Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija"

Transcript

1 Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema esu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

2 Niz brojeva Definicija: Neka je S neki skup brojeva. Funkciju a : N S zovemo nizom brojeva iz S. Umjesto da se piše a(n), što je uobičajeno kod funkcija, piše se a n. Elementi a, a,, a n, se zovu članovi niza. Element a n se zove opći član niza. Primjer: Napisati prvih pet članova niza čiji je opći član 4 5 Rješenje:,,,, Primjer: Naći opći član niza, čiji su članovi,,,, n a n. n Rješenje: Prvi član ima u brojniku, drugi član ima u brojniku 4, treći član ima u brojniku 6, itd. U nazivniku je broj za jedan manji nego u brojniku.

3 n Prema tome a n. n Primjer: Naći opći član niza,,, Rješenje: a, a, a, a,... Tako je n. 4 Definicija: Kažemo da niz realnih brojeva (a n ) raste ako je a n a n, za svaki n N, strogo raste ako je a n > a n, za svaki n N, pada ako je a n a n, za svaki n N, strogo pada ako je a n < a n, za svaki n N. Niz zovemo monotonim ako raste ili pada. 7 8 Primjer: Dokazati da strogo pada niza čiji je opći član a n, n n. 5 a n n

4 Definicija: Kažemo da je niz realnih brojeva (a n ) ograničen odozgor ako postoji M R, takav da je a n M, za svaki n N, ograničen odozdol ako postoji m R, takav da je a n m, za svaki n N, ograničen ako je ograničen odozdol i odozgor, neograničen ako nije ograničen. n Primjer: Ispitati ograničenost niza čiji je opći član a n, n. n Rješenje: Budući da je brojnik veći od nazivnika, svaki član niza je veći od. Niz strogo pada, pa je prema tome a najveći element. Dakle niz je ograničen i odozgo i odozdo.

5 Limes niza. Konvergentni nizovi. Definicija: Kažemo da niz (a n ) realnih brojeva konvergira k L, ako za svaki ε > 0 postoji n 0 N tako da n > n 0 a n L < ε. U tom slučaju kažemo takoñer da niz ima es a 0, i pišemo a n n L. Za niz koji ima es kažemo da je konvergentan. Za niz, koji nema es tj. koji ne konvergira, kažemo da divergira ira, odnosno da je divergentan. Prema ovoj definiciji, u proizvoljno maloj okolini esa nalaze se svi članovi niza osim njih konačno mnogo. Dakle vrijedi sljedeca tvrdnja Tvrdnja: Ako niz konvergira, onda je on ograničen. Prema tome neograničen niz nema es. Primjer: Ispitati konvergenciju niza a n. n

6 Rješenje enje: Niz konvergira i 0. n n Primjer: Ispitati konvergenciju niza: n n a q. Rješenje enje: Ako je q >, onda je niz a n q neograničen, pa divergira. Ako je q 0, onda je svaki član niza jednak 0, pa niz konvergira, i es mu je 0. Ako n n je 0 < q <, niz a q konvergira i q 0. Ako je q, onda niz n n konvergira i es je, a ako je q -, onda imamo niz -,,-,,-,,... Unutar proizvoljno male okoline oko se doduše nalazi beskonačno mnogo članova niza, no i izvan nje se nalazi beskonačno mnogo članova. Tako nije es. Sličnim razmatranjem zaključujemo da niti - ne može biti es. Neki drugi broj ne moze biti es jer postoji interval oko njega u kojem se ne nalazi niti jedan član niza. Tvrdnja: Monoton i ograničen niz realnih brojeva konvergira. n Tvrdnja: Neka su nizovi (a n ) i (b n ) konvergentni, i neka je a n a0 b n b 0. Tada vrijedi sljedeće: n n i

7 . Niz (a n ± b n ) konvergira i n. Niz (a n b n ) konvergira i n. Niz ( λ a n ) konvergira i ( an ± bn ) an ± bn a0 ± b0 n n ( an bn ) an bn a0 b0 n n n ( an ) λ an λ a0 λ. n 4. Ako je b n 0 za svaki n N i b 0 0, niz (a n / b n ) konvergira i n a b n n n n a b n n a b

8 Neki važni nizovi Razmotrit ćemo sada neke važne ese. Primjer: Može se dokazati da vrijede sljedeći esi: n n n. n n a n 0 n a, za a > 0. n!, za a R. Broj e: e. n n n

9 Limes funkcije U daljnjem tekstu koristimo i podrazumijevamo sljedeće oznake i pretpostavke: Neka je funkcije f: D(f) R R. Kada govorimo o esu funkcije yf() u točki a, tada za domenu D(f) podrazumijevamo sljedeće: ako je a R tada postoji barem jedan realan broj δ>0 takav da je skup (a-δ,aδ) \ {a} sadržan u domeni D(f); ako je a tada postoji barem jedan realan broj M>0 takav da je interval (M, ) sadržan u domeni D(f); ako je a - tada postoji barem jedan realan broj m<0 takav da je interval (-,m) sadržan u domeni D(f). Kada pišemo a, a ne navedemo da je a R, tada podrazumijevamo da točka a može biti i ±.

10 Definicija: Za realan broj L R kažemo da je es funkcije yf() u točki a R, ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), a, -a < δ f()-l < ε. U tom slučaju pišemo L f ( ) ili f() L kad a. a Ako nejednakosti -a < δ, f()-l < ε napišemo u intervalnom obliku, tada definiciju esa možemo napisati u drugom obliku: Definicija: Za realan broj L R kažemo da je es funkcije yf() u točki a R, ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), a, (a-δ, aδ) f() (L-ε, Lε). Ako točka a nije konačna, odnosno, ako je a±, tada za es funkcije imamo sljedeće definicije:

11 Definicija: Za realan broj L R kažemo da je es funkcije yf() u točki, ako za svaki ε > 0 postoji M > 0 tako da vrijedi: D(f), > M f()-l < ε. U tom slučaju pišemo L f ( ) ili f() L kad. Definicija: Za realan broj L R kažemo da je es funkcije yf() u točki -, ako za svaki ε > 0 postoji m < 0 tako da vrijedi: D(f), < m f()-l < ε. U tom slučaju pišemo L f ( ) ili f() L kad -. Tvrdnja A: Realan broj L je es funkcije yf() u točki a, ako i samo ako za svaki niz ( n ) iz D(f), takav da n a i n a, vrijedi f ( ) L. n n a

12 Primjer: Neki osnovni esi su a) za sve p > 0, 0; p fhl ê,ê fhl 5, 4,, 50 b) za sve p > 0, 0; 0 p c) e ±

13 Tvrdnja B: Ako za funkciju yf() postoji es u točki a, tada je on jedinstven. Dokaz: Pretpostavimo suprotno, tj. neka funkcija yf() ima dva esa L f ( ), L f ( ). Tada po definiciji esa za svaki ε > 0 postoje δ > a a 0 i δ > 0 takvi da vrijedi D(f), a, -a < δ f()-l < ε / i -a < δ f()-l < ε/. Sada za δmin{δ, δ } i za sve takve da je -a < δ imamo: L - L L f() f() - L f()-l f()-l < ε/ ε/ ε, odakle zbog toga što je ε > 0 proizvoljan slijedi da je L L. Q.E.D. Navest ćemo jedan primjer nepostojanja esa dane funkcije u točki a. Primjer: Neka je funkcija yf() definirana kako slijedi

14 sin, ( ) 5 za za 0, f Tada ne postoji es ove funkcije u točki 0. Zaista, neka su (a n ) i (b n ) dva niza definirana na sljedeći način: a n π n π i b n π n, π nε N Nije teško provjeriti da je f(a n ) i f(b n ) -, n N, odnosno da vrijedi a n 0, f(a n ) i b n 0, f(b n ) -, kad n.

15 Ako bi postojao es L funkcije yf() u točki 0 tada bi po TvrdnjiA istovremeno imati da je L i L-, što po TvrdnjiB nije moguće.

16 Primjer: Sljedeće funkcije nemaju es u točki a: - f ( ) u točki ; f ) tg ( u točki π/; f ( ) cos u točki 0; f ) cth ( u točki 0;

17 Ako je funkcija yf() definirana u točki a, odnosno, ako je a D(f), te ako postoji es L f ( ) tada se postavlja pitanje da li je L jednako f(a)? O a tome govori sljedeći primjer. Primjer: Neka je funkcija yf() definirana kako slijedi f ( ), za za 0, 0. Tada vrijedi f (0) f ( ). Zaista, nije teško vidjeti da postoji f ( ) i da je f ( ) 0. S druge strane, iz definicije ove funkcije znamo da je f(0), pa zaključujemo da je f (0) f ( ). 0

18 Računanje esa U nastavku ćemo prezentirati neke metode računanja esa, a koje se temelje na svojstvima esa funkcija s obzirom na algebarske operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i potenciranja funkcija. Ova svojstva su iskazana u sljedećem rezultatu. Tvrdnja C: Neka postoje esi funkcija yf() i yg() u točki a. Tada su istinite sljedeće jednakosti:. [ f ( ) ± g( ) ] f ( ) ± g( ), a a a. [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ), a a a f ( ) f ( ) a., ako je g( ) 0, a g( ) g( ) a a

19 [ g( ) ] 4. f ( ) a a a f ( ) g( ), ako desna strana nije oblika 0 Dokaz: slijedi iz TvrdnjeA i svojstava konvergentnih nizova, ali ove jednakosti možemo dokazati direktno. Neka je L f ( ), L g( ). Tada po a a definiciji esa za svaki ε > 0 postoje δ > 0 i δ > 0 takvi da vrijedi -a < δ f()-l < ε / i -a < δ g()-l < ε/. Sada za δmin{δ, δ } i za sve takve da je -a < δ imamo: [f() g()] [L L ] [f() L ] [g() L ] f()-l g()-l < ε/ ε/ ε, odakle slijedi da postoji es funkcije fg u točki a i da je jednak L L. Time je dokazana prva jednakost u ovoj tvrdnji. Q.E.D. 0. Primjer:.

20 Uvijek treba uvrstiti broj kojem teži u funkciju čiji es računamo. Ako dobijemo kao rezultat realan broj, onda je upravo taj broj es. Uvrštavanjem možemo dobiti ili - kao jedan od članova. U tom slučaju imamo ova pravila:, ± a, - - -, - ± a -,, ± a 0,, a, ako je a ako je a > < 0, 0. Neodreñeni oblici Ako pri računanju esa dobijemo jedan od izraza: 0, 0,, 0, onda ne možemo ništa reći. Tada moramo raznim metodama svesti podintegralnu funkciju na oblik koji će nakon uvrštavanja dati realan broj ili jedan od gore rješenih izraza. Ako se tom prilikom kao es dobije ili, onda to znači da es ne postoji i da vrijednost funkcije postaje sve veća ili sve manja kada se nezavisna varijabla približava točki u kojoj računamo es. 0, 0 0,,

21 0 Neodreñeni oblici i 0 Kod računanja esa racionalnih funkcija možemo dobiti izraz f ( a) g( a) ili f ( a) g( a) 0 0. f ( ) g( ) (f() i g() su polinomi), Kod neodreñenog oblika, brojnik i nazivnik dijeo s najvećom potencijom. Na taj način od beskonačno velikih veličina, koje su se pojavile u brojniku i nazivniku, prelazimo na konačne i beskonačno male veličine, pa možemo primjeniti jedno od svojstava iz TvrdnjeC. Primjeri: 5 ( 5) / / 5 /. 4 ( 4) / / 4 /

22 Funkcija 5 5 ) ( 4 f nema es u točki. Zaista,. 5 / / / / / 5 5) / ( ) / ( / / / 4 / / ) / ( ) / 4 ( Kod neodreñenog oblika 0 0, potrebno je brojnik i nazivnik skratiti. Primjer Primjer Primjer Primjeri: 9 ) ( ) )( ( ,. cos cos sin sin 0 0 sin sin 0 0 0

23 Neodreñeni oblik Kod računanja esa razlike funkcija f() g(), možemo dobiti da je izraz f(a) g(a). U ovom slučaju potrebno je razliku funkcija f() g() transformirati u racionalnu funkciju. Primjeri: ( ) ( ) / / / 00, ( ) 00 ( ) / ( ) /

24 Neodreñeni oblik Kod računanja esa funkcije oblika f() g(), možemo dobiti da je izraz f(a) g(a). U ovom slučaju potrebno je primjeniti transformaciju oblika: f ( a) g( a) ln g ( a) ( f ( a) ) g( a)lnf ( a) e e. Primjeri: 4 4 4

25 , 4 4) ( 4 e. Imamo: / /,. Prema tome je 0. e e.

26 Na kraju navodimo rezultat o supstituciji u esu. Stavak D: Neka postoji es funkcije yf() u točki a i neka je L f ( ). a Nadalje, neka je f(d(f)) D(g) i neka funkcija yg() ima es u točki L takav da je g( L) g( y ). Tada vrijedi: Primjeri: 0 y L ( ) ln y 6 y ln 0 a ( g f )( ) g( y ) o. y y y y L y 0 y y ( )( ) y y y, ( y )( y ) y ( ) ln ln e y e e y y prema prethodnom primjeru. 0 0 y 0 y 0ln( y ) y,

27 Jednostrani esi Kao što smo vidjeli u prethodnom predavanju, domena neke funkcije je nerijetko bila unija disjunktnih otvorenih intervala D(f) (a,b ) «(a,b ) ««(a m,b m ). Pri tome se točke a k i b k, za k,,,m, nazivaju rubne točke domene D(f). Primjeri: Funkcija f ( ) ima za domenu skup D(f) (,) «(, ). Točka je rubna točka domene D(f). Funkcija f ( ) arctg ima za domenu skup D(f) (,) «(, ). Točka je rubna točka domene D(f). Funkcija f ( ) arcth ima za domenu skup D(f) (,-) «(, ). Točke - i su rubna točke domene D(f).

28 Postavlja se pitanje kakvo je ponašanje funkcije yf() blizu rubnih točaka domene D(f)? Prije toga definirajmo pojmove jednostranih esa. Definicija: Za realan broj L R kažemo da je desni es funkcije yf() u točki a R, ako za svaki ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), > a, ( -a < δ f()-l < ε). U tom slučaju pišemo L f ( ). a Definicija: Za realan broj L R kažemo da je lijevi es funkcije yf() u točki a R, ako za svaki ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), < a, ( -a < δ f()-l < ε). U tom slučaju pišemo L f ( ). a

29 Primjeri: Jednostrani esi funkcija iz prethodnog primjera u rubnim točkama njihovih domena su:, 0 0. arctg arctg arctg( ) 0 arctg arctg arctg 0 ( ) π, π. 0 arcth ln ln ln 0, arcth ln ln ln. 0

30 Limes i jednostrani esi funkcije yf() mogu biti povezani na sljedeći način: Tvrdnja D: Neka je a R. a) a) Ako postoji es funkcije yf() u točki a, tada postoje i jednostrani esi f ( ) i f ( ), te vrijedi: b) a a a f ( ) f ( ) f ( ). a b) Ako postoje jednostrani esi f ( ) c) a a i f ( ) a i jednaki su, odnosno f ( ) f ( ), tada postoji i es funkcije yf() u točki a, koji je a a jednak tim esima. c) Ako ne postoji jedan od jednostranih esa f ( ) a i f ( ) a ili ako oba postoje ali su različiti, odnosno f ( ) f ( ), tada ne postoji es funkcije yf() u točki a. a a Dokaz: slijedi neposredno iz definicije esa i jednostranih esa.

31 Na kraju promatramo usporedni kriterij za ese funkcija: Tvrdnja E: Pretpostavimo da postoji δ > 0 takav da vrijedi: f() g() h(), (a,aδ), te da je a f ( ) u točki a i vrijedi a h( ) g( ) L. a L R. Tada postoji i desni es funkcije yg() Dokaz: slijedi iz TvrdnjeA. Analogno se iskazuje usporedni kriterij za lijeve ese. sin Primjer: Jedan od važnih esa je. Zaista, 0 vrijedi da je P óoaa P kružnog isječkaoaa P óobb, odnosno sin cos tg.

32 sin Slijedi cos za sve 0, π. Primjenom usporednog kriterija i cos sin parnosti funkcije slijedi traženi es. Primjeri: sin 0 sin sin y y 0 y tg 0 sin cos 0 cos 0 arcsin 0 0 y 0 sin y 0 y., sin,

33 Asimptote Neka se točka T neprekinuto giba po grafu Γ f funkcije f tako da barem jedna od njezinih koordinata teži u ili. Ako pri tom njena udaljenost do pravca p teži k nuli, onda se taj pravac naziva asimptota funkcije. Postoje dva osnovna načina na koji se može ostvariti ovakva situacija: (a) varijabla teži prema konačnom broju c (s lijeve ili s desne strane), a funkcijska vrijednost teži u ili ; (b) varijabla teži u ili.

34 Vertikalne asimptote Ako za funkciju f vrijedi c f ( ) ± ili c f ( ) ± onda je pravac c njezina vertikalna asimptota. Horizontalne asimptote Drugi tip asimptota javlja se pri proučavanju ponašanja funkcije f kad ±. Slijede dvije interesantne mogućnosti.

35 Ako postoji l f ( ) onda se pravac y l naziva desna horizontalna asimptota funkcije f. Ako postoji l f ( ) onda se pravac y l naziva lijeva horizontalna asimptota funkcije f. Primjeri: Prisjetimo se:. Funkcija f ( ) arctg ima desnu π horizontalnu asimptotu y, π a lijevu horizontalnu asimptotu y. y π/ y y - π/

36 . Eksponencijalna funkcija f ( ) ima lijevu horizontalnu asimptotu y 0, a desnu horizontalnu asimptotu nema. y Funkcija f ( ) ima horizontalnu asimptotu (istovremeno lijevu i desnu) y0. Vertikalna asimptota je pravac y Funkcija f ( ) ima vertikalnu asimptotu 0, a horizontalnu y y -00

37 Kose asimptote Desna kosa asimptota funkcije f je pravac y k l za koji vrijedi [ f ( ) k l] 0. ( ) Ako ovakav es postoji kada asimptoti., onda govorimo o lijevoj kosoj Ako kosa asimptota postoji tada vrijedi ( ), pa pogotovo vrijedi: f ( ) l 0 [ f ( ) k l] k. f ( ) Tako dobivamo da je: k. Koeficijen l računamo iz ( ): l [ f ( ) k].

38 Horizontalne asimptote su poseban slučaj kosih, s k0. Zato, ukoliko nije odmah vidljivo ponašanje funkcije, pri traženju asimptota najprije ispitujemo postoje li kose asimptote. Primjeri: Odredi asimptote funkcije y. Vertikalnih asimptota nema, jer je nazivnik razlomka uvijek pozitivan. Odredimo kose asimptote: y k, ± ± ( ) y Kosa asimptota l ± ± ± ( y k ) Pravac y je desna i lijeva asimptota ove funkcije..

39 Odredi asimptote funkcije y. Nule nazivnika su ±. U tim točkama funkcija nije definirana. Imamo,, 0 0,. 0 0 dakle, vertikalne asimptote su - i. y y Odredimo kose asimptote: k, ± ± ( ) l ± ± ± ± ( y k ) 0 Pravac y je desna i lijeva asimptota ove funkcije..

40 Neprekinute funkcije i esi Ovdje ćemo promatrati pojmove neprekinutosti i prekinutosti realne funkcije realne varijable, te njihov odnos prema esu funkcije. Definicija: Neka je a R. Funkcija yf() je neprekinuta u točki a ako je a D(f) i ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), -a < δ f()-f(a) < ε. Ako funkcija yf() nije neprekinuta u točki a tada kažemo da je yf() prekinuta u točki a. Definicija: Neka je skup I otvoren interval ili unija otvorenih intervala ili I R. Kažemo da je funkcija yf() je neprekinuta na skupu I ako je ona neprekinuta u svakoj točki tog skupa. Kažemo da je funkcija yf() je neprekinuta na segmentu [a,b] ako je neprekinuta na intervalu (a,b).

41 Funkcija f neprekinuta u točki a Funkcija f prekinuta u točki a Primjeri: Konstanta f() c je neprekinuta funkcija na cijelom R. Zaista, neka je a R proizvoljan i ε > 0 proizvoljan. Tada za proizvoljan δ > 0 vrijedi a < δ f() f(a) c c 0 < ε. Prema tome funkcija je neprekinuta u točki a. Kako je a R proizvoljan, to je f neprekinuta u svakoj točki iz R, dakle na cijelom R.

42 Funkcija f() je neprekinuta na cijelom R. Zaista, neka je a R proizvoljan i ε > 0 proizvoljan. Tada za ε δ > 0 vrijedi a < δ f() f(a) a < δ ε. Prema tome funkcija je neprekinuta u točki a. Kako je a R proizvoljan, to je f neprekinuta u svakoj točki iz R, dakle na cijelom R. U nastavku ćemo dokazati da su elementarne funkcije neprekinute funkcije na svojim domenama. Slijedi tvrdnja o operacijama s neprekinutim funkcijama. Tvrdnja F: (i) Neka su y f() i y g() neprekinute funkcije u točki a, tada je u toj točki neprekinuta i funkcija: f() ± g(), f() g(), f()/g() (uz uvjet da je g(a) 0). (ii) Neka su y f() i y g() dvije funkcije za koje je f(d(f)) D(g). Ako je funkcija y f() neprekinuta u točki a, a funkcija y g() neprekinuta u točki f(a), tada je funkcija y g(f()) neprekinuta u točki a.

43 Primjer: Iz TvrdnjeF slijedi da su potencije neprekinute funkcije na R. Zaista, iz neprekinutosti funkcije f (), slijedi da je neprekinuta funkcija f (), jer je f () f () f (). Nadalje je neprekinuta i funkcija funkcija f () f () itd. Polinomi su neprekinute funkcije na R kao kompozicija neprekinutih funkcija. Budući da su racionalne funkcije kvocijenti neprekinutih funkcija (polinoma), one su neprekinute funkcije u točkama u kojima je nazivnik različit od nule. Slijedi da je svaka racionalna funkcija neprekinuta na svojoj prirodnoj domeni Slijedi tvrdnja o neprekinutosti monotonih funkcija. Tvrdnja G: Neka je f strogo monotona funkcija definirana na konačnom ili beskonačnom otvorenom intervalu I, i neka je njezina slika konačan ili beskonačan otvoreni interval. Tada je f neprekinuta funkcija na I. Zatim postoji inverzna funkcija f - i ona je neprekinuta na svojoj domeni (slici funkcije f). Primjer: Na temelju TvrdnjeG imamo sljedeće zaključke: Eksponencijalne funkcije su neprekinute na R, jer su definirane na beskonačnom otvorenom intervalu (, ), i slika im je beskonačan otvoreni interval (0, ) i strogo su monotone.

44 Logaritamske funkcije, kao inverzne od eksponencijalnih, su neprekinute. Funkcija sinus je strogo monotona na(π/, π/), taj otvoreni interval preslikava na (,), pa je neprekinuta na (π/, π/). Kosinus je na isti način neprekinuta funkcija na (0, π). Funkcije sinus i kosinus su neprekinute na R kao kompozicija neprekinutih funkcija. Funkcije tangens i kotangens su kvocijenti neprekinutih funkcija, pa su i same neprekinute na svojim domenama. Arkus funkcije su inverzne od strogo monotonih, pa su neprekinute. Da su arcsin i arccos neprekinute i na rubovima segmenta [-,] dokazuje se posebno. Funkcije dobivene od gore navedenih pomoću konačno mnogo operacija zbrajanja, množenja, dijeljenja, komponiranja, invertiranja zovu se elementarne funkcije. Tako imamo važan zaključak: elementarne funkcije su neprekinute na svojim domenama.

45 Svojstva neprekinutosti i prekinutosti funkcija mogu se izraziti pomoću esa, lijevog i desnog esa kako slijedi. Tvrdnja H: Neka je a R. i) Neka je yf() neprekinuta funkcija u točki a. Tada postoji es funkcije yf() u točki a i vrijedi f ( a) f ( ). a ii) Neka postoji es funkcije yf() u točki a, te neka je a D(f) i f ( a) f ( ). Tada je yf() neprekinuta funkcija u točki a. a iii) Ako ne postoji es funkcije yf() u točki a, tada je yf() prekinuta funkcija u točki a. iv) Neka je yf() prekinuta funkcija u točki a, te neka postoje i neka su konačni jednostrani esi f ( ) i f ( ). Tada za veličinu prekida a a (skoka) S(a) funkcije yf() u točki a vrijedi:

46 S( a) f ( ) f ( ) > 0. a a Primjeri: Funkcija f ( ) sin 0,, za za 0, 0, je neprekinuta na R. Takozvana Heavisideova funkcija (čitaj Hevisajdova) f ( ), 0, za za < 0, 0, je prekinuta u točki 0.

47 Svojstva neprekinutih funkcija Na kraju, bez dokaza iznosimo neke važne rezultate o neprekinutim funkcijama. Tvrdnja K (nultočke neprekinutih funkcija): Neka je I otvoren interval ili I R. Neka je funkcija yf() neprekinuta u I, te neka za dvije proizvoljne dane točke a I i b I, a < b, vrijedi: f(a) f(b) < 0 ( odnosno f(a) > 0 i f(b) < 0 ili f(a) < 0 i f(b) > 0 ). Tada postoji točka c (a,b), takva da je f(c) 0. Tvrdnja L (Rolleov teorem za neprekinute funkcije): Neka je I otvoren interval ili I R. Neka je funkcija yf() neprekinuta u I, te neka postoje dvije točke a I i b I, a < b, takve da vrijedi: f(a) f(b) 0. Tada u intervalu [a,b] postoji barem jedna točka lokalnog ekstrema za funkciju

48 yf(), to jest postoji točka lokalnog maksimuma M [a,b] (za koju vrijedi f( M ) f() za sve [a,b]) ili lokalnog minimuma m [a,b] (za koju vrijedi f( m ) f() za sve [a,b]). Tvrdnja M (Postojanje točaka lokalnog maksimuma i lokalnog minimuma): Neka je funkcija yf() neprekinuta na zatvorenom intervalu [a,b], f: [a,b] R. Tada u intervalu [a,b] postoje točke lokalnog maksimuma ili lokalnog minimuma za funkciju yf(), odnosno postoje M [a,b] i m [a,b] takvi da je f( M ) f() i f( m ) f() za sve [a,b].

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0 9. Z transformacija 9.. Z transformacija Z transformacija nia brojeva {f[n]} a koje vrijedi je Z [ f[n] ] = f[n] = 0, n < 0 9.) f[n] n = F ). 9.) Ovom transformacijom niu brojeva {f[n]} pridružuje se funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016 Tomislav Berić tberic@math.hr Sadržaj 1 Operatori na Hilbertovim prostorima 1 1.1 Normalni operatori..................................... 3 1.2 Unitarni

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

UDŽBENICI UNIVERZITETA U BIHAĆU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM BIHIGIENSIS. Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA. Bihać, 2014.

UDŽBENICI UNIVERZITETA U BIHAĆU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM BIHIGIENSIS. Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA. Bihać, 2014. UDŽBENICI UNIVERZITETA U BIHAĆU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM BIHIGIENSIS Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA Bihać, 014. c prof. dr. sc. Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA Recenzenti

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 64 Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA 4 Osnovni pojmovi Činjenica da se mnogi zakoni fizike i drugih nauka iskazuju uz pomoć diferencijalnih jednačina

Διαβάστε περισσότερα

Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA. Osijek, 1994.

Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA. Osijek, 1994. Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA Osijek, 994. M. Crnjac, D. Jukić, R. Scitovski Matematika Udžbenik U-6 Recenzenti: Prof.dr.sc. Hrvoje Kraljević Prof.dr.sc. Harry

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 1. Prvo predavanje - funkcije i prirodni brojevi Cilj predavanja u prvoj sedmici je podsećanje na skupove brojeva koji su se koristili u prethodnom školovanju,

Διαβάστε περισσότερα

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo January 24, 2012 Uvod U Bosni i Hercegovini već pedesetak godina se organizuju

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima.

U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima. Sažetak vjerojatnost Skup ishoda U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima. Jednostavne događaje u nekom pokusu zvat

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

1. Skupovi Algebra skupova

1. Skupovi Algebra skupova 1. Skupovi 1.1. Algebra skupova Temeljne definicije i oznake. Pod pojmom skupa razumijevamo bilo koju množinu elemenata. Npr.: (a) skup svih prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,...} ; (b) skup svih cijelih

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja... Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................

Διαβάστε περισσότερα

Skinuto sa

Skinuto sa Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

5. Aproksimacija i interpolacija

5. Aproksimacija i interpolacija APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 56 5. Aproksimacija i interpolacija 5.. Opći problem aproksimacije Što je problem aproksimacije? Ako su poznate neke informacije o funkciji f, definiranoj na nekom skupu X

Διαβάστε περισσότερα

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj. Opća topologija 24 Opća topologija 26 13. Baza topologije Baza topologije 2 TOPOLOŠKI PROSTORI I NEPREKIDNE FUNKCIJE Topološki prostori Baza topologije Uređajna topologija Produktna topologija na X Y Topologija

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2. Ivana Baranović Miroslav Jerković

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2. Ivana Baranović Miroslav Jerković VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Poglavlje Integral. Neodreženi integral Neka je zadana funkcija f : (a, b) R: Funkcija F : (a, b) R za koju je F () = f() za svaki (a, b) naziva se

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA 5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα