MATEMATIČKA STATISTIKA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MATEMATIČKA STATISTIKA"

Transcript

1 MATEMATIČKA STATISTIKA Bilješke s predavaja (prof. dr. sc. Miljeko Huzak akademske godie 04./05. Natipkao i uredio: Kristija Kilassa Kvaterik Ova skripta služi samo kao pomoć u praćeju predavaja iz istoimeog kolegija i e može zamijeiti prisustvovaje a jima. Zahvaljujem se svim kolegama i kolegicama koji su dosad ukazali a greške u skripti i time omogućili jeo poboljšaje. Zagreb, ožujak 06.

2 Sadržaj 0 Uvod 0. Slučaje varijable i vektori Fukcije slučajih varijabli/vektora Matematičko očekivaje Uvjeto matematičko očekivaje. Prostor L. Teorem o projekciji Uvjeto očekivaje Osovi pojmovi matematičke statistike 0. Statistička struktura Dovolje statistike Potpue statistike Ekspoecijale familije Statistička procjea Nepristrai procjeitelji Nepristrai procjeitelji uiformo miimale varijace Efikasi (učikoviti procjeitelji Procjea metodom maksimale vjerodostojosti Nizovi procjeitelja Kozistetost i asimptotska ormalost MLE Zadatci Testiraje statističkih hipoteza 7

3 Poglavlje 0 Uvod 0. Slučaje varijable i vektori Neka je (Ω, F proizvolja izmjeriv prostor i eka je još da izmjeriv prostor (R k, B(R k za k. Defiicija 0.. Slučaja varijabla (k = ili slučaji vektor (k > je izmjerivo preslikavaje X : (Ω, F (R k, B(R k, tj. takvo preslikavaje za koje vrijedi X (, x] F, x R k. Pritom za x = (x,..., x R k, k, imamo, x] :=, x ]..., x k ]. Neka je (Ω, F, P vjerojatosi prostor. Defiicija 0.. Neka je X : Ω R k s.v. defiira a (Ω, F, P. Iducirau vjerojatost P X : B(R k [0, ] defiirau s P X (B := P(X B = P(X (B zovemo zakoom razdiobe od X. Očito je (R k, B(R k, P X vjerojatosi prostor. Zovemo ga iducirai vjerojatosi prostor. U statistici as zaima takav prostor. Defiicija 0.3. Neka je X s.v. sa zakoom razdiobe P X. Fukciju F = F X : R k [0, ] defiirau s F X (x := P X (, x], x R k, zovemo fukcija distribucije od X. Svojstva fukcije distribucije F X (u slučaju k = : ( eprekida je zdesa, tj. F X (x+ = F X (x; ( eopadajuća je: x, x R, x < x, x ], x ] F X (x F X (x ;

4 Iz svojstava ( i ( slijedi da F X ima limese slijeva u svakoj točki. Još jedo svojstvo jest: (3 F X ( := lim F X(x = 0, F X (+ := lim F X(x =. x x + Svojstva fukcije distribucije F X (u slučaju k : ( eprekida je zdesa; Za fukciju g : R k R defiiramo bi a i g(a,..., a k := g(a,..., a i, b i, a i+,..., a k g(a,..., a i, a i, a i+,..., a k, Sada imamo b a g(a := bk a k ( ( b a ( b a g(a. ( za sve a, b R k, b a, vrijedi b a F X (a 0; U slučaju jede koordiate dobivamo F X (b F X (a 0 (tj. svojstvo ( fukcije distribucije slučaje varijable. U slučaju k = je a, b] = a, b ] a, b ] pa imamo b a F X (a = b a ( b a F X (a, a Iduće je svojstvo = b a (F X (b, a F X (a, a = (F X (b, b F X (b, a (F X (a, b F X (a, a = P X (, b ], b ] P X (, b ], a ] P X (, a ], b ] + P X (, a ], a ] = P X ( a, b] 0. (3 lim x i F X(x,..., x k = 0, i =,..., k, lim x +. x k + F X (x,..., x k =. Defiicija 0.4. Svaku fukciju F : R k [0, ] koja ima svojstva (, ( i (3 zovemo vjerojatosa fukcija distribucije. Ako je F vjerojatosa fukcija distribucije, oda postoji vjerojatosi prostor i a jemu defiiraa slučaja varijabla/vektor takav da je F fukcija distribucije te slučaje varijable/vektora. Naime, a skupu S = { a, b]: a, b R k, a b} (koji je geerator Borelove σ-algebre B(R k defiiramo vjerojatosu mjeru sa P F ( a, b] := b a F (a. Tada je (R k, B(R k, P F vjerojatosi prostor. Na jemu defiiramo slučaju varijablu/vektor Vrijedi X : R k R k, X(ω := ω. 3

5 F X (x = P F ({ω R k : X(ω x} = P F ({ω R k : ω x} = P F (, x] = F (x. Dakle, F je fukcija distribucije s.v. X. Defiicija 0.5. Kažemo da je X eprekida slučaja varijabla ukoliko je jea fukcija distribucije F X apsoluto eprekida, tj. ako postoji fukcija f : R k [0, takva da F X (x = x Fukciju f zovemo fukcija gustoće od X. f(ydλ(y. Precizo, ako je P X λ, prema Rado - Nikodymovom teoremu postoji dp X dλ f takva da P X (B = f dλ, B =, x]. B Dakle, fukcija gustoće f je Rado - Nikodymova derivacija iducirae vjerojatosti P X u odosu a Lebesgueovu mjeru λ. Za fukciju gustoće eprekide slučaje varijable vrijedi R k f(xdλ(x =. Obrato, eka je f : R k [0, takva da vrijedi gorja jedakost. Tada je sa F (x := f(ydλ(y,x] defiiraa vjerojatosa fukcija distribucije. Defiicija 0.6. Slučaja varijabla/vektor X je diskreta ukoliko postoji prebrojiv podskup D B(R k takav da P X (D =. Neka je D = {a, a,...} i P X (D =. Defiirajmo mjeru µ D a (R k, B(R k µ D (B := i {ai }(B = B D. µ D se aziva brojeća mjera i oa je σ-koača. Tada je P X apsoluto eprekida mjera u odosu a µ D i, jer je g dµ D = g(a i, vrijedi A a i A dp X (a i dµ } D {{} = {a i } dp X dµ D dµ D = P X ({a i } }{{}. f X (a i = P(X = a i 4

6 0. Fukcije slučajih varijabli/vektora Neka je X : Ω R k s.v. i eka je g : R k R l Borelova fukcija. Tada je Y := g X = g(x: Ω R l takoder s.v. Za koje se g eprekide s.v. preslikaju u eprekide s.v.? Zadatak 0... Ako je X eprekida slučaja varijabla s gustoćom f, tada je i Y = X eprekida slučaja varijabla. Pokažite to i adite gustoću varijable Y. Rješeje. Za y R imamo F Y (y := P(Y y. Ukoliko je y 0, imamo { F Y (y = P(X P( = 0, y < 0, y = P(X = 0 = 0, y = 0. Ukoliko je y > 0, imamo F Y (y = P(X y = P( y X y = y Za oba itegrala koristimo zamjeu varijabli čime dobivamo F Y (y = a pri čemu je = 0 y y 0 g : y, 0 0, y, y f(xdx = 0 y g : 0, y 0, y, g (x = x = z, g (x = x = z, dx = dz dz, dt = z z, f( z y z dz + f( z 0 z dz = z (f( z + f( zdz = g(z := y 0 y y f(xdx + f(xdx. 0 f( z y f( z dz + z 0 z dz g(zdz, { 0, z 0, (f( z + f( z, z > 0. z Dakle, Y je eprekida slučaja varijabla s gustoćom g. Ako je, a primjer, X N(0,, tada je f(x = π e x, pa je g(x = ( e ( x π dz g x + e ( π x = pa vidimo da je X Γ (,, odoso X χ (. Primijetimo još i da je f Y (z = f(g (z d (z Im g (z + f(g (z d π / x e x, dz g (z Im g (z. 5

7 Zadatak 0... Neka su X, X ezavise jedako distribuirae slučaje varijable iz U(0,. Defiirajmo Y := log X cos(πx, Y := log X si(πx. Pokažite da su Y, Y ezavise jedako distribuirae slučaje varijable iz N(0,. Rješeje. Defiirajmo fukciju g : 0, 0, R, g(x, x := (y, y, pri čemu je y = log x cos(πx, y = log x si(πx. Tada je g(x, X = (Y, Y. Nadalje, (X, X je eprekida s gustoćom f X,X (x, x = f X (x f X (x = 0, 0, (x, x. Koristeći teorem o zamjei varijabli pokušat ćemo gustoću vektora (Y, Y prikazati u obliku produkta margialih gustoća. Uočimo da fukcija g ije ijekcija - zato je za primjeu teorema o zamjei varijabli potrebo odrediti itervale ijektivosti od g. Imamo y + y = log x x = e y +y, čime je x u potpuosti odrede. Za odredivaje x razlikujemo ekoliko slučajeva: 0 < πx < π 0 < x < 4 Vrijedi y = tg(πx x = y π arctg y, y pa defiiramo bijektivu fukciju (od. je iverz g : 0, 0, ( 0, 0, = Im g, g (y, y = 4 e y +y, π arctg y. y π < πx < 3π 4 < x < 3 4 Budući da je Im arctg = π, π, koristimo periodičost fukcije tages i čijeicu da je π < πx π < π y = tg(πx π x = y + π arctg y, y pa defiiramo g : 0, 4, π < πx < π 3 4 < x < (, 0 R = Im g, g (y, y = e y +y, + π arctg y y Sličo kao u prethodom slučaju, vidimo da je π < πx π < 0 pa slijedi te defiiramo 3 g 3 : 0, 4, y y = tg(πx π x = + π arctg y y, ( 0,, 0 = Im g 3, g3 (y, y = 6 e y +y., + π arctg y y.

8 Vrijedi Jg (y, y = abs y e y +y y e y +y y π(y +y y π(y +y Sada je gustoća od (Y, Y daa s pa slijedi = y π e +y = Jg (y, y = Jg f Y,Y (y, y = f X,X (g (y, y Jg (y, y Im g (y, y + f X,X (g (y, y Jg (y, y Im g (y, y + f X,X (g3 (y, y Jg3 (y, y Im g3 (y, y, f Y,Y (y, y = y π e +y ( Im g (y, y + Im g (y, y + Im g3 (y, y = y π e +y R (y, y = y π e +y = e y π e y π, 3 (y, y. a odavde direkto slijedi da su Y i Y ezavise i Y, Y N(0,. Naime, margiale gustoće slučajog vektora (Y, Y su upravo f Y (y = e y e y dy = e y e y dy = e y, R π π π R π π }{{} i potpuo aalogo za f Y. Zadatak Neka su X,..., X ezavise slučaje varijable, ( X i Γ(α i, β, i =,...,. Pokažite da za Y := X X vrijedi Y Γ α i, β. Rješeje. Ukoliko je X Γ(α, β, tada je X eprekida slučaja varijabla s gustoćom gdje je Γ(α = 0 f X (x = Γ(αβ α xα e t α e t dt, α > 0, gama fukcija. x β 0, (x, Pokazat ćemo da tvrdja vrijedi u slučaju =. Općeito se tvrdja dokazuje matematičkom idukcijom po. Dakle, eka su X Γ(α, β, X Γ(α, β, ezavise slučaje varijable. Za z 0 očito imamo f X +X (z = 0. Za z > 0 imamo z f X +X (z = f X (xf X (z xdx = R 0 Γ(α β α xα e x β Γ(α β (z α xα e z x β dx = Γ(α + α β α +α z Γ(α Γ(α β α +α Γ(α + α β α +α z α +α e z β 0 z α +α xα (z x α dx [ = y = x ] = z Γ(α + α β α +α z α +α e z β y α ( y α dy, B(α, α 0 }{{} = 7 =

9 pa slijedi X + X Γ(α + α, β. Pritom je beta fukcija. Γ(α Γ(α Γ(α + α = B(α, α = 0 t α ( t α dt Zadatak Neka su X,..., X ezavise i jedako distribuirae slučaje varijable iz U(0, i eka su mi{x,..., X } = X ( < X ( <... < X ( = max{x,..., X } g.s. tzv. uredaje statistike. (a Pokažite da su X (k slučaje varijable za svaki k =,...,. (b Pokažite da su X (k eprekide slučaje varijable za svaki k =,..., i odredite im fukcije gustoće. Rješeje. (a Neka su X,..., X defiirae a vjerojatosom prostoru (Ω, F, P i eka je x R. Za k =,..., i ω Ω je X (k (ω x ako i samo ako je X j (ω x za barem k ideksa j pa imamo {X (k x} = j A{X j x} {X i x} F, A {,...,} A k i {,...,}\A jer je riječ o koačim uijama i presjecima dogadaja. Dakle, X (k je izmjerivo preslikavaje za svaki k =,..., pa je X (k slučaja varijabla za svaki k =,...,. (b Neka je k {,..., } proizvolja. Dovoljo je pokazati da je fukcija distribucije F X(k g.s. derivabila a R. Za x 0 je F X(k (x = P(X (k 0 = 0 jer je X i 0, za i =,...,. Takoder, za x je F X(k (x = P(X (k = jer je X, za i =,...,. Neka je sada 0 < x <. Imamo {X (k x} c = j A{X j x} {X i x}, A {,...,} A k A {,...,} A k i {,...,}\A pa zbog ezavisosti slučajih varijabli X,..., X i koače aditivosti vjerojatosti imamo F X(k (x = k ( P(X j x P(X }{{} i x = x j ( x j }{{} j j A =x i {,...,}\A = x j=0 k ( F X(k (x = x j ( x j. j j=0 8

10 Odavde vidimo da je F X(k (kao poliom derivabila a 0,. Dakle, jedie točke u kojima f ije derivabila su 0 i, pa zaključujemo da je X (k eprekida slučaja varijabla za svaki k =,...,. Tada je fukcija gustoće za 0 < x < je jedaka ( k ( k ( f X(k (x = F X (k (x = jx j ( x j ( jx j ( x j j j j=0 j=0 ( k ( k ( = jx j ( x j ( j + x j ( x j j j j= j= ( + ( k + x k ( x k k k [( ( ] = j ( j + x j ( x j j j j= }{{} =0 ( + ( k + x k ( x k, k ( f X(k (x = ( k + x k ( x k 0, (x = x k ( x k 0, (x k = Γ(kΓ( k+ Γ(+ x k ( x k 0, (x = pa vidimo X (k B(k, k +, k =,...,. (k!( k!! B(k, k + xk ( x k 0, (x, 9

11 0.3 Matematičko očekivaje Neka je X slučaja varijabla a (Ω, F, P. Vrijedi X = X + X, gdje je X + = max{x, 0} 0, X = max{ X, 0} 0. Defiicija 0.7. Kažemo da slučaja varijabla X = X + X očekivaje ukoliko je barem jeda od itegrala EX + := X + dp, EX := X dp, Ω Ω ima matematičko koača. U tom je slučaju matematičko očekivaje od X, u ozaci EX, jedako EX := EX + EX R. Dakle, slučaja varijabla X ima matematičko očekivaje ako je X, kao izmjeriva fukcija a prostoru vjerojatose mjere (Ω, F, P, itegrabila u odosu a mjeru P. Napomea. Skup L := {X : Ω R X je slučaja varijabla takva da E X < } je vektorski prostor i matematičko očekivaje je lieari fukcioal a L. Po teoremu o zamjei varijabli slijedi EX = XdP = xdp X (x = Ω R xdf X (x. Defiicija. Kažemo da slučaji vektor X = (X,..., X d ima matematičko očekivaje ukoliko svaka kompoeta X,..., X d ima matematičko očekivaje. U tom je slučaju matematičko očekivaje od X vektor EX = (EX,..., EX d R d, EX = xdp(x = xdf X (x. R d R d Napomea. Ako je X diskreta slučaja varijabla sa zakoom razdiobe oda je EX = i EX = xf X (xdx. P(X = a i = p i, i =,,..., a i p i. Ako je X eprekida slučaja varijabla s gustoćom f, oda je Neka je (X, F, µ prostor mjere, (Y, G izmjeriv prostor i f : X Y (F, G-izmjeriva fukcija. Tada je fukcija µf : G [0, ], µf (B := µ(f (B, mjera a (Y, G i za svaku fukciju g : Y R koja je (G, B(R-izmjeriva vrijedi gd(µf = g fdµ, pri čemu jeda od ovih itegrala postoji Y ako i samo ako postoji drugi. Gorja jedakost slijedi ukoliko promatramo prostor mjere (Ω, F, P i stavimo µ = P, f = X, g : R R, g(x = x. Za više detalja pogledati literaturu iz kolegija Mjera i itegral. X 0

12 Poglavlje Uvjeto matematičko očekivaje. Prostor L. Teorem o projekciji Defiirajmo skup L = L (Ω, F, P = {X : Ω R X je slučaja varijabla takva da E X < }. Skup L je vektorski prostor. Defiirajmo preslikavaje, : L L R, X, Y := E(X Y. To je preslikavaje dobro defiirao zbog Cauchy - Schwarzove ejedakosti za matematičko očekivaje. No, to preslikavaje ije skalari produkt jer e vrijedi pozitiva defiitost, tj. vrijedi X, X = 0 X = 0 g.s. Zato promatramo relaciju ekvivalecije X Y X = Y g.s. i odgovarajući kvocijeti skup L := L / uz E[X] := EX. Iduciraa orma jest X = X, X = E(X. Schwarz - Cauchy - Buyakowski ejedakost u L glasi Takoder, vrijedi i jedakost paralelograma E XY X Y. X + Y + X Y = X + Y. Teorem. (Teorem o projekciji. Neka je K potpu potprostor od L. Tada za dau slučaju varijablu X L postoji Y K takva da ( X Y = if{ X W : W K}, ( X Y Z, Z K. Svojstva ( i ( su ekvivaleta. Ako g.s. Ỹ K ima svojstvo ( ili (, tada je Y = Ỹ

13 Dokaz. Defiirajmo := if X W 0. Neka je (Y N K iz takav da X W K Y (taj iz možemo kostruirati koristeći defiiciju ifimuma skupa. Za r, s N prema relaciji paralelograma vrijedi X Y r + X Y s = X (Y r + Y s }{{} + (Y r Y s, } K {{ } pa prelaskom a limes kad r dobijemo + X Y s + lim r Y r Y s, a zatim prelaskom a limes kad s imamo + lim s,r Y r Y s. Dakle, 0 lim Y r Y s 0 pa slijedi lim Y r Y s = 0, tj. (Y N je C-iz pa zbog s,r s,r potpuosti potprostora K postoji Y K takav da Y = lim Y. Sada je X Y X Y + Y Y X Y lim X Y + lim Y Y = + 0, pa vrijedi X Y =. Pokažimo sada da iz ( slijedi (. Za Z K i t R proizvolje je Y + tz K pa je X (Y + tz X Y t R t Z t Z, X Y + X Y X Y t R t Z t Z, X Y 0 t R 4 Z, Y X 4 Z 0 0 Z, Y X = 0. Pokažimo i obrat. Za Z K proizvolja imamo X Z = X Y + (Y Z = X Y + X Y, Y Z + Y Z X Y, }{{} =0 pa vidimo da iz ( slijedi (. Neka slučaje varijable Y, Ỹ zadovoljavaju ( ili (. Imamo = X Ỹ = X Y + Y Ỹ Y Ỹ = 0 Y = Ỹ g.s.

14 . Uvjeto očekivaje Teorem.. Neka je (Ω, F, P vjerojatosi prostor, X slučaja varijabla takva da E X < te G σ-podalgebra od F. Tada postoji slučaja varijabla Y koja ima sljedeća svojstva ( Y je G-izmjeriva (tj. Y (B = {Y B} G, B B(R, ( E Y <, (3 E[Y G ] = E[X G ], G G. Ako je Ỹ eka druga slučaja varijabla sa svojstvima (, ( i (3, tada je Ỹ = Y g.s. Defiicija.3. Slučaja varijabla Y iz iskaza teorema zove se verzija uvjetog matematičkog očekivaja od X uz dao G i pišemo Y = E[X G]. Ako su X, Y dvije slučaje varijable a istom vjerojatosom prostoru i X L, skraćeo pišemo E[X σ(y ] =: E[X Y ] (pritom je σ(y = {Y (B: B B(R}. Napomea. Neka je (X, Y slučaji vektor s fukcijom gustoće f X,Y. Tada za y R takve da f Y (y > 0 defiiramo E[X Y = y] = xf X Y (x ydx, pri čemu je f X Y (x y = f X,Y (x, y (uočimo da je to vjerojatosa fukcija gustoće. f Y (y Sada možemo defiirati tzv. regresijsku fukciju { E[X Y = y] f Y (y > 0 ϕ: R R, ϕ(y := 0 f Y (y = 0 Propozicija.4. ϕ(y je verzija od E[X Y ]. Dokaz. Treba provjeriti da slučaja varijabla Z := ϕ(y zadovoljava svojstva (-(3 iz teorema.. ( Neka je B B(R proizvolja. Imamo R Z (B = (ϕ Y (B = Y (ϕ (B σ(y, }{{} B(R pa vidimo da je Z izmjeriva u odosu a σ(y. ( E ϕ(y = = = = R R R R ϕ(y f Y (ydy = E[X Y = y] f Y (ydy R ( xf X Y (x ydx f Y (ydy x f X Y (x ydx f Y (ydy R f Y (y>0 R ( ( x f X,Y (x, y dxdy = [Fubii] = x f X,Y (x, ydy dx R R R x f X (xdx = E X < 3

15 (3 Neka je G σ(y proizvolja. Tada je G = Y (B = {Y B} za eki B B(R i imamo E[Z G ] = E[ϕ(Y {Y B} ] = ϕ(y B (yf Y (ydy R ( = x fx,y (x, y dx B (yf Y (ydy R R f Y (y ( = xf X,Y (x, y B (ydx dy = [Fubii] R R = x B (yf X,Y (x, ydxdy = E[X B (Y ] = E[X G ]. R Pritom zbog G = Y (B vrijedi G = B Y. Primjer.5. Neka su X,..., X ezavise jedako distribuirae Beroullijeve slučaje varijable s parametrom p = P(X i = 0,. Neka je X := (X,..., X, Y := X X. (a Odredite uvjetu distribuciju slučajog vektora X uz dao Y = k, k {0,,..., }. (b Izračuajte E[X i Y ]. Rješeje. (a Fiksirajmo (x,..., x {0, }, x x = k. Imamo f X Y (x,..., x k = f X,Y (x,..., x, k f Y (k Vrijedi (b Vrijedi = P(X = x,..., X = x, Y = k P(Y = k = P(X = x... P(X = x P(Y = k = P(X = (x,..., x, Y = k P(Y = k = P(X = x,..., X = x P(Y = k = pk ( p ( k pk ( p = ( k k k. {f X Y (x,..., x k > 0} = {0, } {x x = k}, }{{} =:A k i vidimo da je uvjeta distribucija od X uz dao Y = k uiforma a A k. E[X i Y = k] = E[π i (X Y = k] = A k = ( x i = ( k Ak k = ( k ( k = ( k ( k k = k, π i (x,..., x f X Y (x,..., x k A k {x i =0} 0 + A k {x i =} 4

16 pa je regresijska fukcija ϕ: R R, ϕ(x := { k x = k {0,,..., } 0 iače Dakle, jeda verzija od E[X i Y ] je ϕ(y = Y = X X = X. Primjer.6. Neka je (X, Y dvodimezioali ormali slučaji vektor, tj. ( [ ] σ (X, Y (µ, µ, σ σ ρ σ σ ρ σ, < ρ <. Nadite E[X Y ] i E[Y X]. Rješeje. Gustoća vektora (X, Y je daa s { [ (x f X,Y (x, y = π σ σ exp µ ρ x µ x µ ( ]} x µ +. ρ ( ρ σ σ σ σ Takoder zamo da je margiala gustoća [ f Y (y = exp ( ] y µ, σ π σ pa imamo [ f X Y (x y = π σ exp ρ σ( ρ Vidimo da je pa je regresijska fukcija X Y N ( µ + ρ σ (y µ, σ σ ( ρ, E[X Y = y] = µ + ρ σ σ (y µ = ϕ(y. ( x µ ρ σ ] (y µ. σ Dakle, a zbog simetrije je E[X Y ] = µ + ρ σ σ (Y µ, E[Y X] = µ + ρ σ σ (X µ. Dokaz teorema.. Dokaz provodimo kroz ekoliko koraka. g.s.-jedistveost od E[X G] Pretpostavimo da postoje dvije slučaje varijable Y, Ỹ koje zadovoljavaju uvjete (, (, (3 teorema za isti X i istu σ-podalgebru G od F. Iz uvjeta ( i ( slijedi Y, Ỹ 5

17 L (Ω, G, P. Iz uvjeta (3 za proizvolji G G zbog liearosti matematičkog očekivaja slijedi E[(Y Ỹ G] = E[Y G ] E[Ỹ G] = E[X G ] E[X G ] = 0. Pretpostavimo Y Ỹ g.s., tj. P(Y Ỹ > 0. Budući da je {Y Ỹ } {Y > Ỹ } {Y < Ỹ }, slijedi 0 < P(Y Ỹ P(Y > Ỹ + P(Y < Ỹ. Pretpostavimo BSO da je P(Y > Ŷ > 0. Vrijedi { Y > Ỹ + } {Y > Ỹ }, pa zbog eprekidosti vjerojatosti u odosu a rastuće izove dogadaja imamo ( lim P Y > Ỹ + = P(Y > Ỹ > 0, ( pa postoji N takav da P Y > Ỹ + > 0 (u suprotom bi gorji limes bio maji ili jedak uli. { Defiirajmo G := Y > Ỹ + } G. Imamo E[(Y Ỹ G] = 0 i (Y Ỹ G G > 0, pa zbog mootoosti matematičkog očekivaja slijedi 0 = E[(Y Ỹ G] P(G > 0. Kotradikcija. Egzistecija E[X G] za X L Budući da je G σ-podalgebra od F, skup K := L (Ω, G, P je potpu potprostor prostora L = L (Ω, F, P. Primjeom teorema o projekciji (teorem. slijedi da postoji Y K takav da (i E[(Y X ] = if W K E[(W X ], tj. (ii E[(Y XZ] = 0, Z K. Uočimo da za Y očito vrijede svojstva ( i ( iz teorema. Nadalje, za G G vrijedi G K pa slijedi 0 (ii = E[(Y X G ] = E[Y G ] E[X G ], pa vrijedi i svojstvo (3 iz teorema. 3 Egzistecija E[X G] za X L Lema A. Ako je X = X X i Y = E[X G], Y = E[X G], tada Y Y = E[X G]. Dokaz. Očito Y Y zadovoljava svojstva ( i (. Neka je sada G G proizvolja. Imamo E[(Y Y G ] = E[Y G ] E[Y G ] = E[X G ] E[X G ] = E[X G ], pa vidimo da vrijedi i svojstvo (3. 6

18 Tvrdimo da je dovoljo dokazati egzisteciju E[X G] za X L, X 0 (aime, u općem slučaju možemo promatrati dekompoziciju X = X + X i primijeiti lemu A. Neka je X 0 slučaja varijabla iz L. Tada postoji iz ograičeih slučajih varijabli (X takav da X X (pr. X := X {X<}. Tada (zbog ograičeosti vrijedi X L, N. Prema koraku, postoji Y = E[X G], N. Lema B. Neka je U 0 ograičea slučaja varijabla i V = E[U G]. Tada je V 0 g.s. Dokaz. ( Pretpostavimo suproto, tj. P(V < 0 > 0. Tada postoji N takav da P V < { > 0. Defiirajmo G := V < } G. Sada zbog mootoosti matematičkog očekivaja slijedi 0 E[U G ] = E[V G ] ( P V < < 0, što je kotradikcija. Budući da je X + X X + X 0, prema lemi B imamo 0 E[X + X G] g.s. = Y + Y g.s. Y Y + g.s. Defiirajmo Y (ω := lim Y (ω. Po kostrukciji je Y G-izmjeriva pa vrijedi svojstvo (. Takoder, za sve G G imamo Y G Y G g.s. (jer X G X G. Po Lebesgueovom teoremu o mootooj kovergeciji imamo E[Y G ] E[Y G ], E[X G ] E[X G ], pa zbog E[Y G ] = E[X G ], N, slijedi E[Y G ] = E[X G ], od. Y zadovoljava svojstvo (3. Budući da je Y 0 g.s. (prema lemi B, iz svojstva (3 za G = Ω slijedi pa Y zadovoljava i svojstvo (. E Y = EY = E[Y Ω ] = E[X Ω ] = EX <, Teorem.7 (Svojstva uvjetog očekivaja. Neka su X, X σ-podalgebre od F. Tada vrijedi L, N, te G, H (a Ako je Y = E[X G], oda EY = EX (tj. E[E[X G]] = EX, (b Ako je X G-izmjeriva, oda X = E[X G], (c Ako je Y = E[X G], Y = E[X G] i α, α R, oda α Y + α Y = E[α X + α X G], (d Ako je X 0 i Y = E[X G], oda je Y 0 g.s., (e (Teorem o mootooj kovergeciji Ako je 0 X X, Y = E[X G] i Y = E[X G], oda Y Y g.s., 7

19 (f (Fatouova lema Ako je 0 X, N, X := lim X te Y = E[X G], N, Y = E[X G], oda Y lim Y g.s., g.s. (g (Teorem o domiiraoj kovergeciji Ako je X X te postoji slučaja varijabla V takva da X V, N, EV <, te Y = E[X G], N, Y = E[X G], g.s. oda Y Y, (h (Jeseova ejedakost Neka je f : R R koveksa i E[ f(x ] <. Tada E[f(X G] f(e[x G] g.s., (i Ako je H G, tada E[E[X G] H] = E[X H] g.s., (j Ako je Z G-izmjeriva i ograičea slučaja varijabla, tada E[ZX G] = ZE[X G] g.s., (k Ako je X ezavisa od G, tada E[X G] = EX g.s.. Dokaz. Tvrdje (a i (b slijede direkto iz defiicije uvjetog očekivaja. Tvrdja (d je tvrdja leme B u dokazu teorema.. Tvrdje (e, (f, (g, (h su posljedice aalogih teorema iz teorije mjere, od. matematičke aalize. Dokazujemo preostale tvrdje. (c Svojstva ( i ( uvjetog očekivaja očito vrijede pa je dovoljo provjeriti svojstvo (3. Neka je G G proizvolja. Vrijedi E[(α Y + α Y G ] = α E[Y G ] + α E[Y G ] = α E[X G ] + α E[X G ] = E[(α X + α X G ]. (i Neka je Y = E[X G] i Z = E[Y H]. Y L je G-izmjeriva i za svaki G G vrijedi E[Y G ] = E[X G ]. Takoder, Z L je H-izmjeriva i za svaki H H vrijedi E[Z H ] = E[Y H ] = E[X H ] (pri čemu posljedja jedakost vrijedi jer je H G. Zato prema defiiciji slijedi da je Z verzija od E[X H]. (j BSOMP X 0 (u općem slučaju promatramo X = X + X. Tvrdju dokazujemo Lebesgueovom idukcijom. Neka je Z = G za eki G G. Defiirajmo Y := G E[X G] = ZE[X G]. Y je (po kostrukciji G-izmjeriva i itegrabila. Takoder, eka je G G proizvolja. Imamo E[Y G ] = E[E[X G] G G ] = E[E[X G] G G ] g.s. = E[X G G ] = E[(X G G ], pa prema defiiciji slijedi Y = E[X G G] g.s. ZE[X G] = E[ZX G] g.s. 8

20 Neka je Z = k α i Gi za eke G i G, i =,..., k. Tada je prema svojstvu (c i. koraku [( k ] E α i Gi X G = k α i [ Gi X G] g.s. = ZE[X G] = E[ZX G] g.s. k α i Gi E[X G] 3 Neka je sada Z 0. Tada postoji rastući iz eegativih jedostavih slučajih varijabli (Z takav da Z Z. No tada ZX 0, Z X 0, N i Z X ZX, pa prema teoremu o mootooj kovergeciji (svojstvo (e i. koraku slijedi E[ZX G] = lim E[Z X G] = lim Z E[X G] = ZE[X G] g.s. 4 Neka je Z proizvolja G-izmjeriva i ograičea slučaja varijabla. Tada je Z = Z + Z (zamo Z +, Z 0, pa prema svojstvu (c i 3. koraku imamo E[ZX G] = E[Z + X Z X G] = E[Z + X G] E[Z X G] = Z + E[X G] Z E[X G] = (Z + Z E[X G] = ZE[X G]. (k Po defiiciji, X i G su ezavisi ako i samo ako su X i G ezavise slučaje varijable za sve G G. Treba provjeriti da je Y = EX verzija od E[X G]. Svojstva ( i ( su očita pa je dovoljo provjeriti svojstvo (3. Za proizvolja G G (zbog ezavisosti X i G imamo E[Y G ] = E[(EX G ] = EX E[ G ] = E[X G ]. Primjer.8 (Poopćeje primjera.5. Neka su X,..., X ezavise i jedako distribuirae slučaje varijable, X D i = X i E X <. Pokažite da je X = E[X i Y ] g.s., i =,...,. Rješeje. Defiiramo Y := X X, Y i := E[X i Y ], i =,...,. Tvrdimo Y i = Y g.s., i =,...,. Svojstva ( i ( su očita, provjeravamo svojstvo (3. Za G = Y (B σ(y imamo E[Y i G ] = E[X i Y (B] = X i dp = x i dp X,...,X (x Y (B x +...+x B = x i dp X (x dp X (x dp X (x = [po simetriji] x +...+x B = x dp X (x dp X (x dp X (x = E[Y G ]. x +...+x B Dakle, Y i = Y g.s., i =,...,, pa imamo Y = E[Y Y ] = E[X i Y ] = Y i = Y g.s. Y = Y = X = Y i = E[X i G] g.s., i =,...,. 9

21 Poglavlje Osovi pojmovi matematičke statistike. Statistička struktura Defiicija.. Neka je (Ω, F izmjeriv prostor i P možia vjerojatosih mjera a (Ω, F. Tada je uredea trojka (Ω, F, P statistička struktura. Ako je P jedočlaa možia, tada je statistička struktura vjerojatosi prostor. Često je možia P parametriziraa: P = {P θ : θ Θ}. Θ je skup vrijedosti parametra θ. Pretpostavljamo Θ R m, m, te da je parametrizacija ijektiva θ θ P θ P θ, θ, θ Θ. Primjer.. (i Ω = {0, }, F = P(Ω, P θ ({0} = θ, P θ ({} = θ, Θ = [0, ] R. θ je parametar Beroullijeve razdiobe. (ii Ω = R, F = B(R, Θ = R 0,, θ = (µ, σ. Za B B(R imamo P θ (B := πσ e σ (x µ dx. Ovime su opisai parametri ormale razdiobe. B θ θk (iii Ω = Z + = {0,,,...}, F = P(Ω, Θ = 0, R, P θ ({k} = e k!, k Ω. θ θx Alterativo, Ω = R, F = B(R, f(x; θ = e x! Z + (x, i za B F imamo P θ (B = x B Z + f(x; θ. Obje ove statističke strukture opisuju Poissoovu razdiobu. Defiicija.3. Neka je X : Ω R d s.v. i (Ω, F, P statistička struktura, P = {P θ : θ Θ}. Za θ Θ imamo F (x; θ = P θ (X x, x R d. Tada je F ( ; θ fukcija distribucije od X uz vjerojatost P θ P. Kažemo da X pripada statističkom modelu P = {F ( ; θ: θ Θ}. 0

22 U primjeama izučavamo s.v. X i jeu populacijsku razdiobu. Stoga će am od iteresa biti oa statistička struktura koja se sastoji od zakoa razdiobe od X, a ideksiraa je parametrom θ. Uz tu pretpostavku pa možemo poistovjetiti P i P. F ( ; θ P θ, Najčešće će X biti eprekida ili diskreta slučaja varijabla (vektor s gustoćom f( ; θ (u odosu a P θ. U tom slučaju uz iterpretaciju kao u, P θ F ( ; θ f( ; θ, pa možemo poistovjetiti P i {f( ; θ: θ Θ}. Defiicija.4. -dimezioali slučaji uzorak a statističkoj strukturi (Ω, F, P je iz X, X,..., X slučajih varijabli (vektora a (Ω, F takvih da su ezavise i jedako distribuirae u odosu a svaku vjerojatost P P. Defiicija.5. Statistika a statističkoj strukturi (Ω, F, P je svaka slučaja varijabla (vektor T : Ω R d takva da postoji N i -dimezioali slučaji uzorak (X,..., X a (Ω, F, P te izmjerivo preslikavaje t: R R d takvo da je T = t(x,..., X. Primjer.6. Neka je X,..., X slučaji uzorak a statističkoj strukturi (Ω, F, P, pri čemu su X,..., X slučaje varijable. Tada su statistike: (i uzoračka aritmetička sredia: X = (X X, (ii uzoračka varijaca: S = ((X X (X X. Od sada pa adalje pretpostavljamo slučaj.3., tj. da je P = {f( ; θ: θ Θ}. Fraza eka je (X,..., X slučaji uzorak iz modela P zači da je X,..., X slučaji uzorak takav da je zako razdiobe od X i opisa gustoćom f( ; θ, θ Θ.

23 . Dovolje statistike Pretpostavimo da je (X,..., X slučaji uzorak iz modela P = {f( ; θ: θ Θ}. Pojam dovoljosti se odosi a pojedostavjeje iformacije dae uzorkom tako da ukupa iformacija ostae ista. Defiicija.7. Neka je (X,..., X slučaji uzorak iz modela P = {f( ; θ: θ Θ} te eka je T = t(x,..., X, t: R R k, statistika. Kažemo da je T dovolja statistika za θ (za P ako za svaki y R k uvjeta distribucija slučajog vektora X = (X,..., X uz dao T = y e ovisi o θ. Neka je f X,T (x, y; θ zajedička gustoća od (X, T. Statistika T je dovolja za θ ako uvjeta gustoća f X T (x y = f X,T (x, y; θ f T (y; θ e ovisi o θ, za sve θ Θ i sve x, y. Primjer.8. Neka je P = {f( ; θ: θ Θ} Beroullijev model, tj. f(x; θ = θ x ( θ x {0,} (x, Θ = 0,, i eka je X = (X,..., X -dimezioali slučaji uzorak. Tada je f X (x,..., x ; θ = θ P x i ( θ P x i {0,} (x,..., x. Stavimo T := X X. Tada je T b(, θ i ( f T (y; θ = P θ (T = y = θ y ( θ y {0,,...,} (y. y Za y = k {0,,..., } je f T (y; θ > 0. Neka je k {0,,..., }. Tada iz primjera.5 zamo f X T (x,..., x k; θ = ( k, od. X T = k ima uiformu razdiobu koja e ovisi o θ. Dakle, po defiiciji je T dovolja statistika za θ. Propozicija.9. T = t(x,..., X je dovolja statistika za θ ako i samo ako za svaku drugu statistiku S = s(x,..., X vrijedi da uvjeta distribucija od S uz dao T = y e ovisi o θ za svaki y. Dokaz. Specijalo, to vrijedi i za S = X = (X,..., X, pa je po defiiciji T dovolja statistika za θ. Neka je S = s(x,..., X R l proizvolja statistika i T dovolja statistika za θ. Tada za proizvolja B B(R l i y takav da f T (y; θ > 0 vrijedi P θ (S B T = y = P θ (s(x B T = y = P θ (X s (B T = y = f X T (x ydx. s (B No poditegrala fukcija u posljedjem itegralu e ovisi o θ jer je T dovolja statistika pa iti čitav itegral e ovisi o θ.

24 Teorem.0 (Neyma - Fisherov teorem o faktorizaciji. Statistika T = t(x,..., X R k je dovolja za θ ako i samo ako se gustoća slučajog uzorka X = (X,..., X, f(x,..., x ; θ, može faktorizirati a sljedeći ači f(x,..., x ; θ = g θ (t(x,..., x h(x,..., x, (. gdje su za svaki θ Θ, g θ : R k [0,, h: R [0,, izmjeriva preslikavaja. Dokaz. Dokaz ćemo provesti samo za diskreti model P. Neka je x = (x,..., x R. Neka je T dovolja statistika za θ. Tada za x R i y R k takve da t(x = y uz f T (y; θ > 0 imamo f X (x; θ = P θ (X = x = P θ (X = x, T = y = P θ (X = x T = yp θ (T = y, pa možemo staviti h(x = P θ (X = x T = y (ova fukcija e ovisi o θ, ali ovisi o x, g θ (y = f T (y; θ = P θ (T = y. Pretpostavimo da vrijedi (. za sve y R k takve da f T (y; θ = P θ (T = y > 0. Tada f X T (x y; θ = P θ (X = x T = y = P θ(x = x, T = y P θ (T = y = { 0 y t(x P θ (X=x P θ (T =y y = t(x Za y = t(x račuamo P θ (T = y = P θ (t(x = y = = t(x =y P θ(x = x P θ (T = y = t(x =y f X (x ; θ (. = t(x =y P θ (X = x g θ (t(xh(x g θ (y t(x =y h(x. g θ (t(x h(x, }{{} =y Posljedji izraz e ovisi o θ za sve y pa je po defiiciji T dovolja statistika za θ. Primjer.. Neka je X = (X,..., X slučaji uzorak iz ormalog modela N(µ, σ, θ = (µ, σ R 0, = Θ. Neka je T = (X, S. Tada je T dovolja statistika za θ. Naime, f X (x,..., x ; θ = = = πσ e σ (x i µ (π / (σ / exp exp (π / (σ / { σ } (x i x + x µ { σ [( s + (x µ ] = g θ (x, s h(x,..., x, { gdje je g θ (t, t = exp } (π / (σ / σ [( t + (t µ ], pa prema Neyma - Fisherovom teoremu o faktorizaciji slijedi tvrdja. 3 }

25 Korolar.. Neka je X = (X,..., X slučaji uzorak iz modela P = {f( ; θ: θ Θ}, η : R k R k bijekcija i T = t(x, W = w(x: Ω R k dvije statistike takve da je W = η(t. Tada je T dovolja za θ ako i samo ako je W dovolja za θ. Dokaz. Pretpostavimo da je T dovolja statistika za θ. Po Neyma - Fisherovom teoremu gustoća od X se može faktorizirati f(x; θ = g θ (t(xh(x. Defiirajmo fukciju Tada je zbog w = η t g θ : R k [0,, g θ (y := g θ (η (y. f(x; θ = g θ (t(xh(x = g θ (w(xh(x, pa je prema obratu Neyma - Fisherovog teorema i W dovolja statistika za θ. Obrat tvrdje vrijedi zbog simetrije (aime, T = η (W, a η je takoder bijekcija. Napomea. Za statistike koje su bijektive trasformacije jeda druge kažemo da su ekvivalete statistike. Tako je jeda statistika koja je ekvivaleta statistici iz primjera.: ( (X, S X i,. Korolar.3. Statistika T = t(x je dovolja za θ ako i samo ako vrijedi da je za sve θ, θ Θ, θ θ, izraz f X (x; θ f X (x; θ fukcija od t(x, ψ θ,θ (t(x. X i Dokaz. Po Neyma - Fisherovom teoremu imamo pa za θ θ imamo f X (x; θ = g θ (t(xh(x, f X (x; θ f X (x; θ = g θ(t(x g θ (t(x =: ψ θ,θ (t(x. Pretpostavimo da vrijedi zadai uvjet. Tada je dobro defiirao preslikavaje ψ θ,θ (t(x = f X(x; θ f X (x; θ, θ θ. Fiksirajmo θ 0 Θ. Tada iz pretpostavke za sve x i θ Θ vrijedi f X (x; θ = ψ θ,θ0 (t(xf X (x; θ 0 = g θ (t(xh(x, { ψ θ,θ0 (y θ θ 0 g θ (y :=, h(x := f X (x; θ 0, θ = θ 0 pa je prema obratu Neyma - Fisherovog teorema T dovolja statistika za θ. 4

26 Primjer.4. Neka je X = (X, X, X 3 slučaji uzorak iz Beroullijevog modela b(, θ, 0 < θ <. Očito je X dovolja statistika za θ. Promatrajmo statistike T = X + X + X 3, S = (X, X + X, koje su takoder dovolje za θ. Koja od statistika T, S, X više reducira iformaciju o epozatoj vrijedosti parametra θ, a koja se alazi u uzorku X? Defiicija.5. Dovolja statistika T je miimala dovolja statistika ako je T fukcija svake druge dovolje statistike. Precizije, T = t(x R k je miimala dovolja statistika za θ ako je (i dovolja statistika za θ, (ii za svaku drugu statistiku S dovolju za θ postoji fukcija ϕ takva da T = ϕ(s. Primjer.6. Neka je X = (X,..., X slučaji uzorak iz ormalog modela N(θ,, θ R. Imamo f X (x; θ = f(x i ; θ = = g θ ( (π x i h(x, e / P (x i θ = (π e x e θ P x i θ / pri čemu h(x := e x, g (π / θ (y := e θy θ. Zato je prema Neyma - Fisherovom teoremu T = t(x = X X (t(x = x x dovolja statistika za θ. Je li oa miimala dovolja statistika? Neka je S = s(x = s(x,..., X bilo koja dovolja statistika za θ. Prema Neyma - Fisherovom teoremu, f X (x; θ = g θ (s(x h(x. Neka su x, y R takvi da s(x = s(y. Imamo e ( x y e θ(t(x t(y = f X(x; θ f X (y; θ = h(x h(y, θ R. Budući da desa straa e ovisi o θ, slijedi t(x = t(y. Sada, uz S R m, defiirajmo fukciju ϕ: R m R, { t(x,..., x (z,..., z m = s(x,..., x s(r ϕ(z,..., z m := 0 (z,..., z m / s(r Zbog s(x = s(y t(x = t(y, x, y R, ϕ je dobro defiiraa fukcija i imamo Dakle, T je miimala dovolja statistika. ϕ(s = ϕ(s(x = t(x = T. Ukoliko je f vjerojatosa fukcija gustoće, oda skup supp f = {x D f : f(x > 0} zovemo osač gustoće. 5

27 Teorem.7. Neka je P = {f 0, f,..., f m } koača statistički model, pri čemu vrijedi supp f i = supp f 0, i =,..., m. Ako je X = (X,..., X slučaji uzorak za P, tada je ( f (X i T = t(x = f 0 (X i,..., f m (X i f 0 (X i miimala dovolja statistika za P. Dokaz. U korolaru.3 uzmemo θ {,..., m}, θ = 0: f X (x; θ f X (x; 0 = f θ(x i f 0(x i = f θ (x i f 0 (x i = π θ(t(x, pri čemu je sa π θ (t(x ozačea projekcija a θ-tu kompoetu vektora t(x. No sada za proizvolje θ, θ, θ θ, imamo f X (x; θ f X (x; θ = f X (x;θ f X (x;0 f X (x;θ f X (x;0 = π θ (t(x π θ (t(x, pa je prema korolaru.3 T dovolja statistika. Neka je S = s(x eka dovolja statistika za P. Poovo prema korolaru.3 za θ θ pa za θ {,..., m}, θ = 0 vrijedi Dakle, gdje je ϕ = ( ψ,0,..., ψ m,0. f X (x; θ f X (x; θ = ψ θ,θ (s(x, π θ (t(x = ψ θ,0 (s(x. T = (π (T,..., π m (T = ( ψ,0 (S,..., ψ m,0 (S =: ϕ(s, 6

28 .3 Potpue statistike Defiicija.8. Neka je X = (X,..., X slučaji uzorak iz modela P = {f( ; θ: θ Θ} te eka je T = t(x R k statistika. T je potpua statistika ako za svaku izmjerivu fukciju g : R k R vrijedi (( θ Θ E θ [g(t ] = 0 (( θ Θ g(t = 0 P θ g.s. Lema.9. Neka je T R k potpua statistika i ϕ: R k R m izmjeriva fukcija. Tada je i S = ϕ(t potpua statistika. Dokaz. Neka je g proizvolja izmjeriva fukcija takva da za sve θ Θ vrijedi Tada je za sve θ Θ E θ [g(s] = 0. E θ [(g ϕ(t ] = 0. Budući da je T potpua statistika, tada je P θ -g.s. Dakle, za sve θ Θ je g(s = 0 P θ -g.s. statistika. (g ϕ(t = 0 θ Θ. Sada po defiiciji slijedi da je S potpua Primjer.0. Neka je X = (X,..., X slučaji uzorak iz Beroullijevog modela b(, θ, θ 0,, i T = X X. Tada je T potpua statistika. Naime, eka je g bilo koja izmjeriva fukcija takva da je θ 0, E θ [g(t ] = 0 ( θ 0, g(k k k=0 ( α > 0 g(k k g(k = 0 k=0 k = 0,,..., θ k ( θ k = 0 α k = 0 g(t = 0 P θ g.s., θ 0, : ( θ α := θ θ Naime, P θ (T {0,,..., } = P θ (g(t = 0 =, θ 0,. Primjer. (Primjer dovolje statistike koja ije potpua. Neka je X = (X,..., X slučaji uzorak iz modela N(θ, θ, θ 0,, te promatrajmo statistiku ( T = (T, T := X i,. Imamo f X (x; θ = θ π e = (θ π / exp θ (x i θ X i { θ t (x + θ t (x } 7 =: g θ (t (x, t (x, }{{} =h(x

29 pa je prema Neyma - Fisherovom teoremu T dovolja statistika za θ. S druge strae, T ije potpua statistika jer postoji izmjeriva fukcija g takva da za sve θ > 0 vrijedi E θ [g(t ] = 0 te postoji θ > 0 takav da P θ (g(t 0 > 0. Defiirajmo fukciju Za θ > 0 imamo [ E θ T + ] [ T = E θ (X + g : R R, g(t, t := t + t. = E θ (X + [ = E θ X X i ] = E θ [ (X + ] (X i X + X (X i X ( + X (X i X ] ( + ( S [ ( = E θ (X θ + ( θx [ = E θ θ ( X θ θ + ( θ E θ [X ] }{{} =θ = θ E θ [ (X θ θ ( ] + θ ( S θ ( θ } {{ } =0 ] + [ ] ( S θ E θ + θ Budući da je (X,..., X slučaji uzorak iz ormalog modela, vrijedi ( + θ + θ ( ] S θ ( θ X X θ θ ( X θ N(0, χ (, θ ( S θ χ (, a odavde slijedi [ E θ T + ] T = θ + θ ( + = + + θ = 0. S druge strae, P θ (g(t, T > 0 > 0 (T i T su ezavise statistike. ( θ Teorem.. Ako je T potpua i dovolja statistika, oda je T i miimala dovolja statistika. Općeito, za slučaji uzorak (X,..., X iz N(µ, σ modela vrijedi X µ ( S N(0,, σ σ χ (, Takoder, ako je X χ (, tada EX =. X µ S t(, (X i µ σ χ (. 8

30 .4 Ekspoecijale familije Neka je X = (X,..., X slučaji uzorak iz modela P = {f( ; θ: θ Θ}.Pretpostavimo da su X i d-dimezioali slučaji vektori (ili varijable za d = te Θ R m. Defiicija.3. Model P je k-parametarska ekspoecijala familija ako je odgovarajuća gustoća f( ; θ P oblika { k } f(x; θ = C(θh(x exp Q i (θt i (x, (. za eki k N i izmjerive fukcije C, Q i : R m R, h, t i : R d R, pri čemu su fukcije t,..., t k liearo ezavise. Često je pogodo za parametre modela P daog s (. uzeti η i = Q i (θ, i =,..., k, { k } f(x; η = C(ηh(x exp η i t i (x.. (.3 Kažemo da je gustoća f daa kaoskom formulom, a parametre (η,..., η k zovemo prirodim parametrima. Sa (.3 je daa vjerojatosa fukcija gustoće ako i samo ako za (η,..., η k vrijedi e Pk η it i (x h(xdx < (.4 R d u eprekidom slučaju, od. ako i samo ako e P k η it i (x h(x < (.5 x Odgo- Primjer.4. (a Promatrajmo Beroullijev model b(, θ, θ 0, = Θ. varajuća fukcija gustoće jest { } f(x; θ = θ x ( θ x θ {0,} (x = ( θ exp x log {0,} (x, θ u diskretom slučaju. Ozačimo sa Σ skup svih takvih prirodih parametara (η,..., η k (tj. takvih da vrijedi (.4 ili (.5. Tada je Σ R k koveksa skup. Neka je Q = (Q,..., Q k : Θ R k. Kažemo da je k-parametarska ekspoecijala familija puog raga ukoliko slika Q(Θ sadrži otvorei eprazi k-dimezioali pravokutik. θ pa imamo C(θ = θ, h(x = {0,} (x, Q (θ = log θ, t (x = x, od. riječ je o -parametarskoj ekspoecijaloj familiji. Nadalje, ako defiiramo Q = Q : 0, R, Q(θ = log vidimo da je Q( 0, = R, pa je familija puog raga. 9 θ θ,

31 (b Za ormali model N(µ, σ, θ = (µ, σ R 0, =: Θ, imamo f(x; µ, σ = { exp } µ { (x µ = e σ µ πσ σ exp πσ σ x σ x pa je ovaj model -parametarska ekspoecijala familija. Uz ( µ Q: R 0, R, Q(µ, σ = σ, = (Q σ (µ, σ, Q (µ, σ, vrijedi Q(R 0, = R, 0, pa je i ova familija puog raga. (c Za poliomijali model p(; p,..., p k, θ = (p,..., p k Θ := {(q,..., q k 0, k : q q k < }, uz ozake p 0 = p... p k, A = {(y 0,..., y k {0,,..., } k+ : y y k = } imamo f(x 0, x,..., x k ; θ = =! x 0!x! x k! px 0 0 p x p x k k A(x 0, x,..., x k! x 0!x! x k! A(x 0, x,..., x k p 0 exp { k x i log p i p 0 pa je ovaj model k-parametarska ekspoecijala familija (i pokaže se da je takoder puog raga. Teorem.5. Neka je X = (X,..., X slučaji uzorak iz k-parametarske ekspoecijale familije s gustoćama (.. Tada je ( T = (T,..., T k = t (X i, t (X i,..., t k (X i (.6 dovolja statistika za θ. Dokaz. Gustoća od X se može prikazati u obliku { k f X (x,..., x ; θ = f(x i ; θ = C(θ h(x h(x exp Q j (θ pa tvrdja slijedi prema Neyma - Fisherovom teoremu (teorem.0. j= }, }, } t j (x i, Napomea. Dovolju statistiku (.6 zovemo priroda dovolja statistika. Primjer.6 (Krivulja ekspoecijala familija. Promatrajmo model N(θ, θ, θ 0, Θ. Vrijedi f(x; θ = { θ π exp } (x θ θ { = e θ π exp θ x } θ x, pa je ovaj model -parametarska ekspoecijala familija. Uočimo da za prirode parametre η = Q (θ = θ, η = Q (θ = θ vrijedi η = η, η > 0. 30

32 Takoder, uz Q = (Q, Q, vidimo da ova familija ije puog raga (tj. e postoji otvorei pravokutik a, b c, d Q(Θ. ( Zamo da je statistika T = X i, dovolja za θ, ali ije potpua (primjer.. Je li miimala dovolja? X i Lema.7. Ako je P familija distribucija sa zajedičkim osačem, P 0 P te ako je T miimala dovolja statistika za P 0 i dovolja za P, tada je T miimala dovolja i za P. Dokaz. Neka je S bilo koja dovolja statistika za P. Tada je S dovolja i za P 0, a budući da je T miimala dovolja statistika za P 0, postoji fukcija ϕ takva da T = ϕ(s. Teorem.8. Neka je T = (T,..., T k priroda dovolja statistika k-parametarskog ekspoecijalog modela (.. Tada je T miimala dovolja statistika ukoliko je zadovolje jeda od uvjeta (i model je puog raga, (ii Q(Θ sadrži k + točaka koje razapiju R k, tj. postoje η i = Q(θ i, i = 0,,..., k, takvi da [η η 0,..., η k η 0 ] = R k. Dokaz. Zbog (i (ii dovoljo je dokazati miimalost prirode dovolje statistike za slučaj (ii. Neka su η i = Q(θ i, i = 0,,..., k, takvi da su η i η 0, i =,..., k, liearo ezavisi vektori u R k. Neka je P 0 koača potfamilija od P takva da P 0 = {f( ; θ i : i = 0,,..., k}. Prema teoremu.7, miimala dovolja statistika za P 0 je T = (T,..., T k, { k } T j f(x i ; η j = f(x i ; η 0 = C(θ j C(θ 0 exp (η jl η 0l T l, j =,..., k, gdje je T = (T,..., T k priroda dovolja statistika, a X = (X,..., X slučaja uzorak iz modela P. Logaritmirajem dobijemo log T j = log C(θ j + C(θ 0 }{{ } =:γ j l= k (η jl η 0l T l, j =,..., k, l= tj. imamo sljedeći lieari sustav log T γ η η 0 η k η 0k. =..... log T k γ k η k η 0 η kk η 0k T. T k = AT, pri čemu je A, prema pretpostavci, regulara matrica. Zato imamo log T γ T = A. = φ(t. log T k γ k 3

33 Ako je S proizvolja dovolja statistika za P 0, tada postoji fukcija ϕ takva da T = ϕ(s, pa je T = φ(t = (φ ϕ(s, tj. T je miimala dovolja statistika za P 0. Prema lemi.7 je T miimala dovolja statistika za P. Teorem.9. Neka je T = (T,..., T k priroda dovolja statistika k-parametarske ekspoecijale familije puog raga. Tada je T potpua statistika. Dokaz. Neka je gustoća f zadaa u obliku (.3 te eka je I = a, a a, a... a k, a k Q(Θ Σ, (aime, traslacijom u parametarskom prostoru uvijek možemo postići da je (0, 0,..., 0 Q(Θ. Neka je g : R k R takva izmjeriva fukcija da je za sve η Σ E η [g(t ] = 0. Imamo 0 = E η [g(t ] = g(t(x R = R = R C(ηh(xe Pk j= η jt j (x dx C(ηg(t(xe P j= η jt j (x h(xdx C(ηg(t(xe Pk j= η jt j (x dν, gdje je mjera ν(a := A h(xdx, A B(R, apsoluto eprekida (u odosu a Lebesgueovu mjeru, ν λ. Specijalo, to vrijedi i za svaki η I. Nadalje, ako zapišemo g = g + g, oda za sve η I vrijedi e Pk j= η jy j g + (ydµ(y = e Pk j= η jy j g (ydµ(y, R k R k gdje je µ mjera dobivea primjeom teorema o zamjei varijabli µ(b := (νt (B = h(xdx, B B(R k, t = (t,..., t k, T = t(x. t (B Specijalo, ako je η = 0, tada defiiramo A := g + (ydµ(y = R k g (ydµ(y. R k Naravo, preostaje dokazati (pr. Lebesgueovom idukcijom sljedeću tvrdju: ukoliko su µ, ν mjere a izmjerivom prostoru (X, F i ν µ, tj. ν(a = hdµ, tada je izmjeriva fukcija f : X R A itegrabila u odosu a ν ako i samo ako je fukcija fh itegrabila u odosu a µ i vrijedi X f dν = X fh dµ. Ova tvrdja opravdava posljedju dobiveu jedakost u raspisu E η[g(t ]. 3

34 Ako je A = 0, oda g + = 0, g = 0 µ-g.s., tj. g = 0 µ-g.s., pa imamo g t = 0 ν-g.s. Sada zbog apsolute eprekidosti slijedi g(t = 0 P η -g.s. za svaki η. Ukoliko je A > 0, vrijedi = R k g + (y A dµ(y = g (y R A k dµ(y, pa vidimo da su A g+, A g fukcije gustoće ekih slučajih varijabli u vjerojatosom modelu. Bez smajeja općeitosti možemo pretpostaviti da su g +, g vjerojatose fukcije gustoće u odosu a mjeru µ. Može se pokazati da za sve ξ,..., ξ k R vrijedi P k j= ξ jy j g + P k (ydµ(y = j= ξ jy j g (ydµ(y, R k e i (vidi: E. L. Lehma: Testig Statistical Hypothesis, 4, teorem 3.. Odavde slijedi [ ϕ g +(ξ,..., ξ k = E g + e i P ] [ k j= ξ jt j = E g e i P ] k j= ξ jt j = ϕ g (ξ,..., ξ k, pa je g + g µ-g.s. (aime, preslikavaje f ϕ f je ijekcija prema teoremu jedistveosti; vidi: N. Sarapa: Teorija vjerojatosti, teorem 3... Dakle, g = g + g = 0 µ-g.s., a odavde g(t = 0 P θ -g.s. za svaki θ Θ, pa je T potpua statistika. Primjer.30. Neka je X = (X,..., X slučaji uzorak iz modela U(0, θ, θ 0, = Θ. Odgovarajuća gustoća jest pa se gustoća od X može zapisati kao f X (x; θ = R k e i f(x; θ = θ 0,θ (x, θ 0,θ (x i = θ x (, (θ = g θ (x ( }{{}. =:h(x Zato je prema Neyma - Fisherovom teoremu T = X ( = max i X i dovolja statistika za θ. Za jeu fukciju distribucije imamo F X( (x = P(X ( x = P(X x,..., X x = P(X x = F X (x pa je jea gustoća 0 x 0 F X( (x; θ = F X (x; θ 0 < x < θ x θ f X( (x; θ = { 0 x / 0, F X (x; θ f(x; θ x 0, θ Neka je g : R R takva fukcija da E θ [g(t ] = 0 za svaki θ > 0. To je ekvivaleto s θ 0 g(x x θ dx = 0, θ > 0, 33

35 Dakle, θ g(xx dx 0 }{{} =:G(θ = 0, θ > 0. G(θ = 0 θ > 0 g(θθ = 0 θ > 0 g(y = 0 y > 0 g(x ( = 0 P θ -g.s. θ > 0 Odavde slijedi da je T = X ( i potpua statistika. Budući da je dovolja i potpua, T je i miimala dovolja statistika. 34

36 Poglavlje 3 Statistička procjea 3. Nepristrai procjeitelji Neka je X = (X,..., X slučaji uzorak iz modela P = {f( ; θ: θ Θ}, Θ R p. Na osovi zadaog uzorka želimo procijeiti vrijedost parametra θ, ili općeito, eke jegove fukcije τ(θ τ(θ R k. Defiicija 3.. (Točkovi procjeitelj od τ(θ je statistika T = t(x = t(x,..., X u R k. Napomea. Smisleo je promatrati procjeitelje za koje vrijedi da je za dovoljo veliki T τ(θ. Koje procjeitelje za τ(θ odabrati? Jeda od kriterija za usporedivaje procjeitelja je sredjekvadrata pogreška. Defiicija 3.. Neka je T = t(x procjeitelj za τ(θ R. Sredjekvadrata greška od T (u odosu a P θ je, ako postoji, broj MSE θ (T = E θ [(T τ(θ ], θ Θ. Koristeći sredjekvadratu pogrešku kao mjeru greške procjee, ajbolji procjeitelj za τ(θ bio bi procjeitelj T takav da No, takav procjeitelj T e mora užo postojati. MSE θ (T MSE θ (T, θ Θ. (3. Primjer 3.3. Uzmimo Θ = {, }, P = {P, P }, P θ (A = θe θ x dx, A B(R. Promatrajmo statistike T, T, te τ(θ = θ. Vrijedi { MSE θ (T = E θ [( θ ] = ( θ 0 θ = = θ = A 35

37 MSE θ (T = E θ [( θ ] = ( θ = { 0 θ = θ = Pretpostavimo da je T ajbolji procjeitelj u smislu sredjekvadrate pogreške. Tada za eki drugi procjeitelj T od θ i sve θ {, } vrijedi MSE θ (T MSE θ (T. Specijalo, to vrijedi i za procjeitelje T, T : Za θ = imamo a za θ = vrijedi 0 MSE θ (T ( θ θ {, }, 0 MSE θ (T ( θ θ {, }. 0 MSE (T 0 (T = 0 P -g.s. T P -g.s., 0 MSE (T 0 (T = 0 P -g.s. T P -g.s., što je očito kotradikcija. Dakle, takav procjeitelj T e postoji. Defiicija 3.4. Procjeitelj T = t(x za τ(θ R je epristra za τ(θ ako vrijedi E θ [T ] = τ(θ, θ Θ. (3. Procjeitelj koji ije epristra zove se pristra procjeitelj za τ(θ. Primjer 3.5. (a U Beroullijevom modelu b(, θ, θ [0, ], procjeitelj X [0, ] za τ(θ = θ je epristra E θ [X ] = E[X ] = θ, θ [0, ]. (b Općeito, eka je X = (X,..., X slučaji uzorak iz modela P = {f( ; θ: θ Θ} s koačim očekivajem µ(θ := E θ [X ]. Tada je X epristra procjeitelj za µ(θ. (c Uz iste pretpostavke kao u (b pretpostavimo još i da postoji koača varijaca σ (θ := Var θ [X ]. Tada je epristra procjeitelj za σ (θ. S = (X i X (d Za jedodimezioali model P = {f( ; θ: θ Θ} ozačimo sa F ( ; θ, θ Θ, pripade fukcije distribucije. Empirijska fukcija distribucije F (x je statistika F (x = {X x}, x R. Budući da je za sve θ Θ i x R E θ [ F (x] = E θ [ {X x}] = P θ (X x = F (x; θ, empirijska je fukcija distribucije epristra procjeitelj za F ( ; θ. 36

38 Sljedeći am primjer pokazuje da epristra procjeitelj e mora uvijek postojati. Primjer 3.6. Promatrajmo Beroullijev model b(, θ, θ 0,. (a Za = je X slučaji uzorak. Uzmimo τ(θ = θ. Pretpostavimo da je T = t(x epristra procjeitelj za τ(θ, tj. E θ [t(x ] = θ, θ 0,, t(0 ( θ + t( θ = θ, θ 0,. No, posljedja je jedakost emoguća po teoremu o jedakosti polioma (poliom. stupja e može biti jedak poliomu. stupja. (b Uzmimo sada slučaja uzorak X = (X,..., X, τ(θ =, te pretpostavimo da je θ T = t(x epristra procjeitelj za τ(θ. Imamo E θ [t(x,..., X ] =, θ 0,, θ t(x,..., x θ x+...+x ( θ (x+...+x = θ {0,} t(0, 0,..., 0( θ + t(x,..., x θ x +...+x ( θ (x +...+x = θ Prelaskom a limes lim θ 0+ beskoača. Kotradikcija. {0,} i, x i 0 dobivamo da je limes lijeve strae koača, a dese Defiicija 3.7. Kažemo da je fukcija τ(θ procjejiva ukoliko postoji barem jeda epristra procjeitelj za ju. Je li fukcija epristraog procjeitelja epristra procjeitelj, tj. ako je T epristra procjeitelj za τ(θ i η : τ(θ R, je li η(t epristra procjeitelj za η(τ(θ? Općeito ije. Na primjer, ako je (X,..., X slučaji uzorak iz N(µ, σ, µ R, σ > 0, i T = X, oda je T epristra procjeitelj za µ, ali E µ,σ [X ] = Var µ,σ X + (E µ,σ X = σ + µ µ. Lema 3.8. Ako je η(y = a + by, b 0, y R, te ako postoji matematičko očekivaje, tada E θ [T ] = τ(θ E θ [η(t ] = a + bτ(θ. Dokaz. Slijedi iz liearosti matematičkog očekivaja i čijeice da je matematičko očekivaje kostate jedako toj kostati. Zadatak 3... Neka je P Poissoov model P (θ, θ > 0, te eka je X = (X,..., X slučaji uzorak iz P. Je li statistika T = t(x = ( X epristra procjeitelj za τ(θ = e θ? Rješeje. Vrijedi E θ [T ] = E θ [( X ] = k=0 ( k θk k! e θ = e θ ( θ k = e θ e θ = e θ = τ(θ. k! No, ova je statistika besmisle procjeitelj za dau fukciju (poprima samo vrijedosti, što je graiča vrijedost od τ(θ, i -, što je vrijedost koja se e alazi u slici τ(θ. 37 k=0

39 3. Nepristrai procjeitelji uiformo miimale varijace Defiicija 3.9. Neka je τ(θ procjejiva fukcija i W familija svih epristraih procjeitelja za τ(θ koji su koače varijace ( θ Θ, Var θ T <. Statistika T je epristra procjeitelj uiformo miimale varijace za τ(θ (UMVUE ako je T epristra procjeitelj za τ(θ i vrijedi T W, θ Θ, Var θ T Var θ T. (3.3 Napomea. Primijetimo da je UMVUE T W. Nadalje, T zadovoljava (3. jer je u slučaju epristraih procjeitelja MSE θ (T = E θ [(T τ(θ ] = Var }{{} θ T. =E θ T Teorem 3.0. Neka je N familija epristraih procjeitelja koače varijace za η(θ = 0. Tada je epristra procjeitelj T za τ(θ UMVUE ako i samo ako vrijedi S N, θ Θ, E θ [T S] = 0. (3.4 Dokaz. Pretpostavimo da vrijedi (3.4. Neka je θ Θ proizvolja. Razlikujemo slučaja: E θ [T ] = 0. Tada T 0 P θ -g.s. pa je E θ T = 0, Var θ T = 0. Odavde slijedi Var θ T = 0 Var θ T, T W. E θ [T ] > 0. Neka je U W. Tada je T U N (zaista, T U je procjeitelj koače varijace i zbog liearosti matematičkog očekivaja vrijedi E ψ [T U] = τ(ψ τ(ψ = 0 = η(ψ, ψ Θ. Zato je prema (3.4 pa dijeljejem s E θ [T ] > 0 slijedi E θ [T (T U] = 0 E θ [T ] = E θ [T U] CS E θ [T ] E θ [U ], Eθ [T ] E θ [U ] E θ [T ] (τ(θ E θ [U ] (τ(θ E θ [T ] (E θ T E θ [U ] (E θ U Var θ T Var θ U eg. Uiformly Miimum Variace Ubiased Estimator 38

40 Pretpostavimo sada da je T UMVUE za τ(θ, tj. da vrijedi (3.3. Neka su S N i θ Θ proizvolji. Tada je U λ := T + λs, λ R, epristra procjeitelj za τ(θ koače varijace. Zbog (3.3 za svaki λ R vrijedi Odavde imamo No za kovarijacu cov θ (T, S imamo pa slijedi Var θ T Var θ U λ. Var θ T Var θ T + λ Var θ S + λ cov θ (T, S. cov θ (T, S = E θ [T S] E θ T E θ S = E }{{} θ [T S], =0 0 λ Var θ S + λe θ [T S], λ R. Ukoliko desu strau ove ejedakosti shvatimo kao kvadratu fukciju po λ, vidimo da jea diskrimiata mora biti maja ili jedaka uli, tj. pa slijedi (3.4. 4(E θ [T S] 4 Var θ S 0 0 (E θ [T S] 0 E θ [T S] = 0, Lema 3.. Neka je (X, Y slučaji vektor takav da E[X ] <, E[Y ] <. Tada za koeficijet korelacije cov(x, Y ρ(x, Y = Var X Var Y vrijedi (i ρ(x, Y, (ii ρ(x, Y = α, β R, α > 0, X = αy + β g.s. (iii ρ(x, Y = α, β R, α < 0, X = αy + β g.s. Dokaz. Primjeom Cauchy - Schwarzove ejedakosti dobivamo cov(x, Y Var X Var Y, pa slijedi tvrdja (i. Jedakost vrijedi ako i samo su X EX i Y EY g.s. kolieare slučaje varijable, tj. ako postoji λ R takav da X EX = Y EY X = λy + EX λey g.s., pa imamo α = λ, β = EX λey. Sada račuamo cov(x, Y za X = αy + β g.s. pa slijedi cov(x, Y = cov(αy + β, Y ρ(x, Y = pa vrijede i tvrdje (ii i (iii. = α cov(y, Y + cov(β, Y }{{} =0 = α Var Y, α Var Y Var Y α Var Y = α α 39 = sg α,

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

1. Slučajni dogad aji

1. Slučajni dogad aji VEROVATNOĆA Teorija verovatoće je matematička disciplia koja se bavi izučavajem slučajih pojava, tj. takvih empirijskih feomea čiji ishodi isu uvek strogo defiisai. Osovi model u teoriji verovatoće je

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

(G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA. 1. Osnovni pojmovi

STATISTIKA. 1. Osnovni pojmovi STATISTIKA. Osovi pojmovi Matematička statistika se bavi proučavajem skupova sa velikim brojem elemeata, koji su jedorodi u odosu a jedo ili više zajedičkih kvalitatitvih ili kvatitativih svojstava. Kako

Διαβάστε περισσότερα

JEDNA NOVA KLASA RELACIJA. Daniel A. Romano 1

JEDNA NOVA KLASA RELACIJA. Daniel A. Romano 1 MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XX (1)(2014), 5-14 Osnove matematike JEDNA NOVA KLASA RELACIJA Daniel A. Romano 1 Sažak: U ovom tekstu, slijedeći koncepte izložene u radovima

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

6. poglavlje (korigirano) PRIMJENA DERIVACIJA

6. poglavlje (korigirano) PRIMJENA DERIVACIJA 6 Primjea derivacija (sa svim korekcijama) 6 poglavlje (korigirao) PRIMJENA DERIVACIJA U ovom poglavlju: Tageta i ormala Stacioare točke ukcije Tablica mootoosti, ekstremi, koveksost i kokavost, ileksije

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 28 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης: 3/2/28 Ηµεροµηνία Παράδοσης: 7/2/28

Διαβάστε περισσότερα

Rje²enje doma e zada e 2. Inºenjerska matematika 1

Rje²enje doma e zada e 2. Inºenjerska matematika 1 Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehi ki fakultet Rje²eje doma e zada e Iºejerska matematika Haru iljak Decembar 009. Zad. U sljede em izrazu izvr²ite sve aza ee operacije u skupu kompleksih brojeva: cis π

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj. Opća topologija 24 Opća topologija 26 13. Baza topologije Baza topologije 2 TOPOLOŠKI PROSTORI I NEPREKIDNE FUNKCIJE Topološki prostori Baza topologije Uređajna topologija Produktna topologija na X Y Topologija

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA. KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK. Primjer: svi glasači, samo neki glasači

STATISTIKA. KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK. Primjer: svi glasači, samo neki glasači STATISTIKA KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK Primjer: svi glasači, samo neki glasači populacija uključuje sve podatke, a uzorak samo dio, slučajno izabranih kako procjeniti reprezentativni element? MJERE

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

(BIO)STATISTIKA. seminari. smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. pripremila: dr.sc. Iva Franjić

(BIO)STATISTIKA. seminari. smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. pripremila: dr.sc. Iva Franjić (BIO)STATISTIKA seminari smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija pripremila: dr.sc. Iva Franjić Sadržaj DESKRIPTIVNA STATISTIKA 4. Grafički prikaz podataka..................... 4. Srednje vrijednosti

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ 996 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το µάθηµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 εκεµβρίου 2009 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός (α) Εστω (X, Y) διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας

Διαβάστε περισσότερα

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m Κεφάλαιο Τοπολογία του. Στοιχεία Θεωρίας Ορισµός Αν α και ɛ > ονοµάζουµε ɛ-περιοχή του α ή περιοχή κέντρου α και ακτίνας ɛ και συµβολίζουµε N α (ɛ) το σύνολο όλων των αριθµών που έχουν απόσταση από το

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Κεφ. I Εισαγωγή.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ανάγκη µαθηµατικής περιγραφής και µοντελοποίησης συστηµάτων τα οποία εξελίσσονται χρονικά κατά τρόπο που περιέχει, σε µικρό ή µεγάλο βαθµό, τυχαιότητα,

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nevena Mutlak Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom -master rad- Mentor: prof.dr Marko Nedeljkov Novi Sad,

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE

SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE Sadržaj DVOSTRUKI INTEGRALI TROSTRUKI INTEGRALI 3 VEKTORSKA ANALIZA 4 KRIVULJNI INTEGRALI 34 5 PLOŠNI

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 16 εκεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ενδιαφέρον τόσο από ϑεωρητική άποψη, όσο και από άποψη εφαρµογών, παρουσιάζει και η από κοινού µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 )

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 ) Εστω X : Ω R d τυχαίο διάνυσμα με ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X Εχουμε δει ότι η γνώση της κατανομής καθεμιάς από τις X, X,, X d δεν αρκεί για να προσδιορίσουμε την κατανομή του X, αφού δεν περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ Φουσκάκης- Ασκήσεις στην Εκτιµητική ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ ) Έστω Χ,, Χ και Υ,,Υ ανεξάρτητα τµ από πληθυσµούς µε µέση τιµή θ και γνωστές διασπορές σ και σ είξτε ότι για c [0,] η U = c X +(-c) Y είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

......

...... ...... m() 1 m() E(X; ) 1 m() 1 m() E(X; ) 1 m() E 1 (X; ).1 E 1 (X; ) E 2 (X; ).5 m() E 1 (X; ) E 2 (X; ) E 3 (X; ) 1 m() E 1 (X; ) E 2 (X; ) 2 E 2 (X; ) E 3 (X; ).5 m() E 1 (X; ) E 2 (X; ) E

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΡΙΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΡΙΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ 009 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΝΙΚΟΣ ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΑΜ 3 Πέμπτη, 0 Δεκεμβρίου 009 ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΡΙΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία με υλικό από το ΕΑΠ που με βοήθησε

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία που με βοήθησε να ανταπεξέλθω στο

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ Περιεχόμενα Προειδοποίηση 2 2 Συνδυαστική 3 3 Αξιωματική Πιθανότητα 5 4 Δεσμευμένη Πιθανότητα 7 5 Τυχαίες

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. = E(ˆθ) και διασπορά σ 2ˆθ = Var(ˆθ).

Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. = E(ˆθ) και διασπορά σ 2ˆθ = Var(ˆθ). Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Οι στατιστικές δείγµατος που υπολογίζονται από τα δεδοµένα που έχουν συλλεχθεί, όπως η δειγµατική µέση τιµή x και η δειγµατική διασπορά s 2, χρησιµοποιούνται για την εκτίµηση

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 19 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των µε- ϱικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ορισμός (Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) της τ.μ. Χ την: F(x) = P(X x), x.

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ορισμός (Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) της τ.μ. Χ την: F(x) = P(X x), x. ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Ορισός (Τυχαία Μεταβλητή). Οοάζουε τυχαία εταβλητή (τ..) κάθε απεικόιση Χ: Ω για τη οποία το σύολο { ω Ω : Χ(ω) x} έχει προσδιορίσιη πιθαότητα για κάθε x. Τούτο σηαίει ότι η ατίστροφη

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 6: Παράγωγος κατά κατεύθυνση, κλίση, εφαπτόμενα επίπεδα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011.

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. Matematika 2 1. Funkcije više varijabli 2. Višestruki integral 3. Vektorska Analiza 4. Obi cne diferencijalne jednadbe MATEMATIKA 2 1 Literatura: Petar Javor, Matematicka

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Stoqastikèc diadikasiec II : Desmeumènh mèsh tim

Stoqastikèc diadikasiec II : Desmeumènh mèsh tim Stoqastikèc diadikasiec II : Desmeumènh mèsh tim. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c, OP 1 Basikèc eisagwgikèc ènnoiec 1.1 Gegonìta, sunola kai prˆxeic sunìlwn Θεωρούμε ότι έχουμε ενα δειγματικό χώρο

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Erna Oklapi Gimnazija Novi Pazar ernaoklapii@yahoo.com Sanela Numanović Gimnazija Kruševac sanelanumanovic@yahoo.com Rezime U ovom radu predstavljen

Διαβάστε περισσότερα

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ==========================

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== M. JOVANOVIĆ M. MERKLE Z. MITROVIĆ Elektrotehnički fakultet Banja Luka ================================== ii Autori: dr Milan

Διαβάστε περισσότερα

JAVA podrška za simpleks metodu

JAVA podrška za simpleks metodu Sveučilište u Zagrebu PMF - Matematički odjel Juraj Ivančić JAVA podrška za simpleks metodu Diplomski rad Zagreb, siječanj 2005. Sveučilište u Zagrebu PMF - Matematički odjel Juraj Ivančić JAVA podrška

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα