Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)"

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων και ϑα ορίσουµε επίσης το ευθύ εσωτερικό γινόµενο οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων Ας ϑεωρήσουµε δύο οµάδες G 1, G 2 και το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 αυτών. Οπως είδαµε στο Παράδειγµα η G 1 G 2 είναι οµάδα. Είναι ϕανερό ότι οι οµάδες G 1, G 2 δεν είναι υποοµάδες της G 1 G 2, αφού δεν είναι υποσύνολά της. Οµως, οι οµάδες G 1, G 2 εµφυτεύονται στην G 1 G 2, όπως αµέσως ϑα δούµε. Θεωρούµε τις συναρτήσεις i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) i 2 G 2 G 1 G 2, g 2 (e 1, g 2 ), (4.1.2) όπου µε e i G i, i = 1, 2, συµβολίζουµε το ουδέτερο στοιχείο της οµάδας G i. Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι οι συναρτήσεις i 1, i 2 είναι µονοµορ- ϕισµοί οµάδων. Εποµένως G i G 1 G 2, i = 1, 2. Ακόµη ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι οι συναρτήσεις π i G 1 G 2 G i, (g 1, g 2 ) g i, i = 1, 2, (4.1.3) είναι επιµορφισµοί οµάδων. Η π i λέγεται προβολή (projection) της G 1 G 2 στην οµάδα G i, i = 1, 2. Η επόµενη πρόταση συνδέει τις οµάδες που αναφέρθηκαν παραπάνω µε την οµάδα G 1 G

2 102 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Πρόταση Εστω G 1, G 2 δύο οµάδες. Τότε : i. G 1 {e 2 } G 1 G 2 και {e 1 } G 2 G 1 G 2. ii. G 1 {e 2 } {e 1 } G 2 = {(e 1, e 2 )}. iii. (e 1, g 2 )(g 1, e 2 ) = (g 1, e 2 )(e 1, g 2 ), για g i G i, 1 i 2, και (G 1 {e 2 })({e 1 } G 2 ) = G 1 G 2. iv. Kerπ 1 = {e 1 } G 2 και Kerπ 2 = G 1 {e 2 }. v. G 1 G 2 = G 1 G 2. Ιδιαίτερα αν µία από τις οµάδες είναι άπειρη, τότε G 1 G 2 =. vi. Z(G 1 G 2 ) = Z(G 1 ) Z(G 2 ). Απόδειξη : i. Εστω (x 1, x 2 ) G 1 G 2 και g 1 G 1, τότε (x 1, x 2 )(g 1, e 2 )(x 1, x 2 ) 1 = (x 1, x 2 )(g 1, e 2 )(x 1 1, x 1 2 ) = (x 1 g 1 x 1 1, x 2 e 2 x 1 2 ) = (x 1 g 1 x 1 1, e 2 ) G 1 {e 2 }. Άρα G 1 {e 2 } G 1 G 2. Οµοια αποδεικνύεται ότι {e 1 } G 2 G 1 G 2. ii. Εστω (g 1, g 2 ) (G 1 {e 2 }) ({e 1 } G 2 ), τότε (g 1, g 2 ) G 1 {e 2 } g 2 = e 2 και (g 1, g 2 ) {e 1 } G 2 g 1 = e 1. Οι σχέσεις αυτές αποδεικνύουν το ii).

3 Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων 103 iii. Το πρώτο σκέλος είναι ϕανερό, επίσης είναι ϕανερό ότι (G 1 {e 2 }) ({e 1 } G 2 ) G 1 G 2 ως γινόµενο υποοµάδων της G 1 G 2. Εστω τώρα (g 1, g 2 ) G 1 G 2 (g 1, g 2 ) = (g 1, e 2 )(e 1, g 2 ) (G 1 {e 2 }) ({e 1 } G 2 ). Άρα Εποµένως G 1 G 2 (G 1 {e 2 }) ({e 1 } G 2 ). G 1 G 2 = (G 1 {e 2 }) ({e 1 } G 2 ). iv. Kerπ 1 = {(g 1, g 2 ) G 1 G 2 g 1 = e 1 } = {e 1 } G 2 και όµοια αποδεικνύεται το δεύτερο σκέλος. v. Προκύπτει αµέσως από τις ιδιότητες του καρτεσιανού γινοµένου. vi. Εστω (x, y) Z(G 1 G 2 ), για x G 1 και y G 2, και (g 1, g 2 ) τυχαίο στοιχείο της G 1 G 2. Τότε από τον ορισµό του κέντρου οµάδας έχουµε (x, y)(g 1, g 2 ) = (g 1, g 2 )(x, y) Άρα δηλ. (xg 1, yg 2 ) = (g 1 x, g 2 y) xg 1 = g 1 x και yg 2 = g 2 y x Z(G 1 ) και y Z(G 2 ). (x, y) Z(G 1 G 2 ) x Z(G 1 ) και y Z(G 2 ), Z(G 1 G 2 ) = Z(G 1 ) Z(G 2 ). Παραδείγµατα Θεωρούµε τις προσθετικές οµάδες R και C. Το R R είναι επίσης µία προσθετική οµάδα. Θα αποδείξουµε ότι C R R ως προσθετικές οµάδες. Πράγµατι, ϑεωρούµε την αντιστοιχία f C R R, α + βi (α, β).

4 104 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Από τον ορισµό του συνόλου C έχουµε ότι, για α, α, β, β R, α + βi = α = β i α = α και β = β (α, β) = (α, β ). Άρα η f είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση. Ακόµη η f είναι επί, αφού αν (α, β) R R, τότε υπάρχει το στοιχείο α+βi C έτσι ώστε f(α+βi) = (α, β). Τέλος η f διατηρεί την πρόσθεση, αφού για α, α, β, β R, f[(α + βi) + (α + β i)] = f(α + α + (β + β )i) = (α + α, β + β ) = (α, β) + (α, β ) = f(α + βi) + f(α + β i). Αποδείχθηκε εποµένως ότι η f είναι ισοµορφισµός προσθετικών οµάδων. 2. Εστω R A = { α α R} και R A = R A/{0}. Είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι η R A είναι µία πολλαπλασιαστική οµάδα µε πράξη τον συνήθη πολλαπλασιασµό των πραγµατικών αριθµών. Θεωρούµε την πολλαπλασιαστική οµάδα R. Τότε η αντιστοιχία f R R A {1, 1}, α ( α, πρόσηµο του α) είναι ισοµορφισµός πολλαπλασιατικών οµάδων. Ο αναγνώστης καλείται να δώσει τις λεπτοµέρειες των αποδείξεων. 3. Θα αποδείξουµε ότι ακόµη και αν οι Κ,Η είναι ισόµορφες οµάδες και G = K H, τότε υπάρχουν κανονικές υποοµάδες της G που δεν είναι χαρακτηριστικές (ϐλ. άσκηση ). Απόδειξη : Εστω f K H ένας ισοµορφισµός της Κ επί της Η και G = K H. Είναι εύκολο να δούµε ότι η F K H K H, (k, h) (f 1 (h), f 1 (k)) είναι συνάρτηση. Αν (k 1, h 1 ), (k 2, h 2 ) K H, τότε F [(k 1, h 1 )(k 2, h 2 )] = F (k 1 k 2, h 1 h 2 ) = (f 1 (h 1 h 2 ), f 1 (k 1 k 2 )) = (f 1 (h 1 )f 1 (h 2 ), f 1 (k 1 )f 1 (k 2 )) = (f 1 (h 1 ), f 1 (k 1 )) (f 1 (h 2 ), f 1 (k 2 )) = F (k 1, h 1 )F (k 2, h 2 ), δηλ. η F είναι οµοµορφισµός οµάδων. Η F είναι επί. Πράγµατι, έστω (k 1, h 1 ) K H µε k 1 K και h 1 H. Τότε υπάρχει h H ώστε f 1 (h ) = k 1

5 Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων 105 γιατί η f 1 είναι επί συνάρτηση ως ισοµορφισµός. Επίσης υπάρχει k K ώστε f 1 (k ) = h 1, γιατί η f είναι επί συνάρτηση. Άρα δηλ. η F είναι επί συνάρτηση. Τέλος F (k, h ) = (f 1 (h ), f 1 (k ) = (k 1, h 1 )) KerF = {(k, h) K H (f 1 (h), f 1 (k)) = (e K, e H )}, όπου e K (αντίστοιχα e H ) είναι το ουδέτερο στοιχείο της Κ (αντίστοιχα της Η). Οµως, η f είναι ισοµορφισµός, άρα KerF = {(e K, e H )}. Αποδείχθηκε ότι η F είναι αυτοµορφισµός της K H. Παρατηρούµε ότι F (K {e H }) = f 1 {e H } f 1 (K) = {e K } H, δηλ. ενώ K {e H } K H (ϐλ. Πρόταση 4.1.1(i)) ισχύει ότι F (K {e H }) K {e H }. Εποµένως η K {e H } δεν είναι χαρακτηριστική οµάδα της G. 4. Ας ϑεωρήσουµε την οµάδα Z 2 Z 2. Είναι µία προσθετική οµάδα τεσσάρων στοιχείων και Z 2 Z 2 = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}. Παρατηρούµε ότι κάθε στοιχείο της Z 2 Z 2 έχει τάξη 2. Εποµένως η Z 2 Z 2 δεν είναι κυκλική. Αυτό σηµαίνει από την ταξινόµηση των οµάδων τάξης 4, ότι είναι ισόµορφη µε την οµάδα του Klein (ϐλ. Παράδειγµα ). Με αφορµή αυτό το παράδειγµα είναι ϕυσικό να αναρωτηθούµε : Αν το ευθύ εξωτερικό γινόµενο (ή άθροισµα) δύο κυκλικών οµάδων είναι κυκλική οµάδα. Βέβαια αυτό δεν συµβαίνει πάντα, αφού η οµάδα Z 2 Z 2 δεν είναι κυκλική. Την απάντηση δίνει η επόµενη πρόταση. Πρόταση Το ευθύ εξωτερικό γινόµενο α β των κυκλικών οµάδων α α n = e και β β m = e, όπου n > 1 και m > 1 είναι ϕυσικοί αριθµοί, είναι κυκλική οµάδα αν και µόνο αν (n, m) = 1. Απόδειξη : Θεωρούµε τις κυκλικές οµάδες α και β, όπως στην Πρόταση Από το v) της Πρότασης προκύπτει ότι η οµάδα α β = {(α k, β λ ) 0 k n 1, 0 λ m 1} έχει τάξη nm. Θα αποδείξουµε, αρχικά, ότι

6 106 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων ord(α, β) = nm (n, m) = 1. (4.1.4) Εστω, λοιπόν, ord(α, β) = nm. Αν (n, m) = t 1, τότε οι n/t και m/t είναι ϕυσικοί αριθµοί και (α, β) nm/t = ((α n ) m/t, (b m ) n/t ) = (e, e), (4.1.5) όπου µε e συµβολίζουµε τόσο το ουδέτερο στοιχείο της α, όσο και της β. Η σχέση, όµως, (4.1.5) είνα αδύνατη λόγω του ορισµού της τάξης στοιχείου και του γεγονότος ότι nm t nm. Άρα αναγκαστικά t = 1 και (n, m) = 1. Αντίστροφα, έστω ότι (n, m) = 1 και ord(α, β) = s. Τότε (α, β) s = (e, e) (α s, β s ) = (e, e) α s = e και β s = e Ακόµη παρατηρούµε ότι n s και m s nm s, αφού (n, m) = 1. (4.1.6) (α, β) nm = (α nm, β nm ) = ((α n ) m, (β m ) n ) = (e, e) s nm. (4.1.7) Από τις σχέσεις (4.1.6) και (4.1.7) προκύπτει ότι ord(α, β) = nm. Ετσι ολοκληρώθηκε η απόδειξη της σχέσης (4.1.4). Από την ισχύ της σχέσης (4.1.4) προκύπτει ότι (α, β) = {(α k, β λ ) 0 k n 1, 0 λ m 1}. Άρα (α, β) = α β, δηλ. η α β είναι κυκλική. Ας παρατηρήσουµε στο σηµείο αυτό ότι η σχέση (4.1.4) προκύπτει και από την Πρόταση 2.2.7, αφού παρατηρούµε ότι (α, β) = (α, e)(e, β) = (e, β)(α, e) και ord(α, e) = ord(α), ord(e, β) = ord(β). Πρόταση Εστω n > 1 και m > 1 ϕυσικοί αριθµοί. Η προσθετική οµάδα Z n Z m είναι κυκλική αν και µόνο αν (n, m) = 1. Σε αυτήν την περίπτωση Z n Z m Z n m.

7 Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων 107 Απόδειξη : Οταν (n, m) = 1, η οµάδα Z n Z m είναι κυκλική τάξης nm, άρα Z n Z m Z n m. Θεωρούµε, τώρα, το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G = G 1 G 2 G n, των οµάδων G i, 1 i n, για ένα ϕυσικό αριθµό n 2. Η επόµενη πρόταση γενικεύει την Πρόταση Πρόταση Εστω n 2 ένας ϕυσικός αριθµός, G i. 1 i n, οµάδες και G = G 1 G 2 G n το ευθύ εξωτερικό γινόµενο αυτών των οµάδων. Συµβολίζουµε µε e i το ουδέτερο στοιχείο της οµάδας G i. 1 i n. Τότε : i. G i {e i } {e i 1 } G i {e i + 1} {e n } G, 1 i n. ii. G/({e i } {e i 1 } G i {e i + 1} {e n }) G 1 G 2 G i 1 {e i } G i+1 G n, 1 i n. iii. Οι συναρτήσεις είναι επιµορφισµοί οµάδων µε π i G G i, (g 1, g 2,..., g n ) g i Kerπ i = G 1 G 2 G i 1 {e i } G i+1 G n, για 1 i n. iv. Z(G) = Z(G 1 ) Z(G 2 ) Z(G n ). Η απόδειξη αφήνεται για τον αναγνώστη. Θα γενικεύσουµε αµέσως το ευθύ εξωτερικό γινόµενο πεπερασµένου πλή- ϑους οµάδων για µία οικογένεια οµάδων. Ορισµός Εστω G i, i I i, µία οικογένεια οµάδων. Το ευθύ εξωτερικό γινόµενο των οµάδων G i, i I i είναι το σύνολο G i = {(..., g i,... ) g i G i, i I i }, i I όπου κάθε στοιχείο στη ϑέση i είναι στοιχείο της οµάδας G i, i I i, µε πράξη (..., g i,... )(..., g i,... ) = (..., g i g i,... ). Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι πράγµατι η i I i G i είναι οµάδα µε την αναφερόµενη πράξη.

8 108 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Παραδείγµατα Εστω G = Z p Z p Z p... το ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. Κάθε µη µηδενικό στοιχείο της G έχει τάξη p. Το ίδιο συµβαίνει για την οµάδα Z p Z p µε πεπερασµένου πλήθους παράγοντες. 2. Στη οµάδα Z Z p υπάρχουν στοιχεία άπειρης τάξης, όπως τα (s, α) για o s Z και α Z p, και στοιχεία πεπερασµένης τάξης, όπως τα (0, α) για α Z p. 3. Η προσθετική οµάδα ενός Z p -διανυσµατικού χώρου διάστασης n < όπου το Z p ϑεωρείται ως σώµα είναι ισόµορφη µε την οµάδα Z p Z p µε n πλήθους παράγοντες. Ασκήσεις 1. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις των σχέσεων (4.1.1) και (4.1.2) είναι µονοµορφισµοί οµάδων, ενώ οι συναρτήσεις της (4.1.3) είναι επιµορφισµοί οµάδων. 2. Να αποδείξετε ότι για τις προσθετικές οµάδες C και R ισχύει C/R R, ϐλ. Παράδειγµα Να αποδείξετε ότι η αντιστοιχία f στο Παράδειγµα είναι ισοµορ- ϕισµός οµάδων. 4. Να αποδείξετε ότι για τις πολλαπλασιαστικές οµάδες R, R A, {1, 1} του Παραδείγµατος ισχύει ότι Επίσης R /R A {1, 1}. Q /Q A R /R A, όπου η Q A ορίζεται ανάλογα µε την R A. 5. Εστω G 1, G 2 δύο οµάδες και H i G i, i = 1, 2. Να αποδείξετε ότι (G 1 G 2 )/(H 1, H 2 ) (G 1 /H 1 ) (G 2 /H 2 ). 6. Εστω H = {(α, α) α Z}. Να αποδείξετε ότι H Z Z, όπου µε Z ϑεωρούµε την προσθετική οµάδα των ακεραίων. Είναι η Z Z κυκλική ; Είναι η οµάδα Η κυκλική υποοµάδα της Z Z; 7. Να αποδείξετε ότι αν (g 1,..., g n ) G 1 G n, όπου G i, 1 i n, είναι αυθαίρετες οµάδες, τότε ord(g 1,..., g n ) < αν και µόνον αν ord(g i ) <, 1 i n. 8. Να αποδείξετε την Πρόταση

9 Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.2 Ευθέα εσωτερικά γινόµενα οµάδων Ευθέα εσωτερικά γινόµενα οµάδων Στο εδάφιο αυτό ϑα ασχοληθούµε µε το πρόβληµα της ανάλυσης µίας οµάδας σε γινόµενο υποοµάδων της. Από την αριθµητική γνωρίζουµε ότι είναι ευκολότερο να πολλαπλασιάζουµε ακέραιους αριθµούς από το να αναλύσου- µε έναν ακέραιο αριθµό σε γίνοµενο παραγόντων. Ετσι συµβαίνει και µε τις οµάδες. Θα διαπιστώσουµε ότι η ανάλυση οµάδων σε ευθύ γινόµενο υποοµάδων της είναι πολύ πιο δύσκολο πρόβληµα από το να υπολογίζουµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο υποοµάδων της, όπως αυτό έγινε στο εδάφιο 4.1. Ας ξεκινήσουµε µε τον ϐασικό ορισµό. Ορισµός Εστω G µία οµάδα και Η,Κ δύο υποοοµάδες της. Η οµάδα G λέµε ότι είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο (direct internal product) των υποοµάδων της Η και Κ και συµβολίζουµε G = H K αν i. κάθε στοιχείο g G έχει µοναδική ανάλυση σε γινόµενο g = hk, h H, k K. ii. Τα στοιχεία της οµάδας Η αντιµεταθέτονται µε τα στοιχεία της οµάδας Κ. Αν η οµάδα G είναι προσθετική τότε συµβολίζουµε την οµάδα G ως ευθύ εσωτερικό άθροισµα των Η και Κ µε G = H K. Παραδείγµατα Ας ϑεωρήσουµε δύο οµάδες Η και Κ και την οµάδα G = H K. Οπως είδαµε στην Πρόταση iii. τα στοιχεία της H {e} αντιµεταθέτονται µε τα στοιχεία της {e} K. Ακόµη κάθε στοιχείο (h, k) G αναλύεται σε γινόµενο (h, k) = (h, e)(e, k) ενός στοιχείου (h, e) H {e} και ενός στοιχείου {e} K και συτή η ανάλυση είναι µοναδική, όπως εύκολα διαπιστώνεται. Συµπεραίνουµε εποµένως ότι G = (H {e}) ({e} K). 2. Εστω V ένας Κ-διανυσµατικός χώρος και έστω ότι αναλύεται σε ευθύ άθροισµα V = V 1 V 2 δύο υποχώρων του V 1, V 2. Είναι ϕανερό τότε ότι η προσθετική αβελιανή οµάδα V είναι το ευθύ εσωτερικό άθροισµα των υποοµάδων της V 1 και V 2. Υπάρχουν εποµένως τα ευθέα εσωτερικά γινόµενα (ή αθροίσµατα) οµάδων. Από τον Ορισµό δεν προκύπτει ότι αυτόµατα µία οµάδα είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο δύο υποοµάδων της, αν εξαιρέσουµε ϐέβαια την τετριµ- µένη περίπτωση που G = {e} G. Το επόµενο κριτήριο καθιστά ευκολότερο τον τρόπο εύρεσης ευθέων παραγόντων µίας οµάδας, αν ϐέβαια υπάρχουν.

10 110 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Θεώρηµα Μία οµάδα G είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των υποοµάδων Η και Κ αν και µόνον αν α) G = HK, ϐ) H G και K G, γ) H K = {e}. Απόδειξη : Εστω ότι G = H K για δύο υποοµάδες Η και Κ της οµάδας G. Από τον Ορισµό προκύπτει ότι hk = kh, για όλα τα h H και k K. Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι HK = KH και εποµένως το γινόµενο HK G (ϐλ Πρόταση 3.1.2). Οµως από το i) του Ορισµού έπεται ότι κάθε στοιχείο g G ανήκει στο γινόµενο HK, δηλ. G HK, και συνεπώς G = HK. Ετσι αποδείχθηκε το α) του Θεωρήµατος. Για να αποδείξουµε το ϐ), αρκεί να αποδείξουµε ότι ghg 1 H και gkg 1 K, για όλα τα g G, h H και k K. Εστω, λοιπόν, g G, h H και k K. Από το i) του Ορισµού έπεται ότι υπάρχουν h 1 H και k 1 K ώστε g = h 1 k 1. Οµως από το ii) του Ορισµού προκύπτει ότι ghg 1 = h 1 k 1 hk 1 1 h 1 1 = h 1 hh 1 1 k 1 k 1 1 = h 1 hh 1 1 H, για όλα τα g G. Άρα H G. Οµοια K G και αποδείχθηκε το ϐ). Μένει να αποδείξουµε το γ). Εστω x H K. Το x ως στοιχείο της G έχει τις αναλύσεις x = ex = xe σε γινόµενο ενός στοιχείου της Η και ενός στοιχείου της Κ. Οµως σύµφωνα µε το i) του Ορισµού η ανάλυση αυτή είναι µοναδική, άρα x = e. Εποµένως H K = {e} και αποδείχθηκε και το γ). Αντίστροφα, τώρα, υποθέτουµε ότι ισχύουν τα α), ϐ) και γ) του Θεωρήµατος και ϑα αποδείξουµε τις απαιτήσεις i) και ii) του Ορισµού Από το α) έπεται ότι για τυχαίο g G υπάρχουν δύο στοιχεία h H και k K ώστε g = hk. Ας υποθέσουµε ότι η ανάλυση αυτή του g δεν είναι µοναδική, δηλ. υπάρχουν τα στοιχεία h 1 H και k 1 K έτσι ώστε g = h 1 k 1. Τότε, όµως, hk = h 1 k 1 h 1 1 h = k 1 k 1 H K = {e}, λόγω του γ). Άρα h = h 1 και k = k 1, δηλ. η ανάλυση του τυχαίου στοιχείου g G σε γινόµενο ενός στοιχείου της Η και ενός στοιχείου της Κ είναι µοναδική και αποδείχθηκε το i). Για να αποδείξουµε το ii) ϑεωρούµε το στοιχείο x = hkh 1 k 1, για δύο τυχαία στοιχεία h H και k K. Παρατηρούµε ότι x = (hkh 1 )k 1 K,

11 Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.2 Ευθέα εσωτερικά γινόµενα οµάδων 111 γιατί αφού K G έπεται ότι hkh 1 K. Επίσης όµοια, αφού H G, x = h(kh 1 k 1 ) H. Άρα x K H = {e}, λόγω του γ) και συνεπώς hk = kh, για κάθε h H και k K, γεγονός που αποδεικνύει το ii). Ετσι αποδείχθηκε το Θεώρηµα. Παραδείγµατα Ας ϑεωρήσουµε την οµάδα S 3 και τις υποοµάδες της (12) και (123). Παρατηρούµε ότι i. S = (12) (123), ii. (12) (123) = {e}. Οµως η S 3 δεν είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των υποοµάδων της (12) και (123), αφού (12) S 3, ϐλ. Παράδειγµα , δηλαδή δεν ορίζεται το ευθύ εσωτερικό γινοµενο των υποοµάδων (12) και (123) της S Θεωρούµε την οµάδα του Klein K = α, β α 2 = e = β 2 = (αβ) 2 = {e, α, β, αβ}, (ϐλ. Παράδειγµα ). Παρατηρούµε ότι α K, β K, αφού η Κ είναι αβελιανή και α β = {e}. Ακόµη K = α β. Εποµένως K = α β. Οπως προκύπτει από τους Ορισµούς και µία ουσιώδης δια- ϕορά του εξωτερικού και του εσωτερικού γινοµένου δύο οµάδων είναι ότι το εξωτερικό δεν περιέχει τους παράγοντές του, ενώ το εσωτερικό γινόµενο δύο οµάδων, αν αυτό υπάρχει, περιέχει τους παράγοντές του. Παρά τις διαφο- ϱές τους ϑα συγκρίνουµε αλγεβρικά τα δύο αυτά γινόµενα µε το επόµενο συµπέρασµα. Πρόταση Εστω G µία οµάδα και Η,Κ υποοµάδες της G τέτοιες ώστε να ισχύει G = H K. Τότε H K H K. Απόδειξη : Η αντιστοιχία f H K H K, (h, k) hk, όπου h H και k K, είναι ισοµορφισµός οµάδων. Οι λεπτοµέρειες αφήνονται για τον αναγνώστη.

12 112 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Παραδείγµατα Θα αποδείξουµε ότι Z 3 Z 5 Z 15 = 5 3. Από την Πρόταση η Z 3 Z 5 είναι κυκλική οµάδα ως ευθύ εξωτερικό άθροισµα των κυκλικών οµάδων Z 3 και Z 5 µε τάξη αντίστοιχα 3 και 5 και (3, 5) = 1. Άρα η Z 3 Z 5 είναι κυκλική τάξης 15 (Πρόταση 4.1.1,v)) και συνεπώς ισόµορφη µε την οµάδα Z 15 (Θεώρηµα ). Από την Πρόταση η οµάδα Z 3 Z 5 είναι ισόµορφη µε το ευθύ εσωτερικό άθροισµα δύο υποοµάδων της Z 15 τάξης αντίστοιχα 3 και 5, αν ϐέβαια υπάρχουν τέτοιες υποοµάδες. Οµως 3 15 και αφού η Z 15 είναι κυκλική υπάρχει µοναδική υποοµάδα της Z 15 τάξης 3 είναι αυτή που παράγεται από το στοιχείο 5. Πράγµατι ord(5) = 15 (5,15) = 15 5 = 3. Οµοια η οµάδα 3 είναι η µοναδική υποοµάδα της Z 15 τάξης 5 (ϐλ. Πρόταση και Θεώρηµα ). Οι υποοµάδες 5 και 3 της Z 15 ικανοποιούν τις απαιτήσεις του Θεωρήµατος 4.2.3, άρα Z 15 = 5 3. Θα γενικεύσουµε, τώρα, την έννοια του ευθέως εσωτερικού γινοµένου καταρχήν για πεπερασµένου πλήθους προσθετέους. Ορισµός Μία οµάδα G είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των υποοµάδων της G i, 1 i n, όπου n 2 είναι ϕυσικός αριθµός και συµβολίζεται G = G 1 G n, αν ισχύουν τα επόµενα : i. κάθε στοιχείο g G έχει µοναδική ανάλυση σε γινόµενο g = g 1 g 2... g n, για g i G i, 1 i n. ii. τα στοιχεία της υποοµάδας G i αντιµεταθέτονται µε τα στοιχεία της υποο- µάδας G j για 1 i, j n και i j. Παρατηρούµε ότι ο ορισµός αυτός είναι ανάλογος του ορισµού του ευθέος εσωτερικού αθροίσµατος υποχώρων ενός διανυσµατικού χώρου. Ακολουθεί ένα κριτήριο αντίστοιχο του Θεωρήµατος Θεώρηµα Εστω n 2 ένας ϕυσικός αριθµός. Μία οµάδα G είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των υποοµάδων της G i, 1 i n, αν και µόνον αν ισχύουν τα επόµενα : α) G = G 1 G 2... G n, ϐ) G i G, 1 i n,

13 Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.2 Ευθέα εσωτερικά γινόµενα οµάδων 113 γ) G i (G 1... G i 1 G i+1... G n ) = {e}. Η απόδειξη είναι ανάλογη µε αυτήν του Θεωρήµατος και αφήνεται ως άσκηση για τον αναγνώστη. Παραδείγµατα και 1. Θεωρούµε την προσθετική οµάδα M 3 (Q) και τις υποοµάδες της α G 1 = α α i1 Q, 1 i 3, α α 12 0 G 2 = 0 α α 32 0 α i2 Q, 1 i α 13 G 3 = 0 0 α 23 α i3 Q, 1 i α 33 (Να αποδείξετε ότι G i M 3 (Q), 1 i 3). Παρατηρούµε ότι κάθε στοιχείο (α ij ) M 3 (Q) αναλύεται ως α α α 13 (α ij ) = α α α 23, α α α 33 δηλ. άθροισµα στοιχείων των G i, 1 i 3. Η ανάλυση είναι µοναδική, όπως προκύπτει αµέσως από την ισότητα πινάκων. Ετσι ισχύει το i) του Ορισµού για την M 3 (Q) και τις G 1, G 2, G 3. Το ii) του Ορισµού είναι ϕανερό γιατί η M 3 (Q) είναι αβελιανή. Άρα M 3 (Q) = G 1 G 2 G Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα µε την ιδιότητα ord(g) = 2, για κάθε e g G. Γνωρίζουµε ότι η G είναι αβελιανή, ϐλ. Παράδειγµα , και αυτό συµβαίνει ανεξάρτητα από το αν η G είναι πεπερασµένη. Με την παραπάνω αυτή ιδιότητα ϑα δείξουµε ότι G = G 1 G 2 G n, όπου n 1 και n N και G i είναι µία κυκλική οµάδα τάξης 2, 1 i n. Εστω e g 1 G. Η οµάδα G 1 = g 1 είναι κυκλική τάξης 2. Αν δεν υπάρχει

14 114 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων άλλο στοιχείο της G, τότε έχουµε το αποτέλεσµα που ϑέλουµε. Αν G 1 G, έστω g 2 G και g 2 G 1, τότε e g 2 και η G 2 = g 2 είναι µία κυκλική υποοµάδα της G τάξης 2. Ακόµη, G 1 G 2 = {e}. Φυσικά, G 1, G 2 G, γιατί η G είναι αβελιανή. Άρα ορίζεται το G 1 G 2. Αν δεν υπάρχει άλλο στοιχείο της G, τότε G = G 1 G 2 και έχει ολοκληρωθεί η απόδειξη. Αν υπάρχει g 3 G και g 3 G 1 G 2 τότε για τις οµάδες G 1 G 2 και G 3 = g 3 ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήµατος Άρα ορίζεται το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των (G G 3 ) G 3. Συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο µέχρις ότου εξαντληθούν τα στοιχεία της G και οδηγούµαστε στο συµπέρασµα που ϑέλουµε. Μπορούµε να συγκρίνουµε τα γινόµενα G 1 G 2 G n και G = G 1 G 2 G n, όπου G i < G, 1 i n, εφόσον ϐέβαια ορίζεται το δεύτερο γινόµενο, όπως αυτό έγινε για δύο παράγοντες στην Πρόταση Πρόταση Εστω G µία οµάδα και G i < G, i = 1, 2,..., n έτσι ώστε G = G 1 G n, για έναν ϕυσικό αριθµό n 1. Τότε η συνάρτηση G 1 G 2 G n G 1 G 2 G n, είναι ισοµορφισµός οµάδων. (g 1, g 2,..., g n ) g 1 g 2... g n Θα γενικεύσουµε τώρα τον Ορισµό για µία οικογένεια υποοµάδων µίας οµάδας. Ορισµός Εστω Ι ένα µη κενό σύνολο. Μία οµάδα G είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των υποοµάδων της G i, i I και συµβολίζουµε αν ισχύουν τα επόµενα : G = G i, i I i. κάθε στοιχείο g έχει µοναδική ανάλυση σε γινόµενο g = g i, i I για g i G i, i I, όπου g i = e για όλα σχεδόν τα i I (δηλ. για πεπερασµένο µόνο πλήθος δεικτών i, συµβαίνει g i e.)

15 Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.2 Ευθέα εσωτερικά γινόµενα οµάδων 115 ii. Τα στοιχεία της G i αντιµεταθέτονται µε τα στοιχεία της G j, για i j και i, j I. Θεωρούµε την αντιστοιχία f G i G i, i I i I g i = g k1... g kt (..., e, g k1, e,..., e, g k2, e,..., e,..., e, g kt, e,... ), i I όπου τα στοιχεία g ki e, 1 i t, είναι ένας µονοµορφισµός οµάδων. Η συνάρτηση f δεν είναι επί, αφού στην οµάδα δεν ορίζεται το γινόµενο άπειρου πλήθους στοιχείων. Εποµένως G i G i. i I i I Το Θεώρηµα γενικεύεται για ευθύ εσωτερικό γινόµενο µίας οικογένειας υποοµάδων, δίνοντας το ακόλουθο κριτήριο. Θεώρηµα Εστω Ι ένα µη κενό σύνολο. Μία οµάδα G είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των υποοµάδων της G i, i I, δηλ. αν και µόνον αν ισχύουν τα επόµενα : G = G i, i I α) κάθε στοιχείο της g είναι γινόµενο στοιχείων g i, i I, όπου όλα σχεδόν τα g i = e. ϐ) G i G, i I. γ) G i j i G j = {e}. j J Αφήνουµε την απόδειξη αυτού του Θεωρήµατος ως άσκηση. Παρατήρηση Θεωρούµε πάλι την οµάδα του Klein Κ, όπως το προηγούµενο παράδειγµα. Είναι εύκολο από την ανάλυση K α β, (4.2.1) που αποδείξαµε στο προηγούµενο παράδειγµα, έχουµε ακόµη τις K α αβ (4.2.2)

16 116 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων και Βεβαίως παρατηρούµε ότι K β αβ. (4.2.3) β αβ και α αβ, (4.2.4) αφού όλες είναι κυκλικές οµάδες τάξης 2. Το ενδιαφέρον, όµως, είναι ότι στις αναλύσεις των σχέσεων (4.2.1) και (4.2.2) οι δεύτεροι παράγοντες δεν είναι ίσοι και το ίδιο παρατηρούµε για τις σχέσεις (4.2.2) και (4.2.3). Ετσι µπορούµε να ισχυριστούµε ότι αν G = H K και G = H L K = L. (4.2.5) Με άλλα λόγια η ανάλυση του ευθέως εσωτερικού γινοµένου σε γινόµενο υποοµάδων δεν είναι µοναδική µε την έννοια της ισότητας των παραγόντων Κ και L στη σχέση (4.2.5). Στο συγκεκριµένο παράδειγµα της οµάδας του Klein έχουµε τους ισοµορφισµούς που δίνονται στη σχέση (4.2.4). Ισχύει κάτι τέτοιο γενικότερα ; υστυχώς αυτό δεν συµβαίνει, δηλ. είναι δυνατόν για µία οµάδα G να ισχύει G = H K και G = M N, αλλά H M και K N. Οµως µε αυτό το ϑέµα δεν ϑα ασχοληθούµε στο ϐιβλίο αυτό. Ασκήσεις 1. Να εξετάσετε αν οι οµάδες D 2 4 και Q είναι ευθύ εσωτερικό γινόµενο δύο υποοµάδων τους. 2. Να γίνουν οι λεπτοµέρειες της απόδειξης της Πρότασης Να αποδείξετε το Θεώρηµα Να εξετάσετε αν η (M n (Q), +) αναλύεται σε ευθύ εξωτερικό άθροισµα µη τετριµµένων υποοµάδων της. 5. Να δώσετε µία απόδειξη για το Θεώρηµα Να γίνουν οι λεπτοµέρειες της απόδειξης της Πρότασης και της

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

3.1 είκτης υποοµάδας - Θεώρηµα Lagrange

3.1 είκτης υποοµάδας - Θεώρηµα Lagrange Κεφάλαιο 3 Οµάδα πηλίκο - Θεωρήµατα ισοµορφίας Στο κεφάλαιο αυτό ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Lagrange, το οποίο για τις πεπερασµένες οµάδες διατυπώνεται ως εξής : η τάξη κάθε υποοµάδας µίας οµάδας διαιρεί

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Ευχαριστώ ιδιαίτερα τη ϕοιτήτριά µου Μαρίνα Παλαιστή για τη µεταφορά του χειρογράφου µου σε κείµενο "tex" Κεφάλαιο 1 Βασικές Ιδιότητες Ισοδυναµιών Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 7 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα. 8.1 Το γενικό πολυώνυµο

Κεφάλαιο 8. Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα. 8.1 Το γενικό πολυώνυµο Κεφάλαιο 8 Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα Σε αυτό το κεφάλαιο αρχικά αποδεικνύουµε ότι υπάρχει επέκταση σωµάτων µε οµάδα Galois την S n. Για το σκοπό αυτό εξετάζουµε τα συµµετρικά πολυώνυµα.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Επιλύσιµες και µηδενοδύναµες οµάδες

Επιλύσιµες και µηδενοδύναµες οµάδες Κεφάλαιο 8 Επιλύσιµες και µηδενοδύναµες οµάδες Σύνοψη. Μελετώνται οι επιλύσιµες και οι µηδενοδύναµες οµάδες. Εισάγονται οι έννοιες των κανονικών και συνθετικών σειρών. Αποδεικνύεται το Θεώρηµα των Schreier,

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Αλγεβρικες οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 22

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή Κεφάλαιο 4 Ευκλείδιοι Χώροι 4 Ευκλείδιοι Χώροι Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στο επίπεδο και διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών για την

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα