1 ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΦΑΙΡΑ Γενικά

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΦΑΙΡΑ. 1.1. Γενικά"

Transcript

1 1 ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΦΑΙΡΑ και έχει για κέντρο της τον εκάστοτε παρατηρητή και αυθαίρετη αλλά σταθερή ακτίνα. Ο άξονας περιστροφήςτηςγηςτέµνειτηνουράνιασφαίρασεδύοσηµεία Π και Π, που ονοµάζονται βόρειος(ουράνιος) πόλος και νότιος πόλος(north and south celestial poles) αντίστοιχα(σχήµα 1-1 και 1-4). Ο µέγιστος κύκλος(great circle) της ουράνιας σφαίρας που είναι κάθετος στον άξονα ΠΠ ονοµάζεται ουράνιος ισηµερινός(celestial equator) και το επίπεδό του συµπίπτει µε το επίπεδο του γήινου ισηµερινού. Αξίζει να σηµειωθεί ότι ο µέγιστος κύκλος είναι γεωδαιτικός κύκλος(geodetic circle). Η ελάχιστη απόσταση µεταξύ δύο σηµείων στην επιφάνεια µιας σφαίρας είναι πάντοτε τµήµα ενός γεωδαιτικού κύκλου (ανάλογη προς µία ευθεία σε µια επίπεδη επιφάνεια). Κάθε κύκλος που διέρχεται από τους πόλους λέγεται µεσηµβρινός(meridian). Ο µεσηµβρινός που διέρχεται από έναν αστέρα λέγεται ωριαίος(hour circle) του αστέρα και είναι, φυσικά, κάθετος στον ιση- µερινό. Κάθε κύκλος παράλληλος προς τον ισηµερινό λέγεται κύκλος απόκλισης(declination circle). Οι ηµερήσιες τροχιές των αστέρων είναι κύκλοι απόκλισης. ἈρίσταρχοςδὲὁΣάμιος...ὑποτίθεταιγάρτὰμὲνἀπλανέατῶνἄστρωνκαίτὸνἅ ιονμένεινἀκίνητον,τὰνδέγᾶνπεριφέρεσθαιπερὶτόνἅ ιονκατὰκύκλουπεριφέρειαν,ὅς ἐστιν ἐν μέσῳ τῷ δρόμῳ κείμενος. Ἀρχιμήδης ( π.Χ.) 1.1. Γενικά Οι αστέρες βρίσκονται, σε σχέση µε την ακτίνα τηςγης,σεµεγάλεςαποστάσειςκαιέτσι,όταντουςπαρατηρούµε, φαίνονται ότι βρίσκονται τοποθετηµένοι στην εσωτερική επιφάνεια µιας σφαίρας. Η σφαίρα αυτή ονοµάζεται ουράνια σφαίρα(celestial sphere) Σχήµα1-1.ΗπεριστροφήτηςΓηςγύρωαπότονάξονατης καιηπεριστροφήτηςγύροαπότονήλιοπάνωστοεπίπεδο της εκλειπτικής. 13

2 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ Σε κάθε τόπο η κατακόρυφος διεύθυνση, όπως αυτήορίζεταιαπότονήµατηςστάθµης,τέµνειτηνουράνιασφαίραστασηµείαζνκαιν,πουονοµάζονται Ζενίθ(Zenith) και Ναδίρ(Nadir) αντίστοιχα(σχήµα 1-3). Ο µέγιστος κύκλος της ουράνιας σφαίρας, που είναι κάθετος προς τη διεύθυνση ΖνΝδ ονοµάζεται ουράνιος ορίζοντας(celestial horizon) ή απλώς ορίζοντας και, σε γενικές γραµµές, συµπίπτει µε το επίπεδο πουχωρίζειτονουρανόαπότηγησεένατόπο.κάθε κύκλοςπουδιέρχεταιαπόταζνκαινδονοµάζεταικατακόρυφος κύκλος(vertical circle). Ο κατακόρυφος κύκλος που περνά από ένα αστέρα λέγεται κατακόρυφος κύκλος του αστέρα(vertical circle of the star), ενώ ο κατακόρυφος κύκλος που διέρχεται και από τους πόλους Π και Π λέγεται(ουράνιος) µεσηµβρινός του τόπου(local meridian). Κάθε µικρός κύκλος παράλληλος προς τον ορίζοντα λέγεται κύκλος ύψους(altitude circle). Ο µεσηµβρινός ενός τόπου τέµνει τον ορίζοντα σε δύοσηµείαβκαιν,πουλέγονταιβορράς(north)και Νότος(South) αντίστοιχα(σχήµα 1-3). Το κατακόρυφο επίπεδο, που είναι κάθετο στο µεσηµβρινό του τόπου ονοµάζεται πρώτος κάθετος(prime vertical) του τόπουκαιτέµνειτονορίζονταστασηµείαακαι,που λέγονται Ανατολή(East) και ύση(west) αντίστοιχα. Η γραµµή ΒΝ λέγεται µεσηµβρινή γραµµή(meridian line),ενώηγραµµήα λέγεταιάξοναςτουµεσηµβρινού(meridianaxis).τοτόξοβπείναιίσοµετογεωγραφικό πλάτος του τόπου και λέγεται έξαρµα του βόρειου πόλου(altitude of the north pole). Κάθε αστέρας, καθώς διαγράφει την ηµερήσια τροχιά του(diurnal motion) πάνω στον κύκλο απόκλισήςτου,περνάαπότοσηµείοατηςτροχιάςτου, (Σχήµα 1-6), οπότε ανεβαίνει πάνω από τον ορίζοντα και εποµένως ανατέλλει(rises). Στη συνέχεια περνά από το σηµείο Σ1, οπότε διέρχεται από το µεσηµβρινό και εποµένως µεσουρανεί άνω(upper culmination). Ακολούθως περνά από το σηµείο δ και εποµένως δύει (sets) και τέλος από το σηµείο Σ2, οπότε µεσουρανεί κάτω(lower culmination). Ηετήσιατροχιά(annualorbit)τηςΓηςγύρωαπό τον Ήλιο είναι έλλειψη(ellipse) και ο Ήλιος κατέχει µίαεστίατης(focus Σχήµα1-2).ΗκίνησητηςΓης πάνωσ αυτήγίνεται όπωςφαίνεταιαπότοβόρειο πόλο κατάτηνορθήφορά(αντίθετητηςφοράςπεριστροφής των δεικτών ενός ωρολογίου) και µε σταθερήεµβαδικήταχύτητα(2 ος νόµοςκepler).τοεπίπεδο αυτό της τροχιάς της Γης τέµνει την ουράνια σφαίρα κατά ένα µέγιστο κύκλο, που λέγεται εκλειπτική (ecliptic Σχήµα 1-1 και 1-6). Συνεπώς, η εκλειπτική µπορείναορισθείωςητοµήτουεπιπέδουτηςφαινό- µενης τροχιάς(apparent trajectory or orbit) του Ήλιου µε την ουράνια σφαίρα. Η εκλειπτική και ο ισηµερινός τέµνονται κατά τη διάµετρο γγ, που ονοµάζεται γραµµή των ισηµεριών (equinox line) και σχηµατίζουν µια σταθερή γωνία ω = (J2000), που λέγεται λόξωση της εκλειπτικής(obliquityoftheecliptic)ηκάθετηπροςτη γραµµή των ισηµεριών και πάνω στο επίπεδο της εκλειπτικής ευρισκόµενη διάµετρος ΕΕ λέγεται γραµµή των τροπών(solstice line). Τα σηµεία γ και γ ονοµάζονται εαρινό(vernal) και φθινοπωρινό ιση- Σχήµα1-2.ΗετήσιατροχιάτηςΓηςγύρωαπότονΉλιοκαι η θέση τηςκατά τις ισηµερίες και τα ηλιοστάσια 14

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα µερινό σηµείο(autumnal equinox), ενώ τα Ε και Ε ονοµάζονται θερινό(summer) και χειµερινό ηλιοστάσιο(winter solstice). Τα τέσσερα αυτά σηµεία ορίζουν τις αρχές των εποχών του έτους(σχήµα 1-2) Συστήµατα συντεταγµένων Η θέση κάθε αστέρα πάνω στην ουράνια σφαίρα προσδιορίζεται µε τη βοήθεια δυο κάθετων βασικών επιπέδων, που είναι πάντα µέγιστοι κύκλοι της ουράνιας σφαίρας. Οι συντεταγµένες του αστέρα ορίζονται µετηβοήθειαδυοτόξωνπάνωσ αυτάταεπίπεδαή από τις αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες(λ και Φ). Η επιλογήτωνδύοαυτώνεπιπέδωναναφοράςκαθώςκαιη αρχήµέτρησηςκαιηφοράτωνγωνιώνλκαιφκαθορίζουν τα διάφορα συστήµατα συντεταγµένων. α) Οριζόντιες συντεταγµένες(horizontal coordinates Α,υ): Στο σύστηµα αυτό ως βασικοί κύκλοι λαµβάνονται ο ορίζοντας και ο µεσηµβρινός του τόπου(σχήµα 1-3). Η θέση ενός αστέρα ορίζεται από το αζιµούθιο (azimuth)α(0 360 )µεαρχήµέτρησηςτονότοκαι απότούψος(altitude)υ(0 ±90 )µεαρχήµέτρησης τονορίζοντα.ησυµπληρωµατικήγωνίαz=90 υ λέγεται ζενίθια απόσταση(zenith angle or distance) του αστέρα και µετριέται πάνω στον κατακόρυφο κύκλοτουαστέρααπότοζενίθ(ζν)προςτοναδίρ(νδ). Το σύστηµα αυτό είναι το φυσικό σύστηµα παρατηρήσεων. β) Ισηµερινές συντεταγµένες(equatorial coordinates Η,δ):Στοσύστηµααυτόωςβασικοίκύκλοι λαµβάνονται ο ουράνιος ισηµερινός και ο µεσηµβρι- Σχήµα 1-3. Οριζόντιες συντεταγµένες. Σχήµα 1-4. Ισηµερινές συντεταγµένες. 15

4 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ νόςτουτόπου.ηθέσηενόςαστέρα(σχήµα1-4)προσδιορίζεταιαπότηνωριαίαγωνία(hourangle)η(0 360 ) µε αρχή µέτρησης το µεσηµβρινό του τόπου και απότηναπόκλιση(declination)δ(0 ±90 )µεαρχή µέτρησης τον ισηµερινό. Η συµπληρωµατική γωνία Ρ =90 δονοµάζεταιπολικήαπόσταση(polarangleor distance) του αστέρα και µετρείται πάνω στον ωριαίο τουαστέρααπότοβόρειοπροςτονότιοπόλοτηςουράνιας σφαίρας. γ) Ουρανογραφικές συντεταγµένες(equatorial coordinates α,δ): Στο σύστηµα αυτό ως βασικοί κύκλοι λαµβάνονται ο ουράνιος ισηµερινός και ο ωριαίος του εαρινού ισηµερινού σηµείου γ. Η θέση ενός αστέρα (Σχήµα 1-5) προσδιορίζεται από την ορθή αναφορά (rightascension)α(0 h 24 h )µεαρχήµέτρησηςτογ (κατά την ορθή φορά) και από την απόκλιση(declination)δ.τοσύστηµααυτόείναιτοπιοδιαδεδοµένοσύστηµα συντεταγµένων και χρησιµοποιείται ευρέως στην καταχώρηση των αστέρων σε καταλόγους, συνήθως κατά αύξουσα ορθή αναφορά. δ) Εκλειπτικές συντεταγµένες(ecliptic coordinates): Στο σύστηµα αυτό ως βασικοί κύκλοι λαµβάνονται η εκλειπτική και ο µέγιστος κύκλος που περνά απότουςπόλουςτηςεκλειπτικήςκαιτογ.ηθέσηενός αστέρα(σχήµα 1-6) προσδιορίζεται από το εκλειπτικό µήκος(ecliptic longitude) λ(0 360 ) µε αρχή µέτρησηςτοεαρινόισηµερινόσηµείογκαιαπότοεκλειπτικόπλάτος(eclipticlatitude)β(0 ±90 )µεαρχή µέτρησης την εκλειπτική. Το σύστηµα αυτό χρησιµοποιείται κυρίως στην Ουράνια Μηχανική. Σχήµα 1-5. Ουρανογραφικές συντεταγµένες. Σχήµα 1-6. Εκλειπτικές συντεταγµένες. 16

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα ε) Γαλαξιακές συντεταγµένες(galactic coordinates): Στο σύστηµα αυτό ως βασικοί κύκλοι λαµβάνονται το γαλαξιακό επίπεδο(galactic plane) και ο µέγιστος κύκλος που περνά από τους πόλους του γαλαξιακού επιπέδου και το κέντρο του Γαλαξία(galacticcentre).Ηθέσηενόςαστέρα(Σχήµα1-7)στο σύστηµα αυτό προσδιορίζεται από το γαλαξιακό µήκος(galacticlongitude)l(0 360 )µεαρχήµέτρησης το κέντρο του Γαλαξία και από το γαλαξιακό πλάτος(galacticlatitude)b(0 ±90 )µεαρχήµέτρησης το γαλαξιακό επίπεδο. Το κέντρο του Γαλαξία έχει ουρανογραφικές συντεταγµένες για το έτος : ακ=17 h 45 m 40 s καιδκ= ενώ ο βόρειος γαλαξιακός πόλος(north galactic pole): απ=12 h 51 m 26 s καιδπ= Σχήµα 1-7. Γαλαξιακές συντεταγµένες. Το σύστηµα αυτό χρησιµοποιείται κυρίως κατά τηµελέτητηςδοµήςτουγαλαξίαµας Σφάλµατα παρατηρήσεων Στον προσδιορισµό των συντεταγµένων των αστέρων, όταν γίνεται µε παρατηρήσεις των φαινόµενων θέσεών τους, εκτός από τα σφάλµατα των οργάνων, υπεισέρχονται και άλλα σφάλµατα που οφείλονται: i) Στη διάθλαση(diffraction από τη Γήινη ατµόσφαιρα) ii)στοβάθοςτουορίζοντα(dipofthehorizon εξαιτίας της σφαιρικότητας της Γης), iii) Στην αποπλάνηση(aberration εξαιτίας της κίνησης της Γης και της πεπερασµένης ταχύτητας του φωτός), iv) Στην ετήσια παράλλαξη των(κοντινών κυρίως) αστέρων(parallax εξαιτίας της µετατόπισης της Γηςκατάτηνετήσιαπεριφοράτηςγύρωαπότον Ήλιο), v) Στη φαινόµενη διάµετρο(apparent diameter κατά την παρατήρηση του Ήλιου, της Σελήνης και των µεγάλων πλανητών). vi) Στη µετάπτωση(precession εξαιτίας της µεταπτωτικής κίνησης του άξονα περιστροφής της Γης). Η κίνηση αυτή οφείλεται κυρίως στην ελκτική δύναµη της Σελήνης και του Ήλιου πάνω στο ισηµερινό εξόγκωµα(equatorial bulge) της Γης και στη λόξωση της εκλειπτικής. Η περίοδος της µεταπτωτικής αυτής κίνησηςείναι25800έτη(σχήµα1-8). vii) Στην κλόνηση(nutation) εξ αιτίας της ροπής πουεξασκείοήλιοςστοσύστηµαγης Σελήνης,που έχει ως αποτέλεσµα την περιοδική µεταβολή της κλίσης του στιγµιαίου άξονα περιστροφής της Γης. Η πε- 17

6 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ρίοδος της µεταβολής αυτής είναι 18.6 έτη(σχήµα 1-8β). Σχήµα 1-8α. Η µετάπτωση του άξονα της τροχειάς της Γής 1.4. Μορφές της ουράνιας σφαίρας σε σχέση µε τη θέση του παρατηρητή 1) Αν το γεωγραφικό πλάτος του παρατηρητή είναιµεταξύ0 και90,ηµορφήτηςουράνιαςσφαίρας καλείται κεκλιµένη ή πλάγια(oblique) και τότε οι αστέρες χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες:(α) Αστέρες που δεν δύουν(αειφανείς circumpolar). ΑυτόισχύειγιααστέρεςµεΡ φ(σχ.1-9).(β)αστέρες που ανατέλλουν και δύουν(αµφιφανείς rising and setting) κατά τη διάρκεια του εικοσιτετραώρου. Αυτό ισχύει για αστέρες που η πολική τους απόσταση είναιφ<ρ 180 φ.(γ)αστέρεςπουδενανατέλλουν (αφανείς never rising) και βρίσκονται συνέχεια κάτω Σχήµα 1-8β. Η µεταβόλη της διεύθυνσης του άξονα περιστροφήςτηςγης λόγω κλόνησης και µετάπτωσης. Σχήµα 1-9. Πλάγια µορφή της ουράνιας σφαίρας. 18

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα απότονορίζοντα.αυτόισχύειγιααστέρεςµερ> 180 φ(σχήµα 1-9). 2)Ανφ=±90 (δηλαδήστοβόρειοήνότιογεωγραφικό πόλο), τότε η µορφή της ουράνιας σφαίρας ονοµάζεται παράλληλη(parallel view) και οι αστέρες κινούνται παράλληλα προς τον ορίζοντα και είναι αειφανείς,ότανηαπόκλισητουςείναιδ 0º,ήαφανείς, ότανδ<0º(σχήµα1-10ακαιβ). 3)Ανφ=0 (γεωγραφικόςισηµερινός),τότεη µορφή της ουράνιας σφαίρας ονοµάζεται ορθή ή κατακόρυφη(vertical view), οι αστέρες κινούνται κάθετα προς τον ορίζοντα και είναι όλοι αµφιφανείς, µε ίσα ορατάκαιµηορατάτόξα(σχήµα1-11ακαιβ). Σχήµα Παράλληλη µορφή της ουράνιας σφαίρας.(α) Σχηµατική παράσταση.(β) Φωτογραφία αστρικών τροχιών από περιοχή του Νότιου Πόλου. Σχήµα Ορθή µορφή της ουράνιας σφαίρας. (α) Σχηµατική παράσταση. (β) Φωτογραφία αστρικών τροχιών από περιοχή του Ισηµερινού. 19

8 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1.5 Σχέσεις σε σφαιρικά τρίγωνα Σφαιρικά τρίγωνα Σφαιρικό τρίγωνο(spherical triangle) ΑΒΓ ονο- µάζεται κάθε τρίγωνο στην επιφάνεια µιας σφαίρας του οποίου οι πλευρές είναι τόξα µέγιστων κύκλων(great circles), δηλαδή τόξα κύκλων που έχουν τα κέντρα τουςστοκέντροτηςσφαίραςκαιανήκουνστοίδιοηµισφαίριο. Έτσι στο σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ(Σχήµα 1-12)οιδίεδρεςγωνίεςΑ,Β,Γπουσχηµατίζονταιαπότα επίπεδα των κύκλων ονοµάζονται γωνίες του σφαιρικούτριγώνου,ενώτατόξα,α,β,γ,τωνµέγιστωνκύκλωνπουενώνουνανάδύοτασηµείαα,β,γ, ονοµάζονται πλευρές του σφαιρικού τριγώνου. Είναιφανερόαπόταπαραπάνωότιοιπλευρέςκαι οι γωνίες ενός σφαιρικού τριγώνου έχουν τιµές θετικές και µικρότερες των 180º. Ανάλογα µε το πλήθος των ορθών γωνιών ή ορθών πλευρών ένα σφαιρικό τρίγωνο λέγεται ορθογώνιο(rectangular or quadrantal triangle) ή δισορθογώνιο(birectangular) ή τρισορθογώνιο (trirectangular) και ορθόπλευρο ή δισορθόπλευρο ή τρισορθόπλευρο αντίστοιχα Βασικές σχέσεις Σ ένα σφαιρικό τρίγωνο ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: 1. Οι σχέσεις του συνηµιτόνου: 2. Οι σχέσεις του ηµιτόνου (1-1) 3. Οι σχέσεις των πέντε στοιχείων (1-2) (1-3) 4. Οι σχέσεις των τεσσάρων διαδοχικών στοιχείων Σχήµα Γωνίες και πλευρές σφαιρικού τριγώνου. (1-4) Οισχέσεις(1-1)έως(1-4),καθώςκαιαυτέςπου προκύπτουν, όπως είναι φυσικό, από την κυκλική εναλλαγή α β γ α και Α Β Γ Α χρησιµοποιούνται πολύ συχνά κατά την επίλυση διαφόρων σφαιρικών τριγώνων, που εξετάζει η Αστρονοµία Θέσης(Positional Astronomy). 20

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα Πολικές σχέσεις ίδεται ένα σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ(Σχήµα 1.13). ΗπλευράΒΓείναιτόξοενόςµέγιστουκύκλουπουχωρίζει τη σφαίρα(στην επιφάνεια της οποίας ανήκει το σφαιρικό τρίγωνο) σε δύο ηµισφαίρια. Αυτού του µέγιστου κύκλου υπάρχουν δυο πόλοι, που ορίζονται από τηντοµήτηςεπιφάνειαςτηςσφαίραςµετηνευθείαπου διέρχεται από το κέντρο του µέγιστου κύκλου και είναι κάθετη στο επίπεδο αυτού. Από τους δύο αυτούς πόλους, που απέχουν 90 από κάθε σηµείο του µέγιστου κύκλου, επιλέγουµε εκείνον τον πόλο Α που βρίσκεταιστοίδιοηµισφαίριοµετηνκορυφήατουσφαιρικού τριγώνου. Με τον ίδιο τρόπο ορίζονται τα σηµεία Β καιγ ωςπόλοιτωνµέγιστωνκύκλωναγκαιαβ αντίστοιχα. Το σφαιρικό τρίγωνο Α Β Γ καλείται πολικό τρίγωνο του σφαιρικού τριγώνου ΑΒΓ, αλλά και, αντίστροφα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι πολικό του σφαιρικούτριγώνουα Β Γ.Πράγµατι,τόσοτοΑ όσοκαιτο Β εκκατασκευήςαπέχουναπότοσηµείογ90,διότι αυτόείναιτοµήτωντόξωνβγκαιαγ,δηλαδήτογ είναι πόλος του µέγιστου κύκλου στον οποίο ανήκει το τόξοα Β καιτασηµείαακαιβείναιοιπόλοιπου αντιστοιχούν στα τόξα Α Β και Α Β. Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το πολικό του Α Β Γ. Από το σχήµα 1.13 έχουµε: ) ) ) ) ) λόγω της αµοιβαίας πολικότητας των σφαιρικών τριγώνων ΑΒΓ και Α Β Γ. Εποµένως: (1-5) Άραηπλευράαενόςσφαιρικούτριγώνουκαιη αντίστοιχη γωνία Α του πολικού του είναι µεταξύ τους παραπληρωµατικές. Το αντίστοιχο ισχύει και για τις υπόλοιπες πλευρές, β και γ. Επειδή, όµως, η πολικότητα είναι αµοιβαία, έχουµε: Σχήµα Το σφαιρικό τρίγωνο Α Β Γ είναι πολικό τρίγωνο του σφαιρικού τριγόνου ΑΒΓ και αντιστρόφως. (1-6) Γενικότερα, λοιπόν, συνεπάγεται ότι οι πλευρές και οι γωνίες κάθε σφαιρικού τριγώνου είναι παραπληρωµατικές των γωνιών και των πλευρών αντίστοιχα του πολικού του τριγώνου, δηλαδή, π.χ.,, αλλά και Μετά από αυτήν την παρατήρηση, όλοι οι βασικοί τύποι της σφαιρικής τριγωνοµετρίας µπορούν εύκολα να µετασχηµατισθούν για τα πολικά τρίγωνα και να 21

10 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ µας δώσουν νέες δυνατότητες για τις αποδείξεις διάφορων σχέσεων που ισχύουν στα σφαιρικά τρίγωνα. Σχέσεων χρήσιµων στη µαθηµατική αστρονοµία για τον προσδιορισµό των θέσεων, των κινήσεων και των µεταβολών διάφορων µεγεθών συναρτήσει άλλων. Αυτοί οι τύποι καλούνται πολικοί τύποι. Ένας τέτοιος πολικός τύπος είναι ο ακόλουθος: που προκύπτει από τη σχέση 1-1. (1-7) Εφαρµογή: Να αποδειχθεί ότι το άθροισµα των γωνιών κάθε σφαιρικού τριγώνου είναι πάντα µεγαλύτερο των 180. Απόδειξη: Απότοσχήµα1-3καιγιατοσφαιρικότρίγωνο Α Β Γ ισχύει η γνωστή σχέση: Άρα,γιατοπολικόαυτού,δηλαδήγιατοσφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η µετασχηµατισµένη σχέση: και η θετική ποσότητα (1-9) λέγεται σφαιρική υπεροχή του σφαιρικού τριγώνου ΑΒΓ Σχέσεις του Borda Οι τύποι αυτοί µας βοηθούν να υπολογίσουµε τις γωνίες ενός σφαιρικού τριγώνου, όταν γνωρίζουµε τις πλευρές του και αποδεικνύονται ως εξής: Αν θέσουµε το άθροισµα των πλευρών ενός σφαιρικού τριγώνου ίσο µε 2p, δηλαδή: τότε, επειδή ισχύει η γνωστή σχέση έχουµε: Εποµένως: (1-10) και, επειδή κάθε πλευρά ενός σφαιρικού τριγώνου είναι τόξο θετικό και µικρότερο των 180, έχουµε από την προηγούµενη σχέση: Εποµένως: Άρα: (1-8) και (1-11) 22

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα (1-12) Άρα, αν διαιρέσουµε τις σχέσεις(1-11) και(1-12) κατά µέλη, προκύπτει: (1-13) καιµεκυκλικήεναλλαγήα β γ ακαι Α Β Γ Απροκύπτουνπαρόµοιεςσχέσειςγια τις δύο άλλες γωνίες ιαφορικές σχέσεις Πολύ συχνά στη Σφαιρική Τριγωνοµετρία αντιµετωπίζονται προβλήµατα προσδιορισµού των µεταβολών κάποιων αστρονοµικών µεγεθών, οι οποίες οφείλονται σε µικρές µεταβολές κάποιων άλλων µεγεθών. Όπως, για παράδειγµα, η µελέτη της µεταβολής των ουρανογραφικών συντεταγµένων του Ήλιου σε συνάρτηση µε τη µεταβολή του εκλειπτικού µήκους του, λόγω της ετήσιας φαινόµενης περιφοράς του γύρω από τη Γη. Επειδή οι µεταβολές αυτές είναι µικρές, µπορούµε να τις θεωρήσουµε ως απειροστά µεγέθη και, εποµένως, η διαφόριση και των δύο µελών µιας κατάλληλης σχέσης να λύνει το πρόβληµα, αρκεί να γνωρίζουµε τα µεγέθη που διατηρούνται σταθερά. Οι τύποι που προκύπτουν από µια τέτοια διαφόριση λέγονται διαφορικοί τύποι. Στις περισσότερες περιπτώσεις ζητείται η µεταβολή ενός στοιχείου ενός σφαιρικού τριγώνου, που οφείλεται στη µεταβολή κάποιων άλλων στοιχείων του τριγώνου. Για παράδειγµα, µπορεί να ζητείται η µεταβολή της µιας πλευράς α του σφαιρικού τριγώνου ΑΒΓ πουοφείλεταιστηµεταβολήτηςγωνίαςακατάdα, καθώς,όµως,οιδύοάλλεςπλευρές,βκαιγ,διατηρούνται σταθερές. Στην περίπτωση αυτή, από τον νόµο των συνηµιτόνων γνωρίζουµε ότι: Εποµένως, διαφορίζοντας και τα δύο µέλη, έχουµε: και,επειδήdβ=dγ=0, έχουµε: δηλαδή: Από τον νόµο του ηµιτόνου, όµως, έχουµε: Άρα: είναι η ζητούµενη σχέση. (1-14) Με τον ίδιο τρόπο µπορούµε να εξαγάγουµε τους διαφορικούς τύπους για τον υπολογισµό της µεταβολής των γωνιών Β και Γ, διαφορίζοντας αντίστοιχα τις σχέσεις ηµαηµβ = ηµβηµα και ηµαηµγ = ηµγηµα, που προκύπτουν από τον νόµο του ηµιτόνου. 23

12 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1.6. Το τρίγωνο θέσης ενός αστέρα Πολλά προβλήµατα που έχουν σχέση µε την ανεύρεση της φαινόµενης θέσης(δηλαδή των συντεταγµένων) ενός αστέρα στην ουράνια σφαίρα για ένα παρατηρητή µια ορισµένη χρονική στιγµή, επιλύονται αν κατασκευάσουµε την ουράνια σφαίρα του παρατηρητήκαιτοσφαιρικότρίγωνοπουορίζεταιαπότο ζενίθ του παρατηρητή(ζν), τον βόρειο ουράνιο πόλο (Π) και τον αστέρα(σ). Το σφαιρικό αυτό τρίγωνο, ΠΖνΣ(Σχήµα 1-14), ονοµάζεται(σφαιρικό) τρίγωνο θέσης του αστέρα(star s spherical triangle). Όλες οι πλευρέςκαιοιγωνίες(εκτόςτηςγωνίαςs)τουτριγώνου θέσης, που αναγράφονται στο Σχήµα 1-14, µπορούν εύκολα να αναγνωριστούν αν συµβουλευτούµε τασχήµατα1-3,1-4και1-5.ηγωνίαsονοµάζεταιπαραλλακτική γωνία(parallactic angle) και είναι χρήσιµη για τον προσανατολισµό αστρικών πεδίων που έχουν φωτογραφηθεί σε διαφορετικές ωριαίες γωνίες. Στην επόµενη παράγραφο δίνεται ένα παράδειγµα επίλυσης του τριγώνου θέσης για την εύρεση της ωριαίας γωνίας και του αζιµουθίου τη στιγµή της ανατολής ή δύσηςενόςαστέραπουέχειαπόκλισηδγιαέναπαρατηρητή που βρίσκεται σε έναν τόπο µε γεωγραφικό πλάτος φ Ανατολή και δύση αστέρων Ηωριαίαγωνίακαιτοαζιµούθιοενόςαστέρατη στιγµήτηςανατολήςήτηςδύσηςτου(οπότεέχειύψος υ=0º)δίνονταιαπότιςσχέσεις: συνη = εφφ εφδ (1-15) συνα = ηµδ/συνφ, (1-16) που προκύπτουν από την επίλυση του τριγώνου θέσηςτουαστέρα(σχήµα1-14)µετιςσχέσειςτουσυνηµιτόνου, δηλαδή από τις σχέσεις: (1-17) και Σχήµα Το τρίγωνο θέσης ενός αστέρα. (1-18) για υ=0. ΟιµικρότερεςτιµέςτωνΗκαιΑαντιστοιχούνστη δύση και οι µεγαλύτερες στην ανατολή. Από τις εξισώσεις(1-15) και(1-16) συµπεραίνουµε ότι κάθε αστέρας ανατέλλει και δύει στα ίδια σηµεία του ορίζοντα καιτηνίδιαπάντααστρικήώρα,επειδήτοδτουκαιτο φείναισταθερά.αυτόόµωςδενισχύειγιατονήλιο. Λόγω της λόξωσης της εκλειπτικής τόσο η απόκλιση όσο και η ορθή αναφορά του µεταβάλλονται κατά την 24

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα Σχήµα 1-15α. Η φαινόµενη κίνηση του Ηλίου κατά τη διάρκεια του έτους. ετήσια περιφορά της Γης γύρω απ αυτόν. Συγκεκρι- µέναότανοήλιοςβρίσκεταιστασηµείαγ,γ,ε,ε ισηµερίες(equinox) και ηλιοστάσια(solstice) παίρνουν τις παρακάτω τιµές(σχήµα 1-15β): Σχήµα 1-15β. Η ηµερίσια τροχιά του Ήλιου κατά τις ισηµερίες και τα ηλιοστάσια. Το τόξο της τροχιάς που βρίσκεται πάνω από τον ορίζοντα είναι το µεγαλύτερο του έτους(µέγιστη διάρκεια ηµέρας κατά το θερινό ηλιοστάσιο) ενώ το αντίστοιχο τόξο του χειµερινού ηλιοστασίου είναι το µικρότερο του έτους(ελάχιστη διάρκεια ηµέρας). Η µεταβολή αυτή(της ηµερήσιας τροχιάς του Ήλιου) προκαλεί τη διαδοχή των εποχών στον πλανήτη µαςκατάτηδιάρκειατουέτους.από21μαρτίουέως 22 Σεπτεµβρίου η ηµερήσια τροχιά του Ήλιου είναι κύκλος θετικής απόκλισης και έχουµε Άνοιξη ή Καλοκαίρι για τους τόπους του βόρειου ηµισφαιρίου της Γης,παρότιστις6ΙουλίουηΓηβρίσκεταιστοαφήλιό της(το σηµείο της µέγιστης απόστασής της από τον Ήλιο), και Φθινόπωρο ή Χειµώνα για εκείνους του νότιου ηµισφαιρίου, όπου η ηµερήσια τροχιά του Ήλιου 25

14 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ είναι κύκλος αρνητικής απόκλισης. Στη δάρκεια της ίδιας αυτής περιόδου το µέγιστο ηµερήσιο ύψος του Ήλιου είναι µεγαλύτερο στο βόρειο ηµισφαρίο από ό,τι στο νότιο. Εποµένως οι ακτίνες του Ήλιου προσπίπτουν στην επιφάνεια της Γης υπό µεγαλύτερη γωνία και τη θερµαίνουν περισσότερο από ό,τι στο νότιο ηµισφαίριο(σχήµα 1-16) Χρόνος Τα κυριότερα συστήµατα χρόνου που χρησιµοποιούµε στην Αστρονοµία είναι τα ακόλουθα: (α) Αστρικός χρόνος(sidereal time or star time ST) (β) Ηλιακός χρόνος(solar time) (γ) Χρόνος εφηµερίδων(ephemeris time ΕΤ) (δ) ιεθνής Ατοµικός χρόνος(international AtomicTime TAI) Συστήµατα χρόνου Σχήµα Το καλοκαίρι, κατά τη µεσηβρία, ο Ήλιος θερµαίνει περισσότερο τοέδαφοςαπότοχει- µώνα. α) Αστρικός χρόνος(sidereal time), t, ενός τόπου ονοµάζεται η ωριαία γωνία του εαρινού ισηµερινού σηµείουγ.όπωςφαίνεταιαπότοσχήµα1-3ισχύειt= α+η,όπουακαιηείναιηορθήαναφοράκαιηωριαία γωνία οποιουδήποτε αστέρα. Επειδή όµως το γ κινείται, λόγω της µετάπτωσης, ανάδροµα πάνω στην εκλειπτική κατά 50.3 το χρόνο, η αστρική ηµέρα (sidereal day), δηλαδή το χρονικό διάστηµα µεταξύ δυο διαδοχικών άνω µεσουρανήσεων του γ, είναι µικρότερη της περιόδου περιστροφής της Γης Τ, κατά (1-19) ΑςσηµειωθείότιηκλόνησητουάξονατηςΓης αναγκάζει το γ να παλινδροµεί περιοδικά γύρω από τη θέση του µέσου εαρινού σηµείου γο,(mean vernal equinox) που θεωρείται ότι κινείται οµαλά πάνω στην εκλειπτική. Έτσι µπορούµε να ορίσουµε ως µέσο αστρικό χρόνο(mean sidereal time) αυτόν που αναφέρεται στο γο και ως αληθή αστρικό χρόνο(apparentortruesiderealtime)αυτόνπουαναφέρεταιστογ. Ηµεταπτωτικήαυτήκίνησητουγέχειωςαποτέλεσµα τη µεταβολή των ουρανογραφικών συντεταγµένων. Οι σχέσεις µε τις οποίες υπολογίζουµε τις συντεταγµένες(α2, δ2) ενός αστέρα κατά την εποχή Ε2, όταν γνωρίζουµε τις συντεταγµένες του(α1, δ1) κατά την εποχή Ε1, δίνονται από τις σχέσεις: α2=α1+(3.074 s s ηµα1 εφδ1)(ε2-ε1) (1-20) δ2=δ συνα 1 (Ε2-Ε1) (1-21) ΗδιαφοράΕ2 Ε1µπορείναείναιείτεθετικόςή αρνητικός αριθµός καθώς επίσης και κλασµατικός. β) Ηλιακός χρόνος(solar time) ενός τόπου λέγεται η ωριαία γωνία του κέντρου του ηλιακού δίσκου αυξηµένη κατά 12 ώρες. Το διάστηµα µεταξύ δυο άνω µεσουρανήσεωντουήλιουδενείναιίσοµετηνπερίοδο περιστροφής της Γης(Τ). Κατά το διάστηµα αυτό ο Ήλιος κινείται πάνω στην εκλειπτική κατά µια µοίρα περίπου την ηµέρα διαγράφοντας έτσι τόξο ηµερήσιας τροχιάς 361 πάνω στην ουράνια σφαίρα, που σηµαίνει ότι το διάστηµα αυτό είναι µεγαλύτερο του Τ 26

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα κατά4minπερίπου.επειδήόµωςηδιαφοράαυτήδεν είναι σταθερή, η αληθής ηλιακή ηµέρα δεν είναι σταθερό διάστηµα χρόνου. Η µεταβολή οφείλεται σε δύο λόγους:α)ηκίνησητηςγηςγίνεταισύµφωναµετο νόµοτωνεµβαδώντουkeplerκαιεποµένωςηγραµ- µικήτηςταχύτηταδενείναισταθερήκαιβ)ηωριαία γωνία µετριέται πάνω στον ισηµερινό και όχι πάνω στην εκλειπτική. Για τους παραπάνω λόγους ο αληθής ηλιακός χρόνος(apparent or true solar time) δεν είναι κατάλληλος για τις καθηµερινές µας ανάγκες, καθ όσον µάλιστα δεν µπορεί να προσδιοριστεί µε ωρολογιακούς µηχανισµούς. Για όλους αυτούς τους λόγους, καθιερώθηκε η έννοιατουµέσουήλιου(meansun),πουείναιένα νοητό σηµείο πάνω στον ισηµερινό και το οποίο κινείται οµαλά συµπληρώνοντας µια πλήρη περιφορά στον ίδιο χρόνο που χρειάζεται ο Ήλιος για να διαγράψει την εκλειπτική. Μέσος ηλιακός χρόνος ή µέσος χρόνος ή πολιτικός χρόνος(mean solar time) ενός τόπου ονοµάζεται η ωριαία γωνία του µέσου Ήλιου αυξηµένη κατά12ώρες.ηµέσηηλιακήηµέρα(meansolarday) αρχίζει τη στιγµή της κάτω µεσουράνησης του µέσου Ήλιου. Ο µέσος ηλιακός χρόνος του κεντρικού µεσηµβρινού κάθε ατράκτου(time zone), από τις είκοσι τέσσερις, στις οποίες έχει διαιρεθεί η επιφάνεια της Γης για πρακτικούς λόγους, λέγεται επίσηµος χρόνος (standard time Σχήµα 1-17). Ο επίσηµος χρόνος της πρώτης ατράκτου που εκτείνεται 7.5 δεξιά και αριστερά του µεσηµβρινού που περνά από το Αστεροσκοπείο Greenwich, το οποίο βρίσκεται στο οµώνυµο προάστιο του Λονδίνου στη Μ. Βρετανία, λέγεται Παγκόσµιος Χρόνος,(Universal Time UΤ). ΗδιαφοράτουµέσουηλιακούχρόνουΜαπότον αληθή ηλιακό χρόνο Α σ έναν τόπο ονοµάζεται εξίσωση χρόνου(equation of time). Η εξίσωση του χρόνου(σχήµα1-18)γιατηναρχήκάθεηµέρας(µέσο µεσονύκτιο του Greenwich) δίνεται από τις αστρονο- µικές εφηµερίδες(astronomical ephemeris ή astronomical almanac). Η εξίσωση του χρόνου αυξοµειώνεται κατά τη διάρκεια του έτους, διότι, όπως αναφέραµε προηγουµένως, η ορθή αναφορά του Ήλιου δεν µεταβάλλεται οµαλά. Η µεταβολή αυτή, που δίνε- Εικόνα1-17.Οι24άτρακτοιστιςοποίεςέχειχωριστείηΓη για τον ορισµό του Επίσηµου Χρόνου κάθε κράτους. Σχήµα Η καµπύλη της εξίσωσης χρόνου. 27

16 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ται στο Σχήµα 1-18, µπορεί κατά προσέγγιση να θεωρηθεί περιοδική µε περίοδο ένα έτος. Αξίζει να σηµειώσουµε ότι η µετατροπή διαστήµατος αστρικού χρόνου, α, σε διάστηµα µέσου ηλιακού χρόνου, µ, και αντίστροφα γίνεται µε πολύ απλούς υπολογισµούς και βασίζεται στο γεγονός ότι µέσες ηλιακές ηµέρες είναι ίσες µε αστρικές ηµέρες. ηλαδή, ισχύει η σχέση: (1-22) Παρατήρηση: Ανωµαλίες του χρόνου. Ηµέτρησητόσοτουαστρικούόσοκαιτουηλιακού χρόνου βασίσθηκε στην περιστροφή της Γης και πάρθηκε υπόψη η µετάπτωση και η κλόνηση του άξονα της. Στην πραγµατικότητα, όµως, η περιστροφή της Εικόνα Η εισαγωγή του διορθωτικού δευτερολέπτου απότο1985έωςτο2009. Γηςγύρωαπότονάξονάτηςδενείναιοµαλή.Άλλοτε περιστρέφεται ταχύτερα και άλλοτε βραδύτερα. Οι ανωµαλίες της περιστροφής της Γης είναι: α) εποχιακές ή περιοδικές, που οφείλονται κυρίως σε µετεωρολογικά φαινόµενα π.χ. µετακινήσεις αερίων µαζών, πάγων κλπ. β) αιώνιες, που οφείλονται σε παλιρροιογόνες δυνάµεις και γ) ανώµαλες µεταβολές, που οφείλονται στην ηλιακή δράση. Ο Παγκόσµιος χρόνος(ut) διορθωµένος απ αυτές τις ανωµαλίες συµβολίζεται ως UT1 ή UT2 ανάλογαµετοβαθµόδιορθώσεωνπουέχειυποστεί.με τη βοήθεια των ατοµικών ρολογιών επιτυγχάνεται µια πολύ καλή διόρθωση του παγκόσµιου χρόνου, που λέγεται συντονισµένος παγκόσµιος χρόνος(universal coordinatedtime UTC).Οχρόνοςαυτός,απότην1η Ιανουαρίου 1972, δίνεται από διάφορες ραδιοφωνικές υπηρεσίες χρόνου. Η διαφορά µεταξύ του χρόνου UTC και του χρόνου UT1 διατηρείται σταθερά µικρότερη από 0.9 δευτερόλεπτα. Αυτό κατορθώνεται µε την προσθήκη στον UT1 όταν χρειάζεται ενός δευτερολέπτου στο τελευταίο λεπτό της τελευταίας µέρας του Ιουνίου ή του εκεµβρίου. Το δευτερόλεπτο αυτό ονο- µάζεται διορθωτικό δευτερόλεπτο(leap second). Έτσι, τοτελευταίολεπτότης24 ης ώραςτης31 ης εκεµβρίου 2008 UT1 περιείχε 61 δευτερόλεπτα. Αυτό ήταν το εικοστό τέταρτο διορθωτικό δευτερόλεπτο από το 1972, οπότε η µέτρηση του χρόνου µε αστρονοµικές µεθόδους αποσυνδέθηκε από τη µέτρηση του ατοµικού χρόνου(σχήµα 1-19). γ) Χρόνος εφηµερίδων ή Νευτώνειος χρόνος (ephemeris time). Ο χρόνος αυτός πηγάζει από την εφαρµογή του νόµου του Νεύτωνα της Ουράνιας Μηχανικής στον υπολογισµό της περιόδου περιφοράς των φυσικών ή τεχνητών σωµάτων του πλανητικού µας συστήµατος. Είναι ο µόνος οµαλός χρόνος που προσδιορίζεται µε αστρονοµικές παρατηρήσεις. Η ακρίβεια του 28

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα είναιτηςτάξηςτου10-10 δευτερόλεπταανάέτος. δ) ιεθνής Ατοµικός χρόνος(international Atomic Time TAI). Ανεξάρτητα των αστρονοµικών παρατηρήσεων, µπορούµε να µετράµε διαστήµατα χρόνου και να ελέγχουµε τις µεταβολές της περιστροφής της Γης µε τη βοήθεια των ατοµικών ρολογιών(κυρίως καισίου και στροντίου), που η ακρίβειά τους είναι της τάξης του10-16 δευτερόλεπταανάδευτερόλεπτο Εύρεση του Επίσηµου Χρόνου από τον Αληθή Ηλιακό Χρόνο ενός τόπου Η χώρα µας βρίσκεται στη δεύτερη άτρακτο ανατολικά του Greenwich και έστω Ελ η επίσηµη ώρα αυτής.έστωλτογεωγραφικόπλάτοςτουτόπου(τολ θεωρείται αρνητικό ανατολικά του Greenwich) και Ε=Α Μηεξίσωσητουχρόνου,όπωςαυτήδίδεται στοσχήµα1-13,ωςηδιαφοράτουμέσουηλιακού χρόνου(μ)απότοναληθήηλιακόχρόνο(α).τότε, σύµφωνα µε όσα αναφέρονται προηγουµένως, για τον παγκόσµιο χρόνο UT ισχύουν οι σχέσεις: UT=Eλ 2 h, αλλά και UT=M+λ Ε λ 2 h =Μ+λ Άρα Ελ=Μ+λ+2 h =Α Ε+2 h +λ Ελ=Α+ l, όπου l=2 h +λ Ε. Ηδιόρθωση l=2 h +λ Ε= 1 Ε,(όπου 1=2 h +λ)είναιαυτήπουπρέπειναγίνειστοναληθήηλιακό χρόνο(που δείχνει ένα ηλιακό ρολόι), για να βρούµε τον επίσηµο χρόνο(που δείχνει το ρολόι µας). Στον Πίνακα 1-Ι δίνονται οι γεωγραφικές συντεταγµένες των ακραίων σηµείων της Ελλάδας και η µερική διόρθωση 1. Πίνακας 1-Ι Γεωγραφικές συντεταγµένες και η διόρθωση χρόνου για τα ακραία σηµεία της Ελλάδος 29

18 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ Στον Πίνακα 1-ΙΙ δίνονται οι γεωγραφικές συντεταγµένες και η µερική διόρθωση 1 για όλες ελληνικές πόλεις των οποίων ο πληθυσµός κατά την απογραφή του 1991 υπερέβαινε τους κατοίκους. Πίνακας 1-ΙΙ Γεωγραφικές συντεταγµένες και η διόρθωση χρόνου για ορισµένες ελληνικές πόλεις 30

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα 31

20 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1.9. Πάσχα και ηµερολόγια Ηµεροµηνία του Πάσχα Η ηµεροµηνία του Πάσχα καθορίσθηκε κατά την Πρώτη Οικουµενική Σύνοδο στη Νίκαια της Βιθυνίας το 325 µ.χ.(µε παρέµβαση του Μεγάλου Κωνσταντίνου). Κανόνας εορτασµού του Ορθόδοξου Πάσχα: Ως ηµέρα του Πάσχα στην Ορθόδοξη Χριστιανική Εκκλησία ορίζεται η πρώτη Κυριακή µετά την πρώτη εαρινή Πανσέληνο του παλαιού(ιουλιανού) ηµερολογίου(πουσυµβαίνειεποµένωςµετάτην3 η Απριλίου µε το σηµερινό Γρηγοριανό ηµερολόγιο βλέπε 1.9.2). Ας σηµειωθεί όµως, ότι η ηµεροµηνία της Πανσέληνου υπολογίζεται σύµφωνα µε τον κύκλο του Μέτωνος(κάθε 19 περίπου χρόνια έχουµε επανάληψη της Πανσέληνου στις ίδιες ηµεροµηνίες κάθε µήνα), που αυτήν την εποχή διαφέρει από την ηµερο- µηνία της πραγµατικής Πανσέληνου κατά πέντε ηµέρες (1 ηµέρα κάθε 320 χρόνια). Κατά τη Σύνοδο της Νίκαιας, οι ηµεροµηνίες του Πάσχα υπολογίσθηκαν για 532 χρόνια. Μετά από αυτή την περίοδο οι ηµεροµηνίες του Πάσχα επαναλαµβάνονται περιοδικά επ άπειρον. Σηµείωση: Το 532 είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθµών: 19(κύκλος Μέτωνος) 7(οιδιαφορετικέςηµέρεςτηςεβδοµάδας)και 4(οαριθµόςτωνδίσεκτωνετώνµέσαστον κύκλοτων19ετών) 32

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα Ηµερολόγια Η πραγµατική διάρκεια του έτους, δηλαδή µια πλήρηςπεριφοράτηςγηςγύρωαπότονήλιο,έχει υπολογισθεί(µε αρκετά µεγάλη ακρίβεια) ότι είναι ηλιακές ηµέρες: 365,2422 ηµέρες =365 ηµέρες 5 ώρες, 48 πρώτα λεπτά, 46 δεύτερα λεπτά. Μία(µέση) ηλιακή ηµέρα είναι το χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο διαδοχικών άνω µεσουρανήσεων του(µέσου) Ήλιου και οφείλεται, βέβαια, στην περιστροφήτηςγηςγύρωαπότονάξονάτηςκαιτηνκατά µια περίπου µοίρα ανά ηµέρα µετατόπισή της στην ετήσιατροχιάτηςγύρωαπότονήλιο.τοδιάστηµα αυτό υπολείπεται κατά ( ) ηµέρεςή11πρώταλεπτάκαι13.92δεύτερα,απότο διάστηµα που χρησιµοποιείται από τους αρχαίους Αιγυπτίους και το Ιουλιανό ηµερολόγιο( ηµέρες βλέπε παρακάτω). Η διάρκεια του έτους που χρησιµοποιείτο στην Αρχαία Αίγυπτο ήταν: 365,25 ηµέρες = ηµέρες + 5 επαγόµενες ηµέρες(για τους θεούς) ηµέρες εκτός ηµερολογίου Ιουλιανό ηµερολόγιο(παλαιό ηµερολόγιο) Το Ιουλιανό ηµερολόγιο θεσπίσθηκε από τον ΙούλιοΚαίσαρα,το44π.Χ.,µετάαπόεισήγησητου αστρονόµου και µαθηµατικού Σωσιγένη του Αλεξανδρινού. Για να διορθώσει τη µέση διάρκεια ενός έτους από 365 σε , ο Σωσιγένης εισηγήθηκε κάθε τέσσερα χρόνια να προστίθεται µια ηµέρα. Έτσι δηµιουργήθηκαν τα δίσεκτα έτη τα οποία έχουν 366 ηµέρες. ίσεκταείναιταέτηπουδιαιρούνταιµετο4.π.χ.τα έτη 2000, 2004, 2008 θεωρούνται δίσεκτα. Όχι, όµως, ταέτη2001,2002,2003. Μέσηδιάρκειαέτους:365ηµέρες+1ηµέρακάθε4 χρόνια = ηµέρες Εποµένως είναι µεγαλύτερο του πραγµατικού έτους κατά1ηµέρακάθε128.2έτη[(11πρώταλεπτάκαι 13.92δεύτεραλεπτάανάέτος) 128.2έτη=1ηµέρα], ή3ηµέρες,2ώρεςκαι52.8πρώταλεπτάκάθε400χρόνια. Γρηγοριανό ηµερολόγιο(νέο ηµερολόγιο) Το Γρηγοριανό ηµερολόγιο θεσπίσθηκε από τον ΠάπαΓρηγόριοτονΙΓ,το1582µ.Χ.,µετάαπόεισήγηση του αστρονόµου Χριστόφορου Κλάβιους (Clavious) και τη συµµετοχή του(επίσης αστρονόµου) Λουϊτζι Λίλιο(Luigi Lilio). Η διόρθωση που εισηγήθηκαν οι δύο αυτοί αστρονόµοι ήταν να µην θεωρούνται δίσεκτα τα έτη των αιώνων που δεν διαιρούνται µετο400.π.χ.τοέτος2000θεωρείταιδίσεκτο.όχι, όµως,ταέτη2100,2200,2300.τοέτος2400θαείναι δίσεκτο.έτσι,σεκάθε400χρόνια,3έτηδενθεωρούνται δίσεκτα. Η µέση διάρκεια του Γρηγοριανού έτους είναι, εποµένως, ηµέρες. Η διαφορά, πλέον, µεταξύ της πραγµατικής διάρκειας του έτους( ηµέρες) και του Γρηγοριανούέτουςείναιµόνο2ώρεςκαι52.8πρώταλεπτάανά 400 χρόνια. Παρόλο που η διαφορά αυτή είναι µικρή, το Γρηγοριανό ηµερολόγιο χάνει µια ηµέρα κάθε 3200 χρόνια περίπου. Σηµείωση: Το νέο ηµερολόγια καθιερώθηκε στην Ιταλία, 33

22 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ την Πολωνία και την Πορτογαλία την Παρασκευή 5 Οκτωβρίου 1582, ηµεροµηνία, η οποία µετονοµάσθηκε Παρασκευή, 15 Οκτωβρίου 1582(10 ηµέρες διαφορά). Λίγους µήνες αργότερα καθιερώθηκε στη Γαλλία, στο Βέλγιο, στο Λουξεµβούργο και σε µερικές περιοχές της Ολλανδίας και την Ελβετίας. Οι χώρες αυτές ήταν όλες Καθολικές. Τρία χρόνια αργότερα είχε καθιερωθεί και στις Καθολικές περιοχές της Γερµανίας, της Αυστρίας και της Τσεχοσλοβακίας. Το 1587 καθιερώθηκε και στην Ουγγαρία. Έτσι το νέο ηµερολόγιο ίσχυε πλέον στις περισσότερες Καθολικές χώρες και περιοχές της Ευρώπης. Εκτός από την Πρωσία, στην οποία το Γρηγοριανό ηµερολόγιο καθιερώθηκε το 1610(όπου η 23 Αυγούστου µετονοµάσθηκε 2 Σεπτεµβρίου), αρκετές περιοχές που κυριαρχούσαν οι ιαµαρτυρόµενοι(όπως η ανία ηοποίατότεπεριελάµβανεκαιτηνορβηγία, καθώς και οι υπόλοιπες περιοχές της Γερµανίας, της Ελβετίας και της Ολλανδίας) απεδέχθησαν το Γρηγοριανό ηµερολόγιο το 1700/01. Στη Βρετανία και στις αποικίες της, καθώς και τις Ηνωµένες Πολιτείες, το Γρηγοριανό ηµερολόγιο καθιερώθηκε το 1752, όταν η 3 Σεπτεµβρίου µετονοµάσθηκε 14 Σεπτεµβρίου(11 ηµέρες διαφορά). Στη Σουηδία καθιερώθηκε στις 18 Φεβρουαρίου 1753, ηµεροµηνία η οποία µετονοµάσθηκε 1 Μαρτίου όπως η Λετονία και η Λιθουανία υποχρεώθηκαν να το αποδεχθούν στη δε Ρωσία καθιερώθηκε κατά τη διάρκειατηςρωσικήςεπανάστασηςτο1918.οπότεη1φεβρουαρίου, µετονοµάσθηκε 14 Φεβρουαρίου. Στη χώρα µας το Γρηγοριανό ηµερολόγιο καθιερώθηκε το 1923, όταν η 16 Φεβρουαρίου µετονοµάσθηκε 1 Μαρτίου(13 ηµέρες διαφορά). Έτσι στη χώρα µας δεν υπάρχουν οι ηµεροµηνίες µεταξύ 15 Φεβρουαρίου1923και1Μαρτίου1923. ΕίναιφανερόότιηκαθιέρωσηήµητουΝέουηµερολογίου ήταν περισσότερο θρησκευτικό παρά πολιτικό ζήτηµα. Έτσι στην ανατολική και νοτιοανατολική Ευρώπη, όπου οι λαοί ζούσαν υπό τον Οθωµανικό ζυγό, δεν είχε εγερθεί θέµα µετατροπής του ηµερολογίου. Με την υποχώρηση της Οθωµανικής αυτοκρατορίας και άλλες χώρες και περιοχές της Ευρώπης απεδέχθησαν το Γρηγοριανό ηµερολόγιο, όπως για παράδειγµα η Αλβανία το Λίγο αργότερα, κατά τη διάρκεια του Α Παγκοσµίου πολέµου, πολλές χώρες, 34

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ουράνια Σφαίρα Ασκήσεις 1) Με τη βοήθεια του οµοιώµατος της ουράνιας σφαίρας(σχήµα 1.20), που δίνεται από το Εργαστήριο κατάτηνώρατηςάσκησης,ναβρεθούνοιοριζόντιεςσυντεταγµένεςενόςαστέρασ(α,δ)τηχρονικήστιγµήε (Επίσηµος χρόνος Ελλάδας) για έναν παρατηρητή της Θεσσαλονίκης(φΘ=40 37,λΘ= 1 h 32 m ). Στην επιφάνεια του οµοιώµατος της ουράνιας σφαίρας έχουν τοποθετηθεί οι πιο γνωστοί από τους αστερισµούς µε τους λαµπρότερους αστέρες τους καθώς επίσης ο ουράνιος ισηµερινός(1), η εκλειπτική(2) και ορισµένοι µεσηµβρινοί και παράλληλοι κύκλοι της. Ηβάσηπάνωστηνοποίαστηρίζεταιτοοµοίωµατης ουράνιας σφαίρας έχει έναν οριζόντιο κύκλο(3), που είναι Σχήµα Οµοίωµα της ουράνιας σφαίρας. σταθερός και διαιρεµένος σε 360 (αζιµουθιακός) και έναν κατακόρυφο(4), που µπορεί να περιστρέφεται γύρω από τη διεύθυνση της κατακόρυφου. Το κατακόρυφο αυτό ηµικύκλιο είναι διαιρεµένο υψοµετρικά(0-90 ) και πάνω του ολισθαίνει µια ακίδα(5). Προκειµένου να βρούµε τις οριζόντιες συντεταγµένες του αστέρα Σ κάνουµε τις παρακάτω ενέργειες: Φέρνουµε την ένδειξη 0 του υψοµετρικού κύκλου σε σύµπτωση µε την ένδειξη 180 του αζιµουθιακού. Παίρνουµε στον υψοµετρικό κύκλο τόξο ίσο µε το γεωγραφικό πλάτος της Θεσσαλονίκης(έξαρµα του Βόρειου Πόλου). Μετακινούµε τη σφαίρα µέχρις ότου φέρουµε το βόρειοπόλοτηςστηνένδειξηαυτήκαιµετηβοήθειατης ακίδας τη σταθεροποιούµε. Στη θέση αυτή το κατακόρυφο ηµικύκλιο συµπίπτει µε το µεσηµβρινό του τόπου. Παίρνουµε στον υψοµετρικό κύκλο τόξο ίσο µε το γεωγραφικό πλάτος της Θεσσαλονίκης(έξαρµα του Βόρειου Πόλου). Μετακινούµε τη σφαίρα µέχρις ότου φέρουµετοβόρειοπόλοτηςστηνένδειξηαυτήκαιµετη βοήθεια της ακίδας τη σταθεροποιούµε. Στη θέση αυτή το κατακόρυφο ηµικύκλιο συµπίπτει µε το µεσηµβρινό του τόπου. iii) Περιστρέφουµε προσεκτικά τη σφαίρα και παίρνουµε πάνω στον ισηµερινό τόξο ίσο µε τον αστρικό χρόνοπουαντιστοιχείστηχρονικήστιγµήε.ηθέσηπου έχει τώρα η σφαίρα είναι εκείνη που αντιστοιχεί κατά την παρατήρηση του αστέρα Σ στον τόπο της παρατήρησης καιτηχρονικήστιγµήε. iν) Ελευθερώνουµε τη σφαίρα από τον υψοµετρικό κύκλο και τον µετακινούµε µε µεγάλη προσοχή ώστε να µη µετακινηθεί η σφαίρα µέχρις ότου γίνει κατακόρυφος κύκλος του αστέρα. Στη συνέχεια βρίσκουµε τις οριζόντιες συντεταγµένες του αστέρα από τον αζιµουθιακό κύκλο(3) και τον κατακόρυφο(4). Υπολογισµός Αστρικού Χρόνου Θεσσαλονίκης i)βρίσκουµετονπαγκόσµιοχρόνοuτ=ε 2τη 35

24 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ στιγµή της παρατήρησης ii)οχρόνοςαυτόςείναιέναδιάστηµαµέσουχρόνου, µ, που διέρρευσε από το µέσο µεσονύχτιο της ηµέρας αυτής στο Greenwich και το µετατρέπουµε σε διάστηµα αστρικού χρόνου, α, µε τη βοήθεια της σχέσης(1.22). iii) Βρίσκουµε τον αστρικό χρόνο του Greenwich (tg) tg=το+ α, όπου Το ο αστρικός χρόνος του µέσου µεσονύχτιου στο Greenwich της ηµέρας της παρατήρησης και δίδεται στις Αστρονοµικές Εφηµερίδες που εκδίδονται για κάθε έτος υπό την επίβλεψη της ιεθνούς Αστρονοµικής Επιτροπής(IAU). iv) Βρίσκουµε τον αστρικό χρόνο της Θεσσαλονίκης (tθ) tθ=tg λθ 2)Ναεπαναληφθείηάσκηση(1)µετηβοήθειατου τριγώνου θέσης. ΑπότησχέσηtΘ=α+Ηυπολογίζουµετηνωριαία γωνία(η)τουαστέρασκατάτηστιγµήτηςπαρατήρησης του. Στη συνέχεια επιλύουµε το τρίγωνο θέσης ΠΖνΣ (Σχήµα1-14)τουαστέραΣ,µετηβοήθειατωνσχέσεων: ηµυ=ηµφηµδ+συνφσυνδσυνη ηµα=συνδηµη/συνυ. 3) Να βρεθούν οι ουρανογραφικές συντεταγµένες των αστέρων που δίνονται κατά τη διάρκεια του εργαστηρίου, χρησιµοποιώντας το οµοίωµα της ουράνιας σφαίρας. 4)ΣεποιοναστερισµόβρίσκεταιοΉλιοςστις22 Ιουνίου; 5)ΠοιαείναιηορθήαναφοράτουΉλιουκατάτη φθινοπωρινή ισηµερία; 6) Σε ποιον αστερισµό βρίσκεται ο Ήλιος την ηµέρα των γενεθλίων σας; 7)ΝαβρεθείηδιάρκειατηςηµέραςστηΘεσσαλονίκη σήµερα. Ποια είναι η διάρκεια της µεγαλύτερης ηµέρας του χρόνου στην πόλη µας; 8) Γνωρίζουµε ότι το αστρονοµικό λυκαυγές αρχίζει όταν ο Ήλιος έχειύψοςυ= 18 καιλήγειµε την ανατολή του, ενώ το αστρονοµικό λυκόφως αρχίζει µε τηδύσητουκαι λήγει όταν φθάσεισεύψοςυ= Σχήµα ιάρκεια του Αστρονοµικού λυκόφωτος. 18.Ναβρεθεί η διάρκεια του λυκόφωτος για σήµερα στην πόλη σας(σχήµα 1-21). 9) Το ραδιοπαρατηρητήριο Chatanika στην Αλάσκα (Incoherent Scatter Facility) έχει γεωγραφικό πλάτος φ = Τις νύκτες που το παρατηρητήριο δεν βυθίζεται σε απόλυτο σκοτάδι, τι τιµές παίρνει η απόκλιση του Ήλιου; 10)Ναδειχθείότιοχρόνοςµεταξύτηςχρονικής στιγµής κατά τον οποίο ένας αστέρας έχει ζενίθεια απόστασηζκαιτηςάνωµεσουράνησήςτουδίνεταιαπότη σχέση: συνη= εφφ εφδ+τεµφ τεµδ συνζ 11) Να υπολογιστούν οι ουρανογραφικές συντεταγ- µένες του µεταβλητού αστέρα EV Lac σήµερα, εάν γνωρίζουµε ότι οι συντεταγµένες του το ήταν (α=22 h 44 m 39 s.92,δ=+44º ) 36

Να το πάρει το ποτάµι;

Να το πάρει το ποτάµι; Να το πάρει το ποτάµι; Είναι η σκιά ενός σώµατος που το φωτίζει ο Ήλιος. Όπως η σκιά του γνώµονα ενός ηλιακού ρολογιού που µε το αργό πέρασµά της πάνω απ τα σηµάδια των ωρών και µε το ύφος µιας άλλης εποχής

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Δημήτρης Δεληκαράογλου Αναπλ. Καθ., Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επισκ.

Διαβάστε περισσότερα

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης ΗλιακήΓεωµετρία Γιάννης Κατσίγιαννης ΗηλιακήενέργειαστηΓη Φασµατικήκατανοµήτηςηλιακής ακτινοβολίας ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιο ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιοµπορεί να αναλυθεί σε δύο κύριες συνιστώσες: Περιφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ Η κίνηση των πλανητών είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης 2 κινήσεων: μίας περιστροφής γύρω από τον Ήλιο, η περίοδος της οποίας μας δίνει το έτος κάθε πλανήτη, και πραγματοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Αναγνωστοπούλου Στρατηγούλα (5553), Σταυρίδη Δήμητρα (5861) 1 ΛΙΓΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1.1 Η κίνηση της Γης Η Γη κινείται με τρεις τρόπους: περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της σε 24h,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007 ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΔΙΟΝΥΣΟΥ Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 157 80 Ζωγράφος Αθήνα Τηλ.: 210 772 2666 2668, Fax: 210 772 2670 ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Παρατήρησης

Πρόγραμμα Παρατήρησης Πρόγραμμα Παρατήρησης Η αναζήτηση του ζοφερού ουρανού Άγγελος Κιοσκλής Οκτώβριος 2005 ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ * η παρατήρηση πραγματοποιείται κατά προτίμηση όταν η Σελήνη δεν εμφανίζεται στον ουρανό, διότι

Διαβάστε περισσότερα

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë Tα βασικά σημεία του μαθήματος Η Γη είναι ένα ουράνιο σώμα, που κινείται συνεχώς στο διάστημα. Το σχήμα της είναι γεωειδές, δηλαδή είναι ελαφρά συμπιεσμένο στις κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο

3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο Σηµειώσεις ΑΠΕ Ι Κεφ. 3 ρ Π. Αξαόπουλος Σελ. 1 3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο Η γνώση της ηλιακής ακτινοβολίας που δέχεται ένα κεκλιµένο επίπεδο είναι απαραίτητη στις περισσότερες εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Οδηγός για τον εκπαιδευτικό Περιεχόμενα Προετοιμασία δραστηριότητας Α. Υλικά και φύλλα εργασίας 3 Β. Εγκατάσταση του προγράμματος "Google

Διαβάστε περισσότερα

συν[ ν Από τους υπολογισμούς για κάθε χαρακτηριστική ημέρα του χρόνου προκύπτει ότι η ένταση της ηλιακής ενέργειας στη γη μεταβάλλεται κατά ± 3,5%.

συν[ ν Από τους υπολογισμούς για κάθε χαρακτηριστική ημέρα του χρόνου προκύπτει ότι η ένταση της ηλιακής ενέργειας στη γη μεταβάλλεται κατά ± 3,5%. 1. ΗΛΙΑΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Το θεωρητικό δυναμικό, δηλαδή το ανώτατο φυσικό όριο της ηλιακής ενέργειας που φθάνει στη γή ανέρχεται σε 7.500 Gtoe ετησίως και αντιστοιχεί 75.000 % του παγκόσμιου ενεργειακού ισοζυγίου.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 Τοπογραφικοί Χάρτες Περίγραμμα - Ορισμοί - Χαρακτηριστικά Στοιχεία - Ισοϋψείς Καμπύλες - Κατασκευή τοπογραφικής τομής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΙΙ: Ο ΗΛΙΟΣ

AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΙΙ: Ο ΗΛΙΟΣ AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΙΙ: Ο ΗΛΙΟΣ 1. Ο Ήλιος μας είναι ένας από τους μεγαλύτερους αστέρες της περιοχής μας, του Γαλαξία μας αλλά και του σύμπαντος (NASA Science, εικόνα 1), όντας ο μοναδικός στο ηλιακό

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις)

Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις) Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις) Πότε µια κίνηση λέγεται περιοδική; Να γράψετε τρία παραδείγµατα. Μια κίνηση λέγεται περιοδική όταν επαναλαµβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήµατα.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος»

ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος» ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος» Για να θεωρηθεί έγκυρη η συμμετοχή σας στην 1 η φάση, θα πρέπει απαραίτητα να έχετε συμπληρώσει τον πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας - Οριζόντια Βολή Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, M Sc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Εισαγωγικές Εννοιες - Α Λυκείου Στην Φυσική της Α Λυκείου κυριάρχησαν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Απριλίου, 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση. Γενικές οδηγίες: 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ηλιακή Γεωµετρία: Σύστηµα παρακολούθησης της αζιµούθιας ηλιακής τροχιάς ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Γεώργιος Α. Ρεϊτζόπουλος

Ηλιακή Γεωµετρία: Σύστηµα παρακολούθησης της αζιµούθιας ηλιακής τροχιάς ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Γεώργιος Α. Ρεϊτζόπουλος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Ηλιακή Γεωµετρία: Σύστηµα παρακολούθησης της αζιµούθιας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών Η ΠΕΡΙΠΕΤΕΙΑ ΤΟΥ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟΥ ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών Μια από τις µεγάλες κατακτήσεις του ανθρώπου είναι η κατανόηση και η µέτρηση του χρόνου. Οι πρώτοι άνθρωποι στη γη, για

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Το ηλιακό μας σύστημα απαρτίζεται από τον ήλιο (κεντρικός αστέρας) τους 8 πλανήτες, (4 εσωτερικούς ή πετρώδεις: Ερμής, Αφροδίτη, Γη και Άρης, και 4 εξωτερικούς: Δίας,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση ,Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Καραδηµητρίου Ε. Μιχάλης http://perifysikhs.wordpress.com mixalis.karadimitriou@gmail.com Πρόχειρες Σηµειώσεις 2011-2012 1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση 1.1 Περιοδικά Φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΠΑΡΕΧΟΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ UTC ΑΠΟ ΤΟ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ, ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΠΑΡΕΧΟΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ UTC ΑΠΟ ΤΟ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ, ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΝΙΚΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΠΑΡΕΧΟΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ UTC ΑΠΟ ΤΟ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ, ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ- Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 0 Μαΐου 05 Ώρα : 0:0 - :00 ΘΕΜΑ 0 (µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εκπαιδευτικό υλικό. Τρόπος βαθµολόγησης. http://www.pi-schools.gr/lessons/physics/ Βαθµολογία Φυσικά.

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εκπαιδευτικό υλικό. Τρόπος βαθµολόγησης. http://www.pi-schools.gr/lessons/physics/ Βαθµολογία Φυσικά. ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να έχετε: Τετράδιο εργαστηρίου (Physics book) File για φυλλάδια Απλό υπολογιστή (calculator) Οι σηµειώσεις του µαθήµατος βρίσκονται στην προσωπική µου ιστοσελίδα:http://www.pantelis.net

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1

Στροφορµή. ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1 Στροφορµή ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1 ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 2 Στροφορµή q Ένα από τα βασικά µεγέθη που σχετίζονται µε την περιστροφική κίνηση είναι η στροφορµή q Θυµηθείτε ότι για µάζα m που κινείται µε ταχύτητα v

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ. Σελίδα 1 από 6

Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ. Σελίδα 1 από 6 Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ Στόχος(οι): Η παρατήρηση της τροχιάς του ήλιου στον ουρανό και της διακύμανση της ανάλογα με την ώρα της ημέρας ή την εποχή. Εν τέλει, η δραστηριότητα αυτή θα βοηθήσει τους μαθητές να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

20 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

20 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 20 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αφιερωµένη στη µνήµη της Φυσικού Σύλβιας Γιασουµή Κυριακή, 19 Μαρτίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:30 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από έξι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

Η ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΤΟΥ ΠΑΣΧΑ

Η ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΤΟΥ ΠΑΣΧΑ Η ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΤΟΥ ΠΑΣΧΑ ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών Το Πάσχα είναι µια µεγάλη εορτή του Ιουδαϊσµού που καθιερώθηκε για να γιορτάζεται η ανάµνηση της διάβασης των Εβραίων από την

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ GOOGLE EARTH [ΠΛΟΗΓΗΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΥΠΩΣΗ ΑΕΡΟΦΩΤΟΓΡΑΦΙΩΝ]

ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ GOOGLE EARTH [ΠΛΟΗΓΗΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΥΠΩΣΗ ΑΕΡΟΦΩΤΟΓΡΑΦΙΩΝ] ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ GOOGLE EARTH [ΠΛΟΗΓΗΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΥΠΩΣΗ ΑΕΡΟΦΩΤΟΓΡΑΦΙΩΝ] Τι είναι το Google Earth Το Google Earth είναι λογισμικό-εργαλείο γραφικής απεικόνισης, χαρτογράφησης και εξερεύνησης

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ;

ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ; ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ; Α) Ακτίνα αστέρων (Όγκος). Στον Ήλιο, και τον Betelgeuse, μπορούμε να μετρήσουμε απευθείας τη γωνιακή διαμέτρο, α, των αστεριών. Αν γνωρίζουμε αυτή τη γωνία, τότε: R ( ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτικό Εγχειρίδιο Αστρονομίας

Συνοπτικό Εγχειρίδιο Αστρονομίας Ελληνική Αστρονομική Ένωση (Ε.Α.Ε.) Συνοπτικό Εγχειρίδιο Αστρονομίας του Άρη Μυλωνά Εισαγωγή Έχετε βρεθεί ποτέ στην εξοχή; Έχετε βρεθεί σε σκοτεινό νυκτερινό ουρανό, μακριά από τα φώτα των πόλεων; Έχετε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Μ Α Τ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΑΘΗΤΙΚΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ

Θ Ε Μ Α Τ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΑΘΗΤΙΚΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ Θ Ε Μ Α Τ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΑΘΗΤΙΚΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ 1 ος Πανελλήνιος Μαθητικός ιαγωνισµός Αστρονοµίας 1996 Από τα πανάρχαια χρόνια ο άνθρωπος ένιωσε να τον ελκύει η µαγεία του έναστρου ουρανού. Επινοώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑΔΑ: ΑΠΟ ΤΗ ΓΗ ΩΣ ΤΟ ΦΕΓΓΑΡΙ ΤΡΙΒΑ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΝΟΜΙΚΟΥ ΤΣΑΜΠΙΚΑ-ΡΟΖΑ ΧΑΡΙΤΟΥ ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΣΚΟΥΡΑ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ-ΡΑΦΑΕΛΛΑ ΛΟΓΓΑΚΗ ΑΝΝΑ

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑΔΑ: ΑΠΟ ΤΗ ΓΗ ΩΣ ΤΟ ΦΕΓΓΑΡΙ ΤΡΙΒΑ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΝΟΜΙΚΟΥ ΤΣΑΜΠΙΚΑ-ΡΟΖΑ ΧΑΡΙΤΟΥ ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΣΚΟΥΡΑ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ-ΡΑΦΑΕΛΛΑ ΛΟΓΓΑΚΗ ΑΝΝΑ ΦΥΣΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΥΘΟΙ ΚΑΙ ΑΛΗΘΕΙΕΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑΔΑ: ΑΠΟ ΤΗ ΓΗ ΩΣ ΤΟ ΦΕΓΓΑΡΙ ΤΡΙΒΑ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΝΟΜΙΚΟΥ ΤΣΑΜΠΙΚΑ-ΡΟΖΑ ΧΑΡΙΤΟΥ ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΣΚΟΥΡΑ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ-ΡΑΦΑΕΛΛΑ ΛΟΓΓΑΚΗ ΑΝΝΑ Τ Ι Ε Ι Ν Α Ι Τ Ο Σ Ε Λ Α Σ ;

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης

Διαβάστε περισσότερα

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Γραµµική ταχύτητα : ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ds. Γωνιακή ταχύτητα : dθ ω ωr Οµαλή κκλική κίνηση : σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε κίνηση ενός κινητού; 2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; 3. Τι ονομάζουμε υλικό σημείο; 4. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 13 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων

ΜΑΘΗΜΑ 13 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων ΜΑΘΗΜΑ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων Θεωρία Σχόλια Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Έστω οι συναρτήσεις : A R, :Β R Το τυχαίο A, µε την A. αντιστοιχίζεται στην τιµή Αν η τιµή αυτή ( ) B θα αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες μέτρησης χρόνου

Μονάδες μέτρησης χρόνου Μονάδες μέτρησης χρόνου ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικός Γραμματισμός ΤΑΞΗ: Α ΕΝΟΤΗΤΑ: Μονάδες μέτρησης χρόνου ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΣ: Δραγανιδάκη Στυλιανή Διδακτικοί στόχοι: Α: Βασικοί στόχοι: 1. Να εξοικειωθούν στους αλγορίθμους

Διαβάστε περισσότερα

Stellarium Εγχειρίδιο Οδηγιών

Stellarium Εγχειρίδιο Οδηγιών Προϋποθέσεις συστήματος: Windows (XP, Vista, 7) με DirectX 9.x και τελευταίες ServicePack ή MacOS X 10.3.x (ή υψηλότερη), κάρτα γραφικών 3D με υποστήριξη OpenGL, ελάχ. 512 MB RAM, 1 GB διαθέσιμος χώρος

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

3α. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ «ΠΑΡΑ ΟΞΑ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3α. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ «ΠΑΡΑ ΟΞΑ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3α. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ «ΠΑΡΑ ΟΞΑ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παράδειγµα: Το τρένο του Άινστάιν Ένα τρένο κινείται ως προς έναν αδρανειακό παρατηρητή Ο µε σταθερή ταχύτητα V. Στο µέσο ακριβώς του τρένου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΑΧΑΝΕΣ ΣΥΜΠΑΝ. Απόσταση 0 1 1.52 5.2 9.54 30 55 50,000 267,000 Κλιμακούμενη 10 cm 1 mm 16.3 m 56 m 102 m 321 m 600 m 540 km 3,000 km

ΤΟ ΑΧΑΝΕΣ ΣΥΜΠΑΝ. Απόσταση 0 1 1.52 5.2 9.54 30 55 50,000 267,000 Κλιμακούμενη 10 cm 1 mm 16.3 m 56 m 102 m 321 m 600 m 540 km 3,000 km ΤΟ ΑΧΑΝΕΣ ΣΥΜΠΑΝ Αν υποθέσουμε ότι ο Ήλιος αναπαριστάται με σφαίρα (μεγέθους) διαμέτρου 10 cm, τότε η Γη τοποθετείται περίπου 11 μέτρα μακριά και έχει μέγεθος μόλις 1 mm (χιλιοστό). Ο Ερμής και η Αφροδίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων;

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων; ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ Είδαµε ότι η φυσική κίνηση ενός σωµατιδίου σε συντηρητικό πεδίο ικανοποιεί την αρχή ελάχιστης δράσης του Hamilton µε Λαγκρανζιανή, όπου η κινητική ενέργεια του

Διαβάστε περισσότερα

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια 8 Κρούσεις Στην µηχανική µε τον όρο κρούση εννοούµε τη σύγκρουση δύο σωµάτων που κινούνται το ένα σχετικά µε το άλλο.το ϕαινόµενο της κρούσης έχει δύο χαρακτηριστικά : ˆ Εχει πολύ µικρή χρονική διάρκεια.

Διαβάστε περισσότερα

18 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2013. 4 η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Ανάλυση Δεδομένων

18 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2013. 4 η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Ανάλυση Δεδομένων 18 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2013 4 η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Ανάλυση Δεδομένων Παρακαλούμε, διαβάστε προσεκτικά τα παρακάτω: 1. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον χάρακα και το κομπιουτεράκι

Διαβάστε περισσότερα