקה שקטן מ > 0 δ מתקיים ε. S S < לכן אם נבחר 1 δ N > לכל m, n > N יתקיים: λ(p n ) = 1 n < δ ואז S n S m < ε ולכן n=1 (S n ) סדרת קושי של מספרים ולכן מתכנסת S S < ε 2 לכל שני סכומי רימן של S n I < ε 2 וגם לגבול, נסמנו:.I בהינתן > 0 ε יהי > 0 δ כך ש f עבור החלוקות עם פרמטר קטן מ δ. כמו כן יהי N N כך ש. 1 N < δ אזי לכל סימן רימן S של f עבור חלוקה P עם פרמטר קטן מ δ מתקיים: S I = (S S N ) + (S N I) S S N + S N I < ε כנדרש. החלק השני כפי שנוסח בכיתה: ( = ) תהי 1=n S) n ) סדרת סכומי רימן של f עבור.λ(P n ) < 1 n לכל > 0 ε קיים > 0 δ כך ש סדרת חלוקות 1=n P) (n עבורה מתקיים: S S < ε לכל S S, סכומי רימן של f עבור חלוקות עם פרמטר קטן מ.δ נבחר,N > 1 δ אזי לכל m, n > N מתקיים:. S n S m < ε לכן S n סדרת קושי ולכן מתכנסת S S < ε 2 לכל שני סכומי רימן של S n I < ε 2 וגם לגבול שנסמנו.I בהינתן > 0 ε יהי > 0 δ כך ש f עבור החלוקות עם פרמטר קטן מ δ. כמו כן יהי N N כך ש. 1 N < δ אזי לכל סימן רימן S של f עבור חלוקה P עם פרמטר קטן מ δ מתקיים: S I = (S S N ) + (S N I) S S N + S N I < ε 99

100 5.1. סכומי רימן אינטגרבליות גורר חסימות טענה: אם f אינטגרבילית רימן על [b,] אז f חסומה ב [b,] הוכחה: ההוכחה מתבססת על קריטריון קושי. נניח ש f לא חסומה ונוכיח שהיא לא אינטגרבילית. תהי P חלוקה כלשהי של [b,]. בהכרח קיים i עבורו f לא חסומה על ] i,[x i 1, x אחרת היא הייתה חסומה. עבור i זה קיים ] i t i [x i 1, x כך ש ( ) f(t i ) f(x i ) > π x i נשים לב שאנחנו לא יודעים מהו ) i f(x אך בוודאות אפשר למצוא נקודה ) i f(t שתקיים את ( ). נגדיר שני סכומי רימן: S = ( n ) f(x j ) j S = f(x i ) i + f(t i ) i j=1 i j=1 הסכום הראשון הוא סכום רימן כשבוחרים את קצוות הקטע. הסכום השני זהה ב 1 n מחוברים כמו,S רק נבדל במחובר ה,i שהוא f(t i ) i במקום.f(x i ) i גם S וגם S הם סכומי רימן של f עבור חלוקה P ומתקיים ש: אזי תנאי קושי לא מתקיים, כנדרש. S S = f(t i ) f(x i ) i > π מסקנה: חסימות היא תנאי הכרחי לאינטגרבליות רימן. זה איננו תנאי מספיק. סימון: נסמן ב [b B[, את אוסף כל הפונקציות R R החסומות המוגדרות על הקטע.[, b] במקרה שבו [b f B[, אינטגרבילית רימן על [b,] עם אינטגרל I נסמן: I = b f(x)dx הערה: "הנחש" בסימון הוא האות S אמצעית הנהוגה בלטינית, מלשון.sum סימון זה מיוחס ללייבניץ שכתב בלטינית (האות גם הופיעה בשפות אירופאיות, כולל אנגלית, והשימוש בה הופסק איפשהו במאה ה 19. הגלגול המודרני שלה היא האות ß). 100

101 5.2. סכומי דרבו 5.2 סכומי דרבו הגדרה הגדרה: תהי f פונקציה חסומה בקטע [b,]. בהינתן P חלוקה של הקטע, נגדיר: m i := inf f(x) M i := sup f(x) x [x i 1,x i] x [x i 1,x i] הגדרה: סכום דרבו העליון והתחתון של f ביחס לחלוקה P מוגדר להיות בהתאמה: U(f, P ) := M i i L(f, P ) := m i i U(f, P ) L(f, p) = n שכן כל מחובר הוא אי הערה: מההגדרה: 0 i (M i m i ) שלילי. בתמונה: בימין סכום דרבו התחתון, משמאל העליון. דוגמאות.1 נתבונן בפונקציה f(x) = c עבור c R בקטע b].[, מכאן: P L(P ) = m i i = c i = c i = c(b ) = U(P ) 101

102 5.2. סכומי דרבו P U(P ) = M i i = 2. נתבונן ב D(x) פונקציית דירכלה ב [b,]. P L(P ) = m i i = 0 i = 0 1 i = i = b, 1 n.3 נתבונן ב f(x) ב b].[, יהי.n N נחלק את b] [, ל n קטעים באורך.P n = {0, 1 n, 2 n נקבל: כלומר: 1}...,, L(P ) = U(P ) = M i i = m i i = m i n = M i n = n n ( i 1 n ) n ( i n ) n = 1 n 2 = 1 n 2 n i = 1 n 2 n(n + 1) 2 i 1 = 1 n 2 n(n 1) 2 = 1 2 (1 + 1 n ) = 1 2 (1 1 n ) מכאן והלאה נציג 4 טענות בסיסיות (ועוד אחת תוספת בהתחלה) על סכומי דרבו ונמספר אותן טענות בסיסיות על סכומי דרבו הקשר בין סכום דרבו העליון לתחתון למה :0 תהי b] f B[, וחלוקה.P אזי ) L(P U(P ) = אם ורק אם f קבועה ב b] [, הוכחה: מכיוון אחד אם f(x) = c לכל b] x [, עבור.c R אזי: = c) U(f, n. מכיוון שני, נניח ש ) L(P.U(P ) = אזי M i i = c n i = L(f, c) f וזה מתקיים רק כאשר M i = m i מתקיים: i n אזי לכל n (M i m i ) i = 0 קבועה בכל ] i,[x i 1, x כלומר קיימים λ 1,..., λ n כך ש f(x) = λ i לכל ] i.x [x i 1, x מכאן: ) i 1 λ i = f(x i ) = f(x ובפרט λ i+1 = f(x i+1 ) = f(x i ) = λ i ובאופן דומה מראים ש,λ 1 = λ 2 =... = λ n כנדרש. 102

103 5.2. סכומי דרבו הקשר בין רימן לדרבו האם סכום דרבו הוא סכום רימן? לאו דווקא, כי ייתכן ש M. i i הטענה הבאה מראה שעבור חלוקה מסוימת, סכום דרבו העליון הוא למעשה הסופרימום של סכומי רימן. למה 1: תהי [b f B[, ו P חלוקה של [b,]. נסמן ב ) σ(p את קבוצת כל סכומי רימן של f עבור חלוקה.P אזי ) σ(p U(P ) = sup ו ) σ(p L(P ) = inf הוכחה: ללא הגבלת הכלליות נראה עבור הסכום דרבו העליון. נראה לפי שקילות הסופרימום. תהי חלוקה P. לכל ) σ(p S, סכום רימן עבור חלוקה P מתקיים: S = f(t i ) i M i i = U(P ) והראנו שסכום דרבו העליון הוא חסם מלמעלה לקבוצת סכומי רימן עבור חלוקה P. עכשיו נראה שלכל > 0 ε קיים ) σ(p S כך ש.U(P ) ε < S יהי > 0.ε נתבונן = ε קיים ε n i ב i ו f(x).m i = sup x i מתכונות הסופרימום, לכל > 0 ε בפרט i.f( t i ) > M מכאן נתבונן בסכום רימן עבור בחירת הנקודות n i ] i t i [x i 1, x כך ש S = f( t i ) i > ( M i ε n i ) i = ε ) n t 1,..., t,( נסמן: S, ונקבל: M i i ε n = U(P ) ε לכן מאפיון הסופרימום ) σ(p,u(p ) = sup כנדרש. השפעת עידון על סכום דרבו למה 2: תהי f חסומה ב [b,] ותהי P חלוקה. אם P היא עידון של P, כלומר התקבלה מהוספת נקודות חלוקה, אזי ) L(P L(P ) ו ) U(P U(P ) הוכחה: נוכיח תחילה את הלמה במקרה ש P התקבלה על ידי הוספת נקודה בודדת. נניח ש b} P = {(x 0,..., x n ) = x 0 < x 1 <... < x n = ונניח ש P התקבלה ממנה על ידי הוספת נקודה ב ] k.[x k 1, x קיבלנו: P = {(x 0,..., x k 1, x, x k,...x n ) = x 0 < x 1 <... < x n = b} 103

104 5.2. סכומי דרבו M = sup f(x) M = sup f(x) x [x k 1,x ] x [x,x k ] ( n ) U(P ) = M i i + M (x x k 1 ) + M (x k x ) k ( n k k M i i ) + M k (x x k 1 ) + M k (x k x ) ( n ) = M i i + M k k = M i i = U(P ) נסמן: לכן: ( ) באופן כללי ראינו באינפי א שאם A B אזי.sup A sup B מכאן היות ו.M k M, M לכן [x k 1, x ], [x, x k ] [x k 1, x k ] במקרה ש P התקבלה מ P על ידי הוספת m R נקודות, אזי היות ו P היא קבוצה סופית, חזרה על הנימוק הזה m פעמים תסיים את ההוכחה עבור הסכום העליון. באופן דומה מראים עבור הסכום התחתון. כנדרש. חסם על שינוי סכומי דרבו בעקבות עידון ראינו בסעיף הקודם שעידון מקטין את סכום דרבו העליון ומגדיל את סכום דרבו התחתון. כעת ניתן חסם לשינוי. סימון: f(x).ω := sup x [,b] f(x) inf x [,b] לפרמטר זה נקרא התנודה של f ב.[, b] למה 3: אם P חלוקה המתקבלת מחלוקה P על ידי הוספת k נקודות חלוקה אזי L(P ) L(P ) kλ(p )Ω U(P ) U(P ) + kλ(p )Ω הוכחה: נראה על הגבול העליון, ההוכחה על הגבולה התחתון זהה. נראה באינדוקציה על x על ידי הוספת נקודה אחת. נניח שהוספנו P מתקבלת מ P נניח ש k, עבור = 1 k. 104

105 5.2. סכומי דרבו U(P ) U(P ) 1 = M j j ( sup t [x j 1,x ] f(t)(x x j 1 ) + sup t [x,x j] בקטע ] j,[x j 1, x אזי: f(t)(x j x)) 2 M j j m j j = (M j m j ) j 3 Ω j 4 Ωλ(P ) (1) P זהה ל P פרט בקטע ] j x], 1 j, x לכן ההפרש בין סכומי דרבו העליונים מצמצמם להפרש בין סכום דרבו בשני הקטעים. (2) ברור ש [j m j = inf x [xj 1,x לא גדול מהסופרימום של כל קטע. (3) x [,b] M j sup ו x [,b].m j inf (4) לפי הגדרה:.λ(P ) = mx{ i i n} i נניח את הטענה עבור 1 k,...,1 ונניח ש P מתקבלת מ P על ידי הוספת 1 k נקודות ו P מתקבל על ידי הוספת נקודה נוספת. מכאן: U(P ) 1 U(P ) + (k 1)λ(P )Ω 2 (U(P ) + λ(p )Ω) + (k 1)λ(P )ω 3 U(P ) + kλ(p )ω (1) הנחת האינדוקציה, הוספנו 1 k ל (2) P הנחת האינדוקציה, הסופנו נקודה ל P (3) אם Q התקבל על ידי עידון P אזי ) λ(p.λ(q) כנדרש. כל סכום דרבו תחתון לא גדול מכל סכום דרבו עליון למה :4 תהנה P P, חלוקות של b] [, אז: ) U(P.L(P ) הוכחה: תהי P עידון משותף, כלומר חלוקה של [b,] המכילה את נקודות החלוקה של P ו.P או בהצגה אחרת: P כך ש P.P P היות וניתן לומר ש P מתקבלת הן מ P והן מ P על ידי הוספת נקודת, מתקבל: L(P ) 1 L(P ) 2 U(P ) 1 U(P ) (1) למה (2) 2 לפי הגדרה, ראה הערה עמוד??. כנדרש. 105

106 5.2. סכומי דרבו משפט דרבו אינטגרל עליון ותחתון I = b הלמה הקודמת נותנת את המוטיבציה להגדיר: f(x)dx = inf P U(P ) הגדרה: נגדיר את האינטגרל העליון כ sup P L(P ) = b האינטגרל התחתון. f(x)dx מסקנה: מהלמה האחרונה, נקבל שהאינטגרל העליון תמיד לא קטן מהאינטגרל התחתון. משפט דרבו משפט דרבו עבור אינטגרלים: תהי [b f. B[, אזי: b f(x)dx = lim U(P ) λ(p ) 0 במובן שלכל > 0 ε קיים > 0 δ כך שלכל חלוקה P שעבורה λ(p ) < δ מתקיים: U(P ) I < ε הערה: קבוצת סכומי דרבו העליוניום חסומים מלמעלה כי הפונקציה חסומה וכל סכום תחתון הוא חסם מלמטה מלמה 4. משפט דרבו דורש פונקציה חסומה. נשים לב שהמשפט גם מראה שהגבול הזה בכלל קיים. הוכחה: אם = 0,Ω אזי f קבועה ב b] [, ומכאן: ) U(P ) = L(P ) = c(b לכל חלוקה P והגבול קיים באופן טרוויאלי..I = b יהי > 0.ε צריך להראות שקיים > 0 δ כך שלכל חלוקה נסמן כאמור: f(x)dx P עבורה λ(p ) < δ מתקיים:. U(P ) I < ε על פי הגדרה: ) U(P,I = inf P ועל כן מתכונות האינפימום, קיימת חלוקה P עבורה.I + ε 2 U(P ) I נסמן:. P = m 106

107 5.2. סכומי דרבו.δ = ε 2mΩ קרי ב P יש m נקודות חלוקה. נבחר: כעת תהי P חלוקה כך ש.λ(P ) < δ צריך להראות ש. U(P ) I < ε תהי P.P = P כלומר חלוקה P שהיא עידון משותף של P ו.P נסמן ב k את ההפרש P, P קרי מספר הנקודות שהוספנו ל P כדי לקבל.P אם P ו P חלוקות זרות, אזי כדי לקבל את P P = P היינו צריכים להוסיף m נק' ויתקיים: k. = m בכל מקרה אחר נצטרך להוסיף פחות, אזי נסיק ש k. m מכאן: ( ) I 1 U(P ) 2 U(P ) + kλ(p )Ω 3 U(P ) + kλ(p )Ω 4 U(P ) + mλ(p )Ω 5 I + ε 2 + mλ(p )Ω 6 I + ε 2 + m ε 2mΩ Ω = I + ε נימוקים: (1) האינטגרל העליון הוא האינפימום של כל סכומי דרבו העליונים. (2) על פי למה.3 (3) P התקבלה מ P על ידי הוספת נקודות ולכן ולכן מלמה ) 2 U(P U(P ) (4) כי P (5) m K נבחרה כך ש (6) U(P ) I + ε 2 בחרנו חלוקה P כך ש λ(p ) < δ = ε 2mΩ אזי מ ( ) קיבלנו למעשה:. P λ(p ) < δ = I U(P ) I + ε באופן דומה מראים עבור האינטגרל התחתון. כנדרש אינטגרבליות לפי דרבו הגדרה: נאמר ש [b f B[, היא אינטגרבילית לפי דרבו אם האינטגרל העליון שלה שווה לאינטגרל התחתון שלה. שקילות רימן לדרבו משפט שקילות דרבו לרימן: פונקציה [b f B[, היא אינטגרבילית רימן אם ורק אם היא. b אינטגרבילית דרבו. במקרה זה נסמן: f(x)dx = I הערה: מכאן והלאה נאמר אינטגרבילית ללא התייחסות לרימן או דרבו. הוכחה: תהי [b f B[, אינטגרבילית לפי דרבו, דהיינו: נניח שהאינטגרל העליון שווה לאינטגרל התחתון, נסמן: I. נוכיח שהיא אינטגרבילית רימן. כזכור f אינטגרבילית רימן 107

108 5.2. סכומי דרבו אם עבור ה I הזה, לכל > 0 ε קיים > 0 δ כך שלכל סכום רימן S של f עבור כל חלוקה. S I < ε אזי λ(p ) < δ אם P יהי > 0.ε לפי משפט דרבו קיים > 0 0 δ כך שלכל חלוקה P אם מתקיים λ(p ) < δ אז מתקיים:. U(P ) I < ε בנוסף לכל > 0 ε קיים δ 1 כך שלכל חלוקה P עבורה.δ = min{d 1, d 0 } נסמן:. L(P ) I < ε מתקיים: λ(p ) < δ 1 מלמה,1 לכל סכום רימן S של f עבור חלוקה זו P מתקיים ש ) U(P.L(P ) S P s.t λ(p ) < δ = I ε S I + ε = S I < ε מכאן: נרצה להוכיח ש f אינטגרבילית דרבו, כלומר. b לכן f אינטגרבילית רימן ו f(x)dx = I מכיוון שני, תהי f אינטגרבילית רימן. האינטגרל העליון שווה לאינטגרל התחתון. מכאן היות ו f אינטגרבילית רימן, קיים I R כך שלכל > 0 ε קיים > 0 δ כך שלכל סכום רימן S של f עבור פרמטר חלוקה λ(p ) < δ מתקיים: S. I < ε ובפרט אם ) σ(p היא קבוצת סכומי רימן המתאימים לחלוקה P אזי: U(P ) = sup σ(p ) I + ε ו L(P ) = inf σ(p ) I ε לכן: I ε L(P ) U(P ) I + ε ממשפט דרבו: ) U(P.I = lim ומכאן: lim U(P ) I + ε ו ) L(P lim λ(p ) 0 λ(p ) 0 λ(p ) 0 I. ε היות ו > 0 ε נבחר באופן שרירותי, נובע שהאינטגרל העליון חייב להיות שווה לאינטגרל התחתון ועל כן f אינטגרבילית לפי דרבו. כנדרש. חישוב אינטגרל לפי הגדרה יהי > 0.b נראה שהפונקציה f(x) = x 2 היא אינטגרבילית בקטע b] [0, ונחשב את b. נתבונן ב 0 x2 dx U := {U(f, Q) Q is prtition of [, b]} L := {L(f, P ) P is prtition of [, b]} על פי למה 4 כל סכום עליון גדול או שווה לכל סכום תחתון אפילו עבור חלוקות שונות, ולכן לכל u U ו l L מתקיים l. u ולכן האינטגרל העליון כאמור גדול או שווה לאינטגרל 108

109 5.2. סכומי דרבו התחתון. במצב זה למת החתכים מאינפי 1 מבטיחה שאם נמצא סדרה 1=n l) n ) של ערכים ב L וסדרה 1=n u) n ) של ערכים ב U שמתכנסות לאותו גבול, אז הסופרימום והאינפימום שווים זה לזה ושווים לגבול של הסדרה. מכאן זה תנאי מספיק לאינטגרביליות..P n = {x 0,..., x n x k = b n נתבונן בחלוקה של הקטע [b,0] ל n קטעים שווים } f(x) = x 2 מונוטונית עולה בקטע לעיל ולכן ערכי הקיצון של הפונקציה בכל קטע מתקבלים U(f, P n ) = M i i = U(f, P n ) = M i i = בקצוות של קטעי החלוקה ומתקיים: ( (k 1) b ) 2 b n n = b3 n 3 ( k b ) 2 b n n = b3 n 3 (i 1) 2 = b3 n 1 n 3 n ואם נציב i2 = 1 6 n(n + 1)(2n + 1) ניתן לפישוט על ידי הנוסחה: n הביטוי i2 u n := U(f, P n ) = b3 6 l n := U(f, P n ) = b3 6 ( )( n n ( 1 1 )( 2 1 ) n n i 2 i 2 במשוואות הקודמות, נקבל: ) מכאן: lim n u n = b3 3 lim n l n = b3 3. b 0 x2 dx = b3 3 בפרט הם שווים לכן הפונקציה אינטגרבילית ומתקיים: שקילות רימן לאינטגרביליות משפט: שקילות רימן לאינטגרביליות או תנאי רימן לאינטגרבליות: תהי [b f. B[, n כאשר לכל חלוקה P נסמן: אזי f אינטגרבילית אם ורק אם = 0 i w i lim λ(p ) 0 w i = sup x [xi 1,x i] f(x) inf x [xi 1,x i] f(x) הערות: ל w i נקרא התנודה (oscilltion) של f ב ] i.[x i 1, x

110 5.3. מרחב הפונקציות האינטגרבליות ω = n כאשר הקטע מחולק ל n חלקים, נקרא התנודה הכוללת..2 לביטוי w i i 3. מוגדר היטב כי f חסומה.4 קיום הגבול הוא במובן שלכל > 0 ε קיים > 0 δ כך שלכל חלוקה P כך ש λ(p ) < δ. n מתקיים ש w i i < ε. n.5 נשים לב שלפי הגדרה: 0 i w i 6. המשפט הזה יהיה שימושי מאד בהוכחת אינטגרבליות של פונקציות w i i = הוכחה: נסמן:.w i = M i m i תהי חלוקה.P מתקיים: (M i m i ) i = M i i m i i = U(P ) L(P ) מכאן התנאי במשפט שקול לכך ש lim U(P ) L(P ) = 0 λ(p ) 0 אבל לפי משפט דרבו: גבול זה הוא ההפרש בין האינטגרל העליון לתחתון. אבל זה מתאפס אם ורק אם f אינטגרבילית דרבו. כנדרש. 5.3 מרחב הפונקציות האינטגרבליות תנאי הכרחים לאינטגרבליות כל פונקציית ליפשיץ אינטגרבילית משפט: תהי f : [, b] R פונקציית ליפשיץ עם קבוע,A אזי f אינטגרבילית ב b] [, הערה: בסעיף הבא נראה שכל רציפה אינטגרבילית ולכן בפרט כל פונקציית ליפשיץ אינטגרבילית, ההוכחה הזו נועדה להבין טוב יותר את ההוכחה הבאה. הוכחה: ראית זו פונקציית חסומה ועל כן אפשר להשתמש בתנאי רימן. > 0 ε. נבחר: =,δ ואז לכל חלוקה P המקיימת (P ) < δ בפרט יתקיים שלכל x, y הנמצאים 110 ε A(b )

111 5.3. מרחב הפונקציות האינטגרבליות באותו קטע של החלוקה מתקיים x y λ(p ) < δ יתקיים גם < f(y) f(x) A x y < δ A ואז גם: M i m i < δa ונקבל: w i i < δa i = δa(b ) < ε כל פונקציה רציפה אינטגרבילית משפט: כל פונקציה רציפה ב [b,] אינטגרבילית ב [b,] הוכחה: תהי f רציפה בקטע סגור. יהי > 0 ε. ממשפט קנטור היינה f רציפה במידה = ε קיים > 0 δ כך שלכל b] x, y [, אם ε שווה ב b],[, לכן לכל > 0 ε בפרט b. f(x) f(y) < ε b x y < δ אזי ממשפט ווירשטראס f חסומה לכן אנחנו עומדים בתנאי משפט רימן. לכל חלוקה P שעבורה w i = sup f(x) x [x i 1,x i] λ(p ) < δ מתקיים לכל i n 1 ש inf f(x) = mx f(x) min f(x) < x [x i 1,x i] x [x i 1,x i] x [x i 1,x i] ε b ( ) משפט ווירשטראס השני לפונקציות רציפות. ( ) אלו שתי נקודות ב ] i x] 1 i, x כך ש. i λ(p ) < δ w i i < ε b i = ε b i = ε (b ) = ε b ומכאן: מכאן לפי תנאי רימן f אינטגרבילית, כנדרש. כל פונקציה מונוטונית אינטגרבילית משפט: כל פונקציה מונוטונית ב [b,] אינטגרבילית ב [b,]. 111

112 5.3. מרחב הפונקציות האינטגרבליות הוכחה: תהי f מונוטונית. ללא הגבלת הכלליות נניח ש f מונוטונית לא יורדת. בפרט f חסומה. אם f קבועה המשפט מתקיים באופן טרוויאלי, על כן נניח f().f(b) > =.δ תהי חלוקה P כך ש λ(p ) < δ אזי ε f(b) f() יהי > 0.ε ניקח: > 0 ε w i i = (f(x i ) f(x i 1 )) i < (f(x i ) f(x i 1 )) f(b) f() ε ( ε n = f(x i ) f(x i 1 ) = f(x i ) f(b) f() f(b) f() ( n 1 ε ( n ) ) = f(x n ) + f(x i ) f(x i 1 ) f(x 0 ) f(b) f() i=2 ( ( n 1 ε n 1 )) = f(x n ) f(x 0 ) f(x i ) f(x i ) = f(b) f() = ε (f(b) f()) = ε f(b) f() מכאן לפי תנאי רימן f אינטגרבילית. אם f יורדת, מוכיחים באופן דומה. ) f(x i 1 ) ( ) ε f(x n ) f(x 0 ) f(b) f() קבוצת הפונקציות האינטגרבליות סימון: נסמן ב [b R[, את קבוצת הפונקציית האינטגרבליות ב [b,]. הערות: 1. [b R[, [b B[, כי כל פונקציה אינטגרבילית חסומה. ובכיוון השני דירכלה חסומה לא אינטגרבילית.2 b] M[, b] R[, כי כל פונקציה מונוטונית אינטגרבילית. 112

113 5.3. מרחב הפונקציות האינטגרבליות אריתמטיקה של אינטגרלים משפט: תהינה b] f, g R[, ו.c R אז: x [, b] f(x) 0 = b f(x)dx 0.1 x [, b] f(x) g(x) = b f(x)dx b g(x)dx.2 cf R[, b] b (cf(x))dx = c b f(x)dx.3 b (f(x) ± g(x))dx = b f(x) ± b g(x).4 הוכחה: 1. נשים לב שזה מקרה פרטי של 2. לכל חלוקה P של [b,] ולכל סכום רימן = S n מתקיים: 0 ) i f(t לכל i n 1 ולכן זה סכום של איברים f(t i) i b הוא גבול של סכומי רימן כאשר אי שליליים אזי 0 S לכל P והיות ו f(x)dx ) λ(p שואף לאפס, נקבל שהגבול בהכרח אי שלילי.2 לכל חלוקה P של b] [, ובחירה של ] i t i [x i 1, x מתקיים ש ) i f(t i ) g(t לכל n. מכאן f(t i) i n g(t i) i מתקיים: P לכן לכל חלוקה.1 i n b f(x)dx b כאשר 0 ) λ(p נקבל: g(x)dx (f ± g)(t i ) i = n (cf(t i)) i = c n f(t λ(p ) i) i c b (f(t i ) ± g(t i )) i = f(t i ) i ± f(x)dx.3 λ(p ) 0 g(t i ) i.4 b f(x)dx ± b g(x)dx מסקנה: [b R[, הוא מרחב וקטורי מעל R וגם הפונקציה I : R[, [b R המוגדרת על [b f R[, היא העתקה לינארית ובגלל שהיא שולחת לשדה 113 I(f) = b ידי: f(x)dx R היא פונקציונל לינארי. תכף נראה כי [b R[, סגורה לכפל, ולכן היא מרחב וקטורי שהוא אלגברה.

114 5.3. מרחב הפונקציות האינטגרבליות חיוביות האינטגרל f = 0 R R אם ורק אם b טענה: תהי f : [, b] R רציפה ואי שלילית. = 0 f(x)dx b. מכיוון שני נניח ש אם = 0 f(x) זהותית אז ברור ש = 0 f(x)dx הוכחה:.f(x 0 ) קרי > 0,f(x 0 ) כך ש 0 x 0 [, b] נניח בשלילה שקיים. b f(x)dx = 0 נסמן: > 0 m.f(x 0 ) = מרציפות f נובע שקיים > 0 δ כך שלכל b] x [x 0 δ, x 0 +δ] [, מתקיים:. f(x) m < m 2 ובפרט.f(x) > m 2 נתבונן בחלוקה: } b,p = {, b} {, כלומר שאם = ו b b אזי החלוקה היא: } b P = {, b, ואם b =, b = אזי {b P, =,} וזאת כי אי אפשר להניח שהקטע לעיל מוכל ממש ב [b,] ואז על ידי חלוקה b f(x)dx L(f, P ) m 2 (b ) > 0 למקרים מקבלים: סתירה. מכפלת אינטגרבליות אינטגרבילית שתי הטענות הבאות הן טרוויאליות ביחס לטענות היותר חזקות שנלמד בהמשך הפרק. הרעיון של שתיהן דומה, והוא להשתמש בתנאי רימן ולבטא את התנודה w i של פונקציה מסוימת במונחים של תנודה של פונקציה אינטגרבילית אחרת. שתי הטענות הן בגדר תרגול. משפט: תהיינה b].f, g R[, אזי b] f g R[, הערה: אינטגרל המכפלה, אמנם קיים, אך לא בהכרח שווה למכפלת האינטגרליים. הוכחה: f ו g אינטגרבליות בפרט חסומות. יהיו L ו K חסמים מלמעלה של f ו g אזי f g חסומה כי. fg KL מכאן אנחנו עומדים בתנאי רימן. 114

115 5.3. מרחב הפונקציות האינטגרבליות תהי חלוקה P של b].[, מכאן לכל i n 1 ו ] i s, t [x i 1, x (fg)(t) (fg)(s) = f(t)g(t) f(s)g(s) = f(t)g(t) f(s)g(t) + f(s)g(t) f(s)g(s) f(t)g(t) f(s)g(t) + f(s)g(t) f(s)g(s) = g(t) f(t) f(s) + f(s) g(t) g(s) W (f) L + W (g)k לכן לכל i n מתקיים:.W i (f g) W i (f)l + W i (g)k מכאן: λ(p ) 0 w i (f g) i L w i (f) i + K w i (g) i 0 כנדרש. אינטגרל ההופכי 1 g משפט: תהי b] g R[, כך שקיים < c < R 0 כך ש. g(x) c אזי b] R[, לכל b].x [, בפרט מדובר 1 g(x) 1 c הוכחה: לכל b] x [, מתקיים: g(x) c לכן: בפונקציה חסומה לכן אנחנו עומדים בתנאי משפט שקילות רימן. לכל חלוקה P ולכל i n 1 נתבונן בקטע ] i.[x i 1, x ניקח ] i.s, t [x i 1, x מתקיים: 1 g(t) 1 g(s) = g(s) g(t) g(t) g(s) w i g(t)g(s) = g(t)g(s) g(t)g(s) w i(g) c 2 w i ( 1 g ) i w i c 2 i = 1 c 2 wi(g).w i ( 1 g ) ולכן: c 2 w i i λ(p ) c 2 = 0 מכאן: כנדרש לפי תנאי רימן תכונות של תחום האינטגרבליות אינטגרבליות על תת קטע טענה: אם f אינטגרבילית על [b,] אז היא גם אינטגרבילית על כל [b I,] 115

116 5.3. מרחב הפונקציות האינטגרבליות הוכחה: יהי > 0.ε יהי b].[α, β] [, עבור > 0 ε זה, קיים > 0 δ כך שלכל חלוקה P נרחיב את P 1.[α, β] חלוקה של P n. lim תהי 1 אם λ(p ) < δ אז = 0 i w i λ(p ) 0 לחלוקה P 2 כך שתהווה חלוקה של כל הקטע [b,] ונעדן את החלוקה החדשה כך שעדיין יתקיים:.λ( P 2 ) < δ כך קיבלנו חלוקה P 2 של b] [, עם λ( P ) < δ וגם. P 2 [α, β] = P 1 w i ( P 1 ) i n w i ( P 2 ) i λ(p ) 0 0 מכאן: ( ) הוספת איברים חיוביים. כנדרש מתנאי רימן לאינטגרבליות. אדיטיביות טענה: יהי b].c [, אם f אינטגרבילית ב c] [, ו b] [c, אזי היא אינטגרבילית ב b] [, ומתקיים: b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx הוכחה: לכל חלוקה P של c] [, ולכל חלוקה P של b],[c, האיחוד P P = P הוא חלוקה של [b,]. קטעי החלוקה P הם בדיוק קטעי החלוקות של P ושל P מכאן האינטגרל העליון של [b,] קטן או שווה לסכום האינטגרלים העליונים של פיצול הקטעים, והאינטגרל התחתון גדול או שווה. מהאינטגרליות של שני הקטעים, נקבל שהאינטגרל העליון והתחתון בהתאמה שווים לסכום האינטגרלים העליוניום והתחתונים של פיצול הקטעים. כנדרש. אינטגרל הפוך b f(x)dx = b סימון: יהיו < b ו b].f R[, נגדיר: f(x)dx. c f(x)dx+ b c f(x)dx = b הערה: אם < c < b מתקיים מהמשפט האחרון: f(x)dx 116

117 5.3. מרחב הפונקציות האינטגרבליות b f(x)dx + c f(x)dx = c b f(x)dx מכאן נקבל גם: מכאן המשפט האחרון נכון ללא תלות ביחס הסדר בין, b ו c. אינטגרל של הרכבה טענה: תהיינה d] f : [, b] [c, אינטגרבילית על b] [, ו g : [c, d] R פונקציה רציפה. אזי g f אינטגרבילית ב d] [c, הערה: נשים לב שאם f רציפה אז g f רציפה והמשפט טרוויאלי. הוכחה: g רציפה בפרט חסומה לכן קיים > 0 M כך ש g(x) < M לכל d].x [c, כמו כן, g רציפה ב [d,c] לכן ממשפט קנטור היינה היא רציפה בו במ"ש. יהי > 0.ε אנחנו רוצים להראות שקיים > 0 δ כך שלכל חלוקה P אם λ(p ) < δ אז x y < δ מתקיים שאם x, y [c, d] כך שלכל δ קיים > 0. n w i(f g) i < ε,[, b] חלוקה של P כך שלכל קיים δ 2 f מהאינטגרבליות של. g(x) g(y) < :1 i n נשים לב שלכל. n w i(f) i < δ 4M ε אז 2(b ) אם λ(p ) < δ t אז: w i (f) < δ = x, y [x i 1, x i ] f(x) f(y) < δ = g(f(x)) g(f(y)) < כלומר אם היינו יודעים ש w i (f) < δ היינו יודעים שהתנודות של g קטנות. מכאן נצטרך δ w i(f) δ i = w i (g f) i = 117 w i(f) δ w i(f) δ = 2M δ i w i i + w i(f) δ 3 < ε 2 + w i(f)<δ i + להתייחס ל wים i כך ש w. i δ נשים לב ש w i(f) δ w i(f)<δ w i(f)<δ w i (f) i w i i 1 w i (f) i < εδ 4M < i w i(f) δ. לכן: w i(f) δ 2M i + w i i 2 < ε 2 + ε 2(b ) i = ε 2 + ε 2(b ) w i(f)<δ w i(f)<δ w i i w i(f)<δ ε 4M i < ε 2 + w i i לכן ε 2(b ) ε (b ) = ε 2(b )

118 5.3. מרחב הפונקציות האינטגרבליות (1) ידוע שלכל i n 1 מתקיים ש sup x [xi 1,x i] f(x) sup x [,b] f(x) < M ו w i = sup f(x) x [x i 1,x i].inf x [xi 1,x i] f(x) inf x [,b] f(x) > M לכן inf x [x i 1,x i] f(x) > 2M.w i (f) < ε 2(b ) (3). w i(f) δ i < ε 4M (2) אי שיווין המשולש האינטגרלי b f(x)dx b טענה: יהי b].f R[, מתקיים: f(x) dx b אינטגרבילית כמכפלה של אינטגרבליות f(x) f(x)dx אינטגרבילית כי b הוכחה: f(x) dx ועבור ההרכבה של הפונקציה הרציפה x נקבל מהרכבה של פונקציה אינטגרבילית על b אינטגרבילית. רציפה ש f(x) dx כעת עבור הטענה השנייה: תהי P חלוקה. תהי ] i t i x] 1 i, x בחירה כלשהי של נקודות בכל קטע. אזי מאי שיווין המשולש נובע שמתקיים עבור סכומי רימן המתאימים: f(t i ) i f(t i ) i ערך האינטגרל של פונקציה הוא ערך הגבול של סכומי רימן ולכן מאריתמטיקה של גבולות נובע שאם ניקח גבול משני צידי האי שיווין נקבל שהוא יישמר, כנדרש. אי שיווין קושי שוורץ ( b 2 ( b f(x)g(x)dx) אי שיווין קושי שוורץ: תהיינה [b,f. g R[, אז: )( b ) f(x) 2 dx g(x) 2 dx הוכחה: יהי λ R 0 כלשהו. הפונקציה λg(x)) 2 (f(x) + היא אי שלילית ואינטגרבילית 118

119 5.4. הקשר בין רציפות ואינטגרבליות ומשפט לבג b. מלינאריות האינטגרל ועובדה זו, נקבל: ב b].[, ולכן: 0 dx (f(x) + λg(x))2 0 b (f(x) + λg(x)) 2 dx = b f(x) 2 dx + 2λ b f(x)g(x)dx + λ b g(x) 2 dx במשתנה λ, קיבלנו פולינום מדרגה 2 לכל היותר. נחלק למקרים: b, אז קיבלנו פולינום לינארי במשתנה λ אי שלילי וזה ייתכן רק.1 אם = 0 dx g(x)2 b ואז יש שיווין אם הוא קבוע, קרי = 0 f(x)g(x)dx 2. אחרת, קיבלנו פולינום מדרגה 2 שתמיד אי שלילי, על כן הוא בעל שורש אחד לכל היותר ולכן הדיסקרימננטה שלו לא חיובית, קרי: ( b 2 ( b )( b ) 4 f(x)g(x)dx) 4 f(x) 2 dx g(x) 2 dx 0 מעבירים אגפים וכופלים ב 1/4 וסיימנו. b נקבל f(x)dx או באופן סימטרי, b הערה: מתי יהיה שיווין? כאמור אם = 0 g(x)dx שיווין בו שני הצדדים אפס. אחרת, יהיה שיווין רק אם לפולינום יש שורש ובמקרה הזה λg(x).f(x) = ומכאן: אם (g,f) סדרה ת"ל יהיה שיווין וזה עקבי אם המקרה הקודם שהאינטגרלים אפס. 5.4 הקשר בין רציפות ואינטגרבליות ומשפט לבג ראינו שכל פונקציה רציפה אינטגרבילית אך שקיימות פונקציות לא רציפות אינטגרבליות. כעת נרצה לבחון את הכיוון ההפוך ולהראות שכל פונקציה אינטגרבילית צריכה להיות "כמעט" רציפה אי רגישות האינטגרל לשינוי הפונקציה במספר סופי של נקודות טענה: תהיינה:,h g :,] [b R פונקציות הנבדלות זו מזו במספר סופי של ערכים, כלומר: < h(x)} #{x [, b] g(x) אזי g אינטגרבילית אם ורק אם h אינטגרבילית b h(x)dx = b ובמקרה זה מתקיים: g(x)dx 119

120 5.4. הקשר בין רציפות ואינטגרבליות ומשפט לבג מסקנה: אם לפונקציה f מספר סופי של נקודות אי רציפות וכולן אי רציפות סליקה, אזי היא אינטגרבילית. הוכחה: טענה :1 יהי b].t 0 [, נגדיר: f : [, b] R על ידי: 0 x [, b] \ {t 0 } f(x) = 1 x = t 0. b אזי f אינטגרבילית ב b] [, ומתקיים: = 0 f(x)dx הוכחה: לכל [b x,] מתקיים: 0 f(x) לכן ברור שהאינטגרל התחתון אי שלילי. היות ולכל חלוקה ולכל קטע בחלוקה קיים x בקטע כך ש = 0 f(x) נקבל שהאינפומום בכל קטע הוא 0 ועל כן הקבוצה שמכילה את כל סכומי דרבו התחתונים מכילה איבר אחד והוא אפס, על כן האינטגל התחתון שווה לאפס. נראה שגם האינטגרל העליון הוא אפס. יהי > 0 ε. נמצא חלוקה P כך ש,U(f, P ) < ε ואז נסיק שהאינטגרל העליון, האינפימום של סכומי דרבו העליונים, בפרט קטן או שווה מאפס, והיות והאינטגרל התחתון שווה לאפס נסיים את ההוכחה שהפונקציה לעיל אינטגרבילית. תהי P n חלוקה של b] [, ל n חלקים שווים, קרי: } n P = {x 0 < x 1 <... < x כך ש U(f, P n ) = i = b בפרט גם ).λ(p מכאן: n M i i 2 b n n 0 x j = + j b ו n ( ) 0 t שייך לכל היותר לשני קטעים. כנדרש. טענה :2 יהי.m N יהיו b] t 1,..., t m [, כך ש t i t j עבור.i j יהי f : [, b] R המוגדרת על ידי: 0 x {t 1,..., t m } f(x) = λ i x = t i for λ 1,..., λ n R b אז f אינטגרבילית ו = 0 f(x)dx 120

121 5.4. הקשר בין רציפות ואינטגרבליות ומשפט לבג הוכחה: נגדיר: f i : [, b] R על ידי: 0 x t i f i (x) = 1 x = t i [, b] אינטגרבילית ב m λ if i מלינאריות האינטגרל נובע ש.f = m ואז: λ if i. b ומטענה 1 נקבל: = 0 f(x)dx כעת נוכיח את המשפט: יהיו b] x 1,..., x m [, הנקודות בהן h נבדלת מ.g נסמן: ) i λ i := h(x i ) g(x לכל i m 1 ואז מתקיים: g(x) x {x 1,..., x m } h(x) = g(x) + λ i x = x i for 1 i m עבור הפונקציה מטענה 2 מתקיים:.h(x) = g(x) + f מכאן אם g אינטגרבילית אז b h(x)dx = b מאדטיביות האינטגרל גם h אינטגרבילית ולהפך ו g(x)dx + b f(x)dx = b g(x)dx כנדרש. הערה: ראינו שאפשר לשנות פונקציה אינטגרבילית במספר סופי של נקודות ועדיין לקבל פונקציה אינטגרבילית. האם ניתן להסיק מכאן באינדוקציה שניתן לשנות פונקציה אינטגרבילית בקבוצת נקודות בת מנייה? לא. למשל פונקצייה דירכלה המתקבלת משינוי בקבוצה בת מנייה (הרציונליים) של פונקציית האפס, רציפה בפרט אינטגרבילית, אך דירכלה איננה אינטגרבילית פונקציות מונוטוניות למקוטעין ראינו שאם f :,] [b R היא מונוטונית חלש אזי היא אינטגרבילית. הקודם, על מנת להכליל טענה זו. ניעזר בסעיף הגדרה: תהי f. :,] [b R נאמר ש f מונוטוניות למקוטעין בקטע [b,] אם ניתן לחלק את הקטע למספר סופי של תת קטעים אשר בפנים של כל אחד מהם f מונוטונית. כלומר קיימות נקודות = z 0 < z 1 <... < z k = b כך שלכל f,1 i k מונוטונית בקטע ) i (z i 1, z 121

122 5.4. הקשר בין רציפות ואינטגרבליות ומשפט לבג פונקציה מונוטונית למקוטעין אינטגרבילית טענה: תהי f : [, b] R חסומה ומונוטונית למקוטעין, אזי f אינטגרבילית בקטע b] [, הוכחה: יהי i n 1 ונניח כי f עולה בכל ) i f.(z i 1, z חסומה בכל קטע כזה ומכאן נסמן m ו M להיות האינפימום והסופרימום בכל קטע. נגדיר פונקציה חדשה f i בקטע הסגור ] i [z i 1, z על ידי: f(x) x (z i 1, z i ) f i (x) := m x = z i 1 M x = z i מההגדרה ברור ש f i עולה ב ] i [z i 1, z מכאן f i אינטגרבילית. אבל f מתלכדת עם f i פרט לשתי נקודות לכל היותר בכל קטע ולכן לפי הסעיף הקודם גם f אינטגרבילית בקטע הסגור ] i z]. 1 i, z לכן חילקו את הקטע [b,] למספר סופי של קטעים סגורים שבכל אחד מהם f אינטגרבילית ולכן נובע ש f אינטגרבילית בקטע [b,] כולו, כנדרש פונקציית רימן x = p q וגם: הגדרה: מהגדרת,Q לכל x Q קיימים ויחידים p Z ו q N כך ש = 1 q).gcd(p, פונקציה f : R R המוגדרת על ידי: 0 x Q R(x) := 1 q x Q for x = p q s.t p Z q N gcd(p, q) = 1 נקראת פונקציית רימן. הערה: נקרא גם:,countble cloud f unction פונקציית פופקורן, פונקציית סרגל, פונקציית גשם או.T home s function 122

123 5.4. הקשר בין רציפות ואינטגרבליות ומשפט לבג פונקציית רימן מחזורית טענה: לכל R(x) = R(x + 1),x R x + 1 := p q הוכחה: יהי.x R אם,x R \ Q אזי גם x + 1 R \ Q כי אחרת Q ואז:,x = p q 1 Q ועל כן R(x).R(x + 1) = 0 = אם,x Q אזי x := p q ו.R(x + 1) = R( p+q q ) = 1 q = R( p p+q q ) = R(x) ומכאן:,x + 1 = q Q פונקציית רימן רציפה רק באי רציונליים טענה: לכל R(x),x Q לא רציפה ולכל R(x) x R \ Q רציפה. הוכחה: יהי.x 0 Q קיימת סדרה n=1 (x n ) כך שלכל n N מתקיים: x n R \ Q בפרט x 0,x Q הסדרה הקבועה 0 והיות ולכל (R(x n )) מכאן n=1. lim וגם n x n = x 0 מתקיים 0 ) 0,R(x נקבל מהיינה ש R לא רציפה ב.x 0 מכאן לטענה השנייה: ממחזוריות פונקציית רימן, מספיק להראות עבור כל האי רציונליים ב 1].[0, נניח בשלילה שקיים Q) x 0 (0, 1) (R \ כך ש R(x) לא רציפה ב.x 0 אזי קיים > 0 0 ε כך שלכל > 0 δ קיים x R כך ש x x 0 < δ וגם. f(x) f(x 0 ) ε 0 = 0 ) 0 f(x ו 0 f(x) לכן:.f(x) ε 0 מכאן בפרט > 0 f(x) קרי.x Q נסמן:.x := p q אזי: ( ) f(x) = 1 q ε 0 = 1 ε 0 q = x { p q Q p < q q 1 ε } := A הקבוצה מימין, A, היא קבוצה סופית ו x 0 A כמספר אי רציונלי. על כן קיים x 1 A כך ש x 1 במרחק מינימלי מ x 0 כלומר לכל x A מתקיים: 0. x 1 x 0 x x ניקח x x 0 < δ כך ש x (0, 1) (R\Q) ואז נקבל מההנחה בשלילה שקיים δ = x 1 x 0 וגם,f(x) ε 0 אבל אם f(x) ε 0 אזי x A אבל x A כי 0, x x 0 < δ = x 1 x סתירה, כנדרש. 123

124 5.4. הקשר בין רציפות ואינטגרבליות ומשפט לבג פונקציית רימן אינטגרבילית טענה: פונקציית רימן אינטגרבילית ב [b,] לכל. < b הוכחה: מספיק להראות עבור [1,0]R.R(x) מצפיפות האי רציונליים, לכל חלוקה P קיים בכל קטע בחלוקה אי רציונלי ולכן האינפימום בכל קטע חלוקה הוא 0, ועל כן קבוצת סכומי דרבו התחתונים מכילה איבר אחד, 0, ועל כן: = 0 ) P U(R, לכל P. מספיק להראות שהאינטגרל העליון גם הוא אפס. מכאן צריך להראות שהאינפימום של קבוצת סכומי דרבו העליונים הוא אפס. היות והאינטגרל העליון לא קטן מהאינטגרל התחתון, מספיק להראות שקיימת חלוקה P כך ש U(R, P ) < ε לכל > 0.ε.N > 2 ε נגדיר: יהי > 0.ε נבחר N N כך ש A = {x [0, 1] f(x) > ε 2 } נשים לב שאם x A אז בפרט x Q ו f(x) = f( p q ) = 1 q > ε 2 > 1 N מכאן ש A B := { p q [0, 1] 1 q > 1 N } B קבצה סופית ולכן ב A יש מספר סופי של איברים. אם A ריקה הטענה ברורה, אחרת נסמן A.K := תהי חלוקה.P נגדיר: n} I = {i 1 i ו I 1 = {i I [x i 1, x i ] A 0} I 2 = I \ I 1 כלומר I 1 היא קבוצה האינדקסים של קטעים שמכילים נקודות מ A ו I 2 היא קבוצת האינדקסים שלא. מתקיים: U(f, P ) = M i i = M i i + M i i i I 1 i I 2 מאחר וכל נקודה של A נמצאת בלכל היותר שני קטעים של חלוקה, הרי ש I. 1 2K.M i ε 2 אם i I 1 אז f(x) < ε 2 ולכן אם i I 2 אז לכל ] i x [x i 1, x מתקיים: f(x) < ε 124

125 5.4. הקשר בין רציפות ואינטגרבליות ומשפט לבג U(f, P ) = i I 1 M i i + i I 2 1 i i I 1 i + i I 2 ε 2 i מתקיים 1 i M ואז: λ(p ) I 1 + ε 2 2λ(P )K + ε 2 < ),λ(p סיימנו, כנדרש. ε 4K ואז אם ניקח חלוקה P כך ש החלשת תנאי הרציפות ראינו שפונקציה המתקבלת משינוי מספר סופי של נקודות של פונקציה אינטגרבילית, אינטגרבילית. עכשיו נציג כמה משפטים דומים (אך שונים) שיובילו למשפט לבג למה :1 אם b] f B[, ורציפה על b] (, או b) [, אזי b] f R[, הערות: sin 1 x אינטגרבילית על 1].[0, 1. מכאן ש 2. נשים לב שאם מדובר באי רציפות מסוג ראשון, אז f התקבלה מפונקציה רציפה ובפרט אינטגרבילית על ידי שינוי נקודה אחת ועל כן אינטגרבילית מהמשפטים הקודמים.c < ε 6M הוכחה: יהי M R כך ש f(x).m > יהי > 0 ε ויהי b) c (, כך ש היות ו f רציפה על b] [c, מתקיים: b].f R[c, מכאן קיים > 0 0 δ כך שלכל חלוקה 0 < δ < מתנאי רימן. יהי n w i(f) i < אז ε 3 λ(p ) < אם δ 0 [c, b] של P.λ(P 1 ) < δ כך ש [, b] חלוקה על.P 1 = {y 0,..., y m } תהי.min{δ 0, c 2, b c 2, ε 6m } m w i (f) y i = קיים 2 m < j < 1 יחיד עבורו j+1.y j c < y מתקיים: j w i i + w j+1 (y j+1 y j ) + m i=j+2 w i y i 2M(c ) + 2Mδ + ε 3 < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε מכאן על פי תנאי רימן, הפונקציה f אינטגרבילית. אם f חסומה על [b,] ורציפה על (b,] 125 אזי [b f, R[, באופן זהה. כנדרש.

126 5.5. המשפט היסודי של החדו"א למה 2: אם [b f B[, ורציפה בו פרט אולי לנקודה אחת, אזי: [b f. R[, הוכחה: נניח ש [b c,] היא נקודת אי רציפות יחידה של f אזי: אם c = או c, = b אנחנו נמצאים בתנאי אחת הטענות הקודמות והטענה נובעת ישירות. לכן, די לדון במקרה שבו b).c (, אזי נובע משתי הטענות האחרונת ש c] f R[, ו b] f R[c, ומכאן:.f R[, b] למה 3: אם [b f,] ורציפה עליו פרט אולי למספר סופי של נקודות אזי [b f. R[, הוכחה: נובע מידית מאינדוקציה, מהמסקנה האחרונה. משפט לבג: :Lebesgue אם [b f B[, היא אינטגרבילית אם ורק אם שקבוצת נקודות האי רציפות שלה היא בעלת מידה אפס. המשפט היפה הזה, שמקשר בין שני המושגים החשובים באינפי רציפות ואינטגרבליות, לא הוכח בכיתה בגלל השביתה וירד במיקוד. כיוון אחד, שאם קבוצת נקודות האי רציפות ממידה אפס אז הפונקציה אינטגרבילית, מוכח בצורה דומה להוכחה שפונקציית רימן אינטגרבילית. 5.5 המשפט היסודי של החדו"א פונקציה האינטגרל F (x) = c הגדרה: תהי b].f R[, נגדיר: F : [, b] R על ידי: f(t)dt הערה: זה מוגדר היטב כי אם f אינטגרבילית ב [b,] אזי היא אינטגרבילית בכל תת קטע x. b עד ל כלומר הפונקציה לעיל היא ערך האינטגרל המסוים מ,]. [x,] [b 126

127 5.5. המשפט היסודי של החדו"א המשפט היסודי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי: תהי [b f R[, ותהי: = (x) F x. אזי: f(t)dt [, b] רציפה ב F.1.2 בכל נקודה x 0 בה f רציפה, F גזירה ומתקיים: ) 0 F (x 0 ) = f(x 3. אם f רציפה בכל [b,] אז קיימת לה פונקציה קדומה ו f(x) F (x) = לכל x [, b] רציפות פונקציית האינטגרל [, b] רציפה ב F (x) = x המשפט היסודי חלק א: f(t)dt הוכחה: יהי. x b נראה ש F רציפה ב.x יהי h R כך ש. x + h b נראה ש (x). lim F (x+h) = F זה שקול ללהראות: = 0 (x). lim F (x+h) F מספיק h 0 h 0 להראות: = 0 (x) lim F (x + h) F יהי M חסם מלמעלה של הפונקציה.f מכאן: h 0 x+h x x+h F (x + h) F (x) = f(x)dx f(x)dx = f(x)dx h 0 M h 0 x כנדרש. המשפט היסודי חלק ב: (x) F גזירה בכל נקודה שבה f רציפה ו ) 0 F (x 0 ) = f(x הוכחה: תהי b] x 0 [, בה f רציפה. יהי > 0.ε אזי מרציפות,f קיים > 0 δ כך שלכל 127

128 5.5. המשפט היסודי של החדו"א F (x 0 + h) F (x 0 ) h lim h 0 t x 0 < δ אז. f(t) f(x 0 ) < ε ולכן עבור h < δ מתקיים: x0+h f(x 0 ) = f(t)dt x 0 f(t)dt f(x 0 ) h ( = 1 x0+h x0+h f(t)dt h x 0 x 0 = 1 x0+h h (f(t) f(x 0 ))dt 1 h x 0 x0+ h F (x 0+h) F (x 0) h f(x 0 ) = 0 ולכן: lim ) f(x 0 )dt f(t) f(x 0 ) dx 1 x 0 h h 0 F (x0+h) F (x0) x0+ h x 0 ε dt = ε h f(x 0 ) מכאן הראנו = 0 F F (x כנדרש. (x 0 ) = lim 0+h) F (x 0) h 0 h דהיינו: ) 0 = f(x המשפט היסודי חלק ג: לכל פונקציה רציפה קיימת פונקציה קדומה. בפרט אם f רציפה על.[, b] על f היא פונקציה קדומה ל F (x) = x קטע [b,] אזי הפונקציה f(t)dt הוכחה: אם f רציפה על [b,] אזי בפרט [b f. R[, מכאן: (x) F מוגדרת היטב ורציפה. כמו כן,כל b] x [, היא נקודת רציפות של f אזי מהמשפט היסודי: f(x).f (x) = כנדרש. הערה: רציפות f גוררת את גזירות F אבל לא להפך: ייתכן ש F גזירה ו f לא רציפה. למשל ברור שאי רציפות סליקה בנקודה לא ישנה את הגזירות של F גזירות פונקציית האינטגרל בנקודות אי רציפות של הפונקציה המשפט היסודי מצביע על גזירות פונקציית האינטגרל בנקודות הרציפות של הפונקציה. אך מה בכל זאת ניתן לומר על גזירות פונקציית האינטגרל בנקודות האי רציפות? טענה: תהי b] x 0 [, נקודת אי רציפות של פונקצית אינטגרבילית.f : [, b] R F (x) := x גזירה ואם x 0 אי רציפות מסוג ראשון אזי אם x 0 אי רציפות סליקה, f(t)dt שאיננו סליקה, (x) F איננה גזירה. הוכחה: אם x 0 אי רציפות סליקה, נגדיר f להיות פונקציה הזהה ל f בכל נקודה פרט 128

129 5.5. המשפט היסודי של החדו"א ל x 0 וב x 0 יש השלמה רציפה לפונקציה. אזי f נבדלת מ f בנקודה אחת ולכן יש להן אותו אינטגרל. מהמשפט היסודי (x) F, כאינטגרל של (x) f, גיזרה. עבור הטענה השנייה: נסמן ב + L ו L את הגבול מימין ומשמאל בהתאמה. ללא הגבלת (c δ, c + δ) כך ש δ קיים > 0.ε = L+ L 3 הכלליות נניח ש L.L + > ניקח: b] [, ולכל c) x (c δ, מתקיים f(x) L < ε ולכל δ) x (c, c + מתקיים: F (c + h) F (c) h = 1 h c+h c. f(x) L + < ε ואז לכל < h < δ 0 מתקיים: f(t)dt L + ε > L + 2ε 1 h c c h f(t)dt + ε = F (c h) F (c) h + ε בנקודה F (c+h) F (c) h מכאן שתנאי קושי לקיום גבול בנקודה אינו מתקיים עבור הפונקציה c ולכן F לא גזירה ב c, כנדרש נוסחת ניוטון לייבניץ המשפט היסודי קובע שעבור פונקציה רציפה f ב [b,] מתקיים: x f(t)dt {G(x) R R x [, b] G (x) = f(x)} המשפט הבא מראה איך באמצעות עובדה זו ניתן לחשב אינטגרלים מסוימים של פונקציה רציפה. נוסחת ניוטון לייבניץ הפרטית: תהי f רציפה על [b,] ותהי φ(x) פונקציה קדומה של f ב [b,], אזי מתקיים: b f(x)dx = φ(b) φ() הערה: זה המקרה הטרוויאלי, נוסחת ניוטון לייבניץ המורחבת היא המשפט הבא הערת סימון: נסמן: φ().φ(x) b := φ(b) F. (x) = x אזי F פונקציה קדומה לפי המשפט היסודי. לכן קיים הוכחה: נסמן: f(t)dt 129

130 5.5. המשפט היסודי של החדו"א x c R כך ש F (x) = φ(x) + c לכל b].x [, בפרט: f(t)dt = (φ(x) + c) (φ() + c) = φ(x) φ() b. כנדרש. בפרט φ() f(t)dt = φ(b) דוגמאות b. ידוע ש x 2 רציפה ו.( 1 3 x3 + π) = x 2 מכאן לפי נוסחת.1 נתבונן ב 0 x2 dx b ניוטון לייבניץ: 0 x 2 dx = ( 1 3 x3 + π) b 0= 1 3 b3 π 2 0 sin x dx = ( cos x + e) π 2.2 באופן דומה: = 1 ( 1) 0 = 0 הנוסחה היסודית נוסחת ניוטון לייבניץ או הנוסחה היסודית: תהי [b f, R[, תהי (x) F מוגדרת ורציפה ב [b,] גזירה ב (b,) פרט אולי למספר סופי של נקודות כך ש f(x) F (x) = לכל x בקבוצת הנקודות הגזירות של F, אזי: b f(t)dt = F (b) F () הוכחה: תהי P חלוקה של הקטע [b,] כך שנקודתיה כוללות את כל אותן הנקודות שבהן (x) F לא גזירה או השיווין f(x) F (x) = לא מתקיים. בכל קטע הנוצר על ידי החלוקה ] i I i = [x i 1, x מתקיים ש (x) F רציפה ב I i וגזירה בפנים הקטע. מכאן על פי משפט לגארנז' קיים ) i c i x) 1 i, x שעבורה: F (x i ) F (x i 1 ) = f(c i ) i 130

131 5.5. המשפט היסודי של החדו"א מכאן: F (b) F () = (F (x i ) F (x i 1 ) = λ(p ) 0 f(c i ) i b f(t)dt מכאן שניתן למצוא סכומי רימן שערכם שווה להפרש () F (b) F ושמתכנסים לאינטגרל.F (b) F () = b f(t)dt לכן: b f(t)dt דוגמה x 0 0 x [0, 1] f(x) = π x = 1 e x (1, 2] x x (0, 1] f(t)dt = F (x) = 2x 1 x (1, 2] ניקח: ומכאן: x x [0, 1] = G(x) שגם היא מקיימת: f(x) G (x) = פרט למספר מאידך עבור: 2x x (1, 2] 2 G(0) G(2) אבל הפונקציה הזו לא רציפה סופי של נקודות. נשים לב ש f(t)dt 0 ומכאן ההבדל. מכאן ברור שחיוני לדרוש את רציפות (x) F שיטות אינטגרציה לפי ניוטון לייבניץ לסיכום הדיון, נראה איך אפשר לקשר את שיטות האינטגרציה שידברנו בפרק פונקציות קדומות לחישוב אינטגרל בהינתן המשפט היסודי ונוסחת ניוטון ליייבניץ. 131

132 5.5. המשפט היסודי של החדו"א אינטגרציה בחלקים טענה: תהיינה F, G פונקציות גזירות ב b] [, כך ש b] F, G R[, אזי b F (x)g(x)dx = (F G) b b F (x)g dx הוכחה: נשים לב ש G ו F רציפות לכן בפרט b] F, G R[, ולכן b] F (x)g(x) R[, ו b] F (x)g (x) R[, כמכפלת אינטגרבליות. מכאן: G (F G) = F G + F אינטגרבילית רימן כי סכום אינטגרבליות. ומתקיים: (F G) b = (F G)(b) (F G)() = b (F G) dx = b (F G + F G )dx = b F Gdx + b F G dx אינטגרציה בהצבה טענה: תהי f(x) רציפה על [b,] ותהי φ(t) פונקציה גזירה בעלת נגזרת רציפה על [β,α] כך ש φ(t) b לכל β] t [α, ו φ(α) = ו φ(β) = b אזי: b f(x)dx = β α f(φ(t))φ (t)dt הוכחה: f רציפה על [b φ (t) f. R[, רציפה לכן אינטגרבילית וכן φ(t) רציפה, לכן: β α f(φ(t))φ (t)dt רציפה ומכאן אינטגרבילית. לכן: f(φ(t))φ (t) רציפה ועל כן f(φ(t)) אזי נותר להוכיח את השיווין. על פי המשפט היסודי קיימת ל f פונקציה קדומה (x) F, קרי [α, β] מוגדרת היטב על G(t).G(t) = F (φ(t)) נסמן:.x [, b] לכל F (x) = f(x) ומקיימת ש G (t) = F (φ(t))φ (t) = f(φ(t))φ (t) 132

133 5.6. אינטגרלים לא אמיתיים b לכן G קדומה של (t).f(φ(t))φ מלייבניץ ניוטון: f(x)dx = F (b) F () = F (φ(β)) F (φ(α)) = G(β) G(α) = α β f(φ(t))φ (t)dt נגזרת של אינטגרל עם גבולות משתנים טענה: תהי f : [, b] R רציפה ב b] [, וניח ש b] φ, ψ : [α, β] [, פונקציות.G(x) := ψ(x) גזירות ב β].[α, נתבונן ב G : [α, β] R המוגדרת על ידי: f(t)dt φ(x) אז G גזירה ב [β,α] ומתקיים: x [α, β] G (x) = f(ψ(x)) ψ (x) f(φ(x)) φ (x) G(x) = ψ(x) φ(x) f(t)dt = φ(x) f(t)dt + ψ(x).f (x) := x מתקיים: הוכחה: תהי f(t)dt f(t)dt = φ(x) f(t)dt + = F (φ(x)) + F () + F (ψ(x)) F () = F (ψ(x)) F (φ(x)) φ(x) f(t)dt F גזירה מהמשפט היסודי והעובדה ש f רציפה. לכן G(x) הוא סכום של הרכבה של גזירות לכן גזיר ומכלל השרשרת מתקבל הדרוש, כנדרש. 5.6 אינטגרלים לא אמיתיים בסעיף זה נעסוק בהכללה של מושג האינטגרל למקרה שתחום האינטגרציה או האינטגרד אינם חסומים. עד כה, האינטגרל המסוים מוגדר רק עבור פונקציות חסומות ורק עבור קטעים סגורים וחסומים. כפי שיתברר, היחס בין האינטגרל המוכלל, הנקרא גם אינטגרל לא אמיתי, לבין האינטגרל המסוים דומה ליחס בין סכימה סופית של מספרים לבין טורי מספרים. 133

134 5.6. אינטגרלים לא אמיתיים קטע לא חסום הגדרה: תהי f :,] ( R פונקציה, ונניח כי f אינטגרבילית בכל תת קטע סגור t lim t f(x)dx ) [, [, b] אם קיים הגבול, הביטוי: נקרא האינטגרל הלא אמיתי intergrl) (improper של f בקטע (,]. הערות:.1 נסמן: f(x)dx או: f(x)dx 0 [, ) 2. במקרה זה נאמר שהאינטגרל f(x)dx מתכנס וש f אינטגרבילית ב (,]. [, ) אם הגבול אינו קיים, נאמר שהאינטגרל הלא אמיתי לא קיים. אם הגבול קיים במובן הרחב נאמר שהאינטגרל הלא אמיתי קיים, או מתכנס, במובן הרחב. 3. באופן דומה מגדירים עבור [, ) דוגמאות.1 הפונקציה f(x) = 1 x 2 בקטע ) [1, מקיימת על פי המשפט היסודי: t dx lim t 1 x 2 = lim 1 t x t 1= lim 1 1 t t = 1 lim t t 1 2. באופן כללי, עבור 1 α מתקיים: x α 1 1 dx = lim t α + 1 (α+1 α+1 α < 1 1) = α > 1 t dx lim t x = lim ln t = t עבור = 1 α נקבל: 134

135 5.6. אינטגרלים לא אמיתיים lim t t 1.3 נתבונן ב g(x) = e x אזי: e x dx = lim t e x t 1= lim t e t + e 1 = 1 e אינטגרל על כל הישר הגדרה: תהי f אינטגרבילית בכל קטע סופי. יהי c. R אם קיימים האינטגרלים c f(x)dx c f(x)dx אזי נאמר ש f(x) אינטגרבילית במובן לא אמיתי על כל הישר ונסמן: f(x)dx := c f(x)dx + c f(x)dx הערה: אפשר היה לחשוב שטבעי יותר להגדיר את האינטגרל הלא אמיתי בקטעים מהסוג אולם זו אינה הגדרה טובה: בביטוי מהסוג (, ) על ידי גבול מהסוג: f(x)dx לעיל יש בחירה נסתרת של נקודה מיוחדת: בחרנו באפס כמרכז תחום האינטגרציה [t,t ]. היינו מצפים למשל שנקבל את אותו הערך אם נבחר את 1 כמרכז תחום האיטגרציה, דהיינו t+1 שיתקיים:. lim f(x)dx = lim f(x)dx אבל זה לא חייב להיות: למשל עבור t t+1 t+1. lim sign = lim t t+1 t t t t t t lim אבל: = 2 2 t sign = lim t,f = sign מתקיים: = 0 0 אינו תלוי ב c, הקבוע בהגדרה, ועל כן מוגדר היטב. טענה: f(x)dx c d f(x)dx + = f(x)dx + c c d f(x)dx + c הוכחה: נניח ש d. < c אזי: f(x)dx = d f(x)dx + d f(x)dx 135 f(x)dx := lim lim b b f(x)dx = lim הערה: באופן שקול אפשר להגדיר: lim b b f(x)dx

136 5.6. אינטגרלים לא אמיתיים תכונות של אינטגרלים לא אמיתים טענות: (מיידיות): cf(x)dx = c.1 אם ) R[, f אז לכל c R מתקיים ש f(x)dx f(x) ± g(x)dx = f(x)dx ±.2 אם ) R[, f, g אזי g(x)dx f(x)dx = c.3 אם ) R[, f ו c > אזי ) R[c, f ו + f(x)dx f(x)dx c ההוכחות מיידיות ונובעות ממה שדיברנו על אינטגרלים אמיתיים x dx x 1 קיים, אבל: = 0 dx x הערה: נשים לב שכלל המכפלה לא מתקיים: למשל 1 לא קיים. 0 x 1 dx קרטריון קושי לאינטגרלים לא אמיתיים ) [, אם אינטגרבילית על משפט: תהי R ונניח שלכל.f R[, b],b > אזי f b1 f(x)dx ורק אם לכל > 0 ε קיים B כך שלכל b 1, b 2 > B מתקיים ש < ε b 1 t lim קיים וסופי. לפי קיים אם ורק אם הגבול t f(x)dx הוכחה: האינטגרל f(x)dx אם לכל > 0 ε תנאי קושי עבור גבולות של פונקציות באינסוף, הגבול הזה קיים אם ורק. נשים לב ש y f(x)dx x קיים B R כך שלכל x, y > B מתקיים: f(x)dx < ε y וסיימנו. f(x)dx x f(x)dx = y x f(x)dx 136

137 5.6. אינטגרלים לא אמיתיים מבחנים התכנסות מבחן ההשואה מבחן ההשוואה: נניח f, g : [, ) R כך שקיים c R כך שלכל ) [, X קיים קיים, אז גם f(x)dx מתקיים: cg(x) f(x).0 אזי אם g(x)dx הערה: ברור שבאופן דומה מספיק לדרוש שקיים c R כך ש cg(x) f(x) החל ממקום b2 מסוים..F (x) = x אם b 2 > b 1 > אזי: הוכחה: נתבונן ב f(t)dt b1 b2 b1 f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt f(t)dt b 1 ולכן (x) F מונוטונית לא יורדת. לכן הגבול: (x) lim F קיים וסופי אם ורק אם (x) F x חסומה מלמעלה. באופן דומה, אם נסמן: G(x) בהתאמה, G(x) מתכנס אם ורק אם היא חסומה. מתכנס, אזי G חסומה. היות ו cg(b) F (b) לכל b > הרי שגם (x) F אם g(x)dx חסום ולכן מתכנס. כנדרש. דוגמה נראה שהאינטגרל של הפונקציה הנורמלית קיים: f(x) = 1 e x2 2 2π חישוב ישיר לא יעזור כאן, כי על אף שברור שלפונקציה יש פונקציה קדומה, היא לא 0 אלמנטרית. מכאן: 1 e x2 1 ( ) 2 dx e x 2 2 dx = lim e x 2 t 2π 2π 2π t 0= 2 (0 1) = π 2π 0 ל 1. קיים מכאן ממבחן ההשוואה והיותה של הפונקציה הנורמלית זוגית נקבל ש f(x)dx וקטן מ בחישובים נומריים וחסמים הדוקים יותר אפשר להראות שהאינטגרל מתכנס 137

138 5.6. אינטגרלים לא אמיתיים מבחן המנה מבחן המנה: נניח ש b].f, g R[, אם > 0 f(x)g(x) החל ממקום מסוים, ו c < 0 מתכנסים ומתבדרים ו f(x)dx f(x) g(x)dx אזי האינטגרלים R lim x g(x) = c ביחד הוכחה: יהי > 0 ε ו c R כך ש > 0 ε.c קיים A כך שלכל x > A מתקיים: c ε < f(x) g(x) < c + ε ועל כן ε)g(x) (c ε)g(x) < f(x) < (c + ואז ממבחן ההשוואה אם g מתכנס גם כפולה בסקלר שלו ולכן האינטגרל של f מתכנס ולהפך, כנדרש. דוגמה: אינטגרל אוילר האינטגרל הלא אמיתי ln(sin x)dx הפונקציה באינטגרל שלילית. כמו כן, מלופיטל נשים לב ש π 2 נקרא אינטגרל אוילר. נשים לב שבתחום הזה 0 ln(sin x) lim = lim x 0 + ln x x 0 + cos x sin x 1/x = lim x 0 + x sin x cos x = 1 מכאן קיים > 0 δ ו c R כך שלכל δ] x (0, מתקיים: ln(sin x) c ln x.0 על π 2 lim t 0 + t ln x = lim t 0 π 2 מתכנס. מכאן: 0 כן מספיק להראות ש ln xdx π 2 +(x(ln x 1)) t = π 2 π 2 ln π 2 + lim t ln t = π t π 2 ln π 2 lim כפי שראינו בעבר (אפשר להראות לפי לופיטל). ולכן הצעד האחרון נובע מכך t 0 + t ln t אינטגרל אוילר מתכנס התכנסות בהחלט של אינטגרליים הגדרה: תהי. R אם f אינטגרבילית לכל ב ] [b, לכל.b > מכאן גם f מתכנס מתכנס, אזי נאמר ש f(x)dx אינטגרבילית באותם קטעים. ואם f(x) dx בהחלט 138 הערה: באופן דומה מגדירים התכנסות בתנאי.

139 5.6. אינטגרלים לא אמיתיים כל אינטגרל שמתכנס בהחלט מתכנס מתכנס בהחלט אזי הוא מתכנס טענה: תהי b] f R[, לכל.b > אם f(x)dx הוכחה: נובע מיידית מקריטריון קושי, כי החל ממקום מסוים לכל b 1, b 2 מקושי מתקיים: b2 b 1 b 2 ואז ממקום זה והלאה: b 1 f(x) dx < ε b2 f(x)dx f(x) dx < ε b 1 כנדרש מקושי. דוגמה מתכנס בהחלט כי לכל 1 x מתקיים: 1 sin x x 2 x 2 sin x x האינטגרל dx 2 וכנדרש ממבחן ההשוואה. הקשר בין טורים לאינטגרליים טענה: תהי f חיובית, מונוטוניות יורדת ואינטגרבילית ב [b,] לכל b. > A אזי מתכנס מתכנס אם ורק אם האינטגרל f(x)dx k=0 f( + k) f( + k + 1) = 139 +k+1 +k f( + k + 1)dx הוכחה: ממונוטוניות f נובע שלכל 0 k מתקיים: +k+1 +k f(x)dx n 1 k 1 k 1 f( + k + 1) f(x)dx f( + k) k=0 ( ) s n f() k=0 +n k=0 +k+1 +k f( + k)dx = f( + k) לכן: s n = n נקבל: k=0 אם נסמן: k) f( + f(x)dx s n+1

140 5.6. אינטגרלים לא אמיתיים +n חסומה מלמעלה, ובאופן רק אם f(x)dx היות ו f חיובית, האינטגרל f(x)dx n מתכנס אם ורק אם s n חסומה, ומכאן מ ( ) סיימנו, כנדרש. דומה הטור n) f( + דוגמה על פי המשפט, טור זה מתכנס אם ורק אם n=2 2 1 n ln n נבדוק את התכנסות הטור מתכנס. נשים לב ש 2 dx x ln x = ln(ln x) 2 = lim t ln(ln t) ln(ln 2) = dx x ln x אינטגרל של פונקציה לא חסומה הגדרה: יהי b] [, קטע סגור ו b] c 1,..., c n [, מספר סופי של נקודות בקטע. בהינתן f על [b,], נאמר ש c 1,,... c n קבוצת נקודות מיוחדות אם f אינטגרבילית בכל קטע סגור c i והיא איננה חסומה בכל סביבה של כל c i שאיננו מכיל אף,α] [β,] [b הגדרה: תהי f פונקציה על [b,]. נניח ש נקודה מיוחדת יחידה של f על [b,]. אם b מתכנס. b קיים הגבול lim f(x)dx אזי נאמר שהאינטגרל הלא אמיתי f(x)dx ε 0 +ε הערות:. b b ε 1. באופן דומה אם b נקודה מיוחדת יחידה ב [b,] אז: f(x)dx = lim f(x)dx ε 0 2. אם גם, b נקודות מיוחדות יחידות, אז עבור כל (b c,) נגדיר: b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx בהנחה ששני האינטגרלים קיימים. 3. קל לראות שההגדרה הקודמת בלתי תלוי ב c ולכן האינטגרל הלא אמיתי הזה מוגדר היטב. 140

141 5.6. אינטגרלים לא אמיתיים הגדרה: אם ל f יש n נקודות מיוחדות ב b] c 1 <... < c n :[, אז נגדיר: b n+1 f(x) = i=0 ci c i 1 f(x)dx כאשר c 0 :=, c n+1 = b בהנחה שכל האינטגרלים קיימים פונקציית גאמה =.Γ(x) לפונקציה זו נקרא פונקציית 0 נגדיר: Γ : (0, ) R על ידי: t x 1 e t dt גאמה. הערה: הפונקציה מופיעה במקומות רבים באנליזה ובמקומות אחרים. לדוגמה, תחת הגדרה π. n/2 Γ( n 2 +1) טבעית של נפח, מתקייים שהנפח של כדור היחידה ה nי ממדי הוא: מוגדרות היטב מתכנס. 0 לכל ) (0, x האינטגרל t x 1 e t dt 1 מתכנסים (השני אמיתי רק ו 0 tx 1 e t dt 1 הוכחה: מספיק להראות ש t x 1 e t dt t x 1 e t t x+1 lim t t 2 =... = lim t e t = 0 כאשר 1 x). מלופיטל כמה פעמים: לכן 2 t t x 1 e t 0 עבור t גדול מספיק וממבחן ההשוואה האינטגרל הלא אמיתי מתכנס. 1 t x 1 e t dt 1 עבור האינטגרל השני: מכך ש x 1 t x 1 e t t 0 לכל 0 t ומכאן ש 0 tx 1 dx 1 מתכנס, כנדרש. נובע ש 0 tx 1 e t dt 141

142 5.6. אינטגרלים לא אמיתיים תכונת העצרת של פונקציית גאמה n N Γ(n + 1) = n! ובפרט:, x (0, ) Γ(x + 1) = x Γ(x) הוכחה: מאינטגרציה בחלקים: s ( s ) Γ(x + 1) = lim t x e t dt = lim [ t x e t ] t=s s 1/s s t=1/s +x t x 1 t t dt = x Γ(x) 1/s היות ו = 1 (1)Γ הטענה על העצרת נובעת מיידית. 142

143 פרק 6 סדרות וטורי פונקציות אחד ממושגי המפתח באינפי הוא מושג ההתכנסות של סדרת מספרים. בספר זה נפתח מושג דומה עבור סדרות של פונקציות. השאלה העיקרית שנתעסק בה היא אילו תכונות של פונקציות נשמרות תחת גבול: כלומר אם סדרת פונקציות 1=n f) n ) מתכנסת לפונקציה f, אילו מתהתכונות של f n מועברות ל f. 6.1 התכנסות נקודתית סדרות פונקציות הגדרה: סדרת פונקציות 1=n f) n ) היא סדרה שכל אחד מאיבריה הוא פונקציה הערה: אם x 0 היא נקודה אז על ידי הפעלת כל אחת מהפונקציות על x 0 אנחנו מקבלים סדרה: n=1 (f n (x 0 )) שהיא סדרת של ממשיים. לדוגמה, לכל,n N נגדיר: e n : R R על ידי:.e n (x) = (1 + x n )n אז n=1 (e n (x)) היא סדרת פונקציות. ראינו שלכל x R מתקיים: n.e n (x) מכאן טבעי יהיה e x 143

144 6.1. התכנסות נקודתית להגדיר ש e x הוא הגבול של סדרת הפונקציות: הגדרה: תהי 1=n f) n ) סדרת פונקציות המוגדרות ב A R ותהי f המוגדרת ב A. נאמר ש f הוא הגבול הנקודתי limit) (pointwise של הסדרה n=1 (f n ) ב,A או ש n=1 (f n ). x A מתכנסת נקודתית ל f ב A אם f(x) lim f n(x) = n הערות: n מוגדר לכל f n (x) כך ש x קבוצת הנקודות.f n f או f = lim.1 נסמן: n f n וסדרת המספרים n=1 (f n ) מתכנסת, נקרא תחום ההתכנסות של הסדרה n=1.(f n ) 2. מההגדרה ברור שאם D הוא תחום ההתכנסות של סדרת הפונקציות 1=n f) n ) אז הסדרה מתכנסת נקודתית ב D. סדרת הפונקציות מתכנסת נקודתית. יתר על כן, D היא הקבוצה המקסימלית שבה 3. אם הגבול הנקודתי של סדרת פונקציות קיים ב A אז הוא יחיד במובן הבא: אם x A כי לכל A מסכימות ב f, g אז A ב g ול f מתכנסת נקודתית ל (f n ) n=1.f A = g A כלומר:,f(x) = lim מתקיים: g(x) n f n(x) = דוגמאות.1 נסמן: e n (x) = (1 + x n )n אז כמו שראינו e n e x נקודתית בכל R.2 יהיו f n : R R הנתונות על ידי הנוסחה:.f n (x) = x n אז לכל x R מתקיים:.R נקודתית בכל f n לכן 0 lim f x n(x) = lim n n n = 0 R R.3 יהיו g n : [0, ) R הנתונות על ידי.g n (x) = x n לכל ) [0, x מתקיים: 0 x [0, 1) lim g n(x) = lim n n xn = 1 x = 1 x > 1 לכן g אינה מתכנסת נקודתית ב (,0]. תחום ההתכנסות שלה הוא [1,0] והגבול 144

145 6.1. התכנסות נקודתית 0 x [0, 1) g(x) = 1 x = 1 שלה שם הוא הפונקציה:.4 תהי n=1 (q n ) סדרה המכילה פעם אחת כל איבר ב 1] [0,.Q נגדיר: : n h R 1] [0, על ידי: 1 x {q n n N} h n (x) = 0 else לכל 1] [0, x מתקיימת אפשרות אחת משתיים: אם,x R \ Q אז: = 0 (x) h n לכל n N ולכן 0 (x).h n אחרת x = q n עבור n כלשהו, ואז = 1 (x) h k לכל.h n (x) 1 כלומר:,k n 5. סדרת פונקציות חסומות יכולה להתכנס נקודתית לפונקציה לא חסומה: תהי : n f R 2] [0, המוגדרת על ידי: n 2 x x [0, 1 n f n (x) = ] 1 x x [ 1 n, 2] לכל,n N הפונקציה n(x) f עולה ב ] n [0, 1 (לינארית) מ 0 ל.n ואז על הקטע n] [ 1 n, יורדת מ n ל. 1 2 מכאן f n חסומה. הגבול הנקודתי של n=1 (f n ) הוא הפונקציה f : [0, 2] R שמוגדרת על ידי: 0 x = 0 f(x) = 1 x x (0, 2] זו פונקציה לא חסומה ולא רציפה טורי פונקציות.s n = n הגדרה: תהי n=1 (f n ) סדרת פונקציות המוגדרות בקבוצה.A R נגדיר k=1 f k מתכנס נקודתית ל S פונקציה ב A קטע, אם נאמר ש טור הפונקציות 1=n f n. lim n s n = S 145

146 6.2. התכנסות במ"ש מתכנס בהחלט בקבוצה A, אם טור המספרים הגדרה: נאמר שטור פונקציות 1=n f n מתכנס בהחלט לכל x A n=1 f n(x) 6.2 התכנסות במ"ש התכנסות נקודתית של סדרת פונקציות פירושה שבכל נקודה בנפרד התמונות מתכנסות. בסעיף זה נפתח מושג אחר שתל התכנסות של סדרת פונקציות המבוסס על הרעיון שפונקציות הן קרובות זו לזו אם הן קרובות בו זמנית בכל נקודה. הגדרה: תהי 1=n f) n ) סדרת פונקציות המוגדרות כולן בקבוצה A R ותהי f פונקציה המוגדרת ב A. נאמר ש f היא הגבול במידה שווה limit) (unif orm של הסדרה n=1 (f n ) אם ε > 0 N N x A n > N f n (x) f(x) < ε הערות:.1 וזאת לעומת התכנסות נקודתית המוגדרת על ידי: > 0 ε ולכל x D קיים N N כך שלכל n > N מתקיים f n (x) f(x) < ε 2. במקרה של התכנסות נקודתית, N יכול להיות ללוי ב x. זהו הביטוי הפורמלי לכך שבנקודות x שונות, קצב ההתכנסות של סדרת המספרים 1=n f) n ) ל f(x) יכול להיות שונה. 3. התכנסות במ"ש תלוי בתחום 4. אם 1=n f) n ) סדרת פונקציות שמתכנסות במ"ש ל f ב D אז הן בהכרח מתכנסות נקודתית ל f 5. גיאומטרית, התכנסות במ"ש של f n ל f פירושה שלכל פס ברוחב > 0 ε החל ממקום מסוים בסדרה, הגרפים של כל הפונקציות f n נמצאים בתוך הפס. 146

147 6.2. התכנסות במ"ש דוגמאות.1 יהיו f n : [0, 1] R הנתונות על ידי:.f n (x) = x n אז 0 n f נקודתית ב [1,0]. כעת נראה שההתכנסות היא גם במ"ש. יהי > 0 ε. צריך למצוא N N כך x [0, 1] אבל לכל. f n (x) = x n שלכל n > N ולכל 1] [0, x מתקיים: < ε מתקיים: x n < 1 n ולכן לכל n N די לבחור N כך שלכל n > N מתקיים: n > 1 ε וסיימנו. f n (x) = x n כמו בדוגמה הקודמת, אך כעת נחשוב עליהן כפונקציות המוגדרות בכל הישר. עדיין מתקיים ש 0 n f נקודתית ב R. אבל כעת נראה שההתכנסות אינה במידה שווה. כדי להוכיח זאת די שנראה שלכל N N אפשר למצוא n > N. f n (x) = x n ואמנם בהינתן,N אפשר לקחת פשוט ונקודה x R כך ש 1 2. יהיו.x = N + 1 = n שקילות התכנסות במ"ש טענה: יהיו f n ו f שכולן מוגדרות ב A. אז f n f במ"ש ב A אם ורק אם קיימת סדרת מספרים n=1 (ε n ) אפסה כך ש sup x A f(x) f n (x) < ε n זה מיידי. תרגיל הטענה הבאה היא רק כדי לעשות סדר בהגדרות ונוכיח אותה מאפס: טענה: יהי x 0 I R ותהי n=1 (f n ) סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש ב I ל.f נניח ש f רציפה ב x. 0 תהי 1=n x) n ) סדרה כלשהי ב I המתכנסת ל x. 0 צריך להוכיח ש lim f n(x n ) = f(x 0 ) n הוכחה: צריך להוכיח שהגבול של הסדרה n=1 (f n (x n )) מתכנסת ל ) 0.f(x יהי > 0.ε צריך למצוא N N כך שלכל n > N מתקיים:. f n (x n ) f(x 0 ) < ε סדרת הפונקציות n=1 (f n ) מתכנסת במ"ש ב I ל.f לכן קיים N 1 N כך שלכל n > N 1. f n (x n ) f(x n ) < ε 2 הפונקציה f רציפה, לכן ולכל x I בפרט x = x n מתקיים: 147

148 6.2. התכנסות במ"ש מכלל היינה לרציפות לכל סדרה ב I השואפת ל x, 0 הסדרה 1=n f(x n ) מתכנסת ל ) 0.f(x לכן קיים N 2 N כך שלכל n > N 2 מתקיים. f(x n ) f(x 0 ) < ε 2 מכאן ניקח } 2.N = mx{n 1, N ואז לכל n > N מתקיים: f n (x n ) f(x 0 ) f n (x n ) f(x n ) + f(x n ) f(x 0 ) < ε 2 + ε 2 = ε התכנסות במ"ש של טורים הגדרה: תהי n=1 (f n ) סדרת פונקציות המוגדרות ב.A R יהיו s n : A R המוגדרת מתכנס במידה שווה ל S פונקציה, אם n=1 f n נאמר שהטור.S n = n על ידי: k=1 f n S n S במ"ש. דוגמה R. זהו טור לייבניץ ולכן הטור מתכנס נקודתית בכל x, R. לכל (1 ) n נתבונן ב n=1 n+x 2 נסמן את פונקציית הגבול ב S. ממשפט לייבניץ, אנחנו יודעים שאפשר לחסום את הזנב ה Nי של הטור על ידי ערכו המוחלט של המחובר ה + 1 N קרי: ( 1) k x R S n (x) k + n 2 1 (n + 1) + x 2 1 n + 1 k=1 1 ואז לכל x R מתקיים: n+1 מכאן לכל > 0 ε קיים N כך שלכל n > N מתקיים < ε ( 1) n S(x) n + x 2 < ε k=1 ולכן הטור מתכנס במ"ש תנאי קושי להתכנסות במ"ש של סדרות פונקציות משפט: תהי n=1 (f n ) סדרת פונקציות המוגדרות בקבוצה.A R אז הסדרה n=1 (f n ) מתכנסת במ"ש ב A אם ורק אם לכל > 0 ε קיים N N כך שלכל,n m > N ולכל f n (x) f m (x) < ε מתקיים ש x A 148

149 6.2. התכנסות במ"ש ניסוח עבור טורים: תהי 1=n f) n ) סדרת פונקציות המוגדרות בקבוצה A. R אז הטור מתכנס במ"ש ב A אם ורק אם לכל > 0 ε קיים N N כך שלכל x A ולכל n=1 f n. m k=n+1 f n(x) < ε מתקיים m > n > N הוכחה: מכיוון אחד, תהי 1=n f) n ) המתכנסת במ"ש ל.f(x) יהי > 0 ε. מההגדרת. f n (x) f(x) < ε 2 ההתכנסות במ"ש קיים N N כך שלכל n > N ולכל x A מתקיים: מכאן אם n, m > N ו x A אז: f n (x) f m (x) f n (x) f(x) + f(x) f m (x) < ε 2 + ε 2 = ε מכיוון שני, תהי 1=n f) n ) שמקיימת את תנאי קושי. תחילה נראה שהסדרה מתכנסת נקודתית. מההנחה, לכל,x 0 A הסדרה n=1 (f n (x 0 )) מקיימת את תנאי קושי להתכנסות סדרות מספרים ולכן מתכנסת. מכאן שהסדרה 1=n f) n ) מתכנסת נקודתית ב A, נסמן את גבולה ב f. נותר להוכיח שההתכנסות של 1=n f) n ) ל f היא גם במ"ש ב A. יהי > 0 ε. מתנאי קושי. f n (x) f m (x) < ε 2 בהינתן קיים N N כך שלכל n, m > N ולכל x A מתקיים: אינדקס n > N ונקודה,x A לכל בחירה של m > N מתקיים ש f(x) f n (x) f(x) f m (x) + f m (x) f n (x) < f(x) f m (x) + ε 2 m ε 2 + ε 2 = ε מבחן M של ווירשטראס משפט: תהי 1=n f) n ) סדרת פונקציות המוגדרות בקבוצה A. R נניח שקיים טור מתכנס כך שלכל n N ולכל x A מתקיים: f n (x) M n של מספרים חיוביים 1=n M n מתכנס בהחלט במ"ש ב A אז n=1 f n יהי > 0.ε לפי תנאי קושי להתכנסות טורי מספרים, קיים N N כך שלכל m > n > N :x A כאלה, מתקיים שלכל n, m עבור. m מתקיים: k=n M k < ε m f k (x) k=n m f k (x) k=n M k < ε k=m 149

150 6.2. התכנסות במ"ש מתכנס במידה ולכן לפי תנאי קושי להתכנסות במ"ש של טורי פונקציות, הטור 1=n f n שווה. דוגמה x R מתכנס במידה שווה כי sin(nx) n 2 1 n 2 n=1 sin(nx) הטור n 2 טור חיובי מתכנס. והטור חסמים 2 n 1=n דוגמה ממבחן תהי f 1 : [, b] R פונקציה אינטגרבילית ב b].[, נגדיר סדרת פונקציות n=1 (f n ).f k+1 (x) = x באופן רקרוסיבי: האיבר הראשון יהיה f 1 ואם f k איבר בסדרה אז f k(t)dt מתכנס במ"ש ב b].[, צריך להוכיח שהטור n(x) 0=n f הוכחה: קודם כל זה מוגדר היטב כי לכל 2 n, f n רציפה מהמשפט היסודי ולכן אינטגרבילית. f 1 (x) < מתקיים x [, b] כך שלכל 0 < M R אינטגרבילית לכן חסומה מכאן יהי f 1 M. נשים לב ש x x x x [, b] f 2 (x) = f 1 (t)dt f 1 (t) dt Mdt = M(x ) x x x [, b] f 3 (x) = f 2 (t)dt M(t )dt = M 2 (t )2 x = M (x )2 2 n!. f n+1 M עבור = 1 n הראנו, מתקיים: (x )n f n+2 = x מכאן באינדוקציה שלכל n N נראה את הצעד: נניח שזה נכון עבור n N ונראה שזה נכון עבור + 1 n: x x f n+1 (t)dt (t ) n ( ) (t ) n+1 f n+1 (t) dt M = M x n! (n + 1)! = y n מתכנס במ"ש n=0 n!. f n+1 M(x )n הטור n! מכאן הראנו שלכל n N מתקיים: n=0 M (x )n n! ל e x בכל R בפרט עבור b],[, בפרט עבור y = x דהיינו הטור (x ) n n! מתכנס במ"ש ב [b,] ל e. x לכל [b x,,] ממונוטונות טור החזקות מתקיים: 150 M(x )n+1 (n + 1)!

151 6.3. תכונות של התכנסות במ"ש (b ) n מתכנס לכן ממבחן ווירשטראס טור הפונקציות n=0 n! (b )n מכאן טור המספרים n! מתכנס במ"ש ב b].[, n=0 f n(x) 6.3 תכונות של התכנסות במ"ש רציפות משפט: תהי 1=n f) n ) סדרת פונקציות המוגדרות בקטע I R ומתכנסות במ"ש לפונקציה רציפה ב x 0 f אז גם,n N לכל רציפה ב x 0 f n אם.x 0 I תהי.f מסקנה: בפרט אם f n רציפה ב I לכל n, N אז f רציפה ב I הוכחה: יהי.x 0 I צריך להראות שלכל > 0 ε קיים > 0 δ כך שלכל x I אם x x 0 < δ אז. f(x) f(x 0 ) < ε הרעין הוא לבחור פונקציה f n שקרובה מאד ל f בכל נקודה ולהסיק שלכל x I המרחק בין ) 0 f(x ל f(x) שווה כמעט למרחק בין ) 0 f n x) ל (x) f n ואז אפשר להשתמש ברציפות של f n כדי להסיק שאם x קרוב מספיק ל x 0 אז ) 0 f n (x ו (x) f n קרובים ולכן ) 0 f(x ו f(x) קרובים. f n רציפה לכן קיים > 0 δ כך שאם x I מקיים x x 0 < δ אז יהי > 0.ε f n (x) f n (x 0 ) < ε 3 נבחר n כך שלכל x I מתקיים:. f(x) f n (x) < ε מכאן שלכל :x I f(x) f(x 0 ) f(x) f n (x) + f n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f(x 0 ) < 2ε 3 + f n(x) f n (x 0 ) < ε הקשר בין רציפות במ"ש והתכנסות במ"ש השימוש במונח "במידה שווה" עבור התכנסות סדרת פונקציות והשימוש במונח זהה עבור מידת הרציפות של פונקציות אינו במקרה. נראה בשתי הטענות הבאות קשרים בינהם: 151

152 6.3. תכונות של התכנסות במ"ש רציפות במ"ש של פונקציית הגבול טענה: אם 1=n f) n ) סדרה של רציפות במ"ש מתכנסת במ"ש ל f, אז f רציפה במ"ש. הוכחה: תהי 1=n f) n ) סדרת פונקציות רציפות במ"ש המתכנסות במ"ש ל f. צריך להוכיח ש f רציפה במ"ש. יהי > 0.ε קיים N N כך שלכל n > N ולכל x R מתקיים. f n (x) f(x) < ε 3 יהי.n 0 > N הפונקציה f n0 רציפה במ"ש ב,R לכן קיים δ 0 כך. f n0 (x) f n0 (y) < ε 3 נבחר δ = δ 0 ואז לכל שלכל x, y R אם x y < δ 0 אז x, y R אם x y < δ אז: f(x) f(y) f(x) f n0 (x) + f n0 (x) f n0 (y) + f n0 (y) f(y) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε התכנסות במ"ש והרכבה טענה: תהי 1=n f) n ) כך ש f n f במ"ש. תהי g רציפה במ"ש. אז סדרת הפונקציות (g f)(x) מתכנס במ"ש ל (g f n ) n=1 הוכחה: יהי > 0.ε מרציפות במ"ש של,g קיים > 0 δ כך שלכל x, y R אם x y < δ אז. g(x) g(y) < ε עבור > 0 δ זה, מהתכנסות במ"ש של n=1,(f n ) קיים N N כך שלכל n > N מתקיים:. f n (x) f(x) < δ מכאן לכל,n > N ולכל,x R יתקיים ש f n (x) f(x) < δ לכן, g(f n (x)) g(f(x)) < ε כנדרש. 152

153 6.3. תכונות של התכנסות במ"ש משפט דיני משפט דיני הגדרה: נאמר שסדרת פונקציות n=1 (f n ) היא מונוטונית ב,A R אם לכל,x 0 A הסדרה n=1 (f n (x 0 )) היא מונוטונית. משפט דיני: (Dini) תהי 1=n f) n ) סדרה מונוטונית של פונקציות רציפות ב [b,] המתכנסת נקודתית ב [b,] לפונקציה רציפה f. אזי ההתכנסות היא במ"ש. הערה: בנקודות, דרישות המשפט, קרי התנאים המספיקים להתכנסות במ"ש:.1 b] I := [, קטע סגור וחסום n=1.2 (f n ) סדרת פונקציות רציפות n=1.3 (f n ) מונוטונית I רציפה המוגדרת ב f 4. f n n f.5 ההוכחה: ללא הגבלת הכלליות נניח ש 1=n f) n ) סדרה עולה ונתבונן בסדרת ההפרשים,]. [b זו סדרה יורדת של פונקציות רציפות והיא מתכנס נקודתית לאפס ב R. n = f f n בפרט 0 n R לכל.n N אם נראה ש 0 n R במ"ש ב b] [, ינבע ש f n f במ"ש. נניח בשלילה כי 0 n R נקודתית ולא במ"ש. אז קיים > 0 ε כך שלכל N N קיים (x nk ) נבחר תת סדרה k=1. R n(x n ) = R n (x n ) ε כך ש x n [, b] ונקודה n > N המתכנסת לנקודה b].x 0 [, אז x nk x 0 ולכל k מתקיים:.R nk (x nk ) ε נקבע אינדקס.m N כיוון שסדרת הפונקציות n=1 (R n ) יורדת, אם n k > m אז לכל b] x [, מתקיים: (x) R m (x) R nk ובפרט עבור x = x nk מתקיים:.R m (x nk ) R nk (x nk ) ε לפי ההנחה R m רציפה ולכן באי שיווין האחרון נוכל לעבור לגבול כאשר k ונקבל:.R m (x 0 ) ε 0 אי שיווין זה נכון לכל m N בסתירה לכך ש 0 m R נקודתית ב b],[, כנדרש. 153

154 6.3. תכונות של התכנסות במ"ש דוגמה לשימוש במשפט דיני f n (x) n נביט בפונקציות.f n (x) = (1+ 1 n )nx על הקטע הסגור והחסום b] [, מתקיים: f n+1 (x 0 ) צריך להראות ש.x 0 [, b] מונוטונית עולה: יהי (f n ) נראה ש n=1.e x (1 + 1 ואמנם זה שקול ללהראות: + (1 n+1 )(n+1)x0 (1 + 1 n )nx0 כלומר: f n (x 0 ) 1 אך זה ראינו שנכון באינפי 1. מכאן היות ו e x רציפה ו (x) f n n+1 )n+1 (1 + 1 n )n רציפה לכל n, N ממשפט דיני ההתכנסות היא במ"ש. כל התנאים במשפט ההכרחיים 1. קטע לא סגור: נראה סדרת פונקציות רציפות, מונוטוניות יורדות על (1,0] שמתכנסות נקודתית אך לא במ"ש לפונקציה רציפה: למשל f. n (x) = x n 2. לא רציפה: f n (x) = x n סדרה יורדת של רציפות שמתכנסת על [1,0] קטע סגור שמתכנסת לפונקציה לא רציפה לא במ"ש 3. הפונקציות בסדרה לא רציפות: נתבונן בפונקציה הבאה המוגדרת בקטע הסגור [1,0]: 0 x = 0 f n (x) 1 x (0, 1 n ) 0 x [ 1 n, 1] לכל f n n, N לא רציפה אך כן מונוטונית. פונקציית הגבול היא פונקציית האפס שרציפה. אבל ההתכנסות היא לא במ"ש: למשל כי תמיד אפשר למצוא x ו n כך ש = 1 (x).f n 4. לא מונוטוניות: נתבונן ב n 2 x x [0, 1 n ] f n (x) n 2 ( 2 n x) x ( 1 n, 2 n ] 0 x ( 2 n, 2] לכל n, N זו פונקציה רציפה ולא מונוטונית שמוגדרת בקטע הסגור [2,0]. הסדרה מתכנסת נקודתית אך לא במ"ש לפונקציית האפס. 154

155 6.3. תכונות של התכנסות במ"ש אינטגרל כמו תכונת הרציפות, גם תכונות האינטגרבליות וערך האינטגרל אינן נשמרות תחת גבולות נקודתיים. כלומר אם f n : [, b] R אינטגרבליות ואם f n f נקודתית, לא ניסתן להסיק ש f אינטגרבילית, וגם אם f אינטגרבילית ב [b,] לא ניתן להסיק ש b f nf(x)dx b f(x)dx דוגמאות 1. התכנסות נקודתית לא מבטיחה שהפונקציה הגבולית אינטגרבילית. למשל, ישנן סדרות של רציפות המתכנסות נקודתית לפונקציה לא חסומה, בפרט לא אינטגרבילית: n 2 x x [0, 1 n f n (x) = ] n 0 x = 0 1 x x ( 1 n, 1] 1 x x (0, 1] אשר אינה חסומה ובפרט לא אינטגרבילית (אפילו כאינטגרל לא אמיתי) 155

156 6.3. תכונות של התכנסות במ"ש.2 נתבונן בפונקציה 1] [0, 1] [0, : n d המוגדרת על ידי: 1 x Q q n for x = p q d n (x) = nd q N 0 x R \ Q לכל n, N מספר הנקודות כך ש d n לא רציפה בהם סופי, ועל כן d n רציפה לכל n n. N לעומת זאת מתקיים: D(x) d n נקודתית לדירכלה שלא אינטגרבילית. 3. גם אם f n f נקודתית ב [b,], כל הפונקציות אינטגרבליות ו f אינטגרבילית בעצמה, ערך האינטגרל לאו דווקא נשמר. למשל f n :,0] [1 R המוגדרות על ידי: 4n 2 x [0, 1 2n ] f n (x) = 4n 4n 2 x x ( 1 2n, 1 n ) 0 x [ 1 n, 1] f( 1. lim f n (x) = כמו כן, x 1 n ) ו lim f n (x) = f( 1 n x 1 2n אלו פונקציות רציפות כי ) 2n f ndx שואפת נקודתית לפונקציית האפס. מצד שני, חישוב קל מראה ש = 1 f n לכל n N וזה כמובן לא אפס. רציפות האינטגרל טענה: אם 1=n f) n ) סדרת פונקציות אינטגרבליות בקטע [b,] המתכנסות במ"ש ב [b,] b f n(x)dx = b לפונקציה f שגם אינטגרבילית ב [b,], אז: f(x)dx lim n הוכחה: לכל > 0 ε קיים N כך שלכל n > N ולכל b] t [, מתקיים:. f n (t) f(t) < ε ולכן לכל n > N הפונקציה f(x) f n (x) קטנה מ ε בכל נקודה ועל כן: b (f n (x) f(x))dx b f n (x) f(x) dx (b )ε b. lim כנדרש. n f n(x) b f(x)dx ולכן = 0 lim b מכאן: = 0 f(x)dx n f n(x) e n e x ראינו ש.e n (x) = (1 + x n )n 156 דוגמה: יהיו e n : [, b] R שנתונה על ידי: (1 + x n )n dx = n n + 1 (1 + x n )n+1 במ"ש. אפשר לראות ש

157 6.3. תכונות של התכנסות במ"ש b e x dx = lim n b ( n e n (x)dx = lim n n + 1 (1 + n )n+1 n n + 1 (1 + b n )n+1 ומכאן: ) = e b e וחישבנו את האינטגרל של e x ב [b,] מבלי להשתמש בפונקציה קדומה שלו. התכנסות במ"ש של האינטגרל כעת נרחיב את הטענה הקודמת: טענה: אם 1=n f) n ) סדרת פונקציות אינטגרבליות בקטע [b,] המתכנסות במ"ש ב [b,] x f n(t)dt uniformly x לפונקציה f שגם אינטגרבילית ב [b,], אז: f(t)dt הערה: בפרט עבור x = b שזה מה שהראנו בטענה הקודמת. הוכחה: יהי > 0.ε קיים N N כך שלכל n > N מתקיים < f(t) sup x [,b] f n (t) x f n (t)dt x ε. נבחר את אותו ה N ואז לכל b] x [, ולכל n > N מתקיים: b x f(t)dt = x f n (t)dt f(t)dt f n (t) f(t) dt sup f n (t) f(t) (x ) x [,b] x f n (t) f(t) dt sup f n (t) f(t) (b ) < ε x [,b] שמירת תכונות האינטגרבליות הטענה הקדומת כללה את ההנחה שפונקציית הגבול אינטגרבילית. הנחה זו מיותרת כפי שמראה המשפט הבא: טענה: אם 1=n f) n ) סדרה של פונקציות אינטגרבליות ב [b,] המתכנס במ"ש ב [b,] אז.[, b] אינטגרבילית ב f הערה: אם 1=n f) n ) סדרה של רציפות וגם f n f במ"ש ב [b,], אז לפי טענה b קודמת מתקיים ש f רציפה ולכן אינטגרבילית ומהטענה האחרונה = n(x)dx f lim n 157 b. המשפט הנוכחי אפקטיבי רק כשמדובר בסדרת פונקציות שאינן רציפות f(x)dx

158 6.3. תכונות של התכנסות במ"ש הרעיון: נראה לפי שקילות רימן לאינטגרבליות. אנחנו רוצים להראות שלכל > 0 ε קיים > δ n 0 כך שלכל חלוקה b},p = {x 0 = <... < x n = אם λ(p ) < δ אז < i w i(f) ε. הרעיון הוא לאמוד את התנודה של f ולהשתמש בטיעון ε רגיל כפי שעשינו עד כה. מההתכנסות במ"ש של n=1,(f n ) קיים N N כך שלכל n > N f n0 כלשהו. N < n 0 N יהי. f n (x) f(x) < ε 4(b ) הוכחה: יהי > 0.ε ולכל b] x [, מתקיים: אינטגרבילית ב [b,] לכן מקיימת את תנאי רימן ומכאן קיים > 0 0 δ כך שלכל חלוקה. n w i(f n0 ) i < אז ε 2 λ(p ) < אם δ 0,P = {x 0 = <... < x n = b} נשים לב שלכל b] x, y [, מתקיים: f(x) f(y) f n0 (x) f(x) + f n0 (x) f n0 (y) + f n0 (y) f(y) < P = {x 0 = ואז לכל חלוקה.δ = מכאן נבחר δ 0.w i (f) w i (f) i ( ) ε 2(b ) + w ε i(f n0 ) i = 2(b ) ε מכאן: ) n0 2(b ) + w i(f b}, <... < x n = אם λ(p ) < δ אז: i + ε 2(b ) + w i(f n0 ) w i (f n0 ) i < ε 2 + ε 2 = ε אפשר לנסח את הטענות האחרונות גם עבור טורי פונקציות: אינטגרציה איבר איבר מתכנס טענה: אם n=1 (f n ) סדרה של פונקציות אינטגרבליות ב b] [, ו n=1 n=1 (f n) b במידה שווה ב [b,] לפונקציה f, אז f אינטגרבילית ב [b,] ומתקיים: = f(x)dx b n=1 f n(x)dx b f(x)dx = lim n.s n = n לפי ההנחה S n f במ"ש לכן: הוכחה: נסמן k=1 f k b S n = lim n k=1 b f n (x)dx = n=1 b f n (x)dx 158

159 6.3. תכונות של התכנסות במ"ש נגזרת גם גזירה, איך לא, אינה נשמרת תחת גבולות נקודתיים. אבל כאן ערך הנגזרת לא ישמר תחת התכנסות במ"ש ואפילו תכונת הגזירה עצמה. הסיבה הגיאומטרית היא שגם פונקציות שהגרפים שלהן קרובים מאד זה לזה בכל נקודה אינן בהכרח בעלות שיפועים דומים: אילו אם > 0 ε קטן ואם הגרף של פונקציה g מוכל בפס בעובי ε סביב הגרף של f, ייתכן שהשיפוע של g גדול בהרבה מהשיפוע של f. דוגמאות.1 תהי f n : [ 1, 1] R המוגדרת על ידי:.f n (x) = x 1+ 1 n אפשר לבדוק ישירות f n נקודתית ב 1].[ 1, נראה n ש f n גזירה בכל נקודה. כמו כן ברור ש x שההתכנסות במ"ש: לכל n N מתקיים: 1 1 f n (x) x = (1 x 1/n n ) x 1 n x [ 1 n, 1] 1 n x [0, 1 n ) ומכאן: } n.sup x [ 1,1] f n (x) x mx{ 1 n, 1 ( 1 n ) 1 מכאן כאשר n שואף לאינסוף מתקיים ש x sup x [ 1,1] f n (x) שואף לאפס, לכן (x) f n מתכנסת במ"ש. אבל f(x) לא גזירה באפס. 2. גם במקרים שבהם f n f במ"ש וכל הפונקציות f n ו f גזירות ב x 0 לא מתקיים בהכרח ש ) 0.f n(x 0 ) f (x למשל: rctn(nx).f n (x) = 1 n כמו כן מתקיים:. 3 n לכן 0 n f במ"ש ב.R גזירה מראה ש = 1 n(0) f לכל f n 1 n n. N אבל הנגזרת של פונקציית האפס היא 0 בכל נקודה. כלומר אף שהנגזרת של פונקציית הגבול קיימת וגם גבול הנגזרות של f n קיים, השניים לא שווים. לכן לא ניתן לנסח משפט על גזירות באותה כלליות כמו במשפטי הרציפות והאינטגרציה שהוכחנו בסעיפים הקודמים. כדי לנסח משפט על הנגזרת של גבול של פונקציות גזירות 1=n f) n ) נוסיף דרישה לגבי התכנסות סדרת פונקציות הנגזרת 1=n f). (n ניתן כאן שתי גרסאות למשפט על גזירות הפונקציה הגבולית. 159

160 6.3. תכונות של התכנסות במ"ש גזירה איבר איבר המקרה הפרטי טענה: תהי 1=n f) n ) סדרה של פונקציות גזירות ברציפות בקטע I ונניח ש f n f נקודתית ב I ו f n g במ"ש. אז f גזירה ומתקיים.f = g f(x) = lim n f n(x) = lim n (f n(c) + הוכחה: תהי c. I נשים לב שלכל x I מתקיים: x c f n(t)dt) = lim n f n(x) + lim n היות ו 1=n f) (n רציפות ומתכנסות במ"ש ל g ב I, מתקיים ש g רציפה ב I לכן f (x) = גזירה ומקיימת: f נובע ש f(x) = f(c) + x מהמשפט היסודי ומהשיווין g(t)dt c x c f n(t)dt = f(c) + g, כנדרש. x c g(t)dt גזירה איבר איבר המקרה הכללי בהוכחה של המשפט האחרון ההנחה בדבר רציפות הנגזרות אפשרה להפעיל את המשפט היסודי על n f ועל g. אפשר להיפטר מהנחה זו: טענה: תהי 1=n f) n ) סדרה של פונקציות גזירות בקטע I ונניח ש f n f במ"ש ב I ו f n g במ"ש. אז f גזירה ומתקיים.f = g הוכחה: נקבע x 0 I ונראה ש ) 0.f (x 0 ) = g(x תהי F : I R הפונקציה: g(x 0 ) x = x 0 F (x) = f(x) f(x 0) x x 0 x x 0 די להראות ש F רציפה ב x 0 שכן מכאן נובע ש f גזירה ומתקיימת: ) 0.f (x 0 ) = g(x נגדיר F n : I R באופן דומה: f n(x 0 ) x = x 0 F n (x) = f n(x) f n(x 0) x x 0 x x 0 לפי ההנחה ש f n גזירות נובע ש F n רציפות ב x. 0 אם נראה ש F n F במ"ש ב I, יינבע ש F רציפה ב x 0 כנדרש. 160

161 6.3. תכונות של התכנסות במ"ש נשים לב שלפי ההנחות F n F נקודתית ב I. לכן מספיק להראות ש 1=n F) n ) מתכנסת במ"ש ב I, ומיילא ינבע שהגבול הוא F. נפעיל לכן את תנאי קושי ונראה שבהינתן. F n (x) F m (x) < ε מתקיים: x I ולכל n, m > N כך שלכל N N קיים ε > 0 יהי > 0 ε. ממשפט לגרנז': m, n c (x 0, x) (x, x 0 ) F n (x) F m (x) = f n(x) f n (x 0 ) f m (x) + f m (x 0 ) x x 0 = (f n f m )(x) (f n f m )(x 0 ) = (f n f m ) (c) x x 0 אבל m(c) (f n f m ) (c) = f n(c) f והסדרה n=1 (f n) מקימת את תנאי קושי לסדרות פונקציות כי היא מתכנסת במ"ש ב I, לכן קיים N כך שלכל,m n > N מתקיים: F n (x) F m (x) < ε מתקיים: x I ולכל m, n > N כלומר, f n(c) f m(c) < ε כנדרש. גזירות: ניסוח עבור טורים טור פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב [b,]. טענה: תהי n(x) n=1 f נניח ש מתכנס במ"ש ב [b,] אז: וטור הנגזרות n(x) n=1 f n=1 f n pointwise f לכל b] x [, n=1 f n(x) uniformly f(x).1 ( ) n=1 f n(x) = גזירה על b] [, ו (x) n=1 f n=1 f n(x).2 המתכנס במידה שווה לפונקציה שנסמנה.φ(x) היות הוכחה: נתבונן בטור n(x) n=1 f ו n(x) f רציפה לכל n, N אזי φ(x) היא גבול במידה שווה של פונקציות רציפות ולכן והתכנסות הטור היא x n=1 f n(t)dt = x רציפה. בנוסף, על פי משפט קודם φ(t)dt. x במידה שווה ב.x מכאן לפי הנוסחה היסודית מתקיים: () f n(t)dt = f n (x) f n f n (x) f n () = f n (x) f n () = n=1 n=1 n=1 x φ(t)dt לכן: היא במ"ש. מכאן נשים לב 1=n f n(x) הוא מספר קבוע ולכן גם ההתכנסות של הטור 161

162 6.4. טורי חזקות ( f n (x)) = φ(x) n=1 גזירה, נקבל: שמהעובדה ש n(x) n=1 f בפרט גזירה. באיזשהי נקודה ב הערה: קל לראות שמספיק לדרוש את התכנסות הטור n(x) 1=n f [b,] ומזה יינבע ההתכנסות הטור של הנגזרות. 6.4 טורי חזקות רדיוס התכנסות טורי חזקות, כאשר הגדרה: טור חזקות series) (power הוא טור פונקציות מהצורה: 1=n nx n 1=n ) n ) סדרה ממשית שאיבריה נקראים המקדמים של הטור. f(x) = נאמר ש f ניתנת לייצוג כטור חזקות בקבוצה dom(f) A אם 1=n nx n לכל x A. הערה: באופן כללי, טור חזקות סביב x 0 הוא טור מהצורה n=1 n(x x 0 ) n טורי חזקות הם הכללה טבעית של מושג הפולינום. ההבדל היחיד הוא שמספר מחוברים אינו סופי, וכפי שנראה זהו במידה רבה הבדל טכני בלבד. ליתר דיוק, אפשר בדרך כלל להתייחס לטורי חזקות בדיוק כפי שמתייחסים לפולינומים אלא שהצדקה של הפעולות השונות מורכבת יותר. בסעיף זה נתייחס בעיקר לשאלת ההתכנסות של טורי חזקות, ונתייחס רק לטורי חזקות סביב אפס שכתיבתם פשוטה יותר. נשים לב שכל טור חזקה תמיד מתכנס נקודתית ב

163 6.4. טורי חזקות דוגמאות d, נגדיר: = 0 n לכל n > d ואז: 1. כל פולינום הוא טור חזקות: אם 0=n nx n =.p(x) הטור הזה מתכנס במ"ש בכל הישר n=0 nx n 2. נתבונן בטור החזקות.tuzx n ראינו שטור זה מתכנס נקודתית ב (1,1 ) ל = 1 f(x) וההתכנסות היא במ"ש בכל תת קטע סגור של (1,1 ). הטור אינו 1 x מתכנס באף נקודה x כך ש 1 x. (0) n. n = f אנו מקבלים כך טור חזקות n! 3. תהי f גזירה אינסוף פעמים ב 0, ויהיו. n=0 nx n הסכומים החלקיים של טור זה הם בדיוק פולינומי טיילור/מקלורן סביב 0 של הפונקציה. טור החזקות הזה נקרא טור טיילור של f. השאלה האם טור טיילור של f מתכנס אליו בקבוצה כלשהי שקול לשאלה האם סדרת פולינומי טיילור שלה מתכנסים אליה באותה קבוצה.4 בפרק על פולינומי טטילור ראינו שהפונקציות sin x, sin x, ln(1 + x), e x הן הגבול הנקודתי, בקבוצה המתאימה, של פולינומי טיילור שלהן. מכאן שפונקציות אלה ניתנות לייצוג כטור חזקות באותן קבוצות. הבעיה הבסיסית שנתעניין בה בסעיף זה היא איפיון תחום ההתכנסות של טור חזקות. בעוד שעבור טור פונקציות כללי תחום ההתכנסות יכול להיות קבוצת נקודות שרירותית, עבור טורי חזקות המצב פשוט יותר. רדיוס התכנסות טור חזקות. R R יקרא רדיוס ההתכנסות הגדרה: יהי n=0 nx n convergence) (rdius of של הטור אם הטור מתכנס עבור x < R ומתבדר עבור. x > R אם הטור מתכנס לכל x R אז נאמר ש =.R הקטע R) ( R, נקרא קטע ההתכנסות. ההערה: מהגדרה ברור ש R כזה, אם קיים, הוא יחיד. קיומו מובטח על ידי המשפט בסעיף הבא. 163

164 6.4. טורי חזקות נוסחת קושי הדמר ז'אק אדמר Hdmrd) (Jcques היה מתמטיקאי צרפתי יהודי בן המאה ה 20. מחשובי המתמטיקאים במאה ה 20 שמפורסם ממשפט המספרים הראשוניים. היה הדוד מדרגה שנייה של לוסי דרייפוס, אשתו של אלפרד דרייפוס. היה בין האחראים האקדמיים הראשונים של האוניברסיטה העברית ובחבר הנאמנים שלה (האוניברסיטה קמה תחת שלטון בריטי ללא ארגון עברי מסודר והייתה תחת חבר נאמנים המורכב מאקדמאים בינלאומיים כמו איינשטיין, פרויד, בובר וויצמן). ברח לארה"ב בצרפת של וישי לפני שואת יהודי צרפת. מת ב טור חזקות. אז רדיוס ההתכנסות של הטור הוא: משפט: יהי n=0 nx n 1 R = n lim sup n n כאשר אם המכנה הוא נגדיר: = 0 R ואם המכנה הוא 0 נגדיר = R הוכחה: מתכנס עבור x < R.1 נראה עבור 0,.R צריך להראות שהטור n=0 nx n ומתבדר עבור R.x > מתכנס בהחלט. נשים בכיוון אחד, די שנראה שאם x < R אז הטור 0=n nx n לב ש lim sup n n n x n n = x lim sup n = x n R < 1 מתכנס, כפי שרצינו. ולכן לפי מבחן השורש, הטור n 0=n nx n אם, x > R אז n < lim sup n בכיוון השני. 1 נובע מכך שלאינסוף n ים מתקיים x אינם n=0 nx n ואיברי הטור לאינסוף nים n x n לכן 1 n n > 1 x שואפים לאפס ולכן הטור לא מתכנס. ( n ) לא חסומה, לכן n=1 n n.2 עבור המקרה בו = n :lim sup הסדרה n n לא חסומה, לכן לכל {0} \ R x, הסדרה ) n ) n x לא חסומה בפרט לא אפסה ולכן הטור מתבדר. 164

165 6.4. טורי חזקות lim sup n n n x n n.3 עבור המקרה בו = 0 n :lim sup לכל,x R מתקיים: = n.x R לכן הטור מתכנס נקודתית לכל x lim sup n n n = 0 < 1 מסקנות מקושי הדמר 1. טור חזקות מתכנס נקודתית בקטע שמרכזו 0 או בכל R טור חזקות שמקיים 0 n כמעט תמיד. נגדיר:.2 ד'לאמבר: יהי n=0 nx n 1 lim R. = בהנחה שהגבול קיים במובן הרחב, אז הטור מתכנס עבור lim n n = L קיים במובן הרחב אז L = lim n+1 n n n n n i n = n i 1 1 n n n+1 n. x > R ומתבדר עבור x < R הוכחה: באינפי I ראינו שאם וזה נובע מקושי הדמר. להלן ההוכחה מאינפי I נסמן: = 1 0 ואז: i n L i 1 כאשר השיווין האחרון נובע מכך שאם סדרה חיובית 1=n b) n ) מקיימת b n b אז 1 n (משפט צ'זארו). n b i b דוגמאות!n. n = 1 כאן קשה ליישם את מבחן קושי הדמר n+1 lim = lim n n n. נסמן: n=0 xn n! 1. נתבונן בטור אבל אפשר להשתמש במסקנה האחרונה: n! (n + 1)! = lim n 1 n + 1 = 0 לכן = R. כלומר הטור מתכנס בכל הישר, וזה מה שראינו כבר בפרק על טורי טיילור n. כאן מקדמי הטור הם:. n = n n מתקיים: n n =.2 יהי n=1 nn x n ולכן = 0.R. כאן = 1 n לכל n N ולפי נוסחת קושי הדמר = 1.R.3 נתבונן בטור n=0 xn כאשר = ±1 x, האיבר הכללי בטור אינו שואף לאפס ולכן הטור אינו מתכנס שם. 165 לפיכך תחום ההתכנסות הוא הקטע (1,1 )

166 6.4. טורי חזקות 4. נתבונן בטור ההתכנסות הוא 1.. מקדמי הטור הם 1 n ומכייון ש = 1 1 n, n רדיוס n=1 xn n כאשר = 1 x הטור המתקבל הוא ההטור ההרמוני שמתבדר וכאשר 1 = x נקבל טור לייבניץ שמתכנס. מכאן תחום ההתכנסות: (1,1 ].. כאן מנוסחת קושי הדמר נקבל גם = 1 R אבל הטור n=1 xn.5 נתבונן בטור n 2 מתכנס גם ב = ±1 x. 6. מהו רדיוס ההתכנסות של?c n := x3n נגדיר סדרת אינדקסים עולה n=1 ( 8)n n ממש k=1 (n k ) בצורה הבאה:.n k = 3n כעת נגדיר סדרה n=1 ( n ) באופן הבאה: 3k = ( 8)k ו = 0 n לכל n שלא מופיע בסדרה n=1.( n ) מכאן הטור k x 3k על ידי הכנסת סוגריים סביב איברים שווי סימן מתקבל מהטור n=1 n n=1 c n n עבור n = ( 2)n לכן הם מתכנסים ומתבדרים ביחד. מכאן אפשר לראות ש 3/n xn המתחלק בשלוש ללא שארית ואפס אחרת. לכן: c n converges n=1 n coverges n=1 מכאן נוכל לממש את קושי הדמר: lim sup n ( 2) n = lim sup n n n/3 = 2.R = 1 2 לכן רדיוס ההתכנסות של הטור בשאלה הוא הדוגמאות האחרונות מראות שאם R R הוא רדיוס ההתכנסות של טור חזקות אז משפט קושי הדמר אינו נותן מידע על התכנסות או אי התכנסות הטור בנקודות R± התכנסות במ"ש של טורי חזקות ענינו על השאלה כיצד נראה תחום ההתכנסות של טור חזקות ואפילו איך למצוא תחום זה. נעבור לשאלה באילו קבוצות טור חזקות מתכנס במ"ש. עבור טור פונקציות כללי אין כלל המקשר בין תחום ההתכנסות לבין אותן קבוצות בהן הטור מתכנס במ"ש. 166

167 6.4. טורי חזקות התכנסות בהחלט של טור חזקות טענה: אם R רדיוס התכנסות של טור חזקות, אז הטור מתכנס בהחלט ב (R,R ) בעל רדיוס התכנסות R. המקדמים של טור החזקות 0=n n x n הוכחה: יהי n=0 nx n שווים בערכם המוחלט למקדמים של הטור המקורי, לכן לפי נוסחת קושי הדמר, רדיוס ההתכנסות שלו גם כן שווה ל R. תהי (R x. 0,R ) מתקיים x 0 < R ואז לפי האמור כפי מתכנס וזה שקול להתכנסות בהחלט של n=0 nx n 0 לעיל הטור n=0 n x 0 n שרצינו. התכנסות במ"ש בתת קטע טור חזקות בעל רדיוס התכנסות > 0 R. אז הטור מתכנס במ"ש טענה: יהי n=0 nx n בכל תת קטע סגור של (R,R ) הוכחה: מספיק להראות שלכל < r < R 0, הטור מתכנס במ"ש ב [r,r ], כי עבור כל תת קטע סגור של (R,R ) קיים r < R כך שהקטע מוכל ב [r,r ]. כך ש n x n M n נשתמש במבחן ווירשטראס: עלינו למצוא טור מתכנס 1=n M n לכל r].x [ r, מתכונות המונוטוניות של הפונקציות,x n נובע שלכל r] x [ r, מתקיים: n x n = n x n n r n מתכנס, נוכל לבחור M n = n r n ולהסיק אם נראה שטור המספרים 0=n n r n נובעת ממשפט ווירשטראס שהטור מתכנס במ"ש בקטע. התכנסות הטור 0=n n r n מהטענה הקודמת. כנדרש רציפות, גזירה ואינטגרציה של טורי חזקות בעקבות העובדה שטור חזקות מתכנס במ"ש בכל קטע סגור בתחום ההתכנסות שלו, אפשר להפעיל את הכלים שפיתחנו על גבולות במ"ש ולהוכיח רציפות וגזירות של טורי חזקות. כפי שנראה, כללי הגזירה והאינטגרציה של טורי חזקות דומים מאד לכללים עבור פולינומים. 167

168 6.4. טורי חזקות רציפות טור חזקות בעל רדיוס התכנסות > 0 R. אז הפונקציה : f טענה: יהי n=0 nx n.( R, R) רציפה ב f(x) = n=1 nx n המוגדרת על ידי ( R, R) R הוכחה: ראינו שגבול במ"ש של טור שאיבריו רציפים הוא פונקציה רציפה. המחוברים בטור חזקות רציפים בכל הישר ולכן אילו הטור היה מתכנס במ"ש ב (R,R ) הטענה הייתה נובעת. אולם מאחר שהטור הזה אינו בהכרח מתכנס במ,ש לא נוכל להפעיל את המשפט ישירות. מאידך, אנחנו יודעים שטור החזקות מתכנס במ"ש בכל (R,r ]. [r,r ) ולכן הפונקציה f רציפה בכל [r,r ]. כיוון שרציפות בנקודה היא תכונה אינפיניטסימלית, הרי כדי להוכיח ש f רציפה ב (R x 0,R ) מספיק להראות ש x 0 שייך לפנים של קטע מהסוג [r,r ]. אבל זה ברור: יש רק לבחור r המקיים x. 0 < r < R כנדרש. אינטגרציה lim sup n למה: תהי n=1 ( n ) סדרה אי שלילית, אז לכל k Z מתקיים: = n n+k lim sup n n n מתכנסים באותן נקודות כי בכל נקודה ו n=k nx n+k הוכחה: הטורים n=k nx n x הם מתקבלים זה מזה על ידי כפל ב x k לכן רדיוס ההתכנסות שלהם שווים ולפי נוסחת.lim sup n n+k n = lim sup n n קושי הדמר: n = f(x) טור חזקות בעל רדיוס אינטגרציה איבר איבר של טורי חזקות: יהי 0=n nx n התכנסות > 0.R אזי: x ( R, R) x 0 f(t)dt = n=0 x 0 n t n dt = n=1 n 1 n xn הוכחה: יהי (R x.,r ) ללא הגבלת הכלליות > 0 x. בקטע [x,0] טור החזקות המגדיר את f מתכנס במ"ש ומאחר שכל איברי הטור הם פונקציות רציפות ב [x,0] אפשר לבצע 168

169 6.4. טורי חזקות x 0 f(t)dt = n=0 x 0 n t n dt אינטגרציה איבר איבר ולקבל: x ולכן: 0 nt n dt = n חישוב פשוט עם המשפט היסודי מראה ש tn+1 1+n x n=0 0 = n=0 x 0 f(t)dt כלומר ש, x 0 f(t)dt = n=1 n n + 1 xn+1 = n=1 n 1 n xn n 1 n קיבלנו שלכל R) x ( R, מתקיים ש xn ניתן לייצוג כטור חזקות ב (R,R ). לפי המשפט היסודי זו פונקציה קדומה של f(x) וכל פונקציה קדומה אחרת נבדלת ממנה בקבוע. נסמן ב R את רדיוס ההתכנסות של R = (lim sup n n n 1 n ) 1 = lim n n lim sup n n. מקושי הדמר: n=1 1 n 1 = R n n 1 n xn גזירה = f(x) טור חזקות בעל רדיוס גזירה איבר איבר של טורי חזקות: יהי 0=n nx n התכנסות > 0.R אזי f גזירה בכל R) x ( R, ומתקיים: x ( R, R) f (x) = (n + 1) n+1 x n n=0 הערה: בפרט פונקציית הנגזרת של f ב (R,R ) היא גם כן טור חזקות בעל רדיוס התכנסות R הוא הוכחה: נסמן n+1.b n := (n + 1) אזי:.( n+1 x n+1 ) = b n x n לכן n=0 b nx n מקיים:. רדיוס ההתכנסות R של n=0 b nx n טור הנגזרות של n=0 nx n n (n + 1) n+1 ) 1 1 = lim n+1 = R R = (lim sup n n 1 n n + 1 lim sup n.f (x 0 ) = מכאן יהי R).x 0 ( R, די שנראה ש f גזירה ב x 0 ומקיימת n=0 b nx n 0 ו n=0 b nx n נבחר r כך ש. x 0 < r < R אז r) x 0 ( r, והטורים n=0 nx n = ) 0.f (x כנדרש. מתכנסים במ"ש ב r] [ r, ולכן f גזירה ב x 0 ומקיימת: n=0 b nx n n

170 6.4. טורי חזקות = f(x) טור חזקות בעל רדיוס התכנסות > 0.R אז f גזירה מסקנה: יהיו n=0 nx n אינסוף פעמים ב (R,R ). יתר על כן, הנגזרות מכל הסדרים ניתנות לייצוג כטור חזקות, f k (x) = n=k n! (n k)! nx n k והנגזרת ה kית נתונה על ידי: הוכחה: מידית: כמו שעשינו קודם ומאינדוקציה. f (x) = דוגמאות = f(x) ונקבל: n=0 xn n! 1. נגזור איבר איבר את הפונקציה n x n 1 = n! n=1 n=1 x n 1 (n 1)! = n=0 x n n! = f(x) x. לאינטגרל הזה אין ביטוי אלמנטרי, אולם יש לו הצגה.2 נחפש ביטוי עבור 0 e t2 dt אותם השיווין נכון כאשר מציבים t 2,e t = n=0 tn n! כטור חזקות. מאחר ו x R רדיוס ההתכנסות של טור זה הוא. לכן לכל e. t2 x 0 e t2 dt = x 0 n=0 t 2n n! dt = x 2n+1 (2n + 1)n! n=0 = n=0 t2n n! ומקבלים: מתקיים: טור חזקות המייצג פונקציה יחיד = f(x) בסביבה משפט: תהי f פונקציה ונניח שיש ל f ייצוג כטור חזקות 0=n nx n n = f n (0) n! כלשהי של 0. אז מקדמי הטור נתונים על ידי הנוסחה הוכחה: אם ל f יש ייצוכ כטור חזקות בסביבה של 0, אז היא גזירה אינסוף פעמים ב 0. נציב = 0 x בנוסחה עבור f. k כל המחוברים שבהם מופיע x מתאפסים, ולכן התרומה היחידה לטור באה מהמחובר האחרון: f. k (0) = n! n מכאן הנוסחה ל n נובעת על ידי העברת אגפים. כנדרש. 170

171 6.5. משפט אבל טיילור וטורי חזקות המקדמים של טורי חזקות נתונים במשפט האחרון על ידי אותה הנוסחה שהגדירה את המקדמים של פולינומי מקלורן/טיילור של הפונקציה. ואמנם הכלים שפיתחנו על טורי חזקות מראים שפולינומי מקלורן מתכנסים לפונקציה בסביבה של 0 כאשר הפונקציה ניתנת להצגה על ידי טורי חזקות: משפט: תהי f גזירה אינסוף פעמים באפס. אז f ניתנת לייצוג כטור חזקות בקטע (r,r ) אם ורק אם f היא הגבול הנקודתי של פולינומי מקלורן שלה בקטע (r,r ) P n (x) = n פולינומי מקלורן של.f אם f היא ix i ויהי n := f n (0) n! הוכחה: נסמן: = f(x) לכל x באותה הגבול הנקודתי של P n בקטע כלשהו, אז היא מקיימת: 0=n nx n הקטע וממילא מיוצגת כטור חזקות. להפך, אם יש לה ייצוג כטור חזקות בסביבה של 0, אז הטור נתון על ידי 0=n nx n לאותם מקדמים n מהכיוון ההפוך, והסכומים החלקיים של טור זה הם P. n לכן אם f ניתנת לייצוג כטור חזקות בקטע כלשהו אז f היא גבול נקודתי של P. n כנדרש. 6.5 משפט אבל טור חזקות בעל רדיוס התכנסות R אמנם מתכנס במ"ש בכל קטע [r,r ] עבור r < R 0, אך שראינו שאין הוא חייב להתכנס בנקודות R± וייתכן שההתכנסות בקטע (R,R ) אינה במ"ש. עכשיו ננסה לראות את הקשר בין ההתכנסות של טור חזקות בנקודות R± לבין ההתכנסות במ"ש שלו בקטעים הכוללים את R±. טור פונקציות שבו כל f n רציפה ב [b,]. נניח שהטור מתכנס טענה: יהי n(x) n=0 f מתכנס מתכנס, והטור n(x) n=0 f במידה שווה בקטע (b,]. אזי הטור n(b) 0=n f במ"ש. מקיים את תנאי קושי. יהי > 0 ε. לפי תנאי הוכחה: נראה שטור המספרים n(b) 0=n f קושי להתכנסות במ"ש של טורי פונקציות, קייים N כך שלכל m > n > N ולכל (b x,]. m מתקיים: k=n f k(x) < ε סכום זה הוא סכום סופי של פונקציות רציפות ב [b,] 171

172 6.5. משפט אבל ולכן גם הסכום הוא פונקציה רציפה ב [b,]. היות והאי שיווין נכון לכל x, < b מרציפות מקיים את תנאי קושי n=0 f k(b) לכן הטור. m הפונקציות ב b נובע: k=n f n(b) ε ולכן מתכנס. מתכנס במ"ש ב (b,], ומתכנס בנקודה b, הוא מתכנס כעת טור הפונקציות (x) 0=n f במ"ש ב [b,], כנדרש. מסקנה: אם טור חזקות בעל רדיוס התכנסות R, אינו מתכנס ב R אז הטור אינו מתכנס במ"ש ב (R,0] ואם הוא אינו מתכנס ב R הטור אינו מתכנס במ"ש ב [0,R ) משפט אבל טור חזקות בעל רדיוס התכנסות > 0 R. נניח ש R שייך לתחום משפט: יהי n=0 nx n ההתכנסות. אז הטור מתכנס במ"ש בקטע [R,0] היה מתכנס בהחלט ב R אז לכל x R ו n N היינו הערה: אילו n=0 nx n מקבלים: n x n n R n והיינו מקבלים את הטענה מיידית מווירשטראס. הוכחה מההרצאה: מנוסחת הסכימה של אבל, עבור המקרה הפרטי שבו B i L חסומה. m לכל i ו ( i ) m מונוטונית, נקבל ש ) n ib i L(2 m + נניח שהטור מתכנס ב R. יהי > 0 ε אז קיים N N כך שלכל,m n > N מתקיים לפי m+n j=n+1 : קושי עבור טור המספרים 0=n nr n m j R j = n+j R n+j < ε 3 j=1 m m ( ) n+j x < R n+j x n+j = x n+j R n+j }{{} R j=1 j=1 B j }{{} j מכאן: B i = i מכאן הסדרה j=1 ( j) n מונטוניות יורדת וכן לכל i m מתקיים: j=1 β j < ε 3 m n+j x n+j < ε 3 (2 x R j=1 n+m + x R n+1 ) < ε מהסכימה של אבל: 172

173 6.5. משפט אבל הוכחה מהוכמן: נשתמש בקריטריון קושי להתכנסות במ"ש: יהי > 0 ε. צריך להראות m. על שקיים N N כך שלכל m > n > N ולכל R] x [0, מתקיים: k=n kx k < ε פי הנתון בדבר התכנסות טור החזקות ב x = R קיים N N כך שלכל m n > N m. יהיו n > N ו.k N יהי x R.0 אז: מתקיים: k=n kr k < ε k x k = n+k k=n k n+i x n+i = k ( ) n+i x n+i R n+i R נזכיר את נוסחת הסכימה של אבל: לכל שתי סדרות s 1,..., s k ו t 1,..., t k מתקיים: k k k 1 s i t i = S k t k + S i (t i t i 1 ) מכאן עבור s i = n+1 R n+i ו t = ( x R )n+i נקבל: n+i R n+i ( x R )n+i = S k ( x k 1 R )n+k + S i (( x R )n+i ( x R )n+i 1 ) S k ( x k 1 R ) n+k + S i ( x R )n+i 1 ( x R )n+i, S i = i נוכל לבחור N כך j=1 s j = i היות ולכל i מתקיים: j=1 n+ir n+i < ε k n+i R n+i ( x R )n+i ε ( x k 1 R ) n+k + ε ( x R )n+i 1 ( x R )n+i ש אבל 1 R x 0, ולכן ההפרש בכל אחד מהמחוברים מימין חיובי ולכן אפשר להתעלם k מסימן הערך המוחלט ומקבלים סכום טלסקופי: n+i R n+i ( x k 1 R )n+i ε + ε (( x R )b+i 1 ( x R )b+i ) = ε + ε(( x R )n+i ( x R )n+k ) 2ε ותנאי קושי מתקיים כנדרש. מסקנות: חזקות בעל רדיוס התכנסות R והוא מתכנס ב R אז הטור.1 אם n=0 nx n מתכנס במ"ש בקטע [0,R ] 2. טור חזקות מתכנס במ"ש בכל תת קטע סגור של תחום ההתכנסות הנקודתית שלו. 173

174 6.6. פונקציות אנליטיות משפט הרציפות והאינטגרציה של אבל = f(x) ויהי R רדיוס ההתכנסות של הטור. אם הטור מתכנס משפט: תהי n=0 nx n ב R, אז f רציפה משמאל ב R ואם הטור מתכנס ב R אז f רציפה מימין ב R. x 0 f(t)dt = n בכל מקרה, אם הטור מתכנס ב x אז: xn+1 0=n 1+n הוכחה: אם הטור מתכנס ב R אז הטור מתכנס במ"ש ב [R,0] ולכן רציף משמאל ב R כגבול במ"ש של פונקציות רציפות. כך גם עבור R. המסקנה בעניין האינטגרל כבר הוכחה עבור המקרה x < R ובמקרה של x = R± היא נובעת מאותו שיקול כמו בהוכה שם תוך שימוש בהתכנסות במ"ש של שהטור בקטע שקצותיו 0 ו x. כנדרש. 6.6 פונקציות אנליטיות הגדרה: נאמר ש f(x) אנליטית ב x 0 R אם קיימת ל f הצגה כטור חזקות סביב x. 0.x (x 0 R, x 0 + R) לכל f(x) = כלומר שקיים > 0 R כך ש n=0 n(x x 0 ) n הגדרה: נאמר ש f(x) אנליטית בקטע פתוח (b,) אם היא אנליטית בכל (b x 0,). n = f n (x 0) n! הערה: אם f אנליטית ב x, 0 אז משפט: תהי f אנליטית ב x 0 כך שרדיוס ההתכנסות של טור טיילור שלה הוא R אזי f אנליטית בקטע הפתוח (R+ x) 0,R x 0 ורדיוס ההתכנסות R 1 של טור טיילור טיילור שלה סביב נקודה R) x 1 (x 0 R, x 0 + מקיים ש } 1 R 1 min{x 1 (x 0 R), x 0 + R x הוכחה: תהי f אנליטית ב x. 0 נניח שלטור טיילור שלה סביב x 0 יש רדיוס התכנסות של.x 0 ללא הגבלת הכלליות = 0.0 < R R יהי R).x 1 ( R, יהי h R כך ש R) x 1 + h ( R, וגם. x 1 + h < R צריך להוכיח שטור טיילור של f סביב x 1 מתכנס ב x 1 + h ל (h.f(x 1 + על פי הנתון: ( ) f(x 1 + h) = n (x 1 + h) n = n=0 n n n=0 j=0 ( ) n x j 1 j hn j 174

175 6.6. פונקציות אנליטיות n ( x 1 + h ) n = n=0 n n n=0 j=0 היות ו x 1 + h < R מתקיים: ( ) j x 1 n h n j n כלומר הטור ב ( ) מתכנס בהחלט. לכן ניתן לשנות את סדר הסכימה ב ( ) והטור יתכנס f(x 1 + h) = ( ) k ( k n n=0 k=n x k n 1 )h n ל h) f(x 1 + לכן: זה טור חזקות ב h = x x 1 שמתכנס בהחלט. משפט: אם f, g אנליטיות ב x 0 אז f ± g ו f g אנליטיות ב x 0 R f ונסמן ב g(x) = n=0 b n(x x 0 ) n ו f(x) = הוכחה: נסמן: n=0 n(x x 0 ) n ו R g את רדיוסי ההתכנסות בהתאמה. אז עבור } g,r = min{r f, R ברור ש n=0 f(x) ± g(x) = n=0 ( n ± b n )(x x 0 ) n n=0 ( )( ) fg = n (x x 0 ) n b n (x x 0 ) n = כמו כן עבור x x 0 < R אז: n=0 k=0 k b n (x x 0 ) n 175

176 פרק 7 פונקציות בעלות השתנות חסומה 7.1 מבוא הגדרה: תהי f : [, b] R ותהי P חלוקה של b].[, נגדיר: = b]) V (f, P, [, n את ההשתנות (vrition) של הפונקציה. (f(x i) f(x i 1 )) הגדרה: נגדיר: ) (P V (f, [, b]) := sup P V נקרא ההשתנות הכוללת של f על b].[, הגדרה: אם קיים L R עבור f כך ש sup P V (P ) = L אז נאמר ש f בעלת השתנות חסומה V b הערה: לסט סימן: ) P) דוגמאות:.1 פונקציה קבועה בעלת השתנות חסומה כי = 0 b]) V (f, P, [, לכל.P 2. פונקציה חסומה לאו דווקא בעלת השתנות חסומה, למשל ניקח: 0 x = 0 f(x) = cos( 1 x ) x (0, 1] 176

177 7.1. מבוא חשבון אינפיניטסימלי (2) תשע"ז { 1 = n.p ואז: n k הוכחה: יהי n N ותהי החלוקה 1} {0, n} k 0 V (f, P n, [0, 1]) = cos(πn) 0 + cos(π(n 1) cos(πn) cos(π) cos(2π) + cos(1) cos(π) = 1 + 2(n 1) לכן לכל n N מתקיים: 1) 2(n V (f, [0, 1]) V (f, P n, [0, 1]) 1 + ולכן.V (f, [0, 1]) = חסימות כתנאי הכרחי להשתנות חסומה טענה: תהי f :,] [b R בעלת השתנות חסומה. אזי f חסומה. הוכחה: לכל b),x (, ניקח את החלוקה הטרוויאלית: b} P = {, x, אזי: f(x) f() f(x) f() f(x) f() + f(b) f(x) V (f, [, b]) מכאן בפרט b]) f(x) f() + V (f, [, ו f חסומה, כנדרש. לכל פונקציה מונוטונית יש השתנות חסומה טענה: תהי f :,] [b R מונוטונית. אז f בעלת השתנות חסומה הוכחה: תהי } n P = {x 0,..., x חלוקה כלשהי של b].[, ממונוטונית f נקבל ש ) i f(x ) 1 i f(x משמרי סימן. מכאן: V (f, P, [, b]) = f(x i ) f(x i 1 ) = (f(x i ) f(x i 1 ) = f(b) f() = V (f, [, b]) = f(b) f() 177

178 7.2. משפט ז'ורדן מרחק הפונקציות בעלי השתנות חסומה הוא מרחב וקטורי טענה: יהיו f, g פונקציות בעלות השתנות חסומה על b] [, ו.c R אז cf ו f ± g פונקציות בעלות השתנות חסומה ב b] [, וכן: b]) V (f+g, [, b]) V (f, [, b])+v (g, [, ו b]).v (cf, [, b]) = c V (f, [, הוכחה: תהי } n P = {x 0,..., x חלוקה כלשהי של b].[, ואז: V (f ± g, P, [, b]) = f(x i ) ± g(x i ) (f(x i 1 ) ± g(x i 1 ) f(x i ) f(x i 1 ) + g(x i ) g(x i 1 V (f, P, [, b]) + V (f, P, [, b]) V (f, [, b]) + V (g, [, b]) באופן זהה עבור c, כנדרש. 7.2 משפט ז'ורדן משפט ז'ורדן: f :,] [b R בעלת השתנות חסומה אם ורק אם היא ניתנת להצגה כהפרש של שתי פונקציות מונוטוניות לא יורדות הוכחה: צד אחד ברור, הצד השני הוא להראות שפונקציה בעלת השתנות חסומה ניתנת להצגה כהפרש מונוטונות: נגדיר: F : [, b] R על ידי x]).f (x) = V (f, [, בנוסף נגדיר: (x) f(x).g(x) = F לכל b < h < 0 ולכל b) x [, כך ש b].x+h [, מכאן: F (x + h) F (x) = V (f, [, x + h]) V (f, [, x]) = V (f, [x, x + h]) 0 וכן: G(x + h) G(x) = F (x + h) F (x) (f(x + h) f(x)) = V (f, [x, x + h]) (f(x + h) f(x)) V (f, [x, x + h]) f(x + h) f(x) V (f, [x, x + h] V (f, [x, x + h]) = 0 כנדרש. 178 מסקנה: כל פונקציה בעלת השתנות חסומה אינטגרבלית רימן.

179 7.2. משפט ז'ורדן הקשר בין גזירות להשתנות חסומה משפט: אם f גזירה על [b,] שנגזרתה אינטגרבלית רימן על [b,], אזי f בעלת השתנות V (f, [, b]) = b חסומה על b] [, אז מתקיים: f (x) dx הוכחה: מאינטגרבלית f נובע שגם f אינטגרבלית. לכל חלוקה } n P = {x 0,..., x של V (f, P, [, b]) = = f(x i ) f(x i 1 ) = f (t i ) (x i x i 1 ) n b f(x i ) f(x i 1 ) (x i x i 1 ) f (x) dx [b,] מתקיים מלגארנז': (x i x i 1 ). b מכאן: b]) f (x) dx V (f, [, בכיוון שני, לכל > 0 ε קיימת חלוקה P של b] [, כך ש.V (f, P, [, b]) V (f, [, b]) ε נבנה סדרת חלוקות n=1 (P n ) על ידי עידון של P שמקיימת 0 ) n.λ(p אזי מתקיים שלכל N N ש V (f, P n, [, b]) V (f, [, b]) ε כי עידון רק מגדיל את ההשתנות. V (f, [, b]) = ומכאן: V (f, P n, [, b]) b אבל גם f (x) dx V (f, P n ) ε. b f (x) dx 179

180 פרק 8 בחנים מצורפים החל מעמוד הבא כל הבחנים שהיו בקורס. 180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190