FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA"

Transcript

1 FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA Vrijednoti inu i koinu π π π π ϕ in ϕ 3 co ϕ 3 Trigonometrijke funkcije polovičnih rgument in x = co x co x = + co x Trigonometrijke funkcije višetrukih rgument in x = in x co x co x = co x in x tg x = tg x tg x ctg x = ctg x ctg x Vez tngenom tg x +tg x in x = co x = +tg x in x = tg x +tg x co x = tg x +tg x Adicijki teoremi in(x ± y) = in x co y ± co x in y co(x ± y) = co x co y in x in y tg(x ± y) = ctg(x ± y) = tg x ± tg y tg x tg y ctg x ctg y ctg y ± ctg x Formule pretvorbe in x co y = (in(x + y) + in(x y)) co x co y = (co(x + y) + co(x y)) in x in y = (co(x y) co(x + y)) in x + in y = in x+y co x y in x in y = co x+y in x y co x + co y = co x+y co x y co x co y = in x+y in x y

2 Tblic derivcij f(x) x in x co x f (x) x co x in x tg x co x ctg x in x rcin x x rcco x rctgx x + x rcctgx + x e x x ln x log x h x ch x e x x ln x x ln ch x h x thx ch x cthx h x rhx + x rchx rthx rcthx x x x Neodredeni integrli ) = ln x + C x ) x α = xα+ + C, α R \ { } α + 3) x = x ln + C 4) e x = e x + C 5) in x = co x + C 6) co x = in x + C 7) 8) in x = ctg x + C co x = tg x + C 9) x + = ( x ) rctg + C, > ) x = ln x x + + C, > ( x ) ) x = rcin + C, > ) x + A = ln x + x + A + C, A 3) h x = ch x + C 4) ch x = h x + C 5) 6) h x = cth x + C ch x = th x + C

3 Projekcij vektor n vektor b = b co (, b) Prikz vektor d u ortogonlnoj bzi (, b, c) d = d + d b b b + d c c c Udljenot točke od rvnine d(t, π) = Ax + By + Cz + D A + B + C Kut izmedu dviju rvnin co (π, π ) = n n n n, gdje u n i n odgovrjući vektori normle rvnin π i π Udljenot točke od prvc u protoru d(t, p) = (r T r T ) c, c gdje u r T i r T rdij vektori točk T i T, c vektor mjer prvc koji prolzi točkom T Kut izmedu prvc i rvnine co(9 o (p, π)) = c n c n, gdje je c vektor mjer prvc p, n odgovrjući vektori normle rvnine π 3

4 Trigonometrijki Fourierov red f(x) + = T n = T b n = T n= b ( n co nπx T b b f(x) f(x) co nπx T f(x) in nπx T + b n in nπx ) T Prevlov jednkot + n + n= b n = T n b f(x) f(x) π Fourierov integrl dλ f(ξ) co λ(x ξ) dξ Fourierov integrl i pektr f(x) (A(λ) co λx + B(λ) in λx) dλ A(λ) = π B(λ) = π f(ξ) co λξ dξ f(ξ) in λξ dξ Fourierov trnformcij ˆf(λ) := f(x) = π π e iλξ f(ξ) dξ e iλx ˆf(λ) dλ 4

5 Lplceov trnformcij F () = L(f(t)) := e t f(t)dt Svojtv Lplceovih trnformt Linernot L(αf(t) + βg(t)) = αf () + βg() Teorem prigušenj L(e t f(t)) = F ( + ) Teorem o pomku L(f(t )u(t )) = e F () Tm o derivirnju originl L(f (t)) = F () f() Tm o derivirnju like L(( t)f(t)) = F () Tm o integrirnju like Tm o integrirnju originl ( ) f(t) L = t F ()d ( t ) L f(τ)dτ = F () Slik periodične funkcije F () = e T T e t f(t)dt Teorem o konvoluciji (f f )(t) := t f (τ)f (t τ) dτ L(f f ) = F () F () 5

6 Tblic Lplceovih trnformt F () f(t) n δ (n) (t) δ (t) δ(t) n, n N n! n+, n N t t n (n )! tn πt e t ( ) te t ( ) n, n N t n e t (n )! + e t + in t + co t h t ch t ( + ) (in t t co t) 3 t ( + ) in t 6

7 Zmjen vrijbli u trotrukom integrlu. Nek u x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) neprekidno diferencijbilne bijekcije izmedu omedenih područj V, V R 3. Td vrijedi f(x, y, z)dydz = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) J dudvdw, V V pri čemu je J Jkobijn definirn izrzom u x v x w x J = u y v y w y u z v z w z Koordintni utvi u R i R 3. Polrne koordinte x = r co ϕ, y = r in ϕ, r [, + ), ϕ [, π) Jkobijn: J = r. Cilindrične koordinte x = r co ϕ, y = r in ϕ, z = z, r [, + ), ϕ [, π), z (, + ) Jkobijn: J = r. Sferne koordinte x = r in θ co ϕ, y = r in θ in ϕ, z = r co θ, r [, + ), ϕ [, π), θ [, π]. Jkobijn: J = r in θ. Neke relcije iz vektorke lgebre. (b c) = c ( b) = b (c ), (b c) = b( c) c( b), ( b) c = b( c) (b c) 7

8 Vektork nliz. umjeren derivcij klrnog polj f f = ( f )f = f = x + f y + f 3 z umjeren derivcij vektorkog polj f f = ( )f = ( )f i + ( )f j + ( )f 3 k pri čemu je =, te = i x + j y + k z i f(x, y, z) = f (x, y, z)i + f (x, y, z)j + f 3 (x, y, z)k. Lplceov opertor f = div grd f, f klrno polje f = grd div f rot rot f, f vektorko polje Rčunnje potencijl vektorkog polj. Nek je vektorko polje f(x, y, z) = f (x, y, z)i + f (x, y, z)j + f 3 (x, y, z)k potencijlno, odnono vrijedi p = f. Td je p(x, y, z) = gdje je C R. x x f (t, y, z)dt + y y f (x, t, z)dt + z z f 3 (x, y, t)dt + C, Greenov formul. Nek je Ω -povezno područje u R, Γ pozitivno orijentirn ztvoren krivulj, koj omeduje Ω, te nek je f(x, y) = f (x, y)i + f (x, y)j diferencijbilno vektorko polje. Td vrijedi: Γ f dr = Γ f + f dy = Ω ( f x f ) dy. y Teorem o divergenciji. Nek je S po dijelovim gltk, ztvoren ploh koj omeduje volumen V. Ndlje, nek je n polje jediničnih vnjkih norml n S, te f vektorko polje kle C u okolini područj V. Td je f n ds = div f dv, odnono, u klrnom zpiu f dydz + f dz + f 3 dy = S S gdje je f(x, y, z) = f (x, y, z)i + f (x, y, z)j + f 3 (x, y, z)k. V V ( f x + f y + f ) 3 dydz, z 8

9 Stokeov formul. Nek je f vektorko polje kle C n području koje drži plohu S gltkim rubom Γ, te nek u ploh S i krivulj Γ koherentno orjentirne. Td je f dr = rot f n ds, odnono, u klrnom zpiu f + f dy + f 3 dz = Γ Γ + S S ( f3 y f z ( f x f y ) dy, gdje je f(x, y, z) = f (x, y, z)i + f (x, y, z)j + f 3 (x, y, z)k. ) ( f dydz + z f ) 3 dz x Uvjetn vjerojtnot P (A B) = P (AB), gdje je P (B) > P (B) Formul potpune vjerojtnoti n P (A) = P (H i ) P (A H i ), i= gdje je {H, H,..., H n }-potpun utv dogdj P (H j A) = Byeov formul P (H j ) P (A H j ) n i= P (H i) P (A H i ), gdje je {H, H,..., H n }-potpun utv dogdj 9

10 Binomn rzdiob X B (n, p) X {,,,..., n}, p k = P (X = k) = ( n k) p k q n k, gdje je q = p E (X) = np, D (X) = npq B (n, p) N (np, npq) z dovoljno veliki n B (n, p) P (np) z dovoljno veliki n i dovoljno mlen p Poionov rzdiob X P (λ) X {,,,...}, p k = P (X = k) = λk k! e λ, gdje je λ > E (X) = λ, D (X) = λ Ekponencijln rzdiob X E (λ) X R +, f (x) = λe λx, x >, F (x) = e λx, x >, gdje je λ > E (X) = λ, D (X) = λ Normln rzdiob X N (, σ ) ( ) X R, f (x) = σ exp (x ) π σ, gdje je R i σ R + E (X) =, D (X) = σ X N (, σ ) = X σ N (, )