Algoritmi in podatkovne strukture 2. Številska drevesa
|
|
|
- Αλκιππη Παπανικολάου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Algoritmi in podatkovne strukture 2 Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 1
2 Osnove rekurzivna podatkovna struktura ključi so tako veliki, da ne moremo na enkrat primerjati dveh ključev (npr. nizi črk ali nizi bitov) zato organiziramo podatkovno strukturo tako, da rekurzivnost ni definirana na podlagi celotnih ključev, ampak na osnovi ene črke ključa primerjave nas vodijo od korena do lista, le da so sedaj primerjave narejene po bitih elemente shranimo v liste, medtem ko notranja vozlišča uporabimo samo za usmerjanje poti (za razdelitev na podmnožice) velikost črke ključa je poljubna: črka abecede (A..Ž), nukleotid v DNK (A, C, G, T), en bit (bitno/binarno primerjanje) v splošnem imamo abecedo Σ takšni strukturi rečemo trie, ker je uporabna za iskanjeretrieval (E. Fredkin) šteli bomo število poizvedovanj po črki ključa (dostopov) in ne primerjav Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 2
3 Primer imamo binarne (bitne) črke abecede {0,1} in imejmo bitno predstavitev naslednjih ključev: Imejmo ključe črka bitna predstavitev črka bitna predstavitev A C E G H I J K L M N O P R S X Z {A,C,E,G,H,I,L,M,R,S} Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 3
4 Gradnja črke jemljemo po vrsti od prve naprej ob vsaki črki razdelimo množico na dva ( Σ ) podmnožic, dokler ni v podmnožici samo še en element Definirali smo invarianco podatkovne strukture. Imamo ključe: {A,C,E,G,H,I,L,M,R,S} A C E G H I L M R S Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 4
5 Iskanje iščimol=01100: pogledamo prvi bit in je0, zato gremo v levo podstrukturo (pod-trie) pri naslednjih dveh bitih gremo obakrat desno, kjer je njuna vrednost1 na koncu še dvakrat levo in smo našlil iščimoj=01010: pogledamo prve tri bite in gremo levo, desno in levo pri četrtem bitu ne moremo desno, ker tam ni poddrevesa, torejjni v strukturi Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 5
6 Iskanje malce drugače če nadaljujemo z iskanjem po obstoječi poti levo, pridemo do ključai ključije sosed ključaj; celo najbljižji sosed toda, če iščemo ključk=01011 tudi najdemo ključi, ki pa ni več najbližji sosed Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 6
7 Iskanje soseda takšnemu iskanju rečemo tudi iskanje najboljšega ujemanja ali najboljšega odgovora v obeh primerih smo našli levega soseda kako v splošnem najdemo levega soseda poiščimo še: P =10000,O=01111 ini=01001 Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 7
8 Iskanje levega, desnega in najbližjega soseda iskanje levega soseda, ali najmanjšega elementa v strukturi, ki je že večji od iskanega elementa: Zadnjič, ko sem šel v strukturi desno, pojdi levo in potem kar se dâ desno. in iskanje desnega soseda največjega elementa v strukturi, ki je še manjši od iskanega elementa kaj pa iskanje najbližjega soseda? Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 8
9 Operacije običajne operacije: Najdi,Dodaj inizloci dodatne operacije: NajdiManj, NajdiVec in posplošena operacija: Najdi, ki sedaj najde najbolj podobni element v strukturi Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 9
10 Vstavljanje Invarianca: črke jemljemo po vrsti od prve naprej ob vsaki črki razdelimo množico na dva ( Σ ) podmnožic, dokler ni v podmnožici samo še en element vstavljanje J = je preprosto vstavljanjeo=01111: namestondodamo notranje vozlišče, ki ima listanino vstavljanjez=11010: pri iskanju mesta naletimo nax namestoxdodajamo nova notranja vozlišča, dokler ne dobimo vozlišča, kjer sexinz razlikujeta Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 10
11 Brisanje Invarianca: črke jemljemo po vrsti od prve naprej ob vsaki črki razdelimo množico na dva ( Σ ) podmnožic, dokler ni v podmnožici samo še en element postopek je obraten postopku vstavljanja brišemoc: brišemoc ker je notranje vozlišče nepotrebno, ga nadomestimo s preostalim listoma brišemox,z,s: brišemo vse predhodnikes, ki imajo samo en element v poddrevesu preostali element je lahko samo brat (zakaj?) Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 11
12 Brisanje algoritem pobriši element if (brat IS list) zamenjaj starša z bratom while (stari starš HAS samo enega otroka) samenjaj starega starša s staršem Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 12
13 Analiza recimo, da je naš ključ velik m črk v našem primeru je dolg 5 bitnih črk in od tu bomo analizirali primer, ko imamo samo binarno abecedo v vsakem primeru potrebujemo m = O(m) dostopov (primerjav), da se sprehodimo do lista pri običajnem iskanju, kaj pa pri posplošenem iskanju? velikost strukture je v najslabšem primeru 2n 1 + n(m lgn) = O(nm) vozlišč. Zakaj? največ lahko rokujemo z M = 2 m različnimi elementi, ki jim pravimo univerzalna množica. Primeri univerzalnih množic: naše črke-ključi tvorijo množico velikosti 2 5 = 32 vsi IPv4 naslovi na svetu tvorijo množico 2 32 = IP naslovov vsa cela števila, s katerimi (običajno) računamo, tvorijo množico 2 64 = števil,... Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 13
14 cela števila lahko obravnavamo kot elemente z enovitim ključem, ali kot elemente s ključem sestavljenim iz črk (binarne/bitne) abecede npr. namesto po bitih, po zlogih na primer, ko n postaja vedno večji ter se po velikosti približuje M, postane O(m) iskanje povsem primerljivo z iskanji v običajnih podatkovnih strukturah Vprašanje: imamo univerzalno množico velikosti M in njeno podmnožico velikosti n < M/2. Koliko bitov potrebujemo, da predstavimo podmožico? Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 14
15 Analiza povzetek vse operacije imajo enak čas O(m) prostor je 2n 1 + n(m lgn) = O(nm) kaj je najbolj motečega v naši strukturi (prostorsko)? Kakšne ideje za izboljšave? Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 15
16 Primer imamo binarne (bitne) črke abecede {0,1} in imejmo bitno predstavitev naslednjih ključev: Imejmo ključe črka bitna predstavitev črka bitna predstavitev A C E G H I J K L M N O P R S X Z {A,C,E,G,H,I,L,M,R,S} Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 16
17 Primer A C E G H I L M R S opazujmo predvsem naslednje tri vrste vozlišč: a) zunanja, b) notranja z enim naslednikom in c) notranja z 2 naslednikoma. POZOR: dostop do vsakega vozlišča stane eno enoto! kolikšno je število vozlišč a), b) in c)? čemu potrebujemo vozlišča b) in čemu vozlišča c)? kakšna je razlika v uporabi enih in drugih? ugotovitve so:... Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 17
18 Stiskanje poti path compression na poti od korena do lista: izpustimo vsa vozlišča, ki imajo samo enega naslednika v preostala vozlišča dodamo informacijo, kateri bit po vrsti naj primerjamo ali koliko bitov naj preskočimo A C E G H I L M R S OPAŽANJE: če smo izločili notranja vozlišča v, imajo vsi nasledniki tega vozlišča poljubno vrednost bita, ki ga je predstavljalo opuščeno vozlišče. Zato, ko pridemo do lista, smo našli samo kandidata in moramo še preveriti, ali smo našli iskani ključ ali katerega drugega. Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 18
19 Stiskanje poti analiza čas: nespremenjen ali boljši prostor: O(n) Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 19
20 Definicija razreda imamo dve vrsti vozlišč: notranja: hranijo podatke o levem in desnem poddrevesu ter številko primerjanega bita listi: hranijo element vsa vozlišča pa imajo enake metode: iskanje, vstavljanje in izločanje torej naredimo vmesnik z definicijo vseh teh metod in iz njega izpeljemo dva različna razreda definirajte vmesnik in oba razreda za domačo nalogo class Patricia class PatInternal class PatLeaf Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 20
21 Vstavljanje Invarianca: črke jemljemo po vrsti od prve naprej ob vsaki črki razdelimo množico na dva ( Σ ) podmnožic, dokler ni v podmnožici samo še en element OPAŽANJE: za vsak list velja, da indeksi bitov padajo po poti od korena do lista ko pridemo do lista, ki ne vsebuje vstavljanega elementa, se lahko zgodi: 1. da se ključa elementov razlikujeta v bitu, ki je kasneje (nižje) od lista tedaj samo vstavimo novo notranje vozlišče 2. sicer je potrebno: (a) poiskati prvi bit, na katerem se ključa razlikujeta (zakaj vozlišča za ta bit zagotovo še ni v strukturi?) (b) na to mesto dodati novo notranje vozlišče (prim. zgornje opažanje) (c) kot poddrevesi novega vozlišča nastopata staro poddrevo in list, ki predstavlja vstavljani element časovna zahtevnost ostaja O(m) Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 21
22 Vstavljanje poenostavitev Invarianca: črke jemljemo po vrsti od prve naprej (za vsak list velja, da indeksi bitov padajo po poti od korena do lista) ob vsaki črki razdelimo množico na dva ( Σ ) podmnožic, dokler ni v podmnožici samo še en element Vedno dodamo notranje vozlišče na mestu lista, le v tem primeru zgornje opažanje ne bo več držalo. Kaj bo posledica? Je takšen pristop pravilen? Nova invarianca: za vsak list velja, da so indeksi bitov po poti od korena do lista različni ob vsaki črki razdelimo množico na dva ( Σ ) podmnožic, dokler ni v podmnožici samo še en element Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 22
23 Brisanje ter iskanje soseda brisanje je obratna operacija vstavljanju, le da sedaj pobrišemo poleg lista še eno od notranjih vozlišč in sicer tisto, ki je prvi starš brisanemu listu časovna zahtevnost ostaja O(m) kaj v primeru poenostavitve? iskanje sosedov poteka na enak način kot pri običajnem trie kaj pa v primeru poenostavitve? Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 23
24 Polja in drevesa polja so implicitne podatkovne strukture, kjer do posameznih elementov dostopamo s pomočjo indeksa, ki je izračunljiv iz vrednosti ključa v O(1) času drevesa so eksplicitne podatkovne strukture, kjer do posameznih elementov dostopamo s pomočjo referenc velikost drevesnih struktur je O(n), oziroma toliko, da se shranijo vsi elementi in reference, ki jih pa ni (bistveno) več kot elementov prostor, ki zaseda polje, načeloma ni odvisen od trenutnega števila elementov v strukturi n (ima kdo kakšno idejo, kako se temu izogniti? NAMIG: amortizacijske podatkovne strukture.) Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 24
25 v splošnem, če imamo univerzalno množico velikosti M in iz nje n elementov, potem: polje: potrebuje O(M) prostora in O(1) časa ter drevo: potrebuje O(n) prostora in O(logn) (O(logm)) časa optimalno: potrebujemo najmanj (M ) lg nlg M n n = n(lgm lgn) = n(m lgn) bitov Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 25
26 Najboljše od obeh ko je n = O(M) (gosta množica), je smiselneje uporabiti polje in ko je n zelo majhen (redka množica), je smiselneje uporabiti drevo opažanje velja tudi za majhne delčke univerzalne množice IDEJA: uporabili bomo hkrati dve strukturi: polje in drevo, pač glede na lokalno gostoto Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 26
27 Primer Vzemimo, da imamo naslednje elemente črka bitna predstavitev črka bitna predstavitev A I P X Z A I P 4 X Z Zgornji nivoji predstavljajo gosto množico in jih lahko nadomestimo s poljem ter dobimo A I P X 4 Z Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 27
28 Nivojsko stisnjena drevesa LC tries definirajmo gostoto α in če je na nekem nivoju gostota elementov večja od α, drevo stisnemo še po nivoju postopek: 1. pričnemo s drevesom PATRICIA 2. od korena proti listom se spuščamo po nivojih (plasteh) l, dokler je v plasti več kot α 2 l elementov 3. ko ni več, prejšnje plasti stisnemo in ponovimo korak 2 z novim korenom IZZIV: kako tvoriti optimalno LC drevo? optimizacijski problem Andrej Brodnik: Algoritmi in podatkovne strukture 2 / Številska drevesa osnove, PATRICIA, LC Trie (03) 28
KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Tretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Numerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Algebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Osnove elektrotehnike uvod
Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.
Kotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Algoritmi nad grafi v jeziku linearne algebre
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Tinkara Toš Algoritmi nad grafi v jeziku linearne algebre DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Reševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Splošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Posplošena električna dominacija
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Aleš Omerzel Posplošena električna dominacija DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE
1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...
ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων
Kotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
![matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):](/thumbs/87/96579490.jpg "matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):")
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Navadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Osnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II
Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.
Dragi polinom, kje so tvoje ničle?
1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.
Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Matematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
p 1 ENTROPIJSKI ZAKON
ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:
Matrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Analiza I. (študijsko gradivo) Matija Cencelj
Analiza I (študijsko gradivo) Matija Cencelj 2. maj 2007 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Izjave............................... 5 1.2 Množice.............................. 7 1.3 Relacije..............................
vezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Fazni diagram binarne tekočine
Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Iskanje najkrajs e poti
Iskanje najkrajs e poti na Vojnovic, I. gimnazija v Celju nja Petkovic, Gimnazija Bez igrad, Ljubljana Matej Ros karic, SERS, Maribor Mentor: Uros Kuzman UL FMF 1 Uvod V vsakdanjem z ivljenju se velikokrat
REˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006
1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006 1. Dana je množica predpostavk p q r s, r t, s q, s p r, s t in zaključek t r. Odloči, ali je sklep pravilen ali napačen. pravilen, zapiši
Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Diagonalni gra. 1 Predstavitev diagonalnih grafov. Zvone Klun. Maj 2007
Diagonalni gra Zvone Klun Maj 2007 1 Predstavitev diagonalnih grafov Graf je diagonalen (ang. chordal), e ima vsak cikel dolºine 4 ali ve diagonalo. Kjer je diagonala (ang. chord) povezava med dvema vozli²
Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare
Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Laboratorij za termoenergetiko Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare po modelu IAPWS IF-97 izračunano z XSteam Excel v2.6 Magnus Holmgren, xsteam.sourceforge.net
1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
UPOR NA PADANJE SONDE V ZRAKU
UPOR NA PADANJE SONDE V ZRAKU 1. Hitrost in opravljena pot sonde pri padanju v zraku Za padanje v zraku je odgovorna sila teže. Poleg sile teže na padajoče telo deluje tudi sila vzgona, ki je enaka teži
1. TVORBA ŠIBKEGA (SIGMATNEGA) AORISTA: Največ grških glagolov ima tako imenovani šibki (sigmatni) aorist. Osnova se tvori s. γραψ
TVORBA AORISTA: Grški aorist (dovršnik) izraža dovršno dejanje; v indikativu izraža poleg dovršnosti tudi preteklost. Za razliko od prezenta ima aorist posebne aktivne, medialne in pasivne oblike. Pri
Lastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
VEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Funkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
10. poglavje. Kode za overjanje
10. poglavje Kode za overjanje (angl. Authentication Codes) Uvod Računanje verjetnosti prevare Kombinatorične ocene pravokotne škatje (ang. orthogonal arrays, OA) konstrukcije in ocene za OA Karakterizaciji
Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Funkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
MATEMATIKA ZA BIOLOGE
MATEMATIKA ZA BIOLOGE Zapiski predavanj Milan Hladnik Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana 2006 KAZALO I. DISKRETNA MATEMATIKA 3 1. Množice, relacije, funkcije 3 2. Kombinatorika in verjetnost 9
Najprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki:
NALOGA: Po cesi vozi ovornjak z hirosjo 8 km/h. Tovornjak je dolg 8 m, širok 2 m in visok 4 m in ima maso 4 on. S srani začne pihai veer z hirosjo 5 km/h. Ob nekem času voznik zaspi in ne upravlja več
Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM
Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Fakulteta za elektrotehniko 1 Slika 7. 2: Principielna shema regulacije AM v KSP Fakulteta za elektrotehniko 2 Slika 7. 3: Merjenje komponent fluksa s
Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
5.1 Predpogojevanje. K 1 Ax = K 1 b,
5.1 Predpogojevanje Konvergenca metod podprostorov za reševanje linearnega sistema Ax = b je v veliki meri odvisna od razporeditve lastnih vrednosti (in lastnih vektorjev) matrike A. Kadar je konvergenca
S programom SPSS se, glede na število ur, ne bomo ukvarjali. Na izpitu so zastavljena neka vprašanja, zraven pa dobimo računalniški izpis izračunov. T
2. predavanje RVM Kvantitativne metode Borut Kodrič, Koper 21.5.2010 Ključ za dostop do e-učilnice: RMD2009 Tekom srečanj bodo zadeve osvežene v smislu, da bodo okleščene. Morda bo dodan še kak rešen primer.
Arjana Žitnik. Rešene naloge iz kolokvijev in izpitov pri predmetu
Arjana Žitnik Rešene naloge iz kolokvijev in izpitov pri predmetu DISKRETNA MATEMATIKA 1 Študijsko gradivo za študente 1. letnika Finančne matematike Ljubljana, 2016 NASLOV: Rešene naloge iz kolokvijev
Kvantni računalnik. Avtor: Miha Muškinja Mentor: prof. dr. Norma Susana Mankoč Borštnik
Kvantni računalnik Avtor: Miha Muškinja Mentor: prof. dr. Norma Susana Mankoč Borštnik Vsebina predstavitve Moorov zakon, Osnove kvantnega računalnika: kvantni bit, kvantni register, Kvantna logična vrata,
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
3.1 Reševanje nelinearnih sistemov
3.1 Reševanje nelinearnih sistemov Rešujemo sistem nelinearnih enačb f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pišemo F (x) = 0, kjer je x R n in F : R n
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Logika in množice c
Logika in množice c226358 Andrej Bauer Davorin Lešnik 2018-02-01 2 Predgovor 4 Kazalo 1 Matematično izražanje 9 1.1 Pisave in simboli..................................... 9 1.2 Izrazi............................................
Povezanost. Izbrana poglavja iz diskretne matematike. 17. maj Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Finančna matematika
Povezanost Izbrana poglavja iz diskretne matematike Miha Eržen, Zala Herga, Nika Šušterič, Nina Zupančič Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Finančna matematika 17. maj 2012 17. maj
Vektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )
VAJA IZ TRDNOSTI (lnearna algebra - ponovtev, Kroneckerev δ, permutacsk smbol e k ) NALOGA : Zapš vektor a = [, 2,5,] kot lnearno kombnaco vektorev e = [,,,], e 2 = [,2,3,], e 3 = [2,,, ] n e 4 = [,,,]
Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Univerza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko MATEMATIKA Univerzitetni učbenik AJDA FOŠNER IN MAJA FOŠNER Junij, 2008 Kazalo 1 Množice 5 11 Matematična logika 5 12 Množice 10 2 Preslikave 18 21 Realne funkcije
8. Navadne diferencialne enačbe
8. Navadne diferencialne enačbe 8.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija