ZBIRKA ZADATAKA IZ ELEKTRONIKE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ZBIRKA ZADATAKA IZ ELEKTRONIKE"

Transcript

1 UNEZTET U BEOGADU FZČK FAKULTET Dr Stevan Stojadinović ZBKA ZADATAKA Z ELEKTONKE BEOGAD, 00.

2 PEDGOO Ova zbirka sadrži zadatke iz gradiva koje se predaje u toku zimskog semestra studentima treće godine Fizičkog fakulteta u Beogradu u okviru kurseva Elektronika, Fizička elektronika i Elektronika za fizičare, sa fondom od dva časa nedeljno. Zbirka sadrži 66 zadatka koji su detaljno rešeni. Zadaci su podeljeni u šest poglavlja i to: Metodi teorije električnih kola, Laplasove transformacije, Tranzistori, Diferencijalni pojačavač, Operacioni pojačavač i Digitalna elektronika. Svako poglavlje sadrži uvod sa kratkim teorijskim objašnjenjem osnovnih pojmova vezanim za dato poglavlje. Autor se zahvaljuje recenzentima Prof. Dr Aleksandru Stamatoviću i Prof. Dr Ljubiši Zekoviću. Prof. Dr Aleksandar Stamatović je nizom korisnih sugestija doprineo da delovi ovog teksta budu jasniji. Beograd, 00. AUTO

3 SADŽAJ. METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA.... LAPLASOE TANSFOMACJE TANZSTO DFEENCJALN POJAČAAČ OPEACON POJAČAAČ DGTALNA ELEKTONKA LTEATUA...83

4 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA. METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Električno kolo je sistem koji se sastoji od aktivnih elektronskih elemenata (npr. tranzistora), pasivnih elektronskih elemenata (otpora, kapaciteta i induktiviteta) i spoljnih električnih izvora koji služe kao izvori energije. Pri analizi električnih kola uvode se pretpostavke vezane za idealizaciju elektronskih elemenata koji čine električno kolo. Električna kola sa elementima koji imaju tačno definisane osobine, u ograničenom i jasno definisanom delu prostora, nazivaju se kola sa koncentrisanim parametrima. Ovakva kola se mogu analizirati kao sistem fizički odvojenih otpora, kapaciteta i induktiviteta. Ona približno opisuju realno stanje električnog kola na niskim učestanostima i koriste se zato što uprošćavaju fizičku sliku procesa u kolu i matematički aparat za analizu kola. NAPONSK STUJN ZO dealni naponski izvor opisuje se naponom čija vrednost i talasni oblik ne zavisi od struje koja kroz njega protiče. Mogu biti jednosmerni naponski izvori (slika.a) ili naizmenični naponski izvori (slika.b).

5 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA dealni strujni izvor opisuje se strujom čiji intenzitet i talasni oblik ne zavisi od napona koji vlada na njegovim krajevima. Mogu biti jednosmerni strujni izvori (slika.a) ili naizmenični strujni izvori (slika.b). ealni naponski i strujni izvori razlikuju se od idealnih pošto kod njih postoje unutrašnji gubici energije. ealni naponski izvor se aproksimira idealnim naponskim izvorom vezanim u seriju sa otporom, a realni strujni izvor se aproksimira idealnim strujnim izvorom vezanim u paraleli sa otporom. ealni naponski i strujni izvori su ekvivalentni (slika 3).

6 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA PASN ELEKTONSK ELEMENT Na slici 4 prikazana su tri idealna pasivna elementa: otpor, kapacitet C i induktivitet L. zmeđu napona na ovim elementima i struja koje kroz njih protiču postoje relacije: v (t) v (t) i (t) i (t) Gv (t) dil (t) vl (t) L il (t) dt vl (t) dt L dvc (t) vc (t) ic (t) dt ic (t) C C dt KHOFO ZAKON Na slici 5 je prikazano složeno električno kolo. Blokovi sa brojevima od do 6 predstavljaju elemente kola (otpore, kapacitete, induktivitete ili izvore). A, B, C, i D su čvorovi. Svaki deo kola između dva susedna čvora naziva se grana, a zatvoren put čiji je polazni i krajni čvor isti predstavlja konturu (petlju). Matematičko opisivanje složenih sistema vrši se pomoću Kirhofovih zakona o naponima i strujama. 3

7 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA ) Kirhofov zakon o strujama: Algerbarski zbir struja u bilo kom čvoru električnog kola u svakom trenutku jednak je nuli. Kod primene ovog zakona struje koje utiču u čvor imaju znak plus, a koje ističu znak minus. Primenom Kirhofovog zakona o strujama na čvor A kola sa slike 5 može se napisati sledeća jednačina: i i3 i4 0 ) Kirhofov zakon o naponima: Algerbarski zbir elektromotornih sila i padova napona u zatvorenoj električnoj konturi u svakom trenutku jednak je nuli. Kod primene ovog zakona elektromotorne sile se uzimaju sa znakom plus ako se kod ophoda konture prolazi kroz električni izvor od minusa ka plusu, a padovi napona na pasivnim elementima su pozitivni ako je smer ophoda konture suprotan smeru proticanja struje. Primenom Kirhofovog zakona o naponima na konturu ABCA kola sa slike 5 može se napisati sledeća jednačina: v v v3 0 4

8 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Ako je broj čvorova u kolu N, a broj grana N, tada je broj nepoznatih struja jednak je broju grana. Primenjujući Kirhofove zakone na sve čvorove i sve zatvorene putanje u kolu, dobija se veći broj jednačina nego što je potrebno. Pri tome su neke jednačine posledica ostalih. Da bi se dobilo N nezavisnih jednačina, koliko ima nepoznatih struja, treba Kirhofov zakon o strujama primeniti na N čvor, a ostale jednačine se dobijaju primenom Kirhofovog zakona o naponima na N N (N ) zatvorenih putanja u kolu koje se razlikuju bar po jednoj grani. Za matematičko opisivanje većine složenih kola potrebno je korišćenje oba Kirhofova zakona. Međutim, u mnogim slučajevima primena metoda i teorema iz teorije električnih kola uprošćava postavljen zadatak. 5

9 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA.) Za kolo sa slike. odrediti struje svih grana primenom metode konturnih struja. Poznato je: 6, 3, 3, 4 6, 5, 300 Ω, 00 Ω, 3 00 Ω, Ω, 5 00 Ω, 6 00 Ω, 7 00 Ω. ešenje: Metoda konturnih struja primenjuje se kod kola sa naponskim izvorima. Ovom metodom određuju se struje primenom Kirhofovog zakona o naponima. Prilikom odabira kontura treba voditi računa da svaka odabrana kontura sadrži barem jednu granu po kojoj se ona razlikuje od ostalih kontura. Ukupan broj kontura koje treba odabrati, odnosno ukupan broj jednačina koje treba napisati metodom konturnih struja je N N (N ), gde je: N broj grana u kolu, N broj čvorova u kolu, N broj jednačina. U kolu na slici.. su uočene tri konture numerisane sa indeksima (kontura ADBA), (kontura ACDA) i (kontura BCAB) sa 6

10 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA konturnim strujama, i respektivno. Primenom Kirhofovog zakona o naponima na konture, i mogu se napisati sledeće jednačine: Za konturu : ( ) ( ) ( ) 0 (..) Za konturu : ( ) ( ) 0 (..) Za konturu : ( ) ( ) 0 (..3) Posle sređivanja ove jednačine postaju: ( 4 7) 4 3 (..4) 4 (4 5 6) ( 3 5) 5 7

11 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA odnosno:,,,,,, (..5), gde su:,,, 4 7,, 4 5 6,, 3 5,, 4,,,,,, 5 3, 3 4, 5 Otpornost ij za i j (i,j,,) predstavlja sopstvenu otpornost pojedinih kontura. Otpornost ij za i j (i,j,,) predstavlja zajedničku otpornost i te i j te konture uzetu sa negativnim znakom. Elektromotorna sila i (i,,) predstavlja sumu elektromotornih sila za datu konturu. U matričnom obliku prethodni sistem jednačina izgleda:,,,,,,,,,. (..6) ili kraće [ ] [ ] [ ], gde su: [ ],,,,,,,,,, [ ], [ ] 8

12 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Matrica [ ] je matrica sistema. Ova matrica je simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu. Na glavnoj dijagonali nalaze se elementi koji predstavljaju sopstvene otpornosti pojedinih kontura, a na mestima ij (i j) elementi koji predstavljaju zajedničke otpornosti i te i j te konture uzete sa negativnim znakom. Matrice [ ] i [ ] su matrice kolona. [ ] pobuda, a [ ] matrica konturnih struja. ešavanjem sistema jednačina (..4) dobija se: 0.0A, 0.04 A, 0.0 A. je matrica Sa slike.. se vidi da su: Struja kroz granu BA: Struja kroz granu DB: 0.0A 0.0A 9

13 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Struja kroz granu BC: Struja kroz granu AD: Struja kroz granu AC: A A A Struja kroz granu CD: A Jednačine konturnih struja su izvedene polazeći od jednačina koje su napisane primenom Kirhofovog zakona o naponima. Prednost metode konturnih struja je u tome što se umesto pisanja šest jednačina sa šest nepoznatih struja grana, primenom Kirhofovih zakona, pišu tri jednačine za konture, i. ešavanjem ovih jednačina dobijaju se konturne struje, i koje su i struje u granama po kojima se pojedine konture međusobno razlikuju (struje, 3 i 6 ), dok se struje u ostalim granama dobijaju iz jednačina konturnih struja..) Za kolo sa slike. izračunati struje svih grana primenom metode napona čvorova. Poznato je: 0. A, 0. A, 00 Ω, 00 Ω, Ω, 4 00 Ω, 5 00 Ω. 0

14 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA ešenje: Metoda napona čvorova primenjuje se u kolima sa strujnim izvorima. Ovom metodom određuju se naponi između pojedinih čvorova u kolu i jednog proizvoljnog referentnog čvora koristeći Kirhofov zakon o strujama. Za referentni čvor najpogodnije je uzeti čvor koji je granama spojen sa najvećim brojem čvorova. Tada se najveći broj od traženih struja dobija neposredno iz napona čvorova. Ukupan broj jednačina koje treba napisati metodom napona čvorova je: N N, gde je: N broj čvorova u kolu, N broj jednačina. Kao referentni čvor u kolu na slici.. uzet je čvor. Primenom Kirhofovog zakona o strujama za čvorove, i mogu se napisati sledeće jednačine: Za čvor : ( ) 0 (..) 4

15 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Za čvor : ( ) ( ) 0 (..) 4 Za čvor : 5 ( ) 0 (..3) 3 5 Posle sređivanja ove jednačine postaju: ( ) ( ) 0 (..4) ( ) odnosno: G G G,,,, 4 3,, G G G (..5) G G G,,, gde su: G,, 4 G,, 4 5 G,, 3 5 G, G,, G, G, 0, 4 G, G, 5, 0,

16 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Provodnost G ij za i j (i,j,,) predstavlja sopstvenu provodnost pojedinih čvorova. Provodnost G ij za i j (i,j,,) predstavlja zajedničku provodnost i tog i j tog čvora uzetu sa negativnim znakom. Struja i (i,,) predstavlja sumu struja svih strujnih izvora vezanih za odgovarajući čvor. U matričnom obliku prethodni sistem jednačina izgleda: G G G,,, G G G,,, G G G,,,. (..6) ili kraće [ G ] [ ] [ ], gde su: G [ G] G G,,, G G G,,, G G G,,,, [ ], [ ] Matrica [ G ] je matrica sistema. Ova matrica je simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu. Na glavnoj dijagonali nalaze se elementi koji predstavljaju sopstvene provodnosti pojedinih čvorova, a na mestima G ij (i j) elementi koji predstavljaju zajedničke provodnosti i tog i j tog čvora uzete sa negativnim znakom. Matrice [ ] i [ ] su matrice kolona. [ ] je matrica pobuda, a [ ] matrica napona između čvorova. ešavanjem sistema jednačina (..4) dobija se: 6., 9.,

17 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Sa slike.. se vidi da su: Struja kroz granu -: Struja kroz granu -: Struja kroz granu -: Struja kroz granu -: 0.3A A, A 0.7 A Struja kroz granu -:, A.3) zračunati struje kroz otpornike i 5 u kolu sa slike.3: a) metodom konturnih struja b) metodom napona čvorova 4

18 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Poznato je:, 6, 3 0. A, 00 Ω, 00 Ω, 3 00 Ω, 4 00 Ω, Ω, 6 00 Ω. ešenje: a) Ako se strujni izvor zameni ekvivalentnim naponskim izvorom kolo sa slike.3 postaje: gde je: Primenom metode konturnih struja dobija se: ( ) (.3.) ( 3 4) 4 4 (4 5 6) ( 3) 5

19 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA ešavanjem sistema jednačina (.3.) dobija se da su konturne struje: A, 0.04 A, A. Struje kroz otpornike i 5 su: 0.07 A A b) Ako se naponski izvori zamene ekvivalentnim strujnim izvorima kolo sa slike.3 postaje: gde su: 0. A i 0.08 A. Primenom metode napona čvorova dobija se: ( ) ( ) (.3.) 5 ( 5 6 ) 3 6

20 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA ešavanjem sistema jednačina (.3.) dobija se da su naponi čvorova: 5.333,.333, Struje kroz otpornike i 5 su: A A.4) Za kolo sa slike.4 odrediti struju kroz potrošač P koristeći Tevenenovu teoremu i princip superpozicije. Poznato je: 8, 6, 00 Ω, 00 Ω, 3 00 Ω, Ω, 5 00 Ω, P 00 Ω. ešenje: Prema Tevenenovoj teoremi svaka dva kraja linearnog električnog kola, sa proizvoljnim brojem naponskih izvora i impedansi, mogu se svesti na kolo sa jednim naponskim izvorom vezanim u seriju sa impedansom. Naponski izvor je jednak naponu na krajevima kola kada je kolo otvoreno, a serijska impedansa jednaka je ukupnoj impedansi, pod uslovom da su svi naponski izvori koji deluju u kolu kratko vezani. 7

21 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Primenom Tevenenove teoreme kolo sa slike.4, levo od tačaka a i b, može se zameniti ekvivalentnim naponskim izvorom Th vezanim u seriju sa ekvivalentnom otpornošću Th (slika.4.). Da bi se odredila otpornost Th umesto naponskih izvora i treba staviti kratku vezu (slika.4.). Ekvivalentna Tevenenova otpornost Th je: [( ) ] 65 Ω Th (.4.) Ekvivalentni Tevenenov naponski izvor izračunava se metodom superpozicije: Th Th 0 Th 0 (.4.) 8

22 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Za 0 kolo sa slike.4, levo od tačaka a i b, izgled kao kolo na slici.4.3. Primenom Kirhofovog zakona o naponima na kolo sa slike.4.3 dobija se da je struja : (.4.3) Tada je: Th (.4.4) Za 0 kolo sa slike.4, levo od tačaka a i b, izgled kao kolo na slici

23 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike.4.4 dobija se: ( (.4.5) ) ( ) 0 (.4.6) Eliminacijom struje iz jednačina (.4.5) i (.4.6) dobija se: (.4.7) ( ) ( ) Tada je: (.4.8) Th Ekvivalentni Tevenenov naponski izvor je: Th 0 Th (.4.9) Th P Struja kroz potrošač P je prema slici.4.: T A (.4.0) P T.5) Za kolo sa slike.5 odrediti struju kroz potrošač P koristeći Tevenenovu teoremu i princip superpozicije. Poznato je: 0.00 A, 6, 50 Ω, 50 Ω, 3 00 Ω, 4 50 Ω, 5 00 Ω, 6 00 Ω, P 300 Ω. 0

24 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA ešenje: Da bi odredili otpornost Th prema Tevenenovoj teoremi umesto naponskog izvora treba staviti kratku vezu, a umesto strujnog izvora otvorenu vezu (slika.5.). Ekvivalentna Tevenenova otpornost Th je: [( ) ] ( ) 34. Ω 6 Th (.5.) Ekvivalentni Tevenenov naponski izvor izračunava se metodom superpozicije: Th Th 0 Th 0 (.5.) Za 0 kolo sa slike.5, levo od tačaka a i b, izgled kao kolo na slici.5..

25 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Primenom metode napona čvorova na kolo sa slike.5. dobija se: 0 0 ) ( (.5.3) 0 0 ) ( (.5.4) 0 ) ( (.5.5) ) ( (.5.6) ešavanjem sistema jednačina dobija se: 0.007, 0.38, i Sa slike.5. se vidi da je Th. Za 0 kolo sa slike.5 levo, od tačaka a i b, izgled kao kolo na slici.5.3. Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike.5.3 dobija se: ) ( ) ( 3 3 (.5.7) 0 ) ( ) ( (.5.8)

26 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Eliminacijom struje iz jednačina (.5.7) i (.5.8) dobija se: 3 (.5.9) ( ) ( )( ) Tada je: Th ( ) 5.5 (.5.0) Ekvivalentni Tevenenov naponski izvor je: Th Th 0 Th (.5.) Primenom Tevenenove teoreme kolo sa slike.5 može se prikazati kolom na slici.5.4. Struja kroz potrošač P je: Th 0.03 A (.5.) P P T.6) Odrediti zakon promene napona na kondenzatoru C u kolu sa slike.6 posle otvaranja prekidača S. Pretpostaviti da je prekidač dovoljno vremena bio zatvoren tako da se u kolu uspostavio ustaljen režim. 3

27 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA ešenje: Kako je pre otvaranja prekidača S u kolu vladao ustaljen režim, struja kroz kondezator i C 0. Napon na kondezatoru neposredno pre otvaranja prekidača S je: v C 3 (t 0 ) (.6.) 3 Prilikom otvaranja prekidača S napon na kondenzatoru se ne menja trenutno, odnosno: v C (t 3 ) (.6.) 0 ) vc(t 0 3 Posle otvaranja prekidača S kolo sa slike.6 izgleda kao kolo na slici.6.. 4

28 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA se: Primenom Kirhofovog zakona o naponima na kolo sa slike.6. dobija ( )i(t) vc (t) (.6.3) Kako su struja i napon na kondenzatoru vezani relacijom: dvc (t) i(t) C (.6.4) dt jednačina (.6.3) može se napisati u obliku: dvc (t) ( )C vc (t) (.6.5) dt Jednačina (.6.5) je nehomogena linearna diferencijalna jednačina sa konstantnim koeficijentima. ešenje ove jednačine jednako je zbiru opšteg rešenja homogene jednačine: dvc (t) ( )C vc (t) 0 (.6.6) dt i jednog partikularnog rešenja nehomogene jednačine (.6.5). Opšte rešenje homogene jednačine (.6.6) određuje slobodan režima, koji zavisi samo od električnih osobina kola, a ne zavisi od karaktera izvora koji se nalazi u kolu, i oblika je: t τ v (t) Ae (.6.7) Ch gde je τ ( ) C vremenska konstanta kola. Partikularno rešenje nehomogene jednačine (.6.5) određuje ustaljen režim u kolu, koji zavisi od karaktera izvora koji u njemu deluje, i oblika je: v Cp (.6.8) Opšte rešenje jednačine (.6.5) je: 5

29 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA t vc (t) vch (t) vcp Ae τ (.6.9) Konstanta A se određuje iz početnih uslova. U trenutku otvaranja prekidača napon na kondezatoru dat je jednačinom (.6.) i tada je: v 3 (t 0 ) A (.6.0) C 3 odnosno: A (.6.) 3 Zakon promene napona na kondezatoru posle otvaranja prekidača S je: t v τ C(t) e (.6.) 3.7) Odrediti zakon promene napona na otporniku u kolu sa slike.7 posle zatvaranja prekidača S. Svi početni uslovi su nula. ešenje: Posle zatvaranja prekidača S kolo sa slike.7 izgleda kao kolo na slici.7.. 6

30 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike.7. dobija se: dv(t) dv (t) v(t) i(t) i (t) v(t) C C (.7.) dt dt dv(t) dv (t) 0 i (t) v (t) i (t) C v C (.7.) dt dt Jednačina (.7.) može se napisati u obliku: dv (t) dv(t) C v (t) C (.7.3) dt dt Sabiranjem jednačina (.7.) i (.7.) dobija se: dv (t) v (t) v (t) C (.7.4) dt Diferenciranjem jednačine (.7.4) dobija se: dv(t) d v (t) dv (t) C (.7.5) dt dt dt z jednačina (.7.3) i (.7.5) dobija se sledeća diferencijalna jednačina: dv (t) d v (t) dv (t) C v (t) C C (.7.6) dt dt dt odnosno: 7

31 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA d v (t) dv (t) C 3C v (t) 0 (.7.7) dt dt Jednačina (.7.7) je homogena linearna diferencijalna jednačina sa konstantnim koeficijentima drugog reda. ešenje ove jednačine je oblika: pt v (t) Ke (.7.8) Zamenom jednačine (.7.8) u jednačinu (.7.7) dobija se: C p 3Cp 0 (.7.9) Jednačina (.7.9) je karakteristična jednačina. Koreni karakteristične jednačine su: 3C ± 9 C 4 C 3C ± 5 C p, C C (.7.0) odnosno: p i p C C C Zakon promene napona v (t) je:.6 C p t v (t) o p t K e K e (.7.) Zakon promene napona v o (t) je: ( p t pt p e K p e ) v (t) i (t) C K (.7.) Konstante K i K određuju se iz početnih uslova: (0 ) 0 K K v (.7.3) (0 ) C(Kp K p ) (.7.4) vo K z jednačina (.7.3) i (.7.4) sledi da su konstante K i K : C(p p ) i K C(p p ) 8

32 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Zakon promene napona v o (t) je: t t v C C o (t).7 e 0.7 e (.7.5).8) Odrediti zakon promene struje kroz otpornik u kolu sa slike.8 posle zatvaranja prekidača S. Pretpostaviti da je pre zatvaranja prekidača u kolu vladao ustaljen režim. ešenje: Kako je pre zatvaranja prekidača S u kolu vladao ustaljen režim, napon na zavojnici je v L 0. Struja kroz zavojnicu neposredno pre otvaranja prekidača je: i L(t 0 ) (.8.) Prilikom otvaranja prekidača S struja kroz zavojnicu se ne menja trenutno, odnosno: i L(t 0 ) il(t 0 ) (.8.) Posle zatvaranja prekidača S kolo sa slike.8 izgleda kao kolo na slici.8.. 9

33 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA se: v Primenom Kirhofovog zakona o naponima na kolo sa slike.8. dobija (t) ( )i (t) (.8.3) L L Kako su struja i napon na zavojnici vezani relacijom: dil (t) vl (t) L (.8.4) dt jednačina (.8.3) postaje: L di (t) (.8.5) L il (t) dt ešenje nehomogene linearne diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima (.8.5) je: i γt L (t) Ae ( ) (.8.6) gde je γ. L Konstanta A se određuje iz početnih uslova. U trenutku zatvaranja prekidača struja kroz zavojnicu je data jednačinom (.8.) i tada je: A (.8.7) 30

34 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA odnosno: A (.8.8) Zakon promene struje kroz zavojnicu je: i i L γt (t) e (.8.9) Sa slike.8. se vidi da je: (t) i (t) i (t) (.8.0) L i (t) i (t) (.8.) Zakon promene struje kroz otpornik je : i (t) i L (t) e γt (.8.).9) Odrediti zakon promene napona na zavojnici L u kolu sa slike.9 posle zatvaranja prekidača S. ešenje: Posle zatvaranja prekidača S kolo sa slike.9 izgleda kao kolo na slici.9.. 3

35 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike.9. dobija se: di(t) di (t) i(t) L L (.9.) dt dt di(t) di (t) L (L L ) i (t) 0 (.9.) dt dt Sabiranjem jednačina (.9.) i (.9.) dobija se: di (t) i(t) i (t) L (.9.3) dt Diferenciranjem jednačina (.9.3) dobija se: L d i (t) di (t) di(t) 0 (.9.4) dt dt dt z jednačine (.9.) sledi da je: di(t) L L di (t) i (t) (.9.5) dt L dt L z jednačina (.9.4) i (.9.5) dobija se sledeća diferencijalna jednačina: L d i (t) L L di (t) i (t) 0 dt L (.9.6) dt L Jednačina (.9.6) je homogena linearna diferencijalna jednačina sa konstantnim koeficijentima drugog reda. ešenje ove jednačine je oblika: 3

36 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA 33 pt Ke (t) i (.9.7) Zamenom jednačine (.9.7) u jednačinu (.9.6) dobija se: 0 L p L L L p L (.9.8) Jednačina (.9.8) je karakteristična jednačina. Koreni karakteristične jednačine su:, L L L 4 L L L L L L p ± (.9.9) odnosno:, L L L L L L p ± (.9.0) Kako je: 0 L L L L L L L L L L > Oba rešenja karakteristične jednačine su realna i negativna: L L L L L L p (.9.) L L L L L L p (.9.) ešenje diferencijalne jednačine (.9.6) je: t p t p e K e K (t) i (.9.3)

37 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Konstante K i K određuju se iz početnih uslova. U trenutku zatvaranja prekidača S je: i (t 0 ) i (t 0 ) 0 (.9.4) z jednačina (.9.3) i (.9.4) sledi da je: 0 K K (.9.5) U trenutku zatvaranja prekidača kolo sa slike.9 izgleda kao kolo na slici.9.. Sa slike.9. se vidi da je: vl (t 0 ) v (t 0 ) (.9.6) L Diferenciranjem jednačine (.9.3) dobija se: di p t p t Kpe K p e (.9.7) dt z jednačina (.9.6) i (.9.7) sledi da je: L K p K p (.9.8) z jednačina (.9.5) i (.9.8) dobijaju se konstante K i K : K (.9.9) L (p p) L L L LL 34

38 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA K (.9.0) L (p p) L L L LL Zakon promene napona na zavojnici L je: p t p t ( p e p e ) di vo(t) L (.9.) dt L L LL.0) Odrediti zakon promene struje kroz zavojnicu L u kolu sa slike.0 posle prebacivanja prekidača iz položaja a u položaj b. Pretpostaviti da se pre prebacivanja prekidača u kolu uspostavio ustaljen režim. zmeđu parametara kola postoji veza L C. ešenje: Kako je pre prebacivanja prekidača S u kolu vladao ustaljen režim, kolo sa slike.0 izgleda kao kolo sa slike.0.. Sa slike.0. se vidi da su struja kroz zavojnicu L i napon na kondenzatoru C, neposredno pre prebacivanja prekidača S iz položaja a u položaj b: 35

39 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA i L (t 0 ) (.0.) vc (t 0 ) il (t 0 ) (.0.) Prilikom prebacivanja prekidača S iz položaja a u položaj b struja kroz zavojnicu L i napon na kondenzatoru C se ne menjaju trenutno, odnosno: il (t 0 ) il (t 0 ) (.0.3) vc (t 0 ) vc (t 0 ) il (t 0 ) (.0.4) Posle prebacivanja prekidača S iz položaja a u položaj b kolo sa slike.0 izgleda kao kolo na slici.0.: 36

40 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Sa slike.0. se vidi da je: i (t) v (t) (.0.5) C i (t) v (t) v (t) (.0.6) L C dvc (t) i(t) i (t) (.0.7) dt C di (t) vl (t) L (.0.8) dt z jednačina (.0.5) i (.0.6) sledi da je: di (t) i (t) i (t) vl (t) i(t) i (t) L 0 (.0.9) dt odnosno: L di (t) di (t) i(t) i (t) C (.0.0) dt dt Jednačina (.0.6) se može napisati u obliku: di (t) i (t) L [ i(t) i (t)] dt (.0.) dt C odnosno: i i di (t) d (t) di (t) d (t) i (t) i (t) C LC C C (.0.) dt dt dt dt i z jednačina (.0.0) i (.0.) sledi da je: d i (t) di (t) (t) C C (.0.3) dt dt odnosno: d i (t) di (t) C C i (t) 0 (.0.3) dt dt 37

41 METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA ešenje homogene linearne diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima drugog reda (.0.3) je oblika: pt i (t) Ke (.0.4) Zamenom jednačine (.0.4) u jednačinu (.0.3) dobija se: C p Cp 0 (.0.5) Koreni karakteristične jednačine (.0.5) su: C ± 4 C 8 C p, C (.0.6) odnosno: j j p i p C C ešenje diferencijalne jednačine (.0.4) je: t C t t i (t) e K cos K sin (.0.7) C C Konstante K i K određuju se iz početnih uslova. U trenutku prebacivanja prekidača S je: i (t 0 ) K (.0.8) di vl (t 0 ) L t 0 L K K (.0.9) dt C C z jednačina (.0.8) i (.0.9) sledi da je K K. Zakon promene struje kroz zavojnicu L je: t C t t i (t) e cos sin (.0.0) C C 38

42 LAPLASOE TANSFOMACJE. LAPLASOE TANSFOMACJE Laplasove transformacije zasnivaju se na integralima: [ ] st dt F (s) L f (t) f (t)e () 0 σ j st f (t) L [ F(s) ] F(s)e ds j () π σ j gde su: L operator direktne Laplasove transformacije L operator inverzne Laplasove transformacije s σ ω kompleksna promenjiva Laplasove transformacije F(s) kompleksni lik funkcije f(t) f(t) original funkcije F(s) ntegral () predstavlja direktnu Laplasovu transformaciju i prevodi vremensku funkciju f(t) u kompleksnu funkciju, dok integral () predstavlja inverznu Laplasovu transformaciju i prevodi kompleksnu funkciju F(s) u vremensku funkciju f(t). Egzistencija integrala () zavisi od oblika funkcije f(t) i vrednosti σ. Laplasova transformacija funkcije f(t) postoji samo za σ > σ o. eličina σ o 39

43 LAPLASOE TANSFOMACJE naziva se apcisa apsolutne konvergencije i predstavlja minimalnu (realnu i pozitivnu) vrednost σ σ o const. koja obezbeđuje konvergenciju integrala funkcije f(t): 0 σ f (t) e t dt <, σ σo (3) Laplasove transformacije imaju veliku primenu u analizi i sintezi sistema, u rešavanju sistema diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima, kao i u nalaženju prenosne funkcije sistema. OSOBNE DEKTNE LAPLASOE TANSFOMACJE. Teorema linearnosti [ a f (t) a f (t)] a F (s) a F (s) L, ( a, a ). Teorema o izvodu originala (realno diferenciranje) d L f (t) sf(s) f (0 dt n d n L f (t) s F(s) n dt n ) k s n k f (k ) 3. Teorema o integralu originala (realno integraljenje) L [ f (t)dt] L t 0 f (t)dt F(s) s F(s) s 0 f (t)dt s (0 ) 40

44 LAPLASOE TANSFOMACJE 4. Teorema o izvodu kompleksnog lika (kompleksno diferenciranje) [ ] L tf (t) n n n d [ f (t)] ( ) F(s) L t d ds F(s) ds 5. Kompleksno integraljenje f (t) L t s F(s)ds 6. Teorema kašnjenja (realna translacija) as [ a) ] e F(s) L f (t, a > 0 n 7. Teorema pomeranja (kompleksna translacija) αt [ f (t)] F(s α) L e 8. Teorema sličnosti s L [ f (at)] F a a 9. Teorema o početnoj vrednosti lim f (t) limsf(s) t 0 s 0. Teorema o konačnoj vrednosti lim f (t) limsf(s) t s 0. Konvolucija originala Ako je funkcija f(t) data konvolucionim integralom f (t) t 0 f(t τ)f( τ) dτ 4

45 LAPLASOE TANSFOMACJE tada je: [ ] F (s)f (s) F(s) L f (t) LAPLASOE TANSFOMACJE OSNONH FUNKCJA. Heaviside ova funkcija Ova funkcija je poznata i pod imenom jedinična odskočna funkcija. Data je relacijom: U (t) 0 t 0 t < 0 Funkcija U(t) ima prekid u tački t 0 (slika ). Ako prekid postoji u tački t τ (slika ), tada funkcija glasi: U (t τ) 0 t τ t < τ Laplasova transformacija Heaviside ove funkcije je: [ U(t) ] L L s s sτ [ U(t τ) ] e 4

46 LAPLASOE TANSFOMACJE. Dirac ova delta funkcija Ova funkcija je poznata i pod imenom jedinična impulsna funkcija. Data je relacijom: t 0 δ( t) 0 t 0 Pri tome je: 0 δ( t)dt Laplasova transformacija Dirac ove delta funkcije je: L st st [ δ(t) ] δ(t)e dt e t Nagibna funkcija Ova funkcija je data relacijom: f (t) atu(t) δ(t)dt ili, s obzirom na definiciju funkcije U(t) f (t) at, t 0 Laplasova transformacija nagibne funkcije je: a L [ at] s 4. Eksponencijalne funkcije Za opadajuću eksponencijalnu funkciju datu relacijom: αt f (t) e U(t), α > 0 Laplasova transformacija je: αt [ ] L e s α 43

47 LAPLASOE TANSFOMACJE Za rastuću eksponencijalnu funkciju datu relacijom: f (t) ( e αt )U(t) Laplasova transformacija je: αt [ e ] α L s(s α) 5. Prostoperiodične funkcije Za sinusnu i kosinusnu funkciju (t) f U(t)sin( βt) f (t) U(t)cos( βt) Laplasova transformacija je: [ β t) ] L sin( s β β [ β t) ] L cos( s s β NEZNA LAPLASOA TANSFOMACJA nverzna Laplasova transformacija zasniva se na integralu (). ntegraljenje se vrši duž prave e (s) σ izabrane tako da se svi polovi funkcije F(s) nalaze levo od nje. U svim slučajevima od interesa funkcija F(s) se može prikazati u obliku racionalne razlomljene funkcije, odnosno: F(s) P(s) Q(s) b a m ms n ns a m bm s n n s...bs b0 (4)... a s a gde su P(s) i Q(s) polinomi po s, pri čemu je stepen polinoma u brojitelju manji ili jednak stepenu polinoma u imenitelju ( m n). Nule polinom P(s) 0 44

48 LAPLASOE TANSFOMACJE i Q(s) nazivaju se nule i polovi funkcije F(s). Pošto su P(s) i Q(s) polinomi sa realnim koeficijentima, njihove nule, odnosno nule i polovi funkcije F(s) mogu biti ili realni, ili u konjugovano kompleksnim parovima. Tada se inverzna Laplasova transformacija može naći razvojem funkcije F(s) u parcijalne razlomke (Hevisajdov razvoj) ili primenom Košijeve teoreme ostataka. U mnogim slučajevima inverzna Laplasova transformacija može se naći u tablicama Laplasovih transformacionih parova. Metoda parcijalnih razlomaka Funkcija (4) može se napisati u obloku: P(s) P(s) F(s) Q(s) A(s s)(s s) (s s Mogući su sledeći slučajevi: a) koreni su međusobno različiti: F (s) Funkcija F(s) može se tada prikazati u obliku: K s s K s s K n s s n n ) n K k k s sk gde su K, K, K n konstantni koeficijenti. Množenjem jednačine sa ( k s s ) i prelaženjem na graničnu vrednost dobija se: Kk lim (s sk ) s s s s k odnosno: n k k lim (s s s s k k ) P(s) Q(s) K k (s s k P(s) ) Q(s) s s k 45

49 LAPLASOE TANSFOMACJE nverzna Laplasova transformacija funkcije F(s) određuje se na taj način što se za svaki član parcijalnog razlomka odredi inverzna transformacija: n n K k skt f (t) L K ke k s sk k Ako su neki koreni kompleksni, oni se javljaju u konjugovanim parovima. Neka su funkcija (4) može prikazati u obliku: s * k α k jβk i s k s k α k jβk P(s) K k K k F(s) * (s s )(s s )Q (s) s s * k k k s s k Za koeficijente K k i K k dobija se: K k (s s k P(s) ) Q(s) s s k (s k P(s s * k k ) )Q (s k. Tada se ) P(s) Q (s) P(s k ) jβ Q (s k k ) K (s s P(s) ) Q(s) * k k * s s k (s * k P(s s k * k ) )Q (s * k ) P(s ) jβ Q (s k * k * k ) Kompleksni koeficijenti K k i K k su konjugovani: K k x k jy k K k e jϕ k K * k K k x k jyk K k e jϕ k gde je: yk ϕ k arctg. x k Pri nalaženju inverzne Laplasove transformacije funkcije F(s) članovi zbira sa kompleksnim korenima se objedinjuju. Tada je: 46

50 LAPLASOE TANSFOMACJE L K k s s k * K k s s * k K k e αkt e j( βktϕk ) K k e αkt e j( βktϕk ) K k e αkt cos( β k t ϕ k ) b) koreni su višestruki Kada se koreni polinoma u imenitelju funkcije (4) ponavljaju, ona se može napisati u obliku: F(s) P(s) Q(s) A(s s P(s) m ) (s s ) (s sn ) m mn Svaki koren s k multipliciteta m k može se napisati u obliku: K (s s k m k ) k K (s s k mk k ) K km s s odnosno za celu funkciju F(s) dobija se: F (s) K n mk kj mk j k j (s sk ) k k m k j (s s K kj mk j k ) Koeficijenti korena s k određuju se tako što se prethodna jednačina k pomnoži sa ( s s k ) i stavi s sk : m mk mk [(s sk ) F(s) ] [ K k K k (s sk ) K km (s sk ) ] K k s s k Diferenciranjem ovog izraza po s, pre prelaska na graničnu vrednost, i smenom d ds (s s sk, dobija se: [ K k K k3(s sk ) ] K k m sk ) F(s) s s s s k k k k s s k 47

51 LAPLASOE TANSFOMACJE Za nalaženje opšteg koeficijenta K kj diferenciranje treba produžiti do (m k ) og izvoda, a zatim staviti s s k. Tada je: K j d m (j )! j, j,, m k ds k kj (s sk ) F(s) s s Sa poznatim koeficijentima K kj, inverzna transformacija funkcije postaje: k f (t) n k m k j (m K k kj t j)! m j s t k e k 48

52 LAPLASOE TANSFOMACJE TABLCA LAPLASOH TANSFOMACONH PAOA N o F(s) f(t), t 0 δ (t) n n, n,,3,... t s (n )! (s α) s n (s α) n n n t e (n )! e αt n αt k 0 αt γt e e (s α)(s γ) γ α s a o (s α)(s γ) (a o α)e n! ( α) k (n k)!(k!) αt (a γ α s a αt o [(a o α)t ] e (s α) (s α)(s γ)(s δ) αt o t k γ) e γt γt δt e e e ( γ α)( δ α) ( α γ)( δ γ) ( α δ)( γ δ) 9 0 (s αt α)s s ao (s α)(s γ)(s δ) e αt α αt γt δt (ao α)e (ao γ)e (ao δ)e ( γ α)( δ α) ( α γ)( δ γ) ( α δ)( γ δ) s a o a o α a o a o αt ( t )e (s α) s α α α sin( βt) s β β 49

53 LAPLASOE TANSFOMACJE s s s β s β s β (s α) β sh( βt) β cos(β t) ch( β t) αt e β sin( βt) s α αt e cos( βt ) (s α) β e δ ( t a) 0 as e as U(t a ) s as e ( t a)u(t a) s α(t a) e as e U(t a) s α e as (s α) (t a)e α(t a) U(t a) e as α(t a) γ(t a) e e (s α)(s γ) γ α as e U(t) U(t a) s e as e bs U(t a) U(t b) s as (s a)e ( t a)u(t a ) as a U(t a) 50

54 LAPLASOE TANSFOMACJE.) Odrediti zakon promene napona na otporniku 3 u kolu sa slike. posle zatvaranja prekidača S. Napon na kondenzatoru u trenutku zatvaranja prekidača S je v C (t 0 ) C const. ešenje: zmeđu napona na kondenzatoru i struje koja kroz njega protiče postoji veza: vc (t) ic (t) dt (..) C Primenom teoreme o integralu originala jednačina (..) postaje: C (s) sc C (s) C 0 ic s (t)dt Z C (s) C v (s) C (0 s ) (..) gde je Z C (s). z jednačine (..) sledi da se kondenzator sa sc početnim naponom v C (t 0 ) može prikazati kolom u kome je serijski sa v (t 0 ) kondenzatorom vezan idealan naponski izvor C, koji uzima u s obzir početne uslove (slika..). 5

55 LAPLASOE TANSFOMACJE Posle zatvaranja prekidača S kolo sa slike. izgleda kao kolo na slici... s Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike.. dobija se: ( ) (s) (s) (..3) C (s) 3 (s) (..4) s sc Eliminacijom struje (s) iz jednačina (..3) i (..4) dobija se: C ( ) ( ) 3 (s) s s sc (..5) odnosno: 5

56 LAPLASOE TANSFOMACJE 53 τ s (s) C 3 3 (..6) gde je 3 3 ) C( τ vremenska konstanta kola. Zakon promene napona na otporniku 3 je: ( ) τ s (s) (s) C o (..7) Primenom inverzne Laplasove transformacije zakon promene napona (t) v o je: ( ) τ t C o e (t) v (..8).) Odrediti zakon promene struje kroz otpornik u kolu sa slike. posle zatvaranja prekidača S. Pretpostaviti da je pre zatvaranja prekidača u kolu vladao ustaljen režim.

57 LAPLASOE TANSFOMACJE ešenje: zmeđu napona na induktivitetu i struje koja kroz njega protiče postoji veza: dil (t) vl (t) L (..) dt Primenom teoreme o izvodu originala jednačina (..) postaje: (s) sl (s) Li (0 ) Z (s) (s) Li (0 ) (..) L L L L L L gde je Z L (s) sl. z jednačine (..) sledi da se induktivitet sa početnom strujom i L (0 ) može prikazati kolom u kome je serijski sa zavojnicom vezan idealan naponski izvor Li L (0 ), koji uzima u obzir početne uslove (slika..). Kako je pre otvaranja prekidača S u kolu vladao ustaljen režim, struja kroz zavojnicu L neposredno pre otvaranja prekidača je: il (t 0 ) (..3) Neposredno po otvaranju prekidača struja kroz zavojnicu L se ne menja, odnosno: il (t 0 ) i (t 0 ) L (..4) 54

58 LAPLASOE TANSFOMACJE i Struja kroz zavojnicu L u trenutku zatvaranja prekidača S je: (t 0 ) 0 (..5) L Posle zatvaranja prekidača S kolo sa slike. izgleda kao kolo na slici... Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike.. dobija se: L (sl )L (s) (s) s L (..6) 0 (s) (sl ) (s) (..7) L L ešavanjem ovog sistema jednačina Kramerovim pravilom dobija se: sl sl (sl )(sl ) L L s (sl ) 0 sl s L sl L s 0 s sl L L L s LL 55

59 LAPLASOE TANSFOMACJE 56 Struja kroz otpornik je: L L L L s L L L L L s s L (s) (..8) Zakon promene struje i(t) je: [ ] t L L L L t L L L L e L L L L e L (s) L i(t) (..9) odnosno: t L L L L e L L L L L (t) i (..0).3) Odrediti zakon promene struje kroz generator u kola sa slike.3 posle zatvaranja prekidača S. Pretpostaviti da je pre zatvaranja prekidača u kolu vladao ustaljen režim.

60 LAPLASOE TANSFOMACJE ešenje: Kako je pre zatvaranja prekidača S u kolu vladao ustaljen režim, struja ne teče kroz kondenzator C, a pad napona na zavojnici L je nula. Zato je: i v L (t 0 ) (.3.) C (t 0 ) (.3.) Prilikom zatvaranja prekidača struja kroz zavojnici i napon na kondenzator se ne menjaju trenutno, odnosno: i v L C (t (t ) (.3.3) 0 ) il (t 0 0 ) vc (t 0 ) (.3.4) Posle zatvaranja prekidača S kolo sa slike.3 izgleda kao na slici.3.. Sa slike.3. se vidi da je: (s) (s) (s) (.3.5) 57

61 LAPLASOE TANSFOMACJE 58 gde su: L s s )L ( s L s s L s sl L s (s) (.3.6) C s ) ( sc s s (s) (.3.7) Primenom inverzne Laplasove transformacije dobija se: [ ] t L t L e e L L (s) L (t) i (.3.8) [ ] C t 3 3 e ) ( (s) L (t) i (.3.9) Zakon promene struje kroz generator je: t C 3 t L 3 e e (t) i (t) i (t) i (.3.0)

62 LAPLASOE TANSFOMACJE.4) Za C filtere propusnike niskih učestanosti sa slike.4 izračunati: a) prenosnu funkciju b) amplitudno frekventnu karakteristiku c) gornju graničnu frekvenciju i nacrtati amplitudno frekventnu karakteristiku ešenje: Prenosna funkcija je definisana odnosom kompleksnih funkcija odziva i pobude pri nultim početnim uslovima. Ona je potpuno određena strukturom sistema i parametrima koji sačinjavaju sistem. a) Prenosna funkcija kola sa slike.4.a je: o (s) ZC(s) G(s) (.4.) (s) Z (s) gde je i C Z C (s). Prenosna funkcija je: sc sc C ωo G(s), s s ωo sc C Smenom s jω jednačina (.4.) postaje: ω o (.4.) C 59

63 LAPLASOE TANSFOMACJE ωo G(jω ) (.4.3) jω ω ω o j ω o b) amplitudno frekventna karakteristika kola sa slike.4.a je: G(jω ) (.4.4) ω ωo pri čemu je: G (jω) 0 i G(j ω ) 0. ω ω c) Grafik amplitudno frekventne karakteristike prikazan je na slici.4.. Frekvencija ω ωh na kojoj je G(jω H ) naziva se gornja granična frekvencija. z jednačine (.4.4) sledi da je ω H ωo. C a) Prenosna funkcija kola sa slike.4.b je: o (s) ZC(s) G(s) (.4.5) (s) Z (s) i C 60

64 LAPLASOE TANSFOMACJE odnosno: s sc C s ωz G(s) a (.4.6) s p s ω sc C( ) gde su: ω z, C ω p ω p, a < C( ) ω Smenom s jω jednačina (.4.6) postaje: p jω ωz G(jω ) a (.4.7) jω ω b) Amplitudno frekventna karakteristika kola sa slike.4.b je: z z p ω ω G(jω ) a (.4.8) ω ω pri čemu je: G (jω) a, G(j ω ) 0. ω ω c) Grafik amplitudno frekventne karakteristike prikazan je na slici.4.. 6

65 LAPLASOE TANSFOMACJE Gornja granična frekvencija ω H se određuje iz uslova da je: G(jω) ωω H ω H a H ω ω p p ω, odnosno ω H ω p a. Postoji samo za a <..5) Za C filtere propusnike visokih učestanosti sa slike.5 izračunati: a) prenosnu funkciju b) amplitudno frekventnu karakteristiku c) donju graničnu frekvenciju i nacrtati amplitudno frekventnu karakteristiku ešenje: a) Prenosna funkcija kola sa slike.5.a je: o (s) G(s) (.5.) (s) Z (s) i gde je Z C (s). Prenosna funkcija je: sc C 6

66 LAPLASOE TANSFOMACJE s s G(s), s s ωo sc C Smenom s jω jednačina (.5.) postaje: ω o (.5.) C jω G (jω) (.5.3) jω ω ω o o j ω b) amplitudno frekventna karakteristika kola sa slike.5.a je: G(jω ) (.5.4) ωo ω pri čemu je: G (jω) i G(j ω ) 0 0. ω ω c) Grafik amplitudno frekventne karakteristike prikazan je na slici.5.. Frekvencija ω ωl na kojoj je G(jωL ) naziva se donja granična frekvencija. z jednačine (.5.4) sledi da je ω L ωo. C 63

67 LAPLASOE TANSFOMACJE a) Prenosna funkcija kola sa slike.5.b je: o (s) G(s) (.5.5) (s) Z (s) i C odnosno: s C s ωz G(s) s p s ω sc sc C (.5.6) ωz gde su: ω z, ω p, C C ωp a < Smenom s jω jednačina (.5.6) postaje: p jω ωz G(jω ) (.5.7) jω ω b) Amplitudno frekventa karakteristika kola sa slike.5.b je: z p ω ω G(jω ) (.5.8) ω ω pri čemu je: G (jω), G(j ω ) a 0. ω ω c) Grafik amplitudno frekventne karakteristike prikazan je na slici.5.. Donja granična frekvencija ω L se određuje iz uslova da je: G(jω) ωω L ω ω L L ω ω z p ω L L ω a ωp ωp, tj. za ω ω a. L p Postoji samo za a <. 64

68 LAPLASOE TANSFOMACJE.6) Za naponski delitelj sa slike.6: a) zračunati prenosnu funkciju b) zračunati i nacrtati amlitudno frekventnu karakteristiku za: i) C < C ii) C > C iii) C C 65

69 LAPLASOE TANSFOMACJE 66 ešenje: a) Prenosna funkcija kola sa slike.6 je: (s) Z (s) Z (s) Z (s) (s) G(s) i o (.6.) gde su: C s sc (s) Z C s sc (s) Z Prenosna funkcija je: ) C (C s C s C s C s C s G(s) (.6.) odnosno: p z s s a G(s) ω ω (.6.3) gde su: z C ω, ) C (C p ω, a Smenom s jω jednačina (.6.3) postaje: p z j j a ) G(j ω ω ω ω ω (.6.4)

70 LAPLASOE TANSFOMACJE 67 b) Amplitudno frekventna karakteristika kola sa slike.6 je: p z a ) G(j ω ω ω ω ω (.6.5) i) Za C C < sledi da je: C ) ( C C C C C ) C (C < odnosno z p ω < ω. Grafik amplitudno frekventna karakteristika je prikazana na slici.6.. z jednačine (.6.5) sledi da je a a ) G(j z p < ω ω ω ω i a ) G(j ω 0 ω.

71 LAPLASOE TANSFOMACJE ii) Za C > C sledi da je ω p > ωz. Grafik amplitudno frekventna karakteristika je prikazana na slici.6.. z jednačine (.6.4) sledi da je: G(jω) ω ω a ω p > z a i G(j ω ) a 0 ω iii) Za C C iz jednačine (.6.4) sledi da je G(jω ) prikazana na slici.6.3. a. Grafik amplitudno frekventna karakteristika je 68

72 LAPLASOE TANSFOMACJE.7) Odrediti zakon promene izlaznog napona C kola sa slike.7. ako se od trenutka t 0 pobuđuje naponom prikazanim na slici.7.. ešenje: Ulazni napon je definisan na sledeći način: (t) v i at 0 0 t < T T t T t > T a (.7.) T Ulazni napon može se predstaviti superpozicijom tri međusobno nezavisna napona prikazanim na slici

73 LAPLASOE TANSFOMACJE gde su: v (t) atu(t) (.7.) (t) v (t) v 3 a(t T)U(t T) (.7.3) U(t T) (.7.4) Ulazni napon je: vi (t) v(t) v (t) v3(t) atu(t) a(t T)U(t T) U(t T) (.7.5) Primenom direktne Laplasove transformacije jednačina (.7.5) postaje: a a st at st i (s) L[ vi (t)] e e (.7.6) s s s Prenosna funkcija C kola sa slike.7. je: G (s), τ C (.7.7) τ s τ zlazni napon je: a a st at st o(s) G(s) i(s) e e (.7.8) τ s s s s τ Zakon promene izlaznog napona sa vremenom je: v o (t) aτ e at e t τ t T τ t U(t) aτ e τ U(t T) t T τ t T U(t T) τ (.7.9) 70

74 LAPLASOE TANSFOMACJE.8) Odrediti zakon promene izlaznog napona C kola sa slike.8. ako se od trenutka t 0 pobuđuje naponom prikazanim na slici.8.. ešenje: Ulazni napon je dat superpozicijom dva međusobno nezavisna napona: vi i i (t) v (t) v (t) (.8.) gde su: v (t) i at 0 0 t < T t > T a (.8.) T v (t) i a(t T) 0 T t T t > T a (.8.3) T Napon v i (t) može se predstaviti superpozicijom tri međusobno nezavisna napona prikazanim na slici.8.3. Napon v i (t) može se predstaviti superpozicijom tri međusobno nezavisna napona prikazanim na slici

75 LAPLASOE TANSFOMACJE Napon v i (t) je: vi(t) v(t) v (t) v3(t) atu(t) a(t T)U(t T) U(t T) Napon v i (t) je: vi (t) v4 (t) v5 (t) v6 (t) a(t T)U(t T) U(t T) a(t T)U(t T) (.8.4) (.8.5) (t) v i z jednačina (.8.4) i (.8.5) sledi da je ulazni napon: atu(t) a(t T)U(t T) a(t T)U(t T) (.8.6) Primenom direktne Laplasove transformacije jednačina (.8.6) postaje: a a st a st i(s) L[ vi(t) ] e e (.8.7) s s s Prenosna funkcija kola sa slike.8. je: s G(s), τ C (.8.8) s τ 7

76 LAPLASOE TANSFOMACJE zlazni napon je: st st e e o (s) G(s) i (s) a a a (.8.9) s s s s s s τ τ τ v o Zakon promene izlaznog napona sa vremenom je: (t) aτ e U(t) aτ e U(t T) aτ e t t T t τ τ T τ U(t T) 73

77 TANZSTO 3. TANZSTO Tranzistori su aktivni elementi koji prenose na potrošač veću snagu od one koju ulaže pobudni generator, na račun snage koju ulaže jednosmerni izvor za napajanje. Pored korišćenja u pojačavačkim kolima, tranzistori se koriste i u impulsnim i digitalnim kolima, pošto se brzo mogu prevesti iz stanja koje predstavlja približno kratak spoj, u stanje koje predstavlja otvorena vezu. Postoje dva tipa tranzistora: bipolarni tranzistori (BJT - tranzistori ) i tranzistori sa efektom polja ( FET - tranzistori ). BPOLAN TANZSTO Bipolarni tranzistori su elementi sa tri izvoda: baza B, emitor E i kolektor C. zrađuju se u dva oblika PNP i NPN čiji su simboli prikazani na slici. Da bi tranzistor radio kao linearni pojačavač potrebno je da spoj baza emitor bude direktno polarisan, a spoj baza kolektor inverzno polarisan. eza između jednosmernih struja tranzistora u ovom režimu je: C β B i E (β) B, gde je β koeficijenat strujnog pojačanja. sti odnos važi i za naizmenične struje, odnosno: c β b i e (β) b. 74

78 TANZSTO Na slici je data zavisnost struje kolektora C od napona CE za razne vrednosti struje baze. Napon CE ima veliki uticaj na struju kolektora u dve oblasti: za veoma male napone CE (0. do 0.3 ) kada tranzistor radi u zasićenju (slika a) i za velike napone (5 do 50 ) kada nastupa proboj (slika b). zmeđu ove dve oblasti tranzistor radi u aktivnom režimu i napon CE manje utiče na struju C. Struja C ima svoju minimalnu i maksimalnu vrednost. Minimalna vrednost određena je uslovom da se tranzistor ne zakoči, a maksimalna je određena maksimalno dozvoljenom disipacijom P Dmax ( CE C ) max. 75

79 TANZSTO U pojačavačkim kolima sa bipolarnim tranzistorima jednosmerno stanje napona i struja u kolu je opisano radnom tačkom Q (mirnom tačkom), koja predstavlja stanje napona i struja na krajevima tranzistora u odsustvu promenjivog signala na ulazu pojačavačkog kola (slika 3). adna tačka leži na radnoj pravi. Kada na ulaz pojačavačkog kola deluje promenjiv signal, naponi i struje na krajevima tranzistora ne ostaju na vrednostima datim radnom tačkom, već se menjaju duž radne prave. Za radnu tačku tranzistora u pojačavačkim kolima se može odabrati bilo koja tačka na radnoj pravi, u granicama dozvoljenih napona i struja. U linearnim pojačavačkim kolima radnu tačku treba postaviti na sredini radne prave tako da promena ulaznog signala ne dovede do izobličenja izlaznog signala. 76

80 TANZSTO Na slici 3 je prikazana uticaj sinusne promene struje baze na položaj radne tačke. Pojačavačka kolo sa bipolarnim tranzistorima rade u linearnom režimu samo za male promene signala u okolini radne tačke Q. TANZSTO SA EFEKTOM POLJA Tranzistori sa efektom polja su elementi sa tri izvoda: gejt G, sors S i drejn D. Dve osnovne vrste tranzistora sa efektom polja su JFET i MOSFET. JFET - ovi mogu biti N - kanalni (slika 4a) ili P - kanalni (slika 4b). Na slici 5 je za N - kanalni JFET data zavisnost struje drejna D od napona DS za razne vrednosti napona GS. Na slici je ucrtana linija DS GS P, gde je P napon praga provođenja. Da bi pojačavač sa JFET - om radio kao linearni pojačavač mirnu radnu tačku treba postaviti desno od ove linije, odnosno za N - kanalni JFET treba da važi DS GS P. 77

81 TANZSTO 78

82 TANZSTO 3.) U pojačavaču sa zajedničkim emitorom sa slike 3. odrediti jednosmerne struje kolektora C, emitora E i baze B, kao i jednosmerne napone na kolektoru C, emitoru E i bazi B. Poznato je: 5 kω, 5 kω, C 4 kω, E kω, C µf, C µf, CC 5, BE 0.6, β 00. ešenje: Da bi odredili jednosmerne struje i jednosmerne napone u kolu potrebno je odrediti baznu struju. Kada je tranzistor u aktivnom režimu (spoj baza emitor direktno polarisan, a spoj baza kolektor inverzno polarisan), određivanjem struje baze, određene su i sve struje i naponi u kolu. Kondenzatori C i C su prazni pre uključenja jednosmernog napajanja CC. Kada se uključi jednosmerno napajanje kondenzatori se u prelaznom režimu pune do napona koji su određeni elementima kola kroz koje teče struja u stacionarnom stanju. Kondenzator C onemogućava prolaz jednosmerne struje kroz pobudni generator i, a kondezator C 79

83 TANZSTO onemogućava prolaz jednosmerne struje kroz potrošač. Za jednosmerni režim rada kolo sa slike 3. može se prikazati kolom na slici 3.., pri čemu je bazno kolo ( CC,, ) predstavljeno pomoću ekvivaletnog Tevenenovog kola. Prema Tevenenovoj teoremi je: CC 3.75 (3..) Th Th 3.75 Ω k (3..) Zbir padova napona po konturi baza emitor daje: 0 (3..3) Th Th B BE E E Kako je: ( β ) (3..4) E B z jednačina (3..3) i (3..4) sledi da je bazna struja: 80

84 TANZSTO B Th BE A (3..5) ( β ) Tada je: Th E C β B A E ( β ) B B Th ThB Th 3.75 E B BE 3.5 C CC C C 9 A 3.) Za pojačavač sa zajedničkim emitorom sa slike 3. izračunati: a) Naponsko pojačanje G o i b) Objasniti zašto ne valja uzemljiti emitor Poznato je: 0 kω, 0 kω, C 0 kω, E kω, CC 5, BE 0.6, β 00, C. 8

85 TANZSTO ešenje: Kako C, Z C 0, kondenzator C predstavlja kratku vezu za jωc naizmeničnu struju. Za naizmenični režim kolo sa slike 3. može se prikazati kolom na slici 3... a) Naponsko pojačanje je: o G (3..) gde su: o i (3..) i be C c (3..3) m E e e be (3..4) g Transkonduktansa g m povezana je sa otporom emitora relacijom g m. Transkonduktansa g m data je relacijom: r e 8

86 TANZSTO C g m (3..5) T gde su: kt T (3..6) e k JK Bolcmanova konstanta e C elementarno naelektrisanje T apsolutna temperatura Na sobnoj temperaturi T 5 m. Jednosmerna struja kolektora je data relacijom (videti prethodni zadatak): β(cc BE ) 3. ma (3..7) ( β ) E C i A Tada je transkonduktansa g m 0.3. z jednačina (3..3) i (3..4) sledi da je: g m E ( E )e e (3..8) g g m Kako je: m β c e e (3..9) β naponsko pojačanje je : g m C G 4.98 (3..0) g m E Kako je g m E >> naponsko pojačanje je: 83

87 TANZSTO C G (3..) E b) Kod pojačavača sa zajedničkim emitorom naponsko pojačanje zavisi od odnosa otpornika C i E. U slučaju kada je E 0 (pojačavač sa uzemljenim emitorom) naponsko pojačanje bi bili veoma veliko C G gmc. Međutim, otpornost r e je veoma zavisna od promene r e temperature ambijenta i od mirne radne tačke, odnosno jednosmerne struje kolektora C (jednačina (3..5)). Struja kolektora je: BE e T (3..) C S i sa promenom ulaznog napona menja se struja C, a samim tim i r e. Zato pojačanje ovog stepena zavisi od trenutne vrednosti napona na ulazu, pa će napon na izlazu biti deformisan. Pojačavač sa uzemljenim emiterom je nepodesan za polarizaciju. Sa promenom temperature, pri konstantnoj struji C, napon BE se smanjuje za oko. m / o C (napon BE je proporcionalan sa ). Zbog toga struja C raste sa porastom temperature T (za faktor 0 sa porastom temperature za 30 o C), i male promene temperature mogu da dovedu pojačavač u saturaciju. Zato se ne koristi često pojačavač sa uzemljenim emiterom. 3.3) Dizajnirati pojačavač sa zajedničkim emitorom koji ima pojačanje G 00 i koji se napaja iz izvora CC 5. Struju kolektora u mirnoj radnoj tački postaviti na C 0.5 ma, a graničnu učestanost ulaznog kola postaviti na f g 00 Hz. adi temperaturne stabilnosti napon na emitoru u 84

88 TANZSTO mirnoj radnoj tački postaviti na E. Objasniti ulogu svih elemenata u kolu. Poznato je: β 00, BE 0.6. ešenje: Na slici 3.3. je prikazana realizacija pojačavača sa zajedničkim emitorom sa NPN tranzistorom. Otpornici i vrše polarizaciju baze. Otpornik E određuje jednosmerni napon na emitoru i zajedno sa otpornikom C određuje jednosmernu struju kolektora u mirnoj radnoj tački. Otpornik reguliše naponsko pojačanje. Kondenzator C onemogućava prolaz jednosmerne struje kroz pobudni generator, a kondenzator C onemogućava prolaz jednosmerne struje kroz otpornik i predstavlja kratku vezu za naizmeničan signal. Za jednosmerni režim rada kolo sa slike 3.3. izgleda kao kolo na slici

89 TANZSTO Jednosmerni napon CE treba postaviti na polovini napona napajanja CC (sredina radne prave) da bi se dobio maksimalno neizobličen signal na izlazu. CC CE (3.3.) Sa slike 3.3. se vidi da je: 0 (3.3.) CC C C CE E E E Kako je: (3.3.3) C B C z jednačina (3.3.), (3.3.) i (3.3.3) sledi da je: CC C C E ( ) (3.3.4) E Jednosmerni napon na emitoru je: (3.3.5) E E Tada je: E C 86

90 TANZSTO E E kω (3.3.6) C z jednačina (3.3.4) i (3.3.6) sledi da je: CC C E 3 kω (3.3.7) C Jednosmerni napon na bazi je:.6 (3.3.8) B E BE Otpornike i treba odabrati tako da jednosmerna struja baze bude mnogo manja (obično 0 puta) u odnosu na struju kroz razdelnik napona,. Tada je i struja je: CC C C 0B 0 (3.3.9) β 0 B Jednosmerni napon na bazi je tada: CC (3.3.0) z jednačine (3.3.9) sledi da je: 0CC 300 kω (3.3.) C z jednačina (3.3.0) i (3.3.) sledi da je: B ( ) 3 kω (3.3.) CC 68 kω (3.3.3) Za naimenični režim kolo sa slike 3.3. može se prikazati kolom na slici Naponsko pojačanje je: 87

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE ODSEK ZA SOFTVERSKO INŽENJERSTVO LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR 1. 2. IME I PREZIME BR. INDEKSA GRUPA

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA OSNOVI ELEKTRONIKE

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA OSNOVI ELEKTRONIKE ELEKTRONSKI FAKULTET NIŠ KATEDRA ZA ELEKTRONIKU predmet: OSNOVI ELEKTRONIKE studijske grupe: EMT, EKM Godina 2014/2015 RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA OSNOVI ELEKTRONIKE 1 1. ZADATAK Na slici je prikazano električno

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) II deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) II deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) II deo Miloš Marjanović Bipolarni tranzistor kao prekidač BIPOLARNI TRANZISTORI ZADATAK 16. U kolu sa slike bipolarni

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11.

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11. OSNOVE EEKTOTEHNKE Vježba... Za redno rezonantno kolo, prikazano na slici. je poznato E V, =Ω, =Ω, =Ω kao i rezonantna učestanost f =5kHz. zračunati: a) kompleksnu struju u kolu kao i kompleksne napone

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

MAGNETNO SPREGNUTA KOLA

MAGNETNO SPREGNUTA KOLA MAGNETNO SPEGNTA KOA Zadatak broj. Parametri mreže predstavljene na slici su otpornost otpornika, induktivitet zavojnica, te koeficijent manetne spree zavojnica k. Ako je na krajeve mreže -' priključen

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Snage u kolima naizmjenične struje

Snage u kolima naizmjenične struje Snage u kolima naizmjenične struje U naizmjeničnim kolima struje i naponi su vremenski promjenljive veličine pa će i snaga koja se isporučuje potrošaču biti vremenski promjenljiva Ta snaga naziva se trenutna

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja električnih strujnih krugova

Metode rješavanja električnih strujnih krugova Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Metode rješavanja električnih strujnih krugova snovni pojmovi rana električne mreže (g) dio mreže

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Osnove mikroelektronike

Osnove mikroelektronike Osnove mikroelektronike Z. Prijić T. Pešić Elektronski fakultet Niš Katedra za mikroelektroniku Predavanja 2006. Sadržaj Bipolarni tranzistor 1 Bipolarni tranzistor 2 Ebers-Molov model Strujno-naponske

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Elektronički Elementi i Sklopovi

Elektronički Elementi i Sklopovi Sadržaj predavanja: 1. Strujna zrcala pomoću BJT tranzistora 2. Strujni izvori sa BJT tranzistorima 3. Tranzistor kao sklopka 4. Stabilizacija radne točke 5. Praktični sklopovi s tranzistorima Strujno

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

ISTOSMJERNE STRUJE 3 ANALIZA LINEARNIH ELEKTRIČNIH MREŽA

ISTOSMJERNE STRUJE 3 ANALIZA LINEARNIH ELEKTRIČNIH MREŽA STOSMJN STUJ ANALZA LNANH LKTČNH MŽA Saržaj preavanja. Uvo. zravna primjena Kirchhoffovih zakona. Metoa napona čvorova. Metoa konturnih struja 5. Metoa superpozicije. Theveninov teorem. Nortonov teorem

Διαβάστε περισσότερα

NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ)

NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ) NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ) Trenutna vrednost naizmeničnog napona: u(t) = U max sin(ωt + θ) Trenutna vrednost naizmenične struje:

Διαβάστε περισσότερα

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1 OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Odredivanje odziva u električnim kolima

Odredivanje odziva u električnim kolima Odredivanje odziva u električnim kolima 28. oktobar 2015 Kada se u električno kolo uključe naponski ili strujni generatori dolazi do promjene stanja kola. Na elementima kola se javljaju naponi, a kroz

Διαβάστε περισσότερα

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE 2. METOE RJEŠVNJ STRUJNH KRUGOV STOSMJERNE STRUJE U svrhu lakšeg snalaženja u analizi složenih strujnih krugova i električnih mreža uvode se nazivi za pojedine dijelove mreže. Onaj dio električne mreže

Διαβάστε περισσότερα

POJAČAVAČI VELIKIH SIGNALA (drugi deo)

POJAČAVAČI VELIKIH SIGNALA (drugi deo) OJAČAAČI ELIKIH SIGNALA (drugi deo) Obrtači faze 0. decembar 0. ojačavači velikih signala 0. decembar 0. ojačavači velikih signala Obrtači faze Diferencijalni pojačavač sa nesimetričnim ulazom. Rc Rb Rb

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije Glava 1 Z transformacija 1.1 Pojam z transformacije U elektrotehnici se vrlo često susrećemo sa signalima koji su diskretnog tipa. To znači da je radimo sa signalima koji su zadati svoji vrednostima samo

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ELEKTRONIKA VEŽBA BROJ 4 ANALIZA AKTIVNIH FILTARA SA JEDNIM OPERACIONIM POJAČAVAČEM

LINEARNA ELEKTRONIKA VEŽBA BROJ 4 ANALIZA AKTIVNIH FILTARA SA JEDNIM OPERACIONIM POJAČAVAČEM ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU LINEARNA ELEKTRONIKA LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 4 ANALIZA AKTIVNIH FILTARA SA JEDNIM OPERACIONIM POJAČAVAČEM.. IME I PREZIME BR. INDEKSA

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Pojačavač snage. Autori: prof. dr Predrag Petković, dr Srđan Đorđević,

2.2 Pojačavač snage. Autori: prof. dr Predrag Petković, dr Srđan Đorđević, 2.2 Pojačavač snage Autori: prof. dr Predrag Petković, dr Srđan Đorđević, 2.2.1 Cilj vežbe Ova vežba treba da omugući studentima da sagledaju osobine pojačavača velikih signala koji rade u klasi AB i B.

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Dr Miodrag Popović. Osnovi elektronike. za studente Odseka za softversko inženjerstvo. Elektrotehnički fakultet Beograd, 2006.

Dr Miodrag Popović. Osnovi elektronike. za studente Odseka za softversko inženjerstvo. Elektrotehnički fakultet Beograd, 2006. Dr Miodrag Popović Osnovi elektronike za studente Odseka za softversko inženjerstvo Elektrotehnički fakultet Beograd, 2006. Sadržaj 1. UOD... 1 1.1 Šta je to elektrotehnika?... 1 1.2 Oblasti elektrotehnike:...

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t) Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje Hijavata 1 Predgovor Pismeni ispit iz matematike 3 obuhvata

Διαβάστε περισσότερα

Analiza linearnih mreža istosmjerne struje

Analiza linearnih mreža istosmjerne struje . Analiza linearnih mreža istosmjerne struje.. Električna mreža i njezini elementi Složen strujni krug koji se sastoji od više različitih pasivnih i aktivnih elemenata zove se mreža. Pasivni elementi mreže

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Karakteristične kontinualne funkcije Laplasova transformacija

Karakteristične kontinualne funkcije Laplasova transformacija Karakteristične kontinualne funkcije Laplasova transformacija Signali Fizikalne karakteristike signala ćemo opisati matematičkim modelima koji će s dovoljno tačnosti prikazati osnovna svojstva realnih

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1. U temenima kvadrata stranice a (Sl.1) nalaze se mala tela istoimene količine 11. naelektrisanja Q 4 10

Zadatak 1. U temenima kvadrata stranice a (Sl.1) nalaze se mala tela istoimene količine 11. naelektrisanja Q 4 10 adatak temenima kvadrata stranice a (Sl) nalaze se mala tela istoimene količine naelektrisanja Q 0 C u vakumu Koliku količinu elektriciteta negativnog znaka treba postaviti u tačku preseka dijagonala da

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Neodred eni integrali

Neodred eni integrali Neodred eni integrali Definicija. Za funkciju F : I R, gde je I interval, kažemo da je primitivna funkcija funkcije f : I R ako je za svako I. F () f() Teorema 1. Ako je F : I R primitivna funkcija za

Διαβάστε περισσότερα

Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna i logaritamska funkcija 16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

Aneta Prijić Poluprovodničke komponente

Aneta Prijić Poluprovodničke komponente Aneta Prijić Poluprovodničke komponente Modul Elektronske komponente i mikrosistemi (IV semestar) Studijski program: Elektrotehnika i računarstvo Broj ESPB: 6 JFET (Junction Field Effect Transistor) -

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

PRAKTIKUM ZA IZVOĐENJE LABORATORIJSKIH VEŽBANJA IZ PREDMETA:

PRAKTIKUM ZA IZVOĐENJE LABORATORIJSKIH VEŽBANJA IZ PREDMETA: ELEKTRONSKI FAKULTET NIŠ KATEDRA ZA ELEKTRONIKU predmet: ELEKTRONIKA Godina 2006/2007 PRAKTIKUM ZA IZVOĐENJE LABORATORIJSKIH VEŽBANJA IZ PREDMETA: ELEKTRONIKA (SGE, SGMIM, SGUS) ELEKTRONIKA U TELEKOMUNIKACIJAMA

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Glava 3 INSTRUMENTACIONI POJAČAVAČI

Glava 3 INSTRUMENTACIONI POJAČAVAČI ioje Đurić - Osnoi analogne elektronike Glaa 3 NSTUMENTACON POJAČAVAČ ETF u eogru - Osek za elektroniku 3 nstrumentacioni pojačaači 33 X G Slika 3 A 3 Na ulaz instrumentacionog pojačaača sa slike 3 ooi

Διαβάστε περισσότερα

PRAKTIKUM ZA LABORATORIJSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) Aneta Prijić Miloš Marjanović

PRAKTIKUM ZA LABORATORIJSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) Aneta Prijić Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet PRAKTIKUM ZA LABORATORIJSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) Aneta Prijić Miloš Marjanović SPISAK VEŽBI 1. Ispravljačka diodna

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Osnove mikroelektronike

Osnove mikroelektronike Osnove mikroelektronike Z. Prijić T. Pešić Elektronski fakultet Niš Katedra za mikroelektroniku Predavanja 2006. Sadržaj 1 MOSFET - model za male signale 2 Struja kroz i disipacija snage Model za male

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

PRAKTIKUM ZA LABORATORIJSKE VJEŽBE IZ ELEKTRONIKE

PRAKTIKUM ZA LABORATORIJSKE VJEŽBE IZ ELEKTRONIKE TEHNIČKI ŠKOLSKI CENTAR ZVORNIK PRAKTIKUM ZA LABORATORIJSKE VJEŽBE IZ ELEKTRONIKE II RAZRED Zanimanje: Tehničar računarstva MODUL 3 (1 čas nedeljno, 36 sedmica) PREDMETNI PROFESOR: Biljana Vidaković 0

Διαβάστε περισσότερα

L E M I L I C E LEMILICA WELLER WHS40. LEMILICA WELLER SP25 220V 25W Karakteristike: 220V, 25W, VRH 4,5 mm Tip: LEMILICA WELLER. Tip: LEMILICA WELLER

L E M I L I C E LEMILICA WELLER WHS40. LEMILICA WELLER SP25 220V 25W Karakteristike: 220V, 25W, VRH 4,5 mm Tip: LEMILICA WELLER. Tip: LEMILICA WELLER L E M I L I C E LEMILICA WELLER SP25 220V 25W Karakteristike: 220V, 25W, VRH 4,5 mm LEMILICA WELLER SP40 220V 40W Karakteristike: 220V, 40W, VRH 6,3 mm LEMILICA WELLER SP80 220V 80W Karakteristike: 220V,

Διαβάστε περισσότερα