kvantovanim elektronskim orbitama. set matematičkih i konceptualnih alata je stvoren do godine

Transcript

1 Dr Dejan Gvozdić

2 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić.900. godina Rad Ma Planck-a na problemu zračenja crnog tela uvođenje kvanta energije godina Niels Bohr predlog modela atoma sa kvantovanim elektronskim orbitama godina prava kvantna mehanika set matematičkih i konceptualnih alata je stvoren do 98. godine

3 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Veličine makroskopskog sveta su kontinualne energija, impuls, moment impulsa..., ali ova osobina NE važi u mikrosvetu, gde su veličine uglavnom diskretne-kvantovane. k t Istorijski, ova osobina mikrosveta bila je poznata i pre nastanka Kvantne mehanike: nakon nastanka spektroskopije 900. godine postalo je poznato da je zračenje iz atoma i molekula različitih boja frekvencija. Kako je ova osobina dokazana? a a Kroz razvoj modela atoma. 3

4 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost. Najstariji j model atoma su dali J.J. Thomson and Lord Kelvin 904. godine, tzv. puding od šljive, gde su elektroni šljive smešteni u masu od pozitivnog naelektrisanja puding.. Ernest Rutherford je 9. godine zbog velikog rasejanja α snopa zaključio da je pozitivno naelektrisanje atoma skoncentrisano u maloj zapremini, tzv. nukleusu, a da elektroni kruže oko njega kao planete oko sunca. Nobelovu nagradu je dobio za svoj rad na razumevanju radioaktivnosti 908. godine. 3. Niels Bohr je 9. godine nakon posete Rutherfordu predložio novi model, koji se razlikuje od prethodnog po tome što tvrdi da elektron ne bi emitovao energiju gj zbog ubrzanog kretanja i to samo onda kada ima određene- diskretne nivoe energije u atomu. Promena energije se odvija po uzoru na Planck-ov model zračenja. 4

5 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Kvantizacija: Bohr-ov ov model atoma Najjednostavniju elektronsku strukturu ima atom vodonika. On se sastoji od jednog elektrona koji je električnim silama vezan za jezgro u centru atoma, koje čini samo jedan proton. U okviru ovog razmatranja posmatramo model koji se sastoji od negativno naelektrisanog elektrona, koji je Kulonovom silom vezan za pozitivno naelektrisan proton. Pošto je proton mnogo veće mase od elektrona, može se smatrati da je proton nepokretan, dok se elektron kreće u njegovoj okolini. Prema klasičnoj elektrodinamici i i ubrzano kretanje naelektrisanja trebalo bi da dovede do emisije energije na račun kinetičke energije pokretnog naelektrisanja. To bi u slučaju atoma vodonika dovelo do toga da se elektron i proton spoje i da pomenuta struktura atoma nestane. Emitovana energija mogla bi da ima neograničen skup vrednosti. Međutim, tosenedešava. 5

6 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić U rešavanju ove zagonetke u velikoj meri je pomogla činjenica da atom vodonika ne može da emituje i apsorbuje sve talasne dužine iz opsega vidljive svetlosti VIS. Zapravo, može da emituje i apsorbuje samo četiri specifične talasne dužine iz VIS opsega 656 nm, 486 nm, 434nmi40nm.JohannBalmerjemetodompogađanja i poređenja sa eksperimentalnim rezultatima došao do formule na osnovu koje se mogu odrediti te talasne dužine: = R λ n R za n = 3, 4, 5 i 6 gde je R konstanta. Međutim, niti Balmer niti bilo ko drugi nije mogao da da objašnjenje zbog čega su apsorpcija i emisija u vodonikovom atomu ograničene upravo na te četiri talasne dužine. Sve dok 93. godine Bohr nije primetio Balmer-ovu formulu i odmah shvatio da je može izvesti ukoliko uvede nekoliko pretpostavki, koje su postale poznate kao Bohr-ovi postulati. 6

7 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Elektroni u vodonikovom atomu kreću se oko jezgra u dozvoljenim kružnim orbitama, a pri tome ne emituju energiju i pored činjenice da usled kružnog kretanja postoji ubrzanje koje bi dovelo do gubitka energije kroz emisiju zračenja. Dozvoljene kružne orbite nazivaju se stacionarna stanja orbite elektrona. Atom zrači ili apsorbuje energiju foton samo pri prelazu iz jednog u drugo stacionarno stanje. Pri tom prelazu, atom emituje ili apsorbuje monohromatsku svetlost određene talasne dužine λ odnosno određene frekvencije ν,, koja se zavisi od razlike energija gj stacionarnih stanja. 7

8 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Ako prvo stacionarno stanje ima energiju E, a drugo stacionarno stanje energiju E, pri čemu je E > E, onda će elektron preći na više stacionarno stanje samo uz apsorpciju fotona energije: : hν = E E U slučaju č kada elektron prelazi sa stanja E na stanje E dolazi do emisije fotona iste ove energije. 3 U stacionarnim stanjima elektrona moment količine kretanja elektrona L je kvantovan može imati samo određene vrednosti: L n = n za n =,, gde je ħ h sa crtom jednako h/π. Dozvoljeni brojevi orbita su n =,, 3... i nazivaju se kvantnim brojevima. Prethodna jednačina nema teorijsko uporište, ali u poređenju sa eksperimentima daje dobre rezultate. 8

9 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Radijus orbite je kvantovan u Bohr-ovom modelu Sila koja drži elektron na orbiti poluprečnika r je Kulonova sila. Primenom drugog Newton-ovog zakona za radijalni pravac, dobija se: 4πε 0 Ze e r = m v r 4 gde je m masa, e naelektrisanje elektrona, a Z atomski broj. Prethodna relacija važi za atom vodonika Z = ili jonizovanih atoma koji u orbiti imaju samo jedan elektron. Kvantizacija ij se uvodi kroz Borov postulat t da je moment količine kretanja kvantovan. Intenzitet momenta količine kretanja čestice mase m i brzine v koja se kreće po kružnici poluprečnika r je L = rmv sinϕ gde je ϕ ugao između vektora brzine i vektora položaja, pa je uslučaju kretanja po kružnici ovaj ugao π/: 9

10 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić L n = r mv sinπ / n = n n v n n r m = 5 Zamenom ovako izražene brzine u izraz po drugom Newton-ovom zakonu, dobija se: gde je konstanta a: a = r h ε 0 n r n = n = a za n =,,3... π mze Z h ε πme 0 = = m = n zan= pm Prethodne tri jednačine pokazuju da je u Bohr-ovom modelu atoma vodonika Z =, poluprečnik č orbite kvantizovan diskretan i da je najmanja moguća vrednost poluprečnika za n = jednaka a i naziva se Borov radijus poluprečnik. Prema Bohr-ovom modelu, elektroni se ne mogu približiti jezgru na rastojanje manje od a, pane može doći do kolabriranja elektrona i jezgra. 7 0

11 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Energija orbite je kvantovana u Bohr-ovom modelu Kinetička energija elektrona na n-toj orbiti je: k, n mv 8 n E = a, elektrostatička potencijalna energija sistema elektron-jezgro je 4πε q q r E p, n 0 n = 9 gde je q = e naelektrisanje elektrona, a q = +Ze naelektrisanje jezgra atoma. Ukupna mehanička energija atoma sa elektronom na n-toj orbiti je: E n Ze = E = k, n + E p, n mvn + 4πε 0 rn 0 Zamenom mv n iz relacije 4 u prethodnu relaciju, dobija se: E n 8πε 0 Ze = r n

12 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Ukoliko se u relaciju zameni izraz 6 za radijus orbite r n dobija se: E n mz e = 8ε h 0 4 n = Z n 3.6eV za n =,,3... gde indeks n označava da energija E može imati samo diskretne kvantovane vrednosti. Vrednost totalne energije najnižeg energetskog nivoa orbite vodonika je E = 3.6 ev. Ovaj energetski nivo naziva se osnovno stanje. Viša energetska stanja E, E 3,... nazivaju se eksitovana pobuđena đ stanja. t j Totalne energije elektrona su negativne, kao posledica činjenice da je nulti nivo potencijalne energije izabran u beskonačnosti. Ako je E > 0 elektron ima kinetičku energiju i slobodan je.

13 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Minimum energije koja je potrebna da ukloni elektron iz atoma iz njegovog osnovnog stanja naziva se energija veze ili energija jonizacije. Eksperimentalno je potvrđeno da je energija jonizacije atoma vodonika 3.6 ev, što se u potpunosti poklapa sa energijom potrebnom da se ukloni elektron iz osnovnog stanja E do E =0,u kom postaje slobodan. Razmena energije u Bohr-ovom modelu atoma Energija atoma vodonika ili ekvivalentno, njegovog elektrona jer je jezgro nepokretno menja se samo kada atom apsorbuje ili emituje zračenje prema relaciji. Ukoliko relaciju izrazimo u funkciji od talasnedužineizamenimoizrazezaenergijuzavišee V iniže E N stacionarno stanje kojima odgovaraju kvantni brojevi n V i n N, respektivno, dobija se: 4 = me 3 λ 8ε 0 h c n V n N 3 3

14 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Prethodna relacija može se napisati u obliku: λ R n N n V = 4 gde je sa R označena Rydberg-ova konstanta: 4 me R = 3 8ε h c 0 = m 5 Poređenjem relacije 4 sa Balmer-ovom empirijski dobijenom formulom, uočava se potpuno slaganje ukoliko se kvantnom broju n N dodeli vrednost a vrednosti koje može da uzima kvantni broj n V ograniče na3,4,5i6. Ovo slaganje predstavljalo je trijumf Bohr-ovogovog modela atoma: objašnjen je linijski spektar atoma 4

15 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić za atom vodonika su potvrđene talasne dužine emitovane svetlosti, 3 objašnjen je apsorpcioni spektar 3 osigurana je stabilnost atoma 4 precizno je određena energija jonizacije. Međutim,ovajtrijumfjebiokratkogveka,jeriakojedavaodobro poklapanje sa eksperimentima povodom talasnih dužina emisije i apsorpcije za vodonikov atom, model je pogrešan jer elektroni ne kruže oko jezgra na način na koji to model predviđa. Pored toga, ovaj model nije pokazao uspeha u primeni na atome koji su komplikovaniji od vodonikovog, i iako daje dobre rezultate za jonizovani helijum He + koji ima samo jedan elektron, nije uspešan za neutralni helijum. Takođe, Bohr-ovov model ne objašnjava mehanizam prelaska elektrona sa jedno na drugo stacionarno stanje niti pojavu cepanja apsorpcionih linija. 5

16 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Pored Balmer-ovih linija serije u spektru atoma vodonika koje pripadaju vidljivom delu spektra, na osnovu relacije 4 mogu se odrediti i apsorpcione linije u spektru atoma koje ne pripadaju vidljivoj oblasti. Balmer-ova serija n N = se javlja u vidiljivoj i ultraljubičastoj UV oblasti sa minimalnom talasnom dužinom 365 nm koja se dobija za n V = i maksimalnom talasnom dužinom od 656 nm za n V =3. Lyman-ova serija n N = se javlja u UV oblasti između 9 nm i nm za n V =, 3, 4,... Paschen-ova serija n N = 3 se javlja u infracrvenoj IC između 80 nm i 875 nm za n V = 4, 5, 6,... Brackett-ova serija se dobija za n N =4izan V = 5, 6, 7,... Pfund-ova serija se dobija za n N =5izan V = 6, 7, 8,... 6

17 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić 7

18 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Eliptičke orbite elektrona u atomu Bohr-ova teorija ne tretira samo najprostiju pretpostavku da se elektron u vodonikovom atomu kreće po kružnoj orbiti, već ulazi i u tretiranje kretanja elektrona po elipsi u polju jezgra. Rastojanje elektrona od jezgra je promenljivo, pa je pogodno koristiti polarni koordinatni sistem postavljen tako da se jezgro nalazi u žiži koja je u koordinatnom početku, pa se vektor položaja računa od jezgra do elektrona. Azimutalni ugao je označen sa φ. Element orbite u polarnom koordinatnom sistemu iznosi: ds = dr + r dϕ 6 Totalna energija elektrona je zbir kinetičke i potencijalne energije: E = m ds dt 4 πε 0 pa se zamenom elementa orbite, dobija: Ze r 7 8

19 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić m E = r + r ϕ 4πε 0 Ze r 8 Količina kretanja impuls uobičajeno se označava sa: p r mr = 9 dok se moment količine kretanja L moment impulsa ili obrtni impuls označava sa: p = ϕ ϕ = L = mrvϕ mr 0 Količina kretanja i moment količine kretanja mogu se izvesti i direktnim diferenciranjem kinetičke energije po i, respektivno. Bohr i Sommerfeld su proširili i generalizovali kvantne uslove na sve vrste impulsa. Prema tom postupku, uzimamo dva kvantna uslova:. Azimutalni kvantni uslov: pϕ dϕ = n h r ϕ ϕ 9

20 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Radijalni kvantni uslov: pr dr = n r h gde su n φ i n r odgovarajući kvantni brojevi. Jednačina odmah postaje: p = mr ϕ = n 3 ϕ ϕ a, p r se može izračunati iz izraza za ukupnu energiju 8. Energija se može zapisati u obliku: p ϕ Ze p + = m r r 4πε 0 r pa radijalni kvantni uslov glasi: E Zme ϕ p r me + 4πε 0 r r = 4 p p Zme ϕ me + 4πε 0 r r dr = n r h 5 0

21 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Zamenom azimutalnog kvantnog uslova u prethodnu relaciju, dobija se: Zme n me + ϕ 4πε r r 0 dr = n r h 6 Orbita elektrona je elipsa koja se može dobiti izračunavanjem ovog integrala, ali i bez toga: Maksimalno i minimalno udaljenje elektrona, r ma i r min, respektivno, mogu se dobiti direktno na osnovu uslova da je dr/dt = 0, odnosno p r = 0, pa je iz relacije 4: Zme n me + ϕ Ze n = 0 r + r ϕ = 4πε r 4πε 0 E me 0 r Rešenja prethodne jednačine su r ma i r min : 7 0

22 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić r ma Za elipsu važe odnosi: r + r ma min r min = 4πε = n r + r a r = a + c ma min = ma ϕ 0 Ze E me gde je c linearna ekscentričnost elipse, a a duža poluosa elipse, pa je: r = r min ma rmin = a + c a c = a c b = a c Poređenjem prethodnih relacija sa relacijama 8 i 9 dobija se: a b 4πε 0 Ze E 8 9 = 30 = nϕ 3 me

23 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Izračunavanjem integrala 5 sa granicama integracije od r min do r ma dobija se izraz za energiju u obliku: mz e E = 4πε Dobijeni izraz za energiju u potpunosti odgovara izrazu za kretanje nϕ n r elektrona po kružnoj orbiti, sa tom dopunom što se umesto tamnošnjeg kvantnog broja n, sadakoristin φ + n r,pasemožepisati: n = n ϕ + gde je n totalni kvantni broj, n φ radijalni kvantni broj. n r 3 azimutalni kvantni broj, a n r Na osnovu izraza za totalnu energiju 3 i izraza za poluose elipse 30 i 3, mogu se dobiti konačni izrazi za veliku poluosu elipse: a Ze 4πε0 = 4 mz e n ϕ + n r = 4πε0 me n Z = r n Z 33 3

24 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić i za malu poluosu elipse: b n 4πε0 n + nr 4 mz e nϕ n Z ϕ 4πε0 = ϕ b = = r m me n ϕ Z n 34 gde je r poluprečnik prve kružne orbite u atomu vodonika. Za vodonik važi: a = r n b = r n n i 35 ϕ Relacije između kvantnih brojeva mogu se dobiti na osnovu odnosa između poluosa eliptične orbite elektrona. Velika poluosa je veća od male poluose, ili u krajnjem slučaju jednaka maloj polusi, pa važi: a b Na osnovu relacija 35 dobija se: n r + n ϕ n ϕ n 0 n r = 0,,, 3,... r 36 4

25 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Dakle, radijalni kvantni broj može biti ceo pozitivan broj ili nula. Kada je n r =0,tadajep r =0,štoznači dajer = const, odnosno da je orbita krug. Mala poluosa orbite mora biti veća odnule,jerkadabibilajednaka nuli, onda bi elektron morao da prolazi kroz jezgro, što je fizički nemoguće, pa je: Na osnovu relacije 36: b > 0 > 0 =,, 3,... n ϕ Na osnovu relacija 35 i usvajajući oznaku za azimutalni kvantni n ϕ 37 n n ϕ 38 broj k = n φ, odnos male i velike poluose elipse dat je izrazom: b n k = ϕ = 39 a n n pa azimutalni kvantni broj predstavlja neku vrstu mere ekscentričnosti elipse. 5

26 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Prema relaciji 38, azimutalni kvantni broj može imati sve vrednosti, počevši od totalnog kvantnog broja n, pan, n sve do jedinice. Na primer, za n = 4, azimutalni kvantni broj k može imati vrednosti: 4, 3, ili, dok za n =, k može biti ili. Svakoj vrednosti k odgovara po jedna orbita. Kako je n φ =0 fizički nemoguće, jer se elipsa pretvara u pravu, a elektron bi morao prolaziti kroz jezgro, to se obično u kvantnoj fizici za takvu vrednost kaže da je nedopuštena ili zabranjena. U atomskoj fizici je usvojeno da se orbite ili slojevi, koji odgovaraju pojedinim vrednostima totalnog glavnog kvantnog broja, označavaju određenim slovima. Tako se orbita koja odgovara najnižoj vrednosti za n =naziva K-orbita, zatim za n =L-orbita i tako dalje: n = n = n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 K L M N O P 6

27 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić U atomskoj fizici usvojene su i oznake za stanja koja odgovaraju određenim vrednostima azimutalnog kvantnog broja k. Kaoslovaza oznake tih stanja uzeta su početna slova engleskih reči, koja se odnose na odgovarajuće spektralne linije i serije koje se proučavaju u spektroskopiji: k = stanje s sharp = oštra serija k = stanje p principal = glavna serija k =3 stanje d diffuse = difuzna serija k = 4 stanje f fundamental = osnovna serija k= 5 stanje g dalje oznake su po abecedi... 7

28 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Prostorno kvantovanje Dosadašnje razmatranje kretanja elektrona nije vodilo računa o tome kako su u prostoru raspoređene kružne ili eliptičke putanje smatralo se da su sve orbite u jednoj ravni. Bohr-ova kvantna teorija, koju je dalje razvio Sommerfeld, u kvantovanju ide korak dalje: prostorni raspored orbita u atomu ne može biti proizvoljan, već postoji i prostorno kvantovanje. Položaj orbite određen je kvantnim brojevima, pa je prema tome diskretan. Prema tome, obavezno je kvantovanje i momenata količine kretanja elektrona, ali i njihovih komponenata, odnosno projekcija. Vektori momenta količine kretanja normalni su na ravan orbite, pa se prostorno kvantovanje prikazuje pomoću njih. 8

29 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Položaj orbite elektrona uobičajeno se određuje u odnosu na polarnu osu u sfernom koordinatnom sistemu koja se uobičajeno poklapa sa vertikalnom z-osom u Dekartovom pravouglom sistemu. To je istovremeno i osa duž koje je orijentisano spoljašnje magnetsko polje koje deluje na atom, pa je polarna osa istovremeno i osa magnetskog polja, odnosno kao neka vrsta magnetske ose. Pol koordinatnog sistema je u jezgru koje se nalazi u žiži orbite elektrona, a elektron se nalazi u tački A. Ravan orbite seče horizontalnu ravan O po duži OC koja senaziva čvorna linija. ij Koordinate tačke A određene su vektorom položaja r, uglom φ u ravni orbite i uglom Ψ u horizontalnoj ravni. Ravan orbite elektrona u odnosu na horizontalnu ravan zaklapa ugao α. 9

30 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Momenti količine kretanja p ψ i p φ su orijentisani duž normale na horizontalnu ravan i ravan orbite, respektivno, u smeru koji je određen smerom kretanja elektrona. Odgovarajuće ugaone brzine su: ω ϕ dϕ = = ϕ dt ω ψ dψ = = ψ dt Moment količine kretanja p φ može se smatrati i totalnim momentom količine kretanja, a p ψ momentom količine kretanja koji odgovara horizontalnoj ravni na koju je projektovana orbita. Veličina p ψ je projekcija veličine p φ na magnetsku osu: 40 p ψ = p ϕ cosα 4 Prema Bohr-Sommerfeld-ovim kvantnim uslovima, važi: 30

31 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić p ϕ = n ϕ 4 pθ dθ = n θ h 44 p dr = r = n r h pψ d ψ = n ψ h gde je n φ azimutalni kvantni broj, n ψ magnetski,an θ širinski kvantni broj, jer θ određuje širinu na kojoj se nalazi tačka A. Prikazujući položaj elektrona A u ravni orbite pomoću koordinatar i φ, a zatim u prostoru pomoću r, θ i ψ, dobija se relacija za zbir količine kretanja i momenta količine kretanja: prdr pϕ dϕ = prdr + pθ dθ + + p dψ pϕ dϕ pθ dθ + = p d ψ n n + n ϕ θ ψ ψ ψ = 48 Azimutalni kvantni broj jednak je zbiru magnetskog kvantnog broja i širinskog kvantnog broja. 3

32 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Za određeni položaj orbite u prostoru konstantni su p φ i p ψ, što potvrđuje i relacija 4, pa se p ψ može kvantovati na isti način kao i p φ, naravno korišćenjem odgovarajućeg kvantnog broja: p ψ = n ψ 49 Poređenjemrelacija49i4,dobijasevezaizmeđu azimutalnogi magnetskog kvantnog broja: n ψ = n ϕ cosα 50 Prethodna relacija uvodi prostorno kvantovanje, jer definše da ugao α ne može imati proizvoljne vrednosti, već diskretne vrednosti određene kvantnim brojevima: cos α + cosα = Kako je sledi: n n ψ ϕ = n ψ n ψ + n θ nψ + n ϕ ϕ ψ ϕ 5 n n + n 5 3

33 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Azimutalni kvantni broj može imati vrednosti,, 3... Magnetski kvantnibrojkojitakođe mora biti ceo broj, prema tome može imati više vrednosti nego azimutalni: n = 0, ±, ±, ± 3, ± 4,..., ± ψ n ϕ 53 Magnetski kvantni broj se uobičajeno obeležava sa m, a azimutalni kvantni broj pored oznake k često se obeležava sa j, paseprethodni uslov može napisati i u obliku: m = 0, ±, ±, ± 3, ± 4,...,, ± j Azimutalni kvantni broj j služi kao mera za totalni moment količine kretanja, a još se naziva i unutrašnji kvantni broj. Taj moment količine kretanja orijentiše se tako da se dobiju navedene kvantovane vrednosti orijentacije u prostoru. Broj vrednosti magnetskog kvantnog broja iznosti k+ odnosno j+. Prema novouvedenim oznakama, relacija 5 postaje: cos α = m / j 54 33

34 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Kvantovanje magnetskog momenta Bohr-ova kvantna teorija došla je i do kvantovanja magnetskog momenta, što se može izvesti prema izrazu za magnetski moment elektrona koji se kreće oko jezgra u atomu. Posmatramo elektron, koji se kreće po krugu poluprečnika r, kao struju. Količina elektriciteta i koja prolazi kroz neko mesto na toj orbiti iznosi: e = I T 55 gde je T vreme za koje elektron pređe tu periferiju kruga orbitu, odnosno period okretanja. Ako je v brzina elektrona, biće: πr = vt T πr = v Iz osnova elektrotehnike je poznato da je magnetski moment strujnog kola jednak proizvodu struje i površine kola: M m IS I e ev = = 56 T πr = 57 34

35 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Nakon zamene, izraza za struju u izraz za intenzitet magnetskog momenta dobija se: M m = ev ev π r S = πr πr e = mvr m Ako se moment količine kretanja kvantuje, biće: e M m kvantni broj m 58 = 59 Prema definiciji magnetskog momenta kao običnog proizvoda struje i površine, dobiće se: e e M n = j m m m = ϕ 60 Na osnovu prethodnih relacija, postoji elementarni magnetski moment koji se obično označava a sa μ B i naziva a se Bohr-ovo magneton: B = e m μ 6 35

36 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Bohr-ov magneton se može smatrati i elementarnim kvantom magnetskog zračenja. Njegova numerička vrednost iznosi: μ B Am Stern-Gerlach-ov eksperiment Otto Stern i Walther Gerlach su 9. i 9. godine izveli eksperiment u cilju potvrde prostornog kvantovanja. Zagrevanjem srebra do stanja pare, pojedini atomi su prolazili kroz dva uska otvora i formirali atomski snop. Čitava aparatura nalazila se u vakuumskoj cevi. Ti atomi su nailazili na jako magnetsko polje koje je naročito načinjeno nehomogenim davanjem različitih oblika polovima. Orijentacija polja je normalna na pravac kretanja atoma. 36

37 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Na svaki atom, nehomogeno magnetsko polje deluje određenom silom, koja se može odrediti pomoću zakona elektromagnetike. Ta sila dovodi do skretanja snopa atoma srebra. Sila koja deluje na atome nije u vezi sa silom koja deluje na naelektrisane čestice jer su atomi srebra elektroneutralni. Sila potiče od interakcije magnetskog polja B elektromagneta i magnetskog dipola svakog pojedinačnog atoma srebra. Naime, potencijalna energija U dipola u magnetskom polju, data je relacijom: 6 U = M B = M m m, z gde je M m,z projekcija magnetskog momenta na pravac delovanja magnetskog polja. Sila koja deluje na atome ao određena đ je relacijom: F z m, z B du db = = M 63 dz dz U slučaju kada je magnetsko polje B homogeno, db/dz = 0, pa ne postoji sila koja deluje na atome srebra. 37

38 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić U Stern-Gerlach-ovom eksperimentu polovi su dizajnirani tako da db/dz bude što je moguće veće, što je omogućavalo skretanje atoma srebra. Kada atomi prođu kroz magnetsko polje, nailaze na ekran, gde se mogu detektovati pomoću fotografske ploče. U odsustvu magnetskog polja atomi se kreću pravolinijski i padaju na ploču tako da se dobije tačno u pravcu njihovog kretanja, na sredini fotografske ploče, slika proreza kroz koji su prošli u vidu centralnog, jedinstvenog maksimuma. Kada je magnetsko polje uključeno, originalni snop se cepa vertikalno, usled delovanja magnetskih sila na atome srebra, u dva manja snopa, tako da je jedan snop iznad centralne pozicije, a drugi ispod nje. 38

39 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Prema klasičnoj fizici z-komponenta magnetskog momenta M m atoma srebra koji prolaze kroz magnet trebalo bi da varira od M m do +M m, pa bi kao rezultat trebalo da postoji relativno širok opseg skretanja atoma u odnosu na prvobitni pravolinijski pravac prostiranja. Međutim, tosenedešava. Dobijeni rezultat ukazuje na to da komponenta magnetskog momenta M m u z-pravcu M m,z nije mogla da ima proizvoljne vrednosti u intervalu M m do +M m što je predviđanje klasične fizike, već ima dve striktno određene vrednosti, pri čemu svakaodgovara jednom od novonastalih snopova. Ovaj eksperiment pokazuje da je z komponenta magnetskog momenta kvantovana, pa samim tim i magnetski momenat. Samim tim je i momenat količine kretanja kao i njegova z-komponenta, kvantovan. Bohr-Sommerfeld-ova teorija rezultate Stern-Gerlach-ovog eksperimenta tumači kao potvrdu prostornog kvantovanja. 39

40 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Spin elektrona i kvantni brojevi prema talasnoj kvantnoj mehanici Moderna kvantna teorija, koja se još naziva i talasnom kvantnom mehanikom, nudi drugačije objašnjenje rezultata Stern-Gerlachovog eksperimenta. U vezi sa tim problemom i proučavanjima Uhlenbeck i Goudsmit 95. godine dolaze do radikalnog zaključka da elektron poseduje sopstveni moment količine kretanja i sopstveni magnetski moment, koji je nazvan spinom elektrona. Prema takvom shvatanju ukupni momenat količine kretanja elektrona u atomu jednak je zbiru azimutalnog momenta količine kretanja i spina. Za azimutalni kvantni broj imalismokvantnibroj n φ = k. Talasna kvantna mehanika umesto njega uvodi novi kvantni broj koji se opravdava i prema objašnjenju Stern-Gerlach-ovog eksperimenta. Taj broj je za jedinicu manji od k, a označava se sa l, l = k i naziva se orbitalni kvantni broj: l = 0,,,3,..., n 40

41 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić l = 0 l = l = l= 3 l = 4 s p d f g Talasna kvantna mehanika definiše magnetski kvantni broj m na sledeći način: m l = 0, ±, ±, ± 3, ± 4,..., ±ll Prema talasnoj kvantnoj mehanici, moment količine kretanja i njegova z-komponenta određeni su relacijama: p ϕ = l l + i p z = m l dok su magnetski momenat M m i njegova z- komponenta M m,z određeni relacijama: M e e = p M m = l l m m + m ϕ m, z l B i M = m μ 4

42 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Spin elektrona je inherentna osobina kao što su masa i naelektrisanje. Spinski obrtni moment S zavisi od spinskog kvantnog broja s koji je za elektrone uvek ½ kao i za protone i neutrone. Komponenta spinskog orbitnog momenta S merena duž neke ose je kvantovana i zavisi od spinskog magnetskog kvantnog broja m s koji može imati samo dve vrednosti +½ i ½: dok je komponenta S z : S = s s + = S z = m s Spinski magnetski moment M s povezan je sa spinskim obrtnim momentom S preko relacije: M M s e e = S M s = s s + m m 4

43 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Za razliku od z-komponente orbitnog magnetskog momenta M m,z,zkomponenta spinskog magnetskog momenta M s,z zahteva množenje kvantnog broja faktorom : M = msμ, B s z Kvantni broj simbol Dozvoljene vrednosti Glavni n,, 3,... Orbitni l 0 0,,,..., n- Magnetski orbitni m l 0, ±, ±, ±3,... ±l Spinski s ½ Magnetski spinski m s ±½ 43

44 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Eksperimentalni dokaz kvantizacije godine: Franck i Hertz su pokušavali da izmere jonizacioni potencijal različitih atoma Postavka eksperimenta James Franck Gustav Hertz

45 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Njutnova mehanika čestica i njeno stanje su definisani kada su poznate njena koordinata i impuls ili brzina. Poznavanje stanja čestice podrazumeva prostornu lokalizaciju, odnosno prenos energije kroz prostor i vreme kao koncentrisanog paketa. Prenos ovog paketa određen je trajektorijom čestice. Talasi nema prostorne lokalizacije energije. Talas poseduje energiju i impuls ali ne lokalizovane već raspodeljene u talasnom frontu. Pored toga talas podleže difrakciji i interferenciji. Primer: Elektromagnetski talasi recimo svetlost prostiru se kroz prostor u vidu talasa koji nose energiju distribuiranu preko kontinualnih nelokalizovanih sfernih talasnih frontova James Clerk Mawell, U 9. veku je delovalo l da Mawell-ova teorija elektromagnetskih talasa može da opiše sve relevantne fenomene. J. C. Mawell

46 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost 899. godine Philipp Lenard, osvetljavao je metalnu foliju svetlošću različitih boja u cilju efikasnijeg dobijanja katodnih zraka, kako se kasnije otkrilo elektrona i tada je uočio fotoefekat samo neke boje dovode do pojave emisije elektrona iz metalnih folija. Philipp Lenard

47 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost 905. godine Albert Einstein vaskrsava ideju o čestičnoj prirodi svetlosti ti tako što pretpostavlja t da elektromagnetski talas dolazi na foliju u energetskim paketima koje naziva fotonima a čija energija prema Planck-u zavisi od učestanosti svetlosti. Albert Einstein Nobelova nagrada 9. godine za objašnjenje fotoefekta. 47

48 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Dualnost: Fotoelektrični efekat Ukoliko se zrak svetlosti dovoljno kratke talasne dužine usmeri na čistu površinu metala, svetlost će dovesti do toga da elektroni napuštaju površinu metala svetlost će izbacivati elektrone sa površine metala. Ovaj fenomen poznat je pod nazivom fotoelektrični efekat i nalazi primenu u velikom broju uređaja, kao što su televizijske kamere, kamkoderi, uređaji za noćno osmatranje... Fenomen fotoelektričnog efekta Einstein je objasnio pomoću čestične prirode elektromagnetske svetlosti foton. Analiziraćemo dva bazična eksperimenta sa fotoelektričnim efektom koja koriste u istu aparaturu. 48

49 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Zračenje iz svetlosnog izvora frekvencije f usmereno je na metalnu metu T i dovodi do eksitacije izbacivanja elektrona iz mete. Razlika potencijala V koja se održava između mete T i kolektorske elektrode C dovodi do skupljanja elektrona na kolektorskoj elektrodi C. Ovi elektroni se nazivaju fotoelektroni. Kolekcija fotoelektrona dovodi do stvaranja fotoelektrične struje i koja se meri ampermetrom A. 49

50 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Prvi eksperiment fotoelektričnog efekta Potencijalna razlika V se pomoću potenciometra podešava tako da je kolektor C slabo negativan u odnosu na metu T. Ovakva potencijalna razlika dovodi do usporavanja izbačenih elektrona. Nakon toga, napon V se podešava do određene vrednosti, koja se naziva zaustavni potencijal V stop,, za koju je struja merena ampermetrom A opala na nulu. Zapravo, u trenutku kada se podesi potencijal V stop, najbrži elektroni elektroni sa najvećom energijom se neposredno pre nego što dosegnu kolektor, zaustavljaju i vraćaju nazad ka meti, pa je njihova kinetička energija: E = k ma ev stop gde je e elementarno naelektrisanje., 6 50

51 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Merenja su pokazala da za svetlost na datoj frekvenciji, vrednost maksimalne kinetičke energije E k,ma ne zavisi od intenziteta izvora svetlosti. Bilo da je izvor blještavo svetao ili jedva vidljiv, maksimalna kinetička energija izbačenih elektrona je uvek ista. Ovakvi eksperimentalni rezultati predstavljali su zagonetku u okvirima klasične fizike, koja pretpostavlja da je svetlost harmonijski elektromagnetski talas. Elektroni u meti bi trebalo takođe da osciluju harmonijski pod dejstvom oscilatorne električne sile koja se javlja usled električnog polja elektromagnetskog talasa. Ako je amplituda oscilacija dovoljno velika, elektron bi se oslobodio sa površine mete. Ovakvo rezonovanje dovodi do zaključka da bi povećavanjem amplitude EM talasa elektroni trebalo da dobiju veću porciju energije i samim tim da budu jačeč katapultirani. i Međutim, đ to sene događa. Za datu frekvenciju, i intenzivni i slabi svetlosni zraci daju potpuno jednak maksimalni potisak izbačenim elektronima. 5

52 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Do ispravnog objašnjenja, dolazi se sasvim prirodno, ukoliko se pretpostavi da je svetlost čestične prirode. Energija koja se može preneti iz svetlosnog snopa incidentne svetlosti na elektron koji se nalazi u meti jednaka je energiji koju poseduje jedan foton. Povećanje intenziteta svetlosti povećava broj fotona u svetlosnom snopu ali energija koju nose individualni fotoni, u skladu sa E = hf, ostaje nepromenjena dokle god je frekvencija konstantna. Prema tome, energija prenesena elektronu ostaje takođe nepromenjena. Drugi eksperiment fotoefekta Menja se frekvencija incidentne svetlosti i meri zaustavni potencijal V stop. Do fotoefekta neće doći ukoliko su frekvencije incidentne svetlosti ispod neke granične frekvencije f 0, koja se naziva prekidna frekvencija, ili ukoliko je talasna dužina veća od odgovarajuće prekidne talasne dužine λ 0 = c/f 0 5

53 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Zaustavni potencijal V stop u funkciji od frekvencije f incidentne svetlost za metu od natrijuma. Rezultati eksperimenta ne zavise od intenziteta incidentne svetlosti! Ni ovaj eksperiment se ne može objasniti zakonima klasične fizike. Ako se svetlost posmatra kao elektromagnetski talas, očekivano je da bez obzira na to koje je frekvencije zračenje, uvek može doći do izbacivanja elektrona ako se obezbedi dovoljno energije, odnosno koristi dovoljno intenzivan izvor. Međutim, to se ne dešava! 53

54 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Postojanje prekidne frekvencije je u potpunosti očekivano kada se uzme u obzir da se prenos energije odvija preko fotona. Elektroni su vezani unutar mete električnim silama. Da bi se oslobodili tih električni i sila, potrebno je da dobiju neki minimum i energije Ф, koji zavisi od tipa materijala mete i naziva se izlazni rad. Ako je energija gj hf koju foton preda elektronu veća odizlaznog rada, elektron može da se oslobodi električni sila koja ga vezuju u metalu i da ga napusti. U suprotnom, elektron ostaje vezan, jer energija koju je primio nije dovoljno velika da savlada električne sile koja ga zadržavaju u vezanom stanju. Jednačina fotoelektričnog efekta Einstein je sumirao rezultate prethodnih eksperimenata kroz relaciju hf = E k, ma + Φ 7 54

55 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Prethodna relacija zapravo predstavlja zakon održanja dž energije za jedan foton apsorbovan od strane materijala sa izlaznim radom Ф. Energija jednaka energiji fotona hf prenosi se na jedan elektron u materijalu mete. Da bi elektron napustio metu potrebno je dadobije energiju koja je barem jednaka Ф. Sva preostala energija hf Ф koju elektron primi predstavlja kinetičku energiju E k elektrona. U najboljem slučaju, elektron može da napusti površinu materijala bez ikakvog gubitka kinetičke energije tokom tog procesa, pa se van materijala mete javlja sa maksimalnom mogućom kinetičkom energijom E k,ma. Ako se jednačina fotoefekta 7 izrazi preko zaustavnog potencijala, dobija se: V stop h f e Φ e = 8 55

56 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Planck-ov zakon zračenja crnog tela Crno telo je idealizovano fizičko telo koje može da apsorbuje svo incidentno EM zračenje, bez obzira na učestanost ili prostorni ugao. Crno telo u TDR na konstantnoj temperaturi emituje i istvremeno apsorbuje EM zračenje. Zračenje se emituje u skladu sa Plankovim zakonom, prema kome je spektar zračenja određen samo temperaturom, a ne oblikom ili sastavom tela. Krajem 9. veka postavljalo se pitanje učestanosti elektromagnetskih talasa koje ovakav objekat zrači. Ma Planck

57 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Klasična teorija predviđa da energija zračenja raste sa porastom učestanosti, tzv. ultraljubičasta katastrofa. Ono što je Planck želeo da odredi je spektralna gustina zračenja: d E ν, T dvdν = ρ Ma Planck Aproksimacije: W. Wien J. Štefan ρ ~ν ρ dν dω ~ T 4 57

58 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Planck-ov model No.: molekuli zida šupljine ponašaju se kao oscilatori sa naelektrisanjem što dovodi do zračenja ovih molekula ali je energija koju mogu da emituju ili da prime kontinualna i ovu energiju oni mogu da razmenjuju sa okolinom zračenjem: ρ ν, T = 3 Aν ep Bν / T Planck-ov model No.: U cilju teorijskog objašnjenja Planck polazi od II zakona termodinamike i entropije Ludvig Boltzman, Tada uspeva da objasni prethodne zakone, ali samo kada pretpostavi da je energija pojedinačnog oscilatoraa konačna diskretna, quanta i da pri tome zavisi od učestanosti ν kao hν, a ne da teži 0 kako je prethodno mislio. 58

59 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Time je nevoljno, ne verujući u svoj rad, postao otac kvantne mehanike. Ipak je za svoj rad dobio Nobelovu nagradu 98. godine. 8πν ρ ν, T = 3 c hν ep hν / k B T Einstein je prihvatio Planck-ov zakon bez oklevanja i kroz fotoelektrični efekat potvrdio da energija elektromagnetnog talasa dolazi u kvantima, što je karakteristika čestica! Svetlost ima čestičnu prirodu!!! 59

60 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost 93. godine Arthur H. Compton proučavao je rasejanje X-zraka rentgensko zračenje λ ~ 0-0 m i merio pomeraj talasne dužine X zraka usled rasejanja. Primenom talasne teorije nije bilo moguće objasniti fenomen, ali je primenom ideje o fotonu kao čestici i klasičnom teorijom sudara pokazao da je promena talasne dužine očekivani rezultat. Arthur Compton

61 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Dualnost: Komptonov efekat 96. godine Einstein je proširio svoju teoriju o kvantnoj prirodi svetlosti tako što je pretpostavio da kvanti svetlosti fotoni imaju linearan impuls. Za foton energije hf, intenzitet it t impulsa je dat relacijom: hf p = = c pa se prilikom interakcije fotona i materije prenose i energija i impuls, kao da je došlo do sudara između fotona i materije u klasičnom smislu. 93. godine Arthur Compton sproveo je eksperiment koji je podržao tvrđenjeđ daseiimpuls i energija prenose putem fotona. h λ 6

62 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Na slici je prikazana aparatura na kojoj je Compton sproveo svoj eksperiment. Snop -zraka talasne dužine λ usmeren je na metu od ugljenika. X-zraci su deo elektromagnetskog spektra sa veoma visokim frekvencijama, odnosno malim talasnim dužinama. Kompton je merio talasne dužine i intenzitete -zraka koji su rasejani u različitim pravcima prilikom sudara sa metom od ugljenika. 6

63 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Na slici su prikazani rezultati eksperimenta. Iako je incidentni snop - zraka monohromatski λ = 7. pm, rasejani -zraci imaju čitav opseg talasnih dužina, sa dva izražena intenzitetska pika. Prvi pik je centriran u okolini incidentne talasne dužine λ, dokjedrugi pik centriran na λ koja je za Δλ veća od λ. Vrednost Δλ naziva se Komptonov pomak. Vrednost Komptonovog pomaka zavisi od toga pod koji uglom su detektovani rasejani -zraci. 63

64 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Klasična fizika posmatra incidentni -zrak kao harmonijski elektromagnetski talas. Pod dejstvom električnog polja EM talasa, elektroni u ugljeničnoj meti trebalo bi da takođe osciluju po harmonijskom zakonu, sa istom frekvencijom kao što je frekvencija incidentnog talasa. Oscilacije elektrona bi zapravo dovele do toga da se on ponaša kao minijaturna antena, koja bi trebalo da odašilje talase iste frekvencije. Prema tome, -zraci rasejani na elektronima trebalo bi da imaju istu frekvenciju a samim tim i talasnu dužinu kao -zraci u incidentnom snopu. Međutim, to se ne dešava! Compton je interpretirao rasejanje -zraka na atomima ugljenika, posmatrajući transfer energije i impulsa, putem fotona, između incidentnih -zraka i slabo vezanih elektrona u atomima ugljenika. 64

65 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost U cilju kvalitativne analize, pretpostavimo da je za interakciju između incidentnog -zraka i stacionarnog elektrona odgovoran samo jedan foton, energije E = hf. Uopštemslučaju, pravac prostiranja -zraka će se promeniti po doći će do rasejanja ja i elektron će uzmaći otskočiti, o što znači daće dobitiodređenu kinetičku energiju. Ako je interakcija izolovana, važiće zakon održanja energije, pa energija rasejanog fotona E = hf mora biti manja od energije incidentnog fotona. Prema tome, rasejani fotoni moraju imati manju frekvenciju f, asamimtimi veću talasnu dužinu λ, štojeuskladusarezultatimacompton-ovog eksperimenta. U cilju kvantitativne analize primenićemo zakon održanja energije na sudar između incidentnog -zraka i inicijalno stacionarnog slobodnog elektrona u meti. Nakon sudara, -zrak na talasnoj dužini i λ kreće sepoduglomϕ, aelektronpoduglomθ uodnosunaprvobitni pravac. 65

66 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost hf = hf + E k gde je E k kinetička energija elektrona nakon sudara. Brzina elektrona može biti veoma velika, uporediva sa brzinom svetlosti, pa se mora koristiti relativistički izraz za kinetičku energiju: E k = m c γ 0 66

67 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Zamenom izraza za energiju uzakon održanja, dž dobija se: h h hf = hf + m0c γ = + m0c γ λ λ Primenom zakona održanja impulsa na posmatrani sudar, uzimajući u obzir da je impuls incidentnog fotona p = h/λ, impuls rasejanog fotona p = h/λ, a relativistički impuls elektrona p e = γm 0 v, dobija se: za projekcije na -osu: h = λ h cosφ + γm0v cosθ λ za projekcije na y-osu: h 0 = sinφ γm0v sinθ λ 67

68 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Eliminacijom veličina koje se odnose samo na elektron v i θ iz jednačina po održanju energije i impulsa, dobija se Komptonov pomak: Δλ = λ λ = h m c cosφ Konstanta h/m 0 c naziva se Komptonova talasna dužina. Pik na incidentnoj talasnoj dužini ne javlja se kao posledica interakcije -zraka i slabo vezanih elektrona, već interakcije sa jako vezanim 0 elektronima u atomima ugljenika koji čine metu. Efektivno, ovi sudari kao da se odvijaju između incidentnog -zraka i čitavog atoma ugljenika. Međutim, masa atoma ugljenika je oko 000 puta veća od mase elektrona, pa je i vrednost Komptonovog pomaka oko 000 puta manja, što je previše mala vrednost da bi se uočila kao skretanje. 68

69 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Difrakcija elektrona Ovaj eksperiment potvrđuje da osim fotona i drugi mikroobjekti imaju talasnu prirodu, budući da je difrakcija karakteristika talasa. 97. godine Davisson i Germer analiziraju difrakciju elektronskog snopa sa periodičnom površinskom strukturom od nikla i primećuju tačkice na zastoru. 69

70 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Postavka eksperimenta: difrakcija elektrona na procepa p Šta se dešava u toku vremena na detektoru? 70

71 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Šta se dešava u toku vremena na detektoru? čestična priroda 8 elektrona talasna priroda 0000 elektrona u kraćem periodu u dužem periodu Da li elektron prolazi kroz prvi ili drugi procep? Da li međusobno interaguju?! Elektron kao da interferira sam sa sobom ali na detektor pada kao jedinstvena čestica!!! Na svom putu prolazi kroz oba procepa, tačnije prepoznaje prisustvo oba procepa i ponaša se po talasnim zakonima!!! Ako je procep kroz koji elektron prolazi poznat NE formira se interferentna slika!!! 7

72 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost 93. godine Prince Louise de Brogile zaključuje da ako su i fotoni i elektroni i talasi i čestice onda su i drugi objekti sličnih dimenzija mogu na isti način opisati i pridružuje im, kako ih on naziva materijalne talase??? Louis de Brogile Materijalni talasi imaju svoju talasnu dužinu: λ = h / p 7

73 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost 96. godine Ma Born, daje tumačenje de Brogile-vih talasa. Kako objasniti pojavu interferencijske slike ako ne možemo nešto da superponiramo? Da li su to možda materijalni talasi? Pošto se interferencijska slika dobija sa dovoljno velikim brojem elektrona, onda se ovakvo ponašanje može opisati teorijom verovatnoće. Svaki prolaz kroz procep je jedan događaj sa aspekta verovatnoće koji se opisuje funcijom gustine verovatnoće. Detektor meri raspodelu verovatnoće položaja elektrona, polazeći od intenziteta slike koji se dobija. Ma Born Odatle sledi da se princip superpozicije i interferencija mogu protumačiti kao superpozicija raspodela verovatnoća protumačiti kao superpozicija raspodela verovatnoća Verovatnoća ~ talas Intenzitet materijalnih talasa de Brogile-a daje pozicionu verovatnoću čestice!!! 73

74 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost U klasičnoj fizici sistem je skup čestica koje interaguju između sebe putem unutrašnjih sila, a mogu da interaguju sa spoljašnjim svetom preko spoljašnjih sila. Čestica je nedeljiva tačkastamasakojaposedujenizfizičkih osobina koje se mogu meriti tzv. observable. Skup observabli opisuje stanje. Stanje sistema je skup stanja čestica koje ga čine. Prema klasičnoj fizici, sve osobine čestice mogu se odrediti sa proizvoljnom beskonačnom preciznošću. Samo je pitanje eksperimentalne tehnike ili preciznosti instrumenta. Odatle je naše znanje o fizičkom univerzumu limitirano samo observablama, a ne samom prirodom. Ishod svakog merenja je u klasičnoj fizici predvidljiv kroz trajektoriju. Trajektoriju svake čestice određuje pozicija čestice rt iimpuls pt. 74

75 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Trajektorija {rt, pt; t t 0 } d d p t m r t = mv t m r t = V r, t dt dt masa sile na i između čestica početni uslovi Trajektorija {rt, pt; t t 0 } 75

76 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Klasična fizika opisuje univerzum kao objektivnu realnost, nezavisnu od posmatrača. Pri tome posmatrač i ono što se posmatra, uz dovoljnu pažnju mogu učiniti tu interakciju zanemarljivom. Polazeći od Njutnovih zakona i poznajući početne uslove, bez obzira na komplikacije moguće jepredvidetibudućnost determinizam. Odavde sledi da je za svaki događaj moguće naći njegov uzrok idući u prošlost kauzalnost. Mračna strana determinizma sve nam je već unapred suđeno suđeno, ciljevi i nade su irelevantni, ljudske želje uzaludne. Ovaj determinizam je prilično dosadan!!! Na srećuć i pogrešan!!! 76

77 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Dualna priroda subatomskih čestica podriva klasičan koncept čestice. U principu osobine kvantnih čestica nisu u potpunosti definisane sve do momenta dok se ne izmere. One su pre potencijalne ili latentne skrivene, sve dok se ne izmere. Zarazliku od klasičnog stanja, kvantno stanje je skup konglomerat više mogućih ishoda. Zato se kvantno stanje definiše preko verovatnoće. Kvantno stanje je u biti statističko, ne opisuje definitivne ishode pojedinačnih merenja već moguće rezultatemerenja navelikombroju identičnih sistema. 77

78 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Merenje pozicije pojedinačne čestice daje za rezultat jednu vrednost. Tada sa razlogom tvrdimo da znamo poziciju čestice, ali ne znamo ništa o tome šta je prethodilo merenju - pa se ne može govoriti o poziciji pre merenja. Tako pozicija koja je bila skrivena ili potencijalna, u toku merenja postaje pojedinačna i tačno definisana. Nema jasno definisane prošlosti Tokom merenja mikroskopski sistem se ne može posmatrati bez neposredne interakcije ij i promene stanja samog sistema ili čestice. i Efekat posmatrača na sistem se NE može smanjiti na 0 i što je još gore, ni kontrolisati. 78

79 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Kvantizacija. Dualnost 3. Neodređenost Pojam trajektorije kvantne čestice. Za određivanje trajektorije potrebno je znati t 0 i pt 0. Eksperiment se ponavlja na većem broju identičnih čestica, ali i pored toga, različita merenja dovode do različitih rezultata iako je sistem identičan??!! Prema klasičnoj fizici fluktuacija rezultata oko neke srednje vrednosti nas ne zabrinjava jer verujemo datoakoželimo, možemo eliminisati. Prema kvantnoj fizici ne možemo jednoznačno odrediti vrednosti ovih observabli za mikroskopsku česticu Hajnzerbergov princip neodređenosti: Δ Δp h Pokazuje da svaki pokušaj da se istovremeno odrede i p dovodi do netačnosti u merenju. π Heisenberg 97. godine princip neodređenosti 79

80 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Hipoteza u eksperimentu sa difrakcijom elektrona: Ponašanje elektrona je opisano talasom verovatnoće Ψ,t. U svakom trenutku ova funkcija je amplituda verovatnoće položaja elektrona na mestu detektor meri intenzitet talasa tj. kvadrat njegove amplitude. Gustina verovatnoće prolaska kroz prvi P otvor kada je drugi otvor zatvoren: P ~ Ψ, t odnosno kroz drugi P otvor kada je prviotvor zatvoren: P ~ Ψ, t Superpozicija talasa: P ~ Ψ, t = Ψ, t + Ψ, t iα Ako je Ψ, t ~ Ψ e i Ψ, t ~ Ψ e, za domaći pokazati: iα α P ~ Ψ + Ψ + Ψ Ψ cos α 80

81 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Funkcija stanja opisuje stanja koja se mogu fizički realizovati zove se još i vektor stanja - Ψ Prvi postulat kvantne mehanike KM: Svako stanje sistema koje se može fizički realizovati u KM se opisuje funkcijom Ψ koja sadrži sve dostupne informacije fizičke prirode o sistemu u tom stanju. Ne možemo znati baš sve, ali ono što znamo o sistemu je sadržano u Ψ. Ψ može biti Ψp,t, ΨE,t, Ψ,t, a mi najčešće koristimo Ψ = Ψpoložaj, vreme D prostor: Ψ = Ψ, t 3D prostor: = Ψ, t Ψ r Mnoštvo čestica: Ψ = Ψ r, r,..., t 8

82 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Princip superpozicije: Ako Ψ i Ψ predstavljaju stanja koja se fizički mogu realizovati onda je stanje Ψ =C Ψ +C Ψ treće stanjekojese može realizovati u sistemu gde su C i C proizvoljne kompleksne konstante. Ψ, Ψ,..., Ψ N novo stanje: Ψ = C Ψ N Drugi postulat kvantne mehanike: način kako izvući informacije iz Ψ Ako je sistem u nekom kvantnom stanju predstavljen talasnom funkcijom Ψ onda je Ψ dv verovatnoća da će se čestica naći u infinitenzimalnoj zapremini dv. dv d D, ddydz 3D, d d dy dy dz dz... i C i i D prostor 0 : 3D prostor r 0 : * Ψ, t d = Ψ, t Ψ, t d * Ψ r, t ddydz = Ψ r, t Ψ r, t ddydz

83 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Uslov normalizacije: D prostor: + + P d = = Ψ, t Ψ, t d * + Ψ 3D prostor: r, t Ψ r, t dv = * Ako je integral divergentan beskonačan onda Ψ nije odgovarajuća talasna funkcija fizički zahtev da čestica postoji odgovara matematičkim ograničenjima klase funkcija koje mogu predstaviti stanja u prirodi. Ako onda Ψ,t 0 što sledi iz integrabilnosti funkcije Ψ Za domaći: Pokazati da Ψ i Ψ epiδ opisuju isto stanje sistema. 83

84 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Jednoznačnost. Konačnost 3. Neprekidnost 4. Glatkost Talasna funkcija je jednoznačna jedinstvena. Višeznačna funkcija ne može određivati gustinu verovatnoće položaja. Ψ, t Ψ, t Jednoznačna funkcija Višeznačna funkcija 84

85 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Jednoznačnost. Konačnost 3. Neprekidnost 4. Glatkost Mora biti ispunjen uslov normiranja: + Ψ d = Funkcija mora biti ograničena osim u konačnom broju tačaka: onda Ψ 0 85

86 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Jednoznačnost. Konačnost 3. Neprekidnost 4. Glatkost Ψ, t Ψ, t neprekidna funkcija funkcija sa prekidom Funkcija koja nije neprekidna, zapravo je dvoznačna sa leve i desne strane u tački prekida, pa ne zadovoljava uslov jednoznačnosti; matematički izvod ne bi postojao da je funkcija prekidna 86

87 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić. Jednoznačnost. Konačnost 3. Neprekidnost 4. Glatkost Ψ, t Ψ, t glatka nije glatka 87

88 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Postoje u osnovi dve veličinekojekarakterišustanjeobjekta,atosu momenat p i energija E. Ove veličine koje su praktično čestične karakteristike, kt tik određuju đ prostornu i vremensku zavisnost talasne funkcije i njen talasni vektor k iučestanost ω. Najprostija forma talasa koja zadovoljava ova svojstva je ravanski talas: Ψ, t = C ep[ i k ω t]. gde je C amplituda talasa. Ovaj talas u sebi sadrži informacije o energiji i impulsu koji su sa učestanošću i talasnim vektorom povezani relacijama: E = hν = ω. p = k.3 Kakojekodovogtalasadisperzijakojaodređuje grupnu brzinu talasa v g konstanta: 88

89 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić ω ω = = v k k = const.4 zaključujemo č j da na česticu-talasi l ne deluje nikakva k sila koja bi je ubrzavala ili usporavala. Zbog toga dati ravanski talas odgovara prostiranju slobodne čestice. Koristeći princip superpozicije koji važi za talasnu funkciju, moguće je konstruisati generalnu formu talasne funkcije koja u osnovi predstavlja sumu, tačnije integral raznih planarnih talasa: Ψ, t = C kep[ i k ω t] dk k.5 Kod ovog talasa se ne može uočiti promena brzine, zato što ga sačinjavaju ravanski talasi koji održavaju ukupnu grupnu brzinu fiksnom. Da bi se dobila forma koja omogućava da se pojave svi mogući ravanski talasi i uspešno opiše promena grupne brzine u prisustvu sile tj. spoljašnjeg potencijala, potrebno je postaviti jednačinu u kojoj ne figurišu k i ω. 89

90 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Polazi se od zakona održanja energije: p E + m = U, t.6 a Odredi se drugi izvod talasne funkcije ravanskog talasa po i poveže sa talasnim vektorom k i kasnije sa impulsom p. Ψ = + ikψ Ψ Ψ = k Ψ k = Ψ b Odredi se prvi izvod talasne funkcije ravanskog talasa po t ipoveže sa ω odnosno sa E. Ψ t = iω Ψ ω = i Ψ Ψ t p k E = ω = + U, t = + U, t m m 90

91 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić c zamenom prethodnih relacija dobija se:.7 Ψ Ψ + U,t Ψ = i m t najopštija forma Schrödinger-ove jednačine vremenski zavisna Schrödinger-ove jednačina Schrödinger 96. godine jednačina kretanja kvantne čestice Kako je dobijena jednačinalinearnaihomogenapoψ, ondaonavaži za proizvoljnu linearnu superpoziciju ravanskih talasa sa različitim ω i k, kojiistovremenozadovoljavajujednačinu.6. Rešavanje ove jednačine za odgovarajuće granične i početne uslove daje talasne funkcije i dozvoljene vrednosti energije gj za proizvoljan potencijal U,t. 9

92 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Vremenski nezavisna Schrödinger-ova jednačina Kada je potencijal U ukomesečestica kreće takav da nije funkcija od vremena već samo od koordinate U = U, talasna funkcija se može napisati kao proizvod funkcije po koordinati i funkcije po vremenu: Tada se rešenje jednačine može naći metodom razdvajanja promenljivih:, t t ζ =ψ Ψ = + dtt d i t U d d m t ζ ψ ζ ψ ψ ζ Kada se prethodna relacija podeli sa dobija se t,t ζ =ψ Ψ t d d ζ ψ 9 E dt t d i t U d d m = = + ζ ζ ψ ψ

93 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Jednakost može biti zadovoljena samo ako su i leva i desna strana jednake konstanti, koju ćemo obeležiti sa E, a koja ima smisao energije u konzervativnom sistemu: u konzervativnom sistemu: E U d d m ψ ψ ψ = + d m t i t i E t t E dt t d i ω ζ ζ ζ = = = ep ep 0 ] [ = + U E m d ψ ψ ] [ d stacionarna Schrödinger-ova jednačina vremenski nezavisna Schödinger-ova jednačina 93 vremenski nezavisna Schödinger ova jednačina

94 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić 94

95 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić U ovom razmatranju od interesa su dva slučaja. U prvom je energija elektrona E veća od vrednosti potencijala U usvimoblastimaukojima se razmatra problem, dok je u drugom na nekim mestima E < U. Kada je E > U u celom domenu definisanosti, onda je elektron slobodna čestica koja se opisuje ravanskim talasom 95

96 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Schrödinger-ova jednačina: 0 ] [ = + U E m d ψ ψ 0 ] [ = + U E d ψ gde je U definisano u oblastima u kojima je potencijal konstantan i to na sledeći način: na sledeći način: < < < < = II I ; ; U U a < < III ; U a 0 Ioblast: 0 k U E m = 0 = + ψ ψ k d 0 d II oblast: 0 k E m = 0 = + ψ ψ k d d 96 d III oblast: 0 k U E m = 0 = + ψ ψ k d d

97 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Pretpostavljamo da je rešenje ep s s + k = 0 = ±ik ~ ±ik s ψ ep Rešenje: Ioblast: ψ = A ep ik + B ep ik II oblast: ψ = A ep ik + B ep ik III oblast: ψ 3 = A3 ep ik + B3 ep ik 97

98 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Na granici oblasti talasne funkcije su povezane uslovima neprekidnosti i glatkosti: = 0 p A + B = A + B ψ = ψ = 0 neprekidnost: ik A ik B = ik A ik B ψ = ψ I izvod glatkost: = 0 = a neprekidnost: ψ = =ψ 3 = a A ep ika + B ep ika = A3 ep ik a ψ ψ = = a I izvod glatkost: 3 ik A ep ika ikb ep ika = A3 ep ika 98

99 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Kada je E < U levo i desno od jame, elektron se nalazi u stanju koje se naziva vezanim. Energija ovog stanja ne može biti proizvoljna, jer uslovi na granicama, kao i asimptotsko ponašanje talasne funkcije, ne mogu biti zadovoljeni za svaku vrednost energije vezanog elektrona. Drugim rečima, energetski spektar je diskretan a ne kontinualan. Funkcije koje odgovaraju različitim energetskim stanjima zadovoljavaju uslov ortogonalnosti: ψ * ψ m n d = δ mn Dozvoljena diskretna energetska stanja mogu se odrediti tek nakon rešavanja talasne jednačine po segmentima sa konstantnim potencijalom. 99

100 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić d ψ m + [ E U ] ψ d = 0 00

101 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić m m Ioblast: k = E U = U 0 0 E d ψ d k ψ = 0 II oblast: m m d ψ = E 0 = E + 0 k ψ = d k III oblast: k U m d ψ = 0 0 k ψ = d E Pretpostavljamo da je rešenje eps s k = 0 s = ±k s = ±ik s + k = 0 0

102 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić pa su talasne funkcije: ψ = A ep k + B ep k ψ = A ep ik + B ep ik ψ 3 = A3 ep k + B3 ep k Rešenje u oblastima I i III nije prostoperiodično, nego eksponencijalno. Talasne funkcije moraju da zadovolje uslove konačnosti, jednoznačnosti, neprekidnosti i glatkosti: da bi ψ bilo konačno B =0 da bi ψ 3 bilo konačno A 3 =0 Nema dve funkcije koje opisuju jedan proces jednoznačnost č je zadovoljena 0

103 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić 3 Neprekidnost: ψ 0 = 0 A A B 0 ψ = ψ 0 = 0 k A ik A + ik B 0 ψ = ψ a = ψ A ik a + B ep ik a B ep k a 0 3 a ep 3 = a = ψ 3 a ik A ep ika ikb ep ika + kb3 ep ka = 0 ψ Sistem je homogen, pa se netrivijalna rešenja dobijaju j iz uslova da je determinanta sistema jednaka nuli: D = D a, U, E, m, = 0 0 k D = iep k a[ k k sink a k k cosk a] = 0 m E m = U 0 k = E E k k = tg k a = k k Rešenja za energiju su diskretna!!! 03

104 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Pojam struje verovatnoće Posmatra se skup čestica koji se kreće duž -ose. Detektor koji registruje njihov broj verovatnoću nailaska postavljen je na segmentu [a, b]: P, t ja jb a b P[ a, b], t b = P t d = Ψ,, t d a b a 04

105 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Izvod prethodne relacije po vremenu određuje brzinu protoka verovatnoće. Ovaj parametar naziva se gustinom struje verovatnoće. a b b a t t t t m i d t P dt d Ψ Ψ Ψ Ψ =,,,,, = b a b j a j d t P dt d, Ψ Ψ Ψ Ψ =,,,, t t t t m i j Primena izraza za j na ravanski talas koji odgovara slobodnoj čestici: k 05 ] / ep[, Et p i A t = Ψ m k A t j, =

106 Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić Posmatramo kretanje slobodne čestice sa leva na desno koja na mestu =0nailazi na potencijalnu barijeru visine U 0, takvu da je E >U 0. U E I U 0 II d ψ m + [ E U ] ψ = 0 d m k = E m k = E U 0 Ioblast: ψ = A ep ik + Bep ik ψ ep B = 0 II oblast: = A ik + B ep ik 06