PRIMJENA L-FUNKCIJA U TEORIJI BROJEVA. Marija Patljak PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

Transcript

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marija Patljak PRIMJENA L-FUNKCIJA U TEORIJI BROJEVA Dilomski rad Voditelj rada: rof. dr. sc. Fili Najma Zagreb, veljača 2016.

2 Ovaj dilomski rad obraje je daa u sastavu: red isitim ovjerestvom 1., redsjedik 2., čla 3., čla Povjerestvo je rad ocijeilo ocjeom. Potisi člaova ovjerestva:

3 Mojim roditeljima i braći.

4 Sadržaj Sadržaj iv Uvod 1 1 Uvodo oglavlje Osovi ojmovi Osovi rimjeri Prosječe vrijedosti aritmetičkih fukcija Dirichletovi karakteri i L-fukcija Karakteri koače Abelove grue Dirichletovi karakteri Fukcija L(1, χ) Dokaz Dirichletovog teorema Dokaz Distribucija rostih brojeva u aritmetičkim izovima Bibliografija 31 iv

5 Uvod Aritmetički iz earih brojeva 1, 3, 5,..., 2+1,... sadrži beskoačo mogo rostih brojeva. Prirodo je itati se imaju li i drugi aritmetički izovi takvo svojstvo. Aritmetički iz s rvim člaom h i diferecijom k je iz brojeva oblika k + h, = 0, 1, 2,... Ako je d > 1 zajedički djelitelj od h i k, tada je svaki čla iza djeljiv s d i iz e može sadržavati više od jedog rostog člaa u izu. Drugim riječima, uža uvjet da bi tako defiira aritmetički iz sadržavao beskoačo mogo rostih člaova je da (h, k) = 1. Dirichlet je bio rvi koji je dokazao kako je taj uvjet ujedo i dovolja. Dakle, ako (h, k) = 1, tada aritmetički iz sadrži beskoačo mogo rostih brojeva. Ovaj rezultat, ozat kao Dirichletov teorem ćemo dokazati u ovom radu. U rvom oglavlju su dae osove defiicije i svojstva fukcija koje koristimo u radu. U drugom oglavlju se uozajemo s karakterima i L(1, χ) fukcijom. Sam dokaz Dirichletovog teorema je izese u trećem oglavlju. 1

6 Poglavlje 1 Uvodo oglavlje 1.1 Osovi ojmovi Za očetak, defiirajmo osove ojmove. Defiicija Neka su a i b cijeli brojevi. Cijeli broj d zovemo zajedički djelitelj od a i b ako d a i d b. Ako je barem jeda od brojeva a i b različit od ule, oda ostoji samo koačo mogo zajedičkih djelitelja od a i b. Najveći medu jima zove se ajveći zajedički djelitelj od a i b i ozačava se s (a, b). Ako je (a, b) = 1, tada za a i b kažemo da su relativo rosti. Defiicija Za fukciju f : N C kažemo da je multilikativa ako vrijedi 1. f (1) = 1, 2. f (m) = f (m) f (), za sve m i takve da (m, ) = 1. Aritmetičke fukcije Potrebo je defiirati i eke fukcije te jihova svojstva. Defiicija Eulerova fukcija ϕ() je broj ozitivih cijelih brojeva koji su relativo rosti s. Defiicija Möbiusova fukcija µ(), za N defiiraa je sa ( 1) k, = 1 2 k, µ() = 0, iače. Secijalo, µ(1) = 1. 2

7 POGLAVLJE 1. UVODNO POGLAVLJE 3 Defiicija Za dvije aritmetičke fukcije f i g defiiramo jihov Dirichletov rodukt (ili Dirichletovu kovoluciju) kao aritmetičku fukciju h defiirau s ( ) h() = f (d)g. d Pišemo f g za h i ( f g)() za h(). Sljedeći teorem ozat am je kao Möbiusova formula iverzije. d Teorem Relacija imlicira Takoder, vrijedi i obrat. f () = g(d), g() = d d ( ) f (d)µ. d Iz ovog teorema slijedi relacija koja ovezuje Eulerovu i Möbiusovu fukciju: ( ) = ϕ(d), ϕ() = dµ. d d Defiicija Vo Magoldtova fukcija Λ(), za N defiiraa je s log, = m, Λ() = 0, iače, gdje su rost broj i m 1. Neka je F reala ili komleksa fukcija defiiraa a < 0, + > takva da je F(x) = 0 za 0 < x < 1. Promatrat ćemo fukcije oblika ( x α()f, ) gdje je α eka aritmetička fukcija. Ova suma defiira ovu fukciju G a < 0, + > koja je isto jedaka uli za 0 < x < 1. Fukciju G išemo α F. Prema tome, ( x (α F)(x) = α()f. ) d

8 POGLAVLJE 1. UVODNO POGLAVLJE 4 Ako je F(x) = 0 za sve x N, tada je restikcija od F a rirode brojeve m aritmetička fukcija i vrijedi (α F)(m) = (α F)(m), te oeraciju smatramo geeralizacijom Dirichletovog rodukta. Sljedeći teorem ozat je kao geeraliziraa formula iverza. Teorem Ako α ima Dirichletov iverz α 1, tada vrijedi sljedeće ( x ( x G(x) = α()f F(x) = α ) 1 ()G. ) Secijalo, za α otuo multilikativu fukciju i α 1 () = µ()α() dobivamo geeralizirau Möbiusovu formulu iverzije. Dokaz. Neka je G = α F. Tada slijedi α 1 G = α 1 (α F) = (α 1 α) F = I F = F, gdje je I idetiteta. Aalogo se okaže obrat tvrdje. Kogruecije i sustav ostataka Defiicija Neka su a,b i m cijeli brojevi, m > 0. Kažemo da je a kogrueto b modulo m i išemo a b (mod m), ako m dijeli razliku a b. Simbol za kogruecije je izabrao Gauss kako bi sugestirao sličost sa zakom jedakosti =. Osim sličosti zakova, te dvije relacije imaju i moga zajedička svojstva. Jedo od jih dao je u sljedećem teoremu. Teorem Relacija biti kogrueta modulo m je relacija ekvivalecije a skuu Z. Dakle, vrijedi sljedeće: 1. a a (mod m) (refleksivost) 2. a b (mod m) b a (mod m) (simetričost) 3. a b (mod m) i b c (mod m) a c (mod m) (trazitivost) Dokaz. Dokaz slijedi direkto iz svojstava djeljivosti: 1. m Ako m (a b), tada m (b a). 3. Ako m (a b) i m (b c), tada m (a b) + m (b c) = a c.

9 POGLAVLJE 1. UVODNO POGLAVLJE 5 Defiicija Neka je m riroda broj. Sku â redstavlja sku svih cijelih brojeva x takvih da je x a (mod m) i sku â azivamo ostatkom od a. Drugim riječima, vrijedi: [â] = { x + km k Z } = x + mz. Defiicija Sku { x 1, x 2,..., x m } se zove otui sustav ostataka modulo m, ako za svaki y Z ostoji točo jeda x i takav da je y x i (mod m). Defiicija Reducirai sustav ostataka modulo m je sku cijelih brojeva r i takvih da (r i, m) = 1, r i r j (mod m) za r i r j te da za svaki cijeli broj x takav da (x, m) = 1 ostoji r i takav da x r i (mod m). Teorem Euler-Fermatov teorem. Neka je (a, m) = 1. Tada vrijedi a ϕ(m) 1 (mod m). Kriteriji kovergecije reda Navest ćemo eke od kriterija za kovergeciju reda i to samo oe koje ćemo koristiti u dokazima u ovom radu. Teorem Cauchyjev kriterij. Neka je (a ) iz komleksih brojeva. 1. Ako ostoje m N i q < 0, 1 > takvi da je tada red a asoluto kovergira. 2. Ako ostoji m N takav da je tada red a asoluto divergira. a q, m, a 1, m, Teorem Itegrali kriterij kovergecije reda (Cauchy). Neka je f : [a, > [0, > erekida i adajuća fukcija, gdje je a > 0. Tada red f () kovergira eravi itegral a f (x)dx kovergira. Teorem Usoredi kriterij. Neka su a i b redovi s ozitivim člaovima i eka ostoje m N i K > 0 takvi da je a K b, m.

10 POGLAVLJE 1. UVODNO POGLAVLJE 6 1. Ako b kovergira, oda kovergira i a i vrijedi a b. =1 2. Ako a divergira, oda divergira i b. 1.2 Osovi rimjeri Nekoliko matematičara se istakulo u dokazivaju beskoačosti skua rostih brojeva. Osovi teorem koji to dokazuje je Euklidov teorem. Teorem Euklidov teorem. Sku svih rostih brojeva je beskoača. Dokaz. Pretostavimo da su 1, 2,... svi rosti brojevi. Promatramo =1 N = Uočimo da N ije djeljiv i sa jedim od rostih brojeva i. Dakle, svaki rosti faktor od N je različit od 1, 2,...,. Budući da je N ili rost ili ima rosti faktor, dobili smo rost broj različit od 1, 2,...,, što je kotradikcija. Divergeciju reda 1 reciročih rostih brojeva je rvi dokazao Euler godie. Teorem Red rostih brojeva =1 1 divergira. Dokaz. Pretostavimo suroto, odoso da ovaj red kovergira. Ako red kovergira, tada ostoji k Z takav da 1 < 1 m 2. m=k+1 Neka je Q = 1 k, te romatrajmo brojeve oblika 1 + Q za = 1, 2,... Nijeda od jih ije djeljiv rostim brojevima 1,..., k. Dakle, svi rosti faktori od 1 + Q se alaze medu rostim brojevima oblika k+1, k+2,... Stoga, za svaki r 1 vrijedi t r Q 1, =1 t=1 m=k+1 m ošto suma zdesa medu svojim člaovima sadrži sve člaove sume slijeva. Ali desa straa je domiiraa kovergetim geometrijskim redom ( ) t 1. 2 t=1

11 POGLAVLJE 1. UVODNO POGLAVLJE 7 Dakle, red 1 =1 ima ograičee arcijale sume i stoga kovergira. No to je kotradikcija jer o itegralom testu kovergecije i testu usoredbe zamo da takav red 1+Q divergira. Dirichlet je godie izio la kako aalitičkom metodom restrigirati Eulerov dokaz a roste brojeve u aritmetičkom izu. Njegov dokaz je kasije ojedostavilo ekoliko matematičara. Jeda od jih je bio Harold N. Shairo koji je godie objavio ojedostavljei dokaz da red oblika 1 log divergira, umjesto za red 1 kako je Dirichlet zamislio. Pokažimo sada kako je za secijale oblike izova lako dokazati Dirichletov teorem ako modificiramo Euklidov dokaz o beskoačosti rostih brojeva. Teorem Postoji beskoačo mogo rostih brojeva oblika 4 1. Dokaz. Dokaz o kotraoziciji. Pretostavimo da ostoji koačo mogo rostih brojeva tog oblika te eka je ajveći takav. Promotrimo broj N = Faktori rodukta 3 5 su svi eari brojevi. Očito je N oblika 4 1, o N e može biti rost jer N >. Nijeda rosti broj e dijeli N a svi rosti faktori od N moraju biti veći od. Ali svi rosti faktori od N e mogu biti oblika jer je rodukt dva takva broja oet istog oblika. Stoga eki od rostih faktora broja N mora biti oblika 4 1. Time smo dobili kotradikciju. Teorem Postoji beskoačo mogo rostih brojeva oblika Dokaz. Neka je N riroda te > 1. Pokazat ćemo da ostoji rost broj > N takav da je 1 (mod 4). Neka je m = (N!) Uočimo da je m eara broj, za sve m > 1. Neka je ajmaji rosti faktor od m. Nijeda od brojeva 2, 3,..., N e dijeli m, stoga je > N. Takoder, vrijedi i (N!) 2 ( 1) 1 2 (mod ). No o Euler-Fermatovom teoremu je (N!) 1 1 (mod ) a ( 1) (mod ). Razlika brojeva ( 1) 1 2 i 1 je ili 0 ili 2, o 2 e može biti romatraa razlika jer je 2 dijeljivo s a ta razlika mora biti 0. Dakle, ( 1) 1 2 = 1.

12 POGLAVLJE 1. UVODNO POGLAVLJE 8 Ali to sada zači da je 1 ara broj, a je 1 (mod 4). Drugim riječima, okazali smo 2 da za svaki riroda N > 1 ostoji rost broj > N takav da je 1 (mod 4). Dakle, ostoji beskoačo mogo rostih brojeva oblika Jedostavi argumeti dai za roste brojeve oblika 4 1 i mogu se ooćiti a druge secijale oblike aritmetičkih izova kao što su 5 1, 8 1, 8 3 i No još uvijek ismo okazali za geerali oblik aritmetičkog iza k + h. 1.3 Prosječe vrijedosti aritmetičkih fukcija Često am je iteres isitati asimtotsko oašaje aritmetičkih fukcija, tj. ocijeiti sume oblika f (), gdje je x dovoljo velik reala broj. Defiicija Ako je g(x) > 0, x, išemo f (x) = O(g(x)) te je ritom kvocijet f (x)/g(x) ograiče za sve x. Odoso, ostoji kostata M > 0 takva da je f (x) Mg(x), x. Relacija zači da je f (x) h(x) = O(g(x)). f (x) = h(x) + O(g(x)) Defiicija Ako vrijedi f (x) lim x g(x) = 1, kažemo da je f (x) asimtotski jedaka g(x) kada te išemo f (x) g(x), kada x. Poekad se asimtotska vrijedost arcijale sume dobiva usoredbom s itegralom. Formula za sumu koju je izveo Euler am daje toča izraz za grešku astalu takvom aroksimacijom. U formuli će [t] ozačavati ajveći cijeli broj t. Teorem Eulerova sumacijska formula. Ako je f mootoa a segmetu [y, x], za 0 < y < x, tada vrijedi x x f () = f (t) dt + (t [t]) f (t) dt y y (1.1) y< + f (x)([x] x) f (y)([y] y).

13 POGLAVLJE 1. UVODNO POGLAVLJE 9 Dokaz. Za cijele brojeve i 1 iz segmeta [y, x] imamo 1 [t] f (t) dt = 1 ( 1) f (t) dt = ( 1) ( f () f ( 1)) = ( f () ( 1) f ( 1)) f (). Sumirajući sve itegrale od = [y] + 2 do = [x] uočavamo da se sljedeći itegral dobiva teleskoirajem, stoga Sada imamo [x] [y]+1 y< [t] f (t) dt = [x] f ([x]) ([y] + 1) f ([y] + 1) [x] f () = = = [x] f ([x]) [y] f ([y] + 1) [y]+1 x Parcijalom itegracijom dobivamo formulu x y y y< [x] =[y]+2 f (). [t] f (t) dt + [x] f ([x]) [y] f ([y] + 1) [t] f (t) dt + [x] f (x) [y] f (y). f (t) dt = x f (x) y f (y) te kada ju uvrstimo u (1.2) dobivamo (1.1). x y t f (t)dt, f () (1.2) Važa osljedica Eulerove sumacijske formule je sljedeća relacija: ( ) 1 1 = log x + C + O. (1.3) x Dokažimo ju: Dokaz. Uvrstimo u Eulerovu sumacijsku formulu f (t) = 1/t kako bismo dobili sljedeće: 1 x = dt x t [t] dt + [x] x 1([1] 1) t t 2 x 1 = log x 1 x 1 = log x + 1 t [t] dt + 1 x [x] t 2 x t [t] dt + t 2 1 x t [t] dt + O t 2 ( ) 1 x

14 POGLAVLJE 1. UVODNO POGLAVLJE 10 Neravi itegral (t 1 [t])t 2 dt ostoji budući da je domiira s eravim itegralom t 2 dt. Dakle, 1 t [t] 1 0 dt t 2 x t dt = 1 2 x a sada slijedi Stavimo li da je dokazali smo relaciju (1.3). x 1 = log x C = 1 1 t [t] dt + O t 2 t [t] dt, t 2 ( ) 1. x Sada ćemo bez dokaza avesti još eke rezultate koji su astali kao osljedica Eulerove sumacijske formule. Teorem Za x 2 vrijedi te stoga vrijedi i log[x]! = x log x x + O(log x), (1.4) [ x Λ() = x log x x + O(log x). (1.5) ] Kao osljedica tvrdje (1.5) roizlazi sljedeći teorem: Teorem Za x 2 i sve roste brojeve x vrijedi [ ] x log = x log x + O(x). (1.6) U Teoremu smo izveli formulu Λ() [ x ] = x log x x + O(log x). Ta suma je težiski rosjek Magoldtove fukcije Λ() gdje je Λ() omožea s težiskim faktorom [x/]. Teoremi koji su vezai uz različite težiske rosjeke iste fukcije azivamo Tauberiaovim teoremima. Dokazat ćemo Tauberiaov teorem kojega je godie dokazao H. N. Shairo. Ovaj teorem ovezuje sume oblika a() sa oima oblika a()[x/], za eegative fukcije a(). Teorem Shairov teorem. Neka je a() eegativi iz takav da je [ x a() = x log x + O(x), x 1. (1.7) ]

15 POGLAVLJE 1. UVODNO POGLAVLJE Za x 1 vrijedi a() = log x + O(1). 2. Postoji kostata B > 0 takva da je a() Bx, x 1. Dokaz. Neka su [ x S (x) = a(), T(x) = a(). ] Najrije ćemo dokazati drugu tvrdju teorema. Tvrdimo kako vrijedi sljedeća ejedakost: ( x ( x S (x) S T(x) 2T. (1.8) 2) 2) Pišemo ( x T(x) 2T = 2) = [ x a() 2 ] ([ x 2 ] /2 [ x 2 /2 [ x ] a() 2 ]) a() + x/2< [ x ] a(). Budući da je razlika [2y] 2[y] jedaka ili 0 ili 1, rva suma je eegativa, a vrijedi ( x [ x ( x T(x) 2T a() = a() = S (x) S. 2) ] 2) x/2< x/2< Time smo okazali ejedakost (1.8). No, (1.7) imlicira ( x ( x T(x) 2T = x log x + O(x) 2 2) 2 log x ) 2 + O(x) = O(x). Stoga (1.8) imlicira da je S (x) S (x/2) = O(x). To zači da ostoji kostata K > 0 takva da je ( x S (x) S Kx, x 1. 2) Zamijeimo x redom s x/2, x/4,... kako bismo dobili ( x ( x S S K 2) 4) x 2,

16 POGLAVLJE 1. UVODNO POGLAVLJE 12 ( x ( x S S K 4) 8) x 4, itd. Uočimo da je S (x/2 ) = 0, kada je 2 > x. Zbrojimo li sve ejedakosti dobivamo S (x) Kx ( ) + = 2Kx. Uzmemo li da je B = 2K, dokazali smo drugu tvrdju teorema. Dokažimo sada rvu tvrdju teorema. Pišemo li [x/] = (x/) + O(1), dobivamo [ x ( x ) T(x) = a() = ] + O(1) a() = x = x a() a() + O a() + O(x), o drugoj tvrdji teorema. Stoga a() = 1 T(x) + O(1) = log x + O(1). x Time smo dokazali i rvu tvrdju teorema. Relacija (1.5) imlicira [ x Λ = x log x + O(x). ] Budući da je Λ() 0, možemo rimijeiti Shairov teorem defiiramo li a() = Λ(). Teorem Za svaki x 1 vrijedi Λ() = log x + O(1). (1.9) Takoder, ostoje ozitive kostate c 1 i c 2 takve da je ψ(x) c 1 x, x 1 i ψ(x) c 2 x, za svaki dovoljo veliki x.

17 POGLAVLJE 1. UVODNO POGLAVLJE 13 Još jeda rimjea Shairovog teorema se može izvući iz formule [ ] x log = x log x + O(x) dokazae u Teoremu To ak možemo isati u sljedećem obliku: [ x Λ 1 () = x log x + O(x), (1.10) ] gdje je fukcija Λ 1 defiiraa a sljedeći ači: log, je rosti broj, Λ 1 () = 0, iače. Budući da je Λ 1 () 0, formula (1.10) am okazuje da izraz a() = Λ 1 () zadovoljava hioteze Shairovog teorema. Obzirom da je ϑ(x) = Λ 1 (), iz rve tvrdje Shairovog teorema slijedi sljedeća formula: Teorem Za sve x 1 vrijedi log = log x + O(1). (1.11) Takoder, ostoje ozitive kostate c 1 i c 2 takve da je ϑ(x) c 1 x, x 1 i ϑ(x) c 2 x, za svaki dovoljo veliki x.

18 Poglavlje 2 Dirichletovi karakteri i L-fukcija 2.1 Karakteri koače Abelove grue Jeda od ključih ojmova koji će se javiti u dokazu Dirichletovog teorema će biti Dirichletovi karakteri. Da bismo mogli izijeti svojstva ove aritmetičke fukcije, ajrije ćemo uvesti mali dio teorije grua koji am je otreba za teoriju Dirichletovih karaktera. Abelove grue i karakteri Defiicija Grua G je erazi sku elemeata s biarom oeracijom koji zadovoljava odredee aksiome: 1. Zatvoreost. ( a, b G) a b G. 2. Asocijativost. ( a, b, c G) (a b) c = a (b c). 3. Postojaje eutralog elemeta. (!e G) t.d. ( a G) a e = e a = a. 4. Postojaje iverza. ( a G) (!b G) t.d. a b = b a = e. Defiicija Abelova grua. Grua G je Abelova ako svaki ar elemeata komutira, odoso, ako je ab = ba, a, b G. Defiicija Koača grua. Grua G je koača ako je G koača sku. Broj elemeata od G zovemo redom od G. Defiicija Neka je G rozvolja grua. Homomorfizam f : G C x zovemo karakterom od G ako f ima multilikativo svojstvo te ako je f (c) 0, za eki c G. f (ab) = f (a) f (b), a, b G, 14

19 POGLAVLJE 2. DIRICHLETOVI KARAKTERI I L-FUNKCIJA 15 Svaka grua G ima barem jeda karakter, fukciju koja šalje svaki elemet iz G u 1. Taj karakter zovemo glavim karakterom. Relacija ortogoalosti za karaktere Neka je G koača Abelova grua reda koja sadrži elemete a 1, a 2,..., a te eka su f 1, f 2,..., f karakteri od G, ri čemu je f 1 glavi karakter. S A = A(G) ćemo ozačavati matricu [a i j ] kojoj je elemet a i j u i-tom retku i j-tom stucu jedak a i j = f i (a j ). Pokazat ćemo da je matrica A ivertibila te iskoristiti to kako bi okazali svojstvo ortogoalosti medu karakterima. Najrije, defiirajmo sumu elemeata u svakom retku matrice A. Teorem Suma elemeata u i-tom retku matrice A je daa s, i = 1, f i (a r ) = 0, iače. r=1 Dokaz. Ozačimo s S sumu u iskazu teorema. Ako je f i = f 1, tada je svaki sumad jedak 1 i S =. Za f i f 1 ostoji elemet b G takav da je f i (b) 1. Kako a r ide o svim elemetima od G, tako ide i umožak ba r. Stoga vrijedi S = f i (ba r ) = f i (b) f i (a r ) = f i (b)s. r=1 r=1 Dakle, S (1 f i (b)) = 0. Pošto je f i (b) 1, slijedi S = 0. Iskoristimo sada ovaj teorem da bismo okazali kako A ima iverz. Teorem Neka je A hermitski adjugiraa matrica matrice A. Tada imamo AA = I, gdje je I jediiča matrica. Dakle, 1 A je iverz od A. Dokaz. Neka je B = AA. Elemet u i-tom retku i j-tom stucu matrice B da je s b i j = f i (a r ) f j (a r ) = r=1 ( f i f j )(a r ) = r=1 f k (a r ), r=1

20 POGLAVLJE 2. DIRICHLETOVI KARAKTERI I L-FUNKCIJA 16 gdje je f k = f i f j = f i f j. Zamo da je f i f j = f 1 ako i samo ako je i = j. Stoga, iz rethodog teorema slijedi, ako je i = j, b i j = 0, ako je i j. Drugim riječima, B = I. Teorem Relacije ortogoalosti medu karakterima. Vrijedi:, ako je a i = a j, f r (a i ) f r (a j ) = 0, ako je a i a j. r=1 Dokaz. Iskoristimo čijeicu da matrica komutira sa svojim iverzom a je AA = A A = I. Sada tvrdja slijedi direkto jer je elemet u i-tom retku i j-tom stucu matrice A A jedak sumi u teoremu. 2.2 Dirichletovi karakteri Neka je G reducirai sustav ostataka modulo fiksi rirodi broj k. Najrije okažimo kako uz dobro defiirao možeje, G zaista čii multilikativu gruu. Prisjetimo se, reducirai sustav ostataka modulo k je sku od ϕ(k) rirodih brojeva {a 1, a 2,..., a ϕ(k) } medusobo ekogruetih modulo k. Pritom je svaki od jih relativo rost s k. Takoder, za svaki cijeli broj a, ostatak â je sku svih cijelih brojeva kogruetih s a modulo k. Sada možemo defiirati možeje ostataka relacijom: â ˆb = ˆ ab. Teorem Uz možeje defiirao kao u gorjoj relaciji, reducirai sustav ostataka modulo k je koača Abelova grua reda ϕ(k). Neutrali elemet ove grue je ˆ1. Iverz ostatka â je ostatak ˆb takav da je ab 1 (mod k). Dokaz. Iz defiicije možeja ostataka slijedi svojstvo zatvoreosti. Očito je ostatak ˆ1 eutrali elemet. Ako vrijedi (a, b) = 1, tada ostoji jedistvei b takav da je ab 1 (mod k). Stoga je iverz od â jedak ˆb. Koačo, jaso je da je grua Abelova te da je reda ϕ(k). Defiicija Dirichletov karakter. Neka je grua G reducirai sustav ostataka modulo k. Za svaki karakter f grue G defiiramo aritmetičku fukciju χ = χ f a sljedeći ači: f (ˆ), (, k) = 1, χ() = 0, (, k) > 1.

21 POGLAVLJE 2. DIRICHLETOVI KARAKTERI I L-FUNKCIJA 17 Fukciju χ azivamo Dirichletov karakter modulo k. Glavi karakter χ 1 je oaj sa svojstvom 1, (, k) = 1, χ 1 () = 0, (, k) > 1. Teorem Svaki Dirichletov karakter modulo k je multilikativa i eriodiča s eriodom k. Odoso, vrijedi χ(m) = χ(m)χ(), m,, (2.1) i χ( + k) = χ(),. (2.2) Obrato, ako je χ multilikativa fukcija i eriodiča s eriodom k te je za (, k) > 1 χ() = 0, tada je χ jeda od Dirichletovih karaktera modulo k. Dokaz. Svojstvo multilikativosti (2.1) od χ f aslijedeo je od f, oda kada su m i relativo rosti s k. Ako jedo od m ili ije relativo rosto s k, tada ije i m relativo rosto s k, a bi obje strae u (2.1) bile jedake uli. Svojstvo eriodičosti slijedi iz čijeice da je χ f = f (ˆ) i da a b (mod k) imlicira (a, k) = (b, k). Kako bi okazali obrat rimijetimo da je fukcija f defiiraa a G izrazom f (ˆ) = χ(), ako je (, k) = 1 karakter grue G, a je χ Dirichletov karakter modulo k. Sada avodimo relaciju ortogoalosti za Dirichletove karaktere: Teorem Neka su χ 1, χ 1,..., χ ϕ(k) ϕ(k) Dirichletovih karaktera modulo k te m, N takvi da je (, k) = 1. Tada vrijedi: ϕ(k) ϕ(k), m (mod k), χ r (m) χ r () = 0, m (mod k). r=1 Dokaz. Ako je (m, k) = 1, dovoljo je uzeti a i = ˆ i a j = ˆm i iskoristiti relaciju ortogoalosti okazau rije. Uočimo kako je ˆm = ˆ ako i samo ako je m (mod k). Ako je (m, k) > 1, tada su svi sumadi jedaki uli i m (mod k). Sume koje sadrže Dirichletove karaktere Pokazat ćemo kako se razvijaju sume koje uključuju Dirichletove karaktere. Naomeimo kako su etrivijali karakteri f oi sa svojstvom da je f (g) 1, za g G, gdje je G koača Abelova grua.

22 POGLAVLJE 2. DIRICHLETOVI KARAKTERI I L-FUNKCIJA 18 Teorem Neka je χ etrivijali karakter modulo k te f eegativa fukcija koja ima egativu rvu derivaciju f (x) za sve x x 0. Tada za svaki y x x 0 vrijedi χ() f () = O( f (x)). (2.3) x< y Ako dodato vrijedi još i f (x) 0 kada x, tada beskoača suma reda χ() f () kovergira, i za sve x x 0 vrijedi χ() f () = =1 χ() f () + O( f (x)). (2.4) Dokaz. Neka je A(x) = χ(). Budući da je χ etrivijala fukcija, imamo k A(k) = χ() = 0. =1 =1 Zbog eriodičosti slijedi da je A(k) = 0, za = 2, 3,..., a je A(x) < ϕ(k), x. Drugim riječima, A(x) = O(1). Pošto je χ() aritmetička fukcija, f ima egativu rvu derivaciju a [x, y] te A(x) = χ(), možemo iskoristiti Abelov idetitet (v. [1], Teorem 4.2) kako bi sumu u (2.3) izrazili kao itegral. To am daje sljedeće: y χ() f () = f (y)a(y) f (x)a(x) A(t) f (t) dt x< y ( y ) = O( f (y)) + O( f (x)) + O ( f (t)) dt x = O( f (x)) Time je dokazaa relacija (2.3). Ako f (x) 0 kada x, tada iz relacije (2.3) slijedi da iz χ() f () =1 kovergira o Cauchyjevom kriteriju kovergecije. Kako bi okazali (2.4), otrebo je uočiti da χ() f () = χ() f () + lim χ() f (). y =1 x< y Zbog (2.3) je limes a desoj strai jedakosti jedak O( f (x)). Time je teorem dokaza. x

23 POGLAVLJE 2. DIRICHLETOVI KARAKTERI I L-FUNKCIJA 19 Primijeimo li ovaj teorem a fukcije f (x) = 1/x, f (x) = (log x)/x i f (x) = 1/ x, za x 1 dobivamo rezultate bite za dokazivaje Dirichletovog teorema: χ() ( ) = χ() 1 + O, (2.5) x χ() log 2.3 Fukcija L(1, χ) = χ() = =1 =1 =1 χ() log S L(1, χ) ćemo ozačavati sumu reda (2.3). Dakle, χ() L(1, χ) =. ( log x + O x ), (2.6) ( ) χ() 1 + O. (2.7) x U dokazu Dirichletova teorema ćemo koristiti čijeicu da je L(1, χ) 0, kada je χ etrivijali karakter. Sada ćemo dokazati kako to vrijedi za reale etrivijale karaktere. Teorem Neka je χ eki reali karakter modulo k i A() = χ(d). Tada je A() 0,, i secijalo A() 1, ako je kvadrat. Dokaz. Za otecije rostih brojeva imamo a A( a ) = χ( t ) = 1 + t=0 d a χ t (). Pošto je χ reala fukcija, jedie moguće vrijedosti koje oa ostiže su 0, 1 i 1. Ako je χ() = 0, tada je A( a ) = 1; za χ() = 1 je A( a ) = a + 1; te je za χ() = 1 A( a 0, ako je a eara, ) = 1, ako je a ara. U svim slučajevima je A( a ) 1 ako je a ara. Budući da je A multilikativa, za = a 1 1 a r r vrijedi A() = A( a 1 1 ) A(a r r ). Svaki je od faktora A( a i i ) 0 a je i A() 0. Takoder, ako je kvadrat, svaki eksoet a i je ara, stoga je i svaki faktor A( a i i ) 1 a je i A() 1. t=1

24 POGLAVLJE 2. DIRICHLETOVI KARAKTERI I L-FUNKCIJA 20 Teorem Uzmimo za svaki reali etrivijali karakter χ modulo k da je A() A() = χ(d) i B(x) =. Tada imamo: 1. B(x) kada x. d 2. B(x) = 2 xl(1, χ) + O(1), x 1. Iz čega slijedi da je L(1, χ) 0. Dokaz. Kako bismo dokazali rvi dio teorema, koristimo rethodi teorem te imamo 1 1 B(x) = m. =m 2 m x Pošto harmoijski red 1/m divergira, osljedja suma teži ka kada x. Da bismo dokazali drugi dio teorema, isat ćemo B(x) = 1 χ(d) = d q,d qd x χ(d) qd. Sjetimo se Dirichletovog rodukta iz rvog oglavlja. Defiiramo li fukcije a sljedeći ači: F(x) = f (), G(x) = g() i H(x) = ( f g)(), tada za a, b R takve da je ab = x vrijedi ( x ( x f (d)g(q) = f ()G + g()f F(a)G(b). ) ) q,d qd x a Uzmemo li da je a = b = x i f () = χ()/, g() = 1/, dobivamo relaciju χ(d) χ() ( x 1 ( x B(x) = = G + F F( qd ) ) x)g( x). (2.8) q,d qd x b x Primijeimo sada Eulerovu sumacijsku formulu (Teorem 1.3.3) kako bismo dobili 1 G(x) = = 2 ( ) 1 x + A + O x

25 POGLAVLJE 2. DIRICHLETOVI KARAKTERI I L-FUNKCIJA 21 gdje je A kostata, a rema (2.7) imamo x F(x) = χ() = B + O ( 1 x gdje je B = =1 χ()/. Budući da je F( x)g( x) = 2Bx 1/4 + O(1), iz relacije (2.8) dobivamo sljedeće: ( )] χ() x B(x) = [2 x + A + O x ( )] 1 + [B + O 2Bx 1/4 + O(1) x =2 x x + B x χ() + A 1 + O =2 xl(1, χ) + O(1). x 1 x χ() + O x ), 1 x x χ() 1 2Bx1/4 + O(1) Ovime je dokaza drugi dio teorema. Sada je očito da rvi i drugi dio zajedo imliciraju kako je L(1, χ) 0. Zaimljivo je someuti kako je fukcija L(s, χ), s C, geeralizacija tzv. Riemmaove zeta fukcije. Kako u dokazu Dirichletovog teorema koristimo samo svojstvo L(1, χ) 0, za etrivijale karaktere χ, fukciju zeta ćemo samo defiirati. Defiicija Riemmaova zeta fukcija je defiiraa s ζ(s) = =1 1 s, s C. Da bi ovaj red bio kovergeta, užo je da Re s > 1. Osovu vezu izmedu Riemmaove zeta fukcije i rostih brojeva daje Eulerova rodukta formula: 1 ζ(s) = 1. s Dokaz ove formule alazi se u [1], Teorem 11.6.

26 Poglavlje 3 Dokaz Dirichletovog teorema 3.1 Dokaz Cilj ovog rada je dokazati Dirichletov teorem, odoso da aritmetički iz oblika k + h, = 0, 1, 2... sadrži beskoačo mogo rostih brojeva kada je k ozitiva i (h, k) = 1. Pla dokaza Dirichletovog teorema U Teoremu smo izveli asimtotsku formulu log = log x + O(1), (3.1) gdje suma ide o svim rostim brojevima, x. Dirichletov teorem ćemo dokazati kao osljedicu sljedeće asimtotske formule. Teorem Za k > 0 takav da je (h, k) = 1 vrijedi h (mod k) log = 1 log x + O(1), (3.2) ϕ(k) gdje je x > 1 i suma ide o svim rostim brojevima takvima da je x i je kogrueto h modulo k. Budući da log x kada x, ova relacija imlicira da ostoji beskoačo mogo rostih brojeva h (mod k), dakle beskoačo ih je mogo u aritmetičkom izu 22

27 POGLAVLJE 3. DOKAZ DIRICHLETOVOG TEOREMA 23 k + h, = 0, 1, 2,... Primijetimo kako izraz zdesa u (3.2) e ovisi o h te stoga (3.2) imlicira Dirichletov teorem. Kako bi dokazali Teorem 3.1.1, otrebo je ajrije dokazati ekoliko lema koje rethode dokazivaju istoga. Navodim ozake koje ćemo koristiti u sljedećim lemama: k je ozitivi cijeli broj, a h cijeli broj relativo rost sa k, ϕ(k) Dirichletovih karaktera modulo k ideksiramo s χ 1, χ 2,..., χ ϕ(k) gdje je χ 1 glavi karakter. Za χ χ 1 su L(1, χ) i L (1, χ) ozake za sljedeće sume: χ() L(1, χ) =, L (1, χ) = =1 =1 χ() log. Prema Teoremu zamo kako ove dvije sume kovegiraju. Štoviše, zamo i da je L(1, χ) 0 za reale χ. Prost broj ozačavamo s, a ozačava sumu o svim rostim brojevima x. Lema Za x > 1 vrijedi h (mod k) log = 1 ϕ(k) log x + 1 ϕ(k) ϕ(k) r=2 χ r (h) χ r () log + O(1). Očito ova lema imlicira Teorem ukoliko okažemo da za svaki χ χ 1 vrijedi χ() log = O(1). (3.3) Sljedeća lema rikazuje ovu sumu u formi koja ije izražea omoću rostih brojeva. Lema Za sve x > 1 i χ χ 1 vrijedi χ() log = L (1, χ) µ()χ() + O(1). Dakle, Lema imlicira (3.3) ako okažemo da je µ()χ() = O(1). (3.4) Ova tvrdja izvedea je iz sljedeće leme.

28 POGLAVLJE 3. DOKAZ DIRICHLETOVOG TEOREMA 24 Lema Za sve x > 1 i χ χ 1 vrijedi L(1, χ) µ()χ() = O(1). (3.5) Kada bi vrijedilo L(1, χ) 0, mogli bismo iz (3.5) dobiti (3.4). Dakle, dokaz Dirichletovog teorema ovisi o vrijedosti L(1, χ) za χ χ 1 (e smije biti jedak 0). Kako je već dokazao u Teoremu 2.3.2, L(1, χ) 0 za reale χ χ 1. Stoga am sada reostaje okazati kako to vrijedi za sve χ χ 1 koji osim realih ostižu i komlekse vrijedosti. Uvodimo ozaku N(k) koja redstavlja broj etrivijalih karaktera χ modulo k za koje je L(1, χ) = 0. Ako je L(1, χ) = 0, tada vrijedi L(1, χ) = 0 i χ χ ošto χ ije reala. Dakle, karakteri χ za koje je L(1, χ) = 0 se ojavljuju u kojugiraim arovima a je N(k) ara broj. Naš cilj je okazati da je N(k) = 0, a to ćemo izvesti iz sljedeće formule. Lema Za sve x > 1 vrijedi h (mod k) log = 1 N(k) ϕ(k) log x + O(1). (3.6) Ukoliko N(k) 0, tada je N(k) 2 ošto je N(k) ara, a je redzak od log x u (3.6) egativa i desa straa jedakosti teži u kada x. To je ak kotradikcija jer su svi sumadi slijeva ozitivi. Dakle, Lema imlicira da je N(k) = 0. Dokaz Leme ćemo izvesti iz sljedeće formule. Lema Za sve χ χ 1 i L(1, χ) = 0 vrijedi L (1, χ) µ()χ() = log x + O(1). Dokaz Leme Dokaz. Dokaz Leme očijemo s asimtotskom formulom (3.1) someutom a očetku oglavlja log = log x + O(1). Trebamo izvući izraze u sumi koji se javljaju za roste brojeve takve da h (mod k). To ćemo araviti omoću relacije ortogoalosti koja vrijedi za Dirichletove karaktere, kako smo izrazili u Teoremu 2.2.4: ϕ(k) ϕ(k), m (mod k), χ r (m) χ r () = 0, m (mod k). r=1

29 POGLAVLJE 3. DOKAZ DIRICHLETOVOG TEOREMA 25 To vrijedi za (, k) = 1. Neka je m = i = h, za (h, k) = 1. Pomožimo obje strae s 1 log te sumirajmo o svim x. Tada dobivamo: ϕ(k) χ r () χ r (h) log r=1 = ϕ(k) h (mod k) log. (3.7) Ako u sumi slijeva izdvojimo samo sumade koji uključuju glavi karakter χ 1, dobivamo ovi izraz ϕ(k) h (mod k) log = χ 1 (h) χ 1 () log + ϕ(k) r=2 χ r (h) χ r () log. (3.8) Sada su χ 1 (h) = 1 i χ 1 () = 0, osim za (, k) = 1 i tada je χ 1 () = 1. Stoga rvi izraz a desoj strai daje (,k)=1 log = log k log = log + O(1), (3.9) jer ostoji samo koačo mogo rostih brojeva koji dijele k. Kombiacijom izraza (3.8) i (3.9) slijedi ϕ(k) h (mod k) log = log + ϕ(k) r=2 χ r (h) χ r () log + O(1). Korištejem tvrdje (3.1) i dijeljejem s ϕ(k) je dokazaa Lema Dokaz Leme Dokaz. Počijemo sa sumom χ()λ(), gdje je Λ() Va Magoldtova fukcija te izrazimo gorju sumu a dva ačia. Najrije rimjetimo kako iz defiicije od Λ() slijedi χ()λ() = a=1 a x χ( a ) log a.

30 POGLAVLJE 3. DOKAZ DIRICHLETOVOG TEOREMA 26 Izlučimo li izraze sa a = 1, dobivamo sljedeće χ()λ() Druga suma zdesa je omedea s a iz (3.10) slijedi log a=2 = 1 = a χ() log χ() log + a=2 a x log ( 1) < = =2 χ()λ() Sada se sjetimo kako je Λ() = d µ(d) log(/d), stoga je χ()λ() = χ() d χ( a ) log a. (3.10) log ( 1) = O(1), + O(1). (3.11) ( ) µ(d) log. d U zadjoj sumi išemo = cd i koristimo svojstvo multilikativosti od χ kako bismo dobili χ()λ() µ(d)χ(d) χ(c) log(c) =. (3.12) d c d x c x/d Pošto je x/d 1, u sumi o c možemo koristiti formulu (2.6) te dobijemo ( ) χ(c) log c log x/d = L (1, χ) + O. c x/d c x/d Sada je formula (3.12) jedaka formuli χ()λ() = L (1, χ) d x µ(d)χ(d) d + O Suma u greški jedaka je 1 (log x log d) = 1 x x [x] log x log d = O(1) d x d x d x 1 d log x/d x/d. (3.13) jer je log d = log[x]! = x log x + O(x). d x

31 POGLAVLJE 3. DOKAZ DIRICHLETOVOG TEOREMA 27 Stoga, (3.13) jedako je χ()λ() što zajedo s (3.11) dokazuje Lemu = L (1, χ) d x µ(d)χ(d) d + O(1) Dokaz Leme U dokazu ove leme koristimo geeralizirau Möbiusovu formulu iverzije, dokazau u Teoremu 1.1.8, koja tvrdi da za otuo multilikativu fukciju α vrijedi ( x ( x G(x) = α()f F(x) = µ()α()g. (3.14) ) ) Neka su α() = χ() i F(x) = x. Tada dobivamo sljedeće ( x x = µ()χ()g, (3.15) ) gdje je G(x) = χ() x = x χ(). Prema formuli (2.5), možemo isati G(x) = xl(1, χ)+o(1). Koristeći to u (3.15) dobivamo { x } x = µ()χ() L(1, χ) + O(1) µ()χ() = xl(1, χ) + O(1). Dijeljejem ovog izraza s x je dokazaa Lema Dokaz Leme Dokaz. Dokazat ćemo Lemu te ju iskoristiti kako bismo dokazali Lemu Oet koristimo geeralizirau Möbiusovu formulu iverzije (3.14). Neka je F(x) = x log x. Tada vrijedi ( x x log x = µ()χ()g, (3.16) ) gdje je G(x) = χ() x log x = x log x χ() x χ() log.

32 POGLAVLJE 3. DOKAZ DIRICHLETOVOG TEOREMA 28 Sada, ošto retostavljamo L(1, χ) = 0, iskoristimo formule (2.5) i (2.6) kako bismo dobili { ( )} { ( )} 1 log x G(x) = x log x L(1, χ) + O + x L (1, χ) + O x x = xl (1, χ) + O(log x). Stoga iz (3.16) dobivamo { x ( x log x = µ()χ() L (1, χ) + O log x )} = xl µ()χ() (1, χ) + O (log x log ). Iz dokaza Leme zamo kako je izraz u greški jedak O(x). Pa imamo x log x = xl (1, χ) µ()χ() + O(x), iz čega dijeljejem s x slijedi tvrdja Leme Dokaz Leme Dokaz. Uvrstimo li h = 1 u Lemu 3.1.2, dobivamo 1 (mod k) log = 1 ϕ(k) log x + 1 ϕ(k) ϕ(k) r=2 χ r () log + O(1). (3.17) U sumi o zdesa koristimo Lemu o kojoj je χ r () log = L (1, χ r ) µ()χ r () + O(1). Ako je L(1, χ r ) 0, tada je o Lemi desa straa rethode jedakosti jedaka O(1). No, ako je L(1, χ r ) = 0, tada Lema imlicira L (1, χ r ) µ()χ r () = log x + O(1).

33 POGLAVLJE 3. DOKAZ DIRICHLETOVOG TEOREMA 29 Dakle, desa straa jedakosti (3.17) jedaka je 1 { N(k) log x + O(1)}, ϕ(k) a je (3.17) zaravo 1 (mod k) log = 1 N(k) ϕ(k) log x + O(1). Kao što smo a očetku oglavlja aglasili, Teorem imlicira Dirichletov teorem: Teorem Ako je k > 0 i (h, k) = 1, tada ostoji beskoačo mogo rostih brojeva u aritmetičkom izu oblika k + h, = 0, 1, 2, Distribucija rostih brojeva u aritmetičkim izovima Za k > 0 i (a, k) = 1 defiiramo π a (x) = a (mod k) 1. Dakle, fukcija π a (x) am vraća broj rostih brojeva x u izu k + a, = 0, 1, 2,... Dirichletov teorem am govori kako π a (x) kada x. Postoji i teorem o rostim brojevima za aritmetičke izove koji tvrdi da za (a, k) = 1 vrijedi π a (x) π(x) ϕ(k) 1 ϕ(k) ri čemu je za x > 0, π(x) broj rostih brojeva koji isu veći od x. Formula (3.1) log = log x + O(1) x, kada x, (3.18) log x sugestira teorem o rostim brojevima za aritmetičke izove. Budući da glavi izraz e ovisi o h, čii se kako su rosti brojevi odjedako distribuirai medu ϕ(k) reduciraih klasa ostataka modulo k te je relacija (3.18) zaravo reciza bilješka ove čijeice. Ovo oglavlje ćemo zaključiti s alterativom formulacijom teorema o rostim brojevima za aritmetičke izove.

34 POGLAVLJE 3. DOKAZ DIRICHLETOVOG TEOREMA 30 Teorem Ako relacija π a (x) π(x), kada x (3.19) ϕ(k) vrijedi za svaki cijeli broj a relativo rost s k, tada vrijedi i π a (x) π b (x), kada x (3.20) za sve b takve da je (a, k) = (a, k) = 1. Vrijedi i obrato, (3.20) imlicira (3.19). Dokaz. Prvi smjer je očit. Kako bi dokazali obrat, retostavimo da vrijedi (3.20) i eka je A(k) broj rostih brojeva koji dijele d. Za x > k imamo π(x) = 1 = A(k) + 1 Sada slijedi = A(k) + k a=1 (a,k)=1 k π(x) A(x) π b (x) a (mod k) = 1 = A(k) + k a=1 (a,k)=1 π a (x) π b (x). k a=1 (a,k)=1 π a (x). Prema (3.20), svaki izraz u sumi teži k 1, kada x a suma teži rema ϕ(k). Stoga π(x) π b (x) A(x) π b (x) ϕ(k), kada x. No A(k)/π b (x) 0 a π(x)/π b (x) ϕ(x), što dokazuje (3.19).

35 Bibliografija [1] T. M. Aostol, Itroductio to aalytic umber theory, Sriger, New York,

36 Sažetak U ovom radu je dokaza Dirichletov teorem, rezultat koji dokazuje kako aritmetički iz oblika k + h, (h, k) = 1, = 0, 1, 2,..., sadrži beskoačo mogo rostih brojeva. U rvom oglavlju su dae osove defiicije i svojstva fukcija koje koristimo u radu. Najvažiji rezultat izvede u ovom oglavlju je dokaz Harolda N. Shaira da red 1 log divergira, gdje se sumira o svim rostim brojevima. Takoder, dokazai su i osovi teoremi koji okazuju kako je sku rostih brojeva beskoača. U drugom oglavlju se uozajemo s karakterima koače Abelove grue. Od velike važosti za dokaz Dirichletovog teorema su Dirichletovi karakteri χ i fukcija L(1, χ). Osobito je bita dokaz kako je L(1, χ) 0 za sve reale etrivijale karaktere χ. Sam dokaz Dirichletovog teorema je izvede u trećem, ujedo i osljedjem, oglavlju. Nizom lema smo dokazali Dirichletov teorem kao osljedicu Shairove formule (iz rvog oglavlja), roširee uvjetom a roste brojeve kogruete s h modulo k.

37 Summary This thesis roves Dirichlet s theorem, a result that states that ay arithmetic rogressio of the form k + h (h, k) = 1, = 0, 1, 2,..., cotais ifiitely may rimes. I the first chater we give basic defiitios ad roerties of fuctios that are used i this thesis. The most imortat result derived i this sectio is the roof by Harold N. Shairo that shows that the series 1 log, exteded over all rimes, diverges. Also, the basic theorems that show that the set of rime umbers is ifiite are rove. I the secod chater we become familiar with characters of fiite Abelia grous. Of great imortace for the roof of Dirichlet s theorem are Dirichlet characters χ ad the fuctios L(1, χ). It is articularly imortat to kow that L(1, χ) 0 for all real oricial characters χ. The roof of Dirichlet s theorem is carried out i the third, ad the last, chater. Through series of lemmas we rove Dirichlet s theorem as a cosequece of Shairo s formula (from the first chater), exteded over all rimes which are cogruet to h mod k.

38 Životois Rodea sam 22. veljače godie u Zagrebu. Osovoškolsko obrazovaje sam stekla u Osovoj školi Brezovica. Nako toga uisala sam V. gimaziju u Zagrebu, gdje sam maturirala godie. Iste godie sam uisala reddilomski sveučiliši studij Matematike a Matematičkom odsjeku Prirodoslovo-matematičkog fakulteta u Zagrebu. Preddilomski studij sam završila godie te sam iste godie uisala dilomski sveučiliši studij Fiacijske i oslove matematike a istom fakultetu, kojeg završavam ovim radom. Aktivo se bavim folklorom već 18 godia, od čega zadjih et godia lešem u Folklorom asamblu Zagreb-Markovac.