שגיאות בפתרון שאלות במתמטיקה

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "שגיאות בפתרון שאלות במתמטיקה"

Transcript

1 שגיאות בפתרון שאלות במתמטיקה מוטי בן ארי המחלקה להוראת המדעים מכון ויצמן למדע c by Moti Ben-Ari. This work is licensed under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. To view a copy of this license, visit licenses/by-sa/3.0/ or send a letter to Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA. מבוא העוסקים במתמטיקה שוגים ומנסים דרכי פתרון שמובילות למבוי סתום! בספרים מופיעים שכתובים נקיים ומסודרים של ההוכחות והחישובים ולא את ערימות הנייר שנזרקו לפח בדרך. לדעתי, חשוב לראות בשגיאה לא סימן לכישלון אלא אתגר שיש להתמודד איתו. במסמך זה אביא פתרונות לשאלות מבחינות הבגרות במתמטיקה (שאלון 806, תשע"ד ותשע"ה) פחות או יותר כפי שפתרתי כולל שגיאות. לאחר ההתאוששות מהשגיאה אדון במאפייני השגיאה. * * * ברצוני להודות לרונית בן בסט לוי ולאביטל אלבוים כהן שקראו את המסמך והעירו הערות מועילות. במקרים מסויימים הן הציעו דרכי פתרון אחרות. לא שניתי את דרכי הפתרון שלי כדי לשמור על "אוטנטיות", ולכן שילבתי את הצעותיהן בסעיפי "המסקנות".

2 קיץ תשע"ה מועד ב, שאלה 1 סעיף א תרשים תנועה מפגש ראשון מפגש שני יוסי אוטובוס אמא יוסי ריצה המפגש הראשון הוא הנקודה בה יוסי יושב באוטובוס ורואה את אימו. הוא נוסע ימינה עד התחנה ואז רץ שמאלה כדי להשיג את אימו במפגש השני. סימונים מהירויות: אמא v, e יוסי בריצה v, r יוסי באוטובוס v. a זמנים: אמא t, e יוסי בריצה t, r יוסי באוטובוס t. a פתרון המרחק שיוסי רץ שווה לסכום המרחקים שאמו הולכת ושל נסיעתו באוטובוס: v r t r = v e t e + v a t a. (1) נתון: יוסי משיג את אמא לאחר פרק הזמן בו שנסע באוטובוס וגם רץ: t e = t a + t r. (2) 2

3 v r = 2v e = v a /7. נתון יחסי המהירויות: שנציב עבור v e, v a במשוואה :(1) v r t r = v e t e + v a t a v r t r = v r 2 t e + 7v r t a t r = t e 2 + 7t a t e = 14t a + 2t r. ביחד עם משוואה (2) יש לנו שתי נוסחאות עבור t: e t a + t r = t e = 14t a + 2t r נתון נוסף הוא שזמן הנסיעה באוטובוס t a שווה ל 10 שניות. לכן: 10 + t r = t r t r = 150. סעיף ב נתון: יוסי הולך ביחד עם אמו ובקצב שלה למשך 3 דקות. מכאן שהמרחק שהלכו הוא 3v. e כדי לחזור לתחנת האוטובוס, יוסי חייב לרוץ מרחק זה ועוד המרחק שרץ קודם כדי להשיג את אמו שהוא 150v. 4 נסמן ב t h את הזמן שיוסי רץ בהחזרה. נרכיב את הכל הנתונים ונקבל: t h = 3v e + 150v r v r = v e v r = v e 2v e = שגיאה! משהו לא הגיוני. רק עוד 1.5 שניות? עיון חוזר בשאלה מגלה שהם הלכו ביחד 3 דקות שהן 180 שניות. לכן התשובה הנכונה היא: t h = v e 2v e = 240. עבדנו קשה מדי הזמן שיוסי רץ מורכב מהזמן לחזור לנקודת המפגש ועוד הזמן מהמפגש לתחנה. אבל כבר חישבנו שהזמן לחזור מהמפגש לתחנה הוא 150 שניות. למספר זה נחבר את הזמן הדרוש לרוץ את המרחק שהלכו ביחד במשך שלוש דקות. מהירות הריצה היא פי שנים ממהירות ההליכה, ולכן = /2 = h.t 3

4 מסקנות קרא בעיון את השאלה. כל מילה חשובה. כאן יש מוקש בהחלפת היחידות משניות לדקות אבל המוקש מודגש וניתן לנחש שלהדגשה יש משמעות! פתרתי את חלק ב' בצורה מסובכת מדי. ייתכן שהייתי שם לב לדרך הפשוטה לו טרחתי לעדכן את תרשים התנועה: מפגש ראשון מפגש שני נקודת פנייה יוסי אוטובוס יוסי ריצה אמא הליכה ביחד יוסי ריצה בחזרה ריצה נוספת בחרזה בתרשים המורחב, יוסי מצטרף לאמו במפגש השני והם הולכים ביחד בקצב הליכה של אמו עד לנקודת הפנייה חזרה של יוסי. כמובן שהמרחק מנקודת הפנייה עד למפגש השני שווה למרחק מהמפגש השני ועד לנקודת הפנייה. אפשר להפריד את המסלולים של יוסי ושל אימו בתרשים התנועה: מפגש ראשון מפגש שני אמא יוסי אוטובוס יוסי ריצה מקובל לארגן את הנתונים בטבלה: מרחק מהירות זמן ק"מ ק"מ לשניה שניות 140v 14v 10 יוסי אוטובוס 2vt 2v t יוסי ריצה v(t + 10) v + 10 t אימא 4

5 תרשים תנועה דו ממיד ניתן לפתור את הבעיה בקלות אם נסתייע בתרשים דו ממדי של התנועה, כאשר הציר האופקי הוא זמן והציר האנכי הוא מרחק: תחנה a מפגש 1 b 10 t 180 t 1 e t 1 מפגש 2 פרידה c d = a יוסי נוסע באוטובוס = b יוסי רץ = c אמא הולכת = d יוסי ואמא הולכים ביחד = e יוסי רץ נסמן מהירויות: = v y יוסי, = v a אמא, = v b אוטובוס. נתונים וסימונים של זמן רשומים על ציר הזמן בקטעים בין הנקודות. סעיף א נתון:.v y = v b /7,v y = 2v a המרחק שאמא עוברת בין מפגש 1 למפגש 2 שווה למרחק מהתחנה למפגש 2 פחות המרחק ממפגש 1 לתחנה: לאחר הצבת הנתונים על המהירויות: v a (t + 10) = v y t v b 10. v y 2 (t + 10) = v yt 7v y 10 נקבל = 150.t סעיף ב אמא הוכלת ממפגש 1 לנקודת הפרידה ב = שניות. יוסי רץ פי שניים מהר יותר מאמא, ולכן את הדרך חזרה למפגש 1 הוא עובר ב = t שניות. האוטובוס נוסע ממפגש 1 לתחנה ב 10 שניות. יוסי רץ פי שבע לאט יותר מהאוטובוס, ולכן את הדרך ממפגש 1 לתחנה הוא עובר ב = 70 2 t שניות. את הדרך חזרה מנקודת הפרידה לתחנה יוסי עובר ב = t 1 + t שניות. 5

6 חורף תשע"ה, שאלה 2 סעיף א סכום שני איברי האמצע לפי הנוסחה הנתונה: a 50 + a 51 = 4n + 2 = = 202. סעיף ב סדרה היא חשבונית אם ההפרש בין שני איברים עוקבים קבוע ולא תלוי ב n. לאיברים הזוגיים: a 2k+2 a 2k = a 2k+2 + a 2k+1 a 2k+1 a 2k = (a 2k+1 + a 2k+2 ) (a 2k + a 2k+1 ) = (4(2k + 1) + 2) (4(2k) + 2)) = 8k k 2 = 4. לאיברים האי זוגיים: a 2k+3 a 2k+1 = a 2k+3 + a 2k+2 a 2k+2 a 2k+1 = (a 2k+2 + a 2k+3 ) (a 2k+1 + a 2k+2 ) = (4(2k + 2) + 2) (4(2k + 1) + 2)) = 8k k 4 2 = 4. 6

7 סעיף ג אם לסדרה 101 איברים, האיבר באמצע הסדרה הוא a 51 שהוא מספר במקום אי זוגי בסדרה, וניתן לחשב אותו לפי הנוסחה a n = a 1 + n) d(1 כאשר הנוסחה מתייחסת רק לסדרת האיברים במקומות האי זוגיים 2(k 1)+1 k 26, b :1 b 1 = a = a 1, b 2 = a = a 3,..., b 26 = a = a 51. a 51 = b 26 = b 1 + (k 1) d = = 104. לכן: סעיף ד מהנוסחה לסכום של סדרה חשבונית: S = (2 4 + (101 1) 4) = 408 = שגיאה! הוכחנו שהאיברים הזוגיים הם סדרה חשבונית והאיברים האי זוגיים הם סדרה חשבונית, אבל לא הוכחנו שכל האיברים הם סדרה חשבונית אחד. אם בודקים מספר איברים מתחילת הסדרה נראה מיד שהסדרה כולה אינה חשבונית: 4, 2, 8, 6, 12, 10, 16, 14,... (3) המספרים הזוגיים מופיעים מעט גבוה יותר כדי להדגיש שתת הסדרות הן סדרות חשבוניות אבל הסדרה כולה אינה חשבונית. הפתרון הוא לסכם את כל אחת משתי הסדרות בנפרד ולחבר את הסכומים: S odd = 51 2 ( ) = 51 2 S even = 50 2 ( ) = = = 5000 S odd + S even = מסקנות אין בהכרח קשר בין סדרה לבין תת הסדרות שלה, לכן יש להקפיד על קריאה מדוייקת של השאלה כדי לוודא באיזו סדרה מדוברת. כאן ראינו שסדרה המורכבת משתי סדרות חשבוניות אינה בהכרח חשבונית. ההיפך גם נכון. נתון הסדרה החשבונית: a 1 = 2, a 2 = 4, a 3 = 6, a 4 = 8, a 5 = 10, a 6 = 12, a 7 = 14, a 8 = 16,... תת הסדרה a n כאשר n הוא מספר ראשוני היא לא סדרה חשבונית: a 2 = 4, a 3 = 6, a 5 = 10, a 7 = 14, a 11 = 22, a 13 = 26,... יש להקפיד בניסוחים להבדיל בין איברי הסדרה ומקומותיהם בסדרה. במדעי המחשב משתמשים במונח קצר וברור index לתיאור מקום בסדרה. בשאלות על סדרות כדאי לרשום מספר איברים מתחילת הסדרה כדי לקבל מבט כללי על הסדרה. סדרת המספרים ב (3) מראה בצורה ברורה שהסדרה המקורית אינה חשבונית. 7

8 קיץ תשע"ה מועד ב, שאלה 2 סעיף א ניתן לבטא את הערכים של איברים עוקבים על ידי הוספת ההפרש לאיבר הראשון: a n+1 = a n + d, a n+2 = a n + 2d. מהנוסחה הנתונה הראשונה: a 2 n+2 a 2 n = 216 (a n + 2d) 2 a 2 n = 216 a 2 n + 2a n d + 4d 2 a 2 n = 216 2a n d + 4d 2 = 216 a n d + 2d 2 = 108. מהנוסחה הנתונה השנייה: a n + a n+1 + a n+2 = 54 a n + a n + d + a n + 2d = 54 3a n + 3d = 54 a n = 54 3d 3 a n = 18 3d. אם נציב את הביטוי עבור a n במשוואה הראשונה נקבל משוואה ריבועית ב d: (18 3d)d + 2d 2 = d 3d 2 + 2d = 0 d d 108 = 0 d = 18 ± שפתרונה היא: 8

9 הביטוי בשורש לא יכול להיות שלילי. החשד המיידי הוא שגיאה בחישובים ואכן יש שגיאה! כאן שתיים. השגיאה הראושנה היא טעות במכפלה: a 2 n+2 a 2 n = 216 (a n + 2d) 2 a 2 n = 216 a 2 n + 4a n d + 4d 2 a 2 n = 216 4a n d + 4d 2 = 216 a n d + d 2 = 54. השגיאה השנייה גם היא טעות פשוטה בחישוב: a n + a n+1 + a n+2 = 54 a n + a n + d + a n + 2d = 54 3a n + 3d = 54 a n + d = 18. מההצבה מקבלים תוצאה הגיונית: (18 d)d + d 2 = 54 18d d 2 + d 2 = 54 18d = 54 d = 3. שים לב שלא גמרנו לפתור את השאלה שביקשה את ערכו של a: n a n = 18 d = 18 3 = 15. סעיף ב נחשב את האיבר a: 5 a 5 = a 1 + 4d = = = 9. (4) נרשום את סדרת האיברים כדי לוודא שלא טעינו במקדם 4 של d: a 1 = 21, a 2 = 18, a 3 = 15, a 4 = 12, a 5 = 9. בסדרה החדשה האינדקסים קופצים בהפרשים של 4 יחסית לסדרה המקורית. מהשוואה (4) רואים שההפרש של הסדרה החדשה הוא = , אבל כדי לוודא נרשום את הסדרה: a 5 = 9, a 6 = 6, a 7 = 3, a 8 = 0, a 9 = 3, ואכן ההפרש בין 9 ל 3 הוא 12. בסדרה החדשה, ניתן לרשום את האינדקס של האיבר הראשון כ = 5 והאינדקס של האיבר האחרון הוא + 1 4k, כך שיש k איברים בסדרה השנייה. 9

10 סכום הסדרה החדשה נתונה ונשתמש בנוסחה לסכום הסדרה: פתרון המשוואה הריבועית: k (2 9 + (k 1) 12) 2 = 450 k ( k 12) 2 = 450 6k 2 15k 450 = 0 2k 2 5k 150 = 0. k = 5 ± = 5 ± 35 4 כי מספר האיברים חיובי. מסקנות = 40 4 = 10 אין מנוס מבדיקת החישובים שוב ושוב. בדוק את החישובים מייד, לאחר סיום הפתרון, ואם יש זמן לאחר השלמת הבחינה. שימוש במחשבון לא פותר מבדיקת החישובים כי טעויות בהקלדה הן שכיחות כמו טעויות בחישוב. מומלץ "לבזבז" עוד כמה שניות כדי לרשום חישובים לפרטי פרטים. אני חישבתי ריבוע של ביטוי בראש ויכול להיות שכתיבת הריבוע כמכפלה היתה מונעת את הטעות: (a n + 2d) 2 a 2 n = (a n + 2d)(a n + 2d) a 2 n. מאותה סיבה, כדאי לפשט משוואות לפני שפותרים אותן: 3a n + 3d = 54 a n + d = 18. זה נחמד אם אתה זוכר ש 54 מתחלק ב 3, אבל גם אם לא, כדאי לבדוק בחילוק או אפילו במחשבון כי יש פחות סיכוי לטעות עם מספרים קטנים. אפשרות אחרת היא לפרק את הפולינום: a 2 n+2 a 2 n = (a n+2 a n )(a n+2 + a n ). הצבה של a 2+n = a n + 2d מובילה מיד לפתרון. אכן, ראיתי תלמידים רבים המסרבים לבדוק פירוק של פולינומים, גם כאשר הפירוק יכול לספק הבנה טובה של חישוב. 10

11 חורף תשע"ה, שאלה 3 אתחיל עם פתרון נכון ואחר כך אציג פתרון חלופי שגוי. פתרון ראשון סעיף א נסמן ב A את האירוע של משתתף בחוג לריקודי עם וב T את האירוע של משתתף בחוג לתיאטרון. x הוא ההסתברות של האירוע T ולפי המידע הנתון, ההסתברות של האירוע :2x הוא A T 2x p(a T ) A T 1 x A לפי המידע הנתון, כולל הקביעה שהאירועים בלתי תלויים:.6 p(t ) = p(a T ) = P (A) P (T ). 0.6x = 2x x 0.6 = 2x x = 0.3 לכן: נרשום ערכים מספריים בטבלה: T T A 0.4 A תשובה לסעיף זה של השאלה היא 18%. 11

12 סעיף ב עם: אנו צריכים עכשיו את ההסתברות המותנית כי בוחרים מתוך המשתתפים בריקודי p(t/a) = p(t A) p(a) p(t/a) = p(t A) p(a) = p(t )p(a) p(a) = 0.18 או:, 0.3 = 0.6 = p(t ) = 0.3. מנוסחת ברנולי נקבל את ההסתברות של לפחות שני משתתפים בחוג לתיארטון כאחד פחות ההסתברות של אפס או אחד משתתפים בחוג לתיאטרון: ( ) ( ) (0.3 0 )(0.7 6 ) (0.3 1 )(0.7 5 ) = = פתרון שני פרט לקביעה שהאירועים בלתי תלויים, הבעיה מנוסחת כבעיה על קבוצות ולא כבעיה בהסתברות, לכן ניסיתי לפתור בצורה אחרת. נסמן: מספר המשתתפים רק בחוג ריקודי עם = A. מספר המשתתפים רק בחוג לתיאטרון = T. מספר המשתתפים בשני החוגים = S. מכאן שמספר המשתתפים בריקודי עם הוא A + S ומספר המשתתפים בתיאטרון הוא T. + S לפי המידע בבעיה: A + S = 2(T + S) A = 2T + S 0.6(T + S) = S T = S 0.6S = S A = S + S = 7 3 S החלק של התושבים המשתתפים בשני החוגים הוא: והתשובה היא 25%. S S + A + T = S S S S = 3 12, מה הבעיה עם הפתרון? התוצאה חשודה כי לא השתמשנו במידע שהאירועים בלתי תלויים. הבעיה היא בהנחה שכל התושבים משתתפים בלפחות חוג אחד. אם מסתכלים שוב על הטבלה, חסר נתון למשבצת A. T אם יש תושבים שלא משתתפים בחוגים, יש נעלם נוסף וצריכים להשתמש במידע על אירועים בלתי תלויים, וזה מחזיר אותנו לפתרון על ידי הסתברות ולא קבוצות. מה מקור ההנחה? ניתן לפרש את המשפט הראשון בשאלה כך שהוא מפרט את עיסוקם של כל תושבי בעיר. מסקנות אסור להניח שתיאור של קבוצות מכסה את כל המרחב אלא אם כתוב כך במפורש. למשל, בסעיף ב' כתוב: כל התושבים המשתתפים בחוג לריקודי עם, ורק הם. 12

13 קיץ תשע"ד מועד ב, שאלה 3 סעיף א בונים עץ לפי המידע בשאלה: בן = 0.6 בת = 0.4 א = 0.25 ב = 0.9 א = 0.75 ב = 0.1 ההסתברות שתלמיד בוחר מסלול א' מתקבלת מסכום ההסתברויות המסומנות: = שגיאה! רואים שהעץ לא הגיוני כי כאשר יוצאים שני צאצאים מצומת, סכום ההסתברויות צריך להיות אחד. מקור הטעות הוא בקריאה לא נכונה של המשפט: 75% מן התלמידים שבחרו במסלול א' הן בנות. פירשתי את ההסתברות המותנית בצור הפוכה כאילו שזה אחוז התלמידות שבחרו במסלול א'. פתרון א נשתמש בנוסחה להסתברות מותנית: p(bat aleph) = p(bat/aleph)p(aleph) = p(aleph/bat)p(bat). p(aleph) = p(aleph/bat)p(bat) p(bat/aleph) = (1 0.1) = ומכאן: 13

14 פתרון ב נשתמש בנוסחה להסתברות מותנית בשני שלבים: 0.1 = p(bet/bat) = p(bet bat) p(bat) = p(bet bat) 0.4, p(bet bat) = = 0.04 נציב בטבלה את הערכים הידועים והערך שחישבנו: bat ben aleph 0.36 bet ונקבל ש = 0.36 aleph).p(bat נשתמש שוב בנוסחה להסתברות מותנית: p(bat/aleph) = p(bat aleph) p(aleph), p(aleph) = p(bat aleph) p(bat/aleph) = = ונקבל: הפתרון הראשון נראה פשוט יותר אבל השני יכול להתאים למי שרגיל לעבוד עם טבלאות. סעיף ב עם הפתרון ש 48. = p(aleph) נוכל להשלים את הטבלה: bat ben aleph bet נחשב: p(aleph bat) = 0.36 p(aleph)p(bat) = = 0.192, והמאורעות אינם בלתי תלויים. סעיף ג אם נבחר בת אחת ההסתברות שהיא בחרה מסלול א' היא: = 0.36 bat).p(aleph ההסתברות שלפחות בת אחת מתוך שתיים בחרה מסלול א' היא: ( 2 1 ) 0.36 (1 0.36) + ( 2 2 ) = = שגיאה! בחרו רק בנות ולכן מדובר בהסתברות מותנית: p(bet/bat) = 0.1, p(aleph/bat) =

15 פתרון א בת אחת מתוך אחת בחרה מסלול א': 0.9. נבדוק תחילה מה ההסתברות שלפחות בת אחת מתוך שתיים בחרה מסלול א'. מנוסחת ברנולי: ( 2 1 ) 0.9 (1 0.9) + ( 2 2 ) = = ולכן מספר הבנות שנבחרו הוא 2. פתרון ב עדיף לא לפתור בניסוי וטעיה אלא לזהות את הנעלם מספר הבנות שנבחרו ולמצוא משוואה עם הנעלם. ההסתברות שאף בת לא בחרה במסלול א' היא = ההסתברות שאף בת מתוך n בנות לא בחרה במסלול א' היא (0.1) n ונתון שהסתברות זו היא = מספר הבנות הוא פתרון המשוואה: (0.1) n = 0.01, שהוא = 2.n מסקנות בניסוח שאלות בהסתברות לא נאמר במפורש "הסתברות מותנית", ועליך להבין מתוך מילים כגון "מן", "מבין" שמדובר בהסתברות מותנית. מכאן יש לקרוא שאלות אלו במשנה זהירותכדי לוודא שהבנת נכון. צריך לשקול אם להשתמש בטבלה או בעץ או לוותר עליהם ולהסתפק בנוסחאות לבד. אם הפתרון לא יוצא בשיטה אחת כדאי לנסות שיטה אחרת. אמנם הנוסחה להסתברות מותנית והנוסחה של בייס נתונות, אבל אני מעדיף להסתכל עליהן ביחד כך: p(a/b)p(b) = p(a B) = p(b/a)p(a). אני מוצא שקל לזכור את הנוסחאות האלו וקל להציב ערכים ידועים כדי לפתור שאלה. בשאלה הדורשת לבחור פריט מתוך אוכלוסיה אפשר להעדיף שימוש בטבלה ולא בעץ. 15

16 קיץ תשע"ד מועד ב, שאלה 4 סעיף א A 30 O 1 30 x 90 E B 20 O 2 D 20 C (1) הקו AB משיק לשני המעגלים ולכן הזוויות O 1 AE, O 2 BE ישרות. הזוויות הקודקודיות AEO 1, BEO 2 גם הן שוות. מכאן שהמשולשים O 1 AE, O 2 BE דומים. נסמן ב x את הקטע O 1 E ונקבל את היחס: x 30 = O 1E O 1 A = O 2E O 2 B = 90 x. 20 נפתור את המשוואה עבור x ונקבל = x ו = 54 x. לכן: O 1 E O 1 C = = 9 5. (2) המשיק AB ניצב ל AC, BD ולכן קווים אלה מקבילים, והזוויות המתחלפות, CO 1 E DO 2 E שוות. הזוויות הקודקודיות O 1 EC, O 2 ED גם שוות ולכן המשולשים דומים: EO 1 C EO 2 D. 16

17 סעיף ב הפתעה ושגיאה! ברור מהציור שהנקודה E נמצאת על הקו,CD אבל מסתבר שצריך להוכיח את הטענה, ולכן ההוכחה הקודמת שגויה. למרות שהמשושלים O 1 EC, O 2 ED דומים, ייתכן שהזוויות O 1 EC, O 2 ED אינן זוויות קודקודיות. אפשר לתקן את הוכחה על ידי שימוש בעובדה שהוכחנו בסעיף א ש O. 1 AE O 2 BE ערכי הרדיוסים שווים ואנו מקבלים יחס: O 1 C O 2 D = r 1 r 2 = O 1A O 2 B = O 1E O 2 E, והדמיון בין המשולשים O 1 EC, O 2 ED נובע מהיחס בין שני צדדים והשווין של הזווית המתחלפות ביניהם. CO 1 E, DO 2 E נתבונן בזוויות סביב הנקודה E: A D O 1 β α E α β O 2 B C בגלל המשולשים הדומים O 1 EC, O 2 ED ו O 1 AE O 2 BE הזוויות המסומנות α שוות וגם הזוויות המסומנות β. לפי נתוני השאלה, AB הוא קו ישר ולכן: AED = 180 α β. CED = 180 α β + α + β = 180, מכאן ש ולכן CD קו ישר. מסקנה לעולם אין לסמוך על ציור! 17

18 אין לסמוך על ציור כדי להדגים את המלכודת הממתינה למי שמסתמך על ציור, אביא הוכחה שכל משולש הוא משולש שווי שוקיים! בציור להלן P היא נקודת החיתוך בין חוצה הזווית של A לבין האנך האמצעי של,D,E F.BC הן נקודות החיתוך של האנכים מ P אל הצלעות. A α α E P F B a D a C AP הוא חוצה הזווית של הזווית. A המשולשים AP,E AP F הם ישר זווית עם זוויות שוות וצלע AP משותף כך שהם חופפים. P D הוא אנך אמצעי כך ש BD = DC ולכן המשולשים DP B, DP C חופפים. מכאן ש.P B = P C המשלושים EP B, F P C הם ישר זווית עם יתר שווה ולכן גם הם חופפים. ניתן להסיק ש AE + EB = AF + F C והמשולש ABC שווה שוקיים. ההוכחה נכונה ויחסית פשוטה, אז מה הבעיה? הבעיה היא שהציור אינו נכון! אם תבנו את הציור תוך מדידת הזווית A ומציאת נקודת האמצע D, תגלו שהנקודות P ו E או F נמצאות מחוץ למשולש. 18

19 חורף תשע"ד, שאלה 5 B β a y A D a y β α α β E 180 (α + β) C סעיף א (1) המשולשים ADE, BDE חופפים בגלל שני צלעות שווים והזווית (הישרה) ביניהם. לכן, הזווית β = DAE והזווית.α β = EAC דרך אחרת לראות את החפיפה היא לשים לב שהקטעים המסומנים y שווים כי הנקודה E היא על האנך האמצעי ולכן במרחק שווה nקצות הקטע,A. B (2) היתרים AE, EB שווים ומסומנים והזווית (α + β) = ECA.180 לפי משפט הסינוסים במשולש : ECA CE sin(α β) = AE sin(180 (α + β)) = EB sin(180 (α + β)), CE EB = sin(α β) sin 180 (α + β) = sin(α β) sin(α + β). ולכן: 19

20 סעיף ב נתון = 40 β ABC = והוכחנו ש. BAE = β נתון גם ש AE חוצה זווית כך ש = EAC. BED = AED = במשולשים החופפים ישר הזווית נקבל = 50. BAE = 40 הזווית המשלימה CEA היא = ולכן = = ECA. מרכז המעגל החסום במפגש של חוצי הזוויות. חוצה הזוית ב C יפגוש את חוצה הזוית ב A: A O C נתון = 10 AC ולפי חוק הסינויסים: 10 sin 110 = AO = AO sin 30, 10 sin 30 sin 100 = 5.3. שגיאה! רדיוס המעגל החסום הוא לא המרחק OA אלא הניצב OF לצלע,AC כי AC הוא המשיק למעגל והניצב מהמרכז למשיק הוא הרדיוס. החישוב פשוט: מסקנות A O F.OF = AO sin 40 = 5.3 sin 40 = 3.4 C אי אפשר להדגיש מספיק את החשיבות של קריאה מדוקדקת של השאלה במבחן. במיוחד חשוב להבין מה הפתרון הנדרש. מקרה אחר שנתקלתי בו היה דרישה לחשב את כל הזוויות במשולש ואין לעצור לאחר חישוב זווית אחת או שתיים אפילו שברור איך להשלים את הפתרון. הייתי צריך לצייר את המעגל ואז הייתי רואה ש OF הוא הרדיוס. O A F C 20

21 חורף תשע"ד, שאלה 6 א. (1) לא יכול להיות ש = 0 a x 2 x + כי > 1 a ותמיד.x 2 x לכן אין אס' אנכיות. נבדוק אס' אופקיות על ידי חילוק בגורם עם המעלה הגבוהה ביותר: x a x x + a x 2. כאשר 1 x, 0 a x 2,± x,0 והביטוי שואף ל.1 מכאן שיש אס' אופקית ב = 1.y (2) הפונקציה מוגדרת לכל מספר ממשי לכן ייתכנו רק נקודות קיצון כאשר הנגזרת מתאפסת: f (x) = (2x + 1)(x2 x + a) (2x 1)(x 2 + x a) (x 2 x + a) 2 = 0. בהשמטת המכנה שהוא חיובי: (2x 3 2x 2 + 2xa + x 2 x + a) (2x 3 + 2x 2 2xa x 2 x + a) = 0 (0, 1), ( ) 2a, 4a2 + a 4a 2 a ( = 2a, 4a + 1 4a 1 2x 2 + 4xa = 0. הנגזרת מתאפסת בנקודות: כדי לקבוע את סוג נקודות הקיצון, נבדוק את הסימן של הנגזרת השניה, ושוב ניתן להשמיט את המכנה החיובי של הנגזרת הראשונה כדי לקבל את הסימן של הנגזרת השנייה: ( 2x 2 + 4ax) = 4x + 4a. הביטוי חיובי כאשר = 0 x ונקודת הקיצון היא מינימום. הביטוי שלילי כאשר x = 2a ונקודת הקיצון היא מקסימום. 21 ).

22 שגיאה קבלנו את התשובה הנכונה אבל הנימוק לא בהכרח נכון. חישוב הנגזרת של מנה הוא: ( ) f = f g fg. g g 2 הפונקציה g מופיעה גם במונה ולא רק במכנה ואסור להשמיט אותה בחישוב הנגזרת השניה. הנה גרף של המונה של הנגזרת הראשונה 2x : 2 + 4ax (0, 0) (2a, 0) והנה הגרף של הנגזרת הראשונה: (0, 0) (2a, 0) כצפוי צורת הגרף שונה אבל לא הנקודות בהן הנגזרת מתאפסת, ולכן גם לא המעבר של הנגזרת מחיובי לשלילי או משלילי לחיובי. הנגזרת השניה היא בעצם השיפוע של הנגזרת הראשונה, ואת זה ניתן לבדוק בחישוב השינוים בסימני הערכים סביב הערכים בהם הנגזרת הראשונה מתאפסת. (אנו מסתמכים על הרציפות של הפונקציה.) כדי לבדוק את שינוי הסימנים אכן אפשר להשמיט את המכנה: x 1 0 a 2a 3a 2x 2 + 4ax 2 4a 0 2a 2 0 6a 2 < 0 0 > 0 0 < 0. השיפוע חיובי ב 0 ויש כאן מינימום. השיפוע שלילי ב 2a ויש כאן מקסימום. (3) בגלל ש > 1 a נקודת הקיצון השניה נמצאת מעל לאס' = 1 y ומכאן גרף הפונקציה הוא: ( ) 2a, 4a+1 4a 1 (0, 1) ב. נתון תחום 0 x, הישר 1 = x וציר ה x. חישוב השטח הוא: = f (x) = ( 2x 2 + 4xa)dx

23 שגיאה אנחנו רגילים לבדוק נקודות קיצין תוך התעלמות ממכנה חיובי. אבל כאן עלינו לבצע אינטגרציה של הנגזרת ולא רק של המונה שלו. בנוסף, האינטגרל של הנגזרת הוא הפונקציה הנתונה, כך שאין בכלל צורך בחישוב מייגע = f (x) = f(0) f( 1) = 1 1 a a + 2 = 2 a + 2. מפתרון המשוואה 2 = 1 מקבלים 6 =.a 2 a+2 שגיאה נזכור שהשאלה קבעה ש > 1 a. אפשר גם שים לב ששטח לא יכול להיות שלילי. מעיון בגרף או מבדיקת כמה ערכים, נגלה שהנגזרת הראשונה שלילית כאשר < 0 x. עלינו לבצע אניטגרציה לשלילת הפונקציה כדי לקבל: = f (x) = f(0) + f( 1) = 1 + a 1 a + 2 = 2 a + 2. מפתרון המשוואה = 2 1 מקבלים = 2.a 2 a+2 אמנם מצאנו את הערך של a אבל השאלה דרשה את נקודות החיתוך של f(x) עם ציר ה x. בגלל שהמכנה חיובי יש לחשב את ערכי x בהם המונה מתאפס: x 2 + x 2 = 0 (x + 2)(x 1) = 0 ונקודות החיתוך הן (0,1),(0,2 ). עיון בגרף מראה שהתשובה מתאימה. מסקנות אי אפשר להפריז בחשיבות של קריאה מדוקדקת של השאלה ועבודה מסודרת: לקחנו רק את המונה של נגזרת במקום הנגזרת עצמה. עצרנו בשמחה לאחר חישוב a בלי לשים לב שהשאלה דרשה נקודות חיתוך. לפני חישוב שטח יש לבדוק אם השטח או חלקו נמצא מתחת לציר ה x ולהיערך בהתאם. לפעמים כותבי הבחינה מניחים סוכריות ולא רק מלכודות. אינטגרציה של נגזרת כאשר הפונקציה עצמה נתונה. כאן הם ביקשו לבצע בבדיקה האם יש מינימום או מקסימום כאשר הנגזרת הראשונה מתאפסת, לא תמיד כדאי לחשב במפורש את הנגזרת השניה. אפשר לבדוק ערכים של הנגזרת הראשונה כדי לזהות את השיפועים. 23

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 שאלון: 316, 035806 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 E נתון: 1 רוכב אופניים רכב מעיר A לעיר B

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

גיאומטריה גיאומטריה מצולעים ניב רווח פסיכומטרי

גיאומטריה גיאומטריה מצולעים ניב רווח פסיכומטרי מצולע הוא צורה דו ממדית, עשויה קו "שבור" סגור. לדוגמה: משולש, מרובע, מחומש, משושה וכו'. אלכסון במצולע הוא הקו המחבר בין שני קדקודים שאינם סמוכים זה לזה. לדוגמה: בסרטוט שלפניכם EC אלכסון במצולע. ABCDE (

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

b2n-1 ב. נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית יורדת כדי לרשום את הנתון: 1-q = 0.8 b 1-q 1=0.8(1+q) q= 1 4 פתרון לשאלה 2

b2n-1 ב. נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית יורדת כדי לרשום את הנתון: 1-q = 0.8 b 1-q 1=0.8(1+q) q= 1 4 פתרון לשאלה 2 פתרון מבחן מס' פתרון לשאלה א. להוכיח כי סדרה c היא סדרה הנדסית משמע להוכיח כי היחס בין איברים סמוכים בסדרה הוא מספר n c n +n c מכיוון ש- q הוא מספר קבוע, סדרה = b n+ = bq n =q cn bn- bq n- :b n קבוע. אם

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 ס"מ = CD.

שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 סמ = CD. טריגונומטריה במישור 5 יח"ל טריגונומטריה במישור 5 יח"ל 010 שאלונים 006 ו- 806 10 השאלות 1- מתאימות למיקוד קיץ = β ( = ) שאלה 1 במשולש שווה-שוקיים הוכח את הזהות נתון: sin β = sinβ cosβ r r שאלה נתון מעגל

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/ בגרות לבתי ספר על יסודיים סוג הבחינה: מדינת ישראל קיץ תשע"א, מועד ב מועד הבחינה: משרד החינוך 035804 מספר השאלון: דפי נוסחאות ל 4 יחידות לימוד נספח: מתמטיקה 4 יחידות לימוד שאלון ראשון תכנית ניסוי )שאלון

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

גיאומטריה גיאומטריה מעגלים ניב רווח פסיכומטרי

גיאומטריה גיאומטריה מעגלים ניב רווח פסיכומטרי מושגים בסיסיים: פאי: π היא אות יוונית המביעה את הקשר בין רדיוס וקוטר המעגל לשטחו והיקפו (על הקשר עצמו נרחיב בהמשך). ערכו המספרי של π הוא 3.14 בבחינה הפסיכומטרית לרוב נתייחס ל- π בקירוב (הוא ממשיך אין-סוף

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx פרק 9: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי O 9 ושל בציור שלפניך מתוארים גרפים של הפרבולה f() = נמצאת על הנקודה המלבן CD מקיים: הישר = 6 C ו- D נמצאות הפרבולה, הנקודה נמצאת על הישר, הנקודות ( t > ) OD = t נתון:

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

עבודת קיץ למואץ העולים לכיתה י' סדרות:

עבודת קיץ למואץ העולים לכיתה י' סדרות: ב( ג( א ) עבודת קיץ למואץ העולים לכיתה י' סדרות: תרגילי חימום.... בסדרה חשבונית האיבר השמיני גדול פי מהאיבר הרביעי. סכום אחד-אשר האיברים הראשונים בסדרה הוא. 0 ( מצאו את האיבר הראשון של הסדרה. ( מצאו את

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

33 = 16 2 נקודות. נקודות. נקודות. נקודות נקודות.

33 = 16 2 נקודות. נקודות. נקודות. נקודות נקודות. 1 מבחן מתכונת מס ' משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. מבנה ה ומפתח הערכה: ב זה שלושה פרקים. פרק א': אלגברה והסתברות: נקודות. נקודות. נקודות. נקודות. 1 33 = 16 3 3 פרק ב': גיאומטריה וטריגונומטריה במישור: 1 33

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשעו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים: לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1

Διαβάστε περισσότερα

טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות

טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות את הפונקציות הטריגונומטריות ניתן להגדיר באמצעות הקשרים בין הניצבים לבין היתר ובין הניצבים עצמם במשולש ישר זווית בלבד: לדוגמה: סינוס זווית BAC (אלפא)

Διαβάστε περισσότερα

שיעור.1 חופפים במשולש שווה שוקיים יחידה - 31 חופפים משולשים 311

שיעור.1 חופפים במשולש שווה שוקיים יחידה - 31 חופפים משולשים 311 יחידה :31חופפים משולשים נחפוף משולשים ונוכיח תכונות של אלכסוני משולשים שווה שוקיים ואלכסוני המלבן. שיעור.1חופפים במשולש שווה שוקיים נחקור ונוכיח תכונות של משולש שווה שוקיים נתון משולש שווה שוקיים שבו.

Διαβάστε περισσότερα

פתרון 4. a = Δv Δt = = 2.5 m s 10 0 = 25. y = y v = 15.33m s = 40 2 = 20 m s. v = = 30m x = t. x = x 0.

פתרון 4. a = Δv Δt = = 2.5 m s 10 0 = 25. y = y v = 15.33m s = 40 2 = 20 m s. v = = 30m x = t. x = x 0. בוחן לדוגמא בפיזיקה - פתרון חומר עזר: מחשבון ודף נוסחאות מצורף זמן הבחינה: שלוש שעות יש להקפיד על כתיבת יחידות חלק א יש לבחור 5 מתוך 6 השאלות 1. רכב נוסע במהירות. 5 m s לפתע הנהג לוחץ על דוושת הבלם והרכב

Διαβάστε περισσότερα

א. חוקיות תשובות 1. א( קבוצות ספורט ב( עצים ג( שמות של בנות ד( אותיות שיש להן אות סופית ; ה( מדינות ערביות. 2. א( שמעון פרס חיים הרצוג. ב( לא.

א. חוקיות תשובות 1. א( קבוצות ספורט ב( עצים ג( שמות של בנות ד( אותיות שיש להן אות סופית ; ה( מדינות ערביות. 2. א( שמעון פרס חיים הרצוג. ב( לא. א. חוקיות. א( 1; ב( ; ג( השמיני; ד( ; ה( האיבר a שווה לפי - מיקומו בסדרה ; ו( = ;a ז( 9 = a ;.6 א( דוגמה: = a. +.7 א( =,1 + = 6 ;1 + ג( את המספר האחרון: הוא זה שמשתנה מתרגיל לתרגיל. 8. ב( 1 7 a, המספר

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה שאלון ו' נקודות. חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, טריגונומטריה שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות עלול לגרום לפסילת הבחינה.

מתמטיקה שאלון ו' נקודות. חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, טריגונומטריה שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות עלול לגרום לפסילת הבחינה. בגרות לבתי ספר על-יסודיים מועד הבחינה: תשס"ח, מספר השאלון: 05006 נספח:דפי נוסחאות ל- 4 ול- 5 יחידות לימוד מתמטיקה שאלון ו' הוראות לנבחן משך הבחינה: שעה ושלושה רבעים. מבנה השאלון ומפתח ההערכה: בשאלון זה

Διαβάστε περισσότερα

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת

Διαβάστε περισσότερα

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד. חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.

Διαβάστε περισσότερα

םיאלמ תונורתפ 20,19,18,17,16 םינחבמל 1 להי רחש ןולאש הקיטמתמב סוקופ

םיאלמ תונורתפ 20,19,18,17,16 םינחבמל 1 להי רחש ןולאש הקיטמתמב סוקופ פתרונות מלאים למבחנים 0,9,8,7,6 פוקוס במתמטיקה שאלון 3580 שחר יהל העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית. פתרון מבחן מתכונת מס' 6 פתרון שאלה א. נקודות A ו- B נמצאות על הפונקציה

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11 אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6

Διαβάστε περισσότερα

יחידה - 7 זוויות חיצוניות

יחידה - 7 זוויות חיצוניות יחידה 7: זוויות חיצוניות שיעור 1. זווית חיצונית למצולע מה המשותף לכל הזוויות המסומנות ב-? נכיר זווית חיצונית למצולע, ונמצא תכונה של זווית חיצונית למשולש. זווית חיצונית למצולע 1 כל 1. הזוויות המסומנות במשימת

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים TECHNION Iael Intitute of Technology, Faculty of Mechanical Engineeing מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 d e C() y P() - ציור : דיאגרמת הבלוקים? d(t) ו 0 (t) (t),c() 3 +,P() + ( )(+3) שאלה מס נתונה

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל-

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל- מ'' ל'' Deprmen of Applied Mhemics Holon Acdemic Insiue of Technology PROBABILITY AND STATISTICS Eugene Knzieper All righs reserved 4/5 חומר לימוד בקורס "הסתברות וסטטיסטיקה" מאת יוג'ין קנציפר כל הזכויות

Διαβάστε περισσότερα

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1 גמישויות הגמישות מודדת את רגישות הכמות המבוקשת ממצרך כלשהוא לשינויים במחירו, במחירי מצרכים אחרים ובהכנסה על-מנת לנטרל את השפעת יחידות המדידה, נשתמש באחוזים על-מנת למדוד את מידת השינויים בדרך כלל הגמישות

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשסט 467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010.

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010. ודים בוגיינקו תורגם ע"י מריה סבצ'וק משוואות פ ל זהו תרגום מרוסית של הספר: В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 00. http://biblio.mccme.ru/ode/34/shop קובץ PDF של ההוצאה הראשונה ברוסית:

Διαβάστε περισσότερα

סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9

סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 תוכן העניינים מבוא לפרק "סימני התחלקות" ב 3, ב 6 וב 9............ 38 א. סימני ההתחלקות ב 2, ב 5 וב 10 (חזרה)............ 44 ב. סימן ההתחלקות ב 3..............................

Διαβάστε περισσότερα

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים.

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל לוח יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. קבל קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. על לוח אחד מטען Q ועל לוח שני מטען Q. הפוטנציאל על כל לוח הוא

Διαβάστε περισσότερα

co ארזים 3 במרץ 2016

co ארזים 3 במרץ 2016 אלגברה לינארית 2 א co ארזים 3 במרץ 2016 ניזכר שהגדרנו ווקטורים וערכים עצמיים של מטריצות, והראינו כי זהו מקרה פרטי של ההגדרות עבור טרנספורמציות. לכן כל המשפטים והמסקנות שהוכחנו לגבי טרנספורמציות תקפים גם

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה )שאלון שני לנבחנים בתכנית ניסוי, 5 יחידות לימוד( 1 מספרים מרוכבים 3#2 3 3

מתמטיקה )שאלון שני לנבחנים בתכנית ניסוי, 5 יחידות לימוד( 1 מספרים מרוכבים 3#2 3 3 סוג הבחינה: בגרות לבתי ספר על יסודיים מדינת ישראל מועד הבחינה: חורף תשע"ב, 202 משרד החינוך מספר השאלון: 035807 דפי נוסחאות ל 5 יחידות לימוד נספח: א. משך הבחינה: שעתיים. מתמטיקה 5 יחידות לימוד שאלון שני

Διαβάστε περισσότερα

את כיוון המהירות. A, B

את כיוון המהירות. A, B קיץ 6 AB, B A א. וקטור שינוי המהירות (בקטע מ A ל B), עפ"י ההגדרה, הוא: (עפ"י הסימונים שבתרשים המהירות בנקודה A, למשל, היא ). נמצא וקטור זה, באופן גרפי, ונזכור כי אין משמעות למיקום הוקטורים:. (הערה עבור

Διαβάστε περισσότερα

שיעור 1. זוויות צמודות

שיעור 1. זוויות צמודות יחידה 11: זוגות של זוויות שיעור 1. זוויות צמודות נתבונן בתמרורים ובזוויות המופיעות בהם. V IV III II I הדסה מיינה את התמרורים כך: בקבוצה אחת שלושת התמרורים שמימין, ובקבוצה השנייה שני התמרורים שמשמאל. ש

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה טריגונומטריה

מתמטיקה טריגונומטריה אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 5 לתלמידי 4 ו- יחידות לימוד כ- 50 תרגילים עם פתרונות מלאים הקדמה ספר זה הוא חלק מסדרת ספרים "המדריך המלא לפתרון תרגילים" הסדרה מיועדת לשימוש כהשלמה

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הנושא: פתרון בעיות באמצעות שיטת הנסיגה הוכן ע"י: תמר זמיר תקציר: בחומר מוגדר המושג רקורסיה

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

משרד החינוך המזכירות הפדגוגית אגף מדעים הפיקוח על הוראת המתמטיקה

משרד החינוך המזכירות הפדגוגית אגף מדעים הפיקוח על הוראת המתמטיקה משולשים חופפים, תיכון במשולש )41 שעות( ומשולש שווה שוקיים שתי צורות נקראות חופפות אם אפשר להניח אחת מהן על האחרת כך שתכסה אותה בדיוק )לשם כך ניתן להזיז, לסובב ולהפוך את הצורות(. בפרק זה נתמקד במשולשים

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים לכסון מטריצות יהי F שדה ו N n נאמר שמטריצה (F) A M n היא לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית כלומר, אם קיימת מטריצה הפיכה (F) P M n כך ש D P AP = כאשר λ λ 2 D = λ n

Διαβάστε περισσότερα

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 0 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי I גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות

Διαβάστε περισσότερα

PDF created with pdffactory trial version

PDF created with pdffactory trial version הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח

Διαβάστε περισσότερα

Data Studio. AC1_Circuit_R.ds כרך : חשמל

Data Studio. AC1_Circuit_R.ds כרך : חשמל טל': 03-5605536 פקס: www.shulan-sci.co.il 03-5660340 מעגל זרם חילופין - 1 למעגל יש רק התנגדות - R Data Studio שם קובץ הניסוי: AC1_Circuit_R.ds חוברת מס' 8 כרך : חשמל מאת: משה גלבמן טל': 03-5605536 פקס:

Διαβάστε περισσότερα

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z.

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z. פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן הגדרה 5. טורלורןסביבקוטב z מסדרm שלפונקציה( f(z הואמהצורה n m a n(z z m. למשל,טורלורן שלהפונקציה e z /z 2 סביב הוא + 2./z 2 +/z+/2+/3!z+/4!z משפט 5. תהי f פונקציה אנליטית

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

שיעור 1. מושגים והגדרות

שיעור 1. מושגים והגדרות יחידה 12: הגדרות, משפטים והוכחות שיעור 1. מושגים והגדרות בעבר הגדרנו מושגים רבים: זוויות צמודות, זוויות קדקודיות, חפיפה של מצולעים, דמיון של מצולעים ועוד. נדון בשאלות מהי הגדרה, וכיצד מגדירים מושג במתמטיקה.

Διαβάστε περισσότερα

ניתן לקבל אוטומט עבור השפה המבוקשת ע "י שימוששאלה 6 בטכניקתשפה המכפלה שנייה כדי לבנות אוטומט לשפת החיתוך של שתי השפות:

ניתן לקבל אוטומט עבור השפה המבוקשת ע י שימוששאלה 6 בטכניקתשפה המכפלה שנייה כדי לבנות אוטומט לשפת החיתוך של שתי השפות: שאלה 1 בנה אוטומט המקבל את שפת כל המילים מעל הא"ב {,,} המכילות לפחות פעם אחת את הרצף ומיד אחרי כל אות מופיע הרצף. ניתן לפרק את השפה לשתי שפות בסיס מעל הא"ב :{,,} שפת כל המילים המכילות לפחות פעם אחת את

Διαβάστε περισσότερα

2 a 2 x ( ) a3 x 2

2 a 2 x ( ) a3 x 2 . טכניקה אלגברית חד-איבר (חזרה) ביטויים מהסוג: 5a,b (-)bc,-a 7,y המהווים מכפלה של מספרים, אותיות (משתנים) וחזקות, מכונים חד-איבר. גם מספר, משתנה או חזקה בודדים מכונים חד-איבר. לדוגמה, כל אחד מהביטויים

Διαβάστε περισσότερα

דינמיקה כוחות. N = kg m s 2 מתאפסת.

דינמיקה כוחות. N = kg m s 2 מתאפסת. דינמיקה כאשר אנו מנתחים תנועה של גוף במושגים של מיקום, מהירות ותאוצה כפי שעשינו עד כה, אנו מדלגים על ניתוח הכוחות הפועלים על הגוף. כוחות אלו ומסתו של הגוף הם אשר קובעים את תאוצתו. על מנת לקבל קשר בין הכוחות

Διαβάστε περισσότερα

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב מערך תרגיל קורס 89-33 סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי למדעי המחשב יוני 05, גרסה 0.9 מבוא נתחיל עם כמה דגשים: דף הקורס נמצא באתר.www.math-wiki.com שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר

Διαβάστε περισσότερα

המחלקה להוראת המדעים כל הזכויות שמורות הוא מציב בכל צד מוט אופקי לתמיכה במסגרת כמו בתמונה. 1. א. באיזה משולש הקטע המקווקו הוא קטע אמצעים?

המחלקה להוראת המדעים כל הזכויות שמורות הוא מציב בכל צד מוט אופקי לתמיכה במסגרת כמו בתמונה. 1. א. באיזה משולש הקטע המקווקו הוא קטע אמצעים? יחידה 33: קטע אמצעים שיעור 1. קטע אמצעים במשולש מוטי בונה נדנדת גן. הוא מציב בכל צד מוט אופקי לתמיכה במסגרת כמו בתמונה. המוטות, הצבועים באדום, מחברים את אמצעי העמודים. כיצד יחשב מוטי את אורך המוט האדום?

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה 3 קומבינטוריקה נוסחת ניוטון משפט מולטינומי. + t עבור ( ) + t

הרצאה 3 קומבינטוריקה נוסחת ניוטון משפט מולטינומי. + t עבור ( ) + t ROBABILITY AND STATISTIS הסתברות וסטטיסטיקה יוג'ין מאת קנציפר Eugee Kazieper All rights reserved 5/6 כל הזכויות שמורות 5/6 הרצאה קומבינטוריקה עצרת של מספר ופונקצית גאמא עקרון הכפל סידורים ובחירות תמורות

Διαβάστε περισσότερα

עבודת קיץ לקראת כיתה ט' מצויינות מתמטיקה

עבודת קיץ לקראת כיתה ט' מצויינות מתמטיקה עבודת קיץ לקראת כיתה ט' מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם יודעים כיצד לפתור אותן. את העבודה יש להגיש במהלך השבוע

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה שאלון 804 מבחני בגרות ובחינות חזרה.

מתמטיקה שאלון 804 מבחני בגרות ובחינות חזרה. מתמטיקה שאלון 804 מבחני בגרות ובחינות חזרה הקדמה כללית: ספרי התרגילים של גול הינם פרי של שנות ניסיון רבות בהוראת חומרי הלימוד ובהגשה לבחינות הבגרות במתמטיקה הן בבתי הספר התיכוניים, הן בבתי הספר הפרטיים

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

פרק ראשון - אלגברה והסתברות ) ענה על שתיים מהשאלות 1-3 (לכל שאלה

פרק ראשון - אלגברה והסתברות ) ענה על שתיים מהשאלות 1-3 (לכל שאלה שאלון - 806 מבחן פרק ראשון - אלגברה והסתברות ) ענה על שתיים מהשאלות - (לכל שאלה נק') 6 נק') A n יואב ודניאל עובדים בהעמסת ארגזים למשאיות במפעל. יואב מסוגל להעמיס לבדו 0 ארגזים בשעה. דניאל מסוגל להעמיס

Διαβάστε περισσότερα

T 1. T 3 x T 3 בזווית, N ( ) ( ) ( ) התלוי. N mg שמאלה (כיוון

T 1. T 3 x T 3 בזווית, N ( ) ( ) ( ) התלוי. N mg שמאלה (כיוון קיץ 006 f T א. כיוון שמשקל גדול יותר של m יוביל בסופו של דבר למתיחות גדולה יותר בצידה הימני, m עלינו להביט על המצב בו פועל כוח החיכוך המקס', ז"א של : m הכוחות על הגוף במנוחה (ז"א התמדה), לכן בכל ציר הכוחות

Διαβάστε περισσότερα

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p; מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות בנושאים () זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות () מיונים השאלות פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת T() כאשר = T() = T( ) + log T() = T() כאשר =

Διαβάστε περισσότερα

הסתברות שבתחנה יש 0 מוניות ו- 0 נוסעים. הסתברות שבתחנה יש k-t נוסעים ו- 0 מוניות. λ λ λ λ λ λ λ λ P...

הסתברות שבתחנה יש 0 מוניות ו- 0 נוסעים. הסתברות שבתחנה יש k-t נוסעים ו- 0 מוניות. λ λ λ λ λ λ λ λ P... שאלה תורת התורים קצב הגעת נוסעים לתחנת מוניות מפולג פואסונית עם פרמטר λ. קצב הגעת המוניות מפולג פואסונית עם פרמטר µ. אם נוסע מגיע לתחנה כשיש בה מוניות, הוא מייד נוסע במונית. אם מונית מגיעה לתחנה כשיש בתחנה

Διαβάστε περισσότερα

ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ. Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â. ÈÂÒÈapple  Ó

ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ. Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â. ÈÂÒÈapple Â Ó ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ ÂȈ appleâù Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â ÈÂÒÈapple Â Ó תוכן העניינים 7 9 6 0 8 6 9 55 59 6 מושגים בסיסיים... אינטרוולים וסביבות... מאפיינים של פונקציות... סוגי הפונקציות ותכנותיהם...

Διαβάστε περισσότερα