Konstruktion des Standardmodells. Marek Schönherr

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1 Konstruktion des Standardmodells Marek Schönherr

2 Gliederung Globale Symmetrien und Erhaltungsgrößen. agrangeformalismus für Felder. Komplexes skalares Feld.3 Fermionfeld okale Symmetrien und Eichfelder. Wechselwirkungsterme. Kinetischer Term des Eichfeldes.3 Masseterm des Eichfeldes 3 Standardmodell 3. Elektroschwacher Sektor 3. Higgs-Mechanismus 3.3 Starker Sektor Zusammenfassung iteratur

3 . agrangeformalismus für Felder agrangedichte 4 3 S dt d x d x = = = ( = Φ Φ, ) Euler agrange Gleichung = ( ) Φ Φ 0

4 . agrangeformalismus für Felder Noether-Theorem Zu jeder nvarianz der Wirkung unter kontinuierlichen, globalen Feldtransformationen existiert eine zeitunabhängige adung assoziiert mit einer erhaltenen Stromdichte. Noether-Stromdichte Erhaltene adung j = δφ Φ r 3 0 Q d x j x = ( ) r ( ) r

5 . Komplexes skalares Feld (, ) sei = Φ Φ U()-invariant erhaltene Stromdichte ( iα ) ( iα ) iα Φ Φ= e Φ + Φ Φ Φ = e Φ Φ + + iα + + Φ Φ= e ( Φ ) = Φ ( ) iα j ( ) + ( ) V ( ) = Φ Φ Φ (( ) + ( ) ) + = iα Φ Φ ΦΦ adung ( π π + + )( ) 3 Q iq d x x = Φ Φ

6 .3 Fermionfeld ( ) D = iψ m Ψ erhaltene Stromdichte unter U()-Symmetrie j = iψγ Ψ Ψ sosinglett erhaltene Stromdichte unter SU()-Symmetrie r i rij j Symmetrieladungen j = i Ψγ τ Ψ i, j ( ) U( ) U 3 0 Q iq d x γ = Ψ Ψ r ( ) ( ) r Q iq d x γτ = Ψ Ψ SU SU 3 i 0 ij j i, j Ψ sodublett

7 Forderung der nvarianz der Wirkung unter lokalen Symmetrietransformationen Notwendigkeit der Einführung der kovarianten Ableitung um Kovarianz der agrangedichte zu erhalten mit den Eichfeldern dann okale Symmetrien und Eichfelder Φ Φ = exp iq ( x) ( χ ) Φ Φ Φ= Φ Φ Φ ( ) iq( χ ) ( ) D = + iqa A A = A χ ( ) D Φ D Φ = D Φ

8 . Wechselwirkungsterme kinetischer Term der agrangedichte der Diracgleichung ( ) D =Ψ i DΨ=Ψ i + iqa Ψ = iψ Ψ qψγ ΨA kinetischer Term der agrangedichte der Klein-Gordon-Gleichung + ( ) ( ) ( ) ( ) + (( ) ) KG = D Φ D Φ = + iqa Φ + iqa Φ + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + = Φ Φ+ iq Φ Φ Φ Φ A q A A ΦΦ minimale Kopplung

9 . kinetischer Term des Eichfeldes Maxwell-Gleichungen in kovarianter Notation ν ν ν ν F = A A = j em Maxwell-agrangedichte em ν = F F j A 4 ν em i Fν = Aν νa = q D, Dν kinetischer Term des Eichfeldes A = 4 F F ν ν

10 . kinetischer Term des Eichfeldes nicht-abelscher Fall (SU()) F ν mit F ig nicht eichinvariant, sondern ( ig ) D = + W W SU () = α α W SU () Fν = D, Dν A τ α F α α β αβγ γ ν τ ν τ, τ = iε τ α α α α αβγ β γ ν = ν ν + SU () ε ν = ( F F ) α F W W g W W = Tr = ν α ν ν 4 ν α ν Tr ( Fν F ) F F

11 . kinetischer Term des Eichfeldes A enthält Wechselwirkungsterme = + A WW ( α β W W )( ν ν W W ) ν ν α β = = ig ε W W W g ε ε W W W W αβγ α β ν αδε ν δ ε WW SU () ν γ 4 SU () αβγ β γ ν, α ν, β, β, δ ν, γ ν, γ ν, ε

12 .3 Masseterm des Eichfeldes Massenterme des Eichfeldes m = m A A aber ( χ)( χ) A A A A = A A A A nicht eichinvariant Eichbosonen müssen masselos sein

13 3 Standardmodell phänomenologisches Modell nputs: - fundamentale Materie-Teilchen: Fermionen, Punktteilchen - Neutrinos sind masselos - em WW koppelt nur an elektrisch geladene Fermionen - schwache WW koppelt nur an linkshändige Fermionen - starke WW koppelt nur an Quarks - WW identisch für alle drei Familien besteht aus QCD und elektroschwachen Sektor Gruppenstruktur: ( 3) ( ) ( ) SU SU U c Y elektroschwacher Sektor zerfällt durch spontane Symmetriebrechung in QED und schwache WW

14 3 Standardmodell bekannte Teilchen und deren Eigenschaften: Masse adung Masse adung ν e MeV u + 3 Fermionen e ν ν τ 5 kev - 6 MeV GeV 06 MeV - 40 MeV GeV d c s t τ.78 GeV GeV b - 3 Bosonen γ g W / 80 GeV +/- Z 0 W GeV 0

15 3. Elektroschwacher Sektor Projektion des rechts- und linkschiralen Anteils der Fermionwellenfunktion mit Hilfe der Projektionsoperatoren 5 5 γ + γ P = P R = P P + P / R = P/ R R = + P / RΨ=Ψ / R P/ R= P P Ψ R/ / RΨ R/ = 0 +Ψ R =Ψ agrangedichten kinetische Terme der Fermionen =Ψ i DΨ +Ψ i DΨ = + kin R R, kin R, kin agrangedichten Massenterme der Fermionen ( ),, = m Ψ Ψ +Ψ Ψ + m R R m R m

16 3. Elektroschwacher Sektor SU U ( ) ( ) Y Generatoren der SU() : T α τ = U() : Y = id Y α eichkovariante Ableitung ( igyb ) J J J J D Ψ R = + δ ΨR r r D Ψ = + igyb δ + ig τ W δ Ψ (( ) ij ) ij ij J J J j J j Ψ und Ψ R transformieren sich unterschiedlich Massenterme sind nicht eichinvariant vorerst keine Massenterme in der agrangedichte

17 agrangedichte 3. Elektroschwacher Sektor EW = gauge +fermion r r = B B W W gauge ν 4 ν 4 ν ( ) J J,,,, i = i Ψ D Ψ +Ψ D Ψ fermion f f R f R f, J i, j f = l, q colour ν J ij J j mit J J J Ψ, ν J Ψ, u, c Ψ l, = J Ψ q, = J Ψe, Ψdc,, Ψ =Ψ Ψ = J J J Rl, Re, Rq, J J Ruc,, Rdc,, sodublett Ψ, Ψ sosinglett Fermionen und Eichbosonen sind noch masselos

18 lokale U()-Symmetrie: mit agrangedichte: 3.. Higgs-Mechanismus Φ Φ = exp( iω ) δφ= iδω Φ δω = δω ( x) ( ) + ( ) ( + ) = + Φ Φ Φ Φ ν λ 4 Fν F D D 4! v Grundzustand des Feldes ist unendlich oft entartet alle Grundzustände äquivalent, durch Symmetrietransformation ineinander überführbar Auswahl eines solchen Zustandes als Grundzustandes Φ = ( v,0) Τ 0 Φ

19 3.. Higgs-Mechanismus Feld in Polardarstellung: Φ= ρexp( iϑ) mit Transformationen: also agrangedichte in polarer Felddarstellung ρ ρ = ρ δρ = 0 ϑ ϑ = ϑ+ ω δϑ = δω D ρ = ρ δϑ D ϑ = ϑ+ ga = ϑ+ ga δω ( )( ) ρ ρ ρ ( ϑ)( ϑ) ( ρ) = F F + D D + D D + U ν 4 ν ( )( ) ρ ρ ρ ( ϑ )( ϑ ) ( ρ) = F F ga + ga + U ν 4 ν

20 3.. Higgs-Mechanismus Entwicklung des Feldes um den Grundzustand ρ = v ϑ = ρ ρ = ρ ϑ ϑ = ϑ v ( ρ v) ( )( ) ρ ρ ( ρ ) ( ϑ )( ϑ ) = F F ga + ga ν 4 ν v + U + Einführung eines neuen Feldes (Wahl einer Eichung für A ) c = A + g ϑ ( )( ) g ρ ρ ( ρ ) ( ρ ) ν = 4CνC v cc + U + v

21 3.. Higgs-Mechanismus ( )( ) g ρ ρ ( ρ ) ( ρ ) ν = 4CνC v cc + U + v da eichinvariant unter lokalen Transformation Wegtransformation von x mit ω x = ϑ x Unitäre Eichung neues Feld c massiv Higgs-Phänomen ϑ ( ) ( ) ( ) unphysikalischen Freiheitsgrade des -Feldes von Eichfeld absorbiert c haben jetzt drei Freiheitsgrade, wie für massive Vektorbosonen der Fall mc = gv ϑ ϑ = ϑ+ ω

22 3.. Higgs-Mechanismus im SM Einführung eines Terms für das Higgs-Feld ( ) + ( ) D D + ( + ) = Φ Φ + Φ Φ λ Φ Φ Potentialminimum bei Wahl des Grundzustands ΦΦ = + Entwicklung um den Grundzustand v λ 0 Φ 0 = v Φ + Φ= Φ 0 Φ + Φ=Φ Φ 0 = v Φ0

23 3.. Higgs-Mechanismus im SM in Polardarstellung r 0 ( i r ) v η Φ= exp v ξ τ + χ χ = SU()-Transformation, sodass unphysikalische Felder verschwinden r r r ( ) = exp( i ωτ ) U ω v r r Φ = U ω = Φ = ( ξ ) v +η χ kin. Term des Higgsfeldes in neuen Feldern + ( ) 3 ( ) ( ) v ( D D g W W ) ( g B g W ) Φ Φ = + + +WW 8 ξ i wobei die Masseneigenzustände der Felder W 3 und B gemischt sind

24 3.. Higgs-Mechanismus im SM Entmischung des B und W 3 Feldes innere Rotation A cosϑw sinϑ B W = 3 Z sinϑw cosϑ W W Einführung des W + und W tanϑ = W g g kin. Term des Higgsfeldes + ( ) ( ) + ( ) Massenterme W ± = W m iw ( ) D Φ D Φ = g W W + g + g Z +WW v 8 MW = v g M = g + g Z v M γ = 0

25 3.. Higgs-Mechanismus im SM eine Eichsymmetrie ungebrochen Eichfeld A U() em, Eichgruppe der QED mit Kopplung e= g cosϑ W = es lässt sich zeigen, dass gilt g gg + g Feld Z koppelt auch an rechtshändige Teilchen. Masse des Higgs ist Q = T + Y 3 = λv H Anomaliefreiheit und Annahmen: m - adung der Quarks bzw drei Farbzustände gleiche Anzahl an Quark- und eptonenfamilien + 3

26 3.. Higgs-Mechanismus im SM Fermionen noch masselos, daher Einführung eines Wechselwirkungsterms zwischen Fermionen und Higgs-Boson a % ( ) f f f J a J = Ψ Φ Ψ + Ψ Φ Ψ + Ψ Φ Ψ J i i a J i i a J i i J HF u, q R, u d, q R, d e R, e J, i a Φ % = iτ Φ * mit ladungskonjugiertes Higgs-Feld einsetzen des transformierten Higgs-Feldes in unitärer J J v Eichung liefert Massenmatrizen M = f ude,, ude,, J M ude nicht diagonal, da Masseneigenzustände i.a. keine,, Eigenzustände der schwachen WW sind diagonalisierbar mittels zweier unitärer Matrizen ST, M diag = + S MT

27 3.. Higgs-Mechanismus im SM damit K KM ( )( + )( + ) Ψ M Ψ = Ψ S S M T T Ψ i J J i i i MN NO OJ J R R, J, K, M, N, O, J KO, i K KO = Ψ M Ψ O diag R also J J Ψ = S Ψ Ψ = T Ψ i i i J J R R J J Umschreiben der agrangedichte auf Masseneigenvektoren ohne Einfluss auf die Struktur der Wechselwirkung, da kovariante Ableitung diagonal in Flavour-ndizes und S und Tk diagonal in sospin- und Colour-ndizes

28 3.. Higgs-Mechanismus im SM allerdings treten für Terme mit W + und W Ausdrücke auf wie mit Ψ Ψ = Ψ S S Ψ Ψ Ψ J J K K J J i = i = i = + i = i = i = i = i =, J, K J V V = S = J K J K i = JK i = JK + i i = Ψ = Ψ K Quarks: man mischt die i= Komponente CKM-Matrix Einträge Parameter im SM eptonen: man mischt die i= Komponente (Neutrinos) Massendegeneriertheit resultiert in Redefinition der physikalischen Neutrino-Zustände S V JK

29 3.. Higgs-Mechanismus im SM Einsetzen des transformierten Higgs-Feldes in unitärer Eichung in liefert weitere Terme HF Wechselwirkungsterme mit Higgs-Feld a J a J i= a i= a i= = f Ψ Ψ + f Ψ Ψ + f Ψ Ψ WW J J J J HF u, q R, u d, q R, d e R, e J, a a a i= a i= a i= = m Ψ Ψ + m Ψ Ψ + m Ψ Ψ v a u, q R, u d, q R, d e R, e η η Kopplung an Higgs-Feld proportional zu Masse

30 3.3 starker Sektor Generatoren der α α λ ( ) Λ = α =,...,8 SU 3 : c hinzufügen eines Terms für Quarks (( ) ab ) ab α 3 J J J ab b J b D Ψ = + igyb δ + ig λ G δ Ψ R α r r D Ψ = + igyb δ + ig τ W δ + ig λ G δ δ Ψ ((( ) ) ) ab ab α 3 J J J ab b ij j ij ij ij J b j α kinetischer Term des Gluonenfeldes R gauge = 4 G α G ν ν α

31 3 Standardmodell agrangedichte des Standardmodells vor Symmetriebrechung gauge ν ν α ν 4 ν 4 ν 4 ν α fermion, f, f R, f R, f f = l, q, J i, j a, b Higgs = gauge + fermion + Higgs + HF r r = B B W W G G = i Ψ D Ψ +Ψ D Ψ * ( ij j ) ( ik k ) + D D ( + ) λ i, j, k J J a ab b J J i ij j a ab b = Φ Φ + Φ Φ Φ Φ a = f Ψ ΦΨ % J i i a HF u R, u, J i a ( ) + f Ψ Φ Ψ + f Ψ Φ Ψ J a J J i i a J i i J d R, d e R, e

32 3 Standardmodell agrangedichte des Standardmodells nach Symmetriebrechung = + = ν + 4 ν W + ν + 4 ν W ν 4 ν 4 A ν WW A W W + W W + ( m) ( )( ) m W W m W W Z Z + m Z Z α G G ν ν ν α +Ψ Ψ + Z m η η Hη

33 3 Standardmodell agrangedichte des Standardmodells nach Symmetriebrechung BB WW ϑw ( ν ν ) ( ν ν ) ( ν ν ) ( ν ν ) ( ν ν ) ( ν ν ) + ν + ν cos ϑw ( ν ν ) + ν + ν ( ν ν ) cosϑ ( + ν W ν ( AZ ν ) WW + AZ ν + ) ν + + ν ν + ν ( ) ( + + ν + ν + + ν ) = ig cos WW WW Z + W W W Z W W W Z ( ν ν ν ) + ie WW WW A + W W W A W W W A + g W W Z Z W W Z Z + e W W A A W W AA + eg W W A Z + gww W W W W + ig f G G G 4 3 gf f GGGG 3 αβγ α β ν ν γ αδε ν δ ε αβγ β γ ν = BB B HB H HH WW WW WW WW WW WW

34 3 Standardmodell agrangedichte des Standardmodells nach Symmetriebrechung FB WW HB WW HF WW HH WW = eqψγ ΨA = = = = + ( γ W γ W ) = = = = ( γ Z γ Z ) Ψ Ψ +Ψ Ψ 4cosϑ Ψ Ψ Ψ Ψ W g sin ϑw cosϑ Ψγ Ψ W 3 W MW WW η M + + v v v g i i i i M v g i i i i Z + gψ λγψg a c b c ab = + = Z MZ ZZη + + mψψη H mh η m v = 3 4 8v η v WW ZZ η η

35 3 Standardmodell Zuweisung der adungen Neutrino gel. epton up-quark down-quark Higgs i Ψ =, l i Ψ = l, i Ψ =, q i Ψ = q, i= Φ i= Φ T T 3 Y T T 3 Y Ψ R, l Ψ u, Ψ d,

36 Zusammenfassung globale kontinuierliche Symmetrien Erhaltungsgrößen lokale kontinuierliche Symmetrien (Eichsymmetrien) Eichfelder, Wechselwirkungen, Dynamik Standardmodell beinhaltet Fermionen (linkshändige ttsodubletts, rechtshändige Singletts), Eichbosonen und ein tthiggs-sodublett Spontane Symmetriebrechung (Auswahl eines Grundzustands, ttentwicklung um diesen Grundzustand, Wahl einer Eichung) tttransferiert Freiheitsgrade vom Higgs-Boson auf die Eichttbosonen der SU() und macht sie massiv durch WW mit dem Higgs-Boson erhalten auch die Fermionen ttmasse

37 Zusammenfassung enthält die SU(3) c als ungebrochene Symmetrie SU() U() Y spontan gebrochen durch Higgs-Feld induziert Symmetriebrechung hinterlässt ungebrochene U() em Fermionenzahlsymmetrien: ( ) - globale Vektorsymmetrie Ψ exp in ϑ Ψ tterhält separat eptonen- und Quarkzahlen tt eptonen- und Baryonenzahlerhaltung l, q l, q l, q - für massenentartete Neutrinos sind e, und τ einzeln tterhalten 9 nputparameter implizieren tiefer liegende Theorie

38 iteratur / Quellen Gauge Theories in Particle Physics.J.R. Aitchison, A.J.G. Hey; nstitute of Physics Publishing, Bristol and Philadelphia The Quantum Theory of Fields Steven Weinberg; Cambridge University Press Dynamicsof thestandard Model J.F. Donoghue, E. Golowich, B.R. Holstein; Cambridge University Press Quantum Field Theory F. Mandl, G. Shaw; Aula-Verlag Wiesbaden

39 Anhang - Anomaliefreiheit Anomalie Restterm aus der Regularisierung kann Eichinvarianz stören Renormierbarkeit Eichinvarianz gefordert Anomaliefreiheit Dreieckdiagramme in ew-theorie: T α γ Anomaliefreiheit f f T γ γ λ f T β γ ν D αβγ = 0 Y = 0 = Nl( Y, l) + NqNc( Y, q) D = Ψ { } ( ) Tr T,T T αβγ α β γ N = N N = 3 l q c T T α 4 = = Y τ α