Θεμελιωδης Θεωρια Αριθμων. Ν.Γ. Τζανάκης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεμελιωδης Θεωρια Αριθμων. Ν.Γ. Τζανάκης"

Transcript

1 Θεμελιωδης Θεωρια Αριθμων Ν.Γ. Τζανάκης Τμῆμα Μαθηματικῶν - Πανεπιστήμιο Κρήτης

2 2

3 Περιεχόμενα 1 Διαιρετότητα Βασικὲς προτάσεις Μέγιστος κοινὸς διαιρέτης Ελάχιστο κοινὸ πολλαπλάσιο Πρῶτοι ἀριθμοί Πυθαγόρειες τριάδες Ασκήσεις τοῦ κεφαλαίου Ισοτιμίες Ορισμοὶ καὶ βασικὲς ἰδιότητες Συστήματα ὑπολοίπων Υψωση σὲ δύναμη Η κρυπτογραφικὴ μέθοδος RSA Ασκήσεις τοῦ κεφαλαίου Επίλυση ἰσοτιμιῶν Γενικά Ισοτιμίες πρώτου βαθμοῦ Τὸ κινέζικο θεώρημα ὑπολοίπων Πολυωνυμικὲς ἰσοτιμίες μὲ ἕνα ἄγνωστο Ασκήσεις τοῦ κεφαλαίου Τετραγωνικὰ ἰσοϋπόλοιπα Ορισμοὶ καὶ βασικὲς ἰδιότητες Τὸ σύμβολο τοῦ Legendre Τὸ σύμβολο τοῦ Jacobi Επίλυση τῆς ἰσοτιμίας x 2 b (mod m) Ασκήσεις τοῦ κεφαλαίου Γεννήτορες καὶ διακριτοὶ λογάριθμοι Γεννήτορες Διακριτοὶ λογάριθμοι Ασκήσεις τοῦ κεφαλαίου

4 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

5 Κεφάλαιο 1 Διαιρετότητα Τὰ λατινικὰ γράμματα συμβολίζουν πάντα ἀκεραίους ἀριθμούς Δουλεύομε στὸ σύνολο Z τῶν ἀκεραίων ἀριθμῶν. Οἱ θετικοὶ ἀκέραιοι χαρακτηρίζονται καὶ ὡς φυσικοὶ ἀριθμοὶ καὶ τὸ σύνολό τους συμβολίζεται N. Τὸ σύνολο τῶν μὴ ἀρνητικῶν ἀκεραίων, δηλαδή, τὸ N {0} συμβολίζεται N 0. Τὸ σύνολο τῶν ρητῶν ἀριθμῶν συμβολίζεται μὲ Q. Εξ ὁρισμοῦ, ἕνας ρητὸς ἀριθμὸς εἶναι πηλίκο a/b δύο ἀκεραίων ἀριθμῶν a, b μὲ b 0. Τὸ ἀκέραιο μέρος ἑνὸς πραγματικοῦ ἀριθμοῦ α συμβολίζεται [α]. Ισχύει [α] α < [α] Βασικὲς προτάσεις Τὸ ἄθροισμα, ἡ διαφορὰ καὶ τὸ γινόμενο δύο ἀκεραίων εἶναι πάντα ἀκέραιος. Τὸ πηλίκο τους, ὅμως, δὲν εἶναι πάντα ἀκέραιος. Αν γιὰ τοὺς ἀκεραίους a, b, μὲ b 0 συμβεῖ νὰ εἶναι τὸ πηλίκο τους a/b ἀκέραιος, δηλαδή, ἂν ὑπάρχει c Z, τέτοιος ὥστε a = bc, τὸ γεγονὸς αὐτὸ συμβολίζεται b a καὶ ἐκφράζεται μὲ τὶς ἑξῆς ἰσοδύναμες διατυπώσεις. Ο b διαιρεῖ τὸν a. Ο b εἶναι διαιρέτης τοῦ a. Ο a διαιρεῖται ἀπὸ τὸν b (ἢ διαιρεῖται διὰ b). Ο a εἶναι διαιρετός ἀπὸ τὸν b (ἢ διαιρετὸς διὰ b). Ο a εἶναι πολλαπλάσιο τοῦ b. Προσοχή! Νὰ μὴ γίνεται σύγχυση μεταξὺ τῶν συμβολισμῶν b a καὶ b/a. Ο πρῶτος δηλώνει μία ἰδιότητα (b διαιρεῖ a), ἐνῶ ὁ δεύτερος ἕνα ρητὸ ἀριθμό (τὸ πηλίκο b/a). 3

6 4 1. Διαιρετότητα Πρόταση αʹ. 1 a γιὰ κάθε a. Ισχύουν τὰ ἑξῆς: βʹ. b 0 γιὰ κάθε b 0. γʹ. Αν b, c 0 καὶ c b καὶ b a, τότε c a. δʹ. Αν c a καὶ c b, τότε c (a a + b b), γιὰ ὁποιουσδήποτε ἀκεραίους a, b. εʹ. Αν b a (b 0) καὶ a 0, τότε b a. Αὐτὸ συνεπάγεται, εἰδικώτερα, ὅτι τὸ πλῆθος τῶν διαιρετῶν τοῦ a εἶναι πεπερασμένο. ʹ. Αν οἱ a, b εἶναι μὴ μηδενικοί, a b καὶ b a (δηλαδή, οἱ ἀκέραιοι ἀλληλοδιαιροῦνται), τότε b = ±a. Απόδειξη αʹ καὶ βʹ. Προφανεῖς ἰσχυρισμοὶ λόγῳ τῶν σχέσεων a = 1 a καὶ 0 = b 0. γʹ. Εξ ὑποθέσεως, ὑπάρχουν ἀκέραιοι a 1, b 1, τέτοιοι ὥστε b = b 1 c καὶ a = a 1 b. Αρα, a = a 1 (b 1 c) = (a 1 b 1 )c, ποὺ σημαίνει ὅτι c a. δʹ. Εξ ὑποθέσεως, ὑπάρχουν ἀκέραιοι a 1, b 1, τέτοιοι ὥστε b = b 1 c καὶ a = a 1 c. Αρα, a a + b b = a (a 1 c) + b (b 1 c) = (a a 1 + b b 1 )c, ποὺ σημαίνει ὅτι c (a a + b b). εʹ. Εἶναι a = bc γιὰ κατάλληλο c Z, ἄρα a = b c. Αν εἶναι a 0, τότε c 0, ἄρα c 1, ὁπότε a = b c b. ʹ. Απὸ τὸ εʹ, συμπεραίνομε ὅτι b a καὶ a b, ἄρα a = b ἤ, ἰσοδύναμα, b = ±a. ὅ.ἔ.δ. Θεώρημα Εὐκλείδεια διαίρεση. Γιὰ κάθε ζεῦγος ἀκεραίων (a, b) μὲ b > 0 ὑπάρχει ἕνα μοναδικὸ ζεῦγος ἀκεραίων (q, r), τέτοιο ὥστε a = bq + r καὶ 0 r < b. Στὴ σχέση αὐτὴ ὁ a χαρακτηρίζεται διαιρετέος καὶ ὁ b διαιρέτης. Ο q ὀνομάζεται (ἀκέραιο) πηλίκο τῆς διαίρεσης τοῦ a διὰ b καὶ ὁ r ὑπόλοιπο τῆς διαίρεσης. Απόδειξη Πρῶτα θὰ δείξομε ὅτι ὑπάρχει ἕνα τέτοιο ζεῦγος (q, r) καὶ μετὰ ὅτι δὲν ὑπάρχει δεύτερο. Εστω q = [ a]. Τότε, ἀπὸ τὴν ἰδιότητα τοῦ ἀκεραίου μέρους, q a < q+1, ποὺ b b συνεπάγεται ὅτι bq a < bq + b. Αὐτό, ὅμως, προφανῶς σημαίνει ὅτι a = bq + r μὲ r 0 καὶ r < b. Αν ὑποθέσομε τώρα ὅτι καὶ τὸ ζεῦγος (q 1, r 1 ) ἔχει ἀνάλογες ἰδιότητες μὲ τὸ (q, r), τότε bq 1 + r 1 = a = bq + r, ἄρα b(q 1 q) = r r 1. Αν ἦταν r 1 r, τότε ἡ τελευταία ἰσότητα θὰ συνεπαγόταν ὅτι ὁ b θὰ διαιροῦσε τὸν θετικὸ ἀκέραιο r r 1, ἄρα θὰ ἦταν b r r 1, σύμφωνα μὲ τὸ εʹ τῆς πρότασης Απὸ τὴν ἄλλη μεριά, ὁ r r 1 ἐκφράζει τὴν ἀπόσταση μεταξὺ τῶν r καὶ r 1 πάνω στὸν ἄξονα τῶν παραγματικῶν ἀριθμῶν, ἡ ὁποία εἶναι γνησίως μικρότερη τοῦ b, ἀφοῦ, ἐξ

7 1.2 Μέγιστος κοινὸς διαιρέτης 5 ὑποθέσεως, 0 r, r 1 < b. Αὐτὴ ἡ ἀντίφαση μᾶς ἀναγκάζει νὰ συμπεράνομε ὅτι r 1 = r, ὁπότε καὶ q 1 = q. ὅ.ἔ.δ. Στὴν εἰδικὴ περίπτωση, ποὺ b = 2, οἱ πιθανὲς τιμὲς τοῦ r εἶναι 0 ἢ 1. Στὴν πρώτη περίπτωση, a = 2q καὶ ὁ a χαρακτηρίζεται ἄρτιος, ἐνῶ στὴ δεύτερη, a = 2q + 1 καὶ ὁ a χαρακτηρίζεται περιττός. Προσοχή! Μὴ γίνεται σύγχυση μεταξὺ τοῦ πηλίκου δύο ἀκεραίων ἀριθμῶν καὶ τοῦ ἀκεραίου πηλίκου τους. Γιὰ παράδειγμα, τὸ πηλίκο τοῦ 21 διὰ 4 εἶναι ὁ ρητὸς ἀριθμὸς 21/4=5.25, ἐνῶ τὸ (ἀκέραιο) πηλίκο τῆς διαίρεσης 21 διὰ 4 εἶναι 5 (καὶ τὸ ὑπόλοιπο 1). Μόνο στην περίπτωση ποὺ τὸ ὑπόλοιπο εἶναι 0 οἱ δύο ἀριθμοὶ ταυτίζονται. Ετσι, τὸ πηλίκο τοῦ 12 διὰ 4 εἶναι 12/4=3, ἀλλὰ καὶ τὸ (ἀκέραιο) πηλίκο τῆς διαίρεσης τοῦ 12 διὰ 4 εἶναι Μέγιστος κοινὸς διαιρέτης Σταθεροποιοῦμε δύο μὴ μηδενικοὺς ἀκεραίους a, b. Κοινὸς διαιρέτης τῶν a, b εἶναι κάθε ἀκέραιος, ποὺ διαιρεῖ καὶ τὸν a καὶ τὸν b. Απὸ τὸ θεώρημα βλέπομε ὅτι τὸ σύνολο τῶν κοινῶν διαιρετῶν τῶν a, b εἶναι μὴ κενό, ἐνῶ κάθε κοινὸς διαιρέτης τῶν a, b εἶναι, μικρότερος ἤ, τὸ πολύ, ἴσος μὲ τὸ min( a, b ). Συνεπῶς, τὸ σύνολο τῶν κοινῶν διαιρετῶν τῶν a, b εἶναι πεπερασμένο, ὁπότε ἔχει ἕνα μέγιστο στοιχεῖο, τὸ ὁποῖο καλεῖται μέγιστος κοινὸς διαιρέτης τῶν a, b καὶ συμβολίζεται (a, b), ἤ, ἂν ὑπάρχει φόβος συγχύσεως, ΜΚΔ(a, b). Ορίζομε τώρα τὸ σύνολο = {ax + by x, y Z}. Εἶναι τετριμμένο νὰ διαπιστώσει κανεὶς τὶς ἑξῆς βασικὲς ἰδιότητες τοῦ : 1. Τὸ ἄθροισμα δύο ἀριθμῶν, ποὺ ἀνήκουν στὸ, ἀνήκει, ἐπίσης, στὸ. 2. Τὸ γινόμενο ἑνὸς ἀριθμοῦ τοῦ μὲ ἕναν ὁποιονδήποτε ἀκέραιο, πάλι ἀνήκει στὸ 1 Παρατηροῦμε τώρα τὰ ἑξῆς: Εἶναι a, b. Πράγματι, διότι a = a 1 + b 0 ἂν a > 0 καὶ a = a ( 1) + b 0 ἂν a < 0 ἀνάλογα καὶ γιὰ τὸ b. Είδαμε ὅτι τὸ περιέχει θετικοὺς ἀκεραίους ἔστω, λοιπόν, d ὁ ἐλάχιστος θετικὸς ἀκέραιος, ποὺ περιέχεται στὸ. Τὸ ταυτίζεται μὲ τὸ σύνολο τῶν πολλαπλασίων τοῦ d συμβολικά, = dz. Πράγματι, ἀφοῦ d, ἡ ἰδιότητα 2, παραπάνω, μᾶς λέει ὅτι dn γιὰ κάθε n Z. Αρα, dz. Αντιστρόφως, τώρα, ἔστω m καὶ ἂς ἐκτελέσομε τὴν εὐκλείδεια διαίρεση τοῦ m διὰ d: Βάσει τοῦ θεωρήματος 1.1.2, ἂς γράψομε m = dq + r μὲ 1 Οἱ ἐπαΐοντες θὰ ἀναγνωρίσουν σὲ αὐτὲς τὶς δύο ἰδιότητες τοῦ ἕνα ἰδεῶδες τοῦ Z.

8 6 1. Διαιρετότητα 0 r < d. Τώρα, ἀπὸ τὴν ἰδιότητα 2 τοῦ καὶ τὸ γεγονὸς ὅτι d συμπεραίνομε ὅτι d( q). Ομως, ἐξ ὑποθέσεως, m, ἄρα, ἀπὸ τὴν ἰδιότητα 1 τοῦ, ἕπεται ὅτι m qd, δηλαδή, r. Οπότε, ἂν ἦταν r > 0, θὰ εἴχαμε βρεῖ ἕνα θετικὸ στοιχεῖο τοῦ μικρότερο τοῦ d, κάτι ποὺ ἔρχεται σὲ ἀντίφαση μὲ τὴν ἐκλογὴ τοῦ d. Συνεπῶς, r = 0, ὁπότε m = dq dz καὶ καταλήγομε στὸ συμπέρασμα ὅτι dz. Ο d εἶναι κοινὸς διαιρέτης τῶν a, b. Αὐτὸ συνεπάγεται, εἰδικώτερα, ὅτι κάθε διαιρέτης τοῦ d εἶναι κοινὸς διαιρέτης τῶν a, b, ἀφοῦ ἡ σχέση τῆς διαιρετότητας εἶναι μεταβατική (γʹ τῆς πρότασης 1.1.1). Πράγματι, ὅπως εἴδαμε παραπάνω, a. Αλλὰ = dz, καθὼς δείξαμε μόλις πρίν, ἄρα a dz, δηλαδή, ὁ a εἶναι πολλαπλάσιο τοῦ d ἰσοδύναμα, ὁ d εἶναι διαιρέτης τοῦ a. Ανάλογα καὶ γιὰ τὸν b. Κάθε κοινὸς διαιρέτης c τῶν a, b διαιρεῖ τὸν d. Πράγματι, ἐξ ὁρισμοῦ τοῦ καὶ ἐπειδὴ d, ὑπάρχουν x 0, y 0 Z, τέτοιοι ὥστε d = ax 0 + by 0. Γράφοντας τώρα a = a 1 c, b = b 1 c, βλέπομε ὅτι d = c(a 1 x 0 + b 1 y 0 ), ποὺ σημαίνει ὅτι c d. Τὸ συμπέρασμα αὐτὸ συνεπάγεται, εἰδικώτερα, ὅτι c d (εʹ τῆς πρότασης 1.1.1), ἄρα βάσει τῶν προηγουμένων, ὁ d εἶναι καὶ κοινὸς διαιρέτης τῶν a, b καὶ ὁ μεγαλύτερος ἀπὸ ὅλους τοὺς ἄλλους κοινοὺς διαιρέτες τῶν a, b. Συνοψίζοντας τὰ συμπεράσματά μας, καταλήγομε στὸ ἑξῆς βασικὸ Θεώρημα Εστω d ὁ μέγιστος κοινὸς διαιρέτης δύο ἀκεραίων a, b. Τότε: αʹ. Τὸ σύνολο τῶν κοινῶν διαιρετῶν τῶν a, b ταυτίζεται μὲ τὸ σύνολο τῶν διαιρετῶν τοῦ d. βʹ. Υπάρχουν ἀκέραιοι x 0, y 0, τέτοιοι ὥστε d = ax 0 + by 0. Ο μέγιστος κοινὸς διαιρέτης ἑνὸς πεπερασμένου πλήθους ἀκεραίων a 1, a 2,..., a n συμβολίζεται (a 1, a 2,..., a n ) καὶ ὁρίζεται ὡς ὁ μέγιστος θετικὸς ἀκέραιος, ὁ ὁποῖος διαιρεῖ καθέναν ἀπὸ τοὺς a 1,..., a n. Ο ὑπολογισμός του μπορεῖ νὰ γίνει ἀναδρομικά, ὡς ἑξῆς: (a 1, a 2, a 3 ) = ((a 1, a 2 ), a 3 ) (a 1, a 2, a 3, a 4 ) = ((a 1, a 2, a 3 ), a 4 ). (a 1,..., a n 1, a n ) = ((a 1,..., a n 1 ), a n ) Χρειάζεται, βέβαια, ἀπόδειξη ὅτι αὐτὴ ἡ ἀναδρομικὴ διαδικασία ὁδηγεῖ στὴν εὕρεση τοῦ μεγίστου κοινοῦ διαιρέτη τῶν a 1,..., a n βλ. ἄσκηση 13. Επίσης, ἡ ἄσκηση 14 λέει ὅτι ὁ μέγιστος κοινὸς διαιρέτης πολλῶν ἀριθμῶν ἔχει ἰδιότητες ἀνάλογες μὲ αὐτὲς τοῦ μεγίστου κοινοῦ διαιρέτη, ποὺ ἀναφέρονται στὸ θεώρημα Οταν (a 1, a 2,..., a n ) = 1, τότε λέμε ὅτι οἱ a 1, a 2,..., a n εἶναι πρῶτοι μεταξύ τους. Η ἰδιότητα αὐτὴ τῶν a 1, a 2,..., a n εἶναι ἀσθενέστερη ἀπὸ τὴν ἰδιότητα νὰ εἶναι ἀνὰ ζεύγη πρῶτοι, ἐκτός, βέβαια, ἂν n = 2, ποὺ οἱ ἰδιότητες εἶναι ἰσοδύναμες. Γιὰ

9 1.2 Μέγιστος κοινὸς διαιρέτης 7 παράδειγμα, οἱ ἀριθμοὶ 10,12,15 εἶναι πρῶτοι μεταξύ τους, ἀφοῦ ὁ μόνος κοινὸς (καὶ γιὰ τοὺς τρεῖς) διαιρέτης τους εἶναι ὁ 1. Ομως, ἀνὰ ζεύγη, δὲν εἶναι πρῶτοι, ἀφοῦ (10, 12) = 2, (10, 15) = 5 καὶ (12, 15) = 3. Φυσικά, εἶναι φανερὸ ὅτι, ἂν οἱ a 1, a 2,..., a n εἶναι πρῶτοὶ ἀνὰ ζεύγη, εἶναι καὶ πρῶτοι μεταξύ τους. Θεώρημα Ιδιότητες τοῦ ΜΚΔ αʹ. Αν b a τότε (a, b) = b. βʹ. Αν a = bq + c τότε τὸ σύνολο τῶν κοινῶν διαιρετῶν τῶν a, b συμπίπτει μὲ τὸ σύνολο τῶν κοινῶν διαιρετῶν τῶν b, c εἰδικώτερα, (a, b) = (b, c). γʹ. Γιὰ ὁποιονδήποτε ἀκέραιο c, (ca, cb) = c (a, b) ( a δʹ. Αν ὁ c εἶναι κοινὸς διαιρέτης τῶν a, b, τότε c, b ) (a, b) =. Αὐτό, εἰδικώτερα, συνεπάγεται γιὰ c = (a, b) ὅτι οἱ a/(a, b) καὶ b/(a, b) εἶναι πρῶτοι μεταξύ c c τους. εʹ. Αν (a, b) = 1 καὶ c ὁποιοσδήποτε ἀκέραιος, τότε (ac, b) = (c, b). ʹ. Αν (a, b) = 1 καὶ b ac, τότε b c. ζʹ. Αν καθένας ἀπὸ τοὺς a 1,..., a n εἶναι πρῶτος πρὸς καθέναν ἀπὸ τοὺς b 1,..., b m, τότε (a 1 a n, b 1 b m ) = 1. Απόδειξη αʹ. Ο b εἶναι, προφανῶς, ὁ μέγιστος διαιρέτης τοῦ b καί, ἐξ ὑποθέσεως, διαιρεῖ τὸν a, ἄρα εἶναι μέγιστος κοινὸς διαιρέτης τῶν a, b. βʹ. Κάθε κοινὸς διαιρέτης τῶν a, b διαιρεῖ τοὺς a καὶ bq, ἄρα διαιρεῖ καὶ τὸν c = ( 1)a + qb (βλ. θεώρημα 1.1.1), ὁπότε εἶναι κοινὸς διαιρέτης τῶν b, c. Αντίστροφα, κάθε κοινὸς διαιρέτης τῶν b, c διαιρεῖ τὸν qb + c = a, ἄρα εἶναι κοινὸς διαιρέτης τῶν a, b. γʹ. Εστω (a, b) = d. Επειδὴ ὁ c διαιρεῖ τὸν c καὶ ὁ d διαιρεῖ τὸν a, ὁ c d διαιρεῖ τὸν ca καί, ὁμοίως, διαιρεῖ καὶ τὸν cb. Ο c d εἶναι, λοιπόν, κοινὸς διαιρέτης τῶν ca, cb, ἄρα (αʹ τοῦ θεωρήματος 1.2.1) διαιρεῖ τὸν (ca, cb). Θὰ δείξομε ὅτι, καὶ ἀντίστροφα, ὁ (ca, cb) διαιρεῖ τὸν c d. Πράγματι, τὸ βʹ τοῦ θεωρήματος μᾶς ἐξασφαλίζει τὴν ὕπαρξη ἀκεραίων x 0, y 0, τέτοιων ὥστε ax 0 + by 0 = d, ὁπότε (ca)x 0 + (cb)y 0 = cd. Τὸ ἀριστερὸ μέλος αὐτῆς τῆς σχέσης διαιρεῖται, προφανῶς, ἀπὸ τὸν (ca, cb), ἄρα ὁ (ca, cb) διαιρεῖ τὸν cd, ὁπότε καὶ τὸν c d. Τελικά, οἱ θετικοὶ ἀκέραιοι (ca, cb) καὶ c d = c (a, b) ἀλληλοδιαιροῦνται, ὁπότε εἶναι ἴσοι (βλ. ʹ τοῦ θεωρήματος 1.1.1). δʹ. Εφαρμόζοντας τὸ γʹ μὲ a στὴ θέση τοῦ a καὶ b στὴ θέση τοῦ b, παίρνομε c c c ( a, b ) = (a, b), δηλαδή, τὴν ἀποδεικτέα σχέση.2 c c εʹ. Εχομε (c, b) (ac, b). Πράγματι, ὁ (c, b) διαιρεῖ τοὺς c, b ἄρα εἶναι κοινὸς διαιρέτης καὶ τῶν ac, b, ἄρα εἶναι διαιρέτης τοῦ (ac, b) (ἀπὸ τὸ αʹ τοῦ θεωρήματος 1.2.1). Αντίστροφα, θὰ δείξομε ὅτι (ac, b) (c, b). Απὸ τὸ βʹ τοῦ θεωρήματος ξέρομε ὅτι ὑπάρχουν ἀκέραιοι x 0, y 0, τέτοιοι ὥστε ax 0 + by 0 = 1, ἄρα (ac)x 0 + b(cy 0 ) = c. Βλέπομε ὅτι τὸ ἀριστερὸ μέλος αὐτῆς τῆς σχέσης διαιρεῖται ἀπὸ τὸν (ac, b), ἄρα ὁ (ac, b) διαιρεῖ καὶ τὸν c, ὁπότε εἶναι κοινὸς διαιρέτης τῶν b, c, ἄρα καὶ διαιρέτης 2 Δεῖτε, ὅμως τὴν ἄσκηση 15.

10 8 1. Διαιρετότητα τοῦ (b, c) (ἀπὸ τὸ αʹ τοῦ θεωρήματος 1.2.1). Οἱ θετικοὶ ἀκέραιοι (c, b) καὶ (ac, b) ἀλληλοδιαιροῦνται λοιπόν, ἄρα ( ʹ τοῦ θεωρήματος 1.1.1) εἶναι ἴσοι. ʹ. Απὸ τὸ βʹ τοῦ θεωρήματος ξέρομε ὅτι ὑπάρχουν ἀκέραιοι x 0, y 0, τέτοιοι ὥστε ax 0 + by 0 = 1, ἄρα (ac)x 0 + b(cy 0 ) = c. Ο b διαιρεῖ τὸ ἀριστερὸ μέλος, ἄρα διαιρεῖ καὶ τὸν c. ζʹ. Θὰ δείξομε πρῶτα ὅτι (a 1 a 2 a n, b 1 ) = 1, ἐφαρμόζοντας πολλὲς φορὲς διαδοχικὰ τὸ εʹ καί, φυσικά, τὴν ὑπόθεση ὅτι ὁ b 1 εἶναι πρῶτος πρὸς καθέναν ἀπὸ τοὺς a 1, a 2,..., a n. Λοιπόν, ἔχομε διαδοχικά: (a 1, b 1 ) = 1 (a 1 a 2, b 1 ) = (a 2, b 1 ) = 1 (a 1 a 2, b 1 ) = 1 (a 1 a 2 a 3, b 1 ) = (a 3, b 1 ) = 1.. (a 1 a 2 a n 1, b 1 ) = 1 (a 1 a 2 a n 1 a n, b 1 ) = (a n, b 1 ) = 1 Θέτομε τώρα A = a 1 a 2 a n. Μόλις δείξαμε ὅτι (A, b 1 ) = 1. Εντελῶς ἀνάλογα ἰσχύει ὅτι (A, b k ) = 1 γιὰ ὅλα τὰ k = 1,..., m. Τώρα, μὲ διαδοχικὴ ἐφαρμογὴ τοῦ εʹ, ἔχομε τὶς διαδοχικὲς συνεπαγωγές: (b 1, A) = 1 (b 1 b 2, A) = (b 2, A) = 1, (b 1 b 2, A) = 1 (b 1 b 2 b 3, A) = (b 3, A) = 1 κλπ, μέχρις ὅτου καταλήξομε στὴν (b 1 b 2 b m, A) = 1, δηλαδή, στὴν ἀποδεικτέα. ὅ.ἔ.δ. Ο πρακτικὸς ὑπολογισμὸς τοῦ μεγίστου κοινοῦ διαιρέτη δύο ἀκεραίων ἐπιτυγχάνεται πάρα πολὺ ἀποτελεσματικὰ μὲ τὸν εὐκλείδειο ἀλγόριθμο, ἕναν ἀπὸ τοὺς πιὸ σημαντικοὺς ἀλγορίθμους τῶν Μαθηματικῶν. Θεώρημα Εστω a b > 0. Θέτομε r 0 = a, r 1 = b, s 1 = s 0 = 1. Γιὰ i = 1, 2,... ὁρίζομε ἀναδρομικά q i+1, r i+1 νὰ εἶναι, ἀντιστοίχως, τὸ πηλίκο καὶ τὸ ὑπόλοιπο τῆς εὐκλείδειας διαίρεσης τοῦ r i 1 διὰ τοῦ r i (βλ. θεώρημα 1.1.2). Τότε: αʹ. b = r 1 > r 2 > r 3 > καὶ γιὰ κάποιο i = n 2 εἶναι r n+1 = 0. Γι αὐτὸ τὸ συγκεκριμένο n ἰσχύει n < 2 log b log καὶ r n = (a, b). βʹ. Γιὰ i = 1,..., n ὁρίζομε ἀναδρομικά s i = s i 2 s i 1 q n i+2. Τότε, (a, b) = as n 1 + bs n. Απόδειξη αʹ. Εχομε, ἐξ ὁρισμοῦ, r i 1 = r i q i+1 + r i+1, ὅπου 0 r i+1 < r i (βλ. θεώρημα 1.1.2). Συνεπῶς, γιὰ τοὺς μὴ ἀρνητικοὺς ἀκεραίους r i ἔχομε r 0 > r 1 > r 2 > 0, ἄρα κάποιο r i, ἀναγκαστικά, θὰ εἶναι μηδέν. Εστω, λοιπόν, r n+1 = 0

11 1.2 Μέγιστος κοινὸς διαιρέτης 9 (n 1). Τότε ἔχομε τὴν ἑξῆς κατάσταση: a = r 0 = r 1 q 2 + r 2 = bq 2 + r 2, 0 < r 2 < r 1 = b b = r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 q 4 + r 4, 0 < r 4 < r 3.. r i 1 = r i q i+1 + r i+1, 0 < r i+1 < r i.. r n 3 = r n 2 q n 1 + r n 1, 0 < r n 1 < r n 2 r n 2 = r n 1 q n + r n, 0 < r n < r n 1 r n 1 = r n q n Η τελευταία ἀπὸ τὶς παραπάνω ἰσότητες μᾶς λέει ὅτι r n = (r n 1, r n ) (βλ. αʹ τοῦ θεωρήματος 1.2.2). Τώρα ἐφαρμόζομε τὸ βʹ τοῦ θεωρήματος διαδοχικά, ἀρχίζοντας ἀπὸ τὴν προτελευταία σχέση καὶ ἀνεβαίνοντας πρὸς τὰ πάνω: (r n, r n 1 ) = (r n 1, r n 2 ) = (r n 2, r n 3 ) = = (r 4, r 3 ) = (r 3, r 2 ) = (r 2, r 1 ) = (r 1, r 0 ) = (b, a). Εδῶ, τὸ ἀριστερώτερο = ὀφείλεται στὴν προτελευταία σχέση, τὸ ἑπόμενο = στὴν δεύτερη ἀπὸ τὸ τέλος σχέση κλπ. Τὸ ἄνω φράγμα γιὰ τὸν n θὰ τὸ ἀποδείξομε στὸ τέλος. βʹ. Γιὰ i = 0, 1,..., n ἰσχύει ἡ σχέση r n = s i r n i+1 + s i 1 r n i ( ), τὴν ὁποία θὰ ἀποδείξομε μὲ ἐπαγωγὴ στὸ i: Γιὰ i = 0 τὸ δεξιὸ μέλος γίνεται s 0 r n+1 + s 1 r n = r n = r n. Αν, τώρα, ἰσχύει ἡ σχέση γιὰ κάποιο 0 i < n, τότε πρέπει νὰ δείξομε ὅτι ἰσχύει καὶ γιὰ τὸ i + 1, δηλαδή, r n = s i+1 r n i + s i r n i 1. Αὐτὸ φαίνεται μὲ ἁπλούστατες πράξεις, ἂν στὸ δεξιὸ μέλος κάνομε τὶς ἀντικαταστάσεις s i+1 = s i 1 s i q n i+1 (βλ. πῶς ὁρίσθηκαν οἱ s 1, s 2,...) καὶ r n i 1 = r n i q n i+1 + r n i+1 (στὴ λίστα τῶν εὐκλειδείων διαιρέσεων, παραπάνω, θέτομε στὴ θέση τοῦ i τὸ n i). Απὸ τὴ σχέση (*), γιὰ i = n παίρνομε r n = s n r 1 + s n 1 r 0, δηλαδή, (a, b) = s n b + s n 1 a. Τέλος, ἀποδεικνύμε τὸ ἄνω φράγμα γιὰ τὸ n: Θὰ ἀποδείξομε πρῶτα ὅτι, γιὰ i = 1,..., n ἰσχύει r i 1 > 2r i+1. Πράγματι, ἂς θεωρήσομε ἕνα τέτοιον δείκτη i. Αν εἶναι r i r i 1 /2, τότε, λόγῳ τῆς r i+1 < r i, εἶναι καὶ r i+1 < r i 1 /2, δηλαδή, r i 1 > 2r i+1. Αν, πάλι, r i > r i 1 /2, τότε, λόγῳ τῆς r i 1 = r i q i+1 + r i+1, ἔχομε r i+1 = r i 1 r i q i+1 < r i 1 r i 1 2 q i+1 r i 1 r i 1 2 = r i 1 2. Εχοντας ἀποδείξει, τώρα, τὴ σχέση r i 1 > 2r i+1, παίρνομε διαδοχικά τὶς ἀνισότητες: b = r 1 > 2r 3 > 2 2 r 5 > 2 3 r 7 > > 2 (n 1)/2 r n, ἂν ὁ n εἶναι περιττός, b = r 1 > r 2 > 2r 4 > 2 2 r 6 > 2 3 r 8 > > 2 (n 2)/2 r n, ἂν ὁ n εἶναι ἄρτιος. Σὲ κάθε περίπτωση, λοιπόν, b > 2 (n 2)/2, ἀπ ὅπου, λογαριθμίζοντας, παίρνομε τὴν ἀποδεικτέα ἀνισότητα. ὅ.ἔ.δ. Μία μικρὴ ἰδέα γιὰ τὴ σπουδαιότητα τοῦ φράγματος, ποὺ ἀποδείξαμε, παίρνει κανεὶς ἀπὸ τὴν ἑξῆς συγκεκριμένη περίπτωση: Γιὰ τὸν ὑπολογισμὸ τοῦ μεγίστου

12 10 1. Διαιρετότητα κοινοῦ διαιρέτη τῶν a, b, ὅταν ὁ μικρότερος ἀπὸ τοὺς δύο (ὁ b) εἶναι 300ψήφιος ἀκέραιος, ἀπαιτοῦνται λιγότερα ἀπὸ 2000 βήματα n. Αλλὰ 2000 εὐκλείδειες διαιρέσεις κοστίζουν ἀμελητέο χρόνο ἀκόμη καὶ σὲ ἕνα προσωπικὸ ὑπολογιστή. Παράδειγμα. Υποδεικνύομε ἕνα τρόπο ὀργάνωσης τῶν ὑπολογισμῶν, ποὺ περιγράφονται στὸ θεώρημα 1.2.3: Εστω ὅτι ζητοῦμε τὸν (7168, 917). Οἱ ἀλλεπάλληλες διαιρέσεις τοῦ θεωρήματος φαίνονται δίπλα = = = = = = Τὸ τελευταῖο πηλῖκο (= τελευταῖο μὴ μηδενικὸ ὑπόλοιπο) εἶναι 7, ἄρα (7168, 917) = 7. Αὐτὴ ἡ ὑπολογιστικὴ διαδικασία, κατὰ τὴν ὁποία,σὲ κάθε βῆμα, διαιρετέος εἶναι ὁ διαιρέτης τοῦ προηγουμένου βήματος καὶ διαιρέτης, τὸ ὑπόλοιπο τοῦ προηγουμένου βήματος, περιγράφεται μὲ πιὸ εὐσύνοπτο τρόπο παραπλεύρως Παρατηρῆστε ὅτι, τὸ θεώρημα προβλέπει, γιὰ τὸ συγκεκριμένο παράδειγμα, πλῆθος βημάτων n, ποὺ δὲν ὑπερβαίνουν τὸ φράγμα 2 log 917/ log = , δηλαδή, n 21. Στὴν πράξη, εἴδαμε ὅτι n = 6. Η διαδικασία ὑπολογισμοῦ τῶν s i, (i = 1,..., n) γίνεται πολὺ ἁπλά: Μὲ τονισμένα τυπογραφικὰ στοιχεῖα σημειώνονται τὰ ἐξ ἀρχῆς γνωστὰ δεδομένα. Κατόπιν, τὰ κουτιὰ συμπληρώνονται ἀπὸ ἀριστερὰ πρὸς τὰ δεξιά. Στὴ γραμμὴ τοῦ q τὰ κουτιὰ συμπληρώνονται, ἀπὸ τὴν τρίτη στήλη καὶ μετά, μὲ τὰ πηλίκα τοῦ εὐκλειδείου ἀλγορίθμου ἀπὸ τὸ τελευταῖο πηλίκο πρὸς τὸ πρῶτο (βλ. παραπάνω), ἐνῶ στὴ γραμμὴ τοῦ s, στὰ δύο ἀριστερώτερα κουτιὰ μπαίνουν τὰ s 1 = s 0 = 1 καὶ μετά, ἀναδρομικά, τὰ s i, σύμφωνα μὲ τὸ διπλανὸ σχῆμα ὅπου ἐννοεῖται ὅτι τὰ A, B, C εἶναι ἤδη γνωστὰ καὶ συμπληρώνεται τὸ κουτὶ κάτω ἀπὸ τὸ A,σύμφωνα μὲ τὸ βʹ τοῦ θεωρήματος Κουτιὰ μὲ δὲν παίζουν ρόλο στὸν συγκεκριμένο ὑπολογισμό. A C B A B + C Στὸ συγκεκριμένο παράδειγμα ἔχομε: q s Φυσικά, καθὼς προβλέπει τὸ 2 τοῦ θεωρήματος 1.2.3, ( 71) = 7 = (7168, 917). Ενας κάπως διαφορετικὸς καὶ πολὺ εὔχρηστος ἀλγόριθμος ὑπολογισμοῦ ἀ- κεραίων x 0, y 0, τέτοιων ὥστε ax 0 + by 0 = (a, b), περιγράφεται στὴν ἄσκηση 16.

13 1.3 Ελάχιστο κοινὸ πολλαπλάσιο Ελάχιστο κοινὸ πολλαπλάσιο Σταθεροποιοῦμε δύο μὴ μηδενικοὺς ἀκεραίους a, b. Κοινὸ πολλαπλάσιο τῶν a, b εἶναι κάθε ἀκέραιος, ποὺ εἶναι πολλαπλάσιο καὶ τοῦ a καὶ τοῦ b. Τὸ σύνολο τῶν θετικῶν κοινῶν πολλαπλασίων τῶν a, b εἶναι μὴ κενό (π.χ. περιέχει τὸν ab ) ὁπότε ἔχει ἕνα ἐλάχιστο στοιχεῖο, τὸ ὁποῖο καλεῖται ἐλάχιστο κοινὸ πολλαπλάσιο τῶν a, b καὶ συμβολίζεται [a, b]. Θεώρημα Εστω ὅτι a, b εἶναι μὴ μηδενικοί ἀκέραιοι. Τότε: αʹ. Ενας ἀκέραιος εἶναι κοινὸ πολλαπλάσιο τῶν a, b ἄν, καὶ μόνο ἄν, εἶναι τῆς μορφῆς nab ab γιὰ κάποιο n Z. Εἰδικώτερα, [a, b] =. Αρα, ἂν (a, b) = 1, (a, b) (a, b) τότε [a, b] = ab. βʹ. Τὸ σύνολο τῶν κοινῶν πολλαπλασίων τῶν a, b ταυτίζεται μὲ τὸ σύνολο τῶν πολλαπλασίων τοῦ [a, b]. γʹ. Αν (a, b) = 1 καὶ καθένας ἀπὸ τοὺς a, b διαιρεῖ τὸν m, τότε καὶ τὸ γινόμενό τους ab διαιρεῖ τὸν m. Γενίκευση: Αν οἱ a 1,..., a n εἶναι ἀνὰ δύο πρῶτοι μεταξύ τους καὶ καθένας ἀπὸ αὐτοὺς διαιρεῖ τὸν m, τότε καὶ τὸ γινόμενο a 1 a n διαιρεῖ τὸν m. Απόδειξη αʹ. Εστω m κοινὸ πολλαπλάσιο τῶν a, b. Αφοῦ a m, μποροῦμε νὰ γράψομε m = ak μὲ k Z. Εστω d = (a, b) καὶ ἂς θέσομε a = da 1, b = db 1. Απὸ τὸ δʹ τοῦ θεωρήματος ἔχομε ὅτι (a 1, b 1 ) = 1. Η ὑπόθεση b m ἰσοδυναμεῖ μὲ τὸ ὅτι ak/b Z, ἄρα a 1 k/b 1 Z, δηλαδή, b 1 a 1 k. Τώρα, τὸ ʹ τοῦ θεωρήματος μᾶς ὁδηγεῖ στὸ συμπέρασμα ὅτι b 1 k, ἄρα k = nb 1 γιὰ κάποιο n Z. Αρα, τελικά, m = ak = ab 1 n = a(db 1 )n/d = n(ab)/d. Αντίστροφα, κάθε ἀριθμὸς τῆς μορφῆς n(ab)/d εἶναι κοινὸ πολλαπλάσιο τῶν a, b. Πράγματι, ἕναν τέτοιο ἀριθμὸ μποροῦμε νὰ τὸν δοῦμε ὡς n(b/d)a. Αλλὰ d b, ἄρα ὁ ἀριθμὸς αὐτὸς εἶναι πολλαπλάσιο τοῦ a. Ανάλογα, ἂν γράψομε τὸν ἀριθμὸ ὡς n(a/d)b, καταλήγομε στὸ συμπέρασμα ὅτι ὁ ἀριθμὸς εἶναι καὶ πολλαπλάσιο τοῦ b. Τέλος, εἶναι προφανὲς ὅτι, μιὰ καὶ οἱ a, b εἶναι σταθεροί, τὸ μέγεθος τοῦ nab/d ἐξαρτᾶται ἀπὸ τὸν n, ἄρα ἡ ἐλάχιστη θετικὴ τιμὴ τοῦ ἀριθμοῦ αὐτοῦ τὸ ἐλάχιστο κοινὸ πολλαπλάσιο τῶν a, b εἶναι ab /d. βʹ. Εστω d = (a, b). Απὸ τὸ αʹ, κάθε κοινὸ πολλαπλάσιο τῶν a, b εἶναι τῆς μορφῆς nab/d, ἐνῶ ab/d = ±[a, b]. Αρα, κάθε κοινὸ πολλαπλάσιο τῶν a, b εἶναι πολλαπλάσιο τοῦ [a, b]. Αλλά καὶ ἀντίστροφα, ἔστω n[a, b] πολλαπλάσιο τοῦ [a, b]. Τότε n[a, b] = nab/d = n(b/d)a = n(a/d)b, ἀπ ὅπου βλέπομε ὅτι ὁ ἀριθμὸς αὐτὸς εἶναι πολλαπλάσιο καὶ τοῦ a καὶ τοῦ b. γʹ. Βάσει τοῦ (αʹ), [a, b] = ab, ἐνῶ, ἀπὸ τὸ (βʹ), ὁ m εἶναι πολλαπλάσιο τοῦ [a, b], ἄρα, πολλαπλάσιο τοῦ ab. Εστω τώρα ὅτι οἱ a 1,..., a n εἶναι ἀνὰ δύο πρῶτοι μεταξύ τους καὶ καθένας διαιρεῖ

14 12 1. Διαιρετότητα τὸν m. Εφαρμόζοντας αὐτὸ ποὺ ἀποδείξαμε μόλις πρίν, μὲ a = a 1, b = a 2, συμπεραίνομε ὅτι ὁ m εἶναι πολλαπλάσιο τοῦ a 1 a 2. Ο a 3, τώρα, εἶναι πρῶτος πρὸς τὸν a 1 a 2, ἀφοῦ εἶναι πρῶτος πρὸς καθένα ἀπ τοὺς a 1, a 2 (βλ. ζʹ τοῦ θεωρήματος 1.2.2). Ετσι, ἔχομε καὶ πάλι δύο ἀριθμούς, τοὺς a = a 3 καὶ b = a 1 a 2, οἱ ὁποῖοι εἶναι πρῶτοι μεταξύ τους καὶ καθένας διαιρεῖ τὸν m, ἄρα καὶ τὸ γινόμενό τους ab = a 1 a 2 a 3 διαιρεῖ τὸν m. Επαναλαμβάνοντας τοὺς ἀνάλογους συλλογισμούς, ὁδηγούμαστε ἐπαγωγικὰ στὸ συμπέρασμα ὅτι ὁ m εἶναι πολλαπλάσιο τοῦ a 1 a 2 a n. ὅ.ἔ.δ. Τὸ ἐλάχιστο κοινὸ πολλαπλάσιο περισσοτέρων τῶν δύο ἀριθμῶν a 1,..., a n 1, a n ὁρίζεται ὡς ὁ ἐλάχιστος θετικὸς ἀκέραιος, ὁ ὁποῖος εἶναι πολλαπλάσιο καθενὸς ἀπὸ τοὺς a 1,..., a n 1, a n καὶ συμβολίζεται [a 1,..., a n 1, a n ]. Ο ὑπολογισμὸς του γίνεται ἀναδρομικά, δηλαδή, [a 1, a 2, a 3 ] = [[a 1, a 2 ], a 3 ] [a 1, a 2, a 3, a 4 ] = [[a 1, a 2, a 3 ], a 4 ]. [a 1,..., a n 1, a n ] = [[a 1,..., a n 1 ], a n ] Φυσικά, πρέπει νὰ ἀποδείξομε ὅτι αὐτὴ ἡ διαδικασία μᾶς δίνει, ὄντως, τὸ ἐλάχιστο κοινὸ πολλαπλάσιο τῶν a 1,..., a n 1, a n. Γιὰ τὴν ἀπόδειξη βλ. ἄσκηση Πρῶτοι ἀριθμοί Οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ ἀποτελοῦν τοὺς δομικοὺς λίθους, μὲ τοὺς ὁποίους κτίζονται πολλαπλασιαστικὰ οἱ ἀκέραιοι ἀριθμοί. Ας παρατηρήσομε, προκαταρκτικά, ὅτι γιὰ κάθε ἀκέραιο n, οἱ ±1, ±n εἶναι διαιρέτες τοῦ n. Αὐτοὶ λέγονται τετριμμένοι διαιρέτες τοῦ n. Ορισμός Ο ἀκέραιος n καλεῖται πρῶτος ἂν εἶναι διάφορος τῶν 0, ±1 καὶ οἱ μόνοι διαιρέτες του εἶναι οἱ τετριμμένοι ±1 καὶ ±n. Ο n καλεῖται σύνθετος ἂν εἶναι διάφορος τῶν 0, ±1 καὶ ἔχει καὶ ἄλλους διαιρέτες ἐκτὸς τῶν τετριμμένων. Οἱ ἀριθμοὶ ±1 χαρακτηρίζονται ὡς μονάδες τοῦ Z καὶ εἶναι τὰ μόνα στοιχεῖα τοῦ Z, τὰ ὁποῖα ἔχουν ἀντίστροφο μέσα στὸ Z. Εἶναι προφανὲς ὅτι, ὁ n εἶναι πρῶτος (ἀντιστοίχως, σύνθετος) ἄν, καὶ μόνο ἄν, ὁ n εἶναι πρῶτος (ἀντιστοίχως, σύνθετος). Γιὰ πράδειγμα, οἱ ±7 καὶ ±13 εἶναι πρῶτοι ἀριθμοί, ἀφοῦ καθένας ἀπὸ αὐτοὺς ἔχει μόνο τετριμμένους διαιρέτες. Αντίθετα, οἱ ±10 εἶναι σύνθετοι ἀριθμοί, ἀφοῦ, ἐκτὸς ἀπὸ τοὺς τετριμμένους διαιρέτες τους ±1, ±10 ἔχουν καὶ τοὺς διαιρέτες ±5. Θεώρημα αʹ. Γιὰ κάθε m 0, ±1, ὁ ἐλάχιστος μεγαλύτερος τοῦ 1 διαιρέτης τοῦ m εἶναι πρῶτος. Αρα, κάθε ἀκέραιος διάφορος τῶν ±1 ἔχει ἕνα, τουλάχιστον, πρῶτο διαιρέτη. βʹ. Αν ὁ p εἶναι πρῶτος καὶ ὁ a εἶναι τυχὼν ἀκέραιος, τότε, ἕνα ἀπὸ τὰ δύο

15 1.4 Πρῶτοι ἀριθμοί 13 συμβαίνει: p a ἢ (p, a) = 1. Ενῶ, ἂν ὁ p εἶναι σύνθετος, ὑπάρχουν a γιὰ τοὺς ὁποίους τίποτε ἀπὸ τὰ δύο δὲν συμβαίνει. γʹ. Αν ὁ p εἶναι πρῶτος καὶ (a i, p) = 1 γιὰ ὅλα τὰ i = 1,..., n, τότε ὁ p δὲν διαιρεῖ τὸ γινόμενο a 1 a n. Εἰδικὴ περίπτωση τῆς δύναμης: Αν (p, a) = 1, τότε ὁ p δὲν διαιρεῖ τὸν a n. Ισοδύναμη (λόγῳ τοῦ βʹ) διατύπωση: Αν ὁ p εἶναι πρῶτος καὶ δὲν διαιρεῖ κανέναν ἀπὸ τοὺς a 1,..., a n, τότε οὔτε τὸ γινόμενό τους διαιρεῖ. Στὴν εἰδικὴ περίπτωση τῆς δύναμης: Αν ὁ p δὲν διαιρεῖ τὸν a, τότε, οὔτε καὶ τὸν a n διαιρεῖ. Ισοδύναμη διατύπωση (ἀντιστροφο-αντίθετη διατύπωση τῆς προηγούμενης): Αν ὁ p εἶναι πρῶτος καὶ διαιρεῖ τὸ γινόμενο a 1 a n, τότε ὁ p διαιρεῖ τουλάχιστον ἕναν ἀπὸ τοὺς παράγοντες a 1,..., a n. Εἰδικὴ περίπτωση τῆς δύναμης: Αν p a n, τότε p a. Αν, ὅμως, ὁ p εἶναι σύνθετος καὶ διαιρεῖ τὸ γινόμενο a 1 a n, τότε δὲν μποροῦμε νὰ συμπεράνομε ὅτι διαιρεῖ ἕνα, τουλάχιστον, ἀπὸ τοὺς a 1,..., a n. δʹ. Ο ἐλάχιστος θετικὸς πρῶτος διαιρέτης ἑνὸς σύνθετου ἀριθμοῦ m δὲν ὑ- περβαίνει τὸν m. εʹ. Αν P εἶναι ἕνα ὁποιοδήποτε πεπερασμένο σύνολο θετικῶν πρώτων ἀριθμῶν, τότε ὑπάρχει πρῶτος, ὁ ὁποῖος δὲν ἀνήκει στὸ P. Αρα, τὸ σύνολο τῶν πρώτων ἀριθμῶν εἶναι ἄπειρο. 3 Απόδειξη Γιὰ m 0, ±1 ἂς συμβολίσομε μὲ (m) τὸ σύνολο τῶν διαιρετῶν τοῦ m, οἱ ὁποῖοι ὑπερβαίνουν τὸ 1. Προφανῶς, τὸ (m) εἶναι μὴ κενό καὶ πεπερασμένο, μὲ μέγιστο στοιχεῖο του τὸν m. αʹ. Εστω p τὸ ἐλάχιστο στοιχεῖο τοῦ (m). Θὰ ἀποδείξομε ὅτι ὁ p εἶναι πρῶτος. Αν δὲν ἦταν, θὰ ἦταν σύνθετος (παρατηρῆστε ὅτι p > 1), ἄρα, ἐκτὸς ἀπὸ τοὺς τετριμμένους διαιρέτες του θὰ εἶχε καὶ κάποιο ἄλλο διαιρέτη d > 1. Οπότε θὰ εἴχαμε τὴν ἑξῆς κατάσταση: d p καὶ p m, ἄρα, ἀπὸ τὸ θεώρημα 1.1.1, d m. Ομως 1 < d < p, ἄρα ὁ d εἶναι στοιχεῖο τοῦ (m), μικρότερο τοῦ p, τὸ ὁποῖο εἴχαμε ὑποθέσει ἐλάχιστο στοιχεῖο τοῦ συνόλου ἄτοπο. βʹ. Ας ὑποθέσομε ὅτι ὁ p εἶναι πρῶτος καὶ δὲν ἰσχύει (a, p) = 1. Θὰ δείξομε, τότε, ὅτι ἰσχύει ἡ σχέση p a. Αλλά, πράγματι, ἀπὸ τὴν ὑπόθεση συμπεραίνομε ὅτι (a, p) = d > 1, ὁπότε ὁ p διαιρεῖται ἀπὸ τὸν d > 1. Εξ ὁρισμοῦ τοῦ πρώτου ἀριθμοῦ, αὐτὸ εἶναι δυνατὸν μόνο ἂν d = ±p. Αλλὰ τότε, ἀφοῦ d a, συμπεραίνομε ὅτι p a. Αν, τώρα, ὁ p εἶναι σύνθετος, τότε ἂς τὸν ὑποθέσομε, δίχως βλάβη τῆς γενικότητος θετικό, καὶ ἂς τὸν γράψομε p = ab, ὅπου 1 < a, b < p. Τότε, γι αὐτὸν τὸν συγκεκριμένο ἀκέραιο a, καὶ οἱ δύο σχέσεις p a καὶ (p, a) = 1 εἶναι ψευδεῖς. γʹ. Η ἀπόδειξη τοῦ ἰσχυρισμοῦ, στὴν πρώτη του διατύπωση, εἶναι ἄμεση συνέπεια τῆς πρότασης ζʹ τοῦ θεωρήματος 1.2.2, τὴν ὁποία ἐφαρμόζομε θέτοντας m = 1 καὶ 3 Πρόκειται γιὰ τὴν πρόταση 20 τοῦ Βιβλίου Θʹ τῶν Στοιχείων τοῦ Εὐκλείδου: «Οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν».

16 14 1. Διαιρετότητα b 1 = p. Οσον ἀφορᾶ τὸ ὅτι ἡ τελευταία διατύπωση δὲν ἰσχύει ὅταν ὁ p εἶναι σύνθετος: Στὴν περίπτωση αὐτή, μποροῦμε νὰ γράψομε (ὑποθέτοντας, χωρὶς βλάβη τῆς γενικότητος, τὸν p θετικό) p = a 1 a 2, ὅπου 1 < a 1, a 2 < p. Τότε, βεβαίως, p a 1 a 2, ἀλλὰ καμμία ἀπὸ τὶς σχέσεις p a 1 καὶ p a 2 δὲν εἶναι ἀληθής. δʹ. Απὸ τὸ (αʹ) ξέρομε ἤδη ὅτι τὸ ἐλάχιστο στοιχεῖο, ἔστω p, τοῦ (m) εἶναι πρῶτος ἀριθμός, ἐνῶ ἡ ὑπόθεση ὅτι ὁ m εἶναι σύνθετος συνεπάγεται ὅτι p < m. Παρατηρῆστε ὅτι ὁ m εἶναι ἀκέραιος ἀριθμὸς μεγαλύτερος τοῦ 1, ἀρα, ἀπὸ τὸ (αʹ) p ἔχει ἕνα πρῶτο διαιρέτη q, τὸν ὁποῖο, χωρὶς βλάβη τῆς γενικότητος, μποροῦμε νὰ ὑποθέσομε θετικό. Ετσι, ἔχομε q m καὶ m m (διότι τὸ πηλίκο τοῦ m διὰ m εἶναι p p p ἀκέραιος), ὁπότε q m. Η ὑπόθεση ὅτι ὁ p εἶναι ὁ ἐλάχιστος πρῶτος, ποὺ διαιρεῖ τὸν m μᾶς ὁδηγεῖ στὸ συμπέρασμα ὅτι p q, ἄρα p m, σχέση ἰσοδύναμη μὲ τὴν p ἀποδεικτέα. εʹ. Ο ἰσχυρισμὸς εἶναι προφανὴς ἂν τὸ P εἶναι κενό. Εστω τώρα ὅτι P = {p 1,..., p k }. Θεωροῦμε τὸν m oρσ = p 1 p k + 1, ὁ ὁποῖος, προφανῶς εἶναι ἀκέραιος μεγαλύτερος τοῦ 1, ἄρα, ἀπὸ τὸ (αʹ) ἔχει ἕνα, τουλάχιστον, πρῶτο διαιρέτη q. Θὰ δείξομε ὅτι q P. Πράγματι, γιατὶ διαφορετικά, ὁ q θὰ ἦταν ἴσος μὲ κάποιον p i {p 1,..., p k }, ὁπότε q (p 1 p i p k ). Ομως q m, ἄρα (πρόταση 1.1.1) d m (p 1 p k ) = 1, ἄτοπο. ὅ.ἔ.δ. Τὸ κόσκινο τοῦ Ερατοσθένους. Εφαρμόζεται γιὰ τὴν κατασκευὴ τῆς λίστας ὅλων τῶν (θετικῶν) πρώτων ἀριθμῶν, ποὺ δὲν ὑπερβαίνουν δοθέντα ἀκέραιο n > 2. Συνίσταται στὴν ἑξῆς διαδικασία, ἡ ὁποία διαγράφει τοὺς σύνθετους ἀ- ριθμούς, οἱ ὁποῖοι εἶναι μικρότεροι τοῦ ἀκεραίου n > 2, γιὰ νὰ μείνουν οἱ πρῶτοι, οἱ μὴ ὑπερβαίνοντες τὸν n. Εστω π. χ. ὅτι n = 50. Γράφομε τοὺς ἀκεραίους 2,3,...,50. Διαγράφομε ὅλα τὰ μεγαλύτερα ἀπὸ τὸν 2 πολλαπλάσιά του, δηλαδή, τοὺς 4,6,...,48,50. Ο μικρότερος ἀκέραιος, μετὰ τὸν 2, ποὺ δὲν ἔχει διαγραφεῖ εἶναι ὁ 3. Διαγράφομε ὅλα τὰ μεγαλύτερα ἀπὸ αὐτὸν πολλαπλάσιά του, δηλαδή, τοὺς 6,9,...,45,48. Παρατηροῦμε ὅτι ὁ 6 διαγράφεται καὶ ὡς πολλαπλάσιο τοῦ 2 καὶ ὡς πολλαπλάσιο τοῦ 3, ἀλλὰ αὐτὸ δὲν ἔχει καμμία σημασία. Συνεχίζομε: Ο ἐλάχιστος, μετὰ τὸν 3, ἀκέραιος, ποὺ δὲν ἔχει διαγραφεῖ, εἶναι ὁ 5. Διαγράφομε ὅλα τὰ μεγαλύτερα ἀπὸ αὐτὸν πολλαπλάσιά του, δηλαδή, τοὺς 10,15...,45,50. Ετσι συνεχίζομε, παρατηρώντας ποιὸς εἶναι ὁ ἀμέσως ἑπόμενος μὴ διαγεγραμμένος ἀκέραιος, τοῦ ὁποίου καὶ διαγράφομε ὅλα τὰ γνησίως μεγαλύτερα ἀπὸ αὐτὸν πολλαπλάσιά του. Σταματοῦμε ὅταν δὲν ἔχομε νὰ διαγράψομε ἄλλους ἀκεραίους μέχρι το 50 καὶ τότε, ὅλοι οἱ μὴ διαγεγραμμένοι, καὶ μόνον αὐτοί, εἶναι οἱ πρῶτοι ἀριθμοί, οἱ μὴ ὑπερβαίνοντες τὸ 50. Πότε, ὅμως, ἀρκεῖ νὰ σταματήσομε; Εἶναι ἀνάγκη, νὰ ἐπιχειρήσομε τὴ διαγραφὴ τῶν πολλαπλασίων τοῦ 17, γιὰ παράδειγμα; Οχι! Τὸ δʹ τοῦ θεωρήματος μᾶς λέει ὅτι, ἂν κάποιος ἀριθμὸς εἶναι σύνθετος, θὰ πρέπει νὰ ἔχει διαγραφεῖ ὡς πολλαπλάσιο τοῦ 2, ἢ τοῦ 3, ἢ τοῦ 5, ἢ τοῦ 7. Διότι κάθε σύνθετος, ποὺ δὲν ὑπερβαίνει τὸ 50 ἔχει, σύμφωνα μὲ τὴν πρόταση, ἕνα πρῶτο διαιρέτη 50 = Ετσι, στὴ συγκεκριμένη περίπτωση n = 50,

17 1.4 Πρῶτοι ἀριθμοί 15 μετὰ ποὺ θὰ διαγράψομε καὶ τὰ πολλαπλάσια τοῦ 7, ἔχομε τὴν ἑξῆς κατάσταση: Εἴμαστε βέβαιοι, σύμφωνα μὲ ὅ,τι εἴπαμε παραπάνω, ὅτι ὅλοι οἱ διαγεγραμμένοι ἀριθμοὶ εἶναι σύνθετοι καὶ ὅλοι οἱ ὑπόλοιποι εἶναι πρῶτοι. Θεώρημα Θεμελιῶδες θεώρημα τῆς Αριθμητικῆς. Κάθε ἀκέραιος n > 1 ἀναλύεται σὲ γινόμενο θετικῶν πρώτων: n = p 1 p k. Η ἀνάλυση αὐτὴ εἶναι μοναδική, ὑπὸ τὴν ἑξῆς ἔννοια: Αν n = q 1 q l καὶ οἱ q 1,..., q l εἶναι θετικοὶ πρῶτοι, τότε k = l καὶ οἱ q 1,..., q l ἀποτελοῦν, ἁπλῶς, μία μετάθεση τῶν p 1,..., p k. Απόδειξη Πρῶτα ἀποδεικνύομε ὅτι ὁ n ἀναλύεται σὲ γινόμενο πρώτων, χωρὶς νὰ μᾶς ἀπασχολεῖ ἡ μοναδικότητα τῆς ἀνάλυσης. Λόγῳ τοῦ αʹ τοῦ θεωρήματος ὁ n ἔχει ἕνα πρῶτο θετικὸ διαιρέτη p 1 καὶ θέτομε n = p 1 n 1. Αν n 1 = 1, τότε n = p 1 καὶ ἔχομε ἀνάλυση τοῦ n σὲ ἕνα πρῶτο διαιρέτη. Διαφορετικά, 1 < n 1 < n καὶ ὁ n 1 ἔχει ἕνα πρῶτο διαιρέτη p 2, ὁπότε θέτομε n 1 = p 2 n 2, ἄρα n = p 1 p 2 n 2. Αν n 2 = 1, τότε n = p 1 p 2 καὶ ἔχομε ἀνάλυση τοῦ n σὲ δύο πρώτους διαιρέτες. Διαφορετικά, 1 < n 2 < n 1 < n καὶ ὁ n 2 ἔχει ἕνα πρῶτο διαιρέτη p 3, ὁπότε θέτομε n 2 = p 3 n 3, ἄρα n = p 1 p 2 p 3 n 3. Ετσι προχωροῦμε, καὶ στὸ βῆμα i ἔχομε n = p 1 p 2 p i n i, ὅπου n > n 1 > n 2 > n i > 0. Αρα, δὲν μπορεῖ νὰ ἔχομε ἄπειρη κάθοδο, ὁπότε σὲ κάποιο βῆμα i = k θὰ καταλήξομε σὲ n k = 1, δηλαδή, n = p 1 p k. Τώρα ἀποδεικνύομε τὴ μοναδικότητα τῆς ἀνάλυσης σὲ πρώτους διαιρέτες. Εστω n = q 1 q l καὶ οἱ q 1,..., q l εἶναι θετικοὶ πρῶτοι. Χωρὶς βλάβη τῆς γενικότητας ὑποθέτομε ὅτι l k. Εχομε q 1 p 1 p k, ἄρα, ἀπὸ τὸ ζʹ τοῦ θεωρήματος 1.4.2, ὁ q 1 διαιρεῖ ἕνα, τουλάχιστον, ἀπὸ τοὺς p 1,..., p k, ἔστω, χωρὶς βλάβη τῆς γενικότητος, τὸν p 1. Αλλά, καθὼς ὁ p 1 εἶναι πρῶτος, ὁ μόνος διαιρέτης του, ποὺ ὑπερβαίνει τὸ 1, εἶναι ὁ ἑαυτός του, ἄρα q 1 = p 1. Τώρα, διαιρώντας τὴ σχέση p 1 p 2 p k = n = q 1 q 2 q l διὰ p 1 = q 1 καταλήγομε στὴν p 2 p k = q 2 q l. Συλλογιζόμαστε ἀκριβῶς ὅπως πρίν: Ο q 2 διαιρεῖ τὸ γινόμενο p 2 p k, ἄρα διαιρεῖ ἕνα, τουλάχιστον, παράγοντα, ὁπότε συμπίπτει μὲ ἕναν ἀπὸ τοὺς p 2,..., p k. Χωρὶς βλάβη τῆς γενικότητας, ἔστω q 2 = p 2 κ.ὄ.κ. Αν ἦταν l > k, τότε, ὕστερα ἀπὸ k τὸ πλῆθος βήματα θὰ καταλήγαμε σὲ σχέση τῆς μορφῆς 1 = q k+1 q l, ἄτοπο. Αρα, l = k καὶ q 1 = p 1, q 2 = p 2,... q k = p k. ὅ.ἔ.δ. Γιὰ κάθε ἀκέραιο n 0, ±1 ὑπάρχει μία βολική, σὲ πολλὲς περιπτώσεις, ἀνάλυσή του, ποὺ λέγεται κανονικὴ ἀνάλυση τοῦ n, ἡ ὁποία εἶναι ἡ ἑξῆς: Τὸ θεώρημα μᾶς ἐξασφαλίζει ὅτι n = ±p 1 p 2... p k, ὅπου οἱ p 1,..., p k εἶναι θετικοὶ πρῶτοι, ὄχι, κατ ἀνάγκη, διαφορετικοί. Οπότε ὁμαδοποιώντας ἴσους πρώτους, γράφομε n = ±q a 1 1 qa m m, ὅπου τώρα: (αʹ) Οἱ πρῶτοι q 1,..., q m εἶναι διαφορετικοὶ μεταξύ τους. (βʹ) m k καὶ a i 1 γιὰ κάθε i = 1,..., m.

18 16 1. Διαιρετότητα Παρατηροῦμε ὅτι, ἂν n = ±q a 1 1 qa m m εἶναι ἡ κανονικὴ ἀνάλυση τοῦ n, τότε 1 εἶναι ἡ μέγιστη δύναμη τοῦ q 1, ποὺ διαιρεῖ τὸν n διότι, ἂν q b 1 n, τότε n = qb 1 c, q a 1 γιὰ κάποιον ἀκέραιο c, ὁπότε ±q a 1 1 qa 2 2 qa m m = q b 1 c. Αν, λοιπόν, ἦταν b > a 1, τότε, ἁπλοποιώντας τὰ δύο μέλη διὰ q a 1 1, θὰ καταλήγαμε σὲ μία σχέση, στὸ ἀριστερὸ μέλος τῆς ὁποίας θὰ ἐμφανιζόταν ὁ πρῶτος q 1 μὲ θετικὸ ἐκθέτη, ἐνῶ στὸ ἀριστερὸ δὲν θὰ ὑπῆρχε ὁ πρῶτος παράγοντας q 1 αὐτὸ ἀντίκειται στὸ θεώρημα 1.4.3, ποὺ μᾶς λέει ὅτι ἡ ἀνάλυση ἑνὸς ἀριθμοῦ σὲ πρώτους παράγοντες εἶναι μοναδική. Εχοντας αὐτὴ τὴν παρατήρηση κατὰ νοῦ, ὁρίζομε, γιὰ κάθε ἀκέραιο n καὶ κάθε πρῶτο p, τὸν ἐκθέτη τοῦ p στὸν n, συμβολιζόμενο v p (n), ὡς ἑξῆς: v p (n) = ἂν n = 0 καὶ v p (n) = a ( 0) ἂν p a εἶναι ἡ μέγιστη δύναμη τοῦ p, ποὺ διαιρεῖ τὸν n. Γιὰ παράδειγμα, v 2 (1200) = 4, v 3 (1200) = 1, v 5 (1200) = 2, v 7 (1200) = 0. Εἶναι ἁπλὸ νὰ ἀποδείξει κανεὶς τὶς ἑξῆς ἰδιότητες τοῦ ἐκθέτη: v p (ab) = v p (a) + v p (b). v p (a ± b) min(v p (a), v p (b)). Αν v p (a) v p (b), τότε ἰσχύει τὸ =. Συνεπῶς, ἂν n = ±q a 1 1 qa m m εἶναι ἡ κανονικὴ ἀνάλυση τοῦ n, τότε n = ±q v q 1 (n) 1 q v q 2 (n) 2 q v qm (n) m. Αλλὰ γιὰ κάθε πρῶτο p {q 1, q 2,..., q m } ἔχομε v p (n) = 0, ἄρα ἡ παραπάνω σχέση μπορεῖ νὰ γραφτεῖ, πιὸ ὁμοιόμορφα, ὡς ἑξῆς: n = ± p vp(n), (1.1) p πρῶτος ὅπου, βέβαια, τὸ γινόμενο στὸ δεξιὸ μέλος ἔχει ἄπειρους παράγοντες, ἀλλὰ δὲν ἔχει ἄπειρη τιμή, ἀφοῦ μόνο πεπερασμένο πλῆθος ἀπὸ αὐτοὺς τοὺς παράγοντες ἔχει τιμὴ μεγαλύτερη τοῦ 1. Τὴν ἀνάλυση (1.1) τοῦ n θὰ λέμε γενικευμένη κανονικὴ ἀνάλυση τοῦ n. Η ἔννοια τοῦ ἐκθέτη ἐπεκτείνεται καὶ στοὺς ρητούς, κατὰ τρόπο φυσιολογικό: Αν ρ Q, γράφομε τὸν ρ ὡς πηλίκο ἀκεραίων ρ = a/b καὶ ὁρίζομε v p (ρ) = v p (a) v p (b). Ο ὁρισμὸς αὐτὸς εἶναι ἀνεξάρτητος ἀπὸ τὸν τρόπο, ποὺ θὰ γράψομε τὸν ρ ὡς πηλίκο ἀκεραίων βλ. ἄσκηση 30. Τώρα μποροῦμε νὰ ἐπεκτείνομε τὴ γενικευμένη κανονικὴ ἀνάλυση καὶ στοὺς ρητούς: Ορίζεται ἀπὸ τὴν (1.1), ὅπου τὸ n τώρα μπορεῖ νὰ παριστάνει καὶ ρητό. Η χρήση τῶν ἐκθετῶν καὶ τῆς γενικευμένης κανονικῆς ἀνάλυσης εἶναι, σὲ πολλὲς περιπτώσεις, πολὺ βοηθητική. Θεώρημα αʹ. Εστω ὅτι a, b εἶναι ἀκέραιοι καὶ b 0. Τότε, ὁ b διαιρεῖ τὸν a ἄν, καὶ μόνο ἄν, v p (b) v p (a) γιὰ κάθε (θετικὸ) πρῶτο p. βʹ. Αν a = ±p s 1 1 ps m m εἶναι ἡ κανονικὴ ἀνάλυση τοῦ a, τότε, κάθε θετικὸς διαιρέτης τοῦ a εἶναι τῆς μορφῆς p t 1 1 pt m, ὅπου 0 t i s i γιὰ κάθε i = 1,..., m. Κατὰ συνέπεια, τὸ πλῆθος τῶν θετικῶν διαιρετῶν τοῦ a εἶναι (s 1 + 1) (s m + 1).

19 1.5 Πυθαγόρειες τριάδες 17 Απόδειξη αʹ. Εστω ὅτι b a. Τότε a = bc, ἄρα, γιὰ κάθε πρῶτο p, ἔχομε v p (a) = v p (bc) = v p (b) + v p (c) v p (b). Αντιστρόφως, ἔστω ὅτι, γιὰ κάθε πρῶτο p εἶναι v p (a) v p (b). Αν b = ±1, τότε b a. Διαφορετικά, ἔστω b = p r 1 1 pr m m ἡ κανονικὴ ἀνάλυση τοῦ b. Απὸ τὴν ὑπόθεση, v pi (a) r i γιὰ κάθε i = 1,..., m. Αὐτὸ σημαίνει ὅτι, ἂν κάνομε τὴν κανονικὴ ἀνάλυση τοῦ a, αὐτὴ θὰ ἔχει τὴ μορφὴ a = ±p s 1 1 ps m m c, s i r i (i = 1,..., m), ὅπου c = 1 ἢ γινόμενο δυνάμεων κάποιων πρώτων διαφορετικῶν ἀπὸ τοὺς p 1,..., p m οὕτως ἢ ἄλλως, ὅμως, ὁ c εἶναι ἀκέραιος. Συνεπῶς, παραβάλλοντας μὲ τὴν κανονικὴ ἀνάλυση τοῦ b (βλ. λίγο παραπάνω), καταλήγομε στὴ σχέση a = ±b(cp s 1 r 1 1 p s m r m m ). Τὸ ἐντὸς τῆς παρενθέσεως γινόμενο εἶναι ἀκέραιος ἀριθμός, ἄρα b a. βʹ. Ο ἰσχυρισμὸς σχετικὰ μὲ τὴ μορφὴ τῶν διαιρετῶν τοῦ a προκύπτει ἀμέσως ἀπὸ τὸ μέρος αʹ τοῦ θεωρήματος. Οσον ἀφορᾶ στὸ πλῆθος τῶν θετικῶν διαιρετῶν τοῦ a, παρατηροῦμε τὰ ἑξῆς: Γιὰ τὸν ἐκθέτη t 1 ὑπάρχουν s ἐπιλογές (ἀφοῦ 0 t 1 s 1 ), γιὰ τὸν t 2 ὑπάρχουν s ἐπιλογές,..., γιὰ τὸν t m ὑπάρχουν s m + 1 ἐπιλογές, ἄρα γιὰ τὸν p t 1 1 pt m m ὑπάρχουν (s 1 + 1)(s 2 + 1) (s m + 1) ἐπιλογὲς καὶ ὅλες εἶναι διαφορετικὲς μεταξύ τους, λόγῳ τῆς μοναδικότητας τῆς ἀνάλυσης σὲ πρώτους παράγοντες. ὅ.ἔ.δ. Κάποιες ἐνδιαφέρουσες ἐφαρμογὲς τῶν ἐκθετῶν καὶ τῆς γενικευμένης κανονικῆς ἀνάλυσης δίδονται π.χ. στὶς ἀσκήσεις 31 καὶ Πυθαγόρειες τριάδες Η μοναδικότητα τῆς ἀνάλυσης ἑνὸς ἀκεραίου σὲ πρώτους παράγοντες (θεώρημα 1.4.3) ἔχει σημαντικὲς ἐφαρμογὲς στὴν ἐπίλυση διοφαντικῶν ἐξισώσεων. Εδῶ θὰ δώσομε, ὡς παράδειγμα, τὴν ἐπίλυση τῆς ἐξίσωσης x 2 + y 2 = z 2 σὲ μὴ μηδενικοὺς ἀκεραίους x, y, z. Κάθε τέτοια λύση (x, y, z) λέγεται πυθαγόρεια τριάδα. Μία θεμελιώδης βοηθητικὴ πρόταση, χρήσιμη καὶ σὲ πολλὲς ἄλλες περιπτώσεις, εἶναι ἡ ἑξῆς. Πρόταση Αν a, b, c εἶναι θετικοὶ ἀκέραιοι, τέτοιοι ὥστε (a, b) = 1 καὶ ab = c n, ὅπου n 2, τότε ὑπάρχουν ἀκέραιοι c 1, c 2 τέτοιοι ὥστε a = c n 1, b = cn 2 καὶ c 1c 2 = c. Απόδειξη Αν a = 1 ἢ b = 1, τὸ ἀποδεικτέο εἶναι φανερό. Διαφορετικά, θεωροῦμε τὶς κανονικὲς ἀναλύσεις τῶν a καὶ b. Συμβολίζομε μὲ p 1,..., p k ὅλους τοὺς (θετικοὺς) πρώτους στὴν κανονικὴ ἀνάλυση τοῦ a καὶ μὲ q 1,..., q l ὅλους τοὺς (θετικοὺς) πρώτους στὴν κανονικὴ ἀνάλυση τοῦ b. Η ὑπόθεση (a, b) = 1 προφανῶς συνεπάγεται ὅτι, καθένας ἀπὸ τοὺς p i εἶναι διαφορετικὸς ἀπὸ καθέναν ἀπὸ τοὺς q j. Επίσης, λόγῳ τῆς σχέσεως ab = c n καὶ τῆς μοναδικότητας τῆς ἀνάλυσης σὲ πρώτους παράγοντες, οἱ πρῶτοι στὴν κανονικὴ ἀνάλυση τοῦ c εἶναι

20 18 1. Διαιρετότητα οἱ p 1,..., p k, q 1,..., q l καὶ μόνον αὐτοί. Αρα, ἡ κανονικὴ ἀνάλυση τοῦ c ἔχει τὴ μορφὴ c = p r 1 1 pr k k qs 1 1 qs l l, ὁπότε, ab = c n = p nr 1 1 p nr k k q ns 1 1 q ns l l. (1.2) Αλλά, στὴν κανονικὴ ἀνάλυση τοῦ a μόνο οἱ πρῶτοι p i ἐμφανίζονται καὶ κανένας πρῶτος q j, ἐνῶ γιὰ τὴν κανονικὴ ἀνάλυση τοῦ b μόνο οἱ πρῶτοι q j ἐμφανίζονται καὶ κανένας πρῶτος p i. Αυτό, ἀναγκαστικά, συνεπάγεται ὅτι a = p nr 1 1 p nr k k = (p r 1 1 pr k k )n = c n 1 καὶ b = q ns 1 1 q ns l l = (q s 1 1 qs l l )n = c n 2 καί, λόγῳ τῆς (1.2), c 1 c 2 = c. ὅ.ἔ.δ. Εστω τώρα ὅτι (x, y, z) εἶναι μία πυθαγόρεια τριάδα. Θέτομε (x, y) = d, x = dx, y = dy καὶ ξέρομε ἀπὸ τὸ δʹ τοῦ θεωρήματος ὅτι (X, Y) = 1. Απὸ τὴ σχέση x 2 + y 2 = z 2 παίρνομε, συνεπῶς, X 2 + Y 2 = (z/d) 2. Τὸ ἀριστερὸ μέλος τῆς τελευταίας εἶναι ἀκέραιος ἀριθμός, ἄρα καὶ τὸ δεξιό. Τότε, ὅμως, ἡ ἄσκηση 11 μᾶς λέει ὅτι ὁ z/d εἶναι ἀκέραιος, τὸν ὁποῖο συμβολίζομε Z. Οπότε, τελικά, x = dx, y = dy, z = dz, (X, Y) = 1, X 2 + Y 2 = Z 2 (1.3) Τώρα κάνομε μία σειρὰ ἀπὸ μικρὲς παρατηρήσεις. Λεπτομέρειες τῶν ἀποδείξεών τους ἀφήνομε ὡς ἀσκήσεις: (X, Z) = 1 καὶ (Y, Z) = 1. Οἱ X, Y δὲν μπορεῖ νὰ εἶναι καὶ οἱ δύο περιττοί. Πράγματι, γιατὶ τότε, ὁ ἀκέραιος X 2 + Y 2 θὰ ἦταν τῆς μορφῆς 4k + 2, δηλαδή, ἄρτιος, ἀλλὰ ὄχι διαιρετὸς διὰ 4, ὁπότε δὲν μπορεῖ νὰ ἰσοῦται μὲ τετράγωνο. Χωρὶς βλάβη τῆς γενικότητας, λοιπόν, ὑποθέτομε, στὸ ἑξῆς, τὸν X περιττὸ καὶ τὸν Y ἄρτιο. Προφανῶς, ὁ Z εἶναι περιττός. Επίσης, λόγῳ τοῦ ὅτι στὴν ἐξίσωσή μας ἐμφανίζονται μόνο τὰ τετράγωνα τῶν X, Y, Z, μποροῦμε νὰ ὑποθέσομε τοὺς X, Y, Z θετικοὺς ἀκεραίους. Γράφομε τὴν (1.3) ὡς (Z Y)(Z + Y) = X 2. Απὸ τὶς προηγούμενες παρατηρήσεις εἶναι εὔκολο νὰ διαπιστώσει κανεὶς ὅτι οἱ Z + Y, Z Y εἶναι περιττοὶ καὶ (Z Y, Z + Y) = 1. Μὲ ἐφαρμογὴ τῆς πρότασης στὴ σχέση (Z Y)(Z+Y) = X 2 (παρατηρῆστε ὅτι οἱ X, Z + Y, Z Y εἶναι θετικοί) συμπεραίνομε ὅτι Z + Y = a 2, Z Y = b 2 καὶ X = ab, ὅπου οἱ a, b εἶναι περιττοὶ καὶ (a, b) = 1. Λύνοντας ὡς πρὸς Z, Y βρίσκομε Z = (a 2 + b 2 )/2 καὶ Y = (a 2 b 2 )/2. Γιὰ νὰ ἀποφύγομε τὸν παρονομαστὴ 2, θέτομε a = A + B καὶ b = A B, ὅπου οἱ A, B εἶναι ἑτερότυποι, δηλαδή, ὁ ἕνας ἄρτιος καὶ ὁ ἄλλος περιττός (δὲν καθορίζεται ποιὸς ὁ ἄρτιος καὶ ποιὸς ὁ περιττός). Εὔκολα διαπιστώνεται

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

Ν.Γ. Τζανάκης. Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο

Ν.Γ. Τζανάκης. Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο Διαιρετότητα σὲ ἀκέραιες περιοχές Ν.Γ. Τζανάκης Τμῆμα Μαθηματικῶν Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο Εαρινὸ ἑξάμηνο 2015 Σ αὐτὲς τὶς σημειώσεις, το D συμβολίζει πάντα ἀκέραια περιοχή. 1 Τα βασικα Ορισμός.

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εὐκλείδεια Γεωµετρία

Εὐκλείδεια Γεωµετρία Εὐκλείδεια Γεωµετρία Φθινοπωρινὸ Εξάµηνο 010 Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Μάθηµα 9 ευτέρα 18-10-010 Συνοπτικὴ περιγραφή Υπενθύµιση τοῦ Θεωρήµατος τοῦ Θαλῆ. εῖτε καὶ ἐδάφιο 7.7 τοῦ σχολικοῦ ϐιβλίου. Τονίσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Συνόλων - Set Theory

Θεωρία Συνόλων - Set Theory Θεωρία Συνόλων - Set Theory Ἐπισκόπηση γιὰ τὶς ἀνάγκες τῶν Πρωτοετῶν Φοιτητῶν τοῦ Τµήµατος Διοίκησης, στὸ µάθηµα Γενικὰ Μαθηµατικά. Ὑπὸ Γεωργίου Σπ. Κακαρελίδη, Στὸ Τµῆµα Διοίκησης ΤΕΙ Δυτικῆς Ἑλλάδος

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux.

Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux. Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux. Μακρῆς Δημήτριος, Φυσικός. mailto: jd70473@yahoo.gr 1. Εἰσαγωγή. Τὸ πολυτονικὸ σύστημα καταργήθηκε τὸ 1982. Δὲν θὰ ἀσχοληθοῦμε

Διαβάστε περισσότερα

1 Γενικευµένη µέθοδος Pollard Γενικὴ Αρχή 1.1.

1 Γενικευµένη µέθοδος Pollard Γενικὴ Αρχή 1.1. Παραγοντοποίηση Καθηγητὴς ΝΓ Τζανάκης 12 εκεµβρίου 2007 Στὰ παρακάτω, ὑποτίθεται ὅτι εἶναι ἕνας πολὺ µεγάλος ἀριθµὸς καὶ ἕνας πρῶτος διαιρέτης του, τὸν ὁποῖο δὲν γνωρίζοµε Αὐτὸ ποὺ ἐπιδιώκοµε εἶναι ἡ εὕρεση

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X

Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X eutypon32-33 2014/11/30 12:03 page 19 #23 Εὔτυπον, τεῦχος 32-33 Ὀκτώβριος/October 2014 19 Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X Ἰωάννης Α. Βαμβακᾶς Ιωάννης Α. Βαμβακᾶς Παπαθεοφάνους 12 853 00 Κῶς Η/Τ: gavvns

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ

Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α ἤ 01ο (01-52) 01-05 Ὁ Λόγος εἶναι Θεὸς καὶ ημιουργὸς τῶν πάντων Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ τὸ Θεὸ Πατέρα καὶ ἦταν Θεὸς ὁ Λόγος. Αὐτὸς ἦταν στὴν ἀρχὴ μαζὶ μὲ τὸ Θεὸ Πατέρα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων

Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων Εἰσαγωγὴ Μιὰ ἀπὸ τὶς βασικὲς πρόσθετες δυνατότητες τῆς ἔκδοσης 3 τῶν ἰατρικῶν ἐφαρμογῶν μας, εἶναι ἡ δυνατότητα συσχετισμοῦ ὅσων ψηφιακῶν ἀρχείων ἀπαιτεῖται στὴν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΤΟΝ ΑΠΟΣΤΟΛΟ ΜΑΤΘΑΙΟ, πού, ὅπως ὅλοι γνωρίζουμε,

ΓΙΑ ΤΟΝ ΑΠΟΣΤΟΛΟ ΜΑΤΘΑΙΟ, πού, ὅπως ὅλοι γνωρίζουμε, + Η Ταπείνωση τοῦ Ἀποστόλου Ματθαίου* Μιὰ Μαρτυρία τῆς Παραδόσεως γιὰ τὴν Κριτικὴ Μελέτη τῶν Πηγῶν Ηλία Βουλγαράκη ( 1999) ΓΙΑ ΤΟΝ ΑΠΟΣΤΟΛΟ ΜΑΤΘΑΙΟ, πού, ὅπως ὅλοι γνωρίζουμε, ἕγραψε ἕνα ἀπὸ τὰ τέσσερα

Διαβάστε περισσότερα

Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο

Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο (Μιὰ πρώτη προσέγγιση στὸ θέμα) Εἰπώθηκε, πὼς ὁλόκληρο τὸ Ἅγιον Ὄρος μοιάζει μὲ τὸ Καθολικὸ ἑνὸς ἰεροῦ Ναοῦ καὶ ὅτι ἡ περιοχὴ ἀπὸ τὴν Ἁγία Ἄννα καὶ πέρα εἶναι τὸ

Διαβάστε περισσότερα

μπορεῖ νὰ κάνει θαύματα. Ἔτσι ὁ ἅγιος Νέστωρ, παρότι ἦταν τόσο νέος, δὲν λυπήθηκε τὴν ζωή του καὶ ἦταν ἕτοιμος νὰ θυσιάσει τὰ πάντα γιὰ τὸν Χριστό.

μπορεῖ νὰ κάνει θαύματα. Ἔτσι ὁ ἅγιος Νέστωρ, παρότι ἦταν τόσο νέος, δὲν λυπήθηκε τὴν ζωή του καὶ ἦταν ἕτοιμος νὰ θυσιάσει τὰ πάντα γιὰ τὸν Χριστό. Ο Μ Ι Λ Ι Α ΤΗΣ Α.Θ.ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΤΟΣ ΤΟΥ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΟΥ ΠΑΤΡΙΑΡΧΟΥ κ.κ. Β Α Ρ Θ Ο Λ Ο Μ Α Ι Ο Υ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΠΙΣΚΕΨΙΝ ΑΥΤΟΥ ΕΙΣ ΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΟΥ (25 Ὀκτωβρίου 2013) Ἱερώτατε καὶ φίλτατε ἐν Χριστῷ ἀδελφὲ

Διαβάστε περισσότερα

Ὁ Γάμος. Ἀγαπητοί μας μελλόνυμφοι,

Ὁ Γάμος. Ἀγαπητοί μας μελλόνυμφοι, Ὁ Γάμος Ἀγαπητοί μας μελλόνυμφοι, ὲ λίγες ἡμέρες πρόκειται νὰ ἑνωθεῖτε μὲ τὰ δεσμὰ τοῦ Γάμου διὰ τῶν εὐλογιῶν τῆς Ἁγίας Ἐκκλησίας τοῦ Κυρίου μας. Αὐτὸ τὸ γεγονὸς χρειάζεται ὡς καταλύτη τὸν τελειωτῆ καὶ

Διαβάστε περισσότερα

ICAMLaw Application Server Χειροκίνηση Ἀναβάθμιση

ICAMLaw Application Server Χειροκίνηση Ἀναβάθμιση Εἰσαγωγή Ὁ ICAMLaw Application Server (στὸ ἑξῆς γιά λόγους συντομίας IAS) ἀποτελεῖ τὸ ὑπόβαθρο ὅλων τῶν δικηγορικῶν ἐφαρμογῶν τῆς ICAMSoft. Εἶναι αὐτός ποὺ μεσολαβεῖ ἀνάμεσα: α) στὴν τελική ἐφαρμογὴ ποὺ

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

μαθη ματικῶν, ἀλλὰ καὶ τὴ βαθιά του ἐκτίμηση γιὰ τὴ χαϊντεγκεριανὴ ἱστορικὴ κατανόηση τοῦ ἀνθρώπινου κόσμου. Καταγράφοντας ὅλες αὐτὲς τὶς ἐπιδράσεις,

μαθη ματικῶν, ἀλλὰ καὶ τὴ βαθιά του ἐκτίμηση γιὰ τὴ χαϊντεγκεριανὴ ἱστορικὴ κατανόηση τοῦ ἀνθρώπινου κόσμου. Καταγράφοντας ὅλες αὐτὲς τὶς ἐπιδράσεις, ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τὸ βιβλίο αὐτὸ εἶναι προϊὸν μακρόχρονης ἐξέλιξης. Γιὰ εἴκοσι περίπου χρόνια, τὸ ἐνδιαφέρον μου γιὰ τὸν Φρέγκε ἀποτέλεσε μέρος ἑνὸς ὁδοιπορικοῦ ποὺ ξεκίνησε ἀπὸ τὸ Μόναχο καί, μέσω τῆς Ὀξφόρδης

Διαβάστε περισσότερα

ιδαγµένο κείµενο 'Αριστοτέλους 'Ηθικά Νικοµάχεια (Β6, 4-10)

ιδαγµένο κείµενο 'Αριστοτέλους 'Ηθικά Νικοµάχεια (Β6, 4-10) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ιδαγµένο κείµενο 'Αριστοτέλους 'Ηθικά

Διαβάστε περισσότερα

Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ. Ποιήματα

Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ. Ποιήματα Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ Ποιήματα ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Αὒγουστος 2011 12 ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Χριαστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ Ποιήματα Τεῦχος 12 - Αὒγουστος 2011 ISSN: 1792-4189 Μηνιαία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ Τὰ Ἕξι μεγάλα ἐρωτήματα τῆς δυτικῆς μεταφυσικῆς καταλαμβάνουν μιὰ ξεχωριστὴ θέση στὴν ἱστορία τῆς φιλοσοφικῆς ἱστοριογραφίας. Ὁ συγγραφέας του βιβλίου, Χάιντς Χάιμζετ (1886-1975),

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17 Πρὸς Ἅπαντας τοὺς Ἐφημερίους τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως. ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17 Θέμα: «Περὶ τῆς νομιμότητας τελέσεως τοῦ Μυστηρίου τοῦ Βαπτίσματος ἀνηλίκων». Ἀγαπητοὶ Πατέρες, Σχετικὰ μὲ τὶς προϋποθέσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989. Ἡ Θεία Κοινωνία.

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989. Ἡ Θεία Κοινωνία. ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989 Ἡ Θεία Κοινωνία κατ οἶκον Θεσσαλονίκη 2008 Κάποιοι συσχετίζουν κάκιστα τὴν παρουσία τοῦ ἱερέως στό

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Τευχος πρωτο. αρχεία. Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Ένα σύγχρονο αρχείο. Το ΙΑ/ΕΤΕ ανοίγει τα χαρτιά του

Τευχος πρωτο. αρχεία. Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Ένα σύγχρονο αρχείο. Το ΙΑ/ΕΤΕ ανοίγει τα χαρτιά του Τευχος πρωτο αρχεία Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Ένα σύγχρονο αρχείο Το ΙΑ/ΕΤΕ ανοίγει τα χαρτιά του Άσκηση Υπόθεση παραχάραξης Το 1938, το Υφυπουργείον Δημοσίας Ασφαλείας του ελληνικού κράτους δημοσιεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΣΙΟΥ ΝΙΚΟΔΗΜΟΥ ΤΟΥ ΑΓΙΟΡΕΙΤΟΥ ΑΟΡΑΤΟΣ ΠΟΛΕΜΟΣ

ΟΣΙΟΥ ΝΙΚΟΔΗΜΟΥ ΤΟΥ ΑΓΙΟΡΕΙΤΟΥ ΑΟΡΑΤΟΣ ΠΟΛΕΜΟΣ ΟΣΙΟΥ ΝΙΚΟΔΗΜΟΥ ΤΟΥ ΑΓΙΟΡΕΙΤΟΥ ΑΟΡΑΤΟΣ ΠΟΛΕΜΟΣ Ἀπόδοση στὴ νέα Ἑλληνική: Ἱερομόναχος Βενέδικτος Ἔκδοση Συνοδείας Σπυρίδωνος Ἱερομονάχου, Νέα Σκήτη, Ἅγιον Ὄρος ΠΡΟΛΟΓΟΣ Καὶ δικαιότατη καὶ αὐτὴ ποὺ πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

BYZANTINA ΣΥΜΜΕΙΚΤΑ 23 (2013) 279-283

BYZANTINA ΣΥΜΜΕΙΚΤΑ 23 (2013) 279-283 Paul Canart, Études de paléographie et de codicologie reproduites avec la collaboration de Maria Luisa Agati et Marco D Agostino, τόμ. I-II [Studi e Testi 450-451], Città del Vaticano 2008, σσ. XXVIII+748+VI+749-1420.

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος».

Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος». ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 18 Πρὸς Ἅπαντας τοὺς Ἐφημερίους τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως. Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος». Ἀγαπητοὶ Πατέρες, Ἐξ αἰτίας τοῦ ὅτι παρατηρεῖται

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΣΤΟΥ Α. ΣΑΡΤΖΕΤΑΚΗ

ΧΡΗΣΤΟΥ Α. ΣΑΡΤΖΕΤΑΚΗ ΧΡΗΣΤΟΥ Α. ΣΑΡΤΖΕΤΑΚΗ Μέρος Β - ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΙ 1. Ο ΕΛΛΗΝΙΣΜΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Ι) Η ΕΘΝΙΚΗ ΜΑΣ ΙΣΤΟΡΙΑ γ) Η ΜΑΚΕ ΟΝΙΑ ΜΑΣ 4. ΗΛΩΣΕΙΣ (d) Προφορικὴ δήλωσις 6.1.1993 ΚΕΙΜΕΝΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΣΤΟΣΕΛΙ Α www.sartzetakis.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ. Γιατὶ τὸ Βυζάντιο. Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292.

Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ. Γιατὶ τὸ Βυζάντιο. Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292. Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ Γιατὶ τὸ Βυζάντιο Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292. Κατ ἐπανάληψιν ἔχει ἐπισημανθῆ ὅτι ἐπιβάλλεται νὰ ἀναθεωρήσουμε ἐμεῖς οἱ Ἕλληνες τὴν ὀπτικὴ εἰκόνα ποὺ ἔχουν

Διαβάστε περισσότερα

ποταμιτου εκδοσεισ ποταμιτου καταλογοσ ΒΙΒΛΙΑ ΜΕ ΝΟΗΜΑ www.potamitis.info ΒΙΒΛΙΑ ΜΕ ΝΟΗΜΑ θεροσ 2012

ποταμιτου εκδοσεισ ποταμιτου καταλογοσ ΒΙΒΛΙΑ ΜΕ ΝΟΗΜΑ www.potamitis.info ΒΙΒΛΙΑ ΜΕ ΝΟΗΜΑ θεροσ 2012 εκδοσεισ θεροσ 2012 ποταμιτου ποταμιτου καταλογοσ www.potamitis.info ΒΙΒΛΙΑ ΜΕ ΝΟΗΜΑ ΒΙΒΛΙΑ ΜΕ ΝΟΗΜΑ 8,99 σκληρὸ ἐξώφυλλο, 32 σελίδες, 22Χ22 ἑκατοστά Κάθε Σάββατο, ἡ Γιαγιὰ ἀφήνει τὸ καλαθάκι της μὲ τὰ

Διαβάστε περισσότερα

(Θ. Λειτουργία Ἰωάννου Χρυσοστόμου)

(Θ. Λειτουργία Ἰωάννου Χρυσοστόμου) Οἱ πιστοὶ ὑπὲρ τῶν κατηχουμένων δεηθῶμεν. Ἵνα ὁ Κύριος αὐτοὺς ἐλεήσῃ. Κατηχήσῃ αὐτοὺς τὸν λόγον τῆς ἀληθείας. Ἀποκαλύψῃ αὐτοῖς τὸ εὐαγγέλιον τῆς δικαιοσύνης. Ἑνώσῃ αὐτοὺς τῇ ἁγίᾳ αὐτοῦ καθολικῇ καὶ ἀποστολικῇ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

The copyright and the Intellectual Property of the Edition of the Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r)

The copyright and the Intellectual Property of the Edition of the Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r) The copyright and the Intellectual Property of the Edition of the Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r) The Byzantine Mathematics, 3 rd edition Volume Ι Arithmetic, Αlgebra Volume ΙΙ Geometry

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

Σκέψεις γιὰ τὴν διατροφὴ καὶ τὴ νηστεία

Σκέψεις γιὰ τὴν διατροφὴ καὶ τὴ νηστεία Σκέψεις γιὰ τὴν διατροφὴ καὶ τὴ νηστεία Ἀλήθεια, πόσο σημαντικὸ εἶναι τὸ θέμα τῆς διατροφῆς. Εἴμαστε αὐτὸ ποὺ τρῶμε, λένε μερικοὶ ὑλιστὲς φιλόσοφοι. Καὶ ἐννοοῦν τίποτα παραπάνω. Ἡ λογικὴ αὐτὴ εἶναι λίγο

Διαβάστε περισσότερα

LAHGLATA ACIOCQAVIAS PEQIODOS Bò L hgla Aò

LAHGLATA ACIOCQAVIAS PEQIODOS Bò L hgla Aò LAHGLATA ACIOCQAVIAS PEQIODOS Bò L hgla Aò Μὲ τὴν εὐκαιρία τῆς μνήμης τοῦ Ἁγίου ἐνδόξου Ἀποστόλου καὶ πρώτου Ἁγιογράφου, Εὐαγγελιστοῦ Λουκᾶ (18η Ὀκτωβρίου) καὶ πρὸς τιμήν Του, πραγματοποιήθηκε, μὲ τὴν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από το πρωτότυπο (στ.471-490) ΧΟΡΟΣ ηλοῖ τὸ γέννηµ' ὠµὸν ἐξ ὠµοῦ πατρὸς 471 τῆς παιδὸς εἴκειν δ'οὐκ ἐπίσταται κακοῖς.

ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από το πρωτότυπο (στ.471-490) ΧΟΡΟΣ ηλοῖ τὸ γέννηµ' ὠµὸν ἐξ ὠµοῦ πατρὸς 471 τῆς παιδὸς εἴκειν δ'οὐκ ἐπίσταται κακοῖς. ΑΡΧΗ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από το πρωτότυπο

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΤΜΤΡΗΣΗ ΘΜΛΙΚΩΝ ΣΥΝ ΥΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: η μορφολογία. Όλες οι συνδυαστικές μορφές που θα εξετάσουμε είναι διαφόρων ειδών συναρτήσεις. Οι «παράμετροι» που παραλλάσονται είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚ ΟΣΗ Ι. Ν. ΑΓΙΑΣ ΜΑΡΙΝΗΣ ΑΝΩ ΙΛΙΣΙΩΝ

ΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚ ΟΣΗ Ι. Ν. ΑΓΙΑΣ ΜΑΡΙΝΗΣ ΑΝΩ ΙΛΙΣΙΩΝ 1 ΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚ ΟΣΗ Ι. Ν. ΑΓΙΑΣ ΜΑΡΙΝΗΣ ΑΝΩ ΙΛΙΣΙΩΝ χαλ νωτη γλ σσα Ἡ γλῶσσα εἶναι ἕνα ἀπὸ τὰ σημαντικότερα μέλη τοῦ ἀνθρώπινου ὀργανισμοῦ. Σὲ σύγκριση μὲ ἄλλα ἀνθρώπινα μέλη, ὅπως γιὰ παράδειγμα τὰ χέρια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών.

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. ΘΕΩΡΙ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. 1. ΣΥΝΟΛ: το σκεπτικό. σύνολο = πολλά στοιχεία ως «ένα», ως «μία» ολότητα. τα στοιχεία ανήκουν στο σύνολο, ή είναι μέλη του συνόλου το σύνολο περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Υπουργείο Εσωτερικών Γενική Δ/νση Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης & Εκλογών Δ/νση Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης

Υπουργείο Εσωτερικών Γενική Δ/νση Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης & Εκλογών Δ/νση Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης Υπουργείο Εσωτερικών Γενική Δ/νση Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης & Εκλογών Δ/νση Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης Ιανουάριος 2015 ΥΠΕΣ- Η Ε' ΑΝΑΘΕΩΡΗΣΗ 2014 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΒΑΣΙΚΟΙ ΕΚΛΟΓΙΚΟΙ ΚΑΤΑΛΟΓΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τὰ ὅρια τῶν φυσικῶν νόμων

Τὰ ὅρια τῶν φυσικῶν νόμων Τὰ ὅρια τῶν φυσικῶν νόμων Γεώργιος Κοντόπουλος Ἀκαδημία Ἀθηνῶν 1) Εἰσαγωγή Mία ἀπὸ τὶς μεγαλύτερες ἀνακαλύψεις ὅλων τῶν ἐποχῶν εἶναι τὸ ὅτι οἱ φυσικοὶ νόμοι εἶναι παγκόσμιοι. Δηλαδὴ οἱ ἴδιοι φυσικοὶ νόμοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Π. ΨΩΝΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ

Διαβάστε περισσότερα

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να - 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από το πρωτότυπο (701-718)

ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από το πρωτότυπο (701-718) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από

Διαβάστε περισσότερα

Υπουργείο Εσωτερικών Γενική Δ/νση Αναπτυξιακών Προγραμμάτων Δ/νση Μηχανοργάνωσης & Η.Ε.Σ.

Υπουργείο Εσωτερικών Γενική Δ/νση Αναπτυξιακών Προγραμμάτων Δ/νση Μηχανοργάνωσης & Η.Ε.Σ. Υπουργείο Εσωτερικών Γενική Δ/νση Αναπτυξιακών Προγραμμάτων Δ/νση Μηχανοργάνωσης & Η.Ε.Σ. Απρίλιος 2012 ΥΠΕΣ-ΔΜΗΕΣ Β' κ Γ' ΑΝΑΘΕΩΡΗΣΗ 2009 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΒΑΣΙΚΟΙ ΕΚΛΟΓΙΚΟΙ ΚΑΤΑΛΟΓΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 1 Εκλογείς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΣΙΦΝΑΪΚΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΑ Β ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΣΙΦΝΑΪΚΟΥ ΣΥΜΠΟΣΙΟΥ ΣΙΦΝΟΣ 27-30 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΙΣ ΜΝΗΜΗΝ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΒΕΡΝΙΚΟΥ - ΕΥΓΕΝΙΔΗ

ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΣΙΦΝΑΪΚΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΑ Β ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΣΙΦΝΑΪΚΟΥ ΣΥΜΠΟΣΙΟΥ ΣΙΦΝΟΣ 27-30 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΙΣ ΜΝΗΜΗΝ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΒΕΡΝΙΚΟΥ - ΕΥΓΕΝΙΔΗ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΣΙΦΝΑΪΚΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΑ Β ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΣΙΦΝΑΪΚΟΥ ΣΥΜΠΟΣΙΟΥ ΣΙΦΝΟΣ 27-30 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΙΣ ΜΝΗΜΗΝ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΒΕΡΝΙΚΟΥ - ΕΥΓΕΝΙΔΗ ΤΟΜΟΣ Β ΒΥΖΑΝΤΙΟ ΦΡΑΓΚΟΚΡΑΤΙΑ ΤΟΥΡΚΟΚΡΑΤΙΑ ΝΕΟΤΕΡΟΙ ΧΡΟΝΟΙ ΑΘΗΝΑ 2005

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι.

Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι. Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι. Σὰ τελευταῖα χρόνια καὶ ἰδιαίτερα μετὰ τὸ ἄνοιγμα τῶν συνόρων τῶν χωρῶν τῆς ἀνατολικῆς Εὐρώπης, ἀλλὰ καὶ γειτόνων χωρῶν

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερη συμβίωση: Διέξοδος ἢ παγίδα;*

Ελεύθερη συμβίωση: Διέξοδος ἢ παγίδα;* «Νομιμοποίηση τῆς Ἐλεύθερης Συμβίωσης» (δ ) Ἕνα εἶδος πολιτικοῦ γάμου; Ἕνα εἶδος τρίτου γάμου; Μείωση τῆς ἀπόστασης ἀπὸ τὸν Γάμο; Ἕνα βῆμα πρὸς τὸν Γάμο; Τρίτης κατηγορίας γάμος; Γάμος χωρὶς στεφάνι; Παλλακεία;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Ι, 30-32. Α. Ερωτήσεις ανοικτού τύπου ή ελεύθερης ανάπτυξης

Ι, 30-32. Α. Ερωτήσεις ανοικτού τύπου ή ελεύθερης ανάπτυξης Ι, 30-32 1. Παραδείγµατα ερµηνευτικών ερωτήσεων Α. Ερωτήσεις ανοικτού τύπου ή ελεύθερης ανάπτυξης 1. Σε ποιες ενέργειες προβαίνει ο Λύσανδρος σύµφωνα µε τη διήγηση του Ξενοφώντα σ αυτές τις παραγράφους;

Διαβάστε περισσότερα

Φ. Ἀ. Δημητρακόπουλος Γ. Β. Ἀνδρειωμένος Μ. Χρόνη Χ. Κοντονικολῆς - Ἀ. Βακαλόπουλος Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΟΝΗΣ ΤΙΜΙΟΥ ΣΤΑΥΡΟΥ ΙΕΡΟΣΟΛΥΜΩΝ

Φ. Ἀ. Δημητρακόπουλος Γ. Β. Ἀνδρειωμένος Μ. Χρόνη Χ. Κοντονικολῆς - Ἀ. Βακαλόπουλος Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΟΝΗΣ ΤΙΜΙΟΥ ΣΤΑΥΡΟΥ ΙΕΡΟΣΟΛΥΜΩΝ 1 Φ. Ἀ. Δημητρακόπουλος Γ. Β. Ἀνδρειωμένος Μ. Χρόνη Χ. Κοντονικολῆς - Ἀ. Βακαλόπουλος Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΟΝΗΣ ΤΙΜΙΟΥ ΣΤΑΥΡΟΥ ΙΕΡΟΣΟΛΥΜΩΝ Ἀπὸ 2 ἕως 12 Ἰουνίου 2010, ὑπὸ τὴν ἐπίβλεψη τοῦ καθηγητῆ Φωτίου

Διαβάστε περισσότερα

Opinion Mining. Χριστίνα Αραβαντινού aravantino@ceid.upatras.gr. Χριστίνα Αραβαντινού Opinion Mining Μάιος 2014 1 / 26

Opinion Mining. Χριστίνα Αραβαντινού aravantino@ceid.upatras.gr. Χριστίνα Αραβαντινού Opinion Mining Μάιος 2014 1 / 26 Opinion Mining Χριστίνα Αραβαντινού aravantino@ceid.upatras.gr Μάιος 2014 Χριστίνα Αραβαντινού Opinion Mining Μάιος 2014 1 / 26 Περιεχόμενα Εισαγωγή Εφαρμογές ομή μιας άποψης Είδη απόψεων Προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα! Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΕΝΤΕΡΙΚ ΜΠΑΣΤΙΑ ΥΠΕΡΑΣΠΙΣΗ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ. Οἱ ἀφανεῖς συνέπειες τῆς κρατικῆς παρέμβασης στὴν πολιτικὴ οἰκονομία. Ι. Τὸ σπασμένο τζάμι.

ΦΡΕΝΤΕΡΙΚ ΜΠΑΣΤΙΑ ΥΠΕΡΑΣΠΙΣΗ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ. Οἱ ἀφανεῖς συνέπειες τῆς κρατικῆς παρέμβασης στὴν πολιτικὴ οἰκονομία. Ι. Τὸ σπασμένο τζάμι. ΦΡΕΝΤΕΡΙΚ ΜΠΑΣΤΙΑ ΥΠΕΡΑΣΠΙΣΗ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ Οἱ ἀφανεῖς συνέπειες τῆς κρατικῆς παρέμβασης στὴν πολιτικὴ οἰκονομία Μετάφραση: Θάνος Σαμαρτζῆς Ι. Τὸ σπασμένο τζάμι. Ἤσασταν μήπως παρόντες τότε

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

106 Καν νες ρθογραφ ας Βυζαντινῆς Μουσικῆς

106 Καν νες ρθογραφ ας Βυζαντινῆς Μουσικῆς 106 Καννες ρθογραφας Βυζαντινῆς Μουσικῆς Κανόνες γιὰ τονισμένες συλλαβές 1. Ἡ βαρεῖα, ἡ πεστή, καὶ τὸ ψηφιστὸν τίθει στὶς περισσότερες τονισμένες συλλαβές, ἀλλὰ χρησιμοποιοῦνι μόνο ὅν ἀκολουθεῖ κατιὼν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ Β ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΓΑΜΟΥ, ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ, ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΚΑΙ ΔΗΜΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ Β ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΓΑΜΟΥ, ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ, ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΚΑΙ ΔΗΜΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ Β ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΓΑΜΟΥ, ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ, ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΚΑΙ ΔΗΜΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ (5-6 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2004, Διορθόδοξον Κέντρον τῆς Ἐκκλησίας τῆς Ἑλλάδος

Διαβάστε περισσότερα

T ÓÈÎfi ŒÓÙ Ô HÏÂÎÙÚÔÎÈÓËÙ ÚˆÓ

T ÓÈÎfi ŒÓÙ Ô HÏÂÎÙÚÔÎÈÓËÙ ÚˆÓ T ÓÈÎfi ŒÓÙ Ô HÏÂÎÙÚÔÎÈÓËÙ ÚˆÓ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στὸν Τεχνικὸ αὐτὸν Ὁδηγὸ τοῦ Ἐργοστασίου Ἠλεκτροκινητήρων «Βαλιάδης Α.Ε.»: Παρουσιάζουμε τὶς προδιαγραφὲς κατασκευῆς τῶν κινητήρων μας καὶ κυρίως ἀναφερόμαστε στοὺς

Διαβάστε περισσότερα

Π. Τ Ε Τ Σ Η Σ Χ Α Λ Κ Ο Γ Ρ Α Φ Ι Ε Σ

Π. Τ Ε Τ Σ Η Σ Χ Α Λ Κ Ο Γ Ρ Α Φ Ι Ε Σ ENTYPO TETSIS FIN:Layout 1 6/4/09 12:59 PM Page 1 Π. Τ Ε Τ Σ Η Σ Χ Α Λ Κ Ο Γ Ρ Α Φ Ι Ε Σ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ-3 ΙΟΥλΙΟΥ 2009 ΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΕΘΝΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΗΣ ΘΟΥΚΥΔΙΔΟΥ 13, ΠλΑΚΑ, ΑΘΗΝΑ ENTYPO TETSIS FIN:Layout

Διαβάστε περισσότερα

Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ. Χριστοῦ, ποὺ ἀποτελεῖ τὴν κορυφαία πράξη τοῦ Θεοῦ νὰ σώσει τὸν

Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ. Χριστοῦ, ποὺ ἀποτελεῖ τὴν κορυφαία πράξη τοῦ Θεοῦ νὰ σώσει τὸν Χριστούγεννα 2013 Ἀρ. Πρωτ. 1157 Πρός τό Χριστεπώνυμο πλήρωμα τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως Χριστὸς γεννᾶται, δοξάσατε. Ἀδελφοί μου ἀγαπητοί, Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ Χριστοῦ,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΘΕ ὥρα τηλεθέασης φέρνει στὰ μάτια μας εἰκόνες βίας, φόνων,

ΚΑΘΕ ὥρα τηλεθέασης φέρνει στὰ μάτια μας εἰκόνες βίας, φόνων, Sbatti il mostro in prima pagina 1 Η λαγνεία τοῦ «κακοῦ» στὰ ΜΜΕ* Νίκος Βαραλῆς ΚΑΘΕ ὥρα τηλεθέασης φέρνει στὰ μάτια μας εἰκόνες βίας, φόνων, καταστροφῶν καὶ διαστροφῶν σὲ ἀπεριόριστες ποσότητες. Ο δημοσιογραφικὸς

Διαβάστε περισσότερα

Ἀγαπητοί ἐθελοντές τῆς Διακονίας Ἀσθενῶν τῆς Ἐκκλησίας μας.

Ἀγαπητοί ἐθελοντές τῆς Διακονίας Ἀσθενῶν τῆς Ἐκκλησίας μας. ΕΚΚΛΗΣΙΑ & ΕΘΕΛΟΝΤΙΣΜΟΣ ΕΝΟΡΙΑ & ΔΙΑΚΟΝΙΑ ΑΣΘΕΝΩΝ Σεβασμιώτατε, Αἰδεσιμολογιώτατοι, Πρωτοπρεσβύτερος π. Βασίλειος Κοντογιάννης Ἐφημ. ΙΠΠΟΚΡΑΤΕΙΟΥ Γ.Ν.Α. Ἀγαπητοί ἐθελοντές τῆς Διακονίας Ἀσθενῶν τῆς Ἐκκλησίας

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΡΧΕΙΑ Ο πιο γνωστός τρόπος οργάνωσης δεδομένων με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών είναι σε αρχεία. Ένα αρχείο μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε σαν ένα σύνολο που αποτελείται από οργανωμένα

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστηριακὸ Μάθημα Ἁγιογραφίας Β

Φροντιστηριακὸ Μάθημα Ἁγιογραφίας Β Φροντιστηριακὸ Μάθημα Ἁγιογραφίας Β Στὴν Ἱερὰ Μονή μας, τῶν Ἁγίων Μαρτύρων Κυπριανοῦ καὶ Ἰουστίνης, στὴν Φυλὴ Ἀττικῆς, μὲ τὴν Χάρι τοῦ Θεοῦ, τὴν εὐχὴ τοῦ ἀσθενοῦντος Σεβασμιωτάτου Πνευματικοῦ Πατρός μας,

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Διδάσκων : Πομπιέρη Βασιλεία, Δικηγόρος, LLM UCL Πτωχευτικό Δίκαιο Σημαντικότερες ρυθμίσεις σε προπτωχευτικό στάδιο. Εισαγωγή της διαδικασίας συνδιαλλαγής Σκοπός Η διάσωση και εξυγίανση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΝΑ ΥΠΟΝΟΜΕΥΣΕΤΕ ΜΙΑ ΧΩΡΑ(Η ΕΞΟΜΟΛΟΓΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΑ- ΤΑΣΚΟΠΟΥ)

ΠΩΣ ΝΑ ΥΠΟΝΟΜΕΥΣΕΤΕ ΜΙΑ ΧΩΡΑ(Η ΕΞΟΜΟΛΟΓΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΑ- ΤΑΣΚΟΠΟΥ) Η ΝΕΑ ΤΑΞΗ ΤΟΥ ΑΝΤΙΧΡΙΣΤΟΥ. ΠΩΣ ΝΑ ΥΠΟΝΟΜΕΥΣΕΤΕ ΜΙΑ ΧΩΡΑ(Η ΕΞΟΜΟΛΟΓΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΑ- ΤΑΣΚΟΠΟΥ) Ἀποσπάσματα ἀπὸ ἄρθρο στὰ «ΕΠΙΚΑΙΡΑ» (28-2-13) ΠΕΡΙΛΗΨΗ. ΑΥΤΗ Η ΑΠΟΚΑΛΥΨΗ ΜΑΣ ΔΕΙΧΝΕΙ ΠΟΙΟΙ ΒΡΙΣΚΟΝ- ΤΑΙ ΑΠΟ ΠΙΣΩ,

Διαβάστε περισσότερα

Βίος καὶ πολιτεία. τοῦ Νέου Μυροβλύτου,

Βίος καὶ πολιτεία. τοῦ Νέου Μυροβλύτου, Βίος καὶ πολιτεία τοῦ ὁσίου καὶ θεοφόρου πατρὸς ἡμῶν Λεοντίου τοῦ Νέου Μυροβλύτου, ποὺ διακρίθηκε γιὰ τὴν ἄσκηση καὶ τὴ λαμπρότητα τοῦ βίου του στὸ Ἁγιώνυμον Ὄρος τοῦ Ἄθωνος, στὴν Μονὴ ποὺ καλεῖται τοῦ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΡΔΙΑ ΤΗΡΗΣΕ ΕΝΟΣ ΛΕΠΤΟΥ ΣΙΓΗ. Ἡ καρδιά (ἔλεγε κάποτε ὁ γέροντας Παΐσιος) εἶναι ὅπως τό ρολόι.

Η ΚΑΡΔΙΑ ΤΗΡΗΣΕ ΕΝΟΣ ΛΕΠΤΟΥ ΣΙΓΗ. Ἡ καρδιά (ἔλεγε κάποτε ὁ γέροντας Παΐσιος) εἶναι ὅπως τό ρολόι. Η ΚΑΡΔΙΑ ΤΗΡΗΣΕ ΕΝΟΣ ΛΕΠΤΟΥ ΣΙΓΗ. Ἡ καρδιά (ἔλεγε κάποτε ὁ γέροντας Παΐσιος) εἶναι ὅπως τό ρολόι. Καί πράγματι εἶναι! σταματώντας ὁ χρόνος της, χρόνος ὅπου μετριοῦνται μέ τούς χτύπους τῆς καρδιᾶς, σταματάει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΗ-ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ-ΚΟΙΝΩΝΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΑΤΑ-ΤΕΧΝΗ

ΕΠΙΣΤΗΜΗ-ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ-ΚΟΙΝΩΝΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΑΤΑ-ΤΕΧΝΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ-ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ-ΚΟΙΝΩΝΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΑΤΑ-ΤΕΧΝΗ ΕΤΟΣ 76 ο = ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ - ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2013 ΑΡΙΘ. 741 «Τὸ σωματίδιον τοῦ Χὶγκς καὶ ἡ Δημιουργία τοῦ κόσμου» «Ἕνας πολὺ μικρός, ἀλλὰ ἐπικίνδυνος ἐχθρὸς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ι. ΤΣΑΪΝΗΣ Μέλος τῆς Διεθνοῦς Ἑταιρείας Ἑλληνικῆς Φιλοσοφίας (Δ.Ε.Ε.Φ) ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΣΥΜΠΟΣΙΟΝ (ἤ περὶ ἔρωτος)

ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ι. ΤΣΑΪΝΗΣ Μέλος τῆς Διεθνοῦς Ἑταιρείας Ἑλληνικῆς Φιλοσοφίας (Δ.Ε.Ε.Φ) ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΣΥΜΠΟΣΙΟΝ (ἤ περὶ ἔρωτος) ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ι. ΤΣΑΪΝΗΣ Μέλος τῆς Διεθνοῦς Ἑταιρείας Ἑλληνικῆς Φιλοσοφίας (Δ.Ε.Ε.Φ) ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΣΥΜΠΟΣΙΟΝ (ἤ περὶ ἔρωτος) ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Β ΕΚΔΟΣΗ ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2010 ΠΛΑΤΩΝ (428 348 π.χ) Γεώργιος

Διαβάστε περισσότερα

Προφητεία καὶ Αποκάλυψις. ἢ «χρησμολογία» καὶ «ἀποκαλυπτισμός»; Εκκλησις Συλλόγου Ορθοδόξων Χριστιανῶν πρὸς Ιεράρχας νὰ λάβουν θέσιν

Προφητεία καὶ Αποκάλυψις. ἢ «χρησμολογία» καὶ «ἀποκαλυπτισμός»; Εκκλησις Συλλόγου Ορθοδόξων Χριστιανῶν πρὸς Ιεράρχας νὰ λάβουν θέσιν Προφητεία καὶ Αποκάλυψις ἢ «χρησμολογία» καὶ «ἀποκαλυπτισμός»; Εκκλησις Συλλόγου Ορθοδόξων Χριστιανῶν πρὸς Ιεράρχας νὰ λάβουν θέσιν Ολεθρία πλάνη Μοναχοῦ διὰ τὴν ἔλευσιν τοῦ Ἀντιχρίστου καὶ τὴν Δευτέραν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σημειώσεις για το μάθημα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Παπάνα Αγγελική http://users.auth.gr/~agpapana/statlogistics E mail: papanagel@yahoo.gr, agpapana@gen.auth.gr Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΩΠΗ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΙΑ: ΠΑΡΕΛΘΟΝ, ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ

ΕΥΡΩΠΗ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΙΑ: ΠΑΡΕΛΘΟΝ, ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ 127 ΕΥΡΩΠΗ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΙΑ: ΠΑΡΕΛΘΟΝ, ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΠΕΡΓΑΜΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ (ΖΗΖΙΟΥΛΑΣ) Εἰσαγωγὴ Ἡ δημιουργία τῆς ἑνωμένης Εὐρώπης εἶναι πάνω ἀπ ὅλα γεγονὸς πνευματικῆς σημασίας. Ἡ πολιτικὴ ἡγεσία

Διαβάστε περισσότερα