Optionsbewertung mit FFT

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Αἴολος Ακρίδας
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2 Europäische Call Option Wert C T = E[(S(T ) K) + ]

3 Variance Gamma Prozess Dichte γ 2λ x µ λ 1/2 K λ 1/2 (α x µ ) e β(x µ) πγ(λ)(2α) λ 1/2 Charakteristische Funktion (1 izθν σ2 νz 2 ) t ν

4 Variance Gamma Prozess Dichte γ 2λ x µ λ 1/2 K λ 1/2 (α x µ ) e β(x µ) πγ(λ)(2α) λ 1/2 Charakteristische Funktion (1 izθν σ2 νz 2 ) t ν

5 Fourier Transformation Fourier Transformierte von µ Ist µ ein endliches Maß auf (R, B), so nennt man ϕ(t) := e itk dµ(k), t R die Fouriertransformierte von µ

6 Fourier Transformation Fouriertransformierte f Für f L 1 (R) ist die Fouriertransformierte f : R C von f definiert durch Charakteristische Funktion f (t) = e itk f (k)dk Für X (Ω, S, P) sei die charakteristische Funktion ϕ X (t): R C von X definiert durch ϕ X (t) := E(e itx ) = e itx dp Ω

7 Fourier Transformation Fouriertransformierte f Für f L 1 (R) ist die Fouriertransformierte f : R C von f definiert durch Charakteristische Funktion f (t) = e itk f (k)dk Für X (Ω, S, P) sei die charakteristische Funktion ϕ X (t): R C von X definiert durch ϕ X (t) := E(e itx ) = e itx dp Ω

8 Voraussetzungen Preis Europäisches Call Option C T (k) = Modifizierte Funktion k e rt (e s e k )q T (s)ds c T (k) = e αk C T (k)

9 Voraussetzungen Preis Europäisches Call Option C T (k) = Modifizierte Funktion k e rt (e s e k )q T (s)ds c T (k) = e αk C T (k)

10 Fourier Transformation von c T ĉ T (t) = = = e itk k c T {}}{ e rt q T (s) e rt q T (s) e αk e rt (e s e k )q T (s)ds dk s = e rt e is(t (α+1)i) q T (s) φ T (s) {}}{ q T (s)(t (α + 1)i) α 2 + α t 2 + i(2α + 1)t = e rt (e αk+s e (α+1)k )e itk dkds ( ) e (α+1+iν)s e(α+1+it)s ds α + it α it 1 α 2 + α t 2 + i(2α + 1)t } {{ } konstant ds

11 Fourier Transformation von c T ĉ T (t) = = = e itk k c T {}}{ e rt q T (s) e rt q T (s) e αk e rt (e s e k )q T (s)ds dk s = e rt e is(t (α+1)i) q T (s) φ T (s) {}}{ q T (s)(t (α + 1)i) α 2 + α t 2 + i(2α + 1)t = e rt (e αk+s e (α+1)k )e itk dkds ( ) e (α+1+iν)s e(α+1+it)s ds α + it α it 1 α 2 + α t 2 + i(2α + 1)t } {{ } konstant ds

12 Fourier Transformation von c T ĉ T (t) = = = e itk k c T {}}{ e rt q T (s) e rt q T (s) e αk e rt (e s e k )q T (s)ds dk s = e rt e is(t (α+1)i) q T (s) φ T (s) {}}{ q T (s)(t (α + 1)i) α 2 + α t 2 + i(2α + 1)t = e rt (e αk+s e (α+1)k )e itk dkds ( ) e (α+1+iν)s e(α+1+it)s ds α + it α it 1 α 2 + α t 2 + i(2α + 1)t } {{ } konstant ds

13 Fourier Transformation von c T ĉ T (t) = = = e itk k c T {}}{ e rt q T (s) e rt q T (s) e αk e rt (e s e k )q T (s)ds dk s = e rt e is(t (α+1)i) q T (s) φ T (s) {}}{ q T (s)(t (α + 1)i) α 2 + α t 2 + i(2α + 1)t = e rt (e αk+s e (α+1)k )e itk dkds ( ) e (α+1+iν)s e(α+1+it)s ds α + it α it 1 α 2 + α t 2 + i(2α + 1)t } {{ } konstant ds

14 Fourier Transformation von c T ĉ T (t) = = = e itk k c T {}}{ e rt q T (s) e rt q T (s) e αk e rt (e s e k )q T (s)ds dk s = e rt e is(t (α+1)i) q T (s) φ T (s) {}}{ q T (s)(t (α + 1)i) α 2 + α t 2 + i(2α + 1)t = e rt (e αk+s e (α+1)k )e itk dkds ( ) e (α+1+iν)s e(α+1+it)s ds α + it α it 1 α 2 + α t 2 + i(2α + 1)t } {{ } konstant ds

15 Inverse Fouriertransformation Optionspreis C T (k) = e αk π 0 e itk ĉ T (t)dt Numerische Berechnung C T (k) e αk π e it j kĉ T (t j )η

16 Schnelle Fouriertransformation FFT ω u = e i 2π N ju x j, u = 0,..., N 1 Anzahl der Stützstellen Zweierpotenz Teile-und-Hersche-Verfahren Konvergenz in Nlog(N) statt N 2 Schritten

17 Schnelle Fouriertransformation FFT ω u = e i 2π N ju x j, u = 0,..., N 1 Anzahl der Stützstellen Zweierpotenz Teile-und-Hersche-Verfahren Konvergenz in Nlog(N) statt N 2 Schritten

18 Numerische Berechnung C T (k) e αk π e it kĉ j T (t j )η, ω u = e i 2π N ju x j, u = 0,..., N 1 k u = 1 2 Nζ + ζu + s 0, C T (k u ) e αk π e iζηju e i( 1 2 Nζ s 0)tj ĉ T (t j )η x j = e i( 1 2 Nζ s 0)tj ĉ T (t j ), ζη = 2π N

19 Numerische Berechnung C T (k) e αk π e it kĉ j T (t j )η, ω u = e i 2π N ju x j, u = 0,..., N 1 k u = 1 2 Nζ + ζu + s 0, C T (k u ) e αk π e iζηju e i( 1 2 Nζ s 0)tj ĉ T (t j )η x j = e i( 1 2 Nζ s 0)tj ĉ T (t j ), ζη = 2π N

20 Numerische Berechnung C T (k) e αk π e it kĉ j T (t j )η, ω u = e i 2π N ju x j, u = 0,..., N 1 k u = 1 2 Nζ + ζu + s 0, C T (k u ) e αk π e iζηju e i( 1 2 Nζ s 0)tj ĉ T (t j )η x j = e i( 1 2 Nζ s 0)tj ĉ T (t j ), ζη = 2π N

21 Numerische Berechnung C T (k) e αk π e it kĉ j T (t j )η, ω u = e i 2π N ju x j, u = 0,..., N 1 k u = 1 2 Nζ + ζu + s 0, C T (k u ) e αk π e iζηju e i( 1 2 Nζ s 0)tj ĉ T (t j )η x j = e i( 1 2 Nζ s 0)tj ĉ T (t j ), ζη = 2π N

22 Implied Volatility Surface

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