Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija"

Transcript

1 Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema esu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

2 Niz brojeva Definicija: Neka je S neki skup brojeva. Funkciju a : N S zovemo nizom brojeva iz S. Umjesto da se piše a(n), što je uobičajeno kod funkcija, piše se a n. Elementi a, a,, a n, se zovu članovi niza. Element a n se zove opći član niza. Primjer: Napisati prvih pet članova niza čiji je opći član 4 5 Rješenje:,,,, Primjer: Naći opći član niza, čiji su članovi,,,, n a n. n Rješenje: Prvi član ima u brojniku, drugi član ima u brojniku 4, treći član ima u brojniku 6, itd. U nazivniku je broj za jedan manji nego u brojniku.

3 n Prema tome a n. n Primjer: Naći opći član niza,,, Rješenje: a, a, a, a,... Tako je n. 4 Definicija: Kažemo da niz realnih brojeva (a n ) raste ako je a n a n, za svaki n N, strogo raste ako je a n > a n, za svaki n N, pada ako je a n a n, za svaki n N, strogo pada ako je a n < a n, za svaki n N. Niz zovemo monotonim ako raste ili pada. 7 8 Primjer: Dokazati da strogo pada niza čiji je opći član a n, n n. 5 a n n

4 Definicija: Kažemo da je niz realnih brojeva (a n ) ograničen odozgor ako postoji M R, takav da je a n M, za svaki n N, ograničen odozdol ako postoji m R, takav da je a n m, za svaki n N, ograničen ako je ograničen odozdol i odozgor, neograničen ako nije ograničen. n Primjer: Ispitati ograničenost niza čiji je opći član a n, n. n Rješenje: Budući da je brojnik veći od nazivnika, svaki član niza je veći od. Niz strogo pada, pa je prema tome a najveći element. Dakle niz je ograničen i odozgo i odozdo.

5 Limes niza. Konvergentni nizovi. Definicija: Kažemo da niz (a n ) realnih brojeva konvergira k L, ako za svaki ε > 0 postoji n 0 N tako da n > n 0 a n L < ε. U tom slučaju kažemo takoñer da niz ima es a 0, i pišemo a n n L. Za niz koji ima es kažemo da je konvergentan. Za niz, koji nema es tj. koji ne konvergira, kažemo da divergira ira, odnosno da je divergentan. Prema ovoj definiciji, u proizvoljno maloj okolini esa nalaze se svi članovi niza osim njih konačno mnogo. Dakle vrijedi sljedeca tvrdnja Tvrdnja: Ako niz konvergira, onda je on ograničen. Prema tome neograničen niz nema es. Primjer: Ispitati konvergenciju niza a n. n

6 Rješenje enje: Niz konvergira i 0. n n Primjer: Ispitati konvergenciju niza: n n a q. Rješenje enje: Ako je q >, onda je niz a n q neograničen, pa divergira. Ako je q 0, onda je svaki član niza jednak 0, pa niz konvergira, i es mu je 0. Ako n n je 0 < q <, niz a q konvergira i q 0. Ako je q, onda niz n n konvergira i es je, a ako je q -, onda imamo niz -,,-,,-,,... Unutar proizvoljno male okoline oko se doduše nalazi beskonačno mnogo članova niza, no i izvan nje se nalazi beskonačno mnogo članova. Tako nije es. Sličnim razmatranjem zaključujemo da niti - ne može biti es. Neki drugi broj ne moze biti es jer postoji interval oko njega u kojem se ne nalazi niti jedan član niza. Tvrdnja: Monoton i ograničen niz realnih brojeva konvergira. n Tvrdnja: Neka su nizovi (a n ) i (b n ) konvergentni, i neka je a n a0 b n b 0. Tada vrijedi sljedeće: n n i

7 . Niz (a n ± b n ) konvergira i n. Niz (a n b n ) konvergira i n. Niz ( λ a n ) konvergira i ( an ± bn ) an ± bn a0 ± b0 n n ( an bn ) an bn a0 b0 n n n ( an ) λ an λ a0 λ. n 4. Ako je b n 0 za svaki n N i b 0 0, niz (a n / b n ) konvergira i n a b n n n n a b n n a b

8 Neki važni nizovi Razmotrit ćemo sada neke važne ese. Primjer: Može se dokazati da vrijede sljedeći esi: n n n. n n a n 0 n a, za a > 0. n!, za a R. Broj e: e. n n n

9 Limes funkcije U daljnjem tekstu koristimo i podrazumijevamo sljedeće oznake i pretpostavke: Neka je funkcije f: D(f) R R. Kada govorimo o esu funkcije yf() u točki a, tada za domenu D(f) podrazumijevamo sljedeće: ako je a R tada postoji barem jedan realan broj δ>0 takav da je skup (a-δ,aδ) \ {a} sadržan u domeni D(f); ako je a tada postoji barem jedan realan broj M>0 takav da je interval (M, ) sadržan u domeni D(f); ako je a - tada postoji barem jedan realan broj m<0 takav da je interval (-,m) sadržan u domeni D(f). Kada pišemo a, a ne navedemo da je a R, tada podrazumijevamo da točka a može biti i ±.

10 Definicija: Za realan broj L R kažemo da je es funkcije yf() u točki a R, ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), a, -a < δ f()-l < ε. U tom slučaju pišemo L f ( ) ili f() L kad a. a Ako nejednakosti -a < δ, f()-l < ε napišemo u intervalnom obliku, tada definiciju esa možemo napisati u drugom obliku: Definicija: Za realan broj L R kažemo da je es funkcije yf() u točki a R, ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), a, (a-δ, aδ) f() (L-ε, Lε). Ako točka a nije konačna, odnosno, ako je a±, tada za es funkcije imamo sljedeće definicije:

11 Definicija: Za realan broj L R kažemo da je es funkcije yf() u točki, ako za svaki ε > 0 postoji M > 0 tako da vrijedi: D(f), > M f()-l < ε. U tom slučaju pišemo L f ( ) ili f() L kad. Definicija: Za realan broj L R kažemo da je es funkcije yf() u točki -, ako za svaki ε > 0 postoji m < 0 tako da vrijedi: D(f), < m f()-l < ε. U tom slučaju pišemo L f ( ) ili f() L kad -. Tvrdnja A: Realan broj L je es funkcije yf() u točki a, ako i samo ako za svaki niz ( n ) iz D(f), takav da n a i n a, vrijedi f ( ) L. n n a

12 Primjer: Neki osnovni esi su a) za sve p > 0, 0; p fhl ê,ê fhl 5, 4,, 50 b) za sve p > 0, 0; 0 p c) e ±

13 Tvrdnja B: Ako za funkciju yf() postoji es u točki a, tada je on jedinstven. Dokaz: Pretpostavimo suprotno, tj. neka funkcija yf() ima dva esa L f ( ), L f ( ). Tada po definiciji esa za svaki ε > 0 postoje δ > a a 0 i δ > 0 takvi da vrijedi D(f), a, -a < δ f()-l < ε / i -a < δ f()-l < ε/. Sada za δmin{δ, δ } i za sve takve da je -a < δ imamo: L - L L f() f() - L f()-l f()-l < ε/ ε/ ε, odakle zbog toga što je ε > 0 proizvoljan slijedi da je L L. Q.E.D. Navest ćemo jedan primjer nepostojanja esa dane funkcije u točki a. Primjer: Neka je funkcija yf() definirana kako slijedi

14 sin, ( ) 5 za za 0, f Tada ne postoji es ove funkcije u točki 0. Zaista, neka su (a n ) i (b n ) dva niza definirana na sljedeći način: a n π n π i b n π n, π nε N Nije teško provjeriti da je f(a n ) i f(b n ) -, n N, odnosno da vrijedi a n 0, f(a n ) i b n 0, f(b n ) -, kad n.

15 Ako bi postojao es L funkcije yf() u točki 0 tada bi po TvrdnjiA istovremeno imati da je L i L-, što po TvrdnjiB nije moguće.

16 Primjer: Sljedeće funkcije nemaju es u točki a: - f ( ) u točki ; f ) tg ( u točki π/; f ( ) cos u točki 0; f ) cth ( u točki 0;

17 Ako je funkcija yf() definirana u točki a, odnosno, ako je a D(f), te ako postoji es L f ( ) tada se postavlja pitanje da li je L jednako f(a)? O a tome govori sljedeći primjer. Primjer: Neka je funkcija yf() definirana kako slijedi f ( ), za za 0, 0. Tada vrijedi f (0) f ( ). Zaista, nije teško vidjeti da postoji f ( ) i da je f ( ) 0. S druge strane, iz definicije ove funkcije znamo da je f(0), pa zaključujemo da je f (0) f ( ). 0

18 Računanje esa U nastavku ćemo prezentirati neke metode računanja esa, a koje se temelje na svojstvima esa funkcija s obzirom na algebarske operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i potenciranja funkcija. Ova svojstva su iskazana u sljedećem rezultatu. Tvrdnja C: Neka postoje esi funkcija yf() i yg() u točki a. Tada su istinite sljedeće jednakosti:. [ f ( ) ± g( ) ] f ( ) ± g( ), a a a. [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ), a a a f ( ) f ( ) a., ako je g( ) 0, a g( ) g( ) a a

19 [ g( ) ] 4. f ( ) a a a f ( ) g( ), ako desna strana nije oblika 0 Dokaz: slijedi iz TvrdnjeA i svojstava konvergentnih nizova, ali ove jednakosti možemo dokazati direktno. Neka je L f ( ), L g( ). Tada po a a definiciji esa za svaki ε > 0 postoje δ > 0 i δ > 0 takvi da vrijedi -a < δ f()-l < ε / i -a < δ g()-l < ε/. Sada za δmin{δ, δ } i za sve takve da je -a < δ imamo: [f() g()] [L L ] [f() L ] [g() L ] f()-l g()-l < ε/ ε/ ε, odakle slijedi da postoji es funkcije fg u točki a i da je jednak L L. Time je dokazana prva jednakost u ovoj tvrdnji. Q.E.D. 0. Primjer:.

20 Uvijek treba uvrstiti broj kojem teži u funkciju čiji es računamo. Ako dobijemo kao rezultat realan broj, onda je upravo taj broj es. Uvrštavanjem možemo dobiti ili - kao jedan od članova. U tom slučaju imamo ova pravila:, ± a, - - -, - ± a -,, ± a 0,, a, ako je a ako je a > < 0, 0. Neodreñeni oblici Ako pri računanju esa dobijemo jedan od izraza: 0, 0,, 0, onda ne možemo ništa reći. Tada moramo raznim metodama svesti podintegralnu funkciju na oblik koji će nakon uvrštavanja dati realan broj ili jedan od gore rješenih izraza. Ako se tom prilikom kao es dobije ili, onda to znači da es ne postoji i da vrijednost funkcije postaje sve veća ili sve manja kada se nezavisna varijabla približava točki u kojoj računamo es. 0, 0 0,,

21 0 Neodreñeni oblici i 0 Kod računanja esa racionalnih funkcija možemo dobiti izraz f ( a) g( a) ili f ( a) g( a) 0 0. f ( ) g( ) (f() i g() su polinomi), Kod neodreñenog oblika, brojnik i nazivnik dijeo s najvećom potencijom. Na taj način od beskonačno velikih veličina, koje su se pojavile u brojniku i nazivniku, prelazimo na konačne i beskonačno male veličine, pa možemo primjeniti jedno od svojstava iz TvrdnjeC. Primjeri: 5 ( 5) / / 5 /. 4 ( 4) / / 4 /

22 Funkcija 5 5 ) ( 4 f nema es u točki. Zaista,. 5 / / / / / 5 5) / ( ) / ( / / / 4 / / ) / ( ) / 4 ( Kod neodreñenog oblika 0 0, potrebno je brojnik i nazivnik skratiti. Primjer Primjer Primjer Primjeri: 9 ) ( ) )( ( ,. cos cos sin sin 0 0 sin sin 0 0 0

23 Neodreñeni oblik Kod računanja esa razlike funkcija f() g(), možemo dobiti da je izraz f(a) g(a). U ovom slučaju potrebno je razliku funkcija f() g() transformirati u racionalnu funkciju. Primjeri: ( ) ( ) / / / 00, ( ) 00 ( ) / ( ) /

24 Neodreñeni oblik Kod računanja esa funkcije oblika f() g(), možemo dobiti da je izraz f(a) g(a). U ovom slučaju potrebno je primjeniti transformaciju oblika: f ( a) g( a) ln g ( a) ( f ( a) ) g( a)lnf ( a) e e. Primjeri: 4 4 4

25 , 4 4) ( 4 e. Imamo: / /,. Prema tome je 0. e e.

26 Na kraju navodimo rezultat o supstituciji u esu. Stavak D: Neka postoji es funkcije yf() u točki a i neka je L f ( ). a Nadalje, neka je f(d(f)) D(g) i neka funkcija yg() ima es u točki L takav da je g( L) g( y ). Tada vrijedi: Primjeri: 0 y L ( ) ln y 6 y ln 0 a ( g f )( ) g( y ) o. y y y y L y 0 y y ( )( ) y y y, ( y )( y ) y ( ) ln ln e y e e y y prema prethodnom primjeru. 0 0 y 0 y 0ln( y ) y,

27 Jednostrani esi Kao što smo vidjeli u prethodnom predavanju, domena neke funkcije je nerijetko bila unija disjunktnih otvorenih intervala D(f) (a,b ) «(a,b ) ««(a m,b m ). Pri tome se točke a k i b k, za k,,,m, nazivaju rubne točke domene D(f). Primjeri: Funkcija f ( ) ima za domenu skup D(f) (,) «(, ). Točka je rubna točka domene D(f). Funkcija f ( ) arctg ima za domenu skup D(f) (,) «(, ). Točka je rubna točka domene D(f). Funkcija f ( ) arcth ima za domenu skup D(f) (,-) «(, ). Točke - i su rubna točke domene D(f).

28 Postavlja se pitanje kakvo je ponašanje funkcije yf() blizu rubnih točaka domene D(f)? Prije toga definirajmo pojmove jednostranih esa. Definicija: Za realan broj L R kažemo da je desni es funkcije yf() u točki a R, ako za svaki ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), > a, ( -a < δ f()-l < ε). U tom slučaju pišemo L f ( ). a Definicija: Za realan broj L R kažemo da je lijevi es funkcije yf() u točki a R, ako za svaki ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), < a, ( -a < δ f()-l < ε). U tom slučaju pišemo L f ( ). a

29 Primjeri: Jednostrani esi funkcija iz prethodnog primjera u rubnim točkama njihovih domena su:, 0 0. arctg arctg arctg( ) 0 arctg arctg arctg 0 ( ) π, π. 0 arcth ln ln ln 0, arcth ln ln ln. 0

30 Limes i jednostrani esi funkcije yf() mogu biti povezani na sljedeći način: Tvrdnja D: Neka je a R. a) a) Ako postoji es funkcije yf() u točki a, tada postoje i jednostrani esi f ( ) i f ( ), te vrijedi: b) a a a f ( ) f ( ) f ( ). a b) Ako postoje jednostrani esi f ( ) c) a a i f ( ) a i jednaki su, odnosno f ( ) f ( ), tada postoji i es funkcije yf() u točki a, koji je a a jednak tim esima. c) Ako ne postoji jedan od jednostranih esa f ( ) a i f ( ) a ili ako oba postoje ali su različiti, odnosno f ( ) f ( ), tada ne postoji es funkcije yf() u točki a. a a Dokaz: slijedi neposredno iz definicije esa i jednostranih esa.

31 Na kraju promatramo usporedni kriterij za ese funkcija: Tvrdnja E: Pretpostavimo da postoji δ > 0 takav da vrijedi: f() g() h(), (a,aδ), te da je a f ( ) u točki a i vrijedi a h( ) g( ) L. a L R. Tada postoji i desni es funkcije yg() Dokaz: slijedi iz TvrdnjeA. Analogno se iskazuje usporedni kriterij za lijeve ese. sin Primjer: Jedan od važnih esa je. Zaista, 0 vrijedi da je P óoaa P kružnog isječkaoaa P óobb, odnosno sin cos tg.

32 sin Slijedi cos za sve 0, π. Primjenom usporednog kriterija i cos sin parnosti funkcije slijedi traženi es. Primjeri: sin 0 sin sin y y 0 y tg 0 sin cos 0 cos 0 arcsin 0 0 y 0 sin y 0 y., sin,

33 Asimptote Neka se točka T neprekinuto giba po grafu Γ f funkcije f tako da barem jedna od njezinih koordinata teži u ili. Ako pri tom njena udaljenost do pravca p teži k nuli, onda se taj pravac naziva asimptota funkcije. Postoje dva osnovna načina na koji se može ostvariti ovakva situacija: (a) varijabla teži prema konačnom broju c (s lijeve ili s desne strane), a funkcijska vrijednost teži u ili ; (b) varijabla teži u ili.

34 Vertikalne asimptote Ako za funkciju f vrijedi c f ( ) ± ili c f ( ) ± onda je pravac c njezina vertikalna asimptota. Horizontalne asimptote Drugi tip asimptota javlja se pri proučavanju ponašanja funkcije f kad ±. Slijede dvije interesantne mogućnosti.

35 Ako postoji l f ( ) onda se pravac y l naziva desna horizontalna asimptota funkcije f. Ako postoji l f ( ) onda se pravac y l naziva lijeva horizontalna asimptota funkcije f. Primjeri: Prisjetimo se:. Funkcija f ( ) arctg ima desnu π horizontalnu asimptotu y, π a lijevu horizontalnu asimptotu y. y π/ y y - π/

36 . Eksponencijalna funkcija f ( ) ima lijevu horizontalnu asimptotu y 0, a desnu horizontalnu asimptotu nema. y Funkcija f ( ) ima horizontalnu asimptotu (istovremeno lijevu i desnu) y0. Vertikalna asimptota je pravac y Funkcija f ( ) ima vertikalnu asimptotu 0, a horizontalnu y y -00

37 Kose asimptote Desna kosa asimptota funkcije f je pravac y k l za koji vrijedi [ f ( ) k l] 0. ( ) Ako ovakav es postoji kada asimptoti., onda govorimo o lijevoj kosoj Ako kosa asimptota postoji tada vrijedi ( ), pa pogotovo vrijedi: f ( ) l 0 [ f ( ) k l] k. f ( ) Tako dobivamo da je: k. Koeficijen l računamo iz ( ): l [ f ( ) k].

38 Horizontalne asimptote su poseban slučaj kosih, s k0. Zato, ukoliko nije odmah vidljivo ponašanje funkcije, pri traženju asimptota najprije ispitujemo postoje li kose asimptote. Primjeri: Odredi asimptote funkcije y. Vertikalnih asimptota nema, jer je nazivnik razlomka uvijek pozitivan. Odredimo kose asimptote: y k, ± ± ( ) y Kosa asimptota l ± ± ± ( y k ) Pravac y je desna i lijeva asimptota ove funkcije..

39 Odredi asimptote funkcije y. Nule nazivnika su ±. U tim točkama funkcija nije definirana. Imamo,, 0 0,. 0 0 dakle, vertikalne asimptote su - i. y y Odredimo kose asimptote: k, ± ± ( ) l ± ± ± ± ( y k ) 0 Pravac y je desna i lijeva asimptota ove funkcije..

40 Neprekinute funkcije i esi Ovdje ćemo promatrati pojmove neprekinutosti i prekinutosti realne funkcije realne varijable, te njihov odnos prema esu funkcije. Definicija: Neka je a R. Funkcija yf() je neprekinuta u točki a ako je a D(f) i ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), -a < δ f()-f(a) < ε. Ako funkcija yf() nije neprekinuta u točki a tada kažemo da je yf() prekinuta u točki a. Definicija: Neka je skup I otvoren interval ili unija otvorenih intervala ili I R. Kažemo da je funkcija yf() je neprekinuta na skupu I ako je ona neprekinuta u svakoj točki tog skupa. Kažemo da je funkcija yf() je neprekinuta na segmentu [a,b] ako je neprekinuta na intervalu (a,b).

41 Funkcija f neprekinuta u točki a Funkcija f prekinuta u točki a Primjeri: Konstanta f() c je neprekinuta funkcija na cijelom R. Zaista, neka je a R proizvoljan i ε > 0 proizvoljan. Tada za proizvoljan δ > 0 vrijedi a < δ f() f(a) c c 0 < ε. Prema tome funkcija je neprekinuta u točki a. Kako je a R proizvoljan, to je f neprekinuta u svakoj točki iz R, dakle na cijelom R.

42 Funkcija f() je neprekinuta na cijelom R. Zaista, neka je a R proizvoljan i ε > 0 proizvoljan. Tada za ε δ > 0 vrijedi a < δ f() f(a) a < δ ε. Prema tome funkcija je neprekinuta u točki a. Kako je a R proizvoljan, to je f neprekinuta u svakoj točki iz R, dakle na cijelom R. U nastavku ćemo dokazati da su elementarne funkcije neprekinute funkcije na svojim domenama. Slijedi tvrdnja o operacijama s neprekinutim funkcijama. Tvrdnja F: (i) Neka su y f() i y g() neprekinute funkcije u točki a, tada je u toj točki neprekinuta i funkcija: f() ± g(), f() g(), f()/g() (uz uvjet da je g(a) 0). (ii) Neka su y f() i y g() dvije funkcije za koje je f(d(f)) D(g). Ako je funkcija y f() neprekinuta u točki a, a funkcija y g() neprekinuta u točki f(a), tada je funkcija y g(f()) neprekinuta u točki a.

43 Primjer: Iz TvrdnjeF slijedi da su potencije neprekinute funkcije na R. Zaista, iz neprekinutosti funkcije f (), slijedi da je neprekinuta funkcija f (), jer je f () f () f (). Nadalje je neprekinuta i funkcija funkcija f () f () itd. Polinomi su neprekinute funkcije na R kao kompozicija neprekinutih funkcija. Budući da su racionalne funkcije kvocijenti neprekinutih funkcija (polinoma), one su neprekinute funkcije u točkama u kojima je nazivnik različit od nule. Slijedi da je svaka racionalna funkcija neprekinuta na svojoj prirodnoj domeni Slijedi tvrdnja o neprekinutosti monotonih funkcija. Tvrdnja G: Neka je f strogo monotona funkcija definirana na konačnom ili beskonačnom otvorenom intervalu I, i neka je njezina slika konačan ili beskonačan otvoreni interval. Tada je f neprekinuta funkcija na I. Zatim postoji inverzna funkcija f - i ona je neprekinuta na svojoj domeni (slici funkcije f). Primjer: Na temelju TvrdnjeG imamo sljedeće zaključke: Eksponencijalne funkcije su neprekinute na R, jer su definirane na beskonačnom otvorenom intervalu (, ), i slika im je beskonačan otvoreni interval (0, ) i strogo su monotone.

44 Logaritamske funkcije, kao inverzne od eksponencijalnih, su neprekinute. Funkcija sinus je strogo monotona na(π/, π/), taj otvoreni interval preslikava na (,), pa je neprekinuta na (π/, π/). Kosinus je na isti način neprekinuta funkcija na (0, π). Funkcije sinus i kosinus su neprekinute na R kao kompozicija neprekinutih funkcija. Funkcije tangens i kotangens su kvocijenti neprekinutih funkcija, pa su i same neprekinute na svojim domenama. Arkus funkcije su inverzne od strogo monotonih, pa su neprekinute. Da su arcsin i arccos neprekinute i na rubovima segmenta [-,] dokazuje se posebno. Funkcije dobivene od gore navedenih pomoću konačno mnogo operacija zbrajanja, množenja, dijeljenja, komponiranja, invertiranja zovu se elementarne funkcije. Tako imamo važan zaključak: elementarne funkcije su neprekinute na svojim domenama.

45 Svojstva neprekinutosti i prekinutosti funkcija mogu se izraziti pomoću esa, lijevog i desnog esa kako slijedi. Tvrdnja H: Neka je a R. i) Neka je yf() neprekinuta funkcija u točki a. Tada postoji es funkcije yf() u točki a i vrijedi f ( a) f ( ). a ii) Neka postoji es funkcije yf() u točki a, te neka je a D(f) i f ( a) f ( ). Tada je yf() neprekinuta funkcija u točki a. a iii) Ako ne postoji es funkcije yf() u točki a, tada je yf() prekinuta funkcija u točki a. iv) Neka je yf() prekinuta funkcija u točki a, te neka postoje i neka su konačni jednostrani esi f ( ) i f ( ). Tada za veličinu prekida a a (skoka) S(a) funkcije yf() u točki a vrijedi:

46 S( a) f ( ) f ( ) > 0. a a Primjeri: Funkcija f ( ) sin 0,, za za 0, 0, je neprekinuta na R. Takozvana Heavisideova funkcija (čitaj Hevisajdova) f ( ), 0, za za < 0, 0, je prekinuta u točki 0.

47 Svojstva neprekinutih funkcija Na kraju, bez dokaza iznosimo neke važne rezultate o neprekinutim funkcijama. Tvrdnja K (nultočke neprekinutih funkcija): Neka je I otvoren interval ili I R. Neka je funkcija yf() neprekinuta u I, te neka za dvije proizvoljne dane točke a I i b I, a < b, vrijedi: f(a) f(b) < 0 ( odnosno f(a) > 0 i f(b) < 0 ili f(a) < 0 i f(b) > 0 ). Tada postoji točka c (a,b), takva da je f(c) 0. Tvrdnja L (Rolleov teorem za neprekinute funkcije): Neka je I otvoren interval ili I R. Neka je funkcija yf() neprekinuta u I, te neka postoje dvije točke a I i b I, a < b, takve da vrijedi: f(a) f(b) 0. Tada u intervalu [a,b] postoji barem jedna točka lokalnog ekstrema za funkciju

48 yf(), to jest postoji točka lokalnog maksimuma M [a,b] (za koju vrijedi f( M ) f() za sve [a,b]) ili lokalnog minimuma m [a,b] (za koju vrijedi f( m ) f() za sve [a,b]). Tvrdnja M (Postojanje točaka lokalnog maksimuma i lokalnog minimuma): Neka je funkcija yf() neprekinuta na zatvorenom intervalu [a,b], f: [a,b] R. Tada u intervalu [a,b] postoje točke lokalnog maksimuma ili lokalnog minimuma za funkciju yf(), odnosno postoje M [a,b] i m [a,b] takvi da je f( M ) f() i f( m ) f() za sve [a,b].

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

1 Limesi, asimptote i neprekidnost funkcija

1 Limesi, asimptote i neprekidnost funkcija Slika Limesi, asimptote i neprekidnost funkcija. Limesi funkcija Zajedni ko svim varijantama esa funkcije je da se opisuju (procjenjuju) vrijednosti zadane funkcije u okolini neke vrijednost varijable.

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija

O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija O fiksnim točkama... O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija Matea Jelčić, Kristina Ivankić, Mirela Katić Žlepalo 3 i Bojan Kovačić Sažetak U ovom članku razmatramo fiksne točke četiriju

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE Boris Guljaš predavanja Zagreb, 3.2.2014. ii Posljednji ispravak: utorak, 18. travanj 2017. Sadržaj 1 Skupovi N, Z, Q, R, C, R n 1 1.1 Skupovi N, Z, Q, R........................

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna i logaritamska funkcija 16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu P R I P R E M N I Z A D A C I za DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G. 005 / 006. UPUTSTVO: 1. Za svaki od prva četiri zadatka

Διαβάστε περισσότερα

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, MATEMATIČKA ANALIZA I & II Boris Guljaš predavanja Zagreb,.9.007. ii Posljednji ispravak: petak, 6. ožujak 009. Uvod Matematička analiza I. & II. su standardni jednosemestralni kolegiji koji se predaju

Διαβάστε περισσότερα