Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1"

Transcript

1 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) ύο καράβια αναχωρούν από το ίδιο λιµάνι. Το ένα κινείται µε 5 Km/h προς τα νότια και το άλλο µε Km/h προς τα ανατολικά. Να εκϕράσετε την απόσταση µεταξύ των πλοίων σαν συνάρτηση του χρόνου t από την ώρα της αναχώρησης (η απόσταση να εκϕραστεί σε χιλιόµετρα Km, και ο χρόνος σε ώρες h). Λύση : Μετά από απλές πράξεις καταλήγουµε σε µια γραµµική σχέση S(t)(Km) = 5t(Hours). ) Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων :. f () = (3 ) 4. f () = ln(4 56) 3. f 3 () = ln [ ln ( )] f 4 () = Λύση :. Πρέπει 3 > 3( 4) > ( )( + ) > { < ή > }. Εποµένως το πεδίο ορισµού είναι D(f ) = (, ) (, + ).. Πρέπει 4 56 > 56 >. Θέτοντας y = έχουµε y y 56 > {y < 7 ή y > 8} < 7 (αδύνατη), και > 8 > 3 > 3. Εποµένως D(f ) = (3, + ). 3. Πρέπει ln [ ln ( ln e e )] ln [ ln ( e (6+3e)+(5 7e) 3+7 )] ( ln ln 6+5 ) ( 3+7 ln 6+5 [(6+3e)+(5 7e)]( 3+ 7) και e 5 6+3e < 7 3. Άρα D(f 3) = [ 7e 5 6+3e, 7 3). 3+7) 4. Πρέπει { ή } { ή } {( ή 3) ή 5 3}. Εποµένως το πεδίο ορισµού είναι D(f 4 ) = (, ] [ 5, 3] (3, + ).

2 3) Να ϐρεθεί (αν υπάρχει) η αντίστροϕη συνάρτηση των :. f () = + +. f () = 3 +3 Λύση :. Για το πεδίο ορισµού της συνάρτησης έχουµε : D(f ) = R. Για κάθε, R µε f( ) = f( ) έχουµε + + = = ( + )( + ) = + + = ( + )( + ) + + = = ( ) = =. Εποµένως η συνάρτηση είναι -, οπότε και αντιστρέϕεται. Θέτουµε y = + + y = + και επειδή + > για κάθε R έχουµε y > y >, οπότε (y ) = + = y για y. y Εχουµε επίσης y > y > y y y + > (y + )y > y >. y y Άρα ο τύπος της αντίστροϕης συνάρτησης είναι f () = µε πεδίο ορισµού D(f ) = (, + ).. Για το πεδίο ορισµού της συνάρτησης έχουµε : D(f ) = R. Για κάθε, R µε 3 f( ) = f( ) έχουµε = = = 3 =. Εποµένως η συνάρτηση είναι -, οπότε και αντιστρέϕεται. Θέτουµε y = 3 3 = y +3 y y > < y < y µε y. Επειδή 3 > έχουµε. Εποµένως για την αντίστροϕη συνάρτηση έχουµε 3 y = y ln 3 = ln ( f () = ln( ), µε πεδίο ορισµού D(f ln 3 ) = (, ) αϕού πρέπει >. ) 4) Να υπολογιστούν τα όρια : lim lim lim lim 4 Λύση : Σε όλες τις περιπτώσεις έχουµε απροσδιοριστία.

3 . Το πεδίο ορισµού D(f) της συνάρτησης f() = είναι D(f) = R { 3, + 3 }. Για κάθε D(f) έχουµε f() = ( 3)( ) = ( 3)(+). Οπότε lim f() = ( )(+3) (+3) ( 3)( + ) lim ( + 3) = 5 = Το πεδίο ορισµού D(f) της συνάρτησης f() = +8+6 είναι D(f) = R { 4}. +4 { (+4) Για κάθε D(f) έχουµε f() = = +4, αν < 4 = Επειδή =4 =4, αν > 4 lim 4 f() = lim 4 + f() = δεν υπάρχει το όριο lim 4 f(). 3. Το πεδίο ορισµού D(f) της συνάρτησης f() = Για κάθε D(f) έχουµε f() = Οπότε lim f() = lim 4+ είναι D(f) = (, + ). = + + ( )( + ) ( ) ( + = ) ( ) + + = 4 + = Το πεδίο ορισµού D(f) της συνάρτησης f() = 4 {}. Για κάθε D(f) έχουµε f() = ( )(+ ) ( 4)(+ = ) (+)(+. Οπότε lim f() = ) 8. είναι D(f) = [, + ) ( ) ( )(+)(+ ) = 5) Να υπολογιστούν τα όρια :. lim sin(a + ) + sin( a). lim tan sin 3 cos 3. lim cos 4. lim + Λύση : Σε όλες τις περιπτώσεις έχουµε απροσδιοριστία.. Εχουµε sin(a + ) + sin( a) sin lim cos a = cos a = cos a. = sin cos a sin(a + ) + sin( a). Άρα lim = 3

4 . Εχουµε fractan sin 3 sin ( cos ) = [ ( ] 3 cos sin ) tan sin. Άρα lim = cos 3 lim = 3. Εχουµε cos + cos. Άρα lim cos = ( cos )( + cos ) ( + = cos ) [ ( sin ) = lim = sin ( ) sin 3 cos [ ( sin ) sin lim sin ( ) ( + cos ) = ] lim = sin ] lim cos = [ ( ] sin ) + cos = = 4. cos sin ( ) sin ( ) 4. Εχουµε = =. Επειδή + έχουµε >, sin ( ) οπότε = sin ( ( ) cos. Άρα lim = lim + + lim sin ) + = (+ ) = +. 6) Μία µπάλα εκτοξεύεται κατακόρυϕα από ύψος m µε αρχική ταχύτητα u = + m/sec. Να παρασταθεί γραϕικά η τροχιά της (το ύψος σαν συνάρτηση του χρόνου για πέντε ανακλάσεις) υποθέτοντας ότι η ανάκλασή της στο έδαϕος είναι ελαστική (χωρίς απώλειες ενέργειας) ή µη-ελαστική (µε απώλειες). Λύση : Αρχικά η µπάλα έχει µια γνωστή αρχική ενέργεια (δυναµική και κινητική) και εκτοξεύεται προς τα πάνω. Το µέγιστο ύψος που µπορεί να φτάσει το υπολογίζουµε από την µετατροπή της αρχικής ενέργειας σε δυναµική. Το δεύτερο στοιχείο είναι ο χρόνος που ϑα κάνει για να φτάσει στο µέγιστο. Από εκεί πέρα µας ενδιαϕέρει ο χρόνος που ϑα χρειαστεί να φτάσει στο έδαϕος και να επανέλθει στο ίδιο ύψος. Με ϐάση αυτές τις πληροϕορίες τοποθετούµε τα χαρακτηριστικά σηµεία στη καµπύλη (h(t), t) και το µόνο που µένει είναι να Ϲωγραϕίσουµε (µε ϐάση τη εξίσωση h(t) vs. t που την ϐρίσκουµε αναλυτικά την µορϕή της). (Αγνοήστε την αντίσταση του αέρα ή υπολογίστε την για να αποδείξετε ότι είναι µάλλον αµελητέα. ) Στη δεύτερη περίπτωση αποϕασίστε, εµπειρικά, την ενέργεια που ϑα χάση στην επαϕή µε το έδαϕος και σε κάθε αναπήδηση ξεκινήστε µε νέα κινητική ενέργεια από το έδαϕος και προσδιορίστε τα χαρακτηριστικά σηµεία εκ νέου (µέγιστο ύψος και χρόνο πορείας από το έδαϕος στο έδαϕος)... στη νέα καµπύλη το µέγιστο ύψος ϑα είναι µεταβαλλόµενο αλλά και ο συνολικός χρόνος για την επιστροϕή στο έδαϕος ϑα αλλάζει (δουλέψτε µόνοι σας τις λεπτοµέρειες). 4

5 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Υπολογίστε την πρώτη παράγωγο των συναρτήσεων. y = sin. y = ln[ 3 7 4] ln[( + ) 4 ] 3. y = sin 3 Λύση :. y() = e sin ln y () = sin ( cos ln + sin ), >. y() = ln[ 3 7 4] ln[( + ) 4 ] y () = / + 7/(3(7 4)) 8/( + ), > 3. y() = arcsin 3 y () = 3 / 6, < < ) Υπολογίστε την δεύτερη παράγωγο των συναρτήσεων. y = cos (3). 3 + y 3 () = Λύση :. y = arccos(3) y () = 7 ( 9 ) 3/, / y 3 () = y () = 3) ίνεται η συνάρτηση f() = ( 4 + 6)ϕ(),

6 όπου ϕ() = 6 και lim {[ϕ() 6]/} = 4. Να ϐρεθεί η εξίσωση της εϕαπτοµένης της καµπύλης της συνάρτησης στο σηµείο =. Λύση : Η εϕαπτοµένη ϑα προσδιοριστεί από τη σχέση y = f() + f () µε ϐάση τα δεδοµένα f() = 36 και f () = ϕ() + 6ϕ () = + 4 = άρα y = ) Σύρµα κρέµεται, σε σχήµα παραβολής, από δύο κολώνες ύψους m που απέχουν 4m. Αν το χαµηλότερο σηµείο του σύρµατος ακουµπά στο έδαϕος, να προσδιοριστεί η γωνία σύρµατος - κολώνας. Λύση : Με ϐάση την εκϕώνηση συµπεραίνουµε ότι µαθηµατική απεικόνιση της καµπύλης του σύρµατος ϑα είναι y() = (/), [, ]. Υπολογίζουµε την εϕαπτοµένη στο σηµείο (,) και ϐρίσκουµε ότι η Ϲητούµενη γωνία ϑα είναι 45. (ϐλέπε Σχ. ) Σχήµα : Η γραϕική παράσταση για την άσκηση 4 5) Να ϐρεθεί η εξίσωση της εϕαπτοµένης της καµπύλης µε παραµετρικές εξισώσεις (t) = t t και y(t) = 3t 4t, στο σηµείο Ρ µε t =. Λύση : Το σηµείο Ρ έχει συντεταγµένες (3, 7). Βρίσκουµε ότι dy της εϕαπτοµένης είναι y = 5. = 6t 4 d t, οπότε η εξίσωση

7 6) Να προσδιοριστούν τα a, b R, ώστε η συνάρτηση { + a, ( αν f() = π ) + b sin, αν < 4 να είναι παραγωγίσιµη στο =. Λύση : Αναγκαία συνθήκη ώστε η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιµη στο = είναι να είναι συνεχής στο σηµείο αυτό. Η συνέχεια εξασϕαλίζεται όταν a = b. Απαιτώντας την ισότητα της δεξιάς µε την αριστερή παράγωγο στο = οδηγούµαστε στην σχέση + b π = + a. Από τις δυο αυτές σχέσεις ϐρίσκουµε τελικά a = 4 8 π 4 και b = 4 π 4. 3

8 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Οµάδα 3 Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος Λύσεις ) Η αντίδραση y ενός οργανισµού στην χορήγηση ενός φαρµάκου εξαρτάται από την ποσότητα του χορηγούµενου φαρµάκου. Αν η σχέση που συνδέει τα και y είναι y = (a ), όπου a > σταθερά, να ϐρεθεί η ποσότητα για την οποία η αντίδραση γίνεται µέγιστη. Λύση : Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης είναι y () = a 3, οπότε τα κρίσιµα σηµεία είναι τα = (αποκλείεται) και = a 3. Επειδή y ( a ) = a < καταλαβαίνουµε 3 ότι για = a η αντίδραση του οργανισµού γίνεται µέγιστη. 3 ) Μια ϐιοµηχανία πρόκειται να κατασκευάσει ένα κυλινδρικό δοχείο σταθερού όγκου V, το οποίο είναι ανοικτό στο επάνω µέρος του. Να ϐρεθεί το πηλίκο του ύψους δια της ακτίνας της ϐάση του δοχείου προκειµένου το κόστος κατασκευής να είναι ελάχιστο, γνωρ ιζοντας ότι η µονάδα επιϕάνειας της ϐάσης κοστίζει το διπλάσιο από τη µονάδα επιϕάνειας της παράπλευρης επιϕάνειας. Λύση : Εστω r η ακτίνα της ϐάσης, h το ύψος του δοχείου, V = πr h ο όγκος του, k το κόστος της µονάδας επιϕάνειας της παράπλευρης επιϕάνειας και k το κόστος της µονάδας επιϕάνειας της ϐάσης. Εποµένως το συνολικό κόστος είναι C = kπr +kπrh C(r) = k ( ) πr + V r. Εύκολα ϐρίσκουµε ότι C (r) = k ( ) πr V r = kπ(r h) και C (r) = 4k ( ) π + V r = 4kπ( + h 3 r ). Εποµένως το κόστος γίνεται ελάχιστο όταν r = h h = r. 3) ίνεται η συνάρτηση f() = e 3 e +.. Να µελετηθεί η f() ως προς τη µονοτονία, τα ακρότατα, την καµπυλότητα, τα σηµεία καµπής της και τις ασύµπτωτες που τυχόν έχει.. Να γίνει πρόχειρη γραϕική παράσταση της f(). Λύση : Η f() έχει πεδίο ορισµού D f = R. Για την πρώτη και δεύτερη παράγωγο έχουµε αντίστοιχα : f () = 5e και f () = 5e ( e ). Επειδή f () >, R η f() είναι (e +) (e +) 3

9 γνησίως αύξουσα στο R και δεν παρουσιάζει ακρότατα. Ακόµη f () >, (, ln ), ενώ f () <, (ln, + ), άρα η f() στρέϕει τα κοίλα άνω (, ln ), ενώ στρέϕει τα κοίλα κάτω (ln, + ) και παρουσιάζει καµπή στο σηµείο M(ln, 4 ). Επίσης, αϕού D f = R, η f() δεν έχει κατακόρυϕη ασύµπτωτη, ενώ επειδή lim f() = + και lim f() = 3, η γραϕική παράσταση της f() έχει οριζόντια ασύµπτωτη την y = για + και την y = 3 για. Στο Σχ. φαίνεται ο πίνακας τιµών των f (), f () και στο Σχ. η γραϕική παράσταση της f(). Σχήµα : Ο πίνακας τιµών των f () και f () και για την άσκηση 3. Σχήµα : Η γραϕική παράσταση για την άσκηση 3. 4) Να ϐρεθεί κλίση της εϕαπτοµένης της καµπύλης µε εξίσωση y +y = 5 στο σηµείο Α(, 3), και της καµπύλης µε εξίσωση y 3 + 3y y = στο σηµείο Β( 3, ). Λύση : Για την πρώτη καµπύλη έχουµε dy = y d +y Οπότε οι κλίσεις είναι αντίστοιχα m = και m = 5., και για την δεύτερη dy d = 4y 3y. 3y +6y 5) ύο ποδηλάτες ξεκίνησαν ταυτόχρονα από δύο πόλεις που απέχουν 4km και κινούνται προς την αντίθετη κατεύθυνση µε ταχύτητα km/h. Μια µύγα ξεκινώντας επίσης από το

10 τιµόνι του ενός ποδηλάτη πέτάει µέχρι το τιµόνι του δεύτερου ποδηλάτη και επιστραϕεί στον πρώτο. Επαναλαµβάνει αυτή την πορεία, µπρος πίσω συνεχώς µέχρι να συναντηθούν οι δύο ποδηλάτες. Πόσα χιλιόµετρα ταξίδεψε η µύγα αν κινείται µε ταχύτητα 3km/h. Λύση : Οι ποδηλάτες ϑα συναντηθούν µετά από µία ώρα, άρα η µύγα ϑα καλύψει συνολικά 3km. 6) Μια κυρία ύψους.7m ϐαδίζει µε ϱυθµό m/sec προς το σηµείο που ϐρίσκεται ένας στύλος της ΕΗ ύψους 5.5m. Πόσο γρήγορα το µήκος της σκιάς της αλλάζει Λύση : Απο το Σχ. 3, κάνοντας χρήση των οµοίων τριγώνων έχουµε = (t) + (t). (t) Ο ϱυθµός µεταβολής της σκιάς dy/dt υπολογίζεται απο την σχέση (t) = (t) ή d dt = d dt = ( cm/sec) Σχήµα 3: Η κυρία και η σκιά της 3

11 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 4 Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα µέσης τιµής του διαϕορικού λογισµού αποδείξτε ότι : e < ln < e. Λύση : Θεωρούµε τη συνάρτηση f() = ln, µε πεδίο ορισµού D f = (, + ) και το κλειστό διάστηµα [, e]. Η f είναι συνεχής στο [, e] και παραγωγίσιµη στο (, e) µε f () =. Άρα ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαϕορικού Λογισµού οπότε ξ (, e) : f f(e) f() (ξ) = e ξ = ln e. Αλλά < ξ < e > ξ > e > ln e > e e < ln < e. ) Τρία σηµεία A, B, C σχηµατίζουν γωνία ˆB = 6 o. Ενα αυτοκίνητο φεύγει από το A ενώ ταυτόχρονα ένα τρένο φεύγει από το B. Το αυτοκίνητο κινείται ευθύγραµµα προς το B µε σταθερή ταχύτητα 8km/h ενώ το τρένο κινείται επίσης ευθύγραµµα προς το C µε σταθερή ταχύτητα 5km/h. Αν AB = km και BC = 5 km, να ϐρεθεί πότε η απόσταση µεταξύ αυτοκινήτου και τρένου γίνεται ελάχιστη. Λύση : Τα δύο οχήµατα φθάνουν στο τέλος της διαδροµής τους την ίδια χρονική στιγµή t = = 5 =, 5h. Χρησιµοποιώντας τον νόµο των συνηµιτόνων έχουµε ότι το τετράγωνο 8 5 της απόστασης των κινητών είναι ακόλουθη συνάρτηση του χρόνου : f(t) = 9t 4t + 4. Εύκολα ϐρίσκουµε ότι αυτή η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο για t = 7 43 h. 3) Να υπολογιστούν τα όρια : + + sin. lim + e +. lim ln + 3. lim ) +(sin

12 Λύση :. Παρατηρούµε ότι sin + +, οπότε ο αριθµητής φράσσεται από πάνω και κάτω από δύο συναρτήσεις ( που ) απειρίζονται οπότε το όριό + + sin + ( + + sin ) του είναι το άπειρο. Άρα lim = lim = + e ( ) (e + ) + + cos + sin lim = lim = + e e.. lim lim ( ) ( ) = lim = lim (ln + ) ln + (ln + ) + =. (ln + ) ( ) = [ ] ln(sin ) 3. lim +(sin ) = lim e ln(sin ) = e lim [ ln(sin )] lim + = e + / = [ ] + [ ] [ ] (ln(sin )) cos cos + sin lim lim lim e + (/) = e + sin = e + cos = e =. 4) ύο πόλεις ϐρίσκονται στα νότια ενός ποταµού (ϐλέπε σχήµα). Για τις ανάγκες ύδρευσης των πόλεων πρόκειται να κατασκευαστεί στον ποταµό ένας σταθµός αντλήσεως ύδατος, άπ όπου ϑα ξεκινούν δύο αγωγοί που ϑα φέρουν το νερό στην κάθε πόλη. Κάθε αγωγός ϑα κατασκευαστεί επί της ευθείας που συνδέει τον σταθµό µε την αντίστοιχη πόλη. Να εκφραστεί το µήκος του αγωγού σαν συνάρτηση µιας µεταβλητής και να ϐρεθεί η ελάχιστη τιµή του. Λύση : Από το σηµείο Α φέρουµε την κάθετο (ΑΟ)=χιλ. και από το Β την κάθετό (ΒΚ)=Km. Η απόσταση (ΟΚ)=(ΟΡ)+(ΡΚ)=Km. Εστω =(ΟΡ). Τότε (ΡΚ)=. Θέλουµε να ϐρούµε τη συνταγµένη του σηµείου Ρ έτσι ώστε το µήκος L=(ΑΡ)+(ΡΒ) να είναι ελάχιστο. Επειδή L = ( ) ()

13 η άκρα τιµή (ή τιµές) του µήκους L ϑα είναι η ϱίζα (ή ϱίζες) που ϑα ϐρεθεί (ή ϐρεθούν) από την µηδενισµένη πρώτη παράγωγο του L ως προς και η οποία (η οποίες) καθιστά (ή καθιστούν) τη τιµή (ή τις τιµές) της δευτέρας παραγώγου του αρνητική ή ϑετική αν έχουµε µέγιστο ή ελάχιστο, αντίστοιχα. Πράγµατι dl d = 5 + ( ) + ( ) + + = () 5 + ( ) ή ή ή 5 + ( ) = ( ) + (3) (5 + ( ) ) = ( ) ( + ) (4) 5 = 4( ) 5 = ( ) = 7 (5) Η τιµή του µήκους L γίνεται ελάχιστη όταν η συντεταγµένη του σηµείου Ρ είναι ( = /7) και αυτή είναι : L = L( = /7) = 49. 5) Ενα αεροπλάνο της τροχαίας παρακολουθεί την κίνηση σε ένα µεγάλο αυτοκινητόδροµο των ΗΠΑ πετώντας περίπου 5m πάνω από το δρόµο µε σταθερή ταχύτητα Km/h. Χρησιµοποιώντας το ϱαντάρ ο πιλότος ανακαλύπτει ένα αυτοκίνητο πιθανά να έχει υπερβεί το όριο ταχύτητας και είναι σε αποστάτη 4m από το αεροπλάνο και για να µπορέσει να σταθεί ακριβώς από πάνω από το αυτοκίνητο χρειάζεται να ελαττώσει την ταχύτητα του µε ϱυθµό Km/h. Υπολογίστε την ταχύτητα του αυτοκινήτου. Λύση : Την χρονική στιγµή t = το αυτοκίνητο κινείται µε σταθερά ταχύτητα v που είναι το Ϲητούµενο και το αεροπλάνο απέχει s =.5Km από το αυτοκίνητο. Οταν συγχρονίζονται οι ταχύτητες του αεροπλάνου v a µε αυτή του αυτοκινήτου v = v a = v t at (6) Η απόσταση που ϑα διανύσει το αεροπλάνο για να συναντηθεί µε το αυτοκίνητο ϑα είναι Αντικαθιστώντας την ταχύτητα από την Εξ. 6 ϑα έχουµε s = s + v t = v t /(at ) (7) v = v s a = Km/h.5Km (Km/h ) 75Km/h. Άρα µάλλον ο οδηγός πρέπει να ετοιµάζεται για εκπλήξεις... 3

14 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 5 Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Να περιγράψετε την κίνηση ενός σώµατος στο επίπεδο (, y) (σχεδιάζοντας και την τροχιά του) οι συντεταγµένες του οποίου δίνονται από τις σχέσεις = sin t, y = cos t, όπου t είναι ο χρόνος κίνησης του σώµατος. Λύση : Το σώµα εκτελεί περιοδική κίνηση µε περίοδο T = π κινούµενο στο τµήµα της παραβολής = y που ορίζετε από τις ανισώσεις, y. Ξεκινά από 4 το σηµείο (,), φτάνει στο (,-) σε χρόνο t = π επιστρέϕει στο αρχικό σηµείο για t = π, όπως φαίνεται στο Σχ. Σχήµα : Η τροχιά του κινητού της άσκησης. ) Να σχεδιάσετε τις καµπύλες που δίνονται από τις εξισώσεις :. r = + sin θ, θ < π.. = 3 + cos θ, y = 5 + sin θ, θ < π. Λύση :. Η καρδιοειδής καµπύλη του Σχ..

15 Σχήµα : Η καρδιοειδής καµπύλη του ερωτήµατος... Κύκλος µε κέντρο το σηµείο ( 3, 5) και ακτίνα r =. 3) Να δείξετε ότι για τη συνάρτηση ισχύει f () =. f() = { e για για = Λύση : Για ισχύει f () = 3 e. Επίσης, f () = lim lim e =. Οπότε ισχύει f () = { e 3 για για =. f () f () Για τη δεύτερη παράγωγο στο έχουµε lim 4 lim =. Οπότε f () =. e e = lim 4 e = lim ( ) + = + e 4 e ( ) + = + ( ) + = + 4) Εστω = t + /t και y = t + /t να αποδειχτεί ότι η δεύτερη παράγωγος d y/d είναι σταθερή και να προσδιοριστεί η παράσταση K = ( 4) d y d + dy d 4y.

16 Λύση : Η παράγωγος d y d = και επειδή y = και (dy/d) = η παράσταση K = ( 4) + () 4( ) =. 5) Υπολογίστε τα σηµεία της καµπύλης y = + που είναι πλησιέστερα στο σηµείο (,). Λύση : Η συνάρτηση που περιγράϕει το τετράγωνο της απόστασης είναι f() = d = 4 + άρα η πρώτη παράγωγο (( )) µηδενίζεται στα σηµεία (, ±/ ) και η δεύτερη παράγωγο είναι ϑετική ( > ) (τοπικό ελάχιστο) στα σηµεία A( /, 3/), B(/, 3/) που είναι και τα πλησιέστερα στο σηµείο (, ) και τοπικό µέγιστο στο σηµείο (, ). Σχήµα 3: Η καµπύλη για την άσκηση 5 (Σχεδίαση Γ. Ζαχαρέγκας) 6) Ενα οµοίωµα ϱουκέτας αρχικά εκτοξεύεται από την ηρεµία κατακόρυϕα µε επιτάχυνση a(t) = 6t m/sec και κινείται µε αυτή την επιτάχυνση για τρία δευτερόλεπτα. Στη συνέχεια τελειώνουν τα καύσιµα και κινείται σαν ελεύθερο σώµα. Μετά από 7sec ανοίγει το αλεξίπτωτο και η ταχύτητα του προς το έδαϕος ελαττώνεται γραµµικά στο ϱυθµό 5cm/sec για 5sec. Στη συνέχεια πέϕτει στο έδαϕος µε το ϱυθµό που απέκτησε µετά τα 5sec. (α) Να υπολογισθεί η ϑέση s(t) και η ταχύτητα u(t) για κάθε χρονική στιγµή και να γίνει η γραϕική παράταση τους. (ϐ) Να υπολογισθεί η χρονική στιγµή που ϑα φτάσει στο µέγιστο ύψος και να προσδιορισθεί το ύψος αυτό. (γ) Να υπολογισθεί η διάρκεια της πτήσης της ϱουκέτας. Λύση : Θα προχωρήσουµε σταδιακά µε ϐάση τα δεδοµένα της εκϕώνησης Για το χρονικό διάστηµα t : 3s το οµοίωµα της ϱουκέτας κινείται µε επιτάχυνση a(t) = 6t και µε ταχύτητα u(t) = 3t +c και s(t) = t 3 +c t+c. Από τις αρχικές 3

17 συνθήκες ταχύτητας και ϑέσης ϐρίσκουµε ότι u(t) = 3t 3 και s(t) = t 3 άρα µετά από τα 3sec κινείται µε ταχύτητα 7m/s και ϑα έχει ανέλθει σε ύψος 7m. Για το χρονικό διάστηµα t : 3 3s το οµοίωµα κινείται επιβραδυνόµενο µε g = m/s και s(t) = 7(t 3) 5(t 3) και s(t) = 7 (t 3). Αρα µετά από 7sec ϑα έχει διανύσει επιπλέον 3645m Για τα επόµενα 5sec το οµοίωµα πέϕτει προς το έδαϕος µε επιτάχυνση 5m/s. ηλαδή u(t) = 5t και s(t) = (5/)t. Μετά από 5sec ϑα έχει ταχύτητα 5m/sec και ϑα έχει κατέβει 6.5m µετά κινείται οµαλά µε ταχύτητα 5m/sec για να καλύψει το υπόλοιπο της απόστασης που του αποµένει µέχρι το έδαϕος, δηλαδή 385, 5m σε 54, sec. (ϐ) Το οµοίωµα ϑα φτάσει στο µέγιστο ύψος των 395m τη χρονική στιγµή 3sec και (γ) η συνολική του πτήση ϑα διαρκέσει 89, sec. (Να προσπαθήσετε να Ϲωγραϕίσετε την καµπύλη). 4

18 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Ομάδας 6 Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) ίνεται η συνάρτηση f () e. Βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους του αναπτύγματος Taylor της f με κέντρο και υπολογίστε προσεγγιστικά την τιμή της στο σημείο,. Λύση: Ο τύπος της σειράς με κέντρο το είναι f () n f (n) () n. n! Υπολογίζουμε τις επιμέρους ποσότητες: f () e, f (), f () e e, f (), f () e + e, f (), f () 3e e, f () 3. Οπότε χρησιμοποιώντας τους τέσσερις πρώτους όρους του αναπτύγματος Taylor της f έχουμε ότι e + 3. Αντικαθιστώντας τη τιμή, συμπεραίνουμε ότι f (, ).64. Αντικαθιστώντας τη τιμή. στη συνάρτηση στο Ματηεματιςα παίρνουμε την τιμή ) Αναπτύξτε σε σειρά Taylor κέντρου τη συνάρτηση f () e ( ). Χρησιμοποιώντας το παραπάνω ανάπτυγμα υπολογίστε το όριο lim f (). Λύση: f () e ( ) ( ) + + +! 3 3! + 4 4! +... ( 3! Οπότε lim f () lim 4! ) 3! + 4! (! 3 3! + 4 4! ) Να υπολογιστεί κατά προσέγγιση το ημίτονο γωνίας, ακτινίων με τη χρήση των τεσσάρων πρώτων όρων του αναπτύγματος Taylor της συνάρτησης f () sin() στο σημείο. Εκτιμήστε επίσης το σϕάλμα στον υπολογισμό του sin(, ). Λύση: Από τη σειρά Taylor του ημιτόνου sin 3 3! έχουμε την προσέγγιση sin(, ), (,)3 6, Η εκτίμηση του σϕάλματος αυτής της προσέγγισης είναι R f (4) (ξ) 4! (, ) 4 sin(ξ) 4! (, ) 4 (,)4 4!,6 4, 67, όπου ξ τυχαίος αριθμός στο διάστημα (,, ). ) 4) Ο καϕές μέσα σε ένα ϕλιτζάνι βρίσκεται σε ϑερμοκρασία T(t ) την χρονική στιγμή t σε ένα δωμάτιο με ϑερμοκρασία T C. Η ϑερμοκρασία του καϕέ μεταβάλλεται με

19 το χρόνο T(t) (T(t ) T )e t t + T, t t Θα προσθέσουμε γάλα, ώστε στο ϕλιτζάνι να περιέχει 9% καϕέ και % γάλα. Η ϑερμοκρασία του καϕέ την χρονική στιγμή t είναι C και σχεδιάζουμε να πιούμε το καϕέ την χρονική στιγμή t. (Η μονάδα του χρόνου είναι παντού η ίδια, λεπτά). Το γάλα στο ψυγείο έχει ϑερμοκρασία 5 C. Ποια είναι η καλλίτερη στιγμή να προσθέσουμε το γάλα για να έχει ο καϕές την υψηλότερη ϑερμοκρασία όταν αποϕασίσουμε να τον πιούμε; Λύση: Η ϑερμοκρασία του καϕέ την χρονική στιγμή t ϑα είναι Το μείγμα ϑα έχει ϑερμοκρασία T (t ) 8 e t / + 9 T + T 7 e t / / όπου T είναι η ϑερμοκρασία του καϕέ και T η ϑερμοκρασία του γάλατος. διάστημα t t η ϑερμοκρασία του μείγματος είναι Y(t) τότε Αν στο Y(t) [Y(t ) ]e (t t )/ + [ 7 e t /.5 ] e (t t )/ + και η τελική ϑερμοκρασία T Y() e [ 7 (.5)e t / ] + dt dt (.5/ ( e) ) e t / < (ϕθίνουσα) Η συνάρτηση συνεχώς ϕθίνει, δεν παρουσιάζει ελάχιστο και έχει την υψηλότερη ϑερμοκρασία τη στιγμή που ρίχνουμε μέσα το γάλα!!! 5) Αν η ανακλαστική επιϕάνεια ενός τηλεσκοπίου περιγράϕεται από τη σχέση S 8π ( ) d 3/ 3 c 6c + και για τα περισσότερα τηλεσκόπια d / 6c << δείξτε ότι η επιϕάνεια του τηλεσκοπίου μπορεί να προσεγγιστεί από τη σχέση πd / 4. Λύση: Αν d / 6c, αναπτύσσω σε σειρά τη σχέση ( + ) 3/ + (3/ ) [ 8π 3 c + 3 ( ) ] d 6c πd 4

20 6) Να υπολογισθεί η τετραγωνική προσέγγιση της συνάρτησης στη περιοχή. f () sec Λύση: Αναπτύσσουμε και το sec αλλά και το ( ) /, και έχουμε sec cos ( / )( / ) + 3

21 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Ομάδα 7 Λύσεις Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Ενας παραγωγός μπορεί και πουλάει προϊόντα την εβδομάδα στην τιμή P, το καθένα. Το συνολικό κόστος για την παραγωγή των αυτών προϊόντων είναι y 5 + ευρώ. Πόσα προϊόντα πρέπει να παράγει ο παραγωγός για να έχει το μέγιστο δυνατό κέρδος; Να βρεθεί το κέρδος αυτό. Λύση: Τα συνολικά εβδομαδιαία έσοδα του παραγωγού από την πώληση των προϊόντων του είναι P (.),. Το κέρδος T του παραγωγού είναι τα έσοδά του μείον το κόστος του. ηλαδή T P y. 5. Παραγωγίζουμε ως προς και έχουμε T dt d 5,. Οπότε T Επίσης T, < (μέγιστο). ηλαδή, ο παραγωγός ϑα πρέπει να παράγει 75 προϊόντα εβδομαδιαίως για να έχει το μέγιστο κέρδος. Επομένως το μέγιστο κέρδος του παραγωγού ϑα είναι T 5(75), (75) 585 ευρώ. ) Να υπολογιστούν τα όρια: tan. lim π + tan. lim sin ln + 3. lim π 4 ( tan ) sec() 4. lim Λύση: (. lim π. lim + sin ) ( tan + tan ) ( ln lim / sin ) + lim π sec () sec () 3. lim π 4 ( tan ) sec() lim π 4 / sin tan lim / sin + tan / sec() lim tan π 4 cos() lim tan + ) ( lim π 4 sec sin()

22 ( 4. lim sin ) lim ( sin sin ) ( ) lim ( 3) Υπολογίστε την πρώτη παράγωγο των συναρτήσεων. e sin ( ) sin. ln cos 3. cos 3 [sin()] 4. 3 sin (5) Λύση:. e sin cos. sin 3. 6 cos [sin()] sin[sin()] cos() 4. 3 sin(5) cos(5) + 3 sin (5) ) cos ( ) lim sin + cos ( ) sin cos sin 4) Αν στη μέτρηση του (κοντά στην αρχή των αξόνων) κάνουμε λάθος κατά 3%, πόσο λάθος κάνουμε στον υπολογισμό της ϑερμοκρασίας που περιγράϕεται αναλυτικά από την συνάρτηση ( + )3/ T() + Λύση: Το λάθος στη μέτρηση της ϑερμοκρασίας είναι [ ] dt() T d Υπολογίζουμε το την παράγωγο της ϑερμοκρασίας dt() ( + )3/ + 3 d ( + ) ( + ) T( ) (/ ).3.5% 5) (α) Να βρεθούν δύο ϑετικοί αριθμοί των οποίων το γινόμενο είναι και το άθροισμα γίνεται μέγιστο. (β) Να βρεθεί το σημείο της καμπύλης 73 7y + 5y 5, που είναι πλησιέστερο στην αρχή των αξόνων.

23 Λύση: (α) Οι ϑετικοί αριθμοί που δίνουν ακρότατα στο άθροισμα είναι, y αλλά δεν δίνουν μέγιστο, οπότε η απάντηση στο ερώτημα, όπως έχει τεθεί, είναι αρνητική. (β) Η απόσταση από την αρχή των αξόνων είναι g() d + y () και τα σημεία, y ακολουθούν την καμπύλη 73 7y() + 5y () 5. () Άρα για να γίνει η απόσταση ελάχιστη ϑα πρέπει g () y / y. Παραγωγίζουμε την Εξ. (), λύνουμε και αντικαθιστούμε τα σημεία που μηδενίζεται η g () και στη συνέχεια λύνουμε ως προς y Στο σημείο y (4/ 3) η Εξ. γράϕεται y 4 3, y (4/ 3) + 5(6/ 9) 5 και έχει λύσεις 8, 8 και αντίστοιχα το y 6, 6. Για y (3/ 4) έχουμε δύο ακόμα ζευγάρια τιμών (4, 4) για το και (3, 3) για το y. Οπότε έχουμε τέσσερα σημεία από τα οποία τα δύο (4, 3), ( 4, 3) είναι τα πλησιέστερα στην αρχή των αξόνων. (Η καμπύλη είναι έλλειψη με αντεστραμμένους άξονες οπότε τα σημεία είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων). 6) Υπολογίστε την περίμετρο ενός πολυγώνου με n γωνίες που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας μήκους και στη συνέχεια υπολογίστε την περίμετρο όταν το n. (Χρησιμοποιήστε την τετραγωνική προσέγγιση του cos θ στη γειτονιά του θ.) Λύση: Από το νόμο του συνημιτόνου στο τρίγωνο με πλευρές a, b και c με γωνία θ απέναντι από την πλευρά c c a + b ab cos θ και για a b και θ π/ n έχουμε c cos(π/ n) Η περίμετρος n cos(π/ n) και με την προσέγγιση cos θ θ /. Αν το n και θ π/ n ϑα έχουμε n cos(π/ n) n (π/ n) n(π/ n) π. 3

24 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Ομάδα 8 Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος Ημερομηνία Παράδοσης 3-- ) Να υπολογισθεί το ολακλήρωμα d 8 Λύση: d c ) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα. cos d sin 3. tan 6 sec d 3. d +5 Λύση:. cos d sin 3 cot + c. tan 6 sec d tan7 7 + c 3. d +5 5 ln(5 + ) + c 3) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα + + d Λύση: Αντικαθιστούμε το u + και έχουμε + + d u du

25 Θέτω t u + u (t u ) du t 3 dt ( + )( + ) ln c 4) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα. ln d. cos d Λύση:.. ln d cos d sin + cos () ln d ln (sin ) d sin (ln ) d ln d ln + c. sin d sin + cos d sin + cos sin + c. (cos ) d 5) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα. 3 cos( 4 ) d. sin d Λύση:. Θέτοντας y 4 έχουμε 3 cos( 4 ) d cos(y) dy 4 4 sin y + c 4 sin(4 ) + c.. Επειδή I sin cos(), έχουμε sin d cos() d. Θέτοντας y έχουμε I cos y dy 4 + sin() + c. 4 6) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα. sin(ln ) d. cos d Λύση:

26 . I sin(ln ) d () sin(ln ) d sin(ln ) (sin(ln )) d sin(ln ) cos(ln ) d sin(ln ) () cos(ln ) d. sin(ln ) cos(ln ) I I [ sin(ln ) cos(ln )] + c. cos d (tan ) d tan (cos ) tan + d tan + ln cos + c. cos tan d tan sin cos d 3

27 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Οµάδα 9 Λύσεις Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Να υπολογισθεί το ολακλήρωµα d 8 + Λύση : Μετά την διαίρεση των πολυωνύµων ϐρίσκουµε = Επειδή = ( + 3)( ) έχουµε την ανάλυση σε µερικά κλάσµατα Οπότε τελικά παίρνουµε d = = ( ). = 3 ) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα d. +. d (3 )d + 3d ln ln + + c. d d ( ) = Λύση :. Θέτοντας t = + + παίρνουµε = ( ) t t, + = ( ) ( ) t + t, d = t + t dt. ( ) d Οπότε έχουµε + = t + t dt ( dt ) ( ) 4 t t t + = t t = dt t dt t + = + ln t ln t + + c = ln c.

28 . Θέτοντας t = παίρνουµε = ( tdt t t (t + ) = t ( ) t + arctan ( ) + c. t t +, d = ) = t t + + tdt (t +). Οπότε έχουµε d = dt t + = t t + + arctan t + c = 3) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα d. e + e d Λύση : d e + e = dt t t + t =. Θέτοντας t = e έχουµε dt t + = ln t t + ln t + + c = e + ln(e + ) + c.. Επειδή 4+3 = ( ) +3 ϑέτουµε 3z =, οπότε παίρνουµε 6z + z + dz = 3 z z + dz + dz z + = 6 z + + dt dt dt t (t + ) = t + t d = dz z +. ολοκλήρωµα υπολογίζεται µε την αντικατάσταση t = z+ z + οπότε γίνεται dt t = ln t +c = ln z+ z + +c. Εποµένως τελικά παίρνουµε ln c. Το τελευταίο dz z + = d = 4) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα.. ln d ( + ) d Λύση :. lim ε + ε ln d = lim ε + [ ln ] ε =

29 . Αντικαθιστούµε το = u 5) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα d = lim d + lim ( + ) k + k ( + ) l = lim k + [ arctan ] k + lim l 9 8 d l ( + ) d [ arctan ] l = π Λύση : Αντικαθιστούµε το 7 = z 9 8 d = dz z = / 6) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα Λύση : Για είναι και εϕόσον d l 3 = lim d l 3 = lim l d 3 ( + ) 3 > 3 ( + ) ) l ( οπότε το ολοκλήρωµα υπολογίζεται προσεγγιστικά από τη σχέση, d 3 ( + ) < d 3 = /8 = ( lim l 4 ) l = 8 3

30 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Ομάδα Λύσεις Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Να υπολογιστεί το εμβαδό της περιοχής του επιπέδου που περικλείεται από τις γραϕικές παραστάσεις y + και (y ). Λύση: Αρχικά βρίσκουμε τα σημεία τομής των δυο καμπυλών (Σχ. ): y + (y ) y 4y 6 y, y 3. Επομένως για το εμβαδό A έχουμε: A 3 ( [ y + (y ) ] dy 3 y3 + y + 6y) Σχήμα : Το σχήμα της άσκησης. ) Να υπολογιστεί ο όγκος V του στερεού το οποίο παράγεται από την περιστροϕή γύρω από την ευθεία y 4 της περιοχής του επιπέδου που περικλείεται από τις γραϕικές παραστάσεις y και y. Λύση: Το στερεό ϕαίνεται στο Σχ.. Οι δυο καμπύλες τέμνονται στα σημεία με και 3. Θα υπολογίσουμε τον όγκο χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των δακτυλίων. Από το Σχ. βλέπουμε ότι η εσωτερική ακτίνα του δακτυλίου είναι 4 και η εξωτερική

31 Σχήμα : Το σχήμα της άσκησης. 4 ( ) Οπότε ο όγκος V είναι: V π 3 π [ ( + + 4) (4 ) ] 3 d π ( )d ) 3 ( π ) Να υπολογιστεί ο όγκος V του στερεού το οποίο παράγεται από την περιστροϕή γύρω από τον άξονα y της περιοχής του επιπέδου που περικλείεται από τη γραϕική παράσταση y ( )( 3) και τον άξονα. Λύση: Το στερεό ϕαίνεται στο Σχ. 3. Θα υπολογίσουμε τον όγκο χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των κυλίνδρων. Από το Σχ. 3 βλέπουμε ότι η ακτίνα του κυλίνδρου είναι και το ύψος του ( )( 3). Οι οριακές ϑέσεις του κυλίνδρου βρίσκονται για και 3. Οπότε ο όγκος V είναι: V π 3 π[] [ ( )( 3) ] 3 d π ( )d ) 3 ( π 4 5.

32 Σχήμα 3: Το σχήμα της άσκησης 3. 4). Να υπολογισθεί το μήκος της καμπύλης t, y t 3 για t.. Να υπολογισθεί η περίμετρος της έλλειψης. Λύση:. S (d dt ) ( dy ) dt + dt (4 + 9t ) / tdt 8 7 ( + ). Ο υπολογισμός της περιμέτρου της έλλειψης περιέργως δεν είναι καθόλου απλός. Ας ορίσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τις παραμετρικές εξισώσεις a cos t και y b sin t τότε η περίμετρος υπολογίζεται από τη σχέση π/ S (d dt ) ( dy ) dt + dt 3

33 όπου e a b b E(e ) S 4aE(e ) π/ η εκκεντρότητα της έλλειψης. ( e cos t) / dt Το ολοκλήρωμα αυτό λύνεται μόνο προσεγγιστικά ή αριθμητικά. Αναζητήστε μόνοι σας την προσέγγιση των λύσεων κάνοντας υποθέσεις για την εκκεντρότητα e, για να ανακαλύψετε και αυτή τη διάσταση στα ολοκληρώματα. 5) Να υπολογισθεί η επιϕάνεια και ο όγκος του στερεού που προκύπτει από την περιστροϕή της έλλειψης γύρω από τον άξονα O. Λύση: Ο όγκος του ελλειψοειδούς που δημιουργείται από την περιστροϕή της έλλειψης γύρω από τον άξονα O είναι a V π y d πb a Η επιϕάνεια υπολογίζεται από τη σχέση + οπότε, E 4π a [ ] d 4 3 πb a y() a + (dy/ d) d a + y y(dy/ d) b b a dy d b a y ( dy ) b 4 + d a 4 y b4 + a 4 y a 4 y b4 + a 4 b ( / a ) a 4 b ( / a a4 b + b 4 a b ) a 4 b a b 4πb a a a E πy + a 4 (a b ) d 4πb a a4 + b a a4 (a b ) a 4 a a (a ) ( dy ) d a 4π d a a b b a a a 4 (a b ) a d a a 4 u du a a b [u b ] [ u a 4 u + a4 u ] a a b sin a 4πb a a b 4πb a a a b a a b 4 a (a b ) + a4 a b sin a π b + a b sin a b a b a 4

34 6). Βρείτε το μήκος του τόξου του καδιοειδούς r + cos θ.. Να υπολογισθεί το εμβαδόν του κοινού τόπου μεταξύ του κύκλου r 3/ και της καρδιοειδούς καμπύλης r + cos θ. 3. Να βρεθεί το εμβαδόν του τόπου, που ορίζεται από τον άξονα O και ένα τόξο της κυκλοειδούς καμπύλης που ορίζεται από τις παραμετρικές εξισώσεις θ sin θ, y cos θ. Λύση:. Υπολογίζουμε το οπότε dr dθ sin θ, π π S ( + cos θ) + sin θ dθ ( + cos θ) dθ π 4 cos θ/ dθ 8. Το ζητούμενο εμβαδό Ε είναι διπλάσιο του εμβαδού E του τόπου OABΓ (βλέπε Σχ. 4 ) που αποτελείται από δύο τμήματα. Το ένα διαγράϕεται από την πολική ακτίνα r 3/ από θ ως θ π/ 3, ενώ το δεύτερο από την r + συνθ από θ π/ 3 ως θ π. Σχήμα 4: Σχήμα για την άσκηση 6. 5

35 Συνεπώς Οπότε Συνεπώς E π/ 3 (3/ ) dθ + π π/ 3 E 9 4 θ π/ 3 + [θ + sin θ]π π/ 3 + π π/ 3 3π 8 + [π π/ 3 sin π/ 3] + E E 7π/ 4 9 3/ 8 ( + cos θ) dθ. + cos θ dθ sin θ [θ/ + ] π 4 π/ 3 7π Ενα τόξο της κυκλοειδούς διαγράϕεται, όταν η θ μεταβάλλεται από ως π, διάστημα κατά το οποίο μεταβάλλεται και η. Συνεπώς E π yd π ( cos θ)( cos θ)dθ [ 3 θ sin θ 4 π sin θ]π 3 π 3π ( 3 + cos θ cos θ)dθ 6

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015 Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 215 Άσκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (ax+b)(x 2 +1) αν το a είναι ϑετικός αριθµός. (ϐ) Το µεσηµέρι, ένα σαλιγκάρι που ϐρίσκεται στο κέντρο ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ 1. Δύο αμαξοστοιχίες κινούνται κατά την ίδια φορά πάνω στην ίδια γραμμή. Η προπορευόμενη έχει ταχύτητα 54km/h και η επόμενη 72km/h. Όταν βρίσκονται σε απόσταση d, οι μηχανοδηγοί αντιλαμβάνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένας ποδηλάτης διαγράφει την περιφέρεια ενός κύκλου (OR). Το διάστηµα που έχει διανύσει είναι ίσο µε : α) 2πR β) πr. γ) πr 2.

1. Ένας ποδηλάτης διαγράφει την περιφέρεια ενός κύκλου (OR). Το διάστηµα που έχει διανύσει είναι ίσο µε : α) 2πR β) πr. γ) πr 2. 1. Ένας ποδηλάτης διαγράφει την περιφέρεια ενός κύκλου (OR). Το διάστηµα που έχει διανύσει είναι ίσο µε : α) 2πR β) πr γ) πr 2 δ) καµία από τις παραπάνω τιµές Το µέτρο της µετατόπισης που έχει υποστεί

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Κινηµατική Οµάδα Γ.

1.1. Κινηµατική Οµάδα Γ. 1.1. Οµάδα Γ. 1.1.21. Πληροφορίες από το διάγραµµα θέσης-χρόνου..ένα σώµα κινείται ευθύγραµµα και στο διάγραµµα βλέπετε τη θέση του σε συνάρτηση µε το χρόνο. i) Βρείτε την κλίση στο διάγραµµα x-t στις

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 ) ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ.

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία σελ. 73 σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι αν () 0 στο, ) και ()

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 4

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 4 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 4 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης (Λύσεις Άσκηση 1: Μία έλλειψη µε µεγάλο ηµιάξονα 5m και µικρό 3m έχει κέντρο την αρχή των αξόνων. Να υπολογισθούν τα ακρότατα στην

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16-10- 2011. 1) α) Μονάδα μέτρησης ταχύτητας στο Διεθνές Σύστημα μονάδων (S.I.) είναι το 1Km/h.

ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16-10- 2011. 1) α) Μονάδα μέτρησης ταχύτητας στο Διεθνές Σύστημα μονάδων (S.I.) είναι το 1Km/h. ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16- - 2011 ΘΕΜΑ 1 0 Για τις ερωτήσεις 1-5, αρκεί να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά από αυτόν, το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Εφαρµογές των Νόµων του Νεύτωνα: Τριβή, Κυκλική Κίνηση, Ελκτικές Δυνάµεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 5 Εφαρµογές των Νόµων του Νεύτωνα: Τριβή, Κυκλική Κίνηση, Ελκτικές Δυνάµεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 5 Εφαρµογές των Νόµων του Νεύτωνα: Τριβή, Κυκλική Κίνηση, Ελκτικές Δυνάµεις Περιεχόµενα Κεφαλαίου 5 Εφαρµογές Τριβής Οµοιόµορφη Κυκλική Κίνηση Δυναµική Κυκλικής Κίνησης Οι κλήσεις στους αυτοκινητοδρόµους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ. Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ. Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις Α. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Να γράψετε στο φύλλο των απαντήσεών

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Να αναφέρετε ποια από τα σώματα που φαίνονται στην εικόνα κινούνται. Α. Ως προς τη Γη B. Ως προς το αυτοκίνητο. Α. Ως προς τη Γη κινούνται το αυτοκίνητο, το αεροπλάνο και ο γλάρος.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής). Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 +

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 + Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω η συνάρτηση f () = - 3 +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f (-3), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),,

Διαβάστε περισσότερα

Λύση. Γνωρίζουµε ότι η µετατόπιση µπορεί να υπολογιστεί και από το εµβαδόν της γραφικής παράστασης υ=f(t) ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ :

Λύση. Γνωρίζουµε ότι η µετατόπιση µπορεί να υπολογιστεί και από το εµβαδόν της γραφικής παράστασης υ=f(t) ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : X 6 (s) Σηµαντικό: Στην Ε.Ο.Κ και στο διάγραµµα µετατόπισης -χρόνου: Χ υ = = εφθ Μοτοσικλετιστής κινείται ευθύγραµµα και η κίνηση του περιγράφεται από το διάγραµµα Θέσης χρόνου του διπλανού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Κίνηση σε µία διάσταση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 2 Κίνηση σε µία διάσταση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο Κίνηση σε µία διάσταση Copyright 9 Pearson Education, Inc. Περιεχόµενα Κεφαλαίου Συστήµατα Αναφοράς και µετατόπιση Μέση Ταχύτητα Στιγµιαία Ταχύτητα Επιτάχυνση Κίνηση µε σταθερή επιτάχυνση Προβλήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

10,0 0 11,5 0,5 13,0 1,0 15,0 1,5 16,0 2,0. www.ylikonet.gr 1

10,0 0 11,5 0,5 13,0 1,0 15,0 1,5 16,0 2,0. www.ylikonet.gr 1 σε µια διάσταση. Οµάδα Β. 1.2.1. Ελαστική παραµόρφωση και σκληρότητα ελατηρίου. Στο διάγραµµα δίνεται η γραφική παράσταση της δύναµης που ασκείται σε δύο ελατήρια σε συνάρτηση µε την επιµήκυνση των ελατηρίων.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις Α1 έως Α3 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: Α1. Το μέτρο της

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

4 η Εργασία F 2. 90 o 60 o F 1. 2) ύο δυνάµεις F1

4 η Εργασία F 2. 90 o 60 o F 1. 2) ύο δυνάµεις F1 4 η Εργασία 1) ύο δυνάµεις F 1 και F 2 ασκούνται σε σώµα µάζας 5kg. Εάν F 1 =20N και F 2 =15N βρείτε την επιτάχυνση του σώµατος στα σχήµατα (α) και (β). [ 2 µονάδες] F 2 F 2 90 o 60 o (α) F 1 (β) F 1 2)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Α' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ÍÅÏ ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Α' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ÍÅÏ ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1 Α' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 o ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Η ορµή ενός σώµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι ΑΓ Ω Ν ΙΜ Α: A Σ ΑΞ Η ΛΤ Κ Ε Ι ΟΤ Υ Τ Ι Κ Η

Δ Ι ΑΓ Ω Ν ΙΜ Α: A Σ ΑΞ Η ΛΤ Κ Ε Ι ΟΤ Υ Τ Ι Κ Η Μ Α Θ Η Μ Α : Δ Ι ΑΓ Ω Ν ΙΜ Α: A Σ ΑΞ Η ΛΤ Κ Ε Ι ΟΤ Υ Τ Ι Κ Η Ε Π Ω Ν Τ Μ Ο : < < < < < <

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Μονάδες 8)

ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1 Β1. Στο σχολικό εργαστήριο μια μαθήτρια περιεργάζεται ένα ελατήριο και λέει σε συμμαθητή της: «Θα μπορούσαμε να βαθμολογήσουμε αυτό το ελατήριο και με τον τρόπο αυτό να κατασκευάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Τρέχοντα Κύµατα. Οµάδα.

2.1 Τρέχοντα Κύµατα. Οµάδα. 2.1 Τρέχοντα Κύµατα. Οµάδα. 2.1.41. Κάποια ερωτήµατα πάνω σε µια κυµατοµορφή. Ένα εγκάρσιο αρµονικό κύµα, πλάτους 0,2m, διαδίδεται κατά µήκος ενός ελαστικού γραµµικού µέσου, από αριστερά προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα