r koje dejstvuju na tačku: m a F.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "r koje dejstvuju na tačku: m a F."

Transcript

1 Drui Njunov zakon Proizvod između mase maerijalne ačke m i vekora njeno ubrzanja a r jednak je vekorskoj r sumi svih sila F r i r koje dejsvuju na ačku: m a F. Drui Njunov zakon je vekorski zakon ali oovo uvek, on će bii projekovan na neke međusobno upravne pravce kako bi se izvršila neka izračunavanja. Veoma česo su i pravci, na koje se projekuje drui Njunov zakon, ose nepokreno pravoulo Dekarovo koordinano sisema (Sl.1). i Za kružno kreanje, drui Njunov zakon se projekuje na anenu i normalu prirodno koordinano sisema (Sl.). Sile F r i su bukvalno sve sile koje dejsvuju na maerijalnu ačku, bilo da su one akivne ili reakcije veza.

2 S obzirom da je u Dekarovom koordinanom sisemu (kod ravanskih problema) r r r r r r vekor ubrzanja ačke a && xi && yj a vekor proizvoljne i-e sile Fi X ii Yi j, r r projekcije druo Njunovo zakona m a Fi na kordinane ose su: m & x X, m & y Y. i i Ovakvi izrazi su skalarni (iz razloa šo su projekcije vekora na ose skalari) i veoma česo će se vršii njihovo ineraljenje. U akvim slučajevima se projekcije druo Njunovo zakona nazivaju i diferencijalnim jednačinama kreanja. To su diferencijalne jednačine druo reda, pošo su drui izvodi najviši izvodi koji u njima fiurišu. S obzirom da je kod ravanskih problema u prirodnom koordinanom sisemu vekor ubrzanja ačke a at ann r r r r r a vekor proizvoljne i-e sile r Fi FiT FiN n, r r projekcije druo Njunovo zakona m a Fi na kordinane ose su: m a T F, m a N F. it in Ovde je iz kinemaike porebno znai da se anencijalno ubrzanje a T dobija na osnovu druo izvoda lučne koordinae s po vremenu, odnosno, prvo izvoda brzine po vremenu, a normalno ubrzanje a N, jednako je količniku kvadraa brzine ačke i poluprečnika krua, j: V s& at & s ± V&, an.

3 Takođe je česo važno da se zna da je veza između poluprečnika, ula u radijanima ϕ i dužine kružno luka s, nad im ulom, određena izrazom s ϕ. Prvi zadaak dinamike ačke. Primer. U prvom zadaku dinamike ačke poznao je kreanje, samim im i ubrzanje (čije se projekcije dobijaju raženjem izvoda od koordinaa) a porebno je da se odredi sila (ovde se podrazumeva da samo jedna sila dejsvuje na maerijalnu ačku mase m) koja prouzrokuje zadao kreanje. U akvom slučaju projekcije vekorsko druo Njunovo zakona na kordinane ose imaju oblik: m & x X, m & y Y, de su X i Y projekcije ražene sile koje u popunosi određuju u silu. Primer 4.1 Kreanje maerijalne ačke mase m 1 k, pod dejsvom sile F r ( ), definisano je jednačinama: x( ) sin, y( ) cos. Odredii silu F r ( )? Prvi izvodi jednačina kreanja (projekcije brzine) su: x& ( ) cos, y& ( ) cos sin. Konačno je: Prvi izvodi projekcija brzine (projekcije ubrzanja) su: X ( ) ( sin 1 ), && x( ) sin, & y ( ) 4sin cos. Y sin cos r r r r F X i Y ( ) ( ) ( ) j ( ) ( ) r sin 1 i sin cos j ( ) ( ).

4 Drui zadaak dinamike ačke. Ineracija diferencijalne jednačine kreanja i određivanje reakcije veze za vezano kreanje maerijalne ačke. Ovde od sila, koja dejsvuje na ačku pri njenom kreanju. ima i je reacija veza. U ovakvom slučaju druo zadaka dinamike ačke kreanje reba odredii na osnovu one projekcije druo Njunovo zakona koja predsavlja diferencijalnu jednačinu kreanja. U primeru pravolinijsko vezano kreanja (Sl.1), de je osa x usvojena u pravcu kreanja projekcija druo Njunovo zakona na x osu dala bi diferencijalnu jednačinu kreanja,čijim bi se rešavanjem odredilo kreanje x( ), dok bi njeova projekcija na y osu dala alebarsku jednačinu iz koje se može odredii reakcija veze. Slično ome, u primeru kružno vezano kreanja (Sl.), projekcija druo Njunovo zakona na pravac anene dao bi diferencijalnu jednačinu kreanja, čijim bi se rešavanjem odredilo kreanje s( ), dok bi njeova projekcija na pravac normale dala alebarsku jednačinu iz koje se može odredii reakcija veze.

5 Primer 4. Neka se maerijalna ačka mase m kreće u desnu sranu po horizonalnoj hrapavoj podlozi pod dejsvom horizinalne, desno usmerene, sile F r, inenziea F b c de su b i c poznae poziivne konsane. Koeficijen dinamičko renja klizanja je µ. Kreanje se, kao na slici 1 (prehodni slajd), odvija duž x ose. Tačka je započela kreanje iz koordidano počeka bez počene brzine Odredii: reakciju podloe u pravcu normale, diferencijalnu jednačunu kreanja, zakon brzine x& ( ) i zakon pua x( ). Na slici je prikazan sisem sila koji dejsvuje na maerijalnu ačku pri njenom kreanju. r r r r r Drui Njunov zakon: ma F m N T. Počeni uslovi: x& x ( ), ( ). Njeova projekcija na osu y: m N N m T µ m. Njeova projekcija na osu x daje diferencijalnu jednačinu kreanja: m && x µ m b c. dx& m µ m b c m dx ( m b c )d d & µ 3 m x& µ m b c C1. Konsana 1, zbo 3 C x& ( ).

6 b x &( ) µ m c m b c b c dx µ d x µ C m m 3 m 6 m1 3 4 b c Konsana C, zbo x ( ). x ( ) µ. m 6 m1 Primer 4.3 Neka se maerijalna ačka mase m kreće po lakoj cilindričnoj povr-šini poluprečnika, kao na slici, u homoenom polju sile Zemljine eže. Tačka je započela kreanje iz najniže položaja sa počenom brzinom inenziea Uvesi uaonu koordinau ϕ za koju važi ϕ s i na osnovu druo Njunovo zakona odredii: -diferencijlnu jednačinu kreanja po ϕ, -zavisnos ϕ& ( ϕ), a samim im i V ( ϕ). -reakciju veze u funkciji ula ϕ. Na slici prikazan je sisem sila koji dejsvuje na maerijalnu ačku pri njenom kreanju. Ovde je: V ϕ& V s& ϕ, & a T & s ϕ&, a N ϕ&. V.

7 r r r Drui Njunov zakon daje ma m N. Njeova projekcija na pravac anene daje sledeću diferencijalnu jednačinu kreanja dϕ& mϕ && m sin ϕ sin ϕ. d Jedan počeni uslov, dobijen iz činjenice da je ačka započela kreanje iz najniže položaja, je s ϕ ϕ ( ) ( ) ( ). Drui počeni uslov, dobijen iz činjenice da je ačka započela kreanje počenom s & ϕ& V ϕ& V V brzinom, je ( ) ( ) ( ). ϕ& ( ϕ) V ( ϕ) Za dobijanje zavisnosi, a zaim i, reba prvo levu sranu diferencijalne jednačine ransformisai na oblik dϕ& dϕ& dϕ dϕ& ϕ, & d dϕ d dϕ čime, nakon razdvajanja promenljivih, diferencijalna jednačina posaje ϕ& d& ϕ sin ϕdϕ. V Sledi ineracija, s obzirom da je za ϕ : ϕ&

8 V C C V C d d ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ cos 1 cos sin & & &, cos V ϕ ϕ & ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ cos 1 V & ( ) ( ) ( ). cos 1 ϕ ϕ ϕ ϕ V V & Projekcija druo Njunovo zakona na pravac normale daje sledeću jednačinu, cos ϕ ϕ m N m& na osnovu koje se dalje dobija reakcija veze N u funkciji ula ϕ. cos 3 m mv m N ϕ

9 Primer 4.4 Neka se maerijalna ačka mase m kreće niz laku srmu ravan naibno ula α pod dejsvom sile Zemljine eže. Tačka je započela kreanje iz koordidano počeka sa počenom brzinom inenziea V. Odredii: zakon brzine x& ( ), zakon pua x( ) i zavisnos brzine od pua x& ( x). ( ) Počeni uslov x dobijen je iz činjenice da je ačka započela kreanje iz koordinano počeka. Drui Njunov zakon za kreanje maerijalne ačke: r r r ma m N. Njeova projekcija na osu y, s obzirom da nema ubrzanja u pravcu ose y, daje m cosα N N m cosα. Njeova projekcija na osu x daje sledeću diferencijalnu jednačinu kreanja d& x m& & x m sin α sin α. d Počeni uslov x &( ) V dobijen je iz činjenice da je ačka započela kreanje počenom brzinom. V

10 Prva i drua ineracija diferencijalne jednačine kreanja, s obzirom na počene uslove, daće zakon brzine x& ( ) i zakon pua x( ) : d x& sin α d dx& sin α d x& sin α C1 Konsana 1 V, zbo C x& ( ) V ( ) sin α V x & dx Konsana C, zbo ( ) x x( ) sin α V ( sin α V ) d dx ( sin α V ) d x sin α V C Zavisnos brzine od pua x& ( x) može bii dobijena na dva načina. Jedan je eliminacija vremena iz Prema druom, reba prvo levu sranu diferencijalne jednačine ransformisai na oblik dobijenih zakona x& ( ) i x( ). x& V dx& dx& dx dx& x& ( ) sin α V x& x& dx& sin αdx sin α d dx d dx sin α x& V x& V x & x V x & dx & sin α dx sin α x C sin α sin α C V jer je x & V za x x& V x, x& V sin α x x& V sin α sin α x x& ( x)

11 Primer 4.5 Neka se maerijalna ačka mase m kreće uz hrapavu srmu ravan naibno ula α.tačka je započela kreanje iz koordidano počeka sa počenom brzinom inenziea V. Koeficijen dinamičko renja klizanja je µ. Odredii: zakon brzine x& ( ), zakon pua x( ), zavisnos brzine od pua x& x i zausavni pu S. ( ) Drui Njunov zakon za kreanje maerijalne ačke: r r r r ma m N T. Njeova projekcija na osu y, s obzirom da nema ubrzanja u pravcu ose y, daje m cosα N N m cosα T µ N µ m cosα. Z Njeova projekcija na osu x daje sledeću diferencijalnu jednačinu kreanja dx m& & x m sin α µ m cosα & B, d de je B sin α µ cosα poznaa konsana. ( )

12 ( ) Počeni uslov x dobijen je iz činjenice da je ačka započela kreanje iz koordinano počeka. ( ) Počeni uslov x & V dobijen je iz činjenice da je ačka započela kreanje počenom brzinom. Prva i drua ineracija diferencijalne jednačine kreanja, s obzirom na počene uslove, daće zakon brzine i zakon pua x : x& ( ) ( ) d x& Bd dx& B d x& B Konsana, zbo C 1 C 1 V x& ( ) V x &( ) B V V ( ) ( sin α µ cosα) Vo x & dx ( B V ) d dx ( B V ) d x B V C Konsana C, zbo x ( ) x( ) B V Zavisnos brzine od pua x& ( x) odredimo na način šo ćemo prvo levu sranu diferencijalne jednačine ransformisai, pa razdvojii promenljive dx& dx& dx dx& x& x& dx& Bdx, d dx d dx x& i nakon oa ineraljenjem dobii rešenje: x & dx& B dx Bx C x& V C V jer je x & V za x Bx x& V Bx.

13 Zausavni pu jednak je x koordinai kada je brzina x& V Bx B S z V, x& jednaka nuli. Pošo je V V zausavni pu će bii S B ( sin α µ cosα). z Drui zadaak dinamike ačke. Ineracija diferencijalnih jednačina kreanja za slobodno kreanje maerijalne ačke. U ovakvom slučaju druo zadaka dinamike ačke, sile koje dejsvuju na ačku su poznae a kreanje se određuje na osnovu projekcija druo Njunovo zakona. Obe njeove projekcije (i na x, i na y, osu) su diferencijalne jednačine kreanja. Da bi se dobile jednačine kreanja, svaka od diferencijalnih jednačina kreanja se po dva pua inerali, a čeiri ineracione konsane se određuju iz počenih uslova. Počeni uslovi se iču počeno položaja i počene brzine, j. sledećih veličina: x ( ), y( ), x& ( ), y& ( ). Primer 4.6 Neka na maerijalnu ačku mase m k, koja se kreće u verikalnoj ravni homoeno polja sile Zemljine eže, osim sile ežine m r r r r, dejsvuje i zadaa sila F( ) 1 i sin j. r r r Tačka je započela kreanje iz ačke ( 1,) sa počenom brzinom V 3 i 1 j A ( ).

14 Odredii projekcije brzine u funkciji vremena x& ( ) i y& ( ), kao i jednačine kreanja x ( ) i y( )? Počeni uslovi: A ( 1,) x ( ) 1, y( ). r r r V Drui Njunov zakon: r r r ma m F r r r r & x i && y j j 1 i sin ( ) 3 i 1 j x& ( ) 3, y& ( ) 1. ( ) j Projekcije druo Njunovo zakona i ineracije: Projekcija na x osu: dx & x 6 & 6 d x& 6d dx& 6 d x& 3 C1 d Konsana C 3 1, zbo x& ( ) 3 x& ( ) 3 3 r 3 ( 3 3) d dx ( 3 3) d x 3 C dx Konsana C x ( ) 1 3 x( ) 3 1 1, zbo

15 Projekcija na y osu: dy & y sin & sin dy& ( sin ) d dy ( )d d & sin y & cos C. 3 Konsana C, zbo y& ( ) 1 y & cos. dy y y( ) sin. 3 ( cos) d dy ( cos) d y sin C4 Konsana C, zbo ( ) 4 Kosi hiac u bezvazdušnom prosoru. Maerijalna ačka mase m započela je kreanje iz koordinano počeka sa počenom brzinom čiji inenzie iznosi a čiji vekor V r V ( ) sa horozonalnom x osom radi uao α. Tačka se kreće u verikalnoj ravni homoeno polja sile Zemljine eže a sila opora vazduha se zanemaruje. Odredii: projekcije brzine u funkciji vremena x& ( ) i y& ( ), jednačine kreanja x ( ) i y( ), dome L i maksimalnu visinu H koju ačka dosiže? Počeni uslovi: x( ), zbo počeno položaja y( ), zbo počene x& ( ) V cosα, brzine y& ( ) V sin α.

16 Jedina sila koja dejsvuje na maerijalnu ačku pri njenom kreanju je m r. Projekcije druo Njunovo zakona i ineracije: Projekcija na y osu: & y& Konsana dy& d 1 V sinα, zbo d y& d dy& d y& C y& ( ) V sin α y& ( ) sin α dy Konsana C, zbo ( ) y y( ) V sin α ( V sin α) d dy ( V sin α) d y V sin α C Projekcija na x osu: m& & y m dx& m && x && x x& C d Konsana C cosα, zbo x& ( ) V cosα 3 V x& V cosα V 3 C 1

17 dx d V cosα Konsana dx V α C, zbo 4 Određivanje domea L: Kada se hiac završi cosα d dx V cosα d x V cos C x ( ) x( ) V cosα ( C ) V α C C L x cos Trenuak vremena C određuje se iz uslova da je y( C ). Na osnovu ovo uslova i y( ) V sin α dobija se sledeća nepopuna kvadrana jednačina po C : C V sin α C V sin α C V sin α C C V sin α V L V cos α sin α B H y( B ) V sin α B Određivanje maksimalne visine H: V sin α Zbo y& ( B ) B V sin α B V sin α Konačno je H 4

18 ( ) Primer 4.7 Na osnovu izraza za visinu H V sin α odredii za koji uao αće pri kosom hicu visina H bii najveća i koliko ona iznosi? Veličina H je najveća za α 9 i iznosi H V, jer za α 9, ima svoju najveću vrednos koja iznosi 1. ( ) sin Primer 4.8 Na osnovu izraza za dome L V sin α, odredii za koji uao α je, pri kosom hicu, dome L najveći i koliko on iznosi? Veličina L je najveća za α 45 i iznosi L V, jer za α 45, sinα ima svoju najveću vrednos koja iznosi 1. Primer 4.9 Na osnovu izraza za dome L V sin α dokazai da je dome za uao α 45 o ϕ isi kao i za uao α 45 o - ϕ. Takođe naći izraze za maksimalne visine H u oba slučaja? V V o L sin α sin 9 ϕ V o o V ( sin 9 cosϕ cos9 sin ϕ) cos, ϕ V V o L sin α sin 9 ϕ V o o V ( sin9 cosϕ cos9 sin ϕ) cos. ϕ Dome za uao α 45 o ϕ iznosi ( ) i isi je kao i dome za α 45 o - ϕ: ( ) α

19 Maksimalna visina H ( H V sin α ( ) ), za uao α 45 o ϕ iznosi V H ( 1 sin ϕ), 4 dok je za α 45 o - ϕ, V H ( 1 sin ϕ), pošo je 4 1 cos ( ) ( 45 ± ϕ) 1 cos( 9 ± ϕ) 1 ( m sin ϕ) 1± sin ϕ sin 45 ± ϕ. Primer 4.1 Maerijalna ačka mase m započela je kreanje iz ačke O sa počenom brzinom čiji inenzie iznosi V a čiji vekor V r ( ) sa horozonalnom x osom radi uao α (Sl.1). Tačka se kreće u verikalnoj ravni homoeno polja sile Zemljine eže a sila opora vazduha se zanemaruje. Za zada koordinani sisem odredii: projekcije brzine u funkciji vremena x& ( ) i y& ( ), jednačine kreanja x( ) i y( ) i dome L? Konsanne veličine: m, h, α, i smarai poznaim. V

20 Jedina sila koja dejsvuje na maerijalnu ačku pri njenom kreanju je m r (Sl.). x Počeni uslovi: ( ), zbo počeno položaja y( ), x& ( ) V cosα, zbo počene brzine Drui Njunov zakon: r r ma m y& ( ) V sin α. Projekcije druo Njunovo zakona i ineracije: Projekcija na y osu: & y& Konsana m& & y m d y& d y& d dy d y d & & sinα, zbo 1 V V sin α y& V sin C y& ( ) ( ) α dy Konsana C, zbo y( ) y( ) V sin α ( V sin α) d dy ( V sin α) d y V sin α C C 1

21 dx& Projekcija na x osu: m && x && x x& C3 d Konsana C cosα, zbo x& ( ) V cosα dx d V cosα Konsana 3 V x& V cosα cosα d dx V cosα d x V cos dx V α C, zbo 4 Određivanje domea L: C x ( ) x( ) V cosα Kada se hiac završi C L x( C ) V cosα C C y( C ) h y( ) V sin α Trenuak vremena određuje se iz uslova da je. Na osnovu ovo uslova i dobija se sledeća kvadrana jednačina po : C V sin α h C V sin α V sin α h C L V cosα V sin α h V sin α C 4

22 Primer 4.11 Maerijalna ačka mase m započela je kreanje iz ačke O sa počenom brzinom čiji inenzie iznosi V a čiji je vekor V r ( ) horozonalan (Sl.1). Ovakav hiac nosi naziv horizonalni hiac. Tačka se kreće u verikalnoj ravni homoeno polja sile Zemljine eže a sila opora vazduha se zanemaruje. Za zada koordinani sisem odredii: projekcije brzine u funkciji vremena x& ( ) i y& ( ), jednačine kreanja x ( ) i y( ) i dome L? Konsanne veličine: m, h, α, i V smarai poznaim. Jedina sila koja dejsvuje na maerijalnu ačku pri njenom kreanju je m r (Sl.). Počeni uslovi: x( ), zbo počene x &( ) V, zbo počeno položaja y ( ) h, brzine y& ( ). r r Drui Njunov zakon: ma m Projekcije druo Njunovo zakona i ineracije: Projekcija na y osu: dy& m& & y m & y& d y& d dy d y d & & Konsana C 1, zbo y& ( ) y& ( ) dy d C 1

23 dy d y C Konsana C h, zbo y h y ( ) h. Projekcija na x osu: ( ) dx& m && x && x x& C3 d dx Konsana C 3 V, zbo x &( ) V x & V V d dx V d dx V d x V C4 Konsana, zbo 4 Određivanje domea L: Kada se hiac završi C C x ( ) x( ) V Trenuak vremena određuje se iz uslova da je y : y C ( ) h C ( ) C ( C ) V C L x h C L V C h.

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

VILJUŠKARI. 1. Viljuškar se koristi za utovar standardnih euro-pool paleta na drumsko vozilo u sistemu prikazanom na slici.

VILJUŠKARI. 1. Viljuškar se koristi za utovar standardnih euro-pool paleta na drumsko vozilo u sistemu prikazanom na slici. VILJUŠKARI 1. Viljuškar e korii za uoar andardnih euro-pool palea na druko ozilo u ieu prikazano na lici. PALETOMAT a) Koliko reba iljuškara da bi ree uoara kaiona u koji aje palea bilo anje od 6 in, ako

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Kinetička energija: E

Kinetička energija: E Pime 54 Za iem pikazan na lici odedii ubzanje eea mae m koji e keće naniže kao i ilu u užeu? Na homogeni doboš a dva nivoa koji e obće oko zgloba O dejvuje, zbog neidealnoi ležaja konanni momen opoa M

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

(a) Odrediti koeficijente prve, druge fundamentalne forme i Kristofelove simbole površi r.

(a) Odrediti koeficijente prve, druge fundamentalne forme i Kristofelove simbole površi r. Geomerija 3, 9... Ime i prezime, broj indeksa, grupa. Daa je površ paramerizacijom ru, v = cos u cos v + 3 cos v, cos u sin v + 3 sin v, sin u, u, v, π, π. a Odredii koeficijene prve, druge fundamenalne

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Sistem sučeljnih sila

Sistem sučeljnih sila Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA

OTPORNOST MATERIJALA 3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu

1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, II predavanje, 2017. 1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu Posmatrajmo materijalnu tačku koja se kreće po trajektoriji prikazanoj na slici 1.

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

DOMAĆA ZADAĆA 5. /Formulacije i rješenja zadataka/ - INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 ak. 2009/2010. Selma Grebović. Sarajevo, Decembar 2009.

DOMAĆA ZADAĆA 5. /Formulacije i rješenja zadataka/ - INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 ak. 2009/2010. Selma Grebović. Sarajevo, Decembar 2009. UNIVERZITET U SARAJEVU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO DOMAĆA ZADAĆA 5 /Formulacije i rješenja zadaaka/ - INŽENJERSKA MATEMATIKA ak. 9/. Selma Grebović Sarajevo, Decembar 9. godine Zad.. Za realnu funkciju

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela.

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Prve dve dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti, imaju oblik: 1) m & x X, ) m & y = Y. = i i Dok, u drugoj varijanti, njihov

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.

Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona. Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji

Διαβάστε περισσότερα

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije Elastična linija, čija je jednačina y(z), je krivolinijski oblik ose nosača izazvan opterećenjem. Koordinatni sistem ćemo uvek uzimati tako da je koordinatni

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija

Analitička geometrija 1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika II Sedmica 1

Mehanika II Sedmica 1 UVOD Mehanika kruog ijela je grana fizike koja e bavi izučavanjem uicaja ila na ijela ili maerijalne ačke (čeice) u anju mirovanja ili kreanja. Najčešća podjela mehanike kruog ijela je na Saiku (koja e

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Prijelazne pojave. Osnove elektrotehnike II: Prijelazne pojave

TEHNIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Prijelazne pojave. Osnove elektrotehnike II: Prijelazne pojave THNIČKI FAKUTT SVUČIIŠTA U IJI Zavod za elekroenergek Sdj: Preddplomsk srčn sdj elekroehnke Kolegj: Osnove elekroehnke II Noselj kolegja: v. pred. mr.sc. Branka Dobraš, dpl. ng. el. Prjelazne pojave Osnove

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:

Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a: Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave

Διαβάστε περισσότερα

OM1 V10 V11 Ime i prezime: Index br: TORZIJA GREDE

OM1 V10 V11 Ime i prezime: Index br: TORZIJA GREDE O1 V10 V11 me i prezime: nde br: 1 9.1.015. 9. TORZJA GREDE 9.1 TORZJE GREDE KRUŽNOG PRSTENASTOG POPREČNOG PRESEKA orzije grede kružnog poprečnog preseka Slika 9.4 r (9.8) 0 0 r R 0 0 1 R (9.11) π (9.1)

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

1 Osnovni problemi dinamike materijalne tačke

1 Osnovni problemi dinamike materijalne tačke M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, V predavanje, 2017. 0.1 III Njutnov zakon Posmatrajmo dva tela za koja smatramo da su materijalne tačke. Ove dve čestice međusobno interaguju tako

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi

MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi MEHANIKA FLUIDA Prosti ceooi zaatak Naći brzin oe kroz naglaak izlaznog prečnika =5 mm, postaljenog na kraj gmenog crea prečnika D=0 mm i žine L=5 m na čijem je prenjem el građen entil koeficijenta otpora

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα