DRŽAVNO NATJECANJE IZ LOGIKE

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "DRŽAVNO NATJECANJE IZ LOGIKE"

Οὐρβανός Βασιλόπουλος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 DRŽAVNO NATJECANJE IZ LOGIKE Vrždin, trvnj BODOVI: POTPUNO ISPRAVNO RJEŠENJE: 3 BODA IZOSTANAK RJEŠENJA: 1 BOD KRIVO ILI NEPOTPUNO RJEŠENJE: 0 BODOVA ZADATAK BROJ BODOVA MAX BODOVA UKUPNO 273 Vrijeme rješvnj test: 90 minut

2 Zdtk 1. U ovome se zdtku koriste nzivi šhovskih figur te ploč nlik n šhovsku, smo mnjih dimenzij, li poznvnje igre šh neće igrti ulogu u rješvnju zdtk budući d nije potrebno primjenjivti šhovsk prvil. Zdn je niz sudov. Predmetno su područje polj tblice A1,..., A5, B1,..., B5,...E1..., E5. Prediktn slov predstvljju sljedeće predikte: Predikti boje figure: C 1 x: Crni ( N polju x nlzi se crn figur, nlogno dlje) B 1 x: Bijeli Predikti oblik figure: P 1 x: Pješk ( N polju x nlzi se pješk, nlogno dlje) T 1 x: Top S 1 x: Skkč L 1 x: Lovc D 1 x: Dm K 1 x: Krlj Odnosi su definirni n sljedeći nčin: P ored 2 xy: oznčv dv polj koj se dodiruju (i dijgonlno) IstiRed 2 xy: dv su polj u istome redu IstiStupc 2 xy: dv su polj u istome stupcu IsteBoje 2 xy: n poljim x i y nlze se figure iste boje (obje C ili B) x = y: Identično x y: Rzličito Iz 2 xy: x je u višem redu od y (md ne nužno i u istome stupcu, npr. A1 je iz B5) DesnoOd 2 xy: x je u stupcu desno od stupc u kojem je y (md ne nužno i u istome redu, npr. B5 je desno od A1). Brojčni pokztelji uz predikte pokzuju broj prznih mjest uz predikte (mjesnost). Predikti = i tkoder su dvomjesni, no uz njih se uobičjeno ne nvodi broj prznih mjest. 2

3 Upišite n odgovrjuć polj sv i smo on prediktn slov potrebn d svi dolje nvedeni sudovi budu istiniti. N polje se prvo upisuje predikt boje figure, potom predikt oblik figure, svki se tip upisuje smo jednom, te ob tip predikt morju biti upisn. N primjer, bijelog krlj oznčvmo upisujući u odgovrjuće polje BK. N on polj n kojim se neće nlziti nijedn figur upišite znk. Npomen: Svki točno ispunjen redk i svki točno ispunjen stupc nose po tri bod. Sudovi: 1. x(c 1 x ( y(x y C 1 y P ored 2 xy IstiRed 2 xy) y(x y C 1 y P ored 2 xy IstiStupc 2 xy))) 2. x(p 1 x y(p 1 y x = y)) 3. x((c 1 x K 1 x) y(iz 2 yx DesnoOd 2 yx)) 4. x y(c 1 x K 1 x C 1 y D 1 y) ( IstiRed 2 xy IstiStupc 2 xy)) 5. x y(c 1 x L 1 x C 1 y D 1 y IstiRed 2 xy)) 6. x y z u v((isteboje 2 xy IsteBoje 2 yz IsteBoje 2 zu IsteBoje 2 uv) (x = y x = z x = u x = v y = z y = u y = v z = u z = v u = v)) 7. x y(b 1 x K 1 x C 1 y K 1 y x y) (10 3 bod = 30 bodov) 3

4 Zdtk 2. Nek je F G pokrt z odnos izmedu formul F i G ko vrijedi: iz F logički slijedi G iz G logički ne slijedi F Ako vrijedi F G i G H, to možemo skrćeno zpisti ko F G H, nlogno z veći broj formul. N przne crte upišite odgovrjuće formule vodeći rčun o sljedećem: N početku svkog niz nveden je skup dopuštenih iskznih slov i/ili predikt koje se mogu (li ne morju) iskoristiti, te nije dopušteno korištenje drugih iskznih slov ili predikt. Ako postoji više mogućih rješenj, dovoljno je nvesti jedno. Ako rješenje ne postoji, upišite /. Simbol zmjenjuje bilo koju tutologiju. Bodovi se z isprvno popunjenu crtu dobivju smo ko je i osttk podzdtk isprvno riješen. Prvi je podzdtk riješen. 1. {P, Q}: P Q P P Q 2. {P, Q}: P Q Q 3. {P, Q, S}: P Q S (Q S) P 4. {=}: x y(x = y) x y z w(x = y y = z z = w w = x) 5. {R 2 }: xrxx x y z(rxy (Rxz Ryz)) x y z(rxy (Ryz Rxz)) 6. {P 2, S 2 }: x y z(p yx Syz) x ysyx (10 3 bod = 30 bodov) 4

5 Zdtk 3. ) Prondite njkrću formulu istovrijednu sljedećim formulm, tkvu d se u njoj bilo koji od simbol (, ), A, B,,,,, pojvljuje njviše jednput. Njkrć je on formul koj sdrži njmnji broj nvedenih simbol. Ako se u formuli jvljju i A i B i ko je to moguće, A se mor pojvljivti ispred B. 1. (A ((A B) B)) 2. (A ( B (A B)) 3. (A B) ((B A) ( A B)) 4. (B ( B A)) (A ( B A)) 5. ((A B) (B A)) (A ((A B) A)) Npomen: U podzdtcim b), c) i d) priznje se smo potpuno rješenje. Pr x i y, gdje su x i y brojevi redk u kojim se formul pojvljuje, zpisujemo (x, y), što nije identično pru (y, x). b) Nvedite prove formul iz podzdtk ) (nvodeći njihove brojeve ko što je objšnjeno u npomeni), tkve d je prv formul u pru ekvivlentn (istovrijedn) drugoj. Nije potrebno nvoditi d je formul ekvivlentn smoj sebi, npr. (1,1). Rješenje: c) Nvedite prove formul iz podzdtk ) tkve d prv formul u pru implicir drugu formulu u pru (odnosno, d iz prve formule logički slijedi drug formul). Nije potrebno nvoditi d formul implicir smu sebe, npr. (1,1). Rješenje: d) Nvedite prove formul iz podzdtk ) tkve d su formule u pru u kontrdikciji. Rješenje: (8 3 bod = 24 bod) 5

6 Zdtk 4. Zdni su sljedeći tromjesni predikti koji operirju nd skupom prirodnih brojev koji sdrži 0 (N 0 ): S 3 xyz x + y = z P 3 xyz x y = z Zpišite sljedeće formule u jeziku logike predikt bez korištenj relcije identitet =., b i c oznčvju prirodne brojeve. U rješenjim nije dopušteno koristiti brojeve 0, 1, 2,... Primjer 1. je riješen. 1. = 0 xsxx 2. = 1 3. = 2 4. = b 5. b 6. b je djeljivo s 7. je njmnji zjednički višekrtnik brojev b i c 8. je njveći zjednički djelitelj brojev b i c (7 3 bod = 21 bod) 6

7 Zdtk Uvedimo novi opertor u iskznu logiku: opertor. Tj opertor ne ovisi smo o istinitosti svog rgument (npr. z neku formulu φ, istinitost φ ovisi smo o istinitosti φ), već o strukturi svog rgument. Stog će on imti istu istinitosnu vrijednost (istinito ili neistinito) u svkome retku tblice, budući d se struktur rgument ne mijenj ovisno o redovim tblice. Opertor definirn je n sljedeći nčin: z neku formulu φ, φ je istinito ko i smo ko φ nije vljn formul. P i Q su jednostvni podiskzi u svim formulm koje se jvljju u ovome zdtku. Stog je P istinito jer formul P nije vljn, (Q Q) nije istinito jer je formul Q Q vljn. Zokružite I ko je formul istinit, N ko je neistinit, / ko je istinitost neodrediv. 1. (P P ) 2. P 3. ( P P ) P 4. (P P ) 5. P P 6. ( P (Q P )) P 7. (P Q) ( P Q) 2. Uvedimo i sljedeće opertore: i. Z neki sud φ, φ φ, φ φ. Zokružite I ko je formul istinit, N ko je neistinit, / ko je istinitost neodrediv. 1. P P 2. ( (P Q) ( P Q) 3. ( P P ) 4. ( P Q) ( P Q) 5. P ( P Q) 6.( P Q) (P Q) 7.( P P ) (P P ) (14 3 bod = 42 bod) 7

8 Zdtk 6. Istinitosno se stblo ko metod provjere vljnosti zključk, vljnosti ili zdovoljivosti iskz ili skup iskz ili ko metod provjere istovrijednosti iskz može koristiti i u prediktnoj logici. Postojećim prvilim z rščlmbu iskz iz iskzne logike, koj se upotrebljvju n isti nčin, dodju se prvil z univerzlni i egzistencijlni iskz te z njihovu negciju. Prvilo z egzistencijlni iskz: (oznk u oprvdnju: broj retk, ) kvntifiktor se ispušt, vrijbl se supstituir predmetnom konstntom koj se rnije ne jvlj u istoj grni stbl, npr. 1. xgx 2.G Prvilo z univerzlni iskz: (oznk u oprvdnju: broj retk, ) kvntifiktor se ispušt, vrijbl se supstituir proizvoljnom predmetnom konstntom, neovisno o tome jvlj li se već t predmetn konstnt u grni stbl u kojoj se isključuje kvntifiktor. Dopušteno je isključiti univerzlni kvntifiktor više put u istoj grni. Npr. xf x F Prvil z negciju univerzlnog i egzistencijlnog iskz: (oznk u oprvdnju: broj retk, ili ) negcij se premješt neposredno iz kvntifiktor, kvntifiktor se promijeni. Npr. xf x x F x xf x x F x 8

9 1. Zdni su sljedeći iskzi: xf x xgx i x(f x Gx). Ndopunite istinitosno stblo iskzim s kvčicom ili bez nje, brojkm, križićim ili kružićim i, desno, oprvdnjim, te odgovorite n pitnj. Npomen: boduju se smo potpuno isprvni redci (formul ili dvije formule uz oprvdnje) i svki potpuno isprvn redk donosi tri bod. ) Gb 2, b) Zokružite točn odgovor: N temelju istinitosnog stbl zključujemo d iskz x(f x Gx) slijedi / ne slijedi iz iskz xf x xgx. Npomen: Odgovor se priznje ko i smo ko je stblo točno riješeno. 9

10 2. ) Provjerite istinitosnim stblom slijedi li iz iskz x(f x Gx) iskz xf x xgx. Npomen: boduju se smo potpuno isprvni redci (formul ili dvije formule uz oprvdnje) i svki potpuno isprvn redk donosi tri bod F 2, 1, b) Zokružite točn odgovor: N temelju istinitosnog stbl zključujemo d iskz xf x xgx slijedi / ne slijedi iz iskz x(f x Gx). Npomen: Odgovor se priznje ko i smo ko je stblo točno riješeno. c) Zokružite točn odgovor: Iskzi xf x xgx i x(f x Gx) jesu / nisu ekvivlentni. Npomen: Odgovor se priznje ko i smo ko su ob stbl točno riješen. (23 3 bod = 69 bodov) 10

11 Zdtk 7. ) Koristeći se smo osnovnim prvilim dopunite sljedeći dokz formulm i, desno, potpunim oprvdnjim. U oprvdnjim upotrijebite pretp. z pretpostvk, u z uvodenje, i z isključenje, op z opetovnje, veznike,,,,, konstnte, b, c te kvntifiktore, (npr. u z uvodenje konjunkcije ). Npomen: Boduju se smo potpuno isprvni redci (formul uz oprvdnje i svki potpuno isprvn redk donosi 3 bod) P c 6 7 i, 1, P 14 u, 13, xp x x P x, 1-7, 8-16 Ndopunite sljedeće tvrdnje o svojstvim sustv prirodne dedukcije: b) Ako su pretpostvke od kojih se pošlo u dokzivnju prirodnom dedukcijom istinite, istinit je i izvedeni iskz. Iskz koji je izveden bez pretpostvk nije smo istinit, nego je i vljn, stog je sustv prirodne dedukcije. c) Uvijek kd je zključk vljn, postoji i dokz deduktivnom metodom kojim je iz premis u odredenom broju kork moguće izvesti konkluziju (zglvk). Osim tog, svki se vljni iskz može dokzti ko poučk, stog je sustv prirodne dedukcije. (19 3 bod = 57 bodov) 11

Σχετικά έγγραφα

DRŽAVNO NATJECANJE IZ LOGIKE

DRŽAVNO NATJECANJE IZ LOGIKE Crikvenica, 21. 22. svibnja 2004. UPUTE NATJECATELJIMA Pri rješavanju zadataka držite se uputa i samoga teksta zadatka. Ako se u zadatcima susretnete s nepoznatim sadržajima,