Μέθοδος συγκερασμοῦ κλιμάκων οἱ διατονικὲς κλίμακες τοῦ Διδύμου, τῆς Ἐπιτροπῆς, τοῦ Χρυσάνθου, καὶ οἱ συγκράσεις τους

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μέθοδος συγκερασμοῦ κλιμάκων οἱ διατονικὲς κλίμακες τοῦ Διδύμου, τῆς Ἐπιτροπῆς, τοῦ Χρυσάνθου, καὶ οἱ συγκράσεις τους"

Transcript

1 Μέθοδος συγκερασµού κλιµάκων - Οι διατονικές κλίµακες του ιδύµου, της Επιτροπ... Page 1 of 19 Βυζαντινή Μουσική Κλίμακες Μέθοδος συγκερασμοῦ κλιμάκων οἱ διατονικὲς κλίμακες τοῦ Διδύμου, τῆς Ἐπιτροπῆς, τοῦ Χρυσάνθου, καὶ οἱ συγκράσεις τους τοῦ Δρ. Παναγιώτη Δ. Παπαδημητρίου Διαβάζοντας διάφορα θεωρητικὰ βιβλία, παρατηροῦμε ὅτι ἀναφέρονται οἱ ἀποστάσεις τῶν χορδῶν μεταξύ τους μὲ κλασματικοὺς λόγους, ἀλλὰ καὶ μὲ ἀκέραια τμήματα/κόμματα (π.χ. 12, 10, 8, κτλ.). Ὅμως, γιὰ τὸν τρόπο μὲ τὸν ὁποῖον γίνεται ἡ ἀντιστοίχιση ἀπὸ τὰ πρῶτα στὰ δεύτερα (ἡ κοινῶς λεγομένη σύγκραση), δὲν ἔχουμε δεῖ νὰ γίνεται ἐπιστημονικὸς λόγος. Αὐτὸ τὸ κενὸ θὰ προσπαθήσουμε νὰ καλύψουμε σὲ αὐτὸ τὸ ἄρθρο μας. Νὰ τονίσουμε ὅτι ἡ ἔρευνά μας βασίζεται στὸ γεγονὸς ὅτι ἡ ʺἀληθινὴʺ κλίμακα (ἀπὸ ἐδὼ καὶ πέρα, κλίμακα) εἶναι αὐτὴ ποὺ δίνεται μὲ κλασματικοὺς λόγους, καὶ ὅτι οἱ κλίμακες μὲ τὰ τμήματα/κόμματα (ἀπὸ ἐδὼ καὶ πέρα, συγκερασμένες κλίμακες), δὲν εἶναι παρὰ προσεγγίσεις τῆς κλίμακας. Σὲ αὐτὸ τὸ ἄρθρο, θὰ περιοριστοῦμε μόνο στὴν διατονικὴ κλίμακα, καὶ θὰ ἀσχοληθοῦμε μὲ τὰ παρακάτω θέματα: 1. Ἡ διατονικὴ κλίμακα τοῦ Διδύμου. 2. Ἡ διατονικὴ κλίμακα τῆς Ἐπιτροπῆς, ὁ συγκερασμός της, καὶ σύγκριση μὲ τὴν διατονική κλίμακα τοῦ Διδύμου, καὶ τὴν διατονικὴ τοῦ Χρυσάνθου. 3. Μέθοδος συγκερασμοῦ τῶν κλιμάκων. 4. Κριτικὴ στὸν συγκερασμὸ τῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς, καὶ νέες συγκράσεις τῆς κλίμακάς της. 5. Συγκερασμοὶ τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου. 6. Συγκερασμοὶ τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Χρυσάνθου. 7. Συμπεράσματα. 1. Ἡ διατονικὴ κλίμακα τοῦ Διδύμου. Ἡ διατονικὴ κλίμακα ποὺ ἀποδέχονται τὰ περισσότερα θεωρητικά, εἶναι αὐτὴ τοῦ Διδύμου τοῦ Ἀλεξανδρέως, 1ος μ.χ. αἰ. [Κηπουργός 1985, σ. 87] (ἐπίσης δὲς Δεβρελῆ, σ.

2 Μέθοδος συγκερασµού κλιµάκων - Οι διατονικές κλίµακες του ιδύµου, της Επιτροπ... Page 2 of 19 31): Νη Πα 10/9 Βου 16/15 Γα Δι Κε 10/9 Ζω 16/15 Νηʹ, καὶ σὲ σχετικὰ μήκη χορδῶν: Νη Πα Βου Γα Δι Κε Ζω Νηʹ 1 8/9 4/5 3/4 2/3 16/27 8/15 1/2 ὅπου: = 3/2 : 4/3 10/9 = 5/4 : 16/15 = 4/3 : 5/4. Γιὰ τὴν ἰστορία, ʺὁ Πυθαγόρας πειραματιζόμενος ἀκουστικὰ στὸ μονόχορδο, βρῆκε τοὺς λόγους τῶν διαστημάτων τῆς ὀκτάβας (1/2 τοῦ μήκους τῆς χορδῆς), τῆς πέμπτης (2/3), καὶ τῆς τετάρτης (3/4)ʺ [Κηπουργός]. Ἐπίσης, τὸ διάστημα μείζονος τρίτης 5/4, ἀποδίδεται στὸν Δίδυμο τὸν Ἀλεξανδρέα, κατὰ τὸν Κηπουργό. Γιὰ νὰ βροῦμε τὴν συχνότητα ἑνὸς φθόγγου (δεδομένης γιὰ παράδειγμα τῆς συχνότητας τοῦ Νη = φ), ἀπλὰ πολλαπλασιάζουμε τὸ φ μὲ τὸ ἀντίστροφο τοῦ σχετικοῦ μήκους τῆς χορδῆς τοῦ φθόγγου, π.χ. συχνότητα Κε = φ * 27/16. Τὴν παραπάνω διατονικὴ κλίμακα, ἀναφέρουν ἐπίσης καὶ τὰ ἐξῆς θεωρητικὰ βιβλία: 1. Βασίλειος Στεφανίδης (1819) [δὲς Παγκρατίου Βατοπαιδινοῦ, σ ]. 2. Μιχαὴλ Α. Χατζηαθανασίου (1948), σ. 10, Ἀβραὰμ Χ. Εὐθυμιάδη (1997), σ Σπ. Χ. Ψάχου (1997), σ Νὰ σημειώσουμε ὅτι ὁ Ἀλυγιζάκης (2003), σ. 152, ἔχει τὸ Νη Γα: Νη Πα 10/9 Βου 16/15 Γα (ἐξάγεται εὔκολα ἀπὸ τοὺς λόγους τῶν παλμικῶν κινήσεων ποὺ δίνει), ἀλλὰ τὸ Δι Κε τὸ δίνει 5/3 : 3/2 = 10/9 καὶ τὸ Κε Ζωʹ 15/8 : 5/3 =. Δὲς ἐπίσης Μισαηλίδου, 1902, σ. 51, ποὺ λέει ὅτι τὸ Δι Κε=10/9, καὶ Κε Ζωʹ= εἶναι διαστήματα τῆς Εὐρωπαϊκῆς Μουσικῆς. Ἐπίσης εἶναι ἄτοπο νὰ δίνει τὸ Δι Κε Ζωʹ (σ.152) τμήματα, καὶ σὲ κλασματικοὺς λόγους 10/9, καθότι 10/9 < καὶ 12 > Ἐπίσης ὁ Μαυρουδῆς (1981), σ. 147, ἔχει τὸ Νη Γα: Νη Πα 10/9 Βου 16/15 Γα. Πάντως νὰ ποῦμε ὅτι τόσα θεωρητικὰ βιβλία ὑπάρχουν, καὶ φαίνεται ὅτι δὲν τολμοῦν

3 Μέθοδος συγκερασµού κλιµάκων - Οι διατονικές κλίµακες του ιδύµου, της Επιτροπ... Page 3 of 19 (ἐν γένει) οἱ συγγραφεῖς των νὰ καταπιαστοῦν μὲ τὴν κλίμακα, παρὰ δίνουν τὴν συγκερασμένη κλίμακα (συνήθως ἀντιγραφὴ ἐκ τῆς Ἐπιτροπῆς τοῦ 1881), γιὰ τὴν ὁποῖαν διερωτῶμαι ποιοὶ ἔχουν ἀκούσει πῶς ἀκούγεται. Τὸ βασικότερο στοιχεῖο τῆς θεωρίας, ἡ κλίμακα (χωρὶς αὐτὴν τὶ θὰ ψάλλεις;), καὶ ὅμως ὑπάρχει κατὰ τὴν γνώμη μας μεγάλη ἄγνοια περὶ αὐτήν. 2. Ἡ διατονικὴ κλίμακα τῆς Ἐπιτροπῆς, ὁ συγκερασμός της, καὶ σύγκριση μὲ τὴν διατονική κλίμακα τοῦ Διδύμου, καὶ τὴν διατονικὴ τοῦ Χρυσάνθου. Ἡ Ἐπιτροπὴ τοῦ 1881, ἀναφέρει τοὺς λόγους τῶν διαστημάτων τῆς δικῆς της διατονικῆς (μὴ συγκερασμένης) κλίμακας (σ. 16, 14, τῆς ʺΣτοιχειώδους διδασκαλίαςʺ), κατὰ τὴν ὁποῖαν ʺἀντικείμενον ἐπανειλημμένων δοκιμῶν ἐγένετο τὸ μῆκος τῆς χορδῆς διὰ τὸν φθόγγο Βου, ἡ μέση αὐτοῦ ἀξία εὑρέθη οὖσα 0,810 ἐπὶ χορδῆς ἑνὸς μέτρουʺ: Νη Πα 800/729 Βου 27/25 Γα Δι Κε 800/729 Ζω 27/25 Νηʹ, καὶ σὲ σχετικὰ μήκη χορδῶν, [σ. 14 τοῦ ἐγχειριδίου τῆς Ἐπιτροπῆς]: Νη Πα Βου Γα Δι Κε Ζω Νηʹ 1 8/9 81/100 3/4 2/3 16/27 27/50 1/2 ἢ ἰσοδύναμα [εὐχαριστοῦμε τὸν ἱεροψάλτη Ἰωάννη Ἀρβανίτη γιὰ τὴν ὑπόδειξη]: Νη Πα Βου Γα Δι Κε Ζω Νηʹ 1 8/9 4/5*81/80 3/4 2/3 16/27 8/15*81/80 1/2 ὅπου: 81/80 = : 10/9 800/729 = * (80/81)^2 = 10/9 * 80/81 27/25 = * 24/25 = 16/15 : 80/81 25/24 = 10/9 : 16/15. Ἐπίσης, στὴν ʺΣτοιχειώδη διδασκαλία...ʺ τῆς Ἐπιτροπῆς τοῦ 1881, διαβάζουμε (σ. 22): ʺ[...] ἡ Ἐπιτροπὴ προὐτίμησε τὴν πειραματικὴν μέθοδον πάσης θεωρίας προέβη δηλαδὴ εἰς τὴν σύγκρασιν κατὰ προσέγγισιν τῶν διαστημάτων τοῦ διαγράμματος, ἐπιβαλλομένην πάντοτε εἰς τὴν κατασκευὴν τῶν ὀργάνων χάριν τῆς εὐχρηστίας, [...]. Καὶ μετὰ πολλὰς δοκιμὰς εὖρεν ὅτι ἡ διαίρεσις τοῦ διαστήματος διαπασῶν εἰς 36 ἀκουστικὰ ἴσα διαστήματα ἐκφέρει τὰ ἡμέτερα ᾄσματα μετὰ προσεγγίσεως δυναμένης νὰ εὐχαριστήσῃ τὸν μᾶλλον μεμψίμοιρον ἱεροψάλτην ἐκ τῶν 36 τούτων ἴσων ἀκουστικῶν βαθμίδων, ἂς ἀπεκάλεσε τμήματα, ἀποδώσασα ἕξ εἰς τὸν μείζονα, πέντε

4 Μέθοδος συγκερασµού κλιµάκων - Οι διατονικές κλίµακες του ιδύµου, της Επιτροπ... Page 4 of 19 εἰς τὸν ἐλάσσονα, καὶ τέσσαρα εἰς τὸν ἐλάχιστον κετεσκεύασε τὸ Ψαλτήριον.ʺ Δηλαδὴ τὰ διαστήματα τῆς Ἐπιτροπῆς γιὰ τὴν συγκερασμένη διατονικὴ κλίμακα, εἶναι (σ. 49 τῆς ʺΣτοιχειώδους διδασκαλίαςʺ): Νη 6 Πα 5 Βου 4 Γα 6 Δι 6 Κε 5 Ζω 4 Νηʹ. Ἐπίσης ἀναφέρει ἡ Ἐπιτροπή, σ. 23: ʺὙποδεικνύει ἐνταῦθα ἡ Ἐπιτροπὴ ὅτι διαίρεσις τοῦ διὰ πασῶν εἰς 72 ἴσα ἀκουστικὰ διαστήματα ἤθελεν ἐπιφέρει τελειοτέραν μεταξὺ θεωρίας καὶ πράξεως συμφωνίανʺ (σημείωσε ὅτι αὐτὸ ποὺ λέει ἡ Ἐπιτροπὴ δὲν εἶναι ἀπαραίτητα σωστό γιὰ κάθε εἴδους κλίμακα). Δηλ. τώρα τὰ διαστήματα θὰ εἶναι (πολλαπλασίασε ἐπὶ δύο, τὰ διαστήματα τῆς ἀνωτέρω κλίμακας): Νη 12 Πα 10 Βου 8 Γα 12 Δι 12 Κε 10 Ζω 8 Νηʹ. Σημειωτέον, ὅτι οἱ δύο προαναφερθεῖσες κλίμακες δίνουν τὶς ἴδιες συχνότητες, καὶ ὅτι τὴν παραπάνω συγκερασμένη κλίμακα χρησιμοποιοῦν τὰ περισσότερα (ἐξ ὅσων γνωρίζουμε) θεωρητικά (μερικὰ δίνουν ἐπιπλέον τῆς συγκερασμένης κλίμακας, καὶ κλίμακα μὲ λόγους), π.χ. τοῦ Ἀ.Χ. Εὐθυμιάδη, σ. 81, τοῦ Δ.Γ. Παναγιωτόπουλου, σ. 50, κ.ἄ. Ὅπως λοιπὸν εἶπε ἡ ἴδια ἡ Ἐπιτροπή, ʺπροὐτίμησε τὴν πειραματικὴν μέθοδον πάσης θεωρίαςʺ. Καὶ ἐπίσης ἔπραξε τὴν διαίρεση τῆς διαπασῶν σὲ 36 ἴσα τμήματα ʺοὐχὶ ὁδηγουμένη ὑπὸ τῆς προηγηθείσης θεωρίας, ἀλλʹ ὑπὸ τῆς ὀξύτητος τῆς ἀκοῆς τῶν μελῶν αὐτῆςʺ, καὶ ʺμετὰ πολλὰς δοκιμάςʺ, καὶ ʺπροέβη εἰς τὴν σύγκρασιν κατὰ προσέγγισινʺ. Ἀξίζει νὰ ἀναφέρουμε τὴν παρατήρηση τοῦ ἀρχιμ. Παγκρατίου Βατοπεδινοῦ ἐπὶ τῇ βάσει ὄχι τῆς συγκερασμένης (36/72 κόμματα), ἀλλὰ αὐτῆς τῆς διατονικῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς (σ. 35): ʺἩ διαίρεσις αὕτη τῆς κλίμακος, ἢ μᾶλλον ὁ καθορισμὸς τοῦ μήκους τῆς χορδῆς ἑκάστου τόνου τῆς κλίμακος εἶνε μὲν ἀκουστικῶς ἀληθής, οὐχὶ ὅμως καὶ ἐπιστημονικῶς ἀκριβής διότι δὲν ἐξήχθη ἀμέσως ἐκ μαθηματικῶν ὑπολογισμῶν, ἀλλὰ κατηρτίσθη ἐπὶ τῇ βάσει δοκιμῶν. Πᾶν δὲ τὸ ἐπὶ τῇ βάσει δοκιμῶν γινόμενον δὲν δύναται νὰ ᾖνε καὶ ἐπιστημονικῶς ἀκριβές, καὶ μάλιστα ἀντικείμενα ἀκοῆς διότι ἐκεῖνο, ὅπερ ἐγὼ ἀντιλαμβάνομαι καὶ θεωρῶ διὰ τῆς ἀκοῆς μου ὡς ὀρθόν, μία ἄλλη ὀξυτέρα καὶ μᾶλλον εὐαίσθητος ἀκοὴ δύναται νὰ ἀποδείξῃ λελανθασμένον, καὶ δὲν δύναμαι νὰ ἀναιρέσω τὴν ἀντίληψιν καὶ γνώμην αὐτοῦ, διότι δὲν ἔχω ἐπιστημονικὴν μαθηματικὴν βάσιν, ἐφʹ ἧς στηριζόμενος νὰ ἀποδείξω τὸ ἐναντίονʺ. Ἂς σημειωθεῖ ἐπίσης, ὅτι τότε δὲν εἶχαν ἀναλυτὲς φάσματος καὶ ὑπολογιστὲς γιὰ νὰ καταγράψουν ἀκριβέστατα τὶς κλίμακες ποὺ ἔψαλλε ὁ κάθε ψάλτης συνεπῶς ἂν ἡ ἴδια δουλειὰ γινόταν τὴν σημερινὴ ἐποχή, εἶναι δυνατὸν τὰ ἀποτελέσματα νὰ διέφεραν. Ἐπίσης, ὁ Χατζηαθανασίου (1948) γράφει γιὰ τὸν Βου τῆς Μουσικῆς Ἐπιτροπῆς: ʺΤὸ δὲ

5 Μέθοδος συγκερασµού κλιµάκων - Οι διατονικές κλίµακες του ιδύµου, της Επιτροπ... Page 5 of 19 σφάλμα τῆς Μουσικῆς Ἐπιτροπῆς τοῦ Οἰκουμενικοῦ Πατριαρχείου περὶ του ὕψους τοῦ τρίτου φθόγγου (Βου) καὶ τοῦ ἀναπαραγώγου αὐτοῦ (Ζω), προῆλθε κατὰ τὴν ἡμετέραν ἀντίληψιν [ ] ἐκ τοῦ ἐσφαλμένου συστήματος τὸ ὁποῖον εἶχεν αὕτη ὡς βάσιν πρὸς ἐξακρίβωσιν τοῦ σταθεροῦ ὕψους τῶν φθόγγωνʺ, καὶ ἀναφέρει τὸ χωρίον τῆς Ἐπιτροπῆς ʺἈντικείμενον ἐπανειλημμένων δοκιμῶν ἐγένετο τὸ μῆκος τῆς χορδῆς διὰ τὸν φθόγγον (Βου), ἡ μέση αὐτοῦ ἀξία εὑρέθη οὖσα (0,810) ἐπὶ χορδῆς ἑνὸς μέτρουʺ, καὶ καταλήγει: ʺἘκ τῆς διατυπώσεως τοῦ χωρίου διαφαίνεται ὅτι τὸ ὕψος τοῦ φθόγγου (Βου) δὲν καθωρίσθη θετικῶς, ὅπως καὶ τῶν λοιπῶν φθόγγων, ἀλλὰ μᾶλλον κατὰ συμβιβασμόν. Ἐκ τούτου ἀποδεικνύεται ὅτι τὸ ληφθὲν βασικὸν σύστημα δὲν ἦτο τὸ ἐνδεδειγμένον. Τοιοῦτον δὲ εἶναι τὸ σύστημα τῶν δεσποζόντων φθόγγων καὶ τῶν ἀπηχημάτων. Ὁ φθόγγος (Βου) ἔχει τὸ ἐκφραστικώτερον ἀπήχημα πρὸς καθορισμὸν τοῦ φυσικοῦ αὐτοῦ ὕψους, τὸ ὁποῖον οὐδεὶς νόμος δύναται νὰ κλονίσῃ. Ὁ φθόγγος (Βου) ἀποτελεῖ τὸν βασικὸν φθόγγον τοῦ ἤχου ʺλέγετοςʺ. Τὸ ἀπήχημα αὐτοῦ δὲν ἐκφράζεται ἐκ τοῦ βαρέος πρὸς τὸ ὀξύ, ἀλλʹ ἐκ τοῦ ὀξέος ἐπὶ τὸ βαρύʺ. Παρακάτω συγκρίνουμε τὴν διατονικὴ κλίμακα τοῦ Διδύμου, μὲ τὴν κλίμακα τῆς Ἐπιτροπῆς καὶ τῆς συγκερασμένης αὐτῆς κλίμακα, καθὼς καὶ μὲ τὴν διατονικὴ τοῦ Χρυσάνθου [μέγα Θεωρητικόν, σ. 28], ἡ ὁποῖα ἔχει ὡς ἐξῆς: Νη Πα 12/11 Βου 88/81 Γα Δι Κε 12/11 Ζω 88/81 Νηʹ, καὶ σὲ σχετικὰ μήκη χορδῶν: Νη Πα Βου Γα Δι Κε Ζω Νηʹ 1 8/9 22/27 3/4 2/3 16/27 44/81 1/2 ἢ ἰσοδύναμα, Νη Πα Βου Γα Δι Κε Ζω Νηʹ 1 8/9 4/5*55/54 3/4 2/3 16/27 8/15*55/54 1/2 ὅπου ὑπολογίσαμε ὅτι: 55/54 = 10/9 : 12/11 (τὸ 12/11 φαίνεται ὅτι εἶναι διάστημα τοῦ Πτολεμαῖου [Δεβρελῆς, σ. 31]). Ἡ σύγκριση τῶν προαναφερθέντων κλιμάκων (Διδύμου, Ἐπιτροπῆς, Χρυσάνθου) γίνεται στὸν Πίνακα 1, χρησιμοποιώντας ὡς ἀναφορὰ τὸν Νη, π.χ. Νη = C = 440 * 2^( 9/12) = Hz. [Τὰ ἀρχεῖα ἤχων δίνονται μόνο γιὰ ἐξάσκηση (π.χ. γιὰ ἐπαλήθευση τοῦ ὕψους τοῦ φθόγγου ποὺ διαβάζετε στὴν Παραλλαγή), καὶ ὄχι γιὰ χρησιμοποίηση μέσα στοὺς Ἱεροὺς Ναούς. Οἱ ἤχοι ἔχουν παραχθεῖ μὲ ὑπολογιστὴ μὲ ὑπέρθεση ἀρμονικῶν.]

6 Μέθοδος συγκερασµού κλιµάκων - Οι διατονικές κλίµακες του ιδύµου, της Επιτροπ... Page 6 of 19 Πίνακας 1. Σύγκριση Διατονικῶν Κλιμάκων. Διατονική Διδύμου Διατονική Ἐπιτροπῆς 1881 Διατονικὴ Χρυσάνθου Συγκερασμένη Διατονικὴ Ἐπιτροπῆς 1881 Νη Νηʹ Νη Νηʹ Νη Νηʹ Νη Νηʹ 16/15 27/25 88/81 8 Ζωʹ 490,5479 Ζωʹ 484,4918 Ζωʹ 481,6289 Ζωʹ 484, /9 800/729 12/11 10 Κε 441,4931 Κε 441,4931 Κε 441,4931 Κε 440, Δι 392,4383 Δι 392,4383 Δι 392,4383 Δι 391, Γα 348,8341 Γα 348,8341 Γα 348,8341 Γα 349, /15 27/25 88/81 8 Βου 327,0320 Βου 322,9945 Βου 321,0859 Βου 323, /9 800/729 12/11 10 Πα 294,3288 Πα 294,3288 Πα 294,3288 Πα 293, [Σημ. Γιὰ σύγκριση καὶ ἄλλων διατονικῶν ἀρχαίων κλιμάκων, ὁ ἐνδιαφερόμενος παραπέμπεται στό: ] Κατʹ ἀρχὴν παρατηροῦμε ὅτι ἡ διατονικὴ τοῦ Διδύμου, ἡ διατονικὴ τῆς Ἐπιτροπῆς, καὶ ἡ διατονικὴ τοῦ Χρυσάνθου, διαφέρουν μόνο κατὰ τοὺς φθόγγους Βου καὶ Ζωʹ (λόγῳ τοῦ ὁμοίου τετραχόρδου). Ἐπίσης βλέπουμε ὅτι ἡ διατονικὴ τῆς Ἐπιτροπῆς, μὲ τὴν συγκερασμένη αὐτῆς, διαφέρουν περίπου 1 1.5Hz, ποὺ κατὰ τὴν γνώμη μας δὲν εἶναι πολύ (δὲν εἶναι ὅμως καὶ λίγο). Δηλαδὴ ὁ συγκερασμὸς τῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς σὲ κτλ. (λαμβάνοντας ὑπʹ ὅψιν ἄθροισμα κομμάτων 72) εἶναι καλός. Ὅμως, ἡ συγκερασμένη κλίμακα , ἔγινε μὲ βάση τὴν κλίμακα τῆς Ἐπιτροπῆς, καὶ δὲν εἶναι σωστὸ ποὺ ἀρκετοὶ θεωρητικοὶ τὴν δίνουν καὶ ὡς συγκερασμένη τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου, ἀφοῦ βλέπουμε ὅτι διαφέρουν μέχρι καὶ 6Hz. Συνεπῶς ἀπαιτεῖται (ἀκριβέστερος) συγκερασμὸς τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου. 3. Μέθοδος συγκερασμοῦ τῶν κλιμάκων. Ἐπειδὴ δὲν ἔχουμε δεῖ στὰ θεωρητικὰ βιβλία κάποια μέθοδο συγκερασμοῦ τῶν κλιμάκων σὲ ἀκέραια κόμματα (ἐκτὸς ἀπὸ τὸν Ἀλυγιζάκη, σ. 152, ὁ ὁποίος σκιαγραφεῖ

7 Μέθοδος συγκερασµού κλιµάκων - Οι διατονικές κλίµακες του ιδύµου, της Επιτροπ... Page 7 of 19 σὲ λίγες γραμμὲς μιὰ μέθοδο χωρὶς ὅμως λεπτομέρειες), θὰ ἀναλύσουμε σὲ αὐτὴν τὴν ἑνότητα μιὰ ἐπιστημονικὴ μέθοδο. Ἂς ὑποθέσουμε ὅτι ἔχουμε ἕνα (ζ+1) χορδο (τὸ ζ εἶναι ἀκέραιος), τοῦ ὁποῖου οἱ ἄκρες χορδές (π.χ. Ρ, Α), ἔχουν λόγο συχνοτήτων m>1, Α λ(1) B λ(2) Γ λ(3)... λ(ζ) Ρ καὶ τὸ ὁποῖο μᾶς δίνεται μὲ τοὺς λόγους λ(1),..., λ(ζ), ποὺ περικλείονται στὸ παρακάτω διάνυσμα, λ = [λ(1), λ(2),..., λ(ζ)]ʹ. Αὐτὸ τὸ (ζ+1) χορδο, θέλουμε ἐμεῖς νὰ τὸ συγκεράσουμε, δηλ. νὰ τὸ διαιρέσουμε σὲ Ν ἴσα ἀκουστικὰ τμήματα, καὶ νὰ πάρουμε τ(1),..., τ(ζ), τ = [τ(1), τ(2),..., τ(ζ)]ʹ, ἄθροισμα[τ] = N, ἔτσι ὥστε τὸ (ζ+1) χορδο νὰ δίνεται κατὰ προσέγγιση ὡς Α τ(1) B τ(2) Γ τ(3)... τ(ζ) Ρ. Οἱ ἀριθμοὶ τ μπορεῖ νὰ εἶναι ἀκέραιοι, ἀλλὰ καὶ νὰ ἔχουν παραπάνω ἀκρίβεια, π.χ. 0.5, 0.25, κ.ο.κ., ἀνάλογα μὲ τὴν προσέγγιση ποὺ θέλουμε νὰ κάνουμε. Τὸ πρόβλημα τώρα εἶναι, πῶς θὰ προσεγγίσουμε (συγκεράσουμε) τὸ (ζ+1) χορδο. Ἡ προσέγγιση μπορεῖ νὰ γίνει γιὰ εὐκολία, εἴτε ὡς m.^(τ/n) > λ (α) εἴτε παίρνοντας τοὺς λογάριθμους, π.χ. μὲ βάση r (γιὰ κάποιο r), στὴν ἀνωτέρω σχέση ὡς logr[m.^(τ/n)] > logr[λ] (β). Γιὰ τὴν προσέγγιση θὰ ἀκολουθήσουμε μεθόδους μοντελοποίησης (modelling of data). Φυσικά, ἂν δὲν περιορίσουμε τὰ τ νὰ εἶναι ἀκέραιοι ἀριθμοί, ἀλλὰ πραγματικοί (τὸ ὁποῖο κατὰ τὴν γνώμη μας δὲν ἔχει μεγάλη ʺπρακτικὴʺ ἀξία, καθότι οἱ πραγματικοὶ ἀριθμοὶ δὲν συγκρατοῦνται εὔκολα ἀπὸ τὴν μνήμη, ὅπως οἱ ἀκέραιοι), τότε ὁ ὑπολογισμός τους βγαίνει αὐτόματα ἀπὸ τὴν παραπάνω σχέση (β), ἐξισώνοντας τὰ δύο μέρη: logr[m.^(τ/n)] = logr[λ] <=> τ = Ν * logm[λ]. Ι. Ἐλάχιστα τετράγωνα (least squares fit)

8 Μέθοδος συγκερασµού κλιµάκων - Οι διατονικές κλίµακες του ιδύµου, της Επιτροπ... Page 8 of 19 Σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδο ἐλαχίστων τετραγώνων θέλουμε νὰ βροῦμε τὸ διάνυσμα τ, ὥστε νὰ ἐλαχιστοποιεῖται τὸ ἄθροισμα [Numerical Recipes in C, 2nd ed., σ. 657]: Φ = ἄθροισμα[ ( λ m.^(τ/n) ).^2 ] (αʹ μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων) Ἐπίσης θὰ μπορούσαμε νὰ χρησιμοποιήσουμε (ἀνάμεσα σὲ ἄλλες παραλλαγές) τὴν μέθοδο ἐλαχίστων τετραγώνων, προσεγγίζοντας τὸν λογάριθμο τῶν λόγων: Φ = ἄθροισμα[ ( logr[λ] logr[m.^(τ/n)] ).^2 ] (βʹ μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων). Συνεπῶς ψάχνουμε γιὰ ὅλα τὰ διανύσματα τ (μὲ τὴν βοήθεια Η/Υ) ποὺ νὰ ἱκανοποιοῦν τοὺς παραπάνω περιορισμούς, καὶ ἐπιλέγουμε αὐτὸ τὸ διάνυσμα ποὺ ἐλαχιστοποιεῖ τὸ παραπάνω ἄθροισμα Φ (ὡς συνάρτηση τοῦ Ν). Παράδειγμα (προσέγγιση τῆς διατονικῆς κλίμακας) Ἔστω ὅτι θέλουμε νὰ ὑπολογίσουμε τὰ τμήματα τῆς διατονικῆς κλίμακας (m=2): Νη τ(1) Πα τ(2) Βου τ(3) Γα τ(1) Δι τ(1) Κε τ(2) Ζω τ(3) Νηʹ. Γιὰ νὰ μειώσουμε τὴν πολυπλοκότητα τοῦ προβλήματος, θέτουμε ὅτι: τ(1) >= τ(2) >= τ(3) ἐπειδὴ ξέρουμε ὅτι τὸ ἕνα διάστημα εἶναι μεγαλύτερο τοῦ ἄλλου (τὴν ἰσότητα τὴν θέλουμε σὲ περίπτωση ποὺ τὸ Ν εἶναι μικρό). Ἀκόμη, ἐξ ὁρισμοῦ ἔχουμε (ἀπὸ τὴν παραπάνω διατονικὴ κλίμακα), Ν = 3*τ(1) + 2*τ(2) + 2*τ(3). Ἔστω λ = [λ(1), λ(2), λ(3)]ʹ, τὸ διάνυσμα ποὺ ἀντιστοιχεῖ στοὺς κλασματικοὺς λόγους τῆς κλίμακας π.χ. γιὰ τὴν διατονικὴ κλίμακα τοῦ Διδύμου (1ης στήλης τοῦ Πίνακα 1): λ(1)=, λ(2)=10/9, λ(3)=16/15. Τότε σύμφωνα μὲ τὴν παραπάνω μεθοδολογία, ψάχνουμε νὰ βροῦμε τὸ διάνυσμα τ ὥστε νὰ μειώνεται τὸ παρακάτω ἄθροισμα Φ (αʹ ἢ βʹ μεθόδου): Φ = ἄθροισμα[ a.* ( λ m.^(τ/n) ).^2 ] (αʹ μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων Ιαʹ) Φ = ἄθροισμα[ a.* ( logr[λ] logr[m.^(τ/n)] ).^2 ] Ιβʹ). (βʹ μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων ὅπου τὸ a χρησιμοποιεῖται, ἐπειδὴ ὁ μείζων τόνος τ(1) ἀπαντᾶται 3 φορές, ὁ ἐλάσσων τόνος τ(2) 2 φορές, καὶ τὸ μείζον ἡμιτόνιο τ(3) 2 φορές: a = [a(1), a(2), a(3)]ʹ = [3, 2, 2]ʹ.

9 Μέθοδος συγκερασµού κλιµάκων - Οι διατονικές κλίµακες του ιδύµου, της Επιτροπ... Page 9 of 19 ΙΙ. Ἄλλες μέθοδοι μοντελοποίησης Ἄλλες μέθοδοι μοντελοποίησης μποροῦν ἐπίσης νὰ χρησιμοποιηθοῦν (Κεφ. 15ο τοῦ ʺNumerical Recipesʺ), ἀλλὰ δὲν θὰ ἀσχοληθοῦμε γιατὶ δὲν τὸ κρίνουμε σκόπιμο, ἀλλὰ μᾶλλον χρονοβόρο. 4. Κριτικὴ στὸν συγκερασμὸ τῆς διατονικῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς, καὶ νέες συγκράσεις τῆς κλίμακάς της. Ἂς δοῦμε ὅμως τώρα, τὶς δέκα καλύτερες συγκράσεις τῆς διατονικῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς τοῦ 1881 μὲ τὴν μέθοδο Ιαʹ, θέτοντας (δὲς Πίνακα 1, 2η στήλη), λ(1)=, λ(2)=800/729, λ(3)=27/25, καὶ περιορίζοντας τὰ τμήματα τ νὰ εἶναι μόνο ἀκέραιοι ἀριθμοί. Μὲ τὸν ὄρο καλύτερες συγκράσεις, ἐννοοῦμε ὅτι ψάχνουμε γιὰ τὰ Ν, γιὰ τὰ ὁποῖα π.χ. 7 <= Ν <= 100, καὶ βρίσκουμε π.χ. τὰ 10 καλύτερα, ἀπὸ τὴν ἄποψη ὅτι ἐλαχιστοποιοῦν τὸ Φ (σημείωσε, ὅτι γιὰ κάθε Ν ψάχνουμε τὰ τ ποὺ ἐλαχιστοποιοῦν τὸ Φ). Τὰ ἀποτελέσματα δίνονται στὸν Πίνακα 2. Πίνακας 2. Οἱ δέκα καλύτερες νέες συγκράσεις τῆς διατονικῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς 1881 (2η στήλη τοῦ Πίνακα 1), ὡς πρὸς τὴν ἐλαχιστοποίηση τοῦ Φ τῆς μεθόδου Ιαʹ, μὲ 7 <= Ν <= 100. Ν Φ τ(1), τ(2), τ(3) e e e e e e e e e e , 11, 9 15, 12, 10 9, 7, 6 17, 13, 11 16, 13, 11 11, 9, 7 13, 10, 8 16, 13, 10 6, 5, 4 12, 10, 8 Δυστυχῶς βλέπουμε τὸ Ν = 36 (ἢ 72) ποὺ πρότεινε ἡ Ἐπιτροπή, ὄχι στὶς πρῶτες θέσεις (ἀπὸ ἄποψη ἀκρίβειας συγκερασμοῦ), ἀλλὰ στὴν 9η (βάσει τοῦ Ν<=100). Τὴν τρίτη θέση κατέχει τὸ Ν=53, ποὺ ἀποδίδεται στὸν Δανὸ Μερκάτορα (17ος αἰ.) ποὺ τὸ βρῆκε σὲ συγγράματα τοῦ Κινέζου Κίνγκ Φάνγκ (2ος π.χ. αἰ.), καὶ τὸ ὁποῖο χρησιμοποιεῖ ἡ

10 Page 10 of 19 τουρκικὴ μουσική [Κηπουργός, σ. 90]. Πάντως βλέπουμε ὅτι τὸ Ν = 36, δίνει ὅντως τ = [6, 5, 4]ʹ, καὶ τὸ Ν = 72, δίνει (εὔκολα ἐξάγεται) τ = [12, 10, 8]ʹ, καὶ τὸ ἴδιο Φ, μὲ τὴν περίπτωση Ν=36. Ἐπομένως, 1. ἡ σύγκραση τῆς Ἐπιτροπῆς ἐλαχιστοποιεῖ τὸ Φ συναρτήσει τοῦ Ν = 36 (72), ὅμως ἂν ἀφήσουμε τὸ Ν νὰ παίρνει τιμές 7<=Ν<=100, τότε βρίσκουμε ὅτι τὸ Ν=82 δίνει μεγαλύτερη ἀκρίβεια συγκερασμοῦ ἀπὸ τὸ Ν=36(72), ἀλλὰ καὶ ἀπὸ τὸ Ν=53. Μᾶς ἀπασχόλησε τὸ ἐρώτημα, πῶς ἔφθασε ἡ Ἐπιτροπὴ στὸν ἀριθμὸ Ν=36, καὶ ὄχι σὲ κάποιον ἄλλον. Μιὰ πιθανὴ ἀπάντηση εἶναι ἡ ἐξῆς: παρατήρησε ὅτι στὸν Πίνακα 2, πάνω ἀπὸ τὸ Ν=36, δὲν ὑπάρχει Ν μικρότερο τοῦ 53. Ὁπότε ἂν ὑποθέσουμε ὅτι ἡ Ἐπιτροπὴ περιόρισε π.χ. τὰ Ν νὰ εἶναι μικρότερα τοῦ 53 ἢ ἄλλου ἀριθμοῦ μικρότερου τοῦ 53 (τότε δὲν εἴχαν Η/Υ γιὰ νὰ κάνουν τοὺς ὑπολογισμοὺς σὲ δευτερόλεπτα, ὁπότε θὰ κοιτοῦσαν νὰ μείνουν σὲ μικρὲς τιμὲς τοῦ Ν), τότε ὄντως τὸ Ν=36 δίνει τὸν ἀκριβέστερο συγκερασμό! Ἄς συγκρίνουμε ὅμως καὶ τὶς συχνότητες (δὲς Πίνακα 3), καὶ τὰ σέντς (δὲς Πίνακα 4), τῆς διατονικῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς, τῆς συγκερασμένης κατὰ τὴν ἐπιτροπή, καὶ τῆς συγκερασμένης μὲ τὴν μέθοδό μας ἔχοντας Ν=82. Πίνακας 3. Σύγκριση ὡς πρὸς τὶς συχνότητες, τῆς διατονικῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς 1881 (2η στήλη, Πίνακας 1), μὲ τὶς συγκερασμένες κλίμακες τοῦ Ν = 36 (Ν = 72 δίνει ἴδια, ἀλλὰ τὴν ἀναφέρουμε), καὶ Ν = 82 (ποὺ δίνει τὸ ἐλάχιστο Φ, γιὰ 7 <= Ν <= 100, μὲ τὴν μέθοδο Ιαʹ). Ἐπιτροπὴ 1881 μὲ λόγους Σύγκραση Ν = 36 Σύγκραση Ν = 72 Σύγκραση Ν = 82 27/ Ζωʹ 484,4918 Ζωʹ 484,4650 Ζωʹ 484,4650 Ζωʹ 484, / Κε 441,4931 Κε 440,0000 Κε 440,0000 Κε 441, Δι 392,4383 Δι 391,9954 Δι 391,9954 Δι 392, Γα 348,8341 Γα 349,2282 Γα 349,2282 Γα 348, / Βου 322,9945 Βου 323,3416 Βου 323,3416 Βου 323, / Πα 294,3288 Πα 293,6648 Πα 293,6648 Πα 294,4934

11 Page 11 of Ἐπειδὴ ἐξ ὁρισμοῦ, ἡ μία ὀκτάβα ἔχει 1200 σέντς, τὰ σέντς c μὲ βάση τὰ κόμματα/τμήματα τ (Ν) δίνονται ἀπὸ τὴν σχέση, c = τ*1200/n, ὅπου τ τὰ τμήματα τῶν συγκερασμένων κλιμάκων. Σὲ σχέση μὲ τοὺς λόγους λ, τὰ σέντς c δίνονται ἀπὸ τὴν σχέση c = 1200*log2(λ). Πίνακας 4. Σύγκριση ὡς πρὸς τὰ σέντς, τῆς διατονικῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς 1881 (2η στήλη, Πίνακας 1), μὲ τὶς συγκερασμένες κλίμακες τοῦ Ν = 36 (Ν = 72 δίνει ἴδια, ἀλλὰ τὴν ἀναφέρουμε), καὶ Ν = 82 (ποὺ δίνει τὸ ἐλάχιστο Φ, γιὰ 7 <= Ν <= 100, μὲ τὴν μέθοδο Ιαʹ). Ἐπιτροπὴ 1881 μὲ λόγους Σύγκραση Ν = 36 Σύγκραση Ν = 72 Σύγκραση Ν = 82 Νηʹ Νηʹ Νηʹ Νηʹ 27/ Ζωʹ Ζωʹ Ζωʹ Ζωʹ 800/ Κε Κε Κε Κε Δι Δι Δι Δι Γα Γα Γα Γα 27/ Βου Βου Βου Βου 800/ Πα Πα Πα Πα Νη Νη Νη Νη Παρατηροῦμε, ὅτι ὅντως ἡ διαίρεση τῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς 1881, σὲ 82 τμήματα εἶναι ἀκριβέστερη αὐτῆς τῆς διαίρεσης τῆς ἴδιας τῆς Ἐπιτροπῆς σὲ 36 (72). Ἂς προχωρήσουμε ὅμως λίγο παραπάνω, καὶ ἂς ἐπιτρέψουμε στὰ τ νὰ παίρνουν καὶ

12 Page 12 of 19 τιμὲς +1/2. Τότε, γιὰ τὸ χωρισμό Ν=72, βρίσκουμε ὅτι τὸ Φ ἐλαχιστοποιεῖται καὶ πάλι ἀπὸ τὰ τμήματα (Φ=4.6167e 5). Ἂν ὅμως ἐπιτρέψουμε στὰ τ νὰ παίρνουν (ἐκτὸς ἀπὸ τὶς ἀκέραιες) καὶ τιμὲς +1/4, +1/2, +3/4, τότε, γιὰ τὸν χωρισμό Ν=72, βρίσκουμε ὅτι τὸ Φ ἐλαχιστοποιεῖται ἀπὸ τὰ τμήματα (Φ=3.5565e 005), 12, 9+3/4, 8+1/4. Ἐπίσης, γιὰ καθαρὰ ἐρευνητικοὺς λόγους, αὐξήσαμε τὸ πεδίο τοῦ Ν, καὶ τὰ ἀποτελέσματα ἔχουν ὡς ἐξῆς (μέθοδος Ιαʹ): Γιὰ 7<=Ν<=300, ἡ καλύτερη σύγκραση εἶναι: Ν=253, τ=[43, 34, 28]ʹ, Φ=2.5551e 007. Γιὰ Ν=300, ἡ σύγκραση εἶναι: τ=[50, 41, 34]ʹ, Φ=3.3022e 005. Γιὰ 7<=Ν<=1200, ἡ καλύτερη σύγκραση εἶναι: Ν=1171, τ=[199, 157, 130]ʹ, Φ=7.4712e 010. Γιὰ Ν=1200, ἡ σύγκραση εἶναι: τ=[204, 161, 133]ʹ, Φ=6.2642e Συγκερασμοὶ τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου. Εἴδαμε λοιπόν, ὅτι ὁ συγκερασμὸς τῆς διατονικῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς σὲ 36 τμήματα, εἶναι ἀκριβὴς μόνο ἂν θεωρήσουμε Ν<53, καὶ ἐπίσης δεδομένων τῶν 36 τμημάτων, ἡ ἀντιστοίχηση (ἢ στὰ 72 τμήματα) στοὺς μείζονες, ἐλάσσονες τόνους καὶ τὰ μείζονα ἡμιτόνια, εἶναι ἀκριβής. Ὅμως ὅπως εἴδαμε, τὰ περισσότερα θεωρητικὰ ἔχουν ἀπορρίψει τοὺς λόγους τῆς Ἐπιτροπῆς τοῦ 1881, καὶ χρησιμοποιοῦν τὴν κλίμακα τοῦ Διδύμου (Πίνακας 1, 1η στήλη). Τὸ περίεργο εἶναι, ὅτι ὑπάρχουν θεωρητικοί, ποὺ δίνουν τὴν διατονικὴ κλίμακα ὄχι μὲ τοὺς λόγους τῆς Ἐπιτροπῆς, ἀλλὰ μὲ τοὺς λόγους τοῦ Διδύμου, καὶ ἀπὸ τὴν ἄλλη χρησιμοποιοῦν τὴν συγκερασμένη κλίμακα τῆς Ἐπιτροπῆς ὡς συγκερασμένη τῆς τοῦ Διδύμου, πράγμα ἄτοπο! Γιὰ αὐτὸ τὸν λόγο θὰ κοιτάξουμε νὰ ἐφαρμόσουμε τὴν μεθοδολογία μας, πρὸς νέους συγκερασμοὺς τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου, θέτοντας λ(1)=, λ(2)=10/9, λ(3)=16/15, καὶ περιορίζοντας τὰ τμήματα τ νὰ εἶναι μόνο ἀκέραιοι ἀριθμοί. Ψάξαμε λοιπὸν γιὰ τὰ Ν, γιὰ τὰ ὁποῖα 7 <= Ν <= 100, καὶ βρήκαμε ὅτι τὰ δέκα καλύτερα (μαζὶ μὲ τὰ ἀντίστοιχα τμήματα τ), ἀπὸ τὴν ἄποψη ὅτι ἐλαχιστοποιοῦν τὸ Φ, εἶναι τὰ ἐξῆς (Πίνακας 5).

13 Page 13 of 19 Πίνακας 5. Οἱ δέκα καλύτερες νέες συγκράσεις τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου (1η στήλη Πίνακα 1), ὡς πρὸς τὴν ἐλαχιστοποίηση τοῦ Φ, μὲ 7 <= Ν <= 100, μὲ τὴν μέθοδο Ιαʹ. Ν Φ τ(1), τ(2), τ(3) e e e e e e e e e e 005 9, 8, 5 11, 10, 6 17, 15, 9 16, 14, 9 15, 13, 8 13, 12, 7 14, 13, 8 12, 11, 7 16, 15, 9 15, 14, 8 Ἀπὸ τὸ παραπάνω βλέπουμε ὅτι ἂν θεωρήσουμε ὅτι διαιροῦμε τὴν διατονικὴ κλίμακα τοῦ Διδύμου σὲ 72 τμήματα, τότε τὰ τμήματα ποὺ ἐλαχιστοποιοῦν τὸ Φ δὲν εἶναι τὰ (τὰ ὁποῖα ἦσαν γιὰ τὴν κλίμακα τῆς Ἐπιτροπῆς τοῦ 1881, δὲς Πίνακα 2), ἀλλὰ τὰ ! Ἂς προχωρήσουμε ὅμως λίγο παραπάνω, ὅπως καὶ στὴν προηγούμενη ἐνότητα, καὶ ἂς ἐπιτρέψουμε στὰ τ νὰ παίρνουν καὶ τιμὲς +1/4, +1/2, +3/4 (ἐκτὸς ἀπὸ τοὺς ἀκέραιους ἀριθμούς), τότε, γιὰ τὸν χωρισμό Ν=72, βρίσκουμε ὅτι τὸ Φ ἐλαχιστοποιεῖται καὶ πάλ ἀπὸ τὰ τμήματα (Φ=3.8582e 5). Ἂν ἐπιτρέψουμε στὰ τ νὰ παίρνουν καὶ τιμὲς +1/5, +2/5, +3/5, +4/5, τότε, γιὰ τὸν χωρισμό Ν=72, βρίσκουμε ὅτι τὸ Φ ἐλαχιστοποιεῖται ἀπὸ τὰ τμήματα (Φ=1.6669e 5) 12+2/5, 10+4/5, 6+3/5. Ἀπλῶς νὰ ἀναφέρουμε, ὅτι πρῶτος (κατὰ τὶς γνώσεις μας) ὁ Μισαηλίδης (1902), π.χ. σ 53, 82, ἀναφέρει τὴν διατονικὴ κλίμακα στὰ τμήματα (σύνολο 72) περισσότερες λεπτομέρειες δὲν μποροῦμε νὰ δώσουμε, καθότι δὲν ἔχουμε ὅλο τὸ βιβλίο του, παρὰ φωτογραφίες ποὺ βγάλαμε ἀπὸ τὸ βιβλίο ποὺ τὸ βρήκαμε στὴν Ἐθνικὴ Βιβλιοθήκη τῆς Ἑλλάδος. Πάντως παρατηροῦμε ὅτι στὸν συγκερασμὸ τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου (Πίνακας 5), τὸ Ν=53 δίνει τὸν ἀκριβέστερο συγκερασμὸ γιὰ Ν<=100. Ἂν ὅμως μεγαλώσουμε τὸ πεδίο τοῦ Ν, καὶ θέσουμε π.χ. Ν<=300, τότε τὰ ἀποτελέσματα διαφέρουν. Γιὰ παράδειγμα, ψάξαμε γιὰ τὰ Ν, γιὰ τὰ ὁποῖα 7 <= Ν <= 300, καὶ βρήκαμε ὅτι τὰ δέκα καλύτερα, ἀπὸ τὴν ἄποψη ὅτι ἐλαχιστοποιοῦν τὸ Φ (μέθοδος Ιαʹ), εἶναι τὰ ἐξῆς (Πίνακας 6).

14 Page 14 of 19 Πίνακας 6. Οἱ δέκα καλύτερες νέες συγκράσεις τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου (1η στήλη Πίνακα 1), ὡς πρὸς τὴν ἐλαχιστοποίηση τοῦ Φ, μὲ 7 <= Ν <= 300, μὲ τὴν μέθοδο Ιαʹ. Ν Φ τ(1), τ(2), τ(3) e e e e e e e e e e , 26, 16 49, 44, 27 38, 34, 21 46, 41, 25 20, 18, 11 40, 36, 22 47, 42, 26 48, 43, 26 44, 39, 24 37, 33, 20 Στὸν Πίνακα 7 ἔχουμε τὴν σύγκριση (ὡς πρὸς τὶς συχνότητες) τῆς διατονικῆς τοῦ Διδύμου, μὲ τὶς ἀντίστοιχες συγκερασμένες χρησιμοποιώντας Ν=72 ( ), Ν=53 (9 8 5), καὶ Ν=118 ( ). Ἡ σύγκριση μὲ Ν=72 ( ) ὑπάρχει ἤδη στὸν Πίνακα 1. Πίνακας 7. Σύγκριση ὡς πρὸς τὶς συχνότητες, τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου (1η στήλη, Πίνακας 1), μὲ τὶς συγκερασμένες κλίμακες τοῦ Ν=72 ( ), Ν=53 (9 8 5), καὶ Ν=118 ( ). Διατονική Διδύμου μὲ λόγους Διατονική Διδύμου Ν=72 Διατονική Διδύμου Ν=53 Διατονική Διδύμου Ν=118 16/ Ζωʹ 490,5479 Ζωʹ 489,1515 Ζωʹ 490,1298 Ζωʹ 490, / Κε 441,4931 Κε 440,0000 Κε 441,4410 Κε 441, Δι 392,4383 Δι 391,9954 Δι 392,4229 Δι 392, Γα 348,8341 Γα 349,2282 Γα 348,8478 Γα 348, / Βου 327,0320 Βου 326,4694 Βου 326,7661 Βου 327, /

15 Page 15 of 19 Πα 294,3288 Πα 293,6648 Πα 294,3056 Πα 294, Ἀπὸ τὴν παραπάνω σύγκριση παρατηροῦμε ὅτι τὸ Ν=118, ἢ 53 δίνει μεγαλύτερη ἀκρίβεια ἀπὸ τὸ Ν=72, ἀλλὰ ἡ μεταξύ τους σύγκριση εἶναι δύσκολη, καθότι ἡ διαφορὰ στὸ Φ εἶναι μικρή (δὲς Πίνακες 5, 6). Ἐπίσης καὶ γιὰ τὴν κλίμακα τοῦ Διδύμου, αὐξήσαμε τὸ πεδίο τοῦ Ν, καὶ τὰ ἀποτελέσματα ἔχουν ὡς ἐξῆς (μέθοδος Ιαʹ): Γιὰ Ν=300, ἡ σύγκραση εἶναι: τ=[50, 46, 29]ʹ, Φ=3.5294e 005. Γιὰ 7<=Ν<=1200, ἡ καλύτερη σύγκραση εἶναι: Ν=1171, τ=[199, 178, 109]ʹ, Φ=1.211e 009. Γιὰ Ν=1200, ἡ σύγκραση εἶναι: τ=[204, 182, 112]ʹ, Φ=1.9933e Συγκερασμοὶ τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Χρυσάνθου Σὲ αὐτὴν τὴν παράγραφο, θὰ ἐφαρμόσουμε καὶ πάλι τὴν μέθοδό μας, αὐτὴν τὴν φορὰ γιὰ τὴν διατονικὴ κλίμακα τοῦ Χρυσάνθου (Παρ. 2, καὶ Πίνακας 1, 3η στήλη), θέτοντας λ(1)=, λ(2)=12/11, λ(3)=88/81, καὶ περιορίζοντας τὰ τμήματα τ νὰ εἶναι μόνο ἀκέραιοι ἀριθμοί. Ψάξαμε λοιπὸν καὶ σὲ αὐτὴν τὴν περίπτωση γιὰ τὰ Ν, γιὰ τὰ ὁποῖα 7 <= Ν <= 100, καὶ βρήκαμε ὅτι τὰ δέκα καλύτερα (μαζὶ μὲ τὰ ἀντίστοιχα τμήματα τ), ἀπὸ τὴν ἄποψη ὅτι ἐλαχιστοποιοῦν τὸ Φ, εἶναι τὰ ἐξῆς (Πίνακας 8). Πίνακας 8. Οἱ δέκα καλύτερες νέες συγκράσεις τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Χρυσάνθου, ὡς πρὸς τὴν ἐλαχιστοποίηση τοῦ Φ, μὲ 7 <= Ν <= 100, μὲ τὴν μέθοδο Ιαʹ. Ν Φ τ(1), τ(2), τ(3) e e e e e e , 12, 11 11, 8, 8 7, 5, 5 14, 10, 10 15, 11, 11 17, 12, 12

16 Page 16 of e e e e , 10, 9 15, 11, 10 10, 7, 7 12, 9, 8 Ἄν θέσουμε Ν=68, τότε βρίσκουμε τὸν ἀκόλουθο συγκερασμό (ποὺ ἐλαχιστοποιεῖ τὸ Φ): τ = [12, 8, 8]ʹ, μὲ Φ= e 004, καὶ ἂν ἀφήσουμε τὰ τμήματα τ νὰ παίρνουν καὶ τιμὲς +1/3, +2/3, τότε Ἐπίσης ἂν θέσουμε Ν=72, βρίσκουμε: τ = [12, 8+1/3, 7+2/3]ʹ, μὲ Φ= e 004. τ = [12, 9, 9]ʹ, μὲ Φ= e 005, καὶ ἂν ἀφήσουμε τὰ τμήματα τ νὰ παίρνουν καὶ τιμὲς +1/3, +2/3, τότε τ = [12, 9+1/3, 8+2/3]ʹ, μὲ Φ= e 005. Τέλος, αὐξήσαμε τὸ πεδίο τοῦ Ν, καὶ τὰ ἀποτελέσματα ἔχουν ὡς ἐξῆς (μέθοδος Ιαʹ): Γιὰ 7<=Ν<=300, ἡ καλύτερη σύγκραση εἶναι: Ν=159, τ=[27, 20, 19]ʹ, Φ=1.0626e 007. Γιὰ Ν=300, ἡ σύγκραση εἶναι: τ=[52, 37, 35]ʹ, Φ=3.6373e 005. Γιὰ 7<=Ν<=1200, ἡ καλύτερη σύγκραση εἶναι: Ν=1171, τ=[199, 147, 140]ʹ, Φ=1.1799e 009. Γιὰ Ν=1200, ἡ σύγκραση εἶναι: τ=[204, 151, 143]ʹ, Φ=3.1012e Συμπεράσματα 1. Ὁ συγκερασμὸς τῆς διατονικῆς κλίμακας τῆς Μουσικῆς Ἐπιτροπῆς σὲ 36 τμήματα, εἶναι ἀκριβὴς ἂν θεωρήσουμε ὅτι Ν<53 (μᾶλλον κατόρθωμα γιὰ τὴν ἐποχή ἐκείνη), καὶ δὲν εἶναι ἀκριβής ἂν π.χ. θεωρήσουμε Ν<= Δεδομένης τῆς διαίρεσης τῆς κλίμακας τῆς Μουσικῆς Ἐπιτροπῆς σὲ 36 (72) τμήματα, ὁ συγκερασμὸς (ἢ ) εἶναι ἀκριβής (γιὰ τὴν διατονικὴ κλίμακα τῆς Ἐπιτροπῆς). 3. Εἶναι λανθασμένη ἡ χρησιμοποίηση τῆς συγκερασμένης κλίμακας τῆς Μουσικῆς Ἐπιτροπῆς (δηλ ), ὡς συγκερασμένης τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου (ἡ ὁποῖα ἔχει διαφορετικοὺς λόγους ἀπὸ αὐτὴν τῆς Ἐπιτροπῆς). Συνεπῶς τὰ θεωρητικὰ βιβλία ποὺ δίνουν τοὺς λόγους τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου, καὶ παράλληλα τὰ τμήματα τῆς Μουσικῆς Ἐπιτροπῆς

17 Page 17 of 19 αὐτοδιαψεύδονται. 4. Ὁ ἀκριβέστερος (σύμφωνα μὲ τὴν μεθοδολογία μας) συγκερασμὸς τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου γιὰ Ν<=300, εἶναι μὲ Ν=171. Ἐνδεικτικά, γιὰ μικρότερο Ν, τὸ Ν=118, δηλ , δίνει ἀκρίβεια καλύτερη ἀπὸ τὸ Ν=53 (9 8 5). 5. Ἂν ὅμως δὲν μᾶς νοιάζει ἡ ἀκρίβεια καὶ ἐπιμένουμε στὴν ἐπιλογὴ Ν=72 (γιὰ λόγους π.χ. ψαλτικοῦ κατεστημένου), τότε τὰ τμήματα εἶναι γιὰ τὴν διατονικὴ κλίμακα τοῦ Διδύμου. 6. Μεγαλώνοντας τὸ Ν (τὸν ἀριθμὸ τῶν κομμάτων τῆς συγκερασμένης κλίμακας), δὲν μικραίνει ἀπαραίτητα τὸ Φ, δηλ. δὲν ἔχουμε ἀπαραίτητα καλύτερη προσέγγιση. 7. Ἡ καλύτερη σύγκραση (πάντα σύμφωνα μὲ τὴν μεθοδολογία μας) καὶ τῶν τριῶν διατονικῶν κλιμάκων (Διδύμου, Ἐπιτροπῆς, Χρυσάνθου) γιὰ Ν<=1200, δίνεται ἀπὸ τὸ Ν= Τέλος, στὸ παρὸν ἄρθρο, ἀσχοληθήκαμε μὲ μεθόδους συγκερασμοῦ τῶν κλιμάκων (εὐρέσεως τοῦ συνόλου τῶν τμημάτων Ν, καθὼς καὶ αὐτῶν τῶν τμημάτων τ), καὶ βρήκαμε τοὺς καλύτερους συγκερασμούς τῶν διατονικῶν κλιμάκων, σύμφωνα μὲ τὴν μεθοδολογία μας. 9. Ὁ καλύτερος ταυτόχρονος συγκερασμὸς περισσοτέρων τῆς μιᾶς κλιμάκων, μπορεῖ νὰ γίνει π.χ. δημιουργῶντας μιὰ ʺὑπέρ κλίμακαʺ ἀποτελουμένη ἀπὸ τὶς ἐπὶ μέρους κλίμακες (ὁπότε m = 2*κ, ὅπου κ ὁ ἀριθμὸς τῶν κλιμάκων τῆς ʺὑπέρκλίμακαςʺ), καὶ ἐφαρμόζοντας τὴν μεθοδολογία μας. Ἀλλὰ αὐτὸ θὰ εἶναι τὸ θέμα μελλοντικοῦ μας ἄρθρου, ὅπως ἐπίσης καὶ οἱ συγκερασμοὶ ἀρκετῶν ἄλλων ἐπὶ μέρους κλιμάκων (μὴ διατονικῶν). 10. Τέλος, ὅσον ἀφορᾶ τὶς διατονικὲς κλίμακες τῆς Ἐπιτροπῆς καὶ τοῦ Χρυσάνθου, φαίνεται ὅτι μοιάζουν τῆς τοῦ Διδύμου, μὲ τὴν ἐξῆς διαφορά: ἡ Ἐπιτροπὴ ἔχει αὐξημένο τὸ σχετικὸ μῆκος τοῦ Βου κατὰ 81/80, καὶ ὁ Χρύσανθος κατὰ 55/54 (ὁ Ζωʹ ὁμοίως λόγῳ τοῦ ὁμοίου τετραχόρδου). Σύμφωνα μὲ τὶς μέχρι τώρα γνώσεις μας, Βου σὰν τοῦ Χρυσάνθου καὶ τῆς Ἐπιτροπῆς δὲν ἀπαντᾶται στὴν πρὸ Χρυσάνθου βιβλιογραφία. Φαίνεται μὲ τὰ μέχρι τώρα δεδομένα, ὅτι οἱ πρὸ Χρυσάνθου χρησιμοποιούσαν τὴν διατονικὴ τοῦ Διδύμου [Κηπουργός, σ. 88]. 8. Ἀναφορές (κατʹ ἀλφάβητον) 1. Ἀντωνίου Ε. Ἀλυγιζάκη, Θέματα Ἐκκλησιαστικῆς Μουσικῆς, ἐκδ. Π. Πουρνάρα, Θεσσαλονίκη Ἀστερίου Κ. Δεβρελῆ, Πηδάλιον Βυζαντινῆς Μουσικῆς Μέθοδος, Θεσσαλονίκη Ἀβραὰμ Χ. Εὐθυμιάδη, Μαθήματα Βυζαντινῆς Ἐκκλησιαστικῆς Μουσικῆς, ἔκδ. Δʹ, Θεσσαλονίκη Νίκου Κηπουργοῦ, Μερικὲς παρατηρήσεις πάνω στὰ βασικὰ διαστήματα τῆς

18 Page 18 of 19 ἑλληνικῆς καὶ ἀνατολικῆς μουσικῆς, περιοδ. Μουσικολογία, τ. 2, Μάϊος 1985, σ Περικλῆ Φ. Μαυρουδῆ, Ἡ Τέχνη τῆς Βυζαντινῆς καὶ Δημοτικῆς Μουσικῆς μὲ ἀσκήσεις, Βʹ ἔκδοση, Καβάλα 1981 [Εθν. Βιβλ. Ἑλλάδος, ΚΑΛΛ. 471]. 6. Μισαὴλ Μισαηλίδου, Νέον Θεωρητικὸν Συντομώτατον ἤτοι περὶ τῆς καθʹ ἡμᾶς ἐκκλησιαστικῆς καὶ ἀρχαῖας ἑλληνικῆς μουσικῆς, ἐν Ἀθήναις 1902 [Εθν. Βιβλ. Ἑλλάδος, Μοτσενίγειον ἱστορικὸν ἀρχεῖον νεοελληνικῆς μουσικῆς]. 7. Μουσικὴ Ἐπιτροπὴ τοῦ Οἰκ. Πατρ. (1881), Στοιχειώδης διδασκαλία τῆς Ἐκκλησιαστικῆς Μουσικῆς ἐκπονηθεῖσα ἐπὶ τῇ βάσει τοῦ ψαλτηρίου, Κωνσταντινούπολις 1888 (ἀνατύπ. ἐκδ. Κουλτούρα). 8. Ἀρχιμ. Παγκρατίου Βατοπεδινοῦ, Ἡ Μουσικὴ Κλίμαξ, ἤτοι ἐπιστημονικὴ διαίρεσις τῆς μουσικῆς κλίμακος καὶ προσδιορισμὸς τοῦ μήκους τῶν χορδῶν αὐτῆς μετὰ μεγίστης μαθηματικῆς ἀκρίβειας, Κωνσταντινούπολη, Δ. Γ. Παναγιωτόπουλου, Θεωρία καὶ Πράξις τῆς Βυζαντινῆς Ἐκκλησιαστικῆς Μουσικῆς, 1997, ἔκδ. ʺΣΩΤΗΡʺ. 10. Μιχαὴλ Α. Χατζηαθανασίου, Αἱ Βάσεις τῆς Βυζαντινῆς Μουσικῆς, Κωνσταντινούπολη, Χρυσάνθου τοῦ ἐκ Μαδύτων, Θεωρητικὸν Μέγα τῆς Μουσικῆς, Τεργέστη 1832 (ἀνατύπωσις ἐκδ. Κουλτούρα). 12. Σπ. Χ. Ψάχου, Ἡ Θεωρία τῆς Βυζαντινῆς Μουσικῆς στὴν Πράξη, ἐκδ. Νεκτ. Παναγόπουλος, 1997, σ William H. Press, et. al, Numerical Recipes in C The art of scientific computing, 2nd ed., Cambridge University Press, 1992 (reprinted 1996). * * * Ἂν βρεῖτε κανένα λάθος, ἢ γνωρίζετε ἄλλη σχετικὴ ἐργασία, παρακαλῶ εἰδοποιῆστε με. αʹ πρόχειρη διαδικτυακὴ ἔκδοση: 22/6/2005 [pdf] βʹ πρόχειρη διαδικτυακὴ ἔκδοση: [pdf]

19 Page 19 of 19 02/04/ /06/2005

Συγκρίσεις ιατονικής Κλίµακας ιδύµου µε άλλες διατονικές κλίµακες.

Συγκρίσεις ιατονικής Κλίµακας ιδύµου µε άλλες διατονικές κλίµακες. Page 1 of 5 Βυζαντινή Μουσική Κλίμακες Σύγκριση τῆς Διατονικῆς Κλίμακας τοῦ Διδύμου, μὲ τὶς ἀντίστοιχες τοῦ Χρυσάνθου, τῆς Ἐπιτροπῆς 1881, καὶ ἄλλων Σὲ αὐτὴ τὴν ἱστοσελίδα δίνουμε τὴν σύγκριση (σὲ συχνότητες)

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος συγκερασμοῦ κλιμάκων οἱ διατονικὲς κλίμακες τοῦ Διδύμου, τῆς Ἐπιτροπῆς, τοῦ Χρυσάνθου, καὶ οἱ συγκράσεις τους

Μέθοδος συγκερασμοῦ κλιμάκων οἱ διατονικὲς κλίμακες τοῦ Διδύμου, τῆς Ἐπιτροπῆς, τοῦ Χρυσάνθου, καὶ οἱ συγκράσεις τους Μέθοδος συγκερασµού κλιµάκων - Οι διατονικές κλίµακες του ιδύµου, της Επιτροπ... Page 1 of 17 Βυζαντινή Μουσική Κλίμακες Μέθοδος συγκερασμοῦ κλιμάκων οἱ διατονικὲς κλίμακες τοῦ Διδύμου, τῆς Ἐπιτροπῆς,

Διαβάστε περισσότερα

Τὸ ἀριθμητικὸ λάθος τοῦ Χρυσάνθου τοῦ ἐκ Μαδύτων, ὡς πρὸς τὰ τμήματα , καὶ τὸ ἀσυμβίβαστον τῆς μεθοδολογίας του

Τὸ ἀριθμητικὸ λάθος τοῦ Χρυσάνθου τοῦ ἐκ Μαδύτων, ὡς πρὸς τὰ τμήματα , καὶ τὸ ἀσυμβίβαστον τῆς μεθοδολογίας του Τὸ ἀριθμητικὸ λάθος τοῦ Χρυσάνθου τοῦ ἐκ Μαδύτων, ὡς πρὸς τὰ τμήματα 12 7, τὸ ἀσυμβίβαστον τῆς μεθοδολογίας του τοῦ Δρ. Παναγιώτη Δ. Παπαδημητρίου Ὡς γνωστόν, ὁ Χρύσανθος δίνει τὴν διατονικὴ κλίμακα σὲ

Διαβάστε περισσότερα

Κατάλογος τῶν Συγκερασµῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν ιατονικῶν Κλιµάκων µέχρι καὶ σὲ 1200 µουσικὰ διαστήµατα (κόµµατα)

Κατάλογος τῶν Συγκερασµῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν ιατονικῶν Κλιµάκων µέχρι καὶ σὲ 1200 µουσικὰ διαστήµατα (κόµµατα) Κατάλογος τῶν Συγκερασµῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν ιατονικῶν Κλιµάκων µέχρι καὶ σὲ 1200 µουσικὰ διαστήµατα (κόµµατα) τοῦ Παναγιώτη. Παπαδηµητρίου ρ. Ἠλεκτρ. Μηχανικοῦ, Φυσικοῦ Περιεχόµενα 1. Εἰσαγωγή...1 2.

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

Ἐγκατάστασις ICAMSoft Law Applications' Application Server ἔκδοση 3.x (Rel 1.1-6ος 2009) 1

Ἐγκατάστασις ICAMSoft Law Applications' Application Server ἔκδοση 3.x (Rel 1.1-6ος 2009) 1 Ἐγκατάστασις ICAMSoft Law Applications' Application Server ἔκδοση 3.x (Rel 1.1-6ος 2009) 1 Ἐγκατάστασις ICAMSoft Law3 Application Server ὅτι ἀναφέρεται ἐδῶ δὲν μπορεῖ νὰ ἐκτελεσθεῖ δικτυακά, δηλ. ἀπὸ ἄλλον

Διαβάστε περισσότερα

Εὐκλείδεια Γεωµετρία

Εὐκλείδεια Γεωµετρία Εὐκλείδεια Γεωµετρία Φθινοπωρινὸ Εξάµηνο 010 Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Μάθηµα 9 ευτέρα 18-10-010 Συνοπτικὴ περιγραφή Υπενθύµιση τοῦ Θεωρήµατος τοῦ Θαλῆ. εῖτε καὶ ἐδάφιο 7.7 τοῦ σχολικοῦ ϐιβλίου. Τονίσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux.

Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux. Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux. Μακρῆς Δημήτριος, Φυσικός. mailto: jd70473@yahoo.gr 1. Εἰσαγωγή. Τὸ πολυτονικὸ σύστημα καταργήθηκε τὸ 1982. Δὲν θὰ ἀσχοληθοῦμε

Διαβάστε περισσότερα

Εἰσαγωγὴ. Αὐτόματη Δημιουργία Οἰκονομικῶν Κινήσεων Ἀμοιβῶν. Αὐτόματη Δημιουργία Οἰκονομικῶν Κινήσεων Ἀμοιβῶν. ICAMSoft Law Applications Σημειώ σεις

Εἰσαγωγὴ. Αὐτόματη Δημιουργία Οἰκονομικῶν Κινήσεων Ἀμοιβῶν. Αὐτόματη Δημιουργία Οἰκονομικῶν Κινήσεων Ἀμοιβῶν. ICAMSoft Law Applications Σημειώ σεις Εἰσαγωγὴ Ὅπως γνωρίζουν ὅλοι οἱ χρῆστες τῶν δικηγορικῶν ἐφαρμογῶν μας, τὰ εἴδη τῶν ἐνεργειῶν ποὺ μποροῦν νὰ καταγραφοῦν σὲ μία ὑπόθεση εἶναι 1. Ἐνέργειες Ἐξέλιξης, 2. Οἰκονομικές, 3. Λοιπές Ἐνέργειες &

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ

Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α ἤ 01ο (01-52) 01-05 Ὁ Λόγος εἶναι Θεὸς καὶ ημιουργὸς τῶν πάντων Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ τὸ Θεὸ Πατέρα καὶ ἦταν Θεὸς ὁ Λόγος. Αὐτὸς ἦταν στὴν ἀρχὴ μαζὶ μὲ τὸ Θεὸ Πατέρα.

Διαβάστε περισσότερα

Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X

Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X eutypon32-33 2014/11/30 12:03 page 19 #23 Εὔτυπον, τεῦχος 32-33 Ὀκτώβριος/October 2014 19 Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X Ἰωάννης Α. Βαμβακᾶς Ιωάννης Α. Βαμβακᾶς Παπαθεοφάνους 12 853 00 Κῶς Η/Τ: gavvns

Διαβάστε περισσότερα

ICAMLaw Application Server Χειροκίνηση Ἀναβάθμιση

ICAMLaw Application Server Χειροκίνηση Ἀναβάθμιση Εἰσαγωγή Ὁ ICAMLaw Application Server (στὸ ἑξῆς γιά λόγους συντομίας IAS) ἀποτελεῖ τὸ ὑπόβαθρο ὅλων τῶν δικηγορικῶν ἐφαρμογῶν τῆς ICAMSoft. Εἶναι αὐτός ποὺ μεσολαβεῖ ἀνάμεσα: α) στὴν τελική ἐφαρμογὴ ποὺ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Συνόλων - Set Theory

Θεωρία Συνόλων - Set Theory Θεωρία Συνόλων - Set Theory Ἐπισκόπηση γιὰ τὶς ἀνάγκες τῶν Πρωτοετῶν Φοιτητῶν τοῦ Τµήµατος Διοίκησης, στὸ µάθηµα Γενικὰ Μαθηµατικά. Ὑπὸ Γεωργίου Σπ. Κακαρελίδη, Στὸ Τµῆµα Διοίκησης ΤΕΙ Δυτικῆς Ἑλλάδος

Διαβάστε περισσότερα

Παραθέτουμε απόσπασμα του άρθρου: ΟΡΘΟΔΟΞΟΣ ΤΥΠΟΣ ΑΠΙΣΤΕΥΤΟΝ- Οι Ιεχωβάδες και οι Μασόνοι κεφάλαια εις το βιβλίον των θρ

Παραθέτουμε απόσπασμα του άρθρου: ΟΡΘΟΔΟΞΟΣ ΤΥΠΟΣ ΑΠΙΣΤΕΥΤΟΝ- Οι Ιεχωβάδες και οι Μασόνοι κεφάλαια εις το βιβλίον των θρ Με ένα από τα αγαπημένα της θέματα ασχολήθηκε για μια ακόμη φορά, στο φύλλο 1991 της 27ης Σεπτεμβρίου 2013, η εφημερίδα ΟΡΘΟΔΟΞΟΣ ΤΥΠΟΣ. Αιτία, το κεφάλαιο του βιβλίου των Θρησκευτικών που διδάσκεται στην

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΣΤΟΥ Α. ΣΑΡΤΖΕΤΑΚΗ

ΧΡΗΣΤΟΥ Α. ΣΑΡΤΖΕΤΑΚΗ ΧΡΗΣΤΟΥ Α. ΣΑΡΤΖΕΤΑΚΗ Μέρος Β - ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΙ 1. Ο ΕΛΛΗΝΙΣΜΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Ι) Η ΕΘΝΙΚΗ ΜΑΣ ΙΣΤΟΡΙΑ γ) Η ΜΑΚΕ ΟΝΙΑ ΜΑΣ 4. ΗΛΩΣΕΙΣ (d) Προφορικὴ δήλωσις 6.1.1993 ΚΕΙΜΕΝΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΣΤΟΣΕΛΙ Α www.sartzetakis.gr

Διαβάστε περισσότερα

11η Πανελλήνια Σύναξη Νεότητος της Ενωμένης Ρωμηοσύνης (Φώτο Ρεπορτάζ)

11η Πανελλήνια Σύναξη Νεότητος της Ενωμένης Ρωμηοσύνης (Φώτο Ρεπορτάζ) 15/03/2019 11η Πανελλήνια Σύναξη Νεότητος της Ενωμένης Ρωμηοσύνης (Φώτο Ρεπορτάζ) / Νέοι και Εκκλησία Κατά την Κυριακὴ 10 Μαρτίου 2019 καὶ ὥρα 10:45 π.μ. (ἀμέσως μετὰ τὴν Θεία Λειτουργία) πραγματοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Εὐκλείδεια Γεωµετρία

Εὐκλείδεια Γεωµετρία Εὐκλείδεια Γεωµετρία Φθινοπωρινὸ Εξάµηνο 2010 Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Μάθηµα 14 22-11-2010 Συνοπτικὴ περιγραφή Πρόταση τῆς έσµης Εὐθειῶν. Εστω ὅτι τὰ σηµεῖα, καὶ, εἶναι τέτοια ὥστε οἱ εὐθεῖες και εἶναι

Διαβάστε περισσότερα

ODBC Install and Use. Κατεβάζετε καὶ ἐγκαθιστᾶτε εἴτε τήν ἔκδοση 32bit εἴτε 64 bit

ODBC Install and Use. Κατεβάζετε καὶ ἐγκαθιστᾶτε εἴτε τήν ἔκδοση 32bit εἴτε 64 bit Oἱ ἐφαρμογές Law4 χρησιμοποιοῦν τὸν Firebird SQL Server 32 ἤ 64 bit, ἔκδοση 2.5.x Γιὰ νὰ κατεβάσετε τὸν ODBC πηγαίνετε στό site www.firebirdsql.org στήν δ/νση http://www.firebirdsql.org/en/odbc-driver/

Διαβάστε περισσότερα

μπορεῖ νὰ κάνει θαύματα. Ἔτσι ὁ ἅγιος Νέστωρ, παρότι ἦταν τόσο νέος, δὲν λυπήθηκε τὴν ζωή του καὶ ἦταν ἕτοιμος νὰ θυσιάσει τὰ πάντα γιὰ τὸν Χριστό.

μπορεῖ νὰ κάνει θαύματα. Ἔτσι ὁ ἅγιος Νέστωρ, παρότι ἦταν τόσο νέος, δὲν λυπήθηκε τὴν ζωή του καὶ ἦταν ἕτοιμος νὰ θυσιάσει τὰ πάντα γιὰ τὸν Χριστό. Ο Μ Ι Λ Ι Α ΤΗΣ Α.Θ.ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΤΟΣ ΤΟΥ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΟΥ ΠΑΤΡΙΑΡΧΟΥ κ.κ. Β Α Ρ Θ Ο Λ Ο Μ Α Ι Ο Υ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΠΙΣΚΕΨΙΝ ΑΥΤΟΥ ΕΙΣ ΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΟΥ (25 Ὀκτωβρίου 2013) Ἱερώτατε καὶ φίλτατε ἐν Χριστῷ ἀδελφὲ

Διαβάστε περισσότερα

Στήν Σελίδα Παρατηρήσεις στὸ κάτω μέρος καταγράφονται / ἐμφανίζονται τυχόν ἐντοπισθέντα περιουσιακά στοιχεῖα (IX, άκίνητα, ἀγροτεμάχια κλπ)

Στήν Σελίδα Παρατηρήσεις στὸ κάτω μέρος καταγράφονται / ἐμφανίζονται τυχόν ἐντοπισθέντα περιουσιακά στοιχεῖα (IX, άκίνητα, ἀγροτεμάχια κλπ) Κάρτα Ἀντιδίκου Στήν Σελίδα Παρατηρήσεις στὸ κάτω μέρος καταγράφονται / ἐμφανίζονται τυχόν ἐντοπισθέντα περιουσιακά στοιχεῖα (IX, άκίνητα, ἀγροτεμάχια κλπ) Ἡ Εἰσαγωγή/Μεταβολή/Διαγραφή γίνεται μέσω τῶν

Διαβάστε περισσότερα

Ὄχι στὴν ρινόκερη σκέψη τοῦ ρινόκερου Κοινοβουλίου μας! (ε ) Tὸ Παγκόσμιο Οἰκονομικὸ Φόρουμ προωθεῖ τὴν ὁμοφυλοφιλία*

Ὄχι στὴν ρινόκερη σκέψη τοῦ ρινόκερου Κοινοβουλίου μας! (ε ) Tὸ Παγκόσμιο Οἰκονομικὸ Φόρουμ προωθεῖ τὴν ὁμοφυλοφιλία* Ὄχι στὴν ρινόκερη σκέψη τοῦ ρινόκερου Κοινοβουλίου μας! (ε ) Tὸ Παγκόσμιο Οἰκονομικὸ Φόρουμ προωθεῖ τὴν ὁμοφυλοφιλία* «Οἱ ὁμοφυλόφιλοι ἀπὸ τὴν δεκαετία τοῦ 2000 ἐμφανίζονται πανίσχυροι οἰκονομικὰ καὶ κοινωνικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ. Σημειώσεις μεταπτυχιακοῦ μαθήματος 1. Ν.Γ. Τζανάκης. Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο

ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ. Σημειώσεις μεταπτυχιακοῦ μαθήματος 1. Ν.Γ. Τζανάκης. Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Σημειώσεις μεταπτυχιακοῦ μαθήματος 1 Ν.Γ. Τζανάκης Τμῆμα Μαθηματικῶν Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο 1 Τελευταία ἔκδοση 12-11-2016 2 Περιεχόμενα 1 Διαχωρισιμότητα 3 2 Βοηθητικὲς Προτάσεις 9 1

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Στους κήπους της Θεολογικής Σχολής της Χάλκης

Στους κήπους της Θεολογικής Σχολής της Χάλκης 26/02/2019 Στους κήπους της Θεολογικής Σχολής της Χάλκης Πατριαρχεία / Οικουμενικό Πατριαρχείο Ἡ Ἱερὰ Θεολογικὴ Σχολὴ τῆς Χάλκης ἀκολουθώντας τὸ παράδειγμα τοῦ περιβαλλοντικὰ εὐαισθητοποιημένου καὶ πρωτοπόρου

Διαβάστε περισσότερα

Παρέλαση-Μαντήλα-Δωδεκάποντα*

Παρέλαση-Μαντήλα-Δωδεκάποντα* Ἀξίες -Ἰδανικά -Ἱστορικὴ Μνήμη Παρέλαση-Μαντήλα-Δωδεκάποντα* «Ἡ σεμνότητα καὶ ἡ ταπεινότητα εἶναι προαπαιτούμενο...» α. Στὴν χώρα ποὺ θὰ ριζώσεις νὰ σεβαστεῖς τὴν σημαία της, τοὺς ἀνθρώπους της, τὴν φύση

Διαβάστε περισσότερα

Ὁ νεο-δαρβινισμὸς καὶ ἡ ἀμφισβήτηση τοῦ Θεοῦ*

Ὁ νεο-δαρβινισμὸς καὶ ἡ ἀμφισβήτηση τοῦ Θεοῦ* Ἡ Θεωρία τῆς Ἐλέξιξης: κοσμικὴ θρησκεία, μὲ νόημα καὶ ἠθικὴ Ἡ Ὁ νεο-δαρβινισμὸς καὶ ἡ ἀμφισβήτηση τοῦ Θεοῦ* Ὄχι Ἐξέλιξη, ἀλλὰ Σχεδιασμὸς Μέρος B ἐπιστημονικὴ κριτικὴ ποὺ ἀσκεῖται στὴν Θεωρία τῆς Ἐξέλιξης

Διαβάστε περισσότερα

Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο

Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο (Μιὰ πρώτη προσέγγιση στὸ θέμα) Εἰπώθηκε, πὼς ὁλόκληρο τὸ Ἅγιον Ὄρος μοιάζει μὲ τὸ Καθολικὸ ἑνὸς ἰεροῦ Ναοῦ καὶ ὅτι ἡ περιοχὴ ἀπὸ τὴν Ἁγία Ἄννα καὶ πέρα εἶναι τὸ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος».

Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος». ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 18 Πρὸς Ἅπαντας τοὺς Ἐφημερίους τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως. Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος». Ἀγαπητοὶ Πατέρες, Ἐξ αἰτίας τοῦ ὅτι παρατηρεῖται

Διαβάστε περισσότερα

Ὁ Χρόνος καὶ ὁ Ρυθμός στὴν Ἐκκλησιαστική Βυζαντινή Μουσική

Ὁ Χρόνος καὶ ὁ Ρυθμός στὴν Ἐκκλησιαστική Βυζαντινή Μουσική 1 of 19 6/11/2006 3:38 µµ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΜΟΥΣΙΚΗ Θεωρητικές Σημειώσεις Ὁ Χρόνος καὶ ὁ Ρυθμός στὴν Ἐκκλησιαστική Βυζαντινή Μουσική τοῦ Παναγιώτη Δ. Παπαδημητρίου π ρ ό χ ε ι ρ η ἔ κ δ ο σ η, 0. 7 1. 2. 3. 4.

Διαβάστε περισσότερα

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μητροπολίτου Μόρφου Νεοφύτου

Μητροπολίτου Μόρφου Νεοφύτου Μητροπολίτου Μόρφου Νεοφύτου Στὴν καθ ἡμᾶς Μητροπολιτικὴ περιφέρεια Μόρφου τιμᾶται ἰδιαίτερα ὁ ὅσιος Σωζόμενος. Ἐπίκεντρο τῆς ἐδῶ τιμῆς του εἶναι ἡ ἁγιοτόκος κοινότητα τῆς Γαλάτας, ὅπου εὑρίσκεται κατάγραφος

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι.

Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι. Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι. Σὰ τελευταῖα χρόνια καὶ ἰδιαίτερα μετὰ τὸ ἄνοιγμα τῶν συνόρων τῶν χωρῶν τῆς ἀνατολικῆς Εὐρώπης, ἀλλὰ καὶ γειτόνων χωρῶν

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαρτυρία Πίστεως καὶ Ζωῆς

Μαρτυρία Πίστεως καὶ Ζωῆς Ἐπισκόπου Γαρδικίου Κλήμεντος Μαρτυρία Πίστεως καὶ Ζωῆς Ὁμιλίες σὲ Ἐκδηλώσεις Εἰσηγήσεις - Διαλέξεις - Ἄρθρα Ἐκδόσεις Γεώργιος Χοροζίδης, Φυλὴ Ἀττικής, 2017, σελίδες 222. Ἡ ἰδέα γιὰ τὴν κυκλοφόρησι τοῦ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17 Πρὸς Ἅπαντας τοὺς Ἐφημερίους τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως. ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17 Θέμα: «Περὶ τῆς νομιμότητας τελέσεως τοῦ Μυστηρίου τοῦ Βαπτίσματος ἀνηλίκων». Ἀγαπητοὶ Πατέρες, Σχετικὰ μὲ τὶς προϋποθέσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Νικηφόρος Βρεττάκος

Νικηφόρος Βρεττάκος http://hallofpeople.com/gr/ Νικηφόρος Βρεττάκος Τα μάτια της Μαργαρίτας Βρήκα μέσα στα μάτια σου τα βιβλία που δεν έγραψα. Θάλασσες. Κόσμους. Πολιτείες. Ορίζοντες. Κανάλια. Βρήκα τ αυτοκρατορικά όρη της

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικη Αλγεβρα ΙΙ. 1 Ο διανυσματικὸς χῶρος L(V, W) Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης. [v] B =

Γραμμικη Αλγεβρα ΙΙ. 1 Ο διανυσματικὸς χῶρος L(V, W) Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης. [v] B = Γραμμικη Αλγεβρα ΙΙ Καθηγητὴς ΝΓ Τζανάκης Σύνοπτικὴ περιγραφὴ τῆς μέχρι τώρα διδαγμένης ύλης 1 1 Ο διανυσματικὸς χῶρος L(V, W) Σὲ αὐτὴ τὴν ἑνότητα, V, W εἶναι διανυσματικοὶ χῶροι πάνω ἀπὸ ἕνα σῶμα F Υποθέτομε

Διαβάστε περισσότερα

EISGCGSG Dò. «Ἡ Εἰκόνα τοῦ Χριστοῦ: Χθὲς καὶ σήμερον ἡ αὐτὴ καὶ εἰς τοὺς αἰῶνας» Σάββατο, 22α Δεκεμβρίου 2012

EISGCGSG Dò. «Ἡ Εἰκόνα τοῦ Χριστοῦ: Χθὲς καὶ σήμερον ἡ αὐτὴ καὶ εἰς τοὺς αἰῶνας» Σάββατο, 22α Δεκεμβρίου 2012 EISGCGSEIS OQHODONGS EIJOMOKOCIAS EISGCGSG Dò «Ἡ Εἰκόνα τοῦ Χριστοῦ: Χθὲς καὶ σήμερον ἡ αὐτὴ καὶ εἰς τοὺς αἰῶνας» Εἰσηγητής: +Θεοφ. Ἐπίσκοπος Μεθώνης κ. Ἀμβρόσιος, Ἱστορικὸς Τέχνης Στὸ πλαίσιο τῆς Ἔκθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων

Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων Εἰσαγωγὴ Μιὰ ἀπὸ τὶς βασικὲς πρόσθετες δυνατότητες τῆς ἔκδοσης 3 τῶν ἰατρικῶν ἐφαρμογῶν μας, εἶναι ἡ δυνατότητα συσχετισμοῦ ὅσων ψηφιακῶν ἀρχείων ἀπαιτεῖται στὴν

Διαβάστε περισσότερα

Η KΑΚΟΜΕΤΑΧΕΙΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΨΕΩΝ ΤΟΥ ΕΥΓΕΝΙΟΥ ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΠΕΡΙ ΥΛΗΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΓΙΑΝΝΗ ΚΑΡΑ. Μιχαήλ Μανωλόπουλος

Η KΑΚΟΜΕΤΑΧΕΙΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΨΕΩΝ ΤΟΥ ΕΥΓΕΝΙΟΥ ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΠΕΡΙ ΥΛΗΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΓΙΑΝΝΗ ΚΑΡΑ. Μιχαήλ Μανωλόπουλος Η KΑΚΟΜΕΤΑΧΕΙΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΨΕΩΝ ΤΟΥ ΕΥΓΕΝΙΟΥ ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΠΕΡΙ ΥΛΗΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΓΙΑΝΝΗ ΚΑΡΑ Μιχαήλ Μανωλόπουλος Στο πλαίσιο του Δυτικοευρωπαϊκού διαφωτισμού παρατηρούμε την ανάπτυξη μιας σχετικά ολιγάριθμης υλιστικής

Διαβάστε περισσότερα

ιδαγµένο κείµενο 'Αριστοτέλους 'Ηθικά Νικοµάχεια (Β6, 4-10)

ιδαγµένο κείµενο 'Αριστοτέλους 'Ηθικά Νικοµάχεια (Β6, 4-10) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ιδαγµένο κείµενο 'Αριστοτέλους 'Ηθικά

Διαβάστε περισσότερα

Πρωτομηνιά και Άνοιξη: Τρεις σπουδαίες Αγίες εορτάζουν

Πρωτομηνιά και Άνοιξη: Τρεις σπουδαίες Αγίες εορτάζουν 01/03/2019 Πρωτομηνιά και Άνοιξη: Τρεις σπουδαίες Αγίες εορτάζουν / Επικαιρότητα Η Εκκλησία μας, κατά την 1η Μαρτίου εκάστου έτους και πρώτη ημέρα της εποχής της Ανοίξεως, τιμά τη μνήμη δύο γυναικών Μαρτύρων

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιωδης Θεωρια Αριθμων. Ν.Γ. Τζανάκης

Θεμελιωδης Θεωρια Αριθμων. Ν.Γ. Τζανάκης Θεμελιωδης Θεωρια Αριθμων Ν.Γ. Τζανάκης Τμῆμα Μαθηματικῶν - Πανεπιστήμιο Κρήτης 22-5-2012 2 Περιεχόμενα 1 Διαιρετότητα 3 1.1 Βασικὲς προτάσεις........................... 3 1.2 Μέγιστος κοινὸς διαιρέτης......................

Διαβάστε περισσότερα

(Θ. Λειτουργία Ἰωάννου Χρυσοστόμου)

(Θ. Λειτουργία Ἰωάννου Χρυσοστόμου) Οἱ πιστοὶ ὑπὲρ τῶν κατηχουμένων δεηθῶμεν. Ἵνα ὁ Κύριος αὐτοὺς ἐλεήσῃ. Κατηχήσῃ αὐτοὺς τὸν λόγον τῆς ἀληθείας. Ἀποκαλύψῃ αὐτοῖς τὸ εὐαγγέλιον τῆς δικαιοσύνης. Ἑνώσῃ αὐτοὺς τῇ ἁγίᾳ αὐτοῦ καθολικῇ καὶ ἀποστολικῇ

Διαβάστε περισσότερα

Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ. Χριστοῦ, ποὺ ἀποτελεῖ τὴν κορυφαία πράξη τοῦ Θεοῦ νὰ σώσει τὸν

Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ. Χριστοῦ, ποὺ ἀποτελεῖ τὴν κορυφαία πράξη τοῦ Θεοῦ νὰ σώσει τὸν Χριστούγεννα 2013 Ἀρ. Πρωτ. 1157 Πρός τό Χριστεπώνυμο πλήρωμα τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως Χριστὸς γεννᾶται, δοξάσατε. Ἀδελφοί μου ἀγαπητοί, Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ Χριστοῦ,

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ. Ποιήματα

Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ. Ποιήματα Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ Ποιήματα ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Αὒγουστος 2011 12 ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Χριαστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ Ποιήματα Τεῦχος 12 - Αὒγουστος 2011 ISSN: 1792-4189 Μηνιαία

Διαβάστε περισσότερα

Νὰ συγκαλέσει πανορθόδοξη Σύνοδο ή Σύναξη των Προκαθημένων καλεί τον Οικουμενικό Πατριάρχη η Κύπρος αν ο στόχος δεν επιτευχθεί

Νὰ συγκαλέσει πανορθόδοξη Σύνοδο ή Σύναξη των Προκαθημένων καλεί τον Οικουμενικό Πατριάρχη η Κύπρος αν ο στόχος δεν επιτευχθεί 18/02/2019 Νὰ συγκαλέσει πανορθόδοξη Σύνοδο ή Σύναξη των Προκαθημένων καλεί τον Οικουμενικό Πατριάρχη η Κύπρος αν ο στόχος δεν επιτευχθεί Αυτοκέφαλες Εκκλησίες / Εκκλησία της Κύπρου Ανακοίνωση σχετικά

Διαβάστε περισσότερα

Γενικὴ Ἐκκλησιαστικὴ Ἱστορία Α

Γενικὴ Ἐκκλησιαστικὴ Ἱστορία Α Γενικὴ Ἐκκλησιαστικὴ Ἱστορία Α Δρ. Ἰωάννης Ἀντ. Παναγιωτόπουλος Ἐπ. Καθηγητὴς Γενικῆς Ἐκκλησιαστικῆς Ἱστορίας Τµῆµα Θεολογίας - Θεολογικὴ Σχολὴ Ἐθνικὸ καὶ Καποδιστριακὸ Πανεπιστήµιο Ἀθηνῶν Γ Οἰκουµενικὴ

Διαβάστε περισσότερα

Τευχος πρωτο. αρχεία. Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Ένα σύγχρονο αρχείο. Το ΙΑ/ΕΤΕ ανοίγει τα χαρτιά του

Τευχος πρωτο. αρχεία. Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Ένα σύγχρονο αρχείο. Το ΙΑ/ΕΤΕ ανοίγει τα χαρτιά του Τευχος πρωτο αρχεία Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Ένα σύγχρονο αρχείο Το ΙΑ/ΕΤΕ ανοίγει τα χαρτιά του Άσκηση Υπόθεση παραχάραξης Το 1938, το Υφυπουργείον Δημοσίας Ασφαλείας του ελληνικού κράτους δημοσιεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ἕλληνες στὴν κόλαση τῶν γκουλὰγκ

Ἕλληνες στὴν κόλαση τῶν γκουλὰγκ https://engymo.wordpress.com Ἕλληνες στὴν κόλαση τῶν γκουλὰγκ Ὁ 65χρονος Ἰβᾶν Τζουχὰ εἶναι γεωγράφος στὸ ἐπάγγελμα. Ἀλλὰ ἡ μοῖρα τῆς οἰκογένειάς του (ὁ Ἕλληνας παππούς του τουφεκίστηκε ἀπὸ τὸν Στάλιν)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΣΙΟΥ ΝΙΚΟΔΗΜΟΥ ΤΟΥ ΑΓΙΟΡΕΙΤΟΥ ΑΟΡΑΤΟΣ ΠΟΛΕΜΟΣ

ΟΣΙΟΥ ΝΙΚΟΔΗΜΟΥ ΤΟΥ ΑΓΙΟΡΕΙΤΟΥ ΑΟΡΑΤΟΣ ΠΟΛΕΜΟΣ ΟΣΙΟΥ ΝΙΚΟΔΗΜΟΥ ΤΟΥ ΑΓΙΟΡΕΙΤΟΥ ΑΟΡΑΤΟΣ ΠΟΛΕΜΟΣ Ἀπόδοση στὴ νέα Ἑλληνική: Ἱερομόναχος Βενέδικτος Ἔκδοση Συνοδείας Σπυρίδωνος Ἱερομονάχου, Νέα Σκήτη, Ἅγιον Ὄρος ΠΡΟΛΟΓΟΣ Καὶ δικαιότατη καὶ αὐτὴ ποὺ πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr)

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989. Ἡ Θεία Κοινωνία.

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989. Ἡ Θεία Κοινωνία. ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989 Ἡ Θεία Κοινωνία κατ οἶκον Θεσσαλονίκη 2008 Κάποιοι συσχετίζουν κάκιστα τὴν παρουσία τοῦ ἱερέως στό

Διαβάστε περισσότερα

3. δυνητικό: ἄν, ποὺ σημαίνει κάτι ποὺ μπορεὶ ἤ ποὺ μποροῦσε νὰ γίνει.

3. δυνητικό: ἄν, ποὺ σημαίνει κάτι ποὺ μπορεὶ ἤ ποὺ μποροῦσε νὰ γίνει. 1 Άκλιτα μέρη Μόρια Λέγονται οι άκλιτες λέξεις, οι περισσότερες μονοσύλλαβες, που δεν ανήκουν κανονικά σ ένα ορισμένο μέρος του λόγου. Αυτά έχουν κυρίως επιρρηματική σημασία και χρησιμοποιούνται στο λόγο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016 Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Ὁ Γάμος. Ἀγαπητοί μας μελλόνυμφοι,

Ὁ Γάμος. Ἀγαπητοί μας μελλόνυμφοι, Ὁ Γάμος Ἀγαπητοί μας μελλόνυμφοι, ὲ λίγες ἡμέρες πρόκειται νὰ ἑνωθεῖτε μὲ τὰ δεσμὰ τοῦ Γάμου διὰ τῶν εὐλογιῶν τῆς Ἁγίας Ἐκκλησίας τοῦ Κυρίου μας. Αὐτὸ τὸ γεγονὸς χρειάζεται ὡς καταλύτη τὸν τελειωτῆ καὶ

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Τὴν ὥρα ποὺ γραφόταν μία ἀπὸ τὶς πιὸ θλιβερὲς καὶ αἱματοβαμμένες

Τὴν ὥρα ποὺ γραφόταν μία ἀπὸ τὶς πιὸ θλιβερὲς καὶ αἱματοβαμμένες Τιμὴ καὶ εὐγνωμοσύνη Ἰαπωνικὸ πλοῖο πέταξε πανάκριβο μετάξι γιὰ νὰ σώσει Μικρασιάτες* Ἡ ἄγνωστη ἱστορία τοῦ ἐμπορικοῦ καραβιοῦ ἀπὸ τὴν Ἄπω Ἀνατολὴ ποὺ ἔδωσε παράδειγμα ἀνθρωπιᾶς, ἐνῶ οἱ δυτικοὶ «σύμμαχοί»

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ Τὰ Ἕξι μεγάλα ἐρωτήματα τῆς δυτικῆς μεταφυσικῆς καταλαμβάνουν μιὰ ξεχωριστὴ θέση στὴν ἱστορία τῆς φιλοσοφικῆς ἱστοριογραφίας. Ὁ συγγραφέας του βιβλίου, Χάιντς Χάιμζετ (1886-1975),

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή: Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές ιδιότητες

Αναλυτικές ιδιότητες 8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ 2017 Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ 2017 Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 25 εκεμβριου 2017 ἀριθμ. πρωτ. : 877 ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ 2017 Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ Πρὸς τοὺς εὐλαβεῖς Ἱερεῖς καὶ τοὺς εὐσεβεῖς Χριστιανοὺς τῆς καθ ἡμᾶς Θεοσώστου

Διαβάστε περισσότερα

Ν.Γ. Τζανάκης. Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο

Ν.Γ. Τζανάκης. Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο Διαιρετότητα σὲ ἀκέραιες περιοχές Ν.Γ. Τζανάκης Τμῆμα Μαθηματικῶν Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο Εαρινὸ ἑξάμηνο 2015 Σ αὐτὲς τὶς σημειώσεις, το D συμβολίζει πάντα ἀκέραια περιοχή. 1 Τα βασικα Ορισμός.

Διαβάστε περισσότερα

Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.

Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. 2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΔΑΚΤΥΛΙΩΝ. Σημειώσεις προπτυχιακοῦ μαθήματος 1. Ν.Γ. Τζανάκης. Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο

ΘΕΩΡΙΑ ΔΑΚΤΥΛΙΩΝ. Σημειώσεις προπτυχιακοῦ μαθήματος 1. Ν.Γ. Τζανάκης. Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο ΘΕΩΡΙΑ ΔΑΚΤΥΛΙΩΝ Σημειώσεις προπτυχιακοῦ μαθήματος 1 Ν.Γ. Τζανάκης Τμῆμα Μαθηματικῶν Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο 1 Τελευταία ἔκδοση 15-6-2014 2 Περιεχόμενα 1 Διαιρετότητα 3 1.1 Τα βασικα....................................

Διαβάστε περισσότερα

Χρήση τῶν Στατιστικῶν / Ἐρευνητικῶν Ἐργαλείων τοῦ

Χρήση τῶν Στατιστικῶν / Ἐρευνητικῶν Ἐργαλείων τοῦ ICAMSoft SmartMedicine v.3 Στατιστικά Χρήση τῶν Στατιστικῶν / Ἐρευνητικῶν Ἐργαλείων τοῦ ICAMSoft Applications White Papers Φεβρουάριος 2010 Σελίς: 1 / 14 Στατιστικά ICAMSoft SmartMedicine v.3 Μenu Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιωδης Θεωρια Αριθμων

Θεμελιωδης Θεωρια Αριθμων Θεμελιωδης Θεωρια Αριθμων Ν.Γ. Τζανάκης Τμήμα Μαθηματικών - Πανεπιστήμιο Κρήτης 22-5-2012 2 Περιεχόμενα 1 Διαιρετότητα 3 1.1 Βασικὲς προτάσεις........................... 3 1.2 Μέγιστος κοινὸς διαιρέτης......................

Διαβάστε περισσότερα

Εκεί όπου όντως ήθελε ο Θεός

Εκεί όπου όντως ήθελε ο Θεός 13/02/2019 Εκεί όπου όντως ήθελε ο Θεός Πατριαρχεία / Πατριαρχείο Αλεξανδρείας Του π. Πολυκάρπου Αγιαννανίτη Ὅπου διακονεῖ κανεὶς τὸν Χριστὸ καὶ τὴν Ἐκκλησία, ἐκεῖ βρίσκει τὴ χαρὰ καὶ τὴν ἀνάπαυσή του.

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ. Γιατὶ τὸ Βυζάντιο. Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292.

Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ. Γιατὶ τὸ Βυζάντιο. Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292. Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ Γιατὶ τὸ Βυζάντιο Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292. Κατ ἐπανάληψιν ἔχει ἐπισημανθῆ ὅτι ἐπιβάλλεται νὰ ἀναθεωρήσουμε ἐμεῖς οἱ Ἕλληνες τὴν ὀπτικὴ εἰκόνα ποὺ ἔχουν

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΗΓΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ. Ἀλυγιζάκη, Ἡ ὀκταηχία Ἀλυγιζάκη Ἀντωνίου Ε., Ἡ ὀκταηχία στὴν ἑλληνικὴ λειτουργικὴ ὑμνογραφία, Θεσσαλονίκη 1985.

ΠΗΓΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ. Ἀλυγιζάκη, Ἡ ὀκταηχία Ἀλυγιζάκη Ἀντωνίου Ε., Ἡ ὀκταηχία στὴν ἑλληνικὴ λειτουργικὴ ὑμνογραφία, Θεσσαλονίκη 1985. 1 ΕΙΚΟΝΕΣ 2 ΠΗΓΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ Ἀλυγιζάκη, Ἡ ὀκταηχία Ἀλυγιζάκη Ἀντωνίου Ε., Ἡ ὀκταηχία στὴν ἑλληνικὴ λειτουργικὴ ὑμνογραφία, Θεσσαλονίκη 1985. Γιαννόπουλου, Ἡ ψαλτικὴ τέχνη Γιαννόπουλου Ἐμμανουὴλ Στ., Ἡ ψαλτικὴ

Διαβάστε περισσότερα

Παραλειπόμενα τῆς 6ης Πανελλήνιας Συνάντησης Νέων

Παραλειπόμενα τῆς 6ης Πανελλήνιας Συνάντησης Νέων Ὅ,τι ἐπεδόθη στοὺς Συνέδρους-Νέους καὶ τοὺς Παρατηρητὲς Παραλειπόμενα τῆς 6ης Πανελλήνιας Συνάντησης Νέων Κείμενα Προβληματισμοῦ καὶ Ἀναμνηστικὰ α. Πρόγραμμα Συναντήσεως. β. Κεντρικὴ Εἰσήγησις. γ. Ποιήματα

Διαβάστε περισσότερα

ποταμιτου εκδοσεισ ποταμιτου καταλογοσ ΒΙΒΛΙΑ ΜΕ ΝΟΗΜΑ www.potamitis.info ΒΙΒΛΙΑ ΜΕ ΝΟΗΜΑ θεροσ 2012

ποταμιτου εκδοσεισ ποταμιτου καταλογοσ ΒΙΒΛΙΑ ΜΕ ΝΟΗΜΑ www.potamitis.info ΒΙΒΛΙΑ ΜΕ ΝΟΗΜΑ θεροσ 2012 εκδοσεισ θεροσ 2012 ποταμιτου ποταμιτου καταλογοσ www.potamitis.info ΒΙΒΛΙΑ ΜΕ ΝΟΗΜΑ ΒΙΒΛΙΑ ΜΕ ΝΟΗΜΑ 8,99 σκληρὸ ἐξώφυλλο, 32 σελίδες, 22Χ22 ἑκατοστά Κάθε Σάββατο, ἡ Γιαγιὰ ἀφήνει τὸ καλαθάκι της μὲ τὰ

Διαβάστε περισσότερα

Ἀπολογισμὸς «Ἐ.Ἐ.Ε.» καὶ Τμημάτων Ψηφιδωτοῦ, Ξυλογλυπτικῆς καὶ Πληροφορικῆς.

Ἀπολογισμὸς «Ἐ.Ἐ.Ε.» καὶ Τμημάτων Ψηφιδωτοῦ, Ξυλογλυπτικῆς καὶ Πληροφορικῆς. Ἐπὶ τῇ λήξει τῆς Περιόδου Ι (2016-2017) Ποιμαντικῶν, Κατηχητικῶν, Κοινωνικῶν καὶ Πολιτιστικῶν Δραστηριοτήτων Κυριακὴ Ἁγίων 318 Πατέρων τῆς Α Οἰκουμενικῆς Συνόδου, 15/28.5.2017 Φυλὴ Ἀττικῆς Ἀπολογισμὸς

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιωδης Θεωρια Αριθμων

Θεμελιωδης Θεωρια Αριθμων Θεμελιωδης Θεωρια Αριθμων Ν.Γ. Τζανάκης Τμῆμα Μαθηματικῶν & Εφαρμοσμένων Μαθηματικῶν Πανεπιστήμιο Κρήτης 29-4-2019 2 Περιεχόμενα 1 Διαιρετότητα 3 1.1 Βασικὲς προτάσεις........................... 3 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Ποιμαντικές σκέψεις Η ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ τοῦ Ἀλεξάνδρου Μ. Σταυροπούλου Ὁμοτίμου Καθηγητοῦ τοῦ Πανεπιστημίου Ἀθηνῶν Ὁ χρόνος καὶ ἡ σχετικότητά του Συνήθως, τέλος τοῦ παλαιοῦ ἀρχὲς τοῦ καινούριου χρόνου,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές στην κίνηση Brown

Εφαρμογές στην κίνηση Brown 13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ποικιλία τέρπουσα. Πρωτοψάλτου τῆς τοῦ Χριστοῦ Μεγάλης Ἐκκλησίας. Κωνσταντίνου τοῦ Βυζαντίου ( 30 Ἰουνίου 1862) 1

Ποικιλία τέρπουσα. Πρωτοψάλτου τῆς τοῦ Χριστοῦ Μεγάλης Ἐκκλησίας. Κωνσταντίνου τοῦ Βυζαντίου ( 30 Ἰουνίου 1862) 1 Ποικιλία τέρπουσα ἡ μελοποιία στὴν Ἀνθολογία Στιχηραρίου τοῦ Πρωτοψάλτου τῆς τοῦ Χριστοῦ Μεγάλης Ἐκκλησίας Κωνσταντίνου τοῦ Βυζαντίου ( 30 Ἰουνίου 1862) 1 ὑπὸ Κωνσταντίνου Τερζοπούλου Ἀμφιθέατρο Νέου Κτηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Θέλουν ὅμως ὅλοι τὴν ἀλλαγὴ τῆς ὑπάρχουσας κατάστασης:

Θέλουν ὅμως ὅλοι τὴν ἀλλαγὴ τῆς ὑπάρχουσας κατάστασης: /0L`qshchr^Σχέδιο 0 0/./2.1/00 1906 μ-μ- O`fd 087 Θέλουν ὅμως ὅλοι τὴν ἀλλαγὴ τῆς ὑπάρχουσας κατάστασης: Μά+ θὰ μοῦ πεῖτε+ ποιός τυφλὸς δὲν θέλει τὸ φῶς του+ ποιός ἄρρωστος δὲν θέλει τὴν γιατρειά του καὶ

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ελληνορωμαϊκές-Ελληνοϊταλικές Σπουδές» του Τμήματος Ιταλικής Γλώσσας και Φιλολογίας του ΕΚΠΑ και το Σεμινάριο Ιταλικής Ιστορίας και Ιστοριογραφίας, σας προσκαλούν στη

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Η Α.Θ.Π. ο Οικουμενικός Πατριάρχης κ.κ. Βαρθολομαίος. τίμησε με την παρουσία του τις εκδηλώσεις για τον εορτασμό

Η Α.Θ.Π. ο Οικουμενικός Πατριάρχης κ.κ. Βαρθολομαίος. τίμησε με την παρουσία του τις εκδηλώσεις για τον εορτασμό Θέρμη 25/10/2013 Η Α.Θ.Π. ο Οικουμενικός Πατριάρχης κ.κ. Βαρθολομαίος τίμησε με την παρουσία του τις εκδηλώσεις για τον εορτασμό των 35 χρόνων των Εκπαιδευτηρίων Ε. Μαντουλίδη. Τον εορτασμό των 35 χρόνων

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστηριακὸ Μάθημα Ἁγιογραφίας Β

Φροντιστηριακὸ Μάθημα Ἁγιογραφίας Β Φροντιστηριακὸ Μάθημα Ἁγιογραφίας Β Στὴν Ἱερὰ Μονή μας, τῶν Ἁγίων Μαρτύρων Κυπριανοῦ καὶ Ἰουστίνης, στὴν Φυλὴ Ἀττικῆς, μὲ τὴν Χάρι τοῦ Θεοῦ, τὴν εὐχὴ τοῦ ἀσθενοῦντος Σεβασμιωτάτου Πνευματικοῦ Πατρός μας,

Διαβάστε περισσότερα

Οἱ ἐπιστῆμες τοῦ ποσοῦ καὶ ἡ θεολογία

Οἱ ἐπιστῆμες τοῦ ποσοῦ καὶ ἡ θεολογία Νικόλαος Γ. Πολίτης Ὁμ. Καθηγητὴς τῆς Φιλοσοφίας τῆς Φιλοσοφικῆς Σχολῆς τοῦ Πανεπιστημίου Ἀθηνῶν. Οἱ ἐπιστῆμες τοῦ ποσοῦ καὶ ἡ θεολογία Μὲ στόχο ἴσως τὴν ἐξαφάνιση τῶν ἀντιθέσεων, ἐπειδὴ αὐτὲς προέρχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΧΡΙ τώρα μιλήσαμε γιὰ τὴν διδασκαλία τῆς Εκκλησίας σχετικὰ

ΜΕΧΡΙ τώρα μιλήσαμε γιὰ τὴν διδασκαλία τῆς Εκκλησίας σχετικὰ Μεγάλη Τεσσαρακοστὴ Ενα πνευματικὸ ταξίδι πρὸς τὸ Τέλος τοῦ παλαιοῦ καὶ τὴν Αρχὴ τοῦ νέου Νὰ τὴν ἐνσωματώσουμε στὴν καθημερινή μας ζωὴ * Μιὰ πνευματικὴ πρόκληση, ποὺ ἀπαιτεῖ ἀντίδραση, ἀπόφαση, πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1α ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Οι επιστήμονες ταξινομούν τους οργανισμούς σε ομάδες ανάλογα με τα κοινά τους χαρακτηριστικά. Τα πρώτα συστήματα ταξινόμησης βασιζόταν αποκλειστικά στα μορφολογικά

Διαβάστε περισσότερα

Οἱ Πηγὲς μου : Κυρίως Spade (σσ , ), Copleston, Gilson. Ἡ Αυγουστίνεια κριτικὴ κατὰ τοῦ Σκεπτικισμοῦ

Οἱ Πηγὲς μου : Κυρίως Spade (σσ , ), Copleston, Gilson. Ἡ Αυγουστίνεια κριτικὴ κατὰ τοῦ Σκεπτικισμοῦ Οἱ Πηγὲς μου : Κυρίως Spade (σσ. 81-84, 113-122), Copleston, Gilson Ἡ Αυγουστίνεια κριτικὴ κατὰ τοῦ Σκεπτικισμοῦ Σκεπτικιστικὴ Παραδοχὴ: Ἡ γνώση μπορεῖ νὰ προέλθει μόνον ἀπὸ τὶς αἰσθήσεις. Οἱ αἰσθήσεις

Διαβάστε περισσότερα