Studio dell oscillatore armonico forzato

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Studio dell oscillatore armonico forzato"

ÁἸσαάκ Ζάρκος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Stud dell scllatre arnc frat L stud rguarda un scllatre ndensnale, cpst da un punt aterale d assa, ble lung l asse delle sul quale agscn fre cn cpnent uncaente sull stess asse. Dal prncp della dnaca: a Ft F t è la rsultante d tutte le fre agent sulla assa, che sn: la fra della lla F k, la fra d attrt F a bv ed una fra esterna del tp F F snt S avrà qund, esplctand la d bv k F snt d d b k F snt d b d k F snt pst b k F, s ha: d d snt S pta una slune del tp sn t ϕ csϕ snt snϕ cst snt cst avend pst csϕ e snϕ 3 Sarà: d d cst snt snt cst

2 Da cu ssttuend nella : snt cst cst snt snt cst snt S ettn n evdena sn t e cs t snt cst 4 La slune deve verfcare l equane n qualunque stante pché per valr d t n cu sn t s ha cs t ± e vceversa, ne cnsegue che per la valdtà della 3 è necessar che sa: 5 6 Dalla 6 segue: 7 Pché snϕ csϕ tg ϕ ne cnsegue che tg ϕ. 8 Ssttuend nella 5 l valre d ttenut dalla 7 s ttene

3 9 Dalla 7 s ha: Dalle 3 rsulta: sn cs ϕ ϕ Qund [ ]

4 L apea è una funne della pulsane nella fgura è rprtat un esep dell andaent d n funne d per e per tre valr dvers d 3 4. La psne del ass d rsnana è prssa a per l valre d pù grande attrt nre e s spsta vers valr nr della pulsane al dnure d attrt aggre Pulsane Apea 3 Fg. S sserva qund che, al varare della pulsane della fra, antenendne però cstante l apea, l scllatre sclla d t arnc, cn la stessa pulsane

5 della fra, a cn un apea che raggunge l ass per un valre della pulsane prss ad. Quest fenen s chaa rsnana. Nella Fgura è rprtat l andaent della fase ϕ n funne della pulsane, rcavat dalla frula 8. S ha ϕ π /, per tutt valr d. radant per Fase 3 Fase rad -,5 - -,5 - -,5-3 -3, Pulsane S sserv che, n gn cas, n crrspndena della rsnana, l rtard d fase dell scllatre rspett alla fra è par a π/.

6 Ptena assrbta dall scllatre arnc frat La ptena stantanea è defnta ce W dl F ds F v Se la fra e la velctà sn parallele, ad esep lung l asse delle, s ha: dl Fd W Fv Per l scllatre arnc frat s ha: F F snt sn t ϕ e qund d cs t ϕ v cn tg ϕ csϕ snϕ S ha per la ptena stantanea: W t Fv F sn tcs t ϕ W t F sn tcst csϕ snt snϕ W t F snt cst csϕ F sn t snϕ

7 De due tern a secnd ebr della, l pr può assuere valr pstv e negatv, essend la quanttà sn t cst cpresa tra e l secnd è nvece sepre pstv, a causa della quanttà sn t sepre pstva. Rsulta nfatt cs t cs t sn sn t cs t t sn t sn t sn sn t cs t 3 sn t cst sn t 4 t S ha qund: W t F csϕ sn t F snϕ cst La ptena stantanea è qund cpsta da una parte, prprnale alla quanttà cs ϕ che vene scabata tra l generatre della fra e l scllatre e che vara snusdalente fra F csϕ e F cs ϕ e da una secnda parte, prprnale alla quanttà sn ϕ, cpresa tra e F snϕ che vene sepre frnta all scllatre. Dalla 3 e dalla 4 rsulta anche che la ptena stantanea è caratterata da frequena dppa rspett alla fra. Per deternare la ptena eda, è suffcente ntegrare la ptena stantanea per un tep par al perd della fra e dvdere per l tep d ntegrane. Cè W W t cn π 5 W F csϕ sn t F snϕ cs t

8 t F t F W cs sn sn cs ϕ ϕ 6 S ha: sn t e cs t e qund: cs sn ϕ ϕ F F W 6 Pchè dalla 3 e dalla s ha che cs ϕ la 6 dvene rcrdand che F /, F W. 7

9 Ptena 3 Ptena u.a Pulsane Fg. 3 La Fgura 3 stra l andaent della ptena eda dell scllatre arnc, per gl stess valr d della Fgura e della Fgura. E nteressante sservare che la ptena assa s ha sepre per l valre della pulsane, cè per la pulsane dell scllatre arnc seplce, prv d attrt e d fra esterna. Per valr d, la frula 7 può essere resa pù seplce, pnend W

10 W 8 4 La 8 è una funne del tp L C 4 9 A A nta ce funne d Lrent Lrentana. La Lrentana 9 è rappresentata da una curva setrca rspett all asse delle ed ha un ass per d valre L C / A. La 8 è setrca rspett all asse, dve ha un ass W par a quell dell espressne esatta della ptena eda 7. Nella Fgura 4 è rprtat l cnfrnt fra l andaent della ptena eda calclata cn la frula esatta 7 e quella calclata cn la 8. Per valr vcn alla frequena d rsnana l accrd è bun.

11 Esatta Lrent 6 5 Ptena u.a Pulsane w Fg. 4 In partclare la 8 cnsente d rcavare n d edat l valre d una grandea lt utle, e cè della larghea a età altea della curva. Per far quest basta trvare valr d per cu la 8 assue un valre par a età del ass, cè, dalla : W S trvan due valr

12 Da cu s ttene la larghea a età altea La larghea a età altea è qund eguale all nvers del tep d sraent cè del tep necessar perché, sena la fra esterna l energa dell scllatre s rduca d un fattre par al nuer e. La quanttà Q rappresenta la precsne cn la quale s può deternare l valre della frequena d rsnana ed è par al fattre d qualtà.

13 Stud dell scllatre arnc frat cn le funn d varable cplessa. L stud rguarda un scllatre ndensnale, cpst da un punt aterale d assa, ble lung l asse delle sul quale agscn fre cn cpnent uncaente sull stess asse. Dal prncp della dnaca: a Ft F t è la rsultante d tutte le fre agent sulla assa, che sn: la fra della lla F k, la fra d attrt F a bv ed una fra esterna del tp t F F e rcrdand la frula d Euler e t cs t snt s ha: t Fe F cst snt S avrà qund, esplctand la d bv k F e d d b k F e t t d b d k F t e pst b k F, s ha: d d e t S pta una slune del tp e t cn e quanttà cplesse. Sarà: d t d e Da cu ssttuend nella : t t t e e e e t e t

14 S elna l fattre cune t e e s ttene: s rcava qund : 3 S rende reale l dennatre della 3 e s separan la parte reale e quella agnara, ltplcand nueratre e dennatre per l cpless cnugat del dennatre: Pchè S ha: Che può essere scrtta ce B A, avend pst 4

15 A csϕ snϕ B 5 le ulte due psn sn legtte n quant sa A che B sn quanttà cprese tra e e tal che A B ϕ In quest d rsulta anche: tg 6 Qund t e A Bcs t sn t [ Acst Bsnt Asnt B cs ] A Bcs t snt t [csϕ cst snϕ snt csϕ snt snϕ cs t ] S ha n defntva: [ cs t ϕ sn t ϕ ]. Pché quest spstaent derva dalla fra esterna t F Fe F cst snt, cnfrntand cn F, s rtrva, dalle 4 e 6 la stessa apea e l stess sfasaent trvat cn la trattane cn le quanttà real F F snt e sn t ϕ.

Σχετικά έγγραφα

!Stato di tensione triassiale!stato di tensione piano!cerchio di Mohr

!Stato di tensione triassiale!stato di tensione piano!cerchio di Mohr Stato di tensione F A = F / A F Traione pura stato di tensione monoassiale F M A M Traione e torsione stato di tensione piano = F /