Η γωνία υπό την οποία φαίνονται από κάποιον παρατηρητή δύο αστέρες ονοµάζεται

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η γωνία υπό την οποία φαίνονται από κάποιον παρατηρητή δύο αστέρες ονοµάζεται"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΧΡΟΝΟΣ 2.1 Ουράνια σφαίρα-βασικοί ορισµοί Για να ορίσουµε τις θέσεις των αστέρων, τους θεωρούµε να προβάλλονται σαν σηµεία στην εσωτερική επιφάνεια µιας σφαίρας µε αυθαίρετη ακτίνα και κέντρο το µάτι του παρατηρητή. Τη σφαίρα αυτή την ονοµάζουµε ουράνια σφαίρα, (Σχ. 2.1). Η ευθεία που συνδέει το µάτι του παρατηρητή µ έναν αστέρα, οπτική ακτίνα, αν προεκταθεί «τέµνει» την ουράνια σφαίρα σ ένα σηµείο που λέγεται φαινόµενη θέση του αστέρα. (Γιατί είναι η προβολή της πραγµατικής του θέσης). Σχήµα 2.1: Ουράνια σφαίρα (Φαινόµενες και πραγµατικές θέσεις ουρανίων σωµάτων) Η γωνία υπό την οποία φαίνονται από κάποιον παρατηρητή δύο αστέρες ονοµάζεται γωνιώδης απόστασή τους και µετριέται απ το τόξο του µεγίστου κύκλου της ουράνιας σφαίρας που διέρχεται από τους δύο αστέρες. Στο σχήµα 2.2 βλέπουµε τους 7 πιο λαµπρούς αστέρες του αστερισµού της Μεγάλης Άρκτου και τη γωνιώδη απόσταση δύο εξ αυτών, (α,β). Σχήµα 1.2: Γωνιώδης απόσταση δύο αστέρων του αστερισµού της Μεγάλης Άρκτου 8

2 2.2 Φαινόµενη διάµετρος και ηµιδιάµετρος ουρανίου σώµατος Γενικά οι αστέρες φαίνονται, ακόµη και µε µεγάλα τηλεσκόπια, ως φωτεινά σηµεία. Είναι δηλαδή σηµειακές πηγές φωτός. Όµως υπάρχουν και κάποια ουράνια σώµατα που παρουσιάζουν δίσκο. Ονοµάζουµε φαινόµενη διάµετρο ή ηµιδιάµετρο ενός ουρανίου σώµατος µε σχεδόν σφαιρικό σχήµα όπως είναι για παράδειγµα ο Ήλιος, η Σελήνη, ή ένας πλανήτης την γωνία µε την οποία ένας παρατηρητής βλέπει την πραγµατική του διάµετρο, D, ή ηµιδιάµετρο, R, αντίστοιχα. Η φαινόµενη διάµετρος/ηµιδιάµετρος ενός ουρανίου σώµατος µετριέται από το τόξο του µέγιστου κύκλου της ουράνια σφαίρας που ορίζεται από τις φαινόµενες θέσεις των άκρων της διαµέτρου του. Έστω ένα ουράνιο σώµα Σ µε διάµετρο D ή ακτίνα R σε απόσταση r από τον παρατηρητή Π, (Σχήµα 2.3). Η γωνία ω υπό την οποία φαίνεται από τον παρατηρητή η ακτίνα ΣΑ=R του ουρανίου αυτού σώµατος είναι η φαινόµενη ηµιδιάµετρος του. Από το τρίγωνο ΠΑΚ έχουµε ότι: R ηµω = (2.1) r Σχήµα 2.3: Φαινόµενη διάµετρος ουρανίου σώµατος Οι φαινόµενες ηµιδιάµετροι των ουρανίων σωµάτων είναι γενικά πολύ µικρές γωνίες, οπότε µπορούµε να προσεγγίσουµε το ηµω µε το ω µετρούµενο σε ακτίνια. Και επειδή ένα ακτίνιο έχει δευτερόλεπτα τόξου, (arc sec, ), η σχέση (2.1) γίνεται: R ω = '' (2.2) r Επιπλέον, επειδή οι αποστάσεις των διαφόρων ουρανίων σωµάτων µεταβάλλονται είναι προφανές ότι µεταβάλλονται και οι τιµές της φαινόµενης ηµιδιαµέτρου τους. Για παράδειγµα η µέση τιµή της φαινόµενης ηµιδιαµέτρου του Ήλιου είναι ω = 16 και της Σελήνης ω = 15. ηλαδή η πανσέληνος καταλαµβάνει στον ουρανό µισή µοίρα περίπου, (Σχήµα 2.4). Οι ακριβείς τιµές των φαινόµενων ηµι-διαµέτρων του Ήλιου και της Σελήνης υπολογίζονται για κάθε ηµέρα και αναφέρονται στις αστρονοµικές εφηµερίδες. Εκεί βρίσκουµε και τις τιµές της φαινόµενης διαµέτρου όλων των µεγάλων πλανητών του ηλιακού µας συστήµατος. Για παράδειγµα αναφέρουµε ότι η φαινόµενη διάµετρος του πλανήτη Ερµή κυµαίνεται από 4,5 έως 13, ενώ του Ουρανού έχει µια µέση τιµή 2,3. Σχήµα2.4: Φαινόµενη διάµετρος Σελήνης 9

3 Επιπλέον, επειδή στις σχέσεις (2.1) & (2.2) η απόσταση του ουρανίου σώµατος είναι στον παρονοµαστή και επειδή όλοι οι απλανείς αστέρες βρίσκονται σε τεράστιες αποστάσεις έχουν πολύ µικρές φαινόµενες διαµέτρους, οι οποίες είναι εξαιρετικά δύσκολο να υπολογισθούν. Παρά ταύτα κάποιες µετρήσεις και εκτιµήσεις έχουν γίνει. Για παράδειγµα φαίνεται ότι ο Betelgeuse, (α Ωρίωνα, α Ori), έχει τη µεγαλύτερη φαινόµενη διάµετρο, (0,055 ), ενώ ο πλησιέστερος στη Γη αστέρας µόλις 0, Θέση σηµείου στην ουράνια σφαίρα Για να ορίσουµε τη θέση ενός σηµείου πάνω στην ουράνια σφαίρα θα χρησιµοποιήσουµε ένα σύστηµα σφαιρικών συντεταγµένων, όπου η ακτίνα της σφαίρας λαµβάνεται ίση µε την µονάδα. Με αυτό τον τρόπο η θέση ενός σηµείου πάνω στην ουράνια σφαίρα καθορίζεται µε τη βοήθεια δύο µόνο συντεταγµένων, όπως και στο επίπεδο. Οι άξονες αναφοράς, αντίστοιχοι των Ox, Oy, είναι δύο τόξα µεγίστων κύκλων της σφαίρας που τέµνονται κάθετα. Τον µέγιστο κύκλο που ταυτίζουµε µε το επίπεδο Oxy ονοµάζουµε βασικό κύκλο. Πάνω σ αυτόν γίνεται η µέτρηση της µιας συντεταγµένης. Τον µέγιστο κύκλο τον κάθετο προς το βασικό, του οποίου η τοµή της περιφέρειας του µε την περιφέρεια του βασικού λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης της δεύτερης συντεταγµένης, ονοµάζουµε πρώτο κάθετο. Έτσι ορίζονται τα διάφορα συστήµατα συντεταγµένων που θα εξετάσουµε λεπτοµερώς στη συνέχεια και που η ονοµασία τους προήλθε από τον κύκλο που χρησιµοποιείται ως βασικός. 2.4 Γεωγραφικές συντεταγµένες - Κατασκευή ουράνιας σφαίρας σε τόπο µε γεωγραφικό πλάτος φ Για να ορίσουµε τη θέση ενός τόπου πάνω στην επιφάνεια της Γης την θεωρούµε σε πρώτη προσέγγιση σφαιρική. Έτσι η διεύθυνση της κατακορύφου σε ένα τόπο Τ συµπίπτει µε τη διεύθυνση της ακτίνας ΟΤ, (Σχ. 2.5). Το ηµικύκλιο που διέρχεται από τους πόλους της Γης και τον τόπο Τ ονοµάζεται γήινος µεσηµβρινός του τόπου. Βασικός κύκλος λαµβάνεται ο γήινος ισηµερινός Ι'Ι και πρώτος κάθετος ο µεσηµβρινός του Greenwich, ΠGΠ', που διαιρεί τη Γη στο Ανατολικό και υτικό ηµισφαίριο. Η θέση του τόπου Τ καθορίζεται µε τη βοήθεια των τόξων G'T' και Τ'Τ. Το τόξο G'Τ' είναι το µέτρο της δίεδρης γωνίας που σχηµατίζουν οι µεσηµβρινοί του τόπου και του Greenwich, αντίστοιχα, και ονοµάζεται γεωγραφικό µήκος λ, geographic longitude, του τόπου Τ. Μετριέται πάνω στον γήινο ισηµερινό µε αρχή το σηµείο G' και παίρνει τιµές από 0 ο έως ±180 ο ή από 0 h έως ±12 h, αρνητικά προς ανατολάς του Greenwich και θετικά προς δυσµάς του Greenwich. Το τόξο Τ'Τ είναι το µέτρο της γωνίας που σχηµατίζεται από την κατακόρυφο του τόπου και το επίπεδο του γήινου ισηµερινού και λέγεται γεωγραφικό πλάτος φ, geographic latitude. Μετριέται πάνω στον µεσηµβρινό του τόπου µε αρχή το σηµείο τοµής του µε τον ισηµερινό και παίρνει θετικές τιµές (0 ο έως +90 ο ) προς το βόρειο πόλο και αρνητικές (0 ο έως -90 ο ) για τόπους του νοτίου ηµισφαιρίου. 10

4 Γήινος & Ουράνιος Μεσηµβρινός Σχ.2.5 αριστερά: Γεωγραφικές συντεταγµένες Σχ.2.5 δεξιά: Από τη σφαίρα της Γης στην Ουράνια σφαίρα Παρατηρούµε ότι θεωρώντας την Γη κυκλική η διεύθυνση της κατακορύφου, ΤΖ, στον τόπο Τ θα διέρχεται από το κέντρο της Γης και θα σχηµατίζει µε τον ισηµερινό γωνία ίση προς το γεωγραφικό πλάτος φ του τόπου. Οι ευθείες ΠΠ (άξονας του κόσµου) και ΤΖ (διεύθυνση της κατακορύφου) ορίζουν τη θέση ενός επιπέδου, του οποίου η τοµή µε την ουράνια σφαίρα, (µέγιστος κύκλος ΠΖΠ στο σχήµα 2.5 δεξιά), αποτελεί τον ουράνιο µεσηµβρινό του τόπου Τ. Είναι προφανές ότι τα επίπεδα του γήινου και του ουράνιου µεσηµβρινού του τόπου ταυτίζονται. Εποµένως: για να κατασκευάσουµε την ουράνια σφαίρα για κάποιο τόπο αρκεί να γνωρίζουµε το γεωγραφικό του πλάτος. 2.5 Κατασκευή Ουράνιας Σφαίρας Η κατακόρυφος σε έναν τόπο τέµνει την ουράνια σφαίρα στα σηµεία Ζ (ζενίθ) και ν (ναδίρ). Το κάθετο επίπεδο προς την ευθεία Ζν, που διέρχεται από το κέντρο της ουράνιας σφαίρας, την τέµνει κατά τον µέγιστο κύκλο ΒΝ που είναι ο ορίζοντας του τόπου, (Σχ. 2.6). Το ηµικύκλιο ΖΣν λέγεται κατακόρυφος του αστέρα Σ, ενώ ο µικρός κύκλος ο παράλληλος προς τον ορίζοντα και διερχόµενος από το σηµείο Σ λέγεται οριζόντιος κύκλος ή κύκλος ύψους του αστέρα. Σχ. 2.6: Ουράνια σφαίρα ηλαδή ο κατακόρυφος του αστέρα είναι ο µέγιστος κύκλος που διέρχεται από τον αστέρα και έχει διάµετρο την κατακόρυφο του τόπου (ή η τοµή της ουράνιας σφαίρας µε το επίπεδο που ορίζεται από την κατακόρυφο του τόπου και τον αστέρα). 11

5 Ο άξονας του κόσµου ΠΠ' και η κατακόρυφος ενός τόπου Ζν καθορίζουν, όπως αναφέραµε, τον µεσηµβρινό του τόπου. Η τοµή του µεσηµβρινού ενός τόπου µε τον ορίζοντα του τόπου είναι η ευθεία ΒΝ, που καθορίζει τη διεύθυνση Βορρά-Νότου στον τόπο και λέγεται µεσηµβρινή γραµµή. Η τοµή του ορίζοντα ενός τόπου µε τον ουράνιο ισηµερινό είναι η ευθεία Α. Αυτή είναι κάθετη προς την µεσηµβρινή γραµµή και ορίζει µε αυτήν τα τέσσερα σηµεία του ορίζοντα: Βορρά (Β), Νότο (Ν), Ανατολή (Α) και ύση ( ), (Σχ. 2.6). Επί πλέον η Α είναι κάθετη στον µεσηµβρινό του τόπου και γι αυτό λέγεται άξονας του µεσηµβρινού. Ο κατακόρυφος που διέρχεται από ανατολή και δύση ενός τόπου λέγεται πρώτος κατακόρυφος ή πρώτος κάθετος του τόπου. Το τόξο ΒΠ ονοµάζεται έξαρµα του Βόρειου Πόλου, και ισούται µε το γεωγραφικό πλάτος φ του τόπου. 2.6 Οριζόντιες συντεταγµένες Στο σύστηµα οριζοντίων συντεταγµένων θεωρούµε ως βασικό κύκλο τον ορίζοντα του τόπου, ΒΑΝ, και ως πρώτο κάθετο τον κατακόρυφο του αστέρα, δηλαδή το ηµικύκλιο ΖΣν, (Σχ. 2.7). Η θέση του αστέρα Σ καθορίζεται µε τη βοήθεια των τόξων ΝΣ ο και Σ ο Σ. Από αυτά το ΝΣ ο λέγεται αζιµούθιο Α, azimuth, του αστέρα, ενώ το Σ ο Σ λέγεται ύψος υ, altitude. Το αζιµούθιο µετριέται πάνω στον ορίζοντα από 0 ο µέχρι 360 ο κατά την ανάδροµη φορά και µε αρχή το σηµείο Ν, δηλαδή το Νότο. Το ύψος µετριέται πάνω στον κατακόρυφο του αστέρα, µε αρχή το σηµείο Σ ο, και παίρνει τιµές από 0 ο µέχρι ±90 ο, ανάλογα αν είναι πάνω(+) ή κάτω(-) από τον ορίζοντα του Τόπου. Το συµπληρωµατικό τόξο του ύψους ονοµάζεται ζενίθια απόσταση (z) του αστέρα και είναι προφανές ότι ισχύει z = 90 ο -υ. Το αζιµούθιο και το ύψος αποτελούν τις οριζόντιες συντεταγµένες ενός αστέρα. Σχ. 2.7: Οριζόντιες και Ισηµερινές συντεταγµένες αστέρα 2.7 Ισηµερινές συντεταγµένες Στο σύστηµα αυτό βασικός κύκλος λαµβάνεται ο ουράνιος ισηµερινός Ι'ΑΙ και πρώτος κάθετος ο ωριαίος του αστέρα ΠΣΣ Ι, (Σχ. 2.7 & 2.8). Η θέση του αστέρα Σ καθορίζεται µε τη βοήθεια των τόξων ΙΣ Ι και Σ Ι Σ. Το τόξο ΙΣ Ι ονοµάζεται ωριαία γωνία Η, hour angle, µετριέται πάνω στον ουράνιο ισηµερινό µε αρχή το σηµείο Ι κατά την ανάδροµη φορά και παίρνει τιµές από 0 ο µέχρι 360 ο ή από 0 έως 24 ώρες. 12

6 Το τόξο Σ Ι Σ ονοµάζεται απόκλιση δ, declination, µετριέται πάνω στον ωριαίο κύκλο του αστέρα µε αρχή το σηµείο Σ Ι και παίρνει τιµές από 0 ο έως ±90 ο για αστέρες του βόρειου(+), ή του νοτίου(-) ηµισφαιρίου, αντίστοιχα. Το συµπληρωµατικό τόξο, Ρ, της απόκλισης ονοµάζεται πολική απόσταση P, polar distance, του αστέρα και είναι προφανές ότι: Ρ = 90 ο -δ. Η ωριαία γωνία και η απόκλιση ενός αστέρα αποτελούν τις ισηµερινές του συντεταγµένες. Καθώς η ουράνια σφαίρα φαίνεται να περιστρέφεται από τα ανατολικά προς τα δυτικά, η ωριαία γωνία ενός σηµείου της ουράνιας σφαίρας αυξάνει οµαλά µε το χρόνο. Γι αυτό η ωριαία γωνία χρησιµοποιείται για τη µέτρηση του χρόνου. Οι ισηµερινές, όπως και οι οριζόντιες συντεταγµένες, είναι ένα τοπικό σύστηµα συντεταγµένων γιατί εξαρτώνται από τον τοπικό µεσηµβρινό. Σχ. 2.8: Οριζόντιες & Ισηµερινές συντεταγµένες αστέρα Πρώτο τρίγωνο θέσης αστέρα Από τον µεσηµβρινό του Τόπου, την κατακόρυφο του αστέρα και τον ωριαίο του κύκλο σχηµατίζεται στην επιφάνεια της ουράνιας σφαίρας ένα σφαιρικό τρίγωνο, ένα πρώτο τρίγωνο θέσης του αστέρα, (λεπτοµέρειες για τα σφαιρικά τρίγωνα δίνονται παρακάτω). 2.8 Αµφιφανείς, αειφανείς και αφανείς αστέρες Όπως ήδη αναφέρθηκε ο µικρός κύκλος ο παράλληλος προς τον ισηµερινό δηλαδή ο κύκλος απόκλισης του αστέρα, αποτελεί την φαινόµενη ηµερήσια τροχιά του αστέρα στον τόπο. Αυτή ανάλογα µε το γεωγραφικό πλάτος φ του τόπου και την απόκλιση δ του αστέρα µπορεί να τέµνει ή όχι τον ορίζοντα του τόπου, (Σχ. 2.9). Στην πρώτη περίπτωση ο αστέρας είναι αµφιφανής για τον τόπο δηλαδή ανατέλλει και δύει στον τόπο, στην άλλη περίπτωση ο αστέρας µπορεί να είναι είτε αειφανής είτε αφανής για τον τόπο. Αποδεικνύεται εύκολα ότι ένας αστέρας Σ(δ) σε τόπο γεωγραφικού πλάτους φ είναι: αµφιφανής, εάν αειφανής, εάν αφανής, εάν 180 -φ>90 -δ>φ 90 -δ<φ 90 -δ>180 -φ 13

7 Εάν φ=90 -δ, ο αστέρας έχει ένα κοινό σηµείο µε τον ορίζοντα (τον Βορρά), ενώ εάν 180 -φ=90 -δ, το κοινό σηµείο είναι ο Νότος. Σχ. 2.9: Φαινόµενες ηµερήσιες τροχιές αστέρων 2.9 Μορφές ουράνιας σφαίρας σε τόπους µε διάφορα γεωγραφικά πλάτη Η µορφή που έχει η ουράνια σφαίρα σ έναν τόπο εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος του τόπου, εφ όσον από αυτό εξαρτάται η θέση του βόρειου ουράνιου πόλου Π και κατ επέκταση του ουράνιου ισηµερινού. Στα σχήµατα (2.10) δίδεται η µορφή της ουράνιας σφαίρας για παρατηρητή στον Ισηµερινό (φ=0 ), στον βόρειο Πόλο (φ=90 ) και για παρατηρητή του νοτίου ηµισφαιρίου (φ<0 ), αντίστοιχα. Η µορφή της ουράνιας σφαίρας για παρατηρητή στον ισηµερινό ονοµάζεται ορθή. Παρατηρούµε ότι όλοι οι αστέρες ανατέλλουν και δύουν, είναι δηλαδή αµφιφανείς και τα ηµερήσια τόξα τους είναι ίσα µε τα νυκτερινά. Η µορφή της ουράνιας σφαίρας για παρατηρητή στους πόλους ονοµάζεται παράλληλη. Εδώ οι αστέρες είναι ή αφανείς ή αειφανείς. Τέλος, για φ>0 ή φ< 0 η µορφή ονοµάζεται πλάγια. Σχ. 2.10: Οι διάφορες µορφές της ουράνιας σφαίρας 2.10 Σχέσεις στην άνω µεσουράνηση αστέρα Ένας αστέρας διαγράφοντας την ηµερήσια κίνησή του βρίσκεται στον µεσηµβρινό του τόπου στα σηµεία Σ ΑΜ και Σ ΚΜ, στα οποία όπως ήδη αναφέρθηκε µεσουρανεί πάνω και κάτω από τον ορίζοντα, αντίστοιχα, (Σχ. 2.9). Στα σηµεία αυτά η ωριαία γωνία του αστέρα γίνεται Η=0 και Η=12 h, αντίστοιχα. Στις θέσεις αυτές µπορούµε να βρούµε απλές σχέσεις που συνδέουν το ύψος, ή τη ζενιθιακή απόσταση του αστέρα, µε την απόκλισή του και το γεωγραφικό πλάτος του Τόπου. 14

8 Από το σχήµα 2.9 παρατηρούµε ότι αν η άνω µεσουράνηση ενός αστέρα γίνεται προς Νότο του Ζενίθ του τόπου, η φαινόµενη ηµερήσια τροχιά του τέµνει τον πρώτο κατακόρυφο του τόπου. Ενώ, αν η άνω µεσουράνηση γίνεται προς Βορρά του Ζενίθ του τόπου, δεν τον τέµνει. Αποδεικνύεται εύκολα ότι κατά την άνω µεσουράνηση ενός αστέρα Σ(δ) σε τόπο γεωγραφικού πλάτους φ, ισχύει η σχέση: φ=δ±z (2.3) Όπου το συν, +, ισχύει όταν ο αστέρας µεσουρανεί άνω προς Νότο του Ζενίθ του τόπου και το µείον,, εάν η άνω µεσουράνηση γίνεται προς Βορράν του Ζενίθ του τόπου. Επιπλέον, τα ύψη στην άνω, υ α, και κάτω, υ κ, µεσουράνηση ενός αειφανούς αστέρα και το γεωγραφικό πλάτος του τόπου, φ, συνδέονται µε τη σχέση: φ=(½)(υ α +υ κ ) (2.4) Ενώ παρόµοιες σχέσεις συνδέουν το φ µε τα ύψη υ α και υ κ, του αστέρα, εάν είναι αµφιφανής ή αφανής στον τόπο Εκλειπτική Η Γη κινείται γύρω από τον Ήλιο κατά την ορθή φορά, µε σταθερή εµβαδική ταχύτητα, και διαγράφει σε ένα έτος έλλειψη που τη µια της εστία κατέχει ο Ήλιος. Αποτέλεσµα της κίνησης αυτής είναι µια φαινόµενη κίνηση του Ηλίου πάνω στην ουράνια σφαίρα κατά την ορθή φορά και κατά 1 ο περίπου την ηµέρα. Αν θεωρήσουµε την ουράνια σφαίρα µε κέντρο τον Ήλιο, (Σχ. 2.11), τότε η κίνηση της Γης από τη θέση Γ 1 στη θέση Γ 2 προκαλεί φαινόµενη κίνηση του Ήλιου πάνω στην ουράνια σφαίρα από τη θέση Η 1 στη θέση Η 2. Η τοµή της ουράνιας σφαίρας από την προέκταση του επιπέδου της γήινης τροχιάς είναι η τροχιά της φαινόµενης ετήσιας κίνησης του Ηλίου και ονοµάζεται Εκλειπτική. Το επίπεδο της Εκλειπτικής σχηµατίζει µε τον Ισηµερινό γωνία ε=23 ο 27' που ονοµάζεται λόξωση της Εκλειπτικής. Η διάµετρος ΡΡ' της ουράνιας σφαίρας, που είναι κάθετος στο επίπεδο της Εκλειπτικής, λέγεται άξονας της Εκλειπτικής και τα σηµεία Ρ και Ρ', βόρειος και νότιος πόλος της Εκλειπτικής, αντίστοιχα. Η Εκλειπτική και ο Ισηµερινός τέµνονται κατά τη διάµετρο γγ' που ονοµάζεται γραµµή των ισηµερινών. Το σηµείο γ ονοµάζεται εαρινό ισηµερινό σηµείο ή αναβιβάζων σύνδεσµος (εκεί βρίσκεται ο Ήλιος στις 21 Μαρτίου, και έχει δ Η = 0 ο ), ενώ το γ' ονοµάζεται φθινοπωρινό ισηµερινό σηµείο ή καταβιβάζων σύνδεσµος (εκεί βρίσκεται ο ήλιος στις 22 Σεπτεµβρίου οπότε και πάλι είναι δ Η = 0 ο ). Σχ. 2.11: Εκλειπτική 15

9 Τη διάµετρο Ε'Ε της Εκλειπτικής, την κάθετο στη γ'γ, ονοµάζουµε γραµµή των τροπών ή των ηλιοστασίων. Το σηµείο Ε λέγεται θερινό ηλιοστάσιο (εκεί βρίσκεται ο Ήλιος στις 21 Ιουνίου και έχει δ Η = +23 ο 27'), ενώ το σηµείο Ε' λέγεται χειµερινό ηλιοστάσιο (εκεί βρίσκεται ο Ήλιος στις 22 εκεµβρίου και έχει δ Η = - 23 ο 27'). Ο Ήλιος κατά την ετήσια κίνησή του προβάλλεται διαδοχικά σε δώδεκα αστερισµούς που βρίσκονται σε µια σφαιρική ζώνη που εκτείνεται 8 ο εκατέρωθεν της Εκλειπτικής και λέγεται ζωδιακός κύκλος. Οι αστερισµοί του ζωδιακού κύκλου είναι τα γνωστά µας ζώδια (Κριός, Ταύρος, ίδυµοι, Καρκίνος, Λέων, Παρθένος, Ζυγός, Σκορπιός, Τοξότης, Αιγόκερως, Υδροχόος, Ιχθύες), (Σχήµα & Εικόνα 2.12). Σχήµα & Εικόνα 2.12: Ο Ζωδιακός κύκλος ή η Ζωδιακή Ζώνη 2.12 Εποχές του έτους Η γραµµή των ισηµερινών γγ' και η γραµµή των τροπών Ε'Ε διαιρούν την τροχιά της Γης σε τέσσερα άνισα τµήµατα που αντιστοιχούν στις τέσσερις (4) εποχές του έτους, (Σχ. 2.13). Προφανώς, αν η γραµµή των τροπών συνέπιπτε µε την γραµµή των αψίδων ΑΠ, (µεγάλος άξονας της ελλειπτικής τροχιάς της Γης), τότε η διάρκεια της Άνοιξης θα ήταν ίδια µε τη διάρκεια του Καλοκαιριού και η διάρκεια του Χειµώνα ίδια µε τη διάρκεια του Φθινοπώρου. Από το Σχ. (2.13) προκύπτει ότι η Γη διέρχεται απ το σηµείο Α (αφήλιο) της τροχιάς το καλοκαίρι και απ το σηµείο Π (περιήλιο) τον χειµώνα. Εποµένως, η µεταβολή της θερµοκρασίας σε ένα τόπο κατά τις διάφορες εποχές του έτους δεν εξαρτάται από την απόσταση της Γης από τον Ήλιο, αλλά από τη διάρκεια της ηµέρας και από την κλίση των ηλιακών ακτινών σε σχέση µε τον ορίζοντα του τόπου. Σχ. 2.13: Οι εποχές του έτους 16

10 2.13 Ουρανογραφικές συντεταγµένες Για τον ορισµό των ουρανογραφικών συντεταγµένων, ως βασικός κύκλος λαµβάνεται ο ουράνιος ισηµερινός Ι'ΑΙ και ως πρώτος κάθετος ο ωριαίος του σηµείου γ, γνωστός και ως κόλουρος των ισηµεριών. Η θέση του αστέρα Σ καθορίζεται από τα δύο τόξα γσ Ι και Σ Ι Σ, (Σχήµατα 2.14). Σχήµατα 2.14: Ουρανογραφικές & Εκλειπτικές συντεταγµένες αστέρα εύτερο τρίγωνο θέσης αστέρα ( Άποψη της ουράνιας σφαίρας ως προς ολόκληρη τη Γη) Το τόξο γσ Ι ονοµάζεται ορθή αναφορά α, right ascession, µετριέται πάνω στον ουράνιο ισηµερινό µε αρχή µέτρησης το σηµείο γ κατά την ορθή φορά και παίρνει τιµές από 0 h έως 24 h ή από 0 ο έως 360 ο. Το τόξο Σ Ι Σ είναι η απόκλιση δ, declination, όπως έχει ήδη ορισθεί στο σύστηµα των ισηµερινών συντεταγµένων. Οι ουρανογραφικές συντεταγµένες ενός αστέρα είναι ανεξάρτητες του τόπου και του χρόνου παρατήρησης και γι αυτό χρησιµοποιούνται για τη σύνταξη καταλόγων συντεταγµένων των αστέρων Εκλειπτικές συντεταγµένες Στις εκλειπτικές συντεταγµένες, βασικός κύκλος λαµβάνεται η Εκλειπτική Ε'γ'Εγ και πρώτος κάθετος ο κύκλος που διέρχεται από τους πόλους της εκλειπτικής Ρ,Ρ' και τον αστέρα, (Σχ. 2.8). Η θέση ενός αστέρα Σ καθορίζεται από τα τόξα γσ Ε και Σ Ε Σ. Το τόξο γσ Ε ονοµάζεται εκλειπτικό µήκος λ, ecliptic longitude, µετριέται πάνω στην Εκλειπτική µε αρχή το σηµείο γ κατά την ορθή φορά και παίρνει τιµές από 0 ο έως 360 ο. Το τόξο Σ Ε Σ ονοµάζεται εκλειπτικό πλάτος β, ecliptic latitude, µετριέται πάνω στον κύκλο πλάτους ΡΣΡ' του αστέρα µε αρχή το σηµείο Σ Ε και παίρνει τιµές από 0 ο έως ±90 ο, θετικά προς το βόρειο πόλο της εκλειπτικής και αρνητικά προς το νότιο πόλο της. Τα (λ, β) αποτελούν τις εκλειπτικές συντεταγµένες ενός αστέρα και είναι ανεξάρτητα της ηµερήσιας κίνησης της ουράνιας σφαίρας, γιατί αυτή δεν µεταβάλλει τις σχετικές θέσεις των Σ, γ και Σ Ε. Ο προσδιορισµός των (λ,β) γίνεται µε τη βοήθεια άλλων συστηµάτων συντεταγµένων. Επιπλέον, οι εκλειπτικές συντεταγµένες, όπως οι ουρανογραφικές, είναι ανεξάρτητες από την ηµερήσια κίνηση της ουράνιας σφαίρας καθώς και από τον τόπο. 17

11 Ο ωριαίος κύκλος του αστέρα, ο κύκλος πλάτους και η ουράνια σφαίρα σχηµατίζουν στην επιφάνεια της ουράνιας σφαίρας ένα σφαιρικό τρίγωνο, ένα δεύτερο τρίγωνο θέσης του αστέρα, (λεπτοµέρειες για τα σφαιρικά τρίγωνα δίνονται παρακάτω) Γαλαξιακές συντεταγµένες Στο σύστηµα αυτό βασικός κύκλος είναι ο γαλαξιακός ισηµερινός Γ'Γ και πρώτος κάθετος ο µέγιστος κύκλος QCQ' (Σχ. 2.15). Οι πόλοι Q, Q' έχουν ουρανογραφικές συντεταγµένες: Q.: α Q = 12 h 46 m,6 δ Q = +27 o 40',2 Q': α Q ' = 0 h 46 m,6 δ Q = -27 o 40',2 και το γαλαξιακό κέντρο: C : α c = 17 h 39 m,3, δ c = -28 o 54' Επιπλέον οι γωνίες ΠQC και ε είναι: ΠQC = 123 o και ε = 62 ο 19',8. Τέλος, οι ουρανογραφικές συντεταγµένες των σηµείων Α, Β, (Σχ. 2.15), είναι: α Α = 18 h,8, α Β = 6 h,8. Σχ. 2.15: Γαλαξιακές συντεταγµένες Η θέση ενός αστέρα Σ καθορίζεται από τα τόξα CΣ 1 και Σ 1 Σ. Το τόξο CΣ 1 ονοµάζεται γαλαξιακό µήκος, l, µετριέται πάνω στον γαλαξιακό ισηµερινό µε αρχή το σηµείο C -κατά την ορθή φορά- και παίρνει τιµές από 0 ο έως 360 ο. Το τόξο Σ 1 Σ ονοµάζεται γαλαξιακό πλάτος, b, µετριέται πάνω στο µέγιστο κύκλο που περνάει από τους δύο γαλαξιακούς πόλους Q, Q' και το Σ µε αρχή το Σ 1 και παίρνει τιµές από 0 ο έως ±90 ο, θετικά προς τον πόλο Q και αρνητικά προς τον πόλο Q' Τρίγωνα θέσης αστέρα Οι διάφορες συντεταγµένες ενός αστέρα, όπως ορίστηκαν στα προηγούµενα συστήµατα συντεταγµένων, συνδέονται µεταξύ τους µε σχέσεις που προκύπτουν από την επίλυση ορισµένων σφαιρικών τριγώνων, που είναι γνωστά ως τρίγωνα θέσεως του αστέρα. Σφαιρικό ονοµάζεται ένα τρίγωνο του οποίου και οι τρεις πλευρές είναι τόξα µεγίστων κύκλων µιας σφαίρας και είναι <

12 Σχ.2.16: Τρίγωνα θέσης αστέρα Τα συνήθη σφαιρικά τρίγωνα που σχηµατίζονται από τη θέση ενός αστέρα πάνω στην ουράνια σφαίρα είναι αυτά του σχήµατος (2.16). Επιλύονται µε την βοήθεια ορισµένων σχέσεων της σφαιρικής τριγωνοµετρίας. Εδώ θα περιορισθούµε στους βασικούς τύπους επίλυσης ενός σφαιρικού τριγώνου ΑΒΓ µε γωνίες Α, Β, Γ και πλευρές α, β, γ, (Σχ. 2.17). Νόµος συνηµιτόνου: cosα = cosβ cosγ + sinβ sinγ cosα (2.5) Σχ. 2.17: Το σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ Νόµος ηµιτόνων: sinα sinβ sinγ = = sin A sin B sinγ (2.6) Τύπος των 4 διαδοχικών στοιχείων: cosγ cosα = sinγ cotβ - sinα cotβ (2.7) Τύπος των 5 στοιχείων: sinα cosβ = cosβ sinγ - sinβ cosγ cosα (2.8) Με κυκλική µετάθεση των γωνιών και των πλευρών βρίσκουµε αντίστοιχους τύπους και για τα υπόλοιπα στοιχεία του τριγώνου. 19

13 ΓΕΩΕΙ ΕΣ 2.17 Ακριβές σχήµα της Γης Σε πρώτη προσέγγιση η Γη θεωρείται σφαιρική, έτσι θεωρήθηκε µέχρι τώρα. Εάν η Γη ήταν σφαιρική θα έπρεπε το µήκος τόξου µιας µοίρας να είναι το ίδιο πάνω στον ίδιο µεσηµβρινό, και ανεξάρτητο από το γεωγραφικό πλάτος στο οποίο γίνεται η µέτρηση. Τούτο όµως δεν συµβαίνει, όπως έχουν δείξει διάφορες γεωδαιτικές µετρήσεις από τις οποίες έχει προκύψει ότι το µήκος τόξου µιας µοίρας αυξάνει µε το γεωγραφικό πλάτος. Το ακριβές σχήµα της Γης, το γεωειδές όπως ονοµάζεται, ορίζεται ως η επιφάνεια που είναι κάθετη προς την κατακόρυφο σε κάθε σηµείο της. Κατά προσέγγιση η επιφάνεια αυτή είναι ένα ελλειψοειδές εκ περι-στροφής (περί τον άξονα περι-στροφής της Γης, ΠΠ ). Έτσι οι µεσηµβρινοί της Γης δεν είναι πλέον µέγιστοι κύκλοι, αλλά ελλείψεις µε άξονες R I και R Π επί του ισηµερινού επιπέδου και του κάθετου προς αυτόν, αντίστοιχα (Σχ. 2.18). Η πλάτυνση ϖ του γεωειδούς είναι: Σχ. 2.18: Γεωειδές ϖ = ( R I -R Π )/R Ι ή ϖ = 1/297 (2.9) εάν η ισηµερινή και η πολική ακτίνα της Γης θεωρηθούν ίσες προς R Ι =6378 Km και R Π = 6357 Km, αντίστοιχα. Η εκκεντρότητα e ενός µεσηµβρινού της Γης ορίζεται ως: e = [1-(R Π /R Ι ) 2 ]. Έστω παρατηρητής στη θέση Τ(χ,ψ) του µεσηµβρινού (Σχ. 2.18) και ΤΖ η κάθετος προς την εφαπτοµένη της ελλείψεως στο σηµείο Τ, δηλαδή η κατακόρυφος του τόπου. Αν η ΖΤ προεκτεινοµένη τέµνει την ΚΙ στο σηµείο Α, τότε η γωνία ΖΑΙ είναι εξ ορισµού το γεωγραφικό πλάτος φ του τόπου Τ και το σηµείο Ζ το αστρονοµικό Ζενίθ του. Ενώ η ευθεία που ενώνει το κέντρο της Γης, Κ, µε τον τόπο Τ, προεκτεινοµένη ορίζει το γεωκεντρικό ζενίθ, Ζ, του τόπου και η γωνία Ζ ΚΙ το γεωκεντρικό πλάτος φ του τόπου. Απόκλιση της κατακορύφου στον τόπο Τ ονοµάζεται η γωνία ΖΤΖ =ε, που σχηµατίζουν οι διευθύνσεις του αστρονοµικού και του γεωκεντρικού Ζενίθ. Η απόκλιση της κατακορύφου είναι µηδέν τόσο στον ισηµερινό όσο και στους πόλους της Γης. Είναι προφανές από το σχήµα 2.18, ότι η απόκλιση της κατακορύφου στον τόπο Τ είναι ίση προς την διαφορά του γεωκεντρικού από το γεωγραφικό πλάτος. Είναι δηλαδή: ε=φ-φ. 20

14 Από τις αστρονοµικές παρατηρήσεις προσδιορίζεται το γεωγραφικό πλάτος φ ενός τόπου. Αποδεικνύεται * ότι η απόκλιση της κατακορύφου σε τόπο γεωγραφικού πλάτους φ, συναρτήσει του φ, προσδιορίζεται από τη σχέση: ε = σ ηµ2φ(1-σ συν2φ) +... (όροι ανωτέρας τάξεως) (2.10) όπου το σ είναι µια σταθερά, ίση προς 0,0034, (σ = e 2 /2-e 2 ). Από την εξίσωση της έλλειψης, χ 2 /(R Ι ) 2 + ψ 2 /(R Π ) 2 = 1, και την τοµή της µε την ευθεία ψ = χ εφφ βρίσκουµε τις συντεταγµένες (χ,ψ) του σηµείου Τ που αντιστοιχεί στον τόπο και που είναι: χ 2 = (R Ι ) 4 /[(R Ι ) 2 + (R Π ) 2 εφ 2 φ] ψ 2 = (R Π ) 4 εφ 2 φ/[(r Ι ) 2 + (R Π ) 2 εφ 2 φ] (2.11) Η ακτίνα ΚΤ=R, που αντιστοιχεί στον τόπο Τ του γεωειδούς είναι: R 2 =χ 2 +ψ 2 που βάσει των σχέσεων (2.11) γίνεται: R 2 = {(R Ι ) 4 συν 2 φ + (R Π ) 4 ηµ 2 φ}/{(r Ι ) 2 συν 2 φ + (R Π ) 2 ηµ 2 φ} = (R Ι ) 2 {συν 2 φ(1-ϖ) 4 ηµ 2 φ}/{συν 2 φ(1-ϖ) 2 ηµ 2 φ} από την οποία προκύπτει τελικά το µήκος της ακτίνας R στον τόπο Τ, συναρτήσει του γεωγραφικού πλάτους και της πλάτυνσης, ως: R/R Ι = [1-ϖ/2+(5/16)ϖ 2 ] +(ϖ/2)συν 2 φ - (5/16)ϖ 2 συν 4 φ +... (όροι ανωτέρας τάξεως) (2.12) εάν περιορισθούµε σε όρους µέχρι και ϖ 2 µόνο, δεδοµένης της µικρής τιµής της πλάτυνσης της Γης. * Απόδειξη Από τις σχέσεις: εφφ = ψ/χ και εφφ = (ψ/χ). (R I /R Π ) 2 έχουµε ότι: εφφ = εφφ. (R I /R Π ) 2 και λαµβάνοντας υπόψη και την σχέση της εκκεντρότητας έχουµε: εφ(φ-ε) = (1- e 2 ) εφφ από την οποία προκύπτει ότι: εφε =(e 2 ηµ2φ)/2(1-e 2 ηµ2φ) ή εφε = σ ηµ2φ/(1+σ συν2φ) (2.12β) όπου σ είναι η σταθερά e 2 /(2-e 2 ), η οποία (από την τιµή της e, όπως προκύπτει από τις τιµές των R I και R Π υπολογίζεται ίση µε 0,0034 περίπου. Εποµένως, αναπτύσσοντας την (2.12β) σε σειρά Taylor έχουµε: ε= σ ηµ2φ(1-σ συν2φ) + όρους ανώτερης τάξης ως προς σ. 21

15 ΜΕΤΑΠΤΩΣΗ-ΚΛΟΝΗΣΗ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Σεληνοηλιακή Μετάπτωση Έστω ΟΧ,ΟΥ,ΟΖ οι τρεις κύριοι άξονες αδράνειας του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής µε το οποίο προσοµοιάζεται το γεωειδές. Αν ο άξονας ΟΖ είναι ο άξονας περιστροφής της Γης, πρέπει πάνω του να βρίσκεται ο βόρειος ουράνιος Πόλος ΙΙ, οπότε το επίπεδο ΟΧΥ θα έχει τη θέση του επιπέδου του Ισηµερινού (Σχήµα 2.19). Χάριν ευκολίας ας θεωρήσουµε ότι το εαρινό ισηµερινό σηµείο γ βρίσκεται πάνω στον άξονα ΟΧ. Η διεύθυνση του βορείου πόλου της εκλειπτικής ΟΡ, σχηµατίζει µε τον άξονα ΟΖ γωνία ω όση και η λόξωση της εκλειπτικής και είναι κάθετος στην γογ, έτσι ο βόρειος πόλος της εκλειπτικής βρίσκεται στο επίπεδο ΟΧΥ. Για να εξετάσουµε την επίδραση του Ηλίου και της Σελήνης πάνω στη Γη, ας ξεκινήσουµε αρχικά από τον Ήλιο µόνο και ας τον θεωρήσουµε χάριν ευκολίας σε µια θέση Η κοντά στο θερινό ηλιοστάσιο. Η θέση του Ηλιου και ο άξονας ΟΧ ορίζουν τη θέση ενός επιπέδου, που πρέπει να ταυτίζεται µε το επίπεδο της εκλειπτικής, εφ όσον και η Ογ και ο Ήλιος βρίσκονται πάνω σ αυτήν. Ο Ήλιος έλκει το γεωειδές µε µια δύναµη O 1 F, παράλληλη προς την ευθεία ΟΗ (λόγω της µεγάλης απόστασης Γης-Ηλίου). Το σηµείο Ο 1 εφαρµογής της έλξης του Ηλίου θα συνέπιπτε µε το Ο, αν η Γη ήταν σφαιρική και αποτελούµενη από σφαιρικές στοιβάδες. Το σηµείο Ο 1 βρίσκεται κοντά στο κέντρο της Γης Ο και λίγο πάνω από το επίπεδο ΟΧΥ, δηλ. το επίπεδο του ισηµερινού, λόγω της θέσης στην οποία έχουµε θεωρήσει τον Ήλιο κοντά στο χειµερινό ηλιοστάσιο το σηµείο εφαρµογής της ελκτικής δύναµης θα ήταν κάτω από το επίπεδο του ισηµερινού. Το µέτρο και η διεύθυνση της ελκτικής δύναµης που ασκεί ο Ήλιος στη Γη αλλάζει καθώς ο Ήλιος κινείται, αλλά σε κάθε περίπτωση τείνει να φέρει σε σύµπτωση τα επίπεδα ισηµερινού και εκλειπτικής. Τούτο θα είχε γίνει µε την πάροδο του χρόνου, εάν η Γη δεν περιστρεφόταν γύρω από τον άξονά της. Λόγω της περιστροφής αυτής αναπτύσσεται η ροπή ΟΠ 1. Σχήµα 2.19 Ας εξετάσουµε τώρα τα αποτελέσµατα της ελκτικής δύναµης του Ήλιου O 1 F. Για τον λόγο αυτό θεωρούµε δύο δυνάµεις OF 1 και OF 2, ίσες και αντίθετες προς την O 1 F έχουµε τώρα τρεις δυνάµεις, τις: OF 1,OF 2 και O 1 F. 22

16 Από αυτές στην πρώτη OF 1, οφείλεται η περιφορά της Γης από τον Ήλιο, ενώ οι άλλες δύο αποτελούν ζεύγος δυνάµεων. Η ροπή του ζεύγους αυτών των δυνάµεων, σαν κάθετη στο επίπεδό τους πρέπει να βρίσκεται πάνω στον ισηµερινό. Εποµένως, αναλύεται σε δύο µόνο συνιστώσες, πάνω στους άξονες ΟΧ και ΟΥ, και έστω ΟΡ Χ και ΟΡ Ψ οι συνιστώσες αυτές (προβολές της ροπής του ζεύγους). Από αυτές, η ΟΡ Χ προκαλεί σε χρόνο dt, γωνιώδη ταχύτητα P x dt που µαζί µε τη ροπή ΟΠ 1 δίνει την ΟΠ 2. ηλαδή, ο βόρειος ουράνιος πόλος αλλάζει θέση και έρχεται στη θέση Π 2. Η κίνηση αυτή του πόλου γίνεται κάθετα προς το εκάστοτες τόξο ΡΠ. Έτσι ο βόρειος ουράνιος πόλος Π γράφει έναν κύκλο γύρω από τον πόλο της εκλειπτικής σε διάστηµα 260 αιώνων (σε περίπου χρόνια). Αλλά θα πρέπει και η ευθεία Ογ να αλλάζει θέση, ώστε να είναι κάθετη στη νέα θέση του άξονα του κόσµου. Τούτο έχει σαν αποτέλεσµα την κίνηση του γ επί της εκλειπτικής κατά την ανάδροµη φορά. Το φαινόµενο αυτό είναι γνωστό σαν µετάπτωση των ισηµεριών. Όπως ήδη αναφέρθηκε, µεγάλη επίδραση επί της Γης έχει εκτός από τον Ήλιο και η Σελήνη, η οποία συµβάλλει πολύ περισσότερο από αυτόν στον φαινόµενο της µετάπτωσης. Αν η Σελήνη εκινείτο στο επίπεδο της εκλειπτικής θα είχαµε µια παρόµοια ακριβώς επίδραση, όπως αυτή του Ήλιου. Αλλά το τροχιακό επίπεδο της Σελήνης σχηµατίζει γωνία περίπου 6º µε αυτό της εκλειπτικής. Επί πλέον, οι σύνδεσµοι της τροχιάς της Σελήνης κινούνται επί της εκλειπτικής κατά την ανάδροµη φορά και αλλάζουν θέση κάθε 18,6 χρόνια περίπου. Έτσι η επίδραση των κινήσεων της Σελήνης επί της Γης είναι γενικά πολύπλοκη. Έχει υπολογισθεί ότι η σεληνο-ηλιακή µετάπτωση του εαρινού ισηµερινού σηµείου γ, δηλαδή αυτή που προέρχεται από τον Ήλιο και τη Σελήνη µαζί, είναι ίση προς 50".,3/έτος. ηλαδή, το σηµείο γ µετατοπίζεται πάνω στην Εκλειπτική κατά 50"., 3, κατά την ανάδροµη φορά, σε διάστηµα ενός έτους. Αυτό αντιστοιχεί σε 50"., 3συνω=46,"1 πάνω στον ισηµερινό. Αποδεικνύεται ότι τα 2/3 της µετάπτωσης οφείλονται στην Σελήνη και το 1/3 στον Ήλιο, λόγω της µικρότερης απόστασης της Σελήνης από τη Γη. Η κίνηση του γ πάνω στην εκλειπτική έχει ως αποτέλεσµα την συνεχή αύξηση των εκλειπτικών µηκών όλων των αστέρων. Ενώ τα εκλειπτικά πλάτη δεν επηρεάζονται από τη σεληνοηλιακή µετάπτωση. Μεταβάλλονται όµως οι ουρανογραφικές συντεταγµένες των αστέρων. Επειδή οι τροχιές της Γης γύρω από τον Ήλιο και της Σελήνης γύρω από τη Γη είναι εκλειπτικές και όχι κυκλικές, η επίδραση του Ήλιου και της Σελήνης στην κίνηση του γ δεν είναι σταθερή. Όπως ο άξονας της σβούρας διαγράφει τον κύκλο που βλέπουµε στο σχήµα, έτσι και ο ΠΠ διαγράφει ένα µικρό κύκλο γύρω από τον άξονα της Εκλειπτικής 23

17 Κλόνηση του άξονα του κόσµου Μέχρι τώρα εξετάσθηκαν τα αποτελέσµατα της ροπής ΟΡ Χ και όπως είδαµε λόγω της ροπής αυτής ο άξονας ΟΠ αναγκάζεται να κινηθεί γύρω από τον άξονα της εκλειπτικής. Ας εξετάσουµε τώρα τα αποτελέσµατα της ροπής ΟΡ Ψ. Εξ αιτίας της ο άξονας ΟΠ αλλάξει όχι µόνο τη θέση του αλλά και την κλίση του, ως προς τον άξονα της εκλειπτικής, µε αποτέλεσµα να µεταβάλλεται η τιµή της λόξωσης της εκλειπτικής. Σχήµα 2.20 Η ροπή ΟΡ Ψ µηδενίζεται 4 φορές το χρόνο, όταν ο Ήλιος βρίσκεται στις ισηµερίες (γ & γ ) και στις τροπές (Ε & Ε ). Έτσι το άνυσµα ΟΜ 2 διαγράφει µια ελλειπτική τροχιά περί µια θέση του άξονα ΟΠ 1, µε περίοδο έξη µηνών. Το φαινόµενο είναι γνωστό ως κλόνιση του άξονα του κόσµου, (Σχ. 2.20). Επειδή επί πλέον, το επίπεδο της τροχιάς της Σελήνης σχηµατίζει γωνία 6º περίπου µε το επίπεδο της εκλειπτικής και οι σύνδεσµοι της σεληνιακής τροχιάς αλλάζουν κάθε 18,6 έτη, έχουµε µια κλονητική κίνηση του άξονα του κόσµου και µεταβολή της λόξωσης της εκλειπτικής µε περίοδο 18,6 ετών Πλανητική Μετάπτωση Όπως αναφέραµε παραπάνω, ο ουράνιος ισηµερινός αλλάζει θέση καθώς ο άξονας του κόσµου κινείται γύρω από τον άξονα της εκλειπτικής. Αλλά και οι αµοιβαίες έλξεις των πλανητών δηµιουργούν µια µικρή µετατόπιση του επιπέδου της εκλειπτικής που είναι γνωστή σαν πλανητικής µετάπτωση. Αποτέλεσµα της πλανητικής µετάπτωσης είναι η µετακίνηση του εαρινού ισηµερινού σηµείου γ πάνω στον ισηµερινό κατά την ορθή φορά κατά 0.,"13/έτος. Αυτό έχει σαν συνέπεια την µείωση των ορθών αναφορών όλων των αστέρων κατά 0," 3/έτος. Οι αποκλίσεις των αστέρων δεν επηρεάζονται από την πλανητική µετάπτωση. Αποτέλεσµα της πλανητικής µετάπτωσης είναι η µετακίνηση του εαρινού ισηµερινού σηµείου γ πάνω στον ισηµερινό κατά την ορθή φορά κατά 0.,"13/έτος. Οι αποκλίσεις των αστέρων δεν επηρεάζονται από την πλανητική µετάπτωση Αποτελέσµατα της Μετάπτωσης και της Κλόνησης Στο σχήµα 2.21 βλέπουµε το αποτέλεσµα του συνδυασµού των δύο φαινοµένων της µετάπτωσης και της κλόνησης. 24

18 Σχήµα 2.21: Μετάπτωση και Κλόνηση Επιπλέον, στο σχήµα 2.22 βλέπουµε τις διάφορες θέσεις του βόρειου ουράνιου Π, από το π.χ. µέχρι το µ.χ. και φυσικά τη σηµερινή του θέση, η οποία είναι πολύ κοντά στον Πολικό αστέρα. Σχήµα 2.22: Κίνηση του βόρειου ουράνιου πόλου Π γύρω από τον πόλο της Εκλειπτικής και οι διάφορες θέσεις του ανάµεσα στους αστέρες από το π.χ. έως το µ.χ. 25

19 ΠΕΡΙ ΧΡΟΝΟΥ Η µέτρηση του χρόνου βασίζεται στην περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονά της. Η περιστροφή αυτή θεωρείται ότι είναι µε µεγάλη ακρίβεια οµαλή. Καθώς η Γη περιστρέφεται, τα ουράνια σώµατα φαίνονται να κινούνται από ανατολικά προς δυτικά περνώντας κάθε ηµέρα απ τον µεσηµβρινό ενός τόπου. Εποµένως η µέτρηση του χρόνου µπορεί ν αναχθεί στη µέτρηση της ωριαίας γωνίας συγκεκριµένου αστέρα ή ενός σταθερού σηµείου της ουράνιας σφαίρας. Καθώς η ουράνια σφαίρα φαίνεται να περιστρέφεται από ανατολικά προς δυτικά, η ωριαία γωνία ενός σηµείου της ουράνιας σφαίρας αυξάνεται οµαλά µε τον χρόνο. Ανάλογα µε το σηµείο που εκλέγουµε για να µετρήσουµε την ωριαία γωνία, έχουµε και τα διάφορα συστήµατα χρόνου Αστρικός και αληθής ηλιακός χρόνος Ως αστρικός χρόνος, t, ενός τόπου ορίζεται η ωριαία γωνία του σηµείου γ στον τόπο αυτό. ηλαδή t = Η γ (2.13) Αν αντί του σηµείου γ θεωρήσουµε κάποιον αστέρα Σ, τότε: t = Η Σ + α Σ (2.14) Ο αληθής ηλιακός χρόνος Α ενός τόπου ορίζεται ως η ωριαία γωνία του αληθούς Ήλιου στον τόπο αυτό, αυξηµένη κατά 12 h. ηλαδή Α = Η Α + 12 h (2.15) Αστρική και αληθής ηλιακή ηµέρα Ηµέρα ονοµάζεται γενικά το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί µεταξύ δύο διαδοχικών άνω ή κάτω µεσουρανήσεων ενός σηµείου της ουράνιας σφαίρας στον ίδιο µεσηµβρινό. ιακρίνουµε την αστρική ηµέρα (εάν ως σηµείο της ουράνιας σφαίρας θεωρήσουµε το σηµείο γ) και την αληθή ηλιακή ηµέρα (εάν ως σηµείο της ουράνιας σφαίρας θεωρήσουµε το κέντρο του δίσκου του αληθούς Ήλιου). Αρχή της αστρικής ηµέρας σε έναν τόπο λαµβάνεται η στιγµή της άνω µεσουράνησης του σηµείου γ στον τόπο αυτό, ενώ ως αρχή της αληθούς ηλιακής ηµέρας η στιγµή της κάτω µεσουράνησης του αληθούς Ήλιου στον τόπο (αληθές µεσονύκτιο). Η αστρική ηµέρα δεν είναι ακριβώς ίση µε την περίοδο περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της, γιατί το σηµείο γ δεν είναι ένα εντελώς σταθερό σηµείο της ουράνιας σφαίρας, αλλά κινείται κατά 50",3 το έτος πάνω στην εκλειπτική κατά την ανάδροµη φορά λόγω του φαινόµενου της µετάπτωσης. Αυτό έχει ως συνέπεια η αστρική ηµέρα να είναι µικρότερη από την περίοδο περιστροφής της Γης κατά 0,008 sec περίπου. Ούτε όµως και η διαφορά αυτή είναι σταθερή, γιατί η κίνηση του γ πάνω στην εκλειπτική δεν είναι οµαλή. Εξ άλλου γνωρίζουµε ότι ο Ήλιος διαγράφει την εκλειπτική σε ένα έτος κατά την ορθή φορά. Εποµένως, η ορθή αναφορά του (γωνιώδης απόσταση του 'Ήλιου από το σηµείο γ πάνω στον ουράνιο ισηµερινό) αυξάνεται κάθε ηµέρα κατά 1 ο περίπου, µε αποτέλεσµα η άνω µεσουράνησή του 26

20 (αληθής µεσηµβρία) να γίνεται 4 λεπτά (1 ο αντιστοιχεί σε 4 λεπτά) αργότερα απ την στιγµή της µεσουράνησης της προηγούµενης ηµέρας. Αυτό σηµαίνει ότι η αληθής ηλιακή ηµέρα είναι µεγαλύτερη από την περίοδο περιστροφής της Γης κατά 4 λεπτά της ώρας περίπου. Αλλά και πάλι ούτε αυτή η διαφορά είναι σταθερή λόγω της µη οµαλής κίνησης του Ήλιου πάνω στην εκλειπτική µε αποτέλεσµα η αληθής ηλιακή ηµέρα να µην είναι σταθερό διάστηµα χρόνου κατά τη διάρκεια του έτους. Αντί του γ θεωρούµε το ονοµαζόµενο µέσο εαρινό ισηµερινό σηµείο γ ο, το οποίο κινείται οµαλά πάνω στην Εκλειπτική λόγω µετάπτωσης, αλλά έχει απαλλαγεί από την κλονητική κίνηση και µε αυτό ορίζουµε τον µέσο αστρικό χρόνο. Οι διαφορές ανάµεσα στον αστρικό χρόνο και τον µέσο αστρικό είναι πολύ µικρές και γι αυτό στην πράξη δεν λαµβάνονται υπόψη Μέσος ηλιακός χρόνος Για τους λόγους που αναφέρθηκαν παραπάνω, τόσο ο αστρικός όσο και ο αληθής ηλιακός χρόνος κρίθηκαν ακατάλληλοι για τις καθηµερινές ανάγκες των ανθρώπων. Γι αυτό θεσπίστηκε να γίνεται η µέτρηση του χρόνου µε τη βοήθεια ενός φανταστικού 'Ήλιου που ονοµάζουµε µέσο Ήλιο. Για τον µέσο 'Ήλιο δεχόµαστε ότι κινείται οµαλά πάνω στον ουράνιο ισηµερινό και διατρέχει την περιφέρειά του σε χρόνο ίσο µε αυτόν όπου χρειάζεται ο αληθής Ήλιος για να διατρέχει την εκλειπτική, δηλαδή ένα έτος. Ως µέσος ηλιακός χρόνος Μ ενός τόπου ορίζεται η ωριαία γωνία του µέσου 'Ήλιου στον τόπο αυτό αυξηµένη κατά 12 h. ηλαδή Μ = Η Μ + 12 h (2.16) και µέση ηλιακή ηµέρα λέγεται το χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο διαδοχικών άνω µεσουρανήσεων του µέσου Ήλιου. Για πρακτικούς λόγους και η µέση ηλιακή ηµέρα αρχίζει από τη στιγµή της κάτω µεσουράνησης του µέσου Ήλιου σε κάποιο τόπο (µέσο µεσονύκτιο) Εξίσωση του χρόνου Εξίσωση του χρόνου Ε ονοµάζεται η διαφορά του µέσου από τον αληθή ηλιακό χρόνο σε κάποια χρονική στιγµή κατά τη διάρκεια του έτους. ηλαδή: Ε = Α - Μ = Η Α - Η Μ (2.17) Η τιµή της εξίσωσης του χρόνου Ε κατά τη διάρκεια του έτους κυµαίνεται από +16 m µέχρι -14 m και µηδενίζεται 4 φορές, (Σχ. 2.23). Σχ

21 Παγκόσµιος Χρόνος Επειδή οι προηγουµένως αναφερθέντες χρόνοι είναι τοπικοί και δεν ικανοποιούν τις απαιτήσεις της καθηµερινής δραστηριότητας των ανθρώπων η Γη διαιρέθηκε σε 24 ατράκτους, (Σχ. 2.24). Κάθε άτρακτος έχει πλάτος 15 ο (360 ο :24). Μηδενική ονοµάζεται η άτρακτος εκείνη που ο κεντρικός µεσηµβρινός της περνάει από το παλιό αστεροσκοπείο του Greenwich και εκτείνεται 7,5 ο εκατέρωθεν αυτού. Στη συνέχεια έχουµε 11 ατράκτους δυτικά και 11 ανατολικά (από ±7,5 ο µέχρι ±22,5 ο η πρώτη κ.ο.κ.) του Greenwich και την εκ διαµέτρου αντίθετη της µηδενικής, όπου γίνεται η αλλαγή της ηµεροµηνίας. Παγκόσµιος χρόνος (Universal Time U.T.) λέγεται ο µέσος ηλιακός χρόνος του Greenwich (M G ), δηλαδή U.T. = M G. Σχήµα 2.24: Ωριαίες άτρακτοι Γης Επίσηµος χρόνος Επίσηµος χρόνος ή πολιτικός χρόνος ενός κράτους λέγεται ο µέσος ηλιακός χρόνος του κεντρικού µεσηµβρινού της ατράκτου στην οποία ανήκει το κράτος. Μεγάλα κράτη που καταλαµβάνουν πολλές ατράκτους έχουν πολλούς επίσηµους χρόνους (π.χ. ο Καναδάς, οι Η.Π.Α. κλπ). Ορισµένα κράτη που βρίσκονται µεταξύ δύο ατράκτων υιοθετούν το χρόνο της µίας ως επίσηµο π.χ. η Ελλάδα: βρίσκεται µεταξύ 1 ης και 2 ης ανατολικά του Greenwich ατράκτου και έχει υιοθετήσει ως επίσηµο χρόνο, τον χρόνο της δεύτερης. Από τους πιο πάνω ορισµούς είναι προφανές ότι οι επίσηµοι χρόνοι των κρατών που βρίσκονται σε διαφορετικές ατράκτους θα διαφέρουν σε κάποια χρονική στιγµή κατά ακέραιο αριθµό ωρών ν απ τον παγκόσµιο χρόνο. Ισχύει δηλαδή U.Τ. Μ G = M K + ν (2.18) όπου ν>0 για κράτη δυτικά του Greenwich και ν<0 για ανατολικά. (Για την Ελλάδα ν = -2 h ). Για οικονοµικούς και µόνο σκοπούς χρησιµοποιείται η λεγόµενη θερινή ώρα. Η εφαρµογή της ή όχι αποτελεί αρµοδιότητα πολιτικών φορέων και δεν έχει καµµία απολύτως σχέση µε το αστρονοµικό γίγνεσθαι. 28

22 Σχέση χρόνου-γεωγραφικού µήκους Για κάποιο τόπο Τ (π.χ. µια πόλη ενός κράτους), η σχέση (2.18) γίνεται : U.Τ. Μ G = M T + λ Τ (2.19) όπου λ Τ το γεωγραφικό µήκος του τόπου και Μ Τ ο µέσος ηλιακός χρόνος του τόπου Τ. Και πάλι ισχύει λ Τ > 0 για τόπους δυτικά του Greenwich και λ Τ < 0 για τόπους ανατολικά του Greenwich. Γενικά ισχύει : X G = X T + λ Τ (2.20) όπου Χ κάποιος χρόνος αστρικός, αληθής ή µέσος ηλιακός στο Greenwich, X G, και στον τόπο Τ, Χ Τ. Το γεωγραφικό µήκος λ Τ του τόπου λαµβάνεται θετικό ή αρνητικό ανάλογα µε το πού βρίσκεται ο τόπος: δυτικά του Greenwich : θετικό ανατολικά του Greenwich : αρνητικό. Σχήµα 2.25: Σχέση χρόνου γεωγραφικού µήκους Αστρικός χρόνος µέσου µεσονυκτίου του Greenwich Αστρικός χρόνος µέσου µεσονυκτίου του Greenwich t o ονοµάζεται ο αστρικός χρόνος του Greenwich, όταν ο Παγκόσµιος χρόνος είναι 0 h 0 m 0 S, δηλαδή όταν έχουµε µέσο µεσονύκτιο στο Greenwich. Οι τιµές του t o δίνονται από τις αστρονοµικές εφηµερίδες. Μεταξύ αστρικού χρόνου t G στο Greenwich, t o, και παγκόσµιου χρόνου M G ισχύει η σχέση: 366 t = t M (2.21) G (Για το πως προκύπτει η παραπάνω σχέση δες ). 0 G Ατοµικός χρόνος και χρόνος εφηµερίδων Σε ότι αναφέρθηκε πιο πριν, η περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονά της θεωρήθηκε οµαλή. Αυτό, που δεν είναι απόλυτα σωστό, διαπιστώθηκε µετά την ανακάλυψη των ρολογιών quartz. Τα ατοµικά ρολόγια δίνουν ακόµη πιο ακριβή χρόνο από αυτόν που δίνουν τα quartz. Ο χρόνος αυτός ονοµάζεται ατοµικός. Ο ατοµικός χρόνος επειδή είναι ανεξάρτητος από τις αστρονοµικές παρατηρήσεις χρησιµοποιείται για τον έλεγχο της περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της. 29

23 Χρόνος εφηµερίδων (ephemeris time) ονοµάζεται αυτός που προκύπτει από την εφαρµογή του νόµου του Νεύτωνα στην Ουράνια Μηχανική. Για τον λόγο αυτό ονοµάζεται και Νευτώνειος χρόνος. Ουσιαστικά είναι η ανεξάρτητη µεταβλητή στις εξισώσεις κίνησης του Ήλιου, της Σελήνης και των πλανητών και υπολογίζεται συγκρίνοντας το χρόνο που βρίσκεται θεωρητικά από τις εξισώσεις κίνησης (των σωµάτων που αναφέραµε πιο πριν) και αυτού που προκύπτει από τις παρατηρήσεις των θέσεων της Σελήνης ή των τεχνητών δορυφόρων Μήνες και έτη Μήνας ονοµάζεται το χρονικό διάστηµα που απαιτείται έτσι ώστε η Σελήνη ξεκινώντας από κάποιο σηµείο της τροχιάς της, να κάνει µια πλήρη περιφορά γύρω από τη Γη και να επανέλθει στο ίδιο σηµείο απ' όπου ξεκίνησε. Ανάλογα µε το σηµείο εκκίνησης της Σελήνης διακρίνουµε διάφορους µήνες, που ο καθένας τους έχει διαφορετική διάρκεια, λόγω των ιδιαιτέρων κινήσεων που εκτελεί το σηµείο αυτό. Οι µήνες, ξεκινώντας από τον µικρότερο, είναι οι: δρακόντειος ή συνδεσµικός, τροπικός, αστρικός και ανωµαλιακός. Η διάρκειά τους είναι 27 ηµέρες και κάποιες ώρες και οι µεταξύ των διαφορές περιορίζονται σε λίγες ώρες. Οι διαφορές στη διάρκεια των προαναφερθέντων µηνών προέρχονται από το γεγονός ότι η γραµµή των ισηµεριών (γγ') και η γραµµή των συνδέσµων της σεληνιακής τροχιάς κινούνται κατά την ανάδροµη φορά, αλλά η δεύτερη κινείται ταχύτερα, ενώ η γραµµή των αψίδων κινείται κατά την ορθή φορά. Εκτός από τους παραπάνω αναφερθέντες µήνες υπάρχει και ο συνοδικός, που αντιστοιχεί στο χρονικό διάστηµα ανάµεσα σε δυο διαδοχικές οµώνυµες φάσεις της Σελήνης. Η διάρκειά του -29,53 ηµέρες- είναι µεγαλύτερη από αυτή όλων των άλλων. Ονοµάζουµε έτος το χρονικό διάστηµα που χρειάζεται ο Ήλιος, ξεκινώντας από κάποιο σηµείο της «τροχιάς» του, να διαγράψει την εκλειπτική και να επανέλθει στο ίδιο σηµείο. Όπως και στην περίπτωση των µηνών διακρίνουµε διάφορα έτη, ανάλογα µε το σηµείο εκκίνησης του Ήλιου. Έτσι το αστρικό, το τροπικό και το ανωµαλιακό έτος, έχουν ως αρχή µέτρησης ένα σταθερό σηµείο της εκλειπτικής, το σηµείο γ και το περιήγειο της φαινόµενης ελλειπτικής τροχιάς του Ήλιου, αντίστοιχα. Επειδή το σηµείο γ κινείται κατά την ανάδροµη φορά πάνω στην εκλειπτική κατά 50,3''/έτος και η γραµµή των αψίδων κατά την ορθή φορά κατά 12 ο περίπου, το ανωµαλιακό έτος είναι αυτό µε τη µεγαλύτερη διάρκεια. Η διάρκεια των παραπάνω αναφερθέντων ετών σε µέσες ηλιακές ηµέρες είναι: αστρικό 365,2564 τροπικό 365,2422 ανωµαλιακό 365,2596 Επειδή επιπλέον το τροπικό έτος έχει 366,2422 αστρικές ηµέρες, µπορούµε να µετατρέψουµε ένα χρονικό διάστηµα µέσου χρόνου ( Μ) σε διάστηµα αστρικού χρόνου ( t) µε τη βοήθεια της σχέσης: M = t (2.22) Για πρακτικούς λόγους, θα πρέπει το έτος που χρησιµοποιούµε ως µονάδα µέτρησης του χρόνου στην καθηµερινή µας ζωή, να έχει ακέραιο αριθµό ηµερών. 30

24 Κανένα από τα προαναφερθέντα έτη δεν έχει αυτή την ιδιότητα. Έτσι ορίστηκε το πολιτικό έτος µε ακέραιο αριθµό ηµερών. Ενώ, για να εξασφαλίζεται η οµαλή διαδοχή των εποχών, ως βάση του πολιτικού έτους λαµβάνεται το τροπικό έτος. Για τους ίδιους πρακτικούς λόγους οι µήνες του έτους έχουν ακέραιο αριθµό ηµερών Ιουλιανή ηµεροµηνία Σε αρκετές αστρονοµικές παρατηρήσεις, κυρίως µεταβλητών αστέρων, χρησι- µοποιείται ως χρόνος µέτρησης η Ιουλιανή ηµεροµηνία, (Julian date). Αρχή µέτρησης αυτής είναι η µέση µεσηµβρία της 1 ης Ιανουαρίου του π.χ. Επιπλέον γίνονται αναγωγές στον Ήλιο, οπότε παίρνουµε τη λεγόµενη ηλιακή Ιουλιανή ηµεροµηνία, (Hel. JD). Με τον τρόπο αυτό είναι δυνατή η σύγκριση των παρατηρήσεων ανεξάρτητα από τον τόπο απόπου αυτές πραγµατοποιούνται Εφαρµογές ανάλυσης τριγώνου θέσης αστέρα Ανατολή- ύση αστέρα Εστω ΠΖ(Σ Α ή Σ ) το τρίγωνο θέσης ενός αστέρα τη στιγµή της ανατολής ή της δύσεώς του. Όπως παρατηρούµε από τα σχήµατα (2.26) υπάρχει διαφορά ανάµεσα στις δύο θέσεις του αστέρα που προέρχεται από τις διαφορετικές γωνίες που σχηµατίζουν τα τόξα ΠΖ & Ζενίθ-θέση αστέρα και ΠΖ & Βόρειος ουράνιος πόλοςθέση αστέρα. Κι αν µεν ο αστέρας βρίσκεται στην ανατολή, Σ Α, η γωνία ΠΖΣ Α είναι (360 -Α Α ) και η ΖΠΣ Α Η Α, όπου Α Α το αζιµούθιο και Η Α η ωριαία γωνία τη στιγµή της ανατολής. Ενώ αν ο αστέρας βρίσκεται στη δύση, η γωνία ΠΖΣ είναι (180 -Α ) και η ΖΠΣ Η, όπου Α το αζιµούθιο και Η η ωριαία γωνία τη στιγµή της δύσης του αστέρα. Χάριν ευκολίας ας θεωρήσουµε τον αστέρα στη δύση του. Σχήµατα 2.26: Τρίγωνα θέσης του αστέρα στη δύση & στην ανατολή του 31

25 Εφαρµόζοντας τον τύπο του συνηµιτόνου για την πλευρά z=90 ο, στο τρίγωνο ΠΖΣ, έχουµε: από την οποία προκύπτει: συν90 ο =συν(90 ο -φ)συν(90 ο -δ)+ηµ(90 ο -φ)ηµ(90 ο -δ)συνη συνη =-εφφεφδ (2.23) Από τη σχέση αυτή υπολογίζονται οι τιµές των ωριαίων γωνιών (δηλαδή ουσιαστικά οι χρόνοι) ανατολής και δύσης του αστέρα στον Τόπο. Από τις δύο τιµές που προέρχονται από τη σχέση (1.30), η µικρότερη των 180 ο ή 12 ω αντιστοιχεί στη δύση και η µεγαλύτερη στην ανατολή του αστέρα. Όµοια από την πλευρά (90 ο -δ) στο ίδιο τρίγωνο ΠΖΣ, έχουµε: συν(90 ο -δ) =συν(90 ο -φ)συν90 ο +ηµ(90 ο -φ)ηµ90 ο συν(180 ο -Α) η οποία γίνεται: συνα=-(ηµφ/συνδ) (2.24) Από αυτήν υπολογίζονται τα αζιµούθια (δηλαδή οι θέσεις) ανατολής και δύσης του αστέρα στον Τόπο. Και πάλι από τις δύο τιµές που προέρχονται από τη σχέση (2.24), η µικρότερη από 180 ο είναι αυτή που αντιστοιχεί στη δύση του αστέρα. Επειδή οι τιµές των ωριαίων γωνιών και των αζιµουθίων στην ανατολή και στη δύση ενός αστέρα σ ένα τόπο εξαρτώνται µόνο από το γεωγραφικό πλάτος φ του Τόπου και την απόκλιση δ του αστέρα, καταλήγουµε στο συµπέρασµα: Σε συγκεκριµένο τόπο, συγκεκριµένος αστέρας, ανατέλλει και δύει στα ίδια σηµεία του ορίζοντα και τις ίδιες χρονικές στιγµές κάθε φορά. Για να έχουν λύσεις οι παραπάνω σχέσεις (2.23) & (2.24), θα πρέπει: ηµφ/συνδ <1 και εφφεφδ <1 (2.25) Από αυτές προκύπτει ότι θα πρέπει: 180 ο -φ>90 ο -δ>φ, δηλαδή η σχέση που ισχύει για αµφιφανείς αστέρες. Πράγµατι µόνο σε αυτή την περίπτωση ο αστέρας ανατέλλει και δύει στον Τόπο Ανατολή- ύση Ηλίου Οι σχέσεις (2.23) & (2.24) που ισχύουν στην ανατολή και στη δύση ενός αστέρα Σ(δ) σε τόπο γεωγραφικού πλάτους φ, ισχύουν και για την ανατολή και τη δύση του Ήλιου στον τόπο. Καθώς όµως ο Ήλιος κινείται στη φαινόµενη ελλειπτική τροχιά του και προβάλλεται στα διάφορα σηµεία της Εκλειπτικής κατά τη διάρκεια ενός έτους, η απόκλισή του µεταβάλλεται λαµβάνοντας τιµές από -23 ο 27' µέχρι +23 ο 27' και µηδενίζεται δύο φορές το χρόνο. Αναλυτικά: Την 21 η Μαρτίου εκάστου έτους ο Ήλιος προβάλλεται στο εαρινό ισηµερινό σηµείο γ και η απόκλισή του είναι δ =0 ο. Από την εξίσωση (2.24) υπολογίζουµε τις τιµές των αζιµουθίων της ανατολής (Α Α ) και της δύσης (Α ) του Ήλιου, που είναι αντίστοιχα: Α Α =270 ο και Α Α =90 ο 32

26 ηλαδή την 21 η Μαρτίου εκάστου έτους ο Ήλιος ανατέλλει και δύει ακριβώς στα σηµεία Ανατολής και ύσης ενός τόπου. Στη συνέχεια και καθώς η απόκλιση του Ήλιου γίνεται θετική, το συνα γίνεται αρνητικό και από τη σχέση (2.24) έχουµε ότι: 180 ο <Α Α <270 ο και 90 ο < Α Α <180 ο δηλαδή ο Ήλιος ανατέλλει και δύει ηµέρα µε την ηµέρα όλο και βορειότερα από τα σηµεία Ανατολής και ύσης του τόπου, (για φ>0). Τούτο συµβαίνει µέχρι την 21 η Ιουνίου, οπότε η απόκλιση του Ήλιου παίρνει την πιο µεγάλη θετική της τιµή, (δ =23 ο 27') και έχουµε τις ακρότατες προς βορρά τιµές για τα αζιµούθια της ανατολής και της δύσης του Ήλιου που προσδιορίζονται από τη σχέση: συνα=-ηµω/συνφ Μετά την 21 η Ιουνίου η απόκλιση του Ήλιου αρχίζει να ελαττώνεται και τα σηµεία ανατολής και δύσης του «οπισθοδροµούν» προς τα σηµεία Ανατολής και ύσης του Τόπου, στα οποία έρχονται την 22 α Σεπτεµβρίου, όταν ο Ήλιος προβάλλεται στο φθινοπωρινό ισηµερινό σηµείο γ' και η απόκλισή του µηδενίζεται και πάλι. Στη συνέχεια η απόκλιση του Ήλιου γίνεται αρνητική και έχουµε επανάληψη του φαινοµένου, αλλά κατά την αντίθετη έννοια. ηλαδή τα σηµεία ανατολής και δύσης του Ηλίου µετατίθενται τώρα µέρα µε τη µέρα όλο και νοτιότερα µέχρι την 22 α εκεµβρίου, που η απόκλιση του Ήλιου παίρνει την µικρότερη αρνητική της τιµή (δ =-23 ο 27'). Κατόπιν πλησιάζουν ξανά προς τα σηµεία Ανατολής και ύσης στα οποία έρχονται την 21 η Μαρτίου και ο κύκλος επαναλαµβάνεται. Από όσα αναφέρθηκαν πιο πριν, για τόπους του βορείου ηµισφαιρίου (φ>0), από την εαρινή µέχρι τη φθινοπωρινή ισηµερία (δηλαδή από την 21 η Μαρτίου µέχρι την 22 α Σεπτεµβρίου) το ηµερήσιο τόξο του Ήλιου είναι µεγαλύτερο από το νυκτερινό (δηλαδή η ηµέρα µεγαλύτερη από τη νύκτα). Ιδιαίτερα µετά την εαρινή ισηµερία, που η ηµέρα είναι ίδια µε τη νύκτα και ισούται µε 12 ώρες, η διάρκεια της ηµέρας αυξάνει συνεχώς και παίρνει τη πιο µεγάλη της τιµή στη θερινή τροπή. Από κει και πέρα ελαττώνεται σιγά-σιγά και γίνεται και πάλι ίση µε 12 ώρες στη φθινοπωρινή ισηµερία. Μετά αρχίζει να ελαττώνεται λίγο-λίγο και παίρνει την πιο µικρή της τιµή την 22 α εκεµβρίου, δηλαδή στη χειµερινή τροπή. Μετά αυξάνει σιγά-σιγά µέχρι να έχουµε και πάλι ισηµερία. Τα ακριβώς αντίθετα συµβαίνουν τις ίδιες περιόδους για τόπους του νοτίου ηµισφαιρίου. 33

1.2: 1.2 D R r (1.1) 1.3: 206.265 (1.2)

1.2: 1.2    D R r (1.1) 1.3: 206.265 (1.2) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Αστρονοµία κατέχει ξεχωριστή θέση ανάµεσα στις επιστήµες και από πολλούς θεωρείται η αρχαιότερη όλων. Παρά ταύτα πρόδροµος και «µητέρα» της θεωρείται η Αστρολογία. Η Αστρονοµία ξεκίνησε παρατηρώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1 η ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Συστήματα αστρονομικών συντεταγμένων και χρόνος ΑΣΚΗΣΗ 1 η (α) Να εξηγηθεί γιατί το αζιμούθιο της ανατολής και της δύσεως του Ηλίου σε ένα τόπο,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλιακήενέργεια. Ηλιακή γεωµετρία. Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης. ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης

Ηλιακήενέργεια. Ηλιακή γεωµετρία. Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης. ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Ηλιακήενέργεια Ηλιακή γεωµετρία Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Ηλιακήγεωµετρία Ηλιακήγεωµετρία Η Ηλιακή Γεωµετρία αναφέρεται στη µελέτη της θέσης του ήλιου σε σχέση

Διαβάστε περισσότερα

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 1.- Από τα πρώτα σχολικά µας χρόνια µαθαίνουµε για το πλανητικό µας σύστηµα. Α) Ποιος είναι ο πρώτος και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Ο Γνώμονας, ένα απλό αστρονομικό όργανο και οι χρήσεις του στην εκπαίδευση Σοφία Γκοτζαμάνη και Σταύρος Αυγολύπης Ο Γνώμονας Ο Γνώμονας είναι το πιο απλό αστρονομικό όργανο και το πρώτο που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης ΗλιακήΓεωµετρία Γιάννης Κατσίγιαννης ΗηλιακήενέργειαστηΓη Φασµατικήκατανοµήτηςηλιακής ακτινοβολίας ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιο ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιοµπορεί να αναλυθεί σε δύο κύριες συνιστώσες: Περιφορά

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Δημήτρης Δεληκαράογλου Αναπλ. Καθ., Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επισκ.

Διαβάστε περισσότερα

Να το πάρει το ποτάµι;

Να το πάρει το ποτάµι; Να το πάρει το ποτάµι; Είναι η σκιά ενός σώµατος που το φωτίζει ο Ήλιος. Όπως η σκιά του γνώµονα ενός ηλιακού ρολογιού που µε το αργό πέρασµά της πάνω απ τα σηµάδια των ωρών και µε το ύφος µιας άλλης εποχής

Διαβάστε περισσότερα

5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ

5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ 37 5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ 5.1 Εισαγωγή Οι κύριες κινήσεις της Γης είναι: μια τροχιακή κίνηση του κέντρου μάζας γύρω από τον Ήλιο και μια περιστροφική κίνηση γύρω από τον άξονα που περνά από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ Η κίνηση των πλανητών είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης 2 κινήσεων: μίας περιστροφής γύρω από τον Ήλιο, η περίοδος της οποίας μας δίνει το έτος κάθε πλανήτη, και πραγματοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Οι Κινήσεις της Γης. Eπιπτώσεις. Η κίνηση της Γης. στα Συστήματα Αναφοράς για τη ορυφορική Γεωδαισία. Η περιστροφή της Γης

Οι Κινήσεις της Γης. Eπιπτώσεις. Η κίνηση της Γης. στα Συστήματα Αναφοράς για τη ορυφορική Γεωδαισία. Η περιστροφή της Γης Οι Κινήσεις της Γης. Eπιπτώσεις στα Συστήματα για τη ορυφορική Γεωδαισία Οι αρχαίοι θεωρούσαν τη Γη ακίνητη και κέντρο του σύμπαντος Η κίνηση της Γης TEPAK ορυφορική Γεωδαισία 6 ο Εξάμηνο 2011-12 Στην

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αστρονομία

Εισαγωγή στην Αστρονομία Παπαδόπουλος Μιλτιάδης ΑΕΜ: 13134 Εξάμηνο: 7 ο Ασκήσεις: 12-1 Εισαγωγή στην Αστρονομία 1. Ο αστέρας Βέγας στον αστερισμό της Λύρας έχει απόκλιση δ=+38 ο 47. α) Σχεδιάστε την φαινόμενη τροχιά του Βέγα στην

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 -

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ H Γη είναι ένας πλανήτης από τους οκτώ συνολικά του ηλιακού μας συστήματος, το οποίο αποτελεί ένα από τα εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστρικά συστήματα του Γαλαξία μας, ο οποίος με την

Διαβάστε περισσότερα

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ α. Τι είναι έξαρμα του πόλου υπέρ τον ορίζοντα και γιατί ενδιαφέρει τον ναυτιλλόμενο. β. Να ορίσετε τα είδη των αστέρων (αειφανείς, αφανείς και Αμφιφανείς)και να γράψετε τις συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH TZΕΜΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Α.Μ. 3507 ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH Όλοι γνωρίζουμε ότι η εναλλαγή των 4 εποχών οφείλεται στην κλίση που παρουσιάζει ο άξονας περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

1 ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΦΑΙΡΑ. 1.1. Γενικά

1 ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΦΑΙΡΑ. 1.1. Γενικά 1 ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΦΑΙΡΑ και έχει για κέντρο της τον εκάστοτε παρατηρητή και αυθαίρετη αλλά σταθερή ακτίνα. Ο άξονας περιστροφήςτηςγηςτέµνειτηνουράνιασφαίρασεδύοσηµεία Π και Π, που ονοµάζονται βόρειος(ουράνιος)

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

P. E. QristopoÔlou - N. Galanˆkhc. Ergasthriak AstronomÐa. Ergasthriakèc Ask seic

P. E. QristopoÔlou - N. Galanˆkhc. Ergasthriak AstronomÐa. Ergasthriakèc Ask seic Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Θετικών Επιστημών - Τμήμα Φυσικής Τομέας Θεωρητικής & Μαθηματικής Φυσικής, Αστρονομίας & Αστροφυσικής P. E. QristopoÔlou - N. Galanˆkhc Ergasthriak AstronomÐa Ergasthriakèc Ask

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αστρονοµική Παρατήρηση. Ανδρέας Παπαλάμπρου Αστρονομική Εταιρεία Πάτρας Ωρίων 20/5/2009

Εισαγωγή στην Αστρονοµική Παρατήρηση. Ανδρέας Παπαλάμπρου Αστρονομική Εταιρεία Πάτρας Ωρίων 20/5/2009 Εισαγωγή στην Αστρονοµική Παρατήρηση Ανδρέας Παπαλάμπρου Αστρονομική Εταιρεία Πάτρας Ωρίων 20/5/2009 1 Ερασιτεχνική Αστρονομία Μια ενασχόληση που αρχίζει από απλό χόμπι... & φτάνει έως συμβολή σε επιστημονικές

Διαβάστε περισσότερα

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Πληροφοριακό υλικό Κέντρο Επισκεπτών Ινστιτούτο Αστρονομίας Αστροφυσικής Διαστημικών Εφαρμογών και Τηλεπισκόπησης (ΙΑΑΔΕΤ) Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών Την Παρασκευή 20 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι:

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: ΗΛΙΑΚΑ ΩΡΟΛΟΓΙΑ Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: Οριζόντια Κατακόρυφα Ισημερινά Το παρακάτω άρθρο αναφέρεται στον τρόπο λειτουργίας αλλά και κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Αναγνωστοπούλου Στρατηγούλα (5553), Σταυρίδη Δήμητρα (5861) 1 ΛΙΓΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1.1 Η κίνηση της Γης Η Γη κινείται με τρεις τρόπους: περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της σε 24h,

Διαβάστε περισσότερα

4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΥ 4.1 Γενικές έννοιες

4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΥ 4.1 Γενικές έννοιες 25 4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΥ 4.1 Γενικές έννοιες Η υλοποίηση ενός συµβατικού πλαισίου αναφοράς για την διάσταση του χρόνου, το οποίο θα ονοµάζεται κλίµακα χρόνου (time scale), απαιτεί την ίδια διαδικασία όπως

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις Λυκείου 21 ου Πανελλήνιου Διαγωνισμού Αστρονομίας Διαστημικής 2016

Ερωτήσεις Λυκείου 21 ου Πανελλήνιου Διαγωνισμού Αστρονομίας Διαστημικής 2016 ΠΡΟΣΟΧΗ: Αυτό το έγγραφο ΔΕΝ θα το αποστείλετε ηλεκτρονικά (μέσω e-mail). Απλά το αναρτήσαμε για την δική σας διευκόλυνση. Μόλις βρείτε τις απαντήσεις που γνωρίζετε και τις σημειώσετε σ αυτό το έντυπο,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Παρατήρησης

Πρόγραμμα Παρατήρησης Πρόγραμμα Παρατήρησης Η αναζήτηση του ζοφερού ουρανού Άγγελος Κιοσκλής Οκτώβριος 2005 ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ * η παρατήρηση πραγματοποιείται κατά προτίμηση όταν η Σελήνη δεν εμφανίζεται στον ουρανό, διότι

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις.

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στα πλαίσια του προγράμματος περιβαλλοντικής Αγωγής, τη σχολική χρονιά 2012-2013, αποφασίσαμε με τους μαθητές του τμήματος Β 3 να ασχοληθούμε με κάτι που θα τους κέντριζε το ενδιαφέρον. Έτσι καταλήξαμε

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007 ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΔΙΟΝΥΣΟΥ Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 157 80 Ζωγράφος Αθήνα Τηλ.: 210 772 2666 2668, Fax: 210 772 2670 ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ο χώρος. 1.Μονοδιάστατη κίνηση

Ο χώρος. 1.Μονοδιάστατη κίνηση Ο χώρος Τα χελιδόνια έρχονται και ξανάρχονται. Κάθε χρόνο βρίσκουν μια γωνιά για να χτίσουν τη φωλιά, που θα γίνει το επίκεντρο του χώρου τους. Ο χώρος είναι ένας οργανικός χώρος, όπως εκείνος που αφορά

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής Δρ. Απόστολος Ντάνης Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής *Βασικές μορφές προσανατολισμού *Προσανατολισμός με τα ορατά σημεία προορισμού στη φύση *Προσανατολισμός με τον ήλιο *Προσανατολισμός από τη σελήνη

Διαβάστε περισσότερα

συν[ ν Από τους υπολογισμούς για κάθε χαρακτηριστική ημέρα του χρόνου προκύπτει ότι η ένταση της ηλιακής ενέργειας στη γη μεταβάλλεται κατά ± 3,5%.

συν[ ν Από τους υπολογισμούς για κάθε χαρακτηριστική ημέρα του χρόνου προκύπτει ότι η ένταση της ηλιακής ενέργειας στη γη μεταβάλλεται κατά ± 3,5%. 1. ΗΛΙΑΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Το θεωρητικό δυναμικό, δηλαδή το ανώτατο φυσικό όριο της ηλιακής ενέργειας που φθάνει στη γή ανέρχεται σε 7.500 Gtoe ετησίως και αντιστοιχεί 75.000 % του παγκόσμιου ενεργειακού ισοζυγίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Σχήµα 1 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ Η κυλινδρική επιφάνεια ή κύλινδρος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας α, (γενέτειρα) η

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο.

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο. ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ Η ιστιοπλοΐα ανοιχτής θαλάσσης δεν διαφέρει στα βασικά από την ιστιοπλοΐα τριγώνου η οποία γίνεται με μικρά σκάφη καi σε προκαθορισμένο στίβο. Όταν όμως αφήνουμε την ακτή και ανοιγόμαστε στο

Διαβάστε περισσότερα

20 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

20 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 0 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 19 Μαρτίου, 006 Ώρα: 10:30-13:30 Θέµα 1 0 (µονάδες 10) α ) Το βέλος δέχεται σταθερή επιτάχυνση για όλη τη διάρκεια της κίνησης (

Διαβάστε περισσότερα

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1 EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1. Από την ίδια γραµµή αφετηρίας(από το ίδιο ύψος) ενός κεκλιµένου επιπέδου αφήστε να κυλήσουν, ταυτόχρονα προς τα κάτω, δύο κυλίνδροι της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë Tα βασικά σημεία του μαθήματος Η Γη είναι ένα ουράνιο σώμα, που κινείται συνεχώς στο διάστημα. Το σχήμα της είναι γεωειδές, δηλαδή είναι ελαφρά συμπιεσμένο στις κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M,

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M, ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΕΛΞΗΣ Ο Νεύτωνας ανακάλυψε τον νόμο της βαρύτητας μελετώντας τις κινήσεις των πλανητών γύρω από τον Ήλιο και τον δημοσίευσε το 1686. Από την ανάλυση των δεδομένων αυτών ο

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ήπιων µορφών ενέργειας

Εργαστήριο ήπιων µορφών ενέργειας Εργαστήριο ήπιων µορφών ενέργειας Ενότητα: Υπολογισµοί ηλιακής ακτινοβολίας Ταουσανίδης Νίκος Τµήµα ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ανατολή ή τη δύση, με άξονα περιστροφής τον άξονα βορρά νότου, δημιουργεί τους ανατολικούς και δυτικούς μεσημβρινούς της γης.

ανατολή ή τη δύση, με άξονα περιστροφής τον άξονα βορρά νότου, δημιουργεί τους ανατολικούς και δυτικούς μεσημβρινούς της γης. ΗΛΙΑΣΜΟΣ Εισαγωγή Σ αυτή την ενότητα θα γνωρίσουμε μερικά στοιχεία για τον ηλιασμό, με στόχο να βρεθούμε σε θέση να διαχειριστούμε και εκμεταλλευτούμε το φυσικό φως προς όφελος του αρχιτεκτονικού σχεδιασμού.

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1

Στροφορµή. ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1 Στροφορµή ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1 ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 2 Στροφορµή q Ένα από τα βασικά µεγέθη που σχετίζονται µε την περιστροφική κίνηση είναι η στροφορµή q Θυµηθείτε ότι για µάζα m που κινείται µε ταχύτητα v

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 2014 Αστροφωτογραφίες Ελλήνων Ερασιτεχνών Αστρονόμων. Επιμέλεια: Γ. Μποκοβός - Α. Βοσινάκης

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 2014 Αστροφωτογραφίες Ελλήνων Ερασιτεχνών Αστρονόμων. Επιμέλεια: Γ. Μποκοβός - Α. Βοσινάκης ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 204 Αστροφωτογραφίες Ελλήνων Ερασιτεχνών Αστρονόμων Επιμέλεια: Γ. Μποκοβός - Α. Βοσινάκης ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 204 Νεφέλωμα NGC 6888 στον Κύκνο - Αντώνης Αγιομαμίτης ΔΕΥΤΕΡΑ ΤΡΙΤΗ ΤΕΤΑΡΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. = 2r, τότε:

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. = 2r, τότε: ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. (Διατήρηση της στροφορμής) Η Γη στρέφεται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τον Ήλιο. Το κοντινότερο σημείο στον Ήλιο ονομάζεται Περιήλιο (π) και το πιο απομακρυσμένο Αφήλιο (α).

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Χώρος Η ανάπτυξη της ικανότητας της αντίληψης του χώρου, ως προς τις διαστάσεις του και το περιεχόµενό του είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές

1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές 1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές Διάλεξη 10 η Ομαλή κυκλική κίνηση Δθ = ω = σταθερό Δt X = Rσυν (ωt) => X 2 +Υ 2 = R 2 Υ = Rημ(ωt) Οι προβολές της κίνησης στους άξονες των x και y είναι αρμονικές ταλαντώσεις

Διαβάστε περισσότερα

«κι όμως κινείται...» Συνεδριακό Κέντρο Πανεπιστημίου Πατρών

«κι όμως κινείται...» Συνεδριακό Κέντρο Πανεπιστημίου Πατρών «κι όμως «κι όμως ΠΑΛΑΙ ΠΑΛΑΙ ΠΑΛΑΙ ΠΑΛΑΙ 38 ο ψηλά από τον ορίζοντα & ΝΥΝ 38 ος Παράλληλος Β 52 ο ψηλά από τον ορίζοντα & ΝΥΝ 52 ος Παράλληλος Β 70 ο ψηλά από τον ορίζοντα & ΝΥΝ 70 ος Παράλληλος Β &

Διαβάστε περισσότερα

3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο

3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο Σηµειώσεις ΑΠΕ Ι Κεφ. 3 ρ Π. Αξαόπουλος Σελ. 1 3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο Η γνώση της ηλιακής ακτινοβολίας που δέχεται ένα κεκλιµένο επίπεδο είναι απαραίτητη στις περισσότερες εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ήπιες Μορφές Ενέργειας

Ήπιες Μορφές Ενέργειας Ήπιες Μορφές Ενέργειας Ενότητα 2: Ελευθέριος Αμανατίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Περιεχόμενα ενότητας Ο Ήλιος ως πηγή ενέργειας Κατανομή ενέργειας στη γη Ηλιακό φάσμα και ηλιακή σταθερά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας Γιώργος Νικολιδάκης 9/18/2013 1 Κωνικές Τομές Είναι καμπύλες που σχηματίζονται καθώς επίπεδα τέμνουν με διάφορες γωνίες επιφάνειες κώνων. Παραβολή Έλλειψη -κύκλος Υπερβολή

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1 Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs. Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός hp://www.perifysikhs.com Αναζητώντας την αιτία των κινήσεων Η µελέτη των κινήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΗΣ ΟΥΡΑΝΙΟΥ ΘΟΛΟΥ

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΗΣ ΟΥΡΑΝΙΟΥ ΘΟΛΟΥ Ερασιτεχνικής Αστρονομίας ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΗΣ ΟΥΡΑΝΙΟΥ ΘΟΛΟΥ ΝΙΚΟΣ ΓΙΑΝΝΑΚΟΠΟΥΛΟΣ (Εκπαιδευτικός ΠΕ19-Μεταπτυχιακός φοιτητής ΕΑΠ- Μέλος Αστρονομικής Εταιρείας Πάτρας «Ωρίων») gianakop@gmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΧΡΗΣΗΤΟΥ ΤΟΥΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ SALSAJ ΓΙΑΤΟΝ ΤΟΝΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΗΣΜΑΖΑΣ ΜΑΖΑΣΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Εργαστηριακή Άσκηση 5 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας, g. Πειραματική διάταξη: Χρήση απλού εκκρεμούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ;

ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ; ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ; Α) Ακτίνα αστέρων (Όγκος). Στον Ήλιο, και τον Betelgeuse, μπορούμε να μετρήσουμε απευθείας τη γωνιακή διαμέτρο, α, των αστεριών. Αν γνωρίζουμε αυτή τη γωνία, τότε: R ( ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Στροφορµή

Κεφάλαιο 11 Στροφορµή Κεφάλαιο 11 Στροφορµή Περιεχόµενα Κεφαλαίου 11 Στροφορµή Περιστροφή Αντικειµένων πέριξ σταθερού άξονα Το Εξωτερικό γινόµενο-η ροπή ως διάνυσµα Στροφορµή Σωµατιδίου Στροφορµή και Ροπή για Σύστηµα Σωµατιδίων

Διαβάστε περισσότερα

GREECE. k = 1 + n/100, k = 1 n/100,

GREECE. k = 1 + n/100, k = 1 n/100, Κανονισµοί Οµαδικής Εξέτασης 1. Οµάδες οι οποίες αποτελούνται από τρεις ή περισσότερους µαθητές µπορούν να συµµετάσχουν στην οµαδική εξέταση 2. Σε κάθε οµάδα θα δοθούν 5 προβλήµατα που πρέπει να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Απριλίου, 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση. Γενικές οδηγίες: 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ήπιες Μορφές Ενέργειας

Ήπιες Μορφές Ενέργειας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ήπιες Μορφές Ενέργειας Ενότητα 6: Ηλιακή Ακτινοβολία Καββαδίας Κ.Α. Τμήμα Μηχανολογίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 13 ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ B1 Η κίνηση δύο ατόµων ενός µορίου µπορεί να περιγραφεί προσεγγιστικά από ένα a 1 x ax δυναµικό της µορφής V = +, a >, όπου x> η σχετική απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει:

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρικό πεδίο 1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 10 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: (α)

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ Ι: H ΣΕΛΗΝΗ

AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ Ι: H ΣΕΛΗΝΗ AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ Ι: H ΣΕΛΗΝΗ 1. Η Σελήνη μας είναι ο πέμπτος σε μέγεθος δορυφόρος του Ηλιακού μας συστήματος (εικόνα 1) μετά από τον Γανυμήδη (Δίας), τον Τιτάνα (Κρόνος), την Καλλιστώ (Δίας) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Εκτίµηση εισερχόµενης ηλιακής ακτινοβολίας σε λεκάνη απορροής µε χρήσησγπ

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Εκτίµηση εισερχόµενης ηλιακής ακτινοβολίας σε λεκάνη απορροής µε χρήσησγπ ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Εκτίµηση εισερχόµενης ηλιακής ακτινοβολίας σε λεκάνη απορροής µε χρήσησγπ Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 26 Solar elevation Παράγοντες που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η στερεογραφική απεικόνιση του επιπέδου του ρήγματος, καθώς και του βοηθητικού επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΗΛΙΑΚΟΥ ΙΧΝΗΛΑΤΗ ΓΙΑ ΤΗ ΚΑΤΑΓΡΑΦΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ 1) Δυο τροχοί με ακτίνες ο πρώτος 100cm και ο δεύτερος 60cm περιστρέφονται ομαλά συνδεδεμένοι μεταξύ τους με ιμάντα. Αν η συχνότητα του πρώτου τροχού είναι 10Hz να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Οδηγός για τον εκπαιδευτικό Περιεχόμενα Προετοιμασία δραστηριότητας Α. Υλικά και φύλλα εργασίας 3 Β. Εγκατάσταση του προγράμματος "Google

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

δ) µειώνεται το µήκος κύµατός της (Μονάδες 5)

δ) µειώνεται το µήκος κύµατός της (Μονάδες 5) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 011-01 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1 η (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 30/1/11 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό κάθε µίας από τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

- 17 Ερωτήσεις Αξιολόγησης για ΤΕΣΤ Θεωρίας.

- 17 Ερωτήσεις Αξιολόγησης για ΤΕΣΤ Θεωρίας. Test Αξιολόγησης: ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Καμπυλόγραμμες Κινήσεις (Οριζόντια Βολή,Ο.Κ.Κ.) - 17 Ερωτήσεις Αξιολόγησης για ΤΕΣΤ Θεωρίας. Εισηγητής : Γ. Φ. Σ ι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα