1.2: D R r (1.1) 1.3: (1.2)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.2: 1.2 D R r (1.1) 1.3: 206.265 (1.2)"

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Αστρονοµία κατέχει ξεχωριστή θέση ανάµεσα στις επιστήµες και από πολλούς θεωρείται η αρχαιότερη όλων. Παρά ταύτα πρόδροµος και «µητέρα» της θεωρείται η Αστρολογία. Η Αστρονοµία ξεκίνησε παρατηρώντας ή καταγράφοντας τις θέσεις και τις τυχόν µεταβολές των διαφόρων ουρανίων σωµάτων. Η απλή αυτή καταγραφή των «ουρανίων φαινοµένων» γίνονταν από πολλούς αρχαίους λαούς, όπως οι Βαβυλώνιοι, οι Αιγύπτιοι, οι Κινέζοι κ.α., αλλά οι αρχαίοι Έλληνες ήταν εκείνοι που την απάλλαξαν από τις αστρολογικές δοξασίες και την ανέδειξαν σε επιστήµη. Με το πέρασµα του χρόνου, η απλή παρατήρηση της κίνησης των διαφόρων ουρανίων σωµάτων συµπληρώθηκε µετρώντας και αναλύοντας την ακτινοβολία που φθάνει στη Γη από το ιάστηµα, «δηµιουργώντας» έτσι την Αστροφυσική. Αλλά η Αστροφυσική δεν είναι όπως οι άλλες εργαστηριακές επιστήµες, όπου αυτός που κάνει κάποιο πείραµα µπορεί να µεταβάλλει και να ελέγχει το περιβάλλον και τις συνθήκες κάτω από τις οποίες τούτο εκτελείται. Εδώ, το πείραµα γίνεται στο ιάστηµα και ο αστροφυσικός παίρνει διάφορες πληροφορίες από τις παρατηρήσεις του, υποθέτοντας ότι οι ίδιοι φυσικοί νόµοι που ισχύουν στο εργαστήριο ισχύουν και σε κάθε σηµείο του ιαστήµατος. Μεγάλο µέρος της γνώσης µας για το ιάστηµα έχει επιτευχθεί από παρατηρήσεις που έγιναν και ακόµη γίνονται από την Γη. Αλλά η διέλευση της ακτινοβολίας µέσα από τη γήινη ατµόσφαιρα έχει ως αποτέλεσµα την παραµόρφωσή της από τον αυξηµένο «θόρυβο». Και είναι ευτύχηµα που καταφέρνουµε να τον ελαττώσουµε, ώστε να την µελετήσουµε. Όµως η καλλίτερη µελέτη γίνεται µε παρατηρήσεις από το ιάστηµα. Για το λόγο αυτό και µε την ανάπτυξη της τεχνολογίας έχουν τεθεί σε τροχιά πολλά διαστηµικά παρατηρητήρια τα οποία συλλέγουν την ακτινοβολία, που εκπέµπεται από τα ουράνια σώµατα στις διάφορες περιοχές του ηλεκτρο- µαγνητικού φάσµατος, χωρίς την παρεµβολή της γήινης ατµόσφαιρας. Η µοναδική πηγή πληροφοριών που διαθέτουµε για την µελέτη των ουρανίων σωµάτων και φαινοµένων είναι, όπως ήδη αναφέρθηκε, οι κάθε είδους ακτινοβολίες που εκπέµπονται από αυτά. Η ακτινοβολία που φθάνει στην Γη από κάποιον αστέρα είναι δυνατόν: 1) να έχει θερµική προέλευση 2) να είναι ακτινοβολία σύγχροτρον ή 3) να είναι ακτινοβολία πλάσµατος. Προέρχεται από τα επιφανειακά στρώµατα του αστέρα τα οποία εξ ορισµού αποτελούν την ατµόσφαιρά του. Οι ακτινοβολίες ύστερα από ταξίδι χιλιάδων, εκατοµµυρίων και δισεκατοµµυρίων ετών φθάνουν στην Γη παρέχοντας πολύτιµες πληροφορίες τόσο για τις πηγές από τις οποίες προήλθαν όσο και για τον µεσοαστρικό χώρο απ όπου πέρασαν. Η γήινη ατµόσφαιρα απορροφά, όπως είναι γνωστό, το µεγαλύτερο µέρος των ακτινοβολιών του ηλεκτροµαγνητικού φάσµατος και είναι διαφανής µόνο σε ορισµένες περιοχές του που είναι γνωστές ως παράθυρα (windows).

2 Στο σχήµα Ε.1 δίνονται τα διάφορα παράθυρα παρατήρησης καθώς επίσης οι συχνότητες ν και τα µήκη κύµατος λ της παρατήρησης, οι ενέργειες Ε και οι θερµοκρασίες Τ που παρατηρούνται. Σχήµα Ε.1: Σχηµατική παράσταση των διαφόρων περιοχών παρατήρησης Το πρώτο γνωστό παράθυρο ήταν το οπτικό (3000Å Å) κι έτσι στην αρχή αναπτύχθηκε η Οπτική Αστρονοµία που στηρίζεται στην οπτική παρατήρηση µε γυµνό µάτι ή µε τηλεσκόπιο. Αργότερα, κατά τον δεύτερο παγκόσµιο πόλεµο, ανακαλύφθηκε το ράδιο-παράθυρο στην περιοχή των µικροκυµάτων και των ραδιοκυµάτων. Με την ανακάλυψή του αναπτύχθηκε η Ραδιοαστρονοµία. 'Ενα τρίτο παράθυρο ανακαλύφθηκε το 1961 στην περιοχή του υπέρυθρου µε την χρησιµοποίηση ειδικών οργάνων ευαίσθητων στα µεγάλα µήκη κύµατος και τη διαπίστωση ότι αρκετά ουράνια σώµατα εκπέµπουν µεγάλα ποσά ενέργειας και σ αυτήν την περιοχή του ηλεκτροµαγνητικού φάσµατος. 'Ετσι αναπτύχθηκε η Αστρονοµία του Υπέρυθρου. Και για να ολοκληρωθεί η εικόνα των αστρονοµικών παρατηρήσεων από την Γη αναφέρουµε την κοσµική ακτινοβολία που κι αυτή «διαπερνά» τη γήινη ατµόσφαιρα. Με την ανάπτυξη των τεχνητών δορυφόρων έγινε δυνατή η εκτέλεση αστρονοµικών παρατηρήσεων έξω από την ατµόσφαιρα της Γης. Αυτό είχε ως αποτέλεσµα να ανακαλυφθεί ότι πολλά ουράνια σώµατα εκπέµπουν τεράστια ποσά ενέργειας και σε άλλες περιοχές του ηλεκτροµαγνητικού φάσµατος όπως στις περιοχές των ακτίνων Χ, των ακτίνων γ και το άπω υπεριώδες. 'Ετσι αναπτύχθηκαν οι αντίστοιχοι νέοι κλάδοι της Αστροφυσικής π.χ. Αστροφυσική υψηλών ενεργειών κλπ. Σε κάθε είδους Αστρονοµική παρατήρηση απαιτείται κάποιο βασικό όργανο για την συλλογή της ακτινοβολίας που εκπέµπεται από τα διάφορα ουράνια σώµατα, ένας συλλέκτης ακτινοβολίας όπως λέγεται. Στην περίπτωση του οπτικού παράθυρου, ως συλλέκτης ακτινοβολίας χρησιµοποιείται ένα οπτικό τηλεσκόπιο, για το ραδιοπαράθυρο κάποιο ραδιοτηλεσκόπιο, κλπ. Χρησιµοποιούνται επίσης διάφορα βοηθητικά όργανα µε την βοήθεια των οποίων γίνεται η ανάλυση και η µελέτη της ακτινοβολίας που συγκεντρώθηκε µε τον συλλέκτη. Αυτά µπορούν να χωριστούν σε τρεις κατηγορίες: 1) Ανιχνευτές ή έκτες (π.χ. µάτι, φωτογραφική πλάκα, δέκτης ραδιοκυµάτων, φωτοκύτταρο). 2) Αναλύτες (π.χ. φασµατογράφοι, πολωτές, διάφοροι ηθµοί) & 3) 'Οργανα Μέτρησης (π.χ. φωτόµετρα, µικρόµετρα, διάφορες µετρητικές µηχανές). 2

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΧΡΟΝΟΣ 1.1 Ουράνια σφαίρα Βασικοί ορισµοί Για να ορίσουµε τις θέσεις των αστέρων, τους θεωρούµε να προβάλλονται σαν σηµεία στην εσωτερική επιφάνεια µιας φανταστικής σφαίρας µε αυθαίρετη ακτίνα και κέντρο το µάτι του παρατηρητή. Τη φανταστική αυτή σφαίρα ονοµάζουµε Ουράνια σφαίρα. Η ουράνια σφαίρα είναι δηλαδή η σφαίρα που στην εσωτερική της επιφάνεια θεωρούµε ότι προβάλλονται τα ουράνια σώµατα. Και τούτο γιατί λόγω των τεραστίων αποστάσεων των αστέρων δεν µπορούµε να εκτιµήσουµε τις πραγµατικές τους αποστάσεις. Εκτός από το µάτι του παρατηρητή, ως κέντρο της ουράνιας σφαίρας µπορούµε να θεωρήσουµε το κέντρο της Γης, ή κάποιον συγκεκριµένο τόπο πάνω σ αυτήν, το κέντρο του Ήλιου κ.α. Έτσι, ανάλογα µε την επιλογή της θέσης του κέντρου της σφαίρας µπορούµε να έχουµε την ίδια ουράνια σφαίρα για όλους τους παρατηρητές ή διαφορετική για κάθε παρατηρητή. Η ευθεία που συνδέει το µάτι του παρατηρητή µ έναν αστέρα ονοµάζεται οπτική ακτίνα και τέµνει την ουράνια σφαίρα σ ένα σηµείο που λέγεται φαινόµενη θέση του αστέρα. Στο σχήµα 1.1 βλέπουµε τις πραγµατικές, Σ 1, Σ 2, Σ 3, Σ 4 και τις φαινόµενες θέσεις Σ 1, Σ 2, Σ 3, Σ 4 για κάποιους αστέρες. Η γωνία υπό την οποία φαίνονται δύο αστέρες ονοµάζεται γωνιώδης απόστασή τους και µετριέται από το τόξο του µεγίστου κύκλου της ουράνιας σφαίρας που διέρχεται από τους δύο αστέρες. Στο σχήµα 1.1, π.χ. η γωνιώδης απόσταση των αστέρων Σ 3 & Σ 4 φαίνεται να είναι πολύ µικρή, ενώ η πραγµατική τους απόσταση πολύ µεγάλη. Σχήµα 1.1: Ουράνια σφαίρα 3

4 Επιπλέον, στο σχήµα 1.2 βλέπουµε τους 7 πιο λαµπρούς αστέρες του αστερισµού της Μεγάλης Άρκτου και τη γωνιώδη απόσταση δύο εξ αυτών, (α,β). Σχήµα 1.2: Γωνιώδης απόσταση δύο αστέρων του αστερισµού της Μεγάλης Άρκτου 1.2 Φαινόµενη διάµετρος και ηµιδιάµετρος ουρανίου σώµατος Γενικά οι αστέρες φαίνονται, ακόµη και µε µεγάλα τηλεσκόπια, ως φωτεινά σηµεία. Είναι δηλαδή σηµειακές πηγές φωτός. Όµως υπάρχουν και κάποια ουράνια σώµατα που παρουσιάζουν δίσκο. Ονοµάζουµε φαινόµενη διάµετρο ή ηµιδιάµετρο ενός ουρανίου σώµατος µε σχεδόν σφαιρικό σχήµα όπως είναι για παράδειγµα ο Ήλιος, η Σελήνη, ή ένας πλανήτης την γωνία µε την οποία ένας παρατηρητής βλέπει την πραγµατική του διάµετρο, D, ή ηµιδιάµετρο, R, αντίστοιχα. Η φαινόµενη διάµετρος/ηµιδιάµετρος ενός ουρανίου σώµατος µετριέται από το τόξο του µέγιστου κύκλου της ουράνια σφαίρας που ορίζεται από τις φαινόµενες θέσεις των άκρων της διαµέτρου του. Έστω ένα ουράνιο σώµα Σ µε διάµετρο D ή ακτίνα R σε απόσταση r από τον παρατηρητή Π, (Σχήµα 1.3). Η γωνία ω υπό την οποία φαίνεται από τον παρατηρητή η ακτίνα ΣΑ=R του ουρανίου αυτού σώµατος είναι η φαινόµενη ηµιδιάµετρος του. Από το τρίγωνο ΠΑΚ έχουµε ότι: R ηµω = (1.1) r Σχήµα 1.3: Φαινόµενη διάµετρος ουρανίου σώµατος Οι φαινόµενες ηµιδιάµετροι των ουρανίων σωµάτων είναι γενικά πολύ µικρές γωνίες, οπότε µπορούµε να προσεγγίσουµε το ηµω µε το ω µετρούµενο σε ακτίνια. Και επειδή ένα ακτίνιο έχει δευτερόλεπτα τόξου, (arc sec, ), η σχέση (1.1) γίνεται: R ω = '' (1.2) r Επιπλέον, επειδή οι αποστάσεις των διαφόρων ουρανίων σωµάτων µεταβάλλονται είναι προφανές ότι µεταβάλλονται και οι τιµές της φαινόµενης ηµιδιαµέτρου τους. Για παράδειγµα η µέση τιµή της φαινόµενης ηµιδιαµέτρου του Ήλιου είναι ω = 16 και της Σελήνης ω = 15. 4

5 ηλαδή η πανσέληνος καταλαµβάνει στον ουρανό µισή µοίρα περίπου, (Σχήµα 1.4). Οι ακριβείς τιµές των φαινόµενων ηµι-διαµέτρων του Ήλιου και της Σελήνης υπολογίζονται για κάθε ηµέρα και αναφέρονται στις αστρονοµικές εφηµερίδες. Εκεί βρίσκουµε και τις τιµές της φαινόµενης διαµέτρου όλων των µεγάλων πλανητών του ηλιακού µας συστήµατος. Για παράδειγµα αναφέρουµε ότι η φαινόµενη διάµετρος του πλανήτη Ερµή κυµαίνεται από 4,5 έως 13, ενώ του Ουρανού έχει µια µέση τιµή 2,3. Σχήµα1.4: Φαινόµενη διάµετρος Σελήνης Επιπλέον, επειδή στις σχέσεις (1.1) & (1.2) η απόσταση του ουρανίου σώµατος είναι στον παρονοµαστή και επειδή όλοι οι απλανείς αστέρες βρίσκονται σε τεράστιες αποστάσεις έχουν πολύ µικρές φαινόµενες διαµέτρους, οι οποίες είναι εξαιρετικά δύσκολο να υπολογισθούν. Παρά ταύτα κάποιες µετρήσεις και εκτιµήσεις έχουν γίνει. Για παράδειγµα φαίνεται ότι ο Betelgeuse, (α Ωρίωνα, α Ori), έχει τη µεγαλύτερη φαινόµενη διάµετρο, (0,055 ), ενώ ο πλησιέστερος στη Γη αστέρας µόλις 0, Θέση σηµείου στην επιφάνεια σφαίρας Για να ορίσουµε τη θέση ενός σηµείου πάνω σε µία σφαίρα χρησιµοποιούµε ένα σύστηµα σφαιρικών συντεταγµένων, στο οποίο η ακτίνα της σφαίρας λαµβάνεται ίση µε την µονάδα. Μ αυτόν τον τρόπο η θέση ενός σηµείου πάνω στην σφαίρα καθορίζεται µε τη βοήθεια δύο µόνο συντεταγµένων, όπως και στο επίπεδο. Οι άξονες αναφοράς, αντίστοιχοι των OX, OY, είναι δύο τόξα µεγίστων κύκλων της σφαίρας που τέµνονται κάθετα. Τον µέγιστο κύκλο που ταυτίζουµε µε το επίπεδο OXY τον ονοµάζουµε βασικό κύκλο. Πάνω σ αυτόν και από συγκεκριµένο σηµείο του γίνεται η µέτρηση της µιας συντεταγµένης. Τον µέγιστο κύκλο τον κάθετο προς τον βασικό πάνω στον οποίο µετράµε τη δεύτερη συντεταγµένη τον ονοµάζουµε πρώτο κάθετο. Με τον τρόπο αυτό ορίζονται πάνω στη Γη οι γεωγραφικές συντεταγµένες ενός Τόπου και πάνω στην ουράνια σφαίρα τα διάφορα συστήµατα συντεταγµένων. Η ονοµασία αυτών των τελευταίων προήλθε από τον κύκλο που χρησιµοποιείται ως βασικός. 1.4 Σχέση παράλληλων τόξων µεγάλου και µικρού κύκλου Έστω µια σφαίρα µε κέντρο Ο και ακτίνα ίση µε τη µονάδα. Ή τοµή της από δύο παράλληλα επίπεδα, που το ένα να περνάει από το κέντρο της, θα κύκλοι: ένας µέγιστος και ένας µικρός. Έστω τα τόξα ΑΒ & Α Β πάνω στους δύο αυτούς κύκλους, τα οποία βαίνουν σε ίσες γωνίες, ω, (Σχήµα 1.5). Θέλουµε να βρούµε αν υπάρχει κάποια σχέση ανάµεσα στα τόξα ΑΒ & Α Β. 5

6 Από το Σχήµα (1.5) είναι προφανές ότι: Σχήµα 1.5: Τόξα µικρού και µέγιστου κύκλου (ΑΒ) = (ΑΚ) ω (1.3) (Α Β ) = (Α Ο) ω (1.4) Επιπλέον, από το επίπεδο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΟ: (ΑΚ) = (ΑΟ)συνψ (1.5) Οπότε η σχέση (1.3), λόγω της (1.5) γίνεται: (ΑΒ) = (ΑΟ)συνψ ω (1.6) Επειδή (ΑΟ) = (Α Ο) και λαµβάνοντας υπόψη και την (1.4) καταλήγουµε στη σχέση: (ΑΒ) = (Α Β )συνψ (1.7) 1.5 Γεωγραφικές συντεταγµένες Για να ορίσουµε τη θέση ενός τόπου πάνω στην επιφάνεια της Γης την θεωρούµε σε πρώτη προσέγγιση σφαιρική. Έτσι: α) ο γήινος ισηµερινός είναι ένας µέγιστος κύκλος, ii, που διαιρεί τη Γη στο Βόρειο και στο Νότιο ηµισφαίριο, β) η διεύθυνση της κατακορύφου σε οποιονδήποτε τόπο Τ θα συµπίπτει µε τη διεύθυνση της ακτίνας ΚΤ της σφαίρας µε την οποία έχουµε εξοµοιώσει τη Γη, (Σχήµα 1.6α). Για να ορίσουµε τις συντεταγµένες ενός τόπου Τ, λαµβάνουµε ως βασικό κύκλο τον γήινο ισηµερινό ii και ως πρώτο κάθετο τον µεσηµβρινό του Greenwich, πgπ G Ι, ο οποίος διαιρεί τη Γη στο Ανατολικό και υτικό ηµισφαίριο, όπου G η θέση του Greenwich. Υποθέτοντας ότι ο µεσηµβρινός του Greenwich τέµνει τον ισηµερινό στο σηµείο G Ι, η θέση ενός τόπου Τ, του οποίου ο µεσηµβρινός τέµνει τον γήινο ισηµερινό στο σηµείο Τ Ι, καθορίζεται µε τη βοήθεια των τόξων G Ι T Ι και Τ Ι Τ. Το τόξο G Ι T Ι είναι το µέτρο της δίεδρης γωνίας που σχηµατίζουν οι µεσηµβρινοί του τόπου και του Greenwich και ονοµάζεται γεωγραφικό µήκος λ, geographic longitude, του τόπου. Μετριέται πάνω στο γήινο ισηµερινό µε αρχή το σηµείο G Ι και παίρνει τιµές από 0 ο έως 180 ο ή από 0 h έως 12 h. Οι αρνητικές τιµές είναι για τόπους ανατολικά του Greenwich και οι θετικές για τους τόπους που βρίσκονται δυτικά του. 6

7 Σχήµα 1.6α: Γεωγραφικές συντεταγµένες Τόπου Τ Σχήµα 1.6δ: Ζώνες της Γης Το τόξο T Ι Τ είναι το µέτρο της γωνίας που σχηµατίζεται από την κατακόρυφο του τόπου και το επίπεδο του γήινου ισηµερινού, δείχνει την «απόσταση» του τόπου από τον ισηµερινό και λέγεται γεωγραφικό πλάτος φ, geographic latitude, του τόπου. Μετριέται πάνω στον µεσηµβρινό του τόπου µε αρχή το σηµείο T Ι του ισηµερινού και παίρνει θετικές τιµές (0 ο έως +90 ο ) προς τον βόρειο πόλο της Γης και αρνητικές (0 ο έως -90 ο ) για τόπους του νοτίου ηµισφαιρίου. Στο σχήµα 1.6δ βλέπουµε τη διαίρεση της Γης σε ζώνες Παρατηρούµε ότι θεωρώντας την Γη σφαιρική η διεύθυνση της κατακορύφου, ΤΖ, του τόπου Τ θα διέρχεται από το κέντρο της και θα σχηµατίζει µε τον ισηµερινό γωνία ίση προς το γεωγραφικό πλάτος φ του τόπου. Οι ευθείες ΠΠ (άξονας του κόσµου) και ΤΖ (διεύθυνση της κατακορύφου) ορίζουν τη θέση ενός επιπέδου, του οποίου η τοµή µε την ουράνια σφαίρα (µέγιστος κύκλος ΠΖΠ στο σχήµα 1.7) αποτελεί τον ουράνιο µεσηµβρινό του τόπου Τ. Είναι προφανές ότι τα επίπεδα του γήινου και του ουράνιου µεσηµβρινού του τόπου ταυτίζονται. Καταλήγουµε λοιπόν στο συµπέρασµα ότι: για να κατασκευάσουµε την ουράνια σφαίρα για κάποιο τόπο αρκεί να γνωρίζουµε το γεωγραφικό του πλάτος. Γήινος & Ουράνιος Μεσηµβρινός τόπου Τ Σχήµα 1.7: Από τη σφαίρα της Γης στην Ουράνια σφαίρα 7

8 1.6 Κατασκευή ουράνιας σφαίρας σε τόπο µε γεωγραφικό πλάτος φ Η διεύθυνση της κατακορύφου σ έναν τόπο τέµνει την ουράνια σφαίρα στα σηµεία Ζ (ζενίθ) και ν (ναδίρ). Το επίπεδο το κάθετο προς την ευθεία Ζν, το οποίο διέρχεται από το κέντρο της ουράνιας σφαίρας, την τέµνει κατά τον µέγιστο κύκλο ΒΝ που είναι ο ορίζοντας του τόπου, (Σχήµα 1.8). Ο άξονας του κόσµου ΠΠ και η κατακόρυφος ενός τόπου Ζν καθορίζουν, όπως ήδη αναφέραµε, τον µεσηµβρινό του τόπου. Επιπλέον, ο µεσηµβρινός ενός τόπου µπορεί να ορισθεί από την κατακόρυφο και τη διεύθυνση Βορράς-Νότος του τόπου, η οποία λέγεται µεσηµβρινή γραµµή, (ΒΝ). Επειδή η διεύθυνση της κατακορύφου σχηµατίζει µε τον ισηµερινό γωνία ίση µε το γεωγραφικό πλάτος του τόπου, φ, η θέση του ισηµερινού θα είναι γνωστή αν γνωρίζουµε το φ. Μεσηµβρινός τόπου Τ Σχήµα 1.8: Ουράνια σφαίρα σε τόπο Τ Έστω ότι θέλουµε να κατασκευάσουµε την ουράνια σφαίρα για τόπο µε φ>0 και περίπου 38 ο, όπως για την Αθήνα. Αφού φέρουµε την κατακόρυφο και βρούµε τα σηµεία Ζ & ν, τοποθετούµε τον ισηµερινό Ι Ι έτσι ώστε η γωνιώδης απόσταση του Ζ από το Ι να είναι ίση µε το φ. Αλλά τότε και η γωνιώδης απόσταση των Π & Β θα είναι ίση µε φ, γιατί οι γωνίες ΖΟΙ & ΠΟΒ έχουν κάθετες πλευρές. Γι αυτό το λόγο, (και αφού έχουµε φτιάξει τον µεσηµβρινό του τόπου µε τη βοήθεια της κατακορύφου και της µεσηµβρινής γραµµής), αντί να φέρουµε τη θέση του ισηµερινού φέρνουµε τη θέση του άξονα του κόσµου ΠΠ µε τον βόρειο ουράνιο πόλο, Π, να απέχει από το βορρά του τόπου, Β, γωνιώδη απόσταση ίση µε το γεωγραφικό πλάτος φ. Το τόξο ΒΠ ονοµάζεται έξαρµα του Βόρειου Πόλου. Το ηµικύκλιο ΖΣν λέγεται κατακόρυφος του αστέρα Σ, ενώ ο µικρός κύκλος ο παράλληλος προς τον ορίζοντα που διέρχεται από το σηµείο Σ, λέγεται οριζόντιος κύκλος ή κύκλος ύψους του αστέρα. ηλαδή ο κατακόρυφος του αστέρα είναι ο µέγιστος κύκλος που διέρχεται από τον αστέρα και έχει διάµετρο την κατακόρυφο στον τόπο, (ή η τοµή της ουράνιας σφαίρας µε το επίπεδο που ορίζεται από την κατακόρυφο του τόπου Ζν και τον αστέρα Σ), εξ ου και το όνοµά του. 8

9 Η τοµή του ορίζοντα ενός τόπου µε τον ουράνιο ισηµερινό είναι η ευθεία Α. Αυτή είναι κάθετη προς την µεσηµβρινή γραµµή και ορίζει µε αυτήν τα τέσσερα σηµεία του ορίζοντα: Βορρά (Β), Νότο (Ν), Ανατολή (Α) και ύση ( ), (Σχήµα 1.8). Επιπλέον η Α είναι κάθετη στον µεσηµβρινό του τόπου λόγω καθετότητας µε τις ΒΝ & Ζν και γι αυτό λέγεται άξονας του µεσηµβρινού. Ο κατακόρυφος που διέρχεται από ανατολή και δύση λέγεται πρώτος κατακόρυφος ή πρώτος κάθετος του τόπου. 1.7 Ορίζοντας Βάθος Έκταση Ο ορίζοντας, ΒΑΝ, όπως τον ορίσαµε προηγουµένως είναι ο µαθηµατικός ορίζοντας του τόπου και δεν πρέπει να συγχέεται µε τον αστρονοµικό ή τον φυσικό ορίζοντα. Στο σχήµα 1.9 βλέπουµε τη διαφορά ανάµεσά τους: Λαµβάνοντας το κέντρο της Γης ως κέντρο της ουράνιας σφαίρας και θεωρώντας ένα παρατηρητή Π σε κάποιο ύψος h από την επιφάνεια της Γης, τότε το επίπεδο που περνάει από το µάτι του παρατηρητή Π και είναι κάθετο στη διεύθυνση της κατακορύφου τέµνει την ουράνια σφαίρα κατά ένα µικρό κύκλο Β α Ν α που είναι ο αστρονοµικός ορίζοντας του τόπου. Επιπλέον, ο κώνος µε κορυφή το µάτι του παρατηρητή Π, που εφάπτεται στη Γη κατά ένα µικρό κύκλο, χωρίζει το ορατό από το µη ορατό µέρος του ουρανού από αυτόν. Ο κώνος τέµνει την ουράνια σφαίρα κατά τον κύκλο Β φ Ν φ που είναι ο φυσικός ορίζοντας του τόπου στον οποίο βρίσκεται ο παρατηρητής Π. Είναι προφανές ότι τόσο ο αστρονοµικός, όσο και ο φυσικός ορίζοντας είναι παράλληλοι προς τον µαθηµατικό ορίζοντα ή απλά τον ορίζοντα του τόπου, Β ΝΑ. Σχήµα 1.9: Ορίζοντας βάθος & έκταση Η γωνία ανάµεσα στον αστρονοµικό ορίζοντα και την εφαπτοµένη στη Γη, δηλαδή τη γωνία Ν φ ΠΝ α, ονοµάζεται βάθος του ορίζοντα, β. Ενώ το τόξο ΑΓ 1 πάνω στην επιφάνεια της Γης αποτελεί την έκταση του ορίζοντα. Από το ορθογώνιο επίπεδο τρίγωνο ΠΚΓ 1 έχουµε ότι: συνβ=r/(r+h) ηµ(β/2)= h/2(r+h). Και επειδή το h είναι συνήθως µικρό σε σύγκριση µε την ακτίνα της Γης, R, έχουµε ότι: β= 2h/R σε rad. Επιπλέον, από τη γνωστή τιµή της R καταλήγουµε στη σχέση: β = 1,93h. Τέλος, η έκταση του ορίζοντα ΑΓ 1 υπολογίζεται από τις σχέσεις: ΑΓ 1 =Rβ ή ΑΓ 1 = 3,57h σε Km. 9

10 1.8 Οριζόντιες συντεταγµένες Στο σύστηµα οριζοντίων συντεταγµένων θεωρούµε ως βασικό κύκλο τον ορίζοντα του τόπου, ΒΑΝ, και ως πρώτο κάθετο τον κατακόρυφο του αστέρα, δηλαδή το ηµικύκλιο ΖΣν. Η θέση του αστέρα Σ καθορίζεται µε τη βοήθεια των τόξων ΝΣ ο και Σ ο Σ, (Σχήµατα 1.10, 1.11). Από αυτά το ΝΣ ο λέγεται αζιµούθιο Α, azimuth, του αστέρα, ενώ το Σ ο Σ λέγεται ύψος υ, altitude. Στην πραγµατικότητα το αζιµούθιο είναι η δίεδρη γωνία που σχηµατίζεται από τον κατακόρυφο του Νότου και τον κατακόρυφο του αστέρα. Η δίεδρη αυτή γωνία µπορεί να µετρηθεί από την αντίστοιχη επίπεδη ΝΟΣ ο ή από το τόξο ΝΣ ο. Γι αυτό και χάριν απλουστεύσεως αναφέρθηκε προηγουµένως ότι το αζιµούθιο είναι το τόξο ΝΣ ο. Το αζιµούθιο µετριέται πάνω στον ορίζοντα από 0 ο µέχρι 360 ο κατά την ανάδροµη φορά και µε αρχή το σηµείο Ν, δηλαδή το Νότο. (Στη Γεωδαισία µπορεί να µετρηθεί και από το Βορρά προς τη ύση ή την Ανατολή, οπότε και µετράται από 0 ο µέχρι 180 ο ). Το ύψος δείχνει τη γωνιώδη απόσταση ενός ουρανίου σώµατος από τον ορίζοντα του τόπου. Μετριέται πάνω στον κατακόρυφο του αστέρα, µε αρχή το σηµείο Σ ο, και παίρνει τιµές από 0 ο µέχρι ±90 ο, ανάλογα αν είναι πάνω(+) ή κάτω( ) από τον ορίζοντα. Αντί του ύψους µπορούµε να θεωρήσουµε τη γωνιώδη απόσταση του αστέρα από το ζενίθ του τόπου, Ζ, η οποία ονοµάζεται ζενίθια ή ζενιθιακή απόσταση, z, του αστέρα. Η z µετράται πάνω στον κατακόρυφο του αστέρα µε αρχή µέτρησης το Ζ, από 0 ο µέχρι 180 ο. Είναι προφανές ότι το ύψος και η ζενιθιακή απόσταση ενός αστέρα είναι τόξα συµπληρωµατικά, δηλαδή ισχύει: z = 90 ο -υ. Το αζιµούθιο και το ύψος αποτελούν τις οριζόντιες συντεταγµένες ενός αστέρα. Σχήµα 1.10: Οριζόντιες & Ισηµερινές συντεταγµένες Oι οριζόντιες συντεταγµένες συνδέονται άµεσα µε τον ορίζοντα και τον µεσηµβρινό ενός συγκεκριµένου τόπου και εποµένως αποτελούν ένα τοπικό σύστηµα συντεταγ- µένων. Χρησιµοποιούνται λοιπόν µόνο όταν θέλουµε να µελετήσουµε τις κινήσεις των ουράνιων σωµάτων ως προς τον ορίζοντα και τον µεσηµβρινό του τόπου. Επιπλέον, κατά τη διάρκεια της φαινόµενης ηµερήσιας περιστροφής της ουράνιας σφαίρας οι οριζόντιες συντεταγµένες µεταβάλλονται. 10

11 1.9 Ισηµερινές συντεταγµένες Στο σύστηµα αυτό βασικός κύκλος λαµβάνεται ο ουράνιος ισηµερινός, Ι ΑΙ, και πρώτος κάθετος ο ωριαίος του αστέρα, ΠΣΠ. Αυτός προέρχεται από την τοµή της ουράνιας σφαίρας µε το επίπεδο που ορίζουν ο Σ και ο ΠΠ, (Σχήµατα 1.10 & 1.11). Τότε, η θέση του αστέρα Σ καθορίζεται µε τη βοήθεια των τόξων ΙΣ Ι και Σ Ι Σ. Το τόξο ΙΣ Ι ονοµάζεται ωριαία γωνία, Η, (hour angle) µετριέται πάνω στον ουράνιο ισηµερινό µε αρχή το σηµείο Ι κατά την ανάδροµη φορά και παίρνει τιµές από 0 ο µέχρι 360 ο ή από 0 έως 24 ώρες. (Και η ωριαία γωνία είναι µια δίεδρη γωνία: µεταξύ του ωριαίου του Νότου και του ωριαίου του αστέρα). Το τόξο Σ Ι Σ, που δείχνει το πόσο απέχει ο αστέρας από τον ουράνιο ισηµερινό ονοµάζεται απόκλιση, δ, (declination). Μετριέται πάνω στον ωριαίο κύκλο του αστέρα µε αρχή το σηµείο Σ Ι και παίρνει τιµές από 0 ο έως ±90 ο, (θετικές για αστέρες του βόρειου και αρνητικές για του νοτίου ηµισφαιρίου). Το συµπληρωµατικό τόξο, Ρ, της απόκλισης ονοµάζεται πολική απόσταση P (polar distance) του αστέρα και είναι προφανώς Ρ = 90 ο -δ. Η πολική απόσταση του αστέρα είναι δηλαδή η γωνιώδης του απόσταση από τον βόρειο ουράνιο πόλο Π. Μετριέται πάνω στον ωριαίο του αστέρα από 0 ο έως 180 ο. Η ωριαία γωνία και η απόκλιση ενός αστέρα αποτελούν τις ισηµερινές του συντεταγµένες. Καθώς η ουράνια σφαίρα φαίνεται να περιστρέφεται από τα ανατολικά προς τα δυτικά, η ωριαία γωνία ενός σηµείου της ουράνιας σφαίρας αυξάνει οµαλά µε το χρόνο. Γι αυτό η ωριαία γωνία χρησιµοποιείται για τη µέτρηση του χρόνου. Οι ισηµερινές, όπως και οι οριζόντιες συντεταγµένες, είναι ένα τοπικό σύστηµα συντεταγµένων γιατί εξαρτώνται από τον τοπικό µεσηµβρινό. Σχήµατα 1.11: Οριζόντιες & Ισηµερινές συντεταγµένες αστέρα Πρώτο τρίγωνο θέσης αστέρα Από τον µεσηµβρινό του Τόπου, την κατακόρυφο του αστέρα και τον ωριαίο του κύκλο σχηµατίζεται στην επιφάνεια της ουράνιας σφαίρας ένα σφαιρικό τρίγωνο, ένα πρώτο τρίγωνο θέσης του αστέρα. (Λεπτοµέρειες για τα σφαιρικά τρίγωνα δίνονται παρακάτω). 11

12 1.10 Αµφιφανείς, αειφανείς και αφανείς αστέρες Η ουράνια σφαίρα, λόγω της περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της από δυτικά προς ανατολικά, φαίνεται να περιστρέφεται γύρω απ τον ίδιο άξονα από την ανατολή προς τη δύση. Έτσι δηµιουργείται η εντύπωση ότι ολόκληρος ο «κόσµος» περιστρέφεται γύρω από αυτόν τον άξονα, ΠΠ, εξ ου και το όνοµά του άξονας του κόσµου. Για έναν παρατηρητή στο βόρειο ηµισφαίριο και στραµµένο προς το νότο, η φαινόµενη περιστροφή της ουράνιας σφαίρας συµπίπτει µε τη φορά κίνησης των δεικτών του ωρολογίου. Τη φορά αυτή ονοµάζουµε ανάδροµη και την αντίθετή της ορθή. Λόγω της φαινόµενης περιστροφής της ουράνιας σφαίρας οι αστέρες φαίνονται να διαγράφουν µικρούς κύκλους παράλληλους προς τον ουράνιο ισηµερινό. Αυτοί αποτελούν την φαινόµενη ηµερήσια τροχιά των διαφόρων αστέρων, η οποία δεν είναι παρά ο κύκλος απόκλισης του αστέρα, (Σχήµα 1.12). Η φαινόµενη ηµερήσια τροχιά ενός αστέρα, ανάλογα µε το γεωγραφικό πλάτος του τόπου και την απόκλιση του αστέρα, µπορεί να τέµνει ή όχι τον ορίζοντα του τόπου. Αν ο κύκλος απόκλισης του αστέρα. τέµνει τον ορίζοντα του τόπου ο αστέρας είναι αµφιφανής για τον τόπο, δηλαδή ανατέλλει και δύει στον τόπο. Σε ενάντια περίπτωση ο αστέρας µπορεί να είναι είτε αειφανής είτε αφανής για τον τόπο. Σχήµα 1.12: Φαινόµενες ηµερήσιες τροχιές για τις τρεις κατηγορίες αστέρων Στην περίπτωση ενός αµφιφανούς αστέρα Σ, που κινείται κατά τη φορά του βέλους διαγράφοντας τον κύκλο απόκλισής του, τα σηµεία Σ Α, Σ είναι τα σηµεία όπου ανατέλλει και δύει ο αστέρας στον τόπο, (Σχήµα 1.12). Στα σηµεία Σ ΑΜ και Σ ΚΜ, όπου ο κύκλος απόκλισης του αστέρα τέµνει τον µεσηµβρινό του τόπου, ο αστέρας µεσουρανεί άνω και κάτω, αντίστοιχα. Το τόξο Σ Α Σ ΑΜ Σ που βρίσκεται πάνω από τον ορίζοντα του τόπου λέγεται ηµερήσιο τόξο του αστέρα, ενώ το Σ Σ ΚΜ Σ Α, που βρίσκεται κάτω από αυτόν αποτελεί το νυχτερινό τόξο. Επιπλέον, επειδή η Σ Α Σ είναι κάθετη στον µεσηµβρινό του τόπου θα είναι κάθετη και στην ευθεία Σ ΑΜ Σ ΚΜ και εποµένως το ηµερήσιο και το νυχτερινό τόξο ενός αµφιφανούς αστέρα διχοτοµείται από το επίπεδο του µεσηµβρινού του τόπου. 12

13 Αποδεικνύεται εύκολα ότι ένας αστέρας Σ(δ) σε τόπο γεωγραφικού πλάτους φ είναι: αµφιφανής, εάν 180 -φ>90 -δ>φ αειφανής, εάν 90 -δ<φ } (1.8) αφανής, εάν 90 -δ>180 -φ Επιπλέον αν φ=90 -δ, ο αστέρας έχει ένα κοινό σηµείο µε τον ορίζοντα (τον Βορρά), ενώ εάν 180 -φ=90 -δ το κοινό τους σηµείο είναι ο Νότος Μεσουράνηση αστέρα Ένας αστέρας διαγράφοντας την ηµερήσια κίνησή του βρίσκεται στον µεσηµβρινό του τόπου στα σηµεία Σ ΑΜ και Σ ΚΜ, στα οποία όπως ήδη αναφέρθηκε µεσουρανεί πάνω και κάτω από τον ορίζοντα, αντίστοιχα, (Σχήµα 1.12). Στα σηµεία αυτά η ωριαία γωνία του αστέρα γίνεται Η=0 και Η=12 h, αντίστοιχα. Στις θέσεις αυτές µπορούµε να βρούµε απλές σχέσεις που συνδέουν το ύψος, ή τη ζενιθιακή απόσταση του αστέρα, µε την απόκλισή του και το γεωγραφικό πλάτος του Τόπου. Από το σχήµα 1.12 παρατηρούµε ότι αν η άνω µεσουράνηση ενός αστέρα γίνεται προς Νότο του Ζενίθ του τόπου, η φαινόµενη ηµερήσια τροχιά του τέµνει τον πρώτο κατακόρυφο του τόπου. Ενώ, αν η άνω µεσουράνηση γίνεται προς Βορρά του Ζενίθ του τόπου, δεν τον τέµνει. Αποδεικνύεται εύκολα ότι κατά την άνω µεσουράνηση ενός αστέρα Σ(δ) σε τόπο γεωγραφικού πλάτους φ, ισχύει η σχέση: φ=δ±z (1.9) Όπου το συν, +, ισχύει όταν ο αστέρας µεσουρανεί άνω προς Νότο του Ζενίθ του τόπου και το µείον,, εάν η άνω µεσουράνηση γίνεται προς Βορράν του Ζενίθ του τόπου. Επιπλέον, τα ύψη στην άνω, υ α, και κάτω, υ κ, µεσουράνηση ενός αειφανούς αστέρα και το γεωγραφικό πλάτος του τόπου, φ, συνδέονται µε τη σχέση: φ=(½)(υ α +υ κ ) (1.10) Ενώ παρόµοιες σχέσεις συνδέουν το φ µε τα ύψη υ α και υ κ, του αστέρα, εάν είναι αµφιφανής ή αφανής στον τόπο. ΚΙΝΗΣΗ ΤΗΣ ΓΗΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΗΣ 1.11 Μορφές ουράνιας σφαίρας σε τόπους µε διάφορα γεωγραφικά πλάτη Η µορφή που έχει η ουράνια σφαίρα σ έναν τόπο εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος του τόπου, εφ όσον από αυτό εξαρτάται η θέση του βόρειου ουράνιου πόλου Π και κατ επέκταση του ουράνιου ισηµερινού. Στο σχήµα (1.13 Α,Β,C) παρουσιάζονται οι διαφορετικές µορφές της ουράνιας σφαίρας για παρατηρητή στον Ισηµερινό (φ=0 ), στον βόρειο Πόλο (φ=90 ) και για παρατηρητή του νοτίου ηµισφαιρίου (φ<0 ), αντίστοιχα. 13

14 Η µορφή της ουράνιας σφαίρας για παρατηρητή στον ισηµερινό, επειδή φ=βπ=0, ο άξονας του κόσµου βρίσκεται στον ορίζοντα του παρατηρητή. Έτσι ο ισηµερινός και οι κύκλοι απόκλισης των αστέρων είναι κάθετοι στον ορίζοντα και διχοτοµούνται από αυτόν µε αποτέλεσµα όλοι οι αστέρες να είναι αµφιφανείς µε τα ηµερήσια και νυχτερινά τους τόξα ίσα. Αυτή η µορφή της ουράνιας σφαίρας ονοµάζεται ορθή. Στην περίπτωση που ο παρατηρητής βρίσκεται στους πόλους: ΒΠ=φ=±90. Εποµένως ο βόρειος πόλος Π της ουράνιας σφαίρας συµπίπτει είτε µε το ζενίθ, Ζ, ή µε το ναδίρ, ν, του τόπου. Οι κύκλοι απόκλισης των αστέρων για ένα τέτοιο παρατηρητή θα είναι παράλληλοι προς τον ορίζοντα του τόπου. Για το λόγο αυτό η µορφή της ουράνιας σφαίρας για παρατηρητή στους πόλους ονοµάζεται παράλληλη. Εδώ οι αστέρες, ανάλογα µε την απόκλισή τους, είναι ή αφανείς ή αειφανείς. Τέλος, για φ>0 ή φ<0 η µορφή της ουράνιας σφαίρας ονοµάζεται πλάγια καθώς οι φαινόµενες ηµερήσιες τροχιές των αστέρων τέµνουν πλάγια τον ορίζοντα του τόπου. Σχήµατα 1.13: Μορφές Ουράνιας Σφαίρας για τον Ισηµερινό, Αριστερά, τον Β. Πόλο, Μέσο, και για µέσα νότια γεωγραφικά πλάτη, εξιά,όµοια µε τα δικά µας βόρεια ΚΙΝΗΣΗ ΤΗΣ ΓΗΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΟΝ ΗΛΙΟ 1.12 Εκλειπτική Η Γη κινείται γύρω από τον Ήλιο κατά την ορθή φορά, µε σταθερή εµβαδική ταχύτητα, και διαγράφει σε ένα έτος µία ελλειπτική τροχιά που τη µια της εστία κατέχει ο Ήλιος. Αποτέλεσµα της κίνησης αυτής είναι µια φαινόµενη κίνηση του Ηλίου πάνω στην ουράνια σφαίρα κατά την ορθή φορά και κατά 1 ο περίπου την ηµέρα. Αν θεωρήσουµε την ουράνια σφαίρα µε κέντρο τον Ήλιο, τότε η κίνηση της Γης από τη θέση Γ 1 στη θέση Γ 2 προκαλεί φαινόµενη κίνηση του Ήλιου πάνω στην ουράνια σφαίρα από τη θέση Η 1 στη θέση Η 2, (Σχήµα 1.14). Η τοµή της ουράνιας σφαίρας από την προέκταση του επιπέδου της γήινης τροχιάς είναι η τροχιά της φαινόµενης ετήσιας κίνησης του Ηλίου και ονοµάζεται Εκλειπτική. Το επίπεδο της Εκλειπτικής σχηµατίζει µε τον Ισηµερινό γωνία ε=23 ο 27' που ονοµάζεται λόξωση της Εκλειπτικής. Η διάµετρος ΡΡ της ουράνιας σφαίρας, που είναι κάθετος στο επίπεδο της Εκλειπτικής, λέγεται άξονας της Εκλειπτικής και τα σηµεία Ρ και Ρ, βόρειος και νότιος πόλος της Εκλειπτικής, αντίστοιχα. 14

15 Σχήµα 1.14: Η Εκλειπτική Η Εκλειπτική και ο Ισηµερινός τέµνονται κατά τη διάµετρο γγ που ονοµάζεται γραµµή των ισηµερινών. Επιπλέον, ο µέγιστος κύκλος γπγ Π είναι γνωστός και ως κόλουρος των ισηµεριών. Το σηµείο γ ονοµάζεται εαρινό ισηµερινό σηµείο ή αναβιβάζων σύνδεσµος (εκεί προβάλλεται ο Ήλιος στις 21 Μαρτίου, και έχει απόκλιση δ Η =0 ο ), ενώ το γ ονοµάζεται φθινοπωρινό ισηµερινό σηµείο ή καταβιβάζων σύνδεσµος (εκεί προβάλλεται ο ήλιος στις 22 Σεπτεµβρίου οπότε και πάλι δ Η =0 ο ). Τη διάµετρο Ε Ε της Εκλειπτικής, την κάθετο στη γ γ, ονοµάζουµε γραµµή των ηλιοστασίων ή γραµµή των τροπών. Το σηµείο Ε λέγεται θερινό ηλιοστάσιο (εκεί προβάλλεται ο Ήλιος στις 21 Ιουνίου και έχει δ Η =+23 ο 27'), ενώ το σηµείο Ε λέγεται χειµερινό ηλιοστάσιο (εκεί προβάλλεται ο Ήλιος στις 22 εκεµβρίου και έχει δ Η = 23 ο 27'). Ο Ήλιος κατά την ετήσια κίνησή του προβάλλεται διαδοχικά σε δώδεκα αστερισµούς που βρίσκονται σε µια σφαιρική ζώνη που εκτείνεται 8 ο εκατέρωθεν της εκλειπτικής και λέγεται ζωδιακός κύκλος. Οι αστερισµοί του ζωδιακού κύκλου είναι τα γνωστά µας ζώδια: Κριός, Ταύρος, ίδυµοι, Καρκίνος, Λέων, Παρθένος, Ζυγός, Σκορπιός, Τοξότης, Αιγόκερως, Υδροχόος, Ιχθύες, (Σχήµα & Εικόνα 1.15). Σχήµα & Εικόνα 1.15: Ο Ζωδιακός κύκλος ή η Ζωδιακή Ζώνη 15

16 1.13 Εποχές του έτους Η γραµµή των ισηµερινών γγ και η γραµµή των τροπών Ε Ε διαιρούν την τροχιά της Γης σε τέσσερα άνισα τµήµατα που αντιστοιχούν στις τέσσερις (4) εποχές του έτους, (Σχήµα 1.16). Όπως παρατηρούµε από το σχήµα 1.16, η γραµµή των τροπών δεν συµπίπτει µε τον µεγάλο άξονα της ελλειπτικής τροχιάς της Γης γύρω από τον Ήλιο, γραµµή των αψίδων, αλλά τέµνονται υπό γωνία 11 ο περίπου. Αν αυτές οι δύο ευθείες συνέπιπταν τότε η διάρκεια της Άνοιξης θα ήταν ίδια µε τη διάρκεια του Καλοκαιριού και η διάρκεια του Χειµώνα ίδια µε τη διάρκεια του Φθινοπώρου. Αλλά, λόγω της ύπαρξης της γωνίας των 11 ο περίπου, η Γη βρίσκεται στο περιήλιο της τροχιάς της 11 περίπου ηµέρες µετά το χειµερινό ηλιοστάσιο, δηλαδή περί την 1 η Ιανουαρίου εκάστου έτους. Σχήµα 1.16: Οι εποχές του έτους 1.14 Ουρανογραφικές συντεταγµένες Για τον ορισµό των ουρανογραφικών συντεταγµένων, ως βασικός κύκλος λαµβάνεται ο ουράνιος ισηµερινός Ι ΑΙ και ως πρώτος κάθετος ο ωριαίος του αστέρα. Η θέση του αστέρα Σ καθορίζεται από τα δύο τόξα γσ Ι και Σ Ι Σ, (Σχήµατα 1.17). Σχήµατα 1.17: Ουρανογραφικές & Εκλειπτικές συντεταγµένες αστέρα εύτερο τρίγωνο θέσης αστέρα ( Άποψη της ουράνιας σφαίρας ως προς ολόκληρη τη Γη) Το τόξο γσ Ι ονοµάζεται ορθή αναφορά α (right ascession), µετριέται πάνω στον ουράνιο ισηµερινό µε αρχή µέτρησης το σηµείο γ κατά την ορθή φορά και παίρνει τιµές από 0 h έως 24 h ή από 0 ο έως 360 ο. Το τόξο Σ Ι Σ είναι η απόκλιση δ (declination), όπως ορίστηκε στο σύστηµα ισηµερινών συντεταγµένων. 16

17 Οι ουρανογραφικές συντεταγµένες ενός αστέρα είναι ανεξάρτητες του τόπου και δεν µεταβάλλονται κατά τη διάρκεια της ηµερήσιας περιστροφής της ουράνιας σφαίρας. Για το λόγο αυτό χρησιµοποιούνται για τη σύνταξη καταλόγων συντεταγµένων των αστέρων Εκλειπτικές συντεταγµένες Στις εκλειπτικές συντεταγµένες, βασικός κύκλος λαµβάνεται η Εκλειπτική Ε γ Εγ και πρώτος κάθετος ο κύκλος που διέρχεται από τους πόλους της εκλειπτικής Ρ,Ρ και τον αστέρα, (Σχήµα 1.17). Η θέση ενός αστέρα Σ καθορίζεται τότε από τα τόξα γσ Ε και Σ Ε Σ. Το τόξο γσ Ε ονοµάζεται εκλειπτικό µήκος λ (ecliptic longitude), µετριέται πάνω στην Εκλειπτική µε αρχή το σηµείο γ κατά την ορθή φορά και παίρνει τιµές από 0 ο έως 360 ο. Το τόξο Σ Ε Σ ονοµάζεται εκλειπτικό πλάτος β (ecliptic latitude), µετριέται πάνω στον κύκλο πλάτους ΡΣΡ του αστέρα µε αρχή το σηµείο Σ Ε και παίρνει τιµές από 0 ο έως ±90 ο, θετικά προς τον βόρειο πόλο της Εκλειπτικής και αρνητικά προς το νότιο πόλο της. Τα (λ, β) αποτελούν τις εκλειπτικές συντεταγµένες ενός αστέρα και είναι ανεξάρτητα της ηµερήσιας κίνησης της ουράνιας σφαίρας, γιατί αυτή δεν µεταβάλλει τις σχετικές θέσεις των Σ, γ και Σ Ε. Ο προσδιορισµός των (λ,β) γίνεται µε τη βοήθεια άλλων συστηµάτων συντεταγµένων. Επιπλέον, οι εκλειπτικές συντεταγµένες, όπως οι ουρανογραφικές, είναι ανεξάρτητες από την ηµερήσια κίνηση της ουράνιας σφαίρας καθώς και από τον τόπο. Ο ωριαίος κύκλος του αστέρα, ο κύκλος πλάτους και η ουράνια σφαίρα σχηµατίζουν στην επιφάνεια της ουράνιας σφαίρας ένα σφαιρικό τρίγωνο, ένα δεύτερο τρίγωνο θέσης του αστέρα. (Λεπτοµέρειες για τα σφαιρικά τρίγωνα δίνονται παρακάτω). ΘΕΣΗ ΑΣΤΕΡΑ ΣΤΟ ΓΑΛΑΞΙΑ ΜΑΣ 1.16 Γαλαξιακές συντεταγµένες Στο σύστηµα αυτό βασικός κύκλος είναι ο γαλαξιακός ισηµερινός Γ Γ και πρώτος κάθετος ο µέγιστος κύκλος QCQ, (Σχήµα 1.18). Οι πόλοι του γαλαξιακού ισηµερινού, Q & Q, έχουν ουρανογραφικές συντεταγµένες: Q : α Q = 12 h 46 m,6 δ Q = +27 o 40',2 Q : α Q = 0 h 46 m,6 δ Q = -27 o 40',2 και το γαλαξιακό κέντρο, C: α c = 17 h 39 m,3, δ c = -28 o 54' Επί πλέον οι γωνίες ΠQC και ε είναι: ΠQC = 123 o και ε = 62 ο 19',8 Τέλος, οι ουρανογραφικές συντεταγµένες των σηµείων Α, Β είναι, (Σχήµα 1.18): α Α = 18 h,8 και α Β = 6 h,8 17

18 Σχήµα 1.18: Γαλαξιακές συντεταγµένες Η θέση ενός αστέρα Σ καθορίζεται από τα τόξα CΣ 1 και Σ 1 Σ. Το τόξο CΣ 1 ονοµάζεται γαλαξιακό µήκος, l, µετριέται πάνω στον γαλαξιακό ισηµερινό µε αρχή το σηµείο C κατά την ορθή φορά και παίρνει τιµές από 0 ο έως 360 ο. Το τόξο Σ 1 Σ ονοµάζεται γαλαξιακό πλάτος, b, µετριέται πάνω στο µέγιστο κύκλο που περνάει από τους δύο γαλαξιακούς πόλους Q,Q και το Σ µε αρχή το Σ 1 και παίρνει τιµές από 0 ο έως ±90 ο, θετικά προς τον πόλο Q και αρνητικά προς τον πόλο Q Τρίγωνα θέσης αστέρα Οι διάφορες συντεταγµένες ενός αστέρα, όπως ορίστηκαν στα προηγούµενα συστήµατα συντεταγµένων, συνδέονται µεταξύ τους µε σχέσεις που προκύπτουν από την επίλυση ορισµένων σφαιρικών τριγώνων, που είναι γνωστά ως τρίγωνα θέσεως του αστέρα. Σφαιρικό ονοµάζεται ένα τρίγωνο του οποίου οι τρεις κορυφές βρίσκονται στο ίδιο ηµισφαίριο µιας σφαίρας και οι τρεις πλευρές του είναι τόξα µεγίστων κύκλων µιας σφαίρας, τα οποία είναι <180. Σχήµα 1.19: Τρίγωνα θέσεως αστέρα Τα συνήθη σφαιρικά τρίγωνα που σχηµατίζονται από τη θέση ενός αστέρα πάνω στην ουράνια σφαίρα είναι αυτά του σχήµατος (1.19). Τα σφαιρικά τρίγωνα επιλύονται µε τη βοήθεια κάποιων σχέσεων της σφαιρικής τριγωνοµετρίας. Εδώ θα περιορισθούµε στους βασικούς τύπους επίλυσης ενός σφαιρικού τριγώνου ΑΒΓ µε πλευρές α,β,γ, (Σχήµα 1.20): 18

19 Σχήµα 1.20 Νόµος συνηµιτόνου: cosα = cosβ cosγ + sinβ sinγ cosα (1.11) Νόµος ηµιτόνων sinα sinβ sinγ = = sin A sin B sinγ Τύπος των 4 διαδοχικών στοιχείων (1.12) cosγ cosα = sinγ cotβ - sinα cotβ (1.13) Τύπος των 5 στοιχείων sinα cosβ = cosβ sinγ - sinβ cosγ cosα (1.14) Με κυκλική µετάθεση των γωνιών και των πλευρών βρίσκουµε αντίστοιχους τύπους και για τα υπόλοιπα στοιχεία του τριγώνου. ΓΕΩΕΙ ΕΣ 1.18 Ακριβές σχήµα της Γης Σε πρώτη προσέγγιση η Γη θεωρείται σφαιρική και έτσι θεωρήθηκε µέχρι τώρα. Εάν η Γη ήταν σφαιρική θα έπρεπε το µήκος τόξου µιας µοίρας να είναι το ίδιο πάνω στον ίδιο µεσηµβρινό, και ανεξάρτητο από το γεωγραφικό πλάτος στο οποίο γίνεται η µέτρηση. Τούτο όµως δεν συµβαίνει, όπως έχουν δείξει διάφορες γεωδαιτικές µετρήσεις από τις οποίες έχει προκύψει ότι το µήκος τόξου µιας µοίρας αυξάνει µε το γεωγραφικό πλάτος. Το ακριβές σχήµα της Γης, το γεωειδές όπως ονοµάζεται, ορίζεται ως η επιφάνεια που είναι κάθετη προς την κατακόρυφο σε κάθε σηµείο της. Κατά προσέγγιση η επιφάνεια αυτή είναι ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής (περί τον άξονα περιστροφής της Γης, ΠΠ ). Έτσι οι µεσηµβρινοί της Γης δεν είναι πλέον µέγιστοι κύκλοι, αλλά ελλείψεις µε άξονες R I και R Π επί του ισηµερινού επιπέδου και του κάθετου προς αυτόν, αντίστοιχα, (Σχήµα 1.21). 19

20 Σχήµα 1.21 Η πλάτυνση ϖ του γεωειδούς είναι: ϖ = ( R I -R Π )/R Ι ή ϖ = 1/297 (1.15) εάν η ισηµερινή και η πολική ακτίνα της Γης θεωρηθούν ίσες προς R Ι =6.378 Km και R Π = Km, αντίστοιχα. Η εκκεντρότητα e ενός µεσηµβρινού της Γης ορίζεται ως: e = [1-(R Π /R Ι ) 2 ]. Έστω παρατηρητής στη θέση Τ(χ,ψ) του µεσηµβρινού και ΤΖ η κάθετος προς την εφαπτοµένη της ελλείψεως στο σηµείο Τ, δηλαδή η κατακόρυφος του τόπου. Αν η ΖΤ προεκτεινοµένη τέµνει την ΚΙ στο σηµείο Α, τότε η γωνία ΖΑΙ είναι εξ ορισµού το γεωγραφικό πλάτος φ του τόπου Τ και το σηµείο Ζ το αστρονοµικό Ζενίθ του. Ενώ η ευθεία που ενώνει το κέντρο της Γης, Κ, µε τον τόπο Τ, προεκτεινοµένη ορίζει το γεωκεντρικό ζενίθ, Ζ, του τόπου και η γωνία Ζ ΚΙ το γεωκεντρικό πλάτος φ του τόπου, (Σχήµα 1.21). Απόκλιση της κατακορύφου στον τόπο Τ ονοµάζεται η γωνία ΖΤΖ =ε, που σχηµατίζουν οι διευθύνσεις του αστρονοµικού και του γεωκεντρικού Ζενίθ. Η απόκλιση της κατακορύφου είναι µηδέν τόσο στον ισηµερινό όσο και στους πόλους της Γης. Είναι προφανές από το σχήµα 1.21, ότι η απόκλιση της κατακορύφου στον τόπο Τ είναι ίση προς την διαφορά του γεωκεντρικού από το γεωγραφικό πλάτος. Είναι δηλαδή: ε=φ-φ. Από τις αστρονοµικές παρατηρήσεις προσδιορίζεται το γεωγραφικό πλάτος φ ενός τόπου. Αποδεικνύεται* ότι η απόκλιση της κατακορύφου σε τόπο γεωγραφικού πλάτους φ, συναρτήσει του φ, προσδιορίζεται από τη σχέση: ε = σ ηµ2φ(1-σ συν2φ) +... (όροι ανωτέρας τάξεως) (1.16) όπου το σ είναι µια σταθερά, ίση προς 0,0034. (Το σ είναι: σ = e 2 /2-e 2 ). * Από τις σχέσεις: εφφ = ψ/χ και εφφ = (ψ/χ). (R /R ) έχουµε ότι: εφφ = εφφ (R /R ) και λαµβάνοντας υπόψη και την σχέση της εκκεντρότητας έχουµε: εφ(φ-ε) = (1- e 2 ) εφφ από την οποία προκύπτει ότι: εφε =(e 2 ηµ2φ)/2(1-e 2 ηµ2φ) ή εφε = σ ηµ2φ/(1+σ συν2φ) όπου η σ είναι η σταθερά e 2 /(2-e 2 ). 20

21 Από την εξίσωση της έλλειψης, χ 2 /(R Ι ) 2 + ψ 2 /(R Π ) 2 = 1, και την τοµή της µε την ευθεία ψ = χ εφφ βρίσκουµε τις συντεταγµένες (χ,ψ) του σηµείου Τ που αντιστοιχεί στον τόπο και που είναι: χ 2 = (R Ι ) 4 /[(R Ι ) 2 + (R Π ) 2 εφ 2 φ] ψ 2 = (R Π ) 4 εφ 2 φ/[(r Ι ) 2 + (R Π ) 2 εφ 2 φ] (1.17) Η ακτίνα ΚΤ=R, που αντιστοιχεί στον τόπο Τ του γεωειδούς είναι: R 2 =χ 2 +ψ 2 που βάσει των σχέσεων (1.17) γίνεται: R 2 = {(R Ι ) 4 συν 2 φ + (R Π ) 4 ηµ 2 φ}/{(r Ι ) 2 συν 2 φ + (R Π ) 2 ηµ 2 φ} = (R Ι ) 2 {συν 2 φ(1-ϖ) 4 ηµ 2 φ}/{συν 2 φ(1-ϖ) 2 ηµ 2 φ} (1.18) από την οποία προκύπτει τελικά το µήκος της ακτίνας R στον τόπο Τ, συναρτήσει του γεωγραφικού πλάτους και της πλάτυνσης, ως: R/R Ι = [1-ϖ/2+(5/16)ϖ 2 ] +(ϖ/2)συν 2 φ - (5/16)ϖ 2 συν 4 φ +... (όροι ανωτέρας τάξεως) (1.19) εάν περιορισθούµε σε όρους µέχρι και ϖ 2 µόνο, δεδοµένης της µικρής τιµής της πλάτυνσης της Γης. ΜΕΤΑΠΤΩΣΗ-ΚΛΟΝΗΣΗ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Αν η Γη ήταν σφαιρική και αποτελούνταν από ισόπυκνες σφαιρικές στοιβάδες, οι έλξεις που θα ασκούσαν πάνω της τα άλλα ουράνια σώµατα και ειδικότερα από τον Ήλιο και τη Σεληνη θα ήταν δυνάµεις που περνάνε από το κέντρο της. Επειδή όµως η Γη δεν είναι σφαιρική αλλά έχει το ελλειψοειδές σχήµα που περιγράψαµε προηγουµένως και επειδή επιπλέον ο Ήλιος και η Σελήνη δεν βρίσκονται πάνω στο ισηµερινό της επίπεδο, αυτό έχει ως συνέπεια οι έλξεις τους επάνω στη Γη να µην περνάνε από το κέντρο της αλλά να τείνουν να φέρουν σε σύµπτωση το επίπεδο του ισηµερινού µε αυτό της Εκλειπτικής. Τούτο σηµαίνει ότι ο άξονας της Γης θα µεταβάλλει τη θέση του στο χώρο. Εποµένως: η εκτροπή της Γης από το σφαιρικό σχήµα έχει ως αποτέλεσµα τη δηµιουργία ορισµένων ροπών, που είναι υπεύθυνες για τα φαινόµενα της µετάπτωση και κλόνησης του άξονα περιστροφής της και κατ επέκταση του άξονα του κόσµου Σεληνοηλιακή Μετάπτωση Έστω ΟΧ,ΟΥ,ΟΖ οι τρεις κύριοι άξονες αδράνειας του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής µε το οποίο προσοµοιάζεται το γεωειδές. Αν ο άξονας ΟΖ είναι ο άξονας περιστροφής της Γης, πρέπει πάνω του να βρίσκεται ο βόρειος ουράνιος Πόλος ΙΙ, οπότε το επίπεδο ΟΧΥ θα έχει τη θέση του επιπέδου του Ισηµερινού, (Σχήµα 1.22). Χάριν ευκολίας ας θεωρήσουµε ότι το εαρινό ισηµερινό σηµείο γ βρίσκεται πάνω στον άξονα ΟΧ. 21

22 Η διεύθυνση του βορείου πόλου της εκλειπτικής ΟΡ, σχηµατίζει µε τον άξονα ΟΖ γωνία ω όση και η λόξωση της εκλειπτικής και είναι κάθετος στην γογ, έτσι ο βόρειος πόλος της εκλειπτικής βρίσκεται στο επίπεδο ΟΧΥ. Για να εξετάσουµε την επίδραση του Ηλίου και της Σελήνης πάνω στη Γη, ας ξεκινήσουµε αρχικά από τον Ήλιο µόνο, τον οποίο χάριν ευκολίας θεωρούµε σε µια θέση Η κοντά στο θερινό ηλιοστάσιο. Η θέση του Ηλιου και ο άξονας ΟΧ ορίζουν τη θέση ενός επιπέδου, που πρέπει να ταυτίζεται µε το επίπεδο της Εκλειπτικής, εφόσον και η Ογ και ο Ήλιος βρίσκονται πάνω σ αυτήν. Ο Ήλιος έλκει το γεωειδές µε µια δύναµη O 1 F, παράλληλη προς την ευθεία ΟΗ (λόγω της µεγάλης απόστασης Γης-Ηλίου). Το σηµείο Ο 1 εφαρµογής της έλξης του Ηλίου θα συνέπιπτε µε το Ο, αν η Γη ήταν σφαιρική και αποτελούµενη από σφαιρικές στοιβάδες. Το σηµείο Ο 1 βρίσκεται κοντά στο κέντρο της Γης Ο και επιπλέον παρατηρούµε ότι το επίπεδο που ορίζει η O 1 F και το Ο περιέχει τον άξονα περιστροφής ΟΖ, για λόγους συµµετρίας, και κατά συνέπεια είναι κάθετο στο επίπεδο του ισηµερινού, ΟΧΨ. Το µέτρο και η διεύθυνση της ελκτικής δύναµης που ασκεί ο Ήλιος στη Γη αλλάζει καθώς ο Ήλιος κινείται, αλλά σε κάθε περίπτωση τείνει να φέρει σε σύµπτωση τα επίπεδα ισηµερινού και Εκλειπτικής. Τούτο θα είχε γίνει µε την πάροδο του χρόνου, εάν η Γη δεν περιστρεφόταν γύρω από τον άξονά της. Λόγω της περιστροφής αυτής αναπτύσσεται η ροπή ΟΠ 1. Σχήµα 1.22 Ας εξετάσουµε τώρα τα αποτελέσµατα της ελκτικής δύναµης του Ήλιου O 1 F. Για τον λόγο αυτό θεωρούµε δύο δυνάµεις OF 1 και OF 2, ίσες και αντίθετες προς την O 1 F, οπότε έχουµε τώρα τρεις δυνάµεις, τις: OF 1,OF 2 και O 1 F. Από αυτές στην πρώτη, OF 1, οφείλεται η περιφορά της Γης από τον Ήλιο, ενώ οι άλλες δύο αποτελούν ζεύγος δυνάµεων. Η ροπή του ζεύγους αυτών των δυνάµεων, ως κάθετη στο επίπεδό τους πρέπει να βρίσκεται πάνω στον ισηµερινό. Εποµένως, αναλύεται σε δύο µόνο συνιστώσες, πάνω στους άξονες ΟΧ και ΟΥ, και έστω ΟΡ Χ και ΟΡ Ψ οι συνιστώσες αυτές (προβολές της ροπής του ζεύγους). Από αυτές, η ΟΡ Χ προκαλεί σε χρόνο dt, γωνιώδη ταχύτητα P x dt που µαζί µε τη ροπή ΟΠ 1 δίνει την ΟΠ 2. ηλαδή, ο βόρειος ουράνιος πόλος αλλάζει θέση και έρχεται στη θέση Π 2. Η κίνηση αυτή του πόλου γίνεται κάθετα προς το εκάστοτες τόξο ΡΠ. Έτσι ο 22

23 βόρειος ουράνιος πόλος Π γράφει έναν κύκλο γύρω από τον πόλο της Εκλειπτικής σε διάστηµα 260 αιώνων περίπου, ( χρόνια). Αλλά θα πρέπει και η ευθεία Ογ να αλλάζει θέση, ώστε να είναι κάθετη στη νέα θέση του άξονα του κόσµου. Τούτο έχει ως αποτέλεσµα την κίνηση του εαρινού ισηµερινού σηµείου γ πάνω στην Εκλειπτική κατά την ανάδροµη φορά. Το φαινόµενο αυτό είναι γνωστό ως µετάπτωση των ισηµεριών. Η ροπή ΟΡ Χ µηδενίζεται όταν ο Ήλιος περνάει τον ισηµερινό δηλαδή στα σηµεία γ & γ γιατί τότε η ελκτική δύναµη που ασκεί στη Γη ο Ήλιος περνάει από το κέντρο της. Αλλά στα ηλιοστάσια, Ε & Ε, η ροπή γίνεται µέγιστη γεγονός που σηµαίνει ότι η µεταπτωτική κίνηση του γ στη διάρκεια του έτους δεν είναι οµαλή. Όπως ήδη αναφέρθηκε, µεγάλη επίδραση επί της Γης έχει εκτός από τον Ήλιο και η Σελήνη, η οποία συµβάλλει πολύ περισσότερο από αυτόν στον φαινόµενο της µετάπτωσης. Αν η Σελήνη εκινείτο στο επίπεδο της Εκλειπτικής θα είχαµε µια παρόµοια ακριβώς επίδραση, όπως αυτή του Ήλιου. Αλλά το τροχιακό επίπεδο της Σελήνης σχηµατίζει γωνία περίπου 6º µε αυτό της Εκλειπτικής. Επιπλέον, οι σύνδεσµοι της τροχιάς της Σελήνης κινούνται επί της Εκλειπτικής κατά την ανάδροµη φορά και αλλάζουν θέση κάθε 18,6 έτη περίπου. Γενικά, η επίδραση της Σελήνης και των κινήσεών της, πάνω στη Γη είναι πολύπλοκη. Έχει υπολογισθεί ότι η σεληνο-ηλιακή µετάπτωση του εαρινού ισηµερινού σηµείου γ, δηλαδή αυτή που προέρχεται από τον Ήλιο και τη Σελήνη µαζί, είναι ίση προς 50".,3/έτος. ηλαδή, το σηµείο γ µετατοπίζεται πάνω στην Εκλειπτική κατά 50"., 3, κατά την ανάδροµη φορά, σε διάστηµα ενός έτους. Αυτό αντιστοιχεί σε 50"., 3συνω=46,"1 πάνω στον ισηµερινό. Αποδεικνύεται ότι τα 2/3 της µετάπτωσης οφείλονται στην Σελήνη και το 1/3 στον Ήλιο, λόγω της µικρότερης απόστασης της Σελήνης από τη Γη. Η κίνηση του γ πάνω στην εκλειπτική έχει ως αποτέλεσµα την συνεχή αύξηση των εκλειπτικών µηκών όλων των αστέρων. Ενώ τα εκλειπτικά πλάτη δεν επηρεάζονται από τη σεληνοηλιακή µετάπτωση. Μεταβάλλονται όµως οι ουρανογραφικές συντεταγµένες των αστέρων. Επειδή οι τροχιές της Γης γύρω από τον Ήλιο και της Σελήνης γύρω από τη Γη είναι ελλειπτικές και όχι κυκλικές, η επίδραση του Ήλιου και της Σελήνης στην κίνηση του γ δεν είναι σταθερή. Όπως ο άξονας της σβούρας διαγράφει τον κύκλο που βλέπουµε στο σχήµα, έτσι και ο ΠΠ διαγράφει ένα µικρό κύκλο γύρω από τον άξονα της Εκλειπτικής 23

24 Κλόνηση του άξονα του κόσµου Μέχρι τώρα εξετάσθηκαν τα αποτελέσµατα της ροπής ΟΡ Χ και όπως είδαµε λόγω της ροπής αυτής ο άξονας ΟΠ αναγκάζεται να κινηθεί γύρω από τον άξονα της Εκλειπτικής. Ας εξετάσουµε τώρα τα αποτελέσµατα της ροπής ΟΡ Ψ. Εξ αιτίας της ο άξονας ΟΠ αλλάξει όχι µόνο τη θέση του αλλά και την κλίση του, ως προς τον άξονα της Εκλειπτικής, µε αποτέλεσµα να µεταβάλλεται η τιµή της λόξωσης της Εκλειπτικής. Σχήµα 1.23 Η ροπή ΟΡ Ψ µηδενίζεται 4 φορές το χρόνο, όταν ο Ήλιος βρίσκεται στις ισηµερίες (γ & γ ) και στις τροπές (Ε & Ε ). Έτσι το άνυσµα ΟΜ 2 διαγράφει µια ελλειπτική τροχιά περί µια θέση του άξονα ΟΠ 1, µε περίοδο έξη µηνών. Το φαινόµενο είναι γνωστό ως κλόνιση του άξονα του κόσµου, (Σχήµα 1.23). Επειδή επιπλέον, το επίπεδο της τροχιάς της Σελήνης σχηµατίζει γωνία 6º περίπου µε το επίπεδο της Εκλειπτικής και οι σύνδεσµοι της σεληνιακής τροχιάς αλλάζουν κάθε 18,6 έτη, όπως ήδη αναφέρθηκε, έχουµε µια κλονητική κίνηση του άξονα του κόσµου και µεταβολή της λόξωσης της Εκλειπτικής µε περίοδο 18,6 ετών Πλανητική Μετάπτωση Όπως αναφέραµε παραπάνω, ο ουράνιος ισηµερινός αλλάζει θέση καθώς ο άξονας του κόσµου κινείται γύρω από τον άξονα της Εκλειπτικής. Αλλά και οι αµοιβαίες έλξεις των πλανητών δηµιουργούν µια µικρή µετατόπιση του επιπέδου της Εκλειπτικής που είναι γνωστή ως πλανητική µετάπτωση. Αποτέλεσµα της πλανητικής µετάπτωσης είναι η µετακίνηση του εαρινού ισηµερινού σηµείου γ πάνω στον ισηµερινό κατά την ορθή φορά κατά 0.,"13/έτος. Αυτό έχει ως συνέπεια την µείωση των ορθών αναφορών όλων των αστέρων κατά 0.," 13/έτος. Οι αποκλίσεις των αστέρων δεν επηρεάζονται από την πλανητική µετάπτωση. Αποτέλεσµα της πλανητικής µετάπτωσης είναι η µετακίνηση του εαρινού ισηµερινού σηµείου γ πάνω στον ισηµερινό κατά την ορθή φορά κατά 0," 13/έτος. Οι αποκλίσεις των αστέρων δεν επηρεάζονται από την πλανητική µετάπτωση. 24

25 Αποτελέσµατα της Μετάπτωσης και της Κλόνησης Στο σχήµα 1.24 βλέπουµε το αποτέλεσµα του συνδυασµού των δύο φαινοµένων της µετάπτωσης και της κλόνησης: Σχήµα 1.24: Μετάπτωση και Κλόνηση Επιπλέον, στο σχήµα 1.25 βλέπουµε τις διάφορες θέσεις του βόρειου ουράνιου Π, από το π.χ. µέχρι το µ.χ. και φυσικά τη σηµερινή του θέση, η οποία είναι πολύ κοντά στον Πολικό αστέρα. Σχήµα 1.25: Κίνηση του βόρειου ουράνιου πόλου Π γύρω από τον πόλο της Εκλειπτικής και οι διάφορες θέσεις του ανάµεσα στους αστέρες από το π.χ. έως το µ.χ. 25

26 1. 20 ΠΕΡΙ ΧΡΟΝΟΥ Η µέτρηση του χρόνου βασίζεται στην περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονά της. Η περιστροφή αυτή θεωρείται ότι είναι µε µεγάλη ακρίβεια οµαλή. Καθώς η Γη περιστρέφεται, τα ουράνια σώµατα φαίνονται να κινούνται από ανατολικά προς δυτικά περνώντας κάθε ηµέρα από τον µεσηµβρινό ενός τόπου. Εποµένως η µέτρηση του χρόνου µπορεί να αναχθεί στη µέτρηση της ωριαίας γωνίας συγκεκριµένου αστέρα ή ενός σταθερού σηµείου της ουράνιας σφαίρας. Καθώς η ουράνια σφαίρα φαίνεται να περιστρέφεται από ανατολικά προς δυτικά, η ωριαία γωνία ενός σηµείου της ουράνιας σφαίρας αυξάνεται οµαλά µε τον χρόνο. Ανάλογα µε το σηµείο που εκλέγουµε για να µετρήσουµε την ωριαία γωνία, έχουµε και τα διάφορα συστήµατα χρόνου Αστρικός και αληθής ηλιακός χρόνος Ως αστρικός χρόνος, t, ενός τόπου ορίζεται η ωριαία γωνία του εαρινού ισηµερινού σηµείου γ στον τόπο αυτό, δηλαδή t = Η γ (1.20) Αν αντί του σηµείου γ θεωρήσουµε κάποιον αστέρα Σ, τότε: t = Η Σ + α Σ (1.21) Ο αληθής ηλιακός χρόνος Α ενός τόπου ορίζεται ως η ωριαία γωνία του αληθούς Ήλιου στον τόπο αυτό, αυξηµένη κατά 12 h, δηλαδή Α = Η Α + 12 h (1.22) Αστρική και αληθής ηλιακή ηµέρα Ηµέρα ονοµάζεται γενικά το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί µεταξύ δύο διαδοχικών άνω ή κάτω µεσουρανήσεων ενός σηµείου της ουράνιας σφαίρας στον ίδιο µεσηµβρινό. ιακρίνουµε την αστρική ηµέρα (εάν ως σηµείο της ουράνιας σφαίρας θεωρήσουµε το σηµείο γ) και την αληθή ηλιακή ηµέρα (εάν ως σηµείο της ουράνιας σφαίρας θεωρήσουµε το κέντρο του δίσκου του αληθούς Ήλιου). Οπότε µε βάσει τα όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, αρχή της αστρικής ηµέρας σε έναν τόπο λαµβάνεται η στιγµή της άνω µεσουράνησης του σηµείου γ στον τόπο αυτό, ενώ ως αρχή της αληθούς ηλιακής ηµέρας η στιγµή της κάτω µεσουράνησης του αληθούς Ήλιου στον τόπο (αληθές µεσονύκτιο). Η αστρική ηµέρα δεν είναι ακριβώς ίση µε την περίοδο περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της, γιατί το σηµείο γ δεν είναι ένα εντελώς σταθερό σηµείο της ουράνιας σφαίρας, αλλά κινείται κατά 50",3 το έτος πάνω στην Εκλειπτική κατά την ανάδροµη φορά λόγω του φαινόµενου της µετάπτωσης. Αυτό έχει ως συνέπεια η αστρική ηµέρα να είναι µικρότερη από την περίοδο περιστροφής της Γης κατά 0,008 sec περίπου. Ούτε όµως και η διαφορά αυτή είναι σταθερή, γιατί η κίνηση του γ πάνω στην Εκλειπτική δεν είναι οµαλή. Εξ άλλου γνωρίζουµε ότι ο Ήλιος διαγράφει την Εκλειπτική σε ένα έτος κατά την ορθή φορά. Εποµένως, η ορθή αναφορά του (γωνιώδης απόσταση του 'Ήλιου από το σηµείο γ πάνω στον ουράνιο ισηµερινό) 26

27 αυξάνεται κάθε ηµέρα κατά 1 ο περίπου, µε αποτέλεσµα η άνω µεσουράνησή του (αληθής µεσηµβρία) να γίνεται 4 λεπτά, 1 ο αντιστοιχεί σε 4 λεπτά, αργότερα από την στιγµή της µεσουράνησης της προηγούµενης ηµέρας. Αυτό σηµαίνει ότι η αληθής ηλιακή ηµέρα είναι µεγαλύτερη από την περίοδο περιστροφής της Γης περίπου κατά 4 λεπτά της ώρας. Αλλά και πάλι ούτε αυτή η διαφορά είναι σταθερή λόγω της µη οµαλής κίνησης του Ήλιου πάνω στην Εκλειπτική µε αποτέλεσµα η αληθής ηλιακή ηµέρα να µην είναι σταθερό διάστηµα χρόνου κατά τη διάρκεια του έτους. Αντί του γ θεωρούµε το ονοµαζόµενο µέσο εαρινό ισηµερινό σηµείο γ ο, το οποίο κινείται οµαλά πάνω στην Εκλειπτική λόγω µετάπτωσης, αλλά έχει απαλλαγεί από την κλονητική κίνηση και µε αυτό ορίζουµε τον µέσο αστρικό χρόνο. Οι διαφορές ανάµεσα στον αστρικό χρόνο και τον µέσο αστρικό είναι πολύ µικρές και γι αυτό στην πράξη δεν λαµβάνονται υπόψη Μέσος ηλιακός χρόνος Για τους λόγους που αναφέρθηκαν παραπάνω, τόσο ο αστρικός όσο και ο αληθής ηλιακός χρόνος κρίθηκαν ακατάλληλοι για τις καθηµερινές ανάγκες των ανθρώπων. Γι αυτό θεσπίστηκε να γίνεται η µέτρηση του χρόνου µε τη βοήθεια ενός φανταστικού 'Ήλιου που ονοµάζουµε µέσο Ήλιο. Για τον µέσο 'Ήλιο δεχόµαστε ότι κινείται οµαλά πάνω στον ουράνιο ισηµερινό και διατρέχει την περιφέρειά του σε χρόνο ίσο µε αυτόν όπου χρειάζεται ο αληθής Ήλιος για να διατρέχει την Εκλειπτική, δηλαδή ένα έτος. Ως µέσος ηλιακός χρόνος Μ ενός τόπου ορίζεται η ωριαία γωνία του µέσου 'Ήλιου στον τόπο αυτό αυξηµένη κατά 12 h, δηλαδή: Μ = Η Μ + 12 h (1.23) και µέση ηλιακή ηµέρα λέγεται το χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο διαδοχικών άνω µεσουρανήσεων του µέσου Ήλιου. Για πρακτικούς λόγους και η µέση ηλιακή ηµέρα αρχίζει από τη στιγµή της κάτω µεσουράνησης του µέσου Ήλιου σε κάποιο τόπο (µέσο µεσονύκτιο) Εξίσωση του χρόνου Εξίσωση του χρόνου Ε, equation of time, ονοµάζεται η διαφορά του µέσου από τον αληθή ηλιακό χρόνο σε κάποια χρονική στιγµή κατά τη διάρκεια του έτους. Είναι δηλαδή: Ε = Α - Μ = Η Α - Η Μ (1.24) Η εξίσωση του χρόνου είναι το αποτέλεσµα της κίνησης της Γης και κατ επέκταση της φαινόµενης κίνησης του Ήλιου σε ελλειπτική τροχιά µε εκκεντρότητα e, και της λόξωσης της Εκλειπτικής, ε, καθώς ο πραγµατικός και ο πλαστός Ήλιος κινούνται σε διαφορετικά επίπεδα που τέµνονται κατά γωνία ε. Η τιµή της εξίσωσης του χρόνου Εκατά τη διάρκεια του έτους κυµαίνεται από +16 m µέχρι -14 m και µηδενίζεται 4 φορές. Στο σχήµα 1.26, η Ε αποδίδεται µε την συνεχή γραµµή, και είναι το αποτέλεσµα της σύνθεσης των δύο φαινοµένων που αναφέραµε παραπάνω, (e= effect of eccentricity) & (ε= effect of obliquity). 27

Η γωνία υπό την οποία φαίνονται από κάποιον παρατηρητή δύο αστέρες ονοµάζεται

Η γωνία υπό την οποία φαίνονται από κάποιον παρατηρητή δύο αστέρες ονοµάζεται ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΧΡΟΝΟΣ 2.1 Ουράνια σφαίρα-βασικοί ορισµοί Για να ορίσουµε τις θέσεις των αστέρων, τους θεωρούµε να προβάλλονται σαν σηµεία στην εσωτερική επιφάνεια µιας σφαίρας µε αυθαίρετη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1 η ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Συστήματα αστρονομικών συντεταγμένων και χρόνος ΑΣΚΗΣΗ 1 η (α) Να εξηγηθεί γιατί το αζιμούθιο της ανατολής και της δύσεως του Ηλίου σε ένα τόπο,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλιακήενέργεια. Ηλιακή γεωµετρία. Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης. ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης

Ηλιακήενέργεια. Ηλιακή γεωµετρία. Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης. ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Ηλιακήενέργεια Ηλιακή γεωµετρία Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Ηλιακήγεωµετρία Ηλιακήγεωµετρία Η Ηλιακή Γεωµετρία αναφέρεται στη µελέτη της θέσης του ήλιου σε σχέση

Διαβάστε περισσότερα

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 1.- Από τα πρώτα σχολικά µας χρόνια µαθαίνουµε για το πλανητικό µας σύστηµα. Α) Ποιος είναι ο πρώτος και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Ο Γνώμονας, ένα απλό αστρονομικό όργανο και οι χρήσεις του στην εκπαίδευση Σοφία Γκοτζαμάνη και Σταύρος Αυγολύπης Ο Γνώμονας Ο Γνώμονας είναι το πιο απλό αστρονομικό όργανο και το πρώτο που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης ΗλιακήΓεωµετρία Γιάννης Κατσίγιαννης ΗηλιακήενέργειαστηΓη Φασµατικήκατανοµήτηςηλιακής ακτινοβολίας ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιο ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιοµπορεί να αναλυθεί σε δύο κύριες συνιστώσες: Περιφορά

Διαβάστε περισσότερα

Να το πάρει το ποτάµι;

Να το πάρει το ποτάµι; Να το πάρει το ποτάµι; Είναι η σκιά ενός σώµατος που το φωτίζει ο Ήλιος. Όπως η σκιά του γνώµονα ενός ηλιακού ρολογιού που µε το αργό πέρασµά της πάνω απ τα σηµάδια των ωρών και µε το ύφος µιας άλλης εποχής

Διαβάστε περισσότερα

5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ

5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ 37 5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ 5.1 Εισαγωγή Οι κύριες κινήσεις της Γης είναι: μια τροχιακή κίνηση του κέντρου μάζας γύρω από τον Ήλιο και μια περιστροφική κίνηση γύρω από τον άξονα που περνά από

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Δημήτρης Δεληκαράογλου Αναπλ. Καθ., Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επισκ.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 -

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ H Γη είναι ένας πλανήτης από τους οκτώ συνολικά του ηλιακού μας συστήματος, το οποίο αποτελεί ένα από τα εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστρικά συστήματα του Γαλαξία μας, ο οποίος με την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ Η κίνηση των πλανητών είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης 2 κινήσεων: μίας περιστροφής γύρω από τον Ήλιο, η περίοδος της οποίας μας δίνει το έτος κάθε πλανήτη, και πραγματοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Οι Κινήσεις της Γης. Eπιπτώσεις. Η κίνηση της Γης. στα Συστήματα Αναφοράς για τη ορυφορική Γεωδαισία. Η περιστροφή της Γης

Οι Κινήσεις της Γης. Eπιπτώσεις. Η κίνηση της Γης. στα Συστήματα Αναφοράς για τη ορυφορική Γεωδαισία. Η περιστροφή της Γης Οι Κινήσεις της Γης. Eπιπτώσεις στα Συστήματα για τη ορυφορική Γεωδαισία Οι αρχαίοι θεωρούσαν τη Γη ακίνητη και κέντρο του σύμπαντος Η κίνηση της Γης TEPAK ορυφορική Γεωδαισία 6 ο Εξάμηνο 2011-12 Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH TZΕΜΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Α.Μ. 3507 ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH Όλοι γνωρίζουμε ότι η εναλλαγή των 4 εποχών οφείλεται στην κλίση που παρουσιάζει ο άξονας περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αστρονομία

Εισαγωγή στην Αστρονομία Παπαδόπουλος Μιλτιάδης ΑΕΜ: 13134 Εξάμηνο: 7 ο Ασκήσεις: 12-1 Εισαγωγή στην Αστρονομία 1. Ο αστέρας Βέγας στον αστερισμό της Λύρας έχει απόκλιση δ=+38 ο 47. α) Σχεδιάστε την φαινόμενη τροχιά του Βέγα στην

Διαβάστε περισσότερα

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ α. Τι είναι έξαρμα του πόλου υπέρ τον ορίζοντα και γιατί ενδιαφέρει τον ναυτιλλόμενο. β. Να ορίσετε τα είδη των αστέρων (αειφανείς, αφανείς και Αμφιφανείς)και να γράψετε τις συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Πληροφοριακό υλικό Κέντρο Επισκεπτών Ινστιτούτο Αστρονομίας Αστροφυσικής Διαστημικών Εφαρμογών και Τηλεπισκόπησης (ΙΑΑΔΕΤ) Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών Την Παρασκευή 20 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις Λυκείου 21 ου Πανελλήνιου Διαγωνισμού Αστρονομίας Διαστημικής 2016

Ερωτήσεις Λυκείου 21 ου Πανελλήνιου Διαγωνισμού Αστρονομίας Διαστημικής 2016 ΠΡΟΣΟΧΗ: Αυτό το έγγραφο ΔΕΝ θα το αποστείλετε ηλεκτρονικά (μέσω e-mail). Απλά το αναρτήσαμε για την δική σας διευκόλυνση. Μόλις βρείτε τις απαντήσεις που γνωρίζετε και τις σημειώσετε σ αυτό το έντυπο,

Διαβάστε περισσότερα

P. E. QristopoÔlou - N. Galanˆkhc. Ergasthriak AstronomÐa. Ergasthriakèc Ask seic

P. E. QristopoÔlou - N. Galanˆkhc. Ergasthriak AstronomÐa. Ergasthriakèc Ask seic Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Θετικών Επιστημών - Τμήμα Φυσικής Τομέας Θεωρητικής & Μαθηματικής Φυσικής, Αστρονομίας & Αστροφυσικής P. E. QristopoÔlou - N. Galanˆkhc Ergasthriak AstronomÐa Ergasthriakèc Ask

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αστρονοµική Παρατήρηση. Ανδρέας Παπαλάμπρου Αστρονομική Εταιρεία Πάτρας Ωρίων 20/5/2009

Εισαγωγή στην Αστρονοµική Παρατήρηση. Ανδρέας Παπαλάμπρου Αστρονομική Εταιρεία Πάτρας Ωρίων 20/5/2009 Εισαγωγή στην Αστρονοµική Παρατήρηση Ανδρέας Παπαλάμπρου Αστρονομική Εταιρεία Πάτρας Ωρίων 20/5/2009 1 Ερασιτεχνική Αστρονομία Μια ενασχόληση που αρχίζει από απλό χόμπι... & φτάνει έως συμβολή σε επιστημονικές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι:

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: ΗΛΙΑΚΑ ΩΡΟΛΟΓΙΑ Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: Οριζόντια Κατακόρυφα Ισημερινά Το παρακάτω άρθρο αναφέρεται στον τρόπο λειτουργίας αλλά και κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

1 ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΦΑΙΡΑ. 1.1. Γενικά

1 ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΦΑΙΡΑ. 1.1. Γενικά 1 ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΦΑΙΡΑ και έχει για κέντρο της τον εκάστοτε παρατηρητή και αυθαίρετη αλλά σταθερή ακτίνα. Ο άξονας περιστροφήςτηςγηςτέµνειτηνουράνιασφαίρασεδύοσηµεία Π και Π, που ονοµάζονται βόρειος(ουράνιος)

Διαβάστε περισσότερα

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Αναγνωστοπούλου Στρατηγούλα (5553), Σταυρίδη Δήμητρα (5861) 1 ΛΙΓΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1.1 Η κίνηση της Γης Η Γη κινείται με τρεις τρόπους: περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της σε 24h,

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΙΙ: Ο ΗΛΙΟΣ

AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΙΙ: Ο ΗΛΙΟΣ AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΙΙ: Ο ΗΛΙΟΣ 1. Ο Ήλιος μας είναι ένας από τους μεγαλύτερους αστέρες της περιοχής μας, του Γαλαξία μας αλλά και του σύμπαντος (NASA Science, εικόνα 1), όντας ο μοναδικός στο ηλιακό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

συν[ ν Από τους υπολογισμούς για κάθε χαρακτηριστική ημέρα του χρόνου προκύπτει ότι η ένταση της ηλιακής ενέργειας στη γη μεταβάλλεται κατά ± 3,5%.

συν[ ν Από τους υπολογισμούς για κάθε χαρακτηριστική ημέρα του χρόνου προκύπτει ότι η ένταση της ηλιακής ενέργειας στη γη μεταβάλλεται κατά ± 3,5%. 1. ΗΛΙΑΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Το θεωρητικό δυναμικό, δηλαδή το ανώτατο φυσικό όριο της ηλιακής ενέργειας που φθάνει στη γή ανέρχεται σε 7.500 Gtoe ετησίως και αντιστοιχεί 75.000 % του παγκόσμιου ενεργειακού ισοζυγίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις.

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στα πλαίσια του προγράμματος περιβαλλοντικής Αγωγής, τη σχολική χρονιά 2012-2013, αποφασίσαμε με τους μαθητές του τμήματος Β 3 να ασχοληθούμε με κάτι που θα τους κέντριζε το ενδιαφέρον. Έτσι καταλήξαμε

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο.

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο. ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ Η ιστιοπλοΐα ανοιχτής θαλάσσης δεν διαφέρει στα βασικά από την ιστιοπλοΐα τριγώνου η οποία γίνεται με μικρά σκάφη καi σε προκαθορισμένο στίβο. Όταν όμως αφήνουμε την ακτή και ανοιγόμαστε στο

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής Δρ. Απόστολος Ντάνης Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής *Βασικές μορφές προσανατολισμού *Προσανατολισμός με τα ορατά σημεία προορισμού στη φύση *Προσανατολισμός με τον ήλιο *Προσανατολισμός από τη σελήνη

Διαβάστε περισσότερα

Ο χώρος. 1.Μονοδιάστατη κίνηση

Ο χώρος. 1.Μονοδιάστατη κίνηση Ο χώρος Τα χελιδόνια έρχονται και ξανάρχονται. Κάθε χρόνο βρίσκουν μια γωνιά για να χτίσουν τη φωλιά, που θα γίνει το επίκεντρο του χώρου τους. Ο χώρος είναι ένας οργανικός χώρος, όπως εκείνος που αφορά

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Σχήµα 1 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ Η κυλινδρική επιφάνεια ή κύλινδρος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας α, (γενέτειρα) η

Διαβάστε περισσότερα

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë Tα βασικά σημεία του μαθήματος Η Γη είναι ένα ουράνιο σώμα, που κινείται συνεχώς στο διάστημα. Το σχήμα της είναι γεωειδές, δηλαδή είναι ελαφρά συμπιεσμένο στις κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

δ) µειώνεται το µήκος κύµατός της (Μονάδες 5)

δ) µειώνεται το µήκος κύµατός της (Μονάδες 5) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 011-01 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1 η (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 30/1/11 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό κάθε µίας από τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο

3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο Σηµειώσεις ΑΠΕ Ι Κεφ. 3 ρ Π. Αξαόπουλος Σελ. 1 3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο Η γνώση της ηλιακής ακτινοβολίας που δέχεται ένα κεκλιµένο επίπεδο είναι απαραίτητη στις περισσότερες εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007 ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΔΙΟΝΥΣΟΥ Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 157 80 Ζωγράφος Αθήνα Τηλ.: 210 772 2666 2668, Fax: 210 772 2670 ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1 Θέµα 1 ο 1. Το διάγραµµα του διπλανού σχήµατος παριστάνει τη χρονική µεταβολή της αποµάκρυνσης ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Ποια από

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ήπιων µορφών ενέργειας

Εργαστήριο ήπιων µορφών ενέργειας Εργαστήριο ήπιων µορφών ενέργειας Ενότητα: Υπολογισµοί ηλιακής ακτινοβολίας Ταουσανίδης Νίκος Τµήµα ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ;

ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ; ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ; Α) Ακτίνα αστέρων (Όγκος). Στον Ήλιο, και τον Betelgeuse, μπορούμε να μετρήσουμε απευθείας τη γωνιακή διαμέτρο, α, των αστεριών. Αν γνωρίζουμε αυτή τη γωνία, τότε: R ( ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1 EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1. Από την ίδια γραµµή αφετηρίας(από το ίδιο ύψος) ενός κεκλιµένου επιπέδου αφήστε να κυλήσουν, ταυτόχρονα προς τα κάτω, δύο κυλίνδροι της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Κεφάλαιο 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 130 Κεφάλαιο 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α. Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. α, β 2. γ 3. ε 4. β, δ 5. γ 6. α, β, γ, ε Β. Απαντήσεις στις ερωτήσεις συµπλήρωσης κενού 1. η αρχαιότερη

Διαβάστε περισσότερα

Ήπιες Μορφές Ενέργειας

Ήπιες Μορφές Ενέργειας Ήπιες Μορφές Ενέργειας Ενότητα 2: Ελευθέριος Αμανατίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Περιεχόμενα ενότητας Ο Ήλιος ως πηγή ενέργειας Κατανομή ενέργειας στη γη Ηλιακό φάσμα και ηλιακή σταθερά

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. Απορρόφυση ακτινοβολίας. Μέρος 1ον : ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά.

ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. Απορρόφυση ακτινοβολίας. Μέρος 1ον : ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 53 ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. Απορρόφυση ακτινοβολίας. 5. Άσκηση 5 5.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M,

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M, ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΕΛΞΗΣ Ο Νεύτωνας ανακάλυψε τον νόμο της βαρύτητας μελετώντας τις κινήσεις των πλανητών γύρω από τον Ήλιο και τον δημοσίευσε το 1686. Από την ανάλυση των δεδομένων αυτών ο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Πόλωση ηλεκτρικού πεδίου

Πόλωση ηλεκτρικού πεδίου ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 15 2. Άσκηση 2 Πόλωση ηλεκτρικού πεδίου 2.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την πόλωση των µικροκυµάτων και την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Εξοπλισμός για τον Ερασιτέχνη Αστρονόμο. Χάρης Καμπάνης

Εξοπλισμός για τον Ερασιτέχνη Αστρονόμο. Χάρης Καμπάνης Εξοπλισμός για τον Ερασιτέχνη Αστρονόμο Χάρης Καμπάνης Τι μας ενδιαφέρει να παρατηρούμε πώς και από πού. Μας Ενδιαφέρει Παρατήρηση Πλανητών, Ηλιακή Παρατήρηση, Βαθύς Ουρανός; Θα Παρατηρούμε μέσα από την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. = 2r, τότε:

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. = 2r, τότε: ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. (Διατήρηση της στροφορμής) Η Γη στρέφεται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τον Ήλιο. Το κοντινότερο σημείο στον Ήλιο ονομάζεται Περιήλιο (π) και το πιο απομακρυσμένο Αφήλιο (α).

Διαβάστε περισσότερα

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει:

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρικό πεδίο 1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 10 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: (α)

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της Ηλιακής Ακτινοβολίας

Μέτρηση της Ηλιακής Ακτινοβολίας Μέτρηση της Ηλιακής Ακτινοβολίας Ο ήλιος θεωρείται ως ιδανικό µέλαν σώµα Με την παραδοχή αυτή υπολογίζεται η θερµοκρασία αυτού αν υπολογιστεί η ροή ακτινοβολίας έξω από την ατµόσφαιρα Με τον όρο ροή ακτινοβολίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΤΕΡΟΣΚΟΠΕΙΟ ΕΛΛΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΑΓΩΓΗ. Πρόγραμμα βραδιών παρατηρήσεων Μάιος 2009 7 Μαΐου 14 Μαΐου 21 Μαΐου 28 Μαΐου

ΑΣΤΕΡΟΣΚΟΠΕΙΟ ΕΛΛΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΑΓΩΓΗ. Πρόγραμμα βραδιών παρατηρήσεων Μάιος 2009 7 Μαΐου 14 Μαΐου 21 Μαΐου 28 Μαΐου ΑΣΤΕΡΟΣΚΟΠΕΙΟ ΕΛΛΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΑΓΩΓΗ Πρόγραμμα βραδιών παρατηρήσεων Μάιος 2009 7 Μαΐου 14 Μαΐου 21 Μαΐου 28 Μαΐου www.ea.gr/ep/cosmos www.discoveryspace.net Οι βραδιές παρατήρησης υποστηρίζονται από τα

Διαβάστε περισσότερα

20 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

20 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 0 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 19 Μαρτίου, 006 Ώρα: 10:30-13:30 Θέµα 1 0 (µονάδες 10) α ) Το βέλος δέχεται σταθερή επιτάχυνση για όλη τη διάρκεια της κίνησης (

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Χώρος Η ανάπτυξη της ικανότητας της αντίληψης του χώρου, ως προς τις διαστάσεις του και το περιεχόµενό του είναι

Διαβάστε περισσότερα

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός Γεωμετρική Οπτική Φύση του φωτός Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: ΚΥΜΑΤΙΚΗ Βασική ιδέα Το φως είναι μια Η/Μ διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο Βασική Εξίσωση Φαινόμενα που εξηγεί καλύτερα (κύμα) μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α : α. 3000 V/m β. 1500 V/m γ. 2000 V/m δ. 1000 V/m

ΘΕΜΑ Α : α. 3000 V/m β. 1500 V/m γ. 2000 V/m δ. 1000 V/m ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α : Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής αρκεί να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ. Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 26 Απριλίου 2015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ. Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 26 Απριλίου 2015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 015 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 35 ΠερίθλασηκαιΠόλωση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 35 ΠερίθλασηκαιΠόλωση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 35 ΠερίθλασηκαιΠόλωση ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 35 Περίθλαση απλής σχισµής ή δίσκου Intensity in Single-Slit Diffraction Pattern Περίθλαση διπλής σχισµής ιακριτική ικανότητα; Κυκλικές ίριδες ιακριτική

Διαβάστε περισσότερα

AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ Ι: H ΣΕΛΗΝΗ

AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ Ι: H ΣΕΛΗΝΗ AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ Ι: H ΣΕΛΗΝΗ 1. Η Σελήνη μας είναι ο πέμπτος σε μέγεθος δορυφόρος του Ηλιακού μας συστήματος (εικόνα 1) μετά από τον Γανυμήδη (Δίας), τον Τιτάνα (Κρόνος), την Καλλιστώ (Δίας) και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 2014 Αστροφωτογραφίες Ελλήνων Ερασιτεχνών Αστρονόμων. Επιμέλεια: Γ. Μποκοβός - Α. Βοσινάκης

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 2014 Αστροφωτογραφίες Ελλήνων Ερασιτεχνών Αστρονόμων. Επιμέλεια: Γ. Μποκοβός - Α. Βοσινάκης ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 204 Αστροφωτογραφίες Ελλήνων Ερασιτεχνών Αστρονόμων Επιμέλεια: Γ. Μποκοβός - Α. Βοσινάκης ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 204 Νεφέλωμα NGC 6888 στον Κύκνο - Αντώνης Αγιομαμίτης ΔΕΥΤΕΡΑ ΤΡΙΤΗ ΤΕΤΑΡΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 25 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 25 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1ο ΑΡΧΗ 1ΗΣΣΕΛΙ ΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 5 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1 Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Φυσική Γ Λυκείου (Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Φυσική Γ Λυκείου (Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης) Θέµα 1 ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Φυσική Γ Λυκείου (Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης) 1.1 Πολλαπλής επιλογής A. Ελαστική ονοµάζεται η κρούση στην οποία: α. οι ταχύτητες των σωµάτων πριν και µετά την κρούση

Διαβάστε περισσότερα

F r. www.ylikonet.gr 1

F r. www.ylikonet.gr 1 3.5. Έργο Ενέργεια. 3.5.1. Έργο δύναµης- ροπής και Κινητική Ενέργεια. Το οµοαξονικό σύστηµα των δύο κυλίνδρων µε ακτίνες R 1 =0,1m και R =0,5m ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο. Τυλίγουµε γύρω από τον κύλινδρο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος»

ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος» ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος» Για να θεωρηθεί έγκυρη η συμμετοχή σας στην 1 η φάση, θα πρέπει απαραίτητα να έχετε συμπληρώσει τον πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

«κι όμως κινείται...» Συνεδριακό Κέντρο Πανεπιστημίου Πατρών

«κι όμως κινείται...» Συνεδριακό Κέντρο Πανεπιστημίου Πατρών «κι όμως «κι όμως ΠΑΛΑΙ ΠΑΛΑΙ ΠΑΛΑΙ ΠΑΛΑΙ 38 ο ψηλά από τον ορίζοντα & ΝΥΝ 38 ος Παράλληλος Β 52 ο ψηλά από τον ορίζοντα & ΝΥΝ 52 ος Παράλληλος Β 70 ο ψηλά από τον ορίζοντα & ΝΥΝ 70 ος Παράλληλος Β &

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα