Općinsko natjecanje. 4. razred
|
|
- Λάμεχ Κόρακας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 9 1. Općinsko natjecanje iklus susreta i natjecanja mladih matematičara, učenika osnovnih i srednjih škola Republike Hrvatske i u godini sastojao se od školskih natjecanja, gradskih i općinskih natjecanja, županijskih natjecanja, regionalnih natjecanja, Državnog natjecanja i Me - dunarodne matematičke olimpijade. Započeo je školskim natjecanjima koja su se održala tijekom siječnja i veljače, a u njima je sudjelovao velik broj učenika svih razreda. Najbolji učenici pozvani su na općinska i gradska natjecanja koja su 6. ožujka održana u svih 20 županija i Gradu Zagrebu po jedinstvenim kriterijima Državnogpovjerenstvaza matematičkanatjecanja, kojeje pripremilo i zadatke. Osnovna škola 4. razred 4.1. Izračunaj: a) ; b) 891 : : U sljedećim računima zamijeni zvjezdice sa znamenkama tako da računi budu ispravni:
2 10 1. OPĆINSKO NATJEANJE a) b) Akoodzbrojanajvećeg četveroznamenkastog broja s različitim znamenkama i najmanjeg peteroznamenkastog broja s različitim znamenkama oduzmeš nepoznati broj dobit ćeš Koji je to broj? 4.4. Zadan je jednakokračantrokut A s osnovicom A kojemu je duljina osnovice a dva puta manja od duljine kraka b. a) Izračunaj duljinu stranice a ako je opseg tog trokuta 150 mm. b) Nacrtaj trokut A s tim duljinama stranica. c) Izračunaj duljinu stranice jednakostraničnog trokuta čiji je opseg jednak opsegu zadanog trokuta Zbroj četiri pribrojnika je 100. Zbroj prvog, trećeg i četvrtog je 65, a zbroj prvog, drugog i trećeg je 78. Znajući da je prvi pribrojnik za 10 manji od drugog, odredi sva četiri pribrojnika Izračunaj: 5. razred [ ( : 9)] (48 45 : 3) Napiši sve četveroznamenkaste višekratnike broja 18 kojima je na mjestu desetica znamenka 4 i čije su sve znamenke različite Zbroj dvaju prirodnih brojeva je Ispustimo li znamenku jedinica većeg broja, dobit ćemo manji broj. Koji su to brojevi? 5.4. U ribnjacima Hrvatske u godini uzgojeno je 5659 tona šarana, u godini 1198 tona više nego u 1991., a u godini 79 tona više nego u godini. Ako je u te četiri godine uzgojeno ukupno tona šarana, koliko je tona šarana uzgojeno u godini? 5.5. Marko je u bilježnicu nacrtao četverokut AD i njegovu osnosimetričnu sliku A D obzirom na pravac p. Ali, ostavio je bilježnicu otvorenu, pa je njegov mla - di brat Ivica gumicom obrisao dio crteža tako da je ostao samo pravac p idiočetverokuta AD (vidi sliku). Pomozi Marku da popravi i dopuni ono što je Ivica obrisao!
3 1. OPĆINSKO NATJEANJE 11 A p Sl razred 6.1. Riješi jednadžbu: 1 x : = Odredi najveći i najmanji sedmeroznamenkasti broj 3219abc koji je djeljiv sa Unekojškoli postoje tri odjela šestog razreda: 6.a, 6.b i 6.c. U odjelu 6.a razreda ima 0.36 ukupnog broja učenika u sva tri odjela. U odjelu 6.b razreda ima 5 9 broja učenika odjela 6.a razreda, a u odjelu 6.c razreda su preostali učenici. Koliko učenika ima u svakom odjelu, ako u odjelu 6.a razreda ima 6 učenika manje nego u odjelu 6.c razreda? 6.4. Dan je jednakokračni pravokutni trokut A s pravim kutom uvrhu. Nad katetom nacrtan je jednakostranični trokut D. Izračunaj veličinu kuta <)AD A E Sl Dane su tri točke A,, E kao na slici, pri čemu su točke A i vrhovi pravokutnika AD,aE je točka dijagonale. Konstruiraj pravokutnik AD.
4 12 1. OPĆINSKO NATJEANJE 7.1. Riješi jednadžbu: 7. razred 1 3(4 + x) (2 + x)+ = 7 3(5x 1) (8 x) Pri obradi neke drvene grede oblika kvadra, duljina se smanjila za 2.5%, širina za 7%, a visina za 3.2%. Koliko je posto bilo otpada? 7.3. Ura svaki dan kasni točno 6 minuta. Koliko je točno vrijeme danas, u trenutku kad je ura pokazala 17 sati i 52 minute, ako je jučer u 10 sati ura pokazala točno vrijeme? 7.4. Ako bi se vanjski kut kod vrha A trokuta A povećao za 35, a vanjski kut kod vrha smanjio za 20, tada bi se unutarnji kut kod vrha povećao za svoju četvrtinu. Koliki je unutarnji kut kod vrha? 7.5. Dan je pravokutnik AD,pričemu je A = 2. Na stranici A odabranaje točka M tako da je <)AMD = <)MD. Koliki je <)MD? 8.1. Izračunaj razred Pravac p...3x 4y 1 = 0 siječe pravac a...y = 5 3 x 3u točki A,apravacb...5x + 4y 55 = 0utočki.Izračunaj udaljenost izmedu - točaka A i Odredi sve parove prostih brojeva čija je razlika kvadrata Duljina veće osnovice jednakokračnog trapeza je 44 cm, duljina kraka je 17 cm, a duljina dijagonale je 39 cm. Kolika je površina tog trapeza? 8.5. Dan je trokut A, pričemu je <)A šiljast. Na produžetku stranice A preko vrha A odabrana je točka D tako da je AD = A. Neka je točka E nožište okomice iz vrha na pravac koji prolazi točkom D i usporedan je s pravcem A,točka 1 nožištevisineizvrha na stranicu A itočka 1 nožište visine iz vrha na stranicu A. Dokaži da je E =
5 1. OPĆINSKO NATJEANJE 13 Srednja škola 1. razred 1.1. U trokutu A je a =, b = A, c = A. Dokažite da je duljina t a,težišnice iz vrha A, jednaka t a = 1 2 2b2 + 2c 2 a Odredite broj abcd s ovim svojstvom: cda abc = 297 a + b + c = 23. ( abcd je zapis broja u dekadskom sustavu.) 1.3. Ako je x + y + z = 6, x, y, z 0, dokažite da je onda x 2 + y 2 + z U konveksnom mnogokutu s stranica, njihove duljine su prirodni brojevi. Opseg mnogokuta je Dokažite da barem dvije stranice tog mnogokuta imaju jednake duljine. 2. razred 2.1. List papira stranica duljina a i b presavijen je kao na slici x F a E b y A y D Sl Izračunajte površinu trokuta A,akoje a = 8, b = 3, x = 3iy = 1.
6 14 1. OPĆINSKO NATJEANJE 2.2. Neka su z 1, z 2 i z 3 kompleksni brojevi za koje je (i) z 1 z 2 z 3 = 1, (ii) z 1 + z 2 + z 3 = 1 z z z 3. Dokažite da je barem jedan od njih jednak Riješite jednadžbu: x = (1 1998x 2 ) 2, x Zadana je funkcija f : R R, f (x) =x 2 +(a + 1)x + 1, a R. a) Odredite a tako da bude f (x) x 2 + x + 1 < 3, za svaki x R. b) Odredite uvjete uz koje je graf funkcije y = f (x) parabola. c) Nadite - geometrijsko mjesto tjemena svih parabola y = f (x). Nacrtajte sliku! 3.1. Riješite jednadžbu: 3. razred log x+8 ( x + x 2 )= Na - dite volumen rotacionog tijela nastalog rotacijom osjenčanog lika (vidi sliku!) oko osi s, ako je polumjer najvećeg kruga jednak a. s Sl Duljine osnovica trapeza su a i b ( a > b ), a visina h. Njegove dijagonale su medusobno - okomite, a kut izmedu - krakova je α. Dokažite da vrijedi ( 1 1 h = b 1 ) ctg α. a
7 1. OPĆINSKO NATJEANJE Riješite jednadžbu: a sin x + b b cos x + a = a cos x + b b sin x + a, (a, b R+ ). 4. razred 4.1. Polovištem tetive parabole y 2 = 8 3x, koja leži na pravcu 4x 3y 12 = 0, povučena je paralela s x -osi. Sjecištem te paralele i parabole povučena je na nju tangenta. Pokažite da je ona paralelna sa zadanom tetivom Dokažite da je za svaki cijeli broj n 0, broj 7 2n n n+1, djeljiv s Koliko ima strogo rastućih aritmetičkih nizova čiji su svi članovi pozitivni cijeli brojevi, a zbroj prvih 37 jednak je 1998? 4.4. U trostranoj piramidi duljina točno jednog brida je veća od 1. Pokažite da njezin volumen nije veći od 1 8. Rješenja Osnovna škola 4.1. a) 475 ( ) = = ili = b) ( ) :9= 468 : 9 = 52 ili = a) b) Najveći četveroznamenkasti broj s različitim znamenkama je Najmanji peteroznamenksati broj s različitim znamenkama je Njihov zbroj je Traženi broj je = a) Veza izme - du duljine kraka i duljine osnovice je b = 2a. Sada je O = a + b + b, 150 = a + 2a + 2a, 150 = 5a, a = 150 : 5, a = 30 mm. b) Ako je a = 30 mm, tada je b = 60 mm.
8 16 1. OPĆINSKO NATJEANJE A Sl c) O = 3a, 150 = 3a, a = 150 : 3, a = 50 mm. Duljina stranice jednakostraničnog trokuta je 50 mm Kako je zbroj sva četiri pribrojnika 100, a prvog, trećeg i četvrtog 65, to znači da je drugi pribrojnik jednak 35. Kako je zbroj sva četiri pribrojnika 100, a prvog, drugog i trećeg 78, to znači da je četvrti pribrojnik jednak 22. Kako je prvi za 10 manji od drugog koji je jednak 35, to znači da je prvi jednak 25. Zbroj prvog, drugog i četvrtog je = 82,pajedakle,treći pribrojnik jednak [ ( )] (48 15) = 64+2 [ ] = 64+2 [ ] = = = Zapišimo traženibrojuobliku ab4c, gdje su a, b, c me - dusobno različite znamenke i različite od 4. Višekratnik broja 18 ujedno je višekratnik i brojeva 2 i 9. Zbog djeljivosti s 2 mora biti c = 0, 2, 6, 8. Ako je c = 0, broj ima oblik ab40. Taj je broj djeljiv s 9 ako je a + b + 4 djeljivo s 9, tj. a + b je ili 5 ili 14. Za c = 0traženi višekratnici su 2340, 3240, 6840, 8640, 5940, Ako je c = 2, broj ima oblik ab42. Taj je broj djeljiv s 9 ako je a + b + 6 djeljivo s 9, tj. a + b je ili 3 ili 12. Za c = 2traženi višekratnici su 3042, 3942, 5742, 7542, Ako je c = 6, broj ima oblik ab46. Taj je broj djeljiv s 9 ako je a + b + 10 djeljivo s 9, tj. a + b je ili 8 ili 17. Za c = 6traženi višekratnici su 1746, 7146, 3546, 5346, 8946, 9846, Ako je c = 8, broj ima oblik ab48 i djeljiv je s 9 ako je a + b + 12 djeljivo s 9, tj. a + b je ili 6 ili 15. Za c = 8traženi višekratnici su 1548, 5148, 6048, 6948, 9648.
9 1. OPĆINSKO NATJEANJE Označimo s m manji broj. Veći dobivamo tako da manjem dopišemo zdesna znamenku J, tj. mj je veći broj. Dakle, veći broj je 10m + J. Zbroj manjeg i većeg je m +(10m + J) =11m + J i vrijedi 11m + J = Znači, 1998 J je višekratnik broja 11. Višekratnici broja 11 manji od 1998 su 1991, 1980,...,a J bi za te brojeve bio 7, 18,... Kako J mora biti znamenka, slijedi da je J = 7, 11m = 1991, tj. m = 181. Traženi brojevi su 181 i U godini uzgojeno je = 6857 tona šarana. Prikažimo pomoću stupaca uzgoj u tim godinama Sl Sve zajedno je uzgojeno tona, dakle, = 9294 je dvostruka količina šarana uzgojenih godine. Sada slijedi da je u godini uzgojeno 9294 : 2 = 4647 tona šarana. U je uzgojeno = 4726 tona šarana Prvo dovršimo četverokut AD. Spojimo točke i. Produljimo polupravac s vrhom A. Produljimo polupravac s vrhom. Presjek tih polupravaca je točka D. Sada svaki vrh preslikamo osnom simetrijom i spojimo dobivene točke i označimo ih. A D p D A Sl. 1.7.
10 18 1. OPĆINSKO NATJEANJE Zadanu jednadžbu možemo pisati redom: x : = 1, 1 x : = 1, 1 x = 1, 1 x = 1, 1 x = , 1 x = , x = Kako traženi broj mora biti djeljiv s 10, nužno slijedi da je c = 0. Zbog djeljivosti s 9 vrijedi da je a + b + 0 = 15 + a + b djeljivo s 9. Zato razlikujemo dva slučaja: 1 Za a+b = 3 dobivamo a = 0, b = 3; a = 1, b = 2; a = 2, b = 1; a = 3, b = 0. Najveći broj je , a najmanji je Za a + b = 12 dobivamo a = 3, b = 9; a = 4, b = 8; a = 5, b = 7;...; a = 9, b = 3. Sada je najveći broj , a najmanji Konačno rješenje: Najveći broj je , a najmanji je broj U odjelu 6.a razreda ima 0.36 = 25 9 svih učenika, u odjelu 6.b razreda ima , tj. 1 5 svih učenika, a u odjelu 6.c razreda ima , tj svih učenika. Neka je x ukupan broj učenika u sva tri odjela. Kako je = 25 2, slijedi da je 25 2 x = 6. Rješenje ove jednadžbe je x = 75. Prema tome, u odjelu 6.a razreda ima , tj. 27 učenika, u odjelu 6.b 11 75, tj. 15 učenika, dok u odjelu 6.c razreda ima 25 75, tj. 33 razreda ima 1 5 učenika Razlikujemo dva slučaja: 1 Očito je <)AD = = 30. Kako je D = A, slijedi da je trokut AD jednakokračan, pa je <)AD = <)DA = 75,a zbog <)D = 60 zaključujemo da je <)AD = <)DA + <)D ili <)AD = , tj. <)AD = 135. D A Sl. 1.8.
11 1. OPĆINSKO NATJEANJE 19 2 Očito je <)AD = = 150.Kakoje A = D, slijedi da je trokut AD jednakokračan, pa je <)AD = <)DA = 15,a zbog <)D = 60 zaključujemo da je <)AD = <)D <)DA ili <)AD = 60 15, tj. <)AD = 45. A D Sl Uvrhu A ivrhu konstruiramo kut od 90. Zadatak ima dva rješenja, ovisno o tome da li točka E leži na dijagonali A ili na dijagonali D. 1 Točka E leži na dijagonali A. Presjek pravca AE i drugog kraka pravog kuta u vrhu je vrh. Sada u vrhu na stranici konstruiramo kut od 90. Presjek jednog kraka tog kuta s jednim krakom pravog kuta u vrhu A je točka D. 2 Točka E leži na dijagonali D. Presjek pravca E s drugim krakom pravog kuta u vrhu A je točka D. Konstrukcijom pravog kuta u vrhu D lako odredimo vrh. A E D 1 1 D 2 2 Sl
12 20 1. OPĆINSKO NATJEANJE 7.1. Zadanu jednadžbu možemo transformirati redom: 1 + x) (2 + x)+3(4 = 7 3(5x 1) (8 x), x x + = x 15x 3 / x + 10(12 + 3x) =784 98x 5(15x 3) x x = x 75x x = x 44x + 173x = x = 651 / x = x = Neka je a duljina, b širina i c visina drvene grede prije obrade i neka je a 1 duljina, b 1 širina i c 1 visina drvene grede poslije obrade. Očito je V = abc volumen drvene grede prije obrade, te V 1 = a 1 b 1 c 1 volumen grede nakon obrade. Nakon obrade drvene grede duljina je jednaka 97.5% početne duljine, širina 93% početne širine i visina 96.8% početne visine, a to znači da je a 1 = 0.975a, b 1 = 0.93b i c 1 = 0.968c. Zato vrijedi redom: V 1 = 0.975a 0.93b 0.968c, V 1 = abc ili V 1 = V. Sada je jasno da se obradom drvene grede volumen smanjio za , tj. za početnog volumena. Obradom drvene grede nastalo je % otpada Ako ura dnevno kasni 6 minuta, to znači da za 1 sat ura kasni 24, tj. 1 4 minute, a za 4 sata 1 4 4, tj. 1 minutu. Zato će ura danas u 10 sati kasniti 6 minuta, u10+ 4, tj. u 14 sati ura će kasniti 6 + 1, tj. 7 minuta, te u , tj. u 18 sati će kasniti 7 + 1, tj. 8 minuta. Kako je = 8, zaključujemo da je točno vrijeme bilo 18 sati Neka je α unutarnji kut kod vrha A, β unutarnji kut kod vrha i γ unutarnji kut kod vrha. Ako bi se vanjski kut kod vrha A povećao za 35,tada bi se unutarnji kut kod vrha A smanjio za 35,pabitadabio α 35. Ako bi se vanjski kut kod vrha smanjio za 20, tada bi se unutarnji kut kod vrha povećao za 20,pabitadabio β Naravno da bi nakon toga unutarnji kut kod vrha bio γ γ. Kako je zbroj unutarnjih kutova u svakom trokutu jednak 180, vrijedi jednakost α 35 +β +20 +γ γ = 180, odnosno α +β +γ γ = 180 ili γ = 180 1, tj. 4 γ = 15,paje γ = 60.
13 1. OPĆINSKO NATJEANJE D A M Sl Kut <)AMD = <)DM, jer su to kutovi uz presječnicu, a zbog <)AMD = <) MD slijedidaje <) DM = <) MD,a toznači da je trokut MD jednakokračan, pa je M = D. Zbog A = D slijedi da je D = 2, odnosno M = 2,a to znači da je pravokutni trokut M polovica jednakostraničnog trokuta, iz čega zaključujemo da je <)M = 30. Sada lako odredimo traženi kut. Naime, iz <)AMD + <)MD + <)M = 180 dobivamo <)MD + <)MD + 30 = 180 ili 2 <)MD = 150, tj. <)MD = Nakon racionalizacije nazivnika svakog od tri zadana razlomka dobivamo: = ( ) = = Rješenje sustava jednadžbi 3x 4y 1 = 0, y = 5 3 x 3jex = 3, y = 2, a to su koordinate točke A(3, 2). Rješenje sustava jednadžbi 3x 4y 1 = 0, 5x + 4y 55 = 0jex = 7, y = 5, a to su koordinate točke (7, 5). Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut A,pričemu je A = 7 3 = 4, = 5 2 = 3, lako odredimo duljinu A. Naime, A 2 = A ili A 2 = , tj. A = 5.
14 22 1. OPĆINSKO NATJEANJE y 5 2 A x Sl Neka je (x, y) traženi par prostih brojeva, pri čemu je x > y. Tada vrijedi x 2 y 2 = 120, odnosno (x + y)(x y) =120. Očito je x + y + x y = 2x paran broj, a to znači da oba faktora moraju biti iste parnosti, a kako je umnožak dva neparna broja neparan broj, zaključujemo da oba faktora moraju biti parna. Zato razlikujemo četiri moguća slučaja: ( ( x + y = 60, x y = 2; x + y = 20, x y = 6; ( ( x + y = 30, x y = 4; x + y = 12, x y = 10. Rješenja prva tri od ovih sustava ujedno su i traženi parovi (x, y) prostih brojeva, tj. (31, 29), (17, 13), (13, 7). Primijetimo da sustav ( x + y = 12 x y = 10 ne zadovoljava postavljene uvjete jer y = 1 nije prost broj Neka je DE = v duljina visine trapeza AD,te AE = x. Tada je E = 44 x. Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut AED, odnosno na trokut ED, dobivamo v 2 = 17 2 x 2 i v 2 = 39 2 (44 x) 2. Zbog jednakosti lijevih strana u obje jednakosti, i desne strane su nužno jednake. Zato je 39 2 (44 x) 2 = 17 2 x 2.Rješenje ove jednadžbe je x = 8cm.
15 1. OPĆINSKO NATJEANJE 23 D 17 v 39 A x E F 44 Sl Sada iz jednadžbe v 2 = 17 2 x 2 lako odredimo v = 15 cm. Kako je trokut AFD jednakokračan, slijedi da je x = a c 2,paje 8= 44 c 2, tj. c = 28 cm. Konačno možemo odrediti površinu trapeza. Naime, P = (a+c) v 2, P = (44+28) 15 2, P = 540 cm Neka je točka F nožište okomice iz vrha A na pravac DE. Treba pokazati da je AFD = A 1. Naime, trokuti su pravokutni, AD = A i <)FDA = <)A 1, jer su to kutovi uz presječnicu, iz čega slijedi da je AF = 1. E F 1 D A 1 Sl Lako se pokaže da je četverokut A 1 EF pravokutnik. Naime, A EF, a zbog <)AFD = <) 1 EF = 90 slijedi da je i AF 1 E,atoznači da je AF = 1 E. Kako je E = E, a zbog 1 E = AF = 1, dobivamo da je E = 1 + 1, a to je i trebalo dokazati. Srednja škola 1.1. Prvo rješenje. Neka je D polovište stranice,točke E i F nožišta okomica iz točaka i na težišnicu t a. Trokuti ED i FD su sukladni. Označimo DE = DF = x i F = E = y. Iz pravokutnih trokuta AE i AF je (t a x) 2 + y 2 = c 2, (t a + x) 2 + y 2 = b 2.
16 24 1. OPĆINSKO NATJEANJE Zbrajanjem se dobiva 2t 2 a + 2x 2 + 2y 2 = b 2 + c 2. Iz pravokutnog trokuta DF je x 2 + y 2 = a2 4, pa je 2t 2 a + 2 a4 4 = b2 + c 2, odakle slijedi tražena jednakost. A c b y E x D x F Sl y Drugo rješenje. Neka je AD težišnica t a, AE visina v a, ED = x. A c v t a b E x D Sl AED t 2 a = v 2 + x 2 Iz dviju zadnjih jednakosti dobivamo AE v 2 = c 2 ` a 2 x 2 AE v 2 = b 2 ` a 2 + x 2. x = b2 c 2. 2a Uvrštavanjem u prvu jednakost slijedi ta 2 = c 2 a 2 2 x + x 2 1 = 4 (2b2 + 2c 2 a 2 ), a to je jednakost koju je trebalo dokazati.
17 1. OPĆINSKO NATJEANJE cda abc = 297, 100c + 10d + a 100a 10b c = 297, 99(c a 3) = 10(b d). Iz 11 b d slijedi da je b = d. Zato je c a 3 = 0. Odavde i iz dane jednakosti a + b + c = 23 je c = a + 3, b = 23 a a 3 = 2(10 a). Kako je b parna znamenka, dovoljno je provjeriti sve mogućnosti b {2, 4, 6, 8, 0}. Za b = 2jea = 9, c = 12, što nije moguće; Za b = 4jea = 8, c = 11, što nije moguće; Za b = 6jea = 7, c = 10, što nije moguće; Za b = 8jea = 6, c = 9,što je rješenje; Za b = 0jea = 10, c = 13, što nije moguće. Dakle, rješenje je abcd = Za svaka tri realna broja x, y, z vrijedi nejednakost (x y) 2 +(y z) 2 +(z x) 2 0. Kvadriranjem i sre - divanjem dobivamo 2(x 2 + y 2 + z 2 ) 2(xy + yz + zx). Dodamo li lijevoj i desnoj strani nejednakosti x 2 + y 2 + z 2, imamo 3(x 2 + y 2 + z 2 ) (x + y + z) 2 = 36, odakle slijedi tvrdnja x 2 + y 2 + z Tražena nejednakost je posljedica nejednakosti izmedu - kvadratne i aritmetičke sredine: K A, što u našem slučaju znači r x 2 + y 2 + z 2 x + y + z, 3 3 za sve realne brojeve x, y i z, pa onda i za nenegativne Promatrani 1998-terokut sa stranicama različitihcjelobrojnih duljina ima najmanji opseg ako su mu duljine stranica 1, 2, 3,..., Taj najmanji opseg je = = Kako je opseg promatranog mnogokuta jednak , onda (po Dirichletovom principu) barem dvije stranice moraju imati jednake duljine.
18 26 1. OPĆINSKO NATJEANJE 2.1. Označimo točke G, H, I, J kao na slici. Neka je <)AIH = <)AI = α, HI = m, = n, A = z. G x F a E b b H m I α y α A 2α y m z n Sl J D Iz sličnosti IFG i AIH je x y = b + m m m = by x y. Iz sličnosti A i IH ( <)HI = <)A = 2α )je y z = m y 1 + n q = z = y m + n m 2 + n 2 Sada je Tražena površina je U specijalnom slučaju je P = 6 5. n = 2my2 m 2 y 2. by n = 2y 2 x y 2by(x y) 2 = by x y y 2 b 2 (x y) 2. P = P(A) = ny 2 = by2 (x y) b 2 (x y) Prvo rješenje. Uvrštavanjem z 1 = 1 z 2z 3 u (ii) dobiva se z 2 + z z 2 z 3 = 1 z z 3 + z 2 z 3.
19 1. OPĆINSKO NATJEANJE 27 Množenjem sa z 2 z 3, ovaj uvjet prelazi u z 2 2z 3 + z 2 z z 3 z 2 z 2 2z 2 3 = 0, z 2 (z 2 z 3 1)+z 3 (z 2 z 3 1)+(1 + z 2 z 3 )(1 z 2 z 3 )=0, tj. (z 2 z 3 1)(1 z 2 )(1 z 3 )=0. Odavde je z 2 = 1 ili z 3 = 1 ili z 2 z 3 = 1. U trećem slučaju je z 1 = 1. Drugo rješenje. (Pomoću Vièteovih formula.) Neka je a = z 1 + z 2 + z 3, b = z 1 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z 1, c = z 1 z 2 z 3.Tadasuz 1, z 2, z 3 korijeni kubne jednadžbe z 3 az 2 + bz c = 0. Uvjeti (i) i (ii) glase c = 1ia = b. Tada se kubna jednadžba reducira na z 3 az 2 + az 1 = 0. Očito je jedno njezino rješenje z = Neka je x 2 = t. Tada se jednadžba svodi na sustav jednadžbi x = t 2 1 x = 1998t 2 odnosno x 2 = t 1 t = 1998x 2 Oduzimanjem ovih jednakosti imamo t x = 1998(t x)(t + x), tj. Imamo dva slučaja: (t x)(1 1998(t + x)) = 0. 1 t = x,paje x 2 = x i x 1,2 = 1± ; (t + x) =1,paje t = x, odnosno x2 = x. Rješenja jednadžbe x x 1997 = 0su x 3,4 = 1998 ± = 1 ± a) Rješavamo nejednadžbu 3 < x2 +(a + 1)x + 1 x 2 + x + 1 < 3. Množenjem sa x 2 + x + 1(> 0zasvakix R ), dobiva se 3x 2 3x 3 < x 2 +(a + 1)x + 1 < 3x 2 + 3x + 3. Promatramo posebno lijevu i desnu nejednakost: 1 4x 2 +(4 + a)x + 4 > 0 2 2x 2 +(2 a)x + 2 > 0 pa mora biti D = a 2 + 8a 48 < 0 D = a 2 4a 12 < 0 (a + 12)(a 4) < 0 (a 6)(a + 2) < 0 a ( 12, 4) a ( 2, 6) Dakle, rješenje je a ( 2, 4). b) Da bi graf funkcije y = f (x) bio parabola mora biti D < 0, odnosno (a + 1) 2 4 < 0, tj. a + 1 2, 3 a 1.
20 28 1. OPĆINSKO NATJEANJE c) Koordinate tjemena parabole y = x 2 +(a + 1)x + 1 su x T = a+1 2, y T = 4 (a+1)2 4. Vidimo da vrijedi y T = 1 x 2 T. Zbog a [ 3, 1] slijedi x T [ 1, 1],pajetraženo mjesto točaka dio parabole y = 1 x 2 za x [ 1, 1]. f(x) x Sl Da bi logaritamska funkcija bila definirana, mora biti: x + 8 > 0i x + 8 1, tj. x > 8 ix 7; x + x 2 = 5 x + 1 > 0 x ( 6, 4). (1) Za x ( 6, 1) je log x+8 (5 + x + 1) = x = x + 8 x x + 28 = 0 x = 4 (drugo rješenje x = 7 ne zadovoljava gornji uvjet). (2) Za x [ 1, 4) je log x+8 (5 x 1) = x = x + 8 x 2 9x + 8 = 0 x = 1 (drugo rješenje x = 8 ne zadovoljava gornji uvjet) Neka je V 1 volumen kugle polumjera r 1 = a ; V 2 volumen krnjeg stošca polumjera donje baze R 2 = a, polumjera gornje baze r 2 = a 2, visine v 2 = a 3 2 ; V 3 volumen kugle polumjera r 3 = a 3 2 ; V 4 volumen stošca polumjera baze r 4 = 3a 4, visine v 4 = 3 3a 4 ; V 5 volumen kugle polumjera r 5 = 3a 4. Tada je volumen danog tijela V = V 1 2V 2 + V 3 V 4 + V 5 = 4a3 π 7 3a 3 π 3a 3 π =( )a3 π Prema oznakama na slici je 9 3a 3 π 3a 3 π (a b) 2 = x 2 + y 2 2xy cos α cos α = x2 + y 2 (a b) 2. 2xy P je površina trokuta sa stranicama x, y i a b, P = (a b)h 2 = xy 2 (a b)h sin α sin α =. xy
21 1. OPĆINSKO NATJEANJE 29 b v u x t y w y a b a Sl Sada je ctg α = cos α sin α = x2 + y 2 (a b) 2 2(a b)h = v2 + t 2 + u 2 + w 2 (a b) 2 2(a b)h = a2 + b 2 a 2 + 2ab b 2, 2(a b)h ab = (a b)h, odakle se množenjem s a b ab = 1 b 1 a dobiva traženi identitet Uz uvjete b cos x + a 0ibsin x + a 0,nakonsredivanja - dobiva se (sin x cos x)(a 2 + b 2 + ab(sin x + cos x)) = 0. Ako je sin x cos x = 0, onda je x = π 4 + kπ, k Z.Kakoje a 2 + b 2 + ab(sin x + cos x) > a 2 + b 2 2ab =(a b) 2 0, jedina rješenja su gore navedena. Zadnji dio rješenja može se izvesti promatranjem jednadžbe a 2 + b 2 + ab(sin x + cos x) =0, tj. sin x + cos x = a2 + b 2. ab Na ovo možemo primijeniti adicione formule, sin x + 2 cos x = 2 a2 + b 2, ab π sin 4 + x = 2 a2 + b 2 2 2ab 2ab 2ab = 2, što ne može biti ispunjeno jer je sin x [ 1, 1].
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja 009. 1. Riješi nejednadžbu x + x Rješenje. 1 u skupu prirodnih brojeva. x + x 1 x + x + 0 x x < 0 x
Διαβάστε περισσότεραOp cinsko natjecanje Osnovna ˇskola 4. razred
9 1. Općinsko natjecanje Općinsko (gradsko) natjecanje je prvi stupanj natjecanja koji se organizira po jedinstvenim kriterijima Državnog povjerenstva za matematička natjecanja. Godine 1996. ono je održano
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola B kategorija Pula, 30. ožujka 009. Zadatak B-.. (0 bodova) Tomislav i ja, reče Krešimir, možemo završiti posao za 0 dana. No, ako bih radio s Ivanom
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija
Διαβάστε περισσότερα2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
Διαβάστε περισσότεραRJEŠENJA ZA 4. RAZRED
RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJEJEDANJEDANNAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 25.travnja-27.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 5.travnja-7.travnja 01. 5. razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 2010.
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI
Διαβάστε περισσότεραmogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.
r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
Geometrija 1. dio. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik 1 U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 30. ožujka 2009.
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola A kategorija 30. ožujka 009. Zadatak A-.. Odredi sve trojke uzastopnih neparnih prirodnih brojeva čiji je zbroj kvadrata jednak nekom četveroznamenkastom
Διαβάστε περισσότεραx + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z + x)(x + y) =1 x 2 (y + z)+y 2 (z + x)+z 2 (x + y) = 6
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija,. svibnja 2007. Rješenja Zadatak 1A-1. Na - dite realna rješenja sustava jednadžbi: x + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. 4. razred osnovna škola. 23. veljače Odredi zbroj svih neparnih dvoznamenkastih prirodnih brojeva.
MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 1. Na pitanje koliko
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Διαβάστε περισσότερα2s v A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0
17 1989 1 1.1. Ako je v = gt + v 0 i s = g 2 t2 + v 0 t, onda je t jednak A. 2s B. v + v 0 2s C. v v 0 s D. v v 0 2s v E. 2s v 1.2. Broj rješenja jednadžbe x + 1 x = 10 u skupu realnih brojeva x R, iznosi
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραParabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραMINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO
4. razred-osnovna škola 1. Umjesto zvjezdica upiši odgovarajuće znamenke i obrazloži. * * 8 5 * * 5 5 * 0 + 4 * * 5 * * * * * 2. U jednoj auto-radionici u jednom mjesecu popravljena su 44 vozila i to motocikli
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 17. siječnja 2013.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 17. siječnja 01. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERE- NSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I
Διαβάστε περισσότεραPošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
Διαβάστε περισσότεραPRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE
PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE . 0.: 0.0 0. 0.0 je: 5000 0.0 5 0.00. Izračunajte 0.% od : 0. 4 0. 0.0 0.00 0.. Skratite razlomak a a a 4a + 4 + a a a a a a 0.77 4. Rješenje jednadžbe =. 5 je -
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, 2.travnja-4.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, travnja-4travnja 014 5 razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραKut je skup točaka ravnine odre - den dvama polupravcima sa. Polupravci a i b su krakovi kuta, a njihov zajednički početak V je vrh kuta.
UDŽBENIK 2. dio Pojam kuta Dva polupravca sa zajedničkim početkom dijele ravninu na dva dijela (jače naglašeni i manje naglašeni dio). Svaki od tih dijelova zajedno s polupravcima zove se kut. Da bi se
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. ožujka 2007.
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. ožujka 007. 1. Izračunaj:
Διαβάστε περισσότεραRJEŠENJA ZA 4. RAZRED
RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJEJEDANJEDANNAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN..
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραALFA List - 1. Festival matematike "Split 2013." Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013.
ALFA List - 1 Točan odgovor: 10 bodova Pogrešan odgovor: 5 bodova Bez odgovora: 0 bodova 1. Ako je (x+ 3): 4=( x ):3, onda je x jednako: A) 1 B) 1 C) 17 D) 17 E) 6. Kut od 1º30' gleda se kroz povećalo
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 3. svibnja 2007.
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 3. svibnja 2007. Zadatak
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo. 29. siječnja 2009.
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnja 009. UPUTE: Na poledini
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότερα