Temeljni pojmovi o trokutu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Temeljni pojmovi o trokutu"

Transcript

1 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta. Iskazat ćemo i dokazati neke poučke koji se odnose na te pojmove. Središnje mjesto u poglavlju su poučci o četirima značajnim točkama trokuta. Neki poučci su iskazani ili dokazani pomoću vektora. To su, uglavnom, poučci o vektorima stranica, vektorima težišnica i o težištu trokuta. Uz dvije opće poznate kružnice trokuta (opisana i upisana kružnica), podrobno su obradene - i kružnice pripisane trokutu. Učinjena je i podjela trokuta. Definirani su jednakokračni, jednakostranični, raznostranični, šiljastokutni, pravokutni i tupokutni trokuti. Navedene su bitne osobitosti tih trokuta i dokazani neki poučci koji se odnose na njih. Posebno su navedena tri važna poučka o trokutu: Cevin, Menelajev i Van Aubelov poučak. Ti su poučci važni sami po sebi, a još više zato što se pomoću njih jednostavnije dokazuju mnogi drugi poučci. Na kraju poglavlja navedene (i izvedene) su neke formule za ploštinu trokuta. U poglavlju je iskazano 15 definicija koje su označene: D1.1., D1.2.,..., D1.15. Isto je tako navedeno i dokazano 48 poučaka: P1.1., P1.2.,..., P1.48. Neke relacije medu - elementima trokuta izražene su formulama. Tih je formula ukupno 46 u poglavlju i označene su: F1.1, F1.2,..., F1.46. Napomenimo da su od tih 46 formula čak njih 25 formule za ploštinu trokuta. Cijeli tekst poglavlja popraćen je s 48 crteža, a označeni su: sl.1.1., sl.1.2.,..., sl

2 2 1. TEMELJNI POJMOVI O TROKUTU 1.1. Osnovni elementi trokuta Temeljni geometrijski pojmovi su točka, pravac i ravnina, te se ne definiraju i čitatelj intuitivno ima zorne predodžbe o njima. Isto su tako već u osnovnoj školi uvedeni pojmovi kao što su: dužina,polupravac,poluravnina,kut,udaljenost,duljina,opseg i ploština, zbog čega ćemo smatrati da su i ti pojmovi poznati. Tako - der se pretpostavlja da su čitatelju poznati najjednostavniji pojmovi o skupovima, kao što su: element skupa, podskup, unija, presjek, razlika skupova i slično. Definirat ćemo jedan važan pojam, a to je konveksan skup. D1.1. Neka je S bilo koji skup točaka. Ako su P i Q bilo koje dvije različite točke skupa S iakojedužina PQ podskup skupa S,tadakažemo da je S konveksan skup. Skup koji nije konveksan jest nekonveksan ili konkavan. Neka je A (konačan ili beskonačan) skup zadanih točaka, to jest A = {P 1, P 2, P 3,...}, tada postoji beskonačno mnogo konveksnih skupova koji sadrže te zadane točke. Ako je S jedan od tih skupova, tako da je S podskup svakog od inih skupova koji sadrži te točke, kažemo da je S najmanji skup koji sadrži točke P 1, P 2, P 3... Iz D1.1. slijedi da je svaka dužina konveksan skup. Isto je tako, za zadane različite točke M i N,dužina MN najmanji konveksan skup koji sadrži te točke. D1.2. Ako bilo koja od tri promatrane točke pripada pravcu odre - denom s ine dvije točke, kazat ćemodasutetritočke kolinearne. Inače su nekolinearne. Slično se definira i kolinearnost većeg broja točaka. Trokut se, kao i svaki drugi matematičkipojam, možedefiniratina višerazličitih načina. Ovdjećemo datiovakvudefiniciju trokuta. D1.3. Trokut je najmanji konveksan skup koji sadrži tri zadane nekolinearne točke. Ako su, na primjer, te točke P, Q i R,tadaćemo ovako definiran trokut označiti s PQR. (Ako kažemo trokut PQR, tada nije potrebno staviti oznaku.) Budući da bilo koje tri nekolinearne točke odre - duju ravninu, trokut odre - den tim točkama je podskup ravnine. Zato je svaki trokut ravninski skup točaka. Točke, kojima je u D1.3. odre - den trokut, zovu se vrhovi tog trokuta. Tako su, primjerice, nekolinearne točke A, B i C vrhovi trokuta ABC. Trokut ćemo najčešće označivati s ABC.Zatoćemo uvesti neke uobičajene oznake i nazive za elemente trokuta ABC.Dužine AB, BC i CA su stranice trokuta ABC. Duljine tih stranica označivat ćemo: a = BC, b = CA i c = AB. Budući da je dužina najkraća spojnica dviju točaka, očito vrijedi sljedeća tvrdnja, poznata kao nejednakost trokuta. Duljina jedne stranice trokuta je manja od zbroja, a veća od razlike duljina inih dviju stranica tog trokuta. Za dva različita broja a i b postoji samo jedan zbroj tih brojeva (a + b = b + a) a dvije razlike (a b = (b a)). Zato nejednakost trokuta obično pišemo ovako: b c < a < b + c, c a < b < c + a, a b < c < a + b (I1)

3 1.1. OSNOVNI ELEMENTI TROKUTA 3 Lako se pokaže da je svaka od ovih nejednakosti ekvivalentna sa svakom od inih dviju nejednakosti. Kutovi: <)CAB = α, <)ABC = β i <)BCA = γ su unutarnji kutovi trokuta ABC. Na sl. 1.1 prikazane su uobičajene oznake za osnovne elemente trokuta ABC. Sl D1.4. Ako su duljine dviju stranica trokuta medusobno - jednake, trokut je jednakokračan. Stranice jednakih duljina su krakovi, a treća stranica jest osnovica jednakokračnog trokuta. U geometriji često koristimo pojmove sličnost i sukladnost. Budući da ćemo često koristiti sličnost i sukladnosttrokuta, navestćemo, bez dokaza, osnovnepoučkeo sličnosti i o sukladnosti trokuta. P1.1. Poučci o sličnosti trokuta: 1. Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dvama kutovima. 2. Dva su trokuta slična ako su im po dvije stranice razmjerne, a kutovi što ih odreduju - te stranice medusobno - jednaki. 3. Dva su trokuta slična ako su im po dvije stranice razmjerne, a kutovi nasuprot većim od tih stranica medusobno - jednaki. 4. Dva su trokuta slična ako su im sve tri stranice (u parovima) razmjerne. P1.2. Poučci o sukladnosti trokuta: 1. Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i dvama kutovima uz tu stranicu. 2. Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvjema stranicama i kutu što ga odreduju - te stranice. 3. Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvjema stranicama i kutu nasuprot većoj od tih stranica. 4. Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u svim trima stranicama. Vrijedi sljedeći poučak za jednakokračan trokut. P1.3. Kutovi uz osnovicu jednakokračnog trokuta su jednaki. Dokaz. Neka je AB osnovica jednakokračnogtrokuta ABC. Treba dokazati: ako je a = b, tada je α = β (sl. 1.2).

4 4 1. TEMELJNI POJMOVI O TROKUTU Neka je D polovište stranice AB,a pravac s simetrala dužine AB. Budući da je simetrala dužine skup točaka, koje su jednako udaljene od rubnih točaka te dužine, slijedi da je zbog a = b vrh C na simetrali s. Sada se lako pokaže da se trokuti ADC i BDC podudaraju u svim trima stranicama. Zbog toga su ti trokuti (do orijentacije) sukladni. Zato je <)BAC = <)ABC,tojest α = β. Poučak P1.3. može se iskazati u ekvivalentnom obliku: Sl P1.3a. Kutovi nasuprot dvjema stranicama trokuta jednakih duljina su jednaki. D1.5. Ako su duljine svih triju stranica trokuta jednake, trokut se zove jednakostraničan ili pravilan. P1.4. Sva su tri kuta jednakostraničnog trokuta me - dusobno jednaki. Dokaz. Tvrdnja poučka slijedi neposredno iz P1.3. Sada možemo dokazati sljedeći poučak. P1.5. D1.6. Kut nasuprot većoj od dviju stranica trokuta veći je od kuta nasuprot manjoj od tih dviju stranica. Sl Dokaz. Neka je u trokutu ABC, c > b, treba dokazati da je γ > β (sl. 1.3). Neka je D nožište okomice iz vrha A na stranicu BC,a E točka simetrična točki C, obzirom na D. Zbog c > b slijedi BD > ED, a zbog toga je <)ABD <<)AED,tojest β < γ.promatrali smo slučaj u kojem je γ < 90. Isto se pokaže i za γ = 90 i γ > 90. Sukut unutarnjeg kuta trokuta zove se vanjski kut trokuta. (Sukut konveksnog kuta je kut koji s tim kutom ima jedan krak zajednički, a drugi se krakovi tih kutova nadopunjuju na pravac)

5 1.2. OSTALI ELEMENTI TROKUTA 5 Sl Na sl. 1.4 je trokut ABC. Na primjer, vanjski kut pri vrhu B možemo ostvariti na dva načina: nadopunjavanjem polupravaca BA ili BC,prekoB na pravac. Kako su ti kutovi (po mjeri) jednaki, kažemo da svakom unutarnjem kutu odgovara jedan vanjski kut. Na našoj slici unutarnjem kutu β pridružen je vanjski kut β 1. P1.6. Mjera vanjskog kuta trokuta jednaka je zbroju mjera dvaju unutarnjih kutova koji s tim kutom nemaju zajednički vrh. Dokaz. Vrhom B trokuta ABC povučen je polupravac p, usporedan sa stranicom AC, kao na sl Taj polupravac dijeli vanjski kut β 1 na dva kuta. Lako se pokaže da je mjera jednog od njih jednaka α, a drugog γ.zatojeβ 1 = α + γ. Isto se tako dokaže i za ina dva vanjska kuta trokuta, to jest da je: α 1 = β + γ, β 1 = γ + α i γ 1 = α + β. (F1.1) P1.7. Zbroj unutarnjih kutova trokuta jednak je 180. Dokaz. Prema D1.6. vrijedi β + β 1 = 180, a prema P1.6. β = γ + α.zatoje α + β + γ = 180. (F1.2) P1.8. Zbroj vanjskih kutova trokuta jednak je 360. Dokaz. Prema P1.6. i P1.7. vrijedi: α 1 + β 1 + γ 1 = β + γ + γ + α + α + β = 2(α + β + γ )=2 180 = 360, to jest α 1 + β 1 + γ 1 = 360. (F1.3) 1.2. Ostali elementi trokuta Uovojćemo točki definirati još nekevažne elemente trokuta a to su: srednjice, težišnice, simetrale stranica i simetrale unutarnjih kutova trokuta. D1.7. Spojnica polovišta dviju stranica trokuta zove se srednjica trokuta. Trokut ima tri srednjice.

6 6 1. TEMELJNI POJMOVI O TROKUTU D1.8. D1.9. Spojnica vrha s polovištem nasuprotne stranice trokuta zove se težišnica trokuta. Trokut ima tri težišnice. Udaljenost jednog vrha od pravca nasuprotne stranice trokuta zove se visina trokuta. Trokut ima tri visine. (Često ćemo radi jednostavnijeg zapisa pod visinom trokuta podrazumijevati definiranu udaljenost, ali i pripadnu dužinu.) D1.10. Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta. Pod duljinom simetrale unutarnjeg kuta podrazumijeva se duljina odreska te simetrale unutar trokuta. Potpuno se isto definira i simetrala vanjskog kuta trokuta. D1.11. Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na tu stranicu jest simetrala stranice trokuta Srednjice trokuta Srednjice trokuta definirane su u D1.7. Ovdje ćemo navesti i dokazati neke poučke koji su u svezi sa srednjicama trokuta. P1.9. Srednjica povučena polovištima dviju stranica trokuta je usporedna s trećom stranicom. Duljina te srednjice je jednaka polovici duljine treće stranice. Dokaz 1. Točke D, E i F su polovišta stranica trokuta ABC,kaonasl.1.5. Trokuti AFE i ABC su homotetični sa središtem homotetije u točki A i koeficijentom 1 2 (jer je AF = 1 2 AB i AE = 1 AC ). 2 Iz svojstva homotetije zaključujemo da je FE BC i FE = 1 2 BC. Postoji jednostavan vektorski dokaz ovog poučka, pa ćemo ga navesti. Sl Dokaz 2. FE = FA + AE, FE = FB + BC + CE ;2 FE =( FA + FB)+ BC + ( AE + CE ).Kakoje FA + FB = AE + CE = 0, slijedi da je FE = 1 BC, odakle je 2 FE BC i FE = 1 BC. (F1.4) 2

7 1.4. TEŽIŠNICE I TEŽIŠTE TROKUTA 7 P1.10. Srednjice dijele trokut na četiri me - dusobno (do orijentacije) sukladna trokuta. Dokaz. Prema P1.9. duljine stranica svakog od trokuta AFE, FBD, EDC i DEF su jednake polovici duljina stranica trokuta ABC. Zato su ti trokuti sukladni Težišnice i težište trokuta Najprije ćemo dokazatipoučak o težištu trokuta. P1.11. Težišnice trokuta sijeku se u jednoj točki koju zovemo težište trokuta. Težište dijeli svaku težišnicuuomjeru 2:1,mjereći od vrha trokuta. Dokaz. Neka su u trokutu ABC točke D i E polovište stranica BC i CA (sl. 1.6). Težišnice AD i BE se sijeku u nekoj točki T (inače bi pravci AD i BE bili usporedni, što je nemoguće). Dovoljno je dokazati da je sjecište pravaca CT i AB,točka F, polovište stranice AB.Dužinu TD produžimo preko D do točke G,takodaje DG = TD. Četverokutu BGCT je paralelogram jer mu se dijagonale raspolavljaju. Zato je GC BT i GB CT. Budući da je točka E polovište stranice CA i TE GC, TE je srednjica trokuta AGC. Zato je TE GC i TE = 1 Sl GC = 1 BT i AT = TG = 2 TD,to 2 jest TD = 1 AT. Dalje je: CT GB = TF GB,točka T je polovište dužine AG, 2 zbog čega je TF srednjica trokuta ABG, a zbog toga je točka F polovište stranice AB. Takoder - je TF = 1 2 GB = 1 CT. Timejepoučak dokazan. 2 P1.11a.Obrat poučka o težištu trokuta. Ako su na stranicama BC i CA trokuta ABC točke D i E,pričemu se dužine AD i BE sijeku u točki T tako da je AT = 2 TD i BT = 2 TE, tada je točka T težište trokuta ABC. Sl Dokaz. Prema pretpostavci, duljine pojedinih odrezaka možemo označiti kao na sl Lako se uoči da su trokuti DET i ABT homotetični sa središtem homotetije u točki s koeficijentom k = 2. Zbog toga je AB = 2 ED i AB ED, odakle zaključujemo da su trokuti EDC i ABC takoder - homotetični sa središtem homotetije u točki C i koeficijentom 2.

8 8 1. TEMELJNI POJMOVI O TROKUTU Zbog toga su točke D i E polovišta stranica BC i CA, a zbog toga je T težište trokuta ABC. P1.12. Svaka težišnica dijeli trokut na dva trokuta jednakih ploština. Dokaz. Neka je u trokutu ABC točka D polovište stranice BC,a E nožište visine iz vrha A tog trokuta (sl. 1.8). Težišnica AD dijeli trokut ABC na dva trokuta: ABD i ADC. Ta dva trokuta imaju jednake osnovice ( BD = DC ) i zajedničku visinu ( AE ) na te osnovice. Zato ti trokuti imaju jednake ploštine. Isto vrijedi i za ine dvije težišnice. P1.13. Težišnice dijele trokut na šest trokuta jednakih ploština. Sl Dokaz. Ploštine nastalih šest trokuta označimo kao na sl Primijenimo li na trokute TBC, TCA i TAB poučak P1.12., dobit ćemo P 1 = P 2, P 3 = P 4, P 5 = P 6. Zato je Iz istog je razloga: P 1 + P 6 + P 5 = P 2 + P 3 + P 4, P 1 + P 2 + P 3 = P 4 + P 5 + P 6, P 3 + P 4 + P 5 = P 1 + P 2 + P 6, Sl P 6 + P 5 = P 3 + P 4, P 1 + P 2 = P 5 + P 6, P 3 + P 4 = P 1 + P 2. Dalje je 2P 5 = 2P 3,2P 1 = 2P 5,2P 3 = 2P 1. Zbog svega toga je P 1 = P 2 = P 3 = P 4 = P 5 = P 6. (F1.5) U daljnjem ćemo tekstu neke poučke iskazati pomoću vektora. Prije toga navest ćemo sljedeće definicije. D1.12. Za trokut ABC,vektore AB, trokuta. BC i CA zovemo vektorima stranica tog D1.13. Ako su D, E i F polovišta stranica nasuprot vrhovima A, B i C trokuta ABC, tada vektore AD, BE i CF zovemo vektorima težišnica tog trokuta.

9 1.4. TEŽIŠNICE I TEŽIŠTE TROKUTA 9 D1.14. Ako je O čvrsta točka, a P bilo koja točka ravnine, tada vektor r P = OP zovemo radijvektor točke P obzirom na ishodište O. P1.14. Zbroj vektora stranica bilo kojeg trokuta jest nulvektor. Vrijedi i obrat: ako je zbroj triju nekolinearnih vektora nulvektor, tada postoji trokut kojemu su ti vektori vektori stranica. Dokaz. Za vektore stranica trokuta ABC vrijedi AB + BC + CA =( AB + BC )+ CA = AC + CA = AA = 0. Dokažimo i obrat. Neka za nekolinearne vektore x, y i z vrijedi x + y + z = 0. Početak vektora y dovedimo u završetak vektora x,apočetak vektora z uzavršetak vektora y.označimo li x = AB,tadaje y = BC i z = CD. Dovoljno je dokazati da se točka D podudara s točkom A,tojestdaje D A AD = 0. Vrijedi, po pretpostavci, to jest Time je poučak dokazan. 0 = x + y + z = AB + BC + CD = AC + CD = AD, AD = 0. P1.15. Za svaki trokut 1 postoji trokut 2, tako da su stranice trokuta 2 usporedne sa težišnicama trokuta 1, a duljine stranica trokuta 2 jednake duljinama težišnica trokuta 1. Poučak se jednostavnije može iskazati ovako: Vektori težišnica bilo kojeg trokuta su vektori stranica nekog trokuta. Dokaz. Ako su D, E i F polovišta stranica trokuta ABC, kao na sl. 1.10, dovoljno je, prema P1.14., dokazati da je AD + BE + CF = 0. Vrijedi AD + BE + CF = AB + BD + BC + CE + CA + AF = AB + 1 BC + BC + 1 CA + CA + 1 AB Sl = 3 2 ( AB + BC + CA) = = 0.

10 10 1. TEMELJNI POJMOVI O TROKUTU P1.16. Za vektore težišnica trokuta ABC vrijedi: AD = 1 2 ( AB + AC ), BE = 1 2 ( BC + BA ), CF = 1 2 ( CA + CB). (F1.6) Dokaz. Koristimo oznake na sl Vrijedi AD = AB + BD, AD = AC + CD, odakle je 2 AD = AB + AC +( BD + CD ). Budući da je BD + CD = 0, slijedi da je AD = 1 2 ( AB + AC ). Isto se tako dokažu i ine dvije formule. P1.17. Ako je O bilo koja točka ravnine trokuta ABC,a T težište tog trokuta, tada vrijedi 3 r T = r A + r B + r C (F1.7) Sl Dokaz. r T = 2 OT = OA + AT = OA + AD 3 = OA ( AB + AC) = OA ( OB OA + OC OA) = 1 3 ( OA + OB + OC), odakle je (sl. 1.11) 3 r T = r A + r B + r C. P1.18. Ako su D, E i F polovišta stranica trokuta ABC, tada trokuti ABC i DEF imaju zajedničko težište. Dokaz. Ako je T težište trokuta ABC, G težište trokuta DEF,a O bilo koja točka ravnine, dovoljno je pokazati da je r G = r T. Prema P1.17. vrijedi 3 r G = r D + r E + r F, a prema P1.16. r D = 1 2 ( r B + r C ), r E = 1 2 ( r C + r A ), r F = 1 2 ( r A + r B ).Zatoje to jest 3 r G = 1 2 ( r B + r C + r C + r A + r A + r B )= r A + r B + r C = 3 r T, r G = r T.

11 1.6. VISINE I ORTOCENTAR TROKUTA Simetrale stranica i trokutu opisana kružnica Najprijedokažimo sljedeći poučak. P1.19. Simetrale stranica trokuta sijeku se u jednoj točki. Dokaz. Simetrale stranica BC, CA i AB trokuta ABC označimo s a, s b i s c (sl. 1.12). Simetrale s a i s b sigurno se sijeku, inače bi stranice BC i CA bile usporedne, što je nemoguće. Sjecište tih simetrala označimo s O. O s a OB = OC, O s b OC = OA. Odavde zaključujemo da je OA = OB O s c. Time je poučak dokazan. Sl P1.20. Za svaki trokut postoji jedna i to samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta. Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu, a središtekružnice je sjecište simetrala stranica trokuta. Dokaz. Ako je O sjecište simetrala stranica trokuta ABC, tada je (vidi P1.19.) OA = OB = OC, što znači da vrhovi trokuta pripadaju kružnici kojoj je središte točka O. Budući je kružnica jednoznačno odre - dena trima nekolinearnim točkama, slijedi da je to jedina kružnica koja prolazi vrhovima trokuta ABC Visine i ortocentar trokuta Visine trokuta definirali smo u D1.9. Sada ćemo dokazati neke poučke koji su u svezi s visinama trokuta. P1.21. Pravci visina trokuta sijeku se u jednoj točki. Ta se točka zove ortocentar trokuta. Dokaz. Promatrajmo trokut ABC. Nacrtajmo trokut MNP kojemu su stranice usporedne sa stranicama trokuta ABC i prolaze vrhovima tog trokuta (sl. 1.13). Četverokuti ABMC i ABCN su paralelogrami. Zato je AB = CM i AB = NC, odakle je CM = NC.Istojetako NA = AP i PB = BM.

12 12 1. TEMELJNI POJMOVI O TROKUTU Simetrale stranica trokuta MNP sijeku se u jednoj točki, koju smo označili H. Budući da je CH NM i NM AB, slijedi da je CH AB.Isto je tako AH BC i BH CA.To znači da se visine trokuta ABC sijeku u točki H, koju zovemo ortocentar trokuta. Sl D1.15. Trokut kojemu su vrhovi polovišta zadanog trokuta zove se polovišni trokut tog trokuta. P1.22. Simetrale stranica bilo kojeg trokuta su pravci visina njemu polovišnog trokuta. Dokaz. Dokaz, uz oznake kao na sl. 1.13, neposredno slijedi iz dokaza P1.21. Poučak P1.22. možemo izreći i ovako: Središte trokutu opisane kružnice podudara se s ortocentrom pripadnog polovišnog trokuta. P1.23. Poučak o udaljenosti ortocentra od jednog vrha trokuta. Udaljenost otrocentra od jednog vrha trokuta jednaka je dvostrukoj udaljenosti središta trokutu opisane kružnice od nasuprotne stranice trokuta. Dokaz. Trokutu ABC opisana je kružnica k sa središtem u točki O.Točka H je ortocentar trokuta. Uz ostale oznake kao na sl. 1.14, treba dokazati da je AH = 2 OD. Pravac OD je simetrala stranice BC,pa je OD BC,akakoje AH BC, slijedi da je OD AH.IstojetakoOE BH.Dužina DE je srednjica trokuta ABC, zbog čega je DE BC. Vidimo da su stranice trokuta ODE i HAB (u parovima) usporedne, zbog čega ti trokuti imaju jednake kutove, a zbog toga su slični. Kako je DE = 1 BA, slijedi da je OD = 1 2 AH i OE = 1 2 BH 2. Isto se tako dokaže da je OF = 1 2 CH, što je ekvivalentno tvrdnji poučka. Sl

13 1.7. SIMETRALE UNUTARNJIH KUTOVA I TROKUTU UPISANA KRUŽNICA Simetrale unutarnjih kutova i trokutu upisana kružnica Za svaki trokut postoje četiri važne, takozvane značajne točke. To su: težište, središte opisane kružnice, ortocentar i središte trokutu upisane kružnice. Prve tri od njih smo odredili i dokazali neke jednostavne poučke, koji su povezani s tim točkama. U ovoj točki odredit ćemo četvrtu od tih točaka. A prije toga dokazat ćemo neke poučke. Sada ćemo navesti jedan vrlo jednostavan poučak u svezi simetrale kuta i simetrale nasuprotne stranice trokuta. P1.24. Simetrala unutarnjeg kuta iz jednog vrha trokuta i simetrala stranice nasuprot tom vrhu sijeku se na kružnici opisanoj tom trokutu. Dokaz. Neka je trokutu ABC opisana kružnica k. Simetrala stranice BC, s a siječe kružnicu k utočki E (sl. 1.15). Budući da ta simetrala raspolavlja stranicu BC ( BD = CD ) i s a BC, ona raspolavlja i pripadni luk BC,tojest BE = CE. Budući da su obodni kutovi nad jednakim lukovima jednaki, slijedi da je <)EAB = <)CAE = α 2. To znači da simetrala kuta CAB prolazi točkom E. Time je poučak dokazan. Sl P1.25. Poučak o simetrali unutarnjeg kuta trokuta. Simetrala unutarnjeg kuta trokuta dijeli nasuprotnu stranicu na dva odreska, čije se duljine odnose kao duljine inih dviju stranica trokuta, koje s tim odrescima imaju zajedničku točku. Dokaz 1. Na sl povučena je simetrala kuta pri vrhu A trokuta ABC, koja nasuprotnu stranicu siječe u točki D. Uz oznake kao na slici treba dokazati da vrijedi BD : CD = AB : AC, ili m : n = c : b. (F1.8) Sl Označimo li nožišta okomica iz točke D na pravce AB i AC s E i F, tada je DE = DF = d, jer je svaka točka simetrale kuta jednako udaljena od krakova kuta.

14 14 1. TEMELJNI POJMOVI O TROKUTU Ploštine trokuta ABD i ADC označimo s P 1 i P 2. Vrijedi P 1 : P 2 = m : n, jer ti trokuti imaju zajedničku visinu iz zajedničkog vrha A. S druge strane je ( ) ( ) 1 1 P 1 : P 2 = 2 cd : 2 bd = c : b. Zato je m : n = b : c. Dokaz 2. (Dokaz bez riječi ), sl m : n = BA : AE = c : b. Sl Dokaz 3. (Dokaz bez riječi ), sl m : n = BE : CF = c : b. Sl P1.25a. Obrat poučka o simetrali unutarnjeg kuta trokuta. Ako pravac, povučen jednim vrhom trokuta, dijeli nasuprotnu stranicu u (unutarnjem) omjeru duljina inih dviju stranica (pri čemu svaki od tih dijelova s odgovarajućom stranicom ima zajednički vrh), tada je taj pravac simetrala tog kuta. Dokaz. Neka pravac, povučen vrhom A trokuta ABC, dijeli kut pri tome vrhu na dva dijela ( α 1 i α 2 ) i nasuprotnu stranicu siječe utočki D,pričemu je DB = m i DC = n (sl. 1.19). Po pretpostavci je m n = c b.treba dokazati da je α 1 = α 2 = α, gdje je 2 α = <)CAB. Dovoljno je dokazati da je točka D jednako udaljena od krakova kuta CAB,tojest Sl da je x = DH = DG = y.akojee nožište visine iz vrha A, tada su trokuti BDH i BAE slični, zbog čega je x m = v a c. Isto tako, iz sličnih trokuta CDG i CAE imamo y n = v a. Dalje je b x y = bmv a = b cnv a c m n = b c c b = 1,

15 1.7. SIMETRALE UNUTARNJIH KUTOVA I TROKUTU UPISANA KRUŽNICA 15 ili x = y. Time je poučak dokazan. Zanimljivo je da simetrala vanjskog kuta i simetrala unutarnjeg kuta trokuta dijele nasuprotnu stranicu u jednakom omjeru i to jedna u vanjskom, a druga u unutarnjem omjeru. Zato se poučak o simetrali vanjskog kuta trokuta može iskazati ovako: P1.26. Poučak o simetrali vanjskog kuta trokuta. Ako simetrala unutarnjeg kuta pri vrhu A trokuta ABC siječe pravac BC u točki D, a simetrala pripadnoga vanjskog kuta u točki E, tada vrijedi: BE : CE = BD : CD = c : b. (F1.9) Dokaz. Sl Koristimo oznake kao na sl Točka E jednako je udaljena od polupravaca AB i AF, zbog čega trokuti AEB i AEC imaju jednake visine (v) iz zajedničkog vrha E.Zato je 2P AEB = cv i2p AEC = bv, odakle je P AEB : P AEC = c : b. S druge strane ti trokuti imaju zajedničku visinu (v a ) iz vrha A. Zato je 2P AEB = BE v a i2p AEC = CE v a,tojest P AEB : P AEC = BE : CE. Zbog svega toga je BE : CE = c : b. U dokazu sljedećeg poučka koristit ćemo poznatu tvrdnju: Ako je udaljenost točke P od pravca p jednaka d,tadajepravacp tangenta kružnice k(p, d). P1.27. Simetrale unutarnjih kutova trokuta sijeku se u jednoj točki. Ta točka je središte trokutu upisane kružnice. Poučak se može izreći i ovako: Svakom trokutu može se upisati kružnica, a središte te kružnice jest sjecište simetrala unutarnjih kutova trokuta. Dokaz. U dokazu ćemo koristiti činjenicu: Nuždan i dovoljan uvjet da točka pripada simetrali kuta jest da je ta točka jednako udaljena od krakova kuta. Simetrale kutova CAB i ABC trokuta sigurno se sijeku. Sjecište tih simetrala označimo S, kao na sl Dovoljno je dokazati da je pravac CS simetrala kuta BCA.

16 16 1. TEMELJNI POJMOVI O TROKUTU Označimo li nožišta okomica iz točke S na stranice trokuta (sl. 1.21), tada zaključujemo: S s α S s β SE = SF, SF = SD. Odavde je SD = SE, što znači da je pravac CS simetrala kuta BCA. Označimo li SD = SE = SF = r, zaključujemo da su pravci stranica trokuta tangente kružnice k(s, r),tojestdajeta kružnica upisana trokutu ABC. Sl P1.28. Poučak o duljini odrezaka što ih simetrala unutarnjeg kuta odreduje - na pripadnoj stranici trokuta. Ako simetrala kuta pri vrhu A siječe stranicu BC utočki D,tadaje m = BD = ac ab, n = CD = b + c b + c. (F1.10) Dokaz. Koristimo oznake kao na sl Prema P1.25., vrijedi m : n = c : b, odakle je (m + n) : m =(c + b) : c, ili a : m =(b + c) : c, odakle je m = ac b + c.tako- der je n = b c m, n = ab b + c. Analogno vrijedi i za odreske na drugim dvjema stranicama trokuta. P1.29. Poučak o udaljenostima vrhova od dirališta trokutu upisane kružnice. Udaljenost vrha trokuta od dirališta upisane kružnice sa stranicama trokuta, kojima je taj vrh zajednički, jednaka je razlici poluopsega i duljine tom vrhu nasuprotne stranice. Dokaz. Koristimo oznake kao na sl Treba dokazati: AE = AF = s a, BF = BD = s b, CD = CE = s c. (F1.11) Očito je AE = AF.Označimo: AE = AF = x, BF = BD = y, CD = CE = z. Vrijedi: x+y = c, y+z = a, z+x = b. Oduzmemo li prve dvije jednadžbe dobit ćemo x z = c a. Pribrojimo li ovo trećoj jednadžbi, imamo 2x = b + c a = b + c + a 2a. Označimo opseg trokuta a + b + c = 2s, dobijemo 2x = 2s 2a, ili x = s a.sadase lako izračuna y = s b, z = s c. P1.30. Poučak o središtu trokutu upisane kružnice. Središte trokutu upisane kružnice dijeli odrezak simetrale kuta povučene iz jednog vrha, a koji se nalazi unutar trokuta, u omjeru zbroja duljina stranica kojima je taj vrh zajednički i duljine treće stranice.

17 1.7. SIMETRALE UNUTARNJIH KUTOVA I TROKUTU UPISANA KRUŽNICA 17 Dokaz. Poučak se može iskazati formulama: AS : SD =(b + c) : a, BS : SE =(c + a) : b, CS : SF =(a + b) : c. (F1.12) Dokaz ćemo provesti pomoću sl Prema poučku P1.28. vrijedi m = ac b + c. Primijenimo li na trokut ABD poučak o simetrali unutarnjeg kuta trokuta (P1.25.), dobit ćemo ili AS : SD = AB : BD = c : m = c : AS : SD =(b + c) : a. Ine formule poučka dobijemo isto tako, ili kružnim zamjenama. Sl ac b + c = 1: a b + c, P1.30a. Dokaz obrata poučka o središtu trokutu upisane kružnice. Ako je S točka unutar trokuta ABC, duljina stranica a, b i c,iakopravci AS, BS i CS sijeku nasuprotne stranice u točkama D, E i F, tako da vrijedi AD DS = b + c BS, a ES = c + a i CS b FS = a + b,tadaje S središte kružnice c upisane trokutu ABC. Dokaz. Koristimo oznake kao na sl Prema Cevinom poučku vrijedi k l m n p q = 1, a prema Van Aubelovom poučku BS SE = k l + q p i CS SF = l k + m n i konačno Sl k l = c + a q b p = c + a b k l = c b. k l m n, a odavde k l. Odavde je ( 1 + m ) = c + a n b, ( k 1 + a + b l ) = c + a l c k b, ( k a + b + c l ) = c + a l c k b, k l a + b + c = c + a + 1, c b k l a + b + c c = c + a + b, b

18 18 1. TEMELJNI POJMOVI O TROKUTU Prema obratu poučka o simetrali unutarnjeg kuta trokuta, zaključujemo da točka S pripada simetrali kuta CAB. Isto se tako dokažeda točka S pripadai simetrali kuta ABC, štojedovoljnodaje S središte kružnice upisane trokutu ABC. AS Napomena. Uvjeti DS = b + c BS, a ES = c + a i b Lako se dokaže da iz dva uvjeta slijedi treći. CS FS = a + b c nisu nezavisni Kružnice pripisane trokutu Najprijedokažimo sljedeći poučak. P1.31. Simetrale dvaju vanjskih kutova pri dvama vrhovima i simetrala unutarnjeg kuta pri trećem vrhu trokuta sijeku se u jednoj točki. Ta je točka središte trokutu pripisane kružnice. Dokaz. Na sl nacrtane su simetrale vanjskih kutova pri vrhovima B i C trokuta ABC. Te se simetrale sigurno sijeku i njihovo sjecište označimo S a. Budući da točka S a pripada simetrali kuta β 1, slijedi da je S a D = S a F.Istotakotočka S a pripada simetrali kuta γ 1, zbog čega je S a F = S a E.Sadaje S a D = S a E, što znači da točka S a pripada simetrali kuta EAD, odnosno kuta CAB.Toznači da se simetrale vanjskih kutova trokuta pri vrhovima B i C i simetrala unutarnjeg kuta pri vrhu A sijeku u točki S a. Sl Označimo li S a D = S a E = S a F = r a, zaključujemo da su pravci AB, AC i BC tangente kružnice k a (S a, r a ). Ta se kružnica zove pripisana kružnica trokutu ABC uz stranicu BC. Isto se tako definiraju kružnice k b (S b, r b ) i k c (S c, r c ) uz stranice CA i AB trokuta ABC. Dokažimo još neke poučke o trokutu pripisanim kružnicama.

USB Charger. Battery charger/power supply via 12 or 24V cigarette lighter

USB Charger. Battery charger/power supply via 12 or 24V cigarette lighter USB Charger Battery charger/power supply via 12 or 24V cigarette lighter Compact charger for devices chargeable via USB For example ipod, iphone, MP3 player, etc. Output voltage: 5V; up to 1.2A; short-circuit

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ %"&'$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-

!#$ %&'$!&!(!)%*+, -$!!.!$(-#$&%- !"#$ %"&$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-.#/."0, .1%"("/+.!2$"/ 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 4.)!$"!$-(#&!- 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

Hiotakis: Otkriće nafte i gasa donijeće procvat ekonomije Crne Gore

Hiotakis: Otkriće nafte i gasa donijeće procvat ekonomije Crne Gore Εφημερίδα Pobjeda, κρατική - 17/5/2014 Objavljeno: sub, 17. maj, 2014. Osvježeno: danas 8:40 Hiotakis: Otkriće nafte i gasa donijeće procvat ekonomije Crne Gore PODGORICA Crnogorsku ekonomiju očekuje procvat

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Όρια - Συνέχεια ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Όρια - Συνέχεια ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Όρια Συνέχεια ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ mail: info@iliaskosgr wwwiliaskosgr f] g,! R f] g,, f] g

Διαβάστε περισσότερα

Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές και φυτική κόλλα.

Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές και φυτική κόλλα. Cotton leather paper Με υπερηφάνια σας παρουσιάζουμε μια νέα σειρά χειροποίητων προϊόντων το...cotton leather paper. Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές

Διαβάστε περισσότερα

Upute za uporabu SUŠILICA RUBLJA. Kazalo IDCA G35

Upute za uporabu SUŠILICA RUBLJA. Kazalo IDCA G35 Upute za uporabu SUŠILICA RUBLJA HR Hrvatski,1 GR Ελληνικά,17 PT Português,33 Kazalo Važne informacije, 2-3 Postavljanje, 4 Gdje postaviti sušilicu rublja Prozračivanje Električni priključak Uvodne informacije

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1 Σωτήρης Ε. Λουρίδας 1. ΓΕΝΙΚΑ: 1.1 Θεωρούμε ότι κάθε Μαθηματικό πρόβλημα είναι της μορφής «αν p τότε q», συμβολικά p q. 1.2. Λύση ενός Μαθηματικού προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 12 L / LELA16 L

PRSKALICA - LELA 12 L / LELA16 L PRSKALICA - LELA 12 L / LELA16 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU 1 Prskalica je pogodna za raspršivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Uredjaj je namenjen za kućnu,

Διαβάστε περισσότερα

e-κτιθέμεθα Tαξιδεύουμε στο Μαυροβούνιο και μαθαίνουμε Σέρβικα (γκλουπ, συγνώμη Μαυροβουνιακά). DNEVNE NOVINE! Ανακαλύπτουμε τα καλά

e-κτιθέμεθα Tαξιδεύουμε στο Μαυροβούνιο και μαθαίνουμε Σέρβικα (γκλουπ, συγνώμη Μαυροβουνιακά). DNEVNE NOVINE! Ανακαλύπτουμε τα καλά e-κτιθέμεθα δημιουργικώς ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2011 Tαξιδεύουμε στο Μαυροβούνιο και μαθαίνουμε Σέρβικα (γκλουπ, συγνώμη Μαυροβουνιακά). DNEVNE NOVINE! Ανακαλύπτουμε τα καλά της επικοινωνίας με το adbook. Συμμετέχουμε

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια: xr.

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια: xr. http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=14&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 14 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=14&t=44444 Έλυσαν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ. κατά τον άξονα Ζ.

ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ. κατά τον άξονα Ζ. ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι κύκλοι κατεργασίας χρησιµοποιούνται για ξεχόνδρισµα - φινίρισµα ενός προφίλ χωρίς να απαιτείται να προγραµµατίζουµε εµείς τα διαδοχικά πάσα της κατεργασίας. Έτσι, στο πρόγραµµα περικλείουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Bιομηχανικό Yλικό Xαμηλής Tάσης

Bιομηχανικό Yλικό Xαμηλής Tάσης Bιομηχανικό Yλικό Xαμηλής Tάσης Tιμοκατάλογος 10/2011 Zεύξη, εκκίνηση, προστασία χαμηλής τάσης www.siemens.gr Xάρης Συγγενιώτης Διευθυντής Βιομηχανικών προϊόντων ελέγχου & Φωτοβολταϊκών συστημάτων Αγαπητοί

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος 3: Συλλογή εδοµένων Γενικοί Κανόνες Καταγραφής

Μέρος 3: Συλλογή εδοµένων Γενικοί Κανόνες Καταγραφής Μέρος 3: Συλλογή εδοµένων Γενικοί Κανόνες Καταγραφής ΣΥΛΛΟΓΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΓΕΝΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΚΑΤΑΓΡΑΦΗΣ 3.1 Γενικά Στο µέρος αυτό δίδονται κατευθυντήριες οδηγίες και γενικοί κανόνες για τη συλλογή και καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Upute za uporabu. Kazalo SUŠILICA RUBLJA IDCL G5 B H

Upute za uporabu. Kazalo SUŠILICA RUBLJA IDCL G5 B H Upute za uporabu SUŠILICA RUBLJA HR Hrvatski, 1 IT Italino, 33 IDCL G5 B H www.indesit.com GR! Ovaj vas simbol podsjeća da morate pročitati ovu knjižicu s uputama.! Ovu knjižicu držite pri ruci kako biste

Διαβάστε περισσότερα

Upute za uporabu. Kazalo SUŠILICA RUBLJA IDCL 75 B H

Upute za uporabu. Kazalo SUŠILICA RUBLJA IDCL 75 B H Upute za uporabu SUŠILICA RUBLJA HR Hrvatski,1 DE Deutsch,33 IDCL 75 B H www.indesit.com GR! Ovaj vas simbol podsjeća da morate pročitati ovu knjižicu s uputama.! Ovu knjižicu držite pri ruci kako biste

Διαβάστε περισσότερα

IAN 73789 AIR SANDER PDEXS 150 A1. AIR SANDER Operation and Safety Notes Translation of original operation manual

IAN 73789 AIR SANDER PDEXS 150 A1. AIR SANDER Operation and Safety Notes Translation of original operation manual AIR SANDER PDEXS 150 A1 AIR SANDER Operation and Safety Notes Translation of original operation manual ŞLEFUITOR EXCENTRIC CU AER COMPRIMAT Instrucţiuni de utilizare şi de siguranţă Traducerea instrucţiunilor

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΣΤΕΡΕΩΝ ΑΠΟΒΛΗΤΩΝ

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΣΤΕΡΕΩΝ ΑΠΟΒΛΗΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΣΤΕΡΕΩΝ ΑΠΟΒΛΗΤΩΝ Β. Tσιρίδης 1, Π. Σαμαράς 2, Α. Κούγκολος 3 και Γ. Π. Σακελλαρόπουλος 1 1 Τμήμα Χημικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης και Ινστιτούτο Τεχνικής Χημικών

Διαβάστε περισσότερα

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 17 Ιανουαρίου 015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 49 3 4 3 6 11 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Α= + + : 3 9 7 3 5 10 Πρόβλημα Μία οικογένεια αγόρασε

Διαβάστε περισσότερα

24o YNE PIO I O O IA 24th INTERNATIONAL CONFERENCE OF PHILOSOPHY

24o YNE PIO I O O IA 24th INTERNATIONAL CONFERENCE OF PHILOSOPHY IE NH ETAIPEIA E HNIKH I O O IA 5, 17456 - H H YMMETOXH N 1 (N μ 29/02/2012 ) (.,,,,.): KATOIKIA : TH E NO TH E NO KATOIKIA : KINHTO TH E NO: NA META X TO : μ YNE PO AKPOATH KAI YNE PO PO O OY YNO EYEI

Διαβάστε περισσότερα

ΖΕΡΔΑΛΗΣ ΣΩΤΗΡΙΟΣ ΤΟ ΟΥΤΙ ΣΤΗ ΒΕΡΟΙΑ (1922-ΣΗΜΕΡΑ) ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2005 1

ΖΕΡΔΑΛΗΣ ΣΩΤΗΡΙΟΣ ΤΟ ΟΥΤΙ ΣΤΗ ΒΕΡΟΙΑ (1922-ΣΗΜΕΡΑ) ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2005 1 (1922- ) 2005 1 2 .1.2 1.1.2-3 1.2.3-4 1.3.4-5 1.4.5-6 1.5.6-10.11 2.1 2.2 2.3 2.4.11-12.12-13.13.14 2.5 (CD).15-20.21.22 3 4 20.,,.,,.,.,,.,.. 1922., (= )., (25/10/2004), (16/5/2005), (26/1/2005) (7/2/2005),,,,.,..

Διαβάστε περισσότερα

ELECTRIC NAILER / STAPLER PHET 15 A1

ELECTRIC NAILER / STAPLER PHET 15 A1 ELECTRIC NAILER / STAPLER PHET 15 A1 ELECTRIC NAILER / STAPLER Operation and Safety Notes Translation of original operation manual ELEKTRIČNA KLAMERICA Upute za posluživanje i za Vašu sigurnost Prijevod

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΙΑΛΥΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΧΗΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΙΑΛΥΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΧΗΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΙΑΛΥΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΧΗΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή στις φασµατοµετρικές τεχνικές ανάλυσης 2. Προετοιµασία δειγµάτων 3. ιαλυτοποίηση δειγµάτων ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΑΛΥΜΑΤΩΝ Ατοµική Φασµατοσκοπία

Διαβάστε περισσότερα

Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo

Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo Ημερομηνία έκδοσης καταλόγου: 6/11/2011 Κωδικός Προϊόντος Είδος Ανταλλακτικού Μάρκα Μοντέλο F000000884 Inverter Lenovo 3000 C200 F000000885 Inverter Lenovo 3000 N100 (0689-

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ραδιενέργειας Περιβάλλοντος ΙΠΤΑ ΕΚΕΦΕ Δ. Στοιχειακή ανάλυση ατμοσφαιρικού αερολύματος. Καταμερισμός των πηγών εκπομπής

Εργαστήριο Ραδιενέργειας Περιβάλλοντος ΙΠΤΑ ΕΚΕΦΕ Δ. Στοιχειακή ανάλυση ατμοσφαιρικού αερολύματος. Καταμερισμός των πηγών εκπομπής Στοιχειακή ανάλυση ατμοσφαιρικού αερολύματος Καταμερισμός των πηγών εκπομπής Δρ. Αγγελική Καρανάσιου Επιβάρυνση της Ατμόσφαιρας Αυξημένες συγκεντρώσεις αιωρούμενων σωματιδίων (Α.Σ.) Υπερβάσεις των θεσπισμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 19505

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 19505 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 19505 Αριθμ. 257 (2) Αντικατάσταση του Παραρτήματος του Μέρους Β του Άρθρου 35 «ιδικά κριτήρια καθαρότητας για τις χρωστικές ουσίες που χρησιμοποιούνται στα τρό

Διαβάστε περισσότερα

g j ispred e i i Γ γ kao th u engl. that Θ θ Λ λ l λεξικό leksiko Π π p πόλη poli Χ χ h χάος haos gramatiki, jeolojia δelfini

g j ispred e i i Γ γ kao th u engl. that Θ θ Λ λ l λεξικό leksiko Π π p πόλη poli Χ χ h χάος haos gramatiki, jeolojia δelfini Kratki frazeološki rječnik novogrčkog jezika izgovor Naglasak: mjesto naglaska bilježi se akutom ( ) ; na jednosložnim riječima naglasak se ne bilježi. Upitnik se bilježi znakom ; slovo izgovor primjer

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2010, v.0.91

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2010, v.0.91 Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης, v..9 Περιεχόµενα Εισαγωγη I Βασικες Εννοιες Πινακες. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα............................. 5.3

Διαβάστε περισσότερα

English... 2 Be sure to note the fold-out page. Hrvatski... 12. Românã... 23... 33. Deutsch... 57 Bitte beachten Sie die Ausklappseite

English... 2 Be sure to note the fold-out page. Hrvatski... 12. Românã... 23... 33. Deutsch... 57 Bitte beachten Sie die Ausklappseite RP71568-Fritteuse LB7 Seite 1 Montag, 19. Dezember 2011 2:34 14 English......................................... 2 Be sure to note the fold-out page. Hrvatski....................................... 12

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΚΛΙΜΑΤΙΣΜΟΥ 2009

ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΚΛΙΜΑΤΙΣΜΟΥ 2009 ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΚΛΙΜΑΤΙΣΜΟΥ 2009 ΔΑΤΣΕΡΗΣ ΝΙΚΟΣ ΣΙΑ Ο.Ε. Λ Κ.Καραμανλή 37 72100 ΑΓ. ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΤΗΛ:28410 23150 FAX:28410 23161 E-mail: info@mechanicalsolutions.gr ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΛΙΜΑΤΙΣΤΙΚΑ LG ΚΛΙΜΑΤΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Γράψτε την τετράδα των κβαντικών αριθμών που χαρακτηρίζει τα ακόλουθα ηλεκτρόνια: (α) Το εξώτατο ηλεκτρόνιο του ατόμου Rb. (β) Το ηλεκτρόνιο που κερδίζει το ιόν S

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΥΧΟΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ

ΤΕΥΧΟΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΛΕΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΟ: ΥΠΟΕΡΓΟ: ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ: «ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗ ΑΚΑΘΑΡΤΩΝ ΠΑΡΑΛΙΑΚΟΥ ΜΕΤΩΠΟΥ ΒΟΛΟΥ» «ΔΙΚΤΥΟ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΑΚΑΘΑΡΤΩΝ ΑΓ. ΣΤΕΦΑΝΟΥ Δ. ΒΟΛΟΥ» 3.866.000,00 πλέον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΗ PJESME SAPFO. Priredio i preveo Orsat Ligorio

ΜΕΛΗ PJESME SAPFO. Priredio i preveo Orsat Ligorio ΣΑΠΦΩ ΜΕΛΗ PJESME SAPFO Priredio i preveo Orsat Ligorio Uvod Protkan famom od najstarijih vremena, Sapfin je životopis zapravo nepoznat. Prema Strabonu (13. 2, 3) rođena je oko 630 pr.n.e. u mjestu Erez

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #7: Ελάχιστα Επικαλυπτικά Δένδρα, Αλγόριθμος Kruskal, Δομές Union-Find Άσκηση # 0 5 0 0 0

Διαβάστε περισσότερα

1.4 8v 78hp 1.4 8v 78hp. Progression Distinctive Βενζίνη Βενζίνη 14.600 15.700 145.B3N.1 145.E3N.1

1.4 8v 78hp 1.4 8v 78hp. Progression Distinctive Βενζίνη Βενζίνη 14.600 15.700 145.B3N.1 145.E3N.1 1.4 8v 78hp 1.4 8v 78hp 1368 1368 Progression Βενζίνη Βενζίνη 14.600 15.700 145.B3N.1 145.E3N.1 ΘΟΦΝΠ ΦΥΡΗΠΚΝΠ NIGHT PANEL ΚΔ LED ---- ΦΥΡΗZOMENOI ΘΑΘΟΔΞΡΔΠ ΠΡΑ ΑΙΔΜΖΙΗΑ ---- ΡΑΚΞΙΥ SPRINT ---- ΡΑΚΞΙΥ

Διαβάστε περισσότερα

Instructions for use WASHING MACHINE. Contents IWSE 61051

Instructions for use WASHING MACHINE. Contents IWSE 61051 Instructions for use WASHING MACHINE GB English,1 HR Hrvatski,13 GR Ελληνικά, 25 Contents Installation, 2-3 Unpacking and levelling Connecting the electricity and water supplies The first wash cycle Technical

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 20 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 20 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 0 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

«Καταγραφή υδατικών πόρων του Εθνικού Πάρκου Χελµού-Βουραϊκού και ανάδειξη γεωπικοιλότητας της περιοχής» «Καταγραφή των υδατικών πόρων του Εθνικού Πάρκου Χελµού- Βουραϊκού σε σχέση µε την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΣΧΕ ΙΑ ΛΥΣΕΩΝ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΣΧΕ ΙΑ ΛΥΣΕΩΝ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ42 - ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2009-2010 2 oς Τόµος ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΣΧΕ ΙΑ ΛΥΣΕΩΝ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑ 2 i. υναµική τεχνική επικύρωσης:

Διαβάστε περισσότερα

Logamatic SC20. el Οδηγία εγκατάστασης και χρήσης 2 hr Upute za instaliranje i rukovanje 27 sl Navodila za namestitev in uporabo 49

Logamatic SC20. el Οδηγία εγκατάστασης και χρήσης 2 hr Upute za instaliranje i rukovanje 27 sl Navodila za namestitev in uporabo 49 el Οδηγία εγκατάστασης και χρήσης 2 hr Upute za instaliranje i rukovanje 27 sl Navodila za namestitev in uporabo 49 7747006071-00.1 SD Logamatic SC20 7 747 008 478 (02/2007) Περιεχόµενα Περιεχόµενα 1 Υποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

GIULIETTA. 1.4 TB 105hp. 1368 Progression. Βενζίνη 18.900 191.G50.0 ΒΑΙΚΟ ΚΑΙ ΠΡΟΑΙΡΔΣΙΚΟ ΔΞΟΠΛΙΜΟ ΚΩΓ. ΚΩΓ. ΠΑΡΑΣΗΡΗΔΙ STD STD STD STD STD

GIULIETTA. 1.4 TB 105hp. 1368 Progression. Βενζίνη 18.900 191.G50.0 ΒΑΙΚΟ ΚΑΙ ΠΡΟΑΙΡΔΣΙΚΟ ΔΞΟΠΛΙΜΟ ΚΩΓ. ΚΩΓ. ΠΑΡΑΣΗΡΗΔΙ STD STD STD STD STD 1.4 TB 105hp 1368 Progression Βενζίνη 18.900 191.G50.0 ΑΔΟΝΠΑΘΝΠ ΝΓΖΓΝ & ΠΛΝΓΖΓΝ MULTISTAGE ΓΗΞΙΝΗ ΞΟΝΔΛΡΑΡΖΟΔΠ ΔΚΞΟΝΠ ΘΑΘΗΠΚΑΡΥΛ ΞΗΠΥ ΦΥΡA LED & ΔΚΞΟΝΠ ΦΥΡΑ ΖΚΔΟΑΠ ΘΔΛΡΟΗΘΝ ΘΙΔΗΓΥΚΑ ΚΔ ΡΖΙΔΣΔΗΟΗΠΚΝ D.N.A.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΤΗΣΙΑ ΣΥΜΒΑΣΗ ΑΝΑΓΟΜΩΣΗΣ ΤΟΝΕΡ - ΜΕΛΑΝΙΩΝ

ΕΤΗΣΙΑ ΣΥΜΒΑΣΗ ΑΝΑΓΟΜΩΣΗΣ ΤΟΝΕΡ - ΜΕΛΑΝΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΜΕΣΩΝ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΕΤΗΣΙΑ ΣΥΜΒΑΣΗ ΑΝΑΓΟΜΩΣΗΣ ΤΟΝΕΡ - ΜΕΛΑΝΙΩΝ Στην Αθήνα, σήμερα στις 25.11.2013, ημέρα Δευτέρα, στα γραφεία

Διαβάστε περισσότερα

Džepni turistički rečnik

Džepni turistički rečnik GRČKI 28. jul Samo u Novostima Džepni turistički rečnik Audio-verzija Audio verzija na www.novosti.rs 4.avgust Turski 11. avgust Nemački 18. avgust Ruski 1 2 1 Putovanje Putovanje PUTOVANJE Ταξίδι AUDIO

Διαβάστε περισσότερα

ΟΘΡΥΣ ΑΤΕ ΑΝΑΔΟΧΟΣ: ΕΡΓΟ :

ΟΘΡΥΣ ΑΤΕ ΑΝΑΔΟΧΟΣ: ΕΡΓΟ : ΑΓ.ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΑΓ.ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ.: FAX: e mail:othris.ate@gmail.com ΟΘΡΥΣ ΑΤΕ ΑΝΑΔΟΧΟΣ: ΕΡΓΟ : ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΧΕΔΙΟΥ : ΚΥΡΙΟΣ ΕΡΓΟΥ : ΟΘΡΥΣ ΑΤΕ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ, ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΘΕΣΗ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΗΛΕΛΕΓΧΟΥ ΤΗΛΕΧΕΙΡΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Ολοκληρώματα ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Ολοκληρώματα ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Ολοκληρώματα ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mil: info@iliskos.gr www.iliskos.gr Fl] = f]! D G] = F]

Διαβάστε περισσότερα

ΟΘΡΥΣ ΑΤΕ ΑΝΑΔΟΧΟΣ: ΕΡΓΟ :

ΟΘΡΥΣ ΑΤΕ ΑΝΑΔΟΧΟΣ: ΕΡΓΟ : ΑΓ.ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΑΓ.ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ.: FAX: e mail:othris.ate@gmail.com ΟΘΡΥΣ ΑΤΕ ΑΝΑΔΟΧΟΣ: ΕΡΓΟ : ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΧΕΔΙΟΥ : ΚΥΡΙΟΣ ΕΡΓΟΥ : ΟΘΡΥΣ ΑΤΕ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ, ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΘΕΣΗ ΣΕ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΗΛΕΛΕΓΧΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά τις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ Τµήµατα ΧΗΜΕΙΑ 1. Φυτικής Παραγωγής 2. Επιστ. & Τεχνολ. Τροφίµων Τετάρτη 9.30-10.15 Παρασκευή 11.30 13.15 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Φυτική Παραγωγή Πέµπτη 8.30-12.30 Επιστ. & Τεχνολ. Τροφίµων Τετάρτη

Διαβάστε περισσότερα

Ι Ε Θ Ν Ε Σ Ρ Ο Τ Α Ρ Υ Π Ε Ρ Ι Φ Ε Ρ Ε Ι Α 2 4 8 4

Ι Ε Θ Ν Ε Σ Ρ Ο Τ Α Ρ Υ Π Ε Ρ Ι Φ Ε Ρ Ε Ι Α 2 4 8 4 Ι Ε Θ Ν Ε Σ Ρ Ο Τ Α Ρ Υ Π Ε Ρ Ι Φ Ε Ρ Ε Ι Α 2 4 8 4 Ε Π Ι Σ Τ Ο Λ Η Δ Ι Ο Ι Κ Η Τ Η Α Υ Γ Ο Υ Σ Τ Ο Σ Μ η ν ι α ί α Ε π ι σ τ ο λ ή ι ο ι κ η τ ή 1 Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Σ ε λ ί δ ε ς Τ ο μ ή ν υ μ α τ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής Κατεύθυνσης Βιολογία Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΤΖΕΛΑΚΗΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής Κατεύθυνσης Βιολογία Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΤΖΕΛΑΚΗΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής Κατεύθυνσης Βιολογία Γ Λυκείου Επιμέλεια: ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΤΖΕΛΑΚΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr 1 TO 1. µ, : i µ µ DNA ii µ DNA iii

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΣΥΜΒΑΣΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΣΥΜΒΑΣΗ Στην Αθήνα σήμερα την 25 η Ιουλίου 2011, ημέρα Δευτέρα στα γραφεία

Διαβάστε περισσότερα

«Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών»

«Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών» Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης που απονέμει το Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ 3 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 2 TONER ΜΕΛΑΝΙΑ ΣΥΜΒΑΤΑ (ΑΝΑΚΥΚΛΩΣΙΜΑ)

ΠΙΝΑΚΑΣ 3 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 2 TONER ΜΕΛΑΝΙΑ ΣΥΜΒΑΤΑ (ΑΝΑΚΥΚΛΩΣΙΜΑ) ΠΙΝΑΚΑΣ 3 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 2 TONER ΜΕΛΑΝΙΑ (ΑΝΑΚΥΚΛΩΣΙΜΑ) 1 Toner Xerox 106R1306 WC5230 2 Toner LEXMARK 250d A11E 3 Toner LEXMARK E34016HE 4 Toner LEXMARK 12016SE 5 Toner for HP Laserjet 1018 6 Toner for HP Laserjet

Διαβάστε περισσότερα

NOVOSTI NΕΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 2014

NOVOSTI NΕΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 2014 OK FETY NOVOSTI NΕΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 2014 THE THE SAFETY BOOK SEKTORI AKTIVNOSTI DE ACTIVITEITEN RIZICI ΟΙ ΚΙΝΔΥΝΟΙ POLJOPRIVREDA / VRT ΓΕΩΡΓΙΑ / ΚΗΠΟΣ GRAĐEVINA BTP / ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ POMOĆNI POSLOVI / OBRTNIŠTVO ΔΕΥΤΕΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Χημεία Α Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΓΟΘΕΤΗΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Χημεία Α Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΓΟΘΕΤΗΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Χημεία Α Λυκείου Επιμέλεια: ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΓΟΘΕΤΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr 1 57 1.. 1 kg = 1000 g 1 g = 0,001 kg 1

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Μικροϋπολογιστών

Συστήματα Μικροϋπολογιστών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ Συστήματα Μικροϋπολογιστών 3η Oμάδα Ασκήσεων Δημητρίου Ανδριάνα 03110684 Σκούρα Ελένη 03110721 1 η 4 η Άσκηση i) Στο πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

#INGLiveWell ΤΥΧΕΡΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΚΛΗΡΩΣΗΣ ΤΩΝ ΔΩΡΩΝ / LUCKY NUMBERS FROM THE LOTTERY DRAW FOR THE GIFTS

#INGLiveWell ΤΥΧΕΡΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΚΛΗΡΩΣΗΣ ΤΩΝ ΔΩΡΩΝ / LUCKY NUMBERS FROM THE LOTTERY DRAW FOR THE GIFTS 1 1002 Euromedica 1 επίσκεψη σε γιατρούς διαφόρων ειδικοτήτων, στην Κλινική Αθήναιον 2 1008 Όμιλος Εταιρειών Υγείας ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ 3 1016 Όμιλος Εταιρειών Υγείας ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ 4 1017 Όμιλος Εταιρειών Υγείας ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η Προϊστορία της Γιουγκοσλαβίας

Η Προϊστορία της Γιουγκοσλαβίας Η Προϊστορία της Γιουγκοσλαβίας Rastko Vasié Διευθυντής Ερευνών στο Αρχαιολογικό Ινστιτούτο της Σερβικής Ακαδημίας Επιστημών - Βελιγράδι Μετάφραση: Σ. Χατζηγεωργιάδου Το έδαφος της σημερινής Γιουγκοσλαβίας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΤΣΙΤΣΑΣ ΓΡΗΓΟΡΗΣ

ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΤΣΙΤΣΑΣ ΓΡΗΓΟΡΗΣ Θέµατα από το βιβλίο µου: Οι ασκήσεις των εξετάσεων φυσικής γενικής παιδείας γ λυκείου (υπό έκδοση ) (Περιέχει 111 ασκήσεις πιθανά θέµατα εξετάσεων µε απαντήσεις) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΘΕΜΑ 1 ο Πόση είναι η ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική ραδιενέργεια περιβάλλοντος και ραδιενεργός ρύπανση. Π. Κρητίδης και Ε. Φλώρου Εργαστήριο Ραδιενέργειας Περιβάλλοντος ΙΠΤ-Α, ΕΚΕΦΕ «Δημόκριτος»

Φυσική ραδιενέργεια περιβάλλοντος και ραδιενεργός ρύπανση. Π. Κρητίδης και Ε. Φλώρου Εργαστήριο Ραδιενέργειας Περιβάλλοντος ΙΠΤ-Α, ΕΚΕΦΕ «Δημόκριτος» Φυσική ραδιενέργεια περιβάλλοντος και ραδιενεργός ρύπανση Π. Κρητίδης και Ε. Φλώρου Εργαστήριο Ραδιενέργειας Περιβάλλοντος ΙΠΤ-Α, ΕΚΕΦΕ «Δημόκριτος» Φυσικά ραδιενεργά στοιχεία Παράδειγμα από την οικογένεια

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ α. Γενική Διευκρίνιση: Ως συσχετιζόμενοι ασφαλιστικοί διαμεσολαβητές νοούνται τα πρόσωπα που τελούν σε οιασδήποτε μορφής σχέση ή συνεργασία με τον ασφαλιστικό διαμεσολαβητή,

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Αρχές δόμησης πολυηλεκτρονικών ατόμων

1.2 Αρχές δόμησης πολυηλεκτρονικών ατόμων 1.2 Αρχές δόμησης πολυηλεκτρονικών ατόμων 1. Ερώτηση: Τι είναι η ηλεκτρονική δόμηση ή ηλεκτρονική κατανομή; Η συμπλήρωση των τροχιακών με ηλεκτρόνια, λέγεται ηλεκτρονική δόμηση ή ηλεκτρονική κατανομή.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

2 μ Gauss 1. Equation Chapter 1 Section 1 GAUSS GAUSS

2 μ Gauss 1. Equation Chapter 1 Section 1 GAUSS GAUSS 2 μ Gauss 1 Equation Chapter 1 Section 1 2 GAUSS GAUSS 2 2 μ Gauss μ μ μ μ μ μ μ. μ μ μ μ. μ μ μ μ Coulomb μ. μ 1: μ μ μ μ μ, μ. μ μ. μ μ. μ μ μ μ μμ. μμ μ μ μ. μ μ μμ μ. μ μ μ. μ μ μ μ μ. μ μ μ μ μ μ

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko društvo klasičnih filologa ZAPORKA NATJECATELJA: ŽUPANIJSKO NATJECANJE U POZNAVANJU KLASIČNIH JEZIKA u kategoriji GRČKI

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενος τιμοκατάλογος Οκτώβριος 2013.

Προτεινόμενος τιμοκατάλογος Οκτώβριος 2013. Προτεινόμενος τιμοκατάλογος Οκτώβριος 2013. Κωδικός Μοντέλο Περιγραφή Προτεινόμενη τελική τιμή ( ) Όφελος ΦΤΤ λόγω απόσυρσης 2013 ( ) Προτεινόμενη τελική τιμή με όφελος ΦΤΤ λόγω απόσυρσης 2013 ( ) Τέλη

Διαβάστε περισσότερα

ferroli Αντλίες θερμότητας ίί(ι. 1 i l l! Ι E ali =!= =- ! ϊι^ = τ ϊ^5 "ϊ

ferroli Αντλίες θερμότητας ίί(ι. 1 i l l! Ι E ali =!= =- ! ϊι^ = τ ϊ^5 ϊ ferroli Αντλίες θερμότητας ίί(ι. 1 i l l! m U lh ferroli Ι E ali =!= =-! ϊι^ = τ ϊ^5 "ϊ ' j k r* GRUPPO FEHHQU made in Italy διαιρούμενες Αντλίες θερμότητας Αέρα / Νερού AQUA 2 - AQUA 3 Split Θερμοκρασία

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Εισαγωγή Θα συμπληρωθεί 1 Κεφάλαιο 1 Γεωμετρικά διανύσματα στο επίπεδο Ενα γεωμετρικό διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ & ΕΠΙΣΚΕΥΗ ΛΟΙΠΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ

ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ & ΕΠΙΣΚΕΥΗ ΛΟΙΠΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ & ΕΠΙΣΚΕΥΗ ΛΟΙΠΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ ΚΑ: 0889 Περιλαμβάνεται η συντήρηση των παρακάτω: 1. Συντήρηση 3 ενυδρείων Προϋπολογισμός : 1.250,00 2. Συντήρηση τηλεφωνικών κέντρων Προϋπολογισμός : 4.500,00 3.

Διαβάστε περισσότερα

(Tekst značajan za EGP)

(Tekst značajan za EGP) L 82/14 UREDBA KOMISIJE (EU) 2015/516 оd 26. ožujka 2015. o izmjeni Uredbe (EZ) br. 874/2004 o utvrđivanju pravila javne politike u vezi s primjenom i funkcijama vršne.eu domene i načela kojima se uređuje

Διαβάστε περισσότερα

Βλάσης Κανιάρης, Αθηνόραµα, 05/11/09, συνέντευξη στην Δέσποινα Ζευκιλή.

Βλάσης Κανιάρης, Αθηνόραµα, 05/11/09, συνέντευξη στην Δέσποινα Ζευκιλή. Βλάσης Κανιάρης, Αθηνόραµα, 05/11/09, συνέντευξη στην Δέσποινα Ζευκιλή. Βλάσης Κανιάρης, Αθηνόραµα, 05/11/09, συνέντευξη στην Δέσποινα Ζευκιλή. Βλάσης Κανιάρης, Αθηνόραµα, 05/11/09, συνέντευξη στην Δέσποινα

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία για τις αντλίες Θερμότητας (ΕΞΟΙΚΟΝΟΜΗΣΗ ΚΑΤ' ΟΙΚΟΝ) - Επικαιροποιημένο στις 14-01-2014

Στοιχεία για τις αντλίες Θερμότητας (ΕΞΟΙΚΟΝΟΜΗΣΗ ΚΑΤ' ΟΙΚΟΝ) - Επικαιροποιημένο στις 14-01-2014 Στοιχεία για τις αντλίες Θερμότητας (ΕΞΟΙΚΟΝΟΜΗΣΗ ΚΑΤ' ΟΙΚΟΝ) - Επικαιροποιημένο στις 14-01-2014 α/α Εταιρεία Είδος 1 AERMEC Hλεκτροκίνητη ANLI 021 HM Inverter 2 AERMEC Hλεκτροκίνητη ANLI 021 HXM Inverter

Διαβάστε περισσότερα

6. ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ

6. ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ 6. ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ- ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 1 ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΥΟ ΕΙΣΟ ΩΝ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

ndustrial aste management quality sustainable development nvironmental rotection waste management

ndustrial aste management quality sustainable development nvironmental rotection waste management ndustrial aste management quality waste management nvironmental rotection sustainable development Το Ιστορικό µας H POLYECO A.E. ιδρύθηκε το 2001, από την ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΑΕ, µε στόχο

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή του λιπαντικού

Επιλογή του λιπαντικού AGMA: American Gear Manufacturers Association Επιλογή του λιπαντικού Η επιλογή του λιπαντικού πρέπει να γίνεται με βάση την χρήση για την οποία προορίζεται, σύμφωνα με το ιξώδες του αλλά και με τις προδιαγραφές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΥΔΡΕΥΣΗΣ - ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΒΟΛΟΥ

ΔΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΥΔΡΕΥΣΗΣ - ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΒΟΛΟΥ Βόλος 09/04/201 ΓΡΑΦΕΙΟ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΟΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΗΜΑΤΩΝ Πληροφορίες : ΜΙΛΤΟΣ ΜΙΛΤΙΑΔΗΣ Τηλέφωνο : 24210 55555 Fax : 24210 78221 ΠΡΟΣ Κάθε ενδιαφερόμενο ΘΕΜΑ: : ΖΗΤΗΣΗ ΠΡΟΣΦΟΡΩΝ ΓΙΑ ΦΙΛΤΡΑ ΜΠΟΥΖΙ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΒΑΣΗ - TONERS ΕΚΤΥΠΩΤΩΝ - ΤΥΠΟΣ ΜΕΛΑΝΙΟΥ

ΣΥΜΒΑΣΗ - TONERS ΕΚΤΥΠΩΤΩΝ - ΤΥΠΟΣ ΜΕΛΑΝΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΜΕΣΩΝ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΣΥΜΒΑΣΗ Στην Αθήνα σήμερα την 24 Οκτωβρίου 2012, ημέρα Tετάρτη, στα γραφεία της Γενικής Γραμματείας

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση υπολειμμάτων από τη θερμική επεξεργασία αστικών απορριμμάτων

Διαχείριση υπολειμμάτων από τη θερμική επεξεργασία αστικών απορριμμάτων Διαχείριση υπολειμμάτων από τη θερμική επεξεργασία αστικών απορριμμάτων Πέτρος Σαμαράς Καθηγητής, ΑΤΕΙ Θεσσαλονίκης Παρασκευή 8 Απριλίου 2011 Στόχοι Από τη θερμική επεξεργασία ΑΣΑ με ταυτόχρονη παραγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενος Τιμοκατάλογος Φεβρουάριος 2014

Προτεινόμενος Τιμοκατάλογος Φεβρουάριος 2014 Προτεινόμενος Τιμοκατάλογος Φεβρουάριος 2014 Τεχνικά χαρακτηριστικά Προτεινόμενη τιμή μεταλλικού χρώματος Προτεινόμενη τιμή Παστέλ χρώματος ΕΚΠΟΜΠΕΣ CO 2 (g/km) Κατανάλωση ΕΕ 1999/100 Κυβισμός Μέγιστη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΙΑ ΑΤΟΜΙΚΗΣ ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗΣ (ATOMIC ABSORPTION SPECTROMETRY, AAS)

ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΙΑ ΑΤΟΜΙΚΗΣ ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗΣ (ATOMIC ABSORPTION SPECTROMETRY, AAS) ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΙΑ ΑΤΟΜΙΚΗΣ ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗΣ (ATOMIC ABSORPTION SPECTROMETRY, AAS) ΑΘΗΝΑ, ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2014 ΓΕΝΙΚΑ Η Φασματομετρία Ατομικής Απορρόφησης είναι μια μέθοδος ΑΤΟΜΙΚΗΣ φασματομετρίας. Προσδιορίζεται η συγκέντρωση

Διαβάστε περισσότερα

1. ΤΟΙΧΟΥ INVERTER LIBERO

1. ΤΟΙΧΟΥ INVERTER LIBERO Z 09 EMNSW 150 E 09 EM.UA3 Z 12 EM.NSH 151 E 12 EM.UA3 E 18 EM. NSM E 152 18 EM. UL2 IN OUT Εσωτερικό/Εξωτερικό Amber Καλώδιο H M L H 9.000-12.300 12.000-15.600 18.000-20.600 1. ΤΟΙΧΟΥ INVERTER LIBERO

Διαβάστε περισσότερα

Ανταλλακτικά για Laptop Toshiba

Ανταλλακτικά για Laptop Toshiba Ανταλλακτικά για Laptop Toshiba Ημερομηνία έκδοσης καταλόγου: 6/11/2011 Κωδικός Προϊόντος Είδος Ανταλλακτικού Μάρκα Μοντέλο F000000901 Inverter Satellite A10 Series, A10 PSA10L-033X4P F000000902 Inverter

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΟΣ ΚΑΙ ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΟΣ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΣ ΚΡΥΦΟΣ ΦΩΤΙΣΜΟΣ NIGHT PANEL ΜΕ LED ---- STD

ΒΑΣΙΚΟΣ ΚΑΙ ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΟΣ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΣ ΚΡΥΦΟΣ ΦΩΤΙΣΜΟΣ NIGHT PANEL ΜΕ LED ---- STD 1.48v 78hp 1.48v 78hp ALFA MiTo 1368 1368 Progression ΚΡΥΦΟΣ ΦΩΤΙΣΜΟΣ NIGHT PANEL ΜΕ LED ---- STD ΦΩΤΙZOMENOI ΚΑΘΡΕΠΤΕΣ ΣΤΑ ΑΛΕΞΗΛΙΑ ---- STD ΤΑΜΠΛΩ SPRINT STD ---- ΤΑΜΠΛΩ COMPETIZIONE (carbon look) ----

Διαβάστε περισσότερα

!"#$%$&'()"*+,$'$%,%"!" !"-.''$+,"/0%*,*0+"! !"1(*$+,*2*("(&'$$'"!" !"34.(&,0+"&+4"5'&*+*+6"!"

!#$%$&'()*+,$'$%,%! !-.''$+,/0%*,*0+! !1(*$+,*2*((&'$$'! !34.(&,0+&+45'&*+*+6! !"##$%&'%##($)$ &&&&&*$+,-.&!/01&2(!& &&&&&3%/)&$)&4$-)51&6"7"8+&9: +( &;:?@")?&A5#(&B%")?5+$%) C64A6&'-8-5/#(&5)?&C))%D5+$%)&E-)+/- >)D$/%)@-)+&5)?&F5+"/5,&'-8%"/#-8&6/-5 GC4&5)?&'-@%+-&4-)8$)7&H)$+

Διαβάστε περισσότερα

Washing Machine User s Manual Perilica rublja Korisnički priručnik Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Pralni stroj Navodila za uporabo

Washing Machine User s Manual Perilica rublja Korisnički priručnik Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Pralni stroj Navodila za uporabo EV 5800 +Y Washing Machine User s Manual Perilica rublja Korisnički priručnik Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Pralni stroj Navodila za uporabo Document Number 2820523382_EN / 01-02-13.(11:12) 1 Important

Διαβάστε περισσότερα

T E S T R E P O R T ΕΥΑ ΑΛΕΞΑΝ ΡΕΙΑΣ. Εθν. Αντίστασης 42, Αλεξάνδρεια. Νερά. Waters. Από πελάτη κατά δήλωσή του. As stated by client 24/11/11

T E S T R E P O R T ΕΥΑ ΑΛΕΞΑΝ ΡΕΙΑΣ. Εθν. Αντίστασης 42, Αλεξάνδρεια. Νερά. Waters. Από πελάτη κατά δήλωσή του. As stated by client 24/11/11 Εργαστήριο Περιβάλλοντος, Σίνδος Σελ.(page) 1/10 ΕΚΘΕΣΗ ΟΚΙΜΩΝ T E S T R E P O R T Πελάτης Client ιεύθυνση πελάτη Client s address Περιγραφή δειγµάτων Samples description ειγµατοληψία Sampling Ηµεροµηνία

Διαβάστε περισσότερα

21 YNE PIO I O O IA 21st INTERNATIONAL CONFERENCE OF PHILOSOPHY

21 YNE PIO I O O IA 21st INTERNATIONAL CONFERENCE OF PHILOSOPHY INTERNATIONAL ASSOCIATION FOR GREEK PHILOSOPHY 5, SIMONIDOU STR., 174 56 ALIMOS GREECE TEL: +30210-9956955, +30210-7277545, +30210-7277548 FAX: +30210-9923281, +30210-7248979 Website: http://www.hri.org/iagp,

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενος τιμοκατάλογος Οκτώβριος 2013.

Προτεινόμενος τιμοκατάλογος Οκτώβριος 2013. Προτεινόμενος τιμοκατάλογος Οκτώβριος 2013. Κωδικός Μοντέλο Περιγραφή Προτεινόμενη τελική τιμή ( ) Όφελος ΦΤΤ λόγω απόσυρσης 2013 ( ) Προτεινόμενη τελική τιμή με όφελος ΦΤΤ λόγω απόσυρσης 2013 ( ) Τέλη

Διαβάστε περισσότερα

Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης

Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης Κωδικοποίηση Πηγής Coder Decoder Μεταξύ πομπού και καναλιού παρεμβάλλεται ο κωδικοποιητής (coder). Έργο του: η αντικατάσταση των συμβόλων πληροφορίας της πηγής με εναλλακτικά σύμβολα ή λέξεις. Κωδικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ernst Klett Schulbuchverlag, STUTTGART

Ernst Klett Schulbuchverlag, STUTTGART Klassen:7A/7B/7C / Α' Γυµνασίου Για το σχολικό έτος 2012/2013 παρακαλούµε να παραγγείλετε και να αγοράσετε κατά τη διάρκεια των θερινών διακοπών τα ακόλουθα βιβλία : Τα ελληνικά διδακτικά βιβλία του ΟΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ II ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ Ι: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ II ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ Ι: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ II ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ Ι: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα