Anita Zelić Gereč, Nataša Šarlija: Kratak pregled Basela 2

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Anita Zelić Gereč, Nataša Šarlija: Kratak pregled Basela 2"

Transcript

1 Anita Zelić Gereč, Nataša Šarlija: Kratak pregled Basela 2 Basel II predstavlja sveobuhvatan pristup upravljanju rizicima i nadzoru banaka. On će doprinijeti povećanju sigurnosti i zdravog poslovanja banaka, ojačati stabilnost financijskog sustava u cijelini, te poboljšati sposobnost financijskog sustava u službi potpore održivom rastu svekolikog gospodarstva... On jamči da će regulativa kapitala ostati temelj sigurnosti i zdravlja bankarstva u 21. stoljeću... Zadovoljstvo mi je ponuditi ovaj revidirani okvir međunarodnoj zajednici. Jean Claude Trichet, predsjednik i direktor nadzornih tijela središnjih banaka skupine zemalja G-10 i predsjednik Europske centralne banke, lipanj Financijski sektor iz temelja se promijenio tijekom u zadnjih dvadesetak godina. Napredak u informacijskoj i komunikacijskoj tehnologiji, deregulacija i globalizacija, glavni su uzročnici ovakvih promjena. U situaciji ovako dinamičnog okuženja svakako se kao dominantno postavlja pitanje povećanog rizika poslovanja. Prema tome, izrazito je bitno odrediti koliko minimalno vlastitog kapitala banka treba osigurati da joj se nikad ne dogodi insolventnost, odnosno da bi pokrila sve neočekivane gubitke. Odgovor na ovo pitanje svakako daje Basel II. Basel II se zasniva na fleksibilnosti i sofisticiranim pristupima mjerenju kreditnog i operativnog rizika. Time se donosi jedan sasvim novi mentalitet u načinu reguliranja poslovanja banaka Osnovni cilj ovog dokumenta je istaknuti važnost procjene kreditnog portfelja čija bi rizičnost imala odgovarajuću kapitalnu adekvatnost.

2 2.1. PRIKAZ BAZELSKOG SPORAZUMA Basel regulativa propisuje pokrivanje rizika kojima su izložene financijske institucije kapitalom, a donosi ju Basel Committee on Banking Supervision (Bazelski odbor). Basel Committee on Banking Supervision sastaje se u Bank for International Settlements (BIS) u Baselu. Otuda i potječe naziv regulative Basel. BIS je osnovana i najstarija je međunarodna financijska institucija. Bazelski odbor sa sjedištem u Baselu osnovan je godine od strane guvernera G-10 zemalja. Danas se sastoji od predstavnika središnjih banaka i nacionalnih nadzornih organa banaka 12 zemalja. Konkretno, čine ga članovi dužnosnici nacionalnih supervizora Belgije, Kanade, Francuske, Njemačke, Italije, Japana, Luxemburga, Nizozemske, Španjolske, Švedske, Švicarske, Velike Britanije i SAD. Cilj Odbora je uskladiti bankarski nadzor na međunarodnoj razini te stvarati preduvjete za intenziviranje međunarodne konkurencije banaka KRONOLOGIJA NASTANKA BASELA II Prethodnica Baselu 2 je današnja regulativa o adekvatnosti kapitala tzv. Odluka o adekvatnosti kapitala (Basel I). Basel I izdan je godine. Njegova glavna značajka je činjenica da je dao definiciju jamstvenog kapitala i okvir da jamstveni kapital treba pokrivati 8% rizika. Postojeći Bazelski sporazum o kapitalu iz godine, imao je vrlo pozitivan učinak na visinu kapitala banaka, odnosno zaustavio je negativan trend smanjivanja i doveo do povećanja kapitala banaka. No ipak, protekom vremena Basel I nije uspio adekvatno odgovoriti na sva bitna pitanja. Stoga je uvelike izmijenjen godine kada su u njega uključeni kapitalni zahtjevi za tržišne rizike. Cijeli proces ka stvaranju Basela II započeo je u lipnju kada je Bazelski odbor službeno objavio prvi prijedlog Novog kapitalnog standarda (The New Basel Capital Accord) koji će zamijeniti Basel I. (CP1). Nakon toga, u siječnju god. uslijedio je detaljniji skup konzultativnih dokumenata tzv. drugi

3 konzultativni papir (CP2). Nakon intenzivne interakcije sa predstavnicima banaka, u travnju godine, Bazelski odbor za bankovnu superviziju izdao je svoj treći konzultativni papir (CP3) o Novom bazelskom sporazumu o kapitalu (Basel II). Konačan tekst Basela II objavljen je u lipnju 2004, a aktualni službeni start Bazela II u razvijenim zemljama krenuo je sa godine OSNOVNE POSTAVKE BASELA II Basel 2 predstavlja novi koncept izračunavanja adekvatnosti kapitala banke, nudeći pri tom nova pravila u mjerenju i upravljanju rizicima kojima je banka izložena u svom poslovanju. S obzirom da je apital je osnova bančinog rasta, te zaštita od neočekivanih gubitaka, Basel II definira kolika je vrijednost vlastitog kapitala banke dostatna za pokriće svih neočekivanih gubitaka. Svrha toga je da vlastiti kapital koji ima primarnu funkciju zaštite banke od rizika insolventnosti bude uvijek odgovarajuće vrijednosti prilagođene rizičnoj izloženosti banke. Definiranje adekvatnosti kapitala ima iznimnu ulogu za rast, razvoj i stabilnost banke. Naime, prenizak kapital banke stvara mogućnost nesposobnosti apsorpcije gubitaka, veću vjerojatnost bankrota, te ugrožavanje depozitara. S druge strane, previsoki kapital onemogućuje ostvarivanje dovoljno visoke razine povrata na izvore sredstava, te time dovodi i do problema profitabilnosti poslovanja. Samo prihvaćanje Baselskih standarda nije obveza, već slobodan izbor svake države. Od godine do sada više od 100 zemalja u cijelosti ili djelomično primijenilo je Basel I. I u odnosu na Basel 2 strategije pojedinih zemalja se razlikuju. Na primjer, SAD za sada ima namjeru primijeniti rješenja iz Basela 2 samo na velike banke s međunarodnim poslovanjem tj. primjeniti će samo najnaprednije pristupe i to samo na svojih cca. 20 najvećih banaka, ostale banke će ostati na Basel I regulativi. Nasuprot tome, Europska unija ima namjeru donijeti direktivu kojom bi obvezala sve banke svih zemalja članica na primjenu Basela 2, počevši od kraja 2006., odnosno godine za korištenje naprednih tehnika. Ostale zemlje donose vlastite strategije u skladu sa svojim mogućnostima, ciljevima i prioritetima, no većina predviđa primjenu u narednom desetogodišnjem razdoblju. (Maletić, 2005.). Osnovni

4 cilj ovog dokumenta je obuhvat kompleksnog profila rizika na razini banke kao cjeline te usklađivanje strategije rizika i vlastitog kapitala. (Osmanagić Bedenik, 2005.) Baselom II se žele postići usklađenje razine regulatornog kapitala s bančinim rizičnim profilom i jačanje globalnog financijskog sustava. Temelji se na tri stupa (Jakovčević, 2003.): 1. minimalni kapitalni zahtjevi (Stup 1), 2. nadzor nad adekvatnošću kapitala (Stup 2), 3. tržišna disciplina (Stup 3). Grafikon 1: Struktura Basela II Izvor: Rezultati upitnika o novom bazelskom sporazumu o kapitalu, lipanj 2004 Stupovi su međusobno komplementarni, svaki od njih omogućuje nešto što druga dva stupa nisu u mogućnosti pružiti i svaki je bitan za ostvarenje ukupnog cilja Basela II poboljšanju kvalitete sustava upravljanja rizicima i doprinosu financijskoj stabilnosti.

5 2.2. STUP 1 - MINIMALNI KAPITALNI ZAHTJEVI Prvi stup Basela 2 određuje minimalne zahtjeve za kapitalom 1 banaka donosi veću osjetljivost na rizike. U odnosu na Basel I, Basel II donosi višestruke promjene, ali sam pojam i definicija regulatornog kapitala nije se promijenila. To je ona vrijednost kapitala koju banka mora imati za pokriće neočekivanih gubitaka, a sastoji se u pravilu od temeljnog kapitala, zadržanih zarada i pričuva poslije oporezivanja te dopunskog kapitala. (Varjačić, 2003.). Omjer potrebnog (jamstvenog) kapitala u odnosu na izloženost rizicima banke od 8% 2 ostaje nepromjenjen. U tom smislu, koeficijent adekvatnosti kapitala prema Baselu II, izračunava se razlomkom čiji je brojnik raspoloživi jamstveni kapital, a nazivnik rizikom ponderirana aktiva. (Martinjak, 2004.) Stopa adekvatnosti kapitala = jamstveni kapital ponderirana aktiva 8% Tako izračunati koeficijent, prema Baselu 2 kao i prema postojećem sporazumu, mora u svakom trenutku iznositi najmanje 8%. Prema tome, u tom segmentu nije bilo promjena - po novom standardu i dalje stoji zakonska obveza banaka da posluju održavajući ovu stopu minimalne adekvatnosti kapitala. Promjene koje donosi Basel 2 odnose se na mjerenje i analizu rizika kojem su banke izložene (tj. ono što se nalazi u nazivniku jednadžbe). Dok stari standard u definiciji rizične aktive prepoznaje samo kreditni i tržišni rizik, pretpostavljajući da su ostali rizici pokriveni kroz obuhvat prethodna dva, novi kapitalni standard Basel II. nudi sljedeće inovacije (Overview of The New Basel Capital Accord, 2003.): korjenitu promjenu kvantifikacije kreditnog rizika; 1 minimal capital requirements 2 Minimalna stopa adekvatnosti kapitala prema Zakonu o bankama ( NN, br 168/2002 ) je 10%

6 uvođenje kategorije operativnog rizika, njegovog mjerenja i uključivanja u nazivnik za izračun koeficijenta adekvatnosti kapitala KREDITNI RIZIK I pored uvođenja novih kategorija rizika kreditni rizik je i dalje najbitnijibazelski odbor u ovom kontekstu nudi nekoliko opcija za izračunavanje minimalnih kapitalnih zahtjeva u Stupu 1, što znači da svaka banka može sama odabrati onaj način koji je najprimjereniji njezinim specifičnostima tj. njezinom rizičnom profilu. To proizilazi iz činjenice da se poslovanje i rizici, kojima su banke izložene, među njima dosta razlikuju pa zbog toga jednak način mjerenja rizika ne daje odgovarajuće rezultate u svih banaka. Metode mjerenja kreditnog rizika prema Baselu II su (Consultative Document; Overview of The New Basel Capital Accord, 2003.): standardizirani pristup (SA) 3 osnovni interni sustav raspoređivanja (FIRB) 4 napredni interni sustav raspoređivanja (AIRB) 5 Banka nije dužna koristiti određeni pristup, već sama odabire onaj koji joj najbolje odgovara ovisno njenom rizičnom profilu. Međutim, svakako joj je u cilju u konačnici preći sa standardiziranih metoda gdje su sve komponente fiksno postavljene od strane supervizora, ka metodama zasnovanim na internim modelima upravljanja rizicima koje su preciznije. Jer, što je sofisticiranije upravljanje rizicima na temelju internih modela banaka to su manji kapitalni zahtjevi. (Varjačić, 2003.) 3 Standardised Approach 4 Foundation Internal ratings-based approach 5 Advanced Internal ratings-based approach

7 STANDARDIZIRANI PRISTUP Standardizirani pristup sličan je važećem Basel I standardu. Namjenjen je prvenstveno bankama koje žele jednostavan sustav adekvatnosti kapitala. Koristeći ovaj pristup, banke svojim potraživanjima dodjeljuju propisane pondere rizika ovisno o karakteristikama potraživanja (tj. kome je namjenjen kredit). Ovaj pristup je u principu modificiran postojeći Basel I standard. Neki elementi su zadržani, ali uvedene su i neke novosti. Zadržano je sljedeće: Temelji se na uspostavi fiksnih pondera rizika koji se određuju prema vrsti potraživanja. Te rizične pondere određuju i propisuju supervizori, a poslovne banke su ih dužne usvojiti i primjenjivati pri izračunu adekvatnosti kapitala. Kategorije potraživanja definirane u standardiziranom pristupu obuhvaćaju potraživanja od državnih institucija, banaka, trgovačkih društava, stanovništva, te potraživanja osigurana zalogom nad nekretninama. rizične kategorije 0%, 20%, 50%, 100% ovaj pristup ne zahtijeva interni rejting od strane banke, već se kvaliteta dužnika ili mjeri od strane vanjske agencije ili se potraživanju prema takvom klijentu dodjeluje ponder rizika 100%. (The New Framework for Capital Adequacy (Basel II), 2003)

8 Najvažnije novosti: mogućnost određivanja pondera rizika na bazi ratinga ECAI 6. Novi kapitalni standard dopušta i potiče primjenu kreditnog rejtinga od eksterne institucije za procijenu kreditnog rejtinga 7 Izabiru ih nacionalni supervizori, koji i donose odluku o priznavanju pojedinih ECAI. Banke moraju objaviti koje ECAI koriste, te ih dosljedno primjenjivati za sve tipove potraživanja dodana rizična kategorija 150% - ovaj ponder dodjeljuje se subjektima koji su rangirani lošije od (B-) i kreditima koji su u zakašnjenju plaćanja dulje od 90 dana, a rezerviranja za gubitke su manje vrijednosti od 20% ukupnog nepodmirenog potraživanja. (Consultative Document; Overview of The New Basel Capital Accord, 2003.) više pondera rizika za potraživanja od poduzeća (nisu svi u 100%) krediti stanovništva sada u 2 kategorije (35% i 75%) - Izloženost banaka kreditnom riziku stanovništva specifično je razrađena. Potraživanja uključena u portfelj stanovništva prema novim pravilima dobivaju rizični ponder od 75% u odnosu na dosadašnji ponder od 100%. Krediti osigurani hipotekom na rezidencijalnu nekretninu uz određene uvjete mogu imati stupanj (ponder) rizika od samo 35% - supervizor ga može izmjeniti ako misli da je prenizak za njegovo tržište. Krediti malim i srednjim poduzetnicima mogu se uključiti u portfelj stanovništvu ako potraživanje usmjereno na jednu ili više s njom povezanih osoba nije veće vrijednosti od 1 milijun (eura), uz zahtjev za disperziranost portfelja, jer izloženost prema jednoj osobi ne bi smjela premašiti 0,2% ukupnog portfelja stanovništvu. (Varjačić, 2003.) Razvoj i primjena tehnika kojima se smanjuje kreditni rizik 8 - proširen obuhvat kolaterala, hipoteka, garancija, kreditnih derivata - cilj pristupa je smanjujiti minimalni kapitalni zahtjev. 6 External Credit Assessment Institutions eksterne institucije za procjenu kreditnog rizika 7 Poznate su međunarodne agencije npr. Standard&Poor's i Moody's 8 credit risk mitigation

9 Pregled predloženih pondera rizika koje banke u Hrvatskoj dodjeljuju svojim klijentima ovisno o vrsti potraživanja: Tablica 1. Ponderi rizika za potraživanja od državnih institucija i banaka Izvor: Rezultati upitnika o novom bazelskom sporazumu o kapitalu, lipanj 2004 Tablica 2. Ponderi rizika za potraživanja od trgovačkih društava i stanovništva Izvor: Rezultati upitnika o novom bazelskom sporazumu o kapitalu, lipanj 2004

10 INTERNI SUSTAV RASPOREĐIVANJA Interni sustavi rangiranja klijenata predstavljaju najznačajniju inovaciju Basela II. Ovakav pristup mjerenju kreditnog rizika preuzet je iz prakse velikih internacionalnih banaka. Za razliku od standardiziranog pristupa gdje sve parametre rizičnosti za utvrđivanje minimalnih kapitalnih zahtjeva zadaje regulator, u IRB pristupu banke same mjere ključne karakteristike dužnikove kreditne sposobnosti. (Consultative Document; Overview of The New Basel Capital Accord, 2003.). To znači kako će banke koje će primjenjivati IRB pristup moći same kvantificirati ključne karakteristike dužnikove kreditne sposobnosti pri određivanju potrebne visine kapitalnog zahtjeva. U tome leži bitna razlika u odnosu na standardizirani pristup u kojemu sve parametre rizičnosti za utvrđivanje kapitalnih zahtjeva zadaje regulator. Prema IRB pristupu banka razvrstava svoja potraživanja u 5 osnovnih grupa ovisno o karakteristikama rizičnosti (Martinjak, 2004.): trgovačka društva državne institucije banke stanovništvo vlasnički vrijednosni papiri Za svaku skupinu potraživanja bitno je odrediti sljedeće ključne elemente IRB pristupa (QIS 3, 2002.): Komponente rizika (određuju se interno ili ih je zadao supervizor) Izračun ponderirane imovine (sredstva putem kojih se komponente rizika transformiraju u rizikom ponderiranu imovinu, a potom i u kapitalne zahtjeve) Minimalni zahtjevi (odnose se na standarde koje banke moraju zadovoljiti žele li primjenjivati IRB pristup) Osnovne komponente rizika (QIS 3, 2002.):

11 Vjerojatnost neplaćanja (PD 9 ) - vjerojatnost da dužnik neće uredno ispuniti svoje obveze Gubitak u trenutku neplaćanja (LGD 10 ) uvjetovan vrstom kolaterala Izloženost u trenutku neplaćanja (EAD 11 ) uvjetovan vrstom potraživanja Dospijeće (M 12 ) koje mjeri preostalo vrijeme ekonomskog dospijeća izloženosti. S obzirom da ove komponente služe kao inputi za izračun ponderirane imovine, one direktno utječu na visinu kapitalnih zahtjeva. Visoke vrijednosti za PD, LGD, EAD i M vode ka višim kapitalnim zahtjevima i obratno - niže vrijednosti komponenti rizika vode ka nižim kapitalnim zahtjevima. Razlikuju se dvije varijante IRB pristupa: Osnovni pristup internog rangiranja klijenata (FIRB) Napredni pristup rangiranja klijenata (AIRB) Te se verzije primarno razlikuju po tome određuje li komponente rizika banka prema vlastitim procjenama ili ih specificira supervizor. Tablica 3: Osnovna razlika između FIRB i AIRB pristupa Komponenta rizika FIRB AIRB PD Vlastita procjena banke Vlastita procjena banke LGD Zadaje supervizor Vlastita procjena banke EAD Zadaje supervizor Vlastita procjena banke M Zadaje supervizor Vlastita procjena banke Izvor: Overview of The New Basel Capital Accord, 2003.; obrada autor 9 Probability of default 10 Loss given default 11 Exposure at default 12 Maturity

12 Iz tablice je vidljiva razlika u primjeni osnovnog i naprednog pristupa internog rangiranja. Ključna razlika je u podacima, koje u AIRB pristupu osiguravaju same banke, dok ih u FIRB pristupu specificiraju supervizori. Potraživanja unutar skupine trgovačkih društava i stanovništva dalje se raspoređuju u nekoliko podskupina. Konkretno, kada je riječ o poduzećima, kao i u standardiziranom pristupu SME može biti dodjeljen u različite razrede izloženosti i pristupe koji rezultiraju različitim ponderima rizika (Overview of The New Basel Capital Accord, 2003.): Poduzeću svrstanom u razred Corporate pod osnovnim IRB pristupom, dodjeljuje se ponder rizika ovisno o PD, LGD i veličini tvrtke. Tako se poduzeću sa ukupnim godišnjim prihodom između 5 i 50 milijuna eura dodjeljuje snižen PD. LGD za kredit koji nije osiguran kolateralom unaprijed je zadan od strane supervizora i iznosi 45% (ili 75% ukoliko se radi o zajmu bez prioriteta vraćanja). Ovisno o kolateralu razina LGD može biti snižena i do 0% što vodi također ka ponderu rizika od 0% i konačno bez troška kapitala. Poduzeću svrstanom u razred Corporate pod naprednim IRB pristupom, dodjeljuje se ponder rizika ovisno o PD, LGD, M i veličini tvrtke koristeći isti izračun ponderirane imovine kao i pri osnovnom pristupu. Za razliku od osnovnog pristupa interna procjena LGD može dovesti do nižih kapitalnih zahtjeva ukoliko postoji kolateral. Za kredit koji nije osiguran kolateralom primjena naprednog pristupa može rezultirati višim kapitalnim zahtjevima budući da LGD nije limitiran na 45%. Interna procjena za EAD i M može također dovesti do nižih ili viših kapitalnih zahtjeva. SME koje ispunjava kriterije za kvalificiranje pod Retail 13 ponder rizika ovisi o internoj procjeni banke za PD, LGD i EAD. Naime za izloženost Retailu ne postoji primjena osnovnog IRB pristupa, tj. svi se inputi računaju interno. Također ne uzima se u obzir M i veličina tvrtke (mjerena ukupnim prihodom tog poduzeća). Sve to vodi ka znatno nižim kapitalnim zahtjevima nego prilikom svrstavanja poduzeća pod Corporate. 13 Ukoliko je ukupna izloženost prema klijentu manja od 1 milijun eura

13 Iz svega navedenog, jasno je da će banke koje koriste AIRB pristup imati maksimalnu fleksibilnost, jer gotovo sve ulazne podatke osiguravaju na temelju vlastitih procjena. Upravo stoga, prema rezultatima istraživanja provedenog među europskim bankama 14 gotovo sve značajne banke na svjetskom tržištu nastoje uvesti interne modele upravljanja kreditnim rizikom, osobito napredne. Grafikon 2: Pristup mjerenja kreditnog rizika koji će koristiti velike banke (članice G40) Izvor: Rezultati istraživanja europskih banaka, Kao što je vidljivo iz prethodne slike, od 33 velike banke njih 32 (odnosno 97%) planiraju početi koristiti napredni IRB pristup tijekom 2007./2008. godine. Jedino jedna velika banka ne želi primjenjivati AIRB pristup. 14 Istraživanje je provedeno u drugoj polovici godine. U njemu su sudjelovale 104 banke diljem Europe koje ukupno pokrivaju otprilike 40% aktive europskog bankovnog sustava. Od toga su 33 banke iz skupine 44 najveće banke u Europi (G40) i 71 banka iz kategorije malih i srednjih banaka (S1000)

14 Grafikon 3: Pristup mjerenja kreditnog rizika koji će koristiti velike banke (članice S1000) Izvor: Rezultati istraživanja europskih banaka, Iz slike 3 vidljivo je kako i većina malih i srednjih europskih banaka također teži ka primjeni naprednog IRB pristupa. Međutim, jedna četvrtina njih planira primjeniti osnovni IRB pristup, a jedna četvrtina ili standardizirani pristup ili još nije donijela odluku. No unatoč planovima većine banaka, razna istraživanja koja su bila sastavni dio i prethodila procesu donošenja Novog kapitalnog standarda, pokazala su da trenutno većini banaka nisu dostupni podaci na temelju kojih bi mogli pouzdano procijeniti LGD i EAD, dok za izračun PD većina banka raspolaže referentnim podacima. Naime, sukladno propisima Basela 2 da bi banka uopće mogla primjeniti IRB pristup nužno je da posjeduje podatke o pojedinim komponentama rizika za određeni vremenski interval (Varjačić, 2003.): - za izračun PD - 2 godine podataka (za FIRB) tj. 5 godina (za AIRB) - za izračun EAD i LGD 7 godina (5 god.) Iz tog razloga, sve značajnije banke u svijetu već su krenule sa prikupljanjem podataka i formiranjem baze podataka. No kreiranje ovakve baze predstavlja značajan teret za banku, prije svega u troškovnom smislu.

15 Međutim, Basel II dopušta primjenu naprednog IRB pristupa tj. vlastite procjenu ključnih parametara rizika samo onim bankama kod kojih su zadovoljeni strogi kvalitativni i kvantitativni zahtjevi postavljeni u standardu. Sukladno tome, neki osnovni preduvjeti za primjenu IRB pristupa (QIS 3, 2002.) su: Dizajniranje sustava raspoređivanja - ključan je element njegove učinkovitosti. Dizajn internog sustava raspoređivanja mora osigurati kvalitetnu distribuciju izloženosti banke po različitim stupnjevima rizika bez prevelikih koncentracija. Sukladno Baselu 2, banka mora imati najmanje osam rizičnih skupina za raspoređivanje svojih dužnika, te imati jasne kriterije za raspoređivanje pojedininih dužnika u određene rizične skupine Operativno funkcioniranje - on mora biti integralni dio procesa upravljanja kreditnim rizikom. Banke IRB ne koriste samo pri donošenju odluke o odobravanju kredita već i pri određivanju cijene kredita, upravljanju kreditnim rizikom i sl. Što banka više rabi IRB, supervizor ima više povjerenja u njegove rezultate za procjenu Raspoloživost i kvaliteta podataka - koji su potrebni za procjenu komponenti rizika. Podaci mogu biti iz internih ili eksternih izvora, ali banka mora dokazati da su oni relevantni. Stoga su potrebne višegodišnje vremenske serije podataka, što je ujedno i jedna od najvećih prepreka banci za primjenu IRB pristupa. Nadzor nad sustavom Korporativno upravljanje - sve materijalno značajne aspekte procesa procjene rizika i određivanja rejtinga moraju odobriti uprava i nadzorni odbor, tako da upravljačke strukture banke moraju biti vrlo dobro upoznate s cijelim procesom dodjeljivanja rejtinga i pripadajućim sustavom izvještavanja. S obzirom da je proces uvođenja IRB poprilično zahtjevan i iziskuje visoke troškove, za očekivati je da će ga u Hrvatskoj primjenjivati velike banke sa dobro razvijenim internim modelom upravljanja kreditnim rizikom, dok će za male regionalne banke standardizirani pristup biti prihvatljiviji.

16 OPERATIVNI RIZIK Globalizacija financijskih usluga, zajedno s rastućom razinom financijske tehnologije, čine aktivnosti banaka, a time i razinu rizika sve složenijima. Razvoj bankarskih poslova sve više uvjetuje da pored kreditnog i tržišnog rizika na značaju dobivaju i neki drugi rizici, osobito operativni. Upravo Bazelski odbor je prepoznao važnost upravljanja ovim rizikom i njegov veliki utjecaj na iznos gubitaka. Prema Basel II definiciji, operativni rizik je rizik gubitka koji je rezultat neadekvatnih ili pogrešnih internih procesa, ljudi, sustava ili vanjskih događaja. (QIS 3, 2002.) Iako operativni rizik postoji od samih začetaka bankovnog poslovanja, nije mu se oduvijek pridavala osobita važnost, niti je postojao zahtjev za odgovarajućim mjerenjem ove vrste rizika od strane banaka. No, određene karakteristike suvremenog načina poslovanja (automatizacija poslovanja, e-bankarstvo, novi sofisticirani bankarski proizvodi, globalizacija bankovne industrije) uvjetovale su i ozbiljnije bavljenje operativnim rizikom. U novije vrijeme, sve više se smatra da je operativni rizik drugi po značaju u bankovnom poslovanju (Consultative Document; Overview of The New Basel Capital Accord, 2003.). Obveza izračunavanja kapitalnog zahtjeva za operativni rizik najveći je novitet Basela II. (Pavlović, 2004.). S obzirom na to da ne postoji dugogodišnja praksa banaka u upravljanju tim rizikom, neadekvatna baza podataka i neodgovarajuća informatička podrška teško je upravljati operativnim rizikom. Ovaj dio standarda bilo je najteže definirati. Stoga je to područje poprilično grubo definirano. Među mogućim alatima za utvrđivanje i procjenjivanje operativnog rizika su (Baselski odbor za nadzor banaka, Dobre prakse za upravljanje operativnim rizikom i nadzor nad njim, 2003.) : Samoprocjenjivanje ili procjenjivanje rizika: banka procjenjuje svoje operacije i aktivnosti s obzirom na katalog potencijalnih osjetljivosti na operativni rizik. Ovaj se proces provodi iznutra i često uključuje kontrolne popise i/ili radionice za utvrđivanje jakih i slabih strana okružja glede operativnog rizika.

17 Razvrstavanje rizika (eng. risk mapping): u ovom se procesu različite poslovne jedinice, organizacijske funkcije ili poslovni tokovi razvrstavaju prema vrsti rizika. Ovaj zadatak može otkriti područja slabosti i pomoći upravi u određivanju prioriteta daljnjih aktivnosti. Pokazatelji rizika: pokazatelji rizika su statistički i/ili metrički podaci, često financijski, koji mogu dati uvid u rizičnu poziciju banke. Ovi se pokazatelji obično redovno preispituju (primjerice, mjesečno ili tromjesečno) kako bi se banke upozorile na promjene koje mogu biti indikativne za problem povezan s rizikom. Takvi su pokazatelji, na primjer, broj propalih transakcija, stope prometa po zaposleniku i učestalost i/ili ozbiljnost pogrešaka i propusta. Mjerenje: neke su banke počele kvantificirati svoju izloženost operativnom riziku koristeći se različitim pristupima. Na primjer, podaci o iskustvu banke koje se odnosi na povijesni gubitak mogu dati značajne informacije za procjenu izloženosti banke operativnom riziku i razvijanju politike za smanjenje/kontroliranje toga rizika. Neke banke također kombiniraju unutarnje podatke o gubicima s vanjskim podacima o gubicima, analizama scenarija i čimbenicima za procjenu rizika. Tri su osnovne metode izračuna kapitalnog zahtjeva za operativni rizik (QIS 3, 2002): 1. pristup osnovnog pokazatelja (BIA 15 ), 2. standardizirani pristup (SA), 3. pristup naprednog mjerenja (AMA 16 ). Sasvim logično, banke se potiču da napreduju u primjeni naprednijih metoda. 15 The Basic Indicator Approach 16 Advanced Measurement Approaches

18 PRISTUP OSNOVNOG POKAZATELJA Pristup osnovnog pokazatelja najjednostavnija je metoda izračunavanja kapitalnih zahtjeva. Trogodišnji prosjek neto operativnog prihoda banke množi se s fiksnim alfa postotkom (15%). (Varjačić, 2003.) Kapitalni zahtjev (KZ) računa se pomoću skaliranja jednog indikatora neto operativnog prihoda (Perković, 2005.): KZ BIA = [ (GI 1...n x α)] / n GI = neto operativni prihod (neto kamatni prihod + neto nekamatni prihod) tijekom protekle 3 godine n = 3 α = 15% 17 Ova metoda daje samo općenitu procjenu izloženosti operativnom riziku, najmanje je precizna metoda, te nije za velike međunarodne banke STANDARDIZIRANI PRISTUP Standardizirani pristup naprednija je metoda od BIA i predstavlja minimalni kriterij koji bi trebale koristiti internacionalne banke pri izračunu kapitalnog zahtjeva za operativni rizik. Kapitalni zahtjevi se prema standardiziranom pristupu izračunavaju tako da se ukupne aktivnosti banke podijele na osam poslovnih područja (npr. kreditiranje stanovništva, korporativne financije, platni promet i sl.), potom se neto operativni prihod svake poslovne linije množi s beta faktorom propisanim za svaku poslovnu liniju (Martinjak, 2004.). Npr. 18% za corporate, 12% za retail poslovanje i sl. 17 određeno od BISa prema kalkulaciji da KZ bude oko 12% jamstvenog kapitala

19 Ukupni kapitalni zahtjev za banku izračunava se kao zbroj pojedinačnih kapitalnih zahtjeva za osam poslovnih linija (Perković, 2005.). KZ SA = { godina1-3 max [ (GI 1-8 x β 1-8 ), 0]} / 3 GI = godišnji neto operativni prihod β = fiksni postotak po područjima poslovanja (sukladno unaprijed zadanim parametrima od strane supervizora) Ta podjela u 8 poslovnih područja najčešće se zove mapiranje. Proces mapiranja mora biti dokumentiran, a svako novo područje poslovanja mapira se u odgovarajuće područje. Ako se neko područje ne može mapirati svrstava se u područje s najvećom betom. Kako bi mogle primjenjivati standardizirani pristup, banke moraju zadovoljiti minimalne kvalitativne zahtjeve koje je propisao Bazelski odbor (Martinjak, 2004.): 1. oformiti neovisnu organizacijsku jedinicu odgovornu za upravljanje operativnim rizikom. 2. osigurati redovito praćenje podataka o operativnom riziku, uključujući značajne gubitke po pojedinoj poslovnoj liniji. 3. menadžment banke treba dobivati redovita izvješća o izloženosti operativnom riziku. 4. sustav upravljanja mora biti kvalitetno dokumentiran, te mora postojati mehanizam kontrola postupanja prema dokumentiranim procedurama 5. interni / eksterni revizori moraju redovito provoditi revizije sustava operativog rizika Supervizor ima pravo na određeni period promatranja prije nego odobri uporabu SA.

20 PRISTUP NAPREDNOG MJERENJA AMA predstavlja najnapredniji pristup mjerenju operativnog rizika. Ova metoda dozvoljava da banka izračuna kapitalni zahtjev za operativni rizik prema internoj meodologiji. Pristup se temelji na internim podacima banaka o gubicima uzrokovanim operativnim rizikom. Za uporabu metode AMA banka mora zatražiti i dobiti suglasnost supervizora. Prelazak na računanje kapitalnog zahtjeva ovom metodom je postepen. Pri tom je nužno i uvjet je da su zadovoljeni određeni kvantitativni i kvalitativni standardi. Kvalitativni zahtjevi su gotovo identični onima koje banka mora zadovoljiti da bi primjenjivala standardizirani pristup. Kod kvantitativnih zahtjeva, s obzirom da se upravljanje ovim rizikom stalno razvija, Basel II ne propisuje specifičan pristup za izračun operativnog rizika. Kvantitativni zahtjevi reguliraju obvezu redovitog prikupljanja (QIS, 2003.): - internih podataka o gubicima i korištenje - eksternih podatka u određenim slučajevima; - scenarij analize - angažiranje stručnjaka koji će ih provoditi - okruženja - u obzir treba uzeti i njegove ključne karakteristike i čimbenike interne kontrole koji mogu izmijeniti svoj profil operativnog rizikate korištenje tehnika za smanjivanje izloženosti operativnom riziku. Banke se potiču da napreduju u primjeni naprednijih metoda, a internacionalne banke ne bi trebale koristiti BIA. Uključivanjem operativnog rizika u izračun minimalnih kapitalnih zahtjeva, supervizori su obuhvatili sve značajne rizike sa kojima se banke susreću u svojem poslovanju, te stvorili okvir koji je osjetljiviji na rizike. Iako je upravljanje operativnim rizikom tek u fazi razvoja mnoge značajne banke danas alociraju 20% i više svojeg internog kapitala zbog operativnog rizika (Varjačić, 2003.).

21 TRŽIŠNI RIZIK Tržišni rizik predstavlja potencijalni gubitak uzrokovan nepovoljnim promjenama na tržištu: kamatnih stopa, deviznih tečajeva, cijena, indeksa i/ili ostalih faktora koji utiču na vrijednost finansijskih instrumenata. Najčešće, glavni izvori tržišnog rizika su devizne pozicije i rizik kamatne stope (Cassidy and Gizycki, 1997.). Način izračunavanja minimalnih kapitalnih zahtjeva za tržišni rizik ostaje nepromjenjen u odnosu na smjernice iz Tada je, kao odgovor na sve veću izloženost tržišnom riziku, tržišni rizik izdvojen kao posebna kategorija. Od te godine bankama je dozvljeno korištenje internih modela upravljanja tržišnim rizikom za izračunavanje kapitalnih zahtjeva. (Varjačić, 2003.) Zahtjevi za kapitalom se određuju (Varjačić, 2003.): - Standardiziranim pristupom - Prema internim modelima

22 2.3. STUP 2 NADZOR NAD ADEKVATNOŠĆU KAPITALA Basel II, pored Stupa koji se odnosi na definiranje minimalnog kapitalnog zahtjeva, svojom strukturom predviđa i postojanje Stupa 2. Stup 2 se odnosi na proces nadzora supervizora. Želja je Baselske regulative da proces nadzora uz osiguravanje adekvatnosti kapitala banaka potakne banke na razvoj i primjenu boljih tehnika upravljanja rizicima. Supervizorima se dodjeljuju diskrecijska prava pri određivanju kapitalnih potreba banaka relevantnih za njihov poslovni i rizični profil. Bit Stupa 2 je, osigurati optimalnu visinu kapitala u skladu s rizičnim profilom svake pojedinačne banke (Martinjak, 2004.). Time se uvodi dodatna fleksibilnost pri primjeni Basela II. Kroz Stup 2 se procjenjuje zadovoljavanje minimalnih uvjeta za napredne pristupe iz Stupa 1. Ovom regulativom uprava banke je i dalje glavno tijelo odgovorno za osiguranje minimalnog adekvatnog kapitala, dok se od supervizora očekuje da ima stalni uvid u činjenicu koliko dobro banka procjenjuje svoje potrebe za kapitalom (Overview of The New Basel Capital Accord, 2003.). Ovim pristupom pokušavaju se pokriti područja rizika koja nisu dovoljno obuhvaćena prilikom izračuna minimalnih kapitalnih zahtjeva (npr. kamatni rizik, rizik likvidnosti, rizik koncentracije). Prema mnogima, Stup 2 baziran je na četiri ključna načela (Martinjak, 2004.; Perković, 2005; Varjačić, 2003;): 1. banke moraju uspostaviti odnos procjene cjelokupne adekvatnosti kapitala u odnosu na svoj profil rizika, te strategiju održavanja nivoa kapitala 2. supervizori trebaju ispitati i ocijeniti bančine interne procjene u upravljanju kapitalom, kao i nadgledati i osigurati njihovu usklađenost sa regulatornim propisima. Supervizor treba, kad nije zadovoljan sa rezultatima nadzornog procesa, poduzeti odgovarajuće korake.

23 3. supervizor treba od banaka očekivati da posluju iznad minimalnih kapitalnih pokazatelja, a trebali bi imati i mogućnost zahtijevati od banaka da održe razinu kapitala iznad propisanih minimalnih vrijednosti 4. supervizor mora reagirati u ranoj fazi da bi zaustavio negativne trendove ako se oni pojave i održao adekvatnost kapitala iznad minimalne razine, te zahtijevati brze i korektivne akcije S obzirom da Bazelski odbor smatra kamatni rizik potencijalno značajnim rizikom, a nije pokriven kapitalom unutar 1. stupa, on se pokriva u sklopu drugog stupa. Ukoliko supervizori nisu zadovoljni upravljanjem rizikom promjene kamatnih stopa u nekoj banci, oni mogu zahtijevati od te iste banke ili da smanji izloženost tom riziku, ili da odvoji određeni iznos kapitala ili kombinirati te dvije mjere (Varjačić, 2003.) Pored navedenog, supervizori reguliraju i rizik kreditne koncentracije. Rizik koncentracije najveći je pojedinačni uzrok velikih problema u poslovanju banaka. Kako se banke većinom još uvijek bave kreditnim poslom, najviše će se regulirati ovaj rizik. Najčešće se prate koncentracije (CP3, 2003.): - prema pojedinačnom klijentu (grupi klijenata) - prema pojedinim ekonomskim sektorima ili geografskoim područjima - indirektne kreditne koncentracije (prema collateral providerima osiguravajuća društva) Supervizori moraju provoditi svoje kontrole na transparentan i odgovoran način, odnosno njihovi kriteriji moraju biti javno dostupni.

24 2.4. STUP 3 TRŽIŠNA DISCIPLINA Stup 3 je jedan od tri temeljna stupa Novog kapitalnog standarda čiji je cilj međusobno nadopunjavanje. Svrha mu je pružanje potpore minimalnim kapitalnim zahtjevima i nadzoru nad adekvatnošću kapitala, odnosno Stupu 1 i Stupu 2. Cilj trećeg stupa je potaknuti tržišnu disciplinu, zahtijevajući objavljivanje seta informacija o poslovanju banaka. Na taj način svi sudionici na tržištu imaju više informacija o izloženosti i upravljanju rizicima pojedinih banaka, što će u konačnici rezultirati i zdravijim bankarskim sustavom (Caruana, 2003.). Ključne informacije odnose se na informacija o obuhvatu primjene Basela II, visini i strukturi kapitala, izloženosti riziku, procesu procjene rizika i adekvatnosti kapitala institucije (Overview of The New Basel Capital Accord, 2003.). Ovakva transparentnost, koju se nalaže u okviru stupa 3, daje snažne poticaje za zdrav način poslovanja, jer tržište može nagraditi banke koje upravljaju rizicima na odgovarajući način i kazniti one koje održavaju kapital na preniskoj razini u odnosu na rizični profil. (Varjačić, 2003.). Ukoliko banke žele koristiti mogućnost nižih kapitalnih zahtjeva, nužno je ispuniti ovaj uvjet transparentnosti, iz razloga što je on sastavni dio procesa odobravanja internih modela. S obzirom da banke već imaju obveza objavljivanja prema Međunarodnim računovodstvenim standardima, dio objavljuvanja u stupu 3 biti će uključeno u izvještavanje po MRS. Za ono izvještavnje koje nije obavezno prema prema računovodstvenim standardima niti po nekim drugim propisima, banka će sama uključiti na koji način i kroz koji medij će to učiniti (Perković, 2005.)

25 Set dokumenata koje je potrebno prezentirati u skladu sa trećim stupom pokriva sva četiri glavna rizika 18 i odnosi se na sljedeće (Varjačić, 2003.): Kapital struktura kapitala adekvatnost kapitala Izloženost rizicima i procjena rizika općeniti kvalitativni zahjevi za prezentiranjem kreditni rizik o općenite informacije za sve banke o informacije za banke koje koriste standardizirani pristup o informacije za banke koje koriste IRB pristup o ulaganje u vrijednosne papire u bankarskoj knjizi o tehnike smanjivanja izloženosti kreditnom riziku o sekuritizacija imovine tržišni rizik o informacije za banke koje koriste standardizirani pristup o informacije za banke koje koriste interne modele operativni rizik izloženost riziku promjene kamatnih stopa u bankarskoj knjizi Izvještava se samo o materijalno 19 značajnim stavkama. U pravilu se informacije trebaju objavljivati polugodišnje, dok se neki podaci koji su više kvalitativnog karaktera (odnose se na bankine ciljeve i politike upravljanja rizicima, izvještajni sustav i definicije) mogu objavljivati jednom godišnje. S druge 18 kreditni rizik, operativni rizik, tržišni rizik i rizik promjene kamatnih stopa 19 Informacija se smatra materijalnom ako njezino izostavljanje ili pogrešno iskazivanje može promijeniti ili utjecati na već donesenu procjenu ili odluku korisnika te informacije (Martinjak, 2004.)

26 strane, podaci koji su podložni brzim promjenama, te podaci koji se odnose na strukturu kapitala i njegovu adekvatnost, moraju se se objavljivati tromjesečno (CP3, 2003.)

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju Sadržaj predavnaja: Trošak kapitala I. Trošak duga II.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

UTJECAJ PRIMJENE BASELA III NA BANKARSKI SEKTOR

UTJECAJ PRIMJENE BASELA III NA BANKARSKI SEKTOR Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Ekonomski fakultet u Osijeku Diplomski studij (financijski menadžment) UTJECAJ PRIMJENE BASELA III NA BANKARSKI SEKTOR Seminarski rad iz predmeta Revizija

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Valutni rizik Usporedba VaR i Expected Shortfall metode Martina Samac

Valutni rizik Usporedba VaR i Expected Shortfall metode Martina Samac Valutni rizik Usporedba VaR i Expected Shortfall metode Martina Samac Zagreb, 06. lipnja 2017. Sadržaj Uvod Definicija rizika Rizici u osiguranju Rizici u bankarstvu Mjere rizika Primjena mjera rizika

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA

STATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za

Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za Osnovne teorije odlučivanja Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za donošenje dobre odluke:

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA MODUL: Tehnologija teleomuniacijsog rometa FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI Predavači: Doc.dr.sc. Štefica Mrvelj Maro Matulin, dil.ing. Zagreb, ožuja 2009. Oće informacije Konzultacije:

Διαβάστε περισσότερα

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

UPRAVLJANJE RIZICIMA. Sveučilište u Zagrebu EKONOMSKI FAKULTET ZAGREB Katedra za Ekonomiku poduzeća Prof. dr. sc. Danijela Miloš Sprčić

UPRAVLJANJE RIZICIMA. Sveučilište u Zagrebu EKONOMSKI FAKULTET ZAGREB Katedra za Ekonomiku poduzeća Prof. dr. sc. Danijela Miloš Sprčić UPRAVLJANJE RIZICIMA Sveučilište u Zagrebu EKONOMSKI FAKULTET ZAGREB Katedra za Ekonomiku poduzeća Prof. dr. sc. Danijela Miloš Sprčić PODACI O NASTAVNIKU Nositelj i izvođač kolegija Prof. dr. sc. Danijela

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Korporativne finansije

Korporativne finansije Ekonomski fakultet u Podgorici Magistarske studije Smjer Finansije i bankarstvo II generacija Korporativne finansije Prof. Saša Popović Blok 2: Vrijednost, cijena i rizik Osnovna pitanja Zašto se akcije

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα