và Euclid toán trong môn hình học Affine và Euclid hình học Affine và Euclid... 90

Transcript

1 1 MỤC LỤC MỤC LỤC 1 DANH MỤC KÝ HIỆU - VIẾT TẮT 2 MỞ ĐẦU 8 Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC XÂY DỰNG BÀI GIẢNG MÔN HÌNH HỌC AFFINE VÀ EUCLID Nội dung - vai trò - mục tiêu giảng dạy của môn hình học Affine và Euclid Thực trạng và giải pháp Tổng quan về một số phương pháp dạy học không truyền thống Bài giảng theo tinh thần dạy học tín chỉ Chương 2. XÂY DỰNG BÀI GIẢNG MÔN HÌNH HỌC AFFINE VÀ EUCLID THEO TINH THẦN DẠY HỌC TÍN CHỈ Bài giảng điện tử Ứng dụng máy tính bỏ túi Casio 570MS vào giải các bài tập tính toán trong môn hình học Affine và Euclid Ứng dụng phần mềm Toán học Maple vào việc dạy và học môn hình học Affine và Euclid Xây dựng ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm và tự luận cho môn hình học Affine và Euclid Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Mục đích và nội dung thực nghiệm Phương pháp thực nghiệm sư phạm Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm Kết luận chương KẾT LUẬN 196 TÀI LIỆU THAM KHẢO 198

2 Trang này bỏ 1

3 2 DANH MỤC KÝ HIỆU - VIẾT TẮT Ký hiệu Ý nghĩa A n Không gian Affine n-chiều A n (K) Không gian Affine n-chiều trên trường K A Ma trận A hoặc điểm A. {A 0 ; A i } Mục tiêu affine đỉnh A i {A 0 ; e i } Mục tiêu affine phương vector e i Af(A) Nhóm các phép biến đổi affine trên A BGĐT Bài giảng điện tử C Trường số phức (C) Đường bậc hai (C) CH Câu hỏi CNTT Công nghê thông tin det(a) Định thức của ma trận A ĐHSP Đại học sư phạm E n Không gian Euclid n-chiều {E 0 ; E i } Mục tiêu Euclid đỉnh E i f Ánh xạ tuyến tính f Gr( x i ) Định thức Gram của hệ { x i } Isom(E) Nhóm các phép biến đổi đẳng cự trên E ICT Information Computer Techonology K Trường đại số K n α Pháp vector của α NHCH Ngân hành câu hỏi NXB Nhà xuất bản {O; e i } Mục tiêu trực chuẩn Euclid PPNC Phương pháp nghiên cứu PTTH Phổ thông trung học R Trường số thực R n R n = R } R {{... R } n lần (S) Siêu mặt hoặc mặt bậc hai (S) SV Sinh viên THCS Trung học cơ sở X Bao affine của tập X

4 3 Ký hiệu Ý nghĩa x Vector x [x] Ma trận x cấp n, 1 [ x ] Tọa độ của vector x x Chuẩn của vector x (α) Cái phẳng α α Phương của cái phẳng (α) α β Cái phẳng α trực giao với β α Cái phẳng bù trực giao của α

5 4 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 1. Thông tin chung: - Tên đề tài: Xây dựng bài giảng môn hình học Affine và Euclid nhằm tăng cường khả năng tự học, tự nghiên cứu của sinh viên theo tinh thần tín chỉ. - Mã số: B Chủ nhiệm: ThS. Trần Lê Nam. - Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Đồng Tháp. - Thời gian thực hiện: từ 02/2010 đến 02/ Mục tiêu: Dựa trên cơ sở nghiên cứu thực tiễn - lí luận, vận dụng các thành tựu của CNTT và hiệu quả của các phương pháp dạy học hiện đại, chúng tôi xây dựng bài giảng môn hình học Affine và Euclid theo tin thần dạy học tín chỉ. Thông qua đó, chúng tôi cung cấp thêm tài liệu, phương tiện hỗ trợ dạy học nhằm tăng cường khả năng tự học, tự nghiên cứu, phát huy tính sáng tạo của sinh viên, từng bước đáp ứng nhu cầu đào tạo theo tín chỉ đối với môn hình học Affine và Euclid tại trường Đại học Đồng Tháp. 3. Tính mới và sáng tạo: - Kết hợp các phương pháp dạy học hiện đại để xây dựng bài giảng điện tử nhằm phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của sinh viên. - Dựa trên trình biên dịch L A TEX, viết chương trình biên soạn, quản lý và tạo đề thi tự luận, trắc nghiệm cho môn hình học Affine và Euclid. Từ đó, chúng tôi tiến hành soạn ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm và tự luận cho môn học. - Sử dụng phần mềm Toán học Maple 13.0 và máy tính bỏ túi Casio 570MS để hỗ trợ thực hiện các tính toán cho môn hình học Affine và Euclid. 4. Kết quả nghiên cứu: - Xây dựng được một bài giảng điện tử cho môn hình học Affine và Euclid, đáp ứng yêu cầu đào tạo theo tín chỉ. - Biên soạn một ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm và một ngân hàng câu hỏi tự luận cho môn hình học Affine và Euclid. - Viết một chuyên đề về sử dụng Maple và một chuyên đề về sử dụng máy tính bỏ túi Casio 570MS hỗ trợ các tính toán trong môn hình học Affine và Euclid. - Thực nghiệm sư phạm kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài. - 3 bài báo đăng ở tạp chí giáo dục và tạp chí của các trường đại học.

6 5 5. Sản phẩm: - Hai chương trình biên soạn, quản lý và thành lập đề kiểm tra tự luận và trắc nghiệm cho môn hình học Affine và Euclid modul trên Maple 13.0 hỗ trợ tính toán cho môn hình học Affine và Euclid. 6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng: Hiện tại, bài giảng và các sản phẩm nghiên cứu đang được Khoa Toán học, trường Đại học Đồng Tháp, sử dụng để giảng dạy. Sinh viên sử dụng các phần mềm để biên soạn ngân hàng câu hỏi phục vụ cho học tập. Ngày tháng năm 2011 Cơ quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài Trần Lê Nam

7 6 1. General information: INFORMATION ON RESEARCH RESULTS Project title: Creating Affine geometry and Euclidean geometry lecture to enhance self-learning and selfstudy by credits spirit. Code number: B Coordinator: MSc. Trần Lê Nam. Implementing institution: Dong Thap University. Duration: from 02/2010 to 02/ Objective(s): Based on logical research and practical research, using the achievements of technology and efficiency of modern teaching methods, we built lecture of Affine geometry and Euclidean geometry in school spirit credits. Since, we have provided documents and teaching facilities which support teaching and increase to enhance self-learning, self-study and promote the creativity of students. Step by step, they will meet requirements of training by credits to Affine and Euclidean geometry at the Dong Thap University. 3. Creativeness and innovativeness: - Combine modern teaching methods to build electronic luture to promote positive, proactive and creative students. - Based on the LaTeX compiler, we program a software to compile, manage and create exam, test for Affine geometry and Euclidean geometry. Since, we have edited the bank of multiple choice questionnaires and the bank of question in the Affine geometry and Euclidean geometry. - Using mathematics software Maple 3.0 and calculator Casio 570MS to support practice calculations in Affine geometry and Euclidean geometry. 4. Research results: - Create an electronic lecture for Affine geometry and Euclidean geometry, meet requirements of training credits. - We edited a bank of test questionnaires and a bank of questions for selfreview Affine geometry and Euclidean geometry. - Write a report about the using of Maple and a report about the using of pocket calculators Casio 570MS to support practice calculations in Affine geometry and Euclidean geometry. - Experimental pedagogy to check the feasibility of research results. - Three articles were published in educational magazines and journals of the university.

8 7 5. Products: - Tow programs to edit, manager and create the exam and the test for Affine geometry and Euclidean geometry modules are writen by Maple 13.0, they support to practice calculations in Affine geometry and Euclidean geometry. 6. Effects, transfer alternatives of research results and applicability: Currently, lecture and research products are being used to teaching by the Faculty of Mathematics, University of Dong Thap. Students use the softwares to edit the bank of questionnaires for their learning.

9 8 1. Lí do chọn đề tài MỞ ĐẦU Sự bùng nổ về tiến bộ khoa học kỹ thuật trong lĩnh vực công nghệ thông tin (CNTT) và truyền thông (ICT) đã kéo theo sự đổi mới trong giáo dục ở bậc đại học. Trong những năm gần đây, sự ứng dụng CNTT trong giáo dục trở thành tâm điểm nghiên cứu của các nhà lãnh đạo cũng như giáo viên, giảng viên trong hệ thống giáo dục. Nhiều công trình nghiên cứu về phương pháp và hiệu quả của việc ứng dụng CNTT trong giáo dục được công bố. Đặc biệt, sau chỉ thị số 47/2008/CT-BGDĐT của Bộ giáo dục và Đào tạo về năm học , hầu hết các trường đại học, cao đẳng trong cả nước đã tích cực triển khai kế hoạch ứng dụng CNTT ngay từ đầu năm học Cũng trong năm học này, đã có nhiều đề tài nghiên cứu khoa học, hội thảo về biện pháp, hiệu quả của việc ứng dụng CNTT đã được triển khai. Tuy nhiên, vấn đề ứng dụng CNTT và các phương pháp dạy học không truyền thống để đổi mới phương pháp dạy học một môn học cụ thể ở bậc đại học, cao đẳng chưa được đề cập đến. Hơn nữa, những tiến bộ khoa học kĩ thuật trong các lĩnh vực ICT kéo theo bùng nổ thông tin làm đảo lộn mục tiêu giáo dục Đại học mà cốt lõi là chuyển từ chủ yếu đào tạo kiến thức và kĩ năng sang đào tạo năng lực. Do đó, chúng ta muốn tồn tại trong xã hội thông tin không chỉ học khi còn đi học mà học cả khi đi làm - học suốt đời. Với tác động của ICT, môi trường dạy học cũng thay đổi tạo ra một môi trường mang tính tương tác cao thay thế các phương pháp truyền thống. Những phương pháp dạy học theo cách tiếp cận kiến tạo, dạy học theo lý thuyết hoạt động, dạy học seminar, học chương trình hóa,... có nhiều điều kiện ứng dụng vào dạy học ở các trường đại học, cao đẳng. Nhờ đó, sinh viên chủ động trong học tập, phát triển được năng lực sáng tạo của mình. Các phần mềm dạy học ở các trường đại học sẽ nối cánh tay của giảng viên đến từng sinh viên ở mọi nơi. Thông qua bài giảng điện tử, giáo viên có nhiều thời gian đặt câu hỏi gợi mở tạo điều kiện cho sinh viên hoạt động nhiều hơn. Những khả năng mới mẻ và ưu việt này thay đổi cách học tập, cách tư duy và quan trọng hơn là cách ra quyết định của con người. Đặc biệt, trong giai đoạn chuyển sang đào tạo theo hệ thống tín chỉ, các trường đại học đã tiến hành biên soạn lại chương trình, giáo trình và bài giảng theo hướng điện tử hóa, ứng dụng những thành tựu khoa học kĩ thuật. Ưu điểm của các tài liệu này là dễ truy cập, tra cứu thông tin nhanh, có thông tin phản hồi, đáp ứng nhu cầu tự học, tự nghiên cứu, phát huy năng lực sáng tạo của người học. Môn hình học Affine và Euclid là một trong những môn hình học cao cấp ở bậc đại học, nó là một môn học nhằm tổng quát hóa, soi sáng hình

10 9 học giải tích ở phổ thông, trang bị hành trang giảng dạy về sau và phát triển tư duy cho sinh viên. Tuy nhiên, hiện nay, các giáo trình về môn học đều trình bày trên giấy, theo lối hàng lâm, chưa đáp ứng được nhu cầu đào tạo theo tín chỉ. Do đó, chúng ta cần phải xây dựng một số phương tiện hỗ trợ giảng dạy môn hình học Affine và Euclid để đáp ứng yêu cầu đổi mới đào tạo tại trường Đại học Đồng Tháp. Xuất phát từ thực tiễn và nhu cầu cấp thiết đó, chúng tôi chọn đề tài: Xây dựng bài giảng môn hình học Affine và Euclid nhằm tăng cường khả năng tự học, tự nghiên cứu của sinh viên theo tinh thần tín chỉ để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Dựa trên cơ sở nghiên cứu thực tiễn - lí luận, vận dụng các thành tựu của CNTT và hiệu quả của các phương pháp dạy học hiện đại, chúng tôi xây dựng bài giảng môn hình học Affine và Euclid theo tinh thần dạy học tín chỉ. Thông qua đó, chúng tôi cung cấp thêm tài liệu, phương tiện hỗ trợ dạy học nhằm tăng cường khả năng tự học, tự nghiên cứu, phát huy tính sáng tạo của sinh viên, từng bước đáp ứng nhu cầu đào tạo theo tín chỉ đối với môn hình học Affine và Euclid tại trường Đại học Đồng Tháp với các mục tiêu cụ thể sau: - Đề tài biên soạn một bài giảng điện tử cho môn hình học Affine và Euclid. Nó phải tạo được các liên kết, chỉ mục, danh mục định nghĩa, định lý,..., cho phép người học tra cứu nhanh chóng các nội dung. Hơn nữa, nó phải được soạn thảo theo các phương pháp dạy học không truyền thống như: dạy học kiến tạo, dạy học theo lý thuyết hoạt động, phương pháp học chương trình hóa và seminar. Thông qua đó, nó tăng cường khả năng tự học, tự nghiên cứu và hiệu quả học tập của sinh viên. Đặc biệt, nó phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo ở người học. - Đề tài nghiên cứu các ứng dụng tính toán của phầm mềm Toán học Maple và máy tính bỏ túi đối với môn học để viết thành một chuyên đề. Mục đích của chuyên đề là giảm bớt thời gian tính toán, tăng thời gian nghiên cứu các vấn đề bản chất cho sinh viên. - Đề tài xây dựng ngân hàng đề kiểm tra tự luận và trắc nghiệm, chương trình biên soạn và quản lý ngân hàng câu hỏi đó. Thông qua ngân hàng câu hỏi, sinh viên có thể tự đánh giá hiệu quả học tập của mình. Từ đó, người học có thể tự đánh giá kết quả học tập của mình, tìm ra phương pháp học tập tốt đối với bản thân.

11 10 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu đã đề cập ở trên, đề tài gắn với các nhiệm vụ sau: - Tóm tắt lại các lý thuyết dạy học không truyền thống như: lý thuyết hoạt động, lý thuyết kiến tạo, học chương trình hóa và seminar. Các ưu điểm và tình huống có thể sử dụng chúng. - Nghiên cứu nội dung môn hình học Affine và Euclid để xây dựng đề cương và biên soạn bài giảng cho môn học. - Nghiên cứu các khả năng tính toán, lập trình của phần mềm Maple và máy tính bỏ túi Casio 570MS để ứng dụng vào môn học. - Viết các chương trình biên soạn ngân hàng câu hỏi tự luận và trắc nghiệm dựa trên trình biên dịch L A TEX. Sau đó, sử dụng chúng để thành lập các ngân hàng câu hỏi. - Tiến hành thực nghiệm tại trường Đại học Đồng Tháp nhằm đánh giá hiệu quả các phương tiện đã xây dựng trong đề tài. 4. Phương pháp nghiên cứu a) Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu đề tài, chúng tôi sử dụng các phương pháp chính sau: - Điều tra, quan sát, thống kê Toán học. - Phân tích - Tổng hợp. - Nghiên cứu lý thuyết, phỏng vấn, trao đổi với chuyên gia. b) Mô tả phương pháp Nghiên cứu cở lý luận và qui trình biên soạn bài giảng điện tử theo các phương pháp dạy học không truyền thống; Phân tích nội dung và mục tiêu môn hình học Affine và Euclid, đề ra các kiến thức liên quan, mục tiêu cho từng bài. Thông qua đó, xây dựng lý thuyết và hệ thống câu hỏi. Sau đó, chúng tôi tiến hành thiết kế bài giảng thành một file điện tử. Phân tích nội dung và mục tiêu môn học để tổng hợp thành các nội dung có thể ứng dụng Maple và máy tính bỏ túi để hỗ trợ tính toán và suy luận. Từ đó, chúng tôi viết các chuyên đề về ứng dụng Maple và máy tính bỏ túi cho môn học. Đồng thời, cũng thông qua sự phân tích và tổng hợp đó, chúng tôi xây dựng ngân hàng câu hỏi tự luận và trắc nghiệm. Trao đổi ý kiến với các chuyên gia đầu ngành để hoàn thiện các phương tiện được thiết kế trong đề tài. Nghiên cứu sách báo, các công trình và kết quả nghiên cứu có liên quan để định hướng cho đề tài.

12 11 Tiến hành thực nghiệm tại trường Đại học Đồng Tháp, thống kê số liệu để xác định hiệu quả của đề tài. Thông qua đó, chúng tôi rút ra các bài học kinh nghiệm, hoàn thiện đề tài. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu a) Đối tượng nghiên cứu Các phương pháp dạy học không truyền thống, nội dung môn hình học Affine và Euclid, qui trình biên soạn ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm, qui trình xây dựng một đề kiểm tra, phần mềm Toán học Maple và máy tính bỏ túi. b) Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu cách sử dụng các phương pháp dạy không truyền thống như: lý thuyết hoạt động, kiến tạo, học chương trình hóa và seminar vào dạy và học môn hình học Affine và Euclid. Sự hỗ trợ tính toán, suy luận của phần mềm Toán học Maple và máy tính bỏ túi trong môn hình học Affine và Euclid. 6. Đóng góp của đề tài Đề tài xây dựng 4 phương tiện hỗ trợ sinh viên tự học môn hình học Affine và Euclid. Các phương tiện đó là: bài giảng điện tử, chuyên đề về sử dụng phần mềm Maple và máy tính bỏ túi Casio 570MS thực hiện các tính toán và suy luận trong môn học, chương trình quản lý và biên soạn ngân hàng câu hỏi tự luận và trắc nghiệm cho môn học. Chúng có tác dụng phát huy tích cực chủ động, khả năng sáng tạo cho người học. Từ đó, nâng cao chất lượng giảng dạy môn học nói riêng và chất lương đào tạo cử nhân sư phạm Toán học của trường Đại học Đồng Tháp nói chung. 7. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung còn lại của đề tài được trình bày trong 3 chương: Chương 1. Chương 2. Chương 3. Cơ sở lý luận và thực tiễn của việc xây dựng bài giảng môn hình học Affine và Euclid Xây dựng bài giảng môn hình học Affine và Euclid theo tinh thần dạy học tín chỉ Thực nghiệm sư phạm

13 12 Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC XÂY DỰNG BÀI GIẢNG MÔN HÌNH HỌC AFFINE VÀ EUCLID 1.1. Nội dung - vai trò - mục tiêu giảng dạy của môn hình học Affine và Euclid Sơ lược về nội dung và mục tiêu của môn hình học Affine và Euclid a) Tóm tắt nội dung của môn hình học Affine và Euclid Hình học Affine và Euclid là một môn hình học cao cấp. Nó nghiên cứu các bất biến Affine, bất biến của nhóm các phép dời và phép đồng dạng. Mỗi điểm trong không gian được đồng nhất với một phần tử của trường K n. Bằng phương pháp đó, các vấn đề hình học được chuyển thành các bài toán đại số. Sau đó, nó sử dụng các kết quả đại số tuyến tính để giải quyết các vấn đề của hình học. Cụ thể, nội dung môn học có thể chia thành 6 chương như sau: Chương 1. Trình bày các khái niệm không gian, mục tiêu, tọa độ Affine; m-phẳng, phương trình tham số, tổng quát của m-phẳng, tương giao của chúng; tỉ số đơn, m-hộp, m-đơn hình và tập lồi. Chương 2. Trình bày khái niệm ánh xạ Affine, phép biến đổi Affine cùng một số tính chất của chúng, định lý cơ bản của ánh xạ Affine, các phép biến đổi Affine đặc biệt như phép tịnh tiến, vị tự, phép thấu xạ, thấu xạ

14 13 trượt và phép đối hợp; nhóm các phép biến đổi Affine và hình học Affine. Chương 3. Trình bày khái niệm về siêu mặt bậc hai và các khái niệm liên quan như: tâm, phương tiện cận, đường tiệm cận, điểm kì dị, tiếp tuyến, phương trình chính tắc. Định lý về phân loại siêu mặt bậc hai. Tên gọi các đường bậc và mặt bậc hai trong không gian Affine. Chương 4. Trình bày khái niệm không gian Euclid, mục tiêu trực chuẩn, tọa độ trực chuẩn, công thức đổi mục tiêu trực chuẩn; khoảng cách giữa hai cái phẳng, đường vuông góc chung, công thức tính khoảng cách giữa 2 cái phẳng; góc giữa 2 đường thẳng, 2 siêu phẳng, giữa đường thẳng với siêu phẳng; thể tích của m-hộp và m-đơn hình. Chương 5. Trình bày khái niệm phép biến đổi đẳng cự, phép dời và phản dời; một số phép biến đổi đẳng cự đặc biệt trên không gian Euclid tổng quát như: phép đối xứng qua m-phẳng, phép quay quanh (n 2)-phẳng; phân loại các phép biến đổi đẳng cự trong E 2 và E 3 ; khái niệm hình học Euclid, hình học đồng dạng và ứng dụng hình học Euclid giải bài toán Affine. Chương 6. Trình bày khái niệm phương trình chuẩn chính tắc của siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid, phương chính và siêu phẳng kính chính của siêu mặt bậc hai; bất biến của hàm đa thức bậc hai, phân loại đường và mặt bậc hai bằng các bất biến; siêu cầu, siêu phẳng đẳng phương và vị trí tương đối của siêu phẳng với siêu cầu. b) Mục tiêu của môn hình học Affine và Euclid Về nội dung. Thông qua môn học cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản của hình học Affine và Euclid như: không gian Affine, mục tiêu và tọa độ Affine, khái niệm m-phẳng và phương trình của nó, tỉ số đơn, m-đơn hình, ánh xạ Affine, phép biến đổi Affine, một số phép biến đổi Affine đặc biệt, siêu mặt bậc hai trong A n và các khái niệm liên quan, tên gọi của đường, mặt và siêu mặt bậc hai Affine; những kiến thức về không gian Euclid, khoảng cách, góc, thể tích, ánh xạ đẳng cự của các không gian Euclid, các phép biến đổi đẳng cự chính tắc, phân loại phép biến đổi đẳng cự, phép đồng dạng, siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid, nghiên cứu đường và mặt bậc hai nhờ các bất biến, siêu cầu, các tính chất và khái niệm liên quan đến siêu cầu. Từ đó, người học có một cái nhìn tổng quát về hình giải tích ở phổ thông, biết phân loại các bài hình học sơ cấp, dùng hình học cao cấp để tìm lời giải cho nó. Bên cạnh đó, môn học còn cho phép sinh viên soi sáng lại các khái niệm, tính chất của hình học sơ cấp.

15 14 Về kỹ năng. Với các nội dung nêu trên, môn học rèn cho sinh viên những kỹ năng sau: - Giải các bài toán liên quan đến không gian Affine như: chứng minh hệ điểm độc lập Affine, là một mục tiêu Affine, tìm công thức đổi mục tiêu. - Giải các bài toán liên quan đến m-phẳng như lập phương trình tham số, phương trình tổng quát, xét vị trí tương đối giữa hai cái phẳng. - Xác định tâm tỉ cự, trọng tâm của một điểm, tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng, giải các bài toán về tọa độ tâm tỉ cự, chứng minh các tính chất hình học đặc trưng của tâm tỉ cự. - Giải các bài toán về m-đơn hình và m-hộp. - Sử dụng hình học Affine giải bài toán hình học sơ cấp. - Giải các bài toán liên quan đến ánh xạ Affine và phép biến đổi Affine như chứng minh một ánh xạ là một ánh xạ Affine, một phép biến đổi Affine, viết biểu thức tọa độ của phép biến đổi Affine, tìm ảnh và tạo ảnh của m- phẳng qua phép biến đổi Affine, tìm tọa độ điểm bất động và phương bất động của một phép biến đổi Affine, chứng minh một số định lý về phân loại chính tắc của phép biến đổi Affine, vận dụng phép biến đổi Affine chứng minh một tính chất Affine. - Giải các bài toán liên quan đến siêu mặt bậc hai trong không gian Affine như: Tìm tâm, phương tiệm cận, đường tiệm cận, siêu phẳng kính, tiếp tuyến, phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai. - Chứng minh một số tính chất Affine của siêu mặt bậc hai. - Giải các bài toán liên quan đến không gian Euclid như: chứng minh một mục tiêu Affine là một mục tiêu Euclid, tìm tọa độ Euclid của một điểm, chuyển mục tiêu Affine về mục tiêu Euclid. - Giải các bài toán về phẳng trực giao, tính khoảng cách giữa hai cái phẳng, tìm phương trình đường vuông góc chung của 2 cái phẳng, góc của hai cái phẳng, thể tích của m-hộp và m-đơn hình. - Giải các bài toán về phép biến đổi đẳng cự và chứng minh một số tính chất hình học của chúng; phân loại và tìm dạng chính tắc của các phép biến đổi đẳng cự trong E 2 và E 3 ; chứng minh một số tính chất hình học của phép đồng dạng; vận dụng hình học Euclid giải các bài toán hình học Affine và hình học sơ cấp. - Giải các bài toán về siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid như đưa phương trình về dạng chính chuẩn tắc bằng cách sử dụng phép biến đổi đẳng cự. Tìm các phương chính, siêu phẳng kính chính, phương trình của

16 15 siêu cầu, siêu phẳng đẳng phương, giao của siêu cầu và siêu phẳng, vận dụng các kết quả vào phổ thông. - Dùng các bán bất biến và bất biến để tìm phương trình chính tắc, gọi tên đường và mặt bậc hai. Chứng minh một số tính chất hình học đặc trưng của các đường parabol, hyperbol, ellipse và các mặt parabolic, yên ngựa, hyperloid, mặt nón, Ngoài ra môn học còn nhằm rèn luyện cho sinh viên kỹ năng lập luận, trình bày một vấn đề khoa học, khai thác tài liệu và các công cụ hỗ trợ học tập. Về thái độ. Qua môn học, sinh viên được hình thành các thái độ sau: - Thái độ ham học hỏi, muốn đào sâu chuyên môn, mở rộng vào các vấn đề liên quan đến môn học. - Thái độ cần cù, kiên nhẫn, tự lực trong quá trình chiếm lĩnh kiến thức. - Thái độ tích cực xây dựng bài và sửa các bài tập. - Thái độ nghiêm túc, trung thực trong kiểm tra đánh giá môn học. - Thái độ có thiện chí hợp tác với các thành viên nhóm học tập khi tự nghiên cứu, thảo luận Vai trò của môn hình học Affine và Euclid trong chương trình đào tạo của nhân Sư phạm Toán học Ngoài những vai trò chung của các môn học ở bậc đại học như: phát triển tư duy, khả năng suy luận,..., môn hình học Affine và Euclid còn có những vai trò riêng sau: a) Soi sáng kiến thức hình học ở phổ thông Hình học giải tích ở phổ thông là một trường hợp đặc biệt của hình học Euclid, nó chính là mặt phẳng và không gian Euclid thực. Khái niệm đường thẳng và mặt phẳng được tổng quát thành khái niệm m-phẳng; Siêu mặt bậc hai là khái niệm tổng quát của đường bậc hai và mặt bậc hai, 3 đường conic chính là các đường bậc hai. Nhờ sự tổng quát đó, các khái niệm trong hình học ở phổ thông được sáng tỏ hơn. Ví dụ, thông qua định nghĩa một cơ sở của không gian vector con α được gọi là một hệ vector chỉ phương của m-phẳng (α) thì sinh viên mới hiểu rõ tại sao một đường thẳng hay một mặt phẳng có nhiều vector chỉ phương; nếu a là một vector chỉ phương của đường thẳng (d)

17 16 thì k. a, k 0, cũng là một vector chỉ phương của nó; hiểu rõ cơ sở lý thuyết của việc khảo sát vị trí tương đối của 2 cái phẳng,... Thêm vào đó, các kết quả của hình học ở phổ thông được phát biểu lại ở dạng tổng quát. Điều này giúp cho sinh viên bao quát được kiến thức phổ thông, chủ động trong quá trình giảng dạy về sau. Hơn nữa, nếu chúng ta khéo léo khai thác các kết quả đó thì chúng ta sẽ sáng tạo được hệ thống bài tập hình học sơ cấp theo mục đích riêng. Ví dụ, khai thác các kết quả của tâm tỉ cự để xây dựng hệ thống bài tập về đẳng thức vector; khai thác các kết quả m-đơn hình hay m-hộp để xây dựng hệ thống bài tập về hình bình hành, hình hộp,.... GS. Đào Tam đã có nhiều bài báo viết về vấn đề này. Các phép biến hình là một trong những nội dung quan trọng của môn Toán ở phổ thông và có nhiều ứng dụng. Tuy nhiên, vì lí do sư phạm nên sách giáo khoa trình bày chưa được sáng sủa các nội dung đó, hướng khai thác phép biến hình giải toán chưa được chú ý đúng mức. Do đó, khi sinh viên được trang bị lý thuyết nhóm và định lý về phân loại chính tắc các phép biến đổi đẳng cự trong không gian E 2 và E 3 sẽ giúp họ hiểu rõ hơn bản chất của phép biến hình và cách trình bày của sách giáo khoa. Ví dụ, các em biết được tại sao sách giáo khoa chỉ trình các phép biến hình chính tắc như phép quay, đối xứng, tịnh tiến, đối xứng qua mặt phẳng. Hơn nữa, việc nắm rõ các tính chất bất biến của mỗi phép dời sẽ định hướng cho các em lựa chọn những phép biến hình phù hợp để giải một bài toán cụ thể. b) Định hướng tìm lời giải bài toán hình học sơ cấp Một thế mạnh của hình học cao cấp là cho phép chúng ta giải được một lớp rộng các bài toán hình học sơ cấp, từ đó suy luận ra lời giải sơ cấp. Phương pháp đó hỗ trợ rất tốt cho cho việc dạy học của người giáo viên Toán. Ví dụ: Cho tam giác ABC trong E 2. Chia ba các cạnh và xét các đường thẳng nối các đỉnh và các điểm chia của cạnh đối diện. Các giao điểm của chúng lập thành một hình lục giác. Chứng minh ba đường chéo của lục giác này đồng qui. Chúng ta có lời giải trên hình học cao cấp cho bài toán như sau: Tam giác là một khái niệm của hình học Affine, khái niệm chia ba là khái niệm của hình học Affine vì có thể phát biểu lại dưới dạng tỉ số đơn. Tương tự, khái niệm lục giác và tính chất đồng qui đều có thể mô tả bằng ngôn ngữ Affine. Do đó, bài toán trên là một bài toán Affine. Sử dụng phương pháp Euclid để giải bài toán đã cho

18 17 Xét tam giác đều A B C, gọi M, N, P, Q, R, S là các giao điểm như hình vẽ. Do các tam giác B M C và B Q C cân nên hai điểm M và Q nằm trên đường trung trực của cạnh B C. Suy ra M Q là một đường trung tuyến của tam giác A B C. Lý luận tương tự ta có S P và N R là hai đường trung tuyến của tam giác A B C. Do đó ba đường M Q, S P, N R đồng qui tại I (ba đường trung tuyến của một tam giác thì đồng qui). Xét phép biến đổi Affine f biến tam giác đều A B C thành tam giác ABC. Khi đó các đường chéo M Q, N R, P S biến thành các đường chéo MQ, NR, P S. Do các đường chéo M Q, N R, P S đồng qui tại I nên đường chéo MQ, NR, P S đồng qui tại I = f(i ). Rõ ràng cách giải trên không thể áp dụng cho đối tượng là học sinh PTTH. Tuy nhiên, dựa vào cách giải trên, ta có thể định hướng lời giải cho bài toán ban đầu. Theo dõi các bước chứng minh, chúng ta nhận thấy rằng các cặp điểm (M, Q ), (P, S ) và (N, R ) nằm trên các đường trung tuyến của tam giác A B C nên ảnh của chúng qua ánh xạ f cũng nằm trên các đường trung tuyến của tam giác ABC, vì phép biến đổi Affine bảo toàn các đường trung tuyến (tỉ số đơn). Từ đó, chúng ta nhận thấy rằng chỉ cần chứng minh bài toán sau là đủ để có lời giải cho bài toán trên. Cho tam giác ABC và hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho AM AB = AN. Chứng minh rằng giao điểm của CM và BN nằm trên AC trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ABC. c) Cung cấp kiến thức cơ sở cho các môn học khác Môn hình học Affine cung cấp kiến thức cơ sở cho nhiều môn Toán ở bậc đại học. Trong số đó, chúng ta thấy rõ nhất là các môn giải tích hàm nhiều biến,

19 18 hình học xạ ảnh và hình học vi phân. - Đối với môn giải tích hàm nhiều biến thì phần tích phân đường và mặt cần một số kết quả về các đường và mặt bậc hai như: hình dạng, tính chất hình học và tham số của chúng. Các kết quả đó được trình bày trong phần đường bậc hai và mặt bậc hai. Trong một số trường hợp, người học phải xác định tham số không chính tắc của một đối tượng hình học. Khi đó, họ cần phải biết biểu thức của các phép biến hình. - Đối với môn hình học xạ ảnh. Có thể nói 3 môn hình học Affine, Euclid và xạ ảnh là 3 cái chân của một cái kiền. Kiến thức của chúng gắn kết, bổ sung và không thể tách rời nhau. Hình học xạ ảnh có thể sử dụng những kết quả của hình học Affine và Euclid để xây dựng khái niệm hay chứng minh tính chất trên nó. Ngược lại, hình học xạ ảnh là một công cụ tốt để nghiên cứu và chứng minh các tính chất của hình học hình học Affine và Euclid. Chúng ta thấy rõ những điều này qua các mô hình hình học và ứng dụng của chúng. - Đối với môn hình học vi phân. Đối tượng nghiên cứu chính của hình học vi phân ở bậc đại học là các đường và mặt có tham số hóa địa phương. Các kiến thức về đường thẳng, mặt phẳng, tham số hóa của đường và mặt bậc hai, cũng như các tính chất hình học của chúng hỗ trợ sinh viên giải các bài tập thiên về tính toán hay suy luận để tìm phản ví dụ. Thêm vào đó, các kiến thức về biểu thức tọa độ của phép biến hình trong R 2 và R 3 là cơ sở để sinh viên viết được tham số hóa của mặt tròn xoay, mặt kẻ, mảnh Monge. Đây là các mặt được quan tâm nhiều trong lý thuyết và được ứng dụng trong thực tế. Qua các phân tích trên, chúng ta thấy rằng môn hình học Affine và Euclid có vai trò phát triển tư duy, kỹ năng, khả năng suy luận,... của người học. Đặc biệt, nó trang bị cho những giáo viên tương lai các kiến thức hình học có hệ thống, sáng sủa và tổng quát. Hơn nữa, sinh viên có thêm những công cụ để giải và đặc biệt là tìm lời giải sơ cấp cho các bài toán hình học ở phổ thông. Thêm vào đó, nó cung cấp kiến thức cơ sở cho nhiều môn học ở bậc đại học. Do đó, khi giảng dạy, chúng ta cần chú ý phát huy các vai trò đó của môn học.

20 Thực trạng và giải pháp Thực trạng của việc giảng dạy môn hình học Affine và Euclid ở một số trường đại học hiện nay a) Việc giảng dạy môn hình học Affine và Euclid ở một số trường đại học hiện nay Qua quá trình tìm hiểu việc giảng dạy môn hình học Affine và Euclid ở các trường Đại học Cần Thơ, Đại học Sư phạm Hồ Chí Minh, Đại học Sư phạm Qui Nhơn, Đại học sư phạm Huế, Đại học Vinh và Đại học Đồng Tháp, chúng tôi thấy rằng phân phối chương trình, nội dung và hình thức giảng dạy tương đối giống nhau. Cụ thể, môn học được dạy vào năm thứ hai của khóa học, với thời lượng 60 tiết. Khối lượng kiến thức giảng dạy là giống nhau nhưng cách phân chia các chương là khác nhau. Qui trình giảng dạy đi các bước: - Giới thiệu đề cương môn học, tài liệu học tập. - Giảng viên trình bày các kiến thức cơ bản. Sau đó, sinh viên sửa bài tập trong giáo trình. - Cho sinh viên seminar một số chủ đề và làm một đến hai bài kiểm tra. - Cho sinh viên làm bày tự học để lấy điểm thường kì nếu cần thiết. - Thi kết thúc môn học với hình thức làm bài tự luận từ 90 đến 120 phút. b) Những ưu điểm của hình thức giảng dạy trên Nếu giảng dạy môn học theo phương pháp trên thì nó sẽ có những có những ưu điểm của phương pháp dạy học truyền thống là: Nội dung giảng dạy được hệ thống, người dạy làm chủ được thời gian phân phối chương trình,... Hơn nữa, với các buổi seminar và bài tự học sinh viên cũng một phần nào rèn luyện được khả năng thuyết trình và nắm sâu hơn nội dung môn học. Mặt dù phương pháp dạy học môn hình học Affine và Euclid hiện nay có các ưu điểm trên nhưng nó vẫn còn tồn động một số điểm hạn chế. c) Những mặt hạn chế của hình thức giảng dạy trên - Hạn chế tính tích cực và chủ động của sinh viên. Do phần lớn nội dung của môn học được giảng viên trình bày nên không ít sinh viên ỷ lại, không chuẩn bị bài trước. Kết quả điều tra ở 73 sinh viên ở hai trường Đại học Đồng Tháp và Đại học Sư Phạm Huế cho thấy có hơn 70% không chuẩn

21 20 bị bài trước khi đến lớp. Hơn nữa, các em không thường xuyên xem bài vở mà chỉ học trước khi thi kết thúc môn học một vài tuần. Thêm vào đó, một số sinh viên còn có ý nghĩ đối phó với kì thi để qua môn học, không thấy được tầm quan trọng của môn học. Các em ít nghĩ đến vấn đề khai thác môn học vào công tác giảng dạy sau này. Theo nhận định chủ quan của chúng tôi thì nguyên nhân dẫn đến vấn đề đó một phần là do phương pháp giảng dạy của giảng viên không cuốn hút được sinh viên. Người học chưa được thật sự hứng thú với môn học mà chỉ coi đó là một nhiệm vụ. Mặt khác, theo phương pháp dạy học truyền thống như hiện nay thì sinh viên ít có cơ hội trình bày các suy nghĩ, các vấn đề vướn mắc hay tâm đắc của mình. Các mầm suy nghĩ của sinh viên không có điều kiện để phát triển. Từ đó dẫn đến một điều tất yếu là họ ít trân trở, đào sâu các vấn đề trong môn học. - Không kiểm tra được kiến thức toàn diện ở sinh viên. Kết quả đánh giá môn học hiện nay được dựa các cột điểm chuyên cần, giữa kì, bài tự học và thi kết thúc học phần. Trong mỗi đợt kiểm tra, chúng ta chỉ tập trung vào các kiến thức cơ bản và một phần nhỏ kiến thức nâng cao nào đó của môn học. Với cách đánh giá đó, chúng ta chỉ kiểm tra được một lượng ít nội dung trong môn học, khó đánh giá được mức độ nắm các vấn đề lớn và các chuyên đề của sinh viên. Theo đó, việc dựa vào điểm số để đánh giá mức độ hiểu biết của sinh viên về môn học là thiếu chính xác. Chúng ta không thể kết luận một sinh viên có điểm khá nắm chắc kiến thức môn học hơn một sinh viên điểm trung bình. - Thiếu thông tin phản hồi từ phía sinh viên. Phương pháp giảng dạy đối với môn học hiện nay phần lớn còn mang tính một chiều. Các bài kiểm tra, bài tự học được thực hiện vào thời gian giữa và cuối của môn học nên người dạy không nắm được khả năng tiếp thu bài của sinh viên. Những nội dung nào sinh viên chưa hiểu kĩ, còn vướn mắc. Chính vì lý do đó, giảng viên không điều chỉnh được cách giảng dạy của mình sao cho phù hợp với người học. Từ đó, sinh viên thiếu hứng thú đối với môn học. - Không phát huy tối đa khả năng tìm tòi, sáng tạo ở sinh viên. Chúng ta muốn sinh viên sáng tạo thì chúng ta phải tạo điều kiện cho họ tích cực tham gia phát biểu bài, trình bày các điều tâm đắc, tìm kiếm và đọc tài liệu. Theo phân tích trên, chúng ta thấy rằng sinh viên không được chú ý phát huy các khả năng đó. Do đó, nó tạo nên một thói quen ỷ lại, một sức ì ở sinh viên. Hơn nữa, một số sinh viên có ý thức tự học thì không có điều kiện phát huy khả năng của mình trên lớp. Do đó, các em cũng chỉ dừng lại ở việc đọc bài giảng, giáo trình, giải các bài tập thầy ra. Tuy

22 21 nhiên, nếu chúng ta phát hiện và có những định hướng tốt cho các em đó thì các em sẽ khai thác được tài liệu, tìm thêm tài liệu. Khi đó, người học sẽ hứng thú với vấn đề mình tâm đắc và có động lực phát triển vấn đề đó. - Thiếu sự ứng dụng các thành tựu khoa học vào giảng dạy. Một đặc điểm của môn hình học Affine và Euclid là có nhiều bài tập tính toán. Tuy nhiên, các kĩ thuật đó đã được hình thành và rèn luyện cho sinh viên qua các môn đại số tuyến tính. Vấn đề ở đây là sinh viên cần tìm ra kết quả tính toán để rút ra những ý nghĩa hình học. Do đó, nếu sinh viên sử dụng máy tính bỏ túi hay các phần mềm toán học để nhanh chóng tìm ra kết quả chính xác thì họ không phải mất thời gian vào các công việc không bản chất đó. Bên cạnh đó, nếu chúng ta khai thác tốt các khả năng của máy tính thì chúng ta sẽ tạo được hứng thú học tập, phát huy hiệu quả tự học của sinh viên. Mạng internet, các forum trên mạng hay các diễn đàn là nơi tốt để sinh viên trao đổi học thuật, tìm kiến tài liệu... Qua đó, chúng ta thấy rằng việc ứng dụng những thành tựu của khoa học kỹ thuật vào môn học là hết sức cần thiết. - Chưa hình thành được khả thuyết trình và trình bày vấn đề khoa học ở sinh viên. Nhiệm vụ chính của các sinh viên sau khi ra trường là giảng dạy. Công việc đó sẽ đạt hiệu quả khi họ có khả năng thuyết trình, trình bày một vấn đề khoa học. Do đó, các môn học ngoài việc cung cấp kiến thức cho sinh viên. Nó còn phải hình thành và phát triển khả năng thuyết trình, trình bày các vấn đề khoa học. Tuy nhiên, theo cách dạy học như hiện nay, phần lớn thời gian được giảng viên gành cho việc trình bày của mình. Thời lượng giành cho các buổi seminar tương đối hạn chế. Số sinh viên tham gia trình bày, thảo luận trong một buổi seminar lại ít. Qua đó, chúng ta thấy rằng phương pháp đó chưa hình thành và phát triển được khả năng thuyết trình ở sinh viên. Đó là một trong những lí do dẫn đến nhiều sinh viên sư phạm khi đi thực tập thì hay lúng túng, mất tự tin. - Giảng viên không có nhiều thời gian trình bày sâu các vấn đề lý thú, có nhiều ứng dụng. Môn hình học Affine và Euclid có nhiều nội dung hay, nhiều điểm soi sáng hình học ở phổ thông và trang bị cho sinh viên những công cụ dạy học hiệu quả sau này. Ví dụ, phương pháp tọa độ, biến hình hay dùng hình học cao cấp để tìm giải bài toán sơ cấp là những công cụ không thể thiếu trong việc giảng dạy của người giáo viên. Tuy nhiên, do người dạy phải trình bày các nội dung ràng trải nên họ không có nhiều thời gian khai thác các vấn đề hay trong môn học.

23 Một số giải pháp đổi mới việc dạy học môn hình học Affine và Euclid a) Xây dựng lại bài giảng theo hướng phát huy tính tích cực chủ động của người học Nhìn chung, các tài liệu về môn hình học Affine và Euclid hiện nay điều được viết dưới dạng giáo trình. Trong các tài liệu đó, tác giả trình bày định nghĩa, định lý, mệnh đề, hệ quả, chứng minh, hệ thống bài tập và lời giải. Các giáo trình đó phù hợp cho phương pháp thuyết trình. Do đó, nếu dùng chúng để tự học thì sinh viên gặp phải một số khó khăn như: không xác định trước được mình cần phải có kiến thức gì để đọc nội dung đó, cần nắm những nội dung nào trong bài học, chưa kiểm tra được chính xác mình đã nắm bài ở mức độ nào,...hơn nữa, do thiếu các hoạt động của sinh viên trong giáo trình nên họ nắm các kiến thức một cách thụ động, thiếu sự tích cực khi đọc tài liệu. Từ các phân tích trên, chúng ta thấy rằng cần phải viết lại bài giảng môn học theo hướng phát huy tích cực, sáng tạo của người học. Dựa trên các giáo trình, bài giảng hiện tại, các lý thuyết dạy học không truyền thống, chúng ta thiết kế các tình huống, xây dựng mục tiêu, hệ thống câu hỏi đánh giá trong từng bài, bổ sung những kiến thức cần thiết thì sinh viên tự đọc tài liệu dễ dàng hơn. Thêm vào đó, chúng ta nên chú ý khai thác sự hỗ trở của máy tính để điện tử hóa bài giảng, phát huy hiệu quả của phương pháp học chương trình hóa, tra cứu thông tin trong bài giảng. Khi biên soạn được bài giảng theo hướng trên thì các giảng viên chỉ việc giải thích những vướn mắc của sinh viên, đánh giá mức độ nắm kiến thức của từng người và có nhiều thời gian hơn để trình bày các vấn đề lý thú trong môn học. Sinh viên thì có nhiều thời gian hoạt động, nắm được kiến thức vững chắc hơn, cảm thấy hứng thú đối với môn học,... b) Xây dựng các chuyên đề để sinh viên tự nghiên cứu Cuối mỗi nội dung của môn học, chúng ta nêu ra một số đề tài để sinh viên tìm hiểu, thảo luận. Mỗi đề tài chúng ta trình bày cách tiếp cận, những kiến thức liên quan cần chuẩn bị, những nội dung cần nắm, hướng khai thác mở rộng của đề tài, ứng dụng của nó... Qua đó, sinh viên có cơ hội làm việc nhóm với nhau, tìm thêm tài liệu, phát huy khả năng tư duy, hùng biện và bước đầu tiếp cận được nghiên cứu khoa học.

24 23 c) Viết các chuyên đề sử dụng máy tính bỏ túi hỗ trợ thực hiện các tính toán trong môn học Máy tính bỏ túi là một dụng cụ học tập gần gủi với sinh viên. Nó cho phép chúng ta thực hiện các tính toán cần thiết trong môn học như: tính định thức, tìm ma trận nghịch, giải hệ phương trình tuyến tính, xác định đa thức đặc trưng, tính giá trị riêng của một ma trận cấp 3... Do đó, chúng ta cần viết chuyên đề về trình bày cách khai thác các tính năng của nó vào thực hiện một số tính toán đơn giản trong môn học. Nhờ giảm bớt tính toán, sinh viên có được nhiều thời gian tìm hiểu các vấn đề bản chất hơn. d) Viết các chuyên đề sử dụng các phần mềm hỗ trợ thực hiện các tính toán trong môn học Ngoài khả năng thực hiện các phép tính riêng lẻ như máy tính bỏ túi, các phần mềm toán học còn cho phép chúng ta lập trình thực hiện một chuổi tính toán. Do đó, chúng ta có thể lập trình tìm kết quả các bước giải đối với những dạng toán mang tính thuật toán trong môn học. Thông qua các chương trình, sinh viên có thể tự ra bài tập và kiểm tra các bước giải của mình, không tốn nhiều thời gian để tìm ra chổ sai trong lời giải. Hơn nữa, sinh viên có thể tận dụng khả năng tính toán các biểu thức có chứa tham số nhanh chóng, chính xác để tìm hướng giải các bài toán suy luận. e) Xây dựng ngân hàng câu hỏi bao quát nội dung toàn môn học Căn cứ vào nội dung, mục tiêu và yêu cầu, chúng ta xây dụng ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm và tự luận. Nội dung của các câu hỏi phải trải đều các kiến thức trong môn học. Khi đó, giảng viên có thể sử dụng chúng để tự kiểm tra kiến thức của sinh viên theo từng nội dung. Đánh giá chính xác kết quả học tập của sinh viên, điều chỉnh, uốn nắn các sai lầm của sinh viên. Hơn nữa, sinh viên có thể dùng ngân hàng câu hỏi để kiểm tra kiến thức, kết quả học tập của mình. f) Đánh giá kết quả học tập của sinh viên trong toàn môn học Để đánh giá kết quả học tập của sinh viên được chính xác thì chúng ta phải thực hiện nó trong cả khóa học. Chúng ta phải đánh giá mức độ nắm bài và vận dụng kiến thức của sinh viên qua từng buổi lên lớp, seminar, sửa bài tập, trình bày chuyên đề, kiểm tra giữa kì thường xuyên và bài thi cuối khóa. Với cách đánh giá đó, các sinh viên không đầu tư cho môn học sẽ không đạt được kết quả cao.

25 24 Nhờ đó, chúng ta sẽ tạo được sự công bằng trong đánh giá, tăng hứng thú học tập, trao đổi bài ở sinh viên Tổng quan về một số phương pháp dạy học không truyền thống Phương pháp vận dụng lý thuyết hoạt động vào dạy học Các nội dung trong mục này được chúng tôi tổng hợp từ những tài liệu [23], [27], [30], [31]. a) Sơ lược về lý thuyết hoạt động Những năm đầu thế kỷ XX, tâm lí học nội quan đã đi vào bế tắc. Khuyết điểm chung nhất của các trường phái tâm lí học đương thời là chưa có cái nhìn biện chứng về con người và bản chất của nó. Từ đó, họ có quan niệm không đúng về đối tượng nghiên cứu của mình và sử dụng PPNC siêu hình, cơ học của chủ nghĩa thực dụng. Khi triết học của K. Mác ra đời, nó đã đưa ra quan điểm đúng đắn và biện chứng về bản chất con người, về hoạt động và vai trò của nó trong sự sáng tạo ra con người. Khi đó, lý thuyết hoạt động được ra đời. Quan điểm chủ yếu của nó là: hoạt động là quá trình diễn ra giữa con người với giới tự nhiên, một quá trình trong đó, bằng hoạt động của chính mình, con người làm trung gian, điều tiết và kiểm tra sự trao đổi chất giữa họ và tự nhiên. Theo quan điểm đó thì hoạt động là mối quan hệ tác động qua lại giữa con người và thế giới để tạo ra sản phẩm phía thế giới và cả về phía con người. Do đó, đối tượng của nó là cái đang sinh thành trong quan hệ sinh thành của hoạt động và thông qua hoạt động của chủ thể. Với cách hiểu đối tượng hoạt động đó, chúng ta cần nhận thức đối tượng hoạt động không chỉ là các vật chất cụ thể mà nó có thể là các đối tượng, các quan hệ trừu tượng cần hình dung, tư duy làm bộc lộ nó với tư cách là động cơ của hoạt động, với tư cách là đối tượng mang tính nhu cầu. b) Ứng dụng của thuyết hoạt động vào trong dạy học - Bất cứ hoạt động nào được gọi là Học khi hiệu quả của nó đạt được. Tức là những tri thức, kỹ năng và thái độ mới hay những tri thức, kỹ năng, thái độ cũ có bản chất mới được hình thành ở người thực hiện hoạt động này.

26 25 - Trong quá trình lên lớp, hoạt động được chia thành nhiều dạng khác nhau: hoạt động vào bài, giới thiệu bài mới, chiếm lĩnh bài mới, hoạt động củng cố, hình thành kỹ năng, phản hồi, đánh giá. - Trong dạy học Toán, chúng ta thường gặp các hoạt động: nhận dạng và thể hiện khái niệm, phương pháp, qui tắc, định lý; hoạt động phức tạp như: chứng minh, định nghĩa, giải bài toán; những hoạt động trí tuệ như: lật ngược vấn đề, xét tính giải được, phân chia trường hợp, phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,... c) Bồi dưỡng cho sinh viên năng lực tiếp cận lí thuyết hoạt động trong giảng dạy Toán Đặc điểm học tập nổi bậc của sinh viên sư phạm là học tập mang tính nghiên cứu, kết hợp nắm các kiến thức cơ bản và các kiến thức nghề nghiệp; chương trình học tập mang tính mở, có điều kiện phát huy tối đa năng lực tự học, tự nghiên cứu. Do đó, các nhà phương pháp đề xuất các định hướng bồi dưỡng cho sinh viên tiếp cận lí thuyết hoạt động sau: - Rèn luyện cho sinh viên năng lực tư duy khoa học vận dụng trong nghiên cứu toán. Các thành tố của năm lực đó bao gồm: Năng lực phán đoán, mô tả, so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa; Năng lực xây dựng khái niệm, các qui tắc định nghĩa khái niệm; Năng lực vận dụng các quy tắc suy luận trong nghiên cứu; Năng lực vận dụng phép biện chứng của tư duy; Năng lực kết hợp quy nạp và suy diễn trong nghiên cứu Toán; Năng lực xây dựng và kiểm chứng giả thuyết. Ví dụ: Chúng ta có thể sử dụng định nghĩa của đường thẳng, mặt phẳng để sinh viên khái quát hóa thành khái niệm m-phẳng Affine. Từ khái niệm đường tròn, mặt cầu khái quát hóa thành khái niệm siêu cầu. - Rèn luyện cho sinh viên năng lực phát hiện các đối tượng có chức năng gợi động cơ cho hoạt động tìm tòi kiến thức hướng vào mục tiêu đào tạo Ví dụ: Xuất phát từ bài toán: Ba đường trung tuyến trong một tam giác đồng qui tại một điểm. Từ nhu cầu rèn luyện năng lực bồi dưỡng học sinh giỏi ở phổ thông, chúng ta có thể hướng sinh viên xét các bài toán tương tự trong không gian, giải bằng phương pháp cao cấp và sơ cấp như sau: Bài toán 1. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là các trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng 4 đường thẳng AM, BN, P C và DQ đồng qui tại một điểm.

27 26 Bài toán 2. Chứng minh rằng trong tứ diện ABCD các đường thẳng nối trung điểm của những cặp cạnh đối diện đồng qui tại một điểm. - Rèn luyện cho sinh viên năng lực nắm các khái niệm, các quan hệ toán học theo hệ thống từ các trường hợp riêng đến trường hợp tổng quát. Việc rèn luyện năng lực này cho phép các sinh viên có ý thức thiết lập mối quan hệ các kiến thức khái quát, trừu tượng được trang bị ở đại học với kiến thức riêng lẻ học ở phổ thông; từ đó giúp sinh viên có khả năng định hướng giải quyết vấn đề và chuyển tải sang ngôn ngữ phổ thông. Ví dụ: khái niệm đoạn thẳng, tam giác, tứ diện là các thể hiện của m-đơn hình trong phổ thông; nhiều tính chất của hình bình hành và hình hộp là tương tự nhau vì chúng là những tính chất riêng của m-hộp. - Năng lực tổ chức cho học sinh phổ thông hoạt động tự tìm tòi phát hiện kiến thức. - Năng lực khai thác tìm năng sách giáo khoa, phát triển và mở rộng kiến thức và kĩ năng chuẩn Phương pháp vận dụng lí thuyết kiến tạo vào dạy học Toán Các nội dung trong mục này được chúng tôi tổng hợp từ những tài liệu [23], [27], [30], [33]. a) Quan điểm về kiến tạo trong dạy học Quá trình nhận thức của người học trong dạy học môn Toán tuân thủ theo phương pháp luận nhận thức: từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ trừu tượng trở về với thực tiễn; trong đó để nhận thức toán học, con đường đi từ trực quan đến trừu tượng thường diễn ra bằng quá trình mô hình hóa các quan hệ, hiện tượng của hiện thực khách quan. Quá trình đó được chổ chức và hình thành bằng các phương pháp sư phạm. Sản phẩm được học sinh, sinh viên tìm ra là cái mới đối với họ được lấy từ kho tàng tri thức của nhân loại. Có nhiều quan điểm khác nhau về dạy học theo quan điểm kiến tạo. Tuy nhiên, các nhà sư phạm đều khẳng định: - Học là hoạt động của người cần lĩnh hội tri thức dựa vào những kinh nghiệm của bản thân, huy động chúng vào quá trình tương tác với các tình huống, tiêu hóa chúng và rút ra được điều cần hình thành. Theo quan điểm của thuyết kiến tạo, các tri thức thu được nhất thiết là một sản phẩm của một hay nhiều hoạt động nhận thức của chính con người. Bằng cách xây dựng trên các kiến thức

28 27 đã có, người học có thể nắm bắt tốt hơn các khái niệm, các qui luật đi từ nhận biết sự vận sang hiểu nó và phát hiện kiến thức mới. - Dạy theo quan điểm kiến tạo là thầy không đọc bài giảng, giải thích hoặc nổ lực chuyển tải kiến thức toán học mà là người tạo ra tình huống, thiết lập các tình huống, cho người học; thiết lập các cấu trúc cần thiết. Thầy là người xác nhận kiến thức, là người thể chế hóa kiến thức cho học sinh và sinh viên. Việc dạy học theo quan điểm kiến tạo dựa trên 5 luận điểm sau: - Tri thức được tạo nên một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ không phải được tiếp thu một cách thụ động từ bên ngoài. - Nhận thức là quá trình thích nghi chủ động với môi trường nhằm tạo nên các sơ đồ nhận thức của chính chủ thể chứ không khám phá một thế giới tồn tại độc lập bên ngoài chủ thể. - Kiến thức và kinh nghiệm mà người học thu nhận được phải phù hợp với những yêu cầu mà tự nhiên, xã hội đặt ra. - Kiến thức được học sinh, sinh viên kiến tạo thông qua con đường được mô tả theo sơ đồ sau: Kiến thức, kinh nghiệm đã có Phán đoán, giả thuyết Kiểm nghiệm Thích nghi Kiến thức mới Thất bại - Song song với hình thành kiến thức là sự hình thành các hành động trí tuệ tương ứng. b) Một số năng lực kiến tạo kiến thức trong dạy học Toán i) Năng lực dự đoán phát hiện vấn đề, phương pháp dựa trên cơ sở các quy luật tư duy biện chứng, tư duy tiền logic, khả năng liên tưởng và di chuyển các liên tưởng. ii) Năng lực định hướng tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề, tìm lời giải cho một bài toán. iii) Năng lực huy động kiến thức để giải quyết các vấn đề Toán học. Các thành tố cơ bản của năng lực này chủ yếu là: Năng lực lựa chọn các công cụ thích hợp để giải quyết một vấn đề; Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ; Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi các vấn đề, bài toán về dạng tương tự.

29 28 iv) Năng lực lập luận logic, lập luận có căn cứ giải quyết chính xác các vấn đề đặt ra. v) Năng lực đánh giá, phê phán. c) Các biện pháp rèn luyện năng lực kiến tạo Từ các cơ sở lí luận và thực tiễn dạy học Toán, GS.TS. Đào Tam đã đề ra các biện pháp sau để rèn luyện năng lực kiến tạo cho học sinh, sinh viên. Biện pháp 1: Quan tâm dạy học các khái niệm, quy tắc, định lý theo hướng luyện tập nhận dạng, phát hiện các thể hiện khác nhau, từ đó đề xuất càng nhiều càng tốt các ứng dụng khác nhau của chúng. Biện pháp 2: Thông qua dạy học chứng minh các định lý Toán học, dạy học giải các bài tập toán, luyện tập cho học sinh, sinh viên cách biến đổi tương đương, nhìn nhận định lý, bài toán theo nhiều cách khác nhau. Từ đó luyện tập các cách huy động kiến thức khác nhau cho người học. Biện pháp 3: Luyện tập cho học sinh, sinh viên cách chuyển đổi ngôn ngữ trong một nội dung Toán học hoặc chuyển đổi ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác thông qua dạy học các tình huống điển hình. Từ đó dẫn đến các cách lập luận chứng minh, giải quyết các vấn đề khác nhau. Biện pháp 4: Thông qua dạy học các tình huống điển hình chú trọng cài đặt thích hợp cách luyện tập cho học sinh, sinh viên các quan điểm biện chứng của tư duy Toán học. Biện pháp 5: Quan tâm đúng mức luyện tập cho học sinh thói quen khai thác tiềm năng sách giáo khoa, khắc sâu mở rộng kiến thức, phát triển các bài toán từ nền kiến thức chuẩn đã được quy định Phương pháp học chương trình hóa Các nội dung trong mục này được tổng hợp từ những tài liệu [11], [23], [35]. a) Sơ lược về phương pháp học chương trình hóa Phương pháp học trương trình hóa là quá trình học trong đó học viên tiến tới theo nhịp độ riêng của họ bằng cách dùng sách bài tập, sách giáo khoa hoặc các công cụ điện tử khác trong đó thông tin được cung cấp theo từng bước rời rạc, kiểm tra việc học sau mỗi bước và cung cấp ngay thông tin phản hồi về kết quả học tập của người học. Chúng ta hãy xét ví dụ sau.

30 Phẳng trong không gian Affine Phẳng là khái niệm mở rộng theo số chiều của các khái niệm quen thuộc như đường thẳng (1-chiều) và mặt phẳng (2-chiều). Trong E 3, một đường thẳng d được hoàn toàn xác định nếu như chúng ta biết một điểm P d và một vector chỉ phương v của nó. Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định nếu như chúng ta biết một điểm P và một cặp vector chỉ phương { u, v} của nó. Chúng ta có thể mô tả đường thẳng d và mặt phẳng như sau: d = {M E 3 : α = {M E 3 : P M = t v, t R} P M = t 1 u + t 2 v, t 1, t 2 R}. Các bạn hãy cho biết hai tập {t v : t R} và {t 1 v 1 + t v 2 : t 1, t 2 R} là gì trong không gian vector E 3? Từ đó, xây dựng khái niệm m-phẳng Affine? Tổng quát cách mô tả trên chúng ta có định nghĩa sau: Định nghĩa Cho (A, A, ϕ) là một không gian Affine, P là một điểm thuộc A và α là một không gian vector con của A. Tập hợp α = {M A : P M α}. gọi là phẳng đi qua P với (không gian chỉ phương) phương α. Nếu dim α = m thì ta nói α là một phẳng m-chiều hay một m-phẳng và viết dim α = m. Như vậy: dim α = dim α. Theo cách gọi thông thường, 1-phẳng là đường thẳng, còn 2-phẳng là mặt phẳng. (n 1)-phẳng được gọi là siêu phẳng. Ta còn nói siêu phẳng là cái phẳng có đối chiều 1. Nhận xét Nếu α là phẳng đi qua điểm P thì với mọi điểm M, N α ta có MN = P N P M α 2. Điểm P trong định nghĩa của phẳng không đóng vai trò gì đặc biệt so với các điểm khác của α. Để xác định phương α của một m-phẳng chúng ta chỉ cần biết một cơ sở của nó là đủ. Chính vì thế ở PTTH người ta dùng các khái niệm vector chỉ phương của một đường thẳng và cặp vector chỉ phương của một mặt phẳng thay cho khái niệm không gian chỉ phương của chúng. Do đó, trong trường hợp nhiều

31 30 chiều chúng ta có thể dùng tên gọi hệ vector chỉ phương để chỉ một cơ sở của không gian chỉ phương. Học chương trình hóa Để xác định một m-phẳng trong không gian Affine thì ta phải biết ít nhất bao nhiêu điểm thuộc nó? 0-phẳng trong không gian Affine là n-phẳng trong không gian Affine A n là Một m-phẳng trong không gian Affine có duy nhất một vô số. Một hệ sinh độc lập tuyến tính của α là một cái phẳng (α). Một hệ vector chỉ phương của m-phẳng (α) là một hệ gồm nằm trong không gian vector con α. Tiếp theo là các mục khác của bài học. Giải thích hoạt động của bài học trong ví dụ trên. nhưng có của vector Bài học được biên soạn thành một chương trình. Sau khi nghiên cứu xong từng mục kiến thức (một liều kiến thức), người học trả lời bằng cách gõ nội dung vào các ô hay click chọn các nút được thiết kế trước và click vào nút kiểm tra để xem kết quả. Lúc này, chương trình ẩn đằng sau bài học sẽ xử lý câu trả lời, so sánh với đáp án và hiển thị kết quả lên các ô trả lời mà người học vừa sử dụng. Đồng thời, chương trình sẽ yêu cầu người học thực hiện lại các câu trả lời sai. Đến khi các câu hỏi đã trả lời đúng hoàn toàn hay người học nhấn click vào nút kết quả, chương trình sẽ đưa ra đánh giá mức độ tiếp thu bài và dự đoán các kiến thức còn yếu của người học. b) Mối liên quan giữa phương pháp dạy học chương trình hóa và phương pháp học chương trình hóa Điểm giống nhau giữa hai phương pháp này rất dễ được nhận ra. Cả hai loại hình đều nhằm mục tiêu quan trọng nhất là nhanh chóng phản hồi thông tin về mức độ tiếp thu kiến thức của người học để lấy đó làm cơ sở điều khiển quá trình học một cách có hiệu quả và đảm bảo chất lượng. Cách thức tổ chức bài học là hoàn toàn giống nhau. Điểm khác nhau thể hiện ở hình thức tổ chức lớp học. Phương pháp dạy học chương trình hóa lấy người học làm trung tâm nhưng vẫn có vai trò trực tiếp của người dạy. Đối với bài học chương trình hóa thì người dạy chỉ đóng vai trò biên soạn bài giảng, không có sự có mặt trực tiếp khi người học tiến hành

32 31 quá trình học, do đó rất thích hợp để tổ chức học và sử dụng trong loại hình đào tạo từ xa. Điều này cũng có nghĩa là vấn đề khó khăn trong việc buộc giáo viên phải có khả năng trực tiếp theo dõi, đánh giá và điều khiển quá trình học tập cho từng người học đã được giải quyết. Như vậy, quá trình tiếp thu kiến thức khi sử dụng bài học chương trình hóa và khi sử dụng phương pháp dạy học chương trình hóa là rất giống nhau, ngoại trừ ở điểm không cần có sự điều khiển, quản lý trực tiếp của giáo viên trong trường hợp học chương trình hóa. Nói cách khác, bài học chương trình hóa có các ưu điểm cơ bản của phương pháp dạy học chương trình hóa và đã khắc phục được nguyên nhân quan trọng làm cho phương pháp này không được ứng dụng rộng rãi. Từ những nhận xét này, ta có thể xem học chương trình hóa là một hình thức phát triển cao của việc dạy học chương trình hóa, ở đó người học tự tiến hành quá trình học mà không cần có sự hiện diện trực tiếp của giáo viên. c) Ưu và nhược điểm của việc biên soạn bài giảng học chương trình hóa dưới dạng trang web Bài giảng được biên soạn ở dạng các trang web (HTML, DHTML, JSP, ASP, Servlet...), người học dùng máy tính với trình duyệt web bất kỳ để xem có các ưu và khuyết điểm sau. Ưu điểm: Rất dễ tạo bài giảng bằng các phần mềm soạn thảo văn bản mạnh (như MS Word) hoặc bằng các phần mềm soạn thảo web chuyên nghiệp như FrontPage, Dream Weaver,... Khả năng thể hiện các dạng dữ liệu khác nhau rất mạnh, từ các dạng dữ liệu tĩnh như chữ, ảnh tĩnh đến các dạng dữ liệu động như ảnh động, âm thanh, phim... đều có thể được trình bày trên trang web. Khả năng lập trình là khá mạnh. Đối với yêu cầu phản hồi thông tin khi người học trả lời câu hỏi thì chỉ cần sử dụng các ngôn ngữ kịch bản như JavaScript, VBScript là đủ. Đối với các yêu cầu lập trình mạnh hơn thì có thể sử dụng các kỹ thuật khác như Applet Java, ảnh động Flash, hoặc các kỹ thuật lập trình client-server như ASP, JSP, Servlet để thực hiện. Việc phân phối bài giảng được tiến hành rất thuận lợi. Nếu đặt các bài học lên web server trên Internet thì có thể phân phối cho mọi đối tượng trên toàn cầu (tất nhiên là người xem phải truy cập được vào Internet). Trong trường hợp đặt bài học lên server của mạng cục bộ thì những người

33 32 sử dụng mạng này có thể xem chúng. Cuối cùng là có thể đặt các bài học trực tiếp lên máy của người học và họ có thể xem chúng ngay trên tại đó. Giải quyết được nhược điểm phụ thuộc vào máy tính (hệ điều hành) và phần mềm cụ thể để xem các định dạng tài liệu khác nhau. Tuy rằng để xem các trang web cần phải có máy tính và trình duyệt web nhưng là máy tính bất kỳ và trình duyệt web bất kỳ nên điều này là hiển nhiên thỏa mãn một khi đã có máy tính (vì hầu như máy tính nào cũng có sẵn một trình duyệt web mạnh). Trường hợp muốn xem bài học trên Internet nhưng khả năng truy cập mạng này bị hạn chế thì có thể chỉ vào mạng để lưu bài học về máy tính cục bộ và sau đấy xem bài học trên máy tính này. Nhược điểm: Trường hợp đặt bài giảng lên Internet thì cần phải có web server riêng hoặc là thuê chỗ trên các web server của các nhà cung cấp dịch vụ Internet. Điều này đòi hỏi phải trả một khoản chi phí đầu tư ban đầu và chi phí duy trì hàng tháng. In được bài giảng ra giấy nhưng làm mất đi tính năng động của nó. Qua các phân tích trên, chúng ta thấy rằng: Trang web là thích hợp nhất để biên soạn các bài học chương trình hóa. Đặc biệt là với khả năng phân phối dễ và rộng thông qua mạng Internet, dạng bài học này là lựa chọn hữu hiệu nhất để xây dựng các bài tự học và tổ chức bài học cho dạng hình đào tạo từ xa Phương pháp dạy học seminar a) Khái quát về phương pháp dạy học seminar Từ xêmina của tiếng Việt vốn bắt nguồn từ tiếng Pháp và tiếng Anh. Trong tiếng Pháp, theo từ điển Pháp - Việt của Viện Khoa học Xã hội, từ xêmina (viết là séminaire) có 3 nghĩa: séminaire : 1. Trường dòng, trường chủng viện; 2. Nhóm chuyên đề (ở đại học); 3. Cuộc thảo luận chuyên đề (của những nhà kỹ thuật), cuộc hội thảo. [22, tr. 1968] Trong tiếng Anh, theo từ điển của Đại học Oxford, từ xêmina (viết là seminar) cũng có 3 nghĩa: Seminar: n: 1. Small discussion class at university (buổi học thảo luận với quy mô nhỏ tại trường đại học); 2. Short intensive course of study (cuộc/đợt nghiên cứu tập trung một vấn đề trong thời hạn ngắn); 3. Conference of specialists (hội thảo của các nhà chuyên môn). [30, tr. 828] Trong tiếng Việt, từ xêmina mang nghĩa thứ 3 của từ séminaire của tiếng Pháp, và 2 nghĩa đầu của từ seminar tiếng Anh; tức là chúng ta thường hiểu

34 33 từ xêmina với nghĩa như một hình thức dạy học (hoặc phương pháp dạy học) ở bậc đại học. Từ điển tiếng Việt của Viện Ngôn ngữ học định nghĩa từ xêmina: seminar (xemina): buổi sinh hoạt để thảo luận vấn đề chuyên môn học thuật bậc đại học hoặc trên đại học. [21, tr. 856] Trong giới những người làm công tác giáo dục của Việt Nam, từ xêmina cũng được hiểu với nghĩa tương tự. Xêmina ở đại học là một trong những hình thức tổ chức dạy học, trong đó, dưới sự điều khiển trực tiếp của giáo viên, sinh viên trình bày, thảo luận, tranh luận về những vấn đề khoa học nhất định. [12, tr. 135] hay Xêmina là một hình thức tổ chức dạy học cơ bản ở đại học, trong đó sinh viên thảo luận các vấn đề khoa học đã tự tìm hiểu được, dưới sự hướng dẫn của một giảng viên rất am hiểu về lĩnh vực đó. [13, tr. 27] Tổng kết các phân tích trên, chúng ta có thể định nghĩa: Phương pháp Seminar (thảo luận tổ) là một trong những phương pháp dạy học cơ bản ở các trường đại học - cao đẳng, trong đó học viên trình bày, thảo luận, tranh luận về những vấn đề khoa học nhất định dưới sự điều khiển trực tiếp của giảng viên rất am hiểu về vấn đề này. Trong xêmina, người học vừa phải tự học, trình bày những thu hoạch của mình qua tự học, lại vừa phải tranh luận với các bạn để bảo vệ cái đúng, bác bỏ cái sai. [29, tr. 1] Như vậy các đặc trưng sư phạm của xêmina là: - Loại hình: hình thức tổ chức dạy học ở các bậc đại học và phổ thông. - Hoạt động cơ bản: thảo luận. - Nội dung: các vấn đề khoa học. - Đặc điểm tổ chức: có sự điều khiển của giáo viên. b) Qui trình tổ chức một buổi seminar Một buổi học seminar (với đề tài cho trước, theo quy mô một lớp học) thường được tiến hành theo các bước sau đây: Bước 1. Chuẩn bị - Nêu đề tài thuyết trình, thảo luận: Đề tài là những vấn đề cơ bản của chương trình môn học, gây được hứng thú sáng tạo, nghiên cứu của sinh viên; sinh viên chọn trong phạm vi đề tài giảng viên khống chế, hoặc tự đề xuất. - Phân công thuyết trình: Sinh viên xung phong kết hợp với sự chỉ định của giáo viên sao cho có đồng đều ba loại sinh viên trung bình, khá, giỏi. - Nghiên cứu tài liệu (hoặc thực tiễn): Tất cả sinh viên đều thực hiện, giáo viên có gợi ý, hướng dẫn và nêu những điểm cần chú ý,...

35 34 - Viết bài thuyết trình: Giảng viên gợi ý cấu trúc, độ dài và hình thức trình bày (dạng đề cương chứ không phải báo cáo hoàn chỉnh). Bài thuyết trình tránh sao chép lại nguyên văn giáo trình mà phải có sự tổng hợp, khái quát, đối chiếu so sánh nhất định giữa các tài liệu (quan điểm); phải có ý kiến riêng của sinh viên; giảng viên không cần đọc duyệt bài thuyết trình, để cho sinh viên tập bảo vệ quan điểm của mình; photocopy bài thuyết trình với số lượng vừa đủ để nhiều sinh viên trong lớp cùng theo dõi. Bước 2. Thực hiện - Tổ chức lớp học. + Những việc giảng viên cần làm trong seminar: Giới thiệu người thuyết trình; nhận xét việc thuyết trình; tổ chức cho sinh viên thảo luận, tranh luận; kết luận, tổng kết. + Sinh viên có thể đứng tại chỗ để thuyết trình, đặt câu hỏi hoặc trình bày ý kiến. Những sinh viên tự tin hơn có thể lên trước lớp. - Thuyết trình + Kết hợp thuyết trình xen kẽ với thảo luận. + Mỗi sinh viên trình bày trong khoảng phút; dựa vào đề cương để nói, chỉ đọc trong những trường hợp cần thiết; có thể sử dụng bảng hoặc các phương tiện kỹ thuật để minh họa; tốc độ trình bày vừa phải, có nhắc lại những điểm quan trọng để người nghe dễ ghi chép. + Sau khi sinh viên thuyết trình xong, giáo viên nhận xét sơ lược về nội dung và cách trình bày, và chuyển qua phần thảo luận. Bước 3. Thảo luận, tranh luận - Sinh viên đặt câu hỏi liên quan về đề tài vừa được thuyết trình cho người trình bày (hoặc cho giáo viên) - Câu hỏi không nên chỉ tập trung vào câu hỏi nhận diện, câu hỏi chất vấn - giải thích, mà chủ yếu là câu hỏi phân tích lý giải, câu hỏi so sánh - đối chiếu, câu hỏi liên hệ - phát triển đề tài. - Người trả lời được phép chuẩn bị một thời gian cần thiết và có thể tham khảo các ý kiến của các sinh viên khác trong nhóm. - Giáo viên khẳng định lại ý kiến đã trả lời, và bổ sung mở rộng nâng cao ở những chỗ cần thiết. Trong trường hợp có sự bất đồng giữa các sinh viên, giáo viên phải thực hiện vai trò cố vấn, trọng tài để phân xử. Bước 4. Đánh giá kết quả báo cáo Có 2 phương án để đánh giá.

36 35 - Giảng viên đánh giá các ưu, điểm của bài báo cáo, cách trả lời, nội dung trình bày, các điểm mở rộng của đề tài. Sau đó, đánh giá kết quả toàn diện của bài báo cáo. phương án này mang tính chủ quan của giảng viên - Giảng viên phát phiếu đánh giá cho các sinh viên gia buổi seminar để các em đánh giá tổng thể về bài seminar của nhóm báo cáo. Dựa trên cơ sở đó, giảng viên nhận định và đánh giá kết quả cuối cùng của bài báo cáo. c) Hiệu quả sư phạm của phương pháp seminar Với hình thức seminar, giáo viên chỉ cần đưa ra một vấn đề, yêu cầu sinh viên chuẩn bị để sau đó tiến hành thảo luận về chủ đề đó. Để thực hiện được một buổi xêmina thành công, sinh viên buộc phải tìm hiểu trước vấn đề sẽ thảo luận một cách chủ động như: đọc giáo trình, bài giảng, đọc tài liệu có liên quan, suy nghĩ về những vấn đề được thảo luận. Từ đó, sinh viên lựa chọn cho mình một cách hiểu và bảo vệ được quan điểm của mình. Đây chính là quá trình sinh viên tiếp xúc với nghiên cứu khoa học một cách chủ động, với một tâm lý thoải mái và hứng thú. Như vậy, hiệu quả tiếp thu kiến thức sẽ cao hơn. Trong buổi seminar, vấn đề đưa ra được xem xét trên nhiều khía cạnh. Mỗi sinh viên đều có cơ hội đưa ra ý kiến riêng của mình và trình bày sao cho mạch lạc, hợp lý để thuyết phục được người nghe. Đối với sinh viên, việc trình bày một vấn đề trước những người khác không phải dễ dàng, đặc biệt là những vấn đề khoa học. Trình bày vấn đề khoa học cần rõ ràng, chính xác và mạch lạc. Khi thảo luận, sinh viên có thể tự nói hoặc nhìn vào đề cương chuẩn bị từ trước hay có thể đọc đề cương chuẩn bị rồi tự diễn giải phân tích sâu hơn về vấn đề. Qua một vài lần diễn thuyết, sinh viên sẽ tìm được cho mình cách diễn đạt khoa học. Vì vậy, những giờ seminar rất bổ ích cho việc học tập và công tác nghiên cứu khoa học sau này của sinh viên. Thông qua báo cáo seminar, sinh viên luôn rèn luyện phong cách người giáo viên, trình bày vấn đề: nêu rõ trọng tâm, diễn đạt lưu loát, nâng cao trình độ nghiệp vụ sư phạm. Trình bày báo cáo bằng các phương tiện hiện đại, sử dụng thông tin từ các địa chỉ internet giúp sinh viên tăng kỹ năng ứng dụng công nghệ thông tin vào học tập và giảng dạy sau này ở trường phổ thông trung học. Seminar là hình thức học tập giúp sinh viên rèn luyện tính độc lập, tự chủ và sáng tạo trong học tập và nghiên cứu. Việc chuẩn bị một buổi seminar đòi hỏi sinh viên phải tự chủ động chuẩn bị tài liệu, hoàn chỉnh đề cương tham gia. Nếu trong các giờ học thông thường, thầy cô dành phần lớn thời gian cho việc giảng bài, vì thế thời gian giải đáp các thắc mắc của sinh viên là vô cùng hạn hẹp, thì với seminar, đây là cơ hội tốt để giải quyết vấn đề trên. Khi sinh viên đưa ra ý kiến thắc mắc về một vấn đề nào đó chính là lúc sinh viên đã tự tìm

37 36 tòi nghiên cứu. Đó là yếu tố quan trọng giúp sinh viên khám phá khoa học cũng như cuộc sống xung quanh một cách sâu sắc Quan điểm về dạy cách tự học cho sinh viên a) Thế nào là tự học? Tự học là người học tự quyết định việc lựa chọn mục tiêu học tập, nội dung học tập, cách thức học, các hoạt động học tập và các hình thức phương pháp kiểm tra, đánh giá thích hợp, từ đó tổ chức, xây dựng, kiểm tra, kiểm soát tiến trình học tập của cá nhân với ý thức trách nhiệm. Về mặt lý luận cũng như thực tiễn, tự học là một hoạt động có ý nghĩa quan trọng trong việc tạo ra chất lượng và hiệu quả của quá trình đào tạo. Hoạt động học tập của sinh viên ở các trường đại học và cao đẳng ngày nay được diễn ra trong điều kiện hết sức mới mẻ. Sự hình thành thông tin trong nền kinh tế tri thức đang tạo điều kiện nhưng đồng thời gây sức ép lớn đối với người học, đòi hỏi sinh viên phải có sự thay đổi lớn trong việc định hướng, lựa chọn thông tin cũng như phương pháp tiếp nhận, xử lí, lưu trữ thông tin. Trong hoàn cảnh ấy, tri thức mà sinh viên tiếp nhận được thông qua bài giảng của giảng viên trên lớp trở nên ít ỏi. Sinh viên đang có xu hướng vượt ra khỏi bài giảng ở lớp để tìm kiếm, mở rộng, đào sâu tri thức từ nhiều nguồn khác nhau. Chính vì vậy, tự học ở các trường đại học, cao đẳng trở nên phổ biến và trở thành một tính chất đặc trưng trong dạy học. Việc hình thành và phát triển năng lực tự học cho sinh viên, việc dạy sinh viên biết tự học trở thành một yêu cầu cấp bách, một nhiệm vụ vô cùng quan trọng trong công tác đào tạo hiện nay ở các trường Đại học sư phạm, Cao đẳng sư phạm. b) Các biện pháp rèn luyện năng lực tự học cho sinh viên sư phạm ngành Toán học Dạy cách lập kế hoạch học tập; Dạy cách học tập, nghiên cứu trên lớp; Hướng dẫn cách học tập, nghiên cứu ngoài giờ lên lớp; Dạy cách đọc sách; Dạy cách nghiên cứu và giải quyết vấn đề; Dạy cách tự đánh giá hiệu quả học tập; Dạy cách rèn luyện trí nhớ.

38 37 c) Các biện pháp phát huy tính tích cực nhận thức của người học Tổng kết các kết quả nghiên cứu gần đây, GS.TSKH. Thái Duy Tiên, viện khoa học giáo dục, đã đưa ra các biện pháp phát huy tính tích cực của người học như sau [37]: Nói lên ý nghĩa lí thuyết và thực tiễn, tầm quan trọng của vấn đề đang nghiên cứu. Nội dung dạy học phải mới, nhưng không quá xa lạ với người học mà cái mới phải liên hệ, phát triển cái cũ và có khả năng áp dụng trong tương lai. Kiến thức phải có tính thực tiễn, gần gũi với sinh hoạt, suy nghĩ hàng ngày, thỏa mãn nhu cầu nhận thức của người học. Phải dùng các phương pháp đa dạng và phối hợp chúng với nhau. Kiến thức phải được trình bày trong dạng động, phát triển và mâu thuẫn với nhau, tập trung vào những vấn đề then chốt, có lúc diễn ra một cách đột ngột, bất ngờ. Sử dụng các phương tiện dạy học hiện đại. Sử dụng các hình thức tổ chức dạy học khác nhau: cá nhân, nhóm, tập thể, tham quan, làm việc trong vườn trường, phòng thí nghiệm. Luyện tập, vận dụng kiến thức vào thực tiễn trong các tình huống mới. Thường xuyên kiểm tra đánh giá, khen thưởng và kỉ luật kịp thời, đúng mức đối với người học. Kích thích tính tích cực qua thái độ, cách ứng xử giữa thầy và trò. Phát triển kinh nghiệm sống của người học trong học tập qua các phương tiện thông tin đại chúng và các hoạt động xã hội. Tạo không khí đạo đức lành mạnh trong lớp, trong trường, tôn vinh sự học nói chung và biểu dương những học sinh, sinh viên, học viên có thành tích học tập tốt. Có sự động viên, khen thưởng từ phía gia đình và xã hội Bài giảng theo tinh thần dạy học tín chỉ Cơ sở khoa học Để đưa ra các yêu cầu của một bài giảng theo tinh thần tín chỉ, chúng tôi dựa vào 3 cơ sở khoa học chính sau:

39 38 Thứ nhất. Điều 40 của Luật Giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam ghi rõ: Phương pháp đào tạo trình độ cao đẳng, trình độ đại học phải coi trọng việc bồi dưỡng ý thức tự giác trong học tập, năng lực tự học, tự nghiên cứu, phát triển tư duy sáng tạo, rèn luyện kĩ năng thực hành, tạo điều kiện cho người học tham gia nghiên cứu, thực nghiệm, ứng dụng. [1, tr.1] Thứ hai. Đề án đổi mới giáo dục đại học ở Việt Nam có nêu: Đổi mới và hiện đại hóa phương pháp giáo dục. Chuyển từ việc truyền đạt tri thức thụ động, thầy giảng, trò ghi sang hướng dẫn người học chủ động tư duy trong quá trình tiếp cận tri thức; dạy cho người học phương pháp tự học, tự thu nhận thông tin một cách hệ thống và có phân tích, tổng hợp; phát triển được năng lực của mỗi cá nhân; tăng cường tính tích cực chủ động của học sinh, sinh viên trong quá trình học tập và Triển khai một cuộc vận động đổi mới dạy và học ở đại học theo quan niệm mới về mục tiêu, nội dung và phương pháp nhằm tạo nên con người có các loại tiền năng: - Để học tập sáng tạo; - Để phát triển cá nhân gắn kết với xã hội; - Để tìm và tạo việc làm. Đổi mới phương pháp dạy học theo phương châm: - Dạy cách học; - Phát huy tính chủ động của người học; - Tận dụng công nghệ thông tin và truyền thông mới. [2] Thứ ba. Mục đích và đặc điểm của đào tạo theo tín chỉ. Mục đích chính của đào tạo theo tín chỉ là: Tạo mọi điều kiện thuận lợi cho người học, đáp ứng tối đa nhu cầu của người học; Làm cho chương trình đào tạo đa dạng, linh hoạt, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của xã hội. Để đáp ứng được mục đích đó, học chế tín chỉ phải có hai đặc điểm cơ bản: Quá trình học là quá trình tích lũy kiến thức theo học phần và lớp học được tổ chức theo học phần, sinh viên đăng kí các học phần ở đầu mỗi kỳ; Chương trình đào tạo có thể mềm dẻo, có nhiều khả năng lựa chọn cho sinh viên; Kiến thức phải được cấu trúc thành các học phần; Quy định khối lượng kiến thức phải tích lũy cho từng văn bằng và xếp năm học cho sinh viên theo khối lượng kiến thức đã tích lũy; không thi tốt nghiệp; có hệ thống cố vấn học tập; chỉ có văn bằng chính quy, không có bằng tại chức; Đơn vị học vụ là học kỳ; Tuyển sinh theo học kỳ.

40 39 Do những đặc điểm trên nên việc sử dụng phương pháp sư phạm tích cực ở các trường đại học và cao đẳng là phù hợp nhất. Đây không phải là một phương pháp mới. Nó đã được sử dụng phổ biến từ xa xưa, nhất là ở các trường đại học. Giảng viên không còn là người truyền thụ kiến thức cho người học mà phải là người hướng dẫn người học biết cách tìm tài liệu, cách đọc, cách nắm kiến thức, cách phát hiện và giải quyết vấn đề. Trong thời đại thông tin phong phú như hiện nay, người thầy phải hướng dẫn được cho học viên cách khai thác thông tin thật hiệu quả chứ không phải chỉ học những kiến thức do thầy truyền đạt lại. Tuy nhiên, chúng ta cũng cần tránh nhầm lẫn giữa phương pháp sư phạm tích cực và sử dụng các phương tiện hỗ trợ giảng dạy hiện đại như máy tính, máy trình chiếu. Để thực hiện được phương pháp sư phạm tích cực hiệu quả, chúng ta phải phối hợp nhiều biện pháp. Trong các biện pháp đó, việc đánh giá học phần thường xuyên đem lại hiệu quả cao. Rất nhiều sinh viên không quan niệm được rằng cần phải tìm cách học để có được nhiều hiểu biết sâu đối với từng môn học, giúp cho công việc sau này. Họ thường ít chuẩn bị bài ở nhà, ít làm bài tập, ít đọc tài liệu tham khảo chính và gần như không chịu tìm tòi thêm. Họ chỉ nghe giảng một cách thụ động, ghi lại bài giảng của thầy và dành một khoảng thời gian ôn tập trước khi thi theo đề cương. Mục tiêu của nhiều sinh viên là qua được kì thi. Vì vậy, để buộc sinh viên phải học theo lối tích cực, cần phải có phương pháp kiểm tra đánh giá sao cho đánh giá được cả sự học tích cực của người học. Đánh giá thường xuyên sẽ thực hiện được mục đích đó. Có thể nói mà không bị xem là cực đoan rằng việc kiểm tra đánh giá như một bàn tay vô hình điều khiển các việc khác. Nếu làm thật tốt thì các việc khác sẽ tốt theo Bài giảng theo tinh thần dạy học tín chỉ là gì? Căn cứ vào các cơ sở khoa học trên, chúng tôi cho rằng bài giảng theo tinh thần tín chỉ là tổng hợp các phương tiện dạy học hỗ trợ cho việc giảng dạy một học phần để đạt được các yêu cầu sau: Đảm bảo tính khoa học như: hệ thống, chặt chẽ và đúng đắn. Nội dung phù hợp với năng lực người học, yêu cầu nghề nghiệp, gắn với thực tiễn và mang tính cập nhật. Phát huy được tính tích cực và chủ động của người học. Được xây dựng dựa trên các phương pháp dạy học hiện đại. Sinh viên có thể tự đọc để lĩnh hội tri thức. Có ứng dụng các thành tựu của khoa học và thông tin.

41 40 Chứa đựng các vấn đề mở để sinh viên tự nghiên cứu. Hệ thống bài tập đánh giá đa dạng. Có ngân hàng câu hỏi để đánh giá thường xuyên. Phát huy khả năng thuyết trình và trình bày một vấn đề khoa học. Phải có tính liên thông dọc và liên thông ngang.

42 41 Chương 2. XÂY DỰNG BÀI GIẢNG MÔN HÌNH HỌC AFFINE VÀ EUCLID THEO TINH THẦN DẠY HỌC TÍN CHỈ 2.1. Bài giảng điện tử Đề cương xây dựng bài giảng Chúng tôi dựa vào đề cương sau để xây dựng bài giảng điện tử cho môn hình học Affine và Euclid. Chương 1. KHÔNG GIAN AFFINE 1. Định nghĩa không gian Affine Kiến thức nền: Định nghĩa không gian vector, các tính chất đơn giản của không gian vector. Mục tiêu của bài học: Hình thành khái niệm không gian Affine, số chiều của không gian, đưa ra một số ví dụ về không gian Affine, giới thiệu không gian Affine chính tắc, một số tính chất đơn giản của không gian Affine; Qua bài học sinh viên phải có kỹ năng kiểm tra một tập hợp là một không gian Affine. Phương pháp chính: hoạt động và kiến tạo. 2. Phẳng - Độc lập Affine và phụ thuộc Affine - Bao Affine Kiến thức nền: Không gian vector con và tính chất của nó, hệ vector độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính, định lý về quan hệ giữa số chiều của tổng và giao của hai không gian vector con, không gian Affine và tính chất của nó.

43 42 Mục tiêu của bài học: Xây dựng khái niệm m-phẳng Affine, phương, hệ vector chỉ phương, số chiều của m-phẳng, siêu phẳng Affine; khái niệm hệ điểm độc lập Affine và phụ thuộc Affine, chứng minh tính tồn tại của hệ m điểm độc lập với m n + 1, điều kiện để hệ điểm độc lập; Xây dựng khái niệm bao Affine của một hệ điểm, phẳng tổng, định lý về quan hệ giữa số chiều của phẳng tổng và phẳng giao; Vị trí tương đối của hai cái phẳng. Qua bài học sinh viên phải hình thành được kĩ năng chứng minh một hệ điểm là độc lập hay phụ thuộc Affine? Vận dụng công thức về quan hệ giữa số chiều của phẳng tổng và phẳng giao để giải toán? Xét vị trí tương đối giữa hai cái phẳng. Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo và chương trình hóa. 3. Mục tiêu Affine - Công thức đổi mục tiêu Kiến thức nền: Hệ điểm độc lập Affine, cơ sở của một không gian vector, tọa độ của một vector, ma trận và công thức đổi cơ sở trong không gian vector. Định thức và cách tính định thức, phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính. Mục tiêu của bài học: Xây dựng khái niệm mục tiêu Affine, gốc và đỉnh, vector cơ sở của mục tiêu, tọa độ Affine của một điểm; làm rõ mô hình đại số của hình học; xây dựng khái niệm siêu phẳng tọa độ, khái niệm và cách tìm công thức đổi mục tiêu Affine. Qua bài học, sinh viên phải có kỹ năng kiểm tra được một hệ có phải là mục tiêu Affine không? xác định tọa độ của một điểm đối với một mục tiêu, tìm công thức đổi mục tiêu Affine. Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo và chương trình hóa. 4. Phương trình của m-phẳng Kiến thức nền: Định lý Cronecker - Capelli, hệ phương trình tuyến tính và phương pháp giải, khái niệm m-phẳng, phương và hệ vector chỉ phương của m-phẳng. Mục tiêu của bài học: Xây dựng khái niệm và công thức về phương trình tham số và phương trình tổng quát của m-phẳng, phương trình tổng quát của siêu phẳng. Qua bài học, sinh viên phải có kỹ năng viết phương trình tham số và tổng quát của m-phẳng đối với một mục tiêu; chuyển phương trình tham số về phương trình tổng quát và ngược lại; xác định được tọa độ của hệ vector chỉ phương của m-phẳng từ phương trình tham số hay tổng quát. Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo. 5. Tâm tỉ cự - Tỉ số đơn Kiến thức nền: Không gian Affine và các chất cơ bản. Mục tiêu của bài học: Xây dựng khái niệm tâm tỉ cự họ {(P i, λ i )} và một số

44 43 tính chất của nó, điều kiện cần và đủ để một điểm là tâm tỉ cự của họ {(P i, λ i )}, ý nghĩa vật lý của tâm tỉ cự; Xây dựng khái niệm trọng tâm và trung điểm; Đưa ra công thức xác định tọa độ tâm tỉ cự và trọng tâm, ý nghĩa hình học của trọng tâm; Xây dựng khái niệm tỉ số đơn và các tính chất của nó. Qua bài học, sinh viên phải có kĩ năng kiểm tra một điểm là tâm tỉ cự của một họ {(P i, λ i )}, xác định tọa độ của tâm tỉ cự, trọng tâm của một hệ điểm; vận dụng các tính chất của tâm tỉ cự để chứng minh một tính chất hình học; Xác định được tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng và giải các bài toán liên quan đến tỉ số đơn; Xây dựng các bài tập hình học sơ cấp nhờ vào các kết quả của tỉ số đơn. Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo. 6. m-đơn hình - m-hộp - Tập lồi Kiến thức nền: Không gian Affine và các chất cơ bản, tính chất của tâm tỉ cự, m-phẳng Affine. Mục tiêu của bài học: Xây dựng khái niệm m-đơn hình, m-hộp và các khái niệm liên quan như: đỉnh, cạnh, l-mặt, k-mặt đối diện của m-đơn hình, m-hộp, ý nghĩa hình học của m-đơn hình và m-hộp; Xây dựng khái niệm đoạn thẳng và tập lồi, chỉ ra một số tập lồi thường gặp. Qua bài học, sinh viên phải có kĩ năng kiểm tra một tập có phải là tập lồi không? Giải các bài toán liên quan đến m-đơn hình và m-hộp; Chuyển các kết quả từ m-đơn hình và m-hộp thành các bài tập hình học sơ cấp. Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo. Chương 2. ÁNH XẠ AFFINE VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI AFFINE 1. Ánh xạ Affine Kiến thức nền: Ánh xạ tuyến tính, đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu tuyến tính, không gian Affine và các chất cơ bản, m-phẳng Affine, tâm tỉ cự, tỉ số đơn. Mục tiêu của bài học: Xây dựng khái niệm ánh xạ Affine, ánh xạ nền, đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu Affine, ánh xạ Affine hằng, phép chiếu song song và tính chất của chúng, các quan hệ giữa ánh xạ Affine và ánh xạ nền của nó; Điều kiện để xác định một ánh xạ Affine xác định, định lý cơ bản của ánh xạ Affine; một số bất biến Affine. Qua bài học, sinh viên phải có kĩ năng kiểm tra một ánh xạ là ánh xạ Affine, đơn cấu, toàn cấu Affine không? Chứng minh một số dạng toán liên quan đến ánh xạ Affine và tính chất của nó. Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo.

45 44 2. Biểu thức tọa độ của ánh xạ Affine Kiến thức nền: Ánh xạ tuyến tính và biểu thức tọa độ của nó đối với một cơ sở, hệ phương trình tuyến tính, các chất cơ bản của không gian Affine, ánh xạ Affine. Mục tiêu của bài học: Xây dựng khái niệm biểu thức tọa độ của một ánh xạ Affine đối với hai mục tiêu Affine, ma trận của ánh xạ Affine và tính chất của nó. Qua bài học, sinh viên phải có kĩ năng thiết lập được biểu thức tọa độ của một ánh xạ Affine đối với một cặp mục tiêu nào đó, kiển tra tính đơn cấu, toàn cấu của một ánh xạ Affine dựa vào biểu thức tọa độ của nó. Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo. 3. Phép biến đổi Affine Kiến thức nền: Ánh xạ Affine và biểu thức tọa độ của nó, m-phẳng Affine và phương trình của nó, m-đơn hình và m-hộp. Mục tiêu của bài học: Xây dựng các khái niệm phép biến đổi Affine, điểm bất động và phương bất động, các tính chất của chúng; Phép tịnh tiến, tính chất và biểu thức tọa độ của nó; Phép vị tự, tính chất và biểu thức của nó; Phép thấu xạ Affine, tính chất của nó. Qua bài học, sinh viên phải có kĩ năng kiểm tra một ánh xạ có phải là đẳng cấu Affine, phép tịnh tiến, phép vị tự hay phép thấu xạ hay không? Giải các bài toán liên quan đến phép biến đổi Affine, sử dụng phép biến đổi Affine để chứng minh các bài toán hình học sơ cấp? Tìm tọa độ của điểm bất động, vector chỉ phương bất động của một phép biến đổi Affine; Tìm phương trình ảnh và tạo ảnh của m-phẳng qua phép biến đổi Affine. Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo, chương trình hóa. Chương 3. SIÊU MẶT BẬC HAI AFFINE 1. Định nghĩa siêu mặt bậc hai - Tâm, phương tiệm cận, siêu phẳng kính liên hợp và siêu tiếp diện Kiến thức nền: Dạng toàn phương và biểu thức tọa độ của nó, ma trận và các phép toán trên ma trận, hệ phương trình tuyến tính, phương trình của m-phẳng Affine. Mục tiêu của bài học: Xây dựng các khái niệm siêu mặt bậc hai Affine và các dạng phương trình của nó, ma trận lớn, ma trận bé của siêu mặt bậc hai, siêu mặt bậc hai suy biến, siêu nón và siêu trụ bậc hai, chứng minh siêu mặt bậc hai là một khái niệm Affine; Khái miện tâm và phương trình xác định tọa độ tâm của một siêu mặt bậc hai, tính chất hình học của nó; khái niệm điểm kì dị, phương trình xác định tọa độ, tính chất hình học của điểm kì dị; Khái niệm

46 45 phương tiệm cận, đường tiệm cận, phương đặc biệt và tính chất hình học của chúng; Khái niệm siêu phẳng kính liên hợp với một phương, phương trình của nó; Khái niệm tiếp tuyến, siêu tiếp diện và phương trình của nó. Qua bài học, sinh viên phải có kĩ năng xác định ma trận bé, ma trận lớn từ phương trình của một siêu mặt bậc hai và ngược lại, kiểm tra tính suy biến của một siêu mặt bậc hai, xác định tọa độ tâm, điểm kì dị, vector chỉ phương tiệm, viết phương trình đường tiệm cận, siêu phẳng kính liên hợp, siêu tiếp diện của một siêu mặt bậc hai. Chứng minh một số tính chất hình học của siêu mặt bậc hai và các yếu tố đặt trưng của nó. Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo, chương trình hóa. 2. Phân loại Affine các siêu mặt bậc hai Kiến thức nền: Dạng toàn phương và dạng chính tắc của nó, mục tiêu Affine, phép biến đổi Affine và biểu thức tọa độ của nó, phương trình của siêu mặt bậc hai đối với một mục tiêu Affine. Mục tiêu của bài học: Xây dựng khái niệm phương trình chính tắc và mục tiêu chính tắc của một siêu mặt bậc hai, thuật toán đưa phương trình siêu mặt bậc hai về dạng chính tắc. Tên gọi của các đường và mặt bậc hai. Qua bài học, sinh viên phải có kĩ năng xác định phương trình chính tắc và mục tiêu chính tắc của một siêu mặt bậc hai, gọi tên các đường và mặt bậc hai, chứng minh các bài toán liên quan đến phương trình chính tắc Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo. Chương 4. KHÔNG GIAN EUCLID VÀ ĐỘ LỚN 1. Không gian Euclid Kiến thức nền: Không gian vector Euclid và các tính chất của nó, cơ sở trực giao và cơ sở trực chuẩn trực chuẩn, công thức đổi mục tiêu trực chuẩn, thuật toán trực chuẩn hóa Gram- Smidth hai không gian con trực giao, bù trực giao và tính chất của chúng, m-phẳng Affine và phương của nó. Mục tiêu của bài học: Xây dựng khái niệm không gian Euclid, mục tiêu trực chuẩn và tính chất cơ bản của chúng, không gian Euclid chính tắc, mục tiêu chính tắc, công thức đổi mục tiêu chuẩn tắc; Khái niệm hai phẳng trực giao, bù trực giao, đối trực giao và tính chất hình học của chúng; Định lý về quan hệ giữa song song và trực giao của các cái phẳng, sự xác định duy nhất của phẳng bù trực giao. Qua bài học, sinh viên phải có kỹ năng xác định một mục tiêu trực chuẩn, tọa độ trực chuẩn của một điểm, xác định công thức đổi mục tiêu trực chuẩn; xét tính trực giao, đối trực giao của hai cái phẳng, xác định phương trình phẳng

47 46 bù trực giao; Sử dụng mô hình không gian Euclid chính tắc để giải các bài toán hình học sơ cấp. Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo. 2. Khoảng cách - Thể tích - Góc Kiến thức nền: Tích vô hướng của hai vector, tính chất của tích vô hướng, góc giữa hai vector, hai không gian vector con trực giao, hệ phương trình tuyến tính, định thức Gram và tính chất của nó, m-phẳng Affine. Mục tiêu của bài học: Xây dựng khái niệm khoảng cách của hai cái phẳng và tính chất của nó; Khái niệm đường vuông góc chung, điều kiện cần để tồn tại đường vuông góc chung của 2 cái phẳng, quan hệ giữa đường vuông góc chung và khoảng cách của hai cái phẳng; Công thức xác định khoảng cách của hai cái phẳng dựa vào tọa độ điểm và hệ vector chỉ phương của chúng, khoảng cách từ một điểm đến siêu phẳng; Công thức xác định thể tích của m-đơn hình và m-hộp dựa vào tọa độ đỉnh và hệ vector xác định phương của chúng; Khái niệm góc giữa hai đường thẳng, pháp vector của siêu phẳng, góc giữa hai siêu phẳng, góc giữa đường thẳng và siêu phẳng, công thức xác định chúng. Qua bài học, sinh viên phải có kỹ năng xác định đường vuông góc chung và khoảng cách của hai cái phẳng, tọa độ hình chiếu của một điểm lên m-phẳng, khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và siêu phẳng; Xác định thể tích của m-đơn hình và m-hộp; Xác định góc cửa 2 đường thẳng, siêu phẳng và góc giữa đường thẳng với siêu phẳng; Giải bài toán hình học sơ cấp về độ lớn bằng phương pháp tọa độ như xác định khoảng cách, diện tích, thể tích, góc,... Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo, chương trình hóa. Chương 5. PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG CỰ VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG 1. Ánh xạ đẳng cự Kiến thức nền: Ánh xạ tuyến tính, ánh xạ tuyến tính trực giao, ánh xạ Affine và phép biến đổi Affine, ma trận trực giao, khoảng cách giữa hai điểm. Mục tiêu của bài học: Xây dựng khái niệm ánh xạ đẳng cự và tính chất của nó; phép biến đổi đẳng cự, tính chất và biểu thức tọa độ, dạng chính tắc của phép biến đổi đẳng cự; Khái niệm phép dời loại 1 và phép dời loại 2; Định lý về mối quan hệ giữa điểm bất động và vector bất động của một phép biến đổi đẳng cự; Khái niệm và tính chất hình học của một số phép biến đổi đặc biệt như: phép đối xứng qua m-phẳng, phép quay quanh (n 2) phẳng. Qua bài học, sinh viên có được kĩ năng chứng minh ánh xạ là đẳng cự, phép biến đổi đẳng cự, phân loại phép biến đổi đẳng cự, xác định ảnh và tạo ảnh của một hình qua phép đối xứng, phép quay; Viết biểu thức tọa độ của phép đối

48 47 xứng, phép quay; Xác định các yếu tố đặc trưng của một phép biến đổi đẳng cự trong không gian Euclid. Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo. 2. Phân loại các phép biến đổi đẳng cự trên E 2 Kiến thức nền: hệ phương trình tuyến tính, phép tịnh tiến, Ánh xạ đẳng cự, phép đối xứng qua m-phẳng, phép quay quanh (n 2)-phẳng, phân loại phép biến đổi đẳng cự, điểm bất động và phương bất động. Mục tiêu của bài học: Xây dựng khái niệm phép đối xứng trượt, phép quay quanh một điểm và tính chất của chúng, định lý về phân loại các phép biến đổi đẳng cự trên mặt phẳng Euclid. Qua bài học, sinh viên có được kĩ năng phân loại chính tắc một phép biến đổi đẳng cự trên E 2 ; Vận dụng phép biến hình trên E 2 giải các bài toán hình học sơ cấp. Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo, chương trình hóa. 3. Phân loại các phép biến đổi đẳng cự trên E 3 Kiến thức nền: hệ phương trình tuyến tính, phép tịnh tiến, Ánh xạ đẳng cự, phép đối xứng qua m-phẳng, phép quay quanh (n 2) phẳng, phân loại phép biến đổi đẳng cự, điểm bất động và phương bất động. Mục tiêu của bài học: Xây dựng khái niệm phép đối xứng trượt, phép đối xứng quay, phép xoắn ốc, định lý về sự phân loại chính tắc các phép biến đổi đẳng cự trên E 3. Qua bài học, sinh viên có được kĩ năng phân loại chính tắc một phép biến đổi đẳng cự trên E 3 ; Vận dụng phép biến hình trên E 3 giải các bài toán hình học sơ cấp. Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo. 4. Phép đồng dạng Kiến thức nền: Phép vị tự, ánh xạ tuyến tính đồng dạng. Mục tiêu của bài học: Xây dựng khái niệm phép đồng dạng và tính chất của nó, khái niệm tỉ số đồng dạng, mối quan hệ giữa 3 nhóm các phép biến đổi Affine, các phép đồng dạng và các phép biến đổi đẳng cự; Xây dựng khái niệm hình học Euclid, hình học đồng dạng. Qua bài học, sinh viên có được kĩ năng kiểm tra một ánh xạ là một phép đồng dạng, phân loại chính tắc phép đồng dạng; Sử dụng phép đồng dạng giải bài toán hình học sơ cấp; Phân loại được các bài toán hình học Affine, hình học Euclid và hình học đồng dạng.

49 48 Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo. 5. Giải bài toán Affine trong không gian Euclid Kiến thức nền: Phương trình của m-phẳng, tâm tỉ cự, trọng tâm, phép biến đổi Affine và các bất biến Affine, mục tiêu và tọa độ trực chuẩn, các công thức xác định độ lớn. Mục tiêu của bài học: Xây dựng phương pháp giải bài toán Affine trong không gian Euclid, từ lời giải trên hình học cao cấp tìm ra lời giải sơ cấp. Qua bài học, sinh viên có được kĩ năng giải bài toán Affine và bài toán hình học sơ cấp trong không gian Euclid; Vận dụng phương pháp đó tìm ra lời giải các bài toán hình học sơ cấp. Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo. Chương 6. SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN EUCLID 1. Phương trình chuẩn tắc và siêu phẳng kính chính của siêu mặt bậc hai Kiến thức nền: Chéo hóa trực giao, giá trị riêng và vector riêng, phương trình siêu mặt bậc hai Affine, siêu phẳng kính của siêu mặt bậc hai, mục tiêu trực chuẩn trong không gian Euclid. Mục tiêu của bài học: Xây dựng khái niệm phương trình và mục tiêu chuẩn tắc của một siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid, thuật toán xác định phương trình chuẩn tắc của một siêu mặt bậc hai; Tên gọi của siêu mặt bậc hai trong E n, tên gọi của đường bậc hai, mặt bậc hai trong không gian Euclid; Khái niệm phương trình và siêu phẳng kính chính, tính chất hình học của nó; Định lý về sự phân loại các siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid. Qua bài học, sinh viên có được kĩ năng xác định phương trình và mục tiêu chuẩn tắc của một siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid, gọi tên các đường và mặt bậc hai Euclid; Xác định tọa độ các vector chỉ phương chính, phương trình siêu phẳng kính chính của một siêu mặt bậc hai; Chứng minh định lý phân loại siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid. Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo. 2. Siêu cầu trong không gian Euclid Kiến thức nền: Phương trình của m-phẳng, khoảng cách, phương trình siêu mặt bậc hai, siêu phẳng kính chính của siêu mặt bậc hai. Mục tiêu của bài học: Xây dựng khái niệm siêu cầu, tâm và bán kính, phương trình tổng quát và chính tắc của nó; Khái niệm miền trong, miền ngoài của siêu cầu, tính chất hình học của chúng; Khái niệm phương tích và tính chất hình học

50 49 của nó, siêu phẳng đẳng phương, tính chất hình học và phương trình của nó; Vị trí tương đối giữa siêu phẳng và siêu cầu. Qua bài học, sinh viên có được kĩ năng xác định phương trình, tọa độ tâm và bán kính của siêu cầu; Xác định một điểm thuộc miền nào của siêu cầu; Xác định phương tích của một điểm đối với một siêu cầu, phương trình siêu phẳng đẳng phương của hai siêu cầu; Xác định vị trí tương đối giữa siêu cầu và siêu phẳng, giữa siêu cầu và đường thẳng; Giải các bài toán hình học sơ cấp về siêu cầu, chuyển kết quả của cầu thành các bài tập hình học sơ cấp. Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo, chương trình hóa. 3. Phân loại đường bậc hai nhờ bất biến và bán bất biến Kiến thức nền: Các phép toán trên ma trận, ma trận bé và ma trận lớn của một siêu mặt bậc hai, tên gọi các đường bậc hai trên E 2. Mục tiêu của bài học: Xây dựng khái niệm bất biến và bán bất biến của hàm đa thức bậc hai, nghiên cứu và phân loại đường bậc hai dựa vào các bất biến và bán bất biến. Qua bài học, sinh viên phải có kỹ năng xác định các giá trị bất biến, bán bất biến và phương trình chính tắc của một đường bậc hai trên mặt phẳng Euclid. Phương pháp chính: hoạt động, kiến tạo Biên soạn nội dung bài giảng a) Cấu trúc của bài giảng Dựa vào đề cương và các giáo trình hiện có, chúng tôi tiến hành biên soạn bài giảng điện tử theo cấu trúc sau: - Mở đầu mỗi bài, chúng tôi nêu ra mục tiêu về nội dung và kĩ năng mà sinh viên phải đạt được qua bài học. Các kiến thức mà người học cần có để hiểu được bài học. Mỗi phần của nó được tạo liên kết với nội dung tương ứng. Khi người học click vào phần nào thì bài giảng sẽ nhảy đến nội dung tương ứng với phần đó. Nhờ đó, người học không mất nhiều thời gian tra cứu lại kiến thức. - Tiếp theo, bài giảng đưa ra các câu hỏi để sinh viên trả lời trong quá trình tự đọc nội dung. Qua hệ thống câu hỏi, người học định hướng được các ý chính cần nắm trong bài. - Sau phần mở đầu là nội dung chính của bài học. Chúng được xây dựng dựa trên các phương pháp dạy học không truyền thống. Nhờ đó, bài giảng phát huy được tính tích cực, sáng tạo ở người đọc. Hơn nữa, nó còn giúp sinh viên tránh được việc đọc suông, không nắm nội dung bài giảng, chủ quan trong quá trình

51 50 tự học. Đây là một biện pháp hình thành hứng thú cho người học. - Cuối mỗi bài học, chúng tôi đưa ra hệ thống bài tập nhằm kiểm tra mức độ hiểu bài, khả năng vận dụng và sáng tạo kiến thức vừa học của sinh viên. Ngoài chức năng khắc sâu các kiến thức, hình thành kĩ năng, nó còn giúp người học biết được các nội dung mình còn vướn mắc, cần trao đổi với giảng viên, các kết quả có thể phát triển và vận dụng sau này. - Khi kết thúc một chương, chúng tôi đưa ra một vài chủ đề seminar. Trong mỗi chủ đề, chúng tôi phát thảo đề cương, định hướng một số tài liệu tham khảo. Dựa vào đó, sinh viên viết bài báo cáo, thảo luận với nhau. b) Đặc tính kĩ thuật của bài giảng - Tạo được liên kết giữa các nội dung, chỉ mục đầy đủ. Nhờ đó, người học dễ dàng tra cứu khái niệm, định lý, công thức, các kiến thức liên quan. - Các kiến thức cơ bản của đại số tuyến tính được vào môn học như nội dung phụ trợ. Điều đó giúp sinh viên đọc bài dễ dàng hơn. - Một số nội dung trong bài giảng được lập trình thành các modul. Nhờ đó, phương pháp học chương trình hóa phát huy được hiệu quả sư phạm của nó. - Dễ dàng in ấn các nội dung ra giấy để đọc Sử dụng bài giảng Chúng ta sử dụng phần mềm hỗ trợ đọc file định dạng pdf mở tập tin Baigiang.pdf trong đĩa CD. Khi đó, bài giảng được load lên như Hình Màn hình hiển thị bài giảng được chia thành 2 vùng chính. Vùng Bookmark dùng để liên kết đến mục lục toàn môn, mục lục của từng chương, tài liệu bổ trợ, danh mục các định nghĩa, định lý, chỉ mục tra cứu định nghĩa của bài giảng. Vùng thứ 2 hiện thị nội dung chính của bài giảng. Để xem nội dung của một nục nào đó, chúng ta click vào mục lục ở Bookmark. Sau đó click vào nội dung tương ứng cần đọc. Tương tự, chúng ta cũng có thể click vào chương chứa nội dung đó và dùng mục lục của chương để xem nội dung quan tâm. Để tra cứu một định nghĩa nào đó, chúng ta click vào mục định nghĩa. Khi đó, các định nghĩa sẽ được load lên ở vùng hiện thị nội dung của bài giảng như Hình Sau đó, chúng ta click vào định nghĩa tương ứng. Chương trình sẽ load nội dung tương ứng lên màn hình.

52 51 Hình 2.1.1: Bài giảng điện tử môn hình học Affine và Euclid Hình 2.1.2: Danh mục định nghĩa của bài giảng

53 52 Để tra cứu một định lý trong bài giảng chúng ta thực hiện tương tự như tra cứu định nghĩa. Để tra cứu một khái niệm trong bài giảng, chúng ta click vào chỉ mục trong Bookmark. Chương trình sẽ load các khái niệm trong bài giảng như Hình Sau đó, chúng ta click vào số trang phía sau định nghĩa đó. Khi đó, nội dung của định nghĩa trong bài giảng sẽ được load nàn hình. Hình 2.1.3: Chỉ mục của bài giảng Để tiến hành một bài học, chúng ta load bài đó lên, kiểm tra các kiến thức nền nào đã có, các phần nào chưa rõ thì click vào nội dung đó để tra cứu lại. Sau đó, chúng ta tìm hiểu mục tiêu của bài học, nắm các câu hỏi để tìm câu trả lời qua bài đó. Sau khi nắm được các nội dung đó, chúng ta tiến hành tìm hiểu nội dung bài học bằng cách đọc các phần chữ màu xanh, trả lời câu hỏi dẫn dắt để hiểu và tự trình bày nội dung của mỗi mục. Cuối mỗi mục các bạn trả lời các câu hỏi dạng chương trình hóa hoặc câu hỏi đã đặt ra ở đầu bài để biết được mức độ nắm bài học của mình.

54 Ứng dụng máy tính bỏ túi Casio 570MS vào giải các bài tập tính toán trong môn hình học Affine và Euclid Một số chức năng cơ bản của máy tính bỏ túi 570MS Các bạn có thể tham khảo các chức năng phổ thông của máy tính bỏ túi ở tài liệu đi kèm với máy hoặc phần mở đầu về chuyên đề vận dụng máy tính bỏ túi vào môn hình học Affine và Euclid trong đĩa CD đi kèm của đề tài. Trong mục này, tôi chủ yếu chỉ trình bày cách dùng các chức măng tính toán của nó để thực hiện những tính toán đơn giản trong môn hình học Affine và Euclid như: a) Tính toán với ma trận và định thức +) Khai báo ma trận Để khai báo ma trận, chúng ta bấm Mode 3 lần, chọn 2. Tiếp theo nhập vào số chiều của ma trận bằng các phím, chọn ma trận tương ứng (phím tương ứng ma trận A, tương ứng ma trận B, tương ứng ma trận C). Cuối cùng, chúng ( ta nhập ) vào các phần tử của ma trận. Ví dụ 1: Khai báo ma trận A = Qui trình bấm máy Ví dụ 2: Khai báo ma trận C = Qui trình bấm máy

55 54 +) Chỉnh sửa hệ số của ma trận Để chỉnh sửa ma trận, chúng ta chọn ma trận cần chỉnh sửa bằng các phím, chọn ma trận đã có dữ liệu cần sửa số và dùng các phím để chỉnh sửa các phần tử. ( ) Ví dụ: Sửa ma trận A thành ma trận A = Qui trình bấm máy +) Tìm ma trận chuyển vị Để tìm ma trận chuyển vị của một ma trận chúng ta bấm các phím chuyển vị. +) Nhân một số với một ma trận và chọn ma trận cần tìm Để nhân số m với một ma trận, chúng ta bấm các phím: m, chọn ma trận,. +) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông Để tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận chúng ta bấm các phím, chọn ma trận cần xác định nghịch đảo. Sau đó, bấm tiếp các phím Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = Qui trình bấm máy +) Phép cộng - trừ hai ma trận cùng cấp

56 ( ) Ví dụ: Tính Qui trình bấm máy 55 ( 9 8 ) ) Phép nhân hai ma trận ( ) Ví dụ: Tính Qui trình bấm máy +) Tính định thức cấp 3 Để tính định thức của một ma trận cấp 3 ta nhập các phần tử của nó vào máy. Sau đó, bấm các phím chọn ma trận và nhấn tiếp phím. Ví dụ: Tính giá trị của định thức Qui trình bấm máy

57 56 Kết quả bằng 18. +) Tính định thức cấp 4 Trước tiên, chúng ta có nhận xét a 11 a 12 a 13 a 14 a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a = 1 0 a 22 a 11 a 21 a 12 a 23 a 11 a 21 a 13 a 24 a 11 a 21 a a a 32 a 11 a 31 a 12 a 33 a 11 a 31 a 13 a 34 a 11 a 31 a 14 a 41 a 42 a 43 a 44 0 a 42 a 11 a 41 a 12 a 43 a 11 a 41 a 13 a 44 a 11 a 41 a 14 = 1 a 22 a 11 a 21 a 12 a 23 a 11 a 21 a 13 a 24 a 11 a 21 a 14 a 2 a 32 a 11 a 31 a 12 a 33 a 11 a 31 a 13 a 34 a 11 a 31 a a 42 a 11 a 41 a 12 a 43 a 11 a 41 a 13 a 44 a 11 a 41 a 14 Do đó, để tính định thức cấp 4 bằng máy tính bỏ túi, chúng ta chuyển dòng có phần tử đầu khác 0 lên dòng 1 rồi áp dụng nhận xét trên để chuyển việc tính định thức cấp 4 về tính định thức cấp 3. Ví dụ: Tính giá trị của định thức Qui trình bấm máy

58 57 Kết quả, giá trị của định thức bằng 0 +) Tính đa thức đặc trưng của ma trận cấp 3 Chúng ta có kết quả a 11 λ a 12 a 13 a 21 a 22 λ a 23 = λ 3 + ( ) a 11 + a 22 + a 33 λ 2 a 31 a 32 a 33 λ ( ) a 11 a 12 a 21 a 22 + a 11 a 13 a 31 a 33 + a 22 a a 11 a 12 a λ + a a 32 a a 22 a 23. a 31 a 32 a 33 Do đó, để xác định đa thức đặc trưng của một ma trận cấp 3, chúng ta chỉ cần xác định hệ số của λ và hệ số tự do Ví dụ: Xác định đa thức đặc trưng của ma trận Hệ số của λ 2 bằng ( ) = Qui trình bấm máy tính xác định hệ số của λ. 4 7 Kết quả bằng 6. Tiếp tục tính hệ số tự do, Qui trình bấm máy Kết quả bằng 0. Từ đó, suy ra đa thức đặc trưng của ma trận đã cho bằng λ λ 2 6 λ.

59 58 b) Giải hệ phương trình tuyến tính +) Hệ ba ẩn ba phương trình Trước tiên, chúng ta lưu ý rằng máy tính chỉ có thể cho ta nghiệm của hệ Crammer. Do đó, trong trường hợp máy tính báo lỗi Math ERROR thì chúng ta tính các định thức D x, D y và D z. Nếu có một định thức khác 0 thì hệ đã cho vô nghiệm. Ngược lại, nếu D x = D y = D z = 0 thì ta kết luận hệ có vô số nghiệm. a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 Để giải hệ phương trình a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2, chúng ta nhấn Mode 3 lần, a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 chọn 1, rồi chọn tiếp 3. Sau đó nhập các hệ số a i, b i, c i, d i, i = 1, 2, 3, 4. x 2 y 3 z = 16 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 2 x 2 y 3 z = x + 3 y 5 z = 7 Qui trình bấm máy Ví dụ 2: Giải hệ phương trình Qui trình bấm máy x 2 y 3 z = 16 2 x 2 y 3 z = 14 7 x 8 y 12 z = 1. Qua kết quả ta thấy hệ đã cho vô nghiệm hay vô số nghiệm, chúng ta tính giá trị định thức Qui trình bấm máy

60 59 Ta được giá trị của định thức bằng 0. Khi đó, chúng ta tiếp tục tính giá trị của định thức Qui trình bấm máy Giá trị của định thức bằng 177. Kết quả này chứng tỏ hệ đã cho vô nghiệm. Lưu ý: Trong trường hợp định thức D = 0 và rankd = 2, để xác định hệ vô nghiệm hay vô số nghiệm chúng ta tìm hai số λ, β sao cho λa 1 + βb 1 = c 1 (1) λa 2 + βb 2 = c 2 (2) λa 3 + βb 3 = c 3 Ta tìm hai số λ và β bằng cách giải hệ hai phương trình (1) và (2). Sau đó, chúng ta kiểm tra đẳng thức λd 1 + βd 2 = d 3 có đúng không. Nếu đúng thì hệ đã cho có vô số nghiệm, ngược lại hệ đã cho vô nghiệm. +) Giải hệ bốn phương trình bốn ẩn số Hệ phương trình a 1 x 1 + b 1 x 2 + c 1 x 3 + d 1 x 4 = e 1 a 2 x 1 + b 2 x 2 + c 2 x 3 + d 2 x 4 = e 2, a 1 0. a 3 x 1 + b 3 x 2 + c 3 x 3 + d 3 x 4 = e 3 a 4 x 1 + b 4 x 2 + c 4 x 3 + d 4 x 4 = e 4

61 60 tương đương với hệ a 1 x 1 + b 1 x 2 + c 1 x 3 + d 1 x 4 = e 1 (1) (a 1 b 2 a 2 b 1 )x 2 + (a 1 c 2 a 2 c 1 )x 3 + (a 1 d 2 a 2 d 1 )x 4 = a 1 e 2 a 2 e 1 (2) (a 1 b 3 a 3 c 1 )x 2 + (a 1 c 3 a 3 d 1 )x 3 + (a 1 d 3 a 3 d 1 )x 4 = a 1 e 3 a 3 e 1 (3) (a 1 b 4 a 4 b 1 )x 2 + (a 1 c 4 a 4 c 1 )x 3 + (a 1 d 4 a 4 d 1 )x 4 = a 1 e 4 a 4 e 1 (4) Giải hệ gồm các phương trình (2), (3), (4) để tìm x 2, x 3, x 4. Sau đó, thay các giá trị x 2, x 3, x 4 vừa tìm được vào phương trình (1) xác định giá trị của x 1. Ví dụ: Giải hệ phương trình x 2 y 3 z + t = 21 x y + 3 z + 3 t = 17 Qui trình bấm máy 2 x 2 y 3 z 3 t = 4 2 x + 3 y 5 z + 2 t = 1 Từ đó, ta có y = 484/81, z = 95/81, t = 365/81. Suy ra x = 83/ Sử dụng máy tính bỏ túi 570MS hỗ trợ giải các dạng toán cơ bản trong môn hình học Affine và Euclid a) Tìm công thức đổi mục tiêu affine trong A 3 Ví dụ: Trong không gian affine A 3 cho 8 điểm có tọa độ đối với mục tiêu {O; e 1, e 2, e 3 } như sau.

62 61 A 0 (1, 1, 1), A 1 (2, 0, 4), A 2 (1, 1, 4), A 3 (1, 1, 0); B 0 (0, 0, 2), B 1 (1, 1, 0), B 2 (2, 0, 1), B 3 (1, 2, 1),. (a) Chứng minh rằng {A 0 ; A 1, A 2, A 3 } và {B 0 ; B 1, B 2, B 3 } là hai mục tiêu affine. (b) Tìm công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu {A 0 ; A 1, A 2, A 3 } sang mục tiêu {B 0 ; B 1, B 2, B 3 }. Câu a) Ta có Hướng dẫn giải A 0 A 1 = (1, 1, 3); A 0 A 2 = (0, 2, 3); A 0 A 3 = (0, 0, 1); B 0 B 1 = (1, 1, 2); B 0 B 2 = (2, 0, 1); B 0 B 3 = (1, 2, 1). Dễ thấy hệ { A 0 A 1, A 0 A 2, A 0 A 3 } độc lập tuyến tính. Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra hệ { B 0 B 1, B 0 B 2, B 0 B 3 } độc lập tuyến tính bằng cách tính giá trị của định thức Thực hiện với máy tính Casio Kết quả bằng 5. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. b) Công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu ban đầu sang mục tiêu {A 0 ; A 1, A 2, A 3 } có dạng [x] = [x ]

63 62 Công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu ban đầu sang mục tiêu {B 0 ; B 1, B 2, B 3 } có dạng. Từ đó, suy ra [x] = [x ] [x ] + 1 = [x ] [x ] = [x ] Qui trình bấm máy để xác định các ma trận trên b) Xét vị trí tương đối giữa hai cái phẳng Ví dụ: Trong không gian affine A 4, hãy xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng (P ) và (Q) sau:

64 63 { 3x1 5x 2 2x 3 + 2x 4 7 = 0 (P ) : 4x 1 9x 2 3x 3 + 7x = 0 { 4x1 + 7x 2 + 4x 3 + 4x = 0 (Q) : 2x 1 6x 2 3x 3 + 2x = 0. Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của (P ) và (Q). 3x 1 5x 2 2x 3 + 2x 4 = 7 4x 1 9x 2 3x 3 + 7x 4 = 14 4x 1 + 7x 2 + 4x 3 + 4x 4 = 10 2x 1 6x 2 3x 3 + 2x 4 = 10 Bấm máy để tìm nghiệm của hệ trên Nghiệm của hệ trên x 1 = 53 11, x 2 = , x 3 = , x 4 = Kết quả đó chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P ) và (Q) cắt nhau. c) Xác định biểu thức tọa độ của phép biến đổi affine trong A 3 Ví dụ: Trong không gian affine A 3 với mục tiêu affine đã chọn cho các điểm A 0 (1, 1, 1), A 1 (2, 0, 0), A 2 (1, 0, 0), A 3 (1, 1, 0) A 0(1, 2, 3), A 1(2, 3, 1), A 2(2, 1, 3), A 3(3, 1, 4). a) Chứng minh rằng các hệ gồm bốn điểm {A 0, A 1, A 2, A 3 } và {A 0, A 1, A 2, A 3} đều độc lập.

65 64 b) Tìm biểu thức tọa độ của ánh xạ affine f : A 3 A 3 thỏa điều kiện f(a i ) = A i, i = 0, 1, 2, 3 đối với mục tiêu đã cho. c) Ánh xạ affine f có phải đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu affine không? d) Tìm biểu thức tọa độ của ánh xạ affine f đối với mục tiêu {A 0 ; A 0 A i }. Hướng dẫn giải Câu a) Nhập vào ma trận A với mỗi dòng là dòng tọa độ của các vector A 0 A i ; ma trận B với các dòng là các dòng tọa độ của A 0A i. Sau đó tính định thức của A và B để chứng tỏ chúng khác 0. Câu b) Giả sử biểu thức tọa độ của f có dạng [x ] = A[x] + [a]. Khi đó, biểu thức tọa độ của ánh xạ tiến tính liên kết f có dạng [x ] = A[x]. Do đó, chúng ta có: ([ ][ ][ ]) ([ ][ ][ ]) A A 0 A 1 A 0 A 2 A 0 A 3 = A 0A 1 A 0A 2 A 0A 3 ([ ][ ][ ])([ ][ ][ ]) 1. = A = A 0A 1 A 0A 2 A 0A 3 A 0 A 1 A 0 A 2 A 0 A Thực hiện ta được A = Sau đó, chúng ta thay tọa độ của một cặp điểm bất kì vào biểu thức [x ] = A[x] + [a] để xác định ma trận [a] [a] = =

66 65 Câu c) Ta tính định thức của ma trận kết quả. Nếu nó khác 0 thì f là đẳng cấu, ngược lại thì f không đơn ánh và toàn ánh. Câu d) Giả sử công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu ban đầu sang mục tiêu {O; A 0 A i } có dạng Thay vào biểu thức tọa độ của f, ta có [x] = C[y] + [b] C[y ] + [b] = A ( C[y] + [b] ) + [a] = [y ] = (C 1 AC)[y] + C 1 (A[b] + [a] [b]). Do đó, chúng ta viết công thức đổi mục tiêu mục tiêu ban đầu sang mục tiêu {O; A 0 A i } và bấm máy để xác định hai ma trận (C 1 AC) và C 1 (A[b]+[a] [b]). d) Tìm ảnh và tạo ảnh của 1 hình qua phép biến đổi Affine trong A 3 Ví dụ: Trong A 3 cho ánh xạ f có biểu thức tọa độ đối với mục tiêu Affine cho trước dạng: x 1 = 3x 1 + 3x 2 + 2x x 2 = x 1 x 2 + x 3 1 x 3 = 2x 1 + 2x 2 + 2x a) Tìm ảnh và tạo ảnh của điểm M(1, 2, 1). b) Tìm ảnh và tạo ảnh của đường thẳng đi qua điểm N(1, 1, 1) với vector chỉ phương v(1, 2, 1). x 1 = 2t 1 t c) Tìm ảnh và tạo ảnh của mặt phẳng (P ) : x 2 = t 1 + t x 3 = t 1 2t Hướng dẫn giải Câu a) Ta dùng ma trận A để lưu ma trận f, ma trận B để lưu tọa độ của điểm M, ma trận C để lưu ma trận tọa độ của f(o). Nhấn A.B + C để tìm tọa độ ảnh của M và nhấn A 1 (B C) để xác định tọa độ tạo ảnh của M Qui trình bấm máy nhập các ma trận.

67 66 Tính f(m) Ta được: f(m)(12, 1, 11). Tính f 1 (M). Ta được f 1 (M)(4, 2, 3). Câu b) Thay đổi tọa độ của M thành N (tức là sửa lại các phần tử của ma trận B). Thực hiện giống Câu a), ta tìm được tọa độ của f(n) và f 1 (N). Sau đó, nhập tọa độ của vector v vào ma trận B, nhấn A.B để xác định tọa độ của f( v), nhấn A 1.B để xác định f 1 ( v). Từ đó, chúng ta lập được phương trình tham số ảnh và tạo ảnh của đường thẳng (d). Qui trình bấm máy tìm tọa độ ảnh của điểm N. Ta có f(n)(9, 0, 9). Qui trình bấm máy tìm tọa độ tạo ảnh của điểm N. Ta có f 1 (N)(7/2, 3/2, 3)

68 67 Qui trình bấm máy tìm tọa độ của f( v). Ta được f( v)(11, 0, 8) Qui trình bấm máy tìm tọa độ của f 1 ( v) Ta được f 1 ( v)(3/4, 3/4, 1/2) x 1 = t x 1 = 7/2 + 3t Suy ra f(d) : x 2 = 0 và f 1 (d) : x 2 = 3/2 3t x 3 = 9 + 8t x 3 = 3 + 2t, với t R. Câu c) Tương tự Câu b), chúng ta tìm ảnh và nghịch ảnh của P (1, 2, 3) qua ánh xạ f; ảnh và nghịch ảnh của cặp vector chỉ phương a(2, 1, 1), b( 1, 1, 2) qua ánh xạ f. Chúng ta được f(p )(15, 16, 4), f 1 (P )( 3, 3, 0), f( a)(11, 2, 8), f 1 ( a)( 1/2, 3/2, 1/2), f( b)( 4, 1, 4), f 1 ( b)( 2, 3, 2). e) Xác định một số yếu tố của đường và mặt bậc hai Ví dụ 1: Trong A 2 với mục tiêu đã chọn, cho đường bậc hai có phương trình (C) : 3x x 2 2 2x 1 x 2 2x 1 + 2x = 0. Hãy tìm tâm, điểm kỳ dị, đường kính liên hợp với phương v(2, 3) của (C). Hướng dẫn giải ( ) ( ) Ta có A =, [a] = và a 0 = 1. Chúng ta dễ thấy A 0 nên đường cong đã cho có duy nhất 1 tâm. Ma trận tọa độ tâm của (C) là A 1 ( [a]). Sau đó, chúng ta thay tọa độ của tâm vào biểu thức [a] t [x] + [a 0 ] xem có bằng 0 không để xác định điểm kì dị. Qui trình bấm máy

69 68 Phương trình đường kính liên hợp với phương v dạng [v] t A[x] + [v] t [a] = 0. Do để xác định phương trình đường kính liên hợp với vector v(2, 3), chúng ta nhập ma trận tọa độ của v vào ma trận C của máy tính và xác định hai ma trận [v] t A, [v] t [a]. Qui trình bấm máy Ví dụ 2: Trong không gian affine A 3, hãy xác định tâm và điểm kì dị của siêu mặt bậc hai (S) : x x 1 x 2 6 x 1 x x x x 2 x x x x 3 5 = 0. Hướng dẫn giải Hệ phương trình xác định tâm của siêu mặt bậc hai (S). 3 x 1 6 x x 3 = 6 x x 2 3 x 3 = 2 2 x x 2 6 x 3 = 4 Bấm máy giải hệ trên chúng ta thấy máy tính báo lỗi. Hệ trên có thể có vô số nghiệm hay vô nghiệm. Chúng ta dễ dàng kiểm tra được hệ trên tương đương với phương trình x x 2 3 x 3 = 2. Vậy tập hợp các tâm của (S) là mặt phẳng (P ) : x x 2 3 x 3 = 2.

70 69 Hệ phương trình xác định tọa độ điểm kì dị của (S). x x 2 3 x 3 = 2 2x x 2 6 x 3 5 = 0 Hệ trên vô nghiệm, chứng tỏ (S) không có điểm kì dị. Ví dụ 3: Trong không gian affine A 3, cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình dạng: (S) : x x 1 x 2 6 x 1 x x x x 2 x x x x 3 5 = 0. Hãy viết phương trình mặt phẳng kính (α) liên hợp với phương v(2, 3, 4) đối với (S). Hướng dẫn giải Ta có: A = , [a] = Suy ra phương trình của (α) có dạng (α) : ( ) x 1 x 2 x 3 + ( Qui trình bấm máy xác định phương trình của (α). ) = 0.

71 70 (α) : 4x 1 8x x 3 8 = 0. f) Xét tính trực giao của 2 cái phẳng trong E 3 Ví dụ: Trong E 4 với một mục tiêu trực chuẩn cho trước, xét vị trí tương đối giữa hai cái phẳng α và β biết phương trình tham số của chúng lần lượt là x 1 = 2 + t 1 x 1 = 2t 3 x 2 = 1 + 3t 1 + 4t 2 x 2 = 3 α : β :. x 3 = t 1 + 3t 2 x 3 = 1 + 3t 3 x 4 = 5 + 3t t 2 x 4 = 2 t 3 Hướng dẫn giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của (α) và (β), ta có hệ: 2 + t 1 = 2t 3 t 1 2t 3 = 2 (1) 1 + 3t 1 + 4t 2 = 3 3t 1 + 4t 2 = 2 (2) t 1 + 3t 2 = 1 + 3t 3 t 1 + 3t 2 3t 3 = 1 (3) 5 + 3t t 2 = 2 t 3 3t t 2 + t 3 = 3 (4) Giải hệ phương trình gồm các phương trình (1), (2), (3), tìm t 1, t 2, t 3. Sau đó, chúng ta thay các giá trị t i vào phương trình (4) để xác định hệ đã cho có nghiệm hay vô nghiệm. Qui trình bấm máy giải hệ trên. Ta được t 1 = 2/11, t 2 = 7/11, t 3 = 10/11, thay các giá trị này vào phương trình (4), ta có 3t t 2 + t 3 = 3.( 2/11) + 11.(7/11) + 10/11 = 7 + 4/11 3 Vậy, hai cái phẳng (α) và (β) chéo nhau.

72 71 g) Xác định khoảng cách giữa hai cái phẳng trong E 3 Ví dụ 1: Trong không gian Euclid E 4, đối với mục tiêu trực chuẩn cho các điểm A(1, 2, 3, 4), B(0, 2, 5, 1), P (2, 1, 4, 3), Q(3, 4, 2, 1), R( 2, 2, 4, 1). Hãy tính khoảng cách giữa đường thẳng (AB) và mặt phẳng (P QR). Hướng dẫn giải Ta có: d 2( (AB), (P QR) ) = Gr( ) AB, P Q, P R, AP Gr ( ). AB, P Q, P R = Qui trình bấm máy tính giá trị của d 2( (AB), (P QR) ).

73 72 Kết quả bằng Suy ra d ( (AB), (P QR) ) = Ví dụ 2: Trong không gian Euclid E 4, tính khoảng cách từ điểm M(2, 3, 1, 2) đến mặt phẳng x 1 + 2x 2 x 3 + x 4 = 1 (P ) : x 2 x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 Hướng dẫn giải Qui trình bấm máy chọn 3 điểm trên mặt phẳng (P ). Chúng ta được điểm A 1 (5/3, 1/3, 0, 0). Tiếp theo chúng ta thay đổi giá trị của c 1, c 2 để chọn hai điểm tiếp theo A 2 (0, 1, 1, 0), A 3 (0, 0, 0, 1). Khi đó, ta có: d 2 (M, (P )) = Gr( MA 1, A 1 A 2, ) A 1 A 3 Gr ( A 1 A 2, ). A 1 A Suy ra d 2 (M, (P )) = = Qui trình bấm máy xác định d 2( M, (P ) ).

74 73 Kết quả d ( M, (P ) ) = h) Xác định thể tích của tứ diện và hình hộp Ví dụ: Trên không gian Euclid E 3, đối với mục tiêu trực chuẩn cho các điểm A(1, 1, 2), B(2, 5, 4), C(2, 2, 3), D( 2, 4, 1). Chứng minh rằng ABCD là một tứ diện? Tính thể tích của nó? Hướng dẫn giải Ta có: AB = (1, 6, 2), AC = (1, 1, 1), AD = ( 3, 3, 1) Qui trình bấm máy tính giá trị của định thức Kết quả bằng 20. Từ đó suy ra ABCD là một tứ diện và thể tích bằng 20 3 (đvtt).

75 74 i) Phân loại chính tắc các phép biến đổi đẳng cự trên E 2 và E 3 Ví dụ 1: Trên mặt phẳng Euclid E 2 cho ánh xạ f có biểu thức tọa độ trực chuẩn là 2 2 x = 2 x + 2 y y = 2 x + 2 y 2 Hãy chứng tỏ f là một ánh xạ đẳng cự. Cho biết dạng chính tắc của f. Hướng dẫn giải 2 2 Ta có A = Do A.A T = I 2 và det(a) = 1 nên f là một phép biến đổi đẳng cự loại 2. Tìm dạng chính tắc của f. Các điểm bất động của f có tọa độ (x, y) thỏa mãn hệ phương trình ( ) x + 2 y = 1 ( ) x y = 2 Chúng ta đã biết định thức D của hệ trên bằng 0 nên ta chỉ cần tính D x và D y xem có bằng không hay không để xác định hệ trên có nghiệm hay vô nghiệm. 2 1 Qui trình bấm máy tính D x = Kết quả bằng 0, Chứng tỏ hệ trên vô nghiệm. Suy ra f là một phép đối xứng trượt. Tìm trục vector trượt v và trục trượt d. Ta có f(0, 0) = (1, 2). Do đó, điểm M(1/2, 2/2) nằm trên trục trượt (d). Cuối cùng chúng ta bấm máy xác định tọa độ của điểm f(m) và suy ra tọa độ của v và phương trình của đường thẳng (d).

76 75 j) Xác định phương chính và mặt phẳng kính chính của đường và mặt bậc hai Ví dụ: Trong E 3 với mục tiêu trực chuẩn {O; e 1, e 2, e 3 } cho mặt bậc hai (S) có phương trình: (S) : x x x x 1 x 2 + 2x 1 x 3 2(3x 1 + 5x 2 + x 3 ) 7 = 0. Tìm phương chính và siêu phẳng kính chính của (S). Hướng dẫn giải Ta có A = 1 2 0, [a] = Qui trình bấm máy để xác định đa thức đặc trưng của ma trận A. Xác định hệ số của λ Kết quả bằng 6. Qui trình bấm máy xác định hệ số tự do của đa thức đặc trưng. Kết quả bằng 0. Do đó, đa thức đặc trưng của ma trận A bằng λ 3 + 5λ 2 6λ. Suy ra ma trận A có 3 giá trị riêng λ 1 = 0, λ 2 = 2, λ 3 = 3. Vector riêng v(x 1, x 2, x 3 ) 0 ứng với giá trị riêng λ 2 = 2 là nghiệm của hệ x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 = 0 Suy ra phương chính ứng với giá trị riêng λ 2 = 2 là (0, 1, 1). Phương trình của siêu phẳng kính chính thứ nhất ( ) ( ) (α 1 ) : A[x] [a] = 0. Tiếp tục bấm máy để xác định phương trình của (α 1 ).

77 76 Kết quả được (α 1 ) : 2x 2 2x = 0. Thực hiện tương tự để xác định phương trình của siêu phẳng chính thứ (α 2 ) ứng với giá trị riêng λ 3 = 3. k) Xác định phương trình của mặt cầu Ví dụ: Trên không gian Euclid E 3, đối với mục tiêu trực chuẩn cho các điểm A(1, 2, 3), B(2, 1, 1), C( 1, 3, 2), D(0, 3, 2). Hãy viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Hướng dẫn giải Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng (S) : x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0. Do các điểm A, B, C, D (S) nên chúng ta có hệ phương trình 2a + 4b + 6c + d = 14 d + 2a + 4b + 6c = 14 4a 2b + 2c + d = 6 d + 4a 2b + 2c = 6 2a + 6b 4c + d = 14 d 2a + 6b 4c = 14 6b + 4c + d = 13 d + 6b + 4c = 13 Qui trình bấm máy giải hệ trên

78 Kết quả được a = 49 13, b = 11/2, c = 6 6. Suy ra d = 34 3, (S) : x2 + y 2 + z x 11y z = Ứng dụng phần mềm Toán học Maple vào việc dạy và học môn hình học Affine và Euclid Sơ lược về Maple Maple là một hệ thống đại số máy tính cho phép người sử dụng thực hiện các phép tính toán đại số trên ký hiệu (symbol) hoặc trên các con số cụ thể và minh họa toán học mạnh mẽ. Maple được xây dựng và phát triển bởi công ty Waterloo Maple In (địa chỉ website: tính đến nay Maple đã có phiên bản thứ 14. Các phiên bản về sau của Maple cung cấp nhiều công cụ trực quan, nhiều gói lệnh chuyên ngành phù hợp với các tính toán phổ thông và bậc đại học, giao diện hoàn thiện hơn và hỗ trợ soạn thảo tốt hơn. Chính những ưu điểm đó mà nhiều nước trên thế giới lựa chọn Maple làm phần mềm ứng dụng trong dạy học. Ở nước ta ngày nay Maple cũng dần được chú ý đến. Nhiều trường đại học đã bổ sung thêm vào khung chương trình môn "Sử dụng phần mềm Maple" hoặc yêu cầu sinh viên làm các bài thực hành trên Maple,...Maple đã góp phần làm thay đổi hẵn cách học toán, tức là song song với lối giải truyền thống sinh viên có thể giải quyết bài toán với sự giúp đỡ của Maple. Phương pháp này đem đến cho sinh viên một cách tiếp cận mới với Toán học: sinh động, sáng tạo và rèn luyện khả năng tự học, tự kiểm tra và nghiên cứu. Từ đó, tính tích cực của người học được phát huy. Sau đây, chúng tôi xin giới thiệu sơ lược các tính năng cơ bản, có liên quan đến môn học, của Maple 13.0 a) Tính toán cơ bản với Maple +) Làm quen với Maple Khi khởi động Maple nhân của Maple được kích hoạt. Maple tự động nạp các lệnh cũng như những chức năng cơ bản vào môi trường làm việc. Lúc này chúng ta có thể thực hiện các tính toán cơ bản. Các lệnh tính toán của Maple được gõ sau dấu nhắc [>. Thông thường, câu lệnh được kết thúc bằng dấu ";" để yêu cầu Maple hiển thị kết quả tính toán. Nếu chỉ yêu cầu Maple thực hiện tính toán mà không hiển thị kết quả thì chúng ta kết thúc câu lệnh bằng dấu ":". Các bạn dùng phím Enter để yêu cầu Maple bắt đầu thực hiện tính toán.

79 78 Ví dụ: [> 3+5; Enter. Kết quả tính toán được hiển thị bằng chử màu xanh, ở giữa màn hình. Đối với những tính toán chuyên ngành, chúng ta phải sử dụng các lệnh chứa trong các gói tương ứng. Để nạp các gói lệnh này các bạn sử dụng lệnh with. Ví dụ, with(linalg):, with(linearalgebra): là các lệnh dùng để nạp các gói dành tính toán cho đại số tuyến tính. Để gán giá trị của một biểu thức cho một biến ta dùng dấu ":=". Ví dụ: để gián biến y bằng giá trị π 2 + 9e 1 ta dùng lệnh [>y:=p i 2 +3*exp(1)-1; Để xuống dòng trên cùng một dấu nhắc lệnh các bạn dùng tổ hợp phím Shift-Enter. Để viết các lời giải thích câu lệnh bạn có thể viết chúng sau dấu thăng (#) Ví dụ: [> # Nhập vào giá trị của a và tính giá trị biểu thưc y theo tham số a a:=1: y:= a 1 a ; Lưu ý: Maple phân biệt chữ hoa và chữ thường Ví dụ: [> a:=3+7: a; A; Maple cung cấp cho chúng ta phần Help khá đầy đủ với các chỉ dẫn về lệnh và các ví dụ minh họa cụ thể. Để tìm từ khóa nào đó trong Help các bạn có thể viết lệnh dạng >? tu-khoa-can-tim hoặc bôi đen từ khóa và nhấn phiếm F2. Qui tắc gõ các phép toán và hàm cơ bản trong Maple cũng giống như các phần mềm khác. Ví dụ: Các phép tính cộng (+), trừ (-), nhân (*), chia (/), lũy thừa ( ),...; Các hàm lượng giác sin(), cos(), tan(), cot(); Các hàm lượng giác ngược arcsin(), arccos(), arctan(); Các hàm siêu việt exp(), ln(), log[a](b),...; Các phép toán về vi phân diff(f(x),x), int(f(x),x=a..b),... +) Các hàm trên số thực Tính chính xác theo yêu cầu Cú pháp : evalf(x,n); với n là số chữ số thập phân. Ví dụ: > evalf(pi,4); > evalf(sqrt(5),15); Lấy giá trị tuyệt đối abs > x:=-12.3: abs(x); Lấy phần nguyên > x:=123.56: trunc(x);

80 79 > x:=-3.6: trunc(x); Lấy số nguyên gần nhất > x:=123.56: round(x); > x:=-3.6: round(x); Lấy phần lẻ (phần thập phân) > x:=12.3: frac(x); Chuyển số thập phân thành dạng phân số > x:=1.27: convert(x,rational); +) Tính toán với đa thức Tạo một đa thức ngẫu nhiên theo biến x bậc n. > n:=4:randpoly(x,degree=n); Lấy bậc của đa thức > dt:=10 x 4 7 x 3 40 x x:degree(dt,x); Lấy hệ số tương ứng với x k. > dt:=x 4 7 x 3 40 x x + 25: coeff(dt,x,3); # he so cua x 3 Sắp xếp đa thức theo chiều tăng( giảm) dần lũy thữa của biến số > dt:= 7 x 3 + x x x 2 ; > sort(dt,x,ascending); > sort(dt,x,descending); > sort(dt,x); Tìm nghiệm của đa thức > solve(dt=0,x); Chú ý: Ta biết rằng nghiệm của các đa thức có bậc không vượt quá 4 đều có thể biểu diễn dưới dạng căn thức thông qua các hệ số của nó. Để thu được dạng biểu diễn này trong một vài trường hợp bạn có thể sử dụng thêm khai báo _EnvExplicit := true. > _EnvExplicit:=true: > solve(dt=0,x); Giải phương trình và hệ phương trình Cấu trúc lệnh [> solve(phương trình, biến); hoặc [> solve({pt1, pt2, pt3,...,ptn},{bien1,bien2,...,bienm});

81 80 b) Hướng dẫn sử dụng gói LinearAlgebra Đây là một trong những gói lệnh hay được sử dụng nhất của Maple. Gói lệnh này cung cấp các lệnh cần thiết để làm việc với Matrix và Vector, chính vì thế nó là một công cụ phục vụ đắc lực cho việc giải quyết các bài toán đại số tuyến tính cũng như những vấn đề liên quan. Ở đây chúng ta sẽ làm quen với chức năng của các lệnh cơ bản thông qua các ví dụ minh họa. Chúng ta khỏi động gói bằng lệnh > with(linearalgebra); +) Phép toán trên ma trận và vector Tạo ma trận mới > A:=Matrix([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]); > B:=Matrix(2,3); Tạo ma trận con SubMatrix(Ma trận lớn,[các dòng],[các cột]). [> C:=SubMatrix(A,[2,3],[1,3]); [> E:=SubMatrix(A,[1..3],[2]); Tạo ma trận đơn vị > IdentityMatrix(4); Tạo ma trận và vector ngẫu nhiên > RandomMatrix(2,3); RandomMatrix(3,generator=-2..2); Tạo vector > v:=<1,2,3,4>; hay v:=vector([1,2,3,4]); > v:=vector[row]([1,2,3,4]); > RandomVector(4); Lấy giá trị của các phần tử > A:=Matrix([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]): v:=<1,2,3,4>: > A[1,1]; A[1,3]; > v[1]; v[2]; Chuyển vị > A:=Matrix([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]); v:=<1,2,3,4>; > Transpose(A); Transpose(v); hoặc [>A %T ; v %T ;

82 81 Phép nhân ma trận vơi một số [> A:=RandomMatrix(3); 3*A; Tính định thức ma trận > A:=Matrix([[1,5,3],[4,2,6],[1,8,9]]); Determinant(A); Tính ma trậm nghịch đảo > A:=Matrix([[1,5,3],[4,2,6],[1,8,9]]); > MatrixInverse(A); hoặc A ( 1) ; Hạng của ma trận > Rank(A); Ma trận đặc trưng và đa thức đặc trưng > A:=Matrix([[1,5,3],[4,2,6],[1,8,9]]); CharacteristicMatrix(A,lambda); CharacteristicPolynomial(A,lambda); Đa thức tối tiểu > MinimalPolynomial(A,lambda); Giá trị riêng và vector riêng > A:=«1,4,-2> <-1,0,1> <-1,2,1»; > Eigenvalues(A); > Eigenvectors(A); Ghi chú: Các cột bên phải là các vecto riêng ứng với giá trị riêng trên hàng tương ứng ở cột bên trái. Đưa ma trận về dạng rút gọn Gauss > A:=RandomMatrix(3,4); > GaussianElimination(A); Dạng chuẩn tắc Jordan > A := «0,-2,-2,-2> <-3,1,1,-3> <1,-1,-1,1> <2,2,2,4»; > J := JordanForm(A); > Q := JordanForm(A, output= Q ); > Q ( 1). A. Q; Phép biến đổi sơ cấp hàng > A:=Matrix(3,(i,j)->a[i,j]); > # hoán vị 2 dòng i và j i:=1; j:=2;

83 82 RowOperation(A,[i,j]); > # nhân dòng j với x rồi cộng vào dòng i i:=1;j:=2; RowOperation(A,[i,j],x); Phép biến đổi sơ cấp cột cũng thực hiện tương tự với lệnh ColumnOperation Giải hệ phương trình Ax = b. > A:=RandomMatrix(4,4); b:=randomvector(4); > LinearSolve(A,b); Phép toán trên hai ma trận Cộng, trừ, nhân hai ma trận [> A:=RandomMatrix(3); B:=RandomMatrix(3); A+B; A-B; A.B; +) Tính toán trên không gian vector Cho các vector > v1 := <1 0 0>: v2 := <0 1 0>: v3 := <0 0 1>: v4 := <0 1 1>: v5 := <1 1 1>: v6 := <4 2 0>: v7 := <3 0-1>: Tìm cơ sở của hệ vector > Basis(v1,v2,v3); > Basis(v4,v5,v6,v7); Tìm cơ sở của tổng hai không gian > U:={v1,v2}; V:={v2,v5}; > SumBasis([U,V]); Tìm cơ sở của giao hai không gian > IntersectionBasis([U,V]); Trực giao hóa hệ vector độc lập bằng phương pháp Gram-Schmidt > w1 := <2,1,0,-1>:w2 := <1,0,2,-1>:w3 := <0,-2,1,0>: GramSchmidt([w1,w2,w3]); > # trực chuẩn hóa GramSchmidt([w1,w2,w3],normalized); c) Lập trình trên Maple Thông báo kết quả bằng lệnh print(nội dung thông báo).

84 83 Câu lệnh điều kiện if điều kiên then end if; hoặc Hệ lệnh if điều kiên then else end if; Hệ lệnh Hệ lệnh [> a:=5: if isprime(a) then print(a," la mot so nguyen to") else print(a," la khong phai la so nguyen to") end if: Vòng lặp xác định for biến chạy from giá trị đầu to giá trị cuối do od; hệ lệnh [> S:=0 for i from 1 to 10 do S:=S+i: od: print("tong 10 so tu nhien dau tien bang",s); Vòng lặp không xác định while điều kiện do od; hệ lệnh [> i:=1: while (i+i >= i*i) do i:=i+1

85 84 od: print(i); Lưu ý: để thoát khỏi vòng lặp chúng ta dùng lệnh break, bỏ qua một bước nào đó trong vòng lặp chúng ta dùng lệnh next Các modul giải những dạng toán cơ bản trong môn hình học Affine trên Maple 13.0 Sử dụng chức năng toán và khả năng lập trình của Maple 13.0, tôi lập trình 37 modul hỗ trợ tính toán và suy luận cho môn học tương ứng với 6 chương. Mã nguồn của các modul được chứa trong folder Maple của đĩa CD đi kèm đề tài. Folder này chứa 6 folder con gồm những file có các chức năng sau: Folder chuong1 chứa 8 file sau: - File 1.Muctieu.mw là mô-đun kiểm tra một hệ điểm có phải là mục tiêu Affine hay không. Chúng ta nhập vào tọa độ của n + 1 điểm dạng vector. Ví dụ, điểm A 1 (1, 2, 3) sẽ được nhập theo cú pháp A[1]:=<1,2,3>. Sau khi nhấn phím enter, Maple sẽ tính ra ma trận A = ( A 1 A i ), giá trị định thức của A và xác định hệ điểm đã cho có phải mục tiêu Affine hay không. - File 2.Hediemdoclap.mw kiểm tra tính độc lập Affine của hệ điểm. Chúng ta nhập vào số điểm cần kiểm tra (m) và tọa độ của chúng. Maple sẽ tính ra tọa độ của m 1 vector A 1 A i và hạng của ma trận A = ( A 1 A i ). Từ đó, nó sẽ đưa ra kết luận về tính độc lập của hệ điểm đó. - File 3.Toadodiem.mw xác định tọa độ Affine của một điểm. Nhập vào tọa độ góc, các đỉnh của mục tiêu và điểm M cần xác định dưới dạng vector. Maple sẽ lập ra hệ phương trình xác định tọa độ của điểm M và nghiệm tương ứng. - File 4.CTDoimuctieu.mw lập công thức đổi mục tiêu Affine từ {A 0 ; A 0 A i } sang {B 0 ; B 0 B i }. Chúng ta nhập vào tọa độ của các điểm trong hai mục tiêu dưới dạng vector. Trong trường hợp có một mục tiêu là mục tiêu chính tắc thì chúng ta nhập vào A[0] :=< 0, 0,..., 0 >: và A[i] :=< 0,..., 0, 1 i, 0,..., 0 >: hoặc B[0] :=< 0, 0,..., 0 >: và B[i] :=< 0,..., 0, 1 i, 0,..., 0 >:. Khi đó, Maple sẽ xác định tọa độ của từng điểm trong mục tiêu 2 đối với mục tiêu 1 và viết ra công thức đổi mục tiêu cần tìm. - File 5.PTmphang.mw lập phương trình tham số và tổng quát của m-phẳng. Chúng ta nhập vào số điểm mà cái phẳng (α) đi qua (m) và tọa độ của chúng dưới dạng vector. Khi đó, Maple tính ra ma trận trận xác định

86 85 phương của (α). Sau đó, biến đổi nó về ma trận bậc thang. Từ đó, viết ra phương trình tham số của (α) và chuyển nó về phương trình tổng quát. - File 6.Thamsosangtongquat.mw chuyển phương trình tham số của m-phẳng sang phương trình tổng quát. Nhập vào số chiều (n) của không gian, số chiều (m) của cái phẳng và phương trình của nó. Chú ý khi nhập phương trình của (α) chúng ta phải nhập m phương trình độc lập trước. Khi đó, Maple sẽ tính ra giá trị của các t 1, t 2,..., t m và viết ra phương trình tổng quát của cái phẳng. - File 7.Tongquatsangthamso.mw chuyển phương trình tổng quát của m- phẳng sang phương trình tham số. Nhập vào số chiều (m) của cái phẳng và phương trình tổng quát của nó. Khi đó, Maple sẽ chọn ra n m ẩn tự do làm tham số và viết ra phương trình tham số của m-phẳng đã nhập. - File 8.Tamticu.mw xác định tọa độ tâm tỉ cự và trọng tâm của một hệ điểm. Nhập vào số điểm (m) cần xác định tọa độ tâm tỉ cự, tọa độ và tỉ số tương ứng của chúng. Khi đó, Maple tính ra tọa độ tâm tỉ cự và trọng tâm của hệ điểm đã cho. Folder chuong2 chứa 5 file gồm: - File 1.BTAxafin.mw xác định biểu thức tọa độ của ánh xạ Affine. Nhập vào tọa độ của các điểm tạo ảnh và tọa độ ảnh tương ứng của chúng. Khi đó, chương trình sẽ đưa ra 2 cách xác định biểu thức tọa độ của ánh xạ Affine f. Cách 1. Viết biểu thức tọa độ của f dưới dạng tổng quát, lần lượt thay tọa độ của cặp điểm tạo ảnh và ảnh vào biểu thức tổng quát. Giải hệ thu được để xác định các hệ số trong biểu thức. Cuối cùng, Maple in ra màn hình biểu thức tọa độ của f. Cách 2. Xác định ma trận của phép biến đổi tuyến tính liên kết f. Sau đó, dùng giả thuyết f(a 1 ) = A 1 để xác định ma trận [a] của biểu thức tọa độ. Cuối cùng, Maple in ra màn hình biểu thức tọa độ của f. - File 2.AnhvaTaoanhdiem.mw xác định tọa độ ảnh và tạo ảnh của một điểm qua ánh xạ Affine. Nhập vào tọa độ điểm của A và biểu thức tọa độ của ánh xạ Affine f. Khi đó, Maple sẽ tính ra tọa độ của điểm f(a) và f 1 (A). - File 3.AnhvaTaoanhvector.mw xác định tọa độ ảnh và tạo ảnh của một vector qua ánh xạ Affine. Nhập vào tọa vector v và biểu thức tọa độ của ánh xạ Affine f. Khi đó, Maple sẽ tính ra biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính f liên kết với f. Từ đó, nó xác định tọa độ của hai vector f( v) và f 1 ( v).

87 86 - File 4.Diembatdong.mw tìm phương trình xác định tọa điểm bất đông của phép biến đổi Affine. Nhập vào biểu thức tọa độ của phép biến đổi Affine f dưới dạng danh sách. Ví dụ: bt := {xp[1] = x[1]-2*x[2]+3*x[3]+4, xp[2] = 2*x[1]-2*x[2]+3*x[3]+2, xp[3] = x[1]-2*x[2]+5*x[3]-4}:. Khi đó, Maple đưa ra hệ phương trình xác định tọa độ điểm bất động và biến đổi nó về hệ phương trình tuyến tính. Cuối cùng, xác định phương trình hoặc tọa độ điểm bất động nếu có. - File 5.DuongThang.mw xác định phương trình ảnh và tạo ảnh của một đường thẳng qua phép biến đổi Affine. Nhập vào phương trình tham số của đường thẳng (d) và biểu thức tọa độ của phép biến đổi Affine f. Khi đó, Maple sẽ tính ra phương trình tham số của hai đường thẳng f(d) và f 1 (d). Lưu ý: Chúng ta có thể sử dụng hai file AnhvaTaoanhdiem.mw và AnhvaTaoanhvector.mw để tìm phương trình ảnh vào tạo ảnh của một đường thẳng qua phép biến đổi Affine. - File 6.Sieuphang.mw xác định phương trình ảnh và tạo ảnh của một siêu phẳng qua phép biến đổi Affine. Nhập vào phương trình tổng quát của siêu thẳng (α) và biểu thức tọa độ của phép biến đổi Affine f. Khi đó, Maple sẽ tính ra phương trình tổng quát của hai siêu phẳng f(α) và f 1 (α). Folder chuong3 gồm 5 file. - File 1.Phuongtrinhchinhtac.mw xác định phương trình chính tắc của một siêu mặt Affine bậc hai. Sau khi load file, nhấn phím enter, Maple hiện lên một textbox yêu cầu nhập vào phương trình tổng quát của siêu mặt bậc hai (S). Sau khi nhập hoàn tất và click nút OK, máy tính đưa ra kết quả của các bước biến đổi phương trình của (S) về dạng chính tắc. - File 2.TamDiemkidi.mw xác định phương trình m-phẳng tâm và vì kì dị của một siêu mặt bậc hai. Tương tự như file trên, chúng ta nhập vào phương trình tổng quát của siêu mặt bậc hai (S). Khi đó, Maple đưa ra hệ phương trình xác định tọa độ tâm của nó. Sau đó, xác định hệ phương trình vừa tìm được có nghiệm hay không. Nếu hệ phương trình có nghiệm thì chương trình tính ra nghiệm tổng quát của hệ. Cuối cùng, Maple xác định tọa độ các điểm kì dị của (S) nếu có. - File 3.Sieuphangkinh.mw xác định phương trình siêu phẳng kính liên hợp của siêu mặt bậc hai. Nhập vào tọa độ của vector v và phương trình của siêu mặt bậc hai (S). Khi đó, Maple sẽ đưa ra hai cách xác định phương trình siêu phẳng (α) liên hợp với phương v của (S).

88 87 - File 4.Phuongtiemcan.mw xác định tọa độ phương tiệm cận của siêu mặt bậc hai Affine. Nhập vào phương trình của siêu mặt bậc hai (S). Khi đó, Maple tìm ra phương trình xác định tọa độ vector chỉ phương tiệm cận v của (S). Sau đó, nó chuyển phương trình vừa thu được về dạng chính tắc và in ra tọa độ của các vector v nếu có. - File 5.Sieutiepdien.mw xác định tọa độ tiếp điểm và phương trình siêu tiếp diện của siêu mặt bậc hai. Nhập vào tọa độ điểm M mà siêu tiếp diện (α) đi qua và phương trình của siêu mặt bậc hai (S). Khi đó, Maple thiết lập phương trình tổng quát của (α) và đưa ra hệ phương trình xác định tọa độ tiếp điểm. Cuối cùng, nó viết ra phương trình tổng quát của (α). Với cách nhập và thực hiện tương tự, Folder chương 4 chứa các file: cheohoatrucgiao.mw chéo hóa trực giao một hệ vector độc lập tuyến tính, doixung.mw xác định tọa độ điểm M đối xứng của điểm M qua m-phẳng, duongvuonggocchung.mw xác định phương trình đường vuông góc chung của hai cái phẳng, khoangcach.mw xác định khoảng cách của hai cái phẳng trong không gian Euclid. Folder chương 5 chứa các file: kiemtra.mw kiểm tra một biểu thức affine có phải là biển thức của phép biến đổi đẳng cự hay không? phanloaie2.mw phân loại chính tắc một phép biến đổi đẳng cự trên E 2, phanloaie3.mw phân loại chính tắc một phép biến đổi đẳng cự trên E 3. Folder chương 6 chứa các file: chuantac.mw đưa phương trình của một siêu mặt bậc hai về dạng chuẩn tắc trong không gian Euclid E n, phuongtrinhtongquat.mw xác định phương trình của một siêu cầu, phuongtrinhcinhtac.mw xác định phương trình chính tắc của một siêu cầu, sieuphangdangphuong.mw xác định phương trình siêu phẳng đẳng phương của hai siêu cầu (nếu có), vitri.mw xác định vị trí tương đối giữa một siêu mặt bậc hai với m-phẳng, vitrituongdoicuasieucau.mw xác định vị trí tương đối giữa siêu phẳng và một siêu cầu Khai thác sự hỗ trợ của phần mềm Maple vào việc tìm lời giải các dạng toán suy luận và tổng hợp trong môn học Trong việc tìm lời giải các dạng toán suy luận - tổng hợp, phần mềm Maple có thể hỗ trợ chúng ta trong một số tình huống sau. a) Suy luận tìm ra kết quả tổng quát Khi đứng trước một bài toán tìm kết quả tổng quát, chúng ta có thể tận dụng khả năng tính toán của phần mềm Maple để tìm ra kết quả trong các trường

89 88 hợp riêng lẻ. Sau đó, tổng quát, qui nạp lên để dự đoán ra kết quả tổng quát. Khi tính toán các trường hợp đặc biệt, chúng ta cần quan tâm đến những điểm chung trong các phép tính đó. Trong trường hợp tổng quát, chúng ta có thể sử dụng đến chúng. Ví dụ: Trong E n với mục tiêu trực chuẩn {O; e 1, e 2,..., e n } gọi P i là các điểm mà OP i = a i e i, i = 1, 2,..., n. Hãy tính thể tích của (n 1)-đơn hình S(P 1, P 2,..., P n ). Để tìm hướng giải cho bài toán, chúng ta có thể bắt đầu với n bằng 2, 3 và 4. Rõ ràng, chúng ta muốn từ các kết quả cụ thể tìm ra lời giải cho bài toán nên không nghĩ đến hướng dùng công thức thể tích ở phổ thông. Do đó, chúng ta nghĩ đến công thức tổng quát để tính thể tích. Khi đó, chúng ta có: V 2 2 = 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 3 P 1 P 2 P 1 P 3 P1 P 2 = a a 2 2 a a 2 1 a a 2 3 = a 2 1a a 2 1a a 2 2a 2 3. a 2 2V a 2 2 a 2 1 a 2 1 = a 2 1 a a 2 3 a 2 1 a 2 1 a 2 1 a a 2 4 = a 2 1a 2 2a a 2 1a 2 2a a 2 1a 2 3a a 2 2a 2 3a !V 2 3 = a 1 2 a 3 2 a 4 2 a a 2 2 a 1 2 a 4 2 a a 2 2 a 3 2 a 1 2 a a 2 2 a 3 2 a 4 2 a a 2 2 a 3 2 a 4 2 a 5 2 Từ các tính toán trên, chúng ta có các nhận xét P 1 P 2 i = a a 2 i, i = 2, 3,..., n. P 1 P i P 1 P j = a 2 1, i, j = 2, 3,..., n; i j. n (n 1)!V n = a 2 1a â2 i... a2 n. i=1 Hơn nữa, qua các tính toán ta thấy định thức xác định thể tích được phân tích thành n định thức cấp n 1. Từ đó, chúng ta nghĩ đến hướng khai triển định thức theo dòng cuối và sử dụng phương pháp qui nạp để tính nó. b) Phát hiện các yếu tố ẩn cần tìm trong bài toán Khi gặp các dạng toán chứng minh liên quan đến yếu tố ẩn như điểm cố định, m-phẳng cố định, phương cố định hay một quĩ tích nào chưa biết. Khi đó,

90 89 chúng ta sử dụng Maple tính toán trong một số trường hợp cụ thể của bài toán. Từ đó, phát hiện ra được các yếu tố ẩn bên trong bài toán. Dựa vào sự phát hiện đó, chúng ta tìm ra hướng chứng minh bài toán. Ví dụ: Trong không gian affine, cho m-đơn hình H với các đỉnh {P 0, P 1,..., P m }. Chứng minh rằng các đường thẳng nối một đỉnh với trọng tâm (m 1)-mặt bên đối diện đồng qui tại một điểm G. Rõ ràng điểm khó của bài toán là chúng ta không biết điểm G là điểm nào. Do đó, chúng ta có thể lấy tọa độ các điểm P i cụ thể và tìm ra các đường nối trọng tâm của 2 mặt đối diện. Khi đó, chúng ta phát hiện ra rằng điểm đó chính là điểm G. Từ đó, chúng ta đi chứng minh các đường thẳng đó đi qua trọng tâm G của nó. c) Phát hiện các tính chất của các đối tượng hình học Khi cần giải một bài toán liên quan đến tính chất hình học của một đối tượng nào đó, chúng ta dùng phần mềm Maple vẽ chúng và dùng chức năng động của Maple để quan sát các hình dưới nhiều góc độ khác nhau. Thông qua đó, chúng ta có thể hiểu được một số tính chất, có định hướng chứng minh bài toán. d) Kiểm định các giả thuyết và kết quả chứng minh Đối với các bài toán suy luận, phương pháp đưa ra nhiều giả thuyết và loại bỏ dần dần những giả thuyết sai là cách làm thường được sử dụng. Đối với môn hình học Affine và Euclid, chúng ta có thể sử dụng những tính năng tính toán, trực quan và lập trình của Maple để kiểm định nhanh chóng các giả thuyết của chúng ta. Từ đó, chúng ta có thể nhanh chóng tìm ra cách giải quyết bài toán. Hơn nữa, đối một số dạng toán xác định một tính chất của một hình nào đó, chúng ta nên dùng Maple kiểm định lại những kết quả đó. Việc làm này vừa kiểm định khách quan các kết quả vừa hỗ trợ chúng ta hiểu sâu hơn vấn đề. e) Thực hiện nhanh các tính toán trung gian Đối với nhiều bài toán suy luận hay chứng minh trong môn học, chúng ta sẽ gặp phải việc tính toán những biểu thức có chứa tham số. Khi đó, chúng ta nên sử dụng phần mềm Maple để thực hiện các tính toán đó. Nhiện vụ quan trọng của ta trong những bài toán là tìm đường lối giải quyết và nhìn ra ý nghĩa của nó. Các tính toán chỉ là phương tiện để thực hiện nhiệm vụ đó. Do đó, chúng ta không nên mất thời gian vào các tính toán trung gian.

91 90 f) Phát triển bài toán theo hướng đặc biệt hóa và tổng quát hóa Sau khi giải xong một bài toán, chúng ta phải thực hiện bước tìm hiểu phát triển, mở rộng nó. Có nhiều phương án để thực hiện công việc đó. Sử dụng phương pháp đặc biệt hóa và tổng quát hóa là hai cách hay dùng. Đối với các bài toán trong môn hình học Affine và Euclid, chúng ta có thể sử dụng phần mềm Maple để vẽ hình, tính toán trong một số trường hợp đặc biệt hay tổng quát hóa vấn đề. Khi đó, chúng ta có thể xây dựng được một số bài toán mới hay thu được những đề bài ở phổ thông để phục vụ công tác giảng dạy về sau Xây dựng ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm và tự luận cho môn hình học Affine và Euclid Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm và cách sử dụng a) Hướng dẫn sử dụng chương trình làm bài trắc nghiệm Đối với việc tự học, chương trình hỗ trợ hai chức năng chính: +) Tự thành lập đề và làm bài trên máy tính Sau khi khởi động chương trình, chúng ta click vào nút Tạo đề trắc nghiệm như Hình Hình Giao diện chính của chương trình trắc nghiệm Khi đó, một Form ma trận câu hỏi sẽ được load lên. Chúng ta lựa chọn số câu hỏi cần thực hành ở mỗi mức và click vào nút Thực hiện (Hình 2.3.2). Tiếp theo, chương trình sẽ thành lập đề thi tương ứng để chúng ta làm bài trên máy.

92 91 Hình Thành lập đề kiểm tra để tự học Để chọn đáp án cho câu hỏi, các bạn click vào các A, B, C, D tương ứng (Hình 2.3.3). Nếu chương trình nhảy sang câu khác thì câu đó các bạn đã chọn đúng. Ngược lại, nếu chương trình đổi màu nút bạn chọn và giữ y câu hỏi thì các bạn đã chon đáp án sai. Khi đó, chúng ta phải chọn đáp án khác. Sau khi thực hiện hoàn tất, chúng ta click vào Hoàn thành để kiểm tra số câu hỏi làm đúng, số lần lựa chọn và thời gian làm bài. +) Làm việc với ngân hàng câu hỏi Hình Form làm bài trên máy Để làm việc với ngân hàng câu hỏi, từ giao diện chính, chúng ta click vào nút Ngân hàng câu hỏi. Khi đó, chương trình sẽ load lên một Form quản lý NHCH. Đối với nó, các bạn có thể sửa chữa nội dung các câu hỏi, xóa, thêm bằng cách click vào các câu hỏi và thực hiện thao tác tương ứng như Hình

93 92 Hình Quản lý ngân hàng câu hỏi b) Nội dung của ngân hàng câu hỏi Ngân hàng câu hỏi hiện có 287 câu. Các bạn có thể thêm các câu hỏi vào ngân hàng hay di chuyển các câu hỏi cần học theo mục đích riêng của mình sang chương mới. Câu 1. Chọn câu đúng nhất trong các câu sau: (a) Hệ gồm 4 điểm không đồng phẳng trong A n là độc lập (b) Hệ gồm 2 điểm phân biệt trong A n là độc lập (c) Hệ gồm 3 điểm không thẳng hàng trong A n là độc lập (d) Các đáp án đều đúng Câu 2. Hệ m điểm trong không gian affine A n, (n 4), là phụ thuộc khi và chỉ khi chúng (a) không cùng thuộc một (m 1) phẳng. (b) không cùng thuộc (m 2) phẳng. (c) cùng thuộc một (m 2) phẳng. (d) cùng thuộc một (m 1) phẳng. Câu 3. Một hệ điểm độc lập trong không gian affine A n có tối đa bao nhiêu điểm?

94 93 (a) n điểm (b) n + 1 điểm (c) n + 2 điểm (d) vô số điểm Câu 4. Trong không gian affine A n, nếu B([x]) là tâm tỉ cự của hệ {A i, λ i } i=1,2,...,m, k 0 thì tọa độ tâm tỉ cự của hệ {A i, kλ i } i=1,2,...,m là (a) 1/k [x] (b) [x] (c) k [x] (d) mk [x] Câu 5. Qua một điểm A nằm ngoài m-mặt phẳng α trong không gian affine A n, (0 m n). Khi đó, (a) có một và chỉ một m-phẳng song song với m-phẳng đã cho. (b) có vô số m-phẳng song song với m-phẳng đã cho. (c) có m cái phẳng song song với m-phẳng đã cho. (d) có n m cái phẳng song song với m-phẳng đã cho. Câu 6. Bao affine của 3 điểm phân biệt trong không gian affine A n có thể là: (a) một đoạn thẳng hoặc một tam giác. (b) một đường thẳng hoặc một mặt phẳng. (c) một điểm, hai điểm hoặc ba điểm. (d) một đoạn thẳng, đường thẳng hoặc một mặt phẳng. Câu 7. Trong không gian affine A n, cho [y] = A[y ] + [a] là công thức đổi mục tiêu từ {O; e i } sang mục tiêu {O ; e i}. Công thức đổi mục tiêu từ {O ; e i} sang mục tiêu {O; e i } có dạng (a) [y ] = A 1 [y] A 1 [a] (c) [y] = A 1 [y ] + [a] (b) [y] = A 1 [y ] + A 1 [a] (d) [y] = A 1 [y ] [a] Câu 8. Trong không gian affine A 3 đối với mục tiêu {O; e 1, e 2, e 3 }, cho bốn điểm A 0 (1, 1, 1), A 1 (2, 0, 4), A 2 (1, 1, 4), A 3 (1, 1, 0), B 0 (0, 0, 2), B 1 (1, 1, 0), B 2 (2, 0, 1), B 3 (1, 2, 1). Công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu ban đầu sang mục tiêu {A 0 ; A 1, A 2, A 3 } sang {B 0 ; B 1, B 2, B 3 } có dạng. x 1 = x 1 + 2x 2 + x 3 1 x 1 = x 1 + 2x 2 + x (a) x 2 = x 1 x 2 + 3/2x (b) x 2 = x 1 x 2 + 3/2x 3 1 x 3 = 2x 1 + 4x 2 1/2x 3 1 x 3 = 2x 1 + 4x 2 1/2x x 1 = x 1 2x 2 + x 3 1 x 1 = x 1 + 2x 2 + x 3 1 (c) x 2 = x 1 + x 2 + 3/2x (d) x 2 = x 1 x 2 + 3/2x x 3 = 2x 1 4x 2 1/2x 3 1 x 3 = 2x 1 + 4x 2 1/2x 3 1

95 94 Câu hộp trong không gian affine A 3 chính là (a) một hình bình hành. (c) một tứ diện. (b) một tam giác. (d) một hình hộp xiên. Câu 10. Trong không gian affine, cho [x] = A[x ]+[a] là công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu (I) sang mục tiêu (II) và [x] = B[x ] + [b] là công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu (I) sang mục tiêu (III). Khi đó, công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu (III) sang mục tiêu (II) là (a) [x] = A 1 B[x ] A 1 ([a] [b]) (c) [x] = AB[x ] + A[b] + [a] (b) [x] = B 1 A[x ] B 1 ([b] [a]) (d) [x] = BA[x ] + B[a] + [b] Câu 11. Cho A, B, C là ba điểm thẳng hàng, phân biệt trong không gian affine A n, đẳng thức nào sau đây là đúng (a) (ABC)+(ACB) = 1, (ABC).(ACB) = 1, (ABC) ( 1 (BCA) ) = 1. (b) (ABC)+(ACB) = 1, (ABC).(BAC) = 1, (ABC) ( 1 (BCA) ) = 1. (c) (ABC)+(CAB) = 1, (ABC).(ACB) = 1, (ABC) ( 1 (BAC) ) = 1. (d) (ABC)+(CAB) = 1, (ABC).(BCA) = 1, (ABC) ( 1 (CAB) ) = 1. Câu 12. Trong không gian affine, cho [x] = A[x ]+[a] là công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu (I) sang mục tiêu (II) và [x] = B[x ] + [b] là công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu (I) sang mục tiêu (III). Khi đó, công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu (II) sang mục tiêu (III) là (a) [x] = BA[x ] + B[a] + [b] (c) [x] = A 1 B[x ] A 1 ([a] [b]) (b) [x] = AB[x ] + A[b] + [a] (d) [x] = B 1 A[x ] B 1 ([b] [a]) Câu 13. Một đường thẳng và một siêu phẳng trong không gian affine A n, n 4, có mấy vị trí tương đối (a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) n 1 Câu 14. Hai siêu phẳng trong không gian affine A n, có mấy vị trí tương đối (a) 3 (b) n 1 (c) 2 (d) 4 Câu 15. Hệ m điểm trong không gian affine A n, (n 4), là độc lập khi và chỉ khi chúng (a) cùng thuộc một (m 1) phẳng.

96 95 (b) không cùng thuộc một (m 1) phẳng. (c) không cùng thuộc (m 2) phẳng. (d) cùng thuộc một (m 2) phẳng. Câu đơn hình trong không gian affine A 3 chính là (a) một tam giác. (c) một hình bình hành. (b) một tứ diện. (d) một hình hộp xiên. Câu 17. Trong không gian affine A n đối với mục tiêu {O; P 1, P 2,..., P n }, tọa độ trọng tâm G của họ điểm {P 1, P 2,..., P n } là: ( (a) G 0, 1 n,, 1 ) ( n 1 (c) G n 1, 1 n 1,, 1 ) n 1 ( 1 (b) G 0, n 1, 1 n 1,, 1 ) ( n 1 1 (d) G n, 1 n n),, 1 Câu đơn hình trong không gian affine A 3 chính là (a) một hình bình hành. (c) một tứ diện. (b) một tam giác. (d) một hình hộp xiên. Câu 19. Trong không gian affine A 3 đối với mục tiêu {O; e i }, cho các điểm A(1, 1, 1), B(2, 1, 0), C(1, 2, 2), D(d, 1, 1). Điều kiện của d để bốn điểm {A, B, C, D} phụ thuộc affine là (a) d = 1 (b) d 1 (c) d 1 (d) d = 1 Câu 20. Trong mặt phẳng affine A 2, cho hình bình hành ABCD, gọi I là giao điểm hai đường chéo. Khi đó, tọa độ điểm D đối với mục tiêu{i; A, B} là (a) D( 1, 0) (b) D(0, 1) (c) D(0, 1) (d) D(1, 0) Câu 21. Trong không gian affine A 3 đối với mục tiêu {O; e 1, e 2, e 3 }, cho bốn điểm A 0 (1, 1, 1), A 1 (2, 0, 4), A 2 (1, 1, 4), A 3 (1, 1, 0). Công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu ban đầu sang mục tiêu {A 0 ; A 1, A 2, A 3 } có dạng. x 1 = 3x 1 3x 2 x (a) x 2 = 2x 1 3x x 3 = x x 1 = x (b) x 2 = x 1 2x x 3 = 3x 1 + 3x 2 x 3 + 1

97 96 (c) (d) x 1 = x x 2 = x 1 + 2x x 3 = 3x 1 3x 2 x x 3 = 3x 1 + 3x 2 x 3 1 x 2 = x 1 2x x 1 = x Câu 22. Trong không gian affine A n cho mục tiêu {O; e 1, e 2,..., e n } và các điểm P i với OP i = a i e i, a i 0, i = 1, 2,..., n. Khi đó, phương trình tổng quát của siêu phẳng (P 1 P 2... P n ) là x 1 x 2 x n 1 (a) x 1 + x x a n = 0 (b) a 1 a 2 a 0 a = 0 n a n 1 (c) x 1 + x x n = 1 (d) x 1 + x x n = a 1 a 2... a n a 1 a 2 a n Câu 23. Trong không gian affine A n, tập nào trong các tập sau không phải là tập lồi? (a) Đoạn thẳng (c) m đơn hình (b) Tập hữu hạn điểm (d) m hộp Câu 24. Trong không gian affine A 4 với mục tiêu {O; e i }, cho (α) là cái phẳng đi qua 4 điểm A(1, 2, 1, 2), B(2, 1, 2, 1), C(2, 0, 2, 0), D(3, 1, 3, 1). Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của (α). x 1 = t 1 t x 1 = t 1 + t 2 + 2t x 2 = t 1 2t 2 1 x 2 = t 1 2t 2 3t (a) (b) x 3 = t 1 t x 3 = t 1 + t 2 + 2t x 4 = t 1 2t 2 1 x 4 = t 1 2t 2 3t x 1 = t 1 + t x 1 = t 1 + t 2 + 2t x 2 = t 1 2t 2 1 x 2 = t 1 2t 2 3t (c) (d) x 3 = t 1 + t x 3 = t 1 + t 2 + 2t x 4 = t 1 2t 2 1 x 4 = t 1 2t 2 3t Câu 25. Trong không gian affine A 2 cho mục tiêu affine {O; e 1, e 2 } và các điểm A(1, 1), B(2, 1), C(1, 2), A (2, 2), B (3, 2), C (6, 7). Khi đó công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu {A; B, C} sang mục tiêu {A ; B, C } là

98 x = x 4y + 1 (a) y = 4x 5y + 1 x = x + 4y + 1 (c) y = 4x + 5y (b) (d) x = x + 5y 1 y = 4x + 4y 1 x = x 4y 1 y = 4x 5y 1 Câu 26. Trong không gian affine A 3, cho các điểm A(3, 2, 1), B(2, 1, 1), C(1, 2, 0), mặt phẳng (ABC) có phương trình tổng quát dạng (a) x 1 + x 2 2x = 0 (b) x 1 x 2 + 2x 3 2 = 0 (c) x 1 x 2 + 2x 3 3 = 0 (d) x 1 x 2 2x = 0 Câu 27. Trong không gian affine A 3 cho mục tiêu {O; e 1, e 2, e 3 }. Công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu đã cho sang {O; e 1 + e 2, e 2 + e 3, e 1 + e 3 } có dạng: x = x + y x = 1/2(x y + z ) (a) y = x + z (b) y = 1/2(x + y z ) z = y + z z = 1/2( x + y + z ) x = x + z x = 1/2( x + y + z ) (c) y = x + y (d) y = 1/2(x y + z ) z = y + z z = 1/2(x + y z ) Câu 28. Hai đường thẳng trong không gian affine A n, n 4, có bao nhiêu vị trí tương đối? (a) 5 (b) 3 (c) 4 (d) n 1 Câu 29. Trong không gian affine A 3 đối với mục tiêu {O; e i }, cho các điểm A(1, 1, 1), B(2, 1, 0), C(1, 2, 2), D(d, 1, 1). Điều kiện của d để {A; B, C, D} trở thành một mục tiêu affine là (a) d = 1 (b) d = 1 (c) d 1 (d) d 1 Câu 30. Trong không gian affine A n, cho 3 điểm thẳng hàng A, B, C và (ABC) = k. Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là sai. (a) (BCA) = k 1 k (c) (ACB) = 1 k (b) (BAC) = 1 k (d) (CBA) = k Câu 31. Trong không gian affine A 3, đối với mục tiêu {A 0 : A 1, A 2, A 3 } cho các điểm A 0(1, 2, 3), A 1(2, 3, 1), A 2(2, 1, 3), A 3(3, 1, 4). Khi đó, biểu thức tọa độ của phép biến đổi affine f biến mục tiêu {A 0 : A 1, A 2, A 3 } thành mục tiêu {A 0 : A 1, A 2, A 3} có dạng

99 (a) (b) (c) (d) x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 98 x 1 + x x = x 1 x 2 x x 1 + x x 1 + x 2 2 x 3 1 = x 1 x 2 x x 1 + x 3 3 2x 1 + x x = x 1 2x 2 x x 1 + x x 1 + x x 3 1 = x 1 x 2 2x x 1 + x 3 3 Câu 32. Trong không gian affine A 3, cho phép biến đổi affine f có biểu thức tọa độ dạng x 1 = 4x 1 + 2x 2 + x f : x 2 = 8x 1 + 4x 2 + 2x x 3 = 8x 1 4x 2 2x 3 2 Khi đó, f có bao nhiêu điểm bất động, độc lập. (a) 3 (b) không có (c) 2 (d) 1 Câu 33. Trong không gian affine A 3, cho phép biến đổi affine f có biểu thức tọa độ dạng x 1 = 4x 1 + 2x 2 + x f : x 2 = 8x 1 + 5x 2 + 2x x 3 = 8x 1 4x 2 x 3 2 Khi đó, f có bao nhiêu vector bất động, độc lập. (a) 1 (b) không có (c) 2 (d) 3 Câu 34. Trong không gian affine A 3 cho phép biến đổi affine f có biểu thức tọa độ đối với hệ tọa độ affine {O; e 1, e 2, e 3 } là x 1 = 4x 1 + 2x 2 + x x 2 = 6x 1 + 5x 2 + 2x x 3 = 9x 1 + 6x 2 + 4x

100 99 Trong các phương sau, phương nào là phương bất động của f (a) (1, 2, 5) (b) (1, 2, 3) (c) ( 1, 2, 3) (d) (1, 2, 5) Câu 35. Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau. (a) Tích của hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến. (b) Tích của hai phép vị tự là một phép vị tự. (c) Tích của một phép tịnh tiến và một vị tự là một phép tịnh tiến hoặc một phép vị tự. (d) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó. Câu 36. Trong không gian affine A 3, cho phép biến đổi affine f có biểu thức tọa độ dạng x 1 = 4x 1 + 2x 2 + x f : x 2 = 8x 1 + 5x 2 + 2x x 3 = 8x 1 4x 2 x 3 2 Khi đó, f có bao nhiêu điểm bất động, độc lập. (a) 1 (b) không có (c) 2 (d) 3 Câu 37. Trong không gian affine A 3, đối với mục tiêu {A 0 : A 1, A 2, A 3 } cho các điểm A 0(1, 2, 3) A 1(2, 3, 1), A 2(2, 1, 3), A 3(3, 1, 4). Khi đó, biểu thức tọa độ của phép biến đổi affine f biến mục tiêu {A 0 : A 1, A 2, A 3} thành mục tiêu {A 0 : A 1, A 2, A 3 } có dạng x 1 1/4 x 1 + 1/4 x 2 1/4 x 3 (a) x 2 = 1/4 x 1 5/4 x 2 3/4 x 3 5 x 3 1/2 x 1 + 1/2 x 2 + 1/2 x x 1 1/4 x 1 + 1/4 x 2 1/4 x 3 (b) x 2 = 1/4 x 1 5/4 x 2 3/4 x x 3 1/2 x 1 + 1/2 x 2 + 1/2 x 3 3 x 1 1/4 x 1 1/4 x 2 1/4 x 3 (c) x 2 = 1/4 x 1 + 5/4 x 2 3/4 x /2 x 1 1/2 x 2 + 1/2 x 3 3 x 3

101 100 (d) x 1 x 2 x 3 = x 1 + x x x 1 x 2 x x 1 + x Câu 38. Mỗi phép biến đổi affine của không gian A n điều có (a) ít nhất một phương bất động một chiều (b) ít nhất một phương bất động một chiều hoặc một điểm bất động (c) ít nhất một điểm bất động (d) ít nhất một phương bất động một chiều và một điểm bất động Câu 39. Phép vị tự trong không gian affine A n có bao nhiêu phương bất động? (a) không có (b) 1 (c) n (d) vô số Câu 40. Phép thấu xạ affine trên không gian affine A n hoàn toàn được xác định nếu biết (a) nền, phương và tỉ số thấu xạ (c) nền và phương (b) cơ sở, phương và tỉ số thấu xạ (d) cơ sở và phương thấu xạ Câu 41. Trong không gian affine A 3 cho phép biến đổi affine f có biểu thức tọa độ đối với hệ tọa độ affine {O; e 1, e 2, e 3 } là điểm bất động M của f có tọa độ x 1 = 4x 1 + 2x 2 + x x 2 = 6x 1 + 5x 2 + 2x x 3 = 9x 1 + 6x 2 + 4x (a) M(5/3, 2, 2) (b) M(5/3, 2, 2) (c) không tồn tại M (d) M( 2, 5/3, 2) Câu 42. Cho f là một phép chiếu song song lên m-phẳng (α) theo phương β. Khi đó,. (a) α β = { 0} (c) α β = (b) f là một song ánh (d) f là phép chiếu lên thành phần β Câu 43. Phép tịnh tuyến theo vector v và phép vị tự trên không gian affine A n có ánh xạ tuyến tính liên kết lần lượt là

102 101 (a) λ.id A và µ.id A, λ, µ 0 (b) id A và k.id A, k 0 (c) f : A A, x x + v và id A (d) f : A A, x x + v và λ.id A, λ 0. Câu 44. Cho f : A A là một ánh xạ affine, phát biểu nào sau đây là sai (a) f là toàn cấu khi và chỉ khi dim f( A ) = dima (b) f là đơn cấu khi và chỉ khi dima= dim f( A ) (c) f là đẳng cấu khi và chỉ khi dima = dim f( A ) (d) A đẳng cấu với A khi và chỉ khi dima = dima Câu 45. Trong không gian affine A 3, cho phép biến đổi affine f có biểu thức tọa độ dạng x 1 = 4x 1 + 2x 2 + x f : x 2 = 8x 1 + 4x 2 + 2x x 3 = 8x 1 4x 2 2x 3 2 Khi đó, f có bao nhiêu vector bất động, độc lập. (a) 3 (b) 1 (c) 2 (d) không có Câu 46. Nếu f là phép vị tự tâm O tỉ số λ thì f 1 là phép vị tự tâm O tỉ số (a) λ (b) 1/λ (c) λ 2 (d) 1/λ Câu 47. Trong A 2 cho phép biến đổi affine f đối với mục tiêu đã chọn: { x f : 1 = 3x 1 + 2x 2 2 x 2 = 2x 1 + 2x 2 1 Tạo ảnh của điểm M(1, 2) là: (a) (2/3, 1/2) (b) (0, 3/2) (c) (1, 0) (d) (1/3, 1) Câu 48. Tích của hai phép vị tự là: (a) Một phép vị tự (b) Một phép vị tự hoặc một phép tịnh tiến

103 102 (c) Một phép tịnh tiến (d) Một phép thấu xạ Câu 49. Trong A 3 cho ánh xạ f có biểu thức tọa độ đối với mục tiêu cho trước có dạng x 1 = 3x 1 + 3x 2 + 2x x 2 = x 1 + x 2 + 2x 3 1 x 3 = 2x 1 + x 2 + 2x Ảnh và tạo ảnh của điểm M(1, 2, 1) có tọa độ (a) f(m)(12, 1, 11), f 1 (7, 5, 3) (b) f(m)(12, 4, 9), f 1 (7, 5, 3) (c) f(m)(12, 3, 11), f 1 ( 5, 7/2, 9/4) (d) f(m)(12, 4, 9), f 1 ( 5, 7/2, 9/4) Câu 50. Trong các tập: A 1 ={f : A A : f là phép tịnh tiến} A 2 ={f : A A : f là vị tự tâm O} A 3 ={f : A A : f phép thấu xạ đối xứng xiên} A 4 ={f : A A : f phép đối xứng tâm O} Tập nào là nhóm đối với nhân là phép hợp hai ánh xạ (a) A 2, A 3, A 4 (b) A 1, A 2, A 3 (c) A 1, A 3, A 4 (d) A 1, A 2 Câu 51. Trong các hệ phương trình sau, hệ nào xác định tâm của siêu mặt bậc hai trong không gian A n A[x] + [a] = 0 (a) [a] t [x] + [a 0 ] = 0 (c) A[x] + [a] = 0 (S) : [x] t A[x] + 2[a] t [x] + [a 0 ] = 0 (b) A[x] [a] = 0 A[x] [a] = 0 (d) [a] t [x] [a 0 ] = 0 Câu 52. Trong không gian affine A 2, đường bậc hai (C) có phương trình (C) : x x 1 x x x x = 0 là một (a) cặp đường thẳng ảo cắt nhau (c) cặp đường thẳng thực song song (b) cặp đường thẳng thực cắt nhau (d) cặp đường thẳng ảo song song

104 103 Câu 53. Trong không gian affine A 2, đường bậc hai (C) có phương trình (C) : x x 1 x x 1 7 x x = 0 là một (a) cặp đường thẳng ảo cắt nhau (c) cặp đường thẳng thực song song (b) cặp đường thẳng thực cắt nhau (d) cặp đường thẳng ảo song song Câu 54. Mặt bậc hai x xy 2 x + 15 y 2 8 y yz + 4 z = 0 là phương trình của (a) hyperboloid hai tầng (c) elipsoid (b) hyperboloid một tầng (d) mặt nón thực Câu 55. Trong các đường bậc hai sau, đường nào không có đường tiệm cận (a) 3 x xy 3 y 2 = 1 (b) 2 x 2 2 xy + 5 y 2 = 1 (c) 12 x xy 3 y 2 = 1 (d) 3 x 2 8 xy + 3 y 2 = 1 Câu 56. Trên mặt phẳng affine A 2 có bao nhiêu đường bậc hai thực, suy biến? (a) 3 (b) 2 (c) 4 (d) 5 Câu 57. Trong không gian affine A 2, đường bậc hai (C) có phương trình (C) : x x 1 x x 1 3 x x = 0 là một (a) elip ảo (b) hyperbol (c) elip thực (d) parabol Câu 58. Trong không gian affine A 2, đường bậc hai (C) có phương trình (C) : x x 1 x 2 12 x x x = 0 là một (a) cặp đường thẳng thực song song (c) cặp đường thẳng ảo cắt nhau (b) cặp đường thẳng ảo song song (d) cặp đường thẳng thực cắt nhau Câu 59. Đường bậc hai (C) : 3 x x x x 2 15 = 0 trên mặt phẳng affine A 2 có phương trình chính tắc dạng (a) X X 2 2 = 1 (b) X X 2 2 = 1 (c) X 2 1 X 2 2 = 0 (d) X 2 1 = 1

105 104 Câu 60. Đường bậc hai (C) : 5 x x 1 x x x x = 0 trên mặt phẳng affine A 2 có phương trình chính tắc dạng (a) X 2 1 = 1 (b) X X 2 2 = 1 (c) X X 2 2 = 1 (d) X X 2 2 = 0 Câu 61. Chọn phát biểu đúng. (a) Phương trình siêu phẳng kính của siêu mặt bậc hai (S) : [x] t A[x] + 2[a] t [x] + a 0 = 0 liên hợp với phương n F (ci v (c i ) có dạng x c i = 0 i ) (b) Phương trình siêu phẳng kính của siêu mặt bậc hai (S) : F = [x] t A[x] + 2[a] t [x] + a 0 = 0 liên hợp với phương v (c i ) có dạng [c] t (A[x] + [a]) = 0 (c) Siêu phẳng kính của siêu mặt bậc hai luôn đi qua tâm của siêu mặt bậc hai đó (d) Các siêu mặt bậc hai suy biến không có siêu kính liên hợp Câu 62. Trong không gian affine A 2, đường bậc hai (C) có phương trình là một (C) : x x 1 x x x x = 0 (a) parabol (b) elip thực (c) hyperbol (d) elip ảo Câu 63. Đường bậc hai (C) : x x 1 x x x x = 0 trên mặt phẳng affine A 2 có phương trình chính tắc dạng (a) X 2 1 = 2X 2 2 (b) X X 2 2 = 1 (c) X 2 1 X 2 2 = 1 (d) X X 2 2 = 1 Câu 64. Các đường bậc hai không suy biến trong A 2 là (a) elip thực, cặp đường thẳng thực, hyperbol, parabol (b) elip thực, parabol, elip ảo, hyperbol (c) elip thực, hyperbol, parabol, cặp đường thẳng thực cắt nhau (d) hyperbol, cặp đường thẳng thực cắt nhau, cặp đường thẳng thực song song, cặp đường thẳng trùng nhau Câu 65. Trong không gian affine A 2, đường bậc hai (C) có phương trình i=1 (C) : x x 1 x 2 14 x x x = 0 là một

106 105 (a) cặp đường thẳng thực song song (c) cặp đường thẳng ảo cắt nhau (b) cặp đường thẳng trùng (d) cặp đường thẳng thực cắt nhau Câu 66. Cho (S) là mặt bậc hai có phương trình (S) : x 2 + y 2 4z 2 + 2xy 4xz + 2x 4y + 6z 2 = 0. Khi đó, ma trận lớn của (S) là (a) B = (c) B = (b) B = (d) B = Câu 67. Trong không gian affine A 2, đường bậc hai (C) có phương trình (C) : x x 1 x 2 14 x x x = 0 là một (a) cặp đường thẳng thực song song (c) cặp đường thẳng thực cắt nhau (b) cặp đường thẳng ảo cắt nhau (d) cặp đường thẳng ảo song song Câu 68. Trong các hệ phương trình sau, hệ nào xác định điểm kì dị của siêu mặt bậc hai A[x] [a] = 0 (a) [a] t [x] [a 0 ] = 0 (c) A[x] [a] = 0 (S) : [x] t A[x] + 2[a] t [x] + [a 0 ] = 0 (b) A[x] + [a] = 0 A[x] + [a] = 0 (d) [a] t [x] + [a 0 ] = 0 Câu 69. Trong không gian affine A 2, đường bậc hai (C) có phương trình là một (C) : x x 1 x x 1 + x x = 0 (a) parabol (b) hyperbol (c) elip ảo (d) elip thực

107 106 Câu 70. Trong không gian A 3 cho (S) là mặt bậc hai có ma trận lớn B = Phương trình của (S) đối với mục tiêu cho trước là (a) x 2 + y 2 4z 2 + 2xy 4yz + 2x 4y + 6z 2 = 0. (b) x 2 + y 2 4z 2 + xy 2xz + x 2y + 3z 2 = 0. (c) x 2 + y 2 4z 2 + yz 2xz + x 2y + 3z 2 = 0. (d) x 2 + y 2 4z 2 + 2xy 4xz + 2x 4y + 6z 2 = 0. Câu 71. Trong không gian affine A 2, đường bậc hai (C) có phương trình là một (C) : x x 1 x x x x = 0 (a) parabol (b) elip thực (c) elip ảo (d) hyperbol Câu 72. Chọn phát biểu sai. Trong không gian Euclid E n, (a) hai cái phẳng (α) và (β) trực giao với nhau khi α β. (b) hai cái phẳng trực giao có đúng một điểm chung. (c) hai cái phẳng (α), (β) đối trực giao với nhau khi α β. (d) nếu (α) bù trực giao với (β) và (α ) trực giao với với (β) thì (α) song song hoặc trùng với (α ). Câu 73. Trong không gian E 4 đối với mục tiêu trực chuẩn, cho hình bình hành ABCD với A(1, 1, 1, 1), B(1, 2, 1, 2), D(2, 1, 2, 1). Diện tích của hình bình hành đã cho bằng (a) 2 (đvdt) (b) 2 (đvdt) (c) 2 2 (đvdt) (d) 4 (đvdt) Câu 74. Chọn cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống. Trong không gian Eculid E n hai phẳng trực giao nhau có ; hai phẳng bù trực giao nhau có (a) một điểm chung duy nhất; không quá một điểm chung.

108 107 (b) nhiều nhất một điểm chung; một điểm chung duy nhất. (c) vô số điểm chung; duy nhất một điểm chung (d) một điểm chung duy nhất; vô số điểm chung Câu 75. Trong E 4, khoảng cách giữa hai siêu phẳng lần lượt có phương trình α : x 1 + x 2 2x 3 + 3x 4 = 2; β : 2x 1 + 2x 2 4x 3 + 6x 4 = 12; bằng (a) 8 15 (b) (c) (d) 4 15 Câu 76. Chọn phát biểu sai. Trong không gian Euclid E n, cho 2 mục tiêu trực chuẩn {O; e i } và {O ; e i}. Nếu [x ] = A[x] + [a] là công thức đổi mục tiêu từ {O; e i } sang {O ; e i} thì (a) A là một ma trận trực giao (b) det(a) 0 (c) det(a) = 1 (d) A.A t = I n Câu 77. Trong E 4 với mục tiêu trực chuẩn cho trước xét điểm A(1, 3, 4, 1) và siêu phẳng α có phương trình tổng quát x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 = 0. Khoảng cách từ A đến α là (a) 5/2 (b) 5/4 (c) 5 (d) 3/4 Câu 78. Trong không gian Euclid E n, cho đường thẳng (d) : [x] = [a]t+[a 0 ], t R và siêu phẳng (α) : x 1 a 1 + x 2 a x n a n + c = 0. Khi đó, (a) (d)\\(α) (c) (d) bù trực giao với (α) (b) (d) (α) (d) (d) (α) = Câu 79. Trong E 3 với một mục tiêu trực chuẩn cho trước, cho đường thẳng d và mặt phẳng α có phương trình { x1 + 2x 2 1 = 0 (d) : 2x 2 x = 0 (α) : x 1 2x 2 + 2x = 0. ta có

109 108 (a) (d) cắt α (c) (d) vuông góc với α (b) (d) nằm trên α (d) (d) song song với α Câu 80. Trong E 4 cho các điểm A(1, 2, 3, 4), B(3, 4, 1, 2), C(3, 1, 3, 1). Phương trình của mặt phẳng qua gốc tọa độ O bù trực giao với mặt phẳng (ABC) có dạng 2x 1 x 2 3x 4 = 0 2x 1 + x 2 3x 4 = 0 (a) (b) x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 x 3 x 4 = 0 2x 1 x 2 3x 4 = 0 2x 1 x 2 3x 4 = 0 (c) (d) x 1 + x 2 x 3 x 4 = 0 x 1 + x 2 + x 3 x 4 = 0 Câu 81. Cho x, y là hai vector trong E n. Khi đó, ta có x. y = x. y nếu và chỉ nếu (a) x = 0 hoặc y = 0 (b) hai vector x và y độc lập tuyến tính. (c) x = ± y (d) hai vector x và y phụ thuộc tuyến tính. Câu 82. Trong E 4 cho (α) là cái phẳng có phương trình 2x 1 x 2 x 4 = 11 x 1 + 7x 3 x 4 = 6 Gọi (β) là cái phẳng bù trực giao của α. Khi đó, phương của β là: (a) (3, 3, 0, 1), (5, 1, 0, 7) (b) (1, 0, 7, 2), (1, 0, 5, 1/2) (c) (2, 1, 0, 1), (1, 0, 7, 1) (d) ( 1, 2, 0, 7), (2, 5, 1, 1) Câu 83. Trong không gian Eculid E n có bao nhiêu cái phẳng bù trực giao với m-phẳng α, (1 m n 1) cho trước? (a) Có duy nhất một cái phẳng (c) Có n cái phẳng (b) Vô số cái phẳng (d) Có n m cái phẳng Câu 84. Mọi phép dời loại 2 trong E 3 hoặc là (a) phép đối xứng qua 1 điểm, hoặc là một phép đối xứng trượt, hoặc là một phép đối xứng quay. (b) phép đối xứng qua 1 điểm, hoặc là phép đối xứng qua mặt phẳng, hoặc là một phép đối xứng trượt, hoặc là một phép đối xứng quay.

110 109 (c) phép đối xứng qua mặt phẳng, hoặc là một phép đối xứng trượt, hoặc là một phép đối xứng quay. (d) phép đối xứng qua 1 điểm, hoặc là phép đối xứng qua mặt phẳng, hoặc là một phép đối xứng trượt. Câu 85. Hợp của hai phép đối xứng qua hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ) cắt nhau trên mặt phẳng Euclid E 2 là (a) phép đối xứng trượt. (c) phép đối xứng qua đường thẳng. (b) phép tịnh tiến theo vector. (d) phép quay quanh một điểm. Câu 86. Trên mặt phẳng E 2 cho ánh xạ f có biểu thức tọa độ trực chuẩn là 2 2 x = 2 x + 2 y y = 2 x 2 y + 1 Khi đó f là phép (a) tịnh tiến (c) đối xứng trượt (b) đối xứng qua đường thẳng (d) quay quanh một điểm Câu 87. Chọn phép dời hình loại 1 trong các phép biến đổi đẳng cự trên E 3 sau. (a) phép đối xứng trục (c) phép đối xứng quay (b) phép đối xứng qua mặt phẳng (d) phép đối xứng trượt Câu 88. Phép đối xứng quay trong không gian Euclid E (a) có duy nhất một điểm bất động. (b) là tích của phép đối xứng qua một mặt phẳng với phép quay quanh một đường thẳng. (c) có những điểm bất động là các điểm nằm trên trục quay. (d) luôn có phương bất động một chiều. Câu 89. Mọi phép phản dời của E (a) hoặc là phép tịnh tiến hoặc là một phép quay. (b) hoặc là phép tịnh tiến hoặc là phép đối xứng qua đường thẳng. (c) hoặc là đối xứng qua đường thẳng hoặc là một phép quay.

111 110 (d) hoặc là đối xứng qua đường thẳng hoặc là phép đối xứng trượt. Câu 90. Trên mặt phẳng E 2 cho ánh xạ f có biểu thức tọa độ trực chuẩn là 2 2 x = 2 x + 2 y y = 2 x + 2 y + 1 Khi đó f là phép (a) đối xứng qua đường thẳng. (c) quay quanh một điểm. (b) đối xứng trượt. (d) tịnh tiến. Câu 91. Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau. (a) Phép đối xứng trượt có nhiều nhất một điểm bất động. (b) Mọi vector thuộc trục trượt đều là phương bất động của phép đối xứng trượt. (c) Phép đối xứng trượt là phép phản dời hình. (d) Ma trận của phép đối xứng trượt là một ma trận trực giao. Câu 92. Trên E n, cho f là một phép đối xứng qua m-phẳng α. Khi đó, f là phép phản dời (phép dời loại 2) nếu (a) n m lẻ (b) m lẻ (c) m chẵn (d) n m chẵn Câu 93. Hợp của hai phép đối xứng qua hai đường thẳng song song (d 1 ), (d 2 ) trên mặt phẳng Euclid E 2 là (a) phép đối xứng trượt. (c) phép đối xứng qua đường thẳng. (b) phép quay quanh một điểm. (d) phép tịnh tiến theo vector. Câu 94. Mọi phép dời của E (a) hoặc là đối xứng qua đường thẳng hoặc là một phép quay. (b) hoặc là phép tịnh tiến hoặc là phép đối xứng qua đường thẳng. (c) hoặc là phép tịnh tiến hoặc là một phép quay. (d) hoặc là đối xứng qua đường thẳng hoặc là phép đối xứng trượt. Câu 95. Chọn cụm từ đúng nhất điền vào chỗ trống. Trong không gian E 4, cho (S) là siêu cầu tâm I(1, 2, 1, 3) bán kính bằng 5 và siêu phẳng (P ) có phương trình x 1 + x 2 + x 3 x = 0. Khi đó, (P ) siêu cầu (S).

112 111 (a) tiếp xúc với (c) cắt (b) là siêu phẳng kính chính của (d) không cắt Câu 96. Phương trình chính tắc của mặt nón thực trong không gian Euclid E 3 có dạng (a) x2 a 2 + y2 b 2 = z2 (c) x2 a 2 y2 b 2 = 2z (b) x2 a 2 y2 b 2 = z2 x2 (d) a 2 + y2 b 2 = 2z Câu 97. Trong không gian Euclid E 4 đối với mục tiêu trực chuẩn, cho siêu cầu (S) có trình (S) : x x x x x 1 4 x 2 4 x 3 4 x = 0. Điểm nào là điểm trong của (S) trong các điểm sau. (a) M(1, 1, 1, 1) (b) M(3, 3, 3, 3) (c) M(2, 3, 2, 3) (d) M(5, 2, 5, 2) Câu 98. Trong không gian E 4, cho (S 1 ) là siêu cầu tâm I(1, 2, 3, 4) bán kính 5, (S 2 ) là siêu cầu tâm I( 1, 2, 3, 4) bán kính 5. Siêu phẳng đẳng phương của hai siêu cầu (S 1 ) và (S 2 ) có phương trình (a) x x x 3 4 x 4 = 0 (b) x x x x 4 = 0 (c) x x x 3 4 x 4 = 5 (d) x x x x 4 = 5 Câu 99. Phương trình chính tắc của mặt yên ngựa trong không gian Euclid E 3 có dạng (a) x2 a 2 + y2 b 2 = 2z (c) x2 a 2 y2 b 2 = z2 x2 (b) a 2 y2 b 2 = 2z (d) x2 a 2 + y2 b 2 = z2 Câu 100. Nếu f là một phép biến đổi affine của E n biến siêu cầu thành siêu cầu thì f là một (a) phép đẳng cự (c) phép đồng dạng (b) phép vị tự (d) phép tịnh tiến Câu 101. Trong không gian Euclid E n, siêu mặt bậc hai có phương trình dạng x 2 1 a x2 2 a 2 2 được gọi là x2 n a 2 n = 1

113 112 (a) siêu trụ elipsoid (c) siêu mặt hyperboloid (b) siêu mặt elipsoid (n 1)-chiều (d) siêu cầu Câu 102. Phương trình chính tắc của hyperboloid một tầng trong E 3 có dạng (a) x2 a 2 y2 b 2 z2 c 2 = 1 (c) x2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 x2 (b) a 2 + y2 b 2 z = 1 x2 (d) a 2 y b 2 z c 2 = 1 Câu 103. Trong không gian E 4 đối với mục tiêu trực chuẩn, cho (S) là siêu cầu tâm I(1, 2, 3, 4) bán kính 5 và điểm M(2, 1, 0, 1). Khi đó, phương tích của điểm M đối với siêu cầu (S) bằng (a) 11 (b) 31 (c) 47 (d) 14 Câu 104. Trong không gian Euclid E 4 đối với mục tiêu trực chuẩn, cho siêu cầu (S) có trình (S) : x x x x x x 2 4 x x = 0. Điểm nào là điểm nằm ngoài (S) trong các điểm sau. (a) M(2, 2, 2, 3) (b) M(2, 2, 2, 2) (c) M(3, 2, 2, 2) (d) M(2, 3, 2, 3) Câu 105. Hệ m+1 điểm {A 0, A 1,..., A m } trong không gian affine A n phụ thuộc affine (a) khi và chỉ khi hệ { A 0 A 1, A 0 A 2,..., A 0 A m } phụ thuộc tuyến tính. (b) nếu hệ { A 0 A 1, A 0 A 2,..., A 0 A m } độc lâp tuyến tính. (c) khi và chỉ khi hệ { A 0 A 1, A 0 A 2,..., A 0 A m } độc lập affine. (d) nếu hệ { A 0 A 1, A 0 A 2,..., A 0 A m 1 } phụ thuộc affine. Câu 106. Trong không gian affine A 4, cho 2-phẳng (α) có phương trình tổng quát dạng x 1 + x 2 2x 3 + 3x 4 = 1 x 1 x 2 4x 3 + 5x 4 = 3. Khi đó, phương trình tham số của (α) có dạng

114 x 1 = 3t 1 4t x 2 = t 1 + t 2 (a) x 3 = t 1 x 4 = t 2 x 1 = 3t 1 + 4t 2 1 x 2 = t 1 t 2 (c) x 3 = t 1 x 4 = t 2 Câu 107. Chọn phát biểu sai 113 (b) (d) x 1 = 3t 1 4t 2 1 x 2 = t 1 + t x 3 = t 1 x 4 = t 2 x 1 = 3t 1 4t 2 1 x 2 = t 1 + t x 3 = t 1 x 4 = t 2 (a) Một tập khác rỗng luôn tồn tại bao affine của nó. (b) Bao affine của một hệ điểm là một cái phẳng có số chiều bé nhất chứa các điểm đó. (c) Nếu (α) là một m-phẳng thì nó là bao affine của m + 1 điểm thuộc nó. (d) Giao của các cái phẳng trong không gian affine chứa tập S là bao affine của S. Câu 108. Trong không gian affine A n, (n > 1), tổng của một điểm và một đường thẳng là (a) một đường thẳng hoặc một điểm. (b) một đường thẳng hoặc mặt phẳng. (c) một mặt phẳng. (d) một đường thẳng. Câu 109. Điểm G trong không gian affine A n được gọi là tâm tỉ cự của hệ {(P 1, λ 1 ),..., (P m, λ m )} nếu (a) OG = OP 1 + OP OP m (b) λ 1GP 1 + λ 2GP λ m (c) OG = 1 n (d) [G] = m i=1 λ i[p i ] GP m = 0 ) (λ 1OP 1 + λ 2OP λ mop m Câu 110. Trên mặt phẳng affine A 2, cho công thức đổi mục tiêu từ {O; e 1, e 2 } sang mục tiêu {O ; e 1, e 2} có dạng x = 2x + y + 1 y = x + 2y + 2 Khi đó, công thức đổi mục tiêu từ {O ; e 1, e 2} sang mục tiêu {O; e 1, e 2 } có dạng

115 x = 2 x 1/3 y (a) y = x + 2/3 y 1 x = 2/3 x 1/3 y 1 (c) y = 1/3 x + 2/3 y 114 (b) (d) x = 2/3 x 1/3 y y = 1/3 x + 2/3 y 1 x = 2 x 1/3 y 1 y = x + 2/3 y Câu 111. Trong không gian affine A n, tập nào trong các tập sau là một m-hộp? (a) {M A n : (b) {M A n : (c) {M A n : (d) {M A n : OM = m i=1 OM = m i=1 OM = m i=1 OM = m i=1 x i OP i, 0 x i 1} x i OPi, x i R +, x i OP i, m x i = 1} i=1 m x i = 1} i=1 x i OP i, 0 < x i < 1} Câu 112. Cho 4 điểm M, N, P, Q nằm trong không gian affine A n, tính chất nào sau đây là sai, (a) MN = NM (c) MP = NQ MQ = P N (b) MN = 0 M N (d) MP = NP NM Câu 113. Chọn cụm từ thích hợp điền vào các chỗ trống Mỗi m-hộp trong không gian affine A n, 0 m n có đỉnh và cạnh. (a) 2 m, 2 m m (b) 2m, 2 m 1 m (c) 2m, 2 m m (d) 2 m, 2 m 1 m Câu 114. Trong không gian affine A n, cho hệ điểm độc lập {P 1, P 2,..., P m }. Tập nào trong các tập sau là một m-đơn hình? (a) {M A n : (b) {M A n : (c) {M A n : (d) {M A n : OM = m i=1 OM = m i=1 OM = m i=1 OM = m i=1 x i OP i, 0 < x i < 1} x i OP i, m x i = 1} i=1 x i OP i, 0 x i 1} x i OPi, x i R +, m x i = 1} Câu hộp trong không gian affine A 3 chính là i=1 (a) một hình bình hành. (c) một hình hộp xiên. (b) một tam giác. (d) một tứ diện.

116 115 Câu 116. Một m-phẳng trong không gian affine hoàn toàn xác định nếu biết (a) Một điểm thuộc nó và m + 1 vector chỉ trong phương của nó. (b) Một điểm thuộc nó và m vector nằm trong phương của nó. (c) m + 1 điểm độc lập thuộc nó. (d) m + 1 điểm phân biệt thuộc nó. Câu 117. Trong không gian affine A n thực, đoạn thẳng P Q, P Q, là (a) tập hợp tất cả điểm M sao cho OM = t OP + (1 t) OQ với O là điểm cho trước và t K. (b) tập hợp tất cả điểm M sao cho: OM = t 1OP + t2oq với O là điểm tùy ý và 0 t 1, t 2 1. (c) tập hợp tất cả điểm M sao cho MP = k QP với k K. (d) tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của họ điểm {(P, λ), (Q, µ)} với 0 λ, µ 1, λ + µ = 1. Câu 118. Cho α và α là hai cái phẳng song song trong không gian affine A n, khẳng định nào sau đây là đúng (a) Nếu β song song với α thì nó cũng song song với α (b) Nếu β là cái phẳng không nằm trong α và β cắt α thì nó cũng cắt α. (c) Nếu β là siêu phẳng cắt α thì β cũng cắt α (d) Nếu α không nằm trên siêu phẳng β và α cắt β thì β cắt α. Câu 119. Trong không gian affine A n, n 3, cho n 1 điểm A i (1, 0,..., 1 i+1, 0..., 0) với i = 1, 2,..., n 1. Trong các phương trình x 1 x 2 x n = 0 (1) x 2 + x x n = 1 (2) x 1 1 = 0 (3) x 1 + x x n = 2 (4) Những phương trình nào là phương trình tổng quát của siêu phẳng qua các điểm đã cho. (a) (1), (2), (3) (b) (1), (2), (3), (4)

117 116 (c) (1), (3), (4) (d) (2), (3), (4) Câu 120. Trong không gian affine A n, cho m-phẳng (α), với 3 m, và một điểm A không nằm trên nó. Khi đó, l-phẳng, với 1 < l < m, đi qua A và song song với (α). (a) không tồn tại (c) có đúng 2 (b) có duy nhất (d) có vô số Câu 121. Điểm G trong không gian affine A n được gọi là trọng tâm của hệ điểm P 1, P 2,..., P m nếu (a) [G] = 1 m m [P i ] i=1 (b) λ 1GP 1 + λ 2GP λ mgp m = 0 (c) OG = OP 1 + OP OP m (d) GP 1 + GP GP m = 1 m ( m i=1 ) λ iop i Câu 122. Trong không gian affine A 5, cho các điểm A(0, 2, 3, 1, 0), B(7, 0, 1, 2, 3), C( 3, 4, 0, 5, 0), D(1, 1, 2, 1, 1), E(3, 3, 4, 4, 1). Gọi G(g 1, g 2, g 3, g 4, g 5 ) là tâm tỉ cự của họ {(A, 1), (B, 0), (C, 1), (D, 2), (E, 1)}. Giá trị của g 1 + g 2 + g 3 + g 4 + g 5 bằng (a) 32 (b) 24 (c) 16 (d) 7 Câu 123. Cho α là cái phẳng m-chiều trong không gian affine A n, khẳng định nào sau đây là đúng (a) α có m bộ vector chỉ phương. (b) α có vô số phương. (c) α có duy nhất một bộ vector chỉ phương. (d) α có duy nhất một phương. Câu 124. Trong không gian affine A 3 đối vưới mục tiêu {O; e i }, cho các điểm A(1, 2, 3), B(2, 1, 1), C(1, 1, 2), D(d, 1, 1). Điều kiện của d để bốn điểm {A, B, C, D} phụ thuộc affine là (a) d = 2 (b) d = 1 (c) d = 1 (d) d = 2

118 117 Câu 125. Chọn từ thích hợp điền vào các chổ trống. Phương trình của m-phẳng trong không gian affine A n là một hệ phương trình tuyến tính bậc nhất, gồm phương trình theo các ẩn x 1, x 2,..., x n, trong đó hạng của ma trận hệ số bằng số phương trình. (a) tham số; n (c) tham số; n m (b) tổng quát; m (d) tổng quát; n m Câu 126. Trong không gian affine A n, (n > 1), tổng của hai đường thẳng phân biệt là (a) một đường thẳng. (c) hai đường thẳng. Câu 127. Chọn phát biểu sai. (b) một đường thẳng hoặc mặt phẳng. (d) một mặt phẳng. (a) Một m-phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết 1 điểm và m-phẳng song song với nó. (b) Một m-phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết m + 1 điểm độc lập thuộc nó. (c) Một m-phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết 1 điểm và một phương của nó. (d) Một m-phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết 1 điểm và m vector thuộc nó. Câu 128. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng. (a) m- đơn hình, nửa không gian, tập vô hạn điểm, m-hộp là các tập lồi. (b) m-phẳng, m- đơn hình, nửa không gian, tập vô hạn điểm là các tập lồi. (c) m-phẳng, đoạn thẳng, đường thẳng, nửa không gian là các tập lồi. (d) Đoạn thẳng, đường thẳng, m-hộp, tập hữu hạn điểm là các tập lồi. Câu 129. Trong không gian affine A 3, cho hai mục tiêu {O; e 1, e 2, e 3 }(1) và {O ; e 1 + e 2, e e 3, e 3 }(2). Công thức đổi mục tiêu từ (1) sang (2) với O (1, 2, 3)/(1) có dạng: x 1 = x x 1 = x 1 + x (a) x 2 = x 1 + x (b) x 2 = 2x 2 + x x 3 = 2x 2 + x x 3 = x x 1 = x 1 + x 2 1 x 1 = x 1 1 (c) x 2 = 2x 2 + x 3 2 (d) x 2 = x 1 + x 2 2 x 3 = x 3 3 x 3 = 2x 2 + x 3 3

119 118 Câu 130. Trong không gian affine A 3 đối vưới mục tiêu {O; e i }, cho các điểm A(1, 2, 3), B(2, 1, 1), C(1, 1, 2), D(d, 1, 1). Điều kiện của d để {A; B, C, D} trở thành một mục tiêu affine là (a) d 2 (b) d 1 (c) d 1 (d) d 2 Câu 131. Chọn phát biểu đúng. (a) Các khái niệm: m-phẳng, tập lồi, m-đơn hình, độc lập affine, m-hộp, đoạn thẳng, tâm tỉ cự, tỉ số đơn, song song là các khái niệm affine. (b) Các khái niệm: m-phẳng, phương của m-phẳng, tập lồi, m-đơn hình, m-hộp, tâm tỉ cự, tỉ số đơn, song song là các khái niệm affine. (c) Các khái niệm: m-phẳng, phương của m-phẳng, đồng qui, phụ thuộc affine, m-đơn hình, m-hộp, tâm tỉ cự, trung điểm, song song là các khái niệm affine. (d) Các khái niệm: m-phẳng, tập lồi, m-đơn hình, m-hộp, tâm tỉ cự, tỉ số đơn, song song, vuông góc là các khái niệm affine. Câu 132. Có bao nhiêu phép biến đổi affine trên A 3 biến tứ diện ABCD thành chính nó (a) 6 (b) 24 (c) 12 (d) vô số Câu 133. Các ánh xạ affine có điểm bất động và phương bất động trong các ánh xạ: phép chiếu song song, phép tịnh tiến, phép vị tự, phép thấu xạ affine là (a) Phép chiếu song song, phép vị tự, phép thấu xạ affine (b) Phép chiếu song song, phép tịnh tiến, phép thấu xạ affine (c) Phép chiếu song song, phép tịnh tiến, phép vị tự (d) phép tịnh tiến, phép vị tự, phép thấu xạ affine Câu 134. Trong không gian affine A n có bao nhiêu phép biến đổi affine biến n-đơn hình cho trước S thành n-đơn hình cho trước S ; (a) n! (b) n (c) 1 (d) vô số Câu 135. Cho f là một phép biến đổi affine trên mặt phẳng affine A 2, giữ bất động phương của mọi đường thẳng. Khi đó, f là phép biến đổi nào trong các phép biến đổi sau (a) Phép tịnh tiến hay phép vị tự

120 119 (b) Phép tịnh tiến hay đối xứng xiên (c) Phép tịnh tiến hay đối xứng xiên hay phép vị tự (d) Phép thấu xạ hay phép vị tự hay phép đối xứng xiên Câu 136. Một phép biến đổi affine trên không gian A n biến một cái phẳng thành một cái phẳng và bảo toàn (a) số chiều, tính cắt nhau, tính chéo nhau và tính song song của các cái phẳng. (b) số chiều, phương, tính chéo nhau và tính song song của các cái phẳng. (c) số chiều, phương, tính cắt nhau và tính song song của các cái phẳng. (d) số chiều, phương, tính cắt nhau và chéo nhau của các cái phẳng. Câu 137. Nếu phép biến đổi affine f : A n A n, (n 1), biến mỗi đường thẳng thành 1 đường thẳng song song hoặc trùng với nó thì f là (a) phép vị tự hoặc tịnh tiến. (c) phép tịnh tiến hoặc thấu xạ. (b) phép vị tự hoặc thấu xạ. (d) phép tịnh tiến hoặc đối xứng xiên. Câu 138. Trong các biểu thức tọa độ sau [x ] = [x 0 ] (1) [x ] = [x] + [x 0 ] (2) [x ] = λ[x], λ 0 (3) [x ] = λ[x] + [x 0 ] (4) [x ] = C[x] + [a], C = (c ij ) (n n) (5) biểu thức nào là công thức tọa độ của một phép biến đổi affine (a) (1), (3), (4) (b) (2), (3), (4) (c) (2), (4), (5) (d) (2), (3), (4), (5) Câu 139. Phép đối xứng xiên trên không gian affine A n hoàn toàn được xác định nếu biết (a) nền, phương và tỉ số thấu xạ (c) cơ sở và phương đối xứng (b) cơ sở, phương và tỉ số thấu xạ (d) nền và phương Câu 140. Có bao nhiêu phép biến đổi affine trên A 3 biến tam giác ABC thành chính nó (a) 6 (b) vô số (c) 3 (d) 9

121 120 Câu 141. Hai không gian affine A và A trên trường K được gọi là tương đương affine với nhau nếu (a) số phần tử của hai không gian này bằng nhau (b) mọi f : A A đều là đẳng cấu affine (c) dima = dima (d) có một song ánh từ A vào A Câu 142. Mọi biến đổi affine trong không gian affine A n đều có ít nhất (a) một điểm bất động hoặc 1 phương bất động (b) một điểm bất động và 1 phương bất động (c) một điểm bất động và vô số phương bất động (d) một phương bất động và vô số điểm bất động Câu 143. Trong không gian affine A n có bao nhiêu phép biến đổi affine biến (n 1)-đơn hình cho trước S thành (n 1)-đơn hình cho trước S ; (a) n (b) n! (c) vô số (d) 1 Câu 144. Chọn từ thích hợp điền vào chổ trống Cho f : A A là một phép biến đổi affine của A và f : A A là phép biến đổi tuyến tính liên kết của f Một điểm M của A được gọi là điểm bất động đối với f hay điểm kép của f nếu f(m) = M. Một hình H A (tức là một tập hợp con của A) gọi là bất động đối với f nếu Mỗi không gian vector con m-chiều W của A được gọi là một phương bất động (m-chiều) đối với f (hay của f) nếu (a) f(h) = H; f(w ) = W (b) f(m) = M, M H; f(w ) = W (c) f(m) = M; M H, f( x ) = x, x W (d) f(h) = H; f( x ) = x, x W Câu 145. Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt nón thực trong không gian affine A 3 (a) x x x 2 3 = 0 (b) x 2 1 x 2 2 2x 3 = 0 (c) x x 2 2 2x 3 = 0 (d) x x 2 2 x 2 3 = 0

122 121 Câu 146. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : x x 1 x 2 4 x 1 x 3 8 x 2 x 3 2 x 2 4 x 3 1 = 0 là phương trình của một (a) cặp mặt phẳng thực cắt nhau (c) mặt trụ hyperbol (b) mặt trụ parabol (d) cặp mặt phẳng ảo cắt nhau Câu 147. Trong A 3 có bao nhiêu loại mặt bậc hai không suy biến? (a) 3 (b) 4 (c) 6 (d) 5 Câu 148. Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt paraboloid elliptic trong không gian affine A 3 (a) x 2 1 x 2 2 2x 3 = 0 (b) x x 2 2 2x 3 = 0 (c) x x 2 2 x 2 3 = 0 (d) x x x 2 3 = 0 Câu 149. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : 2 x 1 x 2 + x x x x 1 x 3 x 3 2 = 0 là phương trình của một (a) mặt nón thực (c) parabolid hyperboloid (b) mặt nón ảo (d) parabolid eliptic Câu 150. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : x x 1 x 2 + x 2 2 x 2 2 x 3 = 0 là phương trình của một (a) mặt trụ eliptic thực (c) mặt trụ hyperbol (b) mặt trụ eliptic ảo (d) mặt trụ parabol Câu 151. Phương trình mặt phẳng kính liên hợp phương v (1, 2, 1) của mặt bậc hai có phương trình là (S) : x xy 2 x + 15 y 2 8 y yz + 4 z = 0 (a) 9 x 33 y 2 z 7 = 0 (b) 9 x + 33 y 2 z 7 = 0 (c) 9 x + 33 y 2 z 7 = 0 (d) 9 x 33 y + 2 z 7 = 0

123 122 Câu 152. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) có phương trình 5 x x 1 x x x x x 1 x x 2 x 3 + x x 3 = 0 là phương trình của một (a) hyperloid 1 tầng (c) parabolid hyperboloid (b) parabolid eliptic (d) elipsoid thực Câu 153. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : 5 x x 1 x x x x x 2 x 3 x 3 2 = 0 là phương trình của một (a) elipsoid thực (c) hyperloid 1 tầng (b) elipsoid ảo (d) hyperloid 2 tầng Câu 154. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : x x 1 x 2 4 x 1 x 3 + x x 2 x x x 2 4 x 3 1 = 0 là phương trình của một (a) mặt trụ parabol (c) mặt trụ eliptic ảo (b) mặt trụ hyperbol (d) mặt trụ eliptic thực Câu 155. Trên mặt phẳng affine A 2 có tổng cộng bao nhiêu loại đường bậc hai thực, không suy biến (a) 9 (b) 4 (c) 2 (d) 3 Câu 156. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : x x 1 x 2 + x x x = 0 là phương trình của một (a) mặt trụ hyperbol (c) mặt trụ eliptic ảo (b) mặt trụ eliptic thực (d) mặt trụ parabol Câu 157. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : 2 x x 1 x 2 + x x x x 1 x 3 + x 3 2 = 0 là phương trình của một

124 123 (a) parabolid hyperboloid (c) mặt nón ảo (b) mặt trụ eliptic thực (d) parabolid eliptic Câu 158. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : x x 1 x 2 + x x x 3 = 0 là phương trình của một (a) mặt trụ eliptic ảo (c) mặt trụ hyperbol (b) mặt trụ eliptic thực (d) mặt trụ parabol Câu 159. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : 3 x x x x x 1 x 3 2 x 2 x 3 x x 3 = 0 là phương trình của một (a) parabolid eliptic (c) elipsoid ảo (b) parabolid hyperboloid (d) elipsoid thực Câu 160. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : 3 x x x x x 2 x 3 x 3 2 = 0 là phương trình của một (a) hyperloid 1 tầng (c) elipsoid ảo (b) hyperloid 2 tầng (d) elipsoid thực Câu 161. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : 5 x x 1 x x x x x 2 x 3 + x 3 2 = 0 là phương trình của một (a) hyperloid 2 tầng (c) hyperloid 1 tầng (b) elipsoid ảo (d) elipsoid thực Câu 162. Trong không gian affine A 3 có bao nhiêu loại mặt bậc hai thực (a) 4 (b) 12 (c) 14 (d) 6 Câu 163. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : x x 1 x 2 4 x 1 x 3 4 x 1 + x x 2 x 3 4 x x x = 0 là phương trình của một

125 124 (a) cặp mặt phẳng ảo song song (c) cặp mặt phẳng ảo cắt nhau (b) cặp mặt phẳng thực song song (d) cặp mặt phẳng thực cắt nhau Câu 164. Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt hyperboloid 1 tầng trong không gian affine A 3 (a) x 2 1 x 2 2 x = 0 (b) x x x = 0 (c) x x 2 2 x = 0 (d) x x x = 0 Câu 165. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : 5 x x 1 x x x x x 2 x 3 + x 3 2 = 0 là phương trình của một (a) elipsoid thực (c) hyperloid 1 tầng (b) elipsoid ảo (d) hyperloid 2 tầng Câu 166. Trên mặt phẳng affine A 2 có tổng cộng bao nhiêu loại đường bậc hai không suy biến (a) 9 (b) 3 (c) 2 (d) 4 Câu 167. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : x x 1 x 2 4 x 1 x 3 6 x x x 2 x 3 12 x x x = 0 là phương trình của một (a) cặp mặt phẳng ảo cắt nhau (c) cặp mặt phẳng trùng nhau (b) cặp mặt phẳng thực song song (d) cặp mặt phẳng thực cắt nhau Câu 168. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : x x 1 x 2 4 x 1 x x 1 + x x 2 x x x x = 0 là phương trình của một (a) cặp mặt phẳng ảo song song (c) cặp mặt phẳng thực cắt nhau (b) cặp mặt phẳng ảo cắt nhau (d) cặp mặt phẳng thực song song Câu 169. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : x x 1 x 2 4 x 1 x x x x x = 0 là phương trình của một

126 125 (a) cặp mặt phẳng thực cắt nhau (c) mặt trụ parabol (b) cặp mặt phẳng ảo cắt nhau (d) mặt trụ hyperbol Câu 170. Trong E 4 điểm A đối xứng với điểm A(1, 2, 3, 4) qua siêu phẳng x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 0 có tọa độ (a) A ( 2, 1, 6, 1) (b) A (0, 1, 4, 3) (c) A ( 1, 0, 5, 2) (d) A (3, 4, 1, 6) Câu 171. Trong không gian Euclide E n, cho đường thẳng (d) qua điểm M và nhận v(v i ) làm vector chỉ phương, (d ) là đường thẳng qua M nhận v (v i) làm vector chỉ phương, θ là góc giữa hai đường thẳng đã cho. Khi đó, ta có (a) cos θ = v. v v v (c) sin θ = v. v v v (b) cos θ = v. v v v (d) sin θ = v. v v v Câu 172. Trong không gian E 4, cho tứ diện ABCD với A(1, 1, 1, 1), B(1, 2, 1, 2), C(4, 2, 4, 1), D(2, 1, 2, 1). Tứ diện ABCD có thể tích bằng: (a) 2 2 (đvtt) (b) 2/2 (đvtt) (c) 2 (đvtt) (d) 2 (đvtt) Câu 173. Chọn phát biểu sai trong các phát biểu. (a) Mỗi m-phẳng trong không gian Euclid E n, (0 m n) có duy nhất một (n m)-phẳng bù trực giao với nó. (b) Tổng số chiều của hai cái phẳng bù trực giao trong không gian Euclid E n bằng n. (c) Tổng số chiều của hai cái phẳng đối trực giao trong không gian Euclid E n bằng n. (d) Cho α là cái phẳng trong không gian Euclid E n. Khi đó: E n = α α. Câu 174. Chọn phát biểu sai trong các phát biểu (a) Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau trong không gian E 3 là đối trực giao với nhau. (b) Hai đường thẳng vuông góc trong không gian E 3 trực giao với nhau. (c) Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau trong không gian E 3 là bù trực giao với nhau. (d) Hai mặt phẳng vuông góc trong không gian E 3 trực giao với nhau.

127 126 Câu 175. Trong không gian Euclid E 4, cho 3 điểm A(1, 2, 3, 4), B(3, 0, 1, 2), C(4, 3, 2, 1). Khi đó, khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng (AB) bằng? (a) 176 (b) 11 (c) (d) 4 Câu 176. Trong E 4 với mục tiêu trực chuẩn đã cho, cho đường thẳng d 1 đi qua hai điểm A(1, 1, 1, 1), B(2, 2, 0, 0) và đường thẳng d 2 đi qua hai điểm D(1, 1, 1, 2) và E(1, 1, 2, 1). Khoảng cách giữa hai đường thẳng d 1 và d 2 bằng (a) 2 (b) 1/2 (c) 1/4 (d) 4 Câu 177. Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau. Trong không gian Euclid E n, cho (α) và (β) là hai cái phẳng. (a) Hai cái phẳng (α) và (β) có thể có vô số đường vuông góc chung. (b) Nếu (α) (β) = thì chúng tồn tại đường vuông góc chung. (c) (α) và (β) tồn tại duy nhất đường vuông góc chung khi và chỉ khi α β = { 0}, (α) (β) =. (d) Nếu α β = { 0} thì (α) và (β) tồn tại đường vuông góc chung. ( 1 3, 2 3, 2 3 Câu 178. Trong không gian vector Euclid E 3, cho hai vector a 1 = ( 2 a2 3, 2 3, 1 ). Khi đó, chúng ta có bổ sung một vector để 3 {O; a 1, a 2, a 3 } là một mục tiêu trực chuẩn trên không gian Euclid E 3. (a) ( 1 a 3 = 3, 2 3, 2 ) (b) ( 2 a 3 = 3 3, 2 3, 1 ) 3 (c) ) a 3 = (d) ) a 3 = ( 1 3, 2 3, 2 3 ( 2 3, 1 3, 2 3 Câu 179. Trong không gian vector Euclid E 3, cho hai vector a 1 = (1, 2, 2) a2 (2, 2, 1). Khi đó, chúng ta có bổ sung một vector để {O; a 1, a 2, a 3 } là một mục tiêu trực trên không gian Euclid E 3. ), (a) a 3 = (2, 1, 2) ; giao (c) a 3 = ( 2, 1, 2) ; giao (b) a 3 = ( 2, 1, 2) ; chuẩn (d) a 3 = (2, 1, 2) ; chuẩn Câu 180. Trong không gian Euclide E n, (α) là siêu phẳng qua M nhận n(n i ) làm pháp vector, (α ) là siêu phẳng qua M nhận n (n i ) làm pháp vector. Gọi θ là góc giữa hai siêu phẳng đã cho. Khi đó, ta có (a) sin θ = n. n n n (c) cos θ = n. n n n (b) sin θ = n. n n n (d) cos θ = n. n n n

128 127 Câu 181. Trong không gian vector Euclid E 4 với cơ sở trực chuẩn, cho các vector a (1, 1, 1, 1), b (1, 2, 3, 4), c (2, 1, 2, 1). Khi đó định thức Gram Gr( a, b, c ) của 3 vector đã cho bằng (a) 30 (b) 10 (c) 20 (d) 40 Câu 182. Trong E 4 điểm A đối xứng với điểm A(1, 2, 3, 4) qua đường thẳng d x 1 = t + 2 x 2 = t 2 có tọa độ (a) A (21/10, 19/10, 6/5, 4/5) x 3 = 2t + 1 x 4 = 2t + 1 (b) A (16/5, 29/5, 3/5, 12/5) (c) A (43/10, 97/10, 12/5, 28/5) (d) A ( 6/5, 49/5, 33/5, 52/5) Câu 183. Trong E 3 cho ba điểm A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) với a, b, c > 0. Khi đó, diện tích của tam giác ABC bằng. (a) ab + ac + bc (b) a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 (c) a 4 + b 4 + c 4 (d) (a b)(a c) + (b c)(b a) + (c a)(c b) Câu 184. Trong không gian Euclide E n, cho đường thẳng (d) qua điểm M và nhận v(v i ) làm vector chỉ phương, (α) là siêu phẳng qua M nhận n(n i ) làm pháp vector. Gọi θ là góc giữa đường thẳng và siêu phẳng đã cho. Khi đó, ta có (a) sin θ = v. n v n (c) cos θ = v. n v n (b) cos θ = v. n v n (d) sin θ = v. n v n Câu 185. Trong E 3 với một mục tiêu trực chuẩn cho trước, cho đường thẳng d và mặt phẳng α có phương trình { x1 1 = 0 d : x = 0 α : x 1 + x 2 = 0. Khoảng cách của d và α bằng

129 128 (a) 2 (b) 1 (c) 0 (d) 2/2 Câu 186. Trên mặt phẳng E 2, cho f là phép đối xứng trượt có biểu thức tọa độ đối với mục tiêu trực chuẩn cho trước là x = 1/2x + 3/2y + 1 y = 3/2x 1/2y Khi đó, trục đối xứng (d) và vector trượt v của f lần lượt có phương trình và tọa độ là (a) (d) : 2 3x 6y 3 = 0, v (1/20, 20). (b) (d) : 2 3x 6y 3 = 0, v (3/4, 3/4). (c) (d) : 2 3x 6y 3 = 0, v (1/20, 20). (d) (d) : 2 3x 6y 3 = 0, v (3/4, 3/4). Câu 187. Cho f là một phép biến đổi đẳng cự trên E 2, sao cho tập hợp các trung điểm của ảnh và tạo ảnh nằm trên một đường thẳng thì f là một phép (a) đối xứng trượt. (c) phản dời hình. (b) đối xứng qua đường thẳng. (d) đối xứng tâm. Câu 188. Trên mặt phẳng Euclid E 2, cho phép biến đổi đẳng cự f có biểu thức tọa độ đối với mục tiêu trực chuẩn dạng x = x cos θ y sin θ + a f :, y = x sin θ + y cos θ + b với θ R, a 2 +b 2 0. Khi đó, f có thể là phép (a) quay hoặc phép đồng nhất (c) quay quanh một điểm (b) tịnh tiến hoặc phép đồng nhất (d) quay hoặc phép tịnh tiến Câu 189. Hợp của các phép đối xứng tâm trên mặt phẳng Euclid E 2 có thể là một phép (a) quay quanh một điểm. (c) đối xứng tâm. (b) tịnh tiến. (d) tịnh tiến hoặc đối xứng tâm. Câu 190. Trong không gian Euclid E 3, có bao nhiêu phép biến đổi đẳng cự biến một hình hộp đứng ABCD.A B C D ( AB < AD < AA ) thành chính nó?

130 129 (a) 8 (b) 16 (c) 1 (d) 48 Câu 191. Chọn cụm từ thích hợp nhất điền vào chổ trống Cho f : E E là một phép biến đổi đẳng cự, (a) nếu f không có phương bất động thì f có duy nhất một điểm bất động. (b) nếu tập các vector bất động của f bằng vector 0 thì f có ít nhất một điểm bất động. (c) nếu f không có phương bất động thì f có ít nhất một điểm bất động. (d) nếu tập các vector bất động của f bằng vector 0 thì f có duy nhất một điểm bất động. Câu 192. Cho f : E E là một phép dời, biểu thức tọa độ của nó đối với một mục tiêu trực chuẩn có dạng [x ] = A[x] + [a] với A là ma trận vuông cấp n thỏa (a) AA t = I n. (b) AA t = I n, A = ±1. (c) AA t = I n, A = 1. (d) AA t = I n, A = 1. Câu 193. Cho f : E E là một phép biến đổi đẳng cự, x E n. Ta gọi x là một vector bất động của f nếu (a) x 0, f ( x ) = x (b) f ( x ) x (c) f ( x ) = x (d) x 0, f ( x ) x Câu 194. Trong E 2 có bao nhiêu phép quay biến hình đa giác đều n cạnh thành chính nó? (a) n (b) vô số (c) n! (d) 1 Câu 195. Cho ánh xạ f : E 3 E 3 có biểu thức tọa độ trực chuẩn là x = y 1/3 f : y = z 2/3 z = x 1/3 Khi đó, f là phép (a) đối xứng quay (c) đối xứng qua mặt phẳng (b) xoắn ốc (d) quay quanh đường thẳng

131 130 Câu 196. Cho ánh xạ f : E 3 E 3 có biểu thức tọa độ trực chuẩn là x = x 1/3 f : y = y 2/3 z = z + 1/3 Khi đó, f là phép (a) quay quanh đường thẳng (c) tịnh tiến (b) xoắn ốc (d) đối xứng qua mặt phẳng Câu 197. Trên mặt phẳng Euclid E 2, cho hình chữ nhật ABCD có AB < BC. Khi đó, có bao nhiêu phép biến đổi đẳng cự biến hình chữ nhật ABCD thành chính nó? (a) 4! (b) 4 (c) 1 (d) 6 Câu 198. Cho ánh xạ f : E 3 E 3 có biểu thức tọa độ trực chuẩn là x = y 1/3 f : y = z 2/3 z = x + 1/3 Khi đó, f là phép (a) đối xứng qua mặt phẳng (c) xoắn ốc (b) quay quanh đường thẳng (d) đối xứng quay Câu 199. Trên mặt phẳng Euclid E 2, có bao nhiêu phép biến đổi đẳng cự biến một hình vuông thành chính nó? (a) 8 (b) 4 (c) 24 (d) 16 Câu 200. Trên mặt phẳng Euclid E 2, cho phép biến đổi đẳng cự f có biểu thức tọa độ đối với mục tiêu trực chuẩn dạng x = x cos θ + y sin θ + a f :, y = x sin θ + y cos θ + b với θ, a, b R. Khi đó, f có thể là phép (a) đối xứng qua đường thẳng. (c) quay quanh một điểm. (b) đối xứng trượt. (d) đối xứng trục hoặc đối xứng trượt.

132 131 Câu 201. Chọn phát phát biểu sai trong các phát biểu sau. (a) Tích của 1 phép tịnh tiến và 1 phép vị tự trong E n là một phép tịnh tiến hoặc một phép vị tự. (b) Phép đối xứng qua 1 điểm trong E 2n+1, n 1, là phép dời hình. (c) Tích của hai phép tịnh tiến trong E n là một phép tịnh tiến. (d) Tích của hai phép vị tự trong E n là một phép vị tự. Câu 202. Chọn phát phát biểu sai trong các phát biểu sau. (a) Phép vị tự tâm I tỉ số k trong không gian E n là một phép đồng dạng tỉ số k. (b) Phép tịnh tiến trong E n là phép dời hình. (c) Tập hợp các phép tịnh tiến và phép đồng nhất trong E n lập thành một nhóm đối với phép hợp ánh xạ. (d) Phép đối xứng qua 1 điểm trong E n là phép phản dời hình. Câu 203. Trong không gian Euclid E 3, có bao nhiêu phép biến đổi đẳng cự biến một hình lập phương thành chính nó? (a) 48 (b) 24 (c) 12 (d) 6 Câu 204. Trên mặt phẳng Euclid E 2 hợp của phép quay quanh điểm O theo góc ϕ với phép tịnh tiến theo vector v là (a) phép tịnh tiến. (c) phép quay quanh một điểm. (b) phép đối xứng trượt. (d) phép đối xứng trục. Câu 205. Cho hai không gian Euclid E và E. Ánh xạ affine f : E E gọi là ánh xạ đồng dạng tỉ số k nếu (a) f ( u ). v = k u. v, u, v E. (b) d ( f(o), f(m) ) = kd(o, M), M E. (c) f ( u ) = k u, u E. (d) d ( f(m), f(n) ) = kd(m, N), M, N E. Câu 206. Trong không gian E 4, cho (S) là siêu cầu có phương trình (S) : (x 1 1) 2 + (x 2 + 1) 2 + (x 3 1) 2 + (x 4 + 1) 2 = 25 và mặt phẳng (P ) : x 1 + x 2 + 2x 3 2x = 0. Khi đó, mặt phẳng (P ) cắt siêu cầu (S) theo giao là mặt cầu (S ) có bán kính bằng

133 132 (a) 45/2 (b) 5 10/2 (c) 3 10/2 (d) 2 5 Câu 207. Trên mặt phẳng Euclid E 2 đối với cơ sở trực chuẩn, cho đường bậc hai (C) có phương trình 5 x x 1 x x x 1 2 x 2 = 0 Khi đó, bán bất biến K 3 và bất biến J 2 của nó bằng. (a) K 3 = 16, J 2 = 16 (c) K 3 = 16, J 2 = 16 (b) K 3 = 16, J 2 = 16 (d) K 3 = 16, J 2 = 16 Câu 208. Trong mặt phẳng E 2 cho đường bậc hai (C) : 3x 2 + 4xy 10x 2y + 3 = 0. Bán bất biến K 3 của (C) có giá trị bằng (a) 7 (b) 0 (c) 11 (d) 5 Câu 209. Trong E 3 với mục tiêu trực chuẩn {O; e 1, e 2, e 3 }, cho mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : x x x x 1 x 2 + 2x 1 x 3 2(3x 1 + 5x 2 + x 3 ) 7 = 0. Khi đó, (S) có một phương chính là (a) (2, 1, 1) (b) ( 1, 1, 1) (c) (0, 1, 1) (d) (1, 2, 2) Câu 210. Trong không gian E 4, cho (S) là siêu cầu tâm I(1, 2, 1, 2) bán kính R = 4 và đường thẳng (d) có phương trình x 1 = 1 + 2t x 2 = 1 + t (d) : x 3 = 2 2t x 4 = 1 3t Khi đó, đường thẳng (d) siêu cầu (S). (a) đi qua tâm (b) tiếp xúc với (c) không cắt (d) cắt Câu 211. Trong E n với mục tiêu trực chuẩn {O; e 1, e 2,..., e n }, cho hai siêu cầu (C 1 ) : x x x 2 n 2a 1 x 1 2a 2 x 2 2a n x n + d 1 = 0, (C 2 ) : x x x 2 n 2b 1 x 1 2b 2 x 2 2b n x n + d 2 = 0. Ta nói (C 1 ) và (C 2 ) trực giao nhau nếu

134 133 (a) a 1 b 1 + a 2 b a n b n = 1/2(d 1 d 2 ). (b) a 1 b 1 + a 2 b a n b n = 1/2(d 1 + d 2 ). (c) a 1 b 1 + a 2 b a n b n = d 1 d 2. (d) a 1 b 1 + a 2 b a n b n = d 1 + d 2. Câu 212. Trong không gian E 4, cho (S) là siêu cầu tâm I(1, 1, 1, 1) bán kính bằng 5 và siêu phẳng (P ) có phương trình x 1 + x 2 + x 3 x = 0. Khi đó, (P ) siêu cầu (S). (a) không cắt (c) tiếp xúc với (b) cắt (d) là siêu phẳng kính chính của Câu 213. Phương trình nào là phương trình của một siêu cầu trên không gian Euclid E 4 trong các phương trình sau. (a) x x x x x 1 4 x 2 6 x 3 8 x = 0 (b) x x x x x 1 4 x 2 6 x 3 8 x = 0 (c) x x x x x 1 4 x 2 6 x 3 8 x = 0 (d) x x x x x 1 8 x 2 6 x 3 4 x = 0 Câu 214. Chọn phát biểu sai. (a) Nếu v là một phương chính của siêu mặt bậc hai (S) thì v không phải là vector chỉ phương tiệm cận của (S). (b) Nếu (α) là một siêu phẳng kính chính của (S) liên hợp với v thì vector v là một pháp vector của (α). (c) Cho (S) là một siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid E n, nếu (α) là một siêu phẳng kính chính của (S) thì (S) đối xứng qua (α). (d) Nếu phương trình của siêu mặt bậc hai (S) đối với mục tiêu trực chuẩn {O; e i } có dạng n b i x 2 i + 2 i=1 n a i x i + a = 0 thì e i, i = 1, 2,..., n là các vector chỉ phương chính của (S). Câu 215. Trong không gian Euclid E n, cho siêu cầu (S) tâm A bán kính R, có phương trình ([x] [a]) t.([x] [a]) = R 2 và điểm M([x 0 ]). Một đường thẳng (d) qua điểm M cắt (S) tại hai điểm I, J. Khi đó, chúng ta có: (a) MI. MJ = ([x 0 ] [a]) t.([x 0 ] [a]) i=1

135 134 (b) MI. MJ = ([x 0 ] [a]) t.([x 0 ] [a]) R 2 (c) MI. MJ = ( d(a, R) R ) 2 (d) MI. MJ = d(a, R).R Câu 216. Trong không gian E 4, cho (S) là siêu cầu tâm I(2, 1, 6, 1) bán kính R = 4 và siêu phẳng (P ) có phương trình x 1 + x 2 + x 3 x = 0. Khi đó, (P ) siêu cầu (S). (a) là siêu phẳng kính chính của (c) tiếp xúc với (b) cắt (d) không cắt Câu 217. Trong không gian affine A n, cho hai cái phẳng α và β có phương lần lượt là α và β. Điều kiện cần và đủ để α song song với β là (a) dim(α + β) = dim α + dim β dim( α β ) + 1 và α β. (b) dim(α + β) = dim α + dim β dim(α β) và α β. (c) dim(α + β) = dim α + dim β dim(α β) và α β =. (d) dim(α + β) = dim α + dim β dim( α β ) + 1 và α β =. Câu 218. Trong không gian affine A 3, cho các điểm A(1, 2, 3), B(2, 1, 1), C(1, 2, 2), D( 1, 2, 1). Khi đó, công thức đổi mục tiêu từ {A; B, C, D} sang mục tiêu {B; A, D, C} có dạng. x = x y z + 2 x = x y z + 1 (a) y = z + 1 (b) y = z 2 z = y + 1 z = y 1/2 x = x y z + 1 x = x y z + 2 (c) y = y 2 (d) y = y + 1 z = z 1/2 z = z + 1 Câu 219. Cho (α) và (β) là hai cái phẳng trong không gian affine A n, P là một điểm trong (α) và Q là một điểm trong (β). Phát biểu nào sau đây là đúng. (a) α β = khi và chỉ khi α + β = α + β + P Q (b) α β = khi và chỉ khi α + β = α + β (c) α β khi và chỉ khi α + β = α + β + P Q (d) α β khi và chỉ khi P Q = α + β Câu 220. Trên mặt phẳng affine A 2 cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng và 3 điểm P, Q, R theo theo thứ tự thuộc các đường thẳng BC, CA, AB không trùng với các điểm A, B, C điều kiện cần và đủ để 3 điểm P, Q, R thẳng hàng là:

136 135 (a) (BCP ).(CAQ).(ABR) = 1. (b) (BCP ).(CAQ).(ABR) = 1. (c) (BP C).(CQA).(ARB) = 1. (d) (BP C).(CQA).(ARB) = 1. Câu 221. Trong không gian affine A n, cho một siêu phẳng (α) và một m-phẳng (β) với 1 m n 1, khi đó, (a) nếu α β = thì (α), (β) song song nhau và dim( β α) = m 1. (b) nếu α β = thì (α), (β) song song nhau và β α. (c) nếu α β thì (α) cắt (β) và dim( β α) = m 1. (d) nếu α β thì (α) cắt (β) và dim( β α) = m 2. Câu hộp trong không gian affine A 3 chính là (a) một hình hộp xiên. (c) một hình lập phương. (b) một hình hộp chữ nhật. (d) một tứ diện. Câu 223. Trong không gian affine A 4, cái phẳng (α) chứa điểm M( 1, 0, 2, 2) và nhận a (2, 1, 4, 4), b (0, 0, 7, 7) làm phương có phương trình tổng quát dạng: x 1 2x = 0 x 1 + 2x 2 1 = 0 (a) (b) x 2 x 4 = 0 2x 1 + x 3 x 4 = 0 x 1 2x = 0 x 1 + 2x 2 1 = 0 (c) (d) x 3 x 4 = 0 x 3 x 4 = 0 Câu 224. Trong không gian affine A 3, cho công thức đổi mục tiêu từ {O; e i } sang mục tiêu {O ; e i} có dạng x = x + y + z + 1 y = 2y + z z = 3z + 2 Khi đó, công thức đổi mục tiêu từ {O ; e i} sang mục tiêu {O; e i } có dạng x = x 1/2y 1/6z 2/3 x = x 1/2y 1/6z 2/3 (a) y = 1/2y 1/6z + 1/3 (b) y = y 1/6z + 1/3 z = 1/3z 2/3 z = 1/3z 2/3 x = x 1/2y 1/6z 2/3 x = x 1/2y 1/6z 2/3 (c) y = 1/2y z + 1/3 (d) y = 1/2y 1/6z + 3 z = 1/3z 2/3 z = 1/3z 2/3

137 136 Câu 225. Trên mặt phẳng affine A 2 cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng và 3 điểm P, Q, R theo theo thứ tự thuộc các đường thẳng BC, CA, AB không trùng với các điểm A, B, C điều kiện cần và đủ để 3 đường thẳng AP, BQ, CR đồng qui là: (a) (BP C).(CQA).(ARB) = 1. (b) (BCP ).(CAQ).(ABR) = 1. (c) (BP C).(CQA).(ARB) = 1. (d) (BCP ).(CAQ).(ABR) = 1. Câu 226. Trong không gian affine A 4, cho hai đường thẳng d 1 qua A(1, 0, 2, 1) có phương a (1, 2, 1, 3), và đường thẳng d 2 qua B(0, 1, 1, 1) có phương b (2, 3, 2, 4). Phương trình cái phẳng có số chiều bé nhất chứa hai đường thẳng đã cho có dạng: (a) 3x 1 4x 2 x 3 + 2x = 0 (b) 3x 1 4x 2 + x 3 2x = 0 (c) 3x 1 + 4x 2 + x 3 2x 4 1 = 0 (d) 3x 1 + 4x 2 x 3 2x 4 1 = 0 Câu 227. Trong không gian affine A 3, cho công thức đổi mục tiêu từ {O; e i } sang mục tiêu {O ; e i} và {O ; e i } lần lượt có dạng x = x + y x = x y = y + z, y = y z. z = x + z z = y + z Khi đó, công thức đổi mục tiêu từ {O ; e i} sang mục tiêu {O ; e i } có dạng x = 1/2x + z x = 1/2x + z (a) y = x 2z (b) y = 1/2x z z = 1/2x + y z = 1/2x + y x = 1/2x z x = x + 2z (c) y = 1/2x z (d) y = 1/2x z z = 1/2x + y z = 1/2x + y Câu 228. Trong không gian affine A 4, cho (α) là 2-phẳng có phương trình tham số dạng x 1 = tv 1 + lw 1 x 2 = tv 2 + lw 2, t, l R. x 3 = tv 3 + lw 3 x 4 = tv 4 + lw 4 Khi đó, phương trình tổng quát của nó có dạng

138 137 x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 + x 4 v 4 = c 1 a 1 x 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 = c 1 (a) (b) x 1 w 1 + x 2 w 2 + x 3 w 3 + x 4 w 4 = c 2 x 1 b 1 + x 2 b 2 + x 3 b 3 + x 4 b 4 = c 2 x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 + x 4 v 4 = 0 (c) x 1 w 1 + x 2 w 2 + x 3 w 3 + x 4 w 4 = 0 (d) a 1 x 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 = 0 x 1 b 1 + x 2 b 2 + x 3 b 3 + x 4 b 4 = 0 Câu 229. Trong không gian affine A 4, phương trình của cái phẳng có số chiều bé nhất chứa M 1 (1, 1, 3, 2), M 2 (1, 2, 0, 1), M 3 ( 2, 0, 0, 0), và có phương chứa a (3, 3, 1, 0), b (1, 1, 1, 0) có dạng: (a) x 1 + x 2 x = 0 (b) x 1 x 2 x = 0 (c) x 1 x 2 + x 4 2 = 0 (d) x 1 x 2 + x = 0 Câu 230. Trong không gian affine A 4, cho 2-phẳng (α) có phương trình x 1 + x 2 x 3 + 2x = 0 2x 1 x 2 + x 3 + x 4 1 = 0 và điểm M(1, 2, 3, 1). Khi đó, phương trình siêu phẳng đi điểm M và chứa (α) có phương trình dạng. (a) x 1 + x 2 x 3 + x = 0 (b) 9x 1 + 6x 2 6x x = 0 (c) 9x 1 + 3x 2 6x x = 0 (d) 9x 1 + 3x 2 + 6x x = 0 Câu 231. Trong không gian affine A 3, cho hai mục tiêu {O; e 1, e 2, e 3 }(1) và {O; e 1 + e 2, e e 3, e 3 }(2). Công thức đổi mục tiêu từ (2) sang (1) có dạng: x 1 = x 1 x 1 = x 1 x 2 + 2x 3 (a) x 2 = x 1 + x 2 (b) x 2 = x 2 2x 3 x 3 = 2x 1 2x 2 + x 3 x 3 = x 3 x 1 = x 1 x 1 = x 1 + x 2 + 2x 3 (c) x 2 = x 1 + x 2 (d) x 2 = x 2 + 2x 3 x 3 = 2x 2 + x 3 x 3 = x 3 Câu 232. Trong không gian affine A 4 với mục tiêu cho trước, cho M( 2, 2, 2, 2), N(7, 1, 7, 1), I( 1, 2, 3, 4), K(5, 1, 3, 11). Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (MN) và (IK) là (a) cắt nhau tại 1 điểm. (c) song song với nhau. (b) trùng nhau. (d) chéo nhau. Câu 233. Cho {A 0, A 1,..., A m } là một hệ điểm trong không gian affine A n, khẳng định nào sau đây là đúng

139 138 (a) Nếu hệ điểm đã cho độc lập affine thì với mọi điểm O A n hệ vector { OA 0, OA 1,..., OA m } độc lập tuyến tính. (b) Nếu m < n thì hệ đã cho độc lập. (c) Nếu với mọi điểm O A n, đẳng thức m i=0 khi λ i = 0, i = 0, 1,..., m thì điểm đã cho độc lập. (d) Nếu hệ trên độc lập thì giá trị lớn nhất của m là n. λ i OAi = 0 xảy ra khi và chỉ Câu 234. Trong không gian affine A n, cho hai cái phẳng α và β có phương lần lượt là α và β. Điều kiện cần và đủ để α β là (a) dim(α + β) = dim α + dim β dim(α β) và α β. (b) dim(α + β) = dim α + dim β dim(α β) và α β. (c) dim(α + β) = dim α + dim β dim( α β ) + 1 và α β. (d) dim(α + β) = dim α + dim β dim( α β ) + 1 và α β. Câu 235. Một phép biến đổi affine của A n có một phương 1-chiều mà mọi đường thẳng có phương đó đều bất động thì f là một trong các phép sau đây: (a) phép tịnh tiến, phép vị tự, phép thấu xạ trượt (b) phép tịnh tiến, phép thấu xạ qua siêu phẳng, phép vị tự (c) phép tịnh tiến, phép thấu xạ qua siêu phẳng, phép thấu xạ trượt (d) phép tịnh tiến, phép đối xứng xiên, phép thấu xạ trượt Câu 236. Trong A 3 cho tứ diện ABCD. Biểu thức tọa độ của phép biến đổi affine f đối với mục tiêu {A; B, C, D} thỏa điều kiện f(a) = B, f(b) = C, f(c) = D, f(d) = A là x = x y z + 1 x = x y z + 1 (a) y = x (b) y = x + y z = y z = y x = x y z + 1 x = x y + 1 (c) y = x + y (d) y = x + y z = y + z z = z Câu 237. Mỗi biến đổi affine của A n có biểu thức tọa độ [x ] = C[x] + [a] với det(c I n ) 0 đều có (a) ít nhất một điểm bất động và một phương bất động 1-chiều

140 139 (b) ít nhất phương bất động 1-chiều (c) một phương bất động 1-chiều (d) ít nhất một điểm bất động Câu 238. Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau. Cho f : A n A m là một ánh xạ affine, α là cái phẳng trong A n và β là cái phẳng trong A m. Khi đó: (a) nếu f 1 (β) thì f 1 (β) là một cái phẳng và dimf 1 (β) dimβ (b) f(α) là một cái phẳng trong A m và dimα dimf(α) (c) nếu f là một đơn ánh thì dimα = dimf(α) (d) nếu f 1 (β) thì f 1 (β) là một cái phẳng có phương là f 1 ( β ) Câu 239. Trong không gian affine A 3 với mục tiêu {O; e i }, cho các điểm A 0 (1, 1, 1), A 1 (2, 0, 0), A 2 (1, 0, 0), A 3 (1, 1, 0) A 0(1, 2, 3), A 1(2, 3, 1), A 2(2, 1, 3), A 3(3, 1, 4) Biểu thức tọa độ của ánh xạ affine f : A 3 A 3 thỏa điều kiện f(a i ) = A i với mọi i = 0, 1, 2, 3 đối với mục tiêu đã cho có dạng x = y z + 2 x = y 2z + 2 (a) y = 2x + 2z 2 (b) y = 2x + z 2 z = 2x + y z + 3 z = 2x + y z + 3 x = y z + 2 x = y 2z + 2 (c) y = 2x + 2z 1 (d) y = 2x + z 1 z = 2x + y z + 5 z = 2x + y z + 5 Câu 240. Trong A n cho mục tiêu {O; e i }, xét ánh xạ f biến điểm M(x 1, x 2,..., x n ) thành điểm M (0, 0,..., 0, x k,..., x n ), k 2. Khi đó, f là một phép chiếu song song với cơ sở là cái phẳng có phương trình và phương chiếu là (a) x 1 = x 2 = = x k 1 = 0 e k, e k+1,..., e n (b) x 1 = x 2 = = x k 1 = 0 e 1, e 2,..., e k 1 (c) x k = x k+1 = = x n = 0 e k, e k+1,..., e n (d) x k = x k+1 = = x n = 0 e 1, e 2,..., e k 1 Câu 241. Cho f là một song ánh từ K-không gian affine A lên K-không gian affine A. Nếu f bảo tồn và bảo toàn thì f là một đẳng cấu affine.

141 140 (a) tính thẳng hàng - tâm tỉ cự của hệ hữu hạn điểm (b) tính thẳng hàng - tỉ số đơn của 3 điểm (c) tính song song - tâm tỉ cự của hệ hữu hạn điểm (d) tính song song - tỉ số đơn của 3 điểm Câu 242. Cho f : A A là một phép biến đổi affine có tính chất đối hợp (f 2 = id), khác phép đồng nhất. Ánh xạ f là phép biến đổi nào trong các phép sau: (a) phép đối xứng qua m-phẳng (c) phép đối xứng qua siêu phẳng (b) phép đối xứng tâm (d) phép đối xứng xiên Câu 243. Cho f : A 3 A 3 là một ánh xạ affine có biểu thức tọa độ dạng x = 3x + y + 2z y = 4x y + z + 1 z = 10x + y + 5z Hãy chọn mệnh đề đúng nhất trong các mệnh đề sau: (a) f là một đẳng cấu affine (c) f là một toàn cấu affine (b) f là một đơn cấu affine (d) f chỉ là một ánh xạ affine Câu 244. Cho f : A n A m là một ánh xạ affine, có biểu thức tọa độ đối với cặp mục tiêu {O; e 1, e 2,..., e n } và {O ; e 1, e 2,..., e m} là Khẳng định nào sau đây là sai [x ] = A[x] + [b] (a) Nếu dim A = m thì f là một toàn cấu affine (b) Nếu dim A = n thì f là một đơn cấu affine (c) Nếu det A 0 thì f là đẳng cấu affine (d) Ma trận A là ma trận của f đối với cặp cơ sở { e 1, e 2,..., e n }, { e 1, e 2,..., e m} và [b] là ma trận tọa độ của f(o) đối với mục tiêu {O ; e 1, e 2,..., e m} Câu 245. Mỗi phép biến đổi affine của A 2n+1 đều có (a) ít nhất một điểm bất động và một phương bất động 1-chiều (b) ít nhất một điểm bất động

142 141 (c) một phương bất động 1-chiều (d) ít nhất một phương bất động 1-chiều Câu 246. Chọn cụm từ đúng nhất điền vào chổ trống Cho {A 0, A 1,..., A n }, {A 0, A 1,..., A n} là hai hệ điểm độc lập trong không gian affine A n, khi đó tồn tại duy nhất một f : A A biến A i thành A i, i = 0, 1,..., n. (a) toàn cấu affine (c) đơn cấu affine (b) ánh xạ affine (d) đẳng cấu affine Câu 247. Cho V n là một K-không gian vector, với cấu trúc affine chính tắc, x 0 là một vector trong V n. Xét các ánh xạ sau: Khẳng định nào sau đây là đúng f 1 : V n V n, x 2 x f 2 : V n V n, x x 0 f 3 : V n V n, x 1/2 x + x 0 (a) f 2 là ánh xạ affine, f 1, f 3 không là ánh xạ affine (b) f 1, f 2 là các ánh xạ affine, f 3 không là ánh xạ affine (c) f 1 là ánh xạ affine, f 2, f 3 không là ánh xạ affine (d) f 1, f 2, f 3 là các ánh xạ affine Câu 248. Phép biến đổi affine trên A n bảo toàn và (a) phương của cái phẳng * tỉ số đơn của 3 điểm (b) tính thẳng hàng * tỉ số đơn của 3 điểm (c) cái phẳng * phương của nó (d) phương của cái phẳng * tỉ số của tâm tỉ cự Câu 249. Mỗi phép biến đổi affine của A n đều có: (a) Ít nhất một điểm bất động (b) Ít nhất một điểm bất động hoặc một phương bất động 1-chiều (c) Ít nhất một phương bất động 1-chiều (d) Ít nhất một điểm bất động và một phương bất động 1-chiều Câu 250. Có bao nhiêu phép biến đổi affine trên A 2 biến tam giác ABC thành chính nó

143 142 (a) 6 (b) 3 (c) 1 (d) 9 Câu 251. Trong A 3 phép biến đổi nào sau đây là phép chiếu song x = x 2y + 4z 6 x = x 2y + 4z + 6 (a) y = x + 2z 3 (b) y = x + 2z 3 z = x y + 3z 3 z = x y + 3z 3 x = x 2y + 4z 6 x = x + 2y + 4z 6 (c) y = x + 2z + 3 (d) y = x + 2z 3 z = x y + 3z 3 z = x + y + 3z 3 Câu 252. Cho {A 0, A 1,..., A n } là một hệ và {A 0, A 1,..., A n} là hệ trong không gian affine A n, khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ affine f : A A biến A i thành A i, i = 0, 1,..., n. (a) điểm điểm độc lập (c) điểm độc lập điểm độc lập (b) điểm điểm (d) điểm độc lập điểm Câu 253. Trong không gian affine A 3 có bao nhiêu loại mặt bậc hai thực, không suy biến (a) 4 (b) 3 (c) 5 (d) 6 Câu 254. Trong không gian affine A 3, cho mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : x x 1 x x 1 x x x 2 x 3 + x = 0 và điểm M(1, 2, 3) (S). Khi đó, phương trình mặt phẳng tiếp xúc của (S) tại điểm M có dạng (a) x x 2 + x 3 = 0 (b) x x 2 + x 3 = 0 (c) x x 2 + x 3 = 0 (d) x x 2 + x 3 = 0 Câu 255. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) : 3 x x 1 x x x 1 x 3 x = 0 có phương trình chính tắc dạng (a) X X X 2 3 = 0 (b) X X 2 2 X 2 3 = 1 (c) X X 2 2 X 2 3 = 0 (d) X 2 1 X 2 2 X 2 3 = 1

144 143 Câu 256. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) : x x 1 x x 1 x x x 2 x 3 + x = 0 có phương trình chính tắc dạng (a) X X 2 2 = 0 (b) X 2 1 X 2 2 = 0 (c) X 2 1 = 1 (d) X 2 1 = 1 Câu 257. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau (a) Tiếp tuyến tại một điểm của siêu mặt bậc hai không suy biến là duy nhất. (b) Nếu siêu mặt bậc hai S có điểm kỳ dị thì S là một siêu mặt bậc hai suy biến. (c) Nếu S là một siêu mặt bậc hai suy biến thì S có điểm kỳ dị. (d) Một điểm trên siêu mặt bậc hai có thể làm tiếp điểm cho nhiều tiếp tuyến. Câu 258. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai có phương trình chính tắc dạng (S) : 5 x x 1 x x x 1 x 3 + x 3 2 = 0 (a) X X X 2 3 = 0 (b) X X 2 2 X 2 3 = 1 (c) X 2 1 X 2 2 X 2 3 = 1 (d) X X 2 2 X 2 3 = 0 Câu 259. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) : 3 x x 1 x x x 1 x 3 x 3 2 = 0 có phương trình chính tắc dạng (a) X X 2 2 = 0 (b) X 2 1 X 2 2 = 0 (c) X 2 1 = 1 (d) X 2 1 = 1 Câu 260. Trong không gian affine A 3, mặt bậc hai (S) : 5 x x 1 x x x 1 x 3 + x = 0 có phương trình chính tắc dạng (a) X X X 2 3 = 0 (b) X X 2 2 X 2 3 = 0 (c) X 2 1 X 2 2 X 2 3 = 1 (d) X X 2 2 X 2 3 = 1 Câu 261. Chọn phát biểu sai.

145 144 (a) Hai vector c và d được gọi là liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai (S) có phương trình [x] t A[x] + 2[a] t [x] + a 0 = 0 nếu ma trận tọa độ của chúng thỏa mãn [c] t A[d] = 0. (b) Cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình dạng [x] t A[x]+2[a] t [x]+a 0 = 0 đối với mục tiêu {O; e i }. Vector c 0 được gọi là vector chỉ phương tiệm cận của (S) nếu ma trận tọa độ [c] của nó thỏa mãn [c] t A[c] = 0. (c) Nếu vector c là phương đặc biệt thì nó không phải là vector chỉ phương tiệm cận. (d) Phép biến đổi affine trên không gian A n biến một phương tiệm cận của một siêu mặt bậc hai (S) thành một phương tiệm cận của siêu mặt bậc hai f(s). Câu 262. Cho (S) là một siêu mặt bậc hai trong không gian affine A n, nếu (S) không suy biến thì (a) nó không có tâm (c) nó có nhiều nhất một tâm (b) nó luôn có đúng một tâm (d) nó có vô số tâm Câu 263. Một siêu mặt bậc hai được gọi là suy biến nếu là một ma trận suy biến. Siêu nón bậc hai là một siêu mặt bậc hai suy biến và Siêu trụ bậc hai là một siêu mặt bậc hai suy biến và (a) ma trận bé -*- hạng của ma trận bé nhỏ hơn hạng của ma trận lớn -*- hạng của ma trận lớn bằng hạng của ma trận bé (b) ma trận lớn -*- hạng của ma trận bé nhỏ hơn hạng của ma trận lớn -*- hạng của ma trận lớn bằng hạng của ma trận bé (c) ma trận bé -*- hạng của ma trận lớn bằng hạng của ma trận bé -*- hạng của ma trận bé nhỏ hơn hạng của ma trận lớn (d) ma trận lớn -*- hạng của ma trận lớn bằng hạng của ma trận bé -*- hạng của ma trận bé nhỏ hơn hạng của ma trận lớn Câu 264. Trong không gian Euclid E n, cho (α) và (β) là hai cái phẳng có duy nhất đường vuông góc chung. Khi đó, tổng số chiều của hai cái đó lớn nhất bằng. (a) n 1 (b) n (c) n 2 (d) n + 1 Câu 265. Trong E 4 với mục tiêu trực chuẩn cho trước, cho đường thẳng d 1 đi qua hai điểm A(1, 1, 1, 1), B(2, 2, 0, 0) và đường thẳng d 2 đi qua hai điểm D(1, 1, 1, 2) và E(1, 1, 2, 1). Phương trình đường vuông góc chung của d 1 và d 2 là

146 x 1 = 1/4 + t x 2 = 1/4 + t (a) x 3 = 1/4 + t x 4 = 1/4 + t x 1 = 1/4 + t x 2 = 1/4 + t (c) x 3 = 1/4 t x 4 = 1/4 t 145 (b) (d) x 1 = 1/4 + t x 2 = 1/4 + t x 3 = 1/4 + t x 4 = 1/4 + t x 1 = 1/4 t x 2 = 1/4 t x 3 = 1/4 + t x 4 = 1/4 + t Câu 266. Cho α và β là hai cái phẳng trong không gian Euclid, α và β có duy nhất đường vuông góc chung khi và chỉ khi (a) α β { 0 }, α β (b) α β = { 0 }, α β (c) α β { 0 }, α β = (d) α β = { 0 }, α β = Câu 267. Cho α, β và γ là các cái phẳng trong không gian Euclide E n, M, N và P là các điểm lần lượt nằm trên α, β và γ. Trong các bất đẳng thức 1. d(α, β) d(m, N) 2. d(α, β) d(m, N) 3. d(m, N) + d(n, P ) d(m, P ) 4. d(m, N) + d(n, P ) d(m, P ) 5. d(α, γ) + d(γ, β) d(α, γ) 6. d(α, γ) + d(γ, β) d(α, γ) có các bất đẳng thức sai là (a) 2., 4., 5., 6. (b) 1., 3., 5. (c) 2., 4., 5. (d) 2., 4., 6. Câu 268. Trên mặt phẳng Euclid E 2, có bao nhiêu phép biến đổi đẳng cự biến một elip x2 a + y2 2 b = 1, với a < b, thành chính nó? 2 (a) 5 (b) 3 (c) 4 (d) 6 Câu 269. Phép đối xứng qua mặt phẳng (α) : a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 0 = 0, với 3 a 2 i = 1, trong không gian Euclid E 3 đối với mục tiêu trực chuẩn có dạng. i=1

147 146 (a) (b) (c) (d) x = (1 2a 2 1)x 2a 1 a 2 y 2a 1 a 3 z 2a 1 a 0 y = 2a 1 a 2 x + (1 2a 2 2)y 2a 2 a 3 z 2a 2 a 0 z = 2a 1 a 3 x 2a 2 a 3 y + (1 2a 2 3)z 2a 3 a 0 x = (1 2a 2 1)x 2a 1 a 2 y 2a 1 a 3 z + 2a 1 a 0 y = 2a 1 a 2 x + (1 2a 2 2)y 2a 2 a 3 z + 2a 2 a 0 z = 2a 1 a 3 x 2a 2 a 3 y + (1 2a 2 3)z + 2a 3 a 0 x = (1 + 2a 2 1)x 2a 1 a 2 y 2a 1 a 3 z 2a 1 a 0 y = 2a 1 a 2 x + (1 + 2a 2 2)y 2a 2 a 3 z 2a 2 a 0 z = 2a 1 a 3 x 2a 2 a 3 y + (1 + 2a 2 3)z 2a 3 a 0 x = (1 + 2a 2 1)x 2a 1 a 2 y 2a 1 a 3 z + 2a 1 a 0 y = 2a 1 a 2 x + (1 + 2a 2 2)y 2a 2 a 3 z + 2a 2 a 0 z = 2a 1 a 3 x 2a 2 a 3 y + (1 + 2a 2 3)z + 2a 3 a 0 Câu 270. Cho ánh xạ f : E 3 E 3 có biểu thức tọa độ trực chuẩn là x = 1/3x + 2/3y + 2/3z 4/3 f : y = 2/3x + 1/3y 2/3z + 4/3 y = 2/3x 2/3y + 1/3z + 4/3 Khi đó, f là phép (a) đối xứng trượt (c) đối xứng qua mặt phẳng (b) đối xứng quay (d) quay quanh đường thẳng Câu 271. Trong các phép biến đổi đẳng cự chính tắc trên E 3 các phép biến đổi có điểm bất động là (a) phép quay quanh 1 đường thẳng, đối xứng qua mặt phẳng, đối xứng quay. (b) phép quay quanh 1 điểm, quay quanh 1 đường thẳng, đối xứng qua mặt phẳng. (c) phép quay quanh 1 điểm, quay quanh 1 đường thẳng, đối xứng qua 1 điểm, đối xứng qua đường thẳng, đối xứng qua mặt phẳng. (d) phép quay quanh 1 đường thẳng, đối xứng qua đường thẳng, đối xứng qua mặt phẳng. Câu 272. Trong không gian Euclid E 3, hợp của hai phép đối xứng qua hai đường thẳng là một phép đối xứng quay.

148 147 (a) vuông góc (b) cắt nhau (c) chéo nhau (d) song song Câu 273. Mỗi phép đẳng cự của E n đều có thể phân tích thành hợp của không quá phép (a) n + 1; đối xứng qua siêu phẳng (c) n + 1; đối xứng trượt (b) n; đối xứng qua siêu phẳng (d) n; đối xứng trượt Câu 274. Phép biến đổi đẳng cự, trong không gian Euclid E n, giữ bất động mọi điểm của một siêu phẳng là hoặc (a) ánh xạ đồng nhất -*- phép đối xứng qua mặt phẳng (b) ánh xạ đồng nhất -*- phép đối xứng quay (c) phép đối xứng qua mặt phẳng -*- phép đối xứng quay (d) phép xứng trượt -*- đối xứng quay Câu 275. Cho f : E E là một ánh xạ. Phát biểu nào sai trong các phát biểu sau: (a) nếu f là một đơn ánh thì f là một phép biến đổi đẳng cự. (b) nếu f là một ánh xạ đẳng cự thì f là một song ánh. (c) nếu f là phép biến đổi đẳng cự thì f bảo toàn khoảng cách của 2 điểm bất kì. (d) nếu f bảo toàn khoảng cách của 2 điểm bất kì thì f là một ánh xạ đẳng cự. Câu 276. Cho f là phép quay quanh (n 2)-phẳng trong không gian E n. Phát biểu nào là sai trong các phát biểu sau: (a) f phép dời hình (phép dời loại 1). (b) f tập hợp các điểm bất động của f là một (n 2)-phẳng. (c) f được phân tích duy nhất thành tích của hai phép đối xứng qua siêu phẳng. (d) f bảo toàn góc của hai đường thẳng bất kì. Câu 277. Trong không gian Euclid E 3 đối với mục tiêu trực chuẩn, cho mặt bậc hai (S) có phương trình 5 x x x x 1 x x 2 x 3 2 x 1 2 x = 0. Khi đó, bán bất biến K 4 của (S) bằng.

149 148 (a) K 4 = 16 (b) K 4 = 16 (c) K 4 = 4 (d) K 4 = 4 Câu 278. Trong không gian E 4 đối với mục tiêu trực chuẩn, cho siêu cầu (S) có phương trình (S) : (x 1 1) 2 + (x 2 + 1) 2 + (x 3 1) 2 + (x 4 + 1) 2 = 25 và siêu phẳng (P ) : x 1 + x 2 + 2x 3 2x = 0. Khi đó, (P ) cắt siêu cầu (S) theo 1 mặt cầu (S ) có tâm (a) I(1, 0, 0, 1) (b) I(0, 1/2, 3/4, 0) (c) I(0, 0, 1, 3/2) (d) I(1/2, 3/2, 0, 0) Câu 279. Trong không gian E 3 đối với mục tiêu trực chuẩn cho trước, mặt bậc hai (S) có phương trình là mặt (S) : x2 a 2 + y2 a 2 z2 = 0, a > 0 (a) elipsoid tròn xoay. (c) nón tròn xoay. (b) nón thực. (d) elipsoid tổng quát. Câu 280. Trên mặt phẳng Euclid E 2 đối với cơ sở trực chuẩn, cho đường bậc hai (C) có phương trình x x 1 x 2 + x x 1 6 2x = 0 Khi đó, phương trình chính tắc của (C) có dạng (a) X 2 = 4Y (b) 3X 2 + Y 2 = 1 (c) X 2 Y 2 = 1 (d) 3X 2 + Y 2 = 1 Câu 281. Trong không gian Euclid E 4, cho siêu cầu (S) có phương trình x x x x x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 21 = 0 Siêu phẳng nào tiếp xúc với (S) trong các siêu phẳng có phương trình sau. (a) x 1 +2 x 2 (2 2 5)x = 0 (b) x x x 4 14 = 0 (c) x 1 +2 x x = 0 (d) x 1 +2 x 2 (2+2 5)x = 0 Câu 282. Trong E 3, hyperloid 1 tầng có nhiều nhất bao nhiêu siêu phẳng kính chính phân biệt.

150 149 (a) 1 (b) 3 (c) vô số (d) 9 Câu 283. Trong không gian Euclid E 3 đối với mục tiêu trực chuẩn, cho mặt bậc hai (S) có phương trình 5 x x x x 1 x x 2 x 3 2 x 1 2 x = 0. Khi đó, tổng 3 bất biến J 1, J 2, J 3 của (S) bằng (a) 95 (b) 59 (c) 59 (d) 95 Câu 284. Trong không gian E 4, cho (S) là siêu cầu tâm I(1, 2, 1, 2) bán kính R = 2 3 và điểm M(0, 1, 2, 1). Phương trình siêu phẳng tiếp xúc của (S) đi qua điểm M có dạng (a) x 1 + x 2 + 3x 3 + x 4 8 = 0 (b) x 1 + x 2 3x 3 x 4 6 = 0 (c) x 1 + x 2 + 3x 3 + x = 0 (d) x 1 + x 2 3x 3 x = 0 Câu 285. Trên mặt phẳng Euclid E 2 đối với cơ sở trực chuẩn, cho đường bậc hai (C) có phương trình x x 1 x 2 + x x x 2 = 0 Khi đó, phương trình chính tắc của (C) có dạng (a) 2X 2 Y 2 = 1 (b) 2X 2 + Y 2 = 1 (c) 2X 2 = Y (d) 2X 2 + Y 2 = 1 Câu 286. Trên mặt phẳng Euclid E 2 đối với cơ sở trực chuẩn, cho đường bậc hai (C) có phương trình 3 x x 1 x x x 1 2 2x 2 = 0 Khi đó, phương trình chính tắc của (C) có dạng (a) 2X 2 + Y 2 = 1 (b) 2X 2 Y 2 = 1 (c) 2X 2 = Y (d) 2X 2 + Y 2 = 1 Câu 287. Trên mặt phẳng Euclid E 2 đối với cơ sở trực chuẩn, cho đường bậc hai (C) có phương trình 2 x x 1 x 2 2 x x 1 + 2x 2 2 = 0 Khi đó, phương trình chính tắc của (C) có dạng (a) 3X 2 + Y 2 = 1 (b) X 2 Y 2 = 1 (c) 3X 2 + Y 2 = 1 Đáp Án (d) X 2 = 2Y

151 150 Câu Đáp án (d) (c) (b) (b) (a) (b) (a) (a) (a) (b) (b) (c) (b) (a) (c) Câu Đáp án (b) (d) (b) (a) (c) (b) (b) (b) (c) (c) (d) (c) (c) (d) (d) Câu Đáp án (a) (d) (c) (a) (b) (b) (b) (b) (d) (a) (c) (a) (b) (c) (d) Câu Đáp án (b) (b) (b) (d) (d) (c) (a) (b) (b) (b) (a) (b) (b) (c) (d) Câu Đáp án (b) (b) (d) (b) (b) (c) (a) (d) (a) (d) (c) (b) (b) (b) (c) Câu Đáp án (c) (a) (c) (d) (c) (d) (c) (b) (c) (d) (c) (a) (a) (d) (c) Câu Đáp án (a) (a) (d) (c) (b) (a) (c) (b) (b) (c) (b) (c) (a) (d) (a) Câu Đáp án (b) (c) (b) (b) (b) (a) (c) (d) (d) (c) (c) (d) (d) (b) (d) Câu Đáp án (a) (d) (d) (d) (d) (d) (d) (c) (a) (a) (a) (b) (a) (a) (a) Câu Đáp án (a) (a) (b) (c) (b) (c) (a) (c) (a) (d) (a) (c) (b) (a) (c) Câu Đáp án (b) (b) (c) (a) (d) (c) (c) (b) (b) (b) (d) (b) (a) (c) (b) Câu Đáp án (d) (c) (d) (b) (c) (a) (d) (a) (d) (b) (b) (d) (d) (c) (d)

152 151 Câu Đáp án (d) (b) (b) (a) (d) (d) (c) (d) (d) (a) (d) (c) (c) (a) (d) Câu Đáp án (c) (b) (c) (a) (d) (d) (d) (a) (c) (d) (c) (a) (c) (c) (d) Câu Đáp án (b) (c) (a) (a) (b) (d) (a) (b) (d) (b) (b) (a) (c) (a) (d) Câu Đáp án (b) (b) (d) (d) (b) (a) (a) (d) (b) (c) (a) (d) (a) (d) (b) Câu Đáp án (b) (d) (d) (c) (d) (d) (d) (b) (b) (a) (a) (d) (c) (d) (d) Câu Đáp án (c) (c) (d) (b) (d) (c) (c) (d) (a) (a) (d) (a) (c) (a) (c) Câu Đáp án (a) (c) (a) (a) (a) (c) (a) (d) (c) (a) (c) (c) (c) (c) (a) Câu Đáp án (a) (c) Ngân hàng câu hàng tự luận a) Giới thiệu chương trình biên tập ngân hàng câu hỏi và thanh thành lập đề thi Chương trình soạn ngân hàng câu hỏi tự luận được chúng tôi biên soạn nhằm các mục đích: thành lập NHCH tự luận trên L A TEX sao cho việc soạn thảo các CH được thuận tiện, thành lập hàng loạt đề thi nhanh chóng, kiểm soát được những câu nào đã sử dụng rồi. Đối với sinh viên thì có thể sử dụng nó để tự ra đề thi, làm bài và kiểm tra kết quả làm bài của mình. Có thể ví ngân hàng đề thi như là một quyển bài tập thông minh của môn hình học Affine và Euclid. Tính thông minh của phầm mềm thể hiện qua các điểm: có thể sử dụng tạo đề thi để tự làm, tra cứu nhanh các bài tập và hướng dẫn giải, sắp xếp hệ thống

153 152 bài tập theo theo mục đích riêng để sử dụng sau này, thêm vào các bài tập hay. Sau đây chúng tôi xin giới thiệu với các bạn cách thành lập đề, sửa và thêm các câu hỏi trong NHCH. +) Soạn thảo đề thi Để soạn đề thi cho việc tự học, các bạn thực hiện theo các bước: - Khởi động chương trình, click các câu hỏi tương ứng với nội dung muốn học (Hình 2.3.5). Lưu ý: những câu nào đã học qua thì chương trình hiện lên chữ rồi. Tuy nhiên, các bạn vẫn có thể chọn lại nó nếu chúng ta muốn. Hình Chương trình soạn thảo NHCH tự luận và đề thi - Click vào nút Soạn nháp. Khi đó, chương trình sẽ tạo ra đề kiểm tra tương ứng với các câu hỏi bạn đã chọn. Sau khi chúng ta làm bài hoàn tất, các bạn xem đáp án ở trang kế của đề kiểm tra để tự đánh giá kết quả của mình hay tham khảo cách giải. +) Thêm câu hỏi vào ngân hàng Để thêm một câu hỏi vào ngân hàng đề, chúng ta thực hiện các bước. - Từ giao diện chính của chương trình, chúng ta click vào nút Thêm câu. Khi đó, một Frame chứa thông tin về câu hỏi được Load lên như Hình 2.3.6

154 153 Hình Thêm câu hỏi vào ngân hàng - Chúng ta chọn chương chứa câu hỏi, tên câu hỏi không dấu và điểm tương ứng của câu hỏi theo thang điểm Click vào Thực hiện để thêm câu hỏi. Sau đó, chúng ta nhập nội dung câu hỏi và lưu nó lại. +) Chỉnh sửa nội dung các câu hỏi Để chỉnh sửa nội dung một câu hỏi trong ngân hàng đề, chúng ta click vào nó. Chỉnh lại nội dung của nó. Click vào nút Kết quả để kiểm tra lại nội dung. Cuối cùng click vào nút Lưu lại để lưu nội dung câu hỏi. b) Nội dung các câu hỏi trong ngân hàng Trong ngân hàng câu hỏi, chúng tôi đã dựa trên các tài liệu biên soạn lại được 254 câu hỏi. Chúng được chia thành 6 chương tương ứng với 6 chương của môn học. Điểm của mỗi câu hỏi tương đương với mức độ khó hay độ dài của câu đó (đây là phân loại mang tính chủ quan của chủ nhiệm đề tài). Nội dung cụ thể của các câu hỏi như sau: Câu 1 (10 điểm). Trong mặt phẳng affin A 2 cho hình bình hành ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Tìm công thức đổi mục tiêu khi chọn mục tiêu củ là {A; B; D} và mục tiêu mới là {O; B; C} Câu 2 (10 điểm). Trong không gian affine A n cho mục tiêu {O; e 1,..., e n } (1). Đặt e 1 = e 1, e 2 = e 1 + e 2,..., e n = e e n Chứng minh rằng {O; e 1,, e n} (2) cũng là một mục tiêu affine. Hãy viết công thức đổi từ mục tiêu thứ nhất sang thứ hai. Câu 3 (20 điểm). Trong không gian affine A 3, cho mục tiêu affine {O; e 1, e 2, e 3 } và các điểm P 0 (1, 1, 1), P 1 (2, 0, 0), P 2 (1, 0, 0), P 3 (1, 1, 0), Q 0 (0, 0, 0), Q 1 (1, 1, 0), Q 2 (2, 0, 1) và Q 3 (1, 0, 1). (a) Chứng minh rằng {P 0 ; P 1, P 2, P 3 } và {Q 0 ; Q 1, Q 2, Q 3 } là các mục tiêu affine.

155 154 (b) Viết công thức đổi tọa độ từ mục tiêu {P 0 ; P 1, P 2, P 3 } sang mục tiêu {Q 0 ; Q 1, Q 2, Q 3 }. Câu 4 (20 điểm). Trong mặt phẳng affine A 2 cho hai tam giác ABC và A B C sao cho không có 3 điểm nào trong 6 đỉnh đó thẳng hàng. Giả sử BC và B C cắt nhau tại M, CA và C A cắt nhau tại N, AB cắt A B tại P. Chứng minh rằng nếu 3 đường thẳng AA, BB, CC đồng qui hoặc song song thì M, N, P thẳng hàng. Câu 5 (15 điểm). Chứng minh rằng đơn hình chính là bao lồi của tập các đỉnh và chứa trong bao affine của tập các đỉnh. Câu 6 (20 điểm). Trong không gian affine A 2 cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và ba điểm P, Q, R theo thứ tự thuộc các đường thẳng BC, CA, AB không trùng với các điểm A, B, C. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba điểm P, Q, R thẳng hàng là (BCP ).(CAQ).(ABR) = 1. Câu 7 (20 điểm). Trong A n cho ba m-phẳng song song phân biệt. Hai đường thẳng d và d cắt ba m-phẳng đó lần lượt tại bộ ba điểm A, B, C và A, B, C. Chứng minh rằng (ABC) = (A B C ). Câu 8 (20 điểm). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để m + 1 điểm {A 0, A 1,..., A m } trong không gian affine n chiều (n m) cùng thuộc một (m 1)-phẳng là với điểm O tùy ý ta luôn có m i=0 λ i OAi = 0 với m λ i = 0 i=0 và m λ 2 i 0. i=0 Câu 9 (20 điểm). Trong không gian affine A 2 cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và ba điểm P, Q, R theo thứ tự thuộc các đường thẳng BC, CA, AB không trùng với các điểm A, B, C. Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AP, BQ, CR đồng qui hay song song thì (BCP ).(CAQ).(ABR) = 1. Câu 10 (20 điểm). Trong không gian affine A n, chứng minh rằng hệ m + 1 điểm {A 0, A 1,..., A m } độc lập affine khi và chỉ khi với mọi điểm O, từ hai đẳng thức m i=0 λ i OAi = 0 và m λ i = 0, (λ i K) i=0

156 155 ta suy ra λ 0 = λ 1 = = λ m = 0. Câu 11 (20 điểm). Cho hệ gồm p + 1 điểm {M 0, M 1,..., M p } trong không gian affine A n. Chứng minh rằng (a) dim(m 0 + M M p ) p; (b) Hệ điểm {M 0, M 1,..., M p } độc lập affine khi và chỉ khi dim(m 0 + M M p ) = p; (c) Nếu hệ {M 0, M 1,..., M p } độc lập affine thì M 0 + M M p = (M 0 + M M k ) + (M k+1 + M k M p ) và (M 0 + M M k ) (M k+1 + M k M p ) =. Câu 12 (20 điểm). Trong không gian affine A n với một mục tiêu affine cho trước, hãy xét giao của đường thẳng (d) và siêu phẳng (α) cho bởi các phương trình (d) : x 1 b 1 a 1 = x 2 b 2 a 2 = = x n b n a n và (α) : n c i x i + d = 0. Câu 13 (15 điểm). Trên một tờ giấy vẽ hai đường thẳng (d) và (d ) cắt nhau tại một điểm ở ngoài tờ giấy đó. Qua một điểm M không nằm trên (d) hoặc (d ), hãy dựng đường thẳng đi qua M và giao điểm của hai đường thẳng đã cho. i=1 Câu 14 (10 điểm). Trong không gian affine A 4 cho 2 điểm A(3, 1, 1, 2), B(0, 1, 0, 0). Tìm giao điểm của đường thẳng (AB) với các siêu phẳng tọa độ (nếu có). Câu 15 (10 điểm). Trong không gian affine, cho m-đơn hình H với các đỉnh {P 0, P 1,..., P m }. Chứng minh rằng bao affine của hai mặt đối diện là chéo nhau. Câu 16 (15 điểm). Cho A = {A 0, A 1,..., A m } và B = {B 0, B 1,..., B l } là hai hệ điểm trong không gian affine A n. Giả sử A B độc lập. Chứng minh rằng tồn tại hai cái phẳng chéo nhau α và β sao cho A α và B β. Câu 17 (10 điểm). Hãy chứng tỏ rằng đơn hình và hình hộp m chiều trong không gian affine thực A n là giao của các nửa không gian. Câu 18 (20 điểm). Cho α và β là hai cái phẳng chéo nhau cấp 0. Xét hai hệ điểm độc lập A = {A 0, A 1,..., A m } α và B = {B 0, B 1,..., B l } β. Chứng minh rằng A B cũng độc lập. Câu 19 (10 điểm). Chứng minh rằng có thể xem trường số phức C là một không gian affine thực 2 chiều. Câu 20 (10 điểm). Cho không gian affine n chiều (A, A, ϕ) và một tập hợp B tùy ý. Chứng minh rằng nếu có song ánh f : A B thì có thể xây dựng B trở thành một không gian affine n chiều.

157 156 Câu 21 (10 điểm). Cho (A, A, Φ) là một không gian affine và W là một không gian vector con của A. Hai điểm M, N A được gọi là W -tương đương nếu MN W. Quan hệ W -tương đương là một quan hệ tương đương trên tập A. Ký hiệu tập các lớp tương đương của A là [A] và lớp tương đương chứa M là [M]. Xét ánh xạ ϕ : [A] [A] A /W, ([M], [N]) [ MN]. Chứng minh rằng ([A], A /W, ϕ) là một không gian affine. Câu 22 (10 điểm). Cho (A, A, Φ) và (A, A, Φ ) là hai không gian affine và xét ánh xạ Φ Φ : (A, A ) (A, A ) A A, ( (M, M ), (N, N ) ) ( MN, M N ). Chứng minh rằng (A A, A A, Φ Φ ) là một không gian affine. Câu 23 (20 điểm). Cho hai cái phẳng α và β chéo nhau, có số chiều lần lượt là p và q. Hãy tìm các điều kiện để số chiều của α + β lớn nhất và bé nhất. Trong mỗi trường hợp, hãy xác định số chiều của α + β? Câu 24 (10 điểm). Trong không gian affine A 3, cho mục tiêu affine {O; e 1, e 2, e 3 } và các điểm P 0 (1, 1, 1), P 1 (2, 0, 0), P 2 (1, 0, 0), P 3 (1, 1, 0), Q 0 (0, 0, 0), Q 1 (1, 1, 0), Q 2 (2, 0, 1) và Q 3 (1, 0, 1). (a) Chứng minh rằng {P 0 ; P 1, P 2, P 3 } và {Q 0 ; Q 1, Q 2, Q 3 } là các mục tiêu affine. (b) Viết công thức đổi tọa độ từ mục tiêu {P 0 ; P 1, P 2, P 3 } sang mục tiêu {Q 0 ; Q 1, Q 2, Q 3 }. Câu 25 (15 điểm). Trong không gian affine A n cho mục tiêu (O, e 1, e 2,, e n ) (1). Đặt: e 1 = e 1, e 2 = e 1 + e 2,..., e n = e e n (2). Chứng minh (O, e 1,..., e n) cũng là một mục tiêu affine. Hãy viết công thức đổi từ mục tiêu thứ nhất sang thứ hai. Câu 26 (20 điểm). Trong mặt phẳng affine A 2 cho hai đường thẳng (d) và (d ) cắt nhau tại O. Gọi A, B, C là 3 điểm phân biệt thuộc (d) không trùng với các điểm O; A, B, C là 3 điểm phân biệt thuộc (d ) không trùng với điểm O. Giả sử B C cắt BC tại M, CA cắt C A tại N, AB cắt A B tại P. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. Câu 27 (15 điểm). Xét không gian vector A với cấu trúc affine chính tắc. Chứng minh mỗi không gian vector con của A là một cái phẳng. Điều ngược lại có đúng không? Câu 28 (20 điểm). Trong không gian A 4 với mục tiêu đã chọn. (a) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của cái phẳng α có

158 157 số chiều bé nhất chứa hai đường thẳng d 1, d 2 có phương trình sau. x 1 = 2+ x 2 = 1 + t x 1 = 0 (d 1 ) : và (d 2 ) : x 2 x = 0 x 3 = 2 + t x 4 3 = 0 = 4 2t x 4. (b) Viết phương trình của siêu phẳng đi qua M(1, 1, 1, 1) và chứa α. Câu 29 (20 điểm). Trong không gian affine A 4 cho (α) và (β) là hai cái phẳng có phương trình x 1 + x 2 x 3 + 2x = 0 x 1 + 2x 2 + x 3 = 0 (α) : (β) : 2x 1 x 2 + x 3 + x 4 1 = 0 x 1 2x 2 + x 4 = 0 (a) Viết phương trình cái phẳng có số chiều bé nhất qua M(1, 2, 3, 1) và (α). (b) Tìm phẳng tổng của (α) và (β). Câu 30 (20 điểm). Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn trên trường số thực R với m n như sau: a 11 x 1 + a 21 x a n1 x n = a 1 a 12 x 1 + a 22 x a n2 x n = a 2.. a 1m x 1 + a 2m x a nm x n = a m với rank(a ij ) = m, chứng minh rằng. (a) Tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng là một không gian vector con (n m)-chiều của R n, ký hiệu là α ; (b) Tập nghiệm của hệ phương trình trên là một (n m)-phẳng của không gian affine R n phương là α. Câu 31 (20 điểm). Trong không gian affine A 4 viết phương trình tham số và tổng quát của phẳng có số chiều bé nhất (a) Đi qua điểm M(1, 0, 1, 0) và có phương chứa ba vector a (1, 0, 1, 0), b (2, 1, 2, 1), c (4, 1, 4, 1); (b) Đi qua hai điểm A(1, 1, 1, 1), B(2, 3, 1, 0) và có phương chứa các vector a (0, 1, 1, 1), b (1, 2, 0, 0). Câu 32 (15 điểm). Cho hai đường thẳng d 1,d 2 trong không gian affine A 4. Đường thẳng d 1 đi qua A(1, 0, 2, 1) có phương a(1, 2, 1, 3) và đường thẳng d 2 đi qua B(0, 1, 1, 1) có phương b(2, 3, 2, 4). Viết phương trình tổng quát

159 158 của cái phẳng có số chiều bé nhất chứa hai đường thẳng đó. Câu 33 (10 điểm). Trong không gian A 4 viết phương trình tham số của mặt phẳng có phương trình tổng quát. { x1 + x 2 + 2x 3 + x 4 1 = 0 x 1 + 2x 2 x = 0. Câu 34 (10 điểm). Cho hệ p điểm độc lập {M 0, M 1,..., M p } trong không gian affine A n. Giả sử M i có tọa độ (a 1i, a 2i,..., a ni ) đối với mục tiêu {O; e i } cho trước. Hãy viết phương trình tham số của p-phẳng M 0 + M M p. Câu 35 (10 điểm). Trong không gian affine A n với mục tiêu {O; e i } cho các điểm P i với OP i = a i e i, a i 0, i = 1, 2,..., n. Chứng minh rằng, hệ n điểm {P 1, P 2,..., P n } là độc lập và viết phương trình tổng quát của siêu phẳng đi qua n điểm trên. Câu 36 (10 điểm). Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của m-phẳng E 0 + E E m và của siêu phẳng E 1 + E E n trong đó {E 0 ; E 0 E i } là một mục tiêu affine cho trước của A n. Câu 37 (20 điểm). Trong không gian affine A n với một mục tiêu affine cho trước, cho hai siêu phẳng phân biệt α và α có phương trình tổng quát theo thứ tự là n a i x i + b = 0 i=1 và n a ix i + b = 0 i=1 (a) Chứng minh rằng α và α song song khi và chỉ khi hai vector a (a i ) và a (a i) phụ thuộc tuyến tính. (b) Giả sử α α. Khi đó dim α α = n 2. Chứng minh rằng mọi siêu phẳng chứa α α đều có phương trình dạng λ ( n a i x i + b ) + µ ( n a ix i + b ) = 0. i=1 Câu 38 (15 điểm). Trong A n cho α và α là hai siêu phẳng song song phân biệt, β là m-phẳng không chứa trong α. Chứng minh rằng nếu β cắt α thì cũng cắt α. Trong trường hợp α và α là các phẳng song song phân biệt tùy ý thì kết quả trên có còn đúng không? i=1

160 159 Câu 39 (10 điểm). Cho hai siêu phẳng (α), (α) lần lượt có phương trình: n a i x i + b = 0, n=1 n a ix i + b = 0. n=1 Tìm điều kiện để (α), (α) cắt nhau, song song, chéo nhau, trùng nhau. Câu 40 (20 điểm). Giả sử G 1 là tâm tỉ cự của hệ điểm {P 1, P 2,..., P m } gắn với họ hệ số {λ 1, λ 2,..., λ m }; G 2 là tâm tỉ cự của hệ điểm {P m+1, P m+2,..., P k } gắn với họ hệ số {λ m+1, λ m+2,..., λ k }; G 3 là tâm tỉ cự của hệ điểm {P 1, P 1,..., P k } gắn với họ hệ số {λ 1, λ 2,..., λ k }. Chứng minh rằng nếu G 1, G 2, G 3 là 3 điểm phân biệt thì chúng thẳng hàng. Hãy tính tỉ số đơn (G 1 G 2 G 3 ). Câu 41 (20 điểm). Cho hệ điểm {P i : i I}, với I, trong không gian affine A n. Gọi α là bao affine của hệ điểm đó. Chứng minh rằng α chính là tập các tâm tỉ cự của các hệ con hữu hạn không rỗng của hệ điểm đã cho. Câu 42 (15 điểm). Chứng minh rằng bao lồi của một hệ hữu hạn điểm {P 0, P 1,..., P m } trong không gian affine A n là tập các tâm tỉ cự của hệ điểm đó gắn với họ hệ số {λ 0, λ 1,..., λ m } cùng dấu. Câu 43 (10 điểm). Trong không gian affine A n với mục tiêu đã chọn. Chứng minh rằng tập các điểm có tọa độ là nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính và bất phương trình tuyến tính n biến là một tập lồi. Câu 44 (10 điểm). Cho một điểm A và một m-phẳng (α) không chứa điểm đó. Chứng minh rằng có một và chỉ một (m + 1)-phẳng đi qua A và chứa (α). Câu 45 (20 điểm). Cho ABCD là một tứ diện trong không gian affine A n, chứng minh rằng các đường thẳng nối hai trung điểm của các cặp cạnh đối diện đồng qui? Phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát. Câu 46 (10 điểm). Trong không gian affine, cho m-đơn hình H với các đỉnh {P 0, P 1,..., P m }. Chứng minh rằng các đường thẳng nối một đỉnh với trọng tâm (m 1)-mặt bên đối diện đồng qui tại một điểm G. Câu 47 (10 điểm). Chứng minh rằng trong một đơn hình m-chiều các đường thẳng nối hai trọng tâm của hai mặt bên đối diện luôn đi qua một điểm cố định. Câu 48 (15 điểm). Trong không gian affine, cho m-đơn hình H với các đỉnh {P 0, P 1,..., P m }. Gọi G là trọng tâm của m-đơn hình, G và G là trọng tâm của một cặp mặt bên đối diện, hãy tính tỉ số đơn (G G G). Câu 49 (10 điểm). Chứng minh rằng các đường trung tuyến của tam giác trên mặt phẳng affine đồng quy tại một điểm. Câu 50 (20 điểm). Trong A 4 cho đường thẳng (d 1 ) đi qua A(0, 1, 2, 1) có phương a(2, 1, 1, 3) và đường thẳng (d 2 ) đi qua B(1, 0, 1, 1) có phương

161 160 b(3, 2, 2, 4). (a) Xét vị trí tương đối của (d 1 ) và (d 2 ). (b) Viết phương trình cái phẳng có số chiều bé nhất chứa hai đường thẳng đó. Câu 51 (10 điểm). Trong không gian affine A 4 cho 4 điểm A(3, 1, 1, 2), B(0, 1, 0, 0), C(3, 2, 3, 2), và D(1, 0, 0, 1). Hãy xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (AB) và (CD). Câu 52 (10 điểm). Trong không gian affine A 4 xét vị trí tương đối của hai cái phẳng (α) và (β) có phương trình lần lượt như sau. { 2x1 + x 2 + x 3 + x 4 1 = 0 (α) : x 1 + x 2 x = 0 { x1 x 2 x = 0 (β) : 2x 1 + x 2 + 2x 3 + x = 0 Câu 53 (10 điểm). Trong không gian affine A 4 xét vị trí tương đối giữa đường thẳng (d) và siêu phẳng (α) có phương trình dạng. x 1 = 1 x 2 = 1 + t (d) : và (α) : 2x 1 x 2 x 3 + x 4 2 = 0. x 3 = 2 + t = 1 2t x 4 Câu 54 (10 điểm). Trong không gian affine A 4 xét vị trí tương đối giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (α) có phương trình dạng. { 3x1 + x 2 + x 3 + 2x 4 6 = 0 (α) : x x = 0. x 1 = 1 x 2 = 1 + 2t (d) :. x 3 = 1 + 3t = 3 2t x 4 Câu 55 (20 điểm). Trong không gian affine thực A 3 cho hai mặt phẳng phân biệt α và β. Cho hai tam giác ABC α và MNP β. (a) Có bao nhiêu đẳng cấu affine từ α vào β biến tam giác ABC thành tam giác MNP. (b) Có bao nhiêu phép biến đổi affine của A 3 biến tam giác ABC thành tam giác MNP.

162 161 (c) Có bao nhiêu phép biến đổi affine của A 3 biến tứ diện ABCD thành tứ diệnmnp Q. Câu 56 (10 điểm). Chứng minh ảnh ngược của một tập lồi qua ánh xạ affine trong không gian A n là một tập lồi. Câu 57 (20 điểm). Trong không gian A 3 cho ánh xạ f có biểu thức tọa độ đối với mục tiêu cho trước x 1 = 3x 1 + 3x 2 + 2x x 2 = x 1 x 2 + x 3 1 x 3 = 2x 1 + 2x 2 + 2x (a) Chứng minh rằng f là phép biến đổi affine. (b) Tìm ảnh và tạo ảnh của điểm M(1, 2, 1). (c) Tìm ảnh và tạo ảnh của đường thẳng đi qua điểm N(1, 1, 1) và có vector chỉ phương v(1, 2, 1). (d) Tìm ảnh và tạo ảnh của mặt phẳng x 1 = 2t 1 t (P ) : x 2 = t 1 + t 2 + 2, t 1, t 2 R. x 3 = t 1 2t Câu 58 (10 điểm). Chứng minh rằng hạn chế của một ánh xạ affine lên một m-phẳng cũng là một ánh xạ affine. Câu 59 (10 điểm). Cho V và W là các K-không gian vector với cấu trúc affine chính tắc. Hãy chứng minh rằng mỗi ánh xạ tuyến tính f : V W là một ánh xạ affine? Điều ngược lại có đúng không? Câu 60 (20 điểm). Chứng minh rằng nếu một phép biến đổi affine của A n có một phương 1-chiều mà mọi đường thẳng có phương đó đều bất động thì f là một trong các phép sau đây: phép tịnh tiến, phép thấu xạ qua siêu phẳng, phép thấu xạ trượt. Câu 61 (20 điểm). Chứng minh rằng mọi phép biến đổi affine của không gian affine A, với dima 2, giữ bất động phương của mọi đường thẳng (tức là biến đường thẳng thành đường thẳng song song) là một phép tịnh tiến hay phép vị tự. Câu 62 (15 điểm). Trong không gian affine A n cho siêu phẳng α có phương trình n n a i x i + d = 0, a 2 i 0 và phép biến đổi affine f có biểu thức tọa độ i=1 i=1 [x ] = A[x] + [u] đối với một mục tiêu nào đó. Tìm điều kiện cần và đủ để α là hình bất động của f. Câu 63 (15 điểm). Trong A 3 cho tứ diện ABCD. Viết biểu thức tọa độ của phép biến đổi affine f đối với mục tiêu {A; B, C, D} biết f(a) = B, f(b) = A,

163 162 f(c) = D, f(d) = C. Câu 64 (15 điểm). Trong không gian affine A 3 cho tứ diện ABCD. Hãy lập phương trình của phép biến đổi affine của A 3 đối với mục tiêu {A; B; C; D} sao cho A B, B A, C C, D D. Câu 65 (20 điểm). Trong không gian affine A 3 với mục tiêu affine đã chọn cho các điểm A 0 (1, 1, 1), A 1 (2, 0, 0), A 2 (1, 0, 0), A 3 (1, 1, 0) A 0(0, 0, 0), A 1(0, 1, 0), A 2(2, 0, 1), A 3(1, 0, 1). (a) Tìm biểu thức tọa độ của ánh xạ affine f : A 3 A 3 thỏa điều kiện f(a i ) = A i, i = 0, 1, 2, 3 đối với mục tiêu đã cho. (b) Tìm biểu thức tọa độ của ánh xạ affine f : A 3 A 3 thỏa điều kiện f(a i ) = A i, i = 0, 1, 2, 3 đối với mục tiêu {A 0 ; A 1, A 2, A 3 }. Câu 66 (20 điểm). Viết biểu thức tọa độ dạng đơn giản nhất của phép tịnh tiến và phép vị tự trong một mục tiêu affine chọn thích hợp. Câu 67 (20 điểm). Trong A n đối với mục tiêu {O; e i }. Xét ánh xạ f biến điểm M(x 1, x 2,..., x n ) thành điểm M (0, 0,..., 0, x k,..., x n ). Chứng tỏ f là 1 phép chiếu song song? Tìm cơ sở và phương chiếu của phép chiếu f? Câu 68 (20 điểm). Cho f : A n A n là ánh xạ affine có biểu thức toạ độ đối với mục tiêu afine cho trước dạng x x 1 6 x 2 = x x x 3 3 Chứng minh rằng f là một phép chiếu song song? Tìm phương chiếu và nền chiếu của f? Câu 69 (10 điểm). Cho α là m-phẳng và β là (n m)-phẳng với α β = { 0}. Giả sử α là m-phẳng song song với α và f là phép chiếu song song lên α theo phương β. Chứng minh rằng f α : α α là một đẳng cấu. Câu 70 (10 điểm). Cho f : A A là một ánh xạ affine. Chứng minh rằng f là một đẳng cấu khi và chỉ khi dima = dima = dimim f. Câu 71 (15 điểm). Chứng minh rằng hai không gian affine A và A đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi dim(a) = dim(a ). Câu 72 (20 điểm). Chứng minh rằng mọi phép biến đổi affine của A n có thể phân tích thành hợp của không quá n + 1 phép thấu xạ qua siêu phẳng hoặc thấu xạ trượt.

164 163 Câu 73 (20 điểm). Chứng minh rằng mỗi biến đổi affine của A n (R) đều có ít nhất một điểm bất động hoặc một phương bất động 1-chiều. Câu 74 (20 điểm). Trong không gian affine A 3 cho phép biến đổi affine f có biểu thức tọa độ đối với mục tiêu affine {O; e 1, e 2, e 3 } x 1 = 4x 1 + 2x 2 + x x 2 = 6x 1 + 5x 2 + 2x x 3 = 9x 1 + 6x 2 + 4x Hãy tìm các điểm bất động và phương bất động một chiều của f. Câu 75 (20 điểm). Phép biến đổi affine của K-không gian affine A gọi là có tính chất đối hợp nếu f 2 = id. Chứng minh rằng mọi phép biến đổi affine đối hợp khác ánh xạ đồng nhất là một phép đối xứng xiên. Câu 76 (10 điểm). Cho f : A A là một ánh xạ affine. Chứng minh rằng (a) f là đơn cấu khi và chỉ khi dima = dim f( A). (b) f là toàn cấu khi và chỉ khi dim f( A) = dima. Câu 77 (10 điểm). Chứng minh rằng nếu một phép biến đổi affine của A n có n + 1 điểm bất động độc lập thì f là phép đồng nhất. Câu 78 (20 điểm). Cho f là phép biến đổi affine trên không gian A n. Chứng minh rằng nếu f có điểm kép thì f có đường thẳng hoặc mặt phẳng bất động. Câu 79 (20 điểm). Chứng minh rằng tập tất cả các phép tịnh tiến của không gian affine A n với phép toán hợp ánh xạ lập thành một nhóm và nó đẳng cấu với nhóm cộng của A n. Câu 80 (10 điểm). Trong A n cho hai mục tiêu {O; E i } và {O ; E i}. Biết công thức đổi mục tiêu từ {O; E i } sang {O ; E i} có dạng x 1 = x x 2 = x 1 + x = x 1 + x x n + n x n Hãy tìm biểu thức tọa độ của phép biến đổi affine đối với mục tiêu {O; E i } biến O thành O và E i thành E i, i = 1, 2,..., n. Câu 81 (20 điểm). Cho f : A n A n là ánh xạ affine có biểu thức toạ độ đối với mục tiêu afine cho trước dạng [x ] = A[x] + [u]. Tìm điều kiện cần và đủ để f là phép chiếu song song? Khi đó, hãy tìm cơ sở và phương chiếu của f. Câu 82 (20 điểm). Cho f là phép biến đổi affine trên không gian thực A n, n 2. Chứng minh rằng f có phương bất động 1 chiều hoặc 2 chiều..

165 164 Câu 83 (20 điểm). Chứng minh rằng ánh xạ affine bảo toàn tính cắt nhau và song song của hai phẳng. Ánh xạ affine có bảo toàn tính chéo nhau của hai phẳng không? Câu 84 (10 điểm). Chứng minh rằng với phép thấu xạ qua siêu phẳng thì đường thẳng nối ảnh và tạo ảnh là đường thẳng bất động? Mỗi m-phẳng và ảnh của nó hoặc song song hoặc cắt nhau trên cơ sở thấu xạ? Câu 85 (15 điểm). Chứng minh rằng tập H tất cả các phép thấu xạ cùng cơ sở và cùng phương thấu xạ của không gian affine A n lập thành một nhóm giao hoán với phép toán hợp ánh xạ và nhóm này đẳng cấu với nhóm nhân của nhóm K \ {0}. Tìm các nhóm con hai phần tử của H. Câu 86 (15 điểm). Chứng minh rằng, phép biến đổi affine của A n có một siêu phẳng mà mọi điểm đều là điểm bất động là phép thấu xạ hoặc phép thấu xạ trượt mà cơ sở là siêu phẳng nói trên. Câu 87 (15 điểm). Trong A n cho siêu phẳng α và 2 điểm M, N / α nhưng MN α. Chứng minh rằng, tồn tại duy nhất một ánh xạ affine giữ bất động mọi điểm của α và biến M thành N? Hãy xác định f? Câu 88 (15 điểm). Chứng minh rằng tập K tất cả các phép thấu xạ trượt cùng cơ sở và cùng phương thấu xạ của không gian affine A n lập thành một nhóm giao hoán với phép toán hợp ánh xạ. Câu 89 (15 điểm). Chứng minh rằng với phép thấu xạ trượt qua siêu phẳng thì đường thẳng nối ảnh và tạo ảnh là đường thẳng bất động? Mỗi m-phẳng và ảnh của nó hoặc song song hoặc cắt nhau trên cơ sở thấu xạ? Câu 90 (20 điểm). Cho f : A 2 A 2 là một song ánh thỏa mãn điều kiện, với mọi điểm M, N A 2 ta có MN cùng phương với f(m)f(n), Nf(N) cùng phương với Mf(M). Chứng minh rằng f là một phép tịnh tiến. Câu 91 (10 điểm). Chứng minh rằng khái niệm trọng tâm của một đơn hình trong không gian affine A n là một khái niệm affine. Câu 92 (20 điểm). Chứng minh rằng tập tất cả các phép vị tự cùng tâm của không gian affine A n lập thành một nhóm với phép toán hợp ánh xạ và nhóm này đẳng cấu với nhóm nhân của nhóm K \ {0}. Tìm các nhóm con hai phần tử của nhón này. Câu 93 (15 điểm). Tập gồm tất cả các phép vị tự và phép tịnh tiến của không gian affine A n lập thành một nhóm với phép toán hợp ánh xạ? Nhóm này có giao hoán không?

166 165 Câu 94 (15 điểm). Trong không gian affine A, chứng minh rằng: (a) Tích của hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến; (b) Tích của một phép tịnh tiến và một phép vị tự là một phép vị tự; (c) Tích của hai phép vị tự là một phép vị tự hoặc một phép tịnh tiến. Câu 95 (20 điểm). Trong không gian affine thực A 3, cho ba đường thẳng l 1, l 2, l 3 chéo nhau đôi một. (a) Tìm tập hợp các điểm nằm trên một đường thẳng d biến thiên cắt cả ba đường thẳng đó. (b) Tìm tập hợp các điểm nằm trên một đường thẳng d biến thiên cắt cả hai đường thẳng l 1, l 2 và song song với một mặt phẳng (α), trong đó l 1, l 2 không song song với α. Câu 96 (20 điểm). Trong không gian affine thực A 3 cho mặt bậc hai (S) có phương trình x 2 1 x x 2 3 6x 1 x 2 4x 2 x 3 + x 1 + x 2 x 3 = 0 Chứng minh rằng (S) là cặp mặt phẳng cắt nhau. Viết phương trình của cặp mặt phẳng đó. Câu 97 (20 điểm). Trong không gian affine A n cho siêu mặt bậc hai (S) xác định bởi phương trình (S) : x 2 1 x 2 2 x 2 k + x 2 k x 2 n 1 = 0 (1 k < n). Chứng minh rằng: (a) Nếu 2k < n thì (S) chứa những m-phẳng với m k; (b) Nếu 2k n thì (S) chứa những m-phẳng với m n k 1. Câu 98 (20 điểm). Trong không gian affine A n cho siêu mặt bậc hai (S) xác định bởi phương trình (S) : x 2 1 x 2 2 x 2 k + x 2 k x 2 n = 2x n (0 k n/2). Chứng minh rằng: (a) Nếu k + 1 n/2 thì (S) chứa những m-phẳng với m k; (b) Nếu k + 1 > n/2 thì (S) chứa những m-phẳng với m n k 1. Câu 99 (10 điểm). Chứng minh điểm kì dị của siêu mặt bậc hai trong không gian affine A n là 1 khái niệm affine.

167 166 Câu 100 (20 điểm). Chứng minh rằng nếu (S) là một siêu mặt bậc hai kiểu nón hoặc kiểu trụ của không gian affine A n thì có thể tìm được một mục tiêu của A n để phương trình của (S) có dạng: k i,j=1 a ij x i x j + 2 m a r x r + a 0 = 0, trong đó 1 m < n, k n. r=1 Câu 101 (15 điểm). Trong A 2 cho một đường bậc hai S không suy biến, có tâm. Chứng minh rằng: (a) Có thể chọn được mục tiêu affine để phương trình của S có dạng a 1 x a 2 x a 0 = 0, trong đó a 0, a 1, a 2 khác 0. (b) Nếu l là đường kính của S liên hợp với phương v thì l không chỉ phương tiệm cận của đường bậc hai S. (c) Đường thẳng l đi qua tâm của S có phương v là đường kính của S liên hợp với phương l của đường thẳng l. Câu 102 (20 điểm). Trong A 2 với mục tiêu đã chọn, cho đường bậc hai có phương trình: x 2 1 5x 1 x 2 + 4x 2 2 5x 1 + 2x 2 3 = 0 (a) Tìm phương tiệm cận của đường bậc hai đã cho. (b) Tìm tâm của đường bậc hai đó. Câu 103 (10 điểm). Trong không gian affine A 3, tìm đường sinh của mặt bậc hai (S) : x2 9 + y2 4 z2 = 1 đi qua điểm M(3, 2, 1). Câu 104 (10 điểm). Trong không gian affine A 3, tìm đường sinh của mặt bậc hai (S) : x2 9 y2 = 2z đi qua điểm M(3, 4, 0). 16 Câu 105 (15 điểm). Trong không gian affine A 4, với mục tiêu affine cho trước, hãy xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) đi qua điểm A(0, 0, 3, 3), B(0, 0, 11, 11) và siêu mặt bậc hai (S) có phương trình: (S) : x x 2 2 2x 1 x 2 3x 1 x 3 + 4x 2 x 4 + x 3 + x 4 = 0. Câu 106 (15 điểm). Trong không gian affine A 3 thực cho mặt bậc hai (S) có phương trình x x 2 2 2x 1 x 2 + x = 0 và mặt phẳng (α) có phương trình x 1 + x 2 + x 3 3 = 0. Đặt β = S α. Tìm tập hợp các điểm nằm trên hợp các đường thẳng đi qua một điểm biến thiên trên (β) và chỉ phương bởi vector không đổi v(0, 0, 1).

168 167 Câu 107 (20 điểm). Trong không gian affine A n, (n 1), cho siêu mặt bậc hai affine (S) có phương trình dạng ma trận F (x) = x t Ax + 2a t x + a 0 = 0. Thực hiện phép đổi mục tiêu [x] = C[y] + u. (a) Viết phương trình của (S) trong hệ tọa độ mới. (b) Suy ra qua phép đổi tọa độ hạng của ma trận bé và hạng của ma trận lớn không đổi. Câu 108 (10 điểm). Trên mặt phẳng affine A 2, tuỳ theo giá trị của k, xác định tên của đường bậc hai có phương trình: x 2 2y + k(y 2 2x) = 0. Câu 109 (15 điểm). Trong A 2 thực cho đường bậc hai S có phương trình (α 1 x 1 + βx 2 + γ) 2 α β + 2 (Ax 1 + Bx 2 + C) = 0 với điều kiện 0. Chứng A B minh rằng: (a) S là một parabol. (b) Đường thẳng l có phương trình α 1 x 1 + βx 2 + γ = 0 là một đường kính của S. Tìm phương liên hợp với nó. (c) Đường thẳng d có phương trình Ax 1 + Bx 2 + C = 0 là tiếp tuyến của S tại giao điểm của l với S. Câu 110 (20 điểm). Chứng minh rằng hai siêu mặt bậc hai trong không gian affine A n tương đương affine khi và chỉ khi chúng cùng loại. Câu 111 (10 điểm). Cho f là một ánh xạ affine từ A 3 vào chính nó, có biểu thức tọa độ dạng x = x (f) : y = 0 z = z Hãy chứng tỏ f là một phép chiều song? Tìm nền và phương chiếu của f? Câu 112 (20 điểm). Trong không gian affine A 3 cho mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : x x x x 1 x 2 + 6x 2 x 3 + 2x 1 x 3 2x 1 + 6x 2 + 2x 3 = 0 Hãy tìm phương trình chính tắc và mục tiêu tương ứng. Câu 113 (20 điểm). Trong không gian affine A 3 cho mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : 13x 2 1 2x x x 1 x 2 8x 1 x 3 4x 1 4x 2 + 4x 3 + 2x 3 18 = 0

169 168 Hãy tìm phương trình chính tắc và mục tiêu tương ứng. Câu 114 (20 điểm). Trong không gian affine A 3 cho mặt bậc hai (S) có phương trình (S) : x x x x 1 x 2 2x 1 2x 2 2x = 0 Hãy tìm phương trình chính tắc và mục tiêu tương ứng. Câu 115 (20 điểm). Siêu mặt bậc hai (S) trong không gian affine A n, n 1, được gọi là một siêu mặt kiểu nón nếu nó có điểm kì dị. Tập hợp các điểm kì dị của nó được gọi là phẳng đỉnh. Chứng minh rằng nếu (S) là một siêu mặt bậc hai kiểu nón có phẳng đỉnh (α) và P là một điểm bất kì của (S) thì cái phẳng (β) nhỏ nhất chứa (α) và điểm P (β = α+{p }) nằm hoàn toàn trên (S). Câu 116 (20 điểm). Một siêu mặt bậc hai có vector kì dị trong không gian affine A n được gọi là một siêu mặt kiểu trụ. Chứng minh rằng: (a) Nếu (S) là một siêu mặt kiểu trụ thì nó suy biến. (b) Nếu (S) là một siêu mặt kiểu nón, có phẳng đỉnh là (α) và dim(α) 1 thì (S) là một siêu mặt kiểu trụ. Câu 117 (10 điểm). Cho (S) là một siêu mặt bậc hai không suy biến và có tâm I trong không gian affine A n. Giả sử (S) có phương tiệm cận. Chứng minh rằng hợp tất cả các đường tiệm cận của nó là một siêu mặt kiểu nón đỉnh I. Câu 118 (15 điểm). Trong không gian affine A n, cho hai điểm M 1, M 2 thay đổi nằm trên một siêu mặt bậc hai (S) sao cho đường thẳng M 1, M 2 có phương cố định c (mà không phải là phương tiệm cận). Khi đó tập hợp trung điểm của các đoạn thẳng M 1 M 2 nằm trên một siêu phẳng đi qua tâm (nếu có) của (S). Câu 119 (10 điểm). Trong không gian affine A 3, hãy chọn điểm A nằm trên mặt bậc hai (S) : x x x x 1 x 2 + 6x 2 x 3 + 2x 1 x 2 2x 1 + 6x 2 + 2x 3 = 0 và viết phương trình siêu tiếp diện tại A của (S). Câu 120 (10 điểm). Cho (S) là một siêu mặt kiểu trụ trong không gian affine A n. Chứng minh rằng với mọi điểm P (S) và v là một vector kì dị của (S) thì đường thẳng (d) đi qua điểm P có phương v nằm hoàn toàn trên (S). Câu 121 (20 điểm). Trong không gian affine A n cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình dạng k i,j=1 a ij x i x j + 2 m a r x r + a 0 = 0, trong đó 1 m < n, k n. r=1 (a) Chứng minh rằng nếu a 0 = a 1 = a 2 = = a m = 0 thì (S) là một siêu mặt kiểu nón.

170 169 (b) Chứng minh rằng nếu k m < n thì (S) là một siêu mặt kiểu trụ. Câu 122 (20 điểm). Chứng minh rằng mọi siêu mặt bậc hai affine suy biến của A n đều là siêu mặt kiểu nón hoặc siêu mặt kiểu trụ. Câu 123 (20 điểm). Trong không gian affine A n cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình dạng k i,j=1 a ij x i x j + 2 m a r x r + a 0 = 0, trong đó 1 m < n, k n. r=1 Chứng minh rằng nếu a 0 = a 1 = a 2 = = a m = 0 và k m n 1 thì (S) vừa là một siêu mặt kiểu trụ vừa là một siêu mặt kiểu nón. Câu 124 (20 điểm). Chứng minh rằng nếu siêu mặt bậc hai (S) trong không gian affine A n có điểm kì dị thì (S) suy biến. Câu 125 (15 điểm). Chứng minh rằng nếu I là tâm đối xứng của siêu mặt bậc hai (S) trong không gian affine A n thì I là tâm của nó. Câu 126 (20 điểm). Trong không gian affine A 3 đối với mục tiêu cho trước, hãy tìm tâm, điểm kì dị, nón tiệm cận, phương tiệm cận của mặt bậc hai (S) có phương trình dạng: (S) : x x x x 1 x 2 + 6x 2 x 3 + 2x 1 x 3 2x 1 + 6x 2 + 2x 3 = 0. Câu 127 (15 điểm). Trong không gian affine thực A 3 cho mặt bậc hai (S) có phương trình x 2 1 2x x x 1 x 2 8x 1 x 3 14x 1 14x 2 14x = 0. (a) Hãy tìm tọa độ tâm của (S). (b) Chứng minh rằng vector v(1, 2, 3) không chỉ phương tiệm cận của (S). Viết phương trình mặt phẳng kính của (S) liên hợp với phương v. (c) Cho điểm P (1; 1; 2). Chứng minh rằng điểm P thuộc vào (S) nhưng không phải là điểm kì dị của (S). Hãy viết phương trình tiếp diện của (S) tại điểm P. Câu 128 (10 điểm). Cho I là tâm của siêu mặt bậc hai (S) trong không gian affine A n. Chứng minh rằng I là một tâm đối xứng của (S). Câu 129 (10 điểm). Chứng minh rằng trong A n một siêu mặt bậc hai không suy biến mà có tâm thì chỉ có một tâm. Câu 130 (10 điểm). Trong A n cho siêu mặt bậc hai affine (S), một điểm P không thuộc (S). Hãy tìm tập hợp các điểm là hợp của các tiếp tuyến của (S) xuất phát từ P.

171 170 Câu 131 (15 điểm). Trong A n cho siêu mặt bậc hai kiểu nón (S) có phẳng đỉnh α. Giả sử P là một điểm của (S), không thuộc α (tức không kì dị). Chứng minh rằng tiếp diện của (S) tại P chứa phẳng đỉnh α. Câu 132 (10 điểm). Trong không gian affine A n cho siêu mặt bậc hai (S). Giả sử (d) là một tiếp tuyến của (S) tại P. Chứng minh rằng siêu phẳng kính (α) của (S) liên hợp với phương của đường thẳng (d) đi qua tiếp điểm P. Câu 133 (10 điểm). Trong không gian affine thực A 3 cho mặt bậc hai (S) có phương trình 4x x x 2 3 2x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + 2x 1 + 2x 2 = 0 và điểm P (1, 0, 1). Tìm tập hợp các điểm nằm trên hợp các tiếp tuyến của (S) xuất phát từ điểm P. Câu 134 (15 điểm). Trong không gian affine thực A 3 cho mặt bậc hai (S) có phương trình 4x x x 2 3 2x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + 2x 1 + 2x 2 = 0 và vector v. Tìm tập hợp các điểm nằm trên hợp các tiếp tuyến của (S) có phương là vector v(1, 0, 1). Câu 135 (15 điểm). Trong A 3 cho mặt bậc hai (S) có phương trình: (S) : x x x x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + 6x 2 x 3 2x 1 + 6x 2 + 2x 3 = 0 và mặt phẳng có phương trình (α) : 2x 1 x 2 + x 3 4 = 0. Hãy xét giao của mặt bậc hai (S) và mặt phẳng (α). Câu 136 (20 điểm). Trong không gian A 3 với mục tiêu {O, e 1, e 2, e 3 } cho mặt bậc hai (S 1 ) và (S 2 ) lần lượt có phương trình: x x x x 1 x 2 2(x 1 + x 2 + x 3 ) + 1 = 0; và x x x x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + 2(3x 1 + 5x 2 + x 3 ) = 0. Hãy cho biết (S 1 ) và (S 2 ) có tương đương affine với nhau hay không? Câu 137 (10 điểm). Trên mặt phẳng affine A 2 cho đường thẳng (d) : 2x 1 + 3x 2 3 = 0. Hãy xét giao của (d) và các đường bậc hai: (S 1 ) : 4x x x 1 x 2 + 2x 2 = 0 và (S 2 ) : x x x 1 x 2 + 2x 2 = 0. Câu 138 (15 điểm). Trong không gian Euclid E n cho ba điểm bất kì M, N, P. Chứng minh rằng: d(m, P ) d(m, N) + d(n, P ).

172 171 Chứng minh rằng nếu M, N, P là ba điểm phân biệt thì bất đẳng thức trên lấy dấu = khi và chỉ khi N thuộc vào đoạn thẳng [MP ]. Câu 139 (15 điểm). Trong E n cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D mà không có điểm nào trong chúng thẳng hàng. Chứng minh rằng: d (A, B) + d (C, D) + d (A, C) + d (B, D) > d (A, D) + d (B, C). Phát biểu kết quả cho tứ giác, tứ diện của không gian thông thường. Câu 140 (10 điểm). Chứng minh rằng qua một điểm A cho trước của E n có một và chỉ một (n m)-phẳng bù vuông góc với một m-phẳng (α) đã cho. Câu 141 (15 điểm). Trong E 4 với tọa độ trực chuẩn (x 1, x 2, x 3, x 4 ) cho cái phẳng (α) có phương trình x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 x 2 + x 3 x = 0 3x 1 x 2 + 3x 3 x = 0 Viết phương trình cái phẳng (β) đi qua điểm I = (1, 4, 4, 1) và bù trực giao với (α). Câu 142 (20 điểm). Trong E n cho m-đơn hình với các đỉnh P 0,..., P m mà các cạnh của nó đều có độ dài bằng a. (a) Tính thể tích của theo a. (b) Tính khoảng cách từ một đỉnh đến (m 1)-mặt đối diện theo a. Câu 143 (20 điểm). Trong E n cho m-đơn hình với các đỉnh P 0,..., P m mà các cạnh của nó đều có độ dài bằng a. (a) Tính khoảng cách từ một đỉnh đến trọng tâm G của đơn hình. (b) Gọi G i là trọng tâm của (m 1)-mặt α i đối diện với đỉnh P i. Chứng minh rằng đường thẳng P i G i trực giao với α i. Câu 144 (15 điểm). Trong E n cho m-đơn hình với các đỉnh P 0,..., P m mà các cạnh của nó đều có độ dài bằng a. Tính góc giữa hai đường thẳng P 0 P m và P 0 G m. Chứng minh rằng góc này là góc giữa đường thẳng P 0 P m và (m 1)- phẳng α m. Câu 145 (20 điểm). Trong E n cho m-đơn hình có đỉnh P 0,..., P m thỏa mãn P 0 P i P 0 P j với mọi i, j = 1,..., m và i j. Đặt a i = P 0 P i (i = 1,..., m) và h là khoảng cách từ P 0 đến (m 1)-phẳng (α) đi qua P 1,..., P m. Chứng minh rằng 1 h 2 = 1 a a 2. m.

173 172 Câu 146 (10 điểm). Trong không gian Euclid E 3 cho tứ diện ABCD. Các đỉnh có tọa độ trực chuẩn là A(0, 0, 2), B(3, 0, 5), C(1, 1, 0), D(4, 1, 2). Tính chiều cao của tứ diện hạ từ đỉnh D tới mặt phẳng (ABC). Câu 147 (10 điểm). Hãy tính độ dài đường chéo của hình lập phương n chiều cạnh a trong không gian Euclid E n. Câu 148 (10 điểm). Trong không gian Euclid E n, chứng minh rằng nếu đường vuông góc chung (d) của (α) và (β) cắt (α) tại A, cắt (β) tại B thì d ( (α), (β) ) = d(a, B). Câu 149 (20 điểm). Cho (α) và (β) là hai cái phẳng trong không gian Euclid E n. Chứng minh rằng nếu (α) (β) = và α β = 0 thì tồn tại duy nhất một đường vuông góc chung của (α) và (β). Câu 150 (20 điểm). Trong E 4 với mục tiêu trực chuẩn đã cho, cho mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A(1, 1, 1, 1), B(2, 2, 0, 0), C(1, 2, 0, 1) và đường thẳng (d) đi qua hai điểm D(1, 1, 1, 2) và E(1, 1, 2, 1). Viết phương trình đường vuông góc chung và tính độ dài đoạn vuông góc chung. Câu 151 (20 điểm). Trong E n cho m-đơn hình đều, cạnh a, có các đỉnh là P 0,..., P m. Cho một k-mặt bên 1 và (m k 1)-mặt bên đối diện 2 của 1. Gọi G 1, G 2 lần lượt là trọng tâm của 1, 2. Chứng minh rằng đường thăng G 1 G 2 là đường vuông góc chung của k-phẳng (α) chứa 1 và (m k 1)-phẳng (β) chứa 2. Câu 152 (10 điểm). Trong không gian E 3 với một mục tiêu cho trước, hãy xác định số đo giữa hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ) có phương trình lần lượt là: x 1 + 4x 2 x = 0 x 1 + 2x 2 x = 0 d 1 : và d 2 :. x 1 + x 3 2 = 0 2x 1 + 2x 2 + x = 0 Câu 153 (10 điểm). Trong E n với một mục tiêu trực chuẩn cho trước, cho x 1 = b 1 + a 1 t x 2 = b 2 + a 2 t đường thẳng (d) :, t R và siêu phẳng (α) : c 1 x x 2 = b n + a n t c n x n + c 0 = 0. Hãy xác định số đo góc giữa (d) và (α). Câu 154 (10 điểm). Trong không gian Euclid E 4, cho hai đường thẳng (d 1 )

174 173 và (d 2 ) có phương trình x 1 x 2 + x 3 = 3 (d 1 ) : 4x 1 + x 2 x 3 = 3 2x 1 + x 2 x 4 = 2 (d 2 ) : x 1 = 1 + 2t x 2 = 3 2t x 3 = 1 + 3t x 4 = 2 t, t R. Hãy xác định góc giữa hai đường thẳng đã cho. Câu 155 (20 điểm). Trong E n với mục tiêu trực chuẩn, cho siêu phẳng (α) có phương trình dạng: a 1 x a n x n + a 0 = 0. (a) Chứng tỏ rằng n(a 1,..., a n ) trực giao với không gian vector chỉ phương α của siêu phẳng (α); (b) Viết phương trình đường thẳng qua M(x 0 1,..., x 0 n) và vuông góc với (α); (c) Tìm tọa độ M là đối xứng của M qua (α). Câu 156 (15 điểm). Trong không gian Euclid E 3 đối với mục tiêu trực chuẩn cho hai điểm A(2, 01, 3) và B(1, 1, 5). Hình vuông ABCD và điểm M(5/3, 3, 0) thuộc mặt phẳng (ABC). Hãy tìm tọa độ điểm C và D. Câu 157 (15 điểm). Trong không gian E n cho hai phẳng (α) và (β), chứng minh rằng khoảng cách của chúng bằng 0 khi và chỉ khi giao của chúng là một tập khác rỗng. Câu 158 (15 điểm). Trong E 4 với mục tiêu trực chuẩn đã cho, cho mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A(1, 1, 1, 1), B(2, 2, 0, 0), C(1, 2, 0, 1) và đường thẳng (d) đi qua hai điểm D(1, 1, 1, 2) và E(1, 1, 2, 1). Tính khoảng cách giữa mặt phẳng (α) và đường thẳng (DE). Câu 159 (20 điểm). Trong không gian E 4 với mục tiêu trực chuẩn cho trước, tính khoảng cách giữa hai phẳng (α), (β) có phương trình lần lượt dạng: (α :) { x1 +x 2 +2x 4 = 3 2x 2 x 3 +5x 4 = 5 và (β :) { 2x1 +x 2 x 3 = 11 x 2 x 3 +2x 4 = 17 Câu 160 (20 điểm). Trong không gian A 4 với mục tiêu trực chuẩn đã cho. Hãy tính khoảng cách: (a) từ A(1, 2, 4, 1) đến siêu phẳng (α) : x 1 + 4x 2 8x 3 3 = 0; (b) từ điểm B(0, 2, 8, 1) đến đường thẳng (d) có phương trình tham số: x 1 = 1 + t, x 2 = 2t (d) :. x 3 = 1 t, x 4 = 2

175 174 Câu 161 (10 điểm). Trong E 3 với một mục tiêu trực chuẩn cho trước, cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (α) có phương trình: (d) : { x1 + 2x 2 1 = 0 2x 2 x = 0 và (α) : x 1 2x 2 + 2x = 0. Chứng minh rằng (d) song song với (α) và tính khoảng cách giữa chúng. Câu 162 (20 điểm). Trong E 3 tìm khoảng cách của cặp đường thẳng lần lượt có phương trình đối với mục tiêu trực chuẩn là x = t + 3 x = u (a) (d 1 ) : y = t + 1 và (d 2 ) : y = 2 + 3u z = 2t 2 z = 3u x 1 + 2x 2 x = 0 x 1 + x 2 + x 3 9 = 0 (b) (m 1 ) : và (m 2 ) :. 2x 1 3x 2 + x 3 4 = 0 2x 1 x 2 x 3 = 0 Câu 163 (15 điểm). Trong E n cho siêu phẳng (α) có phương trình tổng quát: (α) : a 1 x 1 + a 2 x a n x n + b = 0 và điểm A có tọa độ (y 1, y 2,..., y n ). Hãy thiết lập công thức tính khoảng cách từ điểm A đến siêu phẳng (α) theo a i, y i, b. Câu 164 (15 điểm). Trong không gian Euclid E n cho mục tiêu trực chuẩn {E 0 ; E i }, i = 1,..., n. Trên các đường thẳng E 0 E i ta lấy các điểm A i không trùng với gốc mục tiêu E 0. Gọi h là khoảng cách từ điểm E 0 tới siêu phẳng đi qua các điểm A i và gọi a i là các khoảng cách d(e 0, A i ). Chứng minh rằng: 1 h 2 = n 1. i=1 a 2 i Câu 165 (20 điểm). Trong E 4 với mục tiêu đã chọn, xét phẳng hai chiều (α) có phương trình: x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 1 = 0 2x 1 + x 2 x 3 + x 4 2 = 0 (a) Tính khoảng cách từ M(1, 2, 1, 1) đến (α). (b) Viết phương trình của 2-phẳng qua M và trực giao với (α). Câu 166 (15 điểm). Trong không gian Euclid E 4, cho hai điểm A(1, 5, 2, 3), B(0, 2, 1, 3) và đường thẳng (d) có phương trình x 1 x 2 + x 3 = 3 (d) : 4x 1 + x 2 x 3 = 3. 2x 1 + x 2 x 4 = 2

176 175 Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (AB) và (d). Câu 167 (20 điểm). Trong không gian vector Euclid E n cho một không gian con W mà x W khi và chỉ khi x có tọa độ trực chuẩn (x 1,..., x n ) thỏa mãn hệ phương trình tuyến tính a 11 x a 1n x n = 0.. a m1 x a mn x n = 0 Đặt a 1,..., a m là những vector có tọa độ trực chuẩn (theo cơ sở trực chuẩn đang xét) như sau: a 1 = (a 11,..., a 1n ),..., a m = (a m1,..., a mn ). Chứng minh rằng W = a 1,..., a m. Câu 168 (10 điểm). Trong không gian Euclid E 4, cho cái phẳng (α) có phương trình tham số dạng: x 1 = 2 + t 1 3t 2 x 2 = 1 + 3t 1 + 4t 2 (α) :, t 1, t 2 R x 3 = 2 + t 1 + 3t 2 x 4 = 5 + 3t t 2 Hãy viết phương trình tham số và tổng quát của cái phẳng (β) qua điểm M(2, 3, 1, 3) bù vuông góc với (α). Câu 169 (20 điểm). Trên không ( gian Euclid E 3 với mục tiêu trực chuẩn 1 {O; e 1, e 2, e 3 }, xét hai véctơ a 1 2, 1 2, 1 ) ( 1, a 2 2 2, 0, 1 ). 2 (a) Hãy xác định vector a 3 sao cho {O; a 1, a 2, a 3 } là một mục tiêu trực giao trên không gian Euclid E 3 ; (b) Tìm công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu trực chuẩn {O; e 1, e 2, e 3 } sang mục tiêu trực giao {O; a 1, a 2, a 3 }. Câu 170 (10 điểm). Trong E n với một mục tiêu trực chuẩn cho trước, cho m-phẳng α có phương trình: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n + a 1 = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n + a 2 = 0. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n + a m = 0. (a) Chứng tỏ rằng không gian vector con sinh bởi hệ vector { a i (a i1,..., a in ); i = 1, 2,..., m} bù trực giao với phương của phẳng α.

177 176 (b) Viết phương trình tham số của phẳng β đi qua điểm M(x 0 1, x 0 2,..., x 0 n) bù vuông góc với m-phẳng đã cho. Câu 171 (10 điểm). Trong không gian Euclid E 3 viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng có phương trình: x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c và vuông góc với mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0. Câu 172 (10 điểm). Trong E n cho siêu phẳng α và đường thẳng (d) bù trực giao với (α). Giả sử (d) cắt (α) tại H. Lấy A d và B α tùy ý. Chứng minh rằng: d(a, H) 2 + d(h, B) 2 = d(a, B) 2. Câu 173 (10 điểm). Trong không gian Euclid E n, tìm quỹ tích điểm M cách siêu phẳng (α) một khoảng cách không đổi. Câu 174 (10 điểm). Trong không gian Euclid E n cho siêu phẳng (α) đi qua các điểm: A 1 (a 1, 0,..., 0), A 2 (0, a 2,..., 0),..., A n (0, 0,..., a n ). Hãy tính khoảng cách từ điểm O đến siêu phẳng (α). Câu 175 (15 điểm). Trong E n với mục tiêu trực chuẩn {O; e 1, e 2,..., e n } gọi P i là các điểm mà OP i = a i e i, i = 1, 2,..., n. tính thể tích của (n 1)-đơn hình S(P 1, P 2,..., P n ). Câu 176 (15 điểm). Trong không gian Euclid E 4 với mục tiêu trực chuẩn, cho các điểm A(1, 2, 3, 0), B(0, 1, 1, 0), C(0, 1, 0, 2), D( 2, 0, 1, 1). (a) Lập phương trình mặt phẳng qua điểm D bù trực giao với mặt phẳng (ABC). (b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Câu 177 (20 điểm). Cho ánh xạ ϕ : R R R xác định bởi ϕ ( (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) ) = x 1 y 2 2x 1 y 2 2x 2 y 1 + 5x 2 y 2. (a) Chứng minh ϕ là một tích vô hướng trên R 2. (b) Tìm một cơ sở trực chuẩn của R 2 đối với ϕ. Câu 178 (20 điểm). Xét tập hợp F các hàm số thực liên tục trên đoạn [0, 2π]. Với phép cộng hàm số và phép nhân số thực với hàm số thì F trở thành một không gian vector thực. Lập ánh xạ Ω : F F R theo quy tắc: Với f, g F

178 177 thì Ω(f, g) = 2π 0 f(x)g(x)dx. Chứng minh rằng Ω là một tích vô hướng trên F và { hệ vector } 2, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,..., cos mx, sin mx là một hệ trực giao đối với 2 Ω. Chứng minh rằng các vector trong hệ đó đều có môdun bằng π. Câu 179 (10 điểm). Trong không gian Euclid E n, chứng minh rằng: (a) hai phẳng trực giao có không quá một điểm chung; (b) hai phẳng bù trực giao có một điểm chung duy nhất. Câu 180 (15 điểm). Trong E n với tọa độ trực chuẩn cho m-phẳng (α) có phương trình tham số x 1 = a 11 t a 1m t m + b 1 x n = a n1 t a nm t m + b n và k-phẳng có phương trình tổng quát: u 11 x u 1n x n + u 1 = 0 u r1 x u rn x n + u r = 0 Tìm điều kiện về các hệ số của các phương trình đó để: (a) (α) trực giao với (β); (b) (α) bù trực giao với (β). Câu 181 (15 điểm). Trong E n cho n-đơn hình (P 0,..., P n ) và hai điểm M, N thỏa mãn điều kiện P i M = P i N, i = 0,..., n. Chứng minh rằng M trùng với N. Câu 182 (15 điểm). Chứng tỏ rằng phép đồng dạng của E n bảo toàn góc giữa 2 đường thẳng, giữa 2 siêu phẳng, giữa đường thẳng với siêu phẳng và biến 2 phẳng trực giao (bù trực giao) thành 2 phẳng trực giao (bù trực giao). Câu 183 (10 điểm). Cho f : E E là ánh xạ affine giữa hai không gian Euclid E và E. Chứng minh rằng ánh xạ f : E E là một ánh xạ đẳng cự khi và chỉ khi f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ, tức là d ( f(m), f(n) ) = d(m, N) với mọi cặp điểm M, N E. Câu 184 (20 điểm). Cho f : E E là một phép biến đổi đẳng cự trên không gian Euclid E. Chúng ta kí hiệu: Chứng minh rằng: Inv(f) = {M E n : f(m) = M} Inv( f) = { u E n : f ( u ) = u }.

179 178 (a) Nếu Inv(f) thì nó là một cái phẳng có phương là Inv( f). (b) Nếu Inv( f) = { 0} thì f có điểm bất động duy nhất. Câu 185 (20 điểm). Chứng minh rằng nếu f : E n E n (n 1) là một biến đổi đẳng cự không có điểm bất động thì nó phải có đường thẳng bất động và các đường thẳng bất động đều song song với nhau. Câu 186 (20 điểm). Trong không gian E 2 cho hình tam giác ABC và A B C bằng nhau. Hãy chứng tỏ rằng có phép biến đổi đẳng cự biến tam giác ABC thành tam giác A B C? Có bao nhiêu phép biến đổi như vậy nếu: (a) ABC là tam giác thường. (b) ABC là tam giác cân nhưng không đều. (c) ABC là tam giác đều. Câu 187 (10 điểm). Trên mặt phẳng Euclid E 2, cho hai điểm A(1, 2), B(4, 1). Hãy viết biểu thức tọa độ của D A D B. Câu 188 (15 điểm). Trên mặt phẳng Euclid E 2, cho đường thẳng (d) : x + y 3 = 0. Hãy viết biểu thức tọa độ của phép đổi xứng trượt trục (d) và vector trượt v(1, 1). Câu 189 (20 điểm). Cho ánh xạ f : E 3 E 3 có biểu thức tọa độ trực chuẩn: x = y 1/3 f : y = z 2/3 z = x 1/3 Chứng minh rằng f là một phép dời hình? Tìm dạng chính tắc của f? Câu 190 (15 điểm). Cho các ánh xạ f : E 3 E 3 có tọa độ trực chuẩn: x = 2 3 x y 1 3 z + 1 f : y = 2 3 x 1 3 y z + 1 z = 1 3 x 2 3 y 2 3 z + 1 Chứng minh rằng f là phép dời hình? Hỏi dạng chính tắc của f là gì? Câu 191 (15 điểm). Cho ánh xạ f : E 3 E 3 có biểu thức tọa độ trực chuẩn: x = 1 3 x y z 4 3 f : y = 2 3 x y 2 3 z z = 2 3 x 2 3 y z + 4 3

180 179 Chứng minh rằng f là những phép phản dời hình? Cho biết dạng chính tắc của f là gì? Câu 192 (10 điểm). Cho f : E n E n là một ánh xạ đẳng cự. Chứng minh rằng nó là một đẳng cấu đẳng cự. Câu 193 (15 điểm). Cho ánh xạ f : E 3 E 3 có biểu thức tọa độ trực chuẩn: x = z + 1 f : y = x + 1. z = y + 1 Chứng minh rằng f là những phép phản dời hình? Cho biết dạng chính tắc của f là gì? Câu 194 (20 điểm). Cho ánh xạ f : E 3 E 3 có biểu thức tọa độ trực chuẩn dạng: x = 1 3 x 2 3 y z f : y = 2 3 x y 2 3 z z = 2 3 x 2 3 y z Chứng minh rằng f là những phép phản dời hình? Cho biết dạng chính tắc của f là gì? Câu 195 (20 điểm). Cho hai không gian Euclid E n và E m. Chứng minh rằng: (a) Nếu n > m thì không có phép đẳng cự nào từ E n đến E m. (b) Nếu n m và (P 0,..., P n ), (Q 0,..., Q n ) là hai n-đơn hình lần lượt trong E n và E m thõa mãn P i P j = Q i Q j thì tồn tại duy nhất một ánh xạ đẳng cự f : E n E m sao cho f(p k ) = Q k, (k = 0,..., n). Câu 196 (10 điểm). Trên mặt phẳng Euclid E 2, cho đường thẳng (d) : x+y 3 = 0. Hãy viết biểu thức tọa độ của phép đổi xứng qua đường thẳng (d). Câu 197 (15 điểm). Cho f là phép đối xứng qua m-phẳng (α) trong không gian Euclid E n. Chứng minh rằng nếu n m chẳn thì f là một phép biến đổi đẳng cự loại một và n m lẽ thì f là một phép biến đổi đẳng cự loại hai. Câu 198 (20 điểm). Cho f là phép đối xứng qua m-phẳng α trong không gian Euclid E n. Chứng minh rằng: (a) f là một phép biến đổi đẳng cự. (b) Có thể chọn một mục tiêu trực chuẩn thích hợp để biểu thức tọa độ của.

181 180 f có dạng x 1 = x 1 x 2 = x 2. =... x m = x m x m+1 = x m+1. =... x n = x n Câu 199 (15 điểm). Trong E 2 cho ánh xạ f : E 2 E 2 có biểu thức tọa độ trong hệ trực chuẩn (O, e 1, e 2 ) có dạng x = x + 2 y + a 3 y = 2 x 1 2 y + a. Chứng minh f là phép phản dời hình. Tìm a để f là phép đối xứng trục và viết phương trình của trục đối xứng. Hỏi f là phép đối xứng trượt với giá trị nào của a. Câu 200 (15 điểm). Cho f là một phép biến đổi đẳng cự trên không gian E n, có tính chất đối hợp (f 2 = id). Chứng minh rằng hoặc f là ánh xạ đồng nhất hoặc f là phép đối xứng qua m-phẳng. Câu 201 (15 điểm). Chứng minh rằng phép biến đổi đẳng cự giữ bất động mọi điểm của siêu phẳng (α) trong không gian Euclid E n hoặc là phép đồng nhất hoặc là phép đối xứng qua siêu phẳng đó. Câu 202 (10 điểm). Trong E n với mục tiêu đã chọn, cho siêu phẳng (α) có phương trình n (α) : a 1 x 1 + a 2 x a n x n + a 0 = 0, a 2 i = 1. Hãy viết biểu thức tọa độ của phép đối xứng (trực giao) qua siêu phẳng (α). i=1 Câu 203 (10 điểm). Trên mặt phẳng Euclid E 2, cho hình chữ nhật ABCD, hãy xác định tích của 4 phép đối xứng tâm D A D B D C D D. Câu 204 (15 điểm). Trong E n (n 1) cho một siêu phẳng (α). (a) Giả sử f là một phép đối xứng trực giao qua (α). Chứng minh rằng với vector bất kỳ v E và v = f ( v) ta có ( v v ) α và ( v + v ) α. (b) Giả sử g là một biến đổi đẳng cự của E n khác ánh xạ đồng nhất, nhận (α) làm tập hợp tất cả các điểm bất động. Chứng minh rằng g là phép đối xứng qua (α).

182 181 Câu 205 (10 điểm). Trên mặt phẳng Euclid E 2 cho tam giác ABC. Ký hiệu S AB, S BC, S CA lần lượt là các phép đối xứng qua đường thẳng AB, BC, CA. Đặt f := S AB S BC S CA. Chứng minh rằng tập hợp các trung điểm của M và f(m) luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Câu 206 (15 điểm). Chứng tỏ rằng mọi phép biến đổi affine của E n bảo toàn góc giữa 2 đường thẳng bất kỳ đều là phép biến đổi đồng dạng: Câu 207 (15 điểm). Trên mặt phẳng E 2, cho hình bình hành có các đỉnh nằm trên ellipse. Chứng minh tâm của hình bình hành trùng với tâm của tâm ellipse còn các cạnh của hình bình hành thì song song với 2 đường kính liên hợp của ellipse. Câu 208 (15 điểm). Trong không gian E 2 cho hình chữ nhật ABCD. Hãy xác định một phép π là phép biến đổi đẳng cự (khác phép đồng nhất) biến hình chữ nhật ABCD thành chính nó. Hãy tìm tất cả các phép biến đổi đẳng cự như vậy và chứng minh chúng lập thành nhóm. Câu 209 (20 điểm). Trong không gian Euclid thông thường E 3 hỏi có bao nhiêu biến đổi đẳng cự: (a) Biến ba đường thẳng đồng quy và đôi một trực giao với nhau thành chính ba đường thẳng ấy. (b) Biến một hình hộp chữ nhật thành chính nó. Câu 210 (15 điểm). Trên mặt phẳng E 2 cho ánh xạ f có biểu thức tọa độ trực chuẩn là x = y + 3 y = x + 1. Chứng minh rằng f là một phép biến đổi đẳng cự. Cho biết dạng chính tắc của phép biến đổi đẳng cự f. Câu 211 (20 điểm). Cho ánh xạ f, g : E 2 E 2 có biểu thức tọa độ trực: { { x = y + 1 x = y + 3 f : y g : = x 1 y = x + 1 Chứng minh rằng f, g là những biến đổi đẳng cự? Cho biếtdạng chính tắc của f, g là gì? Câu 212 (20 điểm). Cho ánh xạ g : E 3 E 3 có biểu thức tọa độ trực chuẩn: x = z + 1 g : y = x + 1 z = y + 1

183 182 Chứng minh rằng g là một phép phản dời hình? Tìm dạng chính tắc của g? Câu 213 (15 điểm). Cho các ánh xạ f : E 3 E 3 có tọa độ trực chuẩn: f : x = y 1 3 y = z 2 3 z = x 1 3 Chứng minh rằng f là phép dời hình? Hỏi dạng chính tắc của f là gì? Câu 214 (20 điểm). Cho phép biến đổi đẳng cự f : E n E n. Chứng minh rằng f là đối hợp khi và chỉ khi f có điểm bất động và f có n véc tơ riêng độc lập tuyến tính. Câu 215 (15 điểm). Chứng minh rằng ánh xạ f : E E giữa các không gian Euclid E và E là ánh xạ đồng dạng tỉ số k (k > 0) khi và chỉ khi d ( f(m), f(n) ) = kd(m, N), M, N E. Câu 216 (10 điểm). Chứng minh rằng phép quay (quanh 1 điểm) trong E 2 có biểu thức tọa độ dạng: x 1 = x 1 cos ϕ x 2 sin ϕ + a 1 x 2 = x 1 sin ϕ + x 2 cos ϕ + a 2 với ϕ [0, 2π] và a 1, a 2 R. Câu 217 (10 điểm). Trên mặt phẳng Euclid E 2, cho tam giác ABC, M là ảnh của điểm M qua tích của 3 phép đối xứng trục AB, BC, AC. Hãy tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng [MM ]. Câu 218 (10 điểm). Trên mặt phẳng Euclid E 2, cho tam giác ABC vuông cân tại A. Hãy xác định tích của 3 phép đối xứng trục D AB D BC D AC. Câu 219 (20 điểm). Trong không gian E 3 chứng minh rằng: (a) Mọi phép dời hình đều có thể phân tích thành tích hai phép đối xứng qua hai đường thẳng nào đó. (b) Mọi phép phản dời hình đều có thể phân tích thành tích của một phép đối xứng qua một đường thẳng và phép đối xứng qua một mặt phẳng nào đó. Câu 220 (20 điểm). Trong không gian E 3 thông thường cho hình chữ nhật ABCD nằm trong mặt phẳng (α). Tìm dạng chính tắc của các biến đổi đẳng cự sau đây: (a) Tích của phép đối xứng qua điểm A và phép đối xứng qua mặt phẳng (α).

184 183 (b) Tích của bốn phép đối xứng lần lượt qua bốn đường thẳng AB, BC, CD, DA. Câu 221 (20 điểm). Trong E n cho hai siêu phẳng phân biệt song song (α), (β) điểm A (α) và điểm B (β) sao cho AB α. Chứng minh rằng tích hai phép đối xứng f, g lần lượt qua (α), (β) là phép tịnh tiến theo vector 2 AB. Ngược lại chứng minh rằng cho vector v 0 thì phép tịnh tiến theo vector v là tích của hai phép đối xứng qua hai siêu phẳng song song (α), (β) mà (α) lấy tùy ý, miễn sau cho α v. Câu 222 (20 điểm). Trong E n tìm tập hợp các điểm: (a) Cách đều một điểm và một siêu phẳng. (b) Cách đều một điểm và một đường thẳng cho trước. Câu 223 (15 điểm). Trong không gian E 3 cho mặt bậc hai (S) có phương trình đối với mục tiêu trực chuẩn {O; e 1, e 2, e 3 } dạng: x x x x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + 6x 1 + 6x 2 + 6x = 0. Hãy tìm phương trình chính tắc và mục tiêu tương ứng của siêu mặt bậc hai (S) đã cho. Câu 224 (20 điểm). Trong E 3 với mục tiêu trực chuẩn {O; e 1, e 2, e 3 } cho mặt cầu (S) có phương trình dạng: (C) : (x 1 + 2) 2 + (x 2 1) 2 + (x 3 + 1) 2 = 9. (a) Chứng tỏ siêu phẳng (α) có phương trình 2x 1 + 2x 2 x = 0 là siêu phẳng kính chính của (C) và tìm phương chính tương ứng. (b) Viết phương trình siêu phẳng (β) tiếp xúc với (C) và song song (α). Câu 225 (15 điểm). Trong R 3 cho bốn mặt cầu có phương trình theo tọa độ trực chuẩn: (S 1 ) : x 2 + y 2 + z 2 = 9 (S 2 ) : (x + 5) 2 + (y 1) 2 + (z + 2) 2 = 53 (S 3 ) : (x + 1) 2 + y 2 + (z 3) 2 = 39 (S 4 ) : x 2 + (y 1) 2 + (z 2) 2 = 10 Hãy tìm mặt cầu trực giao với cả bốn mặt cầu đó. Câu 226 (10 điểm). Chứng minh rằng với mọi điểm P thuộc miền trong và điểm Q thuộc miền ngoài của siêu cầu S(I, R) trong không gian Euclid E n thì đoạn thẳng P Q cắt siêu cầu tại một điểm. Câu 227 (20 điểm). Chứng minh rằng điểm M thuộc miền trong của siêu cầu C(I, R) trong không gian Euclid E n khi và chỉ khi mọi đường thẳng chứa

185 184 M đều cắt siêu cầu đó tại hai điểm phân biệt. Câu 228 (10 điểm). Chứng minh rằng miền trong của siêu cầu S(I, R) trong không gian Euclid E n là một tập lồi. Câu 229 (10 điểm). Chứng minh rằng điểm M thuộc miền ngoài của siêu cầu C(I, R) trong không gian Euclid E n khi và chỉ khi tồn tại một đường thẳng chứa M không cắt siêu cầu đó. Câu 230 (10 điểm). Trong không gian Euclid E n. Chứng minh rằng phương chính c không phải phương tiệm cận của siêu mặt bậc hai (S) khi và chỉ khi giá trị riêng λ (của ma trận bé A) ứng với vector c là khác 0. Câu 231 (10 điểm). Trong không gian Euclid E n, chứng minh rằng phương trình của siêu mặt bậc hai (S) đối với mục tiêu trực chuẩn {O; e 1, e 2,..., e n } có dạng n b i x 2 i + 2 i=1 n a i x i + a = 0, với a i, b i, a R, i = 1, 2,..., n. i=1 khi và chỉ khi các vector e 1, e 2,..., e n là những phương chính của (S). Câu 232 (10 điểm). Tìm phương chính và đường kính chính của đường bậc 2 trong E 2 có phương trình với mục tiêu trực chuẩn {O; e 1, e 2 } dạng: (C) : 4x 2 1 4x 1 x 2 + x 2 2 x 1 + 3x 2 4 = 0. Câu 233 (10 điểm). Chứng minh rằng nếu siêu câu C(I, R) trong không gian n Euclid E n có phương trình dạng (S) : x 2 i 2 n a i x i + d = 0 và M có tọa độ (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n) thì i=1 P(M)/(C) = (x 0 1) 2 + (x 0 2) (x 0 n) 2 2a 1 x 0 1 2a 2 x 0 2 2a n x 0 n + d. i=1 Câu 234 (15 điểm). Cho (S) là một siêu cầu và M là một điểm trong không gian Euclid E n. Chứng minh rằng nếu đường thẳng (d) qua điểm M cắt siêu cầu (S) tại hai điểm I, J thì P(M)/(S) = MI. MJ. Câu 235 (15 điểm). Trong E 3 với mục tiêu trực chuẩn {O; e 1, e 2, e 3 } cho mặt bậc hai có phương trình: (S) : x x x x 1 x 2 + 2x 1 x 3 2(3x 1 + 5x 2 + x 3 ) 7 = 0. Hãy xác định phương trình chính tắc của (S). Câu 236 (15 điểm). Trong E 3 với mục tiêu trực chuẩn {O; e 1, e 2, e 3 } tìm phương trình chính tắc và mục tiêu trực chuẩn tương ứng của mặt bậc 2 sau: (S) : 2x 1 x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1 x 3 + 4(x 1 + x 2 + x 3 ) 3 = 0.

186 185 Câu 237 (10 điểm). Trên mặt phẳng Euclid E 2, đưa đường bậc hai (S) : 3x 2 + 4xy 10x 2y + 3 = 0 về dạng chính tắc bằng phương pháp dùng các bất biến và bán bất biến. Câu 238 (10 điểm). Trên mặt phẳng Euclid E 2, đưa đường bậc hai (S) : 8x 2 + 2y xy + 20x + 4y + 9 = 0 về dạng chính tắc bằng phương pháp dùng các bất biến và bán bất biến. Câu 239 (10 điểm). Trên mặt phẳng Euclid E 2, đưa đường bậc hai (S) : x 2 + y 2 + 6xy + 20x + 4y + 2 = 0. về dạng chính tắc bằng phương pháp dùng các bất biến và bán bất biến. Câu 240 (20 điểm). Trong E 3 với mục tiêu trực chuẩn, cho phương trình siêu mặt bậc hai: (S) : x 2 x 3 + x 3 x 1 + x 1 x 2 + p(x 1 + x 2 x 3 ) + q = 0 với p, q R. Hãy viết phương trình chính tắc của (S). Câu 241 (15 điểm). Trong E 2 cho đường bâc hai (S) có phương trình: 6x 1 x 2 + 8x x 1 26x = 0. đối với mục tiêu trực chuẩn {O; e 1, e 2 }. Tìm phương trình chính tắc và mục tiêu chính tắc tương ứng của (S). Câu 242 (20 điểm). Trong E 3 cho mặt bậc hai (S) có phương trình 5x x x 2 3 8x 1 x 2 + 4x 1 x 3 + 4x 2 x 3 1 = 0 đối với mục tiêu trức chuẩn (O; e 1, e 2, e 3 ). Tìm phương trình chính tắc và mục tiêu chính tắc tương ứng của (S). Câu 243 (15 điểm). Trong E 3 cho mặt bậc hai (S) có phương trình x x x x 1 x 2 + 6x 1 x 3 + 2x 2 x 3 2x 1 + 6x 2 + 2x 3 = 0. Tìm phương chính tắc và mục tiêu chính tắc tương ứng của nó. Câu 244 (15 điểm). Trong E 3 cho các mặt bậc hai (S) có phương trình 4x x x x 1 x 2 + 4x 1 x 3 + 6x 2 x 3 + 2x 2 = 0. Tìm phương chính tắc và mục tiêu chính tắc tương ứng của nó.

187 186 Câu 245 (15 điểm). Trong E n, (n 1) cho một m-phẳng (α), (m < n) và một số c > 0. Tìm tập hợp (S) các điểm M mà khoảng cách d (M, α) = c. Câu 246 (20 điểm). Trong E n, (n 1) cho hai đường thẳng (α), (β) phân biệt. Tìm tập hợp các điểm M cách đều (α) và (β). Câu 247 (20 điểm). Trong E n cho hai điểm phân biệt A, B và một số thực dương a. (a) Giả sử AB < 2a. Tìm tập hợp các điểm M sao AM + BM = 2a. (b) Giả sử AB > 2a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho AM BM = 2a. Câu 248 (10 điểm). Trong E n với mục tiêu trực chuẩn {O; e 1, e 2,..., e n } cho hai siêu cầu (C 1 ) : x x x 2 n 2a 1 x 1 2a 2 x a n x n + d 1 = 0 (C 2 ) : x x x 2 n 2a 1 x 1 2a 2 x a n x n + d 2 = 0. Ta nói (C 1 ), (C 2 ) trực giao với nhau nếu: a 1 b 1 + a 2 b a n b n = 1 2 (d 1 + d 2 ). Chứng minh: (C 1 ), (C 2 ) trực giao khi và chỉ khi phương tích của tâm siêu cầu (C 1 ) đối với (C 2 ) bằng bình phương bán kính của (C 1 ). Câu 249 (10 điểm). Cho C 1 và C 2 là hai siêu cầu không đồng tâm trong E n. Chứng minh rằng tập hợp tất cả những điểm M có cùng phương tích đối với hai siêu cầu là một siêu phẳng trực giao với đường thẳng nối hai tâm của siêu cầu. Câu 250 (15 điểm). Trong không gian Euclid E n. Chứng minh rằng siêu phẳng kính chính (α) liên hợp với phương chính c nhận c làm một pháp vector. Ngược lại, một siêu phẳng kính (α) liên hợp với phương c mà nhận c làm pháp vector sẽ là một siêu phẳng kính chính. Câu 251 (15 điểm). Trên mặt phẳng E 2 với mục tiêu trực chuẩn {O, e 1, e 2 } tìm phương trình chính tắc và mục tiêu trực chuẩn tương ứng của đường bậc hai có phương trình dạng: (C) : 4x x 1 x 2 + x x 1 + 6x = 0. Câu 252 (15 điểm). Trong E 3 với mục tiêu trực chuẩn {O; e 1, e 2, e 3 } xét sự tương giao của mặt cầu (C) : (x 1 + 2) 2 + (x 2 1) 2 + (x 3 + 1) 2 = 9 và đường thẳng x 1 x 3 = 0 (d) : x 1 4x 2 + x 3 = 2.

188 187 Câu 253 (10 điểm). Trong mặt phẳng Euclid E 3 với mục tiêu trực chuẩn {O; e 1, e 2, e 3 } cho mặt cầu có phương trình: C(I, r) = x x x x 1 4x = 0 và mặt phẳng (α) : 2x 1 + x 2 2x = 0. Hãy xét sự tương giao của mặt cầu C(I, r) và mặt phẳng (α). Các bạn sử dụng chương trình Tuluan.exe trong CD để xem hướng dẫn giải của các câu hỏi trên.

189 188 Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1. Mục đích và nội dung thực nghiệm Mục đích thực nghiệm sư phạm Đề tài đã sử dụng các phương pháp dạy học không truyền thống và ứng dụng thành tựu của công nghệ thông tin để tạo ra một số phương tiện hỗ trợ dạy và học môn hình học Affine và Euclid. Các phương tiện dạy học đó nhằm tăng cường khả năng tự học, tự nghiêm cứu của sinh viên. Thông qua đó, nó phát huy tính chủ động, tích cực của người học. Mục đích thực nghiệm sư phạm của chúng tôi là kiểm tra tính phù hợp và hiệu quả của các phương tiện được xây dựng trong đề tài. Kết quả thực nghiệm sư phạm sẽ trả lời các câu hỏi: Nội dung của các phương tiện dạy học được xây dựng trong đề tài có phù hợp cho sinh viên tự học không? Những mặt nào còn thiếu, còn hạn chế, những nội dung nào là thừa? Các phương tiện dạy học được xây dựng trong đề tài có góp phần nâng cao năng lực nhận thức, hứng thú học tập, tăng cường khả năng tự học, tự nghiên cứu và phát huy tính tích cực chủ động của sinh viên khi học môn hình học Affine và Euclid không? Các sản phẩm của đề tài có nâng cao chất lượng học tập, khả năng chiếm lĩnh tri thức của sinh viên không? Các phương pháp mà đề tài đã đề ra có phát huy được khả năng thuyết trình, trình bày các vấn đề khoa học cũng như khả năng nghiên cứu khoa học của sinh viên chưa? Trả lời các câu hỏi trên sẽ tìm ra những thiếu sót của đề tài, để kịp thời điều chỉnh, bổ sung sao cho hoàn thiện. Từ đó góp phần vào việc nâng cao chất lượng

190 189 dạy và học môn hình học Affine và Euclid nói riêng, môn Toán ở trường đại học Đồng Tháp nói chung Nội dung thực nghiệm sư phạm Quá trình thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường Đại học Đồng Tháp gồm hai lớp: ĐHSTOAN2009A và ĐHSTOAN2009B. Nội dung thực nghiệm gồm 6 chương của môn hình học Affine và Euclid Phương pháp thực nghiệm sư phạm Chọn mẫu thực nghiệm sư phạm Do đặc điểm môn học và phân phối các tiết dạy nên chúng tôi dùng cách chọn cả lớp. Căn cứ vào kết quả thi của môn hình học giải tích, chúng tôi chọn lớp có điểm trung bình thấp (ĐHSTOAN2009A) làm lớp thực nghiệm và lớp có điểm trung bình cao hơn (ĐHSTOAN2009B) là lớp đối chứng. Đối với lớp thực nghiệm. Trước tiên, chúng tôi giới thiệu với sinh viên 2 chuyên đề về sử dụng máy tính bỏ túi và ứng dụng phần mềm Toán học Maple 13.0 vào hỗ trợ học tập môn hình học Affine và Euclid. Tiếp theo, chúng tôi hướng dẫn cách sử dụng hai chương trình làm bài trắc nghiệm và tự luận để các em tự học ở nhà. Cuối cùng, chúng tôi giới thiệu bài giảng, cách sử dụng và phương pháp giảng dạy đối với môn học. Theo đó, sinh viên đọc bài giảng ở nhà, tự trả lời các câu hỏi định hướng học tập của mỗi bài. Khi lên lớp, giảng viên trả lời các thắc mắc của người học gặp phải trong quá trình đọc bài giảng. Sau đó, yêu cầu sinh viên trình bày cách khái niệm, định lý, chứng minh,... trong bài học và giải bài tâp. Cuối giờ dạy, giảng viên dặn những nội dung sinh viên chuẩn bị cho giờ tiếp theo. Khi kết thúc một chương, sinh viên có một vài chủ đề seminar và làm một bài kiểm tra. Đối với lớp đối chứng. Chúng tôi tiến hành giảng dạy, giới thiệu bài giảng, các tài liệu liên quan đến môn học hiện có và tiến hành giảng dạy theo như các năm trước.

191 Quan sát trong quá trình giảng dạy Trong quá trình giảng dạy, chúng tôi quan sát và ghi chép lại các nội dung: - Khả năng nắm nội dung bài học, mức độ hiểu bài của sinh viên qua các câu hỏi và quá trình sửa bài tập. - Hiệu quả tự học của sinh viên. - Kỹ năng trình bày các nội dung, lời giải các bài tập trong môn học. - Hứng thú học tập, tính tích cực chuẩn bị bài, không khí lớp học, hoạt động xây dựng bài, sự tập trung và hợp tác chia sẽ trong học tập Kiểm tra đánh giá Cuối môn học, chúng tôi cho sinh viên ở hai lớp làm 1 bài thi. Đề thi gồm 24 câu hỏi trắc nghiệm và 4 câu hỏi tự luận với thời gian làm bài 120 phút. Quá trình thi được nhà trường tổ chức nghiêm túc, họ trộn sinh viên hai lớp với nhau và chia đều làm 2 phòng, thành lập 4 mã đề thi khác nhau. Sau khi thi, bài làm của sinh viên được rọc phách và đưa cho giảng viên chấm. Cuối cùng, bộ phận chuyên trách lên điểm thi cho sinh viên Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm Quan sát trong quá trình dạy Qua quan sát trong quá trình dạy môn hình học Affine và Euclid ở hai lớp thực nghiệm và đối chứng, chúng tôi rút ra được một số nhận xét sau: Sự chuẩn bị bài học, lĩnh hội kiến thức ở lớp thực nghiệm sau khi học 2 chương có những bước tiến bộ. Mức độ tự nắm bắt và giải quyết vấn đề ở các em được hình thành và phát triển. Không khí ở lớp đối chứng diễn ra bình thường, sinh viên ít chủ động đặt câu hỏi với giảng viên, mở rộng bài học. Trong khi đó, không khí học tập ở lớp thực nghiệm diễn ra sôi động, nhiều sinh viên tích cực tham gia xây dựng bài học, đặt các câu hỏi tìm hiểu, mở rộng, lật ngược vấn đề đối với bài học. Sau khi kết thúc môn học, nhiều sinh viên ở lớp thực nghiệm tự tin hơn, trình bày các vấn đề được mạch lạc. Biết cách đọc và tìm kiếm tài liệu. Một số sinh viên có đam mê nghiên cứu đối với môn học.

192 191 Đa số sinh viên ở lớp thực nghiệm có thể sử dụng Maple phục vụ môn học. Một số sinh viên trong lớp đã hướng đến việc nghiên cứu ứng dụng vào các môn khác và phục vụ dạy học sau này. Một số sinh viên ở lớp thực nghiệm tiếp cận và giải quyết được các bài tập khó trong môn học. Chất lượng về nội dung, cách trình bày của bài tự học ở lớp thực nghiệm hơn hẳn lớp đối chứng. Một số ít sinh viên ở lớp thực nghiệm không nắm được bài, không theo kịp tiến độ. Các em cảm thấy môn học nặng nề và vất vả hơn những môn khác. Thích phương pháp dạy học truyền thống hơn Đánh giá định lượng Sau khi chấm thi học phần, chúng tôi đã tiến hành thống kê, tính toán và thu được các bảng số liệu sau: Nhóm Số SỐ BÀI THI ĐẠT ĐIỂM x i bài < < ĐC TN Bảng 3.1. Bảng thống kê các điểm số x i của bài thi Biểu đồ 3.1. Biểu đồ phân bố điểm của hai nhóm đối chứng và thực nghiệm

193 192 Nhóm Số SỐ % BÀI THI ĐẠT ĐIỂM x i bài < ĐC TN Nhóm Số SỐ % BÀI THI ĐẠT ĐIỂM x i bài < ĐC TN Bảng 3.2. Bảng phân phối tần suất của hai nhóm đối chứng và thực nghiệm Biểu đồ 3.2. Biểu đồ phân phối tần suất của nhóm đối chứng và thực nghiệm Nhóm Số SỐ % BÀI THI ĐẠT ĐIỂM x i TRỞ XUỐNG bài < ĐC TN Nhóm Số Số % bài thi đạt điểm x i trở xuống bài < ĐC TN

194 193 Bảng 3.3. Bảng phân phối tần suất lũy tích Biểu đồ 3.3. Biểu đồ phân phối tần suất lũy tích Các tham số sử dụng để thống kê. - Giá trị trung bình cộng: là tham số đặt trưng cho sự tập trung của số liệu, được tính theo công thức x = k n i x i i=1 n ở đó n i là tần số ứng với điểm x i, n là số sinh viên tham gia các bài thi. - Phương sai mẫu: s 2 = k n i (x i x) 2. n 1 i=1 - Độ lệch chuẩn s = s 2 cho biết độ phân tán quanh giá trị x. Giá trị s càng nhỏ thì số liệu càn ít phân tán. - Sai số tiêu chuẩn: m = s n. Tính toán với các số liệu thông kê ở trên, chúng ta được Nhóm Tổng SV x s 2 s x ± m Đối chứng ±0.40 Thực nghiệm ± Bảng tổng hợp các tham số của hai nhóm Dựa vào các thông số tính toán ở trên, Bảng tổng hợp các tham số 3.4 và Biểu đồ lũy tích 3.3, chúng tôi rút ra các nhận xét sau: