Univerzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku

Transcript

1 Univerzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku Master rad Rotacione površi i njihova vizuelizacija u programskom paketu Mathematica Student: Nenad Krstić Mentor: dr Milan Zlatanović Niš, novembar 2013.

2 SADRŽAJ 1 Sadržaj Uvod 5 1 Površi Vektorska funkcija dva skalarna argumenta Definicija površi u E Razni načini zadavanja površi Krive na površi Tangentna ravan i normala površi Prva osnovna kvadratna forma površi Druga osnovna kvadratna forma površi Krivina krive na površi. Kosi i normalni preseci Glavne krivine. Gausova i srednja krivina površi Operator oblika Izračunavanje operatora oblika Rotacione površi Definicija rotacione površi Krivina rotacione površi Ajnštajnova konvencija o sabiranju Derivacione formule I vrste i Kristofelovi simboli površi Geodezijska krivina krive na površi i geodezijske linije Geodezijske linije rotacione površi Primeri rotacionih površi Pseudosfera (Pseudosphere) Katenoid (Catenoid) Ding-dong površ (Ding-dong surface) Osmica površ (Eight surface) Torus (Torus) Prstenasti torus (Ring torus) Rog torus (Horn torus) Vretenasti torus (Spindle torus) Fanel površ (levak) (Funnel surface) Gavrilova truba (Gabriel s horn) Jednograni hiperboloid (One-sheeted hyperboloid) Dvograni hiperboloid (Two-sheeted hyperboloid) Poljubac površ (Kiss surface) Elipsoid (Ellipsoid)

3 SADRŽAJ Sferoid (Spheroid) Sfera (Sphere) Površ uparivanja dva koaksijalna cilindra različitih poluprečnika (Poverhnostь soprьжeni dvuh soosnyh cilindrov raznyh diametrov) Površ uparivanja koaksijalnog cilindra i kupe (Poverhnostь soprьжeni soosnyh cilindra i konusa) Površ koja nastaje rotacijom polukubne parabole z = bx 2/3 oko Oz ose (Poverhnostь, obrazuema vraweniem meridiana v forme polukubiqesko paraboly) Površ koja nastaje rotacijom hiperbole z = b/x oko Oz ose (Poverhnostь vraweniem giperboly) Površ koja nastaje rotacijom astroide (Poverhnostь vraweni astroidy) Površ koja nastaje rotacijom parabole (Poverhnostь vraweni paraboly) Reaktivni konus (Reaktivny konus) Površ koja nastaje rotacijom krive z = be a2 x 2 oko Oz ose (Poverhnostь vraweni krivo z = be a2 x 2 vokrug osi z) Parabolo - logaritamska rotaciona površ (Parabolo - logarifmiqecka poverhnostь vraweni ) Rotacioni paraboloid četvrtog reda (Paraboloid vraweni qetvertogo por dka ) Rotaciona površ Kruška (Poverhnostь vraweni Gruxa ) Površ koja nastaje rotacijom opšte sinusoide (Poverhnostь vraweni obwe sinusody) Površ koja nastaje rotacijom bikvadratne parabole (Poverhnostь vraweni bikvadratno parabolь) Rotacione površi konstantne Gausove krivine Eliptički integral druge vrste Rotacione površi konstantne pozitivne krivine Rotacione površi konstantne negativne krivine Rotacione površi sa stanovišta analitičke geometrije Definicija i jednačina rotacione površi Neki primeri rotacionih površi Rotacione površi - primeri iz svakodnevnog zivota 84 7 Dodatak 87

4 SADRŽAJ 3 Zaključak 88 Litaratura 89 Biografija 90

5 SADRŽAJ 4 Sadržaj

6 Uvod Proučavanjem rotacionih površi i njihovih svojstava prvi se bavio Arhimed 1. Krivinu opštih površi uvodi Ojler 2, koji godine dokazuje formulu za krivinu ravanskog dela površi, a razmatra i površi zadate u parametarskom obliku. Krucijalni doprinos teoriji površi daje Gaus 3 u svoja dva rada iz i godine. Ta dva rada su dala potpuno nov ugao proučavanja površi, jer je Gaus isprva razmatrao suštinski geometriju površi, smatravši da su svojstva, koja su odredjena samo geodezijskim rastojanjem izmedju tačaka površi, nezavisna od načina na koji je površ zadata u Euklidskom prostoru. Ključni rezultat, Veličanstvena teorema Gausa, pokazuje da je Gausova krivina suštinski invarjantna, odnosno invarjantna u odnosu na lokalne izometrije. Ovo stanovište proširuje Riman 4 na više-dimenzionalne prostore i to je dovelo do onoga, što je danas poznato kao Rimanova geometrija. Devetnaesti vek je bio zlatno doba teorije površi, i to iz oba ugla gledanja - topološkog i iz ugla diferencijalne geometrije. Tada Darbu 5 prikuplja mnoge značajne rezultate i objavljuje ih u svom delu Théorie des surfaces. Ravoj kompjuterske tehnike s kraja XX i početka XXI veka doveo je do sve većeg interesovanja matematičara za rotacione površi. Predmet izučavanja ovog rada su upravo rotacione površi i njihova bitnija svojstva, uz poseban osvrt na geodezijsku krivinu i linije rotacione površi. Prva glava sadrži neke osnovne pojmove iz diferencijalne geometrije vezane za opšte površi i operator oblika. U drugoj glavi se upoznajemo sa definicijom rotacionih površi i osnovnim svojstvima takve klase površi, uz poseban osvrt na geodezijsku krivinu i geodezijske linije. Primeri rotacionih površi su dati u trećoj glavi ovog rada, za čiju ilustaciju je korišćen programski paket Mathematica. Mnoge površi imaju konstantnu Gausovu krivinu. Njima se bavimo u četvrtoj glavi. Peta glava koristi analitičku geometriju kao moćni aparat u teoriji rotacionih površi. U šestoj glavi se razmatraju primene i primeri iz svakodnevnog života 1 Archimedes of Syracuse (287 pne pne.) - Grčki matematičar, fizičar, astronom i pronalazač. 2 Leonhard Euler ( ) - Švajcarski matematičar i fizičar. 3 Johann Carl Friedrich Gauss ( ) - Nemački matematičar i fizičar. 4 Georg Friedrich Bernhard Riemann ( ) - Nemački matematičar. 5 Jean-Gaston Darboux ( ) - Francuski matematičar.

7 vezani za rotacione površi. U sedmoj glavi se malo bliže upoznajemo sa nekim Mathematica funkcijama, koje se koriste za iscrtavanje rotacionih površi.

8 1 POVRŠI 7 1 Površi U ovoj glavi ćemo navesti neke osnovne rezultate iz diferencijalne geometrije vezne za opšte površi. Prva sekcija daje definiciju opštih površi, a u ostalim sekcijama razmatritamo neka bitnija svojstva istih. Poslednja sekcija je rezervisana za operator oblika i njegovo izračunavanje. 1.1 Vektorska funkcija dva skalarna argumenta Definicija Neka je dat neki podskup U E 2. Ako svakoj tački (uredjenom paru) (u, v) U po nekom pravilu odgovara vektor a(u, v) V 3 (trodimenzioni vektorski prostor), kažemo da je a(u,v) vektorska funkcija dvaju sklaranih argumenata u,v i pišemo : odnosno: a : U E 2 V 3 (1.1.2) a = a(u, v), (u, v) U Ako u E 3 uvedemo neki pravougli koordinatni sistem sa ortovima i,j,k, biće: a(u, v) = (a 1 (u, v), a 2 (u, v), a 3 (u, v)) (1.1.3) gde su a i (u, v) skalarne funkcije(projekcije), koje možemo koristiti za proučavanje funkcije a(u, v). 1.2 Definicija površi u E 3 Neka je uo v Dekartov pravougli koordinatni sistem u E 2 i neka je: U = { (u, v) (u, v) E 2 } otvoren skup u E 2. U E 3 posmatrajmo Dekartov pravougli koordinatni sistem sa početkom u O i ortovima i,j,k i neka je V0 3 skup vektora sa početkom u O. Bijektivno preslikavanje klase C k (k 1): r : U V 3 0 : (u, v) r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (1.2.1)

9 1 POVRŠI 8 tački (u, v) dodeljuje vektor r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), a to znači i tačku (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) E 2, koju možemo takodje označiti i sa r(u,v). Na taj način takodje imamo preslikavanje klase C k : r : U E 3 : (u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = r(u, v) (1.2.2) Na osnovu pomenutog, preslikavanja (1.2.1) i (1.2.2) nećemo razlikovati. Definicija Parametrizovana površ klase C k (k > 1) u E 3 je bijektivno preslikavanje (1.2.2) klase C k. Skup U je oblast definisanosti parametrizovane povrśi (1.2.2). Parametrizovanu povrś u E 2 možemo označavati i na sledeći način: r = r(u, v) V 3 0, (u, v) U E 2 (1.2.3) ili samo sa r = r(u, v), podrazumevajući da je (u, v) E 2 proizvoljna tačka za koju je funkcija r(u, v) neprekidna i da je r(u, v) V0 3. Koristi se i oznaka (U, r). Definicija Regularna parametrizovana površ klase C k je parametrizovana površ klase C k (tj. funkcija r(u,v) je klase C k ), ako je još r u r v 0 za sve (u, v) U. Za k = 1 površ je glatka. Klasu regularnosti C k nećemo na dalje navoditi, podrazumevajuči da je k dovoljno veliko, kako bi traženo ramatranje bilo zadovoljeno. Prema Definiciji pod parametrizovanom površi se podrazumeva odredjeno preslikavanje otvorenog skupa U E 2 u E 3. Prema klasičnoj definiciji - površ je skup tačaka u E 3 koje se dobijaju u funkciji dva realna parametra. Ovde ćemo takav skup zvati nosačem parametrizovane površi. Pa imamo sledeću definiciju: Definicija Neka je U E 2 otvoren skup. Slika: r(u) = r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) E 3 pri preslikavanju (1.2.2) je nosač parametrizovane površi (1.2.2). Primedba 2.1. Parametrizovanu površ smo definisali kao preslikavanje otvorenog skupa U E 2. Takva površ se može definisati i na skupu U koji nije otvoren, ako se pretpostavi da postoji otvoren skup U U i C k preslikavanje r : U E 3, takvo ga je r U = r.

10 1 POVRŠI 9 Definicija Neka su: r = r(u, v), (u, v) U ρ = ρ(ũ, ṽ), (ũ, ṽ) Ũ dve regularne parametrizovane površi. Difeomorfizan λ : U Ũ definisan sa ũ = ũ(u, v), ṽ = ṽ(u, v) pri čemu je r = ρ λ, tj. r(u, v) = ρ(ũ, ṽ) = ρ(ũ(u, v), ṽ(u, v)) zove se smena parametara (reparametrizacija). Ekvivalentne parametrizovane površi su one za koje postoji smena parametara. Dakle, difeomorfizam λ koji definiše reparemtrizaciju,je λ = ρ 1 r : U Ũ (1.2.4) U vezi sa smenom parametara važi sledeća teorema: Teorema Ako je jedna od dveju ekvivalentnih parametrizovanih površi regularna klase C k,a smena parametara je difeomorfizam klase C k, onda je i druga regularna iste klase C k. Dokaz: Sa oznakama kao u Definiciji 1.2.4, pretpostavimo da je parametrizovana površ ρ(ũ, ṽ, (ũ, ṽ) Ũ regularna klase Ck i da je λ : U Ũ difromorfizam iste klase. To znači da je ρũ ρṽ 0 i da su funkcije ũ = ũ(u, v), ṽ = ṽ(u, v) klase C k. Otuda sledi da je i funkcija r(u, v) = ρ(ũ(u, v), ṽ(u, v)) iste klase. Treba još dokazati da je r u r v 0 (regularnost). Imamo: r u r v = (ρũũ u + ρṽṽ u ) (ρũũ v + ρṽṽ u ) = (ũ, ṽ) (u, v) (ρ ũ ρṽ) (1.2.5) odakle sledi r u r v 0 ρũ ρṽ 0 Dve ekvivalentne parametrizovane površi imaju isti nosač, što proizilazi iz uslova r(u, v) = ρ(ũ, ṽ) u Definiciji Geometrijski to je ista površ ali u raznim parametrizacijama.

11 1 POVRŠI Razni načini zadavanja površi Površ u E 3 se može zadati: a) u vektorskom parametarskom obliku: r = r(u, v), (u, v) U E 2 (1.3.1) b) u skalarnom parametarskom obliku: x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) U E 2 (1.3.2) c) Ako je dat skup { (x, y, z)} E 3, tako da važi jednačina-eksplicitni skalarni oblik: z = f(x, y), (x, y) Y (1.3.3) gde je f(x, y) C k, možemo staviti: x = u, y = v, z = f(u, v), (u, v) U (1.3.4) pa dobijamo oblik (1.3.2), odnosno: r = (u, v, f(u, v)), (u, v) U (1.3.5) što predstavlja globalnu parametrizaciju i površ je prosta. Ona je u ovom slučaju klase C k, jer je u (1.3.5) r C k, kad je f(x, y) C k,a regularna je (Definicija 1.2.2) zbog: r u r v = (1, o, f u ) (0, 1, f v ) = ( f u, f v, 1) 0 Dakle, iz oblika (1.3.3) smo dobili (1.3.4), odnosno (1.3.5), što se svodi na (1.3.2), odnosno (1.3.1). Obrnuto, pretpostavimo da je data površ (1.3.2), regularna u okolini neke tačke (u 0, v 0 ), tj. r u (u 0, v 0 ) r v (u 0, v 0 ) 0. To znači da je za u = u 0, v = v 0 : r u r v = (x u, y u, z u ) (x v, y v, z v ) = (y u z v y v z u, z u x v z v x u, x u y v x v y u ) ( ) (y, z) (z, x) (x, y) =,, 0. (u, v) (u, v) (u, v) To znači da je bar jedna od koordinata ovog vektora različita od nule. Neka

12 1 POVRŠI 11 (x,y) je npr. 0. Tada se prve dve jednačine (1.3.2) prema teoremi o (u,v) implicitnoj funkciji u okolini tačke (u 0, v 0 ) mogu rešiti po u, v : u = u(x, y), v = v(x, y) (1.3.6) što zamenom u treću jednačinu (1.3.2) daje z = z[u(x, y), v(x, y)] = f(x, y) tj. oblik (1.3.3). d) Ako je dat skup: S = { (x, y, z) E 3 F (x, y, z) = 0 gradf 0} (1.3.7) tada je S površ, pri čemu obično pišemo samo: S : F (x, y, z) = 0 (1.3.8) i (1.3.8) zovemo implicitni oblik jednačine površi. Ustvari, ako je u nekoj tački gradf = (F x, F Y, F z ) 0 tada je bar jedna od koordinata ovog vektora različita od 0. Neka je npr., F x 0. Po teoremi o omplicitnoj funkciji u okolini te tačke postoji rešenje jednačine (1.3.8): z = f(x,y), tj. ovaj slučaj se svodi na c). 1.4 Krive na površi Mnogi pojmovi i osobine površi se uvode i proučavaju pomoću krivih, koje pripadaju površi. Zato ćemo najpre proučiti načine zadavanja takvih krivih. Definicija Kažemo da parametrizovana kriva (J, ρ = ρ(t)) pripada površi S, ako njen nosač ρ(j) pripada nosaču površi S. Sledeća teorema utvrdjuje da se svaka kriva na površi može posmatrati kao slika neke krive iz oblasti definisanosti parametrizovane povši. Teorema Neka je (U,r) parametrizacija površi S, koja je difeomorfizam klase C 1, i (J, ϱ = ϱ(t)) glatki put (parametrizovana krivina) koji leži u r(u). Tada u oblasti U postoji jedinstven glatki put (J, ρ), takav da je: ρ(t) = r( ρ(t)). (1.4.1) Obrnuto, svaki glatki put ρ(t) U, t J, odredjuje glatki put, koji leži u r(u). Pri tome regularnost puta ρ u tački t je ekvivalenran regularnosti puta ρ u tački. Dokaz: Iz pretpostavke je ρ(j) r(u) S. Preslikavanje ρ : J ρ(j) U možemo definisati na drugi način:

13 1 POVRŠI 12 t J ρ(t) = r 1 (ρ(t)) = (r 1 ρ)(t) U (1.4.2) jer je po pretpostavci ρ(t) r(u). Kako je po pretpostavci r difeomorfizam, to je i r 1 klase C 1. Iz uslova teoreme je i ρ C 1, dakle prema (1.4.2) je i ρ = r 1 ρ C 1, pa je (J, ρ) glatki put, a iz (1.4.2) sledi (1.4.1). Neka postoji drugi takav glatki put ρ 1, tako da je ρ(t) = r( ρ 1 (t)). Tada je pa prema (1.4.1): r( ρ(t)) = r( ρ 1 (t)) ( ρ(t) = ρ 1 (t) za t J, jer je r uzajamno jednožnačno preslikavanje. Obrnuto, ako je zadat glatki put (J, ρ) u U, tj. ρ : J ρ(j) U, tada je pomoću (1.4.1) definisan glatki put ρ = r ρ : J ρ(j) r(u). Kako je po pretpostavci r difeomorfizam, to su, r i r 1 regularna preslikavanja, pa iz pretpostavke da je ρ regularno na osnovu (1.4.1) sledi da je ρ regularno, a iz pretpostavke da je ρ regularno, na osnovu (1.4.2) sledi da je ρ regularno. Sa oznakama iz prethodne teoreme, ako vektor ρ(t) izrazimo njegovim preojekcijama u sistemu uo 1 v : ρ(t) = (u(t), v(t)), prema (1.4.1) sledi ρ(t) = r[(u(t), v(t))]. Ako uprostimo predstavljanje desne strane zagradama, poslednja jednačina postaje: r(t) = r[u(t), v(t)], t J (1.4.3) gde smo još umesto ρ(t) pisali r(t), što se obično čini. Vidimo da se vektorska parametarska jednačina krive na površi dobija kada se krivolinijske koordinate u,v izraze u funkciji jednog parametra t. Definicija Jednačine u = u(t), v = v(t), t J (1.4.4) zovu se unutrašnje jednačine krive na površi r = r(u,v). Jednačini (1.4.3) odgovaraju skalarne parametarske jednačine krive na površi. x = x(u(t), v(t)), y = y(u(t), v(t)), z = (u(t), v(t)), t J. (1.4.5) Definicija Kriva α ima jediničnu brzinu ako dα = Tangentna ravan i normala površi ds 5.1 Neka je data površ S : r = r(u, v), (u, v) U E 2.

14 1 POVRŠI 13 Definicija Tangentni vektor površi S u tački M S je tangentni vektor neke krive na površi, koja (kriva) prolazi kroz M. Definicija Ravan koja prolazi kroz tačku M površi S i odredjena je vektorima r u i r v, čija je početna tačka M, zove se tangentna ravan (tangentni prostor) površi S u tački M sa oznakom T M S. Kriva na površi koja prolazi kroz M je proizvoljna, a vektori r u, r v su za M odredjeni, pa se prema tome tangentni vektor svake krive kroz M u S razlaže na komponente po r u, r v tj. tangente svih takvih krivih čine 2-dimenzioni vektorski prostor sa bazom r u, r v i obeležavamo ga VM 2 (S). Očigledno je da možemo identifikovati T M S i VM 2 (S). S druge strane za a VM 2 (S) T MS imamo razlaganje a = λr u + µr v, a to je tangentni vektor krive c S c : r(t) = r(u o + λt, v o + µt), jer je ṙ = λr u + µr v = a. Na osnovu izloženog, važi Teorema Potreban i dovoljan uslov da je vektor a neke krive na površi S tački M je a T M S. tangentni vektor Definicija Prava koja stoji normalno na tangentnu ravan u nekoj tački površi, zove se normala površi u posmatranoj tački. Pošto vektori r u, r v odredjuju tangentnu ravan, vektor pravca normale je kolinearan sa: ν = r u r v, (1.5.1) a njegov jedinični vektor je: jer je: ν = r u r v r u r v = r u r v 2 = r u 2 r v 2 sin 2 ϕ r u r v EG F 2 = r u 2 r v 2 (r u r v ) 2 = EG F 2 > 0 (1.5.2) (1.5.3) gde smo obeležili: E = r u r u = r u 2, F = r u r v, G = r v r v = r v 2, (r u, r v ) = ϕ (1.5.4) Ako je r(u, v) vektor položaja tačke M na površi S odnosno M(r(U, V )) S, R vektor položaja proizvoljne tačke u tangetnoj ravni, odnisno R r T M jednačina tangetne ravni u vektorskom obliku u tački M(r(u, v)) je:

15 1 POVRŠI 14 a odgovarajući skalarni oblik je: ν (R r) = 0 (1.5.5) ν x (X x) + ν y (Y y) + ν z (Z z) = 0 (1.5.6) gde je ν = ( ν x, ν y, ν z ), R = (X, Y, Z), r = (x, y, z). Jednačine normale površi u tački r(u, v) S su: -vektorski oblik R r = t ν, t R (1.5.7) -skalarni oblik X x ν x = Y y ν y = Z z ν z = t, t R (1.5.8) gde je sada R = (X, Y, Z) vektor položaja proizvoljne tačke na normali. Napomenimo da, pri odredjivanju tangentne ravni i normale u tački r(u 0, v 0 ), tj. u tački M(r(u 0, v 0 )) S u (1.5.5)-(1.5.8) se podrazumeva r = r(u 0, v 0 ), ν = ν(u 0, v 0 ), x = x(u 0, v 0 ) itd. Neka je površ zadata u implicitnom obliku F (x, y, z) = 0. Ako kriva c : x = x(t), y = y(t), z = z(t) pripada toj površi, biće: F [x(t), y(t), z(t)] = 0 F z ẋ(t) + F y ẏ(t) + F z ż(t) = 0 Kako je ṙ(t) = (ẋ(t), ẏ(t), ż(t)) tangetni vektor površi, biće normalni vektor površi S: ν = (F x, F y, F z ) = gradf (1.5.9) pa se u ovom slučaju jednačina tangetne ravni (1.5.5) svodi na: odnosno (1.5.6) na: gradf (R-r) = 0 (1.5.10) F x (X x) + F y (Y y) + F z (Z z) = 0 (1.5.11) gde je F x = F x (x, y, z) za dodirnu tačku (x, y, z). Za jednačinu normale imamo: odnosno: R -r = t gradf, t R (1.5.12)

16 1 POVRŠI 15 X x F x = Y y F y = Z z F z = t t R (1.5.13) Ako je površ zadata u eksplicitnom obliku z = z(x, y), imaćemo: r = r[x, y, z(x, y)], r u = r x = (1, 0, z x ), r u = r y = (0, 1, z y ) pa, koristeći uobičajene oznake z x = p, z y = q dobijamo: ν = (1, o, p) (0, 1, q) = i j k 1 0 p 0 1 q pi qj + k = ( p, q, 1) (1.5.14) E = 1 + p 2, F = pq, G = 1 + q 2, EG F 2 = 1 + p 2 + q 2 (1.5.15) ν = pi qj + k 1 + p2 + q 2. (1.5.16) Sada se jednačina tangentne ravni (1.5.6) svodi na: a jednačina normale (1.5.8) na: Z z = p(x x) + q(y y), (1.5.17) X x p = Y y q = z z 1 = t (1.5.18) Videli smo da pri proučavanju krivih veliku ulogu ima pokretni (prirodni) triedar. I kod površi imamo triedar, koji se menja od tačke do tačke. Definicija Pokretni (pridruženi, prirodni) triedar površi S u tački M(r(u, v)) S je triedar vektora r u (u, v), r v (u, v), ν(u, v) = r u r v u tački M. Teorema Pri smeni parametara klase C 1 na površi: a) pokretni triedar se menja,pri čemu jedinični normalni vektor površi moze promeniti samo orjentaciju, b) tangentna ravan se ne menja. Dokaz: : Posmatrajmo površ r = r(u, v), (u, v) U E 2, pri čemu je izvršena smena parametara, tako da je ū = ū(u, v), ν = ν(u, v), pa imamo: r(u, v) = ρ(ū, v) = ρ[ū(u, v), v(u, v)], (ū, v) Ū E2,

17 1 POVRŠI 16 odakle je: r u = ρūū u + ρ v v u, r v = ρūū v + ρ v v v, (1.5.19) r u r v = (ū, v) (u, v) (ρ ū ρ v ) ν = (ū, v) (u, v) ν ν = sgnj ν (1.5.20) Iz (1.5.19) i (1.5.20) slede tvrdjenja teoreme. Jedinični vektor ν i ν su iste orjentacije ako i samo ako je jakobijan J smene parametara pozitivan. 1.6 Prva osnovna kvadratna forma površi Na površi: Uočimo krivu: S : r = r(u, v), (u, v) U E 2 (1.6.1) c : r(t) = r[u(t), v(t)], t J. (1.6.2) Pomerajući se duž c iz tačke M(u, v) M(r(u, v)) S u beskonačno blisku tačku M (u + d u, v + d v ) S, gde je d u = u(t)d t, d v = v(t)d t, imamo: dr = r u d u + r v d v, gde je: dr 2 = ds s = Edu 2 + 2F dudv + Gdv 2 I (1.6.3) E = r 2 u, F = r u r v, G = r 2 v (1.6.4) Kvadratna forma u jednačini (1.6.3) se zove prva osnovna kvadratna forma površi, a E(u, v), F (u, v), G(u, v) su koeficijenti prve osnovne kvadratne forme površi. Prema (1.6.4) i (1.5.3) je: E > 0, G > 0, EG F 2 > 0, (1.6.5) a prema (1.6.3) je I > 0, tj. ova kvadratna forma je pozitivno definitna. Ako je površ zadata jednačinom z = z(x, y), tada imamo: r = (x, y, z(x, y)), r u = r x = (1, o, p), r v = r y = (0, 1, q) (p = z x, q = z y ), E = r 2 x = 1 + p 2

18 1 POVRŠI 17 F = r x r y = pq, G = ry 2 = 1 + q 2 (1.6.6) ṽ = r x r y = EG F 2 = 1 + p 2 + q 2 = g ds 2 I = (1 + p 2 )dx 2 + 2pqdxdy + (1 + q 2 )dy Druga osnovna kvadratna forma površi Posmatrajmo regularnu površ S klase C 2 : S : r = r(u, v), (u, v) U E 2. (1.7.1) Tada duž neke krive C S imamo: dr = r u du + r v dv, d 2 r = r uu du 2 + 2r uv dudv + r vv dv 2 + r u d 2 u + r v d 2 v, odakle posle množenja sa jediničnim vektorom ν površi sledi: gde je: d 2 r ν = Ldu 2 + 2Mdudv + Ndv 2 II, (1.7.2) L = r uu ν, M = r uv ν, N = r vv ν. (1.7.3) Obrascima (1.7.3) se može dati i drugi oblik. Polazeći od jednačina: ν r u = 0, ν r v = 0 i diferencirajući svaku od njih po u i v, dobijamo: ν u r u + ν r uu = 0, ν v r u + ν r u,v = 0 ν u r v + ν r vu = 0 ν v r v + ν r vv = 0 odakle i iz (1.7.3): L = r uu ν = r u ν u, M = r uv ν = r u ν v = r v ν u, N = r vv ν = r v ν v (1.7.4) Kvadratna forma (1.7.2) se zove II osnovna kvadrana forma površi, a L(u, v), M(u, v), N(u, v) su koeficijenti II osnovne kvadratne forme. Prema (1.5.2) je: L = 1 g [r uu, r u, r v ], M = 1 g [r uv, r u, r v ], N = 1 g [r vv, r u, r v ] (1.7.5)

19 1 POVRŠI 18 gde je g = EG F 2 > 0. Za površ z = z(x, y), prema (1.6.6) imamo r xx = (0, 0, r), r xy = (0, 0, s), r yy = (o, o, t) gde je r = z xx, s = z x,y, t = zyy, pa jednačine (1.7.4) i (1.6.6) daju: L = r 1 + p2 + q, M = s p2 + q, N = t (1.7.6) p2 + q Krivina krive na površi. Kosi i normalni preseci Na površi: posmatrajmo krivu: Tada je vektor krivine krive C: S : r = r(u, v), (u, v) U E 2 (1.8.1) C : r = r[u(s), v(s)] = r(s) (1.8.2) K = r = Kn (1.8.3) gde je n ort glavne normale te krive. Kako se r može razložiti po vektorima poketnog triedra u posmatranoj tački M površi, to imamo: K = r = Kν + λr u + µr v = K ν + K g (1.8.4) Komponenta K ν = Kν se zove vektor normalne krivine, a komponenta K = λr u + µr v - vektor geodezijske krivine krive na površi. Skalar K je normalna krivina krive na površi. Ovde ćemo detaljnije proučiti normalnu krivinu. Iz (1.8.4), zbog (1.7.2) i (1.6.3) je: K = r ν = d2 r ds ν = II 2 I S druge strane, množeći (1.8.3) skalrno sa ν : (1.8.5) K = r ν = Kn ν = K cos θ (1.8.6) gde je θ ugao izmedju normale površi S i glavne normale posmatrane krive C S. Iz (1.8.5), (1.8.6) sledi: K = K cos θ = II I = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv 2 Edu 2 + 2F dudv + Gdv 2 = 2 du 2 L + 2M dv du + N dv E + 2F dv du + G dv du (1.8.7)

20 1 POVRŠI 19 Koristeći (1.6.6) i (1.7.6) ova jednačina se može za površ z = z(x, y) napisati u obliku: K = K cos θ = rdx 2 + 2sdxdy + tdy p2 + q 2 [(1 + p 2 )dx 2 + 2pqdxdy + (1 + q 2 )dy 2 ] (1.8.8) Odnos dv du odredjuje pravac tangente na površ a to vidimo iz: dr = r u du + r v dv = du(r u + r v dv du ) Ovaj vektor odredjuje u posmatranoj tački pravac tangente na površ. Pošto su u svakoj tački N(u, v) S vektori r u, r v odredjeni, smer vektora dr će zavisiti od dv. Po jednakosti (1.8.7) vidimo da u datoj tački N(u, v) C S du normalna krivina K zavisi samo od pravca tangente. Prema tome sve krive na S koje u tački M imaju zajedničku tangentu imaće i istu normalnu krivinu K. Kriva C ne mora biti ravna. Oskulatorna ravan (odredjena sa r i r ) seče S po krivoj C, koja će imati istu normalnu krivinu K, kao i C (jer imaju isti tangentni vekto r ). Prema tome K će biti sta za sve krive koje se dobijaju kao preseci površi S sa nekom ravni koja sadrži istu tangentu i onda K ne zavisi od θ. ravan, koja sadrži posmatranu tangentu t i normalu ν, tj. za θ { 0, π} odredjuje normalni presek C površi za dati pravac t. Ostali preseci, tj. za θ / { 0, π} su kosi preseci površi. Iz (1.8.6) imamo: pa odavde: prema tome dokazana je: K(θ) = K cos θ (1.8.9) K(0) = K, K(π) = K (1.8.10) Teorema Normalna krivina K krive C na površi je po apsolutnoj vrednosti jednaka krivini normalnog preseka površi C, koji sa C ima istu tangentu. 1.9 Glavne krivine. Gausova i srednja krivina površi Neka je površ zadata u obliku z = z(x, y). Tada je : r = (x, y, z(x, y)), r x = (1, 0, p), r y = (0, 1, q), r xx = (0, 0, r), r xy = (0, 0, s), r yy = (0, 0, t)

21 1 POVRŠI 20 Neka je tačka O na površi uzeta za koordinatni početak, ose O x, O y u tangetnoj ravni tačke O. A osu O z uzmimo duž normale površi u tački O. Tada je: p 0 = p(0) = 0, q 0 = q(0) = 0 L 0 = L(0) = r xx k = r 0, M 0 = s 0, N 0 = t 0 gde je npr. r 0 = z xx (0). Neka je C normalni presek u tački O i neka je K njegova krivina. Tada odgovarajućom rotacijom koordinatnog sistema možemo dobiti da je: K = r 0 cos 2 α + t 0 sin 2 α (1.9.1) gde je α ugao koji tangenta posmatranog normalnog preseka C zaklapa sa O x osom. Iz navedene formule imamo: K 1 = K(α = 0) = r 0, K2 = K(α = π/2) = t 0 što daje takozvanu Ojlerovu formulu: K = K 1 cos 2 α + K 2 sin 2 α (1.9.2) Sada ćemo pokazati da veličine K 1 i K 2 odgovaraju ekstremnim vrednostima za K. Posmatrajmo sledeće: 1. Za K 1 K 2 neka je K 2 > K 1. Tada imamo K = K 1 (1 sin 2 α) + K 2 sin 2 α = ( K 2 K 1 ) sin 2 α + K 1 Ovde je prvi sabirak veći od nule i ima najmanju vrednost za α = 0, pa je: K min = K(α = 0) = K 1, Kmax = K(α = π/2) = K 2 Prema tome K 1 i K 2 predstvljaju minimalnu, odnosno maksimalnu normalnu krivinu površi u datoj tački. Definicija Ekstremne vrednosti K1,2 normalne krivine K u posmatranoj tački površi zovu se glavne krivine površi. Definicija Poizvod glavnih krivina je Gausova (totalna) krivina K G površi, a aritmetička sredina je srednja krivina K S, za koju važi : K G = K 1 K2 = LN M 2 EG F 2 K S = K 1 + K 2 2 = EN 2F M + GL 2(EG F 2 ) 2. (1.9.3) Za površ z = z(x, y) uz korišćenje vrednosti za E, F, G, M, N, L imamo: K G = rt s 2 (1 + p 2 + q 2 ), K 2 S = (1 + p2 )t 2pqs + (1 + q 2 )r 2(1 + p 2 + q 2 ) 3 /2 (1.9.4)

22 1 POVRŠI 21 Definicija Regularna površ S R 3 se naziva minimalna površ ako je njena srednja krivina jednaka nuli u svakoj tački Operator oblika Neka je M regularna površ. Kako izmeriti njenu zakrivljenost u R 3? Dobar način za to je proceniti kako se normala površi ν menja od tačke do tačke. Za to koristimo posebnu vrstu linearnog operatora, tzv. operator oblika. Definicija Neka je f : D R, D R 3 glatka funkcija. Neka je p, v R 3. Izvod funkcije f u pravcu vektora v u tački p je realana broj: D v f = ( d dt f(p + tv)) (0) Operator oblika primenjen na tangentni vektor v p u tački P površi je negativni izvod vektora ν u pravcu v p. Definicija Neka je M R 3 regularna površ i neka je ν normala površi M definisana u okolini tačke P M. Za tangentni vektor v p u P definišemo: S(v p ) = D vp ν (1.10.1) Tada se S naziva operator oblika. Lako je primetiti da je operator oblika ravni identički jednak nuli u svim njenim tačkama. Za površ koja nije ravan normala površi ν se menja od tačke do tačke, pa je S u tom slučaju različito od nule. U svakoj tački orijentisane regularne površi dva su izbora za jediničnu normalu : ν i ν. Za operator oblika dodeljen vektoru ν važi da je suprotan po znaku operatoru oblika dodeljenom vektoru ν. Definicija Neka je W diferencijabilno vektorsko polje na otvorenom skupu U R n, a v p tangentni vektor u R n u tački p U. Izvod vektorskog polja W u pravcu v p je tangentni vektor D vp W R n p dat sa: D vp W = W W (p + tv) + W (p) (p + tv) (0) p = lim. t 0 t p

23 1 POVRŠI 22 Lema Neka je W diferencijabilno vektorsko polje na otvorenom skupu U R n i n W = ω i U i. Tada za p U i v p R n p imamo: i=1 D vp W = n [ ] v p ωi Ui (p) = ( [ ] [ v p ω1,..., vp ω1 ])p. i=1 Lema Neka je W diferencijabilno vektorsko polje u R n i α : (a, b) R n kriva, tada: D W = (W α (t) α) (t) α(t). Lema Neka je F : U R m diferencijabilno preslikavanje, gde je U otvoren potskup u R n i F = (f 1,..., f m ). Ako je p U i v p tangetni vektor u p, tada: F p (v p ) = (v p [f 1 ],..., v p [f m ]) F (p). Lema Neka je r : U R 3 regularna površ. Tada je: S(r u ) = ν u i S(r v ) = ν v Dokaz: Fiksirajmo v i definišimo krivu α sa α = r(u, v). Prema Lemi imamo: S(r u (u, v)) = S(α (u)) = D α (u) ν = (ν α) (u) Ali (ν α) je jednako ν u. Slično, S(r v ) = ν v. Lema U proizvoljnoj tački P regularne površi M R 3, operator oblika je linearno preslikavanje iz M p u M p, odnosno: S : M p M p

24 1 POVRŠI 23 Dokaz: Da je S linearan sledi iz činjenice da je D a v +b w = ad v + bd w. Da bi pokazali da je S preslikavanje iz M p u M p diferenciraćemo jednakost ν ν = 1 pa koriščenjem leme imamo: 0 = v p [ν ν] = 2D vp ν ν(p) = 2S(v p ) ν(p), za bilo koji tangentni vektor v p. Kako je S(v p ) normalno na ν(p), ono mora biti tangenta na M; pa je S(v p ) M p. Na dalje ćemo uspostaviti bitnu vezu izmedju operatora oblika površi i ubrzanja krive na površi. Lema Ako je α regularna kriva na regularnoj površi M R 3 tada: α ν = S(α ) α Dokaz: Vršimo restirkciju vektorskog polja ν na krivu α i koristimo Lemu Pošto α(t) M za svako t, brzina α je uvek tangenta na M; zato je α ν = 0. Kada diferenciramo ovu jednačinu, i skoristimo Leme i zaključujemo α ν = ν α = S(α ) α Primetimo da α ν može biti geometrijski interpretirano kao komponenta ubrzanja od α koje je normalno na M. Prema tome operator oblika je u osnovi tangentno preslikavanje Gausovog preslikavanja. Lema Neka je M regularna površ u R 3 orijentisana jediničnom normalom vektorskog polja ν. Gledajmo na ν kao na Gausovo preslikavanje ν : M S 2 (1), gde je S 2 (1) označava jediničnu sferu u R 3. Ako je v p tangentni vektor na M u P M, onda je ν(v p ) paralelno sa S(v p ) M p. Dokaz: Iz Leme imamo : ν (v p ) = (v p [ν 1 ], v p [ν 2 ], v p [ν 3 ]) ν(p) S druge strane Lema nam ukazuje da: S(v p ) = D v ν = (v p [ν 1 ], v p [ν 2 ], v p [ν 3 ]) p Kako su vektori (v p [ν 1 ], v p [ν 2 ], v p [ν 3 ]) ν(p) i (v p [ν 1 ], v p [ν 2 ], v p [ν 3 ]) p paralelni, dokaz Leme je završen.

25 1 POVRŠI Izračunavanje operatora oblika Rad sa simetričnim linearnim operatorima je mnogo lakši nego sa opštim linearnim operatorima. Pokazaćemo da je operator oblika simetričan. Pokazujemo tu činjenicu. Lema Operator oblika regularne povši M je simetričan; tako da je: S(v p ) w p = v p S(w p ) za sve tangentne vektore v p,w p na M. Dokaz: Neka je r parametrizacija za M. Diferenciranjem formule ν r u = 0 po v dobijamo: 0 = (U x u) = ν v r u + ν r uv (1.10.1) v gde je ν v izvod vektorskog preslikavanja v ν(u, v) duž bilo koje v-parametarske krive. Kako je ν v = S(r v ) jednačina (1.10.1) postaje: slično: S(r v ) r u = ν r u,v (1.10.2) S(r u ) r v = ν r v,u (1.10.3) Iz (1.10.2) i (1.10.3) i činjenice da je r u,v = r v,u imamo: S(r u ) r v = ν r v,u = ν r u,v = S(r v ) r u (1.10.4) Dalje, neka je P M i v p, w p M. Biramo sada r tako da je R(u 0, v 0 ) = p. Onda možemo pisati: v p = a 11 r u (u 0, v 0 )+a 12 r v (u 0, v 0 ) w p = a 21 r u (u 0, v 0 )+a 22 r v (u 0, v 0 ) (1.10.5) Iz (1.10.3) sledi: S(v p ) w p = a 11 a 21 S(r u ) r u + a 11 a 22 S(r u ) r v + a 12 a21s(r v ) r u + a 12 a 22 S(r v ) r v = a 11 a 21 S(r u ) r u + (a 11 a 22 + a 12 a 21 )S(r u ) r v + a 21 a 22 S(r v ) r v =... = S(w p ) r p pa smo dokazali (1.10.1). Sada ćemo pokazati kako se operator oblika izražava u terminima E, F, G, L, M, N.

26 1 POVRŠI 25 Teorema ( Veingartenove 6 jednačine) Neka je r : U R 3 regularna površ. Tada je operator oblika S od r u terminu baze { r u, r v } dat sa MF LG S(r u ) = ν u = EG F r LF ME 2 u + EG F r v, (1.10.6) 2 NF MG S(r v ) = ν v = EG F r MF NE 2 u + EG F r 2 v (1.10.7) i može se prikazati u matričnom obliku sa: ( ) 1 LG MF LF + ME S = (1.10.8) EG F 2 MG NF MF + NE Dokaz: Pošto je r regularno, r u i r v lenearno nezavisni, možemo pisati: S(r u ) = ν u = a 11 r u + a 12 r v (1.10.9) S(r v ) = ν v = a 21 r u + a 22 r v, ( ) za neke funkcije a 11, a 12, a 21, a 22. Da bi pokazali (1.10.6) i (1.10.7) moramo izračunati koeficijente a 11, a 12, a 21, a 22 u (1.10.9) i ( ). Množimo skalarno jednačine (1.10.9) i ( ) sa r u i r v i dobijamo: L = a 11 E + a 12 F, ( ) M = a 11 F + a 12 G, ( ) M = a 21 E + a 22 F, ( ) N = a 21 F + a 22 G, ( ) Jednačine ( ),( ),( ),( ) se mogu jednostavnije napisati u matričnom obliku: ( ) ( ) ( ) L M a11 a = 12 E F M N a 21 a 22 F G pa je ( a11 a 12 a 21 a 22 ) ( L M = M N 6 Julius Weingarten ( ), nemački matematičar. ) ( E F F G ) 1

27 1 POVRŠI 26 onda imamo ( E F F G ) 1 = 1 EG F 2 ( G F F E ) ( ) tako da je ( a11 a 12 a 21 a 22 ) = = 1 EG F 2 1 EG F 2 ( ) ( ) L M G F M N F E ( LG MF LF + ME MG NF MF + NE ) Sada možemo zaključiti: a 11 = a 21 = MF LG EG F 2, NF MG EG F 2 a 12 = a 22 = LF ME EG F 2 MF NE EG F 2 Korišćenjem dobijenih vrednosti za a 11, a 12, a 21, a 22 i zamenom u (1.10.9) i ( ) dobijamo traženo u (1.10.6) i (1.10.7). Sada ćemo bez dokaza navesti dve teoreme vezane za operator oblika koje će nam u daljem radu biti od velike koristi. Teorema Sopstvene vrednosti matrice operatora oblika su upravo glavne krivine K 1 i K2 površi u datoj tački. Teorema Za Gausovu i srednju krivinu površi u datoj tački vazi: - determinanta matrice operatora oblika jednaka je K G ; - K S jednako je polovini vrednosti traga operatora oblika.

28 2 ROTACIONE POVRŠI 27 2 Rotacione površi Rotacione površi su jedna od jednostavnijih netrivijalnih klasa površi. Sfera,torus i paraboloid spadaju u grupu takvih površi. Mnogi objekti iz svakodnevnog života, kao što su konzerve i noge nameštaja su rotacione površi. U Sekciji 2.1 dajemo definiciju i osnovna svojstva rotacionih površi, dok u 2.2 razmatramo njihovu krivinu. Ostale Sekcije su vezane za bliže proučavanje Geodezijske krivine i Geodezijskih linija rotacione površi. 2.1 Definicija rotacione površi Rotacione površi nastaju obrtanjem (rotacijom) ravne krive oko prave u R 3. Preciznije: Definicija Neka je Π ravan u R 3, A prava u ravni Π, a C skup tačaka u Π. Kada se C rotira u R 3 oko A rezultujući skup tačaka M se naziva rotaciona površ generisana sa C. C se naziva profilna kriva površi M, dok je A osa rotacije za M. Zbog pogodnosti, biramo xz-ravan za Π, a z-osu za A. Za tačke skupa C možemo pretpostaviti da imaju parametrizaciju α : (a, b) C, koja je diferencijabilna. Pišemo α = (φ, ψ). Definicija Preslikavanje surfrev[α] : [0, 2π] R 3 definisano sa: surfrev[α](u, v) = (φ(v) cos u, φ(v) sin u, ψ(v)). (2.1.1) se naziva standardna parametrizacija rotacione površi M. Definicija Neka je C skup tačaka u ravni Π R 3, i neka je M[C] rotaciona površ u R 3 generisana rotacijom skupa C oko prave A Π. Presek proizvoljne ravni koja sadrži osu rotacione površi M[C] i površi M[C] naziva se meridijan na M[C]. Paralela na M[C] je presek prizvoljne ravni normalne na osu rotacione površi M[C] i površi M[C]. 2.2 Krivina rotacione površi Prvo računamo koeficijente prve i druge kvadratne forme, a onda i jediničnu normalu opšte rotacione površi. Lema Neka je M rotaciona površ sa profilnom krivom α = (φ, ψ), a r : U R 3 standardna parametrizacija (2.1.1) od M. Onda: E = φ 2, F = 0, G = φ 2 + ψ 2 (2.2.1)

29 2 ROTACIONE POVRŠI 28 r je regularno gde god su φ 0 i φ 2 + ψ 2 0. U tom slučaju: L = φ ψ φ 2 + ψ, M = 0, N = sign(φ)(φ ψ φ ψ ) (2.2.2) 2 φ 2 + ψ 2 A jedinična normala površi je data sa: ν(u, v) = sign(φ) (ψ cos u, ψ sin u, φ ) φ 2 + ψ 2 (2.2.3) Dokaz: Iz (2.1.1) imamo da su prvi parcijalni izvodi: { r u = ( φ(v) sin u, φ(v) cos u, 0), r v = (φ (v) cos u, φ (v) sin u, ψ (v)). (2.2.4) Onda (2.2.1) neposredno sledi iz (2.2.4) i definicija E, F, G. Slično drugi parcijalni izvodi od r su: r uu = ( φ(v) cos u, φ(v) sin u, 0), r uv = ( φ (v) sin u, φ (v) cos u, 0),. (2.2.5) r vv = (φ (v) cos u, φ (v) sin u, ψ (v)). Dalje računamo L, M, N korišćenjem napred navedenih obrazaca: L = 1 g [r uu, r u, r v ], M = 1 g [r uv, r u, r v ], N = 1 g [r vv, r u, r v ] gde je g = EG F 2 > 0. S toga imamo: r uu φ cos u φ sin u 0 det r u det φ sin u φ cos u 0 r v φ cos u φ sin u ψ L = = EG F 2 φ2 (φ 2 + ψ 2 ), = φ 2 ψ φ φ 2 + ψ 2 = φ ψ φ 2 + ψ 2 M = det r uv r u r v EG F 2 det = φ sin u φ cos u 0 φ sin u φ cos u 0 φ cos u φ sin u ψ φ2 (φ 2 + ψ 2 ) = 0,

30 2 ROTACIONE POVRŠI 29 N = det r vv r u r v EG F 2 det = φ cos u φ sin u ψ φ sin u φ cos u 0 φ cos u φ sin u ψ φ2 (φ 2 + ψ 2 ) = φ(φ ψ φ ψ ) φ = sign(φ)(φ ψ φ ψ ) φ 2 + ψ 2 φ 2 + ψ 2 Konačno za (2.2.3) koristimo (2.2.4) i računamo: = φ(φ ψ φ ψ ) φ φ 2 + ψ 2 ν = det i j k r u r v EG F 2 = det i j k φ sin u φ cos u 0 φ cos u φ sin u ψ φ2 (φ 2 + ψ 2 ). = (φψ cos u, φψ sin u, φφ ) φ = sign(φ) (ψ cos u, ψ sin u, φ ) φ 2 + ψ 2 φ 2 + ψ 2 Teorema Glavne krivine rotacione površi parametrizovane standardnom parametrizacijom (2.1.1) su date sa: K 1 = N = sign(φ)(φ ψ φ ψ ) G (φ 2 +ψ 2 ) 3/2 K 2 = L = ψ. (2.2.6) E φ φ 2 +ψ 2 Gausova krivina je data sa: dok je glavna data sa: K G = ψ 2 φ + φ ψ ψ φ(φ 2 + ψ 2 ) 2 (2.2.7) K S = φ(φ ψ φ ψ ) ψ (φ 2 + ψ 2 ) 2 φ (φ 3 + ψ 2 ) 3/2 (2.2.8) Dokaz: Pošto je F = M = 0 sledi da: { } r u r u, r v r v formiraju ortonormiranu bazu koja dijagonalizuje operator oblika S, kad god je r regularno. S toga iz Teoreme imamo:

31 2 ROTACIONE POVRŠI 30 S(r u ) = L E r u S(r v ) = N G r v (2.2.9) Tada je po Teoremi K 1 = N K G 2 = L. Sada (2.2.6) sledi iz (2.2.3) i E (2.2.2). Konačno (2.2.7) i (2.2.8) slede iz činjenica da je K G = K 1 K2 i K S = ( K 1 + K 2 )/2. Posledica Za rotacione površi važi da su krivine K G, K S, K1, K2 kao i funkcije E,F,G,L,M,N konstantne duž paralela. Dokaz: Sve ove funkcije se mogu izraziti preko φ, ψ i njihovih izvoda. Ali φ i ψ ne zavise od u. Posledica Neka je r standardna parametrizacija (2.1.1) rotacione površi u R 3 čija profilna kriva α = (φ, ψ) ima jediničnu brzinu. Onda je: E = φ 2, F = 0, G = 1 L = φ ψ, M = 0, N = sign(φ)(φ ψ φ ψ ), K 1 = sign(φ)(φ ψ φ ψ ), K2 = ψ φ, K S = 1 2 (sign(φ)(φ ψ φ ψ ) ψ φ ), K G = φ φ Dokaz: Pošto je 1 = α = φ 2 + ψ 2, sve formule osim poslednje neposredno slede iz (2.2.1), (2.2.2) i (2.2.6). Formula za K G sledi iz (2.2.7) i činjenice da je φ φ + ψ ψ = Ajnštajnova konvencija o sabiranju Derivacione formule I vrste i Kristofelovi simboli površi Da bi dalje izlaganje bilo konciznije i preglednije, koristimo označavanje pomoću indeksa. Na primer: u = u 1, v = u 2, E = g 11, F = g 12 = g 21, G = g 22, L = b 11, M = b 12 = b 21, N = b 22, r u = r u 1 = r 1, r v = r u 2 = r 2 r uu = r 11, r uv = r 12, r vv = r 22, (2.3.1)

32 2 ROTACIONE POVRŠI 31 tako da, na primer, koeficijente I kvadratne forme označavamo sa g ij, a koeficijente II kvadratne forme sa b ij. Za ove koeficijente sada imamo: g ij = r i r j, b ij = r ij ν = r i ν j = r j ν i (i, j = 1, 2) (2.3.2) Koeficijente prve kvadratne forme možemo prikazati matricom: ( ) g11 g 12 g 21 g 22 koju kraće označavamo samo sa (g ij ). Pri ovakvoj upotrebi gornjih i donjih indekasa, obično se koristi i takozvana Ajnštajnova 7 konvencija za sabiranje, koja se sastoji u tome da se po indeksu koji se u nekom momentu nalazi jednom kao donji, a drugi put kao gornji, podrazumeva sabiranje i bez znaka Σ. Na primer, jednačina ravni se može napisati : a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b a i x i = b Posmatrajmo površ: r = r(u 1, u 2 ), (u 1, u 2 ) U E 2 (2.3.3) Tada se drugi izvodi r jk = 2 r/ u j u k u nekoj tački mogu razložiti po vektorima pokretnog repera r 1,r 2, ν u toj tački: r jk = Γ 1 jkr 1 + Γ 2 jkr 2 + B jk ν = Γ p jk r p + B jk ν (p, j, k = 1, 2) (2.3.4) Indeks p po kome se sabira zove se nemi indeks, na osnovu njega dobijamo dva sabirka. Indeksi j, k u (2.3.4) su slobodni indeksi i svaki od njih odredjuje po dve jednačine, od kojih neke mogu biti identične. U (2.3.4) imamo na levoj strani r 11, r 12 = r 21, r 22, sa odgovarajućim desnim stranama, tj. ukupno tri jednačine. Dalje imamo: r jk = r kj Γ 1 jk = Γ 1 kj Γ 2 jk = Γ 2 kj B jk = B kj (2.3.5) Odredimo koeficijente razlaganja (2.3.4). Skalarnim množenjem iz (2.3.4) na osnovu (2.3.2) sledi: r jk ν = B jk B jk = b jk = r jk ν, (2.3.6) 7 Albert Einstein ( ) - Nemački fizičar.

33 2 ROTACIONE POVRŠI 32 r 1 r jk = Γ 1 jkg 11 + Γ 2 jkg 12 = Γ p jk g 1p, r 2 r jk = Γ p jk g 2p. (2.3.7) Prema (2.3.6) vidimo da su koeficijenti B jk = b jk = b kj ustvari koeficijenti II kvadratne forme. Ako uvedemo oznaku Γ i.jk = r i r jk, jednačine (2.3.7) se mogu zapisati kao jedna jednačina: Γ i.jk = r i r jk = g ip Γ p jk. (2.3.8) Jednačina (2.3.4) se sad na osnovu (2.3.6) može napisati u obliku: r jk = Γ p jk r p + b jk ν. (2.3.9) Prema (2.3.8) i (2.3.9) je: Γ i.jk = Γ i.kj, Γ i jk = Γ i kj. (2.3.10) Definicija Jednačina (2.3.4) se zove derivaciona formula (jednačina) I vrste površi r = r(u 1, u 2 ), veličine Γ i.jk su Kristofelovi simboli I vrste, a veličine Γ i jk - Kristofelovi 8 simboli II vrste. Teorema Neka je r = r(u 1, u 2 ) zadata površ. Kristofelovi simboli se mogu prikazati u obliku Γ k ij = r ij, r l g lk, gde je g ij inverzna matrica matrice g ij. Definicija Za koeficijente prve kvadratne forme površi definišemo: g ij;k = (g u k ij ). Teorema Kristofelovi simboli se mogu izraziti preko koeficijenata prve kvadratne forme u obliku: Γ k ij = 1 2( gij;j g ij,l + g jl;i ) g lk, gde je g ij inverzna matrica matrice g ij. 8 Elwin Bruno Christoffel ( ) - Nemači matematičar

34 2 ROTACIONE POVRŠI Geodezijska krivina krive na površi i geodezijske linije Posmatrajmo na površi (Slika 2.4.1): r = r(u 1, u 2 ) (2.4.1) krivu: C : r = r[u 1 (s), u 2 (s)]. (2.4.2) Slika Obrazac (1.8.4) I Glave za vektor krivine ove krive možemo napisati: K = r = Kn = Kν + λ 1 r 1 + λ 2 r 2 = Kν + λ p r p = K ν + K g = MP (2.4.3) gde je vektor normalne krivine: K ν = Kν = MN (2.4.4) a vektor geodezijske krivine: K g = λ p r p = MG (2.4.5) koji predstavlja normalnu projekciju vektora K na tangentnu ravan u tački M. Nameravamo da sada to proučimo. Sa slike imamo: t ν t n t ravan(ν, n) t MG = K g

35 2 ROTACIONE POVRŠI 34 jer MG leži u ravni (ν, n). Normalni vektor ν orijentišimo na onu stranu od tangentne ravni, na koju je orijentisan vektor glavne normale krive r = MP = Kn. Vektor MG = K orijentiše se tako da se orijentacija triedra g t, K, ν poklapa sa orijentacijom triedra r 1, r 2, ν (oba desni iku oba levi). g Intezitet vektora geodezijske krivine se zove geodezijska krivina krive na površi: = K = MG. (2.4.6) g Prema slici je: K g K = MN = MP cos θ, K g = MP sin θ, tj. K = K cos θ, K g = K sin θ, (2.4.7) gde je K krivina krive C. Definicija Geodezijska linija je kriva na površi, u čijoj je svakoj tački geodezijska krivina nula. Teorema Kriva C : r = r[u 1 (s), u 2 (s)] je geodezijska linija na površi r = r(u 1, u 2 ), ako i samo ako je ispunjen bilo koji od uslova: a) C je prava ili je u svakoj tački glavna normala krivine kolinearna sa normalom površi; b) [r, r, ν] = 0; c) oskulatorna ravan krive sadrži normalu površi; d) I krivina krive se po apsolutnoj vrednosti poklapa sa normalom krivinom. Lema Kriva C koja zadovoljava geodezijske jednačine je konstantne brzine.

36 2 ROTACIONE POVRŠI Geodezijske linije rotacione površi Teorema Za Kristofelove simbole rotacione površi: važi Γ 1 11 = Γ 1 22 = 0 i Γ 1 12 = f df dφ f 2. x(u, v) = (f(v) cos u, f(v) sin u, g(v)) Dokaz: Za ovu rotacionu površ koeficijente prve kvadratne forme prikazujemo matricom: ( ) f 2 0 (g ij ) = ( 0 df ) 2 ( dφ + dg ) 2 dφ Kako za koeficijente van glavne dijagonale važi g 12 = g 21 = 0, koeficijenti inverzne matrice zadovoljavaju: g ii = 1 g ii. (2.5.1) Kako g ii zavisi samo od φ imamo θ (g ii) = 0. Tako važi: g ii;1 = 0 (2.5.2) Izračunajmo Kristofelove simbole Γ 1 ij (za k = 1 u Teoremi(2.3.2)). Po formulama (2.5.1) i (2.5.2) zaključujemo: Slično: Γ 1 11 = 1 2g 11 ( g11;1 g 11;1 + g 11;1 ) = 0 Γ 1 11 = 1 d ( ) g 11;2 g11;2 g 12;1 + g 12;1 = 2g 11 2g11 = (f 2 ) dφ 2f 2 = f df dφ f 2, dok: Γ 1 22 = 1 2g 11 ( g12;2 g 22;1 + g 12;2 ) = g 12;2 g 11 = d (0) dφ = 0. g 11 Napomena: Na dalje ćemo za krivu C : x[u(s), v(s)] i površ x = x(u, v) na kojoj se nalazi ta kriva koristiti sledeću notaciju: u = du ds u = d2 u ds 2 v = dv ds v = d2 v ds 2

37 2 ROTACIONE POVRŠI 36 Napomena: Za rotacionu površ datu prametrizacijom x(u, v) = (f(v) cos u, f(v) sin u, g(v)) koristićemo notaciju: f = df v f = d2 f dv 2 g = dg dv g = d2 g dv 2 Teorema Po uvedenoj notaciji Kristofelovi simboli rotacione površi x(u, v) = (f(v) cos u, f(v) sin u, g(v)) su dati sa:. Γ 1 11 = Γ 1 22 = Γ 2 12 = 0, Γ 1 12 = ff f 2 Γ 2 22 = f f + g g (f ) 2 + (g ) 2 Γ 2 ff 11 = (f ) 2 + (g ) 2 Teorema (Geodezijske jednačine) Kriva C : x[u(s), v(s)] površi x = x(u, v) je geodezijska linija te površi ako i samo ako su zadovoljene sledeće dve jednačine: u + Γ 1 11(u ) 2 + 2Γ 1 12u v + Γ 1 22(v ) 2 = 0 (2.5.3) v + Γ 2 11(u ) 2 + 2Γ 2 12u v + Γ 2 22(v ) 2 = 0 (2.5.4) Jednačine (2.5.3) i (2.5.4) možemo korisrtiti za lokalno pručavanje geodezijskih linija rotacione površi koja je data parametrizacijom: x(u, v) = (f(v) cos u, f(v) sin u, g(v)) Zamenom vrednosti Kristofelovih simbola iz Teoreme u Teoremu za datu rotacionu površ dobijamo: v u + 2ff f 2 u v = 0 (2.5.5) ff (f ) 2 + (g ) 2 (u ) 2 + f f + g g (f ) 2 + (g ) 2 (v ) 2 = 0 (2.5.6) Sada ćemo izvesti neke zaključke iz ovih jednačina. Prvo, kao što je očekivano, u = const i v = (s) (s je dužina luka) su geodezijske linije. Zaista, jednačina (2.5.5) je trivijalno zadovoljena za u = const. Druga jednačina je oblika: v + f f + g g (f ) 2 + (g ) 2 (v ) 2 = 0

38 2 ROTACIONE POVRŠI 37 Kako za prvu fundamentalnu formu duž meridijana u = const v = v(s) važi: zaključujemo: Diferenciranjem imamo: odnosno, pošto je v 0, ((f ) 2 + (g ) 2 )(v ) 2 = 1 (v ) 2 = 1 (f ) 2 + (g ) 2 2v v = 2(f f + g g ) ((f ) 2 + (g ) 2 ) 2 v = 2(f f + g g ) (f ) 2 + (g ) 2 (v ) 3 v = (f f + g g ) (f ) 2 + (g ) 2 (v ) 2 ; tako je duž meridijana zadovoljena i jednačina (2.5.6), na osnovu čega zaključujemo da su meridijani geodezijske linije. Sada ćemo odrediti koje paralele v = const u = u(s) (s je dužina luka) su geodezijske linije na rotacionoj površi. Iz jednačine (2.5.5) dobijamo u = const a jednačina (2.5.6) je oblika: ff (f ) 2 + (g ) 2 (u ) 2 = 0 Da bi v = const u = u(s) bila geodezijska linija neophodno je da je u 0. Kako je (f ) 2 +(g ) 2 0 i f 0, iz jednačine iznad zaključujemo da je f = 0. Drugim rečima, neophodan uslov da bi paralela rotacione površi bila geodezijska linija na njoj, je da paralela mora biti generisana rotacijom tačke profilne krive u kojoj je tangenta paralelna osi rotacije. Iz jednačine (2.5.5), poznate kao Klerova relacija, možemo dobiti zanimljive geometrijske posledice. Ova jednačina može biti zapisana u obliku: s toga, (f 2 u ) = f 2 u + 2ff u v = 0 f 2 u = const = c. S gruge strane, ugao θ, 0 θ π/2, izmedju geodezijske linije i paralele koja je preseca je dat sa: cos θ = x u, x u u + x v v x u = fu,

39 2 ROTACIONE POVRŠI 38 gde je {x u, x v } pridružena baza date parametrizacije. Kako je f = r radijus paralele u presečnoj tački dobijamo Klerovu relaciju: r cos θ = const = c. U sledećem primeru ćemo pokazati koliko je ova relacija korisna. Razmotrimo sada bliže jednačine (2.5.5) i (2.5.6). Neka je u = u(s), v = v(s) (s dužina luka) geodezijska linija koja nije ni meridijan ni paralela rotacione površi. Jednačina (2.5.5) je tada oblika f 2 u = const 0. Prva fundamentalna forma je duž (u(s), v(s)), ( ) 2 ( ) 2 du dv 1 = f 2 + ((f ) 2 + (g ) 2 ), (2.5.7) ds ds Zapravo, za- što je sa jednačinom (2.5.5) ekvivalentno jednačini (2.5.6). menom f 2 u = c u jednačini (2.5.7), zaključujemo: ( ) 2 dv ((f ) 2 + (g ) 2 ) = c2 ds f + 1; 2 pa diferenciranjem po s dobijamo: 2 dv d 2 v ds ds ((f ) 2 + (g ) 2 ) + 2 ( dv ds ) 2 (2f f + 2g g ) dv ds = 2ff c 2 dv f 4 ds, što je ekvivalentno jednačini (2.5.6), pošto u(u(s), v(s)) nije paralela. S druge strane, kako je c 0 (pošto geodezijska linija nije meridijan) imamo u (s) 0. Množenjem jednačine (2.5.7) sa (ds/du) 2, dobijamo: ( ) 2 ( ) 2 ds dv = f 2 + ((f ) 2 + (g ) 2 ds ) du ds du ili, koriśćenjem činjenice da je (ds/du) 2 = f 4 /c 2,: f 2 = c 2 + c 2 (f ( ) 2 + (g ) 2 dv f 2 du pa je: S toga je: u = c dv du = 1 c f f 2 c 2 (f ) 2 + (g ). 2 ) 2 1 (f ) 2 + (g ) 2 dv + const f f 2 c 2 što predstavlja jednačinu segmenta geodezijske linije rotacione površi koja nije niti paralela niti meridijan.

40 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 39 3 Primeri rotacionih površi U ovoj sekciji se bliže upoznajemo sa primerima rotacionih površi i razmatramo njihova bitnija svojstva. Za njihovu vizuelizaciju koristimo programski paket Matematica. 3.1 Pseudosfera (Pseudosphere) Pseudosfera je rotaciona površ konstantne negativne Gausove krivine koja nastaje rotacijom traktrise oko njene asimptote. Parametarska jednačina traktrise je: x(t) = a(t tanh t) y(t) = asecht pa je s toga parametarska jednačina pseudosfere: za u (, ) i v [0, 2π). x = sechu cos v y = sechu sin v z = u tanh u Ova površ može biti prikazana i u sledećem obliku: [ ( ) z 2 = a sech 1 x2 + y 2 ] 2 a a 2 x 2 y 2 (3.1.8) Ostale parametrizacije pseudosfere: x = cos u sin v y = sin u sin v (3.1.9) z = cos v + ln[tan( 1v)] 2 za u [0, 2π) i v (0, π), i x = φ(v) cos u y = φ(v) sin u z = ψ(v) za u [0, 2π) i v (, ) gde: (3.1.10)

41 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 40 { e v, v < 0 φ(v) = e v, v 0 ( 1 1 e 2v tanh ) 1 e 2v, v < 0 ψ(v) = ( ln e v + ) e 2v 1 e v e 2v 1, v 0 Za iscrtavanje pseudosfere u programskom paketu Mathematica možemo koristiti sledeći kod: ParametricPlot3D[{Cos[u] Sin[v],Sin[u] Sin[v],Cos[v] + Log[Tan[v/2]]}, {u,0,2 \[Pi]},{v,0,\[Pi]}] Slika 3.1. Pseudosfera i presek pseudosfere Po prvoj parametrizaciji (3.1.1) koeficijenti prve kvadratne forme su: a druge kvadratne forme: E = tanh 2 u F = 0 G = sech 2 u. L = sech u tanh u M = 0 N = sech u tanh u. Gausova i srednja krivina pseudosfere su: K G = 1 K S = 1 (sinh u cosh u). 2

42 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI Katenoid (Catenoid) Katenoid je trodimenziona površ koja nastaje rotacijom katemptote oko x- ose. Ukoliko ne računamo ravan, to je prva otkrivena minimalna površ. Njeno otkriće da je minimalna se pripisuje Ojleru, koji je pisao o katenoidu u svojoj knjizi Metode za nalaženje krivih linija koje poseduju osobine maksimuma ili minimuma objavljenoj godine. Za u [0, 2π), v R, parametarska jednačina katenioda je: ( ) v x = c cosh cos u c ) sin u y = c cosh z = v ( v c Koeficijenti prve kvadratne forme su: ) (3.2.1) E = c 2 cosh 2 ( v c F = 0 G = cosh 2 ( v c ). a druga kvadratna forma ima koeficijente: L = c M = 0 N = 1 c. Glavne krivine su: K 1 = K 2 = c cosh 1 c cosh ( ) 2 v c 1 ( ) 2 v c Gausova i srednja krivina katenoida su:

43 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 42 K G = K S = 0. 1 c 2 cosh ( ) 4 v c Za iscrtavanje katenoida u programskom paketu Mathematica možemo koristiti sledeći kod: ParametricPlot3D[{Cosh[v]Cos[u],Cosh[v]Sin[u],v},{u,0,2 \[Pi]}, {v,-\[pi]/2,\[pi]/2}] Slika 3.2. Katenoid i presek katenoida Teorema Neka je M rotaciona površ koja je ujedno i minimalna površ. Tada je M sadržana ili u ravni ili u nekom katenoidu. Dokaz: Neka je r preslkavanje čiji je trag sadržan u M, i neka je α = (φ, ψ) profilna kriva. Pretpostavimo da je r dato sa (2.1.1). Razlikujemo 3 slučaja. Slučaj 1. ψ 0. Tada je ψ konstanta, pa je α horizontalna linija i M je deo ravni koja je normalna na osu rotacije. Slučaj 2. ψ 0 t. Tada po teoremi o inverznoj funkciji ψ ima inverz ψ 1. Definišimo: α(t) = α ( ψ 1 (t) ) = ( h(t), t ), gde je h = φ ψ 1, a novo preslikavanje x je dato sa: x(u, v) = ( h(v) cos u, h(v) sin u, v ). Kako je α reparametrizacija od α, sledi da r i x imaju isti trag. Ovo nam je dovoljno da pokažemo da je rotaciona površ x deo katenoida. Jednačine (2.2.6) su oblika: { K1 = N G = h (h 2 +1) 3/2 K 2 = L E = 1 h h 2 +1 (3.2.2)

44 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 43 Iz pretpostavke da je K S = 0 i (2.2.2) sledi da h mora zadovoljavati diferencijalnu jednačinu: h h = 1 + h 2 (3.2.3) Da bi rešili (3.2.3) pišemo je prvo u obliku: 2h h 2h = 1 + h 2 h (3.2.4) Integralimo obe strane u (3.2.4); rezultat je: log(1 + h 2 ) = log(h 2 ) log(c 2 ) za neku konstantu c 0. Prethodna jednačina ekvivalentna je sa: 1 + h 2 = ( h c ) 2 (3.2.5) S druge strane ova diferencijalna jednačina može biti zapisana u obliku: h /c (h/c)2 1 = 1 c (3.2.6) Integralimo obe strane u (3.2.6), pa imamo: ( ) cosh 1 h = v c c + b. Tako da je rešenje jednačine (3.2.3): pa je M deo katenoida. h(v) = c cosh( v c + b) Slučaj 3. ψ je nula u nekim tačkama, a nenula u drugim. Zapravo ovaj slučaj je nemoguć. Pretpostavimo da je, na primer, ψ (v 0 ) = 0, ali ψ (v) > 0 za v < v 0. Iz Slučaja 2. sledi da je profilna kriva katemptota za v < v 0 čiji je nagib dat sa φ /ψ. Tada iz ψ (v 0 ) = 0 sledi da nagib ima beskonačnu vrednost u tački v 0. Kako je profilna kriva grafik funkcije cosh ovo je nemoguće.

45 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI Ding-dong površ (Ding-dong surface) Ding-dong površ je je rotaciona površ data jednačinom: x 2 + y 2 = (1 z)z 2 Ova površ može biti prikazana i u parametarskom obliku: x = a v 1 v cos u y = a v 1 v sin u z = a v (3.3.1) za u [0, 2π) i v (, 1). Prema ovoj parametrizaciji koeficijenti prve kvadratne forme su: a druge: E = a 2 v 2 (1 v) F = (9v 16)v G = a 4(1 v) L = M = 0 N = 2a(v 1) v (9v 16)v + 8 (4 3v) a sgn(v) 2(v 1) (9v 16)v + 8. U programskom paketu Mathematica, za iscrtavanje ding dong površi možemo koristiti kod: ParametricPlot3D[{vSqrt[1-v]Cos[u],vSqrt[1-v]Sin[u],v},{u,0,2 \[Pi]}, {v,-\[pi]/2,\[pi]/2}] Slika 3.3. Ding dong površ

46 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 45 Gausova i srednja krivina su date sa: K G = K S = 4(4 3v) a 2 v[8 + v(9v )] 2 2[4 + 3(v 2)v] v [8 + v(9v )] 3 / Osmica površ (Eight surface) Parametarska jednačina osmice površi je date sa: x = cos u sin(2v) y = sin u sin(2v) z = sin v za u [0, 2π) i v [ π/2, π/2]. Osmicu površ možemo iscrtati u Mathematica-i korišćenjem koda: ParametricPlot3D[{Cos[u]Sin[2v],Sin[2v]Sin[u],Sin[v]},{u,0,2 \[Pi]}, {v,-\[pi]/2,\[pi]/2}] (3.4.1) Slika 3.4. Osmica površ Ova površ nosi takvo ime jer se dobija rotacijom figure osmice. jednačina u implicitnom obliku je: Njena 4z 4 + a 2 (x 2 + y 2 4z 2 ) = 0

47 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 46 koja transformacijom z z/2 dobija oblik: Koeficijenti prve kvadratne forme su: z 4 + 4a 2 (x 2 + y 2 z 2 ) = 0. E = a 2 F = 0 sin 2 (2v) G = 1 2 a2 [5 + cos(2v) + 4 cos(4v)]. a druge: L = 4 2 cos 3 v sin 2 v sin(2v) 5 + cos(2v) + 4 cos(4v) M = 0 N = 2 2[5 cos v + cos(3v)] sin 2 v sin(2v) 5 + cos(2v) + 4 cos(4v). Gausova i srednja krivina su date sa: K G = K S = 4[2 + cos(2v)] [5 + cos(2v) + 4 cos(4v)] 2 cos v [ cos(2v) 2 cos(4v)]. 2 sin(2v) [5 + cos(2v) + 4 cos(4v)] 3/2 Gausova krivina u implicitnom obliku može biti prikazana sa: K G (x, y, z) = 3.5 Torus (Torus) 3a 6 2a 4 z 2 (5a 4 17 a 2 z z 4 ) 2 Torus je rotaciona površ koja se dobija rotacijom kružnice u trodimenzionom prostoru oko ose komplanarne sa kružnicom. Ako osa rotacije ne dodiruje kružnicu površ ima oblik prstena i naziva se prstenasti torus ili samo torus. U slučaju da je osa rotacije tangenta kružnice dobijena površ se naziva rog torus, a kada za osu rotacije uzmemo tetivu kružnice rezultujuća površ je vretenasti torus.

48 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 47 Kao takva površ torus ima rupu. Ako označimo sa c radijus od centra rupe do centra torusa, a sa a radijus torusa dolazimo do njegove parametarske jednačine u obliku: x = (c + a cos v) cos u y = (c + a cos v) sin u (3.5.1) z = a sin v za u, v [0, 2π) Prstenasti torus (Ring torus) Parametarska jednačina prstenastog torusa je istog oblika kao i jednačina (3.5.1), s tim što se uzima u obzir da je c > a. Za njegovo iscrtavanje možemo koristiti kod: ParametricPlot3D[{(3+Cos[v])Cos[u],(3+ Cos[v])Sin[u],Sin[v]},{u,0,2\[Pi]}, {v,0,2\[pi]}] Slika 3.5. Prstensti torus i njegov presek Koeficijenti prve kvadratne forme su: E = (c + a cos v) 2 F = 0 G = a 2 dok za koeficijente gruge kvadratne forme dobijamo: L = (c + a cos v) cos v M = 0 N = a Gausova i srednja krivina su date sa: cos v K G = a(c + a cos v) c + 2a cos v K S = 2a(c + a cos v).

49 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI Rog torus (Horn torus) Uzimajući u jednačini (3.5.1) da je c = a dobijamo parametarsku jednačinu rog torusa x = a(1 + cos v) cos u y = a(1 + cos v) sin u (3.5.1) z = a sin v za u, v [0, 2π). Za iscrtavanje rog torusa u programskom paketu Mathematica možemo koristiti kod: ParametricPlot3D[{(1+Cos[v])Cos[u],(1+Cos[v])Sin[u],Sin[v]},{u,0,2\[Pi]}, {v,0,2\[pi]}] Slika 3.6. Rog torusa i njegov presek Za koeficijente prve kvadratne forme dobijamo: E = 4a 2 cos 4 ( 1 2 v) F = 0 G = a 2. dok su koeficijenti druge kvadratne forme rog torusa: L = 2 a cos ( 2 1) cos v 2 M = 0 N = a

50 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI Vretenasti torus (Spindle torus) Kod vretenastog torusa parametarska jednačina, formule za koeficijente prve i druge kvadratne forme i formule za izračunavanje srednje i Gausove krivine su iste kao i kod prstenastog torusa, s tim što se uzima u obzir da je c < a. Za iscrtavanje ove površi u Mathematica-i možemo koristiti kod: ParametricPlot3D[{(1+3Cos[v])Cos[u],(1+3Cos[v])Sin[u],Sin[v]},{u,0,2\[Pi]}, {v,0,2\[pi]}] Slika 3.7. Vretenasti torusa i njegov presek 3.6 Fanel površ (levak) (Funnel surface) Fanel površ nastaje rotacijom krive ln x oko z - ose. implicitnom obliku glasi: Njena jednačina u z = 1 2 a ln(x2 + y 2 ) dok je njen parametarski oblik: x = u cos v y = u sin v z = a ln u za u > 0 i v [0, 2π). Ovu površ mozemo iscrtati korišćenjem koda: (3.6.1) ParametricPlot3D[{uCos[v],u Sin[v],1/u},{u,0.11,2},{v,0,2\[Pi]}]

51 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 50 Slika 3.8. Fanel površ i njen presek Koeficijenti prve kvadratne forme su: E = 1 + a2 u 2 F = 0 G = u 2. dok za koeficijente druge kvadratne forme dobijamo: a L = u a 2 + u 2 M = 0 a u N = a2 + u. 2 Gausova i srednja krivina ove površi su: a 2 K G = (a 2 + u 2 ) 2 K S = a 3 2 u(a 2 + u 2 ) 3/2. Gausova krivina može u implicitnom obliku biti zadata sa: a 2 K G (x, y, z) = (a 2 + e 2z/a ) 2

52 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI Gavrilova truba (Gabriel s horn) Gavrilova truba (poznata takodje i kao Toričelijeva truba) je rotaciona površ koja se dobija rotacijom krive y = 1 oko x - ose za x 1. Njeno ime se x odnosi na tradiciju identifikovanja arhangela Gavrila sa andjelom koji duva u trubu da najavi sudnji dan. Njena parametarska jednačina je data sa: Korišćenjem koda: x = u y = a cos v u z = a sin v u (3.7.1) ParametricPlot3D[{u,Cos[v]/u,Sin[v]/u},{u,0.1,5},{v,-2\[Pi],2\[Pi]}] možemo iscrtati ovu površ. Slika 3.9. Gavrilova truba i njen presek Koeficijenti prve kvadratne forme su: E = 1 + a2 u 4 F = 0 G = a2 u 2.

53 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 52 dok za drugu kvadratnu formu dobijamo: 2a L = u a 2 + u 4 M = 0 a u N = a2 + u. 4 Gausova i srednja krivina Gavrilove trube su: Implicitni oblik Gausove krivine je: K G = 2u6 (a 2 + u 4 ) 2 K S = u7 a 2 u 3 2a(a 2 + u 4 ) 3/2. 2x 2 K G (x, y, z) = 2a 2 + x 4 + (y 2 + z 2 ) Jednograni hiperboloid (One-sheeted hyperboloid) Jednograni hiperboloid je površ koja se dobija rotacijom hiperbole oko simetrale duži koja sparaja fokuse te hiperbole. U implicitnom obliku ova površ je zadata sa: x 2 + y 2 a 2 z2 c 2 = 1 gde je a Parametarska jednačina ove površi je: x = a 1 + u 2 cos v y = a 1 + u 2 sin v z = c u za u R, v [0, 2π) Druge parametrizacije ove površi, koje se sreću su: x = a(cos u v sin u) y = a(sin u ± v cos u) z = ±c v (3.8.1) (3.8.2)

54 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 53 i x = a cosh v cos u y = a cosh v sin u z = c sinh v (3.8.3) Za iscrtavanje jednogranog hiperboloida u programskom paketu Mathematica možemo koristiti sledeći kod: ParametricPlot3D[{Sinh[u]Cos[v],Sinh[u]Sin[v],Cosh[u]},{u,-3,3},{v,0,2\[Pi]}] Slika Jednograni hiperboloid Koeficijenti prve kvadratne forme su dati sa: E = c 2 + a2 u 2 u F = 0 G = a 2 (u 2 + 1). dok za drugu kvadratnu formu imamo: a c L = ( ) 1 + u 2 c 2 + ( a 2 + c 2) u 2 M = 0 N = a c ( 1 + u 2) c 2 + ( a 2 + c 2) u 2. Gausova i srednja krivina su: c 2 K G = [ c2 + ( a 2 + c 2) u 2] 2 K S = c2[ a 2( u 1 ) + c 2( u )] 2a [ c 2 + ( a 2 + c 2) u 2] 3/2.

55 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 54 Implicitni oblik Gausove krivine je: K G (x, y, z) = ( c4 + a 2 z 2 + c 2 z 2) 2. c Dvograni hiperboloid (Two-sheeted hyperboloid) Dvograni hiperboloid nastaje rotacijom hiperbole oko prave koja spaja njene fokuse. U implicitnom obliku se zadaje sa: x 2 + y 2 a 2 z2 c 2 = 1, gde je a Parametarska jednačina dvogranog hiperboloida je: x = a sinh u cos v y = a sinh u sin v z = c cosh u (3.9.1) za u R, v [0, π). Slika Dvograni hiperboloid Koeficijenti prve kvadratne forme su: E = 1 ( (a 2 + c 2 ) cosh(2u) + a 2 c 2) 2 F = 0 G = a 2 sinh 2 u.

56 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 55 Za drugu kvadratnu formu imamo: 2a c u sinh u L = u sinh u (a 2 + c 2 ) cosh(2u) + a 2 c 2 M = 0 2a c sgn u sinh u sinh u N = (a2 + c 2 ) cosh(2u) + a 2 c. 2 Za Gausovu krivinu ove površi imamo: K G = 4c 2 ( (a2 + c 2 ) cosh(2u) + a 2 c 2) 2, dok je njen implicitni oblik: K G (x, y, z) = c 6 [c 4 (a 2 + c 2 )z 2 ] Poljubac površ (Kiss surface) Jednačina ove površi je: x 2 + y 2 = (1 z)z 4 i veoma je slična jednačini ding-dong površi. Ova površ nosi takvo ime jer je njen oblik sličan obliku Herši Cokoladnog poljupca (brend čokolade koji proizvodi Herši komapanija). Njena parametarska jednačina je: x = av 2 1 v cos u 2 y = av 2 1 v sin u 2 z = av za u [0, 2π) i v R. Za isrtavanje ove površi u Mathematica-i moze se koristiti kod: (3.10.1) ParametricPlot3D[{v^2 Sqrt[(1 - v)/2] Cos[u],v^2Sqrt[(1-v)/2]Sin[u],v}, {u,0,2\[pi]},{v,-1.5,2}]

57 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 56 Slika Poljubac površ i njen presek Koeficijenti prve kvadratne forme ove površi su: E = 1 2 a2 (1 v)v 4 F = 0 a za drugu kvadratnu formu imamo: L = G = a2( 8 8v + 16v 2 40v v 4). 8(v 1) M = 0 N = Gausova i srednja krivina su: 2a(v 1)v 2 8 8v + 16v2 40v v 4 a ( 8 24v + 15v 2) 2(1 v) 8 8v + 16v 2 40v v ( 8 24v + 15v 2) K G = a 2 v 2( 8 8v + 16v 2 40v v 4) 2 4 ( 4 4v + 4v 2 8v 3 + 5v 4) K S = av 2( 8 8v + 16v 2 40v v 4). 3/2 Implicitni oblik Gausove krivine je: K G (x, y, z) = 16(8 24z + 15z 2 ) z 2( 8 8v + 16v 2 40v v 4) 2

58 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI Elipsoid (Ellipsoid) Elipsoid je površ koja nastaje rotacijom elipse oko jedne od njenih glavnih osa. Njena jednačina je oblika: gde su a, b i c dižine njenih poluosa. x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 Ako je dužina dveju osa elipse jednaka, dobijena površ se naziva sferoid (zavisno od toga da li je c < a ili c > a, imamo ispupčeni ili izduženi sferoid redom), a ako su sve tri ose jednake u pitanju je sfera. Elipsoid može biti u parametaskom obliku prikazan sa: x = a cos u sin v y = b sin u sin v (3.11.1) z = c cos v za u [0, 2π) i v [0, π]. Slika Elipsoid Po ovoj parametrizaciji, koeficijenti prve kvadratne forme su: ( ) E = b 2 cos 2 u + a 2 sin 2 u sin 2 v ) F = (b 2 a 2 cos u sin u cos v sin v ( ) G = a 2 cos 2 u + b 2 sin 2 y cos 2 v + c 2 sin 2 v.

59 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 58 dok za drugu dobijamo: L = abc sin 2 v a 2 b 2 cos 2 v + c 2( b 2 cos 2 u + a 2 sin 2 u ) sin 2 v M = 0 abc N = a 2 b 2 cos 2 v + c 2( b 2 cos 2 u + a 2 sin 2 u ). sin 2 v Gausova krivina je data sa: K G = a 2 b 2 c 2 [ a2 b 2 cos 2 v + c 2( b 2 cos 2 u + a 2 sin 2 u ) sin 2 v ] 2 a srednja krivina sa: K S = abc[ 3 ( a 2 + b 2) + 2c 2 + ( a 2 + b 2 2c 2) cos(2v) 2 ( a 2 b 2) cos(2u) sin 2 v ] 8 [ a 2 b 2 cos 2 v + c 2( b 2 cos 2 u + a 2 sin 2 u ) sin 2 v ] 3/ Sferoid (Spheroid) Sferoid je elipsoid koji ima jednake dve ose. Po dogovoru, ose koje su različite dužine označavamo sa a i c. Takodje, sferoid je orijentisan tako da je osa rotacije simetrična duž z -ose. Njegova parametarska jednačina je data sa: x = a cos u sin v y = a sin u sin v (3.11.1) z = c cos v za u [0, 2π) i v [0, π]. Jednačina u implicitnom obliku je: x 2 + y 2 a 2 + z2 c 2 = 1 Ako je a > c, sferoid je ispupčen. Ako je a < c za sferoid kazemo da je izdužen. U slučaju kada je a = c dobijamo sferu. Izdužen sferoid možemo iscrtati korišćenjem koda: ParametricPlot3D[{Cos[u]Sin[v],Sin[u]Sin[v],2Cos[v]},{u,0,2\[Pi]}, {v,0,\[pi]}]

60 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 59 Slika Izdužen sferoid i njegov presek Za iscrtavanje ispupčenog sferoida u programskom paketu Mathematica možemo koristiti kod: ParametricPlot3D[{3Cos[u]Sin[v],3Sin[u]Sin[v],Cos[v]},{u,0,2\[Pi]}, {v,0,\[pi]}] Slika Ispupčen sferoid i njegov presek U navedenoj parametrizaciji koeficijenti prve kvadratne forme su: E = a 2 sin 2 v F = 0 G = 1 a 2[ 2 + c 2 + ( a 2 c 2) cos(2v) ].

61 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 60 dok za koeficijente druge kvadratne forme imamo: 2ac sin 2 v L = [a2 + c 2 + ( a 2 c 2) cos(2v) ] M = 0 2ac N = [a2 + c 2 + ( a 2 c 2) cos(2v) ]. Gausova i srednja krivina su redom date jednačinama: K G = 4c 2 [ a2 + c 2 + ( a 2 c 2) cos(2v) ] 2 K S = c[ 3a 2 + c 2 + ( a 2 c 2) cos(2v) ] 2a [ a2 + c 2 + ( a 2 c 2) cos(2v) ] 3/ Sfera (Sphere) Za sferu važe iste jednačine kao i za sferoid, samo što se uzima da je a = c. Bitno je primetiti da sfera ima konstantnu Gausovu i srednju krivinu: K G = 1 a 2 K S = 1 a, što je čini veoma zanimljivom površi. U programskog paketa Mathematica sferu možemo iscrtati korišćenjem koda: ParametricPlot3D[{Cos[u]Sin[v],Sin[u]Sin[v],Cos[v]},{u,0,2\[Pi]}, {v,0,\[pi]}] Slika Sfera i njen presek

62 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI Površ uparivanja dva koaksijalna cilindra različitih poluprečnika (Poverhnostь soprьжeni dvuh soosnyh cilindrov raznyh diametrov) Površ uparivanja dva koaksijalna cilindra različitih poluprečnika spada u klasu cikličkih površi, ali isto tako može biti svrstana i u klasu rotacionih površi. Ova površ se dobija rotacijom kosinusoide oko zajedničke ose dva uparena cilindra. Njena parametarska jednačina je: x = x(α, β) = r(α) cos β, y = y(α, β) = r(α) sin β, (3.12.1) z = α gde je: r = r(α) = R 2 R 1 2 ( 1 cos πα 2b ) + R 1 = (R 2 R 1 ) sin 2 πα 4b + R 1 zakon promene poluprečnika posmatranih uparenih površi duž ose Oz (ose rotacije). R 1 i R 2 poluprečnici cilindara; R 2 R 1. 0 α 2b; 2b - rastojanje izmedju dva cilindara različitih poluprečnika; β - ugao ravni koja je paralelna površi, računat od ose Ox ka osi Oy; 0 β 2π. Koeficijenti prve kvadratne forme ove površi su: E 2 = 1 + π2 ( ) 2 R2 R 16b 2 1 sin 2 πα 2b F = 0 G = r(α) dok za koeficijente druge kvadrane forme imamo: L = π2( ) R 2 R 1 cos πα 8b 2 E 2b M = 0 N = G E. Gausova i srednja krivina su: K G = π2( ) R 2 R 1 πα cos 8b 2 E 4 G 2b K S = π 2( R 2 R 1 ) ( R 2 R 1 ( R 2 + R 2 ) cos [ πα/(2b) ] ) + 16b 2 32b 2 E 3 G.

63 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 62 Primetimo da ova površ ima negativnu Gausovu krivinu u oblasti gde je 0 α b, a pozitivnu za b α 2b ( pri R 2 > R 1 ). Ako uzmemo R 1 = R 2 onda dobijamo cilindričnu rotacionu površ Površ uparivanja koaksijalnog cilindra i kupe (Poverhnostь soprьжeni soosnyh cilindra i konusa) Površ uparivanja koaksijalnog cilindra i kupe predstavlja deo površi koja se dobija rotacijom cele sinusoide. Ova površ nastaje rotacijom krive y = a [ 1 cos ( 2πz/c )] + R 1 oko Oz ose. Da bi posmatrana površ bila površ uparivanja koaksijalnog cilindra poluprečnika R 1 i kružne kupe poluprečnika osnove R 2 i uglom pri vrhu φ neophodno je postaviti dva uslova: 1) ( 2πa/c ) sin ( 2πb/c ) = tan φ 2) a [ 1 cos ( 2πz/c )] + R 1 = R 2 Na takav način, od šest konstanti R 1, R 2, 1, b, c, φ mogu se priozvoljno izabrati bilo koje četiri, a dve preostale se izražavaju preko njih. Pri tom neophodno je uzeti a > 0, ako je R 1 > R 2. Na primer,ako su zadati R 1, R 2, c i φ ostala dva parametra a i b se računaju po formulama: [( a = 1 ) 2 ] R1 R 2 + c2 tan 2 φ ; b = c cot φ arcsin R 1 R 2 2 8π 2 2π 2πa za φ > 0, R 2 > R 1 ili φ < 0, R 2 < R 1 i b = c 2 c cot φ arcsin 2π 2πa za φ < 0, R 2 > R 1 ili φ > 0, R 2 < R 1. Parametarska jednačina ove površi glasi: x = x(z, β) = t cos β, y = y(z, β) = r sin β, (3.13.2) z = z gde je r = a [ 1 cos ( 2πz/c )] + R 1 ; 0 z b; b < c; o β 2π.

64 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 63 Koeficijenti prve kvadratne formem su dati jednačinama: E 2 = 1 + 4π2 a 2 F = 0 G = r(z). c 2 sin 2 2πz c dok za koeficijente druge kvadrantne forme važi: L = 4π2 a c 2 E M = 0 N = r E. cos 2πz c Gausova krivina ove površi je data jednačinom: K G = 4aπ2 2πz cos c 2 re4 c 3.14 Površ koja nastaje rotacijom polukubne parabole z = bx 2/3 oko Oz ose (Poverhnostь, obrazuema vraweniem meridiana v forme polukubiqesko paraboly) Implicitni oblik ove površi je: z = b 3 x 2 + y 2 dok su njeni parametaski oblici: x = u 3 y = v 3 (3.14.1) z = b(u 6 + v 6 ) 1/3 i x = x(r, β) = r cos β y = y(r, β) = r sin β z = z(r) = br 2 3 (3.14.2)

65 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 64 Slika Površ rotacije polukubne parabole Uzimajući u obzir parametarski oblik (3.15.2) ove površi koeficijenti prve i druge kvadratne forme su dati sa: E = 1 + 4b2 9 r 2/3 F = 0 G = r. L = 2b2 9E r 4/3 M = 0 N = 2b2 3E r2/ Površ koja nastaje rotacijom hiperbole z = b/x oko Oz ose (Poverhnostь vraweniem giperboly) Za implicitni oblik ove površi imamo: z = b x2 + y 2 Parametarska jednačina ove površi je: x = x(r, β) = r cos β y = y(r, β) = r sin β z = z(r) = b/r (3.15.1)

66 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 65 gde je x > 0, y > 0, r = b/x. Koeficijenti prve kvadratne forme su: E 2 = 1 + b2 r 4 F = 0 G = r. a za drugu kvadratnu formu imamo: L = 2b Er 3 M = 0 N = b Er. Ovu površ možemo u Mathematica - i iscrtati korišćenjem koda: RevolutionPlot3D[1/t,{t,0.1,2}] Slika Površ rotacije hiperbole 3.16 Površ koja nastaje rotacijom astroide (Poverhnostь vraweni astroidy) Sada ćemo posmatrati površ koja se dobija rotacijom astroide x 2/3 + z 2/3 = a 2/3 oko Oz ose. Njen implicitni oblik je: z = ± [ a 2/3 ( x 2 + y 2) 1/3] 3 2 Ova površ ima dve osobene tačke, u polovima površi pri x = y = 0, z = ±a i na ivici paralele r = a pri z = 0.

67 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 66 Parametarski oblici zadavanja ove površi su: x = x(r, β) = r cos β y = y(r, β) = r sin β, (3.16.1) z = ±(a 2/3 r 2/3 ) 2/3 gde 0 r a. Po ovoj parametrizaciji koeficijenti prve, druge kvadratne forme i Gausove krivine su: ( ) 1/3 a E = r F = 0 G = r a 1/3 L = 3r a 2/3 r 2/3 M = 0 N = r a 2/3 r 2/3 a 1/3 1 K G = 3r 4/3 a < 0 2/3. x = x(r, β) = a sin 3 t cos β y = y(t, β) = a sin 3 t sin β z = z(t) = a cos 3 t Koeficijenti prve kadratne forme po ovoj parametrizaciji su: (3.16.2) E = 3a sin t cos t F = 0 G = a sin 3 t. dok za koeficijente druge kvadratne firme imamo: L = 3a sin t cos t M = 0 N = a sin 3 t cos t.

68 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI Površ koja nastaje rotacijom parabole (Poverhnostь vraweni paraboly) Rotacioni parabolid je površ koja se dobija rotacijom parabole oko njene ose simetrije - ose parabole. Mi ćemo sada posmatrati površ koja se dobija rotacijom parabole z 2 = 2p(x a) oko prave paralelne sa njenom direktrisom. Parametarski oblik ove površi je: x = x(z, β) = [ a + z 2 /(2p) ] cos β y = y(z, β) = [ a + z 2 /(2p) ] sin β z = z (3.17.1) Ovu površ iscrtavamo u programskom paketu Mathematica korišćenjem koda: ParametricPlot3D[{(u^2/(2P)+a)Cos[v],(u^2/(2P)+a)Sin[v],u},{u,-1,1}, {v,0,2pi}] Slika Površ rotacije parabole, a > 0 Slika Površ rotacije parabole, a = 0

69 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 68 su: Koeficijenti prve kvadratne forme ove površi (po ovoj parametrizaciji) E 2 = 1 + z2 p 2 F = 0 G = r = a + z2 2p. Za koeficijente druge kvadratne forme imamo: Za Gausovu krivinu imamo: L = 1 pe M = 0 N = G E. K G = 1/ ( pe 4 G ) < 0 Gde je r = a - polurečnik grla kružnice, p - rastojanje izmedju fokusa i direktrisinog meridijana na paraboli Reaktivni konus (Reaktivny konus) Reaktivni konus po obliku je veoma sličan spoljnoj površini metka. Reaktivni konus se dobija rotacijom krive x = ± az b oko koordinatne ose z. 2 +z 2 Ovu površ u implicitnom obliku prikazujemo jednačinom: (b 2 + z 2 )(x 2 + y 2 ) = a 2 z 2 dok se u parametarskom obliku prikazuje jednačinom: x = x(u, v) = a cos v cos u y = y(u, v) = a cos v sin u z = z(v) = b/ tan v (3.18.1) x < a; y < a; 0 u 2π; 0 v π/2 Reaktivni konus možemo isctrati korišćenjem koda: ParametricPlot3D[{Cos[v]Cos[u],Cos[v]Sin[u],-1/Tan[v]},{u,0,2\[Pi]}, {v,0,\[pi]/2}]

70 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 69 Slika Reaktivni konus 3.19 Površ koja nastaje rotacijom krive z = be a2 x 2 oko Oz ose (Poverhnostь vraweni krivo z = be a2 x 2 vokrug osi z) Posmatraćemo površ koja se dobija obrtanjem krive z = be a2 x 2 oko Oz ose. Implicitni oblik ove površi je: z = be a2 (x 2 +y 2 ) dok za parametarski oblik imamo: x = x(u) = u y = y(v) = v (3.19.1) z = be [ a2 (u 2 +v 2 )] Ovu površ možemo iscrati u Mathematica - i korišćenjem koda: RevolutionPlot3D[Exp[-t^2], {t, 0.1, 2}] Slika Površ rotacije krive z = be a2 x 2

71 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI Parabolo - logaritamska rotaciona površ (Parabolo - logarifmiqecka poverhnostь vraweni ) Ova površ, pozitivne Gausove krivine se dobija obrtanjem ravne krive r = r(z) = a cz + b ln(cz + b) oko z ose. Njen parametarski oblik glasi: x = x(z, β) = r(z) sin β y = y(z, β) = r(z) cos β (3.20.1) z = z U tački z 0 (cz 0 + b = 0) dolazimo do oblika 0 pa zbog toga dodefinisujemo našu krivu sa r(z 0 ) = 0. U programskom paketu Mathematica parabolo - logaritamsku rotacionu površ možemo iscrtati korišćenjem koda: ParametricPlot3D[{ Sqrt[u + 1] Log[u + 1] Sin[v],Sqrt[u+1]Log[u+1]Cos[v],-u}, {u,-1,1},{v,0,2pi}] Slika Parabolo - logaritamska rotaciona površ Koeficijenti prve kvadratne forme ove površi su: E 2 = 1 + a2 c 2 [ln(cz + b) ] 2 cz + b a + 1 F = 0 G = r(z) = a cz + b ln(zc + b).

72 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 71 dok za koeficijente druge kvadaratne forme imamo: L = ac2 ln(cz + b) 4E(cz + b)3/2 M = 0 N = r(z) a Gausova krivina ove površi je data sa: K G = c 2 4E 4 (cz + b) 2 > Rotacioni paraboloid četvrtog reda (Paraboloid vraweni qetvertogo por dka ) Rotacioni paraboloid četvrtog reda se dobija rotacijom bikvadratne parabole x 4 = cz oko z ose. Implicitni oblik rotacionog paraboloida četvrtog reda je dat sa: cz = (x 2 + y 2 ) 2 U preseku ove površi i ravni z = h = const dobijaju se krugovi sa poluprečnicima r = 4 hc; h > 0. Za parametarski oblik ove površi imamo: x = x(r, β) = r cos β y = y(r, β) = r sin β z = z(r) = r 4 /c (3.21.1) Ovu površ možemo iscrtati u programskom paketu Mathematica korišćenjem koda: RevolutionPlot3D[at^4,{t,0,1}] Slika Rotacioni paraboloid četvrtog reda, a = 1

73 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 72 Slika Rotacioni paraboloid četvrtog reda, a = 1 Prema ovoj parametrizaciji za koeficijente prve, druge kvadratne forme, Gausovu i srednju krivinu dobijamo : E = r6 c 2 F = 0 G = r L = 12r2 ce M = 0 N = 4r4 ce K G = 48r4 c 2 E > 0 4 K S = 2r2 ce ( 1 + e E 2 ) Rotaciona površ Kruška (Poverhnostь vraweni Gruxa ) Rotaciona površ Kruška nastaje rotacijom krive b 2 y 2 = z 3 (a z) oko svoje koordinatne ose Oz. Implicitni oblik ove površi je: z 3 (a z) b 2 (x 2 + y 2 ) = 0 Za parametarski oblik imamo: x = x(z, β) = r(z) sin β y = y(z, β) = r(z) cos β z = z (3.22.1)

74 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 73 gde je r = r(z) = z z(a z)/b, ; a i b - proizvoljne konstante; 0 z a; 0 r 3 3a 2 /(16b). Ovu površ možemo isctrati korišćenjem koda: ParametricPlot3D[{uSqrt[u(1-u)]Sin[v],uSqrt[u(1-u)]Cos[v],-u},{u,0,1}, {v,0,2pi}] Slika Rotaciona površ Kruška i njen presek 3.23 Površ koja nastaje rotacijom opšte sinusoide (Poverhnostь vraweni obwe sinusody) Površ koja nastaje rotacijom opšte sinusoide z = a sin(nπx+π/2) = a cos(nπx) oko Oz ose je površ koja nalazi svoje primene u tehnici. Opšta sinusoida je u poredjenju sa običnom sinusoidom (z = sin x) produžena duž Oz ose a puta, sabijena duž ose Ox 1/(nπ) puta, gde je n - ceo broj. Period ove funkcije je T = 2/n. Rotaciona površ koja se dobija rotacijom opšte sinusoide ima prstenaste delove kako pozitivne, tako i negativne Gausove krivine. Ova površ se u implicitnom obliku može prikazati sa: z = a cos ( nπ x 2 + y 2) Za njen parametarski oblik imamo: x = x(r, β) = r cos β y = y(r, β) = r sin β z = z(r) = a cos nrπ (3.23.1) Ovu površ možemo isctrati korišćenjem koda: ParametricPlot3D[{uCos[v],uSin[v],Cos[2uPi]},{u,-5,2},{v,0,2 Pi}]

75 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 74 Slika Površ rotacije opšte sinusoide i njen presek Po ovoj parametrizaciji za koeficijente prve kvadratne forme dobijamo: E 2 = 1 + a 2 n 2 π 2 sin 2 (nπr) F = 0 G = r. dok za koeficijente druge kvadratne forme imamo: Za Gausovu krivinu imamo: L = a2 n 2 π 2 E cos(nπ) M = 9 N = anπ E r sin2 sin(nπr). K G = a2 n 3 π 3 2rE 4 sin(2nπr) 3.24 Površ koja nastaje rotacijom bikvadratne parabole (Poverhnostь vraweni bikvadratno parabolь) Sada ćemo posmatrati površ koja se dobija rotacijom bikvadratne parabole z 4 = c(x a) oko z - ose.

76 3 PRIMERI ROTACIONIH POVRŠI 75 Parametarska jednačina dobijene površi je: x = x(r, β) = r cos β y = y(r, β) = r sin β z = z(r) = 4 c(r a) (3.24.1) gde je r = a - poluprečnik grla kružnice, x a, y a, 0 β 2π. Slika Površ rotacije bikvadratne parabole Koeficijenti prve kvadratne forme ove površi su: c E 2 = (r a) 3/2 F = 0 G = r. Za koeficijente druge kvadratne forme imamo: 3c 1/4 L = 16Er(r a) 3/4 M = 0 N = Gausova krivina posmatrane površi je: c 1/4 r 4E(r a) 3/4. 3 c K G = 64rE 4 (r a) < 0. 5/2

77 4 ROTACIONE POVRŠI KONSTANTNE GAUSOVE KRIVINE 76 4 Rotacione površi konstantne Gausove krivine Sfera, ravan, cilindar i konus su najpoznatije površi konstantne Gausove krivine, ali postoje i mnoge druge. U Sekcijama 4.2 i 4.3 pokazujemo da i neke rotacione površi imaju konstantnu Gausovu krivinu. Zbog toga, moramo znati nešto i o eliptičkom integralu Legendrea 9, pa ćemo se time pozabaviti u Sekciji Eliptički integral druge vrste Daćemo kratak osvrt na komplikovnije činjenice vezane za eliptičke funkcije i integrale, koje će nam biti potrebne za proučavanje rotacionih površi konstantne Gausove krivine. Definicija Nepotpuni eliptički integral druge vrste je definisan sa: ( ) ϕ ( 1/2 E ϕ m = 1 m sin θ) 2 dθ Potpuni eliptički integral druge vrste se definiše sa: 0 ( π ) π ( E 2 m 2 1/2 = 1 m sin θ) 2 dθ 0 ( ) ϕ 1 = sin ϕ; zbog toga Primetimo da za π/2 ϕ π/2 imamo E ) možemo smatrati generalizacijom funkcije sin. Ispostavlja se da ( E ϕ m je odgovarajuća generalizacije funkcije sinh data sa ie(iϕ m) jer je: ie(iϕ m) = ϕ 0 (1 m sinh 2 θ) 1/2 dθ što može biti provereno zamenom promenljive u integralu i korišćenjem identieta sinh ix = i sin x. 9 Adrien Marie Legendre ( ) - Francuski matematičar

78 4 ROTACIONE POVRŠI KONSTANTNE GAUSOVE KRIVINE Rotacione površi konstantne pozitivne krivine Znamo da je sfera S 2 (a) rootaciona površ i da može biti parametrizovana sa: sphere[a](u, v) = (a cos v cos u, a cos v sin u, a sin v); šta više sfera ima konstantnu pozitivnu Gausovu krivinu K = 1/a 2. Sfera nije jedina rotaciona površ u R 3 koja ima konstantnu krivinu. Postoje i druge rotacione površi konstantne pozitivne Gausove krivine. Da bi ih našli vratićemo se unazad: pretpostavimo da nam je data rotaciona površ M konstantne pozitivne krivine, a onda ćemo naći restrikciju parametrizacije r od M. Prvo ćemo odrediti profilnu krivu površi konstantne pozitivne Gausove krivine. Teorema Neka je M rotaciona površ konstantne pozitivne Gausove krivine 1/a 2, za a > 0. Tada je M deo površi čija je parametrizacija: gde: ψ(v) = r(u, v) = (φ(v) cos u, φ(v) sin u, ψ(v)), v 0 ( v φ(v) = b cos, (4.2.1) a) ( ( 1 b2 t 2dt ( v ) sin = ae a a)) 2 a b2 (4.2.2) a 2 za neku konstantu b > 0. Za parametar v važi jedan od sledećih slučaja: ako je b = a, onda π 2 v π 2 ; ako je b < a, onda v ; ( b ( b ako je b > a, onda a arcsin v a arcsin ; a) a) Parametrizacija r je regularna u (u,v) ako i samo ako je φ(v) 0, što je zadovoljeno za v (n + 1/2)πa. Dokaz: Bez gubljenja opštosti možemo pretpostaviti da je r dato sa: r(u, v) = (φ(v) cos u, φ(v) sin u, ψ(v)) i da profilna kriva α = (φ, ψ) ima jediničnu brzinu; tada je φ 2 +ψ 2 = 1. Ako M ima konstantnu pozitivnu krivinu 1/a 2, onda po posledici (2.2.4) sledi da

79 4 ROTACIONE POVRŠI KONSTANTNE GAUSOVE KRIVINE 78 φ zadovoljava diferencijalnu jednačinu φ + φ/a 2 = 0 čije je opšte rešenje φ(v) = b cos(v/a + c). Bez gubljenja opštosti, možemo pretpostaviti da je c = 0; to ukazuje na to da će translacijom profilne krive duž ose rotacije ona biti najdalje od te ose za v = 0. Tako dobijamo jednačinu (4.2.1). Možemo pretpostaviti da je ψ (v) 0 za sve v; osim toga menjamo v sa -v. Onda iz φ 2 + ψ 2 = 1 sledi φ (v) = 1 b2 (sin( v a 2 a ))2 i kada integralimo ovu jednačinu u granicama od 0 do v dobijamo jednačinu (4.2.2). Da bi φ(v) bilo dobro definisano, neophodno je da 1 b2 (sin( v a 2 a ))2 bude pozitivno. Za b < a ovaj izraz je uvek pozitivan, pa je φ(v) definisano za sve v. Kada je b = a profilna kriva je deo kruga; u tom slučaju zahtev π/2 v π/2 nam osigurava da profilna kriva ne preklapa samu sebe i tada je a polukrug. Ako je b > a onda 1 b2 (sin( v a 2 a ))2 0 ako i samo ako a arcsin( b ) v a arcsin( b ). a a Teorema Neka je S(a,b) rotaciona površ čija je profilna kriva α = (φ, ψ) gde su φ i ψ dati kao u (4.2.1) i (4.2.2). (i) S(a,a) je sfera radijusa a. (ii) Ako je 0 < b < a, onda je S(a,b) rotaciona površ koja je oblika fudbalske lopte. (iii) Ako je 0 < a < b, onda je S(a,b) cevastog oblika i ne seče osu rotacije. Dokaz: Za b = a, profilna kriva je: v (a cos( v a ), asin(v a ) za π/2 v/a π/2. Tako je u slučaju (i) profina kriva polukrug dužine πa, koji se rotira oko x-ose i daje sferu S 2 (a) radijusa a. U slučaju (ii) izraz pod kvadratnim korenom u definiciji ψ u (4.2.2) je uvek pozitivan, tako da je φ definisano za π/2 v/a π/2 baš kao u slučaju (i). Profilna kriva je: ( v a cos( v v a ), b2 a 2 ( sin ) ( t 2 ) ( ( v ( v )) dt = a cos, ae a) a) a b2. a 2 Tako da profilna kriva seče z-osu u: πa/2 ( ( ± 1 b2 t 2dt ( π ) sin = ±E a a)) 2 2 b2. a 2

80 4 ROTACIONE POVRŠI KONSTANTNE GAUSOVE KRIVINE 79 Profilna kriva seče z-osu u tri tačke, a rastojanje izmedju njih je πa, što je jednako dužini polukruga u slučaju (i). Glavna razlika izmedju slučaja (i) i (ii) je to da se profilna kriva uvija gore dole oko z-ose umesto da formira krug. Konačno, za b > a profilna kriva je definisana na intervalu: ( b ( b a arcsin t a arcsin a) a) jer van ovog intervala izraz ispod korena je negativan. Rezultujuća rotaciona površ liči na cev kada je b neznatno veće od a. 4.3 Rotacione površi konstantne negativne krivine Odredjivanje rotacionih površi konstantne negativne krivine prolazi kroz isti postupak kao što smo radili u prethodnoj sekciji. Ali, rezultujuće površi su malo drugačije. Teorema Neka je M rotaciona površ konstantne negativne Gausove krivine 1/a 2. Tada je M deo površi čija je parametrizacija: r(u, v) = (φ(v) cos u, φ(v) sin u, ψ(v)), gde je profilna kriva α = (φ, ψ) jednog od sledećih tipova: (i) (Pseudosfera) (4.3.2) α(v) =. ( ae v/a, v 0 1 e 2t/a dt) 1 e 2t/a dt) ( ae v/a, v 0 za 0 v <, za < v 0. (ii) (Hiperboloid) ( φ(v) = b cosh ψ(v) = v 0 v a ), 1 b2 a 2 ( sinh ( t a )) 2dt ( ) = iae iv b2 a a 2 za neku konstantu b > 0, a v je ograničeno sa ( a ) ( a ) a sinh 1 v a sinh 1 b b

81 4 ROTACIONE POVRŠI KONSTANTNE GAUSOVE KRIVINE 80 (iii) (Kupast tip) ( φ(v) = b sinh (4.3.3) ψ(v) = v 0 v a ), 1 b2 a 2 ( cosh ( t 2dt ( ) a)) = i a2 b 2 iv E b 2 a a 2 b 2 za neku konstantu b, 0 < b a, a v je ograničeno sa: ( a sinh 1 a 2 b 2 ) ( v a sinh 1 a 2 b 2 ). b b Dokaz: Bez gubljenja opštosti neka je a > 0. Opšte rešenje jednačine φ φ/a 2 = 0 je dato sa: φ(v) = Ae v/a + Be v/a (4.3.1) Slučaj 1. Prvo, pretpostavimo da je u (4.3.1) A nula. Možemo pretpostaviti da je B > 0, uz promenu v sa v ako je to neophodno. Štaviše, korišćenjem promene promenljive v v + a log B a log a, možemo pretpostaviti da je B = a; tada je φ(v) = ae v/a. Kako je: 0 ψ (v) 2 = 1 φ (v) 2 = 1 e 2v/a, mora biti v 0. Tako dobijamo prvi slučaj u. Slično, B = 0 daje drugi slučaj. Na dalje, pretpostavimo da su A i B zajedno različiti od 0 u (4.3.1). Koristeći promenu promenljive v v + a 2 log B A ako je neophodno, možemo pretpostaviti da je A = B. Slučaj 2. Za A = B možemo pretpostaviti da je A > 0. Tada ) ( v φ(v) = A (e v/a + e v/a = 2A cosh a) Uzimamo za b = A/2 i dobijamo. Slučaj 3. Ako je A = B možemo pretpostaviti da je A > 0.(Ako je neophodno možemo promeniti v sa -v). Tada postaje: ( v φ(v) = A(e v/a e v/a ) = 2A sinh a) Uzimamo za b = A/2 i dobijamo (4.3.3).

82 5 ROTACIONE POVRŠI SA STANOVIŠTA ANALITIČKE GEOMETRIJE81 5 Rotacione površi sa stanovišta analitičke geometrije Pored diferencijalne geometrije, iz čijeg ugla u većini slučajeva posmatramo rotacione površi, to možemo činiti i iz ugla analitičke geometrije. U ovoj sekciji proučavamo rotacione površi koristeći osnovna znanja iz upravo ove grane matematike. 5.1 Definicija i jednačina rotacione površi Definicija Neka su u prostoru R 3 dati prava (p) i kriva (Λ). Površ Rot(p, Λ) koja nastaje rotacijom krive (Λ), oko prave (p) naziva se rotaciona površ (odredjena pravom (p) i krivom (Λ))); za pravu (p) se kaže da je osa rotacione površi. Potražimo jednačinu rotacione površi Rot(p, Λ). I način. Neka je u R 3 dat pravougli koordinatni sistem Oxyz u odnosu na koji su prava (p) i kriva (Λ) dati jednačinama: (p) : x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n, (Λ) : { F (x, y, z) = 0 Φ(x, y, z) = 0 (5.1.1) Proizvoljna tačka M = (x, y, z) površi Rot(p, Λ) nalazi se na (promenljivoj) kružnici u ravni normalnoj na (p). Zato dakle, važi: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = α 2, lx + my + nx = β, (5.1.2) gde su α i β promenljivi parametri. Eliminacijom x, y, z iz jednačina (5.1.1) i (5.1.2) dobija se jednačina oblika: f(α, β) = 0 koja se naziva karakteristična jenačina površi Rot(p, Λ). zamene α i β dobija se: f( (x x9 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2, lx + my + nz Kada se u njoj ) = 0 što je jednačina posmatrane rotacione površi.

83 5 ROTACIONE POVRŠI SA STANOVIŠTA ANALITIČKE GEOMETRIJE82 II način Posmatrajmo pravougli koordinatni sistem Oxyz takav da je osa Oz prava (p) - osa rotacione površi Rot(p, Λ), a ravan krive (Λ) je koordinatna ravan Oxyz. Neka je (Λ) data jednačinom: φ(y, z) = 0, x = 0 Ako je A(0, α, β) proizvoljna tačka sa (Λ) i M(x, y, β) Rot(p, Λ) tačka nastala rotacijom tačke A, onda φ(α, β) = 0. Zbog d(a, p) = d(m.p) važi x 2 + y 2 = α 2. Tako imamo: x2 ) φ( + y 2, β = 0 Prema tome, tačka (x, y, z) je na površi Rot(p, Λ) ako i samo ako je x2 ) φ( + y 2, z = 0 Ovo i jeste jednačina posmatrane površi Rot(p, Λ). 5.2 Neki primeri rotacionih površi (1) Kružni cilindar x 2 + y 2 = a 2 je rotaciona površ, a nastaje rotacijom prave (q) : x = 0, y = a, oko prave (p) : x = 0, y = 0 (tj. oko ose Oz). Zaista, ovde je φ(y, z) = y a i zato je po prethodnom razmatranju jednačina površi Rot(p, q) data jednačinom x 2 + y 2 a = 0, odnosno x 2 + y 2 = a 2. (2) Kružni konus x 2 +y 2 = z 2 je rotaciona površ koja nastaje rotacijom ) x2 prave y = z, x = 0 oko Oz ose, jer sada jednačina φ( + y 2, z = 0 ima oblik x 2 + y 2 z = 0. (3) Elipsoid x2 +y 2 s 2 rotacijom elipse: + z2 c 2 = 1 je takodje rotaciona površ. On nastaje a + z2 2 c = 1, z = 0 2 oko Oz ose, pošto je sada: y 2 x2 ) φ( + y 2, z = x2 + y 2 s 2 + z2 c 2 1 = 0

84 5 ROTACIONE POVRŠI SA STANOVIŠTA ANALITIČKE GEOMETRIJE83 (4) (Torus) Površ koja nastaje rotacijom kružnice oko ose koja je u njenoj ravni i ne seče je naziva se torus. Kao i do sada osa rotacije će biti Oz osa; kružnica koja rotira je u Oyz ravni i ima jednačinu: (y a) 2 + z 2 = b 2, x = 0, (a > 0b > 0). Radeći kao u prethodnim slučajevima dobija se jednačina torusa: ( x2 + y 2 a ) 2 + z 2 b 2 = 0 Važno je istaći da se torus najčešće zadaje parametarskim jednačinama, pa ćemo zato i njih naći. Parametarske jednačine kružnice čijom rotacijom nastaje torus su: x = 0, y = a + b cos u, z = b sin u Ako v označava ugao za koji rotira ravan x = 0 oko Oz ose, onda se lako vidi da je tada za proizvoljnu tačku (x, y, z) torusa zadovoljeno: x = (a + b cos u) sin v, y = (a + b sin u) cos v, z = b sin u što su, dakle, parametarske jednačine torusa.

85 6 ROTACIONE POVRŠI - PRIMERI IZ SVAKODNEVNOG ZIVOTA 84 6 Rotacione površi - primeri iz svakodnevnog zivota Mnogi objekti, predmeti i razne stvari iz svakodnevnog zivota imaju oblik neke od rotacionih površi. Sa njima se bliže ipoznajemo u ovoj glavi. Tako,npr. krofna sa rupom u sredini i unutrašnja guma (guma za plivanje) imaju oblik torusa. (Slike 6.1) Slika 6.1. Krofne i unutrašnja guma Kao što i samo ime kaže, zvono koje se koristi u crkvama i školama ima oblik ding dong površi. (Slika 6.2) Slika 6.2. Zvono Levak, koji se koristi za dolivanje tečnosti u razne boce je takodje primer rotacione površi i to primer fanel površi. (Slika 6.3)

86 6 ROTACIONE POVRŠI - PRIMERI IZ SVAKODNEVNOG ZIVOTA 85 Slika 6.3. Levak Mnogi mužički instumenti su po obliku rotacione površi- Gavrilova truba. (Slika 6.4) Slika 6.4. Truba Razni gradevinski objekti imaju oblik rotacionih površi - jednograni hiperboloid. (Slika 6.5) Slika 6.5. Gradjevina u obliku jednogranog hiperboloida Lopta za Američki fudbal, a takodje i lopta za ragbi su oblika izduženog sferoida. (Slika 6.6) Slika 6.6. Lopta za Američki fudbal

87 6 ROTACIONE POVRS I - PRIMERI IZ SVAKODNEVNOG ZIVOTA 86 Zbog kombinacije efekata rotacije i gravitacije, zemljin oblik je slic an obliku sfere malo spljos tene u pravcu ose. Zbog toga, u kartografiji se zemlja obic no prikazuje u obliku ispupc enog sferoida. (Slika 6.8) Slika 6.7. Planeta Zemlja