Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1"

Transcript

1 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) ύο καράβια αναχωρούν από το ίδιο λιµάνι. Το ένα κινείται µε 5 Km/h προς τα νότια και το άλλο µε Km/h προς τα ανατολικά. Να εκϕράσετε την απόσταση µεταξύ των πλοίων σαν συνάρτηση του χρόνου t από την ώρα της αναχώρησης (η απόσταση να εκϕραστεί σε χιλιόµετρα Km, και ο χρόνος σε ώρες h). Λύση : Μετά από απλές πράξεις καταλήγουµε σε µια γραµµική σχέση S(t)(Km) = 5t(Hours). ) Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων :. f () = (3 ) 4. f () = ln(4 56) 3. f 3 () = ln [ ln ( )] f 4 () = Λύση :. Πρέπει 3 > 3( 4) > ( )( + ) > { < ή > }. Εποµένως το πεδίο ορισµού είναι D(f ) = (, ) (, + ).. Πρέπει 4 56 > 56 >. Θέτοντας y = έχουµε y y 56 > {y < 7 ή y > 8} < 7 (αδύνατη), και > 8 > 3 > 3. Εποµένως D(f ) = (3, + ). 3. Πρέπει ln [ ln ( ln e e )] ln [ ln ( e (6+3e)+(5 7e) 3+7 )] ( ln ln 6+5 ) ( 3+7 ln 6+5 [(6+3e)+(5 7e)]( 3+ 7) και e 5 6+3e < 7 3. Άρα D(f 3) = [ 7e 5 6+3e, 7 3). 3+7) 4. Πρέπει { ή } { ή } {( ή 3) ή 5 3}. Εποµένως το πεδίο ορισµού είναι D(f 4 ) = (, ] [ 5, 3] (3, + ).

2 3) Να ϐρεθεί (αν υπάρχει) η αντίστροϕη συνάρτηση των :. f () = + +. f () = 3 +3 Λύση :. Για το πεδίο ορισµού της συνάρτησης έχουµε : D(f ) = R. Για κάθε, R µε f( ) = f( ) έχουµε + + = = ( + )( + ) = + + = ( + )( + ) + + = = ( ) = =. Εποµένως η συνάρτηση είναι -, οπότε και αντιστρέϕεται. Θέτουµε y = + + y = + και επειδή + > για κάθε R έχουµε y > y >, οπότε (y ) = + = y για y. y Εχουµε επίσης y > y > y y y + > (y + )y > y >. y y Άρα ο τύπος της αντίστροϕης συνάρτησης είναι f () = µε πεδίο ορισµού D(f ) = (, + ).. Για το πεδίο ορισµού της συνάρτησης έχουµε : D(f ) = R. Για κάθε, R µε 3 f( ) = f( ) έχουµε = = = 3 =. Εποµένως η συνάρτηση είναι -, οπότε και αντιστρέϕεται. Θέτουµε y = 3 3 = y +3 y y > < y < y µε y. Επειδή 3 > έχουµε. Εποµένως για την αντίστροϕη συνάρτηση έχουµε 3 y = y ln 3 = ln ( f () = ln( ), µε πεδίο ορισµού D(f ln 3 ) = (, ) αϕού πρέπει >. ) 4) Να υπολογιστούν τα όρια : lim lim lim lim 4 Λύση : Σε όλες τις περιπτώσεις έχουµε απροσδιοριστία.

3 . Το πεδίο ορισµού D(f) της συνάρτησης f() = είναι D(f) = R { 3, + 3 }. Για κάθε D(f) έχουµε f() = ( 3)( ) = ( 3)(+). Οπότε lim f() = ( )(+3) (+3) ( 3)( + ) lim ( + 3) = 5 = Το πεδίο ορισµού D(f) της συνάρτησης f() = +8+6 είναι D(f) = R { 4}. +4 { (+4) Για κάθε D(f) έχουµε f() = = +4, αν < 4 = Επειδή =4 =4, αν > 4 lim 4 f() = lim 4 + f() = δεν υπάρχει το όριο lim 4 f(). 3. Το πεδίο ορισµού D(f) της συνάρτησης f() = Για κάθε D(f) έχουµε f() = Οπότε lim f() = lim 4+ είναι D(f) = (, + ). = + + ( )( + ) ( ) ( + = ) ( ) + + = 4 + = Το πεδίο ορισµού D(f) της συνάρτησης f() = 4 {}. Για κάθε D(f) έχουµε f() = ( )(+ ) ( 4)(+ = ) (+)(+. Οπότε lim f() = ) 8. είναι D(f) = [, + ) ( ) ( )(+)(+ ) = 5) Να υπολογιστούν τα όρια :. lim sin(a + ) + sin( a). lim tan sin 3 cos 3. lim cos 4. lim + Λύση : Σε όλες τις περιπτώσεις έχουµε απροσδιοριστία.. Εχουµε sin(a + ) + sin( a) sin lim cos a = cos a = cos a. = sin cos a sin(a + ) + sin( a). Άρα lim = 3

4 . Εχουµε fractan sin 3 sin ( cos ) = [ ( ] 3 cos sin ) tan sin. Άρα lim = cos 3 lim = 3. Εχουµε cos + cos. Άρα lim cos = ( cos )( + cos ) ( + = cos ) [ ( sin ) = lim = sin ( ) sin 3 cos [ ( sin ) sin lim sin ( ) ( + cos ) = ] lim = sin ] lim cos = [ ( ] sin ) + cos = = 4. cos sin ( ) sin ( ) 4. Εχουµε = =. Επειδή + έχουµε >, sin ( ) οπότε = sin ( ( ) cos. Άρα lim = lim + + lim sin ) + = (+ ) = +. 6) Μία µπάλα εκτοξεύεται κατακόρυϕα από ύψος m µε αρχική ταχύτητα u = + m/sec. Να παρασταθεί γραϕικά η τροχιά της (το ύψος σαν συνάρτηση του χρόνου για πέντε ανακλάσεις) υποθέτοντας ότι η ανάκλασή της στο έδαϕος είναι ελαστική (χωρίς απώλειες ενέργειας) ή µη-ελαστική (µε απώλειες). Λύση : Αρχικά η µπάλα έχει µια γνωστή αρχική ενέργεια (δυναµική και κινητική) και εκτοξεύεται προς τα πάνω. Το µέγιστο ύψος που µπορεί να φτάσει το υπολογίζουµε από την µετατροπή της αρχικής ενέργειας σε δυναµική. Το δεύτερο στοιχείο είναι ο χρόνος που ϑα κάνει για να φτάσει στο µέγιστο. Από εκεί πέρα µας ενδιαϕέρει ο χρόνος που ϑα χρειαστεί να φτάσει στο έδαϕος και να επανέλθει στο ίδιο ύψος. Με ϐάση αυτές τις πληροϕορίες τοποθετούµε τα χαρακτηριστικά σηµεία στη καµπύλη (h(t), t) και το µόνο που µένει είναι να Ϲωγραϕίσουµε (µε ϐάση τη εξίσωση h(t) vs. t που την ϐρίσκουµε αναλυτικά την µορϕή της). (Αγνοήστε την αντίσταση του αέρα ή υπολογίστε την για να αποδείξετε ότι είναι µάλλον αµελητέα. ) Στη δεύτερη περίπτωση αποϕασίστε, εµπειρικά, την ενέργεια που ϑα χάση στην επαϕή µε το έδαϕος και σε κάθε αναπήδηση ξεκινήστε µε νέα κινητική ενέργεια από το έδαϕος και προσδιορίστε τα χαρακτηριστικά σηµεία εκ νέου (µέγιστο ύψος και χρόνο πορείας από το έδαϕος στο έδαϕος)... στη νέα καµπύλη το µέγιστο ύψος ϑα είναι µεταβαλλόµενο αλλά και ο συνολικός χρόνος για την επιστροϕή στο έδαϕος ϑα αλλάζει (δουλέψτε µόνοι σας τις λεπτοµέρειες). 4

5 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Υπολογίστε την πρώτη παράγωγο των συναρτήσεων. y = sin. y = ln[ 3 7 4] ln[( + ) 4 ] 3. y = sin 3 Λύση :. y() = e sin ln y () = sin ( cos ln + sin ), >. y() = ln[ 3 7 4] ln[( + ) 4 ] y () = / + 7/(3(7 4)) 8/( + ), > 3. y() = arcsin 3 y () = 3 / 6, < < ) Υπολογίστε την δεύτερη παράγωγο των συναρτήσεων. y = cos (3). 3 + y 3 () = Λύση :. y = arccos(3) y () = 7 ( 9 ) 3/, / y 3 () = y () = 3) ίνεται η συνάρτηση f() = ( 4 + 6)ϕ(),

6 όπου ϕ() = 6 και lim {[ϕ() 6]/} = 4. Να ϐρεθεί η εξίσωση της εϕαπτοµένης της καµπύλης της συνάρτησης στο σηµείο =. Λύση : Η εϕαπτοµένη ϑα προσδιοριστεί από τη σχέση y = f() + f () µε ϐάση τα δεδοµένα f() = 36 και f () = ϕ() + 6ϕ () = + 4 = άρα y = ) Σύρµα κρέµεται, σε σχήµα παραβολής, από δύο κολώνες ύψους m που απέχουν 4m. Αν το χαµηλότερο σηµείο του σύρµατος ακουµπά στο έδαϕος, να προσδιοριστεί η γωνία σύρµατος - κολώνας. Λύση : Με ϐάση την εκϕώνηση συµπεραίνουµε ότι µαθηµατική απεικόνιση της καµπύλης του σύρµατος ϑα είναι y() = (/), [, ]. Υπολογίζουµε την εϕαπτοµένη στο σηµείο (,) και ϐρίσκουµε ότι η Ϲητούµενη γωνία ϑα είναι 45. (ϐλέπε Σχ. ) Σχήµα : Η γραϕική παράσταση για την άσκηση 4 5) Να ϐρεθεί η εξίσωση της εϕαπτοµένης της καµπύλης µε παραµετρικές εξισώσεις (t) = t t και y(t) = 3t 4t, στο σηµείο Ρ µε t =. Λύση : Το σηµείο Ρ έχει συντεταγµένες (3, 7). Βρίσκουµε ότι dy της εϕαπτοµένης είναι y = 5. = 6t 4 d t, οπότε η εξίσωση

7 6) Να προσδιοριστούν τα a, b R, ώστε η συνάρτηση { + a, ( αν f() = π ) + b sin, αν < 4 να είναι παραγωγίσιµη στο =. Λύση : Αναγκαία συνθήκη ώστε η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιµη στο = είναι να είναι συνεχής στο σηµείο αυτό. Η συνέχεια εξασϕαλίζεται όταν a = b. Απαιτώντας την ισότητα της δεξιάς µε την αριστερή παράγωγο στο = οδηγούµαστε στην σχέση + b π = + a. Από τις δυο αυτές σχέσεις ϐρίσκουµε τελικά a = 4 8 π 4 και b = 4 π 4. 3

8 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Οµάδα 3 Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος Λύσεις ) Η αντίδραση y ενός οργανισµού στην χορήγηση ενός φαρµάκου εξαρτάται από την ποσότητα του χορηγούµενου φαρµάκου. Αν η σχέση που συνδέει τα και y είναι y = (a ), όπου a > σταθερά, να ϐρεθεί η ποσότητα για την οποία η αντίδραση γίνεται µέγιστη. Λύση : Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης είναι y () = a 3, οπότε τα κρίσιµα σηµεία είναι τα = (αποκλείεται) και = a 3. Επειδή y ( a ) = a < καταλαβαίνουµε 3 ότι για = a η αντίδραση του οργανισµού γίνεται µέγιστη. 3 ) Μια ϐιοµηχανία πρόκειται να κατασκευάσει ένα κυλινδρικό δοχείο σταθερού όγκου V, το οποίο είναι ανοικτό στο επάνω µέρος του. Να ϐρεθεί το πηλίκο του ύψους δια της ακτίνας της ϐάση του δοχείου προκειµένου το κόστος κατασκευής να είναι ελάχιστο, γνωρ ιζοντας ότι η µονάδα επιϕάνειας της ϐάσης κοστίζει το διπλάσιο από τη µονάδα επιϕάνειας της παράπλευρης επιϕάνειας. Λύση : Εστω r η ακτίνα της ϐάσης, h το ύψος του δοχείου, V = πr h ο όγκος του, k το κόστος της µονάδας επιϕάνειας της παράπλευρης επιϕάνειας και k το κόστος της µονάδας επιϕάνειας της ϐάσης. Εποµένως το συνολικό κόστος είναι C = kπr +kπrh C(r) = k ( ) πr + V r. Εύκολα ϐρίσκουµε ότι C (r) = k ( ) πr V r = kπ(r h) και C (r) = 4k ( ) π + V r = 4kπ( + h 3 r ). Εποµένως το κόστος γίνεται ελάχιστο όταν r = h h = r. 3) ίνεται η συνάρτηση f() = e 3 e +.. Να µελετηθεί η f() ως προς τη µονοτονία, τα ακρότατα, την καµπυλότητα, τα σηµεία καµπής της και τις ασύµπτωτες που τυχόν έχει.. Να γίνει πρόχειρη γραϕική παράσταση της f(). Λύση : Η f() έχει πεδίο ορισµού D f = R. Για την πρώτη και δεύτερη παράγωγο έχουµε αντίστοιχα : f () = 5e και f () = 5e ( e ). Επειδή f () >, R η f() είναι (e +) (e +) 3

9 γνησίως αύξουσα στο R και δεν παρουσιάζει ακρότατα. Ακόµη f () >, (, ln ), ενώ f () <, (ln, + ), άρα η f() στρέϕει τα κοίλα άνω (, ln ), ενώ στρέϕει τα κοίλα κάτω (ln, + ) και παρουσιάζει καµπή στο σηµείο M(ln, 4 ). Επίσης, αϕού D f = R, η f() δεν έχει κατακόρυϕη ασύµπτωτη, ενώ επειδή lim f() = + και lim f() = 3, η γραϕική παράσταση της f() έχει οριζόντια ασύµπτωτη την y = για + και την y = 3 για. Στο Σχ. φαίνεται ο πίνακας τιµών των f (), f () και στο Σχ. η γραϕική παράσταση της f(). Σχήµα : Ο πίνακας τιµών των f () και f () και για την άσκηση 3. Σχήµα : Η γραϕική παράσταση για την άσκηση 3. 4) Να ϐρεθεί κλίση της εϕαπτοµένης της καµπύλης µε εξίσωση y +y = 5 στο σηµείο Α(, 3), και της καµπύλης µε εξίσωση y 3 + 3y y = στο σηµείο Β( 3, ). Λύση : Για την πρώτη καµπύλη έχουµε dy = y d +y Οπότε οι κλίσεις είναι αντίστοιχα m = και m = 5., και για την δεύτερη dy d = 4y 3y. 3y +6y 5) ύο ποδηλάτες ξεκίνησαν ταυτόχρονα από δύο πόλεις που απέχουν 4km και κινούνται προς την αντίθετη κατεύθυνση µε ταχύτητα km/h. Μια µύγα ξεκινώντας επίσης από το

10 τιµόνι του ενός ποδηλάτη πέτάει µέχρι το τιµόνι του δεύτερου ποδηλάτη και επιστραϕεί στον πρώτο. Επαναλαµβάνει αυτή την πορεία, µπρος πίσω συνεχώς µέχρι να συναντηθούν οι δύο ποδηλάτες. Πόσα χιλιόµετρα ταξίδεψε η µύγα αν κινείται µε ταχύτητα 3km/h. Λύση : Οι ποδηλάτες ϑα συναντηθούν µετά από µία ώρα, άρα η µύγα ϑα καλύψει συνολικά 3km. 6) Μια κυρία ύψους.7m ϐαδίζει µε ϱυθµό m/sec προς το σηµείο που ϐρίσκεται ένας στύλος της ΕΗ ύψους 5.5m. Πόσο γρήγορα το µήκος της σκιάς της αλλάζει Λύση : Απο το Σχ. 3, κάνοντας χρήση των οµοίων τριγώνων έχουµε = (t) + (t). (t) Ο ϱυθµός µεταβολής της σκιάς dy/dt υπολογίζεται απο την σχέση (t) = (t) ή d dt = d dt = ( cm/sec) Σχήµα 3: Η κυρία και η σκιά της 3

11 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 4 Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα µέσης τιµής του διαϕορικού λογισµού αποδείξτε ότι : e < ln < e. Λύση : Θεωρούµε τη συνάρτηση f() = ln, µε πεδίο ορισµού D f = (, + ) και το κλειστό διάστηµα [, e]. Η f είναι συνεχής στο [, e] και παραγωγίσιµη στο (, e) µε f () =. Άρα ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαϕορικού Λογισµού οπότε ξ (, e) : f f(e) f() (ξ) = e ξ = ln e. Αλλά < ξ < e > ξ > e > ln e > e e < ln < e. ) Τρία σηµεία A, B, C σχηµατίζουν γωνία ˆB = 6 o. Ενα αυτοκίνητο φεύγει από το A ενώ ταυτόχρονα ένα τρένο φεύγει από το B. Το αυτοκίνητο κινείται ευθύγραµµα προς το B µε σταθερή ταχύτητα 8km/h ενώ το τρένο κινείται επίσης ευθύγραµµα προς το C µε σταθερή ταχύτητα 5km/h. Αν AB = km και BC = 5 km, να ϐρεθεί πότε η απόσταση µεταξύ αυτοκινήτου και τρένου γίνεται ελάχιστη. Λύση : Τα δύο οχήµατα φθάνουν στο τέλος της διαδροµής τους την ίδια χρονική στιγµή t = = 5 =, 5h. Χρησιµοποιώντας τον νόµο των συνηµιτόνων έχουµε ότι το τετράγωνο 8 5 της απόστασης των κινητών είναι ακόλουθη συνάρτηση του χρόνου : f(t) = 9t 4t + 4. Εύκολα ϐρίσκουµε ότι αυτή η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο για t = 7 43 h. 3) Να υπολογιστούν τα όρια : + + sin. lim + e +. lim ln + 3. lim ) +(sin

12 Λύση :. Παρατηρούµε ότι sin + +, οπότε ο αριθµητής φράσσεται από πάνω και κάτω από δύο συναρτήσεις ( που ) απειρίζονται οπότε το όριό + + sin + ( + + sin ) του είναι το άπειρο. Άρα lim = lim = + e ( ) (e + ) + + cos + sin lim = lim = + e e.. lim lim ( ) ( ) = lim = lim (ln + ) ln + (ln + ) + =. (ln + ) ( ) = [ ] ln(sin ) 3. lim +(sin ) = lim e ln(sin ) = e lim [ ln(sin )] lim + = e + / = [ ] + [ ] [ ] (ln(sin )) cos cos + sin lim lim lim e + (/) = e + sin = e + cos = e =. 4) ύο πόλεις ϐρίσκονται στα νότια ενός ποταµού (ϐλέπε σχήµα). Για τις ανάγκες ύδρευσης των πόλεων πρόκειται να κατασκευαστεί στον ποταµό ένας σταθµός αντλήσεως ύδατος, άπ όπου ϑα ξεκινούν δύο αγωγοί που ϑα φέρουν το νερό στην κάθε πόλη. Κάθε αγωγός ϑα κατασκευαστεί επί της ευθείας που συνδέει τον σταθµό µε την αντίστοιχη πόλη. Να εκφραστεί το µήκος του αγωγού σαν συνάρτηση µιας µεταβλητής και να ϐρεθεί η ελάχιστη τιµή του. Λύση : Από το σηµείο Α φέρουµε την κάθετο (ΑΟ)=χιλ. και από το Β την κάθετό (ΒΚ)=Km. Η απόσταση (ΟΚ)=(ΟΡ)+(ΡΚ)=Km. Εστω =(ΟΡ). Τότε (ΡΚ)=. Θέλουµε να ϐρούµε τη συνταγµένη του σηµείου Ρ έτσι ώστε το µήκος L=(ΑΡ)+(ΡΒ) να είναι ελάχιστο. Επειδή L = ( ) ()

13 η άκρα τιµή (ή τιµές) του µήκους L ϑα είναι η ϱίζα (ή ϱίζες) που ϑα ϐρεθεί (ή ϐρεθούν) από την µηδενισµένη πρώτη παράγωγο του L ως προς και η οποία (η οποίες) καθιστά (ή καθιστούν) τη τιµή (ή τις τιµές) της δευτέρας παραγώγου του αρνητική ή ϑετική αν έχουµε µέγιστο ή ελάχιστο, αντίστοιχα. Πράγµατι dl d = 5 + ( ) + ( ) + + = () 5 + ( ) ή ή ή 5 + ( ) = ( ) + (3) (5 + ( ) ) = ( ) ( + ) (4) 5 = 4( ) 5 = ( ) = 7 (5) Η τιµή του µήκους L γίνεται ελάχιστη όταν η συντεταγµένη του σηµείου Ρ είναι ( = /7) και αυτή είναι : L = L( = /7) = 49. 5) Ενα αεροπλάνο της τροχαίας παρακολουθεί την κίνηση σε ένα µεγάλο αυτοκινητόδροµο των ΗΠΑ πετώντας περίπου 5m πάνω από το δρόµο µε σταθερή ταχύτητα Km/h. Χρησιµοποιώντας το ϱαντάρ ο πιλότος ανακαλύπτει ένα αυτοκίνητο πιθανά να έχει υπερβεί το όριο ταχύτητας και είναι σε αποστάτη 4m από το αεροπλάνο και για να µπορέσει να σταθεί ακριβώς από πάνω από το αυτοκίνητο χρειάζεται να ελαττώσει την ταχύτητα του µε ϱυθµό Km/h. Υπολογίστε την ταχύτητα του αυτοκινήτου. Λύση : Την χρονική στιγµή t = το αυτοκίνητο κινείται µε σταθερά ταχύτητα v που είναι το Ϲητούµενο και το αεροπλάνο απέχει s =.5Km από το αυτοκίνητο. Οταν συγχρονίζονται οι ταχύτητες του αεροπλάνου v a µε αυτή του αυτοκινήτου v = v a = v t at (6) Η απόσταση που ϑα διανύσει το αεροπλάνο για να συναντηθεί µε το αυτοκίνητο ϑα είναι Αντικαθιστώντας την ταχύτητα από την Εξ. 6 ϑα έχουµε s = s + v t = v t /(at ) (7) v = v s a = Km/h.5Km (Km/h ) 75Km/h. Άρα µάλλον ο οδηγός πρέπει να ετοιµάζεται για εκπλήξεις... 3

14 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 5 Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Να περιγράψετε την κίνηση ενός σώµατος στο επίπεδο (, y) (σχεδιάζοντας και την τροχιά του) οι συντεταγµένες του οποίου δίνονται από τις σχέσεις = sin t, y = cos t, όπου t είναι ο χρόνος κίνησης του σώµατος. Λύση : Το σώµα εκτελεί περιοδική κίνηση µε περίοδο T = π κινούµενο στο τµήµα της παραβολής = y που ορίζετε από τις ανισώσεις, y. Ξεκινά από 4 το σηµείο (,), φτάνει στο (,-) σε χρόνο t = π επιστρέϕει στο αρχικό σηµείο για t = π, όπως φαίνεται στο Σχ. Σχήµα : Η τροχιά του κινητού της άσκησης. ) Να σχεδιάσετε τις καµπύλες που δίνονται από τις εξισώσεις :. r = + sin θ, θ < π.. = 3 + cos θ, y = 5 + sin θ, θ < π. Λύση :. Η καρδιοειδής καµπύλη του Σχ..

15 Σχήµα : Η καρδιοειδής καµπύλη του ερωτήµατος... Κύκλος µε κέντρο το σηµείο ( 3, 5) και ακτίνα r =. 3) Να δείξετε ότι για τη συνάρτηση ισχύει f () =. f() = { e για για = Λύση : Για ισχύει f () = 3 e. Επίσης, f () = lim lim e =. Οπότε ισχύει f () = { e 3 για για =. f () f () Για τη δεύτερη παράγωγο στο έχουµε lim 4 lim =. Οπότε f () =. e e = lim 4 e = lim ( ) + = + e 4 e ( ) + = + ( ) + = + 4) Εστω = t + /t και y = t + /t να αποδειχτεί ότι η δεύτερη παράγωγος d y/d είναι σταθερή και να προσδιοριστεί η παράσταση K = ( 4) d y d + dy d 4y.

16 Λύση : Η παράγωγος d y d = και επειδή y = και (dy/d) = η παράσταση K = ( 4) + () 4( ) =. 5) Υπολογίστε τα σηµεία της καµπύλης y = + που είναι πλησιέστερα στο σηµείο (,). Λύση : Η συνάρτηση που περιγράϕει το τετράγωνο της απόστασης είναι f() = d = 4 + άρα η πρώτη παράγωγο (( )) µηδενίζεται στα σηµεία (, ±/ ) και η δεύτερη παράγωγο είναι ϑετική ( > ) (τοπικό ελάχιστο) στα σηµεία A( /, 3/), B(/, 3/) που είναι και τα πλησιέστερα στο σηµείο (, ) και τοπικό µέγιστο στο σηµείο (, ). Σχήµα 3: Η καµπύλη για την άσκηση 5 (Σχεδίαση Γ. Ζαχαρέγκας) 6) Ενα οµοίωµα ϱουκέτας αρχικά εκτοξεύεται από την ηρεµία κατακόρυϕα µε επιτάχυνση a(t) = 6t m/sec και κινείται µε αυτή την επιτάχυνση για τρία δευτερόλεπτα. Στη συνέχεια τελειώνουν τα καύσιµα και κινείται σαν ελεύθερο σώµα. Μετά από 7sec ανοίγει το αλεξίπτωτο και η ταχύτητα του προς το έδαϕος ελαττώνεται γραµµικά στο ϱυθµό 5cm/sec για 5sec. Στη συνέχεια πέϕτει στο έδαϕος µε το ϱυθµό που απέκτησε µετά τα 5sec. (α) Να υπολογισθεί η ϑέση s(t) και η ταχύτητα u(t) για κάθε χρονική στιγµή και να γίνει η γραϕική παράταση τους. (ϐ) Να υπολογισθεί η χρονική στιγµή που ϑα φτάσει στο µέγιστο ύψος και να προσδιορισθεί το ύψος αυτό. (γ) Να υπολογισθεί η διάρκεια της πτήσης της ϱουκέτας. Λύση : Θα προχωρήσουµε σταδιακά µε ϐάση τα δεδοµένα της εκϕώνησης Για το χρονικό διάστηµα t : 3s το οµοίωµα της ϱουκέτας κινείται µε επιτάχυνση a(t) = 6t και µε ταχύτητα u(t) = 3t +c και s(t) = t 3 +c t+c. Από τις αρχικές 3

17 συνθήκες ταχύτητας και ϑέσης ϐρίσκουµε ότι u(t) = 3t 3 και s(t) = t 3 άρα µετά από τα 3sec κινείται µε ταχύτητα 7m/s και ϑα έχει ανέλθει σε ύψος 7m. Για το χρονικό διάστηµα t : 3 3s το οµοίωµα κινείται επιβραδυνόµενο µε g = m/s και s(t) = 7(t 3) 5(t 3) και s(t) = 7 (t 3). Αρα µετά από 7sec ϑα έχει διανύσει επιπλέον 3645m Για τα επόµενα 5sec το οµοίωµα πέϕτει προς το έδαϕος µε επιτάχυνση 5m/s. ηλαδή u(t) = 5t και s(t) = (5/)t. Μετά από 5sec ϑα έχει ταχύτητα 5m/sec και ϑα έχει κατέβει 6.5m µετά κινείται οµαλά µε ταχύτητα 5m/sec για να καλύψει το υπόλοιπο της απόστασης που του αποµένει µέχρι το έδαϕος, δηλαδή 385, 5m σε 54, sec. (ϐ) Το οµοίωµα ϑα φτάσει στο µέγιστο ύψος των 395m τη χρονική στιγµή 3sec και (γ) η συνολική του πτήση ϑα διαρκέσει 89, sec. (Να προσπαθήσετε να Ϲωγραϕίσετε την καµπύλη). 4

18 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Ομάδας 6 Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) ίνεται η συνάρτηση f () e. Βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους του αναπτύγματος Taylor της f με κέντρο και υπολογίστε προσεγγιστικά την τιμή της στο σημείο,. Λύση: Ο τύπος της σειράς με κέντρο το είναι f () n f (n) () n. n! Υπολογίζουμε τις επιμέρους ποσότητες: f () e, f (), f () e e, f (), f () e + e, f (), f () 3e e, f () 3. Οπότε χρησιμοποιώντας τους τέσσερις πρώτους όρους του αναπτύγματος Taylor της f έχουμε ότι e + 3. Αντικαθιστώντας τη τιμή, συμπεραίνουμε ότι f (, ).64. Αντικαθιστώντας τη τιμή. στη συνάρτηση στο Ματηεματιςα παίρνουμε την τιμή ) Αναπτύξτε σε σειρά Taylor κέντρου τη συνάρτηση f () e ( ). Χρησιμοποιώντας το παραπάνω ανάπτυγμα υπολογίστε το όριο lim f (). Λύση: f () e ( ) ( ) + + +! 3 3! + 4 4! +... ( 3! Οπότε lim f () lim 4! ) 3! + 4! (! 3 3! + 4 4! ) Να υπολογιστεί κατά προσέγγιση το ημίτονο γωνίας, ακτινίων με τη χρήση των τεσσάρων πρώτων όρων του αναπτύγματος Taylor της συνάρτησης f () sin() στο σημείο. Εκτιμήστε επίσης το σϕάλμα στον υπολογισμό του sin(, ). Λύση: Από τη σειρά Taylor του ημιτόνου sin 3 3! έχουμε την προσέγγιση sin(, ), (,)3 6, Η εκτίμηση του σϕάλματος αυτής της προσέγγισης είναι R f (4) (ξ) 4! (, ) 4 sin(ξ) 4! (, ) 4 (,)4 4!,6 4, 67, όπου ξ τυχαίος αριθμός στο διάστημα (,, ). ) 4) Ο καϕές μέσα σε ένα ϕλιτζάνι βρίσκεται σε ϑερμοκρασία T(t ) την χρονική στιγμή t σε ένα δωμάτιο με ϑερμοκρασία T C. Η ϑερμοκρασία του καϕέ μεταβάλλεται με

19 το χρόνο T(t) (T(t ) T )e t t + T, t t Θα προσθέσουμε γάλα, ώστε στο ϕλιτζάνι να περιέχει 9% καϕέ και % γάλα. Η ϑερμοκρασία του καϕέ την χρονική στιγμή t είναι C και σχεδιάζουμε να πιούμε το καϕέ την χρονική στιγμή t. (Η μονάδα του χρόνου είναι παντού η ίδια, λεπτά). Το γάλα στο ψυγείο έχει ϑερμοκρασία 5 C. Ποια είναι η καλλίτερη στιγμή να προσθέσουμε το γάλα για να έχει ο καϕές την υψηλότερη ϑερμοκρασία όταν αποϕασίσουμε να τον πιούμε; Λύση: Η ϑερμοκρασία του καϕέ την χρονική στιγμή t ϑα είναι Το μείγμα ϑα έχει ϑερμοκρασία T (t ) 8 e t / + 9 T + T 7 e t / / όπου T είναι η ϑερμοκρασία του καϕέ και T η ϑερμοκρασία του γάλατος. διάστημα t t η ϑερμοκρασία του μείγματος είναι Y(t) τότε Αν στο Y(t) [Y(t ) ]e (t t )/ + [ 7 e t /.5 ] e (t t )/ + και η τελική ϑερμοκρασία T Y() e [ 7 (.5)e t / ] + dt dt (.5/ ( e) ) e t / < (ϕθίνουσα) Η συνάρτηση συνεχώς ϕθίνει, δεν παρουσιάζει ελάχιστο και έχει την υψηλότερη ϑερμοκρασία τη στιγμή που ρίχνουμε μέσα το γάλα!!! 5) Αν η ανακλαστική επιϕάνεια ενός τηλεσκοπίου περιγράϕεται από τη σχέση S 8π ( ) d 3/ 3 c 6c + και για τα περισσότερα τηλεσκόπια d / 6c << δείξτε ότι η επιϕάνεια του τηλεσκοπίου μπορεί να προσεγγιστεί από τη σχέση πd / 4. Λύση: Αν d / 6c, αναπτύσσω σε σειρά τη σχέση ( + ) 3/ + (3/ ) [ 8π 3 c + 3 ( ) ] d 6c πd 4

20 6) Να υπολογισθεί η τετραγωνική προσέγγιση της συνάρτησης στη περιοχή. f () sec Λύση: Αναπτύσσουμε και το sec αλλά και το ( ) /, και έχουμε sec cos ( / )( / ) + 3

21 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Ομάδα 7 Λύσεις Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Ενας παραγωγός μπορεί και πουλάει προϊόντα την εβδομάδα στην τιμή P, το καθένα. Το συνολικό κόστος για την παραγωγή των αυτών προϊόντων είναι y 5 + ευρώ. Πόσα προϊόντα πρέπει να παράγει ο παραγωγός για να έχει το μέγιστο δυνατό κέρδος; Να βρεθεί το κέρδος αυτό. Λύση: Τα συνολικά εβδομαδιαία έσοδα του παραγωγού από την πώληση των προϊόντων του είναι P (.),. Το κέρδος T του παραγωγού είναι τα έσοδά του μείον το κόστος του. ηλαδή T P y. 5. Παραγωγίζουμε ως προς και έχουμε T dt d 5,. Οπότε T Επίσης T, < (μέγιστο). ηλαδή, ο παραγωγός ϑα πρέπει να παράγει 75 προϊόντα εβδομαδιαίως για να έχει το μέγιστο κέρδος. Επομένως το μέγιστο κέρδος του παραγωγού ϑα είναι T 5(75), (75) 585 ευρώ. ) Να υπολογιστούν τα όρια: tan. lim π + tan. lim sin ln + 3. lim π 4 ( tan ) sec() 4. lim Λύση: (. lim π. lim + sin ) ( tan + tan ) ( ln lim / sin ) + lim π sec () sec () 3. lim π 4 ( tan ) sec() lim π 4 / sin tan lim / sin + tan / sec() lim tan π 4 cos() lim tan + ) ( lim π 4 sec sin()

22 ( 4. lim sin ) lim ( sin sin ) ( ) lim ( 3) Υπολογίστε την πρώτη παράγωγο των συναρτήσεων. e sin ( ) sin. ln cos 3. cos 3 [sin()] 4. 3 sin (5) Λύση:. e sin cos. sin 3. 6 cos [sin()] sin[sin()] cos() 4. 3 sin(5) cos(5) + 3 sin (5) ) cos ( ) lim sin + cos ( ) sin cos sin 4) Αν στη μέτρηση του (κοντά στην αρχή των αξόνων) κάνουμε λάθος κατά 3%, πόσο λάθος κάνουμε στον υπολογισμό της ϑερμοκρασίας που περιγράϕεται αναλυτικά από την συνάρτηση ( + )3/ T() + Λύση: Το λάθος στη μέτρηση της ϑερμοκρασίας είναι [ ] dt() T d Υπολογίζουμε το την παράγωγο της ϑερμοκρασίας dt() ( + )3/ + 3 d ( + ) ( + ) T( ) (/ ).3.5% 5) (α) Να βρεθούν δύο ϑετικοί αριθμοί των οποίων το γινόμενο είναι και το άθροισμα γίνεται μέγιστο. (β) Να βρεθεί το σημείο της καμπύλης 73 7y + 5y 5, που είναι πλησιέστερο στην αρχή των αξόνων.

23 Λύση: (α) Οι ϑετικοί αριθμοί που δίνουν ακρότατα στο άθροισμα είναι, y αλλά δεν δίνουν μέγιστο, οπότε η απάντηση στο ερώτημα, όπως έχει τεθεί, είναι αρνητική. (β) Η απόσταση από την αρχή των αξόνων είναι g() d + y () και τα σημεία, y ακολουθούν την καμπύλη 73 7y() + 5y () 5. () Άρα για να γίνει η απόσταση ελάχιστη ϑα πρέπει g () y / y. Παραγωγίζουμε την Εξ. (), λύνουμε και αντικαθιστούμε τα σημεία που μηδενίζεται η g () και στη συνέχεια λύνουμε ως προς y Στο σημείο y (4/ 3) η Εξ. γράϕεται y 4 3, y (4/ 3) + 5(6/ 9) 5 και έχει λύσεις 8, 8 και αντίστοιχα το y 6, 6. Για y (3/ 4) έχουμε δύο ακόμα ζευγάρια τιμών (4, 4) για το και (3, 3) για το y. Οπότε έχουμε τέσσερα σημεία από τα οποία τα δύο (4, 3), ( 4, 3) είναι τα πλησιέστερα στην αρχή των αξόνων. (Η καμπύλη είναι έλλειψη με αντεστραμμένους άξονες οπότε τα σημεία είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων). 6) Υπολογίστε την περίμετρο ενός πολυγώνου με n γωνίες που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας μήκους και στη συνέχεια υπολογίστε την περίμετρο όταν το n. (Χρησιμοποιήστε την τετραγωνική προσέγγιση του cos θ στη γειτονιά του θ.) Λύση: Από το νόμο του συνημιτόνου στο τρίγωνο με πλευρές a, b και c με γωνία θ απέναντι από την πλευρά c c a + b ab cos θ και για a b και θ π/ n έχουμε c cos(π/ n) Η περίμετρος n cos(π/ n) και με την προσέγγιση cos θ θ /. Αν το n και θ π/ n ϑα έχουμε n cos(π/ n) n (π/ n) n(π/ n) π. 3

24 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Ομάδα 8 Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος Ημερομηνία Παράδοσης 3-- ) Να υπολογισθεί το ολακλήρωμα d 8 Λύση: d c ) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα. cos d sin 3. tan 6 sec d 3. d +5 Λύση:. cos d sin 3 cot + c. tan 6 sec d tan7 7 + c 3. d +5 5 ln(5 + ) + c 3) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα + + d Λύση: Αντικαθιστούμε το u + και έχουμε + + d u du

25 Θέτω t u + u (t u ) du t 3 dt ( + )( + ) ln c 4) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα. ln d. cos d Λύση:.. ln d cos d sin + cos () ln d ln (sin ) d sin (ln ) d ln d ln + c. sin d sin + cos d sin + cos sin + c. (cos ) d 5) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα. 3 cos( 4 ) d. sin d Λύση:. Θέτοντας y 4 έχουμε 3 cos( 4 ) d cos(y) dy 4 4 sin y + c 4 sin(4 ) + c.. Επειδή I sin cos(), έχουμε sin d cos() d. Θέτοντας y έχουμε I cos y dy 4 + sin() + c. 4 6) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα. sin(ln ) d. cos d Λύση:

26 . I sin(ln ) d () sin(ln ) d sin(ln ) (sin(ln )) d sin(ln ) cos(ln ) d sin(ln ) () cos(ln ) d. sin(ln ) cos(ln ) I I [ sin(ln ) cos(ln )] + c. cos d (tan ) d tan (cos ) tan + d tan + ln cos + c. cos tan d tan sin cos d 3

27 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Οµάδα 9 Λύσεις Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Να υπολογισθεί το ολακλήρωµα d 8 + Λύση : Μετά την διαίρεση των πολυωνύµων ϐρίσκουµε = Επειδή = ( + 3)( ) έχουµε την ανάλυση σε µερικά κλάσµατα Οπότε τελικά παίρνουµε d = = ( ). = 3 ) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα d. +. d (3 )d + 3d ln ln + + c. d d ( ) = Λύση :. Θέτοντας t = + + παίρνουµε = ( ) t t, + = ( ) ( ) t + t, d = t + t dt. ( ) d Οπότε έχουµε + = t + t dt ( dt ) ( ) 4 t t t + = t t = dt t dt t + = + ln t ln t + + c = ln c.

28 . Θέτοντας t = παίρνουµε = ( tdt t t (t + ) = t ( ) t + arctan ( ) + c. t t +, d = ) = t t + + tdt (t +). Οπότε έχουµε d = dt t + = t t + + arctan t + c = 3) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα d. e + e d Λύση : d e + e = dt t t + t =. Θέτοντας t = e έχουµε dt t + = ln t t + ln t + + c = e + ln(e + ) + c.. Επειδή 4+3 = ( ) +3 ϑέτουµε 3z =, οπότε παίρνουµε 6z + z + dz = 3 z z + dz + dz z + = 6 z + + dt dt dt t (t + ) = t + t d = dz z +. ολοκλήρωµα υπολογίζεται µε την αντικατάσταση t = z+ z + οπότε γίνεται dt t = ln t +c = ln z+ z + +c. Εποµένως τελικά παίρνουµε ln c. Το τελευταίο dz z + = d = 4) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα.. ln d ( + ) d Λύση :. lim ε + ε ln d = lim ε + [ ln ] ε =

29 . Αντικαθιστούµε το = u 5) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα d = lim d + lim ( + ) k + k ( + ) l = lim k + [ arctan ] k + lim l 9 8 d l ( + ) d [ arctan ] l = π Λύση : Αντικαθιστούµε το 7 = z 9 8 d = dz z = / 6) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα Λύση : Για είναι και εϕόσον d l 3 = lim d l 3 = lim l d 3 ( + ) 3 > 3 ( + ) ) l ( οπότε το ολοκλήρωµα υπολογίζεται προσεγγιστικά από τη σχέση, d 3 ( + ) < d 3 = /8 = ( lim l 4 ) l = 8 3

30 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Ομάδα Λύσεις Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Να υπολογιστεί το εμβαδό της περιοχής του επιπέδου που περικλείεται από τις γραϕικές παραστάσεις y + και (y ). Λύση: Αρχικά βρίσκουμε τα σημεία τομής των δυο καμπυλών (Σχ. ): y + (y ) y 4y 6 y, y 3. Επομένως για το εμβαδό A έχουμε: A 3 ( [ y + (y ) ] dy 3 y3 + y + 6y) Σχήμα : Το σχήμα της άσκησης. ) Να υπολογιστεί ο όγκος V του στερεού το οποίο παράγεται από την περιστροϕή γύρω από την ευθεία y 4 της περιοχής του επιπέδου που περικλείεται από τις γραϕικές παραστάσεις y και y. Λύση: Το στερεό ϕαίνεται στο Σχ.. Οι δυο καμπύλες τέμνονται στα σημεία με και 3. Θα υπολογίσουμε τον όγκο χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των δακτυλίων. Από το Σχ. βλέπουμε ότι η εσωτερική ακτίνα του δακτυλίου είναι 4 και η εξωτερική

31 Σχήμα : Το σχήμα της άσκησης. 4 ( ) Οπότε ο όγκος V είναι: V π 3 π [ ( + + 4) (4 ) ] 3 d π ( )d ) 3 ( π ) Να υπολογιστεί ο όγκος V του στερεού το οποίο παράγεται από την περιστροϕή γύρω από τον άξονα y της περιοχής του επιπέδου που περικλείεται από τη γραϕική παράσταση y ( )( 3) και τον άξονα. Λύση: Το στερεό ϕαίνεται στο Σχ. 3. Θα υπολογίσουμε τον όγκο χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των κυλίνδρων. Από το Σχ. 3 βλέπουμε ότι η ακτίνα του κυλίνδρου είναι και το ύψος του ( )( 3). Οι οριακές ϑέσεις του κυλίνδρου βρίσκονται για και 3. Οπότε ο όγκος V είναι: V π 3 π[] [ ( )( 3) ] 3 d π ( )d ) 3 ( π 4 5.

32 Σχήμα 3: Το σχήμα της άσκησης 3. 4). Να υπολογισθεί το μήκος της καμπύλης t, y t 3 για t.. Να υπολογισθεί η περίμετρος της έλλειψης. Λύση:. S (d dt ) ( dy ) dt + dt (4 + 9t ) / tdt 8 7 ( + ). Ο υπολογισμός της περιμέτρου της έλλειψης περιέργως δεν είναι καθόλου απλός. Ας ορίσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τις παραμετρικές εξισώσεις a cos t και y b sin t τότε η περίμετρος υπολογίζεται από τη σχέση π/ S (d dt ) ( dy ) dt + dt 3

33 όπου e a b b E(e ) S 4aE(e ) π/ η εκκεντρότητα της έλλειψης. ( e cos t) / dt Το ολοκλήρωμα αυτό λύνεται μόνο προσεγγιστικά ή αριθμητικά. Αναζητήστε μόνοι σας την προσέγγιση των λύσεων κάνοντας υποθέσεις για την εκκεντρότητα e, για να ανακαλύψετε και αυτή τη διάσταση στα ολοκληρώματα. 5) Να υπολογισθεί η επιϕάνεια και ο όγκος του στερεού που προκύπτει από την περιστροϕή της έλλειψης γύρω από τον άξονα O. Λύση: Ο όγκος του ελλειψοειδούς που δημιουργείται από την περιστροϕή της έλλειψης γύρω από τον άξονα O είναι a V π y d πb a Η επιϕάνεια υπολογίζεται από τη σχέση + οπότε, E 4π a [ ] d 4 3 πb a y() a + (dy/ d) d a + y y(dy/ d) b b a dy d b a y ( dy ) b 4 + d a 4 y b4 + a 4 y a 4 y b4 + a 4 b ( / a ) a 4 b ( / a a4 b + b 4 a b ) a 4 b a b 4πb a a a E πy + a 4 (a b ) d 4πb a a4 + b a a4 (a b ) a 4 a a (a ) ( dy ) d a 4π d a a b b a a a 4 (a b ) a d a a 4 u du a a b [u b ] [ u a 4 u + a4 u ] a a b sin a 4πb a a b 4πb a a a b a a b 4 a (a b ) + a4 a b sin a π b + a b sin a b a b a 4

34 6). Βρείτε το μήκος του τόξου του καδιοειδούς r + cos θ.. Να υπολογισθεί το εμβαδόν του κοινού τόπου μεταξύ του κύκλου r 3/ και της καρδιοειδούς καμπύλης r + cos θ. 3. Να βρεθεί το εμβαδόν του τόπου, που ορίζεται από τον άξονα O και ένα τόξο της κυκλοειδούς καμπύλης που ορίζεται από τις παραμετρικές εξισώσεις θ sin θ, y cos θ. Λύση:. Υπολογίζουμε το οπότε dr dθ sin θ, π π S ( + cos θ) + sin θ dθ ( + cos θ) dθ π 4 cos θ/ dθ 8. Το ζητούμενο εμβαδό Ε είναι διπλάσιο του εμβαδού E του τόπου OABΓ (βλέπε Σχ. 4 ) που αποτελείται από δύο τμήματα. Το ένα διαγράϕεται από την πολική ακτίνα r 3/ από θ ως θ π/ 3, ενώ το δεύτερο από την r + συνθ από θ π/ 3 ως θ π. Σχήμα 4: Σχήμα για την άσκηση 6. 5

35 Συνεπώς Οπότε Συνεπώς E π/ 3 (3/ ) dθ + π π/ 3 E 9 4 θ π/ 3 + [θ + sin θ]π π/ 3 + π π/ 3 3π 8 + [π π/ 3 sin π/ 3] + E E 7π/ 4 9 3/ 8 ( + cos θ) dθ. + cos θ dθ sin θ [θ/ + ] π 4 π/ 3 7π Ενα τόξο της κυκλοειδούς διαγράϕεται, όταν η θ μεταβάλλεται από ως π, διάστημα κατά το οποίο μεταβάλλεται και η. Συνεπώς E π yd π ( cos θ)( cos θ)dθ [ 3 θ sin θ 4 π sin θ]π 3 π 3π ( 3 + cos θ cos θ)dθ 6

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

x sin 3x 3 sin 3x dx = 3 + C = ln x = x2 ln x d 2 2 ln x 1 x 2 x2 x2 e x sin x dx) e 3x 2x dx = ( 1 3 )x2 e 3x x 2 e 3x 3 2x 3 8x 2 + 9x + 1 4x + 4

x sin 3x 3 sin 3x dx = 3 + C = ln x = x2 ln x d 2 2 ln x 1 x 2 x2 x2 e x sin x dx) e 3x 2x dx = ( 1 3 )x2 e 3x x 2 e 3x 3 2x 3 8x 2 + 9x + 1 4x + 4 ΦΥΕ4, 9- - η Εργασία Παράδοση 8.. Πρόβληµα. Υπολογίστε τα ακόλουθα ολοκληρώµατα (i cos d, (ii ln d, (iii e sin d, (iv e d (i cos d = = ( sin ( sin sin d = ( ( ( cos + C = ( ( sin + sin ( sin d ( cos +

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Η καµπύλη y = /x µε x >, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox και δηµιουργεί ένα στερεό µε επιφάνεια S και όγκο V. είξτε

Διαβάστε περισσότερα

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή: Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015 Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 215 Άσκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (ax+b)(x 2 +1) αν το a είναι ϑετικός αριθµός. (ϐ) Το µεσηµέρι, ένα σαλιγκάρι που ϐρίσκεται στο κέντρο ενός

Διαβάστε περισσότερα

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f.

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f. Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, η οποία έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. α) Να αποδείξετε ότι µεταξύ δύο ριζών της f περιέχεται τουλάχιστον µια ρίζα της f. β) Αν η f έχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016 Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας Γ Λυκειου

Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας Γ Λυκειου 1 ιαφορικός Λογισµός Θέµα 1. ίνεται η συνάρτηση = ln(x 1)+1. α ) Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της f. ϐ ) Να ϐρεθεί η f και το πεδίο ορισµού της. γ ) Να µελετηθεί η f

Διαβάστε περισσότερα

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ 1. Δύο αμαξοστοιχίες κινούνται κατά την ίδια φορά πάνω στην ίδια γραμμή. Η προπορευόμενη έχει ταχύτητα 54km/h και η επόμενη 72km/h. Όταν βρίσκονται σε απόσταση d, οι μηχανοδηγοί αντιλαμβάνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος 3 σχολικό έτος 4-5) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Λιτζερίνος Χρήστος Μπούζας

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Κινηµατική Η µετατόπιση είναι διάνυσµα Η µετατόπιση στην ευθύγραµµη κίνηση Μετατόπιση και διάστηµα.

1.1. Κινηµατική Η µετατόπιση είναι διάνυσµα Η µετατόπιση στην ευθύγραµµη κίνηση Μετατόπιση και διάστηµα. 1.1. 1.1.1. Η µετατόπιση είναι διάνυσµα. Ένα σώµα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο ξεκινώντας από το σηµείο Α του σχήµατος. Μετά από λίγο φτάνει στο σηµείο Β. y 4 (m) B Γ 1 Α x 0,0 1 5 x(m) y i) Σχεδιάστε

Διαβάστε περισσότερα

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α).

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α). Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Για να υπολογίσει κάποιος την (0 ) χρησιµοποιεί για + προσέγγιση τον αριθµό +, ενώ ένας άλλος τον αριθµό. 3 α) Να εκτιµήσετε ποια από τις δύο προσεγγίσεις δίνει το ελάχιστο (απόλυτο)

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Κινηµατική Οµάδα Γ.

1.1. Κινηµατική Οµάδα Γ. 1.1. Οµάδα Γ. 1.1.21. Πληροφορίες από το διάγραµµα θέσης-χρόνου..ένα σώµα κινείται ευθύγραµµα και στο διάγραµµα βλέπετε τη θέση του σε συνάρτηση µε το χρόνο. i) Βρείτε την κλίση στο διάγραµµα x-t στις

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένας ποδηλάτης διαγράφει την περιφέρεια ενός κύκλου (OR). Το διάστηµα που έχει διανύσει είναι ίσο µε : α) 2πR β) πr. γ) πr 2.

1. Ένας ποδηλάτης διαγράφει την περιφέρεια ενός κύκλου (OR). Το διάστηµα που έχει διανύσει είναι ίσο µε : α) 2πR β) πr. γ) πr 2. 1. Ένας ποδηλάτης διαγράφει την περιφέρεια ενός κύκλου (OR). Το διάστηµα που έχει διανύσει είναι ίσο µε : α) 2πR β) πr γ) πr 2 δ) καµία από τις παραπάνω τιµές Το µέτρο της µετατόπισης που έχει υποστεί

Διαβάστε περισσότερα

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f (, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

s(t) = + 1 γ 2 (2 µονάδες)

s(t) = + 1 γ 2 (2 µονάδες) . ύο αυτοκίνητα Α και Β κινούνται σε ευθύ δρόµο µε την ίδια σταθερή ταχύτητα προς την ίδια κατεύθυνση. Την στιγµή t = (ο χρόνος µετρείται σε δευτερόλεπτα) το αυτοκίνητο Β προπορεύεται κατά s =3 (η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

. Πρόκειται για ένα σημαντικό βήμα, καθώς η παράμετρος χρόνος υποχρεωτικά μεταβάλλεται σε κάθε είδους κίνηση. Η επιλογή της χρονικής στιγμής t o

. Πρόκειται για ένα σημαντικό βήμα, καθώς η παράμετρος χρόνος υποχρεωτικά μεταβάλλεται σε κάθε είδους κίνηση. Η επιλογή της χρονικής στιγμής t o Στις ασκήσεις Κινητικής υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να δουλέψουμε. Ένας από αυτούς είναι με τη σωστή χρήση των εξισώσεων θέσης (κίνησης) και ταχύτητας των σωμάτων που περιγράφονται. Τα βήματα που ακολουθούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 0 ΘΕΜΑΤΑ Α Θέµα ο. Να βρεθεί (α) η γενική λύση yy() της διαφορικής εξίσωσης y' y + καθώς και (β) η µερική λύση που διέρχεται από το σηµείο y(/). (γ) Από ποια σηµεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ. = t. (1) 2 επειδή Δx 1 = Δx 2 = Δ xoλ / 2 Επειδή Δx 1 = u 1 t 1, από την

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ. = t. (1) 2 επειδή Δx 1 = Δx 2 = Δ xoλ / 2 Επειδή Δx 1 = u 1 t 1, από την 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ 1) Δίνεται η διπλανή γραφική παράσταση της ταχύτητας με το χρόνο. Να γίνει το διάγραμμα (θέσης χρόνου ), αν όταν o= είναι o =. Υπόδειξη Βρείτε τα εμβαδά μεταξύ της γραφικής παράστασης

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (x+)(x 2 +) (ϐ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα f(x) f(x)+f(x+) για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Κίνηση σε δύο ή τρεις διαστάσεις

Κεφάλαιο 3. Κίνηση σε δύο ή τρεις διαστάσεις Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε δύο ή τρεις διαστάσεις Στόχοι 3 ου Κεφαλαίου Τα διανύσματα της θέσης και της ταχύτητας. Το διάνυσμα της επιτάχυνσης. Παράλληλη και κάθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης. Κίνηση βλήματος.

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β). Σ Λ. * Αν η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) ΘΕΜΑ ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) Α. Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο 0,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Β. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας

Γενικές ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 9 94 Γ οµάδας. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() και g() +, (0, + ) έχουν κοινή εφαπτοµένη στο σηµείο Α(, ) Να βρείτε τη σχετική θέση των

Διαβάστε περισσότερα

2.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας

2.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας .4 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 45 A Οµάδας. Μια σφαιρική µπάλα χιονιού αρχίζει να λειώνει. Η ακτίνα της, που ελαττώνεται δίνεται σε cm από τον τύπο r = 4 t, όπου t ο χρόνος σε sec. Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

β. Το μέτρο της ταχύτητας u γ. Την οριζόντια απόσταση του σημείου όπου η μπίλια συναντά το έδαφος από την άκρη Ο του τραπεζιού.

β. Το μέτρο της ταχύτητας u γ. Την οριζόντια απόσταση του σημείου όπου η μπίλια συναντά το έδαφος από την άκρη Ο του τραπεζιού. 1. Μια μικρή μπίλια εκσφενδονίζεται με οριζόντια ταχύτητα u από την άκρη Ο ενός τραπεζιού ύψους h=8 cm. Τη στιγμή που φθάνει στο δάπεδο το μέτρο της ταχύτητας της μπίλιας είναι u=5 m/sec. Να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i)

2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i) 1.8 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 A Οµάδας 1.i) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση () 5 5 4 + είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 3 598 Περιεχόμενα Συνδυαστικά Θέματα... Προβλήματα... 6 Επιμέλεια

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο ευθύγραµµες κινήσεις

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο ευθύγραµµες κινήσεις Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο ευθύγραµµες κινήσεις πρέπει: Να γνωρίζει ποια µεγέθη λέγονται µονόµετρα και ποια διανυσµατικά. Να γνωρίζει τις έννοιες χρονική στιγµή και χρονική διάρκεια. Να ξεχωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κίνηση σε δύο διαστάσεις ΦΥΣ 131 - Διαλ.07 1 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Διαδρομή του σώματος Τελική θέση Αρχική θέση Η κίνηση που κάνει το αυτοκίνητο καθώς στρίβει περιορίζεται σε ένα οριζόντιο επίπεδο - Η αλλαγή στο διάνυσμα θέσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 6: Παράγωγοι Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; ή Η επιτάχυνση και ο ρυθµός µεταβολής του µέτρου της ταχύτητας. Ένα σώµα Σ ηρεµεί, δεµένο στο άκρο ενός ελατηρίου. Σε µια στιγµή συγκρούεται µε ένα άλλο κινούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Λύση Α. Σωστή η επιλογή α. Β.

Λύση Α. Σωστή η επιλογή α. Β. 1) Αρνητικά φορτισμένο σωμάτιο κινείται σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο μεγάλης έκτασης. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Αν η κατεύθυνση της κίνησης του σωματίου παραμένει σταθερή, τότε: α. Συμπίπτει με την

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΘΕΣΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ Να διαβάσετε τις σελίδες 35-48 του σχολικού βιβλίου. Να προσέξετε ιδιαίτερα τα σχήµατα..8,..9,..,.. καθώς και τα µαύρα γράµµατα (έντονα) των παραπάνω σελίδων. Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/10/2013

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/10/2013 ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡ: (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 13/1/13 ΘΕΜ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

1ο ιαγώνισµα Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 30 Νοέµβρη 2014 Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α

1ο ιαγώνισµα Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 30 Νοέµβρη 2014 Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α 1ο ιαγώνισµα Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 30 Νοέµβρη 2014 Κινηµατική Υλικού Σηµείου Α.1. Η µονάδα 1m/s 2 δηλώνει ότι : Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α (γ) η ταχύτητα του κινητού µεταβάλλεται κατά 1m/s σε

Διαβάστε περισσότερα

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-125 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 Μικρή σφαίρα εκτοξεύεται τη χρονική στιγμή t=0 από ορισμένο ύψος με αρχική ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ ΚΡΕΜΑΣΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ ΚΡΕΜΑΣΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΘΕΩΡΙΑ Μετατόπιση (Δx): Είναι η διαφορά μεταξύ της αρχικής και της τελικής θέσης ενός σώματος και έχει μονάδες τα μέτρα (m).

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

16. Να γίνει µετατροπή µονάδων και να συµπληρωθούν τα κενά των προτάσεων: α. οι τρεις ώρες είναι... λεπτά β. τα 400cm είναι...

16. Να γίνει µετατροπή µονάδων και να συµπληρωθούν τα κενά των προτάσεων: α. οι τρεις ώρες είναι... λεπτά β. τα 400cm είναι... 1. Ο νόµος του Hooke υποστηρίζει ότι οι ελαστικές παραµορφώσεις είναι.των...που τις προκαλούν. 2. Ο τρίτος νόµος του Νεύτωνα υποστηρίζει ότι οι δυνάµεις που αναφέρονται στο νόµο αυτό έχουν... µέτρα,......

Διαβάστε περισσότερα

υ r 1 F r 60 F r A 1

υ r 1 F r 60 F r A  1 2.2. Ασκήσεις Έργου-Ενέργειας. 4.2.1. Θεώρηµα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας. ΘΜΚΕ. Ένα σώµα µάζας m=2kg ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο. Σε µια στιγµή δέχεται την επίδραση οριζόντιας δύνα- µης, το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα