دینامیک ماشین منابع سينماتيك و ديناميك ماشين ها تاليف جرج.اچ.مارتين ترجمه دكتر محمد اسماعيل پازوكي نشر آمون ديناميك ماشين

Transcript

1 دینامیک ماشین منابع سينماتيك و ديناميك ماشين ها ديناميك ماشين سينماتيك ماشينها تاليف جرج.اچ.مارتين ترجمه دكتر محمد اسماعيل پازوكي نشر آمون تاليف عباس راستگو انتشارات پوران پژوهش درجه آزادی روشهای انتقال حركت مکانيزمهای ميلهای سرعت شناسي و مراكز آني شتاب شناسي چرخدندهها ديناميك ماشينها نيروشناسي نيروهای اينرسي توازن يا باالنس ارزشيابي ميان ترم 40 درصد پايان ترم 60 درصد تمرين و پروژه 2 تا 3 نمره 1

2 تعاريف و خصوصيات حركت مکانیک استاتیک دینامیک سینتیک سینماتیک 2 استاتيك (Saics) علم بررسی اجسام در حالت سکون یا در حالت تعادل نیروهای وارده ديناميك( Dyamics ) دانش بررسی اجسام تحت تاثیر نیروها سينماتيك( Kiemaics ) دانش بررسی حرکت محض بدون در نظر گرفتن نیروها در سینماتیک هدف حرکت شناسی بدون در نظر گرفتن عامل حرکت است. به بیان دیگر سینماتیک ماشینها عبارت از مطالعه و تجزیه و تحلیل مربوط به حرکت نسبی اجزای ماشینها میباشد.در این بخش تغییر مکان سرعت و شتاب اجزای مختلف ماشین بررسی می شود. سينتيك دانش بررسی حرکت اجسام با در نظر گرفتن نیروهای وارده ماشين (Machie) وسیلهای است برای تغییر فرم و انتقال انرژی سينماتيك ماشين موتور الکتریکی تبدیل انرژی الکتریکی به انرژی مکانیکی ژنراتور تبدیل انرژی مکانیکی به انرژی الکتریکی عبارت است از مطالعه حرکت نسبی اجزاء تشکیل دهنده یک ماشین مکانیکی نسبت به یکدیگر مشتمل بر: تغییر مکان سرعت شتاب

3 ديناميك ماشين عبارت است از بررسی نیروها و گشتاورهای وارد بر اجزاء تشکیل دهنده یک ماشین مکانیکی ذره مادی: ذره مادی از نظر هندسی یک نقطه بوده که حجم آن بینهایت کوچک است و دارای جرم نیز می باشد. در دینامیک اجسام آن دسته از مسائلی را که ابعاد جسم در نوع حرکت آن نقشی ندارد می توان ذره در نظر گرفت. ρ = m θ ρ θ 0 اگر, جسم صلب( lik (Rigid جسمی است که فاصله هر دو نقطه از آن همواره خارجی قرار داشته باشد. چنین جسمی هیچ گاه تغییر شکل نخواهد داد. ثابت باقی میماند حتی اگر جسم حرکت کند یا تحت تاثیر نیروهای بند (Lik) به مجموعهای از قطعات که با هم حرکت کرده و میتوان آنها را به عنوان یک جسم صلب واحد در نظر گرفت بند گفته میشود. دياگرام سينماتيکي دیاگرام مورد استفاده در مطالعه و بررسی حرکت اجزای تشکیل دهنده یک ماشین انواع حركت: حركت صفحهای: در حرکت صفحه ای مسیر حرکت تمام ذرات جسم صلب در یک صفحه و یا در صفحات موازی با یکدیگر می باشد. حركت انتقالي: در حرکت انتقالی مسیر حرکت تمامی ذرات با هم یکسان است اگر مسیر حرکت ذرات به صورت مستقیم باشد حرکت انتقالی مستقیم الخط است اگر مسیر حرکت ذرات به صورت یک منحنی مشابه باشد حرکت جسم انتقالی منحنی الخط خواهد بود. حركت دوراني: اگر هر یک از نقاط یک جسم صلب که دارای حرکت صفحهای بوده و از یک محور ثابت )عمود بر صفحه حرکت( فاصله ثابتی داشته باشند جسم صلب دارای حرکت دورانی است. 3

4 درجه آزادی( Freedom (Degree of تعداد پارامترهای مستقل یا حداقل تعداد پارامترهای الزم برای تبیین یا تعیین وضعیت یک جسم را درجه آزادی گویند. ذره مادی حركت صفحهای )دوبعدی( حركت فضايي )سه بعدی( (x, y, z) 3 درجه آزادی (x, y) 2 درجه آزادی جسم صلب حركت صفحهای )دوبعدی( حركت فضايي )سه بعدی( (x, y, z, θ x, θ y, θ z ) 6 درجه آزادی (x, y, θ z ) 3 درجه آزادی مفهوم: درجه آزادی یک سیستم دینامیکی تعداد پارامترهای الزم برای تعیین تمامی مولفههای دینامیکی آن سیستم است. مثال در یک مکانیزم یک درجه آزادی با معلوم بودن سرعت زاویهای یک عضو سرعتها و سرعت زاویهای های بقیه اعضا قابل محاسبه هستند. 4

5 V B/A V B ω 2 V A V B = + V A V B/A راستای سرعتهای A و B مشخص و مقادیر نامعلوم هستند درجه آزادی سازوکار صفحهای یک جسم صلب در فضا دارای 6 درجه آزادی است 3 درجه آزادی مربوط به حرکت انتقالی و 3 درجه دیگر مربوط به حرکت دورانی است و در صفحه 3 درجه آزادی حرکت دارد 2 درجه آزادی مربوط به حرکت انتقالی و یک درجه آزادی مربوط به دوران می باشد. نکته 1: در اتصاالت J 1 دو عضو متصل دارای یک درجه آزادی نسبت به هم بوده و دو درجه آزادی محدود میشود. نکته 2: در اتصاالت J 2 دو عضو متصل دارای دو درجه آزادی نسبت به هم بوده و یک درجه آزادی محدود میشود. DOF = 3( 1) 2f 1 f 2 رابطه كوتزباخ (Kuzbach) = DOF درجه آزادی مکانیزم تعداد اعضای مکانیزم )1 تعداد اعضای مکانیزم به جز بند ثابت( f 1 f 2 تعداد اتصاالت یک درجه آزادی ( 1 ) J تعداد اتصاالت دو درجه آزادی ( 2 ) J 5

6 نامعین از نظر استاتیکی معین از نظر استاتیکی )سازه( مکانیزم زنجیره سینماتیکی غیرمقید DOF < 0 DOF = 0 DOF = 1 DOF > 1 نکته: رابطه کوتزباخ استثنا هم دارد زیرا هیچ گونه اطالعات هندسی در فرمول لحاظ نشده و در مواردی که مکانیزم قفل باشد جواب نادرست است. اتصاالت سينماتيکي و انواع آن از تماس دو جسم با یکدیگر یک جفت تشکیل میگردد. انواع اتصاالت يا 1( اتصاالت مرتبه پايين: شامل لوال و لغزنده 2( اتصاالت مرتبه باال: شامل اتصاالت تماس مستقیم )غلتش خالص و غلتش همراه با لغزش( و اتصال پوششی الف( اتصاالت J: 1 اتصاالت یک درجه آزادی )محدود کننده دو درجه آزادی( ب( اتصاالت J: 2 اتصاالت دو درجه آزادی )محدود کننده یک درجه آزادی( اتصاالت مرتبه پايين pairig) (lower جفت و اتصال باشد سطحی تماس یک عضو دو بین تماس هرگاه را مرتبه پايين مینامند )مانند سیلندر پیستون یا لغزنده(. اتصاالت مرتبه باال( pairig (higher اگر اتصال در یک نقطه یا در امتداد یک خط صورت پذیرد بدان اتصال مرتبه باال گفته میشود )مانند اتصال نقطهای بین ساچمه و حلقه در بلبرینگ یا اتصال رولرها و حلقه در رولبرینگ(. اتصال لوال يا مفصلي :(Revolue) با عالمت اختصاری R نشان داده میشود. از سه درجه آزادی دو درجه را محدود کرده و تنها یک درجه را باقی میگذارد.( θ) اتصال لغزنده :(Sider) با عالمت اختصاری S نشان داده میشود. از سه درجه آزادی دو درجه را محدود کرده و تنها درجه آزادی باقی مانده جابهجایی خطی است.( S) اتصال غلتش خالص Rollig) :(Pure با عالمت اختصاری P.R. نشان داده میشود. از سه درجه آزادی دو درجه را محدود کرده و تنها درجه آزادی باقی مانده زاویه چرخش هم وابستهاند این اتصال از نوع θ یا جابجایی روی طول قوس تماس ( S) است. J 1 است. چون این دو پارامتر به 6

7 اتصال غلتش همراه با لغزش :(Roll-Slide) با عالمت اختصاری R.S. نشان داده میشود. از سه درجه آزادی یک درجه را محدود کرده و دو درجه آزادی باقی مانده زاویه چرخش پارامتر از هم مستقلند این اتصال از نوع اتصال پوششي θ و جابجایی روی طول قوس تماس ( S) J 2 :(Wrappig Pair) است. با عالمت اختصاری W.P. است. چون این دو نشان داده میشود و یک سیم تسمه زنجیر یا هر عضو انعطاف پذیر و بدون قابلیت تغییر طول است که دو بند بدون تماس مستقیم را به هم وصل میکند. از سه درجه آزادی یک درجه را محدود کرده و دو درجه آزادی باقی مانده چرخش جسم حول محل تماس اتصال محل دیگر تماس اتصال θ ( S) است. این اتصال از نوع است. J 2 و انتقال منحنیالخط حول اتصال مرتبه باال اتصال مرتبه پايين اتصال غلتشی- لغزشی )اتصال دو درجه آزادی( اتصال یک درجه آزادی جفت چرخشی )اتصال یک درجه آزادی( غلتش خالص یا لغزش خالص )1 درجه آزادی( غلتش همراه با لغزش 2 درجه آزادی جفت مارپیچی )یک درجه آزادی( جفت لغزشی )یک درجه آزادی( جفت سطحی )سه درجه آزادی( اتصال پوششی )اتصال دو درجه آزادی( θ و S جفت کروی )سه درجه آزادی( 7

8 جدول خالصه اطالعات اتصاالت سینماتیکی صفحهای رديف نام اتصال مرتبه اتصال عالمت اختصاری نوع اتصال مشخصه اندازه گيری θ j 1 R لوال پایین 1 S j 1 S لغزنده پایین 2 θ یا S j 1 P.R. غلتش خالص باال 3 θ و S j 2 R.S. غلتش با لغزش باال 4 θ و S j 2 W.P. پوششی باال 5 درجه آزادی سازوكار فضايي DOF = 6( 1) 5f 1 4f 2 3f 3 2f 4 f 5 = DOF درجه آزادی مکانیزم تعداد اعضای مکانیزم )1 تعداد اعضای مکانیزم به جز بند ثابت( f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 تعداد اتصاالت یک درجه آزادی ( 1 ) J تعداد اتصاالت دو درجه آزادی ( 2 ) J تعداد اتصاالت سه درجه آزادی ( 3 ) J تعداد اتصاالت چهار درجه آزادی ( 4 ) J تعداد اتصاالت پنج درجه آزادی ( 5 ) J زنجيره سينماتيکي Chai) (Kiemaic عبارتست از تعدادی از اعضای صلب که میتوانند نسبت به هم دارای حرکت نسبی باشند. اگر یکی از میلهها ثابت بوده و حرکت یکی از میلههای دیگر به وضعیت جدید موجب حرکت سایر میلهها در وضعیتهای مشخص و قابل پیش بینی گردد مجموعه را زنجيره سينماتيکي مقيد( chai (Cosraied kiemaic (Mechaism) گفته میشود. یا مکانيزم مینامند در غیر اینصورت بدان زنجيره سينماتيکي غيرمقيد( chai (ucosraied kiemaic نکته: هر زنجیره سینماتیکی که دارای یک درجه آزادای باشد یک مکانيزم را تشکیل میدهد. نکته: هرگاه درجه آزادی یک مکانیزم مساوی صفر شود مکانیزم را صلب نامیده و به می شود. آن سازه Truss) (Srucure or گفته 8

9 مثال: DOF = 3 (6 1) = = 1 در شکل باال به ازای هر موقعیت لنگ پیستون و شاتون دارای موقعیت مشخص و قابل پیش بینی بوده و تشکیل یک زنجیره سینماتیکی مقید یا مکانیزم میدهند. مثال: DOF = 3 (5 1) = = 2 در شکل باال با فرض ثابت بودن میله 1 اگر میله 2 در موقعیت نشان داده شده باشد میلههای 4 3 و 5 دارای مواضع قابل پیش بینی و مشخص نبوده و زنجیره سینماتیکی غیرمقید است. مثال: DOF = 0 در شکل باال چون اعضای صلب حرکت نسبی ندارند مکانیزم نبوده و سازه میباشد که در خرپاها از عناصر مثلثی استفاده میشود نیز همین است. )استثناء برای رابطه کوتزباخ(. دلیل این 9

10 نکته: هر جا در سازوکاری سه میله مطابق شکل به هم لوال شده باشند باید آن را به عنوان یک عضو صلب در نظر گرفت. مثال: زنجیره سینماتیکی غیرمقید مثال: مکانیزم مثال: 10

11 زنجیره سینماتیکی غیرمقید مثال: DOF = 3(4 1) = 9 8 = 1 زنجیره سینماتیکی مقید مثال: J 1 J 1 J 1 J 1 J 1 J 1 DOF=3 (5-1)-2 6-0=12-12= 0 سازه مثال: 2J 1 J 1 J 1 2J 1 J 1 DOF=3 (6-1) =15-14= 1 مکانیزم 11

12 مثال: J 1 J 1 J 1 J 1 J 1 DOF=3 (5-1)-2 5=12 10 = 2 زنجیره سینماتیکی غیرمقید برگردان هر مکانیزم به تعداد اعضا برگردان دارد یعنی با تعویض عضو ثابت در زنجیره سینماتیکی مزبور یک مکانیزم جدید میگردد. چهار شکل زیر چهار مکانیزم حاصل از زنجیره لنگ و لغزنده میباشند. حاصل در برگردان یک مکانیزم حرکت نسبی بین اعضا )بندها( دچار تغییر نمیشود. یعنی در شکلهای زیر اگر عضو 2 به اندازه θ درجه ساعتگرد نسبت به عضو 1 دوران کند آنگاه عضو 4 در همه مکانیزمها مقدار معینی به سمت راست حرکت میکند. مکانیزم مورد استفاده در موتورهای دیزلی و بنزینی مکانیزم مورد استفاده در موتورهای شعاعی هواپیماهای اولیه )با ثابت کردن عضو 2 به جای 1( )لنگ ثابت و محفظه لنگ و سیلندر دوران میکنند( 12

13 مکانیزم مورد استفاده در موتورهای بخار اسباب بازی با سیلندر نوسانی )عضو 3 ثابت( مکانیزم مورد استفاده در پمپها )عضو 4 ثابت( مثال تلمبه دستی قدیمی برگردانهای يك مکانيزم چهار ميلهای روشهای انتقال حرکت.1 از طريق رابط :(Coupler) در مکانیزمها عضوی که بدان ورودی اعمال میشود محرک و عضو خروجی متحرک یا پيرو نامیده میشود. معموال حرکت محرک از طریق رابط به پیرو انتقال می یابد. 13

14 ω 2 متحرک )پیرو( رابط محرک تماس مستقيم: اگر محرک و پیرو در تماس مستقیم باشند بدان مکانیزم تماس مستقیم گفته میشود. در این مکانیزمها معموال محرک را بادامک و متحرک را پیرو مینامند. دو چرخدنده درگیر مثالی از مکانیزم تماس مستقیم است تماس لغزشي در یک مکانیزم تماس لغزشی زمانی اتفاق میافتد که اعضا در امتداد مماس مشترک نقطه تماس دارای حرکت نسبی باشند. در شکل زیر با توجه به این که دو عضو در راستای قائم مشترک سرعت برابر دارند مماس مشترک متفاوت است (P 2 S = P 3 S) (P 2 L > P 3 M) عضو 2 بر روی عضو 3 میلغزد. اما سرعتها در راستای 14

15 2-2 تماس غلتشي در یک مکانیزم با تماس مستقیم موقعی غلتش حادث میگردد که لغزش وجود نداشته باشد بنابراین در شکل باال اگر (P 2 L = P 3 M) باشد آنگاه تماس غلتشی وجود خواهد داشت یعنی عضوهای 2 و 3 با هم دوران کرده اما روی هم نمیلغزند. تماس مستقیم بین دو چرخدنده تماس مستقیم غلتشی نکته: برای داشتن حرکت غلتشی قرار داشتن نقطه تماس بر روی خط المرکزین ضروری است اما کافی نمیباشد. بلکه در این حالت سرعتها نیز باید مساوی باشند. در شکل زیر گرچه نقطه تماس روی خط المرکزین است اما به دلیل یکی نبودن سرعت لغزش هم وجود دارد. تماس مستقیم بین دو چرخدنده )غلتش به همراه لغزش( 3. انتقال حركت به وسيله اتصال انعطاف پذير: تسمه يا زنجير رانش مثبت: اتصال منعطف بین دو بادامک در یک مکانیزمی که دارای تماس مستقیم است اگر حرکت محرک باعث حرکت پیرو )متحرک( شود اصطالحا گفته میشود که رانش مثبت در مکانیزم وجود دارد. برای ایجاد رانش مثبت در مکانیزم الزم است که عمود مشترک سطوح تماس از هیچ یک از مراکز دوران عبور نکند. 15

16 در شکل رانش مثبت مرکز مرده )الف ) اگر دو دیسک بدون اصطکاک باشند حرکت محرک پیرو را به حرکت وا نخواهد داشت. اگر اصطکاک وجود داشته باشد دوران دیسک محرک سبب دوران دیسک پیرو خواهد شد که بدان رانش اصطکاکی گفته میشود. به عنوان مثال در شکل های )الف ) و )ب( شکل 15 رانش مثبت وجود نداشته در حالی که در شکل )ج( رانش مثبت وجود دارد. مکانیزمهای میلهای (Likage) مکانيزم چهار ميلهای Likage) (Four-Bar دو دیسک بدون اصطکاک متداولترین و مفیدترین مکانیزم است. بیشتر مکانیزمها قابل تعویض با یک مکانیزم چهار میلهای هستند. ω 2 متحرک )پیرو( رابط محرک مکانيزم چهار ميلهای با لنگهای موازی Likage) (Parallel Crak Four-Bar لنگهای 2 و 4 دارای طول مساوی بوده و طول میله رابط برابر خط المرکزین O 2 O 4 است. ( 4 ) ω 2 = ω O 2 O 4 = AB 16

17 نکته: وقتی پیرو )4( با رابط )3( در یک امتداد قرار گیرد نقطه مرگ اتفاق میافتد و پیرو ممکن است در خالف جهت محرک دوران کند.معموال با کمک اینرسی فنرها و یا ثقل از حرکت ناخواسته معکوس جلوگیری میشود. مکانيزم چهار ميلهای با لنگهای غيرموازی Likage) (Noparallel Equal Crak لنگهای 2 و 4 دارای طول مساوی بوده و طول میله رابط برابر خط المرکزین O 2 O 4 جهت هم حرکت میکنند. است. لنگها غیرموازی بوده و در خالف O 2 A = O 4 B, O 2 O 4 = AB مکانيزم لنگ آونگ Rocker) (Crak ad حرکت دورانی میله 2 سبب حرکت نوسانی عضو 4 میشود. نقطه جهت باشند. نقطه C C نوسان را تعیین میکنند. مربوط به حالتی است که دو عضو 2 و 3 همراستا و هم مربوط به حالتی است که دو عضو 2 و 3 همراستا اما در خالف جهت هم باشند که این دو نقطه دامنه 17

18 شرط حرکت نوسانی مکانيزم با لنگهای دوراني دوبل يا لنگ لنگ Lik) (Drag هر دو عضو 2 و 4 دوران کامل مینمایند. اگر یک لنگ با سرعت ثابت دوران نماید لنگ دیگر با سرعت متغیر ولی هم جهت با لنگ محرک دوران خواهد نمود. شرط حرکت مکانيزم لنگ لغزنده Crak) (Slider مورد استفاده در موتورهای دیزلی و بنزینی یا کمپرسور هوا نمونه اصالح شده موسوم به مکانیزم خارج از مرکز 18

19 مکانيزم رفت و برگشتي yoke) (Scoch مورد استفاده در پمپهای رفت و برگشتی مکانيزم با برگشت سريع mechaisms) (Quick reur مورد استفاده در ماشینهای ابزار صفحه تراش و ارههای الکتریکی مکانيزمهای خط مستقيم mechaisms) (Sraigh-lie مکانیزمی که در آن یک نقطه در امتداد خطی مستقیم یا تقریبا مستقیم حرکت میکند. 19

20 مکانيزمهای نوبهای mechaisms) (Iermie-moio چرخ ژنوا: متحرک به ازای هر دور کامل محرک یکچهارم دور دوران مینماید. جغجغهها: تبدیل حرکت دورانی و انتقالی به حرکت دورانی و یا انتقالی نوبهای.4.5 چرخ ژنوا جغجغه 20

21 مراکز آنی Ceer) (Isa هر عضوی را که در صفحه حرکت کند میتوان به صورت جسمی در نظر گرفت که به طور لحظهای حول نقطهای در صفحه حرکتش دوران مینماید. تعریف مرکز آنی 1( مرکز آنی نقطهای واقع بر یک جسم بوده که عضو دیگر به طور دایم یا لحظهای حول آن دوران مینماید. 2( مرکز آنی نقطهای مشترک بین دو جسم است که سرعتهای آنها چه از نظر مقدار و چه از نظر امتداد و جهت با یکدیگر یکسان باشند. مرکز آنی در مفصلهای پینی هر مفصل پینی یک مرکز آنی میباشد. مراکزی را که حین کار مکانیزم ثابت باشند مراکز ثابت گویند. مراکزی که حین کار مکانیزم نسبت به بدنه متحرک باشند مراکز متحرک گویند. نکته مهم: در شکل زیر 23 نقطهای است روی عضو 2 که عضو 3 حول آن دوران میکند. اما نمیتوان گفت که سرعت مطلق نقطه C عمود بر BC است. بلکه این سرعت نسبی C نسبت به B است که عمود بر BC است. نکته مهم: چون سرعت همواره نسبت به مرجع ثابت سنجیده میشود راستای سرعت آنی 13 است. C عمود بر شعاع دوران حول مرکز V C (14 34) V C/B BC مرکز آنی جسمی که امتداد سرعت دو نقطه آن معلوم باشد هر دو عضوی که نسبت به هم دارای حرکت نسبی باشند دارای یک مرکز آنی میباشند )به شرطی که دو نقطه بر روی یک خط شعاعی واقع نباشند(. 21

22 مرکز آنی لغزنده انتقال حالت خاصی است دوران است که در آن مرکز دوران در بینهایت قرار دارد و شعاع دوران بینهایت میباشد. V = Rω, R = V ω R ω = 0 اگر مرکز آنی جسم غلتان در حالتی که لغزش وجود نداشته باشد و فقط غلتش خالص وجود داشته باشد نقطه تماس غلتشی )12( آنی خواهد مرکز بود. 22

23 V P = V O + V P/O غلتش به همراه لغزش قضیه کندی بنابر قضیه کندی سه قطعه که نسبت به یکدیگر دارای حرکت نسبی باشند دارای سه مرکز آنی هستند که هر سه در یک راستا قرار دارند. )اثبات به روش برهان خلف( 12 مرکز آنی دو عضو 1 و 2 13 مرکز آنی دو عضو 1 و 3 اگر فرض شود که نقطه P مرکز آنی دو عضو 2 و 3 باشد سرعتها عمود بر شعاع دوران هستند. طبق تعریف در مرکز آنی سرعت خطی چه از نظر مقدار و چه از نظر جهت یکسان باشد پس نمیباشد و ضرورتا باید روی خط قرار داشته باشد. P مرکز آنی دو عضو 2 و 3 V P (12 P) P روی خط المرکزین } V P (13 P) 23

24 مراکز آنی برای مکانیزمهای با تماس مستقیم تماس لغزشي شرط آن که دو عضو 2 و 4 در تماس باقی بمانند آن است که مولفههای مماسی V P2 = V P4 است V P4 s و V P2 s اگر نقطه تماس در امتداد خط المرکزین قرار نداشته باشد V P4 s V P2 s و لغزش خواهیم داشت. بنابراین تنها حرکت نسبی قطعات 2 و 4 در نقطه تماسشان در امتداد مماس مشترک خواهد بود مرکز دوران نسبی )24( باید در امتداد قائم مشترک باشد طبق قضیه کندی )24( باید در امتداد خط هم باشد 24 محل برخورد قائم مشترک و خط المرکزین است 24

25 تماس غلتشی تماس غلتشی تنها در حالتی وجود دارد که در نقطه تماس سرعت برابر باشد. این مطلب الزاما ایجاب میکند که تقطه تماس بر روی خط المرکزین واقع باشد. طبق تعریف مرکز آنی نقطهای مشترک بر روی دو قطعه است که سرعتهای خطی آنها یکسان است در نتیجه مرکز آنی بر نقطه تماس منطبق است N = ( 1) 2 تعداد مراکز آنی هر دو میله از یک مکانیزم نسبت به هم دارای حرکت بوده و یک مرکز آنی خواهند داشت. بنابراین تعداد مراکز آنی برابر تمامی ترکیبهای دوتایی از تمام میلهها میباشد. مراکز آنی اولیه آن دسته از مراکز آنی را که بتوان با یک بررسی اجمالی تعیین نمود مراکز آنی اولیه گویند. مراکز آنی میلههایی که به هم لوال شدهاند مرکز آنی لغزنده مرکز آنی جسم غلتان مرکز آنی مکانیزمهای تماس مستقیم تماس لغزشی نقطه برخورد قائم مشترک و خط المرکزین تماس غلتشی نقطه تماس نوع اتصال لوال لغزنده جسم غلتان غلتش خالص لغزش خالص محل مركز آني لوال عمود بر مسیر حرکت )بینهایت در حرکت مستقیم الخط( نقطه تماس با سطح نقطه تماس غلتشی نقطه برخورد قایم مشترک و خط المرکزین 25

26 روش دیاگرام دایره برای تعیین مراکز آنی 1( ابتدا به تعداد اعضا نقاطی را بر روی محیط یک دایره مشخص میکنیم 2( خطوط مستقیم که با خط پر ترسیم شدهاند مراکز آنی اولیه مکانیزم را نشان میدهند 3( مراکز آنی باقیمانده با خط چین نشان داده میشوند باید دنبال دو مثلثی گشت که با یکی از خط چینها تکمیل میگردند )123 و 341 برای 13( مراکز و 13 از مثلث 123 طبق قضیه کندی روی یک خط مستقیم هستند مراکز از مثلث 341 نیز باید روی یک خط باشند 13 در محل تالقی و قرار دارد 4( پس از تعیین هر مرکز آنی در دایره خط چین به خط پر تبدیل میشود دیاگرام دایره پس از تعیین مرکز آنی اولیه مثال: مطلوبست تعیین مراکز آنی مکانیزم لنگ لغزنده تعداد طبق فرمول = 6 مراکز آنی اولیه دیاگرام دایره پس از تعیین مرکز آنی 13 26

27 مثال: مطلوبست تعیین مراکز آنی مکانیزم )عضو 5 چرخ است که روی 1 میغلتد( تعداد مراکز آنی طبق فرمول = 10 مراکز آنی اولیه و 23 )تقاطع قایم مشترک و خط المرکزین( 15-54) و ( ) و ( ) و ( ) و (

28 تعیین سرعت به روش استفاده از مراکز آنی و مولفهها تعیین سرعت به روش استفاده از مراکز آنی V = Rω (R V) شعاع دوران سرعت خطی مرکز آنی نقطهای مشترک بین دو جسم دارای سرعتهای مساوی است فاصله نقطه تا مرکز آنی دوران = شعاع دوران (R V )شعاع دوران سرعت خطی مثال: با معلوم بودن سرعت زاویهای بند 2 سرعت نقاط O 4 P 3 B A O 2 و O 5 از مکانیزم را تعیین نمایید. = 5, f 1 = 5, f 2 = 1 DOF = 3(5 1) = 1 N = 10 مراکز آنی اولیه )5(: لوال: )ثابت( و )متحرک( مراکز آنی باقیمانده )5(: مرکز ثابت: 13 مرکز تماس مستقیم لغزشی: 35 )تقاطع عمود مشترک و خط المرکزین 15 13( مراکز متحرک: و 45 28

29 V 23 = L ω 2 V 23 V 23 = L ω 3 ω 3 = L L ω 2 V 34 = L ω 3 V 34 V 34 = L ω 4 ω 4 = L L ω 3 V P3 (13 P3) V P3 = L 13 P3 ω 3 V P3 برای این که اتصال )لغزشی( باقی بماند V P3 = V P5 تقاطع عمود بر P5 15 با عمود بر V P5 V P5 (15 P5) V P5 V P5 = L 15 P5 ω 5 ω 5 اهميت روشهای ترسيمي: استفاده در کدهای کامپیوتری بدون نیاز به محاسبات ریاضی کمک به درک مفاهیم پایه روش گرداندن شعاع در این روش از این قاعده استفاده میشود که سرعتهای خطی نقاط واقع بر یک جسم در حال شعاع دوران آن نقاط دارند. دوران نسبت مستقیم با V = Rω V R این روش که با گرداندن شعاع آنی یک نقطه و در امتداد قرار دادن آن با شعاع آنی نقطهای دیگر صورت میگیرد تنها موقعی قابل استفاده است که هر دو نقطه مربوط به یک میله باشند یعنی یا دو نقطه روی یک میله واقع باشند یا مرکز آنی دوران آن میله باشند. ABC ~ ADE AD AB = AE EC = DE BC 29

30 مثال: در شکل زیر سرعت نقطه B معلوم است. سرعت نقاط D و E E و D را با استفاده از روش گرداندن شعاع تعیین نمایید. مربوط به عضو 3 هستند. پس کافیست از V B سرعت نقطه 23 تعیین شود و از مرکز آنی 13 استفاده گردد. V , V 23 = L ω 2 نقاط 12 و B روی عضو 2 قرار دارند: V 23 L = V B L 12 B چون 23 روی عضو 3 هم هست V 23 عمود بر است V 23 = L ω 3 (13 23) از V 23 برای سرعت D هم استفاده میشود V D = L 13 D ω 3 (13 D) V 23 L = V D L 13 D از 13 به انتهای V 23 وصل میکنیم. اگر نقطه D را دوران دهیم تا 13-D بر منطبق شود رابطه باال بیانگر آن است که مثلثها متشابه هستند. برای نقطه در حالت کلی بردار E V 23 منطبق شود. سرعتهای D هم به همین شیوه میتوان عمل کرد. محاسبه و ترسیم میشود. سپس نقاط D و E و E با توجه به تشابه مثلثها قابل محاسبه هستند. دوران داده میشوند تا شعاعهای دوران بر V 23 مطابق شکل سمت چپ میتوان شعاع دوران را دوران داد تا بر امتداد منطبق گردد. برای تعیین سرعت نقطه D کافیست از این نقطه به موازات تعیین میشود: خطی ترسیم شود. با توجه به این که مثلثها متشابه هستند از رابطه زیر V D V D = 13 D V 23 V E = 13 E V 23 برای سرعت نقطه E نیزبه روش مشابه عمل میشود: 30

31 مثال: سرعت نقطه B از مکانیزم معلوم است. سرعت نقطه D را با استفاده از روش گرداندن شعاع تعیین نمایید. برای تعیین V B = (12 B)ω 2 V D بهتر است دنبال مرکز آنی بگردیم که مربوط به دو عضو 2 و 4 باشد یعنی 24 )نقطه انتقال( 24 نقطهای بر روی عضو 2 است که حول 12 دوران میکند 24 نقطهای بر روی عضو 4 است که حول 14 دوران میکند نقطه B را دوران میدهیم تا B 12 بر منطبق شود از مفصل 12 به انتهای بردار V B با استفاده از تشابه سرعت نقطه 24 محاسبه میشود. وصل میکنیم تا امتداد عمود خارج شده از 24 را قطع کند. V 24 = B ω 2 از مفصل 14 به انتهای بردار V 24 وصل میکنیم. نقطه D را دوران میدهیم تا D 14 بر عمود خارج شده از D منطبق شود. راستای سرعت D را مشخص میکند و V D با تشابه مثلثها محاسبه میشود. V D = D V 24 نکته: روش گرداندن شعاع تنها زمانی قابل استفاده است که دو نقطه بر روی يك عضو قرار داشته باشند. مثال در مثال قبل چون دو نقطه بر روی یک عضو نیستند باید ابتدا دو نقطه انتقال گفته میشود. V 23 محاسبه شود و در این مثال ابتدا باید V 24 محاسبه شود که به این مثال )تمرين 2-5(: V D V C در شکل زیر اندازه V B را یک بردار به طول 50 mm در نظر بگیرید. با استفاده از روش گرداندن شعاع مقادیر را و تعیین نمایید. اگر ω 2 = 100 rpm باشد مقادیر V C V D و را بر حسب متر بر ثانیه به دست آوردید. 31

32 راه حل اول: V B = (12 B)ω 2 (12 B) مربوط به عضو 3 هستند سادهترین راه استفاده از مرکز آنی 23 )محل تالقی عمود مشترک و خط V B نقطه B مربوط به عضو 2 است از آنجا که نقاط C و D المرکزین 13 )12 است. چون مرکز 23 مربوط به عضو 2 است کافیست سرعت را دوران دهیم تا B 12 روی منطبق شود. (12 B V B ) ~ (12 23 V 23 ) [V 23 ] [V B ] 3 نظیر = 12 B [V ] = 12 B [V B ] مرکز 23 مربوط به عضو 3 نیز هست پس میتوان از مثلث ) 23 V 23 13) برای تعیین سرعت دیگر نقاط عضو C و D استفاده نمود. اگر شعاع C 3 13 را دوران دهیم تا بر راستای منطبق شود: 32

33 (13 C 3 V C 3 ) ~ (13 23 V 23 ) [V C 3 ] [V 23 ] = 13 C [V C 3 ] = 13 C [V 23 ] (13 D V D ) ~ (13 23 V 23 ) اگر شعاع D 13 را دوران دهیم تا بر راستای منطبق شود: [V D ] 13 D = [V 23 ] [V 13 D D ] = [V 23 ] D V را دوران دهیم تا به نقاط اصلی خود یعنی و D بازگردند. و حال باید سرعتهای ω 2 = 100 rpm = 100 ( 2π ) = rad s 60 V B = (12 B)ω 2 = ( ) = m s [V C 3 ] = [V C3 ] = 16/44mm C 3 V C 3 [V D ] = [V D ] = 9/56mm V C3 [V C3 ] = V B [V B ] [V D ] = 9/56mm, V C3 = V D [V D ] = V B (16 44) = m s [V B ] V D = m s تناسب برای تبدیل طول به سرعت راه حل دوم: در روش دیگر بدون استفاده از مرکز آنی 23 ابتدا باید C 2 12 را دوران داد تا روی راستای B 12 منطبق شود (12 B V B ) ~ (12 C 2 V C2 ) [V C2 ] [V B ] = 12 C 2 12 B [V C 2 ] = 12 C 2 12 B [V B ] برای این که دو عضو 2 و 3 با هم دوران نمایند باید مولفههای عمود سرعت نقاط و با یکدیگر برابر باشند. از آنجا که C 3 C 2 V C3 عمود بر C 3 13 است در راستای مماس مشترک مولفه نخواهد داشت: [V C3 ] = [V C3 ] = [V C2 ] V C2 C 2 V C2 بنابراین ابتدا باید اندازه مشخص شود. را دوران دهیم تا به نقطه منتقل شود. آنگاه مولفه را در راستای عمود مشترک تعیین نماییم تا V C3 33

34 روش خط موازی ABC ~ ADE AD AE = AB AC = BD EC این روش نیز مانند روش گرداندن شعاع مبتنی بر این قاعده است که سرعت خطی نقاط واقع بر یک جسم در حال دوران نسبت مستقیم با شعاع دوران آن نقاط دارد. همچنین این روش تنها زمانی میتواند برای تعیین سرعت یک نقطه از میلهای به کار رود که سرعت نقاطی دیگر از همان میله معلوم باشد. 34

35 برای مرکز آنی 13 V C C 13 = V E E 13 C 13 V C C 13 CC = V C = E 13 V E E 13 CC C 13 = (C ) EE E 13 راستای 13 C منطبق شود رابطه باال زمانی برقرار است که CE C E 1- را دوران میدهیم تا بر V C (E ) از C 2- به موازات CE رسم میکنیم تا E 13 را قطع کند EE = V E (D ) به دلیل مشابه از C به موازات CD رسم میکنیم تا D 13 را قطع کند -3 DD = V D D 14 و E 13 راستای سرعتها مشخص میشود. E با دوران نقاط D و جهت و تا انطباق بر راستاهای عمود بر با توجه به جهت با دوران پادساعتگرد 90 درجه حول D و E به راحتی مشخص میشود. با استفاده از روش خط موازی تعیین نمایید. DOF = 3(6 1) 2 7 = 1 V C V E V D -4-5 مثال: با معلوم بودن ω 2 سرعت بقیه اعضای مکانیزم را 35

36 DOF = 3(6 1) = 1 V , V 23 = V 34 = 34 34, V V = V V = V 23 V 34 " = 34 34" = V 34 حل: با دوران 90 درجه V 23 حول 23 V 34 حول 34 با دوران 90 درجه با دوران 90 درجه V 34 حول 34 V 23 V 34 V 34 " V 56 = V 56 = V 56, V V 56 حول 56 V56 با دوران 90 درجه V = V V = V 23 سرعتها در يك مکانيزم لنگ در حالتی که ω 2 معلوم باشد و بخواهیم سرعت پیستون را محاسبه کنیم: V 23 = Rω 2 = L ω 2 V 23 با مشخص بودن ω 2 بردار محاسبه میشود با مقیاس دلخواه رسم میشود. میله 3 و مفاصل 23 و 34 حول 13 دوران میکنند. با دوران حول 13 تا انطباق بر راستای میتوان V 23 V 34 را با ترسیم عمود بر این راستا محاسبه نمود. چون 34 عالوه بر میله 3 بر لغزنده 4 نیز قرار دارد همان سرعت لغزنده هم میباشد V 34 = V 34 لغزنده = V 36

37 سرعتها در مکانيزم بادامکي V با معلوم بودن ω 2 میخواهیم سرعت پیرو را محاسبه کنیم. 3 لغزنده بوده و مرکز آنی آن در بینهایت است )13(. خط المرکزین از 12 به 13 امتداد دارد یعنی خطی از 12 به بینهایت چون نقطه تماس (P) بر روی خط المرکزین نیست پس تماس لغزش خواهد بود. چون تماس لغزشی است مرکز آنی 23 محل تقاطع عمود مشترک از P 23 نقطهای است روی عضو 2 که حول 12 دوران میکند و خط المرکزین خواهد بود V 23 = L ω 2 3 مرکز آنی 23 همچنین بر میله يکسان نیز قرار دارد. از آنجا که پیرو حركت انتقالي دارد تمامی نقاط دارای سرعت V 23 سرعتهای زاويهای هستند. ω = V R ω 3 = V 23 L ω 2 = V 23 L ω 2 = L ω 3 L ω 3 = L L ω 2 cw ω 4 = L L ω 2 ccw 37

38 نتیجه: روابط باال بیانگر این موضوع هستند که نسبت سرعتهای زاويهای هر دو ميله از یک مکانیزم نسبت معکوس دارد ω m = V m 1m m ω m ω = L 1 m L 1m m با فاصله مراكز آني واقع در بدنه که دو میله حول آنها گردش میکنند تا مركز آني مشترک در دو ميله در حالت كلي: ω 5 ω 4 ω 3 مثال )تمرين 17-5( و پادساعتگرد باشد و را تعیین نمایید. اگر در شکل زیر ω 2 = 75 rpm = 28 6 mm = 81 9 mm حل: = 61 mm = mm = mm = 81 3 mm ω L 3 = ω L 4 = ω 3 ω 2 = L ω 4 ω 2 = L ω 5 ω 2 = L L ω 5 = 75 = rpm (cw) 75 = rpm (ccw) 75 = 15 2 rpm (cw) 38

39 تعیین سرعتها به روش مولفهها عبارتست از تجزيه سرعت به مولفههايي مناسب به نحوی که بتوان از روی آنها انتقال و دوران میلههای مختلف مکانیزم را بررسی نمود )اصل برهمنهي(. در شکل زیر اگر معلوم باشد V B V B مولفه آن در راستای BC و V B " مولفه آن عمود بر BC است: عضو 3 صلب است V B O 2 B V B BC V B " BC سطح c V V B = V C V c با تقاطع عمود خارج شده از V C V C " با معلوم شدن V c خط واصل بین نقاط سرعت دارد. به راحتی محاسبه میشود. V B " V C و " P نقطه همانطور که در شکل )ج( دیده میشود )نقطه و خط موازی سطح محاسبه میشود. را مشخص میکند که در راستای عمود بر BC سرعت ندارد و فقط در راستای BC " " V B عمود بر BC و به سمت پايين است در حالی که V C عمود بر BC و به سمت باال است. از آنجا که سرعت تغيير جهت داده است پس باید نقطهای روی BC باشد که در آن سرعت عمودی صفر باشد P(. این نقطه از تقاطع خط واصل بين دو انتهای P فقط در راستای BC سرعت دارد. " V B و " V C و خط BC به دست میآید. چون جسم صلب است پس = + )ج( )ب( )الف( 39

40 حرکت عضو 3 )شکل ج( در نظر گرفت. نقطه را میتوان ترکیبی از حركت انتقالي در راستای عضو BC مانند مركز دوران عضو 3 بدون در نظر گرفتن حرکت انتقالی است. )شکل ب( و حركت دوراني حول مرکز دوران V P( BC) =0 V P( BC) = V B V D " P دارند P V B " و نسبت مستقیم با فاصله از با دوران PD و انطباق آن با PB به دست میآید V D " V B = V D عضو 3 صلب است { V D = V P + V D P V V P = V D = V B + V D B V D " V D = V B يا به راحتی قابل محاسبه است برايند و V D و D مثال: سرعت V B2 حل: معلوم است سرعت نقاط C را محاسبه نمایید. V B2 O 2 B 2 برای تعیین سرعت C یعنی مشخص شود ابتدا باید سرعت نقطهای از میله 4 V B4 O 4 B 4 V B2 V B4 مولفهای از است که عمود بر میله 4 است سرعت نقطهای واقع بر میله 4 است پس سرعت نقطه را میتوان به روش تشابه و به کمک V B4 محاسبه نمود: V B4 V B4 C V C = O 4B 4 V B4 O 4 C حال مولفه V C بر روی CD تعیین میشود: V C CD چون عضو 5 صلب است و D نقطهای از میله 5 است: V C = V D V D V D از تقاطع عمود بر دست میآید: راستای با به موازات سطح به سطح D V 40

41 V B مثال: در شکل زیر حل: معلوم است سرعت پیرو را معلوم نمایید: V B O 2 B مولفه V B در راستای حرکت پیرو است پیرو دارای حرکت انتقالی است چون 3 عضو صلب است تمام نقاط آن دارای یک سرعت میباشند پیرو V = V B V B و D V B مثال: در شکل زیر معلوم است. سرعت نقاط C را بیابید. V B O 2 B V B BC V C (3) = V B V C O 4 C O 4 C مولفه V B در راستای BC است V C (3) V B عضو 3 صلب است از تقاطع عمود بر با عمود بر مشخص میشود V C V C (5) CD مولفه V C (5) C V در راستای CD است. V C (5) = V D عضو 5 صلب است V D از تقاطع عمود بر Vبا D عمود بر خط موازی سطح مشخص میشود 41

42 V P2 مثال: P 3 و P 2 نقاط در شکل زیر به ترتیب نقاط تماس واقع بر میلههای شماره 2 و 3 میباشند. سرعت را با برداری به طول 30mm نشان دهید. بردار V C را با استفاده از روش مولفهها تعیین کنید. حل: دیسک 2 بر روی دیسک 3 حرکت غلتشی دارد و مرکز آنی 23 نقطه تماس دو دیسک است. چون تماس از نوع غلتشی است سرعت نقاط و P 2 P 3 با یکدیگر برابر است. 42

43 در تماس غلتشی نقطه تماس باید روی خط المرکزین دو دیسک غلتان )13 12( قرار داشته باشد. V P2 = V P3 V P2 O 2 P 2 V P3 13 P 3 برابر با V P3 میباشد )غلتش خالص( که آن را به دو مولفه مماس و عمود بر P 3 C تجزیه میکنیم. V C در راستای P 3 C برابر است )جسم صلب( V P2 V P2 مولفه قایم با مولفه V P2 = V C V C 13 C V C عمود بر خط C 13 است V C VC با معلوم بودن عمود بر C )13 و راستای V C سرعت نقطه C به راحتی قابل محاسبه است )تقاطع عمود خارج شده از انتهای و خط V P2 = 30 mm V C = mm 43

44 تعیین سرعت به روش سرعتهای نسبی مثال: در این روش از مفهوم سرعتهای نسبي برای تحلیل مکانیزم استفاده میگردد. از آنجا که در تحليل شتاب مکانيزمهای ميلهای ابتدا باید سرعتهای نسبی تعیین گردند این روش بهترين روش تعيين سرعت میباشد. در مکانیزم لنگ زیر با استفاده از رابطه سرعت نسبی مثلث سرعت را ترسیم نمایید. V C = V B + V C/B چون عضو 3 صلب است پس V C/B نمیتواند مولفهای در راستای CB داشته باشد. V C/B CB O 2 نقطهای از مکانیزم است سرعت آن صفر میباشد و بدان قطب گفته میشود. در روش سرعتهای نسبی سرعتهای مطلق تمام نقاط از قطب ترسیم میگردند. از یک مقياس مناسب برای ترسیم سرعتهای معلوم استفاده میشود. V C/B CB سطح C V V C از تقاطع عمود بر BC و خط موازی سطح تعیین میشود. نوک پيکان بردار تفاضل دو بردار C( در انتهای بردار اول )یعنی آن در انتهای بردار دوم )یعنی )یعنی B و A A( و نقطه شروع B ( قرار دارد. C = A B 44

45 ω 2 = 20 rad/s مثال: اگر در مکانیزم زیر باشد سرعت نقطه D چقدر است V B = (O 2 B)ω 2 = = 3000 mm/s از قطب O 2 با مقیاس مناسب ترسیم میشود V = + D V B V D/B V D/B BD = + V C V B V C/B V C/B BC V B (I) در رابطه باال 3 مجهول داریم (II) V C O 4 C O 4 C B نقطه C جهت مقدار از تقاطع عمود بر BC از نقطه به سمت از است )شکل الف( با امتداد عمود خارج شده از به دست میآید. )C O 2 (II) C B مشخص شده است. جهت آن نیز با توجه به رابطه تعیین میگردد )از به V C/B V C V D (I)=(III) = + V C V D/C + = + V D/B V B V D/B BD V C/B BC V C V D/C V D/B B (III) خط رسم شده از خط رسم شده از و عمود بر BD راستای و عمود بر CD راستای را مشخص میکند. V D/C را مشخص میکند. C V C = O 4 C = 2020mm/s, V D = O 4 D = 1990 mm/s 45 D V D/C تقاطع دو راستای V D/B نقطه و را مشخص میکند. با توجه به شکل و با رعایت مقیاس:

46 نکته: خطوط رسم شده از قطب به نقاط واقع بر روی دیاگرام سرعتهای مطلق نقاط مربوطه را نشان میدهد. O 2 B = V B O 4 C = V C O 4 D = V D نکته: خط واصل بين دو نقطه واقع بر روی دیاگرام سرعت نسبي دو نقطه را نشان میدهد B C = V C/B D C = V C/D D B = V B/D تصویر سرعت هر میله در دیاگرام سرعت دارای تصویر میباشد. B C BC C D CD} B C D ~ BCD B D BD مثلث BCD مثلث مشابه بوده و تصوير آن نامیده میشود. B C D O 2 B O 2 B O 4 C O 4 C بنابراین با معلوم بودن سرعت دو نقطه واقع بر يك عضو از مکانيزم در دیاگرام سرعت سرعت هر نقطه سومي واقع بر اين عضو با رسم تصوير سرعت آن قابل تعیین است. D مثال اگر در مثال قبل نقاط B نمود. الزمه این امر آن است که C و تعیین شده باشند با رسم مثلث B C D مشابه مثلث BCD میتوان نقطه را تعیین C D B C و B D به ترتیب عمود بر CD BC باشند. و BD سرعت زاویهای سرعت زاويهای هر عضو صلب برابر است با سرعت نسبي هر دو نقطه واقع بر آن عضو تقسیم بر فاصله بين آن دو نقطه. سرعت نسبی فاصله بین دو نقطه ω = 46

47 است. چون فاصله بين نقاط يك جسم صلب ثابت است سرعت نسبي عمود بر امتداد خط واصل بین دو نقطه خط واصل بین دو نقطه سرعت نسبی حركت نسبي يك نقطه در جسم صلب نسبت به نقطه دیگر یک دوران بوده که شعاع دوران آن برابر فاصله بين دو نقطه است. در شکل مثال قبل: ω 3 = نسبی V R = V B C BC = V B D BD = V C D جهت V B C = V B V C از C به B است B نسبت به CD ccw C حرکت میکند مثال: در شکل زیر حل: به سمت پایین حرکت میکند حول B C پادساعتگرد ω 2 = 5 rad/s و ساعتگرد است. سرعت خطی نقطه D و سرعت زاویهای میله 3 را محاسبه نمایید. V B O 2 B V B = O 2 B ω 2 = 75 5 = 375 mm/s 1 mm = 10/7 mm/s مقیاس در دیاگرام سرعت V D = + V B V D/B سرعت D هم از نظر مقدار و هم از نظر امتداد مجهول است B O 2 که نشان دهنده V است از قطب B ابتدا طول O 2 رسم میشود = + V C V B V C/B VC سرعت مطلق و موازی سطح است که باید از قطب O 2 رسم شود سطح V C V C/B BC C BC O 2 تقاطع خط عمود بر افق از قطب معلوم میکند با امتداد عمود بر را نقطه O 2 C V C 47

48 مقدار V D/B با نوشتن تناسب محاسبه میشود: D C D C B D C چون نقاط B و کثیراالضالع سرعت باشند. بر روی يك ميله واقع هستند نقاط و میبایست تصوير نقاط B مکانیزم در و B D B C = BD BC = B D = 1/47 B C نقطه D با ترسیم D B به اندازه 1/47 برابر C B تعیین میشود. بردار D O 2 سرعت مطلق نقطه D و بردار D B سرعت نسبی نقطه D نسبت به B را نشان میدهد. V D = 385 mm/s V D/B = 440 mm/s ω 3 = V C B BC = V D B BD سرعت زاویهای میله 3: ω 3 = 440 سرعت نقاط واقع بر جسم غلتان = 2 rad/s cw 220 P مرکز آنی دوران است V C = Rω V Q/C = (CQ)ω V Q/C R V Q = V C + V Q/C V Q PQ تقاطع عمود بر CQ از انتهای V C با عمود بر PQ بردار V Q را مشخص میکند. V P = V C + V P/C V P/C = Rω V P = Rω Rω = 0 48

49 V B2 مثال: در مکانیزم برگشت سریع شکل زیر معلوم است. سرعت نقطه D و سرعتهای زاویهای میلههای 4 و 5 را تعیین نمایید. حل: V C = V D + V C/D V B2 O 2 B 2 V B4 O 4 B 4 B 2 V B2 O 2 B 2 بردار در کثیراالضالع سرعت معرف است نقطهای واقع بر میله 4 است که در این لحظه بر منطبق است O 4 B 4 V B4 B 4 مقدار چون معلوم نبوده اما امتداد آن عمود بر نسبت به در امتداد عمود بر میله است. دارای هیچ حرکتی نیست V B2 /B 4 O 4 B 4 O 4 4 B 2 میبایست در امتداد میله 4 باشد O 4 C B 2 B 4 V B4 /B 2 از نقطه عمود بر خطی موازی رسم شده موقعیت میکشیم. تقاطع این خط با خطی که از نقطه O 4 B 4 = V B4 B 2 B 4 = V B2 /B 4 O 4 C را مشخص میکند O 4 C B 4 V B4 /B 2 B 2 B 4 O 4 B 4 برابر و برابر V B4 است. V C O 4 C O 4 B 4 بردار معرف بردار تناسب به دست میآید: است که باید عمود بر باشد. مقدار از O 4 C O 4 B 4 = O 4C O 4 B 4 O 2 O 4 C = O 4C O 4 B 4 (O 4 B 4 ) CD تقاطع عمود خارج شده از نقطه C میشود موقعیت نقطه بر خط را مشخص میکند. با خط افقی که از ترسیم O 2 D = V D C D = V D/C ω 4 = V C O 4 C ω 5 = V C/D cw CD cw ساعتگرد میباشد ω 4 متمایل به راست است V C V C/D متمایل به سمت پایین است 5 ω ساعتگرد میباشد D 49 V B مثال: در مکانیزم شکل زیر حل: معلوم است. سرعت نقطه C را تعیین نمایید. چون نقطه تماس روی خط المرکزین است میلههای 2 و 3 در این لحظه تماس غلتشی دارند. O 2 B در دیاگرام سرعت V B رسم شده است. با بردار از قطب در امتداد عمود بر O 2 B

50 V P2 O 2 P 2 V P2 /B BP 2 نقطه P 2 BP 2 بنابراین تقاطع خط عمود بر O 2 P 2 را تعیین میکند با خط عمود بر C O 3 C O 3 O 2 P 2 = V P2 B P 2 = V P2 /B V P2 = V P3 O 3 P 3 = V P3 V C چون سرعتها در نقطه تماس با هم برابرند O 3 C O 3 بنابراین خطی که از تقاطع خطی که از عمود بر شعاع عمود بر رسم شود امتداد را مشخص میکند. ترسیم میشود با خط رسم شده از که عمود بر است موقعیت نقطه را O 3 C = V C P 3 C = V C/P3 P 3 C V B P 3 مشخص میکند. مثال: در مکانیزم شکل زیر معلوم است. سرعت نقطه C را تعیین نمایید. حل: چون نقطه تماس بر روی خط المرکزین قرار ندارد پس تماس لغزشی است. V P2 O 2 P 2 V P2 /B BP 2 O 2 P 2 O 2 P 2 عمود بر بردار با خطی که از است. از تقاطع خط عمود بر B P 2 عمود بر ترسیم میشود B P 2 O 2 P 2 نقطه تعیین میگردد. O 2 P 2 = V P2 B P 2 = V P2 /B چون V P3 O 3 P 3 V P2 /P 3 در تماس لغزشی میباشد. در امتداد مماس مشترک P 2 P 3 مماس مشترک O 3 P 3 O 3 P 3 P 3 O 3 P 3 O 3 50 P 2 از تقاطع خطی که از میگردد. از تقاطع خطی که از میگردد. به موازات مماس مشترک ترسیم میشود با خطی که از بر عمود میگردد نقطه تعیین O 3 P 3 = V P3 P 2 P 3 = V P3 /P 2 C P 3 C P 3 عمود بر O 3 C رسم میشود با خط دیگری که از بر عمود است موقعیت نقطه مشخص O 3

51 O 3 C O 3 C P 3 C P 3 C O 3 C = V C P 3 C = V C/P3 در نتیجه: سرعتها در مکانیزمهای میلهای مرکب هرگاه ميلهای در یک مکانیزم دارای مركز دوران ثابت نباشد بدان ميله معلق گفته میشود. مکانیزمهایی که دو ميله معلق يا بيشتر داشته باشند مکانيزم مركب نامیده میشوند. در تحلیل مکانیزمهای مرکب گاه در روابط برداری با تعداد زيادی مجهول مواجه میشویم. در این موارد از سعي و خطا V B V E باید استفاده گردد. مثال: در مکانیزم مقابل حل: را از قطب معلوم است. سرعت به اندازه ترسیم میکنیم را تعیین نمایید. V = + C V E V C/E V C/E CE جایی در امتداد خط عمود C O 2 E C O 2 V E راستای C نشان میدهد که بر CE قرار دارد. تنها با استفاده از رابطه باال نمیتوان را تعیین کرد. = + V B V D V B/D را در نظر میگیریم. بنابراین D B O 2 B O 2 D برای V D برابر طول دلخواه در امتداد عمود بر عمود بر و O 2 B ( O 2 B) = V B D B DB V B میباشد. O 2 B DB )شکل الف( V = + C V D V C/D C B و D روی یک عضو قرار دارند با استفاده از 51 D C V C/D میتوان نوشت: در رابطه باال تصویر میتوان برابر و و در امتداد عمود بر CD است. چون نقاط D را تعیین نمود. با استفاده از تناسب میتوان نوشت: C B

52 C D B D = CD BD C D = CD BD (B D ) C C D حال از نقطه D چون طول بر روی خط حاوی را رسم و نقطه را تعیین میکنیم )شکل الف(. E قرار نمیگیرد بنابراین جواب صحیح نمیباشد. C C O 2 C نقطه برخورد راستای C حال اگر از C خط با خط موقعیت را موازی D B خواهیم داشت: را مشخص میکند. C D B D = CD BD D B D B C تصویر BCD بوده و حل صحیح را نشان میدهد. V B = O 2 B )شکل ب( V C = O 2 C V D = O 2 D E C D روش بدون سعي و خطا: با تعیین طول فرضی B O 2 میتوان دیاگرام سرعت را ترسیم نمود. سپس با روش تصویر میتوان نقاط را در و V E O 2 E دیاگرام سرعت جایابی نمود. طول E O 2 را میتوان اندازه گرفت. از روی مقدار و مقدار معلوم تعیین میگردد. با استفاده از این مقیاس و دیاگرام سرعت سرعت هر نقطه دیگر از مکانیزم را میتوان محاسبه نمود. مقیاس سرعتها V E مقیاس = E O 2 V D = مقیاس O 2 D V B = مقیاس O 2 B V C = مقیاس O 2 C 52

53 Q 4 Q 3 و مثال )تمرين 9-6(: از شکل زیر به ترتیب نقاط منطبق بر میلههای 2 و 3 بوده و و به ترتیب نقاط منطبق بر هم در میلههای 3 و V P2 = 750 mm/s P 3 P 2 4 میباشند. الف( دیاگرام سرعت را رسم کنید. برای رسم سرعتها از مقیاس 1 mm = 0/02 m/s استفاده کنید. سرعت خطی عضو شماره rad/s 4 را بر حسب متر بر ثانیه تعیین کنید. ب( سرعت زاویهای ω 3 را بر حسب تعیین کنید. حل: V A = V B + ω r A B + V rel V P3 /P 2 3 یا V = P3 V + P2 V P3 /P 2 V P3/P2 مماس بر سطح تماس V P3 O 3 P 3, V P2 O 2 P 2 V = Q3 V + P3 V Q3 /P 3 O 2 Q 3 P 3 ~ O 3 PQ V = Q4 V + Q3 V Q4 /Q 3 V Q4 /Q 3 3 O 2 Q 3 P 3 را با ترسیم مثلث در راستای شیار به صورت متشابه با O 3 PQ و نوشتن تناسب نیز تعیین نمود. V Q3 V Q4/Q3 V Q4 سطح, V Q3 O 3 Q 3 ω 3 = V P 3 O 3 P = 0/297 3 = 8/492 rad/s (ccw) 34/

54 شتابها در مکانیزمها به علت تاثير شتاب در نيروهای اينرسي که به نوبه خود تاثير در تنشهای حاصله در اجزای یک ماشین بارهای یاتاقانی ارتعاش و سر و صدا دارند شتاب از اهميت خاص برخوردار است. V A = V B + ω r A B + V rel A A = A B + ω r A B + ω ω r A B + 2ω V rel + A rel V A = V B + ω r A B } V A = V B + V A B V A B = ω r A B r A B A A = A B + ω r A B + ω ω r A B A A B A A B = α r A B r A B فرمول سرعت و شتاب نقطه A نسبت به نقطه B در حالت کلی به صورت زیر است: } A A = A B + A A B = ω ω r A B r A B جسم صلب طبق تعریف جسم صلب (0 = rel A و = 0 rel V ) است در نتیجه: + A A B A A = A B + AA B + AA B A A B A A B 2 = V A B r = rω 2 = V A B = rα 54

55 1800 باشد شتاب نقطه C را تعیین نمایید. مثال: اگر لنگ در مکانیزم لنگ و لغزنده زیر دارای سرعت زاویهای یکنواخت rpm حل: V B = (O 2 B)ω = 63/5 = + V C V B V C/B A C = A B + A C/B π 60 = 11/97 m/s V C V C/B = 10/68 m/s 0 A + = + 0 C A C A B A + B A + C/B A C/B ω = یکنواخت α = 0 A B ω C = 0 A C = V C 2 A B = V B 2 = O 2 B α = 0 A B = A B = rω 2 = (O 2 B)ω 2 O 2 B R = V 2 C = 0 A C = A سطح C O 2 B = (11/97)2 3 = 2256/4 m/s2 63/5 10 و A C/B شتابهای نسبی میباشند. A C/B A C/B A C/B B BC مسیر حرکت C نسبت به B این مسیر میباشند. دایرهای با شعاع حول مرکز و است و به ترتیب در امتداد قائم و مماس بر A C/B BC 55

56 A C/B BC A C/B BC = (10/68)2 3 = 750/4 m/s نیز به صورت عمود بر BC ترسیم میشود. تقاطع این راستا با = V C/B 2 A C/B A C/B راستای BC موازی B از نقطه A C نقطه C " را تعیین میکند. ترسیم میشود. راستای بردارهایی که از قطب به نقطه متناظر خود در دیاگرام شتاب متصل میشوند بیانگر شتاب مطلق آن نقطه هستند. بردارهایی که از که دو نقطه غیر از قطب را به هم متصل میکنند بیانگر شتاب نسبی آن دو نقطه هستند. A C = O" 2 C" A B = O" 2 B" A B C = B"C" شتاب زاويهای شتاب زاویهای هر عضو صلب از یک مکانیزم برابر است با شتاب مماسي هر نقطه واقع بر روی عضو مزبور نسبت به هر نقطه دیگر واقع بر روی همان عضو تقسيم بر فاصله بين دو نقطه: جهت شتاب زاویهای با توجه به دیاگرام شتاب تعیین میگردد. اندازه شتاب مماسی دو نقطه نسبت به یکدیگر = شتاب زاویه ای فاصله بین دو نقطه α 3 = A C/B BC ccw A B C = A B C + A B C تصویر شتاب همانند دياگرام سرعت برای هر عضو در دياگرام شتاب نیز تصويری وجود دارد. چون برای یک عضو صلب ω میباشد. و = (A B C ) 2 + (A B C ) 2 = [(BC)ω 2 ] 2 + [(BC)α] 2 = BC ω 4 + α 2 A B C α ثابت هستند نتیجه میگیریم که شتاب نسبی متناسب با فاصله بین دو نقطه A B C BC به عبارت دیگر نقاط واقع بر روی یک عضو صلب در دیاگرام شتاب تصویری از نقاط مربوطه واقع بر هستند. مثال در شکل زیر: روی عضو B"C" BC = B"D" BD = C"D" CD 56

57 و E مثال: در مکانیزم زیر سرعت و شتاب زاویهای معلوم است. شتاب نقاط D C را به همراه شتاب زاویهای اعضای شماره 3 و 4 بیابید. حل: A C = A B + A C/B A B A B برایند دو بردار است. و A B A B = A B + A B + = + + A C A C A B A B A B = V B 2 O 2 B O 2B و A B A C = V C 2 O 4 C O 4C و A C A C/B + A C/B = O 2 B α 2 A B = O 4 C α 4 A C 57

58 A C/B = V 2 C/B BC A C/B از انتهای B به موازات BC رسم میشود. A C/B A C/B A C/B راستای A C/B عمود بر میباشد. C " A C از تقاطع راستای A C/B با راستای نقطه در دیاگرام شتاب تعیین میشود. O 4 C " = A C B " C " D " نقطه " D با ترسیم مثلث با روش تصویر و متشابه با BCD تعیین میشود. O 2 D " = A D C " E " C " B " = CE CB O 2 E " = A E α 3 = A C/B α 4 = A C O 4 C ccw نقطه " E با استفاده از روش تصویر شتاب محاسبه میشود: مکانیزمهای معادل ccw, BC یک مکانيزم معادل مکانیزمی است که سرعت و شتاب زاويهای عضو محرک 2 و عضو متحرک 4 لحظهای برابر اعضای محرک و متحرک 2 و 4 از مکانيزم اوليه باشد. آن به طور )ب( )الف( اثبات مکانيزم معادل در ضميمه الف كتاب مارتين در شکل )ب( به دلیل آن که تماس همواره در یک نقطه خاص از عضو شماره اتفاق میافتد بدان پیرو نقطهای گویند. P 4 C 4 = 0 4 P 4 C 4 بنابراین شعاع انحنای P 4 C 4 برابر صفر بوده و بر منطبق میباشد. 58

59 59

60 P 2 شتاب اعضای دارای تماس غلتشی مثال: در شکل زیر با فرض معلوم بودن ω 2 حل: و α 2 شتاب یک نقطه از عضو 2 مثل را تعیین کنید. V P2 = 0 چون تماس غلتشی است پس سرعت نقطه P 2 صفر است که P 2 نقطه C حول نقطه O حرکت دورانی دارد و نقطه O مرکز دوران دایمی مرکز آنی دوران نیز هست. C است. A P2 = A C + A P2 /C A P2 = + + A C A C A C = V C 2 OC = V 2 C A P2 /C + A P2 /C = (R 2ω 2 ) 2 CO R 1 + R 2 R 1 + R 2 (I) باید دقت شود که سرعت زاویهای نقطه C حول O یعنی ω با سرعت زاویهای C حول یعنی ω 2 تفاوت دارد: V C/O = V C/P2 (R 1 + R 2 )ω = R 2 ω 2 ω = R 2ω 2 R 1 + R 2 P 2 A C = P 2 C α 2 = R 2 α 2 A C A P2 /C A P2 /C = P 2 C ω 2 2 = V C 2 R 1 = R 2 ω 2 2 P 2 C = P 2 C α 2 = R 2 α 2 A P2 /C (II) بنابراین با A C از لحاظ مقدار برابر است ولی جهت آنها مخالف یکدیگر است. A P2 /C A P2 /C (I),(II) = A C A C < A P2 /C 60

61 A C = V C 2 OC = P 2 مثال: شکل زیر مشابه شکل قبل است با این تفاوت که مسیر غلتش مقعر میباشد. شتاب نقطه حل: این مثال مشابه حالت قبل حل میشود و تنها مولفه شتاب را تعیین نمایید. فرق میکند که به صورت زیر محاسبه میشود: V 2 C = (R 2ω 2 ) 2 CO R 1 R 2 R 1 R 2 A C A C > A P2 /C A C = V C 2 = 0 نکته: در صورتی که سطح غلتش صاف باشد: شتاب کریولیس r A = r B + r A B r A = r B + r A B V A = V B + ω r A B + V rel (X Y) (x y) V A سرعت نقطه A نسبت به دستگاه مختصات جهانی X) (Y نسبت به دستگاه مختصات جهانی B سرعت نقطه V B مولفه سرعت ناشی از دوران دستگاه مختصات محلی (x y) (X Y) ω r A B نسبت به دستگاه مختصات جهانی V rel سرعت نسبی نقطه A نسبت به دستگاه محلی 61

62 V A = V B + d d (ω r A B ) + d d (V rel ) A A = A B + ω r A B + ω (ω r A B + V rel ) + ω V rel + V rel A A = A B + ω r A B + ω (ω r A B ) + 2ω V rel + A rel (X Y) (X Y) A A شتاب نقطه A نسبت به دستگاه مختصات جهانی A B شتاب نقطه B نسبت به دستگاه مختصات جهانی A A/B A A/B = ω r = α r r A B = ω (ω r) r A B شتاب مماسی شتاب مرکزی ω r A B ω (ω r A B ) 2ω V rel V rel A rel = A rel A rel = V 2 rel ρ + A rel 2ω V شتاب کریولیس rel x) (y نسبت به دستگاه محلی A شتاب نسبی نقطه A rel شتاب نسبی را به صورت زیر میتوان نوشت: A rel A rel = s s (x y) که در آن ρ شعاع انحنای مسیر در دستگاه مختصات واسطه و فاصله اندازه گیری شده در طول مسیر A است. V A = V B + ω r A B + V rel به طور خالصه فرمول سرعت و شتاب نقطه A نسبت به نقطه B در حالت کلی به صورت زیر است: A A = A B + ω r A B + ω ω r A B + 2ω V rel + A rel شتاب كريوليس دستگاه مختصات محلي است. معرف اختالف بین شتاب اندازه گيری شده A نسبت به B از دو دستگاه مختصات جهاني و نتيجه 1: شتاب كريوليس ناشی از حركت نسبي است. نتيجه 2: شتاب كريوليس برای هر عضو صلب صفر است زیرا در اجسام صلب فاصله بین هر دو نقطه همواره ثابت است. نتيجه 3: شتاب كريوليس همواره عمود بر راستای سرعت نسبي است. V rel شتاب کریولیس نتيجه 4: با معلوم شدن دياگرام سرعت شتاب كريوليس قابل محاسبه است. 62

63 مثال: شخصی را در نظر بگیریدکه روی یک چرخ و فلک ایستاده است که با سرعت زاویهای ω میکند. حفظ تعادل شخص آسانتر است در کدامیک از حاالت زیر الف( شخص ثابت بایستد. ب( شخص با سرعت ثابت در مسیری دایرهای در جهت چرخش چرخ و فلک حرکت کند. ج( شخص با سرعت ثابت در مسیری دایرهای خالف جهت چرخش چرخ و فلک حرکت کند. حل: )الف( )ب( )ج( دستگاه مختصات واسطه در مرکز چرخ و فلک قرار داده شده است: در هر سه حالت شتاب مماسی A P = A O + ω r + ω (ω r) + 2ω V rel + A rel A O = 0 ω r = rα OP ω (ω r) = rω 2 OP 2ω V rel = 2ωV rel OP V rel = ثابت A rel = 0 rα در حالت )الف( تنها شتاب جانب مرکز در حالت )ب( شتاب کریولیس وجود دارد. rω 2 2ωV rel وجود دارد. نیز به شتاب جانب مرکز rω 2 اضافه میشود. اما در حالت )ج( میتوان سرعت نسبی را به گونهای انتخاب کرد که شتاب جانب مرکز با شتاب کریولیس خنثی شود. پس در حالت )ج( احتمال آن که شخص بتواند تعادل خود را بهتر حفظ نماید بیشتر است. 63

64 مثال: سرعت زاویهای دیسک ثابت و سرعت حرکت لغزنده در شیار ثابت است. شتاب لغزنده A را محاسبه کنید. حل: دستگاه واسطه در O به دیسک متصل میشود A A = A O + ω r + ω (ω r) + 2ω V rel + A rel ω = ثابت ω = 0 A O = 0 V rel = ثابت A rel = 0 A A = ω (ω r) + 2ω V rel V rel = x r = x A A = xω 2 i + 2xω j حاالت مختلف شتاب کریولیس برای مکانیزم زیر 64

65 حالت کلی حرکت نسبی دو جسم نسبت به هم در شکل زیر نشان داده شده است: A P3 = A P2 + A P3/P2 A P3 + A P3 = A P2 + A P2 + A P3 /P 2 + A P3 /P 2 + 2V P3 /P 2 ω 2 P 3 مولفه شتاب کریولیس ) 2 (2V P3/P2 ω نسبت به است. بخشی از شتاب نقطه A P2 = V 2 P 2 P OP 2 O 2 A P2 = OP 2 α 2 A P3 /P 2 A P3 /P 2 = V 2 P 3 /P 2 R A P3 /P 2 P 2C 2V P3 /P 2 ω 2 V P3 /P 2 P 2 مثال: در مکانیزم برگشت سریع زیر عضو شماره 2 محرک است که سرعت زاویهای آن معلوم و ثابت است. سرعت و شتاب زاویهای ثابت = rpm ω 2 = 9/5 ω 2 = 2π ( 9/5 ) = 0/995 rad/s 60 V P2 = (O 2 P 2 )ω 2 = 0/151 m/s عضو 4 را بیابید. حل: از روی دیاگرام سرعت: V P4 = 0/0742 m/s V P2 /P 4 = 0/131 m/s ω 4 = V P 4 = 0/0742 O 4 P 4 0/514 = 0/144 rad/s ccw حال باید شتاب P 4 محاسبه شود: 65

66 A P4 = A P2 + A P2 + A P4 /P 2 + A P4 /P 2 + 2V P4 /P 2 ω 2 P 2 P 4 P 2 چون مسیر P 4 حرکت بر روی نسبت به مشخص نیست شعاع انحنای مسیری که یک خط مستقیم و در راستای میله 4 است: بر روی طی میکند نیز نامعلوم است در حالی که 0 A + P2 A P2 = A P2 A + P4 = A P4 A P4 A P2 /P 4 2V P2 /P 4 ω A P4 A + P2 /P 4 A P2 /P 4 A P2 = V 2 P 2 = 0/1512 O 2 P 2 0/152 = 0/15 m/s2 P 2 O 2 α 2 = 0 A P2 = 0 A P4 = V 2 P 4 = 0/07422 O 4 P 4 0/514 = 0/0107 m/s2 P 4 O 4 A P4 = (O 4 P 4 )α 4 2V P2 /P 4 ω 4 P 4 P 2 A P2 /P 4 = (V P 2 /P 4 ) 2 R = (V P 2 /P 4 ) 2 = 0 2V P2 /P 4 ω 2 = 2(0/131) 0/144 = 0/0377 m/s 2 V P2 /P 4 A P2 /P 4 ( V P2 /P 4 ) 2V P2 /P 4 ω 2 A P4 O 4 P 4 = A P2 A + P4 2V P2 /P 4 ω A P4 A P2 /P 4 A P4 = 0/0921 m/s 2 α 4 = A P 4 = 0/0921 = 0/179 rad/s2 O 4 P 4 0/514 از دیاگرام شتاب داریم: 66

67 ω 2 = 5 rad/s α 2 = 2/5 rad/s 2 مثال: سرعت زاویهای و شتاب زاویهای عضو 2 معلوم هستند. شتاب زاویهای عضو 4 را محاسبه کنید. C مرکز انحنای منحنی خارجی بادامک میباشد. حل: V P2 = (O 2 P 2 )ω 2 = 0/ = 0/417 m/s V P2 O 2 P 2 V P4 = 0/213 m/s O 4 P 4 V P4 /P 2 = 0/533 m/s P 2 D پس این سرعت عمود بر )O 2 D ω 2 = V P2 = V A + V P2 /A چون نقطه تماس غلتک با بادامک سرعت صفر ندارد )سرعت نقطه تماس نیست بلکه عمود است بر O( 2 P 2 ω 4 = V P 4 = 0/213 O 4 P 4 0/191 = 1/12 rad/s cw حال باید شتاب P 4 محاسبه شود: + = A P4 A P4 A P2 A P2 A P4 /P 2 A + P4 /P 2 2V P4 /P 2 ω 2 67

68 A P4 = V 2 P 4 = 0/2132 O 4 P 4 0/191 = 0/238 m/s2 P 4 O 4 A P2 = (O 2 P 2 )ω 2 = 0/0833(5) 2 = 2/08 m/s 2 P 2 O 2 A P2 = (O 2 P 2 )α 2 = 0/0833(2/5) = 0/208 m/s 2 A P2 A P4 /P 2 = V 2 P 4 /P 2 = CP 2 0/ / /019 = 2/06 m/s2 P 4 C 2V P4 /P 2 ω 2 = 2(0/533)5 = 5/33 m/s 2 CP 4 A P4 A P4 /P 2 A P4 A P4 /P 2 + = + + A P4 A P4 A P2 A P2 A + P4 /P 2 2V P4 /P 2 ω 2 + A P4 /P 2 و مقادیر مجهول هستند. A P4 /P 2 A P4 و توجه به دیاگرام شتاب قابل محاسبه هستند. A P4 /P 2 A P4 A P4 = 1/97 m/s 2 P 4 O 4 α 4 = A P 4 O 4 P 4 = 1/97 0/191 = 10/3 rad/s2 cw 68

69 چرخدندهها تماس غلتشی )الف( )ب( در شکل الف دو استوانه در خالف جهت یکدیگر حرکت میکنند. در شکل ب دو استوانه به صورت هم جهت حرکت میکنند. V P2 = V P3 R 2 ω 2 = R 3 ω 3 ω 2 ω 3 = R 3 R 2 در دو شکل باال قدرت قابل انتقال توسط اعضای غلتشی محدود به اصطکاک بین دو سطح در تماس است. اگر بار بیشتر از حد مجاز باشد لغزش اتفاق میافتد و برای اطمینان از ایجاد حرکت و جلوگیری از لغزش روی سطوح دندانه تعبیه میشود که به این مکانیزم چرخدنده گفته میشود. کاربرد: از چرخدنده در موارد زیر استفاده میشود: انتقال حرکت دورانی یک شفت به شفت دورانی دیگر انتقال حرکت دورانی یک شفت به عضوی که دارای حرکت انتقالی است P نقطه تقاطع قائم مشترک (N N) با خط المرکزین دو دایره ) 3 O) 2 O است. 69

70 دایره گذرنده از نقطه P دایره گام نامیده میشود. پینیون (Piio) کوچکترین چرخدنده از دو چرخدنده درگیر است. چرخدنده (Gear) بزرگترین چرخدنده از دو چرخدنده درگیر است. ω 2 = D 3 = N 3 ω 3 D 2 N 2 D 2 و D 3 قطرهای دو چرخدنده و N 2 N 3 تعداد دندانههای دو چرخدنده نکته: نسبت سرعت زاویهای یک جفت چرخدنده برابر است با عکس نسبت قطرهای دو چرخدنده یا عکس نسبت دندانههای دو چرخدنده انواع چرخدنده چرخدنده ساده چرخدنده مارپیچ موازی چرخدنده مارپیچ متقاطع چرخدنده حلزونی چرخدنده مخروطی چرخدنده هیپوئید 70

71 در چرخدنده معمولی ساده نیرو به سطح دنده و در تمام عرض آن وارد میشود در چرخدندههای مارپیچی نیرو به تدریج به عرض دندانه وارد میشود و این چرخدندهها به مراتب آرامتر و نرمتر کار میکنند چرخدندههای حلزونی برای تامین نسبت سرعت زاویهای باال بین دو شفت غیرموازی )معموال عمود بر هم( به کار میروند. به دلیل تماس خطی این مجموعه چرخدنده قادر است نیروی زیادی را منتقل کند. چرخدندههای مخروطی برای انتقال قدرت بین دو شفت دارای محورهای متقاطع به کار میروند ω w ω g = N g N w = D g D w رشته چرخدندهها یک رشته چرخدنده ترکیبی است از دو یا چند چرخدنده درگیر که حرکت را از شفتی به شفت دیگر منتقل میکند. در رشته چرخدنده معمولی محور چرخدندهها نسبت به بدنه ثابت است. رشته چرخدنده معمولی رشته چرخدنده ساده به دو دسته ساده و مرکب تقسیم میشود: در رشته چرخدنده ساده هر شفت دارای یک چرخدنده است )شکل الف(. رشته چرخدنده مرکب از جفت چرخدندههای مرکب تشکیل شده است که این جفتها دارای محور مشترک هستند )شکل ب(. )شکل الف( ω A ω B = N B N A ω B ω C = N C N B ω C ω D = N D N C سرعت زاویه ای اولین چرخدنده = VR = نسبت سرعت یک رشته چرخدنده ساده سرعت زاویه ای آخرین چرخدنده ω D ω E = N E N D VR = ω A ω E = ω A ω B ω B ω C ω C ω D ω D ω E VR = N B N A N C N B N D N C N E N D = N E N A VR > 0 VR < 0 در صورتی که جهت چرخش اولین و آخرین چرخدنده یکی باشد در صورتی که جهت چرخش اولین و آخرین چرخدنده مخالف هم باشد 71

72 قرارداد: از عالمت مثبت برای چرخش پادساعتگرد و از عالمت منفی برای چرخش ساعتگرد استفاده میشود. نکته: رابطه باال بیانگر آن است که نسبت سرعت در یک رشته چرخدنده تنها به تعداد دندانههای چرخدندههای اول و آخر بستگی دارد. به چرخدندههای میانی چرخدنده هرزگرد گفته میشود. از چرخدنده هرزگرد برای تغییر جهت چرخش استفاده میشود. رشته چرخدنده مرکب )شکل ب( در رشته چرخدنده مرکب نسبت سرعت به صورت زیر تعریف میشود: VR = 72 حاصلضرب تعداد دندانه چرخهای متحرک حاصلضرب تعداد دندانه چرخهای محرک ( 50) 40 ( 36) VR = 30 ( 20) 18 = 20 3 مزیت رشته چرخدنده مرکب در مقایسه با رشته چرخدنده ساده این است که میتوان ضمن استفاده از چرخدندههای کوچک تقلیل سرعت قابل توجهی از اولین چرخدنده به آخرین چرخدنده به دست میآید. برای تقلیل سرعت زیاد در رشته چرخدنده ساده آخرین چرخدنده باید خیلی بزرگ باشد. آخرین ω اولین ω = اولین D آخرین D معموال در تقلیل سرعتهای بیشتر از هفت به یک از رشته چرخدنده مرکب استفاده میشود. جعبه دنده خودرو در وضعیت نشان داده شده موتور در حالت خالص است. چرخدنده A توسط موتور به گردش در میآید. G و F چرخدندههای E D چرخدنده H هرزگرد است چرخدندههای B و C با هم گردش میکنند. میتوانند به صورت محوری جابجا شوند

73 حالت اول حالت دوم VR = ω A ω C = VR = ω A ω B = در اولین حالت )سرعت پایین( چرخدنده C به سمت چپ جابجا شده و با F درگیر میشود: ( 31) ( 18) = 3/32 در دومین حالت )سرعت متوسط( چرخدنده B به راست منتقل شده و با E درگیر میشود: ( 31) ( 25) = 1/77 حالت سوم حالت چهارم 73

74 در سومین حالت )سرعت زیاد( چرخدنده B به چپ جابجا میشود تا دندههای کالچ با دندههای چرخدنده A درگیر شوند. در این وضعیت حرکت دورانی مستقیما از موتور به چرخها منتقل میشود: VR = 1 در حالت دنده عقب چرخدنده C به سمت راست میرود تا با H درگیر شود )H برای G متحرک و برای C محرک است(: ( 31) 14 ( 27) 14 ( 14) 14 4/27 = رشته چرخدندههای خورشیدی یا اپی سیکلیک 4/27 = VR = در این رشته محور یک یا چند چرخدنده نسبت به بدنه متحرک میباشد. به چرخدنده وسط چرخدنده خورشیدی گفته میشود. به چرخدندههایی که محور متحرک دارند چرخدنده سیارهای گفته میشود. )شکل ب( )شکل الف( در شکل )الف( بازو در مفصل O به بدنه لوال شده است و چرخدنده A طوری به بازو وصل شده است که نمیتواند نسبت به آن دوران نماید. هرگاه یک فلش رسم شده بر روی جسم تماما 360 درجه دوران کند بدین معنی است که آن جسم یک دور زده است )مثل فلش روی چرخدنده A در شکل الف(. با یک دور دوران پادساعتگرد بازو حول O چرخدنده A نیز 360 درجه در جهت پادساعتگرد گردش میکند پس یک دور زده است. در شکل )ب( قطر چرخدنده B دو برابر چرخدنده A است. B ثابت بوده و A به بازو لوال شده است. R B = 2R A با یک دور دوران پادساعتگرد بازو حول O چرخدنده A سه دور پادساعتگرد خواهد زد. زیرا اگر A به بازو ثابت شود و A و B A دندانه نداشته باشند و بتوانند روی هم بلغزند مثل حالت قبل A یک دور پادساعتگرد خواهد زد. اما چون روی B میغلتد محیط A دو بار هم روی محیط B میتواند باز شود پس A در مجموع 3 دور پادساعتگرد خواهد زد )طبق اصل برهمنهی(. یا: V c = (R B + R A )ω arm = 3R A ω arm چون نقطه تماس دو چرخدنده مرکز آنی دوران A است: 74

75 V c = R A ω A ω A = 3ω arm از اصل برهمنهی و به کمک جدول زیر میتوان سرعت زاویهای سایر اعضا را محاسبه نمود. 1. تمامی اعضای تشکیل دهنده مجموعه را در سطر باالیی جدول قرار میدهیم. 2. ابتدا فرض میکنیم مجموعه قفل بوده )تمام اعضا به بازو جوش شده باشند( و بازو را یک دور کامل پادساعتگرد میچرخانیم. 3. حال فرض میکنیم بازو قفل نبوده و با ثابت نگه داشتن بازو B را یک دور در جهت منفی میچرخانیم تا درمجموع دوران کلی B صفر شود زیرا B ثابت است. بازو چرخدنده B چرخدنده A اعضای تشکیل دهنده مجموعه 1+ مجموعه قفل و بازو یک دور مثبت مثال: N B N A = در رشته چرخدنده خورشیدی نشان داده شده در شکل چرخدنده بازو ثابت و B یک دور ساعتگرد A تعداد دورهای کل به شفت محرک ثابت شده است و دندانهدار داخلی است که ثابت است. بازو به شفت متحرک مستقیما متصل است. نسبت دور چرخدندههای A C و B یک حلقه را بیابید. حل: بازو چرخدنده C چرخدنده B چرخدنده A اعضای تشکیل دهنده مجموعه 1+ مجموعه قفل و بازو یک دور مثبت بازو ثابت و C یک دور ساعتگرد = ω A = +8 ω B 4 = تعداد دورهای کل

76 مثال: در رشته چرخدنده خورشیدی نشان داده شده در شکل چرخدنده C به شفت محرک متصل شده است و چرخدنده A ثابت است. بازو به شفت متحرک مستقیما متصل است. نسبت دور چرخدندههای C را بیابید. و B حل: بازو چرخدنده C چرخدنده B چرخدنده A اعضای تشکیل دهنده مجموعه 1+ مجموعه قفل و بازو یک دور مثبت بازو ثابت و A یک دور ساعتگرد تعداد دورهای کل ω C = ω B + 4 = مثال: در رشته چرخدنده خورشیدی نشان داده شده در شکل A چرخدنده محرک و چرخدندههای B و D یعنی به یکدیگر متصل شدهاند. چرخدندههای مرکب هستند C و E چرخدندههای داخلی بوده و C ثابت است. نسبت سرعتهای بازو و چرخدندههای D B و E را محاسبه کنید. 76

77 چرخدنده E حل: چرخدنده Dچرخدنده Cچرخدنده Bچرخدنده A بازو اعضای تشکیل دهنده مجموعه مجموعه قفل و بازو یک دور مثبت بازو ثابت و C یک دور ساعتگرد تعداد دورهای کل ω arm ω A = 1 8 ω B ω A = ω D ω E = 4 3 = 1 ω A 8 6 = = + 1 ω A 8 36 مجموعههای اپی سیکلیک یا خورشیدی با دو ورودی بنا بر قانون جمع آثار (Superposiio) تعداد دور شفت خروجی برابر است با تعداد دور خروجی به ازای دور ورودی 1 به o = 1 ( o 1 ) اضافه تعداد دور خروجی به ازای دور ورودی 2 ورودی 2 ثابت نگاه داشته شده I + 2 ( o 2 ) ورودی 1 ثابت نگاه داشته شده II تعداد دورهای خروجی تعداد دورهای ورودی 1 تعداد دورهای ورودی 2 o 1 2 مثال: در شکل نشان داده شده 1 = 120+ rpm و 2 = 360 rpm است. سرعت و جهت گردش شفت خروجی را بیابید. I حل: برای قسمت داشتن شفت ورودی جدول زیر را تشکیل میدهیم. با ثابت نگه چرخدندههای C ثابت خواهند و B بود و سایر اجزای مجموعه همانند یک رشته چرخدنده خورشیدی که در آن بازو محرک بوده و چرخدنده C عضو ( o 1 ) = 2 ثابت آن است عمل مینماید. با توجه به جدول: F arm ورودی 2 ثابت نگاه داشته شده = =

78 بازو چرخدنده F چرخدنده D و Eچرخدنده C اعضای تشکیل دهنده مجموعه 1+ مجموعه قفل و بازو یک دور مثبت بازو ثابت و C یک دور ساعتگرد تعداد دورهای کل با ثابت نگه داشتن ورودی 1 سایر اجزای مجموعه مانند یک رشته چرخدنده معمولی عمل مینمایند. لذا نیازی به جدول ( o 2 ) نیست: ورودی 1 ثابت نگاه داشته شده o = 1 = F A = = ( o 1 ) چون چرخدندههای F و A هر دو در یک جهت میچرخند عالمت مثبت است: ورودی 2 ثابت نگاه داشته شده I + 2 ( o 2 ) ورودی 1 ثابت نگاه داشته شده o = (+120) + 5 ( 360) = = چرخدنده و D II = رشته های مخروطی اپی سیکلیک مثال: در شکل نشان داده شده چرخدنده A محرک و چرخدنده E متحرک است. چرخدنده C ثابت بوده و چرخدندههای B مرکب میباشند که بر روی بازو آزادانه گردش مینمایند. تعداد دورهای چرخدندههای A و E را محاسبه نمایید. 78

79 حل: چرخدنده Eچرخدنده Dچرخدنده Cچرخدنده Bچرخدنده A بازو اعضای تشکیل دهنده مجموعه 1+ مجموعه قفل و بازو یک دور بازو ثابت و C یک دور ساعتگرد تعداد دورهای کل در جدول باال در ستون مربوط به چرخدندههای مخروطی که محورشان موازی محورهای محرک و متحرک نمیباشند چیزی نوشته نمیشود. زیرا برای این چرخدندهها جهتهای ساعتگرد و پادساعتگرد معنا ندارد. چرخدنده B هرزگرد میباشد. دیفرانسیل چرخدنده مخروطی چرخهای خودرو با سرعتهای مختلف مخصوصا در سر پیچها میگردند. همانطور که در شکل مشخص است چرخی که به مرکز پیچ نزدیکتر است مسافت کمتری را نسبت به چرخ دیگر طی میکند. بنابراین چرخی که مسافت کمتر طی میکند دارای سرعت دورانی کمتری است و چرخ دورتر باید با سرعت بیشتر دوران نماید. نما از باالی B 79

80 C در شکل باال چرخدندههای و A هم اندازه میباشند. اگر چرخدنده را ثابت در نظر بگیریم و سرعت نقطه تماس C چرخدندههای A و B برابر V باشد: آنگاه از آنجا که ω A = V R bc امتداد بازو هم دانست برابر به همین ترتیب اگر چرخدنده سرعت مرکز چرخ B برابر مرکز آنی چرخدندههای B و C V خواهد بود: 2 است سرعت مرکز چرخ B را که میتوان آن را به عنوان نقطهای واقع بر بازو ω = V 2R V A را ثابت در نظر بگیریم و سرعت نقطه تماس چرخدندههای A و C V 2 حال اگر دو چرخدنده A و بنابراین: اگر اگر بوده و خواهیم داشت: باشد آنگاه برابر ω C = V R بازو ω = V 2R C با هم بچرخند بسته به جهت حرکت A و سرعت C V 2 با V 2 جمع شده یا از آن کم میشود. V 2 + V 2 = ω R بازو ω A 2 + ω C بازو = ω 2 بازو ω A = ω C = ω بازو ω A + ω C = 2ω اگر و از نظر مقدار و جهت یکسان باشند: ω C ω A ω A و ω C از نظر مقدار یکسان بوده ولی در خالف جهت یکدیگر باشند: بازو ω = 0 بازو ω ثابت باشد با افزایش ω A آنگاه ω C نسبت به چرخ نزدیکتر دوران نماید که این اتفاق توسط دیفرانسیل خواهد افتاد. به همان مقدار باید کاهش یابد. بنابراین چرخ دورتر باید با سرعت بیشتری دیفرانسیل چرخدنده مخروطی مورد استفاده در اتومبیلها 80

81 مثال: در شکل زیر شفت متصل به بازو شفت خروجی است. به ازای یک دور گردش شفت پایینی یعنی شفت حاوی چرخدندههای A و H به صورت پادساعتگرد شفت خروجی چند دور و در چه جهتی گردش خواهد نمود حل: چرخش بازو را میتوان ترکیبی از دو حالت زیر در نظر گرفت: در حالت اول فرض میشود که D ثابت است. در حالت دوم فرض میشود که F ثابت است. o = arm = F ( arm F ) D ثابت نگاه داشته شده I + D ( arm D ) F ثابت نگاه داشته شده II در حالت اول: A = H G H = N H N G = 7 4 G = A 7 4 F = G = A 7 4 بازو اعضای تشکیل دهنده مجموعه H و A D و C G و F 1+ مجموعه قفل و بازو یک دور بازو ثابت و D یک دور ساعتگرد تعداد دورهای کل F ( arm ) F D = ( A 7 4 ) = A

82 در حالت دوم: C A = N A N C C = A 4 3 D = C = A 4 3 بازو اعضای تشکیل دهنده مجموعه H و A D و C G و F 1+ مجموعه قفل و بازو یک دور بازو ثابت و F یک دور ساعتگرد تعداد دورهای کل D ( arm ) D F o = arm = F = ( A 4 3 ) ( 1 +6 ) = A 2 9 ( arm F ) D ثابت نگاه داشته شده I + D ( arm D ) F ثابت نگاه داشته شده II = A A 2 9 = A طبق رابطه باال به ازای یک دور پادساعتگرد شفت ورودی شفت خروجی 89 دور به صورت ساعتگرد خواهد چرخید

83 نیروهای اینرسی و توازن یعنی ω و α اگر سرعت زاویهای و شتاب زاویهای یک جسم صلب معلوم باشند و شتاب یک نقطه از جسم را بدانیم آنگاه شتاب هر نقطه دیگر از جسم قابل محاسبه است: A C = A B + A C/B + A C/B A C/B A C/B = (BC)ω 2 = (BC)α F = ma M G = I α = H G a = F m هرگاه جسمی تحت تاثیر یک مجموعه نیرو قرار گیرد شتاب مرکز ثقل آن برابر است با: هرگاه جسمی تحت تاثیر یک مجموعه گشتاور قرار گیرد شتاب زاویهای آن برابر است با: α = M G I نیروی اینرسی و گشتاور اینرسی به ترتیب با برایند نیروها در جهت عکس و برایند گشتاورها در جهت عکس مشخص میگردند. اصل داالمبر هرگاه همراه با برایند نیروهای وارده نیروی اینرسی با مقدار مساوی در امتداد برایند نیروها ولی در خالف جهت آن به جسم وارد شود آنگاه شتاب مرکز ثقل صفر خواهد بود. هرگاه همراه با برایند گشتاورهای وارده گشتاور اینرسی با مقدار مساوی ولی در جهت عکس برایند گشتاورها به جسم وارد شود آنگاه شتاب زاویهای جسم برابر صفر خواهد بود. با اضافه کردن نیروی اینرسی و گشتاور اینرسی به جسمی که تحت تاثیر برایند نیروها و برایند گشتاورها است جسم به حالت تعادل در خواهد آمد. 83

84 مثال: )الف( )ب( )ج( )د( )ه( )و( )ز( G 3 G 2 و G 4 مراکز ثقل اعضای 3 2 و 4 نیروی اینرسی عضو 2 مساوی و در خالف جهت F 2 f 2 نیروی اینرسی عضو 3 مساوی و در خالف جهت F 3 f 3 مساوی و در خالف جهت T 3 گشتاور اینرسی عضو 3 حول G 3 3 مساوی و در خالف جهت T 4 گشتاور اینرسی عضو 4 حول G 4 4 اگر برای عضو 3 به جای نیروی اینرسی در فاصله (f 3 ) و گشتاور اینرسی ( 3 ) h 3 باشد )شکل ه(: برای عضو 4 نیز به شیوه مشابه میتوان نوشت )شکل ز(: تنها از نیروی اینرسی استفاده کرده و فقط نقطه اثر آن f 3 h 3 = یا 3 h 3 = 3 f 3 = I 3α 3 M 3 A G3 f 4 h 4 = یا 4 h 4 = 4 f 4 = I 4α 4 M 4 A G4 حال باید نیروهای وارد بر هر یک از مفصلها را تعیین کرد. با نیروهای اینرسی مشابه نیروهای خارجی معلوم رفتار میشود. 84

85 M = حول O4 0 F T 4 34 F 43 T 4 = F 34 T 4 M حول B = 0 F 43 N 4 نیروی F 23 با توجه به کثیراالضالع نیروهای مربوط به عضو 3 )شکل د( محاسبه میشود. N عضو F 3 = 0 F 23 + F 4 T 43 + F f 3 = 0 F 23 = F 43 f 3 F 23 F 32 = F 23 = F 43 + f 3 (I) عضو F 2 = 0 F 12 + F 32 + f 2 = 0 F 12 = F 32 f 2 (II) گشتاور وارده به شفت واقع در O 2 نیروی به صورت زیر محاسبه میشود )شکل ج(: )شکل ه( M = حول O2 0 T 2 (F 32 + f 2 )a = 0 T 2 = (F 32 + f 2 )a F 14 85

86 عضو F 4 = 0 F 14 + F 34 + f 4 = 0 } F 14 F 32 + f 3 + f 4 = 0 (I) F 32 = F 34 + f 3 F 34 = F 32 + f 3 F 14 F 32 + f 3 + f 4 = 0 (II) } F 14 + F 12 + f 2 + f 3 + f 4 = 0 F 12 = F 32 f 2 F 32 = F 12 f 2 نیروی لرزشی force) (F s ) (Shakig نیروی لرزشی موجب ارتعاشات ناخواسته و مزاحم در بدنه میشود. مکانیزم باید به گونهای طراحی شود تا بتواند نیروهای لرزشی را تحمل کند. از برایند نیروهای اینرسی وارد بر بدنه مکانیزم مشخص میگردد. )الف( )ب( F s e = f 3 b + f 4 d e = f 3b + f 4 d F s 86

87 توازن )باالنس( توازن تک جرم گردان برای از بین بردن تاثیر نیروهای اینرسی که به صورت نیروهای لرزشی ظاهر میشوند باید مکانیزم متوازن (Balace) گردد. توازن کامل یا قسمتی از نیروهای اینرسی مجموعه با اضافه کردن جرمهای اضافه که عمل معکوس در مقابل نیروهای اولیه دارند امکان پذیر است. نمای جانبی نمای روبرو در حالت توازن استاتیکی باید گشتاور نیروهای استاتیکی )نیروهای جاذبه( حول مرکز دوران صفر باشد: در حالت توازن استاتیکی محور تمایلی به گردش در یاتاقان خود )مرکز O( ندارد. M حول O = 0 MgR cos θ + M e gr e cos θ = 0 M e R e = MR برای دستیابی به توازن دینامیکی برایند نیروهای اینرسی میبایست صفر باشد: F = 0 MRω 2 M e R e ω 2 = 0 M e R e = MR اگر M e R e = MR باشد هم توازن استاتیکی و هم توازن دینامیکی حاصل میشود. توازن چند جرم گردان واقع در یک صفحه عرضی M 2 M 1 M e و M 3 جرمهای متمرکزی هستند که همگی در یک صفحه دوران قرار دارند و با سرعت زاویهای ω دوران میکنند. جرمی است که برای توازن مجموعه در فاصله شعاعی R e و زاویه θ e قرار داده شده است. 87

88 نمای جانبی برای توازن استاتیکی باید برایند گشتاور جرمهای اولیه و جرم اضافه شده نمای روبرو M e حول محور دوران صفر باشد. M O = 0 M k gr k cos θ k + M e gr e cos θ e = 0 M k gr k cos θ k + M e R e cos θ e = 0 k=1 k=1 برای توازن دینامیکی باید نیروهای اینرسی در تعادل بوده و برایند آنها صفر باشد. دینامیکی F = 0 { M k R k ω 2 cos θ k k=1 M k R k ω 2 si θ k k=1 + M e R e ω 2 cos θ e = 0 M k R k cos θ k + M e R e cos θ e = 0 k=1 + M e R e ω 2 si θ e = 0 M k R k si θ k + M e R e si θ e = 0 k=1 θ e M e اگر روابط باال برقرار باشند هم تعادل استاتیکی و هم تعادل دینامیکی وجود خواهد داشت. مثال: با در نظر گرفتن جرمها شعاعهای دوران و زاویای قرارگیری آنها برای شکل باال مقدار جرم به گونهای که شعاع دوران آن 88/9 mm باشد. حل: و زاویه را محاسبه نمایید شماره جرم M k (kg) R k (mm) θ k (deg) cos θ k si θ k مجموع M k R k cos θ k M k R k si θ k

89 3 M k R k cos θ k k=1 3 M k R k si θ k k=1 + M e R e cos θ e = M e R e cos θ e = 0 + M e R e si θ e = M e R e si θ e = 0 M e R e si θ e = 365/7 M e R e cos θ e 32/86 a θ e = 11/13 θ e = 264/9 o R e = 88 9 mm 365/7 + M e R e si θ e = 0 M e = 4/15 kg دینامیکی F = 0 دینامیکی F MR روش ترسیمی برای پیدا کردن جرم و زاویه باالنس شرط توازن دینامیکی در روش ترسیمی کافیست تا حاصلضرب جرم در شعاع دوران هر جرم ناباالنس را با در نظر گرفتن یک مقیاس در زاویه بین شعاع دروان با خط افق ترسیم نماییم. رابطه اول بیانگر برایند حاصلضرب جرمهای ناباالنس در شعاعهای دوران آنها با در نظر گرفتن زوایای آنها با خط افق M k R k cos θ k + M e R e cos θ e = 0 k=1 M k R k si θ k k=1 + M e R e si θ e = 0 } میباشد: M k R k (cos θ k i + si θ k j ) + M e R e (cos θ e i + si θ e j ) = 0 k=1 تعداد جرمهای ناباالنس M e جرم متوازن کننده سیستم θ e زاویه جرم متوازن کننده سیستم با خط افق R e شعاع قرارگیری جرم متوازن کننده 89

90 در مثال قبل: (kg) M k شماره جرم R k (mm) θ k (deg) M k R k (kg. mm) توازن چند جرم گردان در چند صفحه عرضی و دو جرم متمرکز هستند که در دو صفحه عرضی مختلف قرار دارند. مطابق شکل واضح است که نیروهای استاتیکی متوازن هستند )نیروهای F 1 و F 2 گشتاوری حول مرکز ندارند(. M 2 M 1 M O = 0 نیروهای دینامیکی و F 2 ناشی از دوران شفت نیز با یکدیگر مساوی بوده و متوازن میباشند. F 1 90

91 دینامیکی F = 0 M 1 R 1 ω 2 M 2 R 2 ω 2 = 0 M 1 R 1 = M 2 R 2 و B R B R A F 1. a و F 2 یک گشتاور ناباالنس تولید میکند که موجب بروز عکس العملهای و در یاتاقانهای A F 1 میگردد. M A = F 1 (a + b) R B L F 2 b = 0 F 1=F 2 R B = F 1. a L F 1 (a + b b) = R B L F 1. a = R B L منظور از توازن یا باالنس یک وسیله گردان این است که نیروهای موثر در یاتاقانها به طور کامل حذف شده یا تا حد امکان تقلیل یابند. بنابراین نه تنها نیروها بلکه گشتاورها نیز باید متوازن باشند. M 3 M 2 روش باالنس برای M 1 و واقع در صفحات عرضی متفاوت در شکل به شرح زیر است: a 3 a 2 a 1 دو صفحه عرضی A و B فاصله جرمهای و را به عنوان صفحات مرجع انتخاب میکنیم. نسبت به صفحه A در امتداد محور را به ترتیب و در نظر میگیریم. ( ) (+) M 3 M 2 M 1 فواصل سمت راست صفحه A مثبت چون نیروی اینرسی برابر و فواصل سمت چپ این صفحه منفی میباشد پس نیروهای اینرسی متناسب با منظور میگردند. MR میباشند. گشتاورهای نسبت در صفحه به گونهای باالنس کرد که مجموع گشتاورهای حول حول M X A = 0 M k R k a k si θ k + M B R B a B si θ B = 0 k=1 حول M Y A = 0 M k R k a k cos θ k + M B R B a B cos θ B = 0 k=1 B M B F = MRω 2 به صفحه A را میتوان با اضافه کردن جرم محور X و حول محور Y صفر باشند

92 را در صفحه A اضافه کرد به گونهای که تمام نیروهای در امتداد محورهای X و Y باالنس F X = 0 M k R k cos θ k + M B R B cos θ B + M A R A cos θ A = 0 k=1 F Y = 0 M k R k si θ k + M B R B si θ B + M A R A si θ A = 0 k=1 4- سپس میتوان جرم M A شوند: مثال: مقادیر جرمها فواصل و زوایا در شکل قبل در جدول زیر ارایه گردیدهاند. مقادیر جرمهای باالنس و زاوایای آنها را با فرض R A = 76mm و R B = 76mm محاسبه کنید. حل: شماره جرم M k (kg) R k (mm) θ k (deg) a k (mm) cos θ k si θ k شماره جرم مجموع M k R k cos θ k M k R k si θ k M k R k a k cos θ k M k R k a k si θ k حول M X A = M B R B a B si θ B = 0 حول M Y A = M B R B a B cos θ B = 0 M B R B a B si θ B = 6941 M B R B a B cos θ B 9063 a θ B = 0/7659 si θ B > 0, cos θ B > 0 در ربع اول θ B θ B = 37/4 o M B = F X = = = 1/98 kg R B a B si θ B /

93 21/8 + M B R B cos θ B + M A R A cos θ A = 0 21/8 + 1/ /794 + M A R A cos θ A = 0 F Y = 0 129/8 + M B R B si θ B + M A R A si θ A = 0 129/8 + 1/ /607 + M A R A si θ A = 0 M A R A si θ A = 221/1 M A R A cos θ A 141/3 aθ A = 1/56 si θ A < 0, cos θ A < 0 در ربع سوم θ A θ A = 237/3 o M A = 141/3 R A cos θ A = 3/44 kg روش ترسیمی برای پیدا کردن جرم و زاویه باالنس (θ B ) (M B ) شرط توازن گشتاورها با استفاده از شرط توازن گشتاورها جرم باالنس قرار داده شده در صفحه B و زاویه آن محاسبه میگردد. M MRa حول M X A = 0 M k R k a k si θ k k=1 حول M Y A = 0 M k R k a k cos θ k k=1 + M B R B a B si θ B = 0 + M B R B a B cos θ B = 0 شرط توازن نیروها F MR (θ A ) (M A ) با استفاده از شرط توازن نیروها جرم باالنس قرار داده شده در صفحه A و زاویه آن محاسبه میگردد. F X = 0 M k R k cos θ k + M B R B cos θ B + M A R A cos θ A = 0 k=1 F Y = 0 M k R k si θ k + M B R B si θ B + M A R A si θ A = 0 k=1 93

94 در مثال قبل: شماره جرم M k (kg) R k (mm) θ k (deg) a k (mm) M k R k a k شرط توازن گشتاورها M 2 R 2 a 2 si θ 2 + M 3 R 3 a 3 si θ 3 + M B R B a B si θ B = 0 M 2 R 2 a 2 cos θ 2 + M 3 R 3 a 3 cos θ 3 + M B R B a B cos θ B = 0 M 1 R 1 cos θ 1 + M 2 R 2 cos θ 2 + M 3 R 3 cos θ 3 + M B R B cos θ B +M A R A cos θ A = 0 M 1 R 1 si θ 1 + M 2 R 2 si θ 2 + M 3 R 3 si θ 3 + M B R B si θ B +M A R A si θ A = 0 شرط توازن نیروها شماره جرم B M k (kg) /98 R k (mm) θ k (deg) /4 M k R k

95 جمع بندی F s = f i نیروی لرزشی که سبب عدم باالنس سیستم میگردد. نیروی اینرسی مربوط به عضو i F s f i F s. h s = f i. h i h s = f i. h i F s h s محل اثر نیروی لرزشی نیروی لرزشی باید یا به طور کلی از بین رفته یا به حداقل برسد. 95

96 توصیههای کلی در باالنس کردن همانگونه که قبال دیده شد وزنه تعادل از حاصلضرب یک جرم در یک شعاع تعیین میشود. در عمل با انتخاب شعاع جرم باالنس محاسبه میشود. جرم باالنس را میتوان یا به روتور اضافه کرد یا با 180 درجه زاویه در همان صفحه عرضی سوراخی در روتور تعبیه کرد تا اثر تعادلی معادل داشته باشد. در صورتی که باید وزنه تعادلی اضافه شود میبایست آن را در دورترین فاصله شعاعی ممکن قرار داد تا بدین ترتیب جرم کمترین مقدار ممکن را پیدا کند. وقتی جرمها باید در دو صفحه اضافه شوند صفحات میبایست تا حد امکان نسبت به یکدیگر دور انتخاب شوند تا مقدار جرمهای مورد نیاز به کمترین مقدار خود برسند. برای باالنس یک روتور دو جرم در دو صفحه باالنس قرار داده میشود. اگرچه جرم را میتوان در هر یک از دو صفحه باالنس اضافه نمود ولی این روش سبب بروز گشتاور خمشی در ضفت میگردد. به همین دلیل بهتر است هر عامل ناباالنس در صفحه خودش باالنس گردد. مثال در یک میل لنگ اتومبیل ناموزونی هر لنگ از طریق اضافه نمودن وزنه تعادل در مقابل همان لنگ برطرف میشود. 96