Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ΚΕΦ4 -1- ΑNIΧΝΕΥΣΗ ΑΚΜΩΝ (EDGE DETECTION)
|
|
- Σατάν Γαλάνη
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 -- ΑNIΧΝΕΥΣΗ ΑΚΜΩΝ (EDGE DETECTION) 4. Εισαγωγικά Ακµή ή περίγραµµα (edge) σε µια εικόνα Χ ij ορίζεται ως το σύνολο των σηµείων στη θέση i,j της εικόνας, όπου παρατηρείται µία σηµαντική αλλαγή της έντασης ή του χρώµατος της εικόνας. Το µέγεθος της µεταβολής αυτής αποτελεί το ύψος της ακµής. Ανιχνευτής ακµής (Edge detector) είναι ο αλγόριθµος που βρίσκει σε µία εικόνα το σύνολο των σηµείων Χ ij Το αποτέλεσµα της ανίχνευσης ακµών είναι η δηµιουργία ενός χάρτη (edge map) που συνήθως παρουσιάζεται σαν µια καινούργια εικόνα µε ένταση (συνήθως) ανάλογη του ύψους της ακµής. Στο χάρτη ακµών υπάρχουν πραγµατικές και λανθασµένες ακµές. Οι βασικές µέθοδοι ευρεσης των ακµών - περιγραµµάτων είναι οι εξής Με την πρώτη παράγωγο ( Βάθµωση - Gradient) Με την Laplacian Με την Laplacian of Gaussian - LoG Mε άλλες µεθόδους (Difference of Gaussian - DoG κλπ) Ιδανικές και πραγµατικές ακµές Στο επόµενο σχήµα 4. δεικνύεται το προφίλ τριών χαρακτηριστικών περιπτώσεων ιδανικών ακµών. Στην πραγµατικότητα οι ιδανικές ακµές έχουν πολύ περισσότερες µορφές µε βασικό χαρακτηριστικό την απότοµη µεταβολή της έντασης ή του χρώµατος. (α) (β) (γ) Σχήµα 4. (α) ιδανική βηµατική ακµή (step), (β) ράµπα (ramp), (γ) ακµή τύπου οροφής (roof)
2 -- Εάν όµως δούµε µία πραγµατική ακµή θα διαπιστώσουµε ότι δεν υφίστανται τόσο καλά οργανωµένες και µε τέτοια οξύτητα ακµές. Πραγµατικές ακµές δεικνύονται στο σχήµα 4.(β) και προέρχονται απο µία οριζόντια γραµµή της εικόνας του σχ. 4.(α) τιµή έντασης απόσταση σε pixels Σχήµα 4. (α) Η εικόνα και η γραµµή της οποίας το προφίλ δεικνύεται στο (β) (α) (β) 4. Μια πρώτη προσέγγιση της διαδικασίας ανίχνευσης ακµών Η ανίχνευση ακµής βασίζεται στην εύρεση των σηµείων που η παράγωγος της έντασης ως προς την απόσταση είναι µέγιστη. Η διαδικασία αυτή γίνεται σε δύο στάδια: πρώτα υπολογίζεται η παράγωγος και στη συνέχεια ανιχνεύονται τα σηµεία µεγάλης τιµής µε ένα κατώφλιο. Σε µία δεύτερη προσέγγιση ανιχνεύονται ως ακµές τα σηµεία που η δεύτερη παράγωγος µεταβάλλεται από θετικές σε αρνητικές τιµές (ή αντίστροφα) και λαµβάνει µηδενική τιµή. f(x) x o f'(x) Κατώφλιο και παχος f''(x) Σχήµα 4. 3 Η συνάρτηση εντάσεως f(x) έχει πρώτη παράγωγο f'(x) και δεύτερη f''(x). Oλα τα σηµεία f'(x) πάνω απο το κατώφλιο θεωρούνται σηµεία ακµής. Αντίθετα ένα µόνο σηµείο υπάρχει όπου f''(x)
3 -3- Eνα τυπικό σύστηµα ανίχνευσης ακµής που υλοποιεί την διαδικασία ευρέσεως ακµής µε παράγωγο (Gradient) και κατώφλιο δεικνύεται στο επόµενο σχήµα 4.4 f(x) [.] [f(x)] >κατωφλιο Ναι Edge Χαρτης στο(x ο,y o ) ακµών Όχι (x ο,y o ) εν είναι σηµείο ακµής Σχήµα 4. 4 Στον αρχικό υπολογισµό του Gradient υπολογίζεται η απόλυτητιµή και στη συνέχεια θεωρείται σηµείο ακµής εάν η τιµή f(x) είναι µεγαλύτερη απο ένα κατώφλιο 4.3 Α µέθοδος η παράγωγος (Βάθµωση - Gradient) Το gradient (βαθµωση) G υπολογίζεται ως το διάνυσµα µε συνιστώσες τις µερικές παραγώγους της εντάσεως f(x,y) ως προς την οριζόντια και κάθετη µετατόπιση. G G{f (x,y)} G x y f x f y Το µέτρο του G υπολογίζεται ως : [ ] / R x y (4.) G G + G (4.) και µία καλή προσέγγιση είναι: G G + G (4.3) A x y Aποδεικνύεται εύκολα ότι G R G A G R (4.4) Η γωνία του G υπολογίζεται ως : G G x θ tan (4.5) y
4 -4- Στο προηγούµενο σχήµα δεικνύεται ο υπολογισµός του Gradient G f (f x,f y ) για ένα τµήµα της εικόνας που περικλείεται στο παράθυρο 3x3 και που το κεντρικό pixel βρίσκεται ακριβώς επάνω στην ακµή. H υλοποίηση των παραγώγων (4.) γίνεται µε διαφόρους τρόπους (αριθµητικές µεθόδους) και κάθε τρόπος υπολογισµού αντιστοιχεί σε µία µάσκα συνέλιξης (παράθυρο ή τελεστής). Πρίν υπεισέλθουµε στους διαφόρους τύπους των µασκών - παραθύρων θα πρέπει να τονισθεί ότι κάθε µέθοδος ευρέσεως παραγώγου θα πρέπει να ακολουθείται απο κατωφλιοποίηση. Και επίσης ότι υψηλή τιµή κατωφλίου δίνει λεπτές γραµµές περιγραµµάτων αλλά παραλείπει και την ανίχνευση µικρών ακµών (χαµηλής αντίθεσης - low contrast). Επίσης θα πρέπει να υπενθυµίσουµε ότι κάθε µάσκα υπολογίζει την µερική παράγωγο G x ή G y απο τις οποίες θα υπολογισθεί η συνολική τιµή G µε την (4.) ή συνηθέστερα µε την (4.3). Στον πίνακα 4. δίνονται οι πιό χαρακτηριστικές µάσκες για παράθυρο 3x3 και στο σχήµα 4.5 που ακολουθεί γίνεται εφαρµογή µερικών εξ αυτών σε εικόνα. Είδος τελεστού - µάσκας ΠΙΝΑΚΑΣ 4. G x Roberts - Prewitt Sobel Frei-Chen G y Για τον τελεστή Sobel η υλοποίηση του Gradient G βασίζεται στίς σχέσεις: G x [f(x-,y+)+ f(x,y+)+ f(x+,y+)] -[f(x-,y-)+ f(x,y-)+ f(x+,y-)] (4.6) G y [f(x+,y-)+ f(x+,y)+ f(x+,y+)] -[f(x-,y-)+ f(x-,y)+ f(x-,y+)] (4.7) Με παρόµοιες σχέσεις υλοποιούνται και οι υπόλοιπες µάσκες.
5 -5- Στούς τελεστές που δεικνύονται στον πάνακα 4. παρατηρούµε ότι το άθροισµα των στοιχείων των µασκών είναι. Αυτό έχει σαν συνέπεια ότι σε σταθερές περιοχές η έξοδος είναι επίσης. H εύρεση του βέλτιστου κατωφλίου δεν είναι εύκολη διαδικασία και µία απλή επιλογή είναι ο µέσος όρος των G για όλη την εικόνα Ενα άλλο θέµα που αξίζει να επισηµάνουµε είναι ότι οι τελεστές του πίνακα 4. βρίσκουν ακµές σε οριζόντιες και κάθετες διευθύνσεις. Εάν θέλουµε να έχουµε και την κατεύθυνση τότε πρέπει σε κάθε σηµείο να χρησιµοποιούµε την (4.5). Μπορούµε όµως να δηµιουργήσουµε και επιπλέον µάσκες που να υπολογίζουν παραγώγους και εποµένως ακµές σε άλλες διευθύνσεις. Ετσι για τον τελεστή Prewitt αντί των µασκών τού παραπάνω πίνακα 4. χρησιµοποιούµε τις 8 µάσκες του πίνακα 4. ΠΙΝΑΚΑΣ 4. East Northeast North Nortwest West Southwest South Southeast α β γ δ ε ζ Σχήµα 4. 5 Η αρχική εικόνα α) επεξεργασµένη µε τελεστή β) Roberts γ) Prewitt δ) Sobel. Στο ε) η οριζόντια συνιστώσα του Τελεστή Sobel και στο ζ) η κατακόρυφη
6 -6- Eνα βασικό χαρακτηριστικό των τελεστών που αναφέρθηκαν για αναγνώριση ακµών και που βασίζονται στην η παράγωγο, είναι οι µεγάλου εύρους γραµµές που εµφανίζονται σαν έξοδος των ανιχνευτών ακµής. Το µεγάλο εύρος οφείλεται στην επιλογή του κατωφλίου και στην βραδεία µεταβολή της έντασης σε ορισµένες περιπτώσεις. Σπανίως όµως η πληροφορία του πλάτους των ακµών επιδιώκεται στην επεξεργασία ενώ αντίθετα ο εντοπισµός της ακµής (localization) είναι αυτό που συνήθως επιζητείται. Ο εντοπισµός µίας ακµής απαιτεί την εύρεση ενός σηµείου που θα είναι και το κέντρο της ακµής. Βελτίωση στο πρόβληµα του παχους των ακµών µπορεί να γίνει βέβαια µε µεθόδους ελάττωσης thinning. 4.4 Β µέθοδος η παράγωγος (Laplacian) Η δεύτερη κατηγορία ευρέσεως ακµών βασίζεται στην εύρεση της ης παραγώγου και δεν παρουσιάζει τα προβλήµατα του µεγάλου εύρους ακµών που αναφέρθησαν προηγούµενα, αφού η έξοδος των τελεστών αυτών είναι τα σηµεία µηδενισµού της ης παραγώγου (σχήµα 4.3). Αξίζει να επισηµάνουµε ότι τα σηµεία µηδενισµού αντιστοιχούν σε σηµεία ακµών εφόσον αναφέρονται σε µετάβαση από θετικές σε αρνητικές τιµές και αντίστροφα (zero crossing points) H Laplacian είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση που υλοποιείται στη κατηγορία αυτή. Για µία συνάρτηση f(x,y) ορίζεται ως εξής: f x f y f(x,y) + (4.8) Μία αριθµητική προσέγγιση της παραπάνω σχέσεως γίνεται απο την εξής σχέση f(x,y)f(x+,y)+f(x-,y)+f(x,y+)+f(x,y-)-4f(x,y) (4.9) που υλοποιείται απο την ακόλουθη µάσκα 4 + (4.) Όπως φαίνεται είναι δυνατή η διάσπαση σε δύο µάσκες οριζόντια και κατακόρυφη που είναι βέβαια µονοδιάστατες. Η απόδειξη της σχέσεως αυτής για τον ένα όρο της (4.8) είναι η εξής: f x f x x x [ f (i, j + ) f(i, j) ] [ f (i, j + ) ] [ f (i, j) ] [ f (i, j + ) f(i, j + ) ] [ f(i, j + ) f (i, j) ] f(i +, j) f (i, j) + f (i, j) x x
7 -7- Εκτός από την (4.) µία ακόµη µάσκα υλοποίησης της Laplacian είναι και η εξής 8 (4.) Οι (4.9)-(4.) δεικνύουν ότι η τιµή της Laplacian είναι ανάλογη του f(x,y)-mean[f(x,y)] Μπορεί επίσης να προσεγγισθεί και ως median[f(x,y)]- mean[f(x,y)]. Σε όλες τις διαδικασίες του τελεστού αυτού χρησιµοποιείται η απόλυτη τιµή και η εύρεση των ακµών γίνεται µε την εύρεση των µηδενικών τιµών (zero crossing) ύο παραδείγµατα απόκρισης του τελεστού της Laplacian δίνονται στο παρακάτω σχήµα 4.6 όπου παρατίθενται δύο περιοχές εικόνας. Οι µηδενισµοί των (α) και (β)δίνονται στην (γ) και (δ) αντίστοιχα. Στο (α) η µετάβαση είναι απότοµη και τα σηµεία µηδενισµού (zero crossing) δεν αποτυπώνονται στην έξοδο (γ) (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 4. 6 Το (γ) είναι η απόκριση του (α) σε Laplacian. Ο µηδενισµός δεν εµφανίζεται αλλα φαίνεται καθαρά η θέση του λόγω του θετικού και αρνητικου σηµείου. Στο (δ) που αντιστοιχεί στη ράµπα (β) φαίνεται το σηµείο µηδενισµού. Mερικές ιδιότητες του τελεστού αυτού (της Laplacian) είναι οι εξής:. Σε σταθερές περιοχές έχει απόκριση µηδενική. Oι τιµές αυτές δεν αποτελούν σηµεία ακµών διότι δεν είναι σηµεία zero crossing.. Τα ανιχνευόµενα περιγράµµατα είναι πάντα κλειστές γραµµές. 3. Είναι ανεξάρτητη της διεύθυνσης. 4. Εχει µεγάλη ευαισθησία στο θόρυβο και αναδεικνύει ακµές που δεν αντιστοιχούν σε χαρακτηριστικά της εικόνας.
8 -8- Λόγω της παραπάνω ιδιότητας και για να βελτιώσουµε την συµπεριφορά στο θόρυβο συνήθως η µέθοδος αυτή συνδυάζεται µε κατώφλια που υπολογίζουν τον τοπικό θόρυβο. Στο διάγραµµα του σχήµατος 4.7 δεικνύεται µία µέθοδος όπου για την υπαρξη ακµής δεν αρκούν τα σηµεία µηδενισµού (zero crossing) αλλά πρέπει να εξασφαλίζεται ότι η τοπική διακύµανση είναι µεγαλύτερη απο ένα κατώφλιο Τ που θεωρείται ότι αντιστοιχεί στο θόρυβο. f(x,y) Υπολογισµός διακύµανσης σ f(x,y) Υπάρχει σηµείο Ναι zero crossing ; σ >Τ Ναί Οχι Οχι Σχήµα 4. 7 Χρησιµοποίηση της διακύµανσης σ (variance) σε συνδυασµό µε τον τελεστή της Laplacian γιά ανίχνευση ακµής 4.5 Laplacian of Gaussian (LoG) Με την µέθοδο αυτή γίνεται υλοποίηση δύο τελεστών : της Laplacian και της Gaussian. ηλαδή στην αρχική εικόνα εφαρµόζεται Gaussian µάσκα για να φιλτράρει τον θόρυβο και στη συνέχεια εφαρµόζεται Laplacian µάσκα για εύρεση των σηµείων µηδενισµού και εποµένως των ακµών. Αν και οι διαδικασίες αυτές µπορούν να γίνουν σε δύο διαδοχικά στάδια επειδή η συνέλιξη είναι γραµµική πράξη γίνονται ταυτόχρονα σε ένα βήµα όπως περιγράφεται στη συνέχεια. H σχέση που εκφράζει τις δύο διαδικασίες είναι η εξής: x + y x + y σ G e (4.) 4 πσ ύο µάσκες (3x3) και (5x5) που υλοποιούν την (4.) είναι οι ακόλουθες: σ 4 6 (4.3) Απόδειξη της (4.) Η εικόνα εξόδου h(x,y) είναι h(x, y) [ G(x, y)* f (x, y) ] [ G(x, y) ]* f(x,y) [ G (x, y )] x,y e x + y σ r e r σ σ r σ e r σ πσ 4 x + y σ e x + y σ
9 -9- Γενικά η υλοποίηση του LoG απαιτεί µεγάλες µάσκες ώστε να εµφανισθούν θετικές και αρνητικές τιµές που εκφράζουν την µορφή στην (4.) -3σ 3σ (α) (β) w 3w (γ) Σχήµα 4. 8 Η συναρτήσεις Gaussian (α) και η -LoG (β) σε τοµή. Η σχέση µεταξύ w και σ συνήθως λαµβάνεται w σ. Το µήκος του παραθύρου είναι 3wx3w. Για παράθυρο 3x3 έχουµε w και σ/( ). Στο (γ) δεικνύεται η µορφή της LoG στον (τρισδιάστατο) χώρο. Οι άξονες x,y είναι βαθµολογηµένοι µε τιµές της σ. σ.5 σ σ Σχήµα 4. 9 Εφαρµογή LoG µε τρείς διαφορετικές τιµές του σ. Η αρχική εικόνα είαι η ίδια µε αυτήν του σχ.4.5 Μία καλή προσέγγιση της LoG γίνεται µε διαφορά δύο Gaussian που έχουν διαφορετικές τυπικές αποκλίσεις σ (Difference of Gaussian - DoG). Η µέθοδος αυτή µειώνει το υπολογιστικό κόστος της LoG. DoG(x, y) x + y σ e πσ x + y σ e πσ Η ακόλουθη µάσκα 7x7 υλοποιεί τον τελεστή DoG για λόγο σ /σ.6 (4.4)
10 (4.5) 4.6 Ανιχνευστής ακµής µε την µέθοδο Canny H ανίχνευση µε την µέθοδο Canny είναι µία ολοκληρωµένη µέθοδος που βασίζεται στην η παράγωγο αλλα περιλαµβάνει και άλλα βήµατα µε κυριώτερα, το διπλό κατώφλιο και την διαγραφή των σηµείων απο ον χάρτη ακµών που δεν αντιστοιχούν στο µεγιστο της βάθµωσης (nonmaxima supression). Ο αλγόριθµος υλοποίησης περιλαµβάνει τα παρακάτω βήµατα:. Η αρχική εικόνα Ι(i,j) λειαίνεται µε Gaussian φίλτρο S(i,j)G(i,j,σ)*I(i,j). Γίνεται ο υπολογισµός του Gradient σε πολική µορφή P(i,j) x S(i,j) Μ(i,j) P + Q Q(i,j) y S(i,j) θ(i,j) tan (P,Q) 3. ιαγραφή των σηµείων M(i,j) που δεν ειναι µέγιστα (nonmaxima supression) Ν(i,j)nms[M(i,j), θ(i.j)] 4. Eφαρµογή διπλού κατωφλίου για ανίχνευση και σύνδεση ακµών. Συνήθως το ένα κατώφλιο είναι διπλάσιο του αλλου. Στη διαδικασία αυτή είσοδος είναι η εικόνα Ν(i,j). Mε βάση το µεγάλο κατώφλιο ελέγχονται οι ακµές συλλέγωντας σηµε'ια απο το χάρτη ακµών του µικρού κατωφλίου. Στο επόµενο σχήµα δεικνύεται το αποτέλεσµα ανιχνευτού Canny σε συγκριση µε LoG. LoG σ Canny σ Canny σ Σχήµα 4. Ανιχνευση ακµών µε τήν µέθοδο Canny και αντίστοιχη εφαρµογή του LoG.
11 Ανίχνευση ακµών σε έγχρωµη εικόνα Η ανίχνευση ακµών σε έγχρωµη εικόνα µπορεί nνα γίνει µε διαφόρους τρόπους. Χρησιµοποιώντας το κανάλι της εντάσεως αφού γίνει µετασχηµατισµός RGB-- >YIQ ή µετασχηµατισµός RGB-->HSI ή άλλος µετασχηµατισµός που εµφανίζεται η συνιστώσα της φωτεινότητας αποσυσχετισµένη απο την χρωµατικότητα Χρησιµοποιώντας τα τρία κανάλια R,G,B χωριστά. Ο χάρτης ακµών G(x,y) θα προέλθει απο τους τρείς επιµέρους χάρτες G R, G B, G G ως εξής: G(x, y) G + G G (4.6α) R G + ή G(x,y)max(G R,G G,G B ) B (4.6β) Να γίνει µε διανυσµατικές διαδικασίες θεωρώντας τα pixel της εικόνας ως διανύσµατα στον τριδιάστατο RGB χώρο. Aξίζει στο σηµείο αυτό να τονίσουµε ότι όπως έχει παρατηρηθεί, ο µεγαλύτερος αριθµός ακµών σε µία έγχρωµη εικόνα ανιχνεύεται µε την φωτεινότητα και ένας πολύ µικρός αριθµός (χρωµατικών) ακµών εµφανίζεται στις συνιστώσες της χρωµατικότητας και ιδιαίτερα σε περιπτώσεις µικρής αντίθεσης (low contrast). 4.8 Κριτήρια σωστής ανίχνευσης ακµών Τα σφάλµατα στην ανίχνευση των ακµών είναι τα εξής: Παράλειψη σηµείων ακµής Λανθασµένη αναγνώριση σηµείων που δεν είναι πραγµατικές ακµές Μετατόπιση σηµείων ακµής Ενα κριτήριο (FOM -figure of merit) σωστής ανίχνευσης που έχει προταθεί απο τον Pratt και περιλαµβάνει τις παραπάνω περιπτώσεις είναι το εξής I R A max[i,i ] d (4.7) I A i + α όπου Ι Ι ιδανικός αριθµός σηµείων, Ι Α ο αριθµός σηµείων που ανίχνευσε η µέθοδος, απαράγοντας κλιµάκωσης και dη µετατόπιση του σηµείου ακµής απο την πραγµατική του θέση. Η τιµή του R ευρίσκεται µε εικόνες όπου οι πραγµατικές ακµές είναι γνωστές. Συνήθως προστίθεται θόρυβος και µετριέται το R σαν συνάρτηση του SNR (signal to noise ratio). Στο επόµενο σχήµα δεικνύονται τα σφάλµατα στην αναγνώριση ακµών.
12 -- (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 4. (α) τµήµα εικόνας µε ακµή (β) ιδανική ανίχνευση ακµής (γ) Ενα σηµείο που δεν ανιχνεύτηκε και (δ) ανίχνευση σηµείων ακµής µε µετατόπιση 4.9. O ιανυσµατικός χώρος των σηµάτων που αποτελούνται από n σηµεία µίας εικόνας 4.9. Εισαγωγικά Σε όλες τις προηγούµενες διαδικασίες επεξεργαζόµαστε σηµεία µίας εικόνας που ανήκουν σε ένα παράθυρο 3x3 ή 5x5 κλπ. Τα σηµεία αυτά µπορούµε να θεωρήσουµε ότι αποτελούν τις συντεταγµένες ενός διανύσµατος σε ένα χώρο n διαστάσεων (πχ. n9 ή n5 κλπ). Tο µήκος του διανύσµατος αυτού σχετίζεται µε την ενέ του σήµατος που ορίζεται σαν το τετράγωνο του µήκους του ή ισοδύναµα µε το άθροισµα των τετραγώνων των συνιστωσών του. Εάν το διάνυσµα είναι S[s,s, s n ] τότε η ενέ αυτού είναι: S s + s + s (4.8) 3 sn Στη διαδικασία αυτή θεωρούµε εµµέσως ότι η βάση ανάλυσης είναι η standard ορθοκανονική βάση. Με την ονοµασία standard εννοούµε τον διανυσµατικό χώρο όπου τα διανύσµατα βάσεως πχ. για n3 έχουν την µορφή w ( ), w ( ), w 3 ( ). Το πρόβληµα που ανακύπτει στη θεώρηση αυτή είναι η επιλογή µίας ορθοκανονικής βάσης πέρα από την standard βάση που κάθε άξονας να έχει µία συγκεκριµένη ερµηνεία Στη θεώρηση αυτή η συνολική ενέ του διανύσµατος σήµατος θα είναι σταθερή (αφου πρόκειται για ορθοκανονική βάση) αλλα η κατανοµή στις διάφορες συνιστώσες θα αποκαλύπτει κάποια χαρακτηριστικά της εικόνας.
13 -3- Ας δούµε στην συνέχεια την παρακάτω ορθοκανονική βάση Roberts που αναφέρεται στο χώρο των 4 διαστάσεων: W W W W 3 4 Αρχικά διαπιστώνεται εύκολα ότι είναι ορθογώνια διότι το εσωτερικό γινόµενο δύο οποιονδήποτε διανυσµάτων είναι Επίσης είναι κανονική διότι το µέτρο κάθε διανύσµατος βάσης είναι. πχ. W W 4 4 Στη βάση αυτή παρατηρούµε ότι µία σταθερή περιοχή θα έχει µη µηδενική συνιστώσα µόνο στον άξονα W. 5 5 πχ. Για την σταθερή περιοχή έχουµε: W W W W ηλ. έχει µία µόνο συνιστώσα την W. Αντίθετα η περιοχή που αντιστοιχεί σε µία ακµή στην οριζόντια διεύθυνση Αναλύεται ως W W W3 4 δηλ. έχει τις δύο συνιστώσες που W αντιστοιχούν στις W και W 3. Ουσιαστικά το µέγεθος της προβολής (κάθε συνιστώσα) δεικνύει το βαθµό οµοιότητας µε το συγκεκριµένο διάνυσµα βάσεως Η βάση Frei-Chen για περιοχές 3x3 Πρίν µελετήσουµε την βάση Frei-Chen ας δούµε την standard βάση για διανύσµατα 3x3. Ευκολα βρίσκεται ότι η βάση αυτή αποτελείται από τα ακόλουθα 9 διανύσµατα:... Τα διανύσµατα αυτά είναι ορθογώνια (άρα ανεξάρτητα) και έχουν µέτρο, δηλ αποτελούν µία ορθοκανονική βάση. Η αναπαράσταση στη βάση αυτή ενός οποιουδήποτε διανύσµατος 3x3 είναι εύκολη και άµεση. Ένα παράδειγµα δεικνύεται στη συνέχεια.
14 Η αναπαράσταση ενός διανύσµατος πίνακα 3x3 στη παραπάνω standard βαση δεν δίνει καµµία πληροφορία για το περιεχόµενο του. Σε αντίθεση µε αυτό η βάση Frei-Chen που θα δούµε στη συνέχεια επιτρέπει την ερµηνεία του πίνακα-διάνυσµα σύµφωνα µε τις τιµές των συνιστωσών του. Ας δούµε τα διανύσµατα βάσεως της βάσης αυτής για το σύνολο των πινάκων 3x3. Κάθε πίνακας διάνυσµα της βάσης αυτής αντιστοιχεί ουσιαστικά σε ένα τµήµα εικόνας Στο επόµενο σχήµα δηλώνεται και το είδος της εικόνας περιοχής πού αντιπροσωπεύει κάθε διάνυσµα της βάσεως. βά θµωση W 8 κυµ ά τωση W3 8 γραµµ ή W5 Laplacian W7 4 6 σταθερ ή περιοχ ή W9 3 W 8 W4 8 W6 W8 4 6 Σχήµα4. Τα 9 διανύσµατα βάσεως Frei-Chen. Κάθε ένα από αυτά αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριµένο τύπο της περιοχής της εικόνας. Είναι φανερό ότι για κάθε µία περιοχή 3x3 της εικόνας όταν γίνει αναπαράστασή της στη βάση αυτή η τιµή της κάθε συνιστώσας δίνει ουσιαστική πληροφορία γιατί εκφράζει την οµοιότητα µε το συγκεκριµένο διάνυσµα βάσεως. Η πληροφορία αυτή γίνεται εµφανέστερη αν βρεθεί η ενέ που αντιστοιχεί σε κάθε συνιστώσα. Επειδή η βάση είναι ορθοκανονική η συνολική ενέ παραµένει η ίδια όπως και στη standard βάση. Αλλάζει όµως η κατανοµή στις διάφορες συνιστώσες.
15 -5- Στο επόµενο παράδειγµα δίνεται ένα τµήµα εικόνας Ν που όπως φαίνεται αποτελεί τµήµα ακµής µε κατεύθυνση την κύρια διαγώνιο. N Η συνολική ενέ είναι Ν Ν Βρίσκουµε τις προβολές (εσωτερικά γινόµενα) στα διανύσµατα της βάσεως Frei-Chen Εχουµε: N o W 4.3 Eνέ N o W 4.3 Eνέ N o W3 Eνέ 5 N o W4 8 Eνέ N o W5 Eνέ N o W6.5 Eνέ 6.5 N o W7.5 Eνέ 6.5 N o W8 Eνέ N o W9 5 Eνέ 65 Απο την συνολική ενέ 675 στην W 9 δηλαδή στη σταθερή περιοχή, αντιστοιχεί ένα µεγάλο τµήµα ενές 65. Το υπόλοιπο ποσό είναι 5. Από αυτό ένα ποσό 36 δηλ το 7% αντιστοιχεί στις συνιστώσες W και W που εκφράζουν την ύπαρξη της ακµής.
Νοέμβριος 2005 Σ. Φωτόπουλος ΨΕΕ κεφ.4 ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΑΚΜΩΝ ΔΠΜΣ ΗΕΠ 1/53
Νοέμβριος 5 Σ. Φωτόπουλος ΨΕΕ κεφ.4 ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΑΚΜΩΝ ΔΠΜΣ ΗΕΠ /53 Ακμή ή περίγραμμα (edge) σεμιαεικόναχ ij ορίζεται ως το σύνολο των σημείων στη θέση i,j της εικόνας, όπου παρατηρείται μία σημαντική αλλαγή
Διαβάστε περισσότεραΝοέμβριος 2013 Σ. Φωτόπουλος ΨΕΕ κεφ.4 ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΑΚΜΩΝ ΔΠΜΣ ΗΕΠ 1/57
Νοέμβριος 3 Σ. Φωτόπουλος ΨΕΕ κεφ.4 ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΑΚΜΩΝ ΔΠΜΣ ΗΕΠ /57 Ακμή ή περίγραμμα (edge) σε μια εικόνα Χ ij ορίζεται ως το σύνολο των σημείων στη θέση i,j της εικόνας, όπου παρατηρείται μία σημαντική
Διαβάστε περισσότεραΜεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας. Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης Ακμές και περιγράμματα Ακμές και περιγράμματα Γενικά Μεγάλο τμήμα της πληροφορίας που γίνεται αντιληπτή
Διαβάστε περισσότερα6-Aνίχνευση. Ακμών - Περιγράμματος
6-Aνίχνευση Ακμών - Περιγράμματος Ανίχνευση ακμών Μετατροπή 2 εικόνας σε σύνολο ακμών Εξαγωγή βασικών χαρακτηριστικών της εικόνας Πιο «συμπαγής» αναπαράσταση Ανίχνευση ακμών Στόχος: ανίχνευση ασυνεχειών
Διαβάστε περισσότεραΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ ΜΕ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ
Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας-ΚΕΦ. -- ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ ΜΕ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΤΑΣΕΩΣ Η επεξεργασία εικόνας µέσω του ιστογράµµατος ουσιαστικά αποτελεί µία βασική επεξεργασία εικόνας που ανήκει
Διαβάστε περισσότεραΙΑΤΡΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ & ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ
ΙΑΤΡΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ & ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ ΔΡ. Γ. ΜΑΤΣΟΠΟΥΛΟΣ ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επεξεργασία Ιατρικών Εικόνων
Διαβάστε περισσότεραΚατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση
ΤΨΣ 50 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Περιεχόµενα Βιβλιογραφία
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 8 ο. Ανίχνευση Ακμών ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 1
Μάθημα 8 ο Ανίχνευση Ακμών ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 1 Εισαγωγή (1) Οι ακμές είναι βασικά χαρακτηριστικά της εικόνας. Ένας αποδεκτός ορισμός της ακμής είναι ο ακόλουθος: «Το σύνορο μεταξύ δύο ομοιογενών περιοχών με
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 8 ο. Ανίχνευση Ακμών ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 1
Μάθημα 8 ο Ανίχνευση Ακμών ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 1 Εισαγωγή (1) Οι ακμές είναι βασικά χαρακτηριστικά της εικόνας Προς το παρόν δεν υπάρχει ακόμα ένας ευρέως αποδεκτός ορισμός της ακμής. Εδώ θα θεωρούμε ως ακμή:
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 3: Μετασχηµατισµοί Έντασης & Χωρικό Φιλτράρισµα
Ενότητα 3: Μετασχηµατισµοί Έντασης & Χωρικό Φιλτράρισµα Βασικές Έννοιες Διεργασίες στο πεδίο του χώρου f(x, y) : εικόνα εισόδου g(x, y) : εικόνα εισόδου g x, y = T f(x, y) T : τελεστής που εφαρµόζεται
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Χαρακτηριστικά Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΣ 03: Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας. KEΣ 03 Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας. Κατάτµηση Εικόνων:
KEΣ 3 Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Περιεχόµενα Βιβλιογραφία Περιεχόµενα Ενότητας
Διαβάστε περισσότεραΑ.Τ.Ε.Ι. Κ ΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΒΙΟΜ ΗΧΑΝΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ "ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ ΑΚ Μ Ω Ν ΤΑΣΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΡΙΝΙΔΗΣ ΣΤΕΛΛΙΟΣ
Α.Τ.Ε.Ι. Κ ΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΒΙΟΜ ΗΧΑΝΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ "ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ ΑΚ Μ Ω Ν ΤΑΣΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΡΙΝΙΔΗΣ ΣΤΕΛΛΙΟΣ ΚΑΒΑΛΑ 2009 Περίληψη Η παρακάτω πτυχιακή εργασία περιλαμβάνει
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Εικόνας. Σ. Φωτόπουλος ΨΕΕ
Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ ΜΕ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΔΠΜΣ ΗΕΠ 1/46 Περιλαμβάνει: Βελτίωση (Enhancement) Ανακατασκευή (Restoration) Κωδικοποίηση (Coding) Ανάλυση, Κατανόηση Τμηματοποίηση (Segmentation)
Διαβάστε περισσότεραΒΕΛΤΙΩΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ (ΦΙΛΤΡΑΡΙΣΜΑ)
-- ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ (ΦΙΛΤΡΑΡΙΣΜΑ) 3. Εισαγωγή Η βελτίωση εικόνας είναι συνήθως διαδικασία φιλτραρίσµατος δηλ. συνέλιξης µε συγκεκριµµένη διδιάσταση µάσκα και στοχεύει στην ανάδειξη χαρακτηριστικών ή ελάττωση
Διαβάστε περισσότερα7.5 Ενδιάμεσο επίπεδο επεξεργασίας εικόνας
7.5 Ενδιάμεσο επίπεδο επεξεργασίας εικόνας 7.5.1 Εισαγωγή Kάθε σύστημα επεξεργασίας εικόνας έχει ένα συγκεκριμένο σκοπό λειτουργίας. Παραδείγματος χάριν, διαφορετικές απαιτήσεις θα έχει μια βιομηχανία
Διαβάστε περισσότεραDigital Image Processing
Digital Image Processing Χωρικό φιλτράρισμα Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 008. Χωρικού Φιλτράρισμα Η μηχανική
Διαβάστε περισσότεραΜεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας. Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης Χωρικά φίλτρα Χωρικά φίλτρα Γενικά Σε αντίθεση με τις σημειακές πράξεις και μετασχηματισμούς, στα
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σύνθεση Πανοράµατος Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα: Μηχανική Όραση
Μάθημα: Μηχανική Όραση Εργασία 2: Advances in Digital Imaging and Computer Vision Ομάδα χρηστών 2 : Τσαγκαράκης Νίκος, Καραμήτρος Κώστας Εισαγωγή Σκοπός της άσκησης, είναι να εξοικειωθούμε με κάποιες βασικές
Διαβάστε περισσότερα11 Το ολοκλήρωµα Riemann
Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την
Διαβάστε περισσότεραΜετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση
Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά
Διαβάστε περισσότερα1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :
Διαβάστε περισσότεραοµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1
8. ίκτυα Kohonen Το µοντέλο αυτό των δικτύων προτάθηκε το 1984 από τον Kοhonen, και αφορά διαδικασία εκµάθησης χωρίς επίβλεψη, δηλαδή δεν δίδεται καµία εξωτερική επέµβαση σχετικά µε τους στόχους που πρέπει
Διαβάστε περισσότεραΌρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι Τμηματοποίησης Ψηφιακής Εικόνας με Εφαρμογή στην Ανάλυση Βιοϊατρικών Εικόνων
Μέθοδοι Τμηματοποίησης Ψηφιακής Εικόνας με Εφαρμογή στην Ανάλυση Βιοϊατρικών Εικόνων Μαρία Δ. Πελώνη Μαρία Α. Τσεμεντζή Α.Τ.Ε.Ι. Καβάλας Διαχείριση Πληροφοριών Επιβλέπων: Δρ. Γκούμας Στέφανος Επίκουρος
Διαβάστε περισσότεραx 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.
Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις
Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση
Διαβάστε περισσότεραα) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.
Διαβάστε περισσότεραΔιανύσµατα στο επίπεδο
Διανύσµατα στο επίπεδο Ένα διάνυσµα v έχει αρχικό και τελικό σηµείο. Χαρακτηρίζεται από: διεύθυνση (ευθεία επί της οποίας κείται φορά (προς ποια κατεύθυνση της ευθείας δείχνει µέτρο (το µήκος του, v ή
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται
Διαβάστε περισσότεραΌρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
Διαβάστε περισσότεραΒελτίωση Ποιότητας Εικόνας: Επεξεργασία στο πεδίο της Συχνότητας
ΤΨΣ 150 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Βελτίωση Ποιότητας Εικόνας: Επεξεργασία στο πεδίο της Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Εκτίµηση Απόκρισης Περιεχόµενα Βιβλιογραφία
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου
ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.
ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΣυστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές
Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x h γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής x µπορεί να θεωρηθεί ως ένας αλγόριθµος υπολογισµού
Διαβάστε περισσότεραΚλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία
Διαβάστε περισσότερα11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,
Διαβάστε περισσότεραΣυστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές
Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x h γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής x µπορεί να θεωρηθεί ως ένας αλγόριθµος υπολογισµού
Διαβάστε περισσότερα1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων
3 1.1 Διανύσματα 1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΑΣΚΗΣΗ 1.1 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα î + ĵ + ˆk και î + ĵ ˆk. z k i j y x Τα δύο διανύσματα που προκύπτουν από
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
Διαβάστε περισσότεραΣυστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές
Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x h γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής x µπορεί να θεωρηθεί ως ένας αλγόριθµος υπολογισµού
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)
TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού
Διαβάστε περισσότεραΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii09/laii09.html Παρασκευή 0 Μαίου
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii08/laii08.html Παρασκευή 4 Μαίου
Διαβάστε περισσότεραΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού
Διαβάστε περισσότεραII.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c
II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών
Διαβάστε περισσότεραΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΜεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας. Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης Τμηματοποίηση εικόνας Τμηματοποίηση εικόνας Γενικά Διαμερισμός μιας εικόνας σε διακριτές περιοχές
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Εικόνας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Ενότητα 3 : Αποκατάσταση εικόνας (Image Restoration) Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Η/ΥΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Εικόνας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Ενότητα 2 : Βελτιστοποίηση εικόνας (Image enhancement) Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Η/ΥΣ Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότερα13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ETION 1 13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13.1 Ορισµοί Μεγέθη Μια ποσότητα που εκφράζεται από ένα µόνο πραγµατικό αριθµό καλείται βαθµωτό µέγεθος. Μια ποσότητα που εκφράζεται από περισσότερους από έναν πραγµατικούς
Διαβάστε περισσότεραΣτροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή.
Στροφορµή Έστω ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ και έστω ένα σηµείο Ο. Ορίζουµε στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς το Ο, το εξωτερικό γινόµενο: L= r p= m r υ Όπου r η απόσταση του υλικού σηµείου
Διαβάστε περισσότεραΑκαδηµαϊκό Έτος , Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ, ΤΜΗΜΑ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΨΣ 50: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 005 006, Χειµερινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Η εξέταση
Διαβάστε περισσότερα1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.
.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις
Διαβάστε περισσότερα4. Ο αισθητήρας (perceptron)
4. Ο αισθητήρας (perceptron) Σκοπός: Προσδοκώµενα αποτελέσµατα: Λέξεις Κλειδιά: To µοντέλο του αισθητήρα (perceptron) είναι από τα πρώτα µοντέλα νευρωνικών δικτύων που αναπτύχθηκαν, και έδωσαν µεγάλη ώθηση
Διαβάστε περισσότεραΑκαδημαϊκό Έτος , Χειμερινό Εξάμηνο Διδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ 3: ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ Ακαδημαϊκό Έτος 7 8, Χειμερινό Εξάμηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραA2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ
A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ
ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 7 Ιανουαρίου 2005 ιάρκεια εξέτασης: 5:00-8:00 Έστω ότι
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 4: Φιλτράρισµα στο Πεδίο Συχνοτήτων (ΙΙ)
Ενότητα 4: Φιλτράρισµα στο Πεδίο Συχνοτήτων (ΙΙ) Διδιάστατο Θεώρηµα Συνέλιξης Διδιάστατη Κυκλική Συνέλιξη: 4/0./0 f x, y h x, y = ( ( f m, n h(x m, y n) 523 123 Διδιάστατο Θεώρηµα Συνέλιξης: f x, y h x,
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση.
Μπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση. Τις προηγούµενες µέρες έγινε στο δίκτυο µια συζήτηση µε θέµα «Πόση είναι η κεντροµόλος επιτάχυνση;» Θεωρώ αναγκαίο να διατυπώσω µε απλό τρόπο κάποια
Διαβάστε περισσότερα4 Συνέχεια συνάρτησης
4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.
Διαβάστε περισσότερα1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.
1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει
Διαβάστε περισσότερα14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότεραΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.
ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M3. Διανύσµατα
Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση Νο. 6 Αποκατάσταση εικόνας
Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Παρουσίαση Νο. 6 Αποκατάσταση εικόνας Εισαγωγή (1/2) Αναίρεση υποβάθμισης που μπορεί να οφείλεται: Στο οπτικό σύστημα (θόλωμα λόγω κακής εστίασης, γεωμετρικές παραμορφώσεις...)
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)
Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 2: Οι Θεµελιώδεις Αρχές των Ψηφιακών Εικόνων
Ενότητα 2: Οι Θεµελιώδεις Αρχές των Ψηφιακών Εικόνων Δειγµατοληψία και Κβαντισµός: Μια εικόνα (µπορεί να) είναι συνεχής τόσο ως προς τις συντεταγµένες x, y όσο και ως προς το πλάτος. Για να τη µετατρέψουµε
Διαβάστε περισσότερα============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )
Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί 2 &3
Μετασχηµατισµοί &3 Περιγράφονται σαν σύνθεση βασικών: µετατόπιση, αλλαγή κλίµακας,περιστροφή, στρέβλωση Χωρίζονται σε γεωµετρικούς (εδώ) και αξόνων (αντίστροφοι) Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών
Διαβάστε περισσότεραΜηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο ADICV2. Image filtering. Κώστας Μαριάς
Εργαστήριο ADICV2 Image filtering Κώστας Μαριάς Image Filtering ADICV Kostas Marias TEI Crete 2017 2 Matlab Σκοπός εργαστηρίου Θα φτιάξουμε ένα ΦΙΛΤΡΟ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (mean FILTER) σε matlab Στη συνέχεια θα
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Εικόνας. Σ. Φωτόπουλος ΨΕΕ ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ ΜΕ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΔΠΜΣ ΗΕΠ 1/46
Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Σ. Φωτόπουλος ΨΕΕ ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ ΜΕ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΔΠΜΣ ΗΕΠ 1/46 Περιλαμβάνει: Βελτίωση (Enhancement) Ανακατασκευή (Restoration) Κωδικοποίηση (Coding) Ανάλυση, Κατανόηση Τμηματοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΥΟ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
ΥΟ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Από την θεωρία της Τριγωνοµετρίας είναι γνωστοί δύο νόµοι: ο νόµος του ηµιτόνων και ο νόµος του συνηµιτόνων, οι οποίοι ισχύουν για τυχαίο τρίγωνο. Έστω ένα τυχαίο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 διαστάσεις, Διανύσµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.
Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε και 3 διαστάσεις, Διανύσµατα Copyright 009 Pearson ducation, Inc. Περιεχόµενα 3 Διανύσµατα και Βαθµωτές ποσότητες Πράξεις Διανυσµάτων Γραφικές Παραστάσεις Μοναδιαία διανύσµατα Κινηµατική
Διαβάστε περισσότεραΟι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.
Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική
Διαβάστε περισσότεραMatlab command: corner
Matlab command: corner http://www.mathworks.com/help/images/ref/corner.html Μια εισαγωγή-outube: http://www.outube.com/watch?v=vkwdzwerfc4 Οκτώβριος 013 Σ. Φωτόπουλος ΨΕΕ Harris Corner detector ΔΠΜΣ ΗΕΠ
Διαβάστε περισσότεραΕ.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση. Κατάτμηση Εικόνας
Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση Κατάτμηση Εικόνας Γεώργιος Παπαϊωάννου 2015 ΚΑΤΩΦΛΙΩΣΗ Κατωφλίωση - Γενικά Είναι η πιο απλή μέθοδος segmentation εικόνας Χωρίζουμε την εικόνα σε 2 (binary) ή περισσότερες στάθμες
Διαβάστε περισσότεραΣ. Φωτόπουλος -1- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο 2 ο
Σ. Φωτόπουλος -- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο ο Άσκηση. Περιγράψτε τα σήµατα που φαίνονται στο σχήµα. χρησιµοποιώντας κατάλληλα την συνάρτηση µοναδιαίας κρούσης δ[]. x[] + x[] + + + + + (a) (b) -.5 Σχήµα.
Διαβάστε περισσότερα4 Συνέχεια συνάρτησης
4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΣύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.
Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή
Διαβάστε περισσότερα