Poluklasični limes Schrödingerovih jednadžbi

Transcript

1 Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Marko Erceg Poluklasični limes Schrödingerovih jednadžbi Diplomski rad Zagreb, 6. listopada 2017.

2

3 Predgovor Cilj je opisati Tartarovu konstrukciju poluklasičnih mjera poznatih i pod imenom Wignerovih mjera, kao inačice H-mjera sa zadanom karakterističnom duljinom. Ti se objekti posljednjih godina intenzivno koriste u proučavanju visokofrekventnih limesa jednadžbi kvantne teorije. Kao primjena, polazeći od Schrödingerovih jednadžbi na poluklasičnom limesu dobiva se Liouvilleova jednadžba za gustoću. H-mjere ili mikrolokalne defektne mjere su uveli neovisno Luc Tartar i Patrick Gerard prije dvadeset godina. Gerard je također prvi uveo poluklasične mjere, da bi ih pod nazivom Wignerova mjera nešto kasnije proučavali Pierre-Louis Lions i Thierry Paul Problem poluklasičnih mjera je što za velike razlike između ε n i karakteristične duljine dolazi do gubitka informacija o oscilacijama. U tu svrhu, Tartar uvodi poboljšanje tako da promatra umjesto neprekinutih funkcija na sferi, neprekinute funkcije na kompaktifikaciji prostora R d \ {0}. Upravo kroz tu konstrukciju ćemo proći u trećem poglavlju. Iskoristio bih priliku da se zahvalim mentoru prof. Nenadu Antoniću koji me strpljivo i prijateljski vodio kroz cijeli rad, te s velikim veseljem iščekujem buduća zajednička druženja. Također bih iskoristio priliku da se zahvalim Ivanu Ivecu na mnogim korisnim komentarima i primjedbama. Na kraju bih se još zahvalio svojim roditeljima što su mi omogućili da studiram što želim, te bratu koji mi je bio velika podrška u teškim danima kroz cijelo studiranje. i

4 ii

5 Sadržaj I. Funkcijski prostori i Fourierova pretvorba 1. Oznake Funkcijski prostori Dualni prostori Fourierova pretvorba II. H mjere 1. Definicija i pregled osnovnih svojstava H-mjera Kompaktnost kompezacijom i H-mjere III. Poluklasične mjere 1. Definicija poluklasične mjere preko H-mjera Lokalizacijsko načelo IV. Poluklasični limes 1. Wignerova pretvorba Poluklasični limes Dvije karakteristične duljine Literatura Sažetak Summary Životopis iii

6

7 I. Funkcijski prostori i Fourierova pretvorba

8 Poluklasični limes Schrödingerovih jednadžbi 1. Oznake x k. Varijable u prostoru R d označavat ćemo s x = x 1,..., x d, a derivaciju s k = Slično, varijable u dualnom prostoru R d koji je izomorfan s R d označavat ćemo s ξ = ξ 1,..., ξ d, te derivaciju s k = Također ćemo se služiti Schwartzovim ξ k. oznakama: multiindeks je d-torka prirodnih brojeva α = α 1,..., α d N d 0 za koju definiramo duljinu α := α α d i faktorijel α! := α 1! α d!, dok za x R d definiramo x α := x 1 α1 x d αd naravno, definicija je identična i za ξ iz dualnog prostora. Na multiindeksima uvodimo parcijalni uređaj na način da je β α ako i samo ako za svaki j 1...d vrijedi β j α j. Definiramo i binomni koeficijent formulom: α α! := β β!α β! za β α, dok je inače jednak 0. Za derivacije ćemo koristiti pokratu α := α 1 1 α d d, te analogno α za derivacije po ξ. Koristeći upravo uvedene oznake, vrlo se elegantno mogu iskazati Binomni teorem: α N d 0 x, y R d x + y α = β α x β y α β, kao i Leibnizova formula: α N d 0 f, g C α Ω α fg = β α β f α β g, gdje je C α Ω prostor funkcija koje su klase C α j po varijabli x j. Leibnizova formula se može proširiti i na derivaciju produkta dovoljno glatke funkcije i distribucije. Radi elegantnijeg zapisa, vektorske funkcije uglavnom nećemo razdvajati na komponentne funkcije. Pri tome ćemo promatrati standarnu p-normu na prostoru R r ili C r koju ćemo označavati s p, a posebno za p = 2 je riječ o euklidskoj normi za koju ćemo koristiti skraćeni zapis := 2 Na prostorima L p R d ; C r, p [1, ], promatramo normu f L p R d ;C r = f p L p R d, uz koju su ti prostori Banachovi, a L 2 R d ; C r je posebno i Hilbertov. Kompleksni tenzorski produkt dva vektora, a b, definiramo kao jedinstveni linearni operator koji na po volji odabrani vektor v djeluje na sljedeći način a bv := v ba, gdje je v b = d j=1 vj b j kompleksni skalarni produkt. Uz takav skalarni produkt s e i označavamo ortonormiranu bazu prostora C d, pri čemu e i na i-tom mjestu ima 1, a na ostalim mjestima 0 analogno ćemo s e i označavati pripadnu dualnu bazu, koja je također ortonormirana. U sljedećoj lemi ćemo pokazati neke jednostavne činjenice vezane uz kompleksni tenzorski produkt. 2

9 Funkcijski prostori i Fourierova pretvorba Lema 1. Za a, b C r je a b linearan operator na C r ranga 1 ukoliko vrijedi a, b 0, dok je inače jednak trivijalnom operatoru. Pripadna operatorska norma tog operatora je jednaka a b = a b, matrični zapis je jednak a i b j ij, te za njemu pridruženi adjungirani operator imamo formulu: a b = b a. Dem. Za po volji izabrane v, u R r vrijedi: a bv = v ba = v b a v b a, gdje smo koristili Cauchy-Schwartz-Bunjakowskijevu nejednakost za vektore. Gornjim računom smo dobili gornju ogradu. Sada za v = b imamo a bb = b b a, pa smo ovime pokazali i donju ogradu, što povlači da vrijedi jednakost. Pogledajmo sada dimenziju jezgre operatora: a bv = v ba = 0. Ako je bilo a = 0 ili b = 0, onda je operator jednak nul-operatoru. Uzmimo sada da je a, b 0. Gornja jednakost tada vrijedi ako i samo ako je v b = 0, tj. ako i samo ako je v {b}. Iz toga zaključujemo da je dimenzija jezgre d 1, pa je onda po teoremu o rangu i defektu rang operatora u ovom slučaju jednak 1. Na mjestu i, j u matričnom zapisu iz formule dobivamo: a be j e i = b j a i. a bv u = v ba u = v a ub = v u ab = v b au. Konačno, koristeći definiciju adjungiranog operatora dobivamo traženu tvrdnju. Q.E.D. Istaknimo još da su operatori gornjeg oblika seskvilinearni po vektorima a i b, tj. lako se provjeri da vrijedi: a, b, c L 2 R d ; R r α C a + αb c = a c + αb c a b + αc = a b + αa c. Za razliku od kompleksnog tenzorskog produkta kojeg označavamo s, s označavamo tenzorski produkt funkcija: ϕ ψx, ξ := ϕxψξ. 2. Funkcijski prostori Vektorski prostor C c R d nam je od velikog interesa, jer se sastoji od funkcija s kojima znamo dobro računati, a pritom je gust u Banachovim prostorima L p R d, p [1,. Za slučaj p = spomenuta gustoća ne vrijedi, ali zato znamo da je zatvarač prostora C c R d u L normi prostor C 0 R d neprekinute funkcije koje trnu u beskonačnosti. Međutim, ponekad je zanimljivo promatrati i nešto jaču topologiju u kojoj bi sam prostor C c R d bio potpun. Opišimo tu topologiju strogog induktivnog limesa, s kojom C c R d postaje tzv. LF prostor limes Fréchetovih prostora. 3

10 Poluklasični limes Schrödingerovih jednadžbi Neka je KΩ familija svih kompakata sadržanih u otvorenom podskupu Ω R d i uzmimo K KΩ. Definirajmo skup C K Ω := {f C c Ω supp f K}, kojeg poistovjećujemo s C K, iz čega je očito da je riječ o vektorskom prostoru. Budući da vrijedi: C c Ω = C K Ω, 1 K KΩ traženu topologiju prostora C c Ω ćemo konstruirati kao limes topologija na prostorima C K Ω. Prostor C c Ω nije normabilan, pa ćemo za konstrukciju topologije koristiti polunorme, te kao rezultat dobiti lokalno konveksan prostor. Polunorma na vektorskom prostoru V, nad poljem realnih ili kompleksnih brojeva, je funkcija p : V R 0 + koja ima sljedeća svojstva i subaditivnost: v, w V pv + w pv + pw, ii apsolutna homogenost: v V λ F pλv λ pv. Kod proučavanja topologija definiranih polunormama, često su važna i sljedeća svojstva familija polunormi: uzmimo da je A neki skup indeksa; kažemo da je familija polunormi p α α A i usmjerena, ako vrijedi α, β A γ A C > 0 v V p α v + p β v Cp γ v, ii razlikuje točke, ako vrijedi α A p α v = 0 = v = 0. Lokalno konveksan prostor je realan ili kompleksan vektorski prostor V, zajedno s familijom polunormi p α α A koje razlikuju točke. Prirodna topologija na lokalno konveksnom prostoru je najslabija topologija u kojoj su sve polunorme p α neprekinute, a u toj topologiji su također i operacije zbrajanja i množenja skalarom neprekinute. Kažemo da niz v n u lokalno konveksnom prostoru V konvergira k v ukoliko α A p α v n v 0. 2 Analogno se definira i konvergencija hiperniza. U normiranim prostorima imamo vezu između omeđenosti i neprekinutosti linearnih operatora. U lokalno konveksnim prostorima vrijedi analogon te tvrdnje: Teorem 1. Neka su V i W lokalno konveksni prostori s pripadnim familijama polunormi p α α A i ρ β β B. Tada je linearno preslikavanje T : V W neprekinuto ako i samo ako za svaki β B postoji n N, α 1,..., α n A, te konstanta C > 0 tako da vrijedi n ρ β T v C p αi v. 3 Ako je familija p α α A usmjerena, onda je T neprekinuto ako i samo ako i=1 β A α A C > 0 ρ β T v Cp α v. 4 4

11 Funkcijski prostori i Fourierova pretvorba Istaknimo još da je V metrizabilan ako i samo ako je topologija na V generirana nekom prebrojivom familijom polunormi. Dokaz Teorema 1 kao i opširnija razrada spomenutih topologija može se naći u [12, str ]. Vratimo se sada prostoru C K Ω. Definirajmo prebrojivu familiju polunormi na sljedeći način: p n f = max α n α f L Ω. 5 Očito ta familija razlikuje točke, te definira lokalno konveksnu topologiju na C K Ω. Kako je ta familija polunormi prebrojiva, definirana topologija je i metrizabilna, a jedna pripadna metrika je dana formulom: df, g := n=0 2 n p n f g 1 + p n f g, 6 s kojom C K Ω postaje Fréchetov prostor: potpun metrizabilan lokalno konveksan topološki vektorski prostor, sa standarnim operacijama zbrajanje funkcija i množenje skalarom je neprekinuto u definiranoj metrici. Važno je još uočiti da je familija polunormi p n n N usmjerena, pa se za provjeru neprekinutosti operatora koristi pojednostavljeni zahtjev 4. U metričkom prostoru je podskup omeđen ako mu je dijametar konačan. Budući da je metrika 6 konačna manja od 1, svaki podskup C K Ω je omeđen. Konvergenciju nizova provjeravamo pomoću 2 uočimo da zbog metrizabilnosti, konvergencija nizova u potpunosti opisuje topologiju na C K Ω. Neka je K n niz rastućih kompakata za koje vrijedi K n = R d 7 i n N K n Int K n+1. 8 Svaki od prostora C K n, je opskrbljen gore konstruiranom topologijom. Uvjet 7 povlači da unija svih C K n daje C c Ω za razliku od 1, ovdje je riječ o prebrojivoj uniji, a iz 8 slijedi da je C K n pravi podskup prostora C K n+1, za svaki n. Za definiciju topologije prostora C c Ω potreban nam je još jedan pojam: E C je apsolutno konveksan skup disk u vektorskom prostoru V ako za skalare α i β vrijedi: α + β 1 = αe + βe E, gdje su operacije na skupovima u V definirane s: A + B := {a + b V a A, b B}, αa := {αa V a A}. Uočimo da su operacije zbrajanja i množenja skalarom nad elementima dobro definirane, jer se nalazimo u vektorskom prostoru. Disk u C c Ω je okolina nule ako je njegov presjek sa svakim C K n Ω okolina nule u C K n Ω u pripadnoj topologiji. Okolina neke proizvoljne točke prostora C c Ω se dobije translacijom okolina nule, pa da imamo dobru definiranost topologije još je samo ostalo provjeriti da je navedena familija skupova predbaza za V. Po teoremu iz [12; Tm 4.5.3], dovoljno je provjeriti da se u našem skupu nalaze konačni presjeci diskova, a to je ispunjeno po samoj konstrukciji. Time smo dobro 5

12 Poluklasični limes Schrödingerovih jednadžbi definirali lokalno konveksu topologiju prostora C c Ω koju nazivamo topologijom strogog induktivnog limesa. Vrijedi da se naslijeđena topologija s C c Ω na C K n Ω podudara s početnom Fréchet-ovom, tj. da je za svaki n, C K n Ω topološki potprostor C c Ω. Kako je svaki C K n Ω Hausdorffov i potpun, onda je to i C c Ω. Također, svaki C K n Ω je zatvoren potprostor u C K n+1 Ω, pa je C K n Ω zatvoren i u C c Ω. Budući da C c Ω nije metrizabilan slijedi iz činjenice što je C K n Ω pravi potprostor C K n+1 Ω, nizovi ne određuju u potpunosti topologiju, ali ipak se može opisati većina svojstava. Za to su nam potrebni sljedeći kriteriji: E C c Ω je omeđen ako i samo ako je za neki n N skup E C K n Ω i E je omeđen skup u C K n Ω. Budući da je svaki podskup skupa C K n Ω omeđen, uvjet da je E omeđen u C K n Ω je uvijek ispunjen i može se izostaviti. Niz ϕ k ϕ u C c Ω ako i samo ako je za neki n N čitav niz sadržan u C K n Ω i konvergira k ϕ u topologiji prostora C K n Ω. Koristeći definiciju konvergencije u prostorima C K n Ω, tvrdnju možemo preciznije zapisati na sljedeći način: ϕ k ϕ ako i samo ako postoji n N takav da k N supp ϕ k K n, α N 0 α ϕ k ϕ. E C c Ω je kompaktan ako i samo ako je za neki n N: E C K n Ω i E je kompaktan u C K n Ω. Potpuno analogno kao i za prostor C c Ω može se definirati topologija strogog induktivnog limesa na prostoru L p cω funkcije iz L p Ω s kompaktnim nosačem. Zanimljivo je uočiti da je C c Ω gust i u prostoru L p cω s topologijom strogog induktivnog limesa. Neka je f L p cω; tada postoji kompakt K takav da je supp f K. Definirajmo niz funkcija f n := f ρ n, gdje je ρ n x = n d ρnx, a ρ standarni izglađivač. Za dovoljno veliki n, niz f n je sadržan u C c Ω moramo biti oprezni da nosač od f n ostane unutar Ω i, budući da je nosač funkcije ρ n jednak K[0, 1 n ], vrijedi supp f n K + K[0, 1 n ] napuhnuli smo K za 1 n u svakom smjeru. Uzmimo K Ω, K Int K takav K postoji jer je Ω otvoren. Iz svojstva niza f n zaključujemo: n 0 N n n 0 supp f n K, što zapravo znači da je f n L p KΩ za n n 0. Također znamo da ovakav niz konvergira prema f u L p normi. Time f n konvergira k f u topologiji prostora L p cω, pa zbog proizvoljnosti funkcije f zaključujemo da je C c Ω gust u L p cω. Prostor } L p loc {f Ω := : Ω F K KΩ f p < također možemo opskrbiti s lokalno konveksnom topologijom i dobiti Fréchetov prostor. Kao i prije promatramo familiju kompakata K n n N sa svojstvima 7 i 8, te definiramo polunorme: p n f := f L p, Kn koje definiraju topologiju. Karakteristične funkcije su iz L p Ω pa je gornja konstrukcija valjana, međutim, za općenite Soboljevljeve prostore u kojima imamo i zahtjev na određenu gustoću, trebali bismo koristiti glatke funkcije sa svojstvom da su jednake 1 na 6 K

13 Funkcijski prostori i Fourierova pretvorba K n, a 0 izvan K n+1 pri toj konstukciji važnu ulogu ima uvjet 8 na K n. Iz prethodnog razmatranja zaključujemo da niz f k konvergira k f ako te da je omeđen ako n N lim k p n f k f = 0, k N n N p n f k <. Ipak, za nas je od većeg interesa promatrati slabu konvergenciju u ovom prostoru o čemu će biti više rečeno u sljedećoj točki. 3. Dualni prostori Za početak ćemo promatrati prostore L p Ω za p 1,, dok ćemo slučajeve p = 1 i p = sagledati naknadno. Pritom, p će nam označavati pripadni konjugiran eksponent p, tj. 1 p + 1 p = 1. Prostori L p Ω su Banachovi prostori, a posebno je L 2 Ω Hilbertov. Neka je g L p Ω. Definirajmo funkcional F g na L p Ω formulom: F g f = fḡ. 9 Iz Hölderove nejednakosti slijedi da je F g omeđen funkcional, dok gornje razmatranje povlači da je preslikavanje g F g dobro definirano. Međutim, vrijedi i više. Rieszov teorem povlači da je navedeno preslikavanje antilinearan izmorfizam i time nam daje bitnu vezu između L p prostora i njihovih duala. Teorem 2. Riesz Za Ω R d otvoren, p i p kao gore, vrijedi G L p Ω! g L p Ω f L p Ω L p Ω G, f L p Ω = Gf = pa je G g izometrički antilinearan izomorfizam prostora L p Ω i L p Ω. Ω Ω fḡdλ, Dokaz se može naći u [3]. Rieszov teorem nam omogućuje da preciznije opišemo slabu topologiju: Neka je f n niz u L p Ω i f L p Ω. Kažemo da f n slabo konvergira prema f, f n f, ako vrijedi: g L p Ω F g f n F g f. 10 Hölderova nejednakost povlači da je g Ω fḡ neprekinuto, pa je jedinstveno određeno svojim vrijednostima na gustom skupu. To nam omogućuje da uvjet 10 oslabimo tako da uzimamo g iz gustog podskupa npr. C c Ω je gusto u L p Ω, p [1,. Prostori L p Ω, p 1, su refleksivni, pa im se podudaraju slaba i slaba topologija. Dual prostora L Ω je kompliciran prostor, pa se zato ne promatra slaba, nego slaba topologija za koju opet po Rieszovom teoremu vrijedi: f n L Ω f g L 1 Ω f n ḡdλ fḡdλ. Za svaku funkciju f iz L 1 Ω formulom ϕ Ω ϕfdµ definiran je neprekinut funkcional na prostoru C 0 Ω. Po Rieszovom teoremu reprezentacije, dual prostora C 0 Ω je 7

14 Poluklasični limes Schrödingerovih jednadžbi izomorfan prostoru M b, prostoru omeđenih Radonovih mjera, što povlači da je L 1 Ω uloženo u M b. Ograničen niz f n ne mora nužno imati slabo konvergentan podniz, ali pridruženi niz µ fn je također ograničen pa, budući da je C 0 Ω separabilan jer je Ω R d separabilan, postoji slabo konvergentan podniz u M b. Za razliku od funkcija iz L 1 Ω, funkcije iz L 1 loc Ω definiraju ograničen funkcional na prostoru C c Ω u topologiji strogog induktivnog limesa. Međutim, takvom funkcionalu ne možemo pridružiti omeđenu Radonovu mjeru, niti ga možemo proširiti do neprekinutog funkcionala na C 0 Ω. Budući da takvi objekti ipak imaju poveznicu s omeđenim Radonovim mjerama, njih ćemo zvati Radonovim mjerama i prostor označavati s M, dok ćemo za prostor M b isticati da se radi o omeđenim Radonovim mjerama. Neprekinuti funkcionali na C c Ω = DΩ u topologiji strogog induktivnog limesa su distribucije. Koristeći karakterizacije spomenute topologije, dobivamo da je T D Ω ako i samo ako K KΩ m N 0 C > 0 ϕ DΩ supp ϕ K = T, ϕ Cp m ϕ, gdje je p m definiran s 5. Ako postoji m iz gornje definicije takav da je neovisan o K, tada je najmanji takav m red distribucije. Posebno su Radonove mjere distribucije reda 0. Ranije smo opisali konvergenciju u prostoru L p loc Ω; međutim, nama je zanimljivija slaba konvergencija u ovom prostoru. Za to nam je potrebno znati nešto više o njegovom dualu. Najveći prostor za funkciju g da Ω fḡ bude definirano je Lp c Ω, a pokaže se da je to upravo i njegov dual, tj. vrijedi L p loc Ω = L p c Ω. Dokaz ove tvrdnje za općenite Soboljevljeve prostore, može se naći u [2]. Sada imamo da niz f k slabo konvergira k f u prostoru L p loc Ω, f k f ako g L p c Ω f k ḡ fḡ. Naravno, kao prostor probnih funkcija možemo uzeti bilo koji prostor koji je gust u L p c Ω u pripadnoj topologiji C c Ω je samo jedan takav prostor. Sljedeća lema nam omogućuje da možemo gledati i manji prostor za p = 1. Lema 2. Neka je d = d 1 d 2, te neka su dani otvoreni skupovi Ω R d, Ω 1 R d 1 i Ω 2 R d 2 takvi da Ω = Ω 1 Ω 2. Prostor { m k=1 Ω } ϕ k θ k m N, ϕ k C c Ω 1, θ k C c Ω 2 je gust u L 2 cω u topologiji strogog induktivnog limesa. Dem. Neka je ψ C c Ω 1 Ω 2. Bez smanjenja općenitosti uzmimo da je supp ψ I, gdje je I = 0, 1 d ako nije, funkciju možemo reskalirati po svakoj varijabli. Prostor L 2 Cl I je Hilbertov s potpunim ortonormiranim sustavom {e 2πikx k Z d } [11, Theorem 1.10], stoga niz funkcija ψ n x = ψke 2πik x 8 k n Ω

15 konvergira k ψ u normi prostora L 2 Cl I, pri čemu su ψk := ψye 2πik y dy Cl I Funkcijski prostori i Fourierova pretvorba Fourierovi koeficijenti funkcije ψ. Uzmimo δ > 0 takav da je supp ψ [δ, 1 δ] d takav δ postoji jer je supp ψ I i funkciju ρ C c 0, 1 sa svojstvom da ρ = 1 na [ 2 1δ, 1 1 2δ] to se može dobiti djelovanjem konvolucijom sa standarnim izglađivačem na karakterističnu funkciju skupa [ 4 1δ, 1 1 4δ]. Definirajmo: ψ n x := k 1 n,..., k d n ψk Produkt se pojavio zbog svojstva eksponencijalne funkcije: x supp ψ e 2πik x = d ρx l e 2πik lx l. l=1 d e 2πik lx l = l=1 d ρx l e 2πik lx l. Zadnja jednakost vrijedi, jer za x iz nosača funkcije ψ imamo da su mu sve komponente unutar [δ, 1 δ], gdje je ρ jednak 1. U produktu se nalaze funkcije jedne varijable s neovisnim varijablama, pa se iz toga vidi da je funkcija ψ n oblika za m = d2n + 1. Definirajmo m ψk 1 ψd k, k=1 ϕ k := ψ 1 k ψd 1 k, θ k := ψ d 1+1 k ψ d k. Iz Leibnitzove formule se vidi da su ϕ k C c I 1 i θ k C c I 2 za svaki k, I 1 = 0, 1 d 1, I 2 = 0, 1 d 2, tako da je ψ n željenog oblika. Kako se ψ n i ψ n podudaraju na nosaču od ψ, zaključujemo da i ψ n konvergira prema ψ u prostoru L 2 Cl I. Budući da još vrijedi supp ψ n Cl I za svaki n, dobili smo konvergenciju u prostoru L 2 cω. Q.E.D. Ako imamo prostor L 2 cω; C r, onda gornju lemu primijenimo po svakoj komponenti tako da dobijemo da je potprostor { m ψ k m N, ψ k = k=1 gust u njemu. l=1 r } ϕ i k θi k e i, ϕ i k C c Ω 1, θk i C c Ω 2 i=1 4. Fourierova pretvorba Za funkciju u L 1 R d dobro je definirana sljedeća funkcija: Fuξ := ûξ := e 2πix ξ ux dx. 11 R d 9

16 Poluklasični limes Schrödingerovih jednadžbi Preslikavanje F je očito omeđeno linearno preslikavanje s L 1 R d u L R d, međutim Riemann-Lebesgueova lema precizira da je slika sadržana u Banachovom prostoru C 0 R d. Gornju definiciju možemo proširiti i na omeđene Radonove mjere. Naime, prostor L 1 R d je uložen u M b R d na način da za svaku funkciju f L 1 R d postoji µ f M b R d tako da ϕ C 0 R d fϕdµ = ϕ dµ f. R d R d Želimo proširiti definiciju Fourierove pretvorbe i na omeđene Radonove mjere, ali da se definicije poklapaju na L 1 R d, tj. da bude f = µ f. µ u ξ = ûξ = e 2πix ξ ux dx = R d e 2πix ξ dµ u x, R d pa je onda formulom µξ := e 2πix ξ dµx R d dobro definirano proširenje Fourierove pretvorbe na omeđene Radonove mjere. Budući da vrijedi f, g L 1 R d f gx = fĝ, F je homomorfizam s konvolucijske algebre L 1 R d, +, u multiplikativnu algebru L R d, +,. Neka je τ h translacija za vektor h R d. Izravnim računanjem se lako dobiju sljedeće relacije: τ h fξ = e 2πix h fξ, kao i sljedeće formule za derivacije: e 2πi. h f ξ = τ h fξ, j fξ = 2πix j fx ξ, j fξ = 2πiξ j fξ. Direktnom primjenom Fubinijevog teorema izvodi se formula množenja f, g L 1 R d fξgξdξ = R d fxĝxdx. R d Posebno zgodna svojstva ima restrikcija F na Schwartzov prostor brzo opadajućih funkcija SR d := {ϕ C c Ω : k N 0 ϕ k < }, pri ćemu su polunorme k definirane na sljedeći način: ϕ α,β := x α β ϕ L R d, ϕ k := sup ϕ α,β. α+β k Schwartzov prostor SR d, zajedno s prirodnom topologijom danom s pomoću familije polunormi k, k N 0, je Fréchetov prostor lokalno konveksna topologija; konstruira se analogno kao i za prostor C K Ω. Posebno vrijedi da je zatvoren na operacije 10

17 Funkcijski prostori i Fourierova pretvorba deriviranja, množenja polinomom, te množenjem s C funkcijama najviše polinomijalnog rasta u beskonačnosti. Budući da vrijedi SR d L p R d, p [1, ] uistinu je riječ samo o restrikciji postojeće definicije Fourierove pretvorbe, tako da za F na prostoru SR d vrijedi sve što se do sad pokazalo za L 1 R d. Restrikcija Fourierove pretvorbe F na prostor SR d je bijekcija toga skupa na samoga sebe, te vrijede formule inverzije ϕ = ϕ, ϕ = ˇϕ = Fϕ = F 1 ϕ, 12 pri čemu je ϕx := ϕ x, a ˇϕx := e 2πix ξ ϕξdξ. R d Koristeći Parsevalovu formulu u, v SR d û v = ûξ vξ dξ = uxvx dx = u v 13 R d R d i gustoću Schwartzovog prostora u L 2 R d, na jedinstveni način proširujemo omeđeni operator F na L 2 R d, te i za prošireni F vrijedi 13. Ovo proširenje je poznato kao Plancherelov teorem. Osim proširenja po gustoći, moguće je i proširenje po dualnosti na S R d, prostor temperiranih distribucija topološki dual prostora SR d : u S R d ϕ SR d û, ϕ = ũ, ϕ, pri čemu je ũ, ϕ = u, ϕ. Iz gornjih formula se dobiva i da temperirane distribucije zadovoljavaju formulu inverzije, što povlači da je proširenje F na S R d linearna bijekcija sa S R d u samoga sebe. Napomenimo da se ovo proširenje podudara s ranijom definicijom na prostoru omeđenih Radonovih mjera. Definirajmo skalirani operator deriviranja po varijabli x te po dualnoj varijabli ξ Na S R d vrijede sljedeće formule: D j := 1 2πi j, D α := 1 2πi α α, D j := 1 1 α 2πi j, D α := α. 2πi D α u ξ = ξ α ûξ, x α u ξ = 1 α D α ûξ. Diracova masa δ 0 se nalazi u prostoru S R d, pa možemo pogledati što je njezina slika po F: δ 0, ϕ = δ 0, ϕ = δ 0, ϕ = ϕ0 = ϕxdx = 1, ϕ, R d 11

18 Poluklasični limes Schrödingerovih jednadžbi pa zaključujemo da je δ 0 = 1, a iz formule inverzije slijedi i da je 1 = δ 0. Neka je f SR d po volji odabrana. Uočimo da vrijedi: R d fξdξ = 1, f = 1, f = δ 0, f = f0. Ovime su dani glavni i najčešće korišteni razultati i pojmovi na koje se kasnije pozivamo u ovom radu. Nadam se da se uspjelo pokriti sve potrebno pa da čitanje ovog rada bude ugodno i zanimljivo. 12

19 II. H-mjere

20 Poluklasični limes Schrödingerovih jednadžbi 1. Definicija i pregled osnovnih svojstava H-mjera Pri proučavanju fizike neprekinutih sredina jednadžbe koje upravljaju ponašanjem kontinuuma mogu biti podijeljene na dvije vrste: jednadžbe ravnoteže i konstitutivne pretpostavke. Dok su Youngove mjere prikladno sredstvo za proučavanje pojava titranja rješenja parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, pokazale su se neodgovarajućim za proučavanje pojava koncentracije. Kao mjera koja ovisi samo o varijabli x, Youngova mjera nije prilagođena za opisivanje pojava koje ovise i o posebnom smjeru u prostoru. Taj nedostatak je u znatnoj mjeri riješen H-mjerama, jer one upravo promatraju ponašanje ϕu n 2 u beskonačnosti i rezultat projiciraju na sferu, tako da su sačuvani smjerovi ponašanja u Fourierovom prostoru. H-mjere, ili kako se još nazivaju, mikrolokalne defektne mjere su osamdesetih godina dvadesetog stoljeća neovisno uveli Luc Tartar i Patrick Gerard. Kako su se najprije pojavile u vezi s nekim problemima iz homogenizacije, Tartar ih je nazvao H-mjerama. One su Radonove mjere, definirane kao limes kvadratičnih izraza L 2 funkcija. Kako bismo primijenili Fourierovu pretvorbu, moramo promatrati funkcije definirane na čitavom prostoru R d, što lako postižemo proširivanjem funkcija nulom van Ω. To je standarni postupak koji ćemo po potrebi uvijek raditi i nećemo posebno komentirati. Prije definicije samih H-mjera, potrebno je uvesti jednostavne pseudodiferencijalne operatore. Neka su a CS d 1 i b C 0 R d neprekinute funkcije. Pridružimo im operator množenja M b i Fourierov množitelj P a na L 2 R d ; C r, na sljedeći način: M b : L 2 R d ; C r L 2 R d ; C r, M b ux := bux, ξ P a : L 2 R d ; C r L 2 R d ; C r, Pa uξ := a ûξ ; ξ dakle, P a = FM a F. Očito vrijedi: M b LL 2 R d ;C r ;L 2 R d ;C r = b L R d, P a LL 2 R d ;C r ;L 2 R d ;C r = a L R d. Upravo definirani operatori se javljaju u definiciji H-mjera i baš je sljedeći rezultat bio ključan za razvoj teorije. Navodimo ga bez dokaza, koji se može naći u [18]. Lema 1. prva komutacijska lema Komutator C := [P a, M b ] = P a M b M b P a linearnih operatora P a i M b je kompaktan operator na prostoru L 2 R d drugim riječima C KL 2 R d. U trećem poglavlju ćemo također trebati ovakav rezultat, samo zbog drugačijih pretpostavki morat ćemo pokazati poopćenu prvu komutacijsku lemu. U dokazu teorema egzistencije trebat će nam još i sljedeća lema koju navodimo iz [14]. Lema 2. Neka su X i Y konačnodimenzionalne lokalno kompaktne neprekinute mnogostrukosti, te B neprekinuta bilinearna forma na C 0 X C 0 Y. Ako je forma B nenegativna, tj. ako vrijedi f 0 & g 0 = Bf, g 0, tada postoji Radonova mjera m na X Y takva da je Bf, g = m, f g. 14

21 H-mjere Teorem 1. postojanje H-mjera Ako je u n niz u prostoru L 2 R d ; C r, takav da L u 2 n 0 slabo, onda postoji podniz u n i kompleksna matrična Radonova mjera µ na R d S d 1 takva da za svaki ϕ 1, ϕ 2 C 0 R d i ψ CS d 1 vrijedi: lim ϕ1 u n n ξ ξ ϕ 2 u nk ξψ dξ = µ, ϕ 1 ϕ 2 ψ R d ξ 1 = ϕ 1 x ϕ 2 xψξ dµx, ξ. R d S d 1 Mjeru µ nazivamo H-mjerom pridruženom podnizu u n. Dem. Iz Plancherelove formule slijedi da je niz integrala na lijevoj strani u 1 omeđen, stoga ima gomilište za koje vrijedi ista ocjena: µ, ϕ 1 ϕ 2 ψ sup u n 2 L n 2 ϕ 1 L ϕ 2 L ψ L. Potrebno je pokazati da limes linearno ovisi o produktu ϕ 1 ϕ 2, te da definira Radonovu mjeru čime bismo opravdali zapis u gornjoj ocjeni. Označimo s M ϕi standardni operator množenja pridružen simbolu ϕ i, i = 1, 2, te s P ψ operator pridružen simbolu ψ. Koristeći prvu komutacijsku lemu imamo P ψ M ϕ2 M ϕ2 P ψ KL 2 R d. To znači da P ψ M ϕ2 u n M ϕ2 P ψ u n 0 jako u L 2 R d ; C r, pa stoga zamjena redoslijeda operatora M ϕ2 i P ψ ne utječe na limes u 1: lim ϕ1 u n ξ ϕ n R ξ 2 u n ξψ dξ = lim M ϕ1 u n x P ψ M ϕ2 u n x dx d ξ n R d = lim n R d M ϕ1 u n x M ϕ2 P ψ u n x dx = lim n R d ϕ 1 ϕ 2 un x P ψ u n x dx Bϕ 1 ϕ 2, ψ, pri čemu je B matrica neprekinutih bilinearnih formi na C 0 R d ; C CS d 1 ; C, omeđena izrazom na desnoj strani u 1. Zbog separabilnosti prostora C 0 R d ; C i CS d 1 ; C možemo uzeti prebrojive guste podskupove u tim prostorima, te dijagonalnim postupkom izdvojiti podniz u n tako da za svaki izbor funkcija ϕ 1, ϕ 2 i ψ iz danih skupova imamo gornju konvergenciju. Zbog gustoće stoga imamo konvergenciju za proizvoljne test funkcije iz danih prostora. Na koncu, cilj nam je primijeniti Lemu 2 kako bismo bilinearnoj formi B pridružili odgovarajuću Radonovu mjeru. Uzmemo li ϕ 1 = ϕ 2 =: ϕ i ψ 0, te neka je v C r. Tada imamo B ϕ 2, ψv v = lim F ϕu n R n ξ F ϕu n ξψ d = lim Fϕu n R n ξ v 2 ξ ψ dξ 0. d ξ ξ v v dξ ξ 15

22 Poluklasični limes Schrödingerovih jednadžbi Zbog pozitivnost forme B slijedi egzistencija matrične Radonove mjere µ na R d S d 1 takve da je B ϕ 2, ψ = µ, ϕ 2 ψ. Za prozvoljne test funkcije ϕ 1, ϕ 2 i ψ tvrdnja jednostavno slijedi iz gornjeg rezultata, rastavljanjem na realni i imaginarni, odnosno pozitivni i nenegativni dio, te koristeći bilinearnost forme B. Q.E.D. Zanimljivo je primijetiti kako je bitnu ulogu u dokazu postojanja H-mjera imala separabilnost prostora probnih funkcija. Upravo će nam to zadavati probleme u preostalim poglavljima ovog rada. Primijetimo da pri perturbaciji niza u n jako konvergentnim nizom v n s limesom nula, dobiveni niz u n + v n definira identičnu H-mjeru µ. Posebno, jako konvergentnom nizu pridružena je µ = 0. Ako uzmemo ϕ 1, ϕ 2 C c R d, definicija se proširuje i na nizove koji konvergiraju slabo u prostoru L 2 loc Rd, samo što je sada µ u dualu lokalno konveksnog prostora C c R d, pa ne mora imati konačnu ukupnu masu tj. varijaciju, jer nemamo više omeđenost. Korolar 1. H-mjera µ M b R d S d 1 ; M r C je hermitska i nenegativna: µ = µ i ϕ C 0 R d ; R r µ, ϕ ϕ 0, gdje je µ, ϕ ϕ Radonova mjera na S d 1. Dem. Za realne ϕ 1, ϕ 2 i ψ nam definicija H-mjere 1 daje µ, ϕ 1 ϕ 2 ψ = lim nk = lim nk R d ξ Fϕ 1 u nk Fϕ 2 u nk ψ dξ R d ξ ψ ξ Fϕ 2 u nk Fϕ 1 u nk ξ dξ = µ, ϕ 1 ϕ 2 ψ, gdje smo u drugoj jednakosti koristili Lemu I.1. Uzimanjem ortonormirane baze e 1,...,e r za R r možemo pisati u smislu Radonovih mjera na S d 1 : r r µ, ϕ ϕ = µ, ϕ e i e i ϕ e j e j = i=1 j=1 r i,j=1 µe i e j, ϕ e i ϕ e j 0, jer za svaki par i, j uzevši ϕ 1 := ϕ e i, ϕ 2 := ϕ e j i ψ realne i nenegativne, 1 nam daje µe i e j, ϕ e i ϕ e j ψ 0. Q.E.D. Uočimo da je ν, ψ := µ, ϕ ϕ ψ skalarna Radonova mjera na S d 1. Ako je niz u n omeden u L 2 R d ; C r, onda je niz u n u n omeden u L 1 R d ; M r C, ali to nije dovoljno za slabu kompaktnost u posljednjem prostoru. Moramo L 1 R d ; M r C neprekinuto uložiti u Banachov prostor omedenih matričnih mjera M b R d ; M r C = C 0 R d ; M r C, u kojem onda imamo slabo gomilište ν, kojem konvergira neki podniz u nk u nk. 16

23 H-mjere Korolar 2. Ako niz u n u n konvergira slabo k mjeri ν u M b R d ; M r C, onda za svaki ϕ C 0 R d vrijedi: ν, ϕ = µ, ϕ 1. Dem. Uzimanjem ψ := 1 u 1 Plancherelov teorem nam daje µ, ϕ 1 ϕ 2 1 = lim n ϕ 1 u n ϕ 2 u n dx = R d limu n u n ϕ 1 ϕ 2 dx = ν, ϕ 1 ϕ 2. R d n Q.E.D. Primjer. koncentracija Za danu funkciju f L 2 R d promatramo niz u n x := n d/2 fnx z, za dani z R d. Tada čitav niz u n odreduje skalarnu H-mjeru µ = δ z ν, pri čemu je ν mjera s površinskom gustoćom N ν je apsolutno neprekinuta s obzirom na površinsku mjeru na S d 1, koja je dana formulom: Nξ := 0 ˆftξ 2 t d 1 dt, odnosno za svaki φ C 0 R d S d 1 vrijedi: µ, φ = ˆftξ 2 ξ φ z, dξ. R d ξ Zaista, neka je ϕ C c R d, a ψ C 0 S d 1. Tada niz ϕu n ϕzu n konvergira jako u L 2 R d k nuli, pa je dovoljno prijeći na limes u ϕzu n : ξ lim ϕz n R 2 û n ξ 2 ψ dξ ˆf ξ ξ = lim ϕz 2 n d 2 ψ dξ d ξ n R d n ξ = ϕz R 2 n d ˆfξ ξ 2 ψ dξ = µ, ϕ 2 ψ. d ξ 2. Kompaktnost kompenzacijom i H-mjere Kompaktnost kompenzacijom se primjenjuje u situaciji gdje imamo niz u n koji slabo konvergira u L 2 Ω; R r prema u 0, a pri čemu je niz d k=1 Ak k u n sadržan u kompaktnom skupu u prostoru H 1 loc Ω; Rr. Definira se svojstven skup: { } d V := λ, ξ R r S d 1 : ξ k A k λ = 0, i njegova projekcija na fizikalni prostor: { } Λ := λ R r : ξ S d 1 λ, ξ V. Osnovni teorem tvrdi da za svaku kvadratičnu formu Q, za koju je QΛ 0, ako je l bilo koje gomilište niza Qu n u slaboj topologiji na prostoru mjera, onda je nužno l Qu 0. k=1 17

24 Poluklasični limes Schrödingerovih jednadžbi Primjer. Neka je u n niz koji slabo konvergira k u 0 u prostoru L 2 R 2 ; R 2, pri čemu su nizovi 1 u 1 n i 2 u 2 n omeđeni u L 2 R 2 pa stoga i sadržani u kompaktnim skupovima u H 1 loc R2. Svojstveni skup je V = {λ, ξ R 2 S 1 : ξ 1 λ 1 = ξ 2 λ 2 = 0}, pa je njegova projekcija Λ = {λ R 2 : λ 1 λ 2 = 0}. Gledamo kvadratnu formu Qλ := λ 1 λ 2, koja se očigledno poništava na Λ. Teorem 2. lokalizacijsko svojstvo za H-mjere Ako niz u n odreduje H-mjeru, a pritom vrijedi: d k A k u n 0 u prostoru H 1 loc Ω; Rr, k=1 gdje su A k neprekinute matrične funkcije na otvorenom Ω R d, onda, uz definiciju simbola Px, ξ := d k=1 ξ ka k x na R d S d 1, vrijedi Pµ = 0. Za razliku od osnovnog teorema o kompaktnosti kompenzacijom, ovdje su matrice A k s promjenjivim koeficijentima neprekinute funkcije od x, a ne konstante. Primijenivši ovaj teorem na prethodni primjer dobivamo da je [ ξ1 µ Pµ = 11 ξ 1 µ 12 ] 0 ξ 2 µ 21 ξ 2 µ 22 = 0, gdje je simbol [ ] ξ1 0 P =. 0 ξ 2 Time znamo koristimo hermitičnost, Korolar 1 da je supp µ 12 = supp µ 21 {ξ 1 = 0} {ξ 2 = 0} = na jediničnoj sferi!, pa je µ dijagonalna. Dobivena informacija je potpunija od one koju smo dobili korištenjem kompaktnosti kompenzacijom, da su stupci µ u skupu Λ. Ovaj posljednji zaključak slijedi iz u n u n u 0 u 0 + R slabo u M b, pri čemu je Rx Cl convλ Λ ss x Ω, uz odgovarajuću interpretaciju. 18

25 III. Poluklasične mjere

26 Poluklasični limes Schrödingerovih jednadžbi H-mjere su definirane bez karakteristične duljine, što predstavlja prepreku u proučavanju fizikalnih zadaća u kojima se javlja jedna ili čak više karakterističnih duljina. Prvi korak u rješavanju tog problema je napravio Patrick Gerard uvodeći poluklasične mjere. Sama ideja za proučavanje takvog objekta se često veže uz jedan jednostavan primjer. Neka je v periodička funkcija i neka je niz u n dan s u n x = vxε n, gdje je ε n niz pozitivnih brojeva koji teže nuli. Nakon što se funkcija u n lokalizira množenjem s glatkom funkcijom s kompaktnim nosačem, djelujemo Fourierovom pretvorbom i opažamo zanimljiv rezultat. Sve značajne vrijednosti ϕu n ξ se nalaze na udaljenosti 1 εn od ishodišta, tj. oko ξ = O 1 ε n. Time smo naočigled jednostavnom metodom doznali puno o ponašanju funkcije u dualnom prostoru. Međutim, pojavio se i novi problem. Naime, kad je razlika karakteristične duljine objekta kojega proučavamo i karakteristične duljine same poluklasične mjere značajno velika, dolazi da gubitka svih informacija i zapravo nemamo ništa. Poboljšanje je uveo Luc Tartar tako da je gledao posebniji prostor funkcija. Još jedna zanimljivost u tom njegovom pristupu je to što je polazeći od inačice H-mjera uspio doći do poluklasične mjere i time je ukazano na povezanost tih dviju teorija. Međutim, vidjet ćemo tijekom izlaganja u ovom poglavlju da ipak postoji stanovita razlika između ovih dvaju objekata. U ovom poglavlju ćemo se držati Tartarovog pristupa, te na kraju dobiti neke tvrdnje za lokalizacijsko načelo, koje je već od ranije poznato za klasične H-mjere. 1. Definicija poluklasične mjere preko H-mjera Konstruirajmo inačicu H-mjere s jednom karakterističnom duljinom. Neka je Ω R d i u n 0 u L 2 loc Ω; Cr slabo. Umjesto da promatramo pripadnu H-mjeru odgovarajućeg podniza u n, definirat ćemo novi niz v n : v n x, x d+1 = u n xe 2πixd+1 εn, x Ω, x d+1 R, 1 gdje je ε n karakteristična duljina koja teži nuli. Važno je uočiti da i za niz v n također imamo slabu konvergenciju prema 0 u prostoru L 2 loc Ω R; Cr. Zaista, budući da je prostor L 2 cω R; C r izomorfan s L 2 loc Ω R; Cr, a skup { n i=1 } ϕ i θ i n N, ϕ i C c Ω; C r, θ i C c R; C gust u L 2 cω R; C r po Lema I.2, dovoljno je pokazati: ϕ C c Ω; C r θ C c Ω; C lim n Ω R v n ϕ θ = 0, što slijedi neposredno primjenom Fubinijevog teorema. Također se može uočiti da situaciju ne bismo ništa popravili da smo na početku imali slabu konvergenciju niza u n u prostoru L 2 Ω; C r, jer se funkcije e 2πixd+1 εn ne nalaze u prostoru L 2 R, nego u L 2 loc R, pa onda opet moramo uzimati probne funkcije s kompaktnim nosačem, tj. dobili bismo opet slabu konvergenciju u prostoru L 2 loc Ω R. Bitno je znati koju od te dvije slabe konvergencije imamo, jer će ovisno o tome pripadna H-mjera biti omeđena ili neomeđena Radonova mjera. Sada po Teoremu II.1 znamo da ima smisla promatrati H-mjeru pridruženu nekom podnizu v n. 20

27 Poluklasične mjere Teorem 1. Ako s µ označimo H-mjeru pridruženu odgovarajućem podnizu v n, onda je ta mjera µ neovisna o posljednjoj varijabli x d+1. Dem. Neka je h R po volji odabran, te označimo s τ h operator translacije za h u smjeru x d+1. Definirajmo h n kao višekratnik broja ε n za koji vrijedi da je h h n ε n očito postoji jedinstven takav višekratnik. Budući da je v n periodička po posljednjoj varijabli s periodom ε n, to su funkcije τ hn v n i v n jednake. Stoga je dovoljno pokazati da τ hn v n i τ h v n definiraju istu H-mjeru. Radi dobre definiranosti Fourierove pretvore, nakon što lokaliziramo funkcije v n množenjem funkcijom s kompaktnim nosačem, proširimo je nulom van nosača. Ako pokažemo da vrijedi: ϕ C c Ω R τ hn ϕv n τ h ϕv n L 2 R d+1 0, onda izravnom primjenom Fourierove pretvorbe kao neprekinutog operatora na L 2 R d+1 dobivamo i: ϕ C c Ω R Fτ hn ϕv n Fτ h ϕv n Uzmimo da je ε n < 1 za svaki n, i računajmo: τ hn ϕv n τ h ϕv n 2 = τ hn L 2 R d+1 ϕ τ h ϕ 2 v n 2 dx K τ hn ϕ τ h ϕ 2 L R d+1 v n L 2 K L 2 R d τ hn ϕ τ h ϕ 2 L R d+1 lim sup v n L 2 K, n pri čemu nam je K kompakt koji se dobije tako da se supp ϕ translatira za h u smjeru osi x d+1, te napuhne za 1 jer smo pretpostavili da je ε n < 1. Funkcija ϕ je neprekinuta pa onda i jednoliko neprekinuta, jer joj je nosač kompakt. Kako h n teži prema h, jednolika neprekinutost daje da prvi član u zadnjoj nejednakosti ide u nulu. Drugi član je konačan, jer je v n slabo konvergentan, pa time i omeđen. Koristeći definiciju H-mjere dobivamo da je apsolutna vrijednost razlike H-mjera podnizova τ h v n i τ hn v n omeđena s limesom superiorom sljedećeg izraza: R d R Fϕ 1 τ h v n Fϕ 2 τ h v n ξ, ξd+1 3 Fϕ 1 τ hn v n Fϕ 2 τ hn v n ψ dξ, ξ d+1 ξ, ξ d+1, pri čemu nam predstavlja operatorsku normu induciranu unitarnom normom na C r. Nakon što dodamo i oduzmemo Fϕ 1 τ hn v n Fϕ 2 τ h v n, te primijenimo Minkowskijevu nejednakost za integrale i nejednakost trokuta, 3 ocijenimo s: ψ L S d Fϕ 1 τ h v n Fϕ 1 τ h n v n Fϕ 2 τ h v n dξ, ξ d+1 R d R + Fϕ 1 τ hn R d v n Fϕ 2 τ h v n Fϕ 2 τ h n v n dξ, ξd+1 R ψ L S d Fϕ 1 τ h v n Fϕ 1 τ h n v n Fϕ 2 τ h v n dξ, ξ d+1 R d R 21

28 Poluklasični limes Schrödingerovih jednadžbi + Fϕ 1 τ hn R d v n Fϕ 2 τ h v n Fϕ 2 τ h n v n dξ, ξ d+1 R ψ L S d Fϕ 1 τ h v n Fϕ 1 τ h n v n L 2 R d+1 ;C r ϕ 2τ h v n L 2 R d+1 ;C r + ϕ 1 τ hn v n L 2 R d+1 ;C r Fϕ 2τ h v n Fϕ 2 τ h n v n L 2 R d+1 ;C r, 4 gdje smo u drugoj nejednakosti iskoristili ograničenost operatora oblika a b Lema I.1, a u trećoj Hölderovu nejednakost i Parsevalovu formulu. Zamjenom varijabli dobivamo ϕ 2 τ h v n L 2 R d+1 ;C r τ hϕ 2 L R d+1 lim sup v L 2 n R d+1 ;C r, što je konačno. Analogno dobivamo i da je ϕ 1 τ hn v n L 2 R d+1 ;C r omeđeno. Koristeći formulu djelovanja Fourierove pretvorbe na translacije Fϕτ h v n ξ, ξ d+1 = e 2πihξ d+1 Fτ h ϕv n ξ, ξ d+1, lako sredimo i preostale izraze u 4. Time dobivamo: Fϕ 1 τ h v n Fϕ 1 τ hn v n = L 2 R d+1 ;C r = R d+1 e 2πihξ d+1 Fτ h ϕ 1 v n ξ, ξ d+1 e 2πih n ξ d+1 Fτ hn ϕ 1 v n ξ, ξ d+1 2 dξ, ξ d+1 e 2πih. e 2πih n. L Fτ h ϕ 1 v n + R L 2 R d+1 ;C r + e 2πih. L Fτ h ϕ 1 v n Fτ hn ϕ 1 v n R L 2 R d+1 ;C r e 2πih C. 1 e 2πih n. L + C 2 Fτ h ϕ 1 v n Fτ hn ϕ 1 v n, R L 2 R d+1 ;C r gdje su C 1 i C 2 konačne konstante redom zbog periodičnosti i neprekinutosti funkcije e 2πih., pa time i omeđenosti na R, odnosno zbog slabe konvergentnosti niza ϕ 1 v n. Također koristimo neprekinutost i periodičnost funkcije e 2πih. e 2πih n. kako bismo uočili da je jednoliko neprekinuta, što povlači da cijeli prvi član posljednje nejednakosti ide u nulu kada n ide u beskonačnost, dok za drugi član iskoristimo 2. Sada se vratimo u 4 i zaključujemo da izraz ide u nulu kada n ide u beskonačnost, čime smo pokazali da se H-mjere podudaraju. Q.E.D. Prethodna lema nam omogućuje da dodamo varijablu ξ d+1, ali bez pravog dodavanja varijable x d+1, jer pripadna H-mjera ne ovisi o toj varijabli. Navodimo općeniti rezultat za distribucije iz [14, str ]: Lema 1. Neka je T D R d, te neka postoji i 1..d takav da za svaki h R vrijedi da je τ hei T = T. Tada postoji T 0 D R d 1 za koju vrijedi T, ϕ = T 0, ϕ 0, pri čemu je ϕ 0 x 1,..., x i 1, x i+1,..., x d := R ϕx1,..., x i,..., x d dx i

29 Poluklasične mjere Budući da je Radonova mjera upravo distribucija reda nula, to možemo primijeniti prethodnu lemu te zaključiti da postoji µ 0 MR d S d takva da je µ, ϕ ψ = µ 0, ϕ 0 ψ, gdje je ϕ 0 x := R ϕx, xd+1 dx d+1. H-mjeru koju definira niz v n zadan s 1 zvat ćemo inačica H-mjere s jednom karakterističnom duljinom niza u n. Već je ranije navedeno kako se poluklasične mjere mogu definirati preko H-mjera čime je ukazano na povezanost tih dvaju objekata. Pokazat ćemo da se upravo inačica H- mjere s jednom karakterističnom duljinom može shvatiti kao poluklasična mjera. Slijedi egzistencijski rezultat za poluklasične mjere bez dokaza, ali koji se može pronaći u [7]. Teorem 2. postojanje poluklasičnih mjera Ako je u n niz u prostoru L 2 Ω; R r, L takav da u 2 n 0 slabo, onda postoji podniz u n i hermitska nenegativna Radonova mjera µ sc na Ω R d takva da za svaki ϕ C c Ω i ψ SR d vrijedi: lim Fϕu n n Fϕu n ψε n ξ dξ = µ sc, ϕ 2 ψ. 5 R d Međutim, poluklasične mjere i inačica H-mjere s jednom karakterističnom duljinom jesu vrlo slični, ali ne i posve identični objekti. Razlika se lijepo može uočiti u sljedećem primjeru. Primjer. Neka je η n niz brojeva koji konvergiraju k nuli i e po volji odabran jedinični vektor, e S d 1. Definirajmo kompleksni niz funkcija na R d u n x := e 2πix e ηn. Niz u n se ne nalazi u prostoru L 2 R d, ali se lako pokaže da je u L 2 loc Rd, te u tom prostoru slabo konvergira k nuli. Zaista, za ϕ C c R d, e 2πix e ηn ϕx dx ηn e R R 2πiy e ϕη n y dx d d η n C ϕ L R d, gdje je C = volsupp ϕ. Sada možemo promatrati pripadnu poluklasičnu mjeru i inačicu H-mjera. Lako se vidi da za ϕ C c R d vrijedi ϕu n ξ = ϕ ξ e, η n pa kad to uvrstimo u 5 dobivamo: ϕ ξ e 2 ψεn ξ dξ = ϕξ 2 ψ ε n ξ + ε ne dξ. R d η n R d η n Ako uzmemo funkciju ψ C 0 R d, onda podintegralna funkcija konvergira po točkama i omeđena je sumabilnom funkcijom ψ L R d ϕ 2, pa po Lebesgueovom teoremu o dominiranoj konvergenciji dobivamo sljedeće rezultate za µ sc ovisno o ponašanju εn η n : 23

30 Poluklasični limes Schrödingerovih jednadžbi ako η εn n, µ sc = 0, ako η εn n 0, µ sc = λ δ 0, ako η εn n κ 0,, µ sc = λ δ κe, gdje je λ Lebesgueova mjera na prostoru R d. Definirajmo sada novi niz v n x, x d+1 xd+1 2πi := u n xe εn, i pogledajmo njemu pridruženu H-mjeru, tj. inačicu H-mjere s jednom karakterističnom duljinom niza u n. Imamo ϕv n ξ, ξ d+1 = ϕξ, ξ d+1 p n, gdje je p n = η e n + e d+1 ε n. Nakon uvrštavanja u formulu iz teorema o postojanju H-mjera dobijemo: ϕξ, ξ d+1 p n 2 ξ, ξd+1 ξ, ψ dξ = ϕξ, ξ d+1 2 ξd+1 + p n ψ dξ. R d ξ, ξ d+1 R d ξ, ξ d+1 + p n Sada analagno kao i u prethodnom slučaju primjenom Lebesgueovog teorema o dominiranoj konvergenciji zaključujemo da je H-mjera µ jednaka tenzorskom produktu Lebesgueove mjere i Diracove mase koncentrirane u limesu pn p, tj. n ako η εn n, µ = λ δ e, ako η εn n 0, µ = λ δ ed+1, ako η εn n κ 0,, µ = λ δ mκ, gdje je m κ = κe+e d+1 κ Uočavamo da ni poluklasična mjera niti inačica H-mjere ne vide što se događa kada η n teži nuli puno brže od ε n, dok u obrnutoj situaciji, kada ε n teži nuli puno brže od η n, inačica H-mjere za razliku od poluklasične mjere ne gubi informaciju. Ona se nalazi na ekvatoru S d, što je skup S d 1 e S d 1. Ova činjenica opravdava povezanost ovih dvaju pristupa, s tim da se u drugom promatra skup S d, a u prvom R d, što zapravo predstavlja tangencijalnu ravninu na S d u smjeru okomitom na e d+1. Poslije ćemo vidjeti da drugačijim izborom prostora iz kojeg uzimamo probnu funkciju ψ možemo riješiti gubitak informacije koji se javlja kod poluklasične mjere i time dobiti ekvivalentan pristup s inačicom H-mjere. U svrhu uzimanja što većeg prostora za funkciju ψ u definiciji H-mjere, trebamo drugačiji oblik Prve komutacijske leme. U verziji koju ćemo iskazati i dokazati funkcija ψ bit će iz skupa jednoliko neprekinutih i ograničenih funkcija na R d, koji ćemo označiti s BUCR d. Lako se vidi da je taj skup vektorski prostor, a uz supremum normu ujedno i Banachov prostor. Prije poopćene prve komutacijske leme, podsjetimo se definicije operatora množenja M b i Fourierovog množitelja P a za b, a L Ω: dakle, P a = FM a F. Očito vrijedi: 24 M b : L 2 Ω L 2 Ω, M b v = bv, P a : L 2 Ω L 2 Ω, Pa w = aŵ ; M b LL 2 Ω;L 2 Ω = b L Ω, P a LL 2 Ω;L 2 Ω = a L Ω. 7 6

31 Poluklasične mjere Lema 2. poopćena prva komutacijska lema Ako ε n 0, b C 0 R d, ψ BUCR d i ψ n je definiran s ψ n ξ = ψε n ξ za ξ R d, tada komutator C n = [M b, P ψ ] = M b P ψn P ψn M b teži nuli u operatorskoj normi. Dem. Postoji niz b m u SR d koji jednoliko konvergira prema b i takav da b m ima kompaktan nosač. Naime, prostor C c R d je gust u C 0 R d, pa postoji niz f k iz C c R d SR d koji jednoliko konvergira prema b. Fourierova pretvorba F neprekinuto preslikava SR d u samog sebe pa je f k opet u SR d, a onda posebno i u L 1 R d. Kako je C c R d gust u L 1 R d s pripadnom topologijom, postoji niz g k,m iz C c R d koji aprokosimira f k u topologiji L 1 R d. Budući da je F : L 1 L neprekinuto, g k,m konvergira prema f k u topologiji prostora L, a to je upravo jednolika konvergencija. Sada Cantorovim dijagonalnim postupkom dobivamo iz niza g k,m traženi niz b m. Odaberimo podniz niza b m radi jednostavnosti niz i dalje indeksiramo s m tako da je ispunjeno b b m L m 1 i da je nosač Fb m unutar K[0, ρ m ]. Definirajmo C m,n := [M bm, P ψn ]; koristeći 6 i 7 lako ocjenjujemo razliku komutatora: C n C n,m LL 2 R d,l 2 R d 2 ψ n L R d b b m L R d 2 ψ L R d m Za v C c R d računajmo:. 8 C m,n v ξ = FM bm P ψn P ψn M bm vξ = Fb m Fψn Fvξ ψ n ξfb m vξ. 9 Budući da su sve funkcije na koje F djeluje iz SR d, možemo koristiti integralni zapis Fourierove pretvorbe. Raspišimo prvi sumand iz 9: Fb m Fψn Fvξ = e 2πix ξ b m x R d e 2πiη x ψ n η vη dηdx R d = ψ n η vη R d e 2πix ξ η b m x dxdη R d = ψ n η vη b m ξ η dη. R d 10 Korištenje Fubinijevog teorema u drugoj jednakosti je korektno, jer je podintegralna funkcija lokalno integrabilna, a područje integracije je kompakt. Pogledajmo sada drugi pribrojnik iz 9. Formula Ff g = FfFg vrijedi kada je barem jedno preslikavanje iz prostora SR d, a drugo može biti i temperirana distribucija. Budući da je b m SR d i v L 2 R d S R d, možemo je primijeniti, čime dobivamo: b m v = b m ṽ = b m v = b m v, te dobiveni izraz možemo iskoristiti u raspisivanju drugog pribrojnika iz 9: ψξ b m vξ = ψξ bm ξ η vηdη. 11 R d Konačno, iz 9, 10 i 11 dobivamo: C m,n v ξ = ψ n η ψ n ξ b m ξ η vη dη. 12 R d 25

32 Poluklasični limes Schrödingerovih jednadžbi Funkcija ψ je jednoliko neprekinuta, pa postoji modul njezine jednolike neprekinutosti ω za koji vrijedi: ψx ψy ω x y, pa za ψ n imamo: ψ n x ψ n y ωε n x y. Ocijenimo C m,n v pomoću formule 12: C m,n v ξ ωε n ρ m b m ξ η vη dη, R d 13 gdje je η ξ ρ m, jer je nosač b m sadržan u K[0, ρ m ]. Nakon kvadriranja i integriranja dobivamo: C m,m v L 2 R d ωε nρ m b m L 1 R d v L 2 R d, 14 što primjenom Plancharelove formule povlači C m,n v L 2 R d ωε nρ m b m L 1 R d v L 2 R d. 15 Provedimo račun s kojim ćemo opravdati 14. Najprije razmotrimo slučaj kad je L 1 norma funkcije Fb m jednaka nuli. Budući da to povlači da je Fb m skoro svuda jednako nula, iz 13 imamo C m,n v L 2 R d = 0, iz čega slijedi C m,n LL 2 R d,l 2 R d = 0 ωε nρ m b m L 1 R d, a što je upravo 15. Neka je sada b m L 1 R d različito od nule: 2 vη b m ξ η dη = bm 2 R d L 1 R d vη b m ξ η 2 dη R d b m L 1 R d = b m 2 L 1 R d ϕ ˆvη dν, R d gdje je ϕ : R R kvadratna funkcija, koja je time i konveksna, a ν definiran s νx = X b m ξ η dη b m L 1 R d je vjerojatnosna mjera. Po Jensenovoj nejednakosti slijedi: 2 vη b m ξ η dη bm 2 R d L 1 R d ϕ vη dν R d = b m L 1 R d vη 2 b m ξ η dν. R d 26

33 Dobiveni izraz integriramo po ξ: 2 vη b m ξ η dη dξ R d R d b m L 1 R d vη 2 b m ξ η dνdξ R d R d = b m L 1 R d vη 2 b m ξ η dξdν R d R d = b m 2 L 1 R d vη 2 dν R d = b m 2 L 1 R d v 2 L 2 R d. Poluklasične mjere Nakon korjenovanja dobivamo upravo nejednakost koju smo iskoristili u 14. Relacija 15 nam daje ocjenu norme operatora na gustom skupu pa onda imamo da ona vrijedi i na cijelom prostoru L 2 R d : što zajedno s 8 daje tvrdnju. C m,n LL 2 R d,l 2 R d ωε nρ m b m L 1 R d, Q.E.D. Iako je prostor BUCR d uz supremum normu Banachov prostor, poteškoću nam predstavlja to što nije separabilan, a što se može vidjeti u sljedećem primjeru. Primjer. Promatramo neprekinute funkcije na R koje su afine na svakom intervalu n, n + 1 i fn { 1, 1}. Takve funkcije su jedinstveno određene odabirom cijelih brojeva u kojima poprimaju vrijednost 1, pa takvih funkcija ima koliko i podskupova skupa Z, a to je 2 ℵ 0 = c neprebrojivo. Označimo takav skup funkcija s A. One su očito omeđene, a dokazat ćemo da su i Lipschitzove, pa time i jednoliko neprekinute. Neka su x i y po volji odabrani realni brojevi. Ako vrijedi x y 1, onda je očito fx fy 2 2 x y. Za x y < 1 razlikujemo dva slučaja: a Točke se nalaze u istom intervalu n, n + 1. Tada računamo: fx fy = ax + b ay b = a x y = 2 x y, jer je koeficijent smjera a jednak ili 2 ili 2. b Točke x i y se ne nalaze u istom intervalu, nego u susjednim. Budući da restrikcija funkcije na dva susjedna intervala nikad nije injekcija, to postoji točka y koja se nalazi u istom intervalu kao i x, a za koju vrijedi da je fy = fy. Kako je x y x y, to vrijedi: fx fy = fx fy = 2 x y 2 x y. Ovime smo pokazali da takve funkcije leže u prostoru BUCR d. Za svake dvije različite funkcije f 1 i f 2 tog oblika je f 1 f 2 L R = 2, pa je skup {Kf, 1 : f A} takav da se nikoje dvije kugle ne sijeku, pa svaki gust podskup prostora BUCR d mora imati barem onoliko elemenata kolika je kardinalost tog skupa. Budući da kugli ima neprebrojivo mnogo, svaki gust podskup je neprebrojiv. 27