Η γωνία υπό την οποία φαίνονται από κάποιον παρατηρητή δύο αστέρες ονοµάζεται

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η γωνία υπό την οποία φαίνονται από κάποιον παρατηρητή δύο αστέρες ονοµάζεται"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΧΡΟΝΟΣ 2.1 Ουράνια σφαίρα-βασικοί ορισµοί Για να ορίσουµε τις θέσεις των αστέρων, τους θεωρούµε να προβάλλονται σαν σηµεία στην εσωτερική επιφάνεια µιας σφαίρας µε αυθαίρετη ακτίνα και κέντρο το µάτι του παρατηρητή. Τη σφαίρα αυτή την ονοµάζουµε ουράνια σφαίρα, (Σχ. 2.1). Η ευθεία που συνδέει το µάτι του παρατηρητή µ έναν αστέρα, οπτική ακτίνα, αν προεκταθεί «τέµνει» την ουράνια σφαίρα σ ένα σηµείο που λέγεται φαινόµενη θέση του αστέρα. (Γιατί είναι η προβολή της πραγµατικής του θέσης). Σχήµα 2.1: Ουράνια σφαίρα (Φαινόµενες και πραγµατικές θέσεις ουρανίων σωµάτων) Η γωνία υπό την οποία φαίνονται από κάποιον παρατηρητή δύο αστέρες ονοµάζεται γωνιώδης απόστασή τους και µετριέται απ το τόξο του µεγίστου κύκλου της ουράνιας σφαίρας που διέρχεται από τους δύο αστέρες. Στο σχήµα 2.2 βλέπουµε τους 7 πιο λαµπρούς αστέρες του αστερισµού της Μεγάλης Άρκτου και τη γωνιώδη απόσταση δύο εξ αυτών, (α,β). Σχήµα 1.2: Γωνιώδης απόσταση δύο αστέρων του αστερισµού της Μεγάλης Άρκτου 8

2 2.2 Φαινόµενη διάµετρος και ηµιδιάµετρος ουρανίου σώµατος Γενικά οι αστέρες φαίνονται, ακόµη και µε µεγάλα τηλεσκόπια, ως φωτεινά σηµεία. Είναι δηλαδή σηµειακές πηγές φωτός. Όµως υπάρχουν και κάποια ουράνια σώµατα που παρουσιάζουν δίσκο. Ονοµάζουµε φαινόµενη διάµετρο ή ηµιδιάµετρο ενός ουρανίου σώµατος µε σχεδόν σφαιρικό σχήµα όπως είναι για παράδειγµα ο Ήλιος, η Σελήνη, ή ένας πλανήτης την γωνία µε την οποία ένας παρατηρητής βλέπει την πραγµατική του διάµετρο, D, ή ηµιδιάµετρο, R, αντίστοιχα. Η φαινόµενη διάµετρος/ηµιδιάµετρος ενός ουρανίου σώµατος µετριέται από το τόξο του µέγιστου κύκλου της ουράνια σφαίρας που ορίζεται από τις φαινόµενες θέσεις των άκρων της διαµέτρου του. Έστω ένα ουράνιο σώµα Σ µε διάµετρο D ή ακτίνα R σε απόσταση r από τον παρατηρητή Π, (Σχήµα 2.3). Η γωνία ω υπό την οποία φαίνεται από τον παρατηρητή η ακτίνα ΣΑ=R του ουρανίου αυτού σώµατος είναι η φαινόµενη ηµιδιάµετρος του. Από το τρίγωνο ΠΑΚ έχουµε ότι: R ηµω = (2.1) r Σχήµα 2.3: Φαινόµενη διάµετρος ουρανίου σώµατος Οι φαινόµενες ηµιδιάµετροι των ουρανίων σωµάτων είναι γενικά πολύ µικρές γωνίες, οπότε µπορούµε να προσεγγίσουµε το ηµω µε το ω µετρούµενο σε ακτίνια. Και επειδή ένα ακτίνιο έχει δευτερόλεπτα τόξου, (arc sec, ), η σχέση (2.1) γίνεται: R ω = '' (2.2) r Επιπλέον, επειδή οι αποστάσεις των διαφόρων ουρανίων σωµάτων µεταβάλλονται είναι προφανές ότι µεταβάλλονται και οι τιµές της φαινόµενης ηµιδιαµέτρου τους. Για παράδειγµα η µέση τιµή της φαινόµενης ηµιδιαµέτρου του Ήλιου είναι ω = 16 και της Σελήνης ω = 15. ηλαδή η πανσέληνος καταλαµβάνει στον ουρανό µισή µοίρα περίπου, (Σχήµα 2.4). Οι ακριβείς τιµές των φαινόµενων ηµι-διαµέτρων του Ήλιου και της Σελήνης υπολογίζονται για κάθε ηµέρα και αναφέρονται στις αστρονοµικές εφηµερίδες. Εκεί βρίσκουµε και τις τιµές της φαινόµενης διαµέτρου όλων των µεγάλων πλανητών του ηλιακού µας συστήµατος. Για παράδειγµα αναφέρουµε ότι η φαινόµενη διάµετρος του πλανήτη Ερµή κυµαίνεται από 4,5 έως 13, ενώ του Ουρανού έχει µια µέση τιµή 2,3. Σχήµα2.4: Φαινόµενη διάµετρος Σελήνης 9

3 Επιπλέον, επειδή στις σχέσεις (2.1) & (2.2) η απόσταση του ουρανίου σώµατος είναι στον παρονοµαστή και επειδή όλοι οι απλανείς αστέρες βρίσκονται σε τεράστιες αποστάσεις έχουν πολύ µικρές φαινόµενες διαµέτρους, οι οποίες είναι εξαιρετικά δύσκολο να υπολογισθούν. Παρά ταύτα κάποιες µετρήσεις και εκτιµήσεις έχουν γίνει. Για παράδειγµα φαίνεται ότι ο Betelgeuse, (α Ωρίωνα, α Ori), έχει τη µεγαλύτερη φαινόµενη διάµετρο, (0,055 ), ενώ ο πλησιέστερος στη Γη αστέρας µόλις 0, Θέση σηµείου στην ουράνια σφαίρα Για να ορίσουµε τη θέση ενός σηµείου πάνω στην ουράνια σφαίρα θα χρησιµοποιήσουµε ένα σύστηµα σφαιρικών συντεταγµένων, όπου η ακτίνα της σφαίρας λαµβάνεται ίση µε την µονάδα. Με αυτό τον τρόπο η θέση ενός σηµείου πάνω στην ουράνια σφαίρα καθορίζεται µε τη βοήθεια δύο µόνο συντεταγµένων, όπως και στο επίπεδο. Οι άξονες αναφοράς, αντίστοιχοι των Ox, Oy, είναι δύο τόξα µεγίστων κύκλων της σφαίρας που τέµνονται κάθετα. Τον µέγιστο κύκλο που ταυτίζουµε µε το επίπεδο Oxy ονοµάζουµε βασικό κύκλο. Πάνω σ αυτόν γίνεται η µέτρηση της µιας συντεταγµένης. Τον µέγιστο κύκλο τον κάθετο προς το βασικό, του οποίου η τοµή της περιφέρειας του µε την περιφέρεια του βασικού λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης της δεύτερης συντεταγµένης, ονοµάζουµε πρώτο κάθετο. Έτσι ορίζονται τα διάφορα συστήµατα συντεταγµένων που θα εξετάσουµε λεπτοµερώς στη συνέχεια και που η ονοµασία τους προήλθε από τον κύκλο που χρησιµοποιείται ως βασικός. 2.4 Γεωγραφικές συντεταγµένες - Κατασκευή ουράνιας σφαίρας σε τόπο µε γεωγραφικό πλάτος φ Για να ορίσουµε τη θέση ενός τόπου πάνω στην επιφάνεια της Γης την θεωρούµε σε πρώτη προσέγγιση σφαιρική. Έτσι η διεύθυνση της κατακορύφου σε ένα τόπο Τ συµπίπτει µε τη διεύθυνση της ακτίνας ΟΤ, (Σχ. 2.5). Το ηµικύκλιο που διέρχεται από τους πόλους της Γης και τον τόπο Τ ονοµάζεται γήινος µεσηµβρινός του τόπου. Βασικός κύκλος λαµβάνεται ο γήινος ισηµερινός Ι'Ι και πρώτος κάθετος ο µεσηµβρινός του Greenwich, ΠGΠ', που διαιρεί τη Γη στο Ανατολικό και υτικό ηµισφαίριο. Η θέση του τόπου Τ καθορίζεται µε τη βοήθεια των τόξων G'T' και Τ'Τ. Το τόξο G'Τ' είναι το µέτρο της δίεδρης γωνίας που σχηµατίζουν οι µεσηµβρινοί του τόπου και του Greenwich, αντίστοιχα, και ονοµάζεται γεωγραφικό µήκος λ, geographic longitude, του τόπου Τ. Μετριέται πάνω στον γήινο ισηµερινό µε αρχή το σηµείο G' και παίρνει τιµές από 0 ο έως ±180 ο ή από 0 h έως ±12 h, αρνητικά προς ανατολάς του Greenwich και θετικά προς δυσµάς του Greenwich. Το τόξο Τ'Τ είναι το µέτρο της γωνίας που σχηµατίζεται από την κατακόρυφο του τόπου και το επίπεδο του γήινου ισηµερινού και λέγεται γεωγραφικό πλάτος φ, geographic latitude. Μετριέται πάνω στον µεσηµβρινό του τόπου µε αρχή το σηµείο τοµής του µε τον ισηµερινό και παίρνει θετικές τιµές (0 ο έως +90 ο ) προς το βόρειο πόλο και αρνητικές (0 ο έως -90 ο ) για τόπους του νοτίου ηµισφαιρίου. 10

4 Γήινος & Ουράνιος Μεσηµβρινός Σχ.2.5 αριστερά: Γεωγραφικές συντεταγµένες Σχ.2.5 δεξιά: Από τη σφαίρα της Γης στην Ουράνια σφαίρα Παρατηρούµε ότι θεωρώντας την Γη κυκλική η διεύθυνση της κατακορύφου, ΤΖ, στον τόπο Τ θα διέρχεται από το κέντρο της Γης και θα σχηµατίζει µε τον ισηµερινό γωνία ίση προς το γεωγραφικό πλάτος φ του τόπου. Οι ευθείες ΠΠ (άξονας του κόσµου) και ΤΖ (διεύθυνση της κατακορύφου) ορίζουν τη θέση ενός επιπέδου, του οποίου η τοµή µε την ουράνια σφαίρα, (µέγιστος κύκλος ΠΖΠ στο σχήµα 2.5 δεξιά), αποτελεί τον ουράνιο µεσηµβρινό του τόπου Τ. Είναι προφανές ότι τα επίπεδα του γήινου και του ουράνιου µεσηµβρινού του τόπου ταυτίζονται. Εποµένως: για να κατασκευάσουµε την ουράνια σφαίρα για κάποιο τόπο αρκεί να γνωρίζουµε το γεωγραφικό του πλάτος. 2.5 Κατασκευή Ουράνιας Σφαίρας Η κατακόρυφος σε έναν τόπο τέµνει την ουράνια σφαίρα στα σηµεία Ζ (ζενίθ) και ν (ναδίρ). Το κάθετο επίπεδο προς την ευθεία Ζν, που διέρχεται από το κέντρο της ουράνιας σφαίρας, την τέµνει κατά τον µέγιστο κύκλο ΒΝ που είναι ο ορίζοντας του τόπου, (Σχ. 2.6). Το ηµικύκλιο ΖΣν λέγεται κατακόρυφος του αστέρα Σ, ενώ ο µικρός κύκλος ο παράλληλος προς τον ορίζοντα και διερχόµενος από το σηµείο Σ λέγεται οριζόντιος κύκλος ή κύκλος ύψους του αστέρα. Σχ. 2.6: Ουράνια σφαίρα ηλαδή ο κατακόρυφος του αστέρα είναι ο µέγιστος κύκλος που διέρχεται από τον αστέρα και έχει διάµετρο την κατακόρυφο του τόπου (ή η τοµή της ουράνιας σφαίρας µε το επίπεδο που ορίζεται από την κατακόρυφο του τόπου και τον αστέρα). 11

5 Ο άξονας του κόσµου ΠΠ' και η κατακόρυφος ενός τόπου Ζν καθορίζουν, όπως αναφέραµε, τον µεσηµβρινό του τόπου. Η τοµή του µεσηµβρινού ενός τόπου µε τον ορίζοντα του τόπου είναι η ευθεία ΒΝ, που καθορίζει τη διεύθυνση Βορρά-Νότου στον τόπο και λέγεται µεσηµβρινή γραµµή. Η τοµή του ορίζοντα ενός τόπου µε τον ουράνιο ισηµερινό είναι η ευθεία Α. Αυτή είναι κάθετη προς την µεσηµβρινή γραµµή και ορίζει µε αυτήν τα τέσσερα σηµεία του ορίζοντα: Βορρά (Β), Νότο (Ν), Ανατολή (Α) και ύση ( ), (Σχ. 2.6). Επί πλέον η Α είναι κάθετη στον µεσηµβρινό του τόπου και γι αυτό λέγεται άξονας του µεσηµβρινού. Ο κατακόρυφος που διέρχεται από ανατολή και δύση ενός τόπου λέγεται πρώτος κατακόρυφος ή πρώτος κάθετος του τόπου. Το τόξο ΒΠ ονοµάζεται έξαρµα του Βόρειου Πόλου, και ισούται µε το γεωγραφικό πλάτος φ του τόπου. 2.6 Οριζόντιες συντεταγµένες Στο σύστηµα οριζοντίων συντεταγµένων θεωρούµε ως βασικό κύκλο τον ορίζοντα του τόπου, ΒΑΝ, και ως πρώτο κάθετο τον κατακόρυφο του αστέρα, δηλαδή το ηµικύκλιο ΖΣν, (Σχ. 2.7). Η θέση του αστέρα Σ καθορίζεται µε τη βοήθεια των τόξων ΝΣ ο και Σ ο Σ. Από αυτά το ΝΣ ο λέγεται αζιµούθιο Α, azimuth, του αστέρα, ενώ το Σ ο Σ λέγεται ύψος υ, altitude. Το αζιµούθιο µετριέται πάνω στον ορίζοντα από 0 ο µέχρι 360 ο κατά την ανάδροµη φορά και µε αρχή το σηµείο Ν, δηλαδή το Νότο. Το ύψος µετριέται πάνω στον κατακόρυφο του αστέρα, µε αρχή το σηµείο Σ ο, και παίρνει τιµές από 0 ο µέχρι ±90 ο, ανάλογα αν είναι πάνω(+) ή κάτω(-) από τον ορίζοντα του Τόπου. Το συµπληρωµατικό τόξο του ύψους ονοµάζεται ζενίθια απόσταση (z) του αστέρα και είναι προφανές ότι ισχύει z = 90 ο -υ. Το αζιµούθιο και το ύψος αποτελούν τις οριζόντιες συντεταγµένες ενός αστέρα. Σχ. 2.7: Οριζόντιες και Ισηµερινές συντεταγµένες αστέρα 2.7 Ισηµερινές συντεταγµένες Στο σύστηµα αυτό βασικός κύκλος λαµβάνεται ο ουράνιος ισηµερινός Ι'ΑΙ και πρώτος κάθετος ο ωριαίος του αστέρα ΠΣΣ Ι, (Σχ. 2.7 & 2.8). Η θέση του αστέρα Σ καθορίζεται µε τη βοήθεια των τόξων ΙΣ Ι και Σ Ι Σ. Το τόξο ΙΣ Ι ονοµάζεται ωριαία γωνία Η, hour angle, µετριέται πάνω στον ουράνιο ισηµερινό µε αρχή το σηµείο Ι κατά την ανάδροµη φορά και παίρνει τιµές από 0 ο µέχρι 360 ο ή από 0 έως 24 ώρες. 12

6 Το τόξο Σ Ι Σ ονοµάζεται απόκλιση δ, declination, µετριέται πάνω στον ωριαίο κύκλο του αστέρα µε αρχή το σηµείο Σ Ι και παίρνει τιµές από 0 ο έως ±90 ο για αστέρες του βόρειου(+), ή του νοτίου(-) ηµισφαιρίου, αντίστοιχα. Το συµπληρωµατικό τόξο, Ρ, της απόκλισης ονοµάζεται πολική απόσταση P, polar distance, του αστέρα και είναι προφανές ότι: Ρ = 90 ο -δ. Η ωριαία γωνία και η απόκλιση ενός αστέρα αποτελούν τις ισηµερινές του συντεταγµένες. Καθώς η ουράνια σφαίρα φαίνεται να περιστρέφεται από τα ανατολικά προς τα δυτικά, η ωριαία γωνία ενός σηµείου της ουράνιας σφαίρας αυξάνει οµαλά µε το χρόνο. Γι αυτό η ωριαία γωνία χρησιµοποιείται για τη µέτρηση του χρόνου. Οι ισηµερινές, όπως και οι οριζόντιες συντεταγµένες, είναι ένα τοπικό σύστηµα συντεταγµένων γιατί εξαρτώνται από τον τοπικό µεσηµβρινό. Σχ. 2.8: Οριζόντιες & Ισηµερινές συντεταγµένες αστέρα Πρώτο τρίγωνο θέσης αστέρα Από τον µεσηµβρινό του Τόπου, την κατακόρυφο του αστέρα και τον ωριαίο του κύκλο σχηµατίζεται στην επιφάνεια της ουράνιας σφαίρας ένα σφαιρικό τρίγωνο, ένα πρώτο τρίγωνο θέσης του αστέρα, (λεπτοµέρειες για τα σφαιρικά τρίγωνα δίνονται παρακάτω). 2.8 Αµφιφανείς, αειφανείς και αφανείς αστέρες Όπως ήδη αναφέρθηκε ο µικρός κύκλος ο παράλληλος προς τον ισηµερινό δηλαδή ο κύκλος απόκλισης του αστέρα, αποτελεί την φαινόµενη ηµερήσια τροχιά του αστέρα στον τόπο. Αυτή ανάλογα µε το γεωγραφικό πλάτος φ του τόπου και την απόκλιση δ του αστέρα µπορεί να τέµνει ή όχι τον ορίζοντα του τόπου, (Σχ. 2.9). Στην πρώτη περίπτωση ο αστέρας είναι αµφιφανής για τον τόπο δηλαδή ανατέλλει και δύει στον τόπο, στην άλλη περίπτωση ο αστέρας µπορεί να είναι είτε αειφανής είτε αφανής για τον τόπο. Αποδεικνύεται εύκολα ότι ένας αστέρας Σ(δ) σε τόπο γεωγραφικού πλάτους φ είναι: αµφιφανής, εάν αειφανής, εάν αφανής, εάν 180 -φ>90 -δ>φ 90 -δ<φ 90 -δ>180 -φ 13

7 Εάν φ=90 -δ, ο αστέρας έχει ένα κοινό σηµείο µε τον ορίζοντα (τον Βορρά), ενώ εάν 180 -φ=90 -δ, το κοινό σηµείο είναι ο Νότος. Σχ. 2.9: Φαινόµενες ηµερήσιες τροχιές αστέρων 2.9 Μορφές ουράνιας σφαίρας σε τόπους µε διάφορα γεωγραφικά πλάτη Η µορφή που έχει η ουράνια σφαίρα σ έναν τόπο εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος του τόπου, εφ όσον από αυτό εξαρτάται η θέση του βόρειου ουράνιου πόλου Π και κατ επέκταση του ουράνιου ισηµερινού. Στα σχήµατα (2.10) δίδεται η µορφή της ουράνιας σφαίρας για παρατηρητή στον Ισηµερινό (φ=0 ), στον βόρειο Πόλο (φ=90 ) και για παρατηρητή του νοτίου ηµισφαιρίου (φ<0 ), αντίστοιχα. Η µορφή της ουράνιας σφαίρας για παρατηρητή στον ισηµερινό ονοµάζεται ορθή. Παρατηρούµε ότι όλοι οι αστέρες ανατέλλουν και δύουν, είναι δηλαδή αµφιφανείς και τα ηµερήσια τόξα τους είναι ίσα µε τα νυκτερινά. Η µορφή της ουράνιας σφαίρας για παρατηρητή στους πόλους ονοµάζεται παράλληλη. Εδώ οι αστέρες είναι ή αφανείς ή αειφανείς. Τέλος, για φ>0 ή φ< 0 η µορφή ονοµάζεται πλάγια. Σχ. 2.10: Οι διάφορες µορφές της ουράνιας σφαίρας 2.10 Σχέσεις στην άνω µεσουράνηση αστέρα Ένας αστέρας διαγράφοντας την ηµερήσια κίνησή του βρίσκεται στον µεσηµβρινό του τόπου στα σηµεία Σ ΑΜ και Σ ΚΜ, στα οποία όπως ήδη αναφέρθηκε µεσουρανεί πάνω και κάτω από τον ορίζοντα, αντίστοιχα, (Σχ. 2.9). Στα σηµεία αυτά η ωριαία γωνία του αστέρα γίνεται Η=0 και Η=12 h, αντίστοιχα. Στις θέσεις αυτές µπορούµε να βρούµε απλές σχέσεις που συνδέουν το ύψος, ή τη ζενιθιακή απόσταση του αστέρα, µε την απόκλισή του και το γεωγραφικό πλάτος του Τόπου. 14

8 Από το σχήµα 2.9 παρατηρούµε ότι αν η άνω µεσουράνηση ενός αστέρα γίνεται προς Νότο του Ζενίθ του τόπου, η φαινόµενη ηµερήσια τροχιά του τέµνει τον πρώτο κατακόρυφο του τόπου. Ενώ, αν η άνω µεσουράνηση γίνεται προς Βορρά του Ζενίθ του τόπου, δεν τον τέµνει. Αποδεικνύεται εύκολα ότι κατά την άνω µεσουράνηση ενός αστέρα Σ(δ) σε τόπο γεωγραφικού πλάτους φ, ισχύει η σχέση: φ=δ±z (2.3) Όπου το συν, +, ισχύει όταν ο αστέρας µεσουρανεί άνω προς Νότο του Ζενίθ του τόπου και το µείον,, εάν η άνω µεσουράνηση γίνεται προς Βορράν του Ζενίθ του τόπου. Επιπλέον, τα ύψη στην άνω, υ α, και κάτω, υ κ, µεσουράνηση ενός αειφανούς αστέρα και το γεωγραφικό πλάτος του τόπου, φ, συνδέονται µε τη σχέση: φ=(½)(υ α +υ κ ) (2.4) Ενώ παρόµοιες σχέσεις συνδέουν το φ µε τα ύψη υ α και υ κ, του αστέρα, εάν είναι αµφιφανής ή αφανής στον τόπο Εκλειπτική Η Γη κινείται γύρω από τον Ήλιο κατά την ορθή φορά, µε σταθερή εµβαδική ταχύτητα, και διαγράφει σε ένα έτος έλλειψη που τη µια της εστία κατέχει ο Ήλιος. Αποτέλεσµα της κίνησης αυτής είναι µια φαινόµενη κίνηση του Ηλίου πάνω στην ουράνια σφαίρα κατά την ορθή φορά και κατά 1 ο περίπου την ηµέρα. Αν θεωρήσουµε την ουράνια σφαίρα µε κέντρο τον Ήλιο, (Σχ. 2.11), τότε η κίνηση της Γης από τη θέση Γ 1 στη θέση Γ 2 προκαλεί φαινόµενη κίνηση του Ήλιου πάνω στην ουράνια σφαίρα από τη θέση Η 1 στη θέση Η 2. Η τοµή της ουράνιας σφαίρας από την προέκταση του επιπέδου της γήινης τροχιάς είναι η τροχιά της φαινόµενης ετήσιας κίνησης του Ηλίου και ονοµάζεται Εκλειπτική. Το επίπεδο της Εκλειπτικής σχηµατίζει µε τον Ισηµερινό γωνία ε=23 ο 27' που ονοµάζεται λόξωση της Εκλειπτικής. Η διάµετρος ΡΡ' της ουράνιας σφαίρας, που είναι κάθετος στο επίπεδο της Εκλειπτικής, λέγεται άξονας της Εκλειπτικής και τα σηµεία Ρ και Ρ', βόρειος και νότιος πόλος της Εκλειπτικής, αντίστοιχα. Η Εκλειπτική και ο Ισηµερινός τέµνονται κατά τη διάµετρο γγ' που ονοµάζεται γραµµή των ισηµερινών. Το σηµείο γ ονοµάζεται εαρινό ισηµερινό σηµείο ή αναβιβάζων σύνδεσµος (εκεί βρίσκεται ο Ήλιος στις 21 Μαρτίου, και έχει δ Η = 0 ο ), ενώ το γ' ονοµάζεται φθινοπωρινό ισηµερινό σηµείο ή καταβιβάζων σύνδεσµος (εκεί βρίσκεται ο ήλιος στις 22 Σεπτεµβρίου οπότε και πάλι είναι δ Η = 0 ο ). Σχ. 2.11: Εκλειπτική 15

9 Τη διάµετρο Ε'Ε της Εκλειπτικής, την κάθετο στη γ'γ, ονοµάζουµε γραµµή των τροπών ή των ηλιοστασίων. Το σηµείο Ε λέγεται θερινό ηλιοστάσιο (εκεί βρίσκεται ο Ήλιος στις 21 Ιουνίου και έχει δ Η = +23 ο 27'), ενώ το σηµείο Ε' λέγεται χειµερινό ηλιοστάσιο (εκεί βρίσκεται ο Ήλιος στις 22 εκεµβρίου και έχει δ Η = - 23 ο 27'). Ο Ήλιος κατά την ετήσια κίνησή του προβάλλεται διαδοχικά σε δώδεκα αστερισµούς που βρίσκονται σε µια σφαιρική ζώνη που εκτείνεται 8 ο εκατέρωθεν της Εκλειπτικής και λέγεται ζωδιακός κύκλος. Οι αστερισµοί του ζωδιακού κύκλου είναι τα γνωστά µας ζώδια (Κριός, Ταύρος, ίδυµοι, Καρκίνος, Λέων, Παρθένος, Ζυγός, Σκορπιός, Τοξότης, Αιγόκερως, Υδροχόος, Ιχθύες), (Σχήµα & Εικόνα 2.12). Σχήµα & Εικόνα 2.12: Ο Ζωδιακός κύκλος ή η Ζωδιακή Ζώνη 2.12 Εποχές του έτους Η γραµµή των ισηµερινών γγ' και η γραµµή των τροπών Ε'Ε διαιρούν την τροχιά της Γης σε τέσσερα άνισα τµήµατα που αντιστοιχούν στις τέσσερις (4) εποχές του έτους, (Σχ. 2.13). Προφανώς, αν η γραµµή των τροπών συνέπιπτε µε την γραµµή των αψίδων ΑΠ, (µεγάλος άξονας της ελλειπτικής τροχιάς της Γης), τότε η διάρκεια της Άνοιξης θα ήταν ίδια µε τη διάρκεια του Καλοκαιριού και η διάρκεια του Χειµώνα ίδια µε τη διάρκεια του Φθινοπώρου. Από το Σχ. (2.13) προκύπτει ότι η Γη διέρχεται απ το σηµείο Α (αφήλιο) της τροχιάς το καλοκαίρι και απ το σηµείο Π (περιήλιο) τον χειµώνα. Εποµένως, η µεταβολή της θερµοκρασίας σε ένα τόπο κατά τις διάφορες εποχές του έτους δεν εξαρτάται από την απόσταση της Γης από τον Ήλιο, αλλά από τη διάρκεια της ηµέρας και από την κλίση των ηλιακών ακτινών σε σχέση µε τον ορίζοντα του τόπου. Σχ. 2.13: Οι εποχές του έτους 16

10 2.13 Ουρανογραφικές συντεταγµένες Για τον ορισµό των ουρανογραφικών συντεταγµένων, ως βασικός κύκλος λαµβάνεται ο ουράνιος ισηµερινός Ι'ΑΙ και ως πρώτος κάθετος ο ωριαίος του σηµείου γ, γνωστός και ως κόλουρος των ισηµεριών. Η θέση του αστέρα Σ καθορίζεται από τα δύο τόξα γσ Ι και Σ Ι Σ, (Σχήµατα 2.14). Σχήµατα 2.14: Ουρανογραφικές & Εκλειπτικές συντεταγµένες αστέρα εύτερο τρίγωνο θέσης αστέρα ( Άποψη της ουράνιας σφαίρας ως προς ολόκληρη τη Γη) Το τόξο γσ Ι ονοµάζεται ορθή αναφορά α, right ascession, µετριέται πάνω στον ουράνιο ισηµερινό µε αρχή µέτρησης το σηµείο γ κατά την ορθή φορά και παίρνει τιµές από 0 h έως 24 h ή από 0 ο έως 360 ο. Το τόξο Σ Ι Σ είναι η απόκλιση δ, declination, όπως έχει ήδη ορισθεί στο σύστηµα των ισηµερινών συντεταγµένων. Οι ουρανογραφικές συντεταγµένες ενός αστέρα είναι ανεξάρτητες του τόπου και του χρόνου παρατήρησης και γι αυτό χρησιµοποιούνται για τη σύνταξη καταλόγων συντεταγµένων των αστέρων Εκλειπτικές συντεταγµένες Στις εκλειπτικές συντεταγµένες, βασικός κύκλος λαµβάνεται η Εκλειπτική Ε'γ'Εγ και πρώτος κάθετος ο κύκλος που διέρχεται από τους πόλους της εκλειπτικής Ρ,Ρ' και τον αστέρα, (Σχ. 2.8). Η θέση ενός αστέρα Σ καθορίζεται από τα τόξα γσ Ε και Σ Ε Σ. Το τόξο γσ Ε ονοµάζεται εκλειπτικό µήκος λ, ecliptic longitude, µετριέται πάνω στην Εκλειπτική µε αρχή το σηµείο γ κατά την ορθή φορά και παίρνει τιµές από 0 ο έως 360 ο. Το τόξο Σ Ε Σ ονοµάζεται εκλειπτικό πλάτος β, ecliptic latitude, µετριέται πάνω στον κύκλο πλάτους ΡΣΡ' του αστέρα µε αρχή το σηµείο Σ Ε και παίρνει τιµές από 0 ο έως ±90 ο, θετικά προς το βόρειο πόλο της εκλειπτικής και αρνητικά προς το νότιο πόλο της. Τα (λ, β) αποτελούν τις εκλειπτικές συντεταγµένες ενός αστέρα και είναι ανεξάρτητα της ηµερήσιας κίνησης της ουράνιας σφαίρας, γιατί αυτή δεν µεταβάλλει τις σχετικές θέσεις των Σ, γ και Σ Ε. Ο προσδιορισµός των (λ,β) γίνεται µε τη βοήθεια άλλων συστηµάτων συντεταγµένων. Επιπλέον, οι εκλειπτικές συντεταγµένες, όπως οι ουρανογραφικές, είναι ανεξάρτητες από την ηµερήσια κίνηση της ουράνιας σφαίρας καθώς και από τον τόπο. 17

11 Ο ωριαίος κύκλος του αστέρα, ο κύκλος πλάτους και η ουράνια σφαίρα σχηµατίζουν στην επιφάνεια της ουράνιας σφαίρας ένα σφαιρικό τρίγωνο, ένα δεύτερο τρίγωνο θέσης του αστέρα, (λεπτοµέρειες για τα σφαιρικά τρίγωνα δίνονται παρακάτω) Γαλαξιακές συντεταγµένες Στο σύστηµα αυτό βασικός κύκλος είναι ο γαλαξιακός ισηµερινός Γ'Γ και πρώτος κάθετος ο µέγιστος κύκλος QCQ' (Σχ. 2.15). Οι πόλοι Q, Q' έχουν ουρανογραφικές συντεταγµένες: Q.: α Q = 12 h 46 m,6 δ Q = +27 o 40',2 Q': α Q ' = 0 h 46 m,6 δ Q = -27 o 40',2 και το γαλαξιακό κέντρο: C : α c = 17 h 39 m,3, δ c = -28 o 54' Επιπλέον οι γωνίες ΠQC και ε είναι: ΠQC = 123 o και ε = 62 ο 19',8. Τέλος, οι ουρανογραφικές συντεταγµένες των σηµείων Α, Β, (Σχ. 2.15), είναι: α Α = 18 h,8, α Β = 6 h,8. Σχ. 2.15: Γαλαξιακές συντεταγµένες Η θέση ενός αστέρα Σ καθορίζεται από τα τόξα CΣ 1 και Σ 1 Σ. Το τόξο CΣ 1 ονοµάζεται γαλαξιακό µήκος, l, µετριέται πάνω στον γαλαξιακό ισηµερινό µε αρχή το σηµείο C -κατά την ορθή φορά- και παίρνει τιµές από 0 ο έως 360 ο. Το τόξο Σ 1 Σ ονοµάζεται γαλαξιακό πλάτος, b, µετριέται πάνω στο µέγιστο κύκλο που περνάει από τους δύο γαλαξιακούς πόλους Q, Q' και το Σ µε αρχή το Σ 1 και παίρνει τιµές από 0 ο έως ±90 ο, θετικά προς τον πόλο Q και αρνητικά προς τον πόλο Q' Τρίγωνα θέσης αστέρα Οι διάφορες συντεταγµένες ενός αστέρα, όπως ορίστηκαν στα προηγούµενα συστήµατα συντεταγµένων, συνδέονται µεταξύ τους µε σχέσεις που προκύπτουν από την επίλυση ορισµένων σφαιρικών τριγώνων, που είναι γνωστά ως τρίγωνα θέσεως του αστέρα. Σφαιρικό ονοµάζεται ένα τρίγωνο του οποίου και οι τρεις πλευρές είναι τόξα µεγίστων κύκλων µιας σφαίρας και είναι <

12 Σχ.2.16: Τρίγωνα θέσης αστέρα Τα συνήθη σφαιρικά τρίγωνα που σχηµατίζονται από τη θέση ενός αστέρα πάνω στην ουράνια σφαίρα είναι αυτά του σχήµατος (2.16). Επιλύονται µε την βοήθεια ορισµένων σχέσεων της σφαιρικής τριγωνοµετρίας. Εδώ θα περιορισθούµε στους βασικούς τύπους επίλυσης ενός σφαιρικού τριγώνου ΑΒΓ µε γωνίες Α, Β, Γ και πλευρές α, β, γ, (Σχ. 2.17). Νόµος συνηµιτόνου: cosα = cosβ cosγ + sinβ sinγ cosα (2.5) Σχ. 2.17: Το σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ Νόµος ηµιτόνων: sinα sinβ sinγ = = sin A sin B sinγ (2.6) Τύπος των 4 διαδοχικών στοιχείων: cosγ cosα = sinγ cotβ - sinα cotβ (2.7) Τύπος των 5 στοιχείων: sinα cosβ = cosβ sinγ - sinβ cosγ cosα (2.8) Με κυκλική µετάθεση των γωνιών και των πλευρών βρίσκουµε αντίστοιχους τύπους και για τα υπόλοιπα στοιχεία του τριγώνου. 19

13 ΓΕΩΕΙ ΕΣ 2.17 Ακριβές σχήµα της Γης Σε πρώτη προσέγγιση η Γη θεωρείται σφαιρική, έτσι θεωρήθηκε µέχρι τώρα. Εάν η Γη ήταν σφαιρική θα έπρεπε το µήκος τόξου µιας µοίρας να είναι το ίδιο πάνω στον ίδιο µεσηµβρινό, και ανεξάρτητο από το γεωγραφικό πλάτος στο οποίο γίνεται η µέτρηση. Τούτο όµως δεν συµβαίνει, όπως έχουν δείξει διάφορες γεωδαιτικές µετρήσεις από τις οποίες έχει προκύψει ότι το µήκος τόξου µιας µοίρας αυξάνει µε το γεωγραφικό πλάτος. Το ακριβές σχήµα της Γης, το γεωειδές όπως ονοµάζεται, ορίζεται ως η επιφάνεια που είναι κάθετη προς την κατακόρυφο σε κάθε σηµείο της. Κατά προσέγγιση η επιφάνεια αυτή είναι ένα ελλειψοειδές εκ περι-στροφής (περί τον άξονα περι-στροφής της Γης, ΠΠ ). Έτσι οι µεσηµβρινοί της Γης δεν είναι πλέον µέγιστοι κύκλοι, αλλά ελλείψεις µε άξονες R I και R Π επί του ισηµερινού επιπέδου και του κάθετου προς αυτόν, αντίστοιχα (Σχ. 2.18). Η πλάτυνση ϖ του γεωειδούς είναι: Σχ. 2.18: Γεωειδές ϖ = ( R I -R Π )/R Ι ή ϖ = 1/297 (2.9) εάν η ισηµερινή και η πολική ακτίνα της Γης θεωρηθούν ίσες προς R Ι =6378 Km και R Π = 6357 Km, αντίστοιχα. Η εκκεντρότητα e ενός µεσηµβρινού της Γης ορίζεται ως: e = [1-(R Π /R Ι ) 2 ]. Έστω παρατηρητής στη θέση Τ(χ,ψ) του µεσηµβρινού (Σχ. 2.18) και ΤΖ η κάθετος προς την εφαπτοµένη της ελλείψεως στο σηµείο Τ, δηλαδή η κατακόρυφος του τόπου. Αν η ΖΤ προεκτεινοµένη τέµνει την ΚΙ στο σηµείο Α, τότε η γωνία ΖΑΙ είναι εξ ορισµού το γεωγραφικό πλάτος φ του τόπου Τ και το σηµείο Ζ το αστρονοµικό Ζενίθ του. Ενώ η ευθεία που ενώνει το κέντρο της Γης, Κ, µε τον τόπο Τ, προεκτεινοµένη ορίζει το γεωκεντρικό ζενίθ, Ζ, του τόπου και η γωνία Ζ ΚΙ το γεωκεντρικό πλάτος φ του τόπου. Απόκλιση της κατακορύφου στον τόπο Τ ονοµάζεται η γωνία ΖΤΖ =ε, που σχηµατίζουν οι διευθύνσεις του αστρονοµικού και του γεωκεντρικού Ζενίθ. Η απόκλιση της κατακορύφου είναι µηδέν τόσο στον ισηµερινό όσο και στους πόλους της Γης. Είναι προφανές από το σχήµα 2.18, ότι η απόκλιση της κατακορύφου στον τόπο Τ είναι ίση προς την διαφορά του γεωκεντρικού από το γεωγραφικό πλάτος. Είναι δηλαδή: ε=φ-φ. 20

14 Από τις αστρονοµικές παρατηρήσεις προσδιορίζεται το γεωγραφικό πλάτος φ ενός τόπου. Αποδεικνύεται * ότι η απόκλιση της κατακορύφου σε τόπο γεωγραφικού πλάτους φ, συναρτήσει του φ, προσδιορίζεται από τη σχέση: ε = σ ηµ2φ(1-σ συν2φ) +... (όροι ανωτέρας τάξεως) (2.10) όπου το σ είναι µια σταθερά, ίση προς 0,0034, (σ = e 2 /2-e 2 ). Από την εξίσωση της έλλειψης, χ 2 /(R Ι ) 2 + ψ 2 /(R Π ) 2 = 1, και την τοµή της µε την ευθεία ψ = χ εφφ βρίσκουµε τις συντεταγµένες (χ,ψ) του σηµείου Τ που αντιστοιχεί στον τόπο και που είναι: χ 2 = (R Ι ) 4 /[(R Ι ) 2 + (R Π ) 2 εφ 2 φ] ψ 2 = (R Π ) 4 εφ 2 φ/[(r Ι ) 2 + (R Π ) 2 εφ 2 φ] (2.11) Η ακτίνα ΚΤ=R, που αντιστοιχεί στον τόπο Τ του γεωειδούς είναι: R 2 =χ 2 +ψ 2 που βάσει των σχέσεων (2.11) γίνεται: R 2 = {(R Ι ) 4 συν 2 φ + (R Π ) 4 ηµ 2 φ}/{(r Ι ) 2 συν 2 φ + (R Π ) 2 ηµ 2 φ} = (R Ι ) 2 {συν 2 φ(1-ϖ) 4 ηµ 2 φ}/{συν 2 φ(1-ϖ) 2 ηµ 2 φ} από την οποία προκύπτει τελικά το µήκος της ακτίνας R στον τόπο Τ, συναρτήσει του γεωγραφικού πλάτους και της πλάτυνσης, ως: R/R Ι = [1-ϖ/2+(5/16)ϖ 2 ] +(ϖ/2)συν 2 φ - (5/16)ϖ 2 συν 4 φ +... (όροι ανωτέρας τάξεως) (2.12) εάν περιορισθούµε σε όρους µέχρι και ϖ 2 µόνο, δεδοµένης της µικρής τιµής της πλάτυνσης της Γης. * Απόδειξη Από τις σχέσεις: εφφ = ψ/χ και εφφ = (ψ/χ). (R I /R Π ) 2 έχουµε ότι: εφφ = εφφ. (R I /R Π ) 2 και λαµβάνοντας υπόψη και την σχέση της εκκεντρότητας έχουµε: εφ(φ-ε) = (1- e 2 ) εφφ από την οποία προκύπτει ότι: εφε =(e 2 ηµ2φ)/2(1-e 2 ηµ2φ) ή εφε = σ ηµ2φ/(1+σ συν2φ) (2.12β) όπου σ είναι η σταθερά e 2 /(2-e 2 ), η οποία (από την τιµή της e, όπως προκύπτει από τις τιµές των R I και R Π υπολογίζεται ίση µε 0,0034 περίπου. Εποµένως, αναπτύσσοντας την (2.12β) σε σειρά Taylor έχουµε: ε= σ ηµ2φ(1-σ συν2φ) + όρους ανώτερης τάξης ως προς σ. 21

15 ΜΕΤΑΠΤΩΣΗ-ΚΛΟΝΗΣΗ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Σεληνοηλιακή Μετάπτωση Έστω ΟΧ,ΟΥ,ΟΖ οι τρεις κύριοι άξονες αδράνειας του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής µε το οποίο προσοµοιάζεται το γεωειδές. Αν ο άξονας ΟΖ είναι ο άξονας περιστροφής της Γης, πρέπει πάνω του να βρίσκεται ο βόρειος ουράνιος Πόλος ΙΙ, οπότε το επίπεδο ΟΧΥ θα έχει τη θέση του επιπέδου του Ισηµερινού (Σχήµα 2.19). Χάριν ευκολίας ας θεωρήσουµε ότι το εαρινό ισηµερινό σηµείο γ βρίσκεται πάνω στον άξονα ΟΧ. Η διεύθυνση του βορείου πόλου της εκλειπτικής ΟΡ, σχηµατίζει µε τον άξονα ΟΖ γωνία ω όση και η λόξωση της εκλειπτικής και είναι κάθετος στην γογ, έτσι ο βόρειος πόλος της εκλειπτικής βρίσκεται στο επίπεδο ΟΧΥ. Για να εξετάσουµε την επίδραση του Ηλίου και της Σελήνης πάνω στη Γη, ας ξεκινήσουµε αρχικά από τον Ήλιο µόνο και ας τον θεωρήσουµε χάριν ευκολίας σε µια θέση Η κοντά στο θερινό ηλιοστάσιο. Η θέση του Ηλιου και ο άξονας ΟΧ ορίζουν τη θέση ενός επιπέδου, που πρέπει να ταυτίζεται µε το επίπεδο της εκλειπτικής, εφ όσον και η Ογ και ο Ήλιος βρίσκονται πάνω σ αυτήν. Ο Ήλιος έλκει το γεωειδές µε µια δύναµη O 1 F, παράλληλη προς την ευθεία ΟΗ (λόγω της µεγάλης απόστασης Γης-Ηλίου). Το σηµείο Ο 1 εφαρµογής της έλξης του Ηλίου θα συνέπιπτε µε το Ο, αν η Γη ήταν σφαιρική και αποτελούµενη από σφαιρικές στοιβάδες. Το σηµείο Ο 1 βρίσκεται κοντά στο κέντρο της Γης Ο και λίγο πάνω από το επίπεδο ΟΧΥ, δηλ. το επίπεδο του ισηµερινού, λόγω της θέσης στην οποία έχουµε θεωρήσει τον Ήλιο κοντά στο χειµερινό ηλιοστάσιο το σηµείο εφαρµογής της ελκτικής δύναµης θα ήταν κάτω από το επίπεδο του ισηµερινού. Το µέτρο και η διεύθυνση της ελκτικής δύναµης που ασκεί ο Ήλιος στη Γη αλλάζει καθώς ο Ήλιος κινείται, αλλά σε κάθε περίπτωση τείνει να φέρει σε σύµπτωση τα επίπεδα ισηµερινού και εκλειπτικής. Τούτο θα είχε γίνει µε την πάροδο του χρόνου, εάν η Γη δεν περιστρεφόταν γύρω από τον άξονά της. Λόγω της περιστροφής αυτής αναπτύσσεται η ροπή ΟΠ 1. Σχήµα 2.19 Ας εξετάσουµε τώρα τα αποτελέσµατα της ελκτικής δύναµης του Ήλιου O 1 F. Για τον λόγο αυτό θεωρούµε δύο δυνάµεις OF 1 και OF 2, ίσες και αντίθετες προς την O 1 F έχουµε τώρα τρεις δυνάµεις, τις: OF 1,OF 2 και O 1 F. 22

16 Από αυτές στην πρώτη OF 1, οφείλεται η περιφορά της Γης από τον Ήλιο, ενώ οι άλλες δύο αποτελούν ζεύγος δυνάµεων. Η ροπή του ζεύγους αυτών των δυνάµεων, σαν κάθετη στο επίπεδό τους πρέπει να βρίσκεται πάνω στον ισηµερινό. Εποµένως, αναλύεται σε δύο µόνο συνιστώσες, πάνω στους άξονες ΟΧ και ΟΥ, και έστω ΟΡ Χ και ΟΡ Ψ οι συνιστώσες αυτές (προβολές της ροπής του ζεύγους). Από αυτές, η ΟΡ Χ προκαλεί σε χρόνο dt, γωνιώδη ταχύτητα P x dt που µαζί µε τη ροπή ΟΠ 1 δίνει την ΟΠ 2. ηλαδή, ο βόρειος ουράνιος πόλος αλλάζει θέση και έρχεται στη θέση Π 2. Η κίνηση αυτή του πόλου γίνεται κάθετα προς το εκάστοτες τόξο ΡΠ. Έτσι ο βόρειος ουράνιος πόλος Π γράφει έναν κύκλο γύρω από τον πόλο της εκλειπτικής σε διάστηµα 260 αιώνων (σε περίπου χρόνια). Αλλά θα πρέπει και η ευθεία Ογ να αλλάζει θέση, ώστε να είναι κάθετη στη νέα θέση του άξονα του κόσµου. Τούτο έχει σαν αποτέλεσµα την κίνηση του γ επί της εκλειπτικής κατά την ανάδροµη φορά. Το φαινόµενο αυτό είναι γνωστό σαν µετάπτωση των ισηµεριών. Όπως ήδη αναφέρθηκε, µεγάλη επίδραση επί της Γης έχει εκτός από τον Ήλιο και η Σελήνη, η οποία συµβάλλει πολύ περισσότερο από αυτόν στον φαινόµενο της µετάπτωσης. Αν η Σελήνη εκινείτο στο επίπεδο της εκλειπτικής θα είχαµε µια παρόµοια ακριβώς επίδραση, όπως αυτή του Ήλιου. Αλλά το τροχιακό επίπεδο της Σελήνης σχηµατίζει γωνία περίπου 6º µε αυτό της εκλειπτικής. Επί πλέον, οι σύνδεσµοι της τροχιάς της Σελήνης κινούνται επί της εκλειπτικής κατά την ανάδροµη φορά και αλλάζουν θέση κάθε 18,6 χρόνια περίπου. Έτσι η επίδραση των κινήσεων της Σελήνης επί της Γης είναι γενικά πολύπλοκη. Έχει υπολογισθεί ότι η σεληνο-ηλιακή µετάπτωση του εαρινού ισηµερινού σηµείου γ, δηλαδή αυτή που προέρχεται από τον Ήλιο και τη Σελήνη µαζί, είναι ίση προς 50".,3/έτος. ηλαδή, το σηµείο γ µετατοπίζεται πάνω στην Εκλειπτική κατά 50"., 3, κατά την ανάδροµη φορά, σε διάστηµα ενός έτους. Αυτό αντιστοιχεί σε 50"., 3συνω=46,"1 πάνω στον ισηµερινό. Αποδεικνύεται ότι τα 2/3 της µετάπτωσης οφείλονται στην Σελήνη και το 1/3 στον Ήλιο, λόγω της µικρότερης απόστασης της Σελήνης από τη Γη. Η κίνηση του γ πάνω στην εκλειπτική έχει ως αποτέλεσµα την συνεχή αύξηση των εκλειπτικών µηκών όλων των αστέρων. Ενώ τα εκλειπτικά πλάτη δεν επηρεάζονται από τη σεληνοηλιακή µετάπτωση. Μεταβάλλονται όµως οι ουρανογραφικές συντεταγµένες των αστέρων. Επειδή οι τροχιές της Γης γύρω από τον Ήλιο και της Σελήνης γύρω από τη Γη είναι εκλειπτικές και όχι κυκλικές, η επίδραση του Ήλιου και της Σελήνης στην κίνηση του γ δεν είναι σταθερή. Όπως ο άξονας της σβούρας διαγράφει τον κύκλο που βλέπουµε στο σχήµα, έτσι και ο ΠΠ διαγράφει ένα µικρό κύκλο γύρω από τον άξονα της Εκλειπτικής 23

17 Κλόνηση του άξονα του κόσµου Μέχρι τώρα εξετάσθηκαν τα αποτελέσµατα της ροπής ΟΡ Χ και όπως είδαµε λόγω της ροπής αυτής ο άξονας ΟΠ αναγκάζεται να κινηθεί γύρω από τον άξονα της εκλειπτικής. Ας εξετάσουµε τώρα τα αποτελέσµατα της ροπής ΟΡ Ψ. Εξ αιτίας της ο άξονας ΟΠ αλλάξει όχι µόνο τη θέση του αλλά και την κλίση του, ως προς τον άξονα της εκλειπτικής, µε αποτέλεσµα να µεταβάλλεται η τιµή της λόξωσης της εκλειπτικής. Σχήµα 2.20 Η ροπή ΟΡ Ψ µηδενίζεται 4 φορές το χρόνο, όταν ο Ήλιος βρίσκεται στις ισηµερίες (γ & γ ) και στις τροπές (Ε & Ε ). Έτσι το άνυσµα ΟΜ 2 διαγράφει µια ελλειπτική τροχιά περί µια θέση του άξονα ΟΠ 1, µε περίοδο έξη µηνών. Το φαινόµενο είναι γνωστό ως κλόνιση του άξονα του κόσµου, (Σχ. 2.20). Επειδή επί πλέον, το επίπεδο της τροχιάς της Σελήνης σχηµατίζει γωνία 6º περίπου µε το επίπεδο της εκλειπτικής και οι σύνδεσµοι της σεληνιακής τροχιάς αλλάζουν κάθε 18,6 έτη, έχουµε µια κλονητική κίνηση του άξονα του κόσµου και µεταβολή της λόξωσης της εκλειπτικής µε περίοδο 18,6 ετών Πλανητική Μετάπτωση Όπως αναφέραµε παραπάνω, ο ουράνιος ισηµερινός αλλάζει θέση καθώς ο άξονας του κόσµου κινείται γύρω από τον άξονα της εκλειπτικής. Αλλά και οι αµοιβαίες έλξεις των πλανητών δηµιουργούν µια µικρή µετατόπιση του επιπέδου της εκλειπτικής που είναι γνωστή σαν πλανητικής µετάπτωση. Αποτέλεσµα της πλανητικής µετάπτωσης είναι η µετακίνηση του εαρινού ισηµερινού σηµείου γ πάνω στον ισηµερινό κατά την ορθή φορά κατά 0.,"13/έτος. Αυτό έχει σαν συνέπεια την µείωση των ορθών αναφορών όλων των αστέρων κατά 0," 3/έτος. Οι αποκλίσεις των αστέρων δεν επηρεάζονται από την πλανητική µετάπτωση. Αποτέλεσµα της πλανητικής µετάπτωσης είναι η µετακίνηση του εαρινού ισηµερινού σηµείου γ πάνω στον ισηµερινό κατά την ορθή φορά κατά 0.,"13/έτος. Οι αποκλίσεις των αστέρων δεν επηρεάζονται από την πλανητική µετάπτωση Αποτελέσµατα της Μετάπτωσης και της Κλόνησης Στο σχήµα 2.21 βλέπουµε το αποτέλεσµα του συνδυασµού των δύο φαινοµένων της µετάπτωσης και της κλόνησης. 24

18 Σχήµα 2.21: Μετάπτωση και Κλόνηση Επιπλέον, στο σχήµα 2.22 βλέπουµε τις διάφορες θέσεις του βόρειου ουράνιου Π, από το π.χ. µέχρι το µ.χ. και φυσικά τη σηµερινή του θέση, η οποία είναι πολύ κοντά στον Πολικό αστέρα. Σχήµα 2.22: Κίνηση του βόρειου ουράνιου πόλου Π γύρω από τον πόλο της Εκλειπτικής και οι διάφορες θέσεις του ανάµεσα στους αστέρες από το π.χ. έως το µ.χ. 25

19 ΠΕΡΙ ΧΡΟΝΟΥ Η µέτρηση του χρόνου βασίζεται στην περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονά της. Η περιστροφή αυτή θεωρείται ότι είναι µε µεγάλη ακρίβεια οµαλή. Καθώς η Γη περιστρέφεται, τα ουράνια σώµατα φαίνονται να κινούνται από ανατολικά προς δυτικά περνώντας κάθε ηµέρα απ τον µεσηµβρινό ενός τόπου. Εποµένως η µέτρηση του χρόνου µπορεί ν αναχθεί στη µέτρηση της ωριαίας γωνίας συγκεκριµένου αστέρα ή ενός σταθερού σηµείου της ουράνιας σφαίρας. Καθώς η ουράνια σφαίρα φαίνεται να περιστρέφεται από ανατολικά προς δυτικά, η ωριαία γωνία ενός σηµείου της ουράνιας σφαίρας αυξάνεται οµαλά µε τον χρόνο. Ανάλογα µε το σηµείο που εκλέγουµε για να µετρήσουµε την ωριαία γωνία, έχουµε και τα διάφορα συστήµατα χρόνου Αστρικός και αληθής ηλιακός χρόνος Ως αστρικός χρόνος, t, ενός τόπου ορίζεται η ωριαία γωνία του σηµείου γ στον τόπο αυτό. ηλαδή t = Η γ (2.13) Αν αντί του σηµείου γ θεωρήσουµε κάποιον αστέρα Σ, τότε: t = Η Σ + α Σ (2.14) Ο αληθής ηλιακός χρόνος Α ενός τόπου ορίζεται ως η ωριαία γωνία του αληθούς Ήλιου στον τόπο αυτό, αυξηµένη κατά 12 h. ηλαδή Α = Η Α + 12 h (2.15) Αστρική και αληθής ηλιακή ηµέρα Ηµέρα ονοµάζεται γενικά το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί µεταξύ δύο διαδοχικών άνω ή κάτω µεσουρανήσεων ενός σηµείου της ουράνιας σφαίρας στον ίδιο µεσηµβρινό. ιακρίνουµε την αστρική ηµέρα (εάν ως σηµείο της ουράνιας σφαίρας θεωρήσουµε το σηµείο γ) και την αληθή ηλιακή ηµέρα (εάν ως σηµείο της ουράνιας σφαίρας θεωρήσουµε το κέντρο του δίσκου του αληθούς Ήλιου). Αρχή της αστρικής ηµέρας σε έναν τόπο λαµβάνεται η στιγµή της άνω µεσουράνησης του σηµείου γ στον τόπο αυτό, ενώ ως αρχή της αληθούς ηλιακής ηµέρας η στιγµή της κάτω µεσουράνησης του αληθούς Ήλιου στον τόπο (αληθές µεσονύκτιο). Η αστρική ηµέρα δεν είναι ακριβώς ίση µε την περίοδο περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της, γιατί το σηµείο γ δεν είναι ένα εντελώς σταθερό σηµείο της ουράνιας σφαίρας, αλλά κινείται κατά 50",3 το έτος πάνω στην εκλειπτική κατά την ανάδροµη φορά λόγω του φαινόµενου της µετάπτωσης. Αυτό έχει ως συνέπεια η αστρική ηµέρα να είναι µικρότερη από την περίοδο περιστροφής της Γης κατά 0,008 sec περίπου. Ούτε όµως και η διαφορά αυτή είναι σταθερή, γιατί η κίνηση του γ πάνω στην εκλειπτική δεν είναι οµαλή. Εξ άλλου γνωρίζουµε ότι ο Ήλιος διαγράφει την εκλειπτική σε ένα έτος κατά την ορθή φορά. Εποµένως, η ορθή αναφορά του (γωνιώδης απόσταση του 'Ήλιου από το σηµείο γ πάνω στον ουράνιο ισηµερινό) αυξάνεται κάθε ηµέρα κατά 1 ο περίπου, µε αποτέλεσµα η άνω µεσουράνησή του 26

20 (αληθής µεσηµβρία) να γίνεται 4 λεπτά (1 ο αντιστοιχεί σε 4 λεπτά) αργότερα απ την στιγµή της µεσουράνησης της προηγούµενης ηµέρας. Αυτό σηµαίνει ότι η αληθής ηλιακή ηµέρα είναι µεγαλύτερη από την περίοδο περιστροφής της Γης κατά 4 λεπτά της ώρας περίπου. Αλλά και πάλι ούτε αυτή η διαφορά είναι σταθερή λόγω της µη οµαλής κίνησης του Ήλιου πάνω στην εκλειπτική µε αποτέλεσµα η αληθής ηλιακή ηµέρα να µην είναι σταθερό διάστηµα χρόνου κατά τη διάρκεια του έτους. Αντί του γ θεωρούµε το ονοµαζόµενο µέσο εαρινό ισηµερινό σηµείο γ ο, το οποίο κινείται οµαλά πάνω στην Εκλειπτική λόγω µετάπτωσης, αλλά έχει απαλλαγεί από την κλονητική κίνηση και µε αυτό ορίζουµε τον µέσο αστρικό χρόνο. Οι διαφορές ανάµεσα στον αστρικό χρόνο και τον µέσο αστρικό είναι πολύ µικρές και γι αυτό στην πράξη δεν λαµβάνονται υπόψη Μέσος ηλιακός χρόνος Για τους λόγους που αναφέρθηκαν παραπάνω, τόσο ο αστρικός όσο και ο αληθής ηλιακός χρόνος κρίθηκαν ακατάλληλοι για τις καθηµερινές ανάγκες των ανθρώπων. Γι αυτό θεσπίστηκε να γίνεται η µέτρηση του χρόνου µε τη βοήθεια ενός φανταστικού 'Ήλιου που ονοµάζουµε µέσο Ήλιο. Για τον µέσο 'Ήλιο δεχόµαστε ότι κινείται οµαλά πάνω στον ουράνιο ισηµερινό και διατρέχει την περιφέρειά του σε χρόνο ίσο µε αυτόν όπου χρειάζεται ο αληθής Ήλιος για να διατρέχει την εκλειπτική, δηλαδή ένα έτος. Ως µέσος ηλιακός χρόνος Μ ενός τόπου ορίζεται η ωριαία γωνία του µέσου 'Ήλιου στον τόπο αυτό αυξηµένη κατά 12 h. ηλαδή Μ = Η Μ + 12 h (2.16) και µέση ηλιακή ηµέρα λέγεται το χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο διαδοχικών άνω µεσουρανήσεων του µέσου Ήλιου. Για πρακτικούς λόγους και η µέση ηλιακή ηµέρα αρχίζει από τη στιγµή της κάτω µεσουράνησης του µέσου Ήλιου σε κάποιο τόπο (µέσο µεσονύκτιο) Εξίσωση του χρόνου Εξίσωση του χρόνου Ε ονοµάζεται η διαφορά του µέσου από τον αληθή ηλιακό χρόνο σε κάποια χρονική στιγµή κατά τη διάρκεια του έτους. ηλαδή: Ε = Α - Μ = Η Α - Η Μ (2.17) Η τιµή της εξίσωσης του χρόνου Ε κατά τη διάρκεια του έτους κυµαίνεται από +16 m µέχρι -14 m και µηδενίζεται 4 φορές, (Σχ. 2.23). Σχ

21 Παγκόσµιος Χρόνος Επειδή οι προηγουµένως αναφερθέντες χρόνοι είναι τοπικοί και δεν ικανοποιούν τις απαιτήσεις της καθηµερινής δραστηριότητας των ανθρώπων η Γη διαιρέθηκε σε 24 ατράκτους, (Σχ. 2.24). Κάθε άτρακτος έχει πλάτος 15 ο (360 ο :24). Μηδενική ονοµάζεται η άτρακτος εκείνη που ο κεντρικός µεσηµβρινός της περνάει από το παλιό αστεροσκοπείο του Greenwich και εκτείνεται 7,5 ο εκατέρωθεν αυτού. Στη συνέχεια έχουµε 11 ατράκτους δυτικά και 11 ανατολικά (από ±7,5 ο µέχρι ±22,5 ο η πρώτη κ.ο.κ.) του Greenwich και την εκ διαµέτρου αντίθετη της µηδενικής, όπου γίνεται η αλλαγή της ηµεροµηνίας. Παγκόσµιος χρόνος (Universal Time U.T.) λέγεται ο µέσος ηλιακός χρόνος του Greenwich (M G ), δηλαδή U.T. = M G. Σχήµα 2.24: Ωριαίες άτρακτοι Γης Επίσηµος χρόνος Επίσηµος χρόνος ή πολιτικός χρόνος ενός κράτους λέγεται ο µέσος ηλιακός χρόνος του κεντρικού µεσηµβρινού της ατράκτου στην οποία ανήκει το κράτος. Μεγάλα κράτη που καταλαµβάνουν πολλές ατράκτους έχουν πολλούς επίσηµους χρόνους (π.χ. ο Καναδάς, οι Η.Π.Α. κλπ). Ορισµένα κράτη που βρίσκονται µεταξύ δύο ατράκτων υιοθετούν το χρόνο της µίας ως επίσηµο π.χ. η Ελλάδα: βρίσκεται µεταξύ 1 ης και 2 ης ανατολικά του Greenwich ατράκτου και έχει υιοθετήσει ως επίσηµο χρόνο, τον χρόνο της δεύτερης. Από τους πιο πάνω ορισµούς είναι προφανές ότι οι επίσηµοι χρόνοι των κρατών που βρίσκονται σε διαφορετικές ατράκτους θα διαφέρουν σε κάποια χρονική στιγµή κατά ακέραιο αριθµό ωρών ν απ τον παγκόσµιο χρόνο. Ισχύει δηλαδή U.Τ. Μ G = M K + ν (2.18) όπου ν>0 για κράτη δυτικά του Greenwich και ν<0 για ανατολικά. (Για την Ελλάδα ν = -2 h ). Για οικονοµικούς και µόνο σκοπούς χρησιµοποιείται η λεγόµενη θερινή ώρα. Η εφαρµογή της ή όχι αποτελεί αρµοδιότητα πολιτικών φορέων και δεν έχει καµµία απολύτως σχέση µε το αστρονοµικό γίγνεσθαι. 28

22 Σχέση χρόνου-γεωγραφικού µήκους Για κάποιο τόπο Τ (π.χ. µια πόλη ενός κράτους), η σχέση (2.18) γίνεται : U.Τ. Μ G = M T + λ Τ (2.19) όπου λ Τ το γεωγραφικό µήκος του τόπου και Μ Τ ο µέσος ηλιακός χρόνος του τόπου Τ. Και πάλι ισχύει λ Τ > 0 για τόπους δυτικά του Greenwich και λ Τ < 0 για τόπους ανατολικά του Greenwich. Γενικά ισχύει : X G = X T + λ Τ (2.20) όπου Χ κάποιος χρόνος αστρικός, αληθής ή µέσος ηλιακός στο Greenwich, X G, και στον τόπο Τ, Χ Τ. Το γεωγραφικό µήκος λ Τ του τόπου λαµβάνεται θετικό ή αρνητικό ανάλογα µε το πού βρίσκεται ο τόπος: δυτικά του Greenwich : θετικό ανατολικά του Greenwich : αρνητικό. Σχήµα 2.25: Σχέση χρόνου γεωγραφικού µήκους Αστρικός χρόνος µέσου µεσονυκτίου του Greenwich Αστρικός χρόνος µέσου µεσονυκτίου του Greenwich t o ονοµάζεται ο αστρικός χρόνος του Greenwich, όταν ο Παγκόσµιος χρόνος είναι 0 h 0 m 0 S, δηλαδή όταν έχουµε µέσο µεσονύκτιο στο Greenwich. Οι τιµές του t o δίνονται από τις αστρονοµικές εφηµερίδες. Μεταξύ αστρικού χρόνου t G στο Greenwich, t o, και παγκόσµιου χρόνου M G ισχύει η σχέση: 366 t = t M (2.21) G (Για το πως προκύπτει η παραπάνω σχέση δες ). 0 G Ατοµικός χρόνος και χρόνος εφηµερίδων Σε ότι αναφέρθηκε πιο πριν, η περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονά της θεωρήθηκε οµαλή. Αυτό, που δεν είναι απόλυτα σωστό, διαπιστώθηκε µετά την ανακάλυψη των ρολογιών quartz. Τα ατοµικά ρολόγια δίνουν ακόµη πιο ακριβή χρόνο από αυτόν που δίνουν τα quartz. Ο χρόνος αυτός ονοµάζεται ατοµικός. Ο ατοµικός χρόνος επειδή είναι ανεξάρτητος από τις αστρονοµικές παρατηρήσεις χρησιµοποιείται για τον έλεγχο της περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της. 29

23 Χρόνος εφηµερίδων (ephemeris time) ονοµάζεται αυτός που προκύπτει από την εφαρµογή του νόµου του Νεύτωνα στην Ουράνια Μηχανική. Για τον λόγο αυτό ονοµάζεται και Νευτώνειος χρόνος. Ουσιαστικά είναι η ανεξάρτητη µεταβλητή στις εξισώσεις κίνησης του Ήλιου, της Σελήνης και των πλανητών και υπολογίζεται συγκρίνοντας το χρόνο που βρίσκεται θεωρητικά από τις εξισώσεις κίνησης (των σωµάτων που αναφέραµε πιο πριν) και αυτού που προκύπτει από τις παρατηρήσεις των θέσεων της Σελήνης ή των τεχνητών δορυφόρων Μήνες και έτη Μήνας ονοµάζεται το χρονικό διάστηµα που απαιτείται έτσι ώστε η Σελήνη ξεκινώντας από κάποιο σηµείο της τροχιάς της, να κάνει µια πλήρη περιφορά γύρω από τη Γη και να επανέλθει στο ίδιο σηµείο απ' όπου ξεκίνησε. Ανάλογα µε το σηµείο εκκίνησης της Σελήνης διακρίνουµε διάφορους µήνες, που ο καθένας τους έχει διαφορετική διάρκεια, λόγω των ιδιαιτέρων κινήσεων που εκτελεί το σηµείο αυτό. Οι µήνες, ξεκινώντας από τον µικρότερο, είναι οι: δρακόντειος ή συνδεσµικός, τροπικός, αστρικός και ανωµαλιακός. Η διάρκειά τους είναι 27 ηµέρες και κάποιες ώρες και οι µεταξύ των διαφορές περιορίζονται σε λίγες ώρες. Οι διαφορές στη διάρκεια των προαναφερθέντων µηνών προέρχονται από το γεγονός ότι η γραµµή των ισηµεριών (γγ') και η γραµµή των συνδέσµων της σεληνιακής τροχιάς κινούνται κατά την ανάδροµη φορά, αλλά η δεύτερη κινείται ταχύτερα, ενώ η γραµµή των αψίδων κινείται κατά την ορθή φορά. Εκτός από τους παραπάνω αναφερθέντες µήνες υπάρχει και ο συνοδικός, που αντιστοιχεί στο χρονικό διάστηµα ανάµεσα σε δυο διαδοχικές οµώνυµες φάσεις της Σελήνης. Η διάρκειά του -29,53 ηµέρες- είναι µεγαλύτερη από αυτή όλων των άλλων. Ονοµάζουµε έτος το χρονικό διάστηµα που χρειάζεται ο Ήλιος, ξεκινώντας από κάποιο σηµείο της «τροχιάς» του, να διαγράψει την εκλειπτική και να επανέλθει στο ίδιο σηµείο. Όπως και στην περίπτωση των µηνών διακρίνουµε διάφορα έτη, ανάλογα µε το σηµείο εκκίνησης του Ήλιου. Έτσι το αστρικό, το τροπικό και το ανωµαλιακό έτος, έχουν ως αρχή µέτρησης ένα σταθερό σηµείο της εκλειπτικής, το σηµείο γ και το περιήγειο της φαινόµενης ελλειπτικής τροχιάς του Ήλιου, αντίστοιχα. Επειδή το σηµείο γ κινείται κατά την ανάδροµη φορά πάνω στην εκλειπτική κατά 50,3''/έτος και η γραµµή των αψίδων κατά την ορθή φορά κατά 12 ο περίπου, το ανωµαλιακό έτος είναι αυτό µε τη µεγαλύτερη διάρκεια. Η διάρκεια των παραπάνω αναφερθέντων ετών σε µέσες ηλιακές ηµέρες είναι: αστρικό 365,2564 τροπικό 365,2422 ανωµαλιακό 365,2596 Επειδή επιπλέον το τροπικό έτος έχει 366,2422 αστρικές ηµέρες, µπορούµε να µετατρέψουµε ένα χρονικό διάστηµα µέσου χρόνου ( Μ) σε διάστηµα αστρικού χρόνου ( t) µε τη βοήθεια της σχέσης: M = t (2.22) Για πρακτικούς λόγους, θα πρέπει το έτος που χρησιµοποιούµε ως µονάδα µέτρησης του χρόνου στην καθηµερινή µας ζωή, να έχει ακέραιο αριθµό ηµερών. 30

24 Κανένα από τα προαναφερθέντα έτη δεν έχει αυτή την ιδιότητα. Έτσι ορίστηκε το πολιτικό έτος µε ακέραιο αριθµό ηµερών. Ενώ, για να εξασφαλίζεται η οµαλή διαδοχή των εποχών, ως βάση του πολιτικού έτους λαµβάνεται το τροπικό έτος. Για τους ίδιους πρακτικούς λόγους οι µήνες του έτους έχουν ακέραιο αριθµό ηµερών Ιουλιανή ηµεροµηνία Σε αρκετές αστρονοµικές παρατηρήσεις, κυρίως µεταβλητών αστέρων, χρησι- µοποιείται ως χρόνος µέτρησης η Ιουλιανή ηµεροµηνία, (Julian date). Αρχή µέτρησης αυτής είναι η µέση µεσηµβρία της 1 ης Ιανουαρίου του π.χ. Επιπλέον γίνονται αναγωγές στον Ήλιο, οπότε παίρνουµε τη λεγόµενη ηλιακή Ιουλιανή ηµεροµηνία, (Hel. JD). Με τον τρόπο αυτό είναι δυνατή η σύγκριση των παρατηρήσεων ανεξάρτητα από τον τόπο απόπου αυτές πραγµατοποιούνται Εφαρµογές ανάλυσης τριγώνου θέσης αστέρα Ανατολή- ύση αστέρα Εστω ΠΖ(Σ Α ή Σ ) το τρίγωνο θέσης ενός αστέρα τη στιγµή της ανατολής ή της δύσεώς του. Όπως παρατηρούµε από τα σχήµατα (2.26) υπάρχει διαφορά ανάµεσα στις δύο θέσεις του αστέρα που προέρχεται από τις διαφορετικές γωνίες που σχηµατίζουν τα τόξα ΠΖ & Ζενίθ-θέση αστέρα και ΠΖ & Βόρειος ουράνιος πόλοςθέση αστέρα. Κι αν µεν ο αστέρας βρίσκεται στην ανατολή, Σ Α, η γωνία ΠΖΣ Α είναι (360 -Α Α ) και η ΖΠΣ Α Η Α, όπου Α Α το αζιµούθιο και Η Α η ωριαία γωνία τη στιγµή της ανατολής. Ενώ αν ο αστέρας βρίσκεται στη δύση, η γωνία ΠΖΣ είναι (180 -Α ) και η ΖΠΣ Η, όπου Α το αζιµούθιο και Η η ωριαία γωνία τη στιγµή της δύσης του αστέρα. Χάριν ευκολίας ας θεωρήσουµε τον αστέρα στη δύση του. Σχήµατα 2.26: Τρίγωνα θέσης του αστέρα στη δύση & στην ανατολή του 31

25 Εφαρµόζοντας τον τύπο του συνηµιτόνου για την πλευρά z=90 ο, στο τρίγωνο ΠΖΣ, έχουµε: από την οποία προκύπτει: συν90 ο =συν(90 ο -φ)συν(90 ο -δ)+ηµ(90 ο -φ)ηµ(90 ο -δ)συνη συνη =-εφφεφδ (2.23) Από τη σχέση αυτή υπολογίζονται οι τιµές των ωριαίων γωνιών (δηλαδή ουσιαστικά οι χρόνοι) ανατολής και δύσης του αστέρα στον Τόπο. Από τις δύο τιµές που προέρχονται από τη σχέση (1.30), η µικρότερη των 180 ο ή 12 ω αντιστοιχεί στη δύση και η µεγαλύτερη στην ανατολή του αστέρα. Όµοια από την πλευρά (90 ο -δ) στο ίδιο τρίγωνο ΠΖΣ, έχουµε: συν(90 ο -δ) =συν(90 ο -φ)συν90 ο +ηµ(90 ο -φ)ηµ90 ο συν(180 ο -Α) η οποία γίνεται: συνα=-(ηµφ/συνδ) (2.24) Από αυτήν υπολογίζονται τα αζιµούθια (δηλαδή οι θέσεις) ανατολής και δύσης του αστέρα στον Τόπο. Και πάλι από τις δύο τιµές που προέρχονται από τη σχέση (2.24), η µικρότερη από 180 ο είναι αυτή που αντιστοιχεί στη δύση του αστέρα. Επειδή οι τιµές των ωριαίων γωνιών και των αζιµουθίων στην ανατολή και στη δύση ενός αστέρα σ ένα τόπο εξαρτώνται µόνο από το γεωγραφικό πλάτος φ του Τόπου και την απόκλιση δ του αστέρα, καταλήγουµε στο συµπέρασµα: Σε συγκεκριµένο τόπο, συγκεκριµένος αστέρας, ανατέλλει και δύει στα ίδια σηµεία του ορίζοντα και τις ίδιες χρονικές στιγµές κάθε φορά. Για να έχουν λύσεις οι παραπάνω σχέσεις (2.23) & (2.24), θα πρέπει: ηµφ/συνδ <1 και εφφεφδ <1 (2.25) Από αυτές προκύπτει ότι θα πρέπει: 180 ο -φ>90 ο -δ>φ, δηλαδή η σχέση που ισχύει για αµφιφανείς αστέρες. Πράγµατι µόνο σε αυτή την περίπτωση ο αστέρας ανατέλλει και δύει στον Τόπο Ανατολή- ύση Ηλίου Οι σχέσεις (2.23) & (2.24) που ισχύουν στην ανατολή και στη δύση ενός αστέρα Σ(δ) σε τόπο γεωγραφικού πλάτους φ, ισχύουν και για την ανατολή και τη δύση του Ήλιου στον τόπο. Καθώς όµως ο Ήλιος κινείται στη φαινόµενη ελλειπτική τροχιά του και προβάλλεται στα διάφορα σηµεία της Εκλειπτικής κατά τη διάρκεια ενός έτους, η απόκλισή του µεταβάλλεται λαµβάνοντας τιµές από -23 ο 27' µέχρι +23 ο 27' και µηδενίζεται δύο φορές το χρόνο. Αναλυτικά: Την 21 η Μαρτίου εκάστου έτους ο Ήλιος προβάλλεται στο εαρινό ισηµερινό σηµείο γ και η απόκλισή του είναι δ =0 ο. Από την εξίσωση (2.24) υπολογίζουµε τις τιµές των αζιµουθίων της ανατολής (Α Α ) και της δύσης (Α ) του Ήλιου, που είναι αντίστοιχα: Α Α =270 ο και Α Α =90 ο 32

26 ηλαδή την 21 η Μαρτίου εκάστου έτους ο Ήλιος ανατέλλει και δύει ακριβώς στα σηµεία Ανατολής και ύσης ενός τόπου. Στη συνέχεια και καθώς η απόκλιση του Ήλιου γίνεται θετική, το συνα γίνεται αρνητικό και από τη σχέση (2.24) έχουµε ότι: 180 ο <Α Α <270 ο και 90 ο < Α Α <180 ο δηλαδή ο Ήλιος ανατέλλει και δύει ηµέρα µε την ηµέρα όλο και βορειότερα από τα σηµεία Ανατολής και ύσης του τόπου, (για φ>0). Τούτο συµβαίνει µέχρι την 21 η Ιουνίου, οπότε η απόκλιση του Ήλιου παίρνει την πιο µεγάλη θετική της τιµή, (δ =23 ο 27') και έχουµε τις ακρότατες προς βορρά τιµές για τα αζιµούθια της ανατολής και της δύσης του Ήλιου που προσδιορίζονται από τη σχέση: συνα=-ηµω/συνφ Μετά την 21 η Ιουνίου η απόκλιση του Ήλιου αρχίζει να ελαττώνεται και τα σηµεία ανατολής και δύσης του «οπισθοδροµούν» προς τα σηµεία Ανατολής και ύσης του Τόπου, στα οποία έρχονται την 22 α Σεπτεµβρίου, όταν ο Ήλιος προβάλλεται στο φθινοπωρινό ισηµερινό σηµείο γ' και η απόκλισή του µηδενίζεται και πάλι. Στη συνέχεια η απόκλιση του Ήλιου γίνεται αρνητική και έχουµε επανάληψη του φαινοµένου, αλλά κατά την αντίθετη έννοια. ηλαδή τα σηµεία ανατολής και δύσης του Ηλίου µετατίθενται τώρα µέρα µε τη µέρα όλο και νοτιότερα µέχρι την 22 α εκεµβρίου, που η απόκλιση του Ήλιου παίρνει την µικρότερη αρνητική της τιµή (δ =-23 ο 27'). Κατόπιν πλησιάζουν ξανά προς τα σηµεία Ανατολής και ύσης στα οποία έρχονται την 21 η Μαρτίου και ο κύκλος επαναλαµβάνεται. Από όσα αναφέρθηκαν πιο πριν, για τόπους του βορείου ηµισφαιρίου (φ>0), από την εαρινή µέχρι τη φθινοπωρινή ισηµερία (δηλαδή από την 21 η Μαρτίου µέχρι την 22 α Σεπτεµβρίου) το ηµερήσιο τόξο του Ήλιου είναι µεγαλύτερο από το νυκτερινό (δηλαδή η ηµέρα µεγαλύτερη από τη νύκτα). Ιδιαίτερα µετά την εαρινή ισηµερία, που η ηµέρα είναι ίδια µε τη νύκτα και ισούται µε 12 ώρες, η διάρκεια της ηµέρας αυξάνει συνεχώς και παίρνει τη πιο µεγάλη της τιµή στη θερινή τροπή. Από κει και πέρα ελαττώνεται σιγά-σιγά και γίνεται και πάλι ίση µε 12 ώρες στη φθινοπωρινή ισηµερία. Μετά αρχίζει να ελαττώνεται λίγο-λίγο και παίρνει την πιο µικρή της τιµή την 22 α εκεµβρίου, δηλαδή στη χειµερινή τροπή. Μετά αυξάνει σιγά-σιγά µέχρι να έχουµε και πάλι ισηµερία. Τα ακριβώς αντίθετα συµβαίνουν τις ίδιες περιόδους για τόπους του νοτίου ηµισφαιρίου. 33

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Δημήτρης Δεληκαράογλου Αναπλ. Καθ., Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επισκ.

Διαβάστε περισσότερα

Να το πάρει το ποτάµι;

Να το πάρει το ποτάµι; Να το πάρει το ποτάµι; Είναι η σκιά ενός σώµατος που το φωτίζει ο Ήλιος. Όπως η σκιά του γνώµονα ενός ηλιακού ρολογιού που µε το αργό πέρασµά της πάνω απ τα σηµάδια των ωρών και µε το ύφος µιας άλλης εποχής

Διαβάστε περισσότερα

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης ΗλιακήΓεωµετρία Γιάννης Κατσίγιαννης ΗηλιακήενέργειαστηΓη Φασµατικήκατανοµήτηςηλιακής ακτινοβολίας ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιο ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιοµπορεί να αναλυθεί σε δύο κύριες συνιστώσες: Περιφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ Η κίνηση των πλανητών είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης 2 κινήσεων: μίας περιστροφής γύρω από τον Ήλιο, η περίοδος της οποίας μας δίνει το έτος κάθε πλανήτη, και πραγματοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Αναγνωστοπούλου Στρατηγούλα (5553), Σταυρίδη Δήμητρα (5861) 1 ΛΙΓΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1.1 Η κίνηση της Γης Η Γη κινείται με τρεις τρόπους: περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της σε 24h,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Παρατήρησης

Πρόγραμμα Παρατήρησης Πρόγραμμα Παρατήρησης Η αναζήτηση του ζοφερού ουρανού Άγγελος Κιοσκλής Οκτώβριος 2005 ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ * η παρατήρηση πραγματοποιείται κατά προτίμηση όταν η Σελήνη δεν εμφανίζεται στον ουρανό, διότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007 ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΔΙΟΝΥΣΟΥ Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 157 80 Ζωγράφος Αθήνα Τηλ.: 210 772 2666 2668, Fax: 210 772 2670 ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

συν[ ν Από τους υπολογισμούς για κάθε χαρακτηριστική ημέρα του χρόνου προκύπτει ότι η ένταση της ηλιακής ενέργειας στη γη μεταβάλλεται κατά ± 3,5%.

συν[ ν Από τους υπολογισμούς για κάθε χαρακτηριστική ημέρα του χρόνου προκύπτει ότι η ένταση της ηλιακής ενέργειας στη γη μεταβάλλεται κατά ± 3,5%. 1. ΗΛΙΑΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Το θεωρητικό δυναμικό, δηλαδή το ανώτατο φυσικό όριο της ηλιακής ενέργειας που φθάνει στη γή ανέρχεται σε 7.500 Gtoe ετησίως και αντιστοιχεί 75.000 % του παγκόσμιου ενεργειακού ισοζυγίου.

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο

3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο Σηµειώσεις ΑΠΕ Ι Κεφ. 3 ρ Π. Αξαόπουλος Σελ. 1 3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο Η γνώση της ηλιακής ακτινοβολίας που δέχεται ένα κεκλιµένο επίπεδο είναι απαραίτητη στις περισσότερες εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë Tα βασικά σημεία του μαθήματος Η Γη είναι ένα ουράνιο σώμα, που κινείται συνεχώς στο διάστημα. Το σχήμα της είναι γεωειδές, δηλαδή είναι ελαφρά συμπιεσμένο στις κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Οδηγός για τον εκπαιδευτικό Περιεχόμενα Προετοιμασία δραστηριότητας Α. Υλικά και φύλλα εργασίας 3 Β. Εγκατάσταση του προγράμματος "Google

Διαβάστε περισσότερα

AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΙΙ: Ο ΗΛΙΟΣ

AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΙΙ: Ο ΗΛΙΟΣ AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΙΙ: Ο ΗΛΙΟΣ 1. Ο Ήλιος μας είναι ένας από τους μεγαλύτερους αστέρες της περιοχής μας, του Γαλαξία μας αλλά και του σύμπαντος (NASA Science, εικόνα 1), όντας ο μοναδικός στο ηλιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ;

ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ; ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ; Α) Ακτίνα αστέρων (Όγκος). Στον Ήλιο, και τον Betelgeuse, μπορούμε να μετρήσουμε απευθείας τη γωνιακή διαμέτρο, α, των αστεριών. Αν γνωρίζουμε αυτή τη γωνία, τότε: R ( ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1

Στροφορµή. ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1 Στροφορµή ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1 ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 2 Στροφορµή q Ένα από τα βασικά µεγέθη που σχετίζονται µε την περιστροφική κίνηση είναι η στροφορµή q Θυµηθείτε ότι για µάζα m που κινείται µε ταχύτητα v

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας Γιώργος Νικολιδάκης 9/18/2013 1 Κωνικές Τομές Είναι καμπύλες που σχηματίζονται καθώς επίπεδα τέμνουν με διάφορες γωνίες επιφάνειες κώνων. Παραβολή Έλλειψη -κύκλος Υπερβολή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Απριλίου, 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση. Γενικές οδηγίες: 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Μη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Μη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς Στην Εισαγωγή στη Μηχανική, πριν το Κεφάλαιο 1, είδαµε ότι ο εύτερος Νόµος του Νεύτωνα ισχύει µόνο για αδρανειακούς παρατηρητές, δηλαδή για παρατηρητές που είτε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές

1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές 1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές Διάλεξη 10 η Ομαλή κυκλική κίνηση Δθ = ω = σταθερό Δt X = Rσυν (ωt) => X 2 +Υ 2 = R 2 Υ = Rημ(ωt) Οι προβολές της κίνησης στους άξονες των x και y είναι αρμονικές ταλαντώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Το ηλιακό μας σύστημα απαρτίζεται από τον ήλιο (κεντρικός αστέρας) τους 8 πλανήτες, (4 εσωτερικούς ή πετρώδεις: Ερμής, Αφροδίτη, Γη και Άρης, και 4 εξωτερικούς: Δίας,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ηλιακή Γεωµετρία: Σύστηµα παρακολούθησης της αζιµούθιας ηλιακής τροχιάς ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Γεώργιος Α. Ρεϊτζόπουλος

Ηλιακή Γεωµετρία: Σύστηµα παρακολούθησης της αζιµούθιας ηλιακής τροχιάς ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Γεώργιος Α. Ρεϊτζόπουλος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Ηλιακή Γεωµετρία: Σύστηµα παρακολούθησης της αζιµούθιας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος»

ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος» ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος» Για να θεωρηθεί έγκυρη η συμμετοχή σας στην 1 η φάση, θα πρέπει απαραίτητα να έχετε συμπληρώσει τον πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Στροφορµή

Κεφάλαιο 11 Στροφορµή Κεφάλαιο 11 Στροφορµή Περιεχόµενα Κεφαλαίου 11 Στροφορµή Περιστροφή Αντικειµένων πέριξ σταθερού άξονα Το Εξωτερικό γινόµενο-η ροπή ως διάνυσµα Στροφορµή Σωµατιδίου Στροφορµή και Ροπή για Σύστηµα Σωµατιδίων

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΗΣ ΘΕΤΙΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέμα ο. ύλινδρος περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με γωνιακή ταχύτητα ω. Αν ο συγκεκριμένος κύλινδρος περιστρεφόταν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Γραµµική ταχύτητα : ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ds. Γωνιακή ταχύτητα : dθ ω ωr Οµαλή κκλική κίνηση : σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας - Οριζόντια Βολή Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, M Sc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Εισαγωγικές Εννοιες - Α Λυκείου Στην Φυσική της Α Λυκείου κυριάρχησαν

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτικό Εγχειρίδιο Αστρονομίας

Συνοπτικό Εγχειρίδιο Αστρονομίας Ελληνική Αστρονομική Ένωση (Ε.Α.Ε.) Συνοπτικό Εγχειρίδιο Αστρονομίας του Άρη Μυλωνά Εισαγωγή Έχετε βρεθεί ποτέ στην εξοχή; Έχετε βρεθεί σε σκοτεινό νυκτερινό ουρανό, μακριά από τα φώτα των πόλεων; Έχετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ. Σελίδα 1 από 6

Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ. Σελίδα 1 από 6 Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ Στόχος(οι): Η παρατήρηση της τροχιάς του ήλιου στον ουρανό και της διακύμανση της ανάλογα με την ώρα της ημέρας ή την εποχή. Εν τέλει, η δραστηριότητα αυτή θα βοηθήσει τους μαθητές να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 Τοπογραφικοί Χάρτες Περίγραμμα - Ορισμοί - Χαρακτηριστικά Στοιχεία - Ισοϋψείς Καμπύλες - Κατασκευή τοπογραφικής τομής

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Μ Α Τ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΑΘΗΤΙΚΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ

Θ Ε Μ Α Τ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΑΘΗΤΙΚΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ Θ Ε Μ Α Τ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΑΘΗΤΙΚΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ 1 ος Πανελλήνιος Μαθητικός ιαγωνισµός Αστρονοµίας 1996 Από τα πανάρχαια χρόνια ο άνθρωπος ένιωσε να τον ελκύει η µαγεία του έναστρου ουρανού. Επινοώντας

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 131 - Διαλ.12 1. Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος

ΦΥΣ 131 - Διαλ.12 1. Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος ΦΥΣ 3 - Διαλ.2 Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος ΦΥΣ 3 - Διαλ.2 2 Μη αδρανειακά συστήµατα x Έστω ότι το S αποκτά επιτάχυνση α 0 S z 0 Α x z S y, y Ο παρατηρητής S µετρά µια επιτάχυνση: A = A +

Διαβάστε περισσότερα

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 0 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ . Γεωμετρική οπτική ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Η Γεωμετρική οπτική είναι ένας τρόπος μελέτης των κυμάτων και χρησιμοποιείται για την εξέταση μερικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

6. Σχηµατισµοί και όργανα γραµµής

6. Σχηµατισµοί και όργανα γραµµής 6. Σχηµατισµοί και όργανα γραµµής 6.1 Εισαγωγή Απαραίτητη προϋπόθεση για την οικονοµική εκµετάλλευση ενός σιδηροδροµικού δικτύου αποτελεί η δυνατότητα ένωσης, τοµής, διχασµού και σύνδεσης των γραµµών σε

Διαβάστε περισσότερα

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια 8 Κρούσεις Στην µηχανική µε τον όρο κρούση εννοούµε τη σύγκρουση δύο σωµάτων που κινούνται το ένα σχετικά µε το άλλο.το ϕαινόµενο της κρούσης έχει δύο χαρακτηριστικά : ˆ Εχει πολύ µικρή χρονική διάρκεια.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα προς ανάλυση: Κινηµατική ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ, ΠΘ - ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ

Θέµατα προς ανάλυση: Κινηµατική ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ, ΠΘ - ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ, ΠΘ - ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ «Αρχές Βιοκινητικής» Μάθηµα του βασικού κύκλου σπουδών (Γ εξάµηνο)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φυσική Κατεύθυνσης Β Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β Θέµα ο Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε κάθε µία από τις παρακάτω ερωτήσεις: Σε ισόχωρη αντιστρεπτή θέρµανση ιδανικού αερίου, η

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση..

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΤΡΙΚΑ ΣΜΗΝΗ Τα ρολόγια του σύμπαντος. Δρ Μάνος Δανέζης Επίκουρος Καθηγητής Αστροφυσικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής

ΑΣΤΡΙΚΑ ΣΜΗΝΗ Τα ρολόγια του σύμπαντος. Δρ Μάνος Δανέζης Επίκουρος Καθηγητής Αστροφυσικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής ΑΣΤΡΙΚΑ ΣΜΗΝΗ Τα ρολόγια του σύμπαντος Δρ Μάνος Δανέζης Επίκουρος Καθηγητής Αστροφυσικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Αστρικό σμήνος είναι 1 ομάδα από άστρα που Καταλαμβάνουν σχετικά μικρό χώρο στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ. Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD

ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ. Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD Ανάλυση της Ανθρώπινης Κίνησης Εμβιομηχανική Κινησιολογία Κινηματική Κινητική Λειτουργική Ανατομική Γραμμική Γωνιακή Γραμμική Γωνιακή Θέση Ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑΔΑ: ΑΠΟ ΤΗ ΓΗ ΩΣ ΤΟ ΦΕΓΓΑΡΙ ΤΡΙΒΑ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΝΟΜΙΚΟΥ ΤΣΑΜΠΙΚΑ-ΡΟΖΑ ΧΑΡΙΤΟΥ ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΣΚΟΥΡΑ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ-ΡΑΦΑΕΛΛΑ ΛΟΓΓΑΚΗ ΑΝΝΑ

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑΔΑ: ΑΠΟ ΤΗ ΓΗ ΩΣ ΤΟ ΦΕΓΓΑΡΙ ΤΡΙΒΑ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΝΟΜΙΚΟΥ ΤΣΑΜΠΙΚΑ-ΡΟΖΑ ΧΑΡΙΤΟΥ ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΣΚΟΥΡΑ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ-ΡΑΦΑΕΛΛΑ ΛΟΓΓΑΚΗ ΑΝΝΑ ΦΥΣΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΥΘΟΙ ΚΑΙ ΑΛΗΘΕΙΕΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑΔΑ: ΑΠΟ ΤΗ ΓΗ ΩΣ ΤΟ ΦΕΓΓΑΡΙ ΤΡΙΒΑ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΝΟΜΙΚΟΥ ΤΣΑΜΠΙΚΑ-ΡΟΖΑ ΧΑΡΙΤΟΥ ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΣΚΟΥΡΑ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ-ΡΑΦΑΕΛΛΑ ΛΟΓΓΑΚΗ ΑΝΝΑ Τ Ι Ε Ι Ν Α Ι Τ Ο Σ Ε Λ Α Σ ;

Διαβάστε περισσότερα

3α. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ «ΠΑΡΑ ΟΞΑ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3α. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ «ΠΑΡΑ ΟΞΑ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3α. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ «ΠΑΡΑ ΟΞΑ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παράδειγµα: Το τρένο του Άινστάιν Ένα τρένο κινείται ως προς έναν αδρανειακό παρατηρητή Ο µε σταθερή ταχύτητα V. Στο µέσο ακριβώς του τρένου

Διαβάστε περισσότερα

από τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N!

από τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N! Οµογενής συµπαγής κύβος ακµής α και µάζας m, ισορροπεί ακουµπώντας µε µια ακµή του σε κατακόρυφο τοίχο και µε µια του έδρα σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, όπως φαίνεται στο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής

Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ: ΟΡΙΣΜΟΣ: Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής, ρομπότ είναι ένας αναπρογραμματιζόμενος και πολυλειτουργικός χωρικός μηχανισμός σχεδιασμένος να μετακινεί υλικά, αντικείμενα, εργαλεία

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας ΔΥΝΑΜΗ ΕΡΓΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑ µηχανική, χηµική, θερµότητα, βαρυτική, ηλεκτρική, µαγνητική, πυρηνική, ραδιοενέργεια, τριβής, κινητική, δυναµική Περιεχόµενα Κεφαλαίου 8 Συντηρητικές

Διαβάστε περισσότερα

Παλμογράφος. ω Ν. Άσκηση 15:

Παλμογράφος. ω Ν. Άσκηση 15: Άσκηση 15: Παλμογράφος Σκοπός: Σε αυτή την άσκηση θα μάθουμε τις βασικές λειτουργίες του παλμογράφου και το πώς χρησιμοποιείται αυτός για τη μέτρηση συνεχούς και εναλλασσόμενης τάσης, συχνότητας και διαφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο κεφάλαιο των κινήσεων ασχοληθήκαμε με τη μελέτη της κίνησης χωρίς να μας απασχολούν τα αίτια που προκαλούν την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

φυσική κατεύθυνσης γ λυκείου ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (κεφ.4) Γκότσης Θανάσης - Τερζής Πέτρος

φυσική κατεύθυνσης γ λυκείου ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (κεφ.4) Γκότσης Θανάσης - Τερζής Πέτρος 1 Ένα στερεό εκτελεί μεταφορική κίνηση όταν: α) η τροχιά κάθε σημείου είναι ευθεία γραμμή β) όλα τα σημεία του έχουν ταχύτητα που μεταβάλλεται με το χρόνο γ) μόνο το κέντρο μάζας του διαγράφει ευθύγραμμη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Πόλωση ηλεκτρικού πεδίου

Πόλωση ηλεκτρικού πεδίου ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 15 2. Άσκηση 2 Πόλωση ηλεκτρικού πεδίου 2.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την πόλωση των µικροκυµάτων και την

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα