MỤC LỤC 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN & HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC... 3 I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN II. HÖ

Transcript

1 MỤC LỤC Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN & HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC... 3 I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Vật rắn tuyệt đối Lực và các định nghĩa về lực... 3 II. HÖ tiªn Ò cña tünh häc Tiªn Ò 1: (HÖ hai lùc c n b»ng) Tiªn Ò 2 : ( Thªm hoæc bít mét hö lùc c n b»ng) Tiªn Ò 4: (T c dông vµ ph n t c dông) Tiªn Ò 5: (Tiªn Ò ho r¾n) Tiªn Ò 6: ( Gi i phãng liªn kõt)... 7 III. Lý thuyõt vò m«men lùc vµ ngéu lùc Khái niệm: Các loại momen của lực Lý thuyết về ngẫu lực Ký hiệu moment IV. LIÊN KẾT. PHẢN LỰC LIÊN KẾT Khái niệm Liên kết Chương 2: THU GỌN HỆ LỰC VÀ ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC I. Hai thành phần cơ bản của hệ lực Vector chính của hệ lực Moment chính của hệ lực đối với một tâm II. Các định lý cơ bản của tĩnh học Định lý ba lực Định lý dời lực song song Định lý thu gọn hệ nhiều lực về một tâm Định lý về hai hệ lực tương đương III. Các dạng chuẩn (tối giản) của hệ lực IV. Điều kiện cân bằng của hệ lực Điều kiện tổng quát Trường hợp riêng Bài toán cân bằng của vật rắn Bài tập chương Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC VẬT RẮN I. Bài toán Ma sát

2 1. Khái niệm Các loại ma sát II. Bài toán Gìan Giàn phẳng... Error! Bookmark not defined. III. Bài toán Trọng tâm T m cña hö lùc song song Träng t m cña vët r¾n Träng t m cña mét sè vët ång chêt Bài tập chương

3 Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN & HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TÜnh häc nghiªn cøu c c quy luët c n b»ng cña vët r¾n tuyöt èi d íi t c dông cña lùc. Trong tünh häc cã hai kh i niöm c b n lµ vët r¾n tuyöt èi vµ lùc. 1. Vật rắn tuyệt đối VËt r¾n tuyöt èi lµ vët thó cã h nh d¹ng bêt biõn, nghüa lµ kho ng c ch hai phçn tö bêt kú trªn nã lu«n lu«n kh«ng æi. VËt thó cã h nh d¹ng biõn æi gäi lµ vët biõn d¹ng. Trong tünh häc chø kh o s t nh ng vët thó lµ r¾n tuyöt èi th êng gäi t¾t lµ vët r¾n. Thùc tõ cho thêy hçu hõt c c vët thó Òu lµ vët biõn d¹ng. Song nõu týnh chêt biõn d¹ng cña nã kh«ng nh h ëng Õn é chýnh x c cçn cã cña bµi to n, ta cã thó xem nã nh vët r¾n tuyöt èi trong m«h nh týnh to n. 2. Lực và các định nghĩa về lực Lùc lµ ¹i l îng o t c dông c häc gi a c c vët thó víi nhau. Lùc îc bióu diôn b»ng ¹i l îng vðc t cã ba yõu tè Æc tr ng: é lín (cßn gäi lµ c êng é), ph ng chiòu vµ ióm Æt. ThiÕu mét trong ba yõu tè trªn t c dông cña lùc kh«ng îc x c Þnh. Ta th êng dïng ch c i cã dêu vðc t ë trªn Ó ký hiöu c c vðc t lùc. Sau y giíi thiöu mét sè Þnh nghüa: + HÖ lùc: HÖ lùc lµ mét tëp hîp nhiòu lùc cïng t c dông lªn vët r¾n. Ký hiệu hệ n lực như sau:, =, + Lùc t ng ng: Hai lùc t ng ng hay hai hö lùc t ng ng lµ hai lùc hay hai hö lùc cã t c éng c häc nh nhau. Ó bióu diôn hai lùc t ng ng hay hai hö lùc t ng ng ta dïng dêu t ng ng nh trong to n häc. ~ ; =,, =, + Hîp lùc: Hîp lùc cña hö lùc lµ mét lùc t ng ng víi hö lùc cho. ~ ; =, Hình H.1.1 3

4 Hợp lực có 2 tính chất: Vector hợp lực được xác định bằng vector tổng của các vector lực trong hệ. = = = = Hình chiếu của một vector lên một trục là một giá trị đại số (hình H.1.2). = ; = Vector hợp lực của hệ lực chỉ nằm trên một đường tác dụng duy nhất trong không gian R 3. + HÖ lùc c n b»ng: HÖ lùc c n b»ng lµ hö lùc t ng ng víi kh«ng (hîp lùc cña nã b»ng kh«ng), trạng thái cơ học của vật rắn không thay đổi khi vật chịu tác động của loại hệ lực này. 3. Phân loại hệ lực 3.1. Cách 1 ~ ; =, Ngoại lực: là những lực do những đối tượng bên ngoài hệ thống khảo sát sinh ra để tác động vào những vị trí bên trong hệ thống đang xét. Nội lực: là những lực do những đối tượng bên trong hệ thống khảo sát sinh ra để tác động vào những vị trí bên trong hệ thống đang xét Cách 2 Hình H.1.2 Lực tập trung: Là loại lực chỉ tác dụng tại một điểm duy nhất trên vật. Lực phân bố: Là loại lực tác động cùng lúc lên nhiều điểm trên vật. + Lực phân bố theo đường: Là loại lực phân bố có các điểm tác động lên vật tạo thành một loại đường hình học trên vật. Đơn vị: N/m. Ví dụ: Bánh xe lu hình trụ tròn tác động lực lên mặt đường. (hình H.1.3) Hình H.1.3 4

5 Lực phân bố theo mặt: Là loại lực phân bố mà quỹ tích các điểm tác dụng lên vật tạo thành một loại mặt hình học trên vật. Đơn vị: N/m 2. Ví dụ: áp lực nước tác dụng lên thành đê. (H.1.4) H.1.4 Lực phân bố theo thể tích (lực khối): Là loại lực phân bố mà quỹ tích các điểm tác dụng lên vật tạo thành một loại thể tích hình học. Ví dụ: Trọng lực tác dụng lên vật là loại lực phân bố thể tích (H.1.5). 4. Quy đổi lực phân bố trên đoạn thẳng về lực tập trung tương đương 4.1. Tổng quát (H.1.6) H.1.5 ớ = ( ). Trong đó: = ( ).. x A : tọa độ của điểm A bắt đầu có lực. x: tọa độ của điểm bất kỳ. x B : tọa độ của điểm B kết thúc có lực. x C : tọa độ của trọng tâm C. x D : tọa độ x của điểm D Trường hợp riêng a). Lực phân bố đều: (hình H.1.7). b. Lực phân bố tam giác: (hình H.1.8). H.1.6 5

6 Hình H.1.7 II. HÖ tiªn Ò cña tünh häc Hình H.1.8 TÜnh häc îc x y dùng trªn c së s u tiòn Ò sau y: 1. Tiªn Ò 1: (HÖ hai lùc c n b»ng) iòu kiön cçn vµ ñ Ó hai lùc c n b»ng lµ hai lùc ã cã cïng é lín, cïng ph ng, ng îc chiòu vµ cïng Æt lªn mét vët r¾n. Hình H Tiªn Ò 2 : ( Thªm hoæc bít mét hö lùc c n b»ng) T c dông cña hö lùc lªn vët r¾n sï kh«ng æi nõu ta thªm vµo hoæc bít i mét hö lùc c n b»ng. HÖ qu 1: ( Þnh lý tr ît lùc) T c dông cña mét lùc lªn vët r¾n sï kh«ng æi nõu ta tr ît lùc ã däc theo êng t c dông Õn Æt ë ióm kh c. Cần chú ý rằng tính chất nêu trên chỉ đúng đối với vật rắn tuyệt đối. 3. Tiªn Ò 3: ( Hîp lùc theo nguyªn t¾c h nh b nh hµnh) Hai lùc cïng Æt vµo mét ióm trªn vët r¾n cã hîp lùc îc bióu diôn b»ng êng chðo cña h nh b nh hµnh mµ hai c¹nh lµ hai lùc cho (H.1.11). 6 Hình H.1.10 Hình H.1.11

7 4. Tiªn Ò 4: (T c dông vµ ph n t c dông) Lực tác dụng và lực phản tác dụng giữa hai vật có cùng đường tác dụng, hướng ngược chiều nhau và có cùng cường độ. (hình H.1.12). Chú ý rằng lực tác dụng và phản tác dụng không phải là hai lực cân bằng vì chúng không tác dụng lên cùng một vật rắn. Tiên đề 4 là cơ sở để mở rộng các kết quả khảo sát một vật sang khảo sát hệ vật và nó đúng cho hệ quy chiếu quán tính cũng như hệ quy chiếu không quán tính. Hình H Tiªn Ò 5: (Tiªn Ò ho r¾n) Một vật biến dạng đã cân bằng dưới tác dụng của một hệ lực thì khi hóa rắn lại nó vẫn cân bằng dưới tác động của hệ lực đó (hình H.1.13). Chú ý: Hình H Tiªn Ò 6: ( Gi i phãng liªn kõt) Hình H.1.14 Tr íc khi ph t bióu tiªn Ò nµy cçn a ra mét sè kh i niöm vò: VËt r¾n tù do, vët r¾n kh«ng tù do, liªn kõt vµ ph n lùc liªn kõt. VËt r¾n tù do lµ vët r¾n cã kh n ng di chuyón theo mäi phýa quanh vþ trý ang xðt. NÕu vët r¾n bþ ng n c n mét hay nhiòu chiòu di chuyón nµo ã îc gäi lµ vët r¾n kh«ng tù do. Nh ng iòu kiön rµng buéc di chuyón cña vët r¾n kh o s t gäi lµ liªn kõt. Trong tünh häc chø xðt liªn kõt do sù tiõp xóc cña c c vët r¾n víi nhau (liªn kõt h nh häc). Theo tiªn Ò 4 gi a vët kh o s t vµ vët liªn kõt xuêt hiön c c lùc t c dông t ng hç. Ng êi ta gäi c c lùc t c dông t ng hç gi a vët liªn kõt lªn vët kh o s t lµ ph n lùc liªn kõt. 7

8 Ó kh o s t vët r¾n kh«ng tù do ta ph i dùa vµo tiªn Ò gi i phãng liªn kõt sau y: Vật không tự do (tức vật chịu liên kết) cân bằng có thể được xem là vật tự do cân bằng nếu giải phóng các liên kết, thay thế tác dụng của các liên kết được giải phóng bằng các phản lực liên kết tương ứng (hình H.1.15). X c Þnh ph n lùc liªn kõt lªn vët r¾n lµ mét trong nh ng néi dung c b n cña c c bµi to n tünh häc. III. Lý thuyõt vò m«men lùc vµ ngéu lùc 1. Khái niệm: Dưới tác động của một lực vật rắn có thể chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay, hoặc vừa chuyển động tịnh tiến vừa quay đồng thời. Tác dụng của lực làm vật rắn quay sẽ được đánh giá bởi đại lượng moment của lực. 2. Các loại momen của lực a. Mo men của lực đối với một tâm Hình H.1.15 Khảo sát lực F tác động tại điểm A trên vật. Đường tác dụng của lực là đường thẳng l. Giả sử rằng lực có xu hướng làm vật rắn quay quanh tâm O. Hình H.1.16 Dựng hệ trục vuông góc 3 chiều Oxyʓ có gốc tại tâm O như hình vẽ: (H.1.16) Dựng vectơ Gọi α là góc hợp bởi vectơ và lực F: = (, ) Hình H

9 d là cánh tay đòn của lực F đối với tâm O. = ( ) =. Khả năng của lực F làm vật rắn quay quanh tâm O sẽ được đánh giá bởi vector moment của lực F đối với tâm O như sau: (hình H.1.16). = ( ) ề : =.. =. =. ( ) Định lý: Điều kiện cần và đủ để lực F không có khả năng làm vật rắn quay quanh tâm O là: = = = ( ) - ChiÒu h íng vò phýa sao cho khi nh n tõ Ønh cña vðc t xuèng mæt ph¼ng t c dông sï thêy vðc t lùc chuyón éng theo chiòu mòi tªn vßng quanh O theo ng îc chiòu kim ång hå (h nh H.1.17). b. Mô men của lực đối với một trục Khảo sát lực F tác động tại điểm A trên vật. Giả sử rằng lực có xu hướng làm vật rắn quay quanh trục ʓ. Để đo lường khả năng của lực F làm vật rắn quay quanh trục ʓ người ta xác định moment của lực F đối với trục ʓ theo hai bước sau đây: Bước 1: xác định hình chiếu vuông góc của lực F lên mặt phẳng vuông góc với trục quay ʓ. = Bước 2: moment của lực F đối với trục ʓ là một đại lượng đại số được định nghĩa bằng (+) hoặc ( ) độ lớn của vector moment lực hình chiếu F xy đối với tâm O. (xem H.1.18). = ± = ± Hình H

10 Quy ước Moment của lực F đối với trục quay ʓ sẽ được quy ước là đại lượng dương (+) nếu nhìn dọc theo trục quay ʓ từ ngọn của trục ấy ta thấy lực hình chiếu F xy sẽ có xu hướng quay quanh tâm O ngược chiều kim đồng hồ và ngược lại. Định lý Hình chiếu vuông góc lên trục ʓ của vector moment lực F đối với tâm O bằng moment của lực F đối với trục ʓ. =, " Điều kiện cần và đủ để lực F không có khả năng làm vật rắn quay quanh trục ʓ là moment của lực F đối với trục ʓ bằng 0. = = ( ) Mà trục ʓ cắt mp (OAB) tại O nên: Trục ʓ mp(oab) [ʓ, (l)] đồng phẳng 3. Lý thuyết về ngẫu lực a. Định nghĩa Þnh nghüa: NgÉu lùc lµ hö hai lùc song song ng îc chiòu cïng c êng é. b). Tính chất của ngẫu lực Ngẫu lực là một hệ lực không cân bằng. Nghĩa là dưới tác động của ngẫu lực, một vật rắn tự do hoàn toàn, đang đứng yên sẽ thực hiện chuyển động quay:, Ngẫu lực là loại hệ lực không bao giờ có hợp lực. Nghĩa là ngẫu lực là một dạng tối giản của các hệ lực:, H.1.19 c). Moment của ngẫu lực Khả năng làm quay vật của ngẫu lực sẽ phụ thuộc vào 4 yếu tố của ngẫu lực: mặt phẳng tác dụng (P), cánh tay đòn d, độ lớn của các lực và chiều quay của ngẫu lực. 10

11 Để đo lường khả năng làm quay vật của ngẫu lực người ta định nghĩa đại lượng vector moment của ngẫu lực như sau:, ( ), = = ề, :, =. Có hai cách ký hiệu ngẫu lực: Liệt kê 2 lực của ngẫu:, Biểu diễn ngẫu bằng vector moment của nó:, d). Các định lý của ngẫu lực Định lý 1: Hai ngẫu lực được xem là tương đương về cơ học nếu và chỉ nếu hai vector moment của chúng bằng nhau., ~,, =, Định lý 2: Từ một ngẫu đã cho ta có thể tìm được vô số ngẫu khác tương đương với nó. Định lý 3: Tổng hai vector moment của hai lực trong ngẫu lấy đối với một tâm O trong không gian sẽ không phụ thuộc vào vị trí của tâm O đó và bằng vector moment của ngẫu lực. + =,, " Định lý 4: Một hệ nhiều ngẫu lực bao giờ cũng có một ngẫu tương đương với toàn hệ. Vector moment của ngẫu tương đương bằng tổng tất cả các vector moment của các ngẫu thành phần., ~,, =, 4. Ký hiệu moment Cách 1: Ký hiệu Moment bằng một vector thẳng hai đầu. (Dùng trong bài toán không gian 3 chiều.). (hình H.1.20) Cách 2: Ký hiệu moment bằng một ngẫu hai lực nằm trong mặt phẳng tác dụng vuông góc với vector moment của cách 1 sao cho vector moment của ngẫu lực bằng vector moment cần biểu diễn (dùng trong bài toán không gian 2 chiều và 3 chiều) (H.1.21). Chú ý rằng có rất nhiều ngẫu có thể chọn để biểu diễn một moment. H.1.20 H

12 Cách 3: Biễu diễn moment bằng một vector cong, phẳng nằm trong mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực (H.1.22). Chiều của vector cong được xác định tuân theo quy tắc bàn tay phải so với chiều vector moment thẳng của cách 1. Hay chiều của vector moment cong sẽ cùng chiều quay của ngẫu lực (dùng trong bài toán không gian 2 chiều). IV. LIÊN KẾT. PHẢN LỰC LIÊN KẾT 1. Khái niệm 1.1. Vật rắn tư do hoàn toàn Là vật rắn có thể thực hiện được mọi dạng chuyển động trong không gian mà không có bất kỳ cản trở nào Bậc tự do của vật rắn (Dof- Degree of freedom) Là số chuyển động độc lập mà vật rắn ấy có thể thực hiện đồng thời trong không gian. Xác định Dof của vật rắn tự do hoàn toàn: Trong không gian hai chiều: 2D (H.1.23) = 1 : tịnh tiến thẳng theo phương ngang. 2 : tịnh tiến thẳng theo phương đứng. 3 : quay. Có 1 và 2 thì vật tịnh tiến theo phương xiên. Có cả ➂ thì vật vừa tịnh tiến vừa quay đồng thời. Trong không gian ba chiều: 3D (H.1.24) = Chú ý rằng một chuyển động độc lập bao gồm cả hai chiều chuyển động theo một phương. 2. Liên kết 2.1. Định nghĩa Là những đối tượng có tác dụng hạn chế khả năng chuyển động của vật rắn trong không gian Ràng buộc của liên kết (R lk ) 12 H.1.23 H.1.24 H.1.22

13 Là số chuyển độc lập bị mất do liên kết. R lk là một thông số đánh giá khả năng cản trở chuyển động của liên kết đối với vật và nó được định nghĩa bằng số chuyển động độc lập mà vật rắn bị mất đi do liên kết ấy. Chú ý: Một chuyển động độc lập gồm cả hai chiều chuyển động theo một phương. Nếu vật rắn chỉ chuyển động theo một chiều của một phương thì vật ấy có 0,5 chuyển động độc lập. 2.3 Bậc tự do của hệ nhiều vật rắn có liên kết với nhau Khảo sát một hệ thống cơ học gồm có n vật rắn được liên kết với nhau bởi m liên kết. Tổng các ràng buộc của các liên kết trong hệ là: a. Xét một cơ hệ trong không gian hai chiều (2D) ệ = b. Trong không gian ba chiều (3D) ệ = Khi Dof hệ > 0: hệ không luôn cân bằng với mọi loại tải tác động. Khi Dof hệ 0: hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động Phản lực liên kết a. Định nghĩa Là những lực do các liên kết phản tác dụng lên vật (H.1.25). Phản lực liên kết là những lực thuộc loại lực bị động. b). Tính chất H.1.25 Tính chất 1: Số phản lực liên kết của một loại liên kết sẽ bằng số làm tròn của ràng buộc liên kết ấy [= round (R lk )]. Ví dụ: R lk = 2,5 liên kết có 3 phản lực liên kết. Tính chất 2: Vị trí đặt các phản lực liên kết trùng với vị trí của các liên kết ấy. Tính chất 3: Phương của các phản lực liên kết sẽ trùng với phương của các chuyển động độc lập bị mất đi. 13

14 Tính chất 4: Chiều của các phản lực liên kết sẽ ngược với chiều của các chuyển động độc lập bị mất đi Phản lực liên kết của 9 loại liên kết cơ bản i. Liên kết dây R dây = 0,5 Có 1 phản lực liên kết: Lực căng dây (H.1.26). ii. Tựa nhẵn. (Tựa trơn không ma sát) R tựa = 0,5 Có 1 phản lực liên kết (hình 1.27a). t A : tiếp tuyến chung. :phản lực pháp tuyến, thẳng góc với mặt tựa (mặt tiếp xúc) và hướng vào vật khảo sát. t A : tiếp tuyến riêng của bề mặt cố định tại điểm gẫy A. t B : tiếp tuyến riêng của vật tại vị trí điểm B. H.1.26 H.1.27a, : phản lực pháp tuyến. H.1.27b iii. Khớp bản lề cố định (khớp bản lề ngoại cố định, gối cố định). R bl = 2 Có 2 phản lực liên kết Loại liên kết này có chiều và độ lớn của các phản lực liên kết chưa biết (H.1.28). Khớp bản lề cố định H.1.28 H.1.29 Mô hình liên kết khớp bản lề trong lý thuyết H

15 iv. Khớp bản lề trượt (khớp bản lề ngoại trượt, khớp bản lề di động, gối di động) Loại liên kết này chỉ cho phép trượt qua lại theo phương trượt và quay trong mặt phẳng nhưng không tịnh tiến thẳng lên, xuống theo phương vuông góc với phương trượt. Để trượt nhẹ người ta lắp thêm con lăn (H.1.31). R blt = 1 Có 1 phản lực liên kết H.1.31 H.1.32 Mô hình liên kết khớp bản lề di động trong lý thuyết H.1.33 v. Khớp bản lề nội (xem hình H.1.34) R bln = 2 H.1.34 Có 2 phản lực liên kết tác động lên từng vật thỏa tiên đề 4 của tĩnh học. H

16 vi. Ngàm phẳng (ngàm hai chiều) (xem hình H.1.36). R ngàm2d = 3 Có 3 phản lực liên kết. vii. Khớp cầu (xem hình H.1.37) R cầu = 3 Có 3 phản lực liên kết. H.1.36 H.1.37 viii. Ngàm không gian (ngàm 3 chiều ) (xem hình H.1.38) R ngàm3d = 6 Có 6 phản lực liên kết. H.1.38 ix. Liên kết thanh Khảo sát thanh thẳng hoặc cong thỏa đồng thời ba điều kiện sau: (hình H.1.39) Có trọng lượng rất bé nên có thể bỏ qua được. Có hai liên kết ở hai đầu cuối của mỗi thanh thuộc ba loại liên kết sau đây: khớp cầu, khớp bản lề, tựa nhẵn. H

17 Các thanh không chịu tác động của lực hoặc moment ở giữa thanh. Nếu những thanh thỏa mãn đồng thời các điều kiện như trên được dùng làm các liên kết cho vật rắn thì chúng sẽ được gọi là các liên kết thanh. Mỗi liên kết thanh sẽ có một ràng buộc và sinh ra một phản lực tác động lên vật. Phản lực của liên kết thanh luôn có tính chất nằm trên một đường thẳng nối liền hai đầu có liên kết thanh. H

18 Chương 2 THU GỌN HỆ LỰC VÀ ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC I. Hai thành phần cơ bản của hệ lực Khảo sát hệ nhiều lực, =,. Mọi hệ nhiều lực luôn có hai thành phần cơ bản được định nghĩa như sau: 1. Vector chính của hệ lực 1.1. Định nghĩa Vector chính của một hệ nhiều lực là vector tổng của tất cả các vector lực trong hệ. Nó được ký hiệu và xác định như sau: = = = = 1.2. Tính chất của vector chính Đối với một hệ lực đã cho vector chính của hệ lực ấy là một vector hằng. Đây được gọi là bất biến thứ nhất của hệ lực. Vector chính của hệ lực là một vector tự do. Nghĩa là vector chính của hệ lực có thể được đặt tại một vị trí tùy ý trong không gian. 2. Moment chính của hệ lực đối với một tâm 2.1. Định nghĩa Moment chính của hệ lực đối với tâm O là một đại lượng vector, bằng tổng các vector moment của các lực trong hệ lực lấy đối với cùng tâm O ấy. Nó được xác định và ký hiệu như sau: = = = = 18

19 2.2. Tính chất của moment chính Tính chất 1: Moment chính của hệ lực đối với một tâm không phải là vector hằng và sẽ phụ thuộc vào vị trí của tâm O ấy. Tính chất 2: Hình chiếu vuông góc của vector moment chính hệ lực đối với một tâm O lên phương của vector chính của hệ lực ấy là một hằng số với mọi tâm O trong không gian. Đây được gọi là bất biến thứ hai của hệ lực (H.2.1). =, " II. Các định lý cơ bản của tĩnh học H Định lý ba lực. Nếu vật rắn đã cân bằng dưới tác dụng của hệ ba lực thì hệ ba lực ấy sẽ thỏa đồng thời hai điều kiện sau: (H.2.2) Đồng phẳng. Hoặc đồng quy hoặc song song trong mặt phẳng. Chú ý: Định lý này là định lý một chiều nghĩa là nếu hệ 3 lực thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện như trên thì chưa chắc hệ 3 lực ấy là hệ 3 lực cân bằng. 2. Định lý dời lực song song Có thể di dời song song một lực đến một điểm H.2.3 đặt mới nằm ngoài đường tác dụng của nó nếu trong quá trình di dời song song ấy ta bổ sung vào lực ấy một moment bằng moment của lực trước khi di dời lấy đối với điểm sẽ được di dời đến. (H.2.3), ~ ;, " 3. Định lý thu gọn hệ nhiều lực về một tâm Một hệ nhiều lực khi thu gọn về một tâm O tùy ý trong không gian bao giờ ta cũng tương đương với một hệ mới gồm hai vector cùng đặt tại tâm thu gọn O đã chọn. Đó là hai thành phần cơ bản của hệ lực đối với tâm thu gọn ấy. 19 H.2.2

20 , ~,, " 4. Định lý về hai hệ lực tương đương Điều kiện cần và đủ để hai hệ lực tương đương với nhau là khi thu gọn về một tâm tùy ý trong không gian các thành phần thu gọn cơ bản cùng tên của chúng phải đồng loạt bằng nhau:, ~ III. Các dạng chuẩn (tối giản) của hệ lực, = = Dựa vào 2 thành phần cơ bản của hệ lực khi thu gọn về một tâm người ta sẽ phân các hệ lực ra làm 4 dạng tối giản (dạng chuẩn). 1. Dạng chuẩn 1: =, = : hệ lực không gian cân bằng. 2. Dạng chuẩn 2: =, : hệ lực không gian tương đương với một ngẫu lực và sẽ không bao giờ có hợp lực, lúc này =, ". 3. Dạng chuẩn 3:,. = : hệ lực không gian tương đương với 1 lực, tức hệ lực không gian có hợp lực. Trong trường hợp (2.4.3) hệ lực không gian có hợp lực, ta có định lý sau: Định lý Varinhông: Trong trường hợp hệ lực không gian có hợp lực thì moment của hợp lực đối với một tâm bất kỳ bằng tổng moment của các lực thành phần đối với tâm ấy. = 3.1. Khi = : hợp lực của hệ lực = và đặt tại O. (H.2.4) H.2.4 = 3.2. Khi : hợp lực của hệ lực = và đặt tại O*. (H.2.5) = Tọa độ điểm O*: = ( ) H.2.5 = 20

21 4. Dạng chuẩn 4: Hệ lực xoắn vít động Khi. : hệ lực này không bao giờ có hợp lực. IV. Điều kiện cân bằng của hệ lực 1. Điều kiện tổng quát Điều kiện cần và đủ để một hệ nhiều lực cân bằng là cả hai thành phần cơ bản của hệ lực ấy đối với tâm thu gọn O bất kỳ trong không gian phải đồng loạt bị triệt tiêu., ~, ~, " = = 2. Trường hợp riêng = = 2.1. Hệ lực phẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy Xét trường hợp n lực F j cùng nằm trong một mặt phẳng. Dựng hệ trục tọa độ Oxy nằm trong mặt phẳng của hệ lực. (H.2.6). Chỉ cần thỏa (1), (2), (6) đối với hệ lực phẳng. = = ( ) = = ( ) = = ( ) = = ( ) = = ( ) = = ( ) H.2.6 ( ) = ( ) = ±. 21

22 2.2. Hệ lực song song với trục Y. (xem hình H.2.7) Chỉ cần thỏa (2), (4), (6) đối với hệ này Hệ lực đồng quy. (hình H.2.8) Chỉ cần thỏa (1), (2), (3) đối với hệ này. Hệ lực đồng quy phẳng trong mặt phẳng Oxy: Chỉ cần thỏa (1), (2) đối với hệ này. Điều kiện cân bằng hình học được phát biểu như sau: Điều kiện cần và đủ để hệ lực đồng quy cân bằng là đa giác lực tạo bởi hệ lực đo phải khép kín. Ví dụ: Cho hệ cân bằng như hình H.2.9, bỏ qua ma sát tại trục ròng rọc. Xác định Q và phản lực tại A theo P. H.2.8 H.2.7 H.2.9b Từ hình vẽ (H.2.9b): H.2.9a = = = ; = = 3. Bài toán cân bằng của vật rắn VËt r¾n c n b»ng khi hö lùc t c dông lªn nã bao gåm c c lùc cho vµ ph n lùc liªn kõt c n b»ng. Khi gi i bµi to n c n b»ng cña vët r¾n cã thó p dông ph ng ph p gi i tých hoæc ph ng ph p h nh häc nh ng phæ biõn vµ cã hiöu qu nhêt lµ ph ng ph p gi i tých. Gi i bµi to n c n b»ng cña vët th êng tiõn hµnh theo c c b íc sau: 1. Chän vët kh o s t: vët kh o s t ph i lµ vët r¾n mµ sù c n b»ng cña nã cçn thiõt cho yªu cçu x c Þnh cña bµi to n. NÕu nh bµi to n t m ph n lùc liªn kõt th vët 22

23 kh o s t ph i lµ vët chþu t c dông cña ph n lùc liªn kõt cçn t m, nõu lµ bµi to n t m iòu kiön c n b»ng cña vët th vët kh o s t ph i chýnh lµ vët ã. 2. Gi i phãng vët kh o s t khái liªn kõt vµ xem ã lµ vët tù do d íi t c dông cña c c lùc cho vµ ph n lùc liªn kõt. 3. ThiÕt lëp iòu kiön c n b»ng cu vët bëi c c ph ng tr nh c n b»ng cña hö lùc t c dông lªn vët kh o s t bao gåm c c lùc cho vµ ph n lùc liªn kõt. 4. Gi i hö ph ng tr nh c n b»ng Ó x c Þnh trþ sè vµ ph ng chiòu cña c c ph n lùc liªn kõt hoæc thiõt lëp mèi quan hö gi a c c lùc Ó m b o iòu kiön c n b»ng cho vët kh o s t. 5. NhËn xðt c c kõt qu thu îc: Chó ý r»ng chiòu cña c c ph n lùc th êng ch a îc x c Þnh v thõ lóc Çu ph i tù chän chiòu. Dùa vµo kõt qu gi i hö ph ng tr nh c n b»ng ta cã thó x c Þnh chiòu cña c c ph n lùc chän óng hay sai. NÕu c c ph n lùc liªn kõt cho trþ sè d ng th chiòu chän lµ óng vµ nõu trþ sè m th chiòu ph i o l¹i. MÆt kh c còng cçn l u ý r»ng bµi to n cã tr êng hîp gi i îc (bµi to n tünh Þnh) khi sè Èn sè cçn x c Þnh nhá h n hoæc b»ng sè ph ng tr nh c n b»ng. Cã tr êng hîp kh«ng gi i îc (bµi to n siªu tünh) khi Èn sè cçn t m lín h n sè ph ng tr nh c n b»ng (sï nghiªn cøu bµi to n siªu tünh trong c c m«n häc Søc BÒn VËt LiÖu vµ C Häc KÕt CÊu). Ví dụ: Cho cơ hệ có liên kết và chịu lực như hình H.2.10a. Bỏ qua ma sát tại D, E và trọng lượng các vật. Biết a = 0,6m; b = 0,4m; AD = 2BD = 2a; CD = CE = b; M = 160Nm; Q = 2P; q = 1000N/m. a) Hệ có luôn cân bằng với mọi loại tải tác động không? Tại sao? b) Hãy xác định các phản lực tại D, khớp bản lề E (nếu hệ cân bằng) và ngàm A ứng với hai trường hợp của lực P: i/ P =800N; ii/ P = 1200N. Bài giải: a. Bậc tự do của hệ: Ràng buộc tại ngàm A: 3 Dof hệ = 3 x Số vật tổng số ràng buộc của các liên kết Ràng buộc tại khớp bản lề cố định E: 2 Ràng buộc tại tựa nhẵn D: 0,5 Suy ra: dof hệ = 0,5 > 0 Vậy hệ không luôn cân bằng với mọi tải tác động vì dof hệ > H.2.10a

24 b. Điều kiện cân bằng của hệ: Phản lực tựa: N D = N D > 0. Tách hệ thành 2 bộ phận và khảo sát riêng sự cân bằng của dầm ECD và ADB. Các phản lực liên kết tác dụng lên dầm ECD: X E, Y E, N D Các phản lực liên kết tác dụng lên dầm ED: X A, Y A, M A, N D Trong đó N D = N D (cùng độ lớn nhưng ngược chiều). H.2.10b H.2.10c Các phương trình cho dầm ED: H.2.10c =. = ( ) = +. + = ( ) ( )= = ( ) Các phương trình cho dầm AB: = +.. = ( ) =. +. = ( ) H.2.10d ( )=.. + = ( ) Điều kiện của P để hệ cân bằng: Từ (3): = +, ( ) Để hệ cân bằng: > +, =, +,.., = ( ) 24

25 Trường hợp i: P = 800N. Ta thấy P = 800N < 1000N hệ cân bằng Từ (7) ta có: = 200 N Từ (1) ta có: X E = 173,205 N Từ (2) ta có: Y E = N < 0 (ngược chiều đã giả thiết) Từ (4) ta có: X A = 1212,436 N Từ (5) ta có: Y A = N < 0 (ngược chiều đã giả thiết) Từ (6) ta có: M A = Nm < 0 (ngược chiều đã giả thiết) Trường hợp ii: P = 1200N. Ta thấy P = 1200N > 1000N hệ không cân bằng nên N D = 0 Dof ED = 1 > 0 Dầm ED không cân bằng Dof AB = 0 Dầm AB cân bằng Các phương trình cân bằng cho dầm AB với N D = 0: =. = ( ) = +. = ( ) ( )= +. = ( ) Từ (9) ta có: X A = 2078,461 N Từ (10) ta có: Y A = N < 0 (ngược chiều đã giả thiết) H.2.10e Từ (11) ta có: M A = Nm < 0 (ngược chiều đã giả thiết). 25

26 Bài tập chương 2 1. Cho vật rắn S có liên kết và chịu lực như các hình vẽ H.1. Biết: Q = 2KN; q= 2KN/m; M = 8KNm; F = 10KN; a = 1m; b = 2m; α= 60 0 ; β= Xác định các phản lực tại A, B. (Mô hình nào không có các đại lượng tương ứng xem như chúng bằng không). H.1a H.1b H.1c H.1d H.1e q 1 =1,2q; q 2 =q H.1f H.1g 2. Để giữ được thanh AB treo tải trọng Q, người ta dùng hai dây BI, BH được bố trí như hình H.2. Biết IBH thuộc mặt phẳng nằm ngang, ABK thuộc mặt phẳng thẳng đứng. Xác định sức căng các thanh dây và ứng lực của thanh AB. 26 H.2

27 3. Tấm chữ nhật ABCD được giữ nằm ngang nhờ 6 thanh như hình H.3. Biết I là trung điểm của AB, trọng lượng của tấm là P. Tìm ứng lực các thanh. 4. Cho kết cấu chịu lực như hình H.4. Với M= 5(KN.m), q=10(kn/m), P = 9(KN), a=0.5(m), α= 60 o. Xác định phản lực tại D, B và ứng lực trong thanh AB. (Bỏ qua trọng lượng bản thân kết cấu khi tính toán). H.4 H.3 5. Cho kết cấu chiu lực như hình H.5. cho q, L, M=qL 2. Xác định các phản lực tại các liên kết theo q và L. a. b. H.5 6. Cho kết cấu chịu tải như hình H.6 với AB = 2a = CD = 2CB, F = qa. Xác định phản lực tại A và C với M = 2qa Cho kết cấu chịu tải như hình H.7 với M = ql 2. Xác định phản lực tại A, E theo q và l. M=ql 2 H.6 H.7 27

28 8. Cho kết cấu chịu tải như hình H.8 với P = 2qa, M = qa 2. Xác định phản lực tại A, B và D theo q, a. 9. Cho kết cấu gồm dầm và dàn như hình H.9. Cho F 1 =6 2 kn, F 2 = 6kN, F 3 =4kN, a= 1 m. a. Xác định phản lực tại ngàm A và khớp E. b. Xác định ứng lực của thanh 1 và 2. H.9 H Dầm hai đọan AE, EB có liên kết như hình H.10. Cần trục trọng lượng Q=5KN có giá nằm trên đường KE. Xác định các phản lực tại A, B. Biết P = 1KN. 11. Cho cơ cấu như hình H.11. Biết: P 1 =10KN; P 2 =12KN; M=25KNm; q=2kn/m; α= Xác định các phản lực tại A, B, C. B H.10 H Hai dầm AD, DC nối bản lề ở D (H.12). Tìm các phản lực ở A, B, C, D. Biết: P 1 =5KN; P 2 =6KN; M=34KNm; q=1,5kn/m; = H Cho hệ hai vật rắn cân bằng như hình vẽ (hình H.13a) hoặc (hình H.13b). 28

29 Biết: b=2a=2m; q=2kn/m; q 0 =0,75KN; F=3KN; α=60 0. Xác định phản lực tại A, B, C trong các trường hợp sau: a) M = 1KNm. b) M = 1,5KNm. c) M = 3KNm. H Cơ cấu gồm hai thanh AB và CD có liên kết và chịu lực như hình H.14. Xác định phản lực tại A,B, C. Biết: AC = CI = ID = a, CB = 2a. H.14 H Cho hệ thống như hình H.15 với R = 2r = 1 m; α = 60 o, AB = 3m, P = 2 KN, Q = 1 KN, M = 1.5 KNm. Xác định phản lực tại ngàm A và lực căng dây tại E. Bỏ qua ma sát tại ròng rọc. 16. Cho kết cấu chịu lực như hình H.16. Cho q, a, P= 2qa và M= qa 2. Xác định phản lực tại A, C và E theo q và a. H Cho kết cấu chịu lực như hình H.17. Với a= 0.6m, b=0.4m, AD=2BD= 2a, CD=CE=b, P= 600N, Q=2P, q=1000 N/m, xác định phản lực tại ngàm A trong hai trường hợp: a. M= 300 Nm ; b. M= 600 Nm. H.17 29

30 18. Cho khung không gian ABCD nằm dọc theo hình lập phương có liên kết và chịu tác động của tải như hình H.18. Các cạnh hình lập phương có chiều dài đơn vị. a. Hãy thu gọn hệ lực về A. b. Hệ lực đã cho có hợp lực không? Tại sao? Nếu hệ lực có hợp lực hãy tìm vị trí điểm đặt cho hợp lực của hệ lực. c. Xác định các phản lực liên kết tại các khớp cầu A và D. d. Cần bổ sung vào hệ ngoại lực đã cho các thành phần ngoại lực gì (lực, moment) để tại các khớp cầu A và D không có phản lực liên kết. 19. Cho khung không gian ABCDE nằm dọc theo hình lập phương có liên kết và chịu tải như hình H.19. Các cạnh hình lập phương có chiều dài đơn vị. a. Thu gọn hệ lực về A. b. Hệ lực đã cho có hợp lực không? Tại sao? Nếu hệ lực có hợp lực hãy tìm vị trí điểm đặt của hệ lực. c. Xác định các phản lực liên kết tại ngàm không gian A. d. Cần bổ sung vào hệ ngoại lực đã cho các thành phần ngoại lực gì (lực, moment) để tại ngàm A không có phản lực liên kết. 20. Giá đỡ gồm 3 thanh có chiều dài AB = 145cm, AC=80cm, AD=60cm, treo vật nặng Q=420N (H.20). Mặt phẳng hình chữ nhật ACED nằm ngang, các đầu B, C, D liên kết khớp với tường thẳng đứng. Tìm các ứng lực trong các thanh của giá đỡ. H.19 H.18 H.20 30

31 21. Xác định các phản lực liên kết của các kết cấu sau: H.21a H.21b H.21c H.21d 31

32 H.21d H.21e 32

33 Chương 3 CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC VẬT RẮN I. Bài toán Ma sát 1. Khái niệm Ma sát là một hiện tượng tổng hợp (cơ học, điện học, nhiệt học, hóa học, ), phản ánh sự cản trở chuyển động trượt tương đối giữa hai bề mặt vật chất đang tiếp xúc với nhau. 2. Các loại ma sát 2.1. Ma sát trượt a. Ma sát trượt tĩnh Xảy ra khi giữa hai vật tiếp xúc có xu hướng trượt nhưng chưa trượt với nhau. Khảo sát vật rắn (A) tựa trên mặt phẳng ngang cố định. H.3.1 Vật rắn sẽ cân bằng dưới tác động của hệ hai lực: (, )~. Lúc này chưa xuất hiện lực ma sát. Tác động lên vật (A) một lực kéo Q. Khi lực kéo Q<< 1 thì vật vẫn cân bằng. Lúc này vật cân bằng dưới tác động của bốn lực: (,,, )~, đó, ~ Tăng dần độ lớn của Q, khi Q có giá trị chưa đủ lớn, thì vật vẫn cân bằng. Do vậy lực ma sát trượt tĩnh F mst có độ lớn tăng kịp theo Q. Khi độ lớn Q đạt đến một giá trị giới hạn Q = Q gh thì vật chớm trượt! Do đó: F ms = Q gh = F msgh = f t.n (Định luật Coulomb) Với f t là hệ số ma sát trượt tĩnh, không có đơn vị và được xác định bằng thí nghiệm. Khi lực kéo Q > Q gh : vật trượt. Điều kiện để vật không trượt: F ms < F msgh = f t.n b. Ma sát trượt động. Khi lực kéo Q > Q gh thì vật sẽ trượt. Lúc này lực ma sát cản trượt trên bề mặt tiếp xúc sẽ có độ lớn được xác định theo định luật ma sát trượt động như sau: 33

34 Ví dụ F msđ = f đ.n Với f đ là hệ số ma sát trượt động: f t > f đ (khi kéo vật sẽ nhẹ hơn lúc vật tĩnh). Cho cơ hệ như hình H.3.2a. Tìm điều kiện để cho vật không trượt trên mặt nghiêng? Khảo sát sự cân bằng của vật A (H.3.2b). =. = ( ) H.3.2a =. = ( ) =. ; =. Điều kiện để vật không trượt: 2.2. Ma sát lăn =.... ( ) Khảo sát một hình trụ tròn đặc, đặt trên mặt phẳng nằm ngang. Hình trụ sẽ cân bằng dưới tác dụng của 2 lực N và P. (hình H.3.3a) Tác động thêm lên vật này một lực đẩy Q. Lực này tác động tại tâm của hình trụ và làm cho vật lăn về phía trước. (hình H.3.3b) Khi Q << 1: vật vẫn cân bằng dưới tác dụng của hệ lực: H.3.2b H.3.3a (,,,, )~ Với M msl : moment ma sát cản lăn. Khi tăng dần Q, khi Q chưa đủ lớn, vật vẫn cân bằng. Do đó: M msl = R.Q (tăng theo Q!) Khi Q = Q* gh : vật chớm lăn. Lúc này M mslgh = R.Q* gh = k.n (Với k là hệ số ma sát lăn, đơn vị là cm, xác định bằng thí nghiệm). H.3.3b 34

35 II. Bài toán Gìan Âënh nghéa Gçan laì cáúu truïc cæïng âæåüc cáúu taûo gäöm caïc thanh thàóng liãn kãút våïi nhau chè bàòng caïc khåïp lyï tæåíng åí hai âáöu mäùi thanh. Caïc giaí thiãút vãö giaìn - Tất cả tải trọng chỉ đặt tại nút. Bỏ qua trọng lượng bản thân. - Tất cả các thanh được nối với nhau bằng bản lề nhẵn bóng. - Nếu chúng được hàn thì phải đảm bảo đường tâm đồng quy. H.3.4 Một vài hình ảnh mắt giàn 1. Tính giàn bằng phương pháp giải tích a. Phæång phaïp taïch màõt Näüi dung cuía phæång phaïp laì âi khaío saït sæû cán bàòng cuía tæìng màõt âæåüc taïch ra khoíi giaìn. Thæûc ra, âáy laì træåìng håüp âàûc biãût cuía phæång phaïp màût càõt våïi hãû læûc khaío saït laì hãû læûc âäöng quy. Caïc bæåïc tiãún haình nhæ sau: 35

36 - Xaïc âënh caïc thaình pháön phaín læûc (nãúu cáön). - Láön læåüt taïch caïc màõt ra khoíi giaìn bàòng caïc màût càõt quanh màõt. - Thay thãú taïc duûng cuía thanh giaìn bë càõt bàòng læûc doüc trong thanh âoï. Luïc âáöu, caïc læûc doüc chæa biãút, giaí thiãút coï chiãöu dæång (veî hæåïng ra ngoaìi màõt). - Khaío saït sæû cán bàòng cuía tæìng màõt: Læûc taïc duûng lãn màõt gäöm ngoaûi læûc táûp trung (nãúu coï) vaì læûc doüc trong caïc thanh daìn. Âáy laì hãû læûc âäöng quy nãn thæåìng sæí duûng hai phæång trçnh hçnh chiãúu theo hai phæång khäng song song X 0, Y 0. Do chè coï 2 phæång trçnh cán bàòng nãn taûi mäùi màõt chè coï täúi âa hai áøn säú chæa biãút - Khaío saït cán bàòng cho táút caí caïc màõt, seî âæåüc hãû thäúng caïc phæång trçnh. Giaíi hãû phæång trçnh seî xaïc âënh âæåüc caïc læûc doüc cáön tçm. Nãúu kãút quaí mang dáúu dæång thç læûc doüc gáy keïo (âuïng chiãöu âaî giaí âënh) vaì ngæåüc laûi. * Caïc hãû quaí ruït ra tæì phæång phaïp taïch màõt: + Hãû quaí 1: Nãúu mäüt màõt chè coï hai thanh khäng thàóng haìng (bäü âäi) vaì khäng chëu taíi troüng taïc duûng thç læûc doüc trong hai thanh âoï bàòng khäng. + Hãû quaí 2: Nãúu mäüt màõt coï ba thanh, trong âoï coï hai thanh thàóng haìng vaì khäng chëu taíi troüng taïc duûng thç näüi læûc trong thanh khäng thàóng haìng bàòng khäng; trong hai thanh thàóng haìng thç bàòng nhau vãö giaï trë vaì cuìng gáy keïo hay gáy neïn. * Chuï yï: Khê tênh daìn, nãn sæí duûng hai hãû quaí trãn âãø loaûi boí nhæîng thanh giaìn khäng laìm viãûc ngay tæì âáöu. Ví dụ: Xaïc âënh læûc doüc cuía caïc thanh giaìn trong hãû daìn trãn hçnh (H.3.5a) H.3.5b Baìi giaíi: H.3.5a Sử dụng Hệ quả 1 ta loại bỏ thanh AB và BC (Bộ đôi) - Tính phản lực liên kết tại A,D Giaí sæî caïc phaín læûc coï chiãöu nhæ hçnh H.3.5b. Ta coï hãû phæång trçnh cán bàòng: 36

37 Taïch nuït D: = + = ( ) = = ( ) ( )=... = ( ) = + = ; = = ; = = = = = > Taïch nuït A: = = = = < Âäúi våïi baìi toaïn naìy, sau khi loaûi boí thanh AB vaì BC, ta chè cáön xeït cán bàòng nuït C thç seî tçm âæåüc táút caí æïng læûc cuía caïc thanh maì khäng cáön phaíi tçm phaín læûc. Taïch nuït C: = = = < = = = > = b. Phæång phaïp màût càõt âån giaín Xaïc âënh læûc doüc trong caïc thanh giaìn thuäüc mäüt màût càõt - càõt giaìn ra laìm hai pháön âäüc láûp, trong âoï säú thaình pháön læûc doüc chæa biãút khäng låïn hån ba. Caïc bæåïc tiãún haình nhæ sau: - Xaïc âënh caïc thaình pháön phaín læûc (nãúu cáön). Thæûc hiãûn "màût càõt âån giaín" qua thanh giaìn cáön xaïc âënh læûc doüc. Yãu cáöu: màût càõt phaíi chia giaìn ra laìm hai pháön âäüc láûp. Giæî laûi vaì xeït cán bàòng mäüt pháön báút kyì. - Thay thãú taïc duûng cuía thanh giaìn bë càõt bàòng læûc doüc trong thanh âoï. Luïc âáöu, caïc læûc doüc chæa biãút, giaí thiãút coï chiãöu dæång. 37

38 - Thiãút láûp caïc âiãöu kiãûn cán bàòng: Luïc naìy, ta coï thãø thiãút láûp ba phæång trçnh cán bàòng. - Giaíi hãû thäúng ba phæång trçnh, seî xaïc âënh âæåüc læûc doüc cáön tçm. Vê duû: Tênh laûi vê duû 1 bàòng phæång phaïp màût càõt H.3.6 Càõt daìn bàòng màût càõt nhæ hçnh H.3.6, xeït cán bàòng pháön bãn phaíi. Hãû phæång trçnh cán bàòng: = + + = ( ) = + = ( ) ( )=. = ( ) = ; = < ( é ); = > ( é ) 2. Tính giàn bằng phương pháp đồ giải Thæûc hiãûn caïc pheïp veî hçnh hoüc vaì dæûa vaìo hçnh veî âoï coï thãø xaïc âënh âæåüc näüi læûc trong caïc thanh daìn. Táút nhiãn, mæïc âäü chênh xaïc cuía kãút quaí phuû thuäüc vaìo mæïc âäü chênh xaïc vaì quy mä cuía hçnh veî, song noïi chung coï thãø âaïp æïng âæåüc yãu cáöu thæûc tãú thiãút kãú. Cå såí cuía phæång phaïp: Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø hãû læûc âäöng quy âæåüc cán bàòng laì âa giaïc læûc cuía hãû læûc âoï phaíi kheïp kên. H.3.7a H.3.7b H.2.14b H.3.7c H.2.14c Xeït mäüt váût ràõn cán bàòng dæåïi taïc duûng cuía hãû ba læûc âäöng quy (H.3.7a). Tæïc laì: + + = 0. Ta âi veî âa giaïc læûc cuía hãû læûc naìy.,, 38

39 + : âæåüc biãøu diãùn bàòng (coï phæång, chiãöu cuía læûc vaì coï âäü låïn biãøu thë trë säú cuía læûc theo mäüt tyí lãû xêch tæû choün). Tæång tæû, âæåüc biãøu diãùn bàòng veïc tå BC. Theo âiãöu kiãûn kheïp kên cuía âa giaïc læûc thç chênh laì (H.3.7b). Nháûn xeït 1: Nãúu trong hã ûba læûc naìy coï 1 læûc âaî biãút (chàôn haûn læûc ), hai læûc coìn laûi måïi chè biãút phæång (, ), thç theo âiãöu kiãûn kheïp kên cuía âa giaïc læûc, ta hoaìn toaìn coï thãø xaïc âënh âæåüc chuïng. Tháût váûy, dæûng veïc tå AB tæåüng træng cho læûc. Qua B keí âæåìng thàóng song song våïi læûc. Qua A keí âæåìng thàóng song song våïi læûc. Goüi C laì giao âiãøm cuía hai âæåìng naìy. Theo âiãöu kiãûn kheïp kên cuía âa giaïc læûc thç BC tæåüng træng cho læûc, CA tæåüng træng cho læûc (H. 3.7c). Måí räüng: Våïi mäüt hãû læûc âäöng quy vaì cán bàòng trong âoï coï hai thaình pháön måïi chè biãút phæång, thç hoaìn toaìn coï thãø xaïc âënh âæåüc chuïng theo tênh cháút kheïp kên cuía âa giaïc læûc. Nháûn xeït 3: Våïi mäùi màõt cuía daìn cáön phaíi veî mäüt âa giaïc læûc. Caïc âa giaïc naìy laûi råìi raûc nhau nãn coï nhiãöu læûc phaíi veî âãún hai láön, gáy täún cäng sæïc vaì laìm giaím âäü chênh xaïc (do màõc sai säú cäüng däön). Âãø khàõc phuûc nhæåüc âiãøm naìy, ngæåìi ta veî gäüp caïc âa giaïc læûc trãn mäüt hçnh veî. Hçnh veî naìy goüi laì giaín âäö näüi læûc hay coìn goüi laì giaín âäö Maxwell - Crãmona. Vê duû: Tênh laûi vê duû 1 bàòng phæång phaïp giaín âäö 3 4 P 2 =2P P 1 =P N M 45 0 P Q H.3.8a H.3.8b Tæì âa giaïc læûc trãn hçnh H.3.8b ta âæåüc = ; = Nhçn vaìo nuït C åí hçnh b so våïi hçnh C: âi vaìo (chëu neïn), âi ra (chëu keïo) Giản đồ Maxwell - Cremona: Âãø veî giaín âäö näüi læûc, cáön thäúng nháút mäüt säú quy æåïc vaì tiãún haình theo caïc bæåïc sau: 39

40 * Bæåïc 1: Xaïc âënh phaín læûc taûi caïc gäúi tæûa: Thæåìng tiãún haình theo phæång phaïp giaíi têch âaî biãút. * Bæåïc 2: Biãøu diãùn táút caí caïc læûc âaî biãút ra pháön biãn cuía daìn (træåüt læûc). Kê hiãûu caïc vuìng nàòm giæîa caïc læûc giæîa caïc thanh giaìn bàòng caïc chæî in A,B,C... * Bæåïc 3: Dæûng âa giaïc læûc (xuáút phaït tæì nuït 2 áøn) cuía caïc læûc âaî biãút theo thæï tæû chiãöu kim âäöng häö (âa giaïc âoïng kên) theo mäüt tyí lãû xêch tæû choün. Quy æåïc gäúc vaì ngoün cuía læûc trãn âa giaïc laì caïc chæî thæåìng tæång æïng nàòm hai bãn læûc ngoaìi biãn cuía giaìn cuîng theo chiãöu kim âäöng häö quay. * Bæåïc 4: Dæûng thãm caïc âa giaïc læûc kên cho tæìng nuït giaìn. Bàõt âáöu tæì nuït 2 áøn kên xuáút phaït tæì læûc âaî biãút (cuîng theo chiãöu kim âäöng häö), gäúc vaì ngoün cuía æïng læûc thanh tæång æïng laì caïc chæî caïi hai bãn thanh theo quy æåïc quay cuìng chiãöu kim âäöng häö quanh nuït âoï. * Bæåïc 5: Xaïc âënh giaï trë vaì chiãöu cuía näüi læûc trong caïc thanh daìn. - Muäún xaïc âënh näüi læûc trong thanh naìo ta chè viãûc âo chiãöu daìi cuía âoaûn tæång æïng trãn giaín âäö theo tyí lãû xêch væìa veî. - Muäún xaïc âënh dáúu cuía näüi læûc trong thanh naìo, ta chè viãûc âæïng taûi taûi màõt coï chæïa thanh âoï vaì âoüc tãn cuía näüi læûc trong thanh thuáûn theo chiãöu kim âäöng häö quanh màõt âang âæïng. Quan saït trãn giaín âäö, nãúu noï coï chiãöu hæåïng vaìo màõt laì læûc gáy neïn vaì ngæåüc laûi. Vê duû: Tênh laûi vê duû 1 bàòng phæång phaïp Maxwell Cremona B C b e a A D c d E H.3.9 Xuất phát từ lực đã biết ta vẽ đa giác lực đóng kín abcdea đóng kín của các lực tác dụng vào giàn hóa rắn (H.3.9). 40

41 - Nút A: Dựng đa giác cho nút A có 1 ẩn: ade. Các đỉnh đặt theo quy tắc thứ tự cùng chiều kim đồng hồ qua nút A. Vậy = ( hướng vào nút A thanh 4 bị nén), có độ lớn bằng 2 2P. - Nút C: Dựng đa giác cho nút A có 1 ẩn: abcd. Vậy = ( hướng ra nút C thanh 3 bị kéo), có độ lớn bằng 3P. III. Bài toán Trọng tâm 1. T m cña hö lùc song song HÖ lùc song song (,,... ) lu«n cã hîp lùc song song víi c c lùc cho. Theo lý thuyõt vò hö lùc, hîp lùc îc x c Þnh bëi bióu thøc: = = (. ) Khi ta thay æi ph ng cña hö lùc th ph ng cña hîp lùc còng thay æi theo. Ch¼ng h¹n lóc Çu hö lùc cã hîp lùc lµ song song víi c c lùc cho, sau khi xoay hö lùc cho song song víi trôc oz ta sï îc hîp lùc ' cã é lín b»ng nh ng cã ph ng song song víi trôc oz. MÆc dï hîp lùc thay æi ph ng khi ph ng cña hö lùc thay æi nh ng êng t c dông cña chóng Òu i qua ióm C. ióm nµy gäi lµ t m cña hö lùc song song cho. Ó x c Þnh vþ trý cña t m C ta vën dông Þnh lý Va-ri-nh«ng. Cho hîp lùc nh h nh vï ta cã: ' M ( R') m ( F ) y RX C n i 1 F x i i y i n H.3.10 Fi xi i Hay X C 1 R trong ã, X C lµ to¹ é cña ióm C trªn ox, x i lµ to¹ é cña ióm A i trªn ox. B»ng c ch xoay ph ng cña hö lùc cho song song víi trôc ox vµ oy ta sï nhën îc c c kõt qu t ng tù víi to¹ é cña C trªn hai trôc oy vµ oz. Ta x c Þnh hö to¹ é cña t m C theo c c bióu thøc sau: X C n Fi xi i 1 ; R Y C n Fi yi i 1 ; R 41 Z C n Fi zi i 1 R (4-2) Nh vëy cã thó x c Þnh hîp lùc cña hö lùc song song nhê c c bióu thøc (4-1) vµ (4-2).

42 2. Träng t m cña vët r¾n Coi vët r¾n lµ tëp hîp cña n phçn tö cã träng l îng,,,. C c träng lùc P i t¹o thµnh mét hö lùc song song. T m cña hö c c träng l îng phçn tö nµy gäi lµ träng t m cña vët. Nh vëy gäi C lµ träng t m cña vët th to¹ é cña ióm C îc x c Þnh b»ng c c bióu thøc sau: X C n Pi xi i 1 ; P Y C n Pi yi i 1 ; R Z C n Pi zi i 1 R (4.3) trong ã, P i vµ P lµ träng l îng cña phçn tö thø i trong vët, vµ träng l îng cña c vët, cßn x i, y i, z i lµ to¹ é cña phçn tö thø i. Nh vëy träng t m cña vët lµ mét ióm C trªn vët mµ tæng hîp träng l îng cña c vët i qua khi ta xoay vët ã ë bêt kú chiòu nµo trong kh«ng gian. 3. Träng t m cña mét sè vët ång chêt 3.1. VËt r¾n lµ mét khèi ång chêt Gäi träng l îng riªng cña vët lµ γ ( träng l îng cña mét n vþ thó tých) th P i = γ.v i vµ P = γ.v, trong ã v i vµ V lµ thó tých cña phçn tö thø i cña vët vµ thó tých c vët. To¹ é träng t m cña vët lóc nµy cã thó x c Þnh bëi c c bióu thøc: x C n vi xi i 1 ; V y C n vi yi i 1 ; V 3.2. VËt r¾n lµ mét têm máng ång chêt z C n vi zi i 1 V (4.4) Gäi träng l îng riªng cña vët r¾n lµ γ ( träng l îng cña mét n vþ diön tých) ta sï cã P i = γ.s i vµ P = γ.s, ë y S i vµ S lµ diön tých cña phçn tö thø i cña vët vµ diön tých toµn vët. To¹ é träng t m cña vët trong hö to¹ é oxy chøa vët x c Þnh theo bióu thøc sau: x C n Si xi i 1 ; S 3.3. VËt r¾n lµ mét d y hay thanh m nh ång chêt y C n Si yi i 1 S (4.5) Gäi träng l îng riªng cña vët lµ γ ( träng l îng cña mét n vþ chiòu dµi vët) ta cã P i = γ.l i vµ P = γ.l, trong ã L i vµ L lµ chiòu dµi cña phçn tö thø i vµ chiòu dµi cña c vët. To¹ é träng t m cña vët lóc nµy cã thó x c Þnh bëi c c bióu thøc: x C n Li xi i 1 ; L y C n Li yi i 1 ; L z C n Li zi i 1 L (4.6) 3.4. VËt r¾n ång chêt cã mét t m, mét trôc hay mét mæt ph¼ng èi xøng 42

43 Ta cã nhën xðt r»ng trªn vët bao giê còng t m îc hai phçn tö èi xøng cã träng l îng P 1, P 2 nh nhau song song cïng chiòu qua t m èi xøng, trôc èi xøng hay mæt ph¼ng èi xøng cña vët vµ nh vëy hîp lùc cña nã sï i qua ióm èi xøng n»m trªn trôc èi xøng hay mæt ph¼ng èi xøng. DÔ dµng nhën thêy r»ng hîp lùc cña c c ( i = 1..n), nghüa lµ träng l îng cña vët bao giê còng i qua t m èi xøng, trôc èi xøng hay n»m trong mæt ph¼ng èi xøng nõu nhxoay vët sao cho mæt ph¼ng èi xøng ã ë vþ trý th¼ng øng. Nãi c ch kh c träng t m cña vët trong tr êng hîp cã mét t m èi xøng, cã mét trôc èi xøng hay cã mét mæt ph¼ng èi xøng bao giê còng n»m trªn t m èi xøng, trôc èi xøng hay mæt ph¼ng èi xøng ã Träng t m cña vët cã thó ph n chia thµnh nh ng vët nhá n gi n Trong tr êng hîp nµy ta chia vët thµnh c c phçn cã h nh d¹ng n gi n dô x c Þnh träng t m, sau ã coi mçi vët ã nh mét phçn tö nhá cña c vët, mçi phçn tö nµy cã träng l îng Æt t¹i träng t m. X c Þnh îc träng l îng vµ träng t m c c phçn nhá cña vët ta sï x c Þnh îc träng t m cña c vët nhê c c bióu thøc x c Þnh to¹ é träng t m ë trªn. Sau y ta vën dông nh ng kõt qu trªn Ó t m träng t m cña mét sè vët. Thí dụ: Xác định trọng tâm mặt cắt như trên H (đơn vị là cm) Hình H.3.11 yc Bµi gi i: Coi mặt cắt đã cho là hiệu của hai hình chữ nhật ABCD (ký hiệu là 1) và EFGH (ký hiệu là 2). Hình 1: x 1 = 50 cm ; y 1 = 30 cm; S 1 = = 6000 cm 2 Hình 2: x 2 = 65 cm ; y 2 = 40 cm; S 2 = = cm 2 Tọa độ trọng tâm C của hình trên là: = + x C =.. =, = + =.. =, 43

44 ThÝ dô: T m to¹ é träng t m cña têm ph¼ng giíi h¹n bëi hai êng trßn b n kýnh R=2a vµ r=a/2 ( xem H.3.12). Cho biõt kho ng c ch gi a hai t m lµ c 1 c 2 = a. y x Bµi gi i: Hình H.3.12 Chän hö to¹ é nh h nh vï. V têm ph¼ng cã trôc x lµ trôc èi xøng nªn ch¾c ch¾n träng t m sï n»m trªn trôc x, ta chø cçn t m x C lµ sï x c Þnh îc träng t m cña têm. Ph n tých têm thµnh hai phçn, mçi phçn lµ mét têm trßn nh ng Hình H.3.12 ë y têm trßn cã b n kýnh r ph i coi nh vët cã tiõt diön m. Cô thó ta cã: PhÇn 1 lµ mét têm trßn cã b n kýnh R cã to¹ é träng t m lµ x 1 =0, diön tých lµ S 1 = πr 2 = 4πa 2. PhÇn 2 lµ têm trßn cã b n kýnh r, to¹ é träng t m lµ x 2 = a vµ S 2 =-πr 2 =- πa 2 /4. = + =. = 44

45 Bài tập chương 3 1. Cho cơ hệ như hình H.1, hệ số ma sát giữa vật và nền là f t = 3/3. Xác định lực căng của nhánh dây AB ứng với 2 trường hợp: a. α < 30 0 b. α > 30 0 Hình H.1 2. Cơ hệ có liên kết chịu lực như hình H.2. Biết tải A trọng lượng Q; tải B trọng lượng P; hệ số ma sát trượt giữa A và nền là f. Tìm điều kiện của M để cư hệ cân bằng. Bỏ qua ma sát ở trục. 3. Cơ hệ gồm hai thanh ABC và DH liên kết, chịu lực như hình H.3. Dây mềm nối vào đầu H vắt qua ròng rọc không trọng lượng, không ma sát ở ổ trục, tại E có trọng lượng P. Biết: AB = DC = 2BC = 2HC = 2m; P = 4 3KN; F = 6 KN; M 1 = 20 KNm; M 2 = 9 3KNm; q = 10 KN/m. a. Giả sử mặt nghiêng trơn nhẵn. Xác định phản lực tại A, C theo góc α. Trong hai trường hợp α= 30 0 và α = 80 0, giá trị các phản lực là bao nhiêu. b. Cho hệ số ma sát trượt giữa E và mặt nghiêng là f = 1/ 3. Tính lại các phản lực tại A, C với hai giá trị góc α= 60 0 và α= Giả thiết khi đặt tải E lên mặt nghiêng dây chưa căng. 4. Cho hệ giàn chịu lực như hình H.4. Biết DB = AB = BC = 1m. a. Hãy chứng tỏ rằng hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động. 45 Hình H.4 Hình H.2 Hình H.3

46 b. Hãy tìm các phản lực của các liên kết ngoại (khớp bản lề tại A và E). c. Hãy xác định các ứng lực tác động lên các thanh. Bỏ qua trọng lượng của các vật và ma sát trong hệ. 5. Cho cơ hệ như hình vẽ H.5. Cho biết: l, 2P 1 =P 2 = P. a. Hệ đã cho có luôn cân bằng với mọi loại tải tác động không? Tại sao? b. Nếu hệ cân bằng, hãy xác định các phản lực liên kết của các liên kết ngoại. c. Hãy xác định các ứng lực tác động lên các thanh thẳng (1), (2) và (4) trong hệ Hình H.5 6. Cho các dàn phẳng trên H.6, biết P 1 =2P 2 =1,5P 3 =3P. a. Xác định ứng lực trong các thanh bằng phương pháp tách nút. b. Xác định ứng lực trong các thanh bằng phương pháp tĩnh đồ. c. Xác định ứng lực trong các thanh bằng phương pháp mặt cắt Hình H.6a Hình H.6b 7. Xác định nội lực các thanh giàn như trên H.7. (đơn vị là cm) 60kN 10kN 6kN 120cm 100kN 160cm 90cm 46

47 8. Xác định trọng tâm mặt cắt như trên H.8. (đơn vị là cm) Hình H.8a Hình H.8b Hình H.8c 9. Xác định trọng tâm mặt cắt như trên H.9. (đơn vị là cm) Hình H.9a Hình H.9b Hình H.9c Hình H.9d 47

48 Hình H.9e Hình H.9f Hình H.9g Hình H.9h Hình H.9i Hình H.9j Hình H.9k Hình H.9l 48