Vjeºbe - Statistika Praktikum Statisti ki testovi (1)
|
|
- Αντώνης Ζάππας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Vjeºbe - Statistika Praktikum Statisti ki testovi (1)
2 Usporedba o ekivanja dviju normalno distribuiranih populacija (t-test) Nevezani uzorci Mjerimo neko statisti ko obiljeºje u dvije razli ite populacije i nezavisno sakupimo dva slu ajna uzorka (X 11,..., X 1,n1 ) i (X 21,..., X 2,n2 ). (mjerene vrijednosti iz jedne populacije nisu u nikakvoj vezi s mjerenim vrijednostima iz druge populacije) Pretpostavke - normalna distribuiranost i jednake varijance: X 1i N (µ 1, σ 2 ) X 2i N (µ 2, σ 2 ) Ozna imo uzora ke sredine i varijance dva uzorka s X1, X2, S 2 1, S 2 2.
3 Za testiranje hipoteza H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 \ µ 1 < µ 2 \ µ 1 > µ 2 test statistika je T = X 1 X2 1 H0 t n1+n S d 1 2 2, n n 2 pri emu je S d procjenitelj standardne devijacije na osnovu dva uzorka 2 2 (n 1 1) S S d = 1 + (n 2 1) S 2. n 1 + n 2 2 R sintaksa: t.test(x, y, alternative = c("two.sided", "less", "greater"), var.equal = TRUE)
4 Ukoliko ne znamo da li su varijance jednake, tj. X 1i N (µ 1, σ 2 1) X 2i N (µ 2, σ 2 2) Tada se moºe pokazati da test statistika pribliºno ima t distribuciju, ali s druk ijim brojem stupnjeva slobode Ovo je tzv. Welchov t-test, a u R-u se dobiva analogno, ispu²taju i pretpostavku var.equal=true t.test(x, y, alternative = c("two.sided", "less", "greater"))
5 Primjer 1. Studentska sluºba ºeli vidjeti postoji li razlika u prosje noj dobi izmežu studenata koji studiraju na klasi an na in i onih koji studiraju putem Interneta. Prikupljeni podaci o dobi nalaze se u datoteci student.txt. Na nivou zna ajnosti α = 0.05, postoji li razlika izmežu dobi ove dvije skupine studenata?
6 Vezani uzorci (spareni podaci) ƒesto imamo potrebu usporeživati neku karakteristiku u zavisnim uzorcima (npr. usporediti u inkovitost nekog lijeka na istim pacijentima, prije i poslije tretmana). U takvim slu ajevima uzorci nisu nezavisni pa prethodni testovi nisu prikladni. Dakle, imamo dva uzorka (X 11,..., X 1,n ) i (X 21,..., X 2,n ). i pretpostavljamo normalnu distribuiranost: X 1i N (µ 1, σ 2 1) X 2i N (µ 2, σ 2 2)
7 Znamo da i ºelimo testirati D := X 1i X 2i N (µ 1 µ 2, σ 2 ), H 0 : µ 1 µ 2 = 0 H 1 : µ 1 µ 2 0 \ µ 1 µ 2 < 0 \ µ 1 µ 2 > 0 ²to se svodi na t-test na jednom uzorku. R sintaksa: t.test(x, y, alternative = c("two.sided", "less", "greater"), paired = TRUE)
8 Primjer 2. U datoteci ocjene.txt nalaze se podaci o ocjenama koje daju dva suca na nekom natjecanju. Testirajte jesu li njihove prosje ne ocjene zna ajno razli ite uz razinu zna ajnosti 0.05, uz pretpostavku normalne distribuiranosti ocjena.
9 Usporedba varijanci dviju normalno distribuiranih populacija (F -test) Pretpostavke X 1i N (µ 1, σ 2 1) X 2i N (µ 2, σ 2 2) Za testiranje hipoteza test statistika je R sintaksa H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 H 1 : σ 2 1 σ 2 2 \ σ 2 1 < σ 2 2 \ σ 2 1 > σ 2 2 T = S 2 1 S 2 2 H0 F (n1 1,n 2 1). var.test(x, y, alternative = c("two.sided", "less", "greater"))
10 Primjer 3. Za podatke iz student.txt testirajte jesu li varijance jednake ili ne na nivou zna ajnosti 0.05.
11 Usporedba o ekivanja dviju populacija na osnovu velikih uzoraka Mjerimo neko statisti ko obiljeºje u dvije razli ite populacije i nezavisno sakupimo dva slu ajna uzorka Neka je (X 11,..., X 1,n1 ) i (X 21,..., X 2,n2 ). E[X 1i ] = µ 1, Var(X 1i ) = σ 2 1 < E[X 2i ] = µ 1, Var(X 2i ) = σ 2 2 < i i Ozna imo uzora ke sredine i konzistentne procjene varijanci dva uzorka s X1, X2, ˆσ 2 1, ˆσ2 2.
12 Za testiranje hipoteza H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 \ µ 1 < µ 2 \ µ 1 > µ 2 test statistika je T = X 1 X2 H0 A N (0, 1), ˆσ 1 2 n 1 + ˆσ2 2 n 2 i kriti no podru je se odrežuje kao kod z-testa na jednom uzorku.
13 Usporedba proporcija Specijalan slu ajan prethodnog testa za obiljeºje iz Bernoullijeve distribucije, tj. nezavisno sakupimo dva slu ajna uzorka (X 11,..., X 1,n1 ) i (X 21,..., X 2,n2 ). Neka je ( ) ( ) X 1i, X 1 2i p 1 p 1 1 p 2 p 2 Ozna imo procjenitelje za p 1 i p 2 (uzora ke sredine) ˆp 1 = X1, ˆp 2 = X2. Neka je ˆp procjenitelj vjerojatnosti uspjeha za oba uzorka zajedno ˆp = n 1ˆp 1 + n 2ˆp 2 n 1 + n 2.
14 Za testiranje hipoteza H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 p 2 \ p 1 < p 2 \ p 1 > p 2 test statistika je T = ˆp 1 ˆp 2 1 ˆp(1 H0 A N (0, 1), ˆp) 1 n n 2 i kriti no podru je se odrežuje kao kod z-testa na jednom uzorku. R funkcija: (ova funkcija temelji se na druga ijoj test statistici koja ima χ 2 distribuciju) prop.test(x, n, alternative = c("two.sided", "less", "greater"))
15 Primjer 4. U nekom gradu su se dvije osobe kandidirale za gradona elnika. Grad je podijeljen na dva dijela: A i B. U dijelu A je uzet uzorak od 300 glasa a i medu njima je 168 glasovalo za prvog kandidata, dok je u dijelu B iz uzorka od 200 glasa a njih 96 glasovalo za prvog kandidata. Je li prvi kandidat popularniji u dijelu A? (α = 0.05)
16 Zadaci Zadatak 1. U paketu BSDA pronažite bazu Achieve koja sadrºi podatke o rezultatima testa iz matematike 25 u enika srednje ²kole po spolu. Pretpostavimo da su podaci normalno distribuirani. Provjerite moºemo li pretpostaviti jednakost varijanci u dvije populacije (α = 0.05)? Postoji li razlika u prosje nom rezultatu u enika i u enica na razini zna ajnosti 0.05? Testirajte je li prosje an rezultat u enica ve i od u enika na razini zna ajnosti 0.05?
17 Zadatak 2. U paketu BSDA pronažite bazu Asthmati. Baza sadrºi podatke o 9 pacijenata koji boluju od astme. Pacijentima je prvo dan laºni lijek (placebo) a zatim pravi lijek te su biljeºeni indeksi koji mjere teºinu simptoma (ve a vrijednost - teºi simptomi). Pretpostavimo da su rezultati normalno distribuirani. Testirajte moºe li se na nivou zna ajnosti 0.05 re i da je lijek djelotvoran?
18 Zadatak 3. Tvornica automobila naru uje sklop mjenja a od dva kooperanta. Povremeno se dogodi da isporu eni mjenja i budu neispravni. U bazi Autogear nalaze se podaci o broju neispravnih mjenja a dva kooperanta, A i B, tijekom 20 mjeseci. Pretpostavimo da su podaci normalno distribuirani. Postoji li, na razini zna ajnosti 0.05, razlika u prosje nom broju neispravnih mjenja a izmežu dva kooperanta? Provjerite moºemo li pretpostaviti jednakost varijanci u dvije populacije (α = 0.05)? Za kojeg proizvoža a mjenja a bi se tvornica trebala odlu iti?
19 Zadatak 4. U paketu BSDA nalazi se baza Blood koja sadrºi podatke o krvnom tlaku 15 osoba. Tlak je izmjeren dva puta, jednom je mjerenje izvr²io urežaj, a jednom lije nik ekspert. Pretpostavimo da su vrijednosti normalno distribuirane. Na razini zna ajnosti 0.05, razlikuju li se u prosjeku izmjerene vrijednosti, tj. jesu li urežaj i lije nik jednako precizni?
20 Zadatak 5. U paketu BSDA nalazi se baza Bones koja sadrºi podatke o gusto i kosti 35 ºena koje su zi ki aktivne i 35 ºena koje nisu zi ki aktivne. Na nivou zna ajnosti 0.05, imaju li zi ki aktivne ºene u prosjeku gu² e kosti?
21 Zadatak 6. Poljoprivrednik je isprobao zasijati novu vrstu skupljeg sjemena. Zanima ga ho e li s novom vrstom sjemena njegov prinos biti manje varijabilan. Sa svojih njiva, izra unao je podatke o prinosima po m 2 na nekoliko mjesta, ovisno o tome je li zasijano novo ili standardno sjeme. Podaci se nalaze u datoteci sjeme.txt i pretpostavimo da su normalno distribuirani. Je li na nivou zna ajnosti prinos s novim sjemenom manje varijabilan?
22 Zadatak 7. Sredinom 80-tih godina pro²log stolje a provedeno je istraºivanje o utjecaju estog uzimanja aspirina na rizik od sr anog udara. Tijekom 5 godina ispitanici su svaki drugi dan uzimali tablete, jedna skupina je uzimala aspirin, a druga skupina je uzimala placebo. Od ispitanika na placebu njih 189 je doºivilo sr ani udar. Od ispitanika na aspirinu njih 104 je doºivilo sr ani udar. Smanjuje li uzimanje aspirina rizik od sr anog udara, na nivou zna ajnosti 0.05?
23 Kontigencijske tablice Promatramo dvodimenzionalno diskretno obiljeºje (X, Y ) i neka je dan slu ajan uzorak (X 1, Y 1 )..., (X n, Y n ). Ozna imo slike slu ajnih varijabli X i Y i slu ajnog vektora (X, Y ) ImX = {a 1,..., a r }, ImY = {b 1,..., b c } Neka je Im(X, Y ) = {(a i, b j ) : 1 i r, 1 j c}. N ij = frekvencija od (a i, b j ) u uzorku N i = marginalna frekvencija od a i u uzorku M j = marginalna frekvencija od b j u uzorku c r N i = N ij, M j = N ij. j=1 i=1
24 Kontigencijska frekvencijska tablica X \Y b 1 b 2 b c Σ a 1 N 11 N 12 N 1c N 1 a 2 N 21 N 22 N 2c N a r N r1 N r2 N rc N r Σ M 1 M 2 M c n
25 Primjer 5. U jednom razredu od n = 30 u enika promatra se ocjena iz matematike (X ) i zike (Y ). (1, 3), (4, 3), (2, 2), (3, 2), (1, 2), (1, 1), (2, 2), (4, 4), (2, 2), (5, 5), (3, 3), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (3, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 2), (2, 2), (3, 3), (3, 2), (4, 4), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (3, 2), (3, 2), (3, 2), (2, 2).
26 Kontigencijska frekvencijska tablica X \Y Σ Σ Tablica relativnih frekvencija X \Y Σ 1 1/30 1/30 1/ /30 2 2/30 8/30 1/ / /30 4/30 1/ / /30 3/30 0 4/ /30 2/30 Σ 3/30 14/30 7/30 3/30 3/30 1
27 χ 2 test o nezavisnosti Pretpostavimo da imamo dvodimenzionalno obiljeºje i ºelimo testirati Ozna imo H 0 : X i Y su nezavisna obiljeºja H 1 : X i Y su zavisna obiljeºja p ij = P(X = a i, Y = b j ), p i = P(X = a i ), Onda H 0 moºemo zapisati kao q j = P(Y = b j ). H 0 : p ij = p i q j, za sve i, j Procijenimo p i i q j relativnim frekvencijama ˆp i = N i n, ˆq j = M j n.
28 Tada, u uvjetima H 0, o ekivane frekvencije su ˆn ij = nˆp i ˆq j = N i M j n. Test statistika r c (N ij ˆn ij ) 2 H = H0 A χ 2 ((r 1)(c 1)). ˆn ij i=1 j=1 R sintaksa chisq.test(x)
29 Primjer 6. Utvrdite da li su ocjene koje u enici dobivaju iz matematike i iz zike nezavisne. (α = 0.05)
30 χ 2 test o homogenosti Pretpostavimo da nas zanima razdioba istog diskretnog statisti kog obiljeºja u m razli itih populacijama. šelimo na osnovu nezavisnih uzoraka uzetih iz tih populacija testirati nul-hipotezu da su razdiobe od X u tim populacijama jednake (homogene). Neka su X (i) slu ajne varijable koje predstavljaju X u i-toj populaciji Iz svake populacije nezavisno odabiremo slu ajan uzorak Neka je X (i) X (1) 1,..., X (1) n 1 X (2) 1,..., X (2) n 2. X (m) 1,..., X (m) nm ( ) a1 a k, i = 1,..., m, p i1 p ik p j = P(X = a j ), j = 1,..., k.
31 Tablica frekvencija uzoraka populacija \X a 1 a 2 a k Σ 1 N 11 N 12 N 1k n 1 2 N 21 N 22 N 2k n m N m1 N m2 N mk n m Σ M 1 M 2 M k n šelimo testirati H 0 : X (1) D = X (2) D = D= X (m), tj. p ij = p j, j = 1,..., k, i = 1,..., m H 1 : i, j t.d. X (i) D X (j)
32 Test statistika je ista kao i prije m k (N ij ˆn ij ) 2 H = H0 A χ 2 ((m 1)(k 1)). ˆn ij i=1 j=1 R sintaksa chisq.test(x)
33 Test o nezavisnosti i homogenosti se provode jednako, ali imaju razli ite hipoteze. U emu je razlika? Razlika proizlazi iz dizajna eksperimenta za koji se provodi test. Kod testa nezavisnosti, uzorkovanje se vr²i tako da se iz cijele populacije bira slu ajan uzorak koji se onda klasicira po kategorijama. U tom slu aju je i broj realizacija po kategorijama slu ajan. (primjer: ispitamo ocjene na cijelom razredu, ne znamo koliko e biti primjerice petica iz matematike) Kod testa homogenosti, uzorkovanje se vr²i nezavisno po kategorijama. To zna i da je veli ina uzorka po kategorijama utvržena unaprijed. (primjer: odlu imo promatrati ocjene iz zike za 10 u enika koji imaju 1 iz matematike, 5 u enika koji imaju 2 iz matematike itd.) Ako se radi o jednostavnom slu ajnom uzorku, tada su nezavisnost i homogenost ekvivalentne.
34 Zadaci Zadatak 8. Neki fakultet ima etiri smjera: elektrotehnika, brodogradnja, strojarstvo i ra unarstvo. Odabran je slu ajan uzorak od 500 studenata i dobiveni podaci su dani sljede om tablicom. Ovisi li odabir smjera o spolu na razini zna ajnosti 0.05? elektroteh. brodogradnja strojarstvo ra unarstvo Σ student studentica Σ
35 Zadatak 9. Za obradu odreženog nastavnog gradiva primjenjene su dvije razli ite nastavne metode. Metoda M1 primijenjena je u skupini A od 100 u enika, a metoda M2 u skupini B od 200 u enika. Da bi se utvrdio u inak, svi su u enici ispitani i ocijenjeni odgovaraju om ocjenom od 1 do 5. Jesu li obje metode jednako u inkovite na razini zna ajnosti 0.05? Analizirajte o ekivane frekvencije pod uvjetom da je nulta hipoteza istinita u odnosu na opaºene frekvencije? Koja metoda daje bolje rezultate? skupina \ ocjena Σ A B Σ
36 Zadatak ljudi ispitano je u istraºivanju kojemu je cilj odrediti postoji li povezanost izmežu pu²enja i povi²enog krvnog tlaka. Testirajte postoji li povezanost na razini zna ajnosti nepu²a blagi pu²a te²ki pu²a Σ normalan tlak povi²en tlak Σ
37 Zadatak 11. U paketu BSDA nalazi se baza Politic koja sadrºi podatke iz ankete u kojoj su se ispitanici odlu ivali izmežu tri politi ke stranke i zabiljeºen je njihov spol. Ovisi li odabir politi ke stranke o spolu? (α = 0.05)
38 Zadatak 12. Provedeno je istraºivanje o rasprostranjenosti alkoholizma za etiri kategorije zanimanja posebno. Je li alkoholizam jednako rasprostranjen u navedenim populacijama? alkoholi ari nealkoholi ari Σ sluºbenici nastavnici menadºeri trgovci Σ
39 Vježbe 5. statistički testovi ########################################################################### # t-test - Usporedba očekivanja dviju normalno distribuiranih populacija # ########################################################################### ######################################### # Nevezani uzorci ######################################### # Primjer 1. #testiramo: # H0: mu1 = mu2 # H1: mu1!= mu2 #Uočimo da su dva uzorka nezavisna, dob jednih ne ovisi o dobi drugih. Primjerice, ako su jedni stariji, ne znači da će drugi # biti stariji ili mlađi. stud <- read.table("student.txt", header=true) str(stud) attach(stud) t.test(klas, Inter, var.equal=true) # p-vrijednost veća od > ne odbacujemo nultu hipotezu. Na razini značajnosti 0.05 ne možemo tvrditi # da se prosječna dob razlikuje. #Ako nismo sigurni u jednakost varijanci, onda je bolje koristiti Welchovu verziju t-testa #jednostavno izostavimo var.equal=true, jer je default opcija var.equal=false t.test(klas, Inter) ######################################### # Vezani uzorci ######################################### ################# # Primjer 2. #testiramo: # H0: mu1 = mu2 # H1: mu1!= mu2 #Uočimo da podaci nisu nezavisni jedni od drugih jer očito svaki sudac ocjenjuje istu stvar. Očekujemo da ako jedan sudac # da veću ocjenu, onda će i drugi i obrnuto. To je baš karakteristika zavisnosti. Stoga moramo koristiti t-test za sparene podatke! ocjene <- read.table("ocjene.txt", header=true) str(ocjene) attach(ocjene) t.test(s1,s2,alternative=c("two.sided"), paired=true) #p-vrijednost manja od 0.05, odbacujemo H_0, i zaključujemo da se na nivou značajnosti
40 # ocjene dva suca razlikuju. #KAD BI POGREŠNO NAPRAVILI t-test za nevezane uzorke t.test(s1,s2,alternative=c("two.sided")) #ne bi odbacili H_0 - POGREŠNO! ########################################################################### # F-test - Usporedba varijanci dviju normalno distribuiranih populacija # ########################################################################### #Primjer za bazu studenti #testiramo: # H0: sigma1^2 = sigma^2 # H1: sigma1^2!= sigma^2 var.test(klas, Inter) #na nivou značajnosti ne odbacujemo H_0 var(klas) var(inter) ########################################################################### # Usporedba proporcija # ########################################################################### #Primjer #Radi se o usporedbi proporcija u dva dijela grada #testiramo # H0: pa = pb # H1: pa > pb #funkcija prop.test kao prvi parametar uzima vektor frekvencija, a kao drugi vektor s ukupnim brojem podataka glasovi <- c(168,96) broj <- c(300,200) prop.test(glasovi, broj, alternative="greater") #p<0.05 => odbacujemo H0 i zaključujemo da je prvi kandidat popularniji u dijelu grada A #Kasnije ćemo vidjeti da je ovo zapravo isto kao Chi^2 test za dvije populacije, ali tamo ne možemo testirati #hipoteze veće i manje. ######################################## ## ZADACI ######################################## ############### #### Zadatak 1. # 2
41 library(bsda) Achieve str(achieve) zenski <- Achieve$Score[Achieve$Gender==1] muski <- Achieve$Score[Achieve$Gender==2] zenski muski #ili se može iz trećeg stupca pa maknuti NA vrijednosti #zenski <- Achieve$Female[!is.na(Achieve$Female)] #Prvo testiramo: # H0: sigma1^2 = sigma^2 # H1: sigma1^2!= sigma^2 var.test(zenski,muski) #p-vrijednost >0.05 pa ne odbacujemo H_0. Nema dokaza da je varijanca različita. #Sad testiramo uz pretpostavku jednakosti varijanci hipoteze: # H0: mu1 = mu2 # H1: mu1!= mu2 t.test(zenski,muski,var.equal=true) #p-vrijednost <0.05 pa odbacujemo H_0. Prosječan rezultat razlikuje se kod muških i ženskih učenika #Sad testiramo uz pretpostavku jednakosti varijanci hipoteze: # H0: mu1 = mu2 # H1: mu1 > mu2 t.test(zenski,muski,alternative="greater",var.equal=true) #"greater" znači prva varijabla ima veće očekivanje od druge #p-vrijednost <0.05 pa odbacujemo H_0. Učenice imaju veći prosječni rezultat. ############### #### Zadatak 2. # Asthmati str(asthmati) attach(asthmati) #Radi se o t-testu za sparene podatke, jer su to jedni te isti pacijenti, pa svakako dva uzorka nisu nezavisna #Neka je mu1 očekivanje od Placebo i mu2 očekivanje od Drug #Testiramo hipoteze # H0: mu1 = mu2 (lijek nije djelotvoran, nema poboljšanja # H1: mu1 > mu2 (lijek je djelotvoran, smanjio se prosječni indeks težine simptoma) t.test(placebo,drug,paired=true,alternative="greater") #p<0.05 => Odbacujemo H_0, tj. na nivou značajnosti 0.05 možemo tvrditi da je lijek djelotvoran. 3
42 ############### #### Zadatak 3. # Autogear str(autogear) attach(autogear) #Neka je mu1 očekivanje od A i mu2 očekivanje od B #Testiramo hipoteze # H0: mu1 = mu2 # H1: mu1!= mu2 t.test(a,b) #p<0.05 => Odbacujemo H_0, tj. na nivou značajnosti 0.05 možemo tvrditi da se dvije tvornice razlikuju # u prosječnom broju neispravnih mjenjača. #testiramo jesu li varijance jednake var.test(a,b) #p>0.05 pa ne odbacujemo H_0 (jednake varijance). Dakle, ne možemo tvrditi da su varijance različite. t.test(a,b, var.equal=true) #I uz tu pretpostavku će rezultat biti isti, p-vrijednost se nezntno promjeni # Mean(B) je veći od mean(a), pa se čini da je druga tvornica lošija (veći broj neispravnih) #Sad ćemo testirati i to # H0: mu1 = mu2 # H1: mu1 < mu2 t.test(a,b, var.equal=true, alternative="less") #p<0.05, pa na nivou značajnosti 0.05 odbacujemo H0 i zaključujemo da prva tvornica ima #manji prosječan broj neipravnih mjenjača. Treba se odlučiti za prvu tvornicu. ############### #### Zadatak 4. # Blood str(blood) attach(blood) #Radi se o sparenim podacima, tlak se mjeri na istim osobama, pa uzorci nisu nezavisni. #Ako uređaj izmjeri više, za očekivati je da će i liječnik i obrnuto. #Testiramo # H0: mu1 = mu2 # H1: mu1!= mu2 t.test(machine, Expert, paired=true) #p>0.05 => ne možemo odbaciti nultu hipotezu na razini značajnosti 0.05 #Nema dokaza da se preciznost uređaja i liječnika razlikuje 4
43 ############### #### Zadatak 5. # Bones str(bones) aktiv <- Bones$Density[Bones$group==1] neaktiv <- Bones$Density[Bones$group==2] #Testiramo # H0: mu1 = mu2 # H1: mu1 > mu2 t.test(aktiv,neaktiv,alternative="greater") #p>0.05 pa na nivou značajnosti 0.05 ne možemo odbaciti H0, tj. nema dokaza da fizički aktivne žene imaju gušće kosti ############### #### Zadatak 6. # sjeme <- read.table("sjeme.txt", header=true) str(sjeme) sjeme attach(sjeme) #Treba testirati jesu li varijance u dva uzorka jednake ili je varijanca veća za standardno sjeme #hipoteze # H0: sigma1^2 = sigma2^2 # H1: sigma1^2 > sigma2^2 var.test(standardno, novo, alternative="greater") #p>0.05 pa ne odbacujemo H0, stoga, nema dokaza da je varijabilnost prinosa manja za novo sjeme ############### #### Zadatak 7. # #Radi se o usporedbi proporcija, svaka osoba je bernoullijeva sl. var. - ili doživi srčani udar ili ne. #Neka je p1 vjerojatnost srčanog udara za osobu na placebu i p2 za osobu na aspirinu. #Hipoteze # H0: p1 = p2 # H1: p1 > p2 su <- c(189,104) ukupno <- c(11034,11037) prop.test(su,ukupno,alternative="greater") #p<0.05 pa odbacujemo H0 na razini značajnosti Redovno uzimanje aspirina smanjuje rizik od srčanog udara. 5
44 ######################################## ## Kontigencijske tablice ########################################?table ocjene <- read.table("ocjenemf.txt", header=true) ocjene str(ocjene) #Funkcija koja daje kontigencijsku tablicu na osnovu niza podataka je table() #Može primiti razne argumente (data.frame, vektore i sl) kont <- table(ocjene) kont table(ocjene$mat, ocjene$fiz) kontigencijske tablice #prva varijabla će biti retci druga stupci margin.table(kont, 1) #daje marginalne frekvencije po 1-retcima, 2-stupcima margin.table(kont, 2) #Tablica relativnih frekvencija dobije se funkcijom prop.table #Zadavanjem dodatnog parametra 1 ili 2, dobiju se #uvjetne relativne frekvencije od fiz uvjetno na mat=i, odnosno od mat uvjetno na fiz=i prop.table(kont) prop.table(kont,1) prop.table(kont,2) ########################################################################### # Chi^2 test o nezavisnotsti # ########################################################################### #Primjer #Funkcija chisq.test prima kao argument kontigencijsku tablicu, ili općenito bilo koju matricu #Bitno je da su elementi nenegativni cijeli brojevi (moguće je zadati i vektore podataka, ali bolje je prije složiti kontigencijsku tablicu kont chisq.test(kont) #p<0.05 pa odbacujemo nultu hipotezu o nezavisnosti, tj. na razini značajnosti 0.05 postoji veza između #ocjena iz matematike i fizike #Warning koji dobijemo je zbog malog broja podataka po ćelijama, tada bi aproksimacija test #statistike mogla biti neprecizna. ######################################## ## ZADACI ######################################## ############### #### Zadatak 8. 6
45 # #Radi se o chi^2 testu nezavisnosti. Uzorak je na cijeloj populaciji, a i pitanje je postavljeno tako. #Hipoteze # H0: smjer je nezavisan o spolu # H1: postoji zavisnost #trebamo napraviti kontigencijsku tablicu. #jednostavno ćemo stavit podatke u matricu tabl <- matrix(c(100,80,70,50,50,50,50,50), byrow=true, ncol=4) tabl #(postoje brojni načini zadavanja matrice - pogledati prve vježbe) #Možemo dodati imena stupcima i retcima da dobijemo ljepši pregled colnames(tabl) <- c("elektrotehnika", "brodogradnja", "strojarstvo", "racunarstvo") rownames(tabl) <- c("student","studentice") tabl chisq.test(tabl) #p>0.05 pa na nivou značajnosti ne odbacujemo H0. Nema dokaza da odabir smjera ovisi o spolu na razini značajnosti ############### #### Zadatak 9. # #Radi se o chi^2 testu homogenosti. Veličina uzorka u A i B je unaprijed određena. #I na osnovu pitanja zaključujemo da se radi o testu homogenosti. #Hipoteze # H0: distribucija ocjena je ista i kod metode A i kod metode B # H1: distribucija nije ista tabl <- matrix(c(14,26,34,16,10,18,36,58,56,32), byrow=true, ncol=5) tabl colnames(tabl) <- c("1", "2", "3", "4", "5") rownames(tabl) <- c("a","b") tabl chisq.test(tabl) #p<0.05 pa odbacujemo H0 na nivou značajnosti Dvije metode rezultiraju različitm distribucijama ocjena, na nivou značajnosti chisq.test(tabl)$expected #daje očekivane frekvencije, ako je H0 istinita chisq.test(tabl)$observed #tablica koju smo unijeli #idemo zaokružit te brojeve round(chisq.test(tabl)$expected) chisq.test(tabl)$observed #možemo promatrati i razlike: chisq.test(tabl)$observed - round(chisq.test(tabl)$expected) #više je boljih ocjena kof druge metode - ona je bolja. #### Zadatak 10. # 7
46 #Radi se o chi^2 testu o nezavisnosti. #Hipoteze # H0: nezavisna obilježja # H1: nisu nezavisna tabl <- matrix(c(48,26,19,21,36,30), byrow=true, ncol=3) tabl colnames(tabl) <- c("nepusac", "blagi pusac", "teski pusac") rownames(tabl) <- c("normalan tlak","povisen tlak") tabl chisq.test(tabl) #p<0.05 pa odbacujemo H0 na nivou značajnosti Postoji veza između pušenja i krvnog tlaka. #### Zadatak 11. # #Radi se o chi^2 testu o nezavisnosti. #Hipoteze # H0: nezavisna obilježja # H1: nisu nezavisna library(bsda) str(politic) #Sad imamo podatke i treba nam kontigencijska tablica koju dobijemo s table() kont <- table(politic) kont chisq.test(kont) #p>0.05 pa na nivou značajnosti ne odbacujemo H0. Nema dokaza da odabir političke stranke ovisi o spolu. #### Zadatak 12. # #Radi se o chi^2 testu o homogenosti. Populacije se fiksno odabrane i u svakoj od njih je nezavisno provedena anketa. #Testiramo homogenost. #Hipoteze # H0: alkoholizan je jednako rasprotranjen # H1: nije jednako rasprotranjen tabl <- matrix(c(32,268,51,199,67,233,83,267), byrow=true, ncol=2) tabl colnames(tabl) <- c("alkoholičar", "nealkoholičar") rownames(tabl) <- c("službenici","nastavnici", "menadžeri", "trgovci") tabl chisq.test(tabl) #p<0.05 pa odbacujemo H0 na nivou značajnosti Alkoholizam nije jednako distribuiran među različitim zanimanjima. 8
(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1
χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ
Διαβάστε περισσότερα3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότεραPočela biostatistike, Poslijediplomski interdisciplinarni doktorski studij Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti
Analiza brojčanih podataka Nora Nikolac Klinički zavod za kemiju KB Sestre milosrdnice Kolegij: Počela biostatistike Statistička hipoteza postupak testiranja 1. postavljanje hipoteze: H 0, H 1 2. odabir
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike
Testiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 39 Uvod Osnovna zadaća Statistike je na temelju uzorka ocijeniti kakvu razdiobu
Διαβάστε περισσότεραPrilagodba modela podacima. Vjeºbe - Statistika Praktikum Statisti ki testovi (2)
Vjeºbe - Statistika Praktikum Statisti ki testovi (2) Prilagodba modela podacima U praksi naj e² e imamo sljede i problem: Raspolaºemo s realizacijom nekog slu ajnog uzorka i htjeli bi utvrditi iz kojeg
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statisti kih hipoteza. Vjeºbe - Statistika Praktikum
Vjeºbe - Statistika Praktikum Testiranje statisti kih hipoteza Testiranje statisti kih hipoteza Statisti ka hipoteza je pretpostavka o populacijskoj razdiobi promatrane varijable. U statisti kom modelu
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραZaključivanje o jednakosti distribucija temeljeno na dva uzorka
Zaključivanje o jednakosti distribucija 1 Zaključivanje o jednakosti distribucija temeljeno na dva uzorka Odgovorom na ovako postavljeno pitanje u praksi možemo zaključiti dolazi li do promjene obilježja
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραIzbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Διαβάστε περισσότεραPISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραUvod u neparametarske testove
Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραUvod u neparametrijske testove. Usporedba. Neparametrijske inačice t-testa za dva nezavisna uzorka. dr. sc. Goran Kardum
Uvod u neparametrijske testove dr. sc. Goran Kardum 1 Usporedba NACRT ISTRAŽIVANJA PARAMETRIJSKA PROCEDURA NEPARAMETRIJSKA PROCEDURA Dva nezavisna uzorka T-test Mann-Whitney U-test Dva zavisna uzorka T-test
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραOptimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - ekasnost Konzistentnost. Vjeºbe - Statistika II.
Vjeºbe - Statistika II. dio Optimalnost u procjeni Procjenitelja ima puno, pa treba imati kriterije za usporedbu izmežu njih. Radi jednostavnosti promatramo samo jednodimenzionalne parametre θ Θ R Funkcija
Διαβάστε περισσότερα4 Testiranje statističkih hipoteza
4 Testiranje statističkih hipoteza 1 4.1. Statistička hipoteza Promatramo statističko obilježje X. Statistička hipoteza je (bilo koja) pretpostavka o (populacijskoj) razdiobi od X. Kažemo da je statistička
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραPostoji nekoliko statidtičkih testova koji koriste t raspodelu, koji se jednim imenom zovu t-testovi.
Postoji nekoliko statidtičkih testova koji koriste t raspodelu, koji se jednim imenom zovu t-testovi. U SPSS-u su obradjeni: t test razlike između aritmetičke sredine osnovnog skupa i uzorka t test razlike
Διαβάστε περισσότεραNeparametarski testovi za dva nezavisna uzorka. Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010
Neparametarski testovi za dva nezavisna uzorka Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010 Neparametarski testovi Hipoteze o raspodeli obeležja se nazivaju neparametarske hipoteze, a odgovarajući testovi
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 0 min Ukupan broj bodova: 50 Zadatak.. kolokvij - 0. lipnja 0. (a Ako su X i Y diskretne slučajne varijable, dokažite da vrijedi formula E [X + Y ] = E [X] + E [Y ].
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα10. domaća zadaća. 3. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od odredite:
Napomena: U svim zadacima treba koristiti tablicu standardne normalne razdiobe. 1. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od 10 5 odredite: a) P(X 1.16), b) P(X 0.59);
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραAnaliza varijanse sa jednim Posmatra se samo jedna promenljiva
ANOVA Analiza varijanse (ANOVA) Analiza varijanse sa jednim faktorom Proširena ANOVA tabela 2 Tehnike za analizu podataka Analiza varijanse sa jednim faktorom Posmatra se samo jedna promenljiva Posmatra
Διαβάστε περισσότεραSTATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA
Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραSlučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa
Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραStatistička obrada podataka
Statistička obrada podataka Ana Anušić Ervin Duraković Hrvoje Maltarić Ivan Pažin Sažetak U ovom članku provodimo statističko istraživanje koje se bazira na zavisnosti uspjeha na prijamnom ispitu i prve
Διαβάστε περισσότεραUvod u neparametarske testove
Str. 644;1;148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu www.eccf.su.ac.yu Hi-kvadrat testovi χ Str. 646;1;149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραChi-kvadrat test. Chi-kvadrat (χ2) test
1 Chi-kvadrat test Chi-kvadrat (χ2) test Test za proporcije, porede se frekvence Neparametarski test Koriste se dihotomne varijable Proverava se veza između dva faktora Npr. tretmana i bolesti pola i smrtnosti
Διαβάστε περισσότεραDefinicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće naučnim ili iskustvenim).
Str. 53;76; Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu www.eccf.su.ac.yu Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga
Διαβάστε περισσότεραANALIZA TABLICA KONTINGENCIJE
TABLICA KONTINGENCIJE tablica koja u retcima i stupcima sadrži frekvencije atributivnih obilježja ANALIZA TABLICA KONTINGENCIJE predstavlja empirijsku razdiobu frekvencija obilježja mjerenih nominalnom
Διαβάστε περισσότεραSlučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Διαβάστε περισσότεραMetode procjene parametara
Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mario Erdeg Metode procjene parametara Diplomski rad Osijek, 2016. Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mario Erdeg
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE U RIJECI GRAĐEVINSKI FAKULTET U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij
SVEUČILIŠTE U RIJECI GRAĐEVINSKI FAKULTET U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij Test hipoteze o jednakosti aritmetičkih sredina K osnovnih skupova Seminarski rad Kolegij: Odabrana poglavlja
Διαβάστε περισσότεραGRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij MANN-WHITNEY-WILCOXONOV TEST ZA NEZAVISNE UZORKE.
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij MANN-WHITNEY-WILCOXONOV TEST ZA NEZAVISNE UZORKE Seminarski rad Kolegij: Odabrana poglavlja inžinjerske matematike Akademska
Διαβάστε περισσότερα