ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΣΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΧΩΡΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΘΗΝΑ 10/02/2015

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΣΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΧΩΡΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΘΗΝΑ 10/02/2015"

Transcript

1 νσωμάτωση Τεχνολογίας στη Διδακτική των Μαθηματικών ( Δ8 ) ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΔΙΡΥΝΗΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΣΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΧΩΡΟ ΡΓΑΣΙΑΣ ΑΘΗΝΑ 10/02/2015 Διδάσκων Γ. Ψυχάρης ΛΝΗ ΚΑΖΑΚΟΥ ΜΑΡΙΟ ΓΚΟΥΡΙ - ΝΙΚΗ ΜΟΥΤΑΦΗ λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 1

2 ΠΡΙΧΟΜΝΑ Μαθηματικό Περιεχόμενο Στόχοι... 3 Πλαίσιο Δραστηριότητας Περιγραφή Δραστηριότητας. 3 Ανάλυση Δραστηριότητας. 4 Θεωρητικό Πλαίσιο Ανάλυση Παρέμβασης Τι θα αλλάζαμε.. 45 Τι μάθαμε από το σχεδιασμό, την εφαρμογή και την ανάλυση της δραστηριότητας.. 45 πέκταση της δραστηριότητας 45 Βιβλιογραφία. 46 λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 2

3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΙΧΟΜΝΟ Το πρόβλημα αφορά στη μαθηματικοποίηση ενός πραγματικού προβλήματος που απαντάται στο χώρο εργασίας και συγκεκριμένα στον ανεφοδιασμό με υγραέριο ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων. Η μοντελοποίησή του απαιτεί χρήση μαθηματικών εργαλείων καθώς και τη χρήση του λογισμικού geogebra, το οποίο βοηθά σημαντικά στη διερευνητική μάθηση. ΣΤΟΧΟΙ διαδικασία μαθηματικοποίησης από την πλευρά των μαθητών (εμπόδια, δυνατότητες και κατασκευή νοημάτων για τις εμπλεκόμενες μαθηματικές έννοιες). αν και πώς εμφανίζεται η διερεύνηση αλλά και ο χώρος εργασίας στη δραστηριότητα των μαθητών. ΠΛΑΙΣΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ Η δραστηριότητα αυτή πραγματοποιήθηκε μέσα στο σχολικό περιβάλλον, στο εργαστήριο Η/Υ. Συμμετείχαν μαθητές (η μία μαθήτρια χρησιμοποιήθηκε για να βοηθήσει στη διεξαγωγή της έρευνας) της Γ Γυμνασίου. Σχηματίστηκαν 3 ομάδες των δύο. Την κάθε ομάδα ανέλαβε ένας καθηγητής. Η κάθε ομάδα είχε στη διάθεσή της έναν Η/Υ εφοδιασμένο με την εφαρμογή geogebra για να πειραματιστούν οι μαθητές. πίσης, κάθε ομάδα είχε στη διάθεσή της ένα φύλλο εργασίας όπου στην αρχή παρουσιαζόταν το πραγματικό πρόβλημα που αφορούσε στο χώρο εργασίας και στη συνέχεια ακολουθούσαν δραστηριότητες που είχαν σχεδιαστεί από τους καθηγητές. ΠΡΙΓΡΑΦΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ Η δραστηριότητα ξεκίνησε με την ανάγνωση του βασικού προβλήματος που έπρεπε οι μαθητές να μαθηματικοποιήσουν. Το πρόβλημα, όπως αναφέραμε, αφορούσε στον ανεφοδιασμό ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων με υγραέριο. Πρέπει να τονίσουμε ότι αρχικά οι μαθητές δεν εργάστηκαν στο πραγματικό πλαίσιο του προβλήματος, το οποίο αφορούσε μελέτη όγκου του οριζοντίου κυλίνδρου, καθώς η διαδικασία αυτή είναι αδύνατη από μεριάς τους και απαιτεί τη γνώση ανωτέρων μαθηματικών. Για το λόγο αυτό η δομή της δραστηριότητας ήταν τέτοια ώστε οι μαθητές να πειραματιστούν πρώτα με τον κάθετα τοποθετημένο κύλινδρο. Καθώς από κάθε οριζόντια δομή του προκύπτει ένας κύλινδρος ενώ στην περίπτωση του οριζοντίου, το πρίσμα που προκύπτει από μία τέτοια διατομή είναι άγνωστο. Στο πρώτο μισό της δραστηριότητας όπου δεν έγινε χρήση του λογισμικού geogebra, οι μαθητές έπρεπε να κάνουν κάτι το οποίο δεν είχαν ξανακάνει: Έπρεπε να συνδυάσουν όλες τις λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 3

4 μαθηματικές γνώσεις που είχαν αποκτήσει από προηγούμενες τάξεις σε ένα πρόβλημα άγνωστο σε αυτούς. δώ φαίνεται και η κάθετη αναδιοργάνωση των προηγούμενων γνώσεων, ώστε τελικά να επιτευχθεί η κατασκευή καινούριας γνώσης (Dreyfus). Η εισαγωγή του λογισμικού έγινε στο 2 ο μισό της δραστηριότητας, όπου πλέον οι μαθητές, έχοντας πειραματιστεί με τον κάθετα τοποθετημένο κύλινδρο, καλούνταν να πειραματιστούν στην περίπτωση του οριζόντιου κυλίνδρου. Οι μαθητές έκαναν εικασίες και στη συνέχεια έλεγχαν τις απαντήσεις τους μέσω παρατηρήσεων που έκαναν ενώ πειραματίζονταν με το λογισμικό geogebra. Κατέγραφαν τις ιδέες τους στο φύλλο εργασίας και κατέληγαν σε κάποια συμπεράσματα που αφορούσαν στη γραφική παράσταση. Στο τελικό κομμάτι οι μαθητές έπρεπε να φύγουν από τη μαθηματικοποίηση και να επιστρέψουν στο πραγματικό πρόβλημα που είχαν να αντιμετωπίσουν ώστε να δώσουν μία λύση. Διδακτική παρέμβαση με μαθητές και παρουσίαση: Διερευνητική μάθηση Μαθηματικών και χώρος εργασίας Ανάλυση της δραστηριότητας: (περιεχόμενο, φύλλο εργασίας, χρήση εργαλείων, στόχοι και αναμενόμενες ενέργειες/δυσκολίες των μαθητών, στόχευση και αιτιολόγηση των σχεδιαζόμενων παρεμβάσεων των ερευνητών). Αρχικά δίνεται το φύλλο εργασίας που ξεκινά με μια συνοπτική περιγραφή του προβλήματος. Δίνουμε χρόνο στους μαθητές να το διαβάσουν και στη συνέχεια γίνεται μια συζήτηση ώστε να τους βοηθήσουμε να μεταφερθούν νοητά στο χώρο που τοποθετείται χωρικά το πρόβλημα (το βενζινάδικο), να σκεφτούν τον εαυτό τους στη θέση του υπαλλήλου (του Γιώργου) ή αυτού που θα τον βοηθήσει, αλλά και αντίστροφα, να σκεφτούν τη δεξαμενή και το χώρο του βενζινάδικου σαν να είναι η τάξη. Τους βοηθάμε δηλαδή να βρίσκονται ταυτόχρονα στην τάξη αλλά (νοητικά) και στο μέρος που λαμβάνει χώρα το πρόβλημα. Οι τρεις πρώτες δραστηριότητες στην ουσία προετοιμάζουν τους μαθητές αρχικά να κινηθούν σε γνωστές μαθηματικές περιοχές αλλά μέσα από ένα πραγματικό πρόβλημα και να εμπλακούν σιγά σιγά στη διαδικασία της διερεύνησης και της εικασίας. Όταν κατά την τέταρτη δραστηριότητα εισάγεται το αρχείο του geogebra, οι μαθητές έχουν ήδη διαισθητικά και με γνώριμα εργαλεία προσεγγίσει το πρόβλημα και έχουν κάνει εικασίες. Οπότε με τη χρήση του λογισμικού θα έρθει ο πειραματισμός και η επιβεβαίωση. λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 4

5 Το πρόβλημα διαβάζεται από τους μαθητές και συζητείται με τον εκπαιδευτικό. Μπορεί να γίνει αναφορά σε πιο οικείες καταστάσεις, όπως η παραλαβή πετρελαίου στην πολυκατοικία, ώστε να γίνει πιο κατανοητό. Περιγράφουμε επίσης και τον τρόπο με τον οποίο οι προμηθευτές μετρούν αντίστοιχα το πετρέλαιο ή το υγραέριο, δηλαδή αναφέρουμε τον μετρητή που έχουν τα βυτία (βλέπουν και σχετική εικόνα). Πριν προχωρήσουν στις δραστηριότητες, τους εξηγούμε ότι δεν ξεκινάμε αμέσως προσπαθώντας να απαντήσουμε στο πρόβλημα, αλλά με παρόμοια προβλήματα που θα μας βοηθήσουν κι ίσως μας οδηγήσουν κάποια στιγμή στη λύση του αρχικού προβλήματος. Στόχοι και αναμενόμενες ενέργειες/δυσκολίες Ζητάμε από τους μαθητές να αναγνωρίσουν ότι σε σταθερές υψομετρικές διαφορές αντιστοιχούν ίσοι όγκοι και στη συνέχεια τον τρόπο που συμμεταβάλλονται αυτά τα μεγέθη, δηλαδή διπλάσια υψομετρική διαφορά άρα και διπλάσιο ύψος κτλ. Τέλος, βάζοντας μια μη εύκολη αριθμητική διαφορά, τους προκαλούμε να αναγνωρίσουν ότι τα μεγέθη είναι ανάλογα, άρα μπορούν να χρησιμοποιήσουν αλγεβρικά εργαλεία αναλόγων ποσών, όπως αναγωγή στη μονάδα, απλή μέθοδο των τριών αλλά κυρίως τη δημιουργία αναλογιών, που τους βοηθά να αντιμετωπίσουν οποιαδήποτε περίπτωση. Πιθανές δυσκολίες είναι οι μαθητές να μη μπορέσουν να γενικεύσουν ή να αναγνωρίσουν τα ανάλογα ποσά και τη χρήση των αναλογιών για να λύσουν εξίσωση. λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 5

6 Στόχευση και αιτιολόγηση Θα πρέπει ολοκληρώνοντας τη δραστηριότητα, ο εκπαιδευτικός να έχει καθοδηγήσει τους μαθητές του να μπορούν να αναγνωρίζουν ότι πρόκειται για μια «κατάσταση» αναλόγων ποσών κι ότι αυτή μπορεί να λυθεί με το «στήσιμο» μιας κατάλληλης αναλογίας και την επίλυση αυτής. λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 6

7 Στόχοι κι αναμενόμενες ενέργειες/δυσκολίες Στα υποερωτήματα Α, Β και Γ, στόχος είναι οι μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι η οποιαδήποτε μεταβολή (αύξηση ή μείωση) είτε στη στάθμη είτε στον όγκο, καθώς και ακραίες θέσεις (γεμάτος κύλινδρος) μπορεί να αντιμετωπιστεί σαν ένα πρόβλημα αναλόγων ποσών και μπορεί να απαντηθεί με τη βοήθεια των αναλογιών. ιδικά, τώρα στον υπολογισμό του εμβαδού της βάσης, θέλουμε να διαπιστώσουμε κατά πόσο οι μαθητές θα λειτουργήσουν μηχανιστικά-διαδικαστικά προσπαθώντας να το βρουν από τον τύπο =πρ 2, οπότε και δεν θα τα καταφέρουν, ή θα σκεφτούν συσχετιστικά και θα χρησιμοποιήσουν τον τύπο του όγκου για να βρουν τη βάση, συνδυάζοντας προηγούμενες πληροφορίες, πράγμα που είναι ένας βασικός στόχος. Ένας δεύτερος σημαντικός στόχος είναι να συνειδητοποιήσουν ότι η βάση παραμένει αμετάβλητη για ένα συγκεκριμένο κύλινδρο και δεν επηρεάζει ούτε επηρεάζεται από τις μεταβολές των υπόλοιπων μεγεθών. Στα υποερωτήματα Δ και στοχεύουμε στο να συνδέσουν οι μαθητές τα δύο μεγέθη (όγκο και στάθμη) και τη συμμεταβολή τους μέσα από τη γραφική αναπαράσταση, συνειδητοποιώντας μάλιστα ότι πρόκειται για κομμάτι ευθείας και μέσα από έναν τύπο (y=αx) όπου το α εκφράζει κάτι πολύ συγκεκριμένο και ήδη υπολογισμένο (μβαδό βάσης). πίσης δίνεται η ευκαιρία να συμφωνήσουν στο ποια θα είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή. Πιθανές δυσκολίες στα υποερωτήματα Α,Β,Γ είναι να μην μπορέσουν οι μαθητές να στήσουν σωστά την αναλογία, είτε βάζοντας αναντίστοιχα ποσά όγκου-στάθμης, είτε τοποθετώντας τα σε λάθος θέση (αριθμητή-παρονομαστή). Στα Δ και πιθανό να μην ανακαλέσουν την ευθεία ως γραφική παράσταση αναλόγων ποσών ή να μην μπορούν να προσδιορίσουν το α του τύπου ή να μην μπορούν να ερμηνεύσουναναγνωρίσουν το α ως το εμβαδό της βάσης. Στόχευση και αιτιολόγηση Ο εκπαιδευτικός πρέπει με την ολοκλήρωση της δραστηριότητας να είναι βέβαιος ότι οι παραπάνω παρερμηνείες και δυσκολίες έχουν εξηγηθεί επαρκώς στους μαθητές που δυσκολεύτηκαν. πίσης είναι καλό να συζητηθεί η γραφική παράσταση, ώστε να μπορέσουν στις επόμενες δραστηριότητες οι μαθητές να έχουν συγκρατήσει την «εικόνα» και να μπορέσουν να κάνουν συνδέσεις. λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 7

8 λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 8

9 Στόχοι κι αναμενόμενες ενέργειες/δυσκολίες Η δραστηριότητα 3 επαναφέρει τους μαθητές στο αρχικό πρόβλημα και ταυτόχρονα εξειδικεύει τα ερωτήματα στη μελέτη του τρόπου μεταβολής στάθμης-όγκου συνδέοντάς τα ταυτόχρονα με τις προηγούμενες δραστηριότητες. Αναμένουμε εδώ από τους μαθητές να: Συνδέσουν και να συγκρίνουν διαφορετικές καταστάσεις (κατακόρυφος-οριζόντιος). Να προβληματιστούν (αλλάζει κάτι ή δεν αλλάζει, και τι είναι αυτό και πώς μεταβάλλεται) και κυρίως αν συνεχίζουν να έχουν μια κατάσταση αναλόγων ποσών. Να εικάσουν μέσα από νοητικά σχήματα (φαντάζονται), υποβοηθούμενοι ίσως και με χειραπτικά (ένα μπουκάλι με νερό τοποθετημένο οριζόντια ή ένα τυλιγμένο φύλλο χαρτιού). Να προσεγγίσουν διαισθητικά (δεν έχουν άλλο τρόπο να αντιστοιχίσουν υψομετρική διαφορά και όγκο). Να συγκρίνουν μέσα στην ίδια κατάσταση (οριζόντιος κύλινδρος) και να ανακαλύψουν ομοιότητες (πχ συμμετρίες 3.2) και διαφορές (ο τρόπος που γεμίζει ως τη μέση και ο τρόπος που γεμίζει μετά τη μέση). Να σχεδιάσουν διαισθητικά γραφική παράσταση, η οποία στη συνέχεια είτε θα επιβεβαιωθεί είτε θα απορριφθεί. Στόχευση και αιτιολόγηση Καθώς εδώ τα ερωτήματα είναι ανοιχτά και διερευνητικά, ο εκπαιδευτικός θα πρέπει: να ενθαρρύνει τους μαθητές ώστε να εκφράζονται και να ανταλάσσουν απόψεις. να επιλέγει εκείνες τις στρατηγικές ή «λέξεις-κλειδιά» των μαθητών, ώστε η συζήτηση να είναι παραγωγική και να οδηγεί σε μαθηματικές έννοιες. να ζητά από τους μαθητές να εξηγούν τις απαντήσεις τους. όταν αντιμετωπίζουν δυσκολίες να τους βοηθά έμμεσα, χωρίς να απαντά ο ίδιος στο ερώτημα ή να διορθώνει το λάθος. να «προκαλεί» συνεχώς την ερευνητική-πειραματική διάθεση ρωτώντας συχνά (π.χ. πώς, γιατί, κι αν όχι, είσαι σίγουρος κτλ.) ή βοηθώντας τους μαθητές να εντοπίζουν σημεία στο πρόβλημα που δεν δέχονται μόνο μια απάντηση ή η απάντηση είναι δυσδιάκριτη. λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 9

10 Στη δραστηριότητα 4, εισάγεται για πρώτη φορά το λογισμικό. Οι μαθητές έχουν τη δυνατότητα να μεταβάλλουν τη στάθμη του κυλίνδρου μέσω δρομέα και να βλέπουν τον αντίστοιχο όγκο κάθε φορά. Με αυτόν τον τρόπο συμπληρώνουν τον πίνακα τιμών της δραστηριότητας 4. δώ έχουν την ευκαιρία να πειραματιστούν με περισσότερες τιμές και να συγκρίνουν. λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 10

11 Στόχοι κι αναμενόμενες ενέργειες/δυσκολίες Γίνεται μια πρώτη προσπάθεια (με τη δυνατότητα που μας δίνει το λογισμικό) να προσεγγίσουν οι μαθητές με μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική αναπαράσταση της μεταβολής των δυο μεγεθών. Έτσι θα τους δοθεί η δυνατότητα να κατανοήσουν περισσότερο τι συμβαίνει στην πραγματικότητα, όπως επίσης να αναστοχαστούν πάνω στη δική τους γραφική παράσταση που έφτιαξαν διαισθητικά. Στόχευση και αιτιολόγηση Μέσα από τον πίνακα τιμών και την προσέγγιση της γραφικής παράστασης, επιδιώκουμε οι μαθητές να αρχίσουν να πείθονται σιγά-σιγά ότι στην περίπτωση του οριζόντιου κυλίνδρου δεν ισχύει το μοντέλο των αναλόγων ποσών αλλά κάποιο άλλο, το οποίο μάλιστα θα γίνει αμέσως μετά αντικείμενο μελέτης και ερμηνείας. λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 11

12 δώ οι μαθητές παρακολουθούν το γέμισμα του κυλίνδρου να εξελίσσεται ταυτόχρονα με την αριθμητική μεταβολή των μεγεθών στάθμης-όγκου και το σχηματισμό της γραφικής παράστασης (σχ.1, σχ.2), μια δυνατότητα που μόνο το λογισμικό μπορούσε να μας δώσει. Σχ. 1 λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 12

13 Σχ. 2 Στόχοι κι αναμενόμενες ενέργειες/δυσκολίες Οι μαθητές είναι ήδη προϊδεασμένοι και έτοιμοι σχεδόν να αποδεχθούν αυτή τη γραφική παράσταση, αφού έχουν μια καλή προσεγγιστική εικόνα από πριν. Η επιβεβαίωση όμως είναι αναγκαία για αυτούς κι ας προέρχεται στην ουσία από έναν Η/Υ, χωρίς να τους ενδιαφέρει πώς έχει «κατασκευαστεί» όλο αυτό. Πέρα από την επιβεβαίωση, μέσα από τα ερωτήματα 1-7 αναμένουμε οι μαθητές να μπορέσουν να «διαβάσουν» τη γραφική παράσταση, δηλαδή να ερμηνεύσουν μέσα από το πρόβλημα τη «συμπεριφορά» και τα «κρίσιμα» σημεία της καμπύλης. Αυτό δεν θα είναι εύκολο, καθώς μαθητές της Γ Γυμνασίου δεν έχουν έρθει ποτέ σε επαφή με τέτοιες καμπύλες, ούτε τους έχει δοθεί η ευκαιρία μέσα από το αναλυτικό τους να ερμηνεύσουν άλλες καμπύλες μέσα από τέτοιου είδους προβλήματα. Θα προκαλέσουμε το μαθητή να ερμηνεύσει, να συνδέσει, να εικάσει και να επιβεβαιώσει ή να απορρίψει, άλλοτε με οριζόντια (κυρίως εδώ), κι άλλοτε με κάθετη μαθηματικοποίηση. Πιο συγκεκριμένα: μπορεί η γραφική παράσταση να είναι ευθεία; Δεν είναι μόνο ότι βλέπουμε αλλά και ότι γνωρίζουμε. Αφού έχει καταρριφθεί το μοντέλο των αναλόγων ποσών, δεν θα μπορούσε η γραφική παράσταση να είναι ευθεία. δώ, βέβαια μπαίνει και η έννοια «τοπικά», οπότε θα πρέπει οι μαθητές να αναγνωρίσουν και τα υπόλοιπα συμμεταβαλλόμενα μεγέθη** (ή κάποια από αυτά), πχ. το εμβαδό του κυκλικού τμήματος, το μήκος του τόξου ή της αντίστοιχης χορδής ή το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που σχηματίζει η οριζόντια επιφάνεια του υγρού και τον τρόπο που αυτά μεταβάλλονται. να αναγνωριστεί η πιο έντονη καμπυλότητα («ανάποδα» όμως) στα άκρα, και θα αναμέναμε να ερμηνευτεί από τους μαθητές ως γρήγορο ή αργό γέμισμα με αιτιολόγηση που θα στηρίζεται σε ένα από τα υπόλοιπα συμμεταβαλλόμενα μεγέθη**. τι συμβαίνει στο σημείο με τετμημένη 1μ; Αυτό που εμείς λέμε σημείο καμπής, οι μαθητές του Γυμνασίου ζητούνται να βρουν δικές τους λέξεις να το περιγράψουν και στοιχεία μέσα από το πρόβλημα για να το ερμηνεύσουν (πιο αργά-πιο γρήγορα ή μεγαλώνει η επιφάνειαξαναμικραίνει η επιφάνεια κτλ.) Στόχευση και αιτιολόγηση λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 13

14 Ο εκπαιδευτικός μπορεί να καθοδηγεί τους μαθητές με κατάλληλες μικρές ή μη συμπληρωμένες ερωτήσεις, όπως πχ. η καμπύλη είναι πιο... ή τι συμβαίνει εκεί στην αρχή, όταν αρχίζει... ή στο 1μ είναι στη μέση, τι συμβαίνει εκεί κοντά στη μέση... ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5, συνέχεια Οι μαθητές συμπληρώνουν και πάλι με τη βοήθεια του λογισμικού τους 2 πίνακες. Στόχοι κι αναμενόμενες ενέργειες/δυσκολίες Δίνουμε στους μαθητές ένα «εργαλείο», ένα πίνακα τιμών αντιστοίχησης όγκων ανά 2εκ σε διαφορετικά ύψη. Οι ίδιοι μπορούν να πειραματιστούν και σε άλλες υψομετρικές διαφορές. Στόχος μας είναι οι μαθητές να αντιληφθούν πιο βαθιά, να συνειδητοποιήσουν ότι: οι ίσες υψομετρικές διαφορές δεν δίνουν αντίστοιχα ίσους όγκους, κάτι που συνέβαινε στον οριζόντιο κύλινδρο. οι ίσες υψομετρικές διαφορές δίνουν αυξανόμενο αντίστοιχο όγκο, καθώς τα ύψη πλησιάζουν τη μέση (1μ) και στη συνέχεια πάνω από τη μέση (1μ) του κυλίνδρου δίνουν σταδιακά μικρότερους αντίστοιχους όγκους καθώς ο κύλινδρος κοντεύει να γεμίσει. Θέλουμε οι μαθητές να: συνδέσουν τους πίνακες με τη γραφική παράσταση, «δένοντας» ερμηνείες του προηγούμενου ερωτήματος όπως πχ. αφού χρειάζεται λιγότερο όγκο όσο πλησιάζει το υγρό τα 2μ άρα γεμίζει πιο γρήγορα...γι αυτό η καμπύλη είναι πιο... να εμπλέξουν για μια ακόμα φορά τα υπόλοιπα μεγέθη πιο συνειδητά, όπως πχ. κοντά στα 2 μέτρα ο όγκος ανά 2 εκ. μικραίνει, γιατί μικραίνει... η επιφάνεια, ή το εμβαδό του κυκλικού τμήματος από πάνω... ή γιατί πάνω από τη μέση η χορδή ξαναμικραίνει... γενικότερα, ένας αναστοχασμός σε παρατηρήσεις, ερμηνείες και επιβεβαίωση κάποιων εικασιών. λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 14

15 Στόχευση και αιτιολόγηση Καθοδηγούμε τους μαθητές να κάνουν συνδέσεις με τα προηγούμενα ερωτήματα. νισχύουμε τον αναστοχασμό και ζητάμε πιο τεκμηριωμένες και αναλυτικές αιτιολογήσεις. ΣΥΝΧΙΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ 5. Στο ερώτημα 9 γίνεται μια συνολική σύνδεση και σε επίπεδο οριζόντιας αλλά και κάθετης μαθηματικοποίησης. Στο 1 ο ερώτημα, αν υπάρχουν κοινά στοιχεία, θέλουμε οι μαθητές να αναγνωρίσουν μέσα από την πραγματική κατάσταση ότι υπάρχουν τρεις θέσεις όπου συμβαίνει ακριβώς το ίδιο: στην αρχή, όταν η δεξαμενή είναι άδεια, στο τέλος όταν αυτή είναι γεμάτη και ακριβώς στη μέση όπου έχουμε τη μισή ποσότητα. Στο 2 ο ερώτημα και μέσα από τη γραφική τεκμηρίωση, θέλουμε οι μαθητές να αναγνωρίσουν μέσα στα μαθηματικά τι σημαίνει ίδιοι όγκοι (όγκος V=y) στην ίδια στάθμη (στάθμη x), δηλαδή να καταλάβουν ότι οι δυο γραφικές παραστάσεις, αν και διαφορετικές, έχουν 3 κοινά σημεία. λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 15

16 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αυτό, βέβαια συμβαίνει εδώ, γιατί έχουμε προνοήσει να έχουν το ίδιο ύψος οι κύλινδροι και την ίδια χωρητικότητα. πιστρέφοντας στον υπάλληλο του βενζινάδικου το Γιώργο... Τι πρέπει να κάνει τελικά ο Γιώργος ώστε να διασταυρώσει τις ενδείξεις της ράβδου με τις ενδείξεις του βυτίου και της δεξαμενής για να σιγουρευτεί ότι δεν τον κλέψανε; Στο κλείσιμο της παρέμβασης κι ενώ οι μαθητές δεν έχουν ξεφύγει από την πραγματική κατάσταση ως προς το ότι έχουμε μια μεγάλη δεξαμενή με υγραέριο (κάποιο υγρό, τέλος πάντων) και μελετάμε μεταβολές όγκου και στάθμης υγρού, θέλουμε να διαπιστώσουμε μέσα από την επαναφορά του αρχικού προβλήματος, κατά πόσο η όλη διαδικασία βοήθησε τα παιδιά να απαντήσουν στο ερώτημα που θέσαμε και που μπορούμε να επαναδιατυπώσουμε για να τους βοηθήσουμε: Αν ήσουν εσύ ο Γιώργος (ο υπάλληλος), τι είδους βοήθεια θα ζητούσες; Αν ήθελες να βοηθήσεις τον Γιώργο, τι θα του πρότεινες να κάνει; Αν ήσουν ιδιοκτήτης του βενζινάδικου, τι έπρεπε να παρέχεις στον Γιώργο; Δεν μπορούμε να περιμένουμε κάποια συγκεκριμένη απάντηση, ούτε είναι αυτό το ζητούμενο. Κυρίως μας ενδιαφέρει αν θα υπάρξει απάντηση, κι αν μέσα από αυτή θα μπορεί να φανεί κατά πόσο έπαιξε ρόλο η συνολική δραστηριότητα. λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 16

17 Θεωρητικό πλαίσιο Σύμφωνα με τους Artigue & Blomjᴓj, διερευνητική μάθηση (IB - inquiry-based education) είναι η παιδαγωγική η οποία στηρίζεται στη διερεύνηση. Πρόκειται για τη διδασκαλία όπου οι μαθητές καλούνται να εργαστούν με μεθόδους παρόμοιες με αυτές που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί και γενικά οι επιστήμονες. Η εμφάνιση αυτής της τάσης είναι πολύ έντονη τα τελευταία χρόνια στην υρώπη όπου έχει ήδη δρομολογηθεί σχεδιασμός με στόχο την εφαρμογή της εκπαίδευσης μέσω έρευνας στα μαθηματικά και στις επιστήμες γενικότερα. Πρόκειται για μια εντελώς διαφορετική προσέγγιση της γνώσης, όπου τόσο οι μαθητές όσο και οι εκπαιδευτικοί αφήνουν του παραδοσιακούς τους ρόλους: Οι μαθητές θέτουν ερωτήματα, εξερευνούν, εμπλέκονται, εξηγούν, επεκτείνουν, εκτιμούν, συνεργάζονται (Artigue & Blomjᴓj, 2013). Οι εκπαιδευτικοί ενθαρρύνουν την εξερεύνηση, παροτρύνουν, καθοδηγούν. Οι περισσότεροι ερευνητές συμφωνούν ότι μια από τις βασικές δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές όταν διδάσκονται μαθηματικά είναι η αδυναμία σύνδεσης με την πραγματική ζωή. Ο Gravemeijer διαπιστώνει ότι η δυσκολία στο να μαθαίνει κάποιος μαθηματικά οφείλεται συχνά σε αυτό που θα μπορούσαμε να χαρακτηρίσουμε ως κενό ανάμεσα στην εμπειρία της καθημερινής ζωής και σε αυτό που χαρακτηρίζουμε φορμαλιστικά μαθηματικά. Ο ίδιος όμως δεν βλέπει την καθημερινή εμπειρία και τα φορμαλιστικά μαθηματικά σαν διαφορετικές οντότητες. Αντίθετα αυτό στο οποίο θα πρέπει να στοχεύουμε είναι μια διαδικασία προοδευτικής ανάπτυξης στην οποία τα φορμαλιστικά μαθηματικά έρχονται στην επιφάνεια σαν μια φυσική επέκταση της εμπειρικής πραγματικότητας των μαθητών (Gravemeijer, 1999). Θα μπορούσαμε να πούμε ότι τα λεγόμενα του Gravemeijer συμπυκνώνουν τις βασικές αρχές της RM. νώ σύμφωνα με τον Freudenthal και σύμφωνα με την αρχή της reinvention, μια πορεία μάθησης πρέπει να χαραχτεί, μέσα από την οποία οι μαθητές μπορούν να βρουν μόνοι τους τα μαθηματικά (που επιδιώκεται να γνωρίσουν). Αυτή η διαδικασία της μαθηματικοποίησης είναι το ζητούμενο: Στόχος και μέσο. O Treffrers (1978) αναφέρεται σε μια διαδικασία οργάνωσης, εμπλοκής, αναγνώρισης ομοιοτήτων και διαφορών, «συστηματικής προσέγγισης», συμβολισμού, γενίκευσης μέσα από μια συγκεκριμένη λύση. Τονίζει, όμως ότι δεν είναι μια διαδικασία που δεν πρόκειται να αναδυθεί από μόνη της αλλά πρέπει να καθοδηγηθεί και υποστηριχτεί μέσα από συγκεκριμένες διδακτικές μεθόδους (Treffers, 1978). Ο ίδιος (Treffers, 1978) μιλάει για οριζόντια και κατακόρυφη μαθηματικοποίηση, μια διάκριση που υιοθετεί αργότερα και ο Freudenthal (Freudenthal, 1991), λέγοντας ότι η οριζόντια μαθηματικοποίηση οδηγεί από τον κόσμο της ζωής στον κόσμο των συμβόλων: Από κόσμο όπου κάποιος ζει, δρα (και υποφέρει), στον κόσμο όπου τα σύμβολα σχηματοποιούνται, ανασχηματίζονται και γίνονται αντικείμενα χειρισμού (Freudenthal, 1991). Στην οριζόντια λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 17

18 μαθηματικοποίηση, επομένως οι μαθητές καλούνται να βρουν τα μαθηματικά εργαλεία που θα τους βοηθήσουν να μεταφέρουν τα δεδομένα ενός πραγματικού προβλήματος στη γλώσσα των μαθηματικών. Από την άλλη πλευρά, η κατακόρυφη μαθηματικοποίηση είναι άρρηκτα δεμένη με την ιδέα των learning strands ή τροχιών μάθησης (Menon). Πρόκειται λοιπόν για μια διαδικασία όπου τα χρησιμοποιούμενα μαθηματικά εργαλεία οργανώνονται, αναθεωρούνται και γίνονται αντικείμενο επεξεργασίας. Το mascil project Το mascil project στοχεύει στην προώθηση της εφαρμογής της IBL στα σχολεία. Σε τάξεις όπου εμφανίζεται η διερευνητική μάθηση οι μαθητές έχουν ενεργό ρόλο. Θέτουν ερωτήματα, εξερευνούν καταστάσεις, βρίσκουν το δρόμο τους προς την επίλυση προβλημάτων. Προκειμένου να πραγματοποιηθεί αυτή η εφαρμογή της IBL και να γίνει η σύνδεση των μαθηματικών με το χώρο εργασίας,το mascil ακολουθεί μια ολιστική προσέγγιση (mascil). Η χρήση των DGS Η διερευνητική μάθηση υποστηρίζεται και υλοποιείται με τη βοήθεια και τη χρήση διαφόρων εργαλείων. Τα DGS μπορούν να παρέχουν ένα περιβάλλον ιδιαίτερα βοηθητικό, δίνοντας τη δυνατότητα εξερεύνησης, διερεύνησης και πειραματισμού. Σύμφωνα με τους Marrades και Gutierrez (2000), η συνεισφορά των DGS είναι διττή: Κατά πρώτον παρέχουν ένα περιβάλλον στο οποίο οι μαθητές μπορούν να πειραματιστούν ελεύθερα. Μπορούν πολύ εύκολα να ελέγξουν την ορθότητα των διαισθήσεων και των εικασιών τους κατά τη διαδικασία αναζήτησης κανονικοτήτων, γενικών ιδιοτήτων κτλ. Κατά δεύτερον τα DGS προσφέρουν στους μαθητές μη παραδοσιακούς τρόπους προκειμένου να μάθουν και να κατανοήσουν μαθηματικές έννοιες και μεθόδους, δίνοντας τη δυνατότητα να δουν όσα παραδείγματα χρειάζονται μέσα σε μερικά δευτερόλεπτα, παρέχοντας τους άμεση ανατροφοδότηση. λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 18

19 Ανάλυση Παρέμβασης Αρχικά οι μαθητές διάβασαν το πρόβλημα που έπρεπε να αντιμετωπίσουν, να μαθηματικοποιήσουν. Το σημείο που πρέπει να τονιστεί είναι ότι το πρόβλημα περιέχει μόνο ένα αριθμητικό δεδομένο: Η παραλαβή ήταν 7000 λίτρα. Με την πρώτη ανάγνωση οι μαθηματικές έννοιες που εμπλέκονται δεν φαίνονται στο πρόβλημα, εκτός από την έννοια του κυλίνδρου. Σκοπίμως δε δόθηκε η τοποθέτηση του κυλίνδρου (κάθετη ή οριζόντια) και η εμπλοκή των μαθητών με το πρόβλημα έγινε με τα διαδοχικά ερωτήματα που ακολουθούσαν στο φύλλο εργασίας. Έτσι, αρχικά οι μαθητές κλήθηκαν να απαντήσουν σε κάποια απλά ερωτήματα που αφορούσαν την γνωστή σ αυτούς περίπτωση του κάθετα τοποθετημένου κυλίνδρου. λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 19

20 Στόχος της δραστηριότητας αυτής ήταν να δούμε εάν οι μαθητές θα αναγνώριζαν ποια ποσά μεταβάλλονται και πως αυτά συνδέονται. Αναμέναμε από τους μαθητές να αναγνωρίσουν τα ανάλογα ποσά και να τα ονομάσουν. Τονίζουμε ότι η έννοια των ανάλογων ποσών είναι γνωστή στους μαθητές από τις τάξεις του Δημοτικού. Στην Γ Γυμνασίου οι μαθητές δεν ασχολούνται με τα ανάλογα ποσά. Αυτό το θεωρήσαμε σημαντικό, καθώς ασχολούνται με ένα πρόβλημα το οποίο δεν αποτελεί μία συγκεκριμένη εφαρμογή της διδακτέας ύλης και κατά κάποιο τρόπο μαρτυρούν τον τρόπο εργασίας. πομένως, οι μαθητές καλούνται, τις γνώσεις που έχουν αποκτήσει στα σχολικά χρόνια να τις θέσουν σε εφαρμογή για την επίλυση ενός αγνώστου σ αυτούς προβλήματος. Το δεδομένο που τους δίνεται είναι ότι μεταξύ 10 και 20 η ποσότητα είναι γνωστή, 314 λίτρα. Ζητείται η ποσότητα μεταξύ και Ας δούμε αναλυτικά, από τις απομαγνητοφωνήσεις, την πορεία εργασίας των μαθητών σε κάθε ομάδα. Ομάδα Α 00:00 Το διαβάσατε, έτσι; M Ναι, ναι. 00:09 Και πως σας φάνηκε; M Περίπλοκο. 00:11 Περίπλοκο; Γιατί; 00:13 Βασικά, δεν ξέρουμε τι θα κάνουμε εδώ πέρα. Δείχνει ερώτημα από τη δραστηριότητα 1(το α). 00:14 Δεν ξέρεις τι να κάνεις. 00:15 M Nαι, ναι. Ομάδα Γ λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 20

21 02:30 Ας υποθέσουμε αυτή είναι η δεξαμενή, ας υποθέσουμε είναι ένας κύλινδρος-τον είδαμε τον κύλινδροκατακόρυφος και σιγά σιγά (δεν έχει τίποτα, είναι άδειος) γεμίζει, μπορείτε να το φανταστείτε; 02:56 Μ1 Πρέπει να βρούμε τον όγκο γενικά; Ένα ένα, θεωρούμε ότι η δεξαμενή είναι κυλινδρική, ότι το ύψος είναι 2 μέτρα και είναι κατακόρυφη. Αν ξέρετε ότι ότι από 10 ως 20 εκ. ο όγκος είναι...(μπορείτε να σημειώνετε στα χαρτιά ή να κάνετε κι ένα σχήμα)... ωραία σημείωσε από 10 ως 20 εκ. σας λέει ότι έχουμε 314 λίτρα, είναι δεδομένο αυτό, μπορείτε να απαντήσετε στα υπόλοιπα ερωτήματα; 04:22 Μ1 Από το 20 και 30 θα κάνουμε εμβαδό =... Τι σας είπα; Αντώνη, μην παρασύρεστε... Μ2 Μήπως είναι Στην Πρώτη ομάδα οι μαθητές εμφάνιζαν πρόβλημα κατανόησης των ζητουμένων. Η εμπλεκόμενη μαθηματική έννοια ήταν απλή. Οι μαθητές έπρεπε να εντοπίσουν, όπως τονίσαμε στο στόχο μας, τα ανάλογα ποσά. Στην Τρίτη ομάδα παρατηρούμε ότι οι μαθητές προσπαθούν να συνδυάσουν το σχήμα με έναν τύπο που θα τους εξασφαλίσει και το αποτέλεσμα του ερωτήματος. Βλέπουμε τον μαθητή να εφαρμόζει κατευθείαν τύπο εύρεσης όγκου κυλίνδρου, το οποίο δεν θα ωφελούσε στην επίλυση του προβλήματος. Στη Δεύτερη ομάδα η παρατήρηση των ανάλογων ποσών έγινε αμέσως αντιληπτή από τους μαθητές. Οι μαθητές της Α και Γ ομάδας παρουσίασαν ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τον τρόπο εργασίας τους στα ερωτήματα αυτά. Στην Α ομάδα οι μαθητές για να αιτιολογήσουν την ποσότητα που βρίσκεται μεταξύ των 20-30, και έδωσαν διαισθητικές απαντήσεις. Η διαφορά είναι ίδια και στο άλλο η διαφορά είναι διπλάσια. Έκαναν δηλαδή χρήση των ανάλογων ποσών και δεν θεώρησαν απαραίτητα ότι αυτό χρειάζεται κάποια αιτιολόγηση. Στη συνέχεια προχώρησαν στην εύρεση ποσότητας μεταξύ Ομάδα Α 04:09 Από τώρα Α 04:14 Με κάτι θα πρέπει να διαιρέσουμε εδώ πέρα λογικά. 04:16 Ωραία, ποιο; 04:19 Το 314 με το, το. 04:22 Με το 3. 04:25 Το 314 με το 3; 04:27 M όχι, όχι Με το 7; 04:29 Γιατί με το 7; 04:40 Γιατί τόση είναι η διαφορά από το 23 μέχρι το 30 04:41 σείς έχετε βρεί ότι από 20 μέχρι 30 είναι 314. λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 21

22 04:43 M Ναι 04:48 Και επίσης από είναι τόσο. 04:50 M Ναι 04:53 Οπότε τι θέλετε να βρείτε τώρα; Θέλετε να βρείτε από :57 Ναι, ναι οποτε θα βγεί λιγότερο. Θα βγεί μικρότερο το νούμερο. 04:59 Θα είναι μικρότερο το νούμερο.σείς θέλετε ποσότητα από τα Πως μπορείτε να τη βρείτε. Κάτι μου είπατε με διαιρέσεις. 05:07 Ναι το 314 με ποιόν αριθμό όμως (γελάνε) 05:15 Άκουσα με το 3, άκουσα με το 7 05:20 Με το 7 μήπως; Για να βγάλουμε αυτό το μέρος που δεν το χρειαζόμαστε 05:27 Μήπως να βρούμε το 23 στο 20 και στο 30 πόσο αντιστοιχεί. ίναι το 1/7.Κάτι τέτοιο. Να βρούμε το μέρος 05:45 Ας πούμε στο 20 και στο 30 το ενδιάμεσο είναι το 25 το 1/2 05:51 Ναι, ναι. 05:55 Το 23 τότε τι μέρος είναι. Το 1/6; 05:58 Δεν ξέρω τι είναι το 23 05:03 M ίναι πολύπλοκο 05:50 Αυτή η ποσότητα από είναι πόσο; 06:12 M :19 Και εσείς θέλετε από το :21 M Ναι 06:24 πομένως ψάχνετε μεταξύ την ποσότητα που αντιστοιχεί. Πόσο είναι η διαφορά από 20-30; 06: :38 Άρα 10 3 = 7. Οπότε με το 7 θα διαιρέσουμε 06: =7. Αλλά αν διαιρέσω το 314 με το 7 τι βρίσκω; 06:50 Χωράει 06:58 Όχι αυτό εντάξει. Αλλά το αποτέλεσμα τι πληροφορία μου δίνει. 07:03 Την ποσότητα ανάμεσα στο 20 και το 23 λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 22

23 07:11 σύ διαίρεσες το 314 με το 7. Τα 314 λίτρα όμως σε ποιο διάστημα περιέχονται; Ο διάλογος αυτός θα μπορούσε να χαρακτηρισθεί ως το πρώτο σημαντικό κρίσιμο σημείο της παρέμβασής μας. Το ερώτημα είναι αρκετά απλό και για μαθητές του Δημοτικού, ωστόσο δύο καλές μαθήτριες δυσκολεύονται να δώσουν μία απάντηση. Ψάχνουν να δουν τι μέρος του όλου αποτελεί το διάστημα έχοντας ως γνωστό διάστημα το Όπως βλέπουμε δεν σκέφτονται σε καμία περίπτωση να εργαστούν με ανάλογα ποσά και την αναγωγή στη μονάδα. Η ανάγκη αυτή θα προκύψει μετά από διαδοχικές ερωτήσεις του εκπαιδευτή και με την εισαγωγή ενός άλλου βοηθητικού προβλήματος (μοίρασμα καραμελών σε 10 παιδιά, πόσα θα πάρουν τα 3). Ομάδα Γ Την ίδια δυσκολία βλέπουμε να αντιμετωπίζουν και στη Γ ομάδα. 08:09 Τώρα, 20 23; δώ πόσο είναι η υψομετρική διαφορά; Μ1 Λιγότερο από 314 πάντως... Οχι τα λίτρα, η υψομετρική διαφορά, πριν ήταν 10, πάλι 10, εκεί ήταν το ίδιο, μετά τα κάναμε 20 δηλ. το διπλάσιο, τώρα εδώ είναι από τα 20 στα 23 δηλ. η διαφορά είναι 3. Πώς θα κολλήσουμε τα προηγούμενα; Πριν είπατε διπλάσιο... καθαρίσατε... Τώρα εδώ; Μ1 Μ2 Αναγωγή στη μονάδα; Το 1/3 μου φαίνεται... ίπες αναγωγή στη μονάδα... εσύ Χαρά τι λες; Μ2 Μήπως είναι από το 314 το 1/3; 08:48 Το 1/3 γιατί; Μ2 Το 1 κάτι... τα 2/3 Μ1 Τα 2/3... πάλι θα πούμε γιατί; Αναγωγή στη μονάδα; 09:00 Ωραία, αναγωγή λέει ο Αντώνης. Για κάντε το στο πρόχειρο και πείτε μου αν υπάρχει κι άλλος τρόπος Μ1 Στα 10 μέτρα Στα 10 εκ... λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 23

24 Και εδώ οι μαθητές προσπαθούν να βρουν ποιο μέρος του όλου είναι το διάστημα. Αναφέρονται στο διάστημα και το βλέπουν ως το 1/3 του ολικού. Ωστόσο και στις δύο ομάδες καταλήγουν, έπειτα από συζήτηση, στην μέθοδο των τριών. Την εφαρμόζουν αυτή τη μέθοδο, αλλά δεν θεωρούν απαραίτητο ότι τα ποσά θα πρέπει να είναι ανάλογα. Μάλιστα, στην πρώτη ομάδα θεωρούν ότι έχουν πάντοτε τη δυνατότητα να εφαρμόσουν τη μέθοδο αυτή. λένη Καζάκου, Μάριο Γκούρι, Νίκη Μουτάφη Σελίδα 24

Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan)

Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan) On-the-fly feedback, Upper Secondary Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan) Τάξη: Β Λυκείου Διάρκεια ενότητας Μάθημα: Φυσική Θέμα: Ταλαντώσεις (αριθμός Χ διάρκεια μαθήματος): 6X90

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟ του Κύπρου Κυπρίδηµου, µαθηµατικού ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Περίληψη Στη δραστηριότητα αυτή οι µαθητές καλούνται να διερευνήσουν το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) = αx 2 + βx + γ. Προτείνεται να διδαχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Βασίλης Καραγιάννης Η παρέμβαση πραγματοποιήθηκε στα τμήματα Β2 και Γ2 του 41 ου Γυμνασίου Αθήνας και διήρκησε τρεις διδακτικές ώρες για κάθε τμήμα. Αρχικά οι μαθητές συνέλλεξαν

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΠΕΡΑΤΟΤΗΤΑ (ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΥ) Τίτλος διερεύνησης: Ποιοί παράγοντες επηρεάζουν το πόσο νερό συγκρατεί το χώμα;

ΥΔΡΟΠΕΡΑΤΟΤΗΤΑ (ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΥ) Τίτλος διερεύνησης: Ποιοί παράγοντες επηρεάζουν το πόσο νερό συγκρατεί το χώμα; ΥΔΡΟΠΕΡΑΤΟΤΗΤΑ (ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΥ) Τίτλος διερεύνησης: Ποιοί παράγοντες επηρεάζουν το πόσο νερό συγκρατεί το χώμα; Σύντομη περιγραφή διερεύνησης: Σκοπός αυτής της διερεύνησης ήταν να κάνουν κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της

Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της Η διδασκαλία της λογαριθµικής συνάρτησης, στο σχολικό εγχειρίδιο της Β Λυκείου, έχει σαν βάση την εκθετική συνάρτηση και την ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

«Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano»

«Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano» «Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano» Ιορδανίδης Ι. Φώτιος Καθηγητής Μαθηματικών, 2 ο Γενικό Λύκειο Πτολεμαΐδας fjordaneap@gmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το θεώρημα του Bolzano

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra.

Εικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra. Σενάριο 4. Η µέτρηση του εµβαδού ενός παραβολικού οικοπέδου Γνωστική περιοχή: Μαθηµατικά Γ' Λυκείου. Παραβολή. Τετραγωνική συνάρτηση. Εµβαδόν. Ορισµένο ολοκλήρωµα Θέµα: Οι τέσσερις πλευρές ενός οικοπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση συνάρτησης

Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση συνάρτησης ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ Β ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΚΣΕ 4 ου ΣΕΚ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ: ΜΗΤΡΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Κατακόρυφη - Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας Ιωαννίνων Αριθμητικός Γραμματισμός Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη ΘΕΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ «Προγραμματισμός-Οργάνωση και υλοποίηση μιας διδακτικής ενότητας στον Αριθμητικό Γραμματισμό» ΠΡΟΣΘΕΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΜΕΠΑ Πρακτική Άσκηση Μαθηματικών Β' Φάση. Εργασία πειραματισμού με μαθητή

ΔΙΜΕΠΑ Πρακτική Άσκηση Μαθηματικών Β' Φάση. Εργασία πειραματισμού με μαθητή ΔΙΜΕΠΑ Πρακτική Άσκηση Μαθηματικών Β' Φάση Εργασία πειραματισμού με μαθητή Διδάσκων: Χαράλαμπος Λεμονίδης Φοιτήτρια: Χατζή Κυριακή- Ιωάννα ΑΕΜ: 3659 Εξάμηνο: ΣΤ Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή... 2. Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Y404. ΔΙΜΕΠΑ: ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΜΑΘΗΤΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΗΡΑΚΛΗΣ ΑΕΜ: 3734 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Αγαπητέ μαθητή/ αγαπητή μαθήτρια, Διεξάγουμε μια έρευνα και θα θέλαμε να μάθουμε την άποψή σου για τo περιβάλλον μάθησης που επικρατεί στην τάξη σου. Σε παρακαλούμε

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού

4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού 4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού χωρίς την απόδειξή του. Στόχοι της δραστηριότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 13/11/2016 ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες ΣΧΟΛΕΙΟ Η εκπαιδευτική πρακτική αφορούσε τη διδασκαλία των μεταβλητών στον προγραμματισμό και εφαρμόστηκε σε μαθητές της τελευταίας τάξης ΕΠΑΛ του τομέα Πληροφορικής στα πλαίσια του μαθήματος του Δομημένου

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Φαινόμενα Εμπειρίες φαινομένων Οργάνωση φαινομένων Νοούμενα (πρώτες μαθηματικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx

Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx Στόχος: Το παιδαγωγικό σενάριο αναφέρεται στη μελέτη της συνάρτησης y=αx και στη κατανόηση της κλίσης ευθείας. Λογισμικό: Για την εφαρμογή του σεναρίου

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών).

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Θέµα: Η διερεύνηση µερικών βασικών ιδιοτήτων των παραλληλογράµµων από τους µαθητές µε χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ 1

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ 1 ΠΡΟΣΔΟΚΙΑ: Σεβασμός Κοινωνική δεξιότητα: Ακούω τον ομιλητή στο μάθημα Στόχοι μαθήματος: Ο μαθητής να: 1. Ονομάζει τα βασικά βήματα της κοινωνικής

Διαβάστε περισσότερα

1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία

1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία 1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία Θέµα- Σκεπτικό της δραστηριότητας. Η ιδέα πάνω στην οποία έχει στηριχτεί ο σχεδιασµός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 13/11/2016 ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 9 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 9 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 9 ο, Τμήμα Α Γιατί νομίζετε ότι η άλγεβρα είναι το πιο σημαντικό εργαλείο που έχουμε στα μαθηματικά; Είναι ένα από τα λίγα εργαλεία των μαθηματικών που το χρησιμοποιούνε

Διαβάστε περισσότερα

Άνοιξε τη μικροεφαρμογή (applet) PhET "Πίεση και ροή υγρού". Κάνε κλικ στην οθόνη "Πίεση" και βρες:

Άνοιξε τη μικροεφαρμογή (applet) PhET Πίεση και ροή υγρού. Κάνε κλικ στην οθόνη Πίεση και βρες: 1. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΠΙΕΣΗΣ Το 1ο μέρος του φύλλου εργασίας του Applet PhET "Πίεση και Ροή ρευστού" προτείνεται σε μαθητές που έχουν διδαχθεί από το Γυμνάσιο το νόμο της υδροστατικής πίεσης και θέλουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΠΩΛΗΣΗ

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΠΩΛΗΣΗ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΠΩΛΗΣΗ Καταρχάς, βασική προϋπόθεση για το κλείσιμο μιας συνάντησης είναι να έχουμε εξακριβώσει και πιστοποιήσει ότι μιλάμε με τον υπεύθυνο που λαμβάνει μια απόφαση συνεργασίας ή επηρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ-19 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΧΟΛΕΙΟ: 2 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματιζόμενοι με αριθμούς στο περιβάλλον του Microworlds Pro: διαθεματική προσέγγιση περί «πολλαπλασίων και διαιρετών»

Πειραματιζόμενοι με αριθμούς στο περιβάλλον του Microworlds Pro: διαθεματική προσέγγιση περί «πολλαπλασίων και διαιρετών» Πειραματιζόμενοι με αριθμούς στο περιβάλλον του Microworlds Pro: διαθεματική προσέγγιση περί «πολλαπλασίων και διαιρετών» μια Νίκος Δαπόντες Φυσικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Το περιβάλλον Microworlds

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις

Ευθύγραμμες Κινήσεις Οι παρακάτω σημειώσεις διανέμονται υπό την άδεια: Creaive Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές. 1 Θέση και Σύστημα αναφοράς Στην καθημερινή μας ζωή για να περιγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 184 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ιωάννου Στυλιανός Εκπαιδευτικός Μαθηματικός Β θμιας Εκπ/σης Παιδαγωγική αναζήτηση Η τριγωνομετρία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου Συγγραφέας: Κοπατσάρη Γεωργία Ημερομηνία: Φλώρινα, 5-3-2014 Γνωστική περιοχή: Μαθηματικά (Γεωμετρία) Β Γυμνασίου Προτεινόμενο λογισμικό: Προτείνεται να

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

4.5 Δραστηριότητα: Ορισμοί και θεώρημα Μονοτονίας συνάρτησης

4.5 Δραστηριότητα: Ορισμοί και θεώρημα Μονοτονίας συνάρτησης 4.5 Δραστηριότητα: Ορισμοί και θεώρημα Μονοτονίας συνάρτησης Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή πραγματεύεται την έννοια της μονοτονίας συνάρτησης και ακολούθως εισάγει το θεώρημα της μονοτονίας

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΟΙ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΟΔΗΓΟΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ. Μιχάλης Αργύρης

ΛΟΓΟΙ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΟΔΗΓΟΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ. Μιχάλης Αργύρης ΛΟΓΟΙ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΟΔΗΓΟΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Μιχάλης Αργύρης 1 Λόγοι και αναλογίες Περίληψη Οι μαθητές έχουν στη διάθεσή τους μια υπολογιστική οντότητα, ένα καγκουρό του οποίου το μέγεθος μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΒΙΟΓΡΑΦΙΑ ΙΑΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ

ΑΥΤΟΒΙΟΓΡΑΦΙΑ ΙΑΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ ΑΥΤΟΒΙΟΓΡΑΦΙΑ ΙΑΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ Πληροφορίες για τον εκπαιδευτικό: Η Αυτοβιογραφία ιαπολιτισµικών Συναντήσεων, είναι ένα υλικό το οποίο µπορεί να χρησιµοποιηθεί ευρύτερα από τους εκπαιδευτικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΝΟΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΡΙΑ ΚΑΛΔΡΥΜΙΔΟΥ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΝΟΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΡΙΑ ΚΑΛΔΡΥΜΙΔΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΝΟΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΡΙΑ ΚΑΛΔΡΥΜΙΔΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΟΗΜΑ κατάλληλο διδακτικό περιβάλλον εκπαιδευτικός διαχειριστής της τάξης μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

Αυτοαξιολόγηση του μαθητή: Βήματα και στρατηγικές για αποτελεσματική εφαρμογή

Αυτοαξιολόγηση του μαθητή: Βήματα και στρατηγικές για αποτελεσματική εφαρμογή Αυτοαξιολόγηση του μαθητή: Βήματα και στρατηγικές για αποτελεσματική εφαρμογή Μαργαρίτα Χριστοφορίδου 31 Οκτωβρίου 2015 ΣΥΝΕΔΡΙΟ «ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΗΓΕΣΙΑ ΚΑΙ (ΑΥΤΟ) ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ» Αποφασίζοντας το σκοπό Η εκπαιδευτική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΑΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (Ε.Χαραλάμπους)

ΕΝΤΑΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (Ε.Χαραλάμπους) ΕΝΤΑΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (Ε.Χαραλάμπους) Όνομα Παιδιού: Ναταλία Ασιήκαλη ΤΙΤΛΟΣ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ: Πως οι παράγοντες υλικό, μήκος και πάχος υλικού επηρεάζουν την αντίσταση και κατ επέκταση την ένταση του ρεύματος

Διαβάστε περισσότερα

Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου

Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ «Προσπάθησε να κάνεις ένα τρίγωνο» Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου Ηµεροµηνία: Φλώρινα, 6-5-2014 Γνωστική περιοχή:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. Εργασία για το σπίτι. Απαντούν μαθητές του Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. Εργασία για το σπίτι. Απαντούν μαθητές του Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Εργασία για το σπίτι Απαντούν μαθητές του Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Απαντά η Μαρίνα Βαμβακίδου Ερώτηση 1. Μπορείς να φανταστείς τη ζωή μας χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ 2015 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: ΓΡΙΒΑ ΕΛΕΝΗ 5/2/2015 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αυτό το portfolio φτιάχτηκε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες 1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή είναι μια εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες. Η εισαγωγή αυτή επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της μεθόδου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Δεύτερη διδακτική πρόταση Έλεγχος επίδοσης στο σχολείο. 1 φωτοτυπία ανά μαθητή με τον έλεγχο παραγωγή προφορικού λόγου, παραγωγή γραπτού λόγου

Δεύτερη διδακτική πρόταση Έλεγχος επίδοσης στο σχολείο. 1 φωτοτυπία ανά μαθητή με τον έλεγχο παραγωγή προφορικού λόγου, παραγωγή γραπτού λόγου Κατανόηση προφορικού λόγου Επίπεδο B Δεύτερη διδακτική πρόταση Έλεγχος επίδοσης στο σχολείο Ενδεικτική διάρκεια: Ομάδα-στόχος: Διδακτικός στόχος: Στρατηγικές: Υλικό: Ενσωμάτωση δραστηριοτήτων: 1 διδακτική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ 2011 ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ Τα σύγχρονα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου Αθήνα, Φεβρουάριος 2008 ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου 1.

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα»

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Φύλλο δασκάλου 1.1 Ένταξη δραστηριότητας στο πρόγραμμα σπουδών Τάξη: Ε και ΣΤ Δημοτικού. Γνωστικά αντικείμενα:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το B' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη - Σμπώκου

Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το B' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη - Σμπώκου Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το B' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη - Σμπώκου - από τον Φουάτ σε τρεις εταιρίες χρήματα... μπλου μπρουμέλ, άλλη μια P.A κάπως έτσι και άλλη μία που μου είχες πει

Διαβάστε περισσότερα

«Οι γραφικές παραστάσεις απαραίτητο εργαλείο στη φαρέτρα του μαθητή»

«Οι γραφικές παραστάσεις απαραίτητο εργαλείο στη φαρέτρα του μαθητή» «Οι γραφικές παραστάσεις απαραίτητο εργαλείο στη φαρέτρα του μαθητή» Αρδαβάνη Καλλιόπη 1, Μαργιόρα Φιλίππα 2, Μαυρουδής Σπύρος 3 1 Καθηγήτρια Μαθηματικών 3ο Γυμνάσιο Γλυφάδας, επιμορφώτρια Β επιπέδου popiardv@hotmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΜΑΘΗΤΗ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΚΑΙ ΕΞΑΓΩΓΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΜΑΘΗΤΗ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΚΑΙ ΕΞΑΓΩΓΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: Υ404 ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ( Β ΦΑΣΗ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α.) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΑΛΕΓΑΝΕΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Και οι απαντήσεις τους

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Και οι απαντήσεις τους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Και οι απαντήσεις τους Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα στο «παλιό» και στο «σύγχρονο» μάθημα των Μαθηματικών; Στο μάθημα παλαιού τύπου η γνώση παρουσιάζεται στο μαθητή από τον διδάσκοντα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Εργασίας: Εικονογραφήματα. Μάθημα: Εκθετική συνάρτηση. Λυκείου Αγίου Νεοφύτου. Αριθμός μαθητών στην τάξη: 16

Τίτλος Εργασίας: Εικονογραφήματα. Μάθημα: Εκθετική συνάρτηση. Λυκείου Αγίου Νεοφύτου. Αριθμός μαθητών στην τάξη: 16 Τίτλος Εργασίας: Εικονογραφήματα Μάθημα: Εκθετική συνάρτηση Τάξη στην οποία διδάχθηκε το μάθημα: Β6 κατεύθυνσης Λυκείου Αγίου Νεοφύτου Αριθμός μαθητών στην τάξη: 16 Καθηγητής: Γιώργος Ανδρονίκου Εισαγωγή:

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο. Λύση θέματος 1 ο Α.

Θέμα 1 ο. Λύση θέματος 1 ο Α. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θέματα δόθηκαν στις εξετάσεις Ιουνίου 013 στο 17 ο ΓΕΛ από τους καθηγητές Ν.Κ, Κ.Μ, Δ.Α. Παρακάτω παρατίθενται τα θέματα και οι λύσεις ανεπτυγμένες σε κάποια σημεία, με σχόλια καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ ΧΕΡΙΟΥ (Π. ΚΟΥΠΑΝΟΣ)

ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ ΧΕΡΙΟΥ (Π. ΚΟΥΠΑΝΟΣ) "Πανηγύρι της Επιστήμης" ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ ΧΕΡΙΟΥ (Π. ΚΟΥΠΑΝΟΣ) Το Πανηγύρι της Επιστήμης είναι μια από τις δραστηριότητες που διοργανώνεται στα πλαίσια του μαθήματος ΕΠΑ 336 Διδακτική των Φυσικών Επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14: Συμβουλές προς έναν νέο προγραμματιστή

Κεφάλαιο 14: Συμβουλές προς έναν νέο προγραμματιστή Κεφάλαιο 14: Συμβουλές προς έναν νέο προγραμματιστή Φτάσαμε σιγά σιγά στο τέλος του βιβλίου. Αντί για κάποιον επίλογο σκέφτηκα να συλλέξω κάποια πράγματα που θα ήθελα να πω σε κάποιον ο οποίος αρχίζει

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου. και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος

ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου. και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ----- Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΣΥΓΚΕΛΑΚΗΣ asygelakis@gmail.com

ΣΕΝΑΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΣΥΓΚΕΛΑΚΗΣ asygelakis@gmail.com ΣΕΝΑΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΣΥΓΚΕΛΑΚΗΣ asygelakis@gmail.com Επιμόρφωση Β Επιπέδου Κλάδος: ΠΕ03 Περίοδος: Δεκέμβριος 2010 Ιούνιος 2011 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ 1. Τίτλος σεναρίου: Μελέτη της εκθετικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Ένα Ο ισολογισμός και η θεμελιώδης αρχή

Κεφάλαιο Ένα Ο ισολογισμός και η θεμελιώδης αρχή 1 Κεφάλαιο Ένα Ο ισολογισμός και η θεμελιώδης αρχή Στοιχεία Ενεργητικού, Στοιχεία Παθητικού και Ισολογισμοί Ο προσωπικός ισολογισμός της Ιωάννας Ο ισολογισμός μιας εταιρείας Το διάγραμμα του ισολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Πέτρος Κλιάπης Τάξη Στ Βοηθητικό υλικό: Σχολικό βιβλίο μάθημα 58 Δραστηριότητα 1, ασκήσεις 2, 3 και δραστηριότητα με προεκτάσεις Προσδοκώμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρικά Κυκλώματα (Μ.Χ. ΠΑΠΑΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΥ) Η προσθήκη λαμπτήρων επηρεάζει την ένταση του ρεύματος σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα;

Ηλεκτρικά Κυκλώματα (Μ.Χ. ΠΑΠΑΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΥ) Η προσθήκη λαμπτήρων επηρεάζει την ένταση του ρεύματος σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα; Ηλεκτρικά Κυκλώματα (Μ.Χ. ΠΑΠΑΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΥ) Η προσθήκη λαμπτήρων επηρεάζει την ένταση του ρεύματος σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα; Στη διερεύνηση που κάναμε με τα παιδιά, όπως φαίνεται και από τον τίτλο ασχοληθήκαμε

Διαβάστε περισσότερα

Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το Α' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη Σμπώκου

Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το Α' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη Σμπώκου Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το Α' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη Σμπώκου - Έλα - πέρασες μια φορά ε; Σε είδα σε μια στιγμή αλλά δεν ήμουν βέβαιος, δεν με είδες; - πέρασα με το αμάξι και έκανα

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία στο εκπαιδευτικό λογισµικό Function Probe

Εργασία στο εκπαιδευτικό λογισµικό Function Probe Γιάννης Π. Πλατάρος -1-20/10/2003 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΕΚΦΡΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΙΑΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Εργασία στο εκπαιδευτικό λογισµικό Function Probe Περίληψη: ίνεται στους µαθητές η διαπραγµάτευση ενός προβλήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο συνάρτησης σε σημείο

2.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο συνάρτησης σε σημείο 2.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο συνάρτησης σε σημείο Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή, με αφορμή τον υπολογισμό της στιγμιαίας ταχύτητας, εισάγει στο όριο συνάρτησης σε σημείο. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Αν κάναμε ένα τεστ νοημοσύνης στους μαθητές και θέταμε την ερώτηση: Πως μπορεί να μετρηθεί το

Διαβάστε περισσότερα

εκπαίδευση Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Λύκειο Ιδαλίου - Π.Ι. Κύπρου Μιχάλης

εκπαίδευση Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Λύκειο Ιδαλίου - Π.Ι. Κύπρου Μιχάλης Ενσωμάτωση των ΤΠΕ στην εκπαίδευση Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Λύκειο Ιδαλίου - Π.Ι. Κύπρου Τιμοθέου Σάββας & Χριστοφορίδης Μιχάλης Μελέτη και γραφική Παράσταση Συνάρτησης Τμήμα:Γ6 ( με 18 μαθητές)

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μυλωνάκης Κων/νος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολείο: Ημερομηνία: / / Α Λυκείου τμήμα.. Καθηγητής/τρια: Α) Το θέμα και το μαθησιακό περιβάλλον. 1) Το γνωστικό αντικείμενο της διδασκαλίας είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Παναγάκος Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Δημοτικής Εκπαίδευσης Βασικοί Στόχοι ενός Προγράμματος Σπουδών Ένα πρόγραμμα σπουδών επιδιώκει να επιτύχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές προσεγγίσεις στην Πληροφορική. Η εποικοδομιστική προσέγγιση για τη γνώση. ως ενεργητική και όχι παθητική διαδικασία

Διδακτικές προσεγγίσεις στην Πληροφορική. Η εποικοδομιστική προσέγγιση για τη γνώση. ως ενεργητική και όχι παθητική διαδικασία Διδακτικές προσεγγίσεις στην Πληροφορική Η εποικοδομιστική προσέγγιση για τη γνώση ως ενεργητική και όχι παθητική διαδικασία ως κατασκευή και όχι ως μετάδοση ως αποτέλεσμα εμπειρίας και όχι ως μεταφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΔΡΑΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΟΥ ΤΡΟΜΟΥ

ΑΠΟΔΡΑΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΟΥ ΤΡΟΜΟΥ ΑΠΟΔΡΑΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΟΥ ΤΡΟΜΟΥ - Α,α,α,α,α,α,α! ούρλιαξε η Νεφέλη - Τρομερό! συμπλήρωσε η Καλλιόπη - Ω, Θεέ μου! αναφώνησα εγώ - Απίστευτα τέλειο! είπε η Ειρήνη και όλες την κοιτάξαμε λες και είπε

Διαβάστε περισσότερα

Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 2012. ΜΕΡΟΣ Α Κεφ. 7

Διαβάστε περισσότερα

Το νέο Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά της υποχρεωτικής εκπαίδευσης

Το νέο Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά της υποχρεωτικής εκπαίδευσης ΕΣΠΑ 2007-13\Ε.Π. Ε&ΔΒΜ\Α.Π. 1-2-3 «ΝΕΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (Σχολείο 21 ου αιώνα) Νέο Πρόγραμμα Σπουδών, Οριζόντια Πράξη» MIS: 295450 Με συγχρηματοδότηση της Ελλάδας και της Ευρωπαϊκής Ένωσης (Ε. Κ. Τ.) Το νέο Πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

lim lim lim f (x) δ) lim lim lim lim 1- x 1- lim lim lim lim lim Ερωτήσεις ανάπτυξης

lim lim lim f (x) δ) lim lim lim lim 1- x 1- lim lim lim lim lim Ερωτήσεις ανάπτυξης Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρεθούν τα παρακάτω όρια: α) γ) ε) ζ) - f () β) f () δ) f () f () στ) - - - f () f () f () - y

Διαβάστε περισσότερα

Χώρος Στάθμευσης. Διάρκεια: 4 (μαθήματα) x 45 λεπτά. Ηλικία: χρονών. Κατευθυντήριες γραμμές, στήριξη από ΤΠΕ κ.λπ.

Χώρος Στάθμευσης. Διάρκεια: 4 (μαθήματα) x 45 λεπτά. Ηλικία: χρονών. Κατευθυντήριες γραμμές, στήριξη από ΤΠΕ κ.λπ. Χώρος Στάθμευσης Θέμα: Οι μαθητές καλούνται να διερευνήσουν μέσα από διάφορες διεπιστημονικές δραστηριότητες τα μαθηματικά και επιστημονικά θέματα που μπορεί να εμπλέκονται στο σχεδιασμό ενός χώρου στάθμευσης

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ Το στιγμιότυπο που παρουσιάζεται εδώ πρόκυψε πέντε λεπτά πριν από τη λήξη μιας διδακτικής ώρας η οποία ήταν αφιερωμένη σε μια γενική επανάληψη του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Ε.Κ.Π. (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο) Κοινό όταν δύο άτομα έχουν ένα κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Άρθρα - Υλικό Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Χειραπτικά εργαλεία Υλικά/εργαλεία στο νέο Πρόγραμμα σπουδών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα