( ) ( )
|
|
|
- Πάνθηρας Δοξαράς
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnj rzred-rješenj OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.. Prvi nčin: 05 5 ( ) 05 5 ( ) 05 5 ( ) 05 5 (43 0) UKUPNO 6 BODOVA 05 5 ( ) 05 5 ( ) 05 5 ( ) 05 5 ( ) (5 5) UKUPNO 6 BODOVA. Trženi umnožk je = U umnošku je 5 znmenki širine po 6 mm i znmenk širine mm p je njihov širin = 3 mm. Između 6 znmenk je 5 rzmk čij je ukupn širin 5 = 5 mm. Ukupn širin umnošk iznosi = 37 mm... UKUPNO 6 BODOVA 3. Iz 3. jednkosti slijedi = 30 p je = 9. Iz. jednkosti slijedi = 0 p je = 3. Iz. jednkosti slijedi = p je =8. Iz 4. jednkosti slijedi = 4 p je = 6... UKUPNO 6 BODOVA Npomen: Točni odgovori bez obrzloženj donose po bod. 4. Prvi nčin: Ako bi svki broj imo po 40 listov, komplet bi imo 6 40 = 40 listov. D bi ukupn broj listov u kompletu bio 60 listov, morli bi dodti = 0 listov. Kko je = 4 i 0 : 4 = 5, godišnji komplet će imti 60 listov ko je 5 brojev s po 44 list i broj s 40 listov... UKUPNO 6 BODOVA Ako bi svki broj imo po 44 list, komplet bi imo 6 44 = 64 list. D bi ukupn broj listov u kompletu bio 60 listov, morli bi oduzeti = 4 list.
2 Kko je = 4 i 4 : 4 =, godišnji komplet će imti 60 listov ko je broj s 40 listov i 5 brojev s po 44 list... UKUPNO 6 BODOVA Npomen: Točn odgovor bez obrzloženj vrijedi bod. 5. Broj 6 se dobije zmjenom znmenk što znči d je dobiven od broj 6. Broj 6 je dobiven prepolvljnjem p je dobiven od broj 6 = 5. Broj 5 je dobiven dodvnjem broj 5 p je dobiven od broj 5 5 = 37. Broj 37 je dobiven od zmišljenog zmjenom znmenk, to znči d je zmišljeni broj UKUPNO 6 BODOVA Npomen: Točn odgovor bez obrzloženj vrijedi bod. 6. Prvokutnici su: ABNO, ACMO, ADLO, AEKO, BCMN, BDLN, BEKN CDLM, CEKM DEKL po z svki prvokutnik UKUPNO 0 BODOVA 7. Prvi nčin: Ukupn vrijednost kovnic od kune je 48 = 496 kun, kovnic od kune je 89 = 89 kun, kovnic od 50 lip je = 4350 lip odnosno 43 kune i 50 lip, kovnic od 0 lip je 45 0 = 900 lip odnosno 9 kun i kovnic od 0 lip je 35 0 = 350 lip odnosno 3 kune i 50 lip. Ukupno to iznosi 74 kunu. 3 BODA Kko je 74 : 3 = 47, prodno je 47 šlic čokolde. UKUPNO 0 BODOVA Ukupn vrijednost kovnic od kune je 48 = 496 kn =49600 lp, kovnic od kune je 89 = 89 kn = 8900 lp, kovnic od 50 lip je = 4350 lp, kovnic od 0 lip je 45 0 = 900 lp i kovnic od 0 lip je 35 0 = 350 lp. Ukupno to iznosi 7400 lip. 3 BODA Kko je 3 kn = 300 lp i 7400 : 300 = 47, prodno je 47 šlic čokolde. UKUPNO 0 BODOVA
3 ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnj rzred-rješenj OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.. Prvi nčin: (55 5 3) (00 6 4) = =49 76 (55 5) (00 4) = = = =76 ( ) = =76 (09 + 9) = = = = UKUPNO 6 BODOVA (55 5 3) (00 6 4) = =49 76 (55 5) (00 4) = = = = = = = = UKUPNO 6 BODOVA. Prirodni broj je neprn ko mu je znmenk jedinice, 3, 5, 7 ili 9. D bi broj bio njmnji mogući znmenke mu trebju biti i 0, d bi bio njveći mogući znmenke mu trebju biti 9 i 8. Njmnji peteroznmenksti neprni prirodni broj kojemu su 3 znmenke neprne, prne je broj 00. Njveći peteroznmenksti neprni prirodni broj kojemu su 3 znmenke neprne, prne je broj UKUPNO 6 BODOVA Npomen: Točni odgovori bez obrzloženj donose po bod. 3. Prvi nčin: Ako podijelimo umnožk sv tri broj s umnoškom prvog i trećeg broj, dobit ćemo drugi broj. Drugi broj je 3600 : 544 = 5. Ako podijelimo umnožk sv tri broj s umnoškom drugog i trećeg broj, dobit ćemo prvi broj. Prvi broj je 3600 : 45 = 3. Trženi umnožk prvog i drugog broj je 3 5 = UKUPNO 6 BODOVA Ako je prvi broj, b drugi broj, c treći broj, ond vrijedi bc 3600 c 544 bc 45. Iz. i. jednkosti slijedi 544 b 3600 odnosno b 3600 : Iz. i 3. jednkosti slijedi odnosno 3600 : Trženi umnožk prvog i drugog broj je b UKUPNO 6 BODOVA
4 Treći nčin: Ako je prvi broj, b drugi broj, c treći broj, ond vrijedi bc 3600 c 544 bc 45. Kko je 3600 = 5 5 7, 544 = 7 i 45 = 5 5 7, ond vrijedi bc557 c7 bc557. Slijedi b = 5 5 = 5 i = = 3. Trženi umnožk prvog i drugog broj je b UKUPNO 6 BODOVA 4. Broj je djeljiv s 3 ko je zbroj njegovih znmenk djeljiv s 3 p je zbroj b + 9 = b djeljiv s 3. Kko su i b prosti brojevi, ond su,b{,3,5,7}. Z immo d je 6 + b djeljiv s 3 p je b 7. Z 3 immo d je 7 + b djeljiv s 3 p je b 3. Z 5 immo d je 9 + b djeljiv s 3 p je b 7. Z 7 immo d je 3 + b djeljiv s 3 p je b {,5}. Trženi brojevi su 9679, 93639, 95679, 9769, UKUPNO 6 BODOVA Npomen: Točni odgovori bez obrzloženj donose 4 bod. 5. Prvi nčin: N dužini AB istknuto je pet točk koje određuju (5 4) : = 0 dužin. Postoji još 5 dužin kojim je jedn krjnj točk n dužini AB, drug je točk C. Dkle, n slici je ukupno 5 dužin. Kko svk istknut dužin s dužine AB s točkom C određuje jedn trokut, n slici je ukupno 0 trokut... UKUPNO 6 BODOVA Dužine su AD, AE, AF, AB, DE, DF, DB, EF, EB, FB,CA,CD,CE,CF,CB te ih im ukupno 5. 4 BODA Trokuti su ADC, AEC, AFC, ABC, DEC, DFC, DBC, EFC, EBC, FBC te ih im ukupno 0.
5 .. UKUPNO 6 BODOVA Npomen: Točni odgovori bez obrzloženj donose po bod. 6. Prvi nčin: Ako su strnice kvdrt duljine cm, ond je opseg jednk 4. Duljine strnic trokut uzstopni su brojevi, npr. b, b+ i b+ te je ond opseg 3 b + 3 =3 (b + ). Duljine susjednih strnic prvokutnik rzlikuju se z cm p su njihove duljine c i c +, opseg je 4 c + 4. Budući d su opsezi jednki, vrijedi 4 = 3 (b + ) što znči d je višekrtnik od 3. Ispituju se slučjevi: = 3, 6, 9,,... Z = 3 cm je O = 4 3 = cm te je 3 (b + ) = odnosno b = 3 cm i 4 c + 4 = odnosno c = cm. Duljine strnic trokut su 3 cm, 4 cm i 5 cm, duljine susjednih strnic prvokutnik su cm i 4 cm. Z = 6 cm je O = 4 6 = 4 cm te je 3 (b + ) = 4 odnosno b = 7 cm i 4 c + 4 = 4 odnosno c = 5 cm. Duljine strnic trokut su 7 cm, 8 cm i 9 cm, duljine susjednih strnic prvokutnik su 5 cm i 7 cm. Z = 9 cm je O = 4 9 = 36 cm te je 3 (b + ) = 36 odnosno b = cm i 4 c + 4 = 36 odnosno c = 8 cm. Duljine strnic trokut su cm, cm i 3 cm, duljine susjednih strnic prvokutnik su 8 cm i 0 cm. Z = cm je O = 4 = 48 cm te je 3 (b + ) = 48 odnosno b = 5 cm. Td bi b + = 6 cm bilo veće od 5 cm što nije moguće, isto tko niti z još veće višekrtnike broj UKUPNO 0 BODOVA Kko su duljine strnic trokut tri uzstopn prirodn broj, ispitujemo moguće slučjeve. Z cm, cm, 3 cm ne dobije se trokut. Z cm, 3 cm, 4 cm opseg bi bio 9 cm što nije djeljivo s 4. Z 3 cm, 4 cm, 5 cm opseg bi bio cm p bi strnice kvdrt bile duljine 3 cm. Td je zbroj duljin susjednih strnic prvokutnik 6 cm, duljine susjednih strnic prvokutnik su cm i 4 cm. Z 4 cm, 5 cm, 6 cm opseg bi bio 5 cm što nije djeljivo s 4. Z 5 cm, 6 cm, 7 cm opseg bi bio 8 cm što nije djeljivo s 4. Z 6 cm, 7 cm, 8 cm opseg bi bio cm što nije djeljivo s 4. Z 7 cm, 8 cm, 9 cm opseg bi bio 4 cm p bi strnice kvdrt bile duljine 6 cm. Td je zbroj duljin susjednih strnic prvokutnik cm, duljine susjednih strnic prvokutnik su 5 cm i 7 cm. Z 8 cm, 9 cm, 0 cm opseg bi bio 7 cm što nije djeljivo s 4. Z 9 cm, 0 cm, cm opseg bi bio 30 cm što nije djeljivo s 4. Z 0 cm, cm, cm opseg bi bio 33 cm što nije djeljivo s 4. Z cm, cm, 3 cm opseg bi bio 36 cm p bi strnice kvdrt bile duljine 9 cm. Td je zbroj duljin susjednih strnic prvokutnik 8 cm, duljine susjednih strnic prvokutnik su 8 cm i 0 cm. Z cm, 3 cm, 4 cm opseg bi bio 39 cm što nije djeljivo s 4. Z 3 cm, 4 cm, 5 cm opseg bi bio 4 cm što nije djeljivo s 4. Z 4 cm, 5 cm, 6 cm bi strnic iml duljinu veću od dopuštenih 5 cm..... UKUPNO 0 BODOVA Npomen: Točni odgovori bez obrzloženj donose po bod. 7. Kko je zbroj m + 3 djeljiv s 3, i pribrojnik 3 je djeljiv s 3, ond i m mor biti djeljiv s 3. S obzirom d je rzlik m 7 djeljiv s 7, i umnjitelj 7 je djeljiv s 7, ond i m mor biti djeljiv s 7.
6 Budući d kd se m podijeli s dobijemo količnik djeljiv s, ond je m djeljiv s 4. Dkle, m je troznmenksti broj djeljiv s 3, 7 i 4. Kko je V(3,7,4) = 884, ond je m = BODA UKUPNO 0 BODOVA Npomen: Točn odgovor bez obrzloženj donosi 4 bod.
7 ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnj rzred-rješenj OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN = = = = UKUPNO 6 BODOVA. Prvi nčin: Vldo je skupio 7 48 boc. 3 Petr je skupio boc. 3 Mrko, Vldo i Petr su zjedno skupili 7 = 44 boce. Kko je 44 ( ) = 44 = 3, to znči d je Mrko skupio 3 plstične boce. Vldo je skupio boc. 3
8 Petr je skupio boc. 3 Mrko, Vldo i Petr su zjedno skupili 7 = 44 boce. Kko je 44 ( ) = 44 = 3, to znči d je Mrko skupio 3 plstične boce. 3. Prvi nčin: U školi im određen broj grup od = 5 učenik. Tkvih grup im 675 : 5 = 45. Dječk im 45 7 = 35. Kko n 9 dječk dolzi učitelj i 35 : 9 = 35, u školi im 35 učitelj. U školi je 7 5 dječk i 8 5 Ukupno im 675 učenik p dječk im djevojčic od ukupnog broj učenik Kko n 9 dječk dolzi učitelj i 35 : 9 = 35, u školi im 35 učitelj. 4. Ako je broj djeljiv s 5, ond je djeljiv i s 5 i s 3. Zbog djeljivosti s 5 znmenk b zdnog broj može biti 5 ili 0. Zbog djeljivosti s 3 zbroj znmenk zdnog broj mor biti djeljiv s 3.. slučj: b = 0 Zdni osmeroznmenksti broj je oblik Zbroj njegovih znmenk je 4 p vrijedi d je { 3, 6, 9 }. Trženi brojevi su , i slučj b = 5 Zdni osmeroznmenksti broj je oblik Zbroj njegovih znmenk je p vrijedi d je {, 4, 7 }. Trženi brojevi su 5 555, i Rzlik mse posude ispunjene do vrh vodom i mse posude do pol ispunjene vodom je polovin mse vode te iznosi kg. Ms vode u punoj posudi je 75. 5kg. Ms przne posude je 7 5 kg... UKUPNO 6 BODOVA 6. Prvi nčin: A E B C D
9 Trokut BCE je jednkokrčn trokut jer vrijedi d je BC CE što je posljedic sukldnosti jednkostrničnih trokut ABC i CDE. Veličin svkog unutrnjeg kut jednkostrničnih trokut je 60⁰ p vrijedi d je BCE BCA ACE BE je osnovic jednkokrčnog trokut BCE p vrijedi d je EBC CEB (803430') : 4530' : 4490' : 45'. 3 BODA Dlje slijedi d je ABE ABC EBC UKUPNO 0 BODOVA A E B C D Trokut BCE je jednkokrčn trokut jer vrijedi d je BC CE što je posljedic sukldnosti jednkostrničnih trokut ABC i CDE. Veličin svkog unutrnjeg kut jednkostrničnih trokut je 60⁰ p vrijedi d je BCE BCA ACE BE je osnovic jednkokrčnog trokut BCE p vrijedi d je EBC CEB (803430') : 4530' : 730' : 365' 45'. 3 BODA Dlje slijedi d je ABE ABC EBC UKUPNO 0 BODOVA 7. Iz Zgreb je krenuo nepoznt broj putnik odnosno x putnik. U Zdru ih je izišlo 4 x p je put prem Šibeniku nstvilo 3 4 x putnik. U Šibeniku je izišlo 3 x 3 x putnik Rzlik broj putnik koji su izišli u Šibeniku i onih koji su izišli u Zdru je x x x x x odnosno putnik Ako je od x =, ond je x = 40. Dkle, iz Zgreb je n put krenulo 40 putnik. 0 U Zdru je izišlo putnik, u Šibeniku 40 = putnik. 4 0 U Split je stiglo 40 (0 + ) = 8 putnik..... UKUPNO 0 BODOVA
10 ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnj rzred-rješenj OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.. Prvi nčin: Biciklist je z st i 4 minute odnosno.4 st prešo put duljine.4 30 = 4 km. U povrtku je putovo st i minut odnosno. st. Brzin n povrtku je 4 :. = 35 km/h. Biciklist je vozio brzinom od km/min odnosno 0.5 km/min. Z st i 4 minute odnosno z 84 minute prešo je put duljine = 4 km. U povrtku je putovo st i minut odnosno 7 minute. Brzin n povrtku je 4 : 7 = 7 km/min.. Iz uvjet zdtk moguće je zpisti jednkost x x... x Nkon dodvnj dvju novih brojev jednkost glsi x x... x x3 x Oduzimnjem prve jednkosti od druge dobivmo x3 x4. Srednj vrijednost dvju brojev čiji je zbroj jest x( x3 x4 ). 3. Prije 4 godine susjed An je iml 3 kokoši. Prije 3 godine susjed An je iml 5% od 3 odnosno 40 kokoši. Prije godine susjed An je iml 5% od 40 odnosno 50 kokoši. Prije godinu dn je iml 80% od 50 odnosno 40 kokoši. Ove godine im 80% od 40 odnosno 3 kokoši. 4. Prvi nčin: Troznmenkstih brojev im 900 p je toliko i kuglic u bubnju. Zbroj može se dobiti izvlčenjem triju kuglic (00, 0, 0). Zbroj 5 može se dobiti izvlčenjem 5 kuglic (500, 40, 40, 30, 30, 3, 30, 03,,, 40, 04, 3, 3, ). Zbroj znmenk jednk ili 5 može se ostvriti izvlčenjem jedne od 8 kuglic. Vjerojtnost d se to dogodi je 8 : 900 = 0.0 = %... UKUPNO 6 BODOVA Skup jednostvnih dogđj je S = {00, 0, 0, 03, 997, 998, 999}. Dogđj A je dogđj kd je izvučen kuglic n kojoj je broj čiji je zbroj znmenk ili 5. Td je A = {00, 0, 0, 500, 40, 40, 40, 04, 30, 30, 30, 03, 3, 3, 3,,, }. 3 BODA
11 k( A) 8 Tržen vjerojtnost je PA ( ) %. ks ( ) UKUPNO 6 BODOVA Npomen: Ko isprvn odgovor rvnoprvno prihvtiti %, 0.0 ili Skic: 6 C 4 A B C Duljin osnovice je 5 jedinic. Kko površin trokut mor biti 5 kvdrtnih jedinic, to znči d duljin visine n osnovicu AB mor biti 6 jedinic. S obzirom d je ABC jednkokrčn, vrh C se nlzi n simetrli osnovice koj prolzi točkom s koordintm (.5, 0). Zdtk im rješenj: C (.5, 6) i C (.5, 6)... UKUPNO 6 BODOVA Npomen: Točni odgovori bez obrzloženj donose 3 bod. 6. Oznčimo s x broj kilogrm trešnj po 8 kn. Ukupn vrijednost trešnj po 8 kn je x 8 kn. Ukupn vrijednost trešnj po 5 kn je 0 5 = kn. Ukupn ms trešnj je x + 0 kg. Ukupn ms trešnj prodje se z 0 kn po kilogrmu p je njen vrijednost (x + 0) 0 kn. S obzirom d vrijednost ukupne mse trešnj mor biti jednk zbroju vrijednosti jeftinijih i skupljih trešnj, vrijedi ( x + 0 ) 0 = x x = 8x x = 0060 x = 5030 kg Treb pomiješti 5030 kg trešnj čij je cijen 8 kn/kg.... UKUPNO 0 BODOVA
12 7. Skic: Oznčimo duljinu strnice dnog kvdrt s. Td je površin tog kvdrt. Pk Iz uvjet zdtk vrijedi BM = 3 4. Trokut MBN je prvokutn trokut s ktetm BM i BN. Ako oznčimo b BN, ond površin prvokutnog trokut MBN iznosi 3 BM BN b 4 3 Pt b. 8 3 b Pt Iz uvjet zdtk vrijedi 8 Pk 4 p slijedi d je b = BN. 3 To znči d je CN 3 BN p je 3 :. CN 3 Dkle, točk N dijeli dužinu BC u omjeru : (počevši od vrh B)..... UKUPNO 0 BODOVA
13 ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnj rzred-rješenj OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.. Prvi nčin: 04 x x (05 04)(05 04) 409 Ukupn broj prirodnih brojev x z koje je nejednkost točn jednk je UKUPNO 6 BODOVA 04 x x < x < Nejednkost zdovoljvju brojevi , ,, Ukupn broj prirodnih brojev x z koje je nejednkost točn jednk je = UKUPNO 6 BODOVA. Prvi nčin: Rzmjer : b : 5 možemo npisti u obliku Podijelimo li brojnik i nzivnik zdnog izrz s b b b b b b b. b 5 b i uvrstimo d je, dobivmo b 5 b = b = UKUPNO 6 BODOVA Rzmjer : b : 5 možemo npisti u obliku b. 5 b b 4 b b 5 5 bb b bb 5 5
14 4 4 b b Treći nčin: 5 Rzmjer : b : 5 možemo npisti u obliku b. b b Četvrti nčin: Rzmjer : b : 5 možemo npisti u obliku. b 5 b b b b( b) b b 5 b Peti nčin: Budući d vrijedi : b : 5, postoji rcionln broj k tkv d je = k i b = 5k. ( k) b b k 5 k (5 k) 4k 4k 0k 5k 35k Prvi nčin: Kock im 8 vrhov. S tri strne obojeno je 8 jediničnih kockic koje su u vrhovim velike kocke. Kock im bridov. S dvije strne obojeno je jediničnih kockic koje su uz bridove velike kocke. Kock im 6 strn. S jedne strne obojeno je 6 jediničnih kockic, po jedn n svkoj strni kocke.
15 Niti s jedne strne nije obojen = jediničn kockic. Nkon lijepljenj jediničnih kockic, velik kock izgled ko n donjoj slici. S tri strne obojeno je 8 jediničnih kockic. S dvije strne obojeno je jediničnih kockic. S jedne strne obojeno je 6 jediničnih kockic. Niti s jedne strne nije obojen = jediničn kockic. Npomen: Točni odgovori bez obrzloženj ili bez slike donose po bod. 4. Nek je n broj strnic (vrhov) trženog mnogokut. Iz jednog vrh tog mnogokut može se ncrtti n 3 dijgonle, nn ( 3) ukupn broj dijgonl tog mnogokut jednk je. U mnogokutu koji im n + 5 strnic, iz jednog vrh može se ncrtti n = n + dijgonle, ( n 5)( n ) ukupn broj dijgonl tog mnogokut je. Prem uvjetu zdtk vrijedi: nn ( 3) ( 5)( ) 50 n Rješvnjem ove jedndžbe dobiv se redom nn ( 3) 00 ( n5)( n ) n 3n00n 7n 0 0n 90 i končno n = 9... UKUPNO 6 BODOVA Npomen: Rješenje dobiveno metodom uzstopnog približvnj (npr. ispunjvnjem tblice) može se bodovti s 0 bodov. Ako nem svih rčun, nego smo točn končn rezultt, ond se boduje s bod.
16 5. Prvi nčin: A α l l3 γ β α β B C γ l Duljine kružnih lukov AB, BC i AC oznčimo redom l, l i l 3, odgovrjuće im središnje kutove γ, α i β. 3 r r 80 Budući d je l r r i l, slijedi d je r Anlogno dobivmo d je 0 i 50. Kutovi trokut α, β i γ obodni su kutovi odgovrjućih središnjih kutov α, β i γ p je končno α = 60, β = 75 i γ = UKUPNO 6 BODOVA A α l l3 γ β α β B C Duljine kružnih lukov iste kružnice proporcionlne su veličinm pripdnih središnjih kutov p uz oznke ko n slici vrijedi : : 3:4:5. Budući d je 360 i 360 : ( ) = 360 : = 30, zključujemo d je , i Kutovi trokut α, β i γ obodni su kutovi odgovrjućih središnjih kutov α, β i γ p je končno α = 60, β = 75 i γ = UKUPNO 6 BODOVA 6. Prvi nčin: γ l Površin sivog dijel jednk je zbroju površin 7 sukldnih jednkostrničnih trokut s strnicom duljine 4 3 cm umnjenim z zbroj 6 = površin (n bijelim mjestim preklopljeni su i oduzeti dijelovi dvju trokut!) jednkostrničnih trokut s strnicom duljine 3 cm. 3 BODA Primjenom Pitgorinog poučk izrčun se duljin visine većeg trokut.
17 v 3 3 v (4 3) ( 3) v 6 cm Površin tog trokut jednk je P cm. Primjenom Pitgorinog poučk izrčun se duljin visine mnjeg trokut. 3 3 v 3 3 v ( 3) ( 3) 3 9 v 3 cm Površin tog trokut jednk je P cm. Površin sivog dijel lik jednk je 7 PP cm..... UKUPNO 0 BODOVA D 3 C 4 3 v A v 6 3 Površin sivog dijel jednk je površini trpez ABCD umnjenoj z zbroj površin bijelih jednkostrničnih trokut. Duljine osnovic trpez su AB cm i CD cm Duljin visine trpez jednk je duljini visine jednkostrničnog trokut s strnicom duljine 4 3 cm. Određujemo je primjenom Pitgorinog poučk. B v 3 3 v (4 3) ( 3) v 6 cm Površin trpez ABCD jednk je P ABCD cm. Primjenom Pitgorinog poučk izrčun se duljin visine mnjeg trokut.
18 3 3 v 3 3 v ( 3) ( 3) 3 9 v = 3 cm Površin tog trokut jednk je P cm. Površin sivog dijel lik jednk je PABCD P cm..... UKUPNO 0 BODOVA Treći nčin: Romb ABCD n slici sstvljen je od dv sukldn jednkostrničn trokut s strnicom duljine 3 cm. Ti su trokuti sukldni bijelim trokutim s slike C D B A Neke od sivih rombov možemo podijeliti n trokute i presložiti tko d popune bijele dijelove, ko što je prikzno n slici: p p 3 p 5 p p' p' p 4 p' 3 p' 4 p 6 p' 5 p' 6 Dkle, površin sivih dijelov slike jednk je površini četiriju jednkostrničnih trokut s strnicom duljine 4 3cm. Primjenom Pitgorinog poučk izrčun se duljin visine većeg trokut v 3 3 v (4 3) ( 3) v 6 cm Površin tog trokut jednk je P cm. Površin sivog dijel lik jednk je 4 P cm..... UKUPNO 0 BODOVA Četvrti nčin: Sivi dio zdnog lik možemo podijeliti, ko što je prikzno n slici, n 6 jednkostrničnih trokut.
19 3 BODA Budući d su dužinm spjn polovišt strnic jednkostrničnih trokut, dobiveni su trokuti slični zdnom velikom trokutu, s upol krćim strnicm. Dkle, duljin strnice tih trokut je 3 cm. 3 BODA Primjenom Pitgorinog poučk izrčun se duljin visine mnjeg trokut. 3 3 v 3 3 v ( 3) ( 3) 3 9 v = 3 cm Površin tog trokut jednk je P cm. Površin sivog dijel lik jednk je 6 P cm..... UKUPNO 0 BODOVA Npomen: Točno izrčunt površin velikog trokut, odnosno površin mlog trokut vrednuje se s po 3 bod (ko su isprvno izrčunte obje površine, to donosi ukupno 6 bodov). 7. Prvi nčin: E F b D C A B b G H Skic ili opis (Oznčimo s duljinu veće, s b duljinu krće strnice.) Td vrijedi b 30 odnosno b 5 i b 3. Budući d je ( b) b b, nkon uvrštvnj dobivmo 5 3 b odnosno b 5 3. Budući d je ( b) b b, nkon uvrštvnj dobivmo ( b) ( b ) b3, odnosno ( b). Ako je ( b), ond (uz pretpostvku d je > b tj. d je b > 0) mor biti b =. b5 Duljine strnic zdovoljvju sustv jedndžbi b Rješvnjem sustv nlzimo rješenje = 8 cm i b = 7 cm..... UKUPNO 0 BODOVA
20 E F b D C A B b G H Skic ili opis (Oznčimo s duljinu veće, s b duljinu krće strnice.) Td vrijedi b 30 odnosno b 5 i b 3. Iz b 5 slijedi d je b5 p nkon uvrštvnj dobivmo (5 ) 3 odnosno Sređivnjem jedndžbe dobivmo 30 0, nkon dijeljenj cijele jedndžbe s, dobivmo Tu jedndžbu možemo fktorizirti tj. npisti u obliku umnošk ( 8)( 7) 0. Umnožk dvju brojev jednk je nuli smo u slučju d je jedn od tih brojev jednk nuli, tj. smo u slučju = 8 cm (i td je b = 7 cm) ili = 7 cm (i td je b = 8 cm). Kko smo oznčili s dulju strnicu prlelogrm, drugi slučj otpd. Dkle, = 8 cm i b = 7 cm..... UKUPNO 0 BODOVA Npomen: Anlogn postupk i bodovnje provodi se u slučju d je korišten supstitucij 5 b. Npomen: Rješenje dobiveno metodom uzstopnog približvnj (npr. ispunjvnjem tblice) može se bodovti s 0 bodov, li mor biti jsno nvedeno znčenje korištenih oznk i vidljiv zpis postupk (rčun). Dkle, tim nčinim rješvnj mor prethoditi skic ili opis E F b D C A B b G H (Oznčimo s duljinu veće, s b duljinu krće strnice.) Td vrijedi b 30 odnosno b 5 i b b = b U tom se slučju rješenje može bodovti s 0 bodov. Ako oznk, rčun i objšnjenj nem, točn končn rezultt donosi bod.
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
![c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]](/thumbs/92/108578155.jpg "c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]")
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
Koliko sati toga dana je razina vode bila iznad 30 cm? A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 13 Rješenje: E. Rješenje: A A) 1 B) 2 C) 6 4 D) 3 4 E) 2.
MATEMATIČKI KLOKAN S 6 700 000 sudionik u zemlji Europe, Amerike, Afrike i Azije Četvrtk,. ožujk 0. Trjnje 7 minut Ntjecnje z Student (IV. rzred SŠ) * Ntjecnje je pojedinčno. Rčunl su zbrnjen. * Svki zdtk
γ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2
Zdtk (Slvi, gimnzij) Duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom Jedn kut iznosi Koliki je opseg trokut? Rješenje inči udući d duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom,
Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti b + c a a + c b a + b c.
Zdtk 4 (4, TUŠ) Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu kojemu su strnie duljin 7 m, 8 m i 9 m? Rješenje 4 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Nsuprot većoj strnii u trokutu
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Priprema za ispit - RJEŠENJA
Priprem z ispit - RJEŠENJA 1. Odredi duljinu strnie i kutove trokut ABC ko je = 16 m, = 11.2 m te + = 93⁰. = 16 m = 11.2 m + = 93⁰,,, =? Njprije ćemo izrčunti kut jer je = 180⁰ - ( + ) = 87⁰ No, sd znmo
α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
KUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 25.travnja-27.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 5.travnja-7.travnja 01. 5. razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN
Opsezi i površine - DZ
Opsezi i površine - DZ Iko učenici u 4. rzredu uče vrste trokut, uče o prvokutniku i kvdrtu, upoznju se s pojmom opseg i površine, s kvdrtnim mjernim jedinicm, s pojmom formule i kko u formulu uvrštvmo
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
MATEMATIČKI KLOKAN C 2018.
MATEMATIČKI KLOKAN C 018. RJEŠENJA ZADATAKA Pitnj z 3 od: 1. Koliko je (0 + 18) : (0 18)? A) 18 B) 19 C) 0 D) 34 E) 36 Rješenje: B) 19 (0 + 18) : (0 18) = 38 : = 19.. Kd se slov u riječi MAMA npišu vertiklno
RJEŠENJA ZA 4. RAZRED
RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJEJEDANJEDANNAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.
x y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka?
MATEMATIKA Zdci s držvne mture viš rzin Brojevi i lgebr Funkcije Jedndžbe i nejedndžbe Geometrij Trigonometrij LINEARNA FUNKCIJA 1. Uz koji uvjet jedndžb A+By+C=0 predstvlj prvc?. Koje je znčenje broj
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 24. siječnja razred rješenja
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. siječnja 011. 4. razred rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I
Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )
.RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD
ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
4. Relacije. Teorijski uvod
VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. ožujka 2007.
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. ožujka 007. 1. Izračunaj:
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.
Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu
PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Osnove inženjerskog proračuna
Osnove inženjerskog prorčun Skript z studente Sveučilišt Sjever Ktrin Pisčić, UNIN 04. Kut Kut je dio rvnine omeđen s dv prvc koj se sijeku. Obično se obilježv kružnim lukom među prvcim. Ako je duljin
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, 2.travnja-4.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, travnja-4travnja 014 5 razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
17. VEKORI I KVADRANE MARICE 17.1 Opcenito o vektorim Vektor je usmjeren duzin i zto im: pocetk (hvtiste), krj i smjer. Vektor se ozncv s oznkom n pr.: rpq,, Duzin PQ ili r nziv se duzin vektor, intenzitet
ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n
Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:
tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Многоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла. Obele`i svaki mnogougao, a zatim napi{i kojoj vrsti po broju stranica pripada.
Многоугао Многоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла 1 Obele`i svki mnogougo, ztim npi{i kojoj vrsti po broju strnic pripd. Petougo Ncrtj osmougo FGH. Obele`i wegov temen. ) Npi{i temen
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Trigonometrijske formule sve iz jednog trokuta i još ponešto
Poučk 60 Trigonometrijske formule sve iz jednog trokut i još ponešto Uvod Oštroumni zključi iz tupokutnog trokut i iz-skok trokutomjernih funkij iz trokut Vldimir Ćepulić 1, Kristin Penzr U ovom su člnku,
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Istosmjerni krugovi. 1. zadatak. Na trošilu će se trošiti maksimalna snaga u slučaju kada je otpor čitavog trošila jednak unutrašnjem otporu izvora.
Strnic: X stosmjerni krugovi Prilgođenje n mksimlnu sngu. Rješvnje linernih mrež: Strnic: X. zdtk Otpor u kominciji prem slici nlzi se u posudi u kojoj vld promjenjiv tempertur. Pri temperturi ϑ = 0 C,
Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
a) Kosi hitac Krivolinijsko gibanje materijalne toke Sastavljeno gibanje Specijalni sluajevi kosog hica: b) Horizontalni hitac c) Vertikalni hitac
) Kosi hic Kriolinijsko ibnje merijlne oke Ssljeno ibnje 5. dio 3 4 Specijlni slujei koso hic: b) orizonlni hic c) Veriklni hic b) orizonlni hic c) Veriklni hic 5 6 7 ) Kosi hic 8 Kosi hic (bez opor zrk)
Zadatak 1
PISMENI ISPIT IZ KLASIČNE MEHANIKE I 3.. 9. Zdtk Čestic mse m izbčen je s površine Zemlje pod kutem α brzinom v. Ako je otpor zrk proporcionln trenutnoj brzini konstnt proporcionlnosti je ), izrčunjte
MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi
MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Budući da je u jednakokračnom pravokutnom trokutu visina osnovice jednaka polovini osnovice, vrijedi: a 2
Zdtk (Romn, gimnzij) Sdnji jdnkokčnog tpz im duljinu 5 ko su dijgonl mđusono okomit, kolik j njgo pošin? Rjšnj udući d j u jdnkokčnom pokutnom tokutu isin osnoi jdnk poloini osnoi, ijdi: x = + = x + y
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 3.travnja-5.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, travnja-5travnja 07 5 razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN
Mimoilazni pravci. Ela Rac Marinić Kragić, Zagreb
Mimoilzni prvci El Rc Mrinić Krgić, Zgreb Dv se prvc u rvnini ili sijeku ili ne sijeku. Ako se sijeku, sjecište može biti jedn tok, prvci se mogu i poklpti. Ovj drugi sluj zjedno s slujem kd dv prvc nemju
POTPUNO RIJEŠENI 2000/2001. TEHNIČKE FAKULTETE PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNU PRIPREMU PRIJEMNOG ISPITA NA
POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNU PRIPREMU PRIJEMNOG ISPITA NA TEHNIČKE FAKULTETE 000/00. Zdte riješili i grfiči obrdili * IANA i MLADEN SRAGA * Tehniči-fulteti 000./00. Zdci su uzeti iz
Osnovna škola. b) Koliko prstenova treba objesiti na kukicu s lijeve strane na slici 2 da bi poluga bila u ravnoteži? 1 3 F/N
ŠKOLSKO/OPĆINSKO NTJENJE IZ FIZIKE 2.2.2009. Osnovn škol Uut: U svim zdcim gdje je to otrebno koristiti g = 10 N/kg. 1. zdtk (7 bodov) ) Slik 1 rikzuje olugu u rvnoteži n kojoj se nlze dv rsten i neoznti
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov
Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
DRŽAVNO NATJECANJE IZ LOGIKE
DRŽAVNO NATJECANJE IZ LOGIKE Vrždin, 23.-25. trvnj 2014. BODOVI: POTPUNO ISPRAVNO RJEŠENJE: 3 BODA IZOSTANAK RJEŠENJA: 1 BOD KRIVO ILI NEPOTPUNO RJEŠENJE: 0 BODOVA ZADATAK BROJ BODOVA MAX BODOVA 1. 30
C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
R A D N I M A T E R I J A L I
Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE
UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima
UVOD Ovi nstvni mterijli nmijenjeni su studentim u svrhu lkšeg prćenj i boljeg rzumijevnj predvnj iz kolegij mtemtik. Ovi mterijli čine suštinu nstvnog grdiv p, uz obveznu literturu, mogu poslužiti studentim
( ) 2. 3 upisana je kocka. Nađite brid kocke.
Zdtk 00 (Tomislv, tehničk škol) Kugli polumje upisn je kok. Nđite id koke. Rješenje 00 ko je kugli upisn kok, ond je pomje kugle jednk postonoj dijgonli koke: =. Poston dijgonl koke čun se fomulom: D =.
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. ANALITIČA GEOMETRIJA PROSTORA II. DIO (Pv).. Min Roić Linović 9./. Pv u otou Jenž v Nek je: T (,, ) n točk oto {,, } ni vekto mje Znom točkom oto oli mo v leln nim vektoom. T (,,) - oivoljn točk v
VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA
VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
TROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β
TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α
RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I