Diplomski rad Ivica Ozanjak 3. ZAVARLJIVOST VATRO OTPORNIH ČELIKA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Diplomski rad Ivica Ozanjak 3. ZAVARLJIVOST VATRO OTPORNIH ČELIKA"

Transcript

1 3. ZAVARLJIVOST VATRO OTPORNIH ČELIKA Općenito o zavarljivosti Zavarivanje ne oksidirajućih čelika raznim vrstama postupaka često se primjenjuje u proizvodnji konstrukcija. S obzirom da u grupu nerđajućih čelika pripadaju i vatro otporni čelici, razmotrit će se njihova zavarljivost. Važno je primijetiti da vatro otporni čelici zbog svoje visoke legiranosti sa Cr, Ni, Al i dr. elementima naginju raznim nepravilnostima pri postupku zavarivanja. Osnovni problem pri zavarivanju visoko legiranih čelika predstavlja unos velike količine toplinske energije u osnovni materijal kroz zonu zavarivanja. Unošena količina energije u zonu zavarivanja imat će za posljedicu drugačiju strukturu zavarenog spoja i njegove okoline u odnosu na osnovni materijal koji se zavaruje. Naime, osnovni materijal u svojoj strukturi sadrži legirne elemente u obliku koji je najpovoljniji za postizanje antikorozivnih svojstava, te dobrih mehaničkih osobina. Relativno visok unos topline u ZT i ZUT, te relativno brz postupak hlađenja nakon zavarivanja uzrokovat će pojavu raznih vrsta karbida, a s tim i pogrubljene zrna koje je najčešće nepovoljno za tražena svojstva. Zbog lošeg utjecaja unošenja veće količine topline pri zavarivanju vatro otpornih čelika, veća pažnja će se posvetiti onim postupcima koji pri zavarivanju unosi manju količinu topline te na taj naći manje utječe na nastalu strukturu. Uzimajući u obzir strukturnu podjelu vatro otpornih čelika razlikuje se zavarljivost: - feritnih vatro otpornih čelika - austenitnih vatro otpornih čelika Zavarljivost vatro otpornih čelika 34

2 Zavarljivost feritnih vatro otpornih čelika Zavarivanje feritnih čelika sadrži određene specifičnosti o kojima treba voditi računa pri zavarivanju. Ova grupa čelika sadrži između % Cr uz običajno nizak sadržaj C između 0.05 i 0.25%. Zbog visokog sadržaja Cr i niskog sadržaja C u strukturi čelika neće doći do stvaranja austenita, ili u krajnjem slučaju on će se javiti u jako malim količinama što će pri hlađenju uzrokovati pojavu martenzita koji nastaje u većoj mjeri % i ne utječe značajno na tvrdoću ovih čelika. Ferit kao strukturna faza nastaje pri samom početku skrućivanja i do potpunog ohlađivanja nema nikakvih transformacija. Takav ferit nazivamo «Delta ferit» (prostorno centrirana kubna rešetka). Iz tih razloga feritne čelike ove vrste ne može se toplinski obraditi kaljenjem. Uobičajena struktura ovih čelika zbog prisutnosti ferita i male količine martenzita koji nastaje pri brzom ohlađivanju sastoji se samo od ferita + karbid. S obzirom da se ove čelike ne može toplinski obraditi kaljenjem jer nemaju transformaciju pri brzom ohlađivanju može se steći dojam da su dobro zavarljivi. Međutim, pri zavarivanju ovih čelika pojavljivat će se određene poteškoće. Jedan od najvećih nedostataka pri zavarivanju ovih čelika je sklonost ovakve strukture čelika, porastu zrna u materijalu zavarivanja u području ZUT iznad 900 C. Visok unos topline pri zavarivanju ove vrste čelika povećava mogućnost stvaranja grubo zrnate strukture, zbog sklonosti ferita pogubljenju svoje inače fino zrnate strukture prilikom dužeg izlaganja na višim temperaturama. Povećanje zrna odvija se veoma brzo, što je ovisno o temperaturi koja se javlja u ZUT. Ta temperatura može prijeći i 1150 C pri čemu kod nje dolazi do naglog povećanja brzine porasta zrna. Pošto se povećanje zrna u zoni utjecaja topline javlja dosta brzo u tom se području može naći osim klasičnih grubih zrna i izrazito velika gruba zrna. Ova pojava je u suprotnosti s fino zrnatom strukturom feritnih čelika, koji imaju relativno dobru istezljivost što se ne može reći za fazu nastalu u ZUT prilikom zavarivanja ovakve vrste čelika. Zavarljivost vatro otpornih čelika 35

3 Prilikom ovakvog povećanja zrna u ZUT prijelazna temperatura udarne žilavosti znatno se povisi iznad sobne temperature, što znači da će ova faza u čeliku izazvati na sobnoj temperaturi krtost. Nakon što je materijal postao grubo zrnat nije više moguće nikakvom toplinskom obradom materijal vratiti nazad u prvobitnu fino zrnatu strukturu. Da bi se spriječilo povećanje zrna, zavarivanje treba izvoditi na takav način da osnovni materijal koji se nalazi neposredno uz zavar bude što kraće vrijeme izložen temperaturama iznad 1150 C. To se može postići pravodobnim izborom postupka zavarivanja, koji će dati što manji unos topline, a time i brzo hlađenje osnovnog materijala (REL, EP, MAG). Jedan od najčešćih postupaka je elektrolučno zavarivanje, jer omogućava zagrijavanje vrlo uskih područja pri zavarivanju čime se ograničava pretjerani unos topline i postiže bolja struktura. S druge strane plinsko zavarivanje koje razvija puno više toplinske energije ne primjenjuje se pri zavarivanju feritnih vatro otpornih čelika, jer za sobom povlači puno nepravilnosti koje je kasnije teško popraviti. Kod zavarivanja komada većih dimenzija poželjno je da se nakon zavarivanja predmet zagrije na C i naglo ohladi na zraku ili u vodi. Ovakav postupak toplinske obrade smanjuje krtost kojoj su feritni čelici skloni. Teoretski je moguće poboljšati nastalu grubo zrnatu strukturu ZUT toplom deformacijom metala, tj. zagrijavanjem i čekićanjem prijelazne zone. Međutim, ovo nije uvijek moguće, a i sam efekt čekićanja nije uvijek pouzdan, pa se zbog toga ovaj postupak i ne preporučuje. Hladno čekićanje ZUT ne smije se nikako primijeniti, jer hladno deformiranje krte zone može dovesti do pojave unutrašnjih pukotina u području ZUT. Sklonost porastu zrna može se smanjiti dodavanjem manje količine N u feritnu strukturu čelika. Negdje oko 0.1% N u materijalu znatno će usporiti porast zrna, a dodavanjem N u metal zavara uzrokovat će skrućivanje ZT i ZUT u fino zrnatu strukturu. S druge strane krtost koja je uzrokovana porastom zrna može se spriječiti primjenjujući austenitne elektrode npr. 18/8 (18 % Cr, 8 % Ni). Sadržaj Cr je u osnovnom materijalu isti kao u dodatnom materijalu, pa zbog toga nema opasnosti od stvaranja galvanskih članaka koji bi mogli izazvati elektrokemijsku koroziju. Zavarljivost vatro otpornih čelika 36

4 Da bi se spriječilo izlučivanje karbida, sadržaj ugljika u osnovnom materijalu mora biti ispod 0.1 %, pri čemu ćemo tada koristiti jače legirane elektrode s 25 % Cr i 20 % Ni (25/20). Porast zrna u feritnom čeliku može se spriječiti ili bar smanjiti legiranjem čelika na takav način da dobijemo strukturu s malo austenita, takve se čelike tada naziva feritnoaustenitnim čelicima. U slučaju dužeg zadržavanja feritnih čelika na temperaturama iznad 1000 C javlja se sklonost prema interkristalnoj koroziji. Slijedeća poteškoća pri zavarivanju feritnih čelika je stvaranje σ-faze. σ-faza je intermetalni spoj Cr i Fe koja ima veliku tvrdoću, krta je, nemagnetična i često slabo otporna na koroziju. Također česta pojava pri zavarivanju feritnih čelika koja stvara poteškoće je pojava izlučenih kromovih karbida. Ukoliko neki od ovih čelika zadržavamo duže vrijeme na temperaturi između 400 C i 540 C doći će do pojave krtosti 475 C. Postupak zavarivanja feritnih čelika provodi se sa ili bez prethodnog predgrijanja osnovnog materijala. Da li će se neki materijal zagrijavati prije zavarivanja ili ne ovisit će uveliko o sadržaju C kod ove vrste čelika. Kod čelika s visokim sadržajem Cr i relativno visokim sadržajem C oko 0.25 % provodit će se predgrijanje osnovnog materijala na temperaturu 200 C. Kod čelika s nižim sadržajem C od 0.25 % postupak predgrijanja nije potreban. Ukoliko je potrebno provesti zagrijavanje osnovnog materijala prije zavarivanja poželjno je da zagrijavanje i sam rad budu na temperaturi iznad Ms temperature tj. iznad početka martenzitne pretvorbe, počevši od pripajanja pa na dalje. Ako se kojim slučajem dogodi da se u postupku pripajanja i dalje dogodi pothlađivanje ispod M f temperature, tj. ispod svršetka martenzitne pretvorbe, stvorit će se krhka martenzitna struktura u ZT i ZUT. Daljnjim zavarivanjem preko takvog prolaza uzrokovat će stvaranje pukotina u samom zavaru. Odžarivanje se provodi na temperaturi od C i nakon toga brzo hlađenje. Takav postupak uzrokovat će povećanje istezljivosti prijelazne zone i poboljšanja otpornosti na interkristalnu koroziju. Nakon provedenog zavarivanja u nekom slučaju javit će se unutrašnje napetosti koje će uzrokovati deformaciju zavarenog izratka. Zavarljivost vatro otpornih čelika 37

5 Ukoliko prethodno nije dovoljno dobro predviđena ta deformacija moguće je nastalu deformaciju ispraviti pri temperaturi od C, jer se u tom temperaturnom području istezljivost čelika znatno povećava. Unatoč svim navedenim mjerama, koje je potrebno izvoditi zavarivanje feritnih čelika ostaje još uvijek problematično, što ponajviše vrijedi za feritne čelike sa visokim sadržajem Cr npr. Oko 25 % Zavarljivost austenitnih vatro otpornih čelika Kod zavarivanja austenitnih čelika osim slabe vodljivosti topline te povećanog električnog otpora, ne postoje druge poteškoće, koje se pojavljuju kod zavarivanja martenzitnih i feritnih čelika. Međutim može doći do osjetljivosti na interkristalnu koroziju u ZUT i šire. Također je moguća pojava toplih pukotina, koje nastaju u toku ohlađivanja zavara uz djelovanje unutarnjih naprezanja. Austenitni Cr Ni čelici sadrže 12 % do 25 % Cr i 8 % do 25 % Ni. Nikal je izrazito γ - geni element. Ne javljaju se fazne transformacije prilikom hlađenja, pa se struktura ne može toplinskom obradom zakaljivati, niti usitnjavati zrnu postupkom normalizacije. Najpoznatiji predstavnik ove grupe čelika je čelik Cr Ni (18/8). U ovu grupu čelika pripadaju i vatro otporni čelici samo s nešto većim sadržajem Cr i Ni. Austenitna grupa čelika ima relativno dobru istezljivost (A 5 = %) i žilavost u svim temperaturnim područjima višim od 0 C. Ova vrsta čelika dobro je zavarljiva, nije sklona povećanju zrna u ZUT. Budući da im je postotak Cr viši od 12 % javlja se otpornost na koroziju i pri višim temperaturama otpornost na oksidaciju. Nisu skloni krtosti pri 475 C. Zavarivanje austenitnih čelika ne zahtjeva potrebno predgrijanje prije samog zavarivanja. Prilikom zavarivanja i nakon njega pojavit će se niz štetnih utjecaja koje možemo eliminirati na sljedeći način. Izlučivanje Cr karbida u području od C na granicama zrna. Izlučeni karbidi sprečavaju dislokaciju na pravcima i ravninama klizanja plošno centrirane austenitne rešetke, što smanjuje istezljivost i žilavost austenitne strukture. Zavarljivost vatro otpornih čelika 38

6 Uz prisutnost agresivnog medija uz površinu ovakvog čelika koji sadrži izlučene kromove karbide doći će do pojave interkristalne korozije zbog nedostatka Cr koji je migrirao na granici zrna tvoreći Cr 23 C 6 s 94.3 % Cr. Nastalo izlučivanje karbida možemo spriječiti dodavanjem legirnih elemenata koji teže k stvaranju karbida (karbidotvorac: Nb, Ti, Ta). Njihova prisutnost uzrokovat će stvaranje stabilnih karbida na bazi navedenih karbidotvoraca što će onemogućiti izlučivanje Cr u obliku karbida. Ovi stabilizirajući elementi (karbidotvorci) dodaju se prema sadržaju C u sljedećim omjerima: - Ti/C >= 5 - Nb/C>=8 - Ta/C>=16 Izlučivanje karbida može se smanjiti smanjenjem sadržaja ugljika < 0.03 %. Stvaranjem karbida u ovom slučaju je u manjim količinama, što će umanjiti sklonost prema interkristalnoj koroziji. Gašenjem toplinskom obradom na C, a zatim brzim hlađenjem kroz područje C postiže se austenitna struktura bez izlučenog Cr karbida. Također malim unošenjem topline što znači da treba zavarivati u što hladnijem stanju, može se spriječiti nastajanje Cr karbida. Pored karbida i nitrida kod austenitnih čelika moguća je pojava intermetalne faze koja ima drukčiju strukturu te na taj način smanjuje istezljivost. σ - faza su spojevi metala intermetalnog karaktera, tetragonalne strukture u kojoj su atomi pravilno raspoređeni. σ - faza nije feromagnetićna. Postoji oko 50 raznih vrsta σ - faza od kojih je najpoznatija Fe Cr σ - faza sa sadržajem Cr oko 48 %. Veoma je tvrda i krhka. Genetika izlučivanja σ - faze veoma je važna za svojstva i pouzdan rad zavarenog spoja, bilo da se radi o toplinskoj obradi ili o dugotrajnom pogonu na visokim temperaturama. Također pri hlađenju zavarenog spoja može doći do pojave σ - faze. Najvjerojatnije pojavljivanje σ - faze je pri temperaturi C i to uz držanje duže od 20 sati. Pojava ove σ - faze javlja se uz feritne faze. Zavarljivost vatro otpornih čelika 39

7 No moguće je nastajanje σ - faze i iz čistog austenita, iako je izlučivanje σ - faza kod ferita brže nego kod austenita. σ - faza svojim pojavljivanjem u austenitnoj strukturi uzrokovat će pad žilavosti i istezljivosti. Toplinskom obradom na 1200 C dolazi do otapanja σ - faze koja prelazi u austenit, no međutim na ovako visokoj temperaturi može se očekivati pogrubljene zrna. Pored σ - faze javljaju se razni intermetalni spojevi. Poveći sadržaj Cr daje čeliku veću sklonost u stvaranju krhkih faza, no dodavanjem Ni i Co djelujemo usporavajući na to izlučivanje krhkih faza. Vruće pukotine su također nuspojave štetnog karaktera koje se pojavljuju prilikom zavarivanja ove vrste čelika. Ukoliko se prilikom zavarivanja u zavarenom spoju pojavi austenitna struktura, pojavit će se sklonost prema vrućim pukotinama. Da bi se spriječila pojava toplih pukotina poželjno je u austenitnoj strukturi posjedovati 3 % do 12 % delta ferita. Prisustvo delta ferita određujemo pravo dobnim izborom odgovarajuće elektrode za zavarivanje austenitnih čelika. Izbor elektrode vrši se prema Schefflerovu dijagramu. Razlikuju se slijedeće vrste toplih pukotina: - kristalizacijske pukotine: nastaju pri isključivanju ZT kada je između dendritnih kristala još prisutna rastaljena faza, - tople pukotine u ZUT-u: ove vrste pukotina nastaju kod zavarivanja u više prolaza, osjetljivost na prisutnost S: prisutnost S i njegovih spojeva uz površinu čelika pri visokim temperaturama može uzrokovati stvaranje Ni fluida (Ni 3 S 2 ) Interkristalna korozija Interkristalnu koroziju izazivaju karbidi karbidi kroma koji se izlučuju u kritičnom temperaturnom području u zonama uz zavar. Ta zona, osjetljiva na izlučivanje karbida pruža se, na izvjesnoj udaljenosti paralelno uz zavar s obje strane. Čelik u području neposredno uz zrna karbida, nema dovoljnu količinu karbida za potrebnu antikorozivnost, te stoga na tim mjestima čelik počinje korodirati. Dakle, u grupu čelika koji nisu sklonih interkrisalnoj koroziji pripadaju austenitni čelici sa niskim sadržajem ugljika, austenitno feritni čelici i austenitni čelici stabilizirani sa Ti ili Nb kod kojih opasnost od interkristalne korozije ne postoji. Zavarljivost vatro otpornih čelika 40

8 Ako se pak moraju zavarivati austenitni čelici skloni interkristalnoj koroziji, potrebno je nakon zavarivanja provesti toplinsku obradu da bi zavareni spoj mogao biti otporan na koroziju u određenim agresivnim sredinama. Toplinska obrada nakon zavarivanja u načelu se sastoji od žarenja na temperaturi oko 1150 C i hlađenja u vodi. Ukoliko to nije moguće provesti radi dimenzija zavarenog predmeta ili zbog bojazni od deformacija do kojih može doći u toku toplinske obrade, morat će se zadovoljit samo popuštanjem na 850 C u trajanju od 4 sata i hlađenjem na zraku. Proces taljenja i skrućivanja metala samog zavara odvija se obično tako brzo da karbidi Cr nemaju vremena za stvaranje, pa zbog toga zavar nije osjetljiv na interkristalnu koroziju. Međutim, naknadna zagrijavanja u blizini zavara (n.p. križanje dvaju zavara, završetak kružnog zavara na istom mjestu gdje je on i započet) mogu zagrijati zavar na kritičnu temperaturu, pa će i u samom zavaru nastati karbidi kroma ukoliko zavar po svom sastavu to omogućava. Također dodatni materijal mora biti neosjetljiv na interkristalnu koroziju. To je najčešće austenit sa vrlo niskim sadržajem C ili pak mora biti stabiliziran sa Nb. Ti kao stabilizator nije poželjan, jer u procesu zavarivanja izgara pa njegova količina može postati sumnjiva s obzirom na sigurnost stabilizacije. Najbolje bi bilo uzeti za dodatni materijal takav sastav koji će nam u zavaru dati austenit i nešto ferita, čime suzbijamo pojavu toplih pukotina na račun antikorozivnosti koja je pri tome smanjena Tople pukotine Pojava stvaranja segregacija u području zavara na temperaturama većim od 1000 C naziva se toplim pukotinama, a one nastaju uslijed intenzivnog taloženja legirnih elemenata u procesu skrućivanja zavara. Mjesta gdje nastaju tople pukotine su obično nisko taljivi eutektikumi, koji u čitavoj masi materijala zadnji prelaze u kruto stanje. To znači, da ta mjesta, u momentu kada je već ostala masa materijala kruta i kad već djeluju unutarnja naprezanja, nemaju dovoljne čvrstoće da bi se mogla oduprijeti tim naprezanjima pa s toga puknu neposredno nakon što su prešla u kruto stanje. Utvrđeno je da se tople pukotine ne pojavljuju ukoliko u zavaru ima mala količina ferita. To se može objasniti činjenicom što ferit može u svoju rešetku primiti više legirnih elemenata, pa su s time smanjene mogućnosti pojave taloženja. Osim toga, ferit je poželjan jer je na visokim temperaturama elastičniji nego austenit pa lakše podnosi unutrašnja naprezanja. Austenitno feritne elektrode koje se najčešće primjenjuju Zavarljivost vatro otpornih čelika 41

9 imaju određen sastav, te se pomoću njega može iz Schefflerovog dijagrama točno odrediti količina ferita. Austenitno feritni zavar može u nekim slučajevima biti opasan ako se duže vrijeme izlaže povišenim temperaturama jer iz ferita može nastati krhka σ - faza. Međutim, najčešća primjena ovih elektroda zbog smanjene antikorozivnosti zavara, nalazi se u području kaljivih austenitnih čelika koji nisu nehrđajući Izbor postupaka zavarivanja S obzirom na navedene probleme, kod zavarivanja feritnih i austenitnih čelika izbor postupaka zavarivanja bazirat će se na količini unesene energije, koju svaki postupak za sebe unosi prilikom zavarivanja u osnovni materijal. Istraživanja su pokazala da preveliki unos topline u osnovni materijal uzrokuje niz nepravilnosti, koje za sobom povlače lošije mehaničke i vatro otporne osobine. Količinu unesene energije kod automatiziranih postupaka zavarivanja moguće je točno odrediti prema prikazanom izrazu. Međutim, kod ručno izvodivih postupaka izračunavanje unesene količine topline nije precizno, zbog nepoznavanja točne vrijednosti brzine. Brzina se kod ručnih postupaka određuje procjenom što daje okvirnu vrijednost unesene količine topline. Količina unesene topline izračunava se prema sljedećem izrazu : I E Q = 60 η ( kj / mm ) ( 3 ) v 1000 Q unos topline ( kj / mm ) I struja zavarivanja ( A ) E napon zavarivanja ( V ) v brzina zavarivanja ( mm / min ) η stupanj iskoristivosti električnog luka ( ) Zavarivanje visoko legiranih vatro otpornih čelika moguće je provesti sa svim raspoloživim postupcima zavarivanja. Zavarljivost vatro otpornih čelika 42

10 S obzirom na veličinu i oblik konstrukcije koja će se zavarivati najjednostavnije je koristiti elektrolučne postupke zavarivanja. Neki od češćih postupaka zavarivanja vatro otpornih čelika su sljedeći postupci: REL, MAG, MIG i EPP Ručno elektrolučno zavarivanje (REL) Princip: Električni luk se uspostavlja kratkim spojem kresanjem između elektrode i radnog komada, tj. priključaka na polove električne struje (istosmjerne Direct Current ili izmjenične Alternating Current). Nakon toga slijedi ravnomjerno dodavanje elektrode u električni luk od strane zavarivača, te taljenje elektrode i formiranje zavarenog spoja. Za zavarivanje je poželjna istosmjerna struja sa stabilnim električnim lukom. Jakost električnog luka određuje se na osnovu propisanih vrijednosti iz odgovarajučih standarda i mora biti tolika da omoguči taljenje metala. Elektroda može biti vezana za plus ili minus pol zavisno o vrsti elektrode. Rubovi koji se zavaruju moraju biti očiščeni od nečistoča koje sadrže ugljik te od uvijek prisutne vlage. Sastav žice i obloge ima važnu ulogu u stvaranju kvalitetnog zavara. Pri tome sadržaj dodatnog materijala mora odgovarati sadržaju osnovnog materijala uz relativno malu korekciju zbog izgaranja nekih elemenata pri zavarivanju. Primjena: REL postupak ima široke mogućnosti primjene: kod proizvodnih zavarivanja, navarivanja i reparaturnog zavarivanja većine metalnih materijala. Ipak zbog ekonomičnosti (male brzine zavarivanja i orijentacijski 1,5 do 2 kg/depozita na sat) se primjenjuje za izvođenje kraćih zavara, obično debljine ne iznad 15 mm (20 mm) kod sučelnih zavarenih spojeva, te kraćih kutnih spojeva manje debljine zavara (gdje se obično ne traži pojačana penetracija u korijenu zavara). Zavarljivost vatro otpornih čelika 43

11 Moguća je primjena za zavarivanje visoko legiranih vatro otpornih čelika pri čemu se najčešće primjenjuje austenitno - feritna elektroda bazičnog karaktera Parametri: Glavni parametri kod REL zavarivanja su: - napon zavarivanja (U), koji se tijekom zavarivanja orijentacijski kreće od 18 do 26 V; - jakost struje zavarivanja (I), koja se pri zavarivanju kreće ovisno o promjeru elektrode (orijentacijske vrijednosti 40 φ elektrode, A), -brzina zavarivanja ( v ), koja se kreće ovisno o primijenjenoj tehnici zavarivanja (povlačenje ili njihanje elektrode), promjeru elektrode i parametrima zavarivanja orijentacijski od 1,5 do 2,5 mm/s. Napon praznog hoda je najčešće 60 V. Stupanj iskorištenja energije za taljenje 0,75 0,85. Prednosti: - razvijen širok spektar dodatnih materijala za zavarivanje, - manja cijena opreme za zavarivanje (uređaja za zavarivanje) u odnosu na MAG i EPP postupak zavarivanja, - pogodan za manja proizvodna i reparaturna zavarivanja, - mogućnost zavarivanja u svim položajima zavarivanja, - pogodan za rad na terenu, naročito tamo gdje nema električne energije ( moguća primjena agregata), - vrlo jednostavno rukovanje opremom, - dobra mehanička svojstva zavara koja prvenstveno ovise o izvođaču zavara, Nedostaci: - mala brzina zavarivanja i niska produktivnost u odnosu na MAG i EPP, - kvaliteta zavara značajno ovisi o vještini zavarivača - čovjeka, - vrijeme za izobrazbu dobrog zavarivača je dugo, - neizbježan je otpad elektrode»čik«(8-10 %), te gubitak materijala zbog prskanja u okolinu, - teže čišćenje troske nakon zavarivanja i gubitak vremena zbog čišćenja troske, - dolazi do jakog bljeskanja pri zavarivanju, razvijaju se štetni plinovi (potrebna dobra ventilacija prostora), - dugotrajni rad može ostaviti štetne posljedice na zdravlju zavarivača (reuma, Zavarljivost vatro otpornih čelika 44

12 oštećenja dišnog sustava...). Izvor struje provodnici držač elektrode elektroda radni komad žica obloga troska radni komad zavar prelaz materijala u luku troska zaštitni plin iz obloge Sl. III.1. - Shematski prikaz REL postupka zavarivanja [3] Elektrolučno zavarivanje taljivom žicom u zaštiti inertnog plina (MIG) Princip: Električni luk se uspostavlja kratkim spojem kresanjem između žice za zavarivanje i radnog komada, tj. priključaka na polove električne struje (istosmjerne Direct Current ili izmjenične Alternating Current). Zavarljivost vatro otpornih čelika 45

13 Nakon uspostavljanja električnog luka slijedi ravnomjerno dodavanje žice za zavarivanje u električni luk (elektromotor, valjci za ravnanje i povlačenje ili potiskivanje žice), te taljenje žice i formiranje zavarenog spoja. Žica prolazi određenom brzinom kroz sapnicu na pištolju, kroz koju također konstantno struji neutralni plin Argon, te na taj način ostvaruje zaštitu zavarenog spoja od moguće oksidacije. Primjena: MIG postupak ima široke mogućnosti primjene: kod proizvodnih zavarivanja, navarivanja i reparaturnog zavarivanja aluminijskih legura i visoko legiranih nerđajućih materijala i legura. On se uglavnom uspoređuje sa TIG postupkom. Ima prednost pred TIG zavarivanjem sa stajališta ekonomičnosti (više kg / depozitu na sat). Primjenjuje se za zavarivanje limova i cijevi debljine od 1 mm obično do debljine 20 mm (u nekim slučajevima i daleko iznad tih debljina), kada je ekonomski i tehnološki opravdana primjena MIG postupka. MIG postupak je izvorno polu automatski postupak, ali se vrlo često koristi kao automatski i robotizirani postupak zavarivanja. Parametri: Glavni parametri kod MIG zavarivanja su: - napon zavarivanja (U), koji se tijekom zavarivanja orijentacijski kreće od 16 do 26 V; - jakost struje zavarivanja (I), koja se pri zavarivanju kreće ovisno o promjeru žice za zavarivanje (orijentacijske vrijednosti 80 do 180, A ), - brzina zavarivanja (v), koja se kreće ovisno o primijenjenoj tehnici zavarivanja (povlačenje ili njihanje), promjeru žice za zavarivanje i parametrima zavarivanja orijentacijski od 2 do 4 mm / s. Napon praznog hoda je najčešće 60 V. Stupanj iskorištenja energije za taljenje 0,75 0,85. Prednosti: - razvijen dovoljno širok spektar dodatnih materijala za zavarivanje, manja cijena opreme za zavarivanje (uređaja za zavarivanje) u odnosu na TIG postupak, - pogodan za pojedinačnu i masovnu proizvodna, te reparaturna zavarivanja, - mogućnost zavarivanja u svim položajima zavarivanja, - pogodan za automatizaciju i robotizaciju, Zavarljivost vatro otpornih čelika 46

14 - daleko veća učinkovitost (kg depozita/h) u odnosu na TIG zavarivanje. Nedostaci: - kvaliteta zavara još uvijek ovisi o vještini zavarivača čovjeka kod poluautomatskog zavarivanja, - vrijeme za izobrazbu dobrog zavarivača je kraće nego kod TIG zavarivanja (mada je praksa da MIG zavarivači prvo nauče REL postupak zavarivanja), - kvaliteta zavarenog spoja je slabija u odnosu na kvalitetu TIG zavarenih spojeva (kako sa estetskog stajališta, tako i sa stajališta grešaka u zavarenom spoju i mehaničkih svojstava zavarenog spoja), - dolazi do jakog bljeskanja pri zavarivanju, pri zavarivanju se oslobađaju plinovi (potrebna dobra ventilacija prostora), - dugotrajni rad može ostaviti štetne posljedice na zdravlju zavarivača (reuma, oštećenja dišnog sustava...) Elektrolučno zavarivanje taljivom žicom u zaštiti aktivnog plina (MAG) Princip: Električni luk se uspostavlja kratkim spojem kresanjem između žice za zavarivanje i radnog komada, tj. priključaka na polove električne struje (istosmjerne Direct Current). Nakon toga slijedi ravnomjerno dodavanje žice za zavarivanje u električni luk (elektromotor, valjci za ravnanje i povlačenje ili potiskivanje žice), te taljenje žice i formiranje zavarenog spoja. Primjena: MAG postupak ima široke mogućnosti primjene: kod proizvodnih zavarivanja, navarivanja i reparaturnog zavarivanja većine metalnih materijala. Ima prednost pred REL zavarivanjem sa stajališta ekonomičnosti (više kg/depozita na sat, veća intermitencija pogona nema zastoja za izmjenu elektroda kao kod REL postupka, manje čišćenje zavara). Primjenjuje se za zavarivanje limova i cijevi debljine od 1 mm obično do debljine 20 mm (u nekim slučajevima i daleko iznad tih debljina, kada je ekonomski i tehnološki opravdana primjena MAG postupka). Zavarljivost vatro otpornih čelika 47

15 Kod većih debljina osnovnog materijala i veće duljine zavarenih spojeva ekonomičnije je koristiti EPP postupak (samostalno ili u kombinaciji sa MAG ili REL postupkom, npr. za provarivanje korijena). MAG postupak je izvorno poluautomatski postupak, ali se vrlo često koristi kao automatski i robotizirani postupak zavarivanja. Značajan je udio robota za MAG zavarivanje u automobilskoj industriji. Parametri: Glavni parametri kod MAG zavarivanja su: - napon zavarivanja (U), koji se tijekom zavarivanja orijentacijski kreće od 16 do 26 V; - jakost struje zavarivanja (I), koja se pri zavarivanju kreće ovisno o promjeru žice za zavarivanje (orijentacijske vrijednosti 80 do 180, A) - brzina zavarivanja (v), koja se kreće ovisno o primijenjenoj tehnici zavarivanja (povlačenje ili njihanje), promjeru žice za zavarivanje i parametrima zavarivanja orijentacijski od 2 do 4 mm/s. Napon praznog hoda je najčešće 60 V. Stupanj iskorištenja energije za taljenje 0,75 0,85. Napomena: Postoji moderna varijanta MAG postupka tzv. TIME postupak gdje su vrijednosti napona, struje i brzine zavarivanja (ali i promjera žice za zavarivanje) značajno veće u odnosu na klasični MAG. Tako su npr. za žicu promjera 2,5 mm registrirane srednje vrijednosti parametara zavarivanja: U = 40 V, I = 420 A. Prednosti: - razvijen dovoljno širok spektar dodatnih materijala za zavarivanje, - manja cijena opreme za zavarivanje (uređaja za zavarivanje) u odnosu na EPP postupak zavarivanja (ali ipak nešto veća u odnosu na REL), - pogodan za pojedinačnu i masovnu proizvodna, te reparaturna zavarivanja, - mogućnost zavarivanja u svim položajima zavarivanja, - manji gubici vremena zavarivača (nema izmjene elektrode kao kod REL zavarivanja, Zavarljivost vatro otpornih čelika 48

16 manje čišćenje zavara), - pogodan za automatizaciju i robotizaciju, - kvalitetan zavar i dobra mehanička svojstva zavara, Nedostaci: - kvaliteta zavara još uvijek ovisi o vještini zavarivača čovjeka kod poluautomatskog zavarivanja (ali ipak ne toliko kao kod REL zavarivanja), - vrijeme za izobrazbu dobrog zavarivača je kraće nego kod REL zavarivanja (mada je praksa da MAG zavarivači prvo nauče REL postupak zavarivanja), - dolazi do jakog bljeskanja pri zavarivanju, pri zavarivanju se oslobađaju plinovi (potrebna dobra ventilacija prostora), - dugotrajni rad može ostaviti štetne posljedice na zdravlju zavarivača (reuma, oštećenja dišnog sustava...) Elektrolučno zavarivanja pod zaštitnim praškom ( EPP ) Princip: Električni se luk uspostavlja pomoću visokofrekventnog generatora (VF generator) koji se uključuje samo u djeliću sekunde, neposredno pred zavarivanje. Nakon uspostavljanja električnog luka, VF generator se isključuje, žica za zavarivanje kontinuirano dolazi u električni luk, tali se i sudjeluje u formiranju zavarenog spoja. Proces se odvija pod zaštitnim praškom. Prilikom ohlađivanja zavareno spoja javlja se osjetljivost na interkristalnu koroziju, pa zbog toga čelik uvijek mora imati niski sadržaj ugljika (mora biti stabiliziran). Žica za zavarivanje mora biti od istog materijala kao osnovni materijal, no zbog izgaranja pojedinih elemenata poželjno je da sadržaj tih elemenata bude nešto viši. Korekcija sastava zavarenog spoja može se izvršiti i pomoću praha koji prekriva u potpunosti rastaljenu kupku i usijani rastaljeni materijal, te vrh elektrode. Zavarivanje pod prahom izvodi se sa visokim vrijednostima jakosti struje uslijed čega se postiže velika penetracija i jako otapanje osnovnog materijala, koji se pod prahom polagano hladi. Zbog sporog ohlađivanja mogu se pojaviti razne nepravilnosti koje nastojimo spriječiti smanjenjem jakosti struje na najmanju moguću mjeru. Elektroda je vezana za + pol ukoliko se zavaruje sa istosmjernom strujom. Zavarljivost vatro otpornih čelika 49

17 To je automatski postupak zavarivanja u horizontalnom položaju. Primjena: EPP postupak se koristi za zavarivanje i navarivanje gdje se traži velika količina deponiranog materijala (zavara) ili kod velikoserijske proizvodnje (npr. kružni zavareni spojevi na propan/butan bocama za domaćinstvo). Primjenjuje se za zavarivanje limova debljine veće od 6 mm, u iznimnim slučajevima uz određene mjere opreza mogu se zavarivati debljine manje od 6 mm. Zavarivanje se izvodi u horizontalnom položaju (iznimka Circomatic postupak zavarivanje kružnih zavarenih spojeva na cilindričnim posudama pod tlakom u zidnom položaju). Značajna je primjena ovog postupka kod zavarivanja debelostjenih posuda pod tlakom, te debelostjenih limova (npr. postolja lokomotiva, sekcije mostova ). Parametri: Glavni parametri kod EPP postupka zavarivanja su: - napon zavarivanja (U), koji se tijekom zavarivanja orijentacijski kreće od 26 do 40 V; - jakost struje zavarivanja (I), koja se pri zavarivanju kreće ovisno o promjeru elektrode (od 100 A do 1000 A; prema nekim literaturnim podacima i do 5000 A). - Zbog manje duljine slobodnog kraja žice moguće je iste promjere žice za zavarivanja opteretiti puno većim strujama nego kod REL postupka (gdje je duljina slobodnog kraja praktično duljina elektrode koja se koristi za zavarivanje). - brzina zavarivanja (v), je značajno veća u odnosu na REL i MAG postupak (orijentacijske vrijednosti 200 do 600 mm/min). Napon praznog hoda je 100 V (veći nego kod REL postupka iz razloga što se kod EPP postupka teže uspostavlja električni luk). Prednosti: - velike brzine zavarivanja i daleko veća produktivnost u odnosu na REL i MAG postupak zavarivanja, - budući da se radi o automatskom postupku zavarivanja, kvaliteta ne ovisi o čovjeku operateru (jednom uspostavljeni parametri zavarivanja daju konstantnu kvalitetu zavarenih spojeva), Zavarljivost vatro otpornih čelika 50

18 - visok stupanj iskorištenja energije za taljenje (0,9-0,95), - kvalitetan estetski izgled zavara, - nema otpada žice (»čik-a«), te gubitaka zbog prskanja kapljica u okolinu, - lako čišćenje troske i mogućnost recikliranja troske, Nedostaci: - veća cijena opreme za zavarivanje (uređaja za zavarivanje) u odnosu na MAG i EPP postupak zavarivanja, - slabija mehanička svojstva zavarenog spoja u odnosu na REL i MAG zavarivanje (brže hlađenje veće količine deponiranog materijala), - mala brzina zavarivanja i niska produktivnost u odnosu na MAG i EPP, - kvaliteta zavara značajno ovisi o vještini zavarivača - čovjeka, - vrijeme za izobrazbu operatera je mnogo kraće od izobrazbe dobrog zavarivača, - nema vizualnog nadzora električnog luka tijekom zavarivanja (velike jakosti struje daju svjetlost velike intenzivnosti pa u obzir dolazi nadzor X-zrakama i video kamerama), - u tehnološkoj liniji koja koristi EPP automate obično je potrebna dodatna mehanizacija (okretaljke, okretno-nagibni stolovi, pozicioneri, konzole,...), - ukoliko se ne vodi računa o što nižim vrijednostima jakosti struje može se dogoditi da se unese prevelika količina topline što će uzrokovati razne nepravilnosti uz zavarenom spoju Motor za pogon žice O.M Prašak Smjar zavarivanja Dovod struje =~ Sl. III.2. - Shema uređaja za zavarivanje [3] Zavarljivost vatro otpornih čelika 51

19 25% 25% PRAŠAK TROSKA KRUTA TROSKA Gubici 5% 45% TALINA METAL ZAVARA OSNOVNI MATERIJAL Sl. III.3. - Shematski prikaz EPP postupka zavarivanja [3] Predgrijavanje Predgrijavanje je proces zagrijavanja metala obratka na temperaturu dovoljno visoku da ostvari kvalitetno zavarivanje bez pojave nepoželjnih nuspojava. Postupkom predgrijanja u pravilu bi se trebalo smanjiti rizik pojave hladnih pukotina tako što ona utječe na mikro strukturu ZUT a i materijala zavara, te pospješuje difuziju vodika iz zavarenog spoja. Ponekad predgrijanje može pozitivno utjecati na sprečavanje pojave vrućih pukotina. Određivanje visine temperature predgrijanja provodimo temeljem proračuna, te ispitivanjem pukotina. U pravilu neki čelik je potrebno predgrijavati prije zavarivanja ukoliko mu vrijednost C ekv prelazi %. C ekv određujemo prema izrazu međunarodnog instituta za zavarivanje, a navedeni izraz pomoću kojeg izračunavamo vrijednost izgleda ovako : [ 4 ] Mn Cr + Mo + V Ni + Cu Cekv = C % ( 4 ) Potrebno je istaknuti da temperatura predgrijavanja ne smije preči temperaturu Ms čelika koji se zavaruje. Ukoliko se pređe ta temperatura, može se pojaviti stabilizacija zaostalog austenita. Kod visoko legiranih vatro otpornih čelika u pravilu prije zavarivanja predgrijavamo samo feritne vatro otporne čelike, dok kod austenitnih to nije potrebno. Ovisno o vrsti feritnih vatro otpornih čelika vrijednost temperature predgrijanja kreče se u rasponu od C. Zavarljivost vatro otpornih čelika 52

20 Ako se čelik predgrijava u navedenom temperaturnom rasponu, moguće je izbjeći u većoj mjeri navedene nepravilnosti Izbor dodatnog materijala Ovisno o postupku zavarivanja koji se primjenjuje kod zavarivanja pojedine vrste vatro otpornih čelika primjenjivat će se određene vrste dodatnog materijala. Dodatni materijal može biti u obliku obložene, pune ili praškom punjene žice. Najčešće primjenjivani elektrolučni postupak zavarivanja koristit će sve vrste žica kao dodatni materijal. Zavisno o vrsti elektrolučnog postupka primjenjivat će se obložena ili puna elektroda, a samo u ponekim slučajevima koristit će se praškom punjena žica. Kod REL postupka koji se kod nas još uvijek često primjenjuje koriste se obložene elektrode. Drugi pak elektrolučni postupci kao na primjer u zaštiti plina ili pod praškom mogu koristiti ovisno o vrsti materijala zavarivanja i o tipu postupka sve tri vrste žica. Ukoliko je moguća primjena postupaka bez dodatnog materijala osigurat će se izbjegavanje pojedinih nepravilnosti koje mogu nastati pri dovođenju dodatnog materijala. Međutim primjena takovih postupaka često puta nije moguća pa tada i postojeći postupci moraju zadovoljiti uvijete. S obzirom na vrstu postupka koji se primjenjuje pri zavarivanju mogu se razlikovati slijedeće vrste dodatnog materijala: - obložena žica, - puna žica i - praškom punjena žica Obložena žica Obložena žica kao dodatni materijal primjenjuje se najčešće kod ručnog elektolučnog postupka zavarivanja. Zavarljivost vatro otpornih čelika 53

21 Sastoji se od materijala istog ili sličnog sastava kao i materijal zavarivanja, što ovisi o strukturi koju želimo postići pri zavarivanju, te od obloge koja se sastoji od raznih spojeva koji svojim izgaranjem podržavaju ostvareni električni luk, a istovremeno zaštićuju rastaljenu kupku od okoline. Razlikujemo dvije vrste obloge koje se najčešće primjenjuju : - bazična obloga - rutilna obloga Vrsta obloge ovisi o vrsti postupka koji se primjenjuje pri zavarivanju, a koji je opet ovisan o vrsti materijala zavarivanja. Prednosti: - jednostavnija izrada koja za sobom povlači manju cijenu elektroda, - ovakva vrsta elektrode zahtjeva manje komplicirane postupke zavarivanja, Nedostaci: - prilikom zavarivanja razvijaju se plinovi štetni za zdravlje, pa je neophodna zaštita, - ova vrsta elektrode primjenjuje se najčešće kod ručnih postupaka zavarivanja te na taj način kvaliteta zavara ovisi o uvježbanosti izvođača zavara, - kao posljedica se javlja prskanje dodatnog materijala što utječe na izgled zavarenog spoja Puna žica Pune žice kao dodatni materijal, najčešće se primjenjuju kod elektrolučnih postupaka koji koriste zaštitni plin pri zavarivanju. Izuzev plinskog zavarivanja koji se nastoji izbjeći pri zavarivanju vatro otpornih čelika. Puna žica je također istog ili pak sličnog sastava kao i dodatni materijal koji se zavaruje. Kod elektrolučnih postupaka česta je primjena kroz MIG i MAG postupak. Prednosti : - brzina dovođenja žice je manja nego kod dovođenja obložene ili pak kod praškom punjene žice, Zavarljivost vatro otpornih čelika 54

22 - manja koncentracija topline pri zavarivanju, - jednostavnija izrada ovakve vrste dodatnog materijala, - jednostavnije pakiranje, te korištenje ove vrste elektroda jer nema bojazni od vlage iz zraka - kvaliteta zavarenog spoja značajnije je bolja u odnosu na obložene elektrode, - od mogućih postupaka koji se primjenjuju pri zavarivanju uz ovu vrstu dodatnog materijala, gotovo svi se mogu automatizirati Nedostaci: - veća srednja vrijednost jakosti struje u električnom luku u odnosu na praškom punjene žice, - zahtijevaju se složeniji postupci za zavarivanje, - osjetljivost pištolja za zavarivanje od mogućih oštećenja je velika, - veća cijena izrade zavarenog spoja zbog skupljih i složenijih aparata za zavarivanje, Praškom punjene žice Ovu vrstu dodatnog materijala primjenjujemo kod elektrolučnih postupaka zavarivanja u zaštiti plina ili pod praškom. U prošlosti primjena ove vrste dodatnog materijala bila je dosta ograničena zbog nemogućnosti izrade manjih promjera elektrode za zavarivanje. Zbog dobrih svojstava koja se dobiju zavarivanjem ovom elektrodom primjena je u današnje vrijeme značajno porasla. Praškom punjena žica sastoji se od dva dijela. Izvana je materijal koji se dodaje u kupku pri zavarivanju i on može biti istog ili sličnog sastava kao i osnovni materijal koji se zavaruje. Iznutra elektroda može sadržavati punjenje praškom različitog sastava. S obzirom na sastav i vrstu punjenja razlikujemo sljedeće vrste praškom punjenih žica: - bazične PP žice, - rutilne PP žice i - žice punjene metalnim prahom. Prema načinu izrade razlikujemo sljedeće vrste : - žice zatvorenog oblika i - bešavne žice Zavarljivost vatro otpornih čelika 55

23 Razlozi primjene praškom punjenih žica: - sigurnije upravljanje, neosjetljivost na greške vezivanja, - dobro vezivanje, bez grubih prelaza, te glatka površina zavara, - visoka sigurnost od pukotina, - malo špricanje na osnovni materijal, - fleksibilna mogućnost dodavanja legirnih i mikro legirnih elemenata Pri izradi žice vodi se računa o sredstvu vezivanja samog praška unutar žice. Da bi spriječili segregacije mješavine praška tijekom trešnje, on se pomoću vodenog praška granulira u zrna točno određene veličine. Nakon kontroliranog punjenja slijedi toplinska obrada s ciljem poboljšanja istezljivosti žice i reduciranja vlage iz praška Rutilnim praškom punjene žice Karakteristike: - dobro držanje u raznim položajima zavarivanja, - jednostavno namještanje parametara zavarivanja, - prijenos materijala u finim kapljicama, - glatka i čista površina zavara, kompaktna a time i lako odstranjiva šljaka i dr. Područje primjene: - za sve prinudne položaje moguće je zavarivanje potpuno mehanizirati jer se rutilna šljaka brzo skrućuje Bazičnim praškom punjene žice Karakteristike: - odlična mehanička i tehnološka svojstva zavara, kako u zavarenom stanju tako i nakon toplinske obrade, Zavarljivost vatro otpornih čelika 56

24 - zbog prijenosa topline srednjim i grubim kapljicama bez ograničenja primjenjiva su za zavarivanje korijena zavara, - velika sigurnost protiv pukotina i dr. Područje primjene: Visoko zahtjevni zavareni spojevi bez ograničenja debljine kod zavarivanja Metalnim prahom punjene žice Karakteristike: - prijelaz rastaljenog materijala u vrlo finim kapljicama u području luka, - pravilni oblik površine zavara bez šljake, - široki stabilni električni luk s odličnim radnim karakteristikama i dr Toplinska obrada vatro otpornih čelika Pod pojmom toplinske obrade podrazumijeva se zagrijavanje na dovoljno visoku temperaturu, te držanje na toj temperaturi izvjesno vrijeme, čime se nastoji eliminirati jednu ili ponekad i više nepravilnosti koje utječu na svojstva zavarenog spoja, a koje nastaju uslijed neke prethodne obrade. Toplinska obrada za pojedine vrste materijala razlikuje se, što ovisi o vrsti nepravilnosti koja je nastala. Dali će se toplinska obrada nad nekim materijalom provesti ovisi o vrsti nepravilnosti koja je nastala, te o njezinom stupnju nastajanja. U pravilu kod vatro otpornih čelika toplinski obrađujemo samo feritne čelike, jer su oni skloni stvaranju raznih nepravilnosti. Ponekad je moguće toplinsku obradu primijeniti i na austenitne vatro otporne čelike ali ne zbog samog zavarivanja, već kao posljedica neke druge obrade. S obzirom na već gore navedenu strukturnu podjelu, razlikuje se toplinska obrada feritnih i austenitnih čelika. Zavarljivost vatro otpornih čelika 57

25 Toplinska obrada feritnih vatro otpornih čelika Postupci toplinskih obradi feritnih čelika izvode se samo u slučaju potrebe ispravljanja neke nehotične ili neizbježne pogreške (npr. predgrijanja pri zavarivanju koje uzrokuje stvaranje predispozicije za interkristalnu koroziju ). Posebnu važnost treba posvetiti trajanju inkubacije pojedine anomalije i to prije svega za utvrđivanje vremenskog parametra toplinske obrade kako ne bi dotična anomalija nastupila ili se pojačala pri onoj obradi koja bi ju trebala smanjiti. Tako bi žarenje pri C bilo efikasno kada bi se mogla izbjeći pojava grubog zrna. Zato se općenito, kako za korekciju prikazanih pogrešaka tako i za sniženje napetosti nakon zavarivanja radije primjenjuje žarenje pri C uz hlađenje na zraku. Navedene anomalije, te postupci eliminacije istih prikazani su dijagramski na slici 6. ϑ, C 1100 t ink IKK( Cr 23 C 6 ) rast zrna a) b) c) 900 početak rasta zrna t ink σ C C 700 σ, % voda zrak C t ink t Sl. III.4. - Shematski prikaz zbivanja u feritnim čelicima te dijagrami postupaka toplinskih obradbi u svrhu eliminacije pogrešaka. [ 3 ] a) vrste anomalija b) žarenje za eliminaciju krtosti 475 Zavarljivost vatro otpornih čelika 58

26 c) žarenje sa gašenjem za eliminaciju σ - krtosti Toplinska obrada austenitnih vatro otpornih čelika Provodi se najčešće sa ciljem eliminacije nastalih nepoželjnih pojava uslijed raznih vrsta obrada. Prilikom zavarivanja čistih austenitnih čelika u strukturi zavarenog spoja javlja se manja količina δ - ferita što može uzrokovati neželjene posljedice. U pravilu o prisutnosti δ - ferita u autenitnoj strukturi mišljenja se razlikuju, neki smatraju da njegovo prisustvo smanjuje nastajanje toplih pukotina, no u duljem radu pri povišenim temperaturama on prelazi izotermički u σ - fazu, te tako utječe nepovoljno na žilavost i korozijsku postojanost. Nastajanje ovih nepravilnosti daje za pravo nekim znanstvenicima da tvrde kako je prisustvo ferita nepoželjno. Osim pojave σ - faze u austenitnim se čelicima mogu pojaviti neželjena izlučivanja karbida Cr 23 C 6 koji nataloženi po granicama austenitnih zrna uzrokuju osiromašenje periferije tih zrna na Cr te s tim stvaraju predispoziciju za interkristalnun koroziju. Nastala senzibilizacija zrna može se otkloniti toplinskom obradom gašenjem ili se pak može izbjeći izborom stabiliziranih čelika. Kod austenitnih čelika može se pojaviti krtost zbog različitih razloga kao što su izlučivanje karbidne faze po granicama zrna (sporim hlađenjem destabiliziranog čelika ili njegovim duljim držanjem pri izotermi između C). Krtost može biti posljedica hladnog očvrsnuća i to bilo samo zbog unošenja novih dislokacija u čelik, bilo još dodatno i zbog stvaranja deformacionog (ε) martenzita, odnosno α - martenzita. Zavarivane spojeve vatro otpornih austenitnih čelika poželjno je podvrgnuti austenitizaciji na oko 1100 C ili žarenju na temperaturi oko C radi uklanjanja unutarnjih napetosti. [ 4 ]. Zavarljivost vatro otpornih čelika 59

27 ϑ, C 1100 C C C C izlučivanje 700 M 23 C 6 (i FeCr) 550 gašenje 500 t ink voda 300 gašenje žarenje a) b) c) t Sl. III 5. - Shematski prikaz događanja u austenitnim sterilnim ne stabiliziranim čelicima i dijagrami toka toplinskih obradbi s ciljem eliminacije pogrešaka. [ 3 ] a) izlučivanje b) gašenje c) žarenje zrak ϑ C C 1000 C A+TiC 950 C A+Cr C C izlučivanje M C i Fe Cr 23 6 gašenje žarenje Zavarljivost vatro otpornih čelika 60

28 a) b) c) Sl. III Shematski prikaz toplinske obrade stabiliziranih čelika. [ 3 ] a) izlučivanje b) gašenje c) žarenje Zavarljivost vatro otpornih čelika 61

NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA

NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA Zavareni spojevi - I. dio 1 ZAVARENI SPOJEVI Nerastavljivi spojevi Upotrebljavaju se prije svega za spajanje nosivih mehatroničkih dijelova i konstrukcija 2 ŠTO

Διαβάστε περισσότερα

2.3 SPECIFIČNOSTI POSTUPKA ZAVARIVANJA PRAŠKOM PUNJENIM ŽICAMA

2.3 SPECIFIČNOSTI POSTUPKA ZAVARIVANJA PRAŠKOM PUNJENIM ŽICAMA 2.3 SPECIFIČNOSTI POSTUPKA ZAVARIVANJA PRAŠKOM PUNJENIM ŽICAMA 2.3.1 Parametri zavarivanja Na kvalitetu zavarenog spoja najveći utjecaj imaju upravo parametri zavarivanja, pa je iz tog razloga jako bitan

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

NEKONVENCIONALNI POSTUPCI OBRADE (OBRADA ODNOŠENJEM) (DIREKTNO ENERGETSKI POSTUPCI OBRADE)

NEKONVENCIONALNI POSTUPCI OBRADE (OBRADA ODNOŠENJEM) (DIREKTNO ENERGETSKI POSTUPCI OBRADE) dr.sc. S. Škorić NEKONVENCIONALNE pojam NEKONVENCIONALNI POSTUPCI OBRADE (OBRADA ODNOŠENJEM) (DIREKTNO ENERGETSKI POSTUPCI OBRADE) alat za obradu ne mora biti tvrđi od obratka nema klina praktički nema

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD. Karlo Zidarić. Zagreb, 2014.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD. Karlo Zidarić. Zagreb, 2014. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Karlo Zidarić Zagreb, 2014. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Mentori: Doc. dr. sc. Ivica Garašić,

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

9 TROŠKOVI KOD ZAVARIVANJA 9.1 PRIPREMA PROIZVODNJE KOD ZAVARIVANJA

9 TROŠKOVI KOD ZAVARIVANJA 9.1 PRIPREMA PROIZVODNJE KOD ZAVARIVANJA 9 TROŠKOVI KOD ZAVARIVANJA 91 PRIPREMA PROIZVODNJE KOD ZAVARIVANJA Elektrolučnih postupci zavarivanja danas su najviše zastupljeni u praksi Kada se pogleda na zastupljenost elektrolučnih postupaka danas

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Greške u zavarenim spojevima u izradi i u eksploataciji Svaki tehnološki proces nosi stalnu opasnost od nastajanja određenih grešaka.

Greške u zavarenim spojevima u izradi i u eksploataciji Svaki tehnološki proces nosi stalnu opasnost od nastajanja određenih grešaka. Greške u zavarenim spojevima u izradi i u eksploataciji Svaki tehnološki proces nosi stalnu opasnost od nastajanja određenih grešaka. S obzirom na veliki broj utjecajnih čimbenika na kvalitetu zavarenih

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja

Διαβάστε περισσότερα

NERASTAVLJIVE VEZE I SPOJEVI. Zakovični spojevi

NERASTAVLJIVE VEZE I SPOJEVI. Zakovični spojevi NERASTAVLJIVE VEZE I SPOJEVI Zakovični spojevi Zakovice s poluokruglom glavom - za čelične konstrukcije (HRN M.B3.0-984), (lijevi dio slike) - za kotlove pod tlakom (desni dio slike) Nazivni promjer (sirove)

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

6 ONEČIŠĆENJE KAPLJICAMA METALA - PRSKOTINE

6 ONEČIŠĆENJE KAPLJICAMA METALA - PRSKOTINE 6 ONEČIŠĆENJE KAPLJICAMA METALA - PRSKOTINE Onečišćenje kapljicama metala ili prskotine smatraju se jednim od čestih zavarivačkih pogrešaka. To su kapljice koje su nastale u procesu rada kao produkt zavarivanja.

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Prof. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1

Prof. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 REGENERATIVNI ZAGRIJAČI NAPOJNE VODE Regenerativni zagrijači napojne vode imaju zadatak da pomoću pare iz oduzimanja turbine vrše predgrijavanje napojne vode

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Materijali u mašinstvu - Termička obrada V e ž b a I 2

Materijali u mašinstvu - Termička obrada V e ž b a I 2 VEŽBA 2 - ŽARENJA Žarenja predstavljaju veoma zastupljene postupke termičke obrade koji se između ostalog koriste za popravljanje obradivosti materijala, uklanjanje zaostalih napona nastalih u toku neke

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα