3.2.1 Homogena linearna diferencialna enačba II. reda

Transcript

1 3 Homogea lieara difereciala eačba II reda V slošem se homogee lieare difereciale eačbe drugega reda e da rešiti v aljučei oblii vedar a se da v rimeru o oamo eo artiularo rešitev itegracijo dobiti drugo artiularo rešitev i s tem slošo rešitev dae eačbe Naj bo aa artiulara rešitev i eaa rešitev Obe rešita homogeo eačbo ato velja i + + q + + q Pomožimo rvo eačbo drugo a ter ju odštejmo Na ta ači dobimo: Če oačimo je odvod + W ( ) ( ) W i laho girjo eačbo aišemo v oblii: W + W od oder dobimo o itegraciji: W Ce d Če sedaj v gorji eačbi vamemo C ter uoštevamo defiicijo fucije W dobimo ais: 4

2 e d i redstavlja liearo diferecialo eačbo a eao fucijo Delimo jo i uredimo d d e d i o itegraciji dobimo isao rešitev: e d d Gorja formula se imeuje Abelova formula Primer 34: Določimo slošo rešitev eačbe + y + y y če je y jea artiulara rešitev! REŠITEV: Eačbo reišemo v oblio y + + y y + od oder reberemo Niels Abel (8-89) - orveši matemati 4

3 + Po Abelovi formuli je sedaj y e + d + d e d e e d e + d e Sloša rešitev dae eačbe je torej y C+ C e 3 Nehomogea lieara difereciala eačba II reda Podobo ot ri lierai difereciali eačbi rvega reda se da dobiti slošo rešitev ehomogee lierae difereciale eačbe drugega reda metodo variacije ostat Naj bosta i liearo eodvisi rešitvi rirejee homogee eačbe Da se oaati da je sloša rešitev homogee eačbe: C + C Slošo rešitev ehomogee eačbe oiščemo astavom: y C + C C Pri tem sta C i ovi eai fuciji i ju je otrebo določiti Iračuamo ajrej rvi odvod gorje fucije: y C + C + C + C 43

4 Ker mora ibrai astave rešiti dao eačbo bomo i te eačbe dobili eo imed eačb a določitev fucij C i C Če hočemo iračuati obe fuciji otrebujemo še e ogoj Za adaljji iraču je ajeostavejše če ostavimo: C + C V tem rimeru se rvi odvod fucije y glasi y C + C drugi odvod a ima oblio y C + C + C + C Če vstavimo dobljea odvoda y i y v ehomogeo eačbo dobimo: [ ] [ ] C + + q + C + + q + + C + C f Ker sta i rešitvi homogee eačbe sta iraa v oglatih oleajih eaa ato ostae: C + C f Na ta ači smo dobili dve eačbi i aterih laho iračuamo eai fuciji C i C : C + C C + C f Gorji eačbi redstavljata sistem dveh liearih algebraičih eačb aterega rešitvi sta: 44

5 f C W ( ) i ( ) f ( ) C ( ) W ( ) Pri tem je determiata oeficietov: W ( ) vedo raliča od ič er sta o redostavi i liearo eodvisi rešitvi Z itegrirajem dobimo adalje: i f ( ) C d + c W C ( ) f d + c W ri čemer sta c i c sta oljubi itegracijsi ostati Če vstavimo sedaj dobljei fuciji v ačeti astave dobimo slošo rešitev ehomogee eačbe: f f y c + c + d + d W W Primer 35: Določimo slošo rešitev eačbe y y 4 y 3 e če je eačbe! e ea imed artiularih rešitev rirejee homogee 45

6 REŠITEV: Najrej določimo drugo artiularo rešitev rirejee homogee eačbe Ker je 4 je o Abelovi formuli e 4 d e d e d e e Sloša rešitev rirejee homogee eačbe je torej Ce + C e Da dobimo slošo rešitev ehomogee eačbe iračuamo W e ( ) ter itegrala 3 3 C d+ c + c C 3 d+ c 3+ c Sloša rešitev eačbe je ato e ce 3 + c e + e 46

7 33 Lieara difereciala eačba s ostatimi oeficieti Sloša oblia te eačbe je: y + y + qy f Pri tem sta i q oljubi reali števili 33 Homogea eačba Rešitev homogee eačbe + + q iščemo astavom : e Ker je od tod: i e dobimo i rvote eačbe: Od tu dobimo: ( ) + + q e e + + q Gorji ira imeujemo araterističa eačba difereciale eačbe drugega reda s ostatimi oeficieti I je iračuamo vredost ostate Ker gre a vadrato eačbo sta jei rešitvi odvisi od disrimiate D 4 q 47

8 Glede a jeo vredost astoajo tri možosti: ) D > V tem rimeru ima araterističa eačba dve raliči reali ičli: D ± ± ω i sloša rešitev difereciale eačbe se glasi: ω ω ( ) e Ce + C e Gorjo rešitev se da aisati tudi s omočjo hierboličih fucij Ker je ω ω ω e + e e e chω i shω ω laho aišemo rešitev tudi v oblii ( ch sh ) e c ω+ c ω ) D < Karaterističa eačba ima dve ojugirao omlesi ičli: ± D ± i ω Sloša rešitev difereciale eačbe je: i i ( ) ω ω e Ce + C e 48

9 Če uoštevamo Eulerjevo veo med trigoometričimi fucijami i esoeto fucijo ω ω ω e + e e e cosω i siω i i i i iω laho to rešitev aišemo tudi v oblii ( cos si ) e c ω+ c ω 3) D Karaterističa eačba ima dvojo realo ičlo Z astavom smo torej dobili eo artiularo rešitev e Drugo dobimo s omočjo Abelove formule e e e d d e d e Sloša rešitev difereciale eačbe je v tem rimeru torej: C + C e Primer 36: Rešimo homogeo liearo diferecialo eačbo reda y y + y i aišimo jeo artiularo rešitev če je da ačeti ogoj: 49

10 y y i REŠITEV: Karaterističa eačba + ima dvojo ičlo ato se sloša rešitev glasi: y Ce + C e Partiularo rešitev ob daih ačetih ogojih dobimo tao da te ogoje uoštevamo v irau a y i y I rvega ogoja dobimo Ce + Ce Ker je: y Ce + C e + C e dobimo i drugega ogoja: Ce + 3Ce I obeh eačb dobimo ostati: C 7e C 3e tao da je isaa artiulara rešitev: y 7e 3e 5

11 33 Nehomogea eačba Rešitev ehomogee eačbe y + y + qy f laho vedo dobimo metodo variacije ostat vedar je v eaterih rimerih iraču artiulare rešitve eostavejši uorabo metode edoločeih oeficietov Oglejmo si to metodo a rimer o uoraba metode edoločeih oeficietov agotovo vodi hitreje do cilja ot metoda variacije ostat Ger a rimere o je desa stra difereciale eačbe odaa v oblii olioma stoje : f A A + A + + A+ A Partiularo rešitev v tem rimeru iščemo v oblii olioma iste stoje: y a Gorjo fucijo dvarat odvajamo: ( ) y a a + + y a ( + ) a ( + )( + ) + + i vstavimo vse štiri irae (a y y y i f()) v ehomogeo diferecialo eačbo: 5

12 + + a a + + q a A Sedaj ieačimo oeficiete ri eaih otecah a levi ter desi strai gorje eačbe i a dobimo: ( ) ( ) + + a + + a + qa A a ostali oteci a: a + qa A qa + + A Na ta ači smo dobili sistem liearih algebraičih eačb i ima trioto oblio i i aterega laho aoredoma iračuamo eae oeficiete a Primer 37: Poiščimo artiularo rešitev eačbe y + y + REŠITEV: Partiularo rešitev oiščemo astavom y A + A+ A Iračuamo drugi odvod y A + A y A Vstavimo astave v dao eačbo a dobimo A + A + A + A + 5

13 Primerjava oeficietov ri eaih otecah am da A A A tao da je isaa artiulara rešitev dae eačbe: y + Navedimo še eaj rimerov o se da artiularo rešitev dobiti metodo edoločeih oeficietov: ) Kadar je desa stra difereciale eačbe fucija i f e P v ) i ore araterističe eačbe iščemo artiularo rešitev oblii: y ( ) e a v ) je ore araterističe eačbo iščemo artiularo rešitev oblii: α y e a ri čemer je α stoja orea araterističe eačbe ) Kadar je desa stra difereciale eačbe fucija i [ m ω ω ] f e P cos + Q si 53

14 ) ± iω i ore araterističe eačbe ima artiulara rešitev oblio: [ m ] y ( ) e R cos ω + S siω ) ± iω je ore araterističe eačbe a ima artiulara rešitev oblio y α e [ Rmcos ω + Ssiω] Pri tem sta Pm i Rm olioma stoje m Q i S a sta olioma stoje Primer 38: Poiščimo artiularo rešitev eačbe REŠITEV: y 4y + 4y e Ker je dvoji ore araterističe eačbe iščemo artiularo rešitev astavom : α 3 ( ) ( ) y e A + A e A + A Iračuamo odvoda: 3 [ ( 3 ) ] y e A + A + A + A 3 [ ( 8 6 ) ( 4 ) 4 ] y e A + A + A + A + A + A ter ju suaj astavom vstavimo v dao eačbo Na ta ači dobimo: A + 6A 54

15 od oder sledi: A A 6 Isaa artiulara rešitev dae eačbe se torej glasi: y e ( 3) 6 34 Eulerjeva difereciala eačba Eačba oblie: y + y + qy f jer sta i q ostati se imeuje Eulerjeva difereciala eačba drugega reda Tudi v tem rimeru ajrej rešimo rirejeo homogeo eačbo: + + q Njeo rešitev oiščemo astavom: y ri čemer je eaa ostata Iračuamo še odvoda i a dobimo araterističo eačbo + + q i atere iračuamo orea i Leoard Euler (77-783) - švicarsi matemati 55

16 V rimeru o sta orea araterističe eačbe raliča je sloša rešitev homogee eačbe C + C Če sta orea eaa artiularo rešitev am astave da le eo Če dao eačbo reišemo v oblio + + q dobimo s omočjo Abelove formule drugo artiularo rešitev e d d d l Rešitev homogee eačbe je torej v tem rimeru: C + C l Ko smo dobili rešitev homogee eačbe laho dobimo rešitev ehomogee eačbe metodo variacije ostat Prede metodo uorabimo moramo seveda dao eačbo ajrej reisati v oblio y + + y q y f Primer 39: Rešimo eačbo y + y y l REŠITEV: 56

17 Z astavom rešimo rirejeo homogeo eačbo Karaterističa eačba ima orea i Sloša rešitev rirejee homogee eačbe se ato glasi: C +C Rešitev ehomogee eačbe dobimo metodo variacije ostat Najrej reišemo eačbo v oblio: Iračuamo y + y y l ter itegrala W C l d+ c l + c 4 8 C d c l + l c Sloša rešitev eačbe je torej: c + + l l + ) 8 y c ( 57