ZADACI 18. Blanchard. 3. Pretpostavite slijedeće IS-LM jednadžbe: M P. E pri čemu je E

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ZADACI 18. Blanchard. 3. Pretpostavite slijedeće IS-LM jednadžbe: M P. E pri čemu je E"

Transcript

1 1 ZDCI 18 Blanchard 1. Nominalni devizni tečaj, realni devizni tečaj, strana i domaća inflacija Koristeći definiciju realnog deviznog tečaja (i matematički dodatak u knjizi) možete, pokazati da vrijedi slijedeće: E * E a) ko je domaća inflacija veća nego strana, ali domaća ekonomija ima fiksni nominalni devizni tečaj, što se događa sa realnim deviznim tečajem tijekom vremena?. Pretpostavite da postoji Marshall-Lernerov uvjet. Što se zbiva sa trgovinskom bilancom tijekom vremena? Objasnite riječima. Realna aprecijacija. Pogoršava se. Od studenata se očekuje da to znaju i objasniti. b) Pretpostavite da je realni tečaj konstantan, recimo na potrebnoj razini da bi bilo NX=0. Što se u ovom slučaju mora tijekom vremena dogoditi sa nominalnim deviznim tečajem ako je domaća inflacija veća od inozemne. Nominalna deprecijacija. Prilagodba nominalnog tečaja prema promjeni domaće razine cijena kako bi se realni tečaj održao konstantnim naziva se u literaturi puzeće prilagođavanje. 2. Pretpostavite malu otvorenu IS-LM ekonomiju sa fleksibilnim deviznim tečajem, pri kojoj je domaći proizvod na prirodnoj razini, ali postoji trgovinski deficit. Koju kombinaciju fiskalne i monetarne politike preporučate? Monetarnu ekspanziju i fiskalnu restrikciju (Zašto?). Budite sigurni da znate objasniti. Grafički prikaz se preporučuje napraviti preko Mundell-Fleming modela. Koje krivulje se miču kad bi se koristio ZZ-Y grafikon i zašto? Pomoć: Sjetite se koje su varijable endogene, a koje egzogene u tom modelu. 3. Pretpostavite slijedeće IS-LM jednadžbe: IS: Y C( Y T) I( Y, i) G NX ( Y, Y*, E) M LM: YL () i P _ e E pri čemu je E 1 i i* a) Pokažite efekte porasta inozemnog proizvoda na domaći proizvod. Objasnite riječima i prikažite grafički. Porast dohotka. Budite sigurni da znate objasniti. (Koja se krivulja miče i zašto? Što je sa kamatnom stopom i tečajem? Budite sigurni da i to znate objasniti)

2 2 b) Pokažite efekte porasta strane kamatne stope na domaći proizvod. Objasnite riječima i prikažite grafički. Porast dohotka. Budite sigurni da znate objasniti. (Koja se krivulja miče i zašto? Što je sa kamatnom stopom i tečajem? Budite sigurni da i to znate objasniti). c) Na temelju diskusije o efektima fiskalne politike u ovom poglavlju, koji efekt inozemna fiskalna ekspanzija vjerojatno ima na inozemni dohodak, Y*, i na inozemnu kamatnu stopu i*? Na temelju diskusije o efektima monetarne politike u ovom poglavlju koji efekt inozemna monetarna ekspanzija vjerojatno ima na Y* i i*? Odgovorite vlastitom intuicijom. d) Na temelju vaših odgovora pod a), b), c) kako inozemna fiskalna ekspanzija utječe na domaći proizvod? Kako inozemna monetarna ekspanzija utječe na dohodak? (Pomoć: jedna od ovih politika ima nepoznat efekt na dohodak) Inozemna fiskalna ekspanzija: odgovorite na temelju odgovora pod a) i b) Inozemna monetarna ekspanzija: odgovorite vlastitom intuicijom. 4. Pretpostavite monetarnu kontrakciju u ekonomiji koja ima fleksibilni devizni tečaj. Diskutirajte efekte na osobnu potrošnju, investicije i neto izvoz. Napomena: na nastavi je odrađen suprotan slučaj 5. Fiksni devizni tečajevi i inozemna makroekonomska politika Razmotrite sustav fiksnog deviznog tečaja u kojem grupa zemalja (nazovimo ih zemlje koje slijede ) vezuju svoje valute prema valuti jedne zemlje (nazovimo ju zemlja vodič ). Budući da valuta zemlje vodiča nije fiksirana prema valutama zemalja izvan režima fiksnog deviznog tečaja, zemlja vodič može provoditi monetarnu politiku kakvu želi. Za ovaj problem da pretpostavite da je domaća zemlja ona koja slijedi i da je inozemna zemlja zemlja vodič ). a) Ponovite analizu iz problema 3a). Porast domaćeg dohotka. Budite sigurni da znate objasniti (Pazite: Tečaj je fiksan u domaćoj ekonomiji). b) Ponovite analizu iz problema 3b). Smanjenje domaćeg dohotka. Budite sigurni da znate objasniti (Pazite: Tečaj je fiksan u domaćoj ekonomiji). c) Koristeći vaš odgovor pod a) i b) i problem 3c), kako inozemna monetarna ekspanzija (zemlje vodiča) utječe na domaći proizvod? Kako inozemna fiskalna ekspanzija (zemlje vodiča) utječe na domaći proizvod? (Možete pretpostaviti da je efekt Y* na domaći proizvod mali). Kako se Vaši odgovori razlikuju od onih u 3d). Odgovorite sami na temelju Vaših odgovora pod a) i b).

3 3 6. Interakcija i koordinacija među zemljama Pretpostavite slijedeću otvorenu ekonomiju. Realni devizni tečaj je fiksan i jednak 1. Potrošnja, investicija potrošnja države, porezi, uvoz i izvoz su dani sa: C = ,8 (Y T) I = 10 G = 10 T = 10 IM = 0,3Y X = 0,3Y * pri čemu se zvijezda odnosi na inozemnu varijablu a) Izračunajte ravnotežni domaći proizvod u domaćoj ekonomiji, za dani Y*. Koliki je multiplikator u ovoj ekonomiji? Koliki bi bio multiplikator da smo u zatvorenoj ekonomiji (odnosno da su izvoz i uvoz jednaki 0)? Zašto se ova dva multiplikatora razlikuju? Y=44+0.6Y* Multiplikator otvorene privrede je 2, a zatvorene 5. b) Pretpostavite da strana ekonomija ima iste jednadžbe kao i domaća (sa obrnutim zvijezdama). Upotrijebite dva skupa jednadžbi da biste izračunali ravnotežni proizvod svake zemlje. Koliki je sad multiplikator za svaku zemlju? Zašto je on različit od gornjeg multiplikatora otvorene ekonomije? Multiplikator je 3.125, a zašto je različiti zaključite sami. c) Pretpostavite da obje zemlje imaju ciljanu razinu domaćeg proizvoda 125. Koliki je porast u G potreban u jednoj od ovih dviju zemalja da bi se postigao ciljani proizvod uz pretpostavku da druga zemlja ne mijenja svoju razinu državne potrošnje. Izračunaj neto izvoz i budžetski deficit u svakoj zemlji. ΔG=4.8, G=14.8. Domaća ekonomija: NX=-1.8, T-G=-4.8 Inozemna ekonomija: NX*=1.8, T*-G*=0 d) Koliki je zajednički porast u G potreban da se postigne ciljani porast u obje zemlje? ΔG= ΔG*=3, G= G*=13 T-G= T*-G*=-3 NX=NX*=0 e) Zašto je fiskalna koordinacija teška za uspostavu u praksi? Odgovorite sami Findlay 1. (1) Pretpostavite da imate sljedeće informacije o gospodarstvu: C=1200, I=300, G=500, X=450, IM=400. Potom pretpostavite da su sve varijable izražene u vrijednosti domaće robe. a) Izračunajte domaću potražnju za dobrima, potražnju za domaćim dobrima i neto izvoz. Koja je razlika između potražnje za domaćim dobrima i domaćom potražnjom za dobrima? Usporedite to s trgovinskom bilancom. b) Ponovite analizu (kao u a), ali ovaj put pretpostavite da je IM=500, a sve ostale varijable su iste.

4 4 c) Ponovite analizu (kao u a), ali ovaj put pretpostavite da je X=400, a sve ostale varijable su iste. (Koristite originalne vrijednosti varijabli) d) Prema vašoj analizi pod a), b), c), pod kojim uvjetom je potražnja za domaćim dobrima, veća, manja ili jednaka domaćoj potražnji za dobrima? 2. (2) Pretpostavite da je tržište dobara predstavljeno sljedećim jednadžbama. C = Y D I = r + 0.1Y G = 500 X = 0.1Y* IM = 0.1Y T = 400 Y* = 1000 r = 0.05 (5%) = 1 Z = C + I + G + X - IM Y = Z u ravnoteži a) Izračunajte ravnotežni BDP (Y) b) Prema odgovoru u a), izračunajte C, I, X i IM c) Na toj razini proizvoda da li gospodarstvo ima trgovinski suficit ili deficit? d) Pretpostavite da G raste za 100 (na 600). Izračunajte novu ravnotežnu razinu proizvoda. Koliki je multiplikator? e) Prema vašem odgovoru u d), izračunajte novu razinu IM. Izračunajte promjenu u neto izvozu uzrokovanu ovim rastom G. 3. (3) Ponovite analizu iz zadatka 2. (od a) do d)), s tim da ovaj put pretpostavite da je granična sklonost uvozu 0.2, tj. IM = 0.2Y Pretpostavite da su sve ostale varijable jednake. 4. (4) Uzmite u obzir rezultate dobivene u zadacima 2. i 3. Usporedite promjene Y uzrokovane rastom G u zadacima 2. i 3. Što se dogodilo s multiplikatorom kad je granična sklonost uvozu porasla? 5. (5)Za svaki od sljedećih slučajeva, pretpostavite da je tržište dobara u početku u ravnoteži i da trgovinski suficit postoji (NX > 0) na početnoj razini proizvoda. Objasnite kakav će utjecaj svaki navedeni događaj imati na potražnju za domaćim dobrima, ZZ krivuljom, ravnotežnim proizvoda, izvozom, uvozom, trgovinskim saldom i NX pravcem. a) Smanjenje poreza b) Smanjenje G c) Pad Y* d) Smanjenje e) Istovremeni rast i G 6. (6)Pretpostavite da domaće gospodarstvo u početku ima trgovinski deficit. Potom pretpostavite da vlada želi eliminirati trgovinski deficit. a) Kakva se (domaća) politika može upotrijebiti kako bi se eliminirao trgovinski deficit? Kakav utjecaj ta politika ima na domaći proizvod? Objasnite.

5 5 b) Kakva se politika deviznog tečaja može upotrijebiti kako bi se eliminirao trgovinski deficit? Kakav utjecaj ta politika ima na domaći proizvod? Objasnite. c) Pretpostavite da domaća vlada može prisiliti stranu vladu da promjeni fiskalnu politiku. Kakav oblik fiskalne politike se može upotrijebiti kako bi se eliminirao trgovinski deficit? Kakav utjecaj bi takva politika imala na domaći i strani proizvod? Objasnite. 7. (7) Pretpostavite da je VTB u ravnoteži (NX = 0) na početnoj razini domaćeg proizvoda. Potom pretpostavite da vlada želi povećati Y tako da održi VTB uravnoteženom. Objasnite koja vrsta politike može biti upotrijebljena kako bi se postigao taj cilj. 8. (8)Pretpostavite da je NX < 0 i da vlada želi povećati Y i istovremeno eliminirati trgovinski deficit na novoj ravnotežnoj razini domaćeg proizvoda. Objasnite koja vrsta politike može biti upotrijebljena kako bi se postigao taj cilj. 9. (9) Pretpostavite da je Y previsok i da je NX > 0. Potom pretpostavite da vlada želi smanjiti Y bez promjene trgovinskog suficita. Objasnite koja vrsta politike može biti upotrijebljena kako bi se postigao taj cilj. 10. (10) U ovom zadatku pretpostavite da Marshall Lernerov uvjet ne vrijedi. Potom pretpostavite da ne postoji trgovinski deficit na početnoj razini domaćeg proizvoda. Sada pretpostavite da se javlja realna deprecijacija. a) Objasnite koji utjecaj će ova deprecijacija imati na X, IM, NX i NX krivulju, ZZ krivulju i domaći proizvod U gornjem grafu ilustrirajte utjecaje deprecijacije. Ilustrirajte i novu ravnotežu. b) Prema vašoj analizi iz a), koja bi politika deviznog tečaja trebala biti primijenjena u kratkom roku (kad Marshall-Lernerov uvjet ne vrijedi) da se poveća ekonomska aktivnost? Objasnite. 11. (11)Pretpostavite da realni devizni tečaj deprecira za 12%. Za svaki od sljedećih slučajeva objasnite da li Marshall Lernerov uvjet vrijedi i objasnite kakav utjecaj će 12%-tna realna deprecijacija imati na NX i Y. a) X raste 4%, IM se smanjuje 6% b) X raste 7%, IM se smanjuje 4% c) X raste 7%, IM se smanjuje 6% d) X raste 6%, IM se smanjuje 7% e) X raste 5%, IM se smanjuje 9% 12. (12) Pretpostavite da Marshall- Lernerov uvjet vrijedi. Koristite donju jednadžbu kako biste odgovorili na pitanje. NX = S + (T G) I Za svaki od sljedećih slučajeva objasnite što se događa s neto izvozom, domaćim proizvodom, i sa svakom varijablom na desnoj strani jednadžbe.

6 6 a) pad Y* b) pad T c) pad d) pad G e) istovremeni pad G i Y*. 13. Pretpostavite da je očekivani devizni tečaj GBP/EUR u jednoj godini 0.80 (0.8 funti kupuje 1 EUR). Sad pretpostavite da je jednogodišnja kamatna stopa u Velikoj Britaniji 5% (i=0.5), a u Njemačkoj 7% (i*=0.07). Pretpostavite da vrijedi kamatni paritet. a) Izračunajte tekući devizni tečaj prema gornjim informacijama b) Izračunajte tekući devizni tečaj ako i raste na 6% c) Izračunajte tekući devizni tečaj ako i raste na 7% d) Izračunajte tekući devizni tečaj ako i raste na 8% e) Prema vašoj analizi iz zadataka od a) do d), što se događa s E kako i raste? Da li GBP aprecira ili deprecira kako i raste? f) Što se događa s vrijednošću EUR kako i raste? 14. Pretpostavite da vrijedi kamatni paritet. a) Što se događa s očekivanom stopom deprecijacije ili aprecijacije dolara kako i raste? Objasnite. b) Što se događa s očekivanom stopom povrata na njemačke obveznice kako i raste? 15. Zašto je relacija kamatnog pariteta negativnog nagiba za dane vrijednosti E e te i*? _ e 16. Pretpostavite da kamatni paritet postoji te da i=6%, i*=6% i E =0.9 a) Koji je tekući devizni tečaj? b) Koja je očekivana stopa aprecijacije ili deprecijacije? c) Koja je očekivana stopa povrata na njemačke obveznice? d) Prema vašoj analizi, ako i=i*, što domaća i strana devizna tržišta očekuju da će se dogoditi s deviznim tečajem tijekom iduće godine? Objasnite. 17. Pretpostavite da je ekonomija u početku zatvorena. Sad pretpostavite da se zemlja "otvara" i odlučuje se za fleksibilni devizni tečaj. Što se događa s nagibom IS krivulje kako ekonomija postaje otvorena pod fleksibilnim deviznim tečajem? Objasnite.

7 7 18. a) Na grafu prikažite efekte smanjenja G pod fleksibilnim deviznim tečajem. Na početku pretpostavite da NX = 0. kamatna stopa LM kamatna stopa i IS kamatni paritet Y domaći proizvod E devizni tečaj b) Objasnite koji utjecaj na i, Y, E ima smanjenje G c) Objasnite što se događa s C, I, NX 19. Prema vašoj analizi u zadatku #6, što mislite da će se dogoditi trgovinskom deficitu domaće zemlje ako se G smanji (ili ako se T poveća) kako bi se smanjio proračunski deficit? Objasnite. 20. Pretpostavite da M pada uz postojanje fleksibilnog deviznog tečaja. Potom pretpostavite da je NX bio 0 prije pada M. a) Koji utjecaj pad M ima na C i I? b) Koji utjecaj pad M ima na E i Y? Zašto se E mijenja? c) Koji utjecaj pad M ima na NX? Objasnite. 21. a) Na donjem grafu prikažite efekte rasta M pod fleksibilnim deviznim tečajem. Pretpostavite na početku da je NX=0. kamatna stopa LM kamatna stopa i IS kamatni paritet Y domaći proizvod E devizni tečaj b) Objasnite koje će efekte rast M imati na i, Y, E. c) Zašto se E mijenja?

8 8 d) Što se događa s očekivanim povratom na strane obveznice kao posljedica rasta M? Što se događa s i*? e) Što se događa s C i I kao posljedica rasta M? f) Objasnite što se događa s NX kao posljedica rasta M. 22. Koristite donji graf kako biste odgovorili na pitanja. Pretpostavite da ekonomija djeluje na početku na razini domaćeg proizvoda Y 0 i da je NX = 0. a) Pretpostavite da G raste. Potom pretpostavite da središnja banka želi održati domaći proizvod na početnoj razini domaćeg proizvoda. Koju politiku središnja banka mora koristiti da bi održala Y na originalnoj razini? Objasnite i prikažite to na grafu. b) Što se događa s i i E kao posljedica ove kombinirane monetarne i fiskalne politike? c) Što se događa s komponentama potražnje kao posljedica ove kombinirane politike? kamatna stopa LM kamatna stopa i IS kamatni paritet Y domaći proizvod E devizni tečaj 23. Pretpostavite da G raste pod uvjetima fiksnog deviznog tečaja. a) Što se događa s C i I? b) Što se događa s deviznim tečajem? c) Što se događa s neto izvozom (pretpostavite da je NX na početku bio negativan, i da postoji trgovinski deficit)? 24. Koristite IS-LM graf kako biste odgovorili na pitanja. Pretpostavite da se javna potrošnja smanjuje pod fiksnim deviznim tečajem. Kamatna stopa LM I IS Y domaći proizvod a) Grafički prikažite što će se dogoditi ekonomiji kao posljedica smanjenja G.

9 9 b) Što središnja banka mora učiniti kako bi održala vezani devizni tečaj (pegged exchange rate)? Što se događa s novčanom ponudom? c) Što se događa s C i I? d) Što se događa s neto izvozom? Pretpostavite da je na početku NX< Pretpostavite dvije zemlje ( i B) koje su jednake u svemu osim u sljedećem: vodi politiku fiksnog deviznog tečaja, a B politiku fleksibilnog deviznog tečaja. Pretpostavite da G pada u istom iznosu u obje zemlje. a) U kojoj od dvije zemlje će promjena Y biti veća? Objasnite. b) Prema vašoj analizi iz zad. a), koji utjecaj će izbor između fiksnog i fleksibilnog deviznog tečaja imati na utjecaj fiskalne politike na domaći proizvod? Objasnite. 26. Pod fiksnim deviznim tečajem kakav utjecaj će rast i* imati na model? Objasnite. 27. Pod fiksnim deviznim tečajem sa savršenom mobilnosti kapitala, kakav utjecaj će monetarna kontrakcija imati na Y, i, strukturu bilance središnje banke? 28. Pod fiksnim deviznim tečajem s nesavršenom mobilnosti kapitala, može li središnja banka koristiti politiku za smanjenja Y? Objasnite. Pitanja višestrukog izbora (prema Findlay) ko nije drugačije navedeno, pretpostavite da vrijedi Marshall-Lernerov uvjet. 1. O kojoj od navedenih varijabli investicije NE ovise? a) Y b) r c) r* d) sve navedeno 2. Koji od sljedećih događaja će uzrokovati porast neto izvoza? a) porast Y b) smanjenje Y c) smanjenje Y* d) smanjenje E 3. ko se ne mijenjaju P i P* znamo sljedeće: a) Y = Y* b) r = i c) NX = 0 d) E > 1 4. Uvjet kamatnog pariteta upućuje na to da je E funkcija kojih varijabli? a) i, i*, očekivanog tečaja b) i, i*, Y c) i, i*, Y* d) ništa od navedenog

10 10 5. Pretpostavite da vrijedi kamatni paritet te da je i = 8%, i* = 6%. To upućuje na sljedeće: a) očekuje se aprecijacija domaće valute od 2% b) očekuje se deprecijacija dolara od 2% c) očekuje se deprecijacija strane valute od 2% d) očekivani povrat (mjeren dolarima) na strane obveznice manji je od očekivanog povrata na domaće obveznice 6. Pretpostavite da vrijedi kamatni paritet. Porast domaće kamatne stope uzrokovat će: a) porast E b) smanjenje E c) porast i* d) smanjenje i* 7. Pretpostavite da vrijedi kamatni paritet. Smanjenje domaće kamatne stope uzrokovat će: a) očekivanje da će iduće godine domaća valuta aprecirati b) očekivanje da će iduće godine domaća valuta deprecirati c) smanjenje E d) smanjenje i* 8. U modelu otvorenog gospodarstva, na koje komponente potražnje utječe porast domaće kamatne stope (na temelju IS relacije): a) I, NX b) C, NX c) NX, G d) I 9. Porast G u uvjetima fleksibilnog tečaja uzrokuje: a) smanjenje E b) deprecijaciju domaće valute c) porast Y i porast NX d) sve navedeno 10. Smanjenje G u uvjetima fleksibilnog tečaja uzrokovat će: a) porast NX b) porast E c) smanjenje Y d) sve navedeno 11. Monetarna ekspanzija u uvjetima fleksibilnog deviznog tečaja uzrokovat će: a) smanjenje i, smanjenje E, porast Y b) porast E, porast Y c) neodređeni utjecaj na I jer domaća kamatna stopa pada, a Y raste d) smanjenje i* i smanjenje E 12. Monetarna kontrakcija u uvjetima fleksibilnog tečaja uzrokovat će: a) smanjenje I, smanjenje Y b) porast E c) porast i, pomak IS ulijevo

11 11 d) deprecijaciju domaće valute i smanjenje Y 13. Pretpostavite da se simultano smanjuje G i povećava M u uvjetima fleksibilnog tečaja. Uz ovu informaciju sa sigurnošću znamo: a) E raste b) E pada c) Y raste d) Y pada 14. U uvjetima fiksnog deviznog tečaja znamo da: a) i = i* b) i > i* c) i < i* d) E = U uvjetima fiksnog deviznog tečaja središnja banka mora djelovati da održi sljedeće: a) Y = Y* b) NX = 0 c) i = i* d) ponuda novca = konst. 16. U uvjetima fiksnog deviznog tečaja porast G uzrokovat će sljedeće: a) porast Y b) porast M c) domaća kamatna stopa se neće promijeniti d) sve navedeno 17. U kojem od sljedećih slučajeva će porast G imati veći učinak na Y? a) fiksni devizni tečaj, uz sve ostalo nepromijenjeno b) fleksibilni devizni tečaj, uz sve ostalo nepromijenjeno c) fleksibilni devizni tečaj pri kojem središnja banka istovremeno smanjuje ponudu novca d) fleksibilni devizni tečaj pri kojem se središnja banka ne prilagođava porastu G 18. Uz fiksni devizni tečaj i nesavršenu mobilnost kapitala, pokušaj središnje banke da poveća domaći proizvod rezultirat će sa sljedećim: a) porast deviznih pričuva b) smanjenje deviznih pričuva c) smanjenje držanja obveznica (bond holdings) d) porast i

Tržište dobara i usluga u otvorenom gospodarstvu

Tržište dobara i usluga u otvorenom gospodarstvu Tržište dobara i usluga u otvorenom gospodarstvu lanchard: Poglavlje 19. Makro-vježbe (O.Vukoja) #1 Outline predavanja: 1. IS relacija (tržište dobara) u otvorenom gospodarstvu 2. Ravnotežni output i vanjskotrgovinska

Διαβάστε περισσότερα

Mundell-Flemingov model sa krivuljom vanjske ravnoteže

Mundell-Flemingov model sa krivuljom vanjske ravnoteže Mundell-Flemingov model sa krivuljom vanjske ravnoteže 1. Uvod Na nastavi smo istaknuli da IS-LM model prilagođen otvorenoj ekonomiji nazivamo Mundell- Flemingov model. Za razumijevanje tog modela definitivno

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

MAKROEKONOMIJA Ispiti 1

MAKROEKONOMIJA Ispiti 1 MAKROEKONOMIJA Ispiti 1 Bok, Drago nam je što si odabrao/la upravo Referadu za pronalazak materijala koji će ti pomoći u učenju! Materijali koje si skinuo/la s naše stranice nisu naše autorsko djelo, već

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

PITANJA IZ MAKROEKONOMIJE:

PITANJA IZ MAKROEKONOMIJE: PITANJA IZ MAKROEKONOMIJE: 1. GDP a) Na koje sve načine možemo doći do BDP-a (GDP-a). Ukratko iz opišite? Do GDP-a možemo doći na 3 načina: - mjerenje GDP-a preko potrošnje: mjerimo ukupnu potrošnju dobara

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

MAKROEKONOMIJA. 13. siječnja 2007.

MAKROEKONOMIJA. 13. siječnja 2007. MAKROEKONOMIJA 13. siječnja 2007. 1 UVOD I OSNOVNI POJMOVI 1 1 UVOD I OSNOVNI POJMOVI Bruto domaći proizvod (BDP) - Mjera ukupnog proizvoda u računima nacionalnog dohotka tijekom danog razdoblja 1. BDP

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

AKUMULACIJA KAPITALA PROTIV TEHNOLOŠKOG PROCESA

AKUMULACIJA KAPITALA PROTIV TEHNOLOŠKOG PROCESA AD KRIVULJA (agregatne potraţnje) Agregatna potražnja prikazuje utjecaj promjene razine cijena na razinu proizvodnje. AD krivulja se izvodi iz ravnoteže na robnom i novĉanom tržištu, a prikazuje negativan

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

KAMATNE STOPE: IZRAŽAVANJE, PRINCIPI, KRETANJE

KAMATNE STOPE: IZRAŽAVANJE, PRINCIPI, KRETANJE POGLAVLJE VI Finansijska tržišta ta i institucije KAMATNE STOPE: IZRAŽAVANJE, PRINCIPI, KRETANJE Ciljevi predavanja Objasniti Teoriju raspoloživih fondova (Loanable Funds Theory) određivanja kamatnih stopa

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković Devizno tržište Devizni urs i devizno tržište Devizni urs - cena jedne valute izražena u drugoj valuti Promene deviznog ursa utiču na vrednost ative i pasive oje su izražene u stranoj valuti Devizni urs

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

MJERENJE GNP-a KROZ PRIHODE poslovni troškovi su prihodi koje domaćinstva primaju od poduzeća. Ukupna vrijednost pojavljuje se kao nečiji prihod.

MJERENJE GNP-a KROZ PRIHODE poslovni troškovi su prihodi koje domaćinstva primaju od poduzeća. Ukupna vrijednost pojavljuje se kao nečiji prihod. GNP (društveni bruto proizvod) je trţ vrijednost svih finalnih dobara i usluga proizvedenih u privredi u nekom vremenskom razdoblju. Jednak je sumi novčane vrijednosti cjelokupne potrošnje i investicijskih

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

DEVIZNO TRŽIŠTE I DEVIZNI TEČAJ

DEVIZNO TRŽIŠTE I DEVIZNI TEČAJ DEVIZNO TRŽIŠTE I DEVIZNI TEČAJ 1 DEVIZNO TRŽIŠTE U međunarodnoj razmjeni transakcije se obračunavaju i plaćaju u različitim valutama Svako potraživanje u stranoj valuti naziva se devizama Trgovanje stranim

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Složeno periodično i neprekidno ukamaćivanje

Složeno periodično i neprekidno ukamaćivanje Matematičke financije 1 Složeno periodično i neprekidno ukamaćivanje Zadatak 1: Guverner kolonije Nova Nizozemska, Peter Minuit, kupio je 1626. godine od Indijanaca otok Manhattan plativši im u robi čija

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju Sadržaj predavnaja: Trošak kapitala I. Trošak duga II.

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u diferencijalni račun

Uvod u diferencijalni račun Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?

Διαβάστε περισσότερα

7. Troškovi Proizvodnje

7. Troškovi Proizvodnje MIKROEKONOMIJA./. 7. Troškovi Proizvodnje Autori: Penezić Andrija Miković Ivana Pod vodstvom: Prof.dr. Đurđice Fučkan Prezentacije su napravljene prema : Pindyck, R.S./ Rubinfeld, D.L. () MIKROEKONOMIJA

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

Analiza savršene konkurencije u kratkom roku

Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Jedanaesto predavanje, 11. svibnja 2016. godine Pripremljeno iz: Binger i Hoffman, Microeconomics with Calculus Maksimizacija profita poduzeća koje posluje

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009 November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

MEĐUNARODNA EKONOMIJA skraćena skripta (najvažnije) UPLOADANO NA:

MEĐUNARODNA EKONOMIJA skraćena skripta (najvažnije) UPLOADANO NA: TEORIJE VANJSKE TRGOVINE: Merkantilistička teorija, teorija apslolutnih prednosti Adama Smitha, teorija komparativnih prednosti Davida Ricarda, Heckser-Ohlin teorija vanjske trgovine, Leontinijev paradoks,

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα