Temeljni pojmovi o trokutu

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Temeljni pojmovi o trokutu"

Transcript

1 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta. Iskazat ćemo i dokazati neke poučke koji se odnose na te pojmove. Središnje mjesto u poglavlju su poučci o četirima značajnim točkama trokuta. Neki poučci su iskazani ili dokazani pomoću vektora. To su, uglavnom, poučci o vektorima stranica, vektorima težišnica i o težištu trokuta. Uz dvije opće poznate kružnice trokuta (opisana i upisana kružnica), podrobno su obradene - i kružnice pripisane trokutu. Učinjena je i podjela trokuta. Definirani su jednakokračni, jednakostranični, raznostranični, šiljastokutni, pravokutni i tupokutni trokuti. Navedene su bitne osobitosti tih trokuta i dokazani neki poučci koji se odnose na njih. Posebno su navedena tri važna poučka o trokutu: Cevin, Menelajev i Van Aubelov poučak. Ti su poučci važni sami po sebi, a još više zato što se pomoću njih jednostavnije dokazuju mnogi drugi poučci. Na kraju poglavlja navedene (i izvedene) su neke formule za ploštinu trokuta. U poglavlju je iskazano 15 definicija koje su označene: D1.1., D1.2.,..., D1.15. Isto je tako navedeno i dokazano 48 poučaka: P1.1., P1.2.,..., P1.48. Neke relacije medu - elementima trokuta izražene su formulama. Tih je formula ukupno 46 u poglavlju i označene su: F1.1, F1.2,..., F1.46. Napomenimo da su od tih 46 formula čak njih 25 formule za ploštinu trokuta. Cijeli tekst poglavlja popraćen je s 48 crteža, a označeni su: sl.1.1., sl.1.2.,..., sl

2 2 1. TEMELJNI POJMOVI O TROKUTU 1.1. Osnovni elementi trokuta Temeljni geometrijski pojmovi su točka, pravac i ravnina, te se ne definiraju i čitatelj intuitivno ima zorne predodžbe o njima. Isto su tako već u osnovnoj školi uvedeni pojmovi kao što su: dužina,polupravac,poluravnina,kut,udaljenost,duljina,opseg i ploština, zbog čega ćemo smatrati da su i ti pojmovi poznati. Tako - der se pretpostavlja da su čitatelju poznati najjednostavniji pojmovi o skupovima, kao što su: element skupa, podskup, unija, presjek, razlika skupova i slično. Definirat ćemo jedan važan pojam, a to je konveksan skup. D1.1. Neka je S bilo koji skup točaka. Ako su P i Q bilo koje dvije različite točke skupa S iakojedužina PQ podskup skupa S,tadakažemo da je S konveksan skup. Skup koji nije konveksan jest nekonveksan ili konkavan. Neka je A (konačan ili beskonačan) skup zadanih točaka, to jest A = {P 1, P 2, P 3,...}, tada postoji beskonačno mnogo konveksnih skupova koji sadrže te zadane točke. Ako je S jedan od tih skupova, tako da je S podskup svakog od inih skupova koji sadrži te točke, kažemo da je S najmanji skup koji sadrži točke P 1, P 2, P 3... Iz D1.1. slijedi da je svaka dužina konveksan skup. Isto je tako, za zadane različite točke M i N,dužina MN najmanji konveksan skup koji sadrži te točke. D1.2. Ako bilo koja od tri promatrane točke pripada pravcu odre - denom s ine dvije točke, kazat ćemodasutetritočke kolinearne. Inače su nekolinearne. Slično se definira i kolinearnost većeg broja točaka. Trokut se, kao i svaki drugi matematičkipojam, možedefiniratina višerazličitih načina. Ovdjećemo datiovakvudefiniciju trokuta. D1.3. Trokut je najmanji konveksan skup koji sadrži tri zadane nekolinearne točke. Ako su, na primjer, te točke P, Q i R,tadaćemo ovako definiran trokut označiti s PQR. (Ako kažemo trokut PQR, tada nije potrebno staviti oznaku.) Budući da bilo koje tri nekolinearne točke odre - duju ravninu, trokut odre - den tim točkama je podskup ravnine. Zato je svaki trokut ravninski skup točaka. Točke, kojima je u D1.3. odre - den trokut, zovu se vrhovi tog trokuta. Tako su, primjerice, nekolinearne točke A, B i C vrhovi trokuta ABC. Trokut ćemo najčešće označivati s ABC.Zatoćemo uvesti neke uobičajene oznake i nazive za elemente trokuta ABC.Dužine AB, BC i CA su stranice trokuta ABC. Duljine tih stranica označivat ćemo: a = BC, b = CA i c = AB. Budući da je dužina najkraća spojnica dviju točaka, očito vrijedi sljedeća tvrdnja, poznata kao nejednakost trokuta. Duljina jedne stranice trokuta je manja od zbroja, a veća od razlike duljina inih dviju stranica tog trokuta. Za dva različita broja a i b postoji samo jedan zbroj tih brojeva (a + b = b + a) a dvije razlike (a b = (b a)). Zato nejednakost trokuta obično pišemo ovako: b c < a < b + c, c a < b < c + a, a b < c < a + b (I1)

3 1.1. OSNOVNI ELEMENTI TROKUTA 3 Lako se pokaže da je svaka od ovih nejednakosti ekvivalentna sa svakom od inih dviju nejednakosti. Kutovi: <)CAB = α, <)ABC = β i <)BCA = γ su unutarnji kutovi trokuta ABC. Na sl. 1.1 prikazane su uobičajene oznake za osnovne elemente trokuta ABC. Sl D1.4. Ako su duljine dviju stranica trokuta medusobno - jednake, trokut je jednakokračan. Stranice jednakih duljina su krakovi, a treća stranica jest osnovica jednakokračnog trokuta. U geometriji često koristimo pojmove sličnost i sukladnost. Budući da ćemo često koristiti sličnost i sukladnosttrokuta, navestćemo, bez dokaza, osnovnepoučkeo sličnosti i o sukladnosti trokuta. P1.1. Poučci o sličnosti trokuta: 1. Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dvama kutovima. 2. Dva su trokuta slična ako su im po dvije stranice razmjerne, a kutovi što ih odreduju - te stranice medusobno - jednaki. 3. Dva su trokuta slična ako su im po dvije stranice razmjerne, a kutovi nasuprot većim od tih stranica medusobno - jednaki. 4. Dva su trokuta slična ako su im sve tri stranice (u parovima) razmjerne. P1.2. Poučci o sukladnosti trokuta: 1. Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i dvama kutovima uz tu stranicu. 2. Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvjema stranicama i kutu što ga odreduju - te stranice. 3. Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvjema stranicama i kutu nasuprot većoj od tih stranica. 4. Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u svim trima stranicama. Vrijedi sljedeći poučak za jednakokračan trokut. P1.3. Kutovi uz osnovicu jednakokračnog trokuta su jednaki. Dokaz. Neka je AB osnovica jednakokračnogtrokuta ABC. Treba dokazati: ako je a = b, tada je α = β (sl. 1.2).

4 4 1. TEMELJNI POJMOVI O TROKUTU Neka je D polovište stranice AB,a pravac s simetrala dužine AB. Budući da je simetrala dužine skup točaka, koje su jednako udaljene od rubnih točaka te dužine, slijedi da je zbog a = b vrh C na simetrali s. Sada se lako pokaže da se trokuti ADC i BDC podudaraju u svim trima stranicama. Zbog toga su ti trokuti (do orijentacije) sukladni. Zato je <)BAC = <)ABC,tojest α = β. Poučak P1.3. može se iskazati u ekvivalentnom obliku: Sl P1.3a. Kutovi nasuprot dvjema stranicama trokuta jednakih duljina su jednaki. D1.5. Ako su duljine svih triju stranica trokuta jednake, trokut se zove jednakostraničan ili pravilan. P1.4. Sva su tri kuta jednakostraničnog trokuta me - dusobno jednaki. Dokaz. Tvrdnja poučka slijedi neposredno iz P1.3. Sada možemo dokazati sljedeći poučak. P1.5. D1.6. Kut nasuprot većoj od dviju stranica trokuta veći je od kuta nasuprot manjoj od tih dviju stranica. Sl Dokaz. Neka je u trokutu ABC, c > b, treba dokazati da je γ > β (sl. 1.3). Neka je D nožište okomice iz vrha A na stranicu BC,a E točka simetrična točki C, obzirom na D. Zbog c > b slijedi BD > ED, a zbog toga je <)ABD <<)AED,tojest β < γ.promatrali smo slučaj u kojem je γ < 90. Isto se pokaže i za γ = 90 i γ > 90. Sukut unutarnjeg kuta trokuta zove se vanjski kut trokuta. (Sukut konveksnog kuta je kut koji s tim kutom ima jedan krak zajednički, a drugi se krakovi tih kutova nadopunjuju na pravac)

5 1.2. OSTALI ELEMENTI TROKUTA 5 Sl Na sl. 1.4 je trokut ABC. Na primjer, vanjski kut pri vrhu B možemo ostvariti na dva načina: nadopunjavanjem polupravaca BA ili BC,prekoB na pravac. Kako su ti kutovi (po mjeri) jednaki, kažemo da svakom unutarnjem kutu odgovara jedan vanjski kut. Na našoj slici unutarnjem kutu β pridružen je vanjski kut β 1. P1.6. Mjera vanjskog kuta trokuta jednaka je zbroju mjera dvaju unutarnjih kutova koji s tim kutom nemaju zajednički vrh. Dokaz. Vrhom B trokuta ABC povučen je polupravac p, usporedan sa stranicom AC, kao na sl Taj polupravac dijeli vanjski kut β 1 na dva kuta. Lako se pokaže da je mjera jednog od njih jednaka α, a drugog γ.zatojeβ 1 = α + γ. Isto se tako dokaže i za ina dva vanjska kuta trokuta, to jest da je: α 1 = β + γ, β 1 = γ + α i γ 1 = α + β. (F1.1) P1.7. Zbroj unutarnjih kutova trokuta jednak je 180. Dokaz. Prema D1.6. vrijedi β + β 1 = 180, a prema P1.6. β = γ + α.zatoje α + β + γ = 180. (F1.2) P1.8. Zbroj vanjskih kutova trokuta jednak je 360. Dokaz. Prema P1.6. i P1.7. vrijedi: α 1 + β 1 + γ 1 = β + γ + γ + α + α + β = 2(α + β + γ )=2 180 = 360, to jest α 1 + β 1 + γ 1 = 360. (F1.3) 1.2. Ostali elementi trokuta Uovojćemo točki definirati još nekevažne elemente trokuta a to su: srednjice, težišnice, simetrale stranica i simetrale unutarnjih kutova trokuta. D1.7. Spojnica polovišta dviju stranica trokuta zove se srednjica trokuta. Trokut ima tri srednjice.

6 6 1. TEMELJNI POJMOVI O TROKUTU D1.8. D1.9. Spojnica vrha s polovištem nasuprotne stranice trokuta zove se težišnica trokuta. Trokut ima tri težišnice. Udaljenost jednog vrha od pravca nasuprotne stranice trokuta zove se visina trokuta. Trokut ima tri visine. (Često ćemo radi jednostavnijeg zapisa pod visinom trokuta podrazumijevati definiranu udaljenost, ali i pripadnu dužinu.) D1.10. Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta. Pod duljinom simetrale unutarnjeg kuta podrazumijeva se duljina odreska te simetrale unutar trokuta. Potpuno se isto definira i simetrala vanjskog kuta trokuta. D1.11. Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na tu stranicu jest simetrala stranice trokuta Srednjice trokuta Srednjice trokuta definirane su u D1.7. Ovdje ćemo navesti i dokazati neke poučke koji su u svezi sa srednjicama trokuta. P1.9. Srednjica povučena polovištima dviju stranica trokuta je usporedna s trećom stranicom. Duljina te srednjice je jednaka polovici duljine treće stranice. Dokaz 1. Točke D, E i F su polovišta stranica trokuta ABC,kaonasl.1.5. Trokuti AFE i ABC su homotetični sa središtem homotetije u točki A i koeficijentom 1 2 (jer je AF = 1 2 AB i AE = 1 AC ). 2 Iz svojstva homotetije zaključujemo da je FE BC i FE = 1 2 BC. Postoji jednostavan vektorski dokaz ovog poučka, pa ćemo ga navesti. Sl Dokaz 2. FE = FA + AE, FE = FB + BC + CE ;2 FE =( FA + FB)+ BC + ( AE + CE ).Kakoje FA + FB = AE + CE = 0, slijedi da je FE = 1 BC, odakle je 2 FE BC i FE = 1 BC. (F1.4) 2

7 1.4. TEŽIŠNICE I TEŽIŠTE TROKUTA 7 P1.10. Srednjice dijele trokut na četiri me - dusobno (do orijentacije) sukladna trokuta. Dokaz. Prema P1.9. duljine stranica svakog od trokuta AFE, FBD, EDC i DEF su jednake polovici duljina stranica trokuta ABC. Zato su ti trokuti sukladni Težišnice i težište trokuta Najprije ćemo dokazatipoučak o težištu trokuta. P1.11. Težišnice trokuta sijeku se u jednoj točki koju zovemo težište trokuta. Težište dijeli svaku težišnicuuomjeru 2:1,mjereći od vrha trokuta. Dokaz. Neka su u trokutu ABC točke D i E polovište stranica BC i CA (sl. 1.6). Težišnice AD i BE se sijeku u nekoj točki T (inače bi pravci AD i BE bili usporedni, što je nemoguće). Dovoljno je dokazati da je sjecište pravaca CT i AB,točka F, polovište stranice AB.Dužinu TD produžimo preko D do točke G,takodaje DG = TD. Četverokutu BGCT je paralelogram jer mu se dijagonale raspolavljaju. Zato je GC BT i GB CT. Budući da je točka E polovište stranice CA i TE GC, TE je srednjica trokuta AGC. Zato je TE GC i TE = 1 Sl GC = 1 BT i AT = TG = 2 TD,to 2 jest TD = 1 AT. Dalje je: CT GB = TF GB,točka T je polovište dužine AG, 2 zbog čega je TF srednjica trokuta ABG, a zbog toga je točka F polovište stranice AB. Takoder - je TF = 1 2 GB = 1 CT. Timejepoučak dokazan. 2 P1.11a.Obrat poučka o težištu trokuta. Ako su na stranicama BC i CA trokuta ABC točke D i E,pričemu se dužine AD i BE sijeku u točki T tako da je AT = 2 TD i BT = 2 TE, tada je točka T težište trokuta ABC. Sl Dokaz. Prema pretpostavci, duljine pojedinih odrezaka možemo označiti kao na sl Lako se uoči da su trokuti DET i ABT homotetični sa središtem homotetije u točki s koeficijentom k = 2. Zbog toga je AB = 2 ED i AB ED, odakle zaključujemo da su trokuti EDC i ABC takoder - homotetični sa središtem homotetije u točki C i koeficijentom 2.

8 8 1. TEMELJNI POJMOVI O TROKUTU Zbog toga su točke D i E polovišta stranica BC i CA, a zbog toga je T težište trokuta ABC. P1.12. Svaka težišnica dijeli trokut na dva trokuta jednakih ploština. Dokaz. Neka je u trokutu ABC točka D polovište stranice BC,a E nožište visine iz vrha A tog trokuta (sl. 1.8). Težišnica AD dijeli trokut ABC na dva trokuta: ABD i ADC. Ta dva trokuta imaju jednake osnovice ( BD = DC ) i zajedničku visinu ( AE ) na te osnovice. Zato ti trokuti imaju jednake ploštine. Isto vrijedi i za ine dvije težišnice. P1.13. Težišnice dijele trokut na šest trokuta jednakih ploština. Sl Dokaz. Ploštine nastalih šest trokuta označimo kao na sl Primijenimo li na trokute TBC, TCA i TAB poučak P1.12., dobit ćemo P 1 = P 2, P 3 = P 4, P 5 = P 6. Zato je Iz istog je razloga: P 1 + P 6 + P 5 = P 2 + P 3 + P 4, P 1 + P 2 + P 3 = P 4 + P 5 + P 6, P 3 + P 4 + P 5 = P 1 + P 2 + P 6, Sl P 6 + P 5 = P 3 + P 4, P 1 + P 2 = P 5 + P 6, P 3 + P 4 = P 1 + P 2. Dalje je 2P 5 = 2P 3,2P 1 = 2P 5,2P 3 = 2P 1. Zbog svega toga je P 1 = P 2 = P 3 = P 4 = P 5 = P 6. (F1.5) U daljnjem ćemo tekstu neke poučke iskazati pomoću vektora. Prije toga navest ćemo sljedeće definicije. D1.12. Za trokut ABC,vektore AB, trokuta. BC i CA zovemo vektorima stranica tog D1.13. Ako su D, E i F polovišta stranica nasuprot vrhovima A, B i C trokuta ABC, tada vektore AD, BE i CF zovemo vektorima težišnica tog trokuta.

9 1.4. TEŽIŠNICE I TEŽIŠTE TROKUTA 9 D1.14. Ako je O čvrsta točka, a P bilo koja točka ravnine, tada vektor r P = OP zovemo radijvektor točke P obzirom na ishodište O. P1.14. Zbroj vektora stranica bilo kojeg trokuta jest nulvektor. Vrijedi i obrat: ako je zbroj triju nekolinearnih vektora nulvektor, tada postoji trokut kojemu su ti vektori vektori stranica. Dokaz. Za vektore stranica trokuta ABC vrijedi AB + BC + CA =( AB + BC )+ CA = AC + CA = AA = 0. Dokažimo i obrat. Neka za nekolinearne vektore x, y i z vrijedi x + y + z = 0. Početak vektora y dovedimo u završetak vektora x,apočetak vektora z uzavršetak vektora y.označimo li x = AB,tadaje y = BC i z = CD. Dovoljno je dokazati da se točka D podudara s točkom A,tojestdaje D A AD = 0. Vrijedi, po pretpostavci, to jest Time je poučak dokazan. 0 = x + y + z = AB + BC + CD = AC + CD = AD, AD = 0. P1.15. Za svaki trokut 1 postoji trokut 2, tako da su stranice trokuta 2 usporedne sa težišnicama trokuta 1, a duljine stranica trokuta 2 jednake duljinama težišnica trokuta 1. Poučak se jednostavnije može iskazati ovako: Vektori težišnica bilo kojeg trokuta su vektori stranica nekog trokuta. Dokaz. Ako su D, E i F polovišta stranica trokuta ABC, kao na sl. 1.10, dovoljno je, prema P1.14., dokazati da je AD + BE + CF = 0. Vrijedi AD + BE + CF = AB + BD + BC + CE + CA + AF = AB + 1 BC + BC + 1 CA + CA + 1 AB Sl = 3 2 ( AB + BC + CA) = = 0.

10 10 1. TEMELJNI POJMOVI O TROKUTU P1.16. Za vektore težišnica trokuta ABC vrijedi: AD = 1 2 ( AB + AC ), BE = 1 2 ( BC + BA ), CF = 1 2 ( CA + CB). (F1.6) Dokaz. Koristimo oznake na sl Vrijedi AD = AB + BD, AD = AC + CD, odakle je 2 AD = AB + AC +( BD + CD ). Budući da je BD + CD = 0, slijedi da je AD = 1 2 ( AB + AC ). Isto se tako dokažu i ine dvije formule. P1.17. Ako je O bilo koja točka ravnine trokuta ABC,a T težište tog trokuta, tada vrijedi 3 r T = r A + r B + r C (F1.7) Sl Dokaz. r T = 2 OT = OA + AT = OA + AD 3 = OA ( AB + AC) = OA ( OB OA + OC OA) = 1 3 ( OA + OB + OC), odakle je (sl. 1.11) 3 r T = r A + r B + r C. P1.18. Ako su D, E i F polovišta stranica trokuta ABC, tada trokuti ABC i DEF imaju zajedničko težište. Dokaz. Ako je T težište trokuta ABC, G težište trokuta DEF,a O bilo koja točka ravnine, dovoljno je pokazati da je r G = r T. Prema P1.17. vrijedi 3 r G = r D + r E + r F, a prema P1.16. r D = 1 2 ( r B + r C ), r E = 1 2 ( r C + r A ), r F = 1 2 ( r A + r B ).Zatoje to jest 3 r G = 1 2 ( r B + r C + r C + r A + r A + r B )= r A + r B + r C = 3 r T, r G = r T.

11 1.6. VISINE I ORTOCENTAR TROKUTA Simetrale stranica i trokutu opisana kružnica Najprijedokažimo sljedeći poučak. P1.19. Simetrale stranica trokuta sijeku se u jednoj točki. Dokaz. Simetrale stranica BC, CA i AB trokuta ABC označimo s a, s b i s c (sl. 1.12). Simetrale s a i s b sigurno se sijeku, inače bi stranice BC i CA bile usporedne, što je nemoguće. Sjecište tih simetrala označimo s O. O s a OB = OC, O s b OC = OA. Odavde zaključujemo da je OA = OB O s c. Time je poučak dokazan. Sl P1.20. Za svaki trokut postoji jedna i to samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta. Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu, a središtekružnice je sjecište simetrala stranica trokuta. Dokaz. Ako je O sjecište simetrala stranica trokuta ABC, tada je (vidi P1.19.) OA = OB = OC, što znači da vrhovi trokuta pripadaju kružnici kojoj je središte točka O. Budući je kružnica jednoznačno odre - dena trima nekolinearnim točkama, slijedi da je to jedina kružnica koja prolazi vrhovima trokuta ABC Visine i ortocentar trokuta Visine trokuta definirali smo u D1.9. Sada ćemo dokazati neke poučke koji su u svezi s visinama trokuta. P1.21. Pravci visina trokuta sijeku se u jednoj točki. Ta se točka zove ortocentar trokuta. Dokaz. Promatrajmo trokut ABC. Nacrtajmo trokut MNP kojemu su stranice usporedne sa stranicama trokuta ABC i prolaze vrhovima tog trokuta (sl. 1.13). Četverokuti ABMC i ABCN su paralelogrami. Zato je AB = CM i AB = NC, odakle je CM = NC.Istojetako NA = AP i PB = BM.

12 12 1. TEMELJNI POJMOVI O TROKUTU Simetrale stranica trokuta MNP sijeku se u jednoj točki, koju smo označili H. Budući da je CH NM i NM AB, slijedi da je CH AB.Isto je tako AH BC i BH CA.To znači da se visine trokuta ABC sijeku u točki H, koju zovemo ortocentar trokuta. Sl D1.15. Trokut kojemu su vrhovi polovišta zadanog trokuta zove se polovišni trokut tog trokuta. P1.22. Simetrale stranica bilo kojeg trokuta su pravci visina njemu polovišnog trokuta. Dokaz. Dokaz, uz oznake kao na sl. 1.13, neposredno slijedi iz dokaza P1.21. Poučak P1.22. možemo izreći i ovako: Središte trokutu opisane kružnice podudara se s ortocentrom pripadnog polovišnog trokuta. P1.23. Poučak o udaljenosti ortocentra od jednog vrha trokuta. Udaljenost otrocentra od jednog vrha trokuta jednaka je dvostrukoj udaljenosti središta trokutu opisane kružnice od nasuprotne stranice trokuta. Dokaz. Trokutu ABC opisana je kružnica k sa središtem u točki O.Točka H je ortocentar trokuta. Uz ostale oznake kao na sl. 1.14, treba dokazati da je AH = 2 OD. Pravac OD je simetrala stranice BC,pa je OD BC,akakoje AH BC, slijedi da je OD AH.IstojetakoOE BH.Dužina DE je srednjica trokuta ABC, zbog čega je DE BC. Vidimo da su stranice trokuta ODE i HAB (u parovima) usporedne, zbog čega ti trokuti imaju jednake kutove, a zbog toga su slični. Kako je DE = 1 BA, slijedi da je OD = 1 2 AH i OE = 1 2 BH 2. Isto se tako dokaže da je OF = 1 2 CH, što je ekvivalentno tvrdnji poučka. Sl

13 1.7. SIMETRALE UNUTARNJIH KUTOVA I TROKUTU UPISANA KRUŽNICA Simetrale unutarnjih kutova i trokutu upisana kružnica Za svaki trokut postoje četiri važne, takozvane značajne točke. To su: težište, središte opisane kružnice, ortocentar i središte trokutu upisane kružnice. Prve tri od njih smo odredili i dokazali neke jednostavne poučke, koji su povezani s tim točkama. U ovoj točki odredit ćemo četvrtu od tih točaka. A prije toga dokazat ćemo neke poučke. Sada ćemo navesti jedan vrlo jednostavan poučak u svezi simetrale kuta i simetrale nasuprotne stranice trokuta. P1.24. Simetrala unutarnjeg kuta iz jednog vrha trokuta i simetrala stranice nasuprot tom vrhu sijeku se na kružnici opisanoj tom trokutu. Dokaz. Neka je trokutu ABC opisana kružnica k. Simetrala stranice BC, s a siječe kružnicu k utočki E (sl. 1.15). Budući da ta simetrala raspolavlja stranicu BC ( BD = CD ) i s a BC, ona raspolavlja i pripadni luk BC,tojest BE = CE. Budući da su obodni kutovi nad jednakim lukovima jednaki, slijedi da je <)EAB = <)CAE = α 2. To znači da simetrala kuta CAB prolazi točkom E. Time je poučak dokazan. Sl P1.25. Poučak o simetrali unutarnjeg kuta trokuta. Simetrala unutarnjeg kuta trokuta dijeli nasuprotnu stranicu na dva odreska, čije se duljine odnose kao duljine inih dviju stranica trokuta, koje s tim odrescima imaju zajedničku točku. Dokaz 1. Na sl povučena je simetrala kuta pri vrhu A trokuta ABC, koja nasuprotnu stranicu siječe u točki D. Uz oznake kao na slici treba dokazati da vrijedi BD : CD = AB : AC, ili m : n = c : b. (F1.8) Sl Označimo li nožišta okomica iz točke D na pravce AB i AC s E i F, tada je DE = DF = d, jer je svaka točka simetrale kuta jednako udaljena od krakova kuta.

14 14 1. TEMELJNI POJMOVI O TROKUTU Ploštine trokuta ABD i ADC označimo s P 1 i P 2. Vrijedi P 1 : P 2 = m : n, jer ti trokuti imaju zajedničku visinu iz zajedničkog vrha A. S druge strane je ( ) ( ) 1 1 P 1 : P 2 = 2 cd : 2 bd = c : b. Zato je m : n = b : c. Dokaz 2. (Dokaz bez riječi ), sl m : n = BA : AE = c : b. Sl Dokaz 3. (Dokaz bez riječi ), sl m : n = BE : CF = c : b. Sl P1.25a. Obrat poučka o simetrali unutarnjeg kuta trokuta. Ako pravac, povučen jednim vrhom trokuta, dijeli nasuprotnu stranicu u (unutarnjem) omjeru duljina inih dviju stranica (pri čemu svaki od tih dijelova s odgovarajućom stranicom ima zajednički vrh), tada je taj pravac simetrala tog kuta. Dokaz. Neka pravac, povučen vrhom A trokuta ABC, dijeli kut pri tome vrhu na dva dijela ( α 1 i α 2 ) i nasuprotnu stranicu siječe utočki D,pričemu je DB = m i DC = n (sl. 1.19). Po pretpostavci je m n = c b.treba dokazati da je α 1 = α 2 = α, gdje je 2 α = <)CAB. Dovoljno je dokazati da je točka D jednako udaljena od krakova kuta CAB,tojest Sl da je x = DH = DG = y.akojee nožište visine iz vrha A, tada su trokuti BDH i BAE slični, zbog čega je x m = v a c. Isto tako, iz sličnih trokuta CDG i CAE imamo y n = v a. Dalje je b x y = bmv a = b cnv a c m n = b c c b = 1,

15 1.7. SIMETRALE UNUTARNJIH KUTOVA I TROKUTU UPISANA KRUŽNICA 15 ili x = y. Time je poučak dokazan. Zanimljivo je da simetrala vanjskog kuta i simetrala unutarnjeg kuta trokuta dijele nasuprotnu stranicu u jednakom omjeru i to jedna u vanjskom, a druga u unutarnjem omjeru. Zato se poučak o simetrali vanjskog kuta trokuta može iskazati ovako: P1.26. Poučak o simetrali vanjskog kuta trokuta. Ako simetrala unutarnjeg kuta pri vrhu A trokuta ABC siječe pravac BC u točki D, a simetrala pripadnoga vanjskog kuta u točki E, tada vrijedi: BE : CE = BD : CD = c : b. (F1.9) Dokaz. Sl Koristimo oznake kao na sl Točka E jednako je udaljena od polupravaca AB i AF, zbog čega trokuti AEB i AEC imaju jednake visine (v) iz zajedničkog vrha E.Zato je 2P AEB = cv i2p AEC = bv, odakle je P AEB : P AEC = c : b. S druge strane ti trokuti imaju zajedničku visinu (v a ) iz vrha A. Zato je 2P AEB = BE v a i2p AEC = CE v a,tojest P AEB : P AEC = BE : CE. Zbog svega toga je BE : CE = c : b. U dokazu sljedećeg poučka koristit ćemo poznatu tvrdnju: Ako je udaljenost točke P od pravca p jednaka d,tadajepravacp tangenta kružnice k(p, d). P1.27. Simetrale unutarnjih kutova trokuta sijeku se u jednoj točki. Ta točka je središte trokutu upisane kružnice. Poučak se može izreći i ovako: Svakom trokutu može se upisati kružnica, a središte te kružnice jest sjecište simetrala unutarnjih kutova trokuta. Dokaz. U dokazu ćemo koristiti činjenicu: Nuždan i dovoljan uvjet da točka pripada simetrali kuta jest da je ta točka jednako udaljena od krakova kuta. Simetrale kutova CAB i ABC trokuta sigurno se sijeku. Sjecište tih simetrala označimo S, kao na sl Dovoljno je dokazati da je pravac CS simetrala kuta BCA.

16 16 1. TEMELJNI POJMOVI O TROKUTU Označimo li nožišta okomica iz točke S na stranice trokuta (sl. 1.21), tada zaključujemo: S s α S s β SE = SF, SF = SD. Odavde je SD = SE, što znači da je pravac CS simetrala kuta BCA. Označimo li SD = SE = SF = r, zaključujemo da su pravci stranica trokuta tangente kružnice k(s, r),tojestdajeta kružnica upisana trokutu ABC. Sl P1.28. Poučak o duljini odrezaka što ih simetrala unutarnjeg kuta odreduje - na pripadnoj stranici trokuta. Ako simetrala kuta pri vrhu A siječe stranicu BC utočki D,tadaje m = BD = ac ab, n = CD = b + c b + c. (F1.10) Dokaz. Koristimo oznake kao na sl Prema P1.25., vrijedi m : n = c : b, odakle je (m + n) : m =(c + b) : c, ili a : m =(b + c) : c, odakle je m = ac b + c.tako- der je n = b c m, n = ab b + c. Analogno vrijedi i za odreske na drugim dvjema stranicama trokuta. P1.29. Poučak o udaljenostima vrhova od dirališta trokutu upisane kružnice. Udaljenost vrha trokuta od dirališta upisane kružnice sa stranicama trokuta, kojima je taj vrh zajednički, jednaka je razlici poluopsega i duljine tom vrhu nasuprotne stranice. Dokaz. Koristimo oznake kao na sl Treba dokazati: AE = AF = s a, BF = BD = s b, CD = CE = s c. (F1.11) Očito je AE = AF.Označimo: AE = AF = x, BF = BD = y, CD = CE = z. Vrijedi: x+y = c, y+z = a, z+x = b. Oduzmemo li prve dvije jednadžbe dobit ćemo x z = c a. Pribrojimo li ovo trećoj jednadžbi, imamo 2x = b + c a = b + c + a 2a. Označimo opseg trokuta a + b + c = 2s, dobijemo 2x = 2s 2a, ili x = s a.sadase lako izračuna y = s b, z = s c. P1.30. Poučak o središtu trokutu upisane kružnice. Središte trokutu upisane kružnice dijeli odrezak simetrale kuta povučene iz jednog vrha, a koji se nalazi unutar trokuta, u omjeru zbroja duljina stranica kojima je taj vrh zajednički i duljine treće stranice.

17 1.7. SIMETRALE UNUTARNJIH KUTOVA I TROKUTU UPISANA KRUŽNICA 17 Dokaz. Poučak se može iskazati formulama: AS : SD =(b + c) : a, BS : SE =(c + a) : b, CS : SF =(a + b) : c. (F1.12) Dokaz ćemo provesti pomoću sl Prema poučku P1.28. vrijedi m = ac b + c. Primijenimo li na trokut ABD poučak o simetrali unutarnjeg kuta trokuta (P1.25.), dobit ćemo ili AS : SD = AB : BD = c : m = c : AS : SD =(b + c) : a. Ine formule poučka dobijemo isto tako, ili kružnim zamjenama. Sl ac b + c = 1: a b + c, P1.30a. Dokaz obrata poučka o središtu trokutu upisane kružnice. Ako je S točka unutar trokuta ABC, duljina stranica a, b i c,iakopravci AS, BS i CS sijeku nasuprotne stranice u točkama D, E i F, tako da vrijedi AD DS = b + c BS, a ES = c + a i CS b FS = a + b,tadaje S središte kružnice c upisane trokutu ABC. Dokaz. Koristimo oznake kao na sl Prema Cevinom poučku vrijedi k l m n p q = 1, a prema Van Aubelovom poučku BS SE = k l + q p i CS SF = l k + m n i konačno Sl k l = c + a q b p = c + a b k l = c b. k l m n, a odavde k l. Odavde je ( 1 + m ) = c + a n b, ( k 1 + a + b l ) = c + a l c k b, ( k a + b + c l ) = c + a l c k b, k l a + b + c = c + a + 1, c b k l a + b + c c = c + a + b, b

18 18 1. TEMELJNI POJMOVI O TROKUTU Prema obratu poučka o simetrali unutarnjeg kuta trokuta, zaključujemo da točka S pripada simetrali kuta CAB. Isto se tako dokažeda točka S pripadai simetrali kuta ABC, štojedovoljnodaje S središte kružnice upisane trokutu ABC. AS Napomena. Uvjeti DS = b + c BS, a ES = c + a i b Lako se dokaže da iz dva uvjeta slijedi treći. CS FS = a + b c nisu nezavisni Kružnice pripisane trokutu Najprijedokažimo sljedeći poučak. P1.31. Simetrale dvaju vanjskih kutova pri dvama vrhovima i simetrala unutarnjeg kuta pri trećem vrhu trokuta sijeku se u jednoj točki. Ta je točka središte trokutu pripisane kružnice. Dokaz. Na sl nacrtane su simetrale vanjskih kutova pri vrhovima B i C trokuta ABC. Te se simetrale sigurno sijeku i njihovo sjecište označimo S a. Budući da točka S a pripada simetrali kuta β 1, slijedi da je S a D = S a F.Istotakotočka S a pripada simetrali kuta γ 1, zbog čega je S a F = S a E.Sadaje S a D = S a E, što znači da točka S a pripada simetrali kuta EAD, odnosno kuta CAB.Toznači da se simetrale vanjskih kutova trokuta pri vrhovima B i C i simetrala unutarnjeg kuta pri vrhu A sijeku u točki S a. Sl Označimo li S a D = S a E = S a F = r a, zaključujemo da su pravci AB, AC i BC tangente kružnice k a (S a, r a ). Ta se kružnica zove pripisana kružnica trokutu ABC uz stranicu BC. Isto se tako definiraju kružnice k b (S b, r b ) i k c (S c, r c ) uz stranice CA i AB trokuta ABC. Dokažimo još neke poučke o trokutu pripisanim kružnicama.

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva: siljasti kut α < 90 pravi kut α = 90 tupi kut 90 < α < 180 ravni kut α = 180 izboceni kut 180 < α < 360 puni kut α = 360 Komplementi

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

RJEŠENJA ZA 4. RAZRED

RJEŠENJA ZA 4. RAZRED RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJEJEDANJEDANNAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN..

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Ružica Korać GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Maja Starčević Zagreb, rujan 2015. Svaki dan je

Διαβάστε περισσότερα

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Primjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela.

Primjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela. S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 90 Primjer 4.56. Osnovka ABCD uspravne četverostrane prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 29. siječnja 2007.

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 29. siječnja 2007. Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. siječnja 007.. U brojevnom

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Pitanja za usmeni dio ispita iz matematike

Pitanja za usmeni dio ispita iz matematike PITANJA ZA MATURALNI ISPIT Pitanja za usmeni dio ispita iz matematike. Dokazati da je zbroj unutarnjih kutova u trokutu 80 0,a spoljnjih 60 0.. Dokazati da je spoljnji kut trokuta jednak zbroju dva nesusjedna

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Darija Brajković 2. prosinca 2013. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Operacije s vektorima 4 2.1 Zbrajanje vektora...............................

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 7. razred osnovne škole

MATEMATIKA 7. razred osnovne škole Matematika 7. razred osnovne škole 1 MATEMATIKA 7. razred osnovne škole KOORDINATNI SUSTAV 1. Koordinatni sustav na pravcu Koordinatni sustav na pravcu, ishodište, jedinična dužina koordinata točke. Pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA 5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

I. dio. Zadaci za ponavljanje

I. dio. Zadaci za ponavljanje I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Nikola Sandrić MATEMATIKA 1. Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu

Nikola Sandrić MATEMATIKA 1. Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu Tomislav Došlić Nikola Sandrić MATEMATIKA 1 Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu Predgovor Poštovani čitatelji, u rukama imate nastavni materijal koji izlaže gradivo kolegija Matematika 1 za studente

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

POLIEDRI. Ivana Bojović 171/03

POLIEDRI. Ivana Bojović 171/03 POLIEDRI Ivana Bojović 171/03 Sadržaj Poliedarske površi...2 Prizma...5 Piramida...8 Zarubljena piramida...10 Pravilni poliedri...11 Površina poliedara...12 Površina prizme...12 Površina pravouglog paralelopipeda...13

Διαβάστε περισσότερα

Pomoć za program GeoGebra 2.5

Pomoć za program GeoGebra 2.5 Pomoć za program GeoGebra 2.5 Markus Hohenwarter, www.geogebra.at Htvatska verzija: Šime Šuljić, Ela Rac Marinić Kragić 3. svibnja 2005. Sadržaj Sadržaj 2 1 Što je program GeoGebra? 5 2 Primjeri 6 2.1

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 6. razred osnovne škole

MATEMATIKA 6. razred osnovne škole Matematika 6. razred osnovne škole 1 MATEMATIKA 6. razred osnovne škole OPERACIJE S RAZLOMCIMA 1. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik Zajednički nazivnik dvaju razlomaka. Provesti heuristički razgovor

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Zbirka zadataka

Matematika Zbirka zadataka Matematika Zbirka zadataka Kristina Devčić Božidar Ivanković Veleučilište Nikola Tesla u Gospiću Uvod Unaprijed se zahvaljujemo na svakom komentaru o propustima i nedosljednostima, a svaka primjedba glede

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις στα ϑέµατα

Παρατηρήσεις στα ϑέµατα Παρατηρήσεις στα ϑέµατα του διαγωνισµού ΘΑΛΗΣ 2013 της Ε.Μ.Ε. Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειραµατικό Γ.Ε.Λ. Βαρβακείου Σχολής 20 Οκτωβρίου 2013 1 Γενικές Παρατηρήσεις Οι απόψεις των παιδιών Τα ϑέµατα, ιδίως

Διαβάστε περισσότερα

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

,, #,#, %&'(($#(#)&*& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) !! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. TRIGONOMETRIJA 5. Definicija trigonometrijskih funkcija Naj jednostavnija definicija trigonometrijskih funkcija dobije se promatranjem pravokutnog ( ) ( r) ( ) trokuta. Svaki takav trokut, za promatrani

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Dragan Jukić. y 3 E 2. y 4. Nerecenzirano F 2 F 1. y 1 E 1 KONVEKSNI SKUPOVI OSIJEK, 2015.

Dragan Jukić. y 3 E 2. y 4. Nerecenzirano F 2 F 1. y 1 E 1 KONVEKSNI SKUPOVI OSIJEK, 2015. Dragan Jukić E 2 F 2 F 1 y 3 y 4 y 1 E 1 y 2 KONVEKSNI SKUPOVI OSIJEK, 2015. prof.dr.sc. Dragan Jukić KONVEKSNI SKUPOVI Osijek, 2015. D. Jukić Konveksni skupovi. Izdavač: Sveučilište J. J. Strossmayera,

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki

Matematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải. Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH

Διαβάστε περισσότερα

12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija

12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija 12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija Elementarna pitanja: 1. Nabrojati sve geometriske figure prikazane na slici ispod. [kocka, kvadar, četverostrana piramida, sfera

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

9. Loksodroma i ortodroma

9. Loksodroma i ortodroma Loksodroma 9. Loksodroma i ortodroma Loksodroma 1 je krivulje na površini Zemlje koja sve meridijane sijece pod istim kutom. Osim u posebnim slucajevima ima oblik spirale cije ishodište i završnica teže

Διαβάστε περισσότερα

GeoGebra. P osljednjih se godina sve više nameće potreba. Prvi softver dinamične geometrije na hrvatskom jeziku. Zašto program GeoGebra?

GeoGebra. P osljednjih se godina sve više nameće potreba. Prvi softver dinamične geometrije na hrvatskom jeziku. Zašto program GeoGebra? Matematika i računalo GeoGebra Prvi softver dinamične geometrije na hrvatskom jeziku Šime Šuljić, Pazin Čeka nas svijet u kojem će sav softver biti slobodan i dostupan poput matematike, fizike ili filozofije,

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα