1 ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΦΑΙΡΑ Γενικά

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΦΑΙΡΑ. 1.1. Γενικά"

Transcript

1 1 ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΦΑΙΡΑ και έχει για κέντρο της τον εκάστοτε παρατηρητή και αυθαίρετη αλλά σταθερή ακτίνα. Ο άξονας περιστροφήςτηςγηςτέµνειτηνουράνιασφαίρασεδύοσηµεία Π και Π, που ονοµάζονται βόρειος(ουράνιος) πόλος και νότιος πόλος(north and south celestial poles) αντίστοιχα(σχήµα 1-1 και 1-4). Ο µέγιστος κύκλος(great circle) της ουράνιας σφαίρας που είναι κάθετος στον άξονα ΠΠ ονοµάζεται ουράνιος ισηµερινός(celestial equator) και το επίπεδό του συµπίπτει µε το επίπεδο του γήινου ισηµερινού. Αξίζει να σηµειωθεί ότι ο µέγιστος κύκλος είναι γεωδαιτικός κύκλος(geodetic circle). Η ελάχιστη απόσταση µεταξύ δύο σηµείων στην επιφάνεια µιας σφαίρας είναι πάντοτε τµήµα ενός γεωδαιτικού κύκλου (ανάλογη προς µία ευθεία σε µια επίπεδη επιφάνεια). Κάθε κύκλος που διέρχεται από τους πόλους λέγεται µεσηµβρινός(meridian). Ο µεσηµβρινός που διέρχεται από έναν αστέρα λέγεται ωριαίος(hour circle) του αστέρα και είναι, φυσικά, κάθετος στον ιση- µερινό. Κάθε κύκλος παράλληλος προς τον ισηµερινό λέγεται κύκλος απόκλισης(declination circle). Οι ηµερήσιες τροχιές των αστέρων είναι κύκλοι απόκλισης. ἈρίσταρχοςδὲὁΣάμιος...ὑποτίθεταιγάρτὰμὲνἀπλανέατῶνἄστρωνκαίτὸνἅ ιονμένεινἀκίνητον,τὰνδέγᾶνπεριφέρεσθαιπερὶτόνἅ ιονκατὰκύκλουπεριφέρειαν,ὅς ἐστιν ἐν μέσῳ τῷ δρόμῳ κείμενος. Ἀρχιμήδης ( π.Χ.) 1.1. Γενικά Οι αστέρες βρίσκονται, σε σχέση µε την ακτίνα τηςγης,σεµεγάλεςαποστάσειςκαιέτσι,όταντουςπαρατηρούµε, φαίνονται ότι βρίσκονται τοποθετηµένοι στην εσωτερική επιφάνεια µιας σφαίρας. Η σφαίρα αυτή ονοµάζεται ουράνια σφαίρα(celestial sphere) Σχήµα1-1.ΗπεριστροφήτηςΓηςγύρωαπότονάξονατης καιηπεριστροφήτηςγύροαπότονήλιοπάνωστοεπίπεδο της εκλειπτικής. 13

2 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ Σε κάθε τόπο η κατακόρυφος διεύθυνση, όπως αυτήορίζεταιαπότονήµατηςστάθµης,τέµνειτηνουράνιασφαίραστασηµείαζνκαιν,πουονοµάζονται Ζενίθ(Zenith) και Ναδίρ(Nadir) αντίστοιχα(σχήµα 1-3). Ο µέγιστος κύκλος της ουράνιας σφαίρας, που είναι κάθετος προς τη διεύθυνση ΖνΝδ ονοµάζεται ουράνιος ορίζοντας(celestial horizon) ή απλώς ορίζοντας και, σε γενικές γραµµές, συµπίπτει µε το επίπεδο πουχωρίζειτονουρανόαπότηγησεένατόπο.κάθε κύκλοςπουδιέρχεταιαπόταζνκαινδονοµάζεταικατακόρυφος κύκλος(vertical circle). Ο κατακόρυφος κύκλος που περνά από ένα αστέρα λέγεται κατακόρυφος κύκλος του αστέρα(vertical circle of the star), ενώ ο κατακόρυφος κύκλος που διέρχεται και από τους πόλους Π και Π λέγεται(ουράνιος) µεσηµβρινός του τόπου(local meridian). Κάθε µικρός κύκλος παράλληλος προς τον ορίζοντα λέγεται κύκλος ύψους(altitude circle). Ο µεσηµβρινός ενός τόπου τέµνει τον ορίζοντα σε δύοσηµείαβκαιν,πουλέγονταιβορράς(north)και Νότος(South) αντίστοιχα(σχήµα 1-3). Το κατακόρυφο επίπεδο, που είναι κάθετο στο µεσηµβρινό του τόπου ονοµάζεται πρώτος κάθετος(prime vertical) του τόπουκαιτέµνειτονορίζονταστασηµείαακαι,που λέγονται Ανατολή(East) και ύση(west) αντίστοιχα. Η γραµµή ΒΝ λέγεται µεσηµβρινή γραµµή(meridian line),ενώηγραµµήα λέγεταιάξοναςτουµεσηµβρινού(meridianaxis).τοτόξοβπείναιίσοµετογεωγραφικό πλάτος του τόπου και λέγεται έξαρµα του βόρειου πόλου(altitude of the north pole). Κάθε αστέρας, καθώς διαγράφει την ηµερήσια τροχιά του(diurnal motion) πάνω στον κύκλο απόκλισήςτου,περνάαπότοσηµείοατηςτροχιάςτου, (Σχήµα 1-6), οπότε ανεβαίνει πάνω από τον ορίζοντα και εποµένως ανατέλλει(rises). Στη συνέχεια περνά από το σηµείο Σ1, οπότε διέρχεται από το µεσηµβρινό και εποµένως µεσουρανεί άνω(upper culmination). Ακολούθως περνά από το σηµείο δ και εποµένως δύει (sets) και τέλος από το σηµείο Σ2, οπότε µεσουρανεί κάτω(lower culmination). Ηετήσιατροχιά(annualorbit)τηςΓηςγύρωαπό τον Ήλιο είναι έλλειψη(ellipse) και ο Ήλιος κατέχει µίαεστίατης(focus Σχήµα1-2).ΗκίνησητηςΓης πάνωσ αυτήγίνεται όπωςφαίνεταιαπότοβόρειο πόλο κατάτηνορθήφορά(αντίθετητηςφοράςπεριστροφής των δεικτών ενός ωρολογίου) και µε σταθερήεµβαδικήταχύτητα(2 ος νόµοςκepler).τοεπίπεδο αυτό της τροχιάς της Γης τέµνει την ουράνια σφαίρα κατά ένα µέγιστο κύκλο, που λέγεται εκλειπτική (ecliptic Σχήµα 1-1 και 1-6). Συνεπώς, η εκλειπτική µπορείναορισθείωςητοµήτουεπιπέδουτηςφαινό- µενης τροχιάς(apparent trajectory or orbit) του Ήλιου µε την ουράνια σφαίρα. Η εκλειπτική και ο ισηµερινός τέµνονται κατά τη διάµετρο γγ, που ονοµάζεται γραµµή των ισηµεριών (equinox line) και σχηµατίζουν µια σταθερή γωνία ω = (J2000), που λέγεται λόξωση της εκλειπτικής(obliquityoftheecliptic)ηκάθετηπροςτη γραµµή των ισηµεριών και πάνω στο επίπεδο της εκλειπτικής ευρισκόµενη διάµετρος ΕΕ λέγεται γραµµή των τροπών(solstice line). Τα σηµεία γ και γ ονοµάζονται εαρινό(vernal) και φθινοπωρινό ιση- Σχήµα1-2.ΗετήσιατροχιάτηςΓηςγύρωαπότονΉλιοκαι η θέση τηςκατά τις ισηµερίες και τα ηλιοστάσια 14

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα µερινό σηµείο(autumnal equinox), ενώ τα Ε και Ε ονοµάζονται θερινό(summer) και χειµερινό ηλιοστάσιο(winter solstice). Τα τέσσερα αυτά σηµεία ορίζουν τις αρχές των εποχών του έτους(σχήµα 1-2) Συστήµατα συντεταγµένων Η θέση κάθε αστέρα πάνω στην ουράνια σφαίρα προσδιορίζεται µε τη βοήθεια δυο κάθετων βασικών επιπέδων, που είναι πάντα µέγιστοι κύκλοι της ουράνιας σφαίρας. Οι συντεταγµένες του αστέρα ορίζονται µετηβοήθειαδυοτόξωνπάνωσ αυτάταεπίπεδαή από τις αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες(λ και Φ). Η επιλογήτωνδύοαυτώνεπιπέδωναναφοράςκαθώςκαιη αρχήµέτρησηςκαιηφοράτωνγωνιώνλκαιφκαθορίζουν τα διάφορα συστήµατα συντεταγµένων. α) Οριζόντιες συντεταγµένες(horizontal coordinates Α,υ): Στο σύστηµα αυτό ως βασικοί κύκλοι λαµβάνονται ο ορίζοντας και ο µεσηµβρινός του τόπου(σχήµα 1-3). Η θέση ενός αστέρα ορίζεται από το αζιµούθιο (azimuth)α(0 360 )µεαρχήµέτρησηςτονότοκαι απότούψος(altitude)υ(0 ±90 )µεαρχήµέτρησης τονορίζοντα.ησυµπληρωµατικήγωνίαz=90 υ λέγεται ζενίθια απόσταση(zenith angle or distance) του αστέρα και µετριέται πάνω στον κατακόρυφο κύκλοτουαστέρααπότοζενίθ(ζν)προςτοναδίρ(νδ). Το σύστηµα αυτό είναι το φυσικό σύστηµα παρατηρήσεων. β) Ισηµερινές συντεταγµένες(equatorial coordinates Η,δ):Στοσύστηµααυτόωςβασικοίκύκλοι λαµβάνονται ο ουράνιος ισηµερινός και ο µεσηµβρι- Σχήµα 1-3. Οριζόντιες συντεταγµένες. Σχήµα 1-4. Ισηµερινές συντεταγµένες. 15

4 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ νόςτουτόπου.ηθέσηενόςαστέρα(σχήµα1-4)προσδιορίζεταιαπότηνωριαίαγωνία(hourangle)η(0 360 ) µε αρχή µέτρησης το µεσηµβρινό του τόπου και απότηναπόκλιση(declination)δ(0 ±90 )µεαρχή µέτρησης τον ισηµερινό. Η συµπληρωµατική γωνία Ρ =90 δονοµάζεταιπολικήαπόσταση(polarangleor distance) του αστέρα και µετρείται πάνω στον ωριαίο τουαστέρααπότοβόρειοπροςτονότιοπόλοτηςουράνιας σφαίρας. γ) Ουρανογραφικές συντεταγµένες(equatorial coordinates α,δ): Στο σύστηµα αυτό ως βασικοί κύκλοι λαµβάνονται ο ουράνιος ισηµερινός και ο ωριαίος του εαρινού ισηµερινού σηµείου γ. Η θέση ενός αστέρα (Σχήµα 1-5) προσδιορίζεται από την ορθή αναφορά (rightascension)α(0 h 24 h )µεαρχήµέτρησηςτογ (κατά την ορθή φορά) και από την απόκλιση(declination)δ.τοσύστηµααυτόείναιτοπιοδιαδεδοµένοσύστηµα συντεταγµένων και χρησιµοποιείται ευρέως στην καταχώρηση των αστέρων σε καταλόγους, συνήθως κατά αύξουσα ορθή αναφορά. δ) Εκλειπτικές συντεταγµένες(ecliptic coordinates): Στο σύστηµα αυτό ως βασικοί κύκλοι λαµβάνονται η εκλειπτική και ο µέγιστος κύκλος που περνά απότουςπόλουςτηςεκλειπτικήςκαιτογ.ηθέσηενός αστέρα(σχήµα 1-6) προσδιορίζεται από το εκλειπτικό µήκος(ecliptic longitude) λ(0 360 ) µε αρχή µέτρησηςτοεαρινόισηµερινόσηµείογκαιαπότοεκλειπτικόπλάτος(eclipticlatitude)β(0 ±90 )µεαρχή µέτρησης την εκλειπτική. Το σύστηµα αυτό χρησιµοποιείται κυρίως στην Ουράνια Μηχανική. Σχήµα 1-5. Ουρανογραφικές συντεταγµένες. Σχήµα 1-6. Εκλειπτικές συντεταγµένες. 16

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα ε) Γαλαξιακές συντεταγµένες(galactic coordinates): Στο σύστηµα αυτό ως βασικοί κύκλοι λαµβάνονται το γαλαξιακό επίπεδο(galactic plane) και ο µέγιστος κύκλος που περνά από τους πόλους του γαλαξιακού επιπέδου και το κέντρο του Γαλαξία(galacticcentre).Ηθέσηενόςαστέρα(Σχήµα1-7)στο σύστηµα αυτό προσδιορίζεται από το γαλαξιακό µήκος(galacticlongitude)l(0 360 )µεαρχήµέτρησης το κέντρο του Γαλαξία και από το γαλαξιακό πλάτος(galacticlatitude)b(0 ±90 )µεαρχήµέτρησης το γαλαξιακό επίπεδο. Το κέντρο του Γαλαξία έχει ουρανογραφικές συντεταγµένες για το έτος : ακ=17 h 45 m 40 s καιδκ= ενώ ο βόρειος γαλαξιακός πόλος(north galactic pole): απ=12 h 51 m 26 s καιδπ= Σχήµα 1-7. Γαλαξιακές συντεταγµένες. Το σύστηµα αυτό χρησιµοποιείται κυρίως κατά τηµελέτητηςδοµήςτουγαλαξίαµας Σφάλµατα παρατηρήσεων Στον προσδιορισµό των συντεταγµένων των αστέρων, όταν γίνεται µε παρατηρήσεις των φαινόµενων θέσεών τους, εκτός από τα σφάλµατα των οργάνων, υπεισέρχονται και άλλα σφάλµατα που οφείλονται: i) Στη διάθλαση(diffraction από τη Γήινη ατµόσφαιρα) ii)στοβάθοςτουορίζοντα(dipofthehorizon εξαιτίας της σφαιρικότητας της Γης), iii) Στην αποπλάνηση(aberration εξαιτίας της κίνησης της Γης και της πεπερασµένης ταχύτητας του φωτός), iv) Στην ετήσια παράλλαξη των(κοντινών κυρίως) αστέρων(parallax εξαιτίας της µετατόπισης της Γηςκατάτηνετήσιαπεριφοράτηςγύρωαπότον Ήλιο), v) Στη φαινόµενη διάµετρο(apparent diameter κατά την παρατήρηση του Ήλιου, της Σελήνης και των µεγάλων πλανητών). vi) Στη µετάπτωση(precession εξαιτίας της µεταπτωτικής κίνησης του άξονα περιστροφής της Γης). Η κίνηση αυτή οφείλεται κυρίως στην ελκτική δύναµη της Σελήνης και του Ήλιου πάνω στο ισηµερινό εξόγκωµα(equatorial bulge) της Γης και στη λόξωση της εκλειπτικής. Η περίοδος της µεταπτωτικής αυτής κίνησηςείναι25800έτη(σχήµα1-8). vii) Στην κλόνηση(nutation) εξ αιτίας της ροπής πουεξασκείοήλιοςστοσύστηµαγης Σελήνης,που έχει ως αποτέλεσµα την περιοδική µεταβολή της κλίσης του στιγµιαίου άξονα περιστροφής της Γης. Η πε- 17

6 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ρίοδος της µεταβολής αυτής είναι 18.6 έτη(σχήµα 1-8β). Σχήµα 1-8α. Η µετάπτωση του άξονα της τροχειάς της Γής 1.4. Μορφές της ουράνιας σφαίρας σε σχέση µε τη θέση του παρατηρητή 1) Αν το γεωγραφικό πλάτος του παρατηρητή είναιµεταξύ0 και90,ηµορφήτηςουράνιαςσφαίρας καλείται κεκλιµένη ή πλάγια(oblique) και τότε οι αστέρες χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες:(α) Αστέρες που δεν δύουν(αειφανείς circumpolar). ΑυτόισχύειγιααστέρεςµεΡ φ(σχ.1-9).(β)αστέρες που ανατέλλουν και δύουν(αµφιφανείς rising and setting) κατά τη διάρκεια του εικοσιτετραώρου. Αυτό ισχύει για αστέρες που η πολική τους απόσταση είναιφ<ρ 180 φ.(γ)αστέρεςπουδενανατέλλουν (αφανείς never rising) και βρίσκονται συνέχεια κάτω Σχήµα 1-8β. Η µεταβόλη της διεύθυνσης του άξονα περιστροφήςτηςγης λόγω κλόνησης και µετάπτωσης. Σχήµα 1-9. Πλάγια µορφή της ουράνιας σφαίρας. 18

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα απότονορίζοντα.αυτόισχύειγιααστέρεςµερ> 180 φ(σχήµα 1-9). 2)Ανφ=±90 (δηλαδήστοβόρειοήνότιογεωγραφικό πόλο), τότε η µορφή της ουράνιας σφαίρας ονοµάζεται παράλληλη(parallel view) και οι αστέρες κινούνται παράλληλα προς τον ορίζοντα και είναι αειφανείς,ότανηαπόκλισητουςείναιδ 0º,ήαφανείς, ότανδ<0º(σχήµα1-10ακαιβ). 3)Ανφ=0 (γεωγραφικόςισηµερινός),τότεη µορφή της ουράνιας σφαίρας ονοµάζεται ορθή ή κατακόρυφη(vertical view), οι αστέρες κινούνται κάθετα προς τον ορίζοντα και είναι όλοι αµφιφανείς, µε ίσα ορατάκαιµηορατάτόξα(σχήµα1-11ακαιβ). Σχήµα Παράλληλη µορφή της ουράνιας σφαίρας.(α) Σχηµατική παράσταση.(β) Φωτογραφία αστρικών τροχιών από περιοχή του Νότιου Πόλου. Σχήµα Ορθή µορφή της ουράνιας σφαίρας. (α) Σχηµατική παράσταση. (β) Φωτογραφία αστρικών τροχιών από περιοχή του Ισηµερινού. 19

8 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1.5 Σχέσεις σε σφαιρικά τρίγωνα Σφαιρικά τρίγωνα Σφαιρικό τρίγωνο(spherical triangle) ΑΒΓ ονο- µάζεται κάθε τρίγωνο στην επιφάνεια µιας σφαίρας του οποίου οι πλευρές είναι τόξα µέγιστων κύκλων(great circles), δηλαδή τόξα κύκλων που έχουν τα κέντρα τουςστοκέντροτηςσφαίραςκαιανήκουνστοίδιοηµισφαίριο. Έτσι στο σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ(Σχήµα 1-12)οιδίεδρεςγωνίεςΑ,Β,Γπουσχηµατίζονταιαπότα επίπεδα των κύκλων ονοµάζονται γωνίες του σφαιρικούτριγώνου,ενώτατόξα,α,β,γ,τωνµέγιστωνκύκλωνπουενώνουνανάδύοτασηµείαα,β,γ, ονοµάζονται πλευρές του σφαιρικού τριγώνου. Είναιφανερόαπόταπαραπάνωότιοιπλευρέςκαι οι γωνίες ενός σφαιρικού τριγώνου έχουν τιµές θετικές και µικρότερες των 180º. Ανάλογα µε το πλήθος των ορθών γωνιών ή ορθών πλευρών ένα σφαιρικό τρίγωνο λέγεται ορθογώνιο(rectangular or quadrantal triangle) ή δισορθογώνιο(birectangular) ή τρισορθογώνιο (trirectangular) και ορθόπλευρο ή δισορθόπλευρο ή τρισορθόπλευρο αντίστοιχα Βασικές σχέσεις Σ ένα σφαιρικό τρίγωνο ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: 1. Οι σχέσεις του συνηµιτόνου: 2. Οι σχέσεις του ηµιτόνου (1-1) 3. Οι σχέσεις των πέντε στοιχείων (1-2) (1-3) 4. Οι σχέσεις των τεσσάρων διαδοχικών στοιχείων Σχήµα Γωνίες και πλευρές σφαιρικού τριγώνου. (1-4) Οισχέσεις(1-1)έως(1-4),καθώςκαιαυτέςπου προκύπτουν, όπως είναι φυσικό, από την κυκλική εναλλαγή α β γ α και Α Β Γ Α χρησιµοποιούνται πολύ συχνά κατά την επίλυση διαφόρων σφαιρικών τριγώνων, που εξετάζει η Αστρονοµία Θέσης(Positional Astronomy). 20

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα Πολικές σχέσεις ίδεται ένα σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ(Σχήµα 1.13). ΗπλευράΒΓείναιτόξοενόςµέγιστουκύκλουπουχωρίζει τη σφαίρα(στην επιφάνεια της οποίας ανήκει το σφαιρικό τρίγωνο) σε δύο ηµισφαίρια. Αυτού του µέγιστου κύκλου υπάρχουν δυο πόλοι, που ορίζονται από τηντοµήτηςεπιφάνειαςτηςσφαίραςµετηνευθείαπου διέρχεται από το κέντρο του µέγιστου κύκλου και είναι κάθετη στο επίπεδο αυτού. Από τους δύο αυτούς πόλους, που απέχουν 90 από κάθε σηµείο του µέγιστου κύκλου, επιλέγουµε εκείνον τον πόλο Α που βρίσκεταιστοίδιοηµισφαίριοµετηνκορυφήατουσφαιρικού τριγώνου. Με τον ίδιο τρόπο ορίζονται τα σηµεία Β καιγ ωςπόλοιτωνµέγιστωνκύκλωναγκαιαβ αντίστοιχα. Το σφαιρικό τρίγωνο Α Β Γ καλείται πολικό τρίγωνο του σφαιρικού τριγώνου ΑΒΓ, αλλά και, αντίστροφα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι πολικό του σφαιρικούτριγώνουα Β Γ.Πράγµατι,τόσοτοΑ όσοκαιτο Β εκκατασκευήςαπέχουναπότοσηµείογ90,διότι αυτόείναιτοµήτωντόξωνβγκαιαγ,δηλαδήτογ είναι πόλος του µέγιστου κύκλου στον οποίο ανήκει το τόξοα Β καιτασηµείαακαιβείναιοιπόλοιπου αντιστοιχούν στα τόξα Α Β και Α Β. Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το πολικό του Α Β Γ. Από το σχήµα 1.13 έχουµε: ) ) ) ) ) λόγω της αµοιβαίας πολικότητας των σφαιρικών τριγώνων ΑΒΓ και Α Β Γ. Εποµένως: (1-5) Άραηπλευράαενόςσφαιρικούτριγώνουκαιη αντίστοιχη γωνία Α του πολικού του είναι µεταξύ τους παραπληρωµατικές. Το αντίστοιχο ισχύει και για τις υπόλοιπες πλευρές, β και γ. Επειδή, όµως, η πολικότητα είναι αµοιβαία, έχουµε: Σχήµα Το σφαιρικό τρίγωνο Α Β Γ είναι πολικό τρίγωνο του σφαιρικού τριγόνου ΑΒΓ και αντιστρόφως. (1-6) Γενικότερα, λοιπόν, συνεπάγεται ότι οι πλευρές και οι γωνίες κάθε σφαιρικού τριγώνου είναι παραπληρωµατικές των γωνιών και των πλευρών αντίστοιχα του πολικού του τριγώνου, δηλαδή, π.χ.,, αλλά και Μετά από αυτήν την παρατήρηση, όλοι οι βασικοί τύποι της σφαιρικής τριγωνοµετρίας µπορούν εύκολα να µετασχηµατισθούν για τα πολικά τρίγωνα και να 21

10 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ µας δώσουν νέες δυνατότητες για τις αποδείξεις διάφορων σχέσεων που ισχύουν στα σφαιρικά τρίγωνα. Σχέσεων χρήσιµων στη µαθηµατική αστρονοµία για τον προσδιορισµό των θέσεων, των κινήσεων και των µεταβολών διάφορων µεγεθών συναρτήσει άλλων. Αυτοί οι τύποι καλούνται πολικοί τύποι. Ένας τέτοιος πολικός τύπος είναι ο ακόλουθος: που προκύπτει από τη σχέση 1-1. (1-7) Εφαρµογή: Να αποδειχθεί ότι το άθροισµα των γωνιών κάθε σφαιρικού τριγώνου είναι πάντα µεγαλύτερο των 180. Απόδειξη: Απότοσχήµα1-3καιγιατοσφαιρικότρίγωνο Α Β Γ ισχύει η γνωστή σχέση: Άρα,γιατοπολικόαυτού,δηλαδήγιατοσφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η µετασχηµατισµένη σχέση: και η θετική ποσότητα (1-9) λέγεται σφαιρική υπεροχή του σφαιρικού τριγώνου ΑΒΓ Σχέσεις του Borda Οι τύποι αυτοί µας βοηθούν να υπολογίσουµε τις γωνίες ενός σφαιρικού τριγώνου, όταν γνωρίζουµε τις πλευρές του και αποδεικνύονται ως εξής: Αν θέσουµε το άθροισµα των πλευρών ενός σφαιρικού τριγώνου ίσο µε 2p, δηλαδή: τότε, επειδή ισχύει η γνωστή σχέση έχουµε: Εποµένως: (1-10) και, επειδή κάθε πλευρά ενός σφαιρικού τριγώνου είναι τόξο θετικό και µικρότερο των 180, έχουµε από την προηγούµενη σχέση: Εποµένως: Άρα: (1-8) και (1-11) 22

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα (1-12) Άρα, αν διαιρέσουµε τις σχέσεις(1-11) και(1-12) κατά µέλη, προκύπτει: (1-13) καιµεκυκλικήεναλλαγήα β γ ακαι Α Β Γ Απροκύπτουνπαρόµοιεςσχέσειςγια τις δύο άλλες γωνίες ιαφορικές σχέσεις Πολύ συχνά στη Σφαιρική Τριγωνοµετρία αντιµετωπίζονται προβλήµατα προσδιορισµού των µεταβολών κάποιων αστρονοµικών µεγεθών, οι οποίες οφείλονται σε µικρές µεταβολές κάποιων άλλων µεγεθών. Όπως, για παράδειγµα, η µελέτη της µεταβολής των ουρανογραφικών συντεταγµένων του Ήλιου σε συνάρτηση µε τη µεταβολή του εκλειπτικού µήκους του, λόγω της ετήσιας φαινόµενης περιφοράς του γύρω από τη Γη. Επειδή οι µεταβολές αυτές είναι µικρές, µπορούµε να τις θεωρήσουµε ως απειροστά µεγέθη και, εποµένως, η διαφόριση και των δύο µελών µιας κατάλληλης σχέσης να λύνει το πρόβληµα, αρκεί να γνωρίζουµε τα µεγέθη που διατηρούνται σταθερά. Οι τύποι που προκύπτουν από µια τέτοια διαφόριση λέγονται διαφορικοί τύποι. Στις περισσότερες περιπτώσεις ζητείται η µεταβολή ενός στοιχείου ενός σφαιρικού τριγώνου, που οφείλεται στη µεταβολή κάποιων άλλων στοιχείων του τριγώνου. Για παράδειγµα, µπορεί να ζητείται η µεταβολή της µιας πλευράς α του σφαιρικού τριγώνου ΑΒΓ πουοφείλεταιστηµεταβολήτηςγωνίαςακατάdα, καθώς,όµως,οιδύοάλλεςπλευρές,βκαιγ,διατηρούνται σταθερές. Στην περίπτωση αυτή, από τον νόµο των συνηµιτόνων γνωρίζουµε ότι: Εποµένως, διαφορίζοντας και τα δύο µέλη, έχουµε: και,επειδήdβ=dγ=0, έχουµε: δηλαδή: Από τον νόµο του ηµιτόνου, όµως, έχουµε: Άρα: είναι η ζητούµενη σχέση. (1-14) Με τον ίδιο τρόπο µπορούµε να εξαγάγουµε τους διαφορικούς τύπους για τον υπολογισµό της µεταβολής των γωνιών Β και Γ, διαφορίζοντας αντίστοιχα τις σχέσεις ηµαηµβ = ηµβηµα και ηµαηµγ = ηµγηµα, που προκύπτουν από τον νόµο του ηµιτόνου. 23

12 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1.6. Το τρίγωνο θέσης ενός αστέρα Πολλά προβλήµατα που έχουν σχέση µε την ανεύρεση της φαινόµενης θέσης(δηλαδή των συντεταγµένων) ενός αστέρα στην ουράνια σφαίρα για ένα παρατηρητή µια ορισµένη χρονική στιγµή, επιλύονται αν κατασκευάσουµε την ουράνια σφαίρα του παρατηρητήκαιτοσφαιρικότρίγωνοπουορίζεταιαπότο ζενίθ του παρατηρητή(ζν), τον βόρειο ουράνιο πόλο (Π) και τον αστέρα(σ). Το σφαιρικό αυτό τρίγωνο, ΠΖνΣ(Σχήµα 1-14), ονοµάζεται(σφαιρικό) τρίγωνο θέσης του αστέρα(star s spherical triangle). Όλες οι πλευρέςκαιοιγωνίες(εκτόςτηςγωνίαςs)τουτριγώνου θέσης, που αναγράφονται στο Σχήµα 1-14, µπορούν εύκολα να αναγνωριστούν αν συµβουλευτούµε τασχήµατα1-3,1-4και1-5.ηγωνίαsονοµάζεταιπαραλλακτική γωνία(parallactic angle) και είναι χρήσιµη για τον προσανατολισµό αστρικών πεδίων που έχουν φωτογραφηθεί σε διαφορετικές ωριαίες γωνίες. Στην επόµενη παράγραφο δίνεται ένα παράδειγµα επίλυσης του τριγώνου θέσης για την εύρεση της ωριαίας γωνίας και του αζιµουθίου τη στιγµή της ανατολής ή δύσηςενόςαστέραπουέχειαπόκλισηδγιαέναπαρατηρητή που βρίσκεται σε έναν τόπο µε γεωγραφικό πλάτος φ Ανατολή και δύση αστέρων Ηωριαίαγωνίακαιτοαζιµούθιοενόςαστέρατη στιγµήτηςανατολήςήτηςδύσηςτου(οπότεέχειύψος υ=0º)δίνονταιαπότιςσχέσεις: συνη = εφφ εφδ (1-15) συνα = ηµδ/συνφ, (1-16) που προκύπτουν από την επίλυση του τριγώνου θέσηςτουαστέρα(σχήµα1-14)µετιςσχέσειςτουσυνηµιτόνου, δηλαδή από τις σχέσεις: (1-17) και Σχήµα Το τρίγωνο θέσης ενός αστέρα. (1-18) για υ=0. ΟιµικρότερεςτιµέςτωνΗκαιΑαντιστοιχούνστη δύση και οι µεγαλύτερες στην ανατολή. Από τις εξισώσεις(1-15) και(1-16) συµπεραίνουµε ότι κάθε αστέρας ανατέλλει και δύει στα ίδια σηµεία του ορίζοντα καιτηνίδιαπάντααστρικήώρα,επειδήτοδτουκαιτο φείναισταθερά.αυτόόµωςδενισχύειγιατονήλιο. Λόγω της λόξωσης της εκλειπτικής τόσο η απόκλιση όσο και η ορθή αναφορά του µεταβάλλονται κατά την 24

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα Σχήµα 1-15α. Η φαινόµενη κίνηση του Ηλίου κατά τη διάρκεια του έτους. ετήσια περιφορά της Γης γύρω απ αυτόν. Συγκεκρι- µέναότανοήλιοςβρίσκεταιστασηµείαγ,γ,ε,ε ισηµερίες(equinox) και ηλιοστάσια(solstice) παίρνουν τις παρακάτω τιµές(σχήµα 1-15β): Σχήµα 1-15β. Η ηµερίσια τροχιά του Ήλιου κατά τις ισηµερίες και τα ηλιοστάσια. Το τόξο της τροχιάς που βρίσκεται πάνω από τον ορίζοντα είναι το µεγαλύτερο του έτους(µέγιστη διάρκεια ηµέρας κατά το θερινό ηλιοστάσιο) ενώ το αντίστοιχο τόξο του χειµερινού ηλιοστασίου είναι το µικρότερο του έτους(ελάχιστη διάρκεια ηµέρας). Η µεταβολή αυτή(της ηµερήσιας τροχιάς του Ήλιου) προκαλεί τη διαδοχή των εποχών στον πλανήτη µαςκατάτηδιάρκειατουέτους.από21μαρτίουέως 22 Σεπτεµβρίου η ηµερήσια τροχιά του Ήλιου είναι κύκλος θετικής απόκλισης και έχουµε Άνοιξη ή Καλοκαίρι για τους τόπους του βόρειου ηµισφαιρίου της Γης,παρότιστις6ΙουλίουηΓηβρίσκεταιστοαφήλιό της(το σηµείο της µέγιστης απόστασής της από τον Ήλιο), και Φθινόπωρο ή Χειµώνα για εκείνους του νότιου ηµισφαιρίου, όπου η ηµερήσια τροχιά του Ήλιου 25

14 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ είναι κύκλος αρνητικής απόκλισης. Στη δάρκεια της ίδιας αυτής περιόδου το µέγιστο ηµερήσιο ύψος του Ήλιου είναι µεγαλύτερο στο βόρειο ηµισφαρίο από ό,τι στο νότιο. Εποµένως οι ακτίνες του Ήλιου προσπίπτουν στην επιφάνεια της Γης υπό µεγαλύτερη γωνία και τη θερµαίνουν περισσότερο από ό,τι στο νότιο ηµισφαίριο(σχήµα 1-16) Χρόνος Τα κυριότερα συστήµατα χρόνου που χρησιµοποιούµε στην Αστρονοµία είναι τα ακόλουθα: (α) Αστρικός χρόνος(sidereal time or star time ST) (β) Ηλιακός χρόνος(solar time) (γ) Χρόνος εφηµερίδων(ephemeris time ΕΤ) (δ) ιεθνής Ατοµικός χρόνος(international AtomicTime TAI) Συστήµατα χρόνου Σχήµα Το καλοκαίρι, κατά τη µεσηβρία, ο Ήλιος θερµαίνει περισσότερο τοέδαφοςαπότοχει- µώνα. α) Αστρικός χρόνος(sidereal time), t, ενός τόπου ονοµάζεται η ωριαία γωνία του εαρινού ισηµερινού σηµείουγ.όπωςφαίνεταιαπότοσχήµα1-3ισχύειt= α+η,όπουακαιηείναιηορθήαναφοράκαιηωριαία γωνία οποιουδήποτε αστέρα. Επειδή όµως το γ κινείται, λόγω της µετάπτωσης, ανάδροµα πάνω στην εκλειπτική κατά 50.3 το χρόνο, η αστρική ηµέρα (sidereal day), δηλαδή το χρονικό διάστηµα µεταξύ δυο διαδοχικών άνω µεσουρανήσεων του γ, είναι µικρότερη της περιόδου περιστροφής της Γης Τ, κατά (1-19) ΑςσηµειωθείότιηκλόνησητουάξονατηςΓης αναγκάζει το γ να παλινδροµεί περιοδικά γύρω από τη θέση του µέσου εαρινού σηµείου γο,(mean vernal equinox) που θεωρείται ότι κινείται οµαλά πάνω στην εκλειπτική. Έτσι µπορούµε να ορίσουµε ως µέσο αστρικό χρόνο(mean sidereal time) αυτόν που αναφέρεται στο γο και ως αληθή αστρικό χρόνο(apparentortruesiderealtime)αυτόνπουαναφέρεταιστογ. Ηµεταπτωτικήαυτήκίνησητουγέχειωςαποτέλεσµα τη µεταβολή των ουρανογραφικών συντεταγµένων. Οι σχέσεις µε τις οποίες υπολογίζουµε τις συντεταγµένες(α2, δ2) ενός αστέρα κατά την εποχή Ε2, όταν γνωρίζουµε τις συντεταγµένες του(α1, δ1) κατά την εποχή Ε1, δίνονται από τις σχέσεις: α2=α1+(3.074 s s ηµα1 εφδ1)(ε2-ε1) (1-20) δ2=δ συνα 1 (Ε2-Ε1) (1-21) ΗδιαφοράΕ2 Ε1µπορείναείναιείτεθετικόςή αρνητικός αριθµός καθώς επίσης και κλασµατικός. β) Ηλιακός χρόνος(solar time) ενός τόπου λέγεται η ωριαία γωνία του κέντρου του ηλιακού δίσκου αυξηµένη κατά 12 ώρες. Το διάστηµα µεταξύ δυο άνω µεσουρανήσεωντουήλιουδενείναιίσοµετηνπερίοδο περιστροφής της Γης(Τ). Κατά το διάστηµα αυτό ο Ήλιος κινείται πάνω στην εκλειπτική κατά µια µοίρα περίπου την ηµέρα διαγράφοντας έτσι τόξο ηµερήσιας τροχιάς 361 πάνω στην ουράνια σφαίρα, που σηµαίνει ότι το διάστηµα αυτό είναι µεγαλύτερο του Τ 26

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα κατά4minπερίπου.επειδήόµωςηδιαφοράαυτήδεν είναι σταθερή, η αληθής ηλιακή ηµέρα δεν είναι σταθερό διάστηµα χρόνου. Η µεταβολή οφείλεται σε δύο λόγους:α)ηκίνησητηςγηςγίνεταισύµφωναµετο νόµοτωνεµβαδώντουkeplerκαιεποµένωςηγραµ- µικήτηςταχύτηταδενείναισταθερήκαιβ)ηωριαία γωνία µετριέται πάνω στον ισηµερινό και όχι πάνω στην εκλειπτική. Για τους παραπάνω λόγους ο αληθής ηλιακός χρόνος(apparent or true solar time) δεν είναι κατάλληλος για τις καθηµερινές µας ανάγκες, καθ όσον µάλιστα δεν µπορεί να προσδιοριστεί µε ωρολογιακούς µηχανισµούς. Για όλους αυτούς τους λόγους, καθιερώθηκε η έννοιατουµέσουήλιου(meansun),πουείναιένα νοητό σηµείο πάνω στον ισηµερινό και το οποίο κινείται οµαλά συµπληρώνοντας µια πλήρη περιφορά στον ίδιο χρόνο που χρειάζεται ο Ήλιος για να διαγράψει την εκλειπτική. Μέσος ηλιακός χρόνος ή µέσος χρόνος ή πολιτικός χρόνος(mean solar time) ενός τόπου ονοµάζεται η ωριαία γωνία του µέσου Ήλιου αυξηµένη κατά12ώρες.ηµέσηηλιακήηµέρα(meansolarday) αρχίζει τη στιγµή της κάτω µεσουράνησης του µέσου Ήλιου. Ο µέσος ηλιακός χρόνος του κεντρικού µεσηµβρινού κάθε ατράκτου(time zone), από τις είκοσι τέσσερις, στις οποίες έχει διαιρεθεί η επιφάνεια της Γης για πρακτικούς λόγους, λέγεται επίσηµος χρόνος (standard time Σχήµα 1-17). Ο επίσηµος χρόνος της πρώτης ατράκτου που εκτείνεται 7.5 δεξιά και αριστερά του µεσηµβρινού που περνά από το Αστεροσκοπείο Greenwich, το οποίο βρίσκεται στο οµώνυµο προάστιο του Λονδίνου στη Μ. Βρετανία, λέγεται Παγκόσµιος Χρόνος,(Universal Time UΤ). ΗδιαφοράτουµέσουηλιακούχρόνουΜαπότον αληθή ηλιακό χρόνο Α σ έναν τόπο ονοµάζεται εξίσωση χρόνου(equation of time). Η εξίσωση του χρόνου(σχήµα1-18)γιατηναρχήκάθεηµέρας(µέσο µεσονύκτιο του Greenwich) δίνεται από τις αστρονο- µικές εφηµερίδες(astronomical ephemeris ή astronomical almanac). Η εξίσωση του χρόνου αυξοµειώνεται κατά τη διάρκεια του έτους, διότι, όπως αναφέραµε προηγουµένως, η ορθή αναφορά του Ήλιου δεν µεταβάλλεται οµαλά. Η µεταβολή αυτή, που δίνε- Εικόνα1-17.Οι24άτρακτοιστιςοποίεςέχειχωριστείηΓη για τον ορισµό του Επίσηµου Χρόνου κάθε κράτους. Σχήµα Η καµπύλη της εξίσωσης χρόνου. 27

16 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ται στο Σχήµα 1-18, µπορεί κατά προσέγγιση να θεωρηθεί περιοδική µε περίοδο ένα έτος. Αξίζει να σηµειώσουµε ότι η µετατροπή διαστήµατος αστρικού χρόνου, α, σε διάστηµα µέσου ηλιακού χρόνου, µ, και αντίστροφα γίνεται µε πολύ απλούς υπολογισµούς και βασίζεται στο γεγονός ότι µέσες ηλιακές ηµέρες είναι ίσες µε αστρικές ηµέρες. ηλαδή, ισχύει η σχέση: (1-22) Παρατήρηση: Ανωµαλίες του χρόνου. Ηµέτρησητόσοτουαστρικούόσοκαιτουηλιακού χρόνου βασίσθηκε στην περιστροφή της Γης και πάρθηκε υπόψη η µετάπτωση και η κλόνηση του άξονα της. Στην πραγµατικότητα, όµως, η περιστροφή της Εικόνα Η εισαγωγή του διορθωτικού δευτερολέπτου απότο1985έωςτο2009. Γηςγύρωαπότονάξονάτηςδενείναιοµαλή.Άλλοτε περιστρέφεται ταχύτερα και άλλοτε βραδύτερα. Οι ανωµαλίες της περιστροφής της Γης είναι: α) εποχιακές ή περιοδικές, που οφείλονται κυρίως σε µετεωρολογικά φαινόµενα π.χ. µετακινήσεις αερίων µαζών, πάγων κλπ. β) αιώνιες, που οφείλονται σε παλιρροιογόνες δυνάµεις και γ) ανώµαλες µεταβολές, που οφείλονται στην ηλιακή δράση. Ο Παγκόσµιος χρόνος(ut) διορθωµένος απ αυτές τις ανωµαλίες συµβολίζεται ως UT1 ή UT2 ανάλογαµετοβαθµόδιορθώσεωνπουέχειυποστεί.με τη βοήθεια των ατοµικών ρολογιών επιτυγχάνεται µια πολύ καλή διόρθωση του παγκόσµιου χρόνου, που λέγεται συντονισµένος παγκόσµιος χρόνος(universal coordinatedtime UTC).Οχρόνοςαυτός,απότην1η Ιανουαρίου 1972, δίνεται από διάφορες ραδιοφωνικές υπηρεσίες χρόνου. Η διαφορά µεταξύ του χρόνου UTC και του χρόνου UT1 διατηρείται σταθερά µικρότερη από 0.9 δευτερόλεπτα. Αυτό κατορθώνεται µε την προσθήκη στον UT1 όταν χρειάζεται ενός δευτερολέπτου στο τελευταίο λεπτό της τελευταίας µέρας του Ιουνίου ή του εκεµβρίου. Το δευτερόλεπτο αυτό ονο- µάζεται διορθωτικό δευτερόλεπτο(leap second). Έτσι, τοτελευταίολεπτότης24 ης ώραςτης31 ης εκεµβρίου 2008 UT1 περιείχε 61 δευτερόλεπτα. Αυτό ήταν το εικοστό τέταρτο διορθωτικό δευτερόλεπτο από το 1972, οπότε η µέτρηση του χρόνου µε αστρονοµικές µεθόδους αποσυνδέθηκε από τη µέτρηση του ατοµικού χρόνου(σχήµα 1-19). γ) Χρόνος εφηµερίδων ή Νευτώνειος χρόνος (ephemeris time). Ο χρόνος αυτός πηγάζει από την εφαρµογή του νόµου του Νεύτωνα της Ουράνιας Μηχανικής στον υπολογισµό της περιόδου περιφοράς των φυσικών ή τεχνητών σωµάτων του πλανητικού µας συστήµατος. Είναι ο µόνος οµαλός χρόνος που προσδιορίζεται µε αστρονοµικές παρατηρήσεις. Η ακρίβεια του 28

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα είναιτηςτάξηςτου10-10 δευτερόλεπταανάέτος. δ) ιεθνής Ατοµικός χρόνος(international Atomic Time TAI). Ανεξάρτητα των αστρονοµικών παρατηρήσεων, µπορούµε να µετράµε διαστήµατα χρόνου και να ελέγχουµε τις µεταβολές της περιστροφής της Γης µε τη βοήθεια των ατοµικών ρολογιών(κυρίως καισίου και στροντίου), που η ακρίβειά τους είναι της τάξης του10-16 δευτερόλεπταανάδευτερόλεπτο Εύρεση του Επίσηµου Χρόνου από τον Αληθή Ηλιακό Χρόνο ενός τόπου Η χώρα µας βρίσκεται στη δεύτερη άτρακτο ανατολικά του Greenwich και έστω Ελ η επίσηµη ώρα αυτής.έστωλτογεωγραφικόπλάτοςτουτόπου(τολ θεωρείται αρνητικό ανατολικά του Greenwich) και Ε=Α Μηεξίσωσητουχρόνου,όπωςαυτήδίδεται στοσχήµα1-13,ωςηδιαφοράτουμέσουηλιακού χρόνου(μ)απότοναληθήηλιακόχρόνο(α).τότε, σύµφωνα µε όσα αναφέρονται προηγουµένως, για τον παγκόσµιο χρόνο UT ισχύουν οι σχέσεις: UT=Eλ 2 h, αλλά και UT=M+λ Ε λ 2 h =Μ+λ Άρα Ελ=Μ+λ+2 h =Α Ε+2 h +λ Ελ=Α+ l, όπου l=2 h +λ Ε. Ηδιόρθωση l=2 h +λ Ε= 1 Ε,(όπου 1=2 h +λ)είναιαυτήπουπρέπειναγίνειστοναληθήηλιακό χρόνο(που δείχνει ένα ηλιακό ρολόι), για να βρούµε τον επίσηµο χρόνο(που δείχνει το ρολόι µας). Στον Πίνακα 1-Ι δίνονται οι γεωγραφικές συντεταγµένες των ακραίων σηµείων της Ελλάδας και η µερική διόρθωση 1. Πίνακας 1-Ι Γεωγραφικές συντεταγµένες και η διόρθωση χρόνου για τα ακραία σηµεία της Ελλάδος 29

18 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ Στον Πίνακα 1-ΙΙ δίνονται οι γεωγραφικές συντεταγµένες και η µερική διόρθωση 1 για όλες ελληνικές πόλεις των οποίων ο πληθυσµός κατά την απογραφή του 1991 υπερέβαινε τους κατοίκους. Πίνακας 1-ΙΙ Γεωγραφικές συντεταγµένες και η διόρθωση χρόνου για ορισµένες ελληνικές πόλεις 30

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα 31

20 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1.9. Πάσχα και ηµερολόγια Ηµεροµηνία του Πάσχα Η ηµεροµηνία του Πάσχα καθορίσθηκε κατά την Πρώτη Οικουµενική Σύνοδο στη Νίκαια της Βιθυνίας το 325 µ.χ.(µε παρέµβαση του Μεγάλου Κωνσταντίνου). Κανόνας εορτασµού του Ορθόδοξου Πάσχα: Ως ηµέρα του Πάσχα στην Ορθόδοξη Χριστιανική Εκκλησία ορίζεται η πρώτη Κυριακή µετά την πρώτη εαρινή Πανσέληνο του παλαιού(ιουλιανού) ηµερολογίου(πουσυµβαίνειεποµένωςµετάτην3 η Απριλίου µε το σηµερινό Γρηγοριανό ηµερολόγιο βλέπε 1.9.2). Ας σηµειωθεί όµως, ότι η ηµεροµηνία της Πανσέληνου υπολογίζεται σύµφωνα µε τον κύκλο του Μέτωνος(κάθε 19 περίπου χρόνια έχουµε επανάληψη της Πανσέληνου στις ίδιες ηµεροµηνίες κάθε µήνα), που αυτήν την εποχή διαφέρει από την ηµερο- µηνία της πραγµατικής Πανσέληνου κατά πέντε ηµέρες (1 ηµέρα κάθε 320 χρόνια). Κατά τη Σύνοδο της Νίκαιας, οι ηµεροµηνίες του Πάσχα υπολογίσθηκαν για 532 χρόνια. Μετά από αυτή την περίοδο οι ηµεροµηνίες του Πάσχα επαναλαµβάνονται περιοδικά επ άπειρον. Σηµείωση: Το 532 είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθµών: 19(κύκλος Μέτωνος) 7(οιδιαφορετικέςηµέρεςτηςεβδοµάδας)και 4(οαριθµόςτωνδίσεκτωνετώνµέσαστον κύκλοτων19ετών) 32

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα Ηµερολόγια Η πραγµατική διάρκεια του έτους, δηλαδή µια πλήρηςπεριφοράτηςγηςγύρωαπότονήλιο,έχει υπολογισθεί(µε αρκετά µεγάλη ακρίβεια) ότι είναι ηλιακές ηµέρες: 365,2422 ηµέρες =365 ηµέρες 5 ώρες, 48 πρώτα λεπτά, 46 δεύτερα λεπτά. Μία(µέση) ηλιακή ηµέρα είναι το χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο διαδοχικών άνω µεσουρανήσεων του(µέσου) Ήλιου και οφείλεται, βέβαια, στην περιστροφήτηςγηςγύρωαπότονάξονάτηςκαιτηνκατά µια περίπου µοίρα ανά ηµέρα µετατόπισή της στην ετήσιατροχιάτηςγύρωαπότονήλιο.τοδιάστηµα αυτό υπολείπεται κατά ( ) ηµέρεςή11πρώταλεπτάκαι13.92δεύτερα,απότο διάστηµα που χρησιµοποιείται από τους αρχαίους Αιγυπτίους και το Ιουλιανό ηµερολόγιο( ηµέρες βλέπε παρακάτω). Η διάρκεια του έτους που χρησιµοποιείτο στην Αρχαία Αίγυπτο ήταν: 365,25 ηµέρες = ηµέρες + 5 επαγόµενες ηµέρες(για τους θεούς) ηµέρες εκτός ηµερολογίου Ιουλιανό ηµερολόγιο(παλαιό ηµερολόγιο) Το Ιουλιανό ηµερολόγιο θεσπίσθηκε από τον ΙούλιοΚαίσαρα,το44π.Χ.,µετάαπόεισήγησητου αστρονόµου και µαθηµατικού Σωσιγένη του Αλεξανδρινού. Για να διορθώσει τη µέση διάρκεια ενός έτους από 365 σε , ο Σωσιγένης εισηγήθηκε κάθε τέσσερα χρόνια να προστίθεται µια ηµέρα. Έτσι δηµιουργήθηκαν τα δίσεκτα έτη τα οποία έχουν 366 ηµέρες. ίσεκταείναιταέτηπουδιαιρούνταιµετο4.π.χ.τα έτη 2000, 2004, 2008 θεωρούνται δίσεκτα. Όχι, όµως, ταέτη2001,2002,2003. Μέσηδιάρκειαέτους:365ηµέρες+1ηµέρακάθε4 χρόνια = ηµέρες Εποµένως είναι µεγαλύτερο του πραγµατικού έτους κατά1ηµέρακάθε128.2έτη[(11πρώταλεπτάκαι 13.92δεύτεραλεπτάανάέτος) 128.2έτη=1ηµέρα], ή3ηµέρες,2ώρεςκαι52.8πρώταλεπτάκάθε400χρόνια. Γρηγοριανό ηµερολόγιο(νέο ηµερολόγιο) Το Γρηγοριανό ηµερολόγιο θεσπίσθηκε από τον ΠάπαΓρηγόριοτονΙΓ,το1582µ.Χ.,µετάαπόεισήγηση του αστρονόµου Χριστόφορου Κλάβιους (Clavious) και τη συµµετοχή του(επίσης αστρονόµου) Λουϊτζι Λίλιο(Luigi Lilio). Η διόρθωση που εισηγήθηκαν οι δύο αυτοί αστρονόµοι ήταν να µην θεωρούνται δίσεκτα τα έτη των αιώνων που δεν διαιρούνται µετο400.π.χ.τοέτος2000θεωρείταιδίσεκτο.όχι, όµως,ταέτη2100,2200,2300.τοέτος2400θαείναι δίσεκτο.έτσι,σεκάθε400χρόνια,3έτηδενθεωρούνται δίσεκτα. Η µέση διάρκεια του Γρηγοριανού έτους είναι, εποµένως, ηµέρες. Η διαφορά, πλέον, µεταξύ της πραγµατικής διάρκειας του έτους( ηµέρες) και του Γρηγοριανούέτουςείναιµόνο2ώρεςκαι52.8πρώταλεπτάανά 400 χρόνια. Παρόλο που η διαφορά αυτή είναι µικρή, το Γρηγοριανό ηµερολόγιο χάνει µια ηµέρα κάθε 3200 χρόνια περίπου. Σηµείωση: Το νέο ηµερολόγια καθιερώθηκε στην Ιταλία, 33

22 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ την Πολωνία και την Πορτογαλία την Παρασκευή 5 Οκτωβρίου 1582, ηµεροµηνία, η οποία µετονοµάσθηκε Παρασκευή, 15 Οκτωβρίου 1582(10 ηµέρες διαφορά). Λίγους µήνες αργότερα καθιερώθηκε στη Γαλλία, στο Βέλγιο, στο Λουξεµβούργο και σε µερικές περιοχές της Ολλανδίας και την Ελβετίας. Οι χώρες αυτές ήταν όλες Καθολικές. Τρία χρόνια αργότερα είχε καθιερωθεί και στις Καθολικές περιοχές της Γερµανίας, της Αυστρίας και της Τσεχοσλοβακίας. Το 1587 καθιερώθηκε και στην Ουγγαρία. Έτσι το νέο ηµερολόγιο ίσχυε πλέον στις περισσότερες Καθολικές χώρες και περιοχές της Ευρώπης. Εκτός από την Πρωσία, στην οποία το Γρηγοριανό ηµερολόγιο καθιερώθηκε το 1610(όπου η 23 Αυγούστου µετονοµάσθηκε 2 Σεπτεµβρίου), αρκετές περιοχές που κυριαρχούσαν οι ιαµαρτυρόµενοι(όπως η ανία ηοποίατότεπεριελάµβανεκαιτηνορβηγία, καθώς και οι υπόλοιπες περιοχές της Γερµανίας, της Ελβετίας και της Ολλανδίας) απεδέχθησαν το Γρηγοριανό ηµερολόγιο το 1700/01. Στη Βρετανία και στις αποικίες της, καθώς και τις Ηνωµένες Πολιτείες, το Γρηγοριανό ηµερολόγιο καθιερώθηκε το 1752, όταν η 3 Σεπτεµβρίου µετονοµάσθηκε 14 Σεπτεµβρίου(11 ηµέρες διαφορά). Στη Σουηδία καθιερώθηκε στις 18 Φεβρουαρίου 1753, ηµεροµηνία η οποία µετονοµάσθηκε 1 Μαρτίου όπως η Λετονία και η Λιθουανία υποχρεώθηκαν να το αποδεχθούν στη δε Ρωσία καθιερώθηκε κατά τη διάρκειατηςρωσικήςεπανάστασηςτο1918.οπότεη1φεβρουαρίου, µετονοµάσθηκε 14 Φεβρουαρίου. Στη χώρα µας το Γρηγοριανό ηµερολόγιο καθιερώθηκε το 1923, όταν η 16 Φεβρουαρίου µετονοµάσθηκε 1 Μαρτίου(13 ηµέρες διαφορά). Έτσι στη χώρα µας δεν υπάρχουν οι ηµεροµηνίες µεταξύ 15 Φεβρουαρίου1923και1Μαρτίου1923. ΕίναιφανερόότιηκαθιέρωσηήµητουΝέουηµερολογίου ήταν περισσότερο θρησκευτικό παρά πολιτικό ζήτηµα. Έτσι στην ανατολική και νοτιοανατολική Ευρώπη, όπου οι λαοί ζούσαν υπό τον Οθωµανικό ζυγό, δεν είχε εγερθεί θέµα µετατροπής του ηµερολογίου. Με την υποχώρηση της Οθωµανικής αυτοκρατορίας και άλλες χώρες και περιοχές της Ευρώπης απεδέχθησαν το Γρηγοριανό ηµερολόγιο, όπως για παράδειγµα η Αλβανία το Λίγο αργότερα, κατά τη διάρκεια του Α Παγκοσµίου πολέµου, πολλές χώρες, 34

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα Ασκήσεις 1) Με τη βοήθεια του οµοιώµατος της ουράνιας σφαίρας(σχήµα 1.20), που δίνεται από το Εργαστήριο κατάτηνώρατηςάσκησης,ναβρεθούνοιοριζόντιεςσυντεταγµένεςενόςαστέρασ(α,δ)τηχρονικήστιγµήε (Επίσηµος χρόνος Ελλάδας) για έναν παρατηρητή της Θεσσαλονίκης(φΘ=40 37,λΘ= 1 h 32 m ). Στην επιφάνεια του οµοιώµατος της ουράνιας σφαίρας έχουν τοποθετηθεί οι πιο γνωστοί από τους αστερισµούς µε τους λαµπρότερους αστέρες τους καθώς επίσης ο ουράνιος ισηµερινός(1), η εκλειπτική(2) και ορισµένοι µεσηµβρινοί και παράλληλοι κύκλοι της. Ηβάσηπάνωστηνοποίαστηρίζεταιτοοµοίωµατης ουράνιας σφαίρας έχει έναν οριζόντιο κύκλο(3), που είναι Σχήµα Οµοίωµα της ουράνιας σφαίρας. σταθερός και διαιρεµένος σε 360 (αζιµουθιακός) και έναν κατακόρυφο(4), που µπορεί να περιστρέφεται γύρω από τη διεύθυνση της κατακόρυφου. Το κατακόρυφο αυτό ηµικύκλιο είναι διαιρεµένο υψοµετρικά(0-90 ) και πάνω του ολισθαίνει µια ακίδα(5). Προκειµένου να βρούµε τις οριζόντιες συντεταγµένες του αστέρα Σ κάνουµε τις παρακάτω ενέργειες: Φέρνουµε την ένδειξη 0 του υψοµετρικού κύκλου σε σύµπτωση µε την ένδειξη 180 του αζιµουθιακού. Παίρνουµε στον υψοµετρικό κύκλο τόξο ίσο µε το γεωγραφικό πλάτος της Θεσσαλονίκης(έξαρµα του Βόρειου Πόλου). Μετακινούµε τη σφαίρα µέχρις ότου φέρουµε το βόρειοπόλοτηςστηνένδειξηαυτήκαιµετηβοήθειατης ακίδας τη σταθεροποιούµε. Στη θέση αυτή το κατακόρυφο ηµικύκλιο συµπίπτει µε το µεσηµβρινό του τόπου. Παίρνουµε στον υψοµετρικό κύκλο τόξο ίσο µε το γεωγραφικό πλάτος της Θεσσαλονίκης(έξαρµα του Βόρειου Πόλου). Μετακινούµε τη σφαίρα µέχρις ότου φέρουµετοβόρειοπόλοτηςστηνένδειξηαυτήκαιµετη βοήθεια της ακίδας τη σταθεροποιούµε. Στη θέση αυτή το κατακόρυφο ηµικύκλιο συµπίπτει µε το µεσηµβρινό του τόπου. iii) Περιστρέφουµε προσεκτικά τη σφαίρα και παίρνουµε πάνω στον ισηµερινό τόξο ίσο µε τον αστρικό χρόνοπουαντιστοιχείστηχρονικήστιγµήε.ηθέσηπου έχει τώρα η σφαίρα είναι εκείνη που αντιστοιχεί κατά την παρατήρηση του αστέρα Σ στον τόπο της παρατήρησης καιτηχρονικήστιγµήε. iν) Ελευθερώνουµε τη σφαίρα από τον υψοµετρικό κύκλο και τον µετακινούµε µε µεγάλη προσοχή ώστε να µη µετακινηθεί η σφαίρα µέχρις ότου γίνει κατακόρυφος κύκλος του αστέρα. Στη συνέχεια βρίσκουµε τις οριζόντιες συντεταγµένες του αστέρα από τον αζιµουθιακό κύκλο(3) και τον κατακόρυφο(4). Υπολογισµός Αστρικού Χρόνου Θεσσαλονίκης i)βρίσκουµετονπαγκόσµιοχρόνοuτ=ε 2τη 35

24 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ στιγµή της παρατήρησης ii)οχρόνοςαυτόςείναιέναδιάστηµαµέσουχρόνου, µ, που διέρρευσε από το µέσο µεσονύχτιο της ηµέρας αυτής στο Greenwich και το µετατρέπουµε σε διάστηµα αστρικού χρόνου, α, µε τη βοήθεια της σχέσης(1.22). iii) Βρίσκουµε τον αστρικό χρόνο του Greenwich (tg) tg=το+ α, όπου Το ο αστρικός χρόνος του µέσου µεσονύχτιου στο Greenwich της ηµέρας της παρατήρησης και δίδεται στις Αστρονοµικές Εφηµερίδες που εκδίδονται για κάθε έτος υπό την επίβλεψη της ιεθνούς Αστρονοµικής Επιτροπής(IAU). iv) Βρίσκουµε τον αστρικό χρόνο της Θεσσαλονίκης (tθ) tθ=tg λθ 2)Ναεπαναληφθείηάσκηση(1)µετηβοήθειατου τριγώνου θέσης. ΑπότησχέσηtΘ=α+Ηυπολογίζουµετηνωριαία γωνία(η)τουαστέρασκατάτηστιγµήτηςπαρατήρησης του. Στη συνέχεια επιλύουµε το τρίγωνο θέσης ΠΖνΣ (Σχήµα1-14)τουαστέραΣ,µετηβοήθειατωνσχέσεων: ηµυ=ηµφηµδ+συνφσυνδσυνη ηµα=συνδηµη/συνυ. 3) Να βρεθούν οι ουρανογραφικές συντεταγµένες των αστέρων που δίνονται κατά τη διάρκεια του εργαστηρίου, χρησιµοποιώντας το οµοίωµα της ουράνιας σφαίρας. 4)ΣεποιοναστερισµόβρίσκεταιοΉλιοςστις22 Ιουνίου; 5)ΠοιαείναιηορθήαναφοράτουΉλιουκατάτη φθινοπωρινή ισηµερία; 6) Σε ποιον αστερισµό βρίσκεται ο Ήλιος την ηµέρα των γενεθλίων σας; 7)ΝαβρεθείηδιάρκειατηςηµέραςστηΘεσσαλονίκη σήµερα. Ποια είναι η διάρκεια της µεγαλύτερης ηµέρας του χρόνου στην πόλη µας; 8) Γνωρίζουµε ότι το αστρονοµικό λυκαυγές αρχίζει όταν ο Ήλιος έχειύψοςυ= 18 καιλήγειµε την ανατολή του, ενώ το αστρονοµικό λυκόφως αρχίζει µε τηδύσητουκαι λήγει όταν φθάσεισεύψοςυ= Σχήµα ιάρκεια του Αστρονοµικού λυκόφωτος. 18.Ναβρεθεί η διάρκεια του λυκόφωτος για σήµερα στην πόλη σας(σχήµα 1-21). 9) Το ραδιοπαρατηρητήριο Chatanika στην Αλάσκα (Incoherent Scatter Facility) έχει γεωγραφικό πλάτος φ = Τις νύκτες που το παρατηρητήριο δεν βυθίζεται σε απόλυτο σκοτάδι, τι τιµές παίρνει η απόκλιση του Ήλιου; 10)Ναδειχθείότιοχρόνοςµεταξύτηςχρονικής στιγµής κατά τον οποίο ένας αστέρας έχει ζενίθεια απόστασηζκαιτηςάνωµεσουράνησήςτουδίνεταιαπότη σχέση: συνη= εφφ εφδ+τεµφ τεµδ συνζ 11) Να υπολογιστούν οι ουρανογραφικές συντεταγ- µένες του µεταβλητού αστέρα EV Lac σήµερα, εάν γνωρίζουµε ότι οι συντεταγµένες του το ήταν (α=22 h 44 m 39 s.92,δ=+44º ) 36

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1 η ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Συστήματα αστρονομικών συντεταγμένων και χρόνος ΑΣΚΗΣΗ 1 η (α) Να εξηγηθεί γιατί το αζιμούθιο της ανατολής και της δύσεως του Ηλίου σε ένα τόπο,

Διαβάστε περισσότερα

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 1.- Από τα πρώτα σχολικά µας χρόνια µαθαίνουµε για το πλανητικό µας σύστηµα. Α) Ποιος είναι ο πρώτος και

Διαβάστε περισσότερα

Να το πάρει το ποτάµι;

Να το πάρει το ποτάµι; Να το πάρει το ποτάµι; Είναι η σκιά ενός σώµατος που το φωτίζει ο Ήλιος. Όπως η σκιά του γνώµονα ενός ηλιακού ρολογιού που µε το αργό πέρασµά της πάνω απ τα σηµάδια των ωρών και µε το ύφος µιας άλλης εποχής

Διαβάστε περισσότερα

Η γωνία υπό την οποία φαίνονται από κάποιον παρατηρητή δύο αστέρες ονοµάζεται

Η γωνία υπό την οποία φαίνονται από κάποιον παρατηρητή δύο αστέρες ονοµάζεται ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΧΡΟΝΟΣ 2.1 Ουράνια σφαίρα-βασικοί ορισµοί Για να ορίσουµε τις θέσεις των αστέρων, τους θεωρούµε να προβάλλονται σαν σηµεία στην εσωτερική επιφάνεια µιας σφαίρας µε αυθαίρετη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Ο Γνώμονας, ένα απλό αστρονομικό όργανο και οι χρήσεις του στην εκπαίδευση Σοφία Γκοτζαμάνη και Σταύρος Αυγολύπης Ο Γνώμονας Ο Γνώμονας είναι το πιο απλό αστρονομικό όργανο και το πρώτο που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Δημήτρης Δεληκαράογλου Αναπλ. Καθ., Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επισκ.

Διαβάστε περισσότερα

5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ

5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ 37 5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ 5.1 Εισαγωγή Οι κύριες κινήσεις της Γης είναι: μια τροχιακή κίνηση του κέντρου μάζας γύρω από τον Ήλιο και μια περιστροφική κίνηση γύρω από τον άξονα που περνά από

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αστρονομία

Εισαγωγή στην Αστρονομία Παπαδόπουλος Μιλτιάδης ΑΕΜ: 13134 Εξάμηνο: 7 ο Ασκήσεις: 12-1 Εισαγωγή στην Αστρονομία 1. Ο αστέρας Βέγας στον αστερισμό της Λύρας έχει απόκλιση δ=+38 ο 47. α) Σχεδιάστε την φαινόμενη τροχιά του Βέγα στην

Διαβάστε περισσότερα

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης ΗλιακήΓεωµετρία Γιάννης Κατσίγιαννης ΗηλιακήενέργειαστηΓη Φασµατικήκατανοµήτηςηλιακής ακτινοβολίας ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιο ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιοµπορεί να αναλυθεί σε δύο κύριες συνιστώσες: Περιφορά

Διαβάστε περισσότερα

1.2: 1.2 D R r (1.1) 1.3: 206.265 (1.2)

1.2: 1.2    D R r (1.1) 1.3: 206.265 (1.2) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Αστρονοµία κατέχει ξεχωριστή θέση ανάµεσα στις επιστήµες και από πολλούς θεωρείται η αρχαιότερη όλων. Παρά ταύτα πρόδροµος και «µητέρα» της θεωρείται η Αστρολογία. Η Αστρονοµία ξεκίνησε παρατηρώντας

Διαβάστε περισσότερα

Ηλιακήενέργεια. Ηλιακή γεωµετρία. Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης. ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης

Ηλιακήενέργεια. Ηλιακή γεωµετρία. Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης. ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Ηλιακήενέργεια Ηλιακή γεωµετρία Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Ηλιακήγεωµετρία Ηλιακήγεωµετρία Η Ηλιακή Γεωµετρία αναφέρεται στη µελέτη της θέσης του ήλιου σε σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι:

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: ΗΛΙΑΚΑ ΩΡΟΛΟΓΙΑ Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: Οριζόντια Κατακόρυφα Ισημερινά Το παρακάτω άρθρο αναφέρεται στον τρόπο λειτουργίας αλλά και κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH TZΕΜΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Α.Μ. 3507 ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH Όλοι γνωρίζουμε ότι η εναλλαγή των 4 εποχών οφείλεται στην κλίση που παρουσιάζει ο άξονας περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

Οι Κινήσεις της Γης. Eπιπτώσεις. Η κίνηση της Γης. στα Συστήματα Αναφοράς για τη ορυφορική Γεωδαισία. Η περιστροφή της Γης

Οι Κινήσεις της Γης. Eπιπτώσεις. Η κίνηση της Γης. στα Συστήματα Αναφοράς για τη ορυφορική Γεωδαισία. Η περιστροφή της Γης Οι Κινήσεις της Γης. Eπιπτώσεις στα Συστήματα για τη ορυφορική Γεωδαισία Οι αρχαίοι θεωρούσαν τη Γη ακίνητη και κέντρο του σύμπαντος Η κίνηση της Γης TEPAK ορυφορική Γεωδαισία 6 ο Εξάμηνο 2011-12 Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ α. Τι είναι έξαρμα του πόλου υπέρ τον ορίζοντα και γιατί ενδιαφέρει τον ναυτιλλόμενο. β. Να ορίσετε τα είδη των αστέρων (αειφανείς, αφανείς και Αμφιφανείς)και να γράψετε τις συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΥ 4.1 Γενικές έννοιες

4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΥ 4.1 Γενικές έννοιες 25 4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΥ 4.1 Γενικές έννοιες Η υλοποίηση ενός συµβατικού πλαισίου αναφοράς για την διάσταση του χρόνου, το οποίο θα ονοµάζεται κλίµακα χρόνου (time scale), απαιτεί την ίδια διαδικασία όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 -

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ H Γη είναι ένας πλανήτης από τους οκτώ συνολικά του ηλιακού μας συστήματος, το οποίο αποτελεί ένα από τα εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστρικά συστήματα του Γαλαξία μας, ο οποίος με την

Διαβάστε περισσότερα

P. E. QristopoÔlou - N. Galanˆkhc. Ergasthriak AstronomÐa. Ergasthriakèc Ask seic

P. E. QristopoÔlou - N. Galanˆkhc. Ergasthriak AstronomÐa. Ergasthriakèc Ask seic Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Θετικών Επιστημών - Τμήμα Φυσικής Τομέας Θεωρητικής & Μαθηματικής Φυσικής, Αστρονομίας & Αστροφυσικής P. E. QristopoÔlou - N. Galanˆkhc Ergasthriak AstronomÐa Ergasthriakèc Ask

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις.

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στα πλαίσια του προγράμματος περιβαλλοντικής Αγωγής, τη σχολική χρονιά 2012-2013, αποφασίσαμε με τους μαθητές του τμήματος Β 3 να ασχοληθούμε με κάτι που θα τους κέντριζε το ενδιαφέρον. Έτσι καταλήξαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ Η κίνηση των πλανητών είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης 2 κινήσεων: μίας περιστροφής γύρω από τον Ήλιο, η περίοδος της οποίας μας δίνει το έτος κάθε πλανήτη, και πραγματοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισμός ημερομηνίας εορτασμού του Πάσχα

Καθορισμός ημερομηνίας εορτασμού του Πάσχα ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ Σχολικό έτος 2013-14 Καθορισμός ημερομηνίας εορτασμού του Πάσχα ΚΑΡΑΜΠΕΛΑΣ ΜΑΡΙΟΣ-ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τάξη : Α1 ΤΟ ΑΓΙΟ ΠΑΣΧΑ: Η γιορτή και ο υπολογισμός της ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Αναγνωστοπούλου Στρατηγούλα (5553), Σταυρίδη Δήμητρα (5861) 1 ΛΙΓΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1.1 Η κίνηση της Γης Η Γη κινείται με τρεις τρόπους: περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της σε 24h,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007 ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΔΙΟΝΥΣΟΥ Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 157 80 Ζωγράφος Αθήνα Τηλ.: 210 772 2666 2668, Fax: 210 772 2670 ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΗΣ ΟΥΡΑΝΙΟΥ ΘΟΛΟΥ

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΗΣ ΟΥΡΑΝΙΟΥ ΘΟΛΟΥ Ερασιτεχνικής Αστρονομίας ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΗΣ ΟΥΡΑΝΙΟΥ ΘΟΛΟΥ ΝΙΚΟΣ ΓΙΑΝΝΑΚΟΠΟΥΛΟΣ (Εκπαιδευτικός ΠΕ19-Μεταπτυχιακός φοιτητής ΕΑΠ- Μέλος Αστρονομικής Εταιρείας Πάτρας «Ωρίων») gianakop@gmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αστρονοµική Παρατήρηση. Ανδρέας Παπαλάμπρου Αστρονομική Εταιρεία Πάτρας Ωρίων 20/5/2009

Εισαγωγή στην Αστρονοµική Παρατήρηση. Ανδρέας Παπαλάμπρου Αστρονομική Εταιρεία Πάτρας Ωρίων 20/5/2009 Εισαγωγή στην Αστρονοµική Παρατήρηση Ανδρέας Παπαλάμπρου Αστρονομική Εταιρεία Πάτρας Ωρίων 20/5/2009 1 Ερασιτεχνική Αστρονομία Μια ενασχόληση που αρχίζει από απλό χόμπι... & φτάνει έως συμβολή σε επιστημονικές

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής Δρ. Απόστολος Ντάνης Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής *Βασικές μορφές προσανατολισμού *Προσανατολισμός με τα ορατά σημεία προορισμού στη φύση *Προσανατολισμός με τον ήλιο *Προσανατολισμός από τη σελήνη

Διαβάστε περισσότερα

Ο χώρος. 1.Μονοδιάστατη κίνηση

Ο χώρος. 1.Μονοδιάστατη κίνηση Ο χώρος Τα χελιδόνια έρχονται και ξανάρχονται. Κάθε χρόνο βρίσκουν μια γωνιά για να χτίσουν τη φωλιά, που θα γίνει το επίκεντρο του χώρου τους. Ο χώρος είναι ένας οργανικός χώρος, όπως εκείνος που αφορά

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο.

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο. ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ Η ιστιοπλοΐα ανοιχτής θαλάσσης δεν διαφέρει στα βασικά από την ιστιοπλοΐα τριγώνου η οποία γίνεται με μικρά σκάφη καi σε προκαθορισμένο στίβο. Όταν όμως αφήνουμε την ακτή και ανοιγόμαστε στο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Παρατήρησης

Πρόγραμμα Παρατήρησης Πρόγραμμα Παρατήρησης Η αναζήτηση του ζοφερού ουρανού Άγγελος Κιοσκλής Οκτώβριος 2005 ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ * η παρατήρηση πραγματοποιείται κατά προτίμηση όταν η Σελήνη δεν εμφανίζεται στον ουρανό, διότι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις Λυκείου 21 ου Πανελλήνιου Διαγωνισμού Αστρονομίας Διαστημικής 2016

Ερωτήσεις Λυκείου 21 ου Πανελλήνιου Διαγωνισμού Αστρονομίας Διαστημικής 2016 ΠΡΟΣΟΧΗ: Αυτό το έγγραφο ΔΕΝ θα το αποστείλετε ηλεκτρονικά (μέσω e-mail). Απλά το αναρτήσαμε για την δική σας διευκόλυνση. Μόλις βρείτε τις απαντήσεις που γνωρίζετε και τις σημειώσετε σ αυτό το έντυπο,

Διαβάστε περισσότερα

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë Tα βασικά σημεία του μαθήματος Η Γη είναι ένα ουράνιο σώμα, που κινείται συνεχώς στο διάστημα. Το σχήμα της είναι γεωειδές, δηλαδή είναι ελαφρά συμπιεσμένο στις κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Ήπιες Μορφές Ενέργειας

Ήπιες Μορφές Ενέργειας Ήπιες Μορφές Ενέργειας Ενότητα 2: Ελευθέριος Αμανατίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Περιεχόμενα ενότητας Ο Ήλιος ως πηγή ενέργειας Κατανομή ενέργειας στη γη Ηλιακό φάσμα και ηλιακή σταθερά

Διαβάστε περισσότερα

συν[ ν Από τους υπολογισμούς για κάθε χαρακτηριστική ημέρα του χρόνου προκύπτει ότι η ένταση της ηλιακής ενέργειας στη γη μεταβάλλεται κατά ± 3,5%.

συν[ ν Από τους υπολογισμούς για κάθε χαρακτηριστική ημέρα του χρόνου προκύπτει ότι η ένταση της ηλιακής ενέργειας στη γη μεταβάλλεται κατά ± 3,5%. 1. ΗΛΙΑΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Το θεωρητικό δυναμικό, δηλαδή το ανώτατο φυσικό όριο της ηλιακής ενέργειας που φθάνει στη γή ανέρχεται σε 7.500 Gtoe ετησίως και αντιστοιχεί 75.000 % του παγκόσμιου ενεργειακού ισοζυγίου.

Διαβάστε περισσότερα

3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο

3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο Σηµειώσεις ΑΠΕ Ι Κεφ. 3 ρ Π. Αξαόπουλος Σελ. 1 3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο Η γνώση της ηλιακής ακτινοβολίας που δέχεται ένα κεκλιµένο επίπεδο είναι απαραίτητη στις περισσότερες εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Πληροφοριακό υλικό Κέντρο Επισκεπτών Ινστιτούτο Αστρονομίας Αστροφυσικής Διαστημικών Εφαρμογών και Τηλεπισκόπησης (ΙΑΑΔΕΤ) Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών Την Παρασκευή 20 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

20 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

20 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 0 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 19 Μαρτίου, 006 Ώρα: 10:30-13:30 Θέµα 1 0 (µονάδες 10) α ) Το βέλος δέχεται σταθερή επιτάχυνση για όλη τη διάρκεια της κίνησης (

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

Το τελευταίο πιο πρώιµο Πάσχα

Το τελευταίο πιο πρώιµο Πάσχα Το τελευταίο πιο πρώιµο Πάσχα ηµήτρη Ι. Μπουνάκη Σχ. Συµβούλου Μαθηµατικών dimitrmp@sch.gr Στην µνήµη του αείµνηστου θείου και ασκάλου µου Μανώλη. Μπουνάκη Ο φετινός εορτασµός του Πάσχα των ορθοδόξων χριστιανών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Εκτίµηση εισερχόµενης ηλιακής ακτινοβολίας σε λεκάνη απορροής µε χρήσησγπ

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Εκτίµηση εισερχόµενης ηλιακής ακτινοβολίας σε λεκάνη απορροής µε χρήσησγπ ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Εκτίµηση εισερχόµενης ηλιακής ακτινοβολίας σε λεκάνη απορροής µε χρήσησγπ Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 26 Solar elevation Παράγοντες που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΜΠΟΥΜ ΜΕ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΥ

ΑΛΜΠΟΥΜ ΜΕ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΥ ΑΛΜΠΟΥΜ ΜΕ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΥ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΛΙΑΤΟΣ Β 3 ΛΑΡΙΣΑ 2008 Τα Όργανα Μέτρησης Του Χρόνου Αστρολάβος Ο αστρολάβος είναι αρχαίο αστρονομικό όργανο που χρησιμοποιούνταν για να παρατηρηθούν τα αστέρια

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών Μ7 Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών 1. Σκοπός Τα διαστημόμετρα, τα μικρόμετρα και τα σφαιρόμετρα είναι όργανα που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση της διάστασης του μήκους, του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Οδηγός για τον εκπαιδευτικό Περιεχόμενα Προετοιμασία δραστηριότητας Α. Υλικά και φύλλα εργασίας 3 Β. Εγκατάσταση του προγράμματος "Google

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 2014 Αστροφωτογραφίες Ελλήνων Ερασιτεχνών Αστρονόμων. Επιμέλεια: Γ. Μποκοβός - Α. Βοσινάκης

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 2014 Αστροφωτογραφίες Ελλήνων Ερασιτεχνών Αστρονόμων. Επιμέλεια: Γ. Μποκοβός - Α. Βοσινάκης ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 204 Αστροφωτογραφίες Ελλήνων Ερασιτεχνών Αστρονόμων Επιμέλεια: Γ. Μποκοβός - Α. Βοσινάκης ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 204 Νεφέλωμα NGC 6888 στον Κύκνο - Αντώνης Αγιομαμίτης ΔΕΥΤΕΡΑ ΤΡΙΤΗ ΤΕΤΑΡΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο 1 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Μήκος κύκλου ακτίνας ρ : Το µήκος L ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ ή L = πδ όπου δ η διάµετρος του κύκλου και π ένας άρρητος αριθµός του οποίου προσέγγιση µε δύο δεκαδικά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M,

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M, ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΕΛΞΗΣ Ο Νεύτωνας ανακάλυψε τον νόμο της βαρύτητας μελετώντας τις κινήσεις των πλανητών γύρω από τον Ήλιο και τον δημοσίευσε το 1686. Από την ανάλυση των δεδομένων αυτών ο

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

GREECE. k = 1 + n/100, k = 1 n/100,

GREECE. k = 1 + n/100, k = 1 n/100, Κανονισµοί Οµαδικής Εξέτασης 1. Οµάδες οι οποίες αποτελούνται από τρεις ή περισσότερους µαθητές µπορούν να συµµετάσχουν στην οµαδική εξέταση 2. Σε κάθε οµάδα θα δοθούν 5 προβλήµατα που πρέπει να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 Τοπογραφικοί Χάρτες Περίγραμμα - Ορισμοί - Χαρακτηριστικά Στοιχεία - Ισοϋψείς Καμπύλες - Κατασκευή τοπογραφικής τομής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Απριλίου, 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση. Γενικές οδηγίες: 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας - Οριζόντια Βολή Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, M Sc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Εισαγωγικές Εννοιες - Α Λυκείου Στην Φυσική της Α Λυκείου κυριάρχησαν

Διαβάστε περισσότερα

ανατολή ή τη δύση, με άξονα περιστροφής τον άξονα βορρά νότου, δημιουργεί τους ανατολικούς και δυτικούς μεσημβρινούς της γης.

ανατολή ή τη δύση, με άξονα περιστροφής τον άξονα βορρά νότου, δημιουργεί τους ανατολικούς και δυτικούς μεσημβρινούς της γης. ΗΛΙΑΣΜΟΣ Εισαγωγή Σ αυτή την ενότητα θα γνωρίσουμε μερικά στοιχεία για τον ηλιασμό, με στόχο να βρεθούμε σε θέση να διαχειριστούμε και εκμεταλλευτούμε το φυσικό φως προς όφελος του αρχιτεκτονικού σχεδιασμού.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής). Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το

Διαβάστε περισσότερα

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΧΡΗΣΗΤΟΥ ΤΟΥΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ SALSAJ ΓΙΑΤΟΝ ΤΟΝΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΗΣΜΑΖΑΣ ΜΑΖΑΣΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

«κι όμως κινείται...» Συνεδριακό Κέντρο Πανεπιστημίου Πατρών

«κι όμως κινείται...» Συνεδριακό Κέντρο Πανεπιστημίου Πατρών «κι όμως «κι όμως ΠΑΛΑΙ ΠΑΛΑΙ ΠΑΛΑΙ ΠΑΛΑΙ 38 ο ψηλά από τον ορίζοντα & ΝΥΝ 38 ος Παράλληλος Β 52 ο ψηλά από τον ορίζοντα & ΝΥΝ 52 ος Παράλληλος Β 70 ο ψηλά από τον ορίζοντα & ΝΥΝ 70 ος Παράλληλος Β &

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ- Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 0 Μαΐου 05 Ώρα : 0:0 - :00 ΘΕΜΑ 0 (µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος»

ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος» ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος» Για να θεωρηθεί έγκυρη η συμμετοχή σας στην 1 η φάση, θα πρέπει απαραίτητα να έχετε συμπληρώσει τον πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΠΑΡΕΧΟΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ UTC ΑΠΟ ΤΟ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ, ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΠΑΡΕΧΟΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ UTC ΑΠΟ ΤΟ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ, ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΝΙΚΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΠΑΡΕΧΟΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ UTC ΑΠΟ ΤΟ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ, ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις)

Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις) Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις) Πότε µια κίνηση λέγεται περιοδική; Να γράψετε τρία παραδείγµατα. Μια κίνηση λέγεται περιοδική όταν επαναλαµβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήµατα.

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1 Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα