Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)"

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων και ϑα ορίσουµε επίσης το ευθύ εσωτερικό γινόµενο οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων Ας ϑεωρήσουµε δύο οµάδες G 1, G 2 και το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 αυτών. Οπως είδαµε στο Παράδειγµα η G 1 G 2 είναι οµάδα. Είναι ϕανερό ότι οι οµάδες G 1, G 2 δεν είναι υποοµάδες της G 1 G 2, αφού δεν είναι υποσύνολά της. Οµως, οι οµάδες G 1, G 2 εµφυτεύονται στην G 1 G 2, όπως αµέσως ϑα δούµε. Θεωρούµε τις συναρτήσεις i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) i 2 G 2 G 1 G 2, g 2 (e 1, g 2 ), (4.1.2) όπου µε e i G i, i = 1, 2, συµβολίζουµε το ουδέτερο στοιχείο της οµάδας G i. Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι οι συναρτήσεις i 1, i 2 είναι µονοµορ- ϕισµοί οµάδων. Εποµένως G i G 1 G 2, i = 1, 2. Ακόµη ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι οι συναρτήσεις π i G 1 G 2 G i, (g 1, g 2 ) g i, i = 1, 2, (4.1.3) είναι επιµορφισµοί οµάδων. Η π i λέγεται προβολή (projection) της G 1 G 2 στην οµάδα G i, i = 1, 2. Η επόµενη πρόταση συνδέει τις οµάδες που αναφέρθηκαν παραπάνω µε την οµάδα G 1 G

2 102 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Πρόταση Εστω G 1, G 2 δύο οµάδες. Τότε : i. G 1 {e 2 } G 1 G 2 και {e 1 } G 2 G 1 G 2. ii. G 1 {e 2 } {e 1 } G 2 = {(e 1, e 2 )}. iii. (e 1, g 2 )(g 1, e 2 ) = (g 1, e 2 )(e 1, g 2 ), για g i G i, 1 i 2, και (G 1 {e 2 })({e 1 } G 2 ) = G 1 G 2. iv. Kerπ 1 = {e 1 } G 2 και Kerπ 2 = G 1 {e 2 }. v. G 1 G 2 = G 1 G 2. Ιδιαίτερα αν µία από τις οµάδες είναι άπειρη, τότε G 1 G 2 =. vi. Z(G 1 G 2 ) = Z(G 1 ) Z(G 2 ). Απόδειξη : i. Εστω (x 1, x 2 ) G 1 G 2 και g 1 G 1, τότε (x 1, x 2 )(g 1, e 2 )(x 1, x 2 ) 1 = (x 1, x 2 )(g 1, e 2 )(x 1 1, x 1 2 ) = (x 1 g 1 x 1 1, x 2 e 2 x 1 2 ) = (x 1 g 1 x 1 1, e 2 ) G 1 {e 2 }. Άρα G 1 {e 2 } G 1 G 2. Οµοια αποδεικνύεται ότι {e 1 } G 2 G 1 G 2. ii. Εστω (g 1, g 2 ) (G 1 {e 2 }) ({e 1 } G 2 ), τότε (g 1, g 2 ) G 1 {e 2 } g 2 = e 2 και (g 1, g 2 ) {e 1 } G 2 g 1 = e 1. Οι σχέσεις αυτές αποδεικνύουν το ii).

3 Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων 103 iii. Το πρώτο σκέλος είναι ϕανερό, επίσης είναι ϕανερό ότι (G 1 {e 2 }) ({e 1 } G 2 ) G 1 G 2 ως γινόµενο υποοµάδων της G 1 G 2. Εστω τώρα (g 1, g 2 ) G 1 G 2 (g 1, g 2 ) = (g 1, e 2 )(e 1, g 2 ) (G 1 {e 2 }) ({e 1 } G 2 ). Άρα Εποµένως G 1 G 2 (G 1 {e 2 }) ({e 1 } G 2 ). G 1 G 2 = (G 1 {e 2 }) ({e 1 } G 2 ). iv. Kerπ 1 = {(g 1, g 2 ) G 1 G 2 g 1 = e 1 } = {e 1 } G 2 και όµοια αποδεικνύεται το δεύτερο σκέλος. v. Προκύπτει αµέσως από τις ιδιότητες του καρτεσιανού γινοµένου. vi. Εστω (x, y) Z(G 1 G 2 ), για x G 1 και y G 2, και (g 1, g 2 ) τυχαίο στοιχείο της G 1 G 2. Τότε από τον ορισµό του κέντρου οµάδας έχουµε (x, y)(g 1, g 2 ) = (g 1, g 2 )(x, y) Άρα δηλ. (xg 1, yg 2 ) = (g 1 x, g 2 y) xg 1 = g 1 x και yg 2 = g 2 y x Z(G 1 ) και y Z(G 2 ). (x, y) Z(G 1 G 2 ) x Z(G 1 ) και y Z(G 2 ), Z(G 1 G 2 ) = Z(G 1 ) Z(G 2 ). Παραδείγµατα Θεωρούµε τις προσθετικές οµάδες R και C. Το R R είναι επίσης µία προσθετική οµάδα. Θα αποδείξουµε ότι C R R ως προσθετικές οµάδες. Πράγµατι, ϑεωρούµε την αντιστοιχία f C R R, α + βi (α, β).

4 104 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Από τον ορισµό του συνόλου C έχουµε ότι, για α, α, β, β R, α + βi = α = β i α = α και β = β (α, β) = (α, β ). Άρα η f είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση. Ακόµη η f είναι επί, αφού αν (α, β) R R, τότε υπάρχει το στοιχείο α+βi C έτσι ώστε f(α+βi) = (α, β). Τέλος η f διατηρεί την πρόσθεση, αφού για α, α, β, β R, f[(α + βi) + (α + β i)] = f(α + α + (β + β )i) = (α + α, β + β ) = (α, β) + (α, β ) = f(α + βi) + f(α + β i). Αποδείχθηκε εποµένως ότι η f είναι ισοµορφισµός προσθετικών οµάδων. 2. Εστω R A = { α α R} και R A = R A/{0}. Είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι η R A είναι µία πολλαπλασιαστική οµάδα µε πράξη τον συνήθη πολλαπλασιασµό των πραγµατικών αριθµών. Θεωρούµε την πολλαπλασιαστική οµάδα R. Τότε η αντιστοιχία f R R A {1, 1}, α ( α, πρόσηµο του α) είναι ισοµορφισµός πολλαπλασιατικών οµάδων. Ο αναγνώστης καλείται να δώσει τις λεπτοµέρειες των αποδείξεων. 3. Θα αποδείξουµε ότι ακόµη και αν οι Κ,Η είναι ισόµορφες οµάδες και G = K H, τότε υπάρχουν κανονικές υποοµάδες της G που δεν είναι χαρακτηριστικές (ϐλ. άσκηση ). Απόδειξη : Εστω f K H ένας ισοµορφισµός της Κ επί της Η και G = K H. Είναι εύκολο να δούµε ότι η F K H K H, (k, h) (f 1 (h), f 1 (k)) είναι συνάρτηση. Αν (k 1, h 1 ), (k 2, h 2 ) K H, τότε F [(k 1, h 1 )(k 2, h 2 )] = F (k 1 k 2, h 1 h 2 ) = (f 1 (h 1 h 2 ), f 1 (k 1 k 2 )) = (f 1 (h 1 )f 1 (h 2 ), f 1 (k 1 )f 1 (k 2 )) = (f 1 (h 1 ), f 1 (k 1 )) (f 1 (h 2 ), f 1 (k 2 )) = F (k 1, h 1 )F (k 2, h 2 ), δηλ. η F είναι οµοµορφισµός οµάδων. Η F είναι επί. Πράγµατι, έστω (k 1, h 1 ) K H µε k 1 K και h 1 H. Τότε υπάρχει h H ώστε f 1 (h ) = k 1

5 Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων 105 γιατί η f 1 είναι επί συνάρτηση ως ισοµορφισµός. Επίσης υπάρχει k K ώστε f 1 (k ) = h 1, γιατί η f είναι επί συνάρτηση. Άρα δηλ. η F είναι επί συνάρτηση. Τέλος F (k, h ) = (f 1 (h ), f 1 (k ) = (k 1, h 1 )) KerF = {(k, h) K H (f 1 (h), f 1 (k)) = (e K, e H )}, όπου e K (αντίστοιχα e H ) είναι το ουδέτερο στοιχείο της Κ (αντίστοιχα της Η). Οµως, η f είναι ισοµορφισµός, άρα KerF = {(e K, e H )}. Αποδείχθηκε ότι η F είναι αυτοµορφισµός της K H. Παρατηρούµε ότι F (K {e H }) = f 1 {e H } f 1 (K) = {e K } H, δηλ. ενώ K {e H } K H (ϐλ. Πρόταση 4.1.1(i)) ισχύει ότι F (K {e H }) K {e H }. Εποµένως η K {e H } δεν είναι χαρακτηριστική οµάδα της G. 4. Ας ϑεωρήσουµε την οµάδα Z 2 Z 2. Είναι µία προσθετική οµάδα τεσσάρων στοιχείων και Z 2 Z 2 = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}. Παρατηρούµε ότι κάθε στοιχείο της Z 2 Z 2 έχει τάξη 2. Εποµένως η Z 2 Z 2 δεν είναι κυκλική. Αυτό σηµαίνει από την ταξινόµηση των οµάδων τάξης 4, ότι είναι ισόµορφη µε την οµάδα του Klein (ϐλ. Παράδειγµα ). Με αφορµή αυτό το παράδειγµα είναι ϕυσικό να αναρωτηθούµε : Αν το ευθύ εξωτερικό γινόµενο (ή άθροισµα) δύο κυκλικών οµάδων είναι κυκλική οµάδα. Βέβαια αυτό δεν συµβαίνει πάντα, αφού η οµάδα Z 2 Z 2 δεν είναι κυκλική. Την απάντηση δίνει η επόµενη πρόταση. Πρόταση Το ευθύ εξωτερικό γινόµενο α β των κυκλικών οµάδων α α n = e και β β m = e, όπου n > 1 και m > 1 είναι ϕυσικοί αριθµοί, είναι κυκλική οµάδα αν και µόνο αν (n, m) = 1. Απόδειξη : Θεωρούµε τις κυκλικές οµάδες α και β, όπως στην Πρόταση Από το v) της Πρότασης προκύπτει ότι η οµάδα α β = {(α k, β λ ) 0 k n 1, 0 λ m 1} έχει τάξη nm. Θα αποδείξουµε, αρχικά, ότι

6 106 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων ord(α, β) = nm (n, m) = 1. (4.1.4) Εστω, λοιπόν, ord(α, β) = nm. Αν (n, m) = t 1, τότε οι n/t και m/t είναι ϕυσικοί αριθµοί και (α, β) nm/t = ((α n ) m/t, (b m ) n/t ) = (e, e), (4.1.5) όπου µε e συµβολίζουµε τόσο το ουδέτερο στοιχείο της α, όσο και της β. Η σχέση, όµως, (4.1.5) είνα αδύνατη λόγω του ορισµού της τάξης στοιχείου και του γεγονότος ότι nm t nm. Άρα αναγκαστικά t = 1 και (n, m) = 1. Αντίστροφα, έστω ότι (n, m) = 1 και ord(α, β) = s. Τότε (α, β) s = (e, e) (α s, β s ) = (e, e) α s = e και β s = e Ακόµη παρατηρούµε ότι n s και m s nm s, αφού (n, m) = 1. (4.1.6) (α, β) nm = (α nm, β nm ) = ((α n ) m, (β m ) n ) = (e, e) s nm. (4.1.7) Από τις σχέσεις (4.1.6) και (4.1.7) προκύπτει ότι ord(α, β) = nm. Ετσι ολοκληρώθηκε η απόδειξη της σχέσης (4.1.4). Από την ισχύ της σχέσης (4.1.4) προκύπτει ότι (α, β) = {(α k, β λ ) 0 k n 1, 0 λ m 1}. Άρα (α, β) = α β, δηλ. η α β είναι κυκλική. Ας παρατηρήσουµε στο σηµείο αυτό ότι η σχέση (4.1.4) προκύπτει και από την Πρόταση 2.2.7, αφού παρατηρούµε ότι (α, β) = (α, e)(e, β) = (e, β)(α, e) και ord(α, e) = ord(α), ord(e, β) = ord(β). Πρόταση Εστω n > 1 και m > 1 ϕυσικοί αριθµοί. Η προσθετική οµάδα Z n Z m είναι κυκλική αν και µόνο αν (n, m) = 1. Σε αυτήν την περίπτωση Z n Z m Z n m.

7 Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων 107 Απόδειξη : Οταν (n, m) = 1, η οµάδα Z n Z m είναι κυκλική τάξης nm, άρα Z n Z m Z n m. Θεωρούµε, τώρα, το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G = G 1 G 2 G n, των οµάδων G i, 1 i n, για ένα ϕυσικό αριθµό n 2. Η επόµενη πρόταση γενικεύει την Πρόταση Πρόταση Εστω n 2 ένας ϕυσικός αριθµός, G i. 1 i n, οµάδες και G = G 1 G 2 G n το ευθύ εξωτερικό γινόµενο αυτών των οµάδων. Συµβολίζουµε µε e i το ουδέτερο στοιχείο της οµάδας G i. 1 i n. Τότε : i. G i {e i } {e i 1 } G i {e i + 1} {e n } G, 1 i n. ii. G/({e i } {e i 1 } G i {e i + 1} {e n }) G 1 G 2 G i 1 {e i } G i+1 G n, 1 i n. iii. Οι συναρτήσεις είναι επιµορφισµοί οµάδων µε π i G G i, (g 1, g 2,..., g n ) g i Kerπ i = G 1 G 2 G i 1 {e i } G i+1 G n, για 1 i n. iv. Z(G) = Z(G 1 ) Z(G 2 ) Z(G n ). Η απόδειξη αφήνεται για τον αναγνώστη. Θα γενικεύσουµε αµέσως το ευθύ εξωτερικό γινόµενο πεπερασµένου πλή- ϑους οµάδων για µία οικογένεια οµάδων. Ορισµός Εστω G i, i I i, µία οικογένεια οµάδων. Το ευθύ εξωτερικό γινόµενο των οµάδων G i, i I i είναι το σύνολο G i = {(..., g i,... ) g i G i, i I i }, i I όπου κάθε στοιχείο στη ϑέση i είναι στοιχείο της οµάδας G i, i I i, µε πράξη (..., g i,... )(..., g i,... ) = (..., g i g i,... ). Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι πράγµατι η i I i G i είναι οµάδα µε την αναφερόµενη πράξη.

8 108 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Παραδείγµατα Εστω G = Z p Z p Z p... το ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. Κάθε µη µηδενικό στοιχείο της G έχει τάξη p. Το ίδιο συµβαίνει για την οµάδα Z p Z p µε πεπερασµένου πλήθους παράγοντες. 2. Στη οµάδα Z Z p υπάρχουν στοιχεία άπειρης τάξης, όπως τα (s, α) για o s Z και α Z p, και στοιχεία πεπερασµένης τάξης, όπως τα (0, α) για α Z p. 3. Η προσθετική οµάδα ενός Z p -διανυσµατικού χώρου διάστασης n < όπου το Z p ϑεωρείται ως σώµα είναι ισόµορφη µε την οµάδα Z p Z p µε n πλήθους παράγοντες. Ασκήσεις 1. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις των σχέσεων (4.1.1) και (4.1.2) είναι µονοµορφισµοί οµάδων, ενώ οι συναρτήσεις της (4.1.3) είναι επιµορφισµοί οµάδων. 2. Να αποδείξετε ότι για τις προσθετικές οµάδες C και R ισχύει C/R R, ϐλ. Παράδειγµα Να αποδείξετε ότι η αντιστοιχία f στο Παράδειγµα είναι ισοµορ- ϕισµός οµάδων. 4. Να αποδείξετε ότι για τις πολλαπλασιαστικές οµάδες R, R A, {1, 1} του Παραδείγµατος ισχύει ότι Επίσης R /R A {1, 1}. Q /Q A R /R A, όπου η Q A ορίζεται ανάλογα µε την R A. 5. Εστω G 1, G 2 δύο οµάδες και H i G i, i = 1, 2. Να αποδείξετε ότι (G 1 G 2 )/(H 1, H 2 ) (G 1 /H 1 ) (G 2 /H 2 ). 6. Εστω H = {(α, α) α Z}. Να αποδείξετε ότι H Z Z, όπου µε Z ϑεωρούµε την προσθετική οµάδα των ακεραίων. Είναι η Z Z κυκλική ; Είναι η οµάδα Η κυκλική υποοµάδα της Z Z; 7. Να αποδείξετε ότι αν (g 1,..., g n ) G 1 G n, όπου G i, 1 i n, είναι αυθαίρετες οµάδες, τότε ord(g 1,..., g n ) < αν και µόνον αν ord(g i ) <, 1 i n. 8. Να αποδείξετε την Πρόταση

9 Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.2 Ευθέα εσωτερικά γινόµενα οµάδων Ευθέα εσωτερικά γινόµενα οµάδων Στο εδάφιο αυτό ϑα ασχοληθούµε µε το πρόβληµα της ανάλυσης µίας οµάδας σε γινόµενο υποοµάδων της. Από την αριθµητική γνωρίζουµε ότι είναι ευκολότερο να πολλαπλασιάζουµε ακέραιους αριθµούς από το να αναλύσου- µε έναν ακέραιο αριθµό σε γίνοµενο παραγόντων. Ετσι συµβαίνει και µε τις οµάδες. Θα διαπιστώσουµε ότι η ανάλυση οµάδων σε ευθύ γινόµενο υποοµάδων της είναι πολύ πιο δύσκολο πρόβληµα από το να υπολογίζουµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο υποοµάδων της, όπως αυτό έγινε στο εδάφιο 4.1. Ας ξεκινήσουµε µε τον ϐασικό ορισµό. Ορισµός Εστω G µία οµάδα και Η,Κ δύο υποοοµάδες της. Η οµάδα G λέµε ότι είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο (direct internal product) των υποοµάδων της Η και Κ και συµβολίζουµε G = H K αν i. κάθε στοιχείο g G έχει µοναδική ανάλυση σε γινόµενο g = hk, h H, k K. ii. Τα στοιχεία της οµάδας Η αντιµεταθέτονται µε τα στοιχεία της οµάδας Κ. Αν η οµάδα G είναι προσθετική τότε συµβολίζουµε την οµάδα G ως ευθύ εσωτερικό άθροισµα των Η και Κ µε G = H K. Παραδείγµατα Ας ϑεωρήσουµε δύο οµάδες Η και Κ και την οµάδα G = H K. Οπως είδαµε στην Πρόταση iii. τα στοιχεία της H {e} αντιµεταθέτονται µε τα στοιχεία της {e} K. Ακόµη κάθε στοιχείο (h, k) G αναλύεται σε γινόµενο (h, k) = (h, e)(e, k) ενός στοιχείου (h, e) H {e} και ενός στοιχείου {e} K και συτή η ανάλυση είναι µοναδική, όπως εύκολα διαπιστώνεται. Συµπεραίνουµε εποµένως ότι G = (H {e}) ({e} K). 2. Εστω V ένας Κ-διανυσµατικός χώρος και έστω ότι αναλύεται σε ευθύ άθροισµα V = V 1 V 2 δύο υποχώρων του V 1, V 2. Είναι ϕανερό τότε ότι η προσθετική αβελιανή οµάδα V είναι το ευθύ εσωτερικό άθροισµα των υποοµάδων της V 1 και V 2. Υπάρχουν εποµένως τα ευθέα εσωτερικά γινόµενα (ή αθροίσµατα) οµάδων. Από τον Ορισµό δεν προκύπτει ότι αυτόµατα µία οµάδα είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο δύο υποοµάδων της, αν εξαιρέσουµε ϐέβαια την τετριµ- µένη περίπτωση που G = {e} G. Το επόµενο κριτήριο καθιστά ευκολότερο τον τρόπο εύρεσης ευθέων παραγόντων µίας οµάδας, αν ϐέβαια υπάρχουν.

10 110 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Θεώρηµα Μία οµάδα G είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των υποοµάδων Η και Κ αν και µόνον αν α) G = HK, ϐ) H G και K G, γ) H K = {e}. Απόδειξη : Εστω ότι G = H K για δύο υποοµάδες Η και Κ της οµάδας G. Από τον Ορισµό προκύπτει ότι hk = kh, για όλα τα h H και k K. Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι HK = KH και εποµένως το γινόµενο HK G (ϐλ Πρόταση 3.1.2). Οµως από το i) του Ορισµού έπεται ότι κάθε στοιχείο g G ανήκει στο γινόµενο HK, δηλ. G HK, και συνεπώς G = HK. Ετσι αποδείχθηκε το α) του Θεωρήµατος. Για να αποδείξουµε το ϐ), αρκεί να αποδείξουµε ότι ghg 1 H και gkg 1 K, για όλα τα g G, h H και k K. Εστω, λοιπόν, g G, h H και k K. Από το i) του Ορισµού έπεται ότι υπάρχουν h 1 H και k 1 K ώστε g = h 1 k 1. Οµως από το ii) του Ορισµού προκύπτει ότι ghg 1 = h 1 k 1 hk 1 1 h 1 1 = h 1 hh 1 1 k 1 k 1 1 = h 1 hh 1 1 H, για όλα τα g G. Άρα H G. Οµοια K G και αποδείχθηκε το ϐ). Μένει να αποδείξουµε το γ). Εστω x H K. Το x ως στοιχείο της G έχει τις αναλύσεις x = ex = xe σε γινόµενο ενός στοιχείου της Η και ενός στοιχείου της Κ. Οµως σύµφωνα µε το i) του Ορισµού η ανάλυση αυτή είναι µοναδική, άρα x = e. Εποµένως H K = {e} και αποδείχθηκε και το γ). Αντίστροφα, τώρα, υποθέτουµε ότι ισχύουν τα α), ϐ) και γ) του Θεωρήµατος και ϑα αποδείξουµε τις απαιτήσεις i) και ii) του Ορισµού Από το α) έπεται ότι για τυχαίο g G υπάρχουν δύο στοιχεία h H και k K ώστε g = hk. Ας υποθέσουµε ότι η ανάλυση αυτή του g δεν είναι µοναδική, δηλ. υπάρχουν τα στοιχεία h 1 H και k 1 K έτσι ώστε g = h 1 k 1. Τότε, όµως, hk = h 1 k 1 h 1 1 h = k 1 k 1 H K = {e}, λόγω του γ). Άρα h = h 1 και k = k 1, δηλ. η ανάλυση του τυχαίου στοιχείου g G σε γινόµενο ενός στοιχείου της Η και ενός στοιχείου της Κ είναι µοναδική και αποδείχθηκε το i). Για να αποδείξουµε το ii) ϑεωρούµε το στοιχείο x = hkh 1 k 1, για δύο τυχαία στοιχεία h H και k K. Παρατηρούµε ότι x = (hkh 1 )k 1 K,

11 Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.2 Ευθέα εσωτερικά γινόµενα οµάδων 111 γιατί αφού K G έπεται ότι hkh 1 K. Επίσης όµοια, αφού H G, x = h(kh 1 k 1 ) H. Άρα x K H = {e}, λόγω του γ) και συνεπώς hk = kh, για κάθε h H και k K, γεγονός που αποδεικνύει το ii). Ετσι αποδείχθηκε το Θεώρηµα. Παραδείγµατα Ας ϑεωρήσουµε την οµάδα S 3 και τις υποοµάδες της (12) και (123). Παρατηρούµε ότι i. S = (12) (123), ii. (12) (123) = {e}. Οµως η S 3 δεν είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των υποοµάδων της (12) και (123), αφού (12) S 3, ϐλ. Παράδειγµα , δηλαδή δεν ορίζεται το ευθύ εσωτερικό γινοµενο των υποοµάδων (12) και (123) της S Θεωρούµε την οµάδα του Klein K = α, β α 2 = e = β 2 = (αβ) 2 = {e, α, β, αβ}, (ϐλ. Παράδειγµα ). Παρατηρούµε ότι α K, β K, αφού η Κ είναι αβελιανή και α β = {e}. Ακόµη K = α β. Εποµένως K = α β. Οπως προκύπτει από τους Ορισµούς και µία ουσιώδης δια- ϕορά του εξωτερικού και του εσωτερικού γινοµένου δύο οµάδων είναι ότι το εξωτερικό δεν περιέχει τους παράγοντές του, ενώ το εσωτερικό γινόµενο δύο οµάδων, αν αυτό υπάρχει, περιέχει τους παράγοντές του. Παρά τις διαφο- ϱές τους ϑα συγκρίνουµε αλγεβρικά τα δύο αυτά γινόµενα µε το επόµενο συµπέρασµα. Πρόταση Εστω G µία οµάδα και Η,Κ υποοµάδες της G τέτοιες ώστε να ισχύει G = H K. Τότε H K H K. Απόδειξη : Η αντιστοιχία f H K H K, (h, k) hk, όπου h H και k K, είναι ισοµορφισµός οµάδων. Οι λεπτοµέρειες αφήνονται για τον αναγνώστη.

12 112 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Παραδείγµατα Θα αποδείξουµε ότι Z 3 Z 5 Z 15 = 5 3. Από την Πρόταση η Z 3 Z 5 είναι κυκλική οµάδα ως ευθύ εξωτερικό άθροισµα των κυκλικών οµάδων Z 3 και Z 5 µε τάξη αντίστοιχα 3 και 5 και (3, 5) = 1. Άρα η Z 3 Z 5 είναι κυκλική τάξης 15 (Πρόταση 4.1.1,v)) και συνεπώς ισόµορφη µε την οµάδα Z 15 (Θεώρηµα ). Από την Πρόταση η οµάδα Z 3 Z 5 είναι ισόµορφη µε το ευθύ εσωτερικό άθροισµα δύο υποοµάδων της Z 15 τάξης αντίστοιχα 3 και 5, αν ϐέβαια υπάρχουν τέτοιες υποοµάδες. Οµως 3 15 και αφού η Z 15 είναι κυκλική υπάρχει µοναδική υποοµάδα της Z 15 τάξης 3 είναι αυτή που παράγεται από το στοιχείο 5. Πράγµατι ord(5) = 15 (5,15) = 15 5 = 3. Οµοια η οµάδα 3 είναι η µοναδική υποοµάδα της Z 15 τάξης 5 (ϐλ. Πρόταση και Θεώρηµα ). Οι υποοµάδες 5 και 3 της Z 15 ικανοποιούν τις απαιτήσεις του Θεωρήµατος 4.2.3, άρα Z 15 = 5 3. Θα γενικεύσουµε, τώρα, την έννοια του ευθέως εσωτερικού γινοµένου καταρχήν για πεπερασµένου πλήθους προσθετέους. Ορισµός Μία οµάδα G είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των υποοµάδων της G i, 1 i n, όπου n 2 είναι ϕυσικός αριθµός και συµβολίζεται G = G 1 G n, αν ισχύουν τα επόµενα : i. κάθε στοιχείο g G έχει µοναδική ανάλυση σε γινόµενο g = g 1 g 2... g n, για g i G i, 1 i n. ii. τα στοιχεία της υποοµάδας G i αντιµεταθέτονται µε τα στοιχεία της υποο- µάδας G j για 1 i, j n και i j. Παρατηρούµε ότι ο ορισµός αυτός είναι ανάλογος του ορισµού του ευθέος εσωτερικού αθροίσµατος υποχώρων ενός διανυσµατικού χώρου. Ακολουθεί ένα κριτήριο αντίστοιχο του Θεωρήµατος Θεώρηµα Εστω n 2 ένας ϕυσικός αριθµός. Μία οµάδα G είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των υποοµάδων της G i, 1 i n, αν και µόνον αν ισχύουν τα επόµενα : α) G = G 1 G 2... G n, ϐ) G i G, 1 i n,

13 Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.2 Ευθέα εσωτερικά γινόµενα οµάδων 113 γ) G i (G 1... G i 1 G i+1... G n ) = {e}. Η απόδειξη είναι ανάλογη µε αυτήν του Θεωρήµατος και αφήνεται ως άσκηση για τον αναγνώστη. Παραδείγµατα και 1. Θεωρούµε την προσθετική οµάδα M 3 (Q) και τις υποοµάδες της α G 1 = α α i1 Q, 1 i 3, α α 12 0 G 2 = 0 α α 32 0 α i2 Q, 1 i α 13 G 3 = 0 0 α 23 α i3 Q, 1 i α 33 (Να αποδείξετε ότι G i M 3 (Q), 1 i 3). Παρατηρούµε ότι κάθε στοιχείο (α ij ) M 3 (Q) αναλύεται ως α α α 13 (α ij ) = α α α 23, α α α 33 δηλ. άθροισµα στοιχείων των G i, 1 i 3. Η ανάλυση είναι µοναδική, όπως προκύπτει αµέσως από την ισότητα πινάκων. Ετσι ισχύει το i) του Ορισµού για την M 3 (Q) και τις G 1, G 2, G 3. Το ii) του Ορισµού είναι ϕανερό γιατί η M 3 (Q) είναι αβελιανή. Άρα M 3 (Q) = G 1 G 2 G Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα µε την ιδιότητα ord(g) = 2, για κάθε e g G. Γνωρίζουµε ότι η G είναι αβελιανή, ϐλ. Παράδειγµα , και αυτό συµβαίνει ανεξάρτητα από το αν η G είναι πεπερασµένη. Με την παραπάνω αυτή ιδιότητα ϑα δείξουµε ότι G = G 1 G 2 G n, όπου n 1 και n N και G i είναι µία κυκλική οµάδα τάξης 2, 1 i n. Εστω e g 1 G. Η οµάδα G 1 = g 1 είναι κυκλική τάξης 2. Αν δεν υπάρχει

14 114 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων άλλο στοιχείο της G, τότε έχουµε το αποτέλεσµα που ϑέλουµε. Αν G 1 G, έστω g 2 G και g 2 G 1, τότε e g 2 και η G 2 = g 2 είναι µία κυκλική υποοµάδα της G τάξης 2. Ακόµη, G 1 G 2 = {e}. Φυσικά, G 1, G 2 G, γιατί η G είναι αβελιανή. Άρα ορίζεται το G 1 G 2. Αν δεν υπάρχει άλλο στοιχείο της G, τότε G = G 1 G 2 και έχει ολοκληρωθεί η απόδειξη. Αν υπάρχει g 3 G και g 3 G 1 G 2 τότε για τις οµάδες G 1 G 2 και G 3 = g 3 ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήµατος Άρα ορίζεται το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των (G G 3 ) G 3. Συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο µέχρις ότου εξαντληθούν τα στοιχεία της G και οδηγούµαστε στο συµπέρασµα που ϑέλουµε. Μπορούµε να συγκρίνουµε τα γινόµενα G 1 G 2 G n και G = G 1 G 2 G n, όπου G i < G, 1 i n, εφόσον ϐέβαια ορίζεται το δεύτερο γινόµενο, όπως αυτό έγινε για δύο παράγοντες στην Πρόταση Πρόταση Εστω G µία οµάδα και G i < G, i = 1, 2,..., n έτσι ώστε G = G 1 G n, για έναν ϕυσικό αριθµό n 1. Τότε η συνάρτηση G 1 G 2 G n G 1 G 2 G n, είναι ισοµορφισµός οµάδων. (g 1, g 2,..., g n ) g 1 g 2... g n Θα γενικεύσουµε τώρα τον Ορισµό για µία οικογένεια υποοµάδων µίας οµάδας. Ορισµός Εστω Ι ένα µη κενό σύνολο. Μία οµάδα G είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των υποοµάδων της G i, i I και συµβολίζουµε αν ισχύουν τα επόµενα : G = G i, i I i. κάθε στοιχείο g έχει µοναδική ανάλυση σε γινόµενο g = g i, i I για g i G i, i I, όπου g i = e για όλα σχεδόν τα i I (δηλ. για πεπερασµένο µόνο πλήθος δεικτών i, συµβαίνει g i e.)

15 Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.2 Ευθέα εσωτερικά γινόµενα οµάδων 115 ii. Τα στοιχεία της G i αντιµεταθέτονται µε τα στοιχεία της G j, για i j και i, j I. Θεωρούµε την αντιστοιχία f G i G i, i I i I g i = g k1... g kt (..., e, g k1, e,..., e, g k2, e,..., e,..., e, g kt, e,... ), i I όπου τα στοιχεία g ki e, 1 i t, είναι ένας µονοµορφισµός οµάδων. Η συνάρτηση f δεν είναι επί, αφού στην οµάδα δεν ορίζεται το γινόµενο άπειρου πλήθους στοιχείων. Εποµένως G i G i. i I i I Το Θεώρηµα γενικεύεται για ευθύ εσωτερικό γινόµενο µίας οικογένειας υποοµάδων, δίνοντας το ακόλουθο κριτήριο. Θεώρηµα Εστω Ι ένα µη κενό σύνολο. Μία οµάδα G είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των υποοµάδων της G i, i I, δηλ. αν και µόνον αν ισχύουν τα επόµενα : G = G i, i I α) κάθε στοιχείο της g είναι γινόµενο στοιχείων g i, i I, όπου όλα σχεδόν τα g i = e. ϐ) G i G, i I. γ) G i j i G j = {e}. j J Αφήνουµε την απόδειξη αυτού του Θεωρήµατος ως άσκηση. Παρατήρηση Θεωρούµε πάλι την οµάδα του Klein Κ, όπως το προηγούµενο παράδειγµα. Είναι εύκολο από την ανάλυση K α β, (4.2.1) που αποδείξαµε στο προηγούµενο παράδειγµα, έχουµε ακόµη τις K α αβ (4.2.2)

16 116 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων και Βεβαίως παρατηρούµε ότι K β αβ. (4.2.3) β αβ και α αβ, (4.2.4) αφού όλες είναι κυκλικές οµάδες τάξης 2. Το ενδιαφέρον, όµως, είναι ότι στις αναλύσεις των σχέσεων (4.2.1) και (4.2.2) οι δεύτεροι παράγοντες δεν είναι ίσοι και το ίδιο παρατηρούµε για τις σχέσεις (4.2.2) και (4.2.3). Ετσι µπορούµε να ισχυριστούµε ότι αν G = H K και G = H L K = L. (4.2.5) Με άλλα λόγια η ανάλυση του ευθέως εσωτερικού γινοµένου σε γινόµενο υποοµάδων δεν είναι µοναδική µε την έννοια της ισότητας των παραγόντων Κ και L στη σχέση (4.2.5). Στο συγκεκριµένο παράδειγµα της οµάδας του Klein έχουµε τους ισοµορφισµούς που δίνονται στη σχέση (4.2.4). Ισχύει κάτι τέτοιο γενικότερα ; υστυχώς αυτό δεν συµβαίνει, δηλ. είναι δυνατόν για µία οµάδα G να ισχύει G = H K και G = M N, αλλά H M και K N. Οµως µε αυτό το ϑέµα δεν ϑα ασχοληθούµε στο ϐιβλίο αυτό. Ασκήσεις 1. Να εξετάσετε αν οι οµάδες D 2 4 και Q είναι ευθύ εσωτερικό γινόµενο δύο υποοµάδων τους. 2. Να γίνουν οι λεπτοµέρειες της απόδειξης της Πρότασης Να αποδείξετε το Θεώρηµα Να εξετάσετε αν η (M n (Q), +) αναλύεται σε ευθύ εξωτερικό άθροισµα µη τετριµµένων υποοµάδων της. 5. Να δώσετε µία απόδειξη για το Θεώρηµα Να γίνουν οι λεπτοµέρειες της απόδειξης της Πρότασης και της

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p.

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p. Κεφάλαιο 9 Οµάδες συγκεκριµένης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό ϑα εφαρµόσουµε τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κεφάλαια για να περιγράψουµε οµάδες τάξης pq, όπου p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. ράση οµάδας. 5.1 Ορισµοί - Βασικές έννοιες. i. g 1 (g 2 α) = (g 1 g 2 ) α, g 1, g 2 G, α A

Κεφάλαιο 5. ράση οµάδας. 5.1 Ορισµοί - Βασικές έννοιες. i. g 1 (g 2 α) = (g 1 g 2 ) α, g 1, g 2 G, α A Κεφάλαιο 5 ράση οµάδας Από τον ορισµό της οµάδας συµµετρίας, S(X), ενός συνόλου Χ και ιδιαίτερα όταν το Χ είναι ένα γεωµετρικό σχήµα στον διδιάστατο ή τριδιάστατο χώρο διαπιστώνουµε ότι η οµάδα S(X) «δρα»

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Κεφάλαιο 6 Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε τις ϐασικές ιδιότητες της οµάδας πηλίκο µιας οµάδας ως προς µια κανονική υποµάδα, ϑα αποδείξουµε τα ϐασικά ϑεωρήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων.

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. Κεφάλαιο 4 Πεπερασµένα σώµατα Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. 4.1 Βασικές Εννοιες Εστω F ένα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Βασικές Εννοιες. 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα

Κεφάλαιο 1. Βασικές Εννοιες. 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα Κεφάλαιο 1 Βασικές Εννοιες 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα Συχνά στα µαθηµατικά µας ενδιαφέρει να εξετάσουµε αν κάποια ϕαινόµενα που ισχύουν σε αριθµητικά συστήµατα ισχύουν σε ένα γενικότερο περιβάλλον,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Υποοµάδες και οµοµορφισµοί οµάδων. 2.1 Υποοµάδες. Q R C και ότι αν η πρόσθεση στο C περιοριστεί στα στοιχεία του R δίνει

Κεφάλαιο 2. Υποοµάδες και οµοµορφισµοί οµάδων. 2.1 Υποοµάδες. Q R C και ότι αν η πρόσθεση στο C περιοριστεί στα στοιχεία του R δίνει Κεφάλαιο 2 Υποοµάδες και οµοµορφισµοί οµάδων 2.1 Υποοµάδες Μεταξύ των παραδειγµάτων των οµάδων που αναφέραµε στην προηγούµενη παράγραφο ήταν και οι (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +). Παρατηρούµε ότι Z Q R

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Σειρές Οµάδων. 7.1 Σειρές σύνθεσης. G = G 0 G 1 G 2 G n... G = G 0 G 1 G r = {e}. (7.1.1)

Κεφάλαιο 7. Σειρές Οµάδων. 7.1 Σειρές σύνθεσης. G = G 0 G 1 G 2 G n... G = G 0 G 1 G r = {e}. (7.1.1) Κεφάλαιο 7 Σειρές Οµάδων Συχνά στα µαθηµατικά προκειµένου να µελετήσουµε ένα µαθηµατικό αντικείµενο το αναλύουµε σε απλούστερα συστατικά του. Οι ακέραιοι αριθµοί για παράδειγµα αναλύονται σε γινόµενο πρώτων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια.

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια. Κεφάαιο Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύιο που θα παίξει σηµαντικό ρόο στα επόµενα κεφάαια Στις σηµειώσεις αυτές όοι οι δακτύιοι περιέχουν µοναδιαίο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

3.1 είκτης υποοµάδας - Θεώρηµα Lagrange

3.1 είκτης υποοµάδας - Θεώρηµα Lagrange Κεφάλαιο 3 Οµάδα πηλίκο - Θεωρήµατα ισοµορφίας Στο κεφάλαιο αυτό ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Lagrange, το οποίο για τις πεπερασµένες οµάδες διατυπώνεται ως εξής : η τάξη κάθε υποοµάδας µίας οµάδας διαιρεί

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οµοµορφισµοί Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 287 13. Οµοµορφισµοί Οµάδων Στην παρούσα ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Θεωρία Sylow Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Θεωρία Sylow 21 Τα Θεωρήματα Sylow Ορισμός 211 Μια ομάδα (G, ) τάξης p α, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη

Διαβάστε περισσότερα

Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες

Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες Εσωτερικά και Εξωτερικά ευθέα Γινόμενα Α 1. Έστω η κυκλική ομάδα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Weddebu για ημιαπλούς δακτυλίους, αναπτύσσουμε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: 5. ΟΡΙΣΜΟΙ Έστω U και V δύο διανυσματικοί χώροι. Μια συνάρτηση F : U V θα λέγεται γραμμική απεικόνιση (ή ομομορφισμός, ή απλά μορφισμός εάν ικανοποιεί τις συνθήκες (i F ( u + = u + για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Ευχαριστώ ιδιαίτερα τη ϕοιτήτριά µου Μαρίνα Παλαιστή για τη µεταφορά του χειρογράφου µου σε κείµενο "tex" Κεφάλαιο 1 Βασικές Ιδιότητες Ισοδυναµιών Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 7 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville

Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville Χρήστος Κονταράτος 14 Νοεµβρίου 2014 1 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 3 2 Το Θεώρηµα του Liouville 4 3 Η Υπερβατικότητα του ξ 6 4 Αριθµοί του Liouville 8 2 1 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας

Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας Αποστολος Μπεληγιαννης Απόστολος Μπεληγιάννης Καθηγητής Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων Ασκήσεις Βασικής Αλγεβρας Ιωαννινα εκεµβριος 2015 Ασκήσεις Βασικής Αλγεβρας Συγγραφή

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

a b b < a > < b > < a >.

a b b < a > < b > < a >. Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα