Parathrăseic Οι παρακάτω ασκήσει αποτε ούν ένα κα ό αντιπροσωπευτικό δείγµα για το µάθηµα Η εκτροτεχνία ΙΙ (π ην του κεφα αίου των Μετασχηµατιστών).

Transcript

1 Parathrăseic Οι παρακάτω ασκήσει αποτε ούν ένα κα ό αντιπροσωπευτικό δείγµα για το µάθηµα Η εκτροτεχνία ΙΙ (π ην του κεφα αίου των Μετασχηµατιστών). Επειδή ορισµένοι σπουδαστέ έκαναν το σχό ιο άσκα ε, πω θα είµαστε σίγουροι ότι ύσαµε σωστά τι ασκήσει έκανα την προσπάθεια να σα δείξω στι περισσότερε από αυτέ πω χρησιµοποίησα το πρόγραµµα LTSpice για επιβεβαίωση. Προσθέτω επίση ότι τι αριθµητικέ πράξει τι έκανα µε το πρόγραµµα SCIL (πο ύ πιο ισχυρό εργα είο από ένα απ ό κοµπιουτεράκι) ύνοντα µε ευκο ία τα γραµµικά συστήµατα που παρουσιάστηκαν καθώ επίση και τι γραφικέ παραστάσει στο κεφά αιο των Μεταβατικών Φαινοµένων. Πιστεύω ότι τα παραπάνω εργα εία θα σα φανούν και εσά πο ύ χρήσιµα στο µέ ον, στην επαγγε µατική σα δου ειά, όταν δεν θα έχετε τον δάσκα ο να σα επιβεβαιώνει τι ύσει σα σε διάφορα προβ ήµατα. Ευκαιρία οιπόν να τα µάθετε τώρα.

2 HLEKTROTEQNI II ` SKHSEIS GI QRISTOUGENN ` PĹtra 19/1/006 1 KefĹlaio skhsh 1.7 Να υπο ογιστούν τα ρεύµατα στο παρακάτω κύκ ωµα. I 1 Ω j4 Ω 1 0 o j Ω Ω I 4 Ω I 3 j6 Ω Εχουµε Z 1 = Ω, Z = j Ω, Z 3 = 4 j6 j4 Ω, Z 3 = Z Z 3 = / = j1.077 Ω και Z olikì = Z 1 Z 3 = j1.077 = 3.55 /17.65 Ω. και µε διαιρέτη ρεύµατο I = I 1 = 1 /0 Z olikì = / = 3.19 j1.04 Z 3 Z Z 3 I 1 =.095 / = 1.90 j0.878 I 3 = Z Z Z 3 I 1 = 1.35 / = j0.146 Το παρακάτω netlist για το LTSpice όπου θέτουµε ω = 1 rad/s για f = ω/(π) = Hz a s k i s i 1. 7 V 1 0 ac 1 0 R1 1 L1 3 R 3 0 C R L ac l i n I (R1) I (R) I (R3) µα δίνει f r e q u e n c y : Hz I (R3 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t I (R ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t I (R1 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t skhsh 1.8 Να υπο ογιστεί η τάση τη πηγή στο παρακάτω κύκ ωµα όταν U 0 = 8 /45 V. Ω j Ω U j Ω Ω U 0

3 a trìpoc Στο παρακάτω κύκ ωµα εφόσον U 0 = 8 /45 V έχουµε I 3 = U 0 = 4 /45 Ενα κανόνα βρόγχων του Kirchhoff στο δεξιό βρόγχο δίνει 1 Ω j Ω 3 U j Ω Ω U 0 I 1 0 I I 3 3 ( j ) I (j) = 0 I I = 3 ( j ) = I j 3 ( 1 j) = / 90 Επίση, I1 = I I 3 = 4 / 45 και από τον αριστερό βρόγχο, πά ι µε κανόνα βρόγχων του Kirchhoff U = I 1 j I = / V b trìpoc Εφαρµόζοντα γραµµικότητα θέτουµε U = 1 /0 V. Το ισοδύναµο κατά Thevenin στου ακροδέκτε 3,0 είναι Εποµένω, U 0 = U T H = j j U = /45 V Z T H = ( j) j = 1 j j = 1 j = / 45 Ω 1 j /45 = / V και η πραγµατική τιµή τη πηγή τάση. U = 8 / / = / V Υπάρχουν πο έ ά ε παρα αγέ για ύση. Το παρακάτω netlist για το LTSpice όπου εφαρµόζουµε γραµµικότητα και θέτουµε ω = 1 rad/s για f = ω/(π) = Hz a s k i s i 1. 8 V 1 0 ac 1 0 R1 1 L1 0 C R 3 0. ac l i n Vm( 3 ) Vp ( 3 ) µα δίνει f r e q u e n c y : Hz V ( 3 ) : mag : phase : v o l t a g e σε κα ή συµφωνία µε την U 0 πριν διορθώσουµε για γραµµικότητα. skhsh 1.10 Μετατρέψτε του φάσορε σε κυµατοµορφέ για τι συχνότητε f 1 = 50 Hz, f = 400 Hz. U 1 = 4 / 45 U = 10 /10 U 3 = 8 / 60 U 4 = /30

4 Για f 1 = 50 Hz u 1 (t) = 4 sin(πf 1 t 45 ) = sin(314.16t 45 ) u (t) = 10 sin(πf 1 t 10 ) = sin(314.16t 10 ) u 3 (t) = 8 sin(πf 1 t 60 ) = sin(314.16t 60 ) u 4 (t) = sin(πf 1 t 30 ) =.88 sin(314.16t 30 ) Για f = 400 Hz skhsh 1.11 Κάνετε τι προσθέσει 1. 3 /30 4 /30. /45 4 / /0 5 / / 0 1 /180 u 1 (t) = 4 sin(πf t 45 ) = sin(513.3t 45 ) u (t) = 10 sin(πf t 10 ) = sin(513.3t 10 ) u 3 (t) = 8 sin(πf t 60 ) = sin(513.3t 60 ) u 4 (t) = sin(πf t 30 ) =.88 sin(513.3t 30 ) 3 /30 4 /30 =.5981 j j.0000 = 6.06 j = 7 /30 /45 4 / 45 = j j.884 = j4.46 = / /0 5 /40 = j j3.139 = j5.661 = / / 0 1 /180 = j j0 = j = / 100 skhsh 1.1 Να βρείτε το µέτρο και τη φάση των παρακάτω εµπεδήσεων και να τι σχεδιάσετε στο µιγαδικό επίπεδο. 1.5 j Ω.8 j1.03 Ω 1.3 j1.5 Ω 1 j1 Ω z 1 = 1.5 j =.5 /16.87 z =.8 j1.03 = 3.00 / z 3 = 1.3 j1.5 = /48.65 z 4 = 1 j1 = / 135 z 1 z 3 z 4 z skhsh 1.13 Να βρείτε τι εµπεδήσει που έχουν τα παρακάτω στοιχεία: 1. Πηνίο H στα 100 Hz.. Πυκνωτή 5 µf στα 50 Hz. 3. Πυκνωτή 5 µf στα 50 rad/s. 4. Ωµική αντίσταση 75 Ω στα 377 rad/s.

5 Z L = jωl = jπfl = j68.3 = Ω Z C = Z C = 1 jωc = j πfc = j17.3 Ω 1 jωc = j800 Ω R = 75 Ω skhsh 1.14 Να βρείτε την ο ική εµπέδηση που φαίνεται από τα Α, Β στα παρακάτω κυκ ώµατα. Ω (a) 3 Ω j Ω 6 Ω j4 Ω j Ω 6 Ω j4 Ω (b) 4 Ω j Ω j3 Ω j Ω Ω Ω Ω j Ω j Ω j Ω Ω j Ω (c) (a) Z = [ (6 j4) (3 j) ] = 4.79 / Ω [{ ([(j3) ) } ] ] (b) Z = ( j) 4 ( j4) (j) 6 = /31.33 Ω {[{ ([( ) } ] } ] (c) Z = j) ( j) (j) (j) ( j) = 5.43 / 1.53 Ω skhsh 1.1 Να βρεθούν η τάση u(t) και το ρεύµα i(t) στα παρακάτω κυκ ώµατα. i(t) 10cos(3t45 o ) 4 Ω (a) i(t) 1/6 F 4 Ω 8 Ω u(t) 50cos(4t) V 3 H u(t) 1/1 F (b)

6 Στο κύκ ωµα (a) ο πυκνωτή έχει εµπέδηση Z C = j/(3/6) = j Ω και ο φάσορα τη πηγή είναι I s = (10/ ) /45. Με διαιρέτη ρεύµατο I = Z C I Z C 4 s = 3 j = 3.16 / i(t) = 4.47 cos(3t ) Η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι ίδια µε την τάση στα άκρα τη 4 Ω. Άρα, u(t) = 4i(t) = cos(3t ) V. Το παρακάτω netlist για το LTSpice a s k i s i a1 1a I 0 1 ac R C ac l i n µα δίνει f r e q u e n c y : Hz V ( 1 ) : mag : phase : v o l t a g e I (R ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t Στο κύκ ωµα (b) ο πυκνωτή έχει εµπέδηση Z C = j/(4/1) = j3 Ω, το πηνίο Z L = j4 3 = j1 Ω, και ο φάσορα τη πηγή είναι U s = (50/ ) /0. Η τάση στο µεσαίο κ άδο είναι η τάση τη πηγή, άρα I = U s 4 j3 = /36.87 i(t) = 10 cos(4t ) Στον δεξιό κ άδο µπορούµε να εφαρµόσουµε διαιρέτη τάση, άρα U = Το παρακάτω netlist για το LTSpice a s k i s i a1 1b Vs 1 0 ac 50 0 R1 1 4 C R L ac l i n Z L Z L 8 U s = /33.69 u(t) = cos(4t ) V µα δίνει f r e q u e n c y : Hz V ( 3 ) : mag : phase : v o l t a g e I (R1 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t skhsh 1. Να βρεθούν τα ρεύµατα i 1 (t), i (t) στο παρακάτω κύκ ωµα εάν η συχνότητα τη πηγή είναι f = 50 Hz. 8 Ω 40 0 o V j5 Ω i 1 (t) j10 Ω i (t)

7 Το πηνίο και ο πυκνωτή είναι παρά η α και η εµπέδηση είναι Z = (j5) ( j10) = j10 Ω Με διαιρέτη τάση, η τάση στα άκρα του πηνίου και πυκνωτή είναι άρα U = 1 = U = 6.47 / j5 = U = 3.13 /18.66 j10 j10 j = /38.66 V i 1 (t) = sin(π50 t ) i (t) = sin(π50 t ) Το παρακάτω netlist για το LTSpice a s k i s i a1 V 1 0 ac 40 0 R 1 8 L C ac l i n µα δίνει f r e q u e n c y : 50 Hz I (C ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t I ( L ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t skhsh 1.4 Να βρεθεί η εµπέδηση Z στο παρακάτω κύκ ωµα εάν U o = 4 /0 V. 1 Ω Z 0 90 o V j4 Ω j8 Ω U o Το ρεύµα που διέρχεται από το πηνίο άρα και από την άγνωστη εµπέδηση είναι I = U o j8 = j0.5 Με διαδοχικού µετασχηµατισµού πηγών κατα ήγουµε στο παρακάτω κύκ ωµα (c) Z 1.j3.6 Z o 1 Ω j4 Ω j8 Ω U o 6j V I j8 Ω U o (b) (c) όπου µε εφαρµογή του κανόνα τάσεων του Kirchhoff στον ένα βρόγχο έχουµε I(1. j3.6) IZ U o ( 6 j) = 0 Z = 6 j 4 I(1. j3.6) =.8 j16.4 = / Ω

8 Για επιβεβαίωση µε το LTSpice θέτουµε στο αρχικό κύκ ωµα την τιµή τη Z και εξετάζουµε την τιµή τη U o. Z =.8 j16.4 σηµαίνει ωµική αντίσταση.8 Ω και χωρητική αντίσταση j16.4 Ω. Εποµένω ένα κατά η ο netlist µε ω = 1 rad/s είναι a s k i s i a1 4 Vs 1 0 ac 0 90 R1 1 1 C R 3. 8 C L ac l i n Vm( 4 ) Vp ( 4 ) f r e q u e n c y : Hz V ( 4 ) : mag : phase : v o l t a g e σε κα ή συµφωνία µε το 4 /0. KefĹlaio skhsh.3 Σε εν σειρά κύκ ωµα συντονισµού έχουµε R = 10 Ω. Να βρεθούν οι τιµέ L και C έτσι ώστε το κύκ ωµα να έχει συχνότητα συντονισµού 100 khz και εύρο ωφέ ιµη ζώνη 1 khz. Να βρεθούν κατόπιν τα άκρα τη ωφέ ιµη ζώνη και ο συντε εστή ποιότητα του κυκ ώµατο. 1 f 0 = π LC LC = 1 = (πf 0 ) f = R πl L = R π f = H και C = LC L = F Ο συντε εστή ποιότητα είναι Τα άκρα τη ωφέ ιµη ζώνη είναι f 1, f όπου οπότε f = f 0 f 1 = f f 1 ( f Q s = f 0 f = 100 f 1 f = f 0 και f f 1 = f f0 και f 1 = f f1 f f 1 f0 = 0 f 1 ) f0 = Hz και f = f 0 = Hz f 1 Μια κα ή προσέγγιση των f 1, f (σε αυτή την περίπτωση) υπο ογίζεται επίση µε f 1 = f 0 f = Hz και f = f 0 f = Hz skhsh.4 Στο παρακάτω κύκ ωµα να προσδιοριστεί η τιµή τη C έτσι ώστε να έχουµε συντονισµό. Υπο ογίστε κατόπιν τι α αγέ στα στοιχεία όταν α άξουµε κ ίµακα στη συχνότητα µε συντε εστή συχνότητα K F = cost V C 4 Ω 6 Ω 4 H

9 Συντονισµό έχουµε όταν η ο ική εµπέδηση που β έπει η πηγή έχει φανταστικό τµήµα µηδέν. Οι εµπεδήσει στου δυο κ άδου για ω = rad/s είναι Z 1 = 4 j και Z = 6 j 4 = 6 j8 C και η ο ική εµπέδηση είναι ( Z ol = Z 4 j ) ( (6 j8) 4 4 ) ( j 3 3 ) ( 1 Z C C C 4 4 ) ( j 3 3 ) ( = Z 1 Z 4 j = ( C 6 j8 10 j 8 1 ) = C C 10 j 8 1 ) ( 10 j 8 1 ) C ( 10 j 8 1 ) C C C Το φανταστικό µέρο του αριθµητή που µηδενίζεται είναι ( ) ( 8 1 ) ( 4 4 ) = 0 C C C C 50 C 18 = 0 1 C = 50 ± =.1047 και.8953 δυο δυνατέ ύσει για τη χωρητικότητα. C = 45.4 mf και mf Α αγή κ ίµακο στη συχνότητα κατα K F = 1000 σηµαίνει ίδιε ωµικέ αντιστάσει και C = C K F = 45.4 µf ή µf και L = L K F = 4 mh skhsh.5 Στο παρακάτω κύκ ωµα υπο ογίστε την συχνότητα συντονισµού καθώ και την εµπέδηση Z συντονισµό. ίδονται R 1 = 15 Ω, R = 30 Ω, C = 4 µf και L = 10 mh. Εκτιµήστε τον συντε εστή ποιότητα. στο L R 1 C R Η σύνθετη αγωγιµότητα που φαίνεται από τα Α,Β είναι Y = 1 = 1 1 jωc Z R 1 R jωl = 1 R 1 jωc R jωl R ω L = 1 R 1 Συντονισµό έχουµε όταν το φανταστικό µέρο µηδενίζεται, οπότε ωc = ωl R ω L R ω L = L C ω 0 = ( R R ω L j ωc ) ωl R ω L 1 LC R L = 4000 rad/s ή f 0 = ω 0 = Hz π Κρατήσαµε µόνο τη θετική ύση που έχει φυσική σηµασία. Για τη συχνότητα συντονισµού ω 0 έχουµε Y = 1 R 1 R R ω 0 L = 0.0 S Z = 1 Y = 50 Ω Το δικτύωµα θυµίζει παρά η ο συντονισµό. Μπορούµε να µετατρέψουµε τον εν σειρά συνδυασµό L, R σε παρά η ο συνδυασµό R p, L p (σε. 55 βιβ ίο) όπου ( ) ] [ ( ) ] ω0 L R R p = R [1 = Ω L p = L 1 = H ω 0 L Εχουµε επίση R R = R 1 R p = 50 Ω και το ισοδύναµο παρά η ο δικτύωµα συντονισµού έχει παρά η α στοιχεία R, C και L p. Ο συντε εστή ποιότητο είναι Q p = ω 0 RC = 0.8 skhsh.8 Στο παρακάτω κύκ ωµα υπο ογίστε τη συχνότητα ω για την οποία τα u(t) και i(t) είναι εν φάση.

10 i(t) 1 H 1 F u(t) 1 Ω 1 H Τα u(t) και i(t) είναι εν φάση όταν η εµπέδηση που β έπει η πηγή είναι καθαρά ωµική. Εποµένω { (jω 1 ) ( ) } { } Im 1 jω = 0 Im jω j jω ω jω 1 jω 1 jω = 0 ω 1 1 jω ω ω 1 ω = 0 ω (1 ω ) (1 ω ) ω ω(1 ω ) = 0 ω 4 ω 1 = 0 ω = 1 5 = ω = rad/s ή f = ω π = Hz όπου κρατήσαµε µόνο τι θετικέ τιµέ των συχνοτήτων που έχουν φυσικό νόηµα. skhsh.11 Στο παρακάτω κύκ ωµα έχουµε i(t) = 10 sin t. Υπο ογίστε την χωρητικότητα C έτσι ώστε u(t) = U 0 sin t. Ποιά είναι η τιµή U 0 1 Ω i(t) 3 H u(t) 1 F C Μετατρέποντα σε φάσορε και µιγαδικέ εµπεδήσει έχουµε το παρακάτω κύκ ωµα. K 1 Ω I j 3 Ω U j Ω j 1 C Ω Με κανόνα ρευµάτων του Kirchhoff στον επάνω κόµβο Κ έχουµε I = U j(/3) U ( j) [ U 1 j/c = U j 3 j Και επειδή U = (U 0 / ) /0 και I = (10/ ) /0 έχουµε όπου U 0 πραγµατικό αριθµό. Εποµένω U = [ C 1 C j 1 jc ] 1 C 10 U 0 = [ C 1 C j 1 jc ] 1 C C ] [ = C j U j 3 ] j C jc 1 C C 1 C = 1 C C 1 = 0 C = 1 F και U 0 = 0 V

11 3 KefĹlaio skhsh 3.1 Στο παρακάτω κύκ ωµα να υπο ογίσετε την U 0 υποθέτοντα αρχικά ότι U 0 = 1 /0 και χρησιµοποιώντα γραµµικότητα. I 1 Ω j Ω I o V I j Ω Ω U 0 Εάν U 0 = 1 /0 V τότε I 3 = U 0 / = 0.5 /0. I 1 Ω 1 j Ω I o V I j Ω Ω U 0 0 Η τάση U 10 στον δεξιό κ άδο είναι τότε άρα το ρεύµα U 10 = I 3 (j) U 0 = j 1 V = U 10 j(j 1) = = j 1 j και 1 = I I 3 = j 1 1 = j Οπότε η πηγή που θα έδινε την τάση που υποθέσαµε από κανόνα Kirchhoff στον αριστερό βρόγχο Και µε µέθοδο τριών, η τε ική τάση U 0 είναι I 1 U 10 = U s = j j 1 = 1 j V U 0 = 1 1 j = / V Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 1 rad/s είναι 3 1 Vs 1 0 ac 1 0 R1 1 C L1 3 R 3 0. ac l i n Vm( 3 ) Vp ( 3 ) f r e q u e n c y : Hz V ( 3 ) : mag : phase : v o l t a g e

12 skhsh 3. Στο παρακάτω κύκ ωµα να υπο ογίσετε την U 0. Ω j Ω 1 30 o V 1 Ω j Ω 1 Ω U 0 Μετατρέπουµε την πηγή τάση σε πηγή ρεύµατο και αντικαθιστούµε τι τρει παρά η ε εµπεδήσει µε την ισοδύναµή του. j Ω 6 30 o Ω 1 Ω j Ω 1 Ω U 0 0.6j0. Ω j Ω o V 1 Ω U 0 1 /30 s = = 6 /30 και Μετασχηµατίζουµε κατόπιν σε πηγή τάση 1 Z = 1 1 j = 1.5 j0.5 Z = 0.6 j0. = / Ω U = I s Z = / V και έχουµε κύκ ωµα ενό βρόγχου από όπου µε ένα διαιρέτη τάση U 0 = 1 1 j 0.6 j0. U =.113 /75 V Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 1 rad/s είναι 3 V1 1 0 ac 1 30 R1 1 R 0 1 L1 0 C1 3 1 R ac l i n Vm( 3 ) Vp ( 3 ) f r e q u e n c y : Hz V ( 3 ) : mag :.1106 phase : 75 v o l t a g e

13 skhsh 3.3 Στο παρακάτω κύκ ωµα να υπο ογίσετε τι τάσει U 1, U o V U 1 U 60 o Ω I 0 j Ω I 0 Εχουµε U 1 U = 1 /10 V που σηµαίνει ότι κυκ οφορεί κάποιο ρεύµα I 1 από τον κόµβο 1 στον κόµβο. Ο κανόνα ρευµάτων του Kirchhoff για τον κόµβο 1 είναι Στον κόµβο εισέρχεται το ρεύµα I 1 και έχουµε και η πρώτη εξίσωση γίνεται /60 I 0 I 1 = 0 1 I 0 U j = 0 I 1 = U 1 U j /60 U 1 U 1 U j = 0 3 U 1 j U = /60 3 ( U 1 /10 ) j U = /60 ( 3 j ) U = /60 18 /10 U = j = / V U 1 = U 1 /10 =.0605 j.0977 =.9404 / V Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 1 rad/s είναι 3 3 I s 0 1 ac 60 R1 1 3 Vd 3 0 ac 0 Vs 1 ac 1 10 F1 0 Vd L1 0. ac l i n Vm( 1 ) Vp ( 1 ) Vm( ) Vp ( ) f r e q u e n c y : Hz V ( 1 ) : mag : phase : v o l t a g e V ( ) : mag : phase : v o l t a g e skhsh 3.4 Στο παρακάτω κύκ ωµα να υπο ογίσετε το ρεύµα i Ω 0sin(10tπ/4) V 1 H i F 4cos(10tπ/4) Α

14 Καταρχήν µετατρέπουµε σε φάσορε. Αν πάρουµε το sin σαν αναφορά χρησιµοποιούµε τη σχέση cos θ = sin(90 θ) έτσι ώστε 4 cos(10t π/4) = 4 sin(10t π/4 π/) = 4 sin(10t π/4). Μετατρέπουµε κατόπιν την πηγή τάση σε ρεύµατο και έχουµε το παρακάτω σχήµα. U 45 o 10 Ω 4 45 o j10 Ω i 0 j5 Ω Κανόνα ρευµάτων του Kirchhoff δίνει και / 45 4 ( /45 = U j10 j ) 5 U = 3 j 0.1 j0.1 = 0 j10 =.361 / V 0 = U j10 = 1 j =.361 / και i 0 (t) = 3.16 sin(10t ) Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 10 rad/s είναι 3 4 V1 1 0 ac 0 45 R L1 0 1 C I 1 0 ac ac l i n Vm( ) Vp ( ) f r e q u e n c y : Hz I ( L1 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t skhsh 3.7 Προσδιορίστε το ρεύµα i 0 (t) στο παρακάτω κύκ ωµα όταν i s (t) = 6 cos(00t 15 ). 0.1u 0 40 Ω i s (t) 0 Ω u 0 i 0 50 µf 100 mh Καταρχήν µετατρέπουµε σε φάσορε µε αναφορά το cos. I s = (6/ ) /15 1 jωc = j = j100 Ω jωl = j = j0 Ω Το κύκ ωµα έχει µόνο πηγέ ρεύµατο και 3 κόµβου (ένα είναι ο αναφορά ) άρα εφαρµόζουµε µέθοδο κόµβων.

15 0.1u Ω i s (t) 0 Ω u 0 0 i 0 50 µf 100 mh ( 1 U 1 0 j ) ( ) 40 U 1 40 U 1 ( 1 40 ) ( U 1 40 j ) 0 = I s 0.1 U 1 = 0.1 U 1 U 1 ( 1 0 j ) ( ) U 1 40 ( ) ( U U 1 40 j ) 0 = 6 /15 = 0 ύνοντα το σύστηµα έχουµε U 1 = 10.9 / V U = /154.4 V 0 = U 1 U = / και i 0 (t) = 7.76 cos(00t ) 40 Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 00 rad/s είναι 3 7 I s 0 1 ac 6 15 R C u R 1 40 G L m. ac l i n f r e q u e n c y : Hz I (R ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t skhsh 3.8 Υπο ογίστε την τάση u 0 στο παρακάτω κύκ ωµα. 0 Ω 50 µf 10 mh 10cos(10 3 t) V i 0 0 Ω 4i 0 30 Ω u 0 Καταρχήν µετατρέπουµε σε φάσορε µε αναφορά το cos. U s = (10/ ) /0 V 1 jωc = j = j0 Ω jωl = j = j10 Ω Μετατρέπουµε επίση την πηγή τάση σε πηγή ρεύµατο I s = /0. Το κύκ ωµα τώρα έχει µόνο πηγέ ρεύµατο και 3 κόµβου (ένα είναι ο αναφορά ) άρα εφαρµόζουµε µέθοδο κόµβων.

16 j0 Ω 1 j10 Ω o I 0 0 Ω 0 Ω 4I 0 30 Ω U 0 0 ( 1 U j ) ( ) 0 U j 0 ( ) ( ) U j 1 0 U j j10 = I s = 4 I 0 = 4 U 1 0 ( 1 U j ) ( ) 0 U j 0 ( U j ) ( ) 5 U j j10 = /0 = 0 ύνοντα το σύστηµα έχουµε και µε διαρέτη τάση U 1 = 1.11 / 4.15 V U = /88.69 V U 0 = j10 U = /70.5 u 0 (t) = cos(1000t 70.5 ) V Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 1000 rad/s είναι 3 8 V1 1 0 ac 10 0 R1 1 0 R 5 0 Vd 5 0 ac 0 0 C u F1 3 0 Vd 4 L m R ac l i n Vm( 4 ) Vp ( 4 ) f r e q u e n c y : Hz V ( 4 ) : mag : phase : v o l t a g e skhsh 3.9 Υπο ογίστε το ρεύµα i 0 (t) στο παρακάτω κύκ ωµα. 0.5 F H Ω 1 H 8sin(t30 o ) V i F cos(t) Καταρχήν µετατρέπουµε σε φάσορε. Αν πάρουµε το sin σαν αναφορά χρησιµοποιούµε τη σχέση cos θ = sin(90 θ) έτσι ώστε cos(t) = sin(t 90 ). Παρατηρούµε επίση ότι οι 4 επάνω εµπεδήσει σχηµατίζουν ένα τρίγωνο το οποίο µπορούµε να µεταρέψουµε σε αστέρα και να εξαφανίσουµε έτσι τον επάνω βρόγχο (κύκ ωµα (c)).

17 j Ω j4 Ω j Ω j Ω j 8 30 o V I 0 j Ω 1 90 o 0.8j j0.8 (a) 0.8j j j0.8 (b) I 0.8j0.4 I o V I 0 j Ω 1 90 o (c) Με κανόνε Kirchhoff τώρα (ρευµάτων στον επάνω κόµβο, βρόγχων στον αριστερό βρόγχο) έχουµε I 1 = I 0 (0.8 j0.4) I 0 (0.8 j0.4 j) = U } I 0 = ( ) ( ) 8 1 /30 /90 (0.8 j0.4) 0.8 j j0.4 j = = / i 0 (t) = 5.05 sin(t ) Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = rad/s είναι 3 9 V1 0 ac 8 30 R1 1 C L I ac 1 90 C L 4 3. ac l i n f r e q u e n c y : Hz I ( C1 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t skhsh 3.1 Προσδιορίστε την τάση U στο παρακάτω κύκ ωµα. 8 Ω j6 Ω 4 Ω j5 Ω 4 45 o U s Ω U s j Ω j Ω

18 Αν συνδυάσουµε τι εν σειρά εµπεδήσει β έπουµε ότι έχουµε ένα κύκ ωµα µε πηγέ ρεύµατο και 3 κόµβου (ένα από αυτού είναι ο αναφορά ). Μπορούµε οιπόν µε µέθοδο κόµβων να βρούµε την τάση U και κατόπιν µε διαιρέτη τάση την U. 8j6 Ω o U s Ω U s j Ω 4j3 Ω 0 Εχουµε ( 1 U 1 1 ) ( ) 8 j6 U 1 8 j6 ( ) ( U j6 U 1 8 j6 1 ( j) 1 ) 4 j3 = 4 /45 = U s = U 1 ( 1 U 1 1 ) ( ) 8 j6 U 1 8 j6 ( ) ( U j6 U 1 8 j6 1 ( j) 1 ) 4 j3 = 4 /45 = 0 ύνοντα το σύστηµα έχουµε U 1 = / V U = / V και µε διαρέτη τάση U = j 4 j5 j U = / V Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 1 rad/s είναι 3 1 I s 0 1 ac 4 45 R1 1 0 R 1 8 L1 3 6 G C R L C ac l i n Vm( 5 ) Vp ( 5 ) f r e q u e n c y : Hz V ( 5 ) : mag : phase : v o l t a g e skhsh 3.15 Υπο ογίστε τα ρεύµατα οφθα µών I 1, I στο παρακάτω κύκ ωµα.

19 j4 Ω 3 Ω 3 Ω I 1 j Ω Ω I j Ω 30 0 o V j6 Ω Με µέθοδο οφθα µών έχουµε ύνοντα το σύστηµα έχουµε 1 (3 j4 j) I ( j) = 30 /0 I 1 ( j) I (3 j j6 j ) = 0 I 1 = / I = / Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 1 rad/s είναι 3 15 V1 1 0 ac 30 0 R1 1 3 L1 3 4 R 3 4 L R L3 5 6 C ac l i n f r e q u e n c y : Hz I (R3 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t I (R1 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t skhsh 3.17 Προσδιορίστε τα ρεύµατα I 1, I, I3 στο παρακάτω κύκ ωµα, όταν Z = 80 j35 Ω. I o V I Z Z o V Z I 3 Οι τάσει U 1, U 1 και U 1 U εφαρµόζονται σε φορτία Z άρα I 4 = U 1 Z = / I5 = U Z = / I6 = U 1 U =.380 / Z

20 U 1 =10 90 o V I 1 I C 1 R Z I 4 R 3 3 I 6 Z U =10 30 o V I 3 R C 4 5 Z I 5 C 3 Εχουµε επίση 1 = I 4 I 6 = / = ( I 5 I 6 ) = / = I 5 I 4 = / Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 1 rad/s είναι 3 17 V1 0 ac R C R C V 0 4 ac R C ac l i n f r e q u e n c y : Hz I (R3 ) : mag :.3803 phase : d e v i c e c u r r e n t I (R ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t I (R1 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t I (V ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t I (V1 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t Εδώ χρειάζεται µια ερµηνεία των αποτε εσµάτων του LTSpice. Οι φορέ ρεύµατο του προγράµµατο ακο ουθούν τον θετικό και αρνητικό ακροδέκτη των εκάστοτε στοιχείων. Επίση, αρνητικό πρόσηµο σηµαίνει πο /σµό µε /180 ή / 180. αµβάνοντα αυτά υπόψη, τα αποτε έσµατα του LTSpice είναι I(R 3 ) =.3803 / = I(R ) = / = I(R 1 ) = / = I 4 I(V ) = / = I 3 I(V 1 ) = / = I 6 I 5 I 1 skhsh 3.18 Να βρεθούν τα ρεύµατα I 1, I, I3 και Ix στο παρακάτω κύκ ωµα.

21 10 Ω 0 Ω j15 Ω I 3 j16 Ω 1 64 o V I x I I 1 8 Ω j5 Ω Μέθοδο οφθα µών. (0 j15 8) I 1 8I j15i 3 = 1 /64 8I 1 (8 j16 j5) I j16i 3 = 0 j15i 1 j16i (10 j15 j16) I 3 = 0 Από όπου I 1 = / I = / I 3 = / I x = I 1 I = /48.50 Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 1 rad/s είναι 3 18 V1 1 0 ac 1 64 R1 1 0 C R 4 10 R L C ac l i n f r e q u e n c y : Hz I ( C ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t I (R3 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t I (R ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t I (R1 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t skhsh 3.0 Στο παρακάτω κύκ ωµα u s = 1 cos(4t 30 ) V και i s = 6 sin(t). Να βρεθεί το ρεύµα i x (t) µε τη µέθοδο τη υπερθέσεω. (1/8) F Ω i x i s 3 Ω u s 1 H Με τη µέθοδο υπερθέσεω διακρίνουµε τα κυκ ώµατα (a), (b). Παρατηρούµε ότι u s και i s έχουν διαφορετική συχνότητα. Άρα τα αντίστοιχα κυκ ώµατα µε φάσορε είναι τα (c), (d).

22 (1/8) F Ω i s 3 Ω i x1 (1/8) F 3 Ω i x u s 1 H Ω 1 H (a) j Ω (b) Ω I s 3 Ω I x1 j4 Ω 3 Ω I x U s j Ω Ω j4 Ω (c) (d) Από το (c), µε διαιρέτη ρεύµατο, έχουµε I x1 = j4 I j4 3 j s = j4 5 j 6 = 3.53 / i x1 (t) = sin(t ) Από το (d), µε κανόνα βρόγχων του Kirchhoff, έχουµε U s 1 / 30 x = = = / i x (t) =.8 cos(4t ) j 3 j4 (5 j) Άρα, το τε ικό αποτέ εσµα είναι i x (t) = i x1 (t) i x (t) = sin(t ).8 cos(4t ) skhsh 3. Να βρεθεί το ρεύµα i 0 (t) στο παρακάτω κύκ ωµα µε τη µέθοδο τη υπερθέσεω. 0 µf i 0 50cos(000t) V 40 mh 80 Ω 100 Ω sin(4000t) 60 Ω 4 V Εξετάζουµε το κύκ ωµα µε µόνη τη dc πηγή τάση. Ο πυκνωτή στο συνεχέ δρα σαν διακόπτη και το πηνίο σαν βραχυκύκ ωµα. Άρα ο αριστερό βρόγχο είναι και αυτό εκτό. Από το κύκ ωµα (b) έχουµε

23 0 µf i 01 i Ω 100 Ω 80 Ω 100 Ω 40 mh 60 Ω 4 V 60 Ω 4 V (a) (b) i 01 (t) = = 0.1 Εξετάζουµε τώρα το κύκ ωµα µε µόνη την ac πηγή τάση ενεργή (κύκ ωµα (c)). Μετατροπή σε φάσορε οδηγεί στο (κύκ ωµα (d)) µε U s = (50/ ) /0 V, ω = 000 rad/s και αναφορά το cos. Μετατρέπουµε την πηγή τάση σε ρεύµατο, 1 = U s /(j80 j5) = / 90 µε παρά η η εµπέδηση Z 1 = j80 j5 = j55 Ω. Εχουµε Z = Z 1 80 = 45.3 / Ω και µετασχηµατίζουµε την πηγή ρεύµατο πίσω σε πηγή τάση U = I 1 Z = / V κατα ήγοντα στο κύκ ωµα ενό βρόγχου (e). 0 µf j5 Ω u s 80 Ω 100 Ω 40 mh j80 Ω i 0 I 0 I 0 U s 80 Ω 100 Ω 100 Ω (c) 60 Ω (d) (e) 60 Ω 60 Ω Z U Από αυτό και τον κανόνα βρόγχων του Kirchhoff, U 0 = = / Z i 0 (t) = cos(000t ) Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 000 rad/s είναι 3 b Vs 1 0 ac 50 0 C1 1 0 u L m R R R ac l i n f r e q u e n c y : Hz I (R1 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t Στην τε ευταία περίπτωση (κύκ ωµα (f)) διατηρούµε µόνο την πηγή ρεύµατο ενεργή. Μετατρέποντα σε φάσορε έχουµε το κύκ ωµα (g) µε I s = (/ ) /0 και ω = 4000 rad/s.

24 0 µf j 1.5 Ω i 03 I 03 (f) 40 mh 80 Ω 100 Ω j160 Ω 80 Ω 100 Ω (g) i s 60 Ω I s 60 Ω j 1.5 Ω Z 3 I 03 I 03 I s Z 3 Z 31 Z Ω Z 100 Ω 33 Z 31 Z 33 U 3 (j) U 4 I Ω (h) (i) Μπορούµε να το ύσουµε µε µέθοδο κόµβων (σύστηµα 3η τάξη δοκιµάστε το) α ά χρησιµοποιούµε µετατροπή αστέρα σε τρίγωνο όπου (κύκ ωµα (h)) Z 31 = j160 j j160 = / Ω Συνεχίζοντα, (κύκ ωµα (i)) Z 3 = Z 33 = j160 j j160 j = / Ω = / Ω Z 3 = Z 3 ( j1.5) = / Ω και U 3 = I s Z 33 = / V Με θεώρηµα Thevenin µεταφερόµαστε τε ικά στο (j) όπου Z 31 U 4 = Z 3 Z 33 Z 31 U 3 = / V και Z 4 = (Z 3 Z 33 ) Z 31 = / Ω U 4 03 = = / 17.6 i 03 (t) = sin(4000t 17.6 ) Z Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 4000 rad/s είναι 3 c I s 0 1 ac 0 C u L1 1 40m R R 0 60 R ac l i n f r e q u e n c y : Hz I (R1 ) : mag : phase : 17.6 d e v i c e c u r r e n t

25 Οπότε τε ικά i 3 (t) = cos(000t ) sin(4000t 17.6 ) skhsh 3.4 Με µετασχηµατισµού πηγών προσδιορίστε την τάση u 0 στο παρακάτω κύκ ωµα. 0 Ω 0.4 mh 5cos(10 5 t) V 0. µf 80 Ω u 0 Εχουµε U s = (5/ ) /0 V και ω = 10 5 rad/s. Μετατρέποντα σε φάσορε έχουµε το κύκ ωµα (a). 0 Ω j40 Ω j40 Ω 5 0 o V j50 Ω 80 Ω U 0 I 1 0 Ω j50 Ω 80 Ω U 0 (a) Z 1 j40 Ω (b) U 1 80 Ω U 0 (c) Στα (b), (c) έχουµε 1 = U s /0 = /0 Z 1 = 0 ( j50) = / Ω U 1 = I 1 Z 1 = 3.83 / V U 0 = j40 Z 1 U 1 =.556 / V u 0 (t) = cos(10 5 t ) V Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 10 5 rad/s είναι 3 4 Vs 1 0 ac 5 0 R1 1 0 C u L m R ac l i n Vm( 3 ) Vp ( 3 ) f r e q u e n c y : Hz V ( 3 ) : mag : phase : v o l t a g e skhsh 3.6 Να βρεθούν τα ισοδύναµα κυκ ώµατα Thevenin και Norton ω προ του ακροδέκτε Α, Β για κάθε ένα από τα παρακάτω κυκ ώµατα.

26 j0 Ω 10 Ω j5 Ω o V j10 Ω 4 0 o 8 Ω j10 Ω (a) (b) Ισοδύναµο Thevenin για το κύκ ωµα (a). Εφόσον οι ακροδέκτε Α,Β είναι ανοικτοί, η τάση U oc είναι ίση µε την τάση στα άκρα του πυκνωτή. U T H = U oc = j10 j0 j10 50 /30 = 50 / 150 V και Z T H = [ j0 ( j10) ] 10 = 10 j0 = Ω Ισοδύναµο Norton για το κύκ ωµα (a). Z N = Z T H όπω παραπάνω. Το ρεύµα βραχυκυκ ώσεω των Α,Β είναι το ρεύµα που περνάει από την αντίσταση R = 10 Ω. j0 Ω o V j10 Ω I N 10 Ω.5 60 o j0 Ω j10 Ω I N 10 Ω I N.5 60 o j0 Ω 10 Ω Με µετασχηµατισµό πηγή και διαιρέτη ρεύµατο N = j0 10 j0.5 / 60 =.36 / Ισοδύναµο Thevenin για το κύκ ωµα (b). Με µετασχηµατισµό τη πηγή ρεύµατο έχουµε το (c). Οπότε 8 Ω j5 Ω I N 3 0 o V j10 Ω 4 0 o 8 Ω j5 Ω (c) (d) U T H = j10 j10 8 j5 3 /0 = 33.9 / V και Z T H = [ 8 j5 ] (j10) = 10 /5.989 Ω Ισοδύναµο Norton για το κύκ ωµα (b). Z N = Z T H όπω παραπάνω. Το ρεύµα βραχυκυκ ώσεω των Α,Β είναι το ρεύµα που περνάει από τον πυκνωτή (κύκ ωµα (d)). Με διαιρέτη ρεύµατο N = 8 8 j5 4 /0 = 3.39 /3.005 skhsh 3.7 Να βρεθούν τα ισοδύναµα κυκ ώµατα Thevenin και Norton ω προ του ακροδέκτε Α, Β για κάθε ένα από τα παρακάτω κυκ ώµατα.

27 j4 Ω 6 Ω j Ω 0 o (a) 30 Ω o V 60 Ω (b) j10 Ω j5 Ω Ισοδύναµο Thevenin για το κύκ ωµα (a). Εχουµε U T H = U oc = ( /0 )[ ( ) ] j4 ( j) 6 = (6 j4) = 1 j8 = 14.4 / V [ (j4 ) ] Z T H = ( j) 6 = 6 j4 = 7.11 / Ω Ισοδύναµο Norton για το κύκ ωµα (a). Z N = Z T H όπω προηγουµένω. Για το ρεύµα βραχυκυκ ώσεω I N, εφόσον βραχυκυκ ώνουµε τα Α,Β, το ρεύµα τη πηγή ρεύµατο θα περάσει ό ο από το βραχυκύκ ωµα. Άρα I N = /0 Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 1 rad/s για το ισοδύναµο Thevenin είναι 3 7a I s 0 1 ac 0 L1 1 4 C R ac l i n f r e q u e n c y : Hz V ( 1 ) : mag : phase : v o l t a g e Για το ισοδύναµο Norton θεωρούµε ότι τα Α,Β ενώνονται µε µια πο ύ µικρή αντίσταση R = 0.1 pω και 3 7a I s 0 1 ac 0 L1 1 4 C R1 0 6 R p. ac l i n

28 f r e q u e n c y : Hz I (R ) : mag : phase : e 013 d e v i c e c u r r e n t Για το κύκ ωµα (b), κάνουµε δυο διαδοχικού µετασχηµατισµού πηγών και έχουµε κύκ ωµα ενό βρόγχου. 0 Ω j10 Ω j10 Ω 4 45 o 30 Ω 60 Ω o V j5 Ω j5 Ω Για το ισοδύναµο Thevenin, µε ένα διαρέτη τάση και U T H = j5 0 j10 j5 80 /45 = / V Z T H = ( j5) (0 j10) = 5.43 / Ω Για το ισοδύναµο Norton, ο πυκνωτή βραχυκυκ ώνεται και βγαίνει εκτό, και 80 /45 N = 0 j10 = / και Z N = Z T H Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 1 rad/s για το ισοδύναµο Thevenin είναι 3 7b Vs 1 0 ac R R 0 60 L C ac l i n f r e q u e n c y : Hz V ( 3 ) : mag : phase : v o l t a g e Για το ισοδύναµο Norton θεωρούµε ότι τα Α,Β ενώνονται, ο πυκνωτή βραχυκυκ ώνεται και βγαίνει εκτό, και IN είναι το ρεύµα που διέρχεται από το πηνίο. 3 7b Vs 1 0 ac R R 0 60 L ac l i n f r e q u e n c y : Hz I ( L1 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t skhsh 3.31 Να βρεθεί η τάση U 0 στο παρακάτω κύκ ωµα.

29 Ω j Ω 4 0 o V j Ω 90 o Ω U 0 Χαρακτηρίζουµε τα ρεύµατα στου κ άδου και έχουµε το παρακάτω κύκ ωµα. Ω j Ω I 1 I 4 0 o V j Ω I s 90 o Ω U 0 Με κανόνε Kirchhoff έχουµε I 1 1 = I I s I ( j) = U s } I = U s I s 4 j = 4 /0 /90 4 j = /36.07 και U 0 = I = /36.07 V Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 1 rad/s είναι 3 31 Vs 1 0 ac 4 0 R1 1 L1 3 I s 0 3 ac 90 C R 4 0. ac l i n f r e q u e n c y : Hz V ( 4 ) : mag : phase : v o l t a g e skhsh 3.34 Να βρεθεί το ισοδύναµο κατά Thevenin ω προ του ακροδέκτε Α, Β στο παρακάτω κύκ ωµα. 4 Ω j3 Ω I 0 Ω 15 0 o 0.5 I 0 j4 Ω

30 Το κύκ ωµα περιέχει εξαρτηµένη πηγή άρα χρειάζεται να βρούµε την τάση µε ανοικτού ακροδέκτε U oc (τάση Thevenin) και το ρεύµα βραχυκυκ ώσεω I sc (ρεύµα Norton). C 4 Ω j3 Ω C 4 Ω j3 Ω I 0 I 0 I o Ω 0.5 I o Ω 0.5 I 0 I N j4 Ω j4 Ω (a) (b) Στο κύκ ωµα (a) β έπουµε στον κόµβο C ότι Οπότε η τάση Thevenin είναι 15 /0 = I I 0 I 0 = = 10 /0 0.5 I 0 (4 j3) U oc I 0 ( j4) = 0 U oc = I 0 ( j4 j1.5) = j55 = 55 / 90 V Για το ρεύµα Norton έχουµε το κύκ ωµα (b). εν βγάζουµε εκτό την πηγή. Με κανόνε Kirchhoff έχουµε s = I 0 I 1 1 = 0.5I 0 1 (4 j3) = I 0 ( j4) I sc / ( 1 = I s 1 4 j3 ) = / j4 sc = I 1 0.5I 0 = / = 4 j3 I j4 1 = 1 /46.33 Οπότε Z T H = U oc I sc = / 9.46 Ω Τε ικά, U T H = U oc = 55 / 90 V και Z T H = / 9.46 Ω Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 1 rad/s για την τάση Thevenin είναι 3 34 I ac 15 0 R1 3 4 C Vd 5 0 ac 0 0 R 3 4 L1 1 3 F1 1 0 Vd ac l i n V ( 1 ) : mag : phase : v o l t a g e Για το ρεύµα Norton προσθέτουµε απ ώ την εντο ή R p µετά την F1 (πο ύ µικρή αντίσταση, άρα βραχυκύκ ωµα) I (R3 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t

31 skhsh 3.36 Να βρεθεί το ρεύµα I 0 χρησιµοποιώντα το θεώρηµα Norton. 5 Ω 8 Ω j Ω 3 0 o 0 Ω I o V 10 Ω j4 Ω j15 Ω Αφαιρούµε το φορτίο στον δεξιό κ άδο και βραχυκυκ ώνουµε τα Α,Β (κύκ ωµα (a)). I 1 5 Ω 3 0 o 5 Ω Z N o V j Ω 8 Ω I N Γ I I 3 10 Ω j4 Ω 8 Ω j Ω 10 Ω j4 Ω (a) (b) 0 Ω o 5 Ω I 0 j15 Ω (c) Στον κόµβο Α έχουµε Εάν πάρουµε τον εξωτερικό βρόγχο, έχουµε Εποµένω 1 3 /0 = I N 5 I 1 = 40 /90 I 1 = 8 /90 I N = 8 /90 3 /0 = 3 j8 = / Για το Z N (κύκ ωµα (b)), η εµπέδηση που φαίνεται από τα Α,Β ανοικτά, µε βραχυκυκ ωµένη την πηγή τάση και ανοικτό κύκ ωµα την πηγή ρεύµατο είναι απ ώ Z N = 5 Ω. Επαναφέρουµε το φορτίο στο ισοδύναµο Norton και έχουµε µε διαιρέτη ρεύµατο I 0 = Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 1 rad/s είναι j15 (3 j8) = /38.480

32 3 36 V1 5 0 ac R R C I 1 1 ac 3 0 R L R L ac l i n I (R4 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t skhsh 3.37 Να βρεθεί το ρεύµα I 0 χρησιµοποιώντα το θεώρηµα Norton. 4 Ω j Ω 8 Ω 1 Ω j3 Ω 0 0 o V 4 90 o I 0 10 Ω j5 Ω Αφαιρούµε το φορτίο στον δεξιό κ άδο και βραχυκυκ ώνουµε τα Α,Β (κύκ ωµα (a)). 4 Ω j Ω I 1 4 Ω j Ω 0 0 o V 8 Ω 1 Ω j3 Ω 8 Ω 1 Ω j3 Ω I I o Z N I N (b) (a) I N Z N I 0 10 Ω j5 Ω (c) Από κανόνε του Kirchhoff έχουµε 1 (4 j) = 0 8I 3 I (1 j3) = 0 3 j4 = I 1 I = I N 1 = 4 j (8 1 j3) I 3 = 0 j4(1 j3) = I 3 j4 N = I 1 I 1 = 4.47 / = /5.56 = / N = / 3.681

33 Για το Z N έχουµε το κύκ ωµα (b). Z N = (4 j) (8 1 j3) = 3.54 /1.59 Ω Άρα, από το κύκ ωµα (c) Z N 0 = I Z N 10 j5 N = /.101 Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 1 rad/s είναι 3 37 V1 3 0 ac 0 0 I 1 0 ac 4 90 R1 3 8 R 5 1 C R L1 4 1 R C ac l i n f r e q u e n c y : Hz I (R4 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t skhsh 3.41 Να βρεθούν τα ισοδύναµα κυκ ώµατα Thevenin και Norton ω προ του ακροδέκτε Α, Β για το παρακάτω κύκ ωµα. j5 Ω 1 Ω 13 Ω o V 10 Ω 8 Ω j6 Ω Γ I s Γ j5 Ω 1 Ω j5 Ω 1 Ω 13 Ω Z 1 Z 4 13 Ω Z 1 Z o V I 1 I I o V I N I 4 10 Ω Z Z 3 8 Ω j6 Ω 10 Ω Z Z 3 I I 3 8 Ω j6 Ω (a) (b)

34 Για το ισοδύναµο Thevenin (κύκ ωµα (a)) έχουµε U T H = U oc = U U = I 1 Z I Z 3 = U Γ Z 1 Z Z U Γ Z 3 Z 4 Z 3 = / V Z T H = (Z 1 Z ) (Z 3 Z 4 ) = / /0.171 = /5.483 Ω Το ισοδύναµο Norton είτε µέσω του Thevenin I N = U T H Z T H = / είτε απευθεία (κύκ ωµα (b)) N = I 1 I = U Γ U Z 1 Z U Γ = Z 1 Z 4 (Z 1 Z 4 ) (Z Z 3 ) 60 /45 = /3.48 V άρα U = Z Z 3 (Z 1 Z 4 ) (Z Z 3 ) 60 /45 = / V I N =.461 / / = / και Z N = Z T H Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 1 rad/s για την τάση Thevenin είναι 3 41 Vs 3 ac C R R R4 0 1 L R ac l i n f r e q u e n c y : Hz V ( 1 ) : mag : phase : v o l t a g e Για το ρεύµα Norton προσθέτουµε απ ώ την εντο ή R p µετά την R3 (πο ύ µικρή αντίσταση, άρα βραχυκύκ ωµα) f r e q u e n c y : Hz I (R0 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t 4 KefĹlaio skhsh 4.1 Υπο ογίστε τη µέση ισχύ που παράγεται ή κατανα ώνεται από κάθε στοιχείο του παρακάτω κυκ ώµατο. 8 Ω j4 Ω 40 0 o V j Ω 0 90 o V

35 Με µέθοδο οφθα µών έχουµε (8 j) I 1 ( j) I = 40 /0 ( j) I 1 (j4 j) I = 0 /90 } I 1 = 3 j4 = 5 / = 13 j4 = / και το ρεύµα που περνάει από τον πυκνωτή 3 = I 1 I = 16 j8 = / Ω j4 Ω I 1 I 40 0 o V 0 90 o V j Ω Με τον ορισµό µέση ή πραγµατική ισχύο P = U rms I rms cos(φ u φ i ) παρατηρούµε ότι Η πηγή τάση U 1 = 40 /0 V παράγει µέση ισχύ U 1 I 1 cos( ) = 40 5 cos( ) = 10 W Η πηγή τάση U = 0 /90 V κατανα ώνει (ρεύµα εισέρχεται απο θετικό ακροδέκτη) µέση ισχύ U I cos( ) = 7.03 cos(5.9 ) = 80 W (πρόσηµο σηµαίνει ότι παράγει) Η ωµική αντίσταση 8 Ω κατανα ώνει µέση ισχύ I 1 8 = 5 8 cos(0 ) = 00 W Η επαγωγική αντίσταση j4 Ω κατανα ώνει µέση ισχύ I (j4) I cos(φ u φ i ) = / / cos( ) = = 0 W Η χωρητική αντίσταση j Ω κατανα ώνει µέση ισχύ ( I 1 I )( j) I 1 I cos(φ u φ i ) = / /6.565 cos( ) = = 0 W Ενα ακτικά, µε µιγαδική ισχύ όπου P = Re{Ṡ} = Re{ U I } και όση ισχύ παράγεται, τόση κατανα ώνεται. P U1 = Re{ U 1I 1 } = Re{10 j160} = 10 W P U = Re{ U I } = Re{ 80 j60} = 80 W P R = Re{ I 1 8 I 1 } = Re{ I 1 8} = 00 W P L = Re{ I (j4) I } = Re{ I (j4)} = 0 W P C = Re{ I 3 ( j) I 3 } = Re{ I 3 ( j)} = 0 W Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση των ρευµάτων, µε ω = 1 rad/s είναι 4 1 V1 1 0 ac 40 0 R1 1 8 C L1 3 4 V 3 0 ac ac l i n f r e q u e n c y : Hz I (R1 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t I ( L1 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t I ( C1 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t

36 skhsh 4.7 Να βρεθεί η τιµή τη παρά η η χωρητικότητα που είναι αναγκαία για να διορθωθεί σε κάποιο φορτίο ο ΣΙ από την τιµή 0.85 σε υστέρηση, σε µονάδα. Το φορτίο κατανα ώνει άεργο ισχύ 140 kvr από πηγή 110 Vrms, σε συχνότητα 60 Hz. ΣΙ σε υστέρηση σηµαίνει ότι το φορτίο είναι επαγωγικό. Καινούργιο ΣΙ=1 σηµαίνει ότι η παρά η η χωρητικότητα κατανα ώνει άεργο ισχύ ίση και αντίθετη µε το φορτίο. Άρα Q C = U 1/(ωC) = ωcu = Q L C = Q L = = mf ωu π skhsh 4.11 Να βρεθεί η µέση ισχύ που κατανα ώνεται από κάθε στοιχείο του παρακάτω κυκ ώµατο. 10 Ω 0 Ω 50 0 o V j10 Ω j5 Ω Ορίζουµε Z 1 = 10 Ω, Z = j10 Ω, Z 3 = 0 j5 Ω. Η ο ική εµπέδηση που β έπει η πηγή είναι Z o = Z 1 Z Z 3 = j8.835 = / Ω Αν το ο ικό ρεύµα είναι I1 και I, I3 είναι τα ρεύµατα που διέρχονται από τι Z, Z 3 αντίστοιχα, τότε I 1 = U Z o = 50 / / =.915 / I = Z 3 Z Z 3 I1 =.915 / I3 = Z Z Z 3 I1 = / 45 Με τον ορισµό τη µέση ή πραγµατική ισχύο από τη µιγαδική, έχουµε P U = Re{ U I 1 } = Re{15 j75} = 15 W P R1 = Re{ I 1 10 I 1 } = Re{ I 1 10} = 85 W P C = Re{ I ( j10) I } = Re{ I ( j10)} = 0 W P R = Re{ I 3 0 I 3 } = Re{ I 3 0} = 40 W P L = Re{ I 3 (j5) I 3 } = Re{ I 3 (j5)} = 0 W Η ο ική ισχύ που παράγεται είναι 15 W και η ο ική ισχύ που κατανα ώνεται είναι 8540 = 15 W (διατήρηση ισχύο ). Ενα ακτικά, µπορεί να χρησιµοποιηθεί και ο ορισµό τη µέση ή πραγµατική ισχύο από τη σχέση P = U rms I rms cos(φ u φ i ) (δοκιµάστε το). Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση των ρευµάτων, µε ω = 1 rad/s είναι 4 11 V1 1 0 ac 50 0 R C R 3 0 L ac l i n f r e q u e n c y : Hz I ( C1 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t I (R ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t I (R1 ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t

37 skhsh 4.1 Υπο ογίστε τη µέση ισχύ που κατανα ώνεται στον αντιστάτη 4 Ω. j Ω Ω 4U o U o 4 60 o j Ω 4 Ω j Ω I 1 j Ω I 1 I I 4 60 o Ω U o Γ j Ω 4U o Α 4 60 o Ω U o I 3 4U o Γ j Ω I 4 Α I N (a) Β (b) Β Αφαιρούµε τον αντιστάτη 4 Ω και προσπαθούµε να βρούµε το ισοδύναµο κατά Thevenin. Εφόσον έχουµε εξαρτηµένη πηγή χρειαζόµαστε την τάση µε ανοικτού ακροδέκτε Α, Β, U oc = U T H καθώ και το ρεύµα βραχυκυκ ώσεω sc = I N. Με ανοικτού ακροδέκτε Α, Β έχουµε το κύκ ωµα (a). Με κανόνε Kirchhoff έχουµε 1 = I 4 /60 ( j) I 1 4 U 0 U 0 = 0 U 0 = I 10 I = (j) I (j)4 /60 ji 1 = 10 I } I = 4 / j = / και U oc = U T H = U Γ U Γ = 4 U 0 (j)4 /60 = 8 I 8 /150 = / V Για το ρεύµα βραχυκυκ ώσεω έχουµε το κύκ ωµα (b). Με κανόνε Kirchhoff ( j) I 1 (j) I 3 U 0 = 0 3 I N = 4 /60 4 /60 I = I 1 ( j) I 1 4 U 0 U 0 = 0 U 0 = I ( j) I 1 (j) I 3 I = 0 3 I N = 4 /60 1 I = 4 /60 ji 1 10I = 0 3 = 1.59 / N = / = / = / Εποµένω U T H = / V και Z T H = U T H I N Από το ισοδύναµο Thevenin το ρεύµα που διέρχεται από τον αντιστάτη R = 4 Ω είναι I U T H = Z T H R =.498 /15.06 και η µέση ή πραγµατική ισχύ που κατανα ώνεται σε αυτόν είναι P = Re{ I R I } = Re{ I R} = W = /90 Ω Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 1 rad/s είναι

38 4 1 I s 0 3 ac 4 60 R1 3 C L1 0 E R ac l i n f r e q u e n c y : Hz I (R ) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t Ενα ακτικά, χωρί θεώρηµα Thevenin, θα µπορούσε κανεί να δου έψει µε κανόνε Kirchhoff όπω στο κύκ ωµα (b) για να βρει κατευθείαν το ρεύµα που διέρχεται από τον ζητούµενο αντιστάτη και µετά την µέση ισχύ (δοκιµάστε το). skhsh 4.14 Στο παρακάτω κύκ ωµα υποθέστε ότι η εµπέδηση εισόδου είναι Z ab = R 1 ω R C / tan 1 ωrc Να βρεθεί η µέση ισχύ που κατανα ώνεται από το κύκ ωµα όταν R = 10 kω, C = 00 nf και i = sin(377t ) m. γραµµικο κυκλωµα i u a b Εχουµε I = (/ ) / m, ω = 377 rad/s και Z ab = / Ω. Η µέση ή πραγµατική ισχύ που κατανα ώνεται στο κύκ ωµα είναι { } P = Re{( I Z ab ) I } = Re{ I 1 Z ab } = Re / = { } 1 = Re 10 6 ( j4807.1) = mw skhsh 4.15 Για κάθε ένα από τα παρακάτω κυκ ώµατα προσδιορίστε την τιµή τη εµπέδηση Z για µέγιστη µεταφορά µέση ισχύο καθώ και την µέγιστη ισχύ. 8 Ω Z j Ω 4 0 o (a) 5 Ω j3 Ω o V Z j Ω 4 Ω (b)

39 Το κύκ ωµα (a) εύκο α µετασχηµατίζεται σε ισοδύναµο Norton (κύκ ωµα (c)) όπου I N = 4 /0 και Z N = 8 ( j) = j = / Ω. Το αντίστοιχο Thevenin έχει U T H = I N Z N = / V και Z T H = Z N. Οπότε Z = Z T H = / Ω και P max = U T H 4 Re{Z T H } = = 3 W Z Z N 4 0 o (c) 5 Ω Γ j3 Ω 5 Ω Γ j3 Ω o V j Ω Ι 4 Ω j Ω 4 Ω (d) (e) Στο κύκ ωµα (b) αφαιρούµε το φορτίο και έχουµε το κύκ ωµα (d). Εχουµε U T H = U oc = U Γ U Γ = 0 U Γ. Από κανόνα βρόγχων του Kirchhoff I(5 4 j3) = 10 /30 I = / και U T H = U Γ = I(4 j3) = / V Για την Z T H (κύκ ωµα (e)) έχουµε Άρα Z T H = [5 (4 j3)] (j) =.5 j =.759 /5.017 Ω Z = Z T H =.759 / Ω και P max = U T H 4 Re{Z T H } = =.7778 W skhsh 4.17 Στο παρακάτω κύκ ωµα προσδιορίστε την τιµή τη εµπέδηση Z για µέγιστη µεταφορά µέση ισχύο καθώ και την µέγιστη ισχύ. j4 Ω j10 Ω o 10 Ω 16 Ω j8 Ω Z

40 j4 Ω j10 Ω 10 Ω j4 Ω j10 Ω o 10 Ω 16 Ω j8 Ω o V 16 Ω j8 Ω (a) j10 Ω (b) 8.45j7.699 Ω j10 Ω o 10 Ω j4 Ω 16 Ω j8 Ω o V (c) (d) Με διαδοχικού µετασχηµατισµού πηγών κατα ήγουµε στο κύκ ωµα (d) όπου U T H = / V και Z T H = 8.45 j.301 = / Ω. Οπότε Z = Z T H = / Ω και P max = Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 1 rad/s για την τάση Thevenin είναι 4 17 I s 0 4 ac R L1 4 4 R 3 16 L C ac l i n U T H 4 Re{Z T H } = W V ( 1 ) : mag : phase : v o l t a g e Για το ρεύµα Norton προσθέτουµε απ ώ την εντο ή Rm p µετά την C1 (πο ύ µικρή αντίσταση, άρα βραχυκύκ ωµα) I (Rm) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t Εποµένω ( / )/(0.737 / ) = / και επιβεβαιώνεται και η Z T H. skhsh 4.1 Στο παρακάτω κύκ ωµα προσδιορίστε την τιµή τη εµπέδηση Z L έτσι ώστε να φορτιστεί µε τη µέγιστη πραγµατική ισχύ καθώ και την µέγιστη αυτή ισχύ. 40 Ω 40 Ω 60 0 o V 80 Ω j10 Ω j0 Ω Z L 5 0 o Αφαιρούµε το φορτίο και έχουµε το κύκ ωµα (a). Η τάση Thevenin είναι U T H Kirchhoff έχουµε = U Γ U Γ U. Με κανόνε

41 I Ε I 1 40 Ω 40 Ω I o V 80 Ω Γ Α j10 Ω 40 Ω 40 Ω Γ 80 Ω Α j10 Ω j0 Ω 5 0 o Β (a) j0 Ω Β (b) και Για την Z T H από το κύκ ωµα (b) έχουµε εποµένω 1 (80 j10) = 60 /0 = I 3 5 /0 40I 40I 3 = 60 /0 1 = /7.15 = 3.5 /0 3 = 1.75 /180 U T H = U Γ U Γ U = 80 I 1 40 I 3 5(j0) = / V Z T H = [40 40] [80 ( j10)] (j0) = 1.31 j = /5.560 Ω Z L = Z T H = / Ω και P max = Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 1 rad/s για την τάση Thevenin είναι 4 1 I s 0 ac 5 0 Vs 4 ac 60 0 R C R R L ac l i n V ( 1 ) : mag : phase : v o l t a g e Για το ρεύµα Norton προσθέτουµε απ ώ την εντο ή Rm p µετά την L1 (πο ύ µικρή αντίσταση, άρα βραχυκύκ ωµα) U T H 4 Re{Z T H } = W I (Rm) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t Εποµένω ( / )/( / ) = 3.535/5.557 και επιβεβαιώνεται και η Z T H. skhsh 4. Ποιά τιµή πρέπει να άβει η µεταβ ητή αντίσταση στο παρακάτω κύκ ωµα έτσι ώστε να φορτιστεί µε τη µέγιστη πραγµατική ισχύ Ποια είναι αυτή η ισχύ 3 Ω j Ω j Ω 4 0 o 6 Ω R

42 Συνδυάζουµε τι εµπεδήσει (κύκ ωµα (a)) µε Z = 6 (3 j) =.095 /1.095 Ω και µετασχηµατίζουµε την πηγή ρεύµατο σε τάση (κύκ ωµα (b)) οπότε j Ω 4 0 o Z R U TH Z TH R (a) (b) U T H = (4 /0 ) (.095 /1.095 ) = /1.095 V και Z T H = Z j =.049 j1.561 =.576 / Ω Εποµένω R = Z T H =.576 Ω και P max = U T H Z T H Re{Z T H } = W Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση, µε ω = 1 rad/s για την τάση Thevenin είναι 4 I s 0 1 ac 4 0 L1 0 1 R1 1 3 R C ac l i n V ( 1 ) : mag : phase : v o l t a g e Για το ρεύµα Norton προσθέτουµε απ ώ την εντο ή Rm p µετά την C1 (πο ύ µικρή αντίσταση, άρα βραχυκύκ ωµα) I (Rm) : mag : phase : d e v i c e c u r r e n t Εποµένω ( / )/( / ) =.573/ και επιβεβαιώνεται και η Z T H. skhsh 4.33 Για κάθε µια από τι παρακάτω περιπτώσει υπο ογίστε την µιγαδική ισχύ, την µέση ισχύ και την άεργο ισχύ. 1. u(t) = 11 cos(ωt 10 ) V, i(t) = 4 cos(ωt 50 ).. u(t) = 160 cos(377t) V, i(t) = 4 cos(377t 45 ). 3. U = 80 /60 V, Z = 50 /30 Ω. 4. I = 10 /60, Z = 100 /45 Ω. 1. u(t) = 11 cos(ωt 10 ) V, i(t) = 4 cos(ωt 50 ). U = 11 /10 V Ṡ = U I = 11 j V I = 4 P = Re{Ṡ} = 11 W / 50 Q = Im{Ṡ} = VR

43 . u(t) = 160 cos(377t) V, i(t) = 4 cos(377t 45 ). U = 160 /0 V I = 4 /45 Ṡ = U I = 6.7 j6.7 V P = Re{Ṡ} = 6.7 W Q = Im{Ṡ} = 6.7 VR 3. U = 80 /60 V, Z = 50 /30 Ω. 4. I = 10 /60, Z = 100 /45 Ω. I = U Z Ṡ = U I = j64 V P = Re{Ṡ} = W Q = Im{Ṡ} = 64 VR U = IZ Ṡ = U I = j V P = Re{Ṡ} = W Q = Im{Ṡ} = VR skhsh 4.41 Μια µονοφασική η εκτρική εγκατάσταση σε κατοικία επιτρέπει την ταυτόχρονη ειτουργία 10 V και 40 V, 60 Hz οικιακών συσκευών. Το κύκ ωµα τη η εκτρική εγκατάσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Υπο ογίστε τα ρεύµατα I 1, I, I3. την ο ική µιγαδική ισχύ που παρέχεται τον ο ικό ΣΙ του κυκ ώµατο I o V I 10 Ω φωτιστικο 30 Ω κουζινα 10 0 o V ψυγειο 10 Ω 15mH I 3 I o V I 10 Ω φωτιστικο I 4 30 Ω κουζινα 10 0 o V ψυγειο 10 Ω 15mH I 6 I 3 I 5

44 Εχουµε ω = π60 = = 377 rad/s 10 /0 4 = = 1 / /0 5 = 10 j5.655 = / = I 4 I 6 = 0 /0 = I 5 I 4 = / = ( I 5 I 6 ) = / /0 6 = = 8 /0 30 Οπότε η συνο ική µιγαδική ισχύ στο ο ικό φορτίο είναι και 5 KefĹlaio Ṡ = 10 I 4 30 I 6 (10 j5.655) I 5 = j V [ ΣΙ = cos tan 1 Q ] ( = cos [tan )] = P skhsh 5.4 Να βρεθεί η τάση u 0 (t) για t > 0 στο παρακάτω κύκ ωµα. 6 Ω 10V u 0 3 Ω 4 H Ω t=0 Καταρχήν υπο ογίζουµε την αρχική συνθήκη u 0 (0). Για t < 0 έχουµε το κύκ ωµα (a) που γίνεται (b) εφόσον το πηνίο στο συνεχέ (υπό σταθερέ συνθήκε ) είναι βραχυκύκ ωµα. Εχουµε 3 = 1. Ω και u 0 (0) = = 5 3 = V Οταν κ είσει ο διακόπτη την χρονική στιγµή t = 0 έχουµε το κύκ ωµα (c) που γίνεται (d). Εποµένω, για t > 0, µε κανόνε Kirchhoff i 1 = i i 3 6(i i 3 ) 3i = 9i 6i 3 = 10 6i 1 3i = 10 L di 4 di ( ) di dt = 3i dt = 3 6i3 dt 1 i 3 = [ i 3 (t) = e t/ C 5 ] e t/ dt = e [C t/ 53 ] 6 et/ = Ce t/ 5 3 Η αρχική συνθήκη για το i 3 είναι οπότε και i 3 (0) = u 0(0) = 5 6 = = C 5 3 C = 5 6 = και i 3(t) = Ce t/ 5 3 = 5 [ e t/] 6 i (t) = 10 6i 3 9 = 5 9 e t/ και u 0 (t) = 3i (t) = 5 3 e t/ V

45 6 Ω 6 Ω 10V (a) u 0 3 Ω Ω 4 H 10V u 0 (b) 3 Ω Ω 6 Ω 6 Ω 10V u 0 3 Ω 4 H 10V i 1 u 0 3 Ω 4 H i i 3 Ω (c) (d) Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση µε το LTSpice για την τάση u 0 (t) είναι 5 4b Vs 1 0 p u l s e ( e 1 1e ) R1 1 6 R 0 3 L i c I ( L1 )= , V()= t r a n 10m 10. p r i n t t r a n V( ) Οι αρχικέ συνθήκε µε την εντο ή.ic είναι απαραίτητε για να έχουµε σωστό αποτέ εσµα. Η παρακάτω γραφική συµπερι αµβάνει το αποτέ εσµα του LTSpice και τη θεωρητική ύση που βρήκαµε εµεί, στην ίδια γραφική. Οι ύσει συµπίπτουν u 0 [V] t [sec] skhsh 5.5 Σε κύκ ωµα RLC εν σειρά µε µηδενικέ αρχικέ συνθήκε φορτίου και ρεύµατο, εφαρµόζεται την χρονική στιγµή t = 0 τάση u = 0 sin π50t V. Να υπο ογιστεί το ρεύµα συναρτήσει του χρόνου όταν L = 1 H, R = 3 kω και C = 4 µf. Εχουµε το παρακάτω κύκ ωµα.

46 t=0 R L C u(t) i(t) Ο κανόνα τάσεων του Kirchhoff για τον βρόγχο (αρχική τάση πυκνωτή u C (0) = 0) είναι Ri(t) L di(t) dt Παραγωγίζοντα για να φύγει το ο οκ ήρωµα 1 C t 0 i(t)dt = u(t) = U 0 sin(ωt) Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι L d i(t) dt R di(t) dt i(t) C = ωu 0 cos(ωt) άρα η ύση τη οµογενού είναι Lm Rm 1 C = 0 m 1, m = R ± R 4L/C L i 0 (t) = e t e 914.t = , 914. Για την ο ική ύση χρειαζόµαστε ακόµα να προσθέσουµε την επίδραση τη εξωτερική διέγερση. Εφόσον είναι ηµιτονική, δεχόµαστε µερική ύση τη µορφή i p (t) = c 1 cos ωt c sin ωt Αντικαθιστώντα στην εξίσωση και εξισώνοντα του συντε εστέ των cos ωt και sin ωt έχουµε ( ω L 1 ) c 1 ωr c = U 0 ω C ( ωr c 1 ω L 1 ) c = 0 C από όπου και c 1 = ( ω L 1 ) ωu 0 C ( ω L 1 ) = (ωr) C ω RU 0 c = ( ω L 1 ) = (ωr) C Εποµένω η ο ική ύση είναι i(t) = e t e 914.t cos(314.16t) sin(314.16t) Εχουµε µηδενικέ αρχικέ συνθήκε, δη. i(t) = 0, di(t)/dt = 0 για t = 0. Οπότε 0 = = } = =.4595 } = = και τε ικά i(t) = e t e 914.t cos(314.16t) sin(314.16t) Ενα κατά η ο netlist για επιβεβαίωση µε το LTSpice για το ρεύµα i(t) είναι

47 5 5 Vs 1 0 s i n ( ) R1 1 3k L1 3 1 C u. t r a n 1m p r i n t t r a n I (R1) Η παρακάτω γραφική συµπερι αµβάνει το αποτέ εσµα του LTSpice και τη θεωρητική ύση που βρήκαµε εµεί, στην ίδια γραφική. Οι ύσει συµπίπτουν i(t) [] t [sec] 6 KefĹlaio skhsh 6.1 Συµµετρική τριφασική γεννήτρια σε συνδεσµο ογία αστέρα έχει U RS = 400 V. Να βρεθούν οι φασικέ τάσει για ορθή και ανάστροφη διαδοχή φάσεων. Η πο ική τάση έχει µέτρο U π = 400 V. Εποµένω, η φασική τάση έχει µέτρο U φ = U π / 3 = V. Για ορθή διαδοχή φάσεων έχουµε U RN = /90 V U SN = / 30 V U T N = / 150 V Και για ανάστροφη διαδοχή φάσεων έχουµε U RN = /90 V U SN = / 150 V U T N = / 30 V skhsh 6. Ποιά είναι η διαδοχή των φάσεων ενό συµµετρικού τριφασικού κυκ ώµατο για το οποίο U RN = 160 /30 V και U T N = 160 / 90 V Ποιά είναι η U SN Οπω φαίνεται στο σχήµα η διαδοχή είναι ανάστροφη και U SN = 160 /30 10 = 160 /150 V U SN U RN U TN

48 skhsh 6.3 Προσδιορίστε τη διαδοχή των φάσεων ενό συµµετρικού τριφασικού κυκ ώµατο για το οποίο U SN = 08 /130 V και U T N = 08 /10 V Ποιά είναι η U RN Οπω φαίνεται στο σχήµα η διαδοχή είναι ορθή και U RN = 08 /10 10 = 08 / 110 V U SN U TN U RN skhsh 6.6 Ενα συµµετρικό σύστηµα, σε σύνδεση (Υ) (Υ), µε τέσσερι γραµµέ έχει φασικέ τάσει U RN = 0 /90 U SN = 0 / 30 U T N = 0 / 150 Η εµπέδηση φορτίου ανά φάση είναι 19 j13 Ω και η εµπέδηση γραµµή ανά φάση είναι 1 j Ω. Να βρεθούν τα ρεύµατα γραµµή καθώ και το ρεύµα του ουδετέρου. U RN R I R N U SN S I S U TN T I T I N Οι εµπεδήσει φορτίου και γραµµή είναι σε σειρά για κάθε φάση και έχουµε Z = 19 j13 1 j = 0 j15 Ω. Το ρεύµα γραµµή για τη φάση R είναι I R = U RN Z Για τι υπό οιπε φάσει, εφόσον η διαδοχή είναι θετική = 0 /90 0 j15 = 8.8 /53.13 S = I R / 10 = 8.8 / IT = I R /10 = 8.8 / Το ρεύµα του ουδετέρου είναι N = I R I S I T = 0 το οποίο µά ιστα αναµέναµε µια και το σύστηµα είναι συµµετρικό. skhsh 6.7 Στο παρακάτω κύκ ωµα να προσδιοριστούν τα ρεύµατα γραµµή.