Mundell-Flemingov model sa krivuljom vanjske ravnoteže

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Mundell-Flemingov model sa krivuljom vanjske ravnoteže"

Transcript

1 Mundell-Flemingov model sa krivuljom vanjske ravnoteže 1. Uvod Na nastavi smo istaknuli da IS-LM model prilagođen otvorenoj ekonomiji nazivamo Mundell- Flemingov model. Za razumijevanje tog modela definitivno je potrebno poznavati karakteristike IS-LM modela u zatvorenoj ekonomiji, te komponente potražnje za domaćim proizvodom u otvorenoj ekonomiji. Zato se prije čitanja ovog teksta čitatelja upućuje da prouči dobro poglavlja 5, 18 i 19 u Blanchardu, te prezentaciju o bilanci plaćanja na mojoj web stranici. Odrađen je i Mundell-Flemingov model sa krivuljom kamatnog pariteta (IP) (poglavlje 20). Međutim, postoji još jedna mogućnost da se u IS-LM model koji smo imali u zatvorenoj privredi uključi i krivulja vanjske ravnoteže. Rezultati će biti slični modelu s IP krivuljom, pa će studentima biti dana mogućnost odabira koji će model radije koristiti u uvjetima potpune mobilnosti kapitala. Pod vanjskom ravnotežom podrazumijeva se ravnoteža bilance plaćanja (nasuprot tome unutarnja ravnoteža je istovremena ravnoteža i na tržištu dobara i na financijskom tržištu, dakle sjecište krivulja IS i LM). Za izvođenje krivulje bilance plaćanja bit će nam, naravno, potrebno, poznavanje bilance plaćanja i njenih glavnih podbilanci. Zato se najprije valja prisjetiti njenih osnovnih dijelova, a to su bilanca plaćanja na tekućem računu i bilanca plaćanja na kapitalnom računu. Sjetimo se da se u bilanci tekućih transakcija prikazuju sve transakcije između zemlje i inozemstva koje su vezane za proizvodnju, dohodak i transfere u određenom razdoblju. Nju možemo razdijeliti na bilancu vanjske trgovine robom i uslugama, te bilancu dohodaka i bilancu transfera. U bilanci kapitalnih transakcija evidentirat će se tijekovi kapitala između zemlje i inozemstva. Bez obzira na to o kojoj je od ove podbilance riječ, princip knjiženja je identičan i glasi: 1. Na potražnu stranu u bilanci plaćanja knjiže se SV transakcije koje uvjetuju (prije ili kasnije) plaćanje stranaca domaćim rezidentima. Za domaću ekonomiju to su devizni primici. Za hrvatsko gospodarstvo to su npr: prihodi od turizma (izvoz usluga stavka u bilance na tekućem računu), transferi hrvatskih iseljenika domaćoj ekonomiji (primljeni transferi), prodaja hrvatskih banaka ili poduzeća strancima (direktna ulaganja dio bilance na kapitalnom računu), zaduživanje domaćih subjekata u inozemstvu npr. prodaja obveznica HP-a (kapitalni račun) 2. Na dugovnu stranu u bilanci plaćanja knjiže se SV transakcije koje uvjetuju plaćanje domaćih rezidenata inozemnim. Za domaću ekonomiju to su devizni izdaci. Za hrvatsko gospodarstvo su to npr: kupnja raznih proizvoda iz inozemstva (uvoz proizvoda stavka u bilanci na kapitalnom računu), ulaganja Plive u Poljskoj ili Agrokora u Srbiji (direktna ulaganja - kapitalni račun), povlačenje dobiti domaćih poduzeća i banaka u stranom vlasništvu u inozemstvu (kapitalni račun). 1

2 Istaknuli smo također da se iz kapitalnog računa izdvaja račun rezervi. Njihova je uloga u tome da zemlja ne bude nelikvidna u plaćanjima prema inozemstvu, ali im je važna uloga i u očuvanju stabilnosti tečaja. Naglašeno je da je potreba za njima to veća što je manji stupanj fleksibilnosti tečaja. Dio bilance plaćanja koji preostaje nakon izdvajanja deviznih rezervi naziva se opća bilanca plaćanja. Kad se kaže saldo bilance plaćanja misli se na ovu bilancu plaćanja. Njena neravnoteža jednaka je promjenama rezervi. Postoje dva moguća slučaja: 1. Deficit (opće) bilance plaćanja. U tome slučaju su devizni izdaci manji od primitaka. Taj je slučaj moguć čak i kad je bilanca na tekućem računu u suficitu, zbog većeg odlijeva kapitala od potrebnog da se bilanca plaćanja uravnoteži. U takvim slučajevima je potražnja za devizama veća od ponude deviza. To se rješava tako da se: a) Domaća valuta mijenja za inozemnu. U tom slučaju ona je manje atraktivna u odnosu na stranu, pa joj vrijednost pada tj. deprecira, a strana aprecira (u našem shvaćanju to je rast tečaja: 1 =7 kn 1 =8 kn). Ovo vrijedi u režimu fleksibilnog tečaja. b) U režimu fiksnog tečaja središnja banka mora na naraslu potražnju za devizama odgovoriti povećanom ponudom deviza tj. prodajom deviznih rezervi. 2. Suficit (opće) bilance plaćanja. U tome slučaju su devizni primici veći od izdataka. Taj je slučaj moguć čak i kad je bilanca na tekućem računu u deficitu, zato što imamo priljev kapitala koji je veći od onog koji je potreban da se bilanca plaćanja uravnoteži. To se rješava na dva načina: a) Strana se valuta mijenja za domaću. U tom slučaju je domaća valuta atraktivnija, pa joj vrijednost raste tj. aprecira, a strana deprecira (u našem shvaćanju to je pad tečaja 1 =8 kn 1 =7 kn). Ovo vrijedi u režimu fleksibilnog tečaja. b) U režimu fiksnog tečaja središnja banka mora na naraslu ponudu strane valute odgovoriti povećanom potražnjom za devizama tj. kupnjom deviznih rezervi. Zato će u režimu fleksibilnog tečaja suficit bilance plaćanja rezultirati aprecijacijom domaće valute, a deficit deprecijacijom. U režimu fiksnog tečaja neće se promijeniti tečaj nego će suficit bilance plaćanja za posljedicu imati porast deviznih rezervi, a deficit smanjenje. Ovo što je izrečeno vrijedi ako je tečaj apsolutno fiksan, odnosno apsolutno fleksibilan. U stvarnom životu, međutim, postoji i mogućnost kontrola tijekova kapitala kako bi se spriječile značajne oscilacije tečaja, ili preveliki gubitak deviznih rezervi. Također valja istaknuti da je, kada je bilanca plaćanja u ravnoteži promjena rezervi jednaka nuli. Naravno u slučaju fleksibilnog tečaja ni tečaj se neće mijenjati. Tada je saldo bilance plaćanja na tekućem računu jednak saldu bilance na kapitalnom računu sa suprotnim predznakom. Razlog za to slijedi iz pravila knjiženja u bilanci plaćanja. U slučaju deficita na tekućem računu, razlika će se morati pokriti (neto) priljevom kapitala iz inozemstva. Tada će devizni primici na kapitalnom računu biti veći od deviznih izdataka, odnosno kapitalni će račun biti u suficitu. Suficit kapitalnog računa bit će jednak deficitu tekućeg računa i obrnuto. Ako je ostvaren suficit tekućeg računa, tada će (pod pretpostavkom ravnoteže bilance plaćanja) zemlja imati (neto) odljev kapitala u inozemstvo, odnosno devizni izdaci na kapitalnom računu će biti veći od deviznih primitaka, pa će kapitalni račun biti u deficitu. Deficit kapitalnog računa bit će jednak suficitu tekućeg računa i obrnuto. 2

3 Dobivene zaključke možemo sumirati na slijedeći način: Ako je (opća) bilanca plaćanja u ravnoteži tada je promjena rezervi jednaka nuli. U tom je slučaju saldo tekućeg računa jednak saldu kapitalnog računa sa suprotnim predznakom. Ako je bilanca plaćanja u deficitu, tada će doći do smanjenja deviznih rezervi zato što središnja banka brani tečaj u režimu fiksnog tečaja. Nasuprot tome, kod fleksibilnog tečaja taj se problem, uslijed manjka deviznih rezervi, rješava deprecijacijom valute. Kada je bilanca plaćanja u suficitu porasti će devizne rezerve jer središnja banka sprečava aprecijaciju tečaja ako je tečaj fiksni. Kod fleksibilnog tečaja aprecira domaća valuta. Još jednom valja istaknuti da vas ne zbuni kad govorimo o suficitu ili deficitu bilance plaćanja, misli se na opću bilancu. Nemojte to brkati sa suficitom ili deficitom na tekućem računu. Ako zemlja ima deficit na tekućem računu, kroz snažan priljev kapitala (bilo kroz direktna ulaganja, bilo kroz zaduživanje, ) ipak može ostvariti suficit bilance plaćanja. Naravno, opravdano je pitanje održivosti takve situacije jer se ne možemo stalno zaduživati ili rasprodavati obiteljsko srebro da bi pokrivali svoje deficite. U tom slučaju suficit tekućeg računa čini se kao bolja situacija. Međutim, ni to iako je povoljnije, nije idealno stanje. Također nije ni dugoročno održivo zbog toga što nije održivo da druga strana ima deficit. Zato je najprihvatljivija solucija da je bilanca na tekućem računu uravnotežena. Kada istovremeno postoji ravnoteža i tekućeg i kapitalnog računa kažemo da bilanca plaćanja ima punu ravnotežu. 2. Krivulja vanjske ravnoteže 2.1. Krivulja neto izvoza kapitala U lekciji o nacionalnom računovodstvu smo imali ovaj identitet za sektor inozemstva: U TRI TRG L. (1) Pri tome smo odmah rekli da je na lijevoj strani saldo bilance na tekućem računu, a da je na desnoj saldo bilance na kapitalnom računu, ali sa suprotnim predznakom. Međutim, tada smo (neizravno) podrazumijevali da se ΔL odnosi na prirast inozemnog duga. No, u predavanju o bilanci plaćanja uvidjeli smo da se ΔL ono ne odnosi samo na prirast inozemnog duga već i da u sebi sadrži promjenu međunarodnih rezervi i neto priljev stranih direktnih ulaganja (FDI). Također proučavajući strukturu kapitalnog računa uočili smo da postoje dugoročni i kratkoročni tijekovi kapitala. U dugoročne tijekove kapitala smo ubrojili direktne i portfolio investicije, te dugoročne kredite. U kratkoročne tijekove kapitala bismo ubrojili razna kratkoročna kreditiranja ili ulaganja u kratkoročne vrijednosne papire. Direktna ulaganja su ona gdje se kupuje preko 10% kapitala postojeće tvrtke ili otvara posve nova tvrtka (naravno ako su ovo ulaganja iz/u inozemstvo, tada nose naziv strana direktna ulaganja foreign direct investments (FDI)). Različiti faktori potiču firme na ulaganja u direktna ulaganja od kojih su samo neka razlike u profitnim stopama, profitabilnost poduzeća (npr. zbog osvajanja tržišta), strateška pitanja, makroekonomska i politička stabilnost (stabilnost cijena i tečaja, kvaliteta upravljanja, razvijenost pravnog sustava, ). 3

4 Dugoročna portfolio ulaganja odnose se na ulaganja u dionice (kupnja manje od 10% kapitala postojeće tvrtke) i obveznice sa dospijećem duljim od godine dana i špekulativne su prirode. Osim navedenih važni oblici tijekova kapitala su dugoročni i kratkoročni krediti. Naravno, bitni faktori za njih su očekivani povrati i rizici same zemlje. Kao što se vidi iz priloženog, nisu svi oblici tijekova kapitala dužničkog karaktera. Oni su različite prirode te razni faktori na njih utječu. Tako npr. na kratkoročne tijekove utječu kratkoročni kamatni diferencijali (razlika između kratkoročnih domaćih i inozemnih kamatnih stopa), ali i očekivane promjene tečaja za godinu dana i rizičnost zemlje. Na dugoročne tijekove (dugoročni krediti, portfolio ulaganja) utječu dugoročni kamatni diferencijali (razlika između dugoročnih domaćih i inozemnih kamatnih stopa, ali one u sebi uključuju i tekuće i očekivane buduće kamatne stope), te očekivane promjene tečaja za n godina. Naravno, općenito, na međunarodne tijekove kapitala još utječu i transakcijski troškovi (npr. trošak zamjene valuta). Brojne od tih faktora je čak teško i mjeriti poput razvijenosti pravnog sustava, strateških pitanja Zato ćemo analizu pojednostavniti. Isključit ćemo iz analize FDI zbog njihove specifičnosti kao i ostala dugoročna kretanja kapitala (nismo učili dugoročne kamatne stope). Uzet ćemo samo kratkoročne tijekove kapitala. Pretpostavit ćemo da financijski investitor brine samo o očekivanim povratima na svoja ulaganja i da odlučuje birati samo između kupovanja domaće ili inozemne jednogodišnje obveznice. Budući da investitor brine samo o očekivanim povratima, njega će samo zanimati kratkoročni kamatni diferencijali i očekivana promjena tečaja iduće godine. Kasnije ćemo tu uključiti još samo promjenu rizičnosti zemlje. Podsjetimo se da je stopa povrata na jednogodišnje domaće obveznice jednaka domaćoj kamatnoj stopi i, a na inozemne domaćoj kamatnoj stopi uvećanoj za očekivanu deprecijaciju e domaće valute: i *. Pretpostavimo li da se ne očekuje promjena tečaja, tada je on jednak i*. Ako je i i *, atraktivnija je inozemna obveznica i mi izvozimo kapital u inozemstvo. Naravno dio odlivenog kapitala vrati se natrag u zemlju. Ali, kad je domaća kamata manja od inozemne, izvoz kapitala je veći od uvoza, odnosno neto izvoz kapitala je pozitivan. Ovime smo funkciju neto izvoza kapitala K postavili kao funkciju kamatnih diferencijala, odnosno ustanovili smo da vrijedi: K K i i *. Kad je domaća kamatna stopa iznad inozemne, zemlja ostvaruje neto izvoz kapitala. Analogno tome kad je i i * domaća je obveznica atraktivnija od inozemne, zemlja ostvaruje neto uvoz kapitala (negativan neto izvoz). Uzmemo li i* kao dano, neto izvoz kapitala je funkcija domaće kamatne stope: K K() i. (2) Iz (2) možemo zaključiti slijedeće: 4

5 e Za danu očekivanu deprecijaciju i inozemnu kamatnu stopu i* neto izvoz kapitala K opadajuća je funkcija domaće kamatne stope (tj. 0) jer porast domaće kamatne stope i naše obveznice čini atraktivnijima što stimulira uvoz kapitala. U (1) vrijedi da je K L. Grafički prikaz funkcije neto izvoza kapitala prikazan je na slici 1: Slika 1. Funkcija neto izvoza kapitala U slučaju da krivulja prijeđe u drugi kvadrant, neto izvoz kapitala poprimit će negativne vrijednosti, odnosno govorit ćemo o neto uvozu kapitala. Pri i=i* tijekovi kapitala u i iz domaće ekonomije su uravnoteženi. Nagib ove krivulje će nešto više reći i o stupnju K mobilnosti kapitala. Uzmimo najprije dva ekstremna slučaja. Ako je 0, tada je potrebno i jako malo povećanje kamatne stope, da potakne beskonačno velik priljev kapitala. To je tzv. savršena mobilnost kapitala. Kapital se seli u roku od par sekundi. Financijskim investitorima je potrebno svega par minuta da inozemne obveznice zamijene domaćima i obrnuto. U takvim uvjetima brzo se uspostavi kamatni paritet: i i*. Tada niti jedna od obveznica neće biti atraktivnija, što je znak da postoji ravnoteža na kapitalnom računu. U tom slučaju će, ako je i tekući račun u ravnoteži vrijediti puna ravnoteža bilance plaćanja. K Krivulja neto izvoza kapitala bit će vodoravna (savršeno elastična). Nasuprot tome i znači da kapital uopće nije mobilan, odnosno za beskonačno veliki porast kamatne stope doći će do slabog priljeva kapitala. Naravno u stvarnosti su mogući međuslučajevi (tj. da je K 0). U uvjetima visoke mobilnosti kapitala krivulja neto izvoza kapitala ima blago i negativan nagib (relativno vodoravna). Tada malo povećanje kamatne stope dovodi do snažnog priljeva kapitala. Nasuprot tome, kada je niska mobilnost kapitala tada je potrebno drastično povećati kamatnu stopu da bi došlo do malog priljeva kapitala (strma odnosno relativno okomita krivulja). U takvim uvjetima zemlje različitim oblicima kapitalnih kontrola e 5

6 utječu na tijekovima kapitala. Hrvatska je zemlja koja je raznim oblicima kapitalnih kontrola utjecala na tijekove kapitala, ali su one morale biti ukinute u procesu pristupanja u uropsku Uniju 2.2. Izvođenje krivulje vanjske ravnoteže Iz funkcije neto izvoza kapitala, uz egzogenu pretpostavku da je bilanca plaćanja u ravnoteži, izvodimo krivulju vanjske ravnoteže grafički i analitički. Vratimo se najprije izrazu (1): U TRI TRG L Na lijevoj strani tog izraza se nalazi saldo bilance tekućeg računa koji se sastoji od neto izvoza, te neto transfera i neto faktorskog dohotka. Za daljnju analizu ćemo pretpostaviti da vrijedi slijedeće: 1. neto faktorski dohodak je jednak nuli. Iz toga slijedi da su bruto domaći i bruto nacionalni proizvod jednaki. 2. neto transferi su također jednaki nuli. Odatle i iz točke 1 dobivamo da je lijeva strana (1) jednaka neto izvozu. Da ne bi bilo zabune, izvoz ćemo označiti sa X, kako je to i u knjizi, a U će biti oznaka za uvoz. Podsjetimo se da je izvoz funkcija inozemnog dohotka (Y*) i realnog tečaja (ε) tj. da je X X( Y *, ). Uvoz je funkcija domaćeg dohotka (Y) i realnog tečaja (ε) tj. da je U U( Y, ). (Od studenata se očekuje da ove veze znaju i ekonomski objasniti to smo radili na nastavi). Kad uzmemo spomenute činjenice u obzir (te da je ΔL neto izvoz kapitala L K() i ), izraz (1) postaje: X(Y*, ) U(Y, ) Ki ( ). (3) Možemo naposljetku uvesti i slijedeće pretpostavke (iz knjige): 1. Da su domaća P i inozemna razina cijena P* jednake što model čini prihvatljivim za analizu u kratkom roku. To bi značilo i da su inflacija π i očekivana inflacija π e jednake 0, pa su nominalna (i) i realna kamatna stopa (r) jednake tj. i = r. P* 2. Da je 1, iz čega slijedi da su nominalni () i realni tečaj jednaki (ε) tj. (=ε). P (3) tada postaje: X(Y*, ) U(Y, ) K( i ). (4) (4) nam omogućuje da uz dane ostale varijable (u jednadžbi su tu inozemni dohodak Y i tečaj, ali ih ima i više) potražimo onu kombinaciju dohotka i kamatne stope pri kojoj je bilanca plaćanja u ravnoteži. U tu svrhu diferencirajmo (4) s obzirom na dohodak i kamatnu stopu, uzevši, dakle, ostale varijable nepromijenjenim, pa dobijemo: U K dy di. (5) Y i Podijelimo li (5) sa K dy i dobivamo da vrijedi: 6

7 U di Y. (6) dy K i Budući da je nazivnik negativan, (6) ima pozitivan predznak. To znači da postoji kombinacija dohotka i kamatne stope pri kojoj je bilanca plaćanja uravnotežena i da tu kombinaciju možemo predstaviti krivuljom pozitivnog nagiba. Tu krivulju zvat ćemo krivulja vanjske (eksterne) ravnoteže. Budući da je riječ o ravnoteži bilance plaćanja često se naziva i krivuljom bilance plaćanja (BP krivulja). Pozitivan nagib krivulje bilance plaćanja znači da porast dohotka mora biti u kombinaciji sa većom kamatnom stopom da bi bilanca plaćanja bila u ravnoteži. Povećavajući uvoz, porast dohotka, narušava postojeću ravnotežu. Da bi do ravnoteže došlo potreban je priljev kapitala iz inozemstva za što je potrebno dovoljno povećati kamatnu stopu. Ovo dovoljno znači da priljev kapitala treba biti toliki da uravnoteži bilancu plaćanja. Dakle nema prevelikog priljeva koji, u kombinaciji sa deficitom tekućeg računa dovodi do suficita bilance plaćanja, ali ni malog priljeva kapitala zbog kojih bi bilanca plaćanja bila u deficitu kad je i tekući račun u deficitu. Sad ćemo tu krivulju izvesti i grafički: (slika 2): Slika 2 Izvođenje krivulje bilance plaćanja. 7

8 Izvođenje krivulje bilance plaćanja počinje od krivulje neto izvoza kapitala (grafikon I.) koja je nacrtana kao negativna funkcija kamatne stope. Rast kamatne stope stimulira uvoz i destimulira izvoz kapitala pa se neto izvoz kapitala smanjuje kako kamatna stopa raste. Ako i=i* tada je neto izvoz kapitala jednak 0, odnosno bilanca na kapitalnom računu je uravnotežena (pretpostavljamo da je očekivana promjena tečaja jednaka 0, u protivnom je i i* e da bi tijekovi kapitala bili uravnoteženi, odnosno da bi vrijedio kamatni paritet). Kao što je uočljivo iz grafikona I. dok je i<i* neto izvoz kapitala je pozitivan, a kad je i>i*neto izvoz kapitala je negativan, odnosno zemlja ostvaruje neto uvoz kapitala (zapamtite da pretpostavljamo da financijski investitori kupuju ili prodaju jednogodišnju domaću ili stranu obveznicu, te da brinu isključivo o očekivanim povratima). U točkama A i B zemlja ostvaruje neto izvoz kapitala (tj. atraktivnija je inozemna obveznica), a u točki D neto uvoz (tj. atraktivnija je domaća obveznica) dok je u C kamatni paritet odnosno niti jedna obveznica nije atraktivnija od druge. Grafikon II. na istoj slici sadrži uvjet da bi bilanca plaćanja bila uravnoteži, a to je da saldo bilance na tekućem računu bude jednak bilanci na kapitalnom računu sa suprotnim predznakom. Ravnoteža je bilance plaćanja predočena krivuljom, koja je nagiba od 45. U točkama A i B zemlja ostvaruje suficit na tekućem računu (NX>0, pretpostavka je da su neto transferi i neto faktorski dohodak jednaki 0), pa može posuđivati sredstva vani. Ako zemlja ima suficit bilance na tekućem računu, tada je ravnotežu bilance plaćanja moguće postići samo ako je deficit na kapitalnom računu jednak tom suficitu (što po pretpostavci vrijedi u I. kvadrantu na krivulji nagiba 45 - nemojte ovu krivulju miješati sa onom u poglavlju tri jer nisu jednake). U točki D je deficit na tekućem računu (NX<0), pa je ravnotežu bilance plaćanja moguće imati samo priljevom kapitala iz inozemstva. Dakle, ako zemlja ima deficit bilance na tekućem računu, tada je ravnotežu bilance plaćanja moguće postiži samo ako je suficit na kapitalnom računu jednak tom deficitu (što po pretpostavci vrijedi u III. kvadrantu krivulje od 45.). U točki C zemlja ostvaruje punu ravnotežu bilance plaćanja, odnosno i tekući i kapitalni račun su uravnoteženi. Natpisi u pravokutnicima na ovom grafikonu odnose se samo na točke na pravcu. U svim točkama van pravca postoji neravnoteža bilance plaćanja, te se ona za posljedicu mora imati ili promjenu rezervi ili promjenu deviznog tečaja. Na grafikonu III: je prikazana krivulja NX kakvu smo učili iz Blancharda u 19. Poglavlju i gdje je NX predstavljen kao opadajuća funkcija domaćeg dohotka. Razlog za to je prilično jednostavan rast dohotka, povećava uvoz, što za dani izvoz smanjuje neto izvoz. Grafikon prilično zorno pokazuje da je u točkama A i B suficit tekućeg računa, a u D deficit dok je u C tekući račun uravnotežen. Dalje stvar možemo rezonirati na slijedeći način: 1. Porast domaće kamatne stope smanjuje neto izvoz kapitala; 2. Da bi bilanca plaćanja bila uravnotežena, neto izvoz kapitala mora biti jednak neto izvozu roba i usluga. Drugim riječima NX se mora smanjiti kako bi bio izjednačen sa neto izvozom kapitala da bi bilanca plaćanja ostala uravnotežena; 8

9 3. Da bi se neto izvoz roba i usluga smanjio, mora porasti domaći dohodak (sjetite se da se neto izvoz smanjuje kako dohodak raste, ali dohodak raste kako raste neto izvoz); 4. Imamo porast domaće kamatne stope i porast dohotka. Dakle postoji pozitivna veza između dohotka i kamatne stope pri kojoj je bilanca plaćanja u ravnoteži. Ta je veza predočena krivuljom bilance plaćanja koja je nacrtana na grafikonu IV. U svim točkama (A, B, C i D) je bilanca plaćanja uravnotežena premda je samo u C tekući račun uravnotežen. U svim ostalim slučajevima je saldo tekućeg računa jednak saldu kapitalnog sa suprotnim predznakom. Prema tome, krivulja bilance plaćanja predstavlja kombinacije dohotka i kamatne stope pri kojima je bilanca plaćanja u ravnoteži. Područje lijevo i iznad krivulje BP će predstavljati suficit, a područje ispod i desno od BP deficit bilance plaćanja kako će to biti objašnjeno u ostatku teksta. Nagib krivulje bilance plaćanja dan je sa (6). U brojniku je granična sklonost uvozu, a u nazivniku osjetljivost kretanja kapitala na promjenu domaće kamatne stope, pa možemo istaknuti: Nagib krivulje bilance plaćanja dan je kao omjer između granične sklonosti uvozu i apsolutne vrijednosti osjetljivosti kretanja kapitala na promjenu kamatne stope. (6) nam može utvrditi još neke pojedinosti u vezi nagiba krivulje bilance plaćanja: 1. Što je sklonost uvozu veća za danu mobilnost kapitala, odnosno što je stupanj mobilnosti kapitala manji (manji nazivnik) za danu sklonost uvozu, krivulja bilance plaćanja je strmija (manje elastična). 2. Što je sklonost uvozu manja za danu mobilnost kapitala, odnosno što je stupanj mobilnosti kapitala veći (veći nazivnik) za danu sklonost uvozu, krivulja bilance plaćanja je strmija (elastičnija). Mi ćemo pretpostavljati da je sklonost uvozu dana, odnosno da je funkcija uvoza linearna s obzirom na dohodak. U takvim slučajevima vrijedi za krivulju bilance plaćanja: Krivulja bilance plaćanja predstavlja kombinacije dohotka i kamatne stope pri kojima je opća bilanca plaćanja u ravnoteži. Sama krivulja je pozitivnog nagiba. Međutim, u uvjetima visoke mobilnosti kapitala, uslijed rasta dohotka, potrebno je malo povećati kamatnu stopu da bi došlo do priljeva kapitala koji će uravnotežiti bilancu plaćanja. Zato je u potpunoj mobilnosti kapitala bilanca plaćanja položenija (elastičnija, relativno vodoravna. U uvjetima niske mobilnosti kapitala, uz rast dohotka, je potrebno značajno povećati kamatnu stopu zbog poticanja priljeva kapitala koji bi uravnotežio bilancu plaćanja. Stoga je u niskoj mobilnosti kapitala bilanca plaćanja strmija (neelastičnija, relativno okomita). Na temelju navedenog možemo opisati i dva ekstremna oblika krivulje bilance plaćanja. To su, naravno, potpuna mobilnost i potpuna nemobilnost kapitala. U potpunoj mobilnosti kapitala nazivnik u (6) je, što znači da jako mala promjena kamatne stope rezultira beskonačno velikom promjenom kapitalnih tijekova. U tom slučaju je krivulja bilance plaćanja u potpunosti vodoravna. Nasuprot tome u potpunoj nemobilnosti kapitala nazivnik u (6) je 0, jer beskonačno velika promjena kamatne stope rezultira sa jako malom promjenom u 9

10 tijekovima kapitala. Tada će krivulja vanjske ravnoteže biti u potpunosti okomita. Navedeni rezultat možemo sažeti kao: U uvjetima potpune mobilnosti kapitala mala promjena kamatne stope je dovoljna da pokrene beskonačno veliku promjenu kapitala. Tada, je uslijed promjene dohotka, dovoljno jako malo promijeniti kamatnu stopu da bi se opet uspostavila ravnoteža bilance plaćanja. Zato je krivulja bilance plaćanja vodoravna (savršeno elastična). To je slučaj i kad vrijedi kamatni paritet, pa možemo reći da je krivulja BP vodoravna na razini domaće kamatne stope: e i i*. Pretpostavi li se da se ne očekuje promjena deviznog tečaja ili da smo u režimu fiksnog tečaja, vrijedit će: i i *. U slučaju potpune mobilnosti kapitala BP krivulja je okomita (savršeno neelastična) zato što je, uslijed porasta dohotka, potrebno jako puno (beskonačno) povećati kamatnu stopu da bi došlo do jako malog priljeva kapitala. To je zato što kapitalni tijekovi nisu uopće osjetljivi na promjenu domaće kamatne stope zbog raznih razloga (npr. administrativne i zakonske prepreke). Moramo također poznavati i područja izvan bilance plaćanja. Fiksiramo li dohodak i pratimo li samo kamatnu stopu, uočit ćemo da je iznad krivulje bilance plaćanja područje suficita bilance plaćanja. To je zato što je kamatna stopa previsoka, pa dolazi do snažnog priljeva kapitala u zemlju. Kao posljedica toga devizni su primici veći od deviznih izdataka, te je stoga bilanca plaćanja u suficitu. Kao što smo istaknuli ranije, to će činiti pritisak na aprecijaciju valute. U režimu fleksibilnog tečaja će se aprecijacija valute zaista i dogoditi dok se u fiksnom tečaju centralna banka prilagođava kupujući devizne rezerve. Analogno opisanom područje ispod krivulje bilance plaćanja će predstavljati područje deficita bilance plaćanja. U tom segmentu je kamatna stopa previsoka, pa je zbog većeg odljeva kapitala bilanca plaćanja u deficitu jer su devizni izdaci veći od deviznih primitaka. To dovodi do pritiska na deprecijaciju valute U režimu fleksibilnog tečaja će do nje zaista i doći, ali u fiksnom deviznom tečaju centralna banka mora prodavati devizne rezerve kako bi održala tečaj. Do sličnog ćemo zaključka doći i ako, umjesto dohotka fiksiramo kamatnu stopu. Tada ćemo uočiti da je lijevo od krivulje vanjske ravnoteže područje suficita bilance plaćanja. Dohodak je u tom slučaju jednostavno prenizak, pa je i uvoz na razini manjoj od one gdje bi se postigla ravnoteža bilance plaćanja. Zbog toga što je uvoz manji od izvoza bilanca plaćanja bit će u suficitu. Slično tome, desno od BP krivulje je dohodak prevelik pa će uvoz, kao funkcija dohotka, biti veći od izvoza, te će bilanca plaćanja biti u deficitu. Dobiveni nalaz možemo sažeti ovako: Područje lijevo i iznad krivulje vanjske ravnoteže predstavlja područje suficita bilance plaćanja. To će u režimu fleksibilnog tečaja rezultirati aprecijacijom domaće valute. U režimu fiksnog deviznog tečaja središnja banka će kupovati inozemnu valutu. Područje desno i ispod krivulje vanjske ravnoteže predstavlja područje deficita bilance plaćanja. U režimu fleksibilnog tečaja će to za posljedicu imati deprecijaciju domaće valute. 10

11 Međutim, u režimu fiksnog deviznog tečaja središnja banka će braniti tečaj prodajući devizne rezerve. Oblici krivulja bilance plaćanja s obzirom na stupanj mobilnosti kapitala i područja suficita i deficita su dani na slikama 3 i 4. Slika 3. Oblici krivulje bilance plaćanja s obzirom na stupanj mobilnosti kapitala Na oba dva grafikona se u točki A postiže suficit, a u točki C deficit bilance plaćanja. U točki B je bilanca plaćanja u ravnoteži. Slika 4. Oblici krivulje bilance plaćanja s obzirom na ekstremne stupnjeve mobilnosti kapitala Još je preostalo obraditi slučajeve koji utječu na pomak krivulje BP. Kao što je rečeno ona je nacrtana kao kombinacija dohotka i kamatne stope što znači da na njenu poziciju utječu bilo koji od ostalih faktora koji utječu na tekući i kapitalni račun, a da nije riječ o dohotku i o kamatnoj stopi. U te faktore mogu ići: inozemni dohodak, inozemna kamatna stopa, devizni tečaj, domaća i inozemna razina cijena, stopa rizika i niz drugih. Utjecaj svakog od njih na krivulju bilance plaćanja bit će prikazan u tablici 1: 11

12 Tabela 1. Pomaci krivulje bilance plaćanja Varijabla Pomak Objašnjenje Deprecijacija tečaja ( ) Desno 1 ε NX Y * i* Gore Za dani dohodak veća je kamatna stopa** P Lijevo P ε NX Y * P* Desno P* ε NX Y * Y* Desno Y* NX Y * θ(rizičnost) Gore Za dani dohodak veća je kamatna stopa ** NAPOMNA: * Pretpostavlja se ML uvjet. ** Pretpostavlja se potpuna mobilnost kapitala (BP krivulja je vodoravna, pa govorimo o pomacima gore dolje). Gdje nije izričito spomenuta potpuna mobilnost, pretpostavlja se da kapital nije savršeno mobilan. Na temelju dosad prezentiranog u tablici 1 možemo zaključiti slijedeće: Promjene svih varijable koje utječu na tekući račun bilance plaćanja (osim Y), a da se preko NX pozitivno odražavaju na dohodak, za danu kamatnu stopu, pomiču krivulju bilance plaćanja udesno. Isto, njihove suprotne promjene krivulju bilance plaćanja pomiču ulijevo. Dok su ostale promjene u tablici 1 egzogene, posebnu pažnju valja posvetiti promjeni tečaja. Podsjetimo se da će u režimu fleksibilnog deviznog tečaja suficit bilance plaćanja imati za posljedicu aprecijaciju deviznog tečaja, a deficit deprecijaciju. To znači da ćemo u zadacima sa fluktuirajućim tečajem UVIJK imati i pomak krivulje BP kao posljedicu promjene tečaja. Ta promjena tečaja će, uz Marshall-Lernerov uvjet pridonijeti korekciji neto izvoza koja će uravnotežiti bilancu plaćanja. Od faktora na kapitalnom računu uzet ćemo samo i* i θ. 3. Mundell Fleming model Prije čitanja idućeg dijela teksta očekuje se od Vas da pročitate peto i dvadeseto poglavlje u Blancharda. Podsjetite se zašto krivulja IS ima negativan, a LM pozitivan nagib u zatvorenoj ekonomiji 2? Kad kažem zašto je nagib negativan nije dovoljno reći zato što su kamatna stopa 1 Osim u potpunoj mobilnosti kapitala. Tada se krivulja bilance plaćanja ne pomiče. 2 Ovdje ćemo nagib objasniti samo uz pomoć alternativne definicije za obje ove krivulje. Podsjetimo se da je alternativna jednadžba za ravnotežu na tržištu novca dana kao:. Također ponovimo da je potražnja za novcem opadajuća funkcija kamatne stope. To znači da će, uslijed manje potražnje za novcem, doći do porasta njegove brzine V. Za dano M i P će porast V povećati dohodak Y. Prije objašnjenja nagiba IS krivulje na alternativan način, podsjetimo se da se u modelu, implicitno pretpostavlja da štede kućanstva i država. Razmatraju se jedino poduzeća kao sektor koji investira. Zato se podsjetimo iz lekcije o nacionalnom računovodstvu kako kućanstva i država plasiraju višak štednje na investicijama (prilagođeno za zatvorenu ekonomiju): S I ( F F F ) ( F F F F ) K K S - I (F + F F ) (F F F F ) G G Kao što se vidi, oba će ova sektora kupovati obveznice poduzeća: (F 21, F 31 ) i dio sredstava plasirati u banke u obliku depozita (F 24, F 34 ). S obzirom na to da su porezi i državna potrošnja, po pretpostavci, egzogeni, pa je tako egzogena i štednja države. Isto tako vidimo iz lekcije o nacionalnom računovodstvu kako poduzeća financiraju stvoje deficite: I S ( F ) ( + ) 21 F 31 F 41 F 51 F 12 F 13 F. P P 14 MV PY 12

13 i dohodak u negativnoj vezi ili porast kamatne stope uzrokuje smanjenje dohotka, već je nužno objasniti i zašto tako mislite. Promjene kojih od egzogenih varijabli će uzrokovati pomak IS, a koje pomak LM i zašto? Što predstavlja IP krivulja i zašto ima negativan nagib? Potom pročitajte 19. poglavlje u Blanchardu. Kako će se na kretanje krivulje IS odraziti promjena inozemnog dohotka 3, a kako promjene domaće i inozemne razine cijena i tečaja? Utječu li navedene varijable na LM krivulju? Poigravajući se sa različitim kombinacijama varijabli puno ćete bolje razumjeti IS-LM model. Tek kad uočite da sve ove promjene razumijete možemo krenuti dalje. Podsjetimo se da je IS relacija u otvorenoj ekonomiji dana kao: Y C Y T I Y,i G NX Y,Y*,. (7) Prema tome oni će višak sredstava za investicije namaknuti iz izdavanja obveznica stanovništvu i državi ((F 21, F 31 ) ili podižući kredit od banaka (F 41 ) Zato možemo nagib IS objasniti preko štednje kućanstva koristeći potražnju kućanstava za obveznicama poduzeća, te deponiranje njihovih sredstava u banci: 1. Porast dohotka će dovesti do porasta štednje kućanstava (a time i ceteris paribus do porasta nacionalne štednje). To će povećati potražnju stanovništva za obveznicama poduzeća (što će poduzećima osigurati sredstva za investicije) i povećati njihovu cijenu. Porast cijene obveznica će biti povezan sa smanjenjem kamatne stope po tim obveznicama. 2. Porast dohotka će povećati štednju kućanstava u bankama čime će se povećati zajmodavna sredstva (loanable funds). Funkcije investicija će odražavati potražnju poduzeća za kreditima. U takvim uvjetima ponuda kredita je veća od potražnje za njima što rezultira smanjenjem kamatne stope. Oba dva pristupa objašnjavaju negativnu vezu između dohotka i kamatne stope od dohotka prema kamatnoj stopi. Međutim, radi jednostavnosti, prvi se pristup često zanemaruje uz pretpostavku da poduzeća svoja sredstva za investicije dobivaju zaduživanjem kod banaka. 3 Ovdje je korisno matematički objasniti zašto rast inozemnog dohotka Y* povećava neto izvoz. Sjetimo se, naime, da rast inozemnog dohotka dovodi do rasta domaćeg dohotka. Neće li možda to dovesti do konačnog smanjenja NX zbog povećanja uvoza? Odgovor je neće, a to ćemo pokušati objasniti i matematički. Uz pretpostavke u dodatku 19 u Blanchardu (egzogene investicije, ε=1), ravnotežni je dohodak dan kao: Y 1 ( c0 c1 T I G xy*) 1 c im. (I.) 1 Promijeni li se samo inozemni dohodak, tada je promjena dohotka jednaka: Y 1 x Y * 1 c im. (II.) 1 (Vi morate i ekonomski znati objasniti zašto rast inozemnog dohotka povećava domaći dohodak). Znajući da je, kad je realni tečaj jednak jedan, NX=X IM, uzim=imy, promjenu NX izračunavamo prema formuli: c NX x Y * im Y NX x Y * im x Y* NX x Y *(1 im ) NX xy * 1. 1 c im 1 c im 1 c im Iz priloženog dakle imamo: 1 c NX xy * 1 1 c im. (III.) 1 Zvjezdica se odnosi na inozemnu varijablu. Razlomak u posljednjem članu je pozitivan jer su brojnik i nazivnik 1 c pozitivni (štoviše za c1 (0,1 ) i im (0,1 ) možemo reći da vrijedi 1 (0,1). Budući da je i x 1 c im 1 (inozemna sklonost uvozu) pozitivan, to znamo da su NX i inozemni dohodak u pozitivnoj vezi. 13

14 Uz koje pretpostavke vrijedi ova relacija? Morate znati zašto radije u funkciju neto izvoza uključujemo realni tečaj, a ne nominalni tečaj i zašto u funkciju investicija radije uključujemo realnu kamatnu stopu. Zašto krivulja IS u otvorenoj ekonomiji (prema Blanchardu) ima negativan nagib? Uz pretpostavku da građani za transakcije koriste domaću valutu LM relacija će biti ista kao i u zatvorenoj ekonomiji. Da se dopusti postojanje paralelne valute ili službena eurizacija, mogli bismo ju modificirati. Međutim, to ćemo zanemariti za ovu analizu. Dosada smo učili da se na sjecištu IS i LM krivulje nalazi ravnoteža i na tržištu dobara i na financijskim tržištima. Budući da se radi o ravnoteži na tržištima dobara i financijskim tržištima domaće ekonomije, ta će se ravnoteža zvati unutarnja ravnoteža. Uspostava cjelokupne ravnoteže će podrazumijevati, pored unutarnje, i uspostavu vanjske ravnoteže. Naime, ako postoji vanjska neravnoteža, to će narušavati i unutarnju ravnotežu. Zato u IS-LM model razvijen u petom poglavlju Blancharda moramo uvesti i krivulju vanjske ravnoteže (krivulju bilance plaćanja ili BP krivulju). Podsjetimo se također da je iznad i lijevo od BP krivulje zona suficita bilance plaćanja što dovodi do aprecijacije domaće valute te ispod i desno zona deficita zbog čega dolazi do deprecijacije domaće valute. Vi morate znati objasniti zašto. Korekcije tečaja dovodit će do vanjske ravnoteže. U režimu fiksnog deviznog tečaja umjesto pojmova aprecijacija i deprecijacija radije će se koristiti pojmovi aprecijacijski i deprecijacijski pritisci jer će središnja banka svojim akcijama nastojati održati ciljanu razinu tečaja, pa do aprecijacije ili deprecijacije ne mora ni doći. IS LM model sa krivuljom bilance plaćanja kao i onaj sa krivuljom kamatnog pariteta zvat ćemo Mundell-Flemingov model (slika 5). Identičan je naziv i kad se koristi krivulja kamatnog pariteta iako je razlika u odnosu na taj zapis Mundell-Flemingovog modela što u slučajevima kad se primjenjuje bilanca plaćanja, tečaj nije ugrađen u nagib krivulje IS. Slika 5 Mundell-Flemingov model sa krivuljom bilance plaćanja. U nastavku teksta će objasnit će se kako porast državne potrošnje i ponude novca utječe na dohodak i kamatnu stopu i tečaj pri različitim stupnjevima mobilnosti kapitala. Posebno će se uzeti u obzir slučajevi sa potpunom, visokom i niskom mobilnošću kapitala. Podsjetimo se da je krivulja vanjske ravnoteže u uvjetima potpune mobilnosti kapitala vodoravna (savršeno 14

15 elastična) dok je u uvjetima visoke mobilnosti kapitala blagog pozitivnog nagiba, a u uvjetima dniske mobilnosti izrazito strma (ali ne i posve okomita) Slučajevi sa savršenom mobilnosti kapitala Uzmimo u obzir ekonomiju u recesiji, pa pretpostavimo da vlada želi povećati državne rashode G. Zbog njihovog nepovoljnog učinka na osobnu potrošnju (zašto?) razmatra se da ti izdaci ne namjeravaju financirati kroz povećanje poreza T (Po onome što ste do sada učili kako država još može financirati svoju potrošnju osim porezima?). Razmotrimo učinke takve politike na dohodak, kamatnu stopu i devizni tečaj u režimima fiksnog i fleksibilnog tečaja. Naslov poglavlja pretpostavlja da je riječ o savršenoj mobilnosti kapitala što znači da je financijskim investitorima dovoljno svega par minuta da inozemnu aktivu zamijene domaćom i obrnuto, da domaću zamijene inozemnom. Pretpostavljat ćemo u svim dijelovima teksta da su očekivani povrati jedino što brine investitore, odnosno da transakcijski troškovi (npr. plaćanje provizije pri mijenjanju valute) i rizik zemlje ne utječu na odluke o investiranju. Ovdje napominjemo da se posebno neće objašnjavati dijelovi koji su kompatibilni sa knjigom, ali ih Vi morate znati. Možemo, radi jednostavnosti, pretpostaviti da su prije promjene G i e tekući i kapitalni račun bili u ravnoteži, te da vrijedi kamatni paritet ( i i* ). Dopustimo li da se ne očekuje promjena tečaja, pri uvjetu kamatnog pariteta imamo da je i i *. U svim idućim slučajevima u ovom tekstu pretpostavljat ćemo da je u polaznoj ravnoteži kamatna stopa jednaka inozemnoj tj. i i' i *. Najprije ustanovimo kako se porast državnih izdataka G odražava na krivulju bilance plaćanja. G ne ulazi direktno u jednadžbu (4). To znači i da neće pomicati krivulju bilance plaćanja. Učinak G na krivulje IS i LM već je objašnjen u Blancharda u petom poglavlju (vi to morate znati objasniti). Porast G (slika 6) multiplikativno će povećati dohodak (koja se krivulja miče?), a porast dohotka će povećati kamatnu stopu (zašto?) (pomak ekonomije u točku A') što će pridonijeti atraktivnosti naših obveznica i priljevu kapitala iz inozemstva. Međutim, priljev će kapitala biti znatno viši nego je potrebno da se financira nastali deficit na tekućem računu (zbog porasta dohotka, porast će uvoz, te je tekući račun u crvenom ), pa će bilanca plaćanja ipak biti u suficitu. U uvjetima fleksibilnog tečaja doći će do aprecijacije domaće valute (zašto?). Pretpostavimo li da vrijedi Marshall Lernerov uvjet 4, to će dovesti do smanjenja neto izvoza (IS krivulja će se pomaknuti lijevo, odnosno vratiti na početak) i smanjenja dohotka. Dohodak će se vratiti na početnu razinu. Uslijed potpune mobilnosti kapitala porast dohotka (zbog porasta G) odmah se kompenzira u potpunosti sa smanjenjem neto izvoza (zbog promjene deviznog tečaja) tako da promjene dohotka, uopće neće biti (vrijedi, dakle, ΔG=-ΔNX) 5. 4 Alternativna definicija Marshall Lernerovog uvjeta jest da će deprecijacija poboljšati vanjsko trgovinsku bilancu (povećati neto izvoz) ako je zbroj elastičnosti izvoza i uvoza na tečaj veći od jedan. 5 Iz grafikona je vidljivo i da se ne mijenja kamatna stopa. Ako je dohodak na početku, tada je, ceteris paribus, na početku i potražnja za novcem. 15

16 Slika 6 Utjecaj ekspanzivne fiskalne politike na dohodak i kamatnu stopu u uvjetima fleksibilnog tečaja i potpune mobilnosti kapitala. Ovaj primjer zgodan je da se usporedi Mundell-Flemingov model u slučaju da primijenimo model sa krivuljom kamatnog pariteta (kakav je u knjizi) i model sa krivuljom bilance plaćanja (kakav je tu). I tamo i ovamo ekspanzivna fiskalna politika dovodi do aprecijacije domaće valute. Međutim, tamo se ta aprecijacija povezuje sa kamatnom stopom i većom atraktivnosti domaćih obveznica. Ovdje je ona posljedica suficita bilance plaćanja. Ima li glede toga ikakve razlike između ta dva modela? Odgovor je nema u suštini. Ovdje je suficit posljedica priljeva kapitala, a on je nastupio jer su naše obveznice atraktivnije, a naše su obveznice atraktivnije jer je porasla kamatna stopa. Drugo je pitanje: ako su i grafikon sa kamatnim paritetom i sa bilancom plaćanja nacrtani uz pretpostavku potpune mobilnosti kapitala, zašto u slučaju kad se primjenjuje kamatni paritet efekt na dohodak ipak postoji u nekoj mjeri, a u slučaju primjene krivulje vanjske ravnoteže u potpunosti iščezava? Najprije, primijetimo da i u grafikonu sa kamatnim paritetom u uvjetima fleksibilnog tečaja promjena tečaja dijelom ublažava promjenu dohotka (kaže se da fleksibilni tečaj tada djeluje kao automatski stabilizator), ali je ne eliminira u potpunosti. To je zato što u tom obliku Mundell- Flemingovog modela tečaj se direktno mijenja kao posljedica promjene kamatne stope. Budući da to, posredstvom Marshall-Lernerovog uvjeta ima efekte na dohodak (manji NX manji dohodak), to se mora ugraditi u nagib krivulje IS (sjetimo se da on prikazuje efekt kamatne stope na dohodak, sad je taj efekt i preko investicija i preko tečaja). Međutim, u modelu sa krivuljom bilance plaćanja, promjena tečaja nije u direktnoj vezi sa kamatnom stopom, nego sa tijekovima kapitala (dakle, veza kamatna stopa tečaj je indirektna). To nam omogućuje da promjenu tečaja ne ugrađujemo u nagib krivulje IS, ali će tada svaka promjena tečaja utjecati na krivulju IS 6. Bez obzira na to možemo zaključiti da je fiskalna politika manje efikasna u uvjetima potpune mobilnosti kapitala i fleksibilnog tečaja zbog učinka promjene tečaja. 6 Ovdje treba paziti: U modelu sa kamatnim paritetom (IP) promjena tečaja uzrokuje kretanje po krivulji IS samo ako je to povezano sa kamatnom stopom. Ako se tečaj mijenja zbog promjene neke druge varijable (npr. Promjena očekivanog deviznog tečaja ili promjena inozemne kamatne stope), će najnormalnije micati krivulju IS. U tim slučajevima će se micati i IP krivulja, a s obzirom na Marshall-Lernerov uvjet, to mora imati efekta i na dohodak za danu domaću kamatnu stopu, pa treba micati i IS. Dakle, kad se prati učinak promjene tečaja u Mundell-Flemingovom modelu sa IP krivuljom, treba najprije ustanoviti miče li se krivulja kamatnog pariteta kad se ona miče, micat će se i krivulja IS. U Mundell-Fleming modelu sa bilancom plaćanja svaka promjena tečaja pomiče krivulju IS. 16

17 Ako fiskalna politika nije efikasna, možda će vlada izbor prikladnog instrumenta morati prepustiti guverneru središnje banke (koje instrumente, a koje ste vi do sad učili može upotrijebiti?). Pretpostavit ćemo opet da su glavne podbilance bilance plaćanja bile u ravnoteži prije promjene ponude novca i da postoji kamatni paritet (što znači postojanje kamatnog pariteta?). Kao što smo i do sada učili, ekspanzivna monetarna politika će smanjiti kamatnu stopu i povećati dohodak na sjecištu krivulje IS i LM' (zašto?) 7 (slika 7). Koja će se krivulja pomicati na grafikonu? Bilanca na tekućem računu će se pogoršati (zašto?) i trebalo bi povećati kamatnu stopu koji bi privukla kapital i uravnotežila bilancu plaćanja. Međutim, to se, što je vidljivo iz grafa, ne događa jer se kamatna stopa smanjuje ispod inozemne (točka A') 8. Zbog manje kamatne stope, naše obveznice više nisu atraktivne što potiče neto izvoz kapitala, bilanca plaćanja je dakle u deficitu. Deficit bilance plaćanja uzrokuje deprecijaciju domaće valute (zašto?). Pretpostavimo li da vrijedi Marshall Lernerov uvjet, to će povećati neto izvoz (IS krivulja će se pomaknuti desno na IS') i dodatnog povećanja dohotka (točka A''). Slika 7. Utjecaj ekspanzivne monetarne politike na dohodak i kamatnu stopu u uvjetima fleksibilnog tečaja i potpune mobilnosti kapitala. U suštini nema bitne razlike između modela sa bilancom plaćanja i sa kamatnim paritetom. Tumačenja su posve identična. Razlika je jedino u tome što je u grafikonu sa kamatnim paritetom promjena dohotka i zbog promjene kamatne stope i zbog promjene tečaja vezana uz 7 Poput multiplikatora potrošnje iz poglavlja 3 i 19 u Blanchardu, imamo i multiplikator monetarne politike (to ne smijete brkati sa monetarnim multiplikatorom jer se tamo radi o multiplikaciji novca, a ovdje o multiplikaciji dohotka) koji slijedi iz činjenice što se mičemo po krivulji IS kako pomičemo krivulju LM. Porast ponude novca će dovesti do porasta realne ponude novca (uz danu razinu cijena P) i smanjenja kamatne stope. Smanjenje kamatne stope će povećati investicije. Veće investicije će pridonijeti rastu dohotka, a veći dohodak će ponovno dovesti do većih investicija, a time i ponovno većeg dohotka. Na kraju je porast dohotka veći nego je početno Y povećanje investicija. Multiplikator monetarne politike možemo računati po formuli (općenito, svaki M/ P multiplikator radije računajte kao omjer promjene dohotka i promjene varijable koja je potaknula tu promjenu: poreza, državne potrošnje i sl. jer inače možete imati pogrešan izračun). 8 Ovdje ističemo da monetarna ekspanzija početno smanjuje kamatnu stopu. Međutim, zbog porasta dohotka će potražnja za novcem ipak rasti što će povećati kamatnu stopu i tako u potpunosti neutralizirati njeno početno smanjenje te će se ona opet izjednačiti sa inozemnom. 17

18 kretanje po krivulji IS, dok ovdje imamo i kretanje po IS (zbog promjene kamatne stope) i pomak IS (zbog promjene tečaja). Ovdje, prema navedenom, promjena tečaja ne djeluje kao automatski stabilizator jer dodatno povećava dohodak. U oba slučaja od studenata se očekuje da znaju ustanoviti učinak ekspanzivne fiskalne i monetarne politike i na komponente potražnje za domaćim proizvodom. Kako će obje politike utjecati na osobnu potrošnju, investicije, državnu potrošnju i neto izvoz. Izvedite to sami za vježbu. U nastavku ćemo riješiti oba ova slučaja pod pretpostavkom da je tečaj fiksan. Pretpostavimo najprije fiskalnu ekspanziju (slika 8). Porast G (pomak koje krivulje) povećat će dohodak, a porast dohotka će povećati kamatnu stopu (zašto?) pa će ekonomija doći u točku A'. Uslijed rasta kamatne stope, naše će obveznice biti atraktivnije, te će doći do priljeva kapitala iz inozemstva. Međutim, kao i u slučaju fleksibilnog tečaja, on će biti znatno viši od potrebnog za financiranje nastalog deficita na tekućem računu, pa će bilanca plaćanja ipak biti u suficitu. Posljedica su aprecijacijski pritisci na domaću valutu (zašto?), ali zbog fiksnog tečaja središnja banka ne smije dopustiti aprecijaciju. Budući da se aprecijacijski pritisci događaju zbog viška ponude strane valute u odnosu na potražnju, ona će povećati potražnju za stranom valutom kupnjom deviznih rezervi. Vratimo se malo na bilancu središnje banke: ona u aktivi ima obveznice (zbog politike otvorenog tržišta) i međunarodne rezerve, a u pasivi primarni novac (M0 ili H) 9. Kupovina međunarodnih rezervi za posljedicu mora imati ili porast primarnog novca uz nepromijenjene obveznice, ili prodaju obveznica uz nepromijenjen primarni novac (imate li ideju što bi još središnja banka mogla učiniti ako ne želi povećati primarni novac, uz pretpostavku da neće dirati obveznice?). Mi ćemo, općenito, pretpostavljati da središnja banka uopće neće vršiti kupoprodaju obveznica niti primjenjivati bilo koje druge instrumente. Dakle, za posljedicu imamo porast primarnog novca. Uz dani monetarni multiplikator, to će rezultirati povećanom ponudom novca (pomak LM dolje na LM'), pa će se kamata vratiti na početnu razinu i biti jednaka inozemnoj. Dohodak će porasti na Y'' (točka A'') (pomak po novoj IS krivulji). Objasnimo riječima zašto na kraju raste 9 Bilanca središnje banke izgleda ovako: Aktiva Obveznice (O) Devizne rezerve (R međ) Pasiva Primarni novac (H = CU + R) U slučaju aprecijacijskih pritisaka suočena je s mogućnošću da kupuje devizne rezerve ili kupuje domaće obveznice npr. u vrijednosti od 100 kn (ΔRmeđ=100 ili ΔO=100). Tu su karakteristična dva scenarija: 1) Scenarij 2) Scenarij 3) Scenarij Aktiva Pasiva Aktiva Pasiva Aktiva Pasiva Obveznice (ΔO=0) Devizne rezerve (ΔR međ=100) Primarni novac (ΔH =100) Obveznice (ΔO=-100) Devizne rezerve (ΔR međ=100) Primarni novac (ΔH = 0) Obveznice (ΔO=100) Devizne rezerve (ΔR međ=0) Primarni novac (ΔH=100) U prvom scenariju rastu devizne rezerve, ali i primarni novac što utječe na multiplikaciju novca.u drugom scenariju također rastu devizne rezerve, ali promjenu na strani aktive središnja banka sprečava prodajom obveznica na otvorenom tržištu, pa se primarni novac i ukupna ponuda novca ne mijenjaju. Politika koju sada primjenjuje je politika sterilizacije. U trećem scenariju središnja banka (najmanje vjerojatan kad je u pitanju aprecijacijski pritisak) središnja banka će naprosto kupovati obveznice kako bi povećala količinu domaće valute u optjecaju, ali bez mijenjanja razine deviznih rezervi. Njemu je srodan model smanjenja obvezne rezerve. Ovaj je pristup (ali prodaja obveznica ili porast rezervi u pasivi) zgodan kad imamo deprecijacijske pritiske kako bi izbjegli trošak prodaje deviznih rezervi. 18

19 dohodak: Porast državne potrošnje povećava potražnju za domaćim proizvodom što rezultira multiplikativnim povećanjem dohotka (točka A'). Porast dohotka povećat će potražnju za novcem i porast će kamatna stopa. Veća kamatna stopa stimulira značajan priljev kapitala, pa je bilanca plaćanja u suficitu što dovodi do aprecijacijskih pritisaka na domaću valutu. Kako bi spriječila aprecijaciju domaće valute središnja banka reagira ekspanzivnom monetarnom politikom što smanjuje kamatnu stopu na i*. Smanjenje kamatne stope potiče investicije što ponovno dovodi do multiplikativnog rasta dohotka (točka A''). U toj točki ponovno su uspostavljene i unutarnja i vanjska ravnoteža. Zbog potpune mobilnosti kapitala sve se ove promjene zbivaju ODMAH. Slika 8. Utjecaj ekspanzivne fiskalne politike na dohodak i kamatnu stopu u uvjetima fiksnog tečaja i potpune mobilnosti kapitala. Uzmimo sad monetarnu ekspanziju (slika 9). U režimu fleksibilnog tečaja smo imali da će ekspanzivna monetarna politika (pomak LM dolje) smanjiti kamatnu stopu i povećati dohodak (zašto?), ali i pogoršati bilancu plaćanja (zašto?) čime je ekonomija u točki A' (u odgovoru na pitanje o utjecaju monetarne ekspanzije pri fiksnom tečaju i ovaj je dio potrebno znati ekonomski objasniti) što će dovoditi i do deprecijacijskih pritisaka na domaću valutu (zašto?) Ti deprecijacijski pritisci postoje zato što je uslijed veće potražnje za stranom valutom smanjena potražnja za domaćom valutom. Da bi očuvala tečaj, središnja banka mora kreirati ponudu strane valute, odnosno prodavati devizne rezerve 10. Uz pretpostavku ceteris paribus to će dalje značiti smanjenje primarnog novca. Smanjenje primarnog novca, za dani multiplikator, će rezultirati smanjenjem ponude novca (pomak krivulje LM prema gore, odnosno povratak na početak) koja će se vratiti na početnu razinu. To će značiti i da se dohodak vraća na početak (točka A). Zbog potpune mobilnosti kapitala sve se ove promjene zbivaju ODMAH. kspanzivna monetarna politika u ovom slučaju, dakle, neće promijeniti ni dohodak ni kamatnu stopu, već se za posljedicu imati samo promjenu strukture aktive bilance centralne banke (slika 9). 10 Sukladno onome što je izrečeno u prethodnoj fusnoti središnja banka će prodavati devizne rezerve. Ako ništa drugo ne poduzme to će značiti smanjenje primarnog novca i, kroz učinak monetarnog multiplikatora, ukupne količine novca u optjecaju (scenarij 1) što može djelovati prorecesijski. Stoga ona pored prodaje deviznih rezervi može obaviti i kupnju obveznica na otvorenom tržištu tako da se primarni novac ne promijeni, pa se neće mijenjati ni ukupna ponuda novca (scenarij 2). Treća mogućnost je da uopće ne prodaje devizne rezerve nego izvrši prodaju obveznica na otvorenom tržištu (ili da poveća stopu obvezne rezerve) (scenarij 3) 19

20 Slika 9 Utjecaj ekspanzivne monetarne politike na dohodak i kamatnu stopu u uvjetima fiksnog tečaja i potpune mobilnosti kapitala Nesavršena mobilnost kapitala Do sad smo istraživali utjecaje fiskalne i monetarne ekspanzije u slučajevima potpune (savršene) mobilnosti kapitala. Međutim, mnogo su realističniji primjeri nesavršene (nepotpune mobilnosti kapitala). Ovdje ćemo ih razdijeliti na slučajeve visoke i niske mobilnosti kapitala. U ovim slučajevima kamatni paritet više ne postoji, te Mundell-Fleming model sa IP krivuljom više nije praktičan jer se na njoj ne bi nalazili. Dakle, rješenje je primjena Mundell-Fleming modela sa bilancom plaćanja. Najprije ćemo istražiti slučaj sa visokom i slučaj sa niskom mobilnosti kapitala Visoka mobilnost kapitala Istaknuto je da je savršena mobilnost kapitala kada je potrebno svega par minuta da se zamijeni domaća financijska aktiva inozemnom i obrnuto. U takvim slučajevima je dovoljna samo sitna promjena kamatne stope da pokrene beskonačno velike kapitalne tijekove. Maknimo se na trenutak od savršene mobilnosti kapitala i dopustimo da je financijskim investitorima potrebno nešto vremena da domaće obveznice mijenjaju za inozemne i obrnuto. U tom slučaju je opet dovoljno malo povećati kamatnu stopu da bi došlo do velikog priljeva kapitala. Međutim, u tom slučaju je taj rast kamatne stope nešto veći nego u potpunoj mobilnosti kapitala, ali je financijskim investitorima potrebno više od par minuta kako bi mijenjali financijsku aktivu. Sada govorimo o visokoj mobilnosti kapitala. Na grafikonu se pretpostavlja visoka mobilnost kapitala ako je krivulja BP položenija u odnosu na LM krivulju 11. U ovom slučaju naši zaključci će se neznatno promijeniti u odnosu na potpunu mobilnost kapitala. Uzmimo ponovno pretpostavku da je zemlja u recesiji i da je domaća kamatna stopa jednaka inozemnoj tj. i=i* vlada odlučila povećati državnu potrošnju G (koja se krivulja miče?)(slika 10). Kao i u slučaju savršene mobilnosti kapitala posljedica toga će biti veći dohodak i kamatna stopa (zašto?) (točka A') što će pridonijeti atraktivnosti naših obveznica i priljevu 11 Ova je pretpostavka smislena zbog dane sklonosti uvozu. Međutim i faktori koji utječu na manju sklonost uvozu ovu krivulju čine položenijom. 20

21 kapitala iz inozemstva. Bilanca plaćanja će, slično kao i u slučaju savršene mobilnosti kapitala završiti u suficitu (zašto?). U uvjetima fleksibilnog tečaja doći će do aprecijacije domaće valute (zašto?). Pretpostavimo li da vrijedi Marshall Lernerov uvjet, to će dovesti do smanjenja neto izvoza (IS i BP krivulja će se pomaknuti lijevo na IS'' i BP') i smanjenja dohotka (točka A''), ali se on ipak neće vratiti na početnu razinu kao pri potpunoj mobilnosti. Kamatna stopa će biti na nešto većoj razini 12. Koliko će vremena trebati ekonomiji da iz točke A' dođe u A'' ovisi o stupnju mobilnosti kapitala. Budući da pretpostavljamo visoku mobilnost kapitala, očekujemo da će se to brzo dogoditi, ali ne i odmah. Slika 10 Utjecaj ekspanzivne fiskalne politike na dohodak i kamatnu stopu u uvjetima fleksibilnog tečaja i visoke mobilnosti kapitala. Slika 11. Monetarna politika u fleksibilnom tečaju i visokoj mobilnosti kapitala NAPOMNA: Kamatne stope i', i'' slučajno poprimaju iste vrijednosti. Međutim, to nije nužno. Početno smanjenje kamatne stope povećava investicije i dohodak. Međutim, i deprecijacija tečaja povećava neto izvoz i dohodak što povećava potražnju za novcem i kamatnu stopu koja se, nužno, ne vraća na početnu razinu. Uzmimo da je, umjesto povećanja državne potrošnje, došlo do monetarne ekspanzije (slika 11). Kao što smo i do sada učili, ekspanzivna monetarna politika će smanjiti kamatnu stopu i povećati dohodak (zašto?) pa je ekonomija u točki A'. Bilanca na tekućem računu će biti u deficitu (zašto?) što će uzrokovati deprecijaciju domaće valute (zašto?). Pretpostavimo li da vrijedi Marshall Lernerov uvjet, to će povećati neto izvoz (IS krivulja će se pomaknuti na IS', s BP na BP'), pa će se dohodak i dodatno povećati (dolazimo u točku A''). Objasnimo to riječima: Monetarna ekspanzija će smanjiti kamatnu stopu što će pridonijeti porastu investicija, a to će povećati dohodak. Porast dohotka će opet povećati investicije, što će rezultirati novim povećanjem dohotka, te će ono biti veće nego je početna promjena investicija (točka A'). Porast dohotka će pogoršati bilancu na tekućem računu, a smanjenje 12 Uočimo da će početni porast dohotka rezultirati većom kamatnom stopom, ali i da će ublažavanje rasta dohotka ublažiti rast potražnje za novcem, pa će i kamatna stopa biti veća od početne. 21

22 kamatne stope čini naše obveznice manje atraktivnijima što potiče odljev kapitala. Zbog deficita na tekućem računu i odljeva kapitala bilanca plaćanja je u deficitu što dovodi do deprecijacije domaće valute, koja će poboljšati vanjskotrgovinsku bilancu i dodatno povećati dohodak (točka A'') 13. Sad ćemo pretpostaviti da je tečajni režim fiksni te ćemo odvojeno istraživati efekte ekspanzivne fiskalne i ekspanzivne monetarne politike. Za slučaj ekspanzivne fiskalne politike promjene su prikazane na slici 12. Vlada je, dakle, odlučila povećati državnu potrošnju G (koja se krivulja miče?). Kao i u slučaju savršene mobilnosti kapitala posljedica toga će biti veći dohodak i kamatna stopa (zašto?) (točka A''). Zbog visoke mobilnosti kapitala relativno mali porast kamatne stope je dovoljan da privuče veliku količinu kapitala inozemstva i kao posljedica toga bilanca plaćanja je u suficitu. Zato se događaju aprecijacijski pritisci na našu valutu (atraktivnije su domaće obveznice, ali prije toga treba najprije kupiti domaću valutu). Kako vrijedi fiksni devizni tečaj, centralna banka ne može dopustiti aprecijaciju domaće valute, pa je kroz kupnju deviznih rezervi prisiljena kreirati potražnju za stranom valutom. Sukladno dosadašnjoj pretpostavci da ne primjenjuje nikakve druge instrumente to mora rezultirati povećanjem primarnog novca (H). Rast H će, uz dani monetarni multiplikator pridonijeti porastu ponude novca (pomak krivulje LM prema dolje na LM'). Taj će porast ponude novca rezultirati i smanjenjem kamatne stope (odnosu na točku A') iako će i dalje biti nešto veća od i*. Smanjenje kamate će pridonijeti povećanju investicija i multiplikativnom povećanju dohotka (na Y''), te se ravnoteža uspostavlja u točki A''. U toj će točki biti uspostavljena i ravnoteža bilance plaćanja što znači da će deficit bilance na tekućem računu biti jednak suficitu na kapitalnom računu. Zbog visoke mobilnosti kapitala pretpostavlja se da se brzo mičemo sa Y' na Y''. Slika 12 Utjecaj ekspanzivne fiskalne politike u fiksnom tečaju i visokoj mobilnosti kapitala Sad ćemo pretpostaviti da je umjesto rasta državne potrošnje središnja banka povećala ponudu novca, odnosno da je nastupila monetarna ekspanzija (slika 13). Kao što smo i do sada učili, ekspanzivna monetarna politika (koja se krivulja miče?) će nas dovesti u točku A' pri manjoj kamatnoj stopi i većem dohotku (zašto?) i pogoršati bilancu na tekućem računu (zašto?) što kreira deprecijacijske pritiske na domaću valutu zato što je uslijed veće potražnje za stranom 13 Primijetimo da je utjecaj na kamatnu stopu nepoznat. Istina ona se u početku smanjuje, ali kasnije raste kao posljedica rasta dohotka i potražnje za novcem. Da li će biti u konačnici jednaka, veća ili manja od početne kamatne stope (i*), to ne možemo sa sigurnošću zaključiti. 22

23 valutom smanjena potražnja za domaćom. Zato zbog održavanja tečaja središnja banka mora povećati ponudu strane valute prodavajući devizne rezerve. Kao i do sada, uz pretpostavku ceteris paribus, to će dalje značiti smanjenje primarnog novca (H). Za dani monetarni multiplikator, to će smanjiti ponudu novca (vraćanje LM na početak). Jasno, to će kamatnu stopu vratiti natrag na početnu razinu, ali i pridonijeti smanjenju dohotka odnosno njegovom vraćanju na početak (zašto? pomoć: imate pomak po IS krivulji). No, postoje li neke razlike u odnosu slučaj sa potpunom mobilnošću kapitala. U konačnici ekspanzivna monetarna politika ni sada, neće promijeniti ni dohodak ni kamatnu stopu, već će samo promijeniti strukturu aktive bilance centralne banke. Međutim, s obzirom na to da je mobilnost kapitala visoka, deprecijacijski pritisci će se ubrzo pojaviti, pa što u uvjetima fiksnog deviznog tečaja znači da su pozitivni učinci na dohodak izuzetno kratkotrajni i postižu se uz drastični gubitak deviznih rezervi iako će se dohodak iz Y' vrlo brzo porasti na Y''. Slika 13 Utjecaj ekspanzivne monetarne politike u fiksnom tečaju i visokoj mobilnosti kapitala Što je, dakle, stupanj mobilnosti kapitala veći ekspanzivna monetarna politika će imati izuzetno slabe efekte na dohodak uz ogromno smanjenje deviznih rezervi koje, naravno može ugroziti vanjsku likvidnost zemlje. Rješenje koje se nameće jest uvođenje kontrola na uvoz i izvoz kapitala koje će onda umanjiti mobilnost kapitala i deprecijacijske pritiske na domaću valutu. To će onda omogućiti središnjoj banci da nešto dulje vrijeme održava kamatnu stopu ispod inozemne uz nešto manji trošak deviznih rezervi što može pozitivno djelovati na domaće gospodarstvo. Rješenje, dakle, koje može popraviti učinkovitost monetarne politike u fiksnom tečaju jesu kapitalne kontrole i smanjivanje stupnja mobilnosti kapitala što je tema idućeg odlomka Niska mobilnost kapitala Mogući su slučajevi da financijski investitori nisu u mogućnosti ili ne žele mijenjati svoj portfelj u inozemne obveznice. Primjerice moguće su administrativne zapreke ili zakonske kontrole na financijske transakcije koje čine protuzakonitim ili jako skupim investiranje domaćih rezidenata u inozemstvu. U ovakvim slučajevima je za mali priljev kapitala potrebno imati znatno veću kamatnu stopu, a i za sam priljev treba znatno više vremena, pa govorimo o tzv. niskoj mobilnosti kapitala. Na grafikonu se pretpostavlja niska mobilnost kapitala ako je krivulja BP strmija u odnosu na LM krivulju. 23

24 U uvjetima niske mobilnosti kapitala naši zaključci će nešto izmijeniti u odnosu na slučaj potpune ili visoke mobilnosti kapitala. Da potvrdimo to, vidjet ćemo kako funkcioniraju ekspanzivna fiskalna i monetarna politika u uvjetima niske mobilnosti kapitala u fleksibilnom i u fiksnom tečaju. Krenimo najprije od ekspanzivne fiskalne politike u fleksibilnom tečaju čiji su učinci prikazani na slici 14. Pretpostavit ćemo opet da je zemlja u recesiji i da je domaća kamatna stopa jednaka inozemnoj tj. i=i*, te da je vlada odlučila povećati državnu potrošnju G (koja se krivulja miče?). Kao i dosadašnjim slučajevima posljedica toga će biti veći dohodak i kamatna stopa i dolazimo u točku A' (zašto?). Premda porast kamatne stope treba pridonijeti atraktivnosti naših obveznica, priljev kapitala iz inozemstva će, uslijed niske mobilnosti, biti slab i neće biti dostatan da pokrije nastali deficit na tekućem računu. Imamo slučaj da će bilanca plaćanja kapitala završiti u deficitu (zašto?). Potražnja za inozemnom valutom će biti veća po ponude, pa će domaća valuta deprecirati. Pretpostavimo li da vrijedi Marshall Lernerov uvjet, to će dovesti do povećanja neto izvoza (IS i BP krivulja će se pomaknuti desno na IS'' i BP') i dohodak će dodatno porasti (na Y'' zašto?). Kamatna stopa će biti na nešto većoj razini (Zašto?). Međutim, sada će zbog niske mobilnosti kapitala trebati više vremena da dođe do deprecijacijskih pritisaka ne domaću valutu, pa će trebati i više vremena da dohodak dođe sa Y' na Y''. Zaključak koji smo dobili za utjecaj fiskalne politike na dohodak sad je nešto drukčiji nego kad smo imali savršenu ili visoku mobilnost kapitala. U oba ta slučaja je promjena tečaja ili ublažila ili u potpunosti neutralizirala promjenu dohotka, ali je u slučaju niske mobilnosti dodatno povećala dohodak. Slika 14 Utjecaj ekspanzivne fiskalne politike u fleksibilnom tečaju i niskoj mobilnosti kapitala Pretpostavimo sada da je za izvlačenje zemlje iz recesije bila potrebna ekspanzivna monetarna politika (slika 15). Došlo je do porasta ponude novca (koja se krivulja miče?). Kao i do sada posljedica će biti smanjena kamatna stopu i veći dohodak (zašto?) pa je ekonomija sada u točki A'. Bilanca na tekućem računu će biti u deficitu (zašto?) što će uzrokovati deprecijaciju domaće valute (zašto?). Pretpostavimo li da vrijedi Marshall Lernerov uvjet, to će povećati neto izvoz (IS krivulja će se pomaknuti na IS', a BP na BP'), pa će se dohodak i dodatno povećati na Y'' (zašto?) 14. Kao i dosad, zbog niske mobilnosti kapitala će trebati vremena da se dohodak poveća sa Y' na Y''. 14 Naime, doći će do početnog smanjenja kamatne stope, što će svakako potaknuti investicije i povećati dohodak multiplikativno. Veći dohodak i manja kamatna stopa će pridonijeti deficitu bilance plaćanja što će dovesti do deprecijacije domaće valute. Deprecijacija će, uz Marshall-Lernerov uvjet, potaknuti neto izvoz, što će ponovno povećati dohodak (na Y''). Rast dohotka će povećati potražnju za novcem što će pridonijeti povećavanju kamatne 24

ZADACI 18. Blanchard. 3. Pretpostavite slijedeće IS-LM jednadžbe: M P. E pri čemu je E

ZADACI 18. Blanchard. 3. Pretpostavite slijedeće IS-LM jednadžbe: M P. E pri čemu je E 1 ZDCI 18 Blanchard 1. Nominalni devizni tečaj, realni devizni tečaj, strana i domaća inflacija Koristeći definiciju realnog deviznog tečaja (i matematički dodatak u knjizi) možete, pokazati da vrijedi

Διαβάστε περισσότερα

Tržište dobara i usluga u otvorenom gospodarstvu

Tržište dobara i usluga u otvorenom gospodarstvu Tržište dobara i usluga u otvorenom gospodarstvu lanchard: Poglavlje 19. Makro-vježbe (O.Vukoja) #1 Outline predavanja: 1. IS relacija (tržište dobara) u otvorenom gospodarstvu 2. Ravnotežni output i vanjskotrgovinska

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

PITANJA IZ MAKROEKONOMIJE:

PITANJA IZ MAKROEKONOMIJE: PITANJA IZ MAKROEKONOMIJE: 1. GDP a) Na koje sve načine možemo doći do BDP-a (GDP-a). Ukratko iz opišite? Do GDP-a možemo doći na 3 načina: - mjerenje GDP-a preko potrošnje: mjerimo ukupnu potrošnju dobara

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

MAKROEKONOMIJA Ispiti 1

MAKROEKONOMIJA Ispiti 1 MAKROEKONOMIJA Ispiti 1 Bok, Drago nam je što si odabrao/la upravo Referadu za pronalazak materijala koji će ti pomoći u učenju! Materijali koje si skinuo/la s naše stranice nisu naše autorsko djelo, već

Διαβάστε περισσότερα

KAMATNE STOPE: IZRAŽAVANJE, PRINCIPI, KRETANJE

KAMATNE STOPE: IZRAŽAVANJE, PRINCIPI, KRETANJE POGLAVLJE VI Finansijska tržišta ta i institucije KAMATNE STOPE: IZRAŽAVANJE, PRINCIPI, KRETANJE Ciljevi predavanja Objasniti Teoriju raspoloživih fondova (Loanable Funds Theory) određivanja kamatnih stopa

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju Sadržaj predavnaja: Trošak kapitala I. Trošak duga II.

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

AKUMULACIJA KAPITALA PROTIV TEHNOLOŠKOG PROCESA

AKUMULACIJA KAPITALA PROTIV TEHNOLOŠKOG PROCESA AD KRIVULJA (agregatne potraţnje) Agregatna potražnja prikazuje utjecaj promjene razine cijena na razinu proizvodnje. AD krivulja se izvodi iz ravnoteže na robnom i novĉanom tržištu, a prikazuje negativan

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Analiza savršene konkurencije u kratkom roku

Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Jedanaesto predavanje, 11. svibnja 2016. godine Pripremljeno iz: Binger i Hoffman, Microeconomics with Calculus Maksimizacija profita poduzeća koje posluje

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

MAKROEKONOMIJA. 13. siječnja 2007.

MAKROEKONOMIJA. 13. siječnja 2007. MAKROEKONOMIJA 13. siječnja 2007. 1 UVOD I OSNOVNI POJMOVI 1 1 UVOD I OSNOVNI POJMOVI Bruto domaći proizvod (BDP) - Mjera ukupnog proizvoda u računima nacionalnog dohotka tijekom danog razdoblja 1. BDP

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

MJERENJE GNP-a KROZ PRIHODE poslovni troškovi su prihodi koje domaćinstva primaju od poduzeća. Ukupna vrijednost pojavljuje se kao nečiji prihod.

MJERENJE GNP-a KROZ PRIHODE poslovni troškovi su prihodi koje domaćinstva primaju od poduzeća. Ukupna vrijednost pojavljuje se kao nečiji prihod. GNP (društveni bruto proizvod) je trţ vrijednost svih finalnih dobara i usluga proizvedenih u privredi u nekom vremenskom razdoblju. Jednak je sumi novčane vrijednosti cjelokupne potrošnje i investicijskih

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum 16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković Devizno tržište Devizni urs i devizno tržište Devizni urs - cena jedne valute izražena u drugoj valuti Promene deviznog ursa utiču na vrednost ative i pasive oje su izražene u stranoj valuti Devizni urs

Διαβάστε περισσότερα

7. Troškovi Proizvodnje

7. Troškovi Proizvodnje MIKROEKONOMIJA./. 7. Troškovi Proizvodnje Autori: Penezić Andrija Miković Ivana Pod vodstvom: Prof.dr. Đurđice Fučkan Prezentacije su napravljene prema : Pindyck, R.S./ Rubinfeld, D.L. () MIKROEKONOMIJA

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα