Aspekte der speziellen Relativitätstheorie
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- Καίσαρ Αλεξόπουλος
- 6 χρόνια πριν
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1 Aspekte der speziellen Relativitätstheorie Koordinaten x = (x µ ) = x 0 x 1 x 2 x 3 = ( t x )
2 Aspekte der speziellen Relativitätstheorie Koordinaten x = (x µ ) = x 0 x 1 x 2 x 3 Natürliche Einheiten c = = 1 = ( t x )
3 Aspekte der speziellen Relativitätstheorie Koordinaten x = (x µ ) = x 0 x 1 x 2 x 3 Natürliche Einheiten c = = 1 Minkowski Metrik η µν = = ( t x )
4 Poincaré Transformationen Poincaré Transformation = Lorentz Rotation + Translation x µ x µ = Λ µ νx ν +a µ
5 Poincaré Transformationen Poincaré Transformation = Lorentz Rotation + Translation x µ x µ = Λ µ νx ν +a µ Lorentz Transformationen beinhalten 3D Rotationen und Boosts 3D Rotation : x R x x 0 Boost : x 1 x 2 x 3 x 0 x 1 x 2 x 3 mit R SO(3) = γ (x 0 +βx 1 ) γ (βx 0 +x 1 ) x 2 x 3
6 Poincaré Transformationen Poincaré Transformation = Lorentz Rotation + Translation x µ x µ = Λ µ νx ν +a µ Lorentz Transformationen beinhalten 3D Rotationen und Boosts 3D Rotation : x R x x 0 Boost : x 1 x 2 x 3 x 0 x 1 x 2 x 3 mit R SO(3) = γ (x 0 +βx 1 ) γ (βx 0 +x 1 ) x 2 x 3 β = v/c γ = 1 1 v 2 /c 2
7 Lagrangefeldtheorie Lagrangedichte L = L (φ, 0 φ,... 3 φ,x 0,...x 3 ) oft = = L (φ, 0 φ,..., 3 φ) Notation =: L (φ, µ φ)
8 Lagrangefeldtheorie Lagrangedichte L = L (φ, 0 φ,... 3 φ,x 0,...x 3 ) oft = = L (φ, 0 φ,..., 3 φ) Notation =: L (φ, µ φ) Lagrangefunktion L = d 3 x L (φ, µ φ) = L t [φ]
9 Lagrangefeldtheorie Lagrangedichte L = L (φ, 0 φ,... 3 φ,x 0,...x 3 ) oft = = L (φ, 0 φ,..., 3 φ) Notation =: L (φ, µ φ) Lagrangefunktion L = d 3 x L (φ, µ φ) = L t [φ] Wirkung S[φ] = dtl t [φ]
10 Prinzip der stationären Wirkung Forderung: Wirkung extremal δs δφ(x)! = 0
11 Prinzip der stationären Wirkung Forderung: Wirkung extremal δs δφ(x)! = 0 Euler Lagrange Gleichungen L φ L µ ( µ φ) = 0
12 Lokaler Charakter der QFT Forderung: Nur endlicher Raum Zeit Bereich R relevant S R [φ] = d 4 x L (x,φ(x), µ φ(x)) R
13 Lokaler Charakter der QFT Forderung: Nur endlicher Raum Zeit Bereich R relevant S R [φ] = d 4 x L (x,φ(x), µ φ(x)) R Kanonische Randbedingungen alle Felder verschwinden ausserhalb R
14 Lokaler Charakter der QFT Forderung: Nur endlicher Raum Zeit Bereich R relevant S R [φ] = d 4 x L (x,φ(x), µ φ(x)) R Kanonische Randbedingungen alle Felder verschwinden ausserhalb R Euler Lagrange Gleichungen auf R L φ L µ ( µ φ) = 0 in R
15 Eindeutigkeit der Lagrangedichte Transformation L (φ, 0 φ,... 3 φ,x) L (φ, 0 φ,... 3 φ,x) = L (φ, 0 φ,... 3 φ,x)+ µ J µ (x)
16 Eindeutigkeit der Lagrangedichte Transformation L (φ, 0 φ,... 3 φ,x) L (φ, 0 φ,... 3 φ,x) = L (φ, 0 φ,... 3 φ,x)+ µ J µ (x) Falls J µ (x) x R = 0 (µ=0,...3) sind die Bewegungsgleichungen invariant, denn S = d 4 x { L+ µ J µ (x) } = R R d 4 x L+Randterme } {{ } =0 = S
17 Hamilton sche Feldtheorie Konjugiertes Impulsfeld π(x) = L φ
18 Hamilton sche Feldtheorie Konjugiertes Impulsfeld π(x) = L φ Hamiltondichte ( ) H φ(x),π(x) = π φ L
19 Hamilton sche Feldtheorie Konjugiertes Impulsfeld π(x) = L φ Hamiltondichte ( ) H φ(x),π(x) = π φ L Hamiltonfunktion ( ) H(t) = d 3 x H φ(x),π(x)
20 Beispiel: Relativistisches freien Teilchen Lagrangedichte L = 1 2 ( µφ)( µ φ) 1 2 m2 φ 2
21 Beispiel: Relativistisches freien Teilchen Lagrangedichte L = 1 2 ( µφ)( µ φ) 1 2 m2 φ 2 Euler Lagrange Gleichungen { µ µ +m 2} φ = 0... entsprechen Klein Gordon Gleichung { +m 2 } φ = 0
22 Beispiel: Relativistisches freien Teilchen Lagrangedichte L = 1 2 ( µφ)( µ φ) 1 2 m2 φ 2 Euler Lagrange Gleichungen { µ µ +m 2} φ = 0... entsprechen Klein Gordon Gleichung { +m 2 } φ = 0 Hamiltonfunktion { 1 H = d 3 x 2 π2 (x)+ 1 ( ) } 2+ φ(x) m2 φ 2 (x) π(x)= φ(x)
23 Noether sches Theorem (I) Kontinuierliche Transformation der Felder T α : φ Φ(x,φ;α) mit Φ(x,φ;α=0) = φ(x)
24 Noether sches Theorem (I) Kontinuierliche Transformation der Felder T α : φ Φ(x,φ;α) mit Φ(x,φ;α=0) = φ(x) Infinitesimale Transformation T α : φ(x) φ(x)+α φ(x) φ = Φ(x,φ;α) α α=0
25 Noether sches Theorem (I) Kontinuierliche Transformation der Felder T α : φ Φ(x,φ;α) mit Φ(x,φ;α=0) = φ(x) Infinitesimale Transformation T α : φ(x) φ(x)+α φ(x) φ = Φ(x,φ;α) α α=0 Symmetrie Transformation der Lagrangedichte ( ) T α : L φ(x), µ φ(x) mit J µ = 0 für x R ( ) L φ(x)+α φ(x), µ (φ(x)+α φ(x)) ( ) = L φ(x), µ φ(x) +α µ J µ (x)
26 Noether sches Theorem (II) Infinitesimale Transformation der Lagrangedichte α L ( ) ( ) = L φ+α φ, µ (φ+α φ) L φ, µ φ = L L α φ+ φ ( φ) µ(α φ) µ ( ) { } L L = α µ ( µ φ) φ +α φ L µ φ ( µ φ) } {{ }} {{ } =:A =:B
27 Noether sches Theorem (II) Infinitesimale Transformation der Lagrangedichte α L ( ) ( ) = L φ+α φ, µ (φ+α φ) L φ, µ φ = L L α φ+ φ ( φ) µ(α φ) µ ( ) { } L L = α µ ( µ φ) φ +α φ L µ φ ( µ φ) } {{ }} {{ } =:A =:B Bewegungsgleichungen B=0
28 Noether sches Theorem (II) Infinitesimale Transformation der Lagrangedichte α L ( ) ( ) = L φ+α φ, µ (φ+α φ) L φ, µ φ = L L α φ+ φ ( φ) µ(α φ) µ ( ) { } L L = α µ ( µ φ) φ +α φ L µ φ ( µ φ) } {{ }} {{ } =:A =:B Bewegungsgleichungen B=0 (Vorläufiger) Noether Strom j µ = L ( µ φ) φ Jµ
29 Noether sches Theorem (III) Fordere verschwindende Variation der Wirkung S R = d 4 x µ j µ! = 0 für beliebiges R R
30 Noether sches Theorem (III) Fordere verschwindende Variation der Wirkung S R = d 4 x µ j µ! = 0 für beliebiges R R µ j µ = 0
31 Noether sches Theorem (III) Fordere verschwindende Variation der Wirkung S R = d 4 x µ j µ! = 0 für beliebiges R R µ j µ = 0 Der vorläufige Noether Strom j µ (x) = L ( µ φ) φ(x) Jµ (x) erfüllt Kontinuitätsgleichung µ j µ (x) = 0
32 Noether sches Theorem (IV) Verallgemeinerung auf mehrere Felderφ i T α : φ i (x) φ i (x)+α φ i (x)
33 Noether sches Theorem (IV) Verallgemeinerung auf mehrere Felderφ i T α : φ i (x) φ i (x)+α φ i (x) Stromdichte j µ (x) = i L ( µ φ i ) φ i(x) J µ (x) erfüllt ebenfalls Kontinuitätsgleichung
34 Noether sches Theorem (V) Ladung Q(t) = d 3 xj 0 (x)
35 Noether sches Theorem (V) Ladung Q(t) = d 3 xj 0 (x) Ladung Q ist Erhaltungsgröße dq = d 3 x j(x)=0 dt Gauß scher Satz
36 Noether sches Theorem (VI) Beispiel: Reelles Skalarfeld φ L = 1 2 ( µφ)( µ φ)
37 Noether sches Theorem (VI) Beispiel: Reelles Skalarfeld φ L = 1 2 ( µφ)( µ φ) L invariant unter φ φ+c
38 Noether sches Theorem (VI) Beispiel: Reelles Skalarfeld φ L = 1 2 ( µφ)( µ φ) L invariant unter φ φ+c Noether Strom j µ (x) = L ( µ φ) = µ φ(x)
39 Noether sches Theorem (VII) Beispiel: Komplexes Skalarfeld φ L = ( µ φ)( µ φ ) m 2 φ φ
40 Noether sches Theorem (VII) Beispiel: Komplexes Skalarfeld φ L = ( µ φ)( µ φ ) m 2 φ φ Euler Lagrange Gleichungen ( +m 2 ) φ = 0 und ( +m 2) φ = 0
41 Noether sches Theorem (VII) Beispiel: Komplexes Skalarfeld φ L = ( µ φ)( µ φ ) m 2 φ φ Euler Lagrange Gleichungen ( +m 2 ) φ = 0 und ( +m 2) φ = 0 L ist invariant unter Phasentransformation φ e iα φ und φ e iα φ
42 Noether sches Theorem (VII) Beispiel: Komplexes Skalarfeld φ L = ( µ φ)( µ φ ) m 2 φ φ Euler Lagrange Gleichungen ( +m 2 ) φ = 0 und ( +m 2) φ = 0 L ist invariant unter Phasentransformation φ e iα φ und φ e iα φ Infinitesimal: φ = iφ und φ = iφ
43 Noether sches Theorem (VII) Beispiel: Komplexes Skalarfeld φ L = ( µ φ)( µ φ ) m 2 φ φ Euler Lagrange Gleichungen ( +m 2 ) φ = 0 und ( +m 2) φ = 0 L ist invariant unter Phasentransformation φ e iα φ und φ e iα φ Infinitesimal: φ = iφ und φ = iφ Noether Strom j µ = L L φ+ ( µ φ) ( µ φ ) φ = i{φ µ φ φ µ φ } Interpretation: Ladungsstrom
44 Noether sches Theorem (VIII) Hinzunehmen von Koordinatentransformationen T α : x µ x µ = X µ (x;α) φ(x) φ (x ) = Φ(x,φ;α)
45 Noether sches Theorem (VIII) Hinzunehmen von Koordinatentransformationen T α : x µ x µ = X µ (x;α) φ(x) φ (x ) = Φ(x,φ;α) Infinitesimal x µ x µ +α x µ mit x µ = Xµ α (x;0) φ(x) φ(x)+α φ(x)
46 Noether sches Theorem (VIII) Hinzunehmen von Koordinatentransformationen T α : x µ x µ = X µ (x;α) φ(x) φ (x ) = Φ(x,φ;α) Infinitesimal x µ x µ +α x µ mit x µ = Xµ α (x;0) φ(x) φ(x)+α φ(x) Variation der Wirkung S = (d 4 x) L+ d 4 x L Infinitesimale Änderung des Integrationsmaßes (d 4 x) = (α µ x µ )d 4 x
47 Noether sches Theorem (IX) Variation der Wirkung S = d 4 x { L µ x µ + L x µ xµ + L φ φ + L ( µ φ) µ φ L ( µ φ) ( µ x ν) φ x ν }
48 Noether sches Theorem (IX) Variation der Wirkung S = = d 4 x { d 4 x { L µ x µ + L x µ xµ + L φ φ + L ( µ φ) µ φ L ( µ φ) ( ) µ L x µ L =:M ( µ x ν) φ x ν } φ ( νφ) x ν L ( µ φ) ( ν µ φ) x ν } {{ } =:N ( ) ( ) L + φ L L µ φ+ µ ( µ φ) ( µ φ) φ } {{ } L ( µ φ) ( µ x ν) ν φ}
49 Noether sches Theorem (IX) Variation der Wirkung S = { ( ) d 4 x µ L x µ L φ ( νφ) x ν L ( µ φ) ( ν µ φ) x ν } {{ } =:M =:N ( ) ( ) L + φ L L µ φ+ µ ( µ φ) ( µ φ) φ } {{ } L ( µ φ) ( µ x ν) ν φ} M = 0 (Bewegungsgleichungen)
50 Noether sches Theorem (IX) Variation der Wirkung S = { ( ) d 4 x µ L x µ L φ ( νφ) x ν L ( µ φ) ( ν µ φ) x ν } {{ } ) φ L µ ( µ φ) } {{ } =0 ( µ x ν) ν φ} ( L + L ( µ φ) =:N φ+ µ ( L ( µ φ) φ ) N = ( L ) ( ) φ + L L µ ( ν φ) x ν µ ( µ φ) ( µ φ) νφ x ν } {{ } =0 (Bewegungsgleichungen)
51 Noether sches Theorem (IX) Variation der Wirkung S = S = d 4 x µ j µ { ( ) d 4 x µ L x µ L φ ( νφ) x ν L ( µ φ) ( ν µ φ) x ν } {{ } ) φ L µ ( µ φ) } {{ } =0 ( µ x ν) ν φ} ( L + L ( µ φ) mit ( ) L φ+ µ ( µ φ) φ j µ = ( L ( µ φ) νφ Lη µ ν ) x ν L ( µ φ) φ
52 Noether sches Theorem (X) Noether Strom j µ (x) = ( ) L ( µ φ i ) νφ i Lη µ ν x ν L ( µ φ i ) φ i erfüllt Kontinuitätsgleichung µ j µ (x) = 0
53 Noether sches Theorem (X) Noether Strom j µ (x) = ( ) L ( µ φ i ) νφ i Lη µ ν x ν L ( µ φ i ) φ i erfüllt Kontinuitätsgleichung µ j µ (x) = 0 Erhaltene Ladung Q(t) = d 3 xj 0 (t, x)
54 Energie Impuls Tensor Translations Symmetrie x µ x µ +a µ
55 Energie Impuls Tensor Translations Symmetrie x µ x µ +a µ Symmetrietransformation für Skalarfeld φ T α : x µ x µ +αa µ φ(x) φ (x ) = φ(x)
56 Energie Impuls Tensor Translations Symmetrie x µ x µ +a µ Symmetrietransformation für Skalarfeld φ T α : x µ x µ +αa µ φ(x) φ (x ) = φ(x) x µ = a µ und φ = 0
57 Energie Impuls Tensor Translations Symmetrie x µ x µ +a µ Symmetrietransformation für Skalarfeld φ T α : x µ x µ +αa µ φ(x) φ (x ) = φ(x) x µ = a µ und φ = 0
58 Energie Impuls Tensor Translations Symmetrie x µ x µ +a µ Symmetrietransformation für Skalarfeld φ T α : x µ x µ +αa µ φ(x) φ (x ) = φ(x) x µ = a µ und φ = 0 Vier Noether Ströme T µν = L ( µ φ) ν φ Lη µν
59 Energie- und Impulserhaltung 0 te Komponente T 00 = L φ φ L = H
60 Energie- und Impulserhaltung 0 te Komponente T 00 = L φ φ L = H Energie Erhaltung d d 3 xt 00 (x) = 0 dt
61 Energie- und Impulserhaltung 0 te Komponente T 00 = L φ φ L = H Energie Erhaltung d d 3 xt 00 (x) = 0 dt Räumliche Komponenten i=1,2,3 P i = d 3 xt 0i (x) = d 3 xπ(x) i φ(x)
62 Energie- und Impulserhaltung 0 te Komponente T 00 = L φ φ L = H Energie Erhaltung d d 3 xt 00 (x) = 0 dt Räumliche Komponenten i=1,2,3 P i = d 3 xt 0i (x) = d 3 xπ(x) i φ(x) Räumliche Impulserhaltung
63 Energie- und Impulserhaltung 0 te Komponente T 00 = L φ φ L = H Energie Erhaltung d d 3 xt 00 (x) = 0 dt Räumliche Komponenten i=1,2,3 P i = d 3 xt 0i (x) = d 3 xπ(x) i φ(x) Räumliche Impulserhaltung Vierer Impuls P µ = d 3 xt 0µ
64 Drehimpulstensor (I) Lorentz Transformation Λ : x Λ( ϕ, θ)x Boost Rotation
65 Drehimpulstensor (I) Lorentz Transformation T α : x µ Λ(α ϕ,α θ) µ νx ν φ(x) φ ( ) Λ(α ϕ,α θ)x
66 Drehimpulstensor (I) Lorentz Transformation T α : x µ Λ(α ϕ,α θ) µ νx ν φ(x) φ ( ) Λ(α ϕ,α θ)x Infinitesimale Transformation für allgemeines Feld φ x µ x µ +αiω µν x ν φ(x) φ(x)+α i 2 ω µνi µν φ(x) Generator von Λ ω µν := 1 ( ) Λ µν i α α=0 antisymmetrisch ω µν = ω νµ
67 Drehimpulstensor (I) Lorentz Transformation T α : x µ Λ(α ϕ,α θ) µ νx ν φ(x) φ ( ) Λ(α ϕ,α θ)x Infinitesimale Transformation für allgemeines Feld φ x µ x µ +αiω µν x ν φ(x) φ(x)+α i 2 ω µνi µν φ(x) Generatoren der Transformation der Felder z.b. für Spinoren [ I µν = i 4 γ µ,γ ν]
68 Drehimpulstensor (I) Lorentz Transformation T α : x µ Λ(α ϕ,α θ) µ νx ν φ(x) φ ( ) Λ(α ϕ,α θ)x Infinitesimale Transformation für allgemeines Feld φ x µ x µ +αiω µν x ν φ(x) φ(x)+α i 2 ω µνi µν φ(x) x ν = iω νµ x µ und φ = i 2 ωµν I µν φ
69 Drehimpulstensor (I) Lorentz Transformation T α : x µ Λ(α ϕ,α θ) µ νx ν φ(x) φ ( ) Λ(α ϕ,α θ)x Infinitesimale Transformation für allgemeines Feld φ x µ x µ +αiω µν x ν φ(x) φ(x)+α i 2 ω µνi µν φ(x) x ν = iω νµ x µ und φ = i 2 ωµν I µν φ Noether Ströme j µ = ( ) L ( µ φ) νφ Lη µ ν ω νρ x ρ L 1 ( µ φ) 2 ωρν I ρν φ
70 Drehimpulstensor (II) Noether Ströme j µ = ( ) L ( µ φ) νφ Lη µ ν ω νρ x ρ L 1 ( µ φ) 2 ωρν I ρν φ = 1 2 ω νρm µνρ M µνρ = T µρ x ν T µν x ρ + L ( µ φ) Iνρ φ
71 Drehimpulstensor (II) Noether Ströme j µ = ( ) L ( µ φ) νφ Lη µ ν ω νρ x ρ L 1 ( µ φ) 2 ωρν I ρν φ = 1 2 ω νρm µνρ Kontinuitätsgleichungen µ M µνρ = 0 M µνρ = T µρ x ν T µν x ρ + L ( µ φ) Iνρ φ
72 Drehimpulstensor (II) Noether Ströme j µ = ( ) L ( µ φ) νφ Lη µ ν ω νρ x ρ L 1 ( µ φ) 2 ωρν I ρν φ = 1 2 ω νρm µνρ Kontinuitätsgleichungen µ M µνρ = 0 M µνρ = T µρ x ν T µν x ρ + L ( µ φ) Iνρ φ Sechs erhaltene Ladungen J µν = d 3 xm 0µν
73 Drehimpulstensor (III) Aufspaltung J ij = L ij +S ij S ij = Spin d 3 xπ(x)i ij φ(x) L ij = Bahndrehimpuls d 3 xπ(x) ( ) x i j x j i φ(x)
74 Drehimpulstensor (III) Aufspaltung J ij = L ij +S ij S ij = Spin d 3 xπ(x)i ij φ(x) L ij = Bahndrehimpuls d 3 xπ(x) ( ) x i j x j i φ(x) Drehimpulsvektor J i = 3 ( ) ε ijk J jk bzw. J = J23,J 31,J 12 j,k=1
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