UVOD U ANALIZU I OBRADU SIGNALA

Transcript

1 UVOD U ANALIZU I OBRADU SIGNALA Prof. dr. sc. Viktor Sučić Tehnički fakultet, Rijeka

2 . Uvod. Uvod

3 Signal: funkcija vremena kojom predstavljamo željenu fizikalnu varijablu promatranog sustava.. Uvod Signale klasificiramo na determinističke i slučajne. x(t) = A sin(2πf t + φ), t, A, f, φ const. Signal x(t) je deterministički signal modeliran kao kompletno definirana funkcija vremena; u svakom trenutku vremena t, x(t) je točno poznat. Slučajni imaju slučajne vrijednosti u promatranim trenucima vremena. Modeliramo ih statistički. Sinusoid with f = 5 Hz (in time) 2 Noisy sinusoid (5 Hz) in time (µ=,σ=.5) Amplitude.2.2 Amplitude time [s] time [s]

4 Sustav: proces koji rezultira transformacijom signala. Njime se ulaznom signalu (npr. x(t)) pridružuje odgovarajući izlazni signal (npr. y(t)).. Uvod 2 Noisy sinusoid (5 Hz) in time (µ=,σ=.5).5 Filtered noisy sinusoid.5 Amplitude Amplitude time [s] time Primarno ćemo se baviti linearnim sustavima. Mnogi sustavi od interesa mogu se modelirati kao linearni. Postojeće matematičke metode dozvoljavaju njihovu efikasnu analizu. Sustave obično predstavljamo blok-dijagramom: x(t) Sustav y(t)

5 Obrada signala u vremenskoj domeni. Uvod Linearan i vremenski-nepromjenjiv (LTI) sustav okarakteriziran je svojim impulsnim odzivom h(t). x(t) Sustav, h(t) y(t) Ulazno-izlazna relacija definirana je konvolucijskim integralom: y(t) = x(t) h(t) = x(τ)h(t τ)dτ

6 Obrada signala u frekvencijskoj domeni. Uvod Signal transformiramo u frekvencijsku domenu pomoću Fourierove transformacije. X(f) Sustav, H(f) Y (f) Funkcija H(f) je prijenosna funkcija sustava: H(f) = F{h(t)} = h(t)e j2πft dt Ulazno-izlazna relacija: Y (f) = X(f)H(f)

7 Primjer.. Niskopropusni filtar (sustav za uklanjanje šuma) u vremenu i frekvenciji. 2 Noisy sinusoid (5 Hz) in time (µ=,σ=.5). Lowpass filter with cutoff frequency of Hz (in time domain). Uvod.5.8 Amplitude.5 Amplitude time [s] time 7 Noisy sinusoid (5 Hz) in frequency (µ=,σ=.5) Lowpass filter with cutoff frequency of Hz Magnitude Magnitude frequency [Hz] frequency.5 Filtered noisy sinusoid.5 Amplitude time

8 . Uvod

9 Klasificiranje i osnovna svojstva signala. Uvod Prema prirodi varijable vremena (te prirodi amplitude) signale klasificiramo na: Vremenski-kontinuirane signale: funkcija vremenski-kontinuirane varijable najčešće je to vrijeme t (npr. govor, slika, radar,...) rect(t/t) T 2 T 2 t Vremenski-diskretne signale: definirani samo u diskretnim vrijednostima vremena vremenska varijabla je n (npr. mjesečna rata kredita, temperatura zraka mjerena svakih sat vremena,...). Za ostale vrijednosti vremena signal je nedefiniran. x(t) t t t t t t Digitalne signale: kvantiziran, vremenski-diskretan signal diskretan i u vremenu i u amplitudi (npr. računalni podaci).

10 . Uvod Signal x(t) je periodičan ako i samo ako postoji konstanta T > takva da je: x(t + T ) = x(t), < t <. T je period signala x(t). Signal koji ne zadovoljava ovo svojstvo je aperiodičan. x(t) Ae α t x(t) t T t (a) aperiodičan (b) periodičan

11 Singularne funkcije. Uvod Jedinična stepenica: u(t) t Jedinični impuls (delta funkcija, Dirac funkcija): δ(t) t

12 Signali energije i snage. Uvod Definicija 2.. Energija signala x(t) je: dok je srednja snaga signala: T E = lim T T x(t) 2 dt P = lim T 2T T T x(t) 2 dt Signale klasificiramo na: Signale energije: x(t) je signal energije ako je < E < (tako da je P = ). Signale snage: x(t) je signal snage ako je < P < (pa slijedi da je E = ).

13 . Uvod

14 Trigonometrijski oblik Fourierovog reda. Uvod Definicija 3.. Neka je x(t) periodičan signal s periodom T : x(t) = x(t + T ), t R. Trigonometrijski oblik Fourierovog reda signala x(t) definiran je na sljedeći način: x(t) = a + a cos(2πf t) + a 2 cos(4πf t) + + b sin(2πf t) + b 2 sin(4πf t) +, < t < x(t) = a + a n cos(2πnf t) + b n sin(2πnf t), < t < n= n= gdje je f = /T fundamentalna (osnovna) frekvencija signala x(t). a = T T x(t)dt a n = b n = 2 T 2 T T T x(t)cos(n2πf t)dt x(t)sin(n2πf t)dt

15 . Uvod Primjer 3.. Aproksimacija periodičnog niza pravokutnih impulsa pomoću Fourierovih koeficijenata. x(t) st harmonic t [s] x(t) rd harmonic t [s].2 2 harmonic.2 49 harmonic.8.8 x(t).6.4 x(t) t [s] t [s]

16 Eksponencijalni oblik Fourierovog reda. Uvod Definicija 3.2. Neka je x(t) periodičan signal: x(t) = x(t + T ), t R, f = /T. Eksponencijalni oblik Fourierovog reda ortogonalni je prikaz x(t): x(t) = X n e j2πnt/t. n= gdje su X n = T T kompleksne konstante koje zovemo Fourierovi koeficijenti. x(t) e j2πnt/t dt a = X a n = 2 Re{X n } b n = 2 Im{X n }. Ako je x(t) R: X n = X n, te je X n = X n i arg(x n ) = arg(x n ).

17 Linijski spektar signala. Uvod Periodičan signal grafički se predstavlja u frekvencijskoj domeni sa: Spektrom magnitude: prikaz magnitude komponenti kao funkcije frekvencije, Spektrom faze: prikaz faze komponenti kao funkcije frekvencije. Spektralne komponente (linije) prisutne su kod pozitivnih i negativnih frekvencija. Kada je signal realan, spektar magnitude je parna funkcija, a spektar faze neparna funkcija frekvencije. Primjer 3.2. Skicirati spektar signala x(t). x(t) k k t

18 . Uvod X n 2k π 2k 3π k 5π n π 2 arg(x n) n π 2

19 . Uvod

20 Definicija Fourierove transformacije. Uvod Fourierov red razlaže periodične signale na kompleksno-eksponencijalne funkcije. Ovaj rezultat generalizirao je J. B. Fourier i za neperiodične signale; tzv. Fourierova transformacija (FT) Fourierov red kada je period signala beskonačan. Fourierov red i Fourierova transformacija pružaju informacije o spektralnom sadržaju analiziranog signala. x(t) = X(f)e j2πft df, gdje je X(f) = X(f) zovemo Fourierova transformacija signala x(t). x(t)e j2πft dt U literaturi: x(t) = F {X(f)}, X(f) = F{x(t)} x(t) X(f)

21 Primjer 4.. Signal u vremenu i frekvenciji.. Uvod Amplitude Sinusoid with f = 5 Hz (in time) time [s] Magnitude Sinusoid with f = 5 Hz (in frequency) frequency [Hz] ECG model in time 25 ECG model in frequency Amplitude [mv] Magnitude time [s] frequency [Hz]

22 . Uvod Kao i Fourierovi koeficijenti, i Fourierova transformacija X(f) je općenito kompleksna veličina: X(f) = X(f) e jφ(f). Stoga kod grafičkog prikaza spektra razlikujemo: Magnitudni spektar: X(f) vs f, Energetski spektar: X(f) 2 vs f, Fazni spektar: φ(f) vs f.

23 Izravno računanje Fourierove transformacije. Uvod Delta funkcija: F{δ(t)} = X(f) = δ(t)e j2πft dt = e j2πf = Pravokutni impuls: F{rect(t/τ)} = X(f) = τ/2 τ/2 e j2πft dt = e j2πft j2πf = ejπfτ e jπfτ j2πf = τ sinc(fτ) τ/2 τ/2 = τ sin(πfτ) πfτ A(f) = X(f) = τ sinc(fτ) A( f) τ 3 τ 2 τ τ τ 2 τ 3 τ f

24 Spektar energije signala. Uvod Primjer 4.2. E = E = x(t) 2 dt = x(t) = e t u(t) x(t) 2 dt = X(f) 2 df + j2πf = X(f) e 2t dt = e 2t 2 = 2 E = X(f) 2 df df = + 4π 2 f 2 = 4π 2 tan (f 4π 2 ) = ( π 2π 2 + π ) = 2 2 [ dx ax 2 + b = tan ] (x a/b) ab

25 Matematičke operacije na signalu i Fourierova transformacija. Uvod Skaliranje vremenske varijable: x(at) a X ( ) f a xt () X( f) t f xat ( ) a < f X a a a < t f xat ( ) a > f X a a a > t f Ekspanzija u jednoj, kompresija u dualnoj domeni i obrnuto.

26 Linearnost:. Uvod x (t) X (f) x 2 (t) X 2 (f) ax (t) + bx 2 (t) ax (f) + bx 2 (f) Vremenski pomak: Frekvencijski pomak: Primjer 4.3. x(t t ) e j2πft X(f) x(t)e j2πf t X(f f ) x(t) cos(2πf t) = x(t) (ej2πf t + e j2πf t ) 2 X(f f ) + X(f + f ) 2

27 Fourierova transformacija signala snage. Uvod Fourierov integral ne konvergira za signale snage, te stoga njihovu Fourierovu transformaciju tražimo pomoću limesa. δ(f) Slijedi: K Kδ(f) F{e j2πf t } = F{ e j2πf t } = δ(f f ) F{cos(2πf t)} = 2 F { e j2πf t + e j2πf t } = 2 (δ(f f ) + δ(f + f )) F{sin(2πf t)} = 2j F { e j2πf t e j2πf t } = 2j (δ(f f ) δ(f + f ))

28 . Uvod

29 Otipkavanje signala. Uvod Neka je x a (t) vremenski-kontinuiran signal: X a (f) = x a (t) = x a (t)e j2πft dt X a (f)e j2πft df Periodično otipkavanje (engl. Periodic Sampling) metod dobivanja vremenski-diskretne forme, x(n), signala x a (t): x(n) = x a (t) t=nts = x a (nt s ), n Z, T s > T s period otipkavanja, f s = /T s frekvencija otipkavanja. Ovo je ulazno-izlazna relacija idealnog AD pretvornika.

30 . Uvod Primjer 5.. Neka je x(t) = cos(2πf t) + cos(2πf 2 t), gdje su f = 2Hz i f 2 = 5Hz. Na slici su prikazani analogni i vremenski-diskretni oblici signala x(t) kada je (a) f s = 5 Hz, (b) f s = 8 Hz, (c) f s = Hz i (d) f s = 5 Hz. Amplitude Time (s) 2 (a) Amplitude Time (s) 2 (b) Amplitude Amplitude Time (s) (c) Time (s) (d)

31 Proces otipkavanja:. Uvod modulator (niz impulsa): p(t) = n= δ(t nt s) pretvorba u vremenski-diskretan niz (sustav G). x a (t) p(t) x s (t) G x(n) = x a (nt s ) x a (t) n= δ(t nt s ) T s n= X a (f nf s ) Otipkavanje u vremenu Periodičnost u frekvenciji.

32 . Uvod Primjer 5.2. Na slici su prikazani (a) spektar analognog signala x a (t), (b) spektar funkcije otipkavanja p(t), (c) spektar otipkanog signala kada je f s > 2f B, i (d) spektar otipkanog signala kada je f s < 2f B. (a) X a(f) (b) f B T f B P(f) f 2 f f f s 2 f s s s f (c) T X s(f) f B f s f (d) T X s (f) f s f

33 Aliasing. Uvod Iz prethodnog primjera evidentno je da za : f s f B > f B tj. f s > 2f B (Nyquistov kriterij) kopije od X a (f) se ne preklapaju x a (t) možemo rekonstruirati iz x(n). Kada se kopije preklapaju (aliasing), rekonstruirani signal je deformirana verzija originala. Teorem 5.. (Teorem uzorkovanja (engl. Sampling Theorem)): Ako je x a (t) frekvencijski organičen na f B Hz, za potpunu rekonstrukciju x a (t) iz x(n) = x a (n/f s ), n, frekvencija otipkavanja f s mora biti veća od 2f B Hz. Pojasno-ograničeni signal x a (t) moguće je rekonstruirati iz x(n) pomoću nisko-propusnog filtra: X s (f) H(f) f f 2 f f B s s Frekvencijski pojas filtra H(f): f B B f s f B.

34 Rekonstrukcija signala. Uvod x s (t) h(t) x r(t) Kada je f s > 2f B : H(f) = { Ts, f f s /2, inače. x r (t) = h(t) = sinc(f s t). x a (nt s ) sinc(f s (t nt s )). n= Primjer 5.3. Rekonstrukcija signala sa sinc(.) funkcijama..8 Signal ANALOG SAMPLED.8 Interpolation.5 Reconstructed signal Amplitude.2.2 Amplitude.2.2 Amplitude time time time

35 Primjer 5.4. Utjecaj f s na rekonstrukciju signala x(t) = cos(2πf t) + cos(2πf 2 t), gdje f = 2Hz i f 2 = 5Hz. Rekonstruirani signal prikazan je punom crtom.. Uvod Amplitude Time (s) (a) f s = 5 Hz Amplitude Time (s) (b) f s = 8 Hz Amplitude Amplitude Time (s) Time (s) (c) f s = Hz (d) f s = 5 Hz

36 . Uvod diskretnih signala

37 Vremenski-diskretna Fourierova transformacija. Uvod Vremenski-diskretna Fourierova transformacija (engl. Discrete-Time Fourier Transform (DTFT)) signala x(n): F{x(n)} = X(f) = n= X(f) je kompleksna funkcija kontinuirane varijable f. X(f) je periodična funkcija s periodom : x(n)e j2πfn X(f + ) = n= x(n)e j2πfn e j2πn = X(f).

38 Diskretna Fourierova transformacija. Uvod DTFT konačnog signala (x(n) = za n < i n L) je: X(f) = L n= x(n) e j 2πfn, f <. Otipkavanjem X(f) sa N uzoraka (N L) dobiva se diskretna Fourierova transformacija (engl. Discrete Fourier Transform (DFT)) signala x(n): X(k) = N n= x(n)e j 2πkn/N, k N. U izrazu za X(k) zbrajanje je po n, gdje je n N zero padding (x(n) =, L n N ). Primjer 6.. Naći DFT signala x(n) koji ima vrijednost kada je n < L (inače je nula). X(f) = L n= e j 2πfn = sin(πfl) sin(πf) e j πf(l ). X(k) = sin(πkl/n) sin(πk/n) e j πk(l )/N, k N.

39 . Uvod Primjer 6.2. Usporedba DTFT i DFT diskretnog kosinusa. Amplitude Discrete signal cos(2π / n) Magnitude DTFT vs. DFT DTFT DFT n 2pi/2 pi 2pi frequency

40 . Uvod

41 Vremensko-frekvencijske distribucije (VFD). Uvod Fs=Hz N=4 Time res= Time (secs) Frequency (Hz) ρ z (t, f) = e j2πν(u t) g(τ, ν) z(u+ τ 2 )z (u τ 2 ) e j2πfτ dν du dτ ρ(t, f) dt df = E

42 VFD pružaju sljedeće informacije o signalu:. Uvod vremenske i frekvencijske varijacije u signalu, broj komponenti u signalu, amplitude i trajanja u vremenu i frekvenciji svake od komponenti. Fs=Hz N=52 Time res= 5 MBD Fs=Hz N=52 Time res= 5 MBD Time (secs) 3 25 Time (secs) Frequency (Hz) Frequency (Hz)

43 Primjer 7.. Kvadratne VFD višekomponentnih signala.. Uvod Fs=Hz N=28 Fs=Hz N=28 Time res= 2 Time res= 2 Time (secs) Time (secs) Frequency (Hz) Frequency (Hz) WVD (ROI ) MBD (ROI ) time time frequency frequency